Algumas Caracterizações do Catenóide

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  Universidade Federal da Bahia Instituto de Matem´ atica Curso de P´ os-graduac ¸˜ ao em Matem´ atica

  Dissertac ¸˜ ao de Mestrado Algumas Caracterizac ¸ ˜ oes do Caten´ oide

  Adson Sampaio Melo

  Salvador — Bahia Julho 2006

  

Algumas Caracterizac ¸ ˜ oes do Caten´ oide

Adson Sampaio Melo

  Disserta¸c˜ao apresentada ao colegiado do curso de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia, como requisito parcial para obten¸c˜ao do T´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

  Banca examinadora:

  Prof. Dr. Enaldo Silva Vergasta (Orientador) Prof. Dr. Marco Antonio Nogueira Fernandes Prof. Dr. Nedir do Esp´ırito Santo Adson Sampaio Melo ¸ ˜ oes do Caten´ oide “Algumas Caracterizac ” /Salvador-Ba, 2006.

  Orientador : Dr. Enaldo Silva Vergasta. Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao curso de P´os-graduac˜ao em Matem´atica da UFBA, 47 p´aginas.

  Palavras-Chave : Caten´oide, Representa¸c˜ao de Weierstrass, Mergulho m´ınimo e Curvatura total finita.

  ` A Mario Melo Filho

  (in memorian) Agradecimentos

  Antes de mais nada, agrade¸co a Deus que me protege e ilumina meus caminhos, agrade¸co a ele por mais esta vit´oria na minha vida. Gostaria de agradecer a todos os funcion´arios do IM que de forma direta ou indireta contribu´ıram para a realiza¸c˜ao deste sonho.

  Aos professores, muita sabedoria e dedica¸c˜ao. Em especial, aos professores Jos´e Fernandes, Jos´e Nelson, ´ Ezio, Joseph, Armando, Edson e a meu orientador Enaldo.

  Aos meus queridos e inesquec´ıveis colegas, Ab´ılio, Gil, Maur´ıcio, Jarbas, Jackson, Rolando, Kleyber, Josaphat, Ariane, Mariana, Gabriela, Rosane, Silvia e Elisˆangela entre outros. A vocˆes meu muito obrigado pelos momentos de alegria e descontra¸c˜ao que vivemos, mesmo nos momentos de dificuldades.

  A minha m˜ae Janete, meus irm˜aos M´arcia e Marcelo e em especial a meu pai que infelizmente j´a n˜ao se encontra mais em nosso plano.

  A Jamile, minha companheira. Resumo

  Neste trabalho, apresentamos resultados que caracterizam o caten´oide a partir de algumas de suas propriedades geom´etricas e/ou topol´ogicas. Sum´ ario

  Resumo vi

  Introdu¸ c˜ ao

  1

  1 Preliminares

  4

  2 Superf´ıcie m´ınima com curvatura total finita

  18

  3 Superf´ıcie m´ınima com for¸ ca vertical 25 4 c˜ ao de uma superf´ıcie m´ınima

  30 λ-Deforma¸

  5 Teoremas de caracteriza¸ c˜ ao do caten´ oide

  40 Bibliografia

  45 Introdu¸ c˜ ao

  O caten´oide ´e uma superf´ıcie m´ınima obtida pela rota¸c˜ao da caten´aria em torno de um eixo. Esta superf´ıcie m´ınima pode ser caracterizada de v´arias formas. V´arios pesquisadores deram contribui¸c˜oes significativas neste sentido. P´erez e Ros [PR1] e [PR2]

  3 mostraram que um mergulho pr´oprio m´ınimo em R com curvatura total finita e for¸ca vertical

  ´e o caten´oide. Como conseq¨ uˆencia desse resultado obtiveram, ainda, o caten´oide, trocando- se a hip´otese de for¸ca vertical por gˆenero zero. Seguindo a mesma linha, Osserman [Os1] mostrou que o caten´oide caracteriza-se de outras maneiras, como a ´ unica superf´ıcie m´ınima

  3 mergulhada propriamente em R com curvatura total igual a −4π ou com aplica¸c˜ao normal de Gauss injetiva. Hoffman e Karcher [HK] provaram que o caten´oide ´e a ´ unica superf´ıcie

  3 m´ınima mergulhada propriamente em R com curvatura total maior do que −8π, al´em de apresentar os mesmos resultados obtidos por P´erez e Ros. Finalmente, utilizando a t´ecnica de reflex˜ao de Alexandrov, Schoen [Sc] estabelece que o caten´oide ´e a ´ unica superf´ıcie m´ınima

  3 mergulhada em R com curvatura total finita e dois fins mergulhados.

  O prop´osito deste trabalho ´e apresentar algumas caracteriza¸c˜oes do caten´oide, enun- ciadas a seguir.

  Teorema 5.1: A ´ unica superf´ıcie m´ınima de revolu¸c˜ao n˜ao-plana ´e o caten´oide. Teorema 5.2: O ´ unico anel m´ınimo mergulhado completo com curvatura total finita ´e o caten´oide.

  Teorema 5.3: A ´ unica superf´ıcie m´ınima n˜ao-plana completa propriamente mergulhada em

  3 R com curvatura total finita e for¸ca vertical ´e o caten´oide.

  Teorema 5.4: A ´ unica superf´ıcie m´ınima n˜ao-plana completa propriamente mergulhada em

  3 R com curvatura total finita e gˆenero zero ´e o caten´oide.

  3 Teorema 5.5: A ´ unica superf´ıcie m´ınima completa propriamente mergulhada em R com Z KdA = −4π ´e o caten´oide.

  M Teorema 5.6: A ´ unica superf´ıcie m´ınima n˜ao-plana completa propriamente mergulhada em

  Z

  3 R com KdA > −8π ´e o caten´oide.

  M

  3 Teorema 5.7: A ´ unica superf´ıcie m´ınima completa propriamente mergulhada em R com curvatura total finita cuja a aplica¸c˜ao normal de Gauss ´e injetiva ´e o caten´oide.

  3 Teorema 5.8: A ´ unica superf´ıcie m´ınima completa propriamente mergulhada em R com curvatura total finita e dois fins mergulhados ´e o caten´oide.

  A prova desses resultados ´e baseada nos trabalhos [PR1], [PR2], [Os1], [HK] e [Sc]. Estruturamos este trabalho da seguinte forma: No primeiro cap´ıtulo, apresentamos alguns conceitos e resultados de vari´aveis complexas e geometria diferencial que surgir˜ao e ser˜ao utilizados no decorrer do trabalho. O resultado mais importante desse cap´ıtulo ´e o Teorema da Representa¸c˜ao de Weierstrass. Esse teorema permite obtermos imers˜oes m´ınimas a partir de uma fun¸c˜ao meromorfa e uma 1-forma holomorfa que satisfazem certas condi¸c˜oes, onde cada superf´ıcie m´ınima ´e parametrizada e associada a um par dessa natureza. Outro aspecto interessante segue-se da influˆencia de algumas propriedades desse par na geometria da superf´ıcie.

  No segundo cap´ıtulo definimos curvatura total finita e apresentamos alguns resul- tados interessantes. Vemos que uma superf´ıcie m´ınima com curvatura total finita apresenta propriedades que n˜ao encontramos em outras superf´ıcies m´ınimas. Osserman [Os1] mostrou que uma superf´ıcie desse tipo ´e conformemente equivalente a uma superf´ıcie de Riemann compacta menos um n´ umero finito de pontos, que correspondem aos fins da superf´ıcie. Mais do que isso, a aplica¸c˜ao normal de Gauss estende-se meromorficamente a estes pontos, ou seja, podemos determinar o vetor normal nestes pontos. Por outro lado, se a superf´ıcie for mergulhada, esses vetores s˜ao todos paralelos, o que implica nos fins organizados por al- tura. Al´em disso, a curvatura total dessas superf´ıcies ´e fortemente relacionada com aspectos provenientes de sua topologia como, o gˆenero e n´ umero de fins.

  No terceiro e quarto cap´ıtulos definimos for¸ca e λ-deforma¸c˜ao associadas a uma superf´ıcie m´ınima, abordando alguns resultados e propriedades que servir˜ao de base para o que faremos no quinto cap´ıtulo, principalmente nos Teoremas 5.3 e 5.4. O fato de utilizarmos a λ-deforma¸c˜ao decorre do aspecto de que a fam´ılia de imers˜oes obtidas a partir da imers˜ao original preserva algumas propriedades, al´em do fato de algumas dessas propriedades se relacionarem.

  Finalmente, no quinto cap´ıtulo apresentamos algumas caracteriza¸c˜oes do caten´oide, demonstrando os teoremas 5.1 a 5.7. Cap´ıtulo 1 Preliminares

  Neste cap´ıtulo expomos alguns resultados conhecidos, tanto de vari´aveis complexas como de geometria diferencial que ser˜ao de grande utilidade para o desenvolvimento deste trabalho. Al´em disso, vamos fixar algumas nota¸c˜oes que usamos mais adiante.

  Considere f : U → C uma fun¸c˜ao cont´ınua, onde U ´e um aberto de C identificado

  2 com R . Dizemos que f ´e holomorfa em z ∈ U, se existe o limite ′ f (z + h) − f (z ) f (z ) = lim . h→0 h

  O n´ umero complexo f (z ) ´e chamado de derivada de f em z . Se f for holomorfa em todos os pontos de U, diremos simplesmente que f ´e holomorfa.

  2 Utilizando a identifica¸c˜ao canˆonica de C com R , escrevendo f (x, y) = u(x, y) + iv(x, y), se f ´e uma fun¸c˜ao holomorfa em (x, y) ∈ U, ent˜ao f satisfaz as equa¸c˜oes de Cauchy- Riemann, isto ´e

  ∂u ∂v (x, y) = (x, y)

  ∂x ∂y e ∂u ∂v (x, y) = − (x, y). ∂y ∂x

  2 → R pela

  Definimos o Laplaciano ∆f de uma fun¸c˜ao diferenci´avel f : U ⊂ R express˜ao

  2

  2 ∂ f ∂ f + ∆f = .

  2

  2 ∂u ∂v Dizemos que f ´e uma fun¸c˜ao harmˆonica em U se ∆f = 0. Preliminares

  5 Seja f : U → C uma fun¸c˜ao holomorfa. Temos ent˜ao, das equa¸c˜oes de Cauchy-

  Riemann, que u, v : U → R s˜ao fun¸c˜oes harmˆonicas, ou seja

  2

  2 = 0 +

  2

  2 ∂x ∂y e

  2

  2 ∂ v ∂ v

  = 0. +

  2

  2 ∂x ∂y

  Dada uma fun¸c˜ao harmˆonica u : U → R ´e natural perguntar se u ´e a parte real de alguma fun¸c˜ao holomorfa f : U → C, ou seja, se existe uma fun¸c˜ao v : U → R tamb´em harmˆonica, tal que f = u + iv ´e uma fun¸c˜ao holomorfa. Neste caso, dizemos que v ´e uma harmˆonica conjugada de u. A resposta afirmativa para esta quest˜ao ´e garantida sempre que U ´e um aberto simplesmente conexo.

  Denotamos por D (z ) o disco de centro em z e raio r e por D (z ) = D (z ) − {z } r r r o disco perfurado de raio r e centro z .

  ∈ C − U ´e uma Seja f uma fun¸c˜ao holomorfa num aberto U ⊂ C. Dizemos que z singularidade isolada de f se existe um n´ umero real r > 0 tal que D (z ) est´a contido em U. r

  Ou seja, f est´a definida e ´e holomorfa em todos os pontos de uma vizinhan¸ca de z , exceto em z .

  Sejam f : U → C uma fun¸c˜ao holomorfa e z ∈ C − U uma singularidade isolada de f . Podemos considerar o desenvolvimento de f em s´erie de Laurent

  X j f (z) = a (z − z ) j j=−∞

  Z f (w)dw

  1 em D (z ) = D (z ) − {z } e os coeficientes a s˜ao dados por a = , onde r j j r

  2π j+1 (w − z)

  γ γ ⊂ D (z ) ´e uma curva fechada simples. r

  O res´ıduo de f em z ´e por defini¸c˜ao o n´ umero complexo Z

  1 Res(f, z ) = a = f (w)dw.

  1 2π

  γ Dizemos que z ´e um polo de ordem n de f se existe n > 0 tal que a 6= 0 e a = 0, n j para todo j < −n na s´erie de Laurent.

1.1 Proposic ¸˜ ao. Um ponto z ´e um polo de ordem k ≥ 1 de f se, e somente se, o limite

  k lim (z − z ) f (z) Preliminares 6 existe e ´e um n´ umero complexo n˜ao-nulo.

  Dizemos que uma fun¸c˜ao f ´e meromorfa num aberto U ⊂ C se existe um conjunto discreto Γ ⊂ U tal que f ´e uma fun¸c˜ao holomorfa em U − Γ e os pontos de Γ s˜ao os polos de f .

  Sejam γ : [a, b] → C uma curva fechada em C e z ∈ C − γ([a, b]). Definimos o ´ındice de γ com respeito a z por

  Z 1 dz I(γ, z ) =

  2π z − z γ

  Este n´ umero pode ser interpretado geometricamente como o n´ umero de voltas que a curva γ(t) d´a em torno do ponto z .

  A seguir enunciamos trˆes teoremas importantes de vari´aveis complexas que servir˜ao para o c´alculo de algumas integrais que surgir˜ao no desenvolvimento deste trabalho.

  

1.2 Teorema. (Teorema dos res´ıduos) Sejam γ : I → C um caminho fechado simples, R

  a regi˜ao interior a γ(I) e f : U → C uma fun¸c˜ao holomorfa que possui um n´ umero finito de singularidades isoladas em R, digamos z 1 , ..., z n . Suponhamos que γ esteja orientado positivamente com respeito a R e que U ⊃ R − {z , ..., z }. Ent˜ao

  1 n n Z

  X f = 2πi Res(f, z ). i

  γ i=1

  1.3 Teorema.

  (F´ormula integral de Cauchy para derivadas) Sejam f : U → C uma fun¸c˜ao holomorfa definida em um aberto simplesmente conexo U ⊂ C e γ : [a, b] → C uma curva fechada simples em U. Ent˜ao f ∈ C e Z n! f (w)dw n f (z ) = ∀z ∈ Int(γ). n+1

  2πi (w − z )

  

1.4 Teorema. Sejam f uma fun¸c˜ao meromorfa em U e γ : I → U um caminho simples

  fechado e R a regi˜ao interior a γ(I). Suponhamos que γ esteja orientada positivamente com respeito a R e que R ⊂ U. Suponhamos tamb´em que f n˜ao possui polos ou zeros em γ(I). Ent˜ao

  Z 1 f (z) dz = Z(f, R) − P (f, R) = I(f ◦ γ, 0),

  2πi f (z) γ onde I(f ◦γ, 0) ´e o ´ındice do caminho f ◦γ com respeito a 0, Z(f, R) e P (f, R) s˜ao o n´ umero de zeros e polos de f em R, respectivamente. Preliminares

  7 A seguir expomos alguns conceitos e resultados conhecidos de geometria diferencial.

  3 Um subconjunto M ⊂ R ´e uma superf´ıcie regular ou simplesmente uma superf´ıcie

  3

  2 → se, para cada p ∈ M , existem uma vizinhan¸ca V de p em R e uma aplica¸c˜ao ψ : U ⊂ R

  V ∩ M , onde U ´e um aberto, tais que

  (i) ψ ´e homeomorfismo; (ii) ψ ´e diferenci´avel de classe C ;

  2

  3 (iii) Para todo q = (u, v) ∈ U, a diferencial de ψ em q, dψ : R → R , ´e injetora. q

  3 Uma superf´ıcie M ⊂ R ´e m´ınima se, e somente se, a curvatura m´edia ´e igual a zero em todos os pontos de M .

  3 Dada uma superf´ıcie M ⊂ R , temos uma maneira natural de medir comprimentos

  3 de vetores tangentes a M . O produto interno do R , induz, em cada plano tangente T M , p

  3 um produto interno. Se u, v ∈ T p M ⊂ R , < u, v > ´e igual ao produto interno de u e v como

  3 vetores de R . Uma m´etrica numa superf´ıcie M ´e uma correspondˆencia que associa a cada ponto p de M um produto interno < , > no plano tangente T M . A esse produto interno p p corresponde uma forma quadr´atica I p : T p M → R, definida por

  2 I (v) =< v, v > = |v| ≥ 0. p p

  A forma quadr´atica I em T M , definida acima, ´e chamada a primeira forma p p quadr´atica ou primeira forma fundamental da superf´ıcie M no ponto p.

1.5 Teorema. (Princ´ıpio do m´aximo para superf´ıcies m´ınimas)[DHKW] Se S e S s˜ao

  1

  2 duas superf´ıcies m´ınimas conexas com um ponto p em comum, tal que S est´a em um mesmo

  1 lado de S , ent˜ao uma vizinhan¸ca de p em S coincide com uma vizinhan¸ca de p em S . Em

  2

  1 2 particular, se S e S s˜ao ambas completas, ent˜ao S = S .

  1

  2

  1

  2

  3 1.6 Teorema.

  Se M ⊂ R ´e uma superf´ıcie compacta, ent˜ao a caracter´ıstica de Euler-

  3 Poincar´e χ(M ) assume um dos valores 2, 0, −2, ..., −2n, .... Al´em disso, se f M ⊂ R ´e outra superf´ıcie compacta e χ(M ) = χ( f M ), ent˜ao M ´e homeomorfa a f M .

  3 Toda superf´ıcie compacta M ⊂ R ´e homeomorfa a uma esfera com um certo n´ umero 2−χ(M ) k de asas. O n´ umero k = ´e chamado de gˆenero de M .

  2

  3

  3 Uma aplica¸c˜ao diferenci´avel ψ : M → R de uma superf´ıcie M em R ´e uma Preliminares

  8

  3 imers˜ao se a diferencial dψ : T M → R ´e injetiva para todo p ∈ M . Se, al´em disso, ψ ´e p p

  3 homeomorfismo sobre ψ(M ) ⊂ R , diz-se que ψ ´e um mergulho.

  Fazemos algumas considera¸c˜oes e mostramos alguns resultados no intuito de levantar condi¸c˜oes para provar uma das ferramentas principais deste trabalho, o Teorema da Repre- sentacao de Weierstrass. Este teorema permitir´a, dentro de certas condi¸c˜oes, parametrizar superf´ıcies m´ınimas. Al´em disso, vemos mais adiante de que forma podemos estudar certas propriedades dessas superf´ıcies utilizando esse teorema.

  2

  3 Sejam ψ : U ⊂ R → R uma superf´ıcie parametrizada regular, onde U ´e um

  2 subconjunto aberto de R , e

  ψ(u, v) = (x 1 (u, v), x 2 (u, v), x 3 (u, v)). Os coeficientes da primeira forma quadr´atica de ψ s˜ao definidos por

  E(u, v) =< ψ (u, v), ψ (u, v) >, u u

  F (u, v) =< ψ (u, v), ψ (u, v) > u v e G(u, v) =< ψ (u, v), ψ (u, v) > . v v

  Dizemos que ψ ´e uma superf´ıcie parametrizada isot´ermica se E(u, v) = G(u, v) e F (u, v) = 0 em todos os pontos (u, v) de U.

  2

  3

1.7 Proposic ¸˜ ao. Se ψ : U ⊂ R → R ´e uma superf´ıcie parametrizada isot´ermica, ent˜ao

  ψ + ψ = 2EHN, uu vv onde H ´e a curvatura m´edia e N ´e o vetor normal unit´ario.

  Prova. Como ψ ´e uma parametriza¸c˜ao isot´ermica, tem-se E(u, v) =< ψ (u, v), ψ (u, v) >=< ψ (u, v), ψ (u, v) >= G(u, v) (1.1) u u v v e

  Preliminares

  9 Derivando (1.1) em rela¸c˜ao a u, temos

  < ψ , ψ >=< ψ , ψ >=< ψ , ψ > . (1.3) uu u vu v uv v

  Agora, derivando (1.2) em rela¸c˜ao a v, temos < ψ , ψ > + < ψ , ψ >= 0. (1.4) uv v u vv

  Verificamos, a partir de (1.3) e (1.4), que < ψ , ψ >= − < ψ , ψ >, uu u u vv ou seja, < ψ uu + ψ vv , ψ u >= 0.

  Derivando (1.1) em rela¸c˜ao a v, temos < ψ , ψ >=< ψ , ψ >=< ψ , ψ > . (1.5) uv u vv v vu u

  Agora derivando (1.2) em rela¸c˜ao a u, temos < ψ , ψ > + < ψ , ψ >= 0. (1.6) uu v u vu

  Verificamos a partir de (1.5) e (1.6), que < ψ uu , ψ v >= − < ψ vv , ψ v >, logo,

  < ψ + ψ , ψ >= 0. uu vv v Como < ψ + ψ , ψ >=< ψ + ψ , ψ >= 0, ent˜ao ψ + ψ ´e paralelo a N . uu vv u uu vv v uu vv

  Considerando Eg − 2F f + Ge Eg + Ee g + e

  H = = =

  2

  2 2(EG − F

  2E

  2E temos g + e = 2EH, onde Preliminares

  10 Assim,

  ψ + ψ = < ψ + ψ , N > N uu vv uu vv

  = (< ψ , N > + < ψ , N >)N uu uu

  = (e + g)N = 2EHN, como quer´ıamos.

  ¥

1.8 Corol´ ario. Seja

  2

  3 → R

  ψ : U ⊂ R (u, v) 7→ ψ(u, v) = (x (u, v), x (u, v), x (u, v))

  1

  2

  3 uma superf´ıcie parametrizada isot´ermica. Ent˜ao ψ ´e uma superf´ıcie m´ınima se, e somente se, suas fun¸c˜oes coordenadas x , x e x s˜ao harmˆonicas.

  1

  2

  3 Prova. Suponhamos que ψ ´e uma superf´ıcie m´ınima, ou seja, H = 0. Ent˜ao, pela Proposi¸c˜ao 1.25,

  2

  2

  2

  2

  2

  2 ∂ x 1 ∂ x 2 ∂ x 3 ∂ x 1 ∂ x 2 ∂ x

  3 ψ uu + ψ vv = ( , , ) + ( , , ) = 0,

  2

  2

  2

  2

  2

  2 ∂u ∂u ∂u ∂v ∂v ∂v ou seja,

  2

  2 ∂ x ∂ x

  1

  1

  • = 0

  2

  2 ∂u ∂v

  2

  2 ∂ x 2 ∂ x

  2 = 0 +

  2

  2 ∂u ∂v

  2

  2 ∂ x ∂ x

  3

  3 = 0 +

  2

  2 ∂u ∂v logo, x , x e x s˜ao fun¸c˜oes harmˆonicas.

  1

  2

  3 Reciprocamente, se x , x e x s˜ao harmˆonicas, isto ´e,

  1

  2

  3

  2

  2 ∂ x ∂ x

  1

  1

  • = 0

  2

  2 ∂u ∂v

  2

  2 ∂ x 2 ∂ x

  2

  • = 0

  2

  2 ∂u ∂v

  2

  2 ∂ x ∂ x

  3

  3 = 0 +

  2

  2 ∂u ∂v ent˜ao, pela Proposi¸c˜ao 1.25, temos

  2EHN = ψ + ψ = 0. uu vv Preliminares

  11

  2

  3 Lema.

  

1.9 Sejam ψ = (x , x , x ) : U ⊂ R → R uma aplica¸c˜ao diferenci´avel e φ , φ , φ :

  1

  2

  3

  1

  2

  3 U → C dadas por

  ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x

  1

  1

  2

  2

  3

  3 φ = − i , φ = − i e φ = − i .

  1

  2

  3 ∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v

  2

  2

  2 Ent˜ao < ψ , ψ >=< ψ , ψ > e < ψ , ψ >= 0 se, e somente se, φ + φ + φ = 0. Neste u u v v u v

  1

  2

  3 caso, ψ ´e uma superf´ıcie parametrizada regular (e isot´ermica) se, e somente se, as fun¸c˜oes φ , φ , φ n˜ao se anulam, simultaneamente, em ponto algum do dom´ınio.

  1

  2

  3 Prova. Primeiramente, observemos que

  2

  2

  2

  2

  2

  2 φ + φ + φ = (x − ix ) + (y − iy ) + (z − iz ) u v u v u v

  1

  2

  3 = < ψ , ψ > − < ψ , ψ > −2i < ψ , ψ > . u u v v u v

  2

  2

  2 Logo φ + φ + φ = 0 se, e somente se, < ψ , ψ >=< ψ , ψ > e < ψ , ψ >= 0. u u v v u v

  1

  2

  3 Neste caso, em cada ponto do dom´ınio, os vetores ψ e ψ s˜ao ortogonais e tˆem o mesmo u v comprimento. Da´ı, ψ ´e uma superf´ıcie parametrizada regular se, e somente se, ψ (e, por- u tanto, tamb´em ψ ) ´e n˜ao nulo em todos os pontos, o que, pela defini¸c˜ao das fun¸c˜oes φ , φ , v

  1

  2 φ 3 , ´e equivalente a dizer que estas fun¸c˜oes n˜ao se anulam, simultaneamente, em ponto algum do dom´ınio.

  ¥

  1.10 Lema. (i) Se φ , φ , φ s˜ao fun¸c˜oes holomorfas em U, satisfazendo

  1

  2

  3

  2

  2

  2 φ + φ + φ = 0,

  1

  2

  3 ent˜ao existem uma fun¸c˜ao holomorfa f e uma fun¸c˜ao meromorfa g em U, tais que

  1

  2 φ = f (1 − g ) (1.7)

  1

  2 i

  2 φ = f (1 + g ) (1.8)

  2

  2 φ = f g

  (1.9)

  3 e cada polo de ordem m de g ´e um zero de ordem k de f , com k ≥ 2m.

  Reciprocamente, se f ´e uma fun¸c˜ao holomorfa em U e g ´e uma fun¸c˜ao meromorfa em U, tais que cada polo de ordem m de g ´e um zero de ordem pelo menos 2m de f , ent˜ao as fun¸c˜oes φ , φ , φ : U → C definidas, respectivamente, por (1.7), (1.8) e (1.9), s˜ao holomorfas

  1

  2

  3 e satisfazem

  2

  2

  2 φ + φ + φ = 0.

  1

  2

  3 (ii) Em um polo qualquer de g, tem-se k > 2m se, e somente se, φ 1 , φ 2 , e φ 3 se anulam neste Preliminares

  12

  2

  2

  2

  2

  2

  2 Prova. (i) Como φ + φ + φ = 0, podemos escrever φ + φ = −φ , que equivale a

  1

  2

  3

  1

  2

  3

  2 − iφ

  (φ

  1 2 )(φ 1 + iφ 2 ) = −φ . (1.10)

  3 Se φ ≡ 0, tomando g ≡ 0 e f = 2φ , vemos que (1.7), (1.8) e (1.9) s˜ao satisfeita.

  3

  1 Se, por outro lado, φ n˜ao ´e identicamente nula, por (1.10), vemos que a fun¸c˜ao holomorfa

  3 (φ − iφ ) tamb´em n˜ao se anula.

  1

  2 φ 3

  − iφ Definindo, f = φ

  1 2 e g = , claramente f ´e holomorfa e g ´e meromorfa. φ 1 iφ 2 Al´em disso, por (1.10) temos

  2 φ

  3 φ + iφ = − .

  1

  2 φ − iφ

  1

  2 Logo,

  2

  1 1 φ

  2

  3 f (1 − g ) = (φ − iφ )(1 − ) = φ ,

  1

  2

  1

  2

  2 2 (φ − iφ )

  1

  2

  2 i i φ

  3

  2 − iφ f (1 + g ) = (φ

  1 2 )(1 + ) = φ 2 ,

  2 − iφ

  2 2 (φ )

  1

  2 φ

  3 f g = (φ − iφ )( ) = φ .

  1

  2

  3 φ − iφ

  1

  2 Portanto, (1.7), (1.8) e (1.9) s˜ao satisfeitas.

  2 Como φ 1 e f s˜ao holomorfas, da equa¸c˜ao (1.7), obtemos a holomorfia de f g . Agora se w ´e um polo de ordem m de g na vizinhan¸ca de w , escrevemos g (w)

  1 g(w) = , com g (w ) 6= 0

  1 m (w − w ) e k f (w) = (w − w ) f (w), com f (w ) 6= 0 e k ≥ 0.

  1

  1 2 k−2m Como f g (w) = (w−w ) f 1 (w)g 1 (w) ´e holomorfa, ent˜ao devemos ter k−2m ≥ 0, isto ´e, w ´e um zero de f com multiplicidade pelo menos 2m.

  Para provar a rec´ıproca, observemos que na vizinhan¸ca de cada polo w de g podemos escrever g (w)

  1 g(w) = , com g (w ) 6= 0

  1 m (w − w ) e k f (w) = (w − w ) f (w), com f (w ) 6= 0 onde k ≥ 2m.

  1

  1 Preliminares

  13 Ent˜ao

  k−m f g(w) = (w − w ) f 1 (w)g 1 (w) e

  2 k−2m

  2 f g (w) = (w − w ) f (w)g (w). (1.11)

  1

  1

  2 Como k − 2m ≥ 0, conclui-se que f g e f g s˜ao holomorfas. De (1.7), (1.8) e (1.9), como f ´e holomorfa e a soma de fun¸c˜oes holomorfas ´e ainda holomorfa, conclu´ımos que φ , φ e φ

  1

  2

  3 s˜ao holomorfas.

  Ainda por (1.7), (1.8) e (1.9), temos

  1

  1

  2

  2

  2

  2

  2

  4

  2

  2

  4

  2

  2 φ + φ + φ = f (1 − 2g + g ) − f (1 − 2g + g ) + f g

  1

  2

  3

  4

  4

  1

  1

  2

  2

  2

  2

  2

  2 = − f g − f g + f g

  2

  2 = 0.

  (ii) Seja w um polo de ordem m de g. J´a sabemos que w ´e um zero de ordem pelo menos 2m de f . Logo, por (1.7), (1.8) e (1.9), w ´e um zero de φ e φ se, e somente se, ´e

  1

  2

  2

  2 um zero de f g . Pela equa¸c˜ao (1.11), w ´e um zero de f g se, e somente se, k > 2m. ¥

  3

1.11 Teorema. (Representa¸c˜ao de Weierstrass). Sejam M ⊂ R uma superf´ıcie m´ınima

  2

  3 e ψ = (x , x , x ) : U ⊂ R → R , onde ψ(u, v) = (x (u, v), x (u, v), x (u, v)), uma

  1

  2

  3

  1

  2

  3 parametriza¸c˜ao isot´ermica de M , definida num dom´ınio simplesmente conexo U. Ent˜ao existem uma fun¸c˜ao holomorfa f e uma fun¸c˜ao meromorfa g em U, tais que

  Z z

  1

  2 x 1 = Re f (1 − g )dz (1.12)

  2 z

  Z z i

  2 x = Re f (1 + g )dz (1.13)

  2

  2 z

  Z z x = Re f gdz (1.14) 3 z

  ∈ U, e cada polo de g com multiplicidade m corresponde a um zero de f com para algum z multiplicidade 2m.

  Reciprocamente, se f ´e uma aplica¸c˜ao holomorfa e g uma fun¸c˜ao meromorfa num aberto simplesmente conexo U, tais que cada polo de g com multiplicidade m ´e zero de f

  2

  3 com multiplicidade 2m, ent˜ao ψ : U ⊂ R → R definida por (1.12), (1.13) e (1.14) ´e uma superf´ıcie parametrizada isot´ermica m´ınima. Preliminares

  14 Prova. Seja

  2

  3 → R

  ψ : U ⊂ R (u, v) 7→ ψ(u, v) = (x (u, v), x (u, v), x (u, v))

  1

  2

  3 uma superf´ıcie isot´ermica m´ınima. Como vimos na Proposi¸c˜ao 1.8, as fun¸c˜oes coordenadas x

  1 , x 2 e x 3 s˜ao harmˆonicas. Sendo o dom´ınio U simplesmente conexo, existe para cada x x x respectivamente, todas definidas no

  1

  2

  3 uma delas uma fun¸c˜ao harmˆonica conjugada e , e e e mesmo dom´ınio U, de modo que

  θ 1 = x 1 x 1 (u, v) (u, v) + i e

  θ = x x (u, v)

  2

  2

  2 (u, v) + i e e

  θ = x x (u, v)

  3

  3

  3 (u, v) + i e s˜ao holomorfas.

  Derivando as fun¸c˜oes θ , θ e θ em rela¸c˜ao `a vari´avel complexa w = u + iv, obtemos

  1

  2

  3 trˆes fun¸c˜oes, tamb´em holomorfas, dadas por ∂x ∂x

  1

  1 φ = θ (w) = − i (1.15)

  1

  1 ′ ∂x ∂x ∂u ∂v

  2

  2 φ = θ (w) = − i

  2

  2 ∂u ∂v e ′ ∂x

  3 ∂x

  3 − i

  φ 3 = θ (w) = .

  3 ∂u ∂v

  Observemos que Z z x

  1 = Reθ = Re φ 1 (1.16)

  1 z Z z x = Reθ = Re φ (1.17)

  2

  2

  2 z Z z x = Reθ = Re φ (1.18)

  3

  3

  3 z

  2

  2

  2 para algum z ∈ U e, como ψ ´e isot´ermica, pelo lema (1.9), temos φ + φ + φ = 0.

  1

  2

  3 Preliminares

  15 Usando a parte (i) do Lema 1.10, vemos que existem fun¸c˜oes f e g tais que f ´e

  holomorfa, g ´e meromorfa, cada polo de g com multiplicidade m ´e zero de f com multipli- ∂x 1 ∂x 1

  φ (w ) = φ (w ) = φ (w ) = 0. Da´ı, por (1.15), (w ) = (w ) = 0, o que n˜ao ´e poss´ıvel

  1

  2

  3 ∂u ∂v pois a superf´ıcie ´e regular. Conclu´ımos ent˜ao que k = 2m.

  Reciprocamente, se f e g satisfazem as condi¸c˜oes requeridas ent˜ao, definindo φ 1 , φ

  2 e φ por (1.7), (1.8) e (1.9), respectivamente, segue-se do Lema 1.10 que φ , φ e φ s˜ao

  3

  1

  2

  3 holomorfas e satisfazem

  2

  2

  2 φ + φ + φ = 0.

  1

  2

  3 Definindo x , x e x por (1.12), (1.13) e (1.14), respectivamente, temos de acordo

  1

  2

  3 com o Lema 1.9 e a parte (ii) do Lema 1.10, que ψ ´e uma superf´ıcie parametrizada regular isot´ermica. Al´em disso, como x , x e x s˜ao definidas respectivamente por (1.12), (1.13) e

  1

  2

  3 (1.14), cada uma das fun¸c˜oes x , x e x ´e a parte real de uma fun¸c˜ao holomorfa, logo s˜ao

  1

  2

  3 harmˆonicas. Conclu´ımos, usando a Proposi¸c˜ao 1.8, que ψ ´e uma superf´ıcie m´ınima. ¥

  Enunciamos a Representa¸c˜ao de Weierstrass do ponto de vista de superf´ıcie de Rie- mann e vemos que alguns resultados importantes s˜ao obtidos. Para isto apresentamos algu- mas defini¸c˜oes.

  Uma superf´ıcie de Riemann ´e um espa¸co topol´ogico M , munido de uma fam´ılia {ψ } de aplica¸c˜oes, ψ : U ⊂ C → V , tais que

  α α∈L α α α S

  V (i) = M ;

  α α∈L

  (ii) ψ ´e um homeomorfismo, ∀ ∈ L; α − −

  1

  1

  1 (iii) Se V ∩ V 6= ∅, ent˜ao ψ = ψ ◦ ψ : ψ (V ) → ψ (V ) ´e holomorfa. α β αβ β β α

  α β α Podemos estender a no¸c˜ao de aplica¸c˜ao holomorfa para superf´ıcies de Riemann. Se

  M e M s˜ao superf´ıcies de Riemann, dizemos que f : M → M ´e holomorfa quando toda

  1 representa¸c˜ao ψ ◦ f ◦ ψ de f , em termos de parametriza¸c˜oes como acima definidas (em

  α β M e M ), ´e uma fun¸c˜ao holomorfa.

  1 Dizemos que uma bije¸c˜ao f : M → M ´e uma bije¸c˜ao holomorfa se f e f s˜ao fun¸c˜oes holomorfas. Dadas duas superf´ıcies de Riemann M e M , se existe uma bije¸c˜ao holomorfa f : M → M dizemos que M e M s˜ao conformemente equivalentes. Uma 1-forma Preliminares

  16

  φ em uma superf´ıcie de Riemann M ´e uma 1-forma holomorfa se, em cada parametriza¸c˜ao conforme ψ : U ⊂ C → M , φ se escreve como φ = ω(z)dz, onde ω : U → C ´e uma aplica¸c˜ao

  3

1.12 Teorema. [Os2] Sejam M ⊂ R uma superf´ıcie de Riemann, g : M → C ∪ {∞} uma

  fun¸c˜ao meromorfa e φ uma 1-forma holomorfa em M . Suponha que (i) Os ´ unicos zeros de φ coincidem com os zeros ou polos de g, com a mesma ordem; (ii) Para qualquer curva fechada γ ⊂ M , tem-se

  Z Z Re Φ = Re (φ , φ , φ ) = 0, (1.19)

  1

  2

  3 γ γ onde

  1

  1 φ = (g − g)φ, (1.20)

  1

  2 i

  1 φ = (g + g)φ (1.21)

  2

  2 e φ = φ. (1.22)

  3

  3 Ent˜ao a aplica¸c˜ao ψ : M → R dada por Z p

  ψ(p) = Re (φ , φ , φ ), (1.23)

  1

  2

  3 p ´e uma imers˜ao conforme m´ınima de M . O par (g, φ) ´e chamado de dados de Weierstrass da superf´ıcie M.

  A condi¸c˜ao (1.19) diz que as 1-formas φ , φ e φ n˜ao tˆem per´ıodos reais.

  1

  2

  3 Uma propriedade interessante da fun¸c˜ao g, que decorre desta representa¸c˜ao, ´e o fato

  2 dela descrever a aplica¸c˜ao normal de Gauss N : M → S (1). Mais precisamente, pode-se

  2 verificar que, se π : S (1) − {(0, 0, 1)} → C ≃ C ∪ {∞} ´e a proje¸c˜ao estereogr´afica a partir

  2 do polo norte de S (1), ent˜ao g = π ◦ N .

  A seguir, damos alguns exemplos de superf´ıcies m´ınimas parametrizadas pela Repre- senta¸c˜ao de Weierstrass, que ser˜ao de grande utilidade para o desenvolvimento deste trabalho.

  3 Para isto, vamos considerar ψ : M → R uma imers˜ao m´ınima. Preliminares

  17 Exemplo

1.1. O cateno´ıde pode ser parametrizado pelos dados de Weierstrass

  dz (g(z) = z, φ = ) e M = C − {0}, z ou seja, a imers˜ao

  Z z 1 i dz − −

  1

  1 ψ(z) = Re ( (z − z), (z + z), 1)

  2 2 z z ´e o cateno´ıde.

  Exemplo

1.2. A superf´ıcie de Enneper de ordem k pode ser parametrizada pelos

  dados de Weierstrass k

  (g(z) = z , φ = g(z)dz) e M = C, ou seja, a imers˜ao Z z 1 − i − k k k k k

  ψ(z) = Re ( (z − z ), (z + z ), 1)z dz

  2

  2 z ´e a superf´ıcie de Enneper de ordem k.

  Uma propriedade interessante desta superf´ıcie m´ınima ´e que tem auto-interse¸c˜oes no infinito.

  Vemos algumas quantidades b´asicas de M (ver [BC]) em termos de g e φ. A m´etrica induzida em M pode ser expressa como 1 −

  1 ds = (|g| + |g| )|φ|, (1.24)

  2 a curvatura Gaussiana dessa m´etrica ´e dada por −16 dg

  2 K = . | | , (1.25)

  1

  4 (|g| + |g| ) gφ

  e, finalmente, podemos expressar o vetor normal num ponto p com

  2 2 |g| − 1 N (p) = (Re(g), Im(g), ).

  2 1 + |g|

  2 Uma curva divergente em M ´e uma aplica¸c˜ao diferenci´avel α : [0, ∞) → M tal que para todo compacto K ⊂ M existe t ∈ (0, ∞) com α(t) 6∈ K para t > t . Define-se o comprimento de uma curva divergente α por

  Z Z t ds = lim |α (t)|dt. t→∞

  α Z A superf´ıcie M ´e completa se ds = ∞ para qualquer curva divergente α em M .

  α Nesse caso diz-se tamb´em que a m´etrica ´e completa. Cap´ıtulo 2 Superf´ıcie m´ınima com curvatura total finita

  Neste cap´ıtulo, apresentamos o conceito de curvatura total finita, abordando al- guns resultados fortes e at´e mesmo surpreendentes do ponto vista geom´etrico de algumas superf´ıcies. Vemos que o fato de uma superf´ıcie m´ınima apresentar curvatura total finita implica em propriedades que n˜ao obtemos em outras superf´ıcies m´ınimas.

  3 Como a fun¸c˜ao curvatura Gaussiana K de uma superf´ıcie M ⊂ R ´e o produto das curvaturas principais, se M ´e uma superf´ıcie m´ınima, ent˜ao as curvaturas principais tem sinais opostos e portanto, K ´e uma fun¸c˜ao n˜ao-positiva. Outra maneira de obter K ´e como o determinante da matriz da diferencial da aplica¸c˜ao normal de Gauss. A ´area da imagem esf´erica de M , contando com multiplicidade, pode ser calculada como (ver [dC ])

  1 Z A(N (M )) = − KdA. M Esta integral ´e denominada curvatura total da superf´ıcie m´ınima M .

  Na fam´ılia das superf´ıcies m´ınimas completas, temos uma importante e natural Z subclasse das superf´ıcies cuja integral da curvatura de Gauss C(M ) = KdA ´e finita.

  M Quando isso ocorre dizemos que a superf´ıcie m´ınima tem curvatura total finita. As superf´ıcies desta subclasse apresentam v´arias propriedades interessantes, como vemos no teorema que se segue.

  Antes de mencionar estas propriedades vamos definir aplica¸c˜ao pr´opria.

  1 em X para todo compacto K ⊂ Y .

  O teorema que apresentamos a seguir descreve algumas propriedades das superf´ıcies m´ınimas de curvatura total finita.

  3

2.1 Teorema. [Os1] Seja ψ : M → R uma imers˜ao m´ınima completa (n˜ao necessariamente

  mergulhada) com curvatura total finita. Ent˜ao (i) M ´e conformemente equivalente a M − {p , ..., p }, onde M ´e uma superf´ıcie de

  1 r Riemann compacta de gˆenero k, os pontos p , ..., p s˜ao os fins de M e r ≥ 1;

  1 r (ii) ψ ´e pr´opria; (iii) Os dados Weierstrass (g, φ) extendem-se meromorficamente a M ; (iv) A curvatura total ´e um m´ ultiplo de 4π e satisfaz

  Z KdA ≤ −4π(k + r − 1);

  M (v) Se ψ ´e um mergulho ent˜ao todos vetores normais em p , ..., p s˜ao paralelos e,

  1 r depois de uma rota¸c˜ao, se necess´ario, podemos assumir que N (p i ) = (0, 0, ±1), i = 1, ..., r.

  Seja D uma vizinhan¸ca perfurada de p ∈ M . Denominamos ψ(D ) como um fim j j j de M.

  Observemos que o gˆenero de M coincide com o gˆenero da compactifica¸c˜ao M .

  2 Dada uma superf´ıcie de Riemann M e uma aplica¸c˜ao meromorfa F : M → S , para

  2

  1 qualquer q ∈ S o conjunto F (q) = {p ∈ M/F (p) = q} tem o mesmo n´ umero de elementos s, que ´e chamado grau da aplica¸c˜ao meromorfa F .

  Podemos determinar o grau de N em termos do gˆenero da superf´ıcie de Riemann compacta M e o n´ umero de fins da imers˜ao pela F´ormula Jorge-Meeks [JM]. Quando M tem fins mergulhado, esta f´ormula estabelece que grau(N ) = k + r − 1.

  Note da f´ormula acima que o grau da aplica¸c˜ao normal de Gauss ´e fortemente relacionada com a curvatura total da imers˜ao ψ. Al´em disso, segue diretamente da defini¸c˜ao de grau que a aplica¸c˜ao normal de Gauss ´e injetiva se, e somente se, grau(N)=1.

  Exemplos simples de superf´ıcie m´ınima completa com curvatura total finita s˜ao o superf´ıcie m´ınima mergulhada, pois, como mostramos mais adiante, cada fim mergulhado de uma superf´ıcie m´ınima completa com curvatura total finita deve ser assint´otico a um Se permitimos que tais superf´ıcies tenham auto-intersec¸c˜oes, ent˜ao fins mais com- plicados podem aparecer, como na superf´ıcie de Enneper.

  Fora de um conjunto compacto uma superf´ıcie m´ınima completa mergulhada M com curvatura total finita tem uma forma absolutamente controlada, como mostramos na Proposi¸c˜ao 2.4, al´em disso, pelo item (i) do Teorema 2.1 existe um n´ umero finito de fins paralelos.

  Mostramos alguns resultados importantes, nesse contexto, a respeito do plano.

  3 2.2 Proposic ¸˜ ao.

  O plano ´e a ´ unica superf´ıcie m´ınima completa mergulhada em R com curvatura total finita e exatamente um fim.

  3 Prova.

  Seja ψ = (x , x , x ) : M → R um mergulho m´ınimo completa com curvatura total

  1

  2

  3 finita e um fim. Observe que este fim deve ser do tipo planar. Caso contr´ario, seria do tipo

  3 caten´oide e x : M → R seria ilimitada. Como o fim ´e do tipo planar, a fun¸c˜ao terceira

  3

  3 coordenada x : M → R ´e harmˆonica e limitada superiormente (ou inferiormente). Assim

  3 x 3 deve ser constante, logo a superf´ıcie ψ(M ) deve ser um plano. ¥ 2.3 Proposic ¸˜ ao.

  O plano ´e a ´ unica superf´ıcie m´ınima completa propriamente mergulhada

  3 em R com curvatura total finita igual a zero.

  3 Prova.

  Seja ψ : M → R um mergulho pr´oprio m´ınimo completo com curvatura total igual a zero. Pelo item (iv) do Teorema 2.1 a curvatura total de ψ satisfaz a condi¸c˜ao Z

  KdA ≤ −4π(k + r − 1) M Z e por hip´otese temos KdA = 0. Assim 0 ≤ −4π(k + r − 1), isto implica em k + r ≤ 1.

  M Decorre da´ı e pelo fato de r ≥ 1 que r = 1, logo, pela Proposi¸c˜ao 2.2, a superf´ıcie ψ(M ) ´e um plano.

  ¥ A seguir vemos como se comporta a terceira fun¸c˜ao coordenada x : D − {p} → R

  3 de um fim mergulhado de curvatura total finita.

  3 3 2.4 Proposic ¸˜ ao.

  [Sc] Suponha que ψ : M → R tem um fim mergulhado ψ : D − {p} → R fora de um conjunto compacto, ψ(D − {p}) ´e um gr´afico com o seguinte comportamento assint´otico: − − x (x , x ) = α log ρ + β + ρ (γ x + γ x ) + O(ρ ) (2.1)

  3

  1

  2

  1

  1

  2

  2 p

  2

  2 onde ρ = x + x . Al´em disso, as duas primeiras componentes φ , φ em (1.19) tˆem polos

  1

  2

  1

  2 de ordem dois em p e n˜ao tˆem res´ıduo, enquanto a terceira componente φ , tamb´em em

  3 (1.19), ou ´e regular (que ocorre se e somente se α = 0 em (2.1)) ou tem um polo simples.

  Prova.

  Provamos esta proposi¸c˜ao no caso em que a aplica¸c˜ao de Gauss no fim mergulhado ´e injetiva. Neste caso assumimos, sem perda de generalidade, que p = 0 e g(z) = z em k

  D = {z/|z| < R}. (Em geral podemos assumir que g(z) = z em D = {z/|z| < R} e pode-se mostrar que α = 0 quando k > 1).

  Por (1.12), (1.13) e (1.14), temos, Z z Z z Z z 1 −

  1 −

  1

  1 x (z) = Re φ = Re (g − g)φ = Re (z − z)φ

  1

  1

  2

  2 z z z

  Z z Z z Z z i − i −

  1

  1 x (z) = Re φ = Re (g + g)φ = Re (z + z)φ

  2

  2

  2

  2 z z z

  Z z x 3 (z) = Re φ. z

  Observe que Z z Z z Z z Z z − −

  1

  1 2(x − ix ) = g φ − gφ = z φ − zφ.

  1

  2 z z z z Expressamos agora φ mais precisamente, escrevendo, − − − − k

  1 φ = (c z + ... + c z + c + zw (z))dz, k

  1

  1 onde w (z) ´e uma fun¸c˜ao holomorfa.

  1 Observemos que x − ix n˜ao ´e bem-definida se c 6= 0, pois a primeira integral na

  1

  2 − ix express˜ao x

  1 2 produziria um termo c ln z, que n˜ao ´e uma fun¸c˜ao bem-definida em z, logo c = 0. Por raz˜oes similares (usando a segunda integral), obtemos que c = 0.

  2 2.1 Afirmac ¸˜ ao.

  φ tem um polo em zero. Prova.

  Suponha que φ n˜ao tem um polo em zero, isto significa que φ = zw (z)dz, onde w

  1

  1 Considere uma curva divergente α : [0, 1) → M definida por α(t) = (1 − t)z , onde ∈ D. z

  |. Como w Escolha uma bola compacta D(0, r) ⊂ D, onde r > |z 1 ´e cont´ınua e D(0, r) ´e compacto, podemos encontrar c > 0, tal que |w (z)| < c sempre que |z| < r.

  1 Calculando a integral de ds, ao longo de α, temos Z Z

  2 1 (|z| + 1)

  |zw ds = (z)||dz|

  1 2 |z|

  α α Z

  1

  2 = (|z| + 1)|w (z)||dz|

  1

  2 α

  Z β 1 ′

  2 = lim (|α(t)| + 1)|w 1 (α(t))||α (t)|dt

  β→1

2 Z β

  2 c(R + 1) ′

  < lim |α (t)|dt β→1

  2

  2 c(R + 1)|z | = .

  2 Isto contradiz o fato da m´etrica ds ser completa, portanto φ tem um polo em zero.

2.2 Afirmac ¸˜ ao.

  φ tem um polo simples em p = 0. Prova.

  Suponha, por absurdo, que o polo de φ n˜ao ´e simples. Isto implica, pela Afirma¸c˜ao 2.2, que c 6= 0 para k ≥ 3. k

  Z z Z z

  1 k Considere f (z) = (x − ix )(z) = z φ − zφ, onde φ = (c z + ... + c +

  1

  2 k z z zw (z))dz. Por integra¸c˜ao podemos expressar f (z) como

  1 − − − − k k+2 c z c z k − k − − −

  1

  1 f (z) = − − ... − c z + ... + c + z + w (z) + constante,

  1

  1

  3 k k − 2 onde w ´e cont´ınua.

  3 iθ Escolha γ ⊂ D um c´ırculo z = re , θ ∈ [0, 2π] de raio suficientemente pequeno e de modo que a regi˜ao R, limitada por γ, n˜ao contenha nenhum zero de f (z).

  Como f ◦ γ ´e uma curva fechada em M , pois f ´e cont´ınua e γ ´e uma curva fechada, e f tem um polo de ordem k e n˜ao tem zeros em R, ent˜ao, pelo Teorema 1.4, I(f ◦ γ, 0) = −k, k ≥ 3. Logo f ◦ γ tem auto-interse¸c˜oes. iθ

  Por outro lado, como o fim ´e mergulhado, a imagem do c´ırculo z = re ´e uma curva que n˜ao tem auto-interse¸c˜oes. Al´em disso, como γ ´e um c´ırculo de raio suficientemente pequeno e tomado pr´oximo de um ponto correspondente a um fim de ψ, segue-se da´ı que o vetor normal ao longo desta curva se aproxima da vertical. iθ

  Estes dois fatos se contradizem, pois a proje¸c˜ao da imagem do c´ırculo z = re em M n˜ao pode ter auto-interse¸c˜oes, como em f ◦ γ. Assim φ tem um polo simples em zero.

  1 Portanto, pelas Afirma¸c˜oes (2.1) e (2.2), obtemos que φ = (c z + zw (z))dz,

  1

  1 onde w (z) ´e holomorfa.

  1 Analisemos agora Z x

  3 = Re φ γ

  Z

  1 = Re (c z + zw (z))dz

  1

  1 γ

  = Re(2πic ),

  1 Z onde γ ⊂ D ´e uma curva fechada. Como x ´e bem-definida, ou seja , Re φ = 0, ent˜ao c

  3

  1 γ deve ser um n´ umero real.

  Provamos, agora, que φ e φ tˆem polo duplo em p = 0 e n˜ao tˆem res´ıduos em p = 0.

  1

  2 De fato, − −

  2

  2

  1

  1 lim z φ = lim z (z − z)(c z + zw (z))

  1

  1

  1 z→0 z→0 − − − z

  2

  2

  4 = lim (c 1 + z w 1 (z) − c 1 z w 1 (z)) z→0 = c 6= 0.

  1 Portanto φ tem um polo duplo em p = 0. De forma an´aloga, conclui-se que φ tamb´em tem

  1

  2 um polo duplo em p = 0. Al´em disso

  Z 1 − −

  1

  1 − z)(c −

  Res(φ , 0) = (z z + zw (z))dz

  1

  1

  1 2π

  γ Z

  1

  1 − −

  2

  2

  4 = (c + z w (z) − c z − z w (z))dz,

  1

  1

  1

  1

  2 2π z

  γ onde γ ⊂ D − {p} e γ ´e uma curva fechada. Aplicando a F´ormula integral de Cauchy para derivadas na ´ ultima igualdade obtemos ′ ′

  2

  3

  4 Res(φ , 0) = 2z w (z ) + z w (z ) − 2c z + 4z w (z ) + z w (z ) |

  1

  1

  1 1 z =0

  1

  1 = 0. Agora podemos escrever x − ix = c /z + M + zw (z) + zw (z)

  1

  2

  1

  2

  3 e

  2 x = M + c ln |z| + O(|z| ),

  3

  1

  1 onde w (z) ´e holomorfa e M ´e uma constante, e pode-se mostrar que i i − − − −

  2

  2 x (z) = const. − c ln ρ − ρ c Re(x − ix ).c + O(ρ ), (2.2)

  3

  1

  1

  1

  2 p

  2

  2 onde ρ = x + x e c ´e uma constante.

  ¥

  1

  2 A partir da Proposi¸c˜ao 2.4, podemos observar alguns fatos importantes a respeito de um fim de uma superf´ıcie m´ınima mergulhada com curvatura total finita e definir algumas coisas.

2.5 Observa¸c˜ao. (i) Um fim mergulhado de curvatura total finita ´e assint´otico a um caten´oide

  (x = α log r + β) ou a um plano (x = β);

  3

  3 (ii) Observe da equa¸c˜ao (2.2) que o crescimento logaritmo de um fim mergulhado, − − parametrizado num disco perfurado D − {p}, ´e igual a −c , onde c ´e o res´ıduo de φ em

  1

  1 p;

  (iii) Considere um fim mergulhado de uma superf´ıcie m´ınima completa de curvatura total finita. O fim ´e tipo planar se α = 0 na equa¸c˜ao (2.1) e ´e um fim tipo caten´oide caso contr´ario.

  (iv) Em termos da representa¸c˜ao de Weierstrass, um fim mergulhado completo

  3 ψ : D − {p} → R de curvatura total finita onde a aplica¸c˜ao de Gauss extendida em p ´e igual a (0, 0, ±1), pode ser parametrizado na forma

  α k k g(z) = z e φ = z ( + h(z))dz,

  2 z onde uma das seguintes possibilidades ocorrem:

  (iv.1) Fim tipo caten´oide: k = 1 e α ∈ R − {0} (α ´e o crescimento logar´ıtmico do fim). Neste caso, o fim ´e assint´otico a um semi-caten´oide; (iv.2) Fim tipo planar: k ≥ 2 e α ∈ C − {0}. Agora o fim ´e assint´otico a um plano. Observe que os dados de Weierstrass acima devem satisfazer a condi¸c˜ao (i) do Teo- rema 1.12, o que de fato ocorre. Cap´ıtulo 3 Superf´ıcie m´ınima com for¸ ca vertical

  Neste cap´ıtulo, vemos o conceito de for¸ca numa superf´ıcie m´ınima, como se com- porta a for¸ca em um fim mergulhado de curvatura total finita, algumas propriedades, quais as condi¸c˜oes para termos for¸cas verticais e abordamos tal conceito e propriedades via Repre- senta¸c˜ao de Weierstrass. Vemos de que forma podemos transportar tudo isto para o teorema que permite parametrizar as superf´ıcies m´ınimas. Para isto fazemos algumas considera¸c˜oes iniciais.

  3 Consideremos uma imers˜ao m´ınima conforme ψ : M → R . Dada uma curva fechada γ ⊂ M , denotemos η = −dψ(Jγ ) o vetor conormal ao longo de γ, onde, em cada plano tangente, J ´e a rota¸c˜ao de 90 no sentido positivo e γ ´e a derivada de γ com respeito ao parˆametro comprimento de arco.

  A for¸ca de ψ ao longo de γ ´e definida por Z F (ψ, γ) = ηds.

  γ Quando γ ´e o bordo de um dom´ınio regular Ω⊂M , pelo teorema da Divergˆencia temos

  Z Z F (ψ, γ) = ηds = ∆ψdA = 0,

  ∂Ω Ω pois ψ ´e m´ınima, da´ı suas coordenadas s˜ao harmˆonicas, ou seja, ∆ψ = 0.

  Assim, se γ e ξ s˜ao curvas numa mesma classe de homologia, considerando um dom´ınio regular tal que ∂Ω = γ∪ξ, (γ e ξ com orienta¸c˜oes opostas), obtemos Z Z Z Z Z 0 = ∆ψdA = ηds = ηds = ηds − ηds logo, Z Z ηds = ηds.

  γ ξ Portanto, a for¸ca de ψ ao longo de γ n˜ao depende da curva em uma mesma classe de homologia.

  3 Considerando-se que a imers˜ao conforme m´ınima ψ : M → R em (1.23) ´e bem- Z

  Z definida, isto ´e, Re Φ = 0, ´e natural questionar sobre o significado geom´etrico de Im Φ.

  γ γ Para responder essa quest˜ao enunciamos e provamos a proposi¸c˜ao a seguir.

3.1 Proposic ¸˜ ao. Se Φ = d(ψ+iψ ) ´e a forma Weierstrass de ψ, onde ψ ´e a imers˜ao

  m´ınima conjugada que globalmente n˜ao ´e bem-definida e Φ = (φ , φ , φ ), ent˜ao a for¸ca de

  1

  2

  3 ψ ao longo de γ coincide com o per´ıodo de ψ ao longo da mesma curva.

  Prova.

  Seja

  2

  3 ψ : U ⊂ C ≃ R → R x 7→ (x (x), x (x), x (x)),

  1

  2

  3 onde U ´e um aberto simplesmente conexo.

  Como as fun¸c˜oes coordenadas x , x e x s˜ao fun¸c˜oes reais, podemos expressar a

  1

  2

  3 diferencial de ψ no ponto p como dψ (x) = (dx (p)(x), dx (p)(x), dx (p)(x)) p

  1

  2

  3 ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x

  1

  1

  2

  2

  3

  3 = ( (p).u + (p).v, (p).u + (p).v, (p).u + (p).v),

  ∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v

  2 onde p = (a, b) e x = (u, v) ∈ R ≃ C.

  Al´em disso, pelo fato de U ser um aberto simplesmente conexo, podemos garantir a ∗ ∗ ∗ existˆencia das fun¸c˜oes harmˆonicas conjugadas x , x e x .

  1

  2

  3 Observe que ∗ ∗ ∗ ∗ ψ + iψ = (x + ix , x + ix , x + ix ),

  1

  2

  3

  1

  2

  3 ∗ ∗ ∗ onde ψ ´e a imers˜ao m´ınima conjugada cuja as fun¸c˜oes coordenadas s˜ao x , x e x . Pelas

  1

  2

  3 equa¸c˜oes de Cauchy-Riemann, temos ∗ ∗

  ∂x ∂x ∂x ∂x

  1

  1

  1

  1 = , = −

  ∂u ∂v ∂v ∂u ∗ ∗ ∂x ∂x ∂x ∂x

  2

  2

  2

  2 = , = −

  ∗ ∗ ∂x ∂x ∂x ∂x

  3

  3

  3

  3 = , = − .

  ∂u ∂v ∂v ∂u Agora, aplicando as equa¸c˜oes de Cauchy-Riemann na diferencial de ψ, conclu´ımos ∗ ∗

  ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x

  2

  2

  3

  3

  1

  1 dψ (x) = ( (p).u − (p).v, (p).u − (p).v, (p).u + (p).v) p

  ∂v ∂u ∂v ∂u ∂v ∂u ∗ ∗ ∗ = (dx (p)(Jx), dx (p)(Jx), dx (p)(Jx))

  1

  2

  3 = dψ (Jx), p logo dψ p (u, v) = dψ (−v, u). p

  Conclu´ımos da´ı Z Z Z Z ′ ∗ ′ ∗ ′

  2 F (ψ, γ) = ηds = − dψ(Jγ )ds = − dψ (J γ )ds = dψ (γ )ds γ γ γ γ

  e, portanto Z F (ψ, γ) = Im Φ.

  γ ¥

  Usando os dados de Weierstrass (g, φ), a equa¸c˜ao acima reduz-se a Z 1 − i −

  1

  1 F (ψ, γ) = Im ( (g − g), (g + g), 1)φ.

  2

  2 γ A proposi¸c˜ao a seguir revela sobre quais condi¸c˜oes temos forca vertical.

  Z Z

  1 Proposic ¸˜ ao.

3.2 F(ψ, γ) ´e vertical se, e somente se, gφ = g φ = 0 para qualquer

   γ γ

  1 curva fechada γ⊂M , isto ´e, gφ e g φ s˜ao formas diferenciais exatas em M .

  Prova.

  Suponha que F(ψ, γ) ´e vertical, ent˜ao Z Z − −

  1

  1 − g)φ = Im

  Im (g i(g + g)φ = 0. (3.1) γ γ

  Como ψ ´e bem-definida isto implica em Z Z − −

  1

  1 Re (g − g)φ = Re i(g + g)φ = 0. (3.2) γ γ

  Observe que Z Z − −

  1

  1 Re (g + g)φ = Im i(g + g)φ = 0 (3.3) e Z Z − −

  1

  1 Re i(g + g)φ = −Im (g + g)φ = 0. (3.4) Logo pelas igualdades (3.2) e (3.3) temos

  Z Z − −

  1

  1 Re (g − g)φ = Re (g + g)φ = 0 γ γ e da´ı

  Z Z

  1 Re gφ = Re g φ = 0. γ γ

  De forma an´aloga, usando as igualdades (3.1) e (3.4) obtemos Z Z − −

  1

  1 Im (g − g)φ = −Im (g + g)φ = 0 γ γ e portanto

  Z Z

  1 Im gφ = Im g φ = 0. γ γ

  Assim Z Z

  1 gφ = g φ = 0. γ γ

  1 Em particular, gφ e g φ s˜ao formas diferenciais exatas em M .

  Para a prova da rec´ıproca, ´e imediato que Z Z

  1 gφ = g φ = 0

  γ γ implica em for¸ca vertical.

  ¥ A seguir apresentamos um resultado que permite observar como ´e o comportamento da for¸ca em um fim mergulhado de curvatura total finita de uma superf´ıcie m´ınima.

  3 Proposic ¸˜ ao.

3.3 Sejam ψ : M → R uma imers˜ao m´ınima conforme com curvatura total

  ∈ M tal finita, γ uma curva fechada contida numa vizinhan¸ca perfurada D de um ponto p j j que p j pertence a regi˜ao limitada por γ e ψ(D j ) um fim mergulhado da imers˜ao. Ent˜ao

  F (ψ, γ) = (0, 0, 2πα), onde α ´e o crescimento logar´ıtmico do fim.

  Em particular, F (ψ, γ) ´e vertical no fim tipo caten´oide e ´e zero num fim tipo planar. Prova. Seja γ ⊂ D uma curva fechada numa vizinhan¸ca perfurada de p ∈ M . Pela j j

  Proposi¸c˜ao 3.1 Z Z

  1

  2

  3 γ γ

  Aplicando o Teorema dos Res´ıduos na integral acima, temos F (ψ, γ) = Im(2πiRes(φ , p), 2πiRes(φ , p), 2πiRes(φ , p)).

  1

  2

  3 Segundo a Proposi¸c˜ao 2.4, Res(φ , p) = Res(φ , p) = 0 logo,

  1

  2 F (ψ, γ) = Im(0, 0, 2πiRes(φ , p)) = Im(0, 0, 2πiRes(φ, p)) = (0, 0, 2πα).

  3 Em particular, no fim tipo planar (α = 0), temos F(ψ, γ) = (0, 0, 0) e no fim tipo caten´oide (α 6= 0), temos F(ψ, γ) = (0, 0, 2πα).

  ¥ Cap´ıtulo 4 ao de uma superf´ıcie λ-Deforma¸c˜ m´ınima

  Neste cap´ıtulo, vemos o conceito de λ-deforma¸c˜ao e alguns resultados a respeito. Vimos no Teorema 1.12 que podemos parametrizar superf´ıcies m´ınimas, a partir de um par (g, φ), onde g ´e uma fun¸c˜ao meromorfa, φ uma 1-forma holomorfa e ambas satisfazem certas condi¸c˜oes. Considerando-se λ > 0, o par (λg, φ) pode determinar, via Teorema 1.12, uma imers˜ao m´ınima. Um ponto importante ´e saber quais propriedades da imers˜ao dada pelo par (λg, φ) s˜ao herdadas da imers˜ao dada pelo par (g, φ), e como se relacionam as propriedades das duas imers˜oes.

  Mostramos na Proposi¸c˜ao 4.1 que a condi¸c˜ao da imers˜ao ψ ter for¸ca vertical garante que a imers˜ao ψ ´e bem-definida em M para todo λ > 0, isto ´e, a verticalidade das for¸cas λ de ψ ´e equivalente `a existˆencia de uma deforma¸c˜ao a um parˆametro via Representa¸c˜ao de Weierstrass. Para cada n´ umero positivo λ, considere em M a aplica¸c˜ao meromorfa g = λg.

  λ

  3 Ent˜ao o par (g , φ) determina uma aplica¸c˜ao bem-definida ψ : M → R dada por: λ

  λ Z Z z z

  1 − − i − −

  1

  1

  1

  1 − λg),

  ψ λ (z) = Re Φ λ = Re ( (λ g (λ g + λg), 1)φ. (4.1)

  2

  2 z z

  Observe que os zeros e polos de (λg, φ) s˜ao os mesmos de (g, φ) e a terceira fun¸c˜ao coordenada ´e a mesma para ψ e ψ .

  λ

  3 Sejam ψ : M → R uma imers˜ao m´ınima e (g, φ) os dados de Weierstrass dessa } imers˜ao. Denominamos de λ-deforma¸c˜ao a fam´ılia {ψ λ λ>0 , onde (λg, φ) s˜ao seus dados de

  Weierstrass.

  O pr´oximo resultado mostra a equivalˆencia entre os fatos da imers˜ao ψ , dada por λ (4.1), ser bem-definida para todo λ > 0 e a verticalidade das for¸cas de ψ.

4.1 Proposic ¸˜ ao.

  A imers˜ao ψ ´e bem-definida para todo λ > 0 se, e somente se, ψ tem λ for¸ca vertical.

  Prova.

  Suponha que ψ n˜ao tem for¸ca vertical, ou seja, Z Z − −

  1

  1 Im (g − g)φ 6= 0 ou Im i(g + g)φ 6= 0. γ γ

  Z

  1 Considere Im i(g + g)φ 6= 0. Ent˜ao γ

  Z Z Z Z − −

  1

  1 Re g φ = Im ig φ 6= −Im igφ = −Re gφ, γ γ γ γ ou seja,

  Z

  1 Re (g + g)φ 6= 0. γ

  Isto contradiz o fato da imers˜ao ψ ser bem-definida para todo λ > 0, logo ψ tem λ for¸ca vertical.

  Z

  1 Se Im (g − g)φ 6= 0 a prova ´e an´aloga. γ

  Reciprocamente, dada uma curva fechada γ ⊂ M , temos Z Z Z

  Φ = Re Φ + iIm Φ γ γ γ

  Z = Re Φ + iF (ψ, γ)

  γ = iF (ψ, γ)

  Z 1 − i −

  1

  1 = iIm ( (g − g), (g + g), 1)φ,

  2

  2 γ

  Z pois ψ ´e bem-definida, isto ´e, Re Φ = 0. A partir desta identidade observe que a condi¸c˜ao γ

  1 de ter for¸ca vertical, pela Proposi¸c˜ao 3.2, ´e equivalente ao fato de gφ e g φ serem exatas,

  Z Z

  1 ou seja, gφ = g φ = 0. Ent˜ao conclu´ımos

  γ γ Z Z − − − −

  1

  1

  1

  1 λ g φ = λ g φ = 0

  γ γ e

  Z Z λgφ = λ gφ = 0. Como Z Z 1 − − i − −

  1

  1

  1

  1 − λg),

  ψ λ = Re Φ λ = Re ( (λ g (λ g + λg), 1)φ

  2

  2 Z Z e Re φ = 0, pois ψ ´e bem-definida, obtemos da´ı e da conclus˜ao acima que Re Φ = 0,

  λ γ ou seja, a ψ ´e bem-definida para todo λ > 0.

  λ ¥

  A m´etrica e a curvatura de ψ de acordo com (1.24) e (1.25), s˜ao dadas por λ

  1 − − −16 dg

  1

  1 2 ds = (λ|g| + λ |g| )|φ| e K = . | | .

  λ λ − −

  1

  1

  4 2 (λ|g| + λ |g| ) gφ

  3 Daqui por diante, ψ : M → R denotar´a uma imers˜ao m´ınima n˜ao-plana com for¸ca vertical. Mostramos alguns resultados a respeito da λ-deforma¸c˜ao.

  3

4.2 Proposic ¸˜ ao. Seja ψ : M → R uma imers˜ao m´ınima conforme:

  (i) ψ ´e completa se, e somente se, ψ ´e completa para todo λ > 0; λ

  (ii) A curvatura total de ψ ´e finita se, e somente se, a curvatura total de ψ ´e finita λ para todo λ > 0. − −

  1

  1 Prova.

  (i) Considere a = min{λ , λ}, b = max{λ , λ} e λ > 0. Ent˜ao

  1

  1 ads = (a|g| + a|g| )|φ|

  2

  1

  1 ≤ (a|g| + b|g| )|φ|

  2 = ds

  λ 1 −

  1 ≤

  (b|g| + b|g| )|φ|

  2 = bds.

  Ou seja, ≤ bds, ads ≤ ds λ

  (4.2) onde ds e ds s˜ao as m´etrica de ψ e ψ , respectivamente.

  λ λ A partir desta desigualdade podemos obter a desigualdade − −

  1

  1 ≤ ds ≤ a b ds λ ds λ . (4.3)

  Para provarmos o item (i) ´e suficiente mostrar que as m´etricas ds e ds s˜ao completas.

  λ Suponha, por absurdo, que ds λ n˜ao ´e completa. Ent˜ao existe uma curva divergente

  γ ⊂ M tal que Z

  Z γ ds ≤ a

  Z γ ds λ = c, c ∈ R. Usando a desigualdade (4.3) temos b

  1 c = b

  γ ds λ ´e finita, digamos

  1 c.

1 Z

  1 Z γ ds

  4 K λ

  4 . | dg gφ

  |

  2 = a

  4 K.

  Isto ´e, b

  4 K ≤ K λ

  ≤ a

  4 K, (4.4) onde K e K λ ´e a curvatura Gaussiana de ψ e ψ λ , respectivamente.

  De forma an´aloga ao item (i), podemos obter a outra desigualdade a

  4 K λ

  ≤ K ≤ b

  . (4.5) Suponha que a curvatura total de ψ ´e finita, isto ´e,

  4 (|g| + |g|

  Z M KdA = m, m ∈ R. A partir da desigualdade (4.4) obtemos b

  4 m = b

  4 Z M KdA ≤

  Z M K λ dA ≤ a

  4 Z M KdA = a

  4 m.

  Portanto Z M K

  λ dA ´e finito e ψ

  λ tem curvatura total finita.

  De maneira an´aloga, usando a desigualdade (4.5), pode-se provar a rec´ıproca.

  ¥ Os pr´oximos resultados dar˜ao propriedades importantes a respeito da λ - deforma¸c˜ao

  1 )

  −16a

  λ = a

  4 . | dg gφ

  λ ≤

  Isto ´e uma contradi¸c˜ao, pois ds ´e completa. Portanto, ds λ ´e completa.

  De forma completamente an´aloga, usando a desigualdade (4.2), prova-se a rec´ıproca. (ii) Considere a e b como na prova do item (i). Ent˜ao b

  4 K = 16b

  4 (|g| + |g|

  1 )

  4 . | dg gφ

  |

  2 =

  −16 (b|g| + b|g|

  1 )

  |

  2 =

  2 ≤

  −16 (b|g| + a|g|

  1 )

  4 . | dg gφ

  |

  2 = K

  λ ≤

  −16 (a|g| + a|g|

  1 )

  γ ds

  |

  4 . | dg gφ

  3 Lema.

  

4.3 Seja ψ : M → R uma imers˜ao m´ınima. Se p ∈ M ´e um ponto onde o vetor

  normal ´e vertical, ent˜ao, para toda vizinhan¸ca D de p, existe λ > 0 tal que ψ ´e n˜ao λ/D injetiva.

  Prova. Suponha que p ´e um ponto onde vetor normal ´e N (p)=(0, 0, −1). Podemos assumir que g(p) = 0.

  Tome coordenadas conformes nas proximidades de p tais que os dados de Weierstrass k k de ψ s˜ao dados por g(z) = z , φ = z (a + zh(z)) dz em |z| < ǫ, onde k ´e um n´ umero inteiro positivo, a um n´ umero complexo diferente de zero e h uma fun¸c˜ao holomorfa.

  A seguir, para estudarmos ψ em torno de p consideramos a nova coordenada con- k k 1 1 forme ξ = λ z definida em |ξ| < λ ǫ. Ent˜ao ψ ´e determinada por λ k

  ξ ξ ξ k g λ (ξ) = ξ , φ λ = 1 (a + 1 h( 1 ))dξ.

  1+ k k k λ λ λ 1

  1+ k Agora, expandindo homoteticamente ψ com fator λ , obtemos uma nova imers˜ao 1 λ 1

  1+ 1+ k k m´ınima λ ψ com dados de Weierstrass (g , λ φ ).

  λ λ λ 1 1+ k

  

4.1 Afirmac ¸˜ ao. A imers˜ao λ ψ converge uniformemente em conjuntos compactos de

  λ k k C ∞ ∞ para a imers˜ao m´ınima cujos dados de Weierstrass s˜ao g = ξ , φ = aξ dξ, ξ ∈ C.

  Prova. Dado um conjunto compacto K ⊂ C, ∀ξ ∈ K, temos 1 ξ ξ

  1+ k k k k k |(g ∞ ∞

  λ , λ ψ λ ) − (g , φ )| = |(ξ , ξ (a + k k 1 h( 1 ))dξ) − (ξ , aξ dξ)| λ λ k+1

  ξ ξ = |(0, k k 1 h( 1 )dξ|

  λ λ k+1

  ξ ξ ≤ | h( )dξ| k k 1 1

  λ λ k+1

  ξ ξ = | ||h( )dξ| −→ 0, quando λ −→ +∞, k k 1 1 k+1 λ λ

  ξ pois | k 1 | −→ 0 e h ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua.

  λ Esta superf´ıcie limite ´e uma k-superf´ıcie de Enneper, que ´e n˜ao mergulhada no infinito, portanto tem auto-intersec¸c˜ao e ψ λ/D ´e n˜ao injetiva para λ suficientemente grande, como quer´ıamos.

  ¥

  3 4.4 Lema.

  Se ψ : M → R ´e uma imers˜ao m´ınima com um fim planar, ent˜ao para toda Prova. Um fim planar ´e parametrizado pelos dados de Weierstrass a k k g(z) = z , φ = z ( + h(z))dz, 0 < |z| < ǫ,

  2 z onde k ≥ 2 ´e um n´ umero inteiro, a ∈ C − {0} e h ´e uma fun¸c˜ao holomorfa. Com o mesmo argumento da prova do Lema 4.3 aplicado a estes dados de Weierstrass d´a uma superf´ıcie a ∞ ∞ k limite determinada por g (ξ) = ξ , φ = dz com fim n˜ao mergulhado no infinito, logo 2−k

  ξ ψ λ/D ´e n˜ao injetiva para λ suficientemente grande, como quer´ıamos. ¥

  Enunciamos e demonstramos a Proposi¸c˜ao 4.5 cujo Corol´ario 4.6 ser´a utilizado na demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 4.7.

4.5 Proposic ¸˜ ao.

  Sejam M e N superf´ıcies, com M compacta e ϕ : M → N uma aplica¸c˜ao cont´ınua e sobrejetiva. Ent˜ao ϕ ´e homeomorfismo se, e somente se, ϕ ´e injetiva.

  Prova. ´ E imediato que se ϕ ´e um homeomorfismo, ent˜ao ϕ ´e injetiva. Provemos agora a rec´ıproca.

  Sejam b = ϕ(a) ∈ N e y = ϕ(x ) uma seq¨ uencia de pontos em N , com y → b. − − − n n n

  1

  1

  1 → a = ϕ ∈ M ,

  Devemos mostrar que ϕ ´e cont´ınua, ou seja, ϕ (y n ) = x n (b). Como x n a sequˆencia x ´e limitada, ent˜ao x admite uma subseq¨ uˆencia convergente. Seja x uma n n j subseq¨ uˆencia convergindo para c. Como M ´e compacto temos c ∈ M . Al´em disso, y = ϕ(x ) j j ainda converge para b. Como ϕ ´e cont´ınua no ponto c, temos que ϕ(c) = lim ϕ(x j ) = b.

  Sendo ϕ injetiva, devemos ter a = c.

  ¥ Corol´ ario.

  

4.6 Sejam M = M − {p , ..., p } uma superf´ıcie, onde M ´e uma superf´ıcie

  1 r

  3 compacta e ϕ : M → ϕ(M ) ⊂ R uma imers˜ao m´ınima. Ent˜ao ϕ ´e homeomorfismo se, e somente se, ϕ ´e injetiva.

  1 Prova. Sejam y ∈ ϕ(M ), tal que y → y e x = ϕ (y ) ∈ M = M − {p , ..., p }, n n n n 1 r podemos assumir que existe uma subseq¨ uˆencia x → x ∈ M . Podemos afirmar que x 6= p , j i

  → x i = 1, ..., r, onde p corresponde a um fim qualquer de M . De fato, se x = p , ent˜ao i j i

  ϕ(x ) → ∞, mas ϕ(x ) = y ∈ ϕ(M ). Portanto, x ∈ M e pela Proposi¸c˜ao 4.5, ϕ ´e um n j j homeomorfismo.

  ¥ Para o pr´oximo resultado necessitamos do conceito de aplica¸c˜ao de recobrimento.

  Uma aplica¸c˜ao P : e X → X chama-se uma aplica¸c˜ao de recobrimento ou, simples-

  − S

  1 U P (V) = ´e uma reuni˜ao de abertos U , dois a dois disjuntos, cada um dos quais se

  α α α aplica por P homeomorficamente sobre V.

  3

  

4.7 Proposic ¸˜ ao. Se ψ : M → R ´e uma superf´ıcie m´ınima propriamente mergulhada com

  curvatura total finita e as imers˜oes ψ s˜ao bem-definidas para todo λ > 0, ent˜ao ψ ´e um λ

  λ mergulho para todo λ > 0.

  Prova.

  Observe primeiramente alguns fatos. Como a imers˜ao ψ ´e bem-definida para todo λ

  λ > 0 e ψ tem curvatura total finita, segue-se pelo item (ii) da Proposi¸c˜ao 4.2 que a imers˜ao ψ tamb´em tem curvatura total finita para todo λ > 0, logo existe fins da imers˜ao ψ para

  λ λ todo λ > 0. Os dados de Weierstrass (g = λg, φ) da deforma¸c˜ao ψ , n˜ao mudam nem zeros

  λ λ nem polos de g e φ, assim os fins de ψ nos pontos p de M = M − {p , ..., p } s˜ao os mesmos

  λ j 1 r de ψ para todo λ > 0, isto ´e, fins tipo planares permanecem planares e fins tipo caten´oide permanecem caten´oide; mais do que isso seus crescimentos logar´ıtmicos α = −Resφ(p) s˜ao independentes de λ.

  Pelo Corol´ario 4.6, para provar a proposi¸c˜ao basta mostrar que ψ ´e injetiva.

  λ Defina ∆ = {λ > 0/ψ ´e injetiva} e observe que ∆ 6= ∅, pois, ψ = ψ ´e um mergulho

  λ

  1 por hip´otese, logo 1 ∈ ∆. A proposi¸c˜ao ser´a provada se deduzirmos que ∆ ´e aberto e fechado em ]0, ∞[.

  Fixe λ e considere dois fins distintos, p e p , com i 6= j. Escolha vizinhan¸cas i j disjuntas D , D de p e p de modo que ψ(D ) e ψ(D ) s˜ao representantes desses fins. i j i j i j

  Suponha que ψ ´e um mergulho. Se estes fins tˆem crescimentos logar´ıtmicos dis- λ

  6= α tintos, isto ´e, se α i j , a fun¸c˜ao distˆancia de ψ(D i ) e ψ(D j ) n˜ao se aproxima de zero e ´e ilimitada. Isto porque os fins s˜ao assint´oticos a um caten´oide (ou a um plano se um dos α s ´e zero) com diferentes crescimentos logar´ıtmicos. J´a que estes crescimentos s˜ao independentes de λ, segue-se que ψ λ (D i ) ∩ ψ λ (D j ) = ∅ para λ suficientemente pr´oximo de λ . No caso α = α , ψ (D ) e ψ (D ) s˜ao assint´oticos a fins com o mesmo crescimento logar´ıtmico e a i j λ i λ j distˆancia entre estes fins mergulhados se aproxima de zero, isto ´e, eles n˜ao s˜ao assint´oticos no infinito. Recorrendo ao Princ´ıpio do M´aximo para superf´ıcies m´ınimas, obtemos que ψ (D ) ∩ ψ (D ) = ∅ para λ suficientemente pr´oximo de λ . Isto mostra que ψ ´e injetiva

  λ i λ j λ fora de um conjunto compacto.

  4.2 Afirmac ¸˜ ao.

  ψ λ converge uniformemente para ψ λ em conjuntos compactos de M , Prova. Seja K ⊂ M um compacto. Para qualquer z ∈ K, temos Z z 1 − − i − −

  1

  1

  1

  1 |ψ (z) − ψ (z)| = |Re [ (λ g (z) − λg(z)), (λ g (z) + λg(z)), 1]φ

  λ λ

  2

  2 z

  Z z 1 i − − − −

  1

  1

  1

  1 − Re [ (λ g (z) − λ g(z)), (λ g (z) + λ g(z)), 1]φ|

  2

  2 z

  Z z

  1 1 − i 1 −

  1

  1 = |λ − λ ||Re [ ( g (z) + g(z)), ( g (z) − g(z)), 0]φ| 2 λλ

  2 λλ z ||β(z)|.

  = |λ − λ Como a fun¸c˜ao cont´ınua

  Z z

  1 1 i − −

  1

  1

  1 β(z) = Re [ ( g (z) + g(z)), ( g (z) − g(z)), 0]φ 2 λλ

  2 λλ z est´a definida no compacto K, existe c > 0 tal que |β(z)| < c. Al´em disso, como λ ´e

  ǫ ǫ suficientemente pr´oximo de λ , significa que para todo > 0 dado implica em |λ − λ | < . c c

  Assim ǫ

  |ψ ||β(z)| < ∀z ∈ K, λ (z) − ψ λ (z)| = |λ − λ .c = ǫ, c como afirmamos.

  Uma conseq¨ uˆencia da Afirma¸c˜ao 4.2 ´e que ψ ´e injetiva dentro de um conjunto λ compacto para λ suficientemente pr´oximo de λ . De fato, suponha que ψ ´e injetiva e

  λ ǫ devido `a convergˆencia uniforme de ψ para ψ num compacto K ⊂ M , dado > 0 temos

  λ λ

  2 ǫ |ψ (z) − ψ (z)| < , ∀z ∈ K. λ λ

  2 Considere q , q ∈ K. Podemos escrever a diferen¸ca entre ψ (q ) e ψ (q ) como a

  1

  2 λ 1 λ

  2 seguir ψ (q ) − ψ (q ) = ψ (q ) − ψ (q ) + ψ (q ) − ψ (q ) + ψ (q ) − ψ (q ).

  λ 1 λ 2 λ 1 λ 1 λ 1 λ 2 λ 2 λ

  2 Pela desigualdade triangular e da igualdade acima, obtemos que |ψ (q ) − ψ (q )| ≤ |ψ (q ) − ψ (q )| + |ψ (q ) − ψ (q )| + |ψ (q ) − ψ (q )|.

  λ 1 λ 2 λ 1 λ 1 λ 1 λ 2 λ 2 λ

  2 Suponha agora ψ (q ) = ψ (q ), ent˜ao λ 1 λ

  2 ǫ ǫ |ψ (q ) − ψ (q )| < + 0 + = ǫ, ∀ǫ > 0.

  λ 1 λ

  2

  2

  2 Assim ψ (q ) − ψ (q ) = 0, isto ´e, ψ (q ) = ψ (q ). Como ψ ´e injetiva, devemos ter λ 1 λ 2 λ 1 λ 2 λ q = q e ψ ´e injetiva. Portanto ψ ´e injetiva em toda parte e ∆ ´e aberto. Resta mostrar

  1 2 λ λ

  Suponha que {λ } ´e uma sequˆencia em ∆ que converge a λ e suponha que ψ k k∈N

  λ ∈ M e q 6= q n˜ao ´e um mergulho, isto ´e, ψ λ (q

  1 ) = ψ λ (q 2 ) para pontos q 1 e q

  2

  1 2 .

  Afirmac ¸˜ ao.

4.3 As imers˜oes ψ converge uniformemente para ψ em conjuntos com-

  λ k λ pactos de M .

  Prova. A prova deste fato ´e an´aloga a prova da Afirma¸c˜ao 4.2.

  Devido a convergˆencia uniforme de ψ a ψ em conjuntos compactos de M , alguma λ k λ vizinhan¸ca Θ de q ´e aplicada por ψ de modo a estar em um mesmo lado da imagem de

  1 1 λ alguma vizinhan¸ca Θ 2 de q 2 . De fato, suponha que a interse¸c˜ao entre ψ λ (Θ 1 ) e ψ λ (Θ 2 ) ocorre em mais de um ponto, ent˜ao podemos encontrar seq¨ uencias {q } q } num n n∈N n n∈N e {e compacto K ⊂ M , tais que q → q q → q e ψ (q ) = ψ q ). Podemos escrever a n 1 n 2 λ n λ n

  , e (e diferen¸ca entre ψ λ (q n ) e ψ λ q n ) como a seguir k k (e ψ λ (q n ) − ψ λ q n ) = ψ λ (q n ) − ψ λ (q n ) + ψ λ (q n ) − ψ λ q n ) + ψ λ q n ) − ψ λ q n ). k k k k

  (e (e (e (e Da desigualdade triangular e da igualdade acima, obtemos

  |ψ λ (q n ) − ψ λ q n )| ≤ |ψ λ (q n ) − ψ λ (q n )| + |ψ λ (q n ) − ψ λ q n )| + |ψ λ q n ) − ψ λ q n )|. k k k k (e

  (e (e (e ǫ

  Pela convergˆencia uniforme de ψ λ a ψ λ num compacto K ⊂ M , para todo > 0 dado k

  2 ǫ

  ∃k ∈ N tal que k > k implica em |ψ (z) − ψ (z)| < , para todo z ∈ K. Logo da λ k λ

  2 desigualdade acima, temos

  ǫ ǫ |ψ (q ) − ψ q )| < + 0 + = ǫ, ∀ǫ > 0.

  λ k n λ k n (e

  2

  2 Ent˜ao ψ (q ) − ψ q ) = 0, ou seja, ψ (q ) = ψ q ), como ψ ´e injetiva, isto for¸ca λ k n λ k n λ k n λ k n λ k

  (e (e q n q n que implica em q 1 = q 2 , uma contradi¸c˜ao.

  = e Aplicando o Princ´ıpio do M´aximo para superf´ıcies m´ınimas obtemos que ψ λ (Θ 1 ) =

  3 ψ (Θ ) e ψ : M → R ´e uma aplica¸c˜ao de recobrimento finito, cuja imagem S = ψ (M ) ´e

  λ 2 λ λ

  3 uma superf´ıcie m´ınima mergulhada completa de curvatura total finita em R . Mostraremos que ψ λ ´e de fato injetiva.

  Dado dois pontos removidos distintos p , p , i 6= j, a quantidade i j

  Z p j Z p j d = Re φ = Re φ λ p i p i Z p j 4.4 Afirmac ¸˜ ao. d = Re φ ´e maior do que zero. p i logar´ıtmicos em p e p s˜ao diferentes. Se os crescimentos logar´ıtmicos s˜ao os mesmos, esta i j distˆancia n˜ao ´e zero, caso contr´ario, essa distˆancia seria zero no infinito e pelo Principio do M´aximo para superf´ıcies m´ınimas estes fins teriam que ser iguais, o que n˜ao ocorre. Portanto d > 0, como afirmamos.

  A aplica¸c˜ao ψ leva uma vizinhan¸ca suficientemente pequena de qualquer p em λ j um fim de S, e cada fim de S ´e a imagem de alguma vizinhan¸ca de algum ponto removido p . Portanto o n´ umero de fins de S n˜ao ´e maior que o n´ umero de fins de ψ(M ), isto ´e, n˜ao ´e j maior que r. Se vizinhan¸cas de dois pontos removidos distintos, p , p , i 6= j, s˜ao aplicados i j por ψ λ no mesmo fim de S, ent˜ao

  Z p j d = Re φ = 0, p i que ´e imposs´ıvel, pela Afirma¸c˜ao 4.4. Portanto o n´ umero de fins de S ´e igual a r e, al´em disso, podemos encontrar vizinhan¸cas suficientemente pequena de p j , 1 ≤ j ≤ r, tal que cada vizinhan¸ca ´e aplicada por ψ em um diferente fim de S. Isto significa que ψ ´e injetiva

  λ λ pr´oximo de pontos removidos p , 1 ≤ j ≤ r e portanto injetiva por toda parte devido a j convergˆencia uniforme de ψ λ a ψ λ em conjuntos compactos de M . Logo ∆ ´e fechado e k encerramos a prova da proposi¸c˜ao.

  ¥ Cap´ıtulo 5 Teoremas de caracteriza¸ c˜ ao do caten´ oide

  Neste cap´ıtulo atingimos o objetivo principal deste trabalho. Vamos caracterizar o caten´oide apresentando alguns teoremas que trazem propriedades que s´o verificamos nesta superf´ıcie m´ınima. O primeiro resultado que mostramos, conhecido h´a bastante tempo, ´e o fato do caten´oide ser a ´ unica superf´ıcie m´ınima de revolu¸c˜ao n˜ao-plana. Os outros resultados s˜ao um pouco mais recentes. Para algumas provas, faremos uso de nossa principal ferramenta, a Representa¸c˜ao de Weierstrass e dos conceitos e propriedades de curvatura total finita, for¸ca e λ-deforma¸c˜ao, abordadas nos cap´ıtulos anteriores. Diante disto, estamos aptos a descrever tais teoremas e prova-los.

5.1 Teorema.

  A ´ unica superf´ıcie m´ınima de revolu¸c˜ao n˜ao-plana ´e o caten´oide.

  3 Prova.

  Seja α : R → R uma curva regular plana definida por α(v) = (ϕ(v), 0, φ(v)), ϕ(v) > 0.

  Considere a superf´ıcie obtida pela rota¸c˜ao da curva α em torno de um eixo do plano (vamos considerar o eixo vertical) que n˜ao encontra a curva. Podemos parametrizar tal superf´ıcie por

  ψ(u, v) = (ϕ(v)cos(u), ϕ(v)sen(u), φ(v)), onde 0 < u < 2π e −∞ < v < +∞.

  Os coeficientes da primeira e segunda forma quadr´atica nesta parametriza¸c˜ao s˜ao dados por ′ ′

  2

  2

  2 E = ϕ , F = 0, G = (ϕ ) + (φ ) e ′ ′ ′′ ′′ ′

  −ϕψ φ ϕ − φ ϕ e = , f = 0, g = . p p ′ ′ ′ ′

  2

  2

  2

  2 (ϕ ) + (φ ) (ϕ ) + (φ )

  Al´em disso, a curvatura m´edia pode ser expressa em termos destes coeficientes por 1 eG − 2f F + gE H = ( ).

  2

  2 EG − F Da´ı, podemos observar que a superf´ıcie de revolu¸c˜ao ´e m´ınima se, e somente se, eG − 2f F + gE

  = 0.

  2 EG − F

  2 Como EG − F 6= 0, ent˜ao eG = −gE, que ´e equivalente a ′ ′ ′ ′ ′′ ′′ ′

  2

  2 φ [(ϕ ) + (φ ) ] = ϕ[φ ϕ − φ ϕ ]. (5.1)

  3 Considere agora a caten´aria α : R → R definida por α(v) = (a cosh(v), 0, av). Para provar o teorema mostremos que essa curva ´e a ´ unica solu¸c˜ao da equa¸c˜ao (5.1). De fato, considere ϕ, φ: R → R definidas por ϕ(v) = a cosh(v) e φ(v) = av. Ent˜ao ′ ′ ′

  2

  2

  2

  2

  2 φ [(ϕ ) + (φ ) ](v) = a[a sinh (v) + a ]

  3

  2 = a [sinh (v) + 1]

  3

  2 = a [cosh (v)]

  2 = a cosh t[a cosh(v)] ′ ′′ ′′ ′ = ϕ[φ ϕ − φ ϕ ](v).

  Portanto, ψ ´e o caten´oide.

  ¥ Para o pr´oximo teorema fazemos a seguinte observa¸c˜ao. Quando M ´e conformemente equivalente a M − {p , p } com M de gˆenero zero, dizemos que M ´e do tipo anel.

  1

  2

5.2 Teorema. O ´ unico anel m´ınimo mergulhado completo com curvatura total finita ´e o caten´oide.

  Prova.

  Seja M do tipo anel com curvatura total finita. Logo pelo item (i) do Teorema 2.1, }, onde p

  M = M - {p 1 , p

  2 1 , p 2 correspondem aos fins de M . Para mostrar este resultado note que um tal anel n˜ao pode ter fins tipo planares, pois um fim tipo planar implicaria em x 3 limitada superiormente ou inferiormente e da´ı

  3 φ tem dois polos simples nos fins e ´e holomorfa em M . Como a superf´ıcie compacta M , obtida agregando dois fins a M , ´e uma esfera deduzimos que φ n˜ao se anula em M , portanto a aplica¸c˜ao de Gauss meromorfa g n˜ao assume os valores 0, ∞ em M . Como g tem um zero simples e um polo simples nos fins tipo caten´oide, seu grau deve ser um e M pode ser dz parametrizado pelos dados de Weierstrass M = C − {0}, g(z) = z e φ = a , onde a ´e um z n´ umero complexo diferente de zero.

  Finalmente, para resolver o problema do per´ıodo, a deve ser um n´ umero real. De fato, considere γ uma curva fechada em M .

  Z x (z) = Re φ

  3 γ

  Z dz = Re a z

  γ = Re(2aπi).

  Z Como x 3 ´e bem definida, devemos ter x 3 (z) = Re φ = 0, logo a ∈ R. Portanto M ´e o

  γ caten´oide.

  ¥

5.3 Teorema. A ´ unica superf´ıcie m´ınima n˜ao-plana completa propriamente mergulhada em

  3 R com curvatura total finita e for¸ca vertical ´e o caten´oide.

  3 Prova. Seja ψ : M → R um mergulho pr´oprio m´ınimo completo n˜ao-plano com curvatura total finita e for¸ca vertical. Como ψ tem for¸ca vertical segue-se pela Proposi¸c˜ao 4.1 que ψ

  λ ´e bem-definida para todo λ > 0 e da´ı, pela Proposi¸c˜ao 4.7, que ψ λ ´e um mergulho para todo

  λ > 0. Em particular, ψ ´e injetiva, logo dos Lemas 4.3 e 4.4 podemos concluir que ψ(M ) λ n˜ao tem pontos onde o vetor normal ´e vertical nem possui fins tipo planar. Desse modo, os fins de ψ devem ser tipo cateno´ıde e a aplica¸c˜ao de Gauss de ψ n˜ao assume os valores 0, ∞ em M . Assim, a coordenada vertical de ψ(M ) ´e pr´opria e n˜ao tem pontos cr´ıticos. Isto implica que ψ(M ) ´e um anel e conseq¨ uentemente, pelo Teorema 5.2 deve ser o caten´oide. ¥ 5.4 Teorema.

  A ´ unica superf´ıcie m´ınima n˜ao-plana completa propriamente mergulhada em

  3 R com curvatura total finita e gˆenero zero ´e o caten´oide.

  3 Prova.

  Seja ψ : M → R um mergulho pr´oprio m´ınimo completo n˜ao-plano com curvatura equivalente a uma esfera com um n´ umero finito de pontos removidos, correspondentes aos fins do mergulho. De acordo com a observa¸c˜ao (iv) da Proposi¸c˜ao 2.4 estes fins s˜ao do tipo normal nestes fins s˜ao verticais. Pela Proposi¸c˜ao 3.3, sabemos que a for¸ca nos fins ´e o vetor 2παN , onde α ´e o crescimento logar´ıtmico e N ´e o vetor normal nos fins. Segue-se da´ı que ψ tem for¸ca vertical, pois N ´e vertical. Portanto, pelo Teorema 5.3, a superf´ıcie ψ(M ) ´e o caten´oide.

  ¥

  3

5.5 Teorema. A ´ unica superf´ıcie m´ınima completa propriamente mergulhada em R com

  Z KdA = −4π ´e o caten´oide.

  M Z

  3 Prova. Seja ψ : M → R um mergulho pr´oprio m´ınimo n˜ao-plano completo com KdA = M

  −4π. Pelo item (iv) do Teorema 2.1 temos que a curvatura total ´e um m´ ultiplo de 4π e satisfaz Z

  KdA ≤ −4π(k + r − 1), M onde k e r ∈ N s˜ao o gˆenero e o n´ umero de fins mergulhado da imers˜ao, respectivamente.

  Usando a desigualdade acima e o fato da curvatura total ser −4π temos −4π ≤ −4π(k + r − 1), ou seja, k + r ≤ 2.

  Segundo a Proposi¸c˜ao 2.2 r > 1, pois a imers˜ao n˜ao ´e plana, logo devemos ter r = 2 e k = 0. Pelo Teorema 5.4 temos se k = 0, ent˜ao a superf´ıcie ψ(M ) ´e o caten´oide. ¥ 5.6 Teorema.

  A ´ unica superf´ıcie m´ınima n˜ao-plana completa propriamente mergulhada em Z

  3 R com KdA > −8π ´e o caten´oide.

  M Z

  3 Prova.

  Seja ψ : M → R um mergulho pr´oprio m´ınimo n˜ao-plano completo com KdA > M

  −8π. Pelo item (iv) do Teorema 2.1, temos que a curvatura total ´e um m´ ultiplo de 4π e satisfaz Z

  KdA ≤ −4π(k + r − 1), M onde k e r ∈ N s˜ao o gˆenero e o n´ umero de fins mergulhado da imers˜ao, respectivamente.

  Pela Proposi¸c˜ao 2.3 podemos descartar as possibilidades em que a curvatura total ´e zero, j´a Z que a superf´ıcie n˜ao ´e plana e o fato da integral KdA ser maior do que zero, pois isto

  M implicaria em k + r < 1 na desigualdade acima, o que n˜ao ´e poss´ıvel visto que r ≥ 1. Assim,

  Z Z como KdA > −8π, resta o caso em que KdA = −4π. Ent˜ao, pelo Teorema 5.5, a M M

  3 Teorema.

  

5.7 A ´ unica superf´ıcie m´ınima completa propriamente mergulhada em R com

curvatura total finita cuja a aplica¸c˜ao normal de Gauss ´e injetiva ´e o caten´oide.

  3 Prova.

  Seja ψ : M → R um mergulho pr´oprio m´ınimo com curvatura total finita cuja a aplica¸c˜ao normal de Gauss N ´e injetiva. Logo o grau de N ´e igual a um, ent˜ao pela F´ormula Jorge-Meeks, temos grau(N ) = k + r − 1 = 1, ou seja, k + r = 2.

  Sabemos que aplica¸c˜ao normal de Gauss do plano n˜ao ´e injetiva, logo ψ n˜ao ´e plana e da´ı, segundo a Proposi¸c˜ao 2.2, devemos ter r ≥ 2 e portanto k = 0. Assim, pelo Teorema 5.4, a superf´ıcie ψ(M ) ´e o caten´oide.

  ¥

  3

  

5.8 Teorema. A ´ unica superf´ıcie m´ınima completa propriamente mergulhada em R com

curvatura total finita e dois fins mergulhados ´e o caten´oide.

  Prova.

  Para a prova deste teorema referimos [Sc]. Nos Teoremas 5.5 e 5.7 se retirarmos a hip´otese de que a superf´ıcie ´e mergulhada, temos o contra exemplo da superf´ıcie de Enneper com curvatura total igual a −4π e aplica¸c˜ao normal de Gauss injetiva. Bibliografia [BC] Barbosa, J.L & Colares – Minimal surfaces in R

  3 (1986), Lect. Notes Math. 1195.

  Springer, Berlin Heidelberg, New York.

  

[dC1] do Carmo, M. P. – Differential Geometry of Curves ans Surfaces (1980), Math Intel-

ligencer, 9, (1987), 53-57.

  

[dC2] do Carmo, M. P. – Geometria Riemanniana (1988), IMPA (Projeto Euclides),2

a.

  edi¸c˜ao, Rio de Janeiro.

  

[DHKW] Dierkes, U., Hildebrandt, S., K¨ uster A. & Wohlrab, O. – Minimal Surfaces I,

Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer-Verlag, 1992, 296.

  

[HK] Hoffman, David & Hermann Karcher – Complete embedded minimal surfaces of finite

  total curvature, Vol. 90, 1995, Encyclopedia of Mathematics, Geometry V, Springer Verlag, 5-93.

  

[JM] Jorge, L. & Meeks III, W. H. – The topology of complete minimal surfaces of finite

total Gaussian curvature, Topology, 1983, 22(2):203-221.

  

[Li] Lins Neto, A. – Fun¸c˜oes de uma vari´avel complexa (1996), IMPA (Projeto Euclides),

  2 a. edi¸c˜ao, Rio de Janeiro.

  

[Os1] Osserman, R. – A survery of minimal, Vol.1 (1989), Cambridge Univ. Press, New

York.

  [Os2] Osserman, R. – Global properties of minimal surfaces in E

  3 and E n

  ,Math. Ann., 80(2),1973, 340-364.

  

[PR1] P´erez, Joaqu´ın & Ros Antonio – Properly embedded minimal surfaces with finite total

  

[PR2] P´erez, Joaqu´ın & Ros Antonio – Some uniqueness and nonexitence theorems for em-

bedded minimal surfaces, Math. Ann. 295(3), (1993), 513-525.

  

[Sc] Schoen, R. – Uniqueness, symmetry, and embeddedness of minimal surfaces, J. of Dif-

ferential Geometry, 18, (1983), 791-809.

  Universidade Federal da Bahia-UFBa Instituto de Matem´atica/Depto. de Matem´atica

  Campus de Ondina, Av. Adhemar de Barros s/n, CEP:40170-110 www.im.ufba.br/hpinst/mestrado

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