Conjuntos Parcialmente Hiperbólicos com Volume Positivo.

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  Universid ade Federal d a Bahia Instituto de Ma temá ti a Curso de Pós-gradua çã o em Ma temá ti a Disser t a çã o de Mestrado

  Conjuntos P ar ialmente Hiperbóli os om V olume Positiv o Y uri Ki

  Salv ador/Bahia junho 2007 Conjuntos P ar ialmente Hiperbóli os om V olume Positiv o Y uri Ki Graduação em Matemáti a da olegiado do urso de P ós- Dissertação apresen tada ao obtenção do Título de Mestre omo requisito par ial para Univ ersidade F ederal da Bahia, em Matemáti a.

  Ban a examinadora: Prof. Dr. Vilton Jeo v an Viana Pinheiro (Orien tador) Prof. Dr. Augusto Armando de Castro Júnior Prof. Dr. Vítor Domingos Martins de Araújo

  Y uri Ki. Salv ador-Ba, 2007. Ki, Yuri. Conjuntos P ar ialmente Hiperbóli os om V olume Positiv o / máti a da UFBA, Dissertação de Mestrado apresen tada ao urso de P ós-graduação em Mate- Orien tador: Dr. Vilton Jeo v an Viana Pinheiro (UFBA). 57 páginas. b óli os, F erraduras. P ala vras-Cha v e: Conjun tos Hip erb óli os, Conjun tos P ar ialmen te Hip er-

  A meus p ais (Ap á e Omma) e à Hanna. Agrade imen tos derem a minha ausên ia de tan tos jan tares de família; e minha irmã, Hanna, p ela força terem se dedi ado to da a vida p elas suas lhas, p ela edu ação que tiv e e p or ompreen- As p essoas mais imp ortan tes da minha vida: meu pai, Jung; minha mãe, Ana, p or Gabi, Y umi, Pula, Elisa Chang, Eliza Saito, Nelly , Flá via, Pris illa, Mariane, Ana T omi, de to dos os dias e noites. Amo v o ês de to do meu oração! A os amigos: Ar hibald, sem o seu in en tiv o não estaria aqui; as amigas band: Carol, me deixou dormir no arro!; Renato, p ela pa iên ia e p elo arinho que tev e omigo e p or minha amiga do oração; P aula Diniz; T eo; Daniel, que v eio omigo para Salv ador e não Catarina, Vivian, Marina, que me a judaram nas melhores e piores horas; Léa Géjer, quero te agrade er p or tudo que passamos e viv emos! me in en tiv ar a fazer to das a as lou uras que surgiam... ap esar de nossas desen on tros, A os no v os amigos de Salv ador: Edson L. Nas imen to, que me emprestou aquela mesa do futuro; Oriv Sura, Iv an, Bia, Lage, Lívia, Arilson, Helder, Dani, Almeidão, Grazieno, Jailson, Charles, Alex, Krishnam urti, Ianei, Lu as, Kelly , Lorena, Op engl, P ablo, Vi en te, Ra nha, p ela a, p ela grande pa iên ia e sensatez; galera da omputação, Beto, Gil lé io, Rosane, Abílio, Rolando, Ariane, Ja son, Marilu e, Josaphat, Ella, Silvia; a Tharita, p ela a juda de to das as horas; Larissa(prima); a v elha geração do mestrado: bagunça e animação; Vi tor RS; T ertuliano, p ela hosp edagem no Rio; A driano Cattai, P aulo Nas imen to e Keu, que me ensinaram (e tam b ém a to dos os outros mestrandos) expli açõ es dos teoremas e tam b ém p elos momen tos extra- urri ulares; P edro; no v a geração: Ri ardo, Lu iana, Tiago, Ednaldo; Carla Lop es e Gabriela, p or to das as D. Ana; minha passagem no mestrado nestes a es rev er esta dissertação no latex. E a to dos que, de alguma forma, on tribuíram na A os afarinhados da turma de 2005: Bárbara, Elias, Eliseu, Jarbas, Kleyb er, Mariana 2 anos. ap enas amigos da turma, foram irmãos de to das as horas! Obrigada!! e Ri ardo. Com erteza, sem v o ês meus sábados não seriam os mesmos!! Não foram

  ap oio nas di uldades do p ensionato e fora dele e tam b ém p elos domingos de família formas duran te to dos os dias desses As irmãzinhas: Alana, Hortên ia, Letí ia e Marúzia... que me a judaram de to das as 2 anos! Minha enorme gratidão a ada uma, p elo es utada. A v o ês, meu arinho eterno! que passamos. Um m uito Obrigado p elas risadas e gargalhadas que o quarteirão to do A o Amadeu! A p essoa mais ompanheira que eu já onhe i, meu arinho e meu tornar essa p essoa tão esp e ial na minha vida! sorte ! Quero te agrade er p or to dos os min utos que estiv emos jun tos! Obrigada p or se resp eito! É difí il imaginar minha vida sem v o ê... meus dias seriam o a aso e não temáti a da UFBa, em esp e ial, Dona Zezé, Tânia Spínola, Jomário e Alan. A os professores do Instituto de Matemáti a da UFBa: Enaldo Silv a Gostaria tam b ém de agrade er a to dos os olegas e fun ionários do Instituto de Ma- V ergasta, Ed- son Alb erto Coa yla T eran, José Nelson F ernandes, Sam uel Gomes da Silv A os professores José F erreira Alv es, da Univ ersidade do P orto e P aulo Ru no, da a. B. Barb osa, Joseph Y artey , Mar o An t nio N. Barru , p ela dedi ação das aulas de Cál ulo e p ela enorme on ança; Eduardo Colli, p ela Univ ersidade de Campinas. A os professores do Instituto de Matemáti a e Estatísti a da Usp: Maria Cristina Bahia, e Vítor Domingos Martins de Araújo, da Univ ersidade F ederal do Rio de Janeiro, op ortunidade da Matemate a; Nílson Ma hado. A os professores: Augusto Armando de Castro Júnior, da Univ ersidade F ederal da om tan to uidado e p elas sugestõ es e orreçõ es da mesma. que se disp onibilizaram para omp or a ban a examinadora, v eri aram esta dissertação Um agrade imen to mais do esp e ial ao Prof Vílton Jeo v an Viana Pinheiro, da Uni- o e p elo tema es olhido para esta dissertação. Muito Obrigada! v ersidade F ederal da Bahia, p ela orien tação, p ela a juda, p ela força, p or to das as quartas À Cap es, p elo ap oio nan eiro.

  Resumo No on texto de apli açõ es , obtemos resultados na estrutura top ológi a de on- 1+α a ondição não uniformemen te expansora, em uma v ariedade ompa ta riemanniana. Em jun tos par ialmen te hip erb óli os, om on tração na direção en tro-está v el e que satisfazem C b óli as om v olume p ositiv o para difeomor smos uja diferen iabilidade é maior que um. parti ular, temos omo onseqüên ia, a não existên ia de ferraduras par ialmen te hip er-

  Abstra t expanding along the en tre-unstable dire tion, in a ompa t riemannian manifold in the form on tra tion in the stable dire tion and that satis es the ondition of non-uniformly In this w ork, w e study the top ologi al stru ture of partially h yp erb oli sets, with uni- on text of appli ations . In parti ular, w e ha v e as onsequen e, the non existen e of 1+α abilit y is bigger than one. horsesho e partially h yp erb oli with p ositiv e v olume for di eomorphisms whose di eren ti- C

  Sumário Resumo Abstra t vii viii

  Lista de Figuras In tro dução x 1

  1 Apresen tação dos Resultados 3 1.1 Conjun to P ar ialmen te Hip erb óli o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Conjun to Hip erb óli o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

  2 Con trole Hölder 10 3 T emp o Hip erb óli o e Distorção Limitada 14

  4 Demonstração dos T eoremas 21 4.1 Demonstração do T eorema Prin ipal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.2 Demonstração do T eorema A . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.3 Demonstração do T eorema C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5 Existên ia de p on tos p erió di os hip erb óli os 37

  6 Conjun tos Hip erb óli os om V olume P ositiv o 44 6.1 Conjun to Hip erb óli o T ransitiv o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 6.2 Conjun to Hip erb óli o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 A Ap êndi e 51

  B.1 De niçõ es e T eoremas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 B.2 Apli ação Exp onen ial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 B.3 Medida e In tegração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Lista de Figuras 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 3.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 4.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 5.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 B.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

  In tro dução Na dé ada de , Smale des rev eu o omp ortamen to dinâmi o na vizinhança de uma iter atus = r ep etir b óli a. Um onjun to ompa to in v arian te é hip erb óli o se existe uma de omp osição do órbita de um p on to homo líni o (ferradura de Smale), dando origem a dinâmi a hip er-

  60 ara terísti as pre isas, ela exige propriedades m uito rígidas, ex luindo m uitas dinâmi as pande sob a ação da deriv ada da apli ação. Ap esar de a hip erb oli idade nos forne er brado tangen te em dois sub brados in v arian tes, onde um deles on trai e o outro ex- brado tangen te em dois sub brados in v arian tes, onde um deles tem um omp ortamen to par ialmen te hip erb óli os. Conjun tos ompa tos in v arian tes om uma de omp osição do tam b ém imp ortan tes. Isto motiv ou, na última dé ada, o estudo da dinâmi a de onjun tos hip erb óli os. Neste trabalho, apresen tamos uma des rição do omp ortamen to de onjun- on trativ o em uma direção e o outro sendo dominado p or ele são hamados par ialmen te tos par ialmen te hip erb óli os om v olume p ositiv o, baseado no artigo [1℄. onseqüên ia do orolário B é a não existên ia de ferraduras par ialmen te hip erb óli as de No apítulo 1, apresen tamos os prin ipais resultados do trabalho. Em parti ular, uma v olume p ositiv o para difeomor smos , generalizando o resultado do Bo w en [5℄ para 1+α C difeomor smos .

  1 a de omp osição dominada. Mostramos tam b ém que os brados tangen tes são Hölder No apítulo 2, de nimos o amp o de ones e suas ara terísti as rela ionadas om C os p on tos, momen tos onde a apli ação tem um omp ortamen to uniformemen te expansor. on tín uos. No apítulo 3, v eremos que o temp o hip erb óli o nos p ermite obter, para quase to dos No apítulo 4, demonstramos o teorema 4.1:

  Seja um difeomor smo e seja um onjun to om- 1+α pa to p ositiv amen te in v arian te om uma de omp osição on tín ua do brado f : M → M C K ⊂ M T tangen te restrito a , , dominada em . Su- cs cu n

  K T M = E ⊕ E Λ = f (K) K p onha que existe um dis o tangen te ao amp o de one en tro instá v el om n≥0 Leb , tal que satisfaz a ondição , para to do .

  (∆ ∩ K) > 0 NUE x ∈ ∆ ∩ K En tão on tém algum dis o instá v el lo al.E a partir dele, deduzimos os teoremas Λ A, B, C e D, en un iados no apítulo 1. par ialmen te hip erb óli o. Pro v amos tam b ém que em , os onjun tos -limite estão No apítulo 5, mostramos a existên ia de p on tos p erió di os hip erb óli os no onjun to instá v el desses p on tos p erió di os são atratores. on tidos no fe ho da v ariedade instá v el desses p on tos p erió di os, ou seja, a v ariedade Λ Λ ω do resultado lássi o do Bo w en, aqui não há a ne essidade de sup or que temos uma hip erb óli o transitiv o de v olume p ositiv o, ou seja, que o onjun to é Anoso v, diferen te No último apítulo, pro v aremos que não existe sub onjun to próprio de um onjun to p ositiv o, en tão ele ne essariamen te atrai uma vizinhança dele mesmo , omo esparado, (teorema p eça bási a. Mostraremos tam b ém que se este onjun to atrai um onjun to de v olume F). Resultados similares para onjun tos hip erb óli os om in terior não v azio m, pro v amos uma v ersão do T eorema da De omp osição Esp e tral para difeomor smos p elo fato do onjun to hip erb óli o estar on tido no onjun to não erran te, v eja [3℄. E p or p o dem ser en on trados em [6℄. A hip ótese do onjun to ser transitiv o p o de ser substituída

  1+α .

  C

  Capítulo 1 Apresen tação dos Resultados Seja uma v ariedade onexa ompa ta riemanniana. Seja Leb uma forma de v olume sobre induzida p ela métri a riemanniana. Considere a apli ação , um M

  M f : M → M difeomor smo de lasse om deriv ada Hölder. Dizemos que a apli ação é de lasse

  1 C α - 1+α , onde .

  C α ∈ (0, 1) Como é um difeomor smo, segue a seguin te de nição: f 1.1 Definiçã o. Um onjunto é in v arian te se p ar a to do e m K ⊂ M f (K) = K m ∈

  Z é p ositiv amen te in v arian te se p ar a to do . m f (K) ⊆ K m ∈ N

  1.1 Conjun to P ar ialmen te Hip erb óli o Seja um onjun to ompa to p ositiv amen te in v arian te. Considere K

  \ n Λ = f (K). Dizemos que é um onjun to par ialmen te hip erb óli o de se: n≥0 (i) existe uma de omp osição on tín ua do brado tangen te da v ariedade restrito a Λ f

  M , , tal que a de omp osição é in v arian te sobre , isto é, cs cu K T M = E ⊕ E Df Λ

  K cs cs cu cu e ; Df (E ) = E Df (E ) = E (ii) existe uma onstan te tal que, para alguma es olha da métri a riemanianna x f (x) x f (x) 0 < λ < 1

  E cu é uniformemen te expansor na direção en tro-instá v el. V eja em [7℄.

  << 1 . Dizemos que na direção está v el temos on tração uniforme. V amos trabalhar om 0 < λ < 1 , tal que:

  > 1 , laro que λ s

  λ u

  = λ < 1 ;

  λ s

  > 1 , en tão λ u

  >> 1 . Dizemos que na direção instá v el temos expansão uniforme;

  λ u

  < 1 , en tão λ s

  cs é uniformemen te on trativ o: kDf |E cs x k ≤ λ, ∀ x ∈ Λ ;

  λ s

  cu é dominada p or E cs : kDf |E cs x k · kDf

  −1 |E cu f (x) k ≤ λ, ∀ x ∈ Λ . 1.2 Definiçã o. Dizemos que a apli ação f é não uniformemen te expansora ( NUE ) ao longo da dir e ção entr o-instável em

  K , se existe uma onstante c > 0 tal que p ar a L eb esgue quase to do x ∈ K : lim inf n→+∞

  1 n n

  X j=1 lo g kDf

  −1 |E cu f

  j

  (x) k < −c. A ondição NUE nos diz que a deriv ada tem em média um omp ortamen te expansor na direção en tro-instá v el. Se para to do p on to de um onjun to ompa to in v arian te v ale a ondição a ima, en tão

  < 1 e λ u

  ) −1

  de M , temos: kDf |E cs x k · kDf

  −1 |E cu k = kDf |E cs k · k(Df |E cu

  −1 |E cu f (x) k ≤ λ, para to do x ∈ Λ (dizemos que existe uma de omp osição dominada em Λ ); (iii) a bra

  E cs é uniformemen te on trativ a ou

  E cu é uniformemen te expansora, isto é,

  ∃ 0 < λ < 1 tal que kDf |E cs x k ≤ λ, ∀ x ∈ Λ ou kDf

  −1 |E cu f (x) k ≤ λ, ∀ x ∈ Λ , resp e tiv amen te.

  Dizemos que E cs x é a bra en tro-está v el e

  E cu x a bra en tro-instá v el no p on to

  Na ondição da de omp osição dominada, v eja que: x ∈ Λ . kDf |E cs k · kDf

  ) −1 k = kDf |E cs k k(Df |E cu

  = (Df |E cu

  ) −1 k

  −1 =

  λ s

  λ u

  = λ < 1, onde a primeira igualdade v em de Df |E cu

  ◦ Df −1

  |E cu

  = id ⇒ Df −1

  |E cu

  • se
  • se
  • se
  • E
  • E

  1.3 Definiçã o. Um dis o mer gulhado é uma v ariedade instá v el se no p assado os iter ados de dois p ontos se apr oximam exp onen ialmente r ápido, ou seja, γ ⊆ M −n −n −γn , quando , p ar a e p ar a algum .

  ∀ x, y ∈ γ Do mesmo mo do, é uma v ariedade está v el se no futur o os iter ados de dois p ontos dist(f (x), f (y)) ≤ C · e n → ∞

  C, γ > 0 γ se apr oximam exp onen ialmente r ápido, ou seja, , quando n n −γn , p ar a e p ar a algum . dist(f (x), f (y)) ≤ C · e n → ∞ ∀ x, y ∈ γ Um orolário do T eorema da V ariedade Instá v el/Está v el nos dá o seguin te resultado.

  C, γ > 0 1 Dados um p on to de um onjun to hip erb óli o e um difeomor smo , existem as r p f C v ariedades instá v el e está v el lo al e e estas v ariedades são dis os tangen tes u s

  W (p) W (p) loc loc em a e , resp e tiv amen te. u s onexas são p on tos) e p erfeito (to do p on to é p on to de a um ulação). p E E Um onjun to é de Can tor se é ompa to, totalmen te des onexo (as omp onen tes

  1.4 Definiçã o. Dizemos que um onjunto omp a to invariante é uma ferradura se as varie dades estáveis e instáveis dos p ontos de interse tam em um onjunto de Cantor. Λ Λ Λ Nosso primeiro resultado a rma que, para apli açõ es , a de omp osição dominada 1+α no onjun to e a ondição são su ien tes para obtermos um dis o instá v el lo al C em . Λ NUE

  Λ T eorema A. Seja um dife omor smo e seja um onjunto 1+α omp a to p ositivamente invariante om uma de omp osição ontínua do br ado tangente f : M → M C K ⊂ M T r estrito a , , dominada em . Se a ondição cs cu n

  K T M = E ⊕ E Λ = f (K) NUE K é satisfeita p ar a um onjunto de p ontos de om me dida de L eb esgue p ositiva, então n≥0 ontém algum dis o instável lo al. K

  Λ O pró ximo resultado é uma onsequên ia direta do teorema a ima. Se a bra é cu uniformemen te expansora, laro que a ondição é satisfeita para o onjun to om- E NUE pa to in v arian te. Do mesmo mo do, se a bra é uniformemen te on trativ cs a, basta

  E apli ar o teorema para . −1 f Corolário B. Seja um dife omor smo e seja um onjunto 1+α omp a to p ositivamente invariante om uma de omp osição ontínua do br ado tangente 1 V eja em [12 ℄. f : M → M C K ⊂ M

  T r estrito a , , tal que L eb e é um onjunto cs cu n K T M = E ⊕ E (K) > 0 Λ = f (K)

  K p ar ialmente hip erb óli o. n≥0 (i) Se é uniformemente exp ansor, então ontém um dis o instável lo al; cu E Λ (ii) Se é uniformemente ontr ativo, então ontém um dis o estável lo al. cs P elo orolário E Λ B, se o onjun to par ialmen te hip erb óli o on tém um dis o instá v el

  Λ lo al, tal onjun to não p ossui ferraduras om v olume p ositiv o para difeomor smos , 1+α p ois um onjun to totalmen te dis onexo não p o de on ter um dis o (que é onexo). Os mesmos resultados são v álidos para onjun tos que satisfazem a propriedade C medida p ositiv a (teorema e in terse tam um dis o instá v el lo al ou um dis o está v el lo al em um sub onjun to de C), e tam b ém para onjun tos par ialmen te hip erb óli os que NUE medida p ositiv a ( orolário in terse tam um dis o instá v el lo al ou um dis o está v el lo al em um sub onjun to de D). T eorema C. Seja um dife omor smo e seja um onjunto 1+α omp a to p ositivamente invariante om uma de omp osição ontínua do br ado tangente f : M → M C K ⊂ M T r estrito a , , dominada em . Sup onha que existe cs cu n

  K T M = E ⊕ E Λ = f (K) K um dis o instável lo al que satisfaz a ondição p ar a to do em um sub onjunto n≥0 de de me dida p ositiva om r elação a me dida r elativa de L eb esgue. Então ontém γ NUE x algum dis o instável lo al. γ ∩ K

  Λ Corolário D. Seja um dife omor smo e seja um onjunto 1+α omp a to p ositivamente invariante om uma de omp osição ontínua do br ado tangente f : M → M C K ⊂ M T r estrito a , , dominada em . cs cu n

  ⊕ E K T M K = E Λ = f (K) n≥0 (i) Se é uniformemente exp ansor e existe um dis o instável lo al tal que L eb cu

  E γ (γ ∩ , então ontém um dis o instável lo al; γ

  K) > 0 Λ (ii) Se é uniformemente ontr ativo e existe um dis o estável lo al tal que L eb cs E

  γ (γ ∩ , então ontém um dis o estável lo al. γ K) > 0 Λ V eja que o orolário an terior é um resultado direto do teorema C, quando é uni- cu

  E formemen te expansor e, quando é uniformemen te on trativ o, basta apli ar o teorema cs E para . −1 f

  4.1. O pró ximo teorema é tam b ém uma onsequên ia do teorema prin ipal. Pro v amos a As demonstraçõ es destes teoremas são obtidos omo orolário do teorema prin ipal existên ia de p on tos p erió di os hip erb óli os e mostramos que -limite de Leb q.t.p. está on tido no fe ho de alguma v ariedade instá v el desses p on tos, no on texto de onjun tos ω par ialmen te hip erb óli os. Nesta linha, a bra é uniformemen te on trativ a e na cs direção en tro-instá v el temos a ondição em um onjun to de medida de Leb esgue E p ositiv a. NUE T eorema E. Seja um dife omor smo e seja um onjunto 1+α omp a to p ositivamente invariante, tal que L eb , om uma de omp osição ontínua f : M → M C K ⊂ M (K) > 0

  T do br ado tangente r estrito a , , onde é um onjunto cs cu n ⊕E

  K T M = E Λ = f (K) K n≥0 p ar ialmente hip erb óli o. Sup onha que seja uniformemente ontr ativo e a ondição cs seja válida p ar a L eb esgue quase to dos os p ontos . Então existem p ontos E p erió di os hip erb óli os , tais que: NUE x ∈ K

  ∈ Λ p , p , . . . , p 1 2 k (a) , p ar a ada ; u

  W (p ) ⊂ Λ 1 ≤ i ≤ k i (b) p ar a L eb esgue quase to dos os p ontos , existe om . u x ∈ K 1 ≤ i ≤ k ω(x) ⊂ W (p i ) Mais ainda, se tem dimensão um, então: cu

  E ( ) atr ai uma vizinhança ab erta dele mesmo, p ar a ada . u W (p i )

  1 ≤ i ≤ k

  1.2 Conjun to Hip erb óli o Seja um onjun to fe hado e in v arian te p or , dizemos que é um onjun to hip erb óli o de se: Λ f Λ (i) existe uma de omp osição on tín ua do brado tangen te de restrito a , f

  M Λ s u

  ⊕ E T M Λ = E , tal que as bras e são in v arian tes, isto é, e s u s s u

  E E Df Df (E ) = E Df (E ) = x x f (x) u , para to do ;

  E x ∈ M

  (ii) existem onstan tes e , om e , tais que: c λ c > 0 0 < λ < 1 n s n −n u n e para . kDf |E k < cλ kDf |E k < cλ , As ondiçõ es da de nição a ima não dep endem da métri a da v ariedade , desde n ≥ 0 de que as normas e sejam equiv alen tes em , ou seja, existam onstan tes M k · k k · k T M p ositiv as e , tais que:

  1

  2 c c

  1

  2 k · k ≤ k · k ≤ c k · k c . 1.5 Prop osição. Sup onha que seja um onjunto hip erb óli o. Então existem uma

  1

  2

  1

  2

  2 Λ ⊂ M métri a da varie dade e uma onstante , om , tal que temos ontr açãoe exp ansão no primeir o iter ado, isto é: C M λ 0 < λ < 1 s −1 u e Demonstração. V eja em [12℄, prop osição . kDf |E k < λ kDf |E k < λ. p ositiv o são to da v ariedade. Neste aso, dizemos que o difeomor smo é Anoso v. No pró ximo teorema, pro v amos que onjun tos hip erb óli os transitiv os om v olume

4.2 T eorema

  F. Sejam um dife omor smo e um onjunto hip erb ó- 1+α li o tr ansitivo. f : M → M C Λ ⊂ M (a) Se tem volume p ositivo, então ; (b) Se atr ai um onjunto de volume p ositivo, então atr ai uma vizinhança dele Λ Λ = M mesmo. Λ

  Λ Como último resultado, pro v amos uma v ersão do teorema da De omp osição Esp e tral no on texto de apli açõ es . Mostramos a existên ia de onjun tos hip erb óli os on- 1+α tidos em , que on tém o -limite de Leb quase to dos os p on tos do onjun to de v olume C p ositiv o . Λ ω

  Λ T eorema G (De omp osição Esp e tral). Seja um dife omor smo e 1+α seja um onjunto hip erb óli o om volume p ositivo. Então existem onjuntos f : M → M C hip erb óli os , tais que: Λ ⊂ M Ω , Ω , . . . , Ω ⊂ Λ

  (a) existe om , p ar a L eb quase to do p onto ; 1 ≤ j ≤ q ω(x) ⊂ Ω x ∈ Λ (b) atr ai uma vizinhança dele mesmo em , p ar a ada ; j

  Ω M 1 ≤ j ≤ q ( ) é tr ansitivo, p ar a ada ; j f |Ω 1 ≤ j ≤ q (d) é denso em , p ar a ada . j

  P er(f ) Ω 1 ≤ j ≤ q A lém disso, p ar a ada , existe uma de omp osição de em onjuntos hip erb ó- j 1 ≤ k ≤ q Ω li os disjuntos: , tais que: k Ω = Ω ∪ · · · ∪ Ω (e) e , p ar a ada ; k k,1 k,n k f (Ω ) = Ω f (Ω ) = Ω 1 ≤ i < n k,i k,i+1 k,n k k,1 k (f ) é top olo gi amente mixing, p ar a to do . n k

  → Ω f : Ω k,i k,i 1 ≤ i ≤ n k Capítulo 2 Con trole Hölder direção tangen te de sub v ariedades, usando prin ipalmen te a existên ia da de omp osição Neste apítulo, apresen tamos alguns resultados rela ionados om o on trole Hölder na dominada. Mostraremos que os brados tangen tes dos iterados das sub v ariedades 1+α Hölder uniforme. A seguir, jun to da ondição ao longo da direção en tro instá v el, são Hölder on tín uas (as de niçõ es serão dadas ao longo do apítulo), om onstan te de C teremos a propriedade de distorção limitada para os iterados da apli ação em dis os, NUE ujo espaço tangen te de ada p on to está on tido no resp e tiv o amp o de ones en tro instá v el. f

  Seja uma v ariedade onexa ompa ta riemanniana. Considere um M f : M → M difeomor smo de lasse . 1+α 2.1 Definiçã o. Uma apli ação é -Hölder, p ar a , se existe uma onstante C

  α 0 < α < 1 , tal que , p ar a to do e de . α C > 0 |f (x) − f (y)| ≤ C|x − y| x y M Seja um onjun to ompa to p ositiv amen te in v arian te om uma de omp osição on-

  K tín ua do brado tangen te da v ariedade restrito a , , in v arian te cs cu M K T M = E ⊕ E Df em

  K \ n Λ = f (K). n≥0 Fixaremos extensõ es on tín uas das bras e n uma vizinhança ompa ta de cs cu

  E E U , que tam b ém serão denotadas p or e . Substituindo p or algum iterado, se cs cu ne essário, onsidere . Note que tomaremos a in v ariân ia da de omp osição ap enas Λ E E K restrita a , e não em to da extensão. K ⊂ U Λ

  Dado , de na o amp o de ones en tro instá v el de largura cu 0 < a < 1

  (C (x)) x∈U p or: a a cu cs cu tal que

  C (x) = {v + v ∈ E ⊕ E kv k ≤ akv k},

  1

  2

  1

  2 a x x e de mo do análogo, de na o amp o de ones en tro está v el de largura cs (C (x)) a x∈U p or: a cs cs cu tal que C (x) = {v + v ∈ E ⊕ E kv k ≤ akv k}.

  1

  2

  2

  1 Fixaremos e a vizinhança su ien temen te p equena de mo do que, aumen tando a x x gradativ amen te , a ondição de dominação on tin ue v álida para quaisquer par de a > 0 U v etores dos dois amp os de ones: λ < 1 cs −1 cu cs cu kDf (x)v k · kDf (f (x))v k < λkv k · kv k, para to do , e to do cs cs cu cu −1 v ∈ C (x) v ∈ C (f (x)) x ∈ U ∩ f (U). V eja que o amp o de ones en tro instá v el é p ositiv amen te in v arian te: a a cu cu cu (2.1)

  Df (x) · C (x) ⊂ C (f (x)) ⊂ C (f (x)), para e em . A primeira in lusão v em da propriedade de dominação e da in v a λa a a- x f (x) U riân ia da bra em , que se estende para to do p or on tin uidade, cu

  −1 ap enas aumen tando gradativ amen te , se ne essário, para a segunda in lusão. E Λ x ∈ U ∩ f (U) λ < 1 Dizemos que uma sub v ariedade mergulhada de lasse é tangen te ao

  1 amp o de ones en tro instá v el, se o sub espaço tangen te a em ada p on to N ⊂ U C N x ∈ N está on tido no orresp onden te one . Se é tangen te ao amp o de ones en tro cu

  C (x) N instá v el e está on tido em , en tão, p ela propriedade de dominação, é tam b ém a tangen te ao amp o de ones en tro instá v el. A idéia bási a do apítulo segue da seguin te observ ação: f (N) U f (N)

  Observ ação. Sejam e esp aços eu lidianos e um isomor smo line ar, onde e E E L E são invariantes p or . Assuma a se guinte ondição de dominação:

  1

  2

  1 E L

  2 −1 kL|E k · kL |E k < 1.

  2

  1 Então existem e , tal que se é um gr á o da apli ação 1+α C > 0 0 < α ≤ 1 Γ ⊂ E ⊕ E C om onstante de Hölder igual a , então o mesmo é ver dade p ar a .

  1

  2 → E

  φ : E C L(Γ) Demonstração. Considere , para Seja a apli ação, tal

  1

  2 L|E = L i = 1, 2. ψ : E → E que graf graf , onde graf denota o grá o da apli ação. i i

  1

  2 (ψ) = L( φ)

  Queremos mostrar que . De fato, 1+α ψ ∈ C

  L −1 −1 (x, φ(x)) 7−→ (L (x) , L ◦ φ(x)) = (y, L ◦ φ(L (y))) = (y, L ◦ φ ◦ L (y)).

  1

  2

  2

  2

  1

  1 | {z } y T omando , teremos . Assim: −1 −1

  ψ = L ◦ φ ◦ L Dψ = L ◦ Dφ ◦ L

  2

  2

  1

  1 −1 −1 kDψ(y ◦ Dφ ◦ L ◦ Dφ ◦ L

  1 ) − Dψ(y 2 )k = kL 2 (y 1 ) − L 2 (y 2 )k

  1

  1 −1 −1 −1

  = kL ◦ [Dφ(L (y )) − Dφ(L (y ))] ◦ L k

  2

  1

  2

  1

  1

  1 −1 −1 −1

  = kL k · kDφ(L (y )) − Dφ(L (y ))k · kL k

  2

  1

  2

  1

  1

  1 −1 −1

  α ≤ kL k · C · [kL k · ky − y k] kL k

  2

  1

  2

  1

  1 1+α

  α −1

  ≤ kL k · kL k − y k

  2 Cky

  1 2 .

  1 1+α Basta tomar de mo do que . −1

  0 < α < 1 kL k · kL k ≤ 1

  2

  1 lo ais. eu lidianos, teremos a no ção de v ariedade Hölder no brado tangen te em o ordenadas Apli ando um argumen to similar na nossa situação para espaços não ne essariamen te Es olhemos su ien temen te p equeno, de mo do que a in v ersa da apli ação exp onen ial seja de nida na -vizinhança de to do p on to . De agora em dian te, 1 δ > 0 exp δ x ∈ U v amos iden ti ar esta vizinhança de om a orresp onden te vizinhança de origem em x x U x , p ela arta lo al de nida p ela . Reduzindo , se ne essário, p o demos sup or −1

  T N exp δ x x que está on tido no de to do . Em parti ular, a in terse ção do cs cs cu

  E C (y) y ∈ U C (y) x x a a om se reduz ao v etor n ulo. Assim, o espaço tangen te a em é paralelo ao grá o cs

  E N y da apli ação linear, x cs

  A : T N −→ E x x x y 7−→ A (y). Dadas onstan tes e dizemos que o brado tangen te de é ( ) x Hölder, se:

  • - C > 0 0 < ζ ≤ 1 N

  C, ζ ζ kA (y)k ≤ C d (y) , para to do , e denota a distân ia de a ao longo de , x x y ∈ N ∩ U x ∈ U d (y) x y N ∩ U de nido omo o omprimen to da menor urv a que liga a em . x x x x y N ∩ U Note que es olhemos a vizinhança e o one de largura su ien temen te p equenos, x

  U a de mo do que a propriedade de dominação on tin ue v álida para os v etores dos ones cs C (z) 1 V eja a de nição no Ap êndi e. a e C cu a

  (z) , para qualquer p on to z ∈ U . Assim, existem λ

  1 tangente ao amp o de ones entr o instável. 2.3 Corolário. Dada uma subvarie dade N ⊂ U de lasse C

  C

  (N))| são ( L, ζ ) - Hölder ontínuas p ar a 0 ≤ k ≤ n e om L > 0 dep endendo ap enas de

  (N) ∋ x 7−→ lo g | det(Df |T x f k

  J k : f k

  (N) ⊂ U p ar a to do 0 ≤ k ≤ n ; ( ) em p arti ular, se N e n são omo em (b) a ima, então as funçõ es

  1 , então o mesmo é válido p ar a to dos os iter ados f n (N) , tal que f k

  (N) ⊂ U quando 0 ≤ k ≤ n ; (b) se K(N) ≤ C

  1 , p ar a to do n ≥ n , e f k

  (N)) ≤ C

  1 > 0 tal que: (a) existe n ≥ 1 , tal que K(f n

  1 tangente ao amp o de ones entr o instável, existe C

  (U) é uma subvarie dade C

  1 ∈ (λ, 1) e ζ ∈ (0, 1] , tais que: kDf (z)v cs k · kDf

  N ⊂ U ∩ f −1

  2.2 Prop osição. Existem λ < 1 e C > 0 , tais que K(f (N)) ≤ λ K(N) + C , se

  1 , de nimos K(N) = inf{C > 0; o brado tangen te de N é (C, ζ) − Hölder }. De a ordo om as ondiçõ es apresen tadas, temos as seguin tes prop osiçõ es:

  1 < 1 e 0 < ζ ≤ 1 . Dada uma sub v ariedade N ⊂ U de lasse C

  Fixemos x ∈ U . λ

  (z) , e para qualquer z ∈ U ∩ f (U) . En tão, reduzindo δ > 0 e aumen tando gradativ amen te λ 1 < 1 , a ondição (2.2) on tin ua v álida se substituirmos z p or qualquer y ∈ U x om

  ∈ C cu a

  (z) e v cu

  ∈ C cs a

  1 < 1, (2.2) para to dos os v etores unitários v cs

  1+ζ ≤ λ

  −1 (f (z))v cu k

  1 e As demonstraçõ es da prop osição f . 2.2 e do orolário 2.3 estão em [2℄. Capítulo 3 Limitada T emp o Hip erb óli o e Distorção men tos onde a nossa apli ação se pare e om uma apli ação que tem omp ortamen to A no ção de temp o hip erb óli o nos p ermite obter, para quase to dos os p on tos, mo- propriedades de expansão e distorção. uniforme em algumas vizinhanças destes p on tos. Assim, nessas vizinhanças teremos b oas f Seja um onjun to ompa to p ositiv amen te in v arian te tal que existe uma de om-

  K p osição on tín ua do brado tangen te restrito a , , in v arian te em cs cu K T M = E ⊕ E Df

  K T n . Fixaremos extensõ es on tín uas das bras e n uma vizinhança cs cu

  Λ = f (K) E E ompa ta de . Substituindo p or algum iterado, se ne essário, onsidere . n≥0 3.1 Definiçã o. Dado , dizemos que é um -temp o hip erb óli o p ar a U Λ K

  K ⊂ U , se: 0 < σ < 1 n σ x ∈ K n

  Y −1 cu k

  j

  kDf |E k ≤ σ , f (x) p ar a to do . j=n−k+1

  1 ≤ k ≤ n V eja que se é um -temp o hip erb óli o para , en tão é uma on tração, −k cu

  n

  n σ x Df |E para to do . f (x) Se tomarmos su ien temen te p equeno da de nição de amp o de ones e es o- 1 ≤ k ≤ n lhermos , tam b ém p equeno, de mo do que a -vizinhança de esteja on tida em a > 0 , teremos p or on tin uidade δ 1 > 0 δ

  1 K U

  −1 −1/2 −1 cu (3.1) kDf (f (y)) · vk ≤ σ kDf |E k · kvk, f (x) para , e . cu x ∈ K dist(x, y) ≤ δ v ∈ C (f (y))

  1 Dado um dis o , a distân ia ao longo de de a será a denotada p or . E a distân ia de à fron teira de será ∆ ⊂ M ∆ x y ∈ ∆ dist (x, y) x ∈ ∆ ∆

  ∆ . dist (x, ∂∆) = inf dist (x, y)

  ∆ y∈∂∆ ∆ 3.2 Lema. Seja um dis o de r aio , om , tangente ao amp o de

  1 ones entr o instável. Se existe tal que p ar a , e ∆ ⊂ U C δ 0 < δ < δ

  1 n ≥ 1 dist (x, ∂∆) ≥ δ/2 x ∈ ∆ ∩ K é um -temp o hip erb óli o p ar a em , então: ∆ n ≥ n σ x ∆ (a) existe uma vizinhança de em tal que leva dife omor amente em um n

  V x ∆ f

  V n n dis o de r aio e entr o , tangente ao amp o de ones entr o instável; n

  δ f (x) (b) p ar a to do e , ,

  1 1 ≤ k ≤ n y z ∈ V n n−k n−k k/2 n n

  n n −k

  dist (f (y), f (x)) ≤ σ · dist (f (y), f (x));

  

n f (V n )

( ) p ar a to do e , f (V )

  1 ≤ k ≤ n y ∈ V n n

  Y −1 cu k/2

  j

  kDf |E k ≤ σ . f (y) j=n−k+1 Demonstração. Mostraremos que on tém um dis o de raio e en tro , n n f (∆) δ f (x) para

  1 log

  2 (δ/(2δ ))

  1 (3.2) n > . log (σ) n

  f (∆) ∆

  n

  f δ

  δ

  1 V n b n

  x f (x) De na a omp onen te onexa de que on tém . Do mesmo mo do, Figura 3.1:

  ∆ f (∆) ∩ U f (x)

  1 de na a omp onen te onexa de que on tém . E assim, para

  2

  2 ⊂ f

  ∆ (∆) f (∆ ) ∩ U f (x)

  2 1 , de na a omp onen te onexa de que on tém . k+1 k+1

  ⊂ f k ≥ 1 ∆ k+1 (∆) f (∆ k ) ∩ U f (x) ∆

  ∆ n ∆

  2

  ∆

  1

  f b b b b b b b b f

  2 n

  f (x) f (x) f (x) x

  Figura 3.2: Queremos mostrar que on tém algum dis o de raio e en tro para omo n ∆ δ f (x) n n

  1 em (3.2). Como e é in v arian te p or , para cu ⊂ U

  ∆ C (x) Df (x) x ∈ U j a cu

  j

  T ∆ ⊂ C (w), w j para to do e to do λ a j ≥ 1 w ∈ ∆ . j

  Seja uma urv a de omprimen to mínimo em ∆ n η n n n δ que liga a , onde e

  1

  ∆ f (x) f (y) f (y) ∈ ∆ n n b n f (x)

  η n n −k Seja , para n dist n (f (x), f (y)) < δ . η = f (η )

  ∆ . Claro que . 1 k b f (y) ⊂ ∆ 0 ≤ k ≤ n η k n−k Figura 3.3: Pro v aremos p or indução que , para P or sup osição, k/2 comp(η ) ≤ σ · δ 0 ≤ k ≤ n. k

  1 v ale para Seja e sup onha (hip ótese de indução) que , j/2 k = 0. 0 < k ≤ n comp(η ) ≤ σ · δ j

  1 para Considere o v etor tangen te a urv a no p on to . Note que: ′ 0 ≤ j ≤ k − 1. η (w) η w

  ) ⊂ ∆

  η k n−k −j ′ cu −j cu −j

  λ a a cu T ∆ ⊂ C j (w), ∀w ∈ ∆ w j j

  n ⇒ Df (w) · η (w) ∈ C −j (f (w)) ⊂ C (f (w)).

  λ a 1 A rmação. . −k ′ k/2 ′ kDf kη

  (w) · η (w)k ≤ σ (w)k De fato, se e para , p or (3.1) temos n ′ cu dist(f (x), w) ≤ δ η (w) ∈ C (w) w ∈ η 1 k a

  −1 ′ −1/2 −1 cu ′

  n

  kDf (w) · η (w)k ≤ σ kDf |E kkη (w)k e tam b ém f (x)

  −1 −k+i ′ −1/2 −1 cu ′

  n

  kDf (f (w)) · η (w)k ≤ σ kDf |E −k+i kkη (w)k, para , p or hip ótese de indução. f ◦f (x) En tão p ela regra da adeia, 1 ≤ i ≤ k − 1 −k ′ −1 −k+1 −1 −k+2 −1 ′ kDf

  (w) η (w)k = kDf (f (w))k · kDf (f (w))k . . . kDf (w)k · kη (w)k −1/2 −1 cu −1/2 −1 cu ′

  n

  ≤ σ kDf |E n k . . . σ kDf |E k · kη

  −k+1 (w)k

  f (x) f ◦f (x) −1/2 −1/2 −1 cu −1 cu ′

  |E n k . . . kDf |E n k · kη = (σ . . . σ ) · kDf −k+1 (w)k f (x) f (x)

  | {z } k v ezes ! n

  Y −k/2 −1 cu ′

  j

  kDf |E k kη = σ (w)k f (x) j=n−k+1

  | {z } def. temp o hip erb óli o −k/2 k ′

  ≤ σ · σ kη (w)k k/2 ′ = σ kη (w)k. Logo k/2 k/2 , para , o que ompleta a comp(η ) ≤ σ · comp(η ) ≤ σ · δ 0 ≤ k ≤ n indução. k

  1

  Note que a k-ésima pré-imagem do dis o en trado em e raio está on tida em n f (x) δ

  1 , para ada . Em parti ular, para , . −n n U 1 ≤ k ≤ n k = n f (D(f (x), δ )) ⊂ U

  1 δ Como dev emos ter , pre isamos ter . Mas isto equiv ale a n/2 comp(η ) ≤ δ/2 σ · δ < n

  1

  2 δ n/2

  σ < 2δ

  1 δ log log n/2

  (σ ) < 2δ

  1 n δ log log

  · (σ) < 2 2δ log

  1 2 (δ/(2δ ))

  1 n > . log Ou seja, se é a urv a em que liga a , om , en tão e (σ) η ∆ x y y ∈ ∂∆ comp(η ) > δ/2 n log n

  2 (δ/(2δ )) p ortan to . Pro v ando assim a parte (a) do lema.

  1 n < n = log

  (σ) Seja agora o dis o en trado em e raio , on tido em , e seja n n D f (x) δ f (∆)

  1

  1 −n , para n omo em (3.2). T ome e a urv a que liga a n

  V n = f (D 1 ) y, z ∈ V n η f (y) n . f (z)

  n n D

  1

  f f (y) V n

  η δ

  1

  z

  n

  y f (x)

  n

  f (z) Figura 3.4: De nindo , para , teremos omo an tes que (p or indução) −n+k

  η k = f (η ) 1 ≤ k ≤ n k/2 , para . Daí, comp(η ) ≤ σ · comp(η ) 1 ≤ k ≤ n k n−k n−k k/2 n n

  n n −k

  dist (f (y), f (z)) ≤ σ · dist (f (y), f (z)), para . f (V n ) f (V n ) 1 ≤ k ≤ n P ara mostrar a última parte, seja e v eja que , para to do j j y ∈ V n dist(f (x), f (y)) ≤ δ

  1

  . P ela regra da adeia e p or (3.1): 1 ≤ j ≤ n n

  Y −1 cu

  −1 cu −1 cu −1 cu

  

j n n n

  kDf |E k = kDf |E −k+1 k · kDf |E −k+2 k . . . kDf |E k f (y) f (y) f (y) f (y) j=n−k+1

  −1/2 −1 cu −1/2 −1 cu −1/2 −1 cu

  n n n

  ≤ σ kDf |E −k+1 k · σ kDf |E −k+2 k . . . σ kDf |E k f (x) f (x) f n

  Y −1/2 −1/2 −1 cu

  j

  kDf |E k = (σ . . . σ ) · f (x)

  | {z } k v ezes j=n−k+1 | {z } def. temp o hip erb óli o

  −k/2 k ≤ σ · σ k/2

  = σ Chamaremos os onjun tos de pré-b olas hip erb óli as e suas imagens de n

  V f (V ) b olas hip erb óli as. n n A qui usamos de maneira ru ial que . Este resultado não v ale, em geral, 1+α f ∈ C para difeomor smos que sejam ap enas de lasse .

  1 3.3 Corolário. Seja o dis o omo no lema C 3.2 om e onsider e uma ∆ K(∆) ≤ C pr é-b ola hip erb óli a om . Então existe , tal que:

  1 ⊂ ∆

  V n n ≥ n C 2 > 1 n

  1 | det Df |T ∆ | y

  ≤ ≤ C

  2 n C | det Df |T ∆ | p ar a to do . 2 z y, z ∈ V n Demonstração. Denote , para e . Note que i

  i

  J (y) = | det Df |T f (∆)| y ∈ ∆ 0 ≤ i < n i f (y) n−1 n

  X | det Df |T ∆ | log log log y = ( J (y) − J (z)). i i n

  | det Df |T ∆ | z O dis o é tangen te ao amp o de ones en tro instá v el, logo, p ela prop osição 2.3, i=0

  ∆ log log é -Hölder on tín ua, para alguma onstan te i

  i

  | det Df |T f (∆)| = J i (y) (L, ζ) uniforme e . f (y) L(C , f ) = L > 0 ζ ∈ (0, 1]

  1 P elo lema 3.2, a soma das j , para , é limitada p or j j ζ dist (f (y), f (z)) 0 ≤ j < n f (∆)

  ζ ζ/2 . De fato, (2δ 1 ) /(1 − σ ) n n

  X X j j ζ j/2 n n ζ

  j

  dist (f (y), f (z)) ≤ [σ · dist(f (y), f (z))] f (∆) j=0 j=0 n

  X ζ/2 j ζ

  = (σ ) · (2δ )

  1 j=0 ζ

  (2δ )

  1 = . P ortan to, basta tomar C

  2 = exp

  L(2δ

  1 )

  ζ 1 − σ

  ζ/2 . Capítulo 4 Demonstração dos T eoremas Neste apítulo, pro v amos o teorema 4.1, que a rma que no on texto de apli açõ es

  1+α , a existên ia de um dis o tangen te ao amp o de ones en tro instá v el om medida relativ a de Leb esgue p ositiv C a, a de omp osição dominada e a ondição são su ien tes teoremas A e para obtermos um dis o instá v el lo al. E omo onsequên ia deste teorema, pro v amos os C.

  NUE Considere o onjun to ompa to p ositiv amen te in v arian te e , onde é a vizinhança ompa ta de , omo no apítulo K 1. Λ ⊂ K ⊂ U U

  Λ

  4.1 Demonstração do T eorema Prin ipal 4.1 T eorema. Seja um dife omor smo e seja um onjunto 1+α omp a to p ositivamente invariante om uma de omp osição ontínua do br ado tangente f : M → M C K ⊂ M T r estrito a , , dominada em . Sup onha que existe um cs cu n

  K T M = E ⊕ E Λ = f (K) K dis o tangente ao amp o de ones entr o instável om L eb que satisfaz a n≥0 ondição , p ar a to do . Então ontém algum dis o instável lo al.

  ∆ (∆ ∩ K) > 0 4.2 Lema. Dados , existe , tal que p ar a quaisquer númer os r e ais NUE x ∈ ∆ ∩ K Λ A ≥ c > c > 0 θ > 0

  2

  1 P N om e p ar a , existe e uma

  1 ≤ A ≥ c a

  1 , a 2 , . . . , a N a j a j 2 1 ≤ j ≤ N l > θN j=1 se qüên ia que satisfaz N 1 < n < n < . . . < n ≤ N

  1 2 l n i

  X

  1 ≥ c a j

  1 , − n n i p ar a to do 0 ≤ n < n i e 1 ≤ i ≤ l. Demonstração. De na

  S(n) =      n

  (a j

  1 ) < n i

  X j=1

  (a j

  − c

  1 ), omo 0 ≤ n < n i

  , n i

  X j=1

  (a j

  − c

  1 ) − n

  X j=1

  − c

  (a j

  1 ) > 0 n i

  X j=n+1

  (a j − c

  1 ) > 0 n i

  X j=n+1 a j

  − n i

  X j=n+1 c

  1 > 0 n i

  X j=n+1 a j

  > n i

  X j=n+1 c

  1 n i X a j > (n i

  − c

  X j=1

  X j=1

  1

  (a j

  − c

  1 ) ; 1 ≤ n ≤ N ; n = 0. P o demos obter uma seqüên ia máxima 1 < n

  1 < n

  2 < . . . < n l

  ≤ N , tal que S(n) ≤ S(n i

  ) , para to do 0 ≤ n < n i e 1 ≤ i ≤ l. Como

  S(N) > S(0) = 0 , a seqüên ia máxima existe, isto é, l 6= 0 . De fato,

  1 N N

  X j=0 a j

  ≥ c

  2 > c

  1 N N

  ) n

  X j=0 a j

  − c 1 > 0

  N

  X j=0 a j

  − N · c

  1 > 0

  N

  X j=0

  (a j

  − c

  1 ) > 0 S(N) > 0 = S(0). Mais ainda, p ela de nição

  S(n) < S(n i

  − n)c 1 , para to do e 0 ≤ n < n 1 ≤ i ≤ l. Agora basta mostrar que i 2 A rmação. , p ar a l > θN.

  S(n − 1) ≤ S(n ) 1 < i ≤ l P or onstrução, para , de niu-se uma seqüên ia máxima, tal que i i−1 . Sup onha que . En tão , p ois n i−1 < n i S(n ) ≤ S(n ) S(n − 1) > S(n ) S(n ) ≤ S(n − 1) é o elemen to seguin te a para que a seqüên ia máxima que b em de nida. Daí, i−1 i i i−1 i i n n i i−1 !! Uma on tradição, p ois , para to do . n < n − 1 n > 0 i 3 A rmação. , p ar a to do i i i S(n ) < S(n ) + A − c 1 < i ≤ l. i i−1

  1 n i

  X S(n ) = (a − c ) i j

  1 j=1 n i −1

  X = (a − c ) + a − c j 1 n i

  1 j=1 = S(n − 1) + a − c i n i

  1 < S(n ) + A − c . V eja que a última desigualdade é uma onsequên ia da a rmação , para to do . i−1

  1 2 e do fato de que a < A j 4 A rmação. . j

  S(n ) ≤ A − c Construímos elemen tos , tais que , para e . Em

  1

  1 n S(n) ≤ S(n ) 0 ≤ n < n 1 ≤ i ≤ l parti ular, , para , ou seja, é o primeiro elemen to da seqüên ia i i i

  S(n) ≤ S(n ) 0 ≤ n < n n máxima, tal que

  1 e, para , .

  1

  1 S(n ) ≥ 0 n < n S(n) < 0

  1

  1 S(n ) = (a − c ) +(a − c ) +(a − c ) + . . . + (a − c ) + (a − c )

  1

  1

  1

  2

  1

  3 1 n −1 1 n

  1

  1

  1

  | {z } | {z }

  ≤A−c S(1)<0

  1

  | {z } S(2)<0

  | {z } S(3)<0

  | {z } S(n −1)<0 5 A rmação.

  1 Se , teríamos que seria o último termo da seqüên ia máxima e ,

  S(n l ) ≥ S(N) S(n ) < S(N) N n = N mais ainda ! l l

  S(n ) = S(N)

  6 A rmação.

  S(N) ≥ N(c − c )

  2

  1 N N

  X X − c − N · c

  S(N) = (a j 1 ) = a j

  1 j=1 j=1 ≥ c · N − c · N

  2

  1 = N(c − c ). 7 A rmação.

  2

  1 V eja que e , para , p elas a rmaçõ es S(n l ) ≤ l(A − c 1 ) 4 S(n ) ≤ A − c S(n ) < S(n ) + (A − c ) 1 < i ≤ l e 3 resp e tiv amen te. Logo:

  1 1 i i−1

  1 S(n ) ≤ (A − c )

  1

1 S(n ) < S(n ) + (A − c ) < (A − c ) + (A − c ) = 2(A − c )

  2

  1

  1

  1

  1

  1 S(n ) &lt; S(n ) + (A − c ) &lt; 2(A − c ) + (A − c ) = 3(A − c ) . . .

  3

  2

  1

  1

  1

  1 S(n ) &lt; S(n ) + (A − c ) &lt; (l − 1)(A − c ) + (A − c ) = l(A − c ). l l−1

  1

  1

  1

  1 − c

  (c ) Con lusão. Basta tomar

  2

  1 θ =

  (A − c )

1 N(c − c ) ≤ S(N) ≤ S(n ) < l(A − c )

  2 1 l

  1 − c

  (c )

  2

1 N < l

  (A − c )

  1 onde as desigualdades são resultados das a rmaçõ es 6, Nθ &lt; l 5 e 7 resp e tiv amen te.

  4.3 Corolário. Existe , tal que to do p ossui in nitos -temp os hip erb óli os. 0 &lt; σ &lt; 1 x ∈ ∆ ∩ K σ Demonstração. Sab emos p ela hip ótese do teorema que to do satisfaz a propriedade , ou seja, x ∈ ∆ ∩ K

  NUE n

  X

  1 log −1 cu

  f (x) n→∞ n j=1

  j lim inf k Df |E k&lt; −c. Note que existe uma in nidade de v alores para N tais que

  1 N N

1 X

  j=n+1 k Df

  j=n+1 k Df

  1 Y

  1 − n) n

  2 · (n

  (x) k ≤ − c

  j

  −1 |E cu f

  1 Y

  j

  1 − n) log n

  2 · (n

  (x) k ≤ − c

  j

  −1 |E cu f

  j=n+1 log k Df

  1 X

  −1 |E cu f

  (x) k ≤ h exp − c

  (x) k ≤ − c

  (x) k ≤ h exp

  2 .

  σ -temp o hip erb óli o para x , onde σ = exp − c

  1 ≤ i ≤ l , teremos que n i é um

  2 -temp o hip erb óli o para x . De mo do análogo, para 0 ≤ n &lt; n i e

  1 é um exp − c

  ⇔ n

  − c 2 i k

  

j

  2 i n

  |E cu f

  k Df −1

  1 −k+1

  j=n

  1 − n = k , n

  −n substituindo n

  1

  2 n

  j

  X j=0 log k Df

  j

  2 &lt; . . . &lt; n l

  1 &lt; n

  (x) k, para v alores do lema 4.2, existe uma seqüên ia 1 &lt; n

  j

  |E cu f

  = − log k Df −1

  (x) k | a j

  |E cu f

  1 (n i

  | log k Df −1

  A = sup 1≤j≤N

  2 = c

  1 = c/2 c

  (x) k≤ −c. T omando c

  j

  −1 |E cu f

  ≤ N , tal que

  − n) n i

  −1 |E cu f

  −1 |E cu f

  j=n+1 log k Df

  1 X

  1 − n) n

  1 (n

  2

  (x) k ≥ c

  j

  j=n+1 − log k Df

  X j=n+1

  1 − n) n

  1 (n

  1 ,

  2 , para to do 0 ≤ n &lt; n i e 1 ≤ i ≤ l. P ara i = 1 e 0 ≤ n &lt; n

  (x) k ≥ c

  j

  |E cu f

  − log k Df −1

1 Y

  4.4 Lema. Seja um onjunto ab erto em , tal que L eb . Dado O ∆ (O ∩ K) &gt; 0 ρ &gt; 0 p e queno, existem um temp o hip erb óli o , uma pr é-b ola hip erb óli a e tais ∆ n V ⊂ O W ⊂ V que é um dis o de r aio tangente ao amp o de ones entr o instável e n

  ∆ = f (W ) δ /4 n

  1 L eb L eb n (f (K)) ≥ (1 − ρ) (∆ ). Demonstração. Seja um n úmero p equeno. Como Leb e a medida ∆ n ∆ n n ε &gt; 0 (O ∩ K) &gt; 0 de Leb esgue é uma medida regular , p o demos tomar um ompa to e um 1ab erto de om , tal que: C ⊂ (O ∩ K)

  A O ∩ K A ⊂ ∆ Leb (A\C)

  ∆ (4.1) Leb &lt; ε.

  (C) Assim p elo orolário 4.3, ada tem in nitos temp os hip erb óli os e p elo lema3.2, para ada (onde ) es olho um -temp o hip erb óli o x ∈ ∆ ∩ K e pré-b olas hip erb óli as tais que . Re orde que é uma vizinhança de x ∈ C C ⊂ (O ∩ K) ⊂ (∆ ∩ K) σ ⊂ A n(x)

  V V

  V x x x que é lev ada difeomor amen te p or em um dis o de raio en trado em , n(x) n(x) x f δ tangen te ao amp o de ones en tro instá v el. 1 f (x)

  δ δ Seja a pré-imagem do dis o ( ) de raio en trada em . n(x)

  1 1 n(x)

  W ⊂ V D(f (x), ) f (x) x x

  4

  4

  n (x) x

  V f W x

  δ b

  1

  x

  δ1

  r=

  4 Como é ompa to, existe uma sub ob ertura nita (ou seja,

  Figura 4.1: ∪ W ∪ . . . ∪ W

  C W x x x s

), tal que . Es rev endo

  1

  2

  ∃ x , x , . . . , x ∈ C C ⊂ W ∪ W ∪ . . . ∪ W

  1 2 m x x x s

  1

  

2

  {n , n , . . . , n } = {n(x ), n(x ), . . . , n(x )} om , onsidere os seguin tes onjun tos: o sub onjun to máximo

  1 2 s

  1 2 m n &lt; n &lt; . . . &lt; n I ⊂ N de , tal que, se , en tão e , para to do om

  1 2 s

  1 {1, 2, . . . , m}

  ∩W ; o sub onjun to máximo de , tal que, se , en tão i ∈ I 1 n(x i ) = n

  1 W x i x j = ∅ j ∈ I

  1 j 6= i I ⊂ {1, 2, . . . , m} i ∈ I n(x ) = n e , para to do om . Assim, de na para

  2 N 2 i

  2 W ∩ W = ∅ j ∈ I ∪ I j 6= i I 2 &lt; k ≤ s da seguin te maneira: sup onha que já foi de nido, en tão é o sub onjun to x i x j

  1 2 k

  I I ⊂ N 1 V eja a de nição no Ap êndi e. k−1 k máximo de , tal que se , en tão e , para to do {1, 2, . . . , m} i ∈ I n(x ) = n W ∩ W = ∅ om . En m, é o onjun to dos índi es dos p on tos que tem k i k x i x j j ∈ I ∪ I ∪ . . . ∪ I j 6= i

  I temp o hip erb óli o .

  1 2 k k n T ome . k

  ∪ I ∪ . . . ∪ I 8 A rmação. é uma ob ertur a de . I = I

  1 2 s {V } C P ela maximalidade dos onjun tos, ada in terse ta algum , para e x i i∈I . E tam b ém , isto é, para to do om , , tal que W x j W x i 1 ≤ j ≤ m i ∈ I n(x ) ≥ n(x ) x 1 ≤ j ≤ m ∃ W , para algum . E assim: j i j x j

  W ∩ W 6= ∅ i ∈ I x i x j n(x i ) f (W ∩ W ) 6= ∅ x j x i

  i i

  n(x ) n(x ) f (W ) ∩ f (W ) 6= ∅ x j x i n(x i ) n(x i ) f (W j ) ∩ D(f , δ /4) 6= ∅ x

  1 W x i n(x i )

  i

  n(x ) f f (W )

  δ 1 /4 x i

  W x j

  δ 1 /4

  n(x i ) f (W ) x j n(x j )−n(x i ) f

  δ /4

  1

  n(x j ) f (W ) x j P ela parte (b) do lema 3.2, Figura 4.2:

  (n(xj )−n(xi))

  n(x i ) n(x i ) n(x j ) n(x j )

  2

  · dist(f dist(f (y), f (z)) ≤ σ (y), f (z))

  (n(xj )−n(xi))

  n(x i ) n(x j )

  2

  diam(f W ) ≤ σ · diam(f W ) x j x j

  (n(xj )−n(xi))

  n(x j )

  2

  · diamD(f = σ (x j ), δ 1 /4)

  (n(xj )−n(xi))

  δ

  1

  2

  · = σ

  2 δ

  1

  ≤

  δ

  1 δ1 4 n

  δ1 (xi) i

  D(f (x ), )

  4 δ1 n

  4 (xi)

  f (W )

  xj onde é o diâmetro do dis o.

  Figura 4.3: Logo, diam ) n(x i ) δ

  1 n(x i )

  D(f (x i ), ) ∩ f (W x j ) 6= ∅ n(x i ) n(x i )

  4 ⇒ f (W ) ⊂ D(f (x ), δ ) x j i

  1 n(x i ) δ

  1

  diam(f W ) ≤ x j e p ortan to, , para to do e algum . Con luindo a a rmação.

  2 W ⊂ V 1 ≤ j ≤ m i ∈ I P elo orolário 3.3, existe uma onstan te uniforme (indep enden te de ), tal que x j x i para to do , γ &gt; 0 i i ∈ I Leb

  ∆ (W x i ) (4.2) Leb ≥ γ.

  (V ) ∆ x i

  ! n n 9 A rmação. L eb L eb [

  X ≤

  A (A ) i i Demonstração. Segue p or de nição de medida. i=1 i=1

  ! n n Em parti ular, se , para , en tão Leb Leb . [

  X A ∩ A = ∅ i 6= j A = (A ) i j i i i=1 i=1 Assim, ! Leb Leb [

  X W i = (W i ) ∆ x ∆ x i∈I i∈I

  X Leb

  γ ∆ (V x i ) i∈I

  X Leb = γ (V )

  ∆ x i i∈I ! Leb [

  ≥ γ

  V ∆ x i Leb i∈I

  ≥ γ (C) onde as desigualdades seguem da a rmação 9, da desigualdade (4.2), do fato de que éuma onstan te uniforme, da a rmação 9 e da a rmação 8 resp e tiv amen te. Ou seja, γ ! Leb Leb (4.3) [ W ≥ γ (C).

  ∆ x i ∆ Leb i∈I \C)

  (W i T omando , obtemos ∆ x ρ = min , i ∈ I Leb

  (W ) ∆ x i

  ! 10 A rmação. L eb L eb [

  X ρ W ≤ (W \C)

  ∆ x i ∆ x i De fato, p ela es olha de : i∈I i∈I ρ Leb

  (W \C) ∆ x i

  ρ ≤ Leb (W ) Leb Leb ∆ x i

  \C) ρ ∆ (W x i ) ≤ ∆ (W x i

  X Leb Leb

  X ρ (W ) ≤ (W \C)

  ∆ x i ∆ x i i∈I i∈I ! Leb Leb [

  X ρ W ≤ (W \C), x i ∆ x i para to do . i∈I i∈I P or (4.1), Leb Leb , logo i ∈ I

  ε (C) ≥ (A\C) ∆ ∆

  ! Leb Leb [ ε (C) ≥ W \C

  ∆ ∆ x i i∈I

  X Leb = (W \C)

  ∆ x i i∈I ! Leb [

  ≥ ρ W i x Leb i∈I

  ≥ ρ γ (C)

  ∆ onde as desigualdades seguem do fato de , da a rmação 9, da a rmação W ⊂ V ⊂ A x i x i 10 e da relação (4.3), resp e tiv amen te. Logo . ε

  ρ ≤ P ela es olha de , existe , tal que γ ρ W x i Leb

  (W \C) ε ∆ x i Leb ≤ ,

  (W ) γ ou seja, a quan tidade de p on tos de em é grande. E p elo on trole de distorção, ∆ x i C W x i Leb Leb n(x i )

  \C) (f (W i )\C) (W i

  ∆ x ∆ x &lt; ρ .

  i Leb Leb n(x )

  (f (W )) (W ) ∆ x i ∆ x i Como é in v arian te e , n(x i ) n(x i )

  K f (C) ⊂ f (K) = K Leb Leb n(x i )

  2 (f (W )\K) (W \C) ε ε

  ∆ x i ∆ x i &lt; ρ ≤ ρ · ≤ . Leb Leb n(x i )

  2 Assim ∆ (f (W x i )) ∆ (W x i ) γ γ Leb

  2 (∆ \K) n(x i ) ε

  1 − ≥ 1 − Leb

  2 (∆ ) γ n(x i ) Leb

  2 (∆ ∩ K) n(x i ) ε

  ≥ 1 − , Leb

  2 (∆ ) γ n(x i ) onde . Como tem in nitos -temp os hip erb óli os e p o de n(x i )

  ∆ = f (W ) K σ ε &gt; 0 ser tomado arbitrariamen te p equeno, basta tomar grande, para termos su i- n(x i ) x i n(x ) n i

  1 en temen te grande de mo do que a medida relativ a de Leb esgue de em seja n f (K) ∆ quase . n

  1

4.5 Corolário. Nas ondiçõ es anterior es, existem uma se qüên ia de onjuntos e uma se qüên ia de inteir os p ositivos , W ⊃ W ⊃ W ⊃ . . .

  n ≤ n ≤ n ≤ . . . tais que:

  1

  2

  3

  1

  2

  3 (a) está ontido em alguma pr é-b ola hip erb óli a de temp o hip erb óli o

  W k n k ; (b) é um dis o de r aio entr ado em algum p onto , tangente ao n k

  ∆ = f (W ) δ /4 x amp o de ones entr o instável; k k 1 k ( ) está ontido em um dis o de r aio entr ado em ; n k f (W ) δ /8 x k+1 1 k L eb n k

  ∆ (f (K)) (d) k lim = 1. L eb k→∞

  (∆ ) ∆ k k Demonstração. Considere uma onstan te , tal que to do dis o de raio 0 &lt; ρ &lt; 1 δ /4 en trado em algum p on to ( ), tangen te ao amp o de ones en tro instá v el,

  1 x D(x, δ /4) Condição : Se L eb L eb , p ar a algum , então L eb onde satisfaz a seguin te ondição:

  1 D (A) ≥ (1 − ρ) D (D) A ⊂ D D∗ (A) &gt; 0 δ é um dis o de r aio entr ado no p onto .

1 D∗ ⊂ D

  x Se a ondição a ima é satisfeita para uma determinada onstan te , en tão a ondição

  8 tam b ém é v álida, para .

  ρ temp os hip erb óli os. V amos apli ar o lema ρ∗ &lt; ρ 4.4 div ersas v ezes para de nir a seqüên ia dos onjun tos e dos Come emos om e uma onstan te , que satisfaz a ondição. P elo lema, existem: O = ∆ 0 &lt; ρ &lt; 1 temp o hip erb óli o;

  • n

  1 pré-b ola hip erb óli a om temp o hip erb óli o ;

  • V ⊂ O

  1 n

  1 n , tal que é tangen te ao amp o de ones en tro

  1

  • W ⊂ V

  1 1 ∆ 1 = f (W 1 ) = D(x 1 , δ 1 /4) n Leb

  1

  (f (K)) ∆ instá v el e

1 Leb ≥ 1 − ρ.

  (∆ ) ∆

  1

  1 Considere o dis o de raio en trada em . P ela ondição estab ele ida, ∗ ∆ ⊂ ∆ δ /8 x

  1

  1

  1

  1 Leb . n

  1 ∗

  (f (K)) &gt; 0 ∆

  1

  n ∗ Seja agora , tal que (note que ). Como Leb ,

  1

1 O f (O ) = ∆ O ⊂ W (O ∩ K) > 0

  1

  1 1 ∆

  1 p o demos apli ar no v amen te o lema 4.4, para e :

  1 temp o hip erb óli o; O = O 1 ρ/2

  • n

  2 pré-b ola hip erb óli a om temp o hip erb óli o ;

  • V ⊂ O

  n

  2

  1

  2 , tal que é tangen te ao amp o de ones en tro n

  2

  • W ⊂ V ∆ = f (W ) = D(x , δ /4)

  2

  2

  2

  2

  2

  1 Leb n

  2

  (f (K)) ρ instá v el e

  2 Leb ≥ 1 − .

  (∆ )

  2 ∆

  2

  2 T omemos o dis o de raio en trada em . P ela ondição a ima,

  ∗ ∆ ⊂ ∆ δ /8 x

  2

  1

  2

  2 n Leb ∗ .

  2

  (f (K)) &gt; 0 ∆

2 Seja , tal que (note que ). Como Leb ,

  n

  2 ∗

  O f (O ) = ∆ O ⊂ W (O ∩ K) &gt; 0

  2

  2

  2 2 ∆

  2 apli amos o lema 4.4 e seguimos do mesmo mo do su essiv amen te.

  2 n2

  f W

  1

  ∆

  2

  x W

  2

  2 δ1

  r=

  4 O

1 Figura 4.4:

  V eja que , p ois são temp os hip erb óli os, e n ≤ n W ⊂ W . Além disso, k k+1 k+1 k Leb n k ∆ (f (K)) ρ

  k lim = lim 1 − = 1. Leb k−1 k→∞ k→∞

  (∆ )

  2 ∆ k k

  4.6 Prop osição. A se qüên ia tem uma subse qüên ia que onver ge p ar a um dis o (∆ ) instável lo al de r aio em . k k

  ∆ δ /4 Λ Demonstração. Seja a seqüên ia se dis os dada p elo orolário 4.5, onde

  1 (∆ k ) k n k , e seja a seqüên ia dos p on tos onde esses dis os estão en trados.

  ∆ = f (W ) (x ) Sem p erda de generalidade, v amos assumir que a seqüên ia on v erge para algum k k k k (x ) p on to . Usando o teorema de As oli-Arzelá , temos que uma subseqüên ia de dis os 2 k k on v erge para algum dis o en trado em , e este dis o será denotado p or . x x ∆ 11 A rmação.

  ∞ ⊂ Λ

  ∆ Considere o seguin te onjun toseqüên ias e tal que n j A = {p ∈ K | ∃ n y lim f (y ) = p}. j j j j→∞ V eja que e tam b ém . En tão,

  2 A ⊂ K f (A) = A A = f (A) ⊂ f (K) ⇒ A = f (A) ⊂ f (K) T e assim , para to do . P ortan to . Como , n n

  A ⊂ f (K) n ∈ A ⊂ f (K) = Λ ∆ ⊂ A N

  ∞ teremos , o que on lui a a rmação. n≥0 ∆ ⊂ A ⊂ Λ Agora basta pro v ar que é um dis o instá v el lo al. Como , ada está

  ⊂ ∆ on tido no -ésimo iterado de (lem bre que é um dis o tangen te ao amp o de ones ∆ ∞ W 1 ∆ k n ∆ ∆ k en tro instá v el). P ela propriedade de dominação (2.1), o ângulo en tre e tende cu

  ∆ E 2 V eja no Ap êndi e. k

  uniformemen te a , quando . Em parti ular, é tangen te a em to do cu n → ∞ ∆ E k ∞ p on to do dis o . P elo lema 3.2, dado , é uma - on tração de , para −n n/2

  ∆ n ≥ 0 f σ ∆ ∞ k um grande. P assando o limite quando k tende a in nito, para to do , é uma −n k n ≥ 1 f n/2 cu −n −n - on tração de na direção , isto é, é on traído p or e tam b ém

  σ ∆ E ∆ f f (∆ ) é tangen te ao amp o de ones en tro instá v el, para to do . ∞ ∞ ∞ n Sab emos, p ela de omp osição dominada, que a expansão na direção é mais fra a cs E que na direção e que existe uma úni a v ariedade instá v el lo al tangen te a cu u cu

  E W (x) E (p elo orolário do T eorema da V ariedade Instá v el/Está v el) que é on traída p or iterados loc negativ os da . P ortan to . u

  ⊂ W f ∆ ∞ (x) loc

  Mostramos en tão que on tém algum dis o instá v el lo al, on luindo a demonstração do teorema prin ipal. Λ

  4.2 Demonstração do T eorema A T eorema A. Seja um dife omor smo e seja um onjunto 1+α omp a to p ositivamente invariante om uma de omp osição ontínua do br ado tangente f : M → M C K ⊂ M T r estrito a , , dominada em . Se a ondição cs cu n

  K T M = E ⊕ E Λ = f (K) NUE K é satisfeita p ar a um onjunto de p ontos de de me dida de L eb esgue p ositiva, então n≥0 Demonstração. P or hip ótese, Leb . Considere uma vizinhança de um p on to ontém algum dis o instável lo al. K

  Λ de densidade , tal que Leb . Seja este p on to de densidade. Logo quase 3 (K) &gt; 0

  V to dos os p on tos desta vizinhança são p on tos de , ou seja, (V ) &gt; 0 p ∈ K Leb K (B(p, r) ∩ K) lim = 1. Leb r→0 V amos laminar a vizinhança p or dis os tangen tes ao amp o de ones en tro instá v el (B(p, r))

  V on tido em . Se , existem , e tam b ém . T ome um dis o tangen te cu cs cu U p ∈ K E E C (p) γ p p p a ao . Seja uma arta lo al, onde e tal que . cu s u u

  C (p) h : V → R ⊕ R n = s+u h(γ ) = {0}× R p 3 V eja a de nição no Ap êndi e. a p E

  cu p

  E cs q

  v ∈Rs |v|&lt;ε

  [

  V é lev ada difeomor- amen te (p ela arta lo al h ), em uma vizinhança do R n ,

  h(γ) + v    = V . Como

  v ∈Rs |v|&lt;ε

  [

    

  = γ . Considere en tão h −1

  γ p

  Figura 4.6: Seja

  γ p

  γ q

  E cs p

  E cu q

  C

  E cu p

  ) + v , para algum v ∈ R s . p q

  ) = h(γ p

  V su ien temen te p equeno, p o demos sup or que h(γ q

  (q) e onsidere a mesma arta lo al. P ara

  C cu a

  h(γ) Figura 4.5: Sejam q ∈ V e γ q um dis o tangen te ao

  u

  R

  s

  h R

  γ

  (p)

  cu a

  h(γ) + v , en tão Leb (V ) &gt; 0

    [ 4 é equiv alen te a Leb . P elo teorema de F ubini :   h(γ) + v

    &gt; 0

  v ∈Rs |v|&lt;ε

    Z

  [ Leb Leb   h(γ) + v [h(γ) + v]d .   =

  s v

  v∈R

  ∈Rs |v|&lt;ε Logo existe , tal que Leb . s

  w ∈ R (h(γ) + w) &gt; 0 Considere o dis o tangen te ao amp o de ones en tro instá v el. −1 En tão Leb . Apli ando o teorema 4.1, on tém algum dis o instá v el lo al. ∆ = h (h(γ) + w) (∆ ∩ K) &gt; 0 Λ

  4.3 Demonstração do T eorema C T eorema C. Seja um dife omor smo e seja um onjunto 1+α omp a to p ositivamente invariante om uma de omp osição ontínua do br ado tangente f : M → M C K ⊂ M T r estrito a , , dominada em . Sup onha que existe um cs cu n

  ⊕ E K T M K = E Λ = f (K) dis o instável lo al , tal que satisfaz a ondição p ar a to do num sub onjunto de n≥0 de me dida p ositiva om r elação a me dida r elativa de L eb esgue. Então ontém γ NUE x algum dis o instável lo al. γ ∩ K

  Λ

  γ

  cu E cu x T γ

  x

  C (x) a Demonstração. Seja um dis o instá v el lo al. P elo T eorema da Figura 4.7: V ariedade Instá v el, é tangen te ao sub espaço en tro instá v el. Seja . γ V eja que o espaço tangen te a γ 4 V eja no Ap êndi e. x ∈ γ ∩ K γ no p on to x está on tida no amp o de ones en tro instá v el, p ois E cu v aria on tin uamen te nos p on tos de

  K . En tão, p ela de nição, γ é tangen te ao amp o de ones en tro instá v el. Apli ando o teorema 4.1, Λ on tém um dis o instá v el lo al. Capítulo 5 hip erb óli os Existên ia de p on tos p erió di os , que satisfazem ertas ondiçõ es, para assim on luir o teorema Neste apítulo, pro v amos a existên ia de p on tos p erió di os hip erb óli os no onjun to

  1 E.

  Λ P elo orolário 4.5, existem uma seqüên ia de onjun tos on tidos W ⊃ W ⊃ W ⊃ . . . em e uma seqüên ia de in teiros p ositiv os , que satisfazem as

  1

  2

  3 3 ∆ n ≤ n ≤ n ≤ . . . a seqüên ia de dis os a um ula-se em um dis o instá v el lo al de raio que ondiçõ es do orolário. T omando uma subseqüên ia, se ne essário, p ela prop osição 4.6,

  1

  2

  3 (∆ )

  ∆ δ /4 está on tido em . Queremos mostrar que on tém a v ariedade instá v el de algum p on to k k ∞

  1 p erió di o. Utilizando a mesma idéia de (3.1), es olha su ien temen te p equeno de mo do Λ Λ que: δ &gt; 0 i) esteja de nida, para to do ; s

  W (z) z ∈ Λ ii) a vizinhança de esteja on tida em ; δ iii) 2δ Λ U −1 −1/4 −1 cu (5.1) kDf (f (y)) · vk ≤ σ kDf |E k · kvk, f (x) para , e . cu x ∈ Λ dist(x, y) ≤ 2δ v ∈ C (y) 1 Um p on to é um p on to p erió di o de , de p erío do , se , para algum . a m

  q ∈ M f m f m ∈ (q) = q Z

  5.1 Definiçã o. O onjunto -limite de um p onto é o onjunto dos p ontos de a umulação das se qüên ias dos iter ados do p onto, ou seja, é de nido p or ω x ∈ M

  i se qüên ias tais que n ω(x) = {y ∈ M; ∃ n → +∞ f (x) → y}. E do mesmo mo do, de nimos o onjunto -limite de p or i

  α x se qüên ias tais que n i α(x) = {y ∈ M; ∃ n → −∞ f (x) → y} Como a v ariedade é ompa ta, o onjun to -limite de qualquer órbita é um i 2 om o -limite. onjun to ompa to não v azio. E se a órbita de algum p on to é p erió di a, en tão ela oin ide M ω 5.2 Prop osição. Dado om L eb , existem um p onto p erió di o hip erb óli o ω

  Λ ⊂ Λ (Λ ) &gt; 0 e (que não dep ende do p onto ), tais que:

  1

  1 p ∈ Λ δ &gt; 0 p

  2 (a) ; u W (p) ⊂ Λ (b) o tamanho da é no mínimo ; u

  W (p) δ

  2 loc ( ) quase to do p onto da p erten e a , om r elação a me dida de L eb esgue r elativa u W (p) K loc a ; u

  W (p) loc (d) existe om . u Demonstração. Mostraremos ini ialmen te a existên ia do p on to p erió di o. Seja o x ∈ Λ 1 ω(x) ⊂ W (p) en tro do dis o (dado p ela prop osição 4.6). Considere o ilindro x

  ∆ ∞ [ s

  C = W (y) δ

  δ e a pro jeção ao longo da v ariedade está v el lo al y∈∆ ∞ π : C → ∆ . Dimin uindo gradativ amen te o raio do dis o , se ne essário, assumiremos que existe δ ∞ um in teiro p ositiv o , tal que, para to do , ∆ ∞ k k &gt; k

  δ

  1 e ∗ π(∆ ∩ C ) = ∆ D(x , ) = ∆ ⊂ C . k δ ∞ k δ k 2 A órbita de um p on to é dada p elo onjun to . n

  8

  x O(x) = {f (x); n ∈ N} E para ada , seja k ≥ k

  π : ∆ → ∆ a pro jeção ao longo da v ariedade está v el lo al. Note que essas pro jeçõ es são on tín uas e . T ome um in teiro p ositiv o su ien temen te grande, tal que k ∞ k π ◦ π = id k &gt; k k ∆ ∞

  1

  1 e k1 k0 n −n π(∆ ∩ C ) = ∆ λ ≤ . k

  1 δ/2 ∞ T eremos:

  4 n n −n n n −n n n −n ∗

  k1 k1 k0 k0 k1 k0 k0 k1 k0

  ∆ = f (W ) = f (f (W )) ⊂ f (f (W )) ⊂ f (∆ ) k

  1 k 1 k 1 k +1

  k ∆ k

  ∗ ∆ k n −n

  k1 k0

  f ∆ k

  1 o que impli a que existe algum dis o , tal que Figura 5.1:

  ⊂ ∆ ∆

  ∞ n −n

  k1 k0

  ◦ π π ◦ f k (∆ ) = ∆ ∞ , Logo existe , tal que está xada p ela apli ação on tín ua s z ∈ ∆ ⊂ ∆ W (z)

  ∞ loc n −n s . En tão existem om e , tais

  k1 k0

  π ◦ f ◦ π z , z ∈ W (z) z ∈ ∆ z ∈ ∆ k k k

  1 k k k 1 k

  1

  δ que k1 k0 . T omando , temos que , para to do n −n s f (z ) = z γ = W (z) dist (w, z ) ≤ 2δ k k

  1

  γ k . Mais ainda, δ w ∈ γ n −n n −n n −n

  k1 k0 k1 k0 k1 k0

  dist (f (w), z ) = dist (f (w), f (z )) γ k

  1 γ k

  n −n

  k1 k0

  ≤ λ · dist (w, z )

  γ k

  1 ≤ · 2δ

  4 δ = .

  2 E assim n −n n −n

  k1 k0 k1 k0

  dist (f (w), z) ≤ dist (f (w), z ) + dist (z , z) γ γ k

  1 γ k

  1

  δ δ ≤

  • 2

  2 = δ. O que impli a que a imagem de qualquer p on to da v ariedade p or dista s n −n

  k1 k0

  W (z) f δ do p on to no máximo , ou seja, . Como é um dis o n −n s s s

  k1 k0

  z δ f (W (z)) ⊂ W (z) W (z) δ δ δ 3 top ológi o, apli ando o T eorema do P on to Fixo de Brou w er , a apli ação admite n −n

  k1 k0

  f um p on to xo, ou on tém algum p on to p erió di o da apli ação de p erío do s W (z) p f

  δ . Como , e é fe hado, temos que . s − n ⊂ Λ m = n k k z ∈ ∆ ∞ p ∈ W (z) Λ p ∈ Λ

  1

  δ Pro v aremos agora que é um p on to hip erb óli o. Como , basta mostrar s p p ∈ W (z)

  δ que . −m cu

  m

  kDf |E k &lt; 1 f (p) Seja . Como , en tão p erten e a vizinhança s n s

  k0

  q = W (z) ∩ f (W k ) p ∈ Λ ∩ W (z) q 2δ

  δ δ V eja que é temp o hip erb óli o de , para algum .

  1 de (que está on tida em ).

  Λ U n y y ∈ W k k P elo lema 3.2,

  1

  1

  n

  k1

  Y −1 cu j/2

  i

  kDf |E k ≤ σ , f (y) i=n −j+1

  k1

  n Q para to do . Mas −j cu k1 −1 cu , en tão tomando 1 ≤ j ≤ n kDf |E k = kDf |E i k k

  f (y)

  1 nk1 i=n −j+1 f (y)

  k1 e , temos: −n k0

  j = m = n − n y = f (q) k k

  1

  −m cu m/2

  f (q) Como , en tão . Mais a es olha de em (5.1), teremos: s p, q ∈ W (z) dist (p, q) ≤ 2δ δ

  

m

kDf |E k &lt; σ .

  γ δ

  −m cu −1 cu −1 cu −1 cu

  m m

  kDf |E k = kDf |E k · kDf |E

  2 k . . . kDf |E k

  f (p) f (p) f (p) f (p) m Y

  −1 cu

  j

  = kDf |E k f (p) j=1

  −1/4 −1 cu −1/4 −1 cu −1/4 −1 cu

  m

  ≤ σ kDf |E k · σ kDf |E

  2 k . . . σ kDf |E k

  f (q) f (q) f (q) m Y

  −1 cu −m/4

  

j

  = σ · kDf |E k f (q) j=1

  −m/4 m/2 ≤ σ · σ m/4

  = σ P ara on luir a parte (a) da prop osição, v eja que é um p on to p erió di o hip erb óli o &lt; 1. p 4 e u cu - que existe tangen te à bra . P elo Lema , orta transv ersalmen te

  W (p) E λ ∆ ∞ 3 T o da apli ação on tín ua, , que lev a um dis o nele mesmo admite um p on to xo. loc

  f 4 V eja no Ap êndi e. : D → D s u , daí o dis o apro xima-se da no futuro. Como e é in v arian te W (p) ∆ W (p) ∆ ⊂ Λ Λ

  ∞ ∞ loc loc p or , os iterados de estarão on tidos em e, p ortan to, . Como é um u f ∆ Λ W (p) ⊂ Λ Λ

  ∞ loc onjun to fe hado, . u W (p) ⊂ Λ P ara pro v ar a segunda parte da prop osição, da parte (a) temos: loc m

  Y −1 cu m/4 1/4 m

  j

  kDf |E k ≤ σ = (σ ) , f (p) j=1 ou seja, to do - m últiplo de é um temp o hip erb óli o de . Es olhendo , tal que 1/4 m σ p δ &gt; 0

  2 a -vizinhança de esteja on tida em e tam b ém , −1 −1/8 −1 cu kDf kDf |E k

  δ K U (f (y))k ≤ σ

  2 f (x) para e , e apli ando o lema 3.2 em , e u u x ∈ K dist(x, y) ≤ δ W (p) ⊂ U p ∈ W (p) ∩ K

  2 loc loc um temp o hip erb óli o - de , teremos uma vizinhança em que é lev ada 1/4 u m σ p

  V W (p) m loc p or difeomor amen te no dis o de en tro e raio . Como a v ariedade m m f f (p) = p δ

  2 instá v el é in v arian te p or , . O que on lui a parte (b) do resultado. u f D(p, δ ) ⊂ W (p)

  2 loc Considere su ien temen te p equeno, de mo do que to do p on to p er- u r &gt; 0 q ∈ W (p) r tença a v ariedade está v el de algum p on to de , ou seja, , para . P or s

  ∆ q ∈ W (x) x ∈ ∆ ∞ ∞ loc onstrução, é a um ulado p or dis os e p ela prop osição 4.5, n k

  ∆ ∆ = f (W ) ∞ k k Leb n k

  (f (K)) ∆ k lim = 1. Leb k→∞

  (∆ ) Como é p ositiv amen te in v arian te, ∆ k k K Leb Leb

  (K) (K ∩ ∆ ) ∆ k k lim = lim = 1. Leb Leb k→∞ k→∞

  (∆ ) (∆ ) ∆ k k k P assando o limite, Leb Leb . De mo do análogo, Leb u

  (K ∩ ∆ ) = (∆ ) (K ∩ W (p)) = ∞ ∞ Leb . u

  (W (p)) P ara pro v ar a última parte da prop osição, lem bremos que é o onjun to de p on tos ω(x) , tais que existem seqüên ias onde on v erge para . P ela parte ( ), os iterados n i y n f (x) y i de a um ulam-se no dis o . Considere os p on tos , omo , u s

  K ∆ y ∈ W (p) W (y )∩∆ 6= ∅ ∞ i i ∞ en tão , para su ien temen te grande. Deste mo do existem p on tos n k s f (K) ∩ W (y ) 6= ∅ k i n , tais que on v ergem para p elas v ariedades está v eis de . k

  ∈ Λ x f (x ) y y i 1 i i i

  T eorema E. Seja um dife omor smo e seja um onjunto 1+α omp a to p ositivamente invariante, tal que L eb , om uma de omp osição ontínua f : M → M C K ⊂ M (K) &gt; 0

  T do br ado tangente r estrito a , , onde é um onjunto cs cu n ⊕E

  K T M = E Λ = f (K) K n≥0 p ar ialmente hip erb óli o. Sup onha que seja uniformemente ontr ativo e a ondição cs seja válida p ar a L eb esgue quase to dos os p ontos . Então existem p ontos E NUE p erió di os hip erb óli os , tais que: x ∈ K p , p , . . . , p ∈ Λ

  1 2 k (a) , p ar a ada ; u W (p ) ⊂ Λ 1 ≤ i ≤ k i (b) p ar a L eb esgue quase to dos os p ontos , existe om . u x ∈ K 1 ≤ i ≤ k ω(x) ⊂ W (p ) i Mais ainda, se tem dimensão um, então cu

  E ( ) atr ai uma vizinhança ab erta dele mesmo, p ar a ada . u W (p )

  1 ≤ i ≤ k Demonstração. Seja o p on to p erió di o hip erb óli o da prop osição i 5.2. P ela parte (d), p

  1 existe om . Seja a ba ia de , isto é, u u x ∈ Λ ω(x) ⊂ W (p ) B W (p )

  1

  1

  1 u B

  = {x ∈ Λ; ω(x) ⊂ W (p )} Se Leb , en tão quase to dos os p on tos de são p on tos da ba ia, daí quase to dos

  1

  1 (Λ\B ) = 0 Λ

  1 os p on tos de tem limite on tido em . u Λ ω W (p ) Se Leb , onsidere . Claro que Leb . Apli ando

  1 - (Λ\B ) 6= 0 Λ = Λ\B (Λ ) &gt; 0 no v amen te a prop osição 5.2, temos que existe , tal que:

  1

  1

  1

  1 ∈ Λ p

  2

  1 u ;

  • W (p ) ⊂ Λ

  2

  1 u existe om . x ∈ Λ ω(x) ⊂ W (p )

  • 1

  2 Seja a ba ia de . Note que, p elo mo do que de nimos , temos u u

  B W (p ) Λ W (p ) 6=

  2

  2

  1

  1 u . Se Leb , p elo argumen to an terior, o teorema está pro v ado. Caso W (p ) (Λ \B ) = 0 on trário, onsidere . Apli ando a prop osição indutiv amen te, teremos p on tos

  2

  1

  2 Λ = Λ \B

  2

  1

  2 p erió di os hip erb óli os om , para to do e , u u p , p , . . . , p ∈ Λ W (p ) 6= W (p ) i 6= j 1 ≤ i . O in teiro é nito, p ois se tiv éssemos uma seqüên ia in nita de p on tos p erió di os

  1 2 k i j hip erb óli os, omo é fe hado, p o deríamos es olher e su ien temen te pró ximos, e j ≤ k k Λ p p i i

  1

  2 - apli ando o Lema teríamos .

  u u λ W (p ) = W (p ) i

  1 i

  2 Pro v emos agora que quase to dos os p on tos do onjun to têm -limite on tido em K ω u , para algum . Considere

  W (p ) 1 ≤ j ≤ k j u to do M = {m ∈ K; ω(m) * W (p ), 1 ≤ j ≤ k}. j Sup onha que Leb e lem bre que e que está on v ergindo para , n

  M ⊂ K (M) &gt; 0 f (K) Λ p or de nição de . T ome e grande, tal que esteja su ien temen te pró ximo n

  Λ ε &gt; 0 N f (M) de e para e . Considere , s n s n

  Λ W (x) ∩ f (M) 6= ∅ x ∈ Λ n &gt; N W (x ) ∩ f (M) = {m } i i

  ε ε para ada . Como , quando , isto é, s n n x ∈ Λ m ∈ W (x ) dist(f (x ), f (m )) → 0 n → +∞ i i i i i os iterados de apro ximam-se dos iterados de no futuro. No en tan to pro v amos que ε m x i i n q.t.p. de têm -limite em algum , assim para , quando u u

  ∈ Λ Λ ω W (p j ) x i f (x i ) ∈ W (p j ) . Logo os iterados de estarão em , para algum , ou seja, u n → +∞ m W (p ) 1 ≤ j ≤ k i j u para algum . Con tradição, logo Leb .

  ω(m ) ⊂ W (p ) 1 ≤ j ≤ k (M) = 0 i j P ara pro v ar a última parte do teorema, sup onha que a dimensão do seja igual cu

  E a um. Queremos mostrar que atrai uma vizinhança ab erta que on tém , u u para ada . W (p i )

  W (p i ) Dado um p on to p erió di o hip erb óli o, p ela prop osição 5.2, quase to do p on to ( om 1 ≤ i ≤ k p i relação a Leb esgue) da p en ten e a . P elo orolário 4.3, esses p on tos p ossuem u in nitos temp os hip erb óli os, e p elo lema 3.2, existem vizinhanças desses p on tos que são W (p i ) K 5 lev adas difeomor amen te para ar os de raio . Considere u

  γ (x) δ

  1 [ s

  N (x) = W (y), δ

  

u

  y∈γ (x) para Leb q.t.p. . P ela propriedade de dominação (2.1), o ângulo de u u

  } x ∈ W (p i )\{p i γ (x) e de , om é sempre maior igual a , para algum . Assim para s u

  W (y) y ∈ γ (x) θ θ &gt; 0 to do p on to de , existe uma b ola de raio uniforme on tida em . E p ortan to, o δ N (x)

  N (x) [ onjun to é uma vizinhança ab erta de . u

  N (x) W (p ) i

  u i

  x∈W (p ) Seja e de nido omo a ima. Se , en tão , para u s x ∈ W (p ) N (x) z ∈ N (x) z ∈ W (y) i

  δ algum . Desta forma, existem p on tos que se a um ulam em , isto é, u u y ∈ γ (x)

  W (p ) i u .

  ω(z) ⊂ W (p ) i

  5 Em dimensão , as v ariedades são hamadas de ar os ou urv as.

  1 Capítulo 6 P ositiv o Conjun tos Hip erb óli os om V olume 6.1 Definiçã o. Um onjunto p ositivamente invariante é transitiv o, se existe um

  6.1 Conjun to Hip erb óli o T ransitiv o p onto uja órbita é densa em . A An tes de ini iar a demonstração do teorema x ∈ A A F, pre isamos de alguns lemas:

  6.2 Lema. Se é um onjunto hip erb óli o tr ansitivo que ontém a varie dade instável lo al de algum p onto, então ontém a varie dade instável lo al de to dos os seus p ontos. Λ Λ Demonstração. T omemos um p equeno, de mo do que e se in ter- s u

  δ &gt; 0 W (x) W (y) se tem no máximo em um p on to, para to do . Considere o p on to tal δ δ x, y ∈ Λ x ∈ Λ que e o p on to om a órbita densa em (este p on to existe p ois é u W (x ) ⊂ Λ z ∈ Λ Λ Λ transitiv o). δ Seja . [V eja gura 6.1℄ s u x = W (z) ∩ W (x )

  1 δ δ Como , , ou seja, os iterados de e se u −n −n x ∈ W (x ) dist(f (x ), f (x )) → 0 x x

  1

  1

  1 δ apro ximam no passado e assim , e p ortan to u u u

  ∈ W x (x ) W (x ) = W (x ) ⊂ Λ.

  1

  1 δ δ δ Seja um p on to qualquer. Queremos mostrar que . T ome uma u y ∈ Λ

  W (y) ⊂ Λ δ seqüên ia de in teiros , tal que quando , ou seja n k

  0 &lt; n &lt; n &lt; . . . f (z) → y k → ∞ x x

  1 W u δ

  (x

  (x

  (W u

  ⇔ a ∈ f n

  1 )

  (x

  −n (a) ∈ W u

  −→ 0 ⇔ f

  1 )) m→∞

  (a)), f n−m

  W u

  (f −n

  −→ 0 ⇔ dist(f n−m

  1 ))) m→∞

  (x

  (f −m

  (a))), f n

  (f −n

  (f −m

  1 )). P or Λ ser in v arian te (p ela apli ação f ) e p ela a rmação a ima, temos:

  δ (x k

  (x 1 ))) m→∞

  1 )) ⊂ Λ. Vimos que a seqüên ia x k on v erge para y , quando k v ai para o in nito, logo as v arie- dades instá v eis destes p on tos da seqüên ia estão on tidas em

  E u , resp e tiv amen te. Assim, f

  E s e

  1 ) . P elo orolário do T eorema da V ariedade Está v el/Instá v el, as v ariedades está v eis e instá v eis são dis os tangen tes a

  (x

  (x k ) está on tida no n k ésimo iterado de W u

  δ (y) . De fato, v eja que ada W u

  D(y) = W u

  Λ e a um ulam-se em algum dis o D(y) que on tém y e que está on tido em Λ (p ois Λ é fe hado) . P ela prop osição 4.6,

  δ (x

  ) = W u

  (W u

  [ k≥0 f n k

  1 )) ⊂

  δ (x

  (W u

  1 )) = f n k

  (x

  δ (f n k

  −→ 0 ⇔ dist(f n

  (f −m

  (x ) W s

  (z)) −→ quando k → ∞ . P ortan to dist(f n k

  1 ), f n

  (x

  k

  1 ), y) ≤ dist(f n

  (x

  k

  1 ), y) −→ 0 quando k → ∞ p ois dist(f n

  (x

  1 ), f n k

  (z)) + dist(f n

  (x

  δ (z) , en tão dist(f n k

  1 ∈ W s

  (z), y) −→ 0 quando k → ∞ . Como x

  Figura 6.1: dist(f n k

  1 ) z

  δ (x

  δ (x ) W s

  k

  k (z), y). A rmação.

  (a)), f n

  −m (f n

  (f −m−n

  −→ 0 ⇔ dist(f n

  1 )) m→∞

  −m+n (x

  −m (a), f

  −→ 0 ⇔ dist(f

  1 ))) m→∞

  (x

  −m (a), f

  W u

  1 )) ⇔ dist(f

  (x

  (f n

  1 )) De fato, a ∈ W u

  (x

  (W u

  1 )) = f n

  (x

  (f n

  −n é uma on tração

  de , p elo lema u 3.2. Quando , é uma on tração do dis o na −n W (x ) k → +∞ f D(y) k direção , ou seja, é on traído p or . P ela uni idade da v ariedade instá v el, u −n

  E D(y) f u .

  D(y) = W (y) δ 6.3 Definiçã o. Seja um onjunto hip erb óli o e invariante p or um dife omor smo .

  Λ f Dizemos que tem estrutura de pro duto lo al, se existe , tal que u

  Λ ε &gt; 0 W (p) ∩

  ε s , .

  ∀ p, q ∈ Λ W (q) ⊂ Λ

  ε Note que p elo lema an terior, o onjun to p ossui estrutura de pro duto lo al. 6.4 Lema. Seja é um onjunto hip erb óli o que atr ai um onjunto de volume p ositivo. Λ Então existe um p onto de tal que a varie dade instável lo al deste p onto está ontida em Λ . Λ Λ Demonstração. Seja a vizinhança de om extensõ es on tín uas de e . P or cs cu hip ótese, o onjun to atrai um onjun to de v olume p ositiv o, seja este onjun to. En tão U Λ E E

  Λ A os iterados de , , apro ximam-se de , para um grande. Existem um ompa to n

  A f (A) Λ n , om Leb , e tal que , para to do . n C ⊂ A (C) &gt; 0 N f (C) ⊂ U n &gt; N

  [ Considere . n K = f (C) ∪ Λ Apli ando o teorema E para o onjun to ompa to de nido a ima, temos a existên ia n&gt;N do p on to om . u p W (p) ⊂ Λ loc T eorema F. Seja um dife omor smo e seja um onjunto 1+α hip erb óli o tr ansitivo. f : M → M C Λ ⊂ M

  (a) Se tem volume p ositivo, então (b) Se atr ai um onjunto de volume p ositivo, então atr ai uma vizinhança dele Λ Λ = M; mesmo. Λ Λ Demonstração. Como assumimos ini ialmen te que é um onjun to fe hado, para mostrar que oin ide om a v ariedade onexa, basta pro v ar que é tam b ém um Λ onjun to ab erto. Sup onha que Leb . Segue do orolário Λ M Λ B, que on tém algum dis o instá v el lo al. Apli ando o lema 6.2, on tém to das as v ariedades instá v eis de to dos os seus (Λ) &gt; 0 Λ Λ p on tos. Apli ando o mesmo lema a , teremos que on tém tam b ém as v ariedades −1 está v eis dos seus p on tos. O onjun to é hip erb óli o, in v arian te e tem estrutura de pro duto lo al. A on tin ui- f Λ dade das v ariedades está v el e instá v el para p on tos do onjun to, impli a que existe , Λ

  ε &gt; 0 tal que, para to do , existe , onde é um úni o p on to, u s 0 &lt; ε ≤ ε δ = δ(ε) &gt; 0 W (p) ∩ W (q) para to do om . ε ε Considere o seguin te homeomor smo p, q ∈ Λ dist(p, q) ≤ δ 1 u s h : (W (p) ∩ Λ) × (W (p) ∩ Λ) −→ Λ

  ε ε u s (x, y) 7−→ W (x) ∩ W (y)

  ε ε Como é ab erto, a pro v ado p elo homeomor smo que é u s (W (p) ∩ Λ) × (W (p) ∩ Λ)

  Λ ab erto. P ara pro v ar a parte (b) do teorema, v eja que se atrai um onjun to de v olume ε ε p ositiv o, apli ando o lema 6.4, existe um p on to em tal que sua v ariedade instá v el lo al Λ Λ está on tida em . P elo lema 6.2, , para to do . Assim: s

  Λ W (x) ⊂ Λ x ∈ Λ ε

  [ s

  W (x) δ é uma vizinhança de ujos p on tos são atraídos para p or iterados da apli ação . x∈Λ

  Λ Λ f

  6.2 Conjun to Hip erb óli o An tes de ini iar a demonstração do teorema G, pre isamos de algumas de niçõ es:

  6.5 Definiçã o. Uma apli ação é top ologi amen te mixing (ou mistur ador a), se p ar a to do p ar de ab ertos não vazios e , existe um inteir o f : M → M U V n &gt; 0 (que dep ende de e ) tal que , p ar a to do . n 1 V eja em [8 ℄ U V f (U) ∩ V 6= ∅ n ≥ n

  Da de nição a ima, se a apli ação é top ologi amen te mixing, en tão os iterados do f onjun to ( ) in terse tam , para v alores su ien temen te grandes de . n 6.6 Definiçã o. Um p onto de é não erran te, se p ar a to da vizinhança deste p onto U f (U)

  V n

  M V existe algum tal que n O onjun to dos p on tos não erran tes será denotado p or . n &gt; 0 f (V ) ∩ V 6= ∅. 2

  Ω(f ) 6.7 T eorema. Seja um dife omor smo om . Sup onha que r é hip erb óli o, onde é o onjunto dos p ontos p erió di os. Então existe uma de om- f : M → M C r ≥ 1 P er(f ) p osição de em onjuntos fe hados disjuntos: , tal que: P er(f ) ∪ . . . ∪ Ω

  P er(f ) P er(f ) = Ω (a) ada é -invariante; 1 s Ω f (b) é top olo gi amente tr ansitivo; k f | A lém disso, p ar a ada , existe uma de omp osição de em onjuntos fe hados Ω k disjuntos: , tal que: 1 ≤ k ≤ s Ω k

  Ω = Ω ∪ · · · ∪ Ω ( ) e , p ar a ada ; k k,1 k,n k f (Ω ) = Ω f (Ω ) = Ω 1 ≤ j &lt; n k,j k,j+1 k,n k k,1 k (d) é top olo gi amente mixing, p ar a to do . n k f : Ω → Ω

  1 ≤ j ≤ n Demonstração. k,j k,j V eja em [12℄. k O onjun to da união dos -limites e -limites será denotado S S ω(x) ∪ α(x) ω α p or . x∈M x∈M 6.8 Prop osição. L(f ) Demonstração. Seja , en tão , para algum , ou , L(f ) ⊂ Ω(f ) para algum . Sup onha, sem p erda de generalidade, que e que é uma y ∈ L(f ) y ∈ ω(x) x ∈ M y ∈ α(x) x ∈ M y ∈ ω(x) U vizinhança de . Logo existem in teiros tais que e estão em . m n y m &gt; n &gt; 0 f (x) f (x) U n m−n m n 2 f [f (U) ∩ U] = f (U) ∩ f (U) 6= ∅. V ejamos um exemplo deste onjun to: onsidere a rotação do ír ulo p or um n úmero irra io-

  1

nal. Nenh um p on to do ír ulo é um p on to p erió di o, mas a órbita de qualquer p on to se apro xima

S x arbitrariamen te de , logo to do p on to de é não erran te e

  1

  1 x S .

  Ω = S

  Assim, , p ois é um difeomor smo. P ela de nição de onjun to não m−n erran te, . f (U) ∩ U 6= ∅ f y ∈ Ω(f ) 6.9 Definiçã o. Sejam um dife omor smo de lasse e um onjunto

  1 f : M → M C Λ

  T hip erb óli o de . Se existe uma vizinhança ab erta de tal que , então n f V Λ Λ = f (V ) é hamado lo almen te maximal n∈Z

  Λ P assemos para a demonstração do teorema G. T eorema G. Seja um dife omor smo e seja um onjunto 1+α hip erb óli o om volume p ositivo. Então existem onjuntos hip erb óli os f : M → M C Λ ⊂ M ⊂ Λ tais que:

  Ω 1 , Ω 2 , . . . , Ω q (a) existe om , p ar a L eb quase to do p onto ; (b) atr ai uma vizinhança dele mesmo em , p ar a ada ; 1 ≤ j ≤ q ω(x) ⊂ Ω j x ∈ Λ

  Ω M 1 ≤ j ≤ q ( ) é tr ansitivo, p ar a ada ; j f |Ω 1 ≤ j ≤ q (d) é denso em , p ar a ada . j

  P er(f ) Ω 1 ≤ j ≤ q A lém disso, p ar a ada , existe uma de omp osição de em onjuntos j 1 ≤ k ≤ q Ω hip erb óli os disjuntos: , tais que: k Ω = Ω ∪ · · · ∪ Ω (e) e p ar a ada ; k k,1 k,n k f (Ω ) = Ω f (Ω ) = Ω 1 ≤ i &lt; n k,i k,i+1 k,n k k,1 k (f ) é top olo gi amente mixing p ar a to do . n k f : Ω → Ω 1 ≤ i ≤ n Demonstração. Como Leb , p ela prop osição 5.2, existe um p on to p erió di o k,i k,i k

  (Λ) &gt; 0 p hip erb óli o de , tal que . Considere . u u

  Λ W (p) ⊂ Λ Σ = W (p) A rmação. on tém , para to do . u De fato, seja . Como é fe hado, existe uma seqüên ia de p on tos da v ariedade Σ W (x) x ∈ Σ x ∈ Σ Σ instá v el que on v erge para , isto é, . Note que a v ariedade instá v el u W (p) x (x ) −→ x dos p on tos da seqüên ia está em . Como essas v ariedades v ariam on tin uamen te, as n n

  Σ v ariedades instá v eis dos p on tos da seqüên ia a um ulam-se na v ariedade insta v el de . x Como é fe hado, . u De na o onjun to Σ W (x) ⊂ Σ

  [ s

  V = W (x).

  δ é uma vizinhança ab erta de , tal que , para . Assim é um onjun to x∈Σ

  V hip erb óli o ompa to lo almen te maximal. P ela prop osição B.7, o onjun to dos p on tos p erió di os é denso no onjun to dos p on tos Σ ω(a) ⊂ Σ a ∈ V Σ não erran tes, ou seja, . Apli ando o teorema 6.7, pro v amos a existên ia

  P er(f ) = Ω(f | ) dos onjun tos hip erb óli os disjun tos om as ondiçõ es ( ), (d), (e) e (f ). Seja , omo to do p on to de p erten e a v ariedade está v el de algum p on to de , Σ en tão . Assim , onde é o onjun to dos -limites e -limites a ∈ V

  V Σ

  ω(a) ⊂ Σ ω(a) ∈ L(f | ) L(f | ) ω α dos p on tos de . P ela prop osição 6.8, , logo . Σ Σ Σ L(f | ) ⊂ Ω(f | ) ω(a) ⊂ Ω ∪. . .∪Ω , ∀a ∈ V Como os onjun tos são in v arian tes, , para algum e para Σ Σ 1 s , on luindo a parte (a) do teorema. Ω 1 , . . . , Ω s ω(a) ⊂ Ω i 1 ≤ i ≤ s a ∈ V Reordenando os onjun tos, se ne essário, seja , om . T omando o

  Ω , . . . , Ω q ≤ s

  V onjun to de medida p ositiv a, tal que , e , om , teremos que 1 q i a ∈ V ω(a) ⊂ Ω 1 ≤ i ≤ q Ω atrai um onjun to de medida p ositiv a. Como é transitiv o, apli ando a segunda parte i i i f | do teorema F, atrairá uma vizinhança dele mesmo, nalizando o teorema. Ω i

  Ω i Ap êndi e A Ap êndi e

  Seja uma v ariedade onexa ompa ta riemanniana. Considere a apli ação M um difeomor smo. f : M → M B.1 De niçõ es e T eoremas P ara de nirmos p on tos xos e p erió di os, onsidere os iterados de apli açõ es dadas f indutiv amen te p or , , . 1 n+1 n

  ◦ f f = id f = f f = f B.1 Definiçã o. Um p onto é um p on to xo de , se , p ar a to do m . p ∈ M f f (p) = p B.2 Definiçã o. Um p onto é um p on to p erió di o de , de p erío do , se m ∈ Z q ∈ M f m m , p ar a algum . f (q) = q m ∈ Z P on tos xos e p erió di os p o dem ser lassi ados de a ordo om o omp ortamen to das órbitas dos p on tos da sua vizinhança. A órbita de um p on to é dada p elo onjun to . Assim a órbita n de um p on to p erió di o de p erío do on tém exatamen te p on tos. x O(x) = {f (x); n ∈ N} B.3 T eorema (T eorema do P on to Fixo de Brou w er). T o da apli ação ontínua, , que leva um dis o nele mesmo admite um p onto xo. m m f : D → D B.4 T eorema (T eorema de As oli e Arzelá). Sejam um onjunto omp a to e uma se qüên ia e qui ontínua de funçõ es p ontualmente limitadas. Então K ⊂ M f : K → M n admite uma subse qüên ia uniformemente onver gente (a uma função ontínua

  (f ) n ). f : K → M - B.5 T eorema ( Lema). Seja um dife ormor smo de uma vizinhança de r m tendo omo p onto xo hip erb óli o. Consider e o isomor smo hip erb óli o e a λ f C

  V R p Df (p) de omp osição invariante . Sejam uma b ola ontida na varie dade m s u s s

  = E ⊕ E B ⊂ E R estável lo al , uma b ola ontida em e . Consider e s u u u s u

  W (p) B ⊂ E W (p) V = B × B loc loc um p onto e um dis o de dimensão dim , tr ansversal a s u s q ∈ W (p) − {p} D u = E loc s u n n u em . Seja a omp onente onexa que ontém de . Dado

  W (p) q D f (q) f (D ) ∩ V n loc , existe , tal que se , então está -pr óximo de . u 1 u

  ε &gt; 0 n ∈ N n &gt; n D ε C B n

  u

  W

  s u

  V =B ×B

  u

  D

  n u

  D

  s

  W

  n

  p q f (q) Demonstração. V eja em [9℄. Figura B.1: B.6 T eorema. Se é um esp aço métri o onexo, então e são os úni os sub onjuntos

  ∅ de ao mesmo temp o ab ertos e fe hados. M M B.7 Prop osição. Sejam uma apli ação , onde é ab erto em e um M onjunto hip erb óli o lo almente maximal de . Então os p ontos p erió di os são densos em f : U → M U M Λ . f Ω(f | )

  Λ

  de pr o duto lo al. B.8 Prop osição. Um onjunto hip erb óli o omp a to lo almente maximal tem estrutur a As demonstraçõ es das prop osiçõ es B.7 e B.8 estão em [13 ℄. B.9 Definiçã o. Seja uma varie dade riemanniana. Uma urva p ar ametrizada B.2 Apli ação Exp onen ial M dγ é uma ge o dési a em , se no p onto ; se é ge o dési a D

  γ : I → M t ∈ I ( ) = 0 t γ em , p ar a to do , dizemos que é uma geo dési a. dt dt B.10 Prop osição. Seja uma varie dade riemanniana. Dado , existem uma vizi- t t ∈ I γ M p ∈ M nhança ab erta de em , númer os e e uma apli ação ,

  V p M δ &gt; 0 ε &gt; 0 C , onde e om , γ : (−δ, δ) × D → M D = {(q, w) ∈ T M; q ∈ V w ∈ T M |w| &lt; ε} tais que a urva om , é a úni a ge o dési a de que no instante q p assa p or om velo idade , p ar a ada e p ar a ada om . t → γ(t, q, w) t ∈ (−δ, δ) M t = 0 q w q ∈ V w ∈ T M |w| &lt; ε Demonstração. V eja em [10℄. q

  B.11 Definiçã o. Seja uma varie dade riemanniana. Sejam e um ab erto dado p ela pr op osição B.10. Então a apli ação dada p or M p ∈ M D ⊂ T M exp : D → M w

  |w|, q, exp (w) = exp(q, w) = γ(1, q, w) = γ , q p ar a , é hamada de apli ação exp onen ial em . |w| Geometri amen te, é o p on to de obtido p er orrendo um omprimen to igual (q, w) ∈ D

  D exp (w) M q a , a partir de , sobre a geo dési a que passa p or om v elo idade igual a . w

  |w| q q |w| B.12 Definiçã o. Sejam um semi-anel de um esp aço top oló gi o e B.3 Medida e In tegração

  S uma me dida nitamente aditiva. A me dida é regular, se vale: X µ : S → [0, +∞] µ ∀ S ∈ S

  (a) µ(S) = inf{µ(A); A é um ab erto que p erten e a S e ontém S}; (b) µ(S) = sup{µ(C); C é um omp a to que p erten e a S e ontém S}. B.13 Definiçã o. Os p ontos x de R n tais que existe o se guinte limite: lim r→0 L eb

  µ -q.t.p. x ∈ X e ν -q.t.p. y ∈ Y p or φ(x) =

  X φdµ =

  R

  R X×Y f d(µ × ν) =

  1 (ν) . ( )

  ψ ∈ L

  1 (µ) e

  X f (·, y)dν . Então φ ∈ L

  R

  R Y f (x, ·)dν e ψ(y) =

  ψ : Y → R de nidas r esp e tivamente em

  (B r

  φ : X → R e

  1 (µ) , p ar a ν -q.t.p. y ∈ Y . (b) Sejam

  1 (ν) , p ar a µ -q.t.p. x ∈ X ; f (·, y) ∈ L

  σ - nitas. Então (a) f (x, ·) ∈ L

  1 (µ × ν) , onde µ e ν são me didas

  A . Um p on to x não pre isa p erten er ao onjun to A para ser um p on to de densidade. V eja que, se x é um p on to de densidade de A , en tão existe uma b ola en trada em x de raio su ien temen te p equeno, tal que quase to dos os p on tos são p on tos de A . B.14 T eorema (T eorema de F ubini). Seja f ∈ L

  A de R n , dizem-se p on tos de densidade (de L eb esgue) de

  (x)) = 1 p ar a um sub onjunto

  (x) ∩ A) L eb (B r

  R Y ψdν . Demonstração. V eja em [11℄. Referên ias Bibliográ as [2℄ Alv es, J. [1℄ Alv es, J.F., Pinheiro, Positive V olume, T ransa tion of the Ameri an Mathemati al So iet y (2007). F., Bonatti, C., Viana, M. SRB me asur es for p artial ly hyp erb oli systems V. T op olo gi al Stru tur e of (Partial ly) Hyp erb oli Sets with [3℄ Ab den ur, Nonlinearit y (2000). whose entr al dir e tion is mostly exp anding, In v en t. Math (2000), 351-398. F., Bonatti, C., Díaz, L.J. Non-wandering sets with non-empty interior, [5℄ Bo w en, R. A horsesho e with p ositive me asur [4℄ Bo hi, J., Viana, M. Lyapunov exp onents: How fr e quently ar e dynami al systems hyp erb oli ?, A dv an es in Dynami al Systems, Cam bridge Univ ersit y Press (2004). e, In v en t. Math (1975), 203-204. [7℄ Alv es, J.F., Araújo, V., Saussol, [6℄ Fisher, T. Hyp erb oli sets with nonempty interior, Dis . Con t. Dynam. Syst. (2004). niformly hyp erb oli systems, Pro eedings of the Ameri an Mathemati al So iet y , v. B. On the uniform hyp erb oli ity of some nonu- [8℄ Robinson, 131, n. 4, p. 1303-1309 (2003). CR C Press LLC, Florida. C. Dynami al Systems: Stability, Symb oli Dynami s and Caos (1999), [9℄ P alis, J. e Melo, W. Intr o dução aos sistemas dinâmi os (1977), IMP A, CNPq. [10℄ do Carmo, M. Ge ometria R iemanniana (2005), IMP A (Pro jeto Eu lides), edição, a. [11℄ de Castro Jr., Rio de Janeiro. A. A. Curso de T e oria da Me dida (2004), IMP A (Pro jeto Eu lides),

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  [13℄ Katok, (1995), Cam bridge Univ ersit y Press. A., Hasselblat, B. Intr o du tion to the Mo dern The ory of Dynami al Systems

  Instituto de Matemáti a/Depto. de Matemáti a Univ ersidade F ederal da Bahia-UFBa Campus de Ondina, A v. A dhemar de Barros s/n, CEP:40170-110 h ttp://www.pgmat.ufba.br/

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