AMICA DE GAL ´ AXIAS: APLICAC ¸ ˜ OES DO TEOREMA DA M´ EDIA

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  ANA MARIA TRAVAGLINI

  

SISTEMA DE R ¨ OSSLER E DIN ˆ AMICA

DE GAL ´ AXIAS: APLICAC ¸ ˜ OES DO

TEOREMA DA M´ EDIA

  UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERL ˆ ANDIA FACULDADE DE MATEM ´ ATICA

  2016 ANA MARIA TRAVAGLINI

  SISTEMA DE R ¨ OSSLER E DIN ˆ AMICA DE GAL ´ AXIAS: APLICAC ¸ ˜ OES DO TEOREMA DA M´ EDIA

  Disserta¸ c˜ ao apresentada ao Programa de P´ os- Gradua¸c˜ ao em Matem´ atica da Universidade Federal de Uberlˆ andia, como parte dos requisitos para obten¸c˜ ao do t´ıtulo de MESTRE EM MATEM ´ ATICA.

  ´ Area de Concentra¸ c˜ ao: Matem´ atica Aplicada.

  Equa¸c˜ oes Diferenciais Ordin´ arias. Linha de Pesquisa: Orientador: Prof. Dr. M´ arcio Jos´ e Horta Dantas.

  UBERL ˆ ANDIA - MG 2016

  

Dedicat´ oria

  Dedico este trabalho aos meu pais Antˆonio Alberto Travaglini e Cl´audia Bernardo Travaglini.

  

Agradecimentos

  Agrade¸co a todos que direta ou indiretamente me ajudaram chegar at´e aqui. Em particular, agrade¸co: Aos meus pais pelo incentivo dado em todos os momentos da minha vida. Ao meu irm˜ao Ulisses Travaglini que sempre torceu por mim. Ao meu namorado Andrey Luan Gomes Contel pela amizade e o companheirismo. Ao professor M´arcio Jos´e Horta Dantas por sua orienta¸c˜ao, disponibilidade e de- dica¸c˜ao, sem a sua contribui¸c˜ao este trabalho n˜ao seria poss´ıvel. A todos os meus amigos do mestrado pelo companheirismo e a ajuda durante estes dois anos. A minha fam´ılia pela presente motiva¸c˜ao, ajuda e carinho. Ao programa de p´os-gradua¸c˜ao em Matem´atica por tornar esse mestrado poss´ıvel. TRAVAGLINI, A. M. Sistema de R¨ossler e Dinˆamica de Gal´axias: Aplica¸c˜oes do Teorema da M´edia. 2016. - 108 p. Disserta¸c˜ao de Mestrado, Universidade Federal de Uberlˆandia, Uberlˆandia - MG.

  Resumo O principal objetivo desta disserta¸c˜ao ´e formular e provar o Teorema da M´edia para equa¸c˜oes diferenciais ordin´arias e aplic´a-lo na investiga¸c˜ao de ´orbitas peri´odicas. Dois sistemas s˜ao estudados: um sistema de R¨ossler e um sistema hamiltoniano relacionado ao estudo de Dinˆamica de Gal´axias. Palavras-chave: Equa¸c˜oes Diferenciais Ordin´arias, M´etodo da M´edia, ´ Orbitas Peri´odicas, Estabilidade. TRAVAGLINI, A. M. R¨ossler’s system and Dynamic of Galaxies: Averaging Theorem applications. 2016. - 108 p. Dissertation, Federal University of Uberlˆandia, Uberlˆandia - MG.

  Abstract The main purpose of this dissertation is to formulate and prove the Averaging Theorem for ordinary differential equations and apply it in the investigation of periodic orbits. Two systems are studied: a R¨ossler’s system and a hamiltonian system related to the study of Dynamic of Galaxies. Keywords: Ordinary Differential Equations, Averaging Method, Periodic Orbits, Stability.

  

SUM ´ ARIO

  vii

  

  viii

  

  1

  2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  2 . . . . . . . . . .

  6

1.1.3 Teorema da Aplica¸c˜ao Impl´ıcita Global: Um caso elementar . . . . 13

1.2 T´opicos preliminares de Equa¸c˜oes Diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . 15

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

  47

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

   . . . . . . . . . . . . . . . 67

  

  74

  

  

   . . . . . . 82

  89

4.1 O sistema hamiltoniano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

  

  

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

  

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

  

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

  

INTRODUC ¸ ˜ AO

  Neste trabalho vamos estudar via M´etodo da M´edia certos sistemas de equa¸c˜oes dife- renciais. Essa teoria ´e t˜ao natural que por um longo per´ıodo o m´etodo foi usado em muitos campos de aplica¸c˜ao, como na Matem´atica, F´ısica e Engenharia, sem prova de sua validade. Em 1928 a primeira prova de sua validade foi dada por Fatou.

  No primeiro cap´ıtulo ser˜ao dados resultados b´asicos de An´alise e de Equa¸c˜oes Dife- renciais, os quais ser˜ao necess´arios para o desenvolvimento dos cap´ıtulos 2, 3 e 4. No segundo cap´ıtulo vamos estudar a Teoria da M´edia. Aqui veremos trˆes teoremas principais. O primeiro nos fornece uma solu¸c˜ao aproximada de um sistema de equa¸c˜oes diferenciais em intervalos finitos que dependem de um pequeno parˆametro ε. O segundo nos garante, sob certas condi¸c˜oes, a existˆencia de uma solu¸c˜ao peri´odica e o terceiro nos permite estudar a estabilidade dessa solu¸c˜ao. Juntos esses trˆes teoremas s˜ao conhecidos como o Teorema da M´edia.

  No terceiro cap´ıtulo vamos aplicar a Teoria da M´edia para estudar um sistema autˆonomo introduzido em

  conhecido por sistema de R¨ossler.

  No quarto cap´ıtulo tamb´em aplicaremos a Teoria da M´edia e ainda vamos usar as Fun¸c˜oes El´ıpticas Jacobianas, as quais veremos no primeiro cap´ıtulo, para estudar um sistema hamiltoniano introduzido em

  .

  Os c´alculos computacionais desta disserta¸c˜ao foram feitos usando o software Maxima 5.36.1 (2015). Esse software ´e livre e de c´odigo aberto, podendo ser efetuado o download em http://maxima.sourceforge.net/.

  Ana Maria Travaglini Uberlˆandia - MG, 02 de janeiro de 2016.

  

CAP´ITULO 1

PRELIMINARES

  Neste primeiro cap´ıtulo ser˜ao enunciados alguns resultados e defini¸c˜oes que ser˜ao ne- cess´arios mais adiante.

1.1 T´ opicos preliminares de An´ alise

  1.1.1 Resultados gerais n

  Teorema 1.1.1 (Deriva¸c˜ao sob o sinal de integral) Dado U um aberto, seja f : ⊂ R

  U × [a, b] −→ R uma fun¸c˜ao com as seguintes propriedades:

  (a) Para todo x ∈ U, a fun¸c˜ao t 7−→ f(x, t) ´e Riemann-integr´avel em a ≤ t ≤ b.

  ∂f (b) A i-´esima derivada parcial (x, t) existe para cada (x, t)

  ∈ U × [a, b] e a fun¸c˜ao ∂x i

  ∂f : U × [a, b] −→ R, assim definida, ´e cont´ınua. ∂x i Z b

  Ent˜ao a fun¸c˜ao φ : U f (x, t)dt, possui i-´esima derivada parcial −→ R, dada por φ(x) = a em cada ponto x

  ∈ U, sendo: Z b ∂φ ∂f (x) = (x, t)dt. ∂x i ∂x i a

  Em suma: pode-se derivar sob o sinal de integral, desde que o integrando resultante seja uma fun¸c˜ao cont´ınua. Demonstra¸c˜ ao: Veja , cap´ıtulo 3, se¸c˜ao 6.

  ∂f Corol´ ario 1.1.2 Se f : U

  : × [a, b] −→ R ´e cont´ınua e possui n derivadas parciais

  ∂x i U

  × [a, b] −→ R, i = 1, 2, . . . , n, cont´ınuas, ent˜ao ϕ : U −→ R definida por: Z b ϕ(x) = f (x, t)dt a

  1 ´e de classe C .

  Demonstra¸c˜ ao: Veja , cap´ıtulo 3, se¸c˜ao 6.

  m k m

  Teorema 1.1.3 Seja f : U de classe C (k . Se a −→ R ≥ 1) no aberto U ⊂ R ∈ U

  ′ m m

  ´e tal que f (a) : ´e invert´ıvel, ou seja, det J(f (a)) R −→ R 6= 0 ent˜ao existe uma bola aberta B = B(a, δ) ´e um difeomorfismo sobre um aberto

  ⊂ U tal que a restri¸c˜ao f B

  V ∋ f(a). Demonstra¸c˜ ao: Veja , cap´ıtulo 5, se¸c˜ao 8.

  m m

  Defini¸c˜ ao 1.1.4 Seja f : Ω , ε ) uma fun¸c˜ao com Ω . Dizemos que × (−ε −→ R ⊂ R f (x, ε) = O(ε) se existe uma constante C > 0 tal que

  |f(x, ε)| ≤ Cε para todo (x, ε) , ε ). n n ∈ Ω × (−ε Seja A : um operador linear. Considere a norma uniforme:

  R −→ R n : kAk = max{|A(x)| : x ∈ B}; B = {x ∈ R |x| ≤ 1} onde |.| ´e a norma euclidiana.

  Note que kAk existe, pois B ´e compacto e A ´e cont´ınuo. n n Teorema 1.1.5 Sejam A, B , ). Temos as seguintes propriedades:

  R ∈ L(R n

  (a) Se . kAk = k ent˜ao |A(x)| ≤ k |x|, ∀x ∈ R

  (b) kABk ≤ kAkkBk. m m (c) , kA k ≤ kAk ∀m ∈ N.

  Demonstra¸c˜ ao: Veja , cap´ıtulo 5, se¸c˜ao 3, Lema 1.

  n n

  Lema 1.1.6 Seja A , ) ent˜ao existe ε > 0 tal que se o operador I + εA ∈ L(R R |ε| < ε

  ´e invers´ıvel e sua inversa ´e dada por:

  −1

  2 [I + εA] = I ).

  − εA + O(ε Demonstra¸c˜ ao: Sabemos que: n n

  2 +1 (I + ... + (εA) ) = I . X n − εA)(I + εA + (εA) − (εA) k n n n n

  Defina S n (ε) = (εA) . Como L( , ) ´e um espa¸co completo e S n (ε) , ), R R

  R k ∈ L(R n n =0 pois A , ), se mostrarmos que S n (ε) ´e de Cauchy, concluiremos que S n (ε) con-

  ∈ L(R R n n verge para um elemento de L( , ).

  R R Sejam p, q

  ∈ N tais que q > p ent˜ao: q (ε) p (ε) (εA) X q j kS − S k = k k j =p+1 p q

  • 1

  = + ... + (εA) k(εA) k p +1 q −(p+1) (1.1) ≤ kεAk kI + (εA) + ... + (εA) k p q

  • 1 −(p+1)

  (I + ≤ kεAk k(εA)k + ... + k(εA) k).

  1 Se escolhermos ε tal que = ε , teremos: |ε| <

  2 kAk Xq j

  1

  −(p+1)

  I + . k(εA)k + ... + k(εA) k ≤ k(εA) k ≤

  1 j =0 − kεAk Assim, segue de

  que: p

  • 1 q (ε) p (ε) .

  kεAk kS − S k ≤

  1 − kεAk

  Al´em disso,

  1

  1 < 2. |ε| < ⇒

  2

  1 kAk − kεAk Da´ı, p

  • 1

  2

  1 kεAk p q (ε) p (ε)

+1

kS − S k ≤ ≤ 2kεAk ≤ ≤ −→ 0, quando p −→ +∞. p +1 p

  1

  2

  2 − kεAk Xj n n

  Portanto, (S n (ε)) n converge para (εA) , ). Como R j ∈ L(R

  =0 q

  • 1

  (I q (ε) = I − εA)S − (εA)

  fazendo q −→ +∞, temos:

X

j (I (εA) = I.

  − εA) j

  

=0

  Da´ı conclu´ımos que I − εA ´e invers´ıvel e Xj −1

  [I = (εA) .

  − εA] j

  =0

  Substituindo ε por −ε, temos: Xj j −1

  2 [I + εA] = ( (εA) = I ). j −1) − εA + O(ε =0 n m

  • n

  Teorema 1.1.7 (Aplica¸c˜ao Impl´ıcita) Seja f : U , definida no aberto U , −→ R ⊂ R

  1 ′ m +n

  C no ponto a (a) : ∈ U, com f(a) = c. Se f R −→ R ´e sobrejetiva ou, mais m m n

  • n

  precisamente, se = ´e uma decomposi¸c˜ao em soma direta tal que a = (a

  1 , a 2 )

  R R ⊕R n n e a derivada ∂ f (a) : ´e um isomorfismo, ent˜ao existem abertos V, Z (onde

  2 m R −→ R a 1 , a

  ∈ V ⊂ R ∈ Z ⊂ U) com a seguinte propriedade: para cada x ∈ V h´a um ´unico n n ξ(x) tal que (x, ξ(x)) assim definida

  ∈ R ∈ Z e f(x, ξ(x)) = c. A aplica¸c˜ao ξ : V −→ R

  1

  ´e C no ponto a e sua derivada nesse ponto ´e

  1 ′ −1

  ξ (a ) = f (a)] f (a)].

  1

  2

  1 k k −[∂ ◦ [∂

  Se f (k e sua derivada num ponto x ∈ C ≥ 1) ent˜ao ξ ∈ C ∈ V qualquer ´e

  ′ −1

  ξ (x) =

  2 f (x, ξ(x))] 1 f (x, ξ(x))].

  −[∂ ◦ [∂ n k

  −1

  1 Em resumo: f (c)

  , C no ponto a . Se f

  1 k ∩ Z ´e o gr´afico da aplica¸c˜ao ξ : V −→ R ∈ C ent˜ao ξ . A aplica¸c˜ao ξ diz-se definida implicitamente pela equa¸c˜ao f (x, y) = c.

  ∈ C Demonstra¸c˜ ao: Veja , cap´ıtulo 5, se¸c˜ao 11.

1.1.2 Estabilidade de Operadores Lineares Hiperb´ olicos

  Considere o espa¸co vetorial de dimens˜ao m sobre o corpo m m C : = m C {u + iv : u, v ∈ R }. Em , definimos a soma de vetores e a multiplica¸c˜ao por um n´ umero complexo de

  C maneira natural. m m Seja A : uma aplica¸c˜ao linear. Definimos a complexifica¸c˜ao de A como

  R −→ R sendo a aplica¸c˜ao: m m

  C

  A : C

  −→ C

  C u + iv (u + iv) = A(u) + iA(v). m m m 7−→ A

  Defini¸c˜ ao 1.1.8 Seja T : um operador no espa¸co complexo . Um escalar C −→ C C m

  λ tal que T x = λx. O conjunto

  ∈ C ´e um autovalor de T se existir 0 6= x ∈ C m : T x = λx

  {x ∈ C } ´e chamado de auto-espa¸co associado ao autovalor λ e cada elemento n˜ao nulo desse conjunto ´e um autovetor associado a λ. m m m Defini¸c˜ ao 1.1.9 Seja T : um operador no espa¸co . Um escalar λ

  R −→ R R ∈ C ´e um autovalor de T se λ for raiz do polinˆomio caracter´ıstico de T, isto ´e, p(λ) = det(T m m − λI) = 0. Defini¸c˜ ao 1.1.10 Um operador linear T : ´e hiperb´olico se todos os autova-

  C −→ C lores de T tem partes reais n˜ao nulas. m Sejam z = (z , z , m ) e w = (w , w , m ) . Definimos o produto interno

  1

  2

  1

  2 m · · · , z · · · , w ∈ C em como sendo:

  C m m :

  h, i C C × C −→ C X m (z, w) = z j w j

  −→ hz, wi C j m =1 e a norma induzida do produto interno em como sendo: m C

  : |.| C C −→ R z =

  −→ |z| C phz, zi. m m Defini¸c˜ ao 1.1.11 Dada uma aplica¸c˜ao linear T : , definimos a norma do

  C −→ C operador T por: m = sup , x , kT k C {|T (x)| C ∈ C |x| C ≤ 1}.

  Vejamos que: m m

  

C

  Lema 1.1.12 Se A , ) ent˜ao = ∈ L(R R kA k C kAk. m

  Demonstra¸c˜ ao: Seja u + iv tal que ∈ C |u + iv| ≤ 1. Ent˜ao,

  2

  |u + iv| ≤ 1 ⇒ hu + iv, u + ivi C ≤ 1

  C

  ⇒ hu, ui + ihu, vi − ihu, vi + hv, vi ≤ 1 ⇒ hu, ui + hv, vi ≤ 1

  2

  

2

  ⇒ |u| |v| ≤ 1. Assim, para u + iv tal que

  • m

  ∈ C |u + iv| C ≤ 1, temos:

  C

2 C C

  (u + iv) (u + iv), A (u + iv) |A | ≤ hA i C

  C

  = hA(u) + iA(v), A(u) + iA(v)i C = hA(u), A(u)i + hA(v), A(v)i

  

2

  2

  = + |A(u)| |A(v)|

  2

  2

  2

  2

  • ≤ kAk |u| kAk |v|

  2

  2

  2

  • ( )

  ≤ kAk |u| |v|

  2 .

  ≤ kAk

  2

2 C

  Ent˜ao, (u + iv) , desde que |A | ≤ kAk |u + iv| C ≤ 1. Dessa forma,

  C m C C

  = sup (u + iv) , u + iv , (1.2) kA k C {|A | C ∈ C |u + iv| C ≤ 1} ≤ kAk. Por outro lado,

  C C C

  = sup (u + iv) (u) kA k C |A | C ≥ sup |A | = sup |A(u)| = kAk. C (1.3)

  |u+iv| =1 |u|=1 |u|=1

  Portanto, de

  , segue que: C

  = kA k C kAk.

  C Observa¸c˜ ao 1.1.13 λ ´e autovalor de A se, e somente se, λ ´e autovalor de A . m m

  Isso segue do fato de que toda base de ´e base . Logo, as matrizes associadas as R C

  C transforma¸c˜oes A e A s˜ao iguais e portanto admitem o mesmo polinˆomio caracter´ıstico. m m m m C C Teorema 1.1.14 Se A n , ) ent˜ao A em L( , ). n

  −→ A em L(R R −→ A C C m m

  Demonstra¸c˜ ao: Seja A n , ) para todo n n ∈ L(R R ∈ N tal que A −→ A. Isto ´e, lim n n →∞ kA − Ak = 0.

  Note que:

  C C C C

  (A )(u + iv) = A (u + iv) (u + iv) n n − A − A

  = A n (u) + iA n (v) − (A(u) + iA(v))

  = A n (u) n (v) (1.4) − A(u) + iA − iA(v)

  = (A n n − A)(u) + i(A − A)(v)

  C = (A n (u + iv).

  − A) Assim, por

   segue que: C C C

  = = n n kA n − A k C k(A − A) k C kA − Ak. Da´ı,

  C C

  = lim n ≤ lim kA n − A k C kA − Ak = 0. n n

  →∞ →∞ C C

  Portanto, A . n −→ A m m m Consideremos munido da base canˆonica usual e , e , . . . , e n . Seja A , ).

  1

  ∈ L(R R Em rela¸c˜ao a esta base podemos associar de forma ´ unica a matriz cujo componente na i-´esima linha e j-´esima coluna ´e denotada por A ij onde 1 n n n ≤ i, j ≤ m. 2

  2 R

  ∞

  Observa¸c˜ ao 1.1.15 A fun¸c˜ao determinante det : = . Veja R × . . . × R R −→ R ´e C

  p´agina 252. m m Teorema 1.1.16 Se A n , ) ent˜ao existe uma subsequˆencia k

  −→ A em L(R R {n } tal que se λ n k , , λ n k , , . . . , λ n k ,m s˜ao ra´ızes de g k (λ) = det(λI n k ) ent˜ao lim λ n k ,j = λ j , onde

  1

  2

  − A k →∞ j = 1, 2, . . . , m e todas as ra´ızes de g(λ) = det(λI − A), incluindo suas multiplicidades, s˜ao dadas exatamente por λ , λ , . . . , λ m .

  1

  2 m C

  Demonstra¸c˜ ao: Sejam λ n, , λ n, , . . . , λ n,m os autovalores de A e v n, , v n, , . . . , v n,m

  1 2 n

  1

  2

  ∈ C os respectivos autovetores com n,j = 1, j = 1, 2, . . . , m. Temos: |v | C

  2 C n C C C v n,j , v n,j = n,j v n,j , v n,j = λ n,j n,j , v n,j = λ n,j n,j = λ n,j , hA i hλ i hv i |v | C ∀j = 1, 2, . . . , m.

  Assim, pelo Lema

  temos:

  2 n,j v n,j , v n,j n,j = n (1.5)

n n n

C C C

  |λ | = |hA i C | ≤ kA k C |v | ≤ kA k C kA k

  C m m

  para todo n n , ) ent˜ao existe M > 0 tal ∈ N, j = 1, 2, · · · , m. Como A −→ A em L(R R que n

  (1.6) kA k ≤ M, ∀n ∈ N pois toda sequˆencia convergente ´e limitada. Para cada n

  ∈ N considere a m-upla: p n = (λ n, , λ n, , . . . , λ n,m )

  1

  2 C

  formada pelos autovalores de A . Segue de n que: m p n . m ∈ B[0, M] ⊂ C Como B[0, M ] ´e compacta em segue que existe uma subsequˆencia k

  C {n } e p ∈ B[0, M] onde p = (λ , λ , . . . , λ m ) tal que

  1

  2

  lim λ n k ,j = λ j , j = 1, 2, (1.7) k →∞ · · · , m. Como λ n k ,

  1 , λ n k , 2 , n k ,m s˜ao ra´ızes de g k (λ) = det(λI n k ), considere g(λ) = det(λI

  · · · , λ −A −

  A). Vamos mostrar que λ j ´e raiz de g(λ), j s˜ao autovalores ∀j = 1, 2, · · · , m. Isto ´e, os λ de A. Temos que:

  C

  det(λI ) = (λ n k , )(λ n k , ) . . . (λ n k ,m ) (1.8) n k

  

1

  2

  − A − λ − λ − λ para todo λ ∈ C. Como

  C C C C C

  = = n k = n k kλI − A n k − λI + A k C kA n k − A k C k(A − A) k C kA − Ak

  C C

  pelo Teorema

  j´a que A n . Logo,

  −→ A segue que A n −→ A

  C C

  lim (λI ) = λI . (1.9) n k k →∞ − A − A Segue de

   que: C C C

  det(λI ) = det lim (λI ) = lim det(λI ) − A − A n k − A n k k k

  →∞ →∞

  = lim (λ n k , )(λ n k , ) . . . (λ n k ,m ) = (λ )(λ ) . . . (λ m )

  1

  2

  1

  2 k →∞ − λ − λ − λ − λ − λ − λ ou seja,

  g(λ) = (λ )(λ ) . . . (λ m ).

  1

  2

  − λ − λ − λ Portanto, λ

  1 , λ 2 , . . . , λ m s˜ao todos os autovalores de A, contando com as suas multiplici- dades.

  Observa¸c˜ ao 1.1.17 Queremos ressaltar que as multiplicidades das ra´ızes de g k n˜ao s˜ao preservadas. Por exemplo, se     1 0 0 1 A k =  

  1 0 0 1 + k

  1

  2

  ent˜ao lim A k = I, g k (λ) = det(λI k ) = (λ λ e g(λ) = det(λI k −A −1) − 1 − −A) =

  →∞

  k

  3 (λ . Assim, λ = 1 ´e uma raiz de multiplicidade 2 de g k e de multiplicidade 3 de g.

  − 1) m m

  Teorema 1.1.18 Seja A , ) um operador linear hiperb´olico. Assuma que a ∈ L(R R autovalores de A tem partes reais negativas (contando com as poss´ıveis multiplicidades) e m

  − a autovalores de A tem partes reais positivas. Assim, existe δ > 0 tal que se m m C , ) ent˜ao C admite a autovalores com partes reais negativas e

  ∈ B(A, δ) ⊂ L(R R m − a autovalores com partes reais positivas, contando suas respectivas multiplicidades.

  Demonstra¸c˜ ao: Seja a o n´ umero de ra´ızes de p A (λ) com partes reais negativas e m − a com partes reais positivas.

  Afirmamos que existe δ > 0 tal que se C ) ent˜ao todos os autovalores de

  1

  1

  ∈ B(A, δ C tem partes reais n˜ao nulas. Suponhamos que n˜ao. Ent˜ao, dado n n

  ∈ N, existe C ∈ B(A, 1/n) tal que C n tem um autovalor λ n, tal que Re(λ n, ) = 0. Sejam λ n, , λ n, , . . . , λ n,m

  1

  1

  1

  2

  todos os autovalores de C . Pelo Teorema n existe uma subsequˆencia , k j {n } e λ j = 1, 2, . . . , m tais que k lim λ n k ,j = λ j

  →∞

  e cada λ j ´e um autovalor de A, j´a que C n n k , ) = 0 segue que

  1

  −→ A. Como Re(λ Re(λ ) = 0. Ent˜ao, A possui um autovalor com parte real nula, o que contradiz a hip´otese.

  1 Portanto, existe δ 1 > 0 tal que se C

  ∈ B(A, δ) ent˜ao todos os autovalores de C tem partes reais n˜ao nulas. Suponha que para todo n

  1 , exista C n

  ∈ N tal que 1/n < δ ∈ B(A, 1/n) tal que o n´ umero de autovalores de C n com partes reais negativas ´e a n e o n´ umero de autovalores com partes reais positivas ´e b com (a , b ) n n n

  6= (a, m − a), para todo n ∈ N. Observe que a n + b n = m. Temos que: (a n , b n ) ∈ {1, 2, . . . , m} × {1, 2, . . . , m}. Al´em disso, lim n n kC − Ak = 0.

  →∞

  Ent˜ao, pelo Teorema

  segue que existe C n k subsequˆencia de C n tal que C n k

  −→ A e se λ n k , , λ n k , , . . . , λ n k ,m s˜ao autovalores de C n k temos que:

  1

  2 k lim λ n k ,j = λ j , j = 1, 2, . . . , m (1.10) →∞ onde λ , λ , . . . , λ m s˜ao autovalores de A contando as suas multiplicidades.

  1

2 Como (a n k , b n k )

  ∈ {1, 2, . . . , m} × {1, 2, . . . , m}, que ´e um conjunto compacto, e pas- sando a uma subsequˆencia desta subsequˆencia, se necess´ario, podemos assumir:

  ′ ′

  a n k = a e b n k = b tais que

  ′ ′

  a + b = m, (1.11)

  ′ ′

  (a , b ) 6= (a, m − a).

  ′

  Vamos reordenar os autovalores de C n k tal que os primeiros a autovalores tenham partes

  ′

  reais negativas e os restantes b autovalores cujas partes reais s˜ao positivas. Assim, de

  temos: k lim Re(λ n k ,j ) = Re(λ j ), j = 1, 2, . . . , m.

  →∞ ′ ′ Ent˜ao, para j = 1, 2, . . . , a temos: Re(λ j ) < 0, pois Re(λ n k ,j ) < 0, j = 1, 2, . . . , a .

  Logo,

  ′

  a (1.12) ≤ a.

  ′ ′

  Analogamente, para j = a + 1, a + 2, . . . , m temos: Re(λ j ) > 0, pois Re(λ n k ,j ) >

  ′ ′

  0, j = a + 1, a + 2, . . . , m. Logo,

  ′

  b (1.13) ≤ m − a.

  ′ ′

  Mas, por

  :

  − a

  

′ ′ ′

m = a.

  − a ≤ m − a ⇒ a ≥ a ⇒ a

  ′ ′

  Portanto, (a , b ) = (a, m . E isto prova este teorema.

  − a) o que contraria m m Teorema 1.1.19 Seja M > 0 e A , ) um operador hiperb´olico tal que A tem

  ∈ L(R R exatamente a autovalores com partes reais negativas e m − a autovalores com partes reais positivas, contando as suas multiplicidades. Ent˜ao, existe ε > 0 tal que, contando as multiplicidades, a matriz I m + ε(A + εB) tem a autovalores com normas menores que 1 e m e − a autovalores com normas maiores que 1, para todo 0 < ε < ε kBk ≤ M.

  Demonstra¸c˜ ao: Como kBk ≤ M, podemos fazer: I m + ε(A + εB) = I m + ε(A + O(ε)). Seja δ > 0 como obtido no Teorema

   ent˜ao existe ε tal que se ent˜ao

  |ε| < ε A + O(ε)

  ∈ B(A, δ). Ent˜ao, segue que A + O(ε) admite a autovalores com partes reais

  C

  negativas e m . Ent˜ao,

  − a autovalores com partes reais positivas. Considere (A + O(ε))

  C

  existem v ε, , ε,a , v ε,a , ε,m autovetores unit´arios de (A + O(ε)) tais que:

  1 +1

  · · · , v · · · , v Re(λ ε,j ) < 0, se j = 1,

  · · · , a

  C

  (A + O(ε)) v ε,j = λ ε,j v ε,j , com Re(λ ε,j ) > 0, se j = a + 1, · · · , m.

  Como λ ε,j = a ε,j + ib ε,j ent˜ao a ε,j < 0, se j = 1, · · · , a

  (1.14) a ε,j > 0, se j = a + 1, · · · , m.

  Da´ı,

  C C (I m + ε(A + O(ε)) )v ε,j = v ε,j + ε(A + O(ε)) v ε,j = v ε,j + ελ ε,j v ε,j = (1 + ελ ε,j )v ε,j .

  

C

  Portanto, os autovalores de (I m +ε(A+O(ε)) ) s˜ao: α ε,j = (1+ελ ε,j ) onde j = 1, 2, · · · , m.

  Mostraremos que: ε,j < 1, se j = 1, |α | C · · · , a ε,j > 1, se j = a + 1,

  C |α | · · · , m.

  Temos que: q

ε,j = ε,j + ib ε,j ) = ε,j ) + i(εb ε,j ) = (1 + εa ε,j ) + (εb ε,j ) .

  2

  2

  |α | C |1 + ε(a | C |(1 + εa | C (i) Para j = a + 1, > 0. Da´ı, ε,j

  · · · , m, temos: a

  2 (1 + εa ε,j ) > 1 = ε,j > 1.

  ⇒ |α | C

  (ii) Para j = 1, ε,j < 0. Da´ı, · · · , a, temos: a ε,j = 1 + 2εa ε,j + ε ε,j

  2

  

2

  2

  |α | |λ |

  C C

  (1.15) ε,j + ε

  2 C

  2

  ≤ 1 + 2εa k(A + O(ε)) k

  C

  Da defini¸c˜ao

  temos: C

  2

  2

  2

  2 C C C C

  = + + (O(ε)) )

  C C

  k(A + O(ε)) k kA k ≤ kA k k(O(ε)) k ≤ (kAk + εC

  C C

  onde C ´e uma constante positiva. Dessa forma, existe M > 0 tal que

  1 C

  

2

1 .

  k(A + O(ε)) k ≤ M

  

C

  Sejam λ , . . . , λ m os autovalores de A tais que Re(λ ), . . . , Re(λ a ) < 0 e Re(λ a ), . . . , Re(λ m ) >

  1 1 +1

  0. Ent˜ao, lim λ ε,j = λ j , onde j = 1, . . . , m. Portanto, lim Re(λ ε,j ) = Re(λ j ), onde ε ε

  →0 →0

  j = 1, . . . , m. Ou seja, para j = 1, . . . , a lim a = a ε ε,j j

  →0

  com a j < 0. Dado β > 0 tal que a

  1 , a 2 , . . . , a a <

  −β existe ε j > 0 tal que a ε,j < j . Fa¸ca ε = min , ε , . . . , ε a

  1

  2

  −β, para todo 0 < ε < ε {ε }. Dessa forma, para j = 1, 2, . . . , a e 0 < ε < ε, temos por

  que: ε,j M .

  2

  2

  1

  |α | ≤ 1 − 2εβ + ε

  C

  2β Fa¸ca ε = min , ε . Para 0 < ε < ε temos:

  1

1 M

  1

  2 < 0 M < 0.

  1

  1

  −2β + εM ⇒ −2εβ + ε Portanto, para 0 < ε < ε temos:

  1 ε,j M

  2

  2 1 < 1

  |α | ≤ 1 − 2εβ + ε

  C

  ou seja, ε,j < 1 |α | C para j = 1, . . . , a.

  

1.1.3 Teorema da Aplica¸c˜ ao Impl´ıcita Global: Um caso elemen-

tar

  Nesta subse¸c˜ao veremos uma nova vers˜ao do Teorema da Aplica¸c˜ao Impl´ıcita. n ∂f

  1 Lema 1.1.20 Seja U um aberto e f : U e (x, y)

  ⊆ R × (a, b) −→ R tal que f ∈ C 6= ∂y

  0, para todo (x, y) ∈ U × (a, b). Se existe g : U −→ (a, b) tal que f(x, g(x)) = 0, para todo

  1 x .

  ∈ U, ent˜ao g ∈ C Demonstra¸c˜ ao: Dado x , g(x )). Assim,

  ∈ U, considere (x ∂f f (x , g(x )) = 0 e (x , g(x ))

  6= 0. ∂y

  Ent˜ao, pelo Teorema da Aplica¸c˜ao Impl´ıcita

  existem abertos U

  1

  1

  ⊂ U e J ⊂ (a, b)

  1

  tais que x , g(x ) e ϕ : U ´e de classe C com ϕ(x ) = g(x ) tal que

  1

  1

  1

  

1

  ∈ U ∈ J −→ J f (x, ϕ(x)) = 0, para todo x . Mas f (x, g(x)) = 0, para todo x . Pelo Teorema

  1

  1

  ∈ U ∈ U do Valor M´edio, existe y entre ϕ(x) e g(x) tal que ∂f 0 = f (x, ϕ(x)) (x, y)(ϕ(x)

  − f(x, g(x)) = − g(x)).

  ∂y ∂f

  1 Como (x, y)

  . Portanto, g em x . Como

  1

  6= 0 ent˜ao g(x) = ϕ(x), para todo x ∈ U ∈ C ∂y

  1 x ´e arbitr´ario, segue que g em U.

  ∈ C O resultado a seguir ´e uma pequena modifica¸c˜ao no caso mais simples do principal teorema dado em

  , p´agina 253. n

  Teorema 1.1.21 (Aplica¸c˜ao Impl´ıcita Global) Seja Ω um aberto e f : Ω ⊂ R ×(a, b) −→

  1

  tal que R, f ∈ C

  ∂f (i) (x, y) 6= 0, para todo (x, y) ∈ Ω × (a, b).

  ∂y (ii) lim inf f (x, y) < 0 e lim sup f (x, y) > 0, para todo x y ∈ Ω.

  • + →a y →b

1 Ent˜ao, existe g : Ω tal que f (x, g(x)) = 0, para todo x −→ (a, b) de classe C ∈ Ω.

  Demonstra¸c˜ ao: Dado x

  1 , y

  2

  ∈ U, segue de (ii) que existem y ∈ (a, b) tais que f (x, y ) < 0 e f (x, y ) > 0.

  1

  2 Segue do Teorema do Valor Intermedi´ario e de (i) que existe y entre y e y tal que

  1

  2

  f (x, y) = 0. (1.16) Suponha que exista y , y ] tal que f (x, y ) = 0. Do Teorema do Valor M´edio, temos:

  1

  2

  ∈ [y ∂f 0 = f (x, y) ) = (x, y )(y ). − f(x, y − y

  ∂y ∂f

  Como (x, y ) . Logo, existe um ´ unico y que satisfaz

  . Assim,

  6= 0, segue que y = y ∂y para cada x

  

  ∈ Ω existe um ´unico g(x) ∈ (a, b) tal que f(x, g(x)) = 0 e pelo Lema

  1 segue que g .

  ∈ C

1.2 T´ opicos preliminares de Equa¸c˜ oes Diferenciais

1.2.1 Resultados gerais n n Defini¸c˜ ao 1.2.1 Considere a fun¸c˜ao vetorial f : [t +a] , onde D .

  −a, t ×D −→ R ⊂ R Dizemos que f satisfaz a condi¸c˜ao de Lipschitz com respeito `a x, se existe L > 0 tal que

  ) )

  1

  

2

  1

  2

  |f(t, x − f(t, x | ≤ L |x − x | para quaisquer x , x + a]. Chamamos L de constante de Lipschitz.

  1

  2

  ∈ D e t ∈ [t − a, t Teorema 1.2.2 (Existˆ encia e Unicidade): Considere o problema de valor inicial

  ˙x = f (t, x), (1.17) n x(t ) = x com x ,

  ∈ D ⊂ R |t−t | ≤ a, D = {x : |x−x | ≤ d}, onde a e d s˜ao constantes positivas. Se a fun¸c˜ao f satisfaz as condi¸c˜oes:

  (a) f ´e continua em G = [t + a] − a, t × D. (b) f ´e Lipschitz com respeito `a x. d

  Ent˜ao, o problema de valor inicial

  admite uma ´ unica solu¸c˜ao em

  a, |t−t | ≤ min

  M com M = sup G |f|.

  Demonstra¸c˜ ao: Veja , cap´ıtulo 1, Teorema 1.1. Teorema 1.2.3 (Desigualdade de Gronwall) Suponha que: para t + a,

  ≤ t ≤ t onde a ´e uma constante positiva, temos a estimativa Z t Φ(t) Ψ(s)Φ(s)ds + δ

  1

  3

  ≤ δ t com t + a, Φ(t) e Ψ(t) s˜ao fun¸c˜oes cont´ınuas, Φ(t) e δ

  1

  3

  ≤ t ≤ t ≥ 0 e Ψ(t) ≥ 0, δ constantes positivas. Ent˜ao, t

δ

1 Ψ(s)ds R t0

  Φ(t)

  

3 e

  ≤ δ para t + a. ≤ t ≤ t

  Demonstra¸c˜ ao: Veja , cap´ıtulo 1, Teorema 1.2.

  Considere o sistema ˙x = A(t) x (1.18) onde A(t) ´e uma matriz n

  × n cont´ınua e t ∈ I. Vamos estabelecer algumas propriedades da equa¸c˜ao . Proposi¸c˜ ao 1.2.4 Considere o sistema

  Ent˜ao,

  (t) + c

  1

  ϕ

  Defini¸c˜ ao 1.2.7 Uma matriz X(t) =

  Demonstra¸c˜ ao: Veja , p´agina 129.

  (t) + · · · + c n ϕ n (t).

  

2

  ϕ

  2

  1

  (t) · · · ϕ

  ϕ

  1

  ϕ(t) = c

  pode ser escrita da forma

  , · · · , c n tais que toda solu¸c˜ao ϕ(t) de

  2

  , c

  1

  tes c

  1

  1 k

  Proposi¸c˜ ao 1.2.6 Se (??) s˜ao solu¸c˜oes fundamentais de

  1

  e que s˜ao

  (t)) s˜ao solu¸c˜oes da equa¸c˜ao

  (t), · · · , ϕ n k

  2 k

  (t), ϕ

  1 k

  (t) cujas colunas ϕ k (t) = (ϕ

  (t) · · · ϕ n n

  (t) · · · ϕ n k

  ϕ n

  (t) · · · ϕ

  (t) ... ... ...

  2 n

  (t) · · · ϕ

  2 k

  (t) · · · ϕ

  1

  2

  (t) ϕ

  1 n

  ent˜ao existem constan-

  s˜ao chamadas linearmente indepen- dentes.

  (a) Se x = ϕ(t) ´e solu¸c˜ao de

  ϕ

  , c

  1

  ϕ m (t) onde c

  (t) + · · · + c m

  2

  ϕ

  

2

  (t) + c

  1

  1

  , · · · , c m s˜ao constantes, tamb´em ´e solu¸c˜ao de

  vetorial ϕ(t) = c

  ent˜ao a fun¸c˜ao

  (t), · · · , ϕ m (t) s˜ao solu¸c˜oes de

  2

  (t), ϕ

  1

  (b) Se as fun¸c˜oes vetoriais ϕ

  ∈ R, ent˜ao ϕ(t) ≡ 0, para t ∈ I.

  tal que ϕ(t ) = 0, para algum t

  2

  

  ϕ m (t) = 0 para todo t ∈ I. Caso contr´ario, as solu¸c˜oes

  , · · · , c m

  (t) + · · · + c m

  2

  ϕ

  2

  (t) + c

  1

  ϕ

  1

  , nem todas nulas, tais que c

  2

  Demonstra¸c˜ ao: Veja , p´agina 128.

  , c

  1

  c

  Estas solu¸c˜oes s˜ao linearmente dependentes se existem constantes

  (t), · · · , ϕ m (t) (1.19) solu¸c˜oes de

  2

  (t), ϕ

  1

  Defini¸c˜ ao 1.2.5 Sejam ϕ

  linearmente independentes num ponto t ∈ I, chama-se matriz fundamental de

  Defini¸c˜ ao 1.2.8 Uma matriz X(t) ´e dita T −peri´odica, se existe T > 0 tal que

  X(t + T ) = X(t) para todo t ∈ R. Considere a equa¸c˜ao:

  ˙x = A(t) x (1.20) onde A(t) ´e uma matriz cont´ınua n × n e T −peri´odica para t ∈ R.

  Teorema 1.2.9 (Floquet) Considere a equa¸c˜ao

  com A(t) uma matriz n

  × n cont´ınua e T

  pode

  −peri´odica. Ent˜ao, cada matriz fundamental X(t) da equa¸c˜ao ser escrita como o produto de duas matrizes n × n Bt

  X(t) = P (t)e (1.21) onde P (t) T −peri´odica e B ´e uma matriz constante n × n. Demonstra¸c˜ ao: Veja , cap´ıtulo 6, Teorema 6.5.

  Defini¸c˜ ao 1.2.10 Qualquer matriz n˜ao singular C tal que X(t + T ) = X(t)C onde X(t) ´e matriz fundamental de

  

  Observa¸c˜ ao 1.2.11 Seja X(t) matriz fundamental de B Bt BT BT temos que:

  (t+T ) BT X(t + T ) = P (t + T )e = P (t)e e = X(t)e .

  Logo, C = e . Observa¸c˜ ao 1.2.12 Todas as matrizes de monodromia s˜ao conjugadas entre si. Veja p´agina 144. Defini¸c˜ ao 1.2.13 Dizemos que λ ´e um n´ umero caracter´ıstico de

  se λ ´e autovalor

  de uma matriz de monodromia C. Segue da Observa¸c˜ao que λ n˜ao depende de C.

  Considere o problema de valor inicial ˙x(t) = f (t, x(t)),

  (1.22) n n x(0) = x

  1 onde D e f : D ´e C .

  ⊂ R −→ R n

  Defini¸c˜ ao 1.2.14 Seja I um intervalo aberto, Φ : I solu¸c˜ao de

  Dizemos n −→ R que uma solu¸c˜ao ˆ Φ : ˆ

  I de

  com ˆ I um intervalo aberto, ´e um prolongamento

  −→ R (continua¸c˜ao ou extens˜ao) de Φ se ˆ I Φ I = Φ. Diremos que Φ ´e continu´avel se

  % I e ˆ | admite um prolongamento. Caso contr´ario, Φ ´e dita n˜ao-continu´avel. n n

  Defini¸c˜ ao 1.2.15 Se Φ : J e x : ˆ J s˜ao solu¸c˜oes de

  e x ´e um

  −→ R −→ R prolongamento n˜ao continu´avel de Φ, dizemos que ˆ J ´e um intervalo maximal de existˆencia de Φ. Teorema 1.2.16 (Teorema da continua¸c˜ao de solu¸c˜ao) Considere o p.v.i. n

  onde D

  ´e um conjunto aberto em e seja Φ(t) uma solu¸c˜ao dessa equa¸c˜ao em algum intervalo, R ent˜ao existe um prolongamento de Φ a um intervalo maximal de existˆencia. Al´em disso, se (a, b) ´e intervalo maximal de existˆencia da solu¸c˜ao x(t) de

  ent˜ao (t, x(t)) tende − + `a fronteira de D quando t e t .

  → a → b Demonstra¸c˜ ao: Veja , cap´ıtulo 1, Teorema 2.1.

  Seja E um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita e W ⊂ E um conjunto aberto de E. Considere a equa¸c˜ao

  ˙x(t) = f (x(t)) (1.23)

  1 onde f : W .

  −→ E ´e uma fun¸c˜ao C Para cada x

  ∈ W , existe uma ´unica solu¸c˜ao Φ(t) com Φ(0) = x definida num intervalo maximal de existˆencia J(x) ⊆ R. Como Φ depende de x, indicaremos Φ(t) = Φ(t, x). Ent˜ao, Φ(0, x) = x. Temos que J(x) ´e um intervalo aberto.

  Defini¸c˜ ao 1.2.17 Seja Ω = {(t, x) ∈ R × W : t ∈ J(x)}. Chamamos Φ : Ω −→ W dada acima de fluxo da equa¸c˜ao

  

  Resumidamente: Se Φ(t, x) ´e o fluxo de ent˜ao: ∂Φ (t, x) = f (Φ(t, x)), ∂t Φ(0, x) = x.

  Teorema 1.2.18 Ω ´e um conjunto aberto em R × W e Φ : Ω −→ W ´e uma aplica¸c˜ao

1 C .

  Demonstra¸c˜ ao: Veja , p´agina 175 e p´agina 299. Teorema 1.2.19 O fluxo Φ da equa¸c˜ao

  possui a seguinte propriedade: Se s

  ∈ J(x), s + t , x)) ent˜ao

  ∈ J(x) e t ∈ J(Φ(s Φ(t + s , x) = Φ(t , Φ(s , x)).

  ˙s(t) = 1, ˙x(t) = f (s(t), x(t)).

  X = F (X) (1.25) em Ω ⊂ R n

  1

  (t) = ψ

  2 (t) = Φ(t + s , x).

  Das hip´oteses segue que podemos fazer t = t na equa¸c˜ao anterior. Portanto, Φ(t , Φ(s , x)) = Φ(t + s , x).

  Observa¸c˜ ao 1.2.20 O Fluxo para o caso n˜ ao-autˆ onomo Toda equa¸c˜ao n˜ao autˆonoma

  ˙x = f (t, x) (1.24) em Ω = {(t, x) ∈ R × W : t ∈ J(x)} onde W ⊂ R n

  ´e um aberto, pode ser reescrita como uma equa¸c˜ao autˆonoma ˙

  De fato, o fluxo de ˙ X = F (X) ´e dado por: Γ(t, X) = (Γ

  (0) = Φ(0, Φ(s , x)) = Φ(s , x), ψ

2 (0) = Φ(0 + s , x) = Φ(s , x).

  1

  (t, X), Γ

  2

  (t, X)) ∈ R n

  Fa¸ca X(0) = (a, b), isto ´e, s(0) = a ∈ R e x(0) = b ∈ R n

  . De

  temos:

  Da unicidade de solu¸c˜oes do p.v.i., segue que: Φ(t, Φ(s , x)) = ψ

  1

  Demonstra¸c˜ ao: Vejamos que ψ

  1 (t) =

  1

  (t) = Φ(t, Φ(s , x)) e ψ

  2

  (t) = Φ(t + s , x) s˜ao solu¸c˜oes do p.v.i.: ˙x(t) = f (x), x(0) = Φ(s , x). De fato, (i) ψ

  1

  (t) ´e solu¸c˜ao, pois: ˙

  ψ

  ∂Φ ∂t

  ψ

  (t, Φ(s , x)) = f (Φ(t, Φ(s , x)) = f (ψ 1 (t)). (ii) ψ

  2

  (t) ´e solu¸c˜ao, pois: ˙

  ψ

  2 (t) =

  ∂Φ ∂t

  (t + s , x) = f (Φ(t + s , x)) = f (ψ 2 (t)). Temos ainda, que:

  • 1
  • 1 onde X = (s, x) e F (X) = (1, f (X)).
  • 1 .

  ∂b (0, (a, b)) = 1. (1.30)

  ∂(a, b) (t, X) = det

  ∂b n (t, X) ... ...

  . ..

  ... ∂Γ

  2 n

  ∂a (t, X)

  ∂Γ

  2 n

  ∂b

  1 (t, X) . . .

  ∂Γ

  2 n

  ∂b n (t, X) .

  Assim, det ∂Γ

  ∂Γ

  ∂Γ

  2

  ∂b (t, X) . (1.28)

  Γ(0, X) = X ⇒

  ∂Γ ∂X

  (0, X) = I n +1 . (1.29) Fazendo t = 0 em

  temos:

  1 = det I n

  = det ∂Γ

  ∂X (0, X) = det

  ∂Γ

  2

  ∂b (0, X) . Ent˜ao, det

  ∂Γ

  2

  2 1

  1 (t, X) . . .

  Dessa forma, s(t) = t + a, ∂Γ

  (t, b) = ∂Γ

  2

  ∂t (t, X) = f (t + a, Γ 2 (t, X)).

  Portanto, Γ(t, X) = (t + a, Γ

  2 (t, X)) (1.26)

  onde ∂Γ

  2

  ∂t (t, X) = f (t + a, Γ

  2 (t, X)).

  Ent˜ao, definimos o fluxo de

  como sendo:

  Φ(t, b) = Γ

  2

  (t, (0, b)) (1.27) j´a que: Φ

  ′

  2

  ∂b

  ∂t (t, (0, b)) = f (t, Γ

  2

  (t, (0, b))) = f (t, Φ(t, b)), Φ(0, b) = Γ

  2 (0, (0, b)) = b.

  Isto ´e, Φ

  ′

  (t, b) = f (t, Φ(t, b)), Φ(0, b) = b. Al´em disso, temos:

  ∂Γ ∂(a, b)

  (t, X) = 1 . . .

  ∂Γ

  2 1

  ∂a (t, X)

  ∂Γ

  2 1

  • 1
Como Γ(t, X) ´e fluxo de

   que:

  1

  Γ(t, X) = (Γ

  

1 (t, X), Γ

2 (t, X)) .

  ∈ C Portanto, segue de

  que

  ∂Γ

  2

  det (t, (a, b)) 6= 0

  ∂b para t adequadamente pequeno. Ent˜ao, de n segue que para todo b , existe um intervalo I b com 0 b tal que para cada t b a aplica¸c˜ao

  ∈ R ∈ I ∈ I b −→ Φ(t, b)

  ´e invers´ıvel. Este resultado ser´a usado na demonstra¸c˜ao do Teorema

  Observa¸c˜ ao 1.2.21 O Teorema

   n˜ao ´e v´alido para sistemas n˜ao autˆonomos, como

  mostra o seguinte exemplo: Considere o p.v.i.

  ˙x = tx, (1.31) t2 2 x(0) = x .

  Note que Φ(t, x ) = e x ´e o fluxo de

  

pois:

t22

  Φ (t, x ) = te x = t Φ(t, x ), Φ(0, x ) = x . Entretanto, dados s = 1, t = 2 e x = 1, temos: 2 9 2 5 2 4 Φ(s + t , x ) = Φ(3, 1) = e = Φ(1, e ) = Φ(s , Φ(t , x )). 6= e

  Proposi¸c˜ ao 1.2.22 Seja A um subconjunto compacto do aberto W ⊂ E e f : W −→ E

  1

  uma fun¸c˜ao C . Suponha que y ∈ A e toda solu¸c˜ao da curva da forma y : [0, β]

  −→ W, y(0) = y permanece inteiramente em A. Ent˜ao, existe uma solu¸c˜ao y : [0, e y(t)

  ∞) −→ W, y(0) = y ∈ A para todo t ≥ 0. Demonstra¸c˜ ao: Veja , p´agina 172.

  O pr´oximo resultado ser´a usado no Cap´ıtulo 2 sobre o M´etodo da M´edia. Proposi¸c˜ ao 1.2.23 Seja f : R −→ R uma fun¸c˜ao cont´ınua T −peri´odica. Ent˜ao, para todo ψ

  ∈ R, tem-se: Z T Z ψ +T f (x)dx = f (x)dx. ψ Demonstra¸c˜ ao: Note que Z T Z ψ Z ψ Z ψ

  • T +T f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx f (x)dx.
  • ψ T

      Al´em disso, como f ´e T Z ψ +T Z ψ Z ψ − peri´odica, temos: T f (x)dx = f (u + T )du = f (u)du.

      Dessa forma, Z T Z ψ Z ψ Z ψ Z ψ

    • T +T f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx f (x)dx = f (x)dx.
    • ψ ψ

        Seja ˙x = f (t, x) (1.32)

        1

        a forma vetorial de um sistema arbitr´ario de ordem n com f de classe C , sob um certo aberto D do espa¸co das variav´eis t e x. Defini¸c˜ ao 1.2.24 A solu¸c˜ao Φ(t) da equa¸c˜ao

        com valores iniciais t e x ´e cha-

        mada Lyapunov est´avel se as seguintes condi¸c˜oes est˜ao satisfeitas: (1) Existe um n´ umero ρ > 0 tal que, para , x ) est´a

        1

        1

        |x − x | < ρ, a solu¸c˜ao Φ(t, t definida para todo t . Em particular, a solu¸c˜ao Φ(t) tamb´em est´a definida, para ≥ t todo t . ≥ t

        (2) Para todo ε > 0, podemos encontrar um n´ umero positivo δ

        1

        ≤ ρ tal que para |x − x , x

        

      1 ) .

        | < δ temos |Φ(t, t − Φ(t)| < ε, para todo t ≥ t A solu¸c˜ao Φ(t) da equa¸c˜ao

        a qual ´e Lyapunov est´avel com os valores iniciais t , x

        ´e chamada assintoticamente est´avel se podemos encontrar um n´ umero positivo σ ≤ ρ tal que para , x )

        1

        

      1

      |x − x | < σ temos que |Φ(t, t − Φ(t)| −→ 0 quando t −→ ∞.

        As defini¸c˜oes apresentadas acima s˜ao invariantes com respeito a escolha dos valores iniciais t e x da solu¸c˜ao Φ(t). Para estudarmos o comportamento das solu¸c˜oes de

        na vizinhan¸ca de uma

        solu¸c˜ao Φ(t), devemos introduzir uma fun¸c˜ao vetorial desconhecida y tal que x = Φ(t) + y. (1.33)

        

      2

      No que se segue assumiremos que f (t, x) em seu dom´ınio com respeito `as coordenadas

        ∈ C do vetor x. Substituindo as vari´aveis do sistema

        , usando o fato que Φ(t)

        ´e solu¸c˜ao de

        e expandindo em y, obtemos: X i

        ∂f j i y ˙ i = (t, Φ(t))y + r (t, y). j j ∂x i Linearizando este sistema, isto ´e, descartando os termos r , os quais s˜ao pelo menos de segunda ordem em y, obtemos o sistema linear:

        ˙y = A(t) y (1.34) i i ∂f onde A(t) ´e a matriz com elementos a (t) = (t, Φ(t)). j j ∂x

        Teorema 1.2.25 Considere a equa¸c˜ao

        

      T

        −peri´odica em t. Seja Φ(t) uma solu¸c˜ao tamb´em T −peri´odica.

        (a) Se o valor absoluto de todos os n´ umeros caracter´ısticos de

        s˜ao menores do que um, ent˜ao a solu¸c˜ao Φ ´e assintoticamente est´avel.

        (b) Se o valor absoluto de pelo menos um dos n´ umeros caracter´ısticos de

        ´e maior do que um, ent˜ao a solu¸c˜ao Φ ´e inst´avel.

        Demonstra¸c˜ ao: (a) Veja , Teorema 25, p´agina 264. (b) ´ E uma consequˆencia da Teoria de Floquet e do Teorema 7.6 de n n , p´agina 281.

        Proposi¸c˜ ao 1.2.26 Seja U um aberto e f : U uma fun¸c˜ao de classe ⊆ R × R −→ R

      1 C tal que f (t, x) ´e T- peri´odica em t. Considere a equa¸c˜ao diferencial

        ˙x(t) = f (t, x(t)) e seja x(t) uma solu¸c˜ao desta equa¸c˜ao. Ent˜ao, x(t) ´e T −peri´odica se, e somente se, x(0) = x(T ).

        Demonstra¸c˜ ao: Suponha x(t) = x(t + T ), para todo t ∈ R. Para t = 0, temos: x(0) = x(T ).

        Por outro lado, suponha x(0) = x(T ). Assim, ˙x(t + T ) = f (t + T, x(t + T )) = f (t, x(t + T )), ˙x(t) = f (t, x(t)).

        Fazendo y(t) = x(t + T ), a primeira equa¸c˜ao fica:

        ˙y(t) = f (t, y(t)). Note que: y(0) = x(0 + T ) = x(T ) = x(0).

        Da unicidade de solu¸c˜oes do p.v.i., segue que x(t) = y(t), isto ´e, x(t) = x(t + T ) para todo t ∈ R.

      1.2.2 O Teorema da Redu¸c˜ ao

        O teorema a seguir nos permitir´a obter informa¸c˜oes sobre um sistema de ordem n + 1 investigando um outro de ordem n. m m Teorema 1.2.27 Sejam Ω um aberto, f : , ε ) , g :

        ∈ R R × Ω × (−ε −→ R R × Ω × r ( , ε ) , r

        −ε −→ R fun¸c˜oes de classe C ≥ 1 tais que: f (s + 2π, x, ε) = f (s, x, ε) e g(s + 2π, x, ε) = g(s, x, ε) para todo s , ε ). Considere a seguinte equa¸c˜ao diferencial:

        ∈ R, x ∈ Ω e ε ∈ (−ε εf (s, y(s), ε)

        ′

        y (s) = . (1.35) 1 + εg(s, y(s), ε) Suponha que

        tenha uma solu¸c˜ao 2π (s, ε), ent˜ao existe ε ) e

        1 r −peri´odica y ∈ (0, ε

        T : (

        1 , ε 1 ) tais que:

        −ε −→ R, T ´e de classe C (i) T (0) = 2π. (ii) O sistema

        ˙x = εf (θ(t), y(t), ε), (1.36)

        ˙θ = 1 + εg(θ(t), y(t), ε) tem solu¸c˜ao (x (t, ε), θ (t, ε)) com x (t + T (ε), ε) = x (t, ε) e θ (t + T (ε), ε) = θ (t, ε) + 2π. Demonstra¸c˜ ao: Vamos considerar f e g restritas no dom´ınio , ε ] onde

        R × Ω × [−ε ε < ε . Por hip´otese, g ´e 2π

        −peri´odica em s. Dessa forma, max (s, ε), ε) (s, ε), ε) s ∈ s |g(s, y | = max |g(s, y |.

        R ∈[0,2π]

        E ainda, max (s, ε) (s, ε) ´e cont´ınua ent˜ao aplica o compacto s |y | = max |y |. Como y

        ∈ s ∈[0,2π] R

        [0, 2π] , ε ] em um compacto. Assim, [0, 2π] ([0, 2π], [ , ε ]) , ε ] ´e × [−ε

        × {y −ε } × [−ε um compacto e segue que existe M > 0 tal que: max (s, ε), ε) (s, ε), ε) (s, ε), ε) (1.37) s s |g(s, y | = max |g(s, y | ≤ |g(s, y | ≤ M,

        ∈ R ∈[0,2π]

        1 para todo s , ε ]. Da´ı, existe ε

        1 > 0, ε < ε 1 < tal que:

        ∈ R e ε ∈ [−ε

        2M

        1 (s, ε), ε) (s, ε), ε) M <

        1

        −εg(s, y ≤ |ε||g(s, y | < ε ⇒

        2

        1

        1 (s, ε), ε) < (s, ε), ε) + > 0. ⇒ −εg(s, y ⇒ εg(s, y

        2

        2 Portanto, existe ε > 0 tal que

        1

        1 1 + εg(s, y (s, ε), ε) > (1.38)

        2 para todo ε , ε ).

        1

        1

        ∈ (−ε Seja h : , ε )

        R × (−ε

        1

        1

        −→ R Z s du (s, ε) .

        7−→ 1 + εg(u, y (u, ε), ε) Para cada ε , ε ) considere h(s, ε) = h ε (s)

        1

        1

        ∈ (−ε h ε : R −→ R Z s du

        (1.39) s . 7−→ 1 + εg(u, y (u, ε), ε)

        Note que h ε ´e diferenci´avel, pois ´e integral de uma fun¸c˜ao diferenci´avel. Ent˜ao,

        1

        ′

        h (s) = > 0 ε 1 + εg(s, y (s, ε), ε) por

        existe C = ε M > 0 tal que

        1

        1

        1 1 + εg(s, y (s, ε), ε) < 1 + C > . (1.40) ⇒ 1 + εg(s, y (s, ε), ε) 1 + C

        (i) Se s > 0 por Z Z temos: s s du 1 s > du ε (s) > .

        ⇒ h 1 + εg(u, y (u, ε), ε) 1 + C 1 + C Da´ı, s lim h ε (s) = + h ε (s) = + (1.41) s s s ≥ lim ∞ ⇒ lim ∞.

        →+∞ →+∞ →+∞

        1 + C (ii) Se s < 0 por

        temos: Z Z

        du

        1 > du

        ⇒ s s Z s Z s 1 + εg(u, y (u, ε), ε) 1 + C du

        1 > du

        − − ⇒ 1 + εg(u, y (u, ε), ε) 1 + C ε (s) > ε (s) < . s s −h − ⇒ h 1 + C 1 + C

        Da´ı, s lim h ε (s) = h ε (s) = (1.42) s s s ≤ lim −∞ ⇒ lim −∞.

        →−∞ →−∞ →−∞

        1 + C Assim, dado z

        existem z 1 , z 2 ε (z 1 ) > z e h ε (z 2 ) < z.

        ∈ R, por ∈ R tal que h Pelo Teorema do Valor Intermedi´ario, existe z ε (z) = z. Portanto, h ε ´e

        ∈ R tal que h sobrejetora.

        −1

        Assim, h ε admite inversa h diferenci´avel. Da´ı, ε

        (h

        

        ′

        (t))

        −1 ε

        (t), ε)(h

        −1 ε

        (h

        = y

        ′

        ′

        (t), ε))

        −1 ε

        (t, ε) = (y (h

        ′

        x

        e por (i) temos:

        = y

        (h

        (t), ε), ε) = 1 + εg(θ (t, ε), x (t, ε), ε).

        . Assim,

        

        Ent˜ao, T (0) = Z

        du 1 + εg(u, y (u, ε), ε) .

        

        T (ε) = h ε (2π) = Z

        x (0, ε) = x (h ε (2π), ε). (1.47) Chame

        Mas, h ε (0) = 0 por

        −1 ε

        : x (h ε (0), ε) = y (0, ε) = x (h ε (2π), ε).

        x (h ε (s), ε) = y (s, ε). (1.45) Como y ´e 2π-peri´odica, ent˜ao: x (h ε (s + 2π), ε) = y (s + 2π, ε) = y (s, ε). (1.46) Fazendo s = 0 em

        que:

        Segue de

        (θ (t, ε), ε)(1 + εg(θ (t, ε), y (θ (t, ε), ε), ε)) = εf (θ (t, ε), y (θ (t, ε), ε), ε) = εf (θ (t, ε), x (t, ε), ε).

        ′

        (t), ε)(1 + εg(θ (t, ε), x (t, ε), ε)) = y

        (ii) Como y satisfaz

        −1 ε

        −1 ε

        (s))

        −1 ε

        (h

        ′ ε

        1 h

        =

        ′

        −1 ε

        −1 ε

        ⇒ ⇒ (h

        (s) = 1 + εg(s, y (s, ε), ε)

        ′ ε

        1 h

        (h ε (s)) =

        ′

        )

        (s)) = 1 + εg(h

        (s), y (h

        (t), y (h

        ′

        −1 ε

        = 1 + εg(h

        ′

        (t))

        −1 ε

        (t, ε) = (h

        θ

        −1 ε (s), ε), ε).

        temos que:

        (1.44) Observe que: (i) De

        −1 ε (t), ε).

        (t), x (t, ε) = y (h

        

      −1

      ε

        θ (t, ε) = h

        (1.43) Defina

        du = 2π e T (ε) ∈ C r

        , pelo Corol´ario

        (t), u

        ′

        2

        (t)) = (x

        ′

        (t + T (ε), ε), θ

        ′

        (t + T (ε), ε)) = (εf (θ (t + T (ε), ε), x (t + T (ε), ε), ε), 1 + εg(θ (t + T (ε), ε), x (t + T (ε), ε), ε)) = (εf (u

        2

        (t), u

        1

        (t), ε), 1 + εg(u

        2

        

      1

        1

        (t), ε)), v

        ′

        (t) = (v

        ′

        1

        (t), v

        ′

        2

        (t)) = (x

        ′

        (t, ε), θ

        ′

        (t, ε)) = (εf (θ (t, ε), x (t, ε), ε), 1 + εg(θ (t, ε), x (t, ε), ε)) = (εf (θ (t, ε) + 2π, x (t, ε), ε), 1 + εg(θ (t, ε) + 2π, x (t, ε), ε)) = (εf (v

        (t), u

        ′

        Logo,

        1

        x (0, ε) = x (T (ε), ε). (1.48) Al´em disso, de

        , segue que:

        θ (h ε (s), ε) = s. (1.49) Fazendo s = 2π em

        , temos:

        θ (h ε (2π), ε) = 2π ou seja, θ (T (ε), ε) = 2π. (1.50)

        Fazendo s = 0 em

        , temos:

        θ (h ε (0), ε) = 0 ⇒ θ

        (0, ε) = 0. (1.51) Considere u(t) = (u

        1

        (t), u

        2

        (t)) = (x (t + T (ε), ε), θ (t + T (ε), ε)), v(t) = (v

        (t), v

        (t) = (u

        2 (t)) = (x (t, ε), θ (t, ε) + 2π).

        Por

        temos:

        u(0) = (u

        1

        (0), u

        2

        (0)) = (x (T (ε), ε), θ (T (ε), ε)) = (x (0, ε), 2π), v(0) = (v

        1

        (0), v

        2 (0)) = (x (0, ε), θ (0, ε) + 2π) = (x (0, ε), 2π).

        Logo, u(0) = v(0). E ainda, por (i), (ii) e da periodicidade de f e g na primeira vari´avel, temos: u

        ′

        2 (t), v 1 (t), ε), 1 + εg(v 2 (t), v 1 (t), ε)) Isto ´e, u e v s˜ao solu¸c˜oes de

        . Segue da unicidade de solu¸c˜oes do p.v.i. que:

        u(t) = v(t), ∀t ∈ R. Logo, x (t + T (ε), ε) = x (t, ε),

        θ (t + T (ε), ε) = θ (t, ε) + 2π.

        Observa¸c˜ ao 1.2.28 Este teorema tamb´em ´e v´alido caso tenhamos: εf (s, y(s), ε)

        ′

        y (s) = a + εg(s, y(s), ε) onde a

        6= 0. Neste caso, sob as mesmas hip´oteses, vamos obter as mesmas informa¸c˜oes acima sobre o sistema ˙x = εf (θ(t), y(t), ε), ˙θ = a + εg(θ(t), y(t), ε).

        2 = 1.

        2 como o m´odulo complementar.

        2

        x

        

      2

        = 1, k

        2

        2

        x

        satisfazem:

        (1.54) Propriedades das Fun¸c˜ oes El´ıpticas Jacobianas Proposi¸c˜ ao 1.2.29 As solu¸c˜oes de

        2 sn(t, k)cn(t, k).

        −k

        −dn(t, k)sn(t, k), d dt dn(t, k) =

         d dt sn(t, k) = cn(t, k)dn(t, k), d dt cn(t, k) =

        A teoria b´asica de existˆencia de equa¸c˜oes diferenciais garante que as fun¸c˜oes el´ıpticas jacobianas s˜ao diferenci´aveis. A defini¸c˜ao nos d´a imediatamente as derivadas das fun¸c˜oes, a saber:

        1 − k

        

      1.2.3 Fun¸c˜ oes El´ıpticas Jacobianas de um ponto de vista de Sis-

      temas Dinˆ amicos

        como m´odulo e k =

        denotam a derivada com respeito `a t. O parˆametro k ´e conhecido

        Os pontos em

        .

        (1.53) As fun¸c˜oes el´ıpticas jacobianas sn(t, k), cn(t, k) e dn(t, k) s˜ao definidas como sendo as solu¸c˜oes x(t), y(t) e z(t), respectivamente, do sistema

        xy (1.52) que satisfaz as condi¸c˜oes iniciais x(0) = 0, y(0) = 1, z(0) = 1.

        2

        −k

        −zx, ˙z =

        ∈ (0, 1) e o sistema de equa¸c˜oes: ˙x = yz, ˙y =

        Defini¸c˜ ao Considere k

        . A ´ unica diferen¸ca a notar ´e a prova da periodicidade das fun¸c˜oes el´ıpticas que aqui ´e dada em detalhe.

        A abordagem a seguir ´e exatamente aquela dada em

        A Teoria das Fun¸c˜oes El´ıpticas Jacobianas surgiu na tentativa de integrar certas ex- press˜oes alg´ebricas, mas logo foram encontradas aplica¸c˜oes `a geometria, mecˆanica, f´ısica e engenharia. Estas fun¸c˜oes satisfazem um sistema de equa¸c˜oes diferenciais simples, o qual pode ser analisado usando a teoria b´asica de equa¸c˜oes diferenciais. Muitas de suas propriedades vem como aplica¸c˜oes imediatas dos teoremas fundamentais de existˆencia, unicidade e dependˆencia cont´ınua das solu¸c˜oes em rela¸c˜ao `as condi¸c˜oes inicias.

      • y
      • z
      Demonstra¸c˜ ao: Temos: d

        2

        2

        (x + y ) = 2x ˙x + 2y ˙y = 2x(yz) + 2y( −zx) = 0. dt

        E ainda, d

        2

        2

        2

        2

        2

        2 (k x + z ) = 2k x ˙x + 2z ˙z = 2k x(yz) + 2z( xy) = 0.

        −k dt Logo,

        2

        

      2

        x

      • y = c

        1 ,

        2

        2

        2

        k x + z = c

        2

        onde c e c s˜ao constantes. J´a que

        1

        2

        2

        2

        x(0) + y(0) = 1,

        2

        2

        2

        k x(0) + z(0) = 1 segue que c = c = 1.

        1

      2 Teorema 1.2.30 As fun¸c˜oes sn(t, k), cn(t, k) e dn(t, k) est˜ao definidas para todo t ∈ R.

        Demonstra¸c˜ ao: Considere o compacto

        2

        2

        2

        

      2

        2 A = + y = 1 e k x + z = 1 com 0 < k < 1 fixado

        {(x, y, z) : x }. Pela Proposi¸c˜ao

        

      est´a con-

        tida em A. Da Proposi¸c˜ao

        segue que (sn(t, k), cn(t, k), dn(t, k)) est´a definida para

        todo t ∈ R.

        Observa¸c˜ ao 1.2.31 Para k fixado, 0 < k < 1 e todo t  −1 ≤ sn(t, k) ≤ 1, ∈ R: −1 ≤ cn(t, k) ≤ 1, k ≤ dn(t, k) ≤ 1. De fato, vimos na Proposi¸c˜ao

         que:

        2

        2

        sn(t, k) + cn(t, k) = 1,

        2

        2

        2 k sn(t, k) + dn(t, k) = 1.

        Assim,

        2

        sn(t, k)

        2 2 ≤ 1, −1 ≤ sn(t, k) ≤ 1,

        sn(t, k) + cn(t, k) = 1 ⇒

        2 ⇒

        cn(t, k) ≤ 1 −1 ≤ cn(t, k) ≤ 1. E ainda,

        2

        2

        2

        2

        2

        2

        2

        k sn(t, k) + dn(t, k) = 1 = 1 sn(t, k) ⇒ dn(t, k) − k ≥ 1 − k

        √

        2

        2

        2

        1 = k, ⇒ dn(t, k) ≥ 1 − k ⇒ dn(t, k) ≥ − k

        2

        dn(t, k) ≤ 1 e dn(t, k) > 0 ⇒ 0 < dn(t, k) ≤ 1. Portanto, k

        ≤ dn(t, k) ≤ 1. O resultado a seguir ´e uma aplica¸c˜ao do Teorema

      • Proposi¸c˜ ao 1.2.32 Se k ent˜ao

        −→ 0 sn(t, k) −→ sen t, cn(t, k) −→ cos t, dn(t, k) −→ 1.

        −

        Se k ent˜ao −→ 1 sn(t, k)

        −→ tanh t, cn(t, k) −→ sech t, dn(t, k) −→ sech t. A convergˆencia ´e uniforme em conjuntos compactos. Demonstra¸c˜ ao: Seja Φ o fluxo do sistema

        . Temos que Φ(t, (0, 1, 1), k) = (sn(t, k), cn(t, k), dn(t, k)).

        1 Pelo Teorema Φ(t, (0, 1, 1), k) . Da´ı,

        ∈ C k lim Φ(t, (0, 1, 1), k) = Φ(t, (0, 1, 1), 0). (1.55)

      • + →0

        Se k = 0 ficamos com o sistema: ˙x = yz, ˙y = (1.56) −xz, ˙z = 0 com as condi¸c˜oes iniciais x(0) = 0, y(0) = 1 e z(0) = 1.

        ˙z = 0 e z(0) = 1 ⇒ z(t) = 1. O sistema fica:

        ˙x = y, ˙y = −x.

        Sabemos que a solu¸c˜ao desse sistema com essas condi¸c˜oes iniciais ´e ( sen t, cos t). Portanto, a solu¸c˜ao de

         (Existˆencia e Unicidade) segue

        que: Φ(t, (0, 1, 1), k) = ( sen t, cos t, 1).

      • +

        temos: sn(t, k)
      • y

        2

        2

        , ˙y = −xy.

        Novamente pela Proposi¸c˜ao

        

        ˙x = 1 − x

        2

        , x(0) = 0 Fazendo separa¸c˜ao de vari´aveis, obtemos que a solu¸c˜ao deste sistema ´e x(t) = tanh t. Assim, como x

        2

        2

        = 1 ⇒ y

        = sech t ⇒ y(t) = sech t. pois y(0) = 1. Ent˜ao, a solu¸c˜ao de

        (1.59) Assim, ficamos com o sistema:

         segue

        que: Φ(t, 1, (x, y, z)) = (tanh t, sech t, sech t).

        Dessa forma, por

        quando k

        −→ 1

        

         temos: sn(t, k) −→ tanh t, cn(t, k)

        −→ sech t, dn(t, k) −→ sech t.

        Muitos fatos b´asicos sobre as fun¸c˜oes el´ıpticas jacobianas s˜ao resultados de proprieda- des do sistema

        .

        ˙x = y

        e z(0) = y(0) ⇒ z = y.

        Teorema 1.2.33 As fun¸c˜oes sn(t, k), cn(t, k) e dn(t, k) s˜ao peri´odicas em t.

        −xy (1.58) com as condi¸c˜oes iniciais x(0) = 0, y(0) = 1 e z(0) = 1.

        Dessa forma, por

        quando k

        −→ 0

        −→ sen t, cn(t, k) −→ cos t, dn(t, k)

        −→ 1. E ainda, lim k

        →1

        Φ(t, (0, 1, 1), k) = Φ(t, (0, 1, 1), 1). (1.57) Se k = 1 temos o sistema:

        ˙x = yz, ˙y =

        −xz, ˙z =

        Pela Proposi¸c˜ao

        2

        quando k = 1 temos:

        x

        2

        2

        = 1, x

        2

        2

        = 1 ⇒ z

        2

        = y

      • z

      • y

        Demonstra¸c˜ ao: Considere a curva

        2

        2

        x + y = 1, C :

        2

        

      2

        2

        k x + z = 1 e a parametriza¸c˜ao: x = cos s, y = sen s,

        2

        2

        z = 1 cos s − k onde 0

        ≤ s ≤ 2π. Defina:

        ϕ

        1 (t) = (x(t), y(t), z(t)),

        √

        2

        2

        ϕ (t) = (cos t, sen t, 1 cos t)

        2

        − k onde t ∈ R. Note que:

        (1) Considere a seguinte fam´ılia de conjuntos: F

        = (I) : I

        2 {ϕ ⊂ R ´e um intervalo aberto }.

        Note que ϕ (I)

        2

        ⊂ C para qualquer intervalo aberto I ⊂ R. Al´em disso, dado (x, y, z)

        ∈ C temos que existe s ∈ [0, 2π] tal que x = cos s, y = sen s,

        2

        2

        z = 1 cos s.

        − k √

        2

        

      2

      Da´ı, ϕ (s) = (cos s, sen s, 1 cos s) = (x, y, z).

        2

        − k Portanto, existe ϕ

        2 ((s 2 ((s [ − 1, s + 1)) ∈ F tal que (x, y, z) ∈ ϕ − 1, s + 1)). Isto ´e,

        C = ϕ (I) onde I

        2 ϕ 2 (I)∈F ( ) \ n ⊂ R ´e um intervalo aberto.

        Sejam S = ϕ (I i ) : n (I i ) e L . Ent˜ao,

        1

        2

        2

        1 i ∈ N e ϕ ∈ F ⊂ S =1 ( ) [

        τ F = A A ∪ ∅

        ∈L

        ´e uma topologia em C. Veja , p´agina 273. (2) Considere τ usual a topologia usual da reta. Ent˜ao, ϕ : ( usual ) F ) ´e

        2 R, τ

        −→ (C, τ cont´ınua. Prova:

        −1 −1

        Considere U F . Se U = (U ) = ϕ ( usual . Por outro lado, [ ∈ τ ∅ ent˜ao ϕ

        2 2 ∅) = ∅ ∈ τ

        se U = A ent˜ao A

        ∈L [ [ ! ( ) −1 −1

        ϕ (U ) = ϕ A = s (s) A

        2

        2

      2 ∈ R : ϕ ∈

      A A ( ∈L ∈L

      \

      k

      )

        = s (s) ϕ (I i ) onde k i usual

        2

        2 ( ∈ R : ϕ ∈ ∈ N e I ∈ τ \ n i =1 )

        = s I i onde k i usual usual .

        ∈ R : s ∈ ∈ N e I ∈ τ ∈ τ i

        =1

        Portanto, ϕ 2 ´e cont´ınua. (3) C ´e compacto e conexo.

        Prova: Como ϕ

        2 : ([0, 2π], τ usual ) F ) ´e cont´ınua e [0, 2π] ´e compacto e conexo

        −→ (C, τ em ([0, 2π]) = C ´e compacto e conexo.

      2 R seque que ϕ

        (4) Se p = (0, 1, 1) ∈ C ent˜ao C − {p } ´e conexo. r π π π π

        1 cos = (0, 1, 1) e ainda,

        2 Prova: Note que ϕ = cos , sen ,

        2

        − k

        2 h i

        2

        2

        2 π π ϕ , + 2π = C.

        2

        2

        2 Dessa forma, π π

        ϕ , + 2π = C

        2 − {p }.

        2

        2 π π

        Como ϕ

        2 ´e cont´ınua e , + 2π ⊂ R ´e conexo, ent˜ao C − {p } ´e conexo.

        2

        2 (5) Dado t ((t + δ)) ´e um aberto em C.

        1

        ∈ R existe δ > 0 tal que ϕ − δ, t Prova: Como ϕ ´e sobrejetora, existe s

        2

        ∈ R tal que ϕ

        

      1 (t ) = ϕ

      2 (s ). (1.60)

        Mas, p

        2

        2

        ϕ (s ) = (cos s , sen s , 1 cos s ).

        2

        − k Sabemos que: cos s

        6= 0 ou sen s 6= 0. Suponhamos que cos s 6= 0. Seja g(s) =

        ′

        sen s. Como g (s ) = cos s

         que existe δ > 0 e (a , b )

        1

        1

        1

        6= 0 segue do Teorema tal que sen s , b ) e ∈ (a

        1

        1

        g : (s , s + δ ) , b )

        1

        1

        1

        1

        − δ −→ (a

        ∞

        ´e um difeomorfismo C . Consideremos o aberto U = ϕ ((s

        1

        1

        2

        ⊂ C tal que U − δ , s + δ )). De

        temos: ϕ (t ) = ϕ (s ) . Como y(t) ´e cont´ınua existe

        1

        1

        1

        2

        1

        ∈ U δ > 0 tal que y : (t , t + δ) , b ).

        2

        2

        1

        1

        − δ −→ (a Considere: u : (t , t + δ ) , s + δ )

        2

        2

        1

        1

        − δ −→ (s − δ

        −1 t (y(t)).

        7−→ u(t) = g

        ∞ −1 ∞ ∞ Note que u , pois g e y .

        ∈ C ∈ C ∈ C Novamente por

        : −1 −1

        u(t ) = g (y(t )) = g ( sen s ) = s ,

        ′ −1 ′ ′ −1 ′

        u (t ) = (g ) (y(t )) y (t ) = (g ) ( sen s ) ( )x(t )) −z(t

        √ √

        2

        2

        2

        2

        1 cos s cos s 1 cos s cos s − − k − − k

        = =

        ′ −1 p g (g ( sen s )) cos s

        2

        2

        = 1 cos s − − k 6= 0 pois 0 < k < 1. Assim, segue do Teorema

         que existe δ > 0 e (a , b )

        3

        2 2 ⊂

        (s , s + δ ) com u(t ) = s , b ) tal que

        1

        1

        2

        2

        − δ ∈ (a u : (t , t + δ) , b )

        3

        2

        2

        − δ −→ (a

        ∞

        ´e um difeomorfismo C . Da´ı,

        −1

        u(t) = g (y(t)) ⇒ y(t) = g(u(t)) = sen u(t) onde t , t + δ ).

        3

        3

        ∈ (t − δ Da Proposi¸c˜ao

        segue que:

        2

        2 x(t) = cos u(t).

        Al´em disso, como u((t , t + δ )) = (a , b ) , s + δ ) e g ´e

        3

        3

        

      2

        2

        1

        1

        − δ ⊂ (s − δ ,s

        (s −δ 1 +δ 1 )

        um difeomorfismo C , segue que

        ′

        g (u(t)) = cos u(t) 6= 0

        2

        x(t) x(t) para todo t , s + δ ). Assim, = 1 e ´e cont´ınua.

        1

        1

        ∈ (s − δ cos u(t) cos u(t) Como x(t ) x(t ) cos s

        = = = 1 cos u(t ) cos s cos s ent˜ao: x(t) = 1

        ⇒ x(t) = cos u(t) cos u(t) onde t

        3 , t + δ 3 ).

        ∈ (t − δ

        2

        2

      2 Temos ainda: k x(t) + z(t) = 1 e z(t) > 0. Logo,

        2

        2

        2

        2

        z(t) = x(t) = cos u(t) p1 − k p1 − k onde t , t + δ ).

        3

        3

        ∈ (t − δ Enfim, obtemos: x(t) = cos u(t), y(t) = sen u(t),

        2

        2

        z(t) = cos u(t) p1 − k para t , t + δ ). Assim, segue que:

        3

        3

        ∈ (t − δ ϕ (t) = ϕ (u(t)), para t , t + δ ).

        1

        2

        3

        3

        ∈ (t − δ Como u ´e um difeomorfismo ent˜ao u((t , t + δ )) = (a , b ).

        3

        3

        2

        2

        − δ Da´ı,

        ϕ ((t , t + δ )) = ϕ (u((t , t + δ ))) = ϕ ((a , b )) =: U

        1 − δ

        3

        3 2 − δ

        3

        3

        2

        2

        2

        2 que ´e um aberto (b´asico) de C.

        (6) ϕ (

      1 R) ´e um aberto em C.

        Prova: De (5) temos que dado t ) > 0 tal que ϕ ((t ), t +δ(t )))

        1

        ∈ R existe δ(t −δ(t ´e um aberto de C. Sabemos que: [

        (t ), t + δ(t )) R = − δ(t t ∈

        R

        e ainda, [ ϕ

        1 ( ϕ 1 (t ), t + δ(t )) .

        R) = − δ(t t [ ∈ R De fato, seja y (t ), t +δ(t )) ent˜ao existe x ), t +δ(t )),

        1

        ∈ ϕ −δ(t ∈ (t −δ(t t

        ∈ R [

        para algum t , tal que ϕ (x ) = y. Logo, y ((x + 1)) ϕ ((t

        1

        1

        1

        ∈ {ϕ − 1, x } ⊂ − t

        ∈ [ R

        δ(t ), t + δ(t ))). Por outro lado, se y ϕ

        1 ((t ), t + δ(t )) ent˜ao y

        ∈ − δ(t ∈ t

        ∈ R

        ϕ ((t ), t + δ(t ))), para algum t ent˜ao existe x ), t + δ(t ))

        1

        − δ(t ∈ (t − δ(t

        [ tal que y = ϕ

        1 (x ). Da´ı, x (t ), t + δ(t )). Assim, y = ϕ 1 (x )

        ∈ − δ(t ∈ t [ ∈ R ϕ 1 (t ), t + δ(t )) . t − δ(t

        ∈ R

        Portanto, [ [ ϕ ( (t ), t + δ(t )) = ϕ ((t ), t + δ(t )).

        1

        1

        1 R) = ϕ − δ(t − δ(t t t ∈ ∈ R R

        Como a uni˜ao arbitr´aria de abertos ´e aberto, segue que ϕ (

        1 R) ´e aberto em C.

        (7) A topologia τ ´e Hausdorff. F h i π π Prova: Sabemos que ϕ , + 2π = C.

        2

        2

        2 π π

        (i) Dados distintos p , p , t , + 2π tais que

        1

        2

        1

        2

        ∈ C − {(0, 1, 1)} existem t ∈

        2

        2 ϕ (t ) = p e ϕ (t ) = p .

        2

        1

        1

        2

        2

        2

        π π Vejamos que ϕ : , + 2π

        , s

        2

        1

        2

        −→ C − {(0, 1, 1)} ´e injetora. Sejam s ∈

        2

        2 π π

        , + 2π tais que ϕ (s ) = ϕ (s ). Ent˜ao,

        2

        1

        

      2

        2

        2

        2 cos s = cos s ,

        1

        2 = s .

        1

        2

        ⇒ s sen s

        1 = sen s

        2

        π π Portanto, existem I

        1 , I 2 , + 2π tais que t

        1 1 , t

        2 2 e I

        1 2 = ⊂ ∈ I ∈ I ∩ I ∅.

        2

        2 Isto ´e, ϕ (I ) ´e um aberto que cont´em p , ϕ (I ) ´e um aberto que cont´em p e

        2

        1

        1

        2

        2

        2

        ϕ

        2 (I

      1 )

      2 (I 2 ) =

        ∩ ϕ ∅ π π pois ϕ ´e injetora em , + 2π .

        2

        2

        2 (ii) Suponha sem perda de generalidade p = (0, 1, 1) e p

        1

        2 n o ∈ C − {(0, 1, 1)}. Assim,

        π π π π existem t , + 2π e t , + 2π tais que

        1

        2

        ∈ ∈

        2

        2

        2

        2 h i ϕ

        2 (t 1 ) = p 1 e ϕ 2 (t 2 ) = p 2 .

        π π π π Como ϕ

        2 : , + 2π 2 : , + 2π

        −→ C e ϕ −→ C s˜ao injetoras segue

        2

        2 h i

        2

        2 π π π π que existem I

        1 , I 2 , + 2π ou I 1 , I 2 , + 2π tais que t

        1 1 ,

        ⊂ ⊂ ∈ I

        2

        2

        2

        2 t e I = (I ) ´e um aberto que cont´em p , ϕ (I ) ´e um

        2

        2

        1

        2

        2

        

      1

        1

        2

        2

        ∈ I ∩ I ∅. Isto ´e, ϕ aberto que cont´em p e

        2

        ϕ (I ) (I ) =

        2

        

      1

        2

        2 h i ∩ ϕ ∅

        π π π π pois ϕ ´e injetora em , + 2π e em , + 2π .

        2

        2

        2

        2

        2

        (8) ϕ (

      1 R) ´e fechado em C.

        Prova: Seja p n (t n ) de C. Por

        1 F

        ∈ C tal que existe {t } com ϕ → p na topologia τ (7), segue que p ´e ´ unico. Seja Φ o fluxo de

        . Se p = (0, 1, 1), temos que:

        Φ(t, p , k) = (x(t), y(t), z(t)) = ϕ (t). (1.61)

        1 Considere Φ(t, p, k). Usando o argumento de (5) temos que existe δ > 0 tal que

        Φ(( tal que ϕ

        1 (t n ) −δ, δ), p, k) ´e um aberto em C. Logo, existe n ∈ Φ((−δ, δ), p, k).

        Ou seja, existe s ∈ (−δ, δ) tal que ϕ (t n ) = Φ(s , p, k).

        1 De , temos: ϕ (t n ) = Φ(t n , p , k).

        1 Ent˜ao, Φ(s , p, k) = Φ(t n , p , k). Da´ı, pelo Teorema

        

        Φ( , Φ(t n , p , k), k) = Φ( , Φ(s , p, k), k) −s −s ⇒ Φ(t n , p , k) = Φ(0, p, k) = p.

        − s Novamente por

        : ϕ (t n ) = p. Logo, p (

        1

        1 − s ∈ ϕ R).

        (9) ϕ (

      1 R) = C.

        Prova: Vimos que ϕ

        1 (

        R) ´e simultaneamente aberto e fechado em C. Da´ı, como C ´e conexo e p ( (

        1

        1 ∈ ϕ R) segue que ϕ R) = C.

        Agora vamos provar que ϕ ´e peri´odica. Temos que:

      1 C = ϕ (( (0) ((0, +

        1

        

      1

        1 −∞, 0)) ∪ ϕ ∪ ϕ ∞)).

        Pelo argumento anterior, sabemos que ϕ (( ((0, +

        

      1

        1 −∞, 0)) e ϕ ∞)) s˜ao abertos em C.

        Vamos supor que ϕ n˜ao ´e peri´odica. Ent˜ao, os conjuntos

        1

        (( ((0, + (0)

        1

        1

        1

        {ϕ −∞, 0))}, {ϕ ∞))}, {ϕ } s˜ao disjuntos dois a dois.

        (i) Se p

        1 (( 1 ((0, + 1 < 0 e t 2 > 0 tais que

        ∈ ϕ −∞, 0)) ∩ ϕ ∞)) ent˜ao existem t p = ϕ (t ) = ϕ (t ). Considere:

        1

        1

        1

        2

        v (t) = ϕ (t + t ) = (v (t), v (t), v (t)),

        1

        1

        1

        11

        12

        13 v (t) = ϕ (t + t ) = (v (t), v (t), v (t)).

        2

        1

        2

        21

        22

        23 Note que:

        v (0) = ϕ (0 + t ) = ϕ (t ) = p,

        1

        1

        1

        1

        1

        v

        2 (0) = ϕ 1 (0 + t 2 ) = ϕ 1 (t 2 ) = p. E ainda, v (t) e v (t) s˜ao solu¸c˜oes de

        , pois:

        1

        2

        v ˙ (t) = ϕ ˙ (t + t )

        1

        1

        1

        = ( ˙x(t + t ), ˙y(t + t ), ˙z(t + t ))

        1

        1

        1

        2

        = (y(t + t )z(t + t ), )z(t + t ), x(t + t )y(t + t ))

        1

        1

        1

        1

        1

        1

        −x(t + t −k

        2

        = (v

        12 (t)v 13 (t), 11 (t)v 13 (t), v 11 (t)v 12 (t))

        −v −k = Φ(t, p, k), v ˙ (t) = ϕ ˙ (t + t )

        2

        1

        2

        = ( ˙x(t + t ), ˙y(t + t ), ˙z(t + t ))

        2

        2

        2

        2

        = (y(t + t

        2 )z(t + t 2 ), 2 )z(t + t 2 ), x(t + t 2 )y(t + t 2 ))

        −x(t + t −k

        2

        = (v

        22 (t)v 23 (t), 21 (t)v 23 (t), v 21 (t)v 22 (t))

        −v −k = Φ(t, p, k).

        Da unicidade de solu¸c˜oes do p.v.i. e fazendo t = s , segue que:

        1

        − t v (t) = v (t) (t + t ) = ϕ (t + t ) (s + t ) = ϕ (s + t )

        1

        2

        1

        1

        1

        

      2

        1

        1

        1

        1

        1

        2

        ⇔ ϕ ⇔ ϕ − t − t ⇔

        1 (s) = ϕ 1 (s + (t

        2 1 )) = ϕ 1 (s + T ); T = t

        2 1 > 0

        ⇔ ϕ − t − t o que ´e um absurdo. Portanto, (( ((0, +

        1

        1 {ϕ −∞, 0))}, {ϕ ∞))} s˜ao disjuntos.

        (ii) Se p ((0, + (0) ent˜ao existe t > 0 tal que p = ϕ (t ) = ϕ (0).

        1

        1

        1

        1

        1

        1

        ∈ ϕ ∞)) ∩ ϕ Considere: v (t) = ϕ (t + t ) = (v (t), v (t), v (t)),

        1

        1

        1

        11

        12

        13

        v

        2 (t) = ϕ 1 (t) = (v 21 (t), v 22 (t), v 23 (t)).

        Note que: v (0) = ϕ (0 + t ) = ϕ (t ) = p,

        1

        1

        1

        1

        1 v (0) = ϕ (0) = p.

        2

        1 Analogamente ao que foi feito em (i), v 1 (t) e v 2 (t) s˜ao solu¸c˜oes de . Assim, da

        unicidade de solu¸c˜oes do p.v.i. e fazendo t = s , segue que:

        1

        − t v (t) = v (t) (t + t ) = ϕ (t) (s + t ) = ϕ (s )

        1

        2

        1

        1

        1

        1

        1

        1

        1

        1

        ⇔ ϕ ⇔ ϕ − t − t ⇔

        1 (s) = ϕ 1 (s 1 )

        ⇔ ϕ − t o que ´e um absurdo. Portanto, ((0, + (0)

        1

        1 {ϕ ∞))}, {ϕ } s˜ao disjuntos.

        (iii) Se p (( (0) obtemos que (( (0)

        1

        1

        1

        1

        ∈ ϕ −∞, 0)) ∩ ϕ {ϕ −∞, 0))}, {ϕ } s˜ao disjuntos de modo an´alogo ao item (ii). Portanto, de (i), (ii) e (iii) conclu´ımos que (( ((0, + (0)

        1

        1

        1

        {ϕ −∞, 0))}, {ϕ ∞))}, {ϕ } s˜ao disjuntos dois a dois. Da´ı, C = ϕ ( (( (0) ((0, +

        1

        1

        1

        1 R) ⇒ C = ϕ −∞, 0)) ∪ ϕ ∪ ϕ ∞)) ⇒

        (0) (( ((0, +

        1

        1

        1 ⇒ C − {p } = C − {ϕ } = ϕ −∞, 0)) ∪ ϕ ∞)).

        Logo, C

        1 (( 1 ((0, +

        − {p } ´e desconexo, pois ϕ −∞, 0)) e ϕ ∞)) s˜ao disjuntos, conforme vimos em (i), o que contraria (4). Portanto, ϕ ´e peri´odica.

        1 Proposi¸c˜ ao 1.2.34 Se x(t) = sn(t, k) e y(t) = cn(t, k) ent˜ao

        

      2

        2

        3

        ¨ x = )x + 2k x , −(1 + k

        2

        2

        3 ¨ y = ( )y y .

        −1 + 2k − 2k Demonstra¸c˜ ao: A defini¸c˜ao imediatamente nos d´a: d

        ˙x = sn(t, k) = cn(t, k) dn(t, k), dt d d ¨ x = cn(t, k) dn(t, k) + cn(t, k) dn(t, k). dt dt

        Assim, de

        segue que:

        2

        x = [ ¨ sn(t, k) cn(t, k)]

        −dn(t, k) sn(t, k)] dn(t, k) + cn(t, k) [−k

        2

        2

        2

        = sn(t, k) cn(t, k) −sn(t, k) dn(t, k) − k

        2

        

      2

        2

        2

        = sn(t, k) ] sn(t, k) [1 ] −sn(t, k) [1 − k − k − sn(t, k)

        2

        3

        2

        2

        3

        = sn(t, k) sn(t, k) + k sn(t, k) −sn(t, k) + k − k

        2

        2

        3

        = )sn(t, k) + 2k sn(t, k) −(1 + k

        2

        2

        3 = )x + 2k x .

        −(1 + k Temos tamb´em, d

        ˙y = cn(t, k) = −dn(t, k) sn(t, k), dt d d ¨ y = dn(t, k) sn(t, k) sn(t, k).

        − − dn(t, k) dt dt Novamente por

        segue que:

        = ( −1 + 2k

        Simetrias Proposi¸c˜ ao 1.2.35 Se (x(t), y(t), z(t)) ´e solu¸c˜ao

        3 .

        y

        2

        )y − 2k

        2

        3

        ( −x(−t), y(−t), z(−t)), (x(−t), −y(−t), z(−t)) e (x(−t), y(−t), −z(−t)) tamb´em s˜ao solu¸c˜oes de

        cn(t, k)

        

      2

        )cn(t, k) − 2k

        2

        = ( −1 + 2k

        3

        ent˜ao

        

        2

        −t), −y(−t), z(−t)). Ent˜ao, ˙a(t) = ˙x(

        Portanto, (a(t), b(t), c(t)) tamb´em ´e solu¸c˜ao de . (iii) Seja (α(t), β(t), θ(t)) = (x(

        2 a(t)b(t).

        x( −t)y(−t)) = −k

        2

        ˙c(t) = ˙z( −t)(−1) = − ˙z(−t) = −(−k

        −t)(−1) = − ˙x(−t) = −y(−t)z(−t) = b(t)c(t), ˙b(t) = − ˙y(−t)(−1) = ˙y(−t) = −x(−t)z(−t) = −a(t)c(t),

        Portanto, (ξ(t), η(t), γ(t)) tamb´em ´e solu¸c˜ao de . (ii) Seja (a(t), b(t), c(t)) = (x(

        Demonstra¸c˜ ao: (i) Seja (ξ(t), η(t), γ(t)) = ( −x(−t), y(−t), z(−t)). Ent˜ao,

        2 ξ(t)η(t).

        x( −t)y(−t)) = −k

        2

        −t)(−1) = − ˙z(−t) = −(−k

        −t)(−1) = − ˙y(−t) = −(−x(−t)z(−t)) = −ξ(t)γ(t), ˙γ(t) = ˙z(

        ˙ξ(t) = − ˙x(−t)(−1) = ˙x(−t) = y(−t)z(−t) = η(t)γ(t), ˙η(t) = ˙y(

        cn(t, k)

        cn(t, k) − k

        ¨ y = −[−k

        2

        2

        ] cn(t, k) − cn(t, k) [1 − k

        2

        [1 − cn(t, k)

        2

        = k

        cn(t, k) − cn(t, k) dn(t, k)

        2

        2

        sn(t, k)

        2

        = k

        sn(t, k) cn(t, k)] sn(t, k) − dn(t, k) [cn(t, k) dn(t, k)]

        2

        sn(t, k)

        ] = k

        2

        }] = k

        − cn(t, k) + k

        

      3

        cn(t, k)

        2

        cn(t, k) − k

        2

        2

        2

        {1 − cn(t, k)

        2

        − cn(t, k)[1 − k

        

      3

        cn(t, k)

        2

        cn(t, k) − k

        −t), y(−t), −z(−t)). Ent˜ao,

        ˙α(t) = ˙x( −t)(−1) = − ˙x(−t) = −y(−t)z(−t) = β(t)θ(t),

        ˙ β(t) = ˙y(

        −t)(−1) = − ˙y(−t) = x(−t)z(−t) = −α(t)θ(t),

        2

        2 x( α(t)β(t).

        ˙θ(t) = − ˙z(−t)(−1) = ˙z(−t) = −k −t)y(−t) = −k Portanto, (α(t), β(t), θ(t)) tamb´em ´e solu¸c˜ao de .

        A Proposi¸c˜ao

        

      , revertendo o

        tempo e refletindo alguma de suas coordenadas no plano, teremos uma outra solu¸c˜ao de . Tal simetria ´e conhecida como simetria tempo-reverso.

        Corol´ ario 1.2.36 Para k fixado, 0 < k < 1, sn(t, k) ´e uma fun¸c˜ao ´ımpar em t; cn(t, k) e dn(t, k) s˜ao fun¸c˜oes pares em t. Demonstra¸c˜ ao: Temos que (sn(t, k), cn(t, k), dn(t, k) ´e solu¸c˜ao de

        . Pela Pro-

        posi¸c˜ao

        segue que:

        ( −sn(−t, k), cn(−t, k), dn(−t, k)) tamb´em ´e uma solu¸c˜ao de

        .

        Mas ambas solu¸c˜oes satisfazem a condi¸c˜ao inicial (0, 1, 1). Ent˜ao, segue do Teorema

         (Existˆencia e Unicidade) que:

        sn(t, k) = −sn(−t, k), cn(t, k) = cn( −t, k), dn(t, k) = dn( −t, k).

        Portanto, sn(t, k) ´e fun¸c˜ao ´ımpar em t, cn(t, k) e dn(t, k) s˜ao fun¸c˜oes pares em t.

        Proposi¸c˜ ao 1.2.37 Sejam C ∈ R e d > 0. s

        2

        2

        1 εdC

        1

        1 − − 2εdC (a) Sejam 0 < ε < , C e k = .

        6= 0, T = √ √

        2

        2

        2

        2dC

        1

        1 2εdC

        − − 2εdC Ent˜ao, 0 < k < 1 e

        C u(t, ε) = sn(T t, k) T

        ´e uma solu¸c˜ao de

        3

        ¨ u = . (1.62) −u + εdu

      • 1
      • 1

        ⇔ − √

        ⇔ 0 <

        2

        1 − 2εdC

        < √

        2

        < 1 − 2εdC

        2

        √ 2εdC

        1 −

        ⇔

        2

        < −2εdC

        

      2

        2εdC

        2

        √ 2εdC

        Vejamos que 0 < k < 1. Como 0 < ε <

        1 −

        √

        1 − 2εdC

        2

        = εdC

        2 = εd.

        1 2dC

        > 2εdC

        2

        ent˜ao 0 < 2εdC

        2

        < 1. Assim, √

        2εdC

        2

        1 −

        2

        εdC

        2 T

        ] ⇒

        ¨ u = −(1 + k

        2

        ) T

        2

        u + 2k

        4 C

        sn(T t, k)

        2

        u

        3

        = −u + εdu

        3 .

        Portanto, u(t, ε) = C T sn(T t, k) ´e solu¸c˜ao de .

        3

        2

        √

        2

        1 − 2εdC

        2 < 1.

        Usando as igualdades obtidas na Proposi¸c˜ao

        temos:

        u(t, ε) = C T sn(T t, k)

        ⇒ ¨u = C T d

        dt

        ) sn(T t, k) + 2k

        2

        sn(T t, k) ⇒

        ¨ u = C T T

        2

        [ −(1 + k

        2

        2

        2

        (b) Sejam T = √ 1 + εdC

        εdC

        1 − 2εdC

        2

        )

        2

        2εdC

        2

        2

        = 1 + (1

        1 −

        √

        1 − 2εdC

        2

        = 2εdC

        2

        − √

        2

        1 − 2εdC

        1 √

        2

        e k = s εdC

        2

        2(1 + εdC

        2

        ) . Ent˜ao, 0 < k <

        2 e w(t, ε) = C cn(T t, k)

        )T

        ´e uma solu¸c˜ao de ¨ w =

        −w − εdw

        3

        . (1.63) Demonstra¸c˜ ao:

        (a) Observe que: (1 + k

        2

        − 2 √

        2

        2εdC

        2 C

        ) = 1,

        2k

        2 T

        4 C

        2

        =

        2

        1 − 2εdC

        (1 −

        √

        1 − 2εdC

        

      2

        )

        2

        2

        √

        − 2εdC

        √

        2

        2εdC

        2

        εdC

        2

        1 −

        1 − 2εdC

        2(1 −

        2

        =

        2 − 2

        √

        1 − 2εdC

        2

      2 C

      • 2 εdC
      • 2

        cn(T t, k) ⇒

        ] ⇒

        3

        cn(T t, k)

        2

        ) cn(T t, k) − 2k

        2

        [( −1 + 2k

        2

        ⇒ ¨ w = C T

        2

        2

        dt

        2

        w(t, ε) = C cn(T t, k) ⇒ ¨ w = C d

        temos:

        Usando as igualdades obtidas na Proposi¸c˜ao

        2

        2εdC

        2

        εdC

        2 > s

        ⇒ ¨ w = ( −1 + 2k

        ) T

        ⇔

        Observa¸c˜ ao 1.2.39 Das equa¸c˜oes (2) e (3) da p´agina 131 de

        2

        sin

        2

        1 − k

        ´e dado por: T = 4K(k) = 4 Z π 2p

        t 7−→ (sn(t, k), cn(t, k), dn(t, k))

        temos que o per´ıodo K(k) da ´orbita

        (12) e (15) da p´agina 146 de

        e das equa¸c˜oes (10),

        

        2

        Observa¸c˜ ao 1.2.38 A demonstra¸c˜ao da proposi¸c˜ao anterior ´e uma simples adapta¸c˜ao do argumento cl´assico encontrado nas equa¸c˜oes (2), (3) e (4), p´agina 207 de

        Portanto, w(t, ε) = C cn(T t, k) ´e solu¸c˜ao de .

        3 .

        = −w − εdw

        3

        w

        2

        2 C

        2 T

        w − 2k

        1

        2

        θ . p

        2

        −1 1 + εdC

        ) =

        2

        (1 + εdC

        2

        1 + εdC

        2

        −1 + εdC

        ) =

        ) (1 + εdC

        (1 + εdC

        2

        2(1 + εdC

        2

        2εdC

        = −1 +

        2

        )T

        2

        −1 + 2k

        (b) Observe que: (

        2

        2

        2

        2 = εd.

        2εdC

        ⇔ √ 2 < r

        2

        2 εdC

        > 0, assim: √ 2 < r

        2

        2 . Sabemos que εdC

        1 √

        Vejamos que 0 < k <

        ) C

        ) = −1,

        2

        ) (1 + εdC

        2

        2(1 + εdC

        2

        = 2εdC

        2

        2 C

        2 T

        2k

      • 2 > 0.

        2

        2 Note que T ´e diferenci´avel, pois 0 < k < 1 ent˜ao

        1 sin θ − k 6= 0. Do item (a) da Proposi¸c˜ao

         temos que

        √

        2

        1

        1 − − 2εdC k(ε) = .

        2

        2εdC Z π 2 dθ Fazendo ε

        ´e dife- → 0 obtemos que k(ε) → 0. Como T (ε) = 4

        2

        2

        sin θ p1 − k(ε) renci´avel, pela F´ormula de Taylor obtemos que o per´ıodo da solu¸c˜ao peri´odica de

        

        ´e: Z 2 π T (ε) = T (0) + O(ε) = 4 dθ + O(ε) = 2π + O(ε).

        Do item (b) da Proposi¸c˜ao

         temos que s

        2

        εdC k(ε) = .

        2

        2(1 + εdC ) Fazendo ε

        → 0 obtemos que k(ε) → 0. Analogamente, o per´ıodo da solu¸c˜ao peri´odica de

        ´e:

      Z

      2 π T (ε) = T (0) + O(ε) = 4 dθ + O(ε) = 2π + O(ε).

        

      CAP´ITULO 2

      O M´ ETODO DA M´ EDIA

        Neste cap´ıtulo vamos considerar equa¸c˜oes que cont´em um pequeno parˆametro ε. A ideia do M´etodo da M´edia como t´ecnica computacional, sem prova de sua validade, se origina no s´eculo XVIII e foi claramente formulada por Lagrange.

        O seguinte resultado ´e importante, pois v´arias mudan¸cas de vari´aveis s˜ao obtidas conforme este procedimento. Teorema 2.0.40 (F´ ormula Generalizada da Varia¸ c˜ ao dos Parˆ ametros) Sejam n n n

        1

        f : I e g : I fun¸c˜oes C , onde I ´e um intervalo aberto, U × U −→ R × U −→ R

        ⊂ R ´e um aberto e ε , ε ), ε > 0. Considere a equa¸c˜ao

        ∈ (−ε ˙x(t) = f (t, x) + εg(t, x). (2.1)

        −1

        Seja Φ o fluxo de ˙x = f (t, x). Se y(t) = Φ (t, x(t)) ent˜ao h i ˙y(t) = εG(t, y(t), ε) (2.2)

        −1

        ∂Φ onde G(t, y(t), ε) = (t, y(t)) g(t, Φ(t, y(t))).

        ∂x n Demonstra¸c˜ ao: Seja Ω um aberto adequado. Defina:

        1

        ⊂ R n Φ t : Ω

        1

        −→ R x 7−→ Φ(t, x)

        −1

        Vimos na Observa¸c˜ao

         que Φ ´e invers´ıvel. Sendo y(t) = Φ (t, x(t)), temos: x(t) = Φ(t, y(t)).

        Derivando ambos os lados, obtemos: ∂Φ ∂Φ ˙x(t) = (t, y(t)) + (t, y(t)) ˙y(t).

        ∂t ∂x Substituindo na equa¸c˜ao

        :

        ∂Φ ∂Φ (t, y(t)) + (t, y(t)) ˙y(t) = f (t, Φ(t, y(t))) + εg(t, Φ(t, y(t))).

        ∂t ∂x Como Φ ´e fluxo de ˙x = f (t, x), segue que:

        ∂Φ (t, y(t)) = f (t, Φ(t, y(t))).

        ∂t Dessa forma,

        ∂Φ (t, y(t)) ˙y(t) = εg(t, Φ(t, y(t))).

        ∂x ∂Φ

        Novamente da Observa¸c˜ao

         (t, y(t)) ´e invers´ıvel. Da´ı,

        ∂x h i −1 ˙y(t) = εG(t, y(t), ε) ∂Φ onde G(t, y(t), ε) = (t, y(t)) g(t, Φ(t, y(t))).

        ∂x Esta demonstra¸c˜ao ´e uma adapta¸c˜ao de um argumento dado em , p´agina 9.

        2.1 A Forma Canˆ onica de Lagrange n n n

      • 1

      1 Sejam g : uma fun¸c˜ao C e x , t

        R −→ R ∈ R ≥ 0. Considere o problema de valor inicial: ˙x = A(t)x + εg(t, x),

        (2.3) x(0) = x onde A(t) ´e uma matriz cont´ınua n × n.

        A equa¸c˜ao n˜ao perturbada (ε = 0) ´e linear e admite n solu¸c˜oes independentes, as quais s˜ao usadas para compor a matriz fundamental Λ(t). Neste caso, Φ(t, y) = Λ(t)y onde y ´e um vetor n

         (Varia¸c˜ao dos Parˆametros) que:

        × 1. Segue do Teorema

        

      −1

        ˙y(t) = εΛ(t) g(t, Λ(t)y). (2.4) A equa¸c˜ao

        .

        Exemplo 2.1.1 Considere a seguinte equa¸c˜ao diferencial n˜ao linear:

        2 x + x = ε( ¨ ).

        − ˙x + x Fa¸ca:

        2 y = ˙x ).

        ⇒ ˙y = −x + ε(−y + x Escrevendo como um sistema de primeira ordem, temos: x

        ˙x = A + ε (2.5)

        2

        ˙y y −y + x

        1 onde A = . Fazendo ε = 0, obtemos o sistema linear: −1 0

        ˙x x = A . (2.6)

        ˙y y O fluxo de

        ´e dado por: tA a Φ(t, (a, b)) = e .

        b Um c´alculo simples fornece que: tA cos t sen t e = .

        − sen t cos t Agora, considere (a, b) > 0 e ψ

        6= (0, 0). Assim, existem ´unicos r ∈ [0, 2π) tais que: a = r cos ψ , b = r sen ψ . Ent˜ao, tA cos ψ r cos(t + ψ ) r e = = Φ(t, (r , ψ )) r sen ψ sen (t + ψ )

        −r ´e solu¸c˜ao de onde r e ψ s˜ao determinados pela condi¸c˜ao inicial.

        Agora vamos usar o Teorema

         (Varia¸c˜ao dos Parˆametros) onde

        r cos(t + ψ) Φ(t, (r, ψ)) = . −r sen (t + ψ)

        Assim, ∂Φ cos(t + ψ)

        −r sen (t + ψ) (t, (r, ψ)) = ,

        ∂(r, ψ)   − sen (t + ψ) −r cos(t + ψ) cos(t + ψ) − sen (t + ψ)

        −1

        ∂Φ   (t, (r, ψ)) = .   ∂(r, ψ)

        − sen (t + ψ) − cos(t + ψ) r r Usando

        obtemos:    

        cos(t + ψ) − sen (t + ψ)

        ˙r     = ε   . ˙

        ψ

        2

        2

        − sen (t + ψ) − cos(t + ψ) cos (t + ψ) −r sen (t + ψ) + r r r

        Isto ´e,

        2

        2

        2

        ˙r = (t + ψ)) cos (t + ψ) sen (t + ψ), −εr( sen − εr (2.7)

        3

        ˙ ψ = (t + ψ).

        −ε cos(t + ψ) sen (t + ψ) − εr cos Uma outra forma de resolver esta equa¸c˜ao ´e considerando a seguinte mudan¸ca de variav´eis: x u u cos t + v sen t tA = e = . y v

        −u sen t + v cos t Usando novamente

        obtemos:

        ˙u

        −tA

        = εe .

        2

        ˙v −(−u sen t + v cos t) + (u cos t + v sen t)

        Ent˜ao, ˙u cos t

        − sen t = ε .

        2

        ˙v sen t cos t −(−u sen t + v cos t) + (u cos t + v sen t) Isto ´e, ˙u = ε(

        −u sen

        t + u

        expressas

        (2.8) Observe que

        2 cos t).

        sen

        2

        t sen t + v

        2

        t + 2uv cos

        

      3

        cos

        2

        2

        2

        t), ˙v = ε(u cos t sen t + v cos

        3

        sen

        2

        t + v

        2

        t sen t + 2uv cos t sen

        

      2

        cos

        2

        t + v cos t sen t + u

        em vari´aveis distintas. No entanto, ambas foram obtidas pelo m´etodo dado no Teorema (Varia¸c˜ao dos Parˆametros).

      2.2 O Teorema da M´ edia no caso peri´ odico

        Considere o problema de valor inicial

        2

        ˙x = εf (t, x) + ε g(t, x, ε), (2.9) x(0) = x .

        Defini¸c˜ ao 2.2.1 Seja f (t, x) T −peri´odica em t. Definimos a seguinte fun¸c˜ao: Z T

        1 f (y) = f (t, y)dt (2.10) T que ´e denominada fun¸c˜ao m´edia de f ou simplesmente m´edia.

        Agora considere o problema de valor inicial para a equa¸c˜ao da m´edia ˙y(t) = εf (y),

        (2.11) y(0) = x . Os conceitos a seguir ser˜ao usados no principal teorema desta se¸c˜ao. Defini¸c˜ ao 2.2.2 Uma fun¸c˜ao δ : (0, ε ]

        −→ R ´e chamada Fun¸c˜ao de Ordem se ´e cont´ınua e positiva em (0, ε ] e existe lim δ(ε), com δ(ε) decrescente quando ε tende `a zero. ε

        −→0 n

        Defini¸c˜ ao 2.2.3 Considere a fun¸c˜ao vetorial f : I , onde I n × D × R −→ R ⊂ R ´e um intervalo e D ´e um aberto. Sejam δ (ε) e δ (ε) fun¸c˜oes de ordem. Dizemos que: ⊂ R

        1

        2

        1 f (t, x, ε) = O(δ (ε)), quando ε

        1

        −→ 0, na escala de tempo δ

        2 (ε)

        se existem constantes positivas K, C e ε (independentes de ε) tais que: C tem-se

        1 (ε) para 0 .

        ∀ 0 < ε ≤ ε |f(t, x, ε)| ≤ Kδ ≤ t ≤ δ (ε)

        2 Teorema 2.2.4 Considere os problemas de valores iniciais com x, y, x n

        ∈ D um conjunto aberto convexo, t

        ⊆ R ≥ 0. Se: ∂f

        (a) As fun¸c˜oes vetoriais f, g, est˜ao definidas, s˜ao cont´ınuas e limitadas por uma ∂x constante M (independente de ε) em [0,

        ∞) × D; (b) g ´e Lipschitziana em x, para x

        ∈ D; (c) f ´e T e T ´e uma constante;

        −peri´odica em t, com m´edia f (d) y(t, ε) est´a contido em um subconjunto pr´oprio de D.

        1 Ent˜ao, x(t, ε) . − y(t, ε) = O(ε) na escala de tempo

        ε Demonstra¸c˜ ao: Queremos mostrar que existem constantes ε > 0, c > 0,

        1

        ≥ 0, k independentes de ε, tais que para todo 0 < ε < ε temos: ε

        1

        |x(t, ε) − y(t, ε)| ≤ k c para 0 .

        ≤ t ≤ ε

        Pela hip´otese (a) sabemos que f e g s˜ao cont´ınuas em [0, ∞)×D e por (b) g ´e Lipschitz em D. Sabemos que D ´e um conjunto convexo. Assim, como

        ∂f ≤ M ∂x segue pela desigualdade do valor m´edio que:

        (2.12) |f(t, x) − f(t, y)| ≤ M |x − y|. Portanto, f ´e Lipschitz. Da´ı, segue a existˆencia e a unicidade de uma solu¸c˜ao de .

        Usando

        , temos que: Z T Z T Z T

        1

        1

        1 (x) (y) f (t, x)dt f (t, y)dt [f (t, x)

        |f − f | = − ≤ − f(t, y)]dt T T T Z T

      1 M ≤ |x − y|dt = M |x − y|.

        T Portanto, f ´e Lipschitz em D. Vamos definir: Z t u(t, x) = [f (s, x) (x)]ds. (2.13)

        − f ∂f

      1 Vejamos que u(t, x) ´e C . De fato, como ´e cont´ınua pela hip´otese (a), segue que:

        ∂x ∂f

        (x) = 0, ∂t Z T

        ∂f 1 ∂f (x) = (s, x)ds

        ∂x T ∂x s˜ao cont´ınuas. Como f tamb´em ´e cont´ınua pela hip´otese (a), segue que Z t ∂u ∂f

        (t, x) = (s, x)ds = f (t, x), ∂t ∂s Z t

        ∂u ∂f ∂f (t, x) = (s, x) (x) ds

        − ∂x ∂x ∂x s˜ao cont´ınuas.

      • T t

        |f (x)

        : A ⊂ R n −→ R n z

        (t,ε)

        H

        (2.16) Agora, considere a aplica¸c˜ao

        Ou seja, para todo t ∈ R, temos: |u(t, x)| ≤ 2MT.

        M ds + Z t M ds ≤ 2Mt ≤ 2MT.

        ≤ Z t |f(s, x)| ds + Z t f (x) ds ≤ Z t

        (x)ds ≤ Z t f (s, x)ds + Z t f (x)ds

        |u(t, x)| = |u(t, x)| = Z t f (s, x) − f

        segue que:

        1 T Z T M ds = M e de

        1 T Z T |f(s, x)| ds ≤

        1 T Z T f (s, x)ds ≤

        | =

        ∈ [0, T ]. Assim, u(t, x) = u(t + kT, x) = u(t, x). (2.15) Temos:

        Temos tamb´em: Z T [f (s, x)

        Portanto, u ´e T −peri´odica em t. Segue que se t ∈ R ent˜ao existe k ∈ Z tal que t = t + kT onde t

        = Z t [f (s, x) − f (x)]ds = u(t, x).

        − f (x)]ds

        − f (x)]ds + Z T [f (s, x)

        (x)]ds = Z t [f (s, x)

        [f (s, x) − f

        − f (x)]ds + Z t

        (x)]ds = Z t [f (s, x)

        u(t + T, x) = Z t +T [f (s, x) − f

        , temos:

        (2.14) Pela Proposi¸c˜ao

        = Z T f (s, x)ds − Z T f (s, x)ds = 0.

        − f (x) Z T ds

        − f (x)]ds = Z T f (s, x)ds

        7−→ z + εu(t, z) n

        onde t ´e uma vizinhan¸ca adequada de 0 e ε , ε ) com ∈ I = (0, +∞), A ⊂ R ∈ J = (−ε

        1 ε > 0 suficientemente pequeno. A aplica¸c˜ao H ´e um difeomorfismo de classe C . (t,ε)

        Seja x(t, ε) uma solu¸c˜ao da equa¸c˜ao

        tal que x(0, ε)

        ∈ H(A). Definimos

        −1

        z(t, ε) = H (x(t, ε))

        (t,ε)

        ou x(t, ε) = H (z(t, ε)) = z(t, ε) + εu(t, z(t, ε)). (2.17)

        (t,ε)

        Por

        , temos: |x(t, ε) − z(t, ε)| = |εu(t, z(t, ε))| ≤ ε2MT.

        A transforma¸c˜ao

        . Assim,

        ∂u ∂u ˙x(t, ε) = ˙z(t, ε) + ε (t, z(t, ε)) + (t, z(t, ε)) ˙z(t, ε) .

        ∂t ∂z Substituindo na equa¸c˜ao

        :

        ∂u ∂u ˙z(t, ε) + ε (t, z(t, ε)) + (t, z(t, ε)) ˙z(t, ε) = εf (t, z(t, ε) + εu(t, z(t, ε))

        ∂t ∂z

        2 +ε g(t, z(t, ε) + εu(t, z(t, ε)), ε).

        Note que: ∂u (t, z(t, ε)) = f (t, z(t, ε)) (z).

        − f ∂t

        Da´ı, ∂u

        ˙z(t, ε) + ε f (t, z(t, ε)) (z) + (t, z(t, ε)) ˙z(t, ε) − f

        ∂z

        2 = εf (t, z(t, ε) + εu(t, z(t, ε))) + ε g(t, z(t, ε) + εu(t, z(t, ε)), ε).

        Logo, ∂u

        I + ε (t, z(t, ε)) ˙z(t, ε) = εf (z) − εf(t, z(t, ε)) + εf(t, z(t, ε) + εu(t, z(t, ε))

        ∂z

        2 +ε g(t, z(t, ε) + εu(t, z(t, ε)), ε).

        (2.18) Portanto,

        ∂u I + ε (t, z(t, ε)) ˙z(t, ε) = εf (z) + R(t, z(t, ε), ε) (2.19)

        ∂z onde

        2 R(t, z(t, ε), ε) = g(t, z(t, ε)+εu(t, z(t, ε)), ε).

        −εf(t, z(t, ε))+εf(t, z(t, ε)+εu(t, z(t, ε))+ε Temos ainda:

        ∂u (i) (t, z) ´e T

        −peri´odica em t, pois ∂z

        ∂u ∂u u(t + T, z) = u(t, z) (t + T, z) = (t, z). ⇒

        ∂z ∂z ∂u ∂u

        (ii) (t, z) e limitado, pois como (t, z) ´e T ´ −peri´odica em t, segue que: ∂z ∂z

        ∂u ∂u sup (t, z) sup (t, z) t ∂z ∂z =

        ∈ t ∈[0,T ] R

        para z ∈ D. Da´ı, Z t Z T

        ∂u ∂

        1 (t, z) = f (s, z) f (l, z)dl ds

        − ∂z ∂z T Z t Z T

        ∂f 1 ∂f (s, z) (l, z) ds

        ≤ dl + ∂z T ∂z

        1 M T t ≤ Mt + ≤ 2MT

        T para 0 ≤ t ≤ T. Chame

        ∂u A(t, ε) = (t, z(t, ε)). n n ∂z Note que A(t, ε) , ). Pelo Lema

         podemos concluir que:

        ∈ L(R R

        −1

        ∂u ∂u

        2

        (2.20) I + ε (t, z(t, ε)) = I (t, z(t, ε)) + O(ε ) .

        − ε ∂z ∂z

        Assim, de

        obtemos: −1

        ∂u εf

        ˙z(t, ε) = I + ε (t, z(t, ε)) (z) + R(t, z(t, ε), ε) ∂z ∂u

        2

        εf = I (t, z(t, ε)) + O(ε ) (z) + R(t, z(t, ε), ε)

        − ε ∂z

        ∂u ∂u

        2

        = εf (z) + R(t, z(t, ε), ε) (t, z(t, ε))f (z) (t, z(t, ε))R(t, z(t, ε), ε) − ε − ε

        ∂z ∂z

        2

        2 +O(ε )εf (z) + O(ε )R(t, z(t, ε), ε).

      2 Vamos mostrar que K. Temos que:

        |R(t, z(t, ε), ε)| ≤ ε (1) f (t, x) ´e Lipschitz em x, ent˜ao: |f(t, x) − f(t, z)| = |f(t, z + εu(t, z)) − f(t, z)| ≤ L|εu(t, z)| ≤ Lε|u(t, z)| ≤ Lε2MT.

        (2) g ´e limitado por M , pela hip´otese (a).

        Assim,

        2

        g(t, z + εu(t, z), ε) |R(t, z(t, ε), ε)| = |εf(t, z + εu(t, z)) − εf(t, z) + ε |

        2

        ≤ ε|f(t, z + εu(t, z)) − f(t, z)| + ε |g(t, z + εu(t, z), ε)|

        2

        2

        2 L2M T + ε M = ε [2LM T + M ].

        ≤ ε Portanto, existe K = [2LM T + M ] > 0 tal que

        2 K, |R(t, z(t, ε), ε)| ≤ ε ∀t ≥ 0.

        Da´ı, ∂u ∂u

        2

        ˙z(t, ε) = εf (z) + R(t, z(t, ε), ε) (t, z(t, ε))f (z) (t, z(t, ε))R(t, z(t, ε), ε) − ε − ε

        ∂z ∂z

        2

        2

      • O(ε )εf (z) + O(ε )R(t, z(t, ε), ε)

        ∂u

        2

        3 = εf (z) + R(t, z(t, ε), ε) (t, z(t, ε))f (z) + O(ε ).

        − ε ∂z

      2 Como R(t, z(t, ε), ε) = O(ε ), podemos reescrever ˙z(t, ε) da seguinte forma:

        2

        ˙z(t, ε) = εf (z) + ε R (t, z(t, ε), ε)

        1 ′ ′ ′

        onde: (t, z(t, ε), ε) ´e compacto.

        1

        |R | ≤ H, t ≥ 0, z ∈ D ⊂ D, onde D ⊂ D e D Seja ε > 0. Fa¸ca:

        τ τ = εt . ⇒ t =

        ε Assim,

        τ τ τ τ ˙z , ε = εf z , ε + εR , z , ε , ε .

        1

        ε ε ε ε Chame

        τ w(τ, ε) = z , ε .

        ε Da´ı, 1 τ τ w(τ, ε) = ˙ ˙z , ε , ε = ε ˙ w(τ, ε).

        ⇒ ˙z ε ε ε

        Portanto, τ

        2 ε ˙ w(τ, ε) = εf (w(τ, ε)) + ε R , w(τ, ε), ε .

        1

        ε Isto ´e, (

        τ w(τ, ε) = f ˙ (w(τ, ε)) + εR

        1 , w(τ, ε), ε ,

        ε w(0, ε) = x . Por outro lado, temos que: ˙y(t) = εf (y). Fa¸ca: τ v(τ, ε) = y , ε .

        ε Temos 1 τ τ

        ˙v(τ, ε) = ˙y , ε , ε .

        ⇒ ε ˙v(τ, ε) = ˙y ε ε ε

        Isto ´e, ˙v(τ, ε) = f (v(τ, ε)), v(0, ε) = x .

        Dessa forma, temos que: Z τ Z τ s w(τ, ε) = x f (w(s, ε))ds + ε R , w(s, ε), ε ds, +

        1 Z τ

        ε v(τ, ε) = x f (v(s, ε))ds. + Ent˜ao, Z τ Z τ s w(τ, ε) [f (w(s, ε)) (v(s, ε))]ds + ε R 1 , w(s, ε), ε ds.

        − v(τ, ε) = − f ε

        Assim, Z τ Z τ s (w(s, ε)) (v(s, ε)) , w(s, ε), ε

        1

        |w(τ, ε) − v(τ, ε)| ≤ |f − f |ds + ε R ds Z τ Z τ ε Hds

        ≤ M |w(s, ε) − v(s, ε)|ds + ε Z τ ≤ M |w(s, ε) − v(s, ε)|ds + εHτ.

        (2.21) Dessa forma, pelo Teorema

         (Desigualdade de Gronwall), temos: R τ M ds

        |w(τ, ε) − v(τ, ε)| ≤ εHτe M τ ≤ εHτ(e − 1).

        Seja A > 0 com 0 ≤ τ ≤ A. Ent˜ao, M A M A |w(τ, ε) − v(τ, ε)| ≤ εHA(e − 1) = εB onde B = HA(e

        − 1). Assim, para todo ε > 0, existe ε > 0 tal que para 0 < ε

        ≤ ε |w(τ, ε) − v(τ, ε)| ≤ εB. A Como τ = tε e 0 e

        ≤ τ ≤ A ent˜ao 0 ≤ t ≤ ε |w(tε, ε) − v(tε, ε)| ≤ εB.

        Portanto, A . |z(t, ε) − y(t, ε)| ≤ εB, ∀ 0 ≤ t ≤

        ε Assim, por

        , temos:

        |x(t, ε) − y(t, ε)| ≤ |x(t, ε) − z(t, ε)| + |z(t, ε) − y(t)| ≤ ε|u(t, z(t, ε))| + εB ≤ ε(2MT + B)

        A para 0 . ≤ t ≤

        ε Exemplo 2.2.5 No exemplo

        consideramos a equa¸c˜ao:

        2 ¨ x + x = .

        −ε ˙x + εx Fazendo y = ˙x e a mudan¸ca de vari´aveis x, y −→ r, ψ, isto ´e,  −ε sen (t + ψ)f(r cos(t + ψ), −r sen (t + ψ)), ˙r = ε ˙

        ψ = cos(t + ψ)f (r cos(t + ψ), − −r sen (t + ψ)). r

      2 Temos f (x, ˙x) = . Da´ı,

         − ˙x + x

        2

        2

        ˙r = cos (t + ψ)], −ε sen (t + ψ)[r sen (t + ψ) + r ε

        2

        2 ˙ ψ = cos(t + ψ)[r sen (t + ψ) + r cos (t + ψ)].

        − r Dessa forma,

        ˙r = εf (t, (r, ψ)),

        1

        ˙ ψ = εf (t, (r, ψ))

        2

        onde

        2

        2

        2

        f (t, (r, ψ)) = (t + ψ) cos (t + ψ) sen (t + ψ),

        1

        −r sen − r

        3 f (t, (r, ψ)) = (t + ψ).

        2

        − cos(t + ψ) sen (t + ψ) − r cos Queremos que mostrar que

        2

        2

        2

        (t + ψ) cos (t + ψ) sen (t + ψ) −r sen − r f (t, (r, ψ)) =

        3

        (t + ψ) − cos(t + ψ) sen (t + ψ) − r cos satisfaz as condi¸c˜oes do Teorema

        Assumindo r limitado, obtemos que f esta defi-

        nida, ´e cont´ınua e limitada. Al´em disso,   ∂f ∂f

        1

        1  ∂r ∂ψ  (t, (r, ψ)) (t, (r, ψ))

        ∂f   (t, (r, ψ)) =  

        ∂(r, ψ)   ∂f ∂f

        2

        2

        (t, (r, ψ)) (t, (r, ψ)) ∂r ∂ψ onde:

        ∂f

        1

        2

        2 (t, (r, ψ)) = (t + ψ) (t + ψ) sen (t + ψ), − sen − 2r cos ∂r

        ∂f

        1

        2

        2

        2

        3  −2r sen (t + ψ) cos(t + ψ) + 2r − r  ∂ψ  ∂f (t, (r, ψ)) = cos(t + ψ) sen (t + ψ) cos (t + ψ), 2

        3

        (t, (r, ψ)) = (t + ψ), − cos  ∂f ∂r

        2  (t, (r, ψ)) = sen (+ψ) (t + ψ) + 3r cos (t + ψ) sen (t + ψ),

        2

        2

        2

        − cos ∂ψ que tamb´em est´a definida, ´e cont´ınua e limitada. Notamos claramente que f (t, (r, ψ)) ´e

        2π −peri´odica em t.   f (r, ψ)

       

        1 Vamos calcular a m´edia: f (r, ψ) = .

        f (r, ψ) Z 2π

        2

        1 −r

        2

        2

        2 f (r, ψ) = [ (t + ψ) cos (t + ψ) sen (t + ψ)]dt = .

        −r sen − r

        1

        2π Z

        2

        2π

        1

        3 f (r, ψ) = [ (t + ψ)]dt = 0. 2 − cos(t + ψ) sen (t + ψ) − rcos

        2π Assim, obtemos o sistema da m´edia:

        ˙r = εf (r, ψ),

        

      1

        ˙ ψ = εf (r, ψ).

        

      2

      Isto ´e, ( r

        ˙r = , −ε

        2 ˙ ψ = 0.

        Dessa forma, 2 εt r(t) = r(0)e , ψ(t) = ψ(0).

        Assim, obtemos as seguintes aproxima¸c˜oes via m´etodo da m´edia:  − 2 εt x a (t) = r(0)e cos(t + ψ(0)), 2 εt y (t) = sen (t + ψ(0)). a −r(0)e y(0)

        2

        2

        px(0) onde r(0) = + y(0) e ψ(0) = arctan s˜ao obtidos a partir da condi¸c˜ao inicial. x(0)

        Por estarmos nas hip´oteses do teorema, segue que: x(t, ε) x a (t) 1 = O(ε), na escala de tempo . − y(t, ε) y a (t)

        ε Isto ´e, existem constantes ε > 0, c > 0, independentes de ε, tais que para todo

        1

        ≥ 0, k 0 < ε < ε , temos: a (t)) + (y(t) a (t)) ε

        2

        2

        p(x(t) − x − y ≤ k

        1

        c para todo 0 . ≤ t ≤

        ε Exemplo 2.2.6 Considere a equa¸c˜ao autˆonoma

        ¨ x + x = εf (x, ˙x) com valor inicial dado. Seja y = ˙x. Sabemos que existem r(0) e ψ(0), tais que:

        2

        2

        px(0) r(0) = + y(0) , y(0) ψ(0) = arctan x(0) onde x(0) e y(0) s˜ao dados pela condi¸c˜ao inicial. Fa¸ca a transforma¸c˜ao x, y

        −→ r, ψ, isto ´e: x(t) = r(t) cos(t + ψ(t)), y(t) =

        −r(t) sen (t + ψ(t)). Obtemos:

        ˙r = −ε sen (t + ψ)f(r cos(t + ψ), −r sen (t + ψ)), ε ˙ ψ = cos(t + ψ)f (r cos(t + ψ), − −r sen (t + ψ)). r Note que cada lado direito das igualdades anteriores s˜ao 2π- peri´odicos em t. Vamos calcular a m´edia. Temos: Z

        2π

        1 f (r, ψ) = sen (t + ψ)f (r cos(t + ψ),

        1 −r sen (t + ψ))dt.

        2π Fazendo s = t + ψ, temos: ds = dt. Da´ı, pela Proposi¸c˜ao

        

         ˙r = ε sen (t + ψ)[(1

        ˙ ψ =

        (t + ψ))( −r sen (t + ψ))],

        2

        cos

        

      2

        − r

        (t + ψ))( −r sen (t + ψ)). Ficamos com o sistema:

        − r

        2

        cos

        2

        Assim, f (r cos(t + ψ), −r sen (t + ψ)) = (1 − r

        2 ) ˙x.

        Temos: f (x, ˙x) = (1 − x

        − ε r cos(t + ψ)[(1

        2

        − x

        2

        2

        cos

        2

        (t + ψ)) cos(t + ψ) sen (t + ψ)(1 − r

        2

        cos

        (t + ψ)(1 − r

        cos

        2

        = −r sen

        2 (t, (r, ψ))

        (t, (r, ψ)) f

        1

        (t + ψ))( −r sen (t + ψ))]. Vamos verificar que estamos nas hip´oteses do teorema. f (t, (r, ψ)) = f

        2

        2 ) ˙x.

        Vamos usar este resultado na equa¸c˜ao: ¨ x + x = ε(1

        f

        1 (r).

        cos(t + ψ)f (r cos(t + ψ), −r sen (t + ψ))dt

        2π

        1 2π Z

        (r, ψ) =

        2

        Analogamente, f

        −r sen s)ds = f

        1 2π Z

        1 2π Z 2π sen (s)f (r cos s,

        =

        sen (s)f (r cos s, −r sen s)ds

        2π+ψ ψ

        1 2π Z

        (r, ψ) =

        1

        =

        2π+ψ ψ

        2 (r).

        2

        ε r f

        ψ = −

        (r), ˙

        1

        ˙r = −εf

        s´o dependem de r. Basta resolvermos:

        e f

        cos(s)f (r cos s, −r sen s)ds

        1

        Portanto, f

        2 (r).

        cos(s)f (r cos s, −r sen s)ds = f

        2π

        1 2π Z

        =

        (t + ψ)) est´a definida, ´e cont´ınua e limitada, para todo t, assumindo r limitado. Al´em disso,   ∂f ∂f

        1

        1  ∂r ∂ψ  (t, (r, ψ)) (t, (r, ψ))

        ∂f   (t, (r, ψ)) =  

        ∂(r, ψ)   ∂f ∂f

        2

        2

        (t, (r, ψ)) (t, (r, ψ)) ∂r ∂ψ onde :

        ∂f

        1

        2

        2

        2

        2 (t, (r, ψ)) = (t + ψ) + 3r sen (t + ψ) cos (t + ψ),  ∂r − sen

        ∂f

        1

        2 (t, (r, ψ)) = ),  ∂f  ∂ψ −2r sen (t + ψ) cos(t + ψ)(1 + r 2  (t, (r, ψ)) = (t + ψ) sen (t + ψ),

        3 −2r cos ∂r ∂f 2  (t, (r, ψ)) = (t + ψ)(1 + r cos (t + ψ)).

        2

        2

        2

        − sen ∂ψ est´a definida, ´e cont´ınua e limitada, para todo t, assumindo r limitado. Portanto, estamos nas hip´oteses do teorema. Logo, Z

        2π

        2

        1 r

        2 2 −r

        f (r) = sen (t + ψ)[(1 cos (t + ψ))( 1 ,

        1 − r −r sen (t + ψ))]dt = −

        2π Z

        2

        4

        2π

        1

        2

        2

        f (r) = cos(t + ψ)[(1 cos (t + ψ))( 2 − r −r sen (t + ψ))]dt = 0.

        2π Assim,

        2 r r ˙r = ε 1 ,

        −

        2

        4 ˙ ψ = 0. Resolvendo esta equa¸c˜ao diferencial, obtemos:  r(0)e  εt 2 r(t) = 1 ,

        

      1

      2 εt 2

        [1 + r(0) (e − 1)]

        

      4

      ψ(t) = ψ(0).

        Portanto, εt 2 r(0)e x (t) = cos(t + ψ(0)), a 1

        1 εt

        2 2

        [1 + r(0) (e − 1)]  r(0)e

        4 εt 2

        y a (t) = 1 sen (t + ψ(0))

        1 2 εt 2

        [1 + r(0) (e − 1)]

        4 y(0)

        2

        2 onde r(0) = px(0) + y(0) e ψ(0) = arctan .

        x(0) Podemos concluir que:

        1 x(t, ε) x a (t) = O(ε), na escala de tempo . − y(t, ε) y a (t)

        ε Isto ´e, existem constantes ε > 0, c > 0, independentes de ε, tais que para todo

        1

        ≥ 0, k 0 < ε < ε , temos: a (t)) + (y(t) a (t))

        2

        2 1 ε

        p(x(t) − x − y ≤ k c para todo 0 .

        ≤ t ≤ ε

        Exemplo 2.2.7 Considere a equa¸c˜ao de Mathieu: x + (1 + 2ε cos(2t))x = 0 ¨ com valores iniciais x(0) = x e ˙x(0) = 0. Temos:

        ¨ x + x = −ε2x cos 2t. Vamos considerar y = ˙x , g(t, x) =

        −2x cos 2t e mudan¸ca de vari´aveis: x(t) = y (t) cos t + y (t) sen t,

        1

        2 y(t) = (t) sen t + y (t) cos t.

        1

        2

        −y Encontraremos as seguintes equa¸c˜oes: y ˙ = (t) cos t + y (t) sen t)),  −ε sen t(g(t, y

        1

        

      1

        2 y ˙ = ε cos t(g(t, y (t) cos t + y (t) sen t)).

        2

        1

        2 Isto ´e, y ˙ = ε2 sen t cos 2t(y (t) cos t + y (t) sen t),

        1

        

      1

        2 y ˙ = (t) cos t + y (t) sen t).

        2

        1

        2

        −ε2 cos t cos 2t(y Dessa forma,

        2 sen (t) cos 2t(y

        1 (t) cos t + y 2 (t) sen t)

        f (t, (y , y )) =

        1

        2

        (t) cos t + y (t) sen t)

        1

        2

        −2 cos(t) cos 2t(y est´a definida, ´e continua e limitada assumindo y e y limitadas. Al´em disso,  

        1

        2

        2

        2 sen t cos 2t cos t 2 sen t cos 2t ∂f  

        (t, (y , y )) =

        1

        2

        ∂(y

        1 , y 2 )

        

      2

        t cos 2t −2 cos −2 cos t cos 2t sen t

        2 e εt 2 cos t.

        1

        1

        segue que: k

        2 = 0.

        − k

        1

        (0) = 0 ⇒ k

        2

        = x , y

        2

        (0) = x ⇒ k

        2

        1

        Como y

        e εt 2 .

        2

        e εt 2 − k

        1

        (t) = k

        2

        e εt 2 , y

        = k

        = x 2 .

        e εt 2 + k

        2

        2 e εt 2 − x

        2 e εt 2 + x 2 e εt 2 sen t + x

        2 e εt 2 sen t, y a (t) = x

        2 e εt 2 − x

        2 e εt 2 + x 2 e εt 2 cos t + x

         x a (t) = x

        − y 2 (t) cos t. Isto ´e,

        1 (t) sen t

        (t) sen t, y a (t) = y

        (t) cos t + y

        Portanto, y

        

      1

        Dessa forma, obtemos as seguintes aproxima¸c˜oes:  x a (t) = y

        2 e εt 2 .

        2 e εt 2 − x

        x

        2 (t) =

        2 e εt 2 + x 2 e εt 2 , y

        x

        1 (t) =

        2

        1

        est´a definida, ´e cont´ınua e limitada.

        1

        , y

        1

        (t, (y

        2

        2 , f

        2

        (t) sen t)dt = − y

        2

        (t) cos t + y

        2 sen (t) cos 2t(y

        )) =

        2π

        1 2π Z

        )) =

        2

        , y

        1

        (t, (y

        1

        Ent˜ao, f

        2

        1 2π Z

        (t) = k

        2 ; y

        1

        Logo, y

        2 (0) = 0.

        2 ; y

        1

        = −ε y

        2

        (0) = x , ˙ y

        1

        2

        2π

        = −ε y

        1

         ˙ y

        2 . E assim obtemos:

        1

        (t) sen t)dt = − y

        2

        (t) cos t + y

        1

        −2 cos(t) cos 2t(y

      • k
      Note que: − − εt εt εt εt x x x x x a (t) = e e cos t + e e sen t 2 2 2 2

      • 2 − − εt εt

        −

        2 εt εt

        2

        2 x x x x 2 2 2 2 = e cos t + e cos t + e sen t e sen t

        −

        2 εt εt

        2

        2

        2 x x 2 2 = e (cos t + sen t) + e (cos t − sen t).

        2 − − εt εt εt εt

        2 x x x x y a (t) = e e sen t + e e cos t 2 2 2 2

      • − −

        2 − − εt εt εt εt

        2

        2

        2 x x x x 2 2 2 2 = e sen t e sen t + e cos t e cos t

        − − −

        2 εt

        2 εt

        2

        2 x x 2 2 = e ( sen t e ( sen t + cos t). − − cos t) −

        2

        2 Por estarmos nas hip´oteses do teorema, segue que:

        1 x(t, ε) x a (t) = O(ε), na escala de tempo . − y(t, ε) y a (t)

        ε Isto ´e, existem constantes ε > 0, c > 0, independentes de ε, tais que para todo

        1

        ≥ 0, k 0 < ε < ε , temos: a (t)) + (y(t) a (t)) ε

        2

        2

        1

        p(x(t) − x − y ≤ k c para todo 0 .

        ≤ t ≤ ε

      2.3 Existˆ encia e Estabilidade de solu¸c˜ oes peri´ odicas

        Agora veremos um resultado que nos leva a existˆencia de solu¸c˜oes peri´odicas atrav´es do M´etodo da M´edia e do Teorema da Aplica¸c˜ao Impl´ıcita.

        2

        1 Considere novamente as equa¸c˜oes . Assumiremos que f e g

        ∈ C ∈ C s˜ao aplica¸c˜oes T − peri´odicas em t. Sob certas condi¸c˜oes, os pontos cr´ıticos da equa¸c˜ao da m´edia

        .

        − peri´odicas da equa¸c˜ao Teorema 2.3.1 Considere a equa¸c˜ao

        e suponha que:

        2

        ∂f ∂ f ∂g (a) As fun¸c˜oes vetoriais f, g, , , est˜ao definidas, s˜ao cont´ınuas e limitadas por

        2

        ∂x ∂x ∂x uma constante M (independente de ε) em [0, .

        ∞) × D, 0 ≤ ε ≤ ε (b) f e g s˜ao T − peri´odicas em t (T independe de ε). Se p ´e um ponto crit´ıco da equa¸c˜ao da m´edia

        tal que

        ∂f (y) det (2.22) y 6= 0

        =p

        ∂y ent˜ao existe ε

        1 , 0 < ε 1 < ε tal que para todo ε, 0 < ε < ε 1 existe uma solu¸c˜ao T

        − peri´odica Φ(t, ε) da equa¸c˜ao

        tal que lim Φ(t, ε) = p.

      ε →0

        Demonstra¸c˜ ao: Novamente vamos usar a transforma¸c˜ao

        , a saber:

        x(t, ε) = z(t, ε) + εu(t, z(t, ε)) onde Z t u(t, z) = [f (s, z) (s)]ds − f introduzida na demonstra¸c˜ao do Teorema

        A fim de simplificar a nota¸c˜ao denotare-

        mos z(t, ε) simplesmente por z. Considere a equa¸c˜ao

        :

        ∂u

        2 I + ε (t, z) ˙z = εf (z) g(t, z + εu(t, z), ε).

        − εf(t, z) + εf(t, z + εu(t, z)) + ε ∂z

        Pelo Lema

        sabemos que: h i −1

        ∂u ∂u

        2 I + ε (t, z) = I (t, z) + O(ε ) (2.23)

        − ε ∂z ∂z X +∞ n n n ∂u

        2

        onde O(ε ) = ( ε (t, z) . Logo, por (i) da demonstra¸c˜ao do Teorema

        

        −1) n ∂z

        =2

        2

        segue que O(ε ) ´e T −peri´odica.

      • ε

        (t, z)f (t, z + εu(t, z)) − ε

        (1) g(t, z + εu(t, z), ε) ∈ C

        1 .

        (t, z, ε) ∈ C

        1

        Vejamos que R

        ∂u ∂z (t, z)g(t, z + εu(t, z), ε) + O(ε).

        ∂u ∂z

        (2) Pelo Teorema

        (t, z)f (t, z) −

        (t, z)f (z) + ∂u ∂z

        ∂u ∂z

        (t, z, ε) = g(t, z + εu(t, z), ε) −

        1

        (t, z, ε) (2.25) onde R

        1 .

        

      (Deriva¸c˜ao sob o sinal da integral), temos:

        2 R

        1 .

        (4) f (t, z), f (t, z + εu(t, z)) ∈ C

        2 .

        , pois f ∈ C

        1

        1 T Z T f (s, z)ds ∈ C

        (3) f (z) =

        (s, z) ∈ C

        ∂u ∂z

        pois ∂f ∂z

        1

        ∈ C

        ∂z (h, z)dh i ds

        1 T Z T ∂f

        (s, z) −

        (t, z) = Z t h ∂f ∂z

        1

        ˙z = εf (z) + ε [f (t, z + εu(t, z)) − f(t, z)] + ε

        Ent˜ao, ˙z =

        2

        ∂u ∂z

        2

        (t, z)f (z) + ε

        ∂u ∂z

        2

        g(t, z + εu(t, z), ε) −ε

        − εf(t, z) + εf(t, z + εu(t, z)) + ε

        2

        g(t, z + εu(t, z), ε)] = εf (z)

        2

        ) [εf (z) − εf(t, z) + εf(t, z + εu(t, z))

        2

        (t, z) + O(ε

        ∂u ∂z

        I − ε

        (t, z)f (t, z) − ε

        ∂u ∂z

        (2.24) Assim,

        ∂u ∂z

        (t, z)g(t, z + εu(t, z), ε) + O(ε) i .

        ∂u ∂z

        (t, z)f (t, z + εu(t, z)) −ε

        − ∂u ∂z

        ∂z (t, z)f (t, z)

        (t, z)f (z) + ∂u

        g(t, z + εu(t, z), ε) −

        (t, z)f (t, z + εu(t, z)) −ε

        2 h

        − f(t, z)] + ε

        ) = εf (z) + ε [f (t, z + εu(t, z))

        3

        (t, z)g(t, z + εu(t, z), ε) + O(ε

        ∂u ∂z

        3

        1 .

      1 Assim, f (t, z + εu(t, z)) .

        − f(t, z) ∈ C Da f´ormula de Taylor com rela¸c˜ao a segunda vari´avel em torno de ε = 0, temos:

        ∂f

        2 f (t, z + εu(t, z)) = f (t, z) + ε (t, z)u(t, z) + O(ε ).

        ∂x Dessa forma, podemos reescrever h i da seguinte forma:

        ∂f

        2

        2 ˙z = εf (z) f (t, z) + ε (t, z)u(t, z) + O(ε ) + ε R (t, z, ε).

        1

        − εf(t, z) + ε ∂x

        Logo,

        2

        ˙z = εf (z) + ε R(t, z, ε) ∂f onde R(t, z, ε) = (t, z)u(t, z) + R (t, z, ε).

        1

        ∂x Mostremos que R(t, z, ε) ´e T − peri´odica em t.

        (i) Vimos na demonstra¸c˜ao do Teorema

         que u(t, z) ´e T

        − peri´odica em t. Da´ı, ∂u ∂u u(t + T, z) = u(t, z) (t + T, z) = (t, z). ⇒

        ∂z ∂z (ii) Al´em disso, g e f s˜ao T

        − peri´odicas em t ent˜ao: g(t + T, z + εu(t + T, z), ε) = g(t, z + εu(t, z), ε), f (t + T, z + εu(t + T, z)) = f (t, z + εu(t, z)),

        ∂f ∂f f (t + T, z) = f (t, z) (t + T, z) = (t, z). ⇒

        ∂x ∂x (iii) E ainda, O(ε) ´e T

        e (i) da demonstra¸c˜ao do Teorema

        −peri´odica em t por Portanto,

        ∂f ∂u

        R(t + T, z, ε) = (t + T, z)u(t + T, z) + g(t + t, z + εu(t + t, z), ε) (t + T, z)f (z) −

        ∂x ∂z

        ∂u ∂u (t + T, z)f (t + T, z) (t + T, z)f (t + T, z + εu(t + T, z)) +

        − ∂z ∂z

        ∂u (t + T, z)g(t + T, z + εu(t + T, z), ε) + O(ε)

        −ε ∂z

        ∂f ∂u ∂u = (t, z)u(t, z) + g(t, z + εu(t, z), ε) (t, z)f (z) + (t, z)f (t, z)

        − ∂x ∂z ∂z

        ∂u ∂u (t, z)f (t, z + εu(t, z)) (t, z)g(t, z + εu(t, z), ε) + O(ε)

        − − ε ∂z ∂z = R(t, z, ε). Devido a escolha de u(t, z) se z(t) ´e T − peri´odica ent˜ao x(t) tamb´em ´e T − peri´odica.

        2 Seja F (t, u, ε) o fluxo de ˙z(t) = εf (z) + ε R(t, z, ε). Ent˜ao,

        2

        ˙ F (t, u, ε) = εf (F (t, u, ε) + ε R(t, F (t, u, ε), ε), F (0, u, ε) = u.

        1 Pelo Teorema

      sabemos que F . Da f´ormula de Taylor, temos:

        ∈ C

        2 F (t, u, ε) = F (t, u) + F 1 (t, u)ε + ε R(t, u, ε), com 0 ≤ t ≤ T.

        Fazendo t = 0, ficamos com:

        2 u = F (0, u, ε) = F (0, u) + F (0, u)ε + ε R(0, u, ε).

        1 Ent˜ao,

        F (0, u) = u, (2.26) F (0, u) = 0.

      1 E ainda,

        2

        z = F (t, u) + F (t, u)ε + ε R(t, u, ε),

        1

        2

        ˙ ˙z = ˙ F (t, u) + ˙ F (t, u)ε + ε R(t, u, ε).

      1 Por outro lado,

        2 ˙z = εf (z) + ε R(t, z, ε).

        Assim,

        2

        2

        ˙ ˙

        F (t, u) + ˙ F (t, u)ε + ε R(t, u, ε) = εf (F (t, u) + F (t, u)ε + ε R(t, u, ε))

        1

        1

        

      2

        2 +ε R(t, F (t, u) + F (t, u)ε + ε R(t, u, ε), ε).

        1 Novamente pela F´ormula de Taylor, temos:

        2 f (F (t, u) + F (t, u)ε + ε R(t, u, ε)) = f (F (t, u)) + O(ε).

      1 Dessa forma,

        

      2

        2

        ˙ F (t, u) + ˙ F (t, u)ε + O(ε ) = εf (F (t, u)) + O(ε ).

      1 Temos:

         ˙ F (t, u) = 0, ˙

        F (t, u) = f (F (t, u))

        1

        com as condi¸c˜oes iniciais

        . Ent˜ao, para t ´e limitado, obtemos:

        F (t, u) = u, Z t Z t F (t, u) = f (u)ds = f (u) ds = tf (u).

        1

      2 Portanto, F (t, u, ε) = u + tf (u)ε + ε R(t, u, ε) em 0

        ≤ t ≤ T, ´e o fluxo de

        2

        ˙z = εf (z) + ε R(t, z, ε), z(0) = u. Queremos que F (t, u, ε) seja T

        temos:

        − peri´odica em t. Pela Proposi¸c˜ao F (t + T, u, ε) = F (t, u, ε) ⇔ F (0, u, ε) = F (T, u, ε). Assim,

        2

        2 u = u + T f (u)ε + ε R(t, u, ε) (u)ε + ε R(t, u, ε) = 0 (u) + εR(t, u, ε) = 0.

        ⇔ T f ⇔ T f Seja H(ε, u) = T f (u) + εR(t, u, ε).

        Da´ı, por hip´otese H(0, p) = T f (p) = 0. Dessa forma,

        ∂H ∂f ∂R (ε, u) = T (u) + ε (T, u, ε),

        ∂u ∂u ∂u ∂H ∂f (0, p) = T (p).

        ∂u ∂u ∂f

        Temos que (p) ´e invers´ıvel, por hip´otese. Ent˜ao, pelo Teorema

         (Aplica¸c˜ao

        ∂u n Impl´ıcita), existe ε > 0 e c : ( , ε ) tal que H(ε, c(ε)) = 0, para < ε < ε .

        1

        1

        1

        1

        1

        −ε −→ R −ε Note que: c(0) = p. Ent˜ao,

        2 H(ε, c(ε)) = 0 (u) + εR(T, u, ε) = 0 (u) + ε R(T, u, ε) = 0

        ⇔ T f ⇔ εT f

        2

        (u) + ε R(T, u, ε) = c(ε) ⇔ c(ε) + εT f ⇔ F (T, c(ε), ε) = F (0, c(ε), ε). Portanto, a solu¸c˜ao do p.v.i.:

        2

        ˙x = εf (x) + ε R(t, x, ε), x(0) = c(ε) nos d´a a solu¸c˜ao T − peri´odica que procuramos.

        Fa¸ca Φ(t, ε) = F (t, c(ε), ε). Para 0

        ≤ t ≤ T, temos: ε ε lim Φ(t, ε) = lim F (t, c(ε), ε)

        →0 →0

        2

        = lim c(ε) + εtf (c(ε)) + O(ε ) ε

        →0 = c(0) = p. Conclu´ımos pelo Teorema

        na vizinhan¸ca de x = p.

        Teorema 2.3.2 Considere a equa¸c˜ao

        e suponha que as condi¸c˜oes do Teorema

        

        est˜ao satisfeitas. Se os autovalores do ponto cr´ıtico y = p da equa¸c˜ao da m´edia

        pos-

        suem partes reais negativas, ent˜ao a correspondente solu¸c˜ao peri´odica Φ(t, ε) da equa¸c˜ao

        

      ´e assintoticamente est´avel, para ε suficientemente pequeno. Se um dos autovalores

      tem parte real positiva, ent˜ao Φ(t, ε) ´e inst´avel.

        Demonstra¸c˜ ao: Fazendo como em

        na ´orbita

        peri´odica Φ(t, ε) obtida no Teorema

        

      ´e dada por:

        ˙x = εA(t, ε)x (2.27) onde: ∂ A(t, ε) = [f (t, x) + εg(t, x, ε)] . x

        =Φ(t,ε)

        ∂x Seja x i (t, ε) a ´ unica solu¸c˜ao de

        tal que x i (0, ε) = e i . Denote por M (t, ε) a matriz

        n i (t, ε). Assim, × n cuja i-´esima coluna ´e x

        M (t, ε) = [x (t, ε) x (t, ε) . . . x n (t, ε)] (2.28)

        1

        

      2

      e M (0, ε) = I n . ×n

        Conforme a defini¸c˜ao

        os autovalores de M (T, ε) s˜ao os n´ umeros caracter´ısticos

        de

        . Temos que: Z t

        ∂f ∂g x i (t, ε) = e i + ε (s, Φ(s, ε)) + ε (s, Φ(s, ε), ε) x i (s, ε) ds .

        ∂x ∂x Assim, x (t, 0) = e , i i Z t

        ∂x i ∂f ∂g (t, ε) = (s, Φ(s, ε)) + ε (s, Φ(s, ε), ε) x i (s, ε) ds

        ∂ε ∂x ∂x Z t ∂ ∂f ∂g +ε (s, Φ(s, ε)) + ε (s, Φ(s, ε), ε) x i (s, ε) ds . ∂ε ∂x ∂x

        Das equa¸c˜oes acima, segue que: Z t ∂x i ∂f (t, 0) = (s, Φ(s, 0))e i ds.

        ∂ε ∂x Al´em disso, sabemos que: Φ(s, 0) = p. Assim, Z t ∂x i ∂f (t, 0) = (s, p)e i ds.

        ∂ε ∂x Ent˜ao, Z T

        ∂x i ∂f (T, 0) = (s, p)e i ds. (2.29)

        ∂ε ∂x Por outro lado, temos: Z T Z T Z T

        1 1 ∂f ∂f

        ′ ′ f (x) = f (s, x) ds ) (x) = (s, x) ds ) (x) = (s, x) ds.

        ⇒ (f ⇒ T (f T T ∂x ∂x

        Da´ı, Z T ∂f

        ′ (s, p)ds = T (f ) (p).

        ∂x Substituindo em

        :

        ∂x i

        ′ (T, 0) = T (f ) (p) e i .

        ∂ε Ent˜ao, voltando em

        : ′ 2 ′

        2 M (T, ε) = [e 1 + εT (f ) (p)e 1 + O(ε ) . . . e n + εT (f ) (p)e n + O(ε )].

        Ou seja,

        ′

        2 M (T, ε) = I + εT (f ) (p) + O(ε ). ′

        Suponha que todos os autovalores de (f ) (p) tem partes reais negativas. Logo, pelo Teorema todo n´ umero caracter´ıstico da matriz M (T, ε) tem norma menor que um. Pelo Teorema seque que Φ ´e assintoticamente est´avel.

        ′

        Por outro lado, se (f ) (p) admite pelo menos um autovalor com parte real positiva ent˜ao segue novamente do Teorema

         que M (T, ε) admite pelo menos um n´ umero

        caracter´ıstico com norma maior que 1. Do Teorema segue que Φ ´e inst´avel.

        

      CAP´ITULO 3

      SISTEMA DE R ¨ OSSLER: EXISTˆ ENCIA E

      ESTABILIDADE DE ´ ORBITAS

      PERI ´ ODICAS USANDO O M´ ETODO DA

        

      M´ EDIA

      3.1 Introdu¸c˜ ao

        Inspirado pela geometria dos fluxos tridimensionais, R¨ossler introduziu v´arios sistemas nos anos 1970 como prot´otipos das equa¸c˜oes diferenciais autˆonomas mais simples tendo caos, a simplicidade ´e no sentido de m´ınima dimens˜ao, m´ınimo n´ umero de parˆametros e m´ınima n˜ao-linearidade.

        Agora vamos considerar o sistema de R¨ossler:  −y − z, ˙x = ˙y = x,

        (3.1) ˙z = αy(1 − y) − βz.

        3

        onde (x, y, z) e α, β ∈ R ∈ R. Neste cap´ıtulo, provaremos dois teoremas. O primeiro investigar´a a existˆencia de ´orbitas peri´odicas em torno da origem, e o segundo, em torno de um outro ponto de equil´ıbrio, ambos com parˆametros α e β distintos. Os resultados a seguir podem ser encontrados em

        .

        ´

      3.2 Orbitas peri´ odicas numa vizinhan¸ca da origem

        Sejam os parˆametros: a α = εa e β = b + (3.2)

        −ε

        2

        2

        1 + ε b onde a, b ∈ R. Notemos que a aplica¸c˜ao

        εa f ε (a, b) = εa, −εb −

        2

        2

        1 + ε b

        2 ∞

        ´e tal que det(J ε (0, 0)) = . Assim, pelo Teorema f f ´e um difeomorfismo C , ε −ε quando ε

        ´e uma reparame-

        6= 0, numa vizinhan¸ca da origem (a, b) = (0, 0). Assim, triza¸c˜ao adequada da vizinhan¸ca da origem no plano dos parˆametros (a, b). Provaremos no Teorema a seguir, que com estes parˆametros, existe uma ´orbita peri´odica de . Teorema 3.2.1 Considere o sistema de R¨ossler

        ˙x = −y − z, ˙y = x,

        (3.3) a ˙z = εay(1 b + z

        − y) + ε

        2

        2

        1 + ε b satisfazendo (a+2b)a < 0. Ent˜ao, para ε > 0 suficientemente pequeno, existe uma solu¸c˜ao n o n

        1

        2

        peri´odica γ

        com per´ıodo T (ε) = 2π + O(ε) tal que γ ε z = x

      • ε de

        → − ∩ o

        2

        2 −a − 2b

        (y + z) = quando ε ε ´e assintoticamente est´avel quando → 0. Mais ainda, γ

        2a a + b < 0 e inst´avel quando a + b > 0. Demonstra¸c˜ ao: Encontramos os seguinte pontos cr´ıticos de

        :

        (x , y , z ) = (0, 0, 0),

        1

        1

        1

        2

        3

        2

        2

        2

        3

        2

        2

        ε b ab + b ε b ab + b − ε − ε (x , y , z ) = 0, , .

        2

        2

        2

        −

        2

        

      2

        2

        2

        ε ab + a ε ab + a Linearizando o sistema

        no ponto de equil´ıbrio (x , y , z ) = (0, 0, 0), encontramos o

        1

        1

        1

        seguinte polinˆomio caracter´ıstico:

        2

        2

        2

        2

        (λ b(a b )λ ] − εb)[−1 + ε − b) + aλε − (1 + ε p(λ) =

        2

        2

        1 + ε b

        2

        ελ a εa

        2

        3

      • = + ελ b + εb − εa − λ − λ.

        2

        2

        2

        2

        ε b + 1 ε b + 1 Vamos fazer a seguinte mudan¸ca de vari´aveis:      

        X x       −1 −1 Y = 1 y . (3.4) Z 1 z Obtemos de : ˙  −Y − ˙ X = Z, ˙

        Y = X, (3.5)

        2

        2

        ε b aZ  ˙

        2

        2 Z = (aX + aX + 2aZX + aZ .

        −ε − bZ) −

        2

        2

        1 + ε b Note que:

        2

        2

        ε b aZ

        2

        = O(ε ). (3.6)

        2

        2

        1 + ε b Da´ı, segue de que

        2

        2

        2

        ˙ X = + 2aZX + aZ ), −Y + ε(aX + aX − bZ) + O(ε

        ˙ Y = X,

        2

        2

        2

        ˙ Z = + 2aZX + aZ ).

        −ε(aX + aX − bZ) + O(ε Ou,

        2

        ˙ X = ), −Y + εf(X, Y, Z) + O(ε

        ˙ Y = X, (3.7)

        2

        ˙ Z = ).

        −εf(X, Y, Z) + O(ε onde

        2

        2 f (X, Y, Z) = + 2XZ + Z ).

        −bZ + a(X + X Considere as coordenadas cil´ındricas (X, Y, Z) −→ (θ, r, z) tais que: X = r cos θ, Y = r sen θ, (3.8) Z = z.

        Temos: ˙

        X = ˙r cos θ − r( sen θ) ˙θ, ˙ Y = ˙r sen θ + r(cos θ) ˙θ,

        ˙ Z = ˙z. Da´ı,

        fica:

        2  − r( sen θ) ˙θ = −r sen θ + εf(r cos θ, r sen θ, z) + O(ε ˙r cos θ

        ), ˙r sen θ + r(cos θ) ˙θ = r cos θ,

        2 ˙z = ).

        −εf(r cos θ, r sen θ, z) + O(ε

        2 (θ, r(θ), z(θ)) + O(ε

        ) = 1 + εg

        2

        (θ, r(θ), z(θ)) + O(ε

        2

        r(θ, r, z) a fun¸c˜ao tal que 1 + εg

        est˜ao bem definidas. Dessa forma, existe uma constante C > 0 e seja

        ) . que vem de

        2

        ) 1 + εg

        (θ, r(θ), z(θ)) + ε

        2

        (θ, r(θ), z(θ)) + O(ε

        3

        (θ) = εg

        ′

        ) , z

        2

        (θ, r(θ), z(θ)) + O(ε

        2

        2

        ) 1 + εg

        (θ, r(θ), z(θ)) + εr(θ, r, z)))

        2 (θ, r(θ), z(θ)) + O(ε

        − εg

        ) = 1

        2

        (θ, r(θ), z(θ)) + εr(θ, r, z)) + O(ε

        2

        = 1 − ε (g

        −1

        2

        r(θ, r, z) onde |r(θ, r, z)| ≤ C. Logo, 1 + εg

        (1 + ε (g

        segue que:

        Pelo Lema

        2 (θ, r(θ), z(θ)) + εr(θ, r, z)) .

        r(θ, r, z) = 1 + ε (g

        2

        (θ, r(θ), z(θ)) + ε

        2

        2

        2

        Ou seja, cos θ −r sen θ 0 sen θ r cos θ

        −1

        2 (θ, r, z) + O(ε

        ), ˙θ = 1 + εg

        2

        (θ, r, z) + O(ε

        1

        ˙r = εg

        1 obtemos as equa¸c˜oes:

        = cos θ sen θ 0 − sen θ r cos θ r

        −r sen θ 0 sen θ r cos θ 1

        ), ˙z = εg

        ) . Sabendo que cos θ

        2

        ) O(ε

        2

        O(ε

        −f(r cos θ, r sen θ, z)

        = −r sen θ r cos θ f (r cos θ, r sen θ, z)

        1 ˙r ˙θ ˙z

        2

        

      3 (θ, r, z) + O(ε

        (θ, r(θ), z(θ)) + O(ε

        3

        1

        (θ) = εg

        ′

        e para ε suficientemente pequeno temos ˙θ > 0 as equa¸c˜oes r

         (da Redu¸c˜ao). Como r > 0

        Observe que

        2 + r cos θ(1 + 2z + r cos θ)).

        (θ, r, z) = bz − a(z

        g

        2

        3 (θ, r, z),

        sen θ r g

        2 (θ, r, z) =

        (θ, r, z), g

        3

        (θ, r, z) = − cos θ g

        1

        ) (3.9) onde: g

        2 ).

        (3.11)

        − cos θ(bz − a[z

        f ∂(r, z)

        2

        ∂

        ∂f ∂(r, z) e

        2

        − a[z

        2

        (θ, r, z) =

        . ´ E imediato que f (θ, r, z) ´e 2π- peri´odica na vari´avel θ. Calculando a m´edia, obtemos: g

        3

        (θ, r, z) g

        1

        f (θ, r, z) = g

         e

        2

        (θ, r, z) = bz − a(z

        3

        2

        1

        3

        Da´ı, as equa¸c˜oes da m´edia ficam:

        2 ) + 2bz)).

        

      2

        −a(r

        2 (

        1

        2 ar(1 + 2z), ˙z = ε

        1

        ˙r = ε

        2 ) + 2bz)).

        (r, z) =

        

      2

        −a(r

        2 (

        1

        (r, z) =

        3

        2 ar(1 + 2z). g

        1

        (θ, r, z), g

        (θ, r, z) = − cos θ g

        Portanto, r

        )] = εg

        (θ, r(θ), z(θ)) + O(ε

        3

        (θ) = [εg

        ′

        ), z

        

      2

        (θ, r(θ), z(θ)) + O(ε

        1

        2

        )][1 − εg

        (θ, r(θ), z(θ)) + O(ε

        2

        )][1 − εg

        

      2

        (θ, r(θ), z(θ)) + O(ε

        1

        (θ) = [εg

        ′

        

      2

        2

        1

        1

        ) (3.10) com g

        2

        (θ, r, z) + O(ε

        3

        = εg

        ), dz dθ

        2

        (θ, r, z) + O(ε

        = εg

        (θ, r(θ), z(θ)) + O(ε

         dr dθ

        ao sistema:

        Dessa forma, podemos reduzir o sistema

        

      2

      ).

        (θ, r(θ), z(θ)) + O(ε

        3

        )] = εg

        2

      • r cos θ(1 + 2z + r cos θ)) onde θ ´e a nova vari´avel independente. Queremos investigar a existˆencia de uma ´orbita peri´odica do sistema
      • r cos θ(1 + 2z + r cos θ)]) bz
      • r cos θ(1 + 2z + r cos θ)] est´a definida, ´e cont´ınua e limitada por uma constante que independe de ε, quando r e z s˜ao limitadas, assim como
      • 2z
      • 2z
      Os pontos cr´ıticos da equa¸c˜ao

        s˜ao:

        (r , z ) = (0, 0), b (r , z ) = 0, ,

        1

        1

        a !

        1 r −a − 2b (r

        2 , z 2 ) = , ,

        − − r 2a !

        2

        1 −a − 2b (r , z ) = , .

        3

        3

        − 2a

        2 Suponha a > 0 temos: −a − 2b

        (a + 2b)a < 0 > 0.

        ⇔ a + 2b < 0 ⇔ −a − 2b > 0 ⇔ 2a

        Portanto, r e r

        tal que r > 0 ´e:

        2

        3

        ∈ R. Logo, o ´unico ponto cr´ıtico da equa¸c˜ao r !

        1 −a − 2b

        ∗ ∗

        (r

        3 , z 3 ) = , := (r , z ).

        − 2a

        2

        ∗ ∗

        Agora, se mostrarmos que o determinante da Jacobiana de f em (r , z ) ´e n˜ao nulo, poderemos garantir pelo Teorema

        a existˆencia de uma ´orbita 2π-peri´odica. Temos: !

        1 a + az ar J(f (r, z)) = .

        2 −ar −2az + b

        Ent˜ao,   r −a − 2b   a

        ∗ ∗   2a J(f (r , z )) = .   r −a − 2b

        a + b −a

        2a Portanto,

        1

        ∗ ∗ det(J(f (r , z ))) = a(a + 2b) > 0, pois (a + 2b)a < 0.

        −

        2 Segue do Teorema

         que existe

        α = ε {(r(θ, ε), z(θ, ε)) : 0 ≤ θ ≤ 2π} solu¸c˜ao 2π-peri´odica de

        tal que: ∗ ∗

        α ε , z ) quando ε → (r → 0. Portanto, pelo Teorema

        tem uma solu¸c˜ao

        (r(t, ε), θ(t, ε), z(t, ε)) tal que r(t + T (ε), ε) = r(t, ε), θ(t + T (ε), ε) = θ(t, ε) + 2π, z(t + T (ε), ε) = z(t, ε).

        Assim, como

        , segue que:

        X(t + T (ε), ε) = r(t + T (ε), ε) cos(θ(t + T (ε), ε)) = r(t, ε) cos(θ(t, ε) + 2π) = r(t, ε) cos(θ(t, ε)) = X(t, ε),

        Y (t + T (ε), ε) = r(t + T (ε), ε) sen (θ(t + T (ε), ε)) = r(t, ε) sen (θ(t, ε) + 2π) = r(t, ε) sen (θ(t, ε)) = Y (t, ε), Z(t + T (ε), ε) = z(t + T (ε), ε) = z(t, ε) = Z(t, ε).

        Portanto, a solu¸c˜ao (X(t, ε), Y (t, ε), Z(t, ε)) de

         (da Redu¸c˜ao) e da f´ormula de

        −peri´odica em t. Segue do Teorema Taylor em torno de ε = 0 que T (ε) = 2π + O(ε). E ainda,

        ∗

        2 2 ∗

        2

        (X(t, ε), Y (t, ε), Z(t, ε)) + Y = (r ) → {Z = z } ∩ {X } quando ε

        

      , obtemos que:

        → 0. Logo, voltando em γ ε = (x(t, ε), y(t, ε), z(t, ε)) onde x(t, ε) = Y (t, ε), y(t, ε) =

        −X(t, ε) − Z(t, ε) e z(t, ε) = Z(t, ε) ´e solu¸c˜ao T (ε)

        com T (ε) = 2π + O(ε) tal que

        −peri´odica de

        ∗

        2 2 ∗

        2

        γ ε + x = (r ) → {z = z } ∩ {(−y − z) } quando ε

        → 0. Isto ´e, \

        1

        2 2 −2b − a

        γ ε z = (y + z) + x = → − 2 2a quando ε → 0.

        ∗ ∗ Agora, vamos encontrar os autovalores de J(f (r , z )). ∗ ∗

        p(λ) = det(J(f (r , z )) − λI)

        1

        2 = λ + ( (a + 2b)a.

        −a − b)λ −

        2 Temos que: ( λ + λ = a + b,

        1

        2

        1 λ λ = a(a + 2b) > 0.

        1

        2

        −

        2 (1) Se λ

        1 , λ 2 forem reais ent˜ao

        λ

        1 λ 2 > 0 1 e λ 2 tem o mesmo sinal.

        ⇒ λ (i) Se a + b < 0 ent˜ao λ

        1 + λ

      2 < 0 e como λ

      1 e λ 2 tem o mesmo sinal, segue que

        λ < 0 e λ < 0. Pelo Teorema γ ε ´e assintoticamente est´avel.

        1

        2

        (ii) Se a + b > 0 ent˜ao λ + λ > 0 e como λ e λ tem o mesmo sinal, segue que

        1

        2

        1

        2

        λ > 0 e λ > 0. Pelo Teorema γ ε ´e inst´avel.

        1

      2 Da f´ormula de Baskhara, temos:

        

        2

        2 a + b + 3a + 6ab + b

        λ

        1 = ,

        2

        2

        2 a + b 3a + 6ab + b − λ = .

        2

        2 (2) Se λ , λ forem complexos ent˜ao

        1

        2

        a + b Re(λ ) = Re(λ ) = .

        1

        2

        2 (i) Se a + b < 0 ent˜ao pelo Teorema γ ε ´e assintoticamente est´avel. (ii) Se a + b > 0 ent˜ao pelo Teorema γ ε ´e inst´avel.

        Observe que se a + b = 0 ent˜ao λ = λ = 0. Da´ı,

        1

        2

        λ λ = a(a + 2b) = 0

        1

        2 e isso n˜ao ocorre pois supomos a(a + 2b) < 0. \

        1 −2b − a

        2

        2 Observa¸c˜ ao 3.2.2 Note que z = (y + z) + x = ´e a interse¸c˜ao

        − 2 2a de um plano e um cilindro, o que nos d´a: ( )

        2

        1 −a − 2b

        2

      • x y =

        − 2 2a

        1 1 r −a − 2b que ´e a circunferˆencia de centro p = 0, e raio r = no plano z = .

        − 2 2a

        2

        ´

        

      3.3 Orbitas peri´ odicas em torno de pontos de equil´ıbrio

      n˜ ao triviais

        Considere os novos parˆametros:

        2

        

      2

        α = ε(2a ε ) e β = ε(1 − 1 + a − a) onde a

        ∈ R. Observemos que neste caso

        2

        2

        f ε (a) = (ε(2a ε ), ε(1 − 1 + a − a)). Vamos provar no pr´oximo teorema que o sistema

        com estes parˆametros admite uma ´orbita peri´odica.

        Teorema 3.3.1 Considere o sistema de R¨ossler:  −y − z, ˙x = ˙y = x,

        (3.12)

        2

        

      2

        ˙z = ε[(2a ε )y(1 − 1 + a − y) − (1 − a)z]

        1 satisfazendo a > . Ent˜ao, para ε suficientemente pequeno existe uma solu¸c˜ao peri´odica 2 n o n

        1

        2

        2

        γ ε de

        com per´ıodo T (ε) = 2π + O(ε) tal que γ ε z = x + (y + z) =

        → − ∩ o

        2

        1 1 quando ε ε ´e assintoticamente est´avel quando < a < 1

        → 0. Mais ainda, γ 2(2a

        2 − 1) e inst´avel quando a > 1.

        Demonstra¸c˜ ao: Os pontos cr´ıticos da equa¸c˜ao

        s˜ao:

        (x

        1 , y 1 , z 1 ) = (0, 0, 0),

        2

        2

        a(1 + aε ) a(1 + aε ) (x , y , z ) = 0, , .

        2

        2

        2

        −

        

      2

        2

        a(2 + aε ) a(2 + aε ) − 1 − 1

        1 Note que se a ent˜ao 2a 6= − 1 6= 0. Assim, para ε suficientemente pequeno:

        2

        2

        2

        2

        2a ε = a(2 + aε ) − 1 + a − 1 6= 0. Linearizando o sistema

        no ponto de equil´ıbrio

        2

        2

        a(1 + aε ) a(1 + aε ) (x

        2 , y 2 , z 2 ) = 0, ,

        −

        

      2

        2

        a(2 + aε ) a(2 + aε ) − 1 − 1 encontramos o seguinte polinˆomio caracter´ıstico:

        3

        2

        2

        3

        p(λ) = + (a ε ) −λ − 1)ελ − λ + (aε + a

        2

        2 = (aε + ελ + aε + 1).

        − λ)(λ Vamos transladar o ponto de equil´ıbrio (x , y , z ) `a origem:

        2

        2

        2    x = u,  a(1 + aε )

        2

        u = x , x = u + x ,  − x  

        2

        2

        y = v + ,

        2

        v = y , y = v + y , (3.13)

        2

        2

        − y ⇒ ⇒ a(2 + aε )    − 1 w = z z = w + z

        2

        2

        − z 

        2 a(1 + aε )  − z = w .

        2

        a(2 + aε ) − 1

        Ficamos com as equa¸c˜oes: ˙u = −v − w, ˙v = u,

        (3.14)

        2

        2

        2

        1

        2 w = ˙ a + 1)v + (1 a + 2a ].

        −ε[(ε − a)w + (ε − 1)v Fazendo a mudan¸ca de vari´aveis             X 1 0 0 u

        Y = 0 1 1 v (3.15) Z 0 0 1 w obtemos as equa¸c˜oes:

        ˙ X = −Y,

        2

        2

        2

        2

        2

        ˙ Y = X a + 1)(Y a + 2a ], − ε[(ε − Z) + (1 − a)Z + (ε − 1)(Y − Z)

        2

        2

        2

        2

        2

        ˙ Z = a + 1)(Y a + 2a ].

        −ε[(ε − Z) + (1 − a)Z + (ε − 1)(Y − Z) Note que:

        2

        2

        2

        1

        2

        (ε a + 1)(Y a + 2a − Z) + (1 − a)Z + (ε − 1)(Y − Z)

        2

        2

        2

        = Y + (2a + (( + O(ε ) − 1)Y −4a + 2)Y − a)Z + (2a − 1)Z

        2 2 = + Z(a + Z ).

        −[(1 − 2a)Y − 2aZ) + Y ((2a − 1)2Z − 1)] + O(ε Portanto,

        ˙ X = −Y,

        2

        ˙ Y = X + εf (X, Y, Z) + O(ε ), (3.16)

        2

        ˙ Z = εf (X, Y, Z) + O(ε ) onde:

        2

        f (X, Y, Z) = (1 + Z(a + (1 − 2a)Y − 2a)Z) + Y ((2a − 1)2Z − 1). Agora faremos a mudan¸ca de coordenadas cilindricas (X, Y, Z) −→ (θ, r, z) tal que:

        X = r cos θ, Y = r sen θ, Z = z.

        (θ, r, z) = sen θ g

        1

        (θ, r, z) + O(ε

        2

        ), dz dθ

        = εg

        3

        (θ, r, z) + O(ε

        2

        ) (3.19) com g

        1

        3

        a existˆencia da ´orbita peri´odica do sistema: dr dθ

        (θ, r, z), g

        3

        (θ, r, z) = a(z + a − 2az) + r sen θ[2z(2a − 1) − 1 + r sen θ(1 − 2a)] onde θ ´e a nova vari´avel independente. Vejamos que o sistema

        satisfaz as condi¸c˜oes

        dos Teoremas

        

        f (θ, r, z) = g

        1

        (θ, r, z) g

        3

        (θ, r, z) = sen θ[z(a + z

        = εg

        basta investigar

        (3.17) Seguindo o racioc´ınio an´alogo ao usado na demonstra¸c˜ao do Teorema

        ), ˙z = εg

        obtemos as

        equa¸c˜oes:

        ˙r = εg

        1

        (θ, r, z) + O(ε

        2

        ), ˙θ = 1 + εg

        

      2

        (θ, r, z) + O(ε

        2

        3 (θ, r, z) + O(ε

        Novamente, an´alogo ao que foi feito na demonstra¸c˜ao do Teorema

        2

        ) (3.18) onde g

        1 (θ, r, z) = sen θ g 3 (θ, r, z),

        g

        2

        (θ, r, z) = cos θ r g

        3

        (θ, r, z), g

        3 (θ, r, z) = a(z + a − 2az) + r sen θ[2z(2a − 1) − 1 + r sen θ(1 − 2a)].

        Observe que o sistema

         (da Redu¸c˜ao).

        − 2az) + r sen θ[2z(1 − 2a) − 1 + r sen θ(1 − 2a)]] z(a + z − 2az) + r sen θ[2z(1 − 2a) − 1 + r sen θ(1 − 2a)] est´a definida, ´e cont´ınua e limitada por uma constante que independe de ε, quando r e z s˜ao limitadas, assim como ∂f

        ∂(r, z) e ∂

        3

        3

        , z

        3

        (r

        tal que r > 0 ´e:

        ∈ R. Logo, o ´unico ponto cr´ıtico da equa¸c˜ao

        e r

        1 p2(2a − 1) ,

        2

        2 ⇔ 4a > 2 ⇔ 2(2a − 1) > 0. Portanto, r

        1

        2(2a − 1) > 0 pois: a >

        − 1) ! . Note que:

        1 2(2a

        1 p2(2a − 1) ,

        ) =

        1 2(2a

        3

        ∗

        1

        −

        2 − r a

        1

        )) = r a −

        ∗

        , z

        ) fica: J(f (r

        − 1) ! := (r

        ∗

        , z

        ∗

        A jacobiana de f (r

        ∗ ).

        , z

        ∗

        ) =

        , z

        2

        (r, z) =

        ε

         ˙r =

        (1 − 2a) + 2z(a + z − 2az)]. Da´ı, as equa¸c˜oes da m´edia ficam:

        2

        2 [r

        1

        2

        ˙z = ε

        2 r (2z(2a − 1) − 1), g

        1

        (r, z) =

        1

        . ´ E imediato que f (θ, r, z) ´e 2π- peri´odica na vari´avel θ. Calculando as m´edias, obtemos: g

        2

        f ∂(r, z)

        2 r (2z(2a − 1) − 1),

        2 [r

        3

        − 1 ,

        (r

        − 1) ! ,

        1 2(2a

        1 p2(2a − 1) ,

        −

        2 , z 2 ) =

        (r

        ) = 0, a 2a

        2

        1

        , z

        1

        (r , z ) = (0, 0), (r

        s˜ao:

        (3.20) Os pontos cr´ıticos da equa¸c˜ao

        (1 − 2a) + 2z(a + z − 2az)].

        2 a − 1 . Portanto,

        1

        1

        ∗ ∗ det(J(f (r , z ))) = a > 0, pois a > .

        −

        2

        2 Assim, do Teorema

         segue que existe

        α ε = {(r(θ, ε), z(θ, ε)) : 0 ≤ θ ≤ 2π} solu¸c˜ao 2π

        tal que:

        −peri´odica de

        ∗ ∗

        α ε , z ) quando ε → (r → 0. Portanto, pelo Teorema

        

      tem uma solu¸c˜ao

        (r(t, ε), θ(t, ε), z(t, ε)) tal que r(t + T (ε), ε) = r(t, ε), θ(t + T (ε), ε) = θ(t, ε) + 2π, z(t + T (ε), ε) = z(t, ε).

        Assim, como

        , segue que:

        X(t + T (ε), ε) = r(t + T (ε), ε) cos(θ(t + T (ε), ε)) = r(t, ε) cos(θ(t, ε) + 2π) = r(t, ε) cos(θ(t, ε)) = X(t, ε),

        Y (t + T (ε), ε) = r(t + T (ε), ε) sen (θ(t + T (ε), ε)) = r(t, ε) sen (θ(t, ε) + 2π) = r(t, ε) sen (θ(t, ε)) = Y (t, ε), Z(t + T (ε), ε) = z(t + T (ε), ε) = z(t, ε) = Z(t, ε).

        Portanto, a solu¸c˜ao (X(t, ε), Y (t, ε), Z(t, ε)) de

         (da Redu¸c˜ao) e da f´ormula de

        −peri´odica em t. Segue do Teorema Taylor em torno de ε = 0 que T (ε) = 2π + O(ε). E ainda,

        ∗

        2 2 ∗

        2

        (X(t, ε), Y (t, ε), Z(t, ε)) + Y = (r ) → {Z = z } ∩ {X } quando ε

        

      , obtemos que:

        → 0. Logo, voltando em (u(t, ε), v(t, ε), w(t, ε)) onde u(t, ε) = X(t, ε), v(t, ε) = Y (t, ε) − Z(t, ε) e w(t, ε) = Z(t, ε)

        ´e solu¸c˜ao T (ε)

        com T (ε) = 2π + O(ε) tal que

        −peri´odica de

        ∗

        2 2 ∗

        2

        (u(t, ε), v(t, ε), w(t, ε)) + (v + w) = (r ) → {w = z } ∩ {u } quando ε

        , obtemos que:

        → 0. Finalmente, voltando em γ ε = (x(t, ε), y(t, ε), z(t, ε)) onde x(t, ε) = u(t, ε),

        2

        a(1 + aε ) y(t, ε) = v(t, ε) + ,

        2

        a(2 + aε ) − 1

        2

        a(1 + aε ) z(t, ε) = w(t, ε) −

        2

        a(2 + aε ) − 1

        ´e solu¸c˜ao T (ε)

        com T (ε) = 2π + O(ε) tal que

        −peri´odica de ( ) \

        2

        a a a

        ∗ 2 ∗

        2

        γ z + + ε = z x y + z + = (r ) → −

        2a 2a 2a − 1 − 1 − 1 quando ε

        → 0. Isto ´e, \

        1

        1

        2

        2

        γ ε z = (y + z) + x = → − 2 2(2a

        − 1) quando ε → 0.

        ∗ ∗ Vamos encontrar os autovalores de J(f (r , z )).

        ∗ ∗

        p(λ) = det(J(f (r , z )) − λI)

        1

        2 = λ + (1 .

        − a)λ + a −

        2 Temos que: ( λ

        1 + λ

      2 = a

        − 1,

        1 λ λ = a > 0.

        1

      2 −

        2 (1) Se λ

        1 , λ 2 forem reais ent˜ao λ λ > 0 e λ tem o mesmo sinal.

        1

        2

        1

        2

        ⇒ λ

        1 (i) Se < a < 1 ent˜ao λ

        1 + λ

      2 < 0 e como λ

      1 e λ 2 tem o mesmo sinal, segue que

        2 λ < 0 e λ < 0. Pelo Teorema γ ε ´e assintoticamente est´avel.

        1

        2

        (ii) Se a > 1 ent˜ao λ + λ > 0 e como λ e λ tem o mesmo sinal, segue que λ > 0

        1

        2

        1

        2

        1

        e λ > 0. Pelo Teorema

      γ ´e inst´avel.

        2 ε

        Da f´ormula de Baskhara, temos:

        2

         a a − 1 + − 6ab + 3 λ = ,

        1

        2

        2  − 1 − − 6ab + 3 a a

        λ 2 = .

        2 (2) Se λ

        1 , λ 2 forem complexos ent˜ao

        a − 1 Re(λ ) = Re(λ ) = .

        1

        2

        2

        1 (i) Se < a < 1 ent˜ao pelo Teorema γ ε ´e assintoticamente est´avel.

        2 (ii) Se a > 1 ent˜ao pelo Teorema γ ´e inst´avel. ε

        Observe que: a = 1 + λ = 0

        

      1

        2

        ⇒ λ e por terem o mesmo sinal, segue que: λ

        1 = λ 2 = 0.

        1 Da´ı, a = o que ´e um absurdo.

        2

        1 Observa¸c˜ ao 3.3.2 Se a < no teorema acima, ter´ıamos apenas dois pontos cr´ıticos, a

        2 saber: (r , z ) e (r , z ) onde r = r = 0.

        1

        1

        1 \

        1

        1

        2

        2 Observa¸c˜ ao 3.3.3 Note que z = x + (y + z) = ´e a interse¸c˜ao

        − 2 2(2a − 1) de um plano e um cilindro, o que nos d´a: ( )

        

      2

        1

        1

        2

        x y = + − 2 2(2a

        − 1) s

        1

        1

        1 que ´e uma circunferˆencia de centro p = 0, e raio r = no plano z = . − 2 2(2a

        2 − 1)

        

      CAP´ITULO 4

      DIN ˆ AMICA DE UM SISTEMA

      HAMILTONIANO GAL ´ ACTICO

      4.1 O sistema hamiltoniano

        Aqui analizaremos as equa¸c˜oes hamiltonianas associadas ao hamiltoniano:

        1

        1

        2

        2

        2

        2

        4

        2

        2

        4 H = H(q , q , p , p ) = (p + p ) + (q + q ) + ε(aq + bq q + cq ) (4.1)

        1

        2

        1

        2

        1

        2

        1

        2

        1

        1

        2

        2

        2

        2 onde a, b e c s˜ao reais n˜ao nulos. Usando a Teoria da M´edia vamos demonstrar a existˆencia de duas fam´ılias de ´orbitas peri´odicas destas equa¸c˜oes hamiltonianas para ε > 0 sufici- entemente pequeno. Os resultados a seguir podem ser encontrados em

        . O sistema

        hamiltoniano ´e dado por: ∂H ∂H q ˙ = , ˙ q = ,  ∂p

        1

        

      2

      1 ∂p

        2  ∂H ∂H

        (4.2) p ˙ = , ˙ p = .

        1 − 2 −

        ∂q ∂q

        

      1

        2 Usando , obtemos:

        q ˙

        1 = p 1 ,

        q ˙ = p ,

        2

        2

        (4.3)

        3

        2

        p ˙ = + 2bq q ),  −q − ε(4aq

        1

        1

        1

        1

        2

        2

        3 p ˙ = q + 4cq ).

        2

        2

        2

        −q − ε(2bq

        1

        2 Como usualmente, o ponto denota a derivada com respeito a vari´avel independente t, q

        2

        2

        do tempo. Estudaremos as ´orbitas peri´odicas do sistema

        onde r = q + p e

        1

        1 q

        2

        2 ρ = q + p .

        2

      2 Um resultado bem conhecido ´e o seguinte:

        Lema 4.1.1 H ´e constante ao longo de cada solu¸c˜ao de Demonstra¸c˜ ao: Usando

        , temos:

        ∂H ∂H ∂H ∂H ∂H (q , q , p , p ) = q ˙ + q ˙ p ˙ p ˙ + +

        1

        2

        1

        2

        1

        2

        1

        2

        ∂t ∂q

        1 ∂q 2 ∂p 1 ∂p

        2

        =

        1 q ˙

        1 2 q ˙ 2 + ˙ q 1 p ˙ 1 + ˙ q 2 p ˙

        2

        − ˙p − ˙p = 0 para todo t

        ∈ R. Como a derivada de H ´e zero, segue que: H(q (t), q (t), p (t), p (t)) = H(q (0), q (0), p (0), p (0))

        1

        2

        1

        2

        1

        2

        1

        2 onde H(q (0), q (0), p (0), p (0)) ´e uma constante.

        1

        2

        1

      2 Defini¸c˜ ao 4.1.2 Dado h > 0, temos que o conjunto:

        4

        , q , p , p ) : H(q , q , p , p ) = h

        1

        2

        1

        

      2

        1

        2

        1

        2

        {(q ∈ R }

        4 ´e uma hipersuperf´ıcie de que ´e denominada superf´ıcie de energia h.

        R As solu¸c˜oes de

        ser˜ao indicadas por:

        (q (t, ε), q (t, ε), p (t, ε), p (t, ε))

        1

        2

        1

        2

        e ainda, q

        2

        2

        r(t, ε) = q (t, ε) + p (t, ε), q

        1

        1

        2

        2 ρ(t, ε) = q (t, ε) + p (t, ε).

        2

        2

        4.2 Caso 1: r 6= 0 e ρ 6= 0

        Primeiramente, vamos analisar o caso em que:

        2

        2

        q

        1 (0, ε) + p 1 (0, ε)

        6= 0,

        2

        2

        q (0, ε) + p (0, ε)

        2

        2 6= 0.

        Proposi¸c˜ ao 4.2.1 Para ε > 0 suficientemente pequeno e H = h > 0 o sistema hamilto- niano perturbado

        

      tem duas solu¸c˜oes peri´odicas, como se segue:

      r

        (6c − b)h

        (a) A primeira ´orbita de

        tem per´ıodo T (ε) = 2π + O(ε) e r(t, 0) =

        3a r − b + 3c

        (6a − b)h

        (6a − b), (6c − b), (3a − b + 3c) > 0, se b < 0 e ρ(t, 0) = quando (6a

        3a − b), (6c − b), (3a − b + 3c) < 0, se b > 0.

        − b + 3c r (2c − b)h

        (b) A segunda ´orbita de

        tem per´ıodo T (ε) = 2π + O(ε) e r(t, 0) = e

        a − b + c r (2a − b)h

        (2a − b), (2c − b), (a − b + c) < 0, se b < 0 ρ(t, 0) = quando

        (2a a − b), (2c − b), (a − b + c) > 0, se b > 0. − b + c Al´em disso, as ´orbitas s˜ao inst´aveis.

        Demonstra¸c˜ ao: A fim de preparar a aplica¸c˜ao do M´etodo da M´edia, faremos uma mu- dan¸ca para coordenadas polares convenientes. Considere: (q , q , p , p )

        1

        2

        1

        2

        −→ (r, θ, ρ, α) ∈

        R × R × R × R, dada por: q = r cos θ,

        1

        p

        1 = r sen θ,

        (4.4) q = ρ cos(θ + α),

        2

        p 2 = ρ sen (θ + α). Derivando e substituindo em , obtemos as seguintes equa¸c˜oes:

        2

        2

        2

        2

        ˙r = cos θ + bρ cos (θ + α)), −2εr cos θ sen θ(2ar

        

      2

        2

        2

        2

        ˙ρ = cos θ + 2cρ cos (θ + α)), −2ερ cos(θ + α) sen (θ + α)(br (4.5)

        2

        2

        2

        

      2

        2  ˙θ = −1 − 2ε cos θ(2ar cos θ + bρ cos (θ + α)),

        2

        4

        2

        2

        

      2

        2

        2

        4 ˙α = ε(4ar cos θ + 2b(ρ ) cos θ cos (θ + α) cos (θ + α)).

        − r − 4cρ Seja

        H(r, ρ, θ, α) = H(r cos θ, ρ cos(θ + α), r sen θ, ρ sen (θ + α)), assim:

        1

        2

        2

        2

        2

        2

        2

        2

        2

        (r sen θ + ρ sen (θ + α) + r cos θ + ρ cos (θ + α)) H(r, ρ, θ, α) =

        2

        4

        4

        2

        2

        

      2

        2

        4

        4

      • ε(ar cos θ + br cos θρ cos (θ + α) + cρ cos (θ + α))

        1

        2

        2

        4

        4

        2

        2

        2

        2

        4

        4 = (r + ρ ) + ε(ar cos θ + br cos θρ cos (θ + α) + cρ cos (θ + α)).

        2 Como para ε > 0 suficientemente pequeno temos que ˙θ < 0, o sistema

        est´a bem

        definido e est´a na forma do sistema

         (da Redu¸c˜ao). Seguindo

        o racioc´ınio an´alogo ao usado na demonstra¸c˜ao de Teorema

        obtemos que basta

        investigar a existˆencia da ´orbita peri´odica do sistema:

        ′

        2

        r = εg (θ, r, ρ, α) + O(ε ),

        1 ′

        2

        ρ = εg (θ, r, ρ, α) + O(ε ), (4.6)  ′

        2

        2

        α = εg

        3 (θ, r, ρ, α) + O(ε )

        onde:

        2

        2

        2

        2

        g (θ, r, ρ, α) = 2r cos θ sen θ(2ar cos θ + bρ cos (θ + α)),

        1

        2

        2

        2

        2

        g (θ, r, ρ, α) = 2ρ cos(θ + α) sen (θ + α)(br cos θ + 2cρ cos (θ + α)),

        2

        2

        4

        2

        

      2

        2

        2

        2

        4 g (θ, r, ρ, α) = cos θ + 2b(ρ ) cos θ cos (θ + α) cos (θ + α)].

        3

        −[4ar − r − 4cρ Seja

        H(θ, r, ρ, α) = H(θ, r, ρ, α), isto ´e,

        1

        2

        2

        4

        4

        2

        2

        2

        2

        4

        4 (r + ρ ) + ε(ar cos θ + br ρ cos θ cos (θ + α) + cρ cos (θ + α)).

        H(θ, r, ρ, α) =

        2 Vamos estudar o sistema diferencial

        .

        H = h > 0 (veja Lema Considere ( ) 1 9h 1 r 3h 0 < ε < min , , ,

        2M

        16 M

        8 √

        2h (4.7)

        < r , ≤ r

        1 ≤

        2  r 3h  < ρ 2h + 1. 1 √

        

      1

        ≤ ρ ≤

        2

        2 Defina: g : ( , ε ) , r ) , ρ )

        1

        1

        −ε × R × (r × (ρ × R −→ R tal que

        1

        2

        2

        g(ε, θ, r, ρ, α) = (r + ρ ) + εF (θ, r, ρ, α) − h

        2

        4

        4

        2

        2

        2

        2

        4

        4

        onde F (θ, r, ρ, α) = ar cos θ + br ρ cos θ cos (θ + α) + cρ cos (θ + α). Temos:

        1

        (1) g ∈ C

        (2) Pela defini¸c˜ao da F e por

        , temos:

        4

        2

        2

        4

        ρ |F (θ, r, ρ, α)| ≤ |ar | + |br | + |cρ |

        4

        2

        

      2

        4

        ≤ |a||r | + |b||r ||ρ | + |c||ρ | !

        4 !

        2

        √ √ 2h 2h

        2 (2h + 1) + := M.

      • 2

        ≤ |a| |b| |c|(2h + 1)

        2

      • ρ
      • ρ
      • ρ
      • ρ

      • ρ

        2

        1

        2

        2 (r

        1

        M ≤

        ) − h + ε

        2

        2

        2 (r

        1

        (5) Por outro lado, g(ε, θ, r, ρ, α) ≤

        .

        M > 0 por

        2 − ε

        1

        ≥

        ) − h + ε M.

        (6) Ent˜ao, como r

        1

        1

        −9h

        16

        4

        −3h

        M ≤

        ) − h + ε

        2

        2

        ≤ r 2h 4 e fazendo ρ =

        2 (r

        1

        g(ε, θ, r, ρ, α) ≤

        →ρ +

        2 , temos: lim inf ρ

        2 r 3h

        1

        − h − ε M

        1

        2 (2h + 1)

        2 (r

        2

        2 (r

        1

        M ≥

        ) − h − ε

        2

        2

        1

        M ≥

        ≥

        ) − h − |ε| |F (θ, r, ρ, α)|

        2

        2

        2 (r

        1

        (3) Pela defini¸c˜ao da g e por (2), temos: g(ε, θ, r, ρ, α) ≥

        2

        ) − h − ε

        M ≥

        1

        ) − h − ε

        1

        2

        2

        2 (r

        1

        g(ε, θ, r, ρ, α) ≥

        →ρ 1

        2h + 1, temos: lim sup ρ

        = √

        

      1

        (4) Ent˜ao, como r ≥ 0 e fazendo ρ

        ) − h − ε M.

        2

        2

        2 (r

      • ρ
      • ρ
      • ρ
      • 3h
      • ε M ≤
      • ε M < 0 por .

        16

        (7) Note que: ∂g ∂F (ε, θ, r, ρ, α) = ρ + ε (θ, r, ρ, α).

        ∂ρ ∂ρ ∂F

        2

        2

        2

        3

        4

        (θ, r, ρ, α) = 2br ρ cos θ cos (θ + α) + 4cρ cos (θ + α) ∂ρ

        ∂F √ √

        2

        3

        3 (θ, r, ρ, α) 2h + 1 + 4 2h + 1) := M .

        1

        ⇒ ≤ 2|b||r ||ρ| + 4|c||ρ | ≤ |b|h |c|( ∂ρ

        Da´ı, ∂g

        (ε, θ, r, ρ, α)

        1

        ≥ |ρ| − |ε|M ∂ρ

        ∂g (ε, θ, r, ρ, α) M > ρ M > 0, por .

        1

        1

        ⇒ ≥ ρ − ε − ε ∂ρ

        Isto ´e, ∂g

        (ε, θ, r, ρ, α) 6= 0. ∂ρ

        Portanto, por (4), (6) e (7) podemos aplicar o Teorema

         (Aplica¸c˜ao Impl´ıcita Glo-

        bal). Logo, existe ρ : ( ˜ , ε ) , r

        1 )

        −ε × R × (r × R −→ R

        1

        de classe C tal que g(ε, θ, r, ˜ ρ(ε, θ, r, α), α) = 0. Note que g ´e 2π −peri´odica em θ. Da´ı, como ˜ ρ(ε, θ, r, α) , ρ ) ´e o ´ unico tal que

        1

        ∈ (ρ g(ε, θ, r, ˜ ρ(ε, θ, r, α), α) = 0 e como g(ε, θ + 2π, r, ˜ ρ(ε, θ + 2π, r, α), α) = g(ε, θ, r, ˜ ρ(ε, θ + 2π, r, α), α) segue que:

        ρ(ε, θ + 2π, r, α) = ˜ ˜ ρ(ε, θ, r, α). (4.8) Portanto, ˜ ρ ´e 2π

        −peri´odica em θ. Da F´ormula de Taylor em torno de ε = 0, temos: ∂ ˜ ρ

        2 ρ(ε, θ, r, α) = ˜ ˜ ρ(0, θ, r, α) + ε (0, θ, r, α) + O(ε ).

        ∂ε Como

        1

        2

        2

        g(0, θ, r, ˜ ρ(0, θ, r, α), α) = (r + ˜ ρ(0, θ, r, α) ) − h = 0

        2 ent˜ao p

        2 ρ(0, θ, r, α) = ˜ 2h .

        − r Portanto, p

        2 ρ(ε, θ, r, α) = ˜ 2h + O(ε).

        − r

      • O(ε). (4.9) Agora vamos reescrever as equa¸c˜oes diferenciais r

        (θ + α) + (4br

        cos θ sen θ + 4bhr cos θ sen θ) cos

        2

        (θ + α) + 4ar

        3

        cos

        3

        θ sen θ, F

        12 (θ, r, α) = (

        −4cr

        2

        4

        2

        −2br

        − 4bh) cos

        2

        θ cos

        2

        (θ + α) − 4ar

        2

        cos

        4 θ.

        Agora vejamos que o sistema

        

        F (θ, r, α) = F

        11

        3

        11 (θ, r, α) = (

        12

        F

        (θ, r, α) est´a definida, ´e cont´ınua e limitada por uma constante que independe de ε, desde que r seja limitado, assim como

        Isto ´e, ρ = p 2h

        − r

        2

        ′

        e α

        ′

        de

        substituindo nelas a

        express˜ao

        e vamos expandir em Taylor com rela¸c˜ao `a ε. Obtemos o sistema diferen-

        cial: r

        ′

        = εF

        11

        (θ, r, α) + O(ε

        2

        ), α

        ′

        = εF

        12

        (θ, r, α) + O(ε

        2

        ) (4.10) onde:

      • 8ch) cos

        (θ, r, α) F

      2 F

        (r, α) =

      • 3

        2 (cos(2α) + 2)(bh

        fica:

        Considere: u(α) = sen (2α), v(α) = cos(2α). Assim,

        (4.11) Vamos fazer uma mudan¸ca de vari´aveis para encontrar os pontos cr´ıticos desse sistema.

        ) i .

        2

        − br

        1

        −

        ) −

        

      2

        2 c(2h − r

        2

        2 ar

        3

         ˙r = ε h

        2 br(2h − r

        1

        

      2

        ) i . Os pontos cr´ıticos deste sistema s˜ao:

        2

        − br

        2 (v(α) + 2)(bh

        1

        ) −

        2 c(2h − r

        ) cos α sen α i , ˙α = ε h

        2

        2 ar

        3

        −

        , ˙α = ε h

        ) u(α) 2 i

        2

        −

        2 br(2h − r

        2

        F

        ) cos α sen α, F

        2

        2 br (2h − r

        1

        dθ = −

        11

        2π

        (r, α) =

        1 2π Z

        11

        Calculando as m´edias: F

        . ´ E imediato que F (θ, r, α) ´e 2π −peri´odica na vari´avel θ.

        

      2

        ∂(r, α)

        ∂

        12

        1 2π Z 2π

        ∂F ∂(r, α) e

        1

        1

        ˙r = ε h

        Da´ı, as equa¸c˜oes da m´edia s˜ao dadas por:

        2 ).

        − br

        2 (cos(2α) + 2)(bh

        ) −

        F

        2

        2 c(2h − r

        2

        2 ar

        3

        −

        12 dθ =

      • 3
      • 3

        (1) (r , α ) onde r = 0 e α ´e o ´ unico tal que u(α ) = p3(b − 2c)(6c − b) b

        8

        − 2b b .

        (9) (r

        8

        , α

        8

        ) onde r

        = −

        7

        √ 2h e α

        8

        ´e o ´ unico tal que u(α

        8

        ) = − p3(6a − b)(b − 2a) b

        , v(α

        8

        ) = 6a

        p3(6a − b)(b − 2a) b , v(α

        − 2b b .

        7

        ) = p3(6a − b)(b − 2a) b

        , v(α

        6

        ) = 6a

        − 2b b .

        (8) (r

        , α

        7 ) =

        7

        ) onde r

        7

        = √

        2h e α

        7

        ´e o ´ unico tal que u(α

        ) = 6a

        (10) (r

        ´e o ´ unico tal que u(α

        2

        2

        ) onde r

        2

        = r (6c

        − b)h 3c

        − b + 3a e α

        ´e o ´ unico tal que u(α

        2

        2 ) = 0,

        v(α

        2

        ) = −1. Neste caso,

        α

        

      2

        = π

        , α

        (i) (r

        9

        9

        , α

        9

        ) onde r

        9

        = √

        2h e α

        ´e o ´ unico tal que u(α

        √ 2h. Restam os pontos cr´ıticos:

        9

        ) = − p3(6a − b)(b − 2a) b

        , v(α

        9

        ) = 6a

        − 2b b .

        N˜ao estamos interessados nos casos em que r ≤ 0 e ρ = 0, isto ´e, r =

        6

        6

        , v(α ) = 6c

        (4) (r

        3c − b + 3a e α

        2 ´e o ´ unico tal que

        u(α

        2

        ) = 0, v(α

        2 ) = −1.

        3

        2 , α 2 ) onde r 2 = r

        , α

        3

        ) onde r

        3

        = − r

        (6c − b)h

        3c − b + 3a e α

        (6c − b)h

        (3) (r

        ´e o ´ unico tal que u(α

        1

        − 2b b .

        (2) (r

        1

        , α

        1

        ) onde r

        = 0 e α

        − 2b b .

        1

        ´e o ´ unico tal que u(α

        1

        ) = − p3(b − 2c)(6c − b) b

        , v(α

        1

        ) = 6c

        

      3

        3

        √ 2h e α

        ) = 0, v(α

        5

        = − r (2c − b)h c

        − b + a e α

        5

        ´e o ´ unico tal que u(α

        5

        5 ) = 1.

        5

        (7) (r

        6

        , α

        6

        ) onde r

        6

        = −

        ) onde r

        , α

        ) = 0, v(α

        4

        3 ) = −1.

        (5) (r

        4

        , α

        4

        ) onde r

        = r (2c − b)h c

        5

        − b + a e α

        4

        ´e o ´ unico tal que u(α

        4

        ) = 0, v(α

        4 ) = 1.

        (6) (r

        2 .

        4 ) = 0,

        u(α r (2c − b)h

        (ii) (r , α ) onde r = e α ´e o ´ unico tal que

        4

        4

        4

        4 v(α ) = 1.

        c

        4

        − b + a Neste caso, α = 0.

        

      4

      A matriz jacobiana da F ´e dada por: cos α sen α

        2

        2

        2

        3

        b(6r (cos α α)b(r + 2hr) − 4h) − sen

        4 J(F (r, α)) =

        2 sen (2α)h(h ).

        −(3c − (2 + cos(2α))b + 3a)r − r Da´ı,

        (a)

        2

        (b − 6a)b(b − 6c)h det(J(F (r , α ))) = .

        2

        2

        2(3c − b + 3a)

        Portanto, segue do Teorema

         que quando

        (6a − b), (6c − b), (3a − b + 3c) > 0, se b < 0 (6a

        − b), (6c − b), (3a − b + 3c) < 0, se b > 0 existe γ = ε

        {(r(θ, ε), α(θ, ε))} solu¸c˜ao 2π

        tal que

        −peri´odica de γ ε , α )

        2

        2

        −→ (r quando ε −→ 0. Logo, q (r(θ, ε), ρ(θ, ε), α(θ, ε))

        

      2

        onde ρ(θ, ε) =: ˜ ρ(ε, θ, r, α) = 2h (θ, ε)+O(ε) ´e solu¸c˜ao 2π

        ,

        − r −peri´odica de

        , tal que p

        2

        (r(θ, ε), ρ(θ, ε), α(θ, ε)) r , 2h , α

        2

        2

        2

        → − r quando ε

        

        → 0. Logo, pelo Teorema tem uma solu¸c˜ao (r(t, ε), ρ(t, ε), θ(t, ε), α(t, ε)) (4.12) tal que r(t + T (ε), ε) = r(t, ε), ρ(t + T (ε), ε) = ρ(t, ε), θ(t + T (ε), ε) = θ(t, ε) + 2π, α(t + T (ε), ε) = α(t, ε). Como

        , segue que:

        q (t + T (ε), ε) = r(t + T (ε), ε) cos θ(t + T (ε), ε)

        1

        = r(t, ε) cos(θ(t, ε) + 2π) = r(t, ε) cos(θ(t, ε)) = q

        1 (t, ε),

        p

        1 (t + T (ε), ε) = r(t + T (ε), ε) sen θ(t + T (ε), ε)

        = r(t, ε) sen (θ(t, ε) + 2π) = r(t, ε) sen (θ(t, ε)) = p (t, ε),

        1

        q (t + T (ε), ε) = ρ(t + T (ε), ε) cos(θ(t + T (ε), ε) + α(t + T (ε), ε))

        2

        = ρ(t, ε) cos(θ(t, ε) + α(t, ε) + 2π) = ρ(t, ε) cos(θ(t, ε) + α(t, ε)) = q (t, ε),

        2

        p (t + T (ε), ε) = ρ(t + T (ε), ε) sen (θ(t + T (ε), ε) + α(t + T (ε), ε))

        2

        = ρ(t, ε) sen (θ(t, ε) + α(t, ε) + 2π) = ρ(t, ε) sen (θ(t, ε) + α(t, ε)) = p (t, ε).

        2 Portanto, a solu¸c˜ao

        (q

        1 (t, ε), p

      1 (t, ε), q

      2 (t, ε), p 2 (t, ε)) (4.13)

        de

         (da Redu¸c˜ao) e da f´ormula

        −peri´odica t. Segue do Teorema de Taylor que T (ε) = 2π + O(ε). Vamos encontrar os autovalores de J(F (r , α )).

        2

        2

        2

        

      3

        2

        2

        2

        ((6b + 6ab )h + λ ( − 36ab)c − b −6c + 2b − 6a) p(λ) =

        . −

        2(3c − b + 3a)

        Assim, s

        2  − 6a)b(6c − b)h (b λ = ,

        1  2(3c − b + 3a) p(λ) = 0

        ⇔ s

        2 (b  λ = . − 6a)b(6c − b)h

        2

        2(3c − b + 3a)

        Segue do Teorema

        ´e inst´avel.

        Note que: r r p (6c (6a

        − b)h

        2 − b)h r(t, 0) =: r = 2h = .

        2

        2

        ⇒ ρ(t, 0) =: − r 3c 3c

        − b + 3a − b + 3a (b)

        2

        3b(b − 2a)(2c − b)h det(J(F (r

        4 , α 4 ))) = .

        2(c − b + a)

        Portanto, segue do Teorema

         que quando

        (2a − b), (2c − b), (a − b + c) < 0, se b < 0 (2a

        − b), (2c − b), (a − b + c) > 0, se b > 0

        − b + a .

        2(c − b + a)

        − 12ab)c − 3b

        3

        2

        )h

        2

        2

        (2c − 2b + 2a)

        2(c − b + a) .

        Assim, p(λ) = 0 ⇔

        λ

        1 =

        − s −3b(b − 2a)(2c − b)h

        2

        , λ

        p(λ) = ((6b

        2

        = s −3b(b − 2a)(2c − b)h

        2

        2(c − b + a) .

        Segue do Teorema

        ´e inst´avel. Note que:

        r(t, 0) =: r

        4

        = r (2c − b)h c

        − b + a ⇒ ρ(t, 0) =: p

        2h − r

        4

        2

        = r (2a − b)h c

        2

        4 )).

        existe δ ε =

        , p 2h − r

        {(r(θ, ε), α(θ, ε))} solu¸c˜ao 2π −peri´odica de

        tal que

        δ ε −→ (r

        4 , α 4 )

        quando ε −→ 0. Logo,

        (r(θ, ε), ρ(θ, ε), α(θ, ε)) onde ρ(θ, ε) =: ˜ ρ(ε, θ, r, α) = q 2h − r

        2

        (θ, ε)+O(ε) ´e solu¸c˜ao 2π −peri´odica de

        ,

        por

        , tal que

        (r(θ, ε), ρ(θ, ε), α(θ, ε)) → r

        4

        4

        , α

        2

        , α

        4

        quando ε → 0. Logo, pelo Teorema

        

        tem uma solu¸c˜ao (r(t, ε), ρ(t, ε), θ(t, ε), α(t, ε)) (4.14) tal que r(t + T (ε), ε) = r(t, ε), ρ(t + T (ε), ε) = ρ(t, ε), θ(t + T (ε), ε) = θ(t, ε) + 2π, α(t + T (ε), ε) = α(t, ε).

        Pelo mesmo argumento usado no item (a), segue que a solu¸c˜ao (q

        1 (t, ε), p 1 (t, ε), q 2 (t, ε), p 2 (t, ε)) (4.15)

        de

        ´e T (ε)

        −peri´odica t. Segue do Teorema

         (da Redu¸c˜ao) e da f´ormula de Taylor que T (ε) = 2π + O(ε).

        Vamos encontrar os autovalores de J(F (r

        4

      • 6ab
      • λ

      4.3 Caso 2: r = 0

        2

        Agora, vamos analisar o caso em que: q

        2

        (0, ε)

      • p

        1

      • p
      • p

        C = ±

        ent˜ao

         q

        2 (t, ε) = C cn(T t, k),

        p

        2 (t, ε) =

        −CT dn(T t, k) sn(T t, k) com q

        2

        (0, ε) = C e p

        2

        (0, ε) = 0 ´e solu¸c˜ao T

        1

        (ε) −peri´odica do sistema

        onde:

        1

        tem

        2 √

        εc q −1 +

        √ 1 + 16εch, k = s

        −1 + √ 1 + 16εch

        2 + 8εc( −1 +

        √ 1 + 16εch) ,

        T = 4 √ 1 + 16εch, T

        1 (ε) = 2π + O(ε).

        (b) Se c < 0 em

        ent˜ao

         q

        2

        (t, ε) = C T sn(T t, k), p

        2 (t, ε) = C cn(T t, k) dn(T t, k)

        uma solu¸c˜ao peri´odica na superf´ıcie de energia em H = h > 0, como se segue: (a) Se c > 0 em

        2 .

        (4.16) Proposi¸c˜ ao 4.3.1 Para ε > 0 suficientemente pequeno o sistema perturbado

        1 (0, ε) = 0 e p 1 (0, ε) = 0.

        1

        = 0, q

        2

        (0, ε)

        2

        2

        (0, ε)

        2 6= 0.

        Note que: q

        1 (0, ε)

        2

        1 (0, ε)

        2

        = 0 ⇒ q

        Assim, da unicidade de solu¸c˜oes do p.v.i. segue que q

        (0, ε)

        1

        (t, ε) = 0 e p

        1 (t, ε) = 0.

        Logo, podemos reduzir

        ao sistema:

        ˙ q

        2

        = p

        2

        , ˙ p

        2

        = −q

        − ε4cq

        3

        

      2

        √ 1 + 16εch < 0.

        2

        (0, ε) = 0, p

        

      1

        (0, ε) = 0, q

        2

        (0, ε) = C, p

        2 (0, ε) = 0

        em

        obtemos:

        h =

        1

        2 C

        2

        4

        . (4.17) Fazendo x = C

        ficamos com a equa¸c˜ao: εcx

        (ε) = 2π + O(ε). Fazendo:  q

        ±

        1 4εc

        −

        1 4εc

        −

        √ 1 + 16εch. Como c > 0, ε > 0 e h > 0 segue que:

        1 4εc

        1 4εc

        2

        −

        2

        2

        1

        Assim, △ =

        2 x − h = 0.

        1

        1

        com q

        √ 1 + 16εch ,

        2

        (0, ε) = 0 e p

        2

        (0, ε) = C ´e solu¸c˜ao T

        1

        (ε) −peri´odica do sistema

        onde:

        C = ±

        √ 2h, k =

        1 −

        √ 1 + 16εch √

        −16εch ,

        T = s −8εch

        1 −

        T

        T

        2

        com

        (ε) −peri´odica do sistema

        1

        (0, ε) = 0 ´e solu¸c˜ao T

        2

        (0, ε) = C e p

        (t, ε) = −CT dn(T t, k) sn(T t, k) com q

        1 (ε) = 2π + O(ε).

        2

        (t, ε) = C cn(T t, k), p

        2

         q

         que:

        Demonstra¸c˜ ao: (a) Segue da Proposi¸c˜ao

      • εcC
      • 1
      • 4εch, x =
      • 1

        Portanto, x = −

        1

        (0, ε) = 0, p

        1 (0, ε) = 0,

        q

        2

        (0, ε) = 0, p

        2 (0, ε) = C

        em

        obtemos:

        h =

        2 C

        (ε) = 2π + O(ε). Fazendo:  q

        2

        ⇒ C = ± √

        2h. (4.18) Do item (a) da Proposi¸c˜ao

        obtemos:

        k =

        1 −

        √ 1 + 16εch √

        −16εch ,

        T = s −8εch

        1 −

        1

        1

        1 4εc

        √ 1 + 16εch 2 + 8εc(

        4εc √ 1 + 16εch.

        Logo, C =

        ±

        1

        2 √

        εc q −1 +

        √ 1 + 16εch. Do item (b) da Proposi¸c˜ao

        obtemos:

        k = s −1 +

        −1 + √ 1 + 16εch)

        T

        , T = 4 √ 1 + 16εch. (b) Segue da Proposi¸c˜ao

         que:

         q

        2

        (t, ε) = C T sn(T t, k), p

        2

        (t, ε) = C cn(T t, k) dn(T t, k) com q

        2 (0, ε) = 0 e p 2 (0, ε) = C ´e solu¸c˜ao T 1 (ε)

        −peri´odica do sistema

        com

        √ 1 + 16εch .

      4.4 Caso 3: ρ = 0

        2

        Agora, vamos analisar o caso em que: q

        2

        (0, ε)

      • p

        1

      • p
      • p

        C = ±

        ent˜ao

         q

        1

        (t, ε) = C cn(T t, k), p

        1 (t, ε) =

        −CT dn(T t, k) sn(T t, k) com q

        1

        (0, ε) = C e p

        1

        (0, ε) = 0 ´e solu¸c˜ao T

        1

        (ε) −peri´odica do sistema

        onde:

        1

        tem

        1 (ε) = 2π + O(ε).

        1 (t, ε) = C cn(T t, k) dn(T t, k)

        (t, ε) = C T sn(T t, k), p

        1

         q

        ent˜ao

        (b) Se a < 0 em

        T

        2 √

        T = 4 √ 1 + 16εah,

        √ 1 + 16εah) ,

        2 + 8εa( −1 +

        −1 + √ 1 + 16εah

        √ 1 + 16εah, k = s

        εa q −1 +

        uma solu¸c˜ao peri´odica na superf´ıcie de energia em H = h > 0, como se segue: (a) Se a > 0 em

        (4.19) Proposi¸c˜ ao 4.4.1 Para ε > 0 suficientemente pequeno o sistema perturbado

        (0, ε)

        2

        1

        6= 0, q

        2

        (0, ε)

        2

        2

        (0, ε)

        2 = 0.

        Note que: q

        2

        (0, ε)

        2

        2

        (0, ε)

        = 0 ⇒ q

        1 .

        2

        (0, ε) = 0 e p

        2 (0, ε) = 0.

        Assim, da unicidade de solu¸c˜oes do p.v.i. segue que q

        2 (t, ε) = 0 e p 2 (t, ε) = 0.

        Logo, podemos reduzir

        ao sistema:

        ˙ q

        1 = p 1 ,

        ˙ p

        1

        = −q

        

      1 com q (0, ε) = 0 e p (0, ε) = C ´e solu¸c˜ao T (ε)

        3

        − ε4aq

        onde:

        1

        1

        1

        −peri´odica do sistema √

        C = 2h, ±

        √ 1 1 + 16εah − k = ,

        √ s −16εah −8εah

        T = , √ 1 1 + 16εah

        − T 1 (ε) = 2π + O(ε).

        Demonstra¸c˜ ao: A demonstra¸c˜ao ´e exatamente a mesma dada na Proposi¸c˜ao

      4.5 Caso geral

        Teorema 4.5.1 Para ε > 0 suficientemente pequeno o sistema hamiltoniano perturbado

        

      tem quatro solu¸c˜oes peri´odicas na superf´ıcie de energia em H = h > 0, como se

        segue: r (6c

        − b)h (a) A primeira ´orbita de

        tem per´ıodo T 1 (ε) = 2π + O(ε) e r(t, 0) =

        3a r − b − 3c

        (6a − b)h

        (6a − b), (6c − b), (3a − b + 3c) > 0, se b < 0 e ρ(t, 0) = quando (6a

        3a − b), (6c − b), (3a − b + 3c) < 0, se b > 0.

        − b − 3c r (2c − b)h

        (b) A segunda ´orbita de

        tem per´ıodo T (ε) = 2π + O(ε) e r(t, 0) = e

        1

        a − b + c r (2a − b)h

        (2a − b), (2c − b), (a − b + c) < 0, se b < 0 ρ(t, 0) = quando

        (2a a − b), (2c − b), (a − b + c) > 0, se b > 0. − b + c

        (c) A terceira ´orbita de

        tem per´ıodo T (ε) = 2π + O(ε) e temos que r(t, 0) = 0 e

        1

        √ ρ(t, 0) = 2h.

        √ (d) A quarta ´orbita de

        tem per´ıodo T (ε) = 2π + O(ε) e temos r(t, 0) = 2h e

        1 ρ(t, 0) = 0.

        Demonstra¸c˜ ao: As demonstra¸c˜oes de (a) e (b) foram feitas no Caso 1.

        (c) Segue do Caso 2 a existˆencia da ´orbita peri´odica onde T (ε) = 2π + O(ε).

        1 Se c > 0, fazendo ε

      temos que:

        → 0, por √

        C 2h → ±

      • e ainda T .

        → 1 e k → 0 Se c < 0 por

        temos que:

        √ C = 2h

        ±

      • e fazendo ε .

        → 0 temos: T → 1 e k → 0 Logo, da Proposi¸c˜ao

         temos:

        √ √

        2

        

      2

        2

        2 ρ(t, ε) = pq (t, ε) + p (t, ε) 2h cos t + 2h sen t = 2h.

        2

        2

        →

        2

        2 Al´em disso, r(t, ε) = pq (t, ε) + p (t, ε)

        1

        1 → 0.

        (d) Segue do Caso 3 a existˆencia da ´orbita peri´odica onde T (ε) = 2π + O(ε).

        1 Se a > 0, fazendo ε

        → 0, temos que: √

        C 2h → ±

      • e ainda T .

        → 1 e k → 0

      • .
      • p

        2 → 0.

        Al´em disso, ρ(t, ε) = pq

        2

        (t, ε)

        2

        2

        (t, ε)

        Observa¸c˜ ao 4.5.2 Quando r = 0 ou ρ = 0 essa vers˜ao do Teorema da M´edia n˜ao ´e aplic´avel ao sistema

        2

        pois as m´edias ser˜ao zero, e principalmente porque estas

        condi¸c˜oes n˜ao nos permite voltar ao problema original nas vari´aveis p

        1 , p 2 , q 1 e q 2 . O re-

        sultado original do Teorema

        aplica a teoria para este caso e nesta disserta¸c˜ao

        contornamos essa situa¸c˜ao com as Proposi¸c˜oes

        t = √ 2h.

        t + 2h sen

        

        1

        Se a < 0 temos que: C =

        ± √

        2h e fazendo ε → 0 temos: T → 1 e k → 0

        Logo, da Proposi¸c˜ao

         temos:

        r(t, ε) = pq

        (t, ε)

        2

        2

        1

        (t, ε)

        

      2

        → √

        2h cos

      • p

        

      REFERˆ ENCIAS BIBLIOGR ´ AFICAS

      [1] Cronin, J. Ordinary Differential Equations: Introduction and Qualitative Theory.

        Third Edition. Chapman and Hall/CRC, 2008. [2] Davis, H. T. Introduction to Nonlinear Differential and Integral Equations. Dover, New York, 1962.

        [3] Garc´ıa, I. A.; Llibre, J.; Maza, S. Periodic orbits and their stability in the R¨ossler prototype-4 system. Physics Letters A 376 (2012) 2234 - 2237. [4] Hale, J. K. Ordinary Differential Equations. Krieger Publishing Company, 1980. [5] Hirsch, M. W.; Smale, S. Differential Equations, Dynamical Systems, and Linear Algebra. Academic Press, Inc. 1974. [6] Lacomba, A. E.; Llibre, J. Dynamics of a galactic Hamiltonian system. J. Math.

        Phys. 53, 072901 (2012). [7] Lima, E. L. Curso de An´alise, volume 2. 11 ed. Projeto Euclides. IMPA, 2014. [8] Lima, E. L. Elementos de Topologia Geral. Ao livro T´ecnico S. A. e Ed. da Univer- sidade de S˜ao Paulo, Rio de Janeiro, 1970.

        [9] Meyer, K. R. Jacobi Elliptic Functions from a Dynamical System Point of View. The American Mathematical Monthly, volume 108, No. 8 (2001) 729 - 737. [10] O’Malley Jr, R. E.; Williams, D. B. Deriving amplitude equations for weakly- nonlinear oscillators and their generalizations. Journal of Computational and Ap- plied Mathematics 190 (2006) 3 - 21. [11] Pontryagin, L. S. Ordinary Differential Equations. Elsevier Inc, 1962. [12] Verhulst, F. Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems. Second Edi- tion. Springer, 1996.

        [13] Zhang, W.; Sang Ge, S. A global Implicit Function Theorem without initial point and its applications to control of non-affine systems of high dimensions J. Math. Anal.

        Appl. 313 (2006) 251 - 261.

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