A CENTRO DE CIˆ ENCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEM ´ ATICA PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM MATEM ´ ATICA

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARING ´ A

CENTRO DE CIˆ ENCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE MATEM ´ ATICA

PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM MATEM ´ ATICA

  (Mestrado) HUGO MURILO RODRIGUES

  

Curvaturas em Grupos de Lie com M´etricas Invariantes ` a

Esquerda

  Maring´a-PR 2016 UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARING ´ A CENTRO DE CI ˆ ENCIAS EXATAS

  DEPARTAMENTO DE MATEM ´ ATICA PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM MATEM ´ ATICA

  Curvaturas em Grupos de Lie com M´ etricas Invariantes ` a Esquerda

  Hugo Murilo Rodrigues

  Disserta¸c˜ao apresentada ao Programa de P´os- Gradua¸c˜ao em Matem´atica do Departamento de Ma- tem´atica, Centro de Ciˆencias Exatas da Universidade Estadual de Maring´a, como requisito para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

  ´ Area de concentra¸c˜ao: Geometria e Topologia.

  Orientador: Prof. Dr. Ryuichi Fukuoka.

  Maring´a-PR, 9 de mar¸co de 2016

  

Agradecimentos

  Agrade¸co ao meu orientador e amigos pela paciˆencia e compreens˜ao, aos meus pais e familiares pelo grande alicerce emocional que me ajudaram a construir, a CAPES pelo apoio financeiro e em especial `a minha noiva por todos os momentos que esteve ao meu lado.

  

Resumo

  O presente trabalho tem como objetivo estudar as rela¸c˜oes entre as curvaturas de m´etricas invariantes `a esquerda, as ´algebras de Lie e a topologia dos grupos de Lie em quest˜ao, fornecendo assim exemplos de curvaturas de diversas caracter´ısticas em variedades Riemannianas completas.

  Palavras-chave : Grupos de Lie, ´algebras de Lie, m´etricas invariantes `a es- querda, m´etricas bi-invariantes, curvatura seccional, curvatura de Ricci, curvatura escalar.

  

Abstract

Let G a Lie group with a left invariant metric.

  The aim of this work is to study relationship between curvature, topology and Lie algebra of G. Furthermore this study will provide examples of curvatures with different characteristics in complete Riemannian manifolds.

  Key-words : Lie groups, Lie algebras, left invariant metric, bi-invariant metrics, sectional curvature, Ricci curvature, scalar curvature.

  

SUM ´ ARIO

  35

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

  . . . . . . . . . . . . 59

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

  

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

  19

  

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

  9

   9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  7

  79

  

INTRODUC ¸ ˜ AO

  Ao se estudar uma classe de objetos matem´aticas, ´e natural e essencial que se tenha em m˜aos exemplos capazes de intuir as dire¸c˜oes a serem seguidas durante o estudo. Desta forma, o presente trabalho tem como objetivo principal a constru¸c˜ao de exemplos onde se estuda as rela¸c˜oes entre a curvatura de variedades Riemannianas completas e suas propriedades geom´etricas e topol´ogicas.

  As variedades Riemannianas abordadas neste estudo ser˜ao em especial os grupos de Lie com m´etricas invariantes `a esquerda. Neste caso, se G ´e um grupo de Lie com uma m´etrica invariante `a esquerda e Γ ´e um subgrupo discreto, a variedade quociente G/Γ com m´etrica induzida possui mesmas caracter´ısticas acerca de suas curvaturas e tal processo fornece facilmente novos exemplos de propriedades conhecidas.

  Os dois primeiros cap´ıtulos s˜ao destinados aos estudos preliminares de variedades Riemmanianas, grupos de Lie e ´algebras de Lie. O terceiro cap´ıtulo estar´a disposto em sete se¸c˜oes. Destas as trˆes primeiras tratar˜ao das caracter´ısticas das curvaturas seccionais, de Ricci e escalar de m´etricas invariantes `a esquerda em grupos de Lie respectivamente. A quarta se¸c˜ao ´e destinada ao estudo de curvaturas de m´etricas invariantes `a esquerda em grupos de Lie tri-dimensionais e nesta se faz uso da tri- dimensionalidade de suas ´algebras de Lie separando os grupos de Lie em duas classes, os unimodulares e os n˜ao-unimodulares. A quinta se¸c˜ao ´e destinada aos c´alculos e demonstra¸c˜oes de resultados anteriormente utilizados. A sexta se¸c˜ao tratar´a das propriedades de curvaturas de m´etricas invariantes `a esquerda em grupos de Lie unimodulares e n˜ao-unimodulares de dimens˜oes arbitrarias. Por fim, a ultima se¸c˜ao ser´a destinada ao estudo de curvaturas de m´etricas bi-invariantes.

  CAP´

  ITULO 1

GEOMETRIA RIEMANNIANA

1.1 Variedades diferenci´ aveis As demonstra¸c˜oes desta se¸c˜ao podem ser encontradas em [2].

  Defini¸ c˜ ao 1.1.1. Uma variedade diferenci´avel de dimens˜ao n ´e um conjunto M e n n uma fam´ılia de aplica¸c˜oes bi-un´ıvocas x α : U α ⊂ R −→ M de abertos U α de R em M tais que: S 1. x α (U α ) = M . α

  −1

  2. Para todo par α, β com x α (U α ) ∩ x β (U β ) = W 6= ∅, os conjuntos x (W ) e α

  −1 n −1 −1

  x (W ) s˜ao abertos em R e as aplica¸c˜oes x ◦ x s˜ao diferenci´aveis. β β α 3. A fam´ılia {(U α , x α )} ´e m´axima relativamente as condi¸c˜oes (1) e (2).

  O par (U α , x α ) com p ∈ x α (U α ) ´e chamado uma parametriza¸c˜ao ou sistema de coordenadas em p ∈ M e x α (U α ) ´e ent˜ao chamado uma vizinhan¸ca coordenada em p. A fam´ılia {(U α , x α )} satisfazendo (1) e (2) ser´a chamada estrutura diferenci´avel em M . Note que uma estrutura diferenci´avel induz de forma natural uma topologia em M . n m Defini¸ c˜ ao 1.1.2.

  Sejam M e M variedades diferenci´aveis. Uma aplica¸c˜ao φ : n m n

  1

  2

  −→ M M ´e diferenci´avel em p ∈ M se dada uma parametriza¸c˜ao y : V ⊂ m m

  1

  2

  

1

n n

  R −→ M em φ(p), existe uma parametriza¸c˜ao x : U ⊂ R −→ M de p com n m −1

  φ(x(U )) ⊂ y(V ) e a aplica¸c˜ao y ◦ φ ◦ x : U ⊂ R −→ R ´e diferenci´avel em

  −1 x (p).

  Devido a exigˆencia (2) em a diferenciabilidade de uma aplica¸c˜ao em um ponto n˜ao depende da parametriza¸c˜ao adotada. An´alogo `a superf´ıcies regulares, no estudo de variedades diferenci´aveis um con- ceito indispens´avel ´e o de espa¸co tangente. Contudo nas superf´ıcies o conceito de espa¸co tangente n˜ao ´e definido de forma intr´ınseca, dependendo assim do espa¸co ao qual a superf´ıcie pertence. Por´em variedades como vimos pela sua defini¸c˜ao n˜ao s˜ao necessariamente subconjuntos de um espa¸co Euclidiano e desta forma necessitam de uma defini¸c˜ao independente como segue.

  Defini¸ c˜ ao 1.1.3.

  Seja M uma variedade diferenci´avel. Uma aplica¸c˜ao diferenci´avel α : (−ǫ, ǫ) −→ M ´e chamada uma curva diferenci´avel em M . Suponha que α(0) = p e seja D o conjunto das fun¸c˜oes definidas em M diferenci´aveis em p. O vetor

  

  tangente `a curva α em t = 0 ´e a fun¸c˜ao α (0) : D −→ R dada por d(f ◦ α)

  ′

  α (0)f = dt onde f ∈ D. Um vetor tangente em p ´e o vetor tangente em t = 0 de alguma curva α : (−ǫ, ǫ) −→ M com α(0) = p. O conjunto dos vetores tangentes a M em p ser´a indicado por T p M .

  Para cada p ∈ M , T p M com as opera¸c˜oes usuais de soma e produto por escalar ´e um espa¸co vetorial de dimens˜ao n que chamamos espa¸co tangente em p. Dada uma n o ∂ ∂ parametriza¸c˜ao x obt´em-se uma base associada ( ) , ..., ( ) para T p M , onde ∂x ∂x 1 n 7−→ x(0, ..., 0, x ( ) ´e o vetor tangente em p `a curva coordenada x i i , 0, ..., 0). ∂x i

  Proposi¸ c˜ ao 1.1.4. Sejam M e M variedades diferenci´aveis e seja φ : M −→ M

  1

  2

  1

  2

  uma aplica¸c˜ao diferenci´avel. Para cada p ∈ M e cada v ∈ T p M , escolha uma curva

  1

  1 ′

  diferenci´avel α : (−ǫ, ǫ) −→ M com α(0) = p e α (0) = v. Pondo β = φ ◦ α a

  1 ′

  aplica¸c˜ao dφ p : T p M :−→ T φ M dada por dφ p (v) = β (0) ´e uma aplica¸c˜ao linear

  1 (p)

  2 que n˜ao depende da escolha de α.

  Defini¸ c˜ ao 1.1.5. A aplica¸c˜ao dφ como acima ´e chamada a diferencial de φ em p. p

  Sem muito esfor¸co se mostra que a composi¸c˜ao de aplica¸c˜oes diferenci´aveis ´e ainda diferenci´avel e al´em disso vale nessas condi¸c˜oes a regra da cadeia.

  Defini¸ c˜ ao 1.1.6.

  Sejam M

  1 e M 2 variedades diferenci´aveis. Uma aplica¸c˜ao φ : −1

  M −→ M ´e um difeomorfismo se ´e uma bije¸c˜ao com inversa φ diferenci´avel.

  1

2 Nos mesmos moldes, φ ´e um difeomorfismo local em p ∈ M se existirem vizinhan¸cas

  1 U de p e V de φ(p), tais que φ : U −→ V seja um difeomorfismo. n m Defini¸ c˜ ao 1.1.7.

  Sejam M e N variedades diferenci´aveis. Uma aplica¸c˜ao dife- renci´avel φ : M −→ N ´e uma imers˜ao se dφ p : T p M −→ T φ N ´e injetora para

  (p)

  todo p ∈ M . Se, al´em disso, φ ´e um homeomorfismo sobre φ(M ) ⊂ N , onde φ(M ) possui a topologia induzida por N , diz-se que φ ´e um mergulho. Caso M ⊂ N e a inclus˜ao seja um mergulho dizemos ent˜ao que M ´e uma subvariedade de N .

  Para uma boa defini¸c˜ao de certos objetos em uma variedade diferenci´avel ´e ne- cess´ario que nesta esteja definida uma orienta¸c˜ao. A defini¸c˜ao de variedade dife- renci´avel orientada pode ser dada como segue. Defini¸ c˜ ao 1.1.8. Seja M uma variedade diferenci´avel. Diz-se que M ´e orient´avel, se M admite uma estrutura diferenci´avel {(U α , x α )} tal que para todo par α, β com x α (U α ) ∩ x β (U β ) = W 6= ∅ a diferencial (Jacobiana) da mudan¸ca de coordenadas

  −1 x β ◦x possui determinante positivo. Caso contrario, diz-se que M ´e n˜ao orient´avel. α

  Nas linhas seguintes ser´a mencionado uma maneira de construir variedades di- ferenci´aveis localmente difeomorfas a uma variedade dada a partir da a¸c˜ao de um grupo. Tal procedimento fornece uma ferramente poderosa para o estudo de quest˜oes locais, uma vez que localmente, a nova variedade e a variedade dada s˜ao indis- tingu´ıveis do nosso ponto de vista.

  Diz-se que um grupo G age em uma variedade diferenci´avel M se existe uma aplica¸c˜ao φ : G × M −→ M tal que:

  1. Para cada g ∈ G, a aplica¸c˜ao φ g : M −→ M dada por φ g (p) = φ(g, p) onde p ∈ M ´e um difeomorfismo e se e ´e o elemento neutro de G, ent˜ao φ e = Id.

  ∈ G, ent˜ao φ ◦ φ

  2. Se g

  1 , g 2 g g = φ g g . 1 2 1

2

A nota¸c˜ao frequentemente utilizada ´e φ(g, p) = gp.

  Diz-se que uma a¸c˜ao ´e propriamente descontinua se todo p ∈ M possui uma vizinhan¸ca U ⊂ M tal que U ∩ g(U ) = ∅ para todo g 6= e. Se G age sobre M , ent˜ao p ≡ p se, e s´o se, p = gp para algum g ∈ G determina uma rela¸c˜ao de

  1

  2

  2

  1

  equivalˆencia em M e M/G ser´a o espa¸co quociente de M por tal rela¸c˜ao. Agora considere π : M −→ M/G a proje¸c˜ao dada por π(p) = Gp.

  Teorema 1.1.9.

  Seja M ´e uma variedade diferenci´avel e G × M 7−→ M ´e uma a¸c˜ao propriamente descontinua. Ent˜ao M/G possui uma estrutura diferenci´avel de modo que π : M −→ M/G ´e um difeomorfismo local.

  Dada uma variedade diferenci´avel M , a cole¸c˜ao dos espa¸cos vetoriais que a cada ponto da variedade associa seu espa¸co tangente possui uma estrutura de variedade diferenci´avel constru´ıda de forma natural a partir da estrutura de M , `a esta nova variedade se d´a o nome de fibrado tangente de M e denotaremos T M .

  Defini¸ c˜ ao 1.1.10.

  Um campo de vetores X em uma variedade diferenci´avel M ´e uma correspondˆencia que a acada ponto p ∈ M associa um vetor X(p) ∈ T p M . Em termos de aplica¸c˜ao, X ´e uma aplica¸c˜ao de M em T M . O campo ´e diferenci´avel se a aplica¸c˜ao X : M −→ T M ´e diferenci´avel.

  Dados dois campos diferenci´aveis de vetores X e Y em uma variedade, existe um e s´o um campo diferenci´avel de vetores Z tal que Z = XY − Y X. Note que apesar de frequentemente XY e Y X n˜ao conduzirem a campos diferenci´aveis de vetores pois envolvem derivadas de orden maior, o operador [X, Y ] = XY − Y X ´e um campo diferenci´avel de vetores e determina uma opera¸c˜ao entre campos de vetores [·, ·] chamada o colchete.

  Proposi¸ c˜ ao 1.1.11. Se X, Y e Z s˜ao campos diferenci´aveis de vetores em M ,

  a, b ∈ R e f, g fun¸c˜oes diferenci´aveis, ent˜ao: 1. (Anti-comutatividade) [X, Y ] = −[Y, X].

  2. (Linearidade) [aX + bY, Z] = a[X, Z] + b[X, Z].

  3. (Identidade de Jacobi) [[X, Y ], Z] + [[Y, Z], X] + [[Z, X], Y ] = 0.

  4. [f X, gX] = f g[X, Y ] + f X(g)Y − gY (f )X.

  Relacionado a problemas de valores iniciais em equa¸c˜oes diferenciais teremos o pr´oximo resultado. O conceito de fluxo em uma variedade ´e muito importante e ganha ainda mais importˆancia a partir da escolha dos campo de vetores e das pro- priedades da variedade. Exemplos desses s˜ao os fluxos geod´esicos de uma variedade Riemanniana e o fluxo dos campos invariantes em um grupo de Lie, como veremos nas pr´oximas se¸c˜oes.

  Teorema 1.1.12.

  Seja X um campo diferenci´avel de vetores em uma variedade M e p ∈ M . Ent˜ao existem uma vizinhan¸ca U ⊂ M de p, um intervalo (−δ, δ) com δ > 0 e uma aplica¸c˜ao diferenci´avel ϕ : (−δ, δ) × U −→ M , tais que a curva α(t) = ϕ(t, q) ∂ϕ onde t ∈ (−δ, δ) e q ∈ U ´e a ´ unica curva que satisfaz = X(ϕ(t, q)) e ϕ(0, q) = q. ∂t

  ′

  Uma curva α : (−δ, δ) −→ M que satisfaz as condi¸c˜oes α (t) = X(α(t)) e α(0) = q ´e chamada a trajet´oria do campo X que passa por q para t = 0. A aplica¸c˜ao ϕ : (−δ, δ) × U −→ M depende diferenciavelmente de t, da condi¸c˜ao inicial q e ϕ t : U −→ M ´e chamado o fluxo local de X.

1.2 Variedades Riemannianas Defini¸ c˜ ao 1.2.1.

  Uma m´etrica Riemanniana em uma variedade diferenci´avel M ´e uma correspondˆencia que associa a cada ponto p de M um produto interno h·, ·i em p T p M que varia diferenciavelmente em M .

  Variar diferenciavelmente como na defini¸c˜ao acima pode ser melhor compreen- n −→ M em dido com auxilio de um sistema de coordenadas locais x : U ⊂ R D E ∂ ∂ torno de p. Neste sistema de coordenadas, defina g ij (p) = (p), (p) . Exigir ∂x ∂x i j p que o produto interno varie diferenciavelmente em M significa pedir que as fun¸c˜oes g ij dependam diferenciavelmente de p. As fun¸c˜oes g ij s˜ao chamadas express˜oes da m´etrica Riemanniana no sistema de coordenadas.

  Defini¸ c˜ ao 1.2.2.

  Uma variedade Riemanniana ´e uma variedade diferenci´avel mu- nida de uma m´etrica Riemanniana.

  Defini¸ c˜ ao 1.2.3. Sejam M e N variedades Riemannianas. Um difeomorfismo f : M −→ N ´e chamado uma isometria se hu, vi = hdf p (u), df p (v)i p f

  (p) para todo p ∈ M e u, v ∈ T p M .

  Defini¸ c˜ ao 1.2.4.

  Nos moldes da defini¸c˜ao anterior, f ´e uma isometria local em p ∈ M se existe uma vizinhan¸ca U ⊂ M de p tal que f : U −→ f (U ) ´e uma isometria.

  Duas variedades Riemannianas M e N s˜ao ditas localmente isom´etricas se para cada p ∈ M existir uma isometria local em p. Dada uma variedade Riemanniana orientada existe uma maneira de atribuir n

  −→ M uma volume a certas regi˜oes de M . Para isso seja p ∈ M e x : U ⊂ R parametriza¸c˜ao compat´ıvel com a orienta¸c˜ao de M . Considere uma base ortonormal positiva B = {e , ..., e n } em T p M e escreva X i (p) = (p) na base B como X i (p) = P

  1 ∂x i ij a ij e j , ent˜ao det(a ij ) = pdet(g ij )(p). Agora se R ⊂ M ´e um conjunto aberto e conexo cujo fecho ´e compacto e suponha que R ⊂ x(U ) possuindo fronteira de n medida nula em R , definimos Z q n

  V ol(R) = det(g ij )(x x (R) −1 1 , ..., x n )dx 1 ...dx n .

  Se y : V ⊂ R −→ M ´e outra parametriza¸c˜ao positiva em torno de p, ent˜ao o Ja- cobiano da mudan¸ca de coordenadas possui determinante positivo e utilizando troca n de vari´aveis nas integrais em R se mostra sem dificuldades que nessas condi¸c˜oes a defini¸c˜ao do volume de R n˜ao depende do sistema de coordenadas. Para uma regi˜ao compacta R n˜ao necessariamente contida em uma vizinhan¸ca coordenada, tome uma parti¸c˜ao da unidade {ϕ } subordinada a cobertura finita de R determinada pelas α vizinhan¸cas coordenadas x α (U α ) e defina X Z q α V ol(R) = ϕ α det(g )(x , ..., x n )dx ...dx n . ij x −1

  1

  1 α (R) ∞

  Indicaremos χ(M ) o conjunto dos campos de vetores de classe C em M e por

  ∞ D(M ) o anel das fun¸c˜oes f : M −→ R de classe C .

  Defini¸ c˜ ao 1.2.5. Uma conex˜ao afim ∇ em uma variedade diferenci´avel M ´e uma aplica¸c˜ao, ∇ : χ(M ) × χ(M ) −→ χ(M )

  ∇

  que se indica por (X, Y ) → ∇ Y e que satisfaz as seguintes propriedades: X 1. ∇ f X Z = f ∇ X Z + g∇ Y Z,

  • gY

  2. ∇ X (Y + Z) = ∇ X Y + ∇ X Z, 3. ∇ X (f Y ) = f ∇ X Y + X(f )Y , onde X, Y, Z ∈ χ(M ) e f, g ∈ D(M ).

  Proposi¸ c˜ ao 1.2.6.

  Seja M uma variedade diferenci´avel com uma conex˜ao afim ∇. Ent˜ao existe uma ´ unica correspondˆencia que associa a um campo vetorial V ao longo DV de uma curva diferenci´avel c : I −→ M um outro campo vetorial ao longo de c, dt denominado derivada covariante de V ao longo de c, tal que: D

  (V +W ) DV DW

  • 1. = . D dt dt dt

  (f V ) df DV 2. = V + f . dt dt dt

  3. Se V ´e induzido por um campo de vetores Y ∈ χ(M ), isto ´e, V (t) = Y (c(t)), DV dc ent˜ao = ∇ Y . dt dt Defini¸ c˜ ao 1.2.7.

  Seja M uma variedade diferenci´avel com uma conex˜ao afim ∇. Um campo V ao longo de uma curva c : I −→ M ´e chamado de paralelo quando DV dt = 0 para todo t ∈ I.

  Proposi¸ c˜ ao 1.2.8.

  Seja M uma variedade diferenci´avel com uma conex˜ao afim ∇. Seja c : I −→ M uma curva diferenci´avel em M e V um vetor tangente a M em c(t ), t ∈ I. Ent˜ao existe um ´ unico campo de vetores paralelos V ao longo de c, tal que V (t ) = V (V (t) ´e chamado o transporte paralelo de V (t ) ao longo de c).

  Abaixo definimos a conex˜ao Riemanniana, objeto important´ıssimo no estudo de Geometria Riemanniana, pois pode ser considerada o elo de liga¸c˜ao para as defini¸c˜oes abstratas de curvaturas, sendo esses ´ ultimos os de maior interesse neste estudo. Defini¸ c˜ ao 1.2.9. Seja M uma variedade Riemanniana com uma conex˜ao afim ∇. A conex˜ao ´e dita compat´ıvel com a m´etrica h·, ·i, quando para toda curva diferenci´avel

  ′

  c e quaisquer pares de campos de vetores paralelos P e P ao longo de c tivermos

  ′ hP, P i = cte.

  Apresentamos agora seguidamente duas caracteriza¸c˜oes de conex˜oes compat´ıveis com a m´etrica, a segunda segue imediatamente da primeira e ser´a frequentemente utilizada ao longo dos estudos. Proposi¸ c˜ ao 1.2.10.

  Seja M uma variedade Riemanniana. Uma conex˜ao ∇ em M ´e compat´ıvel com a m´etrica se, e s´o se, para todo par V e W de campos de vetores ao longo da curva diferenci´avel c : I −→ M tem-se

  DV d DW hV, W i = + , W V, . dt dt dt Corol´ ario 1.2.11.

  Uma conex˜ao ∇ em uma variedade Riemanniana M ´e compat´ıvel com a m´etrica se, e s´o se X hY, Zi = h∇ X Y, Zi + hY, ∇ X Zi . Defini¸ c˜ ao 1.2.12.

  Uma conex˜ao afim ∇ em uma variedade diferenci´avel M ´e dita sim´etrica quando ∇ X Y − ∇ Y X = [X, Y ] para todo X, Y ∈ χ(M ).

  Teorema 1.2.13. Dado uma variedade Riemanniana M , existe uma ´ unica conex˜ao afim ∇ em M satisfazendo as condi¸c˜oes 1. ∇ ´e sim´etrica. 2. ∇ ´e compat´ıvel com a m´etrica Riemanniana.

  A conex˜ao do teorema acima ´e chamada conex˜ao Riemanniana de M . Defini¸ c˜ ao 1.2.14. Uma curva parametrizada γ : I −→ M ´e uma geod´esica em D dγ

  ∈ I se t ( ) = 0 para t . Caso γ seja geod´esica para todo t ∈ I, dizemos que γ dt dt ´e uma geod´esica.

  Lema 1.2.15.

  Existe um ´ unico campo G em T M cujas trajet´orias s˜ao da forma

  ′ t 7−→ (γ(t), γ (t)), onde γ ´e uma geod´esica em M . Defini¸ c˜ ao 1.2.16. O campo G acima ´e chamado campo geod´esico em T M e seu fluxo, fluxo geod´esico de T M .

  Aplicando o Teorema ao campo geod´esico G no ponto (p, 0) ∈ T M , ob- temos para cada p ∈ M um aberto U ⊂ T M , onde (p, 0) ∈ U , um n´ umero δ > 0 e

  ∞

  uma aplica¸c˜ao C , ϕ : (−δ, δ) × U −→ T M tais que ϕ (q,v) (t) ´e a ´ unica trajet´oria de G que satisfaz a condi¸c˜ao inicial ϕ (0) = (q, v) para cada (q, v) ∈ U . Escolhendo

  (q,v)

  U como U = {(q, v) ∈ T M ; q ∈ V, v ∈ T q M com |v| < ǫ}, onde V ⊂ π(U ) ´e uma vizinhan¸ca de p ∈ M com π a proje¸c˜ao de T M sobre M e pondo γ = π ◦ ϕ obtemos a seguinte proposi¸c˜ao. Proposi¸ c˜ ao 1.2.17. Dado p ∈ M , existem uma vizinhan¸ca V de p, n´ umeros δ > 0,

  ∞

  ǫ > 0 e uma aplica¸c˜ao C γ : (−δ, δ) × U −→ M (U como acima) tais que a curva γ (t), t ∈ (−δ, δ), ´e a ´ unica geod´esica de M que no instante t = 0 passa por q

  (q,v) com velocidade v, para cada q ∈ V e cada v ∈ T q M com |v| < ǫ.

  Devido a homogeneidade (veja pg.72) podemos supor que as geod´esicas este- jam definidas no intervalo aberto (−2, 2). A escolha deste aberto ´e justificada pelas considera¸c˜oes que se seguem.

  Seja U ⊂ T M um aberto como na proposi¸c˜ao acima com δ = 2. Desta forma a aplica¸c˜ao exp : U −→ M dada por v exp(q, v) = γ(1, q, v) = γ(|v| , q, )

  |v| onde (q, v) ∈ U , ´e chamada a aplica¸c˜ao exponencial em U . A aplica¸c˜ao exponencial ´e diferenci´avel e exp q : B ǫ (0) ⊂ T q M −→ M dada por exp q (v) = exp(q, v) ´e a restri¸c˜ao de exp a um aberto de T q M . Geometricamente, exp q (v) ´e o ponto obtido v ao percorrer |v| a partir de q sobre a geod´esica que passa por q com velocidade .

  |v|

  Proposi¸ c˜ ao 1.2.18. Dado q ∈ M , existe um ǫ > 0 tal que exp q : B ǫ (0) ⊂ T q M −→ M ´e um difeomorfismo de B ǫ (0) sobre um aberto de M .

  Impl´ıcito na proposi¸c˜ao acima est´a contido uma rela¸c˜ao important´ıssima que nos d´a a express˜ao da diferencial da aplica¸c˜ao exp q em 0 ∈ T q M . Na realidade para todo v ∈ B ǫ (0), d(exp q ) (v) = v e isso ´e o bastante para a veracidade da proposi¸c˜ao acima. Defini¸ c˜ ao 1.2.19. A curvatura R de uma variedade Riemanniana M ´e uma corres- pondˆencia que associa a cada par X, Y ∈ χ(M ) uma aplica¸c˜ao R(X, Y ) : χ(M ) −→ χ(M ) dada por

  R(X, Y )Z = ∇ Y ∇ X Z − ∇ X ∇ Y Z + ∇ Z

  [X,Y ] onde Z ∈ χ(M ) e ∇ ´e a conex˜ao Riemanniana de M .

  Proposi¸ c˜ ao 1.2.20. Seja R a curvatura de uma variedade riemanniana, ent˜ao:

  1. R ´e bilinear em χ(M ) × χ(M ), isto ´e, R(f X + gX , Y ) = f R(X , Y ) + gR(X , Y ),

  1

  2

  1

  1

  1

  2

  1 R(X , f Y + gY ) = f R(X , Y ) + gR(X , Y ),

  1

  1

  2

  1

  1

  1

  2 onde f, g ∈ D(M ) e X , X , Y , Y ∈ χ(M ).

  1

  2

  1

  2

  2. Para todo par X, Y ∈ χ(M ), o operador curvatura R(X, Y ) : χ(M ) −→ χ(M ) ´e linear, isto ´e,

  R(X, Y )(Z + W ) = R(X, Y )Z + R(X, Y )W, R(X, Y )f Z = f R(X, Y )Z, onde f ∈ D(M ) e Z, W ∈ χ(M ).

  Proposi¸ c˜ ao 1.2.21.

  A curvatura R satisfaz a identidade de Bianchi, isto ´e, R(X, Y )Z + R(Y, Z)X + R(Z, X)Y = 0.

  De agora em diante utilizaremos por conveniˆencia a nota¸c˜ao R XY (Z) para sig- nificar R(X, Y )(Z).

  CAP´

  ITULO 2

GRUPOS DE LIE

  Este cap´ıtulo tem como objetivo fornecer conceitos b´asicos e essenciais `a cons- tru¸c˜ao do cap´ıtulo 3. Neste, assim como fez Sophus Lie inicialmente em 1870, utilizaremos tamb´em as ´algebras de Lie associada aos grupos de Lie para explorar suas propriedades.

  O emprego das ´algebras de Lie no estudo dos grupos de Lie se tornou o caminho mais frequente, muito por essas serem estruturas mais simples uma vez que o espa¸co estudado ´e linear.

  As demonstra¸c˜oes deste cap´ıtulo podem ser encontradas em .

2.1 Grupos topol´ ogicos

  Defini¸ c˜ ao 2.1.1. Um grupo topol´ogico G ´e um grupo (alg´ebrico) cujo conjunto subjacente est´a munido de uma topologia e que,

  1. O produto p : G × G −→ G, p(g, h) = gh, ´e uma aplica¸c˜ao cont´ınua, quando se considera em G × G a topologia produto.

  −1 2. A aplica¸c˜ao i : G −→ G, i(g) = g , ´e cont´ınua.

  Cada elemento g ∈ G define, de forma natural as seguintes aplica¸c˜oes: Transla¸ c˜ ao ` a esquerda: L g : G −→ G, L g (h) = gh. Transla¸ c˜ ao ` a direita: R g : G −→ G, R g (h) = hg.

  −1

  Conjuga¸ c˜ ao: C g : G −→ G, C g (h) = ghg . Decorre imediatamente da continui- dade de p que tais aplica¸c˜oes s˜ao continuas. Na verdade uma observa¸c˜ao mais atenta ´e suficiente para notarmos que se tratam de homeomorfismos de G. A proposi¸c˜ao abaixo ´e uma consequˆencia da continuidade das transla¸c˜oes.

  Proposi¸ c˜ ao 2.1.2.

  Sejam G e H grupos topol´ogicos e φ : G −→ H um homomor- fismo (de grupos). Ent˜ao, φ ´e cont´ınuo se, e s´o se, φ ´e cont´ınuo no elemento neutro e ∈ G. Defini¸ c˜ ao 2.1.3.

  Um subgrupo H ⊂ G com a topologia do subespa¸co ´e denominado de subgrupo topol´ogico de G.

  Obviamente para que tal defini¸c˜ao tenha sentido ´e preciso notar que se p : G × G −→ G ´e o produto em G, ent˜ao p H = p| H : H × H −→ H ´e o produto em H e ´e continuo com a topologia do subespa¸co em H × H que coincide com a topologia produto em H × H. Considera¸c˜oes an´alogas devem ser feitas para i H .

  ◦ Proposi¸ c˜ ao 2.1.4.

  Seja H ⊂ G um subgrupo e suponha que H 6= ∅. Ent˜ao, H ´e aberto.

  Proposi¸ c˜ ao 2.1.5. Suponha que H seja um subgrupo aberto de G. Ent˜ao, H ´e fechado.

  Este ´ ultimo fato garante que subgrupos abertos de G s˜ao na realidade uni˜oes de componentes conexas de G e em particular, se G ´e conexo, deve portanto ser o ´ unico de seus subgrupos abertos. Os resultados que se seguem ter˜ao aplica¸c˜oes no estudo de grupos de Lie, principalmente pelo fato destes serem localmente conexos.

  Proposi¸ c˜ ao 2.1.6. A componente conexa do elemento neutro em G, G , ´e um sub- grupo fechado e normal de G. Qualquer outra componente conexa ´e uma classe lateral gG = G

  g. Reciprocamente, toda classe lateral gG = G g ´e uma compo- nente conexa de G.

  Proposi¸ c˜ ao 2.1.7. Suponha que G seja localmente conexo. Ent˜ao, G ´e um sub- grupo aberto.

  Proposi¸ c˜ ao 2.1.8.

  Suponha que G seja conexo. Ent˜ao para qualquer vizinhan¸ca do S n elemento neutro U , temos G = U . Quando estamos em posse de um grupo localmente compacto ´e poss´ıvel definir sobre tal uma medida de Haar µ, ou seja, uma medida sobre a σ-´algebra dos con- juntos de Borel de G, que ´e invariante por transla¸c˜oes `a esquerda ou `a direita no grupo. Para a constru¸c˜ao de tal medida fica referenciado cap´ıtulo 3.

2.2 Grupos e ´ algebras de Lie

  Defini¸ c˜ ao 2.2.1. Um grupo de Lie ´e um grupo cujo conjunto subjacente possui uma estrutura de variedade diferenci´avel, de tal forma que a aplica¸c˜ao produto p : (g, h) ∈ G × G 7−→ gh ∈ G seja diferenci´avel.

  Decorre imediatamente da defini¸c˜ao acima e da natureza das transla¸c˜oes, que es- tas s˜ao difeomorfismo de G em G. Aqui, bem como em todo trabalho, consideramos

  ∞

  diferenci´avel como de classe C . Decorre da defini¸c˜ao acima e do uso do Teorema da fun¸c˜ao impl´ıcita o seguinte resultado.

  −1

  Proposi¸ c˜ ao 2.2.2. Em um grupo de Lie G a aplica¸c˜ao i : g ∈ G 7→ g ∈ G ´e um difeomorfismo. A diferencial de i ´e dada por −1 −1 di g = −(dL ) e ◦ (dR ) g g g em particular, (di) e = −id.

  Associado a um grupo de Lie existe uma estrutura alg´ebrica vetorial que desem- penha um papel important´ıssimo em seu estudo. Tal estrutura ´e chamada ´algebra de Lie. Defini¸ c˜ ao 2.2.3.

  Uma ´algebra de Lie ´e um espa¸co vetorial ❣ munido de uma opera¸c˜ao binaria [·, ·] :

  ❣ × ❣ −→ ❣ denominada colchete de Lie satisfazendo: 1. O colchete [·, ·] ´e bilinear.

  2. Anti-sim´etrico, isto ´e, [X, Y ] = − [Y, X].

  3. Satisfaz a identidade de Jacobi, ou seja, para X, Y, Z ∈ ❣, [X, [Y, Z]] = [[X, Y ] , Z] + [Y, [X, Z]].

  Enunciaremos agora algumas defini¸c˜oes acerca de ´algebras de Lie que ser˜ao fre- quentemente utilizadas em nosso estudo.

  Defini¸ c˜ ao 2.2.4.

  Uma ´alegra de Lie ❣ ´e dita comutativa se [X, Y ] = 0 para todo

  X, Y ∈ ❣ Defini¸ c˜ ao 2.2.5.

  Uma sub´algebra de Lie ❤ ⊂ ❣ ´e um subespa¸co vetorial de ❣ fechado para o colchete.

  Defini¸ c˜ ao 2.2.6. Um subespa¸co ✉ de uma ´algebra de Lie ❣ ´e um ideal, se para todo

  X ∈ ✉ e todo Y ∈ ❣, [X, Y ] ∈ ✉. Defini¸ c˜ ao 2.2.7. A s´erie central descendente de uma ´algebra de Lie k k ❣ ´e dada por

  1 2 +1

  ⊃ = [ = · ·· ❣ = ❣ ❣ ❣, ❣] ⊃ · · · = ❣ ❣, ❣ .

  Defini¸ c˜ ao 2.2.8.

  A ´algebra de Lie k ❣ ´e nilpotente se sua s´erie central descendente se estabiliza, isto ´e, se = {0} para algum k ≥ 0.

  ❣ Defini¸ c˜ ao 2.2.9. Seja

  ❣ uma ´algebra de Lie, sua s´erie derivada ´e a sequˆencia de ideais

  (0) (1) (2) (1) (1) (k) (k−1) (k−1)

  = = [ = , ⊃ · · · ⊃ = , ⊃ · · · ❣ ❣ ⊃ ❣ ❣, ❣] ⊃ ❣ ❣ ❣ ❣ ❣ ❣ .

  (k) Defini¸ c˜ ao 2.2.10.

  Uma ´algebra de Lie = {0} para algum ❣ ´e dita sol´uvel se ❣ k ≥ 0.

  Defini¸ c˜ ao 2.2.11.

  Uma ´algebra de Lie ❣ ´e dita simples se n˜ao admite ideais que n˜ao os triviais ({0} e

  ❣). Defini¸ c˜ ao 2.2.12. Uma ´algebra de Lie

  ❣ ´e dita semi-simples se pode ser escrita como soma direta (de espa¸cos vetoriais) de ´algebras de Lie simples.

  Uma outra caracteriza¸c˜ao de ´algebras de Lie semi-simples pode ser dado em fun¸c˜ao de sua forma de Cartan-Killing (usualmente chamada somente de forma de Killing), onde

  ❣ ´e semi-simples se, e s´o se, sua forma de Cartan-Killing ´e n˜ao- degenerada. Para uma referˆencia veja cap´ıtulo 3. Defini¸ c˜ ao 2.2.13. Seja G um grupo de Lie. Um campo de vetores X em G ´e dito Invariante ` a esquerda: se para todo g, h ∈ G, d(L g ) h (X(h)) = X(gh). Invariante ` a direita: se para todo g, h ∈ G, d(R g ) h (X(h)) = X(hg).

  Decorre diretamente da defini¸c˜ao acima que o campo definido a partir da condi¸c˜ao X(g) = d(L g ) e (X(e)) para cada g ∈ G ´e invariante a esquerda. Os campos inva- riantes `a direita s˜ao obtidos analogamente. Essa propriedade mostra que o espa¸co tangente T e G determina todos os campos invariantes em G, portanto podemos a par- tir daqui nos referirmos a um campo invariante, previamente estabelecido `a esquerda d ou `a direita, como um elemento de T e

  G. Dado X ∈ T e d d

  G, a nota¸c˜ao X indicar´a o campo invariante `a direita tal que X (e) = X, ou seja, X (g) = d(R g ) e (X) e e analogamente para X . e e Lema 2.2.14. Sejam X e Y campos invariantes em um grupo de Lie G. Ent˜ao, o e e e e e e colchete de campos diferenci´aveis de vetores [X , Y ] = X Y − Y

  X ´e invariante `a esquerda. A mesma afirma¸c˜ao vale para campos invariantes `a direita.

  O Lema acima permite definir a ´algebra de Lie de G. Existe mais de uma maneira de definir a ´algebra de Lie ❣ de um grupo de Lie G, contudo todas conduzem a ´algebras de Lie isomorfas. Utilizaremos aqui a defini¸c˜ao mais conveniente.

  Defini¸ c˜ ao 2.2.15. A ´algebra de Lie ❣ de um grupo de Lie G ´e o espa¸co vetorial

  T e G munido da opera¸c˜ao colchete dada por e e [X, Y ] = [X , Y ] (e) onde X, Y ∈ T e

  G. Em outras palavras, o colchete em T e G conduz um par de vetores X, Y ∈ T e G e e

  (ou campos invariantes `a esquerda X e Y em G) ao representante em T G do e e e e e e e campo invariante `a esquerda dado por [X , Y ] = X Y − X Y .

  Em grupos de Lie, a grande importˆancia no estudo de suas ´algebras de Lie est´a re- lacionado a um elo fort´ıssimo criado pela aplica¸c˜ao exponencial de Lie. Diferente da exponencial definida no primeiro cap´ıtulo, esta nova ´e colocada a partir do fluxo de campos invariantes e n˜ao tem a priori liga¸c˜ao alguma com o fluxo geod´esico. Quando n˜ao causar enganos mencionaremos somente exponencial e denotaremos exp . Para entender sua existˆencia, seja X um campo invariante a esquerda, denote X t seu fluxo local. A invariˆancia de X, promove a seguinte propriedade:

  Sejam g, h ∈ G com h ∈ domX t e α(t) = gX t (h). Note que o dom´ınio de α ´e um intervalo de R contendo o zero, tal que α(0) = gh. Agora, pela regra da cadeia,

  ′ ′

  α (t) = d(E g ) X t (X(X t (h))) e pela invariˆancia de X segue que α (t) = X(α(t)).

  (h)

  Portanto α ´e uma curva que para t = 0 passa em gh com velocidade X(gh). Logo α ∂g ´e solu¸c˜ao para o problema de valor inicial = X(g) com g(0) = gh, ou seja, α(t) = ∂t X t (gh) e X t (gh) = gX t (h). Em particular se h = e temos X t (g) = gX t (e), isto ´e, as solu¸c˜oes para o P.V.I anterior s˜ao na realidade transla¸c˜oes a esquerda da solu¸c˜ao com valor inicial α(0, e) = 0. Para campos invariantes a direita, analogamente se mostra que Y t (h)g = Y t (hg).

  O fato de as trajet´orias serem obtidas umas das outras via transla¸c˜oes acarreta que devem possuir todas o mesmo intervalo de dom´ınio. Estas considera¸c˜oes nos levam ao seguinte resultado. Proposi¸ c˜ ao 2.2.16. Um campo invariante a direita ou a esquerda ´e completo.

  Outro resultado que segue imediatamente do feito acima ´e que se X ´e invariante a esquerda ent˜ao: X t (e) = X t (X s (e)) = X s (e)X t (e) = X t (e)X s (e),

  • s

  enquanto se Y ´e invariante `a direita, Y t +s (e) = Y t (Y s (e)) = Y t (e)Y s (e) = Y s (e)Y t (e) e assim obtemos que

  −1

  X t (e)X t (e) = X s (e) = X t (e) = X t (e)X (e),

  • +s +s−t +s −t

    −1

  −1

  ou seja, X (e) = X t (e) e analogamente se mostra que Y (e) = Y t (e) . O

  −t −t

  que nos leva a concluir que se X ´e invariante `a esquerda e Y invariante `a direita, ent˜ao {X t (e); t ∈ R} e {Y t (e); t ∈ R} s˜ao subgrupos de G denominados subgrupos a 1-parˆametro de G.

  O pr´oximo resultado conecta as trajet´orias de campos invariantes `a esquerda e `a direita e permite a defini¸c˜ao da aplica¸c˜ao exponencial de Lie. Proposi¸ c˜ ao 2.2.17. Sejam X e Y campos invariantes `a esquerda e `a direita res- pectivamente, tais que X(e) = Y (e). Ent˜ao suas trajet´orias X t (e) e Y t (e) coincidem para t ∈ R. d e Defini¸ c˜ ao 2.2.18. Seja X ∈ T e

  G. Ent˜ao expX = X (e) = X (e) ´e a aplica¸c˜ao

  1

  1

  exponencial de ❣ em G.

  No caso particular (contudo muito frequente) de um grupo de Lie G de matrizes, X n verifica-se que se X ∈ , ou seja, a aplica¸c˜ao exponencial ❣, ent˜ao exp(X) = P n n

  ≥0 ! coincide com a j´a conhecida exponencial de matrizes (veja pg.98).

  Observa¸ c˜ ao 2.2.19.

  Se a ∈ R e X ´e um campo diferenci´avel de vetores, ent˜ao as trajet´orias X e aX possuem a mesma imagem e seus fluxos satisfazem (aX) t = X at . d e Portanto as trajet´orias de campos X e X que passam pelo elemento neutro s˜ao dadas por d e X (e) = X (e) = exptX. t t

  Assim exp(t+s)X = X t (e) = X t (e)X s (e) = exptXexpsX ´e um homomorfismo

  • s de R em G.

  Proposi¸ c˜ ao 2.2.20.

  A aplica¸c˜ao exp : (X) =

  ❣ −→ G ´e diferenci´avel e al´em disso d(exp) X para todo X ∈ ❣.

  A proposi¸c˜ao acima prepara o uso do Teorema da aplica¸c˜ao inversa, nos garan- tindo a existˆencia de vizinhan¸cas U ⊂ ❣ e V ⊂ G de 0 ∈ ❣ e e ∈ G respectivamente, de forma que exp : U −→ V seja um difeomorfismo. Perceba que este fato, devido a proposi¸c˜ao possui imediata influˆencia sobre grupos de Lie conexos.

  Lema 2.2.21.

  Sejam G e H grupos de Lie com ´algebras de Lie ❣ e ❤ respectivamente. Seja φ : G −→ H um homomorfismo diferenci´avel e tome X ∈

  ❣. Ent˜ao para todo g ∈ G vale d d dφ g (X (g)) = Y (φ(g)), e e dφ g (X (g)) = Y (φ(g)), onde Y = dφ e (X).

  O Lema mostra que X ∈ ❣ e Y ∈ ❤ s˜ao φ-relacionados e portanto as trajet´orias de Y s˜ao dadas pelas imagens de φ das trajet´orias de X. Como as trajet´orias de campos invariantes s˜ao dadas pelas exponencias obtemos o seguinte resultado. Proposi¸ c˜ ao 2.2.22. Sejam G e H grupos de Lie com ´algebras de Lie ❣ e ❤ respec- tivamente. Se φ : G −→ H ´e um homomorfismo diferenci´avel e X ∈

  ❣, ent˜ao φ(expX) = exp(dφ e (X)).

  −1

  O automorfismo conjuga¸c˜ao C g (h) = ghg induz naturalmente um homomor- −1 −1 ◦ d(R fismo de G no grupo linear geral Gl( g ) g g ) e . Tal

  ❣) dado por Ad(g) = d(L homomorfismo ´e diferenci´avel e al´em disse vale o pr´oximo resultado.

  Proposi¸ c˜ ao 2.2.23.

  Seja G um grupo de Lie com ´algebra de Lie ∈ ❣. Ent˜ao d(Ad) e (X) = [X, ·] para todo X ∈

  ❣. Defini¸ c˜ ao 2.2.24. Sejam

  ❣ e ❤ ´algebras de Lie. Um homomorfismo (de ´algebras de Lie) de

  ❣ em ❤ ´e uma transforma¸c˜ao linear T : ❣ −→ ❤, tal que T ([X, Y ]) = [T (X), T (y)] , ou seja, T preserva o colchete.

  Defini¸ c˜ ao 2.2.25.

  Seja ❣ uma ´algebra de Lie. Sua representa¸c˜ao adjunta ´e a aplica¸c˜ao ad :

  ❣ :−→ ❣❧✭❣✮ definida por ad(X)(Y ) = [X, Y ] .

  Acima ❣❧✭❣✮ ´e a ´algebra linear geral dadas pelas transforma¸c˜oes lineares de ❣ em

  ❣ e o comutador de matrizes. Devido a bilinaridade do colchete e a identidade de Jacobi, ad ´e um homomor- fismo de ´algebras de Lie (na verdade ´e uma representa¸c˜ao de

  ❣, (veja se torna d(Ad) e (X) = ad(X). Aplicando este ´ ultimo fato `a proposi¸c˜ao obtemos. Corol´ ario 2.2.26.

  Seja G um grupo de Lie, com ´algebra de Lie ❣. Ent˜ao

  Ad(expX) = exp(ad(X)) O resultado abaixo ´e conhecido como terceiro teorema de Lie.

  Teorema 2.2.27.

  Se ❣ ´e uma ´algebra de Lie real e de dimens˜ao finita, ent˜ao existe um grupo de Lie G com ´algebra de Lie

  ❣. Teorema 2.2.28. Se G ´e um grupo de Lie conexo com ´algebra de Lie ❣, ent˜ao o seu recobrimento universal ˜ G admite uma estrutura de grupo de Lie cuja ´algebra de

  Lie ´e ❣. Teorema 2.2.29. Seja

  ❣ uma ´algebra de Lie real de dimens˜ao finita. Ent˜ao,

  1. Existe um ´ unico (a menos de isomorfismo) grupo de Lie conexo e simplesmente conexo ˜ G( ❣) com ´algebra de Lie ❣.

  2. Se G ´e um grupo de Lie conexo com ´algebra de Lie ❣, ent˜ao G ´e isomorfo a

  ˜ G( G(

  G( ❣)/Γ, onde Γ ⊂ ˜ ❣) ´e um subgrupo discreto contido no centro de ˜ ❣). Al´em disso, Γ ´e isomorfo ao grupo fundamental π (G).

  1 A unicidade do item 1 ´e garantida pelo principio da monodromia (veja pg.155).

  Dado um grupo de Lie G com ´algebra de Lie ❣ e um ideal ✉ ⊂ ❣, existe um ´unico subgrupo de Lie conexo U ⊂ G com ´algebra de Lie

  ✉. Al´em disso se G ´e conexo e ⊕ · · · ⊕ n de ideais de

  ❣ se decomp˜oe como a soma direta ❣ = ❛

  1 ❛ ❣, ent˜ao G se

  × · · · × A decomp˜oe como o produto cartesiano G = A

  1 n de subgrupos normais A i ,

  tais subgrupos s˜ao gerados pelas sub´algebras i (veja se¸c˜ao 6.2). Ainda, se G ´e ❛ simplesmente conexo, cada A i deve ser simplesmente conexo.

  Um grupo de Lie pode obviamente ser considerado uma variedade Riemanniana, bastando para isso que possua uma m´etrica Riemanniana. Desta forma, podemos nos perguntar quais destas deixam invariantes os automorfismos transla¸c˜oes, neste contexto temos a defini¸c˜ao abaixo.

  Defini¸ c˜ ao 2.2.30. Uma m´etrica Riemanniana em um grupo de Lie G ´e dita inva- riante `a esquerda se hX, Y i = hd(L ) X, d(L ) Y i g h g h g L (g) h para todo h, g ∈ G e X, Y ∈ T g

  G. Analogamente se define m´etricas invariantes `a direita, trocando obviamente na defini¸c˜ao acima as transla¸c˜oes `a esquerda por transla¸c˜oes `a direita.

2.3 Exemplos

  Nesta ´ ultima se¸c˜ao preliminar daremos alguns exemplos de grupos de Lie, bem como suas ´algebras de Lie e bases apropriadas para tais ´algebras, preparando-os para aplica¸c˜oes no pr´oximo cap´ıtulo. Exemplo 2.3.1.

  O grupo de Lie SL(2, R) ´e chamado de grupo linear especial e consiste no grupo das matrizes reais bi-dimensionais com determinante 1. Note que tal grupo n˜ao ´e limitado em M (R), portanto n˜ao ´e compacto.

2 Quanto a sua ´algebra de Lie, se X ∈ sl(2, R), ent˜ao det(exp(tX)) = 1 para

  tr

  

(X)

  todo t ∈ R, ou seja, det(exp(X)) = e = 1 e portanto tr(X) = 0 sendo desta forma uma condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para X ∈ sl(2, R). Assim sl(2, R) = {X ∈ M 2 (R); tr(X) = 0}.

  Mostremos agora que sl(2, R) ´e simples. De fato, tomemos inicialmente para tal ´algebra a base,      

  −1 0 −1       0 −1 e = , e = , e =

  1

  2

  3

  1 −1

  1 Nesta base temos [e , e ] = −2e , [e , e ] = 2e e [e , e ] = 2e . Ent˜ao perceba

  1

  2

  3

  2

  3

  1

  3

  1

  2

  que tal estrutura garante que todo ideal que admitir um elemento da base {e , e , e }

  1

  2

  3 ´e na realidade sl(2, R).

  Seja u um ideal de sl(2, R), v = ae +be +ce ∈ u e suponha sem perda de genera-

  1

  

2

  3

  lidade que a 6= 0. Ent˜ao [v, e ] = 2be +2ce . Caso b,c ou ambos sejam zero, obtemos

  1

  3

  

2

  um elemento b´asico em u. Caso ambos difiram de zero, ent˜ao [2be

  3 + 2ce 2 , e 3 ] = 4ce

  1 e e ∈ u. Logo sl(2, R) n˜ao admite ideais n˜ao triviais.

1 Exemplo 2.3.2. O grupo de Lie SU (2) ´e chamado grupo especial unit´ario e consiste

  no grupo das matrizes complexas unit´arias de determinante 1. As matrizes de SU (2) podem ser escritas na forma,     a b ,

  −¯b ¯a onde ¯b denota o conjugado complexo de b. Se a = x + x i e b = x + x i teremos,

  1

  2    

  3

  4

  a b x + x i x + x i    

  1

  2

  3

  4 A = =

  −¯b ¯a −x − x

  3 + x 4 i x

  1 2 i

  ∈ R. A condi¸c˜ao sobre o determinante garante que det(A) = com x

  1 , x 2 , x 3 , x

  4

  2

  2

  2

  2

  3

  x + x + x + x = 1, ou seja, o grupo de Lie SU (2) ´e homeomorfo a S , portanto

  1

  2

  3

  4 ´e compacto, conexo e simplesmente conexo.

  Quanto a sua ´algebra de Lie, note que se X ∈ su(2), ent˜ao exp(tX) ´e unit´aria

  ∗ −1 ∗

  para todo t ∈ R, ou seja, exp(tX) = exp(tX) = exp(−tX). Como exp(tX) =

  ∗ ∗ ∗

  exp(tX ) obtemos exp(tX ) = exp(−tX). numa dire¸c˜ao vemos que se X =

  ∗

  −X, ent˜ao a igualdade exp(tX ) = exp(−tX) est´a satisfeita. Noutra dire¸c˜ao, se

  ∗ ∗

  exp(tX ) = exp(−tX) para todo t ∈ R, derivando em t = 0 temos X = −X, ou

  ∗

  seja, as matrizes em su(2) satisfazem necessariamente X = −X. Al´em disso, a restri¸c˜ao sobre o determinante exige tamb´em que det(exp(tX) = 1 para todo t ∈ R. tr

  (tX) Desta forma det(exp(tx)) = e = 1. Em especial para t = 1 obtemos tr(X) = 0. ∗ Logo su(2) = {X ∈ M (C); X = −X e tr(X) = 0}.

2 Uma base para su(2) sobre R ´e

              −i 1 i e = , e = , e =

  1

  2

  3

  −i 1 −1 0 0 −i onde [e , e ] = 2e , [e , e ] = 2e e [e , e ] = 2e . Analogamente ao exemplo se

  1

  2

  3

  2

  3

  1

  3

  1

  2 mostra que tal ´algebra de Lie ´e simples.

  Exemplo 2.3.3.

  O grupo SO(3) ´e chamado de grupo ortogonal especial tridimen- sional e consiste no grupo das matrizes ortogonais cujo determinante ´e 1. Como

  2

  2

2 SO(3) ⊂ S × S × S , conclu´ımos que tal grupo ´e limitado no espa¸co das matrizes

  tridimensionais. Note tamb´em que toda sequˆencia de matrizes ortogonais conver- gente, converge a uma matriz ortogonal. Al´em disso, decorre da continuidade da aplica¸c˜ao determinante que se tais matrizes possuem determinante 1, ent˜ao conver- gem a uma matriz de determinante 1, ou seja, tal grupo ´e tamb´em fechado, logo compacto. T

  Quanto a ´algebra de Lie so(3) de SO(3), se X ∈ SO(3), ent˜ao exp(tX) = T T

  −1

  exp(tX) = exp(−tX), como exp(tX) = exp(tX ) para todo t ∈ R, derivando e T T t = 0 temos X = −X e X ´e anti-sim´etrica. Obviamente se X = −X, ent˜ao X

  T

  satisfaz a igualdade exp(tX) = exp(−tX) para todo t ∈ R. Como det(expA)) = tr (A) e vale sempre, devemos neste caso ter det(expX) = 1 e podemos concluir que T X ∈ so(3) se, e s´o se, X = −X.

  Mostraremos agora que a ´algebra de Lie so(3) ´e simples. De fato, note que uma base para o espa¸co das matrizes tridimensionais anti-sim´etricas ´e dada por                   0 1 0 −1 0 0 0 e = , e = , e = ,

  1 0 0            

  2

  1

  3 0 0 −1

  −1 0 0 0 1 onde [e , e ] = e , [e , e ] = e e [e , e ] = e . Portanto a simplicidade de so(3)

  1

  2

  3

  2

  3

  1

  3

  1

  2 decorre do mesmo argumento utilizado em

  Exemplo 2.3.4. O grupo de Heisenberg que denotaremos H, consiste no grupo de matrizes da forma       1 a b ,     0 1 c 0 0 1

  3

  onde a, b, c ∈ R. Perceba que H ´e homeomorfo a R , portanto ´e conexo, mas n˜ao compacto.

  Quanto a sua ´algebra de Lie, note que se α(t) ´e uma curva diferenci´avel em H,

  ′

  tal que α(0) = id, deve necessariamente possuir α (0) da forma,  

  ′ ′     0 a b ′    0 0 c  , 0 0

  ′ ′ ′

  ∈ R. Reciprocamente, para ver que toda matriz X desta forma pertence onde a , b , c a ´algebra de Lie

  ❤ de H, basta notar que exp(tX) possui sempre a forma das matrizes de H. Logo            0 a b      ′ ′

; a, b, c ∈ R . ❤ = 0 0 c             0 0

  O grupo de Heisenberg assim como sua ´algebra (H ´e conexo) s˜ao nilpotentes, portanto sol´ uveis. De fato, perceba que [

  ❤, ❤] = 0 0 a 0 0 0 0 0 0

  x

  ′

  1

  x

  ′

  2 .

  Perceberemos mais adiante que Y ∈ so(2). Reciprocamente, um calculo breve nos mostra que

  Y x

  ′

  1

  ′

  =0

  2 n

  = Y n

  Y n

  −1

  x

  ′

  1

  x

  ′

  2

  = Y x

  Quanto a sua ´algebra de Lie e(2), uma condi¸c˜ao necess´aria para X pertencer `a e(2) ´e possuir a ´ ultima linha nula, uma vez que se exp(tX) ´e um subgrupo a 1-parˆametro, ent˜ao d dt exp(tX)| t

  ; a ∈ R e [ ❤, [❤, ❤]] = {0}. Logo a s´erie central descendente de ❤ ´e ❤ ⊃ [❤, ❤] ⊃ {0} .

  1 , e 2 ] = 0, [e

2 , e

3 ] = e 1 e [e 3 , e 1 ] = 0.

  Por fim, uma base para tal ´algebra de Lie ´e e

  1

  = 0 0 1 0 0 0 0 0 0

  , e

  2

  = 0 1 0 0 0 0 0 0 0

  , e

  3

  = 0 0 0 0 0 1 0 0 0 .

  Com essa base temos, [e

  Exemplo 2.3.5.

  2 ∈ R.

  E(2) ´e chamado o grupo Euclidiano e consiste no grupo das iso- metrias de R

  2

  , tal grupo ´e isomorfo ao grupo das matrizes tridimensionais da forma

  W x

  1

  x

  2

  1 , onde W ´e uma matriz ortogonal e x

  1

  , x

  , portanto se X ´e da forma acima, devemos ter exptX = exptY y

  1

  1

  0 0 y 0 0 0 ; x, y ∈ R e [[e(2), e(2)] , [e(2), e(2)]] = {0}, ou seja, e(2) ´e sol´ uvel.

  , portanto [e(2), e(2)] = 0 0 x

  γ(0) = 0. Derivando em t = 0 vemos que uma matriz arbitraria de e(2) pode ser escrita da forma a b −a 0 c 0 0

  1 , onde α, β e γ s˜ao curvas diferenci´aveis em R contendo a origem com α(0) = β(0) =

  −sen(α(t)) cos(α(t)) γ(t)

  Mostraremos agora que e(2) ´e sol´ uvel. Para isso inicialmente detalharemos um pouco mais as matrizes dessa ´algebra de Lie. Primeiramente note que as matrizes bidimensionais e ortogonais em uma vizinhan¸ca de e podem ser escritas como ma- trizes de rota¸c˜ao, portanto uma curva passando pela identidade de E(2) em t = 0 possui a forma cos(α(t)) sen(α(t)) β(t)

  ∈ R .

  2

  , y

  1

  ; Y T = −Y , y

  2

  y

  Logo e(2) = Y y

  y

  ] T ). Agora exp(tY ) ´e uma matriz ortogonal se, e s´o se, Y ´e da forma Y T = −Y .

  2

  ′

  , x

  1

  ′

  ([x

  =1 t n Y n−1 n !

  ] T = P ∞ n

  2

  , y

  1

  1 , onde [y

  2

  Por fim uma base para tal ´algebra de Lie ´e

                    0 0 0 0 0 1 1 0 e = , e = , e =

  1        0 0 1   0 0 0   −1 0 0 

  2

  3

  0 0 0 0 0 0 0 0 e nesta base temos, [e , e ] = 0, [e , e ] = e e [e , e ] = e .

  1

  2

  2

  3

  1

  3

  1

  2 Exemplo 2.3.6.

  O grupo de Lie E(1, 1) consiste no grupo dos movimentos r´ıgidos do espa¸co bidimensional de Minkowski. Em tal espa¸co as m´etricas possuem assina- tura (+, −). Desta forma uma transforma¸c˜ao linear T preserva tal m´etrica se, e s´o T se, T BT = B onde B denota a matriz da forma bilinear associada `a m´etrica. Se   x x  

  1

  2

  denotarmos a matriz de T por , isso se traduz na seguinte equa¸c˜ao, x x

       

  3

  4

  x x −1 0 x x −1 0

       

  1

  2

  1

  2

  = x x 1 x x

  1

  3

  4

  3

  4

  2

  2

  2

  2

  e se obt´em, x − x = 1, −x + x = 1, −x x + x x = 0. Encontrando t ∈ R, tal

  1

  3

  2

  4

  1

  2

  3

  4

  que x = cosh(t), x = senh(t) e s ∈ R, tal que x = senh(s), x = cosh(s) (aqui

  1

  2

  3

  4

  se descarta as solu¸c˜oes x

  1 = −cosh(t) e x 4 = −cosh(s), pois ´e poss´ıvel mostrar que

  E(1, 1) ´e conexo e tais solu¸c˜oes n˜ao conduzem a componente conexa da identidade que coincide com E(1, 1)), teremos x x −x x = senh(t)cosh(s)−cosh(t)senh(s) =

  2

  4

  1

  3

  senh(t − s) = 0, ou seja, t = s e T possui matriz da forma,     cosh(t) senh(t) . senh(t) cosh(t)

  Transla¸c˜oes evidentemente preservam m´etricas de Minkowski, assim movimentos r´ıgidos neste espa¸co se identificam com matrizes da forma,       cosh(t) senh(t) x ,     senh(t) cosh(t) y

  1 onde x, y ∈ R. Novamente uma curva passando pela identidade em t = 0 ´e da forma,       cosh(α(t)) senh(α(t) β(t)     senh(α(t) cosh(α(t) γ(t)

  1 com α, β e γ curvas diferenci´aveis em R contendo a origem, de forma que α(0) = β(0) = γ(0) = 0. Logo vetores na ´algebra de Lie e(1, 1) possuem a forma,

   0 a b a 0 c 0 0 0 com a, b, c ∈ R. Reciprocamente, se X ´e desta forma, ent˜ao potˆencias para um

  as s´eries a

  3

  que correspondem as s´eries de potˆencias das fun¸c˜oes cosh e senh respectivamente. Logo e (1, 1) = T ∈ M

  12 = a 21 = Pn =0 x 2 n+1 (2n+1)!

  e a

  ∞ n =0 x 2 n 2n!

  = P

  22

  = a

  11

  22

  ´ındice n impar possuem a forma, a n a n

  , a

  21

  , a

  12

  , a

  11

  c portanto a matriz exp(X) possui nas entradas a

  −1

  b a n a n −1 c e para n par a forma, a n a n −1 b a n a n

  −1

  (R); T = 0 a b a 0 c 0 0 0 e da mesma forma realizada no exemplo , se mostra que e(1, 1) ´e sol´ uvel. CAP´

  ITULO 3

CURVATURAS EM GRUPOS DE LIE COM M´ ETRICAS

  

INVARIANTES ` A ESQUERDA

  Neste cap´ıtulo faremos o emprego da teoria previamente estabelecida afim de estudar propriedades das curvaturas em grupos de Lie quando neste fixamos uma m´etrica invariante `a esquerda. As curvaturas seccionais, de Ricci e escalar ser˜ao os objetos principais das trˆes primeiras se¸c˜oes, um complemento deste estudo pode ser encontrado nos trabalhos de Wallach .

  Os grupos de Lie tridimensionais, devido a sua relativa simplicidade, ganhar˜ao uma se¸c˜ao pr´opria onde os estudaremos dividindo-os em duas classes, os unimodu- lares e os n˜ao-unimodulares. A unimodularidade desempenha um papel importante na compreens˜ao das propriedades geom´etricas de um grupo de Lie e por esse motivo dedicamos tamb´em uma se¸c˜ao ao estudo de grupos de lie unimodulares de dimens˜ao arbitr´aria.

  A ´ ultima se¸c˜ao tratar´a de m´etricas bi-invariantes. Como poderemos ver, neste caso o estudo das curvaturas se tornar´a mais simples. Devida a divis˜ao das se¸c˜oes em assuntos devidamente estabelecidos, alguns resul- tados ser˜ao enunciados, contudo demonstrados somente em se¸c˜oes cujo entendimento da estrutura envolvendo a demostra¸c˜ao j´a esteja completo.

3.1 Curvatura seccional

  Seja G um grupo de Lie n-dimensional e ❣ a ´algebra de Lie associada, consistindo de todos os campos diferenci´aveis de vetores invariantes `a esquerda em G. Escolha uma base e , ..., e n para o espa¸co vetorial

  1

  ❣ e defina uma m´etrica exigindo que tal i = δ base seja ortonormal, ou seja, de maneira que he i , e j ij . Tal m´etrica pode ser estendida a uma m´etrica Riemanniana invariante `a esquerda em G pondo, −1 −1 hu, vi = h(dL x ) x (u), (dL x ) x (v)i ∀x ∈ G e u, v ∈ T x x

  G, onde L denota a transla¸c˜ao `a esquerda por x em G. Reciprocamente, toda m´etrica x invariante `a esquerda em G pode ser deduzida de uma m´etrica (produto interno) em

  ❣. Esta rela¸c˜ao garante que as m´etricas Riemannianas invariantes `a esquerda em G est˜ao identificadas com os produtos internos de ❣ e como os produtos internos de um espa¸co vetorial real n-dimensional est˜ao bem representados pelas matrizes sim´etricas, definidas positivas com entradas reais, conclu´ımos que dado um grupo de n 2

  • n

  Lie G n-dimensional, existe uma fam´ılia -dimensional de m´etricas Riemannianas

  

2

  invariantes `a esquerda em G. Escolhendo uma m´etrica invariante `a esquerda em G, as transla¸c˜oes `a esquerda s˜ao isometrias que ligam quaisquer dois pontos dados, −1 bastando para isso notar que se x, y ∈ G, ent˜ao L yx ´e um difeomorfismo que pelo −1 exposto acima preserva a m´etrica invariante a esquerda com L yx (x) = y. Portanto G ´e uma variedade Riemanniana homogˆenea. Segue deste fato que todo grupo de Lie com uma m´etrica invariante `a esquerda ´e completo. Com efeito, escolha um ǫ > 0 de maneira que exp e : B ǫ (0) ⊂ T e G → G aplique a bola fechada B ǫ (0) na n bola fechada B ǫ (e) ⊂ G difeomorficamente. Como T e G ´e homeomorfo a R , B ǫ (0) ´e compacta e B ǫ (e) ´e compacta. Agora sendo G homogˆeneo, toda B ǫ (x) onde x ∈ G, ´e compacta. Nestas condi¸c˜oes toda sequˆencia de Cauchy admite uma subsequˆencia convergente e portanto converge.

  Sejam X e Y espa¸cos vetoriais, Uma aplica¸c˜ao f : X × X −→ Y ´e chamada bi-quadr´atica se satisfaz as equa¸c˜oes, f (x + y, z) + f (x − y, z) = 2f (x, z) + 2f (y, z), f (x, y + z) + f (x, y − z) = 2f (x, y) + 2f (x, z).

  A curvatura de uma variedade Riemanniana em um ponto pode ser mais facil- mente descrita pela fun¸c˜ao bi-quadr´atica, k(x, y) = hR xy (x), yi com x e y tomados no espa¸co tangente de um ponto dado. Uma fun¸c˜ao k(x, y) ´e uma fun¸c˜ao curvatura para alguma m´etrica Riemanniana se, e s´o se, el´a ´e sim´etrica, bi-quadr´atica como fun¸c˜ao de x e y e se anula quando x = y. A cole¸c˜ao de todas as fun¸c˜oes bi-quadr´aticas, sim´etricas com k(x, x) ≡ 0 forma um espa¸co vetorial real n (n −1) 2 2 de dimens˜ao . Se u e v s˜ao vetores unit´arios e ortogonais ( ou mais em

  12

  2

  geral, se o determinante hu, ui hv, vi − hu, vi = 1), ent˜ao o n´ umero real k(u, v) ´e chamado curvatura seccional do plano gerado por u e v. Geometricamente, k(u, v) ´e a curvatura Gaussiana em p da superf´ıcie varrida pelas geod´esicas tendo como vetores tangentes as combina¸c˜oes lineares de u e v.

  Seja e

  1 , ..., e n um referencial ortonormal invariante `a esquerda de G. A estrutura

  da ´algebra de Lie pode ser descrita por n × n × n constantes de estrutura α ijk onde,

  X [e i , e j ] = α ijk e k , k ou equivalentemente,

  α ijk = h[e i , e j ], e k i. Note que α ijk = h[e i , e j ], e k i = − h[e j , e i ], e k i = −α jik e as constantes de estrutura s˜ao anti-sim´etricas com rela¸c˜ao aos dois primeiros ´ındices.

  Lema 3.1.1. Com as constantes de estrutura α acima, a curvatura seccional ijk k(e , e ) ´e dada pela f´ormula,

  1

2 X

  1

  1 k(e , e ) = ( α (−α + α + α k ) − (α − α + α k )(α + α − α k )

  1 2 12k 12k 2k1 12 12k 2k1 12 12k 2k1

  12 k

  2

  4 −α α ). k

  

11 k

  22 Demonstra¸ c˜ ao:

  A demonstra¸c˜ao requer algumas defini¸c˜oes que ser˜ao apresen- tadas na se¸c˜ao 5 e ser´a deixada para tal se¸c˜ao. A express˜ao do lemma mostra que a curvatura pode ser completamente calculada a partir de informa¸c˜oes da ´algebra de Lie e sua m´etrica. Al´em disso a curvatura depende continuamente das constantes de estrutura α ijk e zera sempre que elas zeram.

  ∗

  Lembremos que a adjunta L de uma transforma¸c˜ao linear L ´e definida pela f´ormula,

  ∗ hLx, yi = − hx, L yi . ∗

  A transforma¸c˜ao L ´e anti-adjunta se L =−L. Para qualquer elemento x na ´algebra de Lie

  ❣, a transforma¸c˜ao linear y 7→ [x, y] de ❣ em ❣ ´e chamada ad(x).

  Considere agora G com uma m´etrica invariante `a esquerda e u ∈ g. Lema 3.1.2.

  Se a transforma¸c˜ao ad(u) ´e anti-adjunta, ent˜ao k(u, v) ≥ 0 para todo v, onde a igualdade vale se, e s´o se, u ´e ortogonal a [v, ❣].

  hR uv (u),vi 2 Demonstra¸c˜ao. Como ´e invariante por mudan¸ca de bases do plano hu,uihv,vi−hu,vi

  gerado por u e v, ( veja pg.104) podemos assumir sem perda de generalidade que u e v s˜ao ortonormais. Escolha uma base ortonormal e , ..., e n de = u e e = v.

  1

  1

  2

  ❣ com e i = − he i, ou Como por hip´otese ad(e

  1 ) ´e anti-adjunta, ent˜ao had(e 1 )e j , e k j , ad(e 1 )e k

  seja, h[e , e j ], e k i = − h[e , e k ], e j i e α = −α . Utilizando este fato na f´ormula

  1 1 1jk 1kj

  do Lema obtemos que X

  1

  2 k(e , e ) = α ≥ 0.

  1

  2 k

  21 k

  4 P

  1

  2 Mostremos agora o caso da igualdade. Suponha que k(e , e ) = α = 0.

  1 2 k k

  21

  4 Ent˜ao α k 21 = 0 para k = 1, ..., n, he 1 , [e 2 , e k ]i = 0 e segue da bi-linearidade do

  colchete e da m´etrica que e ⊥[e , , [e ,

  1

  2

  1

  2

  ❣]. Reciprocamente, se he ❣]i = 0, ent˜ao he , [e , e k ]i = 0 para k = 1, ..., n. Da´ı α = α k = 0 e k(e , e ) = 0.

  1 2 2k1

  21

  1

  2 Relembremos que o centro da ´algebra de Lie ´e o ideal ❩✭❣✮ = {u ∈ ❣; ad(u) ≡ 0} de

  ❣. Corol´ ario 3.1.3. Se u ∈

  ❩✭❣✮, ent˜ao para qualquer m´etrica invariante `a esquerda temos que k(u, v) ≥ 0 para todo v ∈ ❣.

  Demonstra¸c˜ao. Segue do Lema e de observar que ad(u) ≡ 0, portanto ad(u) ´e anti-adjunta seja qual for a m´etrica invariante `a esquerda escolhida.

  Um grupo de Lie pode possuir uma m´etrica invariante n˜ao somente `a esquerda, mas tamb´em a direita, ou seja, invariante por transla¸c˜oes `a esquerda e `a direita. Um fato b´asico sobre m´etricas bi-invariantes pode ser resumido como segue. Lema 3.1.4.

  Uma m´etrica invariante `a esquerda em um grupo de Lie conexo ´e tamb´em invariante `a direita se, e s´o se, ad(x) ´e anti-adjunta ∀x ∈ ❣. Um grupo de Lie conexo admite uma m´etrica bi-invariante se, e s´o se, ´e isomorfo ao produto cartesiano de um grupo compacto e um grupo comutativo.

  Este fato ser´a provado na se¸c˜ao 7. Corol´ ario 3.1.5.

  Todo grupo de Lie compacto admite uma m´etrica invariante `a esquerda (na verdade bi-invariante) de maneira que todas as curvaturas seccionais satisfa¸cam K ≥ 0. Demonstra¸c˜ao. Se G ´e compacto, ent˜ao ´e isomorfo `a G × {e} onde G ´e compacto e {e} ´e comutativo. Pelo Lema anterior a componente conexa da identidade de G possui uma m´etrica bi-invariante e ad(x) ´e anti-adjunta ∀x ∈

  ❣. Logo pelo Lema temos que K ≥ 0.

  Veremos na se¸c˜ao 7 que a curvatura seccional associada a uma m´etrica bi- invariante pode ser calculada pela f´ormula explicita

  1 h[u, v], [u, v]i .

  k(u, v) =

4 Isto fornece uma prova alternativa para k(u, v) ≥ 0.

  O Teorema de Wallach abaixo mostra que para um grupo de Lie simplesmente conexo s´o teremos uma op¸c˜ao de exemplo para o qual K > 0. Teorema de Wallach . O grupo SU (2), consistindo das matrizes unit´arias 2 × 2 de determinante 1, ´e o ´ unico grupo de Lie simplesmente conexo que admite uma m´etrica invariante `a esquerda de curvatura seccional estritamente positiva.

  Para uma prova veja . Uma variedade Riemanniana ´e dita flat se K ≡ 0. Segue do Lema que se a ´algebra de Lie ´e comutativa ent˜ao o grupo de Lie ´e flat.

  Teorema 3.1.6.

  Um grupo de Lie com uma m´etrica invariante `a esquerda ´e flat se, e s´o se, a ´algebra de Lie associada se expressa como a soma direta ortogonal ❜ ⊕ ✉, onde

  ❜ ´e uma sub-´algebra comutativa, ✉ ´e um ideal comutativo e a transforma¸c˜ao linear ad(x) ´e anti-adjunta ∀x ∈ ❜.

  Demonstra¸ c˜ ao: Ser´a apresentada na se¸c˜ao 7. Dizemos que um grupo de Lie ´e unimodular se a medida de Haar invariante `a esquerda ´e tamb´em invariante `a direita. Mais detalhes desta defini¸c˜ao ser˜ao dados na se¸c˜ao 6. Teorema 3.1.7.

  Se um grupo de Lie G conexo possui uma m´etrica invariante `a esquerda cujas curvaturas seccionais satisfazem K ≤ 0, ent˜ao G ´e sol´ uvel. Se G ´e unimodular, ent˜ao qualquer tal m´etrica com K ≤ 0 ´e na realidade flat. Demonstra¸c˜ao. A demonstra¸c˜ao segue de Exemplo Especial . Suponha que a ´algebra de Lie

  ❣ possui a propriedade de que o colchete de Lie [x, y] ´e sempre igual a combina¸c˜ao linear de x e y. Assuma que dim(

  ❣) ≥ 2, ent˜ao [x, y] = l(x)y − l(y)x, onde l ´e uma aplica¸c˜ao linear bem definida de

  ❣ em R. Escolhendo qualquer m´etrica Riemanniana invariante `a esquerda, as curvaturas seccionais s˜ao constantes

  2 K = − klk . Assim no caso n˜ao-comutativo l 6= 0, toda poss´ıvel m´etrica em ❣ possui curvatura seccional constante negativa.

  Demonstra¸ c˜ ao: A prova ser´a dada na se¸c˜ao 5.

  O exemplo acima tem realmente um car´ater especial, uma vez que atendidas as exigˆencias acerca da ´algebra de Lie ([x, y] = l(x)y − l(y)x para todo x, y ∈ ❣), o grupo de Lie conexo e simplesmente conexo com ´algebra

  ❣ ´e isom´etrico ao espa¸co hiperb´olico n-dimensional.

3.2 Curvatura de Ricci

  Importantes informa¸c˜oes a cerca da curvatura Riemanniana em um ponto podem ser descritas pela forma quadr´atica de Ricci, r(x). A forma quadr´atica de Ricci ´e uma fun¸c˜ao quadr´atica definida no fibrado tangente da variedade em valores reais pela f´ormula X X hR i r(x) = k(x, e i ) = xe (x), e i i i i

  , onde e

  1 , ..., e n ´e qualquer base ortonormal para o espa¸co tangente. Se u ´e um

  vetor unit´ario, ent˜ao r(u) ´e chamado a curvatura de Ricci na dire¸c˜ao de u. Note que a curvatura de Ricci consiste em n − 1 vezes a m´edia das curvaturas seccionais determinadas pelos planos formados pela dire¸c˜ao escolhida e os vetores da base.

  Para c´alculos pode ser mais conveniente utilizar a transforma¸c˜ao, X ˆ r(x) = R e x (e i ) i i que esta relacionada com a forma quadr´atica r pela identidade r(x) = hˆ r(x), xi.

  Os autovalores de ˆ r s˜ao chamados de curvaturas de Ricci principais. A escolha de uma base ortonormal de autovetores e , ..., e n de ˆ r (tal base existe, pois ˆ r ´e

  1

  auto-adjunta) diagonaliza r, X X X

  2

  2

  hξ i = hˆ i = r(ξ

  1 e 1 + ... + ξ n e n ) = i ˆ r(e i ), ξ j e j ξ r(e i ), e i r(e i )ξ . i i

  Em particular os n´ umeros r(e i ) podem ser identificados com as curvaturas de Ricci principais e a cole¸c˜ao dos sinais {sgn(r(e

  1 )), ..., sgn(r(e n ))} pode ser identifi- cado com a assinatura da forma quadr´atica r.

  Lema 3.2.1.

  Se a transforma¸c˜ao ad(u) ´e anti-adjunta, ent˜ao r(u) ≥ 0, onde a igualdade vale se, e s´o se, u ´e ortogonal ao ideal [ ❣, ❣].

  Demonstra¸c˜ao. O Lema diz que nessas condi¸c˜oes k(u, e i ) ≥ 0 para i = 1, ..., n, P P portanto k(u, e i ) ≥ 0. Agora se k(u, e i ) = 0, ent˜ao k(u, e i ) = 0 e u⊥[e i , i i ❣] para i = 1, ..., n.Da´ı u⊥[ i , ❣, ❣]. Reciprocamente se u⊥[❣, ❣], ent˜ao u⊥[e ❣] para i = 1, ..., n e a igualdade vale novamente por

  Uma consequˆencia imediata ´e que se u ∈ ❩✭❣✮ ent˜ao r(u) ≥ 0. Teorema 3.2.2. Um grupo de Lie conexo admite uma m´etrica invariante `a esquerda cujas curvaturas de Ricci s˜ao estritamente positivas se, e s´o se, ´e compacto com grupo fundamental finito. Demonstra¸c˜ao. Inicialmente note que todo grupo de Lie com uma m´etrica Rieman- niana invariante `a esquerda ´e homogˆeneo, portanto completo. Se r > 0 ent˜ao a n

  −1

  aplica¸c˜ao r : S → R admite um minimo c > 0 e pelo Teorema de Bonnet-Myers (veja pg. 221-223) G ´e compacto. Passando ao recobrimento universal ˜ G de

  G, tal grupo de Lie com a m´etrica induzida pelo recobrimento ´e completo e sua curvatura de Ricci ˜ r satisfaz ˜ r ≡ r, portanto ˜ r > c e novamente por Bonnet-Myers ˜

  G ´e compacto. Desta forma a proje¸c˜ao π : ˜ G −→ G possui n´ umero de folhas de recobrimento finito e como tal n´ umero coincide com a cardinalidade de π

  1 (G), segue

  que π (G) ´e finito. Reciprocamente, se G ´e compacto, ent˜ao ele admite uma m´etrica

  1

  bi-invariante, referente a qual ad(x) ´e anti-adjunta ∀x ∈ (G) ´e finito ent˜ao ❣. Se π

  1

  ˜ G ´e compacto. Analisando

  ❣ note que se [❣, ❣] 6= ❣, ent˜ao existe um homomorfismo de , ..., e m } de [

  1

  ❣ em R n˜ao trivial. Para isso tome uma base {e ❣, ❣] e estenda a uma base {e , ..., e m , e m , ..., e n } de j com j = m + 1, ..., n e defina

  1 +1 ❣. Escolha um vetor e

  a transforma¸c˜ao linear f : j ) = 1 e f (e i ) = 0 se i 6= j. Assim para ❣ → R pondo f(e todo x, y ∈

  ❣, [x, y] ∈ [❣, ❣] e f ´e mesmo um homomorfismo n˜ao trivial. Por fim, a existˆencia de um tal homomorfismo pelo principio da monodromia determinaria a existˆencia de um homomorfismo F : ˜ G → R n˜ao trivial, um absurdo pois G ´e compacto. Ent˜ao devemos ter que [

  Observa¸ c˜ ao 3.2.3. Na se¸c˜ao 7 veremos que se G ´e compacto com π (G) finito,

  1

  ent˜ao G admite uma m´etrica bi-invariante com curvatura de Ricci constante e po- sitiva.

  Lema 3.2.4. Se u ´e ortogonal ao ideal [ ❣, ❣], ent˜ao r(u) ≤ 0, e a igualdade ´e satisfeita se e somente se ad(u) ´e anti-adjunta.

  Demonstra¸ c˜ ao: Ser´a apresentada na se¸c˜ao 5. Teorema 3.2.5.

  Suponha que a ´algebra de Lie ❣ de G seja nilpotente, mas n˜ao- comutativa. Ent˜ao para qualquer m´etrica invariante `a esquerda existe uma dire¸c˜ao de curvatura de Ricci estritamente negativa e uma dire¸c˜ao de curvatura de Ricci estritamente positiva.

  Demonstra¸c˜ao. Se ❣ ´e nilpotente e n˜ao comutativa, a s´erie central descendente ❣ ⊃ [❣, ❣] ⊃ [❣, [❣, ❣]]... possui algum termo nulo. Escolhendo um vetor unit´ario u no ´ ultimo termo n˜ao nulo da s´erie segue que u ∈

  ❩✭❣✮ e est´a contido em [❣, ❣], ou seja, u ∈ ❩✭❣✮ e u n˜ao ´e ortogonal a [ ❣, ❣]. Portanto pelo Lema r(u) > 0. Agora note que o espa¸co vetorial

  ❣ n˜ao pode ser gerado por [❣, ❣] e ❩✭❣✮, pois se ❣ = [❣, ❣] + ❩✭❣✮, ent˜ao [❣, ❣] = [

  ❣, [❣, ❣] + ❩✭❣✮] = [❣, [❣, ❣]] e a s´erie se estabiliza precocemente. Portanto existe um vetor unit´ario v⊥[ ❣, ❣] tal que v /∈ ❩✭❣✮, a ad(v) sendo diferente de zero e nilpotente, n˜ao pode ser anti-adjunta. Com efeito, se ad ´e anti-adjunta com ad(v) 6= 0, assu- k k k

  2k

  mindo indutivamente que ad (v) 6= 0, teremos ad (v), v = ± ad (v), ad (v) 6= 0

  2k

  e ad 6= 0, ou seja, ad(v) n˜ao seria nilpotente. Portanto do Lema segue que r(v) < 0.

  Teorema 3.2.6. Se a ´algebra de Lie de G contem vetores x, y e [x, y] linearmente independentes, ent˜ao existe uma m´etrica invariante `a esquerda tal que r(x) < 0 e r([x, y]) > 0. Demonstra¸c˜ao. Escolha uma base fixa b , ..., b n com b = x, b = y e b = [x, y].

  

1

  1

  2

  3 Para qualquer ǫ > 0, considere a base auxiliar e , ..., e n definida por

  1

  2

  2

  e = ǫb , e = ǫb , e = ǫ b , ..., e n = ǫ b n

  1

  1

  2

  2

  

3

  3

  e defina uma m´etrica h., .i , invariante `a esquerda exigindo que e , ..., e n seja orto- ǫ

  1

  normal. Seja ǫ a ´algebra de Lie com tal base e m´etrica fixa. As novas constantes ❣ de estrutura em termos das iniciais satisfazem X n

  2

  [e i , e j ] = [ǫb i , ǫb j ] = (α ij ǫ)ǫb + (α + ij ǫ)ǫb (α ijk )ǫ b k

  1

  

1

  2

  2 k =3

  se i, j = 1 ou 2, X n

  2

  2

  2

  2

  [e i , e j ] = [ǫb + i , ǫ b j ] = (α ij ǫ )ǫb + (α ij ǫ )ǫb (α ijk ǫ)ǫ b k

  1

  

1

  2

  2 k =3

  se i = 1 ou 2 e j = 3, ..., n e X n

  2

  2

  3

  3

  2

  2

  [e , e ] = [ǫ b , ǫ b ] = (α ǫ )ǫb + i j i j ij + (α ij ǫ )ǫb (α ijk ǫ )ǫ b k

  1

  

1

  2

  2 k =3 se i, j = 3, ..., n.

  Uma an´alise breve nos mostra que tomando ǫ → 0 as novas constantes v˜ao a um limite bem definido e a ´algebra limite satisfaz [e , e ] = −[e , e ] = e e [e i , e j ] = 0

  1

  2

  2

  1

  3

  ❣ caso contr´ario. Nessas condi¸c˜oes, pelos Lemas r(e ) < 0 < r(e ) em .

  1

  3

  ❣ Por continuidade r(e

  1 ) < 0 < r(e 3 ) para ǫ suficientemente pequeno. Desta forma

  2

  2

  a base e = ǫ b , e = ǫ b , e = ǫ b , ..., e n = ǫ b n , m´etrica h., .i e constantes de

  1

  1

  2

  2

  3

  3 ǫ

  estruturas em ǫ definem a ´algebra inicial com m´etrica satisfazendo r(e ) < 0 <

  1

  r(e 3 ).

  3.3 Curvatura escalar

  Seja e , ..., e n uma base ortonormal para o espa¸co tangente de um dado ponto de

  1

  uma variedade Riemanniana. O n´ umero real X ρ = r(e ) + ... + r(e n ) = 2 k(e i , e j )

  1 i<j ´e chamado a curvatura escalar no ponto.

  Teorema 3.3.1. Se o grupo de Lie G ´e sol´ uvel, ent˜ao toda m´etrica invariante `a esquerda em G ´e flat ou deve possuir curvatura escalar estritamente negativa.

  Demonstra¸ c˜ ao: A demonstra¸c˜ao ser´a dada na se¸c˜ao 6.

  Corol´ ario 3.3.2. Se G ´e sol´ uvel e unimodular, ent˜ao toda m´etrica invariante `a esquerda em G ´e flat ou possui curvaturas seccionais positivas e negativas.

  Demonstra¸c˜ao. O Teorema aplicado a componente conexa G de G com m´etrica n˜ao flat nos garante a existˆencia de curvaturas seccionais positivas, enquanto que se G ´e sol´ uvel com m´etrica n˜ao flat, deve existir curvaturas seccionais negativas pelo Teorema

  Teorema 3.3.3.

  Se a ´algebra de Lie de G ´e n˜ao-comutativa, ent˜ao G possui uma m´etrica invariante `a esquerda de curvatura escalar estritamente negativa.

  Demonstra¸c˜ao. Suponha inicialmente que exista vetores linearmente independentes x, y e [x, y] na ´algebra de Lie. Escolha uma base b , ..., b n com x = b , y = b e [x, y] =

  1

  1

  2

  2

  2

  b

  3 , para qualquer ǫ > 0 escolha uma m´etrica para qual a base ǫb 1 , ǫb 2 , ǫ b 3 , ..., ǫ b n

  seja ortonormal. A ´algebra de Lie fazendo ǫ → 0 como no Teorema tende ǫ ❣ a ´algebra limite . Note que a s´erie central descendente de ´e ⊃ {e } ⊃ 0,

  3

  ❣ ❣ ❣ portanto ´e nilpotente contudo n˜ao ´e comutativa. Desta forma a componente

  ❣ conexa G de G ´e sol´ uvel e segue de que ρ( ) < 0 e por continuidade existe ❣ ǫ > 0 tal que ρ( ) < 0. ǫ

  ❣ Caso x, y e [x, y] sejam linearmente dependentes sempre, estamos nas condi¸c˜oes do exemplo especial e G com ´algebra de Lie

  ❣ possui curvaturas seccionais constantes e estritamente negativas ( ❣ ´e n˜ao comutativa) e portanto possui curvatura escalar estritamente negativa.

  Teorema 3.3.4. Se o recobrimento universal de G n˜ao ´e homeomorfo ao espa¸co eu- clidiano ( ou equivalentemente se G possui um subgrupo compacto e n˜ao-comutativo), ent˜ao G admite uma m´etrica invariante `a esquerda de curvatura escalar estritamente positiva.

  Demonstra¸ c˜ ao: Se¸c˜ao 7.

3.4 O caso tridimensional

  Note que ´algebras de Lie bidimensionais necessariamente satisfazem o exemplo especial e portanto est˜ao bem compreendidas.

  Seja G um grupo de Lie tridimensional com m´etrica invariante `a esquerda. Es- colha uma orienta¸c˜ao para ❣ e defina o produto vetorial como a aplica¸c˜ao bilinear

  × : ❣ × ❣ −→ ❣ que para cada par de vetores unit´arios e linearmente independentes u, v ∈

  ❣ fa¸ca corresponder o vetor u×v que ´e simultaneamente ortogonal a u e v com norma dada pela ´area do paralelogramo gerado por u e v e de forma que u, v, u × v seja uma base positiva de ❣. Lema 3.4.1.

  O colchete nesta ´algebra de Lie ❣ est´a relacionado com o produto vetorial pela f´ormula

  [u, v] = L(u × v), onde L : ❣ → ❣ ´e a ´unica aplica¸c˜ao linear definida pela equa¸c˜ao acima. O grupo de Lie G ´e unimodular se, e s´o se, a transforma¸c˜ao linear L ´e auto-adjunta.

  Demonstra¸ c˜ ao: Se¸c˜ao 6. Considere G unimodular. Pelo Lema anterior L ´e auto-adjunta e admite uma base ortonormal e , e , e de autovetores, L(e i ) = λ i e i . Trocando se necess´ario e

  1

  2

  3

  1

  por −e , podemos assumir que e , e , e possui orienta¸c˜ao positiva. Neste caso os

  1

  1

  2

  3

  colchetes ficam da forma, [e , e ] = L(e × e ) = λ e , [e , e ] = L(e × e ) = λ e , [e , e ] = L(e × e ) = λ e .

  1

  2

  1

  2

  3

  3

  2

  3

  

2

  3

  1

  1

  3

  1

  3

  1

  2

  2 A mudan¸ca da orienta¸c˜ao de

  ❣ altera o sinal do produto escalar e portanto de L e seus autovalores. Defina,

  1

  µ i = (λ + λ + λ ) − λ i para i = 1, 2 e 3

  1

  2

  3

  2 de forma que, por exemplo µ + µ = λ .

  1

  2

3 Teorema 3.4.2.

  A base ortonormal e , e , e escolhida anteriormente diagonaliza a

  1

  

2

  3

  forma quadr´atica de Ricci. As curvaturas principais s˜ao dadas por r(e

  1 ) = 2µ 2 µ 3 , r(e

2 ) = 2µ

1 µ 3 , r(e 3 ) = 2µ 1 µ

  2

  e a curvatura escalar ´e dada por ρ = 2(µ µ + µ µ + µ µ ).

  2

  3

  1

  3

  1

  2 Demonstra¸ c˜ ao: Se¸c˜ao 6. Provaremos agora um resultado muito ´ util em variedades Riemannianas 3-dimen- sionais.

  Lema 3.4.3.

  Dada uma variedade Riemanniana tridimensional temos em cada ponto a seguinte f´ormula

  2 ρ k(u, v) = ku × vk − r(u × v).

  2 Demonstra¸c˜ao. Tome um vetor w unit´ario, ortogonal a u e pertencente ao plano n o n o u u u ×v

  gerado por u e v. Desta forma span {u, v} = span , w e , w, ´e uma

  kuk kuk ku×vk

  base ortonormal do espa¸co tangente. Agora ρ ρ u × v

  2

  2

  2

  ku × vk − r(u × v) = ku × vk − ku × vk r( ) ku × vk

  2

  2 ρ u × v

  2

  = ku × vk [ − r( )] 2 ku × vk u u

  ×v

  r( ) + r(w) + r( ) u × v

  2 kuk ku×vk

  = ku × vk [ − r( )] u u ×v 2 ku × vk r( ) + r(w) − r( )

  kuk ku×vk

  2

  = ku × vk [ ]

  2 u

  2

  = ku × vk k( , w) kuk como queriamos. Observa¸ c˜ ao 3.4.4.

  Em geral n˜ao existe uma formula semelhante a dada no Lema para variedades Riemannianas de dimens˜ao maior que 3. Com efeito, associ- t ada a forma quadr´atica de Ricci, existe uma matriz [r] de forma que [x] [r][x] = r(x) para todo vetor x. A determina¸c˜ao de [r] depende da forma bi-linear a qual a forma quadr´atica de Ricci esta associada. Note que se r(x) = hˆ r(x), xi ´e a forma quadr´atica de Ricci e a forma bi-linear a qual est´a associada ´e r(u, v) = hR e u e i , vi = hR e v e i , ui i i e [r] ´e sim´etrica, ou seja, a determina¸c˜ao da forma quadr´atica de Ricci depende

  1

  1

  2

  2

  da determina¸c˜ao dos n(n + 1) termos de [r]. Isto ´e diferente dos n (n − 1)

  2

  12

  parˆametros necess´arios `a determina¸c˜ao da curvatura seccional em um ponto, salvo os casos bi e tridimensionais. Portanto n˜ao existe em geral uma f´ormula semelhante a do Lema anterior para variedades Riemannianas com dimens˜ao maior que 3.

  Corol´ ario 3.4.5. No caso unimodular tridimensional, o determinante r(e )r(e )r(e )

  1

  2

  3

  da forma quadr´atica ´e sempre n˜ao-negativo. Se o determinante ´e zero, ent˜ao ao me- nos duas das curvaturas principais de Ricci deve ser zero.

  Demonstra¸c˜ao. Basta notar que nas condi¸c˜oes do teorema, o determinante ´e igual a

  3

  2

  2

  2

  2µ

  2 µ 3 2µ 1 µ 3 2µ

1 µ

2 = 2 µ µ µ .

  1

  2

  3 Logo ´e sempre maior que zero. Se ela se anula, ent˜ao ao menos duas curvaturas principais de Ricci se anulam.

  Se o determinante r(e

  1 )r(e 2 )r(e 3 ) ´e diferente de zero ´e f´acil colocar as constantes

  de estruturas em fun¸c˜ao das curvaturas de Ricci principais. Suponha que se tenha o colchete fixo. Escolhendo uma m´etrica tal que a base ηζe , ξζe , ξηe seja ortonormal

  1

  2

  3

  obtemos,

  2

  2

  [ηζe , ξζe ] = ηζ ξ[e , e ] = ηζ ξλ e ,

  1

  2

  1

  2

  3

  3

  2

  2

  [ξζe , ξηe ] = ξ ζη[e , e ] = ξ ζηλ e ,

  2

  3

  2

  3

  1

  1

  2

  2

  [ξηe , ηζe = η ξζ[e , e ] = η ξζλ e ,

  3

  1

  3

  1

  2

  2

  

2

  2

  2

  e as novas constantes de estrutura s˜ao: ζ λ , ξ λ e η λ . Desta forma ´e poss´ıvel

  3

  1

  2

  multiplicar as constantes de estrutura por uma constante positiva sem que se altere a ´algebra de Lie. Obviamente a m´etrica ´e alterada para que com a ´algebra de Lie fixa, forne¸ca as novas contantes de estrutura. Mudando o sinal se necess´ario, podemos supor que no m´aximo uma das constantes λ

  1 , λ 2 ou λ 3 ´e negativa. Assim obtemos a menos da m´etrica, como feito acima, os seis casos da tabela 3.1. Tabela 3.1: Grupos de Lie unimodulares e 3-dimensionais Sinais de λ , λ , λ Grupo de Lie associado Descri¸c˜ao

  1

  2

  3

  • , +, + SU (2) ou SO(3) compacto, simples
  • , +, - SL(2, R) ou O(1, 2) n˜ao-compacto, sim>, +, 0 E(2) sol´ uvel
  • , -, 0 E(1, 1) sol´
  • , 0, 0 Grupo de Heisenberg nilpotente

  R 0, 0, 0 ⊕ R ⊕ R comutativo Corol´ ario 3.4.6.

  Dependendo da escolha da m´etrica invariante `a esquerda, a forma quadr´atica de Ricci para o grupo SU (2) pode ter assinatura (+, +, +), (+, 0, 0) ou (+, -, -) e a curvatura escalar pode ser positiva, negativa ou zero. Demonstra¸c˜ao. Considere, sem perda de generalidade, λ ≥ λ ≥ λ . Ent˜ao µ ,

  1

  2

  3

  2

  µ > 0. Se λ > λ + λ temos µ < 0. Se λ = λ + λ , ent˜ao µ = 0. Finalmente,

  3

  1

  2

  3

  1

  1

  2

  3

  1 se λ < λ + λ devemos ter µ > 0, o que nos d´a os tr´es casos citados.

  1

  2

  3

1 Corol´ ario 3.4.7. Para qualquer m´etrica invariante `a esquerda no grupo de Heisen-

  berg a forma quadr´atica de Ricci possui assinatura (+, -, -) e a curvatura escalar ρ ´e estritamente negativa. Al´em do mais a curvatura principal de Ricci satisfaz

  |r(e )| = |r(e )| = |r(e )| = ρ.

  1

  2

  3 Demonstra¸c˜ao. Para o grupo de Heisenberg temos λ > 0, λ = λ = 0. Portanto λ λ 1 1

  1

  2

  3

  µ

  1 = − , µ 2 = = µ 3 e µ 2 µ 3 = −µ

1 µ

3 = −µ 1 µ 2 , ou seja, r(e 1 ) = −r(e 2 ) =

  2 λ 1 2

  2

  −r(e ) = . Al´em disso,

  3

  2 λ 1 2

  ρ = 2(µ µ + µ µ + µ µ ) = −

  2

  3

  1

  

2

  1

  3

  2 ´e estritamente negativa.

  Corol´ ario 3.4.8.

  Seja G = SL(2, R) ou E(1, 1), ent˜ao dependendo da escolha da m´etrica invariante `a esquerda a assinatura da forma de Ricci pode ser (+, -, -) ou (0, 0, -). Contudo, a curvatura escalar ρ deve sempre ser estritamente negativa. Demonstra¸c˜ao. Tome inicialmente λ 2

1 = 0 e λ

2 , λ 2 3 com sinais opostos. Ent˜ao 2 λ 2 2 −λ +λ −λ

  (λ 2 −λ 3 ) 2 3 2 3

  2µ µ = − , 2µ µ = , 2µ µ =

  2

  3

  1

  

2

  1

  3

  2 (λ 2 −λ 3 ) e disso ρ = − < 0.

2 Se λ i s˜ao todos diferentes de zero, com digamos λ < 0 < λ ≤ λ e observando

  1

  2

  3 (−λ 1 +λ 2 +λ 3 ) ∂ρ

  − λ − λ que ρ = λ (λ + λ ) + (λ + λ ) , ent˜ao = −λ + λ + λ e ρ

  3

  1

  2

  3

  1

  2

  3 ∂λ

  1

  2

  3

  2 1

  ´e estritamente mon´otona como fun¸c˜ao de λ . Portanto ρ(λ , λ , λ ) &lt; ρ(0, λ , λ ) =

  1

  1

  2

  3

  2

  3

  1

  2 − (λ − λ ) ≤ 0.

  2

  3

2 Note que no primeiro caso onde λ = 0 e λ , λ possuem sinais opostos obtemos

  1

  2

  3

  assinatura (+, -, -) ou (0, 0, +) no caso de |λ | = |λ |. No segundo caso obtemos

  2

  3 µ &gt; 0 e µ &lt; 0. Se µ = 0, ent˜ao (0, 0, -). Se µ 6= 0, ent˜ao (+, -, -).

  1

  3

  2

  2 Corol´ ario 3.4.9. O grupo euclidiano E(2) ´e n˜ao-comutativo, mas admite uma

  m´etrica invariante `a esquerda flat. Toda m´etrica invariante `a esquerda n˜ao flat possui forma de Ricci de assinatura (+, -, -), com curvatura escalar ρ &lt; 0.

  Demonstra¸c˜ao. Como λ , λ &gt; 0 a ´algebra de Lie de E(2) ´e n˜ao-comutativa. Para

  1

  2

  uma m´etrica invariante `a esquerda flat, escolha λ = λ . De fato,

  1

  2

  µ = 0, µ = 0 e µ = 2λ = 2λ

  1

  2

  3

  1

  2

  • e disso r(e ) = r(e ) = r(e ) = 0 e ρ = 0. Note que se w ∈ e + ǫ e

  1

  2

  3

  1

  1

  2

  2

  ❣, ent˜ao w = ǫ ǫ e e como e , e , e diagonaliza a forma de Ricci, devemos ter r(w) = i )ǫ i = 0.

  3

  3

  1

  2

3 P r(e

  Agora a f´ormula em mostra que k(u, v) = 0 ∀u, v ∈ ❣. Neste caso a assinatura da forma de Ricci ´e (0, 0, 0). Perceba que λ = λ ´e uma condi¸c˜ao necess´aria e

  1

  2 suficiente para m´etrica ser flat. λ λ −λ 1 +λ 2 1 −λ 2 1 +λ 2 Se λ 6= λ , ent˜ao µ = , µ = e µ = . Assim se λ &lt; λ ,

  1

  2

  1

  2

  3

  1

  2

  2

  2

  2

  teremos µ , µ &gt; 0 e µ &lt; 0 e se λ &gt; λ , ent˜ao µ , µ &gt; 0 e µ &lt; 0 obtendo desta

  1

  3

  2

  1

  

2

  2

  3

  1 2 (λ −λ ) 1 2 forma assinatura (+, -, -) para a forma de Ricci. Com isso ρ = − &lt; 0.

  2 Lema 3.4.10. Se o grupo de Lie G ´e conexo, tridimensional e n˜ao-unimodular,

  ent˜ao sua ´algebra de Lie possui uma base e , e , e tal que

  1

  2

  3

  [e , e ] = αe + βe ,

  1

  2

  2

  3

  [e , e ] = γe + δe ,

  1

  3

  2

  3

  [e , e ] = 0

  2

  

3

  e tal que a matriz     α β A =

  γ δ possui tra¸co α + δ = 2. Se excluirmos o caso onde A ´e a identidade, ent˜ao o terminante D = αδ − βγ ´e um invariante completo desta ´algebra de Lie.

  Demonstra¸ c˜ ao: Se¸c˜ao 6. Note que se A = Id, ent˜ao [e , e ] = e , [e , e ] = e e [e , e ] = 0. Portanto

  1

  2

  2

  1

  3

  3

  2

  3

  se x, y ∈

  1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 e y = b 1 e 1 + b 2 e 2 + b 3 e 3 teremos [x, y] =

  ❣ com x = a (a b − a b )e + (a b − a b )e recaindo no exemplo especial.

  1

  2

  2

  1

  2

  1

  3

  3

  1

3 Considere um grupo de Lie como em 3.4.10 com A 6= Id.

  Teorema 3.4.11.

  Se o determinante D ´e negativo ent˜ao toda m´etrica invariante `a esquerda possui a forma quadr´atica de Ricci de assinatura (+, -, -), mas se D ≥ 0 a assinatura (0, -, -) ´e tamb´em poss´ıvel, assim como a assinatura (-, -, -) no caso D &gt; 0. Na verdade, para D &gt; 0, existe uma m´etrica invariante `a esquerda de cur- vatura seccional estritamente negativa e para D &gt; 1 existe uma m´etrica invariante `a esquerda de curvatura negativa constante. Em todos os casos a curvatura escalar ´e estritamente negativa.

  Demonstra¸ c˜ ao: Se¸c˜ao 6. Em todos os casos n˜ao-unimodulares, ao menos duas das curvaturas principais de Ricci s˜ao negativas e podemos concluir que no caso tridimensional n˜ao existe grupos de Lie que admite uma m´etrica invariante `a esquerda com forma de Ricci de assinaturas (+, +, -) ou (+, ±, 0).

3.5 C´ alculos

  Se ∇ ´e a conex˜ao Riemanniana, para cada par x, y de campos de vetores dife- renci´aveis, ∇ x y ´e um campo de vetores diferenci´aveis chamada a derivada covariante de y na dire¸c˜ao de x, ∇ ´e unicamente definida, bi-linear como fun¸c˜ao de x e y e satisfaz a condi¸c˜ao de simetria

  ∇ x y − ∇ y x = [x, y]. (5.1) Agora se hy, zi = c (constante) ent˜ao x hy, zi = h∇ x y, zi + hy, ∇ x zi = 0 (5.2) caso que ocorre, por exemplo, quando y e z s˜ao campos invariantes `a esquerda.

  Se x tamb´em ´e invariante `a esquerda ent˜ao ∇ x y ´e invariante `a esquerda. Desta forma pela equa¸c˜ao segue que se x ∈ x : ❣, ent˜ao ∇ ❣ → ❣ ´e anti-adjunta.

  Se x, y, z ∈ ❣, ent˜ao pela f´ormula de Kozul temos que

  1 h∇ x y, zi = (h[x, y], zi − h[y, z], xi + h[z, x], yi . (5.3)

  2 Com uma base ortonormal e , ..., e n de ijk = h[e i , e j ], e k i podemos escrever

  1

  ❣ e α

  1 h∇ i = − α e i e j , e k (α ijk jki + α kij ).

  2 Em outras palavras, X

  1 ∇ e e j = (α ijk − α jki + α kij )e k . (5.4) i k

  2 O tensor de curvatura de Riemann R associa a cada par de campos de vetores diferenci´aveis x e y a transforma¸c˜ao linear R xy = ∇ − ∇ x ∇ y + ∇ y ∇ x

  [x,y]

  que ´e sempre anti-adjunta. Se u e v s˜ao ortonormais, ent˜ao k(u, v) = hR uv u, vi ´e a curvatura seccional associada a u e v. As curvaturas seccionais determinam unica- mente R. Demonstra¸ c˜ ao do Lema

  Seja e , ...e n uma base ortonormal para a ´algebra

  

1

  de Lie. Utilizando a f´ormula na defini¸c˜ao ∇ − ∇ ∇ ∇ k(e , e ) = ,e e e e e + ∇ e e e , e

  1 2 [e 1 2 ]

  1 1 2

  1 2 1

  1

  2

  obtemos em cada parcela do produto interno, 1.

  P

  ∇ ∇

  [e 1 ,e 2 ] e 1 , e 2 = α e e X

k

12 k k 1 , e

  2

  = α h∇ e e , e i k X 12k k

  1

  2

  1 = α h(α k − α + α ik )e i , e i

  12k 1i 1ik

  1

  2

  2 X k,i

  1 = α (α k − α + α ),

  12k 12 12k 2k1

  2

  2. X + *

  1 h∇ e ∇ e e , e i = ∇ e (α − α + α k )e k , e 1 2

  1

  2 1 21k 1k2

  21

  2 X k

  2

  1 = (α − α + α k ) h∇ e e k , e i

  21k 1k2

  21 1

  2

  2 X k * + X

  1

  1 = (α − α + α k ) (α − α kj + α j )e j , e

  21k 1k2 21 1kj 1 1k

  2

  2 X k

  2 j

  1 − α − α

  = (α 21k 1k2 + α k

  21 )(α 1k2 k 21 + α 21k ),

  4 k 3. * + X

  1 h∇ e ∇ e e , e i = ∇ e (α − α + α k )e k , e 2 1

  1

  2

2 11k 1k1

  11

  2 X k

  2

  1 = h(α − α + α k )(α − α kj + α j )e j , e i

  

11k 1k1

11 2kj 2 2k

  2

  4 X k,j

  1 − α − α

  = (α 11k 1k1 + α k

  11 )(α 2k2 k 22 + α 22k )

  4 k X

  1 = − α k

  11 α k

  

22

  4 k e por (1), (2) e (3) se obt´em

  Suponha que a ´algebra de Lie ❣ contenha um ideal ✉ de codimens˜ao 1. Escolha um vetor b ortogonal a

  ✉ e seja L : ✉ → ✉ a transforma¸c˜ao linear ad(b) restrita a ✉, ou

  1 ∗ ∗

  seja, L( a adjunta de L, S = (L + L ) a parte auto-adjunta ✉) = [b, ✉]. Considere L

  2

  de L, o ideal ✉ como uma ´algebra de Lie com a m´etrica induzida de ❣ e ∇ a conex˜ao

  Riemanniana de ✉. Lema 3.5.1. Com a nota¸c˜ao acima o operador derivada covariante ∇ satisfaz b

  1 ∗

  ∇ b b = 0 e ∇ b u = (L − L )u ∀u ∈ ✉.

2 Similarmente o operador ∇ u satisfaz

  ∇ u b = −Su e ∇ u v = ∇ u v + hSu, vib ∀u, v ∈ ✉. Demonstra¸c˜ao. Como,

  1

  h∇ b

  b, zi = (h[b, b], zi − h[b, z], bi + h[z, b], bi) = 0 ∀z ∈ devemos ter ∇ b b = 0. Ainda para ∀z ∈ ❣ h∇ b u, zi =

  1

  =

  2 (h[b, u], zi + hu, [b, z]i) assim, ∇ u b = −Su ∀u ∈

  ✉. Quanto a ∇ u v, calculemos em duas partes, uma nos dar´a a componente de ∇ u v na dire¸c˜ao de b e a outra a express˜ao das componentes que est˜ao na dire¸c˜ao de

  ✉.

  1. h∇ u v, bi =

  1

  2 (h[u, v], bi − h[v, b], ui + h[b, u], vi)

  1

  = −

  2 (hLv, ui + hLu, vi)

  = hSu, vi . (5.5)

  2. Sejam u, v, w ∈ ✉, ent˜ao h∇ u v, wi =u v, w

  ✉ .

  Logo as componentes de ∇ u v que n˜ao na dire¸c˜ao de b coincidem com as componentes de ∇ u v, ou seja, ∇ u v ´e igual a ∇ u v mais a componente na dire¸c˜ao de b ∇ u v = ∇ u v + hSu, vib.

  Demonstra¸ c˜ ao do Exemplo Especial: Para quaisquer elementos x e y na ´algebra de Lie ❣ suponha que [x, y] seja uma combina¸c˜ao linear de x e y ([x, y] = ax + by).

  1

  2 (h[u, b], zi + hu, [z, b]i)

  2 (h[b, u], zi − h[u, z], bi + h[z, b], ui)

  1

  =

  1

  2 (h[b, u], zi + h[z, b], ui)

  =

  1

  2 (h[b, u], zi − hu, [b, z]i) obtendo ∇ b u =

  2

  1

  (L − L

  ∗

  )u ∀u ∈ ✉. Al´em disso, h∇ u

  b, zi =

  1

  2 (h[u, b], zi − h[b, z], ui + h[z, u], bi)

  =

  Fixando x considere a aplica¸c˜ao ad(x) e induzimos uma aplica¸c˜ao T x : ❣/Rx → ❣/Rx pondo T x (y) = [x, y] = ax + by = by. A aplica¸c˜ao T x ´e evidentemente linear e mapeia todo vetor y de ❣/Rx em um m´ultiplo by. Mostremos agora que o fator b s´o depende de x. De fato, sejam x, y, z ∈

  1 x + b 1 (y + z) e

  ❣, por um lado [x, y + z] = a por outro lado [x, y +z] = [x, y]+[x, z] = a x+b y +a x+b z = (a +a )x+b y +b z

  

2

  2

  3

  3

  2

  3

  2

  3

  e a x + b y + b z = a x + b y + a x + b z. Se x, y e z s˜ao linearmente independentes

  1

  1

  1

  2

  2

  3

  3

  obtemos b

  1 = b 2 = b 3 . Portanto tomando o processo acima atrav´es de uma base de x (y) = l(x)y

  ❣ obtemos o requerido. Denotaremos a constante b por l(x), ou seja, T e [x, y] ≡ l(x)y(modRx).

  } de } ´e uma Tomemos uma base ortonormal {e

  

1 = x, e

2 , ..., e n 2 , ..., e n

  ❣, ent˜ao {e base de x , nas bases anteriores pode-se ❣/Rx. Tomando os operadores ad(x) e T checar facilmente a rela¸c˜ao tr(ad(x)) = (n − 1)l(x) onde tr designa a aplica¸c˜ao tra¸co. Com isso se ku + v ∈

  ❣, (n − 1)l(ku + v) = (n − 1)(kl(u) + l(v)) verificando que l(x) depende linearmente de x. Note que [x, y] ≡ l(x)y(modRx) recupera a parte que depende linearmente de y enquanto [x, y] = −[y, x] ≡ −l(y)x(modRy) recupera a parte que depende linearmente de x. Desta forma podemos escrever [x, y] = l(x)y − l(y)x mesmo quando x e y s˜ao linearmente dependentes.

  Desconsiderando o caso l = 0 (comutativo), seja ✉ = nucleo(l). Note que se u ∈

  ✉ e y ∈ ❣, ent˜ao [u, y] = −l(y)u e [u, y] ∈ ✉, portanto nucleo(l) ´e um ideal e evidentemente comutativo. Escolha um vetor unit´ario b⊥

  ✉ e seja l(b) = klk = λ. Utilizando a nota¸c˜ao em a aplica¸c˜ao L(u) = [b, u] ´e dada por L(u) = l(b)u = λu. Se z ∈

  ❣, podemos escrever z = kb + v onde k ∈ R, v ∈ ✉. Observe que

  1

  ·, ∇ = u v (h[u, v], .i − h[v, .], ui + h[., u], vi) ∀u, v ∈

  2 o que implica que ∇ u v = 0.

  Com isso obtemos, ∇ u z = ∇ u kb + ∇ u v = − kkk Su + ∇ u v + hSu, vi b

  = λ(b hu, zi − u hb, zi). (5.6) Agora afirmamos que R xy ´e dado por

2 R (z) = λ (x hy, zi − y hx, zi) (5.7)

  xy para todo x, y, z ∈ ❣.

  Inicialmente se x = b e y = u ∈ ✉, aplicando obtemos

  R bu = ∇ − ∇ b ∇ u + ∇ u ∇ b = ∇ λu = λ∇ u − 0 + 0

  [b,u]

  e por . Suponha ent˜ao que x, y ∈ ✉,

  R xy z = ∇ z − ∇ x ∇ y z + ∇ y ∇ x z

  [x,y]

  = −∇ x ∇ y z + ∇ y ∇ x z = −λ∇ (b hy, zi − y hb, zi) + λ∇ (b hx, zi − x hb, zi) x y = −λ hy, zi ∇ x b + λ hb, zi ∇ x y + λ hx, zi ∇ y b − λ hb, zi ∇ y x

  2

  2

  2

  2

  = λ hv, zi u + λ hb, zi b hu, vi − λ hu, zi v − λ hb, zi b hv, ui

  2 = λ (u hv, zi − v hu, zi).

  O restante dos casos seguem destes e da bi-linearidade de R. Por fim, k(x, y) = hR xy (x), yi

  2

  = λ hx hy, xi − y hx, xi , yi

  2

  2 − hx, xi hy, yi).

  = λ (hx, yi Portanto se x e y s˜ao ortonormais a curvatura seccional determinada por x e y ´e

  2

  k(x, y) = −λ . Em outras palavras o grupo de Lie possui curvatura seccional cons-

  2 tante K ≡ − klk .

  Demonstra¸ c˜ ao do Lema Por hip´otese existe um vetor unit´ario b⊥[

  ❣, ❣], desta forma [ ❣, ❣] est´a contido no complemento ortogonal de b, que denotaremos ✉, fazendo de

  ✉ um ideal e nos deixando nas condi¸c˜oes de Por defini¸c˜ao r(b) = k(b, u ) + ... + k(b, u n ) onde u , ..., u n ´e uma base orto-

  1 −1 1 −1

  normal de ✉. Vamos trabalhar com uma base ortonormal de autovetores da aplica¸c˜ao auto-adjunta S, onde Su i = λ i u i .

  Para qualquer vetor unit´ario em ✉ temos,

  K(b, u) = hR bu (b), ui = h−S[b, u], ui + h∇ b Su, ui

  1

  ∗ = h−SLu, ui + (L − L )Su, u .

  2 Tomando u autovetor como anteriormente e observando que hSu i , u i i = λ i , ou seja,

  ∗

  hLu i , u i i = hu i , L u i i = λ i , k(b, u i ) se reduz a k(b, u i ) = h−SLu i , u i i

  = − hLu i , λ i u i i

  2

  = −λ i Portanto, n X −1

  2

  2

  r(b) = −λ = −tr(S ) i i

  =1

  e desta forma r(b) ≤ 0, obtendo r(b) = 0 se, e s´o se, S = 0, ou seja, se L ´e anti-adjunta.

  Observa¸ c˜ ao 3.5.2. Isso n˜ao mostra que k(b, u) ≤ 0 para qualquer u ∈ ✉ e sim se u for autovetor de S. Para um exemplo, considere o grupo de Heisenberg onde

  }, se tomarmos b = e } = [

  1

3 e span {e

1 , e

  2

  ❣, ❣] = span {e ✉ obtemos

  2 ρ ρ ρ k(e , e ) = ke × e k − r(e × e ) = − ρ = − &gt; 0.

  3

  1

  3

  1

  3

  1

  2

  2

  2 1 ∗

  1 Note que Se = L e = − λ e e e n˜ao ´e autovetor de S.

  1

  1

  1

  2

  1

  2

  2 Seja

  ❣ uma ´algebra de Lie, ✉ um ideal de codimens˜ao 1 com m´etrica induzida, ρ(

  ❣) a curvatura escalar referente a ❣ e ρ(✉) a curvatura escalar restrita a u. Ainda com a nota¸c˜ao de temos o seguinte.

  Lema 3.5.3. A curvatura escalar ρ( ❣) associada a ´algebra de Lie ❣ ´e igual a

  

2

  2 ρ( ) − (tr(S)) .

  ✉) − tr(S Demonstra¸ c˜ ao:

  Dados vetores ortonormais u, v ∈ ✉, comparemos a curvatura seccional k(u, v) = ∇ u, v − h∇ u ∇ v u, vi + h∇ v ∇ u u, vi

  [u,v]

  calculada em ❣, com a curvatura seccional

  ∇ − ∇ ∇ + ∇ ∇ k(u, v) = u, v u v u, v v u u, v

  [u,v] calculada em u v = ∇ u v + hSu, vi b temos ✉. Utilizando do Lema que ∇

  2

  k(u, v) = ∇ u, v − ∇ u ∇ v u, v + ∇ v ∇ u u, v + hSv, ui − hSu, ui hSv, vi

  [u,v]

  2 = k(u, v) + hSv, ui − hSu, ui hSv, vi .

  Escolhendo uma base ortonormal de autovetores, de Su i = λ i u i segue que k(u i , u j ) = k(u i , u j ) − λ i λ j

  2

  para i 6= j. Combinando com a f´ormula k(b, u ) = −λ obtemos X n −1 i i r(u i ) = k(b, u i ) + k(u i , u j ) j

n

=1

X

−1

  2

  = −λ k(u , u + i j ) − λ i λ j i j

  =1 P n = r(u i ) − λ i tr(S) −1

  2

  2

  enquanto r(b) = −λ = −tr(S ), juntando teremos i =1 i n X −1

  2

  ρ( r(e i ) − tr(S ) ❣) = i

  =1

X

n −1

  2

  = ρ( λ tr(S)) − tr(S ) i ✉) − i =1

  2

  2

  − tr(S = ρ( ). ✉) − (tr(S))

  (1)

  Demonstra¸ c˜ ao do Teorema Note que se 6= ❣ ´e sol´uvel ent˜ao [❣, ❣] = ❣ ❣,

  (1)

  desta forma todo subespa¸co de ´e um ideal

  ❣ de dimens˜ao n − 1 que contenha ❣ de codimens˜ao 1. Agora seja n a dimens˜ao de ❣ e mostremos por indu¸c˜ao em n que

  ρ( ❣) ≤ 0.

  Se ❣ ´e sol´uvel e ✉ ´e um ideal de codimens˜ao 1, ✉ ´e tamb´em sol´uvel e por indu¸c˜ao

  ρ( ✉) ≤ 0. Portanto,

  2

  2

  ρ( − tr(S ) ≤ 0 ❣) ≤ −(tr(S)) enquanto a igualdade vale se S = 0 e ρ(

  ✉) = 0. Note que se dim(✉) = 2, ent˜ao ✉ ´e comutativo ou est´a nas condi¸c˜oes do exemplo especial e teremos ρ( ✉) ≤ 0. Agora suponha que S = 0 e ρ(

  ✉) = 0 e mostremos que ❣ ´e flat. Como S = 0, de obtemos

  ∇ u v = ∇ u v ∈ para quaisquer u, v ∈ ✉ e

  ∇ ∇ R uv (w) = ∇ [u,v] w − ∇ u v w + ∇ v u w

  = R uv (w) (5.8) para quaisquer u, v, w ∈ ✉. Assumindo que ρ(✉) = 0, por hip´otese de indu¸c˜ao ✉ ´e flat, assim R uv (w) = 0. Novamente por ∇ x b = ∇ kb b + ∇ u b onde x = kb + u com k ∈ R e u ∈ x b = −Su = 0 se S = 0. Portanto R xy (b) = 0 ∀x, y ∈

  ✉ e disso ∇ ❣. Por fim, pela simetria de R temos hR xy (b), zi = hR bz (x), yi e segue que R bz = 0 ∀z ∈

  ❣. Em resumo R bz = 0, R xy (b) = 0 ∀x, y, z ∈ uv (w) = 0 ∀u, v, w ∈

  ❣ e R ✉. Portanto pela tri-linearidade de R segue que R ≡ 0.

3.6 Grupos de Lie unimodulares e n˜ ao-unimodulares

  Relembremos que um grupo de Lie G ´e chamado unimodular se a medida de Haar invariante `a esquerda ´e tamb´em invariante `a direita. A seguir apresentaremos um crit´erio simples e cl´assico para unimodularidade de um grupo de Lie.

  Cada elemento g determina um automorfismo

  −1

  h 7→ ghg no grupo G. O automorfismo induzido via diferencial na ´algebra de Lie ´e chamado Ad(g). Lema 3.6.1. O grupo G ´e unimodular se, e s´o se, a transforma¸c˜ao linear Ad(g) possui determinante ±1 ∀g ∈ G.

  Demonstra¸c˜ao. Em um grupo de Lie a medida de Haar pode ser constru´ıda a partir e das formas diferenciais, de maneira que se υ ´e uma forma diferencial invariante `a d e esquerda e υ ´e a forma diferencial invariante `a direita obtida de υ (e) por transla¸c˜oes e d

  a direita, µ υ , µ s˜ao as medidas de Haar induzidas respectivamente, ent˜ao estas se υ relacionam por e d µ υ = |det(Ad(g))| µ υ e segue o resultado.

  Corol´ ario 3.6.2.

  Se G ´e um grupo de Lie para o qual Ad(g) ´e compacto (por exemplo se G ´e compacto), ent˜ao G ´e unimodular.

  Demonstra¸c˜ao. De fato, o homomorfismo continuo g 7−→ |det(Ad(g))| no grupo mul- tiplicativo dos reais positivos possui imagem compacta. Contudo o ´ unico subgrupo compacto neste caso ´e 1, mostrando o resultado. Corol´ ario 3.6.3. Se G ´e um grupo de Lie conexo e semi-simples, ent˜ao G ´e uni- modular.

  Demonstra¸c˜ao. Se G ´e semi-simples ent˜ao a forma de Killig K ´e n˜ao-degenerada. Como Ad(g) ∈ Aut(

  ❣) segue que Ad(g) ∈ O(K) (grupo dos operadores que preservam K) e det(Ad(g)) = ±1. Logo G ´e unimodular.

  Defini¸ c˜ ao 3.6.4. Seja Γ um grupo discreto agindo em G. Um dom´ınio fundamental para a a¸c˜ao de Γ ´e uma regi˜ao fechada D ⊂ G tal que

  1. A proje¸c˜ao π : D −→ G/Γ ´e sobrejetora.

  2. A restri¸c˜ao da proje¸c˜ao ao interior de D ´e injetora. Lema 3.6.5.

  Se G admite um subgrupo discreto Γ com quociente compacto, ent˜ao G ´e unimodular.

  Demonstra¸c˜ao. Seja e a identidade de G e defina A = {x ∈ G; d(x, e) &lt; d(x, γ), ∀γ ∈ Γ} onde d ´e invariante `a esquerda. Mostremos que D = A ´e um dom´ınio fundamental compacto. Abaixo π se entende como a proje¸c˜ao natural π : G −→ G/Γ.

  1. π| A ´e injetora.

  Suponha que x , x ∈ x onde x ´e a classe de equivalˆencia de x e x ∈ A,

  1

  2

  1

  mostremos que x = x ou x ∈ A. Se x / , x ∈ x, ent˜ao x = γx para algum

  1

  2

  2

  1

  2

  1

  2

  γ ∈ Γ. Agora

  

−1

  d(x , e) = d(γ x , e) = d(x , γ) (6.9)

  2

  1

  1 e

  −1

  d(x

  1 , e) = d(γx 2 , e) = d(x 2 , γ ). (6.10)

  Se x 6= x e x ∈ A, devemos ter por

  2

  1

  2

  2

  1

  d(x , e) = d(x , γ) &gt; d(x , e), uma contradi¸c˜ao. Logo x = x ou x ∈ A. /

  2

  1

  1

  1

  2

  2 2. π| D ´e sobrejetora.

  Tome x ∈ Γ\G e x um representante de x. Afirmamos que existe um elemento γ ∈ Γ tal que d(x, γ ) ≤ d(x, γ) ∀γ ∈ Γ. De fato, negar isso ´e afirmar que

  1

  1

  dado um γ ∈ Γ existe um γ ∈ Γ mais pr´oximo de x. Isso constr´oi uma

  1

  2

  sequˆencia que sendo limitada admite uma subsequencia convergente. Como Γ ´e fechado tal subsequencia converge em Γ provando o afirmado. Agora se γ ´e o elemento mais pr´oximo de x em Γ, teremos

  1

−1 −1

  d(γ x, e) ≤ d(x, γ ) ≤ d(x, γ γ) ≤ d(γ x, γ)

  1

  1

  1

  1 −1

  para todo γ ∈ Γ. Portanto γ x ∈ D e π| D ´e sobrejetora.

  1 3. D ´e compacto.

  Como G ´e completo e D ´e fechado resta mostrarmos que D ´e limitado (veja pg.162). Considere em Γ\G a m´etrica d induzida por π. Como Γ\G ´e compacto podemos tomar o diˆametro de Γ\G que denotaremos diam(Γ\G).

  Se mostrarmos que d(x, Γ) ≤ diam(Γ\G) para todo x ∈ G, ent˜ao pela defini¸c˜ao de D, o teremos limitado. Com efeito, dado x ∈ G considere x ∈ Γ\G, ent˜ao d(x, e) ≤ diam(Γ\G). Tome uma geod´esica minimizante α em Γ\G ligando x a e. Como π ´e aplica¸c˜ao de recobrimento, α ´e levantada em uma geod´esica α ligando x a γ x ∈ Γ. Agora d(x, Γ) ≤ d(x, γ x ) = d(x, e) ≤ diam(Γ\G) como quer´ıamos.

  4. D = {x ∈ G; d(x, e) ≤ d(x, γ), ∀γ ∈ Γ} ´

  E suficiente mostrarmos que {x ∈ G; d(x, e) ≤ d(x, γ), ∀γ ∈ Γ} ⊂ D. Seja x ∈ {x ∈ G; d(x, e) ≤ d(x, γ), ∀γ ∈ Γ} tal que x / ∈ A, ou seja, x admite um ponto γ ∈ Γ de forma que d(x, e) = d(x, γ). Tome V uma vizinhan¸ca ar- bitraria de x e mostremos que V cont´em pontos de A. De fato, seja α(t) a geod´esica minimizante normalizada ligando x a e. Para um intervalo [o, ǫ) ∈ α([o, ǫ)) e β(t) ´e a geod´esica suficientemente pequeno α([o, ǫ)) ⊂ V . Se x

  1

  minimizante normalizada ligando x a um ponto arbitr´ario γ ∈ Γ devemos

  

1

  1

  ter d(x

  1 , x) + d(e, x 1 ) = d(x, e) ≤ d(x, γ 1 ) ≤ d(x, x 1 ) + d(x 1 , γ 1 )

  e portanto d(e, x ) ≤ d(x , γ ).

  

1

  1

  1 Agora note que a igualdade somente ocorre se d(x, γ 1 ) = d(x, x 1 ) + d(x 1 , γ 1 ),

  ou seja, as geod´esicas β e α coincidem em [0, d(x, x )], o que ´e absurdo, pois

  1

  teriamos α = β. Logo a igualdade n˜ao ocorre e temos na verdade d(e, x

  1 ) &lt; d(x 1 , γ 1 ).

  Como γ ´e arbitr´ario segue que x ∈ A.

  1

  1 Fixando x ∈ G segue da invariˆancia de d que d(x, e) &lt; d(x, γ) ∀γ ∈ Γ − {e} ‘ ‘

  6= γ em Γ. Desta forma as vizinhan¸cas de cada se, e s´o se, d(γx, γ) &lt; d(γx, γ ) ∀γ γ ∈ Γ constru´ıdas como A s˜ao na realidade imagens por transla¸c˜oes de A e disjuntas. Portanto se γ 6= γ pertencem a Γ, ent˜ao γ D ∩γ D ⊂ ∂γ D ∩ ∂γ

  D, onde ∂ denota

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  a fronteira. Mostremos agora que µ(∂D) = 0 onde µ ´e a medida de Haar invariante `a esquerda e seguir´a por transla¸c˜oes que µ(∂γD) = 0 ∀γ ∈ Γ. Para isso, considere o cut locus ( veja pg.295) C(e) do elemento neutro e ∈ G. Tal conjunto possui medida nula. Fora de C(e) e de e, a fun¸c˜ao h e := d(e, ·) : G −→ R ´e diferenci´avel. Mais que isso, |∇h e | ≡ 1 nesses pontos e ∇h e (x) aponta na dire¸c˜ao da geod´esica que liga e a x. Al´em disso, G ´e completa e se x / ∈ C(e), ent˜ao existe uma ´ unica geod´esica ligando e a x.

  Seja γ ∈ Γ−{e} e considere o conjunto N γ = {x ∈ G; d(x, e) = d(x, γ)}. Perceba S que ∂D ⊂ N γ . Tal uni˜ao ´e enumer´avel, fato que segue de G possuir base γ ∈Γ enumer´avel e Γ ser discreto. Desta forma, somente nos resta mostrar que N γ possui medida nula. De fato, tome a fun¸c˜ao f : G − {C(e) ∪ C(γ) ∪ {e, γ}} −→ R, dada por f (x) = d(x, e) − d(x, γ). Se y ∈ N γ , ent˜ao ∇f (y) = ∇h e (y) − ∇h γ (y) 6= 0 e f (y) = 0. Assim df ´e sobrejetora nesses pontos y, e pelo Teorema da fun¸c˜ao impl´ıcita existe uma vizinhan¸ca U de y ∈ G tal que N γ ∩ U ´e uma hipersuperf´ıcie em U . Portanto N γ ∩ U tem medida nula em G. Agora N γ pode ser escrito como ∩ U (novamente por G possuir base enumer´avel) mais uni˜ao enumer´avel desses N γ eventuais pontos de C(e) ∪ C(γ). Logo N γ tem medida nula. Segue imediatamente S tamb´em que µ( ∂γD) = 0. γ ∈Γ Note que µ(D) &gt; 0, pois D contem o aberto A e µ(D) &lt; ∞, pois D ´e compacto.

  Al´em disso µ(D) n˜ao depende do dom´ınio fundamental escolhido. Com efeito, se E ´e outro dom´ınio fundamental, ent˜ao X X

  −1

  µ(E) = µ(γD ∩ E) = µ(D ∩ γ γ γ E) = µ(D).

  ∈Γ ∈Γ

  Como para qualquer g ∈ G, Dg ´e um dom´ınio fundamental para a a¸c˜ao a es- querda de Γ em G, ent˜ao µ(D) = µ(Dg) para todo g ∈ G, ou seja, todo dom´ınio fundamental ´e invariante por transla¸c˜oes a direita. Para concluirmos o mesmo de um boreliano B qualquer, suponha que µ(B) 6= µ(Bg) para algum g ∈ G. Sem perda de generalidade suponha que µ(B) &lt; µ(Bg). Ent˜ao existe um dom´ınio fun- damental D para o qual µ(D ∩ B) &lt; µ(Dg ∩ Bg), ou seja, a parte de B em D aumenta com a transla¸c˜ao por g a direita. Perceba que isso deve ocorrer para algum

  D, pois caso contrario n˜ao ter´ıamos µ(B) &lt; µ(Bg). Como µ(D) = µ(Dg) segue que µ(D\B) &gt; µ(D\Bg), assim existe uma regi˜ao mensur´avel em D (B ∩ D) tal que sua medida aumenta via transla¸c˜ao `a direita por g e outra regi˜ao mensur´avel de D (D\B) que diminui via transla¸c˜ao `a direita por g. Portanto existem pontos, p ∈ B ∩ D e p ∈ D\B onde a forma volume υ que induz a da medida de Haar

  1

  2

  aumenta via d(R g ) p e diminui via d(R g ) p , onde d(R g ) p designa a diferencial em 1 2 1 p

  1 da transla¸c˜ao `a direita por g. Portanto temos o diagrama: d

(R g )

p1 //

  p p g d d

  1

  1

(L −1 ) (L −1 )

p2p p2p 1 p1 p1g // 1

  p p g

  2 d

  2

(R g )

p2 . −1 −1 −1 −1

  Como R g ◦ L = L ◦ R g segue que d(R g ) p ◦ d(L ) p = d(L ) p g ◦ p p p p 2 1 2 1 2 p p 2 1 1 p p 2 1 1 d(R g ) p 1 e o diagrama comuta, uma contradi¸c˜ao, pois d(R g ) p 1 aumenta e d(R g ) p 2 diminui υ. Logo µ(B) = µ(Bg) para todo B boreliano em G. Lema 3.6.6. Um grupo de Lie conexo ´e unimodular se, e s´o se, a transforma¸c˜ao ad(x) possui tra¸co zero para todo x na ´algebra de Lie associada. ad

  (x)

  Demonstra¸c˜ao. Aqui utilizaremos fortemente o fato de que Ad(exp(x)) = e onde exp : ❣ 7−→ G ´e a aplica¸c˜ao exponencial obtida a partir do fluxo de campos invariantes em G e e ´e exponencial de matrizes. Se |det(Ad(g))| = 1 para todo g ∈ G, ent˜ao ad tr

  (x) (ad(x))

  det(Ad(exp(x))) = det(e ) = e = 1 para todo x na ´algebra de Lie, onde a pen´ ultima igualdade segue facilmente da forma canˆonica de Jordan. Logo tr(ad(x)) ≡ 0.

  Reciprocamente se tr(ad(x)) ≡ 0, ent˜ao det(Ad(g)) = 1 para todo g na imagem da aplica¸c˜ao exponencial. Pelo Teorema da aplica¸c˜ao inversa existem vizinhan¸cas U de 0 ∈

  ❣ e V de e ∈ G tais que exp : U 7−→ V ´e um difeomorfismo, assim det(Ad(g)) = 1 para todo g ∈ V . Como G ´e conexo, toda vizinhan¸ca de e gera G. Logo det(Ad(g)) = 1 para todo g ∈ G e segue que G ´e unimodular.

  Uma ´algebra de Lie que satisfaz a condi¸c˜ao tr(ad(x)) ≡ 0 ser´a chamada de unimodular. Seja

  ❣ uma ´algebra de Lie arbitraria. Pela identidade de Jacobi ad[x, y] = ad(x)ad(y) − ad(y)ad(x) e segue que tr(ad[x, y]) ≡ 0. Portanto a aplica¸c˜ao x 7−→ tr(x) de

  ❣ na ´algebra de Lie comutativa R ´e um homomorfismo das ´algebras de Lie cujo n´ ucleo ✉ =

  {x ∈ ❣; tr(ad(x)) = 0} ´e um que cont´em [❣, ❣]. Eevidentemente ✉ ´e por si pr´oprio uma ´algebra unimodular. Chamaremos

  ✉ de n´ucleo unimodular de ❣. Lema 3.6.7. Se o grupo de Lie conexo G possui uma m´etrica invariante `a esquerda cujas curvaturas de Ricci satisfazem ≥ 0, ent˜ao G ´e unimodular.

  Demonstra¸c˜ao. Suponha que G n˜ao seja unimodular. Ent˜ao ❣ 6= ✉ e existe um vetor b⊥

  ✉ unit´ario e por escolha b ´e tal que tr(ad(b)) 6= 0. Segue desta afirma¸c˜ao que ad(b) n˜ao pode ser anti-adjunta. Logo pelo Lema teremos r(b) &lt; 0, uma contradi¸c˜ao.

  Demonstra¸ c˜ ao do Lema Seja

  ❣ a ´algebra de Lie tridimensional com m´etrica definida positiva e orienta¸c˜ao fixada. Escolha uma base ortonormal B =

  {e , e , e } e defina a transforma¸c˜ao linear L : ) = [e , e ],

  1

  2

  3

  1

  2

  3

  ❣ −→ ❣ pondo L(e × e

  L(e

  2 ) = [e 3 , e 1 ] e L(e 3 ) = [e 1 , e 2 ]. Desta forma a identidade L(e i j ) = [e i , e j ] ´e

  verdade para todo elemento b´asico e segue da bi-linearidade do produto vetorial e P de [·, ·] que L(x × y) = [x, y]. Escrevendo L(e j ) = α ij e i obtemos facilmente que i as matrizes dos operadores ad(e

     

1 ), ad(e 2 ) e ad(e 3 ) na base B s˜ao respectivamente −α −α −α

     

     

  0 α

  13

  12

13 0 α

11 α

  12

  11

  , , 0 α −α −α 0 α α −α

     

  23 22  

  23 21  

  22 21 

  0 α −α −α 0 α α −α

  33

  32

  33

  31

  32

  31 .

  Portanto, tr(ad(e )) = α − α

  1

  23

  32

  tr(ad(e )) = α − α

  2

  31

  13

  − α tr(ad(e

  

3 )) = α

  12

  21

  e desta forma tr(ad(x)) ≡ 0, ou seja, ij ) ´e sim´etrica, ❣ ´e unimodular se, e s´o se, (α ou equivalentemente se, e s´o se, a transforma¸c˜ao L ´e auto-adjunta.

  Demonstra¸ c˜ ao do Teorema Um c´alculo simples nos fornece as cons- tantes de estrutura α = 0 α = λ α = 0

  121 231 1 311

  α 122 = 0 α 232 = 0 α 312 = λ

  2 α = λ α = 0 α = 0. 123 P

  3 233 313

  1

  − α Considerando que ∇ e i e j = (α ijk jki + α kij )e k , obtemos facilmente que k

  2

  ∇ e e = 0, ∇ e e = µ e × e = µ e e ∇ e e = µ e × e = −µ e . Analogamente 1

  1 1

  2

  1

  1

  2

  1

  3 1

  3

  1

  1

  3

  1

  3

  ∇ e e j = µ i e i × e j , ou seja, ∇ e = µ i e i ×, e por linearidade ∇ e v = µ i e i × v ∀v ∈ i i i ❣. Aplicando a identidade de Jacobi no produto vetorial obtemos e × (e × v) − e × (e × v) = (e × e ) × v,

  1

  2

  2

  

1

  1

  2

  enquanto R = ∇ − ∇ ∇ + ∇ ∇ . e 1 e 2 λ 3 e 3 e 1 e 2 e 2 e 1

  Juntando teremos − µ × µ × µ

  R e e = (λ µ e e e + µ e e ) × 1 2

  3

  3

  3

  1

  

1

  2

  2

  2

  2

  1

  1

  = (λ µ e − µ µ e × e ) ×

  3

  3

  3

  1

  

2

  1

  2

  = (λ µ − µ µ )e ×

  3

  3

  1

  2

  

3

  e por exemplo R e e e = (λ µ − µ µ )e . Por c´alculos an´alogos se consegue 1 2

  1

  3

  3

  1

  2

2 R e e e = (λ µ − µ µ )e R e e e = (λ µ − µ µ )e

  1 2

  1

  3

  3

  1

  2

  2 2 1

  2

  3

  3

  1

  2

  1 R e e e = (λ µ − µ µ )e R e e e = (λ µ − µ µ )e 3 2

  1

  2

  2

  3

  1

  1 1 3

  1

  2

  2

  3

  1

  3 R e e e = (λ µ − µ µ )e R e e e = (λ µ − µ µ )e . 2 3

  1

  1

  1

  2

  3

  3 3 2

  3

  1

  1

  2

  3

  2 Utilizando a anti-simetria do tensor de curvatura, R e e = −R e e e relembrando que P i j j i r(x) = ˆ R e x e i obtemos i i

  ˆ r(e ) = R e e e + R e e e = 2µ µ

  1 2 1

  2 3 1

  3

  2

  3

  ˆ r(e ) = R e e e + R e e e = 2µ µ

  2 1 2

  1 3 2

  3

  1

  3 r(e ˆ ) = R e e e + R e e e = 2µ µ .

  3 1 3

  1 2 3

  2

  1

  2 Demonstra¸ c˜ ao do Lema

  Considere uma ´algebra de Lie ❣ tridimen- sional e n˜ao-unimodular. Como x 7−→ tr(ad(x)) de

  ❣ em R ´e um homomorfismo e ✉ = {x ∈ ❣; tr(ad(x)) = 0} ´e diferente de ❣, segue do Teorema do n´ucleo e da imagem que

  , e } de de forma que B = ✉ ´e bi-dimensional. Agora escolha um base {e

  2 3 ✉ e e

  1

  {e , e , e } seja uma base de )) = tr(ad(e )) = 0,

  1

  2

  3

  2

  3

  ❣. Como ✉ ´e unimodular, tr(ad(e portanto as constantes de estrutura α e α satisfazem α = α = 0 e

  232 233 232 233

  ✉ ´e co- mutativo. Note agora que a linearidade de ad e da aplica¸c˜ao tr nos permite escolher v ∈

  1 + ye 2 + ze 3 teremos

  ❣ tal que tr(ad(v)) = 2, obviamente v /∈ ✉. Agora se v = xe ad(v)e = [v, e ] = y[e , e ] + z[e , e ] = (yα + zα )e + (yα + zα )e

  1

  1

  2

  1

  3 1 212 312 2 213 313

  3

  ad(v)e = x[e , e ] = −xα e − xα e

  2

  1 2 212 2 213

  3

  ad(v)e = x[e , e ] = −xα e − xα e

  3

  1 3 312 2 313

  3

  e a matriz de ad(v) na base B fica          212 312 212 312  yα + zα −xα −xα −xα −xα yα 213 + zα 313 213 313

  .

  Portanto se tr(ad(v)) = 2, a aplica¸c˜ao L : ✉ −→ ✉ dada por L(u) = [v, u] tamb´em satisfaz tr(L) = 2 e ´e f´acil perceber que L n˜ao depende da escolha de v satisfazendo tr(ad(v)) = 2.

  Suponha que u e L(u) sejam linearmente dependentes para todo u ∈ ✉, ou seja,

  L(u) = k u u onde k u ∈ R, Ent˜ao L ´e multiplo de Id , a condi¸c˜ao tr(L) = 2 implica que L = Id. Desta forma se L n˜ao satisfaz tal restri¸c˜ao podemos escolher e de forma que

  2 L(e 2 ) = [v, e 2 ] e e 2 sejam linearmente independentes e chamar [v, e 2 ] = e 3 . Nessas

  condi¸c˜oes a matriz de L se torna   0 −xα

 

312

  1

  2 e temos L(e ) = e

  2

  

3

L(e ) = −De + 2e ,

  3

  2

  3

  onde D = det(L). Desta forma D apos uma cuidadosa escolha de bases, determina completamente a ´algebra de Lie.

  Escolha uma base ortonormal e , e , e , onde e ⊥ , e ]⊥[e , e ]. Uma esco-

  1

  2

  

3

  1

  1

  2

  1

  3

  ✉ e [e lha adequada por ser feita selecionando uma base arbitraria e , e , e onde e ⊥

  1

  2

  3

  1

  ✉ e rotacionando os vetores e , e para se obter [e , e ]⊥[e , e ]. Desta forma o colchete

  2

  3

  1

  2

  1

  3

  ´e dado por [e , e ] = αe + βe

  1

  2

  2

  3

  [e , e ] = γe + δe

  1

  3

  2

  3 e [e , e ] = 0; com α + δ 6= 0 e αγ + βδ = 0.

  2

3 Lema 3.6.8. A base acima diagonaliza a forma de quadr´atica de Ricci e as curva-

  turas principais de Ricci s˜ao dadas por

  1

  2

  

2

  2

  r(e ) = α − δ − (β + γ) ,

  1

  2

  1

  2

  2

  r(e ) = −α(α + δ) + (γ − β ),

  2

  2

  1

  2

  2 r(e ) = −δ(α + δ) + (β − γ ).

  3 Demonstra¸c˜ao. Com a nota¸c˜ao de temos, b = e        

  1

  α γ α β 2α β + γ γ − β

  1

  1

  1        

  ∗

  L ≡ , L ≡ , S ≡ , (L−L ) ≡

  2

  2

  2 β δ γ δ β + γ 2δ β − γ

  (β+γ) (β+γ) (β−γ) 1 ∗ 1 ∗

  assim, Se + = αe e , Se = e +δe , (L−L )e = e e (L−L )e =

  2

  2

  3

  3

  2

  3

  2

  3

  3

  2

  2

  

2

  2

  2 (γ−β)

  e . Calculando obtemos

  2

  2

  − ∇ ∇ ∇ R e 2 e 1 e

  2 = ∇ [e ,e ] e 2 1 2 e 2 e 1 e 2 + ∇ e 1 e 2 e

  2

  1

  ∗

  = −∇ e − ∇ e ( (L − L )e )

  (−αe 2 −βe 3 )

  2 2

  

2

  2 (β − γ)

  = −α∇ e − β∇ e − ∇ ( e ) e 2

  2 e 3 2 e 2

  3

  2 (β − γ) i e i e i e

  = −α(∇ e e 2 2 + hSe 2 , e

  2 1 ) − β(∇ e e 3 2 + hSe 3 , e

  2 1 ) − (∇ e e 2 3 + hSe 2 , e

  3 1 )

  2 (β + γ) (β − γ)

  = −α hαe , e i e − β e , e e − hαe , e i e

  2

  2

  1

  2

  2

  1

  2

  2

  1

  2

  2

  2

  2

  (β + γ) (β − γ )

  2

  = −α e − β e − e (6.11)

  1

  1

  

1

  2

  4 e R e e e = ∇ ,e e − ∇ e ∇ e e + ∇ e ∇ e e 3 1

  3 [e 3 1 ]

  3 3 1

  3 1 3

  

3

  1

  ∗

  = ∇ e − ∇ e ( (L − L )e ) + ∇ e (∇ e e + hSe , e i e )

  (−γe 2 −δe 3 )

  3 3

  

3

1 3

  3

  3

  3

  1

  2 (γ − β)

  = −γ hSe , e i e − δ hSe , e i e − hSe , e i e

  2

  3

  1

  3

  3

  1

  3

  2

  1

  2 (β + γ) (β + γ)

  (γ − β) = −γ e , e e − δ hδe , e i e − e , e e

  3

  3

  1

  3

  

3

  1

  2

  2

  1

  2

  2

  2

  2

  − β) (β + γ) (γ

  2

  − δ − = −γ e

  1 e 1 e

1 ,

  2

  4 assim

  2

  (γ + β)

  

2

  2

  r(e ˆ ) = R e e e + R e e e = (−α − δ − )e ,

  1 2 1

  2 3 1

  3

  1

  2 ou seja, e ´e autovetor de ˆ r e portanto a curvatura principal de Ricci na dire¸c˜ao de

  1 2 (γ+β)

  2

  2

  e ´e −α − δ − . C´alculos an´alogos mostram que

  1

  2

  2

  2

  (β + γ) (γ − β )

2 R e e e = + −α − β e ,

  1 2

  1

  2

  2

  4

  2

  (β + γ) R e e e = − δα e 3 2

  3

  2

  4 2 2

  

(γ −β )

e ˆ r(e ) = R e e e + R e e e = −α(α + δ) + e .

  2 1 2

  1 3 2

  3

  2

  

2 Por fim,

  2

  2

  (β + γ) (β − γ )

  2 1 3 + R e e e = −γ − δ e ,

  1

  3

  2

  4

  2

  (β + γ) R e e e = − αδ e 2 3

  2

  3

  4 2 2

  (β −γ ) e segue que ˆ r(e ) = R e e e + R e e e = (−δ(α + δ) + )e como quer´ıamos.

  3 1 3

  1 2 3

  2

  3

  2 Demonstra¸ c˜ ao do Lema

  Realizando um ajuste na m´etrica (via homote- tias) se necess´ario, podemos exigir no Lema que α + δ = 2. Ent˜ao escrevendo α = 1 + ξ devemos ter δ = 1 − ξ e escrevendo β = (1 + ξ)η teremos de αγ + βδ = 0 que γ = −(1 − ξ)η. Assim,

  α = 1 + ξ, β = (1 + ξ)η, γ = −(1 − ξ)η, δ = 1 − ξ. Podemos assumir que ξ ≥ 0, η ≥ 0 e excluir o caso especial ξ = η = 0 (identi- dade). Desta forma, as curvaturas principais de Ricci s˜ao

  2

  2

  r(e ) = −2(1 + ξ (1 + η )) ≤ −2,

  1

  2

  r(e ) = −2(1 + ξ(1 + η )) ≤ −2,

  2

  2

  r(e ) = −2(1 − ξ(1 + η ))

  3

  2

  e D = (1 − ξ)(1 + ξ)(1 + η ). Portanto se D &lt; 0, temos ξ &gt; 1 e r(e ) &gt; 0, ou seja,

  3

  2

  assinatura da forma (+, -, -). Se D = 0, ent˜ao ξ = 1 e r(e ) = 2η e dessa forma se

  3

  η = 0 teremos assinatura (0, -, -), enquanto se η &gt; 0 teremos novamente assinatura (+, -, -). Caso D &gt; 0, ent˜ao ξ &lt; 1 e teremos:

  2

  1

  1. (1 + η ) &gt; ξ

  2 Ent˜ao ξ(1 + η ) &gt; 1 e r(e ) &gt; 0, portanto teremos assinatura. (+, -, -).

  3

  2

  1

  2. (1 + η ) = ξ

  2 Ent˜ao ξ(1 + η ) &gt; 1 e r(e ) = 0, e a assinatura ´e. (0, -, -).

  3

  2

  1

  3. (1 + η ) &lt; ξ

  2 Ent˜ao ξ(1 + η ) &lt; 1 e r(e ) &lt; 0, com assinatura. (-, -, -).

  3 Agora se D &gt; 1 e ξ = 0, ent˜ao η &gt; 0 e r(e 1 ) = r(e 2 ) = r(e 3 ) = −2, ρ = −6 e pelo

  Lema k(u, v) = −1 para todo u, v ∈ invariantes `a esquerda de curvaturas constantes negativas. Por fim se 0 &lt; D &lt; 1 e

  2

  η = 0, ent˜ao 0 &lt; ξ &lt; 1 e com isso r(e

  1 ) = −2−2ξ , r(e 2 ) = −2−2ξ, r(e 3 ) = −2+2ξ

  2

  e ρ = −6 − 2ξ , se u, v ∈ e + ǫ e + ǫ e , ent˜ao

  1

  1

  2

  2

  3

  3

  ❣ s˜ao ortonormais com u × v = ǫ novamente pelo Lema

  2

  

2

  2

  2

  2

  k(u, v) = −3 − ξ + (2 + 2ξ )ǫ + (2 + 2ξ)ǫ + (2 − 2ξ)ǫ

  1

  2

  3

  2

  ≤ −3 − ξ + 2 + 2ξ = −1 + ξ(2 − ξ)

  2

  = −(ξ + 2) &lt; 0 e as curvaturas seccionais s˜ao estritamente menores que zero.

3.7 M´ etricas bi-invariantes

  Relembremos que uma m´etrica em G ´e chamada bi-invariante se ´e invariante por transla¸c˜oes a esquerda e a direita.

  Lema 3.7.1. Uma m´etrica invariante `a esquerda em G ´e tamb´em invariante `a direita se, e s´o se, para cada elemento g ∈ G a transforma¸c˜ao linear Ad :

  ❣ −→ ❣ ´e um isometria com respeito a m´etrica induzida em ❣. Demonstra¸c˜ao. Sejam L g : G −→ G e R g : G −→ G as transla¸c˜oes `a esquerda e `a direita respectivamente, a aplica¸c˜ao Ad(g) : −1 ❣ −→ ❣ ´e desta forma a diferencial em e de L g ◦ R g . Portanto se a m´etrica d invariante `a esquerda ´e tamb´em invariante −1 ∗ ∗

  ◦ R `a direita temos (L g g ) d = L d = d onde * denota o pull-back da m´etrica g d e Ad(g) ´e uma isometria de

  ❣ com a m´etrica d restrita a ❣. Reciprocamente se Ad(g) :

  ❣ −→ ❣ ´e uma isometria de ❣ com respeito a m´etrica d restrita a ❣, teremos

  ∗ ∗ ∗ ∗ −1 −1

  ◦ R R d = (R g ) (L g ) −1 d = (L g g ) d = d. g e e g Observa¸ c˜ ao 3.7.2. Do Lema se conclui que o homomorfismo

  ❣ 7−→ Ad(g) deve mapear G no grupo ortogonal n-dimensional. Lema 3.7.3. No caso de um grupo G conexo, a m´etrica invariante `a esquerda ´e bi-invariante se, e s´o se, a transforma¸c˜ao linear ad(x) ´e anti-adjunta para todo g ∈ ❣. Demonstra¸c˜ao. Inicialmente tome g ∈ G na imagem de exp : ad ❣ −→ G. Assim g =

  (x)

  exp(x) para algum x ∈ e pelo Lema µ ´e ❣. Como Ad(g) = Ad(exp(x)) = e bi-invariante se, e s´o se, Ad(g) ´e ortogonal para todo g ∈ G. Supondo µ bi-invariante ad

  −1 ∗ −ad(x) −1 ∗ (x)

  temos que Ad(g) = Ad(g) e portanto e = Ad(g) = Ad(g) = e e

  ∗

  −ad(x) = ad(x) para todo x na imagem de exp. Para um g arbitrario, note que pela conexidade de G, g = exp(x

  1 ) · · · exp(x n ), ent˜ao Ad(g) = Ad(exp(x 1 ) · · · exp(x n )) =

  Ad(exp(x )) · · · Ad(exp(x n )) e o resultado segue do fato que produto de operadores

  1 ortogonais ´e ortogonal.

  Defini¸ c˜ ao 3.7.4.

  Diremos que uma m´etrica em ❣ ´e bi-invariante se ad(x) ´e anti- adjunta ∀x ∈

  ❣. Note que o definido acima se transfere naturalmente a qualquer sub´algebra de ❣. Agora se

  ❣ ´e bi-invariante temos,

  1 h∇ x y, zi = (h[x, y], zi − h[y, z], xi + h[z, x], yi

  2

  1 = (h[x, y], zi + h[z, y], xi + h[z, x], yi

  2

  1 = (h[x, y], zi − hy, [z, x]i + h[z, x], yi

  2

  1 = h[x, y], zi ,

  2 ou seja,

  1 ∇ x = ad(x)

  2

  1

  − ∇ ∇ ∇ ent˜ao a curvatura obt´em a forma R xy = ∇ x y + ∇ y x = ad([x, y]) −

  [x,y]

  2

  1

  1

  ad(x)ad(y) + ad(y)ad(x) e pela identidade de Jacobi ad([x, y]) = ad(x)ad(y) −

  4

  4

  ad(y)ad(x) obtemos,

  1 R xy = ad([x, y]).

  4 Novamente por Jacobi se obt´em k(x, y) = hR xy x, yi

  1 = h[[x, y], x], yi

  4

  1 = h[x, y], [x, y]i (7.12) e podemos concluir que k(x, y) ≥ 0, com igualdade se, e s´o se, [x, y] = 0. Ainda P r(x) = k(x, y) ≥ 0 sendo zero se, e s´o se, [x, e i ] = 0 com i = 1, ..., n, ou seja, se, i e s´o se, x pertence ao centro de ❣. Para uma f´ormula explicita da forma quadr´atica de Ricci seja K(x, y) = tr(ad(x)ad(y)) a forma de Killing. Como r(x) pode ser definida como o tra¸co da transforma¸c˜ao linear

  1

  1

  1

  2

  y 7−→ R xy x = − [x, [x, y]] = − ad(x)ad(x)y = − ad(x) y

  4

  4

  4

  1

  (veja pg. 108) segue que r(x) = − K(x, x). Desta forma a curvatura de Ricci ´e

  4 um invariante com rela¸c˜ao a m´etricas bi-invariantes.

  Observa¸ c˜ ao 3.7.5. Do afirmado acima segue que no caso tridimensional todas as curvaturas independem da escolha da m´etrica bi-invariante.

  Lema 3.7.6. Se a m´etrica em ❣ ´e bi-invariante, ent˜ao o complemento ortogonal de qualquer ideal ´e um ideal. Portanto

  ❣ pode ser expressa como uma soma direta ortogonal de ideais simples.

  Demonstra¸c˜ao. Seja ❛ um ideal de ❣ e considere y arbitr´ario e ortogonal a ❛. Ent˜ao devemos mostrar que [x, y] ´e ortogonal a

  ❛, ou seja, que est´a no complemento orto- gonal de ❛. De fato, h[x, y], ai = − hy, [x, a]i

  ⊥ para todo a ∈ e o resultado segue por indu¸c˜ao.

  ❛. Assim ❣ = ❛ ⊕ ❛ Se ⊕ · · · ⊕ n de ideais simples, ent˜ao o grupo

  1

  ❣ ´e igual a soma direta ortogonal ❛ ❛ de Lie simplesmente conexo ˜ G com ´algebra ❣ pode ser expresso pelo cartesiano dos subgrupos normais e simplesmente conexos A i gerados pelos ideais i . Para cada

  ❛ fator A i existem duas op¸c˜oes: Caso 1:

  Se i ´e comutativa, ent˜ao i deve ser 1-dimensional. Com efeito, se por ❛ ❛ exemplo span {u, v} = i , ent˜ao span {u} e span {v} s˜ao ideais de i , um absurdo.

  ❛ ❛

  Portanto i ´e 1-dimensional e devemos ter i isomorfa a R. Como A i ´e simplesmente ❛ ❛

  ∼ conexo se conclui que A i = R. Caso 2:

  Se i ´e n˜ao-comutativa, ent˜ao o centro de i ´e um ideal trivial, pois i ❛ ❛ ❛

  ´e simples. Agora note que [ i , i ] deve ser todo i , portanto n˜ao existe u ∈ i com ❛ ❛ ❛ ❛ u 6= 0 tal que u⊥[ i , i ]. Isso junto ao fato de ad(x) ser anti-adjunta para todo x ∈ i ❛ ❛

  ❛ ( i ´e bi-invariante) aplicado ao Lema nos garante que A i possui curvatura de

  ❛ Ricci estritamente positiva. Por fim, devido ao Lema temos que A i ´e compacto.

  Lema 3.7.7. O grupo de Lie conexo G admite uma m´etrica bi-invariante se, e s´o se, ele ´e o produto cartesiano de um grupo compacto e de um grupo vetorial aditivo. Demonstra¸c˜ao. Suponha que G admita uma m´etrica bi-invariante. Ent˜ao aplicando m os casos 1 e 2 acima, seu recobrimento universal ˜ G pode ser escrito ˜ G = H × R onde H ´e compacto. Agora G = ˜ G/Γ onde Γ ´e um subgrupo discreto e central. m

  ⊥

  Projetando Γ em R , considere V o espa¸co vetorial gerado por essa proje¸c˜ao e V

  ⊥ ⊥

  seu complemento ortogonal. Ent˜ao ˜ G ∼ = H × V × V e G ∼ = (H × V × V )/Γ ∼ =

  ⊥

  (H × V )/Γ × V onde (H × V )/Γ ´e compacto. De fato, escreva Γ = Γ H × Γ V onde Γ H ⊂ H e Γ V ⊂ V . Desta forma ´e suficiente, uma vez que H ´e compacto, mostrar

  } ⊂ Γ que V /Γ V ´e compacto. Para isso escolha uma base {v , ..., v n V de V e perceba

  1

  que pela estrutura de grupo de Γ V se v γ ∈ Γ V , ent˜ao kv γ ∈ Γ V para todo k ∈ Z. Se

  ”

  v ∈ V ´e dado por v = a v + · · · + a n v n , escrevemos os coeficientes como a i = a + a ,

  1

  1 i i

  ∈ [0, 1) e a ∈ Z. Ent˜ao onde a i i ′ ′ ′ ′

  ” ”

  v = a v + · · ·a v n + a v + · · ·a v n = a v + · · ·a v n + v γ

  1 n

1 n

1 n

  1

  1

  1 ′ ′

  ∈ Γ para algum v γ V e v pertence a classe de equivalˆencia de a v 1 + · · ·a v n . n

  1 Agora note que isso mostra que V /Γ V ´e imagem do poliedro formado pelos vetores da base {v , ..., v n }, que ´e compacto.

  1 m m Reciprocamente, suponha que G = H × R . Atribu´ımos m´etricas a H e a

  R , este segundo sendo comutativo, toda m´etrica invariante `a esquerda ´e tamb´em invariante `a direita. Quanto a H, sendo compacto, ´e unimodular, considere a medida de Haar bi-invariante µ e um produto interno h·, ·i qualquer em

  ❣. Defina a aplica¸c˜ao (·, ·) :

  ❣ × ❣ −→ R pondo, Z hAd(g)u, Ad(g)vi dµ.

  (u, v) = H Facilmente se mostra que Ad(g) ´e isometria com respeito a (·, ·) para todo g ∈ H.

  Logo o Lema garante que a m´etrica induzida via transla¸c˜oes a esquerda de (·, ·) m ´e tamb´em invariante `a direita. Por fim, para uma m´etrica bi-invariante em H × R , defina a m´etrica produto.

  Lema 3.7.8. Se a ´algebra de Lie ❣ de um grupo de Lie compacto ´e simples, ent˜ao a m´etrica bi-invariante ´e ´ unica a menos de multiplica¸c˜ao por uma constante positiva.

  Tal m´etrica necessariamente possui curvatura de Ricci constante. Demonstra¸c˜ao. Seja h·, ·i uma m´etrica bi-invariante em

  ❣. ´E poss´ıvel se obter todas as m´etricas em ❣ a partir da m´etrica inicial e um operador auto-adjunto S devida- mente escolhido (este fato n˜ao depende da bi-invariˆancia da m´etrica), pondo hS·, ·i.

  Se esta nova m´etrica obtida for bi-invariante, ent˜ao ad(x) ´e anti-adjunta em ambas, ou seja, hv, Sad(u)yi = h−ad(u)v, Syi = hv, ad(u)Syi e ad(u)S = Sad(u) para todo u ∈

  ❣. Agora se ✈ ´e um autoespa¸co associado ao autovalor λ de S temos que, S([u, v]) = [u, Sv] = [u, λv] = λ[u, v] e ad(u)v pertence ao autoespa¸co

  ✈, ∀u ∈ ❣ e v ∈ ✈, ou seja, ´e um ideal. Como ❣ ´e simples, ✈=❣ e Su = λu para todo u ∈ ❣. Desta forma, hSx, yi = λ hx, yi e hS·, ·i = λ h·, ·i. Tamb´em pelo Lema r(u) &gt; 0 para todo u ∈

  ❣ e as curvaturas principais de Ricci s˜ao maiores que zero. Em outras palavras a forma quadr´atica de Ricci possui diagonal com elementos estritamente maiores que zero (quando escrita na sua forma diagonal), portanto r ´e definida positiva e define um produto interno em

  ❣. Para ver que hˆ r·, ·i ´e bi-invariante note que em tal m´etrica a norma de qualquer vetor permanece invariante por transla¸c˜oes. Por fim, pelo feito acima ˆ r(x) = λx para todo x ∈

  ❣ e r(x) = hˆ r(x), xi = λ para todo x ∈ ❣ com kxk = 1.

  Se tomarmos a m´etrica hˆ r(u), vi, ou equivalentemente, multiplicarmos a m´etrica h·, ·i por λ, como a forma de Ricci permanece inalterada, todo vetor unit´ario nesta m´etrica dever´a satisfazer r(x) = 1. Corol´ ario 3.7.9.

  Qualquer grupo de Lie G cujo recobrimento universal ˜ G ´e com- pacto admite uma m´etrica bi-invariante com curvatura de Ricci constante +1.

  Demonstra¸c˜ao. Se ˜ G ´e compacto, ent˜ao admite uma m´etrica bi-invariante, ❣ pode

  ⊕ · · · ⊕ ser escrita como soma direta de ideais

  1 n e consequentemente ˜ G =

  ❣ = ❛ ❛ A × · · · × A n . Note que A i 6= R, pois caso contrario ˜ G n˜ao seria compacto. Portanto

  1 pelo observado nos casos 1 e 2 anteriormente, A i ´e compacto e i ´e simples para ❛ i = 1, ..., n. Aplicando o Lema cada A i admite uma m´etrica h·, ·i tal que i r i ≡ +1. Definindo a m´etrica produto em ˜ G teremos que com rela¸c˜ao a tal m´etrica a curvatura de Ricci ´e identicamente +1. Por fim, G ´e localmente isom´etrico a ˜ G e possui portanto uma m´etrica bi-invariante com curvatura de Ricci identicamente

  • 1. Observa¸ c˜ ao 3.7.10. Existe nas condi¸c˜oes do corol´ario anterior exatamente uma m´etrica bi-invariante tal que a curvatura de Ricci ´e identicamente +1. De fato nestas condi¸c˜oes a forma de Killing ´e n˜ao degenerada. Sendo bi-linear, sim´etrica e negativa definida, −B(x, y) define uma m´etrica bi-invariante e como j´a vimos,

  1

  r(x) = − B(x, x). Quanto a unicidade, note que qualquer m´etrica satisfazendo tais

  4

  condi¸c˜oes em G induz uma m´etrica de mesmas condi¸c˜oes em ˜ G e consequentemente em A i onde ˜ G = A × · · · × A n . A unicidade de tais m´etricas nos A i ’s nos garante

  1

  1 que a m´etrica inicial ´e − B(x, y).

  4 n Lema 3.7.11.

  Seja G um grupo de Lie e suponha que G seja isom´etrico a R . Ent˜ao G n˜ao admite subgrupos compactos que n˜ao o trivial.

  Demonstra¸c˜ao. Suponha por absurdo que G admita um subgrupo compacto K. Considere h·, ·i uma m´etrica invariante `a esquerda de forma que o elemento de volume n Riemanniano ν k = ij )dx esteja normalizado e f : G −→ R uma isometria. pdet(g

  Nestas condi¸c˜oes, o grupo de isometrias que age a esquerda em K dado por E K = {E g : G −→ G; g ∈ K} induz naturalmente um grupo de isometrias que age em f (K)

  −1

  dado por F K = {f g = f ◦ E g ◦ f ; E g ∈ E K }. Mostremos que F K admite um ponto n fixo em R . Tal conclus˜ao implica na existˆencia de um ponto fixo em G para E K o que nos conduz a um absurdo, pois transla¸c˜oes n˜ao triviais n˜ao admitem pontos fixos.

  A isometria f induz em f (K) transla¸c˜oes dadas por f g ∈ F K . Como grupos de Lie s˜ao orient´aveis, se considerarmos (u α , φ α ) um sistema de coordenadas positivo em K, (u α , f ◦ φ α ) ´e um sistema de coordenadas em f (K) e fica bem definido o elemento de volume ν k (f (x)) = ν k (x) em f (K). Como ν k ´e invariante `a esquerda em K teremos,

  −1

  ν k (f g (f (x))) = ν k (f ◦ E g ◦ f ◦ f (x)) = ν k (f ◦ E g (f (x))) = ν k (E g (f (x))) = ν k (f (x)) e ν k ´e invariante pelas transla¸c˜oes f g em f (K). Considere p : f (K) −→ f (K) o n R vetor posi¸c˜ao de f (K) em R . Mostraremos agora que y = p(x)ν k (x) ´e um f

  (K)

  ponto fixo de F K . Seja (u α , ψ α ) = (u α , f ◦ φ α ) o sistema de coordenadas em f (K), {η α } uma parti¸c˜ao da unidade subordinada a esta cobertura, u α = X ∪ · · · ∪ X rα

  1α ∗

  } ´e uma parti¸c˜ao de u onde D α = {X 1α , ..., X rα α em J-mensur´aveis e D = (D α , x jα ) α R um pontilhamento de D α . A primeira afirma¸c˜ao a verificar ser´a a igualdade f g (y) = f f g ◦ p(x)ν k (x). Com efeito, escreva f g = L + b, onde L ´e uma transforma¸c˜ao

  (K) n

  linear ortogonal e b um vetor de R . Ent˜ao teremos Z f g (y) = f g ( p(x)ν k (x)) f X (K) Z q α = f g ( p(ψ α (x))η α (x) det(g )(x)dx) X α u α X ij

  = f g ( lim p(ψ α (x jα ))η α (x jα )V ol(X jα )) α |D α |→0 X X j = lim f g ( p(ψ α (x jα ))η α (x jα )V ol(X jα ))

  |D α |→0 X α j X

  = lim L( p(ψ α (x jα ))η α (x jα )V ol(X jα )) + b α

  |D |→0 X α j X

  = lim L( p(ψ α (x jα ))η α (x jα )V ol(X jα )) + bV ol(f (K))

  |D α |→0 X α j X X X

  = lim L( p(ψ α (x jα ))η α (x jα )V ol(X jα )) + bη α (x jα )V ol(X jα )

  |D α |→0 α j α j X X

  = lim (L(p(ψ α (x jα )) + b)η α (x jα )V ol(X jα ) α X |D |→0 Z α j q α ◦ p(ψ

  = f g α (x))η α (x) det(g )(x)dx Z α u α ij ◦ p(x)ν = f g k (x). f

  (K)

  Logo podemos concluir que Z Z Z Z f g (y) = f g ◦p(x)ν k (x) = p◦f g (x)ν k (x) = p◦f g (x)ν k (f g (x)) = p(z)ν k (z), f f f f

  

(K) (K) (K) (K)

  onde a pen´ ultima e a ´ ultima igualdade segue da invariˆancia e mudan¸ca de coorde- nadas respectivamente.

  Demonstra¸ c˜ ao do Teorema Seja G um grupo de Lie simplesmente co- nexo que admita uma m´etrica invariante `a esquerda flat. Como variedade Rieman- n niana, G ´e isom´etrico a R (veja que G n˜ao possui subgrupos compactos que n˜ao {e}. Para qualquer ❣ com m´etrica invariante `a esquerda, x, y e z ∈

  ❣, a conex˜ao Riemanniana satisfaz x hy, zi = 0 = h∇ x y, zi + hy, ∇ x zi. Portanto h∇ x y, zi = hy, −∇ x zi e a aplica¸c˜ao linear x 7−→ ∇ x aplica

  ❣ na ´algebra de Lie ♦(n) das aplica¸c˜oes anti-adjuntas de ❣ em ❣. Se K ≡ 0, ∇ − ∇ ∇ ent˜ao R ≡ 0 e temos ∇ = ∇ x y y x , o que mostra que x 7−→ ∇ x ´e um ho-

  [x,y]

  momorfismo de ´algebras de Lie. Seu n´ ucleo x y − ∇ y x, ✉ ´e um ideal. Como [x, y] 7→ ∇

  ✉ ´e comutativo. Tome ❜ o complemento ortogonal de ✉. Ent˜ao para cada b ∈ ❜ e x ∈ b x e a aplica¸c˜ao anti-adjunta ∇ b mapeia ✉ vale [b, x] = ∇

  ✉ em si mesmo. Se

  ′ ′ ′ ′ ′

  b ∈ b b , ui = − hb , ∇ b ui = hb , u i = 0 e ∇ b aplica ❜, ent˜ao h∇ ❜ em si mesmo.

  ′ ′

  Assim [b, b ] = ∇ b b − ∇ b b ∈ ❜ e ❜ ´e uma sub´algebra de Lie de ❣. Como ❜ n˜ao possui elementos de x aplica isomorficamente

  ✉ diferentes do vetor nulo, x 7−→ ∇ ❜ na sua imagem, uma sub´algebra de Lie de ♦(n), que por sua vez ´e ´algebra do grupo compacto O(n) e possui uma m´etrica bi-invariante. Portanto

  ❜ possui uma m´etrica ⊕ · · · ⊕ bi-invariante e pelo Lema

  1 k , com i ideal simples para cada

  ❜ = ❜ ❜ ❜ i = 1, ..., k. Cada i ´e comutativo, pois caso contrario o respectivo grupo de Lie ❜

  B i seria compacto e a inclus˜ao i ⊂ i −→ G ❜ ❜ ⊂ ❣ induziria um homomorfismo B n˜ao trivial e G conteria um subgrupo compacto n˜ao trivial, absurdo. Desta forma, u + g b = g ∈ u ∈ b ∈

  ❜ ´e comutativo, para cada b ∈ ❜ e g ❣ onde g ✉ e g ❜ obtemos ad(b)g = [b, g] = ∇ b g = ∇ b g u + ∇ b g b = ∇ b g u + [b, g b ] = ∇ b g u , ou seja, ad(b) ´e anti-adjunta, restrita a b . Logo

  ❜ ´e nula e restrita a ✉ coincide com ∇ ❣ = ✉ ⊕ ❜, ✉ ´e ideal comutativo, ❜ ´e sub´algebra comutativa e ad(b) ´e anti-adjunta. Reciprocamente. se as hip´oteses est˜ao satisfeitas se obt´em facilmente que ∇ u ≡ 0, ∇ ≡ ad(b) e consequentemente R ≡ 0. b xy Como aplica¸c˜ao deste resultado construiremos m´etricas de curvatura escalar es- tritamente positiva. Para isso utilizaremos o Teorema de Iwasawa abaixo.

  Teorema de Iwasawa. Se G ´e um grupo de Lie conexo, ent˜ao:

  1. Todo subgrupo compacto esta contido em um subgrupo compacto maximal H, qual ´e necessariamente um grupo de Lie conexo.

  2. O subgrupo compacto maximal ´e ´ unico a menos de conjuga¸c˜ao.

  3. Como espa¸co topol´ogico, G ´e homeomorfo ao produto de H e algum espa¸co m Euclidiano R .

  Para uma demonstra¸c˜ao veja .

  Corol´ ario 3.7.12.

  O recobrimento universal de G ´e homeomorfo ao espa¸co Eucli- diano se, e s´o se, todo subgrupo compacto de G ´e comutativo.

  Demonstra¸c˜ao. No que se segue o s´ımbolos ∼ = t ser´a utilizado para homeomorfismo. n R m Suponha que ˜ G ∼ = t . Pelo Teorema de Iwasawa podemos escrever G ∼ = t H ×

  R , onde H ´e compacto e maximal. Desta forma, H admite m´etrica bi-invariante e podemos decompor sua ´algebra de Lie

  ⊕

  1

  ❤ em soma direta de ideais simples ❤ · · · ⊕ l . Caso H admita subgrupos compactos n˜ao-comutativos, existiriam ideais

  ❤ que denotaremos sem perda de generalidade , ..., com s ≤ l n˜ao-comutativas s

  1 ❤

  e pelo caso 2 acima os grupos de Lie simplesmente conexos respectivos ˜ H , ..., ˜ H s k

  1

  ˜ × · · · × ˜ × R × · · · × ˜ seriam compactos. Portanto ˜ G ∼ = t H

  1 H s , onde ˜ H

  1 H s ´e

  compacto o que nos fornece um absurdo, uma vez que os grupos de homologia de n k R e ˜ H × · · · × ˜ H s × R s˜ao distintos. Logo todo subgrupo compacto de G deve ser

  1

  comutativo. Reciprocamente, se cada subgrupo compacto de G ´e comutativo, ent˜ao l R , ..., s˜ao ideais comutativos e pelo caso 1 acima ˜ H ∼ t como quer´ıamos. l

  = ❤

  1 ❤

  Demonstra¸ c˜ ao do Teorema Seja G um grupo de Lie conexo n˜ao ho- n meomorfo a R , ent˜ao pelo corol´ario anterior G admite um subgrupo H compacto e n˜ao-comutativo. Pelo Teorema de Iwasawa podemos assumir que H ´e conexo. A compacidade de H permite definir uma m´etrica em

  ❣ de forma que Ad(h) : ❣ −→ ❣ seja isometria sempre que h ∈ H. Basta proceder como na prova do Lema Com esta m´etrica seja e

  1 , ..., e m uma base ortonormal para ´algebra de Lie

  ❤ de H e estenda a uma base ortonormal e , ..., e n de

  1

  ❣. Observando as igualdades ma de- monstra¸c˜ao do Lema se nota que ad(e ), ..., ad(e m ) ´e anti-adjunta. Fixe ǫ &gt; 0 e

  1

′ ′ ′ ′

  defina uma nova base e = e

  1 , ..., e = e m , e = ǫe m +1 , ..., e = ǫe n e uma m´etrica

1 m m +1 n

  h·, ·i exigindo que tal base seja ortonormal. Analisando as novas constantes de es- ǫ truturas em termos das iniciais temos, P m

  ′ ′

  [e , e ] = α ijk = [e i , e j ] caso i, j = 1, ..., m, i j

  P m P n

  ′ ′

  [e , e ] = [e i , ǫe j ] = (α + ijk ǫ)e k (α ijk )ǫe k caso i = 1, ..., m e j = i j k k

  =1 =m+1

  m + 1, ..., n e P m P n

  ′ ′

  2 [e + , e ] = [ǫe i , ǫe j ] = (α ijk ǫ )e k (α ijk ǫ)ǫe k caso i, j = m + 1, ..., n. i j k k =1 =m+1

  Fazendo ǫ −→ 0, as constantes de estrutura no primeiro caso permanecem inal-

  ⊥ ′ ′

  teradas. No segundo caso α ijk = 0 se k = 1, ..., m mostrando que [e , e ] ∈ se i j ❤ i = 1, ..., m e j = m + 1, ..., n. No terceiro caso α ijk = 0 para todo k mostrando

  ⊥

  que ´e um ideal comutativo. Escrevendo a ´algebra de Lie limite vemos que ❤

  ❣

  ⊥ = . Assim temos uma nova ´algebra de Lie com base e m´etrica inicial fixada.

  ❣ ❤ ⊕ ❤ Perceba agora que ad(b) ´e anti-adjunta ∀b ∈

  ❤. Com efeito, note que

  ′ ′ ′

  [e , e ], e = 0 l i j se l, i = 1, ..., m e j = m + 1, ..., n. Nos casos onde i e j pertencem ao mesmo conjunto {1, ..., m} ou {m + 1, ..., n} teremos constantes de estruturas proporcionais as iniciais, logo ad(b) ´e anti-adjunta para todo b ∈

  ❤. Pelo mesmo argumento da

  ⊥

  prova do Teorema ∇ u = 0 para todo u ∈ e segue que R xu = 0. Assim ❤

  ⊥

  k(x, u) = hR xu x, ui = 0. Em particular r(u) = 0 para todo u ∈ . Por outro ǫ ❤ lado, se b ∈

  ❤, ent˜ao r(b) ≥ 0 pelo Lema onde a igualdade n˜ao pode ocorrer sempre, pois com m´etrica h·, ·i

  ❤ ´e n˜ao-comutativo. Portanto na ´algebra limite ❣ ǫ

  ′ ′

  a curvatura escalar ρ = r(e ) + ... + r(e ) &gt; 0. Por continuidade ρ( ǫ ) &gt; 0 para n ❣

  1 ′ ′

  ǫ suficientemente pequeno. Por fim a ´algebra de Lie base e = e , ..., e = ǫ

  1

  ❣

  1 m ′ ′

  e m , e = ǫ e m , ..., e = ǫ e n e m´etrica h·, ·i ´e a ´algebra inicial com m´etrica tal m +1 n

  • 1 ǫ que ρ &gt; 0.

  ⊥ Observa¸ c˜ ao 3.7.13.

  Note que acima k(u, x) = 0 se u ∈ . Como ad(b) ´e anti- ❤ adjunta para todo b ∈

  ❤. podemos concluir por que a ´algebra limite nos fornece um exemplo cujas curvaturas seccionais satisfazem K ≥ 0.

  

REFERˆ ENCIAS BIBLIOGR ´ AFICAS

  [1] AZENCOTT, R. e WILSON, E. Homogeneous manifolds with negative curva- ture, Part I Trans. Amer. Math. Soc.. 215, p.323-362, 1976.

  [2] CARMO, M.P. Geometria Riemanniana. Quinta edi¸c˜ao. Rio de Janeiro: IMPA, 2011.

  [3] HEINTZE, S. On homogeneous manifolds of negative curvature, Ann. Math.

  211 , p.23-34, 1974. [4] HELGASON, S. Differential geometry, Lie groups and symmetric spaces. San Diego. California: Academic Press, 1978.

  [5] IWASAWA, K. On some types of topological groups, Ann. Math. 50, p.507-558, 1949.

  [6] LIMA, E. L. Grupo Fundamental e Espa¸cos de Recobrimento. Quarta edi¸c˜ao.

  Rio de Janeiro: IMPA, 2012. [7] MILNOR, J. Curvartures of left invariant metrics on Lie groups, Advences in Mathematics 21, p.293-329, 1976.

  [8] SAN MARTIN, L. A. B. (1999). ´ Algebras de Lie. Segunda edi¸c˜ao. Campinas: Editora Unicamp, 2010.

  [9] SAN MARTIN, L.A.B.Grupos de Lie. a ser publicado, Campinas. SP. 2014.

  [10] SPIVAK, M. A comprehensive introduction to differential geometry. Third edi- tion, vol 1. Publish or Perish, Hauston. Texas. 1999.

  [11] WALLACH, N. Compact homogeneous Riemannian manifolds with strictly po- sitive curvature, Ann. Math. 96, p.277-295, 1972.

  [12] WARNER, F. W. Fundations of differentiable danifolds and Lie groups. Phila- delphia. Pennsylvania: Springer, 1983.

  ´INDICE REMISSIVO

  ´algebra de Lie, comutativa, nilpotente, simples, sub´algebra de, campo de vetores diferenci´avel, invariante `a esquerda, conex˜ao afim,

  Riemanniana, curvatura de Ricci, escalar, Riemanniana, derivada covariante, de Lie, grupo de Lie, topol´ogico, grupos de Lie E(1, 1), E(2), SL(2, R), SO(3), SU (2), identidade de Bianchi, de Jacobi, local, m´etrica bi-invariante, invariante `a esquerda, Riemanniana, transla¸c˜ao `a direita, `a esquerda, variedade diferenci´avel, Riemanniana, Riemanniana flat,

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