Elen Deise Assis Barbosa

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Universidade Federal da Bahia - UFBA

Instituto de Matem´ atica - IM

Programa de P´ os-Graduac ¸˜ ao em Matem´ atica - PGMAT

Dissertac ¸˜ ao de Mestrado

  

Unidades f -unit´ arias em um anel de grupo integral

Elen Deise Assis Barbosa

  Salvador-Bahia 16 de Abril de 2013 Unidades arias em um anel de grupo integral f -unit´ Elen Deise Assis Barbosa

  Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

  Orientador: Prof. Dr. Thierry Corrˆea Petit Lob˜ao.

  Salvador-Bahia Abril de 2013 Barbosa, Elen Deise Assis.

  Unidades f -unit´arias em um anel de grupo integral / Elen Deise Assis Barbosa. – Salvador: UFBA, 2013. 57 f. Orientador: Prof. Dr. Thierry Corrˆea Petit Lob˜ ao. Disserta¸c˜ ao (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´ atica, Programa de P´ os-gradua¸c˜ ao em Matem´ atica, 2013. Referˆencias bibliogr´aficas.

1. An´eis ( ´ Algebra). 2. Teoria dos Grupos . 3. An´eis de Grupos.

I. Lob˜ ao, Thierry Corrˆea Petit . II. Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´ atica. III. T´ıtulo.

  CDU : 512.552.7 Unidades arias em um anel de grupo integral f -unit´ Elen Deise Assis Barbosa

  Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica, aprovada em 16 de abril de 2013.

  Banca examinadora:

  Prof. Dr. Thierry Corrˆea Petit Lob˜ao (Orientador) UFBA a a

  Prof . Dr Carmela Sica UFBA

  Prof. Dr. Andreas Bernhard Michael Brunner UFBA

  

Aos meus pais, Edson e

Marileide, e aos meus irm˜aos, Tˆamara e Paulo. Agradecimentos

  Agrade¸co a Deus, por sempre me dar for¸cas para seguir em busca dos meus objetivos. Agrade¸co aos meus amados pais, pelo amor, cuidado e carinho que sempre tiveram por mim. Obrigada meu pai simplesmente por existir e ser a minha fonte de inspira¸c˜ao para alcan¸car o sucesso. Obrigada mam˜ae, pelo companheirismo, pela amizade e por cada gesto de afeto. Amo vocˆes!

  Agrade¸co aos meus irm˜aos, por serem os principais respons´aveis por muitos mo- mentos de alegrias e de descontra¸c˜ao. Agrade¸co ao meu querido amigo Lu´ıs Roque, por ser um dos meus maiores in- centivadores. A vocˆe, devo meu respeito e minha grande admira¸c˜ao. Agrade¸co ao meu grande amigo Jakinho por estar sempre presente na minha vida, pelo apoio e pela grande amizade demonstrada em todos instantes. Obrigada por tudo! Agrade¸co aos meus mestres da Uneb pela contribui¸c˜ao na minha forma¸c˜ao e pela amizade. Dentre eles, Maridete (grande amiga), F´atima (minha primeira inspira¸c˜ao),

  Te´ofilo (grande amigo e incentivador na minha vida acadˆemica).

  Agrade¸co ao meu amigo Jo˜ao Paulo pelo apoio nestes dois anos, pela disponibi- lidade em sempre me ajudar e por me encorajar nos momentos de inseguran¸ca. Muito obrigada!

  Agrade¸co aos meus colegas de turma do mestrado com quem, por muitas, vezes compartilhei momentos de felicidade e de afli¸c˜oes: Anderson (sua generosidade ´e ad- mir´avel), Darlan, Edward (parceiro nos estudos), Marcus Morro e Raimundo (al´em de colega, um amigo que me recebeu de maneira calorosa; obrigada pela cumplicidade nos estudos nestes dois anos).

  Agrade¸co a todos os colegas da p´os-gradua¸c˜ao, dentre eles: ˆ Angela (pela disponi- bilidade em me ajudar), Andressa (pelos momentos de descontra¸c˜ao), Elaine (pela grande amizade e pela for¸ca em todos os momentos), Thiago (pelos s´abios conselhos) e K´atia (obrigada pelas boas energias).

  Agrade¸co muito tamb´em ao meu querido orientador, Prof. Thierry Corrˆea Petit Lob˜ao, por ter aceito me orientar.

  Agrade¸co ao Prof. Andreas Bernhard Michael Brunner e `a Profa. Carmela Sica por aceitarem participar da comiss˜ao julgadora de minha disserta¸c˜ao. Agrade¸co a todos os professores do IM-UFBA por terem contribu´ıdo na minha forma¸c˜ao. Em particular, um agradecimento especial ao professor Joseph Yartey. Agrade¸co ao Professor Carlos Bahiano pela aten¸c˜ao e disponibilidade dada quando solicitei sua orienta¸c˜ao. Agrade¸co aos amigos e funcion´arios do IM-UFBA que de alguma forma con- tribu´ıram nesta etapa da minha vida. Em particular, um agradecimento especial `a Davi- lene e M´arcio por sempre me tratarem com muito carinho.

  Finalmente, agrade¸co `a CAPES pelo apoio financeiro concedido a mim durante todo o meu mestrado.

  

“ A vida n˜ao d´a e nem empresta, n˜ao se co-

move e nem se apieda. Tudo que ela faz ´e

retribuir e transferir aquilo que n´os lhe ofe-

recemos.”

  Albert Einstein Resumo

  O presente trabalho tem como objetivos estudar o subgrupo de todas as unida- des f -unit´arias de um anel de grupo integral ZG bem como o subgrupo das unidades f -unit´arias generalizadas; apresentar a rela¸c˜ao entre estes subgrupos e o grupo das uni- dades. Verifica-se que o subgrupo das unidades f -unit´arias generalizadas ´e exatamente o normalizador do subgrupo das unidades f -unit´arias e que quando o grupo G ´e peri´odico, o normalizador do subgrupo das unidades f -unit´arias generalizadas ´e o pr´oprio subgrupo. Al´em disso, ser˜ao caracterizados grupos para os quais se tenha o subgrupo das unidades bic´ıclicas sendo um subgrupo das unidades f -unit´arias generalizadas. Finalmente, ser˜ao apresentados resultados que podem ser estendidos para Z(G × C 2 ), a partir de ZG, e al- gumas rela¸c˜oes entre as unidades hipercentrais de um anel de grupo integral e as unidades f -unit´arias generalizadas. Palavras-chave: Unidades f -unit´arias; Unidades f -unit´arias generalizadas; Anel de grupo integral. Abstract

  The main goals of this work are to study the subgroup of all f -unitary units of an integral group ring ZG as well as the subgroup of generalized f -unitary units; to present the relationship between these subgroups and the group of units. It is verified that the subgroup of generalized f -unitary units is exactly the normalizer of the subgroup of f -unitary units and that when the group G is periodic, the normalizer of the subgroup of generalized f -unitary units is the subgroup itself. Moreover, the groups for which the bicyclic units subgroup being a subgroup of generalized f -unitary units are characterized. Finally, results that can be extended from ZG to Z(G × C ) and some relations between

  2 hypercentral units of an integral group ring and generalized f -unitary units are presented.

  Keywords: f -Unitary Units; Generalized f -Unitary Units;Integral Group Ring.

  Sum´ ario

  2.2 Unidades f -unit´arias generalizadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

  55 Referˆ encias

  3.3 Rela¸c˜ao entre unidades hipercentrais e unidades unit´arias generalizadas . . 52 Conclus˜ ao

  3.2 An´alogo a conjectura do normalizador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

  3.1 Subgrupos unit´arios de um anel de grupo Integral . . . . . . . . . . . . . . 32

  32

  3 Subgrupos Unit´ arios

  2.2.1 O normalizador de U f . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

  2.1 Unidades f -unit´arias em um anel de grupo integral . . . . . . . . . . . . . 15

  Introdu¸ c˜ ao

  15

  2 Unidades f -Unit´ arias

  1.2.1 An´eis de grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

  9

  4 1.2 An´eis e M´odulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  1 Preliminares 4 1.1 Grupos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  1

  55 Introdu¸ c˜ ao

  O anel de grupo de um grupo G sobre um anel com identidade R, denotado por RG, ´e o m´odulo livre com coeficientes em R tendo os elementos de G como base e com a multiplica¸c˜ao definida distributivamente de forma a estender linearmente a multiplica¸c˜ao de G. Em nosso trabalho, utilizaremos an´eis de grupo em que o anel considerado ´e o anel dos inteiros Z e o grupo G ´e qualquer. Este anel recebe o nome de anel de grupo integral.

  O conceito de anel de grupo ´e relativamente antigo e foi introduzido explicita- mente por T. Molien em 1897, mas veio a adquirir grande importˆancia devido `as suas aplica¸c˜oes `a teoria de representa¸c˜oes de grupos, a partir dos trabalhos de E. Noether, R. Brauer e I. Schur. Um dos desafios centrais desta teoria ´e o chamado Problema do Iso- morfismo, que diz o seguinte: dados dois grupos G e H e um anel R ser´a que a existˆencia de um isomorfismo RG ≃ RH implica na existˆencia do isomorfismo G ≃ H ? Desde 1940 que este problema vem sendo discutido, a partir dos trabalhos de G. Higman, utilizando- se diversos an´eis de coeficientes. Entretanto, foi ao considerar o anel de grupo ZG que se chegou a diversos resultados relevantes – como, por exemplo, o problema do isomorfismo para grupos abelianos finitos, do qual G. Higman demonstrou a validade.

  O desafio de saber para quais classes de grupos este problema ´e v´alido continuou sendo alvo de interesse para os algebristas que trabalhavam com an´eis de grupo. Desta forma, K. W. Roggenkamp e L. Scott responderam essa quest˜ao para an´eis de grupo integral de grupos nilpotentes e A. Whitcomb para an´eis de grupo integrais de grupos metabelianos. Todavia, para grupos infinitos ainda pouco se sabe – nem mesmo se a classe de nilpotˆencia ´e preservada por isomorfismos que satisfa¸cam o Problema do Isomorfismo.

  Uma outra quest˜ao de destaque na teoria dos an´eis de grupo integrais sobre grupos finitos ´e a propriedade do normalizador que tamb´em foi apresentada como Conjectura: o normalizador de G no grupo das unidades de ZG ´e exatamente o produto do grupo G pelo centro do grupo das unidades, i.e., N (G) = G.Z(U (ZG)). Em 1995, M. Mazur revelou

  U a existˆencia de uma rela¸c˜ao entre a Propriedade do Isomorfismo e a do Normalizador no caso de alguns grupos infinitos.

  Desta forma, tanto o problema do isomorfismo quanto a problema do normali- zador vˆem sendo investigados e muitas respostas positivas foram encontradas, at´e que, em 2001, M. Hertweck apresentou contra-exemplos para as duas quest˜oes. Assim, agora busca-se caracterizar as classes de grupos que s˜ao determinados pelos seus an´eis de grupo integrais, ou ainda, as classes de grupos em que permanece v´alida a propriedade do nor- malizador.

  Continuando com os desafios na teoria de an´eis de grupos integrais, podemos citar o estudo do grupo das unidades deste anel, isto ´e, U(RG) = {x ∈ RG : (∃ y ∈ RG)(xy = yx = 1)}. Desde a d´ecada de 1970, v´arias pesquisas tˆem mostrado que este grupo tem uma estrutura muito complicada. Isto se deve, entre outras coisas, ao fato de o mesmo possuir um subgrupo livre de posto 2. A relevˆancia no estudo do grupo das unidades est´a diretamente ligada ao Problema do Normalizador, pois, para termos respostas sobre este problema, precisamos conhecer o grupo das unidades.

  Neste trabalho estamos interessados principalmente num tipo de unidade: uni- dades f -unit´arias. Dados um grupo G qualquer e f : G → U(Z) = {−1, 1} um homo- P morfismo de grupos, pode-se definir a fun¸c˜ao h : ZG → ZG que a cada x = α g g faz g ∈G f −1 P corresponder x = α g f (g)g , a qual ´e um antiautomorfismo do anel ZG, chamado g

  ∈G f de involu¸c˜ao gerada pelo homomorfismo f . Em particular, se f ´e trivial, ent˜ao x coincide f P

  −1 ∗ com a involu¸c˜ao cl´assica, ∗, i.e., x = α g g = x . Definimos ent˜ao g

  ∈G f U f (ZG) = {u ∈ U(ZG) : uu = ±1}, chamado de conjunto das unidades unit´arias (o qual ´e um subgrupo de U (ZG)).

  O estudo das unidades unit´arias foi proposto por S.P Novikov e este subgrupo foi descrito pela primeira vez por A. A. Bovdi. Desde ent˜ao uma s´erie de resultados interessantes sobre este assunto tem aparecido.

  O presente trabalho est´a dividido em trˆes cap´ıtulos, da seguinte forma: No primeiro cap´ıtulo, apresentamos, sem muitas demonstra¸c˜oes, algumas de- fini¸c˜oes e resultados b´asicos sobre Teoria de Grupos, Teoria de An´eis e M´odulos e An´eis de Grupos que ser˜ao utilizados ao longo dos demais cap´ıtulos.

  No segundo cap´ıtulo, faremos um estudo do subgrupo de todas unidades f - unit´arias caracterizando quando este grupo ´e um subgrupo de ´ındice finito no grupo das unidades. Al´em disso, apresentaremos um outro tipo de unidade; unidades f -unit´arias ge- neralizadas. O conjunto de todas essas unidades ser´a um subgrupo do grupo das unidades e ser´a exatamente o normalizador do subgrupo das unidades f -unit´arias.

  No terceiro cap´ıtulo, apresentaremos e demonstraremos que o ´ındice das unida- des bic´ıclicas no grupo das unidades f -unit´arias do grupo diedral ´e finito. Al´em disso, enunciaremos e provaremos um teorema que caracteriza grupos para os quais se tenha o subgrupo das unidades bic´ıclicas sendo um subgrupo unit´ario generalizado, i.e., B ≤ U g,f .

  2 Al´em disso, apresentaremos uma rela¸c˜ao entre as unidades f -unit´arias de ZG e as uni- dades f 1 -unit´arias de Z(G × C 2 ). Alguns resultados apresentados em cap´ıtulos anteriores sobre unidades f -unit´arias ser˜ao estendidos para as unidades f -unit´arias generalizadas e apresentaremos alguns resultados que mostram rela¸c˜oes entre unidades f -unit´arias gene- ralizadas e unidades f -unit´arias. Finalizamos, discutindo alguns resultados envolvendo as unidades f -unit´arias generalizadas e as unidades hipercentrais. Cap´ıtulo 1 Preliminares

  Neste cap´ıtulo, introduziremos algumas defini¸c˜oes e resultados importantes acerca das Teorias de Grupos, de An´eis e M´odulos e de An´eis de Grupo. Ressaltamos que os resultados apresentados aqui poder˜ao ser encontrados pelo leitor em [11] e [16].

1.1 Grupos

  Os resultados cl´assicos da teoria de grupos inseridos nesta se¸c˜ao ser˜ao ´ uteis para que se possa compreender o desenvolvimento deste trabalho. Um conjunto n˜ao vazio G munido com uma opera¸c˜ao bin´aria

  ∗ : G × G → G (a, b) 7→ a ∗ b

  ´e um grupo se as seguintes condi¸c˜oes s˜ao satisfeitas: 1. a ∗ (b ∗ c) = (a ∗ b) ∗ c, para todo a, b, c ∈ G.

  2. Existe 1 ∈ G tal que 1 ∗ a = a ∗ 1 = a, para todo a ∈ G.

  3. Para todo a ∈ G, existe b ∈ G tal que a ∗ b = b ∗ a = 1. O grupo ´e abeliano ou comutativo se tamb´em vale a condi¸c˜ao 4. a ∗ b = b ∗ a, para todo a, b ∈ G.

  Para simplificar a nota¸c˜ao usaremos ab em vez de a ∗ b. A ordem ou cardinalidade de um grupo G ´e o n´ umero de elementos de G que denotaremos por |G|. Sejam G um grupo e H um subconjunto de G. Dizemos que H ´e um subgrupo de

  G, em s´ımbolos H ≤ G, se as seguintes condi¸c˜oes s˜ao satisfeitas:

  1. H 6= 0; −1 2. ab , para todo a, b ∈ H.

  Sejam G um grupo e H um subgrupo de G. Dado a ∈ G, o conjunto aH = {ah : h ∈ H} ´e chamado a classe lateral `a esquerda de H em G determinada por a. De modo semelhante, podemos definir a classe `a direita Ha de H em G. O conjunto de todas as classes laterais

  G `a esquerda de H em G forma uma parti¸c˜ao de G, que denotamos por . H

  −1 Dados a, b ∈ G, dizemos que a ´e congruente a b m´odulo H se a b ∈ H, que denotaremos por a ≡ b (mod H). ´ E f´acil verificar que ≡ ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia em

  G e que a classe de equivalˆencia determinada por a ´e igual `a classe lateral `a esquerda aH. O elemento a ´e chamado um representante da classe de equivalˆencia. N˜ao ´e dif´ıcil ver que existe uma correspondˆencia biun´ıvoca entre o conjunto das classes laterais `a esquerda de H em G e o conjunto das classes laterais `a direita de H em G. A cardinalidade do conjunto das classes laterais `a esquerda (ou `a direita) de H em G ´e chamado de o ´ındice de H em G, que denotaremos por [G : H].

  Sejam G um grupo e H um subgrupo de G. Dizemos que H ´e um subgrupo normal de G, em s´ımbolos H ✂ G, se Ha = aH, ∀a ∈ G, isto ´e,

  −1 aHa = H, ∀a ∈ G.

  G Al´em disso, ´e um grupo com a opera¸c˜ao aHbH = abH para a, b ∈ G se, e

  H G somente se, H ´e um subgrupo normal de G. Neste caso, ´e chamado o grupo quociente

  H de G por H. O produto cartesiano G × H munido da opera¸c˜ao bin´aria componente a compo- nente

  (a, b) ∗ (g, h) = (ag, bh) −1 −1

  ´e um grupo com elemento neutro (1, 1) e (g , h ) o inverso de (g, h). O grupo G × H ´e chamado produto direto (externo). Por indu¸c˜ao, segue-se que G × G ... × G n

  1

  2 ´e um grupo. Em particular, n

  G = G × G × · · · × G vezes | {z } n

  ´e um grupo.

  Dados G um grupo, S ⊆ G e {H λ } λ a fam´ılia dos subgrupos de G que cont´em ∈L

  T S. O subgrupo de G dado por H λ ´e chamado de subgrupo de G gerado por S, o λ

  ∈L qual denotaremos por hSi. Este subgrupo ´e o menor subgrupo de G que cont´em S. Em particular, se X = {a}, ent˜ao n

  G = hai = {a : n ∈ Z} ´e chamado o grupo c´ıclico gerado por a. Sejam G um grupo e H um subgrupo de G. Os conjuntos

  −1

  1. N (H) = {g ∈ G : g Hg = H}, G

  2. C G (H) = {g ∈ G : gh = hg, ∀h ∈ H},

  3. Z(G) = {g ∈ G : gx = xg, ∀x ∈ G}, s˜ao chamados respectivamente de normalizador e centralizador de H em G, centro de G os quais s˜ao subgrupos de G. O normalizador de um subgrupo H em G ´e o maior subgrupo de G em que H ´e normal.

  Sejam G e H conjuntos n˜ao vazios munidos com as opera¸c˜oes bin´arias ∗ e ◦ respectivamente. Um fun¸c˜ao ϕ de G em H ´e um morfismo se ϕ(a ∗ b) = ϕ(a) ◦ ϕ(b), ∀a, b ∈ G. Em particular, se G e H s˜ao grupos, dizemos que ϕ ´e homomorfismo de grupos. Neste caso, a imagem de ϕ, Im ϕ, ´e um subgrupo de H. O n´ ucleo de ϕ ´e o conjunto Ker ϕ = {g ∈ G : ϕ(g) = 1}, o qual ´e um subgrupo normal de G.

  Um homomorfismo de grupos ϕ : G → H ´e dito um isomorfismo se ϕ ´e bijetiva. Quando existir um isomorfismo entre G e H dizemos que G e H s˜ao isomorfos e denotamos tal isomorfismo por G ≃ H. Um endomorfismo de um grupo G ´e um homomorfismo ϕ : G → G. Denotamos por End(G) = {ϕ : G → G : ϕ ´e um homomorfismo }.

  Um subgrupo H de um grupo G ´e dito caracter´ıstico se ϕ(H) ⊆ H para todo automorfismo ϕ de G. Sejam G um grupo, H e N subgrupos de G. Dizemos que G ´e um produto semi

  direto (interno) de N por H se as seguintes condi¸c˜oes s˜ao satisfeitas:

  1. G = N H;

  2. N ✂ G 3. N ∩ H = {1}. Nota¸c˜ao: G = N ⋊ H.

  Dado um grupo G abeliano e a ∈ G. Dizemos que a ´e um elemento de tor¸c˜ao n de G se existir n ∈ N tal que a = 1. O conjunto T(G) = {a ∈ G : o(a) < ∞} ´e um subgrupo de G chamado o subgrupo de tor¸c˜ao de G. Se T(G) = {1}, dizemos que G ´e um

  G grupo livre de tor¸c˜ao. Note que ´e livre de tor¸c˜ao. T(G)

  Um elemento cuja ordem ´e uma potˆencia de um primo p ´e chamado um p-

  

elemento. Por outro lado, se p n˜ao divide a ordem do elemento, ent˜ao dizemos que

ele ´e um p -elemento.

  Dado um inteiro primo p, dizemos que o grupo G ´e um p-grupo se a ordem de todo elemento de G ´e uma potˆencia de p, i.e., se todo elemento ´e um p-elemento. Um grupo abeliano G ´e dito abeliano elementar, se existe um inteiro primo p tal que todo elemento de G − {1} tem ordem p. Para um grupo G arbitr´ario, define-se o m

expoente de G, caso exista, como sendo o menor inteiro positivo m tal que g = 1 ∀g ∈ G.

Neste caso, escrevemos exp(G) = m. Note que G ´e um p-grupo abeliano elementar m se, e somente se, exp(G) = p e se G ´e um grupo abeliano com exp(G) = p , ent˜ao p m p p

  −1 exp(G ) = p com G = {g : g ∈ G}.

  Um grupo n˜ao comutativo G tal que todos seus subgrupos s˜ao normais ´e chamado de Grupo Hamiltoniano. Da teoria de grupos, tem-se que um grupo G ´e hamiltoniano se, e somente se, G ´e um produto direto do grupo dos quat´ernios de ordem 8, de um 2-grupo abeliano elementar E e um grupo abeliano A cujos elementos s˜ao de ordem ´ımpar. Um exemplo de grupo hamiltoniano ´e o grupo dos quat´ernios.

  Seja G um grupo. Uma s´erie subnormal de G ´e uma sequˆencia {1} = G ≤ G ≤ ... ≤ G n = G (1.1)

  1 tal que

  −1 Os grupos

  ✂ G i G i , com 1 ≤ i ≤ n.

  G i , com 1 ≤ i ≤ n,

  G i −1 s˜ao chamados de grupos fatores. O comprimento da s´erie subnormal ´e o n´ umero de grupos fatores.

  Um refinamento de uma s´erie subnormal {1} = G ≤ G ≤ ... ≤ G n = G,

  1 ´e uma s´erie subnormal obtida a partir desta, pela inser¸c˜ao de mais (possivelmente nenhum) subgrupos. O refinamento ´e pr´oprio se algum subgrupo distinto dos j´a existentes ´e inserido na s´erie.

  A s´erie subnormal ´e uma s´erie de composi¸c˜ao se ela n˜ao admite um refinamento pr´oprio. Sejam {1} = G ≤ G ≤ ... ≤ G ≤ H ≤ ... ≤ H

  1 n = G e {1} = H 1 m = H, duas s´eries subnormais de um grupo G. Dizemos que elas s˜ao equivalentes, se m = n e existe uma permuta¸c˜ao σ ∈ S n , tal que

  G i H σ (i) ≃ , com 1 ≤ i ≤ n.

  G i H −1 σ (i)−1

  O comutador de dois elementos h, k ∈ G ´e definido por −1 −1 [h, k] = h k hk.

  O conjunto G = h[h, k] | h, k ∈ Gi

  ´e chamado subgrupo comutador de G. Mais geralmente, se H e K s˜ao subconjuntos de

  G, ent˜ao [H, K] = h[h, k] | h ∈ H, k ∈ Ki ´e um subgrupo de G. Assim, G = [G, G].

  A seguir, ser˜ao enunciados alguns resultados em que omitiremos a prova. Entre- tanto, esta prova pode ser encontrada nas referˆencias citadas no in´ıcio do cap´ıtulo. Teorema 1.1.1. Seja G um grupo. Ent˜ao:

  1. G ´e abeliano, se e somente se, G = {1};

  2. G ´e um subgrupo caracter´ıstico de G. Em particular, G ´e normal em G;

  G

  3. ´e abeliano;

  G G

  4. Se H ´e um subgrupo de G, ent˜ao H ´e normal e ´e abeliano se, e somente se,

  H G ⊆ H;

  

5. Se f : G → L ´e um homomorfismo de grupos e H e K s˜ao subgrupos e G, ent˜ao

f ([H, K]) = [f (H), f (K)].

  Seja G um grupo. A s´erie central descendente ou inferior ⊇ ...γ

  γ 1 (G) ⊇ γ 2 (G) = [γ 1 (G), G] = [G, G] = G i (G) ⊇ ... ´e definida, indutivamente, por γ (G) = G, ..., γ i (G) = [γ i (G), G].

  1 +1

  • 1
  • 1
  • 1 (G) = {x ∈ G :| [x, G] ⊆ Z n (G)}.

  3. Se π : G →

  Se um anel R satisfaz a propriedade:

  2. x(yz) = (xy)z, para todo x, y, z ∈ R. 3. x(y + z) = xy + xz, (x + y)z = xz + yz, para todo x, y, z ∈ R.

  Um anel ´e um conjunto n˜ao vazio R munido de duas opera¸c˜oes bin´arias, adi¸c˜ao (x, y) 7→ x + y e multiplica¸c˜ao (x, y) 7→ xy tal que as seguintes propriedades valem: 1. R ´e um grupo comutativo com a adi¸c˜ao.

  G Z n (G) . Caso utilizemos algum resultado que n˜ao tenha sido apresentado nesta se¸c˜ao, as mesmas referˆencias citadas no in´ıcio do cap´ıtulo podem ser consultadas.

  ´e o centro de

  (G) Z n (G)

  Z n

  Consequentemente,

  Z G Z n (G) .

  (G) = π −1

  Z n

  ´e a proje¸c˜ao canˆonica, ent˜ao

  G Z n (G)

  (G) ⊆ Z n +1 (G) para todo n ≥ 0;

  2. Z n

  1. Cada Z n (G), o n-´esimo centro de G, ´e um subgrupo caracter´ıstico de G;

  Teorema 1.1.3. Seja G um grupo. Ent˜ao:

  Z (G) = {e}, ..., Z n

  2 (G) ⊆ ... ⊆ Z n (G)... de G ´e definida, intuitivamente, por

  1 (G) ⊆ Z

  Z (G) ⊆ Z

  (G) . Dado um grupo G, a s´erie central ascendente (superior)

  G γ i

  (G) ≤ Z

  γ i (G) γ i

  3.

  1. Cada γ i (G) ´e um subgrupo caracter´ıstico de G; 2. γ i +1 (G) ≤ γ i (G);

  Teorema 1.1.2. Seja G um grupo. Ent˜ao:

  • 1
  • 1

1.2 An´ eis e M´ odulos

  4. Existe 1 ∈ R tal que x1 = 1x = x, para todo x ∈ R, dizemos que R ´e um anel com identidade.

  5. Se xy = yx, para quaisquer x, y ∈ R, dizemos que R ´e um anel comutativo.

  Se um anel R satisfaz a propriedade:

  6. Para todo x, y ∈ R, xy = 0 ⇒ x = 0 ou y = 0, dizemos que R ´e um anel sem divisores de zero. Caso contr´ario, dizemos que R ´e um anel com divisores de zero.

  Um elemento x ∈ R ´e dito uma unidade de R se existir y ∈ R, tal que xy = yx =

  1. Denotaremos por U (R) o conjunto de todas as unidades de R. Se U(R) = R

  ∗ = R − {0}, dizemos que R ´e um corpo.

  Sejam R um anel com identidade e x ∈ R. Se n ∈ Z, definimos nx ∈ R por nx =       

  (n − 1)x + x, se n > 0 0, se n = 0

  (−n)(−x), se n < 0 Sejam R um anel com identidade e S = {n ∈ N :| na = 0, ∀a ∈ R}. Se S ´e n˜ao vazio, ent˜ao pelo princ´ıpio da boa ordena¸c˜ao, S cont´em, um menor elemento, digamos k ∈ S. O elemento k ´e chamado de caracter´ıstica do anel R. Caso contr´ario, dizemos que R tem caracter´ıstica zero.

  Um subconjunto n˜ao vazio S de um anel R com unidade ´e um subanel de R se as seguintes condi¸c˜oes s˜ao satisfeitas: 1. ∀ x, y ∈ S tem-se x − y ∈ S; 2. ∀ x, y ∈ S, tem-se xy ∈ S; 3. 1 ∈ S.

  Seja R um anel comutativo com unidade. Um m´odulo V sobre R ´e um grupo comutativo aditivo, munido com uma fun¸c˜ao R × V → V

  (r, v) 7→ rv tal que as seguintes condi¸c˜oes s˜ao satisfeitas: 1. r(sv) = (rs)v, para todo r, s ∈ R e v ∈ V .

  2. r(u + v) = ru + rv, para todo r ∈ R e u, v ∈ V . 3. (r + s)v = rv + sv, para todo r, s ∈ R e v ∈ V . 4. 1v = v, para todo v ∈ V .

  Note que, se R ´e um corpo, ent˜ao um m´odulo V sobre R ´e um espa¸co vetorial sobre R. Seja V um m´odulo sobre R. Se v ∈ V pode ser escrito como n

  X ∈ R, com v ∈ V, v = r i v i :| r i i i =1 ent˜ao dizemos que v ´e uma combina¸c˜ao linear dos elementos de v , v , ..., v n sobre R.

  1

  2 Uma sequˆencia finita v , v , ..., v n de elementos de um m´odulo V sobre R ´e cha-

  1

  2 mada linearmente independente se n

  X i r i v = 0 ⇒ r = r = ... = r n = 0. i

  1

  2 =1

  Caso contr´ario, dizemos que a sequˆencia ´e linearmente dependente. Um subconjunto S de um m´odulo V sobre R ´e dito linearmente independente se qualquer sequˆencia finita de elementos distintos de S ´e linearmente independente; caso contr´ario, S ´e dito linearmente dependente.

  Um subconjunto S de um m´odulo V sobre R ´e dito ser uma base sobre R se as seguintes propriedades valem:

  1. V = hSi; 2. S ´e linearmente independente.

  A defini¸c˜ao do ´ıtem 1., acima, ´e an´aloga a que vimos na p.6 para grupos. Um m´odulo V sobre R ´e chamado de m´odulo livre sobre R se possui uma base. A cardinalidade da base sobre R ´e chamada de posto de V sobre R.

1.2.1 An´ eis de grupo

  Nesta se¸c˜ao apresentaremos algumas defini¸c˜oes da teoria de an´eis de grupo ne- cess´arias para uma melhor compreens˜ao do trabalho. Para maiores detalhes consulte [11] e [15].

  Dado um grupo G e um anel R, define-se um anel de grupo, representado por RG, como o conjunto de todas as somas formais quase nulas (ou seja, apenas um n´ umero finito P de coeficientes de R s˜ao n˜ao nulos) representado por: α g com α ∈ R munidos das g g g

  ∈G seguintes opera¸c˜oes: P P P (1) Adi¸c˜ao: α g g + β g g := (α g + β g )g; g g g

  ∈G ∈G ∈G P P P P

  (2) Multiplica¸c˜ao : α g g . β g g := (α g β h )gh; g g g h ∈G ∈G ∈G ∈G

  Podemos tamb´em definir a multiplica¸c˜ao de elementos de RG por elementos r do anel R: P P (3) Multiplica¸c˜ao por escalar: r α g g := (rα g )g. g ∈G g ∈G Com esta estrutura, RG admite uma estrutura de R-m´odulo.

  Observa¸ c˜ ao 1.2.1.

  RG ´e um anel comutativo se, e somente se, G e R s˜ao comutativos. A fun¸c˜ao ε : RG → R definida por

  X X ε(α) = ε α g g = α g g ∈G g ∈G

  ´e um homomorfismo de an´eis sobrejetor, chamada de fun¸c˜ao de aumento de RG. O P P conjunto ∆ R (G) = Ker ε = {α = α g g ∈ RG : α g = 0} ´e chamado o ideal de g g

  ∈G ∈G aumento de RG.

  G Seja N um subgrupo normal de G. Ent˜ao, a fun¸c˜ao ϕ : RG → R definida

  N por

  X X ϕ(α) = ϕ α g g = α g g N g ∈G g ∈G

  ´e um homomorfismo de an´eis, com

  X X ∆ R (G, N ) = Kerϕ = { α g g ∈ RG : α g gN = 0}. g g ∈G ∈G

  Seja G um grupo. Denotamos por U(ZG) = {α ∈ ZG : α ´e invers´ıvel} o grupo das unidades de ZG e por U

  1 (ZG) = {α ∈ U(ZG) : ε(α) = 1}, o grupo das unidades normalizadas de ZG. Se u ∈ U (ZG), ent˜ao ε(u) = ±1. Como U (ZG) ≤ U(ZG), ´e f´acil ver que U (ZG) = ±1 × U (ZG).

  1

  1 −1 −1

  Um elemento da forma rg, onde r ∈ U (R) e g ∈ G, tem um inverso r g . Os elementos desta forma s˜ao chamados de unidades triviais de RG. Quando temos R = Z, os elementos da forma ±g s˜ao as unidades triviais do anel de grupo ZG. Observe que, se o anel ´e um corpo K, ent˜ao as unidades triviais de KG s˜ao todos elementos da forma kg com 0 6= k ∈ K e g ∈ G.

  Uma unidade que usaremos bastante ao longo do trabalho ´e a chamada unidade

  

bic´ıclica. Dado um elemento a ∈ G de ordem finita, digamos n, e qualquer outro elemento

  b ∈ G podemos definir tal unidade como sendo: n 2 −1

  µ a,b = 1 + (a − 1)b + ... + a ba, com ba = 1 + a + a cuja inversa ´e dada por

  −1 µ = 1 − (a − 1)b a,b ba.

  Denotaremos por B (ZG) (muitas vezes usaremos apenas B ) o subgrupo de U

  2

  2 gerado por todas as unidades bic´ıclicas de ZG. Claramente, se a e b comutam ent˜ao µ a,b = 1. Mostraremos agora quando as unidades bic´ıclicas s˜ao triviais.

  Teorema 1.2.2.

  Sejam g, h elementos do grupo G com o(g) = n < ∞. Ent˜ao, a unidade bic´ıclica µ g,h ´e trivial se, e somente se, h normaliza hgi e, neste caso, µ g,h = 1.

  Demonstra¸ c˜ ao: (⇒) Suponha que µ g,h seja trivial. Assim, de ε(µ g,h ) = 1 existe um elemento x ∈ G tal que µ g,h = x. Assim, temos;

  1 + (1 − g)h bg = x. Disso, segue que n n

  2 −1 2 −1 1 + h(1 + g + g + · · · + g ) = x + gh(1 + g + g + ... + g ). i −1 −i Se x = 1, ent˜ao h = ghg para algum inteiro i. Assim, h gh = g . Agora, suponha que x 6= 1. Ent˜ao, h / ∈ hgi, pois do contr´ario, h comutaria com g e, portanto, x = 1. Como 1 aparece do lado esquerdo da equa¸c˜ao acima devemos ter tamb´em 1 no lado direito. Assim, i

  −(i+1) deve existir um inteiro positivo i tal que 1 = ghg . Isto implica que h = g . Um absurdo. Segue que x = 1 e h normaliza hgi.

  −1 j (⇐) Suponha agora que h normaliza hgi. Ent˜ao, h gh = g para algum inteiro positivo j j j. Disso, segue que gh = hg . Como g g,h = bg = bg, temos que ghbg = hbg. Assim, de µ

  1 + (1 − g)h g,h ´e trivial. bg = 1 + hbg − ghbg = 1. Segue-se que µ

  Como consequˆencia imediata, temos que, para um grupo finito G, o grupo B ´e

  2 trivial se, e somente se, todo subgrupo de G ´e normal.

  Teorema 1.2.3. Se u ´e uma unidade central de ordem finita em ZG, ent˜ao u = ±g, onde g ´e um elemento de tor¸c˜ao do centro de G.

  Teorema 1.2.4 (Higman). Seja G um grupo de tor¸c˜ao. Ent˜ao, todas unidades de ZG

  

s˜ao triviais se, e somente se, G ou ´e um grupo abeliano de expoente igual a 1,2,3,4 ou 6

ou ´e um 2-grupo hamiltoniano.

  Caso necessitemos de algum outro resultado n˜ao apresentado no presente cap´ıtulo, ser´a indicado onde encontr´a-lo. Cap´ıtulo 2 Unidades arias f -Unit´

  Neste cap´ıtulo, iremos discutir um tipo de unidade chamada de unidade f -unit´aria e tamb´em a sua generaliza¸c˜ao – unidade f -unit´aria generalizada. Estudaremos a rela¸c˜ao entre as unidades f -unit´arias de ZG e as unidades f 1 -unit´arias de Z(G×C 2 ). Este cap´ıtulo ´e baseado em [9].

  Ao longo do texto, escreveremos por muitas vezes U f em vez de U f (ZG).

  

2.1 Unidades f -unit´ arias em um anel de grupo inte-

gral

  Sejam ZG um anel de grupo integral de um grupo arbitr´ario G e f : G → {−1, 1} um homomorfismo de grupos. Podemos definir a fun¸c˜ao h : ZG → ZG que a cada x = P P f

  −1 g α g g faz corresponder h(x) = x = α g f (g)g a qual ´e um antiautomorfismo g ∈G ∈G do anel ZG e ´e chamada de involu¸c˜ao gerada pelo homomorfismo g. Em particular, se f ´e f f P

  −1 ∗ trivial,i.e., f ≡ 1, x coincide com a involu¸c˜ao cl´assica,∗, ou seja, x = α g g = x . g ∈G Definimos ent˜ao f

  U f (ZG) = {u ∈ U(ZG) : uu = ±1}, o conjunto das unidades f -unit´arias o qual ´e um subgrupo de U (ZG). Um elemento u ∈ U f ´e chamado de unidade f -unit´aria. Quando f ´e trivial dizemos que U f ´e o grupo das unidades unit´arias e denotamos tal fun¸c˜ao por ∗.

  O estudo das unidades unit´arias foi proposto por Novikov e este subgrupo foi descrito pela primeira vez por Bovdi (ver em [2]). Na presente se¸c˜ao, apresentaremos o resultado provado por Yuanlin Li, em [9] que nos mostra uma rela¸c˜ao entre as unidades f -unit´arias de ZG e as unidades f -unit´arias de

  1 Z (G × C ), e discutiremos quando as unidades f -unit´arias geram um subgrupo de ´ındice

  2 finito no grupo das unidades U (ZG).

  Dado o homomorfismo de grupos apresentado no in´ıcio do texto, f : G → {−1, 1}, podemos estendˆe-lo ao homomorfismo de grupos: f : G × C → {±1}, i

  1

  2 o qual ´e dado por f (g, c ) = f (g), sendo c o gerador de C (grupo c´ıclico de ordem 2).

  1

  2 O resultado abaixo nos fornece uma rela¸c˜ao entre as unidades f -unit´arias de ZG e as unidades f -unit´arias de Z(G × C ).

  1

  2 Teorema 2.1.1 (Yuanlin Li). Para um grupo arbitr´ario G, U (ZG) = U (ZG) implica f

  que U (Z(G × C )) = U f 1 (Z(G × C )).

  2

  2 Para provar este teorema precisaremos de alguns resultados que ser˜ao apresenta- dos a seguir.

  Proposi¸ c˜ ao 2.1.2. Os conjuntos K = {u = 1 + α(1 − c) | α ∈ ZG ∧ u ∈ U(Z(G × C ))}

  2

  

e H = {v = 1 + 2α | α ∈ ZG ∧ v ∈ U(ZG)} s˜ao subgrupos de U (Z(G × C )) e U (ZG)

  2 respectivamente.

  Demonstra¸ c˜ ao: De fato, observe que K 6= ∅, pois tomando α = 0 tem-se 1 ∈ K. Agora, sejam ∈ K. u = 1 + α(1 − c) e u 1 = 1 + β(1 − c) com α, β ∈ ZG. Mostremos que uu

  1

  2 (1 + α(1 − c)).(1 + β(1 − c)) ⇐⇒ 1 + β(1 − c) + α(1 − c) + αβ(1 − c)

  2 ⇐⇒ (α + β)(1 − c) + αβ(1 − c) + 1 ⇐⇒ (α + β)(1 − c) + αβ(1 − 2c + 1) + 1 ⇐⇒ (α + β)(1 − c) + 2αβ − 2αβc + 1 ⇐⇒ (α + β)(1 − c) + 2αβ(1 − c) + 1 ⇐⇒ (α + β + 2αβ)(1 − c) + 1.

  Chamando α + β + 2αβ de γ, temos que uu = 1 + γ(1 − c) com γ ∈ ZG pertence

  1 a K. Agora, tome u 2 = 1 + δ(1 − c) ∈ K com δ ∈ ZG, de forma que, α + δ + 2αδ = 0 e,

  −1 assim temos que uu = 1 = u u e , portanto, u = u ∈ K. Segue que K ´e um subgrupo

  2

  2

  2 de U (Z(G × C )). Agora, mostremos que H ´e um subgrupo de U (ZG). Observe que H ´e

  2 n˜ao vazio, pois tomando α = 0 temos que 1 ∈ H. Sejam v = 1 + 2α e v = 1 + 2β com

  1 ∈ H. De fato,

  α, β ∈ ZG. Mostremos que vv

  1

  (1 + 2α)(1 + 2β) ⇐⇒ 1 + 2α + 2β + 4αβ ⇐⇒ 1 + 2(α + β + 2αβ). Chamando α + β + 2αβ de λ, temos que vv = 1 + 2λ. Segue que vv ∈ H. De maneira

  1

  1 an´aloga ao que fizemos no subgrupo anterior, tomando v = 1 + 2υ, de maneira que

  2 −1 α + υ + 2αυ = 0, temos que v = v ∈ H. Portanto, H ´e um subgrupo de U(ZG).

  2 Sabendo que os conjuntos acima s˜ao subgrupos de U (Z(G × C )) e de U (ZG)

  2 respectivamente, faz sentido o enunciado do pr´oximo lema.

  Lema 2.1.3.

  Seja G um grupo arbitr´ario. Ent˜ao, U (Z(G × C )) ´e um produto semidireto

  2

  de K e D,i.e., U (Z(G × C

  2 )) = K ⋊ D, onde K = {u = 1 + α(1 − c); α ∈ ZG ∧ u ∈ U(Z(G × C ))} e D = U (ZG) ⊂ U(Z(G × C )). Al´em disso, 1 + α(1 − c) ∈ U(Z(G × C ))

  2

  2 2 se, e somente se, 1 + 2α ∈ U(ZG).

  Demonstra¸ c˜ ao: Para mostrar que U (Z(G × C 2 )) = K ⋊ D, primeiro observemos que f : (Z(G ×

  P P P

  • C )) → ZG que, a cada ( α i g i β i g i

  c), faz corresponder (α i + β i )g i ´e um homo-

  2 morfismo e que a sequˆencia f 1 f 2 f 3 f 4

  − → K − → U(Z(G × C − → U(ZG) − → 1 1 ))

  2 ´e uma sequˆencia exata que cinde. De fato, considere os homomorfismos f : 1 → K,

  1 f : K → U(Z(G × C )), f : U (Z(G × C )) → U(ZG) e f : U (ZG) → 1. Note que:

  2

  2

  3

  2

  4 (1) f ´e um homomorfismo que a cada elemento u ∈ K ⊆ U(Z(G × C )) faz corresponder

  2 2 u ∈ U(Z(G × C )). Sendo assim, f ´e um monomorfismo.

  2

  2 (2) f ´e um epimorfismo, pois f ´e restri¸c˜ao de f que ´e um homomorfismo sobrejetor.

  3

  3 ´

  E f´acil ver que: Imf 1 = {1} = Kerf 2 (pois f 2 ´e injetiva); Imf 3 = Kerf 4 , pois f 3 ´e um epimorfismo e f ´e um homomorfismo trivial. Mostremos que K = Im f = Kerf .

  4

  2

  3 Mostremos que K ⊆ Kerf . Seja u ∈ K. Ent˜ao, u = 1 + α(1 − c) com α ∈ ZG.

  3 Aplicando o homomorfismo f temos:

  3 f (1 + α(1 − c)) = f (1 + α − αc)

  3

3 P P

  − = f 3 (1 + α i g i α i g i g g

  c) ∈G ∈G

  P = 1 + (α i − α i )g i g

  ∈G = 1 Portanto, K ⊆ Kerf .

  3

  P P

  • Agora, mostremos que Kerf ⊆ K. Seja v ∈ Kerf com v = α i g i β i g i c e

  3

  3 P (α i + β i )g i = 1. Disso, segue que α i = −β i para todo g i 6= 1. Suponha que para i = 0,

  α + β = 1. Assim: P P

  • v = α i g i β i g i c P P = α .1 + α i g i + β c + β i g i c g 6=g g 6=g i i

  P P P = α .1 + α i g i + β c − α i g i c (denote por α o somat´orio α i g i ) g i 6=g g i 6=g g i 6=0 = α .1 + β .c + α − αc = α + β c + α(1 − c) = 1 − β + β c + α(1 − c) (substituindo α por 1 − β ) = 1 − β (1 − c) + α(1 − c) = 1 + (α − β )(1 − c) (denote por γ a soma (α − β )) = 1 + γ(1 − c).

  Como v ´e uma unidade, γ ∈ ZG e v pode ser escrito da forma 1 + γ(1 − c) segue ⊆ K. Portanto, K = Kerf que v ∈ K e, por conseguinte, Kerf

  3 3 . Conclu´ımos ent˜ao que a sequˆencia dada ´e exata. Observe que, por f ser um homomorfismo injetivo, existe um

  2 homomorfismo g tal que g f = Id e, por f ser um homomorfismo sobrejetor, existe um

  2

  2

  1

  3 homomorfismo g tal que f g = Id. Segue disso que a sequˆencia cinde. Portanto,

  3

  3

  3 U(Z(G × C )) = K ⋊ D.

  2 −1

  Se u = 1 + α(1 − c) ∈ U (Z(G × C )), ent˜ao u ∈ U(Z(G × C )). Assim,

  2

  2 −1 u = 1 + β(1 − c) com β ∈ ZG. Disso, segue que

  2 (1 + α(1 − c)).(1 + β(1 − c)) = 1 ⇐⇒ 1 + β(1 − c) + α(1 − c) + αβ(1 − c) = 1

  2 ⇐⇒ (α + β)(1 − c) + αβ(1 − c) + 1 = 1 ⇐⇒ (α + β)(1 − c) + αβ(1 − 2c + 1) + 1 = 1 ⇐⇒ (α + β)(1 − c) + 2αβ − 2αβc + 1 = 1 ⇐⇒ (α + β)(1 − c) + 2αβ(1 − c) + 1 = 1 ⇐⇒ (α + β + 2αβ)(1 − c) + 1 = 1.

  Como estamos num anel de grupo e o elemento 1 est´a em ambos os lados, ent˜ao devemos ter (α + β + 2αβ)(1 − c) = 0. Veja que c 6= 1 e α, β ∈ ZG. Ent˜ao, α + β + 2αβ = 0 ⇐⇒ 1 + 2(α + β + 2αβ) = 1

  ⇐⇒ (1 + 2α) + 2β + 4αβ = 1 ⇐⇒ 1 + 2α + (1 + 2α)2β = 1 ⇐⇒ (1 + 2α)(1 + 2β) = 1 ⇐⇒ 1 + 2α ∈ U(ZG). Lema 2.1.4. Sejam K = {u = 1 + α(1 − c); α ∈ ZG ∧ u ∈ U(Z(G × C ))} e H = {v =

  2 1 + 2α; v ∈ U(ZG)} subgrupos de U (Z(G × C )) e U (ZG) respectivamente. Ent˜ao, K ´e

  2 isomorfo a H via a fun¸c˜ao 1 + α(1 − c) 7−→ 1 + 2α.

  Demonstra¸ c˜ ao: Considere a fun¸c˜ao h : K → H que a cada 1 + α(1 − c) faz corresponder 1 + 2α. Pela segunda parte do Teorema 2.1.3, h ´e uma bije¸c˜ao. Agora, basta mostrar que h ´e um homomorfismo de grupos. Sejam u = 1 + α(1 − c) e v = 1 + β(1 − c), com α, β ∈ U(ZG). Assim, temos; h(uv) = h((1 + α(1 − c)).(1 + β(1 − c)))

  = h(1 + β(1 − c) + α(1 − c) + αβ(1 − 2c + 1)) = h(1 + (α + β)(1 − c) + αβ(2 − 2c)) = h(1 + (α + β)(1 − c) + 2αβ(1 − c)) = h(1 + (α + β + 2αβ)(1 − c)) = 1 + 2(α + β + 2αβ) = (1 + 2α)(1 + 2β) = h(u)h(v).

  Segue disso que h ´e um isomorfismo de grupos.

  O pr´oximo lema ´e relevante, pois nos fornece o inverso das unidades f -unit´arias quando estas unidades s˜ao dadas na forma 1 + 2α com α ∈ ZG. f Lema 2.1.5. Se existe α ∈ ZG tal que 1+2α ´e uma unidade f -unit´aria, ent˜ao (1+2α) =

  −1 (1 + 2α) .

  Demonstra¸ c˜ ao: f −1 Suponha, por absurdo, que (1 + 2α) = −(1 + 2α) . Ent˜ao, f f

  ε(2(1 + α + α)) = ε((1 + 2α) ) + ε(1 + 2α) −1 = ε(−(1 + 2α) ) + ε(1 + 2α).

  Como ε ´e um homomorfismo, ε transforma unidades em unidades. Assim, temos que −1 f

  ε(1 + 2α) = ε((1 + 2α) ). Observe que se ε(1 + 2α) = 1, ent˜ao ε(2(1 + α + α)) = 0. O f mesmo ocorre se ε(1 + 2α) = −1. Logo, ε(2(1 + α + α)) = 0. Portanto, temos f 0 = ε((1 + 2α) ) + ε(1 + 2α) f

  = ε(1) + ε(2α ) + ε(1) + ε(2α) f = 1 + 2ε(α ) + 1 + 2ε(α) f = 2 + 2(ε(α + α)).

  Disso, segue que f f f 0 = 2(1 + ε(α + α)) ⇒ ε(α + α) + 1 = 0. Logo, ε(α + α) = −1. Mas, f P P −1

  ε(α + α ) = ε( α g + α f (g)g ) g g P P

  −1 = ε( α g

  g) + ε( α g f (g)g ) P P

  = α + g α g f (g) P = α g (1 + f (g)).

  P f Como f (g) = ±1, ent˜ao 2 | (f (g)+1). Logo, 2 | α g (1+f (g)) = ε(α+α ) = −1; f

  −1 um absurdo. Portanto, (1 + 2α) = (1 + 2α) .

  Agora podemos provar que o isomorfismo g dado no Lema 2.1.4 induz um iso- morfismo entre as unidades f -unit´arias de K e as unidades f -unit´arias de H.

  1 Lema 2.1.6. Dado α ∈ ZG, 1 + 2α ´e uma unidade f -unit´aria em U (ZG) se, e somente se, 1 + α(1 − c) ´e uma unidade f -unit´aria de U (Z(G × C )).

  1

  2 Demonstra¸ c˜ ao: (⇒) Suponha que (1 + 2α) ´e uma unidade f -unit´aria em U . Ent˜ao, pela Proposi¸c˜ao 2.1.5 f f

  −1 (1 + 2α) = (1 + 2α) . Assim, (1 + 2α)(1 + 2α) = 1. Temos, f f f

  (1 + 2α)(1 + 2α) = 1 ⇐⇒ 1 + 2α + 2α + 4αα = 1 f f ⇐⇒ α + α + 2αα = 0. Agora, f 1 f 1

  (1 + α(1 − c)) = (1 + α − αc) P P f 1

  = (1 + a g g − a g gc) P P

  −1 −1 −

  = 1 + a g f 1 (g)g a g f 1 (gc)(gc) P P

  −1 −1 −1 = 1 + a f (g)g − a f (gc)c g g

  1 g

  1 P P −1 −1

  = 1 + a g f (g)g − a g f (g)cg f f = 1 + α − cα f = 1 + α (1 − c).

  Assim, f 1 f (1 + α(1 − c)) (1 + α(1 − c)) = (1 + α (1 − c))(1 + α(1 − c)) f f

  = (1 + α(1 − c)) + α (1 − c) + α (1 − c)α(1 − c) f f f − α

  = (1 + α(1 − c)) + α (1 − c) + (α c)(α − αc) f = 1 + α(1 − c) + α (1 − c)+ f f f f

  2

  • [α α − α αc − α αc + α αc ] f f f

  = 1 + α(1 − c) + α (1 − c) + [2α α − 2α αc] f f = 1 + (α + α + 2α α) (1 − c)

  | {z } = 1. f 1 Se calcularmos a express˜ao (1 + α(1 − c))(1 + α(1 − c)) tamb´em teremos como f 1 −1 resultado que este produto ´e igual a 1. Ent˜ao, segue que (1 + α(1 − c)) = (1 + α(1 − c)) e (1 + α(1 − c)) ´e uma unidade f -unit´aria em Z(G × C ).

  2 (⇐) Agora suponha que 1+α(1−c) ´e uma unidade f f 1 -unit´aria de U (Z(G×C f f 2 )). Devemos

  −1 mostrar que (1 + 2α) = (1 + 2α) . Por hip´otese, 1 + (α + α + 2αα )(1 − c) = 1. Isto f f f

  −1 implica que α + α + 2αα = 0 e, portanto, (1 + 2α) = (1 + 2α) .

  Com os resultados necess´arios j´a apresentados e demonstrados, estamos em con- di¸c˜oes de provar o teorema enunciado no in´ıcio da se¸c˜ao. Demonstra¸ c˜ ao do Teorema 2.1.1:

  Pelo que vimos no Lema 2.1.3, U (Z(G × C 2 )) = K ⋊ D, com D = U (ZG) = U (ZG) ⊆ U f f 1 (Z(G × C )). Como H = {v = 1 + 2α; v ∈ U (ZG)} ⊂ U (ZG), ent˜ao pelo

  2 f Lema 2.1.6, K ⊂ U f 1 (Z(G × C )). Assim, temos

  2 U(Z(G × C )) = K ⋊ D ⊆ U f 1 (Z(G × C )).

  2

  2 Disso, segue que U (Z(G × C )) = U f 1 (Z(G × C )).

  2

  2 O pr´oximo teorema nos dar´a condi¸c˜oes para que as unidades f -unit´arias gerem um subgrupo de ´ındice finito em um dado grupo das unidades U (ZG).

  Teorema 2.1.7.

  Para um grupo arbitr´ario G, as seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes: 1. [U : U f ] < ∞; n 2. ∀u ∈ U ∃n ∈ N tal que u ∈ U f , onde n depende do u; f n 3. ∀u ∈ U ∃n ∈ N tal que (uu ) ∈ U f onde n depende do u;

4. U = U f .

  Demonstra¸ c˜ ao: (1) ⇒ (2) Suponha que [U : U f ] = m. Assim, m ´e o n´ umero de classes laterais de U f m

  2

  3 em U e u ∈ U. Considere as classes u U f , u U f , u U f . . . u U f mutuamente distintas, m +1 j pois do contr´ario, ter´ıamos o resultado. Se tivermos u ∈ u U f , com j = 1 . . . m, ent˜ao m +1 j m +1−j u = u v, com v ∈ U f . Disso, segue que u = v ∈ U f . Fazendo n = m + 1 − j, obtemos o resultado.

  (2) ⇒ (3) Suponha que valha (2). Ent˜ao, n n f n f n f n f n f n f u (u ) = ±1 ⇒ (u (u ) ) = ±1 ⇒ (uu ) = ±1 ⇒ (uu ) [(uu ) ] = ±1 ± 1 = ±1. f n ∈ U Logo, (uu ) f . f

  2n (3) ⇒ (4) Suponha que valha (3). Por argumento de aumento, isto implica que (uu ) = f f P 1 e, portanto, uu f + ´e uma unidade de tor¸c˜ao. Seja uu = z z i g i . Provaremos que g i 6=1 z 6= 0. Isto for¸car´a a igualdade uu = z (Corol´ario 1.3 e [15], na p.45) o que finaliza a

  P P f −1 prova. Sejam u = α i g i , u = α i f (g i )g . Disso, segue que i f −1 P

  • uu = z α i α j g i g f (g j ) i j

  6=j P

  −1 −1 = z (α α f (g )g g + α α f (g + )g g ). i<j j i i j j i j i i j f P + Portanto, ±1 = ε(uu ) = z α i α j (f (g i ) + f (g j )) (∗). i<j Veja que f (g i ) + f (g j ) = ±2 ou esta soma ´e igual 0. Se f (g i ) + f (g j ) = 0, ent˜ao z 6= 0 e, necessariamente, z = ±1. Caso tenhamos f (g i ) + f (g j ) = ±2, ficamos com a segunda parcela do somat´orio em (∗) sendo uma soma de n´ umeros pares e primeira parcela sendo z . Como o elemento 1 aparece em um dos membros da igualdade (∗), devemos ter tamb´em este mesmo elemento no outro membr. Isto for¸cara z = ±1 e, consequentemente, z 6= 0.

  (4) ⇒ (1) Imediato . Em [4], Bovdi e Sehgal apresentaram uma s´erie de condi¸c˜oes necess´arias para que o grupo das unidades seja f -unit´ario i.e., U = U f , caracterizando o grupo G e conside- rando o homomorfismo n˜ao trivial. Nesse mesmo artigo, ´e discutido at´e que ponto esta s´erie de condi¸c˜oes tamb´em ´e suficiente para que o grupo das unidades seja f -unit´ario. A prova deste teorema pode ser encontrada na referˆencia dada acima.

2.2 Unidades f -unit´ arias generalizadas

  Nesta se¸c˜ao, introduziremos um novo tipo de unidade: as unidades f -unit´arias generalizadas. Este tipo de unidade ´e uma generaliza¸c˜ao das unidades f -unit´arias defini- das na se¸c˜ao anterior. Apresentaremos a demonstra¸c˜ao que nos mostra que as unidades

  

f -unit´arias generalizadas formam um subgrupo U g,f (ZG) (`as vezes denotado apenas por

  U g,f ) o qual ´e o normalizador de U f em U . Mais ainda, quando o grupo ´e peri´odico, o segundo normalizador do grupo das unidades f -unit´arias ´e igual ao normalizador.

  2.2.1 O normalizador de U f

  Sejam f : G → {−1, 1} o homomorfismo de grupos dado na se¸c˜ao anterior e f C o centro de U(ZG). Quando u ∈ U satisfaz uu ∈ C (pertence ao centro do grupo das unidades), dizemos que u ´e uma unidade f -unit´aria generalizada. A partir de agora, denotaremos o conjunto de todas essas unidades por U g,f .

  Teorema 2.2.1. O conjunto U g,f ´e um subgrupo de U o qual ´e o normalizador de U f em U. Demonstra¸ c˜ ao:

  ´ E f´acil ver que U g,f ´e um subgrupo de U . Agora, mostremos que U g,f ´e o nor-

  ´ ≤ U malizador de U f em U . E claro que U f g,f . Sejam u ∈ U f e v ∈ U g,f . Mos-

  −1 f f f f −f tremos que w = v uv ∈ U f , i.e., que ww = ±1. Ora, temos que w = v u v . f f f f f −1 −f

  Assim sendo, ww = v uvv u v . Como v ∈ U g,f , ent˜ao uvv = vv u. Disso, f f f −1 −f

  ✂ segue que ww = v vv uu v = ±1. Segue ent˜ao que U f U g,f . Por defini¸c˜ao, U g,f ⊆ N (U f ) (o normalizador de U f em U ). Agora, tome v ∈ N (U f ). Para qualquer

  U U

  −1 f f −f −1 −1 f f −f u ∈ U f , (v uv)(v u v ) = ±1, pois v uv ∈ U f . Assim, v uvv u v = ±1 Logo, f f f f f f f

  −1 uvv u = ±vv . Tome u = g ∈ G. Disso, segue que gvv g = ±vv . Como g = ±g , f f f f temos que gvv = ±vv g. Suponha que gvv = −vv

  g. Ent˜ao, por argumento de au- mento (i.e., por aplicar a fun¸c˜ao de aumento em ambos os membros) temos f f ε(gvv ) = −ε(v)ε(v) ε(g) ⇒ 1 = −1 ou − 1 = 1.

  Um absurdo. f f Ent˜ao, segue que gvv = vv g para todo g ∈ G. Logo, v ∈ U g,f . Disso, segue que

  N (U f ) ⊆ U g,f e, portanto, U g,f = N (U f ).

  U U Corol´ ario 2.2.2 (Sehgal e Bovdi). O subgrupo das unidades f -unit´arias U f ´e um subgrupo normal de U se, e somente se, U g,f = U . Demonstra¸ c˜ ao:

  ✂ (⇐) J´a temos U g,f ⊆ U. Suponha que U f U. De G ⊆ U f , segue que dado u ∈ U tem-se

  −1 −1 −1 f −1 f f −f u gu ∈ U f para todo g ∈ G. Logo, (u gu)(u gu) = ±1. Como u guu g u = ±1, f f f f segue que guu = ±uu f g. Por argumento de aumento, guu = uu g para todo g ∈ G.

  Disso, segue que uu ∈ C e, por conseguinte, u ∈ U g,f . Portanto, U ⊆ U g,f e assim temos U g,f = U . (⇐) Imediato. f Teorema 2.2.3. ∈ C,i.e., N Para todo v ∈ N (G), vv (G) ⊆ U g,f .

  U U Demonstra¸ c˜ ao:

  −1 Dados g ∈ G e v ∈ N (G) temos que v gv ∈ G. Como G ⊆ U f , ent˜ao

  U −1 −1 f −1 f f −f f

  (v gv)(v gv) = ±1. Disso, segue que v gvv g v = ±1 o que implica gvv = f f f f ±vv

  g. Por argumento de aumento, gvv = vv

  g. Segue que vv ∈ C e, portanto, v ∈ U g,f .

  Defini¸ c˜ ao 2.2.4. Um grupo G ´e dito peri´odico (ou grupo de tor¸c˜ao) se todo elemento de G tem ordem finita.

  Agora iremos estudar o segundo normalizador de U f , i.e., N U (U g,f ). Teorema 2.2.5 (Yuanlin Li). Se G ´e um grupo peri´odico, ent˜ao N (U g,f ) = U g,f .

  Para provar este teorema, precisamos de alguns resultados apresentados a seguir. Lema 2.2.6. Seja {x i ; ∧ i = 1, 2, · · · , n} um conjunto finito de elementos de ZG. Se n P f i =1 σ i x i x = ±g, onde g ∈ G e cada σ i = ±1, ent˜ao g = 1. i Demonstra¸ c˜ ao:

  P f P −1 f f f Para cada x i ∈ ZG, seja x i = a i g i . Assim, x = a i f (g i )g . Como j j i j j i j

  P −1 g = f (g i )g , ent˜ao x = a i g . Logo, i j i i j i j j j f P P f P P f

  2

  2 ±a ±a x + i x = ( )1 G a i a i g i g = ( )1 G (a i a i g i g + i i j j 6=j j f 1 2 j1 j2 j1 i i j j2 j2 1 <j 2 j1 j2 j1 i

  • a i a i g i g ), j2 j1 j2 i j1

  Ent˜ao,

  X f

  X X

  X X f f

  2 ±g = ±a i i j1 j2 j1 i j2 i j + (σ i x i x ) = ( (σ i ))1 G (σ i a i a i (g i g + g i g )) (1). j2 j1 Por argumento de aumento obtemos: z + z = ±1,

  1 P P P P

  2 com z = (σ ±a ) e z = (σ a a (f (g ) + f (g ))). Note que f (g ) + i i j j 1 i i i i i i 1 <j 2 j1 j2 j1 j2 j1 f (g i ) = ±2 ou esta soma ´e igual a 0. Isto mostra que z ´e um n´ umero par. Logo, j2

  1 z 6= 0. Observe tamb´em que z ´e a soma de todos os coeficientes do 1 G . Logo, nenhum f f

  P P dos coeficientes de (σ i a i a i (g i g + g i g )) est´a multiplicado por 1. Assim, j <j j1 j2 j1 j2 1 2 i i j2 j1 pelo fato do elemento 1 G est´a em um membro da equa¸c˜ao (1) e tamb´em por estarmos em um anel de grupo, deve-se ter 1 G tamb´em no outro membro. Portanto, g = 1. f Corol´ ario 2.2.7. Para todo u ∈ ZG, se uu = ±g, ent˜ao g = 1. Consequentemente, u ´e uma unidade unit´aria.

  Demonstra¸ c˜ ao: A demonstra¸c˜ao segue diretamente do Lema 2.2.6.

  O pr´oximo teorema nos fornece mais uma rela¸c˜ao entre U f e U g,f quando G ´e um grupo qualquer. Vale observar que estes resultados listados ´e para provar que o segundo normalizador do grupo das unidades f -unit´arias estaciona quando G ´e peri´odico. Entretanto, estes mesmos resultados valem para um grupo qualquer. Teorema 2.2.8.

  Para qualquer grupo G, T(U g,f ) = T(U f ), onde T denota o subconjunto dos elementos de tor¸c˜ao.

  Demonstra¸ c˜ ao: Precisamos provar apenas que T(U g,f ) ⊆ T(U f ), pois j´a temos a inclus˜ao contr´aria f pois, U ⊆ U . Se u ∈ T(U ), ent˜ao u ∈ U f g,f g,f g,f f f

  e, por conseguinte, uu = c ∈ C. Disso, segue que uu = u u e conclu´ımos que o(c) < ∞. Pelo Teorema 1.2.3, obtemos c = ±g. f Pelo Corol´ario 2.2.7, uu = ±g o que implica g = 1. Disso, segue que u ∈ T(U f ).

  Portanto, T(U g,f ) = T(U f ).

  ∗ Proposi¸ c˜ ao 2.2.9.

  Dado u ∈ U(ZG), uu = 1 se, e somente se, u = ±g para algum g ∈ G em que ´e o homomorfismo trivial.

  Demonstra¸ c˜ ao: P P

  ∗ ∗ −1 (⇒) Suponha que uu = 1 com u = α g g e u = α g g . Ent˜ao, g g i ∈G ∈G

  X X ∗

  2 1 = uu + = (α g ) .1 G α g g G g.

  ∈G ∋g6=1 P

  2 Disso, segue que (α g ) = 1. Logo, existe um ´ unico g tal que α g = ±1 e α g = 0 para g ∈G todo g 6= g . Segue disso que u = ±g .

  ∗ (⇐) Claramente, se u = ±g, ent˜ao uu = 1.

  Pela proposi¸c˜ao anterior, se f ´e trivial, ent˜ao U f = ±G. Portanto, pelo Teorema 2.2.1, N U (±G) = U g,f . Como consequˆencia imediata temos que T(N U (G)) = ±T(G). Agora estamos em condi¸c˜oes de provar o Teorema 2.2.5. Demonstra¸ c˜ ao do Teorema 2.2.5 Devemos mostrar que N (U g,f ) = U g,f .

  U (⊆) Seja v ∈ N (U g,f ) e g ∈ G. Note que G ⊆ T(U g,f ), pois G ´e peri´odico. Assim,

  U n n n −1

  −1 −n v gv ∈ U g,f . Seja g ∈ G com o(g) = n. Como (v gv) = v g v = 1, ent˜ao

  −1 v gv ∈ T(U g,f ) = T(U f ). Logo, f f f f f

  −1 −1 −1 −f ±1 = v gv(v gv) = v gvv g v ⇒ gvv = ±vv f f f g.

  Por argumento de aumento, gvv = vv g. Portanto, vv ∈ C. Segue que v ∈ U g,f . (⊇) Imediato.

  Corol´ ario 2.2.10. Para qualquer grupo peri´odico G, U g,f ´e um subgrupo normal de U se, e somente se, U g,f = U . Demonstra¸ c˜ ao: n

  (⇒) Suponha que G seja um grupo peri´odico. Ent˜ao, existe n ∈ N tal que g = 1 para todo g ∈ G. Suponha que U g,f = U . Mostremos que U ⊆ U g,f , pois j´a temos a inclus˜ao f ∈ C(U(ZG)). De G ⊆ U contr´aria. Seja u ∈ U . Queremos verificar que uu g,f , temos n

  −1 −1 que u gu ∈ U g,f para todo g ∈ G. Disso, segue que (u gu) = 1 e, por conseguinte,

  −1 u gu ∈ T(U g,f ) = T(U f ). Assim, f f f f f

  −1 −1 −1 −f ±1 = u gu(u gu) = u guu g u ⇒ guu = uu f f f g.

  Por argumento de aumento, guu = uu g para todo g ∈ G. Logo, uu ∈ C. Segue que u ∈ U g,f . Portanto, U ⊆ U g,f , o que implica U = U g,f . (⇐) Imediato.

  Agora apresentaremos alguns resultados t´ecnicos acerca do N (U g,f ) para um grupo G arbitr´ario. Estes resultados nos ser˜ao ´ uteis mais tarde. Teorema 2.2.11. Para qualquer grupo G, v ∈ N (U g,f ) se, e somente se, ∀u ∈ U g,f ∃c ∈ C f f f tal que u(vv ) = c(vv )u e c = c . Demonstra¸ c˜ ao: f f (⇒) Para provar a primeira parte, i.e., ∃c ∈ C tal que u(vv ) = c(vv )u, tome v ∈ N (U g,f ). −1 −1 −1 f

  Ent˜ao, para todo u ∈ U g,f , temos v uv ∈ U g,f . Disso, segue que v uv(v uv) ∈ C, ou −1 f f −f f f −f

  ∈ C. Assim, uvv seja , v u(vv )u v = c 1 com c 1 u v = vc 1 . Ora, valem as seguintes implica¸c˜oes f f f f f f f f f

  −f −f −f uvv u v = vc ⇒ uvv u = vc v ⇒ uvv = vc v u ⇒ uvv = c vv u . (1)

  1

  1

  1

  1 Logo, temos que u ∈ U g,f . Temos tamb´em as implica¸c˜oes f f −1 −f u ∈ U g,f ⇒ uu ∈ C ⇒ uu = c ⇒ c u = u .

  2

  2 −1

  −f Substituindo a igualdade c u = u em (1) obtemos: f f f f f

  2 −1 −1 −1 uvv = c vv c u = c c vv u ⇔ uvv = cvv u, ondec = c c .

  1

  1

  1

  2

  2

  2 Logo, f f u(vv ) = c(vv )u (2). f Resta mostrar a segunda parte, i.e., c = c . Temos: f f f f f f uvv = cvv u ⇒ (uvv ) = (cvv u) f f f f f

  ⇒ vv u = u vv c . (3) f f f f f f f Multiplicando (3) `a direita por (2) temos uvv vv u = cvv uu vv c . Logo, f f f f f f

  2 u(vv ) u = cvv vv uu c f f f

  2 = c(vv ) uu c f f f

  2 = c(vv ) c uu f f

  2 f = cc (vv ) uu . (4)

  Por outro lado, f f f f f

  2 u(vv ) u = uvv vv u f f f

  = cvv uvv u f f

  2

  2 = c (vv ) uu . (5)

  De (4) e (5), temos: f f 2 f 2 f 2 f f 2 f cc (vv ) uu = c (vv ) uu ⇒ cc = c ⇒ c = c.

  (⇐) Para a volta, basta repetir o processo da primeira parte da implica¸c˜ao anterior. f Corol´ ario 2.2.12. Para um grupo arbitr´ario G, se v ∈ N (U g,f ), ent˜ao o(vv ) = ∞ ou f

  2 (vv ) = 1.

  Demonstra¸ c˜ ao: f f

  2 f Seja v ∈ N (U g,f ). Se o(vv ) < ∞, ent˜ao o(vv ) < ∞. Primeiro provemos que

  2 ∈ C.

  (vv ) f f f f n Do Teorema 2.2.11, temos que uvv = cvv u com u ∈ U g,f e c = c . Suponhamos que (vv ) = 1. Assim, temos que: f n f f n f f n f f f n n f n −1 −1 −2 u = u(vv ) = uvv (vv ) = cvv u(vv ) = cvv uvv (vv ) = · · · = c (vv ) u n = c u. n n

  Disso, segue que u = c u e, por conseguinte, c = 1. Como c ´e unidade central f de ordem finita, ent˜ao, pela Proposi¸c˜ao 1.2.3, c = ±g. Portanto, de c = c , tem-se f f f f f f f f f 2 −1

  2

  2

  2 c = cc = gg = 1. Logo, u(vv ) = uvv vv = cvv uvv = cvv cvv u = c (vv ) u = f f

  2 2 (vv ) u para todo u ∈ U g,f . Assim, temos que (vv ) ∈ C. f f f

  2

  2 Agora provaremos que (vv ) = 1. De o(vv ) < ∞, temos que o(vv ) < ∞. f

  2 Segue disso que (vv ) = ±g . Portanto, pelo Lema 2.2.6, g = 1.

  Agora vamos apresentar um teorema que nos fornece condi¸c˜oes para que U = U g,f quando G ´e peri´odico. Teorema 2.2.13. Para qualquer grupo peri´odico G, as seguintes condi¸c˜oes s˜ao equiva- lentes.

  1. U = U ; g,f

  ✂

  2. U g,f U; f f f 3. ∀v ∈ U ∀u ∈ U g,f ∃c ∈ C tal que u(vv ) = c(vv )u e c = c ;

4. U f

  ✂ U.

  Demonstra¸ c˜ ao: (1) ⇔ (2) Segue do Corol´ario 2.2.10.

  −1 (2) ⇒ (3) Suponha que U ´e um subgrupo normal de U . Ent˜ao, dado u ∈ U, u vu ∈ U g,f g,f para todo v ∈ U g,f . Repetindo a prova do Teorema 2.2.11, obtemos o resultado.

  (3) ⇒ (2) Suponha que valha (3). Ent˜ao, dados v ∈ U e u ∈ U g,f . Mostremos que −1 v uv ∈ U g,f . Temos : f f f −1 −1 −1 −f

  (v uv)(v uv) = v uvv u v f f −1 −f

  = v cvv uu v f f −f = cv uu v f f

  −f = cuu v v f = cuu ∈ C

  −1 ✂ Logo, v uv ∈ U g,f . Portanto, U g,f U.

  (1) ⇔ (4) Segue diretamente do Corol´ario 2.2.2.

  De maneira bastante an´aloga ao que fizemos para o Teorema 2.1.7, apresentare- mos condi¸c˜oes para que U g,f = U f . Teorema 2.2.14.

  Para um um grupo G arbitr´ario, as seguintes condi¸c˜oes s˜ao equivalen- tes:

  1. U g,f = U f ; 2. [U g,f : U f ] < ∞; n 3. ∀u ∈ U g,f ∃n ∈ N tal que u ∈ U f onde n depende de u; f n 4. ∀u ∈ U g,f ∃n ∈ N tal que (uu ) ∈ U f ; f 5. ∀c ∈ C tal que cc = ±1.

  Demonstra¸ c˜ ao: (1) ⇒ (2) Imediato. (2) ⇒ (3) Prova-se de maneira an´aloga ao que fizemos para a implica¸c˜ao (1) ⇒ (2) do Teorema 2.1.7. (3) ⇒ (4) Prova-se de maneira an´aloga ao que fizemos para a implica¸c˜ao (2) ⇒ (3) do Teorema 2.1.7. f

  (4) ⇒ (5) Suponha que valha (4). Seja c ∈ C. Mostremos que cc = ±1. Como C ⊆ U , f n g,f ent˜ao existe n tal que (cc ) = ±1. Tomando n = 1 temos o resultado.

  (5) ⇒ (1) Suponha que valha (5). Mostremos que U g,f ⊆ U f , pois j´a temos a outra in- f f f f f f f

  2 clus˜ao. Seja u ∈ U g,f . Ent˜ao, uu ∈ C. Assim, ±1 = (uu )(uu ) = uu uu = (uu ) = f ±1. Logo, uu ⊆ U = ±1. Segue disso que U g,f f . Portanto, U f = U g,f .

  Observemos que, quando o homomorfismo f ´e trivial tem-se que: para qualquer

  G, U = U se, e somente se, G ✂ U . Esta observa¸c˜ao ´e relevante, pois podemos descon- g,f siderar os Corol´arios 2.2.2 e 2.2.10. A seguir, apresentaremos o teorema que nos fornece

  • a
  • a f
  • P α h f (hb)(hb)
  • a
  • a
  • a

  ∗

  1 a

  2 b

  −1

  2 a

  2 = a

  1 a

  1 − a

  ∗

  1 a

  2 b

  −1

  2 a

  ∗

  2 = a 1 a

  1 − a

  1 a

  1 − a

  −1 = a

  −1 = a 1 a

  ∗

  1 − a

  1 a 2 b −1

  −1 − a

  2 P α h bhb

  1 a

  −1 = a

  ∗

  1 − a

  1 a

  2 b

  −1

  −1 − a

  2 P α h h

  ∗

  1 a 2 b −1

  2 b

  1 b

  1 − a

  2 a ∗

  2 )b

  −1 = ba 1 b

  −1 ba

  ∗

  −1 − ba

  −1 = uu f . Tamb´em temos : b(a

  2 b −1 ba

  ∗

  2 b

  −1 .

  Usando a hip´otese de que bab −1

  = a −1

  , para todo a ∈ A, e o fato de A ser abeliano, conclu´ımos que buu f b −1

  1 a ∗

  2 . N˜ao ´e dif´ıcil ver que uu f ∈ C. Basta verificar que uu f comuta com os geradores de G. Se g ∈ A, ent˜ao usando o fato de A ser abeliano conclu´ımos que g(uu f ) = (uu f )g para g ∈ A. Agora vejamos que b comuta com uu f . Temos que buu f = uu f b se, e somente se, buu f b

  2 b − a 2 a ∗

  2

  2 = a

  1 a

  ∗

  1 − a

  2 a

  ∗

  1 a

  ∗

  2 b(1 − b

  −2 )

  Se o(b) = 2, ent˜ao v = uu f = a

  1 a

  ∗

  1 − a

  2 a

  P α h hb

  −1 − a

  = uu f . Segue disso que uu f ∈ C e conclu´ımos que u ∈ U g,f .

  −1 −

  1

  2 b f implica que: u f =

  P α g f (g)g

  −1

  −1 =

  P α g g

  P α h b

  2 b

  −1 h

  −1 = a

  ∗

  1 −

  P α h hb

  −1 = a

  ∗

  −1 . De fato, u f = a f

  1 − a

  2 b

  −1 ∀a ∈ A.

  uma condi¸c˜ao suficiente para que tenhamos U = U g,f . Teorema 2.2.15.

  Seja f : G → U (Z) um homomorfismo n˜ao trivial, com n´ ucleo A.

Suponha que G tem um elemento b tal que G = hA, bi, que A ´e um grupo abeliano e que

a ordem de b ´e igual a 4 e bab

  −1 = a

  −1 para todo a ∈ A. Ent˜ao, U = U g,f .

  Demonstra¸ c˜ ao: Suponha que A = ker(f ) ´e um grupo abeliano, o(b) | 4 e bab

  −1 = a

  Note que f (b) = −1, pois do contr´ario, G = A e f seria trivial, implicando que b

  ∗

  2 ∈ A. J´a temos que U g,f

  ⊆ U. Resta ver que U ⊆ U g,f . Tome u = a

  1

  2 b ∈ U(ZG) onde a i

  ∈ ZA e i ∈ {1, 2}. Sejam a 1 =

  P α g g e a 2 =

  P α h h onde g, h ∈ A. Observe que u f = a

  1 − a

  −1 .

  P α g g

  2 ba

  1 a

  2 b

  −1

  2 ba

  ∗

  1 − a

  2 b

  ∗

  −1 = a

  1 a

  ∗

  1 − a

  1 a

  2 b

  −1

  1 − a

  1 a

  Agora considere v = uu f e note que v = a

  1 a

  1 a

  ∗

  1 − a

  2 a

  ∗

  2

  2 b(1 − b

  = a

  −2 ), pois v = (a

  1

  2 b)(a

  ∗

  1 − a

  2 b

  −1 )

  • P α h hb
  • P α h α g hbg
  • P α h α g hbg
  • P α h α g hgb − a
  • P α g α h hgb − a
  • a 1 a
  • a

  ∗ f ∗ ∗ ∗ Agora suponha que o(b)|4. Fazendo um c´alculo simples conclu´ımos que v = 2 ∗ ∗ 2 ∗ 2 ∗

  (uu ) = a a − a a − a a b(1 − b ). Disso, segue que vv = (a a ) + (a a ) − 2(a a −

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  1

  2

  1

  2

  1 ∗ 2 ∗ ∗

  2 2 ∗ ∗ ∗ f −1 − a − a ∈ C. Seja v a

  2 a )b = (a 1 a 2 a

  b) = c , com c = (a 1 a 2 a

  b) = c = c 1 = vc .

  2

  1

  2

  1

  2 Assim, ∗ −1 −1 ∗ ∗ ∗ −1 ∗ −1 v v = vc (c ) v = vv c (c ) = 1.

  1

  1 i Conclu´ımos, ent˜ao que v = ±g para algum g ∈ G e v = ±cg. Seja g = ab com a ∈ A e

  1 i = 0, 1. Se i = 1, ent˜ao g = ab e v = ±cab. Logo,

  −1 3 −1 ∗ ∗ 3 −1

  2 − a c = a vb = a (a

  1 a 2 a )b + a (a 1 a 2 (1 − b )) ∈ C.

  1

  2 Observe que, como c ∈ ZA, cada parcela tamb´em tem que pertencer a ZA. −1 ∗ ∗

  3 3 −1 ∗ ∗

  3 Entretanto, a (a a −a a )b ∈ ZA, pois b / ∈ A. Assim, devemos ter a / (a a −a a )b =

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2 ∗ ∗

  0. Absurdo, pois ε(a a − a a ) = 1. Esta ´ ultima igualdade ´e devido ao fato de termos c

  1

  2

  1

  2 sendo uma unidade e, por isto, ter aumento igual a ±1. Segue que i = 0 e g = a. Agora, de

  −1 ∗ ∗ −1 2 −1 a (a a − a a ) + a (a a (1 − b )b) = a v = ±c ∈ ZA,

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  2

  2 ∈ ZA (pelo fato de conclu´ımos que (a

  1 a 2 (1 − b )b) = 0, pois ±c ∈ ZA e a 1 a 2 (1 − b )b / f

  2 b / ∈ A). Multiplicando `a esquerda por a, obtemos a a (1 − b )b = 0. Logo, v = uu =

  1

  2 ∗ ∗ a a − a a ∈ C. Portanto, u ∈ U g,f e, consequentemente, U = U g,f .

  1

  2

  1

  2 Vale ressaltar que o teorema acima, mostrou apenas a suficiˆencia de uma das condi¸c˜oes necess´arias para se ter U = U g,f . Cap´ıtulo 3 Subgrupos Unit´ arios

  Neste cap´ıtulo estudaremos o artigo [3], apresentaremos alguns resultados que podem ser estendidos do anel de grupo ZG para o anel de grupo Z(G × C ) e tamb´em

  2 o teorema que nos mostra que o ´ındice das unidades bic´ıclicas no grupo das unidades unit´arias ´e finito quando o grupo G ´e o grupo diedral. Al´em disso, apresentaremos um teorema que caracteriza grupos G para os quais B (ZG) ≤ U g,f . O estudo do grupo das

  2 unidades bic´ıclicas tem grande importˆancia quando o mesmo tem ´ındice finito no grupo das unidades. Como foi dito anteriormente, o grupo das unidades ´e um grupo complicado de ser estudado e, portanto, encontrar geradores pode ser uma tarefa dif´ıcil. Entretanto, pode ser mais “f´acil” encontrar os geradores de um subgrupo do grupo das unidades quando o ´ındice no grupo ´e finito. O leitor interessado pode consultar a referˆencia [8] na qual encontrar´a alguns resultados nos quais o subgrupo das unidades bic´ıclicas desempenha um papel importante. Por fim, apresentaremos um an´alogo `a conjectura do normalizador e algumas rela¸c˜oes entre as unidades f -unit´arias generalizadas e as unidades hipercentrais.

  

3.1 Subgrupos unit´ arios de um anel de grupo Inte-

gral

  Esta se¸c˜ao ´e baseada no artigo [3]. n 2 −1 −1 Teorema 3.1.1.

  Seja G o grupo diedral D n = ha = 1 = b | b ab = a i. Se

  f : G → {±1} ´e um homomorfismo de grupos n˜ao trivial com n´ ucleo hai, ent˜ao o ´ındice de B (ZG) em U f (ZG) ´e finito, i.e., (U f (ZG) : B (ZG)) < ∞.

  2

  2 Para provar este teorema, precisaremos da proposi¸c˜ao que apresentaremos a seguir. Proposi¸ c˜ ao 3.1.2.

  Seja G um grupo contendo um subgrupo A de ´ındice 2 abeliano e um

  −1 −1

  2 6= {1}. Se

  elemento b tal que G = hA, bi e b ab = a para todo a ∈ A. Suponha que A

  f : G −→ {−1, 1} ´e um homomorfismo de grupos com n´ ucleo A, ent˜ao (1) O centro de U (ZG) ´e o produto direto ±t (A) × T sendo T um grupo abeliano livre de

  2 ∗

  2

  tor¸c˜ao tal que U (ZA) = ±A × T e x = x para todo x ∈ T . (t

  2 (A) = {a ∈ t(A) : a = 1}) (2) O centro de U f (ZG) coincide com ±t (A).

  2 Demonstra¸ c˜ ao: ∈ ZA, uma unidade central em ZG. Como G ´e um subgrupo de

  (1) Seja x = x 1 + x

  2

  b, x i −1 ∗ ∗ −1 −1

  U, ent˜ao x = b xb = x + x b e x = a xa = x + a x b para todo a ∈ A. Em ambas as

  1

  2

  1

  2 igualdades, usamos o fato de x ser central e A ser abeliano. Al´em disso, tais igualdades implicam que:

  ∗ 1. x i = x para i = 1, 2; i

  2 2. x 2 (1 − a ) = 0 para todo a ∈ A.

  Desejamos provar que x = 0. Suponha, por absurdo, que x 6= 0.

  2

  2

  2 Afirma¸ c˜ ao 1 : A ´e finito.

  2 Como x 6= 0, ent˜ao suppx 6= ∅. Veja que de A ser normal em G, tem-se que A

  2

  2

  2

  2 ´e normal em G. Note que x = x a para todo a ∈ A determina uma a¸c˜ao de A sobre

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2 × A

  ∈ A o suppx 2 que a cada (h, a ) ∈ suppx 2 faz associar um elemento h.a = ha .

  De h ∈ suppx , temos que α h h ´e um dos termos de x ; da igualdade em 2, temos que

  2

  2

  2 α h ha = α h h , com h ∈ G e a ∈ A, tamb´em ´e um dos termos de x .

  1

  1

  2

  2

  2

  2 Note que, a orb(h) = {ha , ha , · · · , ha } ⊆ suppx . Como o conjunto orb(h) ´e n

  2

  1

  2

  2

  2 finito, ent˜ao se A fosse infinito, |orb(h)| = ∞. Logo, devemos ter A ´e finito. Segue a afirma¸c˜ao. Dado y ∈ ZG, denote por χ(y) a soma dos coeficientes de y.

  Z G G → Z

  Como A✂G, ent˜ao podemos considerar o isomorfismo ϕ : que ∆(G, A) A a cada elemento x+∆(G, A) faz corresponder χ(x

  1 )+χ(x 2 )b. Observe que χ(x 1 )+χ(x 2 )b+ Z G

  ∆(G, A) ∈ . Assim, ϕ (χ(x ) + χ(x )b + ∆(G, A)) = χ(x ) + χ(x )b = ϕ(x +

  1

  2

  1

  2 ∆(G, A) ∆(G, A)). Mas, como ϕ ´e injetiva, devemos ter x + ∆(G, A) = χ(x ) + χ(x )b + ∆(G, A).

  1

  2 Z G Chame r = χ(x ) e s = χ(x ). Como x ´e uma unidade em e ϕ ´e um isomorfismo,

  1

  2 ∆(G, A)

  G ent˜ao χ(x ) + χ(x )b tamb´em ´e uma unidade em Z .

  1

  2 A Afirma¸ c˜ ao 2: r + sb ´e uma unidade trivial. Temos que r+sb ´e uma unidade. Logo, existem u, v ∈ Z tais que (r+sb)(u+vb) = 1, i.e., ru + sv + (rv + su)b = 1. Como estamos em um anel de grupo, devemos ter ru + sv = 1 e rv + su = 0. Como r, s, u, v ∈ Z, podemos resolver um sistema com as duas equa¸c˜oes anteriores. Assim, encontraremos que r = 0 e s = ±1 ou r = ±1 e s = 0. Portanto, χ(x ) + χ(x )b ´e uma unidade trivial, como quer´ıamos. Segue a afirma¸c˜ao.

  1

  2

  2

  2 Como A ´e finito, ent˜ao podemos somar todos seus elementos. Denote por c A a

  2 soma de todos elementos de A .

  2 Afirma¸ c˜ ao 3: x = z c A com z ∈ ZG.

  2

  2 Temos que x = x a . Escreva x = α g + α g + · · · + α n g n com α i ∈ Z, g i ∈ G

  2

  2

  2

  1

  1

  2

  2 com i = i, 2, ..., n. Sem perda de generalidade, consideremos primeiro a ´orbita do elemento

  2

  2

  2 g ∈ G, i.e., orb(g ) = {a g , a g , · · · , a g }. Note que orb(g ) ⊆ supp(x ). Assim,

  1

  1

  1 1 k

  1

  1

  2

  1

  2

  2

  2

  2 α 1 a g 1 , α 1 a g 1 , · · · , α 1 a g k 1 s˜ao parcelas do elemento x 2 . Se na ´orbita de g 1 aparecerem

  1

  2

  2 c todas as parcelas de x , ent˜ao x = α g A . Neste caso, z = α g . Caso ainda n˜ao tenham

  2

  2

  1

  1

  1

  1 aparecido todas as parcelas de x na ´orbita de g , tomemos um outro elemento que n˜ao

  2

  1 esteja na ´orbita de g . Digamos g . Se na ´orbita de g e na ´orbita de g apareceram todas

  1

  2

  1

  2

  2 as parcelas de x , ent˜ao x = (α g + α g )c A . Neste caso, z = α g + α g . Caso ainda

  2

  2

  1

  1

  2

  2

  1

  1

  2

  2 n˜ao tenhamos todas as parcelas de x 2 , ent˜ao repetiremos o processo at´e que se esgotem os

  2 elementos do suporte (que ´e finito). Portanto, x = z c A com z ∈ ZG. Segue a afirma¸c˜ao.

  2

  2 Da afirma¸c˜ao 3, temos que χ(x ) = χ(z)|A | e, da afirma¸c˜ao 2, temos que χ(x )

  2

  1

  2 ou χ(x ) ´e igual a 1 e o outro igual a 0. Para que tenhamos χ(x ) = χ(z)|A |, devemos

  2 2 ter χ(x ) = 0.

  2

  2 Afirma¸ c˜ ao 4: A 6= A

  2

  2 Suponha, por absurdo, que A = A . Suponha que A tenha n elementos, pois

  2 provamos que A ´e finito. Ent˜ao, x = z b A implica que:

2 P k

  }) x 2 = ( α i g i )(a i 1 + a 2 + · · · + a n

  =1 P n P n = α g a + · · · + α g a . i i

  1 1 i k k i =1 =1

  2 b b b

  Como A ´e finito, devemos ter x = α A + α A + · · · + α k

  A. Logo, x = (α + · · · + α k ) b A.

  2

  1

  2

  2

  1 Denote por γ a soma α + · · · + α k . Logo, x = γ b A com γ ∈ Z. Disso, segue que

  1

  2 0 = χ(x ) = γ|A|. Segue que γ = 0 e, por conseguinte, x = 0. Isto ´e uma contradi¸c˜ao.

  2

  2 Portanto, segue a afirma¸c˜ao.

  P ′

  2 Escreva x = ( α i g i )c A com α i ∈ Z, onde os g s s˜ao elementos de um transversal

  2 i

  2 de A em A. Ent˜ao,

  P

  2

  2

  2 x + x b + ∆(G, A ) = x + ( α i g i )c A b + ∆(G, A )

  1

  2

  1 P

  2

  2 = x + (|A | α i g i )b + ∆(G, A ).

  1 G ´e uma unidade em Z .

  2 A G Afirma¸ c˜ ao 5: Z ´e um grupo abeliano de expoente 4.

  2 A G

  2

  2 i com a ∈ A. Dados

  De fato, como G = hA, bi, ent˜ao Z = haA , bA

  2 A G

  2 α, β ∈ Z , se α, β pertencerem `a classe lateral aA , ent˜ao α e β comutam, pois A ´e

  2 A

  2

  2 abeliano. Resta-nos mostrar que se α = aA e β = bA , ent˜ao αβ = βα. Ora,

  −1 −1 −1 2 −1

  2 b ab = a ⇒ b abA = a A .

  2

  2

  2

  2

  2 2 −1

  2 2 −1

  2 Mas, como a A = A (pois a ∈ A ), ent˜ao aA = a A . Segue que abA = ba A , G

  2

  2 i.e., abA = baA . Portanto, αβ = βα. Segue que Z ´e abeliano.

  2 A

  2

  4

  4

  2

  2

  2

  2

  2 Dado y ∈ G, se y = a ∈ A, ent˜ao (yA ) = y A = (y ) A = A . Agora, se y = ab temos:

  2

  4 2 −1

  2

  2

  2 2 −1

  2

  4

  2

  2

  2

  2 (abA ) = ababababA = ba abababA = b ababA = b ba abA = b A = (b ) A .

  G

  2

  2

  2

  2 Como b ∈ A, ent˜ao (b ) ∈ A . Disso, segue que o expoente de Z ´e 4.

  2 A G Pelo Teorema 1.2.4, todas as unidades de Z s˜ao triviais. Veja que 0 =

  2 A P P

  2

  2 |A |. Como |A | n˜ao pode ser zero, ent˜ao 6= 0 para

  χ(x 2 ) = α i α i = 0 e, se α i

  2 algum i, ent˜ao α i |A | 6= ±1. Assim, α i = 0 para todo i e, portanto, x = 0. Isto

  2 ∗ ∗

  ´e uma contradi¸c˜ao. Logo, x = x ∈ U(ZA) e x = x = x = x . Isto implica que

  1

  1

  1 Z(U(ZG)) ⊆ U(ZA). ∗

  Agora, dado x ∈ U(ZA) com x = x temos que ax = xa para todo a ∈ A, pois A ´e abeliano. Resta mostrar que xb = bx, pois x, comutando com os geradores, comutar´a com todos elementos de G. Temos que

  −1 ∗ b xb = x = x ⇒ bx = xb.

  ´ E sabido que U (Zt(A)) = ±t(A) × T e U (ZA) = ±A × T (veja em [15]) onde

  ∗ todo elemento u ∈ T satisfaz a condi¸c˜ao u = u . Logo,

  ∗ x ∈ Z(U (ZG)) ⇔ x ∈ U(ZA) = ±A × T, x = x ⇔ x = ±au com u ∈ T, a ∈ A.

  Mas,

  ∗ ±au = ±(au)

  ∗ −1 = ±u a

  −1 = ±ua

  −1 = ±a u.

  2 Assim, a = 1 e, por conseguinte, ±a ∈ t (A). Segue que Z(U (ZG)) = ±t (A) × T .

  2

  2 (2) Suponha que x = x + x b ´e uma unidade central de U f (ZG). Como G ´e um subgrupo

  1

  2 de U f (ZG), x comuta com todos elementos de G. Logo, x ´e uma unidade central de U(ZG). Pela primeira parte, x = x e

  1 f ∗

  2 ±1 = xx = x x = x .

  1

  1

  1

  2 Veja que n˜ao podemos ter x igual a 1. Aplicando a fun¸c˜ao de aumento em ambos os lados

  1

  2

  2 teremos que ε(x ) n˜ao pode ser −1. De fato, caso ε(x ) = −1 ter´ıamos ε(x 1 ).ε(x 1 ) = −1.

  1

  1 Como ε(x ) ∈ Z, ent˜ao ter´ıamos um quadrado de um n´ umero inteiro sendo igual a −1,

  1 o que ´e imposs´ıvel. Assim, temos uma unidade central de ordem finita. Pelo Teorema 1.2.3, temos que x = ±a, onde a ´e um elemento de tor¸c˜ao. Isto completa a prova da

  1 proposi¸c˜ao.

  Demonstra¸ c˜ ao do Teorema 3.1.1 n 2 −1 −1

  |b i. Se n = 2, ent˜ao o teorema ´e Seja G = D n com D n = ha = 1 = b ab = a trivial (ver em [14], p.8). Como G ´e dado da forma da Proposi¸c˜ao anterior, ent˜ao podemos aplic´a-lo. Seja C o centro de U (ZG). Sabemos que (U (ZG) : hB (ZG), Ci) < ∞ (ver em

  2 [13]). Pela Proposi¸c˜ao anterior, Z = Z(U f (ZG)) ´e finito e Z < C.

  1

  1 Provemos que B ´e um subgrupo f -unit´ario de U (ZG) . Dados, x, y ∈ D n , com

  2 6= 1, ent˜ao ordem de x finita, considere a unidade bic´ıclica u x,y = 1 + (1 − x)y x,y bx. Se u o(x) = 2. Para ver isto, basta analisar as poss´ıveis ordens de x a partir dos geradores de i ǫ

  D n . Assim, u x,y = 1 + (1 − x)y(1 + x). Agora, escreva y = a x com ǫ = 0 ou ǫ = 1. Como x(1 + x) = 1 + x, temos, neste caso: i ǫ u x,y = 1 + (1 − x)a x (1 + x) i = 1 + (1 − x)a (1 + x).

  Ent˜ao, f i f u = (1 + (1 − x)a (1 + x)) x,y f i f f = 1 + (1 + x) (a ) (1 − x) f i f f = 1 + (1 + x )(a ) (1 − x )

  −i = 1 + (1 − x)a (1 + x). Portanto, f i −i u x,y u = (1 + (1 − x)a (1 + x))(1 + (1 − x)a (1 + x)) x,y

  −i i = 1 + (1 − x)a (1 + x) + (1 − x)a (1 + x)+ i

  −i

  • (1 − x)a (1 + x)(1 − x) a (1 + x)

  | {z } i −i

  = 1 + (1 − x)a (1 + x) + (1 − x)a (1 + x) i −i = 1 + (1 − x)(a + a )(1 + x).

  −i i −i i

  Note que a + a ´e central. Para ver isto, basta observar que a + a comuta com i −i os geradores. Claramente, a + a comuta com os elementos que s˜ao potˆencias de a e, f

  −1 −1 devido `a rela¸c˜ao bab = a , comutar´a com b tamb´em. Assim, u x,y u = 1. Segue x,y que u x,y ´e uma unidade f -unit´aria. Portanto, B (ZG) ´e um subgrupo unit´ario. Veja que

  2 ∩ hB ∩ B ∩ Ci], pois C ´e um subgrupo central. Assim,

  [U f : U f , Ci] = [U f : hU f , U f

  2

  2 ∩ B ∩ Ci] = [U i] ≤ [U : hB

  [U f : hU f 2 , U f f : hB 2 , Z

  1 2 , Ci] < ∞. A igualdade U f ∩ C = Z segue do fato de Z < C e Z ser finito. Al´em disso,

  1

  1

  1 [U f : B ] = [U f : hB , Ci].[hB , Z i : B ].

  2

  2

  2

  1

  2 Como Z ´e finito, n˜ao ´e dif´ıcil ver que [hB , Z i : B ] tamb´em ´e finito. Portanto, [U f :

  1

  2

  1

  2 B ] < ∞ como quer´ıamos.

  2 O pr´oximo teorema caracteriza grupos para os quais tenhamos as unidades bic´ıclicas tamb´em sendo unidades f -unit´arias generalizadas, i.e, B (ZG) ≤ U g,f (ZG).

  2 Teorema 3.1.3. Seja G um grupo e f : G → U(Z) o homomorfismo orientado n˜ao trivial

  

com n´ ucleo A tal que o ´ındice de G em A ´e 2. O subgrupo B (ZG) ´e n˜ao trivial e f -unit´ario

  2

  

generalizado,i.e., B (ZG) ≤ U g,f (ZG) se, e somente se, G ´e n˜ao-Hamiltoniano e existe

  2

  um elemento de ordem finita b de modo que uma das condi¸c˜oes abaixo s˜ao satisfeitas:

  −1 −1

1) A ´e um grupo abeliano, a ordem de b divide 4 e bab = a para todo a ∈ A;

  2

  

2) A ´e um 2-grupo Hamiltoniano, G ´e um produto semidireto de A e hb; b = 1i e todo

subgrupo de A ´e normal em G;

3) A ´e um 2-grupo Hamiltoniano e G ´e um produto direto de um 2-subgrupo Hamilto-

niano de A e um grupo c´ıclico hbi de ordem 4;

  −1 −1 4i

  

4) t(A) ´e um grupo abeliano, todo subgrupo de t(A) ´e normal em G e bab = a b

para todo a ∈ A, onde o inteiro i depende de a.

  Para demonstrar este teorema precisamos do lema seguinte. Lema 3.1.4. Se G ´e um grupo contendo um subgrupo A de ´ındice 2 com G = hA, bi, o(b) < ∞, A 6= N A (hbi) e

  1) t(A) ´e abeliano e todos subgrupos de t(A) s˜ao normais em A;

  −1 −1

  2) bgb = g para todo g ∈ A\N A (hbi),

  −1 −1

  4 ent˜ao bab = a para todo a ∈ A e b = 1.

  Demonstra¸ c˜ ao: −1 −1

  4 Queremos mostrar que bab = a para todo a ∈ A e b = 1. Por hip´otese, −1 −1 bab = a para a ∈ A\N A (hbi). Resta-nos mostrar esta igualdade para os elementos de N (hbi). Seja c ∈ N (hbi). Tome a ∈ A\N (hbi). o A A A 1 caso : o(c) < ∞

  Por (2), temos: −1 −1 −1

  ⇒ ba = a bab = a b −1

  ⇒ bac = a bc −1 −1 −1 ⇒ b(ac)b = a (bc)b .

  1.1 caso : o(a) < ∞ Veja que ac / ∈ N A (hbi), pois do contr´ario, a ∈ N A (hbi) . Como o(c), o(a) s˜ao finitas, ent˜ao a e c ∈ t(A). Disso, segue que ac ∈ t(A). Logo,

  −1 −1 −1 a (bc)b = b(ac)b

  −1 = (ac)

  −1 −1 = c a

  −1 −1 = a c . −1 −1 Portanto, bcb = c .

  1.2 caso : o(a) = ∞ n n Afirma¸ c˜ ao 1 : Existe n tal que a c = ca .

  Como o(c) ´e finita, ent˜ao hci ´e um subgrupo normal em A. Disso, segue que −1 −1 k 1 aca ∈ hci para todo a ∈ A. Ou seja, aca = c (1) para algum inteiro k . Multipli-

  1 −1 cando por a e a `a esquerda e `a direita respectivamente na igualdade em (1), obtemos: 1 2 1

  2 −2 k −1 k k −1 a ca = ac a = c ; pois ac a ∈ hci . k k k i −k i i i Repetindo este processo k vezes obtemos a ca = c de modo que a potˆencia c j´a i tenha aparecido anteriormente. Isto ´e garantido pelo fato da ordem de c ser finita. Disso, k s k i −k i −s i −s −s+k i segue que a ca = a ca para algum s < k i . Assim, a c = a . Tome n = k i − s e a afirma¸c˜ao est´a provada.

  Vale ressaltar que nesta demonstra¸c˜ao iremos fazer mais vezes este tipo de afir- ma¸c˜ao, mas n˜ao ser´a provada, pois a prova ´e an´aloga a que foi provada anteriormente. n Afirma¸ c˜ ao 2 : a c / ∈ N A (hbi)

  −1 −1 n −1 −n n n n −1 k De fato, sabemos que bab = a , pois a ∈ A − N A (hbi). Disso, segue que ∈ N ba b = a . Se tiv´essemos a c ∈ N A (hbi), ent˜ao a A (hbi). Assim, ba b = b

  −1 para algum k ∈ Z. Multiplicando a ´ ultima igualdade `a direita por b obtemos a igualdade n k n k

  −n −1 −1 −1 −n 2n −1 a ba b = b . Usando o fato de ba b = a temos a = b . Mas, a ordem de a n ´e infinita e a ordem de b ´e finita. Logo, devemos ter a c / ∈ N A (hbi).

  Agora temos pelo primeiro caso : −1 −1 n −n

  ⇒ ba bab = a = a b n −n

  ⇒ ba n c = a bc −1 −n −1 ⇒ b(a c)b = a (bc)b .

  Disso, segue que −n −1 n −1 −1 −n −n −1 a (bc)b = b(a c)b = c a = a c .

  −1 −1 Logo, bcb = c . o Agora provaremos que c n˜ao pode ter ordem infinita.

  2 caso : o(c) = ∞

  2.1 o(a) < ∞ n n n Mais uma vez, existe n tal que c a = ac . Tem-se tamb´em que ac ∈ N / A (hbi). De maneira an´aloga ao caso (1.2) temos; n n

  −1 −1 −1 a bc b = b(ac )b n −1

  = (ac ) n −1

  = (c

  a) −1 −n n −1 −n = a c

  Logo, bc b = c . Veja que: n −1 −n n −1 −n −2n ∈ N bc b = c A (hbi) ⇒ bc b c = c k

  • 1 −2n

  ⇒ b = c k m

  • 1 −2n

  ⇒ (b ) = c com m=o(b) −2n

  ⇒ c = 1 Isto ´e um absurdo, pois estamos supondo que a ordem de c ´e infinita. 2.2 o(a) = ∞ n n Pelo que j´a vimos, ´e f´acil ver que existe n tal que bc = c

  b. De maneira an´aloga ao que j´a fizemos temos; n −1 n −1 bac b = (ac ) −n −1

  = c a .(1) n n n n −1 −1 −1 −1

  De a ∈ A − N (hbi), bab = a e bc = c b temos c b = b c . Disso, segue que n n n −1 −1 −1 bac b = bab c = a c . (2)

  Juntando (1) e (2) tem-se: n n −1 −1 −n −1 a c = bac b = c a . n

  −n Isto implica que c a = ac (basta elevar ambos os membros a −1). Assim, n −n n

  2 −n n

  2 2 n n c a = ac ⇒ c a = ac a ⇒ c a = a c .

  2 2 n ∈ N

  Segue disso que [c , a ] = 1. ´ E f´acil ver que a c / A (hbi). Portanto, −2 n 2 n −1 −2 −n 2n a c = ba c b = a c ⇒ c = 1.

  −1 −1 Absurdo, pois estamos supondo o(c) = ∞. Mostramos ent˜ao que bab = a para todo a ∈ A. Resta mostrar a segunda parte.

  2 2 −1 −2 2 −2 Como b ∈ A, ent˜ao bb b = b . Isto implica que b = b

  e, consequentemente,

  4 b = 1. Isto completa a prova.

  Seja B o subgrupo de todas as unidades bic´ıclicas. O pr´oximo teorema ´e funda-

  2 mental para provarmos o teorema apresentado no in´ıcio da se¸c˜ao. No artigo [3] nos s˜ao apresentadas condi¸c˜oes necess´arias e suficientes para B ≤ U f . Mas, uma pergunta natural

  2 ≤ U

  ´e: quando teremos B 2 g,f ? Na sua tese, Yuanlin Li prova o teorema que afirma que, quando as unidades bic´ıclicas s˜ao f -unit´arias generalizadas, elas tamb´em s˜ao f -unit´arias. A importˆancia deste resultado est´a no fato de ser utilizada a mesma demonstra¸c˜ao de Bovdi e Sehgal para caracterizarmos grupos para os quais B ≤ U g,f .

  2 Teorema 3.1.5 (Yuanlin Li). Seja B (ZG) o subgrupo de todas as unidades bic´ıclicas.

  2 Se B 2 (ZG) ⊂ U g,f , ent˜ao B 2 (ZG) ⊂ U f .

  Demonstra¸ c˜ ao: ≤ U ⊂ U

  Suponha que B 2 g,f . Mostremos que B 2 f . Primeiramente, provemos que ∀a ∈ A, onde A = ker(f ) com o(a) = n < ∞ tem-se hai ⊳ G. Agora, considere uma

  −1 unidade bic´ıclica µ a,g = 1 + (1 − a)g = 1 − (1 − a)g a,g f f −1

  Note que µ = 1 + (1 − a ), pois a,g bag De fato, f f

  µ = (1 + (1 − a)g a,g ba) f f f = 1 + g (1 − a) ba f −1 = 1 + (1 − a ). f f −1 bag

  Como B ⊂ U g,f , ent˜ao µ a,g µ = c ∈ C. Assim, µ = cµ . Temos: 2 a,g a,g a,g f

  −1 1 + (1 − a ) = c − c(1 − a)g bag ba.

  Multiplicando por ba `a direita obtemos: f −1

  [1 + (1 − a )] bag ba = [c − c(1 − a)gba]ba f f −1 a ba + bag ba − bag ba = cba − cgbaba + cagbaba f f

  = c − babag ba + babag ba − cgbaba + cgababa ba = cba − cgnba + cganba ba = cba − nc(1 − a)gba

  Por outro lado, multiplicando `a esquerda por ba obtemos: n ba = bacba − bancgba + bancagba

  = bacba = babac = n bac.

  Segue que c ba = ba. Substituindo em (1) temos ba = ba − nc(1 − a)gba. Disso, segue que 0 = nc(1 − a)g ba ⇒ (1 − a)gba = 0. Como consequˆencia, µ a,g ´e trivial e pelo Teorema 1.2.2 temos que hai ✂ G para todo a ∈ A. Isto finaliza a primeira parte.

  Agora considere qualquer d ∈ G\A de ordem finita. Note que a ordem de d ´e

  2 sempre par e d ∈ t(A), pois do contr´ario, ter´ıamos

  2n+1 2n+1 2n+1 2n+1 1 = d ⇒ 1 = d = f (1) = f (d) = (−1) = −1.

  2

  2

  2 ∈ t(A), tem-se hd i ⊳ G e b Um absurdo. Pela primeira parte, de d d ´e central em ZG.

  2 Seja µ = 1 + (1 − d)g b d = 1 + (1 − d)g(1 + d) b d . Disso, segue que d,g f f

  2 µ = (1 + (1 − d)g(1 + d) b d ) d,g f f f f

  2 = 1 + ( b d ) (1 + d) g (1 − d) f

  2 −1 −1 = 1 + b d (1 − d )g (1 + d )

  −1 f −1

  2 b = 1 − d (1 − d)g (1 + d)d d . f Como µ d,g ∈ U g,f , ent˜ao µ d,g µ = c ∈ C. Temos d,g f

  −1 −1

  2

  2 b c − c(1 − d)g(1 + d) b d = 1 − d (1 − d)g (1 + d)d d

  .

  Multiplicando a equa¸c˜ao acima por 1 + d pela esquerda obtemos c(1 + d) = 1 + d

  2

  2 (para encontrar esta igualdade basta notar que h b d i ✂ G e que b d ´e central). De maneira an´aloga, multiplicamos `a direita por 1 − d e obtemos c(1 − d) = 1 − d. Combinando

  ∈ U estas duas equa¸c˜oes encontradas, conclu´ımos que c = 1. Portanto, µ d,g f . Segue que B ⊂ U .

  2 f Agora iremos demonstrar o resultado apresentado no in´ıcio desta se¸c˜ao.

  Demonstra¸ c˜ ao do Teorema 3.1.3. (⇒) Suponha que B seja n˜ao trivial e que B ⊆ U g,f . Mostremos que G ´e n˜ao hamiltoniano

  2

  2 e que cont´em um elemento b 6= 1 de ordem finita tal que uma das quatro condi¸c˜oes do enunciado vale. Primeiramente, mostremos que todo subgrupo finito hai de A ´e normal em G. Suponha o(a) = n. Se g ∈ G e g / ∈ N (hai), ent˜ao µ = 1 + (1 − a)g G a,g f ba 6= 1.

  −1 Pelo lema anterior, µ a,g ∈ U f . Disso, segue que µ a,g µ = ±1, isto ´e, µ = ±µ a,g . a,g a,g −1 f

  Afirma¸ c˜ ao 1: µ = µ a,g a,g f −1

  Se tiv´essemos µ = −µ , ent˜ao a,g a,g −1 −1 −1 −1

  1 − (1 − a)g f (g)(1 − a ) ⇒ 1 + (1 − a ) = −1 + (1 − a)g ba = −1 − bag baf(g)g ba.

  Como temos o elemento 1 no primeiro membro, devemos tˆe-lo tamb´em no segundo −1 membro. Ou seja, (1 − a)g ag = a para

  1 ba = gba − agba = 1. Mas, de A ✂ G temos que g

  ∈ A − hai, pois do contr´ario, g ∈ N algum a

  1 G (hai). Disso, segue que ag = ga n n 1 . Assim, 2 −1 2 −1 (1−a)g (1+a+a +...+a ) = a +a a+a a +...+a a = k.

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1 ba = gba−ga ba. Mas, a ba = a

  Logo, (1 − a)g

  1 ba = gba− ga ba = gba− gk = g(ba− k). Veja que, em (ba− k), n˜ao aparece o 1 e assim, quando multiplicarmos cada parcela por g, ainda teremos cada parcela diferente de

  −1 f 6= 1, pois

  1. Logo, (1 − a)g = µ . Observe tamb´em que a a,g a,g

  1 ba 6= 1 e, por conseguinte, µ caso n˜ao fosse, ter´ıamos (1 − a)g a,g seria trivial. Absurdo, pois estamos ba = 0 e, assim, µ supondo µ a,g 6= 1. Esta afirma¸c˜ao nos diz que qualquer unidade bic´ıclica f -unit´aria deve ser da forma apresentada. Com isto, temos uma classe de unidades f -unit´arias. f

  −1 De µ = µ temos: a,g a,g

  −1 −1 f (g)(1 − a ) = −(1 − a)g bag ba.

  Multiplicando por ba obtemos n(1 − a)gba = 0. Ou seja, (1 − a)gba = 0. Um absurdo. A contradi¸c˜ao deve-se ao fato de g / ∈ N G (hai). Segue que todo subgrupo c´ıclico de t(A) ´e normal em G. Afirma¸ c˜ ao 2: Todo subgrupo S de t(A) ´e normal em G. De fato, sejam S ≤ t(A) e S = hs , s , ..., s n , ...i com cada s i ∈ t(A). Tome K = s i para

  1

  2 p −1 −1 algum i e g ∈ G. Disso, segue que gkg = gs i g = s ∈ S, pois, pela primeira parte, i hs i i ✂ G. Como conseguimos a igualdade acima com os geradores de S, ent˜ao vale para todos os elementos de S. Segue que S ✂ t(A).

  Como B ´e n˜ao trivial, ent˜ao deve existir c ∈ G − A de ordem finita tal que hci

  2 n˜ao ´e normalizado por G. Isto j´a nos mostra que G ´e n˜ao hamiltoniano. Al´em disso,

  2

  2 2 c ∈ t(A) e b c ´e central em ZG. Claramente, µ c,g = 1 + (1 − c)g(1 + c) b c e f (c) = −1. f

  Como µ c,g ´e f -unit´ario, µ c,g µ = 1, temos c,g −1 −1

  2

  2 (g + g f (g))(1 + c) b c = c(g + g f (g))(1 + c) b c . (1)

  −1

  2

  2 Para verificar esta igualdade, observe que b c c = b c f c. Temos:

  −1 −1 −1 −1

  2

  2 µ = µ ⇒ 1 + b c (1 − c )f (g)g (1 + c ) = 1 − (1 − c)g(1 + c) b c c,g c,g

  −1

  2

  2 ⇒ (1 − c)f (g)g (1 + c) b c = −(1 − c)g(1 + c) b c

  −1 −1

  2

  2

  2

  2 ⇒ f (g)g − cf (g)g

  (1 + c) b c (1 + c) b c = −g(1 + c) b c + cg(1 + c) b c −1 −1

  2

  2

  2

  2 ⇒ g(1 + c) b c + f (g)g (1 + c) b c = cg(1 + c) b c + cf (g)g (1 + c) b c

  −1 −1

  2

  2 ⇒ (g + f (g)g )(1 + c) b c = c(g + f (g)g )(1 + c) b c .

  2n+1 2n+1 De c ∈ G − A, o(c) = 2n, pois do contr´ario, ter´ıamos 1 = f (c ) = f (c) = k p

  −1. Um absurdo. Assim, o(c) = 2 p com p primo. Com isso, podemos tomar d = c p p com d ∈ G − A, pois f (d) = f (c ) = f (c) = −1. Al´em disso, d ´e um 2-elemento, pois k 2k p

  2 d = (c ) = 1. Tome b como sendo o 2-elemento de menor ordem em G − A.

  Note que A 6= N (hci). De fato, como hci n˜ao ´e normalizado por G, ent˜ao A existe g ∈ G tal que g / ∈ N G (hci). Como G tem ´ındice 2 em A, ent˜ao podemos escrever G = A ∪ cA. Se g ∈ A, ent˜ao encontramos um elemento em A que n˜ao normaliza hci, e por conseguinte, n˜ao pertence a N A (hci). Se g ∈ cA, ent˜ao g = ca com a ∈ A. Temos ent˜ao que, como g = ac n˜ao normaliza hci, ent˜ao a tamb´em n˜ao normaliza hci, pois do contr´ario, implicaria que g normalizaria. Segue que A 6= N A (hci).

  −1 1+2i Em (1), tomando c = b temos g = bg b quando g / ∈ N A (hbi). De fato,

  −1 −1 −1 −1

  2

  2

  2

  2

  2

  2 b

  (g + g )(1 + b) b b = b(g + g )(1 + b) b b = g b b + g b + gb b b + g b b b | {z } | {z }

  ∈ZA ∈ZbA −1 −1

  2

  2

  2

  2 b = bg b b + bg b + bgb b b + bg b b b .

  | {z } | {z } ∈ZbA ∈ZA

  −1

  2

  2 b

  Como estamos numa igualdade de anel de grupo, devemos ter: g b b + g b = 2 −1

  2 2 −1

  2 2 −1

  2 b bgb b b + bg b b b ou gb b b + g b b b = bg b b + bg b . Se supusermos que vale a primeira

  2i+1 −1 2i+1 igualdade, ent˜ao encontraremos que: (I) g = bgb ou (II) g = bg b . Se ocorre (I), ent˜ao chegaremos que g ∈ N (hbi). Mas, como estamos supondo g / ∈ N (hbi) devemos A A

  −1 2i+1 ter g = bg b . Disso, obtemos:

  −1 2i+1 −1 2 −1 2i g = bg b ⇒ bgb = b g b

  −1 −1 2 −1 2i

  2 ⇒ bgb = g gb g b usando o fato de hb i ser normal em G

  −1 −1 2 k 2i ⇒ bgb

  = g (b ) b −1 −1 2i ⇒ bgb = g b . i 2 −1

  2 +1 Veja que (bg) = (g b

  g) , pois ′ ′ −1 −1 2i −1 1+2i bgb = g b ⇒ bg = g b

  −1 2i +2 ⇒ bgbg = g b g i

  2 −1 2 +1 ⇒ (bg) = (g b g) .

  Note que bg ´e um 2-elemento e que bg / ∈ A pois, do contr´ario, ter´ıamos 1 = ′ f (bg) = f (b)f (g) = −1.1 = −1, pois g ∈ A e b / ∈ A. Um absurdo. Temos ainda que i ´e par pois, do contr´ario, bg seria um 2-elemento de G − A de menor ordem. Sendo assim,

  −1 −1 2i −1 4j bgb = g b = g b para todo g ∈ A − N (hbi). Portanto, A

  −1 −1 4j bgb = g b (2) para todo g ∈ A − N A (hbi).

  (a) Suponha que a ordem de b divide 4.

  −1 −1 De (2), bgb = g para todo g ∈ A − N A (hbi).

  −1 −1 (a.1) Se t(A) ´e abeliano, ent˜ao pelo Lema 3.1.4, bab = a para todo a ∈ A. Note que

  −1 −1 −1 −1 A ´e abeliano pois, tomando x, y ∈ A temos que bxb = x e byb = y . Multiplicando

  −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 as duas igualdades obtemos bxyb = x y . Mas, bxyb = (xy) = y x . Portanto, xy = yx para todo x, y ∈ A. Segue que A ´e abeliano. Isto completa o caso 1) do teorema.

  (a.2) Se t(A) n˜ao ´e abeliano, ent˜ao como todo subgrupo de t(A) ´e normal em t(A), ent˜ao t(A) ´e hamiltoniano. Da Teoria de Grupos, t(A) = Q × E × T onde Q ´e o grupo dos quat´ernios, E um 2-grupo e T ´e um grupo cujo todos elementos tem ordem ´ımpar. Nosso objetivo agora ´e mostrar que A = t(A).

  Lembre que:

  2

  2

  2 Q = hi, j : i = j = − = 1, ji = −iji = {1, − ✶, (−✶) ✶, i, j, k, −i, −j, −k} onde i, j, k, −i, −j, −k tem ordem 4, − ✶ tem ordem 2 e ij = k, ji = −k, jk = i, kj = −1, ki = j, ik = −j.

  Suponha que exista um elemento g ∈ A − N A (hbi) de ordem infinita.

  2 Afirma¸ c˜ ao 3: g ∈ C A (Q)

  2 Se g ∈ C A (Q) (centralizador de Q em A), ent˜ao g ∈ C A (Q). Se g / ∈ C A (Q), −1 −1 −1 −1 −1 ent˜ao g ig = −i e g jg = −j ou g ig = −i e g jg = j ou ainda g ig = i e

  −1 −1 −1 −1

  2

  2 − ig = i, i.e, g g jg = −j. Assim, g g igg = g ig = i e de maneira an´aloga

  2

  2

  2

  2 g jg = j. Analisamos os outros casos da mesma maneira. Dessa maneira, g i = ig e

  2

  2

  2 g j = jg . Como g comuta com os geradores de Q, ent˜ao comutar´a com todo elemento

  2 de Q. Logo, g ∈ C A (Q).

  Afirma¸ c˜ ao 4: Existe um elemento de ordem 4 em Q que comuta com b.

  Sejam i, j geradores de Q. Como todo subgrupo de t(A) ´e normal em G e Q ⊆ −1 −1 t(A), ent˜ao hii ✂ G e hji ✂ G . Disso, segue que bib ∈ hii = {1, − ∈

  ✶, i, −i} e bjb −1 −1 −1 hji = {1, −

  = i ou bib = −i e bjb = j ✶, j, −j}. Como i, j tem ordem 4, ent˜ao bib

  −1 −1 −1 ou bjb = −j . Se bib = i ou bjb = j, ent˜ao nosso elemento pode ser i ou j. Se

  −1 −1 −1 −1 −1 −1 bib = −i e bjb = −j, ent˜ao bkb = bijb = bib bjb = −i. − j = k. Assim,

  −1 bkb = k e, portanto, k ´e o elemento que quer´ıamos encontrar.

  2 Afirma¸ c˜ ao 5: g k / ∈ N A (hbi) onde k ´e o elemento encontrado acima.

  2

  2 Suponha que g k ∈ N A (hbi). Ent˜ao, g ∈ N A (hbi). Assim, −2 2 r −2 2 −1 r −1 g bg = b ⇒ g bg b = b

  −2 −2 r −1 ⇒ g g = b r

  −4 −1 ⇒ g = b

  Mas estamos supondo que g tem ordem infinita e, por hip´otese, b tem ordem

  2 finita. Um absurdo. Logo, g k / ∈ N A (hbi).

  Por (2) e pelas afirma¸c˜oes 3 e 4 temos, −2 2 −1 2 −1 −1 −2 kg bkg b = bg kb = k g . −1

  Isto implica que k = k . Um absurdo, pois o(k) = 4. Portanto, todos elementos de A − N A (hbi) tem ordem finita.

  Seja g um elemento de ordem infinita em N A (hbi) e seja a ∈ A − N A (hbi). De n maneira an´aloga ao que j´a fizemos, existe um elemento n tal que [g , a] = 1 pois, o n subgrupo c´ıclico finito hai ´e normal em G. Observe que n˜ao podemos ter g a ∈ N A (hbi) n pois, do contr´ario, ter´ıamos que g ∈ N A (hbi), pelo fato de g ∈ N A (hbi). Disso, ter´ıamos n −n g g a ∈ N A (hbi), i.e., a ∈ N A (hbi). Mas, estamos supondo que a / ∈ N A (hbi). Portanto, n g a ∈ A − N A (hbi). Provamos no par´agrafo anterior que todo elemento de A − N A (hbi) n n tem ordem finita. Assim, g a tem ordem finita. Por´em, por hip´otese, g a tem ordem infinita. Um absurdo. Segue que A ⊆ t(A). Portanto, A = t(A).

  Agora mostraremos que T = {1}. Seja v um elemento de ordem ´ımpar, diferente de 1, em A − N A (hbi). De maneira an´aloga ao que j´a fizemos, existe um elemento em Q, ∈ N (hbi). Por (2), digamos k, de ordem 4 que comuta com b e vk /

  −1 −1 −1 −1 v k = bvkb = k v .

  Como k ∈ Q, v ∈ T e A ´e um produto direto de grupos, ent˜ao k e v comutam. Assim, −1 k = k . Um absurdo.

  Seja v um elemento de ordem ´ımpar em N A (hbi). Note que como hvi ✂ G e v ∈ N A (hbi), ent˜ao [v, b] = 1 −1 −1 Afirma¸ c˜ ao 6: ∃w ∈ Q com o(w) = 4 tal que b wb = w e vw / ∈ N A (hbi).

  J´a sabemos que ∃a ∈ N A (hbi) e que A = t(A), ou seja, A = Q × E × T . Ent˜ao, a = qet com q ∈ Q, e ∈ E e t ∈ T . Como todo elemento n˜ao trivial de E tem ordem 2, ent˜ao hei = {1, e}. Sabemos que hei ✂ G. Logo, b normaliza hei. Como e ´e o ´ unico

  −1 elemento de ordem 2 em {1, e} temos que b eb = e, ou seja, b e e comutam. Vimos tamb´em que n˜ao existe 1 6= t ∈ T de ordem ´ımpar tal que t ∈ A − N A (hbi). Logo, para todo t ∈ T , t normaliza hbi. Ora, ent˜ao todos os elementos de E e T normalizam hbi.

  Sendo assim, como a = qet com q ∈ Q, e ∈ E e t ∈ T n˜ao normalizando hbi, conclu´ımos −1 que q ∈ Q ´e um elemento que n˜ao normaliza hbi. Veja que b (−

  ✶)b = −✶, pois −✶ ´e o ´ unico elemento de ordem 2 de Q. Assim, b e −

  ✶ comutam. J´a que q n˜ao comuta com b, n˜ao normaliza hbi, ent˜ao q ∈ {i, j, k, −i, −j, −k}, ou seja, q tem ordem 4. Logo, −1 −1 b qb = q . Portanto, w = q. Por racioc´ınio an´alogo ao que j´a fizemos, conclu´ımos que

  ∈ N vw / A (hbi). De vw / ∈ N A (hbi), ent˜ao

  −1 −1 −1 −1 w v = bwvb = v w .

  −1 Como v e w comutam, ent˜ao w = w . Um absurdo. Segue que n˜ao existe elemento de ordem ´ımpar em T sem ser o 1 e assim provamos a afirma¸c˜ao.

  Com esta ´ ultima afirma¸c˜ao provada, demonstramos que G ´e um 2-grupo hamil- toniano. Agora mostremos que todo o argumento dado anteriormente ´e para os casos 2 e 3 do teorema.

  Sabemos que o(b) ´e 2 ou 4 e que existe w que n˜ao normaliza hbi. Logo, hbi n˜ao ´e normal em G. Se o(b) = 2, como A ✂ G, hbi n˜ao ´e normal em G e A ∩ hbi = 1, segue que

  2 G ´e o produto semidireto de A e hb|b = 1i. Logo, vale 2).

  Mostremos agora que tamb´em vale para 3). Suponha que o(b) = 4. Vimos que existe um elemento, digamos, x ∈ Q com o(x) = 4 e [b, x] = 1. Vimos tamb´em que existe um elemento y ∈ Q, com o(y) = 4,

  −1 −1 y ∈ A − N A (hbi) e b yb = y . Podemos tomar x e y como sendo os geradores de Q, pois

  −1 x / ∈ {y, y }. Sem perda de generalidade, podemos fazer x = i, y = j em Q. Vale ent˜ao

  −1 −1 bi = ib, b jb = j (o que implica −jbj = − kb = − ✶b), b ✶k (o que implica −kbk = −✶).

  Para recordar, k = ij e − ✶ comuta com b. Observe que ib /∈ A. Logo, G = hA, ibi. Ade-

  2 −1 mais, hibi = {ib, (− , (− , 1}. Observe ainda que (−i)(ib)i = ib, (−j)(ib)j = ib e

  ✶)b ✶)b tamb´em (−k)(ib)k = ib. Como hi, ji = Q, Q ∩ hibi = {1}, pela observa¸c˜ao que fizemos na linha anterior, temos o produto direto Q × hibi. Como A = Q × E e G = hA, ibi, conclu´ımos que G ´e o produto direto de um 2-grupo hamiltoniano contido em A e pelo

  2 grupo c´ıclico hibi de ordem 4. Note que este subgrupo de A n˜ao ´e todo o A, pois (−

  ✶)b est´a no n´ ucleo da orienta¸c˜ao, ou seja, em A. k (b) Suponha que a ordem de b ´e 2 com k ≥ 3.

  Sabemos que para todo a ∈ A, se a ∈ t(A), ent˜ao hai ✂ G, donde todo subgrupo de t(A) ´e normal em G. Assim, t(A) ´e abeliano ou hamiltoniano. k

  2 Ora, b ∈ t(A) e o(b) = 2 com k ≥ 3. No caso de t(A) ser um subgrupo abeliano,

  2 obviamente b pertence ao centro de t(A). Caso t(A) seja um subgrupo hamiltoniano,

  2 ent˜ao t(A) = Q × E × T . Como b ´e um 2-elemento, ent˜ao b estar´a em Q × E. ´ E f´acil ver

  2

  2 que, se x ∈ Q × E, ent˜ao x = − = 1.

  ✶ ou x −1 −1 4j

  2 −1 Como vimos, bgb = g b para todo g ∈ A − N A (hbi). Logo, b gb =

  −1 −1 4j −1 4j −1 4j −4j 4j

  4 2 −2 bg b b = (g b ) b = b gb . Ora, como b = 1 ou − gb = g e

  ✶, temos que b

  2 b comuta com todo elemento g ∈ A − N A (hbi). r k −1

  Para g ∈ N A (hbi), temos g bg = b . Suponha que r 6= 1. Como b tem ordem 2 , r r r 2 2 −1 2 −1 −1 −1

  2 r tem que ser ´ımpar. Ademais, g b g = b implica bgb = gb , bem como g b g = b r 2

  2 −2 −2 implica b gb = gb . Por´em, r r

  −1 −1 2 −2 −1 −1 2r−2 ⇒ b r r 2 bgb = gb gb = b gbb = gb . 2

  −2 2r−2

  2

  2 Logo, gb = gb . Disso, segue que b = b r. Isto ´e um absurdo pois, r ´e ´ımpar e 2r ´e par.

  2

  2 Conclu´ımos que b ´e central em A e, por conseguinte, hb i ´e normal em t(A). k 2 k −1

  2 Como o(b) = 2 (k ≥ 3), o(b ) = 2 , ou seja, o(b ) ´e minimamente 4. Por´em, n˜ao existe um elemento central com ordem maior ou igual a 4 em Q × E × T . Disso, segue que t(A) n˜ao pode ser hamiltoniano. Segue que t(A) ´e abeliano.

  −1 −1 4j 2 4j Como bab = a b para todo a ∈ A − N A (hbi) e b ∈ t(A), ent˜ao hb i ✂ G.

  G A t (A)

  4j 4 Tome e G = , e A = e eb = bhb i. J´a vimos que t(A) ´e abeliano. Logo, t( e

  A) = j hb i

  4j 4j hb i hb i

  −1 ´e abeliano e eb para todo A − N (hebi). Lembre tamb´em que qualquer subgrupo eaeb ea ∈ e A e

  −1 −1 de t( e

  A) ´e normal em e A pois, isto vale em G. Pelo Lema 3.1.4, eb = para todo i eaeb ea

  −1 −1 A donde bab = a b para algum i que depende de a. Portanto, vale 4).

  (⇐) Suponha que G satisfaz uma das condi¸c˜oes do teorema. Se um subgrupo c´ıclico finito hci n˜ao ´e normal em G, ent˜ao como G = A ∪ dA com d / ∈ A temos que c ∈ dA. Para ∈ A. facilitar a leitura, podemos supor, sem perda de generalidade, que d = b pois, b /

  2 Assim, c ∈ bA. N˜ao ´e dif´ıcil ver que b c pertence ao centro de ZG. Portanto,

  2 µ c,g = 1 + (1 − c)g(1 + c) b c e f

  −1

  2 µ c,g µ = 1 + (1 − c)(g + g f (g))(1 + c) b c . c,g −1

  2 f Suponha que g ∈ A. Ent˜ao, f (g) = 1 e (g + g ) b c ´e um elemento central. Assim, µc, gµ = 1. Aqui estamos supondo que valham as condi¸c˜oes 1), 2) ou 3). c,g G

  −1 −1 4i Suponha que G satisfa¸ca a condi¸c˜ao 4) do teorema. Ent˜ao, bgb = g b e

  4 hb i

  ´e abeliano. Assim, −1 −1 −1 −1 −1

  2

  2

  2 b(g + g ) b c b = (g + g ) b c = a (g + g ) b c a

  −1

  2 e (g + g ) b c ´e central em ZG.

  Se g ∈ bA, ent˜ao g = ba para algum a ∈ A, f (g) = −1 e −1 −1 −1 −1 4i g = a b = b ab . −1 −1 f

  2

  2

  2 b N˜ao ´e dif´ıcil ver que g c = g b c . Com isso, (g + f (g)g ) b c = 0. Portanto, µc, gµ = 1. c,g

  Assim, todo unidade bic´ıclica ´e tamb´em uma unidade f -unit´aria. Portanto, B (ZG) ´e um

  2 subgrupo f -unit´ario, como quer´ıamos.

  A Proposi¸c˜ao 2.2.14, nos diz que se C(U (ZG)) ´e trivial, ent˜ao U = U (pelo g,f f Corol´ario 2.2.7). Para grupos finitos, Ritter e Sehgal obtiveram condi¸c˜oes necess´arias e suficientes para C(U (ZG)) ser trivial. A seguir, apresentaremos um resultado que nos fornece condi¸c˜oes suficientes para C(U (ZG)) ser trivial.

  Teorema 3.1.6.

  Seja G = hA, bi, onde A ´e o n´ ucleo do homomorfismo orientado e

  f (b) = 1. Se U f = U g,f e uma das condi¸c˜oes valem:

  2

  1. b = 1 e A ´e abeliano;

  2

  2. b = 1 e para todo a ∈ A, ab = ba;

  −1 −1

3. Para todo a ∈ A, bab = a ; ent˜ao C(U (ZG)) ´e trivial.

  Demonstra¸ c˜ ao:

  Suponha que vale (1). Seja u = a + a b ∈ C com a , a ∈ ZA. Como u ´e uma

  1

  2

  1

  2 ∗ ∗ unidade central, ent˜ao ub = bu. Consequentemente, a i b = ba i e a b = ba para i = 1, 2. f ∗ ∗ f f i i

  − ba − a Al´em disso, de u = a = a , tem-se:

  1 f

  2

  1

  2 ∗ ∗

  − a uu = (a 1 + a 2 b)(a

  b)

  1

  2 ∗ ∗ ∗ ∗

  = a a − a a b + a ba − a ba b

  1

  1

  2

  2

  1

  2

  1

  2 ∗ ∗ ∗ ∗

  = a a − a ba b − a a b + a a b

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  2

  1 ∗ ∗ ∗ ∗ = a a − a a + (a a − a a )b.

  1

  2

  2

  1

  1 f ∗ ∗

  2

  1

  2 Como u ∈ C ⊆ U g,f = U f , ent˜ao uu = ±1. Assim, devemos ter a a − a a = ±1 e

  1

  2

  1

  2 ∗ ∗

  − a (a 2 a 1 a )b = 0.

  1

  2 ∗ ∗

  Sejam v = a + a e v = a − a . Ent˜ao:

  1

  2

  1

  1

  2 ∗ ∗ vv = (a + a )(a − a )

  1

  1

  2

  1

  2 ∗ ∗ ∗ ∗

  = a a − a a b + a ba − a a

  1

  1

  2

  2

  1

  2

  1

  2 ∗ ∗ ∗ ∗ = a a − a a + (a a − a a ) = ±1.

  1

  1

  2

  1

  1

  2

  1

  2 Note que por a i b = ba i , v comuta com b. Assim temos que v ´e uma unidade central em f f f ∗ ∗

  Z G e por, U g,f = U f temos vv = ±1. De v ∈ ZA, v = v . Logo, vv = vv = 1 pois,

  ∗ f coincide com a involu¸c˜ao cl´assica. Isto mostra que v ´e trivial e tamb´em que v = ±v .

  1 Pelo Teorema 2.2.9, devemos ter a 1 = 0 ou a 2 = ±g ou a 1 = ±g ou a 2 = 0 para algum g ∈ G. Segue que, neste caso, o centro das unidades de ZG ´e trivial.

  Suponha que valha (2). Repetindo o mesmo racioc´ınio da primeira parte, obte- ∗ remos de v = ±v que vv = ±1. Assim, necessitamos provar apenas que v = a + a

  1

  1

  1

  2 ´e uma unidade central de ZG e assim, tamb´em pela primeira parte, conclu´ımos que o centro ´e trivial. Como ab = ba para todo a ∈ A, ent˜ao ba i = a i b. Resta-nos mostrar que aa i = a i a para todo a ∈ A. Note que au = ua, onde u = a + a b ´e uma unidade central.

  1

  2 Disso, segue que au = ua ⇒ a(a + a b)(a + a b)a

  1

  2

  1

  2 ⇒ aa

  • aa b = a a + a ba

  1

  2

  1

  2 ⇒ aa

  1 + aa 2 b = a 1 a + a 2 ab.

  Segue que aa = a a e aa b = a ab. Logo, aa i = a i a para i = 1, 2. Portanto, v ´e uma

  1

  1

  2

  2 unidade central de ZG. Logo, neste caso, o centro de ZG ´e trivial. f

  ∈ ZA. Assim, u Suponha que valha (3). Seja u = a f 1 + a 2 b ∈ C com a 1 , a 2 = u .

  ∗ Como C ⊆ U g,f ⊆ U f , ent˜ao uu = uu = 1. Segue que u ´e uma unidade trivial.

  Dos casos (1), (2) e (3) segue que C(U (ZG)) ´e trivial. Na se¸c˜ao seguinte, iremos apresentar alguns resultados que estabelecem rela¸c˜oes entre as unidades unit´arias generalizadas de ZG e Z(G × C ).

  2

3.2 An´ alogo a conjectura do normalizador

  Nesta se¸c˜ao, faremos uso dos resultados apresentados em cap´ıtulos anteriores para apresentar um an´alogo a Conjectura do Normalizador. Tal conjectura nos diz que o normalizador de G no grupo das unidades de ZG ´e exatamente o produto do grupo G pelo centro do grupo das unidades, i.e., N (G) = C(U (ZG)G. Esta conjectura foi provado

  U por Coleman para grupos nilpotentes e em seguida provado por Jackowski e Marciniak para grupos com 2-subgrupo de Sylow normal. Em geral, o problema ainda encontra-se em aberto.

  N˜ao ´e dif´ıcil ver que G ⊆ U f e que, se f ´e trivial, ent˜ao U f = ±G. Recordemos, pelo teorema 2.2.1, que o normalizador do grupo das unidades f -unit´arias ´e exatamente o subgrupo das unidades unit´arias generalizadas. Neste cap´ıtulo, ser´a apresentado um an´alogo natural a Conjectura do Normalizador: para um grupo finito G, U (ZG) = CU . g,f f Uma ressalva a ser feita ´e que os resultados apresentados at´e o presente momento s˜ao para grupos quaisquer.

  Para facilitar a leitura, denotaremos por W = U g,f e W = CU f , o subgrupo

  1 gerado por todas unidades centrais e unidades unit´arias.

  Teorema 3.2.1. W ´e um subgrupo normal de W .

  1 Demonstra¸ c˜ ao: De fato, sejam α ∈ W e β ∈ W . Disso, segue que α = cu com c ∈ C e

  1 ✂

  U u ∈ U f g,f . Assim, −1 −1 −1 −1

  βαβ = βcβ βuβ = βcβ k com k ∈ U f −1

  Como c ∈ C, ent˜ao βαβ = ck. Segue que c ∈ C ∈= ck com c ∈ C e k ∈ U f . Logo, ✂

  W 1 W . Teorema 3.2.2. W/W ´e um grupo cujo o expoente divide 2.

  1 Demonstra¸ c˜ ao: f Veja que W/W 1 ´e um grupo. Seja u ∈ w. Ent˜ao, uu = c com c ∈ H. Temos f f f f f f f c = (uu ) = (u ) u = uu = c.

  Temos tamb´em que:

  2 2 f f f f f

  2 u (u ) = uuu u = uu uu = c . 2 −1

  Seja u 1 = u c . Ent˜ao, f 2 −1 −1 f 2 f

  2 2 f −2 2 −2 u u = u c (c ) (u ) = u (u ) c = c c = 1.

  1

  2 Portanto, u ∈ U f . Disso, segue que u ∈ W . Seja α ∈ W/W . Disso, segue que α = uW .

  1

  1

  1

  2

  2

  2

  2 Assim, α = u W . Pelo que acabamos de provar, u ∈ W . Logo, α = W . Segue que

  1

  1

  1 para todo α ∈ W/W 1 o(α) = 2. Segue que W/W 1 ´e um 2-grupo ou um grupo trivial (se W = W ). Em ambos os casos, o expoente divide 2.

  1 Corol´ ario 3.2.3.

  Seja G um grupo finito. W ´e um subgrupo de ´ındice finito em U , se e somente se, W ´e um subgrupo de ´ındice finito em U

  1 Demonstra¸ c˜ ao: (⇒) Suponha que W ´e um subgrupo de ´ındice finito em U . Queremos mostrar que o mesmo ocorre para W . De G ser finito, temos que U ´e finitamente gerado. Por hip´otese,

  1 temos que [W : U ] < ∞. Assim, W ´e finitamente gerado. Isso implica que que W/W 1 ´e finito. Assim, W ´e um subgrupo de ´ındice finito em W e consequentemente em U .

  1 (⇐) A volta ´e de maneira an´aloga.

  O pr´oximo resultado nos d´a condi¸c˜oes necess´arias e suficientes para W = W .

  1 Em outra palavras, condi¸c˜oes para que valha o an´alogo da conjectura do normalizador.

  Teorema 3.2.4.

  Para qualquer anel de grupo integral, W = W , se e somente se, ∀v ∈ W f f

  1 existe c ∈ C tal que vv = ±cc .

  Demonstra¸ c˜ ao: (⇒) Suponha W = W . Temos que ∀v ∈ W , v = uc com u ∈ U f , c ∈ C. Assim,

  1 f f f f f f f vv = uc(uc) = ucc u = cc uu = ±cc . f f (⇐) Suponha que, ∀v ∈ W , exista c ∈ C tal que vv = ±cc . Mostremos que W = W . f f −1

  1 ⊆) Seja v ∈ H. Por hip´otese, existe c ∈ C tal que vv = ±cc . Seja u = vc . Ent˜ao, f −1 −1 f −1 −1 f −f f uu = vc c v = c c vv = ±c−1c cc = ±1.

  Logo, u ∈ U f . Disso, segue que v = cu ∈ CU f = W . Segue que W = W 1 . ⊇) Seja v ∈ W . Ent˜ao, v = c u com c − 1 ∈ C e u ∈ U f . Disso, segue que

  1 f f f f f

  1 vv = c u(c u) = c uu c = ±c c .

  1

  1

  1

  1

  1

  1 Segue que W = W .

  1 Agora vamos estabelecer rela¸c˜oes entre as unidades unit´arias de ZG e Z(G × C 2 ). Teorema 3.2.5. Dado α ∈ ZG tem-se que 1 + 2α ´e uma unidade central em ZG se, e somente se, 1 + α(1 − c) ´e uma unidade central em Z(G × C ).

  2 Demonstra¸ c˜ ao: (⇒) Suponha que 1 + 2α seja um unidade central em ZG. Mostremos que 1 + α(1 − c) ´e uma unidade unit´aria em Z(G × C ). Ou seja, gc(1 + α(1 − c)) = (1 + α(1 − c))gc. De

  2 1 + 2α ser central tem-se g(1 + 2α) = (1 + 2α)g ⇒ g + g2α = g + 2αg ⇒ gα = αg.

  Assim: gc(1 + α(1 − c)) = gc + gcα − gcαc = gc + gαc − αcgc = gc + αg − αcgc = (1 + α(1 − c))gc (⇐) A volta ´e an´aloga.

  Teorema 3.2.6. Dado α ∈ ZG, 1 + 2α ´e uma unidade unit´aria generalizada de U se, e somente se, 1 + α(1 − c) ´e uma unidade generalizada em U (Z(G × C )).

  2 Demonstra¸ c˜ ao: Este teorema ´e demonstrado de maneira an´aloga ao Teorema 2.1.6.

  

3.3 Rela¸ c˜ ao entre unidades hipercentrais e unidades

unit´ arias generalizadas

  Nesta se¸c˜ao, introduziremos em termos das unidades hipercentrais de U , uma defini¸c˜ao equivalente das unidades unit´arias generalizadas de um anel de grupo integral quando G ´e peri´odico. Al´em disso, obteremos condi¸c˜oes necess´arias e suficientes para U g,f = e Z(U ). N˜ao faremos um estudo profundo desse tipo de unidade. Portanto, alguns resultados ser˜ao apresentados sem demonstra¸c˜ao.

  Sejam G um grupo arbitr´ario e 1 = Z (U ) ≤ Z (U ) ≤ ... ≤ Z n (U ) ≤ ...

1 S ∞

  a s´erie superior central do grupo das unidades U (ZG). Seja Z = Z n (U ) o subgrupo n =1 normal de U chamado de hipercentro de U . Na sua tese, Yuanlin Li prova que a altura da s´erie central do grupo das unidades de um anel de grupo integral de um grupo peri´odico ´e no m´aximo 2. Ou seja, a s´erie estaciona. Entretanto, n˜ao apresentaremos a prova deste resultado. A mesma pode ser encontrada em [9].

  Seja G um grupo arbitr´ario, f um homomorfismo orientado e f H = {u ∈ U(ZG); uu ∈ Z (U (ZG))}.

  2 Ent˜ao temos o seguinte: Teorema 3.3.1.

  Seja G um grupo arbitr´ario e f um homomorfismo orientado. Ent˜ao, U g,f ⊆ H ⊆ N (U g,f ). Em particular, se G ´e peri´odico, ent˜ao H = U g,f .

  U Demonstra¸ c˜ ao: Observe que necessitamos provar apenas que H ⊆ N (U g,f ), pois, U g,f ⊆ H. f f f −1 U

  ∈ Z Sejam h ∈ H e u ∈ U g,f . Ent˜ao, hh 2 e uu = c ∈ Z f 1 . Assim, u = cu . Tomando

  −1 v = h uh, nosso objetivo ´e mostrar que v ∈ U ,i.e., vv ∈ Z . Temos : g,f f f

  1 −1 −1 −1 v = h uh ⇒ vv = h uh(h uh) f f f

  −1 −f ⇒ vv = h uhh u h f f f f

  −f −1 ⇒ h vv h = h −f h uhh u

  −f f f f −1 f −1 f −1 ⇒ h f vv h = (hh ) u(hh )cu = [(hh ) , u]c ∈ Z

  1 Segue que vv ∈ C(U). Isso implica que v ∈ U g,f e portanto, h ∈ N (U g,f ). Quando G ´e U peri´odico, o Teorema 2.2.5 nos diz que H = U g,f . f

  Seja H = {u ∈ U ; uu = e Z(U (ZG)}. Recordando do resultado (n˜ao demons-

  1 trado no presente trabalho) que a altura da s´erie central do grupo das unidades de um anel de grupo integral com o grupo G peri´odico ´e no m´aximo 2, podemos obter uma defini¸c˜ao equivalente das unidades unit´arias generalizadas quando G ´e peri´odico. Temos o teorema a seguir: Corol´ ario 3.3.2. Seja G um grupo peri´odico. Ent˜ao, H = U g,f (ZG).

  1 Demonstra¸ c˜ ao: Suponha que G seja peri´odico. Usando o fato (n˜ao demonstrado na disserta¸c˜ao) que a altura da s´erie central de um anel de grupo integral quando G ´e peri´odico temos que Z = Z = .... Pela defini¸c˜ao de hipercentro temos que H = H. Disso, segue que

  2

  3 1 usando o teorema anterior segue que H = U g,f .

  1 Como e Z(U ) ⊆ H obtemos :

  1 Corol´ ario 3.3.3. Seja G um grupo peri´odico e f qualquer homomorfismo orientado.

  Ent˜ao, e Z(U ) ⊆ U g,f (ZG). Em particular, e Z(U ) ⊆ N (G).

  U Demonstra¸ c˜ ao: Segue direto do corol´ario anterior.

  Uma pergunta natural a se fazer ´e: quando temos e Z(U ) = H ? O pr´oximo

  1 teorema nos fornece uma resposta. Para provar tal teorema enunciaremos apenas um resultado que pode ser encontrado em [9]. Ressaltamos que a prova n˜ao ser´a exibida pois o objetivo desta se¸c˜ao ´e apenas apresentar os resultados que relacionam as unidades hipercentrais e as unidades unit´arias generalizadas.

  Teorema 3.3.4.

  Seja G um grupo peri´odico. Ent˜ao exatamente umas das afirma¸c˜oes seguintes vale:

  1. G ´e um 2-grupo hamiltoniano e T = T ( e Z(U ))(subgrupo de todas unidades de tor¸c˜ao de e Z(U ));

  2. T = Z (G);

  1

  3. G tem um subgrupo normal abeliano H de ´ındice 2 contendo um elemento de ordem

  2 2 −1 −1 4 tal que para cada g ∈ G\H, g = a e ghg = h para cada h ∈ H, e T =

  T hai ⊕ E = Z (U ) Z (G), com E um 2-grupo elementar abeliano.

  2

  2 Teorema 3.3.5.

  Seja G um grupo peri´odico e f um homomorfismo orientado. Ent˜ao, as seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes. 1. e Z(U ) = U g,f ;

  2. G = T ;

  3. G ou ´e um 2- grupo hamiltoniano ou um grupo abeliano de tor¸c˜ao; 4. e Z(U ) = U .

  Demonstra¸ c˜ ao: (1) ⇒ (2) Suponha que e Z(U ) = U g,f . Ent˜ao, temos que G ⊆ e Z(U ).

  (2) ⇒ (3) Suponha que G = T ´e n˜ao abeliano. Ent˜ao, pelo caso 1 do teorema citado acima, temos o resultado. (3) ⇒ (4) Se G ´e um 2-grupo hamiltoniano, ent˜ao U = ±G = e Z(U ). Se G ´e abeliano, ent˜ao U = C(U ) = e Z. (4) ⇒ (1) O resultado segue imediatamente do Corol´ario 3.3.3. Para o leitor que queira conhecer melhor as unidades hipercentrais, ver [6], [9] e [10]. Conclus˜ ao

  Neste trabalho, estudamos um tipo de unidade; a unidade f -unit´aria e tamb´em estudamos as unidades f -unit´arias generalizadas que s˜ao generaliza¸c˜oes da primeira. Vi- mos que o subgrupo gerado por todas unidades f -unit´arias generalizadas ´e exatamente o normalizador do subgrupo das unidades f -unit´arias. Como foi dito ao longo do texto, o grupo das unidades ´e um grupo dif´ıcil de estudar e encontrar subgrupos unit´arios com ´ındice finito no grupo das unidades nos fornece alguma informa¸c˜ao sobre as unidades.

  Vimos que quando o grupo das unidades U (ZG) coincide com o subgrupo das unidades f -unit´arias, ent˜ao tamb´em vale para U (Z(G × C )), i.e, U (Z(G × C )) coincide

  2

  2 com o subgrupo f 1 -unit´ario. Desta forma, conseguimos estender uma propriedade inicial- mente do anel de grupo ZG para o anel de grupo Z(G × C ). Al´em disso, foi discutido que

  2 quando o grupo G ´e peri´odico, ent˜ao o segundo normalizador do subgrupo das unidades f -unit´aria estaciona.

  Tendo em vista a dificuldade de se estudar o grupo das unidades, ´e relevante sabermos, por exemplo, quando que o grupo das unidades ser´a um subgrupo das uni- dades bic´ıclicas, ou subgrupo f -unit´ario ou um subgrupo f -unit´ario generalizado. Na disserta¸c˜ao, apresentamos a demonstra¸c˜ao provada por Bovdi e Sehgal que caracteriza grupos para que tenhamos B ≤ U f . Na sua tese, Yuanlin Li, demonstrou que, sempre que

  2 o subgrupo das unidades bic´ıclicas estiver contido no subgrupo das unidades f -unit´arias generalizadas, ent˜ao tamb´em estar´a contido no subgrupo das unidades f -unit´arias. Este resultado nos permitiu usar a mesma demonstra¸c˜ao provada por Bovdi e Sehgal para provar o teorema que caracteriza grupos para os quais B ≤ U g,f .

  2 Apresentamos algumas rela¸c˜oes entre as unidades hipercentrais e as unidades f - unit´arias generalizadas. Dentre essas rela¸c˜oes, mostrando quando que elas seriam iguais.

  Como as unidades hipercentrais n˜ao foram estudas no trabalho com detalhes, o leitor interessado pode consultar em [6] e [10].

  Referˆ encias [1] BOVDI, A.A. Unitarity of the Multiplicative Group of an Integral Group Ring, Math.

  USSR Sbornik., v. 47, no. 2 p. 377 -383, 1992.

  [2] BOVDI, A.A. Unitarity of the Multiplicative Group of an Integral Group Ring, Math.

  USSR Sbornik., v. 119, no. 2 p. 387 -400, 1982.

  [3] BOVDI, A.A; SEHGAL, Sudarshan K. Unitary Subgroup of Integral Group Rings, Manuscrita Math., v. 36, p. 197 -204, 1992. [4] BOVDI, A.A; SEHGAL, Sudarshan K. Unitary Subgroup of Integral Group Rings, Manuscrita Math.76, v. 85, no. 2 - 3, p. 213 -222, 1992. [5] CLIFF, Gerald H; SEHGAL, Sudarshan K. Groups which are Normal in the Unit

  Groups of their Group Rings, Archiv der Mathmatik., v. 33, no. 1 - 3, p. 529 -537, 1979. [6] HERTWECK, Martin; IWAKI,E; JURIAANS, S.O. On Hypercentral Units in Integral Group Rings. Journal of Group Theory., p. 1-28, 2007. [7] HIGMAN, Graham. The Units of Group Rings, Manuscrita Math., v. 85, no. 1 - 3, p.

  231 -248, 1939. [8] JESPERS, Eric; POLCINO MILIES, C´esar. Units of Group Rings. Journal of Pure and Applied Algebra 107., p.233-251, 1996.

  [9] LI,Y. Units in Integral Group Rings, Ph.D Thesis, Memorial University of Newfoun- dland, St. John’s, Canada, 1996. [10] LI,Y; PARMENTER. M.M. Some Results on Hypercentral Units in Integral Group Rings, Canada. [11] POLCINO MILIES, C´esar; SEHGAL, Sudarshan K. An Introduction to Group Rings.

  Dordrecht: Kluwer Academic, 2002. (Algebras and Applications, 1).

  [12] PARMENTER, M.M. Unitary Units in Group Ring of Groups of Order 16, Journal of mathematics., v. 24, no. 2 p. 673 -680, 1995.

  ∗ [13] RITTER, Jurgen; SEHGAL, Sudarshan K. Generators of Subgroup of U (ZG) . Con- temporary Mathematics.,v.93, 1989.

  [14] SEHGAL, Sudarshan K. Units in Integral Group Rings. New York: Longman Scien- tific Technical. [15] SEHGAL, Sudarshan K. Topics in Group Rings. Marcel Dekker, New York,1978. [16] SCOTT. Willian R. Group Theory. New York.

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