6. Cálculo numerico para engenheiros bortoli

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Fundamentos de C´ alculo Num´ erico para Engenheiros

  20 2.1 Regras para determina¸c˜ ao das ra´ızes de fun¸c˜ oes . 26 2.2.2 M´etodos de Newton-Raphson, Newton Vi´ete e das secantes .

1.2 Caracter´ısticas de um algoritmo num´ erico de boa qualidade 17 1.3 Aritm´ etica de ponto flutuante e sua representa¸c˜ ao . . .

  20 2.1 Regras para determina¸c˜ ao das ra´ızes de fun¸c˜ oes . 26 2.2.2 M´etodos de Newton-Raphson, Newton Vi´ete e das secantes .

2.3.2 Estiramento de cabos suspensos . . . . . . . . . . . . . . . . .

  48 2.4 Exerc´ıcios . .

3 SOLUC ¸ ˜ AO DE SISTEMAS LINEARES E N ˜ AO LINEARES 54 .1 M´ etodos diretos para sistemas lineares . . . . . . . . . . .

  55 3.1.1 M´etodo de Elimina¸c˜ao de Gauss . 79 3.5 Introdu¸c˜ ao ` a solu¸c˜ ao de sistemas n˜ ao-Lineares .

3.6.2 Estequiometria de uma rea¸c˜ao qu´ımica . . . . . . . . . . . . .

  89 3.6.3 Press˜ao para aterrar corpos de prova . 95 4.1 Obten¸c˜ ao de autovalores/autovetores via determinantes .

5 AJUSTE DE CURVAS E INTERPOLAC ¸ ˜ AO . . . . . . . . . 106

5.1 M´ etodo dos m´ınimos quadrados para dom´ınio discreto . . 106

  5.1.1 Ajuste por um polinˆomio de grau p . 113 5.3.2 Escolha de melhor fun¸c˜ao de ajuste .

5.4 Interpola¸c˜ ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

  204 8.4 Escolha de m´ etodos de solu¸c˜ oes segundo a classifica¸c˜ ao das EDP’s . 201 8.3 Escolha dos m´ etodos de solu¸c˜ ao para as equa¸c˜ oes do calor e da onda unidimensional .

9 INTRODUC ¸ ˜ AO AO M´ ETODO DE ELEMENTOS FINITOS 232

  9.1 Sistemas lineares unidimensionais . 232 9.3 Aplica¸c˜ ao ` a equa¸c˜ ao do calor unidimensional .

10 ALGORITMOS IMPLEMENTADOS EM FORTRAN 90 . 240

  242 10.2.1 Vari´aveis, opera¸c˜oes aritm´eticas e fun¸c˜oes b´asicas . 243 9.2 Fun¸c˜ oes de interpola¸c˜ ao comuns para elementos lineares, triangulares e tetra´ edricos .

10.3 Exemplos de implementa¸c˜ oes em FORTRAN 90 . . . . . . 246

  254 10.3.6 M´etodo de Runge-Kutta 2 . 256 10.3.7 M´etodo de Runge-Kutta 4 para sistemas .

10.3.8.1 Equa¸c˜ao do calor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 260

  10.3.8.2 Equa¸c˜ao da onda . 261 BIBLIOGRAFIA .

1 INTRODUC ¸ ˜ AO

  Modelo ´e uma reprodu¸c˜ao idealizada de algumas ou todas as caracter´ısticas f´ısicas de um processo natural; ´e um sistema que consegue reproduzir, pelomenos em parte, o comportamento de um processo natural; ´e uma repre- senta¸c˜ao de algum objeto ou sistema, com o objetivo de buscar respostas paradiferentes situa¸c˜oes. Como para a maioria das situa¸c˜oes n˜ao h´asolu¸c˜oes anal´ıticas, os m´etodos num´ericos tornam-se a alternativa mais eco- nˆomica; outra possibilidade seria a experimenta¸c˜ao em laborat´orio, que envolvenormalmente equipamentos e t´ecnicas sofisticadas ou caras, ou at´e situa¸c˜oes de risco.

1.1 Fontes de erro

  O erro absoluto, indicado por E , ´e dado por:A E A = | ¯x − x | e o erro relativo, indicado por E R , ´e| ¯x − x | | ¯x − x | E = ou E = R R| ¯x | | x | sendo esta uma medida mais significativa que a do erro absoluto. Da ´ algebra, sabe-se que as ra´ızes s˜ao fornecidas pela f´ormula (Bhaskara)√ √ 2 2 b b−b + − 4ac −b − − 4ac x = e x = .

2 Se 4ac for muito menor que b existe a possibilidade de acontecer a subtra¸c˜ao de

  Se b < 0 ent˜ ao x = e x = . −x Exemplo1.6: A fun¸c˜ ao e em termos da s´erie de Taylor ´e escrita conforme: 2 3 4 x x x x −x e + = 1 − − − ...

1.3 Aritm´ etica de ponto flutuante e sua representa¸c˜ ao

  4 Exemplo 1.7: Considere os n´ umeros x e x . Observe que: 4 4 (x + x= 0, 000 2 1 1 ) − x = (0, 2345 × 10 + 0, 2394 × 10 ) − 0, 2394 × 10 mas, por outro lado, 4 4 x + (x .

1. Calcular as ra´ızes da equa¸c˜ao x + 75x + 3 = 0 com precis˜ao de trˆes d´ıgitos significativos e arredondamento por corte

  Calcule a solu¸c˜ao dos sistemas de equa¸c˜oes lineares: ( (x + 3 y = 11 x + 3 y = 11 a) b) 1, 5 x + 4, 501 y = 16, 503 1, 5 x + 4, 501 y = 16, 501Compare e interprete os resultados obtidos. Um m´etodoiterativo consiste de uma f´ormula de recorrˆencia x = f (x ), i = 1, 2, ..., ni i−1com um certo valor inicial para x igual a x .

2.1 Regras para determina¸c˜ ao das ra´ızes de fun¸c˜ oes

  Se f (a)f (b) > 0, ent˜ao existe um n´ umero par (0, 2, 4, . Supondo que f e sua derivada f ′ sejam cont´ınuas em [a, b] e que o sinal de f′ seja constante neste intervalo tem-se: Exemplo 2.1: Indique, graficamente, o intervalo que contˆem a ra´ız real da fun¸c˜ ao f (x) = x 2 − sen(x)Solu¸ c~ ao: A ra´ızes reais encontram-se no intervalo [-0,2;1], conforme mostra a Fig.

2.1. Figura 2.1: Gr´afico de f (x) = x

  Cota de Fujiwara e Kojima: Seja α uma ra´ız de p(x) = 0; ent˜ao pela cota deFujiwara tem-se )( 1/2 1/3 1/n 1/n−1 a a a a a 1 n−1 n−2 n−3 κ = , , ..., ,, a a a a a n n n n n |α| ≤ 2 max {κ} e pela cota de Kojima 1 2 |α| ≤ (q q e q 1 2 = max {κ} e x i = a 1 a x n−1 i−1 2 a x n−2 i−1 n−1 a x 1 i−1 n a1 n . Enumerar e localizar as ra´ızes de p (x) = x 2 4 = 1, 79 x x 2 = 1, 62 x 3 = 1, 76 x 3 5 o que implica em x = 1, 80 x 6 = 1, 80 Desta forma, | α | ≤ 1, 80.

2.2 Processos Iterativos

  Considera-se como processo iterativo todo procedimento que calcula uma seq¨ uˆencia de aproxima¸c˜ oes x , x , ... O c´alculo de uma nova aproxima¸c˜ ao 1 2 ´e feito em fun¸c˜ ao das aproxima¸c˜oes anteriores.

2.2.1 M´ etodos da bissec¸c˜ ao e da posi¸c˜ ao falsa

  Cap´ıtulo 2 - Ra´ızes de Fun¸ c˜ oes √Solu¸ c~ ao: 5 ≈ 2, 234375 [a,b] Aproxima¸c˜ao 2 2 = 4 2 3 = 9 2 2.5 = 6.25√ 2 2.25 = 5.0625 5 ⇒ 2 2.125 = 4.515625 2 2.1875 = 4.785156 2 2.21875 = 4.922852 2 2.234375 = 4.992432 x Exemplo2.8: Obter a raiz de f (x) = e − sen(x) − 2, conforme mostra a Fig. Aproximar x a partir da express˜ao 2 x f (x f (x ) 1 1 ) − x x = .

2.2.2 M´ etodos de Newton-Raphson, Newton Vi´ ete e das secantes

  M´ etodo de Newton-Raphson ou das tangentesConsiste num m´etodo de aproxima¸c˜oes sucessivas da forma x n+1 = x n − f (x n ) f ′ (x n ) que resulta da equa¸c˜ ao da reta tangente, onde:y − y = m(x − x i i ) = f ′ (x i )(x − x i ) y = 0 ⇒ −f(x i ) = f ′ (x n ′ i ) x i ) x 2 i )x 1 i −(. Para o m´etodo de Newton, especificamente, se ¯ x ´e uma raiz simples, ent˜ao a convergˆencia ´e quadr´atica, ou seja, ′′ 1 (¯| f x) | 2 para i suficientemente grande.i+1 i | e | ≈ | e | ′ 2 (¯| f x) | Se ¯ x ´e uma raiz m´ ultipla de ordem M , ent˜ao a convergˆencia ´e linear, ou seja, ′′ (¯M − 1 | f x) | para i suficientemente grande.

2.2.3 M´ etodo da itera¸c˜ ao linear

  i x i p (x i )1,2000 -1,7600 1 1,7889 -0,5887 2 1,9465 -0,1573 3 1,9866 0,04004 1,9966 -0,0102 5 1,9992 -0,00246 1,9998 -0,0006 7 2.0000 0,0000determinada raiz de f (x) = 0. Exemplo 2.14: Determine a raiz de f (x) = e x − [cos(x) + 1].

2.2.4 M´ etodo de Bairstow

  Se R = a ± b i ´e uma raiz de p (x), ent˜ao 2 2 2 p (x) = (x , 1 − αx − β)q(x) + b (x − α) + b 2 onde b ´e o resto da divis˜ao de p (x) por x 1 (x−α)+b −αx−β e q(x) ´e um polinˆomio de grau n − 2 que pode ser representado por 2 n−2 n−3 q(x) = b x + b x x + b x + b . Comparando esta equa¸c˜ao com p (x) = a x + a x x + a , chega-se n 1 n−1 + · · · + a ` as f´ ormulas recursivas para o c´alculo dos coeficientes b de q(x) conforme: k b = a n n b = a + αb(2.1) n n−1 n−1 b = a + αb + βb k k k+1 k+2 para k = n − 2, n − 3, .

2 Em fun¸c˜ ao da estimativa inicial x , p (x) ´e colocado na forma

  − α x − β 2 p (x) = (x )q(x) + b ) + b . (2.2) 1 − α x − β (x − αDeseja-se obter α e β de forma que b e b sejam nulos i i 1 b = b (α, β) e b = b (α, β).

1 Escolhendo o m´etodo de Newton, por ser eficiente, resulta

  ∂b ∂b∆α + ∆β = −b∂α ∂β ∂b ∂b 1 1 ∆α + ∆β , 1 = −b12 ∂α ∂β1 Para que x = b = 0 − α x − β seja um divisor exato de p (x) ´e preciso que b n−1 c n = b n ∂α, para k = 0, 1, . , 1.resultando, c k−1 ∂b ∂α= k ∂α e analogamente∂b = b n−1 k 3 2 ∆α + c 1 c 1 ∆β = −b ∆α + c = b 2 Deve-se resolver o sistema( c para k = n − 2, n − 3, .

2.3.1 C´ alculo dos juros de um financiamento

  de C´ alculo Num´ erico para Engenheiros Definindo como melhor plano aquele que tiver a menor taxa de juros, observa-se da matem´atica financeira que −p 1 − (1 + i) ν − e= (2.4) i monde i ´e a taxa de juros, p o prazo, ν o pre¸co `a vista, e a entrada e m a mensalidade. As equa¸c˜oes paracada plano s˜ao: −6 1 − (1 + i) 1400 − 150 f (i) = = 0 1 − i 255, 50 −10 1 − (1 + i) 1400 − 0 f (i) = = 0 2 − i 182, 25O gr´afico destas, ´e representado na Fig.

i 255,50

Plano 1 k i i f (i ) k k+1 k+1 −2 −2 −2 5, 00000.10 6, 12939.10 6, 13569.10 −2 −2 −4 1 6, 12939.10 6, 16621.10 6, 18942.10 −2 −2 −8 2 6, 16218.10 6, 16218.10 6, 93123.10 −10 1−(1+i) 1400−0 Plano 2: f (i) = = 0; tomando i = 0, 05 resulta 2 −

i 182,25

  Plano 2 k i i f (i ) k k+1 k+1 −2 −2 −4 5, 00000.10 5, 10661.10 1, 57311.10 −2 −2 −6 1 5, 10661.10 5, 10703 1, 04231.10 −2 −2 −6 2 5, 10703 5, 10703 1, 04231.10O total a ser pago em cada plano corresponde a • Plano 1: R$ 150 + 6 x R$ 255,50 = R$ 1683,00. Embora o plano 1 pare¸ca melhor, o plano 2 ´e o que possui menor taxa de juros.

2.3.2 Estiramento de cabos suspensos

  O comprimento C ´e dado pela equa¸c˜ao dC = 2r senh , 2r sendo d a distˆancia entre as duas torres e r a ra´ız da equa¸c˜aod h(x) = x cosh − 1 − f = 02x onde f ´e a flecha; a Fig. Comece com o intervalo [a, b] fornecido e use o m´etodo da bissec¸c˜ao para encontrar um intervalo de tamanho 0, 05 que contenha uma solu¸c˜ao da equa¸c˜ao dada por:(a) f (x) = ln(x) − 5 + x para [a, b] = [3, 2; 4, 0];(b) f (x) = x − 10x + 23; 2 (c) f (x) = ln(x) − 5 + x;(d) f (x) = x x k 1.

3. A fun¸c˜ ao h(x) = x sen(x) ´e utilizada no estudo de oscila¸c˜oes for¸cadas sem amortec- imento. Encontre o valor de x ∈ [0, 2] onde a fun¸c˜ao assume o valor h(x) = 1

  Considere que as equa¸c˜oes de movimento de um proj´etil sejam h it −5 y = f (t) = 1600 1 − e − 160ta) h i t −5 x = r(t) = 800 . 1 − e Comece com x = 8 e determine o tempo at´e que ocorra o impacto.h i t −15 y = f (t) = 9600 1 − e − 480th i b) t −15 x = r(t) = 2400 .

24. Obtenha os pontos cr´ıticos de f (x) = + x(ln x − 1)

  O lote 1 cont´em cimento, areia e cascalho misturados em 1 3 4 2 5 3 2 3 propor¸c˜ oes : : . 8 8 8 10 10 10 5 5 5 Determinar as quantidades x , x , x a serem usadas de cada lote para formar uma 1 2 3 3 3 3 mistura de 10 m .

3 Solu¸ c~ ao: O sistema de equa¸c˜oes lineares para os ingredientes ´e

  cimento 0, 125x + 0, 200x + 0, 400x = 2, 3 1 2 3 areia 0, 375x + 0, 500x + 0, 600x = 4, 8 1 2 3 cascalho 0, 500x + 0, 300x + 0, 000x = 2, 9 1 2 3 A solu¸c˜ ao deste sistema linear ´e x = 4, x = 3 e x = 3, o que pode ser verificado 1 2 3 por substitui¸c˜ ao direta nas equa¸c˜oes acima.n n n×n Um sistema linear da forma AX = B, onde A ∈ R , X ∈ R e B ∈ R 1 2 pode ser resolvido atrav´es de m´etodos diretos e de iterativos . Um m´etodo ´e iterativo quando a solu¸c˜ao X ∈ Rlimite de uma seq¨ uˆencia de aproxima¸c˜oes sucessivas X , X , .

3.1 M´ etodos diretos para sistemas lineares

  Um sistema linear da forma a x + a x x = b 11 1 12 2 1n n 1 22 2 2n n 2 a x = b nn n n onde a ii 6= 0 para i = 1, 2, . Sua solu¸c˜ao ´e dada por retro-substitui¸c˜ ao atrav´es da f´ormula de recorrˆencia n X b a x i ij j − j=i+1 x = , i i = n − 1, n − 2, .

3.1.1 M´ etodo de Elimina¸c˜ ao de Gauss

  Cap´ıtulo 3 - Sistemas Lineares e n˜ ao -Lineares a 3 b 33 a 32 a 31 2 11 21 a 22 a 23 b a 1 b 13 a 12  linha pivˆo se a 6= 0O objetivo ´e obter um sistema triangular da forma 11 ′ 2 ′ b 23 ′ a 22 a  a 1 b 13 a 12 a 11 a  a Dois sistemas lineares de dimens˜ao n×n s˜ao equivalentes desde que os seus conjun- tos de solu¸c˜ oes sejam os mesmos. x 1 + 2x 2 + x 3 + 4x 4 = 13 2x1 + 4x3 + 3x4 = 28 4x1 + 2x2 + 2x3 + x4 = 20 −3x1 + x 2 + 3x 3 + 2x 4 = 6 Solu¸ c~ ao: A matriz aumentada para este sistema ´e pivˆ o→ 1 2 1 4 13 m21 = 2 4 diagonal.

3.1.1.1 Invers˜ ao de matrizes

  de C´ alculo Num´ erico para Engenheiros 11 5 2 3 Elimina-se os elementos na coluna 1 que est˜ao abaixo da diagonal principal, con- forme 2 0 1 1 0 0 1 −1 0 0 0 1 = 3, resultando 3 2 5 0 1 0 Troca-se as linhas 1 e 2 para que a apenas um vetor ` a matriz aumentada, adiciona-se a matriz identidade do lado direito de A, resultando [A I]. 3(n 1 2 e o total de multiplica¸c˜oes e de subtra¸c˜ oes´e = n(n + 1)(2n + 1)6 obt´em-se que o total de divis˜oes ´en(n − 1) 2 k k=1 X n k = n(n + 1)2 e k=1 n −1 Usando as f´ ormulas da ´algebra P nk=2 k(k − 1) 1 2 · 1 2 · 1Totais Pn−1 k=1k P nk=2 k(k − 1) ...n − 1 ...

3.1.2 Fatora¸c˜ ao LU

  ) e uma matriz de permuta¸c˜ao P , matriz identidade permutada de acordo com as transforma¸c˜ oes realizadas em A, que rearranja as linhas de A tal queP A = LU ij = m ij = 1 e l ii 6= 0, uma matriz triangular inferior L com l 3 Fund. Solu¸ c~ ao:Os fatores       1 4 0 0 1−3      L = 3/4 1 U = e P = 1 0 0 ,  0 −4 13/4    35/8 0 1 01/4 −1/2 1 s˜ao os fatores da matriz       0 0 1 1 4 3 −4 −3 4      P A = 1 0 0 1 2 2 1 3 −4    =   .

3.2 M´ etodos Iterativos para Sistemas Lineares

  A t´ecnica iterativa para resolver um sistema linearAx = b de n × n elementos, ser´a proposto da seguinte forma: parte-se de uma aprox- 1 2 ima¸c˜ ao inicial x e ent˜ ao constr´oi-se consecutivamente os vetores x , x , ..., at´e que k k−1x −x | a condi¸c˜ ao de convergˆencia | < ǫ seja satisfeita. k4 x Matriz do sistema Ax = b Cap´ıtulo 3 - Sistemas Lineares e n˜ ao -Lineares O primeiro m´etodo iterativo para solu¸c˜ao de sistemas lineares indicado ´e o de Jacobi.

3.2.1 M´ etodo de Jacobi: M´ etodo dos deslocamentos simultˆ aneos

  , n, isola-se o vetor X mediante a separa¸c˜ao do elemento diagonal, conforme b 1 1  x = (a x + a x x ) 1 12 2 13 3 1n n − + · · · + a a a 11 11  b 1 2  x = (a x + a x x ) 2 21 1 23 3 2n n − + · · · + a a a 22 22  .. Exemplo3.6: Resolver o sistema pelo m´etodo de Jacobi  10 x + x + x = 12 1 2 3  x + 10 x + x = 12 1 2 3  x + x + 10 x = 12 1 2 3 Solu¸ c~ ao: A solu¸c˜ ao deste sistema ´e x = x = x = 1.

3.2.3 M´ etodo das sobre/sub-relaxa¸c˜ oes sucessivas - SOR/SUR

  Cap´ıtulo 3 - Sistemas Lineares e n˜ ao -Lineares ij Assim, para cada i, calcula-se x (k+1) i = (1 − w)x(k) i ii b i − i−1 X j=1 a x 2 (k+1) j −n X j=i+1 a ij x (k) j  Observe que se: Observe ainda que: . Solu¸ c~ ao: Discretizando o sistema dado tem-se( x n+1 = (1 − w)x n + w[(9y n + 1)/10] y n+1 = (1 − w)y n+1 Exemplo3.8: Dado o sistema ( x n+1 = x n n n ] y n+1 = y n n+1 n ( 10 x− 9 y = 1 U ]k ≤ 1 que corresponde a uma condi¸c˜ao de diagonal dominˆancia, a ser discutida posterior-mente.

5 Corresponde a avalia¸c˜ao do erro relativo a k-´esima itera¸c˜ao

Fund. de C´ alculo Num´ erico para Engenheiros

3.2.4 Convergˆ encia de m´ etodos iterativos

  (0)TTabela 3.5: Aproxima¸c˜oes SOR para X = [0 0 0] k x x x 1 2 3 1 1 2 1 (0)T Entretanto, se a aproxima¸c˜ao inicial for X = [1 1 1], a nova seq¨ uˆencia de aproxima¸c˜ oes ser´a conforme 3.6Este comportamento se deve ao fato de que as equa¸c˜oes correspondem a trˆes planos coincidentes e, conseq¨ uentemente, o determinante do sistema linear ´e nulo. de C´ alculo Num´ erico para Engenheiros(0)T Tabela 3.6: Aproxima¸c˜oes SOR para X = [1 1 1] k x x x 1 2 3 1 1 1 1 -1 1 1 2 -1 1 1 A utiliza¸c˜ ao do m´etodo de Gauss-Seidel pode ser desastrosa se o sistema for mal condicionado, devido ` a propaga¸c˜ao dos erros de arredondamento, que pode crescerconsideravelmente.

3.3 Sistema mal condicionado e condicionamento

  Supondo que algum tipo de erro tenha mudado as equa¸c˜oes para( x + x = 4 1 2 1, 0001x + x = 4, 007 1 2 a nova solu¸c˜ ao seria x = 7 e x 1 2 = −3. Logo, x − x (b − b ′ −1 ′ −1 ′ || x − x || = || A (b − b ) || ≤ || A || || b − b ||, ou seja, ′ ′ || x − x || || b − b || −1 .

3.5 Introdu¸c˜ ao ` a solu¸c˜ ao de sistemas n˜ ao-Lineares

  6 De maneira geral, um sistema n˜ao linear com n equa¸c˜oes e n inc´ognitas pode ser apresentado na forma f (x , x , ..., x ) = 0 1 1 2 n  f (x , x , ..., x ) = 0 2 1 2 n (3.2) .. ou na forma vetorial F (X) = 0, onde X = [x , x , ..., x ] ´e o vetor das inc´ognitas, 1 2 n Tn F (X) = [f (X), f (X), ..., f (X)] e 0 ´e o vetor nulo de R .

3.5.1 Regra de Cramer

  Considere o caso de duas equa¸c˜oes a duas inc´ognitas f (x, y) = 0 (3.3)g(x, y) = 0 (3.4) Admite-se que f e g s˜ao deriv´aveis e usa-se expans˜oes em s´eries de Taylor conforme f (x, y) = f (x , y ) + f (x , y ) + f (x , y ) x y )(x − x )(y − y 2 2 ) )(x − x (y − y +f xx (x , y ) + f yy (x , y ) + ... g(x, y) = g(x , y ) + g (x , y ) + g (x , y ) x y )(x − x )(y − y 2 2 ) )(x − x (y − y +g (x , y ) + g (x , y ) + ...

3.5.2 M´ etodo de Newton

  n , ..., x 2 , x (x n 2 = φ 2 ) x n , ..., x 2 , x 1 (x 1 = φ 1 O m´etodo consiste em resolver (3.2) da forma x , ..., x ) onde as atualiza¸c˜ oes s˜ao obtidas de: x (k) 2 (x n = φ (k+1) n ...x ... i )/3] 1/2 , φ 2 (x 1 , x 2 ) = [1, 625 − x 1 ] 1/3 , a matriz J(x ) ficaJ(x ) = [(3, 5 − x i ) = ∂φ1 ∂x1 ∂φ1 ∂x2 ∂φ2 ∂x1 ∂φ2 ∂x2  =  −1 6[(3,5−x2 )/3] 1/2 −13[1,625−x1 ]1/3  Tomando x (0) 1 = 0, 8 e x (0) 2 = 0, 8, obt´em-se os valores mostrados na tabela 3.8.

3.6.1 Tens˜ oes em um circuito el´ etrico

  V = −85, 3281V e 3 4−5 6−30 12 1 1 3 1 1 − V 2 4 = 0. Via lei de Ohm resulta0 − V 4 41 31 21 A1 No n´o 1, pela lei de Kirchoff tem-se, I el´etrica.

3.6.2 Estequiometria de uma rea¸c˜ ao qu´ımica

  a = 1, x =  Resolvendo o sistema linear Ax=b, obt´em-se os coeficientes estequiom´etricos con- forme, assumindo a = 1 (uma quantidade de C 8 H 18 Desta, a equa¸c˜ ao qu´ımica balanceada resultaC 2 = 1.0000, b = 12, 5 c = 8, d = 9.  −2 2 −2 −1 18 Cap´ıtulo 3 - Sistemas Lineares e n˜ ao -Lineares  O : 2b = 2c + dAssim, resulta um sistema com 4 equa¸c˜oes e 4 inc´ognitas, conforme C : 8a = cH : 18a = 2d 2 O 2 → cCO 2 8 0 −118 0 ` as substˆ ancias que aparecem na equa¸c˜ao, que s˜ao as inc´ognitas.

3.6.3 Press˜ ao para aterrar corpos de prova

  Sendo assim, o sistema torna-se Figura 3.5: Corpos de prova de raios diferentes enterrados a uma mesma pro- fundidade.x r21 p = x e + x r 1 1 3 1 x r22 p 2 = x 1 e + x 3 r 2 (3.6) x2 r3 p = x e + x r 3 1 3 3 com trˆes inc´ognitas, x , x e kx . Determine as constantes supondo que um cilindro 1 2 3 de raio 10cm requer uma press˜ ao de 10N para enterrar 1m em um terreno lamacento, g z x h z g y z h y g x J(f, g, h) = f x h y + gf y h x + hf x g y ) )C = f g y h x + gf x h y + hf y g x − (f g x g z z h x x h z − (f g z g x x x h y )Tomando x = 2, 5980; e x 2 = 8, 7701; x 1 Logo as constantes s˜ao x tabela 3.9.

4 AUTOVALORES E AUTOVETORES

  Para λ 2 = −1, 386 o autovetor correspondente ´e calculado por" −3, 886 4, 386# " x #= 1 x 2 #= " # o que forneceX = " k1, 295 k " # o que resulta emX = 2 −5/2 − λ Os autovetores correspondentes aos autovalores s˜ao calculados pela equa¸c˜ao carac- ter´ıstica(A − λI)X = 0. 3−1/2 1 − λ = 0 ou seja,p (λ) = λ 2 − 3/2λ − 4 e os autovalores de A s˜ao λ 1 = 2, 886 e λ 2 = −1, 386.

4.2 M´ etodo da potˆ encia

  Inicia-se com a condi¸c˜ao X = [1 1 1], por exemplo, e gera-se a seq¨ k uˆencia {X } atrav´es de b k AX = b e X = , k k k+1 M k+1 onde M ´e a coordenada de maior magnitude de b k+1 k k k . k k k→∞ k→∞ Exemplo 4.3: Atrav´es do m´etodo da potˆencia encontre o autovalor dominante e seu correspondente autovetor de  0 11 −5  A =  −2 17 −7  .

2 X

  −5−2 17 −7−4 26 −10 9 M 1 = 12 M 2 = 16 3 M 3 = 2 . Se λ ´e autovalor de A, ent˜ao 1 λ ´e autovalor de A −1 ; isto implica que o maior autovalor de A corresponde ao menor autovalor de A −1 .

4.3 M´ etodo de Jacobi

  n X n = λ T Os termos T , T , T e T dependem do ˆangulo de rota¸c˜ao θ e s˜ao definidos por ii ji ij jj T = T = cos(θ) ii jj T = T = sin(θ).ji ij (k) T (k) Desta forma, (T ) T = I. Solu¸ Empregando o m´etodo de Jacobi resulta    79, 64 40, 467 0, 000 0, 000    Λ = 40, 47 0, 000 0, 153   e P =  −79, 640  .

4.4 Aplica¸c˜ oes: sistema massa-mola

  O equil´ıbrio ocorre quando as massas est˜ao em distˆancias a , a , a de 1 2 3 P . As distˆancias podem ser expressas por a +x , 1 1 a + x , a + x .

3 Para a primeira massa o equil´ıbrio ´e dado por

  k (a ) = k (a ) 1 1 1 2 2 1 2 − c − a − c e o movimento como sendomx” (a + x ) + k (a + x + x ) 1 1 1 1 1 2 2 2 1 1 2 = −k − c − (a ) − c assim tem-semx” + k )x + k x 1 1 2 1 2 2 = −(k mx” + mx 1 1 2 = −(2m + m)x x” + x 1 1 2 = −3x 2 2 x 1  x  1−3 2−3 3 1 −3   = 3 x” 2 x  1 1 4 2 5 0 5 3  1 4 0 2. 2 = A v que tem solu¸c˜ao se w 2 sin wt ou −v w 2 x”  x” Cap´ıtulo 4 - Autovalores e Autovetores x 2 x” 1 x 1 3 4 1 2 )x 3 2 = −(k 2 Analogamente, para a segunda e a terceira massa obt´em-se x” = 2x − 3x 3 Escrevendo na forma matricial x” = Ax, resulta 3 − 3x 2 = x 3 x” 2 x 3 2 )x 4 3 = −(k 3 x” 3 Fund.

5 AJUSTE DE CURVAS E

  , n, i por uma fun¸c˜ ao g m X a g (x) k k tem-se que determinar a , a , . , a ) = r (x) = [f (x )] 1 m i ii ) − g(x i=0 i=0 ´e necess´ ario que∂M ∂M ∂M = 0, = 0, .

5.1.1 Ajuste por um polinˆ omio de grau p

  , a 1 p p do polinˆomio a + a x que minimizem 1 p x + · · · + a n n X X 2 p 2 M (a , a , . Solu¸ c~ ao: O sistema resultante ´e 4 2 1 4 f (x) 3 X ...a 5 Exemplo 5.2: Determine a par´abola que se ajusta aos dados da tabela: X y i=1 X n = p i x i=1 X 2 i + · · · + an n x i=1 2 n x 1 i x i=1 X 1 n i x i=1 X n para cada j = 1, 2, ..., n.

5.1.2 Ajuste por fun¸c˜ ao exponencial

  A solu¸c˜ ao do seguinte sistemafornece os coeficientes c 1 e c 2 n 2 i X i=1 x i n X x i n X x 1 Cap´ıtulo 5 - Ajuste de curvas e Interpola¸ c˜ ao ) cuja solu¸c˜ ao ´e c 18 18 51# ( c 1 c 2 )= (21, 956054, 8185 1 46 Solu¸ c~ ao: O sistema equivalente resulta em" = 0, 9854 e c 2 = 0, 7271. Desta forma, α 1 = e c1 = 2, 6789 e a fun¸c˜ ao exponencial desejada´e y = 2, 6789 e 9 33 de forma que α Exemplo5.3: Obter uma fun¸c˜ao exponencial que ajuste os dados da tabela x 0, 5 1 = e c1 e α 2 = c 2 determinam a fun¸c˜ao de ajuste.

5.1.3 Ajuste por uma fun¸c˜ ao potˆ encia

  Me- diante a mudan¸ca de vari´aveis α i=1 1 = ln y, α 2 Lineariza-se a fun¸c˜ ao y = a x 1 = ln a e c 2 = b, o sistema resultante torna-se n n X ln x 2 i n X i=1 ln x i n X i=1 (ln x i ) = ln x, c ( g m ( w • q ) =Z )( g m ) . 15 7 dx = 2 x 1 2 R 3( x • x ) = x dx = Como,( 1 • 1 ) = 1 2 R 1 dx = 1( 1 • x ) = 1 2 R 6 .

5.3 Aproxima¸c˜ ao trigonom´ etrica

  Uma classe particular ´e representada pelas fun¸c˜oes: cos x, cos 2x, . A aproxima¸c˜ao de uma fun¸c˜ ao f por uma g da fam´ılia m X k k k=1 recebe o nome de an´alise harmˆonica, aproxima¸c˜ao trigonom´etrica ou aproxima¸c˜ ao de Fourier.

5.3.1 Aproxima¸c˜ ao trigonom´ etrica para dom´ınio discreto:

  Portanto, x j 2= −2 2 2 2 2 3 senπ 1 = j ) sen k x f (x 2 4 X j=1 2 1 = 1 2 b 1 2= 2 j 1 Cap´ıtulo 5 - Ajuste de curvas e Interpola¸ c˜ ao k j ) cos k x j f (x j=1 X 2 N 1 N = ) a k j f (x j=1 X 2 N 1 , a = j de forma que, fazendo com que as abcissas de f (x) coincidam com os pontos x , k = 1, 2, . , m (5.2) b = cos x + b 2 1 6 Solu¸ c~ ao: Quer-se determinar os coeficientes da fun¸c˜ao g(x) = a + a 7 5 3 ) j 4 f (x 3 1 1 N 5.5: Fa¸ca a an´alise harmˆonica, at´e o primeiro harmˆonico da fun¸c˜ao f (x) indicada a seguirj , k = 1, 2, .

5.3.2 Escolha de melhor fun¸c˜ ao de ajuste

  Tabela 5.1: Escolha da melhor fun¸c˜ao de ajuste x yx y x /∆x ≈ constante i /∆lnx i ≈ constante exponencial ∆lny i /∆x i potˆencia ∆lny 3 i ≈ constante /∆x 3 i c´ ubica ∆y 2 i ≈ constante 2 i 1y = y 1x 2 y 2 .. Estatarefa pode ser trivial mas n˜ao ´e; na tabela que segue h´a uma indica¸c˜ao da escolha para dados tabelados conforme 5.1 i /∆x Cap´ıtulo 5 - Ajuste de curvas e Interpola¸ c˜ ao Observe que caso os dados da fun¸c˜ao n˜ao se enquadra nesta fun¸c˜oes geralmente ´e prefer´ıvel dividir a curva em duas ou mais, gerando duas ou mais fun¸c˜oes de ajuste.

5.4 Interpola¸c˜ ao

  Considere os valores da tabela 5.3 correspondente aos valores de uma fun¸c˜ao f em ∗ n + 1 pontos reais distintos x , x , . Seja x um ponto distinto dos pontos x 1 n i ∗ da tabela, pertencente ao intervalo que cont´em os pontos x , isto ´e, x , para i i 6= x x x x x .

5.4.1 Interpola¸c˜ ao polinomial

  Para resolver o sistema ´e necess´ ario que a matriz dos coeficientes 1 x x 1 x 2 x 1 x n 1 = f (x 1 ) ...a + a 1 n n 2 x 2 n + · · · + an x n n = f (x n )(5.3) com n + 1 equa¸c˜ oes e n + 1 inc´ognitas: a , a 1 , . , a 2 1 + · · · + an x 3−2 1 f (x) 3−3 2 Solu¸ c~ ao: Adotando p (x) = a + a x + a x tem-se 2 1 2 p (x ) = f (x a + 4 a = 3 2 1 2 ) ⇒ − 2 a p 2 (x 1 ) = f (x 1 a + a 1 + a 2 = 0 ) ⇒ p (x ) = f (x a + 3a + 9 a 2 2 2 1 2 ) ⇒ = −3 51 6 3 Do sistema, obt´em-se a = , a , a .

5.4.2 Polinˆ omios ortogonais

  , x 2 )f [x 1 i+2 i+1 1 1 5) + (x + 2)(x − 1)(− (x) = 5 + (x + 2)(− 2 2−3 e o polinˆomio,p 2 1−3 3 , x 1 − 3 5 5− ]−2 i , x] + (x − x )(x − x )f [x Tamb´em pode-se compor os dados conforme mostra a tabela 5.5: 1] f [x 2] f [x 2f [x 1] 2 x 2, x 3, x 4, x 2, x 2] f [x 3, x 1] f [x 2, x 1] f [x 1f [x Tabela 5.5: Diferen¸cas divididas i x i f [x i ] f [x i+1 , x i ] f [x i+2 , x i+1 , x i ] f [x i+3 , . + i i i i i+1 3 Isolando b i na express˜ao, resulta 2 1 h i b = a (2c + c ) (5.6) i i+1 i i i+1 − a − h 3 i que para b fornece i−1 2 h 1 i−1 b = a (2c + c ) i i i−1 − a i−1 − i−1 2 − a 3 (a 3 h2 − a) 1 (a 3 h ) − 1 − a (a 2 3 h1 , b = 1 · · · n−1 ) h n−1 n−2 2(h n−2 ...h .

5.5.1 Tens˜ ao-deforma¸c˜ ao de a¸co

  Depois de feitas as medidas, a seguinte tabela ´e obtidax Determine a cota de calorias aproximada para um homem de 30 anos que pesa 70kg e para uma mulher de 40 anos que pesa 56kg. Outro t´ opico abordado ser´a o estudo de t´ecnicas num´ericas para calcular R b a integral definida de uma fun¸c˜ao, ou seja, I = f (x) dx, onde f ´e limitada e a cont´ınua, exceto possivelmente em um n´ umero finito de pontos em [a, b].

6.1 Deriva¸c˜ ao num´ erica

  Considere a defini¸c˜ ao de derivada de uma fun¸c˜ao f (x) no ponto x f (x + h) − f(x) ′ f (x) = lim . Por expans˜oes em s´erie de Taylor em torno do ponto x resultam 2 h ′′ f (x + h) = f (x) + h f (x) + f (x)(x) + .

6.1.1 Exerc´ıcios sobre deriva¸c˜ ao

  Considere a seguinte tabela de dados: x 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0f(x) 2,415 2,637 2,907 3,193 3,381 utilize as f´ ormulas apropriadas para aproximar f ′ (x) e f ”(x) em diferen¸cas ascendentes. Calcule aproxima¸c˜ oes da segunda derivada de f (x) = cos2x em x = 0, 7 com h = 0, 1, h = 0, 01, h = 0, 001.

6.2 Integra¸c˜ ao num´ erica

  Cap´ıtulo 6 - Deriva¸ c˜ ao e Integra¸ c˜ ao Num´ erica onde a fun¸c˜ ao integrando f (x) pode ser dada analiticamente ou por meio de uma tabela de pontos ([x , f (x )], i = 0, 1, . Se f (x) for dada para um conjunto i i discreto de pontos contidos no intervalo [a, b] ou se for conhecida uma regra para o c´ alculo de f (x), para qualquer valor de x, ent˜ao ´e poss´ıvel realizar a interpola¸c˜ aode f (x) por meio de um polinˆomio e integrar este polinˆomio para que um valor aproximado de I seja obtido.

6.2.1 F´ ormula dos trap´ ezios

  Subdividindo o intervalo [a, b] em n subintervalos de mesmo comprimento b−a h = , considerando x = a, x = b e os pontos intermedi´arios x = x + h, para n i+1 i n , x ], uma integral i i = 0, 1, . Deseja-se determinar a distancia percorrida pelo cavalo ap´os 24 min.t(h) 0, 00 0, 10 0, 20 0, 30 0, 40 v(t) 4,2 7, 5 9, 0 10, 5 7, 0 Cap´ıtulo 6 - Deriva¸ c˜ ao e Integra¸ c˜ ao Num´ erica Solu¸ c~ ao: Como a distˆancia percorrida (d) ´e calculada comoZ 0,4 d = v(t) dt, pode-se empregar a regra dos trap´ezios com n = 10 e h = 0, 1, de forma que0, 1 T (v, h) = [4, 2 + 2 (7, 5 + 9, 0 + 10, 5) + 7, 0] .

2 Desta forma, a distˆancia percorrida ´e de aproximadamente d ≈ T (v, h) = 3,6 km

6.2.2 F´ ormula de Simpson

  Para o intervalo [a,b], assumindo h = 2 resultaZ Z b b 2 ∆f (a) ∆ f (a) p (x) dx =dx 2 f (a) + (x − a) + (x − a)(x − m) 2 h 2 h a a (a+b) onde m = corresponde ao ponto m´edio entre ”a” e ”b”; para obter um 2 polinˆomio de segundo grau s˜ao necess´arios 3 pontos. Via mudan¸ca de vari´aveis x(α) = a + α h dx = h dα e mudan¸ca dos limites de intervalo [a,b] para [0,2], resultaZ Z b22 – » ∆ f (a) h p2 (x) dx = h d α = [f (a) + 4 f (m) + f (b)] .f (a) + α ∆f (a) + α (α − 1) a 2 3 ou sejaZ b h[f (a) + 4 f (m) + f (b)] f (x) dx ≈ 3 a Quando este processo ´e repetido em subintervalos de [a, b] tem-se a extens˜ao da ′′ (3) (4) ′ regra.

6.2.3 Quadratura de Gauss

  A retainterpoladora ´e determinada a partir dos pontos y e y . Observe que se os pontos 1 2 forem bem escolhidos, o valor de ´area entre os pontos a e y, que se est´a integrando a mais, poder´a compensar as ´areas que se est´a integrando a menos entre os pontosy e a e entre os pontos y e b.

2 Para que esta id´eia seja melhor entendida, suponha que a express˜ao da Regra do

  A partir destas considera¸c˜oes chega-se as express˜oes:Z b C f (a) + C f (b) = c c + C c = c + C 1 2 3 1 3 2 3 3 1 2 dx ⇒ C (b − a) ⇒ C = (b − a) a Z b 2 2 b aC f (a) + C f (b) = a + C b = 1 2 1 2 x dx ⇒ C − 2 2 a Resolvendo-se o sistema linear acima, chega-se a(b − a) C = C = , 1 2 2 logo a express˜ao resultante ´e dada porh i (b − a) f (a) + f (b) . Quando a integral de interesse pertence a um intervalo [a,b] qualquer, procede-se a mudan¸ca de vari´avelda forma 1 b − ax = e dx = dt [a + b + t (b − a)] 2 2 ouZ b Z 1 b − a f (x) dx = F (t) dt 2 a −1 onde F (t) = f [x(t)].

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