UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

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  Ministério da Educação

  

UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ

Campus Curitiba

Professor Gilmar Bornatto

  1. P ara fazer uma caixa s e m ta mpa com um único pe daço de pa pe lão, utilizou-s e um retângulo de 16 cm de largura por 30 cm de comprime nto. De ca da um dos quatro cantos des s e retângulo foram retira dos qua drados de área idê ntica e, depois , foram dobradas para cima as abas res ultantes . Determine a medida do la do do ma ior quadra do a s er cortado do pedaço de pape lão, para que a ca ixa forma da tenha: a) área lateral de 204 cm£; b) volume de 600 cm¤.

  2. A expres s ão V(x) = x(16 - 2 x)(24 - 2 x) repres enta o volume e m cm¤ de uma caixa na forma de um paralelepípedo retâ ngulo re to, e m que x é a a ltura e os lados da bas e s ã o 16 - 2x e 24 - 2x.

  a) Se nenhuma das ares ta s da caixa pode s er menor que 1 cm, determine os va lores pos s íveis da variáve l x.

  b) Quando x = 5 cm, o vo lume da caixa é 420 cm¤. Investigue se existem outros valores de x para os quais o volume é 420 cm¤. Em caso afirmativo, dê esses valores.

  3. Dada a equação polinomial x¤ - 5x£ + 8x - m = 0, onde m é um parâmetro real: a) Mos tre que tal equação tem a o menos uma ra iz rea l.

  b) Obtenha m de modo que 3 s eja raiz, e encontre as outras raízes .

  4. O produto de duas das raízes do polinômio p(x) = 2x¤ - mx£ + 4x + 3 é igual a -1. Determinar a) o valor de m.

  b) as raízes de p.

  5. Determine o valor de k para que os polinômios f = x¤ - x£ - 5x - 3 e g = x¤ + 2x£ + kx admitam em comum uma raiz inteira de multiplicidade 2.

  6. Qua l a ma ior ra iz inteira da e quaçã o x¥ - 20x¤ + 90x£ + 20x - 91 = 0?

  7. Cons idere a equação a lgébrica - x¥ + kx¤ - kx£ + kx - 4 = 0, na variável x, com k Æ C.

  a) Determine k = a + bi, com a e b re ais , para que o número complexo 2i s e ja uma das raízes da e quaçã o.

  b) Determine todas as raízes da e quaçã o quando k = 5.

  8. Ache todas as raízes (re ais e complexas ) da equação x§- 7x¤-8=0.

  9. As três raízes da equação x¤ - 3x£ + 12x - q = 0, onde q é um parâmetro real, formam uma progressão aritmética.

  a) Determine q.

  b) Utiliza ndo o valor de q determina do no item (a), encontre as ra ízes (reais e complexas ) da e quação. TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO Na(s ) ques tão(ões ) a s eguir es creva nos parê ntes es a letra (V) s e a afirmativa for verdade ira ou (F) s e for fals a.

  10. Cons iderando- se a função polinomial p:IRëIR definida por p(x)=x¤+x+21 podemos afirmar que: ( ) A equação p(x)=0 nã o tem s olução inte ira. ( ) O gráfico da funçã o p(x) intercepta o eixo ox em um ponto de abcis s a inteira . ( ) A equação p(x) =0 pos s ui uma s olução rea l. ( ) O gráfico da funçã o p(x) intercepta o eixo ox num ponto de abcis s a negativa. ( ) A equação p(x) -21 =0 pos s ui exata mente três s oluções rea is .

  11. Se x¤ - 2x£ + 5x - 4 = 0 tem uma raiz x = 1, então as outras duas raízes da equação são: a) complexas nã o rea is .

  b) racionais .

  c) pos itivas .

  d) negativas .

  12. Sobre as raízes da equação 2x¤ - x£ - 2x + 1 = 0, é verdade que a) nenhuma delas é rea l.

  b) exata mente duas de las s ão ne gativas .

  c) s omente uma de las é irracional.

  d) as três s ão números inte iros .

  e) perte ncem ao interva lo [-1, 1].

  13. As três raízes de 9x¤-31x-10=0 são p, q e 2. O valor de p£+q£ é:

  a) 5/9

  b) 10/9

  c) 20/9

  d) 26/9

  e) 31/9

  14. Sabe- se que o produto de duas raízes da equação algébrica 2x¤-x£+kx+4=0 é igual a 1. Então o valor de k é: a) - 8.

  b) - 4.

  c) 0.

  d) 4.

  e) 8.

  15. O produto dos valores reais de x que tornam verdadeira a igualdade 2x¤ + x£ - 8x - 4 = 0 é

  a) - 4

  b) - 1/2

  c) 3/2

  d) 2

  16. S eja S o conjunto de todas as raízes da e quaçã o 2x§-4x¦+4x-2=0. S obre os elementos de S pode mos afirmar que a) todos s ã o números re ais .

  b) 4 s ão números rea is pos itivos .

  c) 4 não s ã o números re ais .

  d) 3 s ão números rea is pos itivos e 2 não s ã o rea is .

  e) 3 s ão números rea is ne gativos .

  17. Sobre o polinômio p(x) = x¦ - 5x¤ + 4x£ - 3x - 2 podemos afirmar que

  a) x = 2 não é ra iz de p

  b) p s ó a dmite raízes reais , s endo uma de las inte ira, duas racionais e duas irracionais

  c) p admite uma única ra iz real, s e ndo ela uma ra iz inteira

  e) p admite s omente 3 ra ízes reais , s endo uma de las inteira e duas irracionais

  18. Se 3 + 2 i é ra iz da equação x£ + ax + b = 0 com a e b números reais , então a + b va le:

  a) 7

  b) - 4

  c) - 6

  d) 19

e) 2 19. Considere a equação 3x¤ - 2x£ + 12x - 8 = 0, que admite uma raiz igual a 2i, em que i é a unidade imaginária.

  Então, podemos afirmar que a equação dada admite: a) uma raiz raciona l no inte rvalo [1/2, 3/4].

  b) duas raízes re ais no inte rvalo [1/2, 3/4].

  c) uma raiz re al irraciona l no intervalo [1/2, 3/4].

  d) duas raízes re ais irracionais no interva lo [1/2, 3/4].

  e) uma raiz rea l irracional no intervalo [3/4, 1].

  20. A soma das raízes da equação ax¤ + bx£ + cx = 0, onde a, b , c Æ IR e a·0, tendo 4i como raiz é

  a) 0

  b) 1

  c) 2

  d) 8i

  e) -8i

  21. O polinômio p(x) = kx¤ + x£ + kx + 1 não possui raízes reais. Então, o valor de "k" é

  a) -2

  b) -1

  c) 0

  d) 1

  e) 2

  22. Sabe-s e que - 1 é raiz do polinômio f=x¤+x£-2x-2. As de mais raízes des s e polinômio s ão números .

  a) irracionais .

  b) não reais .

  c) racionais não inteiros .

  d) inteiros pos itivos .

  e) inteiros e opos tos entre s i.

  23. Os zeros do polinômio a s eguir formam uma P.A. p(x) = x¤ - 12x£ + 44x - 48

  O conjunto s olução da equação p(x) = 0 pode s er des crito por:

  a) {0, 4, 8}

  c) {- 1, 4, 9}

  d) {-2,- 4,- 6}

  24. As medidas , em ce ntímetros , dos lados de um triângulo retâ ngulo s ã o da das pelos números que s ã o raíze s da equação 4x¤-24x£+47x-30=0. Então, a área desse triângulo, em cm£, é: a) 1,5.

  b) 0,5.

  c) 7,5.

  d) 6.

  e) 3.

  25. Cons idere o polinômio P(x) = x§ - 1 e julgue os ite ns abaixo: ( ) O número - 1 é ra iz de P(x). ( ) As raízes complexas do polinômio Q(x) = x¥ + x£ + 1 s ã o ta mbé m raízes de P(x). ( ) A s oma de todas as raízes (reais e complexas ) de P(x) é igua l a zero. ( ) P(x) > 0 para todo número rea l x, com |x| < 1.

  26. Os números -1 e 1 s ã o duas raízes do polinômio P(x) = cx¤ + ax£ + bx + 2c. A terce ira raiz de P(x) é

  a) - 3

  b) - 2

  c) 0

  d) 1/2

  e) 2

  27. Sejam p(x) = ax£ + (a - 15)x + 1 e q(x) = 2x£ - 3x + (1/b) polinômios com coeficiente s reais . Sabe-s e que es s es polinômios pos s uem as mes mas raízes . Então, é correto afirmar que o valor de a + b é a) 3.

  b) 6.

c) 9.

  d) 12.

  28. Cons iderando as ra ízes do polinômio p(x) = x¥ + 16, pode -s e afirmar que p(x) a) não tem raízes no conjunto dos números complexos .

  b) tem uma raiz de multiplicida de 4.

  c) tem quatro raízes complexas dis tintas .

  d) tem duas raízes duplas .

  e) tem por grá fico uma curva que troca de concavida de.

  29. Sendo z e z‚ as raízes não reais da equação algébrica x¤ + 5x£ + 2x + 10 = 0, o produto zz‚ resulta em um número a) natural.

  b) inteiro negativo.

  c) racional nã o inte iro.

  d) irracional.

  e) complexo não re al.

  30. Se m, p, mp são as três raízes reais não nulas da equação x¤ + mx£ + mpx + p = 0, a soma das raízes dessa equaçã o s erá a) 3.

  b) 2.

  c) 1.

  d) 0.

  e) -1.

  GABARITO

  1. a) 3 cm

  b) 5 cm 2. a) 1 ´ x ´ 7,5

  b) [15 - Ë(141)]/2 3. a) Como m é um número real, trata -s e de uma equa ção polinomia l de coeficie ntes todos reais . Se ndo as s im, pode- se afirmar, pelo teorema das raízes imaginárias, que o número de raízes imaginárias é PAR. Como a e quaçã o a dmite, a o todo, três raízes , porque ela é de gra u 3, conclui-s e que o número de ra ízes reais é ÍMPAR. Portanto a equação admite pelo menos uma raiz real.

  b) m = 6 As outras raízes s ã o 1 + i e 1 - i. 4. a) m = 7

  b) 3/2; 1 - Ë2 e 1 + Ë2 5. k = 1 6. 13 7. a) (20/13) + (30/13)i

  b) {1, 4, -i, i}

  8. V = {2, -1  iË3, -1, 1/2  iË3/2}

  9. a) q = 10

  b) 1, 1 - 3i e 1 + 3i

  10. V F V V F 11. [A] 12. [E] 13. [D] 14. [A] 15. [D] 16. [D] 17. [E] 18. [A] 19. [A] 20. [A] 21. [C] 22. [A] 23. [B] 24. [A]

  25. V V V F 26. [E] 27. [C] 28. [C] 29. [A] 30. [E]

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