Tema 1 Zeros de fun¸

 0  0  17  2019-02-05 14:34:31 Report infringing document

  Conte´ udo

  1 Zeros de fun¸ c˜ oes de vari´ avel real 2 1.1 Introdu¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  2 1.2 Delimita¸c˜ao dos zeros de uma fun¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  3 1.2.1 M´etodos gr´afico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  3 1.2.2 M´etodo an´alitico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  4 1.3 Crit´erios de parada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  7 1.4 N´ umero de itera¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  7 1.5 M´etodo de Bissec¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  8 1.5.1 Algo´ritmo do M´etodo de Bissec¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  9

  1.6 M´etodo de Ponto Fixo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

  1.6.1 Algoritmo do m´etodo de Ponto Fixo . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

  1.7 M´etodo de Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

  1.8 M´etodo da Secante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

  1.9 M´etodo da Falsa Posi¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 Tema 1 Zeros de fun¸ c˜ oes de vari´ avel real

1.1 Introdu¸ c˜ ao

  Dada uma fun¸c˜ao real f definida e cont´ınua em um intervalo aberto I, chama-se de zero desta fun¸c˜ao em I, a todo x ∈ I, tal que f(x) = 0. Neste tema ser˜ao apresentados alguns processos iterativos para calcular de forma aproxi- mada os zeros reais de uma fun¸c˜ao real f dada. Por um processo iterativo entende-se um processo que calcula uma sequˆencia de aproxima¸c˜oes x 1 , x 2 , x 3 ,. . . da solu¸c˜ao desejada. O c´alculo de uma nova aproxima¸c˜ao ´e feito utilizando aproxima¸c˜oes anteriores. Dizemos que a sequˆencia x 1 , x 2 , x 3 n ,. . . converge para x, se dado ǫ > 0, ∃N ∈ N, tal que qualquer n x = x, o que tamb´em poder´a que seja n > N , |x − x| < ǫ. Neste caso tem-se que lim n n→∞ ser indicado por x

  → x. Nos processos iterativos que ser˜ao apresentados, a determina¸c˜ao dos zeros de uma fun¸c˜ao real de vari´avel real ser´a feita em duas etapas: Fase I: Isolar cada zero que se deseja determinar da fun¸c˜ao f em um intervalo [a, b], sendo que cada intervalo dever´a conter um e somente um zero da fun¸c˜ao f . Fase II:

  C´alculo dos zeros aproximados utilizando um m´etodo iterativo, com precis˜ao prefixada ou n˜ao.

  Exemplo Sejam dadas as fun¸c˜oes:

  a) f (x) = 3x − 4 2

  b) f (x) = x

  • 2x − 3

  c) f (x) = sin(x) − x x

  d) f (x) = xe − 2 Podemos sem grandes dificuldades determinar os zeros das fun¸c˜oes dos items a) e b).

  No caso da fun¸c˜ao do item a) temos um ´unico zero x = 4/3. Para a fun¸c˜ao do item

  b) podemos usar a f´ormula de Baskhara para encontrar as raizes x 1 = 1 e x 2 2 = −3 da equa¸c˜ao x

  • 2x − 3 = 0. Para a fun¸c˜ao do item c) o valor x = 0 ´e evidentemente um zero de f . Ser´a que n˜ao existe outro zero? No caso da fun¸c˜ao do item d) n˜ao ´e nada evidente que a fun¸c˜ao tenha algum zero e caso tenha qual seja seu valor. Assim o problemas de determina¸c˜ao de zeros de uma fun¸c˜ao envolvem obviamente as seguintes quest˜oes b´asicas:
    • A fun¸c˜ao tem algum zero?
    • Ele ´e ´unico?
    • Qual ´e seu valor ?

1.2 Delimita¸ c˜ ao dos zeros de uma fun¸ c˜ ao

  Dada uma func˜a ¸ o f : R → R delimitar ou isolar os zeros de f significa determinar intervalos (a, b) que contenham os zeros de f .

  Existem dois m´etodos para resolver este problema.

1.2.1 M´ etodos gr´ afico

  Como ja foi referido, determinar os zeros de f ´e equivalente a determinar as raizes da equa¸c˜ao f (x) = 0. Tendo como base esta observa¸c˜ao o m´etodo gr´afico consiste em:

  • Escrever f como a diferen¸ca de fun¸c˜oes g e h ou seja f = g − h onde possamos sem muito esfor¸co esbo¸car os gr´aficos das fun¸c˜oes g e h;
  • Usar f(x) = 0 ⇐⇒ g(x) = h(x);
  • Esbo¸car, da melhor maneira poss´ıvel, os gr´aficos de g e h e determinar por inspe¸c˜ao os intervalos onde est˜ao os pontos de intersec¸c˜ao de g(x) e h(x) ou seja os pontos x onde g(x) = h(x)

  Exemplo x

2

Delimitar os zeros da fun¸c˜ao f (x) = e + x x 2 x − 2. 2 x

  Solu¸ c˜ ao: + x . Assim temos g(x) = e e f (x) = 0 ⇐⇒ e − 2 = 0 ⇐⇒ e = 2 − x 2 (Figura abaixo). h(x) = 2 − x

  √ √ Conlus˜ ao: 1 1 2 2 zero de f : x zero de f : x 2). ∃x ∈ (− 2, 0) e ∃x ∈ (0,

  Exemplo Delimitar os zeros da fun¸c˜ao f (x) = ln(x) + x.

  Solu¸ c˜ ao: f (x) = 0 ⇐⇒ ln(x) + x = 0 ⇐⇒ ln(x) = −x (Figura abaixo).

  Conclus˜ao: ∃x zero de f: x ∈ (0, 1).

1.2.2 M´ etodo an´ alitico

  Este m´etodo ´e baseado no seguinte teorema Teorema 1.1

  (Teorema do Valor Interm´edio (TVI)). Seja f : R → R cont´ınua. Se existem a, b ∈ R: f(a)f(b) < 0, ent˜ao ∃ c ∈ (a, b) : f(c) = 0. Observa¸ c˜ ao: O TVI assegura que se f troca de sinal nos pontos a e b ent˜ao f tem pelo menos um zero entre estes pontos. ´ E claro que existe a possibilidade de que a fun¸c˜ao tenha mais do que um zero no intervalo.

  Exemplo 3 Isolar a fun¸c˜ao f : R → R, f(x) = x − x. } T V I

  • f(2) = 8 − 2 = 6 > 0 Solu¸ c˜ ao: =⇒ f tem um zero no intervalo (−2, 2).
  • f(−2) = −8 + 2 = −6 < 0 Na verdade f tem 3 zeros nesse intervalo x = −1, x = 0 e x = 1.

  Exemplo x Isolar f (x) = e − 2. Solu¸ c˜ ao: f (0) = −1 e f(1) = e − 2 > 0 =⇒ f(0)f(1) < 0 =⇒ ∃x zero de f tal que x ∈ (0, 1).

  Exemplo 2 x Ache intervalos contendo solu¸c˜oes da equa¸c˜ao 4x = 0.

  − e Solu¸ c˜ ao: 2 x ´e cont´ınua em R porque Df = R.

  • Continuidade: f(x) = 4x − e
  • Come¸cando aleatoriamente pelos valores mais f´aceis (mais pr´oximos de zero) tem-se:
  • 2 2 1 f (0) = 4 ∗ 0 − e = −1 < 0; f(1) = 4 ∗ 1 − e ≈ 1.28 > 0. Logo, h´a-de existir em

      [0,1] um valor c, tal que f (c) = 0, uma vez que f ´e cont´ınua em [0,1].

      Uma pergunta natural neste ponto ´e sobre a existˆencia ou n˜ao de outro zero neste inter- valo. O teorema a seguir nos ajuda a responder essa quest˜ao.

      Teorema 1.2 1 (Teorema de Rolle). Seja f : R → R cont´ınua em [a, b] e deriv´avel em 2 1 2 1 2 (a, b). Seja x , x ) = f (x , x ) tal que f (c) = 0.

      ∈ [a, b] tal que f(x ) = 0. Ent˜ao ∃c ∈ (x Exemplo Determine se o teorema de Rolle se aplica nas seguintes situa¸c˜oes. Se sim, dˆe um n´ umero c que satisfaz o teorema; e se n˜ao, mostre que tal n´ umero n˜ao existe.

      (a) f (x) = |x|, [a, b] = [−1, 1] Resolu¸ c˜ ao: • f(x) cont´ınua em R. Logo, f(x) ´e cont´ınua em [−1; 1] ⊂ R. + − e em R

    • f(x) ´e diferenci´avel em R . Logo, f (x) n˜ao ´e diferenci´avel em ]−1; 1[, uma vez que f (x) n˜ao ´e diferenci´avel para x = 0.
    • Dado que a diferenciabilidade ´e violada em ] − 1; 1[ como se mostra em ponto anterior, ent˜ao o teorema de Rolle n˜ao se aplica.

      (b) f (x) = |x|, [a, b] = [0, 1] Resolu¸ c˜ ao: • f(x) ´e cont´ınua em R. Logo, f(x) ´e cont´ınua em [0; 1] ⊂ R. + + − e em R

      .

    • f(x) ´e diferenci´avel em R . Logo, f (x) diferenci´avel em ]0; 1[⊂ R

      (c) =

    • Ent˜ao o teorema de Rolle aplica-se. Portanto, existe c ∈]0; 1[, tal que f f (1) − f(0)
    • (x) =

        = 1. Aplicando este resultado 1 em f (x) = |x| tem-se f 1 − 0 (c) = 1, significando isso que c pode ser qualquer valor do intervalo 1 =⇒ f

        ]0; 1[.

        O teorema afirma que entre dois zeros da fun¸c˜ao sempre existe um zero da derivada. Nas provas de unicidade usaremos o teorema de Rolle na sua forma contra-positiva. Contra-positiva do Teorema de Rolle Se f (x) 6= 0, ∀x ∈ (a, b) ent˜ao f(x) 6= f(z), ∀x, z ∈ (a, b) com x 6= z.

        Exemplo x Prove que f (x) = xe − 2 tem um ´unico zero no intervalo (0, 1). x ′ x Solu¸ c˜ ao: Temos que f (x) = xe (x) = e

        − 2 =⇒ f (1 − x) 6= 0, ∀x ∈ (0, 1). Isso prova que no intervalo (0, 1) existe um ´ unico zero de f .

        Exemplo x 2 Seja f (x) = e + x − 2. Determine um intervalo contendo um ´unico zero de f.

        Solu¸ c˜ ao: ′ x f (0) = 1 − 2 < 0; f(1) = e − 1 > 0 =⇒ ∃x zero de f: x ∈ (0, 1). f (x) = e + 2x > 0, ∀x ∈ (0, 1) =⇒ x ´e zero ´unico.

        1.3 Crit´ erios de parada Para que um processo tenha fim ´e necess´ario usar um dos processos a seguir indicados.

        Os primeiros trˆes s˜ao aplic´aveis para qualquer t´ecnica iterativa considerada neste tema. 1 n Escolhe-se uma tolerˆancia ǫ > 0 e cria-se uma sequˆencia x , . . . , x , de itera¸c˜oes, at´e uma das seguintes condi¸c˜oes ser satisfeita: n ) < ǫ

      • f(x n n−1
      • |x − x | < ǫ n n−1

        |x − x | n < ǫ, com x n 6= 0 •

        |x | b n n − a

      • n 6= 0.

        < ǫ, com a n

        a Infelizmente podem surgir dificuldades na utiliza¸c˜ao indiscriminada destes crit´erios de n n n−1 paragem. Por exemplo, h´a sequˆencias (x ) com propriedade de que x converge

        − x n para zero, enquanto que a pr´opria sequˆencia ´e divergente. ´ E tamb´em poss´ıvel f (x ) estar n perto de zero enquanto x difere significativamente de x. Sem conhecimentos adicionais sobre f ou x, a terceira inequa¸c˜ao ´e o melhor crit´erio de paragem aplic´avel, porque testa o erro relativo.

        No entanto, podem-se estabelecer outros crit´erios de parada.

        1.4 N´ umero de itera¸ c˜ oes Suponhamos que f ⊂ C[a, b] e f(a)f(b) < 0, isto ´e, f(a) e f(b) tˆem sinais contr´arios. n

        Qualquer dos m´etodos a seguir indicados gera uma sequˆencia (x ) que converge para a n n−1 b − a raiz x (ou zero de f ), com |x − x | ≤ n < ǫ, para n ≥ 1.

        2 Exemplo Determine o ´ umero de itera¸c˜oes necess´arias para alcan¸car uma aproxima¸c˜ao `a solu¸c˜ao de 4 uma equa¸c˜ao, que se encontra no intervalo [1, 2], com uma exactid˜ao at´e 10 . Solu¸ c˜ ao: Temos que a = 1 e b = 2. Daqui, n 4

        1

        4 2 − 1 n ⇐⇒ 2 − < 10 > 4 ⇐⇒ n > ≈ 13.3 =⇒ n = 14.

        2 10 log 2

      1.5 M´ etodo de Bissec¸ c˜ ao

        Este m´etodo ´e normalmente utilizado para diminuir o intervalo que cont´em o zero da fun¸c˜ao, para a aplica¸c˜ao de outro m´etodo, pois o esfor¸co computacional cresce demasi- adamente quando se aumenta a precis˜ao exigida. O processo consiste em dividir o intervalo que cont´em o zero ao meio e por aplica¸c˜ao do Teorema 1.1, aplicado aos subintervalos resultantes, determinar qual deles cont´em o zero. [ ] ]

        [ a + b a + b a, , , b

        2

        2 O processo ´e repetido para o novo subintervalo at´e que se obtenha uma precis˜ao prefixada. Desta forma, em cada itera¸c˜ao o zero da fun¸c˜ao ´e aproximado pelo ponto m´edio de cada subintervalo que a cont´em. O maior erro que se pode cometer na: b − a

      • 1a itera¸c˜ao (n = 1): ´e

        2 b − a

      • 2a itera¸c˜ao (n = 2): ´e
      • 2

          2 b − a

        • 3a itera¸c˜ao (n = 3): ´e
        • 3

            2 • . . . b − a

          • n itera¸c˜ao: ´e n

            2 Se o problema exige que o erro cometido seja inferior a um parˆametro e, determina-se a b − a quantidade n de itera¸c˜oes encontrando o maior inteiro que satisfaz a inequa¸c˜ao: n ≤ ǫ

            2 Exemplo √ 2 Determinar um valor aproximado para 3, com erro inferior a 10 . √ 2 Solu¸ c˜ ao: Determinar 3 ´e equivalente a obter o zero positivo da fun¸c˜ao f (x) = x 2

            − 3 com erro inferior a 10 .

            2

          • Determina¸c˜ao do intervalo de zero. f(x) = x − 3, f(1) = −2 e f(2) = 1 =⇒

            ∃x ∈ [1, 2] : f(x) = 0 f (x) = 2x 6= 0, ∀x ∈ (1, 2) =⇒ x ´e ´unico. n 2 ln(10) 2 − 1 − 2 2

            < 10 > 10 =

          • Calculo do n´umero de itera¸c˜oes. =⇒ 2 =⇒ n > n 2 ln(2) 6.64. Logo n = 7 ou seja devemos realizar 7 itera¸c˜oes.
          • Tabela de itera¸c˜oes. k k k k k+1 k+1

            a + b k a b x = f (x ) 2 0 1

            2 1.5 < 0 1 1.5 2 1.75 > 0 2 1.5 1.75 1.625 < 0 3 1.625 1.75 1.6875 < 0 4 1.6875 1.75 1.71875 < 0 5 1.71875 1.75 1.73438 > 0

            6 1.71875 1.73438 1.72657 < 0 7 1.72657 1.73438 1.73048 √ Resposta: 3 = 1.73048.

          1.5.1 Algo´ ritmo do M´ etodo de Bissec¸ c˜ ao

            Seja f (x) uma fun¸c˜ao cont´ınua em um intervalo [a, b], com f (a)f (b) < 0 e a raiz de f (x) isolada em [a, b].

          • Entrada. Pontos extremos a e b do intervalo; precis˜ao ou tolerˆancia e o n´umero m´aximo de itera¸c˜oes.
          • Sa´ıda. Solu¸c˜ao aproximada x ou mensagem de “solu¸c˜ao n˜ao encontrada” com a precis˜ao desejada no n´ umero m´aximo de itera¸c˜oes.

            REPITIR x = ( a+b ) / 2 SE f ( x ) f ( a ) <0: b = x

            SENAO a = x FIM−SE

            ENQUANTO ( | a−b|< p r e c i s ˜a o ) ou f ( x)=0

            Exemplo 5 Use o algoritmo da bissec¸c˜ao para achar a solu¸c˜ao correcta at´e 10 para o problema x − x e + 2

          • 2 cos(x) − 6 = 0 no intervalo 1 ≤ x ≤ 2. Solu¸ c˜ ao:
            • N´umero m´ınimo de itera¸c˜oes: 5 n
            • 5

              5 2 − 1 n ⇐⇒ 2 ⇐⇒ n > = 16.6 =⇒ n = 17. < 10 > 10 2 log 2

            • Tabela de itera¸c˜oes: k a k b k x k f (x k )

              1

              1

              2 1.5 < 0

              2

              1.5

              2 1.75 < 0 3 1, 75 2 1, 875 > 0 4 1, 75 1, 875 1, 8125 < 0

              5 1, 8125 1, 875 1, 84375 > 0 6 1, 8125 1, 84375 1, 828125 < 0 7 1, 828125 1, 84375 1, 835938 > 0 8 1, 828125 1, 835938 1, 832031 > 0 9 1, 828125 1, 832031 1, 830078 > 0 10 1, 828125 1, 830078 1, 829102 < 0

              11 1, 829102 1, 830078 1, 82959 > 0 12 1, 829102 1, 82959 1, 829346 < 0 13 1, 829346 1, 82959 1, 829468 > 0 14 1, 829346 1, 829468 1, 829407 > 0 15 1, 829346 1, 829407 1, 829376 < 0 16 1, 829376 1, 829407 1, 829391 > 0 17 1, 829376 1, 829391 1,829384 > 0 Solu¸ c˜ ao: x = 1, 829384 ´e a raiz procurada.

            1.6 M´ etodo de Ponto Fixo

              O m´etodo nesta sec¸c˜ao e a maioria dos restantes m´etodos deste tema baseiam-se na mu- dan¸ca da equa¸c˜ao f (x) = 0 para g(x) = x, equa¸c˜ao t´ıpica que fornece os pontos fixos de g(x). H´a muitas maneiras de realizar esta mudan¸ca. Um dos procedimentos consiste em definir g(x) como sendo x − f(x). Neste caso, x satisfaz f(x) = 0 se e s´o se g(x) = x.

              Consequentemente, se pode ser encontrado o m´etodo geral de resolu¸c˜ao de um problema na forma g(x) = x, ent˜ao uma solu¸c˜ao para f (x) = 0 pode ser obtida definindo-se a fun¸c˜ao g(x) = x − f(x).

              Defini¸ c˜ ao 1.1.

              Se g : [a, b] → R e g(x) = x para algum x ∈ [a, b], ent˜ao a fun¸c˜ao g diz-se ter o ponto fixo x em [a,b].

              Exemplo 2 Seja g(x) = x −2 = x. Os pontos fixos segundo se pode ver no gr´afico abaixo, s˜ao x = −1 e x = 2.

              Exemplo

            • g(x) = x ´e uma fun¸c˜ao constitu´ıda s´o de pontos fixos;
            • h(x) = x − sin(πx) tem ponto fixo no intervalo [0;1], e
            • 2 tem dois pontos fixos: (0,0) e (
            • i(x) = x Teorema 1.3.

              Se g ⊂ C[a, b] e g(x) ∈ [a, b], ∀x ∈ [a, b], ent˜ao g tem um ponto fixo em ′ ′

              [a, b]. Al´em disso, supondo que ∃g (x) ∈]a, b[ e |g (x)| ≤ k < 1, ∀x ∈ [a, b], ent˜ao g tem um ´ unico ponto fixo p em [a, b].

              Exemplo 2 x − 1

              Seja g(x) = , no intervalo [−1, 1]. Pelo teorema do valor extremo, o m´ınimo

              3

              1 . Analogamente, os m´aximos de g ocorrem absoluto de g ocorre em x = 0 e g(0) = −

              3 2x

              2 em x = ±1, com o valor g(±1) = 0. Por outro lado, |g (x)| = ≤ , ∀x ∈ (−1; 1).

              3

              3 Assim, g satisfaz a hip´otese do Teorema 1.3 e tem um ´ 2 unico ponto fixo em [−1, 1], que se p 2 − 1 pode achar resolvendo-se a equa¸c˜ao p = g(p) = , ou seja, p

              − 3p − 1 = 0.

              3 Para se aproximar o ponto fixo de uma fun¸c˜ao g, escolhe-se uma aproxima¸c˜ao inicial x e n n n−1 cria-se uma sequˆencia (p ): p = g(p ) para cada n ≥ 1. Se a sequˆencia converge para p e g ´e cont´ınua, ent˜ao p = lim p n = lim g(p n−1 ) = g(p), obtendo-se assim a solu¸c˜ao n→∞ n→∞ para x = g(x). O exemplo a seguir ilustra a necessidade de um procedimento que garanta a convergˆencia da fun¸c˜ao g para uma solu¸c˜ao de x = g(x), bem como a escolha de g de maneira a tornar essa convergˆencia o mais r´apida poss´ıvel. No entanto, a melhor maneira de escolher o g ´e usar a igualdade: f (x) . g(x) = x − f (x)

              Exemplo 3 2 A equa¸c˜ao x + 4x − 10 = 0 tem uma ´unica raiz em [1;2], que ´e p = 1, 36523. H´a muitas maneiras de alterar a mesma equa¸c˜ao para a forma x = g(x), por simples manipula¸c˜oes alg´ebricas: 1 3 2

            • 10
              • x = g (x) = x − x − 4x
              • 2 √ 10
              • x = g − 4x x
              • 3 1 √ 3
              • x = g 10 − x

              2 4 (x) =

              10

            • x = g 4 + x
            • 3 2 x + 4x 5 &minu
            • x = g (x) = x −
            • 2 3x + 8x

              1.6.1 Algoritmo do m´ etodo de Ponto Fixo

                Para achar uma solu¸c˜ao de p = g(p) dada uma aproxima¸c˜ao inicial p : Entrada Aproxima¸c˜ao inicial p ; tolerˆancia TOL (m´aximo n´ umero de itera¸c˜oes).

                Sa´ıda Solu¸c˜ao aproximada p ou mensagem de falha. p1=p0 REPITIR p0=p1 p1=g ( p0 )

                ENQUANTO | p1−p0|<TOL Exemplo 3 2 Determine o zero da equa¸c˜ao da x + 4x 5 − 10 = 0 no intervalo [1; 2], com erro inferior a 10 .

                3 2 3 2

                f (x) x + 4x x i + 4x i − 10 − 10

                Solu¸ c˜ ao: i i , isto ´e, g(x ) = x . 2 Obtemos g(x) = x− ′ = x− 2 − i f (x) 3x + 8x 3x i + 8x Pegando x = 0.5, obtemos: i x i g(x i ) i+1 i

                |x − x | 0.5 2.368421053 1 2.368421053 1.649408073 1.868421053

                2 1.649408073 1.397991494 0.71901298 3 1.397991494 1.365743858 0.251416579 4 1.365743858 1.365230143 0.032247636 5 1.365230143 1.365230013 0.000513715 6 1.365230013 1.365230013 0.00000013

                Conclus˜ ao: x = 1.365230013.

              1.7 M´ etodo de Newton

                Um m´etodo muito popular e eficiente para o c´alculo de zeros de fun¸c˜oes ´e o chamado m´ etodo de Newton . Ele ´e um m´etodo de aproxima¸c˜oes sucessivas mas com uma ordem de convergˆencia muito melhor que o m´etodo da bisse¸c˜ao. A sequˆencia de aproxima¸c˜oes no m´etodo de Newton ´e: x n = 0 x n = n−1 n−1 f (x ) x

                − ′ n ≥ 1 n−1 f (x ) Exemplo x

                Seja f (x) = xe − 1. f (0)f (1) < 0 =⇒ ∃x ∈ (0, 1) : f(x) = 0. ′ x f (x) = e (1 + x). Daqui, n−1 e x n−1 2 x n−1 x e n−1

                1 − x n n−1 − 1 x = x = − x x n−1 n−1 n−1 n−1 e (1 + x ) e (1 + x ) Algumas itera¸c˜oes usando o M´etodo de Newton figuram na tabela baixo: n x n |x n+1 − x n | 0 1(arbitr´ario)

                1 0.683939721 0.316060279 2 0.577454477 0.106485243 3 0.567229738 0.010224739 4 0.567143297 0.000086441 5 0.567143290 0.000000006

              1.8 M´ etodo da Secante

                O m´etodo da secante consiste em usar uma aproxima¸c˜ao para a derivada da fun¸c˜ao no m´etodo de Newton. No entanto, precisamos de dois valores iniciais x e x 1 : x n = x , x 1 arbitr´arios x n−1 − f (x n−1 )(x n−1

                − x n−2 ) f (x n−1

                ) − f(x n−2 ) paran ≥ 2

                Exemplo Seja f (x) = e 2x

                − 1 e x − 1

                − 3. Determine uma aproxima¸c˜ao para o zero de f usando o m´etodo da secante e calculando as itera¸c˜oes at´e que |x n+1 − x n | < 10 3 .

                Solu¸ c˜ ao: n x n |x n+1 − x n | x = 1

                1 x 1 = 3 2 0.917283206 2.082716794 3 0.857764050 0.059519156 4 0.710454815 0.147309235 5 0.694528899 0.015925917 6 0.693159100 0.001369798 7 0.693147189 0.000011912

              1.9 M´ etodo da Falsa Posi¸ c˜ ao

                O m´etodo de posi¸c˜ao falsa (tamb´em chamado m´etodo Regula Falsi) gera aproxima¸c˜oes da mesma maneira que o m´etodo se secantes, mas fornece um teste em cada itera¸c˜ao para garantir que a raiz est´a cercada. Embora n˜ao seja um m´etodo propriamente recomend´avel, ilustra a maneira como o cerco da raiz pode ser incorporado. 1 1 1 Escolhem-se duas aproxima¸c˜oes iniciais x e x , com f (x )f (x ) < 0, isto ´e f (x ) e f (x ) de sinais contr´arios. A aproxima¸c˜ao x 2 ´e escolhida da mesma maneira que no m´etodo de secantes, como sendo o ponto de intersec¸c˜ao do eixo dos X com a recta que une os 1 1 pontos (x , f (x )) e (x , f (x )). Para se decidir qual ´e a linha secante que se deve usar para determinar x 2 3 , verificamos se f (x 3 2 ) e f (x 1 ) tˆem sinais contr´arios. Se sim, ent˜ao x 1 e x cercam a raiz e escolhemos x como sendo o ponto de intersec¸c˜ao do eixo dos X 1 1 2 2 com a secante que passa pelos pontos (x , f (x )) e (x , f (x )). Se n˜ao, ent˜ao fazemos o mesmo mas com o par x e x 2 . Assim se procede para a determina¸c˜ao de todos os valores seguintes, at´e se satisfazer o crit´erio de paragem.

                Esta t´ecnica encontra-se resumida no algoritmo abaixo: 1 x , x arbitr´arios x n = n−2 n−2 n−1 (1.1) f (x )(x ) n−2 − x x

                − paran ≥ 2 n−2 n−1 f (x ) ) − f(x 1 Para achar uma solu¸c˜ao de x = g(x) dada fun¸c˜ao f cont´ınua no intervalo [x , x ], onde 1 f (x ) e f (x ) tˆem sinais contr´arios:

                Entrada Aproxima¸c˜oes iniciais x e x 1 ; tolerˆancia TOL (m´aximo n´ umero de itera¸c˜oes N0). Sa´ıda Solu¸c˜ao aproximada x ou mensagem de falha. y0=f(x0) y1=f(x1) REPITA x=x0-f(x0)*(x0-x1)/(f(x0)-f(x1))

                SE f(x)*f(x0)<0 x1=x SENAO x0=x FIM-SE

                ENQUANTO |f(x)|<TOL Exemplo

                2 1 3 Seja f (x) = x = 3 e x = 2. Achar x usando o m´etodo de Falsa Posi¸c˜ao.

                − 6, x Solu¸ c˜ ao: Usando a equa¸c˜ao ??, obtemos: f (x )(x 1 ) f (x 1 )(x 1 2 )

                − x − x x 2 = x e x 3 = x 1 − − 1 1 2 f (x ) f (x )

                ) − f(x ) − f(x Assim, 2 f (3) · (3 − 2) −2 · (2 − 2.4) 3 x = 2.4, x = 2.454545455. = 3 − = 2 − f (3) − f(2) −2 − (−0.24)

                Referˆ encias 1. Gerald, C. F.; Wheatley, P. O. (1994). Applied Numerical Analysis. 5th Edition.

                Addison-Wesley Publishing Company.

                2. Freitas, S. R. de (2000). M´etodos Num´ericos. Departamento de Computa¸c˜ao e Estat´stica, Universidade Federal de Mato Grosso do Sul.

Documento informativo
RECENT ACTIVITIES
Autor
Tags

Tema 1 Zeros de fun¸

Livre

Feedback