Universidade Federal da Bahia - UFBA Instituto de Matem´ atica - IM

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Universidade Federal da Bahia - UFBA

Instituto de Matem´ atica - IM

Programa de P´ os-Graduac ¸˜ ao em Matem´ atica - PGMAT

Dissertac ¸˜ ao de Mestrado

  

Dualidade generalizada de Esakia com aplicac ¸˜ oes

Darllan Conceic ¸˜ ao Pinto

  Salvador-Bahia Julho de 2012 Dualidade generalizada de Esakia com aplicac ¸˜ oes Darllan Conceic ¸˜ ao Pinto

  Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

  Orientador: Prof. Dr. Andreas Bernhard Mi- chael Brunner.

  Salvador-Bahia Julho de 2012 Pinto, Darllan Concei¸c˜ ao.

  Dualidade generalizada de Esakia com aplica¸c˜ oes/ Darllan Concei¸c˜ ao Pinto. – Salvador: UFBA, 2012. 87 f. Orientador: Prof. Dr. Andreas Bernhard Michael Brunner. Disserta¸c˜ ao (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´ atica, Programa de P´ os-gradua¸c˜ ao em Matem´ atica, 2012. Referˆencias bibliogr´aficas.

  1. Reticulados. 2. Teoria das categorias. 3. Topologia. I. Brunner,

Andreas Bernhard Michael. II. Universidade Federal da Bahia, Instituto

de Matem´ atica. III. T´ıtulo.

  CDU : 512.56 : 512.58 Dualidade generalizada de Esakia com aplicac ¸˜ oes Darllan Conceic ¸˜ ao Pinto

  Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica, aprovada em 20 de julho de 2012.

  Banca examinadora:

  Prof. Dr. Andreas Bernhard Michael Brunner (Orientador) UFBA

  Prof. Dr. Samuel Gomes da Silva UFBA

  Prof. Dr. Hugo Luiz Mariano USP

  ` A meus pais, familiares, na- morada e amigos. Agradecimentos

  Inicialmente agrade¸co a Deus por me propiciar paciˆencia, coragem e inteligˆencia em minhas decis˜oes e propostas de trabalho. Agrade¸co aos meus pais Jos´e Madureira e D´aria por sempre acreditarem e apoi- arem as minhas decis˜oes, al´em de, mesmo longe, me dar aten¸c˜ao e confian¸ca durante todo tempo. Agrade¸co tamb´em a minha av´o J´ ulia e meus irm˜aos Andr´e e Leandro pelo apoio dado. A meus tios Francisco e Maria por disponibilizarem sua confort´avel e alegre residˆencia neste per´ıodo.

  A minha namorada Fernanda por ter paciˆencia na minha falta de tempo e por me apoiar e ajudar bastante nesta disserta¸c˜ao. Aos pais de Fernanda, Jos´e Fernando e Selma, por apoiarem e ajudarem inclusive nos finais de semana.

  Agrade¸co muito aos meus colegas e amigos da universidade, principalmente os da sala 18, pela ajuda, companheirismo e conselhos dados durante este trabalho (aqui n˜ao citei os nomes dos colegas, pois s˜ao v´arios).

  Agrade¸co muito aos professores do Instituto de Matem´atica UFBa que contribui- ram de forma direta e indireta na minha forma¸c˜ao acadˆemica, principalmente a Thierry, Samuel e Andreas. Dentre estes agrade¸co muito ao professor Andreas pela orienta¸c˜ao dada n˜ao s´o nesta disserta¸c˜ao como tamb´em durante todo per´ıodo de inicia¸c˜ao cient´ıfica e monografia, sempre com muita paciˆencia e de forma bastante amig´avel. Agrade¸co ao pro- fessor Hugo Mariano por aceitar participar da comiss˜ao julgadora da minha disserta¸c˜ao e por me orientar no meu pr´oximo desafio, o doutorado USP.

  Por fim agrade¸co a FAPESB pelo aux´ılio financeiro dado durante o mestrado.

  “O sentido do mundo ´e a separa¸c˜ao de de- sejo e fato.” Kurt G¨odel Resumo

  Neste trabalho, inicialmente, apresentamos a Dualidade de Esakia. Enfraque- cendo os morfismos de reticulados e considerando os morfismo de Esakia como sendo Morfismos Parciais de Esakia, obtemos a Dualidade Generalizada de Esakia. Com esses resultados, estabelecemos uma dualidade entre as categorias de L´ogicas Abstratas Dis- tributivas e espa¸cos Priestley, e uma representa¸c˜ao de L´ogicas Abstratas Intuicionistas em Espa¸cos de Esakia. Por fim, aplicamos os resultados na compara¸c˜ao da Condi¸c˜ao de Dom´ınios Fechados (CDF) com a Condi¸c˜oes de Dom´ınios Fechados de Zakharyaschev (CDFZ). Abstract

  In this work, initially, we present the Esakia duality. Weakening the morphisms of lattices and considering the Esakia morphism as Partial Esakia morphism, we obtain the Generalized Esakia Duality. With these results, we establish a duality between the categories of Distributive Abstract Logic and Priestley Spaces, and a representation of intuitionistic Abstract Logic and Esakia Spaces. Finally, we apply the results of the comparison closed domain condition (CDC) with the Zakharyaschev’s closed domain condition (ZCDC). Sum´ ario

  Introdu¸c˜ ao

  35

  5.2 Compara¸c˜ao com a abordagem de Zakharyaschev . . . . . . . . . . . . . . 78 Referˆ encias

  76 5.1 (CDF) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

  5 Condi¸c˜ ao de Dom´ınios Fechados

  4.2 Representa¸c˜ao de L´ogicas Abstratas Intuicionistas . . . . . . . . . . . . . . 70

  4.1 Dualidade de L´ogicas Abstratas Distributivas . . . . . . . . . . . . . . . . 66

  62

  4 Dualidade de L´ ogicas Abstratas

  3.6 Morfismo Parcial Forte de Esakia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

  3.5 Morfismo Parcial Bom de Esakia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

  3.4 Dualidade de Esakia Generalizada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

  3.3 Composi¸c˜ao de Morfismos Parciais de Esakia . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

  3.2 Morfismo Parcial de Esakia e (∧, →)-homomorfismo . . . . . . . . . . . . . 40

  3.1 Morfismo Parcial de Esakia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

  3 Dualidade Generalizada de Esakia

  1

  2.2 Dualidade entre categorias Heyt e Esa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

  2.1 Espa¸cos de Esakia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

  19

  2 Dualidade de Esakia

  1.6 Topologia Geral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

  9

  8 1.5 Categorias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  1.4 ´ Algebras de Heyting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  6

  5 1.3 Filtros e Ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  3 1.2 Reticulados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  3 1.1 Conjuntos ordenados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  1 Teoria de Reticulados, Categorias e Topologia Geral

  83

  ´Indice Remissivo

  85 Introdu¸c˜ ao

  A dualidade categorial, i.e., a equivalˆencia contravariante entre categorias, con- siste em representar uma categoria por outra, ou seja, olhar para duas categorias distintas como se elas fossem a mesma. Como pioneiro na teoria da dualidade, Stone em 1936, estabeleceu uma dualidade entre ´algebras Booleanas e espa¸cos compactos Hausdorff zero- dimensionais, chamados espa¸cos de Stone. Em 1937, Stone construiu uma equivalˆencia contravariante entre a categoria dos reticulados distributivos e a categoria dos espa¸cos espectrais, i.e., espa¸cos compactos, T e Sober. Em seguida, houveram constru¸c˜oes de v´arias dualidades entre estruturas alg´ebricas e espa¸cos topol´ogicos, como por exemplo, o teorema da representa¸c˜ao elaborada por Hochster entre a categoria de an´eis comutativos com unidade e a categoria de espa¸cos espectrais.

  Em 1972, Priestley mostrou a dualidade de reticulados distributivos atrav´es de espa¸cos ordenados compactos totalmente ordem desconexos, ent˜ao chamados espa¸cos de Priestley. Com a utiliza¸c˜ao do teorema de Stone-Birkhoff, mostra-se que os espa¸cos de Priestley s˜ao Hausdorff, portanto os espa¸cos de Priestley s˜ao espa¸cos de Stone especiais.

  Na l´ogica, usamos a ´algebra de Heyting, que ´e um reticulado (distributivo) com implica¸c˜ao satisfazendo lei de adjun¸c˜ao com a conjuga¸c˜ao (∧), para definir uma semˆantica apropriada para a l´ogica intuicionista de Brouwer-Heyting. Para l´ogicas intermedi´arias, ´algebras de Heyting tamb´em fornecem uma semˆantica adequada. Dualizando a ´algebra de Heyting, de uma forma similar `a dualidade de Priestley, podemos construir uma semˆantica para a l´ogica intuicionista atrav´es de espa¸cos topol´ogicos que satisfazem certas condi¸c˜oes, os quais chamamos de espa¸cos de Esakia.

  Tendo uma ´algebra de Heyting, constru´ımos um espa¸co topol´ogico, onde os pontos s˜ao os filtros primos desta ´algebra. J´a com um espa¸co de Esakia, constru´ımos um reticulado distributivo, onde os elementos do reticulado s˜ao os clopen upsets, e as opera¸c˜oes s˜ao definidas pela interse¸c˜ao, uni˜ao e implica¸c˜ao. Esta ´ ultima definida como U → V = X\ ↓ (U \ V ). A categoria de Esakia tem como objetos espa¸cos de Esakia, quais s˜ao um espa¸cos de Priestley satisfazendo mais uma condi¸c˜ao, e como morfismos as fun¸c˜oes cont´ınuas que satisfazem a condi¸c˜ao de p-morfismo. A constru¸c˜ao nos d´a a dualidade de Esakia.

  J´a para l´ogicas intermedi´arias, a ´algebra de Heyting define uma semˆantica quando enfraquecemos os morfismos da categoria das ´algebras de Heyting como (∧, →)-homomorfismo, (∧, →, 0)-homomorfismo e (∧, →, ∨)-homomorfismo. Usando estes morfismos enfraqueci- dos, podemos estabelecer uma equivalˆencia dual com a categoria de espa¸cos de Esakia, onde os morfismos s˜ao aplica¸c˜oes parciais especiais, chamados de morfismos parciais de Esakia, morfismos parciais bom de Esakia e morfismos parciais forte de Esakia.

  Sabendo que as l´ogicas abstratas, introduzidas por D.J. Brown e R. Suszko podem ser consideradas como estruturas de interse¸c˜ao, pretendemos usar t´ecnicas similares com as constru¸c˜oes das dualidades supracitadas, para tentar estabelecer representa¸c˜oes de l´ogicas abstratas em espa¸cos de Priestley e de Esakia.

  Utilizando a dualidade generalizada de Esakia, podemos encontrar uma equiva- lencia entre a condi¸c˜ao de dom´ınio fechado (CDF) e a condi¸c˜ao de dom´ınio fechado de Zakharyaschev (CDFZ). Esta equivalˆencia ´e garantida quando restringimos o morfismo parcial de Esakia a ↑ dom(f ). A (CDF) ´e aplicada no estudo de f´ormulas canˆonicas de l´ogicas intermedi´arias.

  Com esses resultados esperamos encontrar solu¸c˜oes de problemas na teoria dos reticulados, especialmente para ´algebras de Heyting usando os espa¸cos topol´ogicos corres- pondentes. Al´em disso, esperamos que propriedades de certas l´ogicas abstratas possam ser obtidas atrav´es dos seus respectivos espa¸cos topol´ogicos. Equivalentemente podemos tentar entender e solucionar problemas em certos espa¸cos topol´ogicos usando algumas estruturas alg´ebricas. Cap´ıtulo 1 Teoria de Reticulados, Categorias e Topologia Geral

  Neste cap´ıtulo iremos introduzir as ferramentas para o desenvolvimento do nosso trabalho, quais s˜ao, Teoria dos Conjuntos Ordenados, Reticulados, Teoria das Categorias e Topologia. Neste cap´ıtulo as principais referˆencias s˜ao [AJPT], [DP92], [G84], [M06] e [W73].

1.1 Conjuntos ordenados Defini¸c˜ ao 1.1.1. Seja P um conjunto qualquer.

  e-ordem Uma pr´ em P ´e uma rela¸c˜ao bin´aria ≤ em P tal que, para todo x, y, z ∈

  P : (i) x ≤ x, (ii) se x ≤ y e y ≤ z ent˜ao x ≤ z.

  Chamamos o conjunto hP, ≤i de conjunto pr´e-ordenado. Defini¸c˜ ao 1.1.2. Seja P um conjunto qualquer.

  Uma ordem parcial em P ´e uma rela¸c˜ao bin´aria ≤ em P tal que, para todo x, y, z ∈ P , hP, ≤i ´e conjunto pr´e-ordenado e satisfaz (iii) se x ≤ y e y ≤ x ent˜ao x = y Neste caso dizemos que hP, ≤i ´e um conjunto ordenado.

  (b) h N, ≤i ´e um conjunto parcialmente ordenado pois ≤ usual satisfaz os axiomas de ordem parcial. (c) Seja X um espa¸co topol´ogico. hΩ(X), ⊆i ´e conjunto parcialmente ordenado

  Defini¸c˜ ao 1.1.4. Sejam hL, ≤i, S um subconjunto de L e a, b ∈ L (i) a ´e barreira superior de S se para todo s ∈ S temos s ≤ a,

  (i’) a ´e barreira inferior de S se para todo s ∈ S temos a ≤ s (ii) a ´e a menor barreira superior ou supremo de S se a for barreira superior de S e para todo b ∈ L barreira superior de S temos a ≤ b.

  (ii’) a ´e a maior barreira inferior ou infimo de S se a for barreira inferior de S e para todo b ∈ L barreira inferior de S temos b ≤ a. Usaremos W S e V S para representar os respectivos supremo e infimo do conjunto S.

  Defini¸c˜ ao 1.1.5. Seja P e Q conjuntos ordenados. Uma fun¸c˜ao ϕ : P → Q: (i) preserva ordem (monotˆonico) se x ≤ y em P ⇒ ϕ(x) ≤ ϕ(y) em Q.

  (ii) ´e uma imers˜ao de ordem se x ≤ y em P ⇔ ϕ(x) ≤ ϕ(y) em Q. op i ´e Defini¸c˜ ao 1.1.6. Seja hP ; ≤i conjunto parcialmente ordenado. Dizemos que hP ; ≤ op cnjunto parcialmente ordenado de hP ; ≤i quado x ≤ y sse def y ≤ x.

  Observa¸c˜ ao 1.1.7. (Princ´ıpio de dualidade) op Se uma afirma¸c˜ao ϕ formulada na linguagem das ordens. A afirma¸c˜ao dual de ϕ

  , ϕ ´e dada por ϕ, substituindo ≤ por ≥. Seja ϕ uma formula na linguagem das ordens e v´alida em qualquer conjunto parcialmente ordenado, ent˜ao a afirma¸c˜ao dual, op ϕ , tamb´em ´e v´alida em qualquer conjunto parcialmente ordenado. A sua demonstra¸c˜ao ´e feita aplicando Indu¸c˜ao na Complexidade da F´ormula.

  Defini¸c˜ ao 1.1.8. Sejam (X; ≤) uma poset e E ⊆ X um subconjunto de X. (a) Dizemos que E ´e crescente em X ou upset em X sse para todo y ∈ X tal que existe x ∈ E com x ≤ y, temos que y ∈ E, ou seja, ↑ E = {y ∈ X | ∃x ∈ E e x ≤ y} = E.

  (b) Dizemos que E ´e decrescente em X ou downset em X sse para todo y ∈ X tal que existe x ∈ E tal que y ≤ x, temos que y ∈ E, ou seja, ↓ E = {y ∈ X | ∃x ∈ E e y ≤ x } = E.

  Observa¸c˜ ao 1.1.9. (a) Denotamos em caso especial de E := {x}, o downset ↓ {x} simplesmente por ↓ x. (b) N˜ao ´e dif´ıcil de mostrar que sempre ↓↓ E =↓ E. (c) Em particular o operador ↓ ´e um operador de fecho satisfazendo os trˆes axiomas de Tarski. (d) Observa¸c˜oes an´alogas valem para o operador ↑.

1.2 Reticulados

  Podemos definir o conceito de reticulados atrav´es de propriedades de ordens par- ciais ou algebricamente, atrav´es de opera¸c˜oes e equa¸c˜oes. Facilmente mostra-se que estas duas defini¸c˜oes s˜ao equivalentes (i.e. obtemos um isomorfismo de categorias), por´em, neste trabalho, ficaremos apenas com a defini¸c˜ao por ordens parciais.

  Defini¸c˜ ao 1.2.1. Seja P um conjunto ordenado n˜ao-vazio.

  (i) Se existe supremo (x ∨ y) e inf imo (x ∧ y) de quaisquer x, y ∈ P , ent˜ao P ´e um reticulado. (ii) Se W S e V S existem para todo S ⊆ P , ent˜ao P ´e reticulado completo. Defini¸c˜ ao 1.2.2. Seja hP ; ≤i um reticulado. Dizemos que ´e limitado se possui maior e menor elemento, isto ´e, possui top (⊤) e bottom (⊥).

  Lema 1.2.3. Todo reticulado completo ´e limitado. Defini¸c˜ ao 1.2.4. Seja hA; ≤i reticulado. Dizemos que hA; ≤i ´e distributivo se para todo x, y, z

  ∈ A (i) x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z)

  (ii) x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z) Observa¸c˜ ao 1.2.5. Na defini¸c˜ao anterior temos que (i) ⇔ (ii).

  Lema 1.2.6. (Desigualdade distributiva) Seja hA; ≤i reticulado. Ent˜ao ∀ x, y, z ∈ A

  (ii) x ∨ (y ∧ z) ≤ (x ∨ y) ∧ (x ∨ z) Demonstra¸c˜ ao:

  Para provar (i), observe que x, y, z ∈ A, x ∧ y ≤ x e x ∧ z ≤ x, assim x ´e barreira superior de (x∧y) e (x∧z). Pela defini¸c˜ao de supremo (x∧y)∨(x∧z) ≤ x. Por outro lado x ∧ y ≤ y ≤ y ∨ z e x ∧ z ≤ y ∨ z, portanto (x ∧ y) ∨ (x ∧ z) ≤ y ∨ z, logo (x ∧ y) ∨ (x ∧ z) ´e barreira inferior de x e y ∨ z. Pela defini¸c˜ao de infimo temos (x ∧ y) ∨ (x ∧ z) ≤ x ∧ (y ∨ z). Por dualidade prova-se (ii). Observa¸c˜ ao 1.2.7. Um reticulado L ´e dito modular se para todo a, b, c ∈ L, a ≥ c ⇒ a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ c. Existem reticulados n˜ao-distributivos. M 5 ´e n˜ao-distributivo e modular e N 5 ´e n˜ao-distributivo e n˜ao-modular.

  Defini¸c˜ ao 1.2.8. Sejam A, B reticulados e f : A → B fun¸c˜ao. Dizemos que f ´e um morfismo de reticulados se f preserva ∧ e ∨, ou seja, dados a, b ∈ A, f (a∧b) = f (a)∧f (b) e f (a ∨ b) = f (a) ∨ f (b).

1.3 Filtros e Ideais

  Defini¸c˜ ao 1.3.1. Seja L um reticulado. Um subconjunto n˜ao-vazio J de L ´e um filtro se (i) a, b ∈ J ⇒ a ∧ b ∈ J (ii) b ∈ L, a ∈ J e a ≤ b ⇒ b ∈ J.

  Dizemos que J ´e pr´oprio se J 6= L. A no¸c˜ao dual de filtro ´e a de ideal. T Defini¸c˜ ao 1.3.2. Seja L um reticulado e A ⊆ L. Dizemos que [A] := {F | F ⊆ L f iltro e A ⊆ F } ´e filtro gerado por A em L. Analogamente define-se ideal gerado.

  , ..., x ∈ A t.q. x ∧...∧x ≤ Observa¸c˜ ao 1.3.3. ´ E poss´ıvel mostrar que [A] = {t ∈ L| ∃x

  1 n 1 n t }.

  Defini¸c˜ ao 1.3.4. Sejam L reticulado e J filtro pr´oprio em L. J ´e dito primo se a, b ∈ L e a ∨ b ∈ J implicar a ∈ J ou b ∈ J. O dual de filtro primo ´e ideal primo.

  Defini¸c˜ ao 1.3.5. Seja L reticulado. Dizemos que um filtro F ⊆ L ´e filtro maximal se F ´e pr´oprio e para todo G ⊆ L filtro pr´oprio com F ⊆ G temos que F = G. O dual vale para ideal maximal.

  Teorema 1.3.6. (DPI) Sejam L reticulado distributivo e J, G ⊆ L ideal e filtro respec- tivamente tal que J ∩ G = ∅, ent˜ao existe ideal primo I com J ⊆ I e G ∩ I = ∅. Demonstra¸c˜ ao:

  Definimos ε := {K ⊆ L ideal | J ⊆ K e K ∩ G = ∅}. Observe que ε 6= ∅, pois J ∈ ε Vamos mostrar que hε; ⊆i possui elemento maximal I. Tomemos C = {K | λ ∈ Λ} λ uma cadeia em ε. Definimos [

  K K , = λ λ

  

∈Λ

vamos mostrar que K ∈ ε.

  e b Tomemos a, b ∈ K, da´ı existe λ, µ ∈ Λ tal que a ∈ K λ ∈ K µ . Como ε ´e cadeia,

  ⊆ K ⊆ K. assumimos que K λ µ , assim a, b ∈ K µ que ´e ideal de L, logo a ∨ b ∈ K µ

  Agora tomemos a ∈ L e b ∈ K tal que a ≤ b. Como b ∈ K temos que b ∈ K λ para algum λ ∈ Λ, sendo K λ ideal a ∈ K λ ⊆ K. Assim K ´e ideal. Note que K 6= ∅, pois J ⊆ K e J 6= ∅.

  Como K λ ∀ λ ∈ Λ ´e ideal com K λ ∩ G = ∅ temos que K ∩ G = ∅. Dessa forma K ∈ ε, pelo Lema de Zorn temos que hε; ⊆i possui elemento maximal I. Vamos mostrar que I ´e ideal primo em L. Suponha x, y ∈ L com x ∧ y ∈ I, x 6∈

  I e y 6∈ I, da´ı os ideais gerados por I ∪ {x} e I ∪ {y} cont´em I propriamente e possui interse¸c˜ao n˜ao-vazia com G pois I ´e maximal. Assim existem z, t ∈ I e u, v ∈ G tais que u ≤ (x ∨ t) e v ≤ (y ∨ z). Como G ´e filtro temos que u ∧ v ∈ G. Usando a distributividade do reticulado temos que u

  ∧ v ≤ (x ∨ t) ∧ (y ∨ z) ≤ (x ∧ y) ∨ (z ∨ t), Como t ∨ z ∈ I e x ∧ y ∈ I, segue-se que (x ∧ y) ∨ (z ∨ t) ∈ I ∩ G, absurdo pois I ∩ G = ∅.

  Corol´ ario 1.3.7. Sejam L reticulado distributivo e a, b ∈ L com a 6≤ b. Ent˜ao existe ideal primo I tal que a 6∈ I e b ∈ I.

  Com argumento dual ao acima prova-se: Teorema 1.3.8. (Stone-Birkhoff) Sejam L reticulado distributivo e J, G ⊆ L ideal e filtro respectivamente tal que J ∩G = ∅, ent˜ao existe filtro primo F com G ⊆ F e F ∩J = ∅.

  Corol´ ario 1.3.9. Sejam L reticulado distributivo e a, b ∈ L com a 6≤ b. Ent˜ao existe filtro primo P tal que a ∈ P e b 6∈ P.

  ´

1.4 Algebras de Heyting

  Nesta se¸c˜ao daremos a defini¸c˜ao de ´ Algebra de Heyting, que por sua vez, ´e um dos conceitos mais importante deste trabalho. Com uma ´algebra de Heyting podemos estabelecer uma semˆantica para a l´ogica intuicionista. Defini¸c˜ ao 1.4.1. Uma ´ Algebra de Heyting (Ha) H ´e um reticulado distributivo limitado que satisfaz a lei de adjun¸c˜ao para ∧, ou seja, para todo x, y, z ∈ H temos x ∧ z ≤ y sse z ≤ (x → y).

  Observa¸c˜ ao 1.4.2. A lei de adjun¸c˜ao para ∧ determina um ´ unico elemento x → y, assim obtem-se nossa opera¸c˜ao bin´aria →: H × H → H. Defini¸c˜ ao 1.4.3. Sejam H e L ´algebras de Heyting, uma fun¸c˜ao f : H → L ´e um morfismo de ´algebra de Heyting sse f ´e um morfismo de reticulados tal que

  ∀ x, y ∈ H, f (x → y) = f (x) → f (y).

  Exemplo 1.4.4. (1) A ´algebra de abertos de um espa¸co topol´ogico T , ou seja, con- siderando (Ω(T ), ∩, ∪) o reticulado distributivo, onde Ω(T ) s˜ao os abertos de T .

  Definimos em Ω(T ) a seguinte implica¸c˜ao U → V = int((T \ U ) ∪ V ).

  (2) Toda ´algebra de Boole B ´e uma ´algebra de Heyting. Pois para todo x, y ∈ B, definimos x → y = (¬x ∨ y). A nossa defini¸c˜ao de implica¸c˜ao satisfaz a propriedade de adjun¸c˜ao, pois z ≤ x → y ⇔ z ≤ (¬x ∨ y), da´ı z ∧ x ≤ (¬x ∨ y) ∧ x

  ≤ (¬x ∧ x) ∨ (y ∧ x) ≤ ⊥ ∨ (y ∧ x) ≤ y ∧ x ≤ y.

  Dessa forma temos que z ≤ x → y ⇒ z ∧ x ≤ y. Agora considere z ∧ x ≤ y, assim (z ∧ x) ∨ (¬x) ≤ y ∨ (¬x) ⇒ (z ∨ ¬x) ∧ (x ∨ ¬x) ≤ ¬x ∨ y.

  Segue que z ≤ z ∨ ¬x ≤ ¬x ∨ y = x → y.

  Provando que toda ´algebra de Boole ´e uma ´algebra de Heyting. Observe que todo morfismo de ´algebra de Boole ´e um morfismo de ´algebra de Heyting.

  ′

  Se f : B → B ´e um morfismo de ´algebra de Boole, temos que dados a, b ∈ A f (a → b) = f (¬a ∨ b) = ¬f (a) ∨ f (b) = f (a) → f (b).

  Lema 1.4.5. Para x, y, z em uma ´algebra de Heyting H, a) x ≤ y sse x → y = ⊤.

  b) (Modus Ponens) x ∧ (x → y) ≤ y.

  c) x ≤ (x → y) → y e x ∧ (x → y) = x ∧ y. (x → y) ≤ (x → z)

  d) y ≤ z implica e (z → x) ≤ (y → x).

  e) (y ∨ z) → x = (y → x) ∧ (z → x). f ) x → (y ∧ z) = (x → y) ∧ (x → z).

  g) (x → t) ∨ (y → z) ≤ (x ∧ y) → (t ∨ z).

  h) x → (y → z) = (x ∧ y) → z. i) x ∧ (y → z) = x ∧ ((x ∧ y) → (x ∧ z)).

1.5 Categorias

  Nesta se¸c˜ao daremos a defini¸c˜ao de categoria e conceitos ligados a mesma. Defi- niremos tamb´em funtores e outras no¸c˜oes importantes na teoria da dualidade. Defini¸c˜ ao 1.5.1. Dizemos que C ´e uma categoria se possui:

  1) Uma cole¸c˜ao de objetos chamado C-objetos 2) Uma cole¸c˜ao de morfismos chamado C-morfismos 3) Opera¸c˜oes que para cada C-morfismo f associam um C-objeto dom(f ) (dom´ınio de f ) e um C-objeto cod(f ) (contradom´ınio de f ), tais que se a = dom(f ) e b = cod(f )

  4) Uma opera¸c˜ao que para cada par hg, f i de C-morfismo com dom(g) = cod(f ), associa um C-morf ismo g ◦ f , a composi¸c˜ao de f e g, possui dom(g ◦ f ) = dom(f ) e cod

  (g ◦ f ) = cod(g), i.e., g ◦ f : dom(f ) −→ cod(g) e a lei de associatividade: h ◦ (g ◦ f ) = (h ◦ g) ◦ f. 5) Uma opera¸c˜ao que para cada C-objeto b assicia um C-morf ismo 1 b : b −→ b, cha- mado morfismo identidade em b, tal que satisfaz a lei identidade: Para quaisquer f : a −→ b e g : b −→ c temos 1 b ◦ f = f e g ◦ 1 b = g. Exemplo 1.5.2. 1) Pr´e-ordem: Cada conjunto pr´e-ordenado (P, ≤) determina uma categoria, a cole¸c˜ao de objetos s˜ao os elementos do conjunto P e a cole¸c˜ao de mor- fismos ´e a rela¸c˜ao bin´aria ≤. Devido a reflexividade e associatividade da ordem temos as leis de identidade e as leis de associatividade da categoria. 2) P oset: ´e a categoria formada pelos conjuntos (P, ≤) parcialmente ordendo e pelas fun¸c˜oes crescentes. 3) Temos categoria dos M onoides, Grupos, Aneis. 4) Categoria morf ismo, Categoria comma, Set

  Defini¸c˜ ao 1.5.3. C ´e dito uma subcategoria da categoria D, denotado C ⊆ D, se: (i) Todo C-objeto ´e um D-objeto

  (ii) Se a e b s˜ao dois C-objetos, ent˜ao C(a, b) ⊆ D(a, b) onde C(a, b)={f : f ´e C- morf ismo de a para b}. C ´e uma subcategoria plena de D se C ⊆ D e: (iii) Para quaisquer C-objetos a e b, C(a, b) = D(a, b).

  Defini¸c˜ ao 1.5.4. (Dualidade e categoria oposta) Se P ´e uma declara¸c˜ao na liguagem de categorias, o dual de P, P op , ´e a de- clara¸c˜ao obtida trocando ”dom” por ”cod”, ”cod” por ”dom” e ”g ◦ f ” por ”f ◦ g”, ou seja, ”invertendo morfismos”.

  Defini¸c˜ ao 1.5.5. Um C-morf ismo f : a −→ b ´e iso em C se existe um morfismo g : b −→ a tal que g ◦ f = 1 a e f ◦ g = 1 b . Usamos a nota¸c˜ao f : a ∼ = b.

  Defini¸c˜ ao 1.5.6. Sejam C, D categorias. Dizemos que F : C −→ D ´e funtor (covariante)

  (i) C − objeto ∋ a 7−→ F a ∈ D − objeto (ii) morf (a, b) ∋ f 7−→ F ∈ morf (F , F )

  C f D a b

  Satisfazendo F = 1 F e F (g ◦ f ) = F g ◦ F f .

  1 a a op op

  Dizemos que F ´e funtor contravariante se e somente se F : C −→ D ´e funtor, onde C ´e a categoria opsta de C.

  Defini¸c˜ ao 1.5.7. Sejam F, G : C −→ D dois funtores. Dizemos que η : F −→ G ´e transforma¸c˜ao natural se η = {η : F −→ G | a ∈ Ob(C)} fazendo a a a η a

  // F G f f F a G a //

  F b G b η b . comutar, isto ´e, η b ◦ F f = G f ◦ η a Quando η a ´e iso, para cada a ∈ Ob(C), η ´e dito um isomorfismo natural.

  Defini¸c˜ ao 1.5.8. Duas categorias C e D, s˜ao equivalentes se existem funtores, F : C −→ D e G : D −→ C, junto com os isomorfismos naturais η : (G ◦ F ) −→ Id e µ : (F ◦ G) −→ Id .

  C D

  O par (F,G) ´e chamado equivalˆencia entre C e D (nota¸c˜ao C ≃ D). Uma equivalˆencia op contravariante (C ≃ D) ´e chamada Dualidade.

1.6 Topologia Geral

  Nesta se¸c˜ao veremos os resultados da topologia geral que usaremos no decorrer do trabalho.

  Defini¸c˜ ao 1.6.1. Uma topologia sobre um conjunto X ´e uma cole¸c˜ao τ de subconjuntos de X tendo as seguintes propriedades: 1) ∅ e X est˜ao em τ . 2) a uni˜ao de elementos de qualquer subcole¸c˜ao de τ est´a em τ . 3) a intersec¸c˜ao de elementos de qualquer subcole¸c˜ao finita de τ est´a em τ .

  O par (X, τ ) ´e chamado de espa¸co topol´ogico. Dizemos que os elementos de X s˜ao os pontos do nosso espa¸co e os elementos de τ s˜ao os abertos do nosso espa¸co.

  Defini¸c˜ ao 1.6.2. Seja (X, τ ) um espa¸co topol´ogico. Dizemos que um subconjunto F de

  X ´e um fechado se X \ F ´e um aberto do espa¸co, ou seja, X \ F ∈ τ .

  Um subconjunto C de X ´e aberto fechado ( clopen) se C ∈ τ e X \ C ∈ τ , ou seja, tanto C como o seu complementar s˜ao abertos do espa¸co.

  Utilizando as leis De Morgan podemos mostrar que o espa¸co todo e o conjunto vazio s˜ao fechados, a uni˜ao finita de fechados ´e um conjunto fechado, bem como a inter- sec¸c˜ao qualquer de fechados. Portanto o espa¸co todo e o conjunto vazio s˜ao clopens no espa¸co topol´ogico.

  Defini¸c˜ ao 1.6.3. Seja hX; τ i espa¸co topol´ogico. Uma cole¸c˜ao B ⊆ τ ´e uma base dessa

  ′

  topologia se para todo A ∈ τ , existe B ⊆ B tal que: [ A B.

  = B ∈B Defini¸c˜ ao 1.6.4. Sejam hX; τ i espa¸co topol´ogico e S uma fam´ılia de subconjuntos de X tal que S ⊆ τ . S ´e subbase de τ se a interse¸c˜ao finita de elementos de S ´e uma base de τ. Teorema 1.6.5. A topologia gerada pela subbase S, ´e a menor topologia hX; τ i tal que S ⊆ τ. Defini¸c˜ ao 1.6.6. Sejam (X, τ ) espa¸co topol´ogico e A ⊆ X. Um ponto x ∈ A ´e dito um ponto interior de A se existe V ∈ τ tal que x ∈ V ⊆ A. O conjunto dos pontos interiores chama-se interior de A e denota-se por Int(A).

  ´ E f´acil ver que A ∈ τ se, e somente se, A = int(A). Defini¸c˜ ao 1.6.7. Sejam (X; τ ) espa¸co topol´ogico e A ⊆ X. Ent˜ao define-se o fecho do conjunto A como a interse¸c˜ao de todos os fechados que cont´em A. O fecho de A ser´a Tamb´em ´e f´acil ver que F ⊆ X ´e fechado se, e somente se, F = F . Proposi¸c˜ ao 1.6.8. Sejam X um espa¸co topol´ogico e A ⊆ X. Ent˜ao: i) A ´e um conjunto fechado. ii) A ⊆ A. iii) A ´e o menor fechado contendo A. Defini¸c˜ ao 1.6.9. Sejam (X, τ ) espa¸co topol´ogico e A ⊆ X. x ∈ X ´e ponto aderente de A se toda vizinhan¸ca aberta V de x intersecta A. Defini¸c˜ ao 1.6.10. Seja hX; τ i espa¸co topol´ogico. Um subconjunto A ⊆ X ´e compacto se toda cobertura aberta de A possui subcobertura finita.

  Defini¸c˜ ao 1.6.11. Um espa¸co topol´ogico hX; τ i ´e: (i) T se, dado dois pontos x, y ∈ X distintos, existe um aberto que cont´em apenas um desses pontos.

  (ii) T , ou Fr´echet, se dados x, y ∈ X com x 6= y, existem A, B ∈ τ tais que x ∈ A, y 6∈

1 A e y ∈ B, x 6∈ B.

  (iii) T , ou Hausdorff, se para cada dois pontos x, y ∈ X distintos, existem A, B ∈ τ tais

  2 que x ∈ A, y ∈ B e A ∩ B = ∅.

  Teorema 1.6.12. Seja X espa¸co topol´ogico. Se X ´e T , ent˜ao todo subespa¸co compacto ´e

  2 fechado.

  Demonstra¸c˜ ao.

  Seja A ⊆ X compacto. Vamos mostrar que X \ A ´e aberto.

  , V Seja x 6∈ A. Como X ´e T

  2 , existem, para todo a ∈ A, abertos U a a tais que S

  a ∈ U a , x ∈ V a e U a ∩ V a = ∅. Claramente A ⊆ U a e sendo A compacto, existe a

  ∈A T′ ′

  subconjunto finito A ⊆ A tal que A ⊆ S U a , logo a a V a ´e vizinhan¸ca aberta de x

  ∈A ∈A ′

  em X \ A. (pois: U a ∩ V a = ∅ ∀ a ∈ A , logo [ \ a a ′ ′ U ∩ a a = ∅

  V T ∈A ∈A e assim a V a ⊆ X \ A). Assim X \ A ´e aberto.

  ∈A Teorema 1.6.13. Todo subespa¸co fechado de um espa¸co compacto ´e compacto. Demonstra¸c˜ ao.

  Sejam X compacto e F ⊆ X fechado. Seja U uma cobertura aberta de F , i.e., F ⊆ S U. Como F ´e fechado, X \ F ´e aberto e portanto U ∪ {X \ F } ´e cobertura aberta de

  ′ ′

  X . Sendo X compacto, existe subfam´ılia finita U ⊆ U tal que U ∪{X \F } ´e subcobertura

  ′ finita para X. Logo, F ⊆ ∪U e portanto F ´e compacto.

  Defini¸c˜ ao 1.6.14. Sejam X, Y espa¸cos topol´ogicos , f : X −→ Y fun¸c˜ao e x o ∈ X. f ´e cont´ınua em x o se dada uma vizinhan¸ca qualquer V de f (x o ), existe alguma vizinhan¸ca U de x tal que f (U ) ⊆ V. Dizemos que f ´e cont´ınua se f ´e cont´ınua em todos os pontos o de X.

  Defini¸c˜ ao 1.6.15. Sejam X, Y espa¸cos topol´ogicos e f : X → Y fun¸c˜ao. Dizemos que f ´e um homeomorfismo se ´e bije¸c˜ao cont´ınua com inversa cont´ınua.

  Teorema 1.6.16. Sejam X, Y espa¸cos topol´ogicos e f : X −→ Y fun¸c˜ao. f ´e cont´ınua se, e somente se, imagem inversa de cada aberto ´e aberto, iste ´e, se V ´e aberto de Y ,

  −1 ent˜ao f (V ) ´e aberto de X.

  Demonstra¸c˜ ao.

  ⇐: Seja x o ∈ X. Vamos mostrar que f ´e cont´ınua em x o .

  −1 −1

  Seja V vizinhan¸ca aberta de f (x o ), ent˜ao x o ∈ f (V ), por hip´otese f (V ) ´e

  −1 −1

  aberto, assim f (f (V )) ⊆ V , dessa forma, basta tomarmos U = f (V ) que satisfaz a defini¸c˜ao de continuidade.

  −1 ⇒: Seja V um aberto de Y . Queremos mostrar que f (V ) ´e aberto em X. −1 −1

  Se f (V ) = ∅ acabou. Seja x ∈ f (V ), ent˜ao f (x) ∈ V , sendo assim, V ´e uma vizinhan¸ca aberta de f (x). Como f ´e cont´ınua em x, existe U x aberto tal que f (U x ) ⊆ V ,

  −1 −1

  implicando U ⊆ f (V ). Logo, para cada x ∈ f (V ), ´e poss´ıvel obter U aberto com x x

  −1

  x ∈ U x ⊆ f (V ), assim [

  −1 −1

  f U (V ) ⊆ x ⊆ f (V ). x −1

  ∈f (V ) −1

  Portanto f (V ) ´e aberto, pois ´e uni˜ao de abertos. Proposi¸c˜ ao 1.6.17. Sejam X, Y espa¸cos topol´ogicos e f : X −→ Y fun¸c˜ao.

  −1

  (a) f ´e cont´ınua se, e somente se, para todo B aberto b´asico de y, f (B) ´e aberto de

  X . (b) f ´e cont´ınua se, e somente se, imagem inversa de aberto subbasico de Y ´e aberto de X .

  Observa¸c˜ ao 1.6.18. Sejam hX; τ i e hY ; τ i espa¸cos topol´ogicos com X compacto. f :

  1

  

2

X

  −→ Y ´e cont´ınua, ent˜ao f (X) ´e compacto. Ou seja, imagem cont´ınua de compacto ´e compacto.

  Defini¸c˜ ao 1.6.19. Sejam hX; τ i e hY ; τ i espa¸cos topol´ogicos. A fun¸c˜ao

  1

  2

  f : X −→ Y,

  ´e aberta (fechada) se para todo U aberto (fechado) em X, temos que f (U ) ´e aberto (fechado) em Y. i compacto e hY ; τ i T . Teorema 1.6.20. Sejam f : X −→ Y aplica¸c˜ao cont´ınua, hX; τ

  1

  2

  2 Ent˜ao f ´e fechada.

  Demonstra¸c˜ ao.

  Seja F subconjunto fechado de X. Por 1.6.13 temos que F ´e compacto. Como imagem cont´ınua de compacto ´e compacto, ent˜ao f (F ) ´e compacto, por 1.6.12 f (F ) ´e fechado, portanto f ´e fechada. Teorema 1.6.21. (Alexander)

  Seja X um espa¸co topol´ogico com uma subbase S. Se qualquer cobertura por subb´asicos de S possui subcobertura finita, ent˜ao X ´e compacto. Defini¸c˜ ao 1.6.22. Dizemos que uma fam´ılia de subconjuntos F satisfaz a propriedade da 6= ∅. intersec¸c˜ao finita (p.i.f.) se, para tado F ⊆ F finito, temos que T F Proposi¸c˜ ao 1.6.23. Seja (X, τ ) um espa¸co topol´ogico. (X, τ ) ´e compacto sse toda fam´ılia T C de subconjuntos fechados de X com a p.i.f. possui intersec¸c˜ao n˜ao vazia, ou seja, C 6= ∅. Defini¸c˜ ao 1.6.24. Um conjunto parcialmente ordenado (poset) (I, ≤) ´e direcionado se for n˜ao vazio e para todo α, β ∈ I, existe σ ∈ I tal que α, β ≤ σ. Dado dois conjuntos parcialmente ordenados (I, ≤) e (J ≤), a aplica¸c˜ao f : I −→ J ´e cofinal se para λ ∈ J, existe σ ∈ I tal que λ ≤ f (σ).

  Defini¸c˜ ao 1.6.25. Seja X um espa¸co topol´ogico. Uma rede (net) ´e uma aplica¸c˜ao N : I −→ X onde I ´e um poset direcionado. Denotamos N = {x σ ; σ ∈ I} onde x σ = N (σ) e I o poset direcionado associado a rede N .

  Uma rede M = {y λ ; λ ∈ J} ´e uma subrede de uma rede N = {x σ ; σ ∈ I} se , ∀ λ ∈ J. existe uma aplica¸c˜ao cofinal preservando ordem f : J −→ I tal que y λ = x f

  (λ) Ou seja, o diagrama comuta, ou seja, N ◦ f = M. N //

  I X

  ?? f OO M

  J Defini¸c˜ ao 1.6.26. Seja N = {x σ ; σ ∈ I} uma rede e A ⊆ X. Ent˜ao N est´a em A se x σ ∈ A para todo σ ∈ I.

  N est´a eventualmente em A ou N est´a frequentemente em A se existe σ o ∈ I tal que x σ ∈ A para todo σ ≥ σ o , e N ´e cofinal em A se para qualquer σ ∈ I existe λ ≥ σ tal ∈ A. que x λ Um conjunto da forma {x ∈ N ; σ ≥ σ ∈ I} ´e chamado a cauda de N. σ o

  Dizemos que N converge para x ∈ X, ou x ´e ponto limite de N, se N est´a even- tualmente em U para toda vizinhan¸ca aberta U de x. Um ponto x ∈ X ´e um ponto de aglomera¸c˜ao (cluster) de N se N ´e cofinal em U para qualquer vizinhan¸ca U de x.

  Lema 1.6.27. Sejam X espa¸co topol´ogico, x ∈ X e A ⊆ X (1) x ∈ A sse existe uma rede N em A convergindo para x.

  (2) Uma rede N converge para x sse qualquer subrede de N converge para x. (3) x ´e cluster de uma rede N sse existe uma subrede de N convergindo para x. (4) O conjunto de todos os pontos cluster de uma rede ´e fechado. (5) se X ´e compacto, ent˜ao qualquer rede possui um ponto cluster. Demonstra¸c˜ ao: (1) Se x ∈ A, assim dado U vizinhan¸ca aberta de x, temos que U ∩ A 6= ∅, tome x U ∈ U ∩ A. Defina I = (Op(A), ⊇), onde Op(A) ´e o conjunto das vizinhan¸cas abertas de x . Dados U, V ∈ Op(A), temos que U ⊇ U ∩ V e V ⊇ U ∩ V , portanto I ´e um conjunto parcialmente ordenado cujaordem ´e a ordem opsta.

  Defina a seguinte rede φ

  1

  ´ E f´acil ver que ϕ preserva ordem. Vamos provar a cofinalidade. Como N ´e rede cofinal a todo U ∋ x, temos que dado λ ∈ I existe σ ≥ λ, tal que x σ ∈ U . λ ≤ ϕ(σ, U ). Assim ϕ define uma subrede de {x λ }.

  −→ I (λ, U ) 7−→ λ

  : M

  Definimos ϕ

  tal que x σ ∈ W .

  ′

  . Vamos mostrar que esta ordem ´e direcionado em M . Sejam (λ, U ), (σ, V ) ∈ M , como I ´e direcionado, temos que existe α ≥ λ, σ. Tome W = U ∩ V , como x ´e cluster em N , N ´e cofinal em W , temos que existe σ

  2

  ⊇ U

  1

  e U

  2

  ≤ λ

  ) se λ

  : I −→ A U 7−→ x U Portanto {x U } converge para x.

  2

  , U

  2

  ) ≤ (λ

  1

  , U

  1

  U }. Agora definimos a seguinte ordem, (λ

  (⇐) Seja N uma rede. Tomando Id : I −→ I, temos que Id preserva ordem e ´e cofinal, logo N = N ◦ Id, assim N ´e Subrede de N convergindo para x. (3) (⇒) Seja x um ponto cluster de N . Defina M = {(λ, U ); λ ∈ I, U viz. de x t.q. x λ ∈

  ≥ σ, x σ ∈ U . Sendo φ cofinal, temos λ o ∈ J tal que φ(λ o ) ≥ σ, portanto y λ o = x φ (λ o ) ∈ U . Tomando λ ≥ λ o , temos que φ(λ) ≥ φ(λ o ) e portanto y λ = x φ (λ) ∈ U.

  ′

  ∈ I tal que x σ ∈ U para todo σ ≥ σ o , portanto U ∩ A 6= ∅. Como U foi tomado arbitrariamente, temos que x ∈ A. (2) (⇒) Seja N uma rede convergindo para x. Seja M Subrede de N , ou seja, existe φ : J −→ I cofinal, preservando ordem. Seja U aberto contendo x. Como N converge para x, temos que existe σ ∈ I tal que para todo σ

  Seja uma rede N em A convergindo para x, tome U aberto de X tal que x ∈ U . Como N est´a eventualmente em U , temos que existe σ o

  Seja U o qualquer vizinhan¸ca de x. Portanto existe λ o ∈ I tal que x λ o ∈ U o , logo (λ o , U o ) ∈ M . Tomando (λ, U ) ≥ (λ o , U o ), teremos x λ ∈ U ⊆ U o , assim M est´a eventualmente em U o . Como U o foi tomado arbitrariamente, temos que a subrede definida por ϕ converge para x.

  } que converge para (⇐) Suponha que ϕ : M −→ I defina um subrede de {x λ x . Ent˜ao para qualquer vizinhan¸ca U de x, existe u U ∈ M t.q. u ≥ u U , implica que x ϕ ∈ U.

  (u)

  Sejam U viz. de x e λ o ∈ I. Como ϕ ´e cofinal, temos que existe u o ∈ M tal ∈ M que ϕ(u o ) ≥ λ o . Como ϕ define uma subrede convergindo para x, existe um u U

  ∗

  tal que u ≥ u implica que x ∈ U . Como M ´e direcionado, tome u ∈ M tal que U ϕ (u)

  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

  u ≥ u o e u ≥ u U . Ent˜ao ϕ(u ) = λ ≥ λ o e x λ = x ϕ ∈ U . Como λ o foi tomado

  (u )

  arbitrariamente, temos que N ´e cofinal em U . Como U tamb´em foi tomado arbitr´ario, temos que x ´e um ponto cluster.

  (4) Sejam F o conjunto de todos os pontos cluster de N = {x σ ; σ ∈ J} e x ∈ F . Assim, pelo item (1), existe uma rede M = {x λ ; λ ∈ I} de pontos de F convergindo para x ∈ I, temos x ∈ F e portanto, existe N

  . Dado λ o λ o o subrede de N convergindo para x λ .

  Seja U aberto de X contendo x. Como M converge para x, existe λ ∈ I tal U o que x λ ∈ U para todo λ ≥ λ o . Fixe λ U ≥ λ o , como x λ ∈ F , temos N subrede de N U convergindo para x λ . Assim existe σ o ∈ J tal que σ U ≥ σ o implica que x σ ∈ U . U U

  ′

  Para cada U aberto de X contendo x, temos x σ ∈ U na rede N . Defina J = U

  ′

  {(σ , U ∈ J}. J U ) com σ U ´e um conjunto parcialmente ordenado direcionado, com a ′ ′ ′ ′ seguinte ordem, (σ U , U ) ≤ (σ U , U ) ⇔ σ U ≤ σ U e U ⊇ U . Definimos a aplica¸c˜ao

  ′

  ϕ : J −→ J .

  (σ U , U ) 7−→ σ U

  ′ Assim N = N ◦ ϕ ´e uma subrede de N convergindo para x.

  (5) Suponha que X compacto e que N n˜ao tenha ponto cluster. Assim para todo x ∈ X, temos U ∋ x tal que existe σ ∈ J e todo σ ≥ σ 6∈ U x x x vale x σ x . Como X ´e compacto, temos que x , ..., x tal que

  1 n

[

n

X ⊆ U x . i i

=1

, ..., σ 6∈ X, o que ´e um absurdo.

  Assim existe σ ≥ σ

  1 n tal que x σ Cap´ıtulo 2 Dualidade de Esakia

  Neste cap´ıtulo introduzimos a no¸c˜ao de Espa¸co de Esakia e estabelecemos uma dualidade entre as categorias Heyt e Esa. Algumas demonstra¸c˜oes deste cap´ıtulo s˜ao originais.

  Usaremos a nota¸c˜ao A ⊆ B para A subconjunto finito de B. f Aqui denotaremos por CpU p(X) o conjunto de todos os subconjuntos clopen upset de X.

2.1 Espa¸cos de Esakia A maioria das defini¸c˜oes deste cap´ıtulo foram encontradas em [BB09].

  Defini¸c˜ ao 2.1.1.

  a) Um espa¸co ordenado ´e um conjunto X com uma topologia τ e uma ordem parcial ≤, denotamos por (X, ≤, τ ).

  b) Denotamos por U a fam´ılia dos subconjuntos de X upset. A fam´ılia dos subconjuntos downset de X chamamos de L.

  Defini¸c˜ ao 2.1.2. Dizemos que (X; ≤; τ ) ´e espa¸co de Priestley se e somente se: (a) (X; ≤) ´e ordem parcial (b) (X; τ ) ´e espa¸co compacto e

  (c) Vale o axioma da separa¸c˜ao de Priestley (ASP): ∀ x, y ∈ X, x y, implica ∃ U =↑ U clopen tal que x ∈ U e y 6∈ U. co de Esakia Defini¸c˜ ao 2.1.3. (Espa¸ )

  Dizemos que (X; ≤; τ ) ´e espa¸co de Esakia se: (a) (X; ≤; τ ) ´e espa¸co de Priestley (b) ∀A ∈ clopen(X) ↓ A ∈ clopen(X) Uma prova deste proximo lema pode ser encontrado em [S12].

  Lema 2.1.4. seja (X; τ ; ≤) um espa¸co topol´ogico ordendo.

  (1) Se (X; τ ; ≤) ´e um espa¸co de Prisetley, ent˜ao (X; τ ) ´e um espa¸co de Stone (2) se (X; τ ; ≤) Priestley, ent˜ao ↑ F e ↓ F s˜ao fechados para qualquer fechado F ⊆ X (3) Em um espa¸co Priestley, qualquer aberto upset (downset) ´e uni˜ao de clopens upset

  (downset), qualquer fechado upset (downset) ´e interse¸c˜ao de clopens upset (down- set). (4) Num espa¸co Priestley, clopens upsets e clopens downsets formam uma subbase para a topologia. (5) (X; τ ; ≤) ´e um espa¸co Priestley sse (X; τ ) ´e compacto e para subconjuntos fechados

  F e G de X , sempre que ↑ F ∩ ↓ G = ∅, existe um clopen upset A de X t.q. F ⊆ C A e G ⊆ A .

  Observa¸c˜ ao 2.1.5. (X; ≤; τ ) ´e espa¸co de Esakia se e somente se: (a) (X; τ ) ´e espa¸co de Stone, i.e., T , compacto e zero-dimensional.

  2

  (b) (X; ≤) ´e ordem parcial (c) ∀x ∈ X, ↑ x ´e fechado.

  (d) A clopen em X, implica ↓ A clopen em X. Demonstra¸c˜ ao: ” ⇐ ”: basta verificar (ASP). Sejam x, y ∈ X tal que x 6≤ y, temos que y 6∈↑ x. Como X ´e compacto T , portanto normal, temos que {y} e ↑ x s˜ao fechados e existem U

  2 e V abertos disjuntos de X tais que ↑ x ⊆ U e {y} ⊆ V . Como X ´e zero-dimensional, existe A clopen de X tal que y ∈ A ⊆ U . Pelo mesmo motivo, temos que para todo z ∈↑ x, existe A z clopen de X tal que z ∈ A z ⊆ V .

  , ..., z Sabe-se que ↑ x ´e fechado em X, portanto compacto. Logo existem z [ n 1 n tais que

  ↑ x ⊆ A ⊆ V i =1 z i y ∈ A ⊆↓ A clopen de X. Observe que x 6∈↓ A. Pois se x ∈↓ A, existe z ∈ A tal que x ≤ z e portanto z ∈↑ x. Segue que ↑ x ∩ A 6= ∅, que ´e uma contradi¸c˜ao. Assim x ∈ X\ ↓ A.

  Como ↓ A ´e clopen, temos X\ ↓ A clopen. Agora sejam a ∈ X\ ↓ A e b ∈ X tais que a ≤ b. Vamos mostrar que b ∈ X\ ↓ A. Se b 6∈ X\ ↓ A, temos que b ∈↓ A, assim existe c ∈ A tal que b ≤ c, logo a ≤ b ≤ c, assim a ∈ daA, contradi¸c˜ao. Temos portanto que X\ ↓ A ´e upset e portanto vale (ASP).

  ” ⇒ ”: Sendo o espa¸co de Esakia um espa¸co Priestley, temos que j´a ´e Stone e (X; ≤) ´e ordem parcial. Como estamos em um espa¸co Hausdorff, temos que {x} ´e fechado, pelo lema 2.1.4, ↑ x ´e fechado.

  O item (d) segue da defini¸c˜ao de espa¸co de Esakia.

2.2 Dualidade entre categorias Heyt e Esa

  A dualidade de Esakia n˜ao foi demonstrada em [BB09], por´em algumas ideias da demonstra¸c˜ao de alguns resultados, como 2.2.6, 2.2.10 e 2.2.11, foram encontradas em [M05]. Algumas demonstra¸c˜oes desta se¸c˜ao s˜ao originais, como por exemplo 2.2.4 e parte de 2.2.8.

  Denotamos a categoria das ´algebras de Heyting como Heyt onde os morfismos em Heyt s˜ao morfismos de reticulados preservando →. Antes de definirmos a categoria dos espa¸cos de Esakia temos a seguinte defini¸c˜ao.

  ′ Defini¸c˜ ao 2.2.1. Sejam (X, ≤), (Y, ≤ ) conjuntos ordenados e f : X → Y fun¸c˜ao.

  Dizemos que f satsfaz a condi¸c˜ao de p-morfismo se ∀x ∈ X, y ∈ Y tal que f (x) ≤ y, implica ∃z ∈ X; x ≤ z e f (z) = y Na categoria Esa, os objetos s˜ao espa¸cos de Esakia e os morfismos s˜ao morfismos

  ′ ′

  de Esakia, i.e., f ´e um morfismo de Esakia entre os espa¸cos (X; τ ; ≤), (Y ; τ ; ≤ ) se f preserma ordem, satisfaz a condi¸c˜ao de p-morfismo e cont´ınua.

  ´ a continuidade e a monotonicidade (preserva ordem) s˜ao preservados por composi¸c˜ao. Falta verificar que a composi¸c˜ao satisfaz a condi¸c˜ao de p-morfismo.

  Lema 2.2.2. Sejam X, Y, Z espa¸cos de Esakia, f : X → Y e g : Y → Z morfismo de Esakia. g ◦ f satifaz a condi¸c˜ao de p-morfismo.

  Demonstra¸c˜ ao: Sejam x ∈ X e z ∈ Z tal que g ◦ f (x) ≤ z. Assim, com g ´e morfismo de Esakia, temos que existe y ∈ Y tal que f (x) ≤ y e g(y) = z. Como f tamb´em ´e morfismo de

  ′ ′ ′ ′ Esakia, existe x ∈ X com x ≤ x e f (x ) = y. Portanto g(f (x )) = g(y) = z.

  ′ ′

  Fato 2.2.3. Sejam (X; τ ; ≤), (Y ; τ ; ≤ ) espa¸cos de Esakia e f : X → Y morfismo de Esakia. f ´e isomorfismo se, e somente se:

  (i) f ´e sobrejetora

  ′

  f (ii) x ≤ x ∈ X ⇔ f (x ) ≤ (x ) ∈ Y

  1

  2

  1

2 Demonstra¸c˜ ao:

  (⇒) Sabendo que f ´e isomorfismo, temos que f ´e sobrejetiva. f ´e morfismo de

  ′

  , x ∈ X tal que f (x f Esakia, logo preserva ordem. Agora sejam x ) ≤ (x ). Sendo f

  1

  2

  1

  2 −1

  isomorfismo, temos que f ´e um morfismo de Esakia e portanto preserva ordem, assim

  −1 −1 x = f (f (x )) ≤ f (f (x )) = x .

  1

  1

  2

  2

  (⇐) ´ E f´acil ver que f ´e bije¸c˜ao, pois, por hip´otese, f ´e sobre e dados x , x ∈ X

  1

  2

  f tais que f (x ) = f (x ), temos que f (x ) ≤ (x ) e assim x ≤ x . De forma an´aloga

  1

  2

  1

  2

  1

  2 temos x ≤ x . Portanto f ´e bije¸c˜ao.

  2

  1 −1

  Falta mostrar que f ´e morfismo de esakia. Como f ´e fun¸c˜ao cont´ınua de um

  −1 espa¸co compacto num espa¸co Hausdorff, temos que f fechado, assim f ´e cont´ınua. −1 Pela hip´otese de preservar e reverter ordem, temos que f preserva ordem. −1 ′

  Agora tome y ∈ Y e x ∈ X tal que f (y) ≤ x. Assumindo y = f (x), temos que

  −1 ′ ′ −1 −1

  y f = f (f (y)) ≤ (x) = y . Portanto f satistfaz a propriedade p-morfismo. Logo f ´e morfismo de Esakia.

  Agora podemos construir os funtores contravariantes de equivalencia. Antes va- mos provar um resultado importante na constru¸c˜ao dos nossos funtores. Lema 2.2.4. Seja (X; ≤) ordem parcial. Ent˜ao (U p(X); ∩, ∪, →) forma uma ´algebra de Heyting.

  U → V :≡ {x ∈ X; ↑ x ∩ U ⊆ V } = X\ ↓ (U \ V ) Demonstra¸c˜ ao:

  ´ E f´acil ver que (U p(X); ∩, ∪) ´e um reticulado, pois ↑ e ↓ s˜ao preservados por interse¸c˜ao e uni˜ao.

  Agora, para mostrar que (U p(X); ∩, ∪, →) ´e uma ´algebra de Heyting, basta mos- trar a lei de adjun¸c˜ao. Antes vamos mostrar que → est´a bem definida. Seja x ∈↑ (U → V ), assim existe y ∈ (U → V ) tal que y ≤ x. Como y ∈ U → V , temos ↑ y ∩ U ⊆ V . Caso ↑ x ∩ U = ∅ temos ↑ x ∩ U ⊆ V . Caso ↑ x ∩ U 6= ∅, temos que dado a ∈↑ x ∩ U, a ∈↑ x, logo a ∈↑ y, assim a ∈↑ y ∩ U ⊆ V, logo x ∈ U → V , provando que ↑ (U → V ) = U → V . Vamos mostrar a lei de adjun¸c˜ao: W ⊆ U → V ⇔ W ∩ U ⊆ V , com U, V, W ∈ U p (X).

  ′

  ⇒

  ′ Seja x ∈ W ∩ U, x ∈ W e x ∈ U .

  Como x ∈ W, temos que x ∈ U → V , ou seja, ↑ x ∩ U ⊆ V , tendo que x ∈ U , temos que x ∈↑ x ∩ U ⊆ V , logo x ∈ V . Como x foi tomado arbitrariamente, temos W ∩ U ⊆ V .

  ′

  ⇐

  ′

  Seja x ∈ W , como W ∈ U p(X), temos que ↑ x ⊆ W . Portanto ↑ x ∩ U ⊆ V , logo x ∈ U → V , como x foi tomado arbitr´ario, W ⊆ U → V . Segue agora a prova da igualdade: x ∈ U → V ⇔ ↑ x ∩ U ⊆ V

  ⇔ (↑ x ∩ U ) ∩ (X \ V ) = ∅ ⇔ ↑ x ∩ (U ∩ (X \ V )) = ∅ ⇔ ↑ x∩ ↓ (U ∩ (X \ V )) = ∅

  Esta ´ ultima equivalˆencia ´e justificada da seguinte forma. Caso ↑ x∩ ↓ (U ∩ (X \

  V )) 6= ∅, ter´ıamos z ∈↑ x e z ∈↓ (U ∩ (X \ V )), logo existe y ∈ U ∩ (X \ V ) tal que x ≤ z ≤ y, assim y ∈↑ x. Portanto

  ↑ x∩ ↓ (U ∩ (X \ V )) = ∅ ⇔ ↑ x ⊆ X\ ↓ (U ∩ X \ V ) ⇔ x ∈ X\ ↓ (U ∩ X \ V ). Portanto U → V = X\ ↓ (U ∩ X \ V ).

  ∗

  Seja (X; ≤; τ ) espa¸co de Esakia, ent˜ao X :≡ (CpU p(X); ∩, ∪, →, ∅, X) ´e ´algebra de Heyting onde CpU p(X) = {A ⊆ X; A clopen e A =↑ A}.

  ∗

  Observe que X ´e sub´algebra de Heyting de U p(X). Pois ´e f´acil ver que interse¸c˜ao e uni˜ao de clopens upsets ´e um clopen upset. Agora para a implica¸c˜ao temos que dados A, B

  ∈ CpU p(X), A → B = X\ ↓ (A ∩ X \ B) que ´e clopen upset pois ↓ (A ∩ X \ B) ´e clopen downset.

  Defini¸c˜ ao 2.2.5. Seja Ω ∈ Obj(Heyt), definimos o espa¸co Ω :≡ (X; ≤), onde X :≡

  ∗

  {P ⊂ Ω; P filtro primo e pr´oprio em Ω}, (≤ = ⊆) e ´e dada com a seguinte subbase L :≡ {S a ; a ∈ Ω} ∪ {X \ S b ; b ∈ Ω} onde S a = {P ∈ X; a ∈ P }.

  ∩ X \ S Lema 2.2.6. Seja Ω uma ´algebra de Heyting. Se a, b ∈ Ω, ent˜ao ↓ (S a b ) = X \ (S a )

  →b

  Demonstra¸c˜ ao: Seja a, b ∈ Ω. Como a ∧ (a → b) ≤ b, temos que S a ∩ S a ⊆ S b . Portanto

  →b

  X \ S ⊆ X \ (S ∩ S ) b a a →b X \ S b ⊆ (X \ S a ) ∪ (X \ S a )

  →b

  S a ∩ X \ S b ⊆ S a ∩ (X \ S a ∪ X \ S a )

  →b

  ⊆ (S a ∩ X \ S a ) ∪ (S a ∩ X \ S a )

  →b ⊆ S ∩ X \ S . a a →b Portanto S a ∩ X \ S b ⊆ X \ S a .

  →b

  Como X \ S a =↓ X \ S a , temos que ↓ (S a ∩ X \ S b ) ⊆ X \ S a . Falta

  →b →b →b mostrara inclus˜ao contr´aria.

  Seja P ∈ X \ S , portanto P ´e filtro primo pr´oprio tal que a → b 6∈ P . a →b Desejamos encontrar um filtro primo Q com P ∪ {a} ⊆ Q e b 6∈ Q. Tome G o filtro gerado por P ∪ {a}. Se G∩ ↓ (a → b) 6= ∅, ter´ıamos x ∈ P e z

  ≤ a → b tal que x ∧ a ≤ z. Portanto x ∧ a ≤ a → b ⇒ a ∧ (x ∧ a) ≤ b ⇒ x ∧ a ≤ b ⇒ x ≤ a → b Assim a → b ∈ P o que ´e um absurdo. Por Stone-Birkhoff, temos que existe Q filtro primo pr´oprio tal que P ⊆ Q e

  Q ∩ ↓ (a → b) = ∅, dessa forma temos que a → b 6∈ Q.

  Se b ∈ Q, teremos a∧b ≤ b, assim b ≤ a → b e portanto a → b ∈ Q contradizendo o que acabamos de mostrar. Assim Q ∈ S a ∩ X \ S b . Como P ⊆ Q, temos que P ∈↓ (S a ∩ X \ S b ).

  → S . Corol´ ario 2.2.7. S a →b = S a b

  A prova da compacidade na proxima proposi¸c˜ao foi elaborada com id´eia de [DP92]. Proposi¸c˜ ao 2.2.8. Com as nota¸c˜oes, (X; ≤; τ ) ´e espa¸co de Esakia. Demonstra¸c˜ ao:

  ´ E claro que (X; ≤) ´e ordem parcial. Vejamos que ´e compacto. Para isto, vamos usar o teorema de Alexander. Sejam Ω ⊆ Ω, Ω ⊆ Ω e U := {S a | a ∈ Ω } S{X \ S b | b ∈ Ω } cobertura por

  1 1 abertos subb´asicos de X.

  Seja I ideal gerado por Ω em Ω (se Ω = ∅, I = {⊥}). Seja F filtro gerado por Ω em Ω (se Ω = ∅, F = {⊤}).

  1

  1 Se I ∩ F = ∅, ent˜ao pelo teorema de Stone-Birkhoff, temos que existe filtro primo

  P com F ⊆ P e I ∩ P = ∅.

  Como F ⊆ P , a ∈ P ∀ a ∈ Ω e portanto P 6∈ X \ S a ∀ a ∈ Ω .

  1

  1

  , a 6∈ P . Assim P 6∈ S Como P ∩ I = ∅, ∀ a ∈ Ω a para todo a ∈ Ω . Portanto P ´e filtro primo fora da cobertura, absurdo. Assim I ∩ F 6= ∅, logo existe a ∈ I ∩ F . Vamos dividir em trˆes casos.

  6= ∅ e Ω 6= ∅. Caso 1 : Ω

  1

  , ..., a Como a ∈ I, existem a n ∈ Ω tais que

  1 a ≤ a ∨ ... ∨ a n .

  1

  , ..., b ∈ Ω e como a ∈ F , existem b

  1 m 1 , tais que b .

  ∧ ... ∧ b m ≤ a ≤ a ∨ ... ∨ a n (2.1) S

  1

  1 Logo X ⊆ {S | i = 1, ..., n} ∪ S{X \ S | j = 1, ..., m}. De fato, seja P ∈ X a i b j

  Se a ∈ P , por 2.1 a ≤ a ∨ ... ∨ a n , segue que a ∨ ... ∨ a n ∈ P , logo

  1 [ n

  1 P S .

  ∈ S a 1 n = a

  ∨...∨a i i =1

  Se a 6∈ P , por 2.1, b ∧ ... ∧ b m ≤ a ⇒ b ∧ ... ∧ b m 6∈ P , logo

  1

\

m

  1 P S .

  6∈ b j j

  

=1

  Assim \ [ m m P ∈ X \ S b = (X \ S b ). j j j j

  

=1 =1

  Caso 2 : Ω = ∅

  1 Observe que como F = {⊤} e F ∩ I 6= ∅, temos que I = Ω.

  Dado P filtro primo de Ω, temos que ⊤ ∈ P . Por 2.1, temos que a ∨ ... ∨ a n ∈ P ,

  1

  segue que [ n P S .

  ∈ a i i

  

=1

Caso 3 : Segue de forma an´aloga ao caso 2.

  (ASP): Sejam P, Q ∈ X tais que P 6⊆ Q. Assim ∃a ∈ P tal que a 6∈ Q. Logo P e Q ∈ S a 6∈ S a .

  Pela defini¸c˜ao da subbase do nosso espa¸co, ´e claro que S a ´e clopen. Falta mostrar que ↑ S a ⊆ S a . Seja F ∈↑ S a , i.e., ∃G ∈ S a tal que G ⊂ F , mas como a ∈ G, temos que a ∈ F , e portanto F ∈ S a . Com isso (X; ≤; τ ) ´e espa¸co de Priestley. Falta ver que A ∈ clopen(X) ⇒ ↓ A ∈ clopen(X). Fato 2.2.9. se A ∈ clopen(X), ent˜ao existe a, b ∈ X t.q. A = S ∩ (X \ S ). a b Prova.

  Podemos escrever [

  ′ ′ A ∩ X \ S ⊆ Ω e Ω ⊆ Ω.

  = (S a b ), Ω ′ ′

  1 (a,b)∈Ω ×Ω 1 ′′ ′ ′′ ′

  Como A ´e fechado, A ´e compacto, portanto existem Ω ⊆ f Ω , Ω ⊆ f Ω tal que

  1

  1

  S ′′ ′′ A = (S a ∩ X \ S b ) ,b i j S S (a i j )∈Ω o ×Ω ′′ ′′

1

A = ( S a ) ∩ ( a b i ∈Ω j ∈Ω i j 1 X \ S b )

  A 1 ∩ X \ S 1 = S a ∨...∨a n b ∧...∧b m A = S a ∩ X \ S b .

  Agora podemos mostrar o desejado. Como A = S a ∩ X \ S b , temos que

  X \ ↓ A = X\ ↓ (S ∩ X \ S → S a b ) = S a b Como S a → S b = S a ´e clopen, temos que ↓ A ´e clopen.

  →b

  Precisamos agora estabelecer uma rela¸c˜ao entre os morfismos de ´algebra de Hey- ting e os morfismos de espa¸cos de Esakia.

  Proposi¸c˜ ao 2.2.10. Sejam Ω, Λ ´algebras de Heyting e f : Ω −→ Λ morfismo de ´algebra

  −1

  de Heyting. Definimos f : Λ −→ Ω tal que f (Q) = f (Q). f ´e um morfismo de

  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ Esakia.

  Demonstra¸c˜ ao: est´a bem definida pois pr´e-imagem de filtro primo pr´oprio ´e filtro primo pr´oprio.

  Vamos mostrar que f preserva ordem. Sejam P, Q ∈ Λ tais que P ⊆ Q. Seja

  ∗ ∗ −1 −1 a ∈ f (P ), assim f (a) ∈ P ⊆ Q e portanto a ∈ f (Q).

  Mostraremos a continuidade de f .

  ∗

  Seja A aberto subb´asico em Ω , logo A = S a para algum a ∈ Ω ou A = X \ S b

  ∗

  para algum b ∈ Ω. Para o primeiro caso, temos que

  −1 f (S a ) = {P ∈ Λ ; a ∈ f (P )} = {P ∈ Λ ; f (a) ∈ P } = S f .

  ∗ ∗ ∗ (a) ∗

  De forma an´aloga provamos que para o segundo caso que

  −1 f .

  (Ω \ S b ) = Λ \ S f

  ∗ ∗ (b) ∗

  Assim pr´e-imagem de subb´asico ´e subb´asico. Resta mostrar que f ´e p-morfismo.

  ∗ −1

  Sejam Q ∈ Λ e P ∈ Ω com f (Q) ⊆ P ⇒ f (Q) ⊆ P .

  ∗ ∗ ∗

  Seja C clopen em Ω tal que P ∈ C. Por 2.2.9, temos que C clopen implica que

  ∗

  C = S ∩ (X \ S \ S t.q. a ∈ P e b 6∈ P . Como S → S \ ↓ (S \ S a b ) = S a b a b = Ω ∗ a b ) temos

  −1 −1

  f (↓ C) = f (↓ (S a \ S b ))

  ∗ ∗ −1

  = f (Ω \ (S a → S b ))

  ∗ ∗ −1

  = f (Ω \ S a )

  ∗ →b ∗

  \ S = Λ ∗ f (a→b) = Λ \ S f

  ∗ (a)→f (b)

  = Λ \ S f → S f

  ∗ (a) (b)

  = ↓ (S f \ S f )

  (a) (b) −1

  \ S = ↓ (f (S a b ))

  ∗ −1

  = ↓ f (C)

  ∗ −1 −1 ′ −1

  Como f (Q) ⊆ P , temos que Q ∈ f (↓ C) =↓ f (C) da´ı existe Q ∈ f (C) tal

  ∗ ∗ ∗ ∗ ′ ′ −1 que Q ⊆ Q , assim Q ∈↑ Q logo ↑ Q ∩ f (C) 6= ∅.

  ∗ −1

  Considere a fam´ılia A :≡ {f (C); C clopen e P ∈ C}.

  ∗

  Observe que \ \ n n

  −1 −1 −1 ′

  f C (C i ) = f ( i ) = f (C ) i =1 i =1

∗ ∗ ∗

−1

  Sabendo que ↑ Q ∩ f (C) 6= ∅. Portanto temos que

  ∗ \ n −1

  ↑ Q ∩ f (C i ) 6= ∅, i

=1

  −1

  ∈ A} ´e fam´ılia de fechados com a pif . Pela Assim o conjunto {↑ Q ∩ f (C i ); C i

  ∗

  compacidade de Λ , temos que

  ∗ \ −1

  (↑ Q ∩ f (C i )) 6= ∅. f ∗ −1 ∗ (C i )∈A \ −1 T ome T

  ∈ (↑ Q ∩ f (C)) f ∗ −1

(C)∈A

  −1 −1 Assim temos que T ∈ f (C) para todo C tal que f (C) ∈ A. ∗ ∗ −1

  Dado a ∈ P . sabe-se que S a ´e clopen e P ∈ S a . Assim T ∈ f (S a ), segue que

  ∗

  f ∗ (T ) ∈ S a e portanto temos a ∈ f ∗ (T ). Provando que P ⊆ f ∗ (T ).

  −1

  Agora tome b 6∈ P . X \ S ´e clopen e P ∈ X \ S . Portanto T ∈ f (X \ S ) e b b b

  ∗

  assim f (T ) ∈ X \ S b . Provando que b 6∈ f (T ), logo f (T ) ⊆ P

  ∗ ∗ ∗

  Temos portanto que Q ⊆ T e que f (T ) = P , satisfazendo assim a condi¸c˜ao de

  

p-morfismo.

  ′ ′

  , Proposi¸c˜ ao 2.2.11. Se f : (X, τ, ≤) → (Y, τ ≤ ) ´e morfismo de espa¸cos de Esakia,

  ∗ ∗ ∗ ∗ −1 ent˜ao f : Y −→ X ´e um morfismo de ´algebra de Heyting, onde f (U ) = f (U ). Demonstra¸c˜ ao: Seja U ∈ Y

  ∗

  ∗

  −1

  (U ∩ Y \ V ) ⇒ z ∈ f

  −1

  (z) ∈ U ∩ X \ V ⇒ z ∈ f

  (U → V ), assim f (x) 6∈ U → V = X\ ↓ (U ∩ X \ V ) logo f (x) ∈↓ (U ∩ X \ V ). Desta ultima pertinˆencia, temos que existe y ∈ U ∩ X \ V tal que f (x) ≤ y, com f ´e um p-morfismo, temos que existe z ∈ X t.q. x ≤ z e f (z) = y f

  ∗

  . Seja x 6∈ f

  Vamos mostrar a inclus˜ao contr´aria. Sejam U, V ∈ Y

  −1

  −1 (V ).

  (U ) → f

  −1

  (U → V ) ⊆ f

  −1

  (V ) Por adjun¸c˜ao temos que f

  −1

  (U ) ⊆ f

  (U ) ∩ f

  (Y \ V ) ⇒ x ∈↓ (f

  (U → V ) ∩ f

  −1

  ∗

  (U ) → f

  ∗

  (V ) ⇒ x 6∈ f

  −1

  (U ) → f

  −1

  (V )) ⇒ x 6∈ f

  (U ) ∩ X \ f

  −1

  −1

  (V )) ⇒ x 6∈ Y \ ↓ (f

  −1

  (U ) ∩ X \ f

  −1

  (Y \ V )) ⇒ x ∈↓ (f

  −1

  (U ) ∩ f

  −1

  −1

  , U ∈ CpU p(Y ), ou seja, U =↑ U clopen, f

  (U ) tal que x ≤ z, como f preserva ordem, temos f (x) ≤ f (z) implicando que f (z) ∈↑ U = U , logo z ∈ f

  ´e um morfismo de reticulados: Sejam U, V ∈ CpU p(Y ), f

  ∗

  f

  −1 (U ).

  (U ) = f

  −1

  (U ), assim ↑ f

  −1

  −1

  (U ∩ V ) = f

  (U ), portanto existe x ∈ f

  −1

  Seja z ∈↑ f

  −1 (U ).

  (U ) = f

  −1

  (U ) ´e clopen pois f ´e morfismo de Esakia e portanto fun¸c˜ao cont´ınua. Falta mostrar que ↑ f

  −1

  ∗

  −1

  (V ) logo f

  (V ) De forma an´aloga mostramos para U ∪ V Vamos mostrar que preserva → Sejam U, V ∈ Y

  −1

  (x) ∈ U . Como f (x) ∈ U → V , temos que ↑ f (x) ⊆ U → V , o que implica ↑ f (x) ∩ U ⊆ V ⇒ f (x) ∈ V ⇒ x ∈ f

  (U ) portanto f (x) ∈ U → V e f

  −1

  (U → V ) ∩ f

  −1

  . Seja x ∈ f

  ∗

  −1

  (U ∩ V ). Da´ı a ∈ f

  (U ) ∩ f

  −1

  (V ) ⇔ a ∈ f

  −1

  (U ) e f

  −1

  (U ∩ V ) ⇔ f (a) ∈ U ∩ V ⇔ f (a) ∈ U e f (a) ∈ V ⇔ a ∈ f

  −1

  (V ) Defini¸c˜ ao 2.2.12. Sejam dadas as categorias Heyt e Esa, definimos os seguintes funtores contravariantes

  

∗ : Heyt −→ Esa

  : Esa −→ Heyt Lema 2.2.13. Os funtores definidos acima est˜ao bem definidos Demonstra¸c˜ ao:

  J´a provamos que leva ´algebra de Heyting em espa¸co de Esakia e morfismo de

  ∗ ´algebra de Heyting em morfismo de Esakia.

  −1

  Observe que dado A ´algebra de Heyting e F filtro primo de A, Id (F ) = Id (F ) =

  ∗

  F . Se f : A → B e g : B → C s˜ao morfismos de ´algebra de Heyting, temos que dado F filtro primo de C,

  −1 −1 −1 ∗ ∗ (g ◦ f ) (F ) = (g ◦ f ) (F ) = f (g (F )) = f ◦ g (P ). ∗ Assim mostrando que ´e um funtor contravariante.

  ∗ ∗

  J´a provamos que leva espa¸co de Esakia em ´algebra de Heyting e morfismo de Esakia em morfismo de ´algebra de Heyting.

  ∗ −1

  Sejam X espa¸co de Esakia e U ∈ CpU p(X). Id (U ) = Id (U ) = U . Se

  ∗ −1

  f : X → Y e g : Y → Z s˜ao morfismos de Esakia e sabendo que f = f , temos que

  ∗ ∗ ∗ ∗ .

  (g ◦ f ) = f ◦ g Protanto ´e um funtor contravariante.

  Para finalizar a dualidade de Esakia nos resta definir os isomorfismos naturais. Teorema 2.2.14. Sejam A algebra de Heyting e X espa¸co de Esakia. Definimos as seguintes aplica¸c˜oes:

  ∗

  ϕ A : A −→ A

  ∗ ′

  x oprio 7−→ S x = {P f iltro primo pr ; x ∈ P }

  ∗

  ε X : X −→ X

  ∗

  x 7−→ {U ∈ CpU p(X); x ∈ U }

  Ent˜ao, ϕ A ´e isomorfismo de ´algebras de Heyting e ε X isomorfismo de espa¸cos de Esakia Demonstra¸c˜ ao: Por simplicidade, escreveremos aqui apenas ϕ e ε em vez de ϕ A e ε X A boa defini¸c˜ao de ϕ segue do fato que S a ∈ CpU p(A ) para todo a ∈ A.

  ∗ Agora vamos mostrar que ϕ ´e isomorfismo de ´algebra de Heyting.

  ϕ ´e morfismo de reticulado, pois tomando P ∈ S a filtro primo pr´oprio, portanto,

  ∧b

  por ser filtro temos P ∈ S ⇔ a ∧ b ∈ P a ∧b

  ⇔ a ∈ P e b ∈ P ⇔ P ∈ S a e P ∈ S b . ⇔ P ∈ S a ∩ S b e por ser primo, temos que

  P ∈ S a ⇔ a ∨ b ∈ P

  ∨b

  ⇔ a ∈ P ou b ∈ P . ou P

  ⇔ P ∈ S a ∈ S b ⇔ P ∈ S ∪ S a b Portanto ϕ ´e morfismo de reticulados.

  ϕ preserva → pois S a = S a → S b . Agora basta provar que ϕ ´e bije¸c˜ao.

  →b

  ϕ ´e 1 a 1:

  Sejam a, b ∈ A com a 6= b. Suponha que a 6≤ b, tome ↑ a e ↓ b, pelo teorema de Stone-Birkhoff, temos que existe P filtro primo tal que ↑ a ∈ P e ↓ b ∩ P = ∅, portanto a ∈ P e b 6∈ P , logo ϕ(a) 6= ϕ(b).

  Por fim mostraremos que ϕ ´e sobre: Seja U ∈ CpU p(A ). Vamos mostrar que U = S para algum a ∈ A.

  ∗ a

  Fixe P ∈ U . Tome Q ∈ A \ U . Como U ´e upset, temos que P 6⊆ Q, assim existe

  ∗

  a pq ∈ A tal que a pq ∈ P e a pq 6∈ Q. Assim temos que P ∈ S a e Q ∈ A \ S a . Observe pq ∗ pq que [ A \ U ⊆ A \ S .

  

∗ ∗ a pq

Q ∗

∈A \U

  Como A ´e compacto e A \ U ´e fechado, temos que A \ U ´e compacto. Portanto

  ∗ ∗ ∗

m

  A \ U ⊆ S A \ S a

  ∗ ∗

i

=1 pqi m

  S = A \ (T a )

  

i =1 pqi

  = A \ S a

  ∗ pq1 ∧...∧a pqm Assim S a p ⊆ U ⇒ [ P

  ∈U

  ′ .

  Pela normalidade de X

  ∗ ∗ temos a xistˆencia de um aberto U ′

  tal que ε(X)∩U

  ′

  = ∅ e P ∈ U

  ′

  . Como X

  ∗ ∗

  ´e zero-dimensional, existe U clopen tal que P ∈ U ⊆ U

  Sendo U clopen, temos que U = S V ∩ X

  ∗ ∗

  ∗ ∗

  \ S W com V, W ∈ CpU p(X). Portanto ∅ = ε

  −1

  (U ) = ε

  −1

  (S V ) ∩ X \ ε

  −1

  (S W ) = V ∩ X \ W Logo V ⊆ W , assim S V ⊆ S W e portanto U = S V ∩ X

  ∗ ∗

  ´e Hausdorff, temso que ε(X) ´e fechado.

  \ε(X). Como X ´e compacto e X

  S a p ⊆ U. Como para cada P ∈ U , temos a p

  ´e aberto. Considere B = S U ⊆ X

  ∈ P , U ⊆ [ P

  

∈U

  S a p . Pela compacidade de U , temos

  U = n [ j

  =1

  S a pj = S a p1 ∨...∨a pn = S a .

  Portanto ϕ ´e sobre. Agora vamos mostrar que ε ´e um isomorfismo de Esakia. Vamos mostrar que ε est´a bem definida. Sejam x ∈ X e U, V ∈ ε(x). Assim

  U, V ∈ CpU p(X) tal que x ∈ U e x ∈ V . Segue que x ∈ U ∩ V ∈ CpU p(X), logo U ∩ V ∈ CpU p(X).

  Sejam U ∈ ε(x) e U ⊆ V ∈ CpU p(X). Assim como x ∈ U ⊆ V , temos que V ∈ ε(x). Portanto temos que ε(x) ´e filtro. Suponha que U ∩ V ∈ ε(x), logo x ∈ U ∪ V , assim x ∈ U ou x ∈ V o que implica que U ∈ ε(x) ou V ∈ ε(x), dessa forma temos que ε(x) ´e filtro primo. Para mostrar que ´e pr´oprio, basta tomarmos y 6∈↓ x, assim y 6≤ x e pelo (ASP) temos que existe U ∈ CpU p(X) tal que y ∈ U e x 6∈ U . Para mostar que ε ´e cont´ınua, basta mostrar que pr´e-imagem de aberto subb´asico

  ∗ ∗

  ∗ ∗

  . Assim ε

  −1

  (S U ) = {x ∈ X| ε(x) ∈ S U } = {x ∈ X | x ∈ U } = U que ´e aberto. Agora para B = X

  ∗ ∗

  \ S U , temos ε

  −1

  (X

  ∗ ∗

  \ S U ) = X \ U que tamb´em ´e aberto. Portanto ε ´e cont´ınua. Agora vamos mostrar que ε ´e sobrejetora. Suponha que ε n˜ao seja sobre, assim existe P ∈ X

  \ S W = ∅. Com isso temos uma contradi¸c˜ao.

  ∗

  Sejam x ∈ X e P ∈ X tal que ε(x) ⊆ P . Sendo sobre, temos que existe z ∈ X

  ∗ tal que ε(z) = P e x ≤ z.

  Agora vamos mostrar que ε preserva e reverte ordem. Sejam x, y ∈ X tal que x ≤ y. Como ε(x) = {U ∈ CpU p(X); x ∈ U }, temos que y ∈ U para todo U ∈ ε(x), logo U ∈ ε(y). Assim ε(x) ⊆ ε(y), ou seja, preserva ordem.

  ∗

  Agora tome P, Q ∈ X tal que P ⊆ Q. Pela sobrejetividade de ε, temos que

  ∗

  existem x, z ∈ X tais que ε(x) = P e ε(z) = Q. Caso x 6≤ z, temos pelo (ASP) que existe U ∈ CpU p(X) tal que x ∈ U e z 6∈ U , temos portanto um absurdo, j´a que P ⊆ Q. Temos assim que ε reverte ordem.

  Pelo fato 2.2.3, temos que ε ´e um isomorfismo de Esakia. Teorema 2.2.15. Com as nota¸c˜oes temos a dualidade entre as categorias Heyt e Esa. Os isomorfismos naturais s˜ao dados da seguinte maneira:

  ∗ ∗

  ϕ −→ e ε −→ : id Heyt ∗ : id Esa ∗

  Demonstra¸c˜ ao: ϕ A

  ε X

  ∗ ∗

  ✲ ✲

  A A

  X X

  ∗ ∗ ∗

  ∗

  h h f f

  ∗ ∗

  ❄ ❄ ❄

  ❄ ∗

  ∗ ✲

  ✲

  B B Y Y

  ∗ ∗

  ϕ B ε Y

  ∗ −1

  P ∈ h (S a ) ⇔ P ∈ h (S a )

  ∗ ∗

  ⇔ h

  ∗ (P ) ∈ S a

  ⇔ a ∈ h (P )

  ∗ −1

  ⇔ a ∈ h (P ) ⇔ h(a) ∈ P ⇔ P ∈ {P f iltro; h(a) ∈ P } ⇔ P ∈ S . h (a)

  ∗ ∗ −1

  U ∈ f (ε(x)) ⇔ U ∈ ((f ) (ε(x)))

  ∗ ∗

  ⇔ f (U ) ∈ ε(x)

  ∗

  ⇔ f (U ) ∈ {U ∈ CpU p(X); x ∈ U }

  

  ⇔ x ∈ f (U )

  

−1

  ⇔ x ∈ f (U ) ⇔ f (x) ∈ U ⇔ U ∈ {U ∈ CpU p(Y ); f (x) ∈ U }.

  Lema 2.2.16. Seja X um espa¸co de Esakia. Se F ´e um fechado upset de X, ent˜ao F ´e um espa¸co de Esakia na topologia e ordem induzida.

  Cap´ıtulo 3 Dualidade Generalizada de Esakia

  Neste cap´ıtulo enfraquecemos os morfismos de ´ Algebra de Heyting e os morfismos de Espa¸cos de Esakia e estabelecemos uma dualidades entre essas categorias. As defini¸c˜oes e as id´eias das demonstra¸c˜oes s˜ao de [BB09].

  Defini¸c˜ ao 3.0.17. Sejam A e B ´algebras de Heyting e h : A −→ B uma aplica¸c˜ao.

  (1) N´os dizemos que h ´e um (∧, →)-homomorfismo se h(a ∧ b) = h(a) ∧ h(b) e h(a → b ) = h(a) → h(b), para todo a, b ∈ A.

  (2) Dizemos que h ´e um (∧, →, ⊥)-homomorfismo se h ´e um (∧, →)homomorf ismo e h (⊥) = ⊥. (3) Dizemos que h ´e um (∧, →, ∨)-homomorfismo se h ´e um (∧, →)homomorf ismo e h

  (a ∨ b) = h(a) ∨ h(b), para todo a, b ∈ A. Observa¸c˜ ao 3.0.18. Observe que a → a = ⊤ e que se h ´e um (∧, →)-homomorfismo, h

  (⊤) = ⊤. Pois h(⊤) = h(a → a) = h(a) → h(a) = ⊤. Lema 3.0.19. Sejam A, B ´algebras de Heyting e h : A −→ B um (∧, →)-homomorfismo sobrejetor. Ent˜ao h(⊥) = ⊥ e h(a∨b) = h(a)∨h(b), para todo a, b ∈ A. Consequentemente h ´e homomorfismo sobrejetor de ´algebras de Heyting. Demonstra¸c˜ ao:

  ´ E f´acil ver que h preserva ordem. Como h ´e sobre, temos que existe a ∈ A tal que h(a) = ⊥. Observe que ⊥ ≤ Dados a, b ∈ A, temos que a ≤ a ∨ b e b ≤ a ∨ b. Como h preserva ordem, h (a) ≤ h(a ∨ b) e h(b) ≤ h(a ∨ b). Portanto h(a) ∨ h(b) ≤ h(a ∨ b). Agora vamos mostrar que h(a ∨ b) ´e a menor cota superior de h(a) ∨ h(b).

  Seja t ∈ B tal que h(a), h(b) ≤ t. Como h ´e sobre, temos que t = h(s). h(a → s ) = h(a) → h(s) = ⊤ e h(b → s) = h(b) → h(s) = ⊤. Observe que

  (a ∨ b) ∧ ((a → s) ∧ (b → s)) = (a ∧ (a → s) ∧ (b → s)) ∨ (b ∧ (a → s) ∧ (b → s)) ≤ (s ∧ (b → s)) ∨ (s ∧ (a → s)) = s ∧ ((b → s) ∨ (a → s)) ≤ s

  Portanto, por adjun¸c˜ao ((a → s) ∧ (b → s)) ≤ (a ∨ b) → s. h

  (a → s) ∧ h(b → s) = ⊤ ⇒ h((a → s) ∧ (b → s)) = ⊤. Assim h ((a → s) ∧ (b → s)) ≤ h((a ∨ b) → s) ≤ ⊤. Segue que h

  (a ∨ b) → h(s) = ⊤ ⇒ h(a ∨ b) ≤ h(s). Logo h

  (a ∨ b) = h(a) ∨ h(b).

3.1 Morfismo Parcial de Esakia

  Defini¸c˜ ao 3.1.1. Sejam (X, ≤) e (Y, ≤) espa¸cos de Esakia e f : X −→ Y uma aplica¸c˜ao parcial. Denotamos por dom(f ) o dom´ınio de f . f ´e chamado morfismo parcial de Esakia se satisfaz as seguintes condi¸c˜oes: (1) Se x, z ∈ dom(f ) e x ≤ z, ent˜ao f (x) ≤ f (z).

  (2) Se x ∈ dom(f ), y ∈ Y e f (x) ≤ y, ent˜ao existe z ∈ dom(f ), tal que x ≤ z e f (z) = y (3) Para x ∈ X, temos que x ∈ dom(f ) sse ∃ y ∈ Y tal que f [↑ x] =↑ y.

  −1 (5) Se U ∈ CpU p(Y ), ent˜ao X\ ↓ f (Y \ U ) ∈ CpU p(X).

  Observa¸c˜ ao 3.1.2. Seja x ∈ X. Pelo item (3) da defini¸c˜ao anterior, temos que se existe y ∈ Y , tal que f [↑ x] =↑ y, ent˜ao x ∈ dom(f ). De fato, vamos mostrar que y = f (x). Ora, como y ∈ f [↑ x], temos que, pelo item (2), existe z ∈ dom(f ), tal que x ≤ z e f

  (z) = y. Por (1) f (x) ≤ f (z) = y.

  Por outro lado x ∈↑ x, e portanto, f (x) ∈ f [↑ x] =↑ y, logo y ≤ f (x), assim y = f (x).

  Lema 3.1.3. Sejam X, Y espa¸cos de Esakia e f : X −→ Y uma aplica¸c˜ao parcial. Ent˜ao

  −1 para qualquer x ∈ X e U ⊆ Y , temos que x ∈ X\ ↓ f (Y \ U ) sse f [↑ x] ⊆ U .

  Demonstra¸c˜ ao: As seguintes equivalˆencias s˜ao f´aceis de verificar

  −1 −1 −1 x ∈ X\ ↓ f (Y \ U ) ⇔ x 6∈↓ f (Y \ U ) ⇔ ↑ x ∩ f (Y \ U ) = ∅.

  −1 −1

  Agora observe que de ↑ x ∩ f (Y \ U ) = ∅ temos que ↑ x ⊆ X \ f (Y \ U ). Observe que

  −1

  como f ´e aplica¸c˜ao parcial, temos que f (Y ) ⊆ X. Observe que f [↑ x] := {f (t)| t ∈

  −1

  dom (f ) e x ≤ t}. Assim, temos que f (X \ f (Y \ U )) = {f (t)| t ∈ dom(f ) e t ∈

  −1

  f (U )}. Logo, aplicando f nos ambos os lados, inferimos que

  

−1 −1

  f [↑ x] ⊆ f (X \ f (Y \ U )) ⊆ f (f (U )) ⊆ U

  −1

  Reciprocamente, de f (↑ x) ⊆ U , temos que (↑ x ∩ dom(f )) ⊆ f (U ), segue que

  −1

  (↑ x ∩ dom(f )) ∩ (X \ f (U )) = ∅

  −1

  ↑ x ∩ (dom(f ) ∩ X \ f (U )) = ∅

  −1 −1

  ↑ x ∩ (f (Y ) \ f (U )) = ∅

  −1 ↑ x ∩ (f (Y \ U )) = ∅.

  Com isso demonstramos o lema. Lema 3.1.4. Sejam X, Y espa¸cos de Esakia e f : X −→ Y morfismo parcial de Esakia. Ent˜ao dom(f ) ´e um fechado de X. Demonstra¸c˜ ao:

  Seja x ∈ dom(f ). Pela condi¸c˜ao de morfismo parcial de Esakia, basta mostrar que existe y ∈ Y tal que f [↑ x] =↑ y. Pela condi¸c˜ao (1) do lema 1.6.27, existe uma rede N em dom(f) convergindo para x.

  ∈ N }, ent˜ao K ´e uma rede. Considere o conjunto C de Seja K := {f (x α ); x α todos os pontos cluster de K. Pelos itens (4) e (5) de 1.6.27, temos C fechado n˜ao-vazio. Mostraremos que C ∩ f [↑ x] 6= ∅. Suponha que C ∩ f [↑ x] = ∅. Seja y ∈↑ f [↑ x ],i.e., existe z ∈ f [↑ x] tal que z ≤ y. Como z ∈ f [↑ x], existe t ∈↑ x tal que z = f (t), ou seja, z = f (t) para algum x ≤ t.

  Assim, de y ∈↑ f [↑ x], existe t ∈ dom(f ) ⊆ X com x ≤ t tal que z = f (t) ≤ y. Usando a condi¸c˜ao (2) da defini¸c˜ao 3.1.1, temos que existe w ∈ dom(f ) tal que x ≤ t ≤ w e f (w) = y, assim y ∈ f [↑ x] e portanto ↑ f [↑ x] = f [↑ x], ou seja, f [↑ x] ´e upset. De C ∩ f [↑ x] = ∅, temos que ↓ C∩ ↑ f [↑ x] = ∅. Pela condi¸c˜ao (4) de 3.1.1 f [↑ x] ´e fechado e como C ´e fechado em X, temos que ↓ C ´e fechado. Por 2.1.4, existe um clopen downset U tal que ↓ C ⊆ U e U ∩ f [↑ x] = ∅.

  −1 Como ↓ C ⊆ U inferimos que K ´e cofinal em U . Assim N ´e cofinal em ↓ f (U ). −1

  Portanto, existe S subrede de N tal que imagem(S) ⊆↓ f (U ). Como N converge para x , temos que S tamb´em converge para x.

  −1 −1 Vamos mostrar que ↓ f (U ) ´e clopen em X. Observe que X\ ↓ f (U ) ´e um upset.

  Como U =↓ U ´e clopen em Y , Y \ ↓ U ´e clopen upset de Y e usando a condi¸c˜ao (5) de 3.1.1, temos que

  −1 −1

  X \ ↓ f (Y \ (Y \ U )) = X\ ↓ f (U ) ∈ CpU p(X).

  −1 −1 −1 Logo ↓ f (U ) ´e clopen de X. Sendo ↓ f (U ) clopen, temos que ↓ f (U ) ´e fechado.

  −1

  Sabendo que imagem(S) ⊆↓ f (U ) e S converge para x, pelo item (1) do lema 1.6.27,

  −1 −1 −1

  x ∈↓ f (U ). Logo existe um z ∈ f (U ) tal que x ≤ z. Assim, z ∈↑ x ∩ f (U ) -

  −1

  observe que z ∈ dom(f ) pois z ∈ f (U ) -, implicando que f (z) ∈ f [↑ x] ∩ U . Portanto f [↑ x] ∩ U 6= ∅, o que ´e um absurdo. Consequentemente, C ∩ f [↑ x] 6= ∅.

  Seja y ∈ C ∩f [↑ x], vamos mostrar que f [↑ x] =↑ y, ou seja, y ´e o menor elemento de f [↑ x]. Suponha que n˜ao, ent˜ao existe z ∈ f [↑ x] tal que y 6≤ z, assim existe usando (ASP) um clopen downset V de Y tal que z ∈ V e y 6∈ V . Como C ´e o conjunto dos pontos cluster de K e y ∈ C, existe pelo lema 1.6.27 (3), uma subrede M de K convergindo para y

  . Da defini¸c˜ao de K, existe uma subrede S de N tal que f ◦ S = M . Por 1.6.27, S converge para x.

  Sabendo que M converge para y e y 6∈ V , temos que nenhuma cauda de M ´e

  −1

  subconjunto de V , e consequentemente nenhuma cauda de S est´a em f (V ). Vejamos

  −1 −1

  agora que f (V ) ´e downset de dom(f ). Seja t ∈↓ f (V ) ∩ dom(f ), ent˜ao t ∈ dom(f ) com t ≤ x para algum x ∈ dom(f ) com f (x) ∈ V . Como f preserva ordem, temos que

  −1 −1

  f (t) ≤ f (x) e assim, f (t) ∈ V , ou seja, t ∈ f (V ), mostrando que f (V ) downset de dom (f ).

  −1 −1

  Assim temos que f (V ) =↓ f (V ) ∩ dom(f ). Como imagem(S) ⊆ dom(f ), nenhuma

  −1 cauda de S est´a contida em ↓ f (V ).

  Por outro lado, sabendo que z ∈ f [↑ x], temos que z = f (t) para algum t ∈↑ x,

  −1 ou seja, para este t, x ≤ t e z = f (t). Como z ∈ V , f (t) ∈ V e portanto t ∈ f (V ).

  −1 −1

  Como f (V ) downset de dom(f ) temos que x ∈ f (V ), o que ´e uma contradi¸c˜ao, pois S converge para x.

  Assim ↑ y = f [↑ x], portanto x ∈ dom(f ). Com este ´ ultimo resultado, temos que dom(f ) ´e um espa¸co de Stone na topologia de subespa¸co. Agora iremos mostrar que f restrito ao dom(f ) ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua.

  Lema 3.1.5. Sejam X, Y espa¸cos de Esakia, f : X −→ Y morfismo parcial de Esakia e

  

−1 −1

  U =↑ U clopen de Y . Ent˜ao f (U ) = dom(f ) ∩ (X\ ↓ f (Y \ U ))

  Demonstra¸c˜ ao:

  −1

  Devido ao lema 3.1.3, x ∈ dom(f ) ∩ (X\ ↓ f (Y \ U )) ⇔ f [↑ x] ⊆ U e x ∈ dom (f ). Pela observa¸c˜ao 3.1.2 temos que, x ∈ dom(f ) ⇔ f [↑ x] =↑ f (x). Da´ı, segue que f [↑ x] ⊆ U ⇔ ↑ f (x) ⊆ U

  ⇔ f (x) ∈ U

  −1

  ⇔ x ∈ f (U ).

  Lema 3.1.6. Sejam X e Y espa¸cos de Esakia e f : X −→ Y um morfismo parcial de Esakia. Ent˜ao a restri¸c˜ao de f para dom(f ) ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua.

  Demonstra¸c˜ ao: Usaremos o lema de Alexander.

  Seja U aberto subb´asico de Y , U clopen upset ou U = Y \ V com V clopen upset.

  −1 −1

  No primeiro caso f (U ) = dom(f ) ∩ (X\ ↓ f (Y \ U )), pela defini¸c˜ao 3.1.1

  −1 −1

  X \ ↓ f (Y \U ) ´e clopen upset. Segue que f (U ) ´e clopen upset de dom(f ) na topologia induzida.

  −1 −1 −1

  Caso U = Y \ V , temos que f (U ) = dom(f ) \ f (V ), como f (V ) ´e clopen,

  −1 temos f (U ) clopen de dom(f ). Portanto f | dom ´e cont´ınua.

  (f )

  Corol´ ario 3.1.7. Sejam X, Y espa¸cos de Esakia e f : X −→ Y morfismo parcial de Esakia. Se A ´e um subconjunto fechado de X, ent˜ao f (A) ´e subconjunto fechado de Y .

  Demonstra¸c˜ ao: Seja A fechado de X, assim A ∩ dom(f ) ´e fechado de dom(f ). Como dom(f ) ´e compacto, A ∩ dom(f ) ´e compacto, logo como f | dom ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua, temos que

  (f )

  f (A) = f (A ∩ dom(f )) ´e compacto de Y, que por sua vez ´e Hausdorf f , portanto f (A) ´e

3.2 Morfismo Parcial de Esakia e (∧, →)-homomorfismo Sejam A e B ´algebras de Heyting e um (∧, →)-homomorfismo h : A −→ B.

  −1

  Definimos h : B −→ A , onde dom (h ) = {x ∈ B ; h (x) ∈ A }

  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −1

  e para x ∈ dom(h ), h (x) := h (x).

  ∗ ∗

  Lema 3.2.1. Sejam A, B ´algebras de Heyting, h : A −→ B um (∧, →)-homomorfismo,

  −1

  F filtro de B e y filtro primo pr´oprio de A. Se h (F ) ⊆ y, ent˜ao existe x ∈ dom(h ) tal

  ∗ que F ⊆ x e h (x) = y. ∗

  Demonstra¸c˜ ao: Considere o filtro G de B gerado por F ∪ h[y]. Vamos mostrar que G ´e filtro pr´oprio. Suponha que G n˜ao seja pr´oprio, assim existem a ∈ F e b ∈ y tais que a ∧ h(b) =

  ⊥. Pela adjun¸c˜ao temos que, a ≤ h(b) → ⊥ = ¬(h(b)).

  Observe que ⊥ ≤ h(⊥) ⇒ h(b) ∧ (h(b) → ⊥) ≤ h(⊥) ⇒ h(b) → ⊥ ≤ h(b) → h (⊥). Como a ∈ F , temos ¬h(b) ∈ F . Sabendo que h ´e (∧, →)-homomorfismo, h

  (¬b) = h(b → ⊥) = h(b) → h(⊥) ≥ h(b) → ⊥ = ¬h(b) portanto ¬h(b) ≤ h(¬b) ⇒ h(¬b) ∈ F

  −1

  assim ¬b ∈ h (F ) ⊆ y, logo ¬b ∈ y e b ∈ y ⇒ ⊥ ∈ y, o que ´e um absurdo.

  −1 −1 Agora vamos mostrar que h (G) = y. Como h[y] ⊆ G, temos que y ⊆ h (G).

  −1

  Se a ∈ h (G), ent˜ao h(a) ∈ G e portanto existem b ∈ F e c ∈ y tal que b ∧ h(c) ≤ h(a), assim b ≤ h(c) → h(a) = h(c → a) logo h(c → a) ∈ F . Portanto

  −1

  c → a ∈ h (F ) ⊆ y ⇒ (c ∧ (c → a)) ∈ y ⇒ a ∈ y

  −1 mostrando h (G) = y.

  −1

  Seja F = {H; H ´e filtro pr´oprio de B, G ⊆ H e h (H) = y}. Provamos anteriormente que F 6= ∅, pois G ∈ F.

  ´ E claro que F ´e parcialmente ordenado pela inclus˜ao. Seja C uma cadeia de F. S ´

  S Suponha que n˜ao seja pr´oprio. Assim ⊥ ∈ S

  C, logo existe G ∈ C tal que ⊥ ∈ G, o que ´e uma contradi¸c˜ao. Portanto C ´e filtro pr´oprio de B. Como

  −1 −1 S h ( [ C) = [ h (C) = y. C ∈C C ∈ F.

  temos que Pelo Lema de Zorn, temos que F possui algum elemento maximal. Seja x um desses elementos.

  Vamos mostrar que x ∈ B , ou seja, x ´e filtro primo.

  ∗

  Seja a ∨ b ∈ x. Tome M filtro gerado por x ∪ {a} e N filtro gerado por x ∪ {b}. De

  −1 −1 −1

  h (x) = y, temos que y ⊆ h (M ) e y ⊆ h (N ). Suponha que y esteja propriamente

  

−1 −1 −1 −1

  contido em h (M ) e em h (N ). Assim, existem c ∈ h (M ) e d ∈ h (N ) tais que c, d 6∈ y (∗). Assim h(c) ∈ M e h(d) ∈ N . Logo existem e, k ∈ x tais que a ∧ e ≤ h(c) e b ∧ k ≤ h(d) (a ∨ b) ∧ (a ∨ k) ∧ (e ∨ b) ∧ (e ∨ k) = (a ∧ e) ∨ (b ∧ k) ≤ h(c) ∨ h(d) ≤ h(c ∨ d).

  Como a ∨ b ∈ x, temos (a ∨ b) ∧ (a ∨ k) ∧ (e ∨ b) ∧ (e ∨ k) ∈ x

  −1 e portanto h(c ∨ d) ∈ x ⇒ c ∨ d ∈ h (x) = y.

  −1

  Como y ∈ A ∗ , c ∈ y ou d ∈ y, que ´e um absurdo para (∗). Logo y = h (M ) ou

  −1 y = h (N ), portanto, pela maximalidade de x, M = x ou N = x. Assim a ∈ x ou b ∈ x.

  Provando que x ∈ B .

  ∗ −1

  Como h (x) = y ⇒ x ∈ dom(h ). Encontrando assim x ∈ dom(h ) com F ⊆ x

  ∗ ∗ e h (x) = y. ∗ Lema 3.2.2. Sejam A, B ´algebras de Heyting e h : A −→ B um (∧, →)-homomorfismo.

  −1

  e y Para qualquer x ∈ B ∈ A ,temos que y ∈ h [↑ x] sse h (x) ⊆ y. Consequentemente,

  ∗ ∗ ∗ se x ∈ dom(h ), ent˜ao h [↑ x] =↑ h (x). ∗ ∗ ∗

  Demonstra¸c˜ ao: (⇒) y ∈ h [↑ x], ent˜ao existe z ∈ dom(h ) tal que x ⊆ z e h (z) = y. Sendo

  ∗ ∗ ∗ −1 −1

  h (z) = h (z), temos que h (x) ⊆ y.

  ∗

  (⇐)

  −1

  h (x) ⊆ y. Pelo lema 3.2.1, existe z ∈ dom(h ) tal que x ⊆ z e h (z) = y ⇒ y ∈

  ∗ ∗ Agora, para finalizar a prova, assuma x ∈ dom(h

  ∗

  (x) ´e filtro, ter´ıamos a ∈ h

  [↑ x] e y 6∈ S a , portanto h

  ∗

  (z) = y, logo y ∈ h

  −1

  Pelo lema 3.2.1, temos que existe z ∈ dom(h ∗ ) tal que x ⊆ z e h

  −1 (x) ⊆ y.

  (x), pois z ≤ a, o que ´e um absurdo. Pelo teorema de Stone-Birkhoff, existe filtro primo y tal que ↓ a ∩ y = ∅, o que implica que a 6∈ y, e h

  −1

  −1

  (2) Vamos mostrar que x ∈ B ∗ \ ↓ h

  (x). Como h

  −1

  (x) = ∅, pois caso fosse diferente do vazio, ter´ıamos z ∈↓ a tal que z ∈ h

  −1

  (x) ⊆ y e a 6∈ y. De fato, observe que ↓ a ∩ h

  −1

  tal que h

  ∗

  ∗ [↑ x] 6⊆ S a .

  

−1

  −1

  ∗

  ∗

  \ S a ) = ∅ ⇔ h

  ∗

  \ S a ) ⇔ h[↑ x] ∩ (A

  ∗

  (z) 6∈ A

  ∗

  \ S a ) = ∅ ⇔ ∀(z ∈↑ x)(h

  (A

  (A ∗ \ S a ) sse h ∗ [↑ x] ⊆ S a . x ∈ B

  −1 ∗

  ⇔ ↑ x ∩ h

  (A ∗ \ S a )

  −1 ∗

  (A ∗ \ S a ) ⇔ x 6∈↓ h

  −1 ∗

  \ ↓ h

  ∗

  (x). Assim existe y ∈ A

  , ent˜ao a 6∈ h

  ), Ent˜ao, y ∈ h

  (1) Para qualquer x ∈ A, temos x ∈ S h

  (3) Para quaisquer x ∈ B

  (A ∗ \ S a ).

  −1 ∗

  \ ↓ h

  [↑ x] ⊆ S a . (2) Para qualquer a ∈ A, temos S h (a) = B ∗

  ∗

  sse h

  (a)

  Lema 3.2.3. Sejam A, B ´algebras de Heyting e h : A −→ B um (∧, →)-homomorfismo.

  e y ∈ A

  

∗ [↑ x] =↑ h ∗ (x).

  Portanto, h

  (x) ⊆ y ⇔ y ∈↑ h ∗ (x).

  ∗

  (x) ⊆ y ⇔ h

  −1

  [↑ x] ⇔ h

  ∗

  ∗

  ∗

  (a)

  (z) = y e x ⊆ z. Como x ∈ S h

  (⇐) Suponha que x 6∈ S h

  −1 (z) = y, portanto a ∈ y, logo y ∈ S a .

  (x) ⊆ h

  −1

  x ⊆ z ⇒ h

  −1 (x).

  , temos que h(a) ∈ x, ou seja, a ∈ h

  (a)

  ∗

  , temos h

  ) tal que h

  ∗

  [↑ x], i.e., existe z ∈ dom(h

  ∗

  (1) (⇒) Seja y ∈ h

  (x) = y Demonstra¸c˜ ao:

  −1

  [↑ x] =↑ y sse h

  ∗

  [↑ x] ⊆ S a

  −1 Pelo item (1), temos que S h = B \ ↓ h (A \ S a ).

(a) ∗ ∗

  (3)

  −1

  (⇐) Suponha que h (x) = y, assim x ∈ dom(h ), logo pelo lema 3.2.2, temos

  ∗ que h [↑ x] =↑ h (x) =↑ y. ∗ ∗

  −1 (⇒) Agora suponha h ∗ [↑ x] =↑ y. Assim y ∈ h ∗ (↑ x), pelo lema 3.2.2 h (x) ⊆ y. −1

  Falta mostrar a inclus˜ao contr´aria. Suponha que y 6⊆ h (x), ent˜ao existe a ∈ A tal que

  −1 −1

  a ∈ y e a 6∈ h (x), portanto h (x) 6∈ S a , i.e., x 6∈ S h e y ∈ S a . Por (1), temos que

  (a)

  h [↑ x] 6⊆ S a .

  ∗ −1

  Por´em h [↑ x] =↑ y, fazendo ↑ y 6⊆ S a ⇒ y 6∈ S a , absurdo. Portanto y ⊆ h (x),

  ∗

  logo

  −1 h (x) = y.

  Teorema 3.2.4. Sejam A, B ´algebras de Heyting. Se h : A −→ B´e um (∧, →)-homomorfismo, ent˜ao h : A −→ B ´e um morfismo parcial de Esakia.

  ∗ ∗ ∗

  Demonstra¸c˜ ao: Precisamos mostrar que h satisfaz (1) a (5) de 3.1.1.

  ∗ (1) Sejam x, z ∈ dom(h ∗ ) e x ⊆ z.

  −1 −1 h (x) = h (x) ⊆ h (z) = h (z). ∗ ∗

  (2) Seja x ∈ dom(h ), y ∈ A e h (x) ⊆ y. Pelo lema 3.2.1, existe z ∈ dom(h )

  ∗ ∗ ∗ ∗ tal que x ⊆ z e h (z) = y.

  ∗

  (3) Seja x ∈ dom(h ). Pelo lema 3.2.2, h (↑ x) =↑ h (x). Assim, tome y :=

  

∗ ∗ ∗

−1

  h ∗ (x) = h (x) ∈ A ∗ , e temos que h ∗ (↑ x) =↑ y.

  −1

  Reciprocamente, seja y ∈ A tal que h (↑ x) =↑ y. Pelo lema 3.2.3, h (x) = y, ou seja,

  ∗ ∗ h (x) = y e assim, x ∈ dom(h ). ∗ ∗ −1 −1

  (4) Seja y 6∈ h [↑ x], pelo lema 3.2.2, h (x) 6⊆ y. Segue que existe a ∈ h (x) e

  ∗

  a 6∈ y. Assim, h(a) ∈ x e a 6∈ y. Portanto x ∈ S h e y 6∈ S a . Segue por 3.2.3 h [↑ x] ⊆ S a

  (a) ∗ e y 6∈ S a .

  Tomando o clopen U = A \ S a , temos que h [↑ x] ∩ U = ∅ e y ∈ U . Como y foi tomado

  ∗ ∗ arbitrariamente, temos que para cada y, existe U y tal que y ∈ U y e h [↑ x] ∩ U y = ∅.

  ∗

  Portanto [ A \ h U ,

  ∗ ∗ [↑ x] = y y ∗ S 6∈h [↑x]

  pois dado z ∈ U ⇒ z ∈ U para algum y. Como h [↑ x] ∩ U = ∅, z 6∈ h [↑ x], y ∗ y y ∗ y ∗

  6∈h [↑x]

  S U Como U y ´e clopen para cada y, temos que y ´e aberto, portanto y

  6∈h [↑x]

  A \ h [↑ x]

  ∗ ∗ ´e aberto, logo h [↑ x] ´e fechado. ∗

  (5) Seja U ∈ CpU p(A ). Existe a ∈ A tal que U = S a . Pelo lema 3.2.3 (2),

  ∗ ∗

  temos que

  −1 B \ ↓ h (A \ S a ) = S h ∈ CpU p(B ).

∗ ∗ (a) ∗

  Com isso h ∗ ´e um morfismo parcial de Esakia. Sejam X e Y espa¸cos de Esakia e f : X −→ Y morfismo parcial de Esakia. Definimos

  ∗

  f : CpU p(Y ) −→ CpU p(X)

  −1

  U 7−→ X\ ↓ f (Y \ U )

  Teorema 3.2.5. Sejam X e Y espa¸cos de Esakia e f : X −→ Y morfismo parcial de

  ∗ Esakia. Ent˜ao f ´e um (∧, →)-homomorfismo.

  Demonstra¸c˜ ao: Sejam U, V ∈ CpU p(Y ). Devido ao lema 3.1.3

  ∗ −1

  x ∈ f (U ∩ V ) ⇔ x ∈ X\ ↓ f (Y \ (U ∩ V )) ⇔ f [↑ x] ⊆ U ∩ V ⇔ f [↑ x] ⊆ U e f [↑ x] ⊆ V

  −1 −1

  ⇔ x ∈ X\ ↓ f (Y \ U ) e x ∈ X ↓ f (Y \ V )

  

∗ ∗

⇔ x ∈ f (U ) e x ∈ f (V ). ∗ Agora vamos mostrar que f preserva implica¸c˜ao. ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

  f (U → V ) ∩ f (U ) = f ((U → V ) ∩ U ) ⊆ f (V ). Por adjun¸c˜ao f (U → V ) ⊆

  ∗ ∗ f (U ) → f (V ). Agora vamos mostrar a desigualdade contr´aria.

  ∗ −1

  Seja x 6∈ f (U → V ), logo x 6∈ X\ ↓ f (Y \ (U → V )). Portanto x ∈↓

  −1

  f (Y \ (U → V )). Assim existe z ∈ dom(f ) tal que x ≤ z e f (z) ∈ Y \ (U → V ). Logo f

  (z) 6∈ U → V ⇒↑ f (z) 6⊆ U → V assim, ↑ f (z) ∩ U 6⊆ V. Portanto existe y ∈ U tal que f (z) ≤ y e y 6∈ V . Como z ∈ dom(f ) e f ´e morfismo parcial de Esakia, existe u ∈ dom(f ) tal que x ≤ z ≤ u e f (u) = y ∈ U , segue que

  −1 −1

  u ∈ f (U ) = dom(f ) ∩ (X \ f (Y \ U )) portanto,

  −1 ∗ u ∈ X\ ↓ f (Y \ U ) = f (U ). −1 −1

  Pois caso u 6∈ X\ ↓ f (Y \ U ), ter´ıamos que u ∈↓ f (Y \ U ). Assim existe

  −1 a ∈ f (Y \ U ) tal que u ≤ a.

  Sabendo que f ´e morfismo parcial de Esakia, temos que f (u) ≤ f (a), portanto f (a) ∈ U ⇒ f (a) 6∈ Y \ U , o que ´e um absurdo.

  −1 ∗ Por outro lado f (u) = y 6∈ V e assim, u 6∈ f (V ), implicando que u 6∈ f (V ).

  ∗ ∗

  Com isso, existe u ∈ X tal que x ≤ u, u ∈ f (U ) e u 6∈ f (V ). Segue que ad

  ∗ ∗ ∗ ∗ ↓ u ∩ f (U ) 6⊆ f (V ) ⇒ ↓ u 6⊆ f (U ) → f (V ).

  

∗ ∗

  x 6∈ f (U ) → f (V )

  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

  pois, caso x ∈ f (U ) → f (V ) ter´ıamos que ↑ x ⊆ f (U ) → f (V ),pois f (U ) → f (V ) ´e

  ∗ upset, devido a adjun¸c˜ao ter´ıamos u ∈ f (V ). ∗ ∗ ∗

  ∴ f (U ) → f (V ) ⊆ f (U → V ).

  Provando a igualdade. Lema 3.2.6. Sejam A e B ´algebras de Heyting e h : A −→ B um (∧, →)-homomorfismo.

  

Ent˜ao para qualquer a ∈ A temos S h = h (S a ). (a) ∗

  Demonstra¸c˜ ao: Devido aos lemas 3.1.3 e 3.2.3, temos para x ∈ B ,

  ∗ ∗ −1

  x ∈ h (S a ) ⇔ x ∈ B \ ↓ h (A \ S a )

  

∗ ∗ ∗

  ⇔ h [↑ x] ⊆ S a

  

⇔ x ∈ S . h (a)

  Observa¸c˜ ao 3.2.7. Para qualquer upset fechado U de um espa¸co de Esakia, temos U =↑ min (U ), onde min(U ) := {x ∈ U | ∀y ∈ U \ {x}, y 6≤ x} = {x ∈ U | x ´e minimal em U }.

  Demonstra¸c˜ ao:

  Tome x ∈ U \ ↑ min(U ). Logo n˜ao existe z ∈ min(U ) tal que z 6≤ x. Portanto existe x

  (ε(x)) ´e um filtro primo de Y

  (⇒) Suponha que x ∈ dom(f ), temos que f [↑ x] =↑ f (x). Para mostrar que ε

  (x) ∈ dom(f

  ∗ ∗

  ), ´e suficiente mostrar que (f

  ∗

  )

  −1

  ∗

  ∗ ∗

  , pois dom (f

  ∗ ∗ ) = {F ∈ X ∗ ∗ ; (f

  ∗

  )

  −1

  (F ) ∈ Y

  ∗ ∗

  (ε(x)) Demonstra¸c˜ ao:

  ) e para qualquer x ∈ dom(f ), temos que ε (f (x)) = f

  1

  : I → U subrede convergente em U . Suponha que M converge para y. Vamos mostrar que y < x α ∀ α < β.

  ∈ U \ ↑ min(U ) tal que x

  1

  < x e x

  

1

6∈ min(U ).

  Analogamente para x 1 e assim para todo elemento de U \ ↑ min(U ). Seja β ordinal tal que card(β) = ♯U \ ↑ min(U ). Indexamos os elementos de

  U \ ↑ min(U ) por β, ou seja, U \ ↑ min(U ) = {x α ; α < β} Temos a seguinte rede N : β → U tal que N (α) = x α .

  Como U ´e fechado em um espa¸co compacto, temos que U ´e compacto, logo existe M

  Observe que y ≤ x i para todo i ∈ I pois, caso contr´ario existe i ∈ I tal que y 6≤ x i . Dessa forma existe W ∈ CpU p(X) tal que y ∈ W e x i 6∈ W .

  ∗ ∗

  Como M converge para y, temos que existe j ∈ I tal que para todo j > j M

  (j) ∈ W . Considere i ≥ i , j . Logo M (i) ∈ W e M (i) ∈ X \ W , absurdo. Devido a cofinalidade de M , temos que dado x α ∈ U \ ↑ min(U ), existe i ∈ I tal que x i

  ≤ x α , logo y ≤ x i ≤ x α .

  Agora vamos mostrar a desigualdade estrita. Se y = M (i) para algum i ∈ I, temos que existe j ∈ I com j > i implica M (j) < M (i) = y ≤ M (j), absurdo.

  Novamente pela cofinalidade cocluimos que y < x α para todo α < β. Sabemos que y ∈ U . Se y ∈↑ min(U ) teremos que todo elemento de U \ ↑ min(U ) em ↑ min(U ). Portanto y ∈ U \ ↑ min(U ). Como foi feito anteriormente, teremos portanto y

  1 < y . Temos assim o absurdo.

  (⊇) Tome x ∈↑ min(U ), ∃ y ∈ min(U ) tal que y ≤ x. Como y ∈ U , temos que x ∈↑ y ⊆↑ U = U , logo x ∈ U.

  Lema 3.2.8. Sejam X, Y espa¸cos de Esakia e f : X −→ Y um morfismo parcial de Esakia. Ent˜ao x ∈ dom(f ) sse ε(x) ∈ dom(f

  }.

  ∗ ∗ ∗ ∗ −1

  Sabendo que f (U ∩ V ) = f (U ) ∩ f (V ), tome U, V ∈ (f ) (ε(x)). Assim

  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

  f (U ) ∈ ε(x) e f (V ) ∈ ε(x) ⇒ f (U ) ∩ f (V ) ∈ ε(x) ⇒ f (U ∩ V ) ∈ ε(x)

  ∗ −1

  U ∩ V ∈ (f ) (ε(x))

  ∗ −1 portanto (f ) (ε(x)) ´e fechado por ∩.

  ∗ −1 ∗ −1

  Observe que ∅ 6∈ (f ) (ε(x)). Caso ∅ ∈ (f ) (ε(x)) teremos que

  ∗ ∅ ∈ {U ∈ CpU p(Y ); x ∈ f (U )}.

∗ −1

  x ∈ f (∅) ⇒ x ∈ X\ ↓ f (Y \ ∅)

  −1

  ⇒ x 6∈↓ f (Y )

  −1

  ⇒ x 6∈ f (Y ) ⇒ x 6∈ dom(f ) o que ´e um absurdo.

  ∗ −1 ∗

  Sejam U ∈ (f ) (ε(x)) e V ∈ CpU p(Y ) t.q. U ⊆ V . Da´ı x ∈ f (U ), ou seja,

  −1 ∗

  x ∈ X\ ↓ f (Y \ U ), pelo lema 3.1.3, f [↑ x] ⊆ U ⊆ V . Portanto x ∈ f (V ), implicando

  ∗ −1 que V ∈ (f ) (ε(x)).

  ∗ −1 Assim (f ) (ε(x)) ´e um filtro pr´oprio. Resta mostrar que ´e filtro primo.

  ∗ −1 ∗ −1 Seja U ∪ V ∈ (f ) (ε(x)). Ent˜ao x ∈ f (U ∪ V ) ⇒ x ∈ X\ ↓ f (Y \ (U ∪ V )).

  Devido ao lema 3.1.3 temos f [↑ x] ⊆ U ∪ V, ou seja,

  ↑ f (x) ⊆ U ∪ V ⇒ f (x) ∈ U ou f (x) ∈ V como U =↑ U e V =↑ V , teremos ↑ f (x) ⊆ U ou ↑ f (x) ⊆ V ⇒ f [↑ x] ⊆ U ou f [↑ x] ⊆ V . Suponha que f [↑ x] ⊆ U , devido ao lema 3.1.3, temos

  −1 ∗

  x ∈ X\ ↓ f (Y \ U ) = f (U ).

  ∗ ∗

  O mesmo ocorre para f [↑ x] ⊆ V . Logo f (U ) ∈ ε(x) ou f (V ) ∈ ε(x). Com isso

  ∗ −1 (f ) (ε(x)) ´e filtro primo pr´oprio.

  Como por defini¸c˜ao

  ∗ ∗ ∗ −1 ∗

  dom (f ) = {F ∈ X ; (f ) (F ) ∈ Y }

  ∗ ∗ ∗ ∗

  temos que ε(x) ∈ dom(f ).

  ∗ ∗ ∗ −1 ∗

  (⇐) Seja ε(x) ∈ dom(f ∗ ), ent˜ao (f ) (ε(x)) ´e um filtro primo de Y . Mos- traremos que existe y ∈ Y tal que f [↑ x] =↑ y e portanto, pela defini¸c˜ao 3.1.1 temos o Fato 3.2.9. Seja f : X → Y morfismo parcial de Esakia, ent˜ao ↑ f [↑ x] = f [↑ x] Demonstra¸c˜ ao:

  Se y ∈↑ f [↑ x], ent˜ao existe z ∈ f [↑ x] tal que z ≤ y. Como z ∈ f [↑ x], existe

  ′ ′

  z ∈ dom(f ) tal que f (z ) = z. Sabendo que f ´e morfismo parcial de Esakia, temos que existe u ∈ dom(f ) tal que f (u) = y. Portanto y ∈ f [↑ x].

  Pela observa¸c˜ao 3.2.7 e pelo fato acima, suponha por absurdo que minf [↑ x] ´e constituido de dois ou mais pontos, pois da defini¸c˜ao de morfismo parcial de Esakia, temos que f [↑ x] ´e fechado upset. Sejam y, z dois pontos distintos minf [↑ x]. Observe que para qualquer w ∈ minf [↑ x] com w 6= y, temos que w 6≤ y, logo existe clopen upset U w tal que w ∈ U w e y 6∈ U w . Temos tamb´em que y 6≤ z, logo existe U y =↑ U y clopen tal que y ∈ U y e z 6∈ U y .

  Ent˜ao minf [{U [↑ x] ⊆ U y ∪ w ; w ∈ minf [↑ x] e w 6= y}. Como f [↑ x] ´e fechado e ↑ f [↑ x] = f [↑ x], temos, pela observa¸c˜ao 3.2.7, que f [↑ x] =↑ minf [↑ x] ⊆ U y ∪ [{U w ; w ∈ minf [↑ x] e w 6= y}.

  , ..., U Como f [↑ x] ´e compacto, temos que existem U w 1 w tais que f [↑ x] ⊆ U y ∪ U w n 1 ∪ ...

  ∪ U w n . Seja U = U y e V = U w 1 ∪ ... ∪ U w n , ent˜ao f [↑ x] ⊆ U ∪ V , por´em f [↑ x] 6⊆ U e f [↑ x] 6⊆ V .

  −1

  Como f [↑ x] ⊆ U ∪ V , pelo lema 3.1.3 temos x ∈ X\ ↓ f (Y \ (U ∪ V )) =

  ∗

  f (U ∪ V ), assim

  ∗ −1

  U ∪ V ∈ (f ) (ε(x)) por´em

  

∗ −1 ∗ −1

  U 6∈ (f ) (ε(x)) e V 6∈ (f ) (ε(x))

  ∗ −1

  implicando que (f ) (ε(x)) n˜ao ´e um filtro primo, onde segue o absurdo. Portanto f [↑ x] =↑ y, onde y = minf [↑ x], assim pela observa¸c˜ao 3.1.2, temos que y = f (x). Como f

  ´e morfismo parcial de Esakia, temos que x ∈ dom(f ).

  Agora suponha que x ∈ dom(f ). U ∈ ε(f (x)) sse f (x) ∈ U e

  ∗ ∗

  U ∈ f

  ∗ (ε(x)) sse f (U ) ∈ ε(x) ∗

  sse x ∈ f (U )(3.1.3) sse f [↑ x] ⊆ U. Como x ∈ dom(f ) e f ´e morfismo parcial de Esakia, temos que f [↑ x] =↑ f (x). Segue f [↑ x] ⊆ U sse ↑ f (x) ⊆ U sse f (x) ∈ U (como U =↑ U ) sse U ∈ ε(f (x)).

  ∗

  ∴ ε (f (x)) = f (ε(x)).

  ∗

3.3 Composi¸c˜ ao de Morfismos Parciais de Esakia

  Em geral, a composi¸c˜ao funcional de morfismos parciais de Esakia pode n˜ao ser um morfismo parcial de Esakia, como segue.

  Exemplo 3.3.1. Sejam X, Y e Z espa¸cos de Esakia finitos e f : X → Y e g : Y → Z morfismos parciais de Esakia, conforme a seguinte figura f f g g

  && %% %%

  x x y y z

  1

  2

  1

  2 aa ==

  x

3 Observe que dom(g) = Y e portanto g ´e morfismo de Esakia. Seja g ◦ f : X → Z a composi¸c˜ao de f e g. Ent˜ao dom(g ◦ f ) = dom(f ) = {x , x }.

  1

  2 , y }) = {z} =↑ z.

  (g ◦ f )[↑ x ] = g({y

  3

  

1

  2 Mas x 6∈ dom(f ) = dom(g ◦ f ), portanto g ◦ f n˜ao ´e morfismo parcial de Esakia.

3 Agora definimos a seguinte lei de composi¸c˜ao.

  Defini¸c˜ ao 3.3.2. Sejam X, Y e Z espa¸cos de Esakia e sejam f : X → Y e g : Y → Z morfismos parciais de Esakia. Definimos g ∗ f : X → Z sendo dom (g ∗ f ) = {x ∈ X; g(f [↑ x]) =↑ z para algum z ∈ Z} e para qualquer x ∈ dom(g ∗ f ), g ∗ f (x) = z sempre que g(f [↑ x]) =↑ z

  ′ ′

  Observa¸c˜ ao 3.3.3. Note que existe no m´aximo um z como acima (↑ z =↑ z ⇒ z = z ) Observa¸c˜ ao 3.3.4. Segue da defini¸c˜ao de dom(g ∗ f ) que o conjunto, {x ∈ X; f (x) ∈ dom

  (g)} ´e um subconjunto de dom(g ∗ f ), pois se x ∈ dom(f ) e f (x) ∈ dom(g), ent˜ao g (f [↑ x]) = g[↑ f (x)] =↑ g(f (x)), assim x ∈ dom(g ∗ f ).

  Este subconjunto pode ser pr´oprio, como foi mostrado no exemplo 3.3.1. Agora iremos mostrar que g ∗ f ´e um morfismo parcial de Esakia. Lema 3.3.5. Sejam X, Y e Z espa¸cos de Esakia e sejam f : X → Y e g : Y → Z morfismos parciais de Esakia. Ent˜ao (g ∗ f )[↑ x] = g(f [↑ x]).

  Demonstra¸c˜ ao: (⊆) Seja z ∈ (g ∗ f )[↑ x]. Ent˜ao existe u ∈ dom(g ∗ f ) tal que x ≤ u e (g ∗ f )(u) = z. Pela defini¸c˜ao de g ∗ f temos que g(f [↑ u]) =↑ z.

  ′

  Como x ≤ u, temos que como z ∈ g(f [↑ u]), existe z ∈ f [↑ u] ∩ dom(g) tal que

  ′

  g (z ) = z.

  ′ ′ ′ ′ ′ ′

  ∈ f [↑ u], existe u ∈ dom(f ) tal que u ≤ u Como z e f (u ) = z . De x ≤ u ≤ u

  ′ ′ ′ temos que, z ∈ f [↑ x] e z ∈ dom(g), logo z ∈ f [↑ x] ∩ dom(g), segue que z ∈ g(f [↑ x]).

  Assim (g ∗ f )[↑ x] ⊆ g(f [↑ x]). (⊇) Seja z ∈ g(f [↑ x]). Ent˜ao existe u ∈ dom(f ) tal que x ≤ u, f (u) ∈ dom(g) e g (f (u)) = z. Segue que g (f [↑ u]) = g[↑ f (u)] =↑ g(f (u)). Portanto u ∈ dom(g∗f ) e z = (g∗f )(u). Assim z ∈ (g∗f )[↑ x], logo g(f [↑ x]) ⊆ (g∗f )[↑ x].

  Lema 3.3.6. Sejam X, Y e Z espa¸cos de Esakia e sejam f : X → Y e g : Y → Z morfismos parciais de Esakia. Ent˜ao g ∗ f : X → Y ´e um morfismo parcial de Esakia.

  Demonstra¸c˜ ao: Vamos mostrar que g ∗ f satisfaz de (1) a (5) da defini¸c˜ao 3.1.1.

  (1) Sejam x, z ∈ dom(g ∗ f ) e x ≤ z, ent˜ao ↑ z ⊆↑ x. Como f e g s˜ao morfismos parciais de Esakia, temos que f [↑ z] ⊆ f [↑ x] ⇒ g(f [↑ z]) ⊆ g(f [↑ x]). Como x, z ∈ dom(g ∗ f ), temos que existem u, v ∈ Z tais que g(f [↑ z]) =↑ v e g (f [↑ x]) =↑ u. Portanto

  Como u = (g ∗ f )(x) e v = (g ∗ f )(z), temos o desejado. (2) Sejam x ∈ dom(g ∗ f ), z ∈ Z e (g ∗ f )(x) ≤ z. Como x ∈ dom(g ∗f ), temos que existe u ∈ Z tal que g(f [↑ x]) =↑ u e (g ∗f )(x) = u

  , segue que z ∈ g(f [↑ x]). Logo existe v ≥ x em dom(f ) com f (v) ∈ dom(g) tal que z = g(f (v)), assim g (f [↑ v]) = g[↑ f (v)] =↑ g(f (v)) =↑ z, segue que v ∈ dom(g ∗ f ) e (g ∗ f )(v) = z .

  (3) Devido ao Lema 3.3.5 x ∈ dom(g ∗ f ) ⇔ ∃ z ∈ Z t.q. (g ∗ f )(x) = z e g(f [↑ x]) =↑ z ⇔ ∃z ∈ Z t.q. (g ∗ f )[↑ x] =↑ z.

  (4) Pelo Lema 3.3.5 (g ∗ f )[↑ x] = g(f [↑ x]). Como f ´e morfismo parcial de Esakia, temos f [↑ x] ´e fechado. Tamb´em temos que g ´e morfismo parcial de Esakia, pelo Corol´ario 3.1.7, temos que g(f [↑ x]) ´e fechado.

  (5) Seja U ∈ CpU p(Z). Devido ao Lema 3.1.3, temos que

  −1 x ∈ X\ ↓ (g ∗ f ) (Z \ U ) ⇔ (g ∗ f )[↑ x] ⊆ U.

  Pelo Lema 3.3.5, (g ∗ f )[↑ x] = g(f [↑ x]), segue que

  −1

  x ∈ X\ ↓ (g ∗ f ) (Z \ U ) ⇔ g(f [↑ x]) ⊆ U. Por outro lado,

  −1 −1 −1 −1

  x ∈ X\ ↓ f (↓ g (Z \ U )) ⇔ x 6∈↓ f (↓ g (Z \ U ))

  −1 −1

  ⇔ ↑ x ∩ f (↓ g (Z \ U )) = ∅

  −1

  ⇔ ∀ z ≥ x, f (z) 6∈↓ g (Z \ U )

  −1

  ⇔ f [↑ x]∩ ↓ g (Z \ U ) = ∅

  −1

  ⇔ f [↑ x] ∩ g (Z \ U ) = ∅ ⇔ g(f [↑ x]) ⊆ U.

  

−1 −1 −1

Portanto, X\ ↓ (g ∗ f ) (Z \ U ) = X\ ↓ f (↓ g (Z \ U )).

  Seja U ∈ CpU p(Z), como g e morfismo parcial de Esakia, temos pelo item 5da

  −1

  defini¸c˜ao que Y \ ↓ g (Z \ U ) ∈ CpU p(Y ). Sabendo que f ´e morfismo parcial de Esakia e

  −1 −1

  novamente pela defini¸c˜ao de morfismo parcial de Esakia, temos que X\ ↓ f (↓ g (Z\U ))

  Lema 3.3.7. Sejam X, Y e Z espa¸cos de Esakia e sejam f : X → Y e g : Y → Z morfismos parciais de Esakia. Para qualquer x ∈ X e clopen upset U de Z, temos

  ∗ ∗

  x ∈ f ◦ g (U ) sse g(f [↑ x]) ⊆ U . Demonstra¸c˜ ao:

  Usando o Lema 3.1.3 e o fato 3.2.9 temos que

  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

  x ∈ (f ◦ g )(U ) ⇔ x ∈ f (g (U ))(pois g (U ) ∈ CpU p(Y ))

  ∗

  ⇔ f [↑ x] ⊆ g (U )

  ∗

  ⇔ (∀ y ∈ f [↑ x])(y ∈ g (U )) ⇔ (∀ y ∈ f [↑ x])(g[↑ y] ⊆ U ), pois U =↑ U ⇔ (∀ f (z) ∈ f [↑ x])(g(↑ f (z)) ⊆ U ) ⇔ g[↑ f [↑ x]] ⊆ U ⇔ g(f [↑ x]) ⊆ U.

  Lema 3.3.8. Sejam X, Y e Z espa¸cos de Esakia e sejam f : X → Y e g : Y → Z morfismos parciais de Esakia. Ent˜ao

  ∗ ∗ ∗

  (g ∗ f ) = f ◦ g Demonstra¸c˜ ao:

  ∗ ∗ ∗

  ´ E suficiente mostrar que (g ∗ f ) (U ) = (f ◦ g )(U ) para qualquer U ∈ CpU p(Z). Segue, pelos Lemas 3.1.3, 3.3.5 e 3.3.7, que

  ∗

  x ∈ (g ∗ f ) (U ) ⇔ (g ∗ f )[↑ x] ⊆ U

  ⇔ g(f [↑ x]) ⊆ U

  ∗ ∗ ⇔ x ∈ (f ◦ g )(U ).

  ∗ ∗

  Lema 3.3.9. Dados f, g : X → Y morfismos parciais de Esakia. Se f = g , ent˜ao f = g.

  Demonstra¸c˜ ao: suponha que f 6= g, assim temos que dom(f ) ∩ dom(g) = ∅, e neste caso teremos

  ∗ ∗ −1 −1

  f 6= g , pois dado U ∈ CpU p(Y ), temos que se x ∈ f (Y \ U ), ent˜ao x 6∈ g (Y \ U ),

  −1 −1

  segue que f (Y \ U ) 6= g (Y \ U ), implicando que

  

−1 −1 ∗ ∗

  . Caso dom(f ) ∩ dom(g) 6= emptyset, temos x ∈ dom(f ), dom(g) tal que f (x) 6= g(x). Suponha sem perda de generalidade que f (x) 6≤ g(x), pelo (ASP), temos que existe U ∈ CpU p(Y ) tal que f (x) ∈ U e g(x) 6∈ U , assim

  −1

  g (x) ∈ Y \ U ⇔ x ∈ g (Y \ U )

  −1

  ⇔ x ∈↓ g (Y \ U )

  −1

  ⇔ x 6∈ X\ ↓ g (Y \ U )

  ∗

  ⇔ x 6∈ g (U )

  ∗ ∗ ∗ De forma an´aloga provamos que x ∈ f (U ), logo f 6= g .

  Lema 3.3.10. Sejam X, Y, Z e W espa¸cos de Esakia e sejam f : X → Y, g : Y → Z e h : Z → W morfismos parciais de Esakia. Ent˜ao h ∗ (g ∗ f ) = (h ∗ g) ∗ f. Demonstra¸c˜ ao:

  Segue do Lema 3.3.8

  ∗ ∗ ∗

  (h ∗ (g ∗ f )) = (g ∗ f ) ◦ h

  ∗ ∗ ∗

  = (f ◦ g ) ◦ h

  ∗ ∗ ∗

  ◦ (g ◦ h = f )

  ∗ ∗

  = f ◦ (h ∗ g)

  ∗

  = ((h ∗ g) ∗ f ) Segue do resultado provado que h ∗ (g ∗ f ) = (h ∗ g) ∗ f.

  ´ E f´acil ver que a aplica¸c˜ao identidade entre espa¸cos de Esakia, ´e um morfismo parcial de Esakia. Assim os espa¸cos de Esakia e a composi¸c˜ao ∗, formam uma categoria

  P que denotamos por Esa .

  (∧,→) Denotaremos por Heyt a categoria de ´algebras de Heyting e (∧, →)-homomorfismo.

  P (∧,→)

  Observa¸c˜ ao 3.3.11. Note que Esa ⊆ Esa e Heyt ⊆ Heyt s˜ao subcategorias com exatamente os mesmos objetos.

3.4 Dualidade de Esakia Generalizada

  P (∧,→) Mostraremos que Esa e Heyt s˜ao dualmente equivalentes. Sejam A, B e C ´algebras de Heyting, h : A → B e k : B → C (∧, →)- homomorfismo. Mostraremos que (k ◦ h)

  ∗

  (k

  −1

  (x)) ⊆ z Suponha que z 6⊆ h

  −1

  (k

  −1

  [↑ x]) ⇔ h

  ∗

  (k

  ∗

  [↑ x]) =↑ z. Ent˜ao z ∈ h

  ∗

  ∗

  −1

  (2) (⇒) Primeiro suponha que h

  ∗ (k ∗ [↑ x]).

  (y)) = z e y ∈↑ x. Assim z ∈ h

  ∗

  (k

  ∗

  (y) = u. Portanto h

  ∗

  ) tal que x ⊆ y e k

  ∗

  Novamente pelo Lema 3.2.1, temos que existe y ∈ dom(k

  (k

  (x)), existe a ∈ z tal que k(h(a)) 6∈ x, segue que z ∈ S a e x 6∈ S k (h(a)) . k

  (x) ⊆ u e h

  ∗

  (k

  −1

  (x)) ⊇ z ⇒ z = h

  −1

  (k

  −1

  [↑ x]) 6⊆ S a , implicando que ↑ z 6⊆ S a . Como S a ´e upset, temos z 6∈ S a , que ´e uma contradi¸c˜ao. Logo h

  ∗

  (k

  ∗

  [↑ x]. Portanto h

  [↑ x], devido a 3.2.9, temos que ↑ y ⊆ k

  ∗

  ∗

  [↑ x] = k

  ∗

  Como ↑ k

  ∗ [↑ y] 6⊆ S a .

  ⇔ h

  (a)

  [↑ x] tal que y 6∈ S h

  ∗

  , segue que existe y ∈ k

  (a)

  [↑ x] 6⊆ S h

  ∗ (u) = z.

  ∗

  = h

  (k

  [↑ x]). Ent˜ao existe y ∈ dom(h

  ∗

  (k

  ∗

  (1) (⇒) Suponha que z ∈ h

  (x)) = z Demonstra¸c˜ ao:

  −1

  (k

  −1

  [↑ x]) =↑ z sse h

  ∗

  ∗

  ) tal que y ∈ k

  (x)) ⊆ z (2) h

  −1

  (k

  −1

  (1) z ∈ h ∗ (k ∗ [↑ x]) sse h

  ∗ .

  e z ∈ A

  ∗

  Lema 3.4.1. Sejam A, B e C ´algebras de Heyting, h : A → B e k : B → C (∧, →)- homomorfismo, x ∈ C

  ∗ .

  ∗ k

  ∗

  ∗

  ∗

  ) tal que k

  (u)) = h

  ∗

  (x)) ⊆ z. Pelo Lema 3.2.1, existe u ∈ dom(h

  ∗

  (k

  ∗

  (x)) ⊆ z, segue que h

  −1

  (k

  −1

  (⇐) Suponha que h

  ∗ (y) = z.

  ∗

  [↑ x] e h

  (k

  ∗

  (u)) = h

  −1

  (k

  −1

  (x)) ⊆ h

  −1

  (k

  −1

  Sendo y ∈ k ∗ [↑ x], ∃ u ∈ dom(k ∗ ), x ⊆ u e k ∗ (u) = y. Como x ⊆ u, temos que h

  ∗ (y) = z.

  −1 (x)).

  

−1 −1 −1 −1

  (⇐) Suponha que h (k (x)) = z, ent˜ao h (k (x)) ⊆ z. De (1), temos que z ∈ h (k [↑ x]). Segue que ↑ z ⊆↑ h (k [↑ x]) = h (k [↑ x]). Esta ´ ultima igualdade segue

  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ tamb´em de 3.2.9.

  −1 −1 −1 −1

  Seja w ∈ h ∗ (k ∗ [↑ x]) ⇔ h (k [↑ x]) ⊆ w, como h (k (x)) = z, temos que z ⊆ w, assim w ∈↑ z. Logo h (k [↑ x]) ⊆↑ z. Portanto

  ∗ ∗

  h

∗ (k ∗ [↑ x]) =↑ z.

  Lema 3.4.2. Sejam A, B e C ´algebras de Heyting e sejam h : A → B e k : B → C, ∗ k (∧, →)-homomorfismo. Ent˜ao (k ◦ h) ∗ = h ∗ ∗ .

  Demonstra¸c˜ ao: Devido ao Lema 3.4.1

  −1

  x ∈ dom(k ◦ h) ⇔ (k ◦ h) (x) ∈ A

  ∗ ∗ −1 −1

  ⇔ h (k (x)) ∈ A

  ∗ −1 −1

  ⇔ h (k (x)) = z ∈ A

  ∗

  ⇔ h

  ∗ (k ∗ [↑ x]) =↑ z ⇔ x ∈ dom(h ∗ k ).

  ∗ ∗ Segue que dom(k ◦ h) = dom(h ∗ k ). ∗ ∗ ∗

  Agora tome x ∈ dom(k ◦ h) ∗

  −1 −1

  z ◦ h = (k )(x) = k (h (x)).

  ∗ ∗

  Pelo Lema 3.4.1 h (k [↑ x]) =↑ z. Como x ∈ dom(h ∗ k ), temos que

  ∗ ∗ ∗ ∗

  (h ∗ k )(x) = z,

  ∗ ∗

  logo (k ◦ h ) = (h ∗ k ).

  

∗ ∗ ∗ ∗

(∧,→) P

  Teorema 3.4.3. As categorias Heyt e Esa s˜ao dualmente equivalentes. Demonstra¸c˜ ao:

  J´a mostramos que dado A ´algebra de Heyting, temos que A ´e um espa¸co de

  ∗ Pelo Lema 3.2.4, leva (∧, →)-homomorfismo em morfismo parcial de Esakia.

  ∗

  Pelo Lema 3.4.2, temos que leva composi¸c˜ao de (∧, →)-homomorfismo em com-

  ∗ posi¸c˜ao e identidades de morfismos parciais de Esakia.

  ∗ Tamb´em mostramos que dado X espa¸co de Esakia, X ´e uma ´algebra de Heyting. ∗

  Pelo Teorema 3.2.5 temos que leva morfismo parcial de Esakia em (∧, →)- homomorfismo.

  ∗ Pelo Lema 3.3.8 preserva composi¸c˜ao e identidades. ∗ Assim e s˜ao funtores contravariantes bem definidos. ∗

  Pelos Lemas 3.2.6 e 3.2.8, temos que para cada algebra de Heyting A ϕ A ´e um isomorfismo de ´algebras de Heyting e para cada espa¸co de Esakia X ε ´e um homeomorfismo de espa¸cos de Esakia. Devido a prova de 2.2.15 temos os seguintes diagramas comutando.

  ϕ A ε X

  ∗ ∗

  ✲ ✲

  A

  X (A)

  (X)

  ∗ ∗ ∗

  ∗

  h f

  (h) (f )

  ∗ ∗

  ❄ ❄ ❄

  ❄ ∗

  ∗ ✲

  ✲

  B Y

  ∗ (B) ∗ (Y )

  ϕ B ε Y

  Pela observa¸c˜ao 3.3.11, podemos tomar

  ∗ (∧,→)

  σ = {ϕ A : A −→ ∗ (A); A ∈ Obj(Heyt )} e

  ∗ P

  η = {ε X : X −→ (X); X ∈ Obj(Esa )}

  ∗ como transforma¸c˜oes naturais, encontrando assim a dualidade.

  Defini¸c˜ ao 3.4.4. Sejam X, Y espa¸cos de Esakia e f : X → Y um morfismo parcial de Esakia. Dizemos que f ´e sobre se a restri¸c˜ao de f ao dom(f ) ´e uma aplica¸c˜ao sobre.

  Lema 3.4.5. Sejam A, B ´algebras de Heyting e h : A → B um (∧, →)-homomorfismo. Ent˜ao h ´e 1 − 1 sse h : B → A ´e sobre.

  ∗ ∗ ∗

  Demonstra¸c˜ ao: (⇒) Suponha que h ´e injetiva. Para y ∈ A , seja F filtro de B gerado por h[y] e

  ∗

  I o ideal gerado por h[A \ y].

  , ..., c Se existe b ∈ F ∩ I, ent˜ao existem a ∈ y e c n ∈ A \ y tal que h(a) ≤ b ≤

  1

  h (c ) ∨ ... ∨ h(c n ) ≤ h(c ∨ ... ∨ c n ).

  1

  1

  ∨ ... ∨ c ∨ ... ∨ c Como h ´e injetiva e h(a) ≤ h(c

  1 n ), temos que se a 6= c 1 n ,ent˜ao a ≤ c ∨ ... ∨ c n .

  1 Como A \ y ´e ideal e c ∨ ... ∨ c n ∈ A \ y, temos que a ∈ A \ y, que ´e um absurdo.

  1 Portanto F ∩ I = ∅.

  Pelo Teorema de Stone-Birkhoff, temos que existe x ∈ B ∗ tal que F ⊆ x e x ∩ I = ∅. Sabendo que F ⊆ x, temos

  −1 y ⊆ h (x) e x ∩ I = ∅.

  Agora tome a 6∈ y, assim h(a) ∈ I, portanto h(a) 6∈ x. Segue que

  

−1

y = h (x).

  Mostrando a sobrejetividade de h .

  ∗ (⇐) Suponha que h ´e sobre. ∗

  Basta mostrar que a 6≤ b ⇒ h(a) 6≤ h(b). Pois caso a 6= b, temos que a 6≤ b ou b 6≤ a e assim h(a) 6= h(b).

  Pelo corol´ario do Teorema de Stone-Birkhoff, temos que se a 6≤ b, existe um filtro primo y ⊆ A tal que a ∈ y e b 6∈ y. Como h ´e sobre, existe x ∈ dom(h ) tal que

  ∗ ∗ −1 −1 −1

  h (x) = y. Segue que a ∈ h (x) ⇒ h(a) ∈ x e b 6∈ h (x) ⇒ h(b) 6∈ x, logo h(a) 6≤ h(b), pois x ´e filtro.

  3.5 Morfismo Parcial Bom de Esakia

  Defini¸c˜ ao 3.5.1. Sejam (X, ≤) e (Y, ≤) espa¸cos de Esakia e f : X → Y um morfismo parcial de Esakia. Dizemos que f ´e morfismo parcial bom de Esakia se para todo x ∈ X, existe z ∈ dom(f ) tal que x ≤ z.

  Lema 3.5.2. Sejam A, B ´algebras de Heyting. Se h : A → B ´e um (∧, →, 0)homomorf ismo, ent˜ao h : B → A ´e um morfismo parcial bom de Esakia.

  ∗ ∗ ∗

  Demonstra¸c˜ ao: Como h ´e um (∧, →)homomorf ismo, temos que h ´e um morfismo parcial de

  ∗ Esakia.

  −1

  Seja x ∈ B , como x ´e filtro primo, 0 6∈ x. Como h(0) = 0, temos 0 6∈ h (x)

  ∗ −1 −1

  3.2.1, existe z ∈ dom(h ) tal que h (z) = y e x ⊆ z, logo h ´e um morfismo parcial bom

  ∗ ∗ ∗ de Esakia.

  Lema 3.5.3. Sejam Xe Y espa¸cos de Esakia e f : X → Y um morfismo parcial bom de

  ∗ Esakia. f ´e um (∧, →, 0)homomorf ismo.

  Demonstra¸c˜ ao:

  ∗ −1

  Pelo Teorema 3.2.5 f ´e um (∧, →)-homomorfismo. Observe que ↓ f (Y ) = X,

  −1

  pois f ´e bom, ou seja, dado x ∈ X, existe z ∈ f (Y ) tal que x ≤ z, segue que

  ∗ −1 −1 f (∅) = X\ ↓ f (Y \ ∅) = X\ ↓ f (Y ) = ∅. ∗ Assim f ´e um (∧, →, 0)-homomorfismo.

  ´ E f´acil ver que a aplica¸c˜ao identidade ´e um morfismo parcial de Esakia. Sejam f : X → Y e g : Y → Z morfismos parciais bons de Esakia. J´a mostramos que g ∗ f ´e um morfismo parcial de Esakia.

  Seja x ∈ X, vamos mostrar que existe z ∈ dom(g ∗ f ) tal que x ≤ z. Como f ´e bom, existe u ∈ dom(f ) tal que x ≤ u. Como g ´e bom, existe y ∈ dom(g) tal que f

  (u) ≤ y.

  Como u ∈ dom(f ) e f (u) ≤ y, temos, pela defini¸c˜ao de morfismo parcial de Esakia que existe z ∈ dom(f ) tal que u ≤ z e f (z) = y. Portanto x ≤ u ≤ z e z ∈ dom(g ∗ f ), pois g

  (f [↑ z]) = g[↑ f (z)] =↑ g(y). Logo g ∗ f ´e um morfismo parcial bom de Esakia. Os espa¸cos de Esakia e os morfismos parciais bons de Esakia formam uma cate-

  W W P

  goria na qual denotamos por Esa . Claramente Esa ´e uma subcategoria de Esa mas com os mesmos objetos.

  (∧,→,⊥)

  Denotamos por Heyt a categoria das ´algebras de Heyting e os morfismos

  (∧,→,⊥) (∧,→)

  s˜ao (∧, →, ⊥)homomorf ismo. Heyt ´e uma subcategoria pr´opria de Heyt mas com os mesmos objetos.

  Devido aos Lemas 3.5.2 e 3.5.3 junto com as traforma¸c˜oes naturais introduzidas no Teorema 3.4.3, temos

  

(∧,→,0) W

Teorema 3.5.4. As categorias Heyt e Esa s˜ao dualmente equivalentes.

3.6 Morfismo Parcial Forte de Esakia

  → X

  ∗

  (U ∪ V ) = f

  ∗

  Vamos mostrar que f

  ∗ ´e um (∧, →)-homomorfismo.

  Demonstra¸c˜ ao: Pelo Teorema 3.2.5 f

  ∗ ´e um (∧, →, ∨)homomorf ismo.

  ∗

  ∗ (V ) para U, V ∈ CpU p(X).

  : Y

  ∗

  Dessa forma h ∗ ´e um morfismo parcial forte de Esakia. Lema 3.6.3. Sejam X e Y espa¸cos de Esakia e f : X → Y morfismo parcial forte de Esakia. Ent˜ao f

  ∗ ).

  (x) ´e filtro primo. Portanto x ∈ dom (h

  −1

  (x) ⇒ h

  −1

  (U ) ∪ f

  f

  ∗ ).

  −1

  Suponha que f [↑ x] 6= ∅. Como f ´e morfismo parcial forte de Esakia, temos que x ∈ dom(f ), portanto f [↑ x] =↑ f (x), assim ↑ f (x) ⊆ U ∪ V . Como U e V s˜ao upsets, temos que ↑ f (x) ⊆ U ou ↑ f (x) ⊆ V , segue que

  ∗ (V ).

  (U )∪f

  ∗

  (U ), logo x ∈ f

  ∗

  (Y \ (U ∪ V )). Pelo Lema 3.1.3, temos que f [↑ x] ⊆ U ∪ V. Se f [↑ x] = ∅, temos que f [↑ x] ⊆ U e portanto x ∈ f

  (U ∪ V ), ent˜ao x ∈ X\ ↓ f

  ∗

  ∗

  Seja x ∈ f

  ∗ preserva ordem.

  (U ∪ V ), pois f

  ∗

  (V ) ⊆ f

  ∗

  (U ) ∪ f

  Se h[↑ x] 6= ∅, temos que 0 6∈ h

  Defini¸c˜ ao 3.6.1. Sejam X, Y espa¸cos de Esakia e f : X → Y um morfismo parcial de Esakia. f ´e forte se dado x ∈ X, f [↑ x] 6= ∅, implica que x ∈ dom(f ).

  Lema 3.6.2. Sejam A, B ´algebras de Heyting. Se h : A → B ´e um (∧, →, ∨)homomorf ismo, ent˜ao h

  . Pelo Lema 3.2.2, existe y ∈ h

  −1 (x).

  (x) ou 0 6∈ h

  −1

  Observe que 0 ∈ h

  −1 (x) ⊆ y.

  [↑ x] ⇔ h

  ∗

  ∗

  −1

  Seja x ∈ B

  ∗ ´e um morfismo parcial de Esakia.

  Demonstra¸c˜ ao: J´a sabemos que h

  ∗ ´e um morfismo parcial forte de Esakia.

  → A

  ∗

  : B

  ∗

  Se 0 ∈ h

  (x), temos que h

  −1

  ∗

  Assim h

  −1 (x).

  (x) ou b ∈ h

  −1

  (x), temos h (a ∨ b) ∈ x ⇒ h(a) ∨ h(b) ∈ x ⇒ h(a) ∈ x ou h(b) ∈ x. Portanto a ∈ h

  −1

  . Pois dado a ∨ b ∈ h

  (x) ∈ A

  −1

  −1

  (x), ent˜ao, como h ´e um (∧, →, ∨)homomorf ismo, h

  −1

  Por outro lado, se 0 6∈ h

  −1 (x) ⊆ y, pois y ´e filtro pr´oprio, portanto h ∗ [↑ x] = ∅.

  tal que h

  ∗

  (x) = A, segue que n˜ao existe y ∈ A

  (x) ´e filtro primo, logo x ∈ dom(h

  ∗ ∗

  f [↑ x] ⊆ U ou f [↑ x] ⊆ V ⇒ x ∈ f (U ) ou x ∈ f (V )

  ∗ ∗ ⇒ x ∈ f (U ) ∪ f (V ). ∗ Consequentemente f ´e um (∧, →, ∨)homomorf ismo.

  ´ E f´acil ver que a identidade ´e um morfismo parcial forte de Esakia. Sejam f : X → Y e g : Y → Z morfismos parciais fortes de Esakia, ent˜ao g ∗ f

  ´e um morfismo parcial forte de Esakia. De fato, seja x ∈ X tal que g ∗ f [↑ x] 6= ∅. Pelo Lema 3.3.5, g ∗ f [↑ x] = g(f [↑ x]) 6= ∅. Assim f [↑ x] 6= ∅.

  Como f ´e morfismo parcial forte, x ∈ dom(f ), logo f [↑ x] =↑ f (x). Portanto g [↑ f (x)] 6= ∅.

  Como g ´e morfismo parcial forte de Esakia, f (x) ∈ dom(g), pela observa¸c˜ao 3.3.4, temos x ∈ dom(g ∗ f ).

  S

  Claramente Esa , qual ´e a categoria dos espa¸cos de Esakia cujos morfismos s˜ao

  P os morfismos parciais fortes de Esakia, ´e subcategoria pr´opria de Esa .

  Tamb´em temos que a categoria das ´algebras de Heyting cujos morfismos s˜ao

  (∧,→,∨)

  os (∧, →, ∨)homomorf ismo, denotadas por Heyt , ´e uma subcategoria pr´opria de

  (∧,→) Heyt .

  Devido ao Teorema 3.4.3 e os Lemas 3.6.2 e 3.6.3, temos:

  

(∧,→,∨) S

Teorema 3.6.4. As categorias Heyt e Esa s˜ao dualmente equivalentes.

  Corol´ ario 3.6.5. Das dualidades generalizadas feitas em 3.5.4 e 3.6.4 obtemos a duali- dade de Esakia.

  Demonstra¸c˜ ao: Sejam A e B ´algebras de Heyting e h : A → B homomorfismo de ´algebras de

  Heyting. Ent˜ao h ´e um (∧, →, ⊥)homomorf ismo e um (∧, →, ∨)homomorf ismo. Segue que h : B → A ´e um morfismo parcial de Esakia que ´e bom e forte. Sendo h bom,

  ∗ ∗ ∗ ∗ temos que para todo x ∈ B , existe z ∈ dom(h ) tal que x ≤ z. Logo h [↑ x] 6= ∅.

  ∗ ∗ ∗

  Como h ´e forte, temos que x ∈ dom(h ), assim dom(h ) = B , segue que h ´e

  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ um morfismo de Esakia.

  Observe que se h ∗ ´e morfismo de Esakia, ent˜ao h ∗ ´e morfismo parcial bom e forte. Agora, sejam X e Y espa¸cos de Esakia e f : X → Y morfismo parcial de Esakia.

  −1

  Ent˜ao se f ´e total, segue que se D ⊆ Y for um downset, temos que f (D) um downset

  −1

  e f (Y \ D) ´e upset. Para U ∈ CpU p(Y ), temos

  ∗ −1 −1 −1

  ∗ ∗ ∗ E portanto f : Y → X ´e um homomorfismo de ´algebras de Heyting.

  ∗ ∗

  Aqui tamb´em observe que se f ´e morfismo de ´algebra de Heyting, ent˜ao f preserva ∧, →, ⊥, ∨. A composi¸c˜ao ∗ coincide com a usual ◦. Pois pela observa¸c˜ao 3.3.3, temos que

  {x ∈ X; f (x) ∈ dom(g)} ⊆ dom(g ∗ f ) e temos que g ∗ f (x) = z ⇔↑ z = g(f [↑ x]) =↑ g(f (x)) ⇔ z = g(f (x)) Portanto x ∈ dom(g ◦ f ), fazendo com que dom(g ◦ f ) = dom(g ∗ f ) = X.

  Consequentemente Heyt e Esa s˜ao dualmente equivalentes. Cap´ıtulo 4 Dualidade de L´ ogicas Abstratas

  Neste cap´ıtulo apresentaremos a dualidade entre L´ogicas Abstratas Distributivas e Intuicionistas, e Espa¸cos de Priestley e de Esakia respectivamente. Para isto, mos- traremos que a categoria das L´ogicas Abstratas Distributivas ´e equivalente a categoria dos Reticulados Distributivos e assim, usando a dualidade de Priestley, obtemos a dua- lidade desejada. Com esta constru¸c˜ao temos tamb´em todas as dualidades de reticulados distributivos como por exemplo a dualidade de Stone e as dualidades bitopol´ogicas elabo- radas, cf. [S12]. Demonstramos que uma l´ogica abstrata distributiva no sentido de [BL11] nada mais ´e que um reticuldao distributivo. Com a mesma id´eia e definindo os morfis- mos de l´ogicas abstratas intuicioinistas adequadamente, demonstraremos que a categoria das L´ogicas Abstratas Intuicionista, cf [BL11], ´e equivalente a categoria das ´ Algebras de Heyting. Assim obtemos a dualidade tamb´em para a categoria das l´ogicas abstratas intuicionistas e a categoria dos espa¸cos de Esakia.

  As pr´oximas defini¸c˜oes s˜ao de [BL11].

  , T h , C Defini¸c˜ ao 4.0.6. Uma L´ogica Abstrata L ´e dado por L = (Expr L L L ), onde Expr L ´e o conjunto de express˜oes (ou f´ormulas) e T h ´e um subconjunto n˜ao-vazio das partes

  L

  de Expr , chamado de conjunto das teorias, tal que o seguinte axioma de intersec¸c˜ao ´e

  L

  satisfeito: Se T ⊆ T h e T 6= ∅, portanto \ T ∈ T h .

  L L

  Futuramente, C ´e o conjunto de opera¸c˜oes em Expr , chamado de conectivos

  L abstratos.

  • Dizemos que uma L´ogica Abstrata L ´e regular se Expr n˜ao ´e uma teoria, i.e.,

  L

  Expr 6∈ T h L L . Caso contr´ario, L ´e singular.

  • Um subconjunto A ⊆ Expr ´e chamado consistente se A est´a contido em alguma

  L

  • Seja κ ≥ ω um cardinal. Dizemos que uma teoria T ∈ T h
  • Seja G ⊆ T h
  • A rela¸c˜ao de consequˆencia ´e definida da seguinte forma:

  • Dizemos que uma l´ogica abstrata L ´e fechado por uni˜ao de cadeias, se T h

  Teorema 4.0.7. Seja L uma l´ogica abstrata regular fechado por uni˜ao de cadeias. Ent˜ao L ´e minimamente gerado por T P T h

  L .

  Demonstra¸c˜ ao: Como L ´e fechada por uni˜ao de cadeias temos que para qualquer cadeia C ⊆ T h

  L

  , S C ∈ T h

  L

  . Seja T ∈ T h

  L

  . Vamos mostrar que T ´e gerado por teorias totalmente primas. Como L ´e regular, temos que T 6= Expr

  L

  . Assim, existe a ∈ Expr

  L

  tal que a 6∈ T . Consideremos ent˜ao o seguinte conjunto,

  F := {T ∈ T h

  L | T ⊆ T & a 6∈ T }.

  Em [LB09], foi mostrado que uma l´ogica abstrata fechada por uni˜ao de cadeias ´e minimanente gerado, e que o conjunto de geradores minimais ´e o conjunto das teorias totalmente primas, T P T h L . Demonstramos o teorema 2.11. de [LB09] novamente, usando o Lema de Zorn e m´etodos de ´algebra universal. Em [LB09], a demonstra¸c˜ao ´e baseada no Teorema da Boa Ordem e em m´etodos da teoria dos conjuntos.

  L

  ´e fechado por uni˜ao de cadeias, de qualquer tamanho.

  L

  L

  ´e κ-prima se para qualquer subconjunto n˜ao vazio T ⊆ T h

  L

  de cardinalidade < κ, T = T T implica T ∈ T . No caso de κ = ω dizemos que uma teoria ω-prima ´e prima. Uma teoria totalmente prima ´e uma teoria prima qual ´e κ-prima para qualquer cardinalidade κ ≥ ω. O conjunto de teorias (totalmente) primas denotamos por P T h

  L

  (T P T h

  , respectivamente).

  L .

  L . Dizemos que G ´e um conjunto de geradores, se qualquer teoria T

  ´e interse¸c˜ao de um subconjunto n˜ao vazio de G. Um conjunto de geradores ´e dito minimal, se qualquer subconjunto pr´oprio dele n˜ao ´e mais um conjunto de geradores. Dizemos que uma l´ogica ´e minimamente gerado, se existe um conjunto de geradores minimal.

  A

  L

  a :⇔ a ∈ \{T ∈ T h

  L

  ; A ⊆ T }, para todo A ∪ {a} ⊆ Expr

  ´ E claro que F ´e n˜ao vazio e ordenado pela inclus˜ao ⊆. Pela hip´otese, para qualquer cadeia C ⊆ F, S C ´e novamente uma teoria. Como a 6∈ S C, S C ´e uma barreira superior de C e as condi¸c˜oes do Lema de Zorn est˜ao satisfeitas. Denotamos por T a o elemento maximal de F e mostramos o seguinte Fato: T a ´e teoria totalmente prima. Prova: Suponha que T a n˜ao ´e totalmente prima, ent˜ao existem um cardinal κ ≥ ω e T uma fam´ılia de tamanho κ de teorias, digamos T κ tal que T a = T κ e T a ´e diferente de qualquer elemento de T κ , ou seja, T a ( T , ∀T ∈ T κ . Agora do fato de que T a ´e maximal com a propriedade de ser teoria e n˜ao conter a L express˜ao a, temos que para qualquer T ∈ T , a ∈ T . Observe que (T ∪ {a}) ´e a menor L L κ a teoria contendo T a tal que a ∈ (T a ∪ {a}) . Com isso, temos que (T a ∪ {a}) ⊆ T , para toda teoria T ∈ T κ . Logo, T a n˜ao ´e interse¸c˜ao pr´opria de teorias, e consequentemente, T a ´e totalmente prima. Acabamos a prova do fato.

  Repetimos agora o nosso racionc´ınio para todos os elementos b 6∈ T , obtemos T sempre uma teoria totalmente prima T b . Assim, T = T b . Para ver esta igualdade, b

  6∈T

  observe que sempre que a ∈ T , ent˜ao a ∈ T b , para todo b 6∈ T . Reciprocamente, para T a T

  6∈ T , pela constru¸c˜ao a 6∈ T a e portanto, a 6∈ b , concluindo a demonstra¸c˜ao do b 6∈T teorema.

  Agora vamos definir os conectivos em nossa L´ogica Abstrata, cf [BL11]. Defini¸c˜ ao 4.0.8. Seja L = (Expr , T h , C ) uma L´ogica Abstrata com um conjunto

  L L L

  C ⊆ {∨, ∧, ∼, →}. Para todo a, b ∈ Expr e para toda T ∈ T P T h consideremos as

  L L L

  seguintes condi¸c˜oes: (i) a ∨ b ∈ T ⇔ a ∈ T ou b ∈ T.

  (ii) a ∧ b ∈ T ⇔ a ∈ T e b ∈ T. (iii) ∼ a ∈ T ⇔ T ∪ {a} ´e inconsistente.

  ′ ′ ′ (iv) a → b ∈ T ⇔ para toda teoria totalmente prima T ⊇ T, se a ∈ T ent˜ao b ∈ T .

  (v) Existe uma f´ormula ⊤ ∈ Expr L qual est´a contida em qualquer teoria (prima)(i.e., ⊤ ´e v´alida). (vi) existe uma f´ormula ⊥ ∈ Expr qual n˜ao est´a contida em nenhuma teoria (prima)(i.e.,

  L ⊥ ´e inconsistente).

  , T h , C Defini¸c˜ ao 4.0.9. Seja L := (Expr L L L ) uma l´ogica abstrata fechada por uni˜ao de cadeias. Se {∨, ∧} ⊆ C satisfazendo (i) e (ii) de 4.0.8, chamamos de L´ogica Abstrata Distributiva. Se C = {∨, ∧, ∼, →} e vale de (i) a (iv) da Defini¸c˜ao 4.0.8, dizemos que

  L

  L ´e uma L´ogica abstrata Intuicionista. Dizemos que L ´e uma l´ogica abstrata limitada se vale (v) e (vi) de 4.0.8.

  Temos o seguinte Lema 4.0.10. Seja L uma l´ogica abstrata intuicionista e sejam a, b ∈ Expr dadas,

  L

  Ent˜ao temos para todo T ∈ T h L : (a) a, b ∈ T sse (a ∧ b) ∈ T . (b) Se a ∈ T ou b ∈ T ent˜ao (a ∨ b) ∈ T . A volta somente vale para teorias primas. b

  (c) Se a ∈ T e (a → b) ∈ T ent˜ao ∈ T . (as teorias s˜ao fechados pelo modus ponens). (d) Seja P ∈ P T h uma teoria prima ent˜ao

  L a → b ∈ P ⇔ para toda teoria prima Q ⊇ P, se a ∈ Q ent˜ao b ∈ Q.

  Demonstra¸c˜ ao: Seja T ∈ T h uma teoria. Como L ´e minimamente por T P T h , existe

  L L

  τ ⊆ T P T h tal que T = T τ . Vamos mostrar ent˜ao (a). Sejam a, b ∈ Expr tais que

  L L

  a, b ∈ T , isto ´e, a, b ∈ Q, para todo Q ∈ τ . Por 4.0.8, isto ´e equivalente com (a ∧ b) ∈ Q, para todo Q ∈ τ . Logo, a, b ∈ T sse (a ∧ b) ∈ T . Para ver o ´ıtem (b), sejam a ∈ T ou b ∈ T , i.e., a ∈ Q, para todo Q ∈ τ ou b ∈ Q, para todo Q ∈ τ . Logo temos que a ∈ Q ou b ∈ Q, para todo Q ∈ τ . Consequentemente, por 4.0.8, (a ∨ b) ∈ Q, para todo Q ∈ τ , ou seja, (a ∨ b) ∈ T . Vejamos (c). Sejam a ∈ T e (a → b) ∈ T , i.e., a ∈ Q, para todo Q ∈ τ e (a → b) ∈ Q, para todo Q ∈ τ . Assim, temos para qualquer Q ∈ τ , (a → b) ∈ Q, i.e, ∀P ⊇ Q, totalmente prima, se a ∈ P , ent˜ao b ∈ P . Como Q ´e totalmente prima, e a ∈ Q, temos que ter b ∈ Q. Consequentemente, b ∈ T .

  ⊆ Para o ´ıtem (d), observe que a implica¸c˜ao de direita para esquerda ´e ´obvia, pois T P T h L P T h . Falta mostrar a outra implica¸c˜ao. Seja P ∈ P T h uma teoria prima gerada por

  L L

  ξ ⊆ T P T h , i.e., P = T ξ. Seja (a → b) ∈ P . Assim, (a → b) ∈ Q, para todo Q ∈ ξ. Pela

  L

  defini¸c˜ao da implica¸c˜ao em 4.0.8, temos que para toda teoria totalmente prima S ⊇ Q, se a ∈ S ent˜ao b ∈ S. Seja agora R ⊇ Q teoria prima, tal que a ∈ R. Como R ´e interse¸c˜ao de teorias totalmente primas, a pertence a todas estas teorias totalmente primas gerando R . pela defini¸c˜ao 4.0.8, temos ent˜ao, que b ∈ R, mostrando (d). .

  ′

  Defini¸c˜ ao 4.0.11. Sejam L, L l´ogicas abstratas distributivas. Uma aplica¸c˜ao l´ogica ´e ′ ′ −1 ′ ′ → Expr ∈ T h } ⊆ T h uma fun¸c˜ao h : Expr , satisfazendo {h (T )| T . Escrevemos

  L L L L ′ −1 ′ ′

  h ∈ P T h } ⊆ P T h

  : L → L . Uma aplica¸c˜ao l´ogica ´e est´avel se {h (T )| T L L . Uma

  −1 ′ ′ aplica¸c˜ao l´ogica ´e chamada normal se {h (T )| T ∈ T h } = T h .

  L L

  Observe que em l´ogicas abstratas intuicionistas, os conjuntos P T h L e T P T h L s˜ao em geral diferentes, veja para isso tamb´em [LB09]. Neste artigo, os autores perguntam qual ´e o maior subconjunto T ⊆ T h tal que as condi¸c˜oes (i) at´e (iv) de 4.0.8 s˜ao v´alidas,

  L

  se substituimos o conjunto T P T h por T . Este conjunto ´e chamado de conjunto das teorias completas e denotado por CT h . Em caso das l´ogicas abstratas intuicionistas no

  L

  sentido da defini¸c˜ao 4.0.8, foi demonstrado em [LB09] que as teorias completas s˜ao as teorias primas, ou seja, CT h L = P T h L . Em seguida, vamos portanto trabalhar com as teorias completas quais s˜ao as teorias primas no sentido usual que a ∨ b ∈ T sse a ∈ T ou b ∈ T , para f´ormulas a e b em Expr .

  L

4.1 Dualidade de L´ ogicas Abstratas Distributivas As id´eias das defini¸c˜oes como tamb´em as demonstra¸c˜oes nesta se¸c˜ao s˜ao originais.

  Tendo em vista o teorema 4.0.7 trabalhamos em seguida somente com l´ogicas abstratas fechadas por uni˜ao de cadeias. Assim podemos nos sempre basear, quando necess´ario a um conjunto de geradores.

  Em particular, foi mostrado em [BL11] que vale um teorema an´alogo ao teorema de Stone-Birkhoff, enunciado em seguida. Defini¸c˜ ao 4.1.1. Sejam L uma l´ogica abstrata com uma disjun¸c˜ao e A ⊆ Expr L . Dize- mos que A ´e fechado sob disjun¸c˜ao, se para quaisquer a, b ∈ Expr , a ∈ A e b ∈ A, temos

  L sempre (a ∨ b) ∈ A.

  A demonstra¸c˜ao do pr´oximo teorema segue sem maiores problemas da hip´otese que L ´e uma l´ogica abstrata distributiva, e assim em particular fechado sob uni˜ao de cadeias, aplicando o Lema de Zorn. Teorema 4.1.2. Seja L uma l´ogica abstrata distributiva. Sejam T ∈ T h e S ⊆ Expr

  L L um conjunto n˜ao vazio e fechado sob disjun¸c˜ao tal que T ∩ S = ∅.

  Ent˜ao, existe uma teoria prima P ∈ P T h tal que T ⊆ P e P ∩ S = ∅.

  L

  Temos o Corol´ ario 4.1.3. Seja L uma l´ogica abstrata distributiva. Sejam T ∈ T h e a ∈ Expr

  L L tal que a 6∈ T . Ent˜ao, existe uma teoria prima P ∈ P T h tal que P ⊇ T e a 6∈ P . L

  | b Demonstra¸c˜ ao: Consideremos para a prova, o seguinte conjunto {a} := {b ∈ Expr L a }. Observe que {a} ´e fechado por disjun¸c˜ao. Observe que sendo c, b ∈ {a}, temos que T c a e b a. Assim, pela defini¸c˜ao de temos que a ∈ {T ∈ T h | c ∈ T } e

  L

  a ∈ T{T ∈ T h | b ∈ T }. Consequentemente, a ∈ T{T ∈ T h | c ∈ T ou b ∈ T }. Por

  L T L

  {T ∈ T h | (c ∨ b) ∈ T }, ou seja, (c ∨ b) a, mostrando que {a} 4.0.10, temos que a ∈ L ´e fechado por disjun¸c˜ao. Al´em disso, temos que T ∩ {a} = ∅. Podemos aplicar o teorema Com o ´ ultimo corol´ario, obtemos - analogamente no caso dos reticulados distri- butivos - o seguinte resultado. Observa¸c˜ ao 4.1.4. Seja L uma l´ogica abstrata distributiva. Ent˜ao P T h ´e um conjunto

  L gerador de T h L . T

  {P | P ∈ P T h Demonstra¸c˜ ao: Seja T ∈ T h L . Considere T := L e P ⊇ T }. Vejamos

  

′ ′ ′ ′

  que T = T . ´ E claro que T ⊆ T . Suponha que T 6= T . Assim, existe a ∈ T \ T . Pelo Corol´ario 4.1.3, existe uma teoria prima P ∈ P T h tal que P ⊇ T e a 6∈ P . Isto ´e uma

  L ′

  contradi¸c˜ao, pois T era definida como interse¸c˜ao de todas as teorias primas estendendo T .

  Em seguida, vamos introduzir uma ordem na l´ogica abstrata. Para isso, seja L = (Expr , T h , C ) uma L´ogica Abstrata Distributiva. Definimos em L a seguinte

  L L L ordem.

  Dados a, b ∈ Expr , a ≤ b ⇔ S ⊆ S , a b

  

L

com S a = {P ∈ P T h ; a ∈ P }. L

  ´ E f´acil ver que ≤ ´e uma ordem parcial. A parte da anti-simetria segue agora do ´ ultimo teorema 4.1.2. Com essa ordem parcial obtemos um reticulado distributivo limitado.

  , Lema 4.1.5. A = (Expr ≤) ´e um reticulado distributivo limitado.

  L

  Demonstra¸c˜ ao: Inicialmente provaremos que ´e um reticulado. Para isto mostramos que inf {a, b} = a ∧ b e sup{a, b} = a ∨ b.

  Seja P ∈ S a , assim se a ∧ b ∈ P , pela defini¸c˜ao 4.0.8, temos que a ∈ P e b ∈ P .

  ∧b

  Logo S a ⊆ S a e S a ⊆ S b . Portanto

  ∧b ∧b a ∧ b ≤ a e a ∧ b ≤ b.

  Agora tome c ∈ Expr de forma que c ≤ a e c ≤ b, vamos mostrar que c ≤ a ∧ b

  L e assim mostraremos a igualdade.

  Seja P ∈ P T h tal que c ∈ P . Pela defini¸c˜ao da nossa ordem (≤), temos a ∈ P

  L

  ⊆ S e b ∈ P . Por 4.0.8 temos a ∧ b ∈ P . Portanto S c a ∧b e assim c ≤ a ∧ b. De forma an´aloga temos que sup{a, b} = a ∨ b. Neste caso precisamos usar de fato que as nossas teorias s˜ao primas. Concluindo assim que A ´e um reticulado.

  Para mostrarmos que ´e Distributivo, basta mostrar que dados a, b, c ∈ Expr ,

  L Seja P ∈ P T h tal que (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) ∈ P , portanto (a ∨ b) ∈ P e (a ∨ c) ∈ P .

  L De a ∨ b ∈ P , temos que a ∈ P ou b ∈ P . J´a de a ∨ c ∈ P temos que a ∈ P ou c ∈ P .

  ⊆ S Caso a ∈ P , temos P ∈ S a a ∨(b∧c) . Caso a 6∈ P , temos que b ∈ P e c ∈ P , logo b ∧ c ∈ P . Portanto P ∈ S b ⊆

  ∧c

  S a . Assim

  ∨(b∧c) (a ∨ b) ∧ (a ∨ c) ≤ a ∨ (b ∧ c).

  Provando que A ´e reticulado distributivo. A

  ´e limitado pois S = ∅ e ∅ ⊆ S a para todo a ∈ Expr , assim ⊥ ≤ a para todo

  ⊥ L

  a ⊆ S . De S = P T h , temos que S a para todo a ∈ Expr .

  ⊤ L ⊤ L

  Agora, dado um reticulado distributivo limitado Ω = (A, ∨, ∧, ⊥, ⊤), construi- mos a seguinte l´ogica abstrata distributiva L = (Expr , T h , C ), onde Expr = A,

  L L L L

  T h = {F | F ´e filtro pr´oprio de A} e C = {∨, ∧ ⊥, ⊤}. T P T h := {Q| Q ´e filtro

  L L L completamente primo em A}.

  Lema 4.1.6. Com as nota¸c˜oes, L ´e uma L´ogica Abstrata Distributiva. T Demonstra¸c˜ ao: Vamos mostrar que dado T ⊆ T h , T ´e um filtro pr´oprio de A. T L Sejam a, b ∈ T , assim a, b ∈ P, ∀ P ∈ T . Como P ´e filtro, a ∧ b ∈ P, ∀ P ∈ T , logo a ∧ b ∈ T T . T

  T e b ∈ A tal que a ≤ b. Como a ∈ T T , temos que a ∈ P para Sejam a ∈ T T todo P ∈ T , logo b ∈ P para todo P ∈ T , segue que b ∈ T . ´ E imediato que T ´e pr´oprio.

  Assim T h ´e fechado por interse¸c˜ao. ´ E rotina mostrar que T h ´e fechado por

  L L

  uni˜ao de cadeias. As condi¸c˜oes (i) e (ii) da defini¸c˜ao 4.0.8 s˜ao f´acil de verificar. Assim, L ´e uma l´ogica abstrata distributiva.

  Sabendo que ⊥ 6∈ T ∀ T ∈ T h e ⊤ ∈ T ∀ T ∈ T h , temos que L ´e uma l´ogica

  L L abstrata distributiva limitada.

  Observa¸c˜ ao 4.1.7. Seja L a l´ogica abstrata distributiva introduzida acima. Ent˜ao CT h =

  L

  P T h L = {P | P ´e filtro primo de A}. Demonstra¸c˜ ao: Seja T ∈ CT h , assim T ∈ T h e portanto ´e um filtro pr´oprio de A.

  L L Como T ∈ CT h , temos por defini¸c˜ao que a ∨ b ∈ T ⇔ a ∈ T e b ∈ T , logo T ´e primo. L Provando que CT h ⊆ P T h .

  L L

  Agora considere P ∈ P T h L , assim P ´e filtro, logo a ∈ P e b ∈ P ⇔ a ∧ b ∈ P.

  Como P ´e primo, a ∈ P ou b ∈ P ⇔ a ∨ b ∈ P.

  Provando assim que P T h ⊆ CT h .

  L L

  Definimos a categoria das l´ogicas abstratas distributivas LD como sendo a cate- goria cujos objetos s˜ao l´ogicas abstratas distributivas e os morfismos s˜ao as fun¸c˜oes l´ogicas est´aveis. Lema 4.1.8. = ⇔ = , onde = denota a equivalˆencia l´ogica da l´ogica abstrata L, i.e.,

  ≤ L L

  b a b para a, b ∈ Expr , a = sse e b a.

  L L

  b ⊆ S

  Demonstra¸c˜ ao: (⇒) a = ≤ , assim a ≤ b e b ≤ a. Sendo a ≤ b, temos que S a b , vamos mostrar que a b . Mas como S ⊆ S , temos que P ∈ P T h tal que a ∈ P

  L a b L T

  temos b ∈ P . Assim b ∈ {P ∈ P T h | a ∈ P }. Como por 4.1.3, P T h ´e conjunto

  L L

  gerador de T h , temos que dado T ∈ T h com a ∈ T , T ´e interse¸c˜ao de um subconjunto

  L L T

  de G ⊆ P T h que vai conter a, assim b ∈ G, segue que b ∈ T .

  L

  a O caso b L ´e an´alogo. T (⇐) Suponha que a b , ent˜ao b ∈ {T ∈ T h | a ∈ T }, assim b ∈ T , para todo

  L L T ∈ T h e a ∈ T , em particular, para todo T ∈ P T h tal que a ∈ T . L

  L

  S a ⊆ S b ⇒ a ≤ b. De forma an´aloga mostramos que b ≤ a. Corol´ ario 4.1.9. ≤ ⇔ .

  L Lema 4.1.10. Aplica¸c˜oes l´ogicas est´aveis s˜ao morfismos de reticulados distributivos.

  Demonstra¸c˜ ao: Para isso, vamos mostrar que h preserva ∨ e ∧.

  ′ ′ −1 ′

  Seja P ∈ P T h tal que h(a ∨ b) ∈ P , assim a ∨ b ∈ h (P ). Como h ´e est´avel,

  L −1 ′ −1 ′ −1 ′ ′

  temos que existe h (P ) ∈ P T h L . Logo a ∈ h (P ) ou b ∈ h (P ), assim h(a) ∈ P ou

  ′ ′

  h (b) ∈ P , logo h(a) ∨ h(b) ∈ P , assim S h ⊆ S h

  

(a∨b) (a)∨h(b)

  Assim h(a ∨ b) ≤ h(a) ∨ h(b) De forma similar provamos a inclus˜ao contr´aria. Sendo assim temos h(a ∨ b) =

  ≤ h (a) ∨ h(b). Pelo lema anterior h(a ∨ b) = h (a) ∨ h(b). L Analogamente prova-se que h(a ∧ b) = h(a) ∧ h(b).

  Lema 4.1.11. Morfismos de reticulados distributivos formam fun¸c˜oes est´aveis entre l´ogicas

  Demonstra¸c˜ ao: Seja f : A → A morfismo de reticulado distributivo. Vamos mostrar

  −1 ′ ′ que f (T ) ∈ T h , para T ∈ T h .

  L L

  Ora, por constru¸c˜ao, temos que T h L = {T | T ´e filtro em A}. Como f ´e morfismo

  −1 de reticulados distributivos, f (T ) ´e filtro pr´oprio de A. ′ ′ ′

  Caso P ∈ P T h = {P | P ´e filtro primo de A }, temos o mesmo, ou seja,

  L −1 ′

  f (P ) ´e filtro primo, usando o fato que f ´e morfismo de reticulados.

  Observe que dado uma l´ogica abstrata distributiva L, estabelecemos um reticu-

  ∗

  lado distributivo L. Com este reticulado distributivo, temos uma l´ogica abstrata distri-

  ∗ ∗ butiva L = L. Pois dado T ∈ T h , vamos mostrar que T ´e filtro de L.Sejam a, b ∈ T .

  ∗ L T T

  Como P T h ´e gerador, T = P, com P ⊆ P T h , assim a, b ∈ P, assim a, b ∈ P , para

  L L todo P ∈ P. T Como P ´e teoria prima, a ∧ b ∈ P ∀ P ∈ P, logo a ∧ b ∈ P = T .

  Agora considere a ∈ T e b ∈ Expr tal que a ≤ b. Assim pelo lema 4.1.8, a b, T L

  ∗ logo b ∈ {Q ∈ T h | a ∈ Q}. Segue que b ∈ T .Portanto T ´e filtro de L. L

∗ ∗

  Como as teorias de L s˜ao os filtros pr´oprios de L, temos o desejado.

  ∗

  Dado um reticulado distributivo Ω, conseguimos uma l´ogica abstrata distributiva

  ∗ Ω. Com essa l´ogica abstrata, encontramos um reticulado distributivo Ω = Ω. ∗

  ∗ As transforma¸c˜oes naturais s˜ao dadas pela aplica¸c˜ao identidade. ′ ′

  ´ E f´acil ver que dados L, L l´ogicas abstratas e h : L → L aplica¸c˜ao l´ogica est´avel,

  ∗ ′ ∗

  h f ent˜ao ∗ = h. O mesmo ocorre para f : A → A morfismo de reticulados, ∗ = f .

  Temos o seguinte teorema. Teorema 4.1.12. LD ´e equivalente a RDist Corol´ ario 4.1.13. LD ´e dualmente equivalente a Priest

  

4.2 Representa¸c˜ ao de L´ ogicas Abstratas Intuicionis-

tas

  Todos os resultados obtidos nesta se¸c˜ao s˜ao originais. Agora considere L := (Expr , T h ,

  C), com C = {∧, ∨, →}. J´a construimos um

  L L

  reticulado distributivo limitado a partir de C = {∧, ∨}. Estendemos as nossas ideias para obter uma ´algebra de Heyting. Para isto, vamos mostrar seguinte

  Lema 4.2.1. A implica¸c˜ao em C satisfaz adjun¸c˜ao, ou seja, dados z, a, b ∈ Expr ,

  L z ≤ a → b ⇔ z ∧ a ≤ b.

  ⊆ S Demonstra¸c˜ ao: (⇒) Suponha que z ≤ a → b, logo S z a →b . Tome P ∈ P T h tal que a ∧ b ∈ P , assim z ∈ P e a ∈ P . Como z ∈ P , temos

  L

  que a → b ∈ P , segue do Lema 4.0.10 que a ∧ (a → b) ∈ P ⇒ b ∈ P.

  Portanto S z ⊆ S b ⇒ z ∧ a ≤ b.

  ∧a

  (⇐) Agora suponha que z ∧ a ≤ b. Seja P ∈ P T h tal que z ∈ P . Tome

  L ′ ′ ′

  P ∈ P T h tal que P ⊆ P e a ∈ P .

  L ′ ′ ′ ′ ′

  e a ∈ P Como z ∈ P ⊆ P , temos que z ∈ P , ou seja, z ∧ a ∈ P . Logo b ∈ P

  ⊆ S pois z ∧ a ≤ b, segue que a → b ∈ P . Portanto S z a →b , assim, z ≤ a → b. Dado uma ´algebra de Heyting limitada A. Como toda ´algebra de Heyting limitada

  ´e um reticulado distributivo limitado, j´a temos uma l´ogica abstrata distributiva associada a essa ´algebra de Heyting, vamos mostrar que temos uma l´ogica abstrata intuicionista associada a essa ´algebra de Heyting, ou seja, vamos mostrar o seguinte lema. Lema 4.2.2. A implica¸c˜ao da nossa ´algebra de Heyting satisfaz, para todo a, b ∈ A e T filtro primo de A,

  ′ ′ ′

  a → b ∈ T ⇔ para todo f iltro primo T ⊇ T, a ∈ T ⇒ b ∈ T

  ′

  Demonstra¸c˜ ao: (⇒) Suponha que a → b ∈ T , onde T ´e um filtro primo de A. Tome T

  ′ ′ ′ ′ ′

  filtro primo tal que T ⊆ T e a ∈ T . Assim a ∈ T e a → b ∈ T , logo a ∧ (a → b) ∈ T ,

  ′ como a ∧ (a → b) ≤ b, temos que b ∈ T .

  (⇐) Seja T filtro primo e suponha que a → b 6∈ T . Observe que T ∪ {a} tem a pif. Caso contr´ario, existiriam t , . . . , t n ∈ T tais que t ∧ . . . ∧ t n ∧ a = ⊥. Pela

  1

  1

  adjun¸c˜ao temos ent˜ao, t ∧ . . . ∧ t n ≤ a → ⊥. Como T ´e filtro, temos que t ∧ . . . ∧ t n ∈ T

  1

  1

  e consequentemente, (a → ⊥) ∈ T . Como ⊥ ≤ b e a implica¸c˜ao → ´e uma aplica¸c˜ao mon´otona, temos que a → ⊥ ≤ a → b, e assim, (a → b) ∈ T , o que ´e uma contradi¸c˜ao. Tome agora T ∪ {a} e considere o filtro gerado hT ∪ {a}i, qual ´e pr´oprio. Estenda este a

  ′ ′ ′

  um filtro primo T . Observe que b 6∈ T pois caso b ∈ T , teriamos z ∈ T tal que z ∧ a ≤ b, por adjun¸c˜ao, z ≤ a → b e portanto a → b ∈ T . Absurdo. Por contrapositividade temos o desejado.

  Definimos a categoria das l´ogicas abstratas intuicionistas LI como sendo a ca-

  ′

  l´ogicas normais que satisfazem a propriedade p − morf ismo, ou seja, f : L → L e dados a ∈ Expr e b ∈ Expr tal que f (a) b, ent˜ao existe c ∈ Expr tal que a c e f (c) = b.

  L L L

  Esta aplica¸c˜ao chamaremos de aplica¸c˜oes l´ogicas intuicionistas. ´ E f´acil ver que a aplica¸c˜ao identidade ´e uma aplica¸c˜ao l´ogica intuicionista.

  Vamos verificar se composi¸c˜ao de aplica¸c˜oes l´ogicas intuicionistas ´e uma aplica¸c˜ao

  

′ ′ ′′

  l´ogica intuicionista. Sejam f : L → L e g : L → L aplica¸c˜oes l´ogicas intuicionistas. Seja

  ′ −1 ′

  T ∈ T h ∈ T h

  L . Como f ´e normal, temos que existe T L tal que f (T ) = T . Sabendo ′′ −1 ′′ ′ ′′

  que g tamb´em ´e normal, temos que existe T ∈ T h com g (T ) = T . Logo

  L

−1 ′′ −1 −1 ′′ −1 ′

  (g ◦ f ) (T ) = f (g (T )) = f (T ) = T. Portanto a composi¸c˜ao ´e normal. Falta mostar p − morf ismo. ′′ Sejam a ∈ Expr e b ∈ Expr tal que g ◦ f (x) b, assim g(f (x)) b. Como g

  L L

  ´e p − morf ismo, temos c ∈ Expr L tal que f (a) c e g(c) = b. Tamb´em temos que f ´e p −morf ismo, logo existe z ∈ Expr tal que a z e f (z) = c portanto g(f (z)) = g(c) = b.

  L

  Provando que a composi¸c˜ao satisfaz p − morf ismo. Como a composi¸c˜ao satisfaz a lei associativa, temos que a categoria LI est´a bem definida.

  ′ ′

  Lema 4.2.3. Sejam L e L l´ogicas abstratas intuicionistas e h : L → L uma aplica¸c˜ao l´ogica intuicionista. Esta mesma aplica¸c˜ao ´e um morfismo de ´algebra de Heyting. Demonstra¸c˜ ao: J´a provamos que h sendo est´avel preserva ∨ e ∧. Vamos mostrar que preserva →, ou seja, h(a → b) = h(a) → h(b).

  (≤) h(a → b) ∧ h(a) = h((a → b) ∧ a). Sabemos que a ∧ (a → b) ≤ b. Como h preserva ∨ e ∧, temos que h preserva ordem, com isso h((a → b) ∧ a) ≤ h(b), por adjun¸c˜ao h (a → b) ≤ h(a) → h(b). (≥) Para mostar que h(a) → h(b) ≤ h(a → b), basta mostrar que S h ⊆

  (a)→h(b)

  S h (a→b) . Seja P ∈ P T h tal que P 6∈ S h , ou seja, h(a → b) 6∈ P . Assim a → b 6∈

  L (a→b) −1

  h (P ). Pela defini¸c˜ao de implica¸c˜ao em l´ogicas abstratas, temos que existe T ∈ P T h

  L −1 ′

  tal que h (P ) ⊆ T , a ∈ T e b 6∈ T . Pela normalidade de h, temos que existe T tal que

  −1 ′

  h (T ) = T .

  Observe que h(b) h(a) → h(b), por h satisfazer p−morf ismo, existe t ∈ Expr

  L com h(t) = h(a) → h(b) e b t.

−1 −1 ′ ′ ′

  Se t ∈ h (P ) ⊆ h (T ), ent˜ao h(t) ∈ T ⇒ h(a) → h(b) ∈ T . Como a ∈ T ,

  −1 ′ ′ ′ ′

  temos que a ∈ h (T ) ⇒ h(a) ∈ T . Segue que h(a) ∧ h(a) → h(b) ∈ T , ent˜ao h(b) ∈ T ,

  −1

  o que ´e um absurdo. Portanto t 6∈ h (P ) ⇒ h(t) 6∈ P , como h(t) = h(a) → h(b), temos h (a) → h(b) 6∈ P . Logo P 6∈ S . h (a)→h(b) Mostrando S h ⊆ S h .

  (a)→h(b) (a→b)

  Com os lemas 4.2.1 e 4.2.3, temos que LI pode ser vista como uma subcategoria de Heyt. Como Heyt ´e dualmente equivalente a categora Esa, temos uma representa¸cao de LI em Esa.

  Observe que nem sempre morfismo de ´algebra de Heyting ´e um morfismo de l´ogicas abstratas intuicionista, conforme o seguinte exemplo. Exemplo 4.2.4. Sejam 2 = {⊤, ⊥} e Ω = {⊥, a, ¬a, ⊤} ´algebras de Boole e f : Ω → 2 definido da seguinte maneira: f

  (⊤) = ⊤ f (a) = ⊤ f

  (¬a) = ⊥ f (⊥) = ⊥. Vamos mostrar que f ´e morfismo de ´algebra de Boole. Inicialmente vamos mostar que f ´e morfismo de reticulados.

  • f (⊤ ∨ ⊤) = f (⊤) = ⊤ e f (⊤) = ⊤, portanto f (⊤) ∨ f (⊤) = ⊤.
  • f (a ∨ ⊤) = f (⊤) = ⊤, f (a) = ⊤ e f (⊤) = ⊤, logo f (a) ∨ f (⊤) = ⊤.
  • f (¬a ∨ ⊤) = f (⊤) = ⊤, f (¬a) = ⊥ e f (⊤) = ⊤, logo f (¬a) ∨ f (⊤) = ⊤.
  • f (a ∨ ¬a) = f (⊤) = ⊤, f (a) = ⊤ e f (¬a) = ⊥, logo f (a) ∨ f (¬a) = ⊤ ∨ ⊥ = ⊤.
  • f (a ∨ ⊥) = f (a) = ⊥ e f (⊥) = ⊥, segue que f (a) ∨ f (⊥) = ⊤.
  • f (¬a ∨ ⊥) = f (¬a) = ⊥ e f (¬a) ∨ f (⊥) = ⊥ ∨ ⊥ = ⊥.

  Com isso mostramos que f preserva ∨. Com contas an´alogas podemos provar que f preserva ∧. Mostrando que f ´e um morfismo de reticulados. Para mostarmos que f ´e morfismo de ´algebra de Boole, basta mostrar que f (¬x) = ¬f (x) para todo x ∈ Ω.

  Ora, como ¬⊥ = ⊤, ¬⊤ = ⊥, teremos f (¬⊥) = ¬f (⊥) e f (¬⊤) = ¬f (⊤). Como f (¬a) = ⊥ e ¬f (a) = ¬⊤ = ⊥, temos que f preserva ¬.

  Portanto f ´e um morfismo de ´algebra de Boole. Como toda ´algebra de Boole ´e uma ´algebra de Heyting e todo morfismo de ´algebra de Boole ´e um morfismo de ´algebra de Heyting, temos que f ´e morfismo de ´algebra de Heyting.

  Agora observe que {⊤} ´e um filtro de Ω, por´em n˜ao existe filtro T ⊆ 2 tal que

  −1 −1 −1

  f (T ) = {⊤}, pois f (T ) = {⊤, a} e f (2) = Ω. Assim f n˜ao satisfaz a normalidade

  A condi¸c˜ao de um morfismo de l´ogica abstrata intuicionista ser normal parece ser bastante forte no sentido de n˜ao podermos estabelecer, cf. 4.2.4, a dualidade de entre as categorias Heyt e LI.

  Uma pergunta interessante ´e: Qual ´e a condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para estabelecer tal dualidade? Acreditamos que ´e poss´ıvel estabelecer a dualidade entre Heyt e LI. Discutindo os resultados obtidos na disserta¸c˜ao com o professor Hugo Mariano, o professor deu uma id´eia de definir os morfismos na categoria das l´ogicas abstratas intui- cionistas usando m´etodos da Geometria Alg´ebrica. Usando esta id´eia, vamos introduzir em seguida a seguinte categoria das l´ogicas abstratas intuicionistas. Vejamos que agora temos de fato uma dualidade entre essa categoria e a categoria das ´algebras de Heyting, e portanto tamb´em para a categoria dos espa¸cos de Esakia. Todas as detalhes seguem agora. Defini¸c˜ ao 4.2.5. Definimos a categoria das l´ogicas abstratas intuicionistas LI como sendo a categoria cujos objetos s˜ao l´ogicas abstratas intuicionistas, cf. 4.0.9. Os mor-

  ′

  fismos entre l´ogicas abstratas s˜ao as seguintes aplica¸c˜oes. Sejam L, L l´ogicas abstratas

  ′

  → intuicionistas. Dizemos que h : L → L ´e um morfismo na categoria LI, se h : Expr L Expr ´e uma aplica¸c˜ao satisfazendo

  L

  (i) h ´e uma aplica¸c˜ao l´ogica est´avel, cf. 4.0.11;

  ′ −1 ′ ′

  , (ii) ∀P ∈ P T h ∀P ∈ P T h tal que h (P ) ⊆ P , existe Q ∈ P T h satisfazendo

  L L L ′ ′ −1 ′

  P P ⊆ Q e = h (Q ). Lema 4.2.6. LI forma uma categoria. Demonstra¸c˜ ao: ´ E claro que id forma um morfismo. Vamos mostrar que os morfismos s˜ao

  ′ ′′ ′

  , L ∈ ob(LI) e h : L → L fechados pela opera¸c˜ao de composi¸c˜ao. Para isso, sejam L, L

  ′ ′′ ′′ e g : L → L morfismos. Vejamos que g ◦ h : L → L ´e um morfismo.

  −1 ′ ′ Como h ´e est´avel, temos que h (P ) ∈ P T h , para qualquer P ∈ P T h .

  L L −1 −1 ′′ ′′

  Usando o fato de que g ´e est´avel, temos que h (g (P )) ∈ P T h , para qualquer P ∈ ′′

  L

  P T h .

  L ′′ ′′

  ∈ P T h Vamos mostrar a condi¸c˜ao (ii). Para isso, sejam P L , e P ∈ P T h L tais

  −1 −1 ′′ −1 ′′ ′ ′ ′

  que h (g (P )) ⊆ P . Como g ´e morfismo, g (P ) ∈ P T h , ou seja, existe P ∈ P T h

  L L −1 ′′ ′ ′ ′ ′

  tal que g (P ) = P . Como h ´e morfismo, existe ent˜ao Q ∈ P T h tal que P ⊆ Q e

  L −1 ′ −1 ′′ ′ ′′ ′′

  P = h (Q ). Logo g (P ) ⊆ Q . Usando a propriedade (ii) para g, existe Q ∈ P T h

  L ′′ ′′ ′ −1 ′′

  ⊆ Q tal que P e Q = g (Q ).

  ′′ ′′ −1 ′ −1 −1 ′′

  Consequentemente, temos que P ⊆ Q e P = h (Q ) = h (g (Q )), aca-

  Temos o seguinte

  ′ Lema 4.2.7. Seja h : L → L um morfismo de l´ogicas abstratas segundo a defini¸c˜ao 4.2.5.

  Ent˜ao, h ´e um morfismo de ´algebra de Heyting. Demonstra¸c˜ ao: Como h ´e est´avel, h preserva ∧ e ∨. A mesma prova de 4.2.3 mostra

  ′

  h que para a, b ∈ Expr , h(a → b) ≤ h(a) → (b). Falta a demonstra¸c˜ao de que

  L ′

  h h ⊆ S (a) → (b) ≤ h(a → b), ou seja, S h (a)→ h (b) h (a→b) .

  

′ ′ ′ ′

  Seja P ∈ P T h tal que P 6∈ S h , i.e., h(a → b) 6∈ P . Vejamos que (h(a) → h (b)) 6∈

  L (a→b) ′

  P .

  ′ −1 ′

  Como por hip´otese, h(a → b) 6∈ P , temos que (a → b) 6∈ h (P ). Observe que

  −1 ′

  h (P ) ∈ P T h L . Pela defini¸c˜ao da implica¸c˜ao em l´ogicas abstratas, temos que existe

  −1 ′

  P ∈ P T h tal que h (P ) ⊆ P com a ∈ P e b 6∈ P . Da propriedade (ii) de 4.2.5, temos

  L ′ ′ ′ −1 ′ a existˆencia de Q ∈ P T h com P ⊆ Q e P = h (Q ). L ′ ′ ′ ′

  h Portanto, h(a) ∈ Q e h(b) 6∈ Q , ou seja, (h(a) → (b)) 6∈ P , terminando a demonstra¸c˜ao. Os resultados anteriores, mostram que dado uma l´ogica abstrata intuicionista, temos que (Expr , ≤) ´e uma ´algebra de Heyting, e cada morfismo h de l´ogicas abstratas

  L

  intuicionistas segundo defini¸c˜ao 4.2.5, d´a origem a um morfismo de ´algebras de Heyting h : Expr → Expr .

  L L

  Reciporcamente, seja Ω := (A; ≤) uma ´algebra de Heyting. Com as mesmas id´eias da se¸c˜ao 4.1, introduzimos a seguinte l´ogica abstrata intuicionista: L := (Expr ; T h ,

  C), onde Expr := A, T h := {F | F ´e filtro pr´oprio em A},

  L L L L e C := {∧, ∨, → ⊥, ⊤}.

  A mesma demonstra¸c˜ao de 4.1.6 podemos justificar o seguinte Lema 4.2.8. L ´e de fato uma l´ogica abstrata intuicionista.

  ′

  Lema 4.2.9. Seja h : A → A um morfismo de ´algebras de Heyting. Com a nota¸c˜ao de

  ′ cima, h : L → L ´e um morfismo de l´ogicas abstratas.

  Demonstra¸c˜ ao: ´ E imediato que h ´e uma aplica¸c˜ao est´avel. Falta mostrar a propriedade (ii) da defini¸c˜ao 4.2.5. Para isso, sejam P ∈ P T h L := {P | P ´e filtro primo em A} e

  ′ −1 ′

  P ∈ P T h tais que h (P ) ⊆ P . ´ E preciso exibir um filtro primo Q ∈ P T h tal que

  L L ′ ′ −1 ′

  P ⊆ Q e P = h (Q ). A demonstra¸c˜ao segue de mesmo modo da proposi¸c˜ao 2.2.10 no cap´ıtulo 2.

  Com estes resultados acabamos de estabelecer a dualidade entre a categoria de l´ogicas abstratas intuicionistas, a categoria de ´algebras de Heyting e a categoria de espa¸cos Cap´ıtulo 5 Condi¸c˜ ao de Dom´ınios Fechados

  Neste cap´ıtulo as defini¸c˜oes e id´eias de demonstra¸c˜oes s˜ao de [BB09] e [CZ97].

  5.1 (CDF)

  Neste cap´ıtulo compararemos a condi¸c˜ao de dom´ınios fechados adotada de uma forma diferente com a de Zakharyaschev e comparamo-las. Com isso podendo obter uma aplica¸c˜ao da dualidade de Esakia em f´ormulas canˆonicas.

  Defini¸c˜ ao 5.1.1. Sejam X e Y espa¸cos de Esakia e f : X → Y morfismo parcial de Esakia.

  Seja D uma fam´ılia de anticadeias em Y . N´os dizemos que f satisfaz a condi¸c˜ao de dom´ınios fechados (CDF) para D se x 6∈ dom(f ) implica que minf [↑ x] 6∈ D. Lema 5.1.2. Sejam X e Y espa¸cos de Esakia e f : X → Y um morfismo parcial de Esakia. Para U, V ∈ CpU p(Y ), seja

  D U, V = {anticadeia d em U ∪ V ; d ∩ (U \ V ) 6= ∅ e d ∩ (V \ U ) 6= ∅}. Ent˜ao as seguintes condi¸c˜oes s˜ao equivalentes:

  ∗ ∗ ∗

  (1) f (U ∪ V ) ⊆ f (U ) ∪ f (V ) (2) f satisf az (CDF ) para D U, V

  Demonstra¸c˜ ao:

  (1) ⇒ (2) Seja x 6∈ dom(f ). Se minf [↑ x] ∈ D U, V e sabendo que f [↑ x] ´e fechado upset de

  (U ) ∪ f

  [↑ x] ⊆ V como f [↑ x] =↑ minf [↑ x] ⊆ V , segue que x ∈ f

  ∗

  (V ), logo x ∈ f

  ∗

  (U ) ∪ f

  ∗

  (V ) e portanto f

  ∗

  (U ∪ V ) ⊆ f

  

  ∗ (V ).

  Agora se x 6∈ dom(f ), ent˜ao como satisfaz (CDF ), minf [↑ x] 6∈ D U, V , assim minf [↑ x] ∩ (U ∩ X \ V ) = ∅ ou minf [↑ x] ∩ (V ∩ X \ U ) = ∅.

  Lema 5.1.3. Sejam A, B ´algebras de Heyting, h : A → B um (∧, →)-homomorfismo e

  a, b ∈ A. Ent˜ao h(a ∨ b) = h(a) ∨ h(b) sse h

  

  : B

  ∗

  → A

  ∗

  satisfaz (CDF ) para D S a , S b . Demonstra¸c˜ ao:

  (⇒) Suponha h(a ∨ b) = h(a) ∨ h(b). Para mostrar que h

  ∗

  satisfaz (CDF ) para D

  Suponha que minf [↑ x] ∩ (U ∩ X \ V ) = ∅. Seja y ∈ minf [↑ x], assim y 6∈ U e y 6∈ X \ V , logo y ∈ V . Portanto minf

  ∗ (V ).

  Y , temos, devido a Observa¸c˜ao 3.1.2, que f [↑ x] =↑ minf [↑ x]. Portanto f

  (U ∪ V ) 6⊆ f

  [↑ x] =↑ minf [↑ x] ⊆ U ∪ V por´em f [↑ x] 6⊆ U nem f [↑ x] 6⊆ V , pois minf [↑ x] ∩ U \ V 6= ∅ e minf [↑ x ] ∩ V \ U 6= ∅

  Como f [↑ x] ⊆ U ∪ V , temos que x ∈ X\ ↓ f

  −1

  (Y \ (U ∪ V )) e portanto x ∈ f

  ∗ (U ∪ V ).

  Por outro lado, como f [↑ x] 6⊆ U e f [↑ x] 6⊆ V , assim x 6∈ f

  ∗

  (U ) e x 6∈ f

  ∗ (V ).

  Logo f

  ∗

  

  (U ) ∪ f

  (U ) ∪ f

  ∗ (V ).

  Por contrapositividade temos o desejado. (2) ⇒ (1) Seja x ∈ f

  ∗

  (U ∪ V ). Ent˜ao f [↑ x] ⊆ U ∪ V . Temos dois casos a considerar, se x ∈ dom(f ) e se x 6∈ dom(f ). Caso x ∈ dom(f ), ent˜ao f [↑ x] =↑ f (x). Como f [↑ x] ⊆ U ∪ V, f [↑ x] ⊆ U ou f

  [↑ x] ⊆ V . Segue que x ∈ f

  ∗

  (U ) ou x ∈ f

  ∗

  (V ). Portanto x ∈ f

  ∗

  ∗ ∗ ∗

  ∗ ∗

  h (S a ∪ S b ) = h (S a )

  ∗ ∗ ∨b

  = S h

  (a∨b)

  = S h

  (a)∨h(b)

  ∪ S = S h (a) h (b)

  ∗ ∗

  = h (S a ) ∪ h (S b )

  ∗ ∗

  (⇐) Agora suponha que h : B → A satisfaz (CDF ) para D S ,S , ent˜ao pelo

  ∗ ∗ ∗ a b ∗ ∗ ∗

  lema 5.1.2 temos h (S a ∪ S b ) ⊆ h (S a ) ∪ h (S b ).

  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

  Ora h (S a ∪ S b ) = h (S a ) = S h e o outro lado da desigualdade temos que

  ∗ ∗ ∨b (a∨b) ∗ ∗

  h

  

∗ (S a ) ∪ h ∗ (S b ) = S h . Assim para todo P ∈ S h , temos que P ∈ S h ,

(a)∨h(b) (a∨b) (a)∨h(b)

  logo h(a) ∨ h(b) ∈ P . Dessa forma h (a ∨ b) ≤ h(a) ∨ h(b).

  Pois caso contr´ario, ou seja h(a ∨ b) 6≤ h(a) ∨ h(b), ter´ıamos, devido ao teorema de Stone-Birkhoff, um filtro primo P tal que h(a ∨ b) ∈ P e h(a) ∨ h(b) 6∈ P o que ´e um absurdo.

  Como h ´e um (∧, →)-homomorfismo, temos que h preserva ordem, assim, sabendo que a ≤ a ∨ b e b ≤ a ∨ b, temos h(a) ≤ h(a ∨ b) e h(b) ≤ h(a ∨ b), temos que h(a) ∨ h(b) ≤ h (a ∨ b). Portanto temos h

  (a) ∨ h(b) = h(a ∨ b).

5.2 Compara¸c˜ ao com a abordagem de Zakharyaschev

  Aqui comparamos a condi¸c˜ao de dom´ınio fechado (CDF ) descrito acima com a condi¸c˜ao de dom´ınio fechado de Zakharyaschev (CDF Z).

  Defini¸c˜ ao 5.2.1. Sejam X e Y espa¸cos de Esakia e f : X → Y uma aplica¸c˜ao parcial.

  (1) Chamamos f de subredu¸c˜ao se f satisfaz as condi¸c˜oes (1)(2) e (5) da defini¸c˜ao 3.1.1. (2) Dizemos que f ´e subredu¸c˜ao cofinal se f ´e uma subredu¸c˜ao e x ∈↑ dom(f ) implica x ∈↓ dom(f ).

  Todo morfismo parcial de Esakia ´e claramente uma subredu¸c˜ao, mas a rec´ıproca nem sempre ´e verdadeira, conforme o seguinte exemplo.

  Exemplo 5.2.2. Sejam X = {x , x } e Y = {y} espa¸cos de Esakia e f : X → Y

  1

  2

  morfismo parcial de Esakia conforme a figura f x y

  2 OO

  x

  1 X Y

  Como dom(f ) = {x } e Y = {y}, temos que as condi¸c˜oes (1) e (2) de 3.1.1 s˜ao

  2 satisfeitas. ´ E f´acil ver que a condi¸c˜ao (5) ´e satisfeita. Portanto f ´e uma subredu¸c˜ao.

  6∈ dom(f ), assim f n˜ao satisfaz (3) Por outro lado f [↑ x

  1 ] = {y} =↑ y, por´em x

  1 de 3.1.1.

  Observe que se f : X → Y ´e um morfismo parcial bom de Esakia, ent˜ao f ´e cofinal. De fato, como f ´e morfismo parcial de Esakia, temos que ´e subredu¸c˜ao. Agora seja x ∈↑ dom(f ), como f ´e bom, existe z ∈ dom(f ) tal que x ≤ z. Assim x ∈↓ dom(f ). A reciproca nem sempre ´e verdadeira, como ´e mostrado no seguinte exemplo. Exemplo 5.2.3. Sejam X e Y espa¸cos de Esakia finitos e f : X → Y um morfismo parcial de Esakia conforme a figura. f

  ##

  x x y

  1

  2

  1 X Y

  ´ E f´acil ver que f de fato ´e um morfismo parcial de Esakia. ´

  E claro que f ´e cofinal, pois ↑ dom(f ) = {x } =↓ dom(f ). Agora para x , n˜ao

  1

  1 Lema 5.2.4. Sejam X e Y espa¸cos de Esakia e f : X → Y um morfismo parcial de Esakia. Ent˜ao ↑ dom(f ) ´e um upset fechado de X. Consequentemente ↑ dom(f ) ´e um espa¸co de Esakia.

  Demonstra¸c˜ ao: Pelo lema 3.1.4 dom(f ) ´e fechado. Segue de 2.1.4 que ↑ dom(f ) ´e fechado e do lema 2.2.16 que ↑ dom(f ) ´e um espa¸co de Esakia na topologia e ordem induzida.

  Lema 5.2.5. Sejam X e Y espa¸cos de Esakia e f : X → Y morfismo parcial de Esakia. Ent˜ao f ´e cofinal sse a restri¸c˜ao de f para ↑ dom(f ) ´e um morfismo parcial bom de Esakia.

  Demonstra¸c˜ ao: Para isto, basta verificar ⇒. Pelo lema 5.2.4, ↑ dom(f ) ´e um espa¸co de Esakia. Considere g = f | . Observe que dom(g) = dom(f ), pois dom(f ) ⊆↑ dom(f ).

  ↑dom(f )

  Sendo f um morfismo parcial de Esakia, g tamb´em ´e um morfismo parcial de Esakia. Tome x ∈↑ dom(f ). Como f ´e cofinal, x ∈↓ dom(f ), assim existe z ∈ dom(f ) tal que x ≤ z. Como dom(f ) = dom(g), temos que g ´e bom.

  Observe que se f : X → Y ´e um morfismo parcial forte de Esakia, ent˜ao f ´e denso. De fato, como f ´e morfismo parcial de Esakia, temos que f ´e subredu¸c˜ao. J´a temos que dom(f ) ⊆↑ dom(f )∩ ↓ dom(f ). Vamos mostrar a inclus˜ao contr´aria.

  Tome x ∈↑ dom(f )∩ ↓ dom(f ). Como x ∈↓ dom(f ), existe z ∈ dom(f ) tal que z ∈↑ x. Logo f [↑ x] 6= ∅. Como f ´e forte, x ∈ dom(f ).

  Mais uma vez, nem sempre a rec´ıproca ´e verdadeira. Exemplo 5.2.6. Sejam X e Y espa¸cos de Esakia e f : X → Y morfismo parcial de Esakia conforme a figura. f f

  && &&

  x x y y

  1

  2

  1

  2 aa ==

  x

  3

  ´

  , x Observe de ↑ dom(f )∩ ↓ dom(f ) = {x } = dom(f ), logo f ´e denso. Por´em,

  1

  2

  f , y [↑ x ] = {y } 6= ∅ e x 6∈ dom(f ). Segue que f n˜ao ´e um morfismo parcial forte de

  3

  1

  2

3 Esakia.

  Lema 5.2.7. Sejam X e Y espa¸cos de Esakia e f : X → Y morfismo parcial de Esakia. f ´e denso sse a restri¸c˜ao de f para ↑ dom(f ) ´e um morfismo parcial forte de Esakia.

  Demonstra¸c˜ ao: Basta verificar (⇒), pois j´a temos que morfismo parcial de forte de Esakia implica denso.

  Seja g = f | . ↑ dom(f ) ´e um espa¸co de Esakia, dom(g) = dom(f ) e g ´e

  ↑dom(f ) morfismo parcial de Esakia.

  Suponha f denso. Seja x ∈↑ dom(f ) tal que g[↑ x] 6= ∅, vamos mostrar que x ∈ dom(g). Como x ∈↑ dom(f ), existe z ∈ dom(f ) tal que z ≤ x. Como g[↑ x] 6= ∅, existe y ∈ dom(f ) tal que x ≤ y. Logo z ≤ x ≤ y e z, y ∈ dom(f ) = dom(g). Assim x ∈↑ dom(f )∩ ↓ dom(f ).

  Sabendo que f ´e denso, ↑ dom(f )∩ ↓ dom(f ) = dom(f ) = dom(g). Logo x ∈ dom (g). Portanto g ´e um morfismo parcial forte de Esakia.

  Defini¸c˜ ao 5.2.8. Seja Y espa¸co de Esakia e D um conjunto de anticadeias em Y . Dize- mos que um morfsmo parcial de Esakia f : X → Y satisfaz condi¸c˜ao de dom´ınios fechados de Zakharyaschev (CDF Z) se x ∈↑ dom(f ) e f [↑ x] =↑ d, para algum d ∈ D ⇒ x ∈ dom(f ).

  Podemos reescrever esta defini¸c˜ao como x ∈↑ dom(f ) \ dom(f ) ⇒6 ∃ d ∈ D t.q. f [↑ x] =↑ d.

  Como, devido a 3.2.7, f [↑ x] =↑ min(f [↑ x]) , podemos reescrever como x ∈↑ dom(f ) \ dom(f ) ⇒ min(f [↑ x]) 6∈ D. Observe que (CDF ) ⇒ (CDF Z), devido a esta ´ ultima vers˜ao de (CDF Z). Em geral n˜ao ´e verdade que (CDF Z) ⇒ (CDF ). Por´em temos que (CDF Z) ⇒ (CDF ) quando restrigimos f | .

  ↑dom(f ) Corol´ ario 5.2.9. Sejam X e Y espa¸cos de Esakia, f : X → Y morfismo parcial de Esakia e D um conjunto de anticadeias (possivelmente vazia) em Y . Ent˜ao f satisfaz (CDF Z) para D sse a restri¸c˜ao de f | ↑dom(f ) ´e um morfismo parcial de Esakia satisfazendo (CDF ) para D.

  Demonstra¸c˜ ao: (⇒) J´a sabemos que ↑ dom(f ) ´e um espa¸co de Esakia e que a restri¸c˜ao de f |

  ↑dom(f ) ´e um morfismo parcial de Esakia. Suponha que f satisfaz (CDF Z).

  Dado x ∈↑ dom(f ) \ dom(f ) temos pela (CDF Z) que minf [↑ x] 6∈ D, segue que f | satisfaz (CDF ) para D.

  ↑dom(f ) (⇐) Como (CDF ) ⇒ (CDF Z), temos o desejado. Referˆ encias [AJPT] Alas, O., Junqueira, L., Passos, M., Tomita, A.. Topologia Geral, USP.

  [BB09] Bezhanishvili, G., e Bezhanishvili, N.. An algebraic approach to canonical formu- las: intuitionistic case, The Review of Symbolic Logic, 2(3), 517-549, 2009. [BBGK10] Bezhanishvili, G.; Bezhanishvili, N.; Gabelaia, D. e Kurz, A.. Bitopological duality for distributive lattices and Heyting algebras, Math. Struct. in Comp. Science, v. 20, pp. 359-393, Cambridge University Press, 2010. [BL11] Brunner, A. e Lewitzka, S.. Topological representation of intuitionistic and dis- tributive abstract logics, submetido para publica¸c˜ao nos proceedings do EBL 2011, quais aparecem em Logic Journal of the IGPL. [CZ97] Chargrov, A. e Zakharyaschev, M.. Modal Logic, New York, NY; The Clarendon

  Press Oxford University Press., 1997 [DP92] Davey, B.A. e Priestley, H.P..Introduction to Lattices and Order, Cambridge, 1992.

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  ´Indice Remissivo

  , 53 Heyt

  Fun¸c˜ao aberta, 15 cont´ınua, 14 fechada, 15 preserva ordem, 4

  Fechado, 12 Fecho, 12 Filtro, 6 gerado, 6 maximal, 6 primo, 6

  Fam´ılia p.i.f., 15

  T0, 13 Esakia, 20 Ordenado, 19 Priestley, 19 Stone, 20 T1, Fr´echet, 13 topol´ogico, 11

  Desigualdade distributiva, 5 DPI, 7 Dualidade, 11 Espa¸co

  Clopen, 12 Compacto, 13 Conjunto gerador, 63 ordenado, 3 pr´e-ordenado, 3

  CDF, 76 Zakharyaschev, CDFZ, 81

  , 60 Esa, 21 Heyt, 21

  (∧,→,∨)

  , 58 Heyt

  (∧,→,⊥)

  (∧,→)

  (∧, →)-homomorfismo, 35 (∧, →, ⊥)-homomorfismo, 35 (∧, →, ∨)-homomorfismo, 35

  , 58 Heyt

  W

  , 60 Esa

  S

  , 53 Esa

  P

  LD, 69 Priest, 70 RDist, 70 Esa

  Base, 12 Categoria, 9

  Aberto, 12 Aplica¸c˜ao cofinal, 16 Barreira inferior, 4 superior, 4

  Boole, 8 Heyting, 8

  ´ Algebra

  Funtor contravariante, 11 covariante, 10 Homeomorfismo, 14 Ideal, 6 gerado, 6 maximal, 6 primo, 6

  Infimo, 4 Interior, 12 Isomorfismo natual, 11 L´ogica abstrata, 62 distributiva, 64 intuicionista, 64 limitada, 64 abstrata regular, 62 abstrata singular, 62

  Morfismo ´algebra de Heyting, 8 iso, 10 parcial bom de Esakia, 57 parcial de Esakia, 36 parcial forte de Esakia, 59 reticulados, 6

  • prima, 63 prima, 63 totalmente prima, 63

  Ordem parcial, 3 Ponto aderente, 13 cluster, 16 interior, 12 limite, 16

  Pr´e-ordem, 3 Princ´ıpio de dualidade, 4 Rede, 16 Rela¸c˜ao consequˆencia, 63 Reticulado, 5 completo, 5 distributivo, 5 limitado, 5 modular, 6

  Subbase, 12 Subcategoria, 10 Subconjunto consistente, 62 downset, 4 upset, 4

  Subrede, 16 Subredu¸c˜ao, 78 cofinal, 78 densa, 78

  Supremo, 4 T2, Hausdorff, 13 Teorema

  Alexander, 15 Stone-Birkhoff, 7

  Teoria κ

  Transforma¸c˜ao natural, 11 Universidade Federal da Bahia - UFBA Instituto de Matem´atica / Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica

  Av. Adhemar de Barros, s/n, Campus Universit´ario de Ondina, Salvador - BA CEP: 40170 -110

  < http://www.pgmat.ufba.br>

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