Elen Deise Assis Barbosa

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Full text

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Programa de P´os-Graduac¸˜ao em Matem´atica - PGMAT

Dissertac¸˜ao de Mestrado

Unidades

f

-unit´

arias em um anel de grupo integral

Elen Deise Assis Barbosa

Salvador-Bahia

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Elen Deise Assis Barbosa

Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

Orientador: Prof. Dr. Thierry Corrˆea Petit Lob˜ao.

Salvador-Bahia

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Barbosa. – Salvador: UFBA, 2013. 57 f.

Orientador: Prof. Dr. Thierry Corrˆea Petit Lob˜ao.

Disserta¸c˜ao (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´atica, Programa de P´os-gradua¸c˜ao em Matem´atica, 2013.

Referˆencias bibliogr´aficas.

1. An´eis ( ´Algebra). 2. Teoria dos Grupos . 3. An´eis de Grupos. I. Lob˜ao, Thierry Corrˆea Petit . II. Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´atica. III. T´ıtulo.

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Elen Deise Assis Barbosa

Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica, aprovada em 16 de abril de 2013.

Banca examinadora:

Prof. Dr. Thierry Corrˆea Petit Lob˜ao (Orientador) UFBA

Profa. Dra Carmela Sica UFBA

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Agrade¸co a Deus, por sempre me dar for¸cas para seguir em busca dos meus objetivos.

Agrade¸co aos meus amados pais, pelo amor, cuidado e carinho que sempre tiveram por mim. Obrigada meu pai simplesmente por existir e ser a minha fonte de inspira¸c˜ao para alcan¸car o sucesso. Obrigada mam˜ae, pelo companheirismo, pela amizade e por cada gesto de afeto. Amo vocˆes!

Agrade¸co aos meus irm˜aos, por serem os principais respons´aveis por muitos mo-mentos de alegrias e de descontra¸c˜ao.

Agrade¸co ao meu querido amigo Lu´ıs Roque, por ser um dos meus maiores in-centivadores. A vocˆe, devo meu respeito e minha grande admira¸c˜ao.

Agrade¸co ao meu grande amigo Jakinho por estar sempre presente na minha vida, pelo apoio e pela grande amizade demonstrada em todos instantes. Obrigada por tudo!

Agrade¸co aos meus mestres da Uneb pela contribui¸c˜ao na minha forma¸c˜ao e pela amizade. Dentre eles, Maridete (grande amiga), F´atima (minha primeira inspira¸c˜ao), Te´ofilo (grande amigo e incentivador na minha vida acadˆemica).

Agrade¸co ao meu amigo Jo˜ao Paulo pelo apoio nestes dois anos, pela disponibi-lidade em sempre me ajudar e por me encorajar nos momentos de inseguran¸ca. Muito obrigada!

Agrade¸co aos meus colegas de turma do mestrado com quem, por muitas, vezes compartilhei momentos de felicidade e de afli¸c˜oes: Anderson (sua generosidade ´e ad-mir´avel), Darlan, Edward (parceiro nos estudos), Marcus Morro e Raimundo (al´em de colega, um amigo que me recebeu de maneira calorosa; obrigada pela cumplicidade nos estudos nestes dois anos).

Agrade¸co a todos os colegas da p´os-gradua¸c˜ao, dentre eles: ˆAngela (pela disponi-bilidade em me ajudar), Andressa (pelos momentos de descontra¸c˜ao), Elaine (pela grande amizade e pela for¸ca em todos os momentos), Thiago (pelos s´abios conselhos) e K´atia (obrigada pelas boas energias).

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Agrade¸co a todos os professores do IM-UFBA por terem contribu´ıdo na minha forma¸c˜ao. Em particular, um agradecimento especial ao professor Joseph Yartey.

Agrade¸co ao Professor Carlos Bahiano pela aten¸c˜ao e disponibilidade dada quando solicitei sua orienta¸c˜ao.

Agrade¸co aos amigos e funcion´arios do IM-UFBA que de alguma forma con-tribu´ıram nesta etapa da minha vida. Em particular, um agradecimento especial `a Davi-lene e M´arcio por sempre me tratarem com muito carinho.

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retribuir e transferir aquilo que n´os lhe ofe-recemos.”

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O presente trabalho tem como objetivos estudar o subgrupo de todas as unida-des f-unit´arias de um anel de grupo integral ZG bem como o subgrupo das unidades

f-unit´arias generalizadas; apresentar a rela¸c˜ao entre estes subgrupos e o grupo das uni-dades. Verifica-se que o subgrupo das unidadesf-unit´arias generalizadas ´e exatamente o normalizador do subgrupo das unidades f-unit´arias e que quando o grupo G´e peri´odico, o normalizador do subgrupo das unidadesf-unit´arias generalizadas ´e o pr´oprio subgrupo. Al´em disso, ser˜ao caracterizados grupos para os quais se tenha o subgrupo das unidades bic´ıclicas sendo um subgrupo das unidades f-unit´arias generalizadas. Finalmente, ser˜ao apresentados resultados que podem ser estendidos para Z(G×C2), a partir de ZG, e

al-gumas rela¸c˜oes entre as unidades hipercentrais de um anel de grupo integral e as unidades

f-unit´arias generalizadas.

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The main goals of this work are to study the subgroup of all f-unitary units of an integral group ring ZG as well as the subgroup of generalized f-unitary units; to

present the relationship between these subgroups and the group of units. It is verified that the subgroup of generalizedf-unitary units is exactly the normalizer of the subgroup off-unitary units and that when the groupGis periodic, the normalizer of the subgroup of generalized f-unitary units is the subgroup itself. Moreover, the groups for which the bicyclic units subgroup being a subgroup of generalizedf-unitary units are characterized. Finally, results that can be extended from ZGto Z(G×C2) and some relations between

hypercentral units of an integral group ring and generalizedf-unitary units are presented.

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Introdu¸c˜ao 1

1 Preliminares 4

1.1 Grupos . . . 4 1.2 An´eis e M´odulos . . . 9 1.2.1 An´eis de grupo . . . 11

2 Unidades f-Unit´arias 15

2.1 Unidades f-unit´arias em um anel de grupo integral . . . 15 2.2 Unidades f-unit´arias generalizadas . . . 23 2.2.1 O normalizador de Uf . . . 23

3 Subgrupos Unit´arios 32

3.1 Subgrupos unit´arios de um anel de grupo Integral . . . 32 3.2 An´alogo a conjectura do normalizador . . . 50 3.3 Rela¸c˜ao entre unidades hipercentrais e unidades unit´arias generalizadas . . 52

Conclus˜ao 55

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O anel de grupo de um grupo G sobre um anel com identidade R, denotado por

RG, ´e o m´odulo livre com coeficientes em R tendo os elementos de Gcomo base e com a multiplica¸c˜ao definida distributivamente de forma a estender linearmente a multiplica¸c˜ao deG. Em nosso trabalho, utilizaremos an´eis de grupo em que o anel considerado ´e o anel dos inteirosZe o grupo G´e qualquer. Este anel recebe o nome de anel de grupo integral.

O conceito de anel de grupo ´e relativamente antigo e foi introduzido explicita-mente por T. Molien em 1897, mas veio a adquirir grande importˆancia devido `as suas aplica¸c˜oes `a teoria de representa¸c˜oes de grupos, a partir dos trabalhos de E. Noether, R. Brauer e I. Schur. Um dos desafios centrais desta teoria ´e o chamado Problema do Iso-morfismo, que diz o seguinte: dados dois gruposGeH e um anelR ser´a que a existˆencia de um isomorfismoRG ≃RH implica na existˆencia do isomorfismo G≃H ? Desde 1940 que este problema vem sendo discutido, a partir dos trabalhos de G. Higman, utilizando-se diversos an´eis de coeficientes. Entretanto, foi ao considerar o anel de grupoZG que se

chegou a diversos resultados relevantes – como, por exemplo, o problema do isomorfismo para grupos abelianos finitos, do qual G. Higman demonstrou a validade.

O desafio de saber para quais classes de grupos este problema ´e v´alido continuou sendo alvo de interesse para os algebristas que trabalhavam com an´eis de grupo. Desta forma, K. W. Roggenkamp e L. Scott responderam essa quest˜ao para an´eis de grupo integral de grupos nilpotentes e A. Whitcomb para an´eis de grupo integrais de grupos metabelianos. Todavia, para grupos infinitos ainda pouco se sabe – nem mesmo se a classe de nilpotˆencia ´e preservada por isomorfismos que satisfa¸cam o Problema do Isomorfismo. Uma outra quest˜ao de destaque na teoria dos an´eis de grupo integrais sobre grupos finitos ´e a propriedade do normalizador que tamb´em foi apresentada como Conjectura: o normalizador deGno grupo das unidades deZG´e exatamente o produto do grupoGpelo

centro do grupo das unidades, i.e., NU(G) = G.Z(U(ZG)). Em 1995, M. Mazur revelou

a existˆencia de uma rela¸c˜ao entre a Propriedade do Isomorfismo e a do Normalizador no caso de alguns grupos infinitos.

Desta forma, tanto o problema do isomorfismo quanto a problema do normali-zador vˆem sendo investigados e muitas respostas positivas foram encontradas, at´e que,

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em 2001, M. Hertweck apresentou contra-exemplos para as duas quest˜oes. Assim, agora busca-se caracterizar as classes de grupos que s˜ao determinados pelos seus an´eis de grupo integrais, ou ainda, as classes de grupos em que permanece v´alida a propriedade do nor-malizador.

Continuando com os desafios na teoria de an´eis de grupos integrais, podemos citar o estudo do grupo das unidades deste anel, isto ´e,

U(RG) ={x∈RG: (∃ y∈RG)(xy=yx= 1)}.

Desde a d´ecada de 1970, v´arias pesquisas tˆem mostrado que este grupo tem uma estrutura muito complicada. Isto se deve, entre outras coisas, ao fato de o mesmo possuir um subgrupo livre de posto 2. A relevˆancia no estudo do grupo das unidades est´a diretamente ligada ao Problema do Normalizador, pois, para termos respostas sobre este problema, precisamos conhecer o grupo das unidades.

Neste trabalho estamos interessados principalmente num tipo de unidade: uni-dades f-unit´arias. Dados um grupo G qualquer e f : G → U(Z) = {−1,1} um

homo-morfismo de grupos, pode-se definir a fun¸c˜aoh:ZGZGque a cadax=P

g∈Gαgg faz corresponderxf =P

g∈Gαgf(g)g−1, a qual ´e um antiautomorfismo do anel ZG, chamado de involu¸c˜ao gerada pelo homomorfismof. Em particular, sef´e trivial, ent˜aoxf coincide com a involu¸c˜ao cl´assica,∗, i.e., xf =P

g∈Gαgg−1 =x∗. Definimos ent˜ao

Uf(ZG) = {u∈ U(ZG) :uuf =±1},

chamado de conjunto das unidades unit´arias (o qual ´e um subgrupo de U(ZG)).

O estudo das unidades unit´arias foi proposto por S.P Novikov e este subgrupo foi descrito pela primeira vez por A. A. Bovdi. Desde ent˜ao uma s´erie de resultados interessantes sobre este assunto tem aparecido.

O presente trabalho est´a dividido em trˆes cap´ıtulos, da seguinte forma:

No primeiro cap´ıtulo, apresentamos, sem muitas demonstra¸c˜oes, algumas de-fini¸c˜oes e resultados b´asicos sobre Teoria de Grupos, Teoria de An´eis e M´odulos e An´eis de Grupos que ser˜ao utilizados ao longo dos demais cap´ıtulos.

No segundo cap´ıtulo, faremos um estudo do subgrupo de todas unidades f -unit´arias caracterizando quando este grupo ´e um subgrupo de ´ındice finito no grupo das unidades. Al´em disso, apresentaremos um outro tipo de unidade; unidadesf-unit´arias ge-neralizadas. O conjunto de todas essas unidades ser´a um subgrupo do grupo das unidades e ser´a exatamente o normalizador do subgrupo das unidades f-unit´arias.

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subgrupo das unidades bic´ıclicas sendo um subgrupo unit´ario generalizado, i.e.,B2 ≤ Ug,f. Al´em disso, apresentaremos uma rela¸c˜ao entre as unidades f-unit´arias de ZG e as

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Preliminares

Neste cap´ıtulo, introduziremos algumas defini¸c˜oes e resultados importantes acerca das Teorias de Grupos, de An´eis e M´odulos e de An´eis de Grupo.

Ressaltamos que os resultados apresentados aqui poder˜ao ser encontrados pelo leitor em [11] e [16].

1.1

Grupos

Os resultados cl´assicos da teoria de grupos inseridos nesta se¸c˜ao ser˜ao ´uteis para que se possa compreender o desenvolvimento deste trabalho.

Um conjunto n˜ao vazio Gmunido com uma opera¸c˜ao bin´aria

∗:G×G→G

(a, b)7→a∗b

´e umgrupo se as seguintes condi¸c˜oes s˜ao satisfeitas: 1. a∗(b∗c) = (a∗b)∗c, para todo a, b, c∈G.

2. Existe 1∈Gtal que 1∗a=a∗1 =a, para todo a∈G. 3. Para todo a∈G, existe b∈G tal que a∗b=b∗a = 1. O grupo ´eabeliano oucomutativo se tamb´em vale a condi¸c˜ao

4. a∗b=b∗a, para todo a, b∈G.

Para simplificar a nota¸c˜ao usaremos abem vez dea∗b. Aordem oucardinalidade

de um grupoG ´e o n´umero de elementos de G que denotaremos por |G|.

Sejam Gum grupo eH um subconjunto deG. Dizemos queH ´e umsubgrupo de

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1. H 6= 0;

2. ab−1, para todo a, bH.

Sejam Gum grupo e H um subgrupo de G. Dado a∈G, o conjunto

aH ={ah:h∈H}

´e chamado aclasse lateral `a esquerdadeHemGdeterminada pora. De modo semelhante, podemos definir a classe `a direitaHa deH em G. O conjunto de todas as classes laterais `a esquerda deH em G forma uma parti¸c˜ao de G, que denotamos por G

H.

Dados a, b ∈ G, dizemos que a ´e congruente a b m´odulo H se a−1b H, que denotaremos pora≡b(mod H). ´E f´acil verificar que≡´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia em

Ge que a classe de equivalˆencia determinada pora´e igual `a classe lateral `a esquerdaaH. O elemento a ´e chamado um representante da classe de equivalˆencia. N˜ao ´e dif´ıcil ver que existe uma correspondˆencia biun´ıvoca entre o conjunto das classes laterais `a esquerda de H em G e o conjunto das classes laterais `a direita de H em G. A cardinalidade do conjunto das classes laterais `a esquerda (ou `a direita) de H em G´e chamado de o´ındice

deH em G, que denotaremos por [G:H].

SejamGum grupo eHum subgrupo deG. Dizemos queH´e umsubgrupo normal

deG, em s´ımbolosH✂G, se

Ha =aH,∀a∈G,

isto ´e,

aHa−1 =H,∀a∈G.

Al´em disso, G

H ´e um grupo com a opera¸c˜ao aHbH = abH para a, b ∈ G se, e

somente se, H ´e um subgrupo normal de G. Neste caso, G

H ´e chamado o grupo quociente

deG porH.

O produto cartesiano G×H munido da opera¸c˜ao bin´aria componente a compo-nente

(a, b)∗(g, h) = (ag, bh)

´e um grupo com elemento neutro (1,1) e (g−1, h−1) o inverso de (g, h). O grupo G×H ´e chamadoproduto direto (externo). Por indu¸c˜ao, segue-se que

G1×G2...×Gn ´e um grupo. Em particular,

Gn=G×G× · · · ×G

| {z }

n

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´e um grupo.

Dados Gum grupo, S⊆G e{Hλ}λ∈L a fam´ılia dos subgrupos de Gque cont´em

S. O subgrupo de G dado por TλLHλ ´e chamado de subgrupo de G gerado por S, o qual denotaremos porhSi. Este subgrupo ´e o menor subgrupo de G que cont´em S. Em particular, seX ={a}, ent˜ao

G=hai={an:n∈Z}

´e chamado ogrupo c´ıclico gerado por a.

Sejam Gum grupo e H um subgrupo de G. Os conjuntos 1. NG(H) ={g ∈G:g−1Hg =H},

2. CG(H) = {g ∈G:gh =hg,∀h∈H}, 3. Z(G) ={g ∈G:gx=xg,∀x∈G},

s˜ao chamados respectivamente de normalizador e centralizador de H em G, centro de

G os quais s˜ao subgrupos de G. O normalizador de um subgrupo H em G ´e o maior subgrupo de Gem que H ´e normal.

Sejam G e H conjuntos n˜ao vazios munidos com as opera¸c˜oes bin´arias ∗ e ◦

respectivamente. Um fun¸c˜ao ϕ deG em H ´e ummorfismo se

ϕ(a∗b) =ϕ(a)◦ϕ(b),∀a, b∈G.

Em particular, se G e H s˜ao grupos, dizemos que ϕ ´e homomorfismo de grupos. Neste caso, aimagem deϕ,Im ϕ, ´e um subgrupo de H. O n´ucleo deϕ ´e o conjunto Ker ϕ=

{g ∈G:ϕ(g) = 1}, o qual ´e um subgrupo normal deG.

Um homomorfismo de grupos ϕ :G→H ´e dito um isomorfismo seϕ ´e bijetiva. Quando existir um isomorfismo entreGeHdizemos queGeHs˜aoisomorfos e denotamos tal isomorfismo por G ≃ H. Um endomorfismo de um grupo G ´e um homomorfismo

ϕ:G→G. Denotamos por End(G) ={ϕ :G→G:ϕ ´e um homomorfismo}.

Um subgrupo H de um grupo G ´e dito caracter´ıstico se ϕ(H) ⊆ H para todo automorfismo ϕ de G.

Sejam G um grupo, H eN subgrupos de G. Dizemos queG ´e um produto semi direto (interno) deN por H se as seguintes condi¸c˜oes s˜ao satisfeitas:

1. G=N H; 2. N ✂G

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Nota¸c˜ao: G=N ⋊H.

Dado um grupo G abeliano e a ∈ G. Dizemos que a ´e um elemento de tor¸c˜ao

de G se existir n ∈ N tal que an = 1. O conjunto T(G) = {a G : o(a) < ∞} ´e um

subgrupo deGchamado osubgrupo de tor¸c˜ao deG. Se T(G) = {1}, dizemos queG´e um grupo livre de tor¸c˜ao. Note que G

T(G) ´e livre de tor¸c˜ao.

Um elemento cuja ordem ´e uma potˆencia de um primo p ´e chamado um p -elemento. Por outro lado, se p n˜ao divide a ordem do elemento, ent˜ao dizemos que ele ´e um p′

-elemento.

Dado um inteiro primo p, dizemos que o grupo G ´e um p-grupo se a ordem de todo elemento deG´e uma potˆencia de p, i.e., se todo elemento ´e um p-elemento.

Um grupo abeliano G´e dito abeliano elementar, se existe um inteiro primo ptal que todo elemento de G− {1} tem ordem p. Para um grupo G arbitr´ario, define-se o

expoente deG, caso exista, como sendo o menor inteiro positivomtal quegm = 1g G. Neste caso, escrevemos exp(G) = m. Note que G ´e um p-grupo abeliano elementar se, e somente se, exp(G) = p e se G ´e um grupo abeliano com exp(G) = pm, ent˜ao

exp(Gp) = pm−1 com Gp ={gp :g G}.

Um grupo n˜ao comutativoGtal que todos seus subgrupos s˜ao normais ´e chamado deGrupo Hamiltoniano. Da teoria de grupos, tem-se que um grupo G´e hamiltoniano se, e somente se,G´e um produto direto do grupo dos quat´ernios de ordem 8, de um 2-grupo abeliano elementar E e um grupo abeliano A cujos elementos s˜ao de ordem ´ımpar. Um exemplo de grupo hamiltoniano ´e o grupo dos quat´ernios.

Seja G um grupo. Umas´erie subnormal de G´e uma sequˆencia

{1}=G0 ≤G1 ≤...≤Gn=G (1.1) tal que

Gi−1✂Gi, com 1≤i≤n. Os grupos

Gi

Gi−1

, com 1≤i≤n,

s˜ao chamados degrupos fatores. Ocomprimento da s´erie subnormal ´e o n´umero de grupos fatores.

Um refinamento de uma s´erie subnormal

{1}=G0 ≤G1 ≤...≤Gn=G,

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A s´erie subnormal ´e uma s´erie de composi¸c˜ao se ela n˜ao admite um refinamento pr´oprio. Sejam

{1}=G0 ≤G1 ≤...≤Gn =G e {1}=H0 ≤H1 ≤...≤Hm =H,

duas s´eries subnormais de um grupo G. Dizemos que elas s˜ao equivalentes, se m = n e existe uma permuta¸c˜ao σ∈Sn, tal que

Gi

Gi−1

≃ Hσ(i)

Hσ(i)−1

, com 1≤i≤n.

O comutador de dois elementos h, k ∈G ´e definido por [h, k] =h−1k−1hk.

O conjunto

G′ =h[h, k]|h, k ∈Gi

´e chamado subgrupo comutador de G. Mais geralmente, se H e K s˜ao subconjuntos de

G, ent˜ao

[H, K] =h[h, k]|h∈H, k∈Ki

´e um subgrupo de G. Assim, G′ = [G, G].

A seguir, ser˜ao enunciados alguns resultados em que omitiremos a prova. Entre-tanto, esta prova pode ser encontrada nas referˆencias citadas no in´ıcio do cap´ıtulo.

Teorema 1.1.1. Seja G um grupo. Ent˜ao: 1. G ´e abeliano, se e somente se, G′

={1}; 2. G′

´e um subgrupo caracter´ıstico de G. Em particular, G′

´e normal em G; 3. G

G′ ´e abeliano;

4. Se H ´e um subgrupo de G, ent˜ao H ´e normal e G

H ´e abeliano se, e somente se, G′ ⊆H;

5. Se f :G→L ´e um homomorfismo de grupos e H e K s˜ao subgrupos e G, ent˜ao

f([H, K]) = [f(H), f(K)].

Seja G um grupo. A s´erie central descendente ou inferior

γ1(G)⊇γ2(G) = [γ1(G), G] = [G, G] =G ′

⊇...γi(G)⊇... ´e definida, indutivamente, por

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Teorema 1.1.2. Seja G um grupo. Ent˜ao:

1. Cada γi(G) ´e um subgrupo caracter´ıstico de G;

2. γi+1(G)≤γi(G);

3. γi(G)

γi+1(G)

≤ Z

G γi+1(G)

.

Dado um grupo G, a s´erie central ascendente (superior)

Z0(G)⊆ Z1(G)⊆ Z2(G)⊆...⊆ Zn(G)... deG´e definida, intuitivamente, por

Z0(G) ={e}, ...,Zn+1(G) = {x∈G:|[x, G]⊆ Zn(G)}.

Teorema 1.1.3. Seja G um grupo. Ent˜ao:

1. Cada Zn(G), o n-´esimo centro de G, ´e um subgrupo caracter´ıstico de G;

2. Zn(G)⊆ Zn+1(G) para todo n≥0;

3. Se π:G→ G Zn(G)

´e a proje¸c˜ao canˆonica, ent˜ao

Zn+1(G) =π−1

Z

G

Zn(G)

.

Consequentemente, Zn+1(G)

Zn(G)

´e o centro de G

Zn(G)

.

Caso utilizemos algum resultado que n˜ao tenha sido apresentado nesta se¸c˜ao, as mesmas referˆencias citadas no in´ıcio do cap´ıtulo podem ser consultadas.

1.2

An´

eis e M´

odulos

Um anel ´e um conjunto n˜ao vazio R munido de duas opera¸c˜oes bin´arias, adi¸c˜ao (x, y)7→x+y e multiplica¸c˜ao (x, y)7→xy tal que as seguintes propriedades valem:

1. R ´e um grupo comutativo com a adi¸c˜ao. 2. x(yz) = (xy)z, para todo x, y, z ∈R.

(21)

4. Existe 1∈R tal que x1 = 1x=x, para todo x∈R, dizemos que R ´e um anel com identidade.

5. Se xy=yx, para quaisquer x, y ∈R, dizemos que R ´e umanel comutativo.

Se um anel R satisfaz a propriedade:

6. Para todo x, y ∈ R, xy = 0 ⇒ x = 0 ou y = 0, dizemos que R ´e um anel sem divisores de zero. Caso contr´ario, dizemos que R ´e umanel com divisores de zero.

Um elementox∈R´e dito uma unidade deRse existir y∈R, tal quexy=yx= 1. Denotaremos por U(R) o conjunto de todas as unidades de R. Se

U(R) =R∗ =R− {0},

dizemos que R ´e umcorpo.

Sejam R um anel com identidade ex∈R. Se n∈Z, definimos nxR por

nx =

      

(n−1)x+x, se n >0 0, se n= 0 (−n)(−x), se n <0

Sejam R um anel com identidade e S ={n ∈N :| na= 0,a R}. Se S ´e n˜ao

vazio, ent˜ao pelo princ´ıpio da boa ordena¸c˜ao, S cont´em, um menor elemento, digamos

k∈S. O elemento k´e chamado de caracter´ıstica do anel R. Caso contr´ario, dizemos que

R tem caracter´ıstica zero.

Um subconjunto n˜ao vazio S de um anel R com unidade ´e um subanel de R se as seguintes condi¸c˜oes s˜ao satisfeitas:

1. ∀ x, y ∈S tem-se x−y∈S; 2. ∀ x, y ∈S, tem-se xy∈S; 3. 1∈S.

Seja R um anel comutativo com unidade. Um m´odulo V sobre R ´e um grupo comutativo aditivo, munido com uma fun¸c˜ao

R×V →V

(r, v)7→rv

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2. r(u+v) = ru+rv, para todo r∈R e u, v ∈V. 3. (r+s)v =rv+sv, para todo r, s∈R ev ∈V. 4. 1v =v, para todo v ∈V.

Note que, se R ´e um corpo, ent˜ao um m´odulo V sobre R ´e um espa¸co vetorial

sobre R.

Seja V um m´odulo sobre R. Se v ∈V pode ser escrito como

v = n

X

i=1

rivi :|ri ∈R, com vi ∈V,

ent˜ao dizemos quev ´e uma combina¸c˜ao linear dos elementos de v1, v2, ..., vn sobre R. Uma sequˆencia finita v1, v2, ..., vn de elementos de um m´odulo V sobre R ´e cha-madalinearmente independente se

n

X

i=1

rivi = 0⇒r1 =r2 =...=rn= 0.

Caso contr´ario, dizemos que a sequˆencia ´e linearmente dependente. Um subconjunto S

de um m´oduloV sobre R´e ditolinearmente independente se qualquer sequˆencia finita de elementos distintos deS ´e linearmente independente; caso contr´ario,S ´e ditolinearmente dependente.

Um subconjunto S de um m´odulo V sobre R ´e dito ser uma base sobre R se as seguintes propriedades valem:

1. V =hSi;

2. S ´e linearmente independente.

A defini¸c˜ao do ´ıtem 1., acima, ´e an´aloga a que vimos na p.6 para grupos.

Um m´odulo V sobre R ´e chamado de m´odulo livre sobre R se possui uma base. A cardinalidade da base sobreR ´e chamada de posto de V sobre R.

1.2.1

An´

eis de grupo

Nesta se¸c˜ao apresentaremos algumas defini¸c˜oes da teoria de an´eis de grupo ne-cess´arias para uma melhor compreens˜ao do trabalho. Para maiores detalhes consulte [11] e [15].

(23)

(1) Adi¸c˜ao: PgGαgg+

P

g∈Gβgg :=

P

g∈G(αg+βg)g; (2) Multiplica¸c˜ao :

P

g∈Gαgg

.

P

g∈Gβgg

:=PgGPhG(αgβh)gh;

Podemos tamb´em definir a multiplica¸c˜ao de elementos deRG por elementosr do anelR: (3) Multiplica¸c˜ao por escalar: r

P

g∈Gαgg

:=PgG(rαg)g. Com esta estrutura, RG admite uma estrutura de R-m´odulo.

Observa¸c˜ao 1.2.1. RG ´e um anel comutativo se, e somente se, G e R s˜ao comutativos.

A fun¸c˜ao ε :RG→R definida por

ε(α) = ε X

g∈G

αgg

=X g∈G

αg

´e um homomorfismo de an´eis sobrejetor, chamada de fun¸c˜ao de aumento de RG. O conjunto ∆R(G) =Ker ε={α =

P

g∈Gαgg ∈RG :

P

g∈Gαg = 0}´e chamado o ideal de

aumento de RG.

Seja N um subgrupo normal de G. Ent˜ao, a fun¸c˜ao ϕ :RG →R

G N definida por

ϕ(α) =ϕ X

g∈G

αgg

= X g∈G

αgg

N

´e um homomorfismo de an´eis, com ∆R(G, N) = Kerϕ={

X

g∈G

αgg ∈RG:

X

g∈G

αggN = 0}. Seja G um grupo. Denotamos por

U(ZG) ={αZG:α ´e invers´ıvel}

ogrupo das unidades deZG e por

U1(ZG) ={α∈ U(ZG) :ε(α) = 1},

o grupo das unidades normalizadas de ZG. Se u ∈ U(ZG), ent˜ao ε(u) = ±1. Como

U1(ZG)≤ U(ZG),´e f´acil ver que U(ZG) = ±1× U1(ZG).

Um elemento da forma rg, onde r ∈ U(R) e g ∈ G, tem um inverso r−1g−1. Os elementos desta forma s˜ao chamados de unidades triviais deRG. Quando temos R=Z,

os elementos da forma ±g s˜ao as unidades triviais do anel de grupo ZG. Observe que, se

o anel ´e um corpo K, ent˜ao as unidades triviais deKG s˜ao todos elementos da forma kg

(24)

Uma unidade que usaremos bastante ao longo do trabalho ´e a chamada unidade bic´ıclica. Dado um elementoa∈Gde ordem finita, digamosn, e qualquer outro elemento

b∈G podemos definir tal unidade como sendo:

µa,b = 1 + (a−1)bba, comba= 1 +a+a2+...+an−1 cuja inversa ´e dada por

µ−a,b1 = 1−(a−1)bba.

Denotaremos por B2(ZG) (muitas vezes usaremos apenas B2) o subgrupo de U

gerado por todas as unidades bic´ıclicas de ZG. Claramente, se a e b comutam ent˜ao

µa,b = 1. Mostraremos agora quando as unidades bic´ıclicas s˜ao triviais.

Teorema 1.2.2. Sejam g, h elementos do grupo Gcom o(g) =n < ∞. Ent˜ao, a unidade bic´ıclica µg,h ´e trivial se, e somente se, h normaliza hgi e, neste caso, µg,h = 1.

Demonstra¸c˜ao:

(⇒) Suponha que µg,h seja trivial. Assim, de ε(µg,h) = 1 existe um elemento x ∈ G tal queµg,h =x. Assim, temos;

1 + (1−g)hbg =x.

Disso, segue que

1 +h(1 +g+g2+· · ·+gn−1) =x+gh(1 +g+g2+...+gn−1).

Sex= 1, ent˜aoh=ghgi para algum inteiro i. Assim, h−1gh=g−i. Agora, suponha que

x6= 1. Ent˜ao,h /∈ hgi, pois do contr´ario,h comutaria com g e, portanto, x= 1. Como 1 aparece do lado esquerdo da equa¸c˜ao acima devemos ter tamb´em 1 no lado direito. Assim, deve existir um inteiro positivo i tal que 1 = ghgi. Isto implica que h = g−(i+1). Um absurdo. Segue quex= 1 e h normaliza hgi.

(⇐) Suponha agora que h normaliza hgi. Ent˜ao, h−1gh=gj para algum inteiro positivo

j. Disso, segue que gh = hgj. Como gj

b

g = bg, temos que ghbg = hbg. Assim, de µg,h = 1 + (1−g)hgb= 1 +hgb−ghbg = 1. Segue-se que µg,h ´e trivial. Como consequˆencia imediata, temos que, para um grupo finito G, o grupo B2 ´e trivial se, e somente se, todo subgrupo de G´e normal.

Teorema 1.2.3. Se u´e uma unidade central de ordem finita emZG, ent˜aou=±g, onde

(25)

Teorema 1.2.4 (Higman). Seja G um grupo de tor¸c˜ao. Ent˜ao, todas unidades de ZG s˜ao triviais se, e somente se, G ou ´e um grupo abeliano de expoente igual a 1,2,3,4 ou 6

ou ´e um 2-grupo hamiltoniano.

(26)

Unidades

f

-Unit´

arias

Neste cap´ıtulo, iremos discutir um tipo de unidade chamada deunidadef-unit´aria

e tamb´em a sua generaliza¸c˜ao – unidade f-unit´aria generalizada. Estudaremos a rela¸c˜ao entre as unidadesf-unit´arias deZGe as unidadesf1-unit´arias deZ(G×C2). Este cap´ıtulo

´e baseado em [9].

Ao longo do texto, escreveremos por muitas vezes Uf em vez de Uf(ZG).

2.1

Unidades

f

-unit´

arias em um anel de grupo

inte-gral

Sejam ZGum anel de grupo integral de um grupo arbitr´arioGef :G→ {−1,1}

um homomorfismo de grupos. Podemos definir a fun¸c˜ao h : ZG ZG que a cada x =

P

g∈Gαgg faz corresponder h(x) = x

f =P

g∈Gαgf(g)g−1 a qual ´e um antiautomorfismo do anelZGe ´e chamada de involu¸c˜ao gerada pelo homomorfismog. Em particular, sef ´e

trivial,i.e.,f ≡1,xf coincide com a involu¸c˜ao cl´assica,, ou seja, xf =P

g∈Gαgg−1 =x∗. Definimos ent˜ao

Uf(ZG) = {u∈ U(ZG) :uuf =±1},

o conjunto das unidades f-unit´arias o qual ´e um subgrupo de U(ZG). Um elemento

u∈ Uf ´e chamado de unidade f-unit´aria. Quando f ´e trivial dizemos que Uf ´e o grupo das unidades unit´arias e denotamos tal fun¸c˜ao por∗.

O estudo das unidades unit´arias foi proposto por Novikov e este subgrupo foi descrito pela primeira vez por Bovdi (ver em [2]).

Na presente se¸c˜ao, apresentaremos o resultado provado por Yuanlin Li, em [9] que nos mostra uma rela¸c˜ao entre as unidadesf-unit´arias deZGe as unidadesf1-unit´arias de Z(G×C2), e discutiremos quando as unidades f-unit´arias geram um subgrupo de ´ındice

(27)

finito no grupo das unidades U(ZG).

Dado o homomorfismo de grupos apresentado no in´ıcio do texto,f :G→ {−1,1}, podemos estendˆe-lo ao homomorfismo de grupos:

f1 :G×C2 → {±1}, o qual ´e dado porf1(g, ci) = f(g), sendoc o gerador deC

2 (grupo c´ıclico de ordem 2).

O resultado abaixo nos fornece uma rela¸c˜ao entre as unidades f-unit´arias de ZG

e as unidadesf1-unit´arias deZ(G×C2).

Teorema 2.1.1 (Yuanlin Li). Para um grupo arbitr´ario G, U(ZG) = Uf(ZG) implica queU(Z(G×C2)) = Uf1(Z(G×C2)).

Para provar este teorema precisaremos de alguns resultados que ser˜ao apresenta-dos a seguir.

Proposi¸c˜ao 2.1.2. Os conjuntos K ={u= 1 +α(1−c)|α∈ZGu∈ U(Z(G×C2))} e H = {v = 1 + 2α | α ∈ ZGv ∈ U(ZG)} s˜ao subgrupos de U(Z(G×C2)) e U(ZG) respectivamente.

Demonstra¸c˜ao:

De fato, observe que K 6= ∅, pois tomando α = 0 tem-se 1 ∈ K. Agora, sejam

u= 1 +α(1−c) e u1 = 1 +β(1−c) com α, β ∈ZG. Mostremos que uu1 ∈K. (1 +α(1−c)).(1 +β(1−c)) ⇐⇒ 1 +β(1−c) +α(1−c) +αβ(1−c)2

⇐⇒ (α+β)(1−c) +αβ(1−c)2+ 1

⇐⇒ (α+β)(1−c) +αβ(1−2c+ 1) + 1

⇐⇒ (α+β)(1−c) + 2αβ−2αβc+ 1

⇐⇒ (α+β)(1−c) + 2αβ(1−c) + 1

⇐⇒ (α+β+ 2αβ)(1−c) + 1.

Chamandoα+β+ 2αβ deγ, temos que uu1 = 1 +γ(1−c) comγ ∈ZGpertence aK. Agora, tome u2 = 1 +δ(1−c)∈K com δ ∈ZG, de forma que, α+δ+ 2αδ = 0 e, assim temos queuu2 = 1 =u2ue , portanto,u2 =u−1 ∈K. Segue queK ´e um subgrupo deU(Z(G×C2)). Agora, mostremos que H ´e um subgrupo de U(ZG). Observe queH ´e

n˜ao vazio, pois tomando α = 0 temos que 1∈ H. Sejam v = 1 + 2α e v1 = 1 + 2β com

(28)

(1 + 2α)(1 + 2β) ⇐⇒ 1 + 2α+ 2β+ 4αβ

⇐⇒ 1 + 2(α+β+ 2αβ).

Chamando α+β+ 2αβ de λ, temos que vv1 = 1 + 2λ. Segue que vv1 ∈H. De maneira an´aloga ao que fizemos no subgrupo anterior, tomando v2 = 1 + 2υ, de maneira que

α+υ + 2αυ= 0, temos que v2 =v−1 ∈H. Portanto, H ´e um subgrupo de U(ZG). Sabendo que os conjuntos acima s˜ao subgrupos de U(Z(G×C2)) e de U(ZG)

respectivamente, faz sentido o enunciado do pr´oximo lema.

Lema 2.1.3. Seja G um grupo arbitr´ario. Ent˜ao,U(Z(G×C2))´e um produto semidireto de K e D,i.e., U(Z(G×C2)) = KD, onde K = {u = 1 +α(1c);α ZGu

U(Z(G×C2))} e D=U(ZG)⊂ U(Z(G×C2)). Al´em disso,1 +α(1c)∈ U(Z(G×C2)) se, e somente se, 1 + 2α ∈ U(ZG).

Demonstra¸c˜ao:

Para mostrar que U(Z(G×C2)) =KD, primeiro observemos que f : (Z(G×

C2)) → ZG que, a cada (Pαigi+Pβigic), faz corresponder P(αi+βi)gi ´e um

homo-morfismo e que a sequˆencia

1 f1

−→K f2

−→ U(Z(G×C2))f→ U3 (ZG)f4 1

´e uma sequˆencia exata que cinde. De fato, considere os homomorfismos f1 : 1 → K,

f2 :K → U(Z(G×C2)), f3 :U(Z(G×C2))→ U(ZG) e f4 :U(ZG)→1. Note que: (1) f2 ´e um homomorfismo que a cada elementou∈K ⊆ U(Z(G×C2)) faz corresponder

u∈ U(Z(G×C2)). Sendo assim,f2 ´e um monomorfismo.

(2) f3 ´e um epimorfismo, pois f3 ´e restri¸c˜ao de f que ´e um homomorfismo sobrejetor. ´

E f´acil ver que: Imf1 ={1}= Kerf2 (poisf2 ´e injetiva); Imf3 = Kerf4, pois f3 ´e um epimorfismo ef4 ´e um homomorfismo trivial. Mostremos que K = Im f2 = Kerf3.

Mostremos que K ⊆Kerf3. Seja u∈ K. Ent˜ao, u = 1 +α(1−c) com α ∈ZG.

Aplicando o homomorfismo f3 temos:

f3(1 +α(1−c)) = f3(1 +α−αc) = f3(1 +PgGαigi−

P

g∈Gαigic) = 1 +PgG(αi−αi)gi

(29)

Agora, mostremos que Kerf3 ⊆ K. Seja v ∈Kerf3 com v =Pαigi+

P

βigic e

P

(αi +βi)gi = 1. Disso, segue que αi =−βi para todo gi 6= 1. Suponha que para i= 0,

α0+β0 = 1. Assim:

v = Pαigi+Pβigic

= α0.1 +Pgi6=g0αigi+β0c+

P

gi6=g0βigic

= α0.1 +Pgi6=g0αigi+β0c−

P

gi6=g0αigic (denote por α o somat´orio

P

gi6=0αigi)

= α0.1 +β0.c+α−αc = α0 +β0c+α(1−c)

= 1−β0+β0c+α(1−c) (substituindo α0 por 1−β0) = 1−β0(1−c) +α(1−c)

= 1 + (α−β0)(1−c) (denote porγ a soma (α−β0)) = 1 +γ(1−c).

Como v ´e uma unidade, γ ∈ZGe v pode ser escrito da forma 1 +γ(1c) segue

quev ∈K e, por conseguinte, Kerf3 ⊆K. Portanto, K = Kerf3. Conclu´ımos ent˜ao que a sequˆencia dada ´e exata. Observe que, por f2 ser um homomorfismo injetivo, existe um homomorfismog2 tal queg2f1 =Id e, por f3 ser um homomorfismo sobrejetor, existe um homomorfismo g3 tal que f3g3 =Id. Segue disso que a sequˆencia cinde. Portanto,

U(Z(G×C2)) =KD.

Se u = 1 + α(1 −c) ∈ U(Z(G × C2)), ent˜ao u−1 ∈ U(Z(G × C2)). Assim,

u−1 = 1 +β(1c) comβ ZG. Disso, segue que

(1 +α(1−c)).(1 +β(1−c)) = 1 ⇐⇒ 1 +β(1−c) +α(1−c) +αβ(1−c)2 = 1

⇐⇒ (α+β)(1−c) +αβ(1−c)2+ 1 = 1

⇐⇒ (α+β)(1−c) +αβ(1−2c+ 1) + 1 = 1

⇐⇒ (α+β)(1−c) + 2αβ−2αβc+ 1 = 1

⇐⇒ (α+β)(1−c) + 2αβ(1−c) + 1 = 1

⇐⇒ (α+β+ 2αβ)(1−c) + 1 = 1.

Como estamos num anel de grupo e o elemento 1 est´a em ambos os lados, ent˜ao devemos ter (α+β+ 2αβ)(1−c) = 0. Veja que c6= 1 e α, β ∈ZG. Ent˜ao,

α+β+ 2αβ = 0 ⇐⇒ 1 + 2(α+β+ 2αβ) = 1

⇐⇒ (1 + 2α) + 2β+ 4αβ = 1

⇐⇒ 1 + 2α+ (1 + 2α)2β = 1

⇐⇒ (1 + 2α)(1 + 2β) = 1

(30)

Lema 2.1.4. Sejam K = {u= 1 +α(1−c);α ∈ZGu ∈ U(Z(G×C2))} e H = {v =

1 + 2α;v ∈ U(ZG)} subgrupos de U(Z(G×C2)) e U(ZG) respectivamente. Ent˜ao, K ´e isomorfo a H via a fun¸c˜ao 1 +α(1−c)7−→1 + 2α.

Demonstra¸c˜ao:

Considere a fun¸c˜ao h:K →H que a cada 1 +α(1−c) faz corresponder 1 + 2α. Pela segunda parte do Teorema 2.1.3,h ´e uma bije¸c˜ao. Agora, basta mostrar que h´e um homomorfismo de grupos. Sejamu= 1 +α(1−c) e v = 1 +β(1−c), com α, β ∈ U(ZG).

Assim, temos;

h(uv) = h((1 +α(1−c)).(1 +β(1−c)))

= h(1 +β(1−c) +α(1−c) +αβ(1−2c+ 1)) = h(1 + (α+β)(1−c) +αβ(2−2c))

= h(1 + (α+β)(1−c) + 2αβ(1−c)) = h(1 + (α+β+ 2αβ)(1−c))

= 1 + 2(α+β+ 2αβ) = (1 + 2α)(1 + 2β) = h(u)h(v).

Segue disso queh ´e um isomorfismo de grupos.

O pr´oximo lema ´e relevante, pois nos fornece o inverso das unidades f-unit´arias quando estas unidades s˜ao dadas na forma 1 + 2α com α∈ZG.

Lema 2.1.5. Se existeα ∈ZGtal que1+2α´e uma unidadef-unit´aria, ent˜ao(1+2α)f =

(1 + 2α)−1.

Demonstra¸c˜ao:

Suponha, por absurdo, que (1 + 2α)f =(1 + 2α)−1. Ent˜ao,

ε(2(1 +αf +α)) = ε((1 + 2α)f) +ε(1 + 2α) = ε(−(1 + 2α)−1) +ε(1 + 2α).

Como ε ´e um homomorfismo, ε transforma unidades em unidades. Assim, temos que

(31)

0 = ε((1 + 2α)f) +ε(1 + 2α) = ε(1) +ε(2αf) +ε(1) +ε(2α) = 1 + 2ε(αf) + 1 + 2ε(α) = 2 + 2(ε(αf +α)). Disso, segue que

0 = 2(1 +ε(αf +α))ε(αf +α) + 1 = 0. Logo, ε(αf +α) =1. Mas,

ε(α+αf) = ε(Pα gg+

P

αgf(g)g−1) = ε(Pαgg) +ε(Pαgf(g)g−1) = Pαg+Pαgf(g)

= Pαg(1 +f(g)).

Comof(g) =±1, ent˜ao 2|(f(g)+1). Logo, 2|Pαg(1+f(g)) =ε(α+αf) =−1; um absurdo. Portanto, (1 + 2α)f = (1 + 2α)−1. Agora podemos provar que o isomorfismo g dado no Lema 2.1.4 induz um iso-morfismo entre as unidadesf1-unit´arias deK e as unidades f-unit´arias de H.

Lema 2.1.6. Dado α∈ZG, 1 + 2α ´e uma unidade f-unit´aria em U(ZG) se, e somente se,1 +α(1−c) ´e uma unidade f1-unit´aria de U(Z(G×C2)).

Demonstra¸c˜ao:

(⇒) Suponha que (1 + 2α) ´e uma unidade f-unit´aria emU. Ent˜ao, pela Proposi¸c˜ao 2.1.5 (1 + 2α)f = (1 + 2α)−1. Assim, (1 + 2α)(1 + 2α)f = 1. Temos,

(1 + 2α)(1 + 2α)f = 1 ⇐⇒ 1 + 2αf + 2α+ 4ααf = 1

⇐⇒ α+αf + 2ααf = 0. Agora,

(1 +α(1−c))f1 = (1 +α−αc)f1

= (1 +Pagg−Paggc)f1

= 1 +Pagf1(g)g−1−Pagf1(gc)(gc)−1 = 1 +Pagf1(g)g−1−Pagf1(gc)c−1g−1 = 1 +Pagf(g)g−1−

P

agf(g)cg−1 = 1 +αf f

(32)

(1 +α(1−c))f1(1 +α(1−c)) = (1 +αf(1−c))(1 +α(1−c))

= (1 +α(1−c)) +αf(1c) +αf(1c)α(1c) = (1 +α(1−c)) +αf(1c) + (αf αfc)(ααc) = 1 +α(1−c) +αf(1c)+

+ [αfααfαcαfαc+αfαc2]

= 1 +α(1−c) +αf(1c) + [2αfα2αfαc] = 1 + (α+αf + 2αfα)

| {z }

0

(1−c) = 1.

Se calcularmos a express˜ao (1 +α(1−c))(1 +α(1−c))f1

tamb´em teremos como resultado que este produto ´e igual a 1. Ent˜ao, segue que (1 +α(1−c))f1

= (1 +α(1−c))−1 e (1 +α(1−c)) ´e uma unidadef-unit´aria emZ(G×C2).

(⇐) Agora suponha que 1+α(1−c) ´e uma unidadef1-unit´aria deU(Z(G×C2)). Devemos

mostrar que (1 + 2α)f = (1 + 2α)−1. Por hip´otese, 1 + (α+αf + 2ααf)(1c) = 1. Isto implica que α+αf + 2ααf = 0 e, portanto, (1 + 2α)f = (1 + 2α)−1. Com os resultados necess´arios j´a apresentados e demonstrados, estamos em con-di¸c˜oes de provar o teorema enunciado no in´ıcio da se¸c˜ao.

Demonstra¸c˜ao do Teorema 2.1.1:

Pelo que vimos no Lema 2.1.3, U(Z(G×C2)) = KD, com D = U(ZG) =

Uf(ZG)⊆ Uf1(Z(G×C2)). Como H ={v = 1 + 2α;v ∈ U(ZG)} ⊂ Uf(ZG), ent˜ao pelo

Lema 2.1.6,K ⊂ Uf1(Z(G×C2)). Assim, temos

U(Z(G×C2)) =KD⊆ Uf

1(Z(G×C2)).

Disso, segue que U(Z(G×C2)) =Uf

1(Z(G×C2)).

O pr´oximo teorema nos dar´a condi¸c˜oes para que as unidades f-unit´arias gerem um subgrupo de ´ındice finito em um dado grupo das unidades U(ZG).

Teorema 2.1.7. Para um grupo arbitr´arioG, as seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes: 1. [U :Uf]<∞;

2. ∀u∈ U ∃n∈N tal que un∈ Uf, onde n depende do u; 3. ∀u∈ U ∃n∈N tal que (uuf)n ∈ U

f onde n depende do u;

(33)

Demonstra¸c˜ao:

(1) ⇒ (2) Suponha que [U : Uf] = m. Assim, m ´e o n´umero de classes laterais de Uf em U e u ∈ U. Considere as classes u Uf, u2 Uf, u3 Uf. . . um Uf mutuamente distintas, pois do contr´ario, ter´ıamos o resultado. Se tivermosum+1 ujU

f, comj = 1. . . m, ent˜ao

um+1 = ujv, com v ∈ U

f. Disso, segue que um+1−j = v ∈ Uf. Fazendo n = m+ 1−j, obtemos o resultado.

(2)⇒(3) Suponha que valha (2). Ent˜ao,

un(un)f =±1⇒(un(uf)n) =±1⇒(uuf)n=±1⇒(uuf)n[(uuf)n]f =±1±1 = ±1.

Logo, (uuf)n ∈ U f.

(3)⇒(4) Suponha que valha (3). Por argumento de aumento, isto implica que (uuf)2n= 1 e, portanto,uuf ´e uma unidade de tor¸c˜ao. Seja uuf =z

0+Pgi6=1zigi. Provaremos que

z0 6= 0. Isto for¸car´a a igualdade uuf = z0 (Corol´ario 1.3 e [15], na p.45) o que finaliza a prova. Sejamu=Pαigi,uf =Pαif(gi)gi−1. Disso, segue que

uuf = z

0+Pi6=jαiαjgigj−1f(gj)

= z0+Pi<j(αiαjf(gj)gigj−1+αjαif(gi)gjgi−1). Portanto, ±1 =ε(uuf) = z

0+Pi<jαiαj(f(gi) +f(gj)) (∗).

Veja que f(gi) +f(gj) =±2 ou esta soma ´e igual 0. Se f(gi) +f(gj) = 0, ent˜ao

z0 6= 0 e, necessariamente, z0 = ±1. Caso tenhamos f(gi) +f(gj) = ±2, ficamos com a segunda parcela do somat´orio em (∗) sendo uma soma de n´umeros pares e primeira parcela sendo z0. Como o elemento 1 aparece em um dos membros da igualdade (∗), devemos ter tamb´em este mesmo elemento no outro membr. Isto for¸cara z0 = ±1 e, consequentemente,z0 6= 0.

(4) ⇒(1) Imediato .

(34)

2.2

Unidades

f

-unit´

arias generalizadas

Nesta se¸c˜ao, introduziremos um novo tipo de unidade: as unidades f-unit´arias generalizadas. Este tipo de unidade ´e uma generaliza¸c˜ao das unidades f-unit´arias defini-das na se¸c˜ao anterior. Apresentaremos a demonstra¸c˜ao que nos mostra que as unidades

f-unit´arias generalizadas formam um subgrupo Ug,f(ZG) (`as vezes denotado apenas por

Ug,f) o qual ´e o normalizador de Uf em U. Mais ainda, quando o grupo ´e peri´odico, o segundo normalizador do grupo das unidadesf-unit´arias ´e igual ao normalizador.

2.2.1

O normalizador de

Uf

Sejam f : G → {−1,1} o homomorfismo de grupos dado na se¸c˜ao anterior e

C o centro de U(ZG). Quando u ∈ U satisfaz uuf ∈ C (pertence ao centro do grupo

das unidades), dizemos queu ´e uma unidadef-unit´aria generalizada. A partir de agora, denotaremos o conjunto de todas essas unidades por Ug,f.

Teorema 2.2.1. O conjunto Ug,f ´e um subgrupo de U o qual ´e o normalizador de Uf em

U.

Demonstra¸c˜ao:

´

E f´acil ver que Ug,f ´e um subgrupo de U. Agora, mostremos que Ug,f ´e o nor-malizador de Uf em U. E claro que´ Uf ≤ Ug,f. Sejam u ∈ Uf e v ∈ Ug,f. Mos-tremos que w = v−1uv ∈ U

f, i.e., que wwf = ±1. Ora, temos que wf = vfufv−f. Assim sendo, wwf = v−1uvvfufv−f. Como v ∈ U

g,f, ent˜ao uvvf = vvfu. Disso, segue que wwf = v−1vvfuufv−f = ±1. Segue ent˜ao que U

f ✂ Ug,f. Por defini¸c˜ao,

Ug,f ⊆ NU(Uf) (o normalizador de Uf em U). Agora, tome v ∈ NU(Uf). Para qualquer

u ∈ Uf, (v−1uv)(vfufv−f) = ±1, pois v−1uv ∈ Uf. Assim, v−1uvvfufv−f = ±1 Logo,

uvvfuf =±vvf. Tome u =g G. Disso, segue que gvvfgf =±vvf. Como gf =±g−1, temos que gvvf = ±vvfg. Suponha que gvvf = vvfg. Ent˜ao, por argumento de au-mento (i.e., por aplicar a fun¸c˜ao de auau-mento em ambos os membros) temos

ε(gvvf) =ε(v)ε(v)fε(g)1 =1 ou 1 = 1. Um absurdo.

Ent˜ao, segue que gvvf =vvfg para todog G. Logo,v ∈ U

g,f. Disso, segue que

(35)

Corol´ario 2.2.2(Sehgal e Bovdi). O subgrupo das unidadesf-unit´ariasUf ´e um subgrupo

normal de U se, e somente se, Ug,f =U.

Demonstra¸c˜ao:

(⇐) J´a temos Ug,f ⊆ U. Suponha queUf ✂U. DeG⊆ Uf, segue que dado u∈ U tem-se

u−1gu∈ U

f para todo g ∈G. Logo, (u−1gu)(u−1gu)f =±1. Como u−1guufgfu−f =±1, segue que guuf = ±uufg. Por argumento de aumento, guuf = uufg para todo g G. Disso, segue queuuf ∈ C e, por conseguinte, u∈ U

g,f. Portanto, U ⊆ Ug,f e assim temos

Ug,f =U.

(⇐) Imediato.

Teorema 2.2.3. Para todo v ∈ NU(G), vvf ∈ C,i.e., NU(G)⊆ Ug,f.

Demonstra¸c˜ao:

Dados g ∈ G e v ∈ NU(G) temos que v−1gv ∈ G. Como G ⊆ Uf, ent˜ao (v−1gv)(v−1gv)f = ±1. Disso, segue que v−1gvvfgfv−f = ±1 o que implica gvvf =

±vvfg. Por argumento de aumento, gvvf = vvfg. Segue que vvf ∈ C e, portanto,

v ∈ Ug,f.

Defini¸c˜ao 2.2.4. Um grupo G´e dito peri´odico (ou grupo de tor¸c˜ao) se todo elemento de

G tem ordem finita.

Agora iremos estudar o segundo normalizador de Uf, i.e., NU(Ug,f).

Teorema 2.2.5 (Yuanlin Li). Se G ´e um grupo peri´odico, ent˜ao N(Ug,f) =Ug,f.

Para provar este teorema, precisamos de alguns resultados apresentados a seguir.

Lema 2.2.6. Seja {xi;∧ i = 1,2,· · ·, n} um conjunto finito de elementos de ZG. Se

Pn

i=1σixixfi =±g, ondeg ∈G e cada σi =±1, ent˜ao g = 1.

Demonstra¸c˜ao:

Para cada xi ∈ ZG, seja xi = Paijgij. Assim, x

f i =

P

aijf(gij)g

−1

ij . Como

gifj =f(gij)g

−1

ij , ent˜ao x

f i =

P

aijg

f

ij. Logo,

xix f i = (

P

±a2 ij)1G+

P

j16=j2aij1aij2gij1g f ij2 = (

P

±a2 ij)1G+

P

j1<j2(aij1aij2gij1g f ij2

+ aij2aij1gij2g f ij1),

Ent˜ao,

±g =X(σixixfi) = (

X

(σi

X

±a2

ij))1G+

X

(σi

X

j1<j2

aij1aij2(gij1g f

ij2 +gij2g f

(36)

Por argumento de aumento obtemos:

z0+z1 =±1, comz0 =P(σi

P

±a2

ij) ez1 =

P

(σi

P

j1<j2aij1aij2(f(gij1) +f(gij2))). Note quef(gij1) +

f(gij2) = ±2 ou esta soma ´e igual a 0. Isto mostra que z1 ´e um n´umero par. Logo,

z0 6= 0. Observe tamb´em que z0 ´e a soma de todos os coeficientes do 1G. Logo, nenhum dos coeficientes deP(σiPj1<j2aij1aij2(gij1g

f

ij2 +gij2g f

ij1)) est´a multiplicado por 1. Assim,

pelo fato do elemento 1G est´a em um membro da equa¸c˜ao (1) e tamb´em por estarmos em um anel de grupo, deve-se ter 1G tamb´em no outro membro. Portanto,g = 1.

Corol´ario 2.2.7. Para todo u∈ZG, se uuf =±g, ent˜ao g = 1. Consequentemente, u´e uma unidade unit´aria.

Demonstra¸c˜ao:

A demonstra¸c˜ao segue diretamente do Lema 2.2.6.

O pr´oximo teorema nos fornece mais uma rela¸c˜ao entre Uf e Ug,f quando G ´e um grupo qualquer. Vale observar que estes resultados listados ´e para provar que o segundo normalizador do grupo das unidadesf-unit´arias estaciona quandoG´e peri´odico. Entretanto, estes mesmos resultados valem para um grupo qualquer.

Teorema 2.2.8. Para qualquer grupo G, T(Ug,f) = T(Uf), onde T denota o subconjunto

dos elementos de tor¸c˜ao.

Demonstra¸c˜ao:

Precisamos provar apenas que T(Ug,f)⊆T(Uf), pois j´a temos a inclus˜ao contr´aria pois, Uf ⊆ Ug,f. Se u ∈T(Ug,f), ent˜ao u ∈ Ug,f e, por conseguinte, uuf = c∈ C. Disso, segue que uuf =ufu e conclu´ımos que o(c)<. Pelo Teorema 1.2.3, obtemos c =±g. Pelo Corol´ario 2.2.7, uuf = ±g o que implica g = 1. Disso, segue que u T(U

f).

Portanto, T(Ug,f) = T(Uf).

Proposi¸c˜ao 2.2.9. Dado u ∈ U(ZG), uu= 1 se, e somente se, u = ±g para algum

g ∈G em que´e o homomorfismo trivial.

Demonstra¸c˜ao:

(⇒) Suponha que uu∗ = 1 com u=P

gi∈Gαgg e u

=P

g∈Gαgg−1. Ent˜ao, 1 = uu∗ =X

g∈G

(αg)2.1G+

X

G∋g6=1

(37)

Disso, segue quePgG(αg)2 = 1. Logo, existe um ´unicog0 tal queαg =±1 eαg = 0 para todog 6=g0. Segue disso que u=±g0.

(⇐) Claramente, se u=±g, ent˜ao uu∗ = 1.

Pela proposi¸c˜ao anterior, se f ´e trivial, ent˜ao Uf =±G. Portanto, pelo Teorema 2.2.1,NU(±G) =Ug,f. Como consequˆencia imediata temos que T(NU(G)) = ±T(G).

Agora estamos em condi¸c˜oes de provar o Teorema 2.2.5.

Demonstra¸c˜ao do Teorema 2.2.5

Devemos mostrar que NU(Ug,f) = Ug,f.

(⊆) Seja v ∈ NU(Ug,f) e g ∈ G. Note que G ⊆ T(Ug,f), pois G ´e peri´odico. Assim,

v−1gv ∈ U

g,f. Seja g ∈ G com o(g) = n. Como (v−1gv)n = vngnv−n = 1, ent˜ao

v−1gvT(U

g,f) = T(Uf). Logo,

±1 =v−1gv(v−1gv)f =v−1gvvfgfv−f gvvf =±vvfg. Por argumento de aumento, gvvf =vvfg. Portanto, vvf ∈ C. Segue que v ∈ U

g,f.

(⊇) Imediato.

Corol´ario 2.2.10. Para qualquer grupo peri´odicoG, Ug,f ´e um subgrupo normal de U se,

e somente se,Ug,f =U.

Demonstra¸c˜ao:

(⇒) Suponha que G seja um grupo peri´odico. Ent˜ao, existe n ∈ N tal que gn = 1 para

todo g ∈ G. Suponha que Ug,f =U. Mostremos que U ⊆ Ug,f, pois j´a temos a inclus˜ao contr´aria. Seja u ∈ U. Queremos verificar que uuf ∈ C(U(ZG)). De G ⊆ U

g,f, temos que u−1gu ∈ U

g,f para todo g ∈ G. Disso, segue que (u−1gu)n = 1 e, por conseguinte,

u−1guT(U

g,f) = T(Uf). Assim,

±1 =u−1gu(u−1gu)f =u−1guufgfu−f guuf =uufg.

Por argumento de aumento, guuf = uufg para todo g G. Logo, uuf ∈ C. Segue que

u∈ Ug,f. Portanto, U ⊆ Ug,f, o que implica U =Ug,f.

(⇐) Imediato.

Agora apresentaremos alguns resultados t´ecnicos acerca do N(Ug,f) para um grupo G arbitr´ario. Estes resultados nos ser˜ao ´uteis mais tarde.

Teorema 2.2.11. Para qualquer grupoG,v ∈ N(Ug,f)se, e somente se,∀u∈ Ug,f ∃c∈ C

tal que u(vvf) = c(vvf)u e c=cf.

(38)

(⇒) Para provar a primeira parte, i.e.,∃c∈ C tal queu(vvf) =c(vvf)u, tomev ∈ N(U g,f). Ent˜ao, para todou ∈ Ug,f, temos v−1uv ∈ Ug,f. Disso, segue que v−1uv(v−1uv)f ∈ C, ou seja ,v−1u(vvf)ufv−f =c

1 comc1 ∈ C. Assim,uvvfufv−f =vc1. Ora, valem as seguintes implica¸c˜oes

uvvfufv−f =vc1 ⇒uvvfuf =vc1vf ⇒uvvf =vc1vfu−f ⇒uvvf =c1vvfu−f. (1) Logo, temos que u∈ Ug,f. Temos tamb´em as implica¸c˜oes

u∈ Ug,f ⇒uuf ∈ C ⇒uuf =c2 ⇒c−21u=u−f. Substituindo a igualdade c−21u=u−f em (1) obtemos:

uvvf =c

1vvfc−21u=c1c−21vvfu⇔uvvf =cvvfu,ondec=c1c−21. Logo,

u(vvf) = c(vvf)u (2).

Resta mostrar a segunda parte, i.e.,c=cf. Temos:

uvvf =cvvfu (uvvf)f = (cvvfu)f

⇒ vvfuf =ufvvfcf. (3)

Multiplicando (3) `a direita por (2) temos uvvfvvfuf =cvvfuufvvfcf. Logo,

u(vvf)2uf = cvvfvvfuufcf = c(vvf)2uufcf = c(vvf)2cfuuf = ccf(vvf)2uuf. (4) Por outro lado,

u(vvf)2uf = uvvfvvfuf = cvvfuvvfuf = c2(vvf)2uuf.(5) De (4) e (5), temos:

ccf(vvf)2uuf =c2(vvf)2uuf ⇒ccf =c2 ⇒cf =c.

(39)

Corol´ario 2.2.12. Para um grupo arbitr´ario G, se v ∈ N(Ug,f), ent˜ao o(vvf) = ∞ ou (vvf)2 = 1.

Demonstra¸c˜ao:

Seja v ∈ N(Ug,f). Se o(vvf) < ∞, ent˜ao o(vvf)2 < ∞. Primeiro provemos que (vvf)2 ∈ C.

Do Teorema 2.2.11, temos que uvvf =cvvfucomu∈ U

g,f ec=cf. Suponhamos que (vvf)n = 1. Assim, temos que:

u = u(vvf)n=uvvf(vvf)n−1 =cvvfu(vvf)n−1 =cvvfuvvf(vvf)n−2 =· · ·=cn(vvf)nu = cnu.

Disso, segue que u =cnu e, por conseguinte, cn = 1. Como c ´e unidade central de ordem finita, ent˜ao, pela Proposi¸c˜ao 1.2.3, c = ±g. Portanto, de c = cf, tem-se

c2 =ccf = gg−1 = 1. Logo, u(vvf)2 = uvvfvvf = cvvfuvvf =cvvfcvvfu = c2(vvf)2u = (vvf)2u para todou∈ U

g,f. Assim, temos que (vvf)2 ∈ C.

Agora provaremos que (vvf)2 = 1. De o(vvf) < , temos que o(vvf)2 < . Segue disso que (vvf)2 =±g

0. Portanto, pelo Lema 2.2.6, g0 = 1. Agora vamos apresentar um teorema que nos fornece condi¸c˜oes para queU =Ug,f quando G´e peri´odico.

Teorema 2.2.13. Para qualquer grupo peri´odico G, as seguintes condi¸c˜oes s˜ao equiva-lentes.

1. U =Ug,f;

2. Ug,f ✂U;

3. ∀v ∈ U ∀u∈ Ug,f ∃c∈ C tal que u(vvf) = c(vvf)u e c=cf;

4. Uf ✂U.

Demonstra¸c˜ao:

(1)⇔(2) Segue do Corol´ario 2.2.10.

(2)⇒(3) Suponha queUg,f´e um subgrupo normal deU. Ent˜ao, dadou∈ U,u−1vu ∈ Ug,f para todov ∈ Ug,f. Repetindo a prova do Teorema 2.2.11, obtemos o resultado.

(3) ⇒ (2) Suponha que valha (3). Ent˜ao, dados v ∈ U e u ∈ Ug,f. Mostremos que

v−1uv ∈ U

(40)

(v−1uv)(v−1uv)f = v−1uvvfufv−f = v−1cvvfuufv−f = cvfuufv−f = cuufvfv−f = cuuf ∈ C Logo, v−1uv ∈ U

g,f. Portanto, Ug,f ✂U.

(1)⇔(4) Segue diretamente do Corol´ario 2.2.2.

De maneira bastante an´aloga ao que fizemos para o Teorema 2.1.7, apresentare-mos condi¸c˜oes para que Ug,f =Uf.

Teorema 2.2.14. Para um um grupoG arbitr´ario, as seguintes condi¸c˜oes s˜ao equivalen-tes:

1. Ug,f =Uf;

2. [Ug,f :Uf]<∞;

3. ∀u∈ Ug,f ∃n∈N tal que un ∈ Uf onde n depende de u;

4. ∀u∈ Ug,f∃n∈N tal que (uuf)n∈ Uf;

5. ∀c∈ C tal que ccf =±1.

Demonstra¸c˜ao:

(1)⇒(2) Imediato.

(2) ⇒ (3) Prova-se de maneira an´aloga ao que fizemos para a implica¸c˜ao (1) ⇒ (2) do Teorema 2.1.7.

(3) ⇒ (4) Prova-se de maneira an´aloga ao que fizemos para a implica¸c˜ao (2) ⇒ (3) do Teorema 2.1.7.

(4)⇒(5) Suponha que valha (4). Seja c∈ C. Mostremos que ccf =±1. Como C ⊆ U g,f, ent˜ao existen tal que (ccf)n=±1. Tomando n= 1 temos o resultado.

(5) ⇒ (1) Suponha que valha (5). Mostremos que Ug,f ⊆ Uf, pois j´a temos a outra in-clus˜ao. Sejau ∈ Ug,f. Ent˜ao, uuf ∈ C. Assim, ±1 = (uuf)(uuf)f =uufuuf = (uuf)2 =

±1. Logo,uuf =±1. Segue disso que U

g,f ⊆ Uf. Portanto, Uf =Ug,f.

Observemos que, quando o homomorfismo f ´e trivial tem-se que: para qualquer

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