Álgebra Diferencial e Equações Diferenciais Polinomiais

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Universidade Federal do Espírito Santo

Centro de Ciências Exatas

Programa de Pós-Graduação em Matemática

Dissertação de Mestrado em Matemática

  

Álgebra Diferencial e Equações

Diferenciais Polinomiais

Flávio da Silva

  

Agosto/2015 Universidade Federal do Espírito Santo Centro de Ciências Exatas Programa de Pós-Graduação em Matemática

  Álgebra Diferencial e Equações Diferenciais Polinomiais Flávio da Silva

  Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Matemática da Universi- dade Federal do Espírito Santo como requi- sito parcial à obtenção do grau de Mestre em Matemática.

  Orientador: Valmecir A. dos S. Bayer

  Agosto/2015

  

Agradecimentos

  Ao término deste trabalho, cumpro meu dever em deixar aqui registrado meus sinceros agradecimentos a todos aqueles que foram de importância fun- damental para que eu chegasse até aqui. Não podendo mencionar cada um deles, agradeço aos professores da graduação e do mestrado por toda a minha formação. Em particular, ao coordenador do mestrado, o professor Gilvan, a quem devo uma das cartas de recomendação ao programa de mestrado e os ensinamentos de cada encontro. A elegância e competência em que ministra suas aulas é um exemplo a ser seguido. Aos professores da banca, Magno e Leandro, pela gentileza de engrandecer este trabalho com uma leitura crítica do texto final. Com o apoio direto ou indireto de várias pessoas fui capaz de escrever esta redação, porém sou incapaz de juntar algumas palavras que expressem o quão grande é a minha gratidão por meu orientador, o profes- sor Valmecir Bayer. Por causa de seus valiosos ensinamentos, grande parte da Matemática que sei deve a ele. Este trabalho não seria possível sem o seu apoio, crédito e confiança depositados em mim, da graduação até hoje. Obrigado professor e amigo Valmecir por tudo. Aos amigos Fidélis, Flavione, Geovane e João (e sua mãe Albina) que tanto me ajudaram antes mesmo de meu ingresso a universidade. Também, aos amigos Fernando, Maicon, Telau e Tiago pela presença em tantos bons momentos e pela imprescindível ajuda noutros difíceis. De igual modo sou grato aos amigos Aaron, Ramon (e fa- miliares), sempre dispostos a uma boa prosa, nunca mediram esforços a me ajudar nos momentos em que precisei. A minha amiga Loyde, do bachare- lado, obrigado por todas as vezes que compartilhou comigo as minhas difi- culdades. Aprendi muito com você e, sem dúvida alguma, é uma daquelas raras pessoas que passam por nossas vidas. A minha família que sempre me concedeu apoio incondicional, a minha base de sustentação. Em espe- cial, as minhas tias (mães) Ideni, Idilene e Irlene, e meu pai, Silvio, que me acompanham desde sempre. Se sou o que sou, devo a eles. A meu irmão Thadeu por todo carinho, respeito e amizade por todos esses anos. A minha querida amada esposa, Sabrina, por seu amor e incentivo, e por sua paciência e compreensão pelas horas em que estive ausente. Aos familiares de minha esposa, agradeço pelas orações e carinho que sempre tiveram comigo, em es- pecial, ao seu pai Firmino e sua esposa Vera. Agradeço também à Capes pelo auxílio financeiro. A todos vocês, o meu muito obrigado, por todo carinho e atenção dispensada. Por fim, agradeço à Deus por motivos que dispensam comentários!

  .

  In Memoria

Minha mãe Maria Gusmão (avó). Sumário

  

  1

  5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  5 . . . . . . . . . . . . . . . .

  9

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

  . . . . . . . . . . . . . . 14

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

  25

  . . . . . . . . . . . . . . . 26

  . . . . . . . . . . . 30

  . . . . . . . . . . . . . 35

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

  . . . . . 43

  49

  . . . . . . . . 49

  . . . . . . 56

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

  . . . . . . . . . . . . . . . . 64

  . . . . . . . . . . . . . 72

  . . . . . . . . . . . . . . . . 75

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79

  

Resumo

  O objetivo deste trabalho é estudar sistemas de equações diferenciais polinomiais paramétricas, cujo resultado principal é a determinação de uma expressão explícita para uma equação implícita.

  Palavras-chave: Álgebra Diferencial, equações diferenciais polinomiais, implicitização, Bases de Gröbner.

  

Abstract

  In this dissertation we study systems of parametric differential polynomial equations. The main result is the determination of an explicit expression for an implicit such equation.

  Keywords: Differential algebra, polynomial differential equations, im- plicitization, Gröbner bases. Introdução

  Em 1930, o matemático americano Joseph F els Ritt (1893-1951) criou a T eoria das Equaç˜ oes Dif erenciais Alg´ ebricas modelados sobre a nova ál- gebra desenvolvida pela matemática alemã Amalie Emmy Noether (1882- 1935) e seu pupilo, o matemático holandês Bartel Leendert van der W aerden (1903-1996), que inspirado por Emmy Noether publicou, em 1931, um tratado de dois volumes intitulado Moderne Algebra.

  No início desta década de 30, quase ao mesmo tempo que Gröbner, Ritt começa a pensar sobre Computação Simbólica na Teoria Algébrica da Eli- minação, desenvolvendo métodos construtivos na Teoria da Eliminação de Equações Diferenciais Algébricas. Ritt assim cria a Teoria dos Conjuntos Característicos, que juntamente com a Teoria Algébrica da Eliminação, leva de fato ao desenvolvimento de computadores digitais de alta velocidade, seguido de poderosos sistemas computacionais simbólicos, revivendo o seu interesse em Álgebra Algorítmica.

  Em 1932, Ritt publicou no colóquio da Sociedade Americana de Matemática o livro Differential Equations from the algebraic standpoint com o propósito de dar, a teoria clássica das equações diferenciais não lineares, uma rigorosa fundamentação algébrica via polinômios diferenciais e variedades diferenciais algébricas (Emmy Noether e sua escola fizeram a mesma coisa para a Teoria das Equações Algébricas e Variedades Algébricas). No prefácio deste trabalho de 1932, Ritt escreve: “As contribuições de Mertens, Hilbert, Koenig, Lasker, Macaulay, Henzelt, Emmy Noether, vander Waerden...trouxeram para a Teoria Algébrica da Eli- minação e a Teoria Geral Algébrica de Variedades um alto grau de perfeição.” Posteriormente, esta nova teoria criada por Ritt passou a ser chamada de Ál- gebra Diferencial, nome sugerido pelo seu aluno, o americano Ellis Robert Kolchin (1916-1991), que sob a sua supervisão, obteve o doutorado em matemática pela Universidade de Columbia, em 1941, com a dissertação On the Exponents of Differential Ideals. Em sua monografia de 1950 intitulada Differential Algebra, Ritt dá uma nova exposição a Teoria dos Conjuntos Característicos, incluindo o que hoje é chamado de Álgebra Computacional do Processo de Pseudo Redução. Ele escreve: "...a Teoria das Equações Algébricas pode ser desenvolvida a partir do ponto de vista algorítmico, de modo que cada entidade cuja existência é estabelecida é construído com um número finito de operações". Neste, ele ecoa as palavras de Hensel no prefácio de Palestras de Kronecker na Teoria dos Números: “Kroenecker acreditava que se podia, e isso deve-se, nestas partes da Matemá- tica, enquadrar cada definição de tal maneira que se pode testar num número finito de passos que se aplique a qualquer quantidade dada Com as fundamentações de Ritt e, profundamente influenciado pelos matemá- ticos franceses André Weil (1906-1998) e Claude Chevalley (1909-1984) (mem- bros fundadores do Grupo Bourbaki), Kolchin escreveu artigos fundamen- tais no que tange a Teoria dos Corpos de Galois Diferenciais, e publicou os livros Differential Algebra and Algebraic Groups (1973) e Differential Alge- braic Groups (1985). A Teoria de Galois Diferencial foi iniciada no século

  XIX pelos matemáticos franceses Charles Émile Picard (1856-1941) e Ernest Vessiot (1865-1952). Os conceitos básicos da álgebra comutativa diferencial são baseados naqueles da álgebra comutativa comum. Um excelente estudo sobre este assunto pode ser encontrado em Selected Works of Ellis Kolchin, with Commentary ou da ge- ometria algébrica diferencial pode ser tida como a generalização da teoria da geometria algébrica de maneira análoga à teoria de equações diferenciais algébricas. Entretanto, partes consideráveis dos resultados de geometria algébrica ainda precisam ser extendidos aos casos diferenciais. Em particular, não há um análogo direto para o Teorema da Base de Hilbert no caso diferencial, no entanto, há um análogo “enfraquecido”, a saber, o Teo- rema de Ritt-Raudenbush (para uma demonstração, veja por exemplo capítulo III) A bem da verdade é que, para muitas propriedades em geome- tria algébrica, seus homólogos diferenciais são muito mais difíceis de provar

  e, alguns deles, ainda são problemas em aberto. Por exemplo, muitas das 16 questões propostas por Ritt em seu clássico livro de álgebra diferencial p.177) ainda não estão resolvidos.

  A álgebra diferencial nos fornece poderosas ferramentas, por exemplo, os métodos de Wu (Wu Wen-Tsun: matemático chinês nascido em 1919) que permitem automatizar algumas provas de teoremas da geoemtria elemen- tar, tal como o elegante Teorema dos Nove Pontos no Círculo, difícil de ser provado sinteticamente (veja Recentemente, o trabalho de Kolchin em geometria algébrica diferencial e grupos algébricos diferenciais foi combinada com a chamada Teoria da De- formação de Variedades Algébricas para responder a perguntas em Geometria Diofantina, que por sua vez, tem por objetivo estudar conjuntos de pontos racionais de variedades algébricas. É bom ressaltar o artigo [4] que busca explorar a evolução da álgebra diferencial de equações diferenciais algébricas para os problemas de aritmética. Hoje em dia, a álgebra diferencial encon- tra importantes aplicações em campos como computação simbólica, robótica, sistemas dinâmicos e teoria do controle, para citar algumas, fornecendo algo- ritmos computacionais para trabalhar de forma simples com equações dife- renciais algébricas.

  Resumimndo, a álgebra diferencial ou a geometria algébrica diferencial, ini- ciadas por Ritt e Kolchin, tem como objetivo estudar equações diferenciais algébricas de uma forma semelhante em que equações polinomiais são estu- dadas, respectivamente, em álgebra comutativa ou geometria algébrica O estudo de variedades algébricas uniracionais e as equações paramétricas racionais correspondentes é um objeto de estudo clássico na geometria al- gébrica. O recente estudo extensivo desse problema está focado em achar, de forma efetiva, algoritmos que possam transformar a representação implícita e a paramétrica de variedades uniracionais, devido ao fato desses algoritmos terem aplicações em modelagem sólida Variedades diferenciais com representações paramétricas são chamadas uniracionais. Claramente essa variedade diferencial uniracional é um dos tipos mais simples de va- riedades, e a representação paramétrica é a solução geral das equações difer- enciais algébricas correspondentes.

  O estudo das equações diferenciais racionais paramétricas teve início no artigo Implicitization of differential rational parametric equations do matemático chinês Xiao-Shan Gao, nascido em 1963, professor e diretor do Instituto de Ciência de Sistemas da Academia Chinesa de Ciências. Utilizando a teoria da álgebra diferencial desenvolvida por Ritt e Kolchin, em especial, com o uso dos denominados conjuntos característicos, X. S. Gao estabelece, entre outras coisas, a base para a generalização ao caso diferencial dos resultados em geometria algébrica sobre as representações implícitas e paramétricas de variedades uniracionais. Em particular, os problemas relacionados a implici- tização de equações diferenciais polinomiais paramétricas lineares são muito bem tratados por métodos de resultantes diferenciais

  Ao longo desta dissertação, um anel será suposto comutativo com unidade e característica zero, a menos que seja dito explicitamente o contrário.

  Capítulo 1 Preliminares Algébrico Diferenciais

  Neste capítulo será introduzido a linguagem necessária da álgebra diferencial usada em toda a dissertação. Como resultado principal, iremos determinar um algoritmo de divisão (processo de redução) para polinômios diferenciais.

1.1 Derivações em Anéis

  Definição 1.1 Uma derivação δ num anel A é um mapa linear (homomor- fismo aditivo) δ : A −→ A que satisfaz a regra do produto de Leibniz, isto é, δ(xy) = δ(x)y + xδ(y), para todos x, y ∈ A.

  ′

  A diferenciação é comumente indicada por x = δ(x), para todo x ∈ A.

  ′′ ′′′ (n)

  Assim, por vezes, denotaremos x , x , . . . , x para indicar as derivadas su-

  2 3 (n) cessivas δ (x), δ (x), . . . , δ (x) = δ(δ(· · · (x) · · · ) ), para todo x ∈ A.

  | {z }

  (n−1) vezes

  É fácil provar por indução a seguinte regra de derivação

  ′

n n −1 ′

  (x ) = nx x e a regra do produto de Leibniz para a n-ésima derivação: n

  (n) (n) (n−k) (k) (n) (xy) = x y + · · · + x y + · · · + xy .

  k Em particular, dados um anel A e δ uma derivação em A, tem-se as seguintes implicações imediatas da definição de δ:

  ′

  i) 0 = 0 A

  A ′

  ii) 1 = 0

  A A

  De fato, uma vez que δ é um homomorfismo aditivo, tomando y = 0 obtemos,

  

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

(x + y) = x + y , e portanto, x = x + 0 . Segue que 0 = 0 A .

  A A

  Para a segunda propriedade, observe que da regra do produto aplicado a x 6= 0 e y = 1, temos que,

  ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

  e então x (xy) = x y + xy = x + 1 . Daí segue que 1 = 0 A .

  A A

  Como consequência, vê-se que se x, y ∈ A, com y inversível em A, então para qualquer derivação δ em A temos a regra do quociente: δ(y)

  −1 −1 −1 −1 0 = δ(1) = δ(y · y ) = δ(y)y + yδ(y ) então δ(y ) = − .

  2

  y Utilizando a notação de frações, segue que, x

  1

  1

  1 1 δ(y) yδ(x) − xδ(y) δ = δ x · = δ(x) + xδ = δ(x) − x = .

  2

  2

  y y y y y y y Exemplo 1.2 A única derivação em Z é a derivação nula. De fato, seja δ : Z −→ Z uma derivação. Da regra de Leibniz, tem-se que δ(1) = δ(−1) = 0. Por indução, segue que δ(z) = 0 para todo z ∈ Z. Mais geralmente, devido a regra do quociente, a única derivação em Q é também a derivação nula.

  Exemplo 1.3 Seja E | K uma extensão algébrica de característica zero. Suponha que δ : K → K seja uma derivação. Então existe uma única derivação ˆ δ : E → E tal que ˆδ(x) = δ(x) para todo x ∈ K. Com efeito, suponha que ˆδ seja uma tal derivação e tome α ∈ E. Seja p(X) o polinômio minimal de α sobre K, digamos,

  n

  p (X) = a n X + · · · + a X + a ,

  1 com a i ∈ K para cada i = 0, 1, . . . , n. Assim,

  n

  a n α + · · · + a 1 α + a = 0. Aplicando a derivação ˆδ, tem-se que

  n −1 n

  ˆ ˆ a n nα δ(α) + ˆ δ(a n )α + · · · + a δ(α) + ˆ δ(a )α + ˆ δ(a ) = 0.

  1

  1 Como ˆδ(x) = δ(x) para x ∈ K, tem-se, n −1 n

  ˆ ˆ a n nα δ(α) + δ(a n )α + · · · + a δ(α) + δ(a )α + δ(a ) = 0.

  1

  1 Assim, n n −1

  ˆ δ(α) na n α + · · · + a = − (δ(a n )α + · · · + δ(a )α + δ(a )) .

  1

  1 n −1 Pela definição do polinômio minimal de α tem-se que na n α + · · · + a 6= 0.

  1 Portanto, n

  δ(a n )α + · · · + δ(a )α + δ(a )

  1

  ˆ δ(α) = − .

  

n

−1

  na n α + · · · + a

  1 Logo, a derivaçâo ˆδ fica definida e o resultado segue.

  Segue dos dois exemplos acima que a única derivação num corpo de números algébricos (extensão algébrica de Q) é a derivação nula. Exemplo 1.4 Em extensões transcendentes de Q há derivações não nulas, por exemplo, a derivação usual do corpo de funções racionais Q(X). Segue que, se α é um número complexo transcendente sobre Q então há derivações não nulas em Q (α), uma vez que, neste caso, Q(X) é isomorfo (como corpo) a Q(α).

  Definição 1.5 Um anel A, munido de um conjunto finito ∆ = {δ , δ , . . . , δ }

  1 2 n

  de derivações, é um anel diferencial ou um ∆-anel se δ , para todos

  j δ k = δ k δ j j, k ∈ {1, . . . , n}.

  Corpos diferenciais e álgebras diferenciais são corpos e álgebras equipadas com um número finito de derivações que comutam aos pares. No caso em que n = 1, dizemos que A é um anel diferencial ordinário. No caso em que n ≥ 2 dizemos que A é um anel diferencial parcial. É bom salientar que no caso n = 0, a noção de anel diferencial se reduz ao de anel.

  Um elemento a de um ∆-anel é chamado constante se δ(a) = 0 para todo δ ∈ ∆. Assim, no caso de R(X) e C(X) com as derivações usuais, o conjunto de constantes são respectivamente R e C. Já no caso do corpo Q(α) do exemplo 1.4, o conjunto de constantes é Q. Neste caso α não é constante.

  Seja ∆ = {δ , . . . , δ } o conjunto de derivações do anel diferencial A. Pode-

  1 n ∆

  mos considerar o anel de constantes A := {c ∈ A | δ i c = 0, i = 1, . . . , n},

  ∆

  que também é um ∆-anel. Em particular, tem-se que 1 A ∈ A visto que

  ′

  . O conjunto de constantes de um ∆-anel A é precisamente a inter- 1 = 0 A

  A secção dos núcleos das derivações δ i para i = 1, 2, , . . . , n.

  Observe que um anel pode ter diversas estruturas de anel diferencial, depen- dendo do conjunto de derivações que se toma. Exemplo 1.6 Seja A = K[X , X , . . . , X ] o anel de polinômios em n indeterminadas sobre

  1 2 n

  um corpo K. O conjunto das derivadas parciais ∂ ∂ ∂

  ∆ = , , . . . , ∂X ∂X ∂X n

  1

  2 mune A de uma estrutura de anel diferencial parcial.

  Exemplo 1.7 O anel das funções reais de uma variável real infinitamente diferenciáveis, com derivação usual, é um anel diferencial.

  Considere A um ∆-anel, onde ∆ = {δ , δ , . . . , δ n }. O conjunto 1

  

1

  2 i i n

  Θ := δ · · · δ | δ j ∈ ∆ e i j ≥ 0

  n

  1

  é chamado de conjunto de operadores derivação em A. Cada θ ∈ Θ tem 1

  i i n

  a forma θ = δ · · · δ , e define-se ord(θ) = i + · · · + i . Observe que o

  1 n 1 n

  conjunto Θ é um monóide livre comutativo, a saber, um conjunto munido de uma operação que possui um elemento neutro. Neste texto, o foco é o caso de anéis diferenciais ordinários. Para um estudo dos anéis diferenciais parciais, sugerimos

1.2 A Estrutura Diferencial num Anel

  Para que se conheça por completo um anel diferencial, é necessário conhecer uma classe especial de subconjuntos deste anel, a saber, seus ideais diferen- ciais, que são definidos a seguir.

  Definição 1.8 Seja I um subconjunto de um ∆-anel A. Diz-se que I é um ∆-ideal de A se i) I for um ideal do anel A. ii) δ(I) ⊂ A para cada δ ∈ ∆.

  Em outras palavras, um ideal I de A é um ∆-ideal se for δ-invariante (ou δ-estável) para todo δ ∈ ∆, isto é, se x ∈ I implicar que δ(x) ∈ I para todo δ ∈ ∆.

  É imediato verificar que interseções, somas e produtos de ideais diferenciais são ainda ideais diferenciais. De fato, vamos provar por exemplo, que a intersecção de uma família qualquer de ∆-ideais é um ∆-ideal. Seja (I

  λ ) λ ∈Λ

  \ uma família de ∆-ideais de A e I = I λ . Naturalmente I é um ideal de A.

  

λ ∈Λ

  Para verificar a segunda condição, seja δ ∈ ∆ um derivação de A. Se x ∈ I, então x ∈ I λ para todo λ ∈ Λ. Assim δ(x) ∈ I λ para todo λ ∈ Λ, uma vez que cada I λ é um ∆-ideal. Logo δ(x) ∈ I. Portanto I é um ∆-ideal de A. Observe que dizer que I é δ-estável é o mesmo que dizer que é fechado em relação à derivação δ. A fim de que uma derivação δ preserve o ideal I, é necessário e suficiente que preserve os seus geradores.

  Exemplo 1.9 Como ilustração, considere o anel R [X, Y, Z] e o ideal I = hXY, Y Zi, vamos encontrar uma derivação δ que torne I um ideal δ-estável. Uma vez que toda derivação em anéis de polinômios sobre um corpo são combinações lineares de suas derivadas parcias, podemos escrever

  ∂ ∂ ∂ δ := a + b + c . ∂X ∂Y ∂Z

  Assim, a fim de que uma derivação δ preserve o ideal I, é necessário que δ (XY ) , δ (Y Z) ∈ I, em outras palavras, é preciso que:

   δ (XY ) = Xδ (Y ) + Y δ (X) = bX + aY ∈ I

   

  δ (Y Z) = Y δ (Z) + Zδ (Y ) = cY + bZ ∈ I De acordo com isso, para que I seja δ-estável, é necessário que a, c ∈ hX, Zi e b ∈ hY i. Reciprocamente, tem-se que a família

  ∂ ∂ ∂ ∆ := hX, Zi + hY i + hX, Zi

  ∂X ∂Y ∂Z de derivações δ preserva o ideal I. Portanto, ∆ é um conjunto de derivações que faz de I um ideal δ-estável.

  Exemplo 1.10 Sejam δ uma derivação de um corpo diferencial F e p(X) um polinômio irredutível no anel F [X]. Pode-se estender a derivação δ de F para F [X] de tal forma que o ideal hpi, gerado por p, seja um ideal diferencial. Com

  n

  efeito, escreva p = p(X) = p n X + · · · + p , onde n é o grau de p. Defina

  δ δ n ′

  , onde p δ (X) := −hp := δ (p n ) X + · · · + δ (p ) e hp ≡ 1 (mod p), sendo

  n ′ −1

  p = np n X + · · · + p a derivada usual do anel de polinômios F [X]. Com

  1 ′

  estas considerações, escrevendo hp = 1 − kp e aplicando as propriedades operatórias de δ, segue que:

  n n

  δ (p) = δ (p n ) X + · · · + δ (p ) + p n δ (X ) + · · · + p

  1 δ (X)

  | {z }

  δ =p δ n −1

  = p + np n X δ (X) + · · · + p

  1 δ (X)

   

  n δ −1 δ δ ′

  = p np + n X + · · · + p  δ (X) = p + p −hp

  1

  | {z } | {z }

  ′ δ =p =−hp

   

  

δ δ δ

  = p (1 − (1 − kp)) = p kp 1 − hp  = p

  |{z}

  =1−kp Assim, δ (p) ∈ hpi. Portanto hpi é um ideal diferencial. Os conceitos de ideais diferenciais primos e ideais diferenciais radicais são uma extensão natural dos conceitos análogos em álgebra não diferencial. Seja S um subconjunto de um ∆-anel A. A interseção de todos os ideais diferenciais que contém S será chamado o ideal diferencial gerado por S, e o denotamos por [S]. Em especial, dizemos que um subconjunto S de um anel diferencial A é trivial se o ideal diferencial [S] é igual a A. É fácil verificar que dado um ∆-anel A e um ∆-ideal I de A, o anel quociente A/I também tem uma estrutura de ∆-anel.

  Definição 1.11 Um homomorfismo de anéis diferenciais de A em B, ou um ∆-homomorfismo, é um homomorfismo ϕ : A −→ B tal que, δ (ϕ(x)) = ϕ (δ(x)) , para todo δ ∈ ∆ e para todo x ∈ A.

  Aqui, dizemos também que B é uma ∆-A-álgebra. Esta definição carrega consigo, é claro, as correspondentes (no contexto dife- rencial) definições de ∆-isomorfismo, ∆-automorfismo, etc.

1.3 Polinômios Diferenciais

  Na sequência do texto, vamos considerar apenas anéis diferenciais ordinários, salvo menção ao contrário, e vamos denotar a derivação por δ. Na construção de polinômios diferenciais (originalmente chamado de formas por Ritt), usa-

  ′ ′′ (p)

  remos os símbolos y, y , y , . . . , y (num número finito deles) e chamaremos

  (p)

  , respectivamente, de indeterminada diferencial e p-ésima derivada y e y de y. Além disso, para os naturais p e q, com q > 0, denotaremos por

  (p+q) (p)

  a q-ésima derivada de y (precisamente, o que estamos fazendo é y

  (q) (p+q) (p)

  ). Ressaltamos que apenas y é uma indeterminada, sendo y := y

  (p) y a p-ésima derivada da indeterminada y, para todo p natural.

  Nossos problemas vão lidar com um número finito de indeterminadas diferen- ciais y . Doravante, vamos também denotar por y a j-ésima derivada

  1 , . . . , y n ij

  de y i , para todo i = 1, . . . , n, com j natural. Vamos chamar y i de sua própia derivada de ordem 0, e escrevemos y . Por vezes, usaremos u, v, . . . , w

  i := y i

  como indeterminadas diferenciais. Neste caso, as derivadas serão subescritas e não sobrescritas. Por exemplo, a j-ésima derivada de u é u j . Feitas essas considerações, fixe um corpo diferencial ordinário K de característica 0.

  Definição 1.12 Guardando as notações acima, por um polinômio diferen- cial ordinário nas indeterminadas diferenciais y sobre K, entende-

  1 , . . . , y n

  remos um polinômio em y ij com coeficientes no corpo K, e o chamaremos de polinômio diferencial ordinário ou, por simplicidade, um polinômio diferen- cial. O conjunto de todos os polinômios diferenciais sobre K será denotado por K {y , . . . , y n }. Mais especificamente, dado o conjunto de indeterminadas

  1

  diferenciais Y = {y , . . . , y n } e denotando por

  1 k

  {Y } = δ y | y ∈ Y, k ∈ N = {y ij | i = 1, . . . , n, j ∈ N} = {y ij }

  1≤i≤n, j∈N

  o conjunto das derivadas de elementos de Y , o conjunto K {y , . . . , y n } se

  1

  torna um anel diferencial ordinário estendendo a derivação δ em K para todos naturais i e j, como segue: δ (y ij ) = y i .

  (j+1)

  O anel K {y , . . . , y n } é chamado anel de polinômios diferenciais ordinários

  1

  e podemos representá-lo por: K {Y } = K [{y ij }] = K [y ij | i = 1, . . . , n, j ∈ N]

  Um derivativo é um elemnto de K{Y } escrito na forma δ(y i ) para algum i ∈ {1, 2, . . . , n}.

  Como no caso de anéis de polinômios comum, um polinômio diferencial é uma combinação linear finita de monômios diferenciais ordinários, que por sua vez, são monômios nas derivadas com coeficientes em K. Cada monômio diferencial M é um produto (formal)

  Y

  

e

ij

  M = y , onde e ij ∈ N

  

ij

1≤i≤n, j∈N

  onde apenas um número finito desses fatores comparecem no produto. Além disso, se M envolve l derivativos, digamos v = y i 1 j 1 , v = y i 2 j 2 , . . . , v l = y i j ,

  1 2 l l

  onde os pares (i , j ) são distintos, então podemos escrever

  k k e 1 e l e 1 e l e

1 e l j

1 j l

  M = v · · · v = y · · · y = δ y i 1 · · · δ y i .

  l i 1 j 1 i j l 1 l l Esta notação carregada sugere a conveniência de suprimir a grande quan- tidade de detalhes e podemos escrever um polinômio diferencial P simples- mente sob a forma

  P = u M + · · · + u M , com u , . . . , u ∈ K,

  1 1 t t 1 t onde cada M s é um monômio diferencial.

  Dois polinômios diferenciais são idênticos se os coeficientes em y ij são iguais. Dado um polinômio diferencial P , por derivada de P entenderemos o polinômio

  ′ diferencial P obtido de P via utilização das operações de derivação.

  Exemplo 1.13 Seja K = Q(x) o corpo das funções racionais na indeterminada x e considere F = K{y}, onde y é uma indeterminada diferencial. Para o polinômio diferencial dado por

  2

  2 P = xy + x y ,

  21

  1

  obtemos:

  ′ ′ ′ ′

  2

  2

  2

  2 P = (xy + x y 21 ) = (xy ) + (x y 21 )

  1

  1 ′ ′ ′ ′

  2

  2

  2

  2

  = x y + x (y ) + (x ) y + x (y )

  21

  21

  1

  1

  2

  2

  = (y + 2xy y ) + (2xy + x y )

  1

  11

  21

  22

1 Exemplo 1.14

  Seja K = Q(x) o corpo das funções racionais na indeterminada x e considere F = K{y}, onde y é uma indeterminada diferencial. Podemos associar à equação diferencial ordinária

  2

  d y dy

  2

  • xy + x = 0

  2

  dx dx

  2 o polinômio diferencial p = y , com coeficientes em K. 2 + xy y

1 + x

1.4 Ordenação de Polinômios Diferenciais

  Daqui por diante, vamos às vezes nos referir sobre um determinado polinômio diferencial P como sendo o que envolve um certo y i efetivamente, ou seja, no sentido que ao menos um y ij aparece como um termo (com coeficiente 6= 0) na expressão de P , para algum j ∈ Z .

  

>

  Mais adiante, vamos aplicar um algoritmo de divisão para polinômios dife- renciais. Para isso, vamos precisar de um modo de ordená-los, a saber, a noção de posicionamento de derivadas. De antemão, deixamos registrado que existe um posicionamento específico e cada classificação é uma boa ordenação do conjunto das derivadas θy i (isto resulta do Lema 15, pg 49 em Comecemos com as noções de classe e ordem de um polinômio diferencial. Se um polinômio diferencial P não for um elemento do corpo K, por classe de P entenderemos como o maior i ∈ Z > tal que, algum y ij aparece efetivamente em P , e a denotamos por clas(P ). Caso P ∈ K, escrevemos clas(P ) = 0. Para cada natural i em que o P envolve y i efetivamente, entenderemos por sua ordem com respeito a y i como o maior j ∈ Z > tal que, y ij aparece efeti- vamente em P , e a denotamos ord(P, y

  i ). Em particular, se clas(P ) = p > 0,

  dizemos que ord(P, y p ) é a ordem de P , e escrevemos ord(P ). Além disso, se P não envolve y efetivamente, denotamos ord(P, y

  i i ) = −∞. Podemos

  também dizer que a ordem de um polinômio diferencial P ∈ K {y , . . . , y n },

  1

  h i

  (j) (j) n

  onde P / ∈ K, é o menor inteiro j tal que, P ∈ K y , . . . , y n , . . . , y , . . . , y .

  1

  1 Explicitamente, se P ∈ K {Y } \K tem ordem j, podemos escrever m

  X

  i ′ ′′ (j−1) (j)

  P (y) = P i (y, y , y , . . . , y )(y ) ,

  i =0 ′ ′′ (j−1)

  onde P i ∈ K y, y , y , . . . , y . Se P m 6= 0, dizemos que P tem grau m, e o denotamos gr(P ) = m. Mais geralmente, designamos por gr(P, y i ) o grau de P em relação a y i . Agora, sejam P e P dois polinômios diferenciais

  1

  2

  tais que, y aparece efetivamente em ambos. Se P e P são de mesma

  p

  1

  2

  classe p > 0 e de mesma ordem em y p , dizemos que P e P tem a mesma

  1

  2

  posição em y . Segue que todos os polinômios diferenciais de classe 0 são

  p

  de mesma posição. Dizemos que P possui uma posição maior do que P

  2

  1

  em y e que P possui uma posição menor do que P em y , e denotamos

  p

  1 2 p

  respectivamente posto y p (P ) > posto y p (P ) e posto y p (P ) < posto y p (P ), caso

  2

  1

  1

  2

  uma das condições seguintes for satisfeita: i) 0 ≤ clas(P ) < clas(P ) = p.

  1

  2 ii) clas(P ) = clas(P ) = p > 0, mas ord(P , y p ) < ord(P , y p ).

  1

  2

  1

  2

  iii) clas(P

  1 ) = clas(P 2 ) = p > 0 e ord(P 1 , y p ) = ord(P 2 , y p ), mas gr(P ) < gr(P ).

  1

2 Neste caso, dizemos que P e P são comparáveis, caso contrário são ditos in-

  1

  2

  comparáveis, isto é, quando nem posto y (P ) > posto y (P ) nem posto y (P ) >

  2

  

p

1 p 2 p

  e P são incomparáveis, é usual chamá-los de polinô- posto y p (P

  1 ). Quando P

  1

  2

  mios diferenciais equivalentes e denota-se P ≡ P ou P ∼ P (≺ indica

  1

  2 1 ≺

  2 ordenação considerada).

  Exemplo 1.15 : Seja K = Q(x) o corpo das funções racionais na indeterminada x e considere F = K{y}, onde y é uma indeterminada diferencial.

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  (a) Suponha que P = xy + x y , com p = 2 e P = xy + x y + y ,

  1

  2

  3

  1

  24

  13

  23

  com p = 3. Então, 3 3 posto y (P

  2 ) > posto y (P 1 )

  7

  

6

  2

  (b) Se P = y + y + 1 e P = y + y + 5 então,

  1 2,6

  2 3,6 4,0≤j<6 3,0≤j<6

  posto 4 (P ) > posto 4 (P ).

  1

  y 2 y

  2

  2

  2

  2 (c) Sejam P = xy + x y , com p = 2 e P = xy + x y , com p = 2.

  1

  21

  2

  22

  13

  1 Então,

  posto y 2 (P ) > posto y 2 (P )

  

2

  1

  2

  2

  2

  2

  2

  3 (d) Sejam P = xy + x y , com p = 2 e P = xy + x y , com p = 2.

  1

  2

  13

  24

  1

  24 Então,

  posto y 2 (P ) > posto y 2 (P ).

  

2

  1

  (e) Se desejarmos, podemos “refinar” o posicionamento ainda mais como segue: (f) Se clas(P ) = clas(P ) = p > 0 e clas p (P ) < clas p (P ), para

  1

2 −m

1 −m

  2

  algum inteiro m > 0, então, posto p −m (P

  2 ) > posto p −m (P 1 ).

  2

  2

  2

  2

  (g) Se P = xy + x y + y e P = x + y + xy + y + y então,

  1

  4

  2

  1

  3

  4

  1

  24

  2

  posto 3 (P ) > posto 3 (P ).

  1

  y 2 y Definição 1.16 Seja K um corpo diferencial ordinário com derivação δ. Uma ordem no conjunto Y = {y

  1 , . . . , y n } das indeterminadas diferenciais

  sobre K induz uma ordenação total no conjunto das derivadas de {Y }, tal que: (I) v < δ(v), para todos v ∈ {Y }.

  r s

  (II) Se u < v então δ (u) < δ (v) para todos u, v ∈ {Y } e para todos r, s ∈ N.

  As condições de posição dadas em (i), (ii) e (iii) são induzidas pela ordem lexicográfica nos pares (i := classe, j := ordem), de modo que:  i < l 

  Se ou então y (1.1)

  ij < y lk

   i = l e j < k Chamamos a condição (1.1) de posicionamento puro. Temos a seguinte ordenação de posições para n = 2:

  

′ ′′ ′ ′′

  y < y < y < · · · < y < y < y < · · ·

  1

  2

  1

  1

  2

  2

1.5 O Processo de Redução

1.5.1 Caso Não Diferencial

  Como sabemos, o algoritmo da divisão em K[X] generaliza o algoritmo de divisão dos números inteiros para o caso da divisão de polinômios, conforme descrito a seguir em pseudocódigo, para únicos q, r ∈ K[X] e f, g ∈ K[X] dados arbitrariamente. Em outras palavras, queremos dividir f por g e obter o quociente q e resto r. No algoritmo, vamos usar tl para abreviar termo líder.

  Algoritmo: Sejam g, f ∈ K[X], com g 6= 0 Entrada: g, f Saída: q, r q := 0, r := f Enquanto r 6= 0 e tl(g) divide tl(r) faça tl(r) tl(r) q := q + r := r − g tl(g) tl(g)

  Note que no início de cada passo, verificamos se r 6= 0 e comparamos os termos líderes. Caso tivermos ainda que r 6= 0 e tl(g) divide tl(r), então prosseguimos através da divisão novamente. Repomos os valores de r e q, voltando ao início. Em geral, se temos dois polinômos

  n n −1

  f (X) = a n X + a n X + · · · + a X + a

  −1

  1

  e

  m m −1

  g(X) = b m X + b m X + · · · + b X + b

  −1

  1

  em K[X], com graus, digamos, n = gr(f) ≥ gr(g) = m, então o primeiro a n

  n −m

  passo para a divisão de f por g é subtratir de f o produto x

  g. Notamos b m tl(f ) tl(f ) que o fator de g deste produto é , e temos assim h = f − g como tl(g) tl(g) o primeiro resto. Chamamos h de uma redução de f por g e denotamos o

  

g

  processo de computação de h por f −→ h. Todo o processo de redução, em

  g que figura todas as suas etapas, denota-se por f −→ r.

  • Como consequência, da relação f = qg + r, o Teorema do Resto nos diz que um zero de g será um zero de f se, e somente se, é um zero de r. Comecemos por analisar o caso em que K não é um corpo, mas apenas um domínio, digamos K = Z. Exemplo 1.17

  4

  2

  2 Suponha que desejamos dividir f = 6X + 4X + 3X por g = 4X + 1. Como

  sabemos, precisamos inicialmente multiplicar o dividendo por 4 antes de se dividir, e daí, aplicando duas vezes o passo de redução temos: 1) Pré multiplicação:

  

4

  2

  4f = 24X + 16X + 12X 2) Passo de redução:

  2

  2

  4f = 6X g + 10X + 12X 3) falso resto:

  2

  h = 10X + 12X 4) Pré multiplicação:

  2

  4h = 40X + 48X 5) Passo de redução:

  4h = 10g + (48X − 10)

  6) falso resto: r = 48X − 10 Todo o processo de redução é denominado falsa divisão e o coeficiente do termo líder do divisor g (4 no exemplo) é chamado o inicial de g. Designando por s o inicial do divisor g, tem-se

  e

  s f = qg + r, (1.2) onde e é um número natural chamado um falso expoente, q é um falso quo- ciente e r é um falso resto. Salientamos que, para cada falso expoente fixado, são únicos o falso quociente e o falso resto. Observamos também que podemos sempre escolher e := max {gr(f) − gr(g) + 1}, não necessitando ser minimal (por exemplo, quando f = g). E mais, caso r = 0, não sabemos a priori se

  e f ∈ hgi, mas sim, que s f ∈ hgi, para algum natural e.

  Vamos supor agora que K seja um corpo, digamos K = Q, e seja K[X, Y ]. Exemplo 1.18 Vamos fazer uso da ordem lexicográfica, abreviadamente, ordem lex, (para a definição veja, por exemplo, a referência Tomando X > Y , suponha

  3

  2

  3

  2

  2

  3 que seja requerido dividir f = 5X por g = 2X .

  Y − 10XY Y + X + XY Na falsa divisão que segue, em cada passo de redução, destacam-se em negrito os maiores termos que podem ser reduzidos, a qual chamaremos cada um de termo líder secundário. Este nome que estamos dando a tal termo é bem sugestivo, uma vez que o mesmo não precisa ser o termo líder do polinômio em questão, visto que isto depende do divisor g.

  Passo 1:

  5

  5

  3

  5

  2

  4

  3 X Y

  , onde h f =

  XY g + h

  1 1 = − −

  X Y − 10XY

  2

  2

  2 Passo 2:

  5

  

5

  3

  5

  2

  4

  5

  2

  3

  3 X Y

  h = − X g + h , onde h = + X −

  X Y − 10XY

  1

  2

  2

  4

  

4

  2

  4 Passo 3:

  5

  

5

  5

  5

  3

  3

  2

  3

  6

  3 X Y

  h = − Y + g + h , onde h + =

  X XY − 10XY

  2

  3

  3

  4

  

4

  2

  4 Passo 4:

  5

  5

  

5

  5

  5

  2

  3

  2

  2

  6

  5

  3 X Y

  h = X − + Y g + h , onde h =

  XY −

  XY − 10XY

  3

  4

  4

  4

  4

  

4

  4

  4 Passo 5:

  5

  5

  3

  5

  

2

  5

  6

  5

  5

  5

  4

  3 X Y 4 = − Y g+h 5 , onde h 5 =

  X XY −

  XY + + + h

  XY −10XY

  8

  4

  8

  4

  4

  8 Passo 6:

  5

  5

  5

  5

  5 5 165

  3

  

2

  6

  5

  4

  3 X −

  X XY −

  XY + h = − g + r, onde r = +

  XY −

  XY

  5

  16

  4

  16

  4

  4

  8

  16 Note que r := h não é constituído de monômio algum que seja divisível

  6

  pelo monômio líder de g. Além disso, visto que a seqüência de termos líderes secundários dos restos h , . . . , h é estritamente decrescente, segue que o pro-

  1

  6 cesso se encerra.

  Exemplo 1.19 Ainda no exemplo exemplo anterior, novamente supondo por um momento que K = Z, recorremos à falsa divisão (aqui, e em cada etapa, o falso resto será pré multiplicado pelo inicial 2 sempre que necessário) e obtemos: Passo 1:

  3

  2

  4

  3 Y

  2f = (5XY ) g + h

  1 , onde h 1 = −5X − 5X Y − 20XY

  Passo 2:

  3

  2

  4

  2

  3

  3 Y

  2h = (−5X) g + h , onde h = 5X −10X + 5X Y − 40XY

  1

  2

2 Passo 3:

  3

  3

  2

  3

  6

  3 Y

  h

  2 = −5Y g + h 3 , onde h 3 = 5X +10X + 5XY − 40XY

  Passo 4:

  2

  3

  2

  2

  6

  5

  3 Y

  h = 5Y g + h , onde h = 5X −5X + 5XY − 5XY − 40XY

  3

  4

4 Passo 5

  2

  3

  6

  5

  4

  3 Y

  2h

  4 = (−5Y ) g+h 5 , onde h 5 = 10X +5X +10XY −10XY +5XY −80XY

  Passo 6:

  3

  2

  6

  5

  4

  3

  2h = (−5) g+r, onde r = 20X −5X +20XY −20XY +10XY −165XY

  5

  4 Observe que dividindo r := h por 2 = 16 reobtemos o resto quando K =

  6 Q . Assim, é mais eficiente realizar a falsa divisão em Z e depois colocar

  de volta os devidos denominadores, caso necessário. De acordo com isso, teoricamente, é melhor lidar com corpos, mas computacionalmente, é mais fácil trabalhar em domínios. Salientamos que o cálculo do resto vai depender da ordenação imposta sobre os termos. De fato, neste mesmo exemplo, se tomarmos a ordenação via grau-lex (veja a referência para definição),

  3

  2

  3

  3

  2

  2

  com X > Y , temos f = 5X Y − 10XY e g = XY + 2X Y + X para esta ordenação, realizamos a redução com um único passo, veja: Passo único:

  3

  2

  2

  2

  f = (−10) g + r, onde r = 5X Y + 20X Y − 10X

  3 Neste caso, note que o termo de f que é reduzido é −10XY e não o seu

  3

  2

  termo líder 5X . Novamente, note que r não é constituído de monômio Y algum que seja divisível pelo monômio líder de g. Um tal polinômio é dito ser Gröbner reduzido em relação a g.

  Não custa lembrar que podemos considerar polinômios em várias variáveis como polinômios em uma variável, dita variável principal. Mais especifica- mente, como um polinômio diferencial P ∈ K {Y } \K de ordem j pode ser escrito como

  m

  X

  i (j)

  P (y) = P i · (y )

  i =0

  sendo que P i ∈ K {Y \y} e y é a maior variável em {y , . . . , y n } em que

  1

  gr y (P ) 6= 0. Para um polinômio diferencial P ∈ K{y , . . . , y n } − K, assu-

  1

  mindo esta variável como variável principal y , vamos considerar P como um

  i e

  polinômio univariado em K{y , . . . , y i }{y i }, dado por P = cy + r, onde

  1 −1 i

  gr(P, y i ) = e, c ∈ K{y

  1 , . . . , y i −1 } e r ∈ K{y 1 , . . . , y n }, com 0 ≤ gr(r, y i ) < e (comumente, e é chamado de o grau principal de P ).

  Exemplo 1.20 Considerando ainda os mesmos exemplos anteriores, só que agora com K[X, Y ] visto como K[Y ][X], onde X é a variável principal, tem-se que

  3

  3

  2

  3

  f = (5Y ) X + −10Y X e g = (2Y + 1)X + Y X. Aqui, o inicial de g é 2Y + 1 e a redução é feita pela falsa divisão tomando coeficientes no domínio K[Y ]. Claramente, o resto será de menor grau na variável principal com respeito ao divisor g, veja: Passo 1:

  2

  5

  2

  4

  3

  (2Y + 1) f = [ 5Y X]g + h , onde h = −5Y X + −20Y − 10Y

  X

  1

  

1

Passo 2:

  5

  8

  3

  5

  4

  3

  (2Y + 1) h

  1 = 5Y g + r, onde r = 5Y

  X − 40Y − 40Y − 10Y

  X Tal resto dizemos ser algebricamente reduzido em relação a g e sua variável principal.

1.5.2 Caso Diferencial

  Paralelamente ao caso não diferencial, vamos tratar o processo de redução no caso diferencial. Seja K um corpo diferencial ordinário e um conjunto Y de indeterminadas diferenciais. Comecemos com um exemplo com duas inde- terminadas diferenciais. Considere inicialmente um posicionamento ordenado tal que y possua uma posição maior do que y , em K {y

  2

  1 1 , y 2 }. Suponha que

  se deseje dividir o polinômio diferencial

  2

  3

  3

  3

  2

  2 ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ ′′

  F = 5 (y ) (y ) − 10 (y ) y por G = (y ) y + 2y (y ) + (y ) .

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  2 ′ ′′

  Note que F e G envolvem apenas duas derivadas, a saber, y e y , sendo que

  1

  2 ′′ ′

  y possui uma posição maior do que y devido ao posicionamento ordenado.

  2

  

1

′′ ′

  Agora, substituindo y por X e y por Y , concluímos que

  2

  1

  3

  2

  3

  3

  2

  2 F = 5X Y − 10XY e G = XY + 2X Y + X .

  Ora, mas estes polinômios diferenciais são exatamente os mesmos polinômios f e g dados anteriormente, aos quais aplicamos um processo de divisão! Isto nos sugere que seja, de fato, possível realizar divisões no “mundo dos polinômios diferenciais”.

  ′′

  Façamos neste momento uma reflexão: e se um dos y em F fosse na verdade

  2 ′′′

  y ? Antes de mais nada, devemos ser capazes de diferenciar o polinômio

  2

  diferencial G para reduzir F . Mais geralmente e precisamente, devemos ser capazes de diferenciar um polinômio diferencial. Já conhecemos a estrutura da derivada de um polinômio diferencial. Para um melhor entendimento no que se segue, vamos partir do ponto de vista univariado (polinômio diferencial em uma variável). Primeiramente, dado um polinômio diferencial P ∈ K {y

  1 , . . . , y n }, onde

  P / ∈ K, vamos escolher a derivada δ(y i ) de maior posição que aparece em P como a variável principal. A esta variável, dá-se o nome de líder de P , e a denotamos por u . Do ponto de vista de uma variável principal, podemos

  P

  escrever P como um polinômio diferencial na variável u P com coeficientes I d , onde d ∈ {0, . . . , d}, em K {Y \u

  P } como segue:

  X

  i d d −1

  P = I i u = I d u + I d −1 u + · · · + I

  1 u P + I P P P 0≤i≤d

  Assim, nesta representação, todos os coeficientes I

  d 6= 0 (únicos) são menores

  do que P . Mais especificamente, cada derivada δ(y k ) presente em I i é menor do que u . O polinômio diferencial I é chamado de o inicial de P , e deno-

  P d

  tamos I P . De forma resumida, podemos escrever

  gr (P ) uP P = I P (u P ) + P , onde P < P.

  Segue das regras de derivação que:

  

d d

′ −1 −2

  δ (P ) = P

  • = dI u + (d − 1)I u + · · · + I δu

  d d −1

  1 P

P P

d d −1

  • δ (I d ) u + δ (I d ) u + · · · + δ (I ) u P + δ (I ) .

  P −1 P

  1 O líder de δ (P ) é δu , desde que, se v < u então δv < δu , para qualquer P P P

  derivada v que aparece em I j . Uma vez que δ (P ) é linear em δu P , tem-se que o inicial de δ (P ) é

  X ∂P

  d −1 d −2 i −1 I = dI d u + (d − 1)I d u + · · · + I = iI i u = . δ (P ) −1

  1 P P P

  ∂u P A este polinômio diferencial inicial, dá-se o nome de o separante de P , e é designado por S . De forma resumida, podemos escrever

  P δ (P ) = S P δu P + (termos envolvendo derivadas < δu P ) .

  Para qualquer polinômio diferencial P ∈ K {y

  1 , . . . , y n }, onde P / ∈ K, tem-se

  que P é maior do que o inicial I P e o separante S P . Claramente, a escolha de ordenações diferentes pode resultar em líder e separante diferente. Vamos agora a uma resposta ao nosso dito momento de reflexão. Suponha que nosso polinômio diferencial F seja

  2

  3

  3 ′ ′′′ ′ ′′

  (1.3) F = 5 (y ) (y ) − 10 (y ) y ,

  1

  2

  1

  2

  e vamos manter a nossa G original, dada por

  3

  2

  2 ′ ′′ ′ ′′ ′′

  G = (y ) y + 2y (y ) + (y ) . (1.4)

  1

  2

  1

  2

  2 Derivando G obtemos:

  3

  2

  2 ′ ′ ′′′ ′ ′′ ′′ ′ ′′ ′′′ ′′ ′′ ′′ ′′′

  δ (G) = G = (y ) y + 3 (y ) y y + 4y y y + 2y (y ) + 2y y

  1

  2

  1

  1

  

2

  1

  2

  2

  1

  2

  2

  2

  3

  2

  2 ′ ′ ′′ ′′ ′′′ ′ ′′ ′′ ′′ ′′ ′′′

  = (y ) + 4y y + 2y y + 3 (y ) y y + 2y (y ) = S G y + T

  1

  1

  2

  2

  2

  1

  1

  2

  1

  2

  2 Aqui, T é uma soma de termos envolvendo derivadas de ordem < 3. Daí, ′ ′′′ ′′′ ′

  uma vez que G é linear em y , eliminamos y em F da seguinte = u G

  2

  2

  forma: δ (G) − T

  ′′′ ′′′

  δ (G) = S G y +T ou seja y = . Substituindo em (1.3), obtemos,

  2

2 S G

  3

  δ (G) − T

  3

  2 ′ ′ ′′

  . E, portanto teremos, F = 5 (y ) − 10 (y ) y

  1

  1

2 S G

  3

  2

  

3

  3

  3

′ ′ ′′

  (S G ) F = 5 (y ) (δ (G) − T ) − 10 (y ) y (S G )

  1

  1

  2

  2

  3

  2

  3

  3

  3 ′ ′ ′ ′′

  = 5 (y ) (δ (G)) + 5 (y ) (−T ) − 10 (y ) y (S G )

  1

  1

  1

  2

  2

  3

  3

  3 ′ ′ ′′

  = Qδ (G) + 5 (y ) (−T ) − 10 (y ) y (S G ) ,

  1

  1

  2

  2

  2 ′

  onde Q = 5 (y .

  ) (δ (G))

  1 Esta redução é chamada de redução parcial. Quando reduzimos parcialmente j

  F por G, supondo que δ u G esteja em F , onde j ≥ 1 é o máximo possível, diferenciamos G até a ordem j, obtendo: δ (G) = S G δu G + T

  1

  2

  2

  δ (G) = S G δ u G + T

  2 ... j j

  aδ (G) = S G δ u G + T j Aqui, cada T k é uma soma de termos envolvendo derivadas de posição menores

  k

  do que δ u G . Em seguida, fazendo as devidas substituições e “limpando” os denominadores como feito anteriormente, obtemos:

  s j

  2

  ) (S G ) F = Q

  1 δ (G) + Q 2 δ (G) + · · · + Q j δ (G) + e F , com e F < G (em u G

  Chamamos e F de resto parcial de F com respeito a G.

  Definição 1.21 Seja K um corpo diferencial ordinário e Y um conjunto de indeterminadas diferenciais. Um polinômio diferencial q é parcialmente reduzido em relação a p se nenhuma derivada da variável principal u p , de ordem positiva, comparece em q. Além disso, q é reduzido em relação p se q é parcialmente reduzido em relação a p e o grau u p (q) < grau u p (p). Um subconjunto A de K{Y } − K é chamado um conjunto autoreduzido se cada um de seus elementos é reduzido em relação a todos os outros. Salientamos que podemos continuar (algebricamente) o processo de redução, reduzindo e F , usando a falsa divisão univariada por G de modo que, apare- cendo no resto o líder u de G, o mesmo será de menor grau do que o grau

  G

  de u G em G. De acordo disso, obtemos uma completa redução de F por G, resultando na seguinte expressão:

  i s i i i j

  2 I S F = Q G + I Q δ (G) + I Q δ (G) + · · · + I Q j δ (G) + R (1.5) G G G

  1 G

  2 G

  O resto R assim obtido é chamado de resto Ritt-Kolchin, e tem a propriedade de ser parcialmente reduzido e algebricamente reduzido em relação a G. Existe um algoritmo p.77) que reduz, um dado polinômio diferencial F com respeito a um conjunto autoreduzido A = A , . . . , A n , para um polinômio

  1

  diferencial R que é reduzido com respeito a A e que satisfaz

  i 1 i n i 1 i n

  I · · · I S · · · S F ≡ R (mod [A , . . . , A n ])

  A 1 A A 1 A

  1 n n (veja também

  Dados um subconjunto S e um ideal diferencial J, ambos em K {Y }, e de-

  ∞

  notando por S o monóide livre multiplicativo garado por 1 e os fatores irredutíveis dos elementos de S, definimos a saturação de J por um conjunto S como sendo

  ∞ ∞ J : S = {f ∈ K {Y } | gf ∈ J para algum g ∈ S } .

  ∞ ∞

  O conjunto J : S é também um ideal, e temos J ⊂ J : S . Assim, em particular, definimos o ideal de saturação de um ideal J por um elemento s em um anel A como sendo

  e ∞

  J : s = {f ∈ K {Y } | s f ∈ J para algum e ∈ N} . Quando o ideal J é principal, digamos J = hgi, o terno (e, q, r), na relação

  ∞

  (1.2), é único, para qualquer f ∈ hgi : s , desde que a escolha de e seja minimal. Além disso, sendo e minimal ou não, tem-se que r = 0 se e só se

  ∞

  . Em particular, quando e = 1, para h ∈ K{Y } temos o ideal f ∈ hgi : s quociente de hgi por h, definido por hgi : h = {p ∈ K{Y } | ph ∈ hgi }. Capítulo 2 Equações Diferenciais Racionais Paramétricas

  Ao longo deste capítulo vamos considerar alguns problemas computacionais relacionados à implicitização de equações diferenciais racionais paramétricas

  ′

  (EDRP s). Por exemplo, o conjunto de equações paramétricas formado por x = u y = au + b

  ′

  onde x e y são indeterminadas, u é um parâmetro, e a e b constantes (a =

  ′

  b = 0), é a representação paramétrica para a variedade diferencial (definição na seção 1) definida pela seguinte equação algébrica diferencial:

  ′ ′′ ′′ ′

  x y − x y = 0 Vamos propor algoritmos para os seguintes problemas relacionados a um

  ′

  conjunto de EDRP s.: (1) Encontrar um conjunto característico para o ideal primo implícito (defi- nição na seção 2 ) de um conjunto de EDRP’s.

  (2) Encontrar uma representação canônica para a imagem (definição na seção 3 ) de um conjunto de EDRP’s. (3) Decidir se os parâmetros de um conjunto de EDRP’s são independentes, e se não, reparametrizar as EDRP’s para que novas as EDRP’s possuam parâmetros independentes. (4) Calcular os mapas inversos de um conjunto de EDRP’s, e como con- sequência, decidir quando um conjunto de EDRP’s é próprio. No caso da variedade implícita ser de dimensão diferencial 1 e o conjunto de EDRP’s não próprio, achar uma reparametrização própria para as dadas EDRP’s. Isso é baseado na prova construtiva da versão diferen- cial do teorema de Lüroth O cálculo é baseado principalmente no método do conjunto característico para equações diferenciais algébricas

  Na seção 2, mostraremos como calcular o conjunto característico para um

  ′ ideal implícito de um conjunto de EDRP s.

2.1 Preliminares da Álgebra Diferencial

  Seja K um corpo diferencial de característica zero. Chamamos de E uma extensão universal do corpo K quando para qualquer extensão finitamente gerada K ⊃ K, com K ⊆ E, tem-se que, se E é uma extensão finitamente

  1

  1

  gerada de K , não necessariamente em E, então existe um K -isomorfismo

  1

  1

  de E em E (isto é, existe um isomorfismo σ de E em E tal que σa = a, para cada a ∈ K ) (veja Capítulo III seção 7 de Tal extensão universal

  1

  de K sempre existe (p.133), mas não é única. Todavia, se E e F são duas extensões universais de K, então existem extensões universais b E e b F de E e F , respectivamente, tais que, b E é isomorfo a b F sobre K (o fato de um corpo diferencial K ter uma extensão universal é um bom exercício do Lema de Zorn, p.771).

  Como observa Ritt, não existe um conjunto de todas extensões de corpos diferenciais finitamente gerados (do ponto de vista diferencial) de um corpo diferencial F . Dentro deste contexto, primeiramente Kolchin introduz um corpo universal em analogia ao corpo universal de Weil (veja Kolchin escreve: “O uso de uma extensão universal, que segue agora bem conhecida da Ge- ometria Algébrica Moderna, torna possível evitar certas dificuldades lógicas conectada com frases como o conjunto de todas as extensões.”(Veja p.577). Utilizando a relação (1.5) do capítulo anterior, dados dois polinômios dife- renciais P e Q, designando por R := f

  r (P, Q) o falso resto de P em relação

  à Q, temos a seguinte fórmula do resto para R

  X

  (i)

  JP = B i Q + R,

  i

  onde J é um produto de certas potências do inicial e separante (SI-produto)

  (i) de Q, cada Q é a i-ésima derivada de Q e os B i são polinômios diferenciais. Podemos definir o falso resto f r (P, A) do polinômio P em relação a um conjunto autoreduzido A = {A

  1 , . . . , A m }, recursivamente, como f r (P, A) := f r (f r (P, A m ), A , . . . , A m ) , com f r (P, ∅) = P.

  1 −1

  Para o que segue, definiremos um particular conjunto de polinômios diferen- ciais, chamado conjunto triangular. Tais conjuntos foram introduzidos por Ritt em 1932 como conjuntos característicos e estão profundamente envolvi- dos na resolução de sistemas polinomiais. Por exemplo, em métodos como os encontrados em considera-se um subconjunto particular de uma dada variedade afim associado a um conjunto triangular (em um fecho al- gébrico de K), ou seja, o conjunto de zeros regulares. Vamos agora a definição de conjuntos triangulares.

  Definição 2.1 Dizemos que um subconjunto T ⊂ K {x

  1 , . . . , x n } é um con-

  junto triangular se nenhum elemento de T está em K e se P e Q em T são distintos então eles têm variáveis principais distintas. Quando existe P ∈ T tal que v é sua variável principal dizemos que v é algébrico em relação a T e as demais variáveis são ditas transcendentes.

  Qualquer conjunto triangular T em K {x

  1 , . . . , x n } pode ser escrito sob a

  forma T = [T (x , . . . , x p 1 ) , . . . , T r (x , . . . , x p )] , onde 0 < p < · · · < p r ≤ n,

  1

  1

1 r

  1

  com x a variável líder de T , para cada i = 1, . . . , r. As demais variáveis de

  p i i

  x p 1 , . . . , x p são chamadas de parˆametros de T .

  r

  Por exemplo, considerando os subconjuntos de variáveis algébricas x , x , x

  2

  3

  4

  2

  2

  2 T = x + x , x x + 2x x − 7, (x x + 7) x − x

  1

  1

  1

  2

  3

  2

  3

  4

  2

  3

  2

  e

  2

  2 T = x x − 5, x x + 5

  2

  2

  1

  1

  2

  em K {x é um conjunto triangular,

  1 , . . . , x n }, com n ≥ 4, tem-se que T

  1 enquanto que T não é.

2 Para um conjunto triangular A, temos que

  SAT (A) = {P ∈ K {X} | JP ∈ [A] para algum J} , onde J é um SI-produto de polinômios diferenciais em A e [A] é o ideal diferencial gerado por A. Definição 2.2 Um conjunto autoreduzido A é dito irredutível se não exis- tirem polinômios diferenciais P e Q, reduzidos pelos polinômios diferencias em A, tais que ambos f r (P, A) e f r (Q, A) são não nulos e f r (P Q, A) = 0. O próximo resultado fornece uma condição necessária e suficiente para que um conjunto A seja um conjunto característico de um ideal primo I, e sua prova pode ser encontrada em (p.167). As definições de grau de transcendência e dimensão de ideais no caso diferen- cial são feitas de maneira análogas ao caso não diferencial (veja, por exemplo, página 4581). Nesse trabalho, entenderemos dimensão sempre como a dimensão diferencial.

  Proposição 2.3 Se A ⊂ K {X} é um conjunto autoreduzido irredutível, então SAT (A) é um ideal primo de dimensão diferencial n − |A|. Reci- procamente, para qualquer ideal primo I, existe um conjunto autoreduzido irredutível A tal que, I = SAT (A).

  Definição 2.4 Na situação da proposição acima, o conjunto autoreduzido A é chamado conjunto característico de SAT (A) e o ideal diferencial I é dito caracterizável. Mais especificamente, um ideal I de K{X} é caracterizável se para um conjunto característico A de I temos I = SAT(A). Neste caso, dizemos que A caracteriza I.

  Caracterização do anulamento de f r (P, A): Se A é um conjunto característico de

  ∞ ∞

  SAT (A) = [A] : H = {P ∈ K {X} | HP ∈ [A] para algum H ∈ H }

  A A

  então,

  ∞

  P ∈ SAT (A) = [A] : H ⇐⇒ f r (P, A) = 0

  A

  Demonstração. Sejam I um ideal diferencial saturado definido por A e P um polinômio diferencial em K {X}. É claro que se A é um conjunto característico de I e P um polinômio diferencial de I, então f r (P, A) = 0.

  ∞

  Reciprocamente, se f r (P, A) = 0, então P ∈ SAT (A) = [A] : H , onde [A] é

  A

  o ideal diferencial gerado por A e H um SI −produto de polinômios = I S

  A A A ∞

  diferenciais em A. Desde que I seja saturado, tem-se que [A] : H = I é o

  A ideal de saturação de A e vem que P ∈ I.

  Para um conjunto S de polinômios diferenciais definimos

  

n

  Z (S) = {η = (η , . . . , η n ) ∈ E | P (η) = 0, para todo P ∈ S}

  1 que é chamado de variedade diferencial definida por S. Para dois conjuntos S e D de polinômios diferenciais, definimos a quasi vari- edade diferencial como sendo

  [ Z (S/D) = Z (S) − Z (d)

  d ∈D

  Seja I um ideal diferencial primo em K {X}. Um zero genérico de I é um ponto η ∈ Z (I) tal que, cada polinômio diferencial em K {X} anulado por η está contido em I. Seja A um conjunto autoreduzido irredutível. As variáveis que não são va- riáveis líderes de polinômios diferenciais em A são chamadas de variáveis paramétricas de A. A ordem de um conjunto autoreduzido irredutível A é a soma das ordens dos polinômios diferenciais em A. Para um ideal primo I = SAT (A), a ordem de A é chamada ordem de I (ou Z (I)) em relação às variáveis paramétricas de A. A ordem de um ideal primo não depende da escolha de conjuntos autoreduzidos com as mesmas variáveis paramétricas Precisaremos das seguintes formas do Teorema de Decomposição dos Zeros de Wu-Ritt (veja página 588): Teorema 2.5 Para dois conjuntos S e D de polinômios diferenciais, temos um método para encontrar conjuntos autoreduzidos ascendentes irredutíveis tais que

  A i [

  Z (S/D) = Z (A i /D ∪ {J i }) ,

  i onde J i é um SI-produto de polinômios diferenciais em A i .

  Teorema 2.6 Para dois conjuntos S e D de polinômios diferenciais, temos um método para encontrar conjuntos autoreduzidos ascendentes irredutíveis A i tal que

  [ Z (S/D) = Z (SAT (A i ) /D) .

i A grande maioria dos trabalhos tem sido feito com o uso desses teoremas.

  Alguns podem ser achados em

2.2 Ideal Implícito de um conjunto de EDRP’s

  Dado um conjunto de indeterminadas diferenciais U = {u , . . . , u }, para

  1 m

  polinômios diferenciais não nulos P , . . . , P n , Q , . . . , Q n em K {U}, chamamos

  1

  1 P (U ) P n (U )

  1

  x = , . . . , x n =

1 Q (U ) Q n (U )

  1 de um conjunto de equações diferenciais racionais paramétricas (EDRP’s).

  Vamos assumir que algum dos P (U ) ou algum dos Q (U ) não estão em K e

  i i

  que o MDC (P i (U ) , Q i (U )) = 1. Por simplicidade, as EDPR’s envolvendo constantes arbitrárias, como no exemplo dado na introdução, não serão con- sideradas. Todavia, não há dificuldade alguma em extender os resultados para este caso.

  Definição 2.7 O ideal implícito do conjunto de EDPR’s é definido como P P n

  1 P ∈ K {x , . . . , x n } | P , . . . , ≡ 0 .

  ID (P, Q) =

  1 Q Q 1 n

  A variedade diferencial Z (ID (P, Q)) é chamada de variedade implícita do conjunto de EDRP’s. Dada uma variedade diferencial V, se existe um con- junto de EDRP’s (como o definido) tal que, V seja a variedade implícita para tal conjunto de EDRP’s, dizemos que V é uma variedade diferencial uniracional e o conjunto de EDRP’s é a representação paramétrica para V. Para o desenvolvimento das próximas seções, precisaremos dos lemas que seguem.

  Lema 2.8 O ideal implícito ID(P, Q) é um ideal diferencial primo, com zero

  P 1 P n genérico η = .

  , . . . ,

  Q 1 Q n

  Demonstração. Seja ID(P, Q) o ideal implícito do conjunto de EDRP’s P (U ) P (U )

  

1 n

  x

1 = , . . . , x n = .

  Q (U ) Q n (U )

  1

  É claro que ID(P, Q) é um ideal diferencial. Vamos mostrar que ID(P, Q) é

  P 1 P n também primo. Suponha então que P Q ∈ ID(P, Q) e seja η = .

  , . . . ,

  Q 1 Q n

  Então, por definição de ID(P, Q), segue que P (η)Q(η) = 0 o que implica que P (η) = 0 ou Q(η) = 0. Novamente, pela definição de ID(P, Q), segue que P ∈ ID(P, Q) ou Q ∈ ID(P, Q). Assim, o ideal implícito ID(P, Q) é um ideal diferencial primo. Além disso, uma vez que a extensão E contém cada

  P

i (U )

  de P , segue da definição de variedade u i i (U ) e Q i (U ), e portanto de

  Q

i (U )

  implícita que η ∈ Z (ID (P, Q)). E mais, visto que ID(P, Q) é um ideal diferencial primo, tem-se por definição que η é um zero genérico de ID(P, Q).

  Utilizando as mesmas notações introduzidas acima, sejam PS = {F = P − x Q , . . . , F n = P n − x n Q n } e DS = {Q , . . . , Q n } .

  1

  1

  1

  1

  1 Como PS = {P i (U ) − x i Q i (U ) , i = 1, . . . , n}, em K {U, X}, é um conjunto

  autoreduzido ascendente nas variáveis ordenadas u < · · · < u m < x < · · · < x n ,

  1

  

1

podemos definir SAT (PS).

  Lema 2.9 : SAT (PS) é um ideal diferencial primo de dimensão m e SAT (PS) ∩ K {X} é o ideal implícito do conjunto de EDRP’s.

  P (U ) P n (U )

  1 x = , . . . , x = . 1 n

  Q

  

1 (U ) Q n (U )

  Demonstração. Seja SAT (PS), onde PS

  = {F = P − x Q , . . . , F n = P n − x n Q n }

  1

  1

  1

  1

  é um conjunto autoreduzido ascendente nas variáveis ordenadas u < · · · < u m < x < · · · < x n .

  1

  

1

Sob esta ordenação, tem-se que as variáveis líderes são de grau 1. Por-

  tanto, PS é um conjunto autoreduzido ascedente irredutível e temos, pela proposição 2.3, que SAT (PS) é um ideal primo, com zero genérico da forma P P n

  1

  η = U, , . . . , Q

1 Q n

  A dimensão de SAT (PS) é o grau de transcendência diferencial de η sobre K, que é m. Agora, como η é um zero genérico de SAT (PS), tem-se que

  P P n

  1

  η = , . . . , Q Q n

  1

  é um zero genérico de SAT (PS) ∩ K {X}. Ora, mas pelo Lema 2.8, η também é um zero genérico de ID(P, Q). Assim, SAT (PS) ∩ K {X} e

  ID (P, Q) possuem o mesmo zero genérico, e portanto, SAT (PS) ∩ K {X} = ID (P, Q) . De acordo com isso, segue que SAT (PS) ∩ K {X} é o ideal implícito do

  P (U ) P n (U )

  1 conjunto de EDRP’s x = , . . . , x n = .

  1 Q (U ) Q n (U )

  1 Lema 2.10 : Z (PS/DS) = Z (SAT (PS) /DS).

  Demonstração. Dadas as variedades diferenciais Z (PS/DS) e Z (SAT (PS) /DS) , como por definição PS ⊂ SAT (PS), onde PS, SAT (PS) ⊂ K {U, X}, segue que Z (SAT (PS) /DS) ⊂ Z (PS/DS) .

  Vamos mostrar que Z (PS/DS) ⊂ Z (SAT (PS) /DS). Tome arbitraria- mente η ∈ Z (PS/DS). Da definição de PS e DS, segue que F (η) = 0 e

  i

  Q i (η) 6= 0, para i = 1, . . . , n. Agora, dado H ∈ SAT (PS), pela definição de SAT (PS), existe um SI-produto J de polinômios diferenciais em PS tal que, JH ∈ [P S]. Ora, mas na verdade, pela definição de PS e visto que F i (η) = 0 e Q i (η) 6= 0, para i = 1, . . . , n, existe então é um pro- duto J de potências de Q tal que, JH ∈ [P S]. Note agora que sendo

  i

  J(η)H(η) = 0, tem-se que η ∈ Z (SAT (PS)). De fato, pois por definição de SI-produto temos que J 6= {0}, e portanto J(η) 6= 0. Daí, H(η) = 0 e segue que η ∈ Z (SAT (PS)), visto que SAT (PS) é um ideal diferencial primo (Lema 2.9), e assim, η é um seu zero genérico. Como η foi tomado qualquer, tem-se que Z (PS/DS) ⊂ Z (SAT (PS) /DS), e concluímos que Z (PS/DS) = Z (SAT (PS) /DS).

  Observação 2.11 Do Lema 2.9, para acharmos o conjunto característico do ideal implícito, precisamos achar o conjunto característico para o ideal primo SAT (PS) nas variáveis ordenadas x < · · · < x < u < · · · < u .

  1 n 1 m Com o Lema 2.10, esse problema é reduzido a acharmos a decomposição dos zeros Z (PS/DS). Aplicando o Teorema 2.6 nas variáveis ordenadas x < · · · < x n < u < · · · < u m , teremos:

  1

  1

  [ Z (PS/DS) = Z (SAT (A i ) /DS) ,

  i onde os A i são conjuntos autoreduzidos ascedentes irredutíveis.

  Lema 2.12 Existe um A na decomposição

  k

  [ Z (PS/DS) = Z (SAT (A i ) /DS)

  i

  P i tal que, substituindo x por , todo polinômio diferencial em A se anula,

  i k

  Q i e temos SAT (A k ) = SAT (PS) . Demonstração. Primeiramente note que, de fato, existe um A k na decom- posição

  [ Z (PS/DS) = Z (SAT (A i ) /DS)

  i P i tal que, substituindo x por , todo polinômio diferencial em A se anula. i k Q i

  P 1 P n

  Com efeito, tendo em vista a observação anterior, como η = U, , . . . ,

  Q 1 Q n

  é um zero genérico do ideal primo SAT (PS) (Lema 2.8), e por conseguinte, η ∈ Z (PS/DS) (Lema 2.10), um tal k existe. Assim, resta-nos mostrar que SAT

  (A k ) = SAT (PS). Pela decomposição dada e do (Lema 2.10), tem-se que [ Z (SAT (PS) /DS) = Z (SAT (A i ) /DS) .

  

i

  Assim, já temos que SAT (PS) ⊂ SAT (A k ). Basta então mostrar que SAT

  (η anula todo polinômio (A k ) ⊂ SAT (PS). Como η é um zero de A k diferencial em A k como dito inicialmente) e também um zero genérico de

  SAT (PS), tem-se que A k ⊂ SAT (PS). Agora, note que para um SI- produto J qualquer de A k , digamos J = I S , tem-se que J / ∈ SAT (PS).

  A k A k

  Com efeito, caso contrário temos que J ∈ SAT (PS) ⊂ SAT (A

  k ), e assim,

  J ∈ SAT (A k ). Ora, mas isso é uma contradição, pois sendo A k um con- junto autoreduzido irredutível, por definição, não podem existir polinômios diferenciais I e S , reduzidos pelos polinômios diferenciais em A k , tais

  A k A k

  que ambos f r (I , A k ) e f r (S , A k ) são não nulos e f r (I S , A) = 0 (o

  A k A k A k A k produto I S , e portanto J, não está em A k , isto é, f r (I S , A) 6= 0).

  A k A k A k A k

  De acordo disso, dado arbitrariamente H ∈ SAT (A

  k ), mostremos então que

  H ∈ SAT (PS). Uma vez que H ∈ SAT (A k ), por definição, existe um polinômio diferencial L que é um SI-produto dos polinômios diferenciais em A k tal que, LH ∈ [A k ] ⊂ SAT (PS) (por definição, [A k ] é o menor ideal con- tendo o seu gerador A k ). Como, em particular, o SI-produto L não está em SAT (PS), e sendo SAT (PS) um ideal primo, tem-se que H ∈ SAT (PS). Uma vez que H foi tomado qualquer, segue que

  SAT (A k ) ⊂ SAT (PS) , e portanto, concluímos que SAT (A k ) = SAT (PS).

  Depois de mudarmos os nomes das variáveis, podemos escrever A k como segue: A

  1 (x 1 , . . . , x d +1 ) , . . . , A n −d (x 1 , . . . , x n ) , . . .

  . . . , B (x , . . . , x , u , . . . , u ) , . . . , B (x , . . . , x , u , . . . , u ) .

  1 1 n 1 s +1 m −s 1 n 1 m

  Pelo Lema 2.10, tem-se que SAT (PS) = SAT (A

  k ) tem dimensão m. Assim,

  o conjunto de variáveis paramétricas de A k , a saber {x , . . . , x d , u , . . . , u s },

  1

  1

  deve conter m elementos p.44). Temos então que d + s = m. De acordo com isso e de posse do próximo teorema, seremos capazes (seção 4) de impormos uma condição necessária e suficiente sobre o grau de transcendência

  D E

  P 1 P n

  diferencial do corpo K , . . . , , sobre K, em respeito aos parâmetros

  Q 1 Q n dados acima.

  Teorema 2.13 O ideal implícito do conjunto de EDRP’s P (U ) P n (U )

  1

  x = , . . . , x n =

1 Q (U ) Q n (U )

  1 , . . . , A n ). 1 −d

  é ID(P, Q) = SAT (A Demonstração. Pelo processo de computação acima, A k escrito como

  A

  1 (x 1 , . . . , x d +1 ) , . . . , A n −d (x 1 , . . . , x n ) , . . .

  . . . , B (x , . . . , x , u , . . . , u ) , . . . , B (x , . . . , x , u , . . . , u ) ,

  1 1 n 1 s +1 m −s 1 n 1 m

  é o conjunto característico de SAT (PS). Agora, o resultado é consequência dos Lemas 2.9 e 2.10.

  Ressaltamos que o problema de como se calcular a base para o ideal primo implícito está em aberto. Por sorte, usando o Teorema da Baixa Potência p.65), conseguimos obter uma base para o ideal implícito do exemplo que segue.

  Exemplo 2.14 Consideremos as seguintes EDRP’s:

  2

  x = u

  ′

  y = u Considerando o conjunto de polinômios diferenciais

  2 ′

  S = F

  1 = x − u , F 2 = y − u ,

  sob a ordem x < y < u nas variáveis, seja o conjunto autoreduzido A = {A

  1 , A 2 } obtido por derivação sobre S:

  n o

  2 2 ′ ′

  A = 4xy − (x ) , 2yu − x Pelo Teorema de Decomposição dos Zeros de Wu-Ritt (Teorema 2.5), tem-se que os zeros de S é n o

  2 2 ′ ′ ′

  2 Z 4xy − (x ) , 2yu − x /xy ∪ Z x , y, u − x /u ∪ Z ({x, y, u})

  2 2 ′

  Note que apenas A = 4xy − (x ) se anula para as EDRP’s dadas. Pelo

  1

  processo de obtenção de A dado anteriormente, vem que o ideal implícito é

  k

  2 2 ′

  SAT 4xy − (x ) . Pelo Teorema da Baixa Potência, segue que h i

  2

  2 2 ′ 2 ′

  SAT 4xy − (x ) = 4xy − (x ) .

2.3 A Imagem de um conjunto de EDRP’s

  n

  Definição 2.15 O conjunto imagem de um conjunto de EDRP’s em E é P i (τ )

  n m

  onde η

  IM (P, Q) = (η 1 , . . . , η n ) ∈ E | existe τ ∈ E i = .

  Q i (τ ) Para calcularmos essa imagem, precisamos do seguinte conceito. Para dois conjuntos S e D de polinômios diferenciais em K {U, X}, definimos a projeção em X como segue:

  m n

  P roj x 1 ,...,x Z (S/D) = {e ∈ E | existe a ∈ E tal que (e, a) ∈ Z (S/D)}

  n

  O próximo teorema descreve a relação entre a imagem e a variedade implícita de um conjunto de EDRP’s e nos dá uma representação canônica para a imagem. Mas antes, precisamos de um lema que será útil na demonstração do teorema.

  Lema 2.16 Podemos encontrar conjuntos de polinômios diferenciais S i e polinômios diferenciais d , para i = 1, . . . , t, tais que

  i

  [ Z (S i / {d i })

  IM (P, Q) =

  

1≤i≤t

n

  Demonstração. Primeiramente, escrevendo x = (x , x , . . . , x n ) ∈ E , veja

  1

  2

  que podemos escrever a imagem como segue: P i (τ )

  n m

  IM onde x (P, Q) = x ∈ E | existe τ ∈ E i =

  Q i (τ )

  n m

  onde Q = {x ∈ E | existe τ ∈ E i (τ ) x i − P i (τ ) = 0 e Q i (τ ) 6= 0}

  

m n

  tal que (e, a) ∈ Z (PS/DS)} = P roj x Z (PS/DS) = {e ∈ E | ∃ a ∈ E

  Com o algoritmo para o cálculo de projeção apresentado em podemos achar conjuntos de polinômios diferenciais S i e polinômios diferenciais d i , para i = 1, . . . , t, tais que

  [

  IM (P, Q) = Z (S i / {d i })

  

1≤i≤t

seja válido.

  Teorema 2.17 Se V é uma variedade implícita do conjunto de EDRP’s P (U ) P n (U )

  1

  x = , . . . , x n =

1 Q (U ) Q n (U )

  1

  e de dimensão d, então: (1) IM(P, Q) ⊂ V.

  (2) A variedade V−IM(P, Q) é uma quasi-variedade diferencial com di- mensão menor do que ou igual a d, mas com ordem menor do que a ordem de V. (3) Podemos achar conjuntos autoreduzidos ascendentes irredutíveis A e

  A i tais que

  k

  [ Z (A i /J i D i )

  IM (P, Q) = Z (SAT (A)) −

  i =1

  onde SAT (A) é o ideal implícito do conjunto de EDRP’s, os J são SI-

  i

  produtos de A i e os D i são polinômios diferenciais. Em outras palavras, V é

  n .

  o fecho de IM(P, Q) (em relação à topologia de Zariski diferencial) em A E Demonstração. Seja V a variedade implícita (uniracional) do conjunto de EDRP’s de dimensão d

  P (U ) P n (U )

  1

  x = , . . . , x = (representação paramétrica de V)

  1 n

  Q

  1 (U ) Q n (U )

  A condição (1) é uma consequência do Lema 2.9 e a condição (2) segue de (3) e do Teorema da Dimensão Diferencial (p.49). De acordo com isso, precisamos provar somente (3). Pelo Lema 2.16, podemos encontrar conjuntos S k de polinômios diferenciais e polinômios diferenciais d k , para i = 1, . . . , k, em K {X} tais que

  [

  IM (P, Q) = Z (S k / {d k }) .

  1≤i≤k

  Pelo Teorema 2.5, podemos assumir ainda que [

  IM (P, Q) = Z (A k / {d k J k }) ,

  k

  onde A k são conjuntos autoreduzidos ascendentes irredutíveis e J k são SI- P P

  1 n

  produtos de A . Se η = , então η ∈ IM(P, Q). Como

  k , . . . ,

  Q Q n

  1

  [

  IM (P, Q) = Z (A k / {d k J k }) ,

  k

  obtemos η ∈ Z (A

  k / {d k J k }), para algum k. Temos ainda que η ∈ Z (SAT (A k )),

  pois Z (A k / {d k J k }) ⊂ Z (SAT (A k ) / {d k J k }) pelo Lema 2.10. Vamos mostrar

  ′

  que a variedade implícita V do conjunto de EDRP s é Z (SAT (A k )). Por um lado, como do Lema 2.8 temos que η é um zero genérico de V, segue que V ⊂ Z (SAT (A k )). Temos também que:

  T eo. (1)

  2.5 Lema

2.10 IM

  Z (SAT (A k ) / {d k J k }) = Z (A k / {d k J k }) ⊂ (P, Q) ⊂ V Por outro lado, tomando arbitrariamente um zero genérico ς de SAT (A k ), uma vez que d k J k não está no ideal diferencial primo SAT (A k ), e portanto d k (ς)J k (ς) 6= 0, tem-se que ς ∈ V. Como ς foi tomado arbitrário, segue que Z (SAT (A k )) ⊂ V. Portanto, V = Z (SAT (A k )), e assim, por definição, SAT

  (A k ) é o ideal implícito do conjunto de EDRP’s. Por fim, vamos con- siderar as duas propriedades seguintes correlatas (ao caso diferencial) sobre variedades. (i). Se {I é qualquer coleção de ideais em K[X

  α } 1 , . . . , X n ], então α

  ∈Λ

  ! [ \

  Z K I α = Z K (I α ) .

  α α ∈Λ ∈Λ

  Em particular, a intersecção de qualquer coleção de conjuntos algébricos é um conjunto algébrico. Aqui, dados dois conjuntos S e S de polinômios diferenciais e D e D dois

  1

  2

  1

  2

  polinômios diferenciais, tem-se que: Z (P S ∪ P S / {D D }) = Z (S / {D }) ∩ Z (P S / {D }) .

  1

  2

  1

  2

  1

  1

  2

  2 S

  (ii). Z (S

  1 / {D 1 }) − Z (S 2 / {D 2 }) = Z (S 1 / {D

  1 P }) ∪ Z (S 1 ∪ {D 2 } / {D 1 }) . P 2

∈S

  De acordo com estas considerações temos: S

  IM (P, Q) = Z (SAT (A k ) / {d k J k }) ∪ i Z (A i / {d i J i })

  6=k

  S = [Z (SAT (A k )) − Z ({d k J k })] ∪ i Z (A i / {d i J i })

  6=k

  = Z (SAT (A k )) − Z ({d k J k }) − ∪ i Z (A i / {d i J i })

  6=k

  = Z (SAT (A k )) − [Z ({d k J k }) − ∪ i Z (A i / {d i J i })]

  6=k k ⋆

  S = Z (SAT (A)) − Z (A i /J i D i ) .

  i =1

  Portanto,

  k

  [

  IM (P, Q) = Z (SAT (A)) − Z (A i /J i D i )

  i A igualdade identificada por uma estrela (⋆) foi obtida fazendo uso das propriedades refereridas anteriormente, e assim, viabilizando mudança de [

  Z ({d J }) − Z (A / {d J })

  k k i i i i

6=k

k

  [ para a forma desejada Z (A i /J i D i ).

  i =1

  Exemplo 2.18 Vamos calcular a imagem de EDRP’s do exemplo 2.14 dadas por

  2

  x = u

  ′

  y = u Agora, usando o m´etodo da projeç˜ao em Gao e Chou temos:

  2 2 ′ ′

  IM (P, Q) = Z 4xy − (x ) / {xy} ∪ Z ({x , y} /x) ∪ Z ({xy})

  2 2 ′ ′

  = Z 4xy − (x ) / {xy} ∪ Z ({x , y}) Então, pelo Teorema 2.17, podemos achar as seguintes representações canôni- cas:

  2

2 ′ ′

  IM (P, Q) = Z 4xy − (x ) / {xy} ∪ Z ({x , y})

  2 2 ′ ′

  = Z 4xy − (x ) − [Z ({xy}) − Z ({x , y})]

  2 2 ′ ′

  = Z 4xy − (x ) − {[Z ({x}) ∪ Z ({y})] − Z ({x , y})}

  2 2 ′ ′ ′

  = Z 4xy − (x ) − {[Z ({x}) ∪ Z ({x y})] − Z ({x , y})}

  2 2 ′ ′

  = Z 4xy − (x ) − [Z ({x}) − Z ({x , y})]

  2 2 ′

  = Z 4xy − (x ) − Z ({x} / {y})

  ′

  Acima, usamos o fato Z ({y}) = Z ({x , y}), que é válido sob a condição

  2 2 ′

  4xy − (x ) = 0. Do exemplo acima, vemos que a imagem geralmente não é igual à variedade implícita.

2.4 Parâmetros Independentes

  Os parâmetros u , . . . , u do conjunto de EDRP’s são chamados indepen-

  1 m

  dentes se o ideal implícito deste conjunto de EDRP’s for de dimensão m ou, D E

  P 1 P n

  equivalentemente, o grau diferencial transcendente do corpo K , . . . ,

  Q 1 Q n sobre K é m.

  O próximo resultado nos fornece um meio de checarmos se determina- dos parâmetros são ou não independentes. Para tanto, vamos considerar a construção feita na secção 2 para A k , a saber,

  A (x , . . . , x d ) , . . . , A n (x , . . . , x n ) ,

  1 1 +1 −d

1 B (x , . . . , x n , u , . . . , u s ) , . . . , B m (x , . . . , x n , u , . . . , u m ) ,

  1

  1 1 +1 −s

  1

  1 e vamos designá-la por Ψ.

  Lema 2.19 Suponha que tenhamos construído Ψ. Então a dimensão de

  ID(P, Q) é d = m − s > 0, e portanto, os parâmetros são independentes se, e somente se, s = 0. Demonstração. A dimensão de um ideal primo é igual ao número de parâmetros de seu conjunto característico Pelo Teorema 2.13, a di- mensão do ideal implícito é ID(P, Q) = d = m − s. As vezes é desejável, ou mesmo necessário, que determinados parâmetros de um conjunto de EDRP’s sejam independentes, mas nem sempre os são. O resultado que segue, nos assegura que podemos reparametrizar as EDRP’s para que novas EDRP’s possuam parâmetros independentes.

  Se os parâmetros do conjunto de EDRP’s Teorema 2.20

  P (U ) P n (U )

  1

  x = , . . . , x n =

  1 Q (U ) Q (U ) 1 n

  não são independentes e K = Q(t) é o corpo de frações, então podemos achar o conjunto P

  1 P n

  x = , . . . , x n =

  1 Q Q n

  1

  de novas EDRP’s que possui a mesma variedade implícita deste conjunto de EDRP’s, porém com parâmetros independentes.

  Demonstração. Suponha que o conjunto de EDRP’s P (U ) P (U )

  1 n

  x

  1 = , . . . , x n =

  Q (U ) Q n (U )

  1 tenha parâmetros não independentes e seja K = Q(t) o corpo de frações.

  Primeiramente, vamos mostrar que a partir deste conjunto de EDRP’s com parâmetros não independentes, podemos achar um novo conjunto de EDRP’s P P n

  1

  x = , . . . , x =

  1 n

  Q

1 Q n

  mas agora com parâmetros independentes. Para isso, considere inicialmente o SI-produto J = I de Ψ designado anteriormente. Como Ψ é irredutível,

  Ψ S Ψ

  por definição, tem-se que f r (I S , Ψ) 6= 0. Pelo Lema 4 p.175), pode-

  Ψ Ψ

  mos achar um polinômio diferencial F não nulo, reduzido com Ψ e livre dos líderes dos polinômios diferenciais em Ψ tal que, F ∈ [A , . . . , A n , B , . . . , B m , J].

  1 −d 1 −s

  Analogamente, uma vez que f

  r (Q i , Ψ) 6= 0, podemos encontrar um polinômio

  diferencial não nulo q i , reduzido com Ψ e livre dos líderes dos polinômios diferenciais em Ψ tal que, q

  i ∈ [A 1 , . . . , A n −d , B 1 , . . . , B m −s , Q i ]. Defina n

  Y M := F q j .

  j =1

  É claro que M assim definido é um polinômio diferencial livre dos líderes dos polinômios diferenciais em Ψ, pois F e q i os são. Segue então que M / ∈ SAT

  (Ψ). Com efeito, pois pela definição de SAT (Ψ), a fim de que P ∈ SAT

  (Ψ), deve-se cumprir JP ∈ [Ψ], sendo J um SI-produto. Mas tal J não pode ocorrer (devido sua definição), pois não há líderes em M. Agora, substituindo x i por P i /Q i em M, obtemos uma função diferencial racional não nula N em u . Como K = Q(t), existem h em K tais que,

  i 1 , . . . , h s

  quando substituirmos u i por h s , para cada i = 1, . . . , s, tem-se que N torna- se um polinômio diferencial não-nulo N p.35). Sejam os polinômios diferenciais P i , Q i e B i obtidos de P i , Q i e B i a partir da substituição de u i por h s , para cada i = 1, . . . , s. Note que P i , Q i e B i envolvem somente u s , . . . , u m . Assim, agora obtivemos o novo conjunto de EDRP’s

  • 1

  P P n

  1

  x = , . . . , x n =

1 Q Q n

  1 e com parâmetros independentes. Como N 6= 0, depois da substituição, Ψ ainda permanece sendo um conjunto autoreduzido ascendente, que é de-

  ′

  notado por Ψ . Finalmente, vamos mostrar que o conjunto com as no- vas EDPR’s obtidas possui a mesma variedade implícita do conjunto de EDRP’s inicial. Considerando então que W e V sejam as variedades im- plícitas definidas, respectivamente, por

  P (U ) P n (U ) P P n

  1

  1

  x = , . . . , x n = e x = , . . . , x n = ,

  1

  1 Q 1 (U ) Q n (U )

  Q

  1 Q n

  devemos provar que W = V . Por um lado, pela seleção feita de h i , é claro que W ⊂ V . Por outro lado, tome φ = (α

  1 , . . . , α n ) um zero genérico de V .

  Como feito acima, substituindo-se x por α em B obtemos c . Pela seleção

  i i i B i

  de h i , os SI-produtos de c B i são não nulos. Daí, pelo Teorema da Projeção Lema 3.5), existem soluções h i para u i , com i = s+1, . . . , m, de c B i = 0, que não anula M, e então, nem Q i e nem os inicial e separante de B i . Seja agora ξ = (α , . . . , α n , h , . . . , h m ). Temos que M (ξ) 6= 0 e isto implica que

  1

1 Q(ξ) 6= 0 e J(ξ) 6= 0. Como F i = P i − x i Q i ∈ SAT (Ψ), existe por definição

  um SI-produto L de Ψ tal que, LF i ∈ [Ψ]. Então L (ξ) F i (ξ) = 0. Ora, mas de J(ξ) 6= 0 temos que L (ξ) 6= 0, e assim, segue que P

  i (ξ) − α i Q i (ξ) = P i (ξ) F i (ξ) = 0. Daí, tem-se que α i = e φ ∈ W . Portanto, W = V .

  Q i (ξ)

  Exemplo 2.21 Consideremos as seguintes EDRP’s

  2

  2

  4

  x = u + 2uv + v

  ′ ′

  y = u + 2vv

  2

  2 4 ′ ′

  Seja S = {x − u − 2uv − v , y − u − 2vv }. Com a ordenação y < x < v < u nas variáveis, pelo Teorema de Decomposição dos Zeros de Wu-Ritt (Teorema 2.5), tem-se que

  2 ′ 2 2 ′ ′

  Z (S) = Z (x ) − 4xy , 2y (u − v ) − x / {x y} ∪ n o

  2 ′

  2

  2

  2 ∪ Z y, x , (u − v ) − x / {u − v } ∪ Z ({y, x, u − v }) .

  Usando o Lema 2.12, podemos checar que

  2 ′ 2 2 ′

  (x ) − 4xy e 2y u − v − x

  é um conjunto autoreduzido correspondente à Ψ (designação do conjunto autoreduzido A feita anteriormente). Pelo Lema 2.19, podemos checar que

  k

  os paraâmetros u e v não são independentes. O SI-produto para conjunto

  2 ′ ′ ′

  2

  autoreduzido acima é J = x de J com (x y. Para elimanarmos x ) − 4xy

  4

  temos que F = 4xy . Para acharmos o conjunto de parâmetros indepen- dentes, precisamos somente escolher um valor para v tal que o seguinte não seja zero:

  

  4

  ! 

  4

  2

  2 4 ′ ′

   F = 4xy = 4 u + 2uv + v u + 2vv

  | {z } | {z }

  =x =y

  Escolhamos v = 0. Assim, as EDRP’s

  2

  2

  4

  x = u + 2uv + v

  ′ ′

  y = u + 2vv dadas inicialmente tornam-se as EDRP’s

  2

  x = u

  ′

  y = u do exemplo anterior, com parâmetro independente.

  

2.5 Inversão de Mapas e Equações Paramétri-

cas Próprias

  Dado um conjunto de EDRP’s, nossa preocupação agora é a de responder o problema da inversão, isto é, obter um meio de calcular os mapas inversos de um dado conjunto de EDRP’s. O problema da inversão é o seguinte. Dado um ponto (a , . . . , a n ) na imagem

  1

  do conjunto de EDRP’s, devemos encontrar o conjunto de valores (τ , . . . , τ m )

  1

  para u tais que, para i = 1, . . . , n, P i (τ , . . . , τ m )

  

1

  a i = Q i (τ , . . . , τ m )

  

1

Esse problema pode ser reduzido à resolução de um problema de uma equação

  diferencial. A seguir, mostramos que em certos casos, podemos achar uma solução de forma fechada para o problema da inversão. Os mapas inversos para EDRP’s são funções dos x i e suas derivadas u = f (x , . . . , x n ) , . . . , u m = f m (x , . . . , x n ) ,

  1

  1

  1

  1

  P i tais que o que segue torna-se uma identidade quando substituindo x por :

  i

  Q i P i (f , . . . , f m )

  

1

  x i ≡ Q i (f , . . . , f m )

  

1

O problema da inversão está fortemente ligado ao fato das equações paramétri- cas serem próprias.

  Definição 2.22 Dizemos que as equações diferenciais racionais paramétri- cas de um conjunto de EDRP’s são próprias (ou que um conjunto de EDRP’s é próprio), se para um zero genérico (a

  1 , . . . , a n ) (e assim a maioria dos pon- m

  tos) da variedade implícita, existe somente um (τ , . . . , τ m ) em E tal que,

  1

  para i = 1, . . . , n, P i (τ , . . . , τ m )

  

1

  a i = Q i (τ , . . . , τ m )

  

1

Pelo Teorema 2.20, podemos assumir que os parâmetros u , . . . , u m do con-

  1

  junto de EDRP’s sejam idependentes, isto é, s = 0. Então Ψ (definido na seção anterior) torna-se (fazendo d = m em Ψ, pois s = 0) A (x , . . . , x m ) , . . . , A n (x , . . . , x n ) ,

  1 1 +1 −m

  

1

B (x , . . . , x n , u ) , . . . , B m (x , . . . , x n , u , . . . , u m ) ,

  1

  1

  1

  1

  1

  que representaremos por Υ. As equações B = 0, . . . , B m = 0 são equações

  1

  diferenciais em u , respectivamente. Uma vez que este “novo” Ψ é um con-

  i

  junto característico de SAT (PS), uma solução de B i = 0 que não anula o SI-produto de nosso “novo” Ψ é uma solução de u em termos de x , e pode

  i i ser tratado como um conjunto de mapas inversos.

  Usando as notações acima, o resultado que segue nos mostra que podemos obter, em certos casos, uma representação explícita para os mapas inversos. Teorema 2.23 O conjunto de EDRP’s é próprio se, e somente se, B

  i =

  I i u i − U i são lineares em u i , para i = 1, . . . , m , e se este for o caso, os mapas inversos são U U m

  1

  u = , . . . , u m =

1 I

  I m

  1 onde I i e U i são polinômios diferenciais em K {X}.

  Demonstração. Primeiramente note que os B são as relações entre x e

  i

  u , . . . , u i que possuem a menor ordem e grau em u i . Como Υ é um conjunto

  1 autoreduzido ascendente irredutível, para um zero genérico η da variedade implícita V, B

  i (η, u 1 , . . . , u i ) para i = 1, . . . , m, sempre possui raízes múlti-

  plas para os u i se B i não for linear em u i . Portanto, um ponto x ∈ IM(P, Q) corresponde a um conjunto de valores para u se, e somente se, os B forem

  i i

  lineares em u i , para i = 1, . . . , m. Seja B i = I i u i − U i onde I i e U i estão em U

  i , para i = 1, . . . , m.

  K {X} então as mapas inversos são u i = I i

  Se um conjunto de EDRP’s com parâmetros independentes for próprio, estas EDRP’s e seus mapas inversos geram um isomorfismo diferencial biracional

  m

  entre a variedade implícita e o espaço diferencial afim A . Neste caso, a

  K

  variedade implícita é chamada racional. O teorema clássico de Lüroth no caso algébrico diz que aquelas variedades uniracionais de dimensão 1 são sempre racionais (página 52).

  Lema 2.24 Se u é uma indeterminada e F um corpo diferencial tal que, K ⊂ F ⊂ K hui, então existe v ∈ K hui tal que, F = K hvi. Mais ainda, u é um zero genérico de um ideal primo I ⊂ F [y]. Além disso, se I = SAT

  ({f (y)}), para algum polinômio difrerencial irredutível f (y) = a r D + · · · + a D r + a

  1

  1

  onde a i ∈ F ⊂ K hui e com os D i como produtos de derivadas de y, então a s a s um dos elementos não está em K e temos que F = K . a a

  r r

  De posse deste lema, vamos ao teorema final que nos fornece um método para encontrar uma reparametrização própria para EDRP’s impróprias. Teorema 2.25 Se m = 1 e o conjunto de EDRP não é próprio, podemos

  s

  f (u )

  1

  achar um novo parâmetro s = , onde f e g estão em K {u } e tais que,

  1

  g(u )

  1

  a reparametrização do conjunto de EDRP’s em termos de s, F (s) F n (s)

  1

  x = , . . . , x n =

1 G (s) G n (s)

  1 sejam próprias.

  Demonstração. Defina o corpo diferencial P

  1 P n

  K := K , . . . , Q Q n

  P P n

  1

  adicionando a K os elementos (veja Ou seja, K é o , . . . ,

  Q

1 Q n

  P i conjunto de todas as funções racionais em e as suas derivadas, com coe- Q

  i

  P (u )

  1

  1

  ficientes em K. Como P (u ) − Q (u ) l = 0, onde l = ∈ K , temos

  1

  1

  1

1 Q (u )

  1

  1

  que u satisfaz uma equação diferencial algébrica sobre K . Seja I um ideal

  1

  primo em K um zero genérico e {f} o conjunto característico {w}, com u

  1

  para I. Escreva f na forma f (w) = a D + · · · + a D + a ,

  r

  1 1 r

  onde a e os D sendo produtos de derivadas de w. Pelo Lema 2.24,

  i ∈ K i

  a i a s ao menos um dos , digamos η = , não está em K e K = K(η). Isto a a

  r r

  P

  i

  significa que x pode ser expresso como funções racionais em η e suas

  i =

  Q i derivadas, e com η também podendo ser expresso como uma função racional P i de e suas derivadas. Em outras palavras, existe uma correspondência

  Q i P i biunívoca entre os valores de x e η. Portanto, η é o novo parâmetro

  i =

  Q i que procuramos. Para calcularmos η, basta tomarmos B i (x , . . . , x n , u ) = 0

  1

  1

  como sendo o polinômio diferencial de Υ. Então, P P n

  

1

B (w) = B , . . . , , w = 0

  1

  1 Q Q n

  

1

  é um polinômio diferencial em K {w} de menor ordem e grau em w tal que, B

  1 (u 1 ) = 0, isto é, B 1 (w) pode ser tomado como f (w). De acordo com isso,

  s pode ser obtido como segue. Se B for linear em u , não há nada a ser

  

1

  1

  feito. Caso contrário, suponha que B = b r D + · · · + b D r + b ,

  1

  1

  1 ′

  onde b i está em K {X} e os D s sendo produtos das derivadas de u . Subs-

  i

  1 P i

  tituindo x i por , vem que b i torna-se um elemento a i (u ) em K . Pelo

  1 Q i

  a i a a menos um dos , digamos , não está em K. Seja s = . Novamente a r a r a r

  P i pelo Lema 2.24 temos que x i = pode ser expresso como funções racionais Q i em s e suas derivadas. Eliminando-se u das EDRP’s

  1 P (U ) P n (U )

  1

  x = , . . . , x n =

1 Q (U ) Q n (U )

  ′ ′

  a r s − a , obtemos R i = Q x i − P que deve ser linear em x i . Portanto,

  i i

  obtemos a reparametrização do conjunto de EDRP em termos de s,

  s

  F (s) F n (s)

  1 x = , . . . , x n = .

  1 G 1 (s) G n (s)

  P j Note que a i surge de b i substituindo-se x j por , com j = 1, . . . , n, e então

  Q j b s = é um mapa inverso de b r

  F (s) F n (s)

  1 x = , . . . , x n = .

  1 G 1 (s) G n (s)

  Exemplo 2.26 Consideremos as seguintes EDRP’s

  4

  x = u

  ′

  y = 2uu

  4 ′

  Seja S = {x − u , y − 2uu }. Sob a ordenação x < y < u nas variáveis, pelo Teorema de Decomposição dos Zeros de Wu-Ritt (Teorema 2.5), tem-se que

  2 2 ′ 2 ′

  Z (S) = Z 4xy − (x ) , 2yu − x / {xy} ∪

  ′

  4

  ∪ Z ({x , y, u − x} / {u}) ∪ Z ({x, y, u})

  2 ′

  Como 2yu − x não é linear em u, pelo Teorema 2.23 as EDRP’s

  4

  x = u

  ′

  y = 2uu s

  ′

  x não são próprias. Um mapa inverso poderia ser u = . Para acharmos 2y

  EDRP’s próprias, pelo Teorema 2.25 temos que

  

2 ′ ′

  2 3 ′ B = 2yw − x = 4uu w − 4u u .

  1 3 ′

  4u u

  2 Podemos selecionar novos parâmetros s = = u . Eliminando-se u de ′

  4uu

  2

  s = u e das EDRP’s consideradas no início, obtemos um novo conjunto de equações paramétricas, a saber,

  2

  x = s

  ′

  y = s possuindo o mesmo ideal implícito que das referidas EDRP’s consideradas no início e é próprio. O que são na verdade as EDRP’s

  2

  x = u

  ′

  y = u do exemplo dado a pouco. O mapa inverso para este conjunto de equações

  ′

  x paramétricas próprias é s = , que tem um significado para aqueles pontos 2y da imagem satisfazendo y 6= 0. Capítulo 3 Implicitização de Sistemas de EQDP’s Paramétricas

  Vamos agora estudar a implicitização de equações diferenciais polinomiais paramétricas lineares via resultantes diferenciais. Assim, os métodos de re- solução dos problemas presentes neste capítulo serão realizados com uma abordagem diferente ao feito no capítulo precedente, em que os métodos algo- rítmicos empregados para resolver os problemas propostos foram abordados via conjuntos característicos. É neste capítulo que se encontra o resultado principal desta dissertação, a saber, a determinação de uma fórmula explícita da resultante diferencial em termos da resultante diferencial homogênea.

  

3.1 Parametrizações e Implicitizações de Vari-

edades

  A Álgebra Computacional é um assunto da ciência da computação dedicada a métodos de resolução de problemas utilizando algoritmos simbólicos for- mulados matematicamente, bem como à execução destes algoritmos através de softwares e hardwares.

  Conjuntos algébricos podem ser apresentados de duas formas, a saber, através de equações paramétricas ou, de maneira implícita como um conjunto de soluções de equações cartesianas. Cada maneira tem suas vantagens. A implicitização é o processo de passar da primeira forma à segunda, sendo de certo modo, complementar à teoria de eliminação. Vamos olhar para as duas representações de um conjunto algébrico mencionadas, a saber, a parametrização e a implicitização. Comecemos pela parametrização. Uma das preocupações da geometria algébrica é a de descrever os pontos de uma variedade afim V. Isso reduz a perguntar se existe uma maneira de "escrever"as soluções do sistema de equações polinomiais f 1 = · · · = f s = 0. Quando há um número finito de soluções, o objetivo é simplesmente enumerá- las. Mas o que fazer quando há uma infinidade delas? Como veremos, esta questão leva à noção de parametrizar uma variedade afim.

  Para começar, vamos olhar para um exemplo de álgebra linear. Considere o seguinte sistema de equações com coeficientes reais: x + y + z = 1

  S :=

  1

  x + 2y − z = 3

  3 Geometricamente, o sistema S representa uma reta em R , que é a inter-

  1

  secção dos planos Π : x + y + z = 1 e Π : x + 2y − z = 3.

  1

  2 O sistema possui infinitas soluções. Para descrevê-las, uma das técnicas é

  usarmos operações nas linhas da matriz do sistema para obter as equações equivalentes x + 3z = −1 e y − 2z = 2. Assim, podemos utilizar z como parâmetro. Fazendo z = t, obtemos todas as soluções de S quando fazemos

  1

  t variar em R, a saber,  x = −1 − 3t 

  S := y = 2 + 2t

  2

   z = t O sistema S é, uma parametrização das soluções de S .

  2

  1

  É bom destacar que uma parametrização pode não descrever toda a variedade V, em outras palavras, pode não cobrir todos os pontos de V. Com efeito, por exemplo, considere o círculo unitário

  2

  2 C : x + y = 1.

  Uma maneira algébrica de parametrizá-la (veja [13] capítulo 1, § 3) é 

  2

  1 − t   x = 

  2

   1 + t T C :=

    2t   y =

  2

  1 + t Note que esta parametrização, de fato, não descreve todo o círculo, pois desde

  2

  1 − t que x = não pode assumir valor −1, o ponto (−1, 0) (que está em C)

  2

  1 + t não é coberto. Observe que as equações de T C envolvem quocientes de polinômios. Estes são exemplos de funções racionais.

  Lembremos que uma função racional nas variáveis t , com coeficientes , . . . , t m

  1 P

  em K, é um quociente de dois polinômios P, Q ∈ K[t , . . . , t m ], onde Q é

  1 Q

  não nulo. Naturalmente o conjunto das funções racionais em t , . . . , t m com

  1

  coeficientes em K é um corpo, denominado corpo das funções racionais, e o denotamos por K (t , . . . , t m ).

  1 n

  Dada uma variedade algébrica V em K , uma representação paramétrica f

  1 f n

  racional de V consiste de funções racionais , . . . , ∈ K (t

  1 , . . . , t m ) tais

  g g n

  1

  que, os pontos dados por  f (t , . . . , t m )

  

1

  1

   x = , 

  1

    g (t , . . . , t m )

  

1

  1

   (3.1) ...    f n (t

  1 , . . . , t m )

    x n = , g n (t , . . . , t m )

  1

  onde f são polinômios em K[t

  1 , g 1 , . . . , f n , g n 1 , . . . , t m ], com g i 6= 0, estão em

V. Geometricamente, uma representação paramétrica racional de V pode ser

  m n

  vista como um mapa F : K , definido por (3.1). É claro que os −→ K

  m

  pontos em (3.1) podem não estar definidos em todo K devido aos denomi-

  m

  nadores. Mas, se temos W = Z (g g · · · g ) ⊂ K , então é claro que

  K

  1 2 n

  f (t , . . . , t m ) f n (t , . . . , t m )

  1

  1

  1 F (t , . . . , t m ) = , . . . ,

  1

  g

  1 (t 1 , . . . , t m ) g n (t 1 , . . . , t m ) m n

  define um mapa F : K − W −→ K . Assim, para resolvermos o problema

  n

  da implicitização, devemos determinar a menor variedade de K contendo f

  1 f n m

  são polinômios, F (K − W). Em particular, quando r

  1 := , . . . , r n :=

  g g n

  1

  temos uma representação paramétrica polinomial de V  x = r (t , . . . , t m ) , 

  1

  

1

  1

   (3.2) ...   x n = r n (t , . . . , t m )

  1 onde r , . . . , r s são polinômios em K[t , . . . , t m ]. Novamente, podemos pensar

  1

  

1

m n

  geometricamente em um mapa F : K , definido por −→ K

  F (t

  1 , . . . , t m ) = (r 1 (t 1 , . . . , t m ) , . . . , r n (t 1 , . . . , t m )) . m n n

  Assim, temos que F (K ) ⊂ K é o subconjunto de K parametrizado pelas

  m

  equações de (3.2). Como F (K ) pode não ser uma variedade afim (veja exercícios da página 135 em [13]), uma solução do problema da implicitização

  m

  significa então encontrar a menor variedade afim que contém F (K ). Visto que uma parametrização pode não cobrir todos os pontos de V (como bem mostra o exemplo do círculo), salientamos a exigência de que V seja a "menor"variedade que contém esses pontos. Uma das principais virtudes de uma representação paramétrica de uma curva ou superfície é a de ser fácil de se representar graficamente em um com- putador. Com efeito, dadas as equações da parametrização, usando meios computacionais, avalia-se os pontos para vários valores do parâmetro. Por

  2

  2

  2

  3

  3

  exemplo, a variedade afim V = Z (x −y z +z ) ⊂ R que se auto-intercecta

  R

  ao longo do eixo y, pode ser plotada fazendo uso da seguinte representação paramétrica: 

  2

  2

  x = t (u − t ) 

  T := y = u 

  2

  2

  z = u − t Por outro lado, às vezes é útil ter efetivamente as equações cartesianas f = · · · = f s = 0 que definem a variedade V. Estas são denominadas

  1

  representação implícita de V. Por exemplo, suponha que desejamos saber se

  2

  2

  2

  3 o ponto P := P (1, 2, −1) é coberto pela superfície V = Z R (x − y z + z ).

  Neste caso, se temos apenas a parametrização T , é necessário resolver, em t e u, as equações

  2

  2

  1 = t (u − t ) , 2 = u,

  

2

  2 −1 = u − t .

  2

  2

  2

  3 Ora, se temos a representação implícita x

  − y z + z = 0, o trabalho é simplesmente uma avaliação desta equação no ponto P . Assim, uma vez que

  2

  3

  2

  2

  1 − 2 (−1) + (−1) = 1 − 4 − 1 = −4 6= 0, segue que P não está na superfície. O desejo de termos os dois tipos de representações leva às seguintes duas perguntas:

  1. Parametrização: Será que toda variedade afim tem uma representação paramétrica racional?

  2. Implicitização: Dada uma representação paramétrica de uma variedade afim, podemos sempre encontrar as suas equações de definição (ou seja, podemos encontrar uma representação implícita)?

  A resposta à primeira pergunta é não. Na verdade, a maioria das variedades afins não podem ser parametrizadas no sentido descrito aqui. As que podem, são chamadas de uniracionais. Em geral, é difícil decidir se uma determi- nada variedade é uniracional ou não. A situação para a segunda questão é muito mais agradável, ou seja, dada uma representação paramétrica, pode- mos sempre encontrar as suas equações de definição. Com efeito, o con- junto de superfícies racionais é um subconjunto do conjunto das superfícies algébricas. Assim, cada superfície racional paramétrica tem uma represen- tação correspondente implícita e, por definição, o processo de conversão de paramétrico para implícita é conhecido como implicitização.

  Agora, antes de tratarmos da implicitização, vamos fazer alguns comentários sobre a Teoria de Eliminação. A teoria de eliminação estuda métodos sistemáticos para eliminar variáveis de sistemas de equações polinomiais. Em particular, a estratégia básica desta teoria concentra-se em torno de dois teoremas, a saber, o Teorema de Eli- minação e o Teorema de Extensão. Em especial, o problema de implicitização é uma das muitas aplicações da teoria de eliminação. Fazendo uso da lin- guagem desta teoria, podemos ver que a eliminação das variáveis X , . . . , X l

  1

  significa encontrar polinômios não nulos no l-ésimo ideal de eliminação I ,

  l

  conforme definição que segue: Definição 3.1 Dado I = hf , . . . , f s i ⊂ K[X , . . . , X n ], o l-ésimo ideal de

  1

  1

  eliminação é o ideal de K[X

  l +1 , . . . , X n ], definido por I l = I ∩ K[X l , . . . , X n ].

  • 1

  Teorema 3.1 (Teorema de Eliminação) Se I ⊂ K[X , . . . , X n ] é um ideal e

  1 G uma base de Gröbner de I em relação à ordem lex, onde

  X > X > · · · > X n ,

  1

  2 então, para cada 0 ≤ l ≤ n, o conjunto G l = G ∩ K[X l +1 , . . . , X n ] é uma base de Gröbner do l-ésimo ideal de eliminação I l .

  Para uma demonstração deste teorema, veja a referência pg 116. Este teorema mostra que uma base de Gröbner (veja a definição em para a ordem lex, não elimina apenas a primeira variável, mas também as duas primeiras variáveis, as três primeiras variáveis, . . . Em alguns casos (como no problema da implicitização) temos apenas que eliminar certas variáveis, sem nos preocupar com as demais. Agora, fixado algum l entre 1 e n, obtemos um ideal de eliminação I e chamamos uma

  l

  solução (a l , . . . , a n ) ∈ Z K (I l ) de uma soluç˜ ao parcial do sistema origi-

  • 1

  nal de equações. Para estender (a

  l +1 , . . . , a n ) a uma solução completa em

  Z K (I), primeiramente precisamos adicionar mais uma coordenada para a solução. Em outras palavras, isto significa encontrar a l de modo que pertença a variedade Z K (I l ) do próximo ideal de eliminação. Mais especificamente,

  −1

  se I l = hg , . . . , g r i em K[X l , X l , . . . , X n ], então buscamos encontrar as

  −1 1 +1

  soluções X das equações

  l := a l g (X l , a l , . . . , a n ) = · · · = g r (X l , a l , . . . , a n ) = 0.

  1 +1 +1

  Se restringirmos nossa atenção para o caso em que eliminamos apenas a primeira variável X , então buscaremos determinar se uma solução parcial

  1

  (a , . . . , a ) ∈ Z (I ) pode ser estendida a uma solução (a , a , . . . , a ) ∈

  2 n K

  1 1 2 n

  Z K (I). O teorema que segue nos diz quando isso pode ser feito (sua demons- tração pode ser encontrada em página 118). Teorema 3.2 (Teorema de Extensão) Dado I = hf , . . . , f s i ⊂ C[X , . . . , X n ],

  1

  1

  seja I o primeiro ideal de eliminação de I. Para cada 1 ≤ i ≤ s, escreva f

  i

  1

  sob a forma

  N i

  f i = g i (X

  

2 , . . . , X n ) X + (termos em que gr (X

1 ) < N i ) ,

  1

  onde N i ≥ 0 e g i ∈ C[X , . . . , X n ] não nulo. Suponha que tenhamos uma

  2

  solução parcial (a , . . . , a n ) ∈ Z K (I ). Se (a , . . . , a n ) / ∈ Z K (g , . . . , g s ), en-

  2

  1

  2

  1

  tão existe a ∈ C tal que, (a , a , . . . , a n ) ∈ Z K (I).

  1

  1

2 Feitas estas considerações em relação à teoria de eliminação, vamos agora à

  implicitização. A idéia básica do problema da implicitização é converter a parametrização para obter equações que definem uma variedade V. O nome

  "implicitização"vem das equações que definem a variedade V, que foram chamadas de representação implícita de V. Como foi observado, uma para- metrização não precisa de encher toda a variedade V (veja em o exemplo da parametrização do círculo). É devido a isto que, para o problema da im- plicitização, pede-se as equações que definem a menor variedade V contendo a parametrização.

  Teorema 3.3 . (Implicitização Polinomial) Suponha que K seja um corpo

  m n

  infinito e considere F : K uma função determinada pela parame- −→ K trização polinomial. Considere o ideal

  I = hx − f , . . . , x n − f n i ⊂ K[t , . . . , t m , x , . . . , x n ]. (3.3)

  1

  1

  1

  1 Se I m = I ∩ K[x , . . . , x n ] é o m-ésimo ideal de eliminação, então V =

  1 n m

  Z K (I m ) é a menor variedade em K contendo F (K ). Para uma demonstração, veja página 130. Este teorema, que faz uso da teoria da eliminação para encontrar a menor

  m

  variedade contendo F (K ), nos fornece o seguinte algoritmo: Algoritmo de Implicitização para Parametrizações Polinomiais Se temos x i = f i (t , . . . , t m ) para polinômios f , . . . , f n ∈ K[t , . . . , t m ], con-

  1

  1

  1

  sidere o ideal I = hx

  1 − f 1 , . . . , x n − f n i e calcule uma base Gröbner com

  respeito a uma ordenação lexicográfica, onde cada t i é superior a todos os x . Pelo Teorema da Eliminação, os elementos da base de Gröbner não en-

  i

  volvendo t i formam uma base de I m , e pelo teorema precedente, definem a

  n menor variedade em K contendo a parametrização.

  O próximo passo é, mais geralmente, ver o que acontece quando temos uma parametrização por funções racionais não polinomiais. Assim, como no caso polinomial, podemos agora usar a teoria da eliminação para resolver o pro- blema da implicitização.

  Teorema 3.4 (Implicitização Racional) Seja K um corpo infinito e considere

  m n F : K −W −→ K , uma função determinada pela parametrização racional.

  Considerando o ideal J = hg x − f , . . . , g n x n − f n , 1 − gyi ⊂ K[y, t , . . . , t m , x , . . . , x n ],

  1

  1

  1

  1

  1

  onde g = g g · · · g n , se J m = J ∩ K[x , . . . , x n ] é o (m + 1) − ´ esimo ideal

  1 2 +1

  1 n

  de eliminação, então V = Z contendo

  K (J m +1 ) é a menor variedade em K m

  F (K − W). Para uma demonstração desse teorema veja página 134.

  Este teorema nos fornece o seguinte algoritmo: Algoritmo de Implicitização para Parametrizações Racionais Se temos x i = f i /g i para polinômios f , g , . . . , f n , g n ∈ K[t , . . . , t m ], con-

  1

  1

  1

  sidere a nova variável y e o ideal J = hg

  1 x 1 − f 1 , . . . , g n x n − f n , 1 − gyi, onde

  g = g g · · · g n . Calculando uma base Gröbner em relação a uma ordenação

  1

  2

  lexicográfica, onde y e cada t é superior a todos os x , então os elementos da

  i i

  base de Gröbner não envolvendo y e qualquer t i definem a menor variedade

  n em K contendo a parametrização.

  

3.2 Equação Implícita de um Sistema Linear de

EDPP’s

  Vamos iniciar o nosso estudo definindo o que é uma equação implícita de um sistema (n−1)-dimensional de equações diferenciais polinomiais paramétricas (EDPP’s). Para ilustrar comecemos com um exemplo. Exemplo 3.1 Considere os sistemas

    x = u + u + u + u x = u + u + u

  1

  1

  11

  2

  

21

  1

  1

  2

  21

    S := x = t(u + u ) + u S := x = tu + u ,

  1

  2

  11

  12

  22

  2

  2

  11

  22

    x = u + u + u x = u + u

  3

  1

  11

  21

  3

  1

  21 k

  ∂ u j onde u = , para j ∈ {1, 2} e k ∈ N, iremos buscar responder se são

  jk k

  ∂t sistemas próprio, qual é a resultante diferencial, quem é a equação implícita e bem como se há alguma relação entre estes sistemas. Em particular, o sistema S não é próprio, mas sua equação implícita, dada por

  1

  (t − 1)x − tx − (t − 1)x + x = 0,

  12

  31

  32

  2 k

  ∂ x i onde x ik = , para i ∈ {1, 2, 3} e k ∈ N, é igual a equação implícita do

  k

  ∂t sistema S , e a resultante diferencial das equações {F , F , F } é nula, onde

  2

  1

  2

  3 F = x − u − u − u − u

  1

  1

  1

  11

  2

  21 F = x − t(u + u ) − u

  2

  2

  

11

  12

  22 F = x − u − u − u

  3

  3

  1

  11

  21 Dado um conjunto de indeterminadas diferenciais U = {u , . . . , u m }, para

  1

  polinômios diferencias não nulos P em K {U}, conforme

  1 , . . . , P n , Q 1 , . . . , Q n

  definido no capítulo precedente, chamamos P

  1 (U ) P n (U )

  x

  1 = , . . . , x n =

  Q (U ) Q n (U )

  1 de um conjunto de equações diferenciais racionais paramétricas (EDRP’s).

  Além disso, assumimos que nem todos P (U ) e Q (U ) estão em K e que

  i i M DC (P i (U ) , Q i (U )) = 1.

  Definição 3.2 Um sistema da forma  P 1

  (U )

  x =

  1 1 Q (U )

   

  R (X, U ) := ...

  

  P n (U )

   x n =

  Q n (U )

  onde P são polinômios diferencias em K {U}, com todos , . . . , P n , Q , . . . , Q n

  1

  1

  os Q i não nulos e nem todos P i e Q i em K, para i = 1, . . . , n, é chamado de um sistema de equações diferenciais racionais paramétricas, ou simplesmente e abreviadamente, um sistema de EDRP’s. Assumiremos que o conjunto U de indeterminadas, chamado conjunto de parâmetros diferenciais de R (X, U), não é necessariamente independente. Quando todos os P i e Q i são de grau no máximo 1, dizemos que R (X, U) é um sistema linear. Além disso, se todos os Q estão em K, dizemos que R (X, U)

  i

  é um sistema de equações diferenciais polinomiais paramétricas, ou simples- mente e abrevidamente, um sistema de EDPP’s, e denotamos P (X, U). Em particular, se Q i = 1, para todo i = 1, . . . , n, e nem todos os P i estão em K, tem-se o seguinte sistema de EDPP’s:

   x = P (U )

  1

  1

   

  P (X, U ) := ...

    x n = P n (U )

  Associado com o sistema R (X, U), consideramos o ideal diferencial P (U ) P n (U )

1 ID = f ∈ K {X} | f , . . . , = 0 ,

  Q (U ) Q n (U )

  

1

  denominado ideal implícito de R (X, U). Pelo Lema 2.8 do capítulo ante- rior, tem-se que ID é um ideal diferencial primo. Também, consideramos a variedade implícita (diferencial) de R (X, U), definida por

  n Z (ID) = {η ∈ E | f (η) = 0, para todo f ∈ ID} . Da secção 4 do capítulo anterior, vem que os parâmetros de U são inde- pendentes se dim (R (X, U)) = |U| (a dimensão de um sistema de EDRP’s entendemos como sendo a dimensão de seu ideal implícito). Além disso, se C é um conjunto característico de ID, então n − |C| é a dimensão (diferencial) de ID. E mais, em particular, se dim (ID) = n − 1, então C = {A (X)} para algum polinômio diferencial irredutível A ∈ K {X}. A este polinômio A, dá-se o nome de polinômio característico de ID. Além disso, se B é outro polinômio característico de ID, então A = bB, para algum b ∈ K. Dado um conjunto X = {x , . . . , x n } de indeterminadas diferenciais, vamos

  1

  introduzir o conceito principal desta seção, a saber, a noção de equação implícita. Definição 3.3 A equação implícita de um sistema (n − 1)-dimensional de EDRP’s, em n indeterminadas diferenciais x , é uma equação do tipo

  , . . . , x n

  1 A (X) = 0, em que A é qualquer polinômio característico do ideal implícito

  ID do sistema de EDRP’s. Seja K [∂] o anel de operadores diferenciais com coeficientes em K. Con- siderando o sistema de EDPP’s

   x

  1 = P 1 (U )

   

  P (X, U ) := , ...

    x n = P n (U ) em que todos os P são de grau no máximo 1, sendo que nem todos estão em

  i

  K, para todo i = 1, . . . , n, existem operadores diferenciais L ij ∈ K [∂], com j = 1, . . . , n − 1, e constantes a i ∈ K tais que,

  n −1

  X P i (U ) = a i − L ij (u j ) .

  j =1

  A partir daí, para cada x i = P i (U ), com i = 1, . . . , n, chamando

  n −1

  X T i (X) := x i − a i e H i (U ) := L ij (u j ) ,

  j =1

  definimos o polinômio diferencial ordinário linear F i (X, U ) := T i (X) + H i (U ) de ordem o , para i = 1, . . . , n. Salientamos que, para garantir que o número

  i

  de parâmetros seja n − 1, assume-se que para cada j ∈ {1, . . . , n − 1}, exis- tem i ∈ {1, . . . , n} tais que L

  ij 6= 0. Mais especificamente, para cada ele- mento j ∈ {1, . . . , n − 1}, existem i ∈ {1, . . . , n}, tais que ord (F i , u j ) ≥ 0.

3.3 Resultantes Diferenciais

  Sejam f polinômios diferenciais em D {U} de ordem o , para i = 1, . . . , n,

  i i

  onde D é um domínio diferencial. Uma resultante diferencial de n polinômios diferenciais f , . . . , f n em n − 1 variáveis diferenciais u , . . . , u n , designada

  1 1 −1

  por ∂Res (f , . . . , f n ), foi introduzida por Carra-Ferro em Tal noção co-

  1

  incide com a resultante algébrica de Macaulay de um conjunto de polinômios diferenciais (

  )

  n

  X N

  −o i

  P S (f 1 , . . . , f n ) := ∂ f i , . . . , ∂f i , f i | i = 1, . . . , n, com N = o i .

  i =1

  Agora, para cada i = 1, . . . , n, seja h

  i ∈ D {U } um polinômio diferencial

  homogêneo de ordem o i . Definimos a resultante diferencial homogênea de n polinômios diferenciais h , . . . , h n em n−1 variáveis diferenciais u , . . . , u n ,

  1 1 −1 h

  designada por ∂Res (f , . . . , f n ), como a resultante algébrica de Macaulay do

  1

  conjunto de polinômios diferenciais (

  )

  n

  X

  h N i −o −1

  P S (f 1 , . . . , f n ) := ∂ h i , . . . , ∂h i , h i | i = 1, . . . , n, com N = o i .

  i =1

  Ressaltamos que a noção de resultantes diferenciais de polinômios diferenciais foram introduzidas em uma situação mais geral, dadas em dois trabalhos de

G. Carra-Ferro, em [7] (para dois polinômios) e em [8] (para n polinômios).

  Definições anteriores da resultante diferencial, para operadores diferenciais, foram dadas por L. M. Berkovich e V. G. Tsirulik em e M. Chardin em Salientamos que, para n = 2, quando os polinômios diferenciais ho- mogêneos possuem grau 1, a resultante diferencial homogênea coincide com a resultante diferencial de dois operadores diferenciais, conforme definida por Berkovitch-Tsirulik e também estudada por Chardin. Uma vez que resul- tantes diferenciais algébricas são resultantes de Macaulay, a implementação das resultantes diferenciais, segue de alguns cálculos anteriores da resultante algébrica de Macaulay (Disponível em Minimair, M., 2005. MR: Macaulay Resultant Package for Maple). Agora, para o que segue, dado o polinômio diferencial

  F (X, U ) = T (X) + H (U )

  i i i

  introduzido na seção anterior, para i = 1, . . . , n, consideremos cada F i como um polinômio em n−1 variáveis diferenciais u , . . . , u n e com coeficientes no

  1 −1

  domínio diferencial D = K {X}. Recordemos que F são de ordens , . . . , F n

  1 o i , para cada i = 1, . . . , n, e de grau 1. Recordemos também que uma ordem no conjunto Y = {y

  1 , . . . , y n } das indeterminadas diferenciais sobre K induz

  uma ordenação total no conjunto das derivadas {Y }, tal que: (I) v < δ(v), para todos v ∈ {Y }.

  r s

  (II) Se u < v então δ (u) < δ (v) para todos u, v ∈ {Y } e para todos r, s ∈ N. Seja A o posicionamento em X ∪ U induzido por u

  1 < · · · < u n −1 < x 1 < · · · < x n .

  Agora, o conjunto P S := P S (F , . . . , F ) é ordenado por A e, da particular

  1 n

  estrutura de F i , tem-se que:

  N 1 N n −o −o

  F

  1 < ∂F 1 < · · · < ∂ F 1 < F

2 < ∂F

2 < · · · < F n < · · · < ∂ F n

  Em outras palavras, da definição de conjunto autoreduzido, segue que P S é um conjunto autoreduzido de polinômios diferenciais {B , . . . , B L }, com

  1 L = (n − 1) N + n, visto que para cada i = 1, . . . , n dos F i no conjunto N −o n

  autoreduzido F , encontramos N, −o e 1, que somando < · · · < ∂ F n i

  1

  obtemos:

  n

  P L = (N − o i + 1)

  i =1

  = (N − o

  1 + 1) + (N − o 2 + 1) + · · · + (N − o n + 1)

        

  = N + N + · · · + N  − o + o + · · · + o n  + 1 + 1 + · · · + 1

  1

  2

  | {z } | {z } | {z }

  n parcelas n parcelas =N

  = nN − N + n = (n − 1) N + n. Portanto,

  ! !

  n n

  X X L = o k − o i + 1

  i k =1 =1 ∗

  Vamos ainda considerar em U o posicionamento A , induzido pela ordenação 1 < u < · · · < u n .

  1 −1

  Feitas estas considerações, seja M (L) a matriz L × L cuja k-ésima linha é formada pelos coeficientes do k-ésimo polinômio em P S, visto como um polinômio em D {U}, e de coeficientes escritos em ordem decrescente com

  ∗ respeito a A . Assim, M (L) é uma matriz sobre D = K {X}. Definição 3.4 Utilizando as notações acima, a matriz M (L) é denominada matriz resultante diferencial de F e o seu determinante

  

1 , . . . , F n

  ∂Res (F

  1 , . . . , F n ) = det (M (L)) é a resultante diferencial de F , . . . , F . 1 n

  Podemos fazer definições análogas para o caso homogêneo e obter a resul-

  h

  tante diferencial homogênea ∂Res (H , . . . , H n ). Com efeito, recordemos

  1

  a princípio que os polinômios diferenciais homogêneos H ∈ K {U } são de

  i h

  ordens o i , para cada i = 1, . . . , n, e de grau 1. Seja L = L − n e con-

  h h

  sidere P S := P S (H , . . . , H n ) como sendo o conjunto polinomial obtido,

  1

  a partir de P S, subtraindo de cada polinômio seu monômio em D (isto é,

  h T i (X) := x i − a i ), e assim, mantendo em P S a ordem herdada de P S. h h h

  Feitas estas considerações, seja então M L a matriz L × L cuja k-ésima

  h

  linha é formada pelos coeficientes do k-ésimo polinômio em P S , visto como um polinômio em D {U}, e de coeficientes escritos em ordem decrescente com

  ∗ respeito a A . h

  Definição 3.5 Usando as notações acima, a matriz M L , com entradas em K, é denominada matriz resultante diferencial homogênea de H , . . . , H n .

  1 O seu determiante h h

  ∂Res (H , . . . , H ) = det M L

  1 n é a resultante diferencial homogênea de H , . . . , H n .

  1 h

  Algumas propriedades das resultantes ∂Res e ∂Res estão a seguir. Proposição 3.6 Se o sistema {H

  1 = 0, . . . , H n = 0} tem uma solução não h

  nula, então ∂Res (H , . . . , H n ) = 0.

1 Demonstração. Considere F como extensão diferencial do corpo K. Se o

  sistema {H

  1 = 0, . . . , H n = 0} tem uma solução não nula então a afirmação h

  ∂Res (H , . . . , H n ) = 0 segue dos dois fatos básicos seguintes:

  1 n −1

  Fato 1 : Cada solução não nula do sistema {H = 0, . . . , H n = 0} em F é

  1

  uma solução não nula do sistema (

  )

  n

  X N

  −o i −1 ∂ H i , . . . , ∂H i , H i | com i = 1, . . . , n, onde N = o i . i =1 h

  Fato 2 : Se uma tal solução existe, então as colunas da matriz M L são linearmente independentes em F .

  Em relação a esta proposição, cabe a seguinte pergunta: Vale a recíproca?

  

h

  Mais específicamente, a condição ∂Res (H

  1 , . . . , H n ) = 0 é suficiente para a

  existência de alguma solução não nula do sistema {H = 0, . . . , H n = 0}?

  1 Em geral (para n > 3), infelizmente a resposta é não. Salvo o particularíssimo

  caso, para n = 2, em que {H = 0, H = 0} tem uma solução não nula se, e

  1

  

2

h

  somente se, ∂Res (H , H ) = 0 Teorema 3.1).

  1

2 Exemplo 3.7

  Seja n = 3 e considere os três seguintes polinômios diferenciais: e H H

  1 (U ) = u 11 + u 21 , H 2 (U ) = u 1 + u

  2 3 (U ) = u 1 + u 11 + u

  21 h

  Temos ∂Res (H , H , H ) = 0, pois as duas primeiras colunas da matriz

  1

  2

  3 h

  são iguais, e o sistema {H M L = 0, H = 0, H = 0} tem apenas a solução

  1

  2

  3 nula.

  Vamos agora introduzir algumas matrizes que serão utilizadas na prova do próximo resultado e que aparecerão em enunciados futuros. Seja S a matriz n × (n − 1) cuja i-ésima linha L é definida por:

  i

   coeficientes dos termos de ordem o em F , caso existam

  i i

   L i :=

   em F 0, caso não exista termo de ordem o i i Seja S a matriz obtida por remoção da i-ésima linha de S.

  i

  Observação 3.8 Note que as linhas diferentes de zero das colunas de M (L) (respectivamente

  h

  M L ) correspondentes aos coeficientes de u jN (respectivamente u jN ),

  −1

  para j = 1, . . . , n − 1, são as linhas de S. De acordo com isso, em particular,

  h se a matriz S tem uma coluna nula, então ∂Res (H , H , H ) = 0.

  1

  2

  3 Seja M L a submatriz principal L × (L − 1) de M (L). Defina o conjunto −1 N i −o

  XS := x i , ∂x i , . . . , ∂ x i | i = 1, . . . , n . Dado x ∈ XS, digamos x := x ik , com k ∈ {0, 1, . . . , N − o i }, seja M x a sub- matriz de M (L) obtida por remoção da linha correspondente aos coeficientes

  k k

  de ∂ F i = x ik + ∂ (H i (U ) − a i ). Desenvolvendo o determinante de M (L), pela última coluna, utilizando o desenvolvimento de Laplace, obtemos !

  n N −o i

  X X

  k

  (3.4) ∂Res (F

  

1 , . . . , F n ) = b ik · det (M x ) x ik − ∂ a i ik i k k

  onde b ik · det (M x ) é o complemento algébrico (ou cofator) de x ik − ∂ a i ,

  ik k

  com b na matriz M (L).

  ik = ±1 de acordo com o índice da linha de x ik − ∂ a i

  Além disso, para cada i ∈ {1, . . . , n}, existe λ ∈ N tal que

  λ h

  (3.5) det M x = (−1) ∂Res (H , . . . , H n ) det (S i )

  1 iN −oi h

  Um fato útil é que, se ∂Res (H , . . . , H n ) 6= 0, então pelo exposto acima,

  1

  existe k ∈ {1, . . . , n} tal que det (S

  k ) 6= 0. E mais, uma vez que se tem h

  ∂Res (H , . . . , H n ) 6= 0, segue que são verdadeiras as seguintes afirmações:

1 A1 - Para cada i ∈ {1, . . . , n}, tem-se que det M x = 0 se e só se

  iN −oi det (S i ) = 0.

  A2 - Existe k ∈ {1, . . . , n} tal que det M x 6= 0.

  kN −ok

  Proposição 3.9 Seja M L a submatriz principal L×(L − 1) de M (L). As

  −1

  seguintes afirmações são equivalentes: (1) . ∂Res (F

  , . . . , F n ) 6= 0;

  1 h

  (2) . ∂Res (H , . . . , H n ) 6= 0;

  1

  (3) . posto (M L ) = L − 1.

  −1 Demonstração. Seja M L a submatriz principal L × (L − 1) de M (L).

  −1 Considere ainda a submatriz M de M (L). x

  Vamos verificar que (1) implica (2). Seja ∆ = ∂Res (F

  1 , . . . , F n ) e suponha

  que ∆ 6= 0. Assim, tem-se que ord (∆, x i ) ≤ N − o i , para i = 1, . . . , n. Pela proposição 12 em tem-se que ∆ ∈ ID, onde ID é o ideal implícito de P (X, U ). Segue do Lema 2.9 (capítulo anterior) que, se [P S] é o ideal dife- rencial gerado por P S, então ID = [P S] ∩ K {X}. Assim, ∆ é um polinômio diferencial linear em [P S] ∩ K {X}, e temos que

   

  

ord (∆,x i )

n

  X X

  k

   ∆ = c ik · ∂ F i  ,

  i =1 k =0

  com c ik ∈ K. Definindo o inteiro positivo ξ := min {N − o i − ord (∆, x i ) | i ∈ {1, . . . , n}} , temos que ξ = N − o t − ord (∆, x t ), para algum t ∈ {1, . . . , n}, e segue que

  P = ∂ ∆ verifica ser de ordem ord (P, x t ) = N − o t

  ξ e P ∈ [P S] ∩ K {X}.

  h Daí, pelo Teorema 3.12 (próxima seção), segue que ∂Res (H , . . . , H n ) 6= 0.

  1 h h

  Vejamos que (2) implica (3). Seja ∆ = ∂Res (H , . . . , H n ) e suponha que

  1 h

  ∆ 6= 0. Pela afirmação A2, existe k ∈ {1, . . . , n} tal que det M x 6= 0,

  kN −ok

  e portanto, tem-se que posto (M

L −1 ) = L − 1.

Finalmente, basta verificar que (3) implica (1): Se posto (M ) = L − 1

  L −1

  então existe x ∈ XS tal que, det (M x ) 6= 0. Assim, pela observação 3.8, segue que ∂Res (F , . . . , F n ) 6= 0.

  1

3.4 Computando a Equação Implícita

  Nesta seção, vamos tratar dos principais resultados deste capítulo, a saber, a equação implícita de P (X, U) é ∂Res (F , . . . , F n ) (X) = 0, desde que

  1

  ∂Res (F , . . . , F n ) 6= 0, e dar uma fórmula explícita da resultante diferencial

  1 em termos da resultante diferencial homogênea.

  Seja ID o ideal implícito de P (X, U). Pela Proposição 12 em , tem-se que ∂Res (F , . . . , F n ) ∈ ID. Segue do Lema 2.9 (capítulo anterior) que, se [P S]

  1

  é o ideal diferencial gerado por P S, então ID = [P S] ∩ K {X}. Se A é um conjunto característico de [P S], então pelo Teorema 2.13 (capítulo anterior) temos que ID = [A ], onde A = A ∩ K {X}.

  #

  Seja A o posicionamento em X ∪ U, induzido por x < · · · < x n < u < · · · < u n .

  1 1 −1

  Para polinômios P, Q ∈ K {X ∪ U}, sejam ord (P, y) , ld (P ) e f

  r (P, Q), res-

  pectivamente, a ordem de P na variável y ∈ X ∪ U, o líder de P (com relação

  #

  a A ) e o falso resto de P com respeito a Q. Considere A = {A

  1 , . . . , A t }

  um conjunto autoreduzido de elementos de K {X ∪ U}. Considere ainda [P S] ⊆ K [x i , . . . , x iN −o i , u j , . . . , u jN | i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , n − 1] o ideal gerado por P S. Daqui por diante, quando se fizer necessário, usaremos

  #

  a base de Gröbner reduzida β de [P S] com respeito a A para computar um conjunto característico de ID. Além disso, para calcularmos um conjunto característico de [P S], aplicaremos o algoritmo do Teorema 6 descrito em Salientamos que, dado o conjunto de polinômios de P S, o algoritmo que segue retorna um conjunto característico de [P S].

  # 1. Calcula-se a base de Gröbner reduzida β de [P S] com respeito a A .

  2. Assume-se que os elementos de β são arranjados em ordem crescente

  

#

  β < · · · < β m em relação a A . Sendo A = {β i }, para i = 2, . . . , m,

  1

  se ld (β i ) 6= ld (β i −1 ), então A := A ∪ {f r (β i , A)}. No que segue, apresentaremos os dois principais resultados deste capítulo. Mas antes, passamos a um lema que será útil na demonstração do primeiro destes resultados.

  Lema 3.10 O conjunto β = β ∩ K {X} é não vazio e tem cardinalidade 1

  h se, e somente se, a resultante ∂Res (H , . . . , H n ) é não nula.

  1 Demonstração. Seja β uma Base de Gröbner reduzida de [P S] que pode ser

  calculada realizando a eliminação gaussiana nas linhas de M , conforme

  2L−1

  descrito em Exercício 10; Seção 7). Considere M como sendo a

  2L−1

  matriz L × (2L − 1), cuja k-ésima linha é constituída dos coeficientes do k- ésimo polinômio em P S, vistos como polinômios em K {X ∪ U}, e de modo

  # que os coeficientes estejam escritos em ordem decrescente em relação a A .

   

  N 1 −o

  1 ∂ a

  1

    ... ...

   

    1 a

  1

   

   

   

  M =

  M L ...

  −1

   

  2L−1 ...

  N −o n

    1 ∂ a n

   

    ...

   ...  1 a n De modo mais preciso, uma vez que posto (M ) = L, logo β contém L

  2L−1

  elementos b < b < · · · < b L , e M L é a submatriz de M formada

  1 −1 −1

  2L−1

  pelas primeiras L − 1 colunas de M , com posto (M

  L ) ≤ L − 1. Por-

  2L−1 −1

  tanto, β = β ∩ K {X} é não vazio, com pelo menos b ∈ β . Note que, considerando E como sendo a forma escalonada reduzida por linhas da

  2L−1

  matriz M (det (M ) = b · det (E ), para algum b ∈ K), tem-se que

  2L−1

  2L−1

  2L−1

  os polinômios correspondentes às linhas de E são exatamente os elemen-

  2L−1

  tos da base β. Assim, de fato, o conjunto β = β ∩ K {X} é não vazio, uma vez que posto (M ) = L. Quanto à cardinalidade de β , observe que é

  2L−1

  igual a 1 quando a última coluna de E tem as primeiras L − 1 entradas

  2L−1

  iguais a zero, equivalentemente, posto (M L ) = L − 1. Da proposição 3.9,

  −1 h

  segue que ∂Res (H , . . . , H n ) 6= 0, como queríamos.

  1

  Teorema 3.11 Seja P (X, U) um sistema de equa¸oões diferenciais polino-

  h

  miais. Suponha que ∂Res (H

  1 , . . . , H n ) 6= 0. Então dim (ID) = n − 1 e ∂Res (F , . . . , F n ) (X) = 0 é a equação implícita de P (X, U ).

1 Demonstração. Considere o sistema P (X, U) e seja β uma base de Gröbner

  reduzida de [P S]. Pelo Lema 3.10 o conjunto β = β ∩ K {X} é não vazio, e assim, existe um conjunto característico A de [P S] tal que, A = {b }.

  1 Logo, dim (ID) = n − 1 . Considerando a forma escalonada reduzida por

  linhas E da matriz M dada no Lema 3.10, defina E (L) como sendo a

  2L−1

  2L−1

  matriz L × L cujas primeiras L − 1 colunas são as primeiras L − 1 colunas de E , e com última coluna igual à soma das últimas L colunas da mesma.

  2L−1

  Note que a matriz E (L) assim definida contém b como L-ésimo elemento

  1

  de sua diagonal. Como, por definição, temos que

  λ

  ∂Res (F , . . . , F n ) (X) = det (M (L)) = (−1) det (E (L)) ,

  1 para algum λ ∈ N, logo ∂Res (F , com c ∈ K constante.

  1 , . . . , F n ) (X) = cb

  1 Isto prova que ∂Res (F , . . . , F n ) é um conjunto característico de ID, e por-

  1

  tanto, a equação implícita de P (X, U) de é ∂Res (F 1 , . . . , F n ) (X) = 0. No próximo teorema vamos exibir uma fórmula explícita da resultante dife- rencial em termos da resultante diferencial homogênea. Aqui, a matriz S k é a mesma definida na página 62.

  Teorema 3.12 Existe P no ideal implícito ID do sistema P (X, U) tal que: (i) ord (P, x i ) ≤ N − o i e ord (P, x k ) ≤ N − o k , para i = 1, . . . , n e algum k ∈ {1, . . . , n}.

  1 h

  (ii) ∂Res (F , . . . , F n ) = det (S k ) ∂Res (H , . . . , H n ) P (X),

  1

  1 µ λ ∂P onde µ = (−1) , com λ ∈ N.

  ∂x kN

  −o k

  Demonstração. Para verificar (i), seja ID o ideal implícito do sistema

  #

  , P (X, U ). Dada a base de Gröbner reduzida β de [P S] em relação a A tomemos um polinômio Q em β = β ∩ K {X}. A fim de que se- jam verificadas, para algum P de ID, as condições ord (P, x ) ≤ N − o

  i i

  e ord (P, x k ) ≤ N − o k , para i = 1, . . . , n e algum k ∈ {1, . . . , n}, basta definir o inteiro positivo γ := min {N − o i − ord (Q i , x i ) | i ∈ {1, . . . , n}}

  (γ) e tomar o polinômio P = Q que o resultado segue. Vamos provar (ii). Uma vez que P ∈ ID = [P S] ∩ K {X}, existem opera- dores diferenciais F , tais que

  

1 . . . , F n ∈ K [∂], com gr (F i ) ≤ N − o i

  P (X) = F (F (X, U )) + · · · + F n (F n (X, U ))

  1

  1

  = F (T (X) + H (U )) + · · · + F n (T n (X) + H n (U ))

  1

  1

  1

  = F

  1 (T

1 (X)) + · · · + F n (T n (X)) +

  • F

  1 (H 1 (U )) + · · · + F n (H n (U ))

  | {z }

  =0 = F (T (X)) + · · · + F n (T n (X)) .

  1

1 Como uma consequência, podemos realizar operações de linha em M (L) para

  se obter uma matriz do tipo   0 · · · 0 0 · · ·

  0 P (X)  ∗ · · · ∗ ∗      ...

  S k ...     ∗ · · · ∗ ∗ .

      0 · · · ∗    

  h

  ... M L 0 · · · ∗

    ...

  Para ser mais preciso, reordenamos as linhas de M (L) de modo que os coefi-

  N −o k

  cientes de ∂ estejam na primeira linha, as linhas 2 a n são as linhas que F k contêm as entradas da matriz S k , obtida de S e de ordem (n − 1) × (n − 1),

  h

  e as linhas n + 1 até L são as linhas que contêm as entradas de M L ,

  h

  de ordem L = L − n = (n − 1) N . Lembre-se que, as linhas diferentes de

  h

  zero das colunas de M (L) (respectivamente M L ) correspondentes aos coeficientes de u jN (respectivamente u jN ), para j = 1, . . . , n − 1, são as

  −1

  linhas de S. Em seguida, multiplique a primeira linha da matriz obtida

  ∂P

  por 6= 0. Finalmente, substitua a primeira linha pelos coeficientes

  ∂x kN −ok

  de P (X) como um polinômio em D {U} escrito em ordem decrescente com respeito ao posicionamento em U, ou seja, todas entradas nulas exceto da última entrada igual a P (X) (note que, por definição, esta última entrada é a

  λ ∂P

  soma F ,

  (F (X, U )) + · · · + F n (F n (X, U ))). Definindo µ := (−1)

  1

  1

  ∂x kN

  −o k

  para algum λ ∈ N, tem-se que

  h

  µ · det (M (L)) = det (S k ) det M L P (X) ,

  1 h e portanto, ∂Res (F , . . . , F n ) = det (S k ) ∂Res (H , . . . , H n ) P (X) .

  1

  1 µ

  Como aplicação, vamos explicitar uma expressão polinomial, em termos de operadores diferenciais que definem EDPP’s, que verifique o Teorema 3.12 nos casos n = 2 e n = 3.

1. Caso n = 2

  Dados operadores diferenciais L , L ∈ K [∂], vamos considerar o seguinte

  1

  2

  sistema de EDPP’s: x = a − L (u)

  1

  1

  1 P (x , x , u) :=

  2

  1

  2

  x = a − L (u)

  2

  2

  2 Fixado u = u , pomos H (u) = L (u) e H (u) = L (u), e escrevemos

  1

  1

  

1

  2

  2 F 1 (x 1 , x 2 , u) = x 1 − a 1 + H 1 (u) e F

2 (x

1 , x 2 , u) = x 2 − a 2 + H 2 (u).

  Observamos que o anel K [∂] é euclidiano à direita (e também euclidiano à esquerda). Isto significa que dados L , L ∈ K [∂], obtemos q, r ∈ K [∂] tais

  

1

  2

  que L = qL + r, com gr (r) < gr (L ) .

  2

  1

  1 Também podemos encontrar L := MDC d (L , L ) o máximo divisor comum

  1

  2

  à direita de L e L , onde L ∈ K [∂]. Neste caso, existem b L , b L ∈ K [∂] tais

  1

  2

  1

  2

  que L i = b L i L, para i = 1, 2. Os operadores diferenciais L e L são coprimos

  1

  2

  se eles têm um máximo divisor comum à direita constante, e escrevemos (L , L ) = 1. Neste caso, o máximo divisor comum é dito trivial.

  1

  2 Se K é um corpo de constantes em relação a ∂, isto é, ∂ (k) = 0 para todo ∂

  k ∈ K (por exemplo ∂ = para K = C) então L L − L L = 0, ou seja,

  1

  2

  2

  1 ∂t

  os operadores diferenciais comutam. Se K não é um corpo de constantes em relação a ∂, então o anel K [∂] não é comutativo e temos ∂k − k∂ = ∂ (k), para todo k ∈ K. A propriedade seguinte sobre a comutatividade será usado na demonstração da próxima proposição onde vamos exibir a expressão polinomial explícita mencionada. Lema 3.13 Suponha que L , L ∈ K [∂] sejam coprimos. Então existem

  1

2 D , D ∈ K [∂] com gr (D i ) ≤ gr (L i ) − 1, para i = 1, 2, tais que

  1

  2 (L − D ) L − (L − D ) L = 0.

  2

  2

  1

  1

  1

  2 Demonstração. Dados os operadores diferenciais L , L ∈ K [∂], seja L :=

  1

  2

  e L . Logo existem M DC d (L

  1 , L 2 ) o máximo divisor comum à direita de L

  1

  2 b L , b L ∈ K [∂] tais que L i = b L i L, para i = 1, 2. Suponha que os operadores

  1

  2

  diferenciais L e L sejam coprimos. Vamos mostrar que, independente da

  1

  2

  comutatividade de L e L , existem D , D ∈ K [∂] com gr (D i ) ≤ gr (L i )−1,

  1

  2

  

1

  2

  para i = 1, 2, tais que (L

  2 − D 2 ) L

1 − (L

1 − D 1 ) L 2 = 0. De fato, suponha

  então por um instante que L e L comutam. Daí:

  1

  2

  b b b b 0 = L L − L L = L L L − L L L = L

  1 L − L

  1 L

  1

  2

  2

  1

  1

  2

  2

  1

  1

  2

  2

  1

  b = L L − b L L = b L L − b L L + 0 = b L L − b L L + (L L − L L )

  1

  2

  2

  1

  1

  2

  2

  1

  1

  2

  2

  1

  2

  1

  1

  2

  = L − b L L − L − b L L

  2

  2

  1

  1

  1

2 Assim, existem operadores diferenciais, a saber b

  L , b L ∈ K [∂], que cumprem

  1

  2

  o requerido e, visto que L e L são comutativos, tome b L i := D i = 0, para

  1

  2

  i = 1, 2, e o resultado segue. Suponha agora que L e L não comutem, ou

  1

  2 P P i j

  seja, L L − L L 6= 0, e sejam L = A i ∂ e L = B j ∂ suas

  1

  2

  2

  1

  1 1

  2 2 0≤i≤o 0≤j≤o

  expressões. Pela equação 1.2 em podemos escrever 1 2

  o +o

  X

  k

  L L − L L = (c k − c k ) ∂ ,

  1

  2

  2

  1 k =0

  onde c e c são dados, respectivamente, por

  k k s 1 ,k :=min{o } o 1 X

  X

  (i−s)

  c k = A i ∂ (B k )

  −s

i

s

2 =s

:=max{0,k−o } 2 s :=min{o ,k } 2 o

  X X

  (j−s)

  c k = B j ∂ (A k ) ,

  −s

j

s

1 =s

:=max{0,k−o }

  e daí, segue que c o 1 2 = c o 1 2 = A o 1 B o 2 . Portanto, segue que

  • o +o

  gr (L

  1 L 2 − L

2 L 1 ) ≤ o 1 + o 2 − 1.

  P

  i

  Agora, precisamos encontrar operadores diferenciais D = α i ∂ e

  1 1 0≤i≤o −1

  P

  j

  D = β ∂ , com α , β ∈ K, tais que,

  2 j i j 2 0≤j≤o −1

  D

  1 L 2 − D

  2 L

1 = L

  1 L 2 − L

  2 L 1 . Novamente, podemos escrever

  o

1

2

  • o −1

  X

  k

  D L − D L = (γ k − γ ) ∂ ,

  1

  2

  2 1 k

k

=0

  onde γ k e γ dados, respectivamente, por

  k s 1 :=min{o −1,k} o 1 −1

  X X

  (i−s)

  γ k = A i ∂ (B k )

  −s i s 2 =s :=max{0,k−o } 2 s :=min{o −1,k} 2 o −1

  X X

  (j−s) γ = B j ∂ (A k ).

k −s

j s

1 =s

:=max{0,k−o }

  Vamos considerar o sistema de N := o + o equações γ k − γ = c k − c k ,

  1 2 k

  para k = 0, . . . , o e β , para i = 0, . . . , o

  1 + o 2 − 1, nas N incógnitas α i j

  1

  e j = 0, . . . , o . A matriz dos coeficientes deste sistema é a matriz M (N),

  2 h h

  onde N := L , que define a resultante diferencial homogênea ∂Res (H

  1 , H 2 ).

  De acordo com isso, segue que o sistema tem uma única solução, uma vez

  h

  que det (M (N)) = ∂Res (H , H ) 6= 0 (pelo Teorema 2 de tem-se que

  1

  2 h

  M DC d (L , L ) é não trivial se e só se ∂Res (H , H ) = 0).

  1

  2

  1

  2 ∂

  Proposição 3.14 Seja K um corpo de funções em uma variável real t e .

  ∂t

  Se (L , L ) = 1 então existem D , D ∈ K [∂] tais que

  1

  2

  1

  2 λ h

  ∂Res (F

  1 , F 2 ) (x 1 , x 2 ) = (−1) ∂Res (H 1 , H 2 ) (L 2 − D 2 ) (x 1 − α 1 ) λ h

  − (−1) ∂Res (H

  1 , H 2 ) (L 1 − D 1 ) (x 2 − α 2 ) , para algum λ ∈ N.

  ∂ Demonstração. Seja K um corpo de funções em uma variável real t e . ∂t

  Fixado u = u , pomos H

  1 1 (u) = L 1 (u) e H 2 (u) = L 2 (u), para operadores

  diferenciais L , L ∈ K [∂]. Se (L , L ) = 1, segue do lema anterior que

  1

  2

  1

  2

  existem D

  1 , D 2 ∈ K [∂] tais que (L 2 − D 2 ) L 1 (u) − (L 1 − D 1 ) L 2 (u) = 0.

  Pelo teorema anterior, temos que:

  1

  h

  ∂Res (F , . . . , F n ) = det (S k ) ∂Res (H , . . . , H n ) P (X) ,

  1

  1

  µ

  λ ∂P

  onde µ = (−1) , com λ ∈ N. Assim, aplicando o teorema ao

  ∂x kN −ok

  polinômio definido por P (x , x ) := (L − D ) (x − α ) − (L − D ) (x − α ) ,

  1

  2

  2

  2

  1

  1

  1

  1

  2

  2 h

  e visto que se ∂Res (H , H ) 6= 0, então existe k ∈ {1, 2} tal que

  1

  2

  ∂P det (S k ) = 6= 0, ∂x kN

  −o k

  obtemos explicitamente a seguinte expressão polinomial, para n = 2,

  ∂P 1 h λ ∂P

  ∂Res (F

  1 , F 2 ) (x 1 , x 2 ) = ∂Res (H 1 , H 2 ) P (x 1 , x 2 )

∂x

(−1) kN −ok ∂xkN−ok

  λ h

  = (−1) ∂Res (H , H ) [(L − D ) (x − α ) − (L − D ) (x − α )]

  1

  2

  2

  2

  1

  1

  1

  1

  2

  2

  observando que ord (P, x k ) ≤ N − o k , para k ∈ {1, 2}, e novamente que

  ∂P .

  det (S k ) =

  ∂x kN −ok 2. Caso n = 3.

  Aqui neste caso, para K = C, com L ij ∈ C [∂], vamos considerar o seguinte sistema de EDPP’s.

   x = a − L (u ) − L (u )

  1

  

1

  11

  1

  12

  2

   P

  3 (X, U ) := x 2 = a 2 − L 21 (u 1 ) − L 22 (u 2 ) ,

   x = a − L (u ) − L (u )

  3

  

3

  31

  1

  32

  2

  onde X = {x , x , x } e U = {u , u }. Por definição, estes operadores dife-

  1

  2

  3

  1

  2

  renciais comutam. Assim, por conseguinte, o polinômio P (X) dado por P (X) : = L L (x − a ) − L L (x − a ) − L L (x − a )

  21

  32

  1

  1

  

22

  31

  1

  1

  11

  32

  2

  2

  • L L (x − a ) + L L (x − a ) − L L (x − a ) ,

  12

  31

  2

  2

  11

  22

  3

  3

  12

  21

  3

  3

  pertence ao ideal implícito de P (X, U ). Para i = 1, 2, 3, temos que

3 F i (X, U ) = x i − a i + H i (U ) e H i (U ) = L i (u ) + L i (u )

  1

  1

  2

  2

  de ordem o i . Além disso, se det (S i ) 6= 0, para algum i = 1, 2, 3, resulta do Teorema 3.12 que

  λ h

  ∂Res (F , F , F ) (X) = (−1) ∂Res (H , H , H ) P (X) ,

  1

  2

  3

  1

  2

  3 sendo λ ∈ N. Salientamos que det (S em P (X). i ) é o coeficiente de x i,N −o i

3.5 Resultantes Diferenciais Generalizados

  De acordo com a Observação 3.8, se a matriz S tem uma coluna nula, então

  h

  ∂Res (H , . . . , H n ) = 0. Com efeito, a razão disto é que os polinômios

1 H , . . . , H n não são completos em todas as suas variáveis, isto é, existe j ∈

  1

  tem um termo em u , para todo i ∈ {1, . . . , n − 1} tal que, nenhum F i jo

  i

  {1, . . . , n}. Assim, se para algum j ∈ {1, . . . , n − 1} a variável diferencial tem ordem menor do que o em F , para todo i ∈ {1, . . . , n}, então a u j i i matriz M (L) tem uma ou mais colunas de zeros (o exemplo dado no início da secção 3.2 ilustra bem isto, uma vez que a ordem de u em todo polinômio

  1

  de {F (X, U ) , F (X, U ) , F (X, U )} é menor do que o i em F i (X, U ), para

  1

  2

  3

  todo i ∈ {1, 2, 3}). Nesta seção, vamos estender a definição de resultante diferencial de modo a que ela seja aplicável a esse tipo de sistema de EDPP’s. Para isso, naturalmente, vamos precisar introduzir algumas notações. Dada a matriz S, comecemos definindo o conjunto J := {j ∈ {1, . . . , n − 1} | a j − ´ esima coluna de S é nula} .

  Devido ao motivo de que se ord (F , então a matriz M (L) tem uma

  

i , u j ) < o i

  ou mais colunas de zeros, para cada j ∈ J, definamos os seguintes inteiros positivos γ j := γ j (F , . . . , F n ) = min {o i − ord (F i , u j ) | i ∈ {1, . . . , n}}

  1

  e

  n

  X γ := γ (F , . . . , F n ) = γ i (F , . . . , F n )

  1

  1 i =1 Observe que 1 ≤ γ ≤ o e 0 ≤ γ ≤ N − o , para todo i ∈ {1, . . . , n}. j i i

  Além disso, note que se J 6= ∅, então P S (F , . . . , F n ) é um conjunto de L

  1

  polinômios em L − γ variáveis diferenciais. Agora, considere M J a matriz L × (L − γ) obtida por remoção das colunas nulas de M (L) que corresponde aos monômios no conjunto dado por m J := {u jk | k = N − γ j , . . . , N, com j ∈ J} .

  h h h

  De modo análogo, definimos também M como sendo a matriz L × L − γ

  J h

  obtida por remoção das colunas nulas de M L que correspondem aos monômios no conjunto dado por

  h m := {u jk | k = N − γ j − 1, . . . , N − 1, com j ∈ J} . J

  Para um dado i ∈ {1, . . . , n}, seja Γ a submatriz de M cujas linhas con-

  i J N −o i

  tém os coeficientes dos polinômios em ∂ F i , . . . , ∂F i , F i . Analogamente, h h

  para um certo i ∈ {1, . . . , n}, seja Γi a submatriz de M cujas linhas contém

  J N −o i −1

  os coeficientes dos polinômios em . Seja agora M ∂ H i , . . . , ∂H i , H i J i a submatriz de M J obtida por remoção das últimas γ linhas do bloco Γ i . De

  h h

  igual modo, seja agora M a submatriz de M obtida por remoção das últi-

  J i J h

  mas γ linhas do bloco Γ . Vamos também considerar o seguinte subconjunto

  i

  de K {X}, de polinômios de grau 1: de ordem L − γ} M := {determinantes não nulos de menores de M J

  De forma análoga, consideremos também o seguinte subconjunto de K:

  h h h

  M := determinantes não nulos de menores de M de ordem L − γ

  J

h

  Salientamos que os conjuntos M e M estão contidos, respectivamente, nos espaços vetoriais

  h K hdet (M J ) | i ∈ {1, . . . , n}i e K det M | i ∈ {1, . . . , n} . i

  J i

  Definição 3.15 A resultante diferencial generalizada de {F , . . . , F n }, de-

  1

  notada por ∂Res

  J (F , . . . , F n ), é definida como segue:

  1

  se M = ∅ 0,

  ∂Res J (F , . . . , F n ) :=

1 A ou 1, se existe A ∈ M talque M ⊆ [A]

  Observação 3.16 A definição dada aqui de resultante diferencial generalizada se aplica apenas aos polinômios de grau 1, visto que esta definição para polinômios de qualquer grau não é o objetivo deste trabalho. Dados F , o seguinte algoritmo retorna ∂Res , . . . , F n J (F , . . . , F n ).

  1

  1

  1. Se det (M J i ) = 0, para todo i ∈ {1, . . . , n}, então retorna 0.

  2. Se ∆ = {k ∈ {1, . . . , n} | det (M J ) 6= 0}, então ∆ = {i , . . . , i t } ⊆

  k

  1 {1, . . . , n} é tal que det M < · · · < det M , em relação a A. J J i1 it

  3. Seja A = det M . Se det (M

  J J i ) ∈ [A], para todo i, então retorna A i1 senão retorna 1.

  Definição 3.17 A resultante diferencial homogênea generalizada do con-

  h

  junto {H , . . . , H n }, denotada por ∂Res (H , . . . , H n ), é definida como segue:

  1

  1 J h

  0, se M = ∅

  h

  ∂Res (H

  1 , . . . , H n ) := J h

  caso contrário M DC M , h

  Note que, se ∂Res (H , . . . , H n ) 6= 0, então

  J

  1 h h

  ∂Res (H 1 , . . . , H n ) = M DC det M | i ∈ {1, . . . , n} .

  J J i

  Proposição 3.18 Dado o sistema S := {H = 0, . . . , H n = 0}, tem-se que:

  1 h

1. Se S tem uma solução não nula, então ∂Res (H , . . . , H n ) = 0.

  J

  1 h

  2. ∂Res (H

  1 , . . . , H n ) = 0 se, e somente se, ∂Res J (F 1 , . . . , F n ) = 0. J A demonstração deste resultado encontra-se em

  Vamos usar o próximo resultado para provar o principal resultado desta seção, a saber, se J 6= ∅ e ∂Res

  J (F , . . . , F n ) é não constante (isto é,

  1

  ∂Res J (F , . . . , F n ) / ∈ K), então ∂Res J (F , . . . , F n ) (X) = 0 é a equação

  1

  1 implícita de P (X, U).

  Lema 3.19 Se P (X) = det (M j ) ∈ K {X}, com i ∈ {1, . . . , n}, então

  i ord (P, x j ) ≤ N − o j − γ, para todo j ∈ {1, . . . , n}.

  Demonstração. A demonstração segue da definição de ordem apresentada anteriormente. Teorema 3.20 Seja P (X, U) um sistema de equações, J 6= ∅ e suponha ∂Res J (F , . . . , F n ) / ∈ K. Então,

  1 1. dim (ID) = n − 1.

  2. ∂Res J (F , . . . , F n ) (X) = 0 é a equação implícita de P (X, U ).

1 Demonstração. Dado um sistema P (X, U), suponha que J 6= ∅ e que

  ∂Res J (F

  1 , . . . , F n ) seja não constante. Assim, em particular, tem-se que

  ∂Res J (F , . . . , F n ) 6= 0. Daí, pela definição de ∂Res J (F , . . . , F n ), vem que

  1

  1 M ⊂ K hdet (M J ) | i ∈ {1, . . . , n}i é um subconjunto não vazio de K {X}, e i

  portanto, segue que o conjunto ∆ descrito no algoritmo a pouco é não vazio, por definição. De acordo disso, definindo A := det M J , segue do lema

  i1

  anterior que ord (A, x

  k ) ≤ N − o k − γ, para todo k ∈ ∆. Novamente, do lema (γ)

  anterior temos que A ∈ [P S] e podemos realizar operações nas linhas de obtendo a matriz M J

    M J k · · ·

  (γ)

    A

    E k = .   ...  

  (1)

  A Agora, realizamos operações nas linhas de E k para obter a forma escalonada reduzida de M . Assim, as linhas da matriz obtida são uma base de Gröbner

  J k (1) (γ)

  β de [P S], com β ∩K {X} =

  A, A , . . . , A . Logo, por definição, tem-se que A é um polinômio característico de ID, e portanto, dim (ID) = n − 1, o que prova ser ∂Res J (F , . . . , F n ) (X) = A (X) = 0 a equação implícita de

1 P (X, U ).

  Observação 3.21 Observe que ∂Res J (F , . . . , F n ) = 1 implica que a dimensão de ID é menor

  1

  do que n − 1 e, por conseguinte, a equação implícita não existe. Resta determinar a razão para a qual ∂Res J (F , . . . , F n ) = 0.

  1 Exemplo 3.22

  Considere o sistema linear de equações polinomiais paramétricas  x = u + u + u

  1

  1

  2

  21

   S := x = tu + u

  2

  2

  11

  22

   x

  3 = u 1 + u

  21 k k

  ∂ u j ∂ x i

  dado no exemplo, onde u jk = k , para j ∈ {1, 2} e k ∈ N, e x ik = k ,

  ∂t ∂t

  para i ∈ {1, 2, 3} e k ∈ N. A matriz M (11) definindo a resultante dife- rencial {x − u − u − u , x − tu − u , x − u − u } tem uma coluna

  1

  1

  2

  21

  2

  11

  22

  3

  1

  21

  nula. Assim, a equação implícita de S coincide com o determinante das

  2

  submatrizes 10 × 10 de M (11), obtida removendo a coluna nula e qualquer outra linha.

3.6 Operadores Diferenciais Próprios

  Nesta seção, daremos alguns resultados relacionados com o problema de in- versão. Para ser mais preciso, vamos estudar certas condições nos operadores diferenciais L ij que faz de P (X, U) um conjunto próprio de EDPP’s. Re- uniremos a seguir algumas definições que serão necessários nesta seção e que foram usados na seção 5 do capítulo anterior, para estudar o problema de inversão em termos de conjuntos característicos.

  n

  A imagem de P (X, U) em E é o conjunto IM definido por

  n n −1

  (η , . . . , η n ) ∈ E | existe (τ , . . . , τ n ) ∈ E onde η i = P i (τ , . . . , τ n ) .

  1 1 −1 1 −1 O problema de inversão diz é o seguinte: dado (η , . . . , η n ) ∈ IM, determine

  1 n −1

  tal que, η (τ

  1 , . . . , τ n −1 ) ∈ E i = P i (τ 1 , . . . , τ n −1 ).

  Chamamos de mapas inversos para P (X, U) a um conjunto de funções v , . . . , v n em {X} tais que u j = v j (x , . . . , x n ), para j = 1, . . . , n − 1.

  1 −1

  1 Temos que (P (U ) , . . . , P (U )) é um zero genérico de ID e, por definição, a 1 n

  variedade implícita de P (X, U) é

  n V (ID) = {η ∈ E | f (η) = 0, para todo f ∈ ID} .

  Um conjunto de EDPP’s é próprio se para um zero genérico (a , . . . , a n )

  1

  (e assim a maioria dos pontos) da variedade implícita, existe somente um

  n −1

  tal que a (τ

  1 , . . . , τ n −1 ) em E i = P i (τ 1 , . . . , τ n −1 ), para i = 1, . . . , n.

  Proposição 3.23 Suponha que ∂Res J (F , . . . , F n ) / ∈ K. Então o conjunto

  1 P de EDPP’s é próprio. Além disso, existem mapas inversos B (X, U ) = j

  c j u j + U j (X), com c j ∈ K e U j ∈ K {X}, para todo j ∈ {1, . . . , n − 1}. Demonstração. Dado o conjunto P : P (X, U) de EDPP’s, suponha que ∂Res J (F , . . . , F n ) seja não constante. Se a matriz S, definida na seção

  1 h anterior, tem uma coluna nula, então temos que ∂Res (H , . . . , H n ) = 0.

  1 Neste caso, o conjunto J também definido na seção anterior é não vazio.

h

  Deste modo, se J = ∅, então ∂Res (H , . . . , H n ) 6= 0, e assim, a forma

  1

  escalonada reduzida E (L) de M (L) da prova do Teorema 3.11 é uma matriz triangular. Caso J 6= ∅, tem-se que o conjunto M contido no espaço vetorial K hdet (M J ) | i ∈ {1, . . . , n}i é vazio, e então ∂Res J (F , . . . , F n ) = 0, por

  i

  1

  definição. Uma vez que ∂Res J (F , . . . , F n ) / ∈ K, tem-se então também que

  1

  ∂Res J (F , . . . , F n ) 6= 1. De acordo com isso, existe k ∈ {1, . . . , n} tal que,

  1

  det (M J k ) 6= 0 é a equação implícita de P. Portanto, a forma escalonada reduzida de M J k é uma matriz triangular. Em ambos os casos, a base de Gröbner obtida a partir da forma escalonada reduzida contém polinômios B i lineares em u i . Além disso, os parâmetros u j são independentes. Segue que o conjunto P de EDPP’s é próprio, e neste caso, existem mapas inversos B j (X, U ) = c j u j + U j (X), com c j ∈ K e U j ∈ K {X}, para todo j ∈ {1, . . . , n − 1}.

  O próximo resultado nos fornece uma condição necessária para que um con- junto P (X, U) de EDP P seja próprio. Teorema 3.24 Se o conjunto P (X, U) de EDPP’s é próprio, então temos que {L

  1j , . . . , L nj } é um conjunto de operadores diferenciais coprimos, para j = 1, . . . , n − 1. Demonstração. Fixada a extensão universal E do corpo diferencial K, seja P (X, U) um conjunto de EDPP’s. Suponha que P (X, U) seja próprio e considere um conjunto de operadores diferenciais, digamos {L , . . . , L nj }.

  1j

  Agora, suponha por absurdo que exista k ∈ {1, . . . , n − 1} de modo que L j = M DC d (L , . . . , L nj ) ∈ K [∂] e não trivial. Então existe um elemento

  1j

  η ∈ E diferente de zero tal que, L ik (η) = 0, para i = 1, . . . , n. Definindo

  n −1

  o elemento U + η := {u , . . . , u k + η, . . . , u n } ∈ E

  e, lembrando que

  1 −1 n −1

  P P i (U ) = a i − L ij (u j ), tem-se então que

  j =1

  (P

  1 (U + η) , . . . , P n (U + η)) = (P 1 (U ) , . . . , P n (U )) ,

  e assim, segue que P (X, U) não é próprio, por definição, absurdo. Por- tanto, L

  j = M DC d (L 1j , . . . , L nj ) ∈ K [∂] é trivial, ou seja, os elementos do conjunto {L , . . . , L nj } sã o coprimos, para j = 1, . . . , n − 1.

  1j

  Observação 3.25 Para n = 2, a condição no teorema anterior é também suficiente, mas para

  ∂

  n ≥ 3 não é verdade. De fato, tomando K = C(t) e ∂ = , considere o

  ∂t

  sistema linear de EDPP’s dado por  x = 2u + u + u + u

  1

  1

  11

  2

  22

   S : x

  2 = u 1 + u 11 + u 12 + u 2 + u 22 ,

   x = u + 2u + u + u

  3

  1

  11

  2

  21

  onde:

  2

  2 L = 2 + ∂ L = 1 + ∂ L = 1 + ∂ + ∂

  11

  12

  21

2 L = 1 + ∂ L = 1 + 2∂ L = 1 + ∂

  22

  31

  32 Podemos mostrar que, apesar de MDC d (L 1j , L 2j , L 3j ) = 1, o sistema S não

  é próprio (veja Dado o sistema de P (x , x , u) de EDPP’s, o algoritmo que segue retorna a

  2

  1

  2

  sua equação implícita A (X): 1. L := MDC d (L , L ).

  1

  2 2. Se L / ∈ K então calcula-se e L i tal que L i = e L i L e L i : = e L i , i = 1, 2.

  3. Calcula-se D e D .

  1

  2

  4. A (X) := (L

  2 − D 2 ) (x 1 − α 1 ) − (L 1 − D 1 ) (x 2 − α 2 ) Observação 3.26 O Maple packages OreTools, DEtools e Ore-algebra podem ser usados para calcular MDC d (L , L )

  1

  2 Uma vez definido L j := M DC d (L , . . . , L nj ), com j = 1, . . . , n − 1, existem 1j

  e L ij ∈ K [∂] tais que L ij = e L ij L j , para i = 1, . . . , n. Se L j ∈ K, então e L ij = L ij , para j ∈ {1, . . . , n − 1}. A partir daí, podemos definir um novo conjunto de EDPP’s

   e x = P (U ) = a − e H i (U )

  1

  1

  1

    e

  P (X, U ) := , ...

    e x n = P n (U ) = a n − e H n (U )

  n −1

  P e onde e H i (U ) = L ij (u j ) e e F i (U ) = T i (X) + e H i (U ).

  j =1

  ID Proposição 3.27 Se f é o ideal implícito do conjunto e

  P (X, U ) de EDPP’s,

  ID então ID = f .

  ID Demonstração. Seja f o ideal implícito do conjunto e P (X, U ) de EDPP’s.

  ID

  ID Vamos mostrar que ID = f . De fato, por um lado, suponha que f ∈ f . e

  Logo, f P (U ) , . . . , e P n (U ) = 0. Em particular, para

  1

  η = (L (u ) , . . . , L n (u n )) ,

  1 1 −1 −1

  e tem-se que 0 = f P

  1 (η) , . . . , e P n (η) = f (P 1 (U ) , . . . , P n (U )), e assim,

  ID f ∈ ID. Portanto, f ⊆ ID. Por outro lado, seja f ∈ ID = [P S] ∩ K [X]. Logo existem F

  i ∈ K [∂], para i = 1, . . . , n, tais que f (X) = F (F (X, U )) + · · · + F n (F n (X, U )) .

  1

  1 Assim, vem que F 1 (H

1 (U )) + · · · + F n (H n (U )) = 0 e

  f (X) = F (T (X)) + · · · + F n (T n (X)) ,

  1

  1

  consequentemente, tem-se que F (L (u j )) + · · · + F n (L nj (u j )) = 0, para

  1 1j

  todo j ∈ {1, . . . , n − 1}. Por conseguinte, segue que e e F

1 L 1j + · · · + F n L nj L j = 0,

  e daí, uma vez observado que L ij 6= 0 (final da seção 2), tem-se que o operador e e diferencial F L + · · · + F n L nj é nulo. Concluímos então que

  1 1j

  e e F H (U ) + · · · + F n H n (U ) = 0,

  1

  1

  e o que implica que f P

  1 (U ) , . . . , e P n (U ) = 0, e portanto, tem-se que f ∈

  ID

  ID f , ou seja, ID ⊆ f e o resultado segue.

  O corolário seguinte decorre diretamente do Teorema 3.11 e proposição 3.27.

  h

  e Corolário 3.28 Dado um sistema P (X, U), se ∂Res H , . . . , e H 6= 0,

  1 n

  e então dim (ID) = n − 1 e ∂Res F , . . . , e F n (X) = 0 é a equação implícita

  1 de P (X, U).

  Revisitanto o sistema dado no início da secção 3.2, o método para calcular a sua equação implícita seria a seguinte: calcula-se o sistema e S , e em seguida,

  1

  determina-se a equação implícita de S que é

  

1

  e ∂Res F

  1 , e F 2 , e F 3 (X) = (t − 1)x 12 − tx 31 − (t − 1)x 32 + x 2 = 0.

  Corolário 3.29 Fixado u = u , colocamos H (u) = L (u) e H (u) =

  1

  1

  1

  2 L 2 (u), para operadores diferenciais L 1 , L 2 ∈ K [∂]. Assim, se n = 2, são

  equivalentes as seguintes afirmações:

1. P (X, U) é próprio;

  2. (L , L ) = 1;

  1

  2 3. ∂Res (F , F ) = 0.

  1

2 Demonstração. O corolário segue da proposição 3.23, do teorema 3.24 e do teorema 2 de [10].

3.7 Trabalhos Futuros

  Definir e estudar a resultante diferencial generalizada para polinômios de qualquer grau.

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