Universidade Federal de Santa Catarina Curso de Pós-Graduação em Matemática Pura e Aplicada

Livre

0
0
96
1 year ago
Preview
Full text

  

Universidade Federal de Santa Catarina

Curso de Pós-Graduação em Matemática

Pura e Aplicada

  

Atratores para processos em

espaços de fase

tempo-dependentes

  

Carlos Pecorari Neto

Orientador: Prof. Dr. Matheus Cheque Bortolan

Florianópolis

Fevereiro de 2017

  Universidade Federal de Santa Catarina Curso de Pós-Graduação em Matemática Pura e Aplicada Atratores para processos em espaços de fase tempo-dependentes Dissertação apresentada ao Curso de Pós- Graduação em Matemática Pura e Apli- cada, do Centro de Ciências Físicas e Matemáticas da Universidade Federal de Santa Catarina, para a obtenção do grau de Mestre em Matemática, com Área de

Concentração em Análise.

Carlos Pecorari Neto Florianópolis Fevereiro de 2017

  Carpe Diem

  Agradecimentos

  Dedico este trabalho a meus pais, Alaor e Maria, aos quais sou infinitamente grato pelo apoio incondicional que me deram ao longo de toda minha vida. São as pessoas que mais admiro nesse mundo. Amo muito vocês.

  Agradeço aos meus irmãos, Alaor e Fabiana, pelo incentivo e tor- cida, assim como por todos os momentos felizes que compartilhamos juntos. Esses momentos tornaram essa jornada menos árdua. Vocês são acima de tudo os meus melhores amigos. Aos meus sobrinhos, cu- nhado, cunhada, primos e tios deixo aqui também meu grande abraço de agradecimento.

  Aos meus amigos da USP: Aline Diniz, Alfredo Jorge, Camila Mi- lano, Diego Alecrim, Hugo Ribeiro, Gustavo Doricci, João Carlos, Mi- lenna Midori, Murilo Zigart, Oriana Ortiz e Roberta Nunes, pela com- panhia diária que tínhamos, das mesas de estudo aos churrascos e ba- res! Meu forte abraço cheio de saudades a todos vocês. Não menos importante, meus agradecimentos também aos amigos da UFSC: Celso Antunes, Ingrid Mathias, Jéssika Ribeiro e Fabio Casula; e também aos amigos de todos os cantos: André van Drunen, Lívia Chierice, Luiz Cotrim, Roberto Sardinha, Rodolfo Gandara e Wesley Paixão.

  Meu agradecimento mais que especial ao David Oviedo e Marcos Abreu. Profa. Regilene Oliveira, não tenho palavras para expressar o quanto você foi importante para a minha formação acadêmica. Obrigado por toda sua disponibilidade e amizade ao longo do tempo que passei na USP.

  Sou imensamente grato também ao meu orientador por todo o tempo dedicado, pela paciência, pelas conversas... Muito obrigado! Eu te admiro muito por sua competência e pela pessoa que você é.

  Por fim, meus agradecimentos à CAPES e ao programa PICME pelo apoio financeiro, tornando possível a realização deste trabalho.

  Resumo

  Neste trabalho estudamos a teoria de atratores pullback para pro- cessos de evolução tempo-dependentes, onde os espaços de fase variam com o tempo. Como aplicação dos resultados abstratos, encontramos o atrator pullback para a equação da onda com velocidade de propagação dependente do tempo. Além disso, buscamos também compreender o comportamento assintótico deste atrator para tempos finais tendendo ao infinito.

  Palavras-chave: Atratores pullback; processo de evolução; equa- ção da onda; espaços tempo-dependentes.

  Abstract

  In this work we study the theory of pullback attractors for time- dependent evolution processes , in which the phase spaces vary with time. As an application of the abstract results, we find the pullback attractor for the wave equation with time-dependent speed of propaga- tion. Furthermore, we seek to understand the asymptotic behavior of this attractor for final times tending to infinity.

  Keywords: Pullback attractors; evolution processes; wave equa- tion; time-dependent spaces.

  Sumário

  1

  4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  7 . . . . . . . . . . . . . . .

  8

  

  10

  . . . . . . . . . 10

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

  . . . . . . . . . . . . . 12

2.3.1 Processos-TDS T -fechados . . . . . . . . . . . . . . 17

  20

3.1 O problema e suas hipóteses . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

  . . . . . . . . . . 24

  . . . . . . . . . . . . . . . . 35

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

  

  61

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

  . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

  . . . . . . . . . . . . . . . . 65

  

  70

  Introdução

  O estudo de problemas não-autônomos vem sendo o foco de muitos pesquisadores nas últimas sete décadas, como por exemplo e também em As equações e sistemas não- autônomos são de fundamental importância na modelagem e compre- ensão de problemas reais nas áreas de Química, Biologia, Física, Econo- mia e muitas outras, já que naturalmente os termos independentes que aparecem na modelagem são forças que dependem do tempo. Parâme- tros como a taxa de avanço de uma doença, a velocidade de um objeto, os índices nas Bolsas de Valores, e muitos outros, aparecem ao mode- lar situações presentes no dia a dia, tornando muito importante tratar estes tipo de equações. Mais especificamente, lidaremos com o com-

  

portamento assintótico de tais problemas e, para isso, o objeto chave

  é o atrator pullback. Os atratores representam o conjunto de estados limites das soluções das equações não-autônomas, e contém também todas as soluções que estão definidas para todo tempo e são limitadas, isto é, o atrator é o objeto que contém quase a totalidade das soluções que buscamos estudar, tendo em vista o problema real.

  Apesar de toda a teoria já desenvolvida nessa área, grande parte dela endereça apenas sistemas definidos sobre um espaço de fase de estados

  

fixo, isto é, consideramos evoluções de estados iniciais que permanecem

  sempre no mesmo espaço. Estes processos são suficientes para modelar a grande maioria das aplicações, porém, não cobrem todas. Em os autores trazem uma importante contribuição para esta área, ao estudar o operador solução de uma equação de Klein-Gordon, com aplicação em teoria cosmológica, que possui uma densidade Hamiltoniana tempo- dependente.

  Utilizando-nos dessa abordagem, e seguindo os trabalhos estudaremos detalhadamente nessa dissertação a equação diferencial parcial

  ǫ tt t

  (t)u (x, t) + αu (x, t) − ∆u(x, t) + f(u(x, t)) = g(x) (P)

  3

  ,

  num domínio limitado Ω ⊂ R com condição de fronteira de Dirichlet. Nela, o coeficiente ǫ (t) é uma função positiva decrescente que tende a zero para t grande. Se

  ǫ

  (t) ≡ ǫ é uma constante positiva, a equação se torna um processo autônomo, conhecido como equação da onda amortecida, que foi com- pletamente estudada em É importante notar que a teoria clássica falha ao tentarmos encontrar um atrator pullback para esta equação no

  1

  2 espaço de fase natural H

  (Ω) × L (Ω), já que a energia natural deste sistema não tem uma clara dissipação. Portanto é razoável considerar- mos o estudo deste problema em espaços que variam de acordo com o tempo a fim de corrigir este problema, introduzindo o parâmetro ǫ

  (t) na norma do espaço. Este será então o objetivo do nosso trabalho. Dividimos a dissertação em quatro capítulos e um apêndice. O pri- meiro capítulo é uma compilação dos resultados clássicos de atratores pullback para processos de evolução cujo espaço de fase é fixo (um es- tudo mais completo poderá ser obtido em

  ). Como mencionado anteriormente, essa teoria padrão é muito utilizada em uma série de aplicações, porém se mostra insuficiente em alguns problemas de evo- lução com coeficientes dependentes do tempo, o que motiva uma genera- lização para o caso de processos em espaços de fase tempo-dependentes, o que será feito no decorrer do Capítulo 2. Estes dois primeiros capí- tulos, portanto, caminham em paralelo, permitindo ao leitor entender os resultados do primeiro como casos particulares daqueles apresenta- dos no segundo, e também observar que essa generalização ocorre de maneira natural. Porém, caso prefira, o leitor pode iniciar seu estudo diretamente do Capítulo 2 sem prejuízo algum por falta de definições ou resultados.

  No Capítulo 2 apresentamos a teoria abstrata essencial para este trabalho, baseada em no qual definimos os conceitos de processos tempo-dependentes e de D −atratores pullback, e buscamos entender quais condições um processo deve satisfazer para que possamos garantir a existência de um atrator deste tipo.

  Nos dois últimos capítulos estudaremos a aplicação de todas es- sas ferramentas teóricas à equação não-autônoma da onda com velocidade de propagação tempo-dependente. As abordagens porém serão distintas: no Capítulo 3 buscaremos provar a existência do atra- tor tempo-dependente para este tipo de equação e estudaremos um resultado de regularidade para tal objeto, enquanto que no Capítulo 4 estaremos focados em entender o comportamento assintótico deste atrator, para t Ð→ ∞. Mais especificamente, mostraremos que tal comportamento está relacionado com o atrator global da equação li- mite αu t (x, t) + Au(x, t) + f(u(x, t)) = g(x).

  Reunimos no Apêndice A várias demonstrações ou referências de re- sultados que são frequentemente usados no decorrer do texto, em geral de caráter mais técnico, e que não são essenciais para o entendimento do trabalho.

  Capítulo 1 Atratores pullback para processos de evolução

  Neste capítulo visamos introduzir o conceito de processos de evolu-

  

ção, também chamados sistemas dinâmicos, e apresentar a teoria básica

  de atratores pullback. O nosso principal objetivo é estudar quais condi- ções um sistema dinâmico deve satisfazer para que possamos garantir a existência de um atrator desse tipo. Omitiremos neste capítulo todas as demonstrações dos resultados apresentados, pois estes serão corolários imediatos dos resultados do segundo capítulo. O leitor que quiser se aprofundar mais na teoria de processos de evolução e atratores pullback pode ver

  Algumas informações importantes sobre nossos objetos de trabalho e também sobre a notação utilizada no decorrer deste texto:

  • o espaço X para o qual definiremos os processos de evolução será sempre um espaço métrico, com métrica dX × X Ð→ [0, ∞);

  • R = {t ∈ R ∶ t ⩾ 0}, R = {t ∈ R ∶ t ⩽ 0};

  − +

  • R t = {s ∈ R ∶ s t}, R t = {s ∈ R ∶ s t};

  2

  • denotamos por

  P o conjunto {(t, s) ∈ R ∶ t s}; C(X) é o conjunto das aplicações contínuas de X em X; •

  • se BX e r > 0, definimos a r-vizinhança de B como o conjunto

  r

  O (B) = {x X d(x, B) < r} ,

  d onde d (x, B) = inf (x, y). y

  ∈B Um conceito de fundamental importância para o estudo da dinâmica assintótica de sistemas dinâmicos é o de semidistância de Hausdorff.

  

Definição 1.0.1. Sejam A e B subconjuntos não-vazios de X. A se-

midistância de Hausdorff entre A e B é dada por dist H d (A, B) = sup (x, B). x

  ∈A Note que, para subconjuntos A, B não-vazios de X, temos

  dist H (A, B) = 0 se, e somente se, A B.

1.1 Processos de evolução

  

Definição 1.1.1. Um processo de evolução em X é uma família de

aplicações a dois parâmetros

  S = {S(t, s) ∶ (t, s) ∈ P} ⊂ C(X)

  que satisfaz (i) S (t, t)x = x para todos x X e t ∈ R.

  (ii) S (t, σ)S(σ, s)x = S(t, s)x para todos x X e s σ t. (iii) A aplicação ψ

  ∶ P × X Ð→ X dada por ψ (t, s, x) = S(t, s)x é S S contínua.

  Em linhas gerais, um processo de evolução S é uma das formas de modelar matematicamente um problema que varia com o tempo. Para todo par

  (t, s) ∈ P, a aplicação S(t, s) ∶ X Ð→ X toma cada ponto

  x

  ∈ X, denominado estado inicial, no instante s ∈ R e retorna um novo ponto S (t, s)x X, denominado estado final, num instante posterior

  t

  ∈ R. Ou seja, a aplicação mostra como um estado inicial (em um dado instante s) evoluiu no decorrer do tempo até um instante final

  t

  . Daí a motivação para os itens (i) e (ii) da definição acima, que chamamos de condições de compatibilidade.

  O primeiro item quer dizer que se o tempo não se altera o ponto inicial também não deve sofrer nenhuma mudança. O segundo item diz que evoluir um ponto de um estado inicial s para um tempo interme- diário σ e posteriormente para um tempo final t é equivalente a evoluir tal ponto de s diretamente para t. Já a terceira condição se mostra necessária em aplicações, e é equi- valente à dependência contínua dos dados iniciais em equações diferen- ciais.

  Definição 1.1.2. Diremos que um processo de evolução

  S é autô-

  nomo se S

  (t, s) = S(t s, 0) para todo par (t, s) ∈ P. Os proces-

  

sos de evolução que não satisfazem essa condição são chamados não-

autônomos .

  Note que no caso autônomo o processo de evolução não depende especificamente dos instantes inicial e final, mas sim do tempo decorrido entre eles. Isto nos leva à seguinte definição:

  Definição 1.1.3. Um semigrupo é uma família a um parâmetro

  • T = {T(t) ∶ t ∈ R } ⊂ C(X)

  que satisfaz (i) T (0)x = x para todo x X. (ii) T

  • .

  (t)T(s)x = T(t + s)x para todo x X e t, s ∈ R

  • (iii) A aplicação ψ ∶ R × X Ð→ X dada por ψ (t, x) = T(t)x é

  T T contínua.

  Observe que se S é um processo de evolução autônomo então a família

  T dada por T(t) = S(t, 0) para cada t ⩾ 0 é um semigrupo. De fato, é claro que para cada t a aplicação T (t) é contínua de X em X e, além disso, temos

  Para (i): T (0)x = S(0, 0)x = x para todo x X. Para (ii): T

  (t)T(s)x = S(t, 0)S(s, 0)x = S(t + s, s)S(s, 0)x . = S(t + s, 0)x = T(t + s)x para todo x X e t, s ∈ R

  • Para (iii): Seja a função h
  • e h são contínuas,

  ∶ R × X Ð→ P × X dada por h(t, x) =

  (t, 0, x). Como ψ = ψh e também ψ T S S segue que ψ é contínua.

  T Por outro lado, dado um semigrupo T , podemos construir um pro- cesso de evolução autônomo S, onde para cada (t, s) ∈ P e x X, definimos S (t, s)x = T(t s)x.

1.2 Atratores pullback

  Nesta seção apresentaremos os conceitos de imagem de um subcon- junto de X, bem como as definições de atração, absorção e invariância para os processos de evolução sob a ótica da dinâmica pullback. A ideia dessa abordagem é trabalhar com o processo de evolução S retro- cedendo o tempo inicial s e mantendo o tempo final t inalterado. Ao final estaremos aptos a definir um dos conceitos mais importantes de nosso estudo: os atratores pullback.

  

Definição 1.2.1. Sejam S um processo de evolução e B um subcon-

junto não-vazio de X. Para cada par

  (t, s) ∈ P definimos a imagem

  de B por S

  (t, s) como sendo o conjunto

  S (t, s)B = {S(t, s)xx B} .

  Definição 1.2.2. Sejam S um processo de evolução, t ∈ R e D X.

  Dizemos que (a) um conjunto B

  ⊂ X atrai pullback D no instante t sob a ação

  de

  S se

  dist H

  lim (S(t, s)D, B) = 0;

  s

  →−∞

  

(b) Um conjunto BX absorve pullback D no instante t sob a

ação de

  S se existe s = s (t, D) ⩽ t tal que S(t, s)D B para todo s .s

  Claramente, se B absorve pullback D no instante t então B atrai pullback D no instante t. A recíproca deste resultado não é verdadeira, porém temos o seguinte resultado.

  Proposição 1.2.3. Se B atrai pullback D no instante t então r

  O (B)

  absorve pullback D para todo r > 0.

  

Demonstração: De fato, se B atrai pullback D no instante t, dado

r

  H . Fixe

  > 0 existe st tal que dist (S(t, s)D, B) < r para todo s s

  s

  e seja xsS(t, s)D qualquer. Então

  d d H

  (x, B) ⩽ sup (z, B) = dist (S(t, s)D, B) < r,

  z

  ∈S(t,s)D

  r

  o que implica x ∈ O (B). Como x é arbitrário segue que S(t, s)D

  r r

  O (B), onde s st. Portanto O (B) absorve pullback D no instante

  t .

  

Definição 1.2.4. Sejam BX, t ∈ R, S processo de evolução em X.

  Dizemos que

(a) B atrai pullback subconjuntos limitados no instante t se B

atrai pullback D no instante t, para cada D

  ⊂ X limitado;

  

(b) B absorve pullback subconjuntos limitados no instante t se

B absorve pullback D no instante t, para cada D

  ⊂ X limitado.

  Definição 1.2.5. Diremos que uma família

  B = {B(t) ∶ t ∈ R} de sub-

  conjuntos de X é invariante pelo processo de evolução

  S se tivermos

  S

  (t, s)B(s) = B(t) para todo par (t, s) ∈ P. Se S(t, s)B(s) ⊂ B(t)

  para todo par

  (t, s) ∈ P, essa família é dita positivamente invari-

  ante e se S

  (t, s)B(s) ⊃ B(t) para todo par (t, s) ∈ P, negativamente invariante. Neste momento podemos introduzir o conceito de atrator pullback para processos de evolução.

  

Definição 1.2.6. Seja S um processo de evolução. Uma família A =

  {A(t)∶ t ∈ R} de subconjuntos de X é um atrator pullback para S se

  (i) A (t) é compacto em X para cada t ∈ R. (ii) A é invariante.

(iii) Para cada t ∈ R, A(t) atrai pullback subconjuntos limitados de X

no instante t sob a ação de S.

  (iv)

  A é minimal com respeito à propriedade (iii), isto é, se C = {C(t) ∶ t ∈ R} é uma família de fechados satisfazendo (iii), então

  A (t) ⊂ C(t) para todo t ∈ R.

  

Observação 1.2.7. A condição (iv) da Definição é colocada para

garantir que se um processo de evolução tem atrator pullback, então ele

é único (veja Definição 1.12 de

1.3 Existência de atratores pullback

  Para enunciarmos o resultado que garante a existência de um atra- tor pullback para um processo de evolução, precisaremos de mais dois conceitos. O primeiro deles é o de conjunto ω-limite pullback, cuja ideia é entender onde um subconjunto do espaço “se acumula” em um dado tempo final t, sob a ação do processo de evolução S.

  

Definição 1.3.1. Sejam S processo de evolução em X e B X. O

subconjunto de X definido por ω S

  (t, s)B (B, t) = ⋂ ⋃

  

σ s

  ⩽tσ é chamado o ω-limite pullback de B em t.

  

Observação 1.3.2. O ω-limite pullback claramente é um fechado em

X , pois é uma interseção de conjuntos fechados em X.

  A definição acima é, muita vezes, inviável para aplicação em resul- tados. Porém temos a seguinte caracterização:

  Proposição 1.3.3. Sejam BX e t ∈ R. Então

  −

  ω n n e n n

  (B, t) = {y X existem sequências {s } ⊂ R t {x } ⊂ B ∈N ∈N

  n

  →∞

  S tais que s n n n

  Ð→ −∞ e y = lim (t, s )x }.

  n

  →∞ Demonstração: Vide Proposição no Capítulo 2.

  O segundo conceito é o seguinte:

  

Definição 1.3.4. Seja S um processo de evolução. Dizemos que S é

pullback assintoticamente compacto se para cada t ∈ R e sequên-

  −

  

cias n , n n n limi-

  {s } ⊂ R t {x } ⊂ X satisfazendo s → −∞, {x }

  

n n n

  ∈N ∈N ∈N

  

tada e n n limitada, tivermos que n n possui

  {S(t, s )x } {S(t, s )x }

  n n

  ∈N ∈N subsequência convergente.

  Com estas definições podemos enunciar um dos principais resultados de existência de atrator pullback para processos de evolução.

  

Teorema 1.3.5. Seja S um processo de evolução assintoticamente

compacto. Assuma que existe uma família

  B = {B(t)∶ t ∈ R} tal que

  t B (a)

  ∪ ∈R (t) é limitado em X;

  (b) B

  (t) absorve pullback limitados de X no instante t, para cada

  t ∈ R. Então

  S possui um atrator pullback A = {A(t)∶ t ∈ R} dado por

  A (t) = ω(B(t), t) para cada t ∈ R.

  Demonstração: Vide Teorema no Capítulo 2.

  Este resultado é um dos mais utilizados para mostrar a existência de atratores pullback para processos de evolução em exemplos concretos, que aparecem nas equações diferenciais. Para mais detalhes sobre estes e outros resultados, o leitor pode ver

  Capítulo 2 Atratores para processos em espaços tempo- dependentes

  Neste capítulo iremos estudar a existência de atratores pullback para processos em espaços tempo-dependentes. Como no capítulo an- terior, faremos algumas definições e estabeleceremos as notações que

  t t

  serão usadas daqui pra frente. Para isto, considere uma família {X } ∈R de espaços métricos e denote

  • d t a métrica associada ao espaço X t ;

  d

  • se B t é não-vazio e x t , definimos dist t t

  ⊂ XX (x, B) = inf (x, y);

  y

  ∈B

  t

  • se A e B são subconjuntos não-vazios de X , a semidistância de

  Hausdorff entre A e B é dada por

  δ dist t t (A, B) = sup (x, B).

x

  ∈A

2.1 Processos em espaços tempo-dependentes

  Definição 2.1.1. Seja t uma família de espaços métricos. Um

  {X } t ∈R

  processo-TDS (da abreviação para time-dependent spaces) é uma fa- mília a dois parâmetros

  U = {U(t, s) ∶ t s} ,

  com U s t satisfazendo:

  (t, s)∶ X Ð→ X

  (i) U t para todo t (t, t) é a aplicação identidade em X ∈ R. (ii) U (t, σ)U(σ, s) = U(t, s) para todos s σ t.

  Note que aqui, diferentemente do caso de um único espaço X, omi- timos as condições de continuidade. Não pedimos que U (t, s) seja

  τ t

  contínua de X em X e também não pedimos nenhuma condição aná- loga ao item (iii) da Definição Estas condições serão substituídas por outras mais fáceis de serem aplicadas, mas que estão satisfeitas trivialmente no caso de processos de evolução.

  D 2.2 -atratores pullback

  Para apresentarmos os atratores pullback para processos em espaços tempo-dependentes, precisaremos de uma teoria um pouco mais geral do que a apresentada no Capítulo 1.

  D t

  Para tanto, consideremos a classe S de todas as famílias ˆ = {D }

  t

  ∈R

  A B

  com D t t para todo t se A t t para todo ⊂ X ∈ R. Diremos que ˆ ⊂ ˆ ⊂ B

  t ∈ R.

  

Definição 2.2.1. Diremos que uma subclasse D ⊂ S é um universo se

D D D D D dado ˆ

  1 2 tal que ˆ

  2 1 , então ˆ

  2 ∈ D e ˆ ⊂ ˆ ∈ D.

  Os conceitos de atração pullback e absorção pullback ficam assim enunciados:

  B

Definição 2.2.2. Sejam uma família em S e

  U um processo-TDS, ˆ D

  B um universo. Dizemos que ˆ é δ , B

  (i) D-pullback atraente se tivermos lim t τ t

  (U(t, τ)D ) = 0 para

  τ

  →−∞

  D cada t

  ∈ R e ˆ ∈ D dado.

  D

(ii) D-pullback absorvente se dados ˆ ∈ D e t ∈ R, existe τ =

  τ D τ t para todo τ ;

  (t, ˆ ) ⩽ t tal que U(t, τ)DBτ A invariância também possui um análogo de maneira bem usual.

  A

Definição 2.2.3. Uma família ˆ τ t

  ∈ S é invariante se U(t, τ)A = A

  para todo tτ.

  Com estes conceitos, da mesma maneira feita na teoria clássica de atratores pullback, podemos definir aqui o atrator pullback para um processo-TDS, levando em consideração um universo fixado.

  

Definição 2.2.4. Sejam U um processo-TDS e D um universo. Uma

A família ˆ

  ∈ S é D-atrator pullback se

  t é compacto em X t para cada t (i) A ∈ R.

  A é invariante.

  (ii) ˆ A (iii) ˆ é D-pullback atraente. A

  C (iv) ˆ é minimal em relação à propriedade (iii), isto é, se ˆ

  ∈ S é uma

  A C família de fechados D-pullback atraente, então ˆ .

  ⊂ ˆ Observe que a unicidade do D-atrator pullback fica garantida pelo item (iv) da definição acima, da mesma maneira que na teoria clássica de atratores pullback.

2.3 Existência de D-atratores pullback

  Novamente, uma questão natural e pertinente a este estudo é: quais são as condições mínimas que necessitamos impor sobre um processo- TDS para que possamos garantir a existência de um D-atrator pull- back? Nesta seção vamos mostrar que os conceitos de ω-limites pullback e processos-TDS D-pullback assintoticamente compactos são essenciais (porém não suficientes) para a existência de um atrator deste tipo. Como resultado final, iremos obter um forte “candidato” a D-atrator pullback, sobre o qual apenas nos restará verificar a propriedade da invariância, que é verificada de maneira distinta em relação ao caso clássico, e será deixada para a última seção deste capítulo.

  D Definição 2.3.1. Seja

  U um processo-TDS. Para cada ˆ ∈ S e t ∈ R

  D definimos o ω-limite pullback de ˆ em t por ω

D, t U .

  τ

  ( ˆ (t, τ)D ) = ⋂ ⋃

  σ τ

  ⩽tσ

  D

Definimos também o ω-limite pullback de ˆ como sendo a família

D

  ( ˆ ) = {ω( ˆ )}

  D, t ˆω .

  t

  ∈R Note que U τ está em X t para todo τ

  (t, τ)Dt, assim, como no caso clássico, o ω-limite pullback em t é um subconjunto fechado de

  X t t , uma vez que é uma interseção de fechados em X .

  Apresentamos aqui uma caracterização útil do ω-limite pullback via sequências, que generaliza o resultado da teoria clássica (veja Propo- sição e que nos permite utilizar esta família de maneira mais natural no que segue.

  D

Proposição 2.3.2. Sejam U um processo-TDS e ˆ ∈ S um universo.

Então para cada t

  ∈ R temos

  ω

  D, t t n n e n n com

  ( ˆ ) = {y Xexistem sequências {τ } ⊂ R t {x } ∈N ∈N

  n

  →∞

  x n τ para todo n n

  ∈ D ∈ N, tais que τ Ð→ −∞ e

  n y U n n = lim (t, τ )x }. n

  →∞

  

Observação 2.3.3. Observe que para cada n natural, U n n é um

  (t, τ )x

  

ponto em X t . Logo, o limite que aparece na proposição anterior nada

mais é do que o limite usual de uma sequência de pontos do espaço

métrico X t .

  D, t U

Demonstração: Suponha y σ τ τ . Então

  ∈ ω( ˆ ⋃ (t, τ)D ) = ⋂ ⩽tσ

  − −

  y U τ τ para todo σ . Então para cada σ , existe

  (t, τ)D ∈ R t ∈ R t ∈ ⋃ ⩽σ

  n σ σ →∞ U

  uma sequência τ τ tal que y t . Ou {y n } n (t, τ)D n Ð→ y X

  ⊂ ⋃ ⩽σ ∈N

  σ σ σ

  −

  σ

  seja, para cada n , existem τ τ tais que y ∈ N e σ ∈ R t nσ e x nD n =

  n σ σ

  −

  U σ

  . Considere uma sequência n tal que lim n (t, τ n )x n {σ } n ⊂ R t =

  ∈N

  n

  →∞

  σ σ n n

  σ n n n e x n n τ . Como para todo n

  −∞ e defina τ = τ = xD = D n ∈ N,

  

τ

n

  τ σ τ n n e lim n n

  ⩽ σ = −∞, segue que lim = −∞. Além disso, sabemos

  n n

  →∞ →∞

  σ j

  que as sequências n convergem para y quando n {y } → ∞ para cada

  n

  ∈N 1 2 3

  σ σ σ j , y , y , ...

  ∈ N, e portanto a sequência {y

  1

  2 3 } também converge para

  y U

  . Concluímos então que y n n , com τ n n τ = lim (t, τ )x → −∞ e xD n

  n

  →∞ para todo n ∈ N.

  −

  t n n

  Por outro lado, sejam yX e sequências {τ } ⊂ R t e {x }

  n n

  ∈N ∈N

  n

  →∞

  ∈ D n Ð→ −∞ e y = lim (t, τ )x

  U (com x n τ para todo n) tais que τ n n n .

  n

  →∞

  n

  Fixe σt. Como τ → −∞ quando n → ∞, existe n ∈ N tal que

  τ n n n U τ

  ⩽ σ para todo n n . Logo U (t, τ )x τ (t, τ)D para todo ∈ ⋃ ⩽σ

  n

  →∞

  n n n U τ

  ⩾ n . Como U (t, τ )x τ (t, τ)D . Como Ð→ y, segue que y ∈ ⋃ ⩽σ

  − − U τ

  isso ocorre para todo σ σ τ (t, τ)D = ⩽ t fixado, temos y ∈ ⋂ ⋃

  ∈R t ∈R σ

  ω

  D, t ( ˆ ).

  Apresentaremos agora uma sequência de resultados que nos permi- tirão encontrar hipóteses para garantir a existência de um D-atrator pullback para um processo-TDS U, fixado um universo D.

  Proposição 2.3.4. Sejam

  U um processo-TDS e D um universo. Se ˆ

  B

  D, t

  B, t D

  ∈ S é D-pullback absorvente, então ω( ˆ ) ⊂ ω( ˆ ) para todo ˆ ∈ D

  e t B

  B, t t para todo t ∈ R. Adicionalmente se ˆ ∈ D então ω( ˆ ) ⊂ B ∈ R.

  D

  D, t

Demonstração: Fixe ˆ ∈ D, t ∈ R e seja y ω( ˆ ). Então existem

  −

  n n n τ n n

  sequências {τ } ⊂ R t com τ → −∞ e xD tais que U (t, τ )x

  n n

  ∈N

  y B

  quando n → ∞. Como ˆ é D-pullback absorvente, para cada k ⩾ 1

  τ t

  inteiro existe τ (k) ⩽ t k tal que U(t k, τ)DB para todo −k

  τ n n

  ⩽ τ (k). Além disso, para cada k ⩾ 1 inteiro, existe τ ∈ {τ } tal

  k n

  ∈N

  n n t

  que ττ (k), o que implica que U(t k, τ )B . Como

  

k k nk

k n k n n t

  para cada k temos x , então y = U(t k, τ )xB para

  k n k kk k

  cada k ⩾ 1 inteiro.

  k k

  Agora, definindo a sequência {s } por s = t k, observe que

  k

  ∈N

  U k k k n n n n

  (t, s )y = U(t, tk)y = U(t, tk)U(tk, τ )x = U(t, τ )xy,

  k k k k k k s

  onde s → −∞ e yB para todo k ⩾ 1. Pela Proposição

  k y

  B, t

  

D, t

  B, tω( ˆ ) e consequentemente ω( ˆ ) ⊂ ω( ˆ ).

  −

  B, t n

  Fixe t ∈ R e seja y ω( ˆ ). Então existem sequências {τ } ⊂ R t

  n

  ∈N

  U B

  com τ n n τ tais que y n n . Como ˆ é D- → −∞ e xB n = lim (t, τ )x

  n

  →∞

  B

  pullback absorvente e ˆ τ t para ∈ D, existe τt tal que U(t, τ)BB todo τ . Além disso, como τ n n

  ⩽ τ → −∞, existe n ∈ N tal que ττ para todo n . Logo U n n t para todo n , de onde ⩾ n (t, τ )xBn

  B, t

  concluímos que y t . Portanto ω t , para todo tB ( ˆ ) ⊂ B ∈ R.

  

Observação 2.3.5. Segue imediatamente da proposição anterior que

B

  B se ˆ t }

  ∈ D é D-pullback absorvente e {B ∈ D então ˆω( ˆ ) ∈ D.

  t

  ∈R

  C

Proposição 2.3.6. Se ˆ é uma família de conjuntos fechados D-

  D, t D pullback atraente então ω t para todo t

  ( ˆ ) ⊂ C ∈ R e qualquer ˆ ∈ D.

  

D C

Demonstração: Sejam ˆ ∈ D e t ∈ R. Como ˆ é D-pullback atraente

  temos

  

δ , C

  lim t τ t (U(t, τ)D ) = 0.

  τ

  →−∞ −

  D, t n n n τ

  Sejam yω( ˆ ) e sequências {τ } ⊂ R t com τ → −∞ e xD

  n n

  ∈N

  U n n para todo n ∈ N tais que y = lim (t, τ )x . n

  →∞ Logo

  dist U , C dist , C

t t t n n t t n n t

  (y, C ) = dist ( lim (t, τ )x ) = lim (U(t, τ )x )

  n n

  →∞ →∞

  δ t n τ , C t

  ⩽ lim (U(t, τ )D ) = 0,

  n n

  →∞

  t t

  o que implica que yC . Como C é fechado para cada t segue que

  y t D

  ∈ C , e além disso, uma vez que a escolha de ˆ e t ∈ R foi arbitrária,

  D, t t D concluímos que ω ( ˆ ) ⊂ C , para todo t e para todo ˆ ∈ D. Como no caso clássico, precisaremos também da definição de compa-

  

cidade assintótica para processos em espaços tempo-dependentes. Esta

  definição, como todas as outras deste capítulo, também dependerá de um universo fixado.

  

Definição 2.3.7. O processo-TDS U é chamado D-pullback assin-

D toticamente compacto se para cada ˆ

  ∈ D, t ∈ R e sequências

  n e x n τ para todo n n

  {τ } n ⊂ R tD n ∈ N, com τ → −∞, tivermos ∈N que n n é relativamente compacta em X t .

  {U(t, τ )x } n ∈N

  Note que esta definição é um pouco mais geral que a Definição

  D t D

  mesmo considerando o universo das famílias ˆ com ∪ (t) ∈R

  n n

  limitada em X, já que não pedimos aqui que a sequência {U(t, τ )x }

  t

  seja limitada em X . Entretanto, nos resultados a seguir, isto será verificado utilizando outras hipóteses sobre o processo-TDS e o universo envolvido.

  

Proposição 2.3.8. Se o processo-TDS U é D-pullback assintotica-

D mente compacto, então para ˆ

  ∈ D e t ∈ R, temos:

  D, t 1. ω ( ˆ ) não-vazio.

  ( ˆ ) compacto em X

  D, t 2. ω t .

  δ , ω

  D, t 3. lim t τ

  (U(t, τ)D ( ˆ )) = 0

  τ

  →−∞ −

  

Demonstração: De (1): Considere as sequências n com

  {τ } n ⊂ R t ∈N

  τ n n τ para todo n

  → −∞ e xD n ∈ N. Como U é D-pullback assin- toticamente compacto, a sequência n n têm subsequência {U(t, τ )x } n

  ∈N

  t

  convergente para algum ponto y de X . Segue da Proposição que

  y

  D, t

  D, tω( ˆ ) e portanto ω( ˆ ) ≠ ∅.

  D, t

  De (2): Vamos mostrar inicialmente que ω ( ˆ ) é relativamente

  n

  D, t

  compacto. Seja uma sequência em ω {y } n ( ˆ ). Para cada n ∈ N

  ∈N

  1

  n n τ t n n , y n

  existe τ ⩽ −n e xD tais que d (U(t, τ )x ) ⩽ . Como U

  n n n n

  é D-pullback assintoticamente compacto, a sequência {U(t, τ )x }

  n

  ∈N

  k

  →∞

  n n

  tem subsequência convergente (k ∈ N), digamos U(t, τ )x Ð→ y

  k k X t n n

  . Considere a subsequência {y } de {y } . Temos então que

  k n

  ∈N

  

d t n , y d t n , U n n d t n n , y

  lim (y ) ⩽ lim (y (t, τ )x ) + lim (U(t, τ )x ) ⩽

  k k k k k k k k k

  →∞ →∞ →∞

  1

  n t lim = 0, ou seja, yy X . k n k k

  →∞ Como a sequência que tomamos inicialmente é qualquer, concluímos

  D, t

  D, t que ω ( ˆ ) é relativamente compacto, o que implica ω( ˆ ) compacto.

  D, t

  D, t Por outro lado, como ω ( ˆ ) é fechado, segue que ω( ˆ ) é compacto.

  δ t τ , ω

  D, t

  De (3): Queremos provar que lim (U(t, τ)D ( ˆ )) = 0. Su-

  τ

  →−∞ ponha que isso não ocorra. Então existem ǫ n

  > 0 e sequências {τ } n ⊂ ∈N

  − R

  , ω

  D, t

  , x n τ tais que dist t n n

tD n (U(t, τ )x ( ˆ )) ⩾ ǫ para todo n ∈ N.

Por outro lado, como

  U é D-pullback assintoticamente compacto, a sequência n n possui subsequência convergente U n n {U(t, τ )x } n (t, τ k )x k

  ∈N

  t

  D, ty X e segue da Proposição que yω( ˆ ). t

  D, t dist t n n , ω

  D, t

  Temos então 0 = dist (y, ω( ˆ )) = lim (U(t, τ )x ( ˆ ))

  k k k

  →∞ ⩾ ǫ > 0, o que é um absurdo.

  Proposição 2.3.9. Se

  U é um processo-TDS D-pullback assintotica-

  B B mente compacto e ˆ

  ∈ S é D-pullback absorvente, então a família ˆω( ˆ ) é D-pullback atraente.

  D B

Demonstração: Sejam ˆ ∈ D e t ∈ R fixados. Como ˆ é D-pullback

  D, t

  B, t

  absorvente, pela Proposição temos ω ( ˆ ) ⊂ ω( ˆ ), de onde segue que

  δ t τ , ω

  B, t t τ , ω

  D, t

  (U(t, τ)D ( ˆ )) ⩽ δ (U(t, τ)D ( ˆ )) para todo τ t Além disso, como

  U é D-pullback assintoticamente compacto, segue

  δ , ω

  D, t

  do item (3) da Proposição que lim t τ (U(t, τ)D ( ˆ )) = 0

  τ

  →−∞

  δ t τ , ω

  B, t D

  e então lim (U(t, τ)D ( ˆ )) = 0. Como ˆ ∈ D e t ∈ R foram

  τ

  →−∞

  ω B

  tomados arbitrários, concluímos que a família ˆ ( ˆ ) é D-pullback atra- ente.

  A proposição a seguir é uma consequência imediata dos resultados anteriores.

  Proposição 2.3.10. Sejam

  U um processo-TDS D-pullback assintoti-

  B camente compacto e ˆ

  ∈ D uma família D-pullback absorvente. Então

  B, t 1. ω ( ˆ ) ≠ ∅ para todo t ∈ R.

  B, t 2. ω ( ˆ ) é compacto para todo t ∈ R.

  B

  3. A família ˆω ( ˆ ) é D-pullback atraente.

  C

  

4. Se ˆ ∈ S é uma família de fechados D-pullback atraente, então

ω

  B, t t para todo t ( ˆ ) ⊂ C ∈ R. B

  A

  Se ˆ dada por

  ∈ D é D-pullback absorvente, considere a família ˆ

  A t

  B, t = ω( ˆ ) ∀t ∈ R. Pelo que vimos anteriormente, se U é um processo-TDS D-pullback

  A

  assintoticamente compacto, essa família ˆ satisfaz as condições (i), (iii) e (iv) da Definição de D-atrator pullback. Para que de fato

  ˆ

  A

  seja um atrator desse tipo, resta provarmos a propriedade (ii), de invariância. Recorde que no capítulo anterior (onde os espaços não eram variáveis) consideramos as aplicações dos processos de evolução em

  C(X) e isso era fortemente usado para provar a invariância. Note que aqui isso não é possível. O que faremos a seguir é justamente contornar esta situação no caso em que os espaços variam.

2.3.1 Processos-TDS T -fechados

  Começamos com a definição de aplicação fechada entre dois espaços métricos.

  Definição 2.3.11. Sejam X e Y espaços métricos e f

  ∶ X Y uma

  aplicação. Diremos que f é fechada se para cada sequência n

  {x } n ⊂ ∈N

  X com x n n

  → x X e f(x ) → y Y , temos f(x) = y. Note que esta definição é equivalente a dizer que f é fechada se o seu gráfico

  G

  (f) = {(x, f(x))∶ x X} é um subconjunto fechado de X × Y .

  

Definição 2.3.12. Um processo-TDS U é chamado T-fechado se existe

T t t é aplicação fechada para todo t > 0 tal que U(t, tT)∶ XX ∈ R.

  −T Com esta definição somos capazes de mostrar a invariância do ω- limite pullback nos dois próximos resultados.

  

Proposição 2.3.13. Seja U um processo-TDS D-pullback assintotica-

B B mente compacto e T -fechado. Se ˆ

  ∈ D então a família ˆω( ˆ ) satisfaz

  ω

  B, t

  B, t ( ˆ ) ⊂ U(t, t T)ω( ˆ − T), para todo t ∈ R.

  B, t Demonstração: Fixe t

  ∈ R. Se y ω( ˆ ), existem sequências

  U

n n n τ tais que y n n .

  {τ } n ⊂ R com τt T < t e xB n = lim (t, τ )x ∈N

  n

  →∞

  n n n t

  Para cada n ∈ N, defina w = U(t T, τ )xX . Como U é −T

  D

  n

  • pullback assintoticamente compacto, a sequência {w } têm sub-

  n

  ∈N

  

B, t

  sequência convergente para wω( ˆ − T) que, renomeando os índices

  ∈N

  n se necessário, denotaremos também por {w } . n

  n n n n n Então, U (t, t T)w = U(t, t T)U(t T, τ )x = U(t, τ )xy.

  Como U é T-fechado, a aplicação U(t, t T) é fechada, e consequente-

  B, t

  mente y = U(t, tT)w U(t, tT)ω( ˆ −T). Como t ∈ R é qualquer e

  y

  B, t

  B, t

  foi tomado arbitrariamente, segue que ω ( ˆ ) ⊂ U(t, tT)ω( ˆ −T) para todo t ∈ R.

  F

Proposição 2.3.14. Seja ˆ ∈ D uma família de fechados D-pullback

atraente. Se existe T t t para todo t

  > 0 tal que FU(t, t T)F ∈ R,T então ˆ F é invariante.

  Demonstração: Fixe t ∈ R. Para s t temos U t t t .

  (s, t)FU(s, t)U(t, t T)FT = U(s, t T)FT Substituindo t na expressão anterior por t

  − T, obtemos

  U t t ,

  (s, t T)FU(s, t − 2T)FT −2T e assim prosseguindo indutivamente chegamos a

  U t t

  (s, t)FU(s, t nT)FnT para qualquer n ∈ N. Com isso temos

  −nT

  

δ s t , F s s t , F s

(U(s, t)F ) ⩽ δ (U(s, t nT)F ).

  F F

  Como ˆ é D-pullback atraente e ˆ ∈ D, segue que

  

δ , F

  lim s t s (U(s, t nT)FnT ) = 0,

  n

  →∞

  s t , F s

  e consequentemente δ (U(s, t)F ) = 0. Por fim, concluímos que

  U t t s s , para todos s

  (s, t)FU(s, t)FF = Ft. Em particular,

  U t t .

  (t, t nT)FnTF Por outro lado, F t t t . Deste fato e

  = U(t, t)FU(t, t nT)FnT do que concluímos no paragráfo anterior temos F t t .

  = U(t, t nT)FnT Seja agora τ

  ⩽ t. Tomando n suficientemente grande, tnT τ e então

  −nTnT

  

F t t t τ t

= U(t, t nT)F = U(t, τ)U(τ, t nT)FU(t, τ)FF .

  τ t Portanto, U (t, τ)F = F para todos τt, ou seja, ˆF é invariante.

  Estes resultados combinados concluem a invariância do ω-limite (veja a demonstração abaixo) e nos permitem enunciar e demonstrar o resultado mais importante deste capítulo, que nos dá condições sufici- entes para a existência de um D-atrator pullback.

  

Teorema 2.3.15. Suponha U um processo-TDS D-pullback assintoti-

camente compacto e T -fechado. Se ˆ B

  ∈ D é uma família D-pullback

  absorvente e t

  {B } ∈ D, então U possui D-pullback atrator que, ade-

  t

  ∈R mais, é único.

  B

Demonstração: Segue diretamente da Observação que ˆω ( ˆ ) ∈

  D

  ω B

  , e assim a invariância da família ˆ ( ˆ ) segue das Proposições

  Finalmente, assuma agora que a família t t é uma família de {X }

  ∈R espaços de Banach, cada um com sua norma

  X respectivamente, e

  ∥ ⋅ ∥ t considere as seguintes definições:

  

Definição 2.3.16. Para cada t t como

  ∈ R definimos a Rbola de X B

  t t

  (R) = {x X ∶ ∥xXR} .

  t

Definição 2.3.17. Uma família t de conjuntos limitados C t

  {C } t ⊂ ∈R

  X t é chamada uniformemente limitada se existe R

  > 0 tal que

  C t t ⊂ B (R) para todo t ∈ R.

  Se tomamos D b como o universo das famílias uniformemente

  

limitadas , os resultados da parte teórica do artigo de Conti, Pata e

  Temam sobre a existência e unicidade do atrator pullback seguem como casos particulares do que fizemos neste capítulo.

  Com estas definições, a partir de agora, seguiremos a abordagem feita pelo artigo sendo mais conveniente usarmos a denominação

  b

atrator pullback tempo-dependente em vez de D -atrator pull-

back.

  Temos também a seguinte definição, que será utilizada mais adiante.

  

Definição 2.3.18. Um processo-TDS U é dito fortemente contínuo

se U τ t é uma aplicação contínua.

  (t, τ)∶ XX Note que, claramente, todo processo-TDS fortemente contínuo é também T -fechado. Assim, todos os resultados acima de aplicam para este tipo de processo-TDS.

  Capítulo 3 Aplicação à equação da onda

  Todo este capítulo é baseado no artigo de Conti, Pata e Temam , no qual os autores apresentam uma aplicação da teoria de atratores pullback para espaços de fase tempo-dependentes (vista no capítulo anterior). Nosso objetivo aqui é apresentar em detalhes os resultados do artigo, tornando-o mais acessível.

3.1 O problema e suas hipóteses

  ⊂ R

3 Sejam Ω um domínio (aberto e conexo) limitado com fronteira

  2

  

  Ω suave (pelo menos C ) e τ ∈ R um tempo inicial. Considere a seguinte equação diferencial parcial

  ǫ tt t

  (t)u (x, t) + αu (x, t) − ∆u(x, t) + f(u(x, t)) = g(x), t > τ na variável u = u(x, t) ∶ Ω × [τ, ∞) Ð→ R, sujeita às restrições

  1. u

  (x, t) = 0 para todos x Ω e t ∈ [τ, ∞) (condição de fronteira de Dirichlet).

  t 2. u (x, τ) = a(x) e u (x, τ) = b(x) (condições iniciais).

  3 onde α > 0 é uma constante e a, b∶ Ω ⊂ R Ð→ R são funções dadas, com

  a satisfazendo a condição de compatibilidade a (x) = 0 para x Ω.

  Tal problema é a conhecido como equação da onda com ve-

  

locidade de propagação variável com o tempo. Claramente a dependência de t da função ǫ dá um caráter não-autônomo a esta equa- ção.

3.1.1 Hipóteses sobre ǫ

1 A função ǫ

  ∈ C (R) é uma função decrescente tal que

  ǫ

  lim (t) = 0. (3.1)

  t

  →∞ ′ existe L (3.2) > 0 tal que sup (∣ǫ(t)∣ + ∣ǫ (t)∣) ⩽ L.

  

t

  ∈R ′

  Note que com estas hipóteses temos ǫ (t) ⩾ 0 e ǫ (t) ⩽ 0 para todo

  t ∈ R.

  3.1.2 Hipóteses sobre f

  2 Fixamos f uma função em C (R) tal que f(0) = 0, existe constante

  c

  ⩾ 0 tal que ′′

  (3.3) ∣f (s)∣ ⩽ c(1 + ∣s∣) para todo s ∈ R. e além disso temos

  f

  (s) 1 , lim inf > −λ (3.4)

  ∣s∣→∞ s onde λ 1 é o primeiro autovalor do operador

  −∆ com condição de fron-

  2

  1

  2 teira de Dirichlet, cujo domínio é D

  (−∆) = H (Ω) ∩ H (Ω) ⊂⊂ L (Ω), onde o símbolo ⊂⊂ denota uma inclusão compacta. Pedimos que f satisfaça uma condição adicional (vide que apresentaremos mais adiante.

  3.1.3 Hipóteses sobre g

2 Pedimos que g = g(x) ∈ L (Ω). Note que a função g não depende do tempo.

  2 Denotaremos o espaço de Hilbert L (Ω) por H e nele definiremos o produto interno e a sua norma associada da seguinte maneira: 2 1

  2 v dx .

  ∣v(x)∣ ) ⟨v, w⟩ = ∫ (x)w(x)dx, v∥ = (∫

  Ω Ω e denotaremos A = −∆ o operador Laplaciano negativo com condição

  

  2

  2 de fronteira de Dirichlet. Neste casAD(A) ⊂ L (Ω) Ð→ L (Ω) é

  2

  1 um operador positivo e auto-adjunto, onde D (A) = H (Ω) ∩ H (Ω).

  σ

  Podemos então construir uma cadeia de espaços de Hilbert H =

  σ 2 D

  1

  2 (A ) para σ ∈ [0, 2] de modo que se 0 ⩽ σ < σ ⩽ 2, temos H = H,

  H

  2 = D(A) e

  H 2 1

  2 σ σ ⊂⊂ H ⊂⊂ H ⊂⊂ H.

  Para cada um destes espaços H σ definimos o produto interno e sua norma associada como: 2 σ σ σ 2 2

  σ, vσ σ

  v, A w vv, w⟩ = ⟨A = ∥A.

  Agora para cada t por ∈ R e σ ∈ [0, 2] fixos, definimos o espaço H t

  2

  2

  2

  σ σ σ σ .

  H t = H × H com norma ∥(a, b)∥ = ∥a∥ + ǫ(t) ∥b

  • 1 σ σ

  H

  t +1 t t

  Quando σ = 0 denotaremos H t simplesmente por H . Claramente H =

  1

2 H

  1 × H = H (Ω) × L (Ω) e

  2

  2

  2 .

  ∥(a, b)∥ H = ∥a∥ 1 + ǫ(t)∥b

  t

  Estes espaços formam uma família tempo-dependente, que será a ideal para o nosso problema, como veremos a seguir. Porém, antes de continuarmos, listaremos alguns resultados técnicos (cujas demonstra- ções, ou referências, se encontram no Apêndice que serão utilizados frequentemente no que segue.

1 Recomendamos ao leitor que veja [8] para resultados sobre operadores positivos auto-adjuntos, potências fracionárias e decomposição espectral.

  1

  2

  2 Lema 3.1.1. Se a, b ∈ R então ab ⩽ (a + b ).

  2 Lema 3.1.2. Sejam h e k funções contínuas para tτ e v uma função

  absolutamente contínua para t

  ⩾ τ tais que

  v

  (t) ⩽ k(t)v(t) + h(t) para quase todo t τ

  Então para t

  ⩾ τ temos

  t t t v k h k

  (r)dr)ds (t) ⩽ v(τ) exp (∫ (s)ds) + ∫ (s) exp (∫

  τ τ s Proposição 3.1.3 (Desigualdade de Poincaré). Se λ

  1 é o primeiro

  

autovalor do operador A e é domínio limitado com fronteira suave,

então para todo u

  1 temosH

  2

  2

  1

  1

  2 1 /2

  u .

  ∥u∥ ⩽ ∥A ∥ = ∥u

  1

  λ

  1 λ

  1

  

s

f

  Proposição 3.1.4. Seja F

  (y)dy. Existem constantes κ, c > 0 (s) = ∫

  tais que t

  1

  2 F f λ

  (t) = ∫ 2 (

  1 (s)ds ⩾ − − κ) ∣t∣ − c, t ∈ R.

  Lema 3.1.5. Para algum µ ∈ (0, 1) e algum c ⩾ 0 temos

  2 2 ⟨F(u), 1⟩ ⩾ −(1 − µ) ∥u∥ − c.

  1 Lema 3.1.6. Nas condições do Lema para algum µ ∈ (0, 1) e

  algum c

  ⩾ 0 também vale a desigualdade

  2 ⟨f(u), u⟩ ⩾ −(1 − µ) ∥u∥ 1 − c.

  Lema 3.1.7. Se f satisfaz então dado R

  > 0 existe C = C(R) > 0

  tal que , , u ,

  1

  2

  1

  2 1 para todo u

  1

  2

  1 ∥f(u ) − f(u )∥ ⩽ Cuu ∥ ∈ H

  satisfazendo

  ∥u 1 ∥ 1 ⩽ R e u 2 ∥ 1 ⩽ R. Adicionalmente às hipóteses pedidas para f na Subseção pe- diremos que f também satisfaça a seguinte condição:

  2 2 ⟨F(u), 1⟩ ⩽ 2 ⟨f(u), u⟩ + (1 − µ) ∥u∥ + c (3.5)

  1

  • uma função contínua e diferen-

  Lema 3.1.8. Seja Ψ ∶ [τ, ∞) Ð→ R ciável tal que d

  Ψ (t) + 2ωΨ(t) ⩽ q(t)Ψ(t) + k,

  dt para algum ω

  • satisfaz, para algum m

  > 0, algum k ⩾ 0 e onde a função q ∶ [τ, ∞) Ð→ R

  ⩾ 0,

  ∫

  q (y)dy m.

  τ Então vale a desigualdade m ke

  −ω(tτ ) e .

  Ψ (t) ⩽ Ψ(τ)e

  • m

  ω k k k

  Lema 3.1.9. Se k > 0 então (1 + x) ⩽ 2 (1 + x ) para todo x ⩾ 0.

  Também no decorrer do trabalho, a não ser quando especificado o contrário, C e c denotarão constantes positivas, que podem tomar valores diferentes de uma linha para a outra.

3.2 O processo associado à equação da onda

  Neste momento queremos associar o problema da equação da onda a um certo processo de modo que possamos aplicar a teoria desenvol- vida nos capítulos anteriores. A maneira mais natural de fazer isso é considerar que o processo associa a um instante inicial τ os dados

  t τ

  1 (u(τ), u (τ)) = (a, b) ∈ H = H ×H e retorna em um instante posterior

  (u(t), u (t)) ∈ H A existência local, a unicidade e a dependência contínua dos dados iniciais para este problema segue a técnica clássica do método de Faedo-

  t o par t t .

  Galerkin. O estudo deste método não é objetivo deste trabalho, porém o leitor interessado pode encontrá-lo em detalhes em Teorema 33.A].

  Teorema 3.2.1. A equação de evolução não-autônoma dada por ǫu tt t

  • αu + Au + f(u) = g, t > τ,

  (3.6) {

  u

  1 e u t (τ) = a H (τ) = b H,

  

  gera um processo-TDS fortemente c U.

  Além do teorema acima, no que diz respeito à continuidade com relação aos dados iniciais, temos também o seguinte resultado.

2 Veja Definição 2.3.18

  

Lema 3.2.2. Dado R > 0 existe uma constante K = K(R) ⩾ 0 tal que

K (tτ )

  ,

  ∥U(t, τ)z 1 − U(t, τ)z 2 ∥ ⩽ ez 1 − z 2 ∥

  t τ

  H H

  , z para todos z

  τ

  H

  1 2 τ com i ∈ H ∥z ∥ ⩽ R, i = 1, 2.

  Demonstração: Sejam U u i i i t i (t, τ)z = (u (t), ∂ (t)) , = 1, 2.

  {

z .

  t

  1

  2 (t) = (u(t), u (t)) = U(t, τ)zU(t, τ)z

  t t u t u , u

  Então u = u 1 − u 2 , u = 1 − 2 e como u

  1 2 são soluções de segue que

  ǫu tt t

  1

  2 + αu + Au + f(u ) − f(u ) = 0.

  Multiplicando a equação acima por 2u t e integrando em Ω obtemos

  2

  t , u tt t t , Au

  1 2 t 2ǫu ⟩ + 2α u ∥ + 2 ⟨u ⟩ = −2 ⟨f(u ) − f(u ), u ⟩ (3.7)

  Agora observe que

  d d

  2

  2

  2

  2 ′

  t t t t , u tt

  ∥z∥ = (∥u∥ + ǫ(t) ∥u ∥ ) = 2 ⟨u, u ⟩ + ǫ (t) ∥u ∥ + 2ǫ(t) ⟨u

  1

  1 H t

  dt dt

  e portanto

  d

  2

  2

  2 ′

  , u t t t t tt

  ∥z∥ + [2α ǫ ] ∥u ∥ = 2α u ∥ + 2 ⟨u, u ⟩ 1 + 2ǫ u ⟩ H t

  dt

  (1) (2)

  2

  t , u tt t t , Au t

  = 2ǫ u ⟩ + 2α u ∥ + 2 ⟨u ⟩ = −2 ⟨f(u 1 ) − f(u 2 ), u ⟩ Na igualdade

  (1) acima consideramos que

  1

  1

  1

  1 /2 /2 /2 /2

  t u, A u t A u, u t t

  ⟨u, u ⟩ = ⟨A ⟩ 1 ⟩ = ⟨A ⟩ = ⟨Au, u enquanto que em (2) aplicamos diretamente

  Antes de prosseguirmos vamos considerar que iU(t, τ)z ∥ ⩽ C e

  t

  H

  i

  = 1, 2. De momento usaremos esse fato sem demonstração, mas isso será verificado posteriormente na Observação

  Note que

  1 2 t t −2 ⟨f(u ) − f(u ), u ⟩ ⩽ C u∥ 1 ∥u,

  i

  usando a Desigualdade de Hölder, a limitação para U (t, τ)z acima e o Lema Agora, usando o Lema temos

  2 √ C

  2 C

  2

  t t t

  ∥u∥ 1 ∥u ∥ = (2 ∥u ∥) . ( ∥ 1 ) ⩽ 2α u ∥ ∥

  • C α u u

  1 2√α ∥ 8α

  2

  2 .

  t

  = 2α u ∥ + M u

1 Assim concluímos que

  d

  2

  2

  2

  2

  2 ′

  , t t t

  ∥z∥ + 2α u ∥ − ǫu ∥ ⩽ 2α u ∥ + M u

  1 H t

  dt

  logo (3)

  d

  2

  2

  2

  2

  2

  2 ′

  , t t (3.8)

  ∥z∥ ⩽ ǫu ∥ + M u∥ 1 ⩽ u ∥ + M u∥ 1 = M z∥ H t

  H t

  dt

  ′ onde para

  (3) observe que ǫ (t) ⩽ 0 ⩽ (t) para todo t ∈ R. Agora

  2 aplicando o Lema com k

  (t) = M, h(t) ≡ 0 e v(t) = ∥z(t)∥ H t obtemos

  

t

  2

  2 M

  2 (tτ )

  M ds ,

  ∥z(t)∥ ⩽ ∥z(τ)∥ exp ) = ez(τ)∥ H t H τ H τ

  (∫

  

τ

  ou seja

  

K (tτ )

  ∥U(t, τ)z 1 − U(t, τ)z 2 ∥ ⩽ ez 1 − z 2 ∥ para todo tτ,

  t τ

  H H

  M onde K , terminando a demonstração do lema.

  =

2 Lema 3.2.3. Existem ρ

  > 0, k ⩾ 0 e uma função positiva crescente Q

  tal que

  −ρ(tτ ) ∥U(t, τ)z∥ ⩽ Q(∥z∥ )e + k, para todo t τ. H t H τ

  Demonstração: Inicialmente denotemos

  2

  2

  2 E .

  t

  (t) = ∥U(t, τ)z∥ = ∥u∥ 1 + ǫ(t) ∥u ∥ H t e considere a função

  2

  

, u

  Ψ t (3.9) = E + δα u∥ + 2δǫ u ⟩ + 2 ⟨F(u), 1⟩ − 2 ⟨g, u⟩ onde δ > 0 é uma constante (que será convenientemente escolhida adi- ante).

  Afirmação 1: Se δ é suficientemente pequeno, existe ˆµ ∈ (0, 1) tal que ˆµE (t) − C ⩽ Ψ(t) ⩽ CE(t) + C (3.10)

  Antes de verificarmos isso, porém, precisamos explorar algumas de- sigualdades: √

  1

  t , u t t

  2δǫ ∣⟨u ⟩∣ ⩽ 2δǫ u ∥ ∥u∥ = 2ǫ ( √ ∥u 2 ∥u∥)

  2

  2 (1) )

  ǫ ǫ

  2 2 (

  2

  2

  2

  2 (3.11)

  u t u t

  ⩽ ∥ + 2ǫδu∥ ⩽ ∥ + 2u∥ 2 ∥ 2 ∥ (3)

  ǫ δα

  2

  u t u

  ⩽ ∥ ∥ 2 ∥ 2 ∥

  • 2

  1 √

  Em

  t

  (1) aplicamos a desigualdade do Lema fazendo a = ∥u

  2 √ e b

  2 = δu∥, na desigualdade (2) usamos e por fim, em (3),

  α

  usamos que se δ é suficientemente pequeno então 2 , o que implica ⩽

  2

  2

  2

  δα

  2

  2 . Portanto, de também concluímos que ∥u∥ ⩽ ∥u

  2

  ǫ δα

  2

  2 t , u u t u .

  2δǫu ⟩ ⩾ − ∥ − ∥ (3.12) 2 ∥ 2 ∥ Agora se η > 0 é uma constante fixada, temos

  √

  1

  λ

  1 η 2 ∣⟨g, u⟩∣ ⩽ 2 ∥g∥ ∥u∥ = 2 ( √ ∥g.u∥)

  λ η

  1 (3.13)

  5 (4) )

  1 2 2 (

  1

  2

  2

  η ,

  1 ⩽ ∥g∥ + λu∥ ⩽ ∥g∥ + η u

  1

  λ η λ η

  1

  1 onde em

  (4) novamente fizemos uso da desigualdade do Lema √

  1 √ λ η agora com a

  1 = ∥g∥ e b = ∥u∥. Para obter (5) basta aplicar a 1

  λ η

  Desigualdade de Poincaré (Proposição Logo,

  1

  2

  2 .

  − 2 ⟨g, u⟩ ⩾ − ∥g∥ − η u∥ (3.14)

  1

  λ

  1 η De segue que

  2

  2

  2

  , u

  Ψ t t = ∥u∥ 1 + ǫ(t) ∥u ∥ + δα u∥ + 2δǫ u ⟩ + 2 ⟨F(u), 1⟩ − 2 ⟨g, u

  2

  2 ǫ 2 δα

  2

  u u t t

  ⩾ ∥u∥ + ǫ(t) ∥u ∥ + δα u∥ − ∥ − ∥

  • 2

  1 2 ∥ 2 ∥

  2

  1

  2

  2 − (1 − µ) ∥u∥ − c − ∥g∥ − η u

  1

  1

  λ

  1 η

  ǫ δα

  2

  2

  2

  2

  1

  t

  ⩾ (µ η) ∥u∥ + 1 ∥ ∥ − ∥g∥ − c

  • u u

  λ η

  2 ∥ 2 ∥

  1 (6)

  ǫ

  2

  2

  t

  ⩾ (µ η) ∥u∥ 1 ∥ − C, 2 ∥

  • u

  2

  δα

  onde em (6) consideramos que ∥u∥ pode ser eliminado da desigual-

  2

  2

  1 dade por ser positivo. Além disso consideramos ∥g∥ +c C. Como 1

  λ η η

  > 0 é qualquer, podemos escolhê-lo de tal forma que 0 ⩽ µη µ, onde

  1

  2

  µ ∈ (0, 1) é proveniente do Lema Seja então ˆµ = min {µ η, }.

  µ

  É claro que ˆ ∈ (0, 1) e, além disso

  ǫ

  2

  2

  2

  u t t

  (µ η) ∥u∥ ∥ − C ⩾ ˆµ u∥ + ˆµǫ u ∥ − C = ˆµE(t) − C,

  • 2

  1

  1 2 ∥ o que mostra que Ψ (t) ⩾ ˆµE(t) − C.

  Vamos agora provar a desigualdade da direita em e a Desigualdade de Poincaré obtemos

  2

  2 ⟨F(u), 1⟩ ⩽ 2 ⟨f(u), u⟩ + (1 − µ) ∥u∥ 1 + c

  2 ⩽ 2 ∥f(u)∥ ∥u∥ + (1 − µ) ∥u∥ + c

  1

  2

  2

  2 ⩽ ∥f(u)∥ + ∥u∥ + (1 − µ) ∥u∥ + c

  1 (3.15)

  2

  2

  2

  1

  ⩽ Cu∥ 1 ∥u∥ 1 + (1 − µ) ∥u∥ 1 + c

  • 2

  λ

  1

  1

  2 = (C + 1 − µ) ∥u∥ 1 + c

  • 2

  λ

1 Aplicando as desigualdades (3.11), (3.15) e utilizando a Desigual-

  dade de Poincaré temos

  2 2 δα 2 ǫ 2 δα

  2

  u

  Ψ t t ⩽ ∥u∥ + + ǫ u ∥ ∥u∥ ∥ ∥u∥ + + +

  1

  1

  1

  λ

  1

  1 2 ∥ 2λ

  1

  2

  • 2
  • (C + 1 − µ) ∥u∥ 1 + c − 2 ⟨g, u.

  λ

  1

  2

  2

  2

  1 De obtemos −2 ⟨g, u⟩ ⩽ ∣2 ⟨g, u⟩∣ ⩽ ∥g∥ +η u∥ ⩽ k+η u∥ ,

  λ 1 η

  1

  1 para qualquer η

  > 0 e algum k = k(η, g∥) > 0. Logo, usando esse fato e agrupando os termos em comum na inequação anterior, temos 3δα

  2 3ǫ

  2

  • 2

  u t

  Ψ ⩽ (2 + + C + η µ) ∥u∥ ∥ + c + k

  • 2

  1

  1 2λ 2 ∥

  2

  2

  t

  ⩽ C u∥ 1 + u ∥ + C = CE(t) + C, concluindo assim a demonstração das desigualdades da Afirmação 1. Afirmação 2: Vale a igualdade abaixo.

  d

  2

  2 ′

  ′

  , u

  Ψ t t

  • (2α ǫ − 2δǫ) ∥u ∥ +2δ u∥ 1 +2δ f(u), u⟩−2δ g, u⟩ = 2δǫu.

  dt

  De fato, multiplicando ǫu tt t t

  • αu + Au + f(u) = g por 2u + 2δu, obtemos

  t u tt t u t t Au t f tt

  2ǫu + 2αu + + 2u + 2u (u) + 2δǫuu

  t t g

  • 2δαuu + 2δuAu + 2δuf(u) = 2u + 2δug, e integrando em Ω ambos os lados da igualdade acima obtemos

  2

  t , u tt t t , Au t , f tt

  2ǫu ⟩ + 2α u ∥ + 2 ⟨u ⟩ + 2 ⟨u (u)⟩ + 2δǫ u, u ⟩ +

  t t , g (3.16)

  • 2δα u, u ⟩ + 2δ u, Au⟩ + 2δ u, f(u)⟩ − 2 ⟨u ⟩ + − 2δ u, g⟩ = 0.

  Por outro lado,

  d d d d d d E t , u

  Ψ = + δαu, u⟩ + 2δ (ǫ u ⟩) + 2 ⟨F(u), 1⟩ − 2 ⟨g, u,

  dt dt dt dt dt dt

  onde

  d d

  2 2 d 2 d

  E , u t t t t

  = (∥u∥ + ǫ u ∥ ) = ⟨u, u⟩ + ǫu ∥ + ǫu

  1

  1

  dt dt dt dt

  2 ′

  , u t t t tt

  = 2 ⟨u, u ⟩ 1 + ǫu ∥ + 2ǫ u,

  d t

  ⟨u, u⟩ = 2 ⟨u, u,

  dt d

  2 ′

  t , u t t tt

  (ǫ u ⟩) = ǫu, u ⟩ + ǫ u ∥ + ǫ u, u,

  dt

  d d du

  ′

  F ,

  1 ⟨F(u), 1⟩ = ⟨ (u), 1⟩ + ⟨F(u), 0⟩ = ⟨F (u) ⟩

  dt dt dt , t t

  = ⟨f(u)u 1 ⟩ = ⟨f(u), u, e

  d d

  g, u t tg, u⟩ = ⟨ ⟩ + ⟨g, u ⟩ = ⟨g, u. dt dt

  Recorde que g não depende de t, por isso na última equação usamos

  d g

  = 0. Portanto,

  dt d

  2 ′ ′

  , u

  Ψ t t t tt t t = 2 ⟨u, u ⟩ 1 + ǫu ∥ + 2ǫ u ⟩ + 2δα u, u ⟩ + 2δǫu, u

  dt

  2

  

t tt t t

  • 2δǫ u ∥ + 2δǫ u, u ⟩ + 2 ⟨f(u), u ⟩ − 2 ⟨g, u,

  e, consequentemente

  d

  2

  2 ′

  ′

  , u t t

  Ψ + (2α ǫ − 2δǫ) ∥u ∥ + 2δ u∥ + 2δ f(u), u⟩ − 2δ g, u⟩ − 2δǫu

  1

  dt

  2 ′ ′

  , u

t t t tt t t

  = 2 ⟨u, u ⟩ 1 + ǫu ∥ + 2ǫ u ⟩ + 2δα u, u ⟩ + 2δǫu, u

  2

  2

  

t tt t t t

  • 2δǫ u ∥ + 2δǫ u, u ⟩ + 2 ⟨f(u), u ⟩ − 2 ⟨g, u ⟩ + 2α u

  2

  2

  2 ′

  ′

  t t t , u

  − ǫu ∥ − 2δǫ u ∥ + 2δ u∥ + 2δ f(u), u⟩ − 2δ g, u⟩ − 2δǫu

  1 (7)

  2

  , u , Au , f t tt t t t tt

  = 2ǫ u ⟩ + 2α u ∥ + 2 ⟨u ⟩ + 2 ⟨u (u)⟩ + 2δǫ u, u ⟩ (8)

  , g t t

  • 2δα u, u ⟩ + 2δ u, Au⟩ + 2δ u, f(u)⟩ − 2 ⟨u ⟩ − 2δ u, g⟩ = 0, onde na igualdade

  (7) cancelamos os termos em comum, usamos que

  1

  1

  1

  1 /2 /2 /2 /2

  

u, A u A u, u

  2 t t t tu, u ⟩ 1 = 2 ⟨A,

  ⟩ = 2 ⟨A ⟩ = 2 ⟨Au, u e também que

  2

  1

  1 /2 /2

  u, A u

  2δu∥ 1 = 2δ u, u⟩ 1 = 2δ A

  ⟩ = 2δ Au, u, e na igualdade (8) usamos o que conclui a verificação da Afir- mação 2.

  Afirmação 3: Para δ suficientemente pequeno e ν > 0 qualquer te- mos:

  d ν

  3

  2 ′

  α t u

  Ψ + ( − ǫ − 2δǫ) ∥u ∥ + δ (2 − ∥

  • 2

  1

  dt

  2 2 ) ∥ (3.17)

  • 2δ f(u), u⟩ − 2δ g, u⟩ ⩽ 0

  ′

  , u t t

  De fato, de segue que 2δǫu ⟩∣ ⩽ 2δL u ∥ ∥u∥. Por outro lado,

  2

  2 √

  2 L

  2 2δL 1 4δ

  α α

  2δL t t tu ∥ ∥u∥ = ( ∥u ∥) . ( √ + ∥u∥) ⩽ ∥u ∥ ∥u∥ )

  α α

  2 (

  2

  2

  2

  2

  α L α L

  2 4δ

  2

  2

  u t u t ,

  2 1 4δ

  ⩽ ∥ ∥u∥ = ∥ ) ν u∥ + +

  1

  1

  αλ ν

  2 ∥ 2αλ 1 2 ∥ 2 (

  1 onde ν > 0 é uma constante qualquer. Observe que para δ suficiente- 2 2

  4 δ L mente pequeno temos 1 ⩽ δ, o que implica

  αλ ν

  2

2 L

  1 4δ

  2

  1

  2

  δν ,

  ) ν u∥ ⩽ ∥u

  1

  1

  αλ ν

  2 (

  1

  2 e concluímos que

  

α

  2

  2

  1

  2δL t tu ∥ ∥u∥ ⩽ ∥ ∥u

  • u δν

  1 2 ∥

  2 Portanto, vale a desigualdade

  α

  2

  1

  2 ′

  2δ (3.18) ∣ǫu ⟩∣ ⩽ ∥ ∥u

  • t , u u t δν ,

  1 2 ∥

  2 e usando a Afirmação 2 e a estimativa anterior chegamos diretamente na Afirmação 3.

  Afirmação 4: Temos

  d

  2 Ψ t

  • δΨ + α u ∥ + Γ ⩽ δc,

  dt

  onde

  α δµ

  2

  2

  2

  2 ′

  ǫ t u α ǫ t , u

  Γ = ( − 3δǫ) ∥u ∥ ∥ − δu∥ − 2δu,

  • 2

  1 2 − 2 ∥ e µ é uma constante apropriada proveniente de

  Para demonstrarmos esta afirmação, primeiramente observe que

  2

  2

  2

  δ α ǫ , u

  Ψ t = δE + δu∥ + 2δu ⟩ + 2δ F(u), 1⟩ − 2δ g, u⟩ (9)

  2

  2

  2 (3.19)

  α ǫ t , u

  ⩽ δE + δu∥ + 2δu ⟩ − 2δ g, u⟩ + 2δ f(u), u

  2

  • δ(1 − µ) ∥u∥ 1 + δc,
onde em (9) usamos temos que ν é uma cons- tante qualquer, podemos escolher ν = µ para obter

  d

  2 µ

  2

  3

  α u

  Ψ t ⩽ − ( − ǫ − 2δǫ) ∥u ∥ − δ (2 − ∥

  1

  dt

  2 2 ) ∥ (3.20) − 2δ f(u), u⟩ + 2δ g, u

  Agora, usando e a expressão para Γ, obtemos

  d

  2

  2

  2

  t t

  Ψ + δΨ + α u ∥ + Γ ⩽ −δǫ u ∥ − δ u∥ + δE + δc

  1

  dt

  2

  2

  2

  2

  t t

  = −δǫ u ∥ − δ u∥ + δ (∥u∥ + ǫ u ∥ ) + δc = δc,

  1

  1 concluindo assim a verificação da Afirmação 4.

  Afirmação 5: Γ ⩾ 0 para δ suficientemente pequeno. Observe que

  √ √

  2

  2

  ǫ t , u ǫ t ǫ t ǫ

  2δu ⟩ ⩽ 2δu ∥ ∥u∥ = 2 (δu ∥) (δu∥)

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  ǫ ǫ ǫ L , t t

  ⩽ δu ∥ + δu∥ ⩽ δu ∥ + δu

  2

  2

  2

  2

  2

  −2δu ⟩ ⩾ −δu ∥ − δu∥ Utilizando a expressão para Γ e a conta acima segue que

  ǫ , u ǫ L logo t t .

  α µλ

  2

  1

  2

  2 ′ ǫ ǫ t δα .

  Γ ⩾ ( − 3δǫ δ ) ∥u ∥ + δ ( − δL) ∥u∥ 2 − 2 − Agora note que se δ

  > 0 é suficientemente pequeno então as expres- sões entre parênteses acima são positivas, o que nos dá Γ ⩾ 0. Portanto,

  d

  2

  t

  Ψ + δΨ + α u ∥ ⩽ δc (3.21)

  dt

2 Ademais, como α t

  ∥u ∥ ⩾ 0, segue que

  d

  Ψ + δΨ ⩽ δc,

  dt δ

  e aplicando diretamente o Lema com ω = , q (t) ≡ 0 (logo, pode-

  2 mos escolher m = 0) e k = δc, temos

  δ

  − 2 (tτ ) Ψ (t) ⩽ Ψ(τ)e + 2c.

  2 Da Afirmação 1 temos Ψ (τ) ⩽ CE(τ) + C = C U(τ, τ)z∥ + C = H τ

2 C

  ∥z∥ + C, o que nos dá H τ

  δ

  2 − (tτ ) 2 Ψ (t) ⩽ (C z∥ + C) e + 2c.

  τ

  H Também da Afirmação 1 obtemos ˆµE

  (t) − C ⩽ Ψ(t), o que implica

  1 C

  E

  Ψ . Logo (t) ⩽ (t) +

  µ ˆ µ ˆ δ

  2 C

  2 2c + C

  − 2 (tτ )

  z ,

  ∥U(t, τ)z∥ = E(t) ⩽ [ ∥ + 1) e ] + H t H τ

  ˆµ (∥ ˆµ e consequentemente 2 1

  δ C

  2 − 4 (tτ )

  z e

  ∥U(t, τ)z∥ ⩽ [ ∥ + 1)] + k, H t H τ

  ˆµ (∥ √

  2 c +C δ onde k = ⩾ 0. Finalmente, fazendo ρ = e observando que

  µ ˆ

  4 2 1 C

  2

  z

  Q(∥z∥ ) = [ ∥ + 1)] H τ H τ

  ˆµ (∥ é uma função crescente positiva, terminamos a demonstração do lema.

  Daqui pra frente, como já havíamos especificado no final do Capítulo 2, consideraremos D b como sendo o universo das famílias uniformemente limitadas (veja Definição

  B

  Claramente, uma família ˆ é D b -pullback absorvente se, e somente se, dado R ⩾ 0 existe θ = θ(R) ⩾ 0 tal que se τ t θ, então vale que

  U τ t (t, τ)B (R) ⊂ B .

  B

Definição 3.2.4. Uma família ˆ b e D b -pullback absorvente é cha-

  ∈ D

  mada de família TD-absorvente para U.

  Com esta definição, usando o lema acima, somos capazes de de- monstrar o seguinte resultado:

  B t é família Teorema 3.2.5. Existe R > 0 tal que ˆ = {B (R )} t ∈R

  TD-absorvente para U.

  B

Demonstração: Note que, por definição, a família ˆ é uniforme-

  mente limitada. Pelo Lema existem ρ > 0, k ⩾ 0 e uma função

  τ

  positiva crescente Q tal que para todo t τ e z ∈ H vale −ρ(tτ ) ∥U(t, τ)z∥ ⩽ Q (∥z∥ ) e + k. H t H τ

Q(R)

  −1 Agora, sejam R log

  = 1+2k e θ(R) = max {0, ρ }. Se τ tθ

  1

  • k

  τ

  e z ∈ B (R), temos (1)

  −ρ(tτ) ∥U(t, τ)z∥ ⩽ Q(R)e + k

  H

  t

  (3.22) (2)

  −ρθ .

  ⩽ Q(R)e + k ⩽ 1 + k + k = R

  τ

  Se z ∈ B (R), temos ∥z∥ ⩽ R e consequentemente Q (∥z∥ ) ⩽

  H τ H τ Q (R), justificando a desigualdade (1). Para a desigualdade (2) apenas

Q(R)

  −ρθ − log 1

  • k

  note que log e portanto, ⩽ ρθ implica ee

  1

  • k

Q(R)

  1

  • k

  −ρθ − log 1

  • +k

  Q(R)e ⩽ Q(R)e = Q(R) 1 + k.

  Q(R) = Concluímos de que U τ t

  (t, τ)B (R) ⊂ B (R ) para todo τ tθ,

  B

  ou seja, ˆ é família TD-absorvente para U.

  

Observação 3.2.6. A limitação para i utilizada na de-

  ∥U(t, τ)z ∥ H

  t

monstração do Lema e

da demonstração do teorema anterior, pois z

  1 e z 2 foram tomados em B

  τ (R).

  Teorema 3.2.7. Para algum I e todo τ

  ⩾ R ∈ R vale

  2

  t dy

  sup [∥U(t, τ)z∥ ∥u (y)∥ ] ⩽ I H t

  τ z

  ∈B τ (R )

  

Demonstração: Tendo em vista a demonstração do Teorema

  nos resta apenas verificar a limitação para a integral que aparece no enunciado.

  t

  Multiplicando a equação por u e considerando a função Ψ em com δ = 0, ou seja

  d

  2

  t Ψ + α u ∥ ⩽ 0. dt

  Integrando de τ a t obtemos

  t

  2

  dy

  Ψ tu (y)∥ ⩽ 0,

  (t) − Ψ(τ) + α

  

τ

  ou seja,

  t

  (1)

  2

  1

  1

  t dy

  ∥u (y)∥ ⩽ [Ψ(τ) − Ψ(t)] ⩽ [CE(τ) − ˆµE(t) + 2C] ∫

  τ α α

  1

  2

  2 = [C z∥ − ˆµ U(t, τ)z∥ + 2C]

  H τ H t

  α C

  2

  1

  2

  2C

  ,

  ⩽ ∥z∥ + + ∥U(t, τ)z∥ H H

  t t α α α onde notamos que a desigualdade (1) segue diretamente de

  2

  2

  τ

  Como z ∈ B (R ) segue que ∥z∥ ⩽ R . Além disso,

  τ

  H −ρ(tτ ) −ρ(tτ ) ∥U(t, τ)z∥ ⩽ Q(∥z∥ )e + k ⩽ Q(R )e + k. H τ H τ

  Temos então

  t

  2

  1

  2C

  2 C

  t dy R ,

  ∥u (y)∥ ⩽ + )e + k] [Q(R

  • 2 −ρ(tτ )

  ∫

  τ α α α

  e tomando o limite para t → ∞, concluímos que

  2 ∞

  2 C k

  2

  2C

  dy R , t

  ∥u (y)∥ ⩽ + + ∫

  

τ α α α

mostrando a limitação que queríamos.

3.3 Existência de atrator pullback

  No que segue, faremos uma decomposição do processo U associado

  à equação da onda em dois novos processos e 1 , na qual o primeiro U U deles apresenta decaimento exponencial na norma de t e o segundo

  H

  1 /3 apresenta uma limitação na norma . Esses fatos serão verifica-

  H t dos nos próximos dois lemas, que serão essenciais para provarmos a existência do atrator pullback.

  Assim como feito em precisaremos primeiramente do seguinte lema.

2 Lema 3.3.1. Seja f

  ∈ C (R) uma função com f(0) = 0 e satisfazendo

  2

  , f

  . Então existem funções f

  1

  1 ∈ C (R) com f = f + f

  ′

  satisfazendo f

  (0) = f (0) = 0 ′

  ∣f 1 (s)∣ ⩽ k, ′′

  ⎧⎪⎪⎪⎪ ∣f (s)∣ ⩽ k(1 + ∣s∣), (3.23)

  ⎨⎪⎪⎪

  f

  (s)s ⩾ 0, ⎪⎩

  para algum k ⩾ 0 e todo s ∈ R.

  Demonstração: Veja Apêndice.

  Considerando as condições para f que aparecem no lema anterior

  s f

  e definindo F (y)dy obtemos o próximo resultado, cuja de- (s) = ∫ monstração será vista no Apêndice A.

  Proposição 3.3.2. Existe uma constante K > 0 tal que

  2

  2

  , para cada v 1 .

  ⩽ ⟨FF (v)∣ dx K(1 + ∥v∥ ) ∥v∥ ∈ H

  1

  1 (v), 1⟩ ⩽ ∫

  Ω

  B

  Sejam ˆ a família TD-absorvente dada no Teorema e τ ∈ R

  fixado, fazemos a decomposição do processo U da seguinte maneira: para cada z τ

  1 ∈ B (R ), escreva U (t, τ) z = U (t, τ)z + U (t, τ)z onde os processos U t

  1 t (t, τ)z = (v(t), v (t)) e U (t, τ) z = (w(t), w (t)) são respectivamente soluções de

  ǫv tt t

  • αv + Av + f (v) = 0, t > τ

  (3.24) {

  U

  (τ, τ) = z e

  ǫw tt t

  • αw + Aw + f(u) − f (v) = g, t > τ {

  (3.25)

  U

  1 (τ, τ) = 0.

  Lema 3.3.3. Existem ˆδ

  = ˆδ(R ) > 0 tal que para todo t τ,

  δ

  −ˆ (tτ ) .

  ∥U (t, τ)z∥ ⩽ Ce

  

t

  H

  Demonstração:

  Afirmação 1: ∥U (t, τ)z∥ ⩽ C.

  H t A verificação deste fato é análoga ao que foi feito nas demonstrações do Lema com f no lugar de f e g

  ≡ 0. Afirmação 2: Defina

  2

  2

  , v

  Ψ t = ∥U (t, τ)z∥ + δα v∥ + 2δǫ v ⟩ + 2 ⟨F (v), 1⟩ ,

  H t

  s f

  onde F (y)dy. Então para δ > 0 suficientemente pequeno (s) = ∫ vale a seguinte desigualdade:

  d

  2 Ψ + δ U (t, τ)z∥ ⩽ 0. H t

  dt t

  De fato, multiplicando a primeira equação de por 2v + 2δv e integrando em Ω obtemos

  , v , v , Av , f

  2ǫ t tt t t t t ttv ⟩ + 2α v ⟩ + 2 ⟨v ⟩ + 2 ⟨v (v)⟩ + 2δǫ v, v

  (3.26)

  t + 2δα v, v ⟩ + 2δ v, Av⟩ + 2δ v, f (v)⟩ = 0.

2 H t

  • δα
  • 2δ
  • ǫ
  • 2ǫ v

  t

  2

  t , v tt

  ⟩ + 2δα v, v

  t

  ⟩

  ′ ⟨v, v

  t

  ⟩ + 2δǫ v

  ∥

  t

  2

  tt

  ⟩ + 2 ⟨f (v), v

  t

  ⟩ , (3.27) onde em (1) calculamos as derivadas como feito abaixo:

  d dt

  ′ ∥v

  2 ) = 2 ⟨v, v

  ∥

  1

  ′ ∥v

  d dt

  2

  Por outro lado,

  d dt

  Ψ =

  d dt

  ∥U (t, τ)z

  

d

dt

  ⟨v, v

  d dt

  [ǫ v

  t , v

  ⟩] + 2

  d dt

  ⟨F (v), 1⟩ (1)

  = 2 ⟨v, v

  t

  ⟩

  • 2δǫ

  • 2δǫ v, v

  2

2 H

  (∥v

  • ǫ(t) ∥v
  • ǫ
  • 2ǫ v
  • ǫ v, v

  • [2α ǫ
  • 2δ v
  • 2ǫ v
  • 2δǫ

  • 2δǫ v, v
  • 2α v
  • 2δ v
  • 2δ f (v), v
  • δ

  • [
  • δ [2 −
  • δ [2 −
Por fim,

  2

  2

  ν

  ∥v

  2

  1

  v t

  ,

  (3.28) onde na igualdade (2) aplicamos onde ν

  > 0 a priori é uma constante qualquer. De segue que

  d dt

  Ψ

  ∥

  α

  2 ∥

  2

  ⩽

  ⟩ (3)

  t

  ′ ⟨v, v

  (2) = 2δǫ

  1

  2

  2

  ∥

  

t

  2 − 2δǫ v

  ∥

  t

  3

  − ǫ

  α

  3

  1 ⩽ 0.

  2

  ∥

  v

  2 ] ∥

  ν

  2

  ∥

  t

  − 2δǫ] ∥v

  − ǫ

  α

  2

  Ψ + [

  2 − ǫ

  d dt

  (v)vdx ⩾ 0 (usando a ter- ceira condição de Aplicando isso à desigualdade anterior, te- mos:

  f

  (v), v⟩ = 2δ ∫ Ω

  Agora recorde que 2δf

  2 1 + 2δ f (v), v⟩ ⩽ 0.

  ∥

  v

  2 ] ∥

  ν

  2

  ∥

  t

  − 2δǫ] ∥v

  ′ ∥v

  t

  ∥

  ⟩ ,

  d dt

  ⟩ ,

  tt

  2

  ∥

  t

  ⟩ + ǫ v

  

t

  ⟨v, v

  ⟩] = ǫ

  t

  [ǫ v, v

  d dt

  t

  d dt F

  ⟨v, v⟩ = 2 ⟨v, v

  d dt

  ⟩ ,

  t , v tt

  ∥

  t

  ∥U (t, τ)z

  1

  ⟩

  t

  t

  ∥

  

t

  1

  ⟨F (v), 1⟩ = ⟨

  (v), 1⟩ = ⟨f (v)v

  =

  

t

, v tt

  ⟩

  t

  ⟩ + 2 ⟨f (v), v

  tt

  2

  ∥

  t

  ⟩ + 2δǫ v

  t

  ′ ⟨v, v

  ⟩

  t

  ⟩ + 2δα v, v

  2

  t ,

  ∥

  t

  ∥v

  ⟩ + ǫ

  t

  2 1 + 2δ f (v), v⟩ = 2 ⟨Av, v

  2

  t

  ′ − 2δǫ] ∥v

  Ψ

  d dt

  Usando chegamos a

  t.

  1 ⟩ = ⟨f (v), v

  ∥

  d

  2 2 ν

  2

  3 ′

  α v

  Ψ t

  • δ U (t, τ)z∥ ⩽ − [ − ǫ − 2δǫ] ∥v ∥ − δ [2 − ∥

  1 H t

  dt

  2 2 ] ∥ (4)

  ν

  2

  2

  3

  2

  2 ′

  α t t

  1

  • δ [∥v∥ 1 + ǫ v ∥ ] = [3δǫ + ǫ − ] ∥v ∥ + δ [ ] ∥v

  1 ⩽ 0, 2 2 − onde notamos que em (4) basta tomarmos 0 < ν < 2 e δ suficientemente pequeno.

  2

  2

  1 Afirmação 3: ∥U (t, τ)z∥ ⩽ Ψ ⩽ CU (t, τ)z∥ .

  2 H t H t Observe que procedendo de maneira análoga ao que foi feito em

  com 2α obtemos

  

ǫ ǫ δα

  2

  2

  2

  

t , v v t v t ,

  ∣2δǫ v ⟩∣ ⩽ ∥ + δα v∥ ⩽ ∥ ∥v∥ (3.29)

  • 2

  1

  λ

  2 ∥ 2 ∥

  1 e logo,

  2

  2

  2

  , v

  Ψ t t = ∥v∥ 1 + ǫ v ∥ + δα v∥ + 2δǫ v ⟩ + 2 ⟨F (v), 1⟩ (5)

  δα ǫ δα

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  t v t C

  ⩽ ∥v∥ + ǫ v ∥ + + + ∥v∥ ∥ ∥v∥ + ̂ ∥v

  1

  1

  1

  1

  λ λ

  1 2 ∥

  1 2δα 2 3ǫ

  2

  2

  t

  = (1 + + ̂ ) ∥v∥ 1 ∥ ⩽ CU (t, τ)z

  • C v

  t

  H

  λ

  1 2 ∥ 2 δα

  3 C, onde C

  = max {1 + + ̂ } e em (5) usamos a Proposição e

  λ 1

  2 C a limitação da Afirmação 1 para fazer aparecer a constante ̂ > 0.

  Por outro lado, temos (6)

  2

  2 2 ǫ 2 δα

  2

  v

  Ψ t t ⩾ ∥v∥ + ǫ v ∥ + δα v∥ − ∥ − ∥v

  1

  1

  λ

  1 2 ∥

  (7) (8)

  δα

  2

  1

  2

  1

  2

  ǫ U , t

  ⩾ (1 − ) ∥v∥ + 1 ∥v ∥ ⩾ (t, τ)z

  t

  H

  λ

  1 2 2 ∥ onde em

  (6) usamos a Proposição Em (7) o

  2 termo δα desaparece por ser positivo e não interferir na desigual-

  ∥v∥ dade, enquanto que em (8) tomamos δ suficientemente pequeno tal que

  λ 1 δα . Com isso terminamos a verificação da Afirmação 3.

  ⩽

2 Agora, segue imediatamente das Afirmações 2 e 3 que

  d δ

  • Ψ Ψ

  ⩽ 0,

  dt C

  δ

  e aplicando o Lema com 2ω = , q (t) ≡ 0 e k = 0 obtemos

  C 2 δ

  − (tτ )

  Ψ (t) ⩽ Ψ (τ)e

  C0 .

  τ

  Usando novamente a Afirmação 3 e também que z ∈ B (R ), che- gamos a

  2

  2

  2 R , Ψ (τ) ⩽ CU (τ, τ)z∥ = Cz∥ ⩽ C

  H H

  τ τ

  e portanto

  δ

  2

  2 2 − (tτ )

  ∥U (t, τ)z∥ ⩽ 2Ψ (t) ⩽ 2C H

  C0 R e .

  t

  Assim temos √

  δ δ

  2 − 4 (tτ ) −ˆ (tτ )

  C0

R e

  ∥U (t, τ)z∥ ⩽

  2C = Ce H

  t

  √

  δ

2 R

  onde C 2C e ˆδ .

  = =

  4 C

  

Observação 3.3.4. Com os resultados que vimos até agora temos que

para z τ

  ∈ B (R ) vale sup

  1

  • U (t, τ)z∥ + ∥U (t, τ)z∥ [∥U(t, τ)z∥ H H H ] ⩽ C.

  t t t t

  ⩾τ 1

  /3 Lema 3.3.5. Existe M

  H

  t

t

  ⩾τ

  1 > 0 tal que sup ∥U (t, τ)z∥ ⩽ M.

  

Demonstração: Novamente, como a demonstração deste resultado é

extensa, a dividiremos em partes.

  Afirmação 1: Denotando

  2

  2

  1 1 /3

  /3 , A w

  Λ 1 t = ∥U (t, τ)z∥ + δα w∥ + 2δǫ w

  1 /3 ⟩ + H

  t

  (3.30)

  1 /3

  

w

  • 2 ⟨f(u) − f (v) − g, A ⟩ + C, para δ > 0 suficientemente pequeno e C > 0 suficientemente grande, temos:

  1

  2 1

  2 1

  /3 /3 U

  1

  1 (t, τ)z∥ ⩽ Λ(t) ⩽ 2 ∥U (t, τ)z∥ + 2C. (3.31)

  H H

  

t t

  2 ∥

  • 2δ
  • 2
  • δα

  1

  λ

  1 ∥A

  1 /6

  

w

  ∥

  2

  1 =

  λ

  2 ⩽

  1 ∥A

  1 /2

  A

  1 /6

  w

  ∥

  2 =

  1

  1

  ∥

  1 ∥A

  1 /3

  2 ∥w

  t

  ∥

  1 /3 e b

  =

  δ

  √

  2 ∥w

  . Em (2) usamos Já na desigualdade (3) observamos que se δ é suficientemente pequeno então 2

  w

  ⩽

  α

  2 . Por fim, concluímos

  (4) usando a Desigualdade de Poincaré como feito abaixo: ∥w

  2

  1 /3

  = ∥A

  1 /6

  λ

  2 /3

  (3.32) onde na desigualdade (1) usamos o Lema com a =

  f

  2

  4 /3

  2 , (3.34) onde C

  1

  , C

  2 > 0 são constantes adequadas.

  Para verificar a desigualdade (5) basta usar o Lema para f e

  e também a Observação 2 ∥f(u) − f (v)∥ ⩽ 2 ∥f(u) − f(0)∥ + 2 ∥f (v) − f (0)∥ ⩽ 2K

  w

  1 ∥u

  1

  2 ∥v

  1 ⩽ C

  1 Ademais, é claro que ∥w

  2 /3

  = ∥A

  1 /3

  ∥

  1 4 ∥

  w

  2 ∣⟨f(u) − f (v), A

  ∥

  2 =

  1

  λ

  1 ∥w

  2

  4 /3 .

  (3.33) Também iremos precisar da desigualdade a seguir:

  1 /3

  (6) ⩽

  w

  ⟩∣ ⩽ 2 ∥f(u) − f (v)∥ ∥A

  1 /3

  w

  ∥ (5)

  ⩽ C

  1 ∥w

  2 /3

  1 √

  ,

  w ∥.

  = 2ǫ (

  w

  ∥ = 2δǫ w

  t

  ∥

  1 /3

  ∥w

  1 /3

  1 √

  ∥ ∥A

  2 ∥w

  t

  ∥

  1 /3

  

  √ 2 ∥w

  1 /3

  ) (1)

  1 /6

  w t

  ǫ

  A

  Para verificar isso, vamos precisar de algumas desigualdades. Co- meçaremos com a seguinte: 2δǫ

  ∣⟨w

  t , A

  1 /3

  w

  ⟩∣ = 2δǫ ∣⟨w

  t , A

  1 /6

  1 /6

  1 /6

  w

  ⟩∣ = 2δǫ ∣⟨A

  1 /6

  w t

  , A

  1 /6

  w

  ⟩∣ ⩽ 2δǫ A

  ⩽

  2 ∥

  4 /3

  (4) ⩽

  ∥

  2

  1 /3

  2 ∥

  w

  ∥

  2

  1 /3

  ǫ

  2 ∥

  2 ∥

  w t

  ∥

  2

  1 /3

  2λ

  1 ∥w

  2

  w t

  ǫ

  w t

  (2) ⩽

  ∥

  2

  1 /3

  2

  

ǫ

  ∥w

  2

  1 /3

  ǫ

  (3) ⩽

  2 ∥

  w t

  ∥

  2

  1 /3

  2 ∥w

  2

  1 /3

  • δα

  • C
  • 2K

  4 2 Além disso, como H ⊂⊂ H , existe k > 0 tal que ∥w∥ ⩽ k w∥ , 3 3

  2

  4 /3 /3 o que implica em

  1

  1

  2 C

  1

  1 1 . w 1 ww∥ ⩽ kCw∥ = 2kC ∥ ⩽ (kC ) ∥

  • 2

  2

  4

  4

  4 /3 /3 /3 /3

  2 ∥ 4 ∥

  1

  2

  w

  2 , = ∥ + C

  4 /3

  4 ∥

  2

  2

  1 onde C = (kC ) > 0. Disso obtemos a desigualdade (6).

  Por fim, note ainda que √

  1

  1

  1

  1 /3 /3 /3

  

w w δ w

  ∣2 ⟨g, AA ⟩∣ ⩽ 2 ∥g∥ ∥A ∥ = 2 ( √ ∥g∥) ( ∥)

  δ

  2

  1

  2

  1

  2

  2 1 (3.35) /3

  

w

  ⩽ ∥g∥ + δ A ∥ = ∥g∥ + δ w

  2 /3

  δ δ

  2

  2 3 ,C + δkw

  4 /3 onde C

  3

  3 = C (δ, g∥) > 0.

  Comecemos então verificando a segunda desigualdade da Afirmação

  1. Usando as desigualdades e também que

  2 1

  2

  2

  /3

  1 t , temos ∥U (t, τ)z∥ = ∥w∥ 4 + ǫ w

  1 H /3 /3

  t

  2

  2

  2

  1

  1 /3 /3

  , A w w t t

  Λ = ∥w∥ + ǫ w ∥ + δα w∥ + 2δǫ w

  4

  1 1 ⟩ − 2 ⟨g, A /3 /3 /3

  1 /3

  w

  • 2 ⟨f(u) − f (v), A ⟩ + C

  δα ǫ δα

  2

  2

  2

  2

  2

  w t t

  ⩽ ∥w∥ 4 + ǫ w ∥ 1 ∥w∥ + + 4 ∥ + 1 ∥w

  4 /3 /3 /3 /3 /3

  λ

  1 2 ∥ 2λ

  1

  2

  1

  2 3 w

  2

  • C + δkw∥ ∥ + C + C
  • 2

  4

  4 /3 /3

  4 ∥ 5 3α

  2

  3

  2

  δ ǫ t

  ⩽ [ ( + k )] ∥w∥ ∥w ∥ + 2C,

  • 2

  4

  1 /3 /3

  4 + 2λ

  1

  2 onde C foi escolhida em tal que C 2 3 na inequação anterior.

  ⩾ C +C

  5 3 α

  4 2 λ 1 Logo, 5 3α

  [ + δ ( + k )] ⩽ 2. 2 Agora, para δ suficientemente pequeno temos

  2

  3

  2

  2

  2

  2

  δ ǫ t t

  [ ( + k )] ∥w∥ 4 ∥w ∥ 1 + 2C ⩽ 2 ∥w∥ + 4 + 2ǫ w ∥ 1 + 2C /3 /3 /3 /3

  4 + 2λ

  1

  2

  2 1

  /3

  1 = 2 ∥U (t, τ)z∥ + 2C,

  H

  t

  finalizando assim a demonstração da segunda desigualdade da Afirma- ção 1. Nos resta agora verificar a primeira desigualdade. De

  • ǫ w
  • δα w
  • C = (

  • ǫ
  • δα
  • C C
  • ǫ
  • C C
  • 1
  • C 3 .
  • 2δ w
  • 2δ f(u) − f (v) − g, A
  • P
  • P
  • 2δA
  • 2A
  • 2A
  • 2A
  • 2δA
  • 2δA
  • 2δA

  Λ + (2α ǫ

  − 2δǫ) ∥w

  t

  ∥

  2

  1 /3

  2

  4 /3

  1 /3

  w

  ′ ⟨w

  ⟩ = 2δǫ

  t , A

  1 /3

  w

  ⟩ + P

  1

  2

  3

  ,

  onde P

  1 = 2 ⟨[f

  d dt

  2

  Afirmação 2: Temos

  t

  3 (7)

  ⩾

  1 2 ∥

  w

  ∥

  2

  4 /3

  2

  ǫ

  ∥w

  ∥

  ⩾ C

  2

  1 /3

  =

  1 2 ∥

  U

  1 (t, τ)z

  2 H 1

  /3 t

  onde em (7) tomamos 0 < δ

  1 4 k 2 e C

  ′ (u) − f

  t , A

  ′ (v)] u

  wαw t

  w t Aw

  1 /3

  w t f

  (u) − 2A

  1 /3

  w t f

  (v) + 2δA

  1 /3

  wǫw tt

  1 /3

  1 /3

  w t αw t

  wAw

  1 /3

  wf

  (u) − 2δA

  1 /3

  wf

  (v) = 2A

  1 /3

  w t g

  1 /3

  1 /3

  1 /3

  1 /3

  ′ 1 (u)u

  

w

  ⟩ , P

  2 = 2 ⟨f

  ′ (v)w

  t , A

  1 /3

  w

  ⟩ e P

  3 =

  2 ⟨f

  t , A

  w t ǫw tt

  1 /3

  w ⟩.

  De fato, multiplicando a primeira equação de por 2A

  1 /3

  w t

  1 /3

  w

  , temos

  2A

  1 /3

  2 − C

  1 /3

  2

  ⟩ ⩾ −C

  ∥

  2

  4 /3

  − C

  2

  ,

  e −2 ⟨g, A

  1 /3

  w

  3 − δk

  1 4 ∥

  2 ∥w

  2

  4 /3 .

  Portanto, Λ ⩾ ∥w

  2

  4 /3

  t

  ∥

  2

  1 /3

  w

  ⟩ ⩾ −

  ∥

  1 /3

  respectivamente, seguem as desigualdades a seguir: 2δǫw t

  , A

  1 /3

  w

  ⟩ ⩾ −

  

ǫ

  2 ∥

  w t

  ∥

  2

  −

  

w

  δα

  2 ∥

  w

  ∥

  2

  1 /3

  ,

  2 ⟨f(u) − f

  (v), A

  1 /3

  2

  1 /3

  −

  ∥

  2

  4 /3

  2 ∥

  w t

  ∥

  2

  1 /3

  2 ∥

  w

  2

  δk

  1 /3

  2 − C

  3 ⩾ (

  3 4 −

  δk

  2 ) ∥w

  2

  4 /3

  2 ∥

  w t

  2 ) ∥w

  3 4 −

  ǫ

  4 /3

  2 ∥

  w t

  ∥

  2

  1 /3

  −

  δα

  2 ∥

  w

  ∥

  2

  1 /3

  1 4 ∥

  w

  ∥

  2

  4 /3

  − C

  2 − C

  3 − δk

  2 ∥w

  2

  wg,

  • 2δA
  • 2 ⟨f(u) − f (v) − g, A

  • 2δα A
  • 2δ f(u) − f (v) − g, A

  1 /3

  (3.36) Por outro lado,

  d dt

  Λ =

  d dt

  ∥U

  1 (t, τ)z

  1

  /3 t

  

d

dt

  ∥w

  2

  d dt

  d dt

  (ǫ w

  t , A

  1 /3

  w

  ⟩)

  d dt

  ⟨f(u) − f (v) − g, A

  1 /3

  w

  ⟩ , onde

  d dt

  2

  w ⟩ = 0.

  1 /3

  ⟩

  w, Aw

  e integrando em Ω obtemos 2ǫ

  ⟨A

  1 /3

  w t

  , w tt

  ⟩ + 2α A

  1 /3

  w t

  , w t

  ⟩ + 2 ⟨A

  1 /3

  w t

  , Aw

  ⟩

  1 /3

  w t

  ⟩ + 2δǫ A

  1 /3

  w, w tt

  ⟩

  1 /3

  w, w t

  ⟩ + 2δ A

  1 /3

2 H

  • δα
  • 2δ
  • 2

  2

2 H

  =

  • ǫ(t) ∥w
  • ǫ
  • ǫ(t)
  • ǫ
  • 2ǫ w
  • f(u) − f (v) − g, A
Portanto,

  1 /3

  ⟩ + ǫ w

  w

  1 /3

  t , A

  ⟨w

  ⟩) = ǫ

  w

  t , A

  1 /3

  (ǫ w

  , d dt

  1 /3

  ⟩

  t , w

  = 2 ⟨w

  1 /3

  tt , A

  w

  d dt

  ⟩ = ⟨

  w t.

  1 /3

  ⟩

  w

  1 /3

  [f(u) − f (v) − g] , A

  d dt

  w

  ⟩ + ǫ w

  1 /3

  ⟨f(u) − f (v) − g, A

  d dt

  ⟩ ,

  w t

  1 /3

  t , A

  ⟨w, w

  =

  /3 t

  ∥U

  d dt

  1 /3

  2

  ∥

  t

  ′ (t) ∥w

  4 /3

  d dt

  t , w t

  ) =

  1 /3

  1 (t, τ)z

  ∥

  t

  4 /3

  1

  (∥w

  ⟨w

  ⟩

  1 /3

  tt , w t

  2

  ∥w

  d dt

  e também

  ,

  1 /3

  ⟩

  1 /3

  1 /3

  2

  ∥

  t

  ′ ∥w

  4 /3

  ⟩

  t , w

  = 2 ⟨w

  ⟨w, w

  d

  2

  2 ′

  t

  Λ + (2α ǫ − 2δǫ) ∥w ∥ + 2δ w∥ 1 /3 4 /3

  dt

  1 /3

  

w

  • 2δ f(u) − f (v) − g, A

  2 ′

  

t , w t tt , w t t , w

  = 2 ⟨w ⟩ + ǫw ∥ + 2ǫ w ⟩ + 2δα w

  4

  1

  1

  1 /3 /3 /3 /3

  1

  1

  1 /3 /3 /3

  ′

  , A w , A w , A w t tt t t

  • 2δǫw

  ⟩ + 2δǫ w ⟩ + 2δǫ w

  d

  1 /3

  w

  • 2 ⟨ [f(u) − f (v) − g] , A

  dt

  1 /3

  w

t

  • 2 ⟨f(u) − f (v) − g, A

  2

  2

  2

  2 ′

  t t t

  • 2α w ∥ − ǫw ∥ − 2δǫ w ∥ + 2δ w

  1 /3 1 /3 1 /3 4 /3 (3.37)

  1 /3

  

w

  • 2δ f(u) − f (v) − g, A

  (8)

  1

  1

  1 /3 /3 /3

  w , Aw w , w w, w t t tt t

  = 2 ⟨A ⟩ + 2ǫ A ⟩ + 2δα A

  1

  1 /3 /3

  ′

  , A w w, w t tt

  • 2δǫw

  ⟩ + 2δǫ A

  d

  1 /3

  w

  • 2 ⟨ [f(u) − f (v) − g] , A

  dt

  1

  1 /3 /3

  w w , w t t t

  • 2 ⟨f(u) − f (v) − g, A

  ⟩ + 2α A

  1

  1 /3 /3

  

w, Aw w

  • 2δ A (v) − g, A

  ⟩ + 2δ f(u) − f (9) d

  1

  1 /3 /3

  ′

  , A w w

  ⟨w t = 2δǫ ⟩ + 2 ⟨ [f(u) − f (v) − g] , A,

  dt

  onde na igualdade (8) usamos

  2 /3 2 /3 2 /3 2 /3 4 /3

  t , w w t , A w t , A A w t , A w

  2 ⟨w ⟩ = 2 ⟨A

  4 /3 ⟩ = 2 ⟨w ⟩ = 2 ⟨w 1 /3 1 /3

  t , A Aw w t , Aw

  = 2 ⟨w, ⟩ = 2 ⟨A

  1 /6 1 /6 1 /6 1 /6

  tt , w t w tt , A w t tt , A A w t

  2ǫw ⟩ = 2ǫ A ⟩ 1 ⟩ = 2ǫ w

  /3

  1

  1 /3 /3

  , A w w , w tt t t tt,

  = 2ǫ w ⟩ = 2ǫ A

  1

  1

  1

  1 /6 /6 /6 /6

  , w w , A w , A A w

  2δα t t tw ⟩ 1 = 2δα A

  /3 ⟩ = 2δα w

  1

  1 /3 /3

  , A w w, w t t

  = 2δα w, ⟩ = 2δα A

  1 /3 1 /6 1 /6 1 /6 1 /6

  t , A w t t , A A w t w t , A w t

  2δǫw

  ⟩ = 2δǫ w ⟩ = 2δǫ A

  2

  , w , t t t

  = 2δǫ w ⟩ 1 = 2δǫ w

  1 /3 /3

  2 1 /6 1 /6

  

t t , w t w t , A w t

  2αw ∥ = 2α w ⟩ = 2α A ⟩ 1 /3 1 /3 1 /6

  1 /6 1 /3

  A w t , w t w t , w t

  = 2α A, ⟩ = 2α A

  • f
  • 2 ⟨f
  • 2 ⟨f
  • P
  • P

  • δΛ + α w
  • P
  • P
  • P
  • P
  • δ w
  • δǫ w
  • δ
  • 2δ
  • 2δ f(u) − f (v) − g, A
  • 2δ
  • 3δǫ) ∥w
  • δ
  • P
  • P
  • P

  2

  4 /3

  t

  ∥

  2

  1 /3

  2

  α

  ∥w

  2

  1 /3

  2

  ǫ

  ⟨w

  t , A

  1 /3

  w

  ⟩

  w

  1 /3

  3 − (2α ǫ

  ⟨w

  t , A

  1 /3

  w

  ⟩ + P

  1

  2

  ′ − 2δǫ) ∥w

  − 2δ f(u) − f (v) − g, A

  t

  ∥

  2

  1 /3

  − 2δ w

  2

  4 /3

  ⟩

  1 /3

  w

  Logo,

  α

  ∥w

  2

  1 /3

  1

  2

  3 + δC.

  d dt

  4 /3

  Λ + δΛ + α w

  t

  ∥

  2

  1 /3

  1

  2

  2

  2

  ⟩ + δC + α w

  ) ⟨w

  t

  ∥

  2

  1 /3

  = (2δǫ

  2

  ǫ

  t , A

  − δ w

  1 /3

  w

  ⟩ + (−α + ǫ

  t

  ∥

  2

  1 /3

  = 2δǫ

  2

  1 /3

  ′ 1 (u)u

  w, Aw

  ⟩ , e na igualdade (9) aplicamos diretamente Agora, como f = f + f

  1 e u = v + w, temos

  d dt

  [f(u) − f (v) − g] = f

  (u)u

  

t

  t

  ⟩ = 2δ A

  − f

  (v). [u

  t

  − w

  t

  ] , de onde segue que

  2 ⟨

  1 /3

  w, w

  ∥

  w, A

  e 2δw

  2

  4 /3

  = 2δ w, w

  4 /3

  = 2δ A

  2 /3

  2 /3

  1 /3

  w

  ⟩ = 2δ A

  2 /3

  A

  2 /3

  w, w

  ⟩ = 2δ AA

  d dt

  [f(u) − f (v) − g] , A

  1 /3

  1 /3

  (3.38) Finalmente, de concluímos a Afirmação 2.

  Afirmação 3: Para δ > 0 suficientemente pequeno temos

  d dt

  Λ

  t

  ∥

  2

  ⩽ P

  w

  1

  2

  3 + δC.

  De fato, usando a Afirmação 2 obtemos

  d dt

  Λ + δΛ + α w

  t

  3 .

  2

  1

  ⟩ = P

  ⟩ = 2 ⟨[f

  (u) − f

  (v)] u

  t , A

  1 /3

  w

  ⟩

  ′ (v)w

  t , A

  1 /3

  w

  ⟩

  ′ 1 (u)u

  t , A

  1 /3

  w

  3

  • Γ = P
  • P
  • P
  • δC,
  • 2δ

  • δ w
  • Γ = P
  • P
  • P
  • δC, concluindo a verificação da Afirmação 3.
  • C

  • C
  • C
  • u
  • v
  • C

  ⩽ 2 ∫ Ω

  ∣f

  (u) − f

  (v)∣ ∣u

  t

  ∣ ∣A

  1 /3

  

w

  ∣dx (10)

  ⩽ 2k ∫ Ω

  (1 + ∣u∣ + ∣v∣) ∣w∣ ∣u

  t

  ∣ ∣A 1 /3

  w

  ∣dx (11)

  wdx

  t A

  1 /3

  1 = 2 ⟨[f

  3

  ,

  (3.39) para C 1 , C 2 , C

  3 > 0 constantes apropriadas.

  De fato,

  P

  ′ (u) − f

  (v)] u

  ′ (v)] u

  t , A

  1 /3

  w

  ⟩ = 2 ∫ Ω

  [f

  (u) − f

  ⩽ 2k (K

  1

  L 6

  (s) − f

  ∥

  2 ∥w

  2

  4 /3

  A seguir apresentamos os cálculos feitos para obter as desigualdades (10), (11), (12) e (13). Para (10): Se r, s são reais quaisquer temos

  ∣f

  (r)∣ = ∣∫

  1 ∥u

  s r f

  ′′ (ξ)∣ ⩽ ∫

  s r

  ∣f ′′

  (ξ)∣⩽ ∫

  s r k

  t

  2 Λ

  L 6

  ∥

  ) ∥w

  L 18

  ∥u

  t

  ∥ ∥A 1 /3

  w

  L 18 /5

  δ

  (12) ⩽ c

  1 ∥u

  t

  ∥ ∥w

  2

  4 /3

  (13) ⩽

  4 /3

  2

  2 ∥w

  ′ ) ∥w

  2

  α

  ∥w

  2

  1 /3 .

  Observe que quando δ > 0 é suficientemente pequeno, o sinal de Γ fica determinado apenas pelo termo (α ǫ

  t

  4 /3

  ∥

  2

  1 /3

  , que no caso é positivo, pois α > 0 e ǫ é função decrescente. Logo. para δ pequeno temos Γ ⩾ 0 e, consequentemente,

  d dt

  Λ + δΛ + α w

  − δ

  2

  ∥

  ∥

  onde Γ = (α ǫ

  ′ ) ∥w

  t

  ∥

  2 1 /3 − 3δǫ w

  t

  2 1 /3 − (2δǫ

  ⟩

  ′

  2

  ǫ

  ) ⟨w

  t , A

  1 /3

  w

  t

  2 1 /3 ⩽

  ∥

  1 /3

  2 ⩽

  α

  2 ∥

  w t

  ∥

  2

  2 ∥v

  4 /3

  2 1 ∥w

  2

  4 /3

  , P

  3 ⩽ ∥u

  t

  , P

  2

  d dt

  3

  Λ + δΛ + α w

  t

  ∥

  2 1 /3

  1

  2

  Afirmação 4: Temos as seguintes estimativas para P 1 , P 2 e P 3 :

  2 ∥w

  P

  1 ⩽

  δ

  2 Λ

  1 ∥u

  

t

  ∥

  (1 + ∣ξ∣)k (1 + ∣s∣ + ∣r∣) ∣s r, (3.40)

  ′ ′ e aplicando isso às funções u, v temos ∣f (u) − f (v)∣ ⩽ k (1 + ∣u∣ + ∣v∣) ∣w∣.

  Para (11), aplicando a Desigualdade de Hölder e usando a imersão

  18

  9 /2

  L

  (Ω) ↪ L (Ω), obtemos 1 /3 9 1 /3

  

t w /2 t w

18

  ∣w∣ ∣u ∣ ∣Au ∥ ∥A ∥ ∣dx ⩽ ∥wL /5

  L

  ∫ Ω

  1 18 /3 1 t w 18 ,Kw∥ ∥u ∥ ∥A ∥ /5

  L L

  também

  1

  1 /3 /3 6 18

  w w 18 , t t

  ∣u∣ ∣w∣ ∣u ∣ ∣A LwLu ∥ ∥A ∥ /5 ∣dx ⩽ ∥u

  ∫

  L

  Ω e

  1

  1 /3 /3 6 18

  w w 18 , t t

  ∣v∣ ∣w∣ ∣u ∣ ∣A LwLu ∥ ∥A ∥ /5 ∣dx ⩽ ∥v

  ∫

  L

  Ω

  1

  1

  1 onde notamos que para aplicar Hölder usamos

  • = 1, também

  9

  2

  18 /2 /5

  1

  1

  1

  1 18 1 é uma constante positiva da imersão L

  • = 1 e K (Ω)

  6

  18

  2

  18 /5

  9 /2 em L (Ω).

  p

  Para (12) note que se p > 2 temos HL (Ω). Então das

  (3p−6)/(2p)

  6

  18

  18 /5 inclusões H

  1

  4

  2 ↪ L (Ω), H /3 ↪ L (Ω) e H /3 ↪ L (Ω), concluímos 6

  , k

  que existem constantes k

  1 2 e k 3 positivas tais que 1 , 6 18uLku

  1 1 , 2 e

  ∥vLkv∥ 1 ∥wLkw

  4 /3

  1

  1

  1

  1

  2 /3 /3 /3 /3 /3

  w 18 w A w w ,

  3

  3

  3

  3 ∥A ∥ /5 ⩽ kA ∥ ⩽ kAAw

  ∥ = k ∥ = k 4 /3

  L

  2 /3 e aplicando a Observação mostramos que existe c

  1 > 0 tal que a desigualdade

  (12) ocorra. Para (13) observemos primeiramente que para η > 0 (a priori tomamos η qualquer) temos

  2

  

c c

  1

  1

  2

  1

  c η

  • 2

  2

  

η η

  2 ( Usando isso e a primeira desigualdade da Afirmação 1, chegamos a

  1 t t tu ∥ = ηu ∥ ⩽ ∥u ∥ ) .

  δ δ

  2

  2

  2 1

  c U /3

  1 t Λ 1 t

  1 ∥u ∥ ∥w∥ 4 − ⩽ cu ∥ ∥w∥ 4 − (t, τ)z

  /3 /3 H

  t

  2 4 ∥

  2

  2

  c η δ

  2

  2

  2

  2

  w U /3 t

  1 ⩽ ∥u ∥ ∥w∥ 4 ∥ 4 − (t, τ)z

  • 1
  • 1

      2 /3 /3 H

      t

      2η 2 ∥ 4 ∥

      2

      2 1 t ,Cu ∥ ∥w

      4 /3 2

      c 1 2 δ

      1 onde na útima desigualdade denotamos C = e tomamos 0 < η

      2 η

      2 tal que

      2

      η δ

      2

      2 1

      /3 w U

      H

      t

      2 ∥ 4 ∥

      1 ∥ − (t, τ)z∥ ⩽ 0. 4 /3 Portanto

      δ

      2

      2

      2

    c .

    1 t Λ 1 t

      ∥u ∥ ∥w∥ 4 ⩽ + Cu ∥ ∥w

      4 /3 /3

      2 ′

      Para P 2 , lembrando que f (0) = 0 e usando o cálculo feito em temos

      ′ ∣f (v)∣ ⩽ k(1 + ∣v∣) ∣v, e assim

      ′ 1 ′

      1 /3 /3

      P

      2 t , A w f t A wdx = 2 ⟨f (v)w (v)w

      ⟩ = 2 ∫ Ω

      ′

      1

      1 /3 /3

      t w t w

      ∣f (v)∣ ∣w ∣ ∣A (1 + ∣v∣) ∣v∣ ∣w ∣ ∣Adx ⩽ 2 ∫ ∣dx ⩽ 2k

      Ω Ω

      1

      1 /3 /3

      t w t w

      ∣v∣ ∣w ∣ ∣Av∣ ∣v∣ ∣w ∣ ∣Adx)

      = 2k (∫ ∣dx + ∫ Ω Ω

      (14)

      1 6 6 18 /3 2 t /7 w 18 ⩽ 2k (c + ∥v∥ ) ∥v∥ ∥w ∥ ∥A ∥ /5

      L L L L

      (15) (16)

      α

      2

      2

      2

      w

      2 t t

      2 ⩽ Kv∥ 1 ∥w ∥ 1 ∥w∥ 4 ⩽ ∥ 1 + Cv∥ 1 ∥w

      4 /3 /3 /3 /3

      2 ∥

      6

    3 Em

      (14), usando que L (Ω) ↪ L (Ω) e também a desigualdade de Hölder, temos:

      1

      1 /3 /3 3 18

      w w 18 t t /7

      ∣v∣ ∣w ∣ ∣A LwLA ∥ /5 ∣dx ⩽ ∥v

      ∫ L

      1 6 18 /3

      /7 w 18 ,

      2 tA ∥ ⩽ cvLwL /5

      L

      o que nos dá

      2

      1

      1 /3 /3 6 18

      w w 18 t t /7

      ∣v∣ ∣v∣ ∣w ∣ ∣A LwLA ∥ /5 ∣dx ⩽ ∥v

      ∫ L

      1

      1

      1

      1

      1

      1

      3

      18

      18

      6

      6

      18

      18 /7 /5 /7 /5

      1 lembrando que = 1 e = 1. + + + + +

      6

      18 /7

      Para (15) notamos que H

      1

      1

      2 ↪ L (Ω), HL (Ω) e H

      /3 /3

      18 /5

      L

      1 , k

      2

      3 (Ω), e assim concluímos que existem constantes k e k posi- 6 18

      1 t /7 2 t tivas tais que ∥v∥ ⩽ kv∥ , ∥w ∥ ⩽ kw ∥ e

      L

      1 L

      1 /3

      1

      1

      1

      1

      2 /3 /3 /3 /3 /3 w w A w w . 18

      3

      3

      3

      3 ∥A ∥ /5 ⩽ kA ∥ ⩽ kAAw

      ∥ = k ∥ = k

      4 L 2 /3 /3 Aplicando então a Observação segue a desigualdade (15). Em (16) aplicamos a Observação para obter

      K

      √

      2 K α 2 t tv∥ ∥w ∥ ∥w∥ = ( ∥w ∥ ) ( √ ∥v∥ ∥w∥ )

      1

      1

      4

      1

      1

      4 /3 /3 /3 /3

      α

      2 K

      1

      2

      2

      2

      

    α

    t

      ⩽ ∥w ∥ 1 ∥v∥ 1 ∥w∥ 4 ) /3 /3

    • 2

      α

      2 (

      α

      2

      2

      2

      w , t

      2 = ∥ 1 + Cv∥ 1 ∥w

      4 /3 /3 2 2 ∥

      K 2

      onde denotamos C 2 = .

      2 α Finalmente, vamos verificar a estimativa para P 3 . Temos

      ′ 1 ′

      1 /3 /3

      P

      3 t , A w f t A wdx = 2 ⟨f 1 (u)u 1 (u)u

      ⟩ = 2 ∫ Ω

      (17) ′

      1

      1 /3 /3

      t w t w

      ∣f 1 (u)∣ ∣u ∣ ∣Adxu ∣ ∣Adx ⩽ 2 ∫ ⩽ 2k

      Ω Ω (18)

      1 /3

      w k t

      3 t ⩽ 2k u ∥ ∥A ⩽ 2cu ∥ ∥w

      4 /3

      1

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      u t k t

      3 , ⩽ 2 [ ∥ ∥w∥ + c 3 )] = ∥u ∥ ∥w∥ + C

      4

      4 /3 /3

      2 (∥

      2

      2

      k

      onde denotamos C 3 , na desigualdade = c 3 (17) usamos a limitação de

      ′

      f

      e na desigualdade

      4 2 , logo existe c

      3 1 (18) notamos que H ⊂⊂ H > 0 /3 /3

      1 /3

      w

      ∥ = ∥w

      2

      4 /3 /3

      3 tal que ∥Acw∥ .

      Agora, usando as estimativas de e também a Afirmação 3, obtemos

      d δ

      2 2 α

      2

      2

      w

      1 t t

      2 Λ + δΛ ⩽ Λ + Cu ∥ ∥w∥ ∥ + Cv∥ ∥w

    • 2

      4

      1

      1

      4 /3 /3 /3

      dt

      2 2 ∥

      2

      2

      2

      , t

      3 t

    • u ∥ ∥w∥ 4 + C + δC α w

      1 /3 /3 o que implica

      d δ α

      2

      2

      w t

      1 t Λ Λ ⩽ − ∥ + (C + 1) ∥u ∥ ∥w

    • 2

      1

      4 /3 /3

      dt

      2 2 ∥

      2

      2 (3.41)

      2

      3

    • Cv∥ ∥w∥ + C + δC

      1

      4 /3

      2

      2

      2 1 t

      2 ⩽ [(C + 1) ∥u ∥ + Cv∥ 1 ] ∥w∥ 4 + k,

      /3

      2

      α

      3 t onde k = C + δC e o termo − ∥w ∥ desaparece na última desigual-

      2

      1 /3 dade por ser negativo.

      Por outro lado, da Afirmação 1, extraímos que

      2

      2

      2

      2 1

      /3 t

      1 ∥w∥ ⩽ ∥w∥ + ǫ w ∥ = ∥U (t, τ)z∥ ⩽ 2Λ,

      4

      4

      1 /3 /3 /3 H

      t o que juntando com nos dá

      d δ

      2

      2

      1 t 2 (3.42) ⩽ [2(C + 1) ∥u ∥ + 2Cv∥ 1 ] Λ + K = qΛ + k,

    • Λ Λ

      dt

      2

      2

      2 1 t 2 onde q = 2(C + 1) ∥u ∥ + 2Cv∥ .

    1 Nosso intuito agora é aplicar o Lema 3.1.8 à desigualdade (3.42).

      Para isso, nos resta verificar que existe m ⩾ 0 tal que ∞

      q

      (y)dy m

      τ

      De fato, ∞ ∞ ∞

      2

      2

      q dy dy,

      1 t

      2 (y)dy = 2(Cu (y)∥ + 2Cv(y)∥

      1 ∫ ∫

    • 1) ∫

      τ τ τ

      e notamos que a primeira integral do lado direito da igualdade acima é limitada (de acordo com o Teorema Já a segunda integral segue do Lema como explicado a seguir. Temos

      2

      2

      2 −δ(tτ )

      t

      ∥v(t)∥ 1 ⩽ ∥v∥ 1 + ǫ(t) ∥v ∥ = ∥U (t, τ)z∥ ⩽ Cet τ, H

      t

      e logo, ∞ ∞

      C

      2 −δ(yτ ) dy Ce dy .

      ∥v(y)∥ 1 = ∫

      ⩽ ∫

      τ τ δ

      Finalmente, aplicando o Lema com 2ω =

      δ

      , chegamos a

      2

      m δ m 4 4ke

      − (tτ ) e .

      Λ (t) ⩽ Λ(τ)e +

      δ

      Pela Afirmação 1 temos

      2 1

      /3

      1 Λ (τ) ⩽ 2 ∥U (τ, τ)z∥ + 2C = 2C,

      H

      τ

      e consequentemente,

      m m

      − (tτ )

      e

    • δ
    • m 4ke m 4ke
    • 4

        Λ (t) ⩽ 2Ce ⩽ 2Ce = K, t τ.

        δ δ

        Novamente pela Afirmação 1 segue que

        2 1

        /3

        1 ∥U (t, τ)z∥ ⩽ 2Λ ⩽ 2K, t τ,

        H

        t

        ou seja 1

        /3

        1

        2KU (t, τ)z∥ ⩽ = M, t τ,

        H

        t 1 /3

        1 e segue disso que sup tU (t, τ)z∥ ⩽ M, terminando a demonstra-

        ⩾τ H

        t ção do Lema.

        

      Teorema 3.3.6. O processo U gerado por possui atrator pullback

      tempo-dependente.

        1

        1 /3 /3 1

        /3 t

        

      Demonstração: Defina K = {z ∈ H t ∶ ∥z∥ ⩽ M} ⊂ H t , onde M

        H

        t

        1 /3

        é a constante obtida no Lema Como t , os conjuntos H t ⊂⊂ H

        1 /3 limitados de são precompactos em t . Portanto K t é compacto

        H t H em t para todo t. Além disso, existe uma constante c H 1 > 0 tal que

        /3

        , logo para todo t.∥ ⩽ c .∥ ∈ R temos ∥z∥ ⩽ cM, ou seja,

        H H

        t H t t z t K t

        ∈ B (cM). Portanto a família ˆ = {K } é uniformemente limitada

        t

        ∈R

        t em H .

        τ

        1 t Suponha z ∈ B (R ). Do Lema segue que U (t, τ)z K para todo t

        ⩾ τ, logo inf

        1 ∥U(t, τ)z w∥ ⩽ ∥U(t, τ)z U (t, τ)z

        H t H t

        w

        ∈K

        t

        (1)

        δ

        −ˆ (tτ)

        ,

        = ∥U (t, τ)z∥ ⩽ Ce H

        t

        onde em (1) aplicamos o Lema Portanto para todo t τ

        δ

        −ˆ (tτ )

        

      δ t τ t ,

        (U(t, τ)B (R ), K ) ⩽ sup inf ∥U(t, τ)z w∥ ⩽ Ce H

        t

      w

        ∈K

        t z ∈B

        τ (R )

        e tomando o limite τ → −∞ vem que

        δ

        −ˆ (tτ )

        δ Ce

        lim t τ t (U(t, τ)B (R ), K ) ⩽ lim = 0.

        τ τ

        →−∞ →−∞

        K b

        Usando isso e o Teorema concluímos que ˆ é D -pullback atraente. Portanto o processo U é assintoticamente compacto. Além disso, como U é fortemente contínua, temos U T-fechado. Segue do Teorema que existe atrator pullback tempo-dependente para U.

        

      Corolário 3.3.7. O atrator pullback tempo-dependente t do

        A = {A } t ∈R

        1 /3

        

      processo t é limitado em , e tal limitação independe

        U é tal que A H t de t.

        K t

        

      Demonstração: Como ˆ = {K } é uma família de fechados pull-

      t ∈R

      t

        back atraente e A = {A } é atrator pullback tempo-dependente, se-

        t ∈R

        gue que A t t para todo t t é limitado ⊂ K ∈ R. Além disso, como cada K

        1

        1

        1 /3 /3 /3

        t t

        em H , segue que A é limitado em H , e a limitação de K em H

        t t t independe de t.

      3.3.1 Regularidade do atrator pullback tempo- dependente

        t

        No próximo lema e no teorema posterior vamos provar que A é

        1

        τ

        limitado em H t . Antes disso, fixe τ e tome zA . Vamos agora

        1 decompor U como U(t, τ)z = U (t, τ)z + U (t, τ)z, onde U (t, τ)z =

        t

        1 t (v(t), v (t)) e U (t, τ)z = (w(t), w (t)) são soluções de

        ǫv tt t

      • αv + Av = 0

        ,

        (3.43) {

        U

        (τ, τ) = z e

        ǫw tt t

      • αw + Aw + f(u) = g

        ,

        (3.44) {

        U

        1 (τ, τ) = 0 respectivamente, e notamos que esta decomposição é distinta da usada na seção anterior. Começaremos com o seguinte resultado: 1 .

        Lema 3.3.8. Existe M

        1 ⩾ 0 tal que sup tU 1 (t, τ)z∥ ⩽ M

        1 ⩾τ H

        t Demonstração: Inicialmente, definimos

        2 1

        2

        , Aw

        Ψ

        1 1 t = ∥U (t, τ)z∥ + δα w∥ 1 + 2δǫ w ⟩ − 2 ⟨g, Aw⟩ + c.

        H

        t

        Afirmação 1: Para δ > 0 suficientemente pequeno e c > 0 suficiente- mente grande na expressão acima, temos

        2

        2

        1 1 1 U

        1

        1

        t t

        4 ∥

        1 (t, τ)z∥ ⩽ Ψ ⩽ 2 ∥U (t, τ)z∥ + 2c. H H

        2 Vamos começar verificando a segunda desigualdade. Como H ⊂⊂

        H , Aw

        1

        t

        , existe k > 0 tal que ∥w∥ ⩽ k w∥ . Além disso, note que ⟨w ⟩ =

        1

        2 1 /2 1 /2 1 /2 1 /2

        , A A w w , A w , w t t t

        ⟨w ⟩ , de onde segue que ⟩ = ⟨A ⟩ = ⟨w

        1

        , Aw , w t t

        ∣2δǫ w ⟩∣ = 2δǫ ∣⟨w ⟩ ∣

        1 √

        1 .

        

      t t 2δ

        ⩽ 2δǫ w ∥ 1 ∥w∥ 1 = 2ǫ ( √ ∥w ∥ 1 ∥w∥ 1 )

        2 (3.45)

        (1)

        ǫ

        2 2 ǫ

        2

        2

        2

        2

        

      w ǫ w L

      t t

        ⩽ ∥ + 2δw∥ ⩽ ∥ + 2δw

        1

        1

        1

        1 2 ∥ 2 ∥

        2 (2)

        ǫ δα ǫ δαk

        2

        2

        2

        2

        w t w w t w ,

        ⩽ ∥ ∥ ⩽ ∥ ∥ + +

        1

        1

        1

        2 2 ∥ 2 ∥ 2 ∥ 2 ∥ onde em (1) usamos e em (2) tomamos δ > 0 suficientemente 2 δα pequeno de tal forma que 2 ⩽ . Temos também

        2 √

        1

        δ

        ∣2 ⟨g, Aw⟩∣ ⩽ 2 ∥g∥ ∥Aw∥ = 2 ( √ ∥g∥) . ( ∥Aw∥)

        δ

        (3.46)

        1

        2

        2

        2 1 , ⩽ ∥g∥ + δ Aw∥ ⩽ c + δ w

        2

        δ

        onde c

        1

        1 = c (δ, g∥) ⩾ 0. Com isso concluímos

        2

        ǫ δαk

        2

        2

        2

        2

        2

        2

        w w

        Ψ 1 t t

        1 ⩽ ∥w∥ 2 + ǫ w ∥ ∥ + 1 + δαkw

        2 1 ∥ 2 + c + δ w∥ 2 + c 2 ∥ 2 ∥

      • 2

        2

        2

        2 3αk

        3

        1 t

        1 = [1 + δ ( )] ∥w∥ 2 ∥w ∥ 1 + c + c 2 +

      • ǫ

        2 (3)

        2

        2

        2 1

        t

        1 ⩽ 2 ∥w∥ + 2ǫ w ∥ + 2c = 2 ∥U (t, τ)z∥ + 2c,

        2

        1 H

        t

        onde na desigualdade 2 (3) tomamos δ suficientemente pequeno tal que

        αk

        3

        1 1 .

      • δ ( + 1) ⩽ 2 e c > 0 suficientemente grande tal que c c

      2 Por outro lado, para verificar a primeira desigualdade da Afirma-

        2 ção 1 observe que 1 (isso vem diretamente de

        −2 ⟨g, Aw⟩ ⩾ −δ w∥ 2 − c

        2

        ǫ δαk

        2

        2

        

      t , Aw w t w

        e que 2δǫ (segue da desigual- ⟨w ⟩ ⩾ − ∥ 1 − ∥

        2 2 ∥ 2 ∥ dade Logo,

        2

        ǫ δαk

        2

        2

        2

        2

        2

        2

        w w

        Ψ 1 t t

        1 ⩾ ∥w∥ 2 + ǫ w ∥ 1 + δα w∥ 1 − ∥ 1 − ∥ 2 − δ w∥ 2 − c + c 2 ∥ 2 ∥

        2 (4) (5)

        αk

        2 ǫ

        2

        2

        2

        1

        1

        w w ǫ

        1 t 1 t ⩾ [1 − δ ( ∥ + c c ⩾ ∥ ∥w ∥ )] ∥w∥ + +

        2

        1

        2

        1 2 + 2 ∥ 4 ∥

        4

        1

        2 1 U ,

        1 = (t, τ)z

        H

        t

        4 ∥

        2 onde notamos que o termo δα não interfere na desigualdade

        ∥w∥ (4)

        1 2

        αk

        1 por ser positivo e em

        (5) tomamos δ pequeno tal que 1−δ ( + 1) ⩾

        2

        4

        1 e c > 0 suficientemente grande tal que c c ⩾ 0. Finalizamos assim a verificação da Afirmação 1.

        Afirmação 2: Vale a igualdade abaixo:

        d

        2

        2 ′ 1 t

        Ψ + [2α ǫ − 2δǫ] ∥w ∥ + 2δ w∥ − 2δ g, Aw

        1

        2

        dt

        ′

        , Aw t t

        = 2δǫw ⟩ − 2 ⟨f(u), Aw ⟩ − 2δ f(u), Aw⟩ Para começarmos a prova, multiplicamos a primeira equação de por 2Aw t

      • 2δAw para obter

        ǫw αw Aw f

        2Aw t tt t t t t tt

      • 2Aw + 2Aw + 2Aw (u) + 2δAwǫw

        g t t

      • 2δAwαw + 2δAwAw + 2δAwf(u) = 2Aw + 2δAwg, e integrando ambos os lados da expressão acima em Ω temos

        , w , w , Aw

        2ǫ t tt t t tAw ⟩ + 2α Aw ⟩ + 2 ⟨Aw

        , f

      t tt

      • 2 ⟨Aw (u)⟩ + 2δǫ Aw, w

        (3.47)

        t

      • 2δα Aw, w ⟩ + 2δ Aw, Aw⟩ + 2δ Aw, f(u)⟩

        t , g = 2 ⟨Aw ⟩ + 2δ Aw, g.

        Por outro lado,

        d d d d d

        2 1

        2

        t , Aw

        Ψ 1 = ∥U 1 (t, τ)z∥ + δαw∥ + 2δ [ǫ w ⟩] − 2 ⟨g, Aw,

      1 H t

        dt dt dt dt dt

        e calculando as derivadas na expressão acima, temos

        d

        2 d 1

        2

        2 1 tU (t, τ)z∥ = (∥w∥ 2 + ǫ(t) ∥w ∥ 1 )

        H

        t dt dt

        2 ′

        , w , t t t tt

        = 2 ⟨w, w ⟩ 2 + ǫ (t) ∥w ∥ 1 + 2ǫ(t) ⟨w

        1

        d

        2 d

        , t

        ∥w∥ 1 = ⟨w, w⟩ 1 = 2 ⟨w, w

        1

        dt dt d

        ′

        , Aw , Aw , Aw , Aw t t ttt t ⟩] ,

        [ǫ(t) ⟨w ⟩] = ǫ (t) ⟨w ⟩ + ǫ(t) [⟨w + ⟨w

        dt

        e

        dg, Awtt.

        = ⟨0, Aw⟩ + ⟨g, Aw = ⟨g, Aw

        dt

        Portanto,

        d

        2 ′ ′ 1 t ⟩ ∥w tt , w ttt ⟩ ⟨w t , Aw

        Ψ = 2 ⟨w, w + ǫ + 2ǫ w + 2δα w, w + 2δǫ

        2

        1

        1

        1

        dt , Aw , Aw ttt tt,

      • 2δǫ w + 2δǫ w − 2 ⟨g, Aw
      e então

        d

        2

        2 ′ 1 t

        Ψ + [2α ǫ − 2δǫ] ∥w ∥ + 2δ w∥ − 2δ g, Aw

        1

        2

        dt

        2 ′ ′

        , w , Aw t t t tt t t

        = 2 ⟨w, w ⟩ + ǫw ∥ + 2ǫ w ⟩ + 2δα w, w ⟩ + 2δǫw

        2

        1

        1

        1

        2

        2 ′

        tt , Aw t , Aw t t t t

      • 2δǫ w ⟩ + 2δǫ w ⟩ − 2 ⟨g, Aw ⟩ + 2α w ∥ − ǫw

        1

        1

        2

        2

        t

        − 2δǫ w ∥ 1 + 2δ w∥ 2 − 2δ g, Aw⟩ (6)

        , Aw , w t t tt t

        = 2 ⟨Aw ⟩ + 2ǫ Aw ⟩ + 2δα Aw, w ⟩ ′

        , Aw , Aw t tt t

      • 2δǫw ⟩ + 2δǫ w ⟩ − 2 ⟨g, Aw

        , Aw t t

      • 2α w ⟩ + 2δ Aw, Aw⟩ − 2δ g, Aw

        (7) ′

        , Aw t t

        = 2δǫw ⟩ − 2 ⟨f(u), Aw ⟩ − 2δ f(u), Aw, onde em (6) efetuamos os possíveis cancelamentos entre os termos e também usamos as seguintes igualdades: 2 t t

        ⟨w, w ⟩ 2 = 2 ⟨Aw, Aw,

        1

        1 /2 /2

        

      , w w , A w , w

        2ǫ t tt t tt t ttw ⟩ 1 = 2ǫ A,

        ⟩ = 2ǫ Aw

        1

        1 /2 /2

        w, A w

        2δα t t tw, w ⟩ 1 = 2δα A,

        ⟩ = 2δα Aw, w

        2

        1

        1 /2 /2

        , w w , A w , w

        2δǫ t t t t t t tw ∥ 1 = 2δǫ w ⟩ 1 = 2δǫ A,

        ⟩ = 2δǫ Aw

        2

        , w

        2α t t tw ∥ 1 = 2α Aw, e

        2 2δ

        ∥w∥ = 2δ w, w⟩ = 2δ Aw, Aw,

        2

        2 e em seguida, na igualdade

        (7), aplicamos finalizando a demons- tração da Afirmação 2. 1

        /3 τ Afirmação 3: Para zA temos ∥U(t, τ)z∥ ⩽ C.

        H

        t τ t Recorde que U (t, τ)A = A para todo tτ, pois A é invariante. t t

        Logo U (t, τ)z A . Porém do Corolário temos que A é limitado 1 /3

        1 /3 em H t , de onde concluímos que a norma de U (t, τ)z em H t é limi- tada.

        Afirmação 4: ∥f(u)∥ 1 ⩽ C para alguma constante C ⩾ 0.

        1

        1 Inicialmente observando que e aplicando Hölder chega- =

      • 1

        9

        18

        2 /7 mos a

        1 /2 1 /2 1 /2 ′ ′ 9

        u u 18 ,

        ∥f(u)∥ = ∥A [f(u) − f(0)]∥ ⩽ ∥f (ξ)A (ξ)∥ ∥A ∥ /7 1 ∥ ⩽ ∥f L

        L onde 0 ⩽ ∣ξ(x)∣ ⩽ ∣u(x)∣ para todo x.

        ′ ′ ′′ Agora note que para s ∈ R, temos ∣f (s) − f (0)∣ ⩽ ∣f (η)∣ ∣s − 0∣, onde η é algum valor em (0, s) ou (s, 0). Então

        (8) ′ ′ ′ ′ ′′

        ∣f (s)∣ ⩽ ∣f (s) − f (0)∣ + ∣f (0)∣ ⩽ ∣f (η)∣ ∣s∣ + kc(1 + ∣η∣) ∣s∣ + k

        2

        2

        2

        1

        2

        c

        ⩽ c(1 + ∣s∣) ∣s∣ + k = c s∣ + c s∣ + k ⩽ + ∣s∣ ) + c s∣ + k 2 (

        2

        2

        1

        2

        1

        c c

        = ( + k) + ( ) ∣s∣ ⩽ m(1 + ∣s∣ ), 2 2 +

        1

        1

        2 ′

        c

        onde k = ∣f (0)∣, m = max { + k, + c} e em (8) usamos

        2

      2 Com isso temos

        9

        9

        9

        2

        18

        9

        9 ′ ′ 9

        dx m dx m q

        1 ∥f (ξ)∥ Lf (ξ)∣ (1 + ∣ξ∣ ) (1 + ∣ξ∣ )dx

        = ∫ ⩽ ∫ ⩽ ∫ Ω Ω Ω

        18

        18

        9

        9

        9

        9 18

        m q

        1 dx q 1 dx q 1 q

        1

      • mξ∣ = m ∣Ω∣ + mξ

        L

        = ∫ ∫ Ω Ω

        18 18

        18 18M(1 + ∥ξ∥ ) ⩽ M(1 + ∥u∥ ),

        L L

        onde q 1 é uma constante apropriada que aparece quando aplicamos a

        9

        2

        9

        9

        q q

        Observação à expressão (1 + ∣ξ∣ ) e M = max {m 1 ∣Ω∣ , m 1 }. Logo

        1 /9 (9)

        18

        2

        1

        1 /9 /9

        ′ 9 18 18

        q

        2 ∥f (ξ)∥ LM (1 + ∥uL ) ⩽ M (1 + ∥uL )

        (3.48) (10)

        2 1 /9

        2

        q

        ⩽ M 2 (1 + K 1 ∥u∥ ) ,

        4 /3 onde em 2 é uma constante

        (9) usamos novamente a Observação e q

        18 adequada que vem deste resultado. Além disso, como H

        4 18 /3 ↪ L (Ω) existe uma constante K 1 > 0 tal que ∥u∥ ⩽ K 1 ∥u∥ , e aplicamos

        L

        4 /3 isso em (10).

        18 /7

        Por outro lado, usando que H

        1 /3 ↪ L (Ω) obtemos

        1

        1

        1

        1 /2 /2 /6 /2

        u 18 u A u

        ∥A ∥ 2 ∥A ∥ 2 ∥A

        /7 ⩽ K = K L

        1 /3

        (3.49)

        2 /3 2 u

        2 , = KAu

        ∥ = K 4 /3

        2 para algum K > 0. Por fim, as desigualdades nos levam a

        2

        1

        1

        2 /2 /9

        ′ 9

        u 18 q

        2

        2 ∥f(u)∥ 1 ⩽ ∥f (ξ)∥ LA ∥ /7 ⩽ M (1 + K 1 ∥u∥ 4 ) Ku

        4 /3 /3

        L

        (11) 1 /9 2 1 /2

        q K K

        ⩽ M

        2 1 ) K 2 = C, (1 + K

      • ǫ u

        1

        1 ⩽ ˆ

        2 Ψ

        1

        Ψ

        d dt

        > 0, temos

        C

        Afirmação 6: Para δ suficientemente pequeno e para algum ˆ

        onde na desigualdade (12) tomamos δ suficientemente pequeno (na ver- dade aqui basta que δ seja menor que 1).

        ,

        1

        De fato, usando a Afirmação 2 e a Afirmação 5 obtemos

        ∥

        t

        ⩽ 2C w

        1 )

        1

        ∥

        

      t

        1 (∥w

        ⩽ 2 ∥f(u)∥

        1 (12)

        C

        d dt

        t

        1

        ,

        1

        2 1 + ζ w∥ 2 1 + C

        ∥

        t

        ⟩ + η w

        t , Aw

        ⟨w

        ⩽ 2δǫ

        1 (13)

        ∥

        Ψ

        t

        ⟩ + 2C w

        t , Aw

        ⟨w

        ⩽ 2δǫ

        2 1 + 2δ w∥ 2 2 − 2δ g, Aw

        ∥

        t

        ′ − 2δǫ] ∥w

        1

        ∥ 1 + 2δ f(u)∥ 1 ∥w

        ∥ = 2 ∥f(u)∥ 1 ∥w

        (3.50) onde a priori consideramos η e ζ constantes positivas quaisquer (pos- teriormente essas constantes serão escolhidas adequadamente), e apli-

        2 H 1

        De fato, −2 ⟨f(u), Aw

        1 para δ > 0 suficientemente pequeno.

        ∥ 1 + 2C w

        t

        ⟩ − 2δ f(u), Aw⟩ ⩽ 2C w

        t

        Afirmação 5: Temos −2 ⟨f(u), Aw

        K .

        ⩽

        /3 t

        = ∥U(t, τ)z

        ⟩ − 2δ f(u), Aw⟩ ⩽ 2 ∣⟨f(u), Aw

        1 /3

        2

        ∥

        t

        4 /3

        2

        ⩽ ∥u

        4 /3

        2

        onde em (11) usamos que ∥u

        t

        t

        w

        ⟩∣ ⩽ 2 ∥A

        1 /2

        (u)∥ ∥A

        f

        1 /2

        ∥ + 2δ A

        w t

        1 /2

        (u)∥ ∥A

        f

        1 /2

        w

        ⟩∣ + 2δ ∣⟨f(u), Aw⟩∣ = 2 ∣⟨A

        1 /2

        (u), A

        f

        1 /2

        ⟩∣ + 2δ ∣⟨A

        w t

        1 /2

        (u), A

        f

        1 /2

      • w
      • 2C w
      • δ

      • [2α ǫ
      • 2C w
      • 2C w

      • 2C
      • C
      • η w
      • ζ w
      • C
      • 2 &zeta
      • δ
      • ζ w
      • C
      • ǫ

        ⟩ − [η − 2α + ǫ

        2 Ψ

        1 − [2δǫ

        ′

        2

        ǫ

        ] ⟨w

        t

      , Aw

        w t

        Ψ

        ∥

        2

        1 − [ζ +

        δ

        2

        α

        2 ] ∥

        w

        1

        d dt

        2 1 + 3δ 2 ∥

        2

        ∥

        2

        1

        2

        2

        α

        ∥w

        1

        o que implica

        2

        ǫ

        ⟨w

        t

      , Aw

        ⟩ − δ g, Aw⟩ +

        δc

        2

        ,

        ∥

        

      w

        ∥w

        Ψ

        ∥

        2 1 + 3δ 2 ∥

        

      w

        ∥

        2 2 − δ g, Aw, e observe que tomando η

        < 2α e δ, ζ > 0 suficientemente pequenos, temos Γ ⩾ 0. Neste caso,

        d dt

        1

        2 ] ∥

        2 Ψ

        1 ⩽

        d dt

        Ψ

        1

        2 Ψ

        1

        C

        w

        α

        ∥

        2

        2 2 − δ g, Aw⟩ ⩽ ˆ

        C,

        onde ˆ

        C

        = C

        1

        2 . Definamos agora

        Γ = − [2δǫ

        ǫ

        2

        ] ⟨w

        t , Aw

        ⟩ − [η − 2α + ǫ

        w t

        ∥

        2

        1 − [ζ +

        δ

        t

        ǫ

        (3.51) o que conclui a verificação da Afirmação 6.

        2

        4C

        2 2ζ +

        2ζw

        2 1 ) =

        C

        2

        η

        ζ

        ∥

        t

        ∥

        2

        1

        2

        1 = η w

        t

        ∥

        2 1 ) + 1 2 (

        t

        1

        2ηw

        camos o seguinte cálculo na desigualdade (13):

        2Cw

        t

        ∥

        1

        1 =

        2C

        2η

        t

        2ηw

        ∥

        1

        √ 2ζ

        √ 2ζw

        1 ⩽

        1 2 (

        4C

        2 2η +

        2 1 + ζ w∥ 2 1 + C

        ,

        2

        2

        ′ ∥w

        t

        ∥

        2

        1

        t

        ∥

        1 − 2δ w

        2

        2

        2

        δ

        2 ∥

        w

        ∥

        2

        2

        1

        ∥

        onde C

        ′ ⟨w

        1 =

        C 2 η

        . Agora, usando a desigualdade e a expressão para Ψ 1 obtemos

        d dt

        Ψ

        1

        2 Ψ

        1 ⩽ 2δǫ

        t , Aw

        t

        ⟩ + η w

        

      t

        ∥

        2

        1

        2

        1

        1 − 2α w

      • 2δǫ w
      • 2δ g, Aw⟩ +
      • δ
      • δ
      • δ
      • δ
      • δ
      • 5δǫ 2 ] ∥
      • δc
      • δ
      • 5δǫ 2 ] ∥
      • δ
      • δ
      • Γ ⩽ ˆ

        δ

        Aplicando agora o Lema com 2ω = ,

        2

        q C

        (t) ≡ 0 e k = ˆ chegamos a

        δ Ce δ C 4 4 ˆ 4 ˆ 4

        − (tτ ) − (tτ)

        e ,

        Ψ

        1

        1 1 (3.52) (t) ⩽ Ψ (τ)e = Ψ (τ)e + +

        δ δ

        2 1 Da Afirmação 1 extraímos que Ψ

        1

        1 (τ) ⩽ 2 ∥U (τ, τ)z∥ + 2c = 2c,

        H

        τ

        − (tτ)

        1 o que unindo com nos dá Ψ (t) ⩽ 2ce . Usando a

      • δ
      • 4 4 ˆ C

          δ

          Afirmação 1 novamente temos

          δ C C

          1 1 .

          ∥U (t, τ)z∥ ⩽ 4Ψ (t) ⩽ 8ce ⩽ 8c + H

        • 2 16 ˆ 16 ˆ
        • 4 1 − (tτ )

            t δ δ

            Por fim, √

            C

            16 ˆ 1 +

            1 1 ,U (t, τ)z∥ ⩽ 8c = Mt τ

            H

            t δ

            e 1

            1 1 , sup ∥U (t, τ)z∥ ⩽ M

            H

            t t

            ⩾τ o que conclui a demonstração do lema.

            

          Observação 3.3.9. De maneira análoga ao que foi feito na demons-

          tração do Lema chegamos a

            −δ(tτ )

            para todo t

            ∥U (t, τ)z∥ ⩽ Ceτ, H

            t para o processo obtido nessa nova decomposição.

            U

            t do Teorema 3.3.10. O atrator pullback tempo-dependente A = {A } t ∈R

            1

            

          processo t é limitado em , com limitação independente

            U é tal que A H t de t.

            1

            1 1

            t = {z ∈ H t ∶ ∥z∥ ⩽ M } ⊂ H t

            1 Demonstração: Defina K 1 onde M 1 é a

            H

            t 1

            1 mesma constante do Lema Deste mesmo lema temos ∥U (t, τ)z

            H

            t

            1 1 para todo t 1 para todo tMτ, de onde segue que U (t, τ)z K tτ.

            Logo inf

            1 1 H HU(t, τ)z w∥ ⩽ ∥U(t, τ)z U (t, τ)z

            t t wK t

            (1) −δ(tτ )

            ,

            = ∥U (t, τ)z∥ ⩽ Ce H

            t onde em (1) aplicamos a Observação Segue disso que

            1 −δ(tτ )

            

          δ , K ,

          t τ

            (U(t, τ)A t ) = sup inf ∥U(t, τ)z w∥ ⩽ Ce 1 H

            t w z

            τK t

            ∈A e tomando o limite quando τ Ð→ −∞ na desigualdade acima obtemos

            1 −δ(tτ )

            δ t τ , K Ce lim (U(t, τ)A t ) ⩽ lim = 0.

            τ →−∞ τ →−∞

            1

            , K t t t

            Usando a invariância de A = {A } concluímos que δ (A t t ) = 0.

            ∈R

            1

            1

            1 Portanto, A t t , de onde segue que A t é limitado em , ⊂ AK t = K t H t com limitação independente do tempo t.

            Capítulo 4 Comportamento do atrator pullback para processos TDS

            Neste capítulo final da dissertação faremos um estudo do artigo o qual aborda a relação entre o atrator pullback tempo-dependente para processos e o atrator global de um semigrupo limite. Na Seção será feita uma abordagem puramente teórica desta questão, enquanto a Seção traz uma aplicação deste estudo aos atratores que aparecem nas equações de onda.

          4.1 Atratores para semigrupos

            Nesta seção apresentaremos algumas definições básicas da teoria de semigrupos (análogas àquelas feitas na parte de processos de evolução), bem como um resultado de caracterização do atrator global através de soluções globais.

            Vejamos como ficam as definições de invariância (Definição e

            

            Definição 4.1.1. Invariância: um conjunto B

            ⊂ X é invariante pelo

          • .

            semigrupo

            T se T(t)B = B para todo t ∈ R

            Atração: Sejam A, B

            ⊂ X e T semigrupo. Então B atrai A sob a

            ação de dist H T se lim (T(t)A, B) = 0. t

            →∞

          1 Veja Definição 1.1.3

            

          Definição 4.1.2. Seja T semigrupo em X. Um conjunto A ⊂ X

          é um atrator global para o semigrupo

            T se A é compacto, inva-

            riante e atrai conjuntos limitados de X sob a ação de

            T , ou seja,

            dist

            lim H (T(t)D, A) = 0 para todo D X limitado.

            t

            →∞ Aqui, diferentemente do caso não-autônomo, não precisamos da hi- pótese de minimalidade para garantir que o atrator global seja único.

            De fato, suponha que A e B sejam atratores globais de T . Como B é compacto em X, segue que

            B é limitado em X. Do fato que A atrai subconjuntos limitados de X concluímos que A atrai B, ou seja,

            dist

            lim H (4.1) (T(t)B, A) = 0.

            t

            →∞ Por outro lado, como

            B é invariante, temos

          • dist H H ,

            (B, A) = dist (T(t)B, A), t ∈ R (4.2) e de segue que dist H (B, A) = 0 e concluímos que B ⊂ A. Analogamente se verifica que

            A ⊂ B, o que implica A = B. Como A e B são fechados, segue que A = B.

            

          Definição 4.1.3. Uma solução global de T por x X é uma função

          contínua φ

            ∶ R Ð→ X tal que φ(0) = x e T(t)φ(s) = φ(t+s), para t ∈ R

          • e s ∈ R.

            Temos o seguinte resultado de caracterização para o atrator global de um semigrupo.

            Teorema 4.1.4. Quando

            A existe, temos A = {x X existe solução global limitada por x} .

            

          Demonstração: Como nos Capítulos 1 e 2, faremos adiante um re-

            sultado mais geral para processos-TDS, que dará este resultado como caso particular.

            A partir de agora o atrator global para um semigrupo T , quando existe, será denotado por A ∞ . A razão para isso ficará clara mais adiante.

          4.2 Evolução do atrator pullback

            Nosso foco nesta seção é apresentar um resultado que nos garante,

            t

            de certa forma, a convergência dos elementos A do atrator pullback tempo-dependente A para o conjunto A ∞ (que é o atrator global para semigrupo).

            t seja um atrator Proposição 4.2.1. Suponha que a família A = {A } t

            ∈R

            C pullback tempo-dependente. Se ˆ t é uma família invariante

            = {C } t ∈R

            C uniformemente limitada, então ˆ

            ⊂ A.

            Demonstração: Como

            A é pullback atraente e C é uniformemente

            δ , A

            limitada, segue que lim t τ t (U(t, τ)C ) = 0 e da invariância de C

            τ

            →−∞

            , A

            temos U τ t , logo δ t t t t t (t, τ)C = C (C ) = 0 e consequentemente CA para todo t. Como A t é fechado para todo t, segue que C t t t

            ⊂ CA =

            A t

            e portanto C ⊂ A.

            A seguir definimos o conceito de trajetória completa limitada, que em certo sentido é uma generalização da ideia de solução global para semigrupos, no contexto de processos-TDS, que vimos na seção ante- rior.

            Definição 4.2.2. Uma trajetória completa limitada (TCL) de

            U

            é uma função φ tal que t t , sup

            z→ φ(t) ∈ Xφ(t)∥

            X < ∞ e φ(t) = t t

            ∈R

            U (t, τ)φ(τ) para todos τ, t ∈ R com t τ.

            Com isso apresentamos um resultado análogo ao Teorema agora exibindo uma caracterização para o atrator pullback tempo- dependente envolvendo trajetórias completas limitadas.

            Teorema 4.2.3. Se t é atrator pullback tempo-dependente

            A = {A } t ∈R

            de

            U então

            A t t = {φ(t) ∈ Xφ é TCL de U} .

            A A Demonstração: Seja ˜ t t onde ˜ t t A = { ˜ } = {φ(t) ∈ Xφ é TCL de U}.

            ∈R Comecemos provando que s

            A ⊂ ˜ A e para isso fixe s ∈ R e tome y A qualquer. Construa a sequência n da seguinte maneira: {y } n

            ∈N .

            Denote y s = y A

            ⎧⎪⎪⎪⎪ .

            Tome y 1 s −1 onde y

            1 ∈ A = U(s, s − 1)y

            ⎪⎪⎪⎪⎪ s .

            Tome y 2 −2 onde y

            1

            2 ⎪⎨ ∈ A = U(s − 1, s − 2)y

            ⋮ ⎪⎪⎪⎪⎪ ⎪⎪⎪⎪⎪ y n n n .

          • 1 ∈ A s −(n+1) onde y = U(s n, s − (n + 1))y +1

            ⎩ Observe que na construção acima usamos o tempo todo a invariância

            m n

            de

          A. Note ainda que se n ⩾ m temos y = U(s − m, s − n)y , com

            y n s m s n

            ∈ An e yAm . Defina φ (t) = U(t, s n)y para ts n e observe que se nm (sem perda de generalidade) e t s m, temos

            U n n m

            (t, sn)y = U(t, sm)U(sm, sn)y = U(t, sm)y , mostrando que φ está bem definida.

            Vejamos que φ é TCL de U. Como A é uniformemente limitado existe R t t t > 0 tal que A ⊂ B (R) para todo t. Além disso, como φ(t) ∈ A segue que φ t

            (t) ∈ B (R) para todo t, ou seja, ∥φ(t)∥

            XR, o que implica t

            sup ∥φ(t)∥ X < ∞.

            t t

            ∈R Ademais, para tτ temos

            φ n n

            (t) = U(t, s n)y = U(t, τ)U(τ, s n)y = U(t, τ)φ(τ), onde n foi tomado suficientemente grande tal que τs n. Logo

            φ A s

            e, consequentemente, (s) ∈ ˜

            φ n n

            (s) = U(s, s n)y = U(s, s − 1)U(s − 1, s − 2)...U(s − (n − 1), s n)y

            A , s

            = y = y ∈ ˜

            A

            e como y é qualquer em A s , concluímos que A s s . Como s foi fixado ⊂ ˜ aleatoriamente, finalizamos com

            A ⊂ ˜ A. Agora seja φ uma T CL qualquer de φ

            U fixa e defina a família F = . Como φ é TCL temos φ

            {φ(t)} t (t) = U(t, τ)φ(τ), o que nos dá a ∈R invariância da família φ . Além disso da segunda condição da definição

            F de TCL segue que para cada t ∈ R temos ∥φ(t)∥

            X ⩽ sup ∥φ(t)∥ X < ∞. t t t

            ∈R

            t

            Ou seja, existe R > 0 tal que φ(t) ∈ B (R) para todo t, mostrando que

            φ

            F é uniformemente limitada. Concluímos, usando a Proposição

            φ que F ⊂ A e como φ é uma TCL qualquer, segue que ˜ A ⊂ A. t Considere X espaço normado e {Y } família de espaços normados. t

            ∈R

            t t t

            Seja {X } família de espaços da forma X = X × Y , cuja norma é

            t

            ∈R definida por

            2

            2

            2 ∥(a, b)∥ = ∥a∥ + ∥b

            X X Y t t

            Definimos a função projeção sobre a primeira coordenada Π t t t t . Se A t ,

            ∶ X Ð→ X por Π (a, b) = a, para cada par (a, b) ∈ XX

            A

            então definimos Π t = {a ∈ X ∶ (a, b) ∈ A} ⊂ X . Além disso, se temos uma família t com A t t para todo t

            A = {A } tX ∈ R, então denotamos ∈R

            A = {Π } t ∈R

            A Π t t .

            Considere um processo-TDS t com U atuando na família {X } t

            ∈R atrator pullback tempo-dependente t e um semigrupo

            A = {A } t T ∈R atuando em ∞ . Dos Teoremas

            X possua atrator global A respectivamente, temos

            A

            ∞ = {x ∈ X ∶ existe solução global limitada por x} e Π A = {u ∶ R Ð→ X tal que u = Πφ com φ TCL de U} . (4.3)

            Teorema 4.2.4. Suponha que dadas uma sequência n

            {φ } de TCLs do

            processo n n n n

            U, com φ (t) = (x (t), y (t)), e t → ∞ existam uma solução

            global limitada ψ de n n

            T , s ∈ R e uma subsequência {t k } de {t } tais

            n

            →∞

            que n n

            ∥x k (s + t k ) − ψ(s)∥ Ð→ 0. Então

            X

            δ A , A

            lim t t ∞ X (Π ) = 0.

            t

            →∞

            δ A , A t t

            

          Demonstração: Suponha por contradição que lim (Π ∞ ) >

            X

            t →∞ A

          0. Então existem sequências t n n t t e µ

            → ∞, a ∈ Π n n > 0 tais que inf naw∥ ⩾ µ.

            X

            w

            ∈A

            , b

            Para cada n, temos a n n n t , onde b n é algum ∈ X com (a ) ∈ A n

            , y

            elemento em t . Pelo Teorema existe φ n n n Y n = (x ) TCL de

            , b n n n n n n n n n n n U tal que (a ) = φ (t ) = (x (t ), y (t )), ou seja, a = x (t ).

            φ ,

            Definamos a função ˆ n n ˆy n n n = (ˆx ) como ˆφ (t) = φ (t s).

            φ

            Afirmação: ˆ n é TCL de U. De fato, usando que φ n é TCL é imediato que sup t n

            X

            ∈R ∥ˆφ (t)∥ t = sup t n

            X n ts temos U n

            ∈R ∥ˆφ (t s)∥ t < ∞, e como ˆφ (t) ∈ A (t, t sφ (t) =

            U

          n n n t . Agora veja que

            (t, t s)φ (t s) = φ (t) = ˆφ (t + s) ∈ A

            n n n n n n

            (x (t s), y (t s)) = φ (t s) = ˆφ (t) = (ˆx (t), ˆy (t)),

            n n n n n n n n

            o que implica x (t) = x (ts). Logo ˆx (s+t ) = x (s+ts) = x (t ) =

            a n n

            , e por hipótese, existe ψ solução global limitada de T tal que ∥a

            n

            →∞

            ψ n n

            (s)∥ = ∥ˆx (s + t ) − ψ(s)∥ Ð→ 0, passando a uma subsequência se

            X X necessário. Portanto inf w n n

            ∈A ∞ ∥aw∥ ⩽ ∥aψ(s)∥ → 0, e chegamos

            X X a um absurdo, provando assim o resultado.

          4.3 Aplicação às equações da onda

            As condições sobre a equação da onda com velocidade de propagação variável com o tempo foram apresentadas na Seção Além disso um estudo sobre a existência do atrator pullback tempo-dependente para o processo associado a essa equação foi feito em detalhes no decorrer do Capítulo 3.

            Recorde que o processo U em questão é dado por

            U τ t t

            (t, τ) ∶ H Ð→ H com U (t, τ)z = (u(t), u (t))

            τ

            onde u é a única solução de o atrator para este processo tem a seguinte forma:

            t t com φ TCL de

            A = {φ t Ð→ φ(t) = (u(t), u (t)) ∈ H U} Por outro lado, como pode ser visto em a equação

            αu t (4.4)

          • Au + f(u) = g, para t > 0,

            1 com u

            1 1 . Esse se- (0) = a H = H (Ω) gera um semigrupo T em H migrupo admite atrator global A , e é então caracterizado de acordo

            ∞ com o Teorema

            Note que a equação corresponde à situação limite (quando

            t

            Ð→ ∞) de Uma pergunta natural a se fazer é: existe alguma relação entre o atrator global do semigrupo T e o atrator pullback tempo-dependente para o processo-TDS

            U apresentado no Capítulo 3? O objetivo desta seção é justamente o de responder a essa questão. Comecemos apresentando o seguinte resultado extraído de

            

            Proposição 4.3.1. Sejam X, B e Y espaços de Banach com X

            ⊂ B ⊂ ∞

            Y e X

            ⊂⊂ B. Se F é um conjunto limitado em L ([−T, T] ; X) e

            ∂f ∂F r

            = { ∶ f F} é limitado em L ([−T, T] ; Y ) onde r > 1, então F é

            ∂t ∂t relativamente compacto em C ([−T, T] ; B).

            Demonstração: Veja Corolário 4].

            Para o que faremos a seguir, precisaremos da seguinte limitação:

            t atrator pullback tempo-dependente Teorema 4.3.2. Seja A = {A } t

            ∈R

            para o processo-TDS

            U. Existe c ⩾ 0 tal que

            2 1

            2

            dy

            sup sup t [∥U(t, τ)z∥ ∥u (y)∥ ] ⩽ c, para todo τ ∈ R.

            H

            t + ∫ τ t zAτ

            τ

          Observação 4.3.3. O resultado anterior é consequência do Teorema

          vistos no Capítulo 3.

            , ∂ u Lema 4.3.4. Para qualquer sequência φ n n t n

            = (u ) de trajetórias

            completas limitadas do processo n

            U e qualquer t → ∞ existe uma solu-

            ção global ψ do semigrupo

            T tal que para todo T > 0 vale

            n

            →∞

            n n

            sup ∥u (t + t ) − ψ(t)∥ 1 Ð→ 0,

            H t

            ∈[−T,T ] ao longo de alguma subsequência.

            

          Demonstração: Pelo Teorema para cada T > 0, a sequência

            ∞

            u u n n

            2 t n n (⋅ + t ) é limitada em L ([−T, T] ; H ) e a sequência (⋅ + t ) é

            2 limitada em L ([−T, T] ; H). Aplicando a Proposição com X =

            H

            2 , B 1 , Y n n = H = H e r = 2, concluímos que a sequência u (⋅ + t ) é relativamente compacta em

            1 C([−T, T] ; H ) e então existe uma solução global ψ 1 tal que, passando para subsequência se necessário,

            ∶ R Ð→ H temos

            n

            →∞ sup n n (4.5)

            ∥u (t + t ) − ψ(t)∥ H 1 Ð→ 0.

            t

            ∈[−T,T ] Assim, usando novamente o Teorema concluímos que ψ

            ∈

            C

            1

            1 (R, H ) e que sup ∥ψ(t)∥ < ∞. Vejamos agora que ψ é solução global

            t ∈R n n

            de T . Reescrevendo a equação da Seção para u em t + t , temos

            ǫ

          n n n n n n n n n

            (t + t ) [u (t + t )] tt + α [u (t + t )] t − ∆u (t + t ) + f(u (t + t )) = g,

            n n n n n

            e denotando v (t) = u (t + t ) e ǫ (t) = ǫ(t + t ) obtemos

            ǫ n n tt n t n n

            (v ) + α(v ) − ∆v + f(v ) = g, e consequentemente

            α n t n n tt n n (4.6) (v ) = −ǫ (v ) + ∆vf(v ) + g. n n tt

            Nosso próximo passo é mostrar que, em certo sentido, ǫ (v ) con-

            n n n t

            verge para zero, ∆v converge para ∆ψ, f (v ) para f(ψ) e (v ) para

            ψ t

            , quanto fazemos n → ∞. Para isso, fixe T > 0 e ϕ com valores em H e suporte (−T, T). Temos (1)

            ′

            v v t n n t n n (t) ⟨ (t), ϕ(t)⟩dt = ǫ (t) ⟨δ (t), ϕ(t)⟩

            ∫ ǫ

            n tt v n

            (t) ⟨ (t), ϕ(t)⟩dt+ − ∫ ǫ

            v ϕ n t n t

            (t) ⟨ (t), ∂ (t)⟩dt, − ∫ ǫ onde em (1) aplicamos diretamente integração por partes, e aplicando os limites de integração de −T a T, concluímos que

            T T

            (2) ′

            ǫ v ǫ v n tt n t n

            (t) ⟨ (t), ϕ(t)⟩dt n (t) ⟨ (t), ϕ(t)⟩dt+ ∫

            = − ∫ −TT

            T ǫ n t v n t ϕ

            (t) ⟨ (t), ∂ (t)⟩dt, − ∫

            −T onde em

            (2) usamos que

            ǫ n t v n n t v n

            (T) ⟨δ (T), ϕ(T)⟩ − ǫ (−T) ⟨δ (−T), ϕ(−T)⟩ = 0, já que ϕ (T) = ϕ(−T) = 0. Então

            T T

            ′ √

            ∣ǫ n (t)∣

            ǫ n tt v n ǫ n t v n

            (t) ⟨ √ (t) ∥ (t)∥ ∥ϕ(t)∥dt ∣∫ (t), ϕ(t)⟩dt∣ ⩽ ∫

            −TT ǫ

            n

            (t)

            T

            √ √

            ǫ n ǫ n t v n t ϕ

            (t) (t) ∥ (t)∥ ∥ (t)∥dt

            −T

            T

            (3) √

            ∣ǫ n (t)∣

            ǫ n t v n dt

            √ (t) ∥ (t)∥

            1 ⩽ c

            −T

            ǫ n

            (t)

            T

            √ √

            ǫ ǫ v dt, n n t n

            (t) (t) ∥ (t)∥

            1

          • c

            −T onde em

            (3) usamos a Desigualdade de Poincaré e a limitação para as

            2

            ϕ

            normas L t , já que elas têm suporte em ([−T, T]; H) de ϕ e (−T, T).

            √

            ǫ v

            Usando o Teorema novamente temos n t n (t) ∥ (t)∥ ⩽ K

            1 para alguma constante K

            > 0, logo

            T T

            √

            ǫ v ǫ n tt n n

            (t) ⟨ (t)dt ∣∫ (t), ϕ(t)⟩dt∣ ⩽ cK

            −TT

            T

            ′ ∣ǫ n (t)∣

            dt

            √

          • cK

            −T

            ǫ n

            (t) (4.7)

            (4) √

            ǫ n

            ⩽ 2cKT sup (t)

            t

            ∈[−T,T ] √ √

            ǫ n ǫ n

          • 2cK [ (−T) − (T)] , onde em

            (4) usamos

            T

            √ √

            

          ǫ ǫ

          n n

            (t)dt ⩽ 2T sup (t) ∫

            −T t ∈[−T,T ] e também que

            T T

            ′ ′ T √ √ √

            ∣ǫ n (t)∣ −ǫ n (t)

            ∫ = ∫

            dt dt ǫ n ǫ n ǫ n √ √ = (−2 (t)) = 2 [ (−T) − (T)] .

            −TT ǫT ǫ

            n n

            (t) (t) √

            ǫ n

            Agora note que lim sup (t) = 0, o que juntamente com

            n

            →∞

            t

            ∈[−T,T ] nos permite concluir que

            T ǫ v n tt n lim (t) ⟨ (t), ϕ(t)⟩dt = 0.

            ∫

            n

            →∞ −T Temos

            n n n

            ∥ − Av (t)−f(v (t)) + (t) + f(ψ(t))∥ ⩽ ∥Av (t) − (t)∥ −1 −1

            n n

            1

          • f(v (t)) − f(ψ(t))∥ ⩽ ∥v (t) − ψ(t)∥

            −1

            n

          • Cf(v (t)) − f(ψ(t))∥,

            n n

            1 e como sup tf(v (t)) − f(ψ(t))∥ ⩽ C sup ∥v (t) − ψ(t)∥

            ∈[−T,T ] [−T,T ]

            n n

            pelo Lema temos −Avf(v ) converge para −− ∞ −1

            f (ψ) em L ([−T, T]; H ).

            Finalmente, se ϕ ∶ [−T, T] → H é uma função suave com suporte em

            (-T,T), usando as convergências acima e obtemos

            T T

          n t n t

            ⟨α(v ) ⟨αv (t), ϕ (t)⟩dt,

            (t), ϕ(t)⟩dt = − ∫ −TT e assim

            T T

            lim n t tα(v ) ⟨αψ(t), ϕ (t)⟩dt,

            ∫

            n (t), ϕ(t)⟩dt = − ∫

            →∞ −TT mas

            T n t

            ⟨α(v ) (t), ϕ(t)⟩dt

            −T

            T t n tt n n

            ⟨−ǫ (t)(v ) (t) − Av (t) − f(v (t)) + g, ϕ(t)⟩dt = ∫

            −T

            T n

            →∞ ⟨−(t) − f(ψ(t)) + g, ϕ(t)⟩dt,

            Ð→ ∫ −T e portanto

            T T t

            ⟨αψ(t), ϕ ⟨−(t) − f(ψ(t)) + g, ϕ(t)⟩dt. ∫ (t)⟩dt = − ∫

            −TT Concluímos então que ψ tem uma derivada fraca e além disso

            αψ t

            −∆ψ+f(ψ) = g, o que mostra que ψ é solução global de T e conclui a demonstração.

            Teorema 4.3.5.

            δ H

          1 t A t , A

            lim (Π ) = 0 ∞

            t

            →∞

            

          Demonstração: Segue diretamente da aplicação do lema anterior e o

          Teorema

            Note que o teorema acima nos diz que o atrator tempo-dependente para o processo-TDS U se comporta assintoticamente como o atrator global para o semigrupo limite T .

            Apêndice A Resultados técnicos

            Neste apêndice demonstraremos ou apresentaremos as referências para alguns resultados técnicos que usamos frequentemente no decorrer do trabalho. Estes resultados, embora muito importantes, pertencem a temas transversais ao escopo desta dissertação. Isso justifica a nossa opção por explorá-los nesta seção a parte.

            Demonstração do Lema Temos

            2

            2

            2

            ,

            ⩽ (a b) = a − 2ab + b o que mostra o resultado.

            

          Demonstração do Lema Uma demonstração para este resul-

            tado pode ser encontrada em pg. 2], assumindo v diferenciável. O caso absolutamente contínuo segue diretamente deste.

            

          Demonstração da Proposição O operador AD(A) ⊂ H H

          n

            possui um sistema ortonormal completo de autovetores {v } em H onde

            Av n n v n

            1

            2 = λ para todo n ∈ N, onde 0 < λ < λ < ... são os autovalores para este operador, contados de acordo com sua multiplicidade. Além

            1

            1 /2 /2

            u λ n , u n

            disso, de pg. 296] temos A nuu e assim = ∑

            n

            2

            2

            2

            2

            1 /2

            u λ , u λ , u

            ∥An n n n n ∣⟨u ⟩∣ ∥u ∥ ∣⟨u ⟩∣

            = ∑ = ∑

            

          n n

            2

            2

            , u

            1 n

            1 ⩾ λ ∑ ∣⟨u ⟩∣ = λu

            n

            2

            2

            2

            1

            1

            1 /2

            λ 1 λ

          1

            1

            u Portanto, ∥u∥ ⩽ ∥A ∥ = ∥u∥ .

            2 − c para todo s ∈ R.

            (τ)= − ∫

            ˜

            s

            (τ)− ∫ −M

            f

            ˜

            (τ)= − ∫ −M

            f

            ˜

            s

            f

            (τ)C

            ˜

            s

            Caso 2 (s < 0): ∫

            2

          .

            1 − κ)s

            λ

            1

            ⩽ C

            1 − κ)τdτ

            (λ

            f

            2 − ∫

            1

            2 .

            1 − κ) ∣s

            2 (λ

            1

            (s) = − ˜F(s) ⩾ −

            F

            2 } concluímos que

            , C

            1

            Se c = max {C

            1 − κ)s

            −M

            λ

            2

            1 − κ)τdτ = C

            (λ

            s

            2 − ∫

            ⩽ C

            1 − κ)τdτ

            (λ

            s

            s

            (τ)C

            Demonstração da Proposição Defina ˜ f

            s

            Usando a continuidade de ˜

            s ⩽ −M.

            1 −κ)s para

            1 −κ)s para s M e ˜f(s) ⩾ (λ

            (s) ⩽ (λ

            f

            Disso segue que ˜

            1 − κ para todo ∣s∣ ⩾ M. onde λ 1 − κ > 0.

            ⩽ λ

            (s)

            temos ∫

            f

            > 0 e M > 0 vale ˜

            < λ 1 . Logo para alguns κ

            

          s

            (s)

            

          f

            ˜

            ∈ R. De segue que lim sup ∣s∣→∞

            s

            (s) = −f(s) para todo

            f

            M

            f

            ⩾ 0): ∫

            ˜

            

          s

          M

            (τ)+ ∫

            f

            ˜

            M

            (τ)= ∫

            f

            ˜

            s

            2 > 0. Separando em casos: Caso 1 (s

            ˜

            , C

            1

            2 para alguns C

            C

            (τ)

            f

            −M ˜

            1 e ∫

            (τ)C

            f

          • 1 2 (
          • 1 2 (

            

          Demonstração do Lema obtemos

            2

          1 F λ

            2

            1 − κ) ∣u∣ + c dx

            ⟨F(u), 1⟩ = 2 ∫ (u)dx ⩾ −2 ∫ Ω Ω

            2 (

            2

            2

            dx cdx

            1

            1 = −(λu∣ = −(λκ) ∥u∥ − 2c ∣Ω∣

            − κ) ∫ − 2 ∫ Ω Ω

            (1) 2 κ

            2

            1

            1

            1

            1 ⩾ − (λκ) ∥u∥ 1 − c = − (1 − ) ∥u∥ 1 − c

            λ λ

            1

            1

            2

            1 = −(1 − µ) ∥u∥ − c

            1

            1 onde κ > 0 é algum valor tal que λκ > 0 e consequentemente

            κ

            1 < µ = < 1. Além disso denotamos c = 2c ∣Ω∣. Em (1) aplica-

            λ 1 mos diretamente a Desigualdade de Poincaré.

            

          Demonstração do Lema seque que dado

            2

            η

            1 > 0, existe constante C > 0 tal que f(s)s ⩾ (η λ )s + C para todo

            s

            ∈ R. Assim

            2

            2

            f dx

            1

            1 (η λ )∣u∣ + C∣Ω∣ = (η λ )∥u∥ + C∣Ω∣

            ∫ (u)udx ⩾ ∫

            Ω Ω (1)

            η

            2 ⩾ − (1 − ) ∥u∥ 1 + C∣Ω∣,

            λ

            1 onde em (1) usamos a Desigualdade de Poincaré. O resultado segue

            η

            escolhendo 0 1 e definindo µ .

            < η < λ =

            λ 1 Demonstração do Lema Inicialmente vejamos que para s, t

            R temos ′ ′ ′ ′

            ∣f(s) − f(t)∣ ⩽ ∣f (ξ)∣ ∣s t∣ = ∣f (ξ) + f (0) − f (0)∣ ∣s t∣ ′ ′ ′

            ⩽ ∣f (ξ) − f (0)∣ ∣s t∣ + ∣f (0)∣ ∣s t∣ (1)

            ′′ ⩽ ∣f (η)∣ ∣ξ∣ ∣s t∣ + k s t∣ ⩽ c(1 + ∣η∣) ∣ξ∣ ∣s t∣ + k s t

            (2)

            2

            1 ⩽ [c(1 + ∣ξ∣) ∣ξ∣ + k] ∣s t∣ ⩽ [c (1 + ∣ξ∣ ) + k] ∣s t

            ′ onde

            ∣η∣ ⩽ ∣ξ∣ ⩽ ∣s∣ + ∣t∣ e denotamos k = ∣f (0)∣. Em (1) usamos a hipótese para f e em (2) a constante c 1 surge ao observarmos

            2 que [(1 + x)x]/[1 + x ] é limitado para x ⩾ 0. Além disso, observe que

            2

            2

            2

            2

            2

            2 . Logo,

            ∣ξ∣ ⩽ (∣s∣ + ∣t∣) ⩽ ∣s∣ + 2 ∣s∣ ∣t∣ + ∣t∣ ⩽ 2 ∣s∣ + 2 ∣t

            2

            2

            2

            2

            1

            1

            1 ∣f(s) − f(t)∣ ⩽ [c + 2cs∣ + 2ct∣ + k] ∣s t∣ ⩽ M(1 + ∣s∣ + ∣t∣ ) ∣s t,

            1

            1

            1

            2 onde M = max {c + k, 2c }. Aplicando isso às funções u e u no lugar

            4

            8

            1

            1 de s e t e considerando as imersões HL (Ω) e HL (Ω), temos

            2 8

            2 8 4

            1

            2

            1

            1

            2

            1

            2 ∥f(u ) − f(u )∥ ⩽ M (1 + ∥u ∥ + ∥u ∥ ) ∥uu

            L L L

            2

            2

            ,

            2

            1

            2 ⩽ M (1 + ∥u ∥ 1 + ∥u ∥ 1 ) ∥u∥ 1 ⩽ C u

            1 o que encerra a demonstração.

            Para a demonstração do Lema precisaremos antes do seguinte resultado:

            

          Lema A.0.1. Seja ϕ ∶ [0, ∞) Ð→ R função absolutamente contínua que

          satisfaz para algum ω

            > 0 e quase todo t ⩾ 0

            d ϕ

            1 2 (A.1) (t) + 2ωϕ(t) ⩽ h (t)ϕ(t) + h (t),

            dt onde t h

            1 1 (A.2) (y)dy m + ω(t s) para todo s ∈ [0, t]

            ∫

            s e t

          • 1

            ,

            sup

            2

            2 ∣h (y)∣ dy m

            ∫

            t t ⩾0 , m para algumas constantes m

            1

            2 ⩾ 0. Então 1 1 t

          mωt mωt ωs

            ϕ e e

            ∫

            2 (t) ⩽ eϕ(0)∣ e + eh (s)∣ ds.

            

          Demonstração: Vamos provar este resultado aplicando o Lema

            à desigualdade como ′

            ϕ

            1

            2 (t) ⩽ (h (t) − 2ω) ϕ(t) + h (t) para quase todo t ⩾ 0.

            Pelo Lema segue que

            t ϕ

            1 (h (s) − 2ω) ds)

            (t) ⩽ ϕ(0) exp (∫

            t t h

            2

            1 (h (r) − 2ω) dr) ds

          • ∫ (s) exp (∫

            

          s

            (A.3)

            t

            1 (h (s) − 2ω) ds)

            ⩽ ∣ϕ(0)∣ exp (∫

            t t

            2

          • ∫ (s)∣ exp (∫

            s

            1 ∣h (h (r) − 2ω) dr) ds.

          • ωt
          • ω(ts)

            1 (t) = q(t + τ),

            ∣h

            t

            t

            ⩾0 ∫

            t

            Note que sup

            2 (t) = k.

            2 ∶ [0, ∞) Ð→ R por h

            h

            1 ∶ [0, ∞) Ð→ R por h

            t

            h

            ∶ [0, ∞) Ð→ R por ϕ(t) = ψ(t + τ),

            ϕ

            ⎧⎪⎪⎪⎪ ⎨⎪⎪⎪ ⎪⎩

            Demonstração do Lema Para um certo τ fixado defina

            2 (s)∣ ds.

            ∣h

            ωs

            t e

            2 (y)∣ dy = sup

            ⩾0 ∫

            

          m

          1 e

            t s h

            (z)dz m m

            τ q

            ∞

            (z)dz ⩽ ∫

            q

            t +τ s

            (y + τ)dy = ∫

            t s q

            1 (y)dy = ∫

            e, para todo s ∈ [0, t], temos: ∫

            t

            2

            = k = m

            k

            ⩾0

            t

            ⩾0 [k(t + 1) − kt] = sup

            t

            = sup

            t kdy

            −ωt

            −ωt

            1

            m 1 e

            −2ω(ts) (2)

            1 (r)dr) e

            t s h

            1 (r) − 2ωdr) = exp (∫

            t s h

            (∫

            (A.4) e também que exp

            ,

            −ωt

            −2ωt = e

            m 1 e

            e

            m 1

            ⩽ e

            −2ωt (1)

            1 (s)ds) .e

            t h

            1 (s) − 2ωds) = exp (∫

            t h

            Agora observe que exp (∫

            ⩽ e

            m

          1

            e

            −2ω(ts) = e

            (t) ⩽ ∣ϕ(0)∣ e

            ϕ

            (A.5) Portanto, aplicando obtemos

            2 (s)∣ ds.

            ∣h

            ωs

            t e

            −ωt

            m 1 e

            ⩽ e

            1 (r) − 2ωdr) ds

            

          t

          s

          h

            2 (s)∣ exp (∫

            ∣h

            t

            onde em (1) e (2) apenas usamos Logo ∫

            ,

            e ωs

            −ωt

            m 1 e

          • e
          • 1
          • 1
          • τ

          • ω(t s),

            1 para m = m. Além disso para t ⩾ 0 temos

            ′ ′

            ϕ

            (t) + 2ωϕ(t) = ψ (t + τ) + 2ωψ(t + τ)

            1

            2 ⩽ q(t + τ)ψ(t + τ) + k = h (t)ϕ(t) + h (t), e portanto estamos em condições de aplicar o Lema que nos dá 1 1 t m m ωs

            −ωtωt

            ψ e e

            2 (t + τ) = ϕ(t) ⩽ eϕ(0)∣ e + eh (s)∣ ds

            ∫

            m m ωt

            −ωtωt −1

            ψ e kω

            = e (τ)e + e (e − 1)

            m m m m m

            −ωtωt −1 −1 −ωt −1

            ψ e ω ω ψ ω

            = e (τ)eke + kee (τ)e + ke Fazendo s

            = t + τ chegamos a

            mω(sτ ) −1 m

          ψ e e .

            (s) ⩽ ψ(τ)e +

            Demonstração do Lema Para 0 ⩽ x ⩽ 1 temos k k k

            (1 + x) .

            ⩽ (1 + x) ⩽ 2

            k

            1 + x Já para x ⩾ 1 temos

            

          k k k

            1

            1 (1 + x) + x) k

            ,

            ⩽ ( = ( + 1) ⩽ 2

            k k x x

            1

          • x e conclui a demonstração.

            Demonstração do Lema existe M > 0 tal que f

            (s) 1 para todo s

            ⩾ −λ ∈ R com ∣s∣ ⩾ M,

            s

            e logo

            1 (f(s) + ) s ⩾ 0 para todo s ∈ R com ∣s∣ ⩾ M.

            ∞ Agora seja h

            ∶ R → R uma função C (R) satisfazendo 0 ⩽ h ⩽ 1, h ≡ 1

            

          c

            em . Defina f [−M, M] e h ≡ 0 em [−2M, 2M] (s) = (1 − h(s))(f(s) +

            

            1 ) para todo s ∈ R. Temos

            ′ ′ ′

            f

            1

            1 (s) = −h (s) (f(s) + ) + (1 − h(s))(f (s) + λ ) e ′′

            f

            (s) = ′′ ′ ′ ′ ′

            1

            1 1 (A.6) = [−h (s)(f(s) + ) − h (s)(f (s) + λ ) − h (s)(f (s) + λ )]

            ′′ + (1 − h(s))f (s).

            Como f (0) = 0 obtemos f (0) = (1 − h(0))f(0) = 0. Como h(0) = 1

            ′ ′ ′ concluímos também que f

            1 (0) = −h (0)f(0) + (1 − h(0)) (f (0) + λ ) =

          0. Note ainda que a expressão entre colchetes em (A.6) se anula em

            c

            , o que implica que será limitada em R. Como 0 [−2M, 2M]

            ⩽ 1−h(s) ⩽ ′′

            1, usando concluímos que existe k ⩾ 0 tal que ∣f (s)∣ ≤ k(1 + ∣s∣), para todo s ∈ R.

            Observe ainda que 0,

            ∣s∣ ⩽ M

            2 ⎧⎪⎪⎪

            f λ

            1 (s)s = (1 − h(s))(f(s)s + s ), M < ∣s∣ < 2M

            2

            f λ ,

            1 ⎨⎪⎪⎪ (s)s + ss∣ ⩾ 2M ⎩ e como 1

            − h(s) ⩾ 0 para todo s, segue que f (s)s ⩾ 0 para todo s ∈ R. Por fim, defina

            f

            1

            1 (s) = f(s) − f (s) = f(s) − (1 − h(s))(f(s) + )

            1 = h(s)f(s) + (h(s) − 1).

            Derivando obtemos ′ ′ ′ ′

            f h

            1

            1 1 (s) = h (s)f(s) + h(s)f (s) + λ (h(s) − 1) + (s), ′ e como h se anula fora de

            [−2M, 2M], concluímos que ∣f 1 (s)∣ ⩽ k para todo s ∈ R, e conclui a demonstração do lema.

            

          Demonstração da Proposição Primeiramente observemos

            que (1)

            ′ ′′ ∣f (s)∣ ⩽ ∣f (ξ)∣ ∣s∣ ⩽ ∣f (η)∣ ∣ξ∣ ∣s∣ ⩽ k(1 + ∣η∣) ∣ξ∣ ∣s

            (2)

            2

            3

            1 ⩽ k(1 + ∣s∣) ∣s∣ ⩽ k (∣s∣ + ∣s∣ ) , onde ∣η∣ ⩽ ∣ξ∣ ⩽ ∣s∣ e em (1) usamos . Além disso, note que

            2

            3 [(1 + x)x ]/[x + x ] é limitado para x ⩾ 0, logo tomando x = ∣s∣ existe

            1 uma constante k que satisfaz a desigualdade (2).

            

          K

            Portanto, existe uma constante ̂ ⩾ 0 tal que

            2

            4

            2

            4 ̂ 4 K K

            ∣F (∣v∣ + ∣v∣ )dx = ̂ (∥v∥ + ∥vL ) ∫

            (v)∣ dx ⩽ ∫ Ω Ω

            (3)

            2

            4

            2

            2 ⩽ K(∥v∥ 1 + ∥v∥ 1 ) ⩽ K(1 + ∥v∥ 1 ) ∥v

            1 onde na desigualdade

            (3) a constante K surge ao usarmos as imersões

            4

          2 H

            1

            1 ↪ L (Ω) e HL (Ω).

            f

            Para a primeira desigualdade, defina ˜ (s) = −f (s) para todo s. De

            segue que ˜f (s)s ⩽ 0 para todo s ∈ R e consequentemente ˜ ˜

            f f

            (s) (s) ⩽ 0 para s ≠ 0. Logo se η > 0 temos ⩽ η para todo s ≠ 0.

            s s

            Ou seja, se s é não nulo vale

            s s s

            ˜

            f η

            (τ)

            2 ˜

            f τ dτ η s ,

            ∣τ∣ = ∫

            (τ)= ∫ ⩽ ∣∫

            τ

            2

            s

            ˜

            f

            e se s = 0 isso segue trivialmente. Então definindo ˜F (y)dy,

            (s) = ∫ para v 1 , temos

            ∈ H

            η η η

            2

            2

            2 ˜

            F v dx v ,

            − ⟨F (v), 1⟩ = ⟨ ˜F ∣ = ∥ ⩽ ∥v

            1 (v), 1⟩ = ∫ (v)dx ⩽ ∫

            Ω Ω 2 ∣ 2 ∥ 2λ

            1 e como η > 0 é arbitrário, o resultado segue.

            Referências Bibliográficas

            [1] J. Arrieta, A. N. Carvalho and J. Hale, A damped hyperbolic equa-

            tion with critical exponent, Commun. in Partial Differential Equa- tions 17, 841-866 (1992).

            [2] A. V. Babin and M. I. Vishik, Attractors of Evolution Equations, North-Holland, Amsterdam (1992). [3] D. D. Bainov, P. S. Simeonov, Integral Inequalities and Appli-

            cations, Mathematics and its applications, Springer Netherlands (1992).

            [4] T. Caraballo, R. Colucci, and X. Han, Non-autonomous dyna- mics of a semi-Kolmogorov population model with periodic forcing.

            Nonlinear Anal. Real World Appl. 31, 661-680 (2016). [5] T. Caraballo, M. Herrera-Cobos and P. Marín-Rubio, Robustness of nonautonomous attractors for a family of nonlocal reaction- diffusion equations without uniqueness. Nonlinear Dynam. 84, 35- 50 (2016).

            [6] T. Caraballo, J.A. Langa and J. Valero, Structure of the pullback attractor for a non-autonomous scalar differential inclusion. Dis- crete Contin. Dyn. Syst. Ser.4, 979-994 (2016). [7] C. A. Cardoso, J.A. Langa and R. Obaya, Characterization of cocycle attractors for nonautonomous reaction-diffusion equations.

            Internat. J. Bifur. Chaos Appl. Sci. Engrg. 26 (2016). [8] A. N. Carvalho, Análise Funcional II, Notas de Aula ICMC-

            USP, (2016).

            [9] A. N. Carvalho and J. Cholewa, Strongly damped wave equati- 1 ,p

            p

            ons in W (Ω) × L (Ω), Discrete Contin. Dyn. Syst, Dynamical th

            systems and differential equations. Proceeding of the 6 AIMS In- ternational Conference, 230-239 (2007).

            [10] A. N. Carvalho, J. A. Langa and J. Robinson, Attractors for

            infinite-dimensional non-autonomous dynamical systems, Applied Mathematical Sciences 182, Springer-Verlag (2012).

            [11] D. N. Cheban, Global attractors of non-autonomous quasi- homogeneous dynamical systems. Electron. J. Differential Equa- tions 10, (2002). [12] D. N. Cheban, Upper semicontinuity of attractors of non- autonomous dynamical systems for small perturbations. Electron.

            J. Differential Equations 42 (2002). [13] M. Conti, V. Pata, R. Temam, Attractors for processes on time-

            dependent spaces. Applications to wave equations, J. Differential Equations 255 , 1254-1277 (2013).

            [14] M. Conti, V. Pata, Asymptotic structure of the attractor for pro-

            cesses on time-dependent spaces, Nonlinear Analysis: Real World Applications 19, 1-10 (2014).

            [15] P. Kloeden and M. Rasmussen, Nonautonomous dynamical sys- tems, Mathematical Surveys and Monographs 176, Am. Math.

            Society (2011). [16] J. A. Langa, J. Robinson and A. C. Suárez, Antonio Stability, instability, and bifurcation phenomena in non-autonomous diffe- rential equations, Nonlinearity 15, 887-903 (2002). [17] F. Di Plinio, G. S. Duane, R. Temam, Time dependent attractor

            for the oscillon equation, Discrete Contin. Dyn. Syst. 29 141-167 (2011). p

            [18] J. Simon, Compact sets in the space L (0, T; B), Annali di Mate- matica pura ed applicata 146, 65-96 (1987).

            [19] R. Temam, Infinite-Dimensional Dynamical Systems in Mechanics and Physics, Springer, New York (1997). [20] I.M. Volk, A generalization of the method of small parameter in the theory of non-linear oscillations of non-autonomous systems,

            Acad. Sci. URSS 51 437-440 (1946).

            [21] E. Zeilder, Applied Functional Analysis: Applications to Mathema-

            tical Physics, Applied Mathematical Sciences 108, Springer-Verlag (1995).

            [22] E. Zeidler, Nonlinear Functional Analysis and its applications

          II/B: Nonlinear monotone operators, Springer-Verlag (1990).

Novo documento

Tags

Documento similar

Universidade Federal de Santa Catarina Programa de Pós-Graduação em Engenharia e Gestão do Conhecimento – EGC
0
10
368
Universidade Federal de Santa Catarina Programa de Pós-Graduação em Engenharia e Gestão do Conhecimento
0
0
243
Uiversidade Federal de Santa Catarina Programa de Pós-Graduação em Engenharia e Gestão do Conhecimento
0
0
340
Universidade Federal de Santa Catarina Centro Tecnológico Departamento de Engenharia Civil
0
4
207
Universidade Federal de Santa Catarina
0
6
183
Universidade Federal de Santa Catarina UFSC Curso de Ciências Contábeis Maiara Camargo da Cruz
0
0
99
Universidade Federal de Santa Catarina – UFSC Rodrigo Garcia Silveiro
0
0
43
Universidade Federal de Santa Catarina – UFSC Centro Sócio Econômico Curso de Graduação em Ciências Econômicas
0
1
81
Universidade Federal de Santa Catarina – UFSC Centro Sócio Econômico Departamento de Ciências Econômicas Curso de Graduação em Ciências Econômicas
0
0
43
Universidade Federal de Santa Catarina – UFSC Centro Sócio Econômico Departamento de Ciências Econômicas Curso de Graduação em Ciências Econômicas
0
0
165
Universidade Federal de Santa Catarina
0
0
21
Universidade Federal de Santa Catarina Centro de Comunicação e Expressão UFSC
0
0
154
Universidade Federal de Santa Catarina Curso de Graduação em Odontologia
0
0
75
Universidade Federal de Santa Catarina Curso de Graduação em Odontologia
0
0
80
Universidade Federal de Santa Catarina Centro Sócio-Econômico Departamento de Serviço Social
0
0
88
Show more