Universidade Federal da Bahia - UFBA Instituto de Matem´ atica - IM

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Full text

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Programa de P´os-Graduac¸˜ao em Matem´atica - PGMAT Dissertac¸˜ao de Mestrado

Dualidade generalizada de Esakia com aplicac

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Darllan Conceic

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ao Pinto

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Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

Orientador: Prof. Dr. Andreas Bernhard Mi-chael Brunner.

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Pinto. – Salvador: UFBA, 2012. 87 f.

Orientador: Prof. Dr. Andreas Bernhard Michael Brunner.

Disserta¸c˜ao (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´atica, Programa de P´os-gradua¸c˜ao em Matem´atica, 2012.

Referˆencias bibliogr´aficas.

1. Reticulados. 2. Teoria das categorias. 3. Topologia. I. Brunner, Andreas Bernhard Michael. II. Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´atica. III. T´ıtulo.

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Darllan Conceic

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ao Pinto

Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica, aprovada em 20 de julho de 2012.

Banca examinadora:

Prof. Dr. Andreas Bernhard Michael Brunner (Orientador) UFBA

Prof. Dr. Samuel Gomes da Silva UFBA

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Inicialmente agrade¸co a Deus por me propiciar paciˆencia, coragem e inteligˆencia em minhas decis˜oes e propostas de trabalho.

Agrade¸co aos meus pais Jos´e Madureira e D´aria por sempre acreditarem e apoi-arem as minhas decis˜oes, al´em de, mesmo longe, me dar aten¸c˜ao e confian¸ca durante todo tempo. Agrade¸co tamb´em a minha av´o J´ulia e meus irm˜aos Andr´e e Leandro pelo apoio dado. A meus tios Francisco e Maria por disponibilizarem sua confort´avel e alegre residˆencia neste per´ıodo.

A minha namorada Fernanda por ter paciˆencia na minha falta de tempo e por me apoiar e ajudar bastante nesta disserta¸c˜ao. Aos pais de Fernanda, Jos´e Fernando e Selma, por apoiarem e ajudarem inclusive nos finais de semana.

Agrade¸co muito aos meus colegas e amigos da universidade, principalmente os da sala 18, pela ajuda, companheirismo e conselhos dados durante este trabalho (aqui n˜ao citei os nomes dos colegas, pois s˜ao v´arios).

Agrade¸co muito aos professores do Instituto de Matem´atica UFBa que contribui-ram de forma direta e indireta na minha forma¸c˜ao acadˆemica, principalmente a Thierry, Samuel e Andreas. Dentre estes agrade¸co muito ao professor Andreas pela orienta¸c˜ao dada n˜ao s´o nesta disserta¸c˜ao como tamb´em durante todo per´ıodo de inicia¸c˜ao cient´ıfica e monografia, sempre com muita paciˆencia e de forma bastante amig´avel. Agrade¸co ao pro-fessor Hugo Mariano por aceitar participar da comiss˜ao julgadora da minha disserta¸c˜ao e por me orientar no meu pr´oximo desafio, o doutorado USP.

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Introdu¸c˜ao 1

1 Teoria de Reticulados, Categorias e Topologia Geral 3

1.1 Conjuntos ordenados . . . 3

1.2 Reticulados . . . 5

1.3 Filtros e Ideais . . . 6

1.4 Algebras de Heyting . . . .´ 8

1.5 Categorias . . . 9

1.6 Topologia Geral . . . 11

2 Dualidade de Esakia 19 2.1 Espa¸cos de Esakia . . . 19

2.2 Dualidade entre categorias Heyt eEsa . . . 21

3 Dualidade Generalizada de Esakia 35 3.1 Morfismo Parcial de Esakia . . . 36

3.2 Morfismo Parcial de Esakia e (∧,→)-homomorfismo . . . 40

3.3 Composi¸c˜ao de Morfismos Parciais de Esakia . . . 49

3.4 Dualidade de Esakia Generalizada . . . 53

3.5 Morfismo Parcial Bom de Esakia . . . 57

3.6 Morfismo Parcial Forte de Esakia . . . 59

4 Dualidade de L´ogicas Abstratas 62 4.1 Dualidade de L´ogicas Abstratas Distributivas . . . 66

4.2 Representa¸c˜ao de L´ogicas Abstratas Intuicionistas . . . 70

5 Condi¸c˜ao de Dom´ınios Fechados 76 5.1 (CDF) . . . 76

5.2 Compara¸c˜ao com a abordagem de Zakharyaschev . . . 78

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A dualidade categorial, i.e., a equivalˆencia contravariante entre categorias, con-siste em representar uma categoria por outra, ou seja, olhar para duas categorias distintas como se elas fossem a mesma. Como pioneiro na teoria da dualidade, Stone em 1936, estabeleceu uma dualidade entre ´algebras Booleanas e espa¸cos compactos Hausdorff zero-dimensionais, chamados espa¸cos de Stone. Em 1937, Stone construiu uma equivalˆencia contravariante entre a categoria dos reticulados distributivos e a categoria dos espa¸cos espectrais, i.e., espa¸cos compactos, T0 e Sober. Em seguida, houveram constru¸c˜oes de

v´arias dualidades entre estruturas alg´ebricas e espa¸cos topol´ogicos, como por exemplo, o teorema da representa¸c˜ao elaborada por Hochster entre a categoria de an´eis comutativos com unidade e a categoria de espa¸cos espectrais.

Em 1972, Priestley mostrou a dualidade de reticulados distributivos atrav´es de espa¸cos ordenados compactos totalmente ordem desconexos, ent˜ao chamados espa¸cos de Priestley. Com a utiliza¸c˜ao do teorema de Stone-Birkhoff, mostra-se que os espa¸cos de Priestley s˜ao Hausdorff, portanto os espa¸cos de Priestley s˜ao espa¸cos de Stone especiais.

Na l´ogica, usamos a ´algebra de Heyting, que ´e um reticulado (distributivo) com implica¸c˜ao satisfazendo lei de adjun¸c˜ao com a conjuga¸c˜ao (∧), para definir uma semˆantica apropriada para a l´ogica intuicionista de Brouwer-Heyting. Para l´ogicas intermedi´arias, ´algebras de Heyting tamb´em fornecem uma semˆantica adequada. Dualizando a ´algebra de Heyting, de uma forma similar `a dualidade de Priestley, podemos construir uma semˆantica para a l´ogica intuicionista atrav´es de espa¸cos topol´ogicos que satisfazem certas condi¸c˜oes, os quais chamamos de espa¸cos de Esakia.

Tendo uma ´algebra de Heyting, constru´ımos um espa¸co topol´ogico, onde os pontos s˜ao os filtros primos desta ´algebra. J´a com um espa¸co de Esakia, constru´ımos um reticulado distributivo, onde os elementos do reticulado s˜ao os clopen upsets, e as opera¸c˜oes s˜ao definidas pela interse¸c˜ao, uni˜ao e implica¸c˜ao. Esta ´ultima definida como

U → V = X\ ↓ (U \V). A categoria de Esakia tem como objetos espa¸cos de Esakia, quais s˜ao um espa¸cos de Priestley satisfazendo mais uma condi¸c˜ao, e como morfismos as fun¸c˜oes cont´ınuas que satisfazem a condi¸c˜ao de p-morfismo. A constru¸c˜ao nos d´a a dualidade de Esakia.

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J´a para l´ogicas intermedi´arias, a ´algebra de Heyting define uma semˆantica quando enfraquecemos os morfismos da categoria das ´algebras de Heyting como (∧,→)-homomorfismo, (∧,→,0)-homomorfismo e (∧,→,∨)-homomorfismo. Usando estes morfismos enfraqueci-dos, podemos estabelecer uma equivalˆencia dual com a categoria de espa¸cos de Esakia, onde os morfismos s˜ao aplica¸c˜oes parciais especiais, chamados de morfismos parciais de Esakia, morfismos parciais bom de Esakia e morfismos parciais forte de Esakia.

Sabendo que as l´ogicas abstratas, introduzidas por D.J. Brown e R. Suszko podem ser consideradas como estruturas de interse¸c˜ao, pretendemos usar t´ecnicas similares com as constru¸c˜oes das dualidades supracitadas, para tentar estabelecer representa¸c˜oes de l´ogicas abstratas em espa¸cos de Priestley e de Esakia.

Utilizando a dualidade generalizada de Esakia, podemos encontrar uma equiva-lencia entre a condi¸c˜ao de dom´ınio fechado (CDF) e a condi¸c˜ao de dom´ınio fechado de Zakharyaschev (CDFZ). Esta equivalˆencia ´e garantida quando restringimos o morfismo parcial de Esakia a ↑dom(f). A (CDF) ´e aplicada no estudo de f´ormulas canˆonicas de l´ogicas intermedi´arias.

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Teoria de Reticulados, Categorias e

Topologia Geral

Neste cap´ıtulo iremos introduzir as ferramentas para o desenvolvimento do nosso trabalho, quais s˜ao, Teoria dos Conjuntos Ordenados, Reticulados, Teoria das Categorias e Topologia. Neste cap´ıtulo as principais referˆencias s˜ao [AJPT], [DP92], [G84], [M06] e [W73].

1.1

Conjuntos ordenados

Defini¸c˜ao 1.1.1. Seja P um conjunto qualquer.

Uma pr´e-ordemem P ´e uma rela¸c˜ao bin´aria≤em P tal que, para todox, y, z ∈

P:

(i) x≤x,

(ii) se x≤y e y≤z ent˜ao x≤z.

Chamamos o conjunto hP,≤i de conjunto pr´e-ordenado.

Defini¸c˜ao 1.1.2. Seja P um conjunto qualquer.

Uma ordem parcial em P ´e uma rela¸c˜ao bin´aria ≤ em P tal que, para todo

x, y, z∈P, hP,≤i ´e conjunto pr´e-ordenado e satisfaz

(iii) se x≤y e y≤x ent˜ao x = y

Neste caso dizemos que hP,≤i ´e um conjunto ordenado.

Exemplo 1.1.3. (a) A divisebilidade, |, em Z* ´e uma pr´e-ordem.

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(b) hN,≤i ´e um conjunto parcialmente ordenado pois ≤ usual satisfaz os axiomas de ordem parcial.

(c) Seja X um espa¸co topol´ogico. hΩ(X),⊆i ´e conjunto parcialmente ordenado

Defini¸c˜ao 1.1.4. Sejam hL,≤i, S um subconjunto de L e a, b∈L

(i) a ´ebarreira superior de S se para todo s ∈S temos s ≤a,

(i’) a ´ebarreira inferior de S se para todo s ∈S temos a ≤s

(ii) a ´e a menor barreira superior ou supremo de S se a for barreira superior de S e para todo b∈L barreira superior de S temos a≤b.

(ii’) a ´e a maior barreira inferior ou infimo de S se a for barreira inferior de S e para todo b ∈ L barreira inferior de S temos b ≤ a. Usaremos W

S e V

S para representar os respectivos supremo e infimo do conjunto S.

Defini¸c˜ao 1.1.5. Seja P e Q conjuntos ordenados. Uma fun¸c˜ao ϕ:P →Q:

(i) preserva ordem (monotˆonico) se x≤y em P ⇒ϕ(x)≤ϕ(y) em Q.

(ii) ´e uma imers˜ao de ordem se x≤y em P ⇔ϕ(x)≤ϕ(y) em Q.

Defini¸c˜ao 1.1.6. Seja hP;≤i conjunto parcialmente ordenado. Dizemos que hP;≤opi ´e

cnjunto parcialmente ordenado de hP;≤i quado x≤op y sse

def y≤x. Observa¸c˜ao 1.1.7. (Princ´ıpio de dualidade)

Se uma afirma¸c˜ao ϕ formulada na linguagem das ordens. A afirma¸c˜ao dual de

ϕ, ϕop ´e dada por ϕ, substituindo por . Seja ϕ uma formula na linguagem das

ordens e v´alida em qualquer conjunto parcialmente ordenado, ent˜ao a afirma¸c˜ao dual,

ϕop, tamb´em ´e v´alida em qualquer conjunto parcialmente ordenado. A sua demonstra¸c˜ao ´e feita aplicando Indu¸c˜ao na Complexidade da F´ormula.

Defini¸c˜ao 1.1.8. Sejam (X;≤) uma poset e E ⊆X um subconjunto de X.

(a) Dizemos que E ´e crescente em X ou upset em X sse para todo y ∈ X tal que existex∈E com x≤y, temos quey∈E, ou seja, ↑E ={y ∈X| ∃x∈E e x ≤y}=E. (b) Dizemos que E ´e decrescente em X ou downset em X sse para todo y ∈ X tal que existe x∈ E tal que y ≤x, temos que y∈E, ou seja, ↓E ={y∈ X | ∃x∈E e y ≤

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Observa¸c˜ao 1.1.9. (a) Denotamos em caso especial de E := {x}, o downset ↓ {x}

simplesmente por ↓x.

(b) N˜ao ´e dif´ıcil de mostrar que sempre ↓↓E =↓E.

(c) Em particular o operador ↓ ´e um operador de fecho satisfazendo os trˆes axiomas de Tarski.

(d) Observa¸c˜oes an´alogas valem para o operador ↑.

1.2

Reticulados

Podemos definir o conceito de reticulados atrav´es de propriedades de ordens par-ciais ou algebricamente, atrav´es de opera¸c˜oes e equa¸c˜oes. Facilmente mostra-se que estas duas defini¸c˜oes s˜ao equivalentes (i.e. obtemos um isomorfismo de categorias), por´em, neste trabalho, ficaremos apenas com a defini¸c˜ao por ordens parciais.

Defini¸c˜ao 1.2.1. Seja P um conjunto ordenado n˜ao-vazio.

(i) Se existe supremo (x∨y) e inf imo (x∧y) de quaisquer x, y ∈ P, ent˜ao P ´e um

reticulado.

(ii) Se W

S e V

S existem para todo S ⊆P, ent˜ao P ´e reticulado completo.

Defini¸c˜ao 1.2.2. Seja hP;≤i um reticulado. Dizemos que ´e limitado se possui maior e menor elemento, isto ´e, possui top (⊤) e bottom (⊥).

Lema 1.2.3. Todo reticulado completo ´e limitado.

Defini¸c˜ao 1.2.4. Seja hA;≤i reticulado. Dizemos que hA;≤i ´e distributivo se para todo

x, y, z∈A

(i) x∧(y∨z) = (x∧y)∨(x∧z) (ii) x∨(y∧z) = (x∨y)∧(x∨z)

Observa¸c˜ao 1.2.5. Na defini¸c˜ao anterior temos que (i)⇔(ii).

Lema 1.2.6. (Desigualdade distributiva)

Seja hA;≤i reticulado. Ent˜ao ∀ x, y, z ∈A

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(ii) x∨(y∧z)≤(x∨y)∧(x∨z) Demonstra¸c˜ao:

Para provar (i), observe quex, y, z ∈A, x∧y≤x e x∧z ≤x, assim x´e barreira superior de (x∧y)e(x∧z). Pela defini¸c˜ao de supremo (x∧y)∨(x∧z)≤x. Por outro lado

x∧y≤y≤y∨z e x∧z ≤y∨z, portanto (x∧y)∨(x∧z)≤y∨z, logo (x∧y)∨(x∧z) ´e barreira inferior dex e y∨z. Pela defini¸c˜ao de infimo temos (x∧y)∨(x∧z)≤x∧(y∨z). Por dualidade prova-se (ii).

Observa¸c˜ao 1.2.7. Um reticulado L ´e dito modular se para todo a, b, c ∈ L, a ≥ c ⇒

a∧(b∨c) = (a∧b)∨c. Existem reticulados n˜ao-distributivos. M5 ´e n˜ao-distributivo e modular e N5´e n˜ao-distributivo e n˜ao-modular.

Defini¸c˜ao 1.2.8. Sejam A, B reticulados e f : A → B fun¸c˜ao. Dizemos que f ´e um morfismo de reticulados sef preserva∧e∨, ou seja, dadosa, b∈A,f(a∧b) = f(a)∧f(b)

e f(a∨b) =f(a)∨f(b).

1.3

Filtros e Ideais

Defini¸c˜ao 1.3.1. Seja Lum reticulado. Um subconjunto n˜ao-vazio J de L´e um filtro se

(i) a, b∈J ⇒a∧b ∈J

(ii) b ∈L, a∈J e a≤b ⇒b∈J.

Dizemos que J ´e pr´oprio se J 6=L. A no¸c˜ao dual de filtro ´e a de ideal.

Defini¸c˜ao 1.3.2. Seja L um reticulado e A ⊆ L. Dizemos que [A] := T

{F| F ⊆

L f iltro e A⊆F} ´efiltro gerado por A em L. Analogamente define-se ideal gerado.

Observa¸c˜ao 1.3.3. E poss´ıvel mostrar que´ [A] ={t ∈L| ∃x1, ..., xn∈A t.q. x1∧...∧xn ≤ t}.

Defini¸c˜ao 1.3.4. Sejam L reticulado e J filtro pr´oprio em L. J ´e dito primo se a, b ∈

L e a∨b ∈J implicar a∈J ou b∈J. O dual de filtro primo ´e ideal primo.

Defini¸c˜ao 1.3.5. Seja L reticulado. Dizemos que um filtro F ⊆L ´efiltro maximal se

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Teorema 1.3.6. (DPI) Sejam L reticulado distributivo e J, G⊆ L ideal e filtro respec-tivamente tal que J∩G=∅, ent˜ao existe ideal primo I com J ⊆I e G∩I =∅.

Demonstra¸c˜ao:

Definimos ε := {K ⊆ L ideal | J ⊆ K e K ∩G = ∅}. Observe que ε 6= ∅, pois

J ∈εVamos mostrar quehε;⊆ipossui elemento maximalI. TomemosC ={Kλ |λ∈Λ} uma cadeia em ε.Definimos

K = [

λ∈Λ

Kλ,

vamos mostrar queK ∈ε.

Tomemosa, b∈K, da´ı existeλ, µ∈Λ tal quea∈Kλ e b∈Kµ. Como ε´e cadeia, assumimos queKλ ⊆Kµ, assima, b∈Kµ que ´e ideal de L, logoa∨b∈Kµ⊆K.

Agora tomemos a ∈ L e b ∈ K tal que a ≤ b. Como b ∈ K temos que b ∈ Kλ para algum λ∈ Λ, sendo Kλ ideal a ∈Kλ ⊆ K. AssimK ´e ideal. Note que K 6=∅, pois J ⊆K e J 6=∅.

Como Kλ ∀ λ ∈ Λ ´e ideal com Kλ∩G =∅ temos que K ∩G =∅. Dessa forma K ∈ε, pelo Lema de Zorn temos que hε;⊆i possui elemento maximal I.

Vamos mostrar que I ´e ideal primo em L. Suponhax, y ∈L com x∧y∈I, x6∈

I e y 6∈ I, da´ı os ideais gerados por I ∪ {x} e I ∪ {y} cont´em I propriamente e possui interse¸c˜ao n˜ao-vazia com Gpois I ´e maximal. Assim existem z, t∈I e u, v ∈Gtais que

u≤(x∨t) e v ≤(y∨z).

ComoG´e filtro temos que u∧v ∈G. Usando a distributividade do reticulado temos que

u∧v ≤(x∨t)∧(y∨z)≤(x∧y)∨(z∨t),

Comot∨z ∈I ex∧y∈I, segue-se que (x∧y)∨(z∨t)∈I∩G, absurdo poisI∩G=∅.

Corol´ario 1.3.7. Sejam L reticulado distributivo e a, b ∈ L com a 6≤ b. Ent˜ao existe ideal primo I tal que a6∈I e b∈I.

Com argumento dual ao acima prova-se:

Teorema 1.3.8. (Stone-Birkhoff) Sejam L reticulado distributivo e J, G ⊆ L ideal e filtro respectivamente tal queJ∩G=∅, ent˜ao existe filtro primoF comG⊆F e F∩J =∅.

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1.4

Algebras de Heyting

´

Nesta se¸c˜ao daremos a defini¸c˜ao de ´Algebra de Heyting, que por sua vez, ´e um dos conceitos mais importante deste trabalho. Com uma ´algebra de Heyting podemos estabelecer uma semˆantica para a l´ogica intuicionista.

Defini¸c˜ao 1.4.1. Uma ´Algebra de Heyting (Ha) H ´e um reticulado distributivo limitado que satisfaz a lei de adjun¸c˜ao para ∧, ou seja, para todo x, y, z∈H temos

x∧z ≤y sse z≤(x→y).

Observa¸c˜ao 1.4.2. A lei de adjun¸c˜ao para ∧determina um ´unico elementox→y, assim obtem-se nossa opera¸c˜ao bin´aria →:H×H →H.

Defini¸c˜ao 1.4.3. Sejam H e L ´algebras de Heyting, uma fun¸c˜ao f : H → L ´e um morfismo de ´algebra de Heyting sse f ´e um morfismo de reticulados tal que

∀ x, y ∈H, f(x→y) =f(x)→f(y).

Exemplo 1.4.4. (1) A ´algebra de abertos de um espa¸co topol´ogico T, ou seja, con-siderando (Ω(T),∩,∪) o reticulado distributivo, onde Ω(T) s˜ao os abertos de T. Definimos em Ω(T) a seguinte implica¸c˜ao

U →V =int((T \U)∪V).

(2) Toda ´algebra de Boole B ´e uma ´algebra de Heyting. Pois para todo x, y ∈ B, definimos x→y = (¬x∨y). A nossa defini¸c˜ao de implica¸c˜ao satisfaz a propriedade de adjun¸c˜ao, pois z ≤x→y⇔z ≤(¬x∨y), da´ı

z∧x ≤ (¬x∨y)∧x

≤ (¬x∧x)∨(y∧x)

≤ ⊥ ∨(y∧x)

≤ y∧x

≤ y.

Dessa forma temos que z ≤x→y⇒z∧x≤y. Agora considere z∧x≤y, assim

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Segue que

z≤z∨ ¬x≤ ¬x∨y=x→y.

Provando que toda ´algebra de Boole ´e uma ´algebra de Heyting.

Observe que todo morfismo de ´algebra de Boole ´e um morfismo de ´algebra de Heyting. Se f :B →B′ ´e um morfismo de ´algebra de Boole, temos que dados a, bA

f(a →b) =f(¬a∨b) = ¬f(a)∨f(b) =f(a)→f(b).

Lema 1.4.5. Para x, y, z em uma ´algebra de Heyting H,

a) x≤y sse x →y=⊤.

b) (Modus Ponens) x∧(x→y)≤y.

c) x≤(x→y)→y e x∧(x→y) =x∧y.

d) y ≤z implica

      

(x→y) ≤ (x→z)

e

(z →x) ≤ (y→x).

e) (y∨z)→x= (y→x)∧(z →x).

f ) x→(y∧z) = (x→y)∧(x→z).

g) (x→t)∨(y→z)≤(x∧y)→(t∨z).

h) x→(y→z) = (x∧y)→z.

i) x∧(y→z) = x∧((x∧y)→(x∧z)).

1.5

Categorias

Nesta se¸c˜ao daremos a defini¸c˜ao de categoria e conceitos ligados a mesma. Defi-niremos tamb´em funtores e outras no¸c˜oes importantes na teoria da dualidade.

Defini¸c˜ao 1.5.1. Dizemos que C ´e uma categoria se possui: 1) Uma cole¸c˜ao de objetos chamado C-objetos

2) Uma cole¸c˜ao de morfismos chamadoC-morfismos

3) Opera¸c˜oes que para cada C-morfismo f associam um C-objeto dom(f) (dom´ınio de

f) e um C-objetocod(f)(contradom´ınio de f), tais que sea=dom(f) eb =cod(f)

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4) Uma opera¸c˜ao que para cada parhg, fideC-morfismo comdom(g) =cod(f), associa um C-morf ismo g ◦f, a composi¸c˜ao de f e g, possui dom(g ◦ f) = dom(f) e

cod(g ◦f) = cod(g), i.e., g ◦ f : dom(f) −→ cod(g) e a lei de associatividade:

h◦(g◦f) = (h◦g)◦f.

5) Uma opera¸c˜ao que para cada C-objeto b assicia um C-morf ismo 1b : b −→ b,

cha-mado morfismo identidade em b, tal que satisfaz a lei identidade: Para quaisquer

f :a−→b e g :b−→c temos 1b◦f =f e g◦1b =g.

Exemplo 1.5.2. 1) Pr´e-ordem: Cada conjunto pr´e-ordenado (P,≤) determina uma categoria, a cole¸c˜ao de objetos s˜ao os elementos do conjunto P e a cole¸c˜ao de mor-fismos ´e a rela¸c˜ao bin´aria ≤. Devido a reflexividade e associatividade da ordem temos as leis de identidade e as leis de associatividade da categoria.

2) P oset: ´e a categoria formada pelos conjuntos (P,≤) parcialmente ordendo e pelas fun¸c˜oes crescentes.

3) Temos categoria dos M onoides, Grupos, Aneis.

4) Categoria morf ismo, Categoria comma, Set

Defini¸c˜ao 1.5.3. C ´e dito uma subcategoria da categoria D, denotado C ⊆ D, se: (i) Todo C-objeto ´e umD-objeto

(ii) Se a e b s˜ao dois C-objetos, ent˜ao C(a, b) ⊆ D(a, b) onde C(a, b)={f : f ´e C

-morf ismo de a para b}.

C ´e uma subcategoria plena de D se C ⊆ D e:

(iii) Para quaisquer C-objetos a e b, C(a, b) =D(a, b).

Defini¸c˜ao 1.5.4. (Dualidade e categoria oposta) Se P

´e uma declara¸c˜ao na liguagem de categorias, o dual de P

, Pop

, ´e a de-clara¸c˜ao obtida trocando ”dom” por ”cod”, ”cod” por ”dom” e ”g ◦f” por ”f ◦g”, ou seja, ”invertendo morfismos”.

Defini¸c˜ao 1.5.5. Um C-morf ismo f : a −→ b ´e iso em C se existe um morfismo g :

b−→a tal que g◦f = 1a e f◦g = 1b. Usamos a nota¸c˜ao f :a∼=b.

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(i) C −objeto∋a7−→Fa ∈ D −objeto

(ii) morfC(a, b)∋f 7−→Ff ∈morfD(Fa, Fb)

Satisfazendo

F1a = 1Fa e F(g◦f) = Fg◦Ff.

Dizemos que F ´e funtor contravariante se e somente se F :Cop−→ D ´e funtor, onde Cop

´e a categoria opsta de C.

Defini¸c˜ao 1.5.7. Sejam F, G : C −→ D dois funtores. Dizemos que η : F −→ G ´e transforma¸c˜ao natural se η={ηa:Fa −→Ga| a∈Ob(C)} fazendo

Fa

Ff

ηa

//Ga

Gf

Fb ηb //Gb

comutar, isto ´e, ηb ◦Ff = Gf ◦ηa. Quando ηa ´e iso, para cada a ∈ Ob(C), η ´e dito um

isomorfismo natural.

Defini¸c˜ao 1.5.8. Duas categorias C e D, s˜ao equivalentes se existem funtores, F :C −→ D e G:D −→ C, junto com os isomorfismos naturais

η : (G◦F)−→IdC e µ: (F ◦G)−→IdD.

O par (F,G) ´e chamado equivalˆencia entre C e D (nota¸c˜ao C ≃ D). Uma equivalˆencia contravariante (Cop ≃ D) ´e chamada Dualidade.

1.6

Topologia Geral

Nesta se¸c˜ao veremos os resultados da topologia geral que usaremos no decorrer do trabalho.

Defini¸c˜ao 1.6.1. Uma topologia sobre um conjunto X ´e uma cole¸c˜ao τ de subconjuntos de X tendo as seguintes propriedades:

1) ∅ e X est˜ao em τ.

2) a uni˜ao de elementos de qualquer subcole¸c˜ao de τ est´a em τ.

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O par (X, τ) ´e chamado de espa¸co topol´ogico. Dizemos que os elementos de X

s˜ao os pontos do nosso espa¸co e os elementos deτ s˜ao os abertos do nosso espa¸co.

Defini¸c˜ao 1.6.2. Seja (X, τ) um espa¸co topol´ogico. Dizemos que um subconjunto F de

X ´e um fechado se X\F ´e um aberto do espa¸co, ou seja, X\F ∈τ.

Um subconjunto C de X ´e aberto fechado (clopen) se C ∈ τ e X \C ∈ τ, ou seja, tanto C como o seu complementar s˜ao abertos do espa¸co.

Utilizando as leis De Morgan podemos mostrar que o espa¸co todo e o conjunto vazio s˜ao fechados, a uni˜ao finita de fechados ´e um conjunto fechado, bem como a inter-sec¸c˜ao qualquer de fechados. Portanto o espa¸co todo e o conjunto vazio s˜ao clopens no espa¸co topol´ogico.

Defini¸c˜ao 1.6.3. Seja hX;τi espa¸co topol´ogico. Uma cole¸c˜ao B τ ´e uma base dessa

topologia se para todo A∈τ, existe B′ B tal que:

A= [

B∈B′

B.

Defini¸c˜ao 1.6.4. SejamhX;τiespa¸co topol´ogico e S uma fam´ılia de subconjuntos de X

tal que S τ. S ´e subbase de τ se a interse¸c˜ao finita de elementos de S ´e uma base

de τ.

Teorema 1.6.5. A topologia gerada pela subbase S, ´e a menor topologia hX;τi tal que

Sτ.

Defini¸c˜ao 1.6.6. Sejam (X, τ) espa¸co topol´ogico e A ⊆ X. Um ponto x∈ A ´e dito um ponto interior de A se existe V ∈τ tal que x∈V ⊆A. O conjunto dos pontos interiores chama-se interior de A e denota-se por Int(A).

´

E f´acil ver que A∈τ se, e somente se, A=int(A).

(24)

Tamb´em ´e f´acil ver que F ⊆X ´e fechado se, e somente se, F =F.

Proposi¸c˜ao 1.6.8. Sejam X um espa¸co topol´ogico e A⊆X. Ent˜ao: i) A ´e um conjunto fechado.

ii) A ⊆A.

iii) A ´e o menor fechado contendo A.

Defini¸c˜ao 1.6.9. Sejam (X, τ) espa¸co topol´ogico e A ⊆ X. x ∈ X ´e ponto aderente

de A se toda vizinhan¸ca aberta V de x intersecta A.

Defini¸c˜ao 1.6.10. Seja hX;τi espa¸co topol´ogico. Um subconjunto A⊆X ´e compacto se toda cobertura aberta de A possui subcobertura finita.

Defini¸c˜ao 1.6.11. Um espa¸co topol´ogico hX;τi ´e:

(i) T0 se, dado dois pontos x, y ∈X distintos, existe um aberto que cont´em apenas um

desses pontos.

(ii) T1, ou Fr´echet, se dados x, y ∈X com x=6 y, existem A, B ∈τ tais que x∈A, y 6∈

A e y ∈B, x 6∈B.

(iii) T2, ou Hausdorff, se para cada dois pontosx, y ∈X distintos, existemA, B ∈τ tais

que x∈A, y ∈B e A∩B =∅.

Teorema 1.6.12. Seja X espa¸co topol´ogico. Se X ´eT2, ent˜ao todo subespa¸co compacto ´e

fechado.

Demonstra¸c˜ao.

Seja A⊆X compacto. Vamos mostrar queX\A ´e aberto.

Seja x 6∈ A. Como X ´e T2, existem, para todo a ∈ A, abertos Ua, Va tais que a ∈ Ua, x ∈ Va e Ua∩Va = ∅. Claramente A ⊆

S

a∈AUa e sendo A compacto, existe subconjunto finito A′ ⊆A tal que A⊆S

a∈A′Ua, logo T

a∈A′Va ´e vizinhan¸ca aberta de x em X\A. (pois: Ua∩Va=∅ ∀a ∈A′, logo

[ a∈A′

Ua∩ \ a∈A′

Va =∅

e assimT

(25)

Teorema 1.6.13. Todo subespa¸co fechado de um espa¸co compacto ´e compacto.

Demonstra¸c˜ao.

Sejam X compacto e F ⊆ X fechado. Seja U uma cobertura aberta de F, i.e.,

F ⊆S

U.

Como F ´e fechado, X\F ´e aberto e portanto U ∪ {X\F}´e cobertura aberta de

X. SendoX compacto, existe subfam´ılia finitaU′ ⊆ U tal queU∪{X\F}´e subcobertura

finita paraX. Logo, F ⊆ ∪U′ e portanto F ´e compacto.

Defini¸c˜ao 1.6.14. Sejam X, Y espa¸cos topol´ogicos , f :X −→ Y fun¸c˜ao e xo ∈X. f ´e cont´ınua em xo se dada uma vizinhan¸ca qualquer V de f(xo), existe alguma vizinhan¸ca U de xo tal que f(U)⊆V. Dizemos que f ´e cont´ınua se f ´e cont´ınua em todos os pontos

de X.

Defini¸c˜ao 1.6.15. Sejam X, Y espa¸cos topol´ogicos e f :X →Y fun¸c˜ao. Dizemos que f

´e um homeomorfismo se ´e bije¸c˜ao cont´ınua com inversa cont´ınua.

Teorema 1.6.16. Sejam X, Y espa¸cos topol´ogicos e f : X −→ Y fun¸c˜ao. f ´e cont´ınua se, e somente se, imagem inversa de cada aberto ´e aberto, iste ´e, se V ´e aberto de Y, ent˜ao f−1(V) ´e aberto deX.

Demonstra¸c˜ao.

⇐: Seja xo ∈X. Vamos mostrar que f ´e cont´ınua emxo.

Seja V vizinhan¸ca aberta de f(xo), ent˜ao xo ∈ f−1(V), por hip´otese f−1(V) ´e aberto, assim f(f−1(V)) ⊆ V, dessa forma, basta tomarmos U = f−1(V) que satisfaz a defini¸c˜ao de continuidade.

⇒: Seja V um aberto de Y. Queremos mostrar que f−1(V) ´e aberto em X.

Se f−1(V) = ∅ acabou. Seja x ∈ f−1(V), ent˜ao f(x) ∈ V, sendo assim, V ´e uma vizinhan¸ca aberta def(x). Comof ´e cont´ınua em x, existeUx aberto tal quef(Ux)⊆V, implicando Ux ⊆ f−1(V). Logo, para cada x ∈ f−1(V), ´e poss´ıvel obter Ux aberto com x∈Ux ⊆f−1(V), assim

f−1(V)⊆ [

x∈f−1(V)

Ux ⊆f−1(V). Portantof−1(V) ´e aberto, pois ´e uni˜ao de abertos.

(26)

(a) f ´e cont´ınua se, e somente se, para todo B aberto b´asico de y, f−1(B) ´e aberto de

X.

(b) f ´e cont´ınua se, e somente se, imagem inversa de aberto subbasico de Y ´e aberto de

X.

Observa¸c˜ao 1.6.18. Sejam hX;τ1i e hY;τ2i espa¸cos topol´ogicos com X compacto. f :

X −→Y ´e cont´ınua, ent˜ao f(X) ´e compacto. Ou seja, imagem cont´ınua de compacto ´e compacto.

Defini¸c˜ao 1.6.19. Sejam hX;τ1i e hY;τ2i espa¸cos topol´ogicos. A fun¸c˜ao

f :X −→Y,

´e aberta (fechada) se para todo U aberto (fechado) em X, temos que f(U) ´e aberto (fechado) em Y.

Teorema 1.6.20. Sejam f :X −→Y aplica¸c˜ao cont´ınua, hX;τ1i compacto e hY;τ2i T2.

Ent˜aof ´e fechada.

Demonstra¸c˜ao.

Seja F subconjunto fechado de X. Por 1.6.13 temos que F ´e compacto. Como imagem cont´ınua de compacto ´e compacto, ent˜ao f(F) ´e compacto, por 1.6.12 f(F) ´e fechado, portantof ´e fechada.

Teorema 1.6.21. (Alexander)

Seja X um espa¸co topol´ogico com uma subbase S. Se qualquer cobertura por

subb´asicos de S possui subcobertura finita, ent˜ao X ´e compacto.

Defini¸c˜ao 1.6.22. Dizemos que uma fam´ılia de subconjuntosF satisfaz a propriedade da intersec¸c˜ao finita (p.i.f.) se, para tado F ⊆ F finito, temos que T

F 6=∅.

Proposi¸c˜ao 1.6.23. Seja (X, τ)um espa¸co topol´ogico. (X, τ)´e compacto sse toda fam´ılia

C de subconjuntos fechados de X com a p.i.f. possui intersec¸c˜ao n˜ao vazia, ou seja,

T

(27)

Defini¸c˜ao 1.6.24. Um conjunto parcialmente ordenado (poset) (I,≤) ´e direcionado se for n˜ao vazio e para todo α, β ∈ I, existe σ ∈ I tal que α, β ≤ σ. Dado dois conjuntos parcialmente ordenados (I,≤) e (J ≤), a aplica¸c˜ao f : I −→ J ´e cofinal se para λ ∈ J, existeσ ∈I tal que λ≤f(σ).

Defini¸c˜ao 1.6.25. Seja X um espa¸co topol´ogico. Uma rede (net) ´e uma aplica¸c˜ao N :

I −→ X onde I ´e um poset direcionado. Denotamos N = {xσ; σ ∈I} onde xσ = N(σ)

e I o poset direcionado associado a rede N.

Uma rede M = {yλ; λ ∈ J} ´e uma subrede de uma rede N = {xσ; σ ∈ I} se

existe uma aplica¸c˜ao cofinal preservando ordem f : J −→ I tal que yλ =xf(λ), ∀ λ ∈J.

Ou seja, o diagrama comuta, ou seja, N ◦f =M.

I N // X

J f

OO

M

??

Defini¸c˜ao 1.6.26. Seja N = {xσ; σ ∈ I} uma rede e A ⊆ X. Ent˜ao N est´a em A se xσ ∈A para todo σ ∈I.

N est´a eventualmente em A ou N est´a frequentemente em A se existe σo ∈ I tal

quexσ ∈A para todo σ ≥σo, e N ´e cofinal em A se para qualquer σ∈I existe λ≥σ tal

quexλ ∈A.

Um conjunto da forma {xσ ∈N; σ≥σo ∈I} ´e chamado a cauda de N.

Dizemos que N converge para x∈ X, ou x ´e ponto limite de N, se N est´a even-tualmente em U para toda vizinhan¸ca aberta U de x. Um ponto x ∈ X ´e um ponto de aglomera¸c˜ao (cluster) de N se N ´e cofinal emU para qualquer vizinhan¸ca U de x.

Lema 1.6.27. Sejam X espa¸co topol´ogico, x∈X e A⊆X

(1) x∈A sse existe uma rede N em A convergindo para x.

(2) Uma rede N converge para x sse qualquer subrede de N converge para x.

(3) x ´e cluster de uma rede N sse existe uma subrede de N convergindo para x.

(4) O conjunto de todos os pontos cluster de uma rede ´e fechado.

(28)

Demonstra¸c˜ao:

(1) Se x∈A, assim dado U vizinhan¸ca aberta de x, temos que U ∩A 6=∅, tome

xU ∈U∩A. Defina I = (Op(A),⊇), ondeOp(A) ´e o conjunto das vizinhan¸cas abertas de x. Dados U, V ∈Op(A), temos queU ⊇U ∩V e V ⊇ U∩V, portanto I ´e um conjunto parcialmente ordenado cujaordem ´e a ordem opsta.

Defina a seguinte rede

φ: I −→ A

U 7−→ xU

Portanto {xU} converge para x.

Seja uma rede N em A convergindo para x, tome U aberto de X tal que x∈U. Como N est´a eventualmente em U, temos que existe σo ∈ I tal que xσ ∈ U para todo σ≥σo, portanto U ∩A=6 ∅. Como U foi tomado arbitrariamente, temos que x∈A.

(2)

(⇒) Seja N uma rede convergindo para x. Seja M Subrede deN, ou seja, existe

φ:J −→I cofinal, preservando ordem.

Seja U aberto contendo x. Como N converge para x, temos que existe σ∈I tal que para todoσ′ σ, x

σ ∈U. Sendoφ cofinal, temosλo ∈J tal queφ(λo)≥σ, portanto yλo =xφ(λo) ∈U. Tomando λ≥λo, temos que φ(λ)≥φ(λo) e portantoyλ =xφ(λ)∈U.

(⇐) Seja N uma rede. Tomando Id: I −→ I, temos que Id preserva ordem e ´e cofinal, logoN =N ◦Id, assim N ´e Subrede de N convergindo para x.

(3)

(⇒) Sejaxum ponto cluster deN. DefinaM ={(λ, U); λ∈I, U viz. de x t.q. xλ ∈ U}. Agora definimos a seguinte ordem, (λ1, U1)≤(λ2, U2) se λ1 ≤λ2 eU1 ⊇U2. Vamos

mostrar que esta ordem ´e direcionado emM.

Sejam (λ, U),(σ, V) ∈ M, como I ´e direcionado, temos que existe α ≥ λ, σ. TomeW =U∩V, comox´e cluster emN, N ´e cofinal em W, temos que existeσ′ tal que

xσ′ ∈W.

Definimos

ϕ: M −→I

(λ, U)7−→λ

´

E f´acil ver que ϕ preserva ordem. Vamos provar a cofinalidade.

Como N ´e rede cofinal a todo U ∋x, temos que dadoλ ∈I existeσ ≥λ, tal que

xσ ∈U. λ ≤ϕ(σ, U). Assim ϕ define uma subrede de {xλ}.

(29)

eventualmente emUo. ComoUo foi tomado arbitrariamente, temos que a subrede definida porϕ converge parax.

(⇐) Suponha que ϕ : M −→ I defina um subrede de {xλ} que converge para x. Ent˜ao para qualquer vizinhan¸ca U de x, existe uU ∈ M t.q. u ≥ uU, implica que xϕ(u) ∈U.

Sejam U viz. de x e λo ∈ I. Como ϕ ´e cofinal, temos que existe uo ∈ M tal que ϕ(uo) ≥ λo. Como ϕ define uma subrede convergindo para x, existe um uU ∈ M tal que u ≥ uU implica que xϕ(u) ∈ U. Como M ´e direcionado, tome u∗ ∈ M tal que

u∗ ≥ uo e u∗ ≥ uU. Ent˜ao ϕ(u∗) = λ∗ ≥ λo e xλ∗ = xϕ(u) ∈ U. Como λo foi tomado arbitrariamente, temos que N ´e cofinal em U. Como U tamb´em foi tomado arbitr´ario, temos quex´e um ponto cluster.

(4) SejamF o conjunto de todos os pontos cluster deN ={xσ; σ∈J} ex∈F. Assim, pelo item (1), existe uma rede M ={xλ; λ ∈I}de pontos deF convergindo para x. Dadoλo ∈I, temos xλo ∈F e portanto, existe No subrede de N convergindo paraxλ0. Seja U aberto de X contendo x. Como M converge para x, existe λo ∈ I tal que xλ ∈ U para todo λ ≥ λo. Fixe λU ≥ λo, como xλU ∈ F, temos N

U subrede de N convergindo para xλU. Assim existeσo ∈J tal que σU ≥σo implica que xσU ∈U.

Para cada U aberto de X contendo x, temos xσU ∈ U na rede N. Defina J

=

{(σU, U) com σU ∈ J}. J′ ´e um conjunto parcialmente ordenado direcionado, com a seguinte ordem, (σU, U)≤(σU′, U′)⇔σU ≤σU′ e U ⊇U′. Definimos a aplica¸c˜ao

ϕ: J′ −→J

(σU, U)7−→σU .

Assim N′ =N ◦ϕ ´e uma subrede de N convergindo para x.

(5) Suponha queX compacto e queN n˜ao tenha ponto cluster. Assim para todo

x ∈ X, temos Ux ∋ x tal que existe σx ∈ J e todo σ ≥ σx vale xσ 6∈ Ux. Como X ´e compacto, temos quex1, ..., xn tal que

X ⊆

n [ i=1

Uxi.

(30)

Dualidade de Esakia

Neste cap´ıtulo introduzimos a no¸c˜ao de Espa¸co de Esakia e estabelecemos uma dualidade entre as categorias Heyt e Esa. Algumas demonstra¸c˜oes deste cap´ıtulo s˜ao originais.

Usaremos a nota¸c˜ao A⊆f B para A subconjunto finito de B.

Aqui denotaremos por CpU p(X) o conjunto de todos os subconjuntos clopen upset de X.

2.1

Espa¸cos de Esakia

A maioria das defini¸c˜oes deste cap´ıtulo foram encontradas em [BB09].

Defini¸c˜ao 2.1.1. a) Um espa¸co ordenado ´e um conjunto X com uma topologia τ e uma ordem parcial ≤, denotamos por (X,≤, τ).

b) Denotamos porU a fam´ılia dos subconjuntos deX upset. A fam´ılia dos subconjuntos downset de X chamamos de L.

Defini¸c˜ao 2.1.2. Dizemos que (X;≤;τ) ´e espa¸co de Priestley se e somente se:

(a) (X;≤) ´e ordem parcial

(b) (X;τ)´e espa¸co compacto e

(c) Vale o axioma da separa¸c˜ao de Priestley (ASP):

∀ x, y ∈X, xy, implica ∃ U =↑ U clopen tal que x∈ U e y6∈ U.

(31)

Defini¸c˜ao 2.1.3. (Espa¸co de Esakia)

Dizemos que (X;≤;τ) ´e espa¸co de Esakia se:

(a) (X;≤;τ)´e espa¸co de Priestley

(b) ∀A ∈ clopen(X) ↓A∈ clopen(X)

Uma prova deste proximo lema pode ser encontrado em [S12].

Lema 2.1.4. seja (X;τ;≤) um espa¸co topol´ogico ordendo.

(1) Se (X;τ;≤)´e um espa¸co de Prisetley, ent˜ao (X;τ) ´e um espa¸co de Stone

(2) se (X;τ;≤) Priestley, ent˜ao ↑F e ↓F s˜ao fechados para qualquer fechado F ⊆X

(3) Em um espa¸co Priestley, qualquer aberto upset (downset) ´e uni˜ao de clopens upset (downset), qualquer fechado upset (downset) ´e interse¸c˜ao de clopens upset (down-set).

(4) Num espa¸co Priestley, clopens upsets e clopens downsets formam uma subbase para a topologia.

(5) (X;τ;≤)´e um espa¸co Priestley sse (X;τ)´e compacto e para subconjuntos fechados

F e G de X, sempre que ↑ F∩ ↓ G = ∅, existe um clopen upset A de X t.q. F ⊆

A e G⊆AC.

Observa¸c˜ao 2.1.5. (X;≤;τ) ´e espa¸co de Esakia se e somente se:

(a) (X;τ)´e espa¸co de Stone, i.e., T2, compacto e zero-dimensional.

(b) (X;≤) ´e ordem parcial

(c) ∀x∈X, ↑x ´e fechado.

(d) A clopen em X, implica ↓A clopen em X.

Demonstra¸c˜ao:

”⇐”: basta verificar (ASP). Sejam x, y ∈X tal que x 6≤y, temos que y6∈↑x. ComoX ´e compacto T2, portanto normal, temos que{y} e ↑x s˜ao fechados e existem U

(32)

Como X ´e zero-dimensional, existe A clopen de X tal que y ∈ A ⊆ U. Pelo mesmo motivo, temos que para todo z ∈↑x, existe Az clopen de X tal que z ∈Az ⊆V. Sabe-se que↑x ´e fechado emX, portanto compacto. Logo existem z1, ..., zn tais que

↑x⊆

n [ i=1

Azi ⊆V

y ∈ A ⊆↓ A clopen de X. Observe que x 6∈↓ A. Pois se x ∈↓ A, existe z ∈ A

tal que x ≤z e portanto z ∈↑x. Segue que ↑x∩A6=∅, que ´e uma contradi¸c˜ao. Assim

x∈X\ ↓A.

Como ↓A´e clopen, temos X\ ↓Aclopen. Agora sejam a∈X\ ↓Ae b∈X tais que a ≤ b. Vamos mostrar que b ∈ X\ ↓ A. Se b 6∈ X\ ↓ A, temos que b ∈↓ A, assim existec∈ A tal que b ≤c, logo a ≤ b ≤c, assim a ∈daA, contradi¸c˜ao. Temos portanto queX\ ↓A ´e upset e portanto vale (ASP).

” ⇒ ”: Sendo o espa¸co de Esakia um espa¸co Priestley, temos que j´a ´e Stone e (X;≤) ´e ordem parcial. Como estamos em um espa¸co Hausdorff, temos que{x}´e fechado, pelo lema 2.1.4, ↑x´e fechado.

O item (d) segue da defini¸c˜ao de espa¸co de Esakia.

2.2

Dualidade entre categorias Heyt e Esa

A dualidade de Esakia n˜ao foi demonstrada em [BB09], por´em algumas ideias da demonstra¸c˜ao de alguns resultados, como 2.2.6, 2.2.10 e 2.2.11, foram encontradas em [M05]. Algumas demonstra¸c˜oes desta se¸c˜ao s˜ao originais, como por exemplo 2.2.4 e parte de 2.2.8.

Denotamos a categoria das ´algebras de Heyting como Heyt onde os morfismos em Heyt s˜ao morfismos de reticulados preservando →.

Antes de definirmos a categoria dos espa¸cos de Esakia temos a seguinte defini¸c˜ao.

Defini¸c˜ao 2.2.1. Sejam (X,≤), (Y,≤′) conjuntos ordenados e f : X Y fun¸c˜ao.

Dizemos que f satsfaz a condi¸c˜ao de p-morfismo se ∀x ∈ X, y ∈ Y tal que f(x) ≤

y, implica ∃z ∈X; x≤z e f(z) =y

Na categoria Esa, os objetos s˜ao espa¸cos de Esakia e os morfismos s˜ao morfismos de Esakia, i.e., f ´e um morfismo de Esakia entre os espa¸cos (X;τ;≤),(Y;τ′;≤′) se f

preserma ordem, satisfaz a condi¸c˜ao de p-morfismo e cont´ınua. ´

(33)

a continuidade e a monotonicidade (preserva ordem) s˜ao preservados por composi¸c˜ao. Falta verificar que a composi¸c˜ao satisfaz a condi¸c˜ao de p-morfismo.

Lema 2.2.2. Sejam X, Y, Z espa¸cos de Esakia, f : X → Y e g : Y → Z morfismo de Esakia. g◦f satifaz a condi¸c˜ao de p-morfismo.

Demonstra¸c˜ao:

Sejam x∈X e z ∈Z tal que g◦f(x)≤z. Assim, com g ´e morfismo de Esakia, temos que existe y ∈ Y tal que f(x) ≤ y e g(y) = z. Como f tamb´em ´e morfismo de Esakia, existex′ X com xxe f(x) = y. Portanto g(f(x)) =g(y) =z.

Fato 2.2.3. Sejam (X;τ;≤), (Y;τ′;≤′) espa¸cos de Esakia e f : X Y morfismo de

Esakia. f ´e isomorfismo se, e somente se:

(i) f ´e sobrejetora

(ii) x1 ≤x2 ∈X ⇔f(x1)≤′ f(x2)∈Y

Demonstra¸c˜ao:

(⇒) Sabendo que f ´e isomorfismo, temos que f ´e sobrejetiva. f ´e morfismo de Esakia, logo preserva ordem. Agora sejam x1, x2 ∈ X tal que f(x1) ≤′ f(x2). Sendo f

isomorfismo, temos que f−1 ´e um morfismo de Esakia e portanto preserva ordem, assim

x1 =f−1(f(x1))≤f−1(f(x2)) =x2.

(⇐) ´E f´acil ver que f ´e bije¸c˜ao, pois, por hip´otese, f ´e sobre e dados x1, x2 ∈X

tais que f(x1) = f(x2), temos que f(x1) ≤′ f(x2) e assim x1 ≤ x2. De forma an´aloga

temosx2 ≤x1. Portanto f ´e bije¸c˜ao.

Falta mostrar que f−1 ´e morfismo de esakia. Como f ´e fun¸c˜ao cont´ınua de um espa¸co compacto num espa¸co Hausdorff, temos quef fechado, assim f−1 ´e cont´ınua.

Pela hip´otese de preservar e reverter ordem, temos que f−1 preserva ordem. Agora tome y∈Y e x∈X tal quef−1(y)≤x. Assumindo y′ =f(x), temos que

y=f(f−1(y))f(x) =y. Portanto f−1 satistfaz a propriedade p-morfismo. Logo f−1

´e morfismo de Esakia.

(34)

Lema 2.2.4. Seja (X;≤) ordem parcial. Ent˜ao (U p(X);∩,∪,→) forma uma ´algebra de Heyting.

U →V :≡ {x∈X; ↑x∩U ⊆V}=X\ ↓(U \V)

Demonstra¸c˜ao: ´

E f´acil ver que (U p(X);∩,∪) ´e um reticulado, pois ↑ e ↓ s˜ao preservados por interse¸c˜ao e uni˜ao.

Agora, para mostrar que (U p(X);∩,∪,→) ´e uma ´algebra de Heyting, basta mos-trar a lei de adjun¸c˜ao.

Antes vamos mostrar que →est´a bem definida.

Sejax∈↑(U →V), assim existe y∈(U →V) tal quey≤x. Como y∈U →V, temos↑y∩U ⊆V.

Caso ↑x∩U =∅temos ↑x∩U ⊆V.

Caso ↑ x∩ U 6= ∅, temos que dado a ∈↑ x ∩U, a ∈↑ x, logo a ∈↑ y, assim

a∈↑y∩U ⊆V, logo x ∈U →V, provando que↑(U →V) =U →V.

Vamos mostrar a lei de adjun¸c˜ao: W ⊆ U → V ⇔ W ∩U ⊆V, com U, V, W ∈

U p(X).

Seja x∈W ∩U, x∈W e x∈U.

Como x ∈ W, temos que x ∈ U → V, ou seja, ↑ x∩U ⊆ V, tendo que x ∈ U, temos que x ∈↑ x∩U ⊆ V, logo x ∈ V. Como x foi tomado arbitrariamente, temos

W ∩U ⊆V.

Sejax∈W, como W ∈U p(X), temos que ↑x⊆W. Portanto↑x∩U ⊆V, logo

x∈U →V, como x foi tomado arbitr´ario, W ⊆U →V. Segue agora a prova da igualdade:

x∈U →V ⇔ ↑x∩U ⊆V

⇔ (↑x∩U)∩(X\V) =∅ ⇔ ↑x∩(U ∩(X\V)) =∅ ⇔ ↑x∩ ↓(U ∩(X\V)) =∅

Esta ´ultima equivalˆencia ´e justificada da seguinte forma. Caso ↑x∩ ↓(U ∩(X\

V)) 6= ∅, ter´ıamos z ∈↑ x e z ∈↓ (U ∩(X \V)), logo existe y ∈ U ∩(X \V) tal que

x≤z ≤y, assimy∈↑x. Portanto

↑x∩ ↓(U∩(X\V)) = ∅ ⇔ ↑x⊆X\ ↓(U ∩X\V)

(35)

Portanto U →V =X\ ↓(U ∩X\V).

Seja (X;≤;τ) espa¸co de Esakia, ent˜ao X∗ :≡(CpU p(X);∩,∪,→,∅, X) ´e ´algebra de Heyting ondeCpU p(X) = {A⊆X; A clopen e A=↑A}.

Observe queX∗´e sub´algebra de Heyting deU p(X). Pois ´e f´acil ver que interse¸c˜ao e uni˜ao de clopens upsets ´e um clopen upset. Agora para a implica¸c˜ao temos que dados

A, B ∈ CpU p(X), A→ B = X\ ↓(A∩X\B) que ´e clopen upset pois ↓(A∩X\B) ´e clopen downset.

Defini¸c˜ao 2.2.5. Seja Ω ∈ Obj(Heyt), definimos o espa¸co Ω∗ :≡ (X;≤), onde X :≡

{P ⊂ Ω; P filtro primo e pr´oprio em Ω}, (≤ = ⊆) e ´e dada com a seguinte subbase

L:≡ {Sa; a} ∪ {X\Sb; b } onde Sa={P X; aP}.

Lema 2.2.6. Seja Ω uma ´algebra de Heyting. Se a, b ∈ Ω, ent˜ao ↓ (Sa ∩X \Sb) = X\(Sa→b)

Demonstra¸c˜ao:

Seja a, b∈Ω. Como a∧(a →b)≤b, temos que Sa∩Sa→b ⊆Sb. Portanto X\Sb ⊆ X\(Sa∩Sa→b)

X\Sb ⊆ (X\Sa)∪(X\Sa→b) Sa∩X\Sb ⊆ Sa∩(X\Sa∪X\Sa→b)

⊆ (Sa∩X\Sa)∪(Sa∩X\Sa→b)

⊆ Sa∩X\Sa→b. Portanto Sa∩X\Sb ⊆X\Sa→b.

Como X \Sa→b =↓ X \Sa→b, temos que ↓ (Sa ∩X \Sb) ⊆ X \Sa→b. Falta mostrara inclus˜ao contr´aria.

Seja P ∈ X \ Sa→b, portanto P ´e filtro primo pr´oprio tal que a → b 6∈ P. Desejamos encontrar um filtro primoQ com P ∪ {a} ⊆Q eb 6∈Q.

Tome G o filtro gerado por P ∪ {a}. Se G∩ ↓ (a → b) 6= ∅, ter´ıamos x ∈ P e

z≤a →b tal que x∧a≤z. Portanto

x∧a≤a→b ⇒a∧(x∧a)≤b ⇒x∧a≤b⇒x≤a→b

Assim a→b∈P o que ´e um absurdo.

Por Stone-Birkhoff, temos que existe Q filtro primo pr´oprio tal que P ⊆ Q e

(36)

Seb∈Q, teremosa∧b≤b, assimb ≤a→be portantoa→b∈Qcontradizendo o que acabamos de mostrar. AssimQ∈Sa∩X\Sb. ComoP ⊆Q, temos que

P ∈↓(Sa∩X\Sb).

Corol´ario 2.2.7. Sa→b =Sa→Sb.

A prova da compacidade na proxima proposi¸c˜ao foi elaborada com id´eia de [DP92].

Proposi¸c˜ao 2.2.8. Com as nota¸c˜oes, (X;≤;τ) ´e espa¸co de Esakia.

Demonstra¸c˜ao: ´

E claro que (X;≤) ´e ordem parcial.

Vejamos que ´e compacto. Para isto, vamos usar o teorema de Alexander.

Sejam Ω0 ⊆ Ω, Ω1 ⊆ Ω e U := {Sa| a ∈ Ω0}S{X \Sb| b ∈ Ω1} cobertura por

abertos subb´asicos deX.

Seja I ideal gerado por Ω0 em Ω (se Ω0 =∅, I ={⊥}).

Seja F filtro gerado por Ω1 em Ω (se Ω1 =∅, F ={⊤}).

SeI∩F =∅, ent˜ao pelo teorema de Stone-Birkhoff, temos que existe filtro primo

P com F ⊆P eI∩P =∅.

Como F ⊆P,a∈P ∀ a∈Ω1 e portantoP 6∈X\Sa ∀ a∈Ω1.

Como P ∩I =∅, ∀ a∈Ω0, a6∈P. Assim P 6∈Sa para todo a∈Ω0.

Portanto P ´e filtro primo fora da cobertura, absurdo. Assim I∩F 6=∅, logo existe a ∈I ∩F.

Vamos dividir em trˆes casos.

Caso 1 : Ω0 6=∅ e Ω1 6=∅.

Como a∈I, existem a1, ..., an∈Ω0 tais que

a ≤a1∨...∨an. e comoa∈F, existem b1, ..., bm ∈Ω1, tais que

b1∧...∧bm ≤a≤a1∨...∨an. (2.1) Logo X ⊆ S

{Sai| i = 1, ..., n} ∪ S

(37)

Se a∈P, por 2.1a ≤a1∨...∨an, segue que a1∨...∨an ∈P, logo P ∈Sa1∨...∨an =

n [ i=1

Sai.

Se a6∈P, por 2.1,b1∧...∧bm ≤a⇒b1∧...∧bm 6∈P, logo P 6∈

m \ j=1

Sbj.

Assim

P ∈X\

m \ j=1

Sbj = m [ j=1

(X\Sbj).

Caso 2 : Ω1 =∅

Observe que como F ={⊤}e F ∩I 6=∅, temos que I = Ω.

DadoP filtro primo de Ω, temos que⊤ ∈P. Por 2.1, temos que a1∨...∨an∈P, segue que

P ∈

n [ i=1

Sai.

Caso 3 : Segue de forma an´aloga ao caso 2.

(ASP): Sejam P, Q ∈ X tais que P 6⊆ Q. Assim ∃a ∈ P tal que a 6∈ Q. Logo

P ∈Sa e Q6∈Sa.

Pela defini¸c˜ao da subbase do nosso espa¸co, ´e claro queSa´e clopen. Falta mostrar que↑Sa⊆Sa.

Seja F ∈↑Sa, i.e.,∃G∈Sa tal queG⊂F, mas como a ∈G, temos que a∈F, e portanto F ∈Sa. Com isso (X;≤;τ) ´e espa¸co de Priestley.

Falta ver que A ∈clopen(X) ⇒ ↓A∈clopen(X).

Fato 2.2.9. se A∈clopen(X), ent˜ao existe a, b∈X t.q. A=Sa∩(X\Sb). Prova.

Podemos escrever

A = [

(a,b)∈Ω′ 0×Ω

′ 1

(Sa∩X\Sb), Ω′0 ⊆Ω e Ω′1 ⊆Ω.

Como A´e fechado, A ´e compacto, portanto existem Ω′′

(38)

A = S

(ai,bj)∈Ω′′o×Ω′′1(Sai∩X\Sbj)

A = (S

ai∈Ω′′0 Sai)∩( S

bj∈Ω′′1 X\Sbj)

A = Sa1∨...∨an∩X\Sb1∧...∧bm

A = Sa∩X\Sb. Agora podemos mostrar o desejado. Como A=Sa∩X\Sb, temos que

X\ ↓A=X\ ↓(Sa∩X\Sb) =Sa→Sb

Como Sa→Sb =Sa→b ´e clopen, temos que↓A ´e clopen.

Precisamos agora estabelecer uma rela¸c˜ao entre os morfismos de ´algebra de Hey-ting e os morfismos de espa¸cos de Esakia.

Proposi¸c˜ao 2.2.10. SejamΩ, Λ ´algebras de Heyting e f : Ω−→Λ morfismo de ´algebra de Heyting. Definimos f∗ : Λ∗ −→ Ω∗ tal que f∗(Q) = f−1(Q). f∗ ´e um morfismo de

Esakia.

Demonstra¸c˜ao:

est´a bem definida pois pr´e-imagem de filtro primo pr´oprio ´e filtro primo pr´oprio. Vamos mostrar que f∗ preserva ordem. Sejam P, Q ∈ Λ∗ tais que P ⊆ Q. Seja

a∈f−1(P), assimf(a)∈P ⊆Q e portanto a∈f−1(Q). Mostraremos a continuidade de f∗.

Seja A aberto subb´asico em Ω∗, logo A = Sa para algum a ∈ Ω ou A = X \Sb para algumb ∈Ω. Para o primeiro caso, temos que

f−1(Sa) ={P ∈Λ∗; a∈f∗(P)}={P ∈Λ∗; f(a)∈P}=Sf(a).

De forma an´aloga provamos que para o segundo caso que

f−1(Ω∗\Sb) = Λ∗ \Sf(b).

Assim pr´e-imagem de subb´asico ´e subb´asico. Resta mostrar que f∗ ´e p-morfismo.

Sejam Q∈Λ∗ e P ∈Ω∗ com f∗(Q)⊆P ⇒f−1(Q)⊆P.

Seja C clopen em Ω∗ tal que P ∈ C. Por 2.2.9, temos que C clopen implica que

(39)

f−1

∗ (↓ C) = f∗−1(↓(Sa\Sb)) = f−1(Ω∗\(Sa→Sb)) = f−1(Ω∗\Sa→b) = Λ∗\Sf(a→b)

= Λ∗\Sf(a)→f(b)

= Λ∗\Sf(a) →Sf(b)

= ↓(Sf(a)\Sf(b))

= ↓(f−1(Sa\Sb)) = ↓f−1(C)

Como f∗(Q)⊆P, temos que Q∈f∗−1(↓ C) =↓f∗−1(C) da´ı existeQ′ ∈f∗−1(C) tal

queQ⊆Q′, assim Q∈↑Q logo Qf−1

∗ (C)6=∅.

Considere a fam´ılia A:≡ {f−1(C); C clopen e P ∈ C}. Observe que

n \ i=1

f−1(Ci) = f∗−1(

n \ i=1

Ci) = f∗−1(C′)

Sabendo que ↑Q∩f−1(C)6=∅. Portanto temos que

↑Q∩

n \ i=1

f−1(Ci)6=∅, Assim o conjunto {↑Q∩f−1

∗ (Ci); Ci ∈A}´e fam´ılia de fechados com a pif. Pela compacidade de Λ∗, temos que

\

f∗−1(Ci)∈A

(↑Q∩f−1(Ci))6=∅.

T ome T ∈ \

f∗−1(C)∈A

(↑Q∩f−1(C)) Assim temos que T ∈f−1

∗ (C) para todo C tal que f∗−1(C)∈A.

Dado a ∈ P. sabe-se que Sa ´e clopen e P ∈ Sa. Assim T ∈ f−1(Sa), segue que f∗(T)∈Sa e portanto temosa ∈f∗(T). Provando queP ⊆f∗(T).

Agora tome b 6∈ P. X\Sb ´e clopen e P ∈X \Sb. Portanto T ∈ f∗−1(X \Sb) e assim f∗(T)∈X\Sb. Provando queb 6∈f∗(T), logof∗(T)⊆P

Temos portanto que Q ⊆ T e que f∗(T) = P, satisfazendo assim a condi¸c˜ao de

p-morfismo.

Proposi¸c˜ao 2.2.11. Se f : (X, τ,≤) → (Y, τ′,) ´e morfismo de espa¸cos de Esakia,

(40)

Demonstra¸c˜ao:

Seja U ∈ Y∗, U CpU p(Y), ou seja, U = U clopen, f−1(U) ´e clopen pois f ´e

morfismo de Esakia e portanto fun¸c˜ao cont´ınua. Falta mostrar que ↑f−1(U) =f−1(U).

Seja z ∈↑ f−1(U), portanto existe x ∈ f−1(U) tal que x ≤ z, como f preserva ordem, temos f(x) ≤ f(z) implicando que f(z) ∈↑ U = U, logo z ∈ f−1(U), assim

↑f−1(U) =f−1(U).

f∗ ´e um morfismo de reticulados:

Sejam U, V ∈CpU p(Y), f∗(U ∩V) = f−1(U ∩V). Da´ı

a∈f−1(U ∩V) ⇔ f(a)∈U ∩V

⇔ f(a)∈U e f(a)∈V

⇔ a∈f−1(U) e f−1(V)

⇔ a∈f−1(U)∩f−1(V) De forma an´aloga mostramos para U ∪V

Vamos mostrar que preserva →

Sejam U, V ∈ Y∗. Seja x ∈ f−1(U → V) ∩f−1(U) portanto f(x) ∈ U →

V e f(x) ∈ U. Como f(x) ∈ U → V, temos que ↑ f(x) ⊆ U → V, o que implica

↑f(x)∩U ⊆V ⇒f(x)∈V ⇒x∈f−1(V) logo

f−1(U →V)∩f−1(U)⊆f−1(V)

Por adjun¸c˜ao temos que f−1(U →V)⊆f−1(U)→f−1(V).

Vamos mostrar a inclus˜ao contr´aria. Sejam U, V ∈ Y∗. Seja x 6∈ f∗(U → V), assim f(x) 6∈ U → V = X\ ↓ (U ∩X \V) logo f(x) ∈↓ (U ∩X \V). Desta ultima pertinˆencia, temos que existe y ∈ U ∩X\V tal quef(x)≤ y, com f ´e um p-morfismo, temos que existez ∈X t.q. x≤z e f(z) =y

f(z)∈U ∩X\V ⇒ z∈f−1(U ∩Y \V)

⇒ z∈f−1(U)∩f−1(Y \V)

⇒ x∈↓(f−1(U)f−1(Y \V))

⇒ x∈↓(f−1(U)X\f−1(V))

⇒ x6∈Y\ ↓(f−1(U)∩X\f−1(V))

⇒ x6∈f−1(U)→f−1(V)

(41)

Defini¸c˜ao 2.2.12. Sejam dadas as categoriasHeyteEsa, definimos os seguintes funtores contravariantes

∗ :Heyt−→Esa

:Esa−→Heyt

Lema 2.2.13. Os funtores definidos acima est˜ao bem definidos

Demonstra¸c˜ao:

J´a provamos que ∗ leva ´algebra de Heyting em espa¸co de Esakia e morfismo de

´algebra de Heyting em morfismo de Esakia.

Observe que dadoA´algebra de Heyting eF filtro primo deA,Id∗(F) =Id−1(F) =

F. Se f : A→ B e g : B →C s˜ao morfismos de ´algebra de Heyting, temos que dado F

filtro primo de C,

(g◦f)∗(F) = (g◦f)−1(F) =f−1(g−1(F)) = f∗◦g∗(P).

Assim mostrando que ∗ ´e um funtor contravariante.

J´a provamos que ∗ leva espa¸co de Esakia em ´algebra de Heyting e morfismo de

Esakia em morfismo de ´algebra de Heyting.

Sejam X espa¸co de Esakia e U ∈ CpU p(X). Id∗(U) = Id−1(U) = U. Se

f : X → Y e g : Y → Z s˜ao morfismos de Esakia e sabendo que f∗ = f−1, temos que

(g◦f)∗ =fg. Protanto´e um funtor contravariante.

Para finalizar a dualidade de Esakia nos resta definir os isomorfismos naturais.

Teorema 2.2.14. Sejam A algebra de Heyting e X espa¸co de Esakia. Definimos as seguintes aplica¸c˜oes:

ϕA: A−→ A∗ ∗

x7−→ Sx={P f iltro primo pr′oprio; x∈P} εX : X −→ X∗ ∗

x7−→ {U ∈CpU p(X); x∈U}

Ent˜ao, ϕA ´e isomorfismo de ´algebras de Heyting eεX isomorfismo de espa¸cos de

(42)

Demonstra¸c˜ao:

Por simplicidade, escreveremos aqui apenas ϕ e ε em vez de ϕA eεX A boa defini¸c˜ao de ϕ segue do fato que Sa ∈CpU p(A∗) para todo a∈A.

Agora vamos mostrar que ϕ ´e isomorfismo de ´algebra de Heyting.

ϕ´e morfismo de reticulado, pois tomandoP ∈Sa∧b filtro primo pr´oprio, portanto, por ser filtro temos

P ∈Sa∧b ⇔ a∧b ∈P

⇔ a ∈P e b ∈P

⇔ P ∈Sa e P ∈Sb

⇔ P ∈Sa∩Sb. e por ser primo, temos que

P ∈Sa∨b ⇔ a∨b∈P

⇔ a∈P ou b∈P

⇔ P ∈Sa ou P ∈Sb

⇔ P ∈Sa∪Sb

.

Portanto ϕ ´e morfismo de reticulados.

ϕ preserva →pois Sa→b =Sa→Sb. Agora basta provar que ϕ ´e bije¸c˜ao. ϕ ´e 1 a 1:

Sejam a, b∈ A com a 6= b. Suponha que a 6≤b, tome ↑ a e ↓ b, pelo teorema de Stone-Birkhoff, temos que existe P filtro primo tal que ↑a ∈P e ↓b∩P =∅, portanto

a∈P e b6∈P, logo ϕ(a)6=ϕ(b).

Por fim mostraremos que ϕ ´e sobre:

Seja U ∈CpU p(A∗). Vamos mostrar que U =Sa para algum a∈A.

Fixe P ∈U. TomeQ∈A∗\U. Como U ´e upset, temos que P 6⊆Q, assim existe

apq ∈A tal que apq ∈P e apq 6∈ Q. Assim temos que P ∈ Sapq e Q∈ A∗\Sapq. Observe que

A∗ \U ⊆

[ Q∈A∗\U

A∗\Sapq.

ComoA∗´e compacto eA∗\U ´e fechado, temos que A∗\U ´e compacto. Portanto

A∗\U ⊆

Sm

i=1A∗\Sapqi = A∗\(

Tm

(43)

Assim

Sap ⊆U ⇒ [ P∈U

Sap ⊆U.

Como para cada P ∈U, temosap ∈P,

U ⊆ [

P∈U Sap.

Pela compacidade de U, temos

U = n [ j=1

Sapj =Sap1∨...∨apn =Sa.

Portanto ϕ ´e sobre.

Agora vamos mostrar que ε ´e um isomorfismo de Esakia.

Vamos mostrar que ε est´a bem definida. Sejam x ∈ X e U, V ∈ ε(x). Assim

U, V ∈ CpU p(X) tal que x ∈ U e x ∈ V. Segue que x ∈ U ∩ V ∈ CpU p(X), logo

U∩V ∈CpU p(X).

Sejam U ∈ ε(x) e U ⊆ V ∈ CpU p(X). Assim como x ∈ U ⊆ V, temos que

V ∈ε(x). Portanto temos queε(x) ´e filtro.

Suponha que U∩V ∈ε(x), logo x∈U∪V, assimx∈U oux∈V o que implica queU ∈ε(x) ou V ∈ε(x), dessa forma temos que ε(x) ´e filtro primo.

Para mostrar que ´e pr´oprio, basta tomarmos y 6∈↓x, assim y 6≤x e pelo (ASP) temos que existeU ∈CpU p(X) tal que y∈U ex6∈U.

Para mostar queε´e cont´ınua, basta mostrar que pr´e-imagem de aberto subb´asico ´e aberto. Considere B = SU ⊆ X∗ ∗. Assim ε−1(SU) = {x ∈ X| ε(x) ∈ SU} = {x ∈ X|x∈U}=U que ´e aberto. Agora para B =X∗ ∗\SU, temosε−1(X∗ ∗\SU) = X\U que tamb´em ´e aberto. Portantoε ´e cont´ınua.

Agora vamos mostrar que ε ´e sobrejetora.

Suponha que εn˜ao seja sobre, assim existeP ∈X∗

∗\ε(X). ComoX ´e compacto

eX∗

∗ ´e Hausdorff, temso queε(X) ´e fechado.

Pela normalidade deX∗∗ temos a xistˆencia de um abertoU′tal queε(X)∩U′ =∅

eP ∈U′. ComoX∗ ∗ ´e zero-dimensional, existe U clopen tal que P ∈U ⊆U′.

SendoU clopen, temos queU =SV ∩X∗ ∗\SW comV, W ∈CpU p(X). Portanto

∅=ε−1(U) = ε−1(SV)∩X\ε−1(SW) = V ∩X\W

Logo V ⊆W, assimSV ⊆SW e portantoU =SV ∩X∗ ∗\SW =∅. Com isso temos uma contradi¸c˜ao.

(44)

Sejam x∈X eP ∈X∗ ∗ tal queε(x)⊆P. Sendo sobre, temos que existez ∈X

tal que ε(z) =P ex≤z.

Agora vamos mostrar que ε preserva e reverte ordem.

Sejam x, y ∈X tal quex≤y. Comoε(x) = {U ∈CpU p(X); x∈U}, temos que

y∈U para todo U ∈ε(x), logoU ∈ε(y). Assim ε(x)⊆ε(y), ou seja, preserva ordem. Agora tome P, Q ∈ X∗

∗ tal que P ⊆ Q. Pela sobrejetividade de ε, temos que

existem x, z ∈ X tais que ε(x) = P e ε(z) = Q. Caso x 6≤ z, temos pelo (ASP) que existeU ∈CpU p(X) tal que x∈U e z 6∈U, temos portanto um absurdo, j´a que P ⊆Q. Temos assim queε reverte ordem.

Pelo fato 2.2.3, temos que ε ´e um isomorfismo de Esakia.

Teorema 2.2.15. Com as nota¸c˜oes temos a dualidade entre as categorias Heyt e Esa. Os isomorfismos naturais s˜ao dados da seguinte maneira:

ϕ:idHeyt −→∗ ∗ e ε:idEsa−→∗ ∗

Demonstra¸c˜ao:

B A

A∗ ∗

h

ϕA

B∗ ∗

h∗ ∗

ϕB ❄ ✲ Y X ❄ ✲ X ∗ ∗ f εX

Y∗ ∗

f∗ ∗

εY

❄ ✲

P ∈h∗ ∗(Sa) ⇔ P ∈h∗ −1(Sa)

⇔ h∗(P)∈Sa

⇔ a∈h∗(P)

⇔ a∈h−1(P)

⇔ h(a)∈P

(45)

U ∈f∗ ∗(ε(x)) ⇔ U ∈((f∗)−1(ε(x)))

⇔ f∗(U)∈ε(x)

⇔ f∗(U)∈ {U CpU p(X); xU}

⇔ x∈f∗(U)

⇔ x∈f−1(U)

⇔ f(x)∈U

⇔ U ∈ {U ∈CpU p(Y); f(x)∈U}.

(46)

Dualidade Generalizada de Esakia

Neste cap´ıtulo enfraquecemos os morfismos de ´Algebra de Heyting e os morfismos de Espa¸cos de Esakia e estabelecemos uma dualidades entre essas categorias. As defini¸c˜oes e as id´eias das demonstra¸c˜oes s˜ao de [BB09].

Defini¸c˜ao 3.0.17. Sejam A e B ´algebras de Heyting e h:A−→B uma aplica¸c˜ao.

(1) N´os dizemos que h ´e um (∧,→)-homomorfismo se h(a∧b) = h(a)∧h(b) e h(a →

b) =h(a)→h(b), para todo a, b∈A.

(2) Dizemos que h ´e um (∧,→,⊥)-homomorfismo se h ´e um (∧,→)homomorf ismo e

h(⊥) = ⊥.

(3) Dizemos que h ´e um (∧,→,∨)-homomorfismo se h ´e um (∧,→)homomorf ismo e

h(a∨b) =h(a)∨h(b), para todo a, b∈A.

Observa¸c˜ao 3.0.18. Observe que a → a = ⊤ e que se h ´e um (∧,→)-homomorfismo,

h(⊤) = ⊤. Pois h(⊤) =h(a→a) =h(a)→h(a) = ⊤.

Lema 3.0.19. SejamA, B ´algebras de Heyting e h:A −→B um (∧,→)-homomorfismo sobrejetor. Ent˜aoh(⊥) = ⊥eh(a∨b) = h(a)∨h(b), para todoa, b∈A.Consequentemente

h´e homomorfismo sobrejetor de ´algebras de Heyting.

Demonstra¸c˜ao: ´

E f´acil ver que h preserva ordem.

Como h ´e sobre, temos que existe a ∈ A tal que h(a) = ⊥. Observe que ⊥ ≤

(47)

Dados a, b ∈ A, temos que a ≤ a ∨b e b ≤ a ∨b. Como h preserva ordem,

h(a)≤h(a∨b) e h(b)≤h(a∨b). Portanto h(a)∨h(b)≤h(a∨b). Agora vamos mostrar queh(a∨b) ´e a menor cota superior de h(a)∨h(b).

Seja t ∈ B tal que h(a), h(b) ≤ t. Como h ´e sobre, temos que t = h(s). h(a →

s) =h(a)→h(s) = ⊤ eh(b →s) =h(b)→h(s) =⊤. Observe que

(a∨b)∧((a →s)∧(b →s)) = (a∧(a →s)∧(b →s))∨(b∧(a→s)∧(b→s))

≤ (s∧(b →s))∨(s∧(a →s)) = s∧((b →s)∨(a→s))

≤ s

Portanto, por adjun¸c˜ao

((a→s)∧(b→s))≤(a∨b)→s.

h(a→s)∧h(b →s) =⊤ ⇒h((a→s)∧(b→s)) =⊤. Assim

h((a→s)∧(b→s))≤h((a∨b)→s)≤ ⊤.

Segue que

h(a∨b)→h(s) =⊤ ⇒h(a∨b)≤h(s).

Logo

h(a∨b) =h(a)∨h(b).

3.1

Morfismo Parcial de Esakia

Defini¸c˜ao 3.1.1. Sejam (X,≤) e (Y,≤)espa¸cos de Esakia e f :X −→Y uma aplica¸c˜ao parcial. Denotamos pordom(f)o dom´ınio de f. f ´e chamado morfismo parcial de Esakia se satisfaz as seguintes condi¸c˜oes:

(1) Se x, z∈dom(f) e x≤z, ent˜ao f(x)≤f(z).

(2) Se x ∈ dom(f), y ∈ Y e f(x) ≤ y, ent˜ao existe z ∈ dom(f), tal que x ≤ z e

f(z) =y

(3) Para x∈X, temos que x∈dom(f) sse ∃ y∈Y tal que f[↑x] =↑y.

(48)

(5) Se U ∈CpU p(Y), ent˜ao X\ ↓f−1(Y \U)∈CpU p(X).

Observa¸c˜ao 3.1.2. Seja x∈X. Pelo item(3)da defini¸c˜ao anterior, temos que se existe

y ∈ Y, tal que f[↑ x] =↑ y, ent˜ao x ∈ dom(f). De fato, vamos mostrar que y = f(x). Ora, como y ∈ f[↑ x], temos que, pelo item (2), existe z ∈ dom(f), tal que x ≤ z e

f(z) =y. Por (1) f(x)≤f(z) =y.

Por outro lado x ∈↑ x, e portanto, f(x) ∈ f[↑ x] =↑ y, logo y ≤ f(x), assim

y=f(x).

Lema 3.1.3. Sejam X, Y espa¸cos de Esakia e f :X −→Y uma aplica¸c˜ao parcial. Ent˜ao para qualquer x∈X e U ⊆Y, temos que x∈X\ ↓f−1(Y \U) sse f[x]U.

Demonstra¸c˜ao: As seguintes equivalˆencias s˜ao f´aceis de verificar

x∈X\ ↓f−1(Y \U) x6∈↓f−1(Y \U) ⇔ ↑ xf−1(Y \U) =.

Agora observe que de↑x∩f−1(Y \U) =∅temos que↑x⊆X\f−1(Y \U). Observe que como f ´e aplica¸c˜ao parcial, temos que f−1(Y) ⊆ X. Observe que f[↑ x] := {f(t)| t ∈

dom(f) e x ≤ t}. Assim, temos que f(X \f−1(Y \U)) = {f(t)| t ∈ dom(f) e t ∈

f−1(U)}. Logo, aplicandof nos ambos os lados, inferimos que

f[↑x]⊆f(X\f−1(Y \U))f(f−1(U))U

Reciprocamente, de f(↑x)⊆U, temos que (↑x∩dom(f))⊆f−1(U), segue que

(↑x∩dom(f))∩(X\f−1(U)) = ∅ ↑x∩(dom(f)∩X\f−1(U)) =

↑x∩(f−1(Y)\f−1(U)) =

↑x∩(f−1(Y \U)) = ∅.

Com isso demonstramos o lema.

Lema 3.1.4. Sejam X, Y espa¸cos de Esakia e f :X −→Y morfismo parcial de Esakia. Ent˜aodom(f)´e um fechado de X.

Demonstra¸c˜ao:

Seja x ∈ dom(f). Pela condi¸c˜ao de morfismo parcial de Esakia, basta mostrar que existe y ∈Y tal que f[↑ x] =↑y. Pela condi¸c˜ao (1) do lema 1.6.27, existe uma rede

N em dom(f) convergindo para x.

(49)

Mostraremos que C∩f[↑ x] 6= ∅. Suponha que C∩f[↑ x] = ∅. Seja y ∈↑ f[↑

x],i.e., existe z ∈f[↑ x] tal que z ≤y. Como z ∈ f[↑ x], existe t ∈↑ x tal que z =f(t), ou seja, z=f(t) para algum x≤t.

Assim, de y ∈↑ f[↑ x], existe t ∈ dom(f) ⊆X com x ≤ t tal que z =f(t) ≤y. Usando a condi¸c˜ao (2) da defini¸c˜ao 3.1.1, temos que existe w ∈ dom(f) tal que x ≤ t ≤ w e

f(w) =y, assimy ∈f[↑x] e portanto↑f[↑x] =f[↑x], ou seja,f[↑x] ´e upset.

De C∩f[↑ x] = ∅, temos que ↓ C∩ ↑ f[↑ x] = ∅. Pela condi¸c˜ao (4) de 3.1.1 f[↑ x] ´e fechado e comoC ´e fechado em X, temos que↓C ´e fechado. Por 2.1.4, existe um clopen downsetU tal que ↓C ⊆U e U ∩f[↑x] =∅.

Como ↓C⊆U inferimos queK ´e cofinal em U. AssimN ´e cofinal em ↓f−1(U).

Portanto, existeS subrede deN tal que imagem(S)⊆↓f−1(U). Como N converge para

x, temos que S tamb´em converge para x.

Vamos mostrar que ↓ f−1(U) ´e clopen em X. Observe que X\ ↓ f−1(U) ´e um upset. Como U =↓ U ´e clopen em Y, Y\ ↓ U ´e clopen upset de Y e usando a condi¸c˜ao (5) de 3.1.1, temos que

X\ ↓f−1(Y \(Y \U)) = X\ ↓f−1(U)CpU p(X).

Logo ↓ f−1(U) ´e clopen de X. Sendo f−1(U) clopen, temos que f−1(U) ´e fechado.

Sabendo que imagem(S) ⊆↓f−1(U) e S converge para x, pelo item (1) do lema 1.6.27,

x ∈↓ f−1(U). Logo existe um z ∈ f−1(U) tal que x ≤ z. Assim, z ∈↑ x∩f−1(U) -observe que z ∈ dom(f) pois z ∈ f−1(U) -, implicando que f(z)∈ f[↑x]∩U. Portanto

f[↑x]∩U 6=∅, o que ´e um absurdo. Consequentemente, C∩f[↑x]6=∅.

Sejay∈C∩f[↑x], vamos mostrar quef[↑x] =↑y, ou seja,y´e o menor elemento de f[↑ x]. Suponha que n˜ao, ent˜ao existe z ∈ f[↑ x] tal que y 6≤ z, assim existe usando (ASP) um clopen downsetV deY tal quez ∈V ey6∈V. ComoC´e o conjunto dos pontos cluster deK ey∈C, existe pelo lema 1.6.27 (3), uma subrede M deK convergindo para

y. Da defini¸c˜ao de K, existe uma subrede S de N tal que f ◦S = M. Por 1.6.27, S

converge parax.

Sabendo que M converge para y e y 6∈ V, temos que nenhuma cauda de M ´e subconjunto de V, e consequentemente nenhuma cauda de S est´a em f−1(V). Vejamos

agora que f−1(V) ´e downset de dom(f). Seja t ∈↓ f−1(V)∩dom(f), ent˜ao t ∈ dom(f) com t ≤ x para algum x ∈ dom(f) com f(x) ∈ V. Como f preserva ordem, temos que

f(t) ≤ f(x) e assim, f(t) ∈ V, ou seja, t ∈ f−1(V), mostrando que f−1(V) downset de

dom(f).

Assim temos que f−1(V) = f−1(V)dom(f). Como imagem(S) dom(f), nenhuma

cauda de S est´a contida em ↓f−1(V).

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