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UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS INSTITUTO DE

  MATEM ´ ATICA PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM MATEM ´ ATICA UFAL-UFBA

RAFAEL ALVAREZ BILBAO

  MEDIDAS MAXIMIZANTES EM SISTEMAS DIN ˆ AMICOS ALEAT ´ ORIOS

  Tese de Doutorado Macei´ o

  2015 Rafael Alvarez Bilbao MEDIDAS MAXIMIZANTES EM SISTEMAS DIN ˆ AMICOS

  ALEAT ´ ORIOS Tese apresentada ao Programa de P´ os-gradua¸c˜ ao do Instituto de Matem´ atica-UFAL como requerimento para obter o grau de Dou- tor em Matem´ atica.

  Orientador: Krerley Irraciel Martins Oliveira.

  Macei´ o 2015

  

Catalogação na fonte

Universidade Federal de Alagoas

Biblioteca Central

  

Bibliotecário Responsável: Janis Christine Angelina Cavalcante

B595m Bilbao, Rafael Avarez.

  Medidas maximizantes em sistemas dinâmicos aleatórios. / Rafael Alvarez Bilbao.

  • – Maceió, 2015 33 f. Orientador: Krerley Irraciel Martins Oliveira. Tese (doutorado em Matemática) – Universidade Federal de Alagoas. Instituto de Matemática, Programa de Pós Graduação em Matemática. Maceió, 2015.

  Bibliografia: f. 31-32 Índice: f. 33.

1. Entropia relativa. 2. Expansão não uniforme. 3.Entropia topológica relativa. 4.

  Topologicamente exata. 5. Medida maximizante. I. Título. CDU: 519.722

  Dedicat´ oria

  Meu filho αβ Agradecimento

  Agrade¸co a Deus pela vida, minha fam´ılia pelo apoio permanente, minha esposa pela paciˆencia durante esse longo tempo, a todas as pessoas do instituto de matem´ atica em especial ao professor Krerley Oliveira por permitir que fosse seu orientando e ` a funda¸c˜ ao Capes.

  Muito obrigado a todos. Abstract

  We prove the existence of relative maximal entropy measures for certain random dynamical systems of the type F (x, y) = (θ(x), f (y)), where θ is a invertibe map x preserving an ergodic measure P and f is a local diffeomorphism of a compact x

  Riemannian manifold exhibiting some non-uniform expansion. As a consequence of our proofs, we obtain an integral formula for the relative topological entropy as the integral the of logarithm of the topological degree of f x with respect to P

  . When F is topologically exact and the supremum of the topological degree of f is finite, the maximizing measure is unique and positive on open sets. x

  Keywords: Relative entropy, non-uniform expansion, relative topological entropy, topologically exact, maximizing measure. Resumo

  Provamos a existˆencia de medidas de entropia m´axima relativa para certos siste- mas dinˆ amicos aleat´ orios do tipo F (x, y) = (θ(x), f (y)), onde θ ´e uma aplica¸c˜ao x invert´ıvel preservando uma medida erg´ odica P e f ´e um difeomorfismo local sob x uma variedade Riemanniana compacta exibindo alguma expans˜ao n˜ ao uniforme.

  Como consequˆencia da prova, obtemos uma f´ormula de integra¸c˜ ao para entro- pia topol´ ogica relativa como a integral dos logaritmo do grau topol´ ogico das f x com respeito a P. Quando F ´e topologicamente exata e o supremo dos graus topol´ ogicos das f ´e finito, a medida que atinge o m´aximo ´e ´ unica e positiva sob x conjuntos abertos.

  Palavras-chave: Entropia relativa, expans˜ao n˜ ao-uniforme, entropia to- pol´ ogica relativa, topologicamente exata e medida maximizante. Conte´ udo

  

  15 . . . . . . . . . . . . . . .

  

  28

  23

  20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

   20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  18

  17 . . . . . . . . . . . . . . . . .

  15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  1

  14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

   14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  10

  

  7

  5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

   4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  30 Introdu¸ c˜ ao

  A entropia topol´ ogica h (f ) ´e um n´ umero invariante topol´ ogico importante do top sistema dinˆ amico f . Para aplica¸c˜ oes que expandem distˆancia uniformemente, foi provado Pa64] que este n´ umero descreve a taxa exponencial de crescimento de ´ orbitas peri´ odicas e ´e dado pelo logaritmo do grau topol´ ogico da aplica¸c˜ ao.

  Por outro lado, existe uma importante rela¸c˜ ao entre entropia topol´ ogica e entropia m´etrica. Pelo princ´ıpio variacional , a entropia topol´ ogica pode ser definida como o supremo das entropias m´etricas entre todas as medidas invari- antes e se existe uma medida que maximize a entropia m´etrica ela ´e chamada de medida de entropia maximal. Como caracter´ıstica, essa medida descreve a distribui¸c˜ ao espacial de orbitas peri´ odicas .

  Para sistemas dinˆ amicos aleat´ orios definidos como skew-product da forma F (x, y) = (θ(x), f (y)) onde θ ´e uma aplica¸c˜ ao invert´ıvel que preserva uma x medida erg´ odica P e (f ) fam´ılia aplica¸c˜ oes expansoras, foi provado, por x x∈X

  Bogensch¨ utz em uma vers˜ao relativa do principio variacional . Nessa vers˜ao a entropia topol´ ogica relativa ´e o supremo das entropias m´etricas entre todas a medidas invariantes com marginal P e se existe uma medida que maximiza a entropia m´etrica, ela ´e chamada de medida de entropia maximal relativa. Daremos uma defini¸c˜ ao mais precisa no cap´ıtulo prova a existˆencia de estado de equil´ıbrio para sistemas aleat´ orios uniformemente expansores e Liu estende esse resultado para sistemas uniformemente hiperb´ olicos.

  Estender essas propriedades no caso de expans˜ao uniforme ´e um problema desafiante. V´ arios autores tˆem melhorado tais resultados no caso determin´ıstico. Em , Oliveira e Viana mos- tram para caso determin´ıstico a existˆencia e unicidade de medida de m´ axima entropia para um conjunto aberto de aplica¸c˜ oes n˜ ao-uniformemente expanso- ras. Al´em disso, para essas aplica¸c˜ oes, a entropia topol´ ogica coincide com o logaritmo de seu grau.

  No ambiente aleat´ orio, Urbanski e Simmons provam a existˆencia de esta- dos Gibbs para potenciais H¨ older cont´ınuos e aplica¸c˜ oes expansoras aleat´ orias. Al´em disso, provam que os estados Gibbs coincidem com estados de equil´ıbrios desses potenciais. Arbieto, Matheus e Oliveira , mostram para uma classe ro-

  2 busta (C − aberta) de aplica¸c˜ oes aleat´ orias n˜ ao uniformemente expansora com certas condi¸c˜ oes em suas derivadas e sobre uma classe extensa de potenciais, a existˆencia de estado de equil´ıbrio. Rafael Alvarez Bilbao Medidas Maximizantes em Sistemas Dinˆ amicos Aleat´ orios Neste trabalho estenderemos os resultados em , o qual consiste dada d d f : M → M difeomorfismo local sob uma variedade Riemannian d-dimensional compacta M e grau topol´ ogico p ≥ 1. Assumindo que f satisfaz a seguinte condi¸c˜ ao k max log max kΛ Df (x)k < log p

  1≤k≤d−1 x∈M se tem, que h (f ) = log p, e qualquer auto-medida µ sobre o operador de top transferˆencia L ´e uma medida maximizante. Al´em disso, se f ´e topologica- mente misturador, ent˜ao a medida maximizante ´e ´ unica e positiva sob conjuntos abertos.

  1 Em nosso ambiente aleat´ orio de classe C , assumimos condi¸c˜ oes sobre as derivadas da fam´ılia de fun¸c˜ oes geradoras (f ) que envolvem os expoentes de x x∈X

  Lyapunov. Mais precisamente, consideremos um sistema dinˆ amico aleat´orio F :

  1 X × Y → X × Y de classe C definida por F (x, y) = (θ(x), f (y)) onde X ´e um x espa¸co de probabilidade Lebesgue, Y ´e uma variedade Riemannian compacta, θ : X → X ´e uma aplica¸c˜ ao cont´ınua invert´ıvel mensur´aveis preservando uma medida de probabilidade P e (f ) uma fam´ılia de difeomorfismos locais f : x x∈X x Y → Y , para x ∈ X, com grau topol´ ogico p ≥ 1. x

  Neste contexto temos o resultado principal: Teorema A.

  Assumimos que F satisfaz . Ent˜ ao h (F |θ) = top

  R log p dP(x). Al´em disso, x

  X

  1

  • Se µ ∈ M (F ) tal que sua desintegra¸c˜ ao µ = (µ ) ´e uma sistema de

  x x∈X P auto-medidas maximal para o operador de transferˆencia (L ) , ent˜ ao x x∈X µ ´e uma medida de entropia maximizante.

  • Se F ´e topologicamente exata e deg(F ) := sup deg(f x ) < ∞, a medida

  x∈X maximizante ´e ´ unica e positiva sob conjuntos abertos.

  A estrat´egia da prova consiste primeiro provar a existˆencia de sistema de auto-medidas, logo assumindo que os expoentes de Lyapunov s˜ao maiores que α( constante dada em com isso temos que a

  R entropia relativa coincide com log p x dP(x). Por ´ ultimo para calcular a en-

  X tropia topol´ ogica relativa usaremos o principio variacional aleat´ orio. A longo da prova fazemos uso do operador de transferˆencia e tempos hiperb´ olicos para sistema dinˆ amicos aleat´ orios.

  O trabalho est´a organizado da seguinte maneira: No primeiro cap´ıtulo damos as defini¸c˜ oes e resultados importantes. Defi- nimos sistemas dinˆ amicos aleat´ orios-RDS(Random Dynamical Systems), ope- rador de transferˆencia relacionado ` as fun¸c˜ oes geradoras f x : J x → J para

  θ(x) todo x ∈ X e obtemos os operadores duais respectivos. Respondemos ` a per- gunta sobre a existˆencia de auto-medidas. Para terminar esta se¸c˜ ao falamos sobre o Teorema erg´ odico multiplicativo aleat´ orio que ´e uma extens˜ ao do caso determin´ıstico, este d´ a a existˆencia dos expoentes de Lyapunov. Rafael Alvarez Bilbao Medidas Maximizantes em Sistemas Dinˆ amicos Aleat´ orios No cap´ıtulo seguinte, falamos de tempos hiperb´ olicos para RDS, no¸c˜ao que foi introduzida por Alves em no caso determin´ıstico. Enunciamos os diferentes resultados importantes como a existˆencia de um conjunto de medida total tal que todos seus pontos tem infinitos tempos hiperb´ olicos e al´em disso, tem densidade hiperb´ olica positiva. Depois enunciamos o lema onde obtˆem-se os ramos inversos contrativos considerando os tempos hiperb´ olicos. Na parte

  N final provamos que existe N ∈ N tal que F tem densidade positiva de tempos hiperb´ olico em µ − q.t.p.

  No terceiro cap´ıtulo, come¸camos por definir parti¸c˜ ao sobre o espa¸co J = X × Y e parti¸c˜ ao geradora. Damos condi¸c˜ oes para a existˆencia de uma parti¸c˜ ao geradora. Depois falamos da entropia m´etrica relativa e com isso fazemos men¸c˜ ao de adapta¸c˜ oes aleat´ orias de teoremas importantes que se tˆem para caso determin´ıstico como s˜ao os Teoremas de Kolmogorov-Sinai, Margullis-Ruelle e Shannon-McMillan-Breiman. Em outra se¸c˜ ao, mostramos a f´ ormula de Rokhlin aleat´ oria que ´e fundamental para provar o teorema principal. Para terminar de- finimos a press˜ ao topol´ ogica relativa e com isso o principio variacional aleat´orio.

  Na ultima parte deste trabalho, provamos a existˆencia de medidas maximi- zantes e entre essas medidas est˜ ao as auto-medidas maximal. O passo a seguir ´e mostrar que a entropia m´etrica relativa com respeito a uma auto-medida vai ser

  R igual log p dP(x). Faltaria provar que a entropia topol´ ogica relativa ´e igual x

  X a esse valor. Para resolver isso usamos o principio variacional aleat´orio.

  No caso da unicidade adicionamos duas novas hip´ oteses: F ´e topologicamente exata e com grau topol´ ogico finito. Com essas duas condi¸c˜ oes provamos que a medida que atingem a entropia topol´ ogica ´e ´ unica e al´em disso deve ser uma auto-medida maximal.

  Cap´ıtulo 1 Preliminares

  Neste cap´ıtulo enunciamos as defini¸c˜ oes e no¸c˜ oes b´ asicas para o desenvolvimento deste trabalho. Para leitores familiarizados com a tem´ atica, este cap´ıtulo pode ser omitido e retornar sempre que julgar necess´ ario.

1.1 Sistemas dinˆ amicos aleat´ orios Defini¸ c˜ ao 1.1.1.

  Um sistema dinˆ amico aleat´ orio (RDS-Random Dynamical Systems) m´etrico consiste do seguinte:

  • Um espa¸co de probabilidade de Lebesgue (X, F, P)
  • θ : X → X uma transforma¸c˜ ao invert´ıvel que preserva a medida erg´ odica

  P .

  • Um espa¸co mensur´ avel de Lebesgue (J , B) da forma

  [ J = {x} × J x x∈X onde J s˜ao as fibras do RDS x

  • Uma transforma¸c˜ ao mensur´ avel F : J → J da forma

  F (x, y) = (θ(x), f (y)) x onde f : J → J . x x θ(x) n n n

  A dinˆ amica est´a definida como F (x, y) = (θ (x), f (y)) onde x n

  n−

  θ (x) x x Assumimos neste trabalho que J x = Y para todo x ∈ X, neste caso J = X × Y onde Y ´e uma variedade Riemanniana compacta conexa d-dimensional,

  

1

f (y) := f ◦ ... ◦ f (y).

  1 as fun¸c˜ oes f : J → J s˜ao difeomorfismos locais de classe C e grau to- x x θ(x)

  −1 pol´ ogico p ≥ 1 para todo x ∈ X, onde p = #f (y) para todo y ∈ J . x x θ(x) x Rafael Alvarez Bilbao Medidas Maximizantes em Sistemas Dinˆ amicos Aleat´ orios

1 Seja M (J ) conjunto de medidas de probabilidade sobre (J , B) tal que

  P −1

  µ ◦ π = P

  X onde π : J → X ´e a proje¸c˜ ao na primeira coordenada (π(x, y) = x), e seja

  X

  1 1 −1 M (F ) = {µ ∈ M (J ) : µ ◦ F = µ}. P P

  Denotemos por ε a parti¸c˜ ao de X sobre elementos unit´ arios. A parti¸c˜ ao

  X −1

  1 π (ε ) ´e mensur´ avel. Portanto, para cada µ ∈ M (J ), pelo Teorema de

  X X P desintegra¸c˜ ao de Rokhlin , existe um sistema de medidas (µ x ) x∈X tal que

  R µ = µ x dP(x) chamando-se sistema canˆ onico de medidas condicionais.

  1 Por outro lado, ´e imediato provar que a medida µ ∈ M (J ) ´e F − invariante P

  −1 se somente se µ ◦ f = µ para P-quase todo ponto x ∈ X. Tamb´em x θ(x) x k k dizemos que F ´e de classe C se cada f ´e de classe C para todo x ∈ X. x Defini¸ c˜ ao 1.1.2.

  F ´e topologicamente exata se para cada ξ > 0 existe uma fun¸c˜ ao mensur´ avel limitada n : X → N tal que para P quase todo ponto x ∈ X ξ e para todo y ∈ J temos x n (x)

  ξ

  f (B (y, ξ)) = J x x nξ(x)

  θ (x) ∗ Denotemos por n := sup n (x).

  ξ ξ x∈X

1.2 Operador de transferˆ encia

  Seja C (J ) o espa¸co de todas as fun¸c˜ oes mensur´aveis g : J → C tais que P P − q.t.p. x ∈ X, g| := g ∈ C(J ) conjunto das fun¸c˜ oes cont´ınuas sobre J .

  J x x x

  x

  Definamos Z

  1 L (X, C(Y )) := ϕ ∈ C (J ) : kϕk = kϕ k dP(x) < +∞ (1.1)

  P 1 x ∞ J

  X α

  Para x ∈ X fixado α ∈ (0, 1] denotemos por H (J ) o espa¸co das fun¸c˜ oes x

  α H¨ older cont´ınuas sobre J com expoente α. Isso ´e, φ ∈ H (J ) se e somente x x x se φ ∈ C(J ) e υ (φ ) < ∞ onde x x α x

  |φ (y) − φ (z)| x x

  υ α (φ x ) := sup : y, z ∈ J x α d(y, z)

1 Uma fun¸c˜ ao φ ∈ L (X, C(Y )) chama-se H¨ older cont´ınua com expoente α mos-

  J trando que existe uma fun¸c˜ ao mensur´ avel K : X → [1, +∞) tal que

  1 log K ∈ L (P) e

  υ (φ ) ≤ K , para P − q.t.p. x ∈ X α x x

  α denotando H (J , K) como espa¸co das fun¸c˜ oes H¨ older cont´ınuas fixados α e K,

  α e por H (J ) o espa¸co das fun¸c˜ oes H¨ older cont´ınuas com expoente α. Rafael Alvarez Bilbao Medidas Maximizantes em Sistemas Dinˆ amicos Aleat´ orios Para cada g ∈ C (J ), seja

  P n−1

  X j

  S (g) := g ◦ F , (1.2) n j=0

  P n−1 j

  j

  como g (y) = g(x, y) em P − q.t.p. x ∈ X, ent˜ao (S g) = g ◦ f . x n x θ (x) j=0 x

  α Agora, seja ϕ ∈ H (J ), consideremos o operador de transferˆencia L = L : x ϕ x

  C(J ) → C(J ) definido por x θ(x)

  X ϕ (z)

  x

  L g (w) = g (z)e , w ∈ J x x x θ(x) f x (z)=w este ´e um operador linear positivo limitado com norma kL k ≤ deg(f ) exp(kϕ k ). x ∞ x x ∞

  Com esta fam´ılia de operadores obtemos um operador global L : C(J ) → C(J ) definido como − −

  1

  1

  (Lg) (w) = L g (w) x θ (x) θ (x)

  Para cada n > 1 e P − q.t.p. x ∈ X, denotamos n

  θ (x) x x θ (x) x Note que

  n− 1 n L := L ◦ · · · ◦ L : C(J ) → C(J ).

  X n S ϕ (z)

  n x n

  L g (w) = g (z)e , w ∈ J , x x θ (x) x

  n

  z∈f (w)

  x

  ∗ ∗ onde S n ϕ x (z) ´e dado em . Portanto, o operador dual L : C (J ) → x θ(x)

  ∗ C (J x ) ´e definido

  ∗ L (µ )g := µ (L g ). x θ(x) x θ(x) x x

  Por outro lado, chama-se sistema de auto-medida maximal (µ ) corres- x x∈X

  −1

  1 pondente a µ ∈ M (F ) considerando a parti¸c˜ ao π (ε ) se satisfaz

  X P

  X ∗ L µ = p µ , para todo x ∈ X.

  θ(x) x x x Mostraremos a existˆencia desses sistema de auto-medidas maximais. De fato, para potencial nulo ϕ ≡ 0, o operador de transferˆencia L : C(J ) → C(J ) fica definido

  X −1

  (Lg)(x, y) = g(θ (x), z)

1 F (θ (x),z)=(x,y)

  portanto, − − −

  X

  1

  1

  x θ (x) θ (x) θ (x) f (z)=y

  1 (Lg) (y) = L g (y) = g (z) = (Lg)(x, y).

  1 (x)

θ

1 Agora, seja g ∈ C(J ) e µ ∈ M (F ). Definindo o seguente operador

  P ˆ

  L : C(J ) → C(J ) Rafael Alvarez Bilbao Medidas Maximizantes em Sistemas Dinˆ amicos Aleat´ orios (Lg)(x,y) como ˆ L(g)(x, y) := . Por conseguinte, integrando p

  1 (x) θ

  Z Z Z Z (Lg)(x, y) (Lg) (y) x

  ˆ L(g)(x, y)dµ = dµ = dµ dP − − x

  1

  1

  p p θ (x) θ (x)

  X J x Z Z − −

  1

  θ (x) θ (x) = dµ x dP

  1 L g (y)

  1

  p

  X J θ (x)

  x

  ∗ Z Z Z

  L

  1

  θ (x)µ

x

  1

  = g (y)d dP =: gdˆ µ θ (x) − p

  1 X J θ (x) θ 1 (x)

  1 logo, definindo ˆ µ dessa forma temos que ˆ µ ∈ M (F ). De outro lado, o

  P

  1 espa¸co M (F ) ´e um conjunto compacto e convexo(,Teorema 1.5.10). Ent˜ao,

  P ∗

  1 1 ∗ ˆ

  1

  M (F ) M (F ) P P

  P P

  1 L | : M (F ) → M (F ) se define ˆ L | (µ) = ˆ µ. Aplicando o teo-

  1 rema de ponto fixo Schauder-Tychonoff, temos que existe µ ∈ M (F ) tal que

  P ∗

  ˆ

  M (F )

1 L | (µ) = ˆ µ = µ, portanto seu desintegra¸c˜ ao fica

  P

  ∗ L

  1 (µ )

  x θ (x)

  1

  = µ θ (x)

  1

  p θ (x) para todo x ∈ X. Aplicando o Teorema de desintegra¸c˜ ao de Roklhin’s, temos que o sistema canˆ onico de medidas (µ ) do ponto fixo µ ´e mensur´avel com x x∈X respeito ao espa¸co X,

  De outro lado, mostremos que as fun¸c˜ oes f : J → J preservam medida x x θ(x)

  ∗ do ponto fixo ˆ L (µ) = µ acima. De fato, seja g ∈ C(J ). Usando operador

  θ(x) θ(x) de transferˆencia L considerando o potencial nulo ϕ ≡ 0, temos que L (g ◦ x x θ(x) f )(z) = p g (z) e x x θ(x)

  Z Z

  1 ∗

  (g ◦ f )dµ = (g ◦ f )dL µ θ(x) x x θ(x) x θ(x) x p x

  Z

  1 = L (g ◦ f )dµ x θ(x) x θ(x) p x

  Z = g dµ

  θ(x) θ(x) Para mais detalhe desta parte ver .

1.3 Expoente de Lyapunov

  Quando o sistema (F, J , µ) preserva medida µ, podemos ter a seguinte refor- mula¸c˜ ao do teorema erg´ odico multiplicativo de Oseledec.

  1 Teorema 1.3.1.

  Assumamos que F ´e de classe C (i. ´e. r = 1) e a seguinte condi¸c˜ ao de integra¸c˜ ao Z

  • log kDf (y)kdµ(x, y) < ∞

  x Ent˜ ao, existe ∆ ⊆ J tal que µ(∆) = 1 e para cada (x, y) ∈ ∆ os n´ umeros

  (1) (r(x,y)) −∞ 6 λ (x, y) < ... < λ (x, y) < ∞ Rafael Alvarez Bilbao Medidas Maximizantes em Sistemas Dinˆ amicos Aleat´ orios mensur´ aveis em (x, y) e est˜ ao associados a sequˆencias de sub-espa¸cos em T J y x

  (0) (1) (r(x,y)) {0} = V (x, y) ⊂ V (x, y) ⊂ ... ⊂ V (x, y) = T J y x satisfaz

  1 n (i) lim log kD f vk = λ (x, y) y x n

  (i) (i−1) (i) para v ∈ V (x, y) \ V (x, y) para 1 6 i 6 r(x, y). Dizemos que λ (x, y)

  (i) (i) ´e expoente de Lyapunov de F em (x, y). Sejam m (x, y) = dimV (x, y) −

  (i−1) dimV (x, y) sua multiplicidade e

  (i) (i) {(λ (x, y), m (x, y)) : 1 6 i 6 r(x, y)} espectro de Lyapunov de F em (x,y).

  Dado um espa¸co de vetorial V e um n´ umero k ≥ 1, a k-´esima potˆencia exterior de V ´e o espa¸co de vetores de todas as k− formas lineares alternadas definida sobre o espa¸co dual de V . Tomamos V de dimens˜ ao finita, ent˜ao o k produto exterior Λ V admite uma descri¸c˜ ao alternativa, como o espa¸co gerado pelo o produto v

  1 ∧ · · · ∧ v k de vetores v 1 , v 2 , ..., v k in V . Assumindo V com k produto exterior, podemos expressar Λ V com o produto interno tal que kv ∧

  1 · · · ∧ v k ´e justamente o volume do k−dimensional paralep´ıpedo determinado k pelos vetores v , v , ..., v em V .

  1 2 k k k k Um isomorfismo linear A : V → W induz outro , Λ A : Λ V → Λ W , atrav´es k

  Λ A(v ∧ · · · ∧ v ) = Av ∧ · · · ∧ Av , 1 k 1 k k

  Quando V = W , os autovalores de Λ A s˜ao o produto de k distintos autovalores de A(onde um autovalor com multiplicidade m ´e contado como m “distintos” autovalores). Correspondentemente, existe uma simples rela¸c˜ ao entre o espectro k k de Lyapunov Λ Df x e Df x , os expoentes de Lyapunov Λ Df x s˜ao a soma de k distintos expoentes de Lyapunov de Df x .

  Definamos para 1 ≤ k ≤ d − 1

  1 k n

  C (x, y) = lim sup log kΛ Df (y)k k x n e

  C (x, F ) = max C (x, y) k k y∈J x

  Como primeira hip´ otese deste trabalho assumimos que: Z Z max C (x, F )dP(x) < log p dP(x). (1.3) k x

  16k≤d−1

  X X O qual significa que o integrando da taxa exponencial da derivada do volume k− dimensional n˜ ao seja demasiado grande, para k menor que a dimens˜ ao de Y . Com isso define-se

  Z Z α := α(F ) = log p dP − max C (x, F )dP(x) > 0 (1.4) x k

  16k6d−1

  X X Rafael Alvarez Bilbao Medidas Maximizantes em Sistemas Dinˆ amicos Aleat´ orios k Os expoentes de Lyapunov de Λ Df s˜ao a soma de k distintos expoentes de x

  Lyapunov de Df , com a mesma conven¸c˜ ao de multiplicidade de antes. Temos, x

  λ (x, y) + λ (x, y) + · · · + λ (x, y) ≤ C (x, y) i

  1 i 2 i k k

  para qualquer 1 ≤ i < i < · · · < i ≤ d, e a hip´ otese implica que o

  1 2 k R integrando da soma ´e estritamente menor que log p dP(x), para todo k < d. x

  X Muitos resultados interessantes sobre os expoentes de Lyapunov em sistemas dinˆ amicos aleat´ orios podem ser encontrados em [?], . Cap´ıtulo 2 Tempos hiperb´ olicos

  Esta no¸c˜ ao foi introduzida por Alves em para caso determin´ıstico e ´e usada

  1 para sistemas dinˆ amicos aleat´ orios em . Dada uma medida em M (F ) cujos

  P expoentes de Lyapunov s˜ao maiores que 8α, vamos a encontrar no Lema

  N que existe N ∈ N tal que F tem um conjunto de medida total em X × Y , cujos pontos tem densidade positiva de tempos hiperb´ olicos, esto nos vai a permitir no cap´ıtulo posterior no Lema ter uma parti¸c˜ ao F − geradora com respeito ` a medida µ. Para isso, vamos assumir como hip´ oteses a longo deste trabalho uma condi¸c˜ ao de distor¸c˜ ao sobre as fun¸c˜ oes geradoras, que nos ajud´ a obter estes resultados.

  1 Neste cap´ıtulo F : J → J ´e um sistema dinˆ amico aleat´ orio de classe C e

  1 µ ∈ M (F ). P

  Defini¸ c˜ ao 2.0.1. Dizemos que ν ∈ M (J ) ´e expansora com expoente c > 0 se P para ν-q.t.p. (x, y) ∈ J temos n−1

  X

  1 j −1

  j

  λ(x, y) = lim sup log kDf (f (y)) k 6 −2c < 0 θ (x) x n j=0 Defini¸ c˜ ao 2.0.2.

  Fixado c > 0, dizemos que n ∈ N ´e um c- tempo hiperb´ olico para (x, y) se para cada 1 6 k 6 n tem-se: n−1

  Y j −1

  j

  kDf (f (y)) k 6 exp(−ck) θ (x) x j=n−k

  Por outra lado, F tem tempos hiperb´ olicos com densidade positiva para (x, y), se o conjunto H de inteiros que s˜ao tempos hiperb´ olicos de F para

  (x,y) (x, y) satisfaz

  1 lim inf #(H ∩ [1, n]) > 0 (x,y) n→∞ n

  O objetivo ´e mostrar condi¸c˜ oes para que um sistema dinˆ amico aleat´orio con- tenha um conjunto de tempos hiperb´ olicos com densidade positiva. O seguinte Lema devido a Pliss, ´e fundamental para conseguir esse resultado. Rafael Alvarez Bilbao Medidas Maximizantes em Sistemas Dinˆ amicos Aleat´ orios c −c

  2

  (Pliss). Dado 0 < c < c < A e ζ = . Dados os n´ umeros

  1 Lema 2.0.1

  1

  2 A−c

  1

  reais a , ..., a satisfazendo a ≤ A para cada 1 ≤ j ≤ N e

  1 N j N

  X a ≥ c N , j

  2 j=1 existe l > ζN e 1 < n < · · · < n ≤ N tal que

  1 l n

  i

  X a j ≥ c 1 (n i − n) j=n+1 para cada 0 ≤ n < n i e i = 1, ..., l.

  A prova deste fato pode ser encontrada (Lema 2.11). No lema posterior consegu´ımos um conjunto de medida total onde todos seus pontos tem infinitos tempos hiperb´ olicos com densidade positiva, para sua demonstra¸c˜ ao ´e fundamental o Lema de Pliss acima. Antes de enunciar o lema vamos assumir que:

  −1 inf kDf (y) k > 0, (2.1) x

  (x,y)∈J o qual ´e necess´ ario para sua prova.

  Lema 2.0.2.

  Para cada medida invariante ν expansora com expoente c, existe um conjunto H ⊂ J de ν-medida total, tal que para cada (x, y) ∈ H tem infinitos c-tempos hiperb´ olico n = n (x, y). Al´em disso, a densidade de tempos i i hiperb´ olicos ´e maior que λ = λ(c) > 0:

  Q n −1

  i

  j −1

  • j

  kDf (f (y)) k ≤ exp(−ck) para cada 1 ≤ k ≤ n θ (x) i j=n −k x

  i

  #{0≤n ≤n}

  i

  • lim inf n→∞ ≥ λ > 0

  n Uma consequˆencia do lema anterior ´e ter ramos inversos contrativos nos tempos hiperb´ olicos, resultado que vamos a enunciar no lema de abaixo, mas usamos como hip´ otese deste trabalho a seguinte condi¸c˜ ao de distor¸c˜ ao sobre as fun¸c˜ oes geradora. Para ε > 0, existe δ > 0 tal que se z ∈ J e y ∈ B (z) ⊂ J , x δ x temos

  −1 kDf (z) k x

  ≤ exp(ε/2). (2.2) −1 kDf x (y) k para P − q.t.p. x ∈ X.

  Lema 2.0.3. Existe δ > 0 tal que para P-q.t.p. x ∈ X, se n ´e c-tempo i n

  i

  hiperb´ olico de (x, y) e z ∈ B (f (y)), ent˜ ao existe z ∈ B (y) ⊂ J tal que n δ δ x

  i x

  n

  i

  f (z) = z e n x i n i −k n i −k n i n i d(f (z), f (y)) ≤ exp(−ck/2)d(f (z), f (y)), x x x x para todo 1 ≤ k ≤ n i .

  Rafael Alvarez Bilbao Medidas Maximizantes em Sistemas Dinˆ amicos Aleat´ orios As provas dos Lemas (Lemas 5.4 e 5.5).

  O pr´ oximo lema envolve a constante α dada em por Z Z

  α := α(F ) = log p dP − max C (x, F )dP(x) > 0, x k

  16k6d−1

  X X os expoentes de Lyapunov e conforme `a condi¸c˜ ao

  Z Z

  −1 log kDf x (y)k dµ < +∞ e log kDf x (y) k dµ < +∞, (2.3) conseguimos uma medida expansora ν ∈ M (J ) com expoente α para algum

  P N F sendo N ∈ N. Logo, usando o Lema temos um conjunto cujos pontos tem densidade positiva de tempos hiperb´ olicos.

  Lema 2.0.4.

  Seja µ medida erg´ odica invariante cujos expoentes de Lyapunov s˜ ao maiores que α + κ onde κ > 0 uma constante pequena. Ent˜ ao existe N ∈ N N tal que F tem tempos hiperb´ olicos com densidade positiva para µ-q.t.p.

  Demonstra¸c˜ ao. Como os expoentes de Lyapunov de µ s˜ao maiores que α + κ, para quase todo (x, y) ∈ J , ent˜ao para ε > 0 com ε < κ existe n (x, y) ≥ 1 tal que n kDf (y)υk ≥ exp((α + ε)n)kυk, υ ∈ T J , n ≥ n (x, y) y x x em outras palavras, n −1 kDf (y) k ≤ exp(−(α + ε)n), n ≥ n (x, y) x

  Seja A = {(x, y) : n (x, y) > n}, portanto n

  Z Z n −1 n −1 log kDf (y) kdµ ≤ −(α + ε)n + logkDf (y) kdµ x x

  J A

  n

  1 multiplicando por n

  Z Z

  1

  1 n −1 n −1 log kDf (y) kdµ ≤ −(α + ε) + logkDf (y) kdµ, x x n n

  J A n R

  • n −1 −1

  fazendo ϕ (x, y) = logkDf (y) k, usando a hip´ otese log kDf (y) kdµ < n x x

  • ∞ e o Teorema Erg´ odico Subaditivo de Kingman(ver , Teorema 3.3.3), con-

  1 1 + clu´ımos que existe uma fun¸c˜ ao ϕ ∈ L (µ) tal que ϕ (x, y) → ϕ(x, y), µ − n n q.t.p.. Logo

  Z Z Z

  1

  1 n −1 log kDf (y) kdµ ≤ −(α + ε) + ϕ n (x, y) − ϕ(x, y) dµ + ϕ(x, y)dµ x n n

  J A A

  n n

  Z Z

  1

  • ≤ −(α + ε) + ϕ (x, y) − ϕ(x, y) ϕ dµ

  n dµ + n

  A n A n Z

  1

  • ≤ −(α + ε) + ϕ − ϕ ϕ dµ

  n

  1 L

  n A

  n Rafael Alvarez Bilbao Medidas Maximizantes em Sistemas Dinˆ amicos Aleat´ orios quando n → ∞ implica µ(A ) → 0. Ent˜ao, podemos escolher N suficiente- n

  ′ ′ mente grande tal que para ε > 0 com ε < ε

  Z

  1 N −1 ′ log kDf (y) kdµ(x, y) < −(α + ε ) < 0 x

  N J agora µ ser erg´ odica n−1

  Z

  X

  1

  1

  1 N N i −1 N −1 ′ lim log kDf N i (f (y)) k = log kDf (y) kdµ(x, y) < −(α+ε ) θ (x) x x n→∞ n N N

  J i=0 portanto, n−1

  X

  1 N N i −1 ′ lim log kDf N i (f (y)) k < −N (α + ε ) < −4α θ (x) x n→∞ n i=0 Isso significa que aplicando Lema temos a conclus˜ao.

  O seguinte resultado ´e um Lema t´ecnico que usaremos mais pra frente. Lema 2.0.5.

  Seja A ⊂ Ω, β > 0 e g : Ω → Ω um difeomorfismo local tal que g tem densidade > 2β de tempos hiperb´ olicos para cada x ∈ A. Ent˜ ao, dado qualquer medida de probabilidade ν sobre A e qualquer m ≥ 1, existe n > m tal que

  ν {x ∈ A : n ´e tempo hiperb´ olico de g para x} > β A prova deste lema pode ser encontrada em (Lema 4.4). Cap´ıtulo 3 Entropia

  Em 1958 Kolmogorov introduziu o conceito de Entropia para o caso deter- min´ıstico, nesta sec¸c˜ ao vamos tratar da defini¸c˜ ao de entropia em RDS, tomando como referˆencia as defini¸c˜ oes de Simmons D. e Urbanski M. em .

3.1 Parti¸ c˜ ao

  Dada uma parti¸c˜ ao P de J define-se n−1

  _ n −j

  P = F (P), n ≥ 1 j=0 como a parti¸c˜ ao que se obtˆem pela interse¸c˜ ao das imagens inversas de F a partir de 0 at´e n − 1 da parti¸c˜ ao P.

  Sendo P = {P i } i∈I , logo a parti¸c˜ao induzida por P sob cada fibra J x esta dada por P x = {A x,i } i∈I ⊂I onde A x,i = J x ∩ P i . Portanto

  x

  n−1 _ n j −1 n

  j

  P = (f ) (P ) = P ∩ J θ (x) x x x j=0

  S Consequentemente, e P = P ´e uma parti¸c˜ ao sob J induzida por P e al´em x x∈X

  −1 disso e P ´e mais fina que π (ε X ). Denotemos A µ (F |θ) a cole¸c˜ ao de todas as

  X −1 parti¸c˜ oes mensur´ aveis P de J mais fina que π (ε X ) e tendo entropia relativa

  X −1 −1 finita a π (ε X )(H µ (P|π (ε X )) < +∞) tal que f x | P ´e injetora para P-q.t.p.

  x

  X X x ∈ X e cada P ∈ P . x x Defini¸ c˜ ao 3.1.1.

  Uma parti¸c˜ ao P ∈ A (F |θ) ´e geradora por F relativa a θ se µ somente se

  ∞ _

  ∞ −j P := F (P) ≡ µ ε J j=0

  S onde ε J ´e a parti¸c˜ ao sob J = {x} × J x sobre elementos unit´ arios. x∈X

  A rela¸c˜ ao ≡ significa que dado duas parti¸c˜ oes P e P de J , ent˜ao P ≡ P µ

  1

  2 1 µ

  2 se existe um conjunto mensur´ avel W ⊆ J com µ(J \ W ) = 0 tal que P | =

  1 W P | .

  2 W Rafael Alvarez Bilbao Medidas Maximizantes em Sistemas Dinˆ amicos Aleat´ orios Podemos obter uma parti¸c˜ ao geradora usando . Com efeito, Lema 3.1.1.

  Se µ ´e uma medida invariante tal que os expoente de Lyapunov s˜ ao maiores que α(a constante α dada em ), P ∈ A (F |θ) uma parti¸c˜ ao com µ diˆ ametro menor que δ > 0 como no Lema Para µ − q.t.p. (x, y) ∈ J , n ent˜ ao o diˆ ametro de P (x, y) tende a zero, quando n vai para infinito. Em particular, P ´e uma parti¸c˜ ao F -geradora com respeito a µ.

  N Demonstra¸c˜ ao. Por Lema existe N ≥ 1 tal que F tˆem densidade positiva de tempos hiperb´ olicos para µ−q. t. p.. Defina k−1

  _ −jN

  S = F (P), para cada k ≥ 1 k j=0

  N Por Lema se k ´e um tempo hiperb´ olico de F para (x, y) ent˜ao

  −ck/2 diamS (x, y) ≤ e . Em particular, os conjuntos S (x, y) s˜ao n˜ ao-crescente k k com k, o diˆ ametro de S (x, y) vai para zero quando k → +∞. Desde que k kN n

  P (x, y) ⊂ S k (x, y) e a sequˆencia diamP (x, y) ´e n˜ ao-crescente, temos que o n diˆ ametro de P (x, y) vai para zero quando n tende a infinito, para µ-quase todo (x, y) ∈ J .

  Para provar que P ´e uma parti¸c˜ ao geradora para F com respeito a µ, ´e suficiente mostrar que, dado qualquer conjunto mensur´avel E e ε > 0, existe n ≥ 1 e i n elementos A , i = 1, ..., m(n) de P tal que n m

  [ i

  µ A ∆E < ε n i=1 c

  Considerar os conjuntos compactos K ⊂ E e K ⊂ E tal que µ(K ∆E) e

  1

  2

  1 c µ(K ∆E ) s˜ao ambos menores que ε/4. Fixado n ≥ 1 suficientemente grande

  2 n tal que diamP (x, y) ´e menor que a distancia de K a K para (x, y) fora de um

  1

  2 i conjunto F ε com medida menor que ε/4. Seja A , i = 1, ..., m(n) os conjuntos n n

  P (x, y) que intersectam K 1 , para (x, y) / ∈ F ε . Ent˜ao eles s˜ao disjuntos de K 2 , S i e assim µ A ∆E ´e limitada por acima n i

  [ [ i i c µ E \ A + µ A \ E ≤ µ(E \ K ) + µ(E \ K ) ≤ ε.

  1

  2 n n i i Isso completa a prova.

3.2 Entropia

3.2.1 Entropia relativa

1 Defini¸ c˜ ao 3.2.1. Seja µ ∈ M (F ), e P uma parti¸c˜ ao mensur´ avel de J mais

  P −1 fina que π (ε X ), a entropia relativa com respeito a P

  X

  1 n −1 h µ (F |θ; P) := lim H µ (P |π ε X ).

  X n→+∞ n Rafael Alvarez Bilbao Medidas Maximizantes em Sistemas Dinˆ amicos Aleat´ orios onde entropia relativa ´e dada por,

  Z −1

  H (P|π (ε ) := H (P )dP(x) < +∞ µ X µ x

  x

  X X e P = {P ∩ J : P ∈ P} x x Por outro lado, seja h (F |θ) := sup{h (F |θ; P)},

  µ µ o supremo ´e tomado sobre todas as parti¸c˜ oes mensur´aveis P de J mais fina

  −1 que π (ε ). O n´ umero h (F |θ) chama-se entropia de F relativa a θ com

  X µ

  X respeito ` a medida µ.

  Existem muitos resultados no caso determin´ıstico que se adaptam `a dinˆ amica aleat´ orios, como por exemplo os Teoremas Shannon-McMillan-Breiman, Margulis- Ruelle entre outros. Mencionemos aqui esses dois teoremas que envolvem a entropia relativa.

  Teorema 3.2.1 (Shannon-McMillan-Breiman). Sejam F : J → J um RDS,

  1

  1 µ ∈ M (F )(subconjunto das medidas erg´ odicas em M (F )) e P ∈ A (F |θ),

  µ P,e

  P ent˜ ao para µ − q.t.p. (x, y) ∈ J

  −1 n lim log µ x (P (y)) = h µ (F |θ; P) x n→∞ n

  1 Teorema 3.2.2 (Margulis-Ruelle). Seja F de classe C um RDS sobre uma d variedade M sem bordo e µ uma probabilidade F -invariante sobre X × M .

  Suponha que Z

  • log sup kDf (y)kdP(x) < ∞

  x y∈M

  X Ent˜ ao, d Z

  X

  • h (F |θ) 6 λ (x, y)dµ(x, y)

  µ i X×M i=1

  • (i) onde λ (x, y) := max{λ (x, y), 0}.

  i As provas destes importantes resultados encontrar-se em (Teorema

  2.4 e Teorema 2.1 (apˆendice)) respectivamente. Uma aplica¸c˜ ao do Teorema de Margulis-Ruelle est´a na prova do lema a seguir onde assumimos como hip´ otese , expressada como

  Z Z α := α(F ) = log p dP − max C (x, F )dP(x) > 0 x k

  16k6d−1

  X X Lema 3.2.1. Se µ ´e uma probabilidade invariante com um expoente menor que α(F ), ent˜ ao

  Z h µ (F |θ) < log p x dP(x)

  X Rafael Alvarez Bilbao Medidas Maximizantes em Sistemas Dinˆ amicos Aleat´ orios Demonstra¸c˜ ao. Denotemos por λ (x, y) ≤ · · · ≤ λ (x, y) os expoentes de Lya-

  1 d punov de F em (x, y). Portanto, usando a desigualdade de Margulis-Ruelle temos d

  Z

  X

  • h (F |θ) ≤ λ (x, y)dµ(x, y)

  µ i J i=1

  Z Z

  X

  = λ (x, y)dµ(x, y) + λ (x, y)dµ(x, y) 1 i

  J J i∈{2,...,d} Z Z

  < α(F ) + C (x, y)dµ(x, y) ≤ α(F ) + max C (x, F )dP(x) k k

  1≤k≤d−1 J

  X Z ≤ log p x dP(x).

  X

3.2.2 F´ ormula de Rokhlin’s em RDS

  Seja g : (Z, A, ν) → (W, B, ρ) transforma¸c˜ ao preservando medida entre os espa¸cos de probabilidade (Z, A, ν) e (W, B, ρ). Suponha que existe uma parti¸c˜ ao mensur´ avel e cont´avel G = {A i } de Z(ν − mod 0) tal que para cada A i a aplica¸c˜ ao g i := g| A : A i → W ´e absolutamente cont´ınua, isto ´e,

i 1. g i ´e injetora.

  2. g (A) ´e mensur´ avel se A ´e um conjunto mensur´avel de A . i i 3. ρ(g (A)) = 0 se A ⊂ A ´e mensur´avel e ν(A) = 0. i i

  Por 1. e 2. definimos a medida ν sobre cada A por ν (A) = ρ(g (A)) para g i i g i i cada A ⊂ A . Por 3. ν ´e absolutamente cont´ınua com respeito a ν := v| . i g i i A i

  • Agora, seja a fun¸c˜ ao mensur´avel J (g) : Z → R dada por

  ν dν g

  

i

  J (g)(x) = (x) se x ∈ A ν i dν i

  Aplicando o acima para F : J → J um RDS, µ uma probabilidade invari- ante. Temos uma fun¸c˜ ao n˜ ao-negativa J µ (F ) e existe um conjunto I ⊂ J de medida zero tal que para cada mensur´ avel A ⊂ J \ I para qual F ´e injetora, ent˜ao

  Z µ(F (A)) = J (F )dµ.

  µ A

  Agora, restringindo J (F ) a J e usando o conjunto de medida zero I, consi- µ x deramos a fun¸c˜ ao J µ (f x ) = J µ (F )| J sob a fibra J x for P − q.t.p x ∈ X. Pela

  x x

  defini¸c˜ ao de acima ´e claro que: Z µ (f (A )) = J (f )dµ .

  θ(x) x x µ x x

  x

  A

  x

  Para qualquer A x ⊂ J x \ I x mensur´ avel tal que f x | A ´e injetora. Em particular,

  x J µ ´e o jacobiano de f x relativa a µ x . x Rafael Alvarez Bilbao Medidas Maximizantes em Sistemas Dinˆ amicos Aleat´ orios Em nosso contexto e usando Lema temos uma parti¸c˜ ao P F -geradora, ent˜ao F ´e essencialmente cont´avel, isso ´e: Dada a parti¸c˜ao mensur´ avel A :=

  −1 F (ε ) o sistema canˆ onico de medidas condicionais correspondente (µ )

  J A A∈A s˜ao puramente atˆomicos(mod0 com respeito a µ ) para todo A ∈ A. Portanto

  A por Proposi¸c˜ ao 1.9.5 de o jacobiano e a medida µ sempre existem.

  Com isso, obtemos uma formula que relaciona o jacobiano e a entropia de uma medida. Sugerimos , Teorema 1.9.7 para a prova. Teorema 3.2.3

  (F´ormula de Rokhlin’s aleat´ oria). Se µ ´e medida erg´ odica in- variante que admite uma parti¸c˜ ao P F − geradora com respeito a µ, ent˜ ao Z Z Z h (F |θ) = log J (F )dµ = log J f (y)dµ (y) dP(x)

  µ µ µ x x

  x

  X J

  x onde J f denota o jacobiano de f relativa a µ para P − q.t.p. x ∈ X.

  µ x x x

  x

3.2.3 Press˜ ao topol´ ogica relativa

  Um sistema dinˆ amico aleat´ orio m´etrico F : J → J ´e topol´ ogico se para cada x ∈ X, as fibras J x s˜ao um espa¸co m´etrico compacto, com m´etrica d x , cuja σ−´ algebra de Borel ´e B x = B ∩ J x , e sup diam(J x ) < +∞. x∈X Defini¸ c˜ ao 3.2.2.

  Diz que um sistema dinˆ amico aleat´orio topol´ ogico F : J → J ´e tipo global se existe um espa¸co m´etrico compacto (Y, d) tal que • Para cada x ∈ X, J x ⊆ Y , e d x = d| J .

  x

  N • B = (F B )| , onde B ´e a σ−´algebra de subconjuntos de Borel de Y .

  Y J Y Se J = Y para todo x ∈ X, ent˜ao F chama-se tipo global fortemente. Neste caso x Y ´e dito espa¸co vertical do sistema dinˆ amico aleat´ orio topol´ ogico F : J → J .

  Dado x ∈ X, ε > 0, um inteiro n ≥ 0, ´e E ⊆ J um conjunto (x, n, ε)−separ´ avel x se para cada dois pontos distintos y, z ∈ E existe j ∈ {0, 1, ..., n − 1} tal j j

  j

  que d (f (y), f (z)) > ε. Se F : J → J ´e de tipo global fortemente e θ (x) x x

  1 ϕ ∈ L (X, C(Y ))(dado em ) chamam-se potencial, definimos a press˜ ao to-

  J pol´ ogica relativa

  Z

  X

1 P (ϕ, F |θ) := lim lim sup log sup exp(S ϕ(x, y)) dP(x),

  t n

  ε→0 n→∞ n

  X E⊆J x y∈E onde sup ´e tomado sobre todos (x, n, ε)−separ´ avel subconjunto E ⊆ J x . No caso particular do potencial nulo ϕ ≡ 0 a equa¸c˜ ao acima chama-se entropia topol´ ogica relativa, denotando-se h (F |θ) := P (0, F |θ) t t

  Bogensch¨ utz prova em o principio variacional para sistemas dinˆ amicos aleat´ orios, o qual ´e: Teorema 3.2.4.

  Seja F : J → J um sistema dinˆ amico aleat´ orio topol´ ogico de

  1 tipo global fortemente e ϕ ∈ L (X, C(Y )) um potencial, ent˜ ao

  J Z P t (ϕ, F |θ) = sup h µ (F |θ) + ϕdµ . (3.1)

  1

  µ∈M (F ) J

  P Rafael Alvarez Bilbao Medidas Maximizantes em Sistemas Dinˆ amicos Aleat´ orios

  1 Por outro lado, em alguns situa¸c˜ oes existem medidas µ ∈ M (F ) que atin- P gem , essas medidas chamam-se estado de equil´ıbrio relativo para o potencial

  1 ϕ ∈ L (X, C(Y )). Para potencial nulo o estado de equil´ıbrio relativo chama-se

  J medida maximizante relativa.

  Por outra parte, consideremos o seguinte exemplo que satisfaz as hip´ oteses de nosso resultado. Dados dois difeomorfismos locais f , f : Y → Y de classe 1 1 k

  C , tal que logkΛ Df 1 k < log p 1 para 1 ≤ k < d. Seja P α uma medida de Z

  Bernoulli sob espa¸co de sequˆencias X = {0, 1} tal que P α ([1]) = α, definida como abaixo. Consideremos ♯{i = 1; 0 ≤ j ≤ n − 1} j n

  A = {x = (i ) ∈ X : α}. j ≥ e

  α e n n

  α < α, existe ε tal que ε → 0 e 1 − ε ≤ P (A ) ≤ 1 + ε . Defina-se dado e n n n α n α e k k L = max max{logkΛ Df k, logkΛ Df k}.

  1 1≤k≤d

  Temos que, Z Z k n n−1 k logkΛ Df kdP (x) ≤ log Π kΛ Df kdP

  α i α x j=0 j

  n

  A

  α e

  Z n−1 k

  • kΛ Df kdP log Π

  i α j=0 j

  n c

  (A )

  α e

  k ≤ (1 + ε αn logkΛ Df α)n log L) n )(e 1 k + (1 − e

  Z n−1 k

  • log Π kΛ Df kdP i α

  j

  j=0

  n c

  (A )

  α e

  Agora, multiplicando por 1/n e aplicando o Teorema Erg´ odico Subaditivo de Kingman, Z

  1 k n k lim logkΛ Df kdP α logkΛ Df α) log L

  α (x) ≤ e 1 k + (1 − e x n

  Z

  1 n−1 k

  • lim log Π kΛ Df i kdP α

  j

  j=0

  n

  n c (A )

  α e

  k α logkΛ Df α) log L.

  = e 1 k + (1 − e k

  Usando que logkΛ Df k < log p para 1 ≤ k < d, se escolhemos α perto de

  1

  1 α perto de α tal que para cada 1 ≤ k < d,

  1, devemos tomar e Z k

  α logkΛ Df 1 α) log L < α log p 1 + (1 − α) log p = log p x dP α (x). e k + (1 − e

  Portanto, obtemos a principal hip´ otese da tesesegue-se diretamente do fato que as fun¸c˜ oes f , f s˜ao de

  1

  1 classe C e Y ´e compacto. Cap´ıtulo 4 Existˆ encia e unicidade

1 No conjunto M (F ) das medidas µ probabilidade invariantes, provaremos que

  P todas as auto medidas maximal µ com desintegra¸c˜ao respectiva (µ ) cor- x x∈X

  −1 respondente ` a parti¸c˜ ao mensur´avel π (ε X ), atingem o principio variacional

  X aleat´ orio Teorema

4.0.4 Existˆ encia

  Para mostrar que cada sistema de auto-medidas maximal µ = (µ ) ´e uma x x∈X medida maximizante, vamos assumir a hip´ oteses dada em o qual ´e:

  Z

  • log kDf x (y)k dµ < +∞. (4.1)

  1 para cada µ ∈ M (F ). Enunciemos o teorema da existˆencia

  P Teorema A1

  (Existˆencia). Seja F : J → J um RDS que satisfazendo , R

  1 . Ent˜ ao h top (F |θ) = log p x dP(x). Al´em disso, se µ ∈ M (F )

  P

  X tal que sua desintegra¸c˜ ao µ = (µ ) ´e uma sistema de auto-medidas maximal x x∈X para o operador de transferˆencia (L ) , ent˜ ao µ ´e uma medida de entropia x x∈X maximizante.

  A estrat´egia da prova consiste em usar o operador de transferˆencia para um sistema de auto-medidas maximal, logo aplicando a f´ ormula de Rokhlin’s R aleat´ oria Teorema temos que entropia m´etrica vai ser igual a log p x dP(x).

  X Depois, utilizamos o principio variacional aleat´ orio para estimar a entropia topol´ ogica. 1 ∗

  Lema 4.0.2. Seja µ ∈ M (F ) tal que L µ = p µ para todo x ∈ X ent˜ ao θ(x) x x x

  P J f = p em µ − q.t.p. µ x x x

  x

  Demonstra¸c˜ ao. Seja A um conjunto mensur´ avel tal que f x | A ´e injetiva. To- mando a sequˆencia {g n } ∈ C(J x ) tal que g n → χ A em µ x − q. t. p. e sup|g n | ≤ 2 para todo n. Por defini¸c˜ ao,

  X L g (z) = g (y). x n n f x (y)=z Rafael Alvarez Bilbao Medidas Maximizantes em Sistemas Dinˆ amicos Aleat´ orios A ´ ultima express˜ ao converge a χ (z) em µ − q.t.p.. Portanto, pelo teo- f (A) θ(x)

  x

  rema da convergˆencia dominada Z Z Z

  ∗ p x g n dµ x = g n d(L µ ) = L x g n dµ → µ (f x (A))

  θ(x) θ(x) θ(x) θ(x) O lado direito tamb´em converge a p x µ x (A), concluindo que µ (f x (A)) = p x µ x (A).

  θ(x) o que prova o lema. 1 ∗ Lema 4.0.3.

  Seja µ ∈ M (F ) tal que L µ = p x µ x para todo x ∈ X, ent˜ ao x θ(x)

  P R h (F |θ) ≥ log p dP(x). µ x

  Demonstra¸c˜ ao. Seja P ∈ A (F |θ), por Lema temos que µ − q.t.p. (x, y): µ n n n

  n n−

1 n−

  θ (x) θ (x) θ (x) θ(x) x x x x x n n

  2 µ (f (P (y))) = p p · · · p p µ (P (y)).

  n

  Como 1 ≥ µ (f (P (y))), temos que θ (x) x x

  −1 −1 −1 n

  1

  2 n− n−

  log(p p · · · p p x ) ≤ log µ x (P (y)) θ (x) θ (x) θ(x) x n n

  Usando o Teorema de Shannon-McMillan-Breiman em n−1

  X

  1

  1

  n− 1 n− 2 j

  lim log(p p · · · p p x ) = lim log p ≤ h µ (F |θ; P) θ (x) θ (x) θ(x) θ (x) n n j=0

  Por outro lado, se m ´e a medida de Lebesgue, ent˜ao Z d p = |detDf (y)|dm(y) ≤ kDf k m(J ) x x x x

  J

  x

  1 no qual, log p ∈ L (X, P). De fato, usando a hip´ otese

  (·) Z Z

  • log p dP(x) ≤ d log sup kDf (y)kdP(x) + log m(Y ) < +∞.

  x x y∈J

  X X x Portanto, como P ´e uma medida erg´ odica sobre X, pelo Teorema Erg´ odico de Birkhoff: n−1

  Z

  X

  1

  j

  log p dP(x) = lim log p ≤ h (F |θ; P) ≤ h (F |θ) x θ (x) µ µ n

  X j=0 assim o lema est´a provado.

  1 ∗ Corol´ ario 4.0.1.

  Seja µ ∈ M (F ) tal que L µ = p µ para cada x ∈ X, θ(x) x x

  P x ent˜ ao

  Z h (F |θ) = log p dP(x) µ x

  X Rafael Alvarez Bilbao Medidas Maximizantes em Sistemas Dinˆ amicos Aleat´ orios R Demonstra¸c˜ ao. Usando Lema a entropia ´e h (F |θ) ≥ log p dP(x).

  µ x

  X Agora, por Lema temos que todos os expoentes de Lyapunov de µ s˜ao maiores que α e por Lema conclu´ımos que,

  Z Z h µ (F |θ) = log J µ f x dµ x dP(x)

  x

  X J

  x

  R e pelo Lema temos que J f = p . Provando que h (F |θ) = log p dP(x).

  µ x x x µ x

  X Para a prova do Lema necessitamos a seguinte desigualdade de Jensen: Lema 4.0.4

  (Desigualdade de Jensen). Seja a , b com i = 1, 2, ..., n n´ umeros re- i i

  P n P n P n ais positivos tal que a = 1, ent˜ ao a log b ≤ log a b . Acon- i i i i i i=1 i=1 i=1 tece a igualdade se, somente se b todos s˜ ao iguais. i

  R Lema 4.0.5. A entropia topol´ ogica h (F |θ) = log p dP(x). Al´em disso, se top x

  X

  1 ν ∈ M (F |θ) ´e qualquer medida maximizante erg´ odica, ent˜ ao J f = p for

  ν x x

  x

  P P − q.t.p. x ∈ X, onde (ν x ) x∈X representa a desintegra¸c˜ ao de ν com respeito ` a

  −1 parti¸c˜ ao mensur´ avel π (ε X ).

  X

1 Demonstra¸c˜ ao. Seja ν ∈ M (F |θ) uma medida erg´ odica, tal que h ν (F |θ) ≥

  P R log p dP(x), caso contr´ario n˜ ao existe nada a provar. x

  X Pelo Lema todos os expoentes de Lyapunov de ν s˜ao maiores que α > 0, portanto pelo Teorema

  Z Z h (F |θ) = log J f (y)dν (y) dP(x) ν ν x x x

  X J

  x

  Z = log J ν f x (y)dν(x, y)

  x

  J

1 Definamos, g = . Por ser (f ) ν = ν para todo x ∈ X tem-se que

  ν x ∗ x θ(x)

  x

  J f ν x

  x

  X g (y) = 1, para ν − q.t.p. z ∈ J .

  ν θ(x) θ(x)

  x

  f x (y)=z F p x

  −1 Com efeito. Seja A ⊂ J mensur´ avel com f (A) = A tais que f |

  θ(x) j x A x j j=1

  ´e injetiva para 1 ≤ j ≤ p , ent˜ao x

  Z −1

  ν (A) = 1dν = ν (f (A)) θ(x) θ(x) x x

  A p p

  x x

  X X −1

  = ν (A ) = ν ((f | ) (A)) x j x x A j j=1 j=1 p

  x

  Z

  X −1

  = J (f | ) (z)dν (z) ν (x) x A j θ(x)

  θ

  A j=1 p

  x

  Z

  X

  1 = dν (z)

  θ(x) −1

  A J ν f x (f x | (z))

  x

  A j j=1 Rafael Alvarez Bilbao Medidas Maximizantes em Sistemas Dinˆ amicos Aleat´ orios fazendo diam(A) → 0, ent˜ao p

  x

  X

  1 1 = J ν f x (y j )

  x

  j=1 Portanto,

  Z Z Z 0 ≤ h (F |θ) − log p dν = log J f (y)dν − log p dν (4.2) ν x ν x x x

  J J J Z Z −1 −1

  X p p x x

  = log dν = g (y) log dν ν

  x

  g g (y) ν ν

  J x J x f (y)=z

  x

  1 onde na segunda parte usamos o fato g = . Agora, usamos a desigual- ν

  x

  J f ν x x

  −1 dade Jensen considerando a i = g ν (y) e b i = p /g ν (y) obtemos

  x x x

  −1 −1

  X p p x x −1 g (y) log ≤ log g (y) = log p = 0

  X X

  ν ν

  x x x

  g (y) g (y) ν ν

  x x

  f (y)=z f (y)=z f (y)=z

  x x x

  em ν − q.t.p. z ∈ J . Como o integrando ´e n˜ ao negativo segundo , a x θ(x) igualdade acontece ν − q.p.t., e x

  Z Z Z Z h (F |θ) = log p dν = log p dν dP(x) = log p dP(x) ν x x x x

  J

  X J x

  X Por ser a medida ν arbitr´aria, isso prova que Z Z h (F |θ) = log p dν = log J f (y)dν(x, y) top x ν x

  x

  J J Para finalizar a prova do Lema usamos novamente desigualdade de

  −1 Jensen. Para esta segunda parte, os valores p /g ν (y) s˜ao os mesmos para x x

  −1 todo y ∈ f (z) num conjunto de medida total com respeito a ν . Em outras x

  θ(x) −1 p x palavras, para ν − q.t.p. z ∈ J existe c (z) tal que = c (z) para

  θ(x) θ(x) x x g (y)

  ν x −1 todo y ∈ f (z). Ent˜ao x

  −1

  X X 1 p x = = g (y) = 1, ν − q.t.p..

  ν θ(x)

  x

  c (z) c (z) x − x −

  1

  

1

  y∈f (z) y∈f (z)

  x x

  Concluindo, J f (y) = p , ν − q.t.p.

  ν x x x

  x para cada y na pr´e-imagem de um conjunto ν -com medida total.

  θ(x)

4.0.5 Unicidade

  Nesta se¸c˜ ao vamos obter a unicidade de medidas de m´axima entropia e prova- remos que elas est˜ ao suportada num conjunto de medida total. Para conseguir esse resultado, adicionalmente ` as hip´ oteses anteriores assumiremos que F seja topologicamente exata(ver defini¸c˜ ao e deg(F ) := sup deg(f ) < +∞. x x∈X

  Rafael Alvarez Bilbao Medidas Maximizantes em Sistemas Dinˆ amicos Aleat´ orios Teorema A2

  (Unicidade). Seja F : J → J um RDS que satisfazendo , . Al´em disso, assumamos que F ´e topologicamente exata e deg(F ) := sup deg(f ) < ∞. Ent˜ ao a medida maximizante ´e ´ unica e positiva sob con- x x∈X juntos abertos.

  A prova da unicidade decorrera dos Lemas O seguinte Lema utilizamos a hip´ otese de topologicamente exata, para mostrar que a me- dida esta suportada sob conjuntos abertos.

  Lema 4.0.6.

  Seja ν qualquer medida maximizante, ent˜ ao ν est´ a suportada em x J , para P quase todo ponto x ∈ X. x Demonstra¸c˜ ao. Vamos supor que ν x (U x ) = 0, onde U x 6= φ ´e um aberto em J x .

  N

  x

  Usando a hip´ oteses de topologicamente exata, existe N x ∈ N tal que f (U x ) = x

  N

  x

  J Nx . Particionando U em subconjuntos U , ..., U tal que f | ´e θ (x) x x,1 x,k U x,j x injetiva para todo j = 1, ..., k. temos

  Z N N

  x x

  ν Nx f (U ) = J f dν = 0 θ (x) x,j ν x x x x

  U ,j

  x

  da aqui, k

  X N

  x

  ν Nx (J Nx ) ≤ ν Nx f (U ) = 0 θ (x) θ (x) θ (x) x,j x j=1 o qual ´e uma contradi¸c˜ ao.

  Como consequˆencia do lema anterior temos: Lema 4.0.7. Seja ν qualquer medida maximizante, dado δ > 0 e f topologica- x mente exata, ent˜ ao

  −1 ν (B (y, δ)) ≥ (p p · · · p nδ (x)−1 ) (4.3) x x x θ(x)

  θ (x) para todo y ∈ J , onde n (x) ´e definido como na Defini¸c˜ ao x δ

  Demonstra¸c˜ ao. Seja y ∈ J e B (y, δ) ⊂ J . Agora, particionando B (y, δ) em x x x x n (x)

  δ

  subconjuntos U , ..., U tal que cada f | ´e injetora para j = 1, ..., k, x,1 x,k x U

  x,j

  temos k

  X n (x) n (x)

  δ δ

  1 = ν nδ (x) (f (B (y, δ)) ≤ ν nδ (x) (f (U )) x x,j

  θ (x) x θ (x) x j=1 ≤ p p · · · p nδ (x)−1 ν (B (y, δ)) (4.4) x θ(x) x x

  θ (x)

  1

2 Agora, seja µ e µ duas medidas erg´ odicas maximizantes. Nosso objetivo

  1

  2 ´e provar que essas medidas coincidem. Primeiro provaremos que µ e µ s˜ao x x equivalentes.

  −1 Com efeito, fixada uma parti¸c˜ ao P ≻ π (ε ) tal que diam(P) < δ e para

  X X cada P ∈ P tem interior n˜ ao vazio, e a fronteira ∂P tem medida zero para x x

  1

  2 ambas µ e µ . Podemos escolher δ > 0 pequeno de modo que P ∈ P cont´em x x Rafael Alvarez Bilbao Medidas Maximizantes em Sistemas Dinˆ amicos Aleat´ orios alguma bola de raio δ. n

  Por outro lado, para n ∈ N tempo hiperb´ olico de y ∈ J , existe f (y) ∈ x x n n n

  n n n n

  P ∈ P , ent˜ao P (f (y)) ⊂ B(f (y), δ ), portanto f | θ (x) θ (x) θ (x) g(P (f (y))) x x x θn (x)

  x

  n −1 ´e injetiva, onde g = (f ) . Usando o Lema temos x j n j n

  x x x θ (x)

  n n− 1 n µ (P (f (y))) = p p · · · p µ (g(P (f (y)))); j = 1, 2. n θ (x) x θ(x) θ (x) θ (x)

  (4.5) n n

  

n n

  Por acima, existe z ∈ P (f (y)), tal que B(z, δ) ⊂ P (f (y)), ent˜ao pelo θ (x) x θ (x) x

  Lema temos que j

  −1

  n n n (x))−1 n

  µ n (B(z, δ)) ≥ (p p · · · p nδ (θ ) θ (x) θ(θ (x))

  θ (x) θ (θ (x)) e j n −1 −n

  δ n n n n (x))−1 n µ n (P (f (y))) ≥ (p p · · · p nδ (θ ) ≥ (degF ) .

  θ (x) x θ (x) θ(θ (x)) θ (x) θ (θ (x)) por

  −n j n n

  δ δ 1 n n− (degF ) ≤ p p · · · p µ (g(P (f (y)))) ≤ (degF ) ; j = 1, 2.

  x θ(x) θ (x) x θ (x) x (4.6)

  Antes de provar a unicidade, enunciaremos o seguinte Lema que nos permitir aproximar a medida de um conjunto mensur´avel sobre uma fibra, atrav´es dos ramos inversos dos tempos hiperb´ olicos da parti¸c˜ ao P dada acima. Denotamos

  n

  por Q a fam´ılia de todas as imagens g(P ), para n ∈ N tal que n ´e tempo θ (x) hiperb´ olico para algum y ∈ J x .

  Lema 4.0.8.

  Dado qualquer conjunto mensur´ avel E ⊂ J e ε > 0, existe uma x fam´ılia ξ de elementos disjuntos dois a dois de Q tal que

  [ [ j j µ E \ g(P ) = 0 e µ g(P ) \ E ≤ ε, j = 1, 2. x x

  ξ ξ j Demonstra¸c˜ ao. Por Lema todos os expoentes de Lyapunov de µ s˜ao j maiores que α(F ). Por Lema existe N ≥ 1 e λ > 0 tal que µ − q.t.p. tem densidade > 2λ de tempos hiperb´ olicos. j

  Seja U ⊂ J aberto e K ⊂ J um compacto tal que K ⊂ E ⊂ U e µ (U \ 1 x 1 x

  1

  1

  1 x 1 j j

  E) ≤ ε e µ (K ) ≥ µ (E) para j = 1, 2. Usando Lema com A = K e

  1 1 x x

  2 j j c

  ν = µ /µ (K ), podemos encontrar n ≥ 1 tal que exp(−αn /2) < d(K , U ) x

  1

  1

  1

  1 x x

  1 e o subconjunto L ⊂ K de pontos y ∈ J para qual n ´e tempo hiperb´ olico que

  1 1 x

  1 j j j satisfaz µ (L ) ≥ λµ (K ) ≥ (λ/2)µ (E). Seja ξ a fam´ılia de todos g(P n1 ),

  1

  1 1 θ (x) x x x n

  1 n1 n1

  que intersectam L 1 , com P ∈ P e g o ramo inverso de f . Os θ (x) θ (x) x

  n1

  elementos de ξ 1 s˜ao disjuntos dois a dois, pois os elementos de P e g o θ (x) n

  1

  ramo inverso de f . Usando Lema o diˆ ametro diam(ξ 1 ) ≤ exp(−αn 1 /2). x Deste, seja E a uni˜ ao de todos os elementos de ξ que est˜ao contido em U .

  1

  1

  1 Por constru¸c˜ ao, temos j j j j µ (E ∩ E) ≥ µ (L ) ≥ λµ (K ) ≥ (λ/2)µ (E).

  1

  1

  1 x x x x Continuando, consideremos o conjunto aberto U = U \E e K ⊂ E\E um

  2

  1

  1

  2

  1

  1 j j j conjunto compacto tal que µ (K ) ≥ µ (E \E ). Observe que µ (E \E ) = 0,

  2

  1

  1

  1 x x x

  2 Rafael Alvarez Bilbao Medidas Maximizantes em Sistemas Dinˆ amicos Aleat´ orios de fato a fronteira dos ´ atomos de P tem medida zero e ´e preservada por os ramos j inversos, j´ a que µ ´e invariante. Fazendo o mesmo racioc´ınio, existe n > n tal

  2

  1 c j j que exp(−αn /2) < d(K , U ) e conjunto L ⊂ K tal que µ (L ) ≥ λµ (K )

  2

  2

  2

  2

  2

  2 2 x x e n ´e tempo hiperb´ olico para cada y ∈ L . Denotamos ξ a fam´ılia de imagens

  2

  2

  2 inversa g(P n2 ) que interceptam a L , com P n2 ∈ P n2 e g o ramo

  θ (x) 2 θ (x) θ (x) n

  2

  inverso de f . Como antes, os elementos de ξ s˜ao disjuntos dois a dois e o

  2 x diˆ ametro diam(ξ 2 ) ≤ exp(−αn 2 /2). Isso garanta que seu uni˜ ao E 2 esta contido em U

  2 . Consequentemente, os elementos da uni˜ ao ξ 1 ∪ ξ 2 s˜ao tamb´em disjuntos dois a dois. Al´em disso, j j j j µ (E ∩ (E \ E )) ≥ µ (L ) ≥ λµ (K ) ≥ (λ/2)µ (E \ E ).

  2

  1

  2

  2

  1 x x x x Repetindo o processo, constru´ımos uma fam´ılia de ξ , k ≥ 1 de elementos de Q k tal que seus elementos s˜ao disjuntos dois a dois e est˜ao contido em U , e

  1 j j µ (E ∩ (E \ (E ∪ · · · ∪ E ))) ≥ (λ/2)µ (E \ (E ∪ · · · ∪ E )) (4.7) k+1 1 k 1 k x x

  S S ∞ j j para todo k ≥ 1, onde E = g(P ). Assim, µ ( E \E) ≤ µ (U \E) ≤ ε i k

  1 ξ x k=1 x

  i

  e implica que ∞

  [ j

  µ (E \ E ) = 0 k x k=1

  S ∞ isso completa a prova do lema, com ξ = ξ . k k=1

  Demonstra¸c˜ ao da unicidade da medida. Combinando te- mos que, para qualquer E ⊂ J , x x

  X

  1

  1

  1 µ (E ) ≤ µ (U ) ≤ ε + µ (g(P nk )) x 1 θ (x) x x x

  S ξ= ξ

  k

k =1

  X 2n

  2

  δ nk

  ≤ ε + (deg(F )) µ (g(P )) x θ (x) S

  ξ= ξ

  k

k =1

  2n

  2

  δ

  ≤ ε + (deg(F )) µ (E ) x x 1 2n

  2

  δ

  Pela arbitrariedade de ε > 0, temos que µ (E ) ≤ (deg(F )) µ (E ). De x x x x 2 2n

  1

  δ

  maneira similar tem-se µ (E ) ≤ (deg(F )) µ (E ) para qualquer E men- x x x x x sur´ avel. Por Teorema de Radon Nykodym existe uma fun¸c˜ ao mensur´ avel essen-

  1 2 −2n

  δ

  cialmente ´ unica h : J → R tal que µ = h µ . Al´em disso, (deg(F )) ≤ x x x x x

  2n

  δ

  h ≤ (deg(F )) . Agora, seja h : J → R definida h(x, y) = h (y) e sabe- x x mos que para todo mensur´ avel E x ⊂ J x existe E ⊂ J mensur´ aveis tal que E x = E ∩ J x . Ent˜ao, para todo E ⊂ J mensur´ avel

  Z Z

  1

  1

  1 µ (E) = µ (E ∩ J )dP(x) = µ (E )dP(x) x x x x

  X X Z Z Z

  2

  2 = h x dµ dP(x) = h dµ x

  X E E

  x

  1

  2

1 Desde que µ , µ ∈ M (F ) s˜ao invariantes, ent˜ao

  P,e

  1

  1

  2

  2 µ = F µ = (h ◦ F )F µ = (h ◦ F )µ

  ∗ ∗ Rafael Alvarez Bilbao Medidas Maximizantes em Sistemas Dinˆ amicos Aleat´ orios Como a derivada de Radon Nykodym ´e essencialmente ´ unica, temos que h =

  2 h ◦ F em µ − q.t.p. Pela ergodicidade h ´e constante em quase todo ponto

  Z

  1

  2

  2 1 = µ (J ) = h dµ = hµ (J ) = h

  J

  1

  2

  1

  2 ent˜ao µ = µ e assim µ = µ para todo x ∈ X. x x Bibliografia

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  (2000), 351–398. [5] A. Arbieto, C. Matheus, and K. Oliveira, Equilibrium states for random non-uniformly expanding maps, Nonlinearity 17 (2004), 581–593.

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  Dynamical Systems 15,1 (2006), 225–236. [17] , Fundamentos de teoria erg´ odica, SBM,Cole¸c˜ ao Fronteiras da Ma- tem´ atica, 2014.

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  ´ Indice

  α(F ),

  1 L (X, C(Y )), press˜ao

  J α

  H (J ), topol´ ogica x

  −1 π (ε ),

  X X ε , principio

  X ∗ n , variacional

  ξ aleat´ orio, conjunto produto separ´ avel, exterior, densidade sistema positiva, auto-medida desigualdade maximal,

  Jensen, dinˆ amico aleat´ orio, entropia relativa, tempo espa¸co hiperb´ olicos, fun¸c˜ oes teorema

  H¨ older, Margulis-Ruelle, estado Shannon-McMillan-Breiman, equil´ıbrio topologicamente relativo, exata, expoente

  Lyapunov, f´ ormula Rokhlin’s aleat´ oria,

  Lema Pliss, medida expansora, operador transferˆencia,

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