Universidade Federal da Bahia Instituto de Matem´ atica

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Universidade Federal da Bahia

Instituto de Matem´ atica

Programa de P´ os-Graduac ¸˜ ao em Matem´ atica

  

Otimizac ¸˜ ao Erg´ odica, Limites ` a Temperatura Zero

e a ´ Algebra Max-Plus

Bruno C´ esar Conceic ¸˜ ao dos Santos

  Salvador-Bahia Abril de 2015 Otimizac ¸˜ ao Erg´ odica, Limites ` a Temperatura Zero e a ´ Algebra Max-Plus Bruno C´ esar Conceic ¸˜ ao dos Santos

  Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Co- legiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica. Orientador:

  Prof. Dr. Vilton Jeovan Viana Pinheiro

  Salvador-Bahia Abril de 2015 dos Santos, Bruno C´esar Concei¸c˜ ao.

  Otimiza¸c˜ ao Erg´ odica, Limites ` a Tem- peratura Zero e a ´ Algebra Max-Plus /

  Bruno C´esar Concei¸c˜ ao dos Santos. – Salvador, 2015.

  ?? f. : il Orientador: Prof. Dr. Vilton Jeovan Viana Pinheiro. Disserta¸c˜ ao (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´ atica, Colegiado da P´ os-Gradua¸c˜ ao em Matem´ atica, 2015. Referˆencias bibliogr´aficas.

1. Sistemas Dinˆamicos. 2.??? . 3.??? . I. Pinheiro, Vilton Jeovan Viana. II. Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´ atica. III.

  T´ıtulo.

  CDU : ????? Otimizac ¸˜ ao Erg´ odica, Limites ` a Temperatura Zero e a ´ Algebra Max-Plus Bruno C´ esar Conceic ¸˜ ao dos Santos

  Disserta¸c˜ao de mestrado apresentada ao Co- legiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica, aprovada em 16 de abril de 2015.

  Banca examinadora:

  Prof. Dr. Vilton Jeovan Viana Pinheiro (Orientador) UFBA

  Prof. Dr. V´ıtor Domingos Martins de Ara´ ujo UFBA

  Prof. Dr. Jos´e Ferreira Alves Universidade do Porto

  

Dedico este trabalho aos

meu av´os: Armando Batista

Concei¸c˜ao (in memoriam) e

Divaldo Lago Fernandes (in memoriam). Agradecimentos

  Primeiramente agrade¸co a Deus, por me dar sa´ ude para levantar todos os dias e trabalhar duro. Agrade¸co com muito carinho e gratid˜ao aos meus pais, Augusto e Andr´ea , por todo o apoio, pelo incentivo, investimento em minha educa¸c˜ao, conselhos, pux˜oes de orelha e for¸cas para sempre seguir em frente. Aos meus irm˜aos, Bianca e Bento, pelas alegrias di´arias e a inspira¸c˜ao de sempre buscar mais e mais.

  Aos professores da p´os: Tertu, Vitor, Ana L´ ucia, Manuel, Ciro e Juan Pablo, pelo esfor¸co de nos fazer aprender e pesquisar todos os dias (todos os dias mesmo!!!). Aos pro- fessores da ´epoca da gradua¸c˜ao: Rita de C´assia, Cristiana Paiva, Samuel Gomes, Zezinho, Gra¸ca, Joseph e muitos outros, sem vocˆes este trabalho tamb´em n˜ao seria poss´ıvel.

  Agradecer a Vilton por toda paciˆencia e por ter me dado a oportunidade de ter sido seu orientando nesse per´ıodo de mestrado. Espero que haja futuras oportunidades para que possa trabalhar novamente contigo, porque para mim, foi muito bom ter sido seu orientando.

  Agrade¸co aos professores Vitor Domingos e Jos´e Alves por se disponibilizarem a estar presente na banca de defesa deste trabalho. Agrade¸co aos funcion´arios do CEAPG, pela dedica¸c˜ao em sempre nos ajudar tanto nos grandes e pequenos problemas. Agrade¸co a toda Fam´ılia da Sala 18, sem vocˆes essa jornada seria t˜ao gratificante, sempre serei grato a todos. Em especial, agrade¸co a Caroline Martins, pois desde quando pensei em fazer mestrado ela sempre foi minha companheira de estudo e sempre esteve ao meu lado me apoiando. Aos amigos da gradua¸c˜ao que sempre estiveram presentes nessa jornada: Ana Paula, Dani, Ruy, Felipe, Lorena, Belmiro, Raiana, Rhully, Tha´ıs e todos outros amigos. Fabiana, artista do LEMA, pela amizade de todos esses anos. Agrade¸co e MUITO as caronas e resenhas com Mariana.

  Agrade¸co, imensamente, ao apoio financeiro da CAPES.

  

“ O que fazemos na vida, ecoa na

eternidade. ”

  (Maximus Decimus Meridius) Resumo

  Neste trabalho, vamos considertar uma fun¸c˜ao cont´ınua A definida em um espa¸co Z compacto Ω. O Princ´ıpio Variacional nos diz que h µ Adµ , esse P(A) := sup µ σ

  • ∈M

  supremo ser´a realizado por uma medida µ A . Considerando agora, βA em vez de A, com β > 0, analisaremos o que acontece com lim µ βA . Faremos rela¸c˜oes entre µ βA e medidas β Z

→∞

que realizam m(A) := sup Adµ, onde µ ´e uma medida invariante e usaremos a ´algebra µ Max-Plus como ferramenta para estudar o comportamento do lim µ βA . β

  →∞ Palavras-chave: Otimiza¸c˜ao Erg´odica; Temperatura Zero; ´ Algebra Max-Plus. Abstract

  In this work, we study continuous function A defined in a compact space Omega, Z

  • the Variational Principle tells us that h µ Adµ . Now, consider βA P(A) := sup µ σ

  ∈M

  instead of A, with β > 0. We will analyze what happens with lim µ βA . We will make Z β →∞ relations between µ βA and measures to realize m(A) := sup Adµ, where µ is an invariant µ measure and we will use the Max-Plus Algebra as a tool to study the behavior of lim µ βA . β →∞ Keywords: Ergodic Optimization; Zero Temperature; Max-Plus Algebra.

  Sum´ ario

  Orbitas Maximizantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

  4.2 Propriedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

  4.1 Motiva¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

  39

  Algebra Max-Plus

  4 ´

  3.2 Componentes Irredut´ıveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

  3.1 Defini¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

  32

  3 Barreira Peierl’s

  2.5.1 Estudo do Conjunto de Aubry para Potenciais Localmente Constantes 29

  2.5 O Conjunto de Aubry . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

  2.4 Crit´erio da Entropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

  2.3 ´

  Introdu¸ c˜ ao

  2.2 Grandes Desvios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

  2.1 Sub-a¸c˜ao Calibrada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

  15

  2 Ground State

  1.7 C´alculo de Estado de Equil´ıbrio no caso em que A ´e localmente constante . 11

  8

  6 1.6 Operador de Tranferˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  6 1.5 Entropia e Existˆencia de estado de equil´ıbrio . . . . . . . . . . . . . . . . .

  5 1.4 Formalismo Termodinˆamico e Estado de Equil´ıbrio . . . . . . . . . . . . .

  4 1.3 Otimiza¸c˜ao Erg´odica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  3 1.2 Medidas Invariantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  1 Preliminares 3 1.1 Dinˆamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  1

  4.3 Um Exemplo Expl´ıcito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Introdu¸ c˜ ao

  O prop´osito desta disserta¸c˜ao ´e apresentar algumas das principais ideias e quest˜oes que s˜ao consideradas na otimiza¸c˜ao erg´odica. Nosso foco aqui s˜ao quest˜oes que est˜ao as- sociadas `a sele¸c˜ao de probabilidades quando a temperatura vai para zero.

  Vamos nos preocupar em dar exemplos para melhor compreens˜ao desta dis- serta¸c˜ao. Ao longo do texto, ir´a ser apresentado a chamada ´ Algebra Max-Plus que ´e uma ferramenta muito ´ util para o c´alculo de solu¸c˜oes expl´ıcitas para o tipo de problemas que nos interessa aqui.

  Consideremos uma fun¸c˜ao cont´ınua fixada A : Ω → R, que chamaremos de potencial. Sem entrar muito na teoria, para um parˆametro real β, vamos associar βA a um funcional β chamada estado de equil´ıbrio para

  P(β), e para cada β teremos uma medida µ o potencial para βA. Em Mecˆanica Estatistica, β representa o inverso da temperatura. Ent˜ao, quando β → +∞, significa que a temperatura vai para 0.

  Queremos apontar as rela¸c˜oes entre as duas formas diferentes de selecionar essas medidas: 1. β

  7→ P(β) ´e convexo e admite uma ass´ıntota quando β → +∞;

  2. Um ponto de acumula¸c˜ao para µ , com β β → +∞ ´e A-maximizante. Ent˜ao, a quest˜ao principal ´e saber se h´a convergˆencia, e, no caso afirmativo, como ´e a sel¸c˜ao do limite de µ β ?

  No cap´ıtulo 1, estudaremos as ferramentas b´asicas para entendimento deste texto, falaremos das propriedades topol´ogicas do espa¸co Ω, apresentaremos as propriedades dinˆamicas e um pequeno estudo do Formalismo Termodinˆamico.

  Nos cap´ıtulos 2 e 3, vamos estudar os pontos de acumula¸c˜ao para µ β , estes pontos ser˜ao chamados de Ground State. Veremos se existe alguma condi¸c˜ao para que este ponto de acumula¸c˜ao seja ´ unico. Tamb´em trataremos de ´orbitas maximizantes, que ser˜ao Z as ´orbitas que tem as m´edias de Birkhoff iguais a sup Adµ, onde µ ´e uma medida µ invariante. No cap´ıtulo final, trataremos da chamada ´algebra Max-Plus, que basicamente ´e estenderemos sua defini¸c˜ao para vetores e matrizes e com isso, veremos condi¸c˜oes para que se tenha existˆencia e unicidade para autovalores nesta ´algebra. E finalizando esta disserta¸c˜ao, usaremos a ´algebra Max-Plus e o estudo decorrente deste texto para encontrar um limite expl´ıcito para µ β .

  Cap´ıtulo 1 Preliminares N

  Vamos considerar o espa¸co Ω = dos elementos das sequˆencias {1, 2, 3, ..., k} x = (x , x , ..., x n , ...) com x i

  1

  ∈ {1, ..., k}, ∀i ∈ N. Um elemento em Ω ´e chamado de palavra infinita sobre o alfabeto i d´ıgito ou s´ımbolo. Sejam x = x x

  1 x 2 ... e

  {1, ..., k}, e x y = y y y ... em Ω, a distˆancia entre x e y ´e dada por:

  1

  2

  1 d(x, y) = . min n n

  {n≥1 x 6=y }

  2 Por exemplo, vamos considerar o caso que k = 3. Sejam x = 321332... e y = 321331..., logo temos que: 1 d(x, y) = .

  5

  2 A sequˆencia x x

  1 ...x n −1 ´e chamado palavra de comprimento n. Se ω ´e uma

  palavra, o seu comprimento ser´a denotado por |ω|. Defini¸ c˜ ao 1.0.1.

  Um Cilindro (de comprimento n), denotado por

  [x ...x n ]

  

−1

  ⊆ Ω,

  ´e o conjunto dos pontos y

  ∈ Ω tal que y i = x i , i = 0, 1, ..., n − 1. Por exemplo, o cilindro [211] ´e o conjunto dos y = y y y y ... tais que y = 2, y =

  1

  2

  3

  1 1 e y = 1. ´ E f´acil ver que os cilindos de tamanho n formam uma parti¸c˜ao para Ω.

  2 Agora, temos que (Ω, d) ´e um espa¸co m´etrico compacto. A compacidade decorre

  do fato que Ω ´e compacto com a topologia produto. Observe que a topologia induzida pela m´etrica d coincide com a topologia produto.

  1.1 Dinˆ amica

  Defini¸ c˜ ao 1.1.1. O shift σ : Ω x x ...) =

  1

  2

  −→ Ω, ´e a transforma¸c˜ao dada por σ(x

  Note que, d(σ(x), σ(y)) = 2d(x, y), portanto o shift expande distˆancia, ´e Lipschitz e cont´ınuo. O pr´oximo resultado ser´a ´ util para definir um conjunto σ-invarinte. Lema 1.1.2.

  Seja A um boreliano, ent˜ao s˜ao equivaletes: i.

  ∀x ∈ A, σ(x) ∈ A;

  −1 ii. A (A).

  ⊂ σ

  −1 Demonstra¸c˜ao. Suponha que (A) :=

  ∀x ∈ A, σ(x) ∈ A.Temos σ {y ∈ Ω; σ(y) ∈ A}, logo

  −1 −1 por hip´otese, segue que x (A), portanto, A (A).

  ∈ σ ⊂ σ

  −1 −1

  Por outro lado, se supusermos que σ (A) (A) ⊃ A, pela defini¸c˜ao do conjunto σ temos que

  ∀x ∈ A, σ(x) ∈ A. Dizemos que um boreliano B que satisfa¸ca uma das propriedades do lema anterior

  (logo as duas), ´e dito σ-invariante. ´ E f´acil ver que se x ´e um ponto peri´odico, ent˜ao O(x) ´e σ-invariante.

1.2 Medidas Invariantes Defini¸ c˜ ao 1.2.1.

  Seja µ uma medida. Dizemos que µ ´e invariante pelo shift, se para qualquer mensur´avel B tivermos −1 µ(σ (B)) = µ(B). N

  Exemplo 1.2.2. Vamos considerar Ω = . Tomemos p e q dois n´ umeros positivos {1, 2}

  em (0, 1), e a matriz ! !

  p

  1 P (1, 1) P (1, 2) − p P = = .

  1 q P (2, 1) P (2, 2) − q

  Temos que 1 ´e um autovalor de P . Resolvendo a equa¸c˜ao

  (x, y).P = (x, y),

  1−p

encontramos um auto-espa¸co unidimensional, com y = x. Portanto, existe um unico

  1−q autovetor `a esquerda (π , π ) tal que

  1

  2

  (π

  1 , π 2 ).P = (π

1 , π

2 ) e π 1 + π 2 = 1.

  A medida µ definida como µ([x ...x n ]) = π x P (x , x )P (x , x )...P (x n , x n ).

  

1

  1 2 −2 −1

Temos que essa medida µ, ´e uma medida invariante pelo shift e ´e chamada de medida de Lema 1.2.3. µ ´e σ-invariante se, somente se, para toda fun¸c˜ao f cont´ınua tivermos Z Z f (x)dµ(x) = f ◦ σ(x)dµ(x). Denote por σ :=

  M {µ : Ω → R; µ ´e uma probabilidade σ- invariante}. Se µ n σ e µ n ∈ M →µ, (na topologia fraca*) ent˜ao µ ´e σ-invariante.

  Defini¸ c˜ ao 1.2.4. Uma medida extremal em ´e chamada erg´odica. σ M As medidas markovianas s˜ao erg´odicas.

  Teorema 1.2.5 (Erg´odico de Birkhoff). Seja µ medida σ-invariante e erg´odica. Ent˜ao

  para toda fun¸c˜ao f : Ω

  → R cont´ınua, existe um K tal que µ(K) = 1, e para todo x em K, temos que X n Z

  1 k −1 n lim f (σ (x)) = f dµ.

  →∞

  n k

  =1

  O Teorema Erg´odico de Birkhoff diz que, na hip´otese de ergodicidade, a m´edia temporal ´e igual a uma m´edia espacial.

1.3 Otimiza¸ c˜ ao Erg´ odica Defini¸ c˜ ao 1.3.1.

  Seja A : Ω

  → R uma fun¸c˜ao cont´ınua. Uma medida invariante µ diz-se A-maximizante se Z Z

  Adµ = max Adν; ν σ =: m(A) ∈ M Exemplo 1.3.2. Note que pode haver v´arias medidas maximizantes. N

  Com efeito, considere Ω = e o potencial

  {1, 2, ..., d}

  ∞ ∞

  A(x) = ), d(x, 2 ) ∞ ∞ ∞ ∞ − min {d(x, 1 } ≤ 0.

  

Temos que µ := δ e µ := δ s˜ao medidas A-maximizantes. De fato, R Adµ =

  1

  1

  2

  2 1 ∞

  A(1 ) = ). Suponha agora que exista ν probabilidade tal que

  2

  −1 (An´alogo para µ

  . Logo, temos que:

  Z Z Z Adν Adµ

1 R Adν ≥ R Adµ

  1 =

  −1 = −ν(Ω) = −1dν ≥ ≥ −1, ∞ ∞ portanto m(A) = e µ s˜ao A-maximizantes.

  1

  2

  −1 e segue que µ ∞ ∞

  Agora defina, µ t := tµ 1 + (1 2 , t

  − t)µ ∀t ∈ [0, 1]. Por linearidade temos que µ

  ´e A-maximizante para cada 0 ≤ t ≤ 1.

  

1.4 Formalismo Termodinˆ amico e Estado de Equil´ıbrio

  O Formalismo Termodinamico visa singularizar medidas via o Principio Variaci- onal: Z + h µ Adµ . P(A) := sup µ

  ∈M σ Defini¸ c˜ ao 1.4.1.

  Qualquer medida que realiza o m´aximo de

  P(A) ´e chamada um Estado

  de Equil´ıbrio de A. A fun¸c˜ao A ´e dita potencial e P(A) ´e a press˜ao do potencial.

  Dado ν medida σ-invariante, o valor Z

  • h ν Adν ´e chamado “energia livre”da medida ν com respeito ao potencial A.

  1.5 Entropia e Existˆ encia de estado de equil´ıbrio Com o resultado abaixo, podemos obter uma simples defini¸c˜ao para h µ .

  Teorema 1.5.1.

  Seja µ uma probabilidade ergodica e σ-invariante. Ent˜ao para µ-qtp x = x x ...

  1

  1 h µ := log µ([x x ...x n ])

  1

  − lim n →∞ n

  existe e independe de x.

N

  Exemplo 1.5.2. Consideremos Ω = e dois n´ umeros positivos p e q, tais que {1, 2} p + q = 1. Tomemos uma medida P em

  {1, 2}, definida por P

  ( {1}) = p, P({2}) = q N

  Definamos uma medida µ = .

  ⊗P, chamada medida de Bernoulli, no espa¸co produto {1, 2}

  Da´ı, temos que µ ´e definida como ao na palavra x ao na palavra x #{1’s que est˜ #{2’s que est˜

  µ([x ...x n ]) = p

  −1

  }q }, onde x ´e a palavra finita x ...x n −1 . (Note que µ ´e uma medida invariante pelo shift).

  Temos que

  1 # n µ([1]) = p e

  →∞

  {1’s que est˜ao na palavra} → n 1 # n µ([2]) = q.

  →∞

  {2’s que est˜ao na palavra} → n

  Portanto, h µ = −p log p − q log q.

  Exemplo 1.5.3. Agora, se µ ´e uma medida de Markov associada uma matris linha es-

  toc´astica P e π = (π , ..., π d ), temos que

1 X n h µ = π i P (i, j) log P (i, j).

  − i,j

  =1 Vamos agora garantir a existˆencia de estado de equil´ıbrio.

  Teorema 1.5.4.

  Se A ´e cont´ınuo, ent˜ao existe pelo menos um estado de equil´ıbrio de A.

  A ideia da demonstra¸c˜ao consiste mostrar que F : σ M → R, onde F (ν) =

  • h ν
  • σ ´e um conjunto compacto para deduzir R Adν ´e semicont´ınua e usar o fato de que M que F atinge um m´aximo, provando a existˆencia de estados de equil´ıbrio para A. Para mais detalhes ver [12].

      Agora trataremos da Unicidade do Estado de Equil´ıbrio para potenciais α-H¨older. Defini¸ c˜ ao 1.5.5.

      Dizemos que A : Ω

      → R ´e α-H¨older, 0 < α < 1, se existe uma constante

      real C > 0 tal que para todo x, y

      ∈ Ω, α . |A(x) − A(y)| ≤ Cd(x, y)

      Ent˜ao, para α fixo, denote por α := H {A : Ω → R; A ´e α-H¨older}

      |A(x) − A(y)| e defina := sup + sup α ||A|| |A(x)|. x 6=y d(x, y) x ∈Ω α Lema 1.5.6. ( α ) ´e um espa¸co de Banach.

      H, ||.|| Teorema 1.5.7.

      Se A : Ω

      → R ´e H¨older continuo, ent˜ao existe um ´unico estado de

      equil´ıbrio µ A para A. Al´em disso, µ A ´e uma medida de Gibbs e β

      7→ P(βA) ´e anal´ıtica, com β > 0. O resultado acima ´e consequˆencia do Teorema de Ruelle que diz: Teorema 1.5.8.

      [Teorema de Ruelle] Sejam T : M

      → M uma transforma¸c˜ao expandora

      e ψ : M

      → R uma fun¸c˜ao α-H¨older. Ent˜ao existe um ´unico estado de equilibrio associado

      

    ao par (T, ψ). Al´em disso, o estado de equilibrio est´a suportada em todo o M e ´e um

    estado de Gibbs. Demonstra¸c˜ao. [12].

      Para nosso estudo fa¸camos, M = Ω, T = σ e ψ = A.

      Defini¸ c˜ ao 1.5.9. Seja (X, d) espa¸co m´etrico completo. Uma transforma¸c˜ao expansora ´e

      uma aplica¸c˜ao T : M

      → M cont´ınua satisfazendo:

      Existem r > 0, 0 < λ < 1 e c > 0 tais que: 1. x

      6= y, T (x) = T (y) =⇒ d(x, y) > c;

      −1 2. (x), existe uma fun¸c˜ao cont´ınua ϕ : B r (x)

      ∀x ∈ Me a ∈ T → M tal que:

      i. ϕ(x) = a; ii. (T r (x);

      ◦ ϕ)(z) = z, ∀z ∈ B

      ′ ′ ′ iii. d(ϕ(z), ϕ(z )) ), r (x).

      ≤ λd(z, z ∀z, z ∈ B Lema 1.5.10. σ : Ω → Ω ´e expansora.

      Demonstra¸c˜ao. Sejam x, y

      . Logo, ∈ Ω tais que x 6= yeσ(x) = σ(y), da´ı temos que x 6= y

      1 d(x, y) = = 1. Fazendo 0 < c < 1 provamos o primeiro item.

      2

      1 Seja agora x e defina

      ∈ Ω. Tome r =

      2 1

      ϕ : B (x) 2 → Ω y y ...

      1

      7→ ky := ky Note que:

      −1

      x ... (x);

      1

    • ϕ(x) = kx = kx ∈ σ
    • 1 z

        1 ...) = z z

      1 ... = z, (x);

      • (σ ◦ ϕ)(z) = σ(kz ∀z ∈ B
      • 2

          ′ ′ ′ 1 ′ )) = d(kz z ..., kz z ...) = d(z, z ).

          1

        • d(ϕ(z), ϕ(z

          1

          

        2

        Fazendo 0 < λ < 1, temos o resultado desejado.

          Pelo Teorema 1.5.8 segue que temos um ´ unico estado de equil´ıbrio para P(A), sempre que A ´e H¨older.

          1.6 Operador de Tranferˆ encia

          Seja A : Ω → R um potencial α-H¨older. Defini¸ c˜ ao 1.6.1. o operador de transferˆencia correspondente ao potencial A, : (Ω) A

          L C → (Ω) , ´e dado por: Para cada φ (Ω),

          C ∈ C X A

        A (φ) = ϕ (Ω) com ϕ(x) := e φ(ax).

          (ax)

          L ∈ C a

          ∈{1,2,...,d}

          Observa¸ c˜ ao 1.6.2. Usando o Teorema 1.5.8 pode-se mostrar que a press˜ao ´e exatamente o logaritmo do raio espectral do operador de tranferˆencia, ou seja, A .

          P(A) = log λ Seja µ uma probabilidade. A aplica¸c˜ao f (f )dµ ´e uma fun¸c˜ao limitada A

          7→ R L em (Ω). Pelo Teorema da Representa¸c˜ao de Riesz, existe ν tal que para cada f (Ω), C

          ∈ C

        A (f )dµ. Logo, : µ (µ) = ν) ´e o operador dual de A .

        A A ∗ ∗ R fdν = R L L 7→ ν (L L

          ∗ Observa¸ c˜ ao 1.6.3. A (1) = 1 (µ) ´e uma probabilidade se µ tamb´em for.

          L ⇒ L A

          ∗

          Teorema 1.6.4. Seja λ A o raio espectral de A . Ent˜ao, λ A ´e um autovalor para , ou L L A

          seja, A probabilidade tal que

          ∃ν

          ∗ A (ν A ) = λ A ν A .

          L Para demonstrar esse teorema, usamos os seguintes resultados: Lema 1.6.5. (Ω) := (Ω) : ϕ (Ω).

          C {ϕ ∈ C ≥ 0} ´e um cone normal de C + Para a prova desse Lema, ver [12]. E um resultado da an´alise funcional, temos:

          Teorema 1.6.6. Seja C um cone normal num espa¸co de Banach E e seja T : E → E um

          ∗

        operador linear positivo sobre ) (raio espectral) ´e autovalor do operador

        C. Ent˜ao, r(T

          ∗ ∗ ∗ ∗ dual T : E e admite algum autovalor v .

          → E Fazendo E = (Ω), (Ω) e T = . A conclus˜ao do teorema significa que A

          C C = C L +

          ∗

          admite algum autovetor ν A (Ω) correspondente ao autovalor λ A . Note que ν A L ∈ C + A se identifica com uma medida positiva finita.Para mais detalhes ver [12]. Desse teorema, obtemos um ´ unico H A , com a normaliza¸c˜ao R H A dν A = 1 tal que A A A A (H ) = λ H .

          L Lema 1.6.7. µ A := H A ν A ´e σ-invariante.

          Demonstra¸c˜ao.

          Lema 1.6.8. ((g ) = g (g ), , g (Ω). A

          1

          2

        1 A

          2

          

        1

          2 L ◦ σ)g L ∀g ∈ C X A (ax)

          Com efeito, A ((g ) := e g (σ(ax))g (ax) =

          1

          2

          1

          2 L ◦ σ)g a X A A X

        ∈{1,2,...,d}

        (ax) (ax)

          e g

          1 (x)g 2 (ax) = g 1 (x) e g 2 (ax) =: g 1 (x) A (g 2 (x)), verificando o a a L ∈{1,2,...,d} ∈{1,2,...,d} lema anterior.

          Ent˜ao, para toda fun¸c˜ao g : Ω Z Z → R integr´avel:

          −1 ∗

          (g A = λ (g A d( ν A ) = A A ◦ σ)dµ ◦ σ)H L Z Z

          −1 −1

          λ A ((g A )dν A = λ g A (H A )dν A = A L ◦ σ)H A L Z Z gH A dν A = gdµ A .

          Portanto segue que µ A ´e σ-invariante.

          Pode ser mostrado que esta medida, ´e uma medida de Gibbs, ou seja, A > 0 ∃C tal que

          ∀x ∈ Ω e ∀n µ A ([x ...x n ])

          −1

        −C A C A

          e , ≤ ≤ e S n (A)(x)−n log λ A X n k e

          −1

          onde S n (A)(x) := A(σ (x)). Essas duas desigualdades definem a energia livre para k

          =1

          µ A , que ´e log λ A . Mais ainda, a primeira desigualdade diz para qualquer medida erg´odica ν A ,

          6= µ Z + h ν Adν < log λ A . Como j´a vimos, A e µ A ´e o ´ unico estado de equil´ıbrio para A, com β > 0.

          P(A) = log λ Observa¸ c˜ ao 1.6.9.

          Pode-se obter os mesmos resultados para βA em vez de A.

          J´a sabemos que β 7−→ P(β) ´e localmente anal´ıtica, mas por argumentos de conexidade, obtemos que ´e globalmente anal´ıtica.

          Os resultados at´e aqui citados valem em outros casos. Em particular, se Ω (o shift completo no espa¸co de Bernoulli). Para toda ψ H¨older cont´ınuo, n n n Z

          P(A) (P(A)−ε) A (ψ) = e ψdν β φ + e ψ n ,

          L onde ε = ε(A) > 0, ψ n ´e cont´ınuo com n ,

          ∞ ∞

          kψ k ≤ Ckψk ∀n e C ´e uma constante que depende de A. Fazendo ψ = 1, temos 1 n log (1)

          P(A) = lim L A n

          →∞ d

          n

          P

          R Adµ e (β) = β . Proposi¸ c˜ ao 1.6.10.

          O gr´afico de

          P(β) admite uma ass´ıntota quando β → ∞ com incli- Z

          

        nac˜ao determinada por m(A) = sup Adµ. Qualquer ponto de acumula¸c˜ao para µ β ´e

        µ σ ∈M uma medida A-maximizante.

          Demonstra¸c˜ao. Seja µ uma medida A-maximizante. Como h µ < + ZZ ∞ ∞, temos:

          sup h µ R βAdµ + h µ

        • m(A) = Adµ Adµ = =

          ∞ ∞

          ≤ β β Z log λ A log λ A

          P(β) + β + m(A). Adµ ≤ ≤ P(β) Logo, segue que lim = m(A), e assim a inclina¸c˜ao da ass´ıntota de n →∞ P(β) ´e m(A).

          β Seja agora a fun¸c˜ao:

          ξ : β 7−→ P(β) − βm(A). Note que: d

          ′ P i. ξ (β) = (β) R Adµ β − m(A) = − m(A) ≤ 0; ii. ξ ´e uma fun¸c˜ao decrescente;

          P(β) iii. ξ , ≥ 0, pois m(A) ≤ ∀β. β

          Isso implica que ξ(β) ∞ ´e ponto de acumula¸c˜ao ∃ lim ≥ 0. Considerando que µ β

          →∞

          R Adµ para µ β , temos (pela desigualdade encontrada acima) que β → m(A). Da´ı, temos,

          µ β R Adµ β R Adµ , mas por outro lado R Adµ β n ∞ n ∞ n → µ ⇒ →

          → m(A), logo m(A) = R Adµ e portanto µ ´e A-maximizante.

          ∞ ∞

          Agora, como µ A ´e uma medida de Gibbs, temos que a constante C A ´e proporcional a . Substituindo βA no lugar de A, e fazendo β βA k A k → ∞ temos que C → +∞.

          ∞

          No entanto,

          1 Proposi¸ c˜ ao 1.6.11. Seja A α-H¨oder. Ent˜ao existe C log H βA ´e α-H¨oder

          ∈ R tal que β com a norma limitada por C . k A k n −1 X ∞ −i i

          1 Demonstra¸c˜ao. Defina h n = λ (χ). Temos que h n ´e uma sequˆencia limitada e n i A L A =1

          equicont´ınua. Por Ascoli-Arzel´a, temos que h n i A .

          → H E temos que existe k > 0 tal que: n n α

          −n −n

          (χ)(x) (χ)(y) , kλ A L A − λ A L A k ≤ kd(x, y) logo (h n ) ´e α-H¨older e portanto H A ´e α-H¨older. E ´e f´acil ver que se H A ´e α-H¨older, ent˜ao log H A tamb´em ser´a α-H¨older.

        1 Analogamente, provamos que log H βA ´e α-H¨oder.

          β

          

        1.7 C´ alculo de Estado de Equil´ıbrio no caso em que

        A ´ e localmente constante

          Num caso particular, suponha agora que A dependa de duas coordenadas, ou seja,

          Desta forma, daremos uma forma expl´ıcita para o estado de equil´ıbrio via operador de transferˆencia.

          Denotaremos por A(i, j) o valor de A no cilindro [ij] onde i, j ∈ 1, 2, ..., d. Nesse caso, X A

          (ax ) ( (φ)(x x x ...) = e φ(ax x ...).

          1

          2

          1 L) A a ∈{1,...,d} A (i,j)

          Seja M a matriz de todas as entradas positivas dadas por M i,j = e . Lema 1.7.1. A e M possuem o mesmo raio espectral.

          L

          

        Demonstra¸c˜ao. Suponha que φ(x x x ...) = φ(x ). Por abuso de nota¸c˜ao, a fun¸c˜ao φ ser´a

          1

          2 descrita pelo vetor (φ(1), φ(2), ...., φ(d)).

          Logo, para todo j temos: X s T ( (φ)(j) = M ij φ(i) = φM = M φ

          L) A j

          =1 .

          Portanto o raio espectral de M ,λ M , ´e menor ou igual a λ A (que ´e o autovalor maximal).

          1 n n Lembre que o raio espectral ´e dado por λ A := lim sup log A A n n k|L k|, onde k|L k| = n

          →∞ n

          sup (ψ) . Como A > 0 e linear, temos que A ´e mon´otona, da´ı A ∞ A kL k L L |||L ||| =

          kψk=1 n n n (χ) . E, χ depende de uma coordenada, portanto (χ) = M (χ) A M .

          ∞

          kL A k L A ⇒ λ ≤ λ Portanto λ A = λ M .

          Teorema 1.7.2 (Perron-Frobenius). Suponha que B = (b ij ) ´e uma matriz d × d com

          todas as entradas estritamente positivas, 1

          ≤ i, j ≤ d. Ent˜ao existem λ > 0 e vetores l = (l

          1 , ..., l d ) e r = (r i > 0 e r i > 0 ; 1 , ..., r d ) tais que:

        • ∀i, l
        • X d d X b ij r j = λr i e l i b ij = λ
        • ∀i, ∀j, j i

          =1 =1

        (isto ´e, r ´e o autovetor ´e o autovetor `a direita de B e l ´e o autovetor `a esquerda de B)

        Demonstra¸c˜ao. Primeiramente, vamos mostrar que existe pelo menos um vetor r com

          todas as entradas positivas e λ ≥ 0 tal que, X d b ij r j = λr i , j ∀i.

          =1

          Consideremos o conjunto convexo

          1 , ..., h d ), com h i X d H de vetores h = (h ≥ 0, 1 h i = 1(

          ≤ i ≤ d e ⇒ h 6= 0).

          A matriz B determina uma transforma¸c˜ao cont´ınua G : H → H, dada por G(h) =

          ′

          h com X d j =1 b h ij j

          ′ h = . X d d X i j b ij h j

        =1 =1

          Como b ij > 0 j s˜ao

          ∀i, j, h ≥ 0 e h n˜ao ´e o vetor nulo, temos que todas as entradas de h estritamente positivas. Assim, G( H) H. Pelo Teorema do Ponto Fixo de Brouwer, temos que existe pelo menos um ponto fixo para G. Seja r

          ∈ H ponto fixo de G, ou seja, G(r) = r. Como G(

        H) H, temos que r possui entradas estritamente positivas e

          X d j =1 b ij r j r i = . X d d X i j b ij r j X d d X

        =1 =1

        Fazendo λ = b ij r j , teremos um autovalor `a direita. i j

          =1 =1 t t Considere B no lugar de B, obtemos outro autovetor `a direita, digamos l, para ∗ B (que ser´a um autovetor `a esquerda para B) com autovalor igual a λ .

          Note que hr, li 6= 0, ent˜ao λ hr, li = hλr, li = t ∗ ∗ l hBr, li = hr, B i = λ hr, li ⇒ λ = λ .

          Mais ainda, pode-se provar que o autovalor λ ´e o raio espectral da matriz B e os vetores r e l s˜ao ´ unicos. A

          (i,j)

          Considerando a matriz M , com M i,j = e , pelo Teorema de Perron-Frobenius, existem autovetores `a esquerda e `a direita, l e r respectivamente, associados a λ A (raio espectral de A ).

          L e r j A (i,j) Vamos definir P A = P A (i, j), uma matriz d A (i, j) := . Note que X A X × d onde P λ r A i

          (i,j) X j j e r j M ij r j

          λ A r i P A (i, j) = = = = 1, ou seja, P A ´e uma matriz estoc´astica j λ A r i λ A r i λ A r i (soma de suas linhas ´e constante igual a 1).

          Agora, fixemos a normaliza¸c˜ao da seguinte forma: X X r j = 1 e l i r i = 1.

          Seja o vetor π = (π , ..., π d ) definido por π i = l i r i , usando o Teorema de Perron-Frobenius,

          1 concluimos que esse vetor satisfaz πP A = π, ou seja, π ´e o vetor estacion´ario para P A .

          O autovetor `a direita r pode ser visto como ν A do Teorema 1.6.4 e r j = ν A ([j]). Normalizando o autovetor `a esquerda l, este vai ser visto como a autofun¸c˜ao H A , com R H A dν A = 1.

          A medida de Markov invariante associada µ A ´e definida por µ A ([x x

          1 ...x n −1 ]) = π x P A (x , x 1 )...P A (x n −2 , x n −1 ).

          Um c´alculo exato nos d´a S n (A)(x)−n log λ A µ A ([x x ...x n ]) = H A (x )e ν A ([x n ]).

          

        1 −1 −1

          E como ν A e H A possuem entradas positivas, temos que µ A ([x x ...x n ])

          1 −1

          = H A (x )ν A ([x n ]) > 0 S n (A)(x)−n log λ A −1 e e tomando C A = max A (x )ν A ([x n ]))

          −1 n {log(H } vem

          µ A ([x x ...x n ])

          

        1 −1

        −C C A A

          e , ≤ ≤ e S n (A)(x)−n log λ A e portanto µ A ´e uma medida de Gibbs.

          Observe que, podemos escrever µ A como S n

          (A)(x)−n log λ A

          µ A ([x x 1 ...x n −1 ]) = l x e r x n . −1 Observa¸ c˜ ao 1.7.3. No caso em que A ´e uma probabilidade de Markov A

          ≡ 0, a medida µ

          1 associada a uma matriz linha estoc´astica com todas entradas iguais a . Vamos denotar d

          µ top a medida de m´axima entropia. ´ E a ´ unica probabilidade invariante com entropia igual a log d. Lema 1.7.4.

          µ A ´e o estado de equil´ıbrio para A. S n

          (A)(x)−n log λ A Demonstra¸c˜ao. Como µ A ([x x ...x n ]) = l x e r x n isso implica que

          

        1 −1 −1

          1

          1 S n (A)(x)−n log λ A

          1

          1 log µ A ([x x ...x n ]) = log l x e r x = S n (A)(x)+ log(l x r x ) A ,

          

        1 −1 n n

        −1 −1 −log λ

          n n n n tomando o limite, com n → ∞, em ambos os lados temos: µ = Adµ A A A Z

          −h − log λ e portanto Z A + h µ Adµ A = log λ A .

          Cap´ıtulo 2 Ground State

          Como vimos anteriormente, dizemos que uma medida µ ´e A-maximizante se Z Z Adµ = max Adν. ν σ

          ∈M

          A existˆencia de probabilidades maximizantes para fun¸c˜oes continua A : Ω → R, decorre da compacidade de σ (e da continuidade da aplica¸c˜ao ν R Adν).

          M 7−→ Assumindo que o potencial A ´e H¨older cont´ınuo, temos que todo ponto de acu- mula¸c˜ao para µ β ´e uma medida A-maximizante, quando β

          → ∞. Relacionando estado de equil´ıbrio com medidas maximizantes, temos a seguinte defini¸c˜ao: Defini¸ c˜ ao 2.0.5. Seja A um potencial H¨older cont´ınuo. Uma probabilidade σ-invariante

          ´e dita um ground state (para A), se ´e um ponto de acumula¸c˜ao para µ β , com β → ∞.

          Claramente, um ground state ´e uma medida A-maximizante mas, a priori, uma medida maximizante n˜ao ´e necessariamente um ground state. Uma pergunta natural ´e: temos convergˆencia de µ , com β β

          → ∞? Se o limite para µ β existe, com β µ β ´e a sele¸c˜ao quando a

          → ∞, ent˜ao µ = lim β

          →∞

          temperatura vai para zero. Num exemplo anterior,

          ∞ ∞

          A(x) = ), d(x, 2 ) ∞ ∞ − min {d(x, 1 } , tinhamos que δ e δ s˜ao duas medidas σ-invariantes e A-maximizantes assim como

          1

          2

          sua combina¸c˜ao convexa e isso nos d´a uma ideia de como ´e dif´ıcil o problema da sele¸c˜ao, pois h´a muitas possibilidades.

          No caso em que exista µ, medida σ-invariante, tal que µ = lim µ β ´e natural se β →∞ perguntar a velocidade de convergˆencia de µ β . Mais precisamente, se C ´e um cilindro tal que C

          ∩ A = ∅ (esse conjunto A ser´a apresentado no decorrer deste cap´ıtulo), ent˜ao β lim µ β (C) = 0. Assim ´e natural considerar

          →∞

          1 lim log (µ β (C)) .

          1 Essas perguntas est˜ao relacionadas com o comportamento de log H β (como j´a vimos β anteriormente).

        2.1 Sub-a¸ c˜ ao Calibrada

          Considere A : Ω → R Lipschitz e β > 0. O operador de transferˆencia fornece que para todo x: X d

          

        P(β) βA (ix)

        β β β β (H )(x) = e H (x) = e H (ix).

          L i =1 (Estamos substituindo β por βA por simplicidade).

          Vimos que, se β → ∞ existe o controle da constante de Lipschitz (ou H¨older).

          1

          1 Mais precisamente, temos o controle de log H β e al´em disso, log H β forma uma fam´ılia β β de fun¸c˜oes equicont´ınuas. Vamos considerar um ponto de acumula¸c˜ao para essa sequˆencia,

          1

          1

          digamos V . Logo existe β n n log H β . Como log H β ´e

          →∞ n

          → ∞ tal que V = lim n →∞ β β n Lipschitz, temos que V tamb´em ser´a uma fun¸c˜ao Lipschitz.

          Novamente por simplicidade, vamos manter a nota¸c˜ao β → ∞, mesmo que, na verdade, estamos considerando subsequˆencia. Ent˜ao, X d !

          1

          1 βA

          P(β) (ix)

          = log e H β log e H β (ix) β β i

          =1

          1

          1 βA βA P(β) (1x) (dx)

        • log H β = log e H β (1x) + ... + e H β (dx) = ⇒  

          β β β βA (1x) βA (dx)   1 e H β (1x) e H β (dx) βA   (jx)   log max e H β (jx) j βA (jx) βA (jx) + ... + 1 + ... +

          β e H (dx) max e H β (jx) max e H β (jx) βA j j (ix) β fazendo β → ∞ cada termo → 0 da´ı segue que, βA (jx) max e H β (jx) j m(A) + V (x) = max i {A(ix) + V (ix)} . Vamos agora, provar um resultado num caso particular. Defini¸ c˜ ao 2.1.1.

          Uma fun¸c˜ao cont´ınua u : Ω

          → R ´e chamada sub-a¸c˜ao calibrada para A : Ω

          → R, se para qualquer x ∈ Ω, tivermos u(x) = max [A(y) + u(y) σ (y)=x − m(A)].

          Teorema 2.1.2. Suponha que A ´e um potencial que depende de duas coordenadas. Su-

          ponhamos tamb´em que β n ´e tal que, para cada j

          1 β n A lim log l (j) = V (j),

          β n A onde l (j) ´e a entrada j do autovetor `a esquerda do Teorema de Perron-Frobenius para β n A (i,j) matriz M ij = e . Ent˜ao, V ´e uma sub-a¸c˜ao calibrada.

          Demonstra¸c˜ao. Para obter este resultado, consideremos a equa¸c˜ao de autovetores para

          cada β e para cada 1 ≤ j ≤ d, temos: d βA βA X

        (i,j)

        l e i βA = 1. i λ βA l j

          =1 j in l e βA βA βA (in,j)

          Para cada j e β n , existe um i n = i , tal que atinge o poss´ıvel valor n λ l βA j m´aximo entre os i ∈ {1, 2, ..., d}. j

          Para j fixado, existe i j ´e atingido um n´ umero ∈ {1, 2, ..., d} tal que o valor i n infinito de vezes. log λ βA

          P(β) Recordando que lim = lim = m(A), segue que β →∞ β →∞ X l e d β A ,j β β β n A n (i j ) β A n (i,j) ! ! i β n A 1 l e i 1 j 0 = log log d β n A β n A ≤ ≤

          β β n n i λ β A l λ β A l n j n j

          =1

          1 β n A β A ,j β n A n (i j log d + log l + log e β A . i n j j − log λ − log l β n

          Agora, tomando o limite, β n j , j)+V (i j ) j , j)+V (i j ) → ∞, da equa¸c˜ao acima (para cada j fixado), temos: ≤ A(i −V (j)−m(A) ⇒ V (j)+m(A) ≤ A(i ≤ max {A(i, j) + V (i)} . i ∈{1,...,d} E no caso em que dado um j existam i e ε > 0 tais que

          V (j) + m(A) + ε < A(i j , j) + V (i j ), ter´ıamos que β A n β A n (i,j) l e i 1 < β n A λ l β n A j para n suficientemente grande. Mas isso ´e uma contradi¸c˜ao.

          Logo, V (j) = max i {A(i, j) + V (i) − m(A)}, e assim concluimos que V ´e uma

          ∈{1,...,d} sub-a¸c˜ao calibrada.

          No caso em que A possua uma ´ unica probabilidade maximizante, ent˜ao existe o limite 1 βA β lim log l = V.

          →∞ βA β

          1 Consequentemente, (tomando l = H β ) um ponto de acumula¸c˜ao para log H β β

          ´e uma sub-¸c˜ao calibrada. Agora, para cada i e cada x temos m(A) + V (x) = max {A(ix) + V (ix)} ≥ V (ix) + A(ix)

          ⇒ A(ix) ≤ m(A) + V (x) − V (ix), logo existe uma fun¸c˜ao n˜ao negativa g tal que A(y) = m(A) + V ◦ σ(y) − V (y) + g(y). Note que, pela Proposi¸c˜ao 1.6.11 temos que g ´e Lipschitz.

          Suponha que u seja uma sub-a¸c˜ao calibrada. Ent˜ao ´e f´acil ver que u + c, onde c ´e uma constante, tamb´em ´e uma sub-a¸c˜ao calibrada. Dizemos que a sub-a¸c˜ao calibrada ´e ´ unica, se ´e ´ unica a menos de uma constante aditiva. Pode-se mostrar que, no caso de haver mais do que uma probabilidade maximizante, a sub-a¸c˜ao calibrada n˜ao ´e ´ unica.

          Uma sub-a¸c˜ao calibrada u satisfaz u(σ(x)) − u(x) − A(x) + m(A) ≥ 0 .

          Como j´a vimos, se ν ´e uma medida σ-invariante, temos que para uma fun¸c˜ao cont´ınua u : Ω → R Z

          [u(σ(x)) − u(x)]dν = 0. Suponha µ uma medida A-maximizante e u uma sub-a¸c˜ao calibrada para A. Ent˜ao para todo x no suporte de µ, temos: u(σ(x))

          − u(x) − A(x) + m(A) = 0. De fato, g(x) = u(σ(x)) R g(x)dµ(x) = 0.

          − u(x) − A(x) + m(A) ≥ 0, e a integral Desta forma, se sabemos o valor de m(A), ent˜ao a sub-a¸c˜ao calibrada u para A ajuda a identificar o suporte das probabilidades maximizantes. A igualdade a zero na equa¸c˜ao acima pode ser verdade fora do uni˜ao dos suportes das probabilidades maximi- zando µ. Sabe-se que genericamente na topologia H¨older em A a igualdade ´e verdadeira apenas no suporte da probabilidade maximizante.

          O estudo das propriedades erg´odicas para probabilidades maximizantes ´e o prop´osito da Otimiza¸c˜ao Erg´odica. Voltando as quest˜oes do in´ıcio do cap´ıtulo, lembrando que

          1 V = lim log H β n β n →∞ β n e da´ı V ´e a sele¸c˜ao quando a temperatura tende a zero.

          No caso geral em que o potencial A ´e H¨older, temos que uma sub-a¸c˜ao calibrada para A que n˜ao ´e sele¸c˜ao. As que s˜ao sele¸c˜ao, s˜ao especiais dentre as sub-a¸c˜oes calibradas. Exemplo 2.1.3. Vamos estudar a convergˆencia e a sele¸c˜ao da temperatura zero para N

          Suponha que A ´e dependa de duas coordenadas. Suponha que A(1, 1) ´e estritamente maior que qualquer outro A(i, j). Sabemos

        que A ´e localmente constante em e portanto A ´e cont´ınua, da´ı temos a garantia de uma

        medida maximizante e nesse caso, como A(1, 1) > A(i, j), o suporte desta medida est´a

        contida em δ . Como A depende de duas coordenadas temos a garantia da sele¸c˜ao da

          1 sub-a¸c˜ao calibrada. Um resultado similar acontece se A(2, 2) > A(i, j).

          Suponha agora que A(1, 1) = 0 = A(2, 2) e A(1, 2), A(2, 1) < 0. β β β Com a nota¸c˜ao anterior, H = l com i = 1, 2. O c´alculo do autovetor `a direita i i t

          r de βA ´e igual ao autovetor `a esquerda da matriz βA , da´ı temos o sistema: i β β βA

          (2,1)

          (λ β A = e H − 1)H β β

          1 βA

          2 (1,2)

          (λ A = e H . β − 1)H βA (i,j) β (A(1,2)+A(2,1))

          2

          1 O tra¸co da matriz com entradas e ´e 2 e o seu determinante ´e 1 .

          −e

          Logo, temos o autovalor m´aximo

          √ β

          (A(1,2)+A(2,1)) β β λ βA = 1 + e . β 2 (A(1,2)−A(2,1)) Podemos tomar H = 1 e da´ı temos que H = e . Nesse caso,

          2

          1 β

          1 β β

          1

          1 2 (A(1,2)−A(2,1)) V (2) = lim log H = 0, mais ainda, V (1) = lim log H = lim log e . β

          2 β β

          1

          β β β

        1 Isso implica que V (1) = (A(2, 1)

          − A(1, 2)) . E nesse caso, temos a sele¸c˜ao da sub-a¸c˜ao

          2 β calibrada assumindo a normaliza¸c˜ao H = 1, para todo β.

          2 β β β β Note que com a observa¸c˜ao feita acima, concluimos que l = r e l = r . Vamos β β β β β β

          1

          2

          2

          1 assumir que r + r = 1 e l r + l r = 1.

          1

          2

          1

          1 β β β β

          2

          2

        1 Portanto, µ β ([1]) = l r = = l r = µ β ([1]). Nesse caso temos ent˜ao que a

          1

          1

          2

          

        2

          2 probabilidade

          1

          1 δ δ ∞ ∞ +

          1

          2

          2

          2 ´e o limite `a temperatura zero.

        N

        Teorema 2.1.4. Existe subshift X , de modo que, para o potencial Lipschitz

          ⊂ {1, 2} A(y) =

          −d(y, X),

          a sequˆencia µ n˜ao converge (na topologia-fraca*) com β βA → ∞.

          Esse ´e um exemplo conhecido que n˜ao h´a convergˆencia para os estados de equili- brio. A demonstra¸c˜ao pode ser encontrada em [16]. Para uma dada medida maximizante, o que podemos dizer sobre o seu suporte?

          ´ E f´acil ver que, se existe uma ´ unica medida maximizante, temos a convergˆencia pois h´a

          Vamos ent˜ao supor que existam pelo menos duas medidas maximizante diferentes µ max, e µ max, . Por linearidade, qualquer combina¸c˜ao convexa de ambas medidas

          1

          2

          µ max,t = tµ max,

          1 + (1 max, 2 ,

          − t)µ t ∈ [0, 1], tamb´em ´e uma medida A-maximizante. A quest˜ao da sele¸c˜ao ´e, ent˜ao, determi- nar por que a fam´ılia (ou, at´e mesmo uma subfam´ılia) escolhida converge para um limite espec´ıfico, se h´a tantas op¸c˜oes poss´ıveis.

        2.2 Grandes Desvios

          No estudo de Grandes Desvios quando a temperatura vai para zero estamos in- teressados em limites da seguinte forma: 1 β lim log µ (C), β

          →∞

          β onde C ´e um cilindro fixado em Ω. Em princ´ıpio, esse limite n˜ao existe.

          Defini¸ c˜ ao 2.2.1. Dizemos que existe uma Lei de Grandes Desvios para uma fam´ılia de

          um parˆametro µ β , β > 0, se existe uma fun¸c˜ao n˜ao-negativa I, onde I : Σ

          → R∪{∞} que

          ´e semi-cont´ınua inferiormente e satisfaz a propriedade que para qualquer cilindro C

          ⊆ Σ

          1 lim log µ β (C) = I(x). β x − inf

          →∞ ∈C

          β Caso tal fun¸c˜ao I exista, ´e importante identificar tal fun¸c˜ao.

          Teorema 2.2.2.

          Suponha que A admita uma ´ unica medida maximizante. Seja V uma sub-a¸c˜ao calibrada. Ent˜ao, para qualquer cilindro [i i 1 ...i n ] temos

          1 lim log µ β ([i i ...i n ]) = inf I(x)

          1 β − →∞ x ∈[i i ...i n ] 1

          β

          onde Xn I(x) = [V (x). n ◦ σ − V − (A − m(A))]σ =1

          A demonstra¸c˜ao desse teorema pode ser encontrada em [4] utilizando involu¸c˜ao do n´ ucleo. E para uma prova sem utilizar esta ferramenta, pode ser encontrada em [14]. No caso em que o potencial A depende de duas coordenadas e possui uma ´ unica probabilidade maximizante, pelo teorema acima citado, temos que X

          I(x) = I(x x x ...) = [V (x j j ) j , x j )

          1 2 +1 +1 j − V (x − (A(x − m(A))].

          =0

          Exemplo 2.2.3. Assuma que o potencial A depende somente de duas coordenadas.

          J´a vimos que β βS n (A)(x)−n log λ β βA

          µ β ([x x ...x n ]) = l e r , β β β β β β 1 −1 x x n −1

          onde l = (l , ..., l ) e r = (r , ..., r ) s˜ao respectivamente o autovetor `a esquerda e `a d d

          1 βA (i,j)

          1 direita da matriz de entradas e e λ βA ´e o raio espectral dessa matriz.

          Pelo estudo de Grades Desvios, naturalmente podemos tomar:

          1 lim log µ β ([x x ...x n ]) = [A(i , i ) + A(i , i ) + ... + A(i n , i n )] β →∞ 1 −1

          

        1

          1 2 −2 −1

          β

        • + 1 β β

          1 β β lim log l log r i − lim i n −1 − nm(A).

          →∞ →∞

          β β

          O principal problema na discuss˜ao ´e a existˆencia dos limites quando β

          → ∞. No caso em

          que existam os limites

          1 β β lim log l = V

          →∞

          β

          e

          1 β

          ∗ β lim log r = V , →∞

          β

          temos a seguinte express˜ao expl´ıcita:

          1

          ∗

          lim log µ β ([x x ...x n ]) = [A(i , i )+A(i , i )+...+A(i n , i n )]+V (i ) (i n ) β →∞ 1 −1

          1

          1 2 −2 −1 −V −1 −nm(A).

          β β β Existe uma necessidade de compreender melhor a rela¸c˜ao entre l e r .

          ´

          2.3 Orbitas Maximizantes

          Um importante questionamento ´e sobre o tipo de trajet´orias das probabilidades maximizantes. Do Teorema Erg´odico de Birkoff n´os sabemos que no caso em que µ ´e uma medida maximizante e erg´odica, para µ-qtp n X −1 Z

          1 j lim A (x) = Adµ = m(A). n ◦ σ

          →∞

          n j

          =0 Nesse caso dizemos que essa ´orbita a partir de x ´e A-maximizante.

          Temos os segintes questionamentos:

          1. Como podemos detectar uma certa ´orbita A-maximizante?

          2. Como podemos relacionar medidas maximizantes como ´orbitas maximizantes?

          Veremos que esse ponto de vista vai produzir m´etodos que ajudar˜ao a resolver a desigualdade cohomol´ogica: A ≥ m(A) + V ◦ σ − V. Defini¸ c˜ ao 2.3.1. Um cobordo ´e uma fun¸c˜ao da forma ψ ◦ σ − ψ.

          Suponha que µ ´e σ-invariante. Ent˜ao, R ψ ◦σdµ = R ψdµ logo R (ψ◦σ−ψ)dµ = 0. Portanto se µ ´e σ-invariante, ent˜ao a integral do cobordo sobre µ ´e zero.

          Teorema 2.3.2. Genericamente na topologia C o potencial A tem uma ´ unica medida maximizante. Esta medida n˜ao ´e suportada numa ´orbita peri´odica.

          Demonstra¸c˜ao. O conjunto C (Ω) ´e separ´avel.

          Seja (ψ n ) n uma sequˆencia densa e enumer´avel em C (Ω). Temos que duas

          ∈N

          medidas distintas, digamos µ e ν, deve dar valores diferentes para as integrais de alguns ψ n .

          Isso significa, Z Z max A; max tais que ψ n dν ψ n dµ = A; #M (A)>1 ∃n e existem µ, ν ∈ M (A) 6= [ Z Z

          = A; max tais que ψ n dν ψ n dµ

          (A) [ [ n ∃ν, µ ∈ M 6= Z Z

          1 = A; max tais que ψ n dν ψ n dµ .

          (A)

          ∃ν, µ ∈ M − ≥ n m [ [ Z Z m

          1 Defina F n,m = A; max tais que ψ n dν ψ n dµ . Quere- ∃ν, µ ∈ M (A) − ≥ n m m mos provar que os F n,m s˜ao fechados com interior vazio. Para isso vamos usar o seguinte lema: Lema 2.3.3. Sejam (A ) sequˆencia de potenciais cont´ınuos convergindo para A. Seja µ k k

        uma medida maximizante para A k e µ um ponto de acumula¸c˜ao (na topologia fraca*).

          Ent˜ao lim m(A k ) = m(A) e µ ´e uma medida A-maximizante. k →∞

          Com efeito, dado ε > 0 e k suficientemente grande, A k k ) k ) − ε ≤ A ≤ A + ε ⇒ m(A − ε) ≤ m(A ≤ m(A + ε) ⇒ m(A) − ε ≤ m(A ≤ m(A) + ε. Logo, Z lim m(A k ) = m(A) A k dµ k = m(A) k →∞ k →∞ Z Z ⇒ lim A k n dµ k n = m(A) Adµ = m(A).

          ⇒ lim ⇒ n

          →∞ Para provar que F n,m ´e fechado em C (Ω) considere A k → A (na topologia forte) e duas sequˆencias (µ k ) e (ν k ) de medidas A k -maximizante tais que Z Z

          1 ψ n dν k ψ n dµ k . − ≥ m

          Escolhemos uma subsequˆencia de µ k e ν k tais que ambas converge na topolo- gia fraca*. Pelo Lema anterior, os dois limites, digamos µ e ν respectivamente, s˜ao A-maximizantes e satisfazem Z Z

          1 ψ n dν ψ n dµ ,

          − ≥ m portanto F n,m s˜ao fechados.

          Vamos provar agora que F n,m tem interior vazio. Para isso, definamos a fun¸c˜ao ξ : ε n ).

          7→ m(A + εψ Seja t

          ∈ (0, 1), logo ξ (tx + (1 n ) n ) + m(A + (1 n ) =

          − t)y) = m(A + (tx + (1 − t)y)ψ ≤ m(A + (tx)ψ − t)yψ ξ(tx) + ξ ((1

          − t)y) ≤ tξ(x) + (1 − t)ξ(y), logo ξ ´e uma fun¸c˜ao convexa. Sabemos que uma fun¸c˜ao convexa ´e diferenci´avel em todos os pontos (exceto num conjunto enumer´avel) o que prova que existem infinitos ε acumulados no 0, tais que A + εψ n / n,m . Concluindo assim, que os conjutos F n,m tˆem interior vazio.

          ∈ F Falta provar que genericamente a ´ unica medida maximizante n˜ao ´e suportada em uma ´orbita peri´odica. Vamos considerar uma ´orbita peri´odica a medida invariante

          O

          O e µ associada. Se A ´e tal que µ n˜ao ´e A-maximizante, ent˜ao para todo A ε (ε-pr´oximo de

          O

          A), µ tamb´em n˜ao ´e A ε -maximizante (pelo Lema anterior). Isso prova que o conjunto

          O de A tal que µ O ´e A-maximizante ´e um conjunto fechado em C (Ω).

          Para provar que tem interior vazio, vamos considerar A tal que µ ´e A-maximizante

          O

          e alguma medida µ perto de µ (na topologia fraca*). Essa medida pode ser escolhida de

          O

          tal forma que satisfa¸ca Z Adµ

          ≥ m(A) − ε, para ε > 0 suficientemente pequeno. Temos que existe um conjunto K ε , tal que µ O (K ε ) < ε e µ(K ε ) > 1

          − ε, e ent˜ao, podemos encontrar uma fun¸c˜ao cont´ınua 0 ε Z ≤ φ ≤ 1, nula na ´orbita peri´odica O e tal que φ ε dµ > 1 − 2ε.

          Ent˜ao para ε suficientemente pequeno, Z Z

          2 (A + 2εφ ε )dµ < m(A) (A + 2εφ ε )dµ. O

          − ε + 2ε − 4ε ≤ Isso prova que µ n˜ao ´e (A + 2εφ ε )-maximizante, assim o conjunto dos potenciais que

          O tem µ como medida maximizante, tem interior vazio. O

          Como existem muitas ´orbitas peri´odicas enumer´aveis, isso prova que generica- mente uma ´orbita peri´odica n˜ao ´e maximizante. Nessa mesma linha temos os seguintes resultados:

          Teorema 2.3.4 (Contreras,Gonzalo (2014) ). Genericamente na topologia Lipschitz, o

          

        potencial A possui uma ´ unica medida maximizante que est´a suportada em uma ´orbita

        peri´odica.

          A prova desse teorema pode ser encontrada em [9]. Mais ainda:

          Teorema 2.3.5 (ver [17]). Seja µ uma medida maximizante para um potencial Lipschitz

          A. Suponha que µ n˜ao est´a suportada em uma ´orbita peri´odica. Ent˜ao, para cada ε > 0 existe A (ε-pr´oximo de A) com a topologia Lipschitz tal que µ n˜ao ´e A -maximizante. ε ε Teorema 2.3.6 (ver [10]). Seja A Lipschitz com uma ´ unica medida, µ, A-maximizante.

          

        Suponha que µ tem suporte peri´odico. Ent˜ao, ε (ε-pr´oximo de A), com µ ´e a

          ∃ε > 0 e A ´ unica medida A ε -maximizante. Esses dois ´ ultimos Teoremas citados mostram que a ´ unica possibilidade para uma medida maximizante ser maximizante para uma pequena pertuba¸c˜ao na norma Lipschitz,

          ´e ser suportada por uma ´orbita peri´odica.

          Por outro lado, ´e extremamente simples de obter um exemplo que n˜ao tenha unicidade de medida maximizantes. Seja K um conjunto compacto σ-invariante que con- tenha o suporte de pelo menos duas medidas invariante (em outras palavras K n˜ao ´e exclusivamente erg´odico). Defina ent˜ao

          A(x) := −d(x, K). Temos que A ´e Lipschitz e uma medida suportada no conjunto K ´e A-maximizante.

        2.4 Crit´ erio da Entropia

          Consideremos A : Ω → R um potencial Lipschitz. Note que nesse caso espec´ıfico os resultados tamb´em valem para potenciais H¨older. Definindo max como o conjunto

          (A)

          M das medidas A-maximizantes. Defini¸ c˜ ao 2.4.1. O conjunto Mather de A ´e a uni˜ao do suporte de todas medidas A- Teorema 2.4.2. Um ground state tem entropia maximal dentre o conjunto de medidas

          maximizantes, ou seja, um ponto de acumula¸c˜ao µ para µ β , quando β ∞

          → ∞, satisfaz h . h µ = max ν ; ν max(A) ∞ ∈ M

          

        Demonstra¸c˜ao. Primeiro, note que ´e fechado e compacto em σ . A entropia ´e

        max(A)

          M M semi-cont´ınua superiormente, ent˜ao existem medidas em com entropia maximal.

          max(A)

          M Seja µ essa medida, ent˜ao h max = h µ .

          ∞ ∞

          Ent˜ao, n´os temos: Z h + βm(A) = h + µ βAdµ

          max ∞ ∞ ≤ P(β),

          como β 7→ P(β) possui uma ass´ıntota quando β → ∞, ou seja, existe uma fun¸c˜ao h tal que

          P(β) = h + βm(A) + R(β), com lim β R(β) = 0, segue que,

          →∞

          h max + βm(A) ≤ h + βm(A) + R(β) h

          max ≤ h.

          Logo µ ∞ um ponto de acumula¸c˜ao para µ β , E como j´a vimos na Proposi¸c˜ao 1.6.10, µ ´e A-maximizante. Por outro lado,

          ∞ Z

          h + βm(A) + µ + β Adµ β µ + βm(A) β β R(β) = P(β) = h ≤ h h µ h µ .

          

        max ∞ β max

          ≥ h ≥ lim sup ≥ h ≥ h β

          

        →∞

        Portanto h µ = h . ∞ max

          Na Mecˆanica Estat´ıstica h max ´e chamado de entropia residual: ´ E a entropia do sistema da temperatura zero, quando se atinge o ground state. Consequentemente, se o conjunto Mather admite uma ´ unica medida de m´axima entropia, ent˜ao µ β converge para esta medida quando β

          → ∞. Vimos que β

          7→ P(β) admite uma ass´ıntota quando β → ∞. Na realidade a ass´ıntota ´e dada por h + βm(A).

          max E o teorema acima citado justifica o estudo do conjunto de ´orbitas maximizantes.

        2.5 O Conjunto de Aubry Defini¸ c˜ ao 2.5.1.

          Tomemos A Lipschitz. O potencial de Ma˜ ne ´e definido por: " ( n S A (x, y) := )# X −1 i n lim sup [A(σ (z)) (z) = y, d(z, x) < ε . ε →0 i − m(A)]; n ∈ N, σ =0

          De certo modo, o potencial de Ma˜ ne S A (x, y) descreve o “caminho ideal”indo de x at´e y, segundo a dinˆamica e maximizando o “custo”dado por A. Para ε fixado, o supremo n˜ao pode ser atingido por um peda¸co finito da ´orbita.

          Para um ponto x fixado, a fun¸c˜ao y A (x, y) ´e H¨older. Com efeito, com x 7→ S fixado temos A (x, y ) A (x, y ) [A(σ (z )) (z ))] X n −1 i i

          1

          2

          1

          2

          |S − S | = − A(σ i n n =0 X −1 −1 i i i i α X [A(σ (z

          1 )) (z 2 ))] kd(σ (z 1 ), σ (z 2 ))

          ≤ − A(σ ≤ i =0 i =0 .

          Teorema 2.5.2. Existe um conjunto invariante

          A, chamado conjunto de Aubry, que

          satisfaz as propriedades: 1.

          A cont´em o conjunto Mather, ou equivalentemente, uma medida A-maximizante tem

          seu suporte em

          A;

        2. Restrito a A, A − m(A) ´e um cobordo Lipschitz.

          Demonstra¸c˜ao. Definamos A (x, x) = 0 A := {x ∈ Ω; S } .

          Vamos verificar que A satisfaz as condi¸c˜oes acima citadas.

          Consideremos as seguintes equa¸c˜oes. Vamos escolher uma sub-a¸c˜ao calibrada qualquer V . Isso significa que V (σ(x))

          ≥ A(x) − m(A) + V (x), logo existe uma fun¸c˜ao Lipschitz n˜ao-positiva g tal que A(x) = m(A) + V

          ◦ σ(x) − V (x) + g(x). (I) Seja z

          ∈ Ω. Por (I) temos que n

          n

          Agora, tome y e considere z tal que σ (z) = y. Isso nos d´a, n S n (A n (g)(z) + V (z) − m(A)) (z) = S ◦ σ − V (z) ≤ g(z) + V (y) − V (z) ≤ V (y) − V (z). Portanto, para todo x, y, a continuidade de V mostra que

          S A (x, y) ≤ g(x) + V (y) − V (x) ≤ V (y) − V (x). Em particular

          S A (x, x) ≤ 0. (III) O conjunto de Aubry cont´em o conjunto Mather.

          Vamos mostrar que, se µ ´e A-maximizante e erg´odica, ent˜ao supp(µ) ⊂ A e em particular

          A 6= φ. Considere x um ponto gen´erico para µ (e tamb´em no suporte de µ). Como V ´e

          Lipschitz, ent˜ao por (II) usando z := x temos Z

          1 lim S n (A Adµ n →∞ − m(A)) (x) = − m(A) = m(A) − m(A) = 0, n logo a fun¸c˜ao g satisfaz R gdµ = 0. Uma vez que g ´e cont´ınua e µ erg´odica, temos que g supp

          | (µ) ≡ 0 (qtp). Isso implica que A(x) = m(A) + V ◦ σ(x) − V (x), ∀x ∈ supp(µ). Pelo Teorema de Recorrˆencia de Poincar´e, x retorna infinitas vezes t˜ao perto

          1 N

          quanto se queira de si pr´oprio. Logo dado um ε = , tem infinitos n i tais que x =

          2

          x x

          1 ...x n i −1 x x 1 ...x N −1 ..., ou seja, a palavra x ...x N −1 aparece v´arias vezes em x = x x 1 ....

          Isso nos d´a que, para tais n i a palavra z = x x ...x n x, coincidindo com x h´a pelo

          1 i −1

          1

          menos n i + N d´ıgitos. Como A e g s˜ao Lipschitz, n (A)(z) n (A)(x) N e i i |S − S | ≤ C

          2 n (g)(z) n (g)(x) N . i i

          1

          |S − S | ≤ C

          2 k

          Como para µ-qtp, x (x) = 0, n i ∈ supp(µ), g ◦ σ ∀k e V ´e Lipschitz, n´os te-

          1

          mos, com σ (z) = x e d(z, x) , n i (A n i (V ≤ ni+N |S − m(A))(z)| = |S ◦ σ(z) − V (z))| = n i −1 X i i

          2 −1 N

          1 V (z) (z) = . Segue que S A (x, x)

          ◦ σ − V ◦ σ |V (x) − V (z)| ≤ C ≥ 0 e de (III) i =0

          2

          concluimos que S A (x, x) = 0, e assim x ∈ A.

          Vamos provar agora que (A ´e um cobordo. Seja x

          A

          − m(A))| ∈ A, temos que A (x, x) ≤ S ≤ g(x) ≤ 0 isso implica que g

          ≡ 0 em A. Portando A − m(A) = V ◦ σ − V , logo A − m(A) ´e um cobordo em A.

          n

          Tomemos x > 0 e suponha que z ´e tal que σ (z) = x e d(x, z) < ∈ A. Fixado ε X n −1 n i i −1 n −1 X

          ε . Ent˜ao S n (A)(z) = A (z) = A (z) = A(σ(z)) + ... + A(σ (z)) + i i ◦ σ ◦ σ

          =0 =1

          A(x) + A(z) n (A)(σ(z)) + A(z) − A(x) = S − A(x). Note que, d(σ(z), σ(x)) = 2d(z, x) < 2ε e

          |A(z) − A(x)| ≤ cd(x, z) < 2cε.

          Tomando o supremo sobre todos os poss´ıveis n, para ε fixado, e em seguida fazemos ε → 0, vem S A (x, x) = S A (σ(x), σ(x)).

          Portanto A ´e σ-invariante. Proposi¸ c˜ ao 2.5.3. O conjunto de Aubry ´e compacto.

          Demonstra¸c˜ao. Como vimos, n

          S A (x, x) = lim [sup n (g)(z); n (z) = x, d(z, x) < ε ε {S ∈ N, σ }] .

          →0 A fun¸c˜ao g ´e n˜ao-positiva, logo S n (g) tamb´em ´e n˜ao-positiva. n Lema 2.5.4.

          S A (x, x) = 0 se, e somente se, para todo n, existe z tal que σ (z) = x e S (g)(z) = 0. n Agora, o fato de g ser Lipschitz mostra que essa condi¸c˜ao ´e fechada. Se x n˜ao n satisfaz essa condi¸c˜ao, ent˜ao existe n tal que para todo z, com σ (z) = x, temos S n (g)(z) <

          ′

          0 e isso ´e obviamente verdade para todo x perto de x. Portanto, o conjunto dos x tal que S A (x, x) = 0 ´e fechado.

          Vamos provar o Lema citado. Se a volta n˜ao ´e satisfeita, ent˜ao escolhemos n tal que para toda pr´e-imagem por n z de x, S n (g)(z) < 0. O conjunto da pr´e-imagem por n ´e finito, logo existe ε > 0 tal que para todo z n

          σ (z) = x (g)(z) < n n ⇒ S −ε. Agora, para n > n e z tal que σ (z) = x, n n

          −n −n

          S n (g)(z) = S n −n (g)(σ (z)) n (g)(σ (z)) < ≤ S −ε, assim S A (x, x)

          ≤ −ε < 0. Por outro lado, suponha que S A (x, x) = 0. Escolhendo n e tomando a sequˆencia n-pr´e-imagem z n de x convergindo para x tal que S n (g)(z n ) n → 0, com n → ∞. Definamos

          −n

          uma nova sequˆencia ξ n := σ (z n ). ´ E f´acil ver que ξ n ´e a n pr´e-imagem de x e da´ı, n existe z tal que σ (z) = x, e para infinitos n, temos ξ n = z. Portando, considerando-se apenas esses n’s temos n (g)(z) n (g)(z n ),

          ≥ S ≥ S o ´ ultimo termo vai para 0, quando n (g)(z) = 0, e isso vale para todos n → ∞. Portanto S

          

        2.5.1 Estudo do Conjunto de Aubry para Potenciais Localmente

        Constantes

          Vamos considerar um potencial A depende de duas coordenadas, vamos denotar A(i, j) para A(x), x ∈ [ij].

          Fato 2.5.5. H β ´e constante no cilindro [i].

          Demonstra¸c˜ao. Como β H β = λ β H β , podemos expressar H β por

          L n X −1

          1 L(ξ)(x) H β (x) = lim n k

          →∞

          n λ k β X βA βA =0 X (i,x ) (i,x ) onde x x ...) = e 1(ix x ...) = e . Iterando k vezes

          1

          2

          1 L(ξ)(x i i ∈{1,...d} ∈{1,...d}

          sobre o operador L, temos k β (A(i k ,i k )+...+A(i,x )) X −1 (ξ)(x x x ...) = e .

          1

          2 L i m ∈{1,...d}

        m

        ∈{1,...,k}

          Portanto, H β (x x ...) depende apenas de x . Por isso, ´e constante em cada cilindro de

          1 tamanho 1.

          

        1

        E o mesmo podemos concluir para log H β e tamb´em para qualquer ponto de β acumula¸c˜ao V , quando β

          → ∞. n Se x (z) = x e mais ainda d(x, z) < 1, ent˜ao V (x) = V (z). ∈ Ω e z ´e tal que σ

          Da´ı, S n (A n (g)(z) + S n (V n (g)(z) − m(A))(z) = S ◦ σ − V )(z) = S ≤ 0. n n

          Se y A n (A (y) (y) ∈ A, temos g| ≡ 0, ent˜ao S − m(A))(y) = V ◦ σ − V (y). Se σ e y, est˜ao no mesmo cilindro de tamanho 1, ent˜ao

          S n (A − m(A))(y) = 0. Al´em disso, se z ´e uma ´orbita peri´odica dada pela concatena¸c˜ao de y y ...y n , ent˜ao

          1 −1

          temos que S n (A n (A

          − m(A))(z) = S − m(A))(y) porque todas as transi¸c˜oes z i z i +1 s˜ao as mesmas para y (para i → z ≤ n − 1). Isso mostra que m(A) ´e atingido por ´orbitas peri´odicas.

          Defini¸ c˜ ao 2.5.6. Uma ´orbita peri´odica obtida pela concatena¸c˜ao de z ...z n diz-se sim-

          −1 ples, se todos os d´ıgitos z i s˜ao distintos.

          Por exemplo, 123123123... ´e uma ´orbita peri´odica simples de comprimento 3, mas por outro lado, 121412141214... n˜ao ´e uma ´orbita peri´odica simples. Uma ´orbita peri´odica simples de comprimento n, fornece n blocos, que s˜ao as pa- lavras que produzem os n pontos da ´orbita peri´odica. Do exemplo anterior, 123123123..., os blocos s˜ao 123, 231 e 312.

          ...y k x n x x

          T = 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

          Se os blocos s˜ao (at´e permuta¸c˜oes) abc, cde, f gh, gi e f j a matriz de transi¸c˜ao restrita a essas letras ´e

          Exemplo 2.5.8.

          ´orbita maximizante), defina T ii = 1. Definamos T ij = 0 nos outros casos. Ent˜ao, A = Σ T .

          ∀j. Se i aparece em um bloco, T ij = 1, se ij aparece em um bloco (para j 6= i). Se i for ponto fixo de um bloco (que significa que o iii... ´e uma

          Tamb´em podemos definir A a partir de sua matriz de transi¸c˜ao. Se i n˜ao aparece em qualquer bloco, temos que T ij = 0,

          Exemplo 2.5.7. ´ E f´acil ver que 123 e 345 produz uma nova ´orbita 123453123453.... (b) A ´e o fecho do conjunto de todas as ´orbitas peri´odicas obtidas por esse processo. Para mais detalher ver [3]

          1 ...y k x n ....

          ...x n y

          

        1

          1

          Ent˜ao, o conjunto de Aubry A ´e constituido da seguinte maneira:

          ...x n y

          1

          ...y k prodruz a ´orbita peri´odica x x

          1

          ...x n e x n y

          1

          (a) Dois blocos podem ser combinados, se eles tˆem um d´ıgito comum: “Em um dos la¸cos simples colas um outro c´ırcuito simples.”Os blocos x x

          4. O conjunto A ´e o subshift tipo finito constru´ıdo a partir desses blocos:

          3. Considere os blocos associados para todos essa ´orbita peri´odica simples maximizante;

          2. Escolha os de tal modo que as m´edias de Birkhoff sejam m´aximas. Esse valor m´aximo ´e m(A). Essa ´orbita peri´odica simples ´e tamb´em chamada maximizante;

          1. Liste todas as ´orbitas peri´odicas simples. Este ´e um conjuto finito;

          0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

          O conjunto A ´e um subshift de tipo finito. Ele pode, assim, ser decomposto em componentes irredut´ıveis, digamos , ..., r . Cada componente admite uma ´ unica

          1 A A

          medida de m´axima entropia, digamos µ

          1 , ..., µ r . Seja h i a entropia associada. Vamos

          assumir que a ordem foi escolhida de modo que h r .

          1

          2

          ≥ h ≥ ... ≥ h Nesse caso, a entropia topol´ogica para . Mais precisamente, tomemos j tal que

          

        1

        A ´e h

          h

          1 = h 2 = ... = h j > h j +1 j +2 ...

          ≥ h Ent˜ao, medidas erg´odicas de entropia maximal h . Um ground

          1 A admite exatamente j state ´e a combina¸c˜ao convexa dos j medidas erg´odicas.

          Nesse caso especial, se prova que h´a apenas um ground state. Teorema 2.5.9.

          (ver[6],[7]) Se A depende apenas duas coordenadas, ent˜ao µ β converge, com β

          → ∞. Exemplo 2.5.10. No exemplo anterior,

          A possui duas componentes irredut´ıveis. A pri-

          1

        meira tem entropia log 2 ≈ 0, 23. A segunda tem entropia aproximadamente 0, 398.

          3 Nesse caso o ground state ´e a ´ unica medida de m´axima entropia, que tem o suporte na segunda componente irredut´ıvel.

          Um segundo ponto de vista para o problema de sele¸c˜ao ´e; para todo β, a proba- bilidade µ β tem suporte total. Pode-se dizer que uma medida, em nosso caso µ β , pode ser representado pelo seu conjunto de pontos gen´ericos. Este conjunto de pontos ´e denso em Ω, ver [3]

          Cap´ıtulo 3 Barreira Peierl’s

        3.1 Defini¸ c˜ ao

          Anteriormente vimos que, se A depende apenas de duas coordenadas o conjunto de Aubry A ´e um subshift de tipo finito. Ele tem, portanto, bem definida componentes irredut´ıveis, cada um sendo o suporte de uma medida ´ unica de m´axima entropia. E no caso mais geral do potencial A, n˜ao h´a raz˜oes para que

          A seja um subshift tipo finito. Na verdade, pode ser qualquer subconjunto invariante como foi mostrado acima: escolhendo qualquer conjunto compacto A e tomando A := −d(., A).

          N˜ao ´e ´obvio definir os componentes irredut´ıveis de A e como determinar as me- didas de m´axima entropia.

          Defini¸ c˜ ao 3.1.1.

          A barreira Peierl’s entre x e y ´e definida como n

          h(x, y) := lim lim sup n (A (z) = y e d(x, z) < ε ε {S − m(A))(z); σ } .

          →0 n →∞

          Vimos que A = m(A) + V ◦ σ − V + g, onde V ´e uma sub-a¸c˜ao calibrada (obtida

          1 pela convergˆencia da subsequˆencia de log H β ) e g ´e uma fun¸c˜ao Lipschitz n˜ao-positiva. β

          Substituindo essa express˜ao para A na defini¸c˜ao acima chegamos n h(x, y) = lim lim sup n (g)(z) + V (y) (z) = y e d(x, z) < ε ε →0 n {S − V (z); σ }

          →∞ n

          = lim lim sup n (g)(z); σ (z) = y e d(x, z) < ε ε {S } + V (y) − V (x).

          →0 n →∞

          Isso mostra que, para calcular h(x, y), temos que encontrar uma sequˆencia de pr´e-imagens para y que converge t˜ao r´apido quanto poss´ıvel para x. Veremos mais tarde que ´e de muita importˆancia que se tenha a igualdade h(x, y) + h(y, x) = h(x, x). Teorema 3.1.2. Para todo x, a barreira Peierl’s y

          7→ h(x, y) ´e uma sub-a¸c˜ao calibrada

          Lipschitz. Mais ainda, h(x, x) = 0 se, somente se, x pertence a A. n

        Demonstra¸c˜ao. Tomemos x e y. Consideremos z tal que σ (z) = y e d(x, z) < ε. Note

          ′ ′

          que em Ω, z ´e a concatena¸c˜ao z . . . z n y. Para y pr´oximo de y (isto ´e y = y ), vamos

          −1 ′ ′

          considerar z := z . . . z n −1 y . Como g ´e Lipschitz, ´e f´acil ver que

        n (g)(z) n (g)(z ) ).

          ′ ′

          |S − S | ≤ C.d(y, y Se considerarmos a sequˆencia de z realizando o lim sup e fazendo ε

          → 0, temos

          ′ ′ h(x, y) ) + C.d(y, y ).

          ≤ h(x, y

          ′ ′

          Analogamente, mostramos que h(x, y ) ), e portanto, y ≤ h(x, y) + C.d(y, y 7→ h(x, y) ´e Lipschitz.

          Vamos mostrar agora que essa fun¸c˜ao ´e uma sub-a¸c˜ao calibrada. Consideremos n n

        • 1

          y, n e ε, tais que, σ (z) = y ( (z) = σ(y)) e d(x, z) < ε. Da´ı, ⇒ σ

          S n +1 (A n (A − m(A))(z) = S − m(A))(z) + A(y) − m(A). (3.1)

          Tomando uma sequˆencia de z realizando o lim sup para h(x, y), mas agora tomaremos o limite na subsequˆencia, e considerando ε → 0, ent˜ao temos h(x, y) + A(y)

          − m(A) ≤ h(x, σ(y)).

          ′

          Isso prova que y = σ(y), a igualdade

          7→ h(x, y) ´e uma sub-a¸c˜ao. Falta provar que fixado y

          ′ ′ ′

          ´e realizada por uma das pr´e-imagens de y . Isso decorre de tomar os z s e os n s da equa¸c˜ao (3.1) que realizam o lim sup para o lado esquerdo da igualdade. Ent˜ao, temos

          ′

          h(x, y ) ≤ h(x, y) + A(y) − m(A),

          ′ com σ(y) = y . A medida que a desigualdade inversa ´e v´alida, assim segue a igualdade.

          Ambas as defini¸c˜oes do potencial de Ma˜ ne e barreira de Peierl’s s˜ao muito se- melhantes, exceto que, no primeiro caso, consideramos o supremo e no outro caso, n´os consideramos o lim sup. Da´ı, h(x, y) A (x, y),

          ≤ S e ent˜ao, h(x, x) = 0 implica que S A (x, x) = 0 assim x pertence A. Vamos provar agora a rec´ıproca. Tome x

          ∈ A. Considere ρ > 0 suficientemente pequeno e ε , tais que, para todo ε < ε , n sup n (A (z) = x e d(x, z) < ε n {S − m(A))(z); σ } ≥ −ρ. (3.2) Assumimos, para simplificar, que x n˜ao ´e peri´odico (mas a prova pode ser facilmente estendida para qualquer caso). A desigualdade (3.2) vale para todos os ε.Vamos construir uma subsequˆencia (n k ) por indu¸c˜ao. Tomando ε qualquer e considerando n realizando o supremo at´e n −ρ: S (A ) > (z ) = x e d(x, z ) < ε. n − m(A))(z −2ρ com σ

          Agora da desigualdade (4.2) e usando o fato de x n˜ao ´e peri´odico (logo essa distˆancia ´e positiva), n ε

          1 < min (z) = y, n {d(x, z); σ ≤ n }.

          Tomando n > n e z , tais que

          1

          1 n 1 S n (A 1 − m(A))(z −2ρ com σ 1 ) > (z 1 ) = x e d(x, z 1 ) < ε 1 .

          Repetindo o mesmo processo indutivamente com n ε k < min (z) = y, n k

        • 1 {d(x, z); σ ≤ n }.

          Vem n (A k ), com σ (z k ) = y e d(x, z k ) < ε k n k −2ρ < S − m(A))(z portanto n (A (z) = x e d(x, z) < ε n −2ρ ≤ lim sup {S − m(A))(z); σ }. n

          →∞

          Isso vale para todos os 0 < ε < ε , e assim h(x, x) ≥ −2ρ. Agora, fazendo ρ → 0 temos que h(x, x)

          ≥ 0. E como h(x, x) ≤ 0 ´e sempre verdade, segue ent˜ao h(x, x) = 0.

        3.2 Componentes Irredut´ıveis

          Vamos mostrar que a barreira de Peierl’s permite definir componentes “irre- dut´ıveis”do conjunto de Aubry. Lema 3.2.1. Para todo x, y e z h(x, y) (3.3) ≥ h(x, z) + h(z, y). Lema 3.2.2. Para todo x ∈ A, h(x, σ(x)) + h(σ(x), x) = 0.

          Demonstra¸c˜ao. Do Lema anterior e do Teorema 3.1.2 temos que

          h(x, σ(x)) + h(σ(x), x) ≤ h(x, x) = 0. Como a barreira de Peierl’s ´e uma sub-a¸c˜ao calibrada segue que h(x, σ(x))

          ≥ A − m(A) + h(x, x) = A − m(A). Seja ε > 0 e consideremos y, uma pre-imagem de x, ε-pr´oximo de σ(x). Suponha que ε

          ′

          y = y y . . . y x. Ent˜ao, x = x y y . . . y x ´e uma pr´e-imagem de x

          1 n −1 1 n −1

          − pr´oximo de

          2 ′ ′

          ′

          Assumimos que esses valores s˜ao escolhidos de tal maneira que S n (A )

        • 1

          −m(A))(x converge para o lim sup, se n vai para + ∞. Agora,

          ′ ′

          S n (A ) = A(x ) n (A

        • 1 − m(A))(x − m(A) + S − m(A))(y).

          Fazendo n → +∞ e ε → 0, o termo do lado direito ´e menor que h(σ(x), x) + A(x) − m(A) e o lado esquerdo vai para h(x, x) = 0. Portanto segue que,

          ≤ h(σ(x), x) + A(x) − m(A) ≤ h(σ(x), x) + h(x, σ(x)).

          Lema 3.2.3. Sejam x, y e z em

        A. Se h(x, y) + h(y, x) = 0 e h(y, z) + h(z, y) = 0, ent˜ao h(x, z) + h(z, x) = 0.

          Demonstra¸c˜ao. Basta usar o Lema 3.2.1 para mostrar que h(x, z) + h(z, x)

          ≥ 0. E usar o fato que h(x, z) + h(z, x) ≤ h(x, x) = 0.

          O Lema acima mostra que h(x, y) + h(y, x) = 0 ´e uma rela¸c˜ao transitiva. Uma vez que ´e, obviamente, sim´etrica e reflexiva, ent˜ao ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia em A.

          Defini¸ c˜ ao 3.2.4.

          As classes de equivalˆencia para a rela¸c˜ao

          h(x, y) + h(y, x) = 0,

          s˜ao chamadas de compenestes irredut´ıveis de A.

          Note que x e σ(x) pertencem a mesma classe, e portanto isso prova que as classes s˜ao invariantes. A continuidade para barreira Peierl’s foi provado, no que diz respeito `a segunda vari´avel para uma primeira vari´avel fixada.

          Se o potencial ´e localmente constante, j´a vimos no cap´ıtulo anterior que o conjunto de Aubry, A, ´e um subshift tipo finito. Vamos verificar que a no¸c˜ao acima citada e componente irredut´ıvel coincidem.

          Temos visto que os componentes irredut´ıveis de um subshift de tipo finito s˜ao exatamente as componentes transitivas. Usaremos essa descri¸c˜ao para mostrar que os componentes irredut´ıveis do conjuntos de Aubry (no sentido de barreira da Peierl’s) s˜ao os componentes irredut´ıveis (em rela¸c˜ao ao subshifts).

          Lema 3.2.5. Suponha que A dependa apenas de duas coordenadas. Seja x e y pertencentes

          1 n a . Suponha ainda que d(z, x) , σ (z) = y, e mais ainda, que existe 1

          ≤ ≤ k < n, tal n

          4

          1 que, d(σ (z), x) . Ent˜ao,

          ≤

          4 k S n (A n (A (z)).

          −k

          − m(A))(z) ≤ S − m(A))(σ Do Lema acima, afirmamos que, para cada x e y, n

          1 h(x, y) = S A (x, y) = max S n (A (z) = y e d(z, x) . (3.5) − m(A))(z); σ ≤

          4 Demonstra¸c˜ao. Vamos considerar uma sub-a¸c˜ao calibrada V (E j´a sabemos que V depende de uma ´ unica coordenada). Lembrando que para todo λ, A(λ) = m(A) + V

          ◦ σ(λ) − V (λ) + g(λ), (3.4) com g uma fun¸c˜ao n˜ao-negativa (que tamb´em depende de duas coordenadas). Agora temos, k

          S k (A k (g)(z) + V (z) k (g)(z) = S k (g)(z) − m(A))(z) = S ◦ σ − V (z) = S ≤ 0.

          Lema 3.2.6.

          (ver [3]) Para y ∈ Ω fixado. A aplica¸c˜ao x 7→ h(x, y) ´e cont´ınua.

          Esse Lema nos mostra que todos os componentes irredut´ıveis de Aubry, no sentido da defini¸c˜ao de (3.2) ´e fechado.Tamb´em ´e invariante. Vamos considerar alguns componentes e pegar dois conjuntos abertos U e V (para os componente), vamos supor ainda que a igualdade (3.4) vale. Consideremos x

          ∈ U ∩ A e y ∈ V ∩ A. Por defini¸c˜ao, h(x, y) + h(y, x) = 0.

          Pela igualdade (3.5), h(x, y) ´e atingido por S n (A − m(A))(z) e h(y, x) ´e realizado por

          ′ ′

          S m (A ). Mais ainda, tamb´em podemos supor que z pertence a U e z pertence − m(A))(z a V .

          Na verdade, se n˜ao for o caso, pode-se seguir sempre as pr´e-imagens de x em que

          −1

          a componente ( A s˜ao exatamente o conjunto g {0}). n ′ ′ m A partir das duas folhas de ´orbitas que s˜ao z, σ(z), ..., σ (z) e z , σ(z ), ..., σ (z) podemos construir uma ´orbita peri´odica. Denotemos por ξ o ponto dessa ´orbita peri´odica em U . Da´ı, ´e f´acil ver que

          ′

          h(y, ξ) = h(y, x) = S m (A ) − m(A))(z

          e, h(ξ, y) = h(x, y) = S n (A − m(A))(z).

          −m

          Isso monstra que ξ pertence a (U )

          A e a mesma componente de y. Portanto, σ ∩

          V 6= ∅ e a componente ´e transitiva.

          Das propriedades da barreira de Peierl’s temos o seguinte resultado: uma sub- Teorema 3.2.7. Uma sub-a¸c˜ao calibrada u satisfaz para todo y u(y) = sup [h(x, y) + u(x)]. x

          ∈A Demonstra¸c˜ao. Ver Teorema 10 de [11].

          Al´em disso, o componente irredut´ıvel tem uma importˆancia especial: Teorema 3.2.8.

          

        Se x e z est˜ao no mesmo componente irredut´ıvel de

          A, ent˜ao para todo y, h(x, y) + u(x) = h(z, y) + u(z).

          Demonstra¸c˜ao. Lembramos duas desigualdades e uma igualdade importante:

          h(x, y) ≥ h(x, z) + h(z, y), u(x) ≥ h(z, x) + u(z), 0 = h(x, z) + h(z, x).

          Ent˜ao, u(x) + h(x, y) ≥ u(x) + h(x, z) + h(z, y)

          = u(x) − h(z, x) + h(z, y) + u(z) − u(z)

          = u(x) − u(z) − h(z, x) + h(z, y) + u(z) ≥ h(z, y) + u(z).

          Trocando os pap´eis de x e z obtemos que a desigualdade contr´aria tamb´em ´e v´alida.

          Lembrando que para um determinado β > 0, o estado de equil´ıbrio µ β ´e tamb´em uma medida de Gibbs obtida pelo produtto da auto-fun¸c˜ao H β e da auto-probabilidade

          1

          ν β . Vale lembrar tamb´em que qualquer ponto de acumula¸c˜ao para a fam´ılia log H β ´e β uma sub-a¸c˜ao calibrada.

          A unicidade da medida maximizante nos d´a uma resposta parcial a estas pergun- tas: Teorema 3.2.9.

          Suponha que exista uma ´ unica medida A-maximizate. Ent˜ao toda sub- a¸c˜ao calibrada ´e igual a uma constante aditiva. Demonstra¸c˜ao. No caso em que

          A ´e unicamente erg´odica e, portanto, tem uma ´unica componente irredut´ıvel, se x ´e um ponto de A, os Teoremas 3.2.8 e 3.2.7 monstram que uma sub-a¸c˜ao calibrada ´e inteiramente determinada pelo seu valor em x .

          1 Ressaltando que mesmo nesse caso simples, a convergˆencia de log H β , quando β

          β → ∞, n˜ao ´e claro. N Teorema 3.2.10.

          Suponha que Ω = e A satisfa¸ca {1, 2, 3}  −d(x, 1 ) se x = 1...., ∞

          A(x) := ) se x = 2..., −3d(x, 2 −α < 0 se x = 3....

          1 Ent˜ao, ν β 1 , quando β log H β converge.

          → δ → ∞, e mais ainda, β Demonstra¸c˜ao. Ver [15].

          Este teorema mostra que o nivelamento ´e um crit´erio de sele¸c˜ao: o conjunto de

          ∞ ∞

          Aubry, nesse caso, ´e reduzido a {1 } ∪ {2 } e as duas ´unicas medidas maximizantes ∞ ∞ ∞ erg´odicas s˜ao as medidas de Dirac δ e δ . O potencial ´e ”mais simples”em 1 e

          1

          

        2

          em 2 . Portanto, esse Teorema diz que o local onde o potencial ´e mais plano recebe toda a massa no limite da auto-medida, com β → ∞. Nesse caso, isso ´e suficiente para determinar todas as sub-a¸c˜oes calibradas. Veremos tamb´em que o problema da sele¸c˜ao da sub-a¸c˜ao calibrada est´a relacionada `a multiplicidade de um autovetor no formalismo Max-Plus.

          Cap´ıtulo 4 ´ Algebra Max-Plus

        4.1 Motiva¸ c˜ ao

          A ´algebra Max-Plus ´e essencialmente ´algebra de n´ umeros reais com duas opera¸c˜oes bin´arias: a ⊕ b = max {a, b} e a ⊗ b = a + b. Existem muitas motiva¸c˜oes distintas para introduzir este objeto matem´atico, sendo alguns deles, por exemplo, de problemas no funcionamento de uma linha de produ¸c˜ao numa f´abrica. Vamos imaginar, por exemplo, uma f´abrica onde algum trabalhador i precisa esperar por algum de seus colegas j e k para terminar suas tarefas, que leva os tempos, respectivamente, T ij e T ik , a fim de fazer o seu trabalho (o trabalhador i), que leva o tempo a i . Por isso, na f´abrica, o tempo total de trabalho ´e dado por a i + max ij , T ik

          {T }; reescrevendo esse valor com a nota¸c˜ao da ´algebra Max-Plus temos a ij ik ).Isso mostra que, num sistema maior que envolve

          ⊗ (T ⊕ T um n´ umero maior de trabalhadores e etapas distintas, a ´algebra Max-Plus ´e uma maneira pr´atica e elegante de formular o problema da distribui¸c˜ao de tarefas em ordem. Podemos usar as t´ecnicas desta teoria, a fim de tornar o processo total mais eficiente.

          De um ponto de vista puramente matem´atico podemos tamb´em ver esta ´algebra, por exemplo, como a estrutura do crescimento exponencial de fun¸c˜oes reais. Dada uma fun¸c˜ao h : R

          → R define-se o crescimento exponencial de h como o limite (se, ´e claro, existe o limite) 1 e(h) = lim log h(x). x

          →+∞

          x Para fixar as id´eias, considere um caso simples, ax bx f (x) = e e g(x) = e .

          Nesse caso, segue da defini¸c˜ao que e(f ) = a e e(g) = b. Agora, qual ´e o crescimento ax bx (a+b)x exponencial de f g ou f + g? Para f g = e e = e , da´ı temos que a fun¸c˜ao f g cresce com uma taxa de a + b, ou seja, e(f ) + e(g). Logo, e(f g) = e(f ) + e(g) = e(f ) ax bx ⊗ e(g).

          max{x,y} max {e(f), e(g)} = e(f) ⊕ e(g). Por essa raz˜ao, n˜ao ´e uma surpresa que esta t´ecnica apare¸ca tamb´em na defini¸c˜ao do limite `a temperatura zero, onde estamos exatamente falando sobre a compara¸c˜ao de determinadas taxas de crescimento exponencial. (Para mais estudos ver [1], [2],[8] e [11] )

        4.2 Propriedades

          Consideremos para nosso estudo ¯

          R = R

          ∪ −∞ R com a conven¸c˜ao que x + ( . −∞) = −∞ para todo x ∈ ¯

          Vamos munir esse conjunto com duas opera¸c˜oes: a ⊕ b = max {a, b} a

          ⊗ b = a + b. Com essa nota¸c˜ao, a conven¸c˜ao acima ´e reescrita como x

          ⊗ −∞ = −∞ e temos tamb´em R a , mostrando assim que

          ⊕ −∞ = a para todo a ∈ ¯ −∞ ´e elementro neutro para a opera¸c˜ao bin´aria ⊕. E ´e f´acil ver que 0 ´e elemento neutro para a opera¸c˜ao ⊗. A chamada ´algebra Max-Plus ´e ent˜ao o semi-anel superior ¯ R definida pelas opera¸c˜oes

          ⊕ e ⊗. Lema 4.2.1. Sejam a, b e c elementos de ¯ R , ent˜ao valem as seguintes propriedades:

          1. Associatividade: a

          ⊗ (b ⊗ c) = (a ⊗ b) ⊗ c e a ⊕ (b ⊕ c) = (a ⊕ b) ⊕ c;

          2. Comutatividade: a

          ⊗ b = b ⊗ a e a ⊕ b = b ⊕ a;

          3. Distributividade: a

          ⊗ (b ⊕ c) = (a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c);

          4. Inverso multiplicativo: Se a

          6= −∞, ent˜ao existe um ´unico b tal quel a ⊗ b = 0;

          5. Elemento absorvente: a

          ⊗ (−∞) = (−∞) ⊗ a = −∞;

          6. Idempotente aditivo: a ⊕ a = a.

          Note que ja provamos a existˆencia de elemento neutro para ⊕ e ⊗.

          Demonstra¸c˜ao. Temos que

          a ⊕ (b ⊕ c) = max {a, b ⊕ c} = max {a, max {b, c}} = Para ⊗ a demonstra¸c˜ao da associativadade ´e trivial. Com isso, provamos os primeiro item. A comutatividade segue das propriedades do m´aximo e da soma de n´ umeros reais.

          Considerando agora a ⊗ (b ⊕ c) = a + max {b, c} = max {a + b, a + c} = (a ⊗ b) ⊕ (a ⊗ c), assim provando o terceiro item.

          Para o inverso multiplicativo, basta notar que, para qualquer a podemos tomar b = −a e assim a

          ⊗ b = a + (−a) = 0. Note que o item 7 segue da conven¸c˜ao tomada e para o ´ ultimo item basta ver que max

          {a, a} = a.

          Na ´algebra linear, temos as seguintes aplica¸c˜oes. d Um vetor de dimens˜ao d ´e um elemento de ¯ R , que ser´a denotado por v =

          (v

          1 , v 2 , ..., v d ). d

          Dados dois vetores u e v em ¯ R e λ R , definimos a soma de dois vetores como ∈ ¯ u

          1 1 , u

          

        2

        2 , ..., u d d ) ,

          ⊕ v = (u ⊕ v ⊕ v ⊕ v e o produto por escalar ser´a definido por λ , λ , ..., λ d ) .

          1

          2

          ⊗ u = (λ ⊗ u ⊗ u ⊗ u Dadas duas matrizes m

          ×n , A e B, definimos A⊕B como a matriz cujas entradas s˜ao (A := A ij ij = max ij , B ij ⊕ B) ij ⊕ B {A } . E dado λ R , defina a matriz λ

          ∈ ¯ ⊗ A como (λ ij = λ ij = λ + A ij .

          ⊗ A) ⊗ A N˜ao ´e dif´ıcil ver que as opera¸c˜oes de matrizes acima satisfazem as seguinte pro- priedades:

          Lema 4.2.2. Dadas matrizes m R temos: × n A, B e C, e algum λ ∈ ¯

          1. Existe uma matriz [

          −∞] tal que A ⊕ [−∞] = A,

          2. A

          ⊕ B = B ⊕ A,

          3. A

          ⊕ (B ⊕ C) = (A ⊕ B) ⊕ C,

          5. λ ⊗ (A ⊕ B) = (λ ⊗ A) ⊕ (λ ⊗ B).

          Dadas uma matriz m × n A e uma matriz n × l B, com m, n e l inteiros maiores ou iguais a 1, vamos definir o produto AB como M (AB) ij = (A ik kj ) = max (A ik + B kj ) . k ⊗ B k

          Lema 4.2.3. Nas condi¸c˜oes citadas acima, temos as seguintes propriedades: (AB)C = A(BC),

          λ ⊗ AB = A(λ ⊗ B) = AB ⊗ λ. Se m = n dizemos que a matriz A ´e uma matriz quadrada de ordem n, com n inteiro e n

          ≥ 1. Consideremos a matrix       −∞ −∞ . . . −∞   −∞ −∞ . . . −∞ I n = .       ... ... ... ... ...

          −∞ −∞ −∞ . . . Note que, (AI n ) ij = max ik + (I n ) kj ij , logo AI n = I n A = A, qualquer que seja k {A } = A matriz A de ordem n.

          Agora vamos considerar A uma matriz de ordem n com entradas em ¯ R e um vetor coluna v. N´os definimos o produto Av por M (Av) i = (A ij j ) = max (A ij + v j ) . j ⊗ v j

          Para um dado λ R tamb´em definimos ∈ ¯ λv = (λ , λ , ..., λ n ) = (λ + v , λ + v , ..., λ + v n ) .

          1

          2

          1

          2

          ⊗ v ⊗ v ⊗ v ´

          E natural se perguntar sobre autovalores e autovetores Max-Plus para A, ou seja, Av = λv. Essa nota¸c˜ao pode ser transcrita em termos de nossas opera¸c˜oes de estudo max (A ij + v j ) = λ + v i , para i " # " # " # " # " # j ∈ {1, ..., n}.

          1 0 max(1,

          1 −1) Exemplo 4.2.4. = = = 1 .

          0 1 max(0, 0) −1 −1 " # " # " # " # " # Temos tamb´em,

          1 0 max(0, 0) −1

          −1 = = = 1 . Nesse caso, vemos 0 1 max(1,

          1 −1)

          Exemplo 4.2.5. Considere agora, " # a −∞ b " # " # −∞ a x

        • b

          tem autovalor λ = e autovetor v = = x ,

          ⊗ ∀x

          2 (b−a) b −a

          x +

          2

          2 O resultado mais importante, no que diz respeito ao nosso estudo, ´e que as ma- trizes com entradas reais tˆem autovalor ´ unico.

          Teorema 4.2.6. Seja A uma matriz d ij × d com todas suas entradas a ∈ R. Ent˜ao existe

          λ ∈ R e um vetor v tais que Av = λv.

          Mais ainda, o autovalor λ ´e ´ unico. Demonstra¸c˜ao. Primeiramente, note que se M u = µu, ent˜ao λM u = λ ⊗ µu = (λ + µ)u.

          Note tamb´em que   λ + m λ + m ... λ + m    

          11 12 1d  

          λ + m

          21 λ + m 22 ... λ + m 2d λM = .       ... ... ... ...

          λ + m d . . . . . . λ + m dd

          1 Por isso, podemos supor sem perda de generalidade que as entradas de A s˜ao todas n˜ao-

          negativas. Logo, temos ij ≤ A ≤ L. n n Agora, definamos a aplica¸c˜ao T : R como

          → R (T x) = max (A + x ) (max (A + x )). i ij j kj j j k j − min A express˜ao acima depende continuamente do vetor x e temos tamb´em que (T x) i ≥ 0. Por outro lado, temos (T x) i (L + x j ) (max (0 + x j )) = max (L + x j ) (x j ) = L + x k k = L.

          ≤ max − min − max − x j j j j k Em particular, isso prova que a regi˜ao j ; 0 j {x ≤ x ≤ L} ´e enviada em si pr´opria por T . Como T ´e cont´ınua, pelo Teorema do Ponto Fixo de Brouwer, existe um ponto fixo v para T .

          Portanto, v = T (v)

          isso implica que v i = (T v) i = max j (A ij + v j ) − min k

          1

          ⊗ −∞ −∞

          3 = 2

          −∞ −∞

          1 =

          A −∞ −∞

          2 . Temos ent˜ao que

          2

          2 −∞ −∞

          2

          −∞ −∞

          1 −∞ −∞

          1 −∞ −∞

          (max j (A kj + v j )). Tomando λ = min k (max j (A kj + v j )). Ent˜ao, da express˜ao acima vem v = max j (A ij + v j )

          1

          Se tirarmos a hip´otese das entradas serem reais, a situa¸c˜ao ´e bastante dife- rente.Consideremos a matriz A =

          ≥ µ n u e isso ´e uma contradi¸c˜ao, pois λ < µ. Ent˜ao, temos que λ = µ e o autovalor ´e ´ unico na Max-Plus.

          ⇒ tλ n v ⊕ µ n u = tλ n v, isso ´e equivalente a dizer que para todo n temos tλ n v

          ⊕ A n (u) = tA n (v)

          (u) = A n (tv) ⇒ tA n (v)

          (tv) ⊕ A n

          A n (tv ⊕ u) = A n

          ⊕ u = max i {tv i , u i } = tv i , ∀i ⇒ tv ⊕ u = tv. Logo,

          Sem perda de generalidade, suponha que λ < µ. ´ E poss´ıvel ter um t suficiente- mente grande tal que tv ≥ u (no sentido que tv i ≥ u i , para i ∈ {1, ..., d}). Ent˜ao, tv

          Av = λv, na Max-Plus, assim provando a existˆencia. Para unicidade, suponha por absurdo, que temos dois autovalores distindo λ e µ. Em outras palavras, existe vetores v e u, tais que Av = λv e Au = µu.

          − λ ⇒ max j (A ij + v j ) = λ + v e assim concluimos que

          1 , e            

          1

          2

          1       1   2   1  A = = 1 .            −∞ −∞ −∞ −∞ −∞ −∞

          Assim, 1 e 2 s˜ao autovalores Max-Plus, mostrando que n˜ao h´a unicidade de autovalores para matrizes com entradas iguais a −∞. Existem algumas varia¸c˜oes da ´algebra Max-Plus, uma delas a ´algebra Min-Plus

          , onde a opera¸c˜ao bin´aria ⊕ ´e substitu´ıda por a ⊕ b = min(a, b). Essa ´algebra tamb´em ´e conhecida como ´algebra tropical. Neste contexto ´e interessante, por exemplo, estudar o comportamento de polinˆomios como p(x) = a

          1 2 , a 1 + x, a 2 + 2x ⊕ (a ⊗ x) ⊕ (a ⊗ x ⊗ x) = min{a }.

          Seu gr´afico, por exemplo, ´e uma uni˜ao dos segmentos (alguns deles de comprimento infi- nito). A investiga¸c˜ao geom´etrica desses objetos ´e conhecido como geometrica tropical.

          4.3 Um Exemplo Expl´ıcito N

          Vamos considerar o caso particular Ω = e A potencial n˜ao-positivo {1, 2, 3} que depende apenas de duas coordenadas. Para cada par (i, j) seja A(i, j) = ij , onde

          −ε ε = ε = 0, e para qualquer outro par ε ij > 0.

          11

          22 ∞ ∞

          Note que h´a apenas duas medidas erg´odicas A-maximizantes, que s˜ao δ

          1 e δ 2 . O

          conjuntos de Aubry ´e exatamente a uni˜ao desses dois pontos fixos e cada um ´e componente irredut´ıvel.

          Vamos relembrar que para cada β, o ´ unico estado de equil´ıbrio ´e dado por µ β = H β ν β , com H β e ν β sendo autovetores para o operador de tranferˆencia e seu dual, com raio

          P(β) espectral igual a e . d P

          Como j´a vimos anteriormente, (β) = R Adµ β dβ ≤ 0, pois A ≤ 0 num conjunto de medida positva (para µ β e ∀β). Temos tamb´em que a ass´ıntota para P(β) ´e da forma h + βm(A)

          max

          onde h ´e a entropia residual. No nosso caso, m(A) = 0 e h = 0. Portanto,

          max max

          lim β →∞ P(β) = 0. Esse ´e o primeiro papel da ´algebra Max-Plus, determinar a forma como a press˜ao vai para 0 quando β → ∞. Proposi¸ c˜ ao 4.3.1. Existe uma fun¸c˜ao positiva g e um ρ > 0 tal que

          −ρβ .

          P(β) = g(β)e

          1 Demonstra¸c˜ao. Vamos considerar um ponto de acumula¸c˜ao log

          −ρ para β P(β). Prova- remos que este −ρ ´e ´unico, isto ´e, que n˜ao depende da subsequˆencia escolhida. Considerando a subsequˆencia que realiza a express˜ao para

          −ρ, sempre podemos

          1

          extrair outra subsequˆencia de tal forma que log H β converge. Denotaremos por V esse β limite, e como j´a vimos V ´e uma sub-a¸c˜ao calibrada (por simplicidade vamos escrever β β dependem de uma

          → ∞ mesmo considerando subsequˆencias). Mais ainda, V e H ´ unica coordenada, ent˜ao podemos escrever V (i) e H β (i) para V (x) e H β (x), com x ∈ [i]. A autofun¸c˜ao H β ´e um autovetor para β , da´ı temos: ( βA βA βA L

          P(β) (1,1) (2,1) (3,1)

          e H β (1) = e H β (1) + e H β (2) + e H β (3) βA βA βA

          P(β) (1,2) (2,2) (3,2)

          e H β (2) = e H β (1) + e H β (2) + e H β (3) Substituindo os valores para A obtemos as duas seguintes equa¸c˜oes: (

          P(β) −βε 21 −βε 31

          (e β (1) = e H β (2) + e H β (3) (4.1a) − 1)H βε

          P(β) −βε

        12

        32

          (e β (2) = e H β (1) + e H β (3) (4.1b) − 1)H e −1 P(β)

          Como P(β) → 0, isso implica que (pela Regra de L’Hospital) → 1, e

          P(β)

        P(β)

          1 1 e

          1 − 1

          P(β)

        • →∞ →∞

          assim, lim log(e log log = β β − 1) = lim P(β) −ρ.

          β β β P(β)

        1 Tomando log e fazendo β

          ( β → ∞ no segundo sistema, temos: V (2), V (3)) (4.2a)

          

        21

          31

          −ρ + V (1) = max(−ε −ε ,

          V (1), V (3)) (4.2a)

          

        12

          32

          −ρ + V (2) = max(−ε −ε podendo ser reescrito da seguinte forma: ! !   V (1)

          V (1)  

          

        21

          31

          −∞ −ε −ε   = (4.3).

          V (2) −ρ ⊗ ⊗  

          V (2)

          12

          32

          −ε −∞ −ε V (3) Agora, usando o Teorema 3.2.7 podemos escrever V (3) em termos de V (1) e V (2).

          Da´ı, temos

          ∞ ∞

          V (3) = max(V (1) + h(1 , 3), V (3) + h(3 , 3)), onde h ´e a barreira de Peirl’s e 3 ´e qualquer palavra no cilindro [3]. Usando o fato que n

          1 h(x, y) = S A (x, y) = max S n (A (z) = y e d(z, x) , n − m(A))(z); σ ≤

          4 concluimos que n

          1

          ∞ ∞ ∞

          h(1 , 3) = S A (1 , 3) = max S n (A)(z); σ (z) = 3 e d(z, 1 ) =

          13

          ≤ −ε

          

          (analogamente concluimos tamb´em que h(2 , 3) = ). Segue que,

          23     −ε !

          V (1)         V (1) −∞ = . (4.4)

          V (2)     −∞ ⊕ V (2)

          V (3)

          13

          23

          −ε −ε Da´ı, podemos concluir que ! ! !

          13

          31

          21

          31 23 ) V (1) V (1)

          −ε − ε −ε ⊕ (−ε − ε = . (4.5)

          ⊗ −ρ ⊗ ) V (2) V (2)

          12

          32

          13

          23

          32

          −ε ⊕ (−ε − ε −ε − ε ! )

          13

          31

          21

          31

          23

          −ε − ε −ε ⊕ (−ε − ε Logo,

          . E −ρ ´e um autovalor para matriz

          )

          

        12

          32

          13

          23

          32

          −ε ⊕ (−ε − ε −ε − ε sabemos que esse autovalor ´e ´ unico (pois a matriz possui entradas reais). Isso prova que

          1

          log β P(β) admite um ´unico ponto de acumula¸c˜ao quando β → ∞, portanto converge. ρβ Defina g(β) := , temos o que queriamos.

          P(β)e Vale ressaltar que o ´algebra Max-Plus permite determinar o valor de

          −ρ, mas a fun¸c˜ao g(β) permanece desconhecida. Para a convergˆencia ou n˜ao de µ β , β → ∞, ´e necess´ario um melhor entendimento do comportamento de g(β).

          Seguindo o racioc´ınio que fizemos antes, obtemos  −ε − ε A(1, 3) + A(3, 1) =

          

        13

        31 , A(3, 2) + A(2, 3) = ,

          

        32

          23  A −ε − ε (2,1)+A(1,2) ε +ε 12 21

          = , −

          2

          2

          (4.6) −ρ = max A (2,1)+A(1,3)+A(3,2) ε 21 +ε +ε 13 32

          = , A

          2

          2  +ε +ε (1,2)+A(2,3)+A(3,1) ε 12 23 31  − = ,  (2,3)+A(3,1)+A(1,3)+A(3,2) A

          2

          2 .

        2 Vale ressaltar que a ´ ultima parcela ´e a m´edia das duas primeiras, ent˜ao

          A −ρ ≥

          (2,3)+A(3,1)+A(1,3)+A(3,2)

          , assim −ρ ≥ A(1, 3) + A(3, 1) e − ρ ≥ A(3, 2) + A(2, 3) sempre.

        2 Vamos concluir a prova da convergˆencia de µ β . Lembrando que qualquer ponto

          de acumula¸c˜ao deve ser da forma ∞ ∞ αδ + (1 ,

          1

          2

          − α)δ µ ([1]) β com α converge quando β

          ∈ [0, 1]. Portanto, ´e suficiente provar que µ → ∞, para β ([2]) concluir que µ β converge.

          Em primeiro lugar, temos algumas equa¸c˜oes para medida ν β . Lembrando que Gn n essa medida ´e βA-conforme. Logo, como [1] = ([1 2] 3]) temos: n ⊔ [1 ! =1 G ∞ ∞ n n n n X

          ν β ([1]) = ν β ([1 2] 3]) = (ν β ([1 2]) + ν β ([1 3])) ⊔ [1

          X n ∞ ∞ βS n βS n X n (A)(1 2)−nP(β) (A)(1 3)−nP(β)

          = e ν β ([2]) + e ν β ([3]). n =1 n =1 Como A depende de duas coordenadas e A(1, 1) = 0 segue que

          −βε

        12 −P(β) −βε

        13 −P(β)

          e e ν β ([1]) = ν β ([2]) + ν β ([3]).

          −P(β) −P(β)

          1

          1 − e − e Sabendo que ν β ([1]) + ν β ([2]) + ν β ([3]) = 1, est˜ao temos um sistema para ν β ([1]) e ν β ([2]). Gn n

          Agora, repetimos o mesmo processo para o cilindro [2] = ([2 1] 3]), obteremos o n =1 ⊔ [2 seguinte sistema: (

          P(β) −βε −βε −βε −βε 13 12 13 13

          ν ν e β ([1]) + e β ([2]) = e − 1 + e − e

          (4.7)

          −βε −βε P(β) −βε −βε 23 23 23 23

          e ν β ([1]) + e ν β ([2]) = e − e − 1 + e

          O determinante desse sistema ´e

        2 P(β) P(β) −βε −βε −β(ε +ε ) −β(ε +ε ) β (ε +ε )

          13 23 23 12 12 13 21 12

          ∆(β) = e + e e + e + e , − 1 − 1 − e − e e segue que

          P(β) −βε −β(ε +ε ) 13 12 23

          e e + e ν β ([1])

          − 1 = . (4.8)

          P(β) −βε −β(ε +ε ) 23 21 13

          ν β ([2]) (e + e − 1)e

          Por outro lado, usando as equa¸c˜oes (4.1a) e (4.1b), temos:

          P(β) −βε −β(ε +ε ) 31 21 32

          e e + e H β (1)

          − 1 = .

          P(β) −βε −β(ε +ε ) 32 12 31 H (2) (e + e β

          − 1)e Portanto, usando as duas equa¸c˜oes temos que

          P(β) −βε 31 −β(ε 21 +ε 32 ) P(β) −βε 13 −β(ε 12 +ε 23 )

          e e + e e e + e µ β ([1]) H β (1) ν β ([1])

          − 1 − 1 = =

          P(β) −βε 32 −β(ε 12 +ε 31 ) P(β) −βε 23 −β(ε 21 +ε 13 )

          µ β ([2]) H β (2) ν β ([2]) (e + e (e + e β β β β − 1)e − 1)e

          P(β) (ε +ε −ε ) (ε −ε ) P(β) (ε +ε −ε ) (ε −ε ) 12 21 13 21 23 12 21 31 12 32

          e e + e e e + e − 1 − 1

          = . β β β β

          P(β) (ε 12 +ε 21 −ε 23 ) (ε 12 −ε 13 ) P(β) (ε 12 +ε 21 −ε 32 ) (ε 21 −ε 31 )

          ((e + e ) ((e + e ) − 1)e − 1)e

          Proposi¸ c˜ ao 4.3.2. A fun¸c˜ao g admite um limite quando β vai pra + ∞.

          

        Demonstra¸c˜ao. Tomando ν a automedida para o Operador de Transferˆencia Dual. Temos

        Z β P(β) −βε 21 −βε 31 −βε 12 −βε 32

          e = β (χ)dν β = (1 + e + e )ν β ([1]) + (1 + e + e )ν β ([2]) L

          −βε −βε −βε 13 23 33 +(e + e + e )ν β ([3]). (4.9) P(β) X := e ,  A := e , −βε 13 ′ −βε 23 A := e , −β(ε +ε ) 12 23 B := e ,

          ′ −β(ε +ε ) 21 13 Vamos definir B := e , −β(ε 12 +ε 21 ) C := e ,  a : e + e , −βε 21 −βε 31 −βε −βε 12

        32

         −βε −βε −βε b := e + e , 13 23 33

          Do sistema (4.7) obtemos os valores de ν β ([1]) e ν β ([2]), logo obtemos o valor de ν β ([3]). Substituindo em (4.9) temos:

          ′ ′

          2

          (1 + a)(A(X (X ) + c((X − 1) + B) + (1 + b)(A − 1) + B − 1) − C)

          X = .

          2 ′ ′

          (X + (A + A )(X − 1) − 1) + B + B − C

          Isso pode ser escrito por

          ′ ′

          2

          a(A(X (X ) + (c − 1) + B) + b(A − 1) + B − 1)((X − 1) − C)

          X , (4.10)

          − 1 =

          

        2 ′ ′

          (X + (A + A )(X − 1) − 1) + B + B − C isso implica que

          3 ′ 2 ′ ′ ′

          (X +(A+A +1 +(B+B )(X = 0. (4.11) −1) −c)(X−1) −C−aA−bA −1)+C(c−1)−aB−bB

          ′ ′

          ´ E f´acil ver que A, A , B, B , ... v˜ao exponencialmente r´apido para 0, quando β

          → ∞, X −1

          X − 1

          −ρβ −ρβ

          comporta-se como g(β)e (pois g(β)e = = 1), e mais ainda g ´e P(β) e lim β

          →∞

          P(β) sub-exponencial. Podemos assim usar o desenvolvimento de Taylor para substituir X − 1

          −ρβ

          por g(β)e e manter em cada uma das somas em (4.11) a maior termo (maior aqui significa que estamos comparando-o com os outros termos, se n˜ao houver uma somas, mas tamb´em com os termos de outras somas).

          ′

          2 Por exemplo, ´e claro que (A + A + 1 tem como termo dominante

          − c)(X − 1)

          2 −2ρβ

          3 3 −3ρβ

          g (β)e , enquanto que (X tem como termo dominante g (β)e que por sua − 1)

          2 −2ρβ vez ´e menor que g (β)e .

          ′

          No mesmo sentido, podemos notar que o termo B ´e eliminado pela parcela bA ,

          ′

          assim como B ´e eliminado por aA. O termo X − 1 ´e igual a:

          

        −β(ε +ε ) −β(ε +ε ) −β(ε +ε ) −β(ε +ε ) −β(ε +ε ) −β(ε +ε ) −β(ε +ε )

        12 23 21 13 12 21 21 13 13 31 12 23 23 32

          e + e − e − e − e − e − e

          −β(ε 12 +ε 21 ) −β(ε 13 +ε 31 ) −β(ε 23 +ε 32 )

          = .

          −e − e − e

          −ρβ 2 −2ρβ

          Nate-se que este termo ser´a multiplicado por g(β)e e comparado a g (β)e . O fato ε 1221 −β(ε 12 +ε 21 ) que ρ mostra que o termo tamb´em pode ser esquecido, porque vai

          ≤ −e

          2 2 −2ρβ fornecer um valor exponencialmente menor do que g (β)e .

          O termo sem (X − 1) ´e (com a mudan¸ca de sinal)

          

        −β(ε +ε ) −β(ε +ε +ε ) −β(ε +ε +ε ) −β(ε +ε +ε ) −β(ε +ε +ε )

        12 23 12 23 21 12 23 31 21 12 13 21 13 32

          e ⊕ e ⊕ e ⊕ e ⊕ e

          

        −β(ε +ε ) −β(ε +ε +ε ) −β(ε +ε +ε )

        12 23 12

        23

        31 21 12 13

          = e ⊕ e ⊕ e

          2 −2ρβ

          do formalismo Max-Plus. Comparando todos esses termos com o termo g (β)e , re- cordando de uma equa¸c˜ao: comparando os termos 2ρ e o termo ρ, leva a comparar −ρ com

          13 + ε 31 ) 23 + ε 32 ), e comparando o termo 2ρ, com os termos sem ρ, levando

          −(ε ⊕ (−ε a comparar + ε ) ) ).

          Agora, considerando o termo dominante em escala exponencial (4.11) produz uma igualdade da forma

          2

          ˜ ag (β) − ˜bg(β) − ˜c = termo exponencialmente pequeno, () onde ˜ a ´e 0 ou 1, ˜b

          ∈ 0, 1, 2, 3 e ˜c ∈ 0, 1, 2, 3 e nem todos coeficientes ˜a, ˜b e ˜c s˜ao zero. Como g ´e positivo e todos os coeficientes n˜ao s˜ao nulos, temos que, necessariamente, ˜ a = 1. Agora, considere qualquer ponto de acumula¸c˜ao G para g(β), com β

          → +∞, temos que

        2 G − ˜bG − ˜c = 0.

          Essa equa¸c˜ao admite todas as suas ra´ızes em R, e, pelo menos uma delas ´e n˜ao-negativa. Mas, o ponto-chave aqui ´e que as ra´ızes formam um conjunto finito, e este conjunto cont´em o conjunto de pontos de acumula¸c˜ao de g(β) com β

          → +∞. Por outro lado, g ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua, assim, o conjunto de pontos de acumula¸c˜ao de g ´e um intervalo. Isto mostra que ele ´e reduzido para um ´ unico ponto, e ent˜ao g(β) converge quando β → +∞.

          P(β)

          Lembrando que, P(β) vai para 0 quando β vai para +∞, e ent˜ao e − 1 tem µ β ([1])

          −βρ

          o mesmo comportamento que g(β)e . Substituindo na equa¸c˜ao de , temos que: β β β β µ β ([2])

          (ε 12 +ε 21 −ε 13 −ρ) (ε 21 −ε 23 ) (ε 12 +ε 21 −ε 31 −ρ) (ε 12 −ε 32 )

          g(β)e + e g(β)e + e µ β ([1])

          = . β (ε +ε −ε −ρ) β (ε −ε ) β (ε +ε −ε −ρ) β (ε −ε ) 12 21 23 12 1312 21 32 21 31 µ β ([2]) (g(β)e + e ) (g(β)e + e )

          Sabemos, que g(β) converge para um limite n˜ao-negativo, ent˜ao a igualdade acima admite um limite quando β β → +∞ (em [0, +∞]). Se o limite ´e 0, isso significa que µ vai para δ , se o limite ´e + β vai para δ , se ´e igual a α

          2

          1 α ∞ significa que µ ∈ (0, +∞),

          1

          ent˜ao µ β converge para δ ∞ ∞ + α α 1 δ 2 .

        • 1 +1
        Referˆ encias Bibliogr´ aficas

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          ◦

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          [14] Lopes, A., Mengue, J.; Selection of Measure and a Large Deviation Principle for the General One-dimensional XY model, preprint, UFRGS, 2011. [15] Leplaideur, R., Flatness is a criterion for selection of maximizing measures. J. Stat.

          Phys. 147 (2012), no. 4, 728-757. [16] Lopes,A., Oliveira, E. R. , Smania, D., Ergodic Transport Theory and Piecewise

          Analytic Subactions for Analytic Dynamics, Bull. of the Braz. Math Soc. Vol 43 (3) 467-512 (2012)

          [17] Yuan, G., Hunt, B., Optimal orbits of hyperbolic systems, Nonlinearity 12 (1999) , no. 4, 1207 - 1224.

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