ANÁLISE DO EFEITO DA DISCRETIZAÇÃO DO MODELO DE VELOCIDADES NAS MIGRAÇÕES KIRCHHOFF E KIRCHHOFF-GAUSSIAN-BEAM 2D PRÉ-EMPILHAMENTO EM PROFUNDIDADE

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ

  

INSTITUTO DE GEOCIÊNCIAS

PROGRAMA DE PốS-GRADUAđấO EM GEOFễSICA

MARCELO TAVARES PAIXAO

  

ANÁLISE DO EFEITO DA DISCRETIZAđấO

DO MODELO DE VELOCIDADES NAS

MIGRAđỏES KIRCHHOFF E

KIRCHHOFF-GAUSSIAN-BEAM 2D

  

PRÉ-EMPILHAMENTO EM PROFUNDIDADE

DISSERTAđấO DE MESTRADO

  

BELÉM-PARÁ

2014

MARCELO TAVARES PAIXAO

  

ANÁLISE DO EFEITO DA DISCRETIZAđấO DO

MODELO DE VELOCIDADES NAS MIGRAđỏES

KIRCHHOFF E KIRCHHOFF-GAUSSIAN-BEAM 2D

PRÉ-EMPILHAMENTO EM PROFUNDIDADE

  Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Geofísica da Universidade Federal do Pará, em cumprimento às exigências para obtenção do grau de Mestre em Geofísica.

  Orientador: João Carlos Ribeiro Cruz

  

Dados Internacionais de Catalogação de Publicação (CIP)

(Biblioteca do Instituto de Geociências/UFPA)

Paixão, Marcelo Tavares, 1986- Análise do efeito da discretização do modelo de

velocidades nas migrações Kirchhoff e Kirchhoff-Gaussian-

Beam 2D pré-empilhamento em profundidade / Marcelo

Tavares Paixão.

  • – 2014. Inclui bibliografias Orientador: João Carlos Ribeiro Cruz Dissertação (Mestrado) – Universidade Federal do Pará,

    Instituto de Geociências, Programa de Pós-Graduação em

    Geofísica, Belém, 2014.

1. Prospecção sísmica. 2. Método de reflexão sísmica. 3.

  Feixes Gaussianos. I. Título.

  CDD 22. ed. 622.1592

  Dedico este trabalho à minha família.

  

AGRADECIMENTOS

  Agradeço primeiramente a Deus por ter proporcionado saúde, conĄança e determi- nação para Ąnalizar esta dissertação. Em especial quero agradecer a minha minha noiva pelo seu apoio, compreensão, amor e carinho. Ao Prof. Dr. João Carlos que me apresentou o tema desta dissertação, bem como pelo apoio, orientação, amizade e por todas as oportunidades oferecidas a minha pessoa para concretização do referido trabalho.

  Ao prof. Dr. Glauco Lira e Wildney Vieira pelas valorosas contribuições dispensadas ao longo do desenvolvimento desta dissertação. A secretária Benildes Lopes (CPGf/UFPa), sempre disposta a ajudar nas questões administrativas e pela valorosa amizade. Aos membros da Banca Examinadora por aceitarem gentilmente participar deste processo, pelas críticas construtivas e importantes sugestões.

  Aos colegas contemporâneos pelo incentivo e momentos de descontração. Ao Curso de Pós-Graduação em Geofísica (CPGF/UFPA), pela infra-estrutura e apoio na realização desta pesquisa.

  A todos os meus familiares por compreenderem a minha ausência em momentos importantes e torcerem pela conclusão desta etapa acadêmica.

  "Sonhos determinam o que você quer. Ação determina o que você conquista."

(Aldo Novak)

  

RESUMO

  O Feixe Gaussiano (FG) é uma solução assintótica da equação da elastodinâmica na vizinhança paraxial de um raio central, a qual se aproxima melhor do campo de ondas do que a aproximação de ordem zero da Teoria do Raio. A regularidade do FG na descrição do campo de ondas, assim como a sua elevada precisão em algumas regiões singulares do meio de propagação, proporciona uma forte alternativa no imageamento sísmicos. Nesta dissertação, apresenta-se um novo procedimento de migração sísmica pré-empilhamento em profundidade com amplitudes verdadeiras, que combina a Ćexibilidade da migração tipo Kirchhoff e a robustez da migração baseada na utilização de Feixes Gaussianos para a representação do campo de ondas. O algoritmo de migração proposto é constituído por dois processos de empilhamento: o primeiro é o empilhamento de feixes (Şbeam stackŤ) aplicado a subconjuntos de dados sísmicos multiplicados por uma função peso deĄnida de modo que o operador de empilhamento tenha a mesma forma da integral de superposição de Feixes Gaussianos; o segundo empilhamento corresponde à migração Kirchhoff tendo como entrada os dados resultantes do primeiro empilhamento. Pelo exposto justiĄca-se a denominação migração Kirchhoff-Gaussian-Beam (KGB).AĄm de comparar os métodos Kirchhoff e KGB com respeito à sensibilidade em relação ao comprimento da discretização, aplicamos no conjunto de dados conhecido como Marmousi 2-D quatro grids de velocidade, ou seja, 60m, 80m 100m e 150m. Como resultado, temos que ambos os métodos apresentam uma imagem muito melhor para o menor intervalo de discretização da malha de velocidade. O espectro de amplitude das seções migradas nos fornece o conteúdo de frequência espacial das seções das imagens obtidas.

  Palavras-chave: Geofísica. Imageamento Sísmico. Feixes Gaussianos. Migração.

  

ABSTRACT

  The Gaussian Beam (GB) is an asymptotic solution of the elastodynamic equation in the paraxial vicinity of a central ray, which approaches better the wave Ąeld than the standard zero-order ray theory. The GB regularity in the description of the wave Ąeld, as well as its high accuracy in some singular regions of the propagation medium, provide a strong alternative to solve seismic modeling and imaging problems. In this dissertation , I present a new procedure for pre-stack depth migration with true-amplitude, combining the Ćexibility and robustness of Kirchhoff migration type using superposition of Gaussian beams to represent the wave Ąeld. The proposed migration algorithm comprises in two stacking process: the Ąrst is the beam stack applied to subsets of seismic data multiplied by a weight function deĄned such that stack operator has the same formulation of the integral of the Gaussian beams superposition; the second is a weighted diffraction stack by means of the Kirchhoff type integral having as input the stacked data. For these reasons it is called Kirchhoff-Gaussian-Beam (KGB) migration. In order to compare the Kirchhoff and KGB methods with respect to the sensibility on relation to the discretization length, we apply them to the well-know 2D Marmousi dataset using four velocity grids, i.e. 60 m, 80 m, 100 m e 150 m. As result we have that both methods present a much better image for smaller discretization interval of the velocity grid. The amplitude spectrum of the migrated sections provide us with the spatial frequency contents of the obtained image sections.

  Keywords: Geophysics. Seismic Imaging. Gaussian Beam. Migration.

  

LISTA DE ILUSTRAđỏES

   . . . . . . . . 20

  

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

   . . . . . . . . . . . . . 39

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 54 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 . . . . . . . . . . 56 . . . . . . . . . . . . 57 . . . . . . 58 . . . . . . . . . . . . . 72

  LISTA DE SÍMBOLOS x , x , x SÍMBOLOS DESCRIđấO = (x 1 ω 2 3 ) Coordenadas cartesianas ρ = ρ(x) Densidade de massa u Frequência angular τ i Componentes do campo de deslocamento u (i = 1, 2, 3) p p Vetor vagarosidade λ Comprimento de onda i Componentes do vetor vagarosidade p (i = 1, 2, 3) Tempo de trânsito v v A Amplitude escalar v Velocidade de propagação do campo de ondas P Velocidade de propagação da onda P σ J Jacobiano do raio S Velocidade de propagação da onda S s Variável natural ao longo do raio λ , λ eλ Sistema de coordenadas do raio 1 H 2 3 Comprimento do raio → − → − − → e , e e e Base do sistema de coordenadas centrada no raio q , q 1 1 → − 2 e q t 2 3 Sistema de coordenadas centradas no raio 3 Hamiltoniano − → n b → − vetor tangente e Vetores, respectivamente, normais e binormais ao raio Σ Plano perpendicular ao raio na posição R do raio θ e → − T Ângulo entre 1 e b 1 p Componentes da vagarosidade em coordenadas centradas no raio (I = 1, 2) K Raio de curvatura Q I Torção do raio

Matriz de transformação de coordenadas do raio para coordenadas centradas no raio

P Matriz de transformação de coordenadas do raio para coordenadas das componentes para coordenadas centradas no raio → − t de vagarosidade do raio M Matriz de derivadas de segunda ordem do tempo de trânsito em relação a coordenadas centradas no raio vetor tangente

Matriz propagadora de um raio conectado a um ponto inicial S e a um ponto Ąnal R

Q Π(R, S) Q e P Soluções do sistema dinâmico com condições iniciais de fonte pontual 2 1 e P 2 1 Soluções do sistema dinâmico com condições iniciais de fonte plana Σ Superfície anterior A

  SÍMBOLOS DESCRIđấO A , B, C e D Submatrizes da matriz propagadora de Bortfeld T T (R, S) Matriz propagadora de Bortfeld de S em Σ a R em Σ → − t A P p Componentes da vagarosidade em coordenadas cartesianas (i = 1, 2, 3) G Matriz de transformação de coordenadas cartesianas na interface para sistema cartesiano geral Z i vetor tangente k matriz de transformação das coordenadas centradas no raio q 1 ,q 2 e q 3 = s para coordenadas cartesianas na in Módulo do vetor número de ondal Ω Ângulo sólido H A (s) Matriz de transformação de coordenadas centradas para coordenadas cartesianas L 1 (s) e L (x) Amplitude, em coordenada cartesiana, do raio de comprimento ss K Matriz de curvatura da frente de onda L o Meia-largura inicial do feixe gaussiano 2 (s) Feixo maior e eixo menor da meia-largura do feixe gaussiano 3-D H T Período da onda monofrequente. ξ = (ξ , ξ ) Vetor-posição sobre a zona de Fresnel projetada S H 1 F P Matriz da zona de Fresnel projetada 2 Matriz da primeira zona de Fresnel Matrizes de conĄguração da fonte e do receptor,respectivamente

  Γ e Γ R W τ (ξ) Tempo de reĆexão R r zp Raio da zona de Fresnel projetada ̂︁ (ω) Pulso sísmico da fonte no domínio da freqüênci G Fator de espalhamento geométrico complexo normalizado pelo raio de reĆexão R CoeĄciente de reĆexão de ondas planas no ponto de reĆexão C c t Perda total das transmissõesr U s U T A (t) Dados migrados em verdadeira amplitude, t) Campo de onda sísmica

  R Matriz resolução dos parâmetros R m G τ η Vetor das coordenadas dos parâmetros de conĄguração na superfície da Terra gb Tempo de trânsito paraxiais de segunda ordem complexo B Raio de curvatura da frente de onda S Fator de espalhamento geométrico complexo do feixe gaussiano normalizado

  

SUMÁRIO

  . . . . . . . . . . . . . . . . 36

  

. . . . . . . . . . 70

  64 . . . . 66

  

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

  

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

  

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

  . . . . . . . . . 42

  . . . . 40

  

. . . . . . . . . . . . 40

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

  

. . . . . . . . . . . . . . . . . 36

  

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

  . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

  . . . . . . . . . . . 18

  

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

  . . . . . . . . . . . . . 73

  15

1 INTRODUđấO

  Objetivo principal no processamento de dados sísmicos é obter uma imagem representativa da subsuperfície da Terra, onde a migração faz parte do Ćuxograma desse processo. O conceito de migração consiste em reposicionar os dados gravados em sua posição gelógica verdeira. As migrações podem ser em tempo ou profundidade, as quais podem ser feita antes ou depois do empilhamento e cada tipo de migração apresentam suas potencialidades e fraquezas.

  Dentre os diversos tipos de migração, a migração Kirchhoff se destaca devido sua eĄcácia em compor imagens de reĆetores com mergulhos íngremes e permitir migrar dados completos ou apenas parte dele, durante o processo de migração. A teoria do raio de ordem zero, é base para calcular a função Green no operador de imageamento, sendo esta teoria aplicada de forma efetiva em meios suaves. Com isso, as difrações observadas em ambientes com a geologia do meio complexa ou em meios que apresentam fortes variações laterais de velocidades, não podem ser simuladas adequadamente devido a zonas de sombra ou ocorrência de cáusticas.

  A migração Kirchhoff em profundidade, requer uma maior necessidade de ferra- mentas computacionais. O tempo computacional aumenta quando a migração Kirchhoff opera diretamente sobre o conjunto de dados pré-empilhados e com verdadeiras amplitudes para compor a imagem Vários trabalhos foram desenvolvidos para obter imagens mais precisas e computacionamente viáveis, entre os quais se destacam

   Em todos esses trabalhos o conceito de Feixes Gaussianos (FG) foram usados para representar o campo de onda. Assim as vantagens de considerar FG como solução da equação da onda sísmica vem sendo abordadas nos trabalhos de

  O operador da migração Kirchhoff tem duas ideias básicas no processo de imageamento. A primeira é oriunda do princípio de difração escalar, onde o princípio de Huygens de fontes secundárias é utilizado para explicar o caminho seguido por um raio de energia luminosa ao atravessar uma fenda de difração, localizada sobre um anteparo e observada em um ponto qualquer cujas superfícies de máxima convexidade foram posteriormente relacionadas à equação da onda escalar, tornando-se familiar na literatura geofísica como migração Kirchhoff

  Capắtulo 1. INTRODUđấO

  16

  resolver aproximadamente a equação da onda em um meio acústico de um campo de ondas sísmica.

  A migração sísmica pré-empilhamento em profundidade com verdadeiras amplitudes que combina a Ćexibilidade da migração tipo Kirchhoff O algoritmo de migração proposto é constituído por dois processos de empilhamento: o primeiro é o empilhamento de feixes (Şbeam stackŤ) aplicado a subconjuntos de dados sísmicos multiplicados por uma função peso deĄnida de modo que o operador de empilhamento tenha a mesma forma da integral de superposição de Feixes Gaussianos; o segundo empilhamento corresponde à migração Kirchhoff tendo como entrada os dados resultantes do primeiro empilhamento. Pelo exposto justiĄca-se a denominação migração Kirchhoff-Gaussian-Beam (KGB).

  Objetivo principal desse trabalho é estudar os efeitos da discretização do modelo de velocidade nas migrações Kirchhoff e KGB, e comparar os seus espectros de amplitudes. O presente trabalho está divido em:

  ∙ O Capítulo 2 traz uma breve revisão sobre a Teoria dos Raios que é a base para todos os algoritmos de imageamento sísmico apresentados. Uma abordagem tanto em coordenadas cartesianas quanto coordenadas centradas no raio. ∙ O capitulo 3 mostra o estudo do campo de onda usando feixes Gaussianos. ∙ o capítulo 4 descreve a modiĄcação do operador de empilhamento de difrações para a migração Kirchhoff pré-empilhamento com verdadeira amplitude aĄm de ultilizar o formalismo de feixes Gaussianos. ∙ O capítilo 5 é composto pelos resultados, isto é, analise dos efeitos da discretização no modelo de velocidade quando esses dados são migrados tanto na migração kirchhoff quanto na migração KGB.Além disso, Analisar o espectro de amplitude do dado migrado

  ∙ Finalmente, no último capítulo temos as conclusões feitas, levando em consideração a análise dos dados migrados com diferentes dicretizações feitas no modelo de velocidade e observações feitas no espectro de amplitude também no dado migrado.

  17

2 TEORIA DO RAIO

  Neste cápitulo estudaremos a teoria do raio de ordem zero analisando seus as- pectos cinemáticos (cálculo de raios, tempos de trânsito e frentes de onda) e dinâmicos (principalmente amplitude).

  Quando o campo de ondas é investigado, pode-se observar que as perturbações no meio, também chamadas de eventos, são propagadas independentemente. Além disso, se o evento tem curta duração, implicando em grande conteúdo de alta freqüência, quase como um pulso delta de banda limitada, este comportamento se mantém por toda a propagação. Tais observações dão uma boa informação de como a solução deve ser, pelo menos sob a hipótese de alta-freqüência. Se apenas um evento é observado atentamente, deve-se considerar dois aspectos básicos: o cinemático e o dinâmico. A parte cinemática trata das trajetórias dos raios, bem como do tempo de trânsito dos eventos sísmicos. A parte dinâmica, por sua vez, lida com a distribuição espacial da energia propagada, estudando o comportamento da amplitude dos eventos.

  O caratér cinemático e dinâmico podem ser combinados em uma função que representa uma solução aproximada da equação da onda. Este procedimento funciona como uma separação de variáveis, em que uma solução tentativa é inserida na equação original, gerando duas novas equações mais simples, para serem resolvidas. No caso da teoria do raio, a função responsável pela parte cinemática é chamada de tempo de trânsito e a função que governa a parte dinâmica é chamada de amplitude. Uma vez que a função combinada é inserida na equação de Helmholtz, após algumas manipulações e hipóteses adicionais, chega-se em duas novas equações diferenciais parciais (EDP). A primeira é conhecida por equação iconal, em que somente o tempo de trânsito aparece como incógnita. A segunda é chamada de equação de transporte e tem tanto o tempo de trânsito quanto a amplitude como incógnitas.

  A equação iconal normalmente não é fácil de resolver numericamente, por se tratar de uma equação diferencial parcial de segunda ordem, uma maneira mais eĄciente de se obter as soluções da iconal é usar o método das caracteristica. As equações característica nesse caso são chamadas de equações cinemáticas do raio, as quais são equações diferenciais ordinárias de primeira ordem e que podem ser manipuladas numericamente através de um algoritmo do tipo Runge-Kutta, cuja uma das soluções é o tempo de trânsito. Entretanto, resta computar a amplitdude. Usando o tempo de trânsito previamente cálculado, converte- se a equação do transporte, que é uma (EDP), em uma (EDO) válida ao longo do de cada raio.Para se obter a solução assintótica de ordem zero, combina-se suas partes constitutivas que são o tempo de trânsito e a amplitude.

  Capítulo 2. TEORIA DO RAIO

  18 Existem, basicamente, duas abordagens distintas para a Teoria do Raio, no que

  diz respeito à amplitude. Sua principal diferença é a escolha das coordenadas para se parametrizar tanto o raio como as quantidades relativas à energia que Ćui por esse raio. A abordagem usa as coordenadas Cartesianas. Neste trabalho usaremos os dois tipos de sistema de coordenadas, apesar de ambas lidarem com parametrizações diferentes, há como conectar uma abordagem a outra, por meio de uma transformação de variáveis. O problema é que essa mudança não é explícita, diĄcultando o cálculo do Jacobiano desta transformação e fazendo com que essa conexão não Ąque estabelecida de maneira trivial.

2.1 ANÁLISE ASSINTốTICA DA EQUAđấO DE ONDA

  Em primeiro lugar, como as aproximações assintóticas são realizadas na freqüência, é preferível se trabalhar com a equação da onda reduzida, chamada de equação de Helmholtz,

  (︃ ⎜ æ

  Δ + ̂︀ (x, æ) = 0 (2.1) (x) que é obtida através da transformada de Fourier no tempo aplicada à equação da onda acústica com densidade constante. Aqui x = ( , , ), (x) é o campo de 1 2 3 velocidades, æ é a frequência ângular, Δ é o operador laplaciano, deĄnido por 2 2 2 2 1 + Δ ( ) = 2 2 3 2 (2.2) +

  Assumimos que a solução do problema de propagação de ondas tem uma expressão assintótica da forma:

  ∑︁ kiωτ (x) k (x) (2.3)

  (x, æ) ≡ (⊗ æ) k=0 onde á(x) é o tempo de trânsito e são os coeĄcientes da série relacionados à amplitude. k No caso da aproximação de ordem zero, considera-se apenas o primeiro termo da série assintótica, isto é iωτ (x)

  (2.4) (x, æ) ≡ (x) é simplesmente chamada de amplitude. onde, por economia de notação, Segundo é inserida na equação de Helmholtz, obtém-se uma série de potências em æ. Igualando os coeĄcientes desta série a zero, duas equações são obtidas

  (2.5) 2∇ (x)∇á(x) + (xá(x) = 0 2

  1 = (2.6)

  ‖∇á( )‖

  Capítulo 2. TEORIA DO RAIO

  19

  chamadas respectivamente de equação de transporte e equação iconal. Aqui, o operador ∇ é o gradiente, deĄnido por

  (︃ ⎜ , , (2.7)

  ∇ (x) = 1 2 3 e ‖ ‖ é a norma do vetor deĄnida por 2 T = . =

  ‖ ‖ Pode-se observar que a equação iconal traz informação somente sobre tempos de trânsito á .

  Por outro lado, a equação de transporte relaciona os tempos de trânsito á com as amplitudes , mostrando como estas quantidades são transportadas, como diz o próprio nome da equação. Em outras palavras, a equação iconal resolve a parte cinemática do problema enquanto a equação de transporte soluciona a parte dinâmica. Assim, o procedimento natural para achar a solução é buscar urna solução da equação iconal em primeiro lugar, substituí-la na equação de transporte, para em seguida achar uma solução para a amplitude.

  Neste trabalho, utiliza-se o método das características para se encontrar soluções da equação iconal. As características, ou raios, são curvas que cobrem toda uma região do espaço, de modo que ao longo de cada raio os tempos de trânsito são determinados. Estes raios são calculados através da solução de um sistema de EDOŠs, chamado equações características ou melhor equações do raio. Dessa forma, para cada raio, estes tempos de trânsito podem ser inseridos na equação de transporte, determinando-se, portanto, a amplitude correspondente a cada tempo de trânsito, ao longo do raio.

  Resumindo, para se computar a solução assintótica do problema de propagação de ondas em uma região do espaço, procede-se do seguinte modo: cobre-se densamente tal região com um feixe de raios que são regidos pelas equações características, derivadas da equação iconal; em seguida, ao longo de cada raio, computa-se o tempo de trânsito e determina-se, através da equação de transporte, a amplitude correspondente a cada tempo de trânsito.

2.2 EQUAđấO CINEMÁTICA DO RAIO

  Antes de apresentarmos as equações cinemáticas do raio iremos fazer uma breve abordagem sobre o método das caracteristicas que será aplicado na equação Este método é usado na resolução de equações diferenciais parciais (EDPs) de primeira ordem. Seu principal objetivo é converter uma EDP em um sistema de equações diferenciais ordinárias EDOŠs, através da introdução de quantidades auxiliares que não pertencem às

  Capítulo 2. TEORIA DO RAIO

  20 Mais especiĄcamente, é procurada a solução á(x) de um problema de EDP de

  primeira ordem na sua forma mais geral

  ∏︁ 3 ⨄︁

  ℋ(x, á, p) = 0, x ∈ R 3 (2.8)

  ⋃︁ á

  (x ) = (x ), x T T ∈ R onde x = ( , , ) e p = ( , , ) é deĄnido como vetor vagarosidade e dado por 1 2 3 1 2 3

  p

  (2.9) = ∇á(x) e Σ = Σ(Ò , Ò ) é uma superfície onde se conhece a solução (veja Figura 1 2 Figura 1 – Conecta-se o ponto x a x ∈ Σ através de uma curva Λ.

  Fonte: Portugal (2002)

  1. Considera-se que solução á(x) de exista; 3 , procura-se uma curva Λ que conecte x a algum ponto

2. Dado um ponto x ∈ R

  ∈ Σ e sobre a qual a quantidade ℋ(x, á, p) seja conservada;

  3. Uma vez que sabe-se o valor de á no extremo x , isto é , á(x ) = ( ), espera-se saber computar á(x) para á(x) para x ∈ Λ Em outras palavras, uma vez que se assume a existência da solução do problema dado um ponto x no espaço, constrói-se uma curva Λ de x até x

  ∈ Σ, de modo que a informação contida em x ∈ Σ seja transmitida até x Considere a descrição paramétrica da curva Λ como sendo

  x

  ( ) = ( 1 ( ), 2 ( ), 3 ( )) (2.10) onde é um parâmetro monótono crescente qualquer, como por exemplo, o comprimento de arco. Introduzindo a notação acima em deĄne-se

  ̂︁ 1 ( ), á(x( )), p(x( ))) = 0 (2.11)

  ℋ = ℋ(x Existem inĄnitas curvas que passam pelos pontos x e x , como por exemplo um arco de

  Capítulo 2. TEORIA DO RAIO 21 ̂︁

  curva Λ especial, de modo que a quantidade ℋ seja conservada ao longo da curva. Impor

  ̂︁

  esta condição equivale a exigir que a derivada de ℋ com relação a seja nula, isto é 3 ⋃︀ ⋂︀ 3 ̂︁

  

∑︁ á ∑︁

j i

  ℋ( )

  ⨄︀ ⋀︀

  0 = = i=1 j=1 i á i j i + + (2.12) Neste ponto, assume-se que: 2 ′ ′ ′

  = ( ) + ( ) + (2.13) x ( )‖ 1 2 3 ( ) ̸= 0 onde a operação ( ) indica a derivada com relação a . Em outras palavras, assume-se que componentes do vetor ( ) não se anulam ao mesmo tempo, pois ( ) = 0 ao mesmo i tempo para = 1, 2, 3, isto implicaria que x( ) = x para todo , isto é,a curva Λ se degenenaria em um ponto, o que não é desejado. Portanto, a equação é levada a

  ⎟ ⟨ 3 ∑︁ á i

  • i i j j

  (2.14) = ⊗

   á j=1

  onde foi usada a seguinte propriedade

  (︃ ⎜ (︃ ⎜ j i á á i i j j i j = = = (2.15)

  Por outro lado, computando a derivada com relação a das quantidades p e á, obtém-se 3 i i j ∑︁

  ,

  = = 1, 2, 3 (2.16) j=1 3 j

  ∑︁ á á j j

  = = (2.17) j=1 j j Se a curva x( ) procurada é tal que j

  

  = Ú (2.18) j onde Ú = Ú(x( )) e Ú é um número que faz o papel de mudança de parametrizaçao, detalhada na seção obtém-se

  ⎟ ⟨ á j i i

  • Ú , = 1, 2, 3 (2.19)

  = ⊗ = ⊗ i i j á onde foi usada a equação na ultima iguadade. Além disso, combinando a expressão

  obtém-se

   á

  = Ú (2.20) j j Reunindo as equações

   x

  Capítulo 2. TEORIA DO RAIO 22 ⎟ ⟨ p x (2.22)

  = ⊗Ú ∇ ℋ + p

   á á p (2.23)

  = Úp.∇ ℋ p x onde a operação (.) denota produto escalar entre dois vetores e os gradientes ∇ ℋ e ∇ ℋ são deĄnidos por

  (︃ ⎜ (︃ ⎜ p x , , , ,

  ∇ ℋ = ∇ ℋ = 1 2 3 1 2 3 Conforme o método das características, pode-se aplicar as equações , transformada convenientemente para ser um Hamiltoniano,

  [︁ ]︁

  1 2 2 ) = 0 (2.24)

  ℋ(x, á, p) = ‖p‖ ⊗ Ö(x 1

  2 onde Ö(x) = é chamada de vagarosidade. obtém-se as chamadas equações cinemáticas c(x)

  do raio x

  = Úp (2.25)

   p

  (2.26) = ÚÖ(x)∇Ö(x)

   á 2

  = ÚÖ(x) (2.27) onde p = ∇á é chamado de vetor vagarosidade e Ú é um número que faz o papel de mudança de parametrizaçao, detalhada na Aqui é um paramêtro monotônico qualquer ao longo do raio.

  O método das características pode ser entendido como uma transformação das coordenadas cartesianas para coordenadas que são as mais naturais ao problema. Neste sentido, as equações do raio podem ser vistas como a regra operacional que faz a mudança

  , Ò , ,

  das coordenadas do raio , Ò 1 2 para coordenadas cartesianas 1 2 3 . Isto quer dizer que para cada tripla , Ò , Ò , é possível achar uma tripla correspondente , , , 10 20 10 20 30 por meio da integração do sistema

  Neste sentido, pode-se entender as coordenadas cartesianas, assim como qualquer quantidade relacionada ao raio, como uma função de , Ò e Ò . 1 2

  x

  = x( , Ò 1 , Ò 2 ); p = p( , Ò 1 , Ò 2 ); á = á( , Ò 1 , Ò 2 ) (2.28) Como o método das características pode ser entendido como uma transformação de variáveis, então existe o Jacobiano desta transformação, também chamado por Jacobiano

  do raio, cuja deĄnição é ⎟ ⟨

  , , x x x

  ( 1 2 3 )

  Capítulo 2. TEORIA DO RAIO

  23 Neste caso a curva característica {︁ }︁ 3

  Λ(Ò , Ò ) = x , Ò (2.30) 1 2 1 2 ∈ R ♣ x = x( , Ò ), ⊙ 0 onde o par Ò , Ò é Ąxo e x( , Ò , Ò ) satisfaz a equação Com esta deĄnição, pode-se 1 2 1 2 interpetrar cada raio Λ sendo "etiquetado"por um par Ò , Ò . 1 2

2.3 EQUAđỏES DINÂMICAS DO RAIO

  Usando os resultados da seção anterior pode-se transformar a equação de transporte em uma EDO. Em outras palavras, podemos computar a amplitude A ao longo de cada raio descrito pela equações do raio. 3

  . Em particular, a equação A equação de transporte é valida para todo x ∈ R 3 também é valida para o raio Λ ⊆ R , deĄnido em observando que p = ∇á, pode reescrever a equação do transporte como

  (2.31) 2∇ .p = ⊗ Δá

  Multiplicando a equação acima por Ú e usando a equação chega-se a

   x 2

  Δá (2.32) 2 . = ⊗Ú e observando que o lado esquerdo da equação acima é uma regra da cadeia, obtém-se 2 log(

  (2.33) ) = ⊗ÚΔá

  O problema da equação acima é que Δ é um operador espacial, contrariando o objetivo de se chegar a uma equação diferencial que dependa somente de quantidades e operadores deĄnidos ao longo do raio Λ. Para resolver este empecilho, é possível usar a identidade de Smirnov, ver apêndice de que relaciona o Laplaciano do tempo de trânsito com o Jacobiano do raio da seguinte forma

  (︂ )︂ Ú Δá =

  (2.34)

  Ú 1 , , ) em ( , Ò , Ò ) sendo assim, usando a 2 3 1 2

  onde é jacobiano da transformação ( equação chega-se

  (︃ ⎜ 2 Ú

  log( ) = (2.35) que quando integrado de a , dá a fórmula para a amplitude ao longo do raio Λ(Ú , Ú ) 1 2

  ⎯ ⎸ ⎸ Ú

  ) ( ) (

  ⎷

  Capítulo 2. TEORIA DO RAIO

  24 A fórmula mostra como encontrar a amplitude no "instante" no raio partindo da

  informação sobre a amplitude e outras quantidades no "instante" no raio. Sendo assim, para computar a amplitude ao longo de todo um raio são necessárias quatro quantidades, a saber: três condições iniciais: ( ) e Ú( , Ò ) Portanto, para 1 2

  ), ( ); e o jacobiano ( , Ò se computar a amplitude ao longo de um raio, é necessário saber computar o Jacobiano da transformação de variáveis em todo o raio.

  Observando que o jacobiano pode ser reescrito como 1 , Ò ) = Ú det [p, u, u] (2.37) 2 ( , Ò onde u e u são deĄnidos por

   x x u = e u =

   Ò Ò 1 2

  deve-se procurar equações que regem o comportamento de u e u ao longo do raio. Para tanto, o procedimento aplicado é desenvolver as derivadas de u e u com relação a , usando as próprias equações do raio

  Derivando u em relação a , aplicando a regra da cadeia e usando as equações raio chega-se a

   u

  (2.38) = Úv + (∇Ú u)p

   p

  onde v = . similarmente, para u:

   Ò 1 u

  (2.39) = Úv + (∇Ú u)p

   p

  onde v = . As duas equações acima em conjunto com as equações

   Ò 2

  do raio seriam suĄcientes para o cálculo do Jacobiano caso não fossem introduzidas duas novas quantidades v e v. Sendo assim, é necessário o desenvolvimento de mais duas equações para deĄnir a propagação dessas duas quantidades ao longo do raio. Como antes, o procedimento adotado é computar as derivadas de v e v com relação a e usar as equações do raio, para se determinar estas novas equações diferenciais.

  Derivando v como relação a , aplicando a regra da cadeia e usando as equções do raio, chega-se

  ⎟ ⟨ v p i

  = = = i (2.40) (ÚÖÖ) (ÚÖ)∇Ö + ÚÖ (∇Ö)

   Ò

1 i i i

  que usando notação vetorial Ąca

  [︁ ]︁ v T 2

  Capítulo 2. TEORIA DO RAIO

  25 Similarmente, a equação para v é [︁ ]︁ v T 2 u

  = Ö (2.42) ∇Ö∇(ÚÖ) + ÚÖ

  Finalmente, o conjunto das equações fornecem o comporta- mento tanto cinemático quanto dinâmico do raio. Isto é, ao resolver o sistema de EDOŠs composto pelas equações mencionadas, obtém-se por completo a solução pela teoria dos raios.

2.4 PARAMETRIZAđỏES MAIS COMUNS

  O número Ú foi introduzido na derivação das equações características para que se pudesse permitir uma reparametrização do raio Λ(Ò 1 , Ò 2 ). Assim, para cada escolha de

  

Ú existe uma interpretação do parâmetro Ú, de modo que as equações dos raios Ąquem

alteradas coerentemente, de acordo com tal parâmetro.

  Para facilitar a parte algébrica das equações que vêm a seguir, uma nova quantidade matricial (6 × 3) dinâmica, responsável pela parte dinâmica das equações , pode ser introduzida:

  ⋃︀ ⋂︀ u u

  

W ⨄︀ ⋀︀

  = (2.43)

  v v

  Além disso, a Ąm de que as equações resultantes estejam melhor adequadas à implementação numérica, é usada a relação 2 (2.44)

  ∇ = ⊗ Ö onde é a velocidade e Ö = 1/ é a vagarosidade. Na literatura, são comuns três escolhas para Ú, cada qual mais apropriada para 2 uma Ąnalidade diferente , a saber: Ú = 1, Ú = e Ú = . A seguir são apresentados os desdobramentos por tais escolhas.

2.4.1 Parâmetro Sigma

  A escolha mais simples é Ú = 1. Nesse caso, o parâmetro = à não tem siniĄcado físico imediato, entretanto, sua escolha é comum para derivações analíticas de fómulas que dependem da teoria dos raios. As equações do raio são:

   x

  = p, (2.45)

   à p

  1 2

  Ö , (2.46)

  = ÖÖ =

   à 2∇ á 2

  = Ö , (2.47)

  Capítulo 2. TEORIA DO RAIO

  26 u

  = v, (2.48)

   à u

  = v, (2.49)

   à v

  1 2 2 = [Ö ]u, (2.50)

   à 2∇ v

  1 2 2 = [Ö ]u, (2.51)

   à

  2∇ Além disso, o tempo de trânsito é a solução da equação:

   á 2

  = Ö (2.52)

   à

  e a fórmula para a amplitude é:

  ⎯ ⎸ ⎸

  ) (à

  ⎷

  (à) = (à ) (2.53) (à)

2.4.2 Comprimento de Arco

  A segunda escolha é Ú = (x). Neste caso, o parâmetro é o comprimento de arco = , muito ultilizado em geometria diferencial. As equações do raio, neste caso, são:

   x

  = p, (2.54)

   p

  (2.55) = ∇Ö,

   á

  = Ö, (2.56)

   u

  (2.57) = v + (∇ .u)p,

   u

  (2.58) = v + (∇ .u)p,

   v

2

Öu, (2.59)

  = ∇

   v

2

Öu, (2.60)

  = ∇ (2.61)

  Pós-multiplicando a equação por p, observa-se que:

  ⎟ ⟨

  1 u

  p

  ∇ u = ≤ ⊗ p v 2

  Ö ⎟ ⟨

  ( p) 2

  p

  = .v

   p ≤ ⊗ Ò 1 ⎟ ⟨

  1 2 2

  p p

  = (

  Capítulo 2. TEORIA DO RAIO 3

  27 p

  (2.62) 3 = ⊗ v

  pv

  . Portanto, a equação podem ser reescrita e similarmente, ∇ .u = ⊗ como:

   u u 2 T 2 T pp pp

  ]v, ]v (2.63) = [ = [

  Além disso, o tempo de trânsito é a solução da equação:

   á

  = Ö (2.64) e a fórmula para amplitude é:

  ⎯ ⎸ ⎸

  ) ( ) (

  ⎷

  ( ) = ( ) (2.65) (

  ) ( )

2.4.3 Tempo de Trânsito

2 A terceira escolha Ú = ( ) . Nesse caso, o parâmetro é o tempo de trânsito = á,

  sendo assim, a escolha que determina o tempo de trânsito não é mais necessário. As equações restantes são

   x 2 p

  = (2.66)

   á p

  (2.67) = Ö

   á u 2 2 v

  = .u )p (2.68)

  • (∇

   á u 2 2

  = v .u )p (2.69)

  • (∇

   á v T 2 Ö ]u (2.70)

  = [∇Ö +

   á v T 2 Ö

  ]u (2.71) = [∇Ö +

   á

  Usando respectivamente como

   u u 2 2 T 2 2 T pp pp

  = ]v , = ]v (2.72) [I ⊗ 2 [I ⊗ 2

   á á

  Além disso, usando (2.28), a equação (2.31d) pode ser reescrita como

  [︁ ]︁ [︁ ]︁ v v 2 T 2 2 T 2

  = Ö u , = Ö ]u (2.73) ⊗∇ÖÖ + Ö∇ ⊗∇ÖÖ + Ö

   á á

  A fórmula de amplitude é

  ⎯ ⎸ ⎸

  (á) ) (á

  ⎷

  (á) = (á ) (2.74)

  Capítulo 2. TEORIA DO RAIO

  28

  2.5 EQUAđỏES DO RAIO 2D

  Quando se considera o meio bidimensional, isto é, quando os parâmetros são deĄnidos em apenas duas direções, pode-se reduzir o esforço de se computar todas as quan- tidades em três dimensões. O problema bidimensional, do ponto de vista tridimensional, pode ser considerado uma simetria cilíndrica em todas as quantidades estudadas do um problema tridimensional. Por exemplo, uma quantidade bidimensional = ( , ) pode 2 1 3 ser entendida como uma quantidade tridimensional = ( , , ) 3 1 2 3 2 ( 1 , , , 3 ) = 3 ( 1 2 3 ), para todo 2

  ∈ R A distribuição de velocidades é dada por 1 , 3 ) (2.75)

   ( x

  = Úp (2.76)

   p

  (2.77) = ÚÖÖ

   u

  (2.78) = Úv + (∇Ú.u)p

   v T 2 Ö ]u (2.79)

  = [∇Ö∇(ÚÖ) ) + ÚÖ2 são todos bidimencionais. onde os vetores x, p, u e v e os operadores ∇ e ∇

  2.6 COORDENADAS CENTRADAS NO RAIO

  Em algumas situações, é mais conveniente trabalhar com sistema de coordenadas centrada no raio SCCR. No sistema SCCR, dado um raio arbitrário Ω, cujo ponto inicial se encontra em sobre a superfície Σ Ąxamos algum ponto ao longo de seu comprimento de arco, e.g., em R, e formamos um sistema de coordenadas ortogonal 2-D, cujos componentes são 1 e 2 , em um plano perpendicular Σ ⊥ ao raio em 3 . Nesse sistema os pontos e situado possuem coordenadas = (0, 0, ) e = (0, 0, 0). Desta maneira, um ponto nas vizinhanças do raio e sobre o plano Σ apresenta como vetor posição:

  ⊃ ⊃

  e e ̂︀ ( , , ) = ̂︀ (0, 0, ) + ⊗ ( ) + ⊗ ( ) (2.80) 1 2 1 1 2 2

  onde os vetores-base e 1 e e 2 estão situados sobre o plano Σ ⊥ . A direção do terceiro ⊃ vetor-base e = ⊗ coincide com o vetor vagarosidade em . Usando o sistema SCCR, 3 introduzimos o sistema TDR

   Q P

  1

  Capítulo 2. TEORIA DO RAIO

  29

  onde as matrizes Q, P, V são matrizes 2 × 2 cujas componentes são deĄnidas por

  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 2 i i ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ Q = P = IJ IJ V = (2.82) IJ

  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ Ò Ò J J q 1 ,q 2 =0 q 1 ,q 2 =0 q 1 2 1 ,q 2 =0

  onde os índices , = 1, 2. V = V( ) é uma matriz cujos componentes representam derivadas segunda cruzadas do campo de velocidade em coordenadas centradas no raio e = V(0, 0, ) é a velocidade ao longo do raio. Matematicamente, Q é a matriz de transformação de coordenadas do raio para coordenadas centradas no raio e P é uma matriz de transformação de coordenadas do raio para coordenadas de componentes de vagarosidade do raio. Fisicamente, Q é a matriz de espalhamento geométrico, enquanto P não apresenta um signiĄcado físico óbvio. Desta maneira, deĄnimos uma matriz M 2×2 de derivadas segundas do tempo de trânsito em relação a coordenadas centradas no raio como

2

⧹︃ ⧹︃

  á IJ = ⧹︃

  (2.83)

  ⧹︃ ⊗1 I J ⧹︃ q ,q =0 1 2 Que é equivalente a escrever M = PQ , avaliada ao longo do raio. Aqui, levamos em q ∂τ consideração o fato de que = , ao longo do raio. I ∂q J

  O conhecimento das matrizes dinâmicas do sistema é de fundamental importância para o cálculo das amplitudes ao longo de um raio. Em termos dessa quantidade, podemos reescrever da seguinte maneira:

  ⎯ ⎸ ⎸

  det Q(à )

  ⎷

  (à) = (à) (2.84) det Q(à)

  2.6.1 Matriz Propagadora Π (p) (q) 1 , , , ). O 2 DeĄnindo a matriz coluna de dimensão 4 × 1, tal que = ( 1 2 sistema de traçamento de raio pode ser escrito como: W

  = SW (2.85) onde, S é uma matriz 4 × 4 dado por:

  ⋃︀ ⋂︀

  I ⨄︀ ⋀︀

  S

  = 1 (2.86)

2

Vv

  As matrizes 0 e I , são respectivamente, nula e identidade 2×2 2×2

  A = SA (2.87)

  Sendo que cada coluna de A obedecem Se A = I para um ponto inicial do

  Capítulo 2. TEORIA DO RAIO

  30

  formada por quatro soluções lineares independentes de então é chamada de matriz fundamental. A matriz propagadora 4 × 4 Π( , ) centrada no raio conectado a um ponto inicial e a um ponto Ąnal pode ser expressa por:

  ⋃︀ ⋂︀ Q 1 ( , ) Q 2 ( , )

  ⨄︀ ⋀︀ Π ( , ) =

  (2.88)

  P 1 ( , ) P 2 ( , )

  Onde, Q e P 1 1 são matrizes 2 × 2 soluções do sistema dinâmico com condições iniciais de fonte plana. A matriz Q e P são soluções do sistema dinâmico com 2 2 condições iniciais de fonte pontual.

  ⋃︀ ⋂︀

  I ⨄︀ ⋀︀

  Π ( , ) = (2.89)

  I Se é contínua, a matriz propagadora satisfaz a regra da cadeia

  Como Π é solução de assim:

  W

  ( ) = Π( , )W( ) (2.90) Para qualquer condição inicial dada em representada por W( ). Considerando X uma matriz 4 × 2 composta por:

  ⋃︀ ⋂︀ Q

  ⨄︀ ⋀︀

  X

  = (2.91)

  P

  Existe uma solução similar. Assim, o traçamento dinâmico de raios pode ser expresso como:

  X

  = SX (2.92) E resolvido por:

  X ( ) = Π( , )X( ) (2.93)

2.6.2 Matriz Propagadora T

  O propagador desenvolvido no trabalho de Porém, o propagador T é deĄnido em relação às superfícies e com formalismo diferente do propagador Π, o qual é baseado em uma expansão na frente de onda. Considerando um raio central que emerge a partir de um ponto S numa superfície Σ , A conhecida como superfície anterior, e chega a um ponto em em uma superfície posterior Σ P . Ambas as superfícies têm sistemas de coordenadas cartesianas locais 1 e 2 com

  Capítulo 2. TEORIA DO RAIO

  31

  modo que a terceira componente coincida com o vetor normal às superfícies em e . Os vetores de vagarosidades correspondentes são: ⊃ ⊗ ⊃ ⊗

  p ̂︀ ( ) = p ( ) = (2.94)

  ( ) ( )

  

Figura 2 – Um raio central e um raio paraxial passando por uma superfície anterior Σ A . Definição

de coordenada cartesiana local 2-D (z e z ). 1 2 Fonte: Adaptado de Schleicher et al. (2007)

Figura 3 – Visualização 2D da Figura

  Fonte: Adaptado de Schleicher et al. (2007)

  x

  Um raio paraxial no ponto tem coordenadas ̂︀ ( ) = ( ⊃ ⊗ t (S ) 1 , 2 , ( 1 , 2 )) e vagarososidade +

  p x x

  

̂︀ ( ) = ′ . Pontos na vizinhança próxima de podem ser descritos como ̂︀ ̂︀

v(S )

  sendo:

  Capítulo 2. TEORIA DO RAIO ′ ′

  32 No plano ϒ os vetores tridimensionais x ̂︀ ( ) e p ̂︀ ( ) são representados pelos vetores ′ ′ bidimensionais x( ) é a projeção de x ̂︀ ( ) no plano ϒ é deĄnido em Para obter ′ ′ p

  a vagarosidade p( ), primeiramente ̂︀ ( ) é projetado no plano ϒ tangente ao plano anterior, rendendo: ⊃ ⊤

  p ̂︀ = ( p, ⊗ (2.96) T . p)

  O vetor p é a projeção do p ̂︀ ( ) no plano ϒ . O procedimento análogo é aplicado na T superfície posterior Σ . P ′ ′ ′ ′ A relação entre os vetores iniciais x( ) e p( ) com os vetores Ąnais x( ) e p( ) é expressa pela aproximação de primeira ordem que é válida numa vizinhança próxima do raio central. ′ ′ ′

  x

  ( ) = Ax( ) + B(p( ( )) ′ ′ ′ ) ⊗ p

  p

  ( ( ) = Cx( ) + D(p( ( )) (2.97) ) ⊗ p ) ⊗ p

  Onde as matrizes A, B, C e D são compostas pelas derivadas: ′ ′ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ( ) ( )

  ⧹︃ ⧹︃ IJ = , = IJ ′ ′ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

  ( ) ( ) R,S R,S ′ ′ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ( ) ( )

  ⧹︃ ⧹︃ IJ ⧹︃ = , = (2.98) ′ ′ IJ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

  ( ) ( ) R,S R,S Uma vez que pode ser reescrita usando a Matriz Propagadora de Bortfeld T( , ).

  

⋃︀ ⋂︀ ⋃︀ ⋂︀

′ ′

  ( ) ( )

  

⨄︀ ⋀︀ ⨄︀ ⋀︀

′ ′ = T( , ) (2.99)

p ( p ( ( )

  ) ⊗ p( ) ) ⊗ p

  ⋃︀ ⋂︀ A ( , ) B( , )

  ⨄︀ ⋀︀ T ( , ) =

  (2.100)

  C ( , ) D( , )

  A aproximação de primeira ordem de x e p corresponde a uma aproximação de segunda ordem do tempo de trânsito. O diferencial total do tempo de trânsito é dada pela equação

  ⊃ ⊃ ′ ′ ′ ′

  

x x

á = ⊗ R ̂︀ ( ) + ⊗ S ̂︀ ( )

  ∇ á á ′ ′ ′ ′

  x

  = p( ̂︀ ( ) ) ≤ p( ) ⊗ p( ) ≤ ′ ′ ′ ′

  x p x

  = p T ( ̂︀ ( ̂︀ T ( ̂︀ ( ) ) ≤ ) ⊗ ) ≤

  ∏︀ ∫︀ ′ ′ ′ ∐︁ ⎠ x ( ) = (p( ), ⊗⊗⊃ )). R

  ∇ p( ⊗ ⊃ ⊗ ′ R )

  ∇ x(

  ∏︀ ∫︀ ′ ⊃ ′ x ( ) ∐︁ ⎠

  ), S ⊗ (p( p( )) ≤

  ⊃ ⊗ ′ S ) x(

  Capítulo 2. TEORIA DO RAIO

  33 A última aproximação visa uma aproximação de segunda ordem de á , portanto, termos que

  contenham produtos das derivadas de são negligenciados. Os sinais foram escolhidos de uma maneira que o tempo de trânsito aumente com a distância na direção de propagação ′ ′ do raio. Agora, p( ) e p( ) são expressos em termos das submatrizes de T. ′ ⊗1 ′ ⊗1 ′

  p Ax x

  ( ) = p ( ) + B ( ) ′ ⊗1 ′ ⊗1 ′ ( ) ⊗ B

  p ( ) = p x ( A ]x( ) (2.102)

  ( ) ⊗ DB ) + [C DB Assim o tempo de trânsito á resultante é: ′ ′ ′ ⊗1 ′

  á x

  = á + p ( )

  ( ) ≤ x( ) ⊗ p ( ) ≤ x( ) ⊗ x( ) ≤ B

  1

  1 ′ ⊗1 ′ ′ ⊗1 ′

  • x ( Ax ( ) + x ( x ( ) (2.103)

  ) ≤ B ) ≤ DB

  2

  2 A matriz propagadora T goza das mesmas características que a matriz Π, ou seja, satisfaz a regra da cadeia e simpleticidade. Considerando os tempos paraxiais, em coordenadas cartesianas, válidos apenas em uma vizinhança próxima de um ponto situado no raio

   (x) ′ ′ ′

  1

  • á = á ( ) i ( , ) + ik kl jl i ( , ) j ( , ) (2.104) i (x)

  2 onde, á = á( ), á = á( ), componentes da vagarosidade em coordenadas cartesianas, ∂x i i ∂q j ( , ) = i ( ), ij = = e ∂q ∂x j i 3 = .

  As matrizes propagadoras T e Π podem ser tranformadas uma na outra. A relação entre elas podem ser achada aplicando a equação na superfície anterior Σ e A posterior Σ , cujo o resultado é a expressão P

  

Figura 4 – Definição dos pontos de S, R, e R . O ponto S está situado arbitrariamente em Ω,

R está situado perto de S, possivelmente fora do raio central. Ponto R está situado na intersecção do raio com um plano perpendicular, passando por Ω.

  Capítulo 2. TEORIA DO RAIO

′ ′ ′ ⊗1 ⊤ ′

  34 á = á + p ( ( G ( )x( )

  ) ⊗ p ) ≤ x( ) ≤ G( )Q 2

  1 ′ ⊤ ′ ′ ⊤ ′

  1

  x x

  ( ( )x( ) + ( ( )x( ) (2.105) ⊗ ) ≤ G( )F( )G ) ≤ G( )F( )G

  2

  2 Introduzindo a matriz de transformação de coordenadas cartesianas na interface para o ∂x j i ∂z sistema cartesiano geral = = . Além da matriz Z, iremos também introduzir a ij ∂z ∂x j i matriz de transformação de coordenadas centradas no raio 1 , 2 e 3 = para coordenadas

  

̂︁

G H

  cartesianas na interface (z) 1 , ∂z 2 e k l 3 , ou seja, = Z Os elementos ∂q

  ̂︁ G

  de são kl = l = = = 1, 2, 3. comparando temos: k ≤ ⊗ ∂q ∂z l k ⊤ ⊤

  T

  ( , ) = X( )Π( , )G ( )X ( ) (2.106) Sendo,

  ⋃︀ ⋂︀ ⋃︀ ⋂︀ ⊗1 ⊤ G

  ( ) ( )

  ⨄︀ ⋀︀ ⨄︀ ⋀︀ G ( ) = , G ( ) = (2.107) ⊗1 G G

  ( ) ( )

  ⋃︀ ⋂︀

  cos(Ñ) cos(ã) ⊗ cos(Ñ) sin(ã)

  

G ⨄︀ ⋀︀

  = (2.108) sin(ã) cos(ã)

  ⊃ ⊃ Neste caso, Ñ é o ângulo de incidência entre ⊗ e ⊗ . O ângulo ã esta disposto entre e 3 2

  ⊃ ⊗ 2 .Veja Figura

  

Figura 5 – Definição do sistema de coordenadas cartesiano relacionado com uma interface.

  Fonte: Pereira (2013)

  ⋃︀ ⋂︀ ⋃︀ ⋂︀

  I I ⋁︀ ⎥ ⋁︀ ⎥

  X ( ) = , X ( ) =

  cos(Ñ)( ) cos(Ñ)( )

  ⨄︀ ⋀︀ ⨄︀ ⋀︀ D ( ) + E( ) I D

  ⊗ ( ) ⊗ E( ) I ( )

  ( ) (2.109)

  Cujos os elementos que E, são:

  Capítulo 2. TEORIA DO RAIO

  35 E de D: ⎟ (︃ ⎜⟨ ⊗1 2 ∑︀ ∑︀ IJ iI kJ j3 = i k j (2.111) cos(Ñ)

  • F = GMG D + E (2.112) Lembrando que j3 são componentes do vetor normal unitário a interface Σ

  36

3 APROXIMAđỏES DO CAMPO DE ONDAS

  Neste capítulo será abordada a simulação de um campo de ondas, utilizando os fundamentos teóricos dos feixes gaussianos (Apêndice Este procedimento é uma aproximação assintótica, tal como o método do raio, produzindo uma aproximação do campo de ondas, mesmo em regiões singulares do modelo de velocidades

  tais como: regiões cáusticas, regiões críticas, transições de regiões iluminadas para regiões de sombra, etc. O procedimento é baseado na simulação do campo de ondas por um sistema de feixes gaussianos, onde o campo de ondas é gerado por uma fonte em um determinado meio e decomposto em contribuições, correspondendo a raios individuais. Estas contribuições são avaliadas ao longo dos raios pelo método da equação da onda parabólica, fornecendo soluções concentradas na vizinhança dos raios Do ponto de vista físico, as soluções da equação parabólica correspondem aos feixes gaussianos. Desta maneira, o campo de ondas em qualquer ponto do meio é determinado por uma integral de superposição de feixes gaussianos individuais, passando através de uma vizinhança do referido ponto.

3.1 Integral de Superposição de Feixes Gaussianos

  Nesta seção será usada a integral de superposição de feixes gaussianos para deter- minar o campo de ondas ( , æ) estimado em determinado ponto de referência , onde o mesmo se encontra na vizinhança paraxial de um ponto γ , localizado ao longo de um raio. É necessária a utilização de uma integral para acumular todas as contribuições de todos os outros raios do campo de ondas contendo seus respectivos pontos de referência R pertencente à vizinhança paraxial quadrática de γ , ou seja, uma vizinhança compreen- dida em torno do raio central na qual a expansão de Taylor até o termo de segunda ordem descreve parâmetros envolvidos no processo com uma determinada precisão. Neste sentido, no domínio da frequência ( , æ) é obtido através da seguinte expressão em função das coordenadas do raio (Ò , Ò ) deĄnidas na superfície inicial como segue 1 2 (x) (x) iωτ (R,R ) ∫︁ ∫︁ γ (x) ( , æ) = Ψ(Ò , Ò ) ( ) Ò Ò (3.1) 1 2 γ 1 2 Onde ( , æ) representa a componente cartesiana do vetor deslocamento no receptor 1 , Ò ) é uma função peso 2

  , denota a região dos parâmetros do raio em questão, Ψ(Ò determinada de forma assintótica ou pelo (x) iωτ (R,R ) γ método da diagonalização simultânea ( γ ) representa o campo de ondas (equação com valores de amplitudes complexas oriundo da teoria

  Capítulo 3. APROXIMAđỏES DO CAMPO DE ONDAS

  37

  do raio de ordem zero e á( , ) é o tempo de trânsito paraxial equação em γ estimado a partir do tempo de trânsito ao longo do raio de referência . γ A representação do campo de ondas apresenta algumas vantagens quando comparada à teoria do raio, principalmente a de ordem zero. Em regiões onde predominam zonas de sombra, caústicas e descontinuidades, a superposição de feixes gaussianos descreve um campo regular. No caso das zonas de sombra, o uso de feixes gaussianos prevê um campo regular dentro desta zona a partir de raios que se encontram próximos desta regiões; as cáusticas, por sua vez, são suavizadas, enquanto as descontinuidades se tornam contínuas.

  

3.2 Superposição de Feixes Gaussianos Refletidos e Restritos ao Volume de

Fresnel

  Para determinar o domínio da integral deve-se considerar um raio Ω e dois pontos, e , situados no raio. Suponha que o ponto representa a fonte pontual e ponto , o receptor. No método do raio, o caminho do raio pode ser interpretado como uma trajetória ao longo da qual a parte de alta frequência da energia da onda sísmica em consideração se propaga a partir da fonte para o receptor . A trajetória do raio, no entanto, é apenas uma representação matemática. O campo de ondas em também é afetada pela estrutura e distribuição de velocidade na vizinhança de Ω.

  A região que atinge efetivamente o campo de ondas em tem sido o objeto de interesse e investigação por um longo tempo. Como resultado de inúmeras experiências, nesta dissertação é proposto que o campo de ondas em é afetada pela estrutura em alguma vizinhança do raio central que é chamado de volume de Fresnel. O volume de Fresnel, é claro, depende da posição de e .

  Segundo as zonas de Fresnel são seções transver- sais ao volume de Fresnel (tubos de raios), formadas pelo conjunto de pontos de interseções dos raios paraxiais com uma interface durante seu caminho entre a fonte S e receptor , considerando que a soma dos tempos de trânsito de cada ramo do raio paraxial não deve diferir do tempo de trânsito ao longo do raio central por mais de meio período da onda monofrequente . Em outras palavras, para uma reĆexão com um par Ąxo fonte-receptor

  ( , ).

  1 1 ( , ) + á = (3.2) 2á ( , ) ⊗ á( , ) ♣⊘

  2

  2 Utilizando a equação deduziram uma fórmula conveniente para o cálculo da zona de Fresnel e da zona de Fresnel projetada ⊃ ⊃ ⊗

  H F M (3.3)

  Capítulo 3. APROXIMAđỏES DO CAMPO DE ONDAS

  38 Onde H é chamada de matriz da primeira zona de Fresnel. Em termos das sub-matrizes F propagadoras T = T 2 T 1 , onde a matriz T está relacionada ao ramo do raio de até 1 e a matriz T está associada ao ramo do raio de até , H pode ser expressa como: 2 11 F

H B A

F = D 1 + B 1 2 2 (3.4)

  Sendo D 1 e B 1 se referem ao segmento da fonte ao ponto , B 2 e A 2 se referem ao segmento do ponto ao receptor (Figura

  

Figura 6 – Sistema sísmico em conjunto com o volume de Fresnel. Em cada superfície de interesse

do sistema são estabelecidos sistemas de coordendas cartesianas 2-D locais

  Fonte: Ferreira (2007) Geometricamente, para uma reĆexão especular, a zona de Fresnel projetada é deĄnida como uma região em um plano Σ Figura localizado sobre a superfície de aquisição de P dados. A zona de Fresnel projetada é utilizada como critério para a determinação do número de raios paraxiais necessários a integral de superposição de feixes gaussianos. A zona de Fresnel pode ser projetada de sua posição em profundidade em direção superfície de aquisição de dados através de

  H

  ) P (3.5)

  ♣ (ξ ⊗ ξ (ξ ⊗ ξ ) ♣⊘

  Sendo H P matriz da zona de Fresnel projetada e ξ = (Ý , Ý ) um vetor-posição sobre a 1 2 zona de fresnel projetada ⊗1 ⊗1 S R H P = Λ H F Λ (3.6) Sendo Λ = B Γ + B Γ . As matrizes Γ e Γ são chamadas de matrizes de 1 2 S R conĄguração, que no caso das aplicações da tese será usada a conĄguração tiro-comum S R Γ = 0 e Γ = .

  Capítulo 3. APROXIMAđỏES DO CAMPO DE ONDAS

  39 No caso 2-D, a expressão da zona de fresnel projetada é da forma: 2

  ) (3.7) ♣ (Ý Ý ♣⊘

  Onde, f é a frequência dominante da onda mono-frequente e é o elemento = 1 da P P i,j matriz da zona de fresnel projetada Considerando apenas períodos não-negativos e apenas a região de fronteira da zona de Fresnel projetada: p = (3.8)

  ♣ Ý Ý é o raio da circunferência que delimita a zona de Fresnel projetada. Assim,

  Note que Ý Ý = , concluiu que: zp denotando Ý Ý

  

√︃ √︃

zp = zp = (3.9) p p

  1 Figura 7 – Ilustração em 2-D da região chamada interface da zona de Fresnel (b) Ilustração em

2-D da zona de Fresnel projetada

  Fonte: Pereira (2013)

  40

4 MIGRAđấO KIRCHHOFF-GAUSSIAN-BEAM (KGB)

  Este capítulo descreverá a modiĄcação do operador de empilhamento de difrações para a migração Kirchhoff pré-empilhamento com verdadeira amplitude a Ąm de utilizar o formalismo de feixes gaussianos neste tipo de procedimento de imageamento. O objetivo principal do presente capítulo é mostrar que, com a introdução dos feixes gaussia- nos no formalismo de migração, é preciso modiĄcar o operador de empilhamento de difrações principalmente na sua interpretação física do problema do imageamento.

4.1 MIGRAđấO KIRCHHOFF COM VERDADEIRAS AMPLITUDES

  Seja um meio 3-D de coordenadas cartesianas e considerando o modelo de terra como um sistema heterogêneo isotrópico de camadas, separadas por interfaces suaves e curvas, sendo cada camada constituída por uma distribuição arbitrária 3-D de velocidade. Para simpliĄcar, consideramos uma superfície plana como a interface do limite superior do modelo de terra, onde podemos distribuir o conjunto de fontes sísmicas e receptores, utilizando-se o vetor de parâmetros ξ = (Ý 1 , Ý 2 ) em coordenadas cartesianas 2-D, expresso pelas relações:

  x , Ý , Ý s = (Ý 1 2 ) x g = (Ý 1 2 ) (4.1)

  Por meio da teoria do raio de ordem zero, podemos representar a componente principal da reĆexão primária do campo de ondas sísmicas a partir de fontes pontuais (ξ), ou seja, o deslocamento de partículas na direção do raio emergente no receptor (ξ), após uma reĆexão no ponto , em profundidade, com o tempo de reĆexão á (ξ), pela R seguinte expressão no domínio da frequência

  ̂︁

  (ξ, æ) = (æ) (ξ) [ æá R (ξ)] (4.2)

  ̂︁

  Sendo o pulso sísmico da fonte no domínio da frequência (æ) ,que no domínio do tempo é o pulso analítico da fonte, ou seja, composto por uma parte real representado pelo pulso da fonte e sua transformada de Hilbert como a parte imaginária, que é reproduzido para todo o experimento sísmico. Além disso, a amplitude sísmica é: t c

  (ξ) = s (4.3) Onde, t , c , s são, respectivamente, a perda total das transmissões, o coeĄciente

  Capắtulo 4. MIGRAđấO KIRCHHOFF-GAUSSIAN-BEAM (KGB)

  41

  complexo normalizado pelo raio de reĆexão. No domínio do tempo, o campo de onda sísmica , ) e os dados migrados em verdadeira amplitude ( ), respectivamente, T A são: R T A s R t c (ξ)) ( ) = , + á (ξ)) = ( ) (4.4) (ξ, ) = (ξ) ( á

  As fórmulas na equação só são válidas na ausência de superfície livre, por outro lado, devemos considerar seu efeito para corrigir a migração dos dados sísmicos O volume de migração consiste de pontos dentro do modelo de velocidade utilizado para a migração em profundidade, distribuídos através de uma malha retangular 3-D. A abertura de migração resulta de um conjunto de pares fonte-receptor especiĄcados pela conĄguração de medição dentro de uma malha 2-D de pontos no plano ξ. A soma dos tempos de trânsito a partir da fonte S e receptor G ao ponto arbitrário M na subsuperfície (á ( (ξ), ) e á ( (ξ), ) respectivamente, serve S G para expressar o empilhamento na superfície de difração, chamada de superfície Huygens:

  á, ) = á ( (ξ), ) + á ( (ξ), ) (4.5) D S G

  A migração convencional Kirchhoff pré-empilhamento na profundidade em ver- dadeira amplitude, para um ponto Ąxo M , o tempo de trânsito á, ) nos fornece a D

  ̂︀

  superfície de Huygens , ao longo do qual o campo de onda sísmica (ξ, ) é somado de forma pondera, sendo expresso no domínio da frequência pela integral de empilhamento de difrações :

  ∫︁ ∫︁ æ

  ̂︀

  ( , æ) = ⊗ ξ ( , ξ) , æ) [ æá, )] (4.6) D 2Þ

  Ao usar a teoria do raio de ordem zero na equação obtiveram a função de ponderação adequada ( , Ý) aplicando o método da fase estacionária na integral de empilhamento de difrações. Dentro da abertura de migração todos os vetores de parâmetro ξ , especiĄcam as posições fonte-receptor. Para a integral

  • * * * *
    • * em principal contribuição vem do ponto estacionário ξ = ξ , onde tem-se que

      á D R D R (ξ ) = á (ξ (ξ (ξ )fornecendo o coeĄciente de reĆexão do ponto em

      ) e ∇á ) = ∇á subsuperfície. Nos outros casos, as avaliações assintóticas são contribuições provenientes dos limites de migração do operador, será atenuada por alguma função "taper"na vizinhança da abertura de migração.

      Ao considerar um intervalo regular espacial ΔÝ de fontes e receptores, podemos expressar no domínio do tempo a integral de empilhamento da difração, pela forma discreta homóloga, como: m+1 n+1

      ∑︁ ∑︁

      1 2 k k k j j j

      Capắtulo 4. MIGRAđấO KIRCHHOFF-GAUSSIAN-BEAM (KGB)

      42 O símbolo ˙ signiĄca derivada temporal de primeira ordem. A determinação de cada

      fonte e receptor de coordenadas espaciais na abertura de migração e dada pelas relações: j k

      Ý = Ý 1 o1 = Ý o2

    • ( ⊗ 1)ΔÝ, = 1, ..., + 1 Ý 2 + ( ⊗ 1)ΔÝ, = 1, ..., + 1(4.8)

      Inicando do ponto inicial com coordenadas ξ = (Ý , Ý ) . Ao assumir, a priori, um o o1 o2 modelo de velocidade conhecido, a função de ponderação é calculada pelo traçamento dinâmico de raios que depende do ponto M na profundidade, para coordenadas pontuais na abertura de migração . Os dados de entrada no processo de empilhamento de difração é a extensão complexa (sinal analítico) da derivada temporal de primeira ordem aplicadas às componentes principais computadas de todo dados sísmico 3-D observado.

    4.2 MIGRAđấO KGB COM VERDADEIRAS AMPLITUDES

      Nos anos recentes encontram-se na literatura geofísica muitos estudos acerca da superposição de feixes gaussianos como solução alternativa da equação da onda sísmica

      A principal vantagem do método de feixes gaussianos, isto é, a regularidade da determinação do campo de ondas mesmo na presença de cáustica ou zonas de sombra, tem também atraído a atenção de muitos pesquisadores que trabalham com imageamento sísmico

      O algoritmo apresentado por sendo atualmente o trabalho mais refe- renciado, tem por objetivo obter uma imagem sísmica migrada em profundidade usando a integral de superposição de feixes gaussianos como representação da função de Green. As amplitudes dos dados sísmicos são ponderadas por uma função peso gaussiana, com largura previamente determinada, dentro de um subconjunto de dados selecionado, de- composto por ondas planas a partir do centro do feixe e somados no domínio slant stack , sendo a migração feita no domínio da profundidade usando o princípio de imageamento

      método slant stack considera que o registro foi obtido a partir de ondas planas, assim o domínio slant stack é a decomposição do sinal em diferentes direções de propagação da onda. Os dados em tal domínio, são tratados no espaço (frequência x vagarosidade horizontal), sendo o processo semelhante a uma migração baseada em ondas planas, mas com amplitudes e tempos de trânsitos complexos. Este algoritmo apesar de ser estruturado para um modelo 3-D, aplica-se apenas no domínio afastamento fonte-receptor constante. Devido ao fato do tratamento dos dados ser feito no domínio da vagarosidade horizontal, há a necessidade de optimizar o intervalo de discretização do

      Capắtulo 4. MIGRAđấO KIRCHHOFF-GAUSSIAN-BEAM (KGB)

      43

      da largura dos feixes gaussianos, tornando o processo bastante sensível a problemas de alias.

      Seguindo um procedimento de migração similar ao usado por propuseram uma nova abordagem para a migração em profundidade usando a aproximação do campo de ondas pela superposição de feixes gaussianos. Neste novo algoritmo trata-se da migração 3-D em profundidade para arbitrárias conĄgurações de aquisição de dados, com preservação de amplitudes. O algoritmo é constituído por dois empilhamentos em cascata, sendo o primeiro a tratar de um beam stack realizado por uma integral de superposição de feixes gaussianos, diferindo esta etapa com a mostrada pelo

      devido aos dados serem integrados ao longo de curvas hiperbólicas, em vez de linhas retas. O segundo estágio da migração KGB é o empilhamento de difrações tipo Kirchhoff, com as respectivas amplitudes devidamente ponderadas a Ąm de preservar a informação de amplitude.

      Para a obtenção de ponto na imagem sísmica pela migração tipo KGB, usa-se a mesma estratégia no empilhamento de difração para cada ponto M no volume de migração, ou seja, a soma ponderada ao longo da superfície Huygens na equação Na migração Kirchhoff, é necessário o uso do Ştwo point ray tracingŤ para calcular os tempos de trânsito a partir da fonte e do receptor na superfície de aquisição até o ponto M no volume de migração. De maneira análoga à migração Kirchhoff usando feixes proposta por

      na estratégia de migração a soma de um subconjunto de dados de registro sísmico (beam dataset), ao longo de uma superfície estimada de tempo de trânsito paraxiais de segunda ordem a partir dos tempos de trânsito da superfície de Huygens (Figura O resultado de cada feixe é acumulado na superfície de Huygens, que depois é usada como entrada na integral de empilhamento da difração. A migração KBG tem a forma de dois processos de empilhamento em cascata:

      1. Para um ponto selecionado M no volume de migração em relação às coordenadas da fonte e do receptor, na abertura de migração para uma conĄguração de aquisição sísmica, calculamos a função de tempo de trânsito á D = á D ( , ξ) da superfície de Huygens;

      2. Para um ponto selecionado P da superfície Huygens, usando a integral com a mesma forma de sobreposição de feixes Gaussianos com domínio , somamos as amplitudes dos traços sísmicos com a ponderação (chamada de gaussian beam stack - GBS) no vetor de parâmetros ξ

      ∈ , ao longo de uma superfície de tempo de trânsito paraxial de segunda ordem complexo á = á, ξ ) (chamado de beam stack surface), cuja a gb c parte real é a aproximação de segunda ordem do tempo de trânsito de reĆexão e a parte imaginária é o fator gaussiano presente na amplitude observada;

      Capắtulo 4. MIGRAđấO KIRCHHOFF-GAUSSIAN-BEAM (KGB)

      44 Huygens á ( , ξ ) (chamada de diffraction stack) as amplitudes sísmicas obtidas D c no processamento de beam stack surface;

      4. Ąnalmente, acumulamos o resultado do empilhamento da difração no ponto M no volume de migração .

      

    Figura 8 – Representação esquemática 2-D do processo de empilhamento das amplitudes utili-

    zando os feixes Gaussianos

      Fonte: Adaptado de Costa (2012) A integral de empilhamento de difração a integral de empilhamento do feixe com mesmo formulação matemática que a integral de superposição de feixes gaussianos dada pela equação delimitada pela zona de Fresnel projetada, com a funções peso Ψ devidamente calculada no traçamento de raios e utilizando as amplitudes fonecidas pelos dados sísmicos, podemos escrever uma maneira conveniente de migração KGB com verdadeiras amplitudes na profundidade (Apêndice

      ∫︁ ∫︁ æ

      ̂︀

      ( , æ) = ⊗ Ý Ý ( , Ý , æ ) [ æá ( , Ý )] 1c 2c b c D c 2Þ

      ∫︁ ∫︁ ′ ′ ′ ′ ⊗1 ′ ′ 1/2 ̂︁

      = Ý Ý (cos Ð cos Ð ) [det H p (Ý Ý )] (æ) (4.9) ′ ′ 1c 2c c G 1c 2c (Ý (Ý , Ý )] gb c

      ) [⊗ æá Consideramos que o domínio da integral interna em é a vizinhança paraxial do ′ ′ vetor de parâmetro ξ c c F

      ⊗ ξ ♣⊘♣ Ó ♣♢, com na superfície de aquisição, tais que = ¶ξ ; ♣ ξ

      Ó = Ó , ou seja, o extremo da desigualdade: F max H p (4.10)

      ♣ Ó Ó ♣⊘ Onde H p e são as matrizes 2 × 2 da primeira zona Fresnel projetada

      Capắtulo 4. MIGRAđấO KIRCHHOFF-GAUSSIAN-BEAM (KGB)

      45

      utilizar essas restrições, considera-se na integral de empilhamento dos feixes gaussianos apenas as contribuições das amplitudes de campo de onda que emergem dentro da primeira zona de Fresnel projetada na superfície de aquisição.

      A integral de empilhamento de difração na equação acumula as contribuições de todos os conjuntos de feixes com vetor de parâmetro ξ calculado a partir da integral de c empilhamento do feixe. O intervalo discreto Δξ entre os centros do feixe deve obedecer c aos mesmos critérios utilizados na migração Kirchhoff em profundidade pré-empilhamento, porque cada centro do feixe de coordenadas corresponde a um ponto em uma superfície de Huygens.

      Na equação o domínio é uma grade retangular 2-D dos pontos localizados na superfície de aquisição no intervalo de dados sísmicos registrados. No domínio , assumimos todas as amplitudes do conjunto de traços sísmicos, que contribuem para o traço sísmico dos dados de entrada na migração Kirchhoff. Na migração KGB o comprimento do domínio deve obedecer aos seguintes critérios:

      ∙ Deve ser limitada pelo intervalo de validade da aproximação paraxial de reĆexão do tempo de trânsito; ∙ Deve corresponder ao comprimento da primeira zona de Fresnel projetada. Assim, controla- se Ąsicamente o número de traços sísmicos na integral gaussian beam stack no processo de migração KGB. A integral da equação pode ser reescrita de uma maneira mais simples:

      ∫︁ ∫︁ æ

      ̂︀ ̂︀

      ( , æ) = ⊗ ξ c b ( , ξ, æ) (ξ, æ) (4.11) 2Þ sendo:

      ∫︁ ∫︁ ′ ⊗1 ′ √︁ ̂︀ ̂︁

      (ξ, æ) = Ö (cos Ð cos Ð ) det H p (ξ ) (æ) (ξ ) [ æá difc , η, )] (4.12) S G Para deĄnir as coordenadas de integração, usa-se na equação a relação de transfor- mação do vetor posição da projeção normal do ponto de reĆexão sobre o plano tangente ao reĆetor na profundidade para as coordenadas da primeira zona de Fresnel projetada. Assim, as coordenadas do vetor de parâmetros Ö na superfície da Terra, está sujeita à igualdade dada por: 1

      η = H (ξ )Λ x . (4.13) p c r Com a matriz Λ 2×2 referente à geometria de aquisição descrita na equação

      Capắtulo 4. MIGRAđấO KIRCHHOFF-GAUSSIAN-BEAM (KGB)

      46 Onde os elementos de valores reais das matrizes 2 × 2 são derivadas parciais de segunda

      ordem dos tempos de trânsito a partir da fonte e do receptor para o ponto selecionado na profundidade avaliada no ponto de reĆexão. A diferença entre o tempo de trânsito de difração e reĆexão é a função do termo exponencial da integral na equação é expresso por á, η, ) = á, η, , η, ). dif c D c gb c

      ) ⊗ á Tendo em vista a análise assintótica da integral na equação podemos expandir a função da diferença de tempos de trânsito em série de Taylor de segunda ordem para

    • * * as condições da fase estacionária, a partir dos parâmetros calculados nos pontos críticos ξ c = ξ e η = 0 * * * ⊤ * ⊤ *

      1

      1 H η H

      á, η; ) = á, η = 0; ) + (ξ ) ξ (ξ ) + η (η dif dif c c c c ⊗ ξ c ⊗ ξ c = 0)η (4.15)

      2

      2 c * No ponto crítico, ξ = ξ

      , temos a matriz Hessiana2 × 2 com valores complexos: * * * *

      H ξ (Ý ξ D (ξ )] (4.16) c

      ⊕ M ) = ⊗[HH c * Em Ö

      = 0 a matriz Hessiana 2 × 2 com valores reais: ′ *

      H η (Ö p (ξ = ξ c ) (4.17)

      = 0) ⊕ H A partir da solução assintótica dada pelo método de diagonalização simultânea aplicado na integral interna do operador Kirchhoff-Gaussian-Beam na equação reescrevemos o operador KGB como:

      [︂ ]︂ ∫︁ ∫︁ æ 2Þ c c ⊗1

      ̂︀ ̂︁

       ξ , c bc )(cos Ð cos Ð ) (æ) c ) (4.18) s G

      ( , æ) ≡ 2Þ æ

      ⎟ (︃ ⎜⟨ H (ξ ) p c

      ⊗ æ c , )] × [ æã(ξ 1 ⊗

      2

      2 Sendo a função (H p ) = (Ú 1 ) + (Ú 2 ), com Ú I , = 1, 2 os autovalores reais não nulos da matriz 2 × 2 da primeira zona de Fresnel projetada. Calculamos a fase, 1 ⊤ * * *

      

    ã, ) = á, ) + (ξ ) M ∆ (ξ )(ξ ), para a partir de parâmetros do

    c dif c c c c ⊗ ξ c c ⊗ ξ 2 * * *

      raio estacionário no ponto crítico ξ , considerando á (ξ ) = á (ξ ) onde ) ⊗ á*

    • * c c c c dif D

      , , á (ξ ) é o tempo de trânsito de reĆexão dentro do feixe. R c = M ∆ (ξ ) é simétrica e

    • * Assumindo que a matriz Hessiana 2×2 com valores complexos M c não singular, i.e.,det M ∆ , com a parte imaginária positiva-deĄnida, c

      ̸= 0 no ponto crítico ξ para alta frequência, o resultado do método da diagonalização simultânea resulta em:

      2Þ * * ⊗1

    • * * * ̂︀

      (æ) b s g sz gz (ξ )[

      , , æ

      ) (ξ ) (ξ (ξ ) )] ( , æ) ≡ c c c c c

      æ ⎟ (︃ ⎜⟨ t c * o Þ H p (ξ ) c æá, (4.19)

      √ dif × c ) ⊗ 1 ⊗ B

      2

      2 S c * det M (ξ ) Onde os pares ( s , g ) e ( sz , gz ) são as velocidades da onda P e os elementos verticais de

      Capắtulo 4. MIGRAđấO KIRCHHOFF-GAUSSIAN-BEAM (KGB) B

      47 O fator é o espalhamento geométrico complexo do feixe gaussiano normalizado. Para S obter da equação a estimativa do coeĄciente de reĆexão, podemos considerar a

      amplitude inicial unitária, coeĄciente de transmissão unitário, a velocidade e densidade constante ao longo da superfície da Terra, que nos levam a deĄnir a função de ponderação para o KGB, como:

    • * æ * * * * B
    • b s g sz gz, , æ [ (ξ ) c ) = ⊗ c c c c S (ξ ) (ξ ) (ξ )] (4.20)

        2Þ

        ⎟ (︃ ⎜⟨ √︁ Þ H p (ξ ) c

        det M ∆ (ξ ) * × c 1 ⊗

        2

        2 Usando na equação as deĄnições do espalhamento geométrico para um feixe gaussiano com condições fonte inicial pontual. Para uma coordenada do feixe central e um ponto arbitrário em profundidade temos a função peso expressa por: * *

         æ (ξ ) (ξ ) (ξ ) s g sz c gz c c c c ) ♣ (ξ ) ♣ , b c, , æ ) = S c G c s c G c, , , ) , )

        2Þ ♣ ∇á ) + ∇á ) ♣

        ⎟ (︃ ⎜⟨ æ H p (ξ ) c

        (4.21) × 1 ⊗

        2

        2 onde , c S G são os gradientes ) é conhecido como determinante de Beylkin. ∇á e ∇á das funções dos tempos de trânsito reais dos dois ramos do raio que começam na origem e nas posições de receptor, respectivamente, avaliadas em um ponto de profundidade M no volume de migração. S G e correspondem as amplitudes complexas normalizadas ao longo dos dois ramos de raios a partir de posições da fonte e do receptor para ponto na profundidade. Sendo as mesmas calculadas pela aproximação paraxial dos feixes gaussianos. A migração KGB matematicamente expressa pela equação no domínio do tempo se torna: 2

        ∫︁ ∫︁

        1 ( , = 0) = ξ c fc , ) [ξ c , + á Dc , )] (4.22) 2 A 2 2π 4Þ onde = æ e , ) é a transformada inversa de Fourier do dado empilhado pelos f b c feixes gaussianos na integral interna da equação dada por:

        ∫︁ ∫︁ ′ ′ ′ ′ ⊗1 ′ ′ 1/2 ′ ′

        ξ (ξ , ) = ξ ξ (cos Ð cos Ð ) p (ξ )] (ξ , ξ )) (4.23) c 1 2 S G [⊗ det H 1 2 ) ( c

        Usando a aproximação de que as principais contribuições para a integral interna vêm de amplitudes com coordenadas perto da fonte e do receptor com o vetor de parâmetro ξ , c ou seja,o centro do feixe de coordenadas, implementamos o algoritmo de KGB no domínio do tempo com base na equação na forma discreta: m+1 n+1 1 ∑︁ ∑︁ 2 jk j k j k j k

        ( , = 0) = ( , ξ , ξ ) , ξ , + á, ξ )] (4.24) jk D 2 ∇ξ c f 1c 2c 1c 2c 1c 2c 4Þ j=1 k=1

        √︁

        Capắtulo 4. MIGRAđấO KIRCHHOFF-GAUSSIAN-BEAM (KGB)

        48

        × (∇Ý) 2 L/2

        ∑︁ l=⊗L/2 J/2 ∑︁ r=⊗J/2

        (ξ l 1

        , ξ r 2

        ) ¨ jkpq [ j 1c

        , ξ k 2c

        ; ξ l , ξ r 2 )] (4.25)

        49

      5 RESULTADOS

        O dado utilizado para a relização dos testes nesse trabalho foi o Marmousi, devido a estrutura bastante complexa, trata-se de um dado acústico 2-D, basedo na geologia da bacia de Cuanza, em Angola A estrutural gelógica desse modelo dominado por falhas lístricas de crescimento, as quais se levantam desde um truncamento de sal até chegar à complicada estrutura de velocidade na parte superior do modelo. A Figura representa o modelo de velocidade de referência do Marmousi sem suavização.

        O dado consiste de 240 famílias de tiro comum, com um intervalo entre cada tiro de 25m. Os tiros foram dados a partir de 3 até 9 . Cada família de tiro é formada por 96 traços, com intervalo de grupo de 25 , sendo o afastamento mais próximo de 200 e afastamento mais distante de 2750 . Cada traço possui 750 amostras de tempo, com 4 de intervalo de amostragem. O tempo total de registro 3 .

        

      Figura 9 – Modelo de velocidade do Marmousi.

        Fonte: Do Autor A Figura representa a seção offset mínino 200 do dado do Marmousi que vai ser usado como entrada para as migrações Kirchhoff e KGB. Os modelos de velocidades usados nas migrações, foram reamostrados a partir do modelo da Figura

        Capítulo 5. RESULTADOS

        50 Figura 10 – Seção afastamento mínimo.

        Fonte: Do Autor Os modelos de velocidades são representados por uma matrix , em uma malha com z x

        × Δ = Δ e usa a convenção que ( = 0, = 0) está no canto superior esquerdo. A Tabela ilustra 4 discretizações e as dimensões das matrizes usadas para representar o modelo de velocidade da Figura sendo que esses modelos foram suavizados para a realização dos testes para obter as migrações Kirchhoff e KBG pré-empilhameto em profundidade.

        

      Figura 11 – Representação da malha em duas dimensões para construção do modelo de velocidade.

        Capítulo 5. RESULTADOS

        51 Tabela 1 – Valores das discretizações da matriz do modelo de velocidade.

        discretização Δ Δ x z modelo de referência 2301 751

        4

        4

        60 53 156

        60

        60

        80 40 118

        80

        80 100

        33 95 100 100 150

        23 65 150 150 A partir do modelo de velocidade de referência, foram feitas discretizações usando como incremento para cada elemento da matriz os valores de 60, 80, 100 e 150 . A

        Figura ilustra os resultados dessas discretizações, observa-se que com o aumento de Δ e Δ a imagem do modelo de velocidade Ąca desfocada. As seções migradas Kirchhoff pré-empilhameto em profundidade ilustradsa na Figura e do dado em afastamento comum de 200 mostrada na Figura

        Analisando as Figuras apresenta-se mais limpa quando comparada à Figura ou seja, o reĆetor é realçado, os efeitos de borda são bem acentuados.

        Em relação as imagens migradas Kirchhoff da Figura teve uma diminuição signiĄcativa na resolução dos reĆetores na medida que a discretização aumenta. A mesma coisa foi observada na imagens migradas KGB da Figura

        As Figuras respectivamente. O valor do Espectro de amplitude aumenta, conforme a discretização do modelo velocidade é maior, Ąca visualmente explicito na Figura De modo análogo ocorre nas migrações KGB, ilustradas na Figura

        Capítul Figura 12 – Modelo de velocidade redimensionado. o 5. R E SU LT A DOS

        (a) modelo discretizado com ∆x = ∆z = 60m (b) modelo discretizado com ∆x = ∆z = 80m

        52 (c) modelo discretizado com ∆x = ∆z = 100m (d) modelo discretizado com ∆x = ∆z = 150m

        Fonte: Do Autor

        Capítul Figura 13 – Migração Kirchhoff pré-empilhameto do modelo de velocidade da Figura o 5. R E SU LT A DOS

        (a) Migração Kirchhoff do modelo de velocidade discretizado de 60 m (b) Migração Kirchhoff do modelo de velocidade discretizado de 80 m

        53 (c) Migração Kirchhoff do modelo de velocidade discretizado de 100 m (d) Migração Kirchhoff do modelo de velocidade discretizado de 150 m

        Fonte: Do Autor

        Capítul Figura 14 – Migração KGB pré-empilhameto do modelo de velocidade da Figura o 5. R E SU LT A DOS

        (a) Migração KGB do modelo de velocidade discretizado de 60 m (b) Migração KGB do modelo de velocidade discretizado de 80 m

        54 (c) Migração KGB do modelo de velocidade discretizado de 100 m (d) Migração KGB do modelo de velocidade discretizado de 150 m

        Fonte: Do Autor

        Capítul Figura 15 – Migração Kichhoff e KGB pré-empilhameto do modelo de velocidade da Figura o 5. R E SU LT A DOS

        (a) Migração Kirchhoff do modelo de velocidade discretizado de 60 m (b) Migração KGB do modelo de velocidade discretizado de 60 m

        55 (c) Migração Kirchhoff do modelo de velocidade discretizado de 150 m (d) Migração KGB do modelo de velocidade discretizado de 150 m

        Fonte: Do Autor

        Capítul Figura 16 – Matriz espectro de amplitude da migração Kirchhoff. o 5. R E SU LT A DOS

        (a) Espectro de amplitude do modelo de velocidade discretizado de 60 m(b) Espectro de amplitude do modelo de velocidade discretizado de 80 m

        56 (c) Espectro de amplitude do modelo de velocidade discretizado de 100 (d) Espectro de amplitude do modelo de velocidade discretizado de 150 m m

        Fonte: Do Autor

        Capítul Figura 17 – Matriz espectro de amplitude da migração KGB. o 5. R E SU LT A DOS

        (a) Espectro de amplitude do modelo de velocidade discretizado de 60 m(b) Espectro de amplitude do modelo de velocidade discretizado de 80 m

        57 (c) Espectro de amplitude do modelo de velocidade discretizado de 100 (d) Espectro de amplitude do modelo de velocidade discretizado de 150 m m

        Fonte: Do Autor

        Capítul Figura 18 – Matriz espectro de amplitude da migração Kirchhoff e KGB. o 5. R E SU LT A DOS

        (a) Espectro de amplitude da migração Kirchhoff do modelo de velo- (b) Espectro de amplitude da migração KGB do modelo de velocidade cidade discretizado de 60 m discretizado de 60 m

        58 (c) Espectro de amplitude da migração Kirchhoff do modelo de veloci- (d) Espectro de amplitude da migração KGB do modelo de velocidade dade discretizado de 100 m discretizado de 150 m

        Fonte: Do Autor

      6 CONCLUSÃO E PERSPECTIVA

      6.1 CONCLUSÕES

        No presente trabalho foi ultilizada uma nova alternativa para construções de ima- gens sísmicas em profundidade, algorítmo desenvolvido por a qual é baseada em três teorias principais: aproximação de kirchhoff, feixes gaussianos e verdadeira ampli- tude. O algoritmo de migração, denominado de Kirchhoff-Gaussian-Beam (KGB), obtido com tais conceitos teóricos foi a implementação da integral de sobreposição de campos paraxiais (feixes gaussianos) em 2-D, onde a mesma é inserida no núcleo do operador integral de migração Kirchhoff convencional 2-D. Além disso, propôs-se usar a zona de fresnel projetada como domínio de integração do feixes gaussianos.Ou seja, para cada ponto em profundidade, a migração 2-D KGB pré-empilhamento consiste em delimitar subconjuntos do dado sísmico na zona de fresnel projetada para ser empilhado através da integral de sobreposição de feixes gaussianos e, em seguida, serem acumulados na superfície de Huygens. Neste trabalho foram feitas dois tipos de migração: Migração Kirchhoff convencional e o método KGB ultilizando diferentes tipos de discretização feitas na matriz do modelo(Marmousi 2-D) de velocidade e analisados os efeitos dessas discretizações nestes Dados Migrados, assim como seus espectros de amplitude. Como maior contribuição nesta dissertação, foi testada uma nova estratégia para a migra- ção em amplitudes preservadas de que utiliza como base a zona de fresnel projetada. Alta precisão é conseguida porque as derivadas de segunda ordem complexas estão incluídas, a Ąm de reconhecer a curvatura da frente de onda. O algoritimo permite a determinação dos parâmetros da zona de fresnel projetada na superfície de aquisição através da matriz propagadora e da matriz de Bortifeld, reduzindo assim a necessidade de calcular a zona de fresnel na pro- fundidade. O método também fornece uma ferramenta de iluminação do meio em regiões de singularidade para teoria do raio tradicional. Testes em dados com diferentes domínios de aqui- sição conĄrmam a eĄciência e precisão.

        Nas Figuras temos os resultados das migrações em profundidade para o modelo Marmousi usando os algorítimos Kirchhoff e KGB. Estes resultados foram obtidos usando diferentes Δ e Δ no modelo de velocidade. Fazendo uma comparação entre a migração Kirchhoff e KGB para mesma discretização, podemos notar que ambas as imagens migradas apresentam uma boa continuidade dos reĆetores, diferindo quanto a nitidez da imagem, pois a imagem migrada usando KGB tem menos artefatos quando comparada a imagem migrada usando Kirchhoff. Além disso, podemos observar que

        Capítulo 6. CONCLUSÃO E PERSPECTIVA 60 migrada tanto na migração Kirchhoff quanto na KGB.

        A partir do espectro obtido da transformada de fourier 2D sobre os resultados migrados em profundidade, observamos que com o aumento da discretização (Δ , Δ ) há uma realce das amplitudes referentes aos artefatos, tanto no dominio da profundidade, quanto no dominio do espectro. Nota-se, em cada espectro (com sua respectiva discretiza- ção), que amplitudes sao realcadas na sua parte central. Isto nos leva a concluir que os artefatos concentram-se nesta regiao do espectro.

      6.2 PERSPECTIVAS

        Como proposta de continuidade e aperfeiçoamento do KGB, deve-se: ∙ Estudar o tamanho adequado para a largura do feixe com relação ao raio da zona de

        Fresnel projetada; ∙ Estudar a inĆuência dos pesos durante o empilhamento realizado no feixe de traços sísmicos; ∙ Estudar formas alternativas para o cálculo do tamanho da zona de Fesnel projetada; ∙ Estudar o caso de insuĄciência de dados no tempo e espaço para os diferentes métodos de migração;

        61 REFERÊNCIAS ALBERTIN, U.; YINGST, D.; KITSCHENSID, P. True-amplitude beam migration.

        

      SEG Technical Program Expanded Abstracts, v. 74, p. 949Ű952, 2004. Disponível em:

        BABICH, V. M.; PANKRATOVA, T. F. On discontinuities of greenŠs function of the wave equation with variable coefficient. In Problems of Mathematical Physics, v. 06, p. 9Ű27, 1973. BIONDI, B. L. 3D Seismic Imaging. 1st. ed. Tulsa, USA: SEG, 2006. BLEISTEIN, N. Mathematical methods for wave phenomena. 1st. ed. New York, USA: Academic Press, 1984.

        BLEISTEIN, N. On the imaging of reĆectors in the earth. Geophysics, USA, v. 52, p. 931Ű942, 1987. Disponível em:

        BLEISTEIN, N. Mathematics of modeling, migration and inversion with gaussian beams. Colorado, USA: CWP, 2009.

        BLEISTEIN, N.; COHEN, J. K.; STOCKWELL, J. W. J. Mathematics of multidimensional

        

      seismic imaging, migration, and inversion. 1st. ed. New York, USA: Spriger-Veerlag,

      2000.

        BLEISTEIN, N.; HANDELSMAN, R. A. Asymptotic Expansions of Integrals. USA: New York, 1975. BORTFELD, R. Geometrical ray theory: rays and traveltimes in seismic systems

        (second-order approximation of the traveltimes). Geophysics, USA, v. 54, n. 3, p. 342Ű349, 1989. Disponível em:

        CĚRVENÝ, V. Expansion of a plane wave into gaussian beams. Studia Geoph. et Geod., v. 26, p. 120Ű131, 1982. Disponível em: CĚRVENÝ, V. Synthetic body wave seismograms for laterally varying layered structures by the gaussian beam method. Geophys. J. R. astr. Soc, v. 72, p. 389Ű426, 1983. CĚRVENÝ, V. Seismic ray theory. 1st. ed. USA: Cambridge University Press, 2001. CHAPMAN, C. H. On the computation of seismic ray traveltimes and amplitudes. bulletin of the seismological society of america. Geophysics, USA, v. 61, n. 3, p. 567Ű588, 1267-1274 1971. CLAERBOUT, J. F. Fundamentals of geophysical data processing. 1st. ed. [S.l.]: Blackwell Science Inc, 1985. COSTA, M. J. S. Migração pré-empilhamento Kirchhoff feixes gaussianos 2.5D nos

        

      domínios afastamento comum e ângulo-comum. 114 p. Tese (Doutorado) Ů Universidade

      Federal da Pará, 2012.

        REFERÊNCIAS

        62 CRUZ, J. C. R.; PEREIRA, G. L.; FERREIRA, C. A. Seismic modeling by gaussian beams limited by projected fresnel zone.. EAGE,SPE EUROPEC 2012, n. Copenhagen, 2012.

        Disponível em: FERREIRA, C. A. S.; CRUZ, J. C. R. A comparison of two true-amplitude gaussian beam migration inversion operators. In: INTERNATIONAL CONGRESS

        OF THE BRAZILIAN GEOPHYSICAL SOCIETY. [s.n.], 2009. Disponível em:

        GOODMAN, J. W. Introduction to Fourier Optics. 3rd. ed. Stanford, USA: Roberts & Company Publishers, 2005. GRAY, S. H.; BLEISTEIN, N. True-amplitude gaussian-beam migration. Geophysics, v. 74, 2009. Disponível em: HAGEDOORN, J. G. A process of seismic reĆection interpretation. Geophysical

        Prospecting, v. 2, n. 2, p. 85Ű127, 1954. Disponível em:

        HERSTEIN, I. N. Abstract Algebra. 3rd. ed. New York, USA: Wiley-Prentice Hall, 1996. HERTWECK, T. et al. Aperture effects in 2.5 kirchhoff migration: a geometrical explanation. Geophysics, v. 68, p. 1673Ű1684, 1973. Disponível em:

        

        HILL, N. R. Gaussian beam depth migration. Geophysics, v. 55, p. 1416Ű1428, 1990. Disponível em:

        HILL, N. R. Prestack gaussian beam depth migration. Geophysics, v. 66, p. 1240Ű1250, 2001. Disponível em: KONOPÁSKOVÁ, J. Numerical modelling of time-harmonic seismic wave Ąeld in simple structures by guassian beam method. part i. Studia Geoph et Geod, v. 28, p. 19Ű35, 1984. Disponível em: MÜLLER, G. Efficient calculation of gaussian beam seismograms for two dimensional inhomogeneous media. Geophysics. J. R. Astr. Soc, v. 79, p. 153Ű166, 1984. Disponível em: NOWACK, R. L. Calculation of synthetic seismograms with gaussian beams.

        Pure and Applied Geophysics, v. 160, p. 487Ű507, 2003. Disponível em:

        PEREIRA, G. Migração 3-D Kirchhoff-Gaussian-Beam (KGB) pré-empilhamento no domínio da profundidade. Tese (Doutorado) Ů Universidade Federal da Pará, 2013. PEREIRA, G. L.; CRUZ, J. C. R.; FERREIRA, C. A. S. Modelagem sísmica usando método do raio, kirchhoff e feixes gaussianos. In: INTERNATIONAL CONGRESS

        OF THE BRAZILIAN GEOPHYSICAL SOCIETY. [s.n.], 2011. Disponível em:

        POPOV, M. M. A new method of computation of wave Ąelds using gaussian beams. Wave

        REFERÊNCIAS

        63 POPOV, M. M. Ray theory and Gaussian beam methods for geophysicists. 1st. ed. Salvador, Brazil: EDUFBA, 2002. Disponível em:

         POPOV, M. M. et al. Depth migration by the gaussian beam summation method.

        

      Geophysics, v. 75, n. 2, p. 81Ű93, 2010. Disponível em:

        

        PORTUGAL, R. S. Construção de imagens em verdadeira amplitude por dados de reĆexão: formulação matemática e construção de algoritmos. Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matemática, Estatística e Computação CientiĄca, Campinas, São Paulo, 2002.

        PROTASOV, M. I. True amplitude gaussian beam imaging. In: Days on diffraction, 2005. [s.n.], 2005. p. 225Ű234. Disponível em:

        SALEH, B. Introduction to Subsurface Imaging. 1st. ed. New York, USA: Cambridge University Press, 2011. SCHLEICHER, J.; TYGEL, M.; HUBRAL, P. 3D true-amplitude Ąnite-offset migration.

        Geophysics, v. 58, p. 1112Ű1126, 1993.

        SCHLEICHER, J.; TYGEL, M.; HUBRAL, P. Seismic true-amplutude imaging. 1st. ed. Tulsa, USA: SEG, 2007.

        SCHNEIDER, W. A. Integral formulation for migration in two and three dimensions.

        Geophysics, v. 43, n. 1, p. 49Ű76, 1978.

        SUN, Y. et al. 3-d prestack kirchhoff beam migration for depth imaging. Geophysics, v. 65, n. 5, p. 1592Ű1603, 2000.

        VERSTEEG, R. The marmousi experience: Velocity model determination on a synthetic complex data set. The Leading Edge, p. 927Ű936, 1994. YILMAZ, O. Seismic Data Analysis: Processing, Inversion, and Interpretation of Seismic Data. 2nd. ed. Tulsa, USA: SEG, 2001. ŽáCEK, K. Optimization of the shape of gaussiam beans. Studia geophysica et geodaetica, v. 50, p. 349Ű365, 2006. Disponível em:

        APÊNDICES

        2 1 (A.7)

        1 P 2 (A.4)

        ⊗ 4 1 2

        : f 2 = π H P

        = 0 (A.6) Onde a equação Denotando 2 = (f ) 2

        Þ P 2 + 2 2

        ⊗

        Þ P 2 2 2 1

        0. Assim a equação torna-se: 2 2

        >

        (A.5) Baseado nas discuções para atribuição de valores para 1 e 2 , considera- se 1 = 0 e 2

        Þ P 2

        ( 2 1 1 + 2 ) 2 + 2 2 2 1 =

        ( 2 1 1 + 2 ) 2 + 2 2 2 1 =

        65 APÊNDICE A Ű Formalismo da condição inicial dos feixes

      gaussianos em função da zona de Fresnel projetada: Caso 2-D

        2 2Þ

        1 P (A.3)

        ( 2 1 1 + 2 ) 2 + 2 2 2 1 2 2 =

        æ

        2

        = 2 zp (A.2)

        Como o interesse é obter a propagação do feixe Gaussiano estreita e estável, encontrou o parâmetro = 1 + 2 do feixe igualando o raio da zona de Fresnel projetada Assim: 2

        ( 2 1 1 + 2 ) 2 + 2 2 2 1 2 2 (A.1)

        æ

        2

        Segundo a expressão analítica para a meia largura de um feixe gaussiano na situação 2 ⊗ é deĄnida pela seguinte expressão matemática: 2 =

      • 2
      • 2 2 1√︂(︁ π H P )︁ 2

          66 APÊNDICE B Ű Superposição de feixes Gaussianos para a

        situação 2-D

          Segundo Ferreira e Cruz (2009), o operador de superposição de feixes gaussianos de dados 3-D no domínio da freqüência é dado por:

          √︁ ∫︁ ∫︁ ⊗ ⊃ P æ

          ⊃ ⊃ ⊃ ξ P P PiωT ( ) P P ξ ξ ξ

          å (⊗ , æ ) = ξ ξ det H P (⊗ ) L (⊗ , æ ) A 1 2

          2Þ P onde,

          1 ⊃ ⊃ ⊗ ⊃ ⊗ ⊃ ⊃ ⊃ ⊗ ⊃ ⊗ ⊃ PP P T P

          ⊃ P (⊗ , ) = ⊗ (⊗ ) + (⊗ ) P (⊗ ) ξ ξ ξ ξ ξ ξ H ξ ξ ⊗ ⊗ ⊗

          2 representa o tempo de trânsito paraxial, calculado em referência ao tempo de trân- sito de reĆexão á R (ξ) de um raio central que parte de (ξ) e emerge em (ξ), P a zona de Fresnel projetada (SCHLEICHER et al., 1997; SCHLEICHER; TYGEL; HUBRAL, 2007),

          ⊃ ⊃

          ξ p caracterizando a abertura que contém o traço de referência ⊗ ,⊗ o vetor vagarosidade ⊃ P

          ξ horizontal do raio central, indica uma operação matemática de transposição, H P (⊗ ) ⊃ P

          ξ a matriz da zona de Fresnel projetada, L (⊗ ) determina a o fator de decaimento da ⊃ amplitude do dado sísmico no interior de um feixe centrado na coordenada ⊗ ξ , deĄnindo a chamada janela gaussiana, L largura efetiva do feixe (MÜLLER, 1984). Finalmente, P

          (ξ , æ ) representando uma janela do dado sísmico original , æ), contido dentro da abertura da zona de Fresnel projetada. Tais considerações são estendidas sem perda de generalidade para o operador de superpo- sição de feixes gaussianos de dados 2-D deĄnido a seguir. A representação matemática do operador integral de superposição de feixes gaussianos 2-D no domínio da freqüência segundo é dado por:

          √︃ P ∫︁ a 2 √︁

          ⊗ æ P P PiωT P P P

          

        å, æ ) = Ý, 0, ξ ) , 0, ξ ) , 0, æ) , 0, ξ )

        1 a P 1 11

        1 L

        1 2 1

          2Þ 1 Uma representação matemática para a integral de superposição de feixes gaussianos 2-D no domínio do tempo é dado por:

          √︃ P ∫︁ a 1 2 √︁

          1 ⊗ æ P P P P 2 P

          

        å, æ Ý, 0, ξ ) , 0, ξ ) (ξ (ξ , ξ ))

        1 11 1 L 1 2 P 1

          ) = ⊗ a P 1 t, 2Þ 2Þ P 1 ressaltando que H (ξ , 0, ξ ) é o elemento superior esquerdo da matriz zona de Fresnel 11 1 projetada em condições complexas

          67 APÊNDICE C Ű Análise assintótica da integral de migração KGB , ,

          Usando as coordenadas 3-D cartesianas gerais com vetor posição = ( 1 2 3 ), considerando o plano Σ P de forma a coincidir com a superfície da aquisição, ou seja, a superfície da terra, onde são distribuídos os pares de fonte e geofone com coordenadas cartesianas 2-D locais especiĄcados pelo vetor de parâmetros Ý, expresso por:

          X = X (Ý) X = X (Ý) (C.1)

        S S G G

        T

          Cada coordenada do vetor de parâmetro Ý = (Ý 1 , Ý 2 ) , com a abertura de migração A da integral externa na equação é uma coordenada de um feixe central, isto é, Ý = Ý c , referente a um subconjunto de traços sísmicos selecionados relacionado a um feixe gaussiano . O tempo de trânsito paraxial complexo de um raio paraxial, com percurso inciando em

          X S (Ý b ) e terminando em X G (Ý b ) , calculados a partir de parâmetros de um raio central de

          um feixe especíĄco Ý = Ý com pode ser expresso por c

        T T T

          1 Γ H

        á (Ý c , Ý b ) = á R (Ý c (Ý b c ) + p G (Ý b c ) + (Ý b c ) (Ý c )(Ý b c ) (C.2)

        S G

          ) ⊗ pÝÝÝÝ

          2 , Ý

          O parâmetro ξ b = (Ý b1 b2 ) especiĄca a posição do traço sísmico com relação subconjunto de traços sísmicos relacionado a um feixe gaussiano com centro em ξ (Ągura 21) . Se ele c é avaliado a partir dos parâmetros do raio central no ponto estacionário em um ponto * * crítico ξ = ξ , o tempo de trânsito paraxial da equação é ác c c , ξ ). b

          Alternativamente, pode-se expressar o tempo de trânsito á, ξ ) pela soma de dois c b tempos de trânsitos á (x , x ) (tempo da fonte em x até um ponto do reĆetor em x ) S R S S R e á = (x , x ) (tempo de um ponto do reĆetor em x até o geofone em x ). Se o G R G R G tempo de trânsito total á (x , x , x ) = á (x , x ) + á (x , x ) corresponder a um raio D S G R S S R G G R paraxial reĆetido que obedece a lei de snell, que depende das coordenadas da fonte, do geofone e do ponto de reĆexão, então o tempo de trânsito paraxial expresso pelo raio * estácionário central a um feixe é dado por: T T T * * * * *

          á , η ,

        Dc ; = ) = ác (ξ )Γ Sc ) + p (ξ )Γ (ξ c )

        S c ⊗ ξ c G c G ⊗ ξ c
        • * * ) ⊗ p c P

          )H (η )η ⊗ (ξ ⊗ ξ c

          1 * * * T T *

          1 H η H (ξ + c D c P ) (ξ )(ξ ) + (η )η (C.3)

          ⊗ ξ c c ⊗ ξ c * * *

          2

          2 onde á, ) = á(ξ ) é o tempo de trânsito reĆetido no raio estacionário do centro de c c um feixe. O vetor de parâmetros na superfície da terra η = (ξ b c ) obedece a relação ⊗ ξ

          APÊNDICE C. Análise assintótica da integral de migração KGB

          68

          correspondente a um raio arbitrário e as coordenadas da fonte, do geofone e do ponto em profundidade não são dependentes entre si. *

        • * Se o vetor de parâmetros ξ = ξ e = na equação então η = (ξ ) e o c c
        • b ⊗ ξ c tempo de difração paraxial é:
          • * T * *

            1

            á = (ξ , η, = ) = á, ) + Ö H η η (C.4) D c P c

            2 A superfície da empilhamento de difração, chamada de superfície de Huygens, no processo de migração Kirchhoff calculada para um ponto arbitrário em profundidade é, então, a seguinte função tempo de trânsito: T * * T * * *

            á , η , Dc = 0; = ) = á(ξ (ξ )Γ Sc ) + p (ξ )Γ c S c ⊗ ξ c G c ⊗ ξ c Gc )

            ) ⊗ p

            1 * * * T (ξ + c D c ) H (ξ )(ξ ) (C.5)

            ⊗ ξ c c ⊗ ξ c

            2

            , ξ , ξ

            Ao inserir na equação tempos de trânsito de complexos, ác b c b ) = Re ¶á(ξ )♢ + c b , ξ

          Im ¶á(ξ )♢ da equação e considerando

          que a maior contribuição da integral venha da região do feixe próxima de um raio central c com parâmetro ξ , pode-se expressar as verdadeiras amplitudes da migração KGB em profundidade como:

            ∫︁ ∫︁ æ

            ̂︀ ̂︁ c

            ( , æ) = ⊗ (æ) Ý 1c Ý 2c b ( , ξ c , æ ) [ æá D, η = 0, )] 2Þ ′ ′ ′ ′ ⊗1 1/2 B ∫︁ ∫︁ (C.6) ′ ′

            (cos Ð cos Ð ) (Ý , Ý )] (ξ ) Ý Ý, ξ )] s G [⊗ det H c1 c2 1c 2c [⊗ æá P c gb c b D Com a ajuda do tempo de trânsito expressos na equaçães

            á , η, , η , ξ dif = (ξ c ) = á Dc c b ) (C.7)

            ; = ) ⊗ á(ξ Usando as condições de fase estacionária, encontra-se dois resultados importantes; * *

            1. Para á

          • * * * dif c c ξ R b

            / ξ = 0 no ponto crítico ξ = ξ á, ξ = c , encontra-se a identidade ∇ c

            ξ c ) ⊕ ∇ c ξ D c á (ξ = ξ , η = 0, = ), ou seja, o gradiente da parte imaginária da função tempo de trânsito de reĆexão é negligenciando, que para η signiĄca a condição de tangência entre as superfícies de Huygens e de reĆexão no ponto crítico. *

            / η

            2. Para dif = 0 no ponto crítico η , o gradiente da parte imaginária da fun-

          • * η Rb

            á , ξ c

            ção tempo de trânsito de reĆexão é negligenciando, encontrando ∇ * * * * * * T ) ⊕

          η D c P c P

          á, η , = ). Assim, p + η H (η ) = 0, com p )H (η ) da ∇ * * T T ⊗1 = ⊗(ξ ⊗ ξ c equação resulta em η

            H (η )) , que signiĄca as coordenadas da fase

          • * * = (⊗p P estaionária η = (ξ ). c

            ⊗ ξ c Considerando as condições da fase estacionária obtidas acima, o tempo de trânsito á da dif equação pode ser expandida em série de Taylor:

            1

            1

            APÊNDICE C. Análise assintótica da integral de migração KGB

            69

          • * * * no ponto crítico ξ = ξ c c , tem-se a matriz 2 × 2 Hessiana complexa: * * * *

            H ξξ D P (ξ ) = M (ξ c c c ) ⊗ H c c c ) = H (ξ (ξ ) = H (ξ ) + H I (ξ ) (C.9) * Em η, a parte real da matriz 2 × 2 Hessiana complexa é:

            H η Pb = ξ ) (C.10) (η = 0) ⊕ H c

            Usando a equação pode ser reescrita como:

            ∫︁ ∫︁ ′ ′ ′ ′ æ 1/2 ⊗1

            ̂︀ ̂︁

            ( , æ) = ⊗ (æ) Ý c b ( , ξ c , æ P (Ý , Ý )] (cos Ð cos Ð ) )[⊗ det H c1 c2 s G

            2Þ

            

          ∫︁ ∫︁ [︂ ]︂

          B

            1 T η H

            (ξ ) [ æã, )] η æ η (η = 0)η c c D

            2 Onde a função fase da integral externa na equação é:

            1 * * * T

            ã, ) = á, ) + (ξ ) c dif c cc M (ξ )(ξ ) (C.11)

            ⊗ ξ c c ⊗ ξ c

            2 Com a identidade da equação obtém-se:

            ∫︁ ∫︁ æ c c ⊗1

            ̂︀ ̂︁

            (æ) Ý, )(cos Ð cos Ð ) c b c ( , æ) ≡ s G

            2Þ

            [︂ ]︂ B Þ

            (ξ c ) [ æãc , )] P ( c )/2) × (1 ⊗ H

            2 * No ponto estacionário Ý , a integral na equação possui uma solução aproximada c assintótica dada por: 2π ⊗1 * * *

            ̂︀ b s c g c sz gz, , æ )[ (ξ ) ξ (ξ ) (ξ )]

            ( , æ) ≡ c c c Ω [︂ ]︂ t c Þ ω

            √︁ æá difc , Pc )/2)

            × ) ⊗ (1 ⊗ H B

            2 S c * det M (ξ )

            70 APÊNDICE D Ű APROXIMAđỏES DO CAMPO DE ONDAS

            Neste apêndice, será descritas uma soluçao aproximadas da equação da onda utilizadas para contornar algumas lacunas existentes na teoria do raio de ordem zero. Os feixes gaussianos que combinam as vantagens da teoria do raio e a técnica de aproximações paraxiais na vizinhança de um raio, de modo a fornecer um método válido em cáusticas e em modelos heterogêneos complexos. Estes método possui baixo custo computacional e de simples implementação, quando comparado à modelagem sísmica usando diferença Ąnita cujo tempo de processamento é bastante elevado em meios mais realistas e complexos.

          D.1 FEIXES GAUSSIANOS

            O método do raio é amplamente usado para calcular os campos de ondas de diferentes natureza física para aproximações em altas frequências, devido a sua relativa simplicidade em suas fómulas. Mas, a teoria do raio falha em regiões onde o campo de raios tem comportamento não-regulares, isto é, quando o ponto de observação se localiza sobre em uma superfície de cáustica, onde a amplitude é inĄnita, ou quando o ponto de observação se localiza em uma zona de sombra, onde o traçado de raio não pode ser realizado. Para superar essas diĄculdades algumas modiĄcações no método do raio foram usadas, tal como a obtenção do operador WKBJ/Maslov cuja sua descrição pode ser visto em onde o resultado do algoritimo depende da posição do ponto de observação, requerendo um estudo da característica geométrica do raios não-regulares. propuseram uma ideia de descrever o campo de ondas em altas frequências através de uma integral de superposição de todos os raios como uma solução aproximada em um tubo de raios na vizinhança de um raio central, chamado de superposição de feixes gaussianos. Seguido por outros autores,

            

            D.1.1 Tempos Paraxiais

            A integral de feixes gaussianos que será descrita a seguir, equivale a uma superposi- ção de aproximação paraxial de tempos complexos, ponderada por uma função exponencial com a forma de uma gaussiana centrada em um ponto do raio. Os tempos de trânsitos utilizados para o cálculo das amplitudes dos feixes, são estimados a partir das derivadas espaciais de primeira (vagarosidade p) e segunda (matriz M) ordem. Isto é referido como uma aproximação paraxial dos tempos de trânsito na vizinhanca de um raio central.

            APÊNDICE D. APROXIMAđỏES DO CAMPO DE ONDAS

            71

            apresentada na seção a Ąnalidade de encontrar as matrizes P e Q. A vagarosidade p é simplesmente o gradiente espacial dos tempos de trânsito e o espalhamento geométrico está relacionado com a matriz Q. Quando um receptor não está próximo de uma cáustica, as quantidades determinadas no sistema de traçamento dinâmico do raio podem ser usadas para determinar a solução, que consiste no espalhamento geométrico, tempo de trânsito e dos coeĄcientes de reĆexão/transmissão. O tempo paraxialmente estimado a partir das matrizes P e Q pode ser usada tanto para evitar o two-point ray tracing pela extrapolação do tempo de trânsito próximo a um raio ou para resolver de forma iterativa o problema de

            

          two-point ray tracing. O tempo de trânsito em uma vizinhança de s pode ser calculada

            pela equação : ⊤ ⊤ ⊤

            1

          • τ p H M H (x) = τ (x ) + ∆x ∆x ∆x (D.1)

            2 Lembrando que H a matriz de transformação de coordenadas centradas no raio para 1 coordenadas cartesianas (as colunas de H são os vetores base no Ąnal do raio), M = PQ

            , P e Q são soluções do sistema Além disso, ∆x é deĄnido como ∆x = x , − x com x as coordenadas cartesianas do ponto e x as coordenadas cartesianas do ponto (Figura

            D.1.2 Aproximação Paraxial do Raio

            Os feixes gaussianos são deĄnidos pela adição de uma pequena parte imaginária da matriz M equação que resulta em um decaimento exponencial de um feixe a partir do raio central. A amplitude de cada feixe é proporcional a parte real de ( æá), onde á é considerado um número complexo em , através da inclusão de M complexo. Na vizinhança de cáusticas, a soma de feixes permanece regular, onde o espalhamento geométrico desaparece e a teoria do raio se tornar singular. Na verdade, a diferença entre a teoria do raio e de feixes gaussianos depende apenas dos valores iniciais de P e Q.

            APÊNDICE D. APROXIMAđỏES DO CAMPO DE ONDAS

            72 Figura 19 – Ilustração de um feixe gaussiano , mostrando as coordenadas centradas no raio, a meia-largura e a amplitude gaussiana.

            Fonte: Pereira (2013) Aqui serão relatados, resumidamente, os resultados apresentados por e para descrever uma solução paraxial. A equação de onda em coordenadas cartesianas tem uma solução paraxial na forma (x) par ( , , ) = (D.2) 1 2 3

            [⊗ æá(x)] Onde, o tempo á( ) possui apenas parte real, devendo ser calculado pela equação O (x) termo ( ) é a amplitude em coordenadas cartesianas e pode ser calculado por equação

             x ω ( ) = (D.3)

            ( )ℒ onde

            

          ⎯ ⎯

          ⎸ ⎸

          c q ⎸ ( ) ( ) ⎸ det( ( ))

          ⎷ ⎷

            ( ) = ( ) ( ik kj j ) ℒ = ( ) ( ) det( ( ))

            O fator H ( ) denota as componentes cartesianas ( ) de polarização do vetor ik ki

            e

          k em . Se o ponto está situado na estrutura da interface, H ik pode ser substituido

          (q)

            pelo coeĄciente de conversão descrito por ( ) representa a amplitude j inicial, em coordenadas centradas no raio, calculada no raio central da onda elementar c em . Por Ąm, é o coeĄciente de reĆexão/transmissão ( / ) normalizado, cuja suas kj componentes são dadas em função do ângulo incidente ângulo reĆetido e do coeĄciente

            APÊNDICE D. APROXIMAđỏES DO CAMPO DE ONDAS

            73

            de reĆexaõ/transmissão para onda P:

            ⎯ ⎸ (c) ⎸ ( ) ( ) cos( ) ⎷

            = kj

            ( ) ( ) cos( )

            D.1.3 Aproximação Paraxial de Feixes Gaussianos

            A aproximação paraxial de feixes gaussianos da componente principal do campo de onda sísmica PP (onda P incidente que continua a ser P depois de reĆetida) na ⊃

            t

            vizinhança de um raio central de direção dada pelo vetor ⊗ , a partir de uma fonte pontual tridimensional em um meio, é representada pela equação em coordenadas centradas no raio por

            1 ⊤ ⊃ u ∆q M gb ( , , 1 2

            (s)∆q)]⊗ (D.4) ) = ( ) [⊗ æ(á(s) ⊗ á(s) ⊗ ⊤ ⊤

            2

            onde, ∆q ) = ( , = (q − q 1 2

            ⊗ 1 ⊗ 2 ) deve ter parte real Re ¶M( )♢ e parte imaginária Im ¶M( )♢ e satisfazer três condições ao longo do raio: 1. det(Q( )) ̸= 0;

          2. M( ) = M ( ); 3. Im ¶M( )♢ é positiva deĄnida.

            Para calcular M( ), faz uso da matriz propagadora (2.46):

            

          ⋃︀ ⋂︀ ⋃︀ ⋂︀ ⋃︀ ⋂︀

          P Q Q

            ( ) 1 ( , ) Q 2 ( , ) ( )

            

          ⨄︀ ⋀︀ ⨄︀ ⋀︀ ⨄︀ ⋀︀

            = (D.5)

            Q P Q

            ( ) 1 ( , ) P 2 (( , ) ( ) assim,

            Q ( ) = Q ( , )Q( ) + Q ( , )Q( ) 1 2 ⊗1

            = [Q ( , ) + Q ( , )Q( )Q ( )]Q( ) 1 2 1 = [Q ( , ) + Q ( , )M( )]Q( ) (D.6) 1 2 analogamente, ⊗1 P ( ) = [P ( , ) + P ( , )M( )]Q( ) (D.7) 1 2 M ( ) = M( )Q ( ) ⊗1 ⊗1

            = [P ( , ) + P ( , )M( )]Q( )Q( ) [Q ( , ) + Q ( , )M( )] 1 2 1 ⊗1 2 = [P ( , ) + P ( , )M( )][Q ( , ) + Q ( , )M( )] (D.8) 1 2 1 2

            APÊNDICE D. APROXIMAđỏES DO CAMPO DE ONDAS (x)

            74 Para encontrar ( ), deve-se calcular a razão: (︃ ⎜ 1/2 √︁

            det Q( ) = det[Q ( , ) + Q ( , )M( )] (D.9) 1 2 det Q( )

            A matriz M 2 ( ) é composta pelas derivadas de segunda ordem do tempo de ×2 trânsito em relação às coordenadas centrada no raio em .Ela está relacionada com I ⊗1 a matriz de curvatura da frente de onda K ( k ( ), 2×2 ) pela relação Re ¶M( )♢ = onde = ( ).

            Para determinar as equações ao longo de todo raio, é preciso saber ( ) que satisfaça as condições iniciais: 1. det(Q( )) ̸= 0 e det Q ̸= ∞;

          2. M( ) = M ( ); 3. Im ¶M( )♢ é positiva deĄnida.

            fez um estudo detalhado, em 2-D, sobre a escolha de Q( ) e P( ). para o caso 3-D, obtendo:

            æ Q

            I I

            ( ) = P ( ) = (D.10) Onde, æ é a frequência angular dominante, a meia-largura inicial do feixe gaussiano e é a velocidade inicial.

            A matriz Im ¶M( )♢ descreve as propriedades geométricas da frente de onda. (1) (2) Seus autovalores Ú = Ú ( ) e Ú = Ú ( ) são sempre reais. As quantidades Re M(s)♢ ¶M(s)♢ 1 Re 2 K ( ) = Ú ( ) e K ( ) = Ú 1 1 2 2

            ( ) representam as curvaturas da frente de onda. Im ¶M( )♢ controla o perĄl da amplitude gaussiana nas seções perpendiculares ao raio. Devido a (1) (2)

            ̂︁

            Im Im = Ú ( ) e Ú = 1 ImM( )♢ ser positiva-deĄnida e simétrica, os autovalores ÚM(s)♢ ¶M(s)♢

            ̂︁ Ú ( ) são sempre reais. 2

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