Universidade Federal de Alagoas Instituto de Matemática Programa de Pós-Graduação em Matemática Dissertação de Mestrado

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  Universidade Federal de Alagoas Instituto de Matemática Programa de Pós-Graduação em Matemática Dissertação de Mestrado

  Propriedades ergódicas do modelo geométrico do atrator de Lorenz Rafael Nóbrega de Oliveira Lucena

  Maceió, Brasil Março de 2011 Rafael Nóbrega de Oliveira Lucena Propriedades ergódicas do modelo geométrico do atrator de Lorenz

  Dissertação de Mestrado na área de concen- tração de Sistemas Dinâmicos submetida em 15 de Março de 2011 à Banca Examinadora, designada pelo Colegiado do Programa de Pós-Graduação em Matemática da Univer- sidade Federal de Alagoas, como parte dos requisitos necessários à obtenção do grau de mestre em Matemática.

  Orientador: Krerley Irraciel Martins Oliveira

  Maceió, Brasil

  Catalogação na fonte Universidade Federal de Alagoas Biblioteca Central Divisão de Tratamento Técnico Bibliotecária Responsável: Helena Cristina Pimentel do Vale L935p Lucena, Rafael Nóbrega de Oliveira.

  

Propriedades ergódicas do modelo geométrico do atrator de Lorenz / Rafael

Nóbrega de Oliveira Lucena. – 2011. 79 f. Orientador: Krerley Irraciel Martins Oliveira.

Dissertação (mestrado em Matemática) – Universidade Federal de Alagoas.

  Instituto de Matemática. Maceió, 2011. Bibliografia: f. 78-79.

1. Ergódico. 2. Lorenz, Modelo geométrico de. 3. Atrator. I. Título.

  

CDU: 517.938

  Resumo

  Este trabalho tem sua motivação no modelo geométrico construído para aproximar o comportamento das soluções das equações de Lorenz. Simultaneamente Afraimovich em [17] e Guckenheimer e Williams [18] construíram um modelo geométrico. Essencialmente ele consiste na construção de medidas físicas e ergódicas para dois tipos de aplicações, uma unidimensional que é seccionalmente expansora (piecewise expanding) e outra bidi- mensional que contrai as folhas de uma folheação invariante. A primeira faz uso de um operador (operador de transferência) agindo no espaço das funções de variação limitada, enquanto que a segunda utiliza o teorema de representação Riesz bem como algumas outras propriedades topológicas. Abstract

  This work has its motivation in the study of the ergodic properties of the Lorenz geomet- ric model, constructed to approximate the behavior of solutions of the Lorenz equations. Simultaneously, Afraimovich in [17] and Guckenheimer and Williams [18], constructed a geometric model that mimics the dynamics of the original Lorenz equations. Here, we build ergodic physical measures for two types of applications that arise from the Lorenz geometric model. The first one is a piecewise expanding one-dimensional map and the second is a two-dimensional application wich contracts the leaves of an invariant foliation.

  To construct the ergodic physical measure for the one dimensional Lorenz map, we make use of an operator (transfer operator) acting in the space of bounded variation func- tions, while the second uses the Riesz representation theorem and some other topological properties. Agradecimentos Agradeço a Deus por minha vida perfeita.

  A meus pais Eudes Lucena e Maria das Neves pelo amor e educação, que me deram a sensibilidade necessária para encarar a vida da maneira correta. E por todas as inúmeras oportunidades.

  A minha perfeita esposa, namorada e amiga Cibelle Lucena. Linda demais! Ela é tudo na minha vida. Juntos desde 28/12/1999 (eu aos 15 e ela aos 13 anos). Obrigado Deus! Ao meu grande amigo/matemático Krerley Oliveira. Pela sólida e sincera orientação e direção que ele me concedeu durante esses anos de trabalho. Desejo tudo de bom para ele. Aos meus professores do CPMAT, Prof. Marcos Petrúcio, Prof. Adam Corcho e Prof. Amauri Barros que apoiaram minha entrada no mestrado. Aos colegas de classe Giovane Ferreira, Adina Rocha, Marcio Silva, Diogo Albuquerque, Fábio Honorato, Douglas Cedrim e Adalgisa Mendonça.

  Aos meus grandes amigos Aníbal e Pedro, que mesmo longe, sempre me dão muita força, alegria e muitos risos. Desejo a todos, amigos iguais a eles. A Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de Alagoas (FAPEAL) pelo apoio finan- ceiro. A todos estes eu agradeço por tudo. Introdução

  Estudado pela primeira vez no início dos anos 60 por E. Lorenz, o fluxo descrito pelas equações polinomiais ˙x = 10y

  − 10x ˙y = 28x

  − y − xz

  8 ˙z = xy z

  −

  3 trouxe um impacto positivo no estudo dos Sistemas Dinâmicos. A motivação original de Lorenz era estudar os fenômenos naturais relacionados com a previsão climática. Tomando conhecimento através de Saltzmann de alguns sistemas de equações relacionados com o clima, Lorenz decidiu utilizar a nova tecnologia computacional, que desabrochava naquela época, em equações simplificadas descritas acima dos modelos de Saltzmann.

  No estudo dessas equações, Lorenz se deparou com um estranho fenômeno, desconhecido até então, a sensibilidade às condições iniciais. Isso gerou a noção de atrator estranho, que veio a ser estudada com intensidade nos anos 70 e 80. Apesar de ser um tópico relativa- mente clássico em Sistemas Dinâmicos e de claro interesse em áreas mais aplicadas, muitas questões relevantes só foram respondidas recentemente, como a existência de medidas físi- cas, e várias outras continuam em aberto.

  O objetivo do projeto é estudar algumas propriedades ergódicas do modelo geométrico de Lorenz, como a existência de medidas ergódicas e físicas, para as aplicações que estão envolvidas no modelo.

  Com este intuito o capítulo 1 trata da matemática necessária para a construção teórica dos resultados principais. Nele são abordados tópicos de EDO, teoria da medida, teoria ergódica. No capítulo 2 inicia-se a discussão sobre o modelo geométrico de Lorenz. A construção do modelo, aplicação de Poincaré do fluxo e propriedades das funções coor- denadas são os tópicos abordados neste capítulo. Veremos que a aplicação de Poincaré,

  1

  1

  1

  1 P : [ , ] , ] − × [− \ Γ −→ R, do modelo geométrico pode ser escrita como

  2

  2

  2

  2 P (x, y) = (f (x), g(x, y)), isto é, uma das funções coordenadas é unidimensional. Esta propriedade é bastante útil para o estudo do modelo, e dela, surgem várias outras propriedades a respeito do modelo mações expansoras por pedaços, provada pela primeira vez por Lasota e Yorke em [21]. Veremos que o número destas medidas que são absolutamente contínuas com relação a medida de Lebesgue é limitado pelo número de singularidades da aplicação. No nosso caso, uma vez que a aplicação envolvida com o modelo geométrico possui uma única sin- gularidade, teremos unicidade. A existência é provada usando-se o chamado Operador de Transferência (ou de Perron-Frobenius). Finalizamos o trabalho com o capítulo 4. Nele construímos uma medida ergódica e física para a aplicação de Poincaré do modelo. Esta construção se baseia na existência da medida ergódica e absolutamente contínua para a aplicação unidimensional f, do modelo geométrico e no teorema de representação de Riesz.

0.1 Preliminares

  0.1.1 Equações Diferenciais Ordinárias m

  1

  de classe C definido no Nesta seção, f denotará um campo de vetores f : E −→ R m aberto E ⊂ R e φ : [a, b] × E −→ E denotará o fluxo determinado por f, onde [a, b] é o

  ′ intervalo maximal da solução de x = f (x). s

  Definição 0.1.1. A variedade estável W (x) do ponto x u ∈ E é o conjunto dos y ∈ E tais que lim φ t (y) = x analogamente, a variedade instável W (x) do ponto x t ∈ E é o conjunto

  →∞ φ t (y) = x.

  dos y ∈ E tais que lim t

  →−∞ n m Definição 0.1.2.

  Dados dois campos de vetores f : E e f : E

  1

  1

  2

  2

  −→ R −→ R

  1

  2

  1

  2

  e seus fluxos φ e φ , dizemos que os campos f e f , ou que os fluxos φ e φ , são t t

  1 2 t t

  diferenciavelmente conjugados se existe um difeomorfismo g : E

  1 2 , chamado de

  −→ E conjugação diferencial, tal que para todo t ∈ R,

  2

  1

  φ t ◦ g = g ◦ φ t n m Definição 0.1.3. Dados dois campos de vetores f : E e f : E e seus

  1

  1

  2

  2

  −→ R −→ R

  1

  2

  1

  2

  fluxos φ e φ , dizemos que os campos f e f , ou que os fluxos φ e φ , são topologicamente t t

  1 2 t t

  conjugados se existe um homeomorfismo g : E , chamado de conjugação topológica,

  1

  2

  −→ E tal que para todo t ∈ R,

  2

  1

  φ t t ◦ g = g ◦ φ Definição 0.1.4.

  Uma singularidade x de f é hiperbólica se todos os autovalores gener- m

  Definição 0.1.5. é uma superfície imersa de classe Dizemos que um conjunto S ⊂ R k m

  1

  1 C e dimensão k se existe uma aplicação injetora g : R de classe C tal que k k m k −→ R g(R ) = S e a aplicação linear Dg : R .

  −→ R é injetora para cada x ∈ R Exemplo 0.1.1. Cada órbita não compacta de f, pela unicidade e diferenciabilidade

  1

  2

  (campo de classe C ), é uma superfície imersa de classe C e dimensão 1, pois a trajetória n

  2 ′ ′

  x : R (t) = f (x(t)) (t) = f (x(t)), como é injetora, de classe C e x

  −→ R 6= 0. De fato, x

  1 ′

  1

  2

  f e x(t) são C , pela regra da cadeia temos que x é de classe C e x(t) de classe C . Teorema 0.1.1

  (da Variedade Estável). Seja x m s ∈ E uma singularidade hiperbólica do campo de vetores f : E . A variedade estável W (x ) é uma superfície imersa −→ R

  

1 s m

  de classe C e o espaço tangente a W (x ) é o subespaço vetorial de R gerado pelos autovetores generalizados associados aos autovalores de Df (x ) com parte real negativa. Demonstração. Ver [15] página 296. Observação 0.1.1.

  O resultado dual vale para variedade instável. Teorema 0.1.2

  (Hartman - Grobman). Seja x m ∈ E uma singularidade do campo de m

  1

  vetores f : E de classe C definido no aberto E . Se x é uma singulari- −→ R ⊂ R dade hiperbólica, então f em x é localmente topologicamente conjugado ao campo linear m m Df (x ) : R .

  −→ R Demonstração. Ver [15] página 291.

0.1.2 Resultados de Teoria da Medida

  Neste capítulo, a tripla (X, X, µ) denotará um espaço de medida, onde X é um conjunto

  • (X, X) será usado para qualquer, X a σ-álgebra associada e µ uma medida. O símbolo M denotar o espaço das funções X-mensuráveis não negativas definidas em X e tomando seus n o símbolo B U valores em R = R ∪ {−∞, +∞}. Além disso, dado um aberto U ⊂ R n será usado para denotar a classe dos borelianos de U, em particular B R será usado para n
  • n denotar a classe dos borelianos de R . Da mesma maneira os símbolos Leb U e Leb R (ver [3] pag. 239 para esta definição), serão usado para denotar a classe dos conjuntos Lebesgue n mensuráveis de U e de R respectivamente.

      Agora apresentaremos algumas propriedades técnicas sobre conjuntos que serão usadas algumas vezes nesta seção.

      ∞ ∞

      [ [ 1. uma sequência (E k )

      1 2 k E k = A n ;

      ⊂ X crescente E ⊂ E ⊂ · · · ⊂ E ⊂ · · · tal que k n =1

      =1 ∞ ∞

      [ [ )

      E = A 2. uma sequência (E k

      1 2 k k n ;

      ⊂ X decrescente E ⊃ E ⊃ · · · ⊃ E ⊃ · · · tal que n =1 n =1

      ∞ ∞

      [ [ 3. uma sequência (F k ) m n = F k = A n ;

      ⊂ X tal que F ∩ F ∅ para n 6= m e k n k =1 =1 [ Demonstração.

      1. Defina E k = A n desta maneira construímos os termos da sequên- n

      =1

      cia (E k ) procurada;

      ∞ k = A n [

      2. Defina E ; n =k

    3. Dada uma sequência arbitrária (A n ) construa a sequência encaixada do item 1.. A

      = E = partir dela defina F k k k −1 onde E \ E ∅; Proposição 0.1.1. Seja (X, X, µ) um espaço de medida.

      !

      ∞

      [

      1. Se (A n ) A n = lim µ(A n );

      ⊂ X é uma sequência crescente, então µ n n −→∞

      =1

      2. Se (A n ) n ) < , então ⊂ X é uma sequência decrescente e µ(A ∞ para algum n

      !

      ∞

      \ µ A n = lim µ(A n ); n n −→∞ =1

      Demonstração.

    1. Defina a sequência (E k ) por E = A e E k = A k k . Esta

      1 1 −1

      \ A sequência é disjunta e vale

      

    ∞ ∞

      [ [ k k E k = A k , n

    =1 =1

    [

      E = A além disso temos que k n . Assim k

      =1

      ! !

      

    ∞ ∞

      [ [ µ A n = µ E k n k

      

    =1 =1

    n !

      [ = lim µ E k n k n =1

      X = lim µ(E k ) n k

      =1 n !

      [ = lim µ E k n k

      =1

      = lim µ(A n ) n T

      ∞ 2. Defina A = A n e seja A n tal que µ(A n ) < n = A n n . n ∞ B \ A para n ≥ n =1

      S

      ∞

      Então B n n e B n = A n

    • 1

      ⊂ B para todo n ≥ n n =n \ A. Portanto, usando a propriedade anterior e o fato de µ(A n ) < ∞, temos

      µ(A n ) n − µ(A) = µ(A \ A)

      !

      ∞

      [ = µ B n =n n = lim µ(B ) n n = lim µ(A n n ) n \ A = lim µ(A n ) µ(A n ) n n − lim = µ(A n ) µ(A n ).

      − lim n Consequentemente µ(A) = lim n µ(A n ).

      Teorema 0.1.3 (Teorema da Convergência Monótona). Seja (f n ) n uma sequência monó-

    • tona crescente em M que converge para f pontualmente. Então

      Z Z f dµ = lim f n dµ. (1) rável(ver [2], página 12, corolário 2.10). Como f n n

    • 1

      ≤ f ≤ f temos que Z Z Z f n dµ f n dµ f dµ

    • 1

      ≤ ≤ para todo n ∈ N n ≥ 1. Portanto Z Z lim f n dµ f dµ.

      ≤ lim Agora considere 0 < α < 1 e seja ϕ uma função simples e mensurável satisfazendo 0 ≤ ϕ

      ≤ f. Seja A n = n (x)

      {x ∈: f ≥ αϕ(x)},

      ∞

      [ assim A n n n e X = A n . Então vale a seguinte desigualdade ∈ X, A ⊂ A +1 n =1

      Z Z Z αϕdµ f n dµ f n dµ (2) A A n n ≤ ≤

      R Uma vez que a função de conjunto definida por λ(E) = ϕdµ para todo mensurável E

      ∞

      [ E n ) é encaixada com X = A n temos que

      ∈ X é uma medida e sequência (A n

      =1

      Z Z ϕdµ = lim ϕdµ. A n tomando o limite em (2) encontramos a relação Z Z

      α ϕdµ f dµ n ≤ lim e fazendo α −→ 1 obtemos

      Z Z ϕdµ f n dµ.

      ≤ lim Além disso, como ϕ é uma função simples arbitrária em M satisfazendo 0 ≤ ϕ ≤ f

    • concluímos que

      Z Z Z f dµ = sup ϕdµ f n dµ. ϕ ≤ lim Unindo este fato com a desigualdade oposta obtida inicialmente obtemos (1).

    • Lema 0.1.1 (Lema de Fatou). Se (f n ) n é uma sequência em M (X, X), então

      Z Z lim inf f n dµ f n dµ.

      ≤ lim inf Demonstração. Seja g m = inf m , f m , m n

    • 1

      {f · · · }, assim g ≤ f sempre que m ≤ n. Portanto Z Z g m dµ f n dµ m

      ≤ ≤ n, logo Z Z g m dµ f n dµ.

      ≤ lim inf Uma vez que a sequência (g m ) é crescente e converge para o lim inf f n , aplicamos o teorema da Convergência Monótona para obter

      Z Z lim inf f n dµ = g m dµ (3) Z f n dµ. (4)

      ≤ lim inf Teorema 0.1.4

      (da Convergência Dominada). Seja (f n ) n uma sequência de funções in- tegráveis que converge µ-qtp para uma função real mensurável f . Se existe uma função integrável g tal que n

      |f | ≤ g para todo n, então f é integrável e Z Z Z f dµ = lim f n dµ = lim f n dµ. n n

      −→∞ −→∞

      Demonstração. Seja E = n (x) {x|f 6−→ f(x)}. Inicialmente, vamos supor que a convergên- c cia é em todo o conjunto. Feito isso, basta aplicar o resultado a sequência g n = f n χ E c χ ) converge para f em todo ponto. convergindo para g = f n E . portanto, suponha que (f n n n

      | ≤ g temos que |f| ≤ |g| portanto f é integrável. Uma vez que g + f ≥ 0 Uma vez que |f aplique o lema de Fatou para obter

      Z gdµ + Z f dµ =

      (6) =

      Z gdµ − lim sup

      Z f n dµ (12) =

      Z gdµ + lim inf −

      Z f n dµ (11) =

      Z gdµ −

      − f n )dµ (10) = lim inf

      Z (g

      (9) ≤ lim inf

      − f n )dµ

      ≤ Z lim inf (g

      Z lim inf (g − f n )dµ (8)

      (7) =

      Z lim (g − f n )dµ

      (g − f)dµ

      Z (g + f )dµ

      Z f dµ = Z

      Z gdµ −

      (5) Agora façamos a mesma coisa para g − f n , pois g − f n ≥ 0,

      Z f n dµ.

      Z f dµ ≤ lim inf

      Z f n dµ, donde

      = Z gdµ + lim inf

      Z gdµ + Z f n dµ

      (g + f n )dµ = lim inf

      ≤ lim inf Z

      ≤ Z lim inf (g + f n )dµ

      = Z lim inf (g + f n )dµ

      = Z lim (g + f n )dµ

      Z f n dµ, (13) donde Z Z lim sup f n dµ f dµ. (14)

      ≤ Portanto

      Z Z Z lim sup f n dµ f dµ f n dµ, (15)

      ≤ ≤ lim inf donde Z Z f = lim f n dµ.

      Definição 0.1.6.

      Uma sequência de funções reais mensuráveis (f n ) é dita convergir em medida para uma função real mensurável f se lim µ ( n (x)

      (16) n {x ∈ X : |f(x) − f | ≥ α}) = 0

      −→∞

      para todo α > 0. Uma sequência de funções reais mensuráveis (f n ) é dita Cauchy em medida se lim µ ( m (x) n (x) (17) n,m {x ∈ X : |f − f | ≥ α}) = 0

      −→0 para todo α > 0.

      Teorema 0.1.5.

      Seja (f n ) uma sequência de funções reais mensuráveis que é Cauchy em medida. Então existe uma subsequência que converge µ-qtp e em medida para uma função real e mensurável f . Demonstração. Considere uma subsequência (g k ) n ) tal que o conjunto E k = k (x)

    • 1

      ⊂ (f {x|g − S

      ∞ −k −k −(k−1)

      g k (x) k ) < 2 k = E j k k ) < 2 . Seja F tal que F .

      | ≥ 2 } é tal que µ(E j ∈ X e µ(F k , então =k Se i ≥ k ≥ j e x /∈ F i (x) j (x) i (x) i (x) j (x) j (x) (18)

      −1 +1

      |g − g | ≤ |g − g | + · · · + |g − g |

      1

      1

      1 + < . (19) ≤ · · · + i j j

      

    −1 −1

      2

      2

      2 T

      ∞

      Seja F = k =1 temos que F ∈ X e µ(F ) = 0. Segue-se que (g \ F . j ) converge em X

      ( lim g j (x) se x / ∈ F f (x) = ,

      0 se x ∈ F então (g j ) converge µ-qtp para a função real mensurável f . Fazendo i k , então −→ ∞ em (4), concluímos que se j ≥ k e x /∈ F j (x) .

      1

      1 |f(x) − g | ≤ ≤ j k

      −1 −1

      2

      2 Isto mostra que a sequência (g j ) converge uniformemente para f no complementar ) converge em medida para f , sejam α e ǫ números reais de cada F k . Para ver que (g j k ) < 2 < inf (α, ǫ). Se j −(k−1) positivos e escolha k suficientemente grande tal que µ(F

      ≥ k a desigualdade acima mostra que j (x) j (x) −(k−1) {x ∈ X : |f(x) − g | ≥ α} ⊂ {x ∈ X : |f(x) − g | ≥ 2 } k . j (x) k ) < ǫ para todo j j ) ⊂ F

      | ≥ α}) ≤ µ(F ≥ k e portanto (g Além disso, µ({x ∈ X : |f(x) − g converge em medida para f.

      Definição 0.1.7.

      Seja (X, X) um espaço mensurável. Uma carga é uma função real λ definida em uma σ-álgebra X tal que: 1. λ(∅) = 0;

      !

      ∞ ∞

      [

      X 2. λ A n = λ(A n ) para toda sequência (A n ) n são conjuntos n n ⊂ X onde os A

      =1 =1

      disjuntos; !

      ∞ ∞

      [

      X

      3. Se A = A n , onde a sequência (A n ) λ(A n ) é n ⊂ X é disjunta, então a série n

      =1 =1 ∞

      X ) absolutamente convergente, i.e., n n |λ(A | < +∞.

      =1

      Observação 0.1.2. Observe que, por definição, uma carga não assume os “valores” + ∞ e

      −∞. Além disso, no item 3, se isto não fosse verdade a carga não estaria bem definida, uma vez que pelo teorema de Riemann, poderíamos reordenar os termos da série de modo Definição 0.1.8. Seja λ uma carga em X. Um conjunto P é dito ser positivo com relação a λ se λ(E ∩ P ) ≥ 0 para todo E ∈ X. Por outro lado, um conjunto N é dito ser negativo com relação a λ se λ(E ∩N) ≤ 0 para todo E ∈ X. Um conjunto M é dito ser um conjunto nulo para λ se λ(E

      ∩ M) = 0 para todo E ∈ X. Observe que a união de conjuntos positivos é positivo. De fato, sejam P

      1 , P 2 dois

      1 2 e observe que

      ∪ P conjuntos positivos e E ∈ X. Seja P = P E

      1

      2

      ∩ P = (P ∩ E) ∪ (P ∩ E) c = (P

      1

      1

      2

      2

      ∩ E) ∪ ([P ∩ (P ∩ E)] ∪ [P

      1 ∩ (P ∩ E)]) c

      = ((P

      1

      1

      2

      2

      ∩ E) ∪ [P ∩ (P ∩ E)]) ∪ [P

      1 ∩ (P ∩ E)] c

      = [(P )

      1

      1

      1

      2

      2

      ∩ E) ∪ P ∩ ((P ∩ E) ∪ (P ∩ E)] ∪ [P c 1 ∩ (P ∩ E)] = [P ] .

      1

      1

      2

      2

      ∩ ((P ∩ E) ∪ (P ∩ E))] ∪ [(P

      1 ∩ E) ∩ P

      Uma vez que esta última união é disjunta temos c λ(E

      1

      1

      2 2 ])

      ∩ P ) = λ ([P ∩ ((P ∩ E) ∪ (P ∩ E))] ∪ [(P

      1 ∩ E) ∩ P c

      = λ ([P ])

      1

      1

      2

      2

      ∩ ((P ∩ E) ∪ (P ∩ E))]) + λ ([(P

      1 ∩ E) ∩ P

      ≥ 0 pois P e P são positivos.

      1

    2 Feito essa observação, podemos enunciar o teorema de Decomposição de Hahn que será a base para a prova do teorema de Radon-Nikodým.

      Teorema 0.1.6 (Teorema de Decomposição de Hahn). Seja λ uma carga em X então existem conjuntos P e N tais que X = P

      ∪ N e P ∩ N = ∅ tal que P é positivo e N é negativo com relação a λ. Demonstração. Seja P a classe de todos os conjuntos positivos. P é não vazia, uma vez n )

      ⊂ P uma sequência de conjuntos tais que que ∅ ∈ P. Sejam α = sup {λ(A) : A ∈ P} e (A

      ∞

      [ α = lim λ(A n ) e seja P = A n . Uma vez que a união de conjuntos positivos e um conjunto n

      =1

      positivo, a sequência (A n ) pode ser escolhida de modo que seja monótona crescente, pois podemos definir uma nova sequência de positivos com estas mesmas propriedades fazendo S k

      ∞

      [ λ(E A ) n

      ∩ P ) = λ(E ∩ n

      =1 ∞

      [ = λ( E n ) n ∩ A

      =1

      = lim λ(E n ) ∩ A

      ≥ 0 visto que todos os termos da sequência são maiores ou iguais que zero. Além disso temos ) = λ(P ) < que α = lim λ(A n

      ∞. Agora seja N = X \ P . N e P serão os nossos candidatos para formar a decomposição. Para mostrar que eles de fato formam a decomposição procurada devemos provar que N é negativo, pois já foi mostrado que P é positivo e as outras propriedades (X = P ∪ N e N ∩ P = ∅) são obvias. Façamos isto por contradição supondo que esta afirmação é falsa. Então existe um mensurável E ⊂ N tal que λ(E) > 0. E não pode ser um conjunto positivo, pois caso contrário E ∪ P seria positivo e teríamos λ(E ∪ P ) = λ(E) + λ(P ) > α, contradizendo a definição de α. Então E contém um conjunto de carga negativa. Seja n

      1

      −1 o menor natural tal que E contém um conjunto E com λ(E ) . Agora observe que

      1

      1

      ≤ n

      1 λ(E ) = λ(E) ) > λ(E) > 0.

      1

      1

      \ E − λ(E

      1 não pode ser um conjunto positivo pois se P 1 = P 1 ) temos que

      ∪ (E \ E Portanto E \ E P

      1 é positivo e λ(P 1 ) = λ(P

    1 )) = λ(P ) + λ((E

    1 )) > α contradizendo mais uma

      ∪ (E \ E \ E ) contém um conjunto de carga negativa. Seja n

      1

      2

      vez a definição de α. Portanto (E \ E −1 contém um conjunto mensurável E tal que λ(E ) .

      1

      2

      2

      o menor natural tal que E \ E ≤ n

      2

      ) não é um conjunto positivo, assim nós tomamos

      1

    2 Mais uma vez, como antes, E \ (E ∪ E

      −1 o menor natural n ) contém um mensurável E tal que λ(E ) .

      3

      1

      2

      3

      3

      tal que E \ (E ∪ E ≤ n

      3 Repetindo este argumento, seja n k o menor natural tal que existe um mensurável E k

      ⊂ −1

      E k k )

      1 2 −1 com λ(E . Assim nós encontramos uma sequência disjunta

      ∩ E ∩ · · · ∩ E ≤ n k

      ∞

      [

      1 (E k ) de conjuntos mensuráveis tais que λ(E k ) . Seja F = E k , assim temos

      ≤ − n k k

      =1

    ∞ ∞

      X X

      1 λ(F ) = λ(E k ) < 0. ≤ − k =1 k =1 n k

      1 −→ 0. Visto que as cargas não assumem −∞, temos que esta última série converge e que n k

      Seja G um subconjunto de E \F , como este conjunto não pode ser positivo tome G ⊂ E \F

      1 tal que λ(G) < 0. Para k suficientemente grande temos que λ(G) < contradizendo n k

      − 1 o fato de que n k é o menor natural tal que existe um E k k tal

      1 2 −1

      ⊂ E \ E ∩ E ∩ · · · ∩ E

      1 que λ(E k ) ≤ − . Consequentemente todo mensurável G ⊂ E \ F deve ter λ(G) ≥ 0. n k

      Portanto E \ F é um conjunto positivo para λ. Uma vez que λ(E \ F ) = λ(E) − λ(F ) > 0, concluímos que P ∪ (E \ F ) é um conjunto positivo com carga excedendo α, o que é uma contradição. Portanto N = X \ P é negativo para λ e a decomposição foi obtida. Definição 0.1.9.

      Seja λ uma carga em X e sejam P e N uma decomposição de Hahn para λ. A variação positiva e variação negativa de λ, são as seguintes medidas finitas, definidas respectivamente por

      λ (E) = λ(E λ (E) = ∩ P ) −λ(E ∩ N) para todo mensurável E ∈ X. A variação total de λ é a medida finita definida por

    • − (E) + λ (E).

      |λ|(E) = λ O lema seguinte torna bem definida a definição acima. Isto é, mostra que as variações positiva e negativas de λ não dependem da decomposição de Hahn escolhida. Devido a

      − +

      importância secundária de λ , λ neste texto, a demonstração do referido lema não foi dada. Porém, o leitor que se interesse pode consultar [2], página 82, lema 8.3. Lema 0.1.2. Sejam P , N e P , N duas decomposições de Hahn para λ e E

      1

      1

      2

      2

      ∈ X. Então λ(E ) = λ(E ) e λ(E ) = λ(E ).

      1

      2

      1

      2

      ∩ P ∩ P ∩ N ∩ N Definição 0.1.10. Uma medida λ em X é dita ser absolutamente contínua com relação a fato por λ << µ. Uma carga λ é absolutamente contínua com relação a carga µ quando a variação total |λ| de λ for absolutamente contínua com relação a |µ|. Observação 0.1.3.

      Sempre que a medida µ da definição acima estiver subentendida e não houver perigo de confusão, diremos apenas que λ é absolutamente contínua. Em geral, neste texto, usaremos este termo quando µ for a medida de Lebesgue m. Teorema 0.1.7

      (Radon-Nikodým). Sejam λ e µ medidas σ-finitas definidas em X e

    • suponha que λ << µ. Então existe uma função f (X, X) tal que

      ∈ M Z

      λ(E) = f dµ, E (20) E ∈ X.

      Mais ainda, a função f é unicamente determinada µ-qtp. Demonstração. Suponha inicialmente que as medidas λ e µ são finitas. Seja c > 0, P (c) e N (c) a decomposição de Hahn de X para a carga λ

      − cµ. Se k ∈ N considere a seguinte sequência de conjuntos mensuráveis k [ A = N (c), A k = N ((k + 1)c) A j .

      1 +1

      \ j

      =1

      Agora observe que os conjuntos A k k k k ∈ N são disjuntos e [ [ j =1 j =1 N (jc) = A j .

      Segue-se k −1 k −1 [ \ A k = N (kc) N (jc) = N (kc) P (jc). \ ∩ j j

      =1 =1

      Consequentemente, se E é um subconjunto mensurável de A k então E ⊂ N(kc) e E ⊂ P ((k

      − 1)c), portanto (k

      (21) − 1)cµ(E) ≤ λ(E) ≤ kcµ(E). Agora defina o conjunto B por

      ∞ ∞

      [ \ B = X A j = P (jc),

      \ assim teremos que B ⊂ P (kc) para todo k ∈ N. Isto implica que ≤ kcµ(B) ≤ λ(B)λ(X) < ∞ para todo k ∈ N, portanto µ(B) = 0. Uma vez que λ << µ, concluímos que λ(B) = 0.

      Defina f c por: (

      (k k − 1)c se x ∈ A f c (x) = se x ∈ B k ),

      Dado um mensurável E temos que E, é a união disjunta, E = (E ∩ B) ∪ (E ∩ A k ∈ N, portanto segue-se de (2) que

      Z Z Z f c dµ (f c + c)dµ f c dµ + cµ(X). E E E ≤ λ(E) ≤ ≤

      −n

      Agora faça c = c n = 2 c de funções , n ∈ N, e obtenha a seguinte sequência f n

      Defina f c por: (

      −n

      (k k − 1)2 se x ∈ A f c (x) = . n se x ∈ B

      Daí concluímos Z Z

      −n

      f c dµ f c dµ + 2 µ(X) (22) n n E E ≤ λ(E) ≤ para todo n ∈ N. Seja m ≥ n, e observe que Z Z

      −m E E f c dµ f c dµ + 2 µ(X) n ≤ λ(E) ≤ m

      Z Z

      −n E E f c dµ f c dµ + 2 µ(X) m ≤ λ(E) ≤ n o que implica em

      Z

      −n

      f n m dµ µ(X), − f E ≤ 2 para todo E ∈ X. Seja E o conjunto dos pontos onde o integrando é positivo e negativo. Desta forma concluímos que Z

      −n+1

      f n m dµ µ(X), − f c converge em medida e em média para uma função f. Uma E ≤ 2 sempre que m ≥ n. Logo f n c n ∈ M , pelo teorema 1.4 podemos supor que f ∈ M vez que f

      . Mais ainda,

      Z Z Z Z f c dµ f dµ c c n n n − |f − f|dµ ≤ |f − f|dµ, E E E ≤ portanto através de (3) concluímos

      Z Z λ(E) = lim f c dµ = f dµ, n E para todo E ∈ X. Isto completa a prova da existência no caso em que λ e µ são medidas finitas. Agora provemos a unicidade µ-qtp de f. Com este intuito, suponha que f, h ∈ M

    • e que

      Z Z λ(E) = f dµ = hdµ E E

      =

      1

      {x|f(x) ≥ h(x)} e para todo E ∈ X. Decomponha X como união dos conjuntos E E =

      2

      {x|f(x) < h(x)}. Assim Z Z Z

      |f − h|dµ = |f − h|dµ + |h − f|dµ E E 1 2 Z Z = f h E E 1 − hdµ + − fdµ 2 = 0.

      Portanto f = g µ-qtp. Agora suponha que λ e µ são medidas σ-finitas. Seja (E n ) uma ) < sequência de subconjuntos tal que E n n +1 n

      ⊂ E ∞, para todo n ∈ N tal que µ(E

      λ(E n ) < n n definida em E tal que ∞. Use o resultado anterior para obter uma função h

      R h n = 0 no complementar de E n h n dµ. Se n n m e λ(E) = e isto implica E ≤ m então X ⊂ X que

      Z Z n . Pela unicidade de h n temos que h n (x) = h m (x) µ-qtp E E h n dµ = h m dµ para todo mensurável E ∈ X x n n = sup , h , n n ) é uma

      1

      2

      ∈ E sempre que n ≥ m. Agora defina f {h · · · , h }. Assim (f n sequência monótona crescente em M e seja f = lim f

    • Z λ(E n ) = f n dµ. n ) é uma sequência crescente de conjuntos cuja união é E segue-se do

      . Se E ∈ X então

      ∩ E E Uma vez que (E ∩ E teorema da Convergência Monótona que

      λ(E) = lim λ(E n ) ∩ E

      Z = lim f n dµ

      Z = f dµ. E Para mostrar a unicidade de f o raciocínio é exatamente o anterior.

      Definição 0.1.11. Sejam µ e λ medidas σ-finitas tais que λ << µ. Então a função f tal R que λ(E) = f dµ será camada de derivada de Radon-Nikodým de λ com relação a µ. E

      Observação 0.1.4. Neste texto, frequentemente usaremos a expressão λ = f µ para indicar que f é a derivada de Radon-Nikodým de λ com relação a µ. Portanto quando definirmos uma medida λ por λ = f µ queremos dizer que, para um conjunto mensurável E, λ(E) = R E f dµ.

      ′ ′ ′

      Seja (X, X, µ) um espaço de medida, (X , X ) um espaço mensurável e f : X −→ X uma função mensurável. A seguinte definição é do que vem a ser uma medida induzida em

      ′ ′ ′ (X , X ) por uma aplicação mensurável f cujo contradomínio é X .

      ′

      Definição 0.1.12. f ∗ µ : X −→ R definida por

      −1

      f (E)) ∗ µ(E) = µ(f é chamada de medida imagem de µ por f.

      Teorema 0.1.8 (Teorema de Mudança de Variável). Seja (X, X, µ) um espaço de medida,

      ′

      f : X uma função mensurável e f −→ X ∗ µ a medida imagem.

    a) Seja A

      ∗ µ) = Z X lim n g n d(f

      )) =

      Z X χ f 1

      (A )

      dµ =

      Z X χ A

      ◦ fdµ O resultado se estende, sem dificuldades técnicas, para funções simples, e por isto, omitirei esta parte. Para o caso mais geral considere uma sequência (g n ) de funções simples tal que 0 ≤ g n ≤ g n

      ≤ g ∀n ∈ N tal que g n −→ g. Então Z X gd(f

      ∗ µ) (23)

      (A

      = lim n Z X g n d(f

      ∗ µ) (24)

      = lim n Z X g n

      ◦ fdµ (25)

      = Z X lim n g n

      ◦ fdµ (26)

      Z

      ′

      −1

      Z X gd(f ∗ µ) =

      Demonstração.

      Z X g ◦ fdµ;

      b) Uma função mensurável g : X

      ′

      −→ R é f ∗ µ-integrável se, e somente se, g ◦ f é µ-integrável e neste caso vale

      Z X gd(f ∗ µ) =

      Z X g ◦ fdµ; Observação 0.1.5.

      Observe que no item b) não exigimos que g ≥ 0. Além disso, exigimos apenas a mensurabilidade de f , o que mostra o nível de generalidade da última (11).

      ′

      ) = µ(f

      ∈ X

      ′

      . Analisemos primeiramente o caso em g = χ A função característica do conjunto A

      ′ .

      Z X χ A d(f

      ∗ µ) = f ∗ µ(A

      ′

    • 1
    onde g

      onde, nas implicações (23) =⇒ (24) e (25) =⇒ (26) foi usado o teorema da Con- vergência Monótona.

      −

    b) Decomponha g em sua parte positiva e negativa, i.e., escreva g = g

    • − g
    • (x) = sup
    • n ↑ g
    • e g
    • − g
    • d(f
    • n

      {g(x), 0} e g

      = lim Z X g

      ∈ X

      Seja f mensurável, então µ é invariante por f se, e somente se f ∗µ = µ. Demonstração. Se µ é f -invariante, então dado A

      Um resultado imediato, mas que será usado muitas vezes é o Corolário 0.1.1.

      (A)) = µ(A) para todo A ∈ X. Neste caso, dizemos também que µ é f-invariante.

      −1

      Dada uma aplicação f : X −→ X onde (X, X, µ) é um espaço de medida. Dizemos que f preserva medida µ se µ(f

      Z X g ◦ fdµ Definição 0.1.13.

      ◦ fdµ =

      −

      Z X g

      = Z X g

      − n ◦ fdµ

      Z X g

      d(f ∗ µ)

      −

      − n

      d(f ∗ µ) −

      = Z X lim g

      d(f ∗ µ)

      −

      ∗ µ) − Z X g

      = Z X g

      d(f ∗ µ)

      −

      ∗ µ) = Z X g

      , temos assim Z X gd(f

      − n ↑ g

      (x) = sup {−g(x), 0}. Assim, tome sequências g

      Z X lim g

    • n ◦ fdµ − lim
    • ◦ fdµ −

      −1

      f (A)) (28) ∗ µ(A) = µ(f

      Z 1 = χ f dµ (29)

      (A)

      Z = χ A (30)

      ◦ fdµ Z

      = χ A d(f (31) ∗ µ)

      = f (32)

      ∗ µ(A), onde (30) =⇒ (31) pelo teorema de Mudança de Variável. Logo f ∗µ = µ. Reciprocamente,

      −1

      (A)) = µ(A) pela definição de f se A ∈ X então f ∗ µ(A) = µ(A) implica em µ(f ∗ µ. Concluindo a prova da proposição. n n Definição 0.1.14. uma função, dizemos que g é

      Seja U ⊂ R um aberto e g : U −→ R localmente lipschitziana ou localmente Lipschitz se para todo x x vizinhança ∈ U existe V de x e uma constante C x , tal que x, y , x x ∀ ∈ V |g(y) − g(z)| ≤ C |y − z|. n

      Proposição 0.1.2. Seja g : U localmente lipschitziana. Se A U é tal que −→ R ∈ Leb m(A) = 0, então g(A) U e m(g(A)) = 0.

      ∈ Leb Demonstração. Uma vez que todo aberto é uma reunião enumerável de compactos e m é uma medida, faremos a suposição que existe um compacto K tal que A ⊂ K. Para cada x x de x e uma constante de Lipschitz C x , tal que

      ∈ K, existe uma vizinhança V y, z x , x ∀ ∈ V |g(x) − g(y)| ≤ C |x − y|. x , x

      Como K é compacto podemos tomar um número finito dessas vizinhanças V e m 1 · · · , V m [ um número finito de constantes C x , x 1 m V x . Seja C = max x , x 1 m · · · , C com K ⊂ i {C · · · , C }. i

      =1

      Dado ǫ > 0 seja G aberto tal que A ⊂ G e m(G) < ǫ. Para cada x ∈ A seja Q(x) o cubo x com centro em x tal que Q(x) ⊂ G e Q(x) ⊂ V i para algum i. Se y ∈ Q(x) x

      |g(y) − g(x)| ≤ C |y − x| ≤ C|y − x|

      √ n ≤ Cr(Q(x))

      Q(g(x)) denota o cubo de centro g(x) e onde r(Q(x)) é o raio (semi-lado) de Q(x). Se e raio (semi-lado) Cr(Q(x))√n, temos que g(Q(x)) Q(g(x)).

      ⊂ e Agora usaremos o seguinte lema cuja demonstração pode ser encontrada em [20] pag. 158 proposição 7.3.1 (olhe também a observação da página 163). n Lema 0.1.3.

      Seja J a coleção de todos os cubos fechados com centro na origem de R . Se Q

      ∈ J indicaremos Q(x) = x + Q. Suponha que A é limitado e para cada x ∈ A associe um cubo Q(x). Então existe uma sequência de pontos j j {x } ∈ A tais que

      ∞

      [

      1. A Q(x j ); ⊂ j =1

      ∞ ∞

      [ X n 2. todo ponto de Q(x j ) pertencem no máximo a 4 conjuntos dos Q(x j ), i.e., χ Q (x ) . j =1 x k k tal que j =1 j ≤ 4

      ∈A ∈N

      Portanto, pelo lema, existe uma subfamília de {Q(x)} , digamos {Q }

      ∞ ∞

      [

      X n K Q k χ Q . e

      ⊂ k ≤ 4 k =1 k =1 Portanto temos

      !!

      ∞

      [

      ∗ ∗

      m (g(A)) g Q k ≤ m k

      =1

      !

      ∞

      [

      ∗

      = m g(Q k ) k

      =1 ∞

      X

      ∗

      m (g(Q k )) ≤ k

      =1 ∞

      X

      ∗

      m ( e Q k ) ≤ k

      =1 ∞

      X √ n

      = (2Cr(Q k ) n) k

      =1 ∞ n

      X n n 2 √ = C n (2r(Q k ) n) k

      =1 ∞ n 2 n

      X = C n m(Q k ) k =1

      ∞

      Z n n 2 X = C n χ Q dm k =1 k

      !

      ∞

      Z n 2 n

      X = C n χ Q dm k =1 k

      !

      ∞ n Z n 2 X

      = C n χ Q dm G k k

    n n

    n

    2

    =1 n 4 m(G)

      ≤ C 1 2 n = (4Cn ) m(G) 1 2 n ) ǫ.

      ≤ (4Cn

      ∗ n Como ǫ é arbitrário, temos que m (g(A)) = 0 ou seja g(A) R e m(g(A)) = 0.

      ∈ Leb Um resultado bastante conhecido, assim como sua demonstração, que pode ser encon- trada em [6] é a n

      1 Proposição 0.1.3.

      Seja g : U uma função de classe C definida num aberto −→ R Agora segue o resultado conhecido como “fórmula de mudança de variável”. Sua demon- stração pode ser encontrada em [3] (pag. 338) ou em [20] (pag.178). Esta versão é pre- cisamente a encontrada em [20] (pag.178), porém [3], trata este teorema de maneira mais detalhada, como por exemplo, separando o caso linear do não linear, bem como alguns outros detalhes.

      1 Teorema 0.1.9

      (Fórmula de Mudança de Variável). Seja f : V −→ W uma bijeção C n m de um aberto V de R numa aberto W de R Df (x) 6= 0 para todo x ∈ V . Então valem:

      a) Se E ⊂ V é um conjunto Lebesgue-mensurável, então f(E) é um Lebesgue-mensurável e

      Z m(f (E)) = E |Df|dm.

      1

      1

      b) Se g (W ), então (g (V ) e ∈ L ◦ f)|Df| ∈ L

      Z Z gdm = (g W V ◦ f)|Df|dm.

      Demonstração. n Teorema 0.1.10 (Teorema de Diferenciação de Lebesgue). Se f é m-integrável em R .

      Seja Q(x, r) um cubo de centro x e semi-lado r > 0. Então Z

      1 lim f (y)dy = f (x) m r − qtp.

      −→0

      m(Q(x, r)) Q

      (x,r)

      Teorema 0.1.11 (Teorema de Densidade de Lebesgue). Seja A um conjunto mensurável

      1

      em R . Seja, para cada x uma sequência de intervalos fechados tais que n (x) n ∈ A, {I }

      I (x) n −→ x. Então m(I n (x)

      ∩ A) A m −→ χ − qtp. n m(I n (x)) Se f é m-integrável em R . Seja Q(x, r) um cubo de centro x e semi-lado r > 0. Então

      Z

      1 lim f (y)dy = f (x) m r − qtp.

      −→0

      m(Q(x, r)) Q

      (x,r)

      Outro teorema bastante usado neste texto é o famoso Teorema 0.1.12

      (Teorema de Fubini). Sejam (X, X, µ) e (Y, Y, ν) espaços de medida σ- em R é integrável com respeito a π, então as funções reais f : X −→ R e g : Y −→ R, definidas por

      Z Z y f (x) = F x dν, g(y) = F dµ Y X possuem integrais finitas e Z Z Z X Z Y f dµ = F dπ = gdν.

      Em outras palavras Z Z Z Z Z X Y Z Y F dν dµ = F dπ = F dµ dν. X Agora enunciaremos um teorema cuja demonstração e detalhes podem ser vistos em [19]. Para isto, vamos relembrar algumas definições necessárias.

      Definição 0.1.15.

      Um espaço topológico (X, τ) é dito ser localmente compacto se todo ponto de X possui uma vizinhança cujo o fecho é compacto. Definição 0.1.16.

      Um espaço topológico (X, τ) é dito ser Hausdorff se dados dois pontos x e V y x x e V x y = ∩ V ∅. distintos x, y ∈ X, existem vizinhanças V , tais que x ∈ V , y ∈ V Teorema 0.1.13

      (de Representação de Riesz). Se X é um espaço topológico localmente compacto e Hausdorff, então todo funcional linear limitado e positivo, Φ, definido em C (X, R) é representado por uma única medida boreliana regular µ, no seguinte sentido:

      Z Φf = f dµ para toda f (X, R). Além disso

      ∈ C ||f|| = µ(X). Topologia no Espaço das Medidas

      Nesta seção, será construída uma coleção de subconjuntos do conjunto das probabil- idades borelianas definidas numa variedade compacta M. Este espaço de medidas será denotado por

      S (M ). Tal coleção satisfaz os axiomas de espaços topológicos.

      ∗

      A Topologia fraca A ideia intuitiva de proximidade entre duas medidas é se elas dão origem a integrais de funções contínuas próximas. Para tornar esta ideia precisa temos a seguinte definição do que vem a ser uma vizinhança nesta topologia.

      Definição 0.1.17.

      , φ , N

      1

      2

      · · · , φ } Dada uma medida µ ∈ S(M), um conjunto finito F = {φ j : M de funções contínuas φ

      −→ R e um número ǫ > 0, definimos Z Z

      V (µ, F, ǫ) = φ j dη φ j dµ φ j {η ∈ S(M) : − ∀ ∈ F }.

      < ǫ Portanto, as vizinhanças da topologia fraca* são definidas desta maneira, e variando o conjunto F e o número ǫ, temos toda a coleção, onde cada vizinhança de uma medida µ é denotada por V (µ, F, ǫ).

      A proposição seguinte caracteriza a convergência de medidas neste espaço. Proposição 0.1.4.

      Uma sequência (µ n ) n ∈N ⊂ S(M) converge para a medida µ ∈ S(M) na topologia fraca* se, e somente se,

      Z Z φdµ n φdµ para toda função contínua φ : M

      −→ −→ R. Demonstração. Tome uma função contínua φ : M −→ R e defina o conjunto F = {φ}. Como µ n tal que µ n

      −→ µ temos que dado ǫ > 0 existe um n ∈ V (µ, F, ǫ). Isto significa que Z Z

      φ n dη φdµ − < ǫ.

      R R Ou seja, φdµ n converge para φdµ.

      R R φdµ φdµ para toda função contínua

      Reciprocamente, suponha que n converge para φ, então dado qualquer F = , φ , N n

      1 2 tal que µ

      {φ · · · , φ } e ǫ, existe um n ∈ V (µ, F, ǫ) para n > n , φ , N j

      1 2 tal que

      · · · , φ } então para cada j existe n . Com efeito, se F = {φ

      Z Z φ j dµ n φdµ para todo n > n j .

      − < ǫ

      Daí, tome n = max , N

      1 {n · · · , n }.

      Outra caracterização da convergência de medidas é dada na seguinte proposição (para Proposição 0.1.5. Assuma que a sequência (µ n ) converge para a medida µ na topologia fraca*. Então 1. lim sup µ n (K) n −→∞ ≤ µ(K) para todo conjunto compacto K ⊂ M; 2. lim inf µ (U ) n n ≥ µ(U) para todo conjunto aberto U ⊂ M;

      −→∞

      Próximo passo será mostrar a metrizabilidade e a compacidade deste espaço. Usaremos o lema seguinte, onde C (M ) denotará o espaço métrico das funções contínuas ϕ : M −→ R cuja métrica é a da convergência uniforme: d(ϕ , ϕ ) = sup (x) (x)

      1

      2

      1

      2 |ϕ − ϕ | : x ∈ M.

      Lema 0.1.4.

      Se M é um espaço métrico então C (M ) é separável, isto é, possui subcon- juntos enumeráveis e densos. Teorema 0.1.14.

      S(M ) munido da topologia fraca * é metrizável e compacto. Demonstração. Usamos o lema 1.2 para tomar um subconjunto F = : n n

      {ϕ ∈ N} enu- (M ). merável e denso na bola unitária de C

      , µ ) defina Agora dado um par de medidas (µ

      1

      2 ∞

      Z Z

      X

      1 d(µ

      1 , µ 2 ) = ϕ n dµ 1 ϕ n dµ 1 (33) n − . n =1

      2 Vamos mostrar que esta expressão está bem definida e é uma métrica em S(M). Para n n isto, lembre que as funções ϕ | ≥ 1 e que estão na bola unitária, de modo que sup |ϕ as medidas µ i são probabilidades, o que implica na limitação do termo geral da soma por

      −n 2 e consequentemente, pelo teste de comparação, na convergência de (33).

      · 2 Agora, para comprovarmos que esta expressão é uma métrica precisamos mostrar

      1. d(µ , µ ) = 0 = µ ;

      1

      2

      1

      2

      ⇐⇒ µ 2. d(µ , µ ) = µ ;

      1

      2

      1

      2

      ≥ 0 ⇐⇒ µ 3. d(µ , µ ) = d(µ , µ );

      1

      2

      2

      1

      4. d(µ

      1 , µ 2 ) 1 , µ 3 ) + d(µ 3 , µ 2 ).

      ≤ d(µ Entretanto, o único axioma não trivial para se provar é o 1.. Vamos prová-lo. A R R hipótese de d(µ , µ ) = 0 implica que ϕ n dµ = ϕ n dµ para toda ϕ n

      1

      2

      1

      2

      ∈ F. Como para cada elemento ϕ na bola unitária, existe uma sequência (ϕ n ) ⊂ F convergindo para ϕ temos que a igualdade

      Z Z ϕdµ = ϕdµ

      1 2 (34)

      vale para toda função ϕ na bola, pois a convergência uniforme implica na convergência das integrais. Como toda função de C (M ) possui algum múltiplo na bola unitária concluímos que a relação (34) vale para toda função contínua. Portanto µ = µ .

      1

      2 Agora vamos mostrar que d gera a topologia. Dado δ > 0 fixe N suficientemente grande,

      de modo que

      ∞

      X δ

      

    −n

      2 < n

      2

      =N

      e seja F N = , ϕ , N

      1

      2

      {ϕ · · · , ϕ } o conjunto formado pelos primeiros N elementos do conjunto δ

      F . Além disso seja ǫ =

      . Afirmo V (µ, F, ǫ) ⊂ B(µ, δ). De fato

    2 Z Z

      ν ϕ n ϕ n ∈ V (µ, F, ǫ) =⇒ −

      < ǫ para todo 1 ≤ n ≤ N

      ∞

      Z Z

      X

      −n

      = 2 ϕ n dµ ϕ n dν ⇒ − n

      =1 N ∞

      X X

      −n −n

      < 2 ǫ + 2 ǫ n · 2

      

    =1 n =N +1

      < δ, o que prova a afirmação. N = , ψ , N Reciprocamente, dado F

      1

      2

      {ψ · · · , ψ } e ǫ > 0, e selecione elementos distintos de φ n , n distintos de F tais que 1 · · · , φ N n j ǫ ||φ j − ψ || < para todo 1 ≤ j ≤ N.

      2 n j ǫ Agora vamos fixar δ > 0 suficientemente pequeno para que 2 δ < para todo 1 ≤ j ≤ N. N , ǫ). De fato

      4 Afirmo que B(µ, δ) ⊂ V (µ, F

      ∞

      Z Z

      X

      −n

      ν 2 ϕ dµ ϕ dν n n ∈ B(µ, δ) =⇒ − n < δ

      =1

      Z Z n j = ϕ n dµ ϕ n dν δ para todo 1

      ⇒ j − j ≤ j ≤ N < 2

      Z Z n j ǫ = ψ j dµ ψ j dν δ + < ǫ para todo 1 ⇒ − ≤ n ≤ N.

      < 2

      2 Isto prova a afirmação. Agora vamos provar que o espaço em questão é compacto. Para isto, usaremos o teorema da Representação de Riesz enunciado nas preliminares de teoria da Medida. O objetivo é mostrar que toda sequência (µ k ) k ∈N

      ⊂ S(M) admite uma sequência convergente na topologia fraca*, visto que, já mostramos que o espaço é metrizável. n : n (M ) que enumerável e denso na bola ∈ N} um subconjunto de C

      Para isto F = {ϕ R

      ϕ n dµ k ) k

      ∈N é limitada

      unitária. Então para cada n ∈ N a sequência de números reais ( n ) j por 1 o que implica na existência de uma subsequência convergente (k ∈N onde j

      Z n ϕ n dµ k converge para algum número φ n j n n j ∈ R quando j −→ ∞.

    • 1 +1

      Podemos também escolher a subsequência (k ) j de (k ) j . Então defina l j = k j ) j é uma subsequência de cada (k ) j , a j ∈N j ∈N j n

      ∈N j ∈N

      para cada j ∈ N. Agora observe que cada (l menos de um numero finito de termos. Portanto Z n

      φ(ϕ) = ϕ n dµ n j −→ φ j para todo n ∈ N. Agora vejamos que

      Z φ(ϕ) = lim ϕdµ l (M ). j (35) j existe, para toda função ϕ ∈ C

      Para isto, suponha primeiro que ϕ está na bola unitária de C (M ). Dado ǫ > 0 encontramos ϕ n n

      ∈ F tal que ||ϕ − ϕ || ≤ ǫ. Então Z Z

      ϕdµ l ϕ n dµ l j − j ≤ ǫ R para todo j. Como ϕ n dµ l n , temos que j −→ φ Z Z lim sup ϕdµ l ϕdµ l j j − lim inf j ≤ 2ǫ. j

      Z Uma vez que o ǫ é arbitrário, concluímos que lim ϕdµ l existe. Portanto provamos a j j relação (35) quando a função está na bola unitária. Para uma função ϕ qualquer, repita

      ϕ

      ′

      este procedimento para ϕ = o que completa a prova de (35). Agora, suponha que ||ϕ|| a função ϕ é positiva em todo ponto, então φ(ϕ) ≥ min ϕ > 0. Portanto, o operador linear φ : C

      −→ R é positivo. Além disso, φ(1) = 1 portanto existe alguma probabilidade boreliana µ tal que Z

      φ(ϕ) = ϕdµ para toda função contínua ϕ. Agora a igualdade em (35) pode ser reescrita da seguinte maneira:

      Z Z ϕ = lim ϕdµ l (M ). j j para toda ϕ ∈ C Pela proposição 1.4 temos que a subsequência (µ l ) j converge para µ na topologia fraca*. j ∈N E isto completa a prova deste teorema.

      Os próximo resultado será usados mais a frente. Para detalhes da demonstração o leitor pode consultar [1] ou [13]. Proposição 0.1.6.

      Sejam ν uma probabilidade num espaço métrico compacto M , ϕ : M , i i

      −→ [0, +∞) ν-integrável e µ ≥ 1, uma sequência de probabilidades em M convergindo µ na topologia fraca*. Se µ i ≤ ϕν para todo i ≥ 1 então µ ≤ ϕν.

      Demonstração. Seja B um conjunto mensurável. Para ǫ > 0, seja K ǫ ǫ ) e (ϕν)(B ǫ ) são ambos menores do que ǫ. Seja A ǫ uma vizinhança ⊂ B um compacto tal que µ(B \ K \ K aberta de K ǫ definida por A ǫ = ǫ ) < r

      {z : d(z, K } para um r suficientemente pequeno de modo que µ(A ǫ ǫ ) e (ϕν) µ(K ǫ ǫ ) sejam ambos menores do que ǫ e tal que a fronteira \ K \ K de A ǫ tenha medida µ nula. Então µ = lim µ i implica µ i (A ǫ ) ǫ ). Fazendo ǫ

      ≤ (ϕν)(A −→ 0 nós temos µ(B) ≤ (ϕν)(B).

    0.1.3 Teoria Ergódica e Medidas Físicas

      Ergodicidade Teorema 0.1.15

      (Teorema Ergódico de Birkhoff). Seja f : X −→ X uma transformação e (X, X, µ) um espaço de medida onde µ é f -invariante.

      1

      1. Se ϕ (X, µ) então o limite ∈ L n −1

      X

      1 j n −→∞ lim ϕ(f (x)) n j

      =0

      existe em µ-qtp x p ∈ X;

      2. Se ϕ (X, µ) com 1 ϕ definida por ∈ L ≤ p < ∞ então a função e n

      −1

      X

      1 j ϕ(x) = lim ϕ(f (x)) e n

      

    −→∞

      n j p =0 pertence a L (X, µ) e satisfaz n −1

      X

      1 j lim ϕ ϕ(f (x)) = 0, (36) n e −

      −→∞

      n j

      =0 p

      ϕ ϕ, µ (37) e p ◦ f = e − qtp x ∈ X

      3. Para toda ϕ temos ∈ L

      Z Z ϕdµ = ϕdµ. e Definição 0.1.18.

      Dizemos que um conjunto mensurável A ⊂ X é invariante por f se

      −1

      f (A) = A. Uma função mensurável ψ : X −→ R é invariante por f se ψ ◦ f = ψ. Definição 0.1.19.

      Seja f : X −→ X uma transformação e (X, X, µ) um espaço de medida onde µ é f-invariante. Dizemos que f é ergódica para µ se para todo conjunto A ∈ X, f -invariante vale µ(A) = 0 ou µ(A) = 1 Observação 0.1.6.

      Outros termos que são utilizados para dizer que f é ergódica para µ

      1 P n

      −1 j

      lim n ϕ(f (x)), o chamamos de tempo médio, tempo médio de tempo médio de

      −→∞ j =0

      n Birkhoff ou média temporal. A próxima proposição caracterizará um sistema ergódico e, consequentemente, nos ajudará a entendê-los. Além disso, a proposição nos fornecerá algumas ferramentas para provar quando uma transformação f é ergódica. Proposição 0.1.7.

      As seguintes propriedades são equivalentes: (1) O sistema (f, µ) é ergódico;

      1

      (2) Se ϕ (X, µ) é f -invariante, então ϕ é constante µ-qtp; ∈ L p

      (3) Se ϕ (X, µ) é f -invariante, então ϕ é constante µ-qtp; ∈ L

      (4) Para todo A, B ∈ X temos n

      −1

      X

      1

      

    −j

      lim µ(f (A) n ∩ B) = µ(A)µ(B);

      −→∞

      n j

      =0

      1

      (5) ϕ (X, µ) temos que ∈ L

      Z ϕ(x) = ϕdµ, µ-qtp x e ∈ X.

      Demonstração. (3) = A é f ⇒ (1). Se A é f-invariante, então a função característica χ invariante. De fato 1

      χ A f ◦ f = χ (A) = χ . P (A) Como χ A (X, µ) temos que χ A é constante. Logo deve ser 0 µ-qtp ou 1 µ-qtp.

      ∈ L R

      R Portanto, µ(A) = χ A dµ = 0, no primeiro caso, ou µ(A) = χ A dµ = 1 no segundo caso.

      1

      (1) = (X, µ) é f -invariante o conjunto A c = ⇒ (2). Se ϕ ∈ L {x|ϕ(x) ≤ c} é f-invariante para cada c. Uma vez que f é ergódica, temos que µ(A c ) = 0 ou 1. Isto implica que ϕ é constante µ-qtp.

      1

      (2) = ϕ ϕ é

      ⇒ (5). Uma vez que, pelo teorema Ergódico de Birkhoff e ∈ L

      e, além disso, e Z Z ϕdµ = ϕdµ e

      Z ϕ 1dµ

      = e ϕµ(X)

      = e ϕ µ

      − qtp, = e pois µ(X) = 1.

      (5) = ⇒ (4). Por (5) e pelo teorema Ergódico de Birkhoff temos n −1

      Z

      X

      1 j µ(A) = χ A dµ = lim χ A (f (x)). n −→∞ n j

      =0

      Portanto

      µ(A)µ(B) = µ(A) Z

      −→∞

      −j

      µ(f

      =0

      X j

      −1

      1 n n

      dµ (45) = lim n

      (46) onde em (42) =⇒ (43) foi usado o teorema da Convergência Dominada, pois o integrando em questão é dominado pela função constante g ≡ 1 que é integrável, uma vez que a medida é uma probabilidade.

      (A)∩B

      Z χ f −j

      =0

      X j

      −1

      1 n n

      = lim n −→∞

      (A) ∩ B)dµ,

      (4) = ⇒ (1). Se A é f-invariante, aplicamos (4) nos conjuntos A e A c observando que, pela f-invariância, f

      (A)∩B

      )dµ = lim n

      µ(A ∩ A c

      =0

      X j

      −1

      1 n n

      −→∞

      (A) ∩ A c

      −j

      −j

      µ(f

      =0

      X j

      −1

      1 n n

      (A) = A para todo j. Portanto temos µ(A)µ(A c ) = lim n −→∞

      ! dµ (44)

      χ f −j

      χ B dµ (38) =

      χ A ◦ f j

      X j

      −1

      1 n n

      

    −→∞

      = Z lim n

      ! (χ B )dµ (40)

      =0

      χ A ◦ f j

      X j

      −1

      1 n n

      

    −→∞

      Z lim n

      (39) =

      Z (µ(A)) (χ B )dµ

      =0

      (χ B ) ! dµ (41)

      =0

      1 n Z n −1

      X j

      1 n Z n −1

      (43) = lim n −→∞

      χ B ! dµ

      (A)

      X j =0 χ f −j

      −→∞

      = Z lim n

      = lim n

      χ B ! dµ (42)

      (A)

      X j =0 χ f −j

      −1

      1 n n

      

    −→∞

      )dµ = 0. c

      ) = 0, o que implica em Caso µ(A) = 0 o resultado está provado. Se µ(A) 6= 0 então µ(A µ(A) = 1, pois µ é uma probabilidade.

      1 Proposição 0.1.8.

      Se existe um conjunto denso F tal que ⊂ L

      Z ϕ = ϕdµ, µ-qtp e para toda ϕ ∈ F , então f é ergódica. n

      −1

      X

      1 j Demonstração. Uma vez que a sequência ϕ , pelo teorema Ergódico de Birkhoff,

      ◦ f n j

      

    =0

      1

      1

      ϕ, em L (X, µ), precisamos mostrar apenas que para ϕ (X, µ) converge para e n ∈ L

      −1

      Z

      X

      1 j lim ϕ ϕdµ = 0. n ◦ f −

      −→∞

      n j

      =0

      1 De fato, uma vez provada esta propriedade, dado um ǫ existirá um n

      tal que para n ≥ n valem n −1 n −1 Z

      X X 1 ǫ j j 1 ǫ ϕ ϕ e ϕ ϕdµ . e − ◦ f ≤ ◦ f − ≤ n j j 2 n

      2

      =0 =0

      1

      1 Portanto, somando essas desigualdades e aplicando a desigualdade de Minkowski (a de-

    1 ), teremos

      sigualdade triangular para a norma || || n −1 n −1 Z

      Z

      X X

      1 j j 1 ǫ ǫ + + ϕ ϕdµ ϕ ϕ ϕ ϕdµ = ǫ. − ≤ e − ◦ f ◦ f − ≤ ≤ e n n

      2

      2

      1 j j =0 =0

      1

      1 Como isto vale, para todo ǫ > 0, temos que

      Z ϕ = ϕdµ, µ-qtp. e

      ǫ

      1

      (X, µ), tome ǫ > 0 e g 1 .

      ∈ F tal que ||ϕ − g|| ≤ Então vamos à prova. Dada ϕ ∈ L

      3 Seja n implica tal que n ≥ n n

      −1

      Z

      X 1 ǫ j g gdµ .

    • 1 n n −1
    • Z gdµ

      1

      = Z

      Z |(ϕ − g)| ◦ f j

      (ϕ − g) ◦ f j dµ =

      = Z

      1

      = (ϕ − g) ◦ f j

      ϕ ◦ f j − g ◦ f j

      Z |(ϕ − g)|dµ

      ϕdµ . Agora observe que, pelo Teorema de Mudança de Variável e lembrando que µ é f- invariante, temos

      − Z

      1

      Z gdµ

      g ◦ f −

      =0

      |(ϕ − g)|d(f j ∗ µ) =

      = ||ϕ − g||

      −1

      =0

      3

      1

      ≤ ||g − ϕ||

      1

      Z ϕdµ

      ϕ ◦ f j

      X j

      1

      , concluímos que 1 n n −1

      1

      Z |g − ϕ|dµ = ||g − ϕ||

      ϕdµ ≤

      − Z

      , e como Z gdµ

      X j

      1

      1 = ǫ. Medidas Físicas Agora daremos a definição do que é uma medida física ou medida de Sinai-Ruelle-Bowen

      1

      ϕ ◦ f −

      =0

      X j

      −1

      1 n n

      ≤

      Z ϕdµ

      −1

      ϕ ◦ f −

      =0

      X j

      −1

      1 n n

      Então para n ≥ n

      1 n n

      X j

      g ◦ f

      −1

      =0

      X j

      −1

      ϕ ◦ f − n

      =0

      X j

      1 n n

      =0

      ϕdµ =

      − Z

      1

      Z gdµ

      X j =0 g ◦ f −

      1

      g ◦ f

    • 1 n n
    • Z gdµ
    • ǫ
    • ||g − ϕ||

      (SRB). Para isto, considere a Definição 0.1.20.

      Seja f : X −→ X uma transformação mensurável sobre um espaço de

      −1

      (A)) = µ(A) probabilidade (X, X, µ), onde µ é uma probabilidade f-invariante, i.e., µ(f p para todo A ∈ X. Seja δ a medida de Dirac do ponto p ∈ X. A bacia ergódica de µ, denotada por B(µ) é o conjunto dos pontos z ∈ X tal que n

      −1

      X 1 w j δ f

      (47)

      n j =0

      (z) −→ µ, quado n −→ ∞.

      ∗ ∗

      Onde o símbolo w significa que a convergência é na topologia fraca . Equivalentemente, em virtude da proposição 1.4, a bacia ergódica de µ, denotada por B(µ), é o conjunto dos pontos z ∈ X tal que n −1

      Z

      X

      1 j ϕ(f (z)) = ϕdµ

      (48) para toda função contínua ϕ : X −→ R. n j =0

      Definição 0.1.21. Uma medida de probabilidade µ que é f-invariante é chamada de medida física ou Sinai-Ruelle-Bowen(SRB) para f se sua bacia ergódica B(µ) tem medida de Lebesgue positiva, i.e., m(B(µ)) > 0. Proposição 0.1.9. Seja (X, X, µ) um espaço de probabilidade e f : X

      −→ X uma trans- formação mensurável que é µ-ergódica. Então µ(B(µ)) = 1. Demonstração. Uma vez que C (X; R) é um espaço métrico separável, com a métrica da convergência uniforme, i.e, d(h , h ) = sup (x) (x); x para h , h

      1

    2 {|h

    1 − h 2 ∈ X|}

      1 2 ∈

      C (X; R), tome um conjunto enumerável e denso, (ϕ k ) k ∈N (X; R), em C (X; R). Para ⊂ C cada ϕ k o teorema de Birkhoff garante a existência de um conjunto B ϕ com µ(B ϕ ) = 1 ϕ vale k k k tal que para todo z ∈ B n

      −1

      Z

      X

      1 j n lim ϕ(f (z)) = ϕdµ.

      −→∞

      n j

      =0

      Seja \

      B = B ϕ , k então µ(B) = 1. De fato, ! c ! c \

      µ(B ) = µ B ϕ k k !

      [ c = µ B k ϕ k c = 0 pois os B ϕ k tem medida µ nula. Vamos mostrar que B ⊂ B(µ). Para isto, seja z ∈ B, e ϕ uma função contínua e ǫ > 0, observe que n n n

      −1 −1 −1

      Z

      X X

      X

      1 j j j

      1

      1 ϕ(f (z)) ϕdµ ϕ(f (z)) ϕ k (f (z))

      − ≤ − n n n j j j

      =0 =0 =0 n −1

      Z Z Z

      X

      1 j

    • ϕ k (f (z)) ϕ k dµ ϕ k dµ ϕdµ − − .

      n j

      =0

      Como ϕ k (z) , tal que para k > k ocorra −→ ϕ(z), seja k n −1 n −1

      X X

      1 j j 1 ǫ ϕ(f (z)) ϕ k (f (z)) .

      (49) − ≤ n n j j

      3

      =0 =0

      Temos também que Z Z

      ϕ k dµ ϕdµ −→ pois ϕ k

      1 , tal que k > k 1 ocorra

      −→ ϕ uniformemente. Portanto seja k Z Z

      ǫ ϕ k dµ ϕdµ . (50)

      − ≤

      3 , k tal que n > n implique

      n

    1 Logo faça k > max{k }. Agora, considere um n

      −1

      Z

      X 1 ǫ j ϕ k (f (z)) ϕ k dµ . (51)

      − ≤ n j

      3

      =0 n n n −1 −1 −1

      Z

      X X

      X

      1 j j j

      1

      1 ϕ(f (z)) ϕdµ ϕ(f (z)) ϕ k (f (z))

      − ≤ − n n n j j j

      =0 =0 =0 n −1

      Z Z Z

      X

      1 j ϕ + k (f (z)) + ϕ k dµ ϕ k dµ ϕdµ

      − − ≤ ǫ. n j

      =0

      Portanto B ⊂ B(µ) e consequentemente 1 = µ(B) ≤ µ(B(µ)) ≤ 1 o que implica µ(B(µ)) = 1. Corolário 0.1.2. Seja (X, X, µ) um espaço de probabilidade e f : X

      −→ X uma trans- formação mensurável que é µ-ergódica, onde µ é absolutamente contínua com relação a medida de Lebesgue. Então µ é uma medida física para f . Demonstração. Se m(B(µ)) = 0, então µ(B(µ)) = 0. Uma contradição pela proposição anterior. t Vamos estender esta definição para sistemas dinâmicos contínuos, i.e., para fluxos. Seja t φ , t é a transformação identidade, e cada φ : X

      ≥ 0, um semi-fluxo em X, i.e., φ t +s t s −→ X, t = φ , para todo t, s.

      ≥ 0 é uma transformação mensurável em X com φ ◦ φ t Uma medida é µ é invariante pelo semi-fluxo se ela for φ -invariante para todo t ≥ 0.

      Definição 0.1.22.

      A bacia ergódica de µ, denotada por B(µ), é o conjunto dos pontos z ∈ X tal que dada qualquer função contínua ϕ : X −→ R

      Z T Z

      1 t ϕ(φ (z))dt ϕdµ (52) −→ quando T −→ ∞. T Definição 0.1.23. t t Dizemos que µ é uma medida física ou Sinai-Ruelle-Bowen(SRB) para o fluxo φ se a bacia ergódica de φ tem medida de Lebesgue positiva, isto é, m(B(µ)) > 0.

    0.1.4 Funções de Variação Limitada Definição 0.1.24.

      Seja f : [a, b] −→ R. Dado x ∈ [a, b] defina a variação de f no ponto x por n

      X var f (x) = sup j ) j ) < x < n = x

      −1

      1 { |f(x − f(x |; a = x · · · x }. j =1 A variação de f é denotada por var(f) e definida por var(f ) := var f (b).

      Definição 0.1.25.

      A função f é dita ser de variação limitada se var(f ) = var f (b) < ∞. O espaço vetorial das funções de variação limitada será denotado por BV . Observe que isto faz sentido. Considere funções f, g : [a, b] −→ R de variação limitada, c ∈ R, x ∈ [a, b] e a = x < x < n = b uma partição de [a, b]. Assim

      1 j ) j −1 ) = j ) j −1 ) + c [g(x j ) j −1 )] · · · < x

      |(f + cg)(x − (f + cg)(x | |f(x − f(x − g(x | j ) j −1 ) j ) j −1 ) n n n ≤ |f(x − f(x | + |c||g(x − g(x |

      X X

      X = ) ) ) ) ) ) j j −1 j j −1 j j −1

      ⇒ |(f + cg)(x − (f + cg)(x | ≤ |f(x − f(x | + |c| |g(x − g(x | j =1 j =1 j =1 = f (x) f (x) + g (x).

    • +cg

      ⇒ var ≤ var |c|var Em particular, fazendo x = b concluímos que, de fato, BV constitui um subespaço vetorial de C ([a, b], R).

      Exemplo 0.1.2. c Seja D ⊂ [a, b] um conjunto denso em [a, b] tal que o seu complementar D também seja um conjunto denso em [a, b]. Considere a função característica deste D conjunto, i.e, f = χ j j . Dado n ∈ N, construa uma partição particular de [a, b] de maneira c que x +1 para 0 < j < n. Assim n ∈ D e x ∈ D

      X D (x j ) D (x j ) D (b) D (x n ) D (x ) D (a)

      −1 −1

      1 j |χ − χ | = (n − 2) + |χ − χ | + |χ − χ | ≥ n − 2.

      =1

      P n De modo que var(χ D ) = sup j ) j ) < x < n = b

      { |f(x − f(x −1 |; a = x j =1 D não possui variação limitada. 1 · · · x } ≥ n − 2.

      Portanto, fazendo n −→ ∞ concluímos que χ Exemplo 0.1.3.

      Usando o exemplo anterior concluímos que χ Q e χ R \Q não são funções de variação limitada. que n n

      X j ) j ) f (x j ) j )

      X

      −1 −1 j j |f(x − f(x | = − f(x =1 =1

      = f (b) − f(a). Assim, var(f) < ∞. Exemplo 0.1.5.

      Suponha que f é não crescente. Como BV é um espaço vetorial e −f é não decrescente concluímos, pelo exemplo anterior, que f é de variação limitada, pois f =

      −(−f). Teorema 0.1.16.

      Suponha que f : [a, b] −→ R tem variação limitada, então

      1. Para todos os x, y ∈ [a, b] com x > y vale f (x) f (y);

      (53) |f(x) − f(y)| ≤ var − var

      2. Para todo s f (x) existem; ∈ [a, b] os limites lim x ±

      −→s 3. O conjunto dos pontos de descontinuidade de f é enumerável.

      Demonstração. Do item 1.: Dada uma partição a = y < y n = y de [a, y], uma vez

      1

      · · · y que a = y < y n = y < x é uma partição particular de [a, x] temos

      1

      · · · y n

      X var f (x) j ) j )

      −1

      ≥ |f(y − f(y | + |f(x) − f(y)| j

      =1

      Visto que a = y < y

      1 n = y é uma partição arbitrária de [a, y], tomando o supremo

      · · · y sobre as partições do lado direito da desigualdade, concluímos que var f (x) f (y) +

      ≥ var |f(x) − f(y)|, e portanto, var f (x) f (y) − var ≥ |f(x) − f(y)|. Do item 2.: f (x) f (y)+

      Uma vez que var(f) < ∞ e se x > y vale var ≥ var |f(x)−f(y)| temos que var f : [a, b] finitos. Portanto os limites laterais lim

    • var f (x) existem. Suponha que x e tome x ±

      −→ s

      −→s

      s < y < x, assim f (x) f (y) , + |f(x) − f(y)| ≤ |var − var | −→ 0 sempre que x, y −→ s var (x) existem. Portanto também existem os limites laterais pois os limites laterais lim f x ±

      −→s −

      se trata com o mesmo raciocínio. para f. O caso em que x −→ s

      Do item 3.: Usando a relação (1) concluímos que se var f é contínua no ponto x o mesmo valerá para f. Como var f : [a, b]

      −→ R é monótona não decrescente temos que seus pontos de descontinuidade é enumerável. Portanto o mesmo vale para f. Corolário 0.1.3. Seja f : [a, b]

      −→ R uma função de variação limitada. Então f é contínua m-qtp x ∈ [a, b].

      Demonstração. Um conjunto enumerável tem medida de Lebesgue nula.

      A seguinte proposição será usada frequentemente neste texto. Proposição 0.1.10. Suponha ([a, b], B , µ) é um espaço de probabilidade e µ << m,

      [a,b]

      onde m é a medida de Lebesgue restrita a [a, b]. Suponha que µ = f m onde f é uma função de variação limitada. Então existe um intervalo J ⊂ [a, b] tal que f(x) > δ > 0 para todo x

      ∈ J. Demonstração. Seja E

      ⊂ [a, b] tal que m(E) > 0 e f > 0 em m-qtp x ∈ E. Como f é contínua em m-qtp x ∈ [a, b] temos que f é contínua em m-qtp x ∈ E. Então deve existir f (x ) um x ) > 0 e f é contínua em x . Portanto dado δ = > 0 existe

      ∈ E tal que f(x 2 um intervalo J = [x + ǫ] )

      − ǫ, x ⊂ [a, b] tal que para todo x ∈ J |f(x − f(x)| < δ e isto f (x ) 3f (x ) , ). Ou seja f > δ em J. implica que f(x) ∈ (

      2

      2 Definição 0.1.26. η (f A variação var

      |η) sobre um intervalo η ⊂ M é definido por n

      X var η (f i ) i )

      −1

      |η) = sup |f(x − f(x | i

      

    =1

    η

      < onde o supremo é tomado sobre o conjunto ℜ de todas as partições finitas inf η ≤ x x < n

      1 · · · < x ≤ sup η, n ≤ 1 de η.

      A seguir estão enumeradas mais algumas propriedades com respeito a funções de vari- P1. var η (ϕ + ϕ ) η ϕ + var η ϕ ;

      1

      2

      1

      2 η (ϕ ) η ϕ sup η ϕ ≤ var

      P2. var

      1

      2 1 η 2 η

      1 2 ;

      · ϕ ≤ var |ϕ | + sup |ϕ |var R

      1 P3. var η (ϕ 1 η ϕ 1 sup ϕdm, se ψ é C ;

      · ψ) ≤ var η |ψ| + sup η |Dψ| P4. var η η ϕ ;

      |ϕ| ≤ var P5. var η (ϕ h ϕ se h :

      (η)

      ◦ h) = var −→ h(η) é uma homeomorfismo; R R

      ϕ(t, var ϕ(t, P5. var η η

      ·)dθ(t) ≤ ·)dθ(t) para toda probabilidade θ no espaço T e para toda ϕ : T × M −→ R com varϕ(t, ·) < ∞ para todo t ∈ T ; Agora apresentamos um importante resultado, o teorema de Helly, que será utilizado na prova de um importante teorema. Para demonstrá-lo precisaremos do teorema de Cantor-

      Tychonov, de análise na reta. Para ver a demonstração deste último o leitor pode consultar [4]. Lema 0.1.5

      (Cantor-Tychonov). Seja X ⊂ R enumerável. Toda sequência simplesmente limitada de funções f n : X −→ R possui uma subsequência simplesmente convergente.

      Demonstração. Ver [4]. Lema 0.1.6

      (Teorema de Helly). Seja ψ n : M −→ R, n ≥ 1 uma sequência de funções em

      M e assuma que existem constantes K > 0 e K > 0 tais que sup ψ n e varψ n

      1 2 ≤ K 1 ≤ K

      2

      para todo n n ) k e uma função ψ : M ≥ 1. Então existe uma subsequência (ψ −→ R com k sup ψ

      1 e var(ψ) 2 tal que (ψ n ) k converge para ψ quando k

      ≤ K ≤ K k → ∞ m-qtp e em

    1 L (m).

    • − +

      −

      Demonstração. Defina as sequências (ψ ) n e (ψ ) n por ψ (x) = var(ψ n [0,x] ) e ψ (x) = n n n | n

      ± +

      ψ n . Assim definidas, as sequências (ψ ) n são uniformemente limitadas e seus termos n − ψ n são funções não decrescentes. Sendo uniformemente limitadas são, em particular, simples-

      ± n | Q ∩[0,1] , temos

      mente limitadas e quando consideradas suas restrições sobre Q∩[0, 1], i.e. ψ uma sequência de funções que satisfaz as condições do teorema de Cantor-Tychonov, i.e.

      ±

      existe uma subsequência de índices (n k ) k tais que ψ (q) converge para um número real n k

      ± ±

      ψ (q), para todo número racional q é uma função não decrescente, n ∈ [0, 1]. Como cada ψ

      ± ± ±

      temos que ψ (q ) (q ) sempre que q . Portanto, podemos estender a função ψ

      1

      2

      1

      2

      ≤ ψ ≤ q para todo o intervalo [0, 1] da seguinte maneira:

      ± ±

      Agora vejamos que ψ (x) converge para ψ (x) para todo ponto de continuidade x de n k

      ±

      ψ , um conjunto cujo complementar é enumerável. De fato, dado um ponto de continuidade x, e qualquer δ > 0, podemos fixar racionais q e q com q tais que

      1

      2

      1

      2

      ≤ x ≤ q

      ± ± ± ± ±

      ψ (x) (q

      1 ) (x) (q 2 ) (x) + δ.

      − δ ≤ ψ ≤ ψ ≤ ψ ≤ ψ Então para um k suficientemente grande,

      ± ± ± ± ± ± ±

      ψ (x) (q ) (q ) (x) (q ) (q ) + δ (x) + 2δ

      1 n

    1 n n

      2

      2

      − 2δ ≤ ψ − δ ≤ ψ ≤ ψ ≤ ψ ≤ ψ ≤ ψ k k k o que prova afirmação.

      ± ±

      Agora considere e ψ a função contínua a direita que coincide com ψ em todo ponto de

    • ± −

      continuidade de ψ e defina ψ = e ψ ψ . Segue-se que ψ n converge para ψ , exceto, − e k

      1 possivelmente, num conjunto enumerável E. Em particular, ψ n m-qtp e em L . k → ψ

      Finalmente, (a) n (a)

      1 e s s |ψ | = lim |ψ | ≤ K k k

      X X (a j ) (b j ) n (a j ) n (b j ) var(ψ n ) ,

      2 j j |ψ − ψ | = lim |ψ k − ψ k | ≤ sup k ≤ K k k =1 =1

      para todo a e a

      1 1 s s é contínua a direita

      ≤ b ≤ · · · ≤ a ≤ b em [0, 1] \ E. Uma vez que ψ ) temos que sup ψ

      1 e var(ψ 2 .

      ≤ K ≤ K

    0.2 Modelo Geométrico de Lorenz

      Nesta seção faremos um breve estudo do seguinte sistema de equações polinomiais ˙x = 10y

      (54) − 10x

      ˙y = 28x (55)

      − y − xz

      8 ˙z = xy z (56)

      −

      3 mais conhecido como equações de Lorenz. Este sistema foi introduzido inicialmente em 1963 pelo meteorologista Edward Lorenz em seus estudos climáticos. O objetivo será construir um fluxo que possua propriedades similares as da solução determinada pelas de partida será o teorema de Hartman-Grobman enunciado nas preliminares deste texto, que conjugará topologicamente, numa vizinhança da origem, o fluxo determinado pelas equações de Lorenz, com o fluxo linear determinado pela sua diferencial calculada na origem. A partir daí faremos algumas hipóteses sobre a “solução” e chamaremos o resultado da construção de fluxo geométrico de Lorenz. Simultaneamente Afraimovich em [17] e Guckenheimer e Williams [18] construíram um modelo geométrico para o fluxo observado por Lorenz.

      Comecemos observando que os autovalores da derivada do campo na origem  

      −10 10  

      28  

      −1  

      8 −

      3

      8 são λ = 11, 83, λ = = e, portanto, pelo Teorema de Hartman-

      1

      2

      3

      −22, 83, λ −

      3 Grobman, numa vizinhança da singularidade σ = (0, 0, 0), o fluxo definido pelas equações de Lorenz é topologicamente conjugado ao fluxo linear definido pela derivada do campo numa vizinhança origem. Isto é, ao fluxo t λ t λ t λ t 1 2 3 X (x , y , z ) = (x e , y e , z e ), , y , z ) é uma condição inicial próxima da origem. onde (x

      Observando a relação λ

      1

      0 < < λ < (57)

      

    3

      1

      2

      ≤ −λ −λ

      2

      ′ ′ ′

      iniciaremos nossa análise considerando um campo linear (x , y , z ) = (λ x, λ y, λ z),

      1

      2

      3

      3

      , onde os λ i satisfazem a relação (57). As trajetórias deste campo definido no cubo [−1, 1] são dadas pelo fluxo definido por t λ t λ t λ t 1 2 3 X (x , y , z ) = (x e , y e , z e ) (58) onde (x , y , z ) é uma condição inicial próxima de (0, 0, 0).

      1

      1 Considere as regiões S = (x, y, 1) : , , |x| ≤ |y| ≤

      2

      2

      S = S = {(x, y, 1) ∈ S : x < 0} , {(x, y, 1) ∈ S : x > 0} e

      ∗ − +

      S = S = S onde Γ = ∪ S \ Γ, {(x, y, 1) ∈ S : x = 0} . Suponha que S é uma seção transversal para o fluxo de modo que toda trajetória eventualmente cruza S na direção negativa do eixo z. Agora considere as regiões Σ =

    • − ±

      onde Σ = {(x, y, z) : |x| = 1} = Σ ∪ Σ {(x, y, z) : x = ±1}. Para cada condição inicial

      ∗ t

      (x , y , 1) o tempo τ tal que X (x , y , 1) ∈ S ∈ Σ é obtido pela equação λ t 1 e

      |x | = 1,

      1 isto é, depende apenas de x . Mais precisamente τ(x ) = log − |x |, onde x 6= 0 e

      λ

      1

      τ (x ) −→ ∞ quando x −→ 0.

      Figura 1: Regiões Temos então τ λ τ λ τ 2 (x ) 3 (x )

      X (x , y , 1) = (sgn(x ), y e , e ) λ2 λ3

      − − λ1 λ1

      = (sgn(x ), y , ), |x | |x | x onde sgn(x) = . |x|

      λ λ

      3

      2

      < λ < < 1 < β = . Agora,

      3

      1

      λ λ

    2 Observe que 0 < −λ −λ , portanto 0 < α = − −

      1

      1 ∗

      seja L : S −→ Σ dada por: β α L(x, y, 1) = sgn(x), y , .

      |x| |x|

      ± ±

      Parametrizando a fronteira de S , observamos que L(S ) tem a forma de um triân- gulo(nos planos x = ±1) sem os vértices (±1, 0, 0), pois estes pontos seriam a imagem

      ∗

      . De agora em do segmento Γ = {(x, y, 1) ∈ S : x = 0}, que não está contido na região S

      ± ±

      ), ou seja, inclua os vértices ( diante, nós denotaremos por Σ o fecho de L(S ±1, 0, 0).

      ∗

      Usando contas análogas, observe que os segmentos S ∩{x = x } são levados em segmentos

      Σ ∩ {z = z }.

      ±

      Os conjuntos Σ devem retornar para a secção transversal S através de um fluxo descrito por uma composição adequada de uma rotação R , uma expansão E e uma translação

      ± ±θ ±

      T . Além disso, assumimos que os “triângulos” L(S ) são comprimidos na y-direção e

      ± esticados na x-direção.

      Observe que o ponto de equilíbrio na origem é hiperbólico, com autovalores λ

      1

      ≈ 11, 83, λ

      2

      3

      ≈ −22.83 e λ ≈ −2, 67, portanto, pelo teorema da variedade estável, sua variedade s u estável W (0) e instável W (0) estão bem definidas e são de dimensão 2 e 1 respectivamente.

      ±

      rotação R ± é dada pela matriz Para (x, y, z) ∈ Σ

        ±1

        R

      ± =  ±1  .

      ±1 A expansão E θ , que ocorre ao longo do eixo x, é dada pela matriz

        θ 0 0

        E = θ 0 1 0

        0 0 1

      −α 1−α

      satisfazendo as condições θ2 &lt; 1 e θα2 &gt; 1. A primeira condição garante que a imagem da aplicação resultante esteja contida em S, enquanto que a segunda garante que a aplicação seja seccionalmente expansora.

      3

    3 As translações T ± : R são escolhidas de modo que a direção instável, partindo

      −→ R

      ±

      melhor) e que as imagens de Σ sejam disjuntas. Assim, a composição T leva

      ± ± ±

      ◦ E ◦ R

      ±

      segmentos Σ

      1

      ∩ {z = z } em segmentos S ∩ {x = x }. A construção acima nos permite t t , a órbita X (x) para cada x (x), x descrever, para t ∈ R

    • t ∈ S. Seja W = {X ∈ Σ, t ∈ R } t o conjunto onde o fluxo X atua. O fluxo geométrico de Lorenz é então a dupla (W, X )

        Figura 2: Regiões

        ∗

        Definimos então a aplicação de primeiro retorno de Poincaré, P : S −→ S como

        ( T

      • θ + +

        ◦ E ◦ R ◦ L(x, y, 1), se x &gt; 0 P (x, y) =

        T

        − −θ −

        ◦ E ◦ R ◦ L(x, y, 1), se x &lt; 0

        ±

        Observando a característica da composição T ± ± ± em levar segmentos Σ ◦ E ◦ R ∩ {z = z

        1

        } em segmentos S ∩ {x = x } com a definição da aplicação L definida acima, concluímos x ) da folha } a imagem P (γ que se Π é uma folheação de S em segmentos S ∩ {x = x

        γ = S P

        (x ) (γ ) . Isto é, a folheação Π é invariante por P .

        ∩ {x = x } está contida na folha γ x0

        1

        1 , ]. e g(I \ {0}) × I −→ I onde I = [−

        2

      2 Observe que

        ( α f (x ), se x &lt; 0

        1

        f (x) = α i f (x ), se x &gt; 0 onde f i = ( θ i , i = 0, 1; −1) · x + b e

        ( α β g

        1 (x , y, x ), se x &lt; 0

        g(x, y) = α β g (x , y, x ), se x &gt; 0

        1

        1

        − − + +

        onde g = [ , 0), I = (0, ].

        1

        |I × I −→ I e g |I × I −→ I são aplicações, com I −

        2

        2 Algumas propriedades da aplicação f : Seguem algumas propriedades da aplicação f que são consequências da construção feita acima:

        1. a simetria das equações de Lorenz implica que f(−x) = −f(x);

        1

        1

        −

      • ) = e f(0 ) = , pois P não

        2. f é descontínua em x = 0 com limites laterais f(0

        − s

        2

        2 (0, 0, 0);

        é definida em Γ, pois Γ ⊂ W √

        ′

        (x) &gt; 2; 3. f é diferenciável em I \ {0} e f

        

      ′ ′ − ′

        4. os limites laterais de f em x = 0 são f

      • (0 ) = + (0 ) = ∞ e f −∞.

        Expressões para a derivada DP Relembre que P = T

        ± ± ±

        ◦ E ◦ R ◦ L. Usando a

        ∗

        e x &gt; 0: regra da cadeia e a definição de cada aplicação temos que para cada (x, y) ∈ S β β !

        −1

        βyx x DL

        (x, y, 1) = α

        −1

        αx e α !

        −1

        θαx DP (x, y) = . β β

        −1

        βyx x Para x &lt; 0 o cálculo é semelhante. Propriedades da aplicação

        g:

        Figura 3: Regiões ∂g β

        1

        ∗

        e x &gt; 0, temos (x, y) = x existe

        1. Para todo (x, y) ∈ S . Como β &gt; 1, |x| ≤ ∂y

        2 0 &lt; λ &lt; 1 tal que ∂g | | ≤ λ. ∂y O mesmo vale para x &lt; 0.

        ∂g

        1

        ∗ β −α

        (x, y) = βx

        2. Para todo (x, y) ∈ S e x 6= 0, temos . Como β − α &gt; 0 e |x| ≤ ∂x

        2 temos que ∂g | | &lt; ∞. ∂y

        Observe que da primeira propriedade, nós obtemos o fato de g contrair os segmentos , y

        1

        2

        de reta S ∩ {x = x }. Isto é, existe C &gt; 0 tal que para cada γ ∈ Π e para cada y ∈ γ temos n n n (y ) (y )

        (59)

        1

        2

        1

        2 |P − P | ≤ Cλ |y − y |.

        

      0.3 Medida Física para Transformações Expansoras por

      Partes

        Neste capítulo, a variedade M será o intervalo fechado [0, 1]. Aqui demonstraremos a M . O motivo desta construção é o fato da função unidimensional de Lorenz satisfazer esta propriedade, e se tornar naturalmente, um caso particular. Isto é, se f é a função unidimensional de Lorenz,

        1

        1 η η e |Df| 1 | |Df| 1 |

        1

        1 = [ , 0) e η = (0, ]. Vejamos: são de variação limitada, onde η

        1

        1

        −

        2

        2 Em cada um dos subintervalos, ocorre que a derivada é monótona. Isto decorre do fato de que nestes ramos a função f é côncava em um e convexa no outro, pois é a composição de uma função afim com uma função convexa. Logo

        1

        1 η η e |Df| 1 | |Df| 2 | também serão funções monótonas. Pelo exemplo 0.1.4 temos que

        1

        1 η η 1 e 2 |Df| | |Df| | são funções de variação limitada. Este fato, como veremos logo a frente, faz desta aplicação um caso particular de uma aplicação seccionalmente expansora(ou Expansoras por Partes).

        A seguir enunciaremos algumas hipóteses sobre uma transformação f : M −→ M que assumiremos como válidas. As duas primeiras, 1. e 2., definem o vem a ser uma transformação seccionalmente expansora.

        1. Existe 0 = a &lt; a &lt; l = 1 tal que a restrição de f a cada η i = (a i , a i ) é

        1 −1

        · · · &lt; a

        1

        de classe C i , com |Df(x)| &gt; 0 para todo x ∈ η e i = 1, · · · , l. Além disso, a função

        1 g η = i η possui variação limitada para todo i = 1, · · · , l.

        |Df| i |

        (1) i i η

        Seja P alguma partição de M em intervalos η tal que η é contínua. Além ⊂ η ⊂ η e f|

        (n) (n) (n)

        (x) = P (y) se, e somente uma partição de M tal que P disso, para n ≥ 1, seja P j j

        (1) (1) (n)

        se, P (f (x)) = P (f (y)) para todo j = 0, ,

        · · · , n − 1. Para um subintervalo η ∈ P

        1

        (n)

        denote g η = . A segunda condição é: n η |Df | | η (n) n (n)

        2. Existe C

        1 &gt; 0 e λ 1 &lt; 1 tal que sup g 1 λ

        ≤ C 1 para todo η ∈ P e para todo n ≥ 1. &gt; 0 será fixada suficientemente grande de modo que varg

        No que segue, C

        1 η i ≤ C 1 para Agora definiremos o operador L : BV (M : R) −→ BV (M : R) chamado de operador de Perron-Frobenius ou Operador de Transferência da aplicação f da seguinte maneira:

        X X ϕ

        −1 −1

        L ϕ = (g η ϕ) η ) χ f = ( ) η ) χ f (60)

        (η) (η)

        ◦ (f| ◦ (f| η ∈P η ∈P (1) (1) η : η |Df| Note que pela propriedade 1. f| −→ f(η) é estritamente monótona e consequente- η ) −1 mente injetiva, portanto, cada y ∈ f(η) possui uma única pré-imagem x e a inversa (f| está bem definida.

        Próximo teorema é conhecido como a desigualdade de Lasota-Yorke, ela nos mostrará que este operador está bem definido, fazendo n = 1 na desigualdade, bem como nos ajudará a provar outros resultados. Para demonstrá-lo precisaremos de uma desigualdade preliminar.

        Proposição 0.3.1. Existem λ , 1) e C &gt; 0 tal que

        2

        1

        

      2

        ∈ (λ

        (n) n

        varg λ (61)

      η ≤ C

        2

        2 (n)

        para todo η e n ∈ P ≥ 1.

        (n) (j) (1)

        Demonstração. Dado η j j e ζ j j j ∈ P e 0 ≤ j ≤ n, seja ξ ∈ P , eη ∈ P ∈ P (n − j − 1) j , f (η) η j , e f (η) j .

      • 1

        definida por η ⊂ ξ ⊂ e ⊂ ζ n

        −1

        X

        (n−j−1) (j) (n)

        varg sup g η η ≤ ζ · varg · sup g ξ j j j j n =0 −1 X n −j−1 j

        C λ λ

        1

        1

        1

        ≤ j 1 · C · C

        1 =0 n

        3

        = (C /λ

      1 )nλ .

        1

        1 n

        3

        , 1) e C = sup λ )n(λ λ ) : n Agora fixe λ

        2

        1

        2

        1

        1

        2

        ∈ (λ {(C

        1 ≥ 1}. Concluímos que (n) n

        varg λ (62) η

        2

        ≤ C

        2 (n)

        para todo η ∈ P e n ≥ 1. Teorema 0.3.1 (Desigualdade de Lasota-Yorke). Existe C &gt; 0 e λ &lt; 1 tal que n n Z var(L ϕ) λ var(ϕ) + C ≤ C |ϕ|dm para todo n

        ≥ 1 e toda função ϕ de variação limitada. Demonstração. Pela definição do operador L temos n n

        X

        (n) −1 n

        L ϕ = (g ϕ) χ f , para todo n η (η) η (n) ◦ (f |η) ≥ 1 .

        ∈P

        Agora, usando as propriedades P 1., P 2. e P 5. encontraremos a seguinte desigualdade n

        X

        (n) (n) (n)

        var(L ϕ) varg + 2 sup g . (63) η η η ≤ · sup |(ϕ|η)| + sup g · var(ϕ|η) η (n)

        ∈P

        De fato, n n

        X

        (n) −1 n

        var(L ϕ) var((g ϕ) χ f ) η (η) ≤ ◦ (f |η) η ∈P (n)

        X n n

        (n) −1 (n) −1 n n

        var((g ϕ) sup f ϕ) var(χ f ) ≤ η ◦ (f |η) |χ (η) |) + sup |(g η ◦ (f |η) | (η) η (n)

        ∈P

        X

        (n) n −1 (n) n −1

        = var((g ϕ) ) + 2 sup ϕ) η (n) η ◦ (f |η) |(g η ◦ (f |η) |

        ∈P

        X n

        (n) (n) −1

        = var η ((g ϕ)) + 2 sup ϕ) η η η ∈P (n) |(g ◦ (f |η) |

        X n

        (n) (n) (n) −1

        = var η (g ) sup (g ϕ) η η η η (n) |ϕ|η| + sup |g |var(ϕ|η) + 2 sup ◦ (f |η)

        ∈P

        X

        (n) (n) (n)

        var (g ) sup ϕ) η (g

        ≤ η |ϕ|η| + sup |g η |var(ϕ|η) + 2 sup η η (n)

        ∈P

        X

        (n) (n) (n)

        var η (g ) sup ) η η (g η ≤ |ϕ|η| + sup |g |var(ϕ|η) + 2 sup sup |(ϕ|η)| η (n)

        ∈P

        X

        (n) (n) (n)

        = var η (g ) + 2 sup (g ) η η sup |ϕ|η| + sup (|g η η ∈P (n) |)var(ϕ|η)

        X

        

      (n) (n) (n)

        = var η (g ) + 2 sup (g ) sup )var(ϕ η (n) η η |ϕ|η| + sup (g η |η).

        ∈P

      • 2C
      • C

        (n)

        sup {

        1 m(η) : η

        ∈ P

        (n)

        } Z

        |ϕ|dm#(P

        ) ≤ C

        2

        3

        λ n

        3

        var(ϕ) + K

        3

        (n) Z

        2

        λ

        3

        } Z

        2

        2

        sup {

        1 m(η) : η

        ∈ P

        (n)

        |ϕ|dm

        2

        X η

        ∈P (n)

        1 = 4C

        2

        λ n

        2 X η ∈P (n) var(ϕ

        |η) + 3C

        |ϕ|dm onde C

        = 4C

        2

        de n. Com este intuito, fixe N ≥ 1 tal que C

        3

        var(ϕ) + K

        3

        (n) Z |ϕ|dm.

        (66) Próximo passo é tirar a dependência de K

        3

        3

        3

        λ N

        3

        ≤

        1

        2 e denote b K = max {K

        3

        (n) : 1 ≤ n ≤ N}. Então dado n ≥ 1 escrevamos n = qN + r com q

        λ n

        }. Temos então var(L n ϕ) ≤ C

        2

        (n) = 3C

        , λ

        3

        = λ

        2

        e K

        3

        2

        (n)

        λ

        

      2

        (#P

        (n)

        ) sup {

        1 m(η) : η

        ∈ P

        λ

        var(ϕ |η) + 3C

        Assim var(L n ϕ) ≤

        1 m(η) Z

        2

        1

        λ n

        1

        ) · var(ϕ

        |η) +

        |ϕ|dm

        2

        1

        λ n

        1

        var(ϕ |η)

        ≤ 4C

        2

        λ n

        X η ∈P (n) (C

        2 X η ∈P (n)

        ) sup |ϕ|η| + sup (g

        X η

        ∈P (n)

        var η (g

        (n) η

        ) + 2 sup (g

        (n)

      η

        (n) η

        Agora, substituindo (61) e (65) em (64), obtemos var(L n ϕ) ≤

        )var(ϕ |η).

        (64) Agora usando O teorema do valor médio e P 4.: sup

        |(ϕ|η)| ≤ var|ϕ|η| +

        1 m(η) Z η

        |ϕ|dm ≤ var(ϕ|η) +

        1 m(η) Z

        |ϕ|dm (65)

        λ n

        var(ϕ |η) + 3C

        2 X η ∈P (n)

        sup {

        2 X η ∈P (n) var(ϕ

        |η) + 3C

        2

        λ

        2

        2

        1 m(η) : η

        2

        ∈ P

        (n)

        }

        X η ∈P (n) Z

        |ϕ|dm = 4C

        2

        λ n

        λ n

        |ϕ|dm = 4C

        2

        2 X η ∈P (n)

        λ

        2

        2 X η ∈P (n)

        1 m(η) Z

        |ϕ|dm ≤ 4C

        2 λ n

        var(ϕ |η) + 3C

        } Z

        

      2 λ

        2

        2 X η ∈P (n)

        sup {

        1 m(η) : η

        ∈ P

        (n)

        ≥ 0 e 1 ≤ r ≤ N. Usando esta limitação sucessivas vezes temos Portanto

        2 b K Z |ϕ|dm.

        −N

        −2N

        2 var(L n

        1

        ϕ) ≤

        −2N

        ϕ) = var(L N L n

        Diante desta desigualdade, aplique-a fazendo a substituição de n por n − N para obter seguinte: var(L n

        Agora substitua esta última desigualdade em (68) para obter var(L n ϕ) ≤

        |ϕ|dm (68)

        2 var(L n −N ϕ) + b K Z

        1

        ≤

        |ϕ|dm Portanto var(L n ϕ)

        2 var(L n −N ϕ) + b K Z

        1

        ϕ) + b K Z |ϕ|dm.

        1

        ϕ |dm

        =

        1

        ϕ) + 1 +

        −2N

        var(L n

        2

        2

        1

        |ϕ|dm

        2 var(L n

        2 var(L n −2N ϕ) + b K Z

        1

        2

        1

        |ϕ|dm ≤

        ϕ) + b K Z

        −N

        =

        −N

        var(L n ϕ) ≤ 1 +

        3

        

      −N

        var(L n

        3

        3 λ N

        ≤ C

        L n −N ϕ)

        var(ϕ). (67) De fato: var(L n ϕ) = var(L N

        λ r

        3 (N )

        3

        2 q C

        1

        |ϕ|dm +

        2 q b K Z

        1

        · · · +

        ϕ) + K

        Z |L n

        |L n

        |L n

        ϕ) + b K Z

        −N

        2 var(L n

        1

        ≤

        ϕ |dm

        −N

        ϕ) + b K Z

        −N

        

      −N

        var(L n

        3

        λ N

        3

        ≤ C

        ϕ |dm

      • b K Z |ϕ|dm
      • 1 +

        Substituindo, esta última desigualdade em (70) obtemos o desejado, i.e.,

        1

        b K Z |ϕ|dm.

        −1

        2 q

        1

        2

        2

        2

        1

        2 q var(L n −qN ϕ) + 1 +

        Esta quantidade de passos é suficiente para perceber que em q passos nós teremos var(L n ϕ) ≤

        1

        b K Z |ϕ|dm.

        2

        2

        2

        1

        ϕ) + 1 +

        −3N

        var(L n

        3

        E equivalentemente var(L n ϕ) ≤

        2 q var(L r ϕ) + 1 +

        1

        λ r

        var(ϕ) + b K Z |ϕ|dm.

        3

        λ r

        3

        |ϕ|dm ≤ C

        (r) Z

        3

        var(ϕ) + K

        3

        3

        1

        ≤ C

        (70) Em (68) substitua n por r e obtenha var(L r ϕ)

        b K Z |ϕ|dm.

        −1

        2 q

        1

        2

        2

        2

        2

        |ϕ|dm =

        var(L n ϕ) ≤

        ϕ) = var(L N L n

        var(L n

        2

        2

        1

        Substitua esta última desigualdade em (69): var(L n ϕ) ≤

        2 var(L n −3N ϕ) + b K Z |ϕ|dm.

        1

        ϕ) ≤

        −3N

        −2N

        ϕ) + 1 +

        (69) Agora use (68) novamente, substituindo n por n − 2N: var(L n

        2 b K Z |ϕ|dm.

        1

        ϕ) + 1 +

        −2N

        var(L n

        2

        2

        1

        −2N

        1

        2 b K Z

        2 b K Z

        1

        |ϕ|dm + 1 +

        2 b K Z

        1

        var(L n −3N ϕ) +

        3

        2

        1

        |ϕ|dm =

        1

        2 b K Z

        |ϕ|dm

        ϕ) + b K Z

        −3N

        2 var(L n

        1

        2

        2

        1

        |ϕ|dm ≤

      • 1
      • 1
      • · · · +
      • 1
      • · · · +

        Z n r

        1

        1

        1

        1 b var(L ϕ) var(L + ϕ) + 1 + K

      • 2 −1

        ≤ · · · + |ϕ|dm q q

        2

        2

        2

        2 Z Z

        1 r

        1

        1

        1 b C λ var(ϕ) + b K + 1 + + K +

        3

        ≤ q 3 |ϕ|dm · · · + |ϕ|dm 2 q −1

        2

        2

        2

        2 Z

        1 r

        1

        1

        1

        1 b

      • = C + λ var(ϕ) + 1 + K +

        3 q q q 3 · · · + |ϕ|dm 2 −1

        2

        2

        2

        2

        2 Z

        1 r

        1

        1

        1 b = + + C λ var(ϕ) + 1 + K

        3 q q 3 · · · + |ϕ|dm,

        

      2

        2

        2

        2

        2 e isto é a relação desejada. N 1 Agora, para concluir, escolha C K, C , λ &lt; 1.

        3

        3

        ≥ max{2 b } e max{2 } ≤ λ Corolário 0.3.1. Seja C(a) o cone de funções ϕ : [0, 1]

        −→ R tal que ϕ(x) ≥ 0 para todo R x ϕdm. Então, se a é suficientemente grande, existe N

        ∈ [0, 1] e varϕ ≤ a ≥ 1 tal que N a

        L (C(a)) ).

        ⊂ C(

        2

        1 N

        1 Demonstração. Seja λ = λ ≤ e N ≥ 1 tal que C . Então, para ϕ ∈ C(a),

        2

        4 Z Z Z ϕ 1 a a vsr(L ) varϕ + C ϕdm ϕdm = ϕdm ≤ ≤ 4 4 + C

        2 . sempre que a ≥ 2C

        Uma vez provado que o operador de transferência está bem definido, próxima proposição nos dá uma importante relação, chamada de relação de dualidade. Esta fórmula está diretamente relacionada com a utilidade do operador.

      1 Proposição 0.3.2.

        Para ϕ, ψ (m) vale ∈ L

        Z Z (Lϕ)ψdm = ϕ(ψ (71) ◦ f)dm.

        Consequentemente, para ϕ, ψ ∈ BV (M : R) vale (71).

        Demonstração. De fato l Z Z

        X ϕ (ψ (ϕ) (ψ (72)

        ◦ f)dm = ◦ f)dm j =1 l η j Z

        X

        −1 −1

        = ϕ η ψ dm (73) f ◦ f| j |Df| j (η )

      j

      =1 l Z

        X ϕ −1

        = η ψχ f dm (74)

        (η )

        ◦ f| j j

        −1 j |Df| =1 l

        Z

        X ϕ −1

        = η ψχ f dm

        (η ) (75)

        ◦ f| j j

        −1 j |Df| =1

        Z = (Lϕ) ψdm (76) onde (72) =⇒ (73) devido a fórmula de mudança de variável e as demais implicações são contas diretas.

        Esta proposição nos ajudará a conectar propriedades ergódicas de f com propriedades espectrais do operador L. Em particular, pontos fixos de L definem medidas f-invariantes e absolutamente contínuas com relação a m (medida de Lebesgue). Esta relação se tornará clara com a seguinte proposição:

      1 Teorema 0.3.2.

        Seja ϕ (m) e não negativa tal que L(ϕ ) = ϕ . Então a medida ∈ L

        ϕ m de probabilidade µ definida por µ = R é f -invariante e absolutamente contínua.

        ϕ dm dµ Reciprocamente, se uma medida finita µ , f -invariante, é tal que µ &lt;&lt; m, então ϕ = dm satisfaz Lϕ = ϕ .

        Demonstração. Precisaremos do seguinte lema: Lema 0.3.1.

        Sejam λ, µ medidas σ-finitas no espaço mensurável X tal que λ &lt;&lt; µ e dλ h = . Se g é mensurável e não-negativa, então dµ

        Z Z gdλ = ghdµ. Demonstração do lema: Suponha que g = χ E , para algum mensurável E. Então Z Z gdλ = χ dλ E

        = λ(E) Z

        = hdµ E Z

        = χ E hdµ Z

        = ghdµ Por linearidade, o resultado vale para funções simples. Agora, considere uma sequência crescente (g n ) n de funções simples, tal que g n

        ↑ g. Usando o teorema da Convergência Monótona, temos:

        Z Z gdλ = lim g λ n Z

        = lim g n dλ Z

        = lim g n hdµ Z

        = lim g n hdµ Z = ghdµ. n ) n é monótona não

        Observe, nas contas acima que, uma vez que h ≥ 0 a sequência (hg decrescente tal que hg n −→ hg, de modo que pudemos aplicar o teorema da Convergência

        Monótona novamente para esta sequência. Concluímos, desta forma, a demonstração do lema.

        Voltando a demonstração do teorema, relembre que a medida µ é f-invariante se, e = µ

        . Portanto, para um conjunto mensurável E temos: somente se, f ∗ µ f ∗ µ

        (E) = µ (f

        = ϕ

        (L ϕ

        R ϕ dm

        )dm (83) =

        Z E (

        ϕ R

        ϕ dm )dm (84)

        R ϕ dm m(E) (85)

        ϕ dm )(χ E )dm (82)

        = µ (E) (86) onde (78) ⇒ (79) segue da igualdade χ f 1

        (E)

        = χ E ◦ fdµ , (79) ⇒ (80) da relação

        ϕ = dµ dm e do lemma, (7) ⇒ (8) da proposição (3.2), (83) ⇒ (84) do fato de Lϕ

        = ϕ e as demais diretamente das respectivas definições.

        Reciprocamente, suponha que µ &lt;&lt; m, ϕ = µ dm e µ é f-invariante. Sendo f- invariante, vale f ∗ µ

        = µ

        = Z E

        ϕ R

        −1

        = Z

        (E)) (77) =

        Z χ f 1

        (E)

        dµ (78) =

        Z χ E

        ◦ fdµ (79)

        (χ E ◦ f)(

        Z (L

        ϕ R

        ϕ dm )dm (80)

        = Z

        ( ϕ

        R ϕ dm

        )(χ E ◦ f)dm

        (81) =

        e, pelo teorema de Mudança de Variável, temos, para todo E mensurável: Z Z L E ϕ dm = (Lϕ )(χ E )dm (87)

        Z = (ϕ )(χ E (88)

        ◦ f)dm Z

        = (χ E )dm (89)

        ◦ f)(ϕ Z

        = (χ E (90) ◦ f)dµ

        Z = (χ E )d (f ) (91)

        ∗ µ Z

        = (χ E )dµ (92) Z

        = (χ E )ϕ dm (93) Z

        = ϕ dm (94) E onde (87) ⇒ (88) segue da proposição (3.2), em (88) ⇒ (89) o integrando foi comutado, (89)

        ⇒ (90) é consequência do lema (3.1), (90) ⇒ (91) segue do teorema de Mudança de Variável, (91) ⇒ (92) da f-invariância de µ e (92) ⇒ (93) novamente do lema (3.1).

        (x) (x) ≥ ϕ }:

        Diante disto, seja A = {x|Lϕ Z Z Z

        (95) |Lϕ − ϕ |dm = |Lϕ − ϕ |dm + |Lϕ − ϕ |dm A A c

        Z Z = Lϕ dm + ϕ dm

        (96) A A − ϕ − Lϕ c = 0 + 0

        (97) = 0

        (98) R R L

        ϕ dm = ϕ dm para todo onde (96) ⇒ (97) pela observação feita acima que E E mensurável E. Portanto temos Lϕ = ϕ m-qtp e como µ &lt;&lt; m o resultado vale m -qtp.

        Um corolário da proposição 3.2 é o fato de L ser um operador limitado, cuja norma é igual a 1. Demonstração. Primeiramente observe que |Lϕ| ≤ L|ϕ|. De fato

        |Lϕ| =

        |Lϕ|dm ≤

        |ϕ| |Df|

        ◦ (f|η)

        −1

        χ f

        (η)

        = L |ϕ|. Agora observe que por um lado temos,

        ||Lϕ||

        1

        = Z

        Z L |ϕ|dm

        X η

        = Z

        (L |ϕ|)(1)dm

        = Z

        ( |ϕ|)(1 ◦ f)dm

        = Z

        |ϕ|dm = 1

        Z |ϕ|dm

        = 1 · ||ϕ||

        1

        onde, respectivamente foi usado o fato de |Lϕ| ≤ L|ϕ| e a proposição 3.2. E isto implica que ||L|| ≤ 1.

        ∈P (1)

        =

        X η

        ϕ |Df|

        ∈P (1)

        ϕ |Df|

        ◦ (f|η)

        −1

        χ f

        (η)

        ≤

        X η

        ∈P (1)

        ◦ (f|η)

        (η)

        −1

        χ f

        (η)

        =

        X η

        ∈P (1)

        ϕ |Df|

        ◦ (f|η)

        −1

        χ f

        Por outro lado, fazendo ϕ ≡ 1 temos

        Z =

        1

        ||L1|| |L1|dm Z L

        = |1|dm

        Z = (L1)(1)dm

        Z = (1)(1

        ◦ f)dm Z

        = 1dm = 1.

        Daí ||L|| ≥ 1. Portanto ||L|| = 1 e L é um operador limitado. Teorema 0.3.3.

        A aplicação f possui uma probabilidade µ , f -invariante e absoluta- mente contínua com relação a medida de Lebesgue m. Além disso, se µ é outra medida f -invariante e absolutamente contínua, então µ = ϕm onde ϕ possui variação limitada. n

        −1

        X

        1 j L

        Demonstração. Defina a sequência ϕ n =

        1. Pela desigualdade de Lasota-Yorke, n j

        =0 observando que var1 = 0, (ϕ n ) n possui variação limitada uniformemente, i.e. n n −1 −1

        Z

        X X

        1 j

        1 varϕ n var(L 1) C dm = C . ≤ ≤ n n j =0 j =0

        Além disso, temos n n

        −1 −1

        Z Z Z

        X X

        1 j

        1 L ϕ n dm = 1dm = dm = 1 para todo n

        ≥ 1 n n j j

        =0 =0

        e então (ϕ n ) n é também uniformemente limitada, i.e Z sup ϕ + n n ϕ n dm + 1. ≤ varϕ ≤ C n ) k

        Consequentemente, pelo teorema de Helly, existe uma subsequencia (ϕ que converge k

        L ϕ n k = ϕ n k +

        (m) o que nos dá, passando (99) ao limite, que Lϕ = ϕ

        1 −

        1 n k =

        1 n k n k

        −1

        X j

        =0

        L j 1 + 1 n k

        (L n k

        1 − 1)

        = ϕ n k +

        1 n k (L n k

        1 − 1) . Além disso, L é um operador limitado em L

        1

        , i.e. ϕ é um ponto fixo para L implicando na f-invariância da probabilidade µ definida por µ = ϕ m. Para provar a outra afirmação, suponha que µ é f-invariante e absolutamente contínua com relação a medida de Lebesgue. Então temos µ = ψm com ||ψ||

        L j 1 + 1 n k

        1 = 1 e Lψ = ψ.

        Mostremos que ψ coincide em m-qtp com alguma ψ de variação limitada. Para isto, con- sidere uma sequência de funções (ψ l ) l , cujos termos são de variação limitada, que converge para ψ em L

        1

        (m). Admita que ||ψ l || ≤ 2 para todo l. A proposição 3.1 nos fornece var

        1 n n

        −1

        X j L j

        ψ l !

        ≤

        1 n n

        −1

        X j C λ j varψ l +

        Z |ψ l |dm → C

        L n k

        =0

        1 n k (L n k

        1 n k n k

        1 − 1).

        (99) De fato, temos:

        L ϕ n k = L

        1 n k n k

        −1

        X j =0 L j

        1 !

        =

        1 n k n k

        X j

        =1

        L j

        1 =

        X j =1 L j 1 +

        X j

        1 n k −

        1 n k =

        1 n k n k

        X j

        =0

        L j

        1 −

        1 n k =

        1 n k n k

        X j =0 L j

        1 −

        1 n k =

        1 n k n k

        −1

        Z |ψ l |dm ≤ 2C temos também n

        X

        1 j L

        ψ l

        1 l

        1 || || ≤ ||ψ || ≤ 2.

        n j =0 n

        −1

        X

        1 j L

        Logo, pelos mesmo argumentos anteriormente usados, a sequência ψ j satisfaz as n j =0 hipóteses do teorema de Helly. Segue-se que existe uma função ψ e uma subsequência n l k −1

        X

        1 j

        1 L

        (n k ) k tal que ψ j converge para ψ em L (m). Além disso teremos varψ e l l ≤ 2C n k j

        =0 1 . Diante destes dois últimos fatos, podemos aplicar novamente o teorema de Helly na

        ||ψ l ||

        1

        ) l ) j (m) para alguma sequência (ψ , e concluir que alguma subsequência (ψ converge em L l l j

        . Além disso, função ϕ tal que varϕ ≤ 2C n k −1

        X

        1 j L l = lim (ψ l l

        1

        1

        1

        ||ψ − ψ|| || − ψ)|| ≤ ||ψ − ψ|| n k j

        =0

        1

        implica que ψ converge em L (m) para ψ. Portanto, ψ = ϕ m-qtp e teremos µ = ψm = l ϕm. n n n n

        1

        −1

        Agora defina a função g : M (y) = (y) se y (η) e η η −→ R por g ◦ (f |η) ∈ f n n n |Df | g (y) = 0 se y / (η). η ∈ f

        Lema 0.3.2. Para toda função integrável ϕ : [0, 1] n n −→ R e todo n ≥ 1 o iterado da medida de Lebesgue por f pode ser escrito f n m, com ∗ (ϕm) = ϕ

        X n n

        −1

        ϕ n = g η ) η η · ϕ ◦ (f |

        ( onde a soma é feita sobre os η n) tais que m(η) &gt; 0.

        ∈ P Demonstração. Dado um mensurável B, por definição temos n −n f (B)

        ∗ (ϕm|η)(B) = ϕm f ∩ η Z = ϕdm. n −1 f (B)∩η −n

        n Z f ϕdm ∗ (ϕm|η)(B) = f −n

        (B)∩η

        Z ϕ n

        −1

        = dm B n n ◦ (f |η)

        ∩f (η) |Df |

        Z ϕ n

        −1 n

        = χ B dm

        ∩f (η) n ◦ (f |η)

        |Df | Z

        ϕ n −1 n = χ B χ f dm

        (η) n ◦ (f |η)

        |Df | Z

        ϕ n

        −1 n

        = χ f dm

        (η) B n ◦ (f |η)

        |Df | Z

        1 n −1 n −1 n = χ f dm

        (η) B n ◦ (f |η) · ϕ ◦ (f |η)

        |Df | Z n n

        −1

        = g dm, η B · ϕ ◦ (f |η)

        1 n

        −1 n

        onde esta última igualdade segue, do fato, da expressão χ f ser zero

        (η) n ◦ (f |η) n n n n −1 |Df | fora de f (η). Isto prova que a densidade de cada f ).

        ∗(ϕm|η) é dada por g η ·(ϕ ◦ (f |η) Escrevendo n n

        X f f n ∗ (ϕm) = ∗ (ϕm|η), η ∈P n tais que m(η) = 0 não fazem influência nesta soma, a demon- onde os intervalos η ∈ P n stração do lema se conclui fazendo esta soma sobre os subintervalos de P tais que m(η) &gt;

        0. Proposição 0.3.3. Dado um conjunto A ⊂ [0, 1], f-invariante, com medida de Lebesgue positiva, existe uma probabilidade absolutamente contínua com relação a Lebesgue e f - invariante ν A , tal que ν A (A) = 1. Demonstração. Para provar esta proposição, usaremos um lema que é um corolário da proposição 1.6. Para os detalhes da demonstração veja [13]. n

        −1

        X

        1 j Lema 0.3.3. Todo ponto de acumulação da sequência f

        ∗ m é uma medida f- n j

        =0 invariante e absolutamente contínua com respeito a medida de Lebesgue. cuja medida de Lebesgue é positiva. Pelo teorema de derivação de Lebesgue m( b

        A) = m(A) &gt; 0. Além disso !

        [

        −1

        b A f ( b

        A) c i (100) ⊂ ∪ i onde c i

        A não é um ponto singular, então f é uma singularidade de f. De fato, se x ∈ b restrita a uma vizinhança suficientemente pequena de x é um difeomorfismo local. Como esta vizinhança intersecta A num conjunto de medida positiva, o mesmo deve acontecer

        A, o que prova a inclusão. Isto também implica que com f(x). Logo f(x) ∈ b ! !

        ∞

        [ [

        −n

        b A f ( b

        A) c i . (101) ⊂ ∪ n i

        =1

        ) a restrição normalizada da medida de Lebesgue a b

        A, e considere a sequência Seja (m| A b de probabilidades n −1

        X

        1 j µ A,n = f ).

        ∗ (m| A b n j =0 χ A b

        ) = ϕm onde ϕ = A b . Agora usando o lema 3.2, seja ϕ n a Observe que (m| n m( b

        A) n densidade correspondente a f ) e φ n a densidade correspondente a f ∗ (m| A b

        ∗ m. Então vale

        1 C + 1 ϕ j φ j

        ≤ ≤ para todo j ≥ 0. m( b

        A) m( b

        A) C + 1

        Isto implica que µ A,n admite uma densidade limitada por para todo n ≥ 1 m( b

        A) Segue-se do lema 3.3 que todo ponto de acumulação da sequência µ A,n é uma probabilidade absolutamente contínua com relação a Lebesgue e f-invariante. Chame de µ A um desses j pontos de acumulação. A relação (101) implica f A)( b

        A) A)( b

        A) = 1 para todo ∗ (m| b ≥ (m| b b j A,n ( b

        A) = 1 para todo n A A = 1. Por outro ≥ 1, isto nos dá µ ≥ 1 e pela proposição [] µ lado, pelo teorema 3.3 µ A = ϕ A m onde ϕ A possui variação limitada. Ou seja, existe um intervalo J ⊂ [0, 1] tal que

        ϕ A &gt; δ em J, para um δ &gt; 0. (102) Isto implica que as restrições de µ A e m a J são medidas equivalentes. De fato, sabemos que µ A &lt;&lt; m, agora suponha que µ A (E) = 0 para um conjunto mensurável E

        ⊂ J. R R Então ϕdm = χ E ϕdm = 0, logo χ E ϕ = 0 m-qtp, portanto χ E = 0 m-qtp, daí E

        R b m(E) = χ E dm = 0. Portanto como µ A A = 1 temos que b A intersecta J num conjunto de medida de Lebesgue total em J. Em particular b A tem algum ponto em J e pela definição de b A temos que A

        ∪ J tem medida de Lebesgue positiva e, integrando (102) em A, temos µ A (A) ≥ δm(A ∩ J) &gt; 0.

        Agora defina ν A como a restrição normalizada de µ A ao conjunto A, i.e, µ A (B

        ∩ A) ν A (B) = para todo mensurável B. µ A (A)

        Temos então ν(A) = 1 e ν &lt;&lt; µ A &lt;&lt; m. Além disso, ν A é f-invariante

        −1

        µ A (f (B)

        

      −1 ∩ A)

        ν A (f (B)) = (103)

        µ A

        −1 −1

        µ A (f (B) (A)) ∩ f

        = (104)

        µ A

        −1

        µ A (f (B ∩ A))

        = (105)

        µ A µ A (B

        ∩ A) =

        (106) µ A

        = ν A (B). (107) onde (103) =⇒ (104) pela f-invariância de A e (105) =⇒ (106) pela f-invariância de µ A . O que conclui a prova do resulado. Proposição 0.3.4.

        Todo conjunto A ⊂ [0, 1], f-invariante, com medida de Lebesgue pos- itiva, possui medida de Lebesgue total numa vizinhança de algum ponto singular: existe

        ǫ &gt; 0 e um ponto singular c de f tal que m([c − ǫ, c + ǫ] \ A) = 0. Demonstração. Seja ν uma probabilidade f -invariante e absolutamente contínua tal que ν(A) = 1. Pelo teorema 3.3, ν = ϕm onde ϕ é uma função de variação limitada. Isto implica que existe um intervalo J ⊂ [0, 1] tal que o ínfimo de ϕ em J é estritamente positivo (veja demonstração da proposição 3.3 anterior) implicando na equivalência entre ν e m em J. Portanto, como c

        ν(J ) = 0 = \ A) = ν(J ∩ A ⇒ m(J \ A) = 0 (observe no lema anterior a definição de ν) temos que, se J contém uma singularidade de f o resultado está provado. Suponha n então que J não contém uma singularidade. Considere os iterados f (J) do intervalo J, a propriedade de expansividade implica que n n l(f (J))

        1 λ l(J) onde l(J) significa o “comprimento do intervalo J”,

        ≥ C n

        1

        (J) não contém uma singularidade para 0 sempre que f ≤ j ≤ n−1. Como o comprimento N (J) contém uma singularidade. de [0, 1] é finito, deve existir um primeiro N tal que f N Isto quer dizer que f

        |J é um difeomorfismo com sua imagem (lembre que a derivada é N sempre maior que zero onde ela está definida). Sendo um difeomorfismo, f |J transforma conjuntos de medida de Lebesgue nula em conjuntos de medida de Lebesgue nula, além N disso f (J) é um intervalo. Portanto por (108) e pela invariância de A temos N N N N m(f (J) (J) (A) = m(f (J

        \ A) = m(f \ f \ A) = 0.

        Teorema 0.3.4. A aplicação f possui um número finito, limitado pelo número de pontos singulares de f , de medidas ergódicas absolutamente contínuas com relação a m. Demonstração. Seja µ uma medida ergódica f -invariante e absolutamente contínua com dµ relação a medida de Lebesgue. Pelo teorema 3.3 µ = ϕm onde ϕ = possui variação dm limitada. Portanto, pela proposição 1.10, existe um intervalo J ⊂ M tal que ϕ &gt; 0 n em J e em f (J) para todo n

        ≥ 1. Isto implica que µ é equivalente a m em J. Com efeito, sabemos que µ &lt;&lt; m, agora suponha que µ(E) = 0 para um conjunto mensurável R R

        E ϕdm = χ E ϕdm = 0, logo χ E ϕ = 0 m-qtp, portanto χ E = 0 m-qtp, daí ⊂ J. Então E

        R

        ′ ′ −1 ′

        m(E) = χ E dm = 0. Agora considere A . Então µ(f (A )) = ⊂ f(J) tal que ϕ = 0 em A

        R c

        ′ −1 ′ −1 ′ −1 ′

        µ(A ) = ϕdµ = 0 pois µ é f -invariante. Como f (A ) = (f (A ) (A ) ) A c ∩ J)∪(f ∩ J

        −1 ′ −1 ′ −1 ′

        (A ) (A ) ) = 0+0 o que nos dá µ (f (A ) temos que 0 = µ (f ∩ J)+µ (f ∩ J ∩ J) = 0 e

        −1 ′ −1 ′

        (A ) η = η (A ) consequentemente m (f ∩ J), pois m &lt;&lt; µ em J. Agora, seja F ∩(f ∩ J)

        (1) η

        1

        é C temos que f é localmente Lipschitz em cada η, e para todo η ∈ P . Como f| portanto preserva a medida nula de subconjuntos de η. Daí, observe que

          j ! [ [

        −1 ′ −1 ′

         f (A ) = η (A ) i ∩ J ∩ f ∩ J  ∪ {x } (1) i η ∈P =0 n (

        ϕ &gt; 0 em f J), e o mesmo vale para f (J) para todo n n ≥ 1. Resulta que µ e m são n equivalentes de f (J) para todo n

        (J) ≥ 1. Como µ é ergódica temos que µ-qtp x ∈ f n

        (J) é genérico para µ, i.e, o é genérico para µ, e pela equivalência com m, m-qtp x ∈ f n

        −1

        X

        1 R j tempo médio ϕ(f (x)) converge para ϕdµ, para toda função contínua ϕ. Por outro n j

        =0 n

        lado, se a i é uma das singularidades, considere n o primeiro n tal que a i (J), caso n ∈ f contrário, o comprimento de f (J) seria ilimitado quando n n

        −→ ∞ o que contradiz o fato de f (J)

        1 e µ 2 , devem resultar n n n n ⊂ I. Isto nos diz que duas destas medidas distintas, µ ′ ′′ ′ ′′

        (J) f (J) disjuntos. De fato, se f (J) (J) em dois f n n ′ ′′ ∩ f 6= ∅, então m-qtp(Lebesgue) n n ′ ′′ x (J) (J) é µ genérico. Isto implica que deve existir um x (J) (J) tal ∈ f ∩ f n n ∈ f ∩ f

        −1 −1

        Z Z

        X X

        1 j j

        1 que ϕ(f (x)) = ϕdµ

        1 e ϕ(f (x)) = ϕdµ 2 para toda ϕ contínua. O que

        n n j =0 j =0 R R nos dá ϕdµ = ϕdµ e consequentemente µ = µ

        1

        2

        1

        2

        . Portanto, existem no máximo l − 1

        (1) (l é o número de subintervalos da partição P ) destas medidas.

        Observação 0.3.1.

        Para a transformação f do modelo geométrico de Lorenz, tomamos l = 2. Finalizamos esta seção com a seguinte proposição:

        Proposição 0.3.5. Para a aplicação f de Lorenz, se µ é uma medida f -invariante e abso- lutamente contínua com respeito a Lebesgue, então µ é ergódica. Além disso m(B(µ )) =

        1.

        −1

        Demonstração. Suponha que existe um conjunto mensurável A (A) = A ⊂ [0, 1] com f com 0 &lt; µ (A) &lt; 1. Então c

        µ (B µ (B ) ∩ A) ∩ A

        µ (B) = e µ (B) =

        1

        2 c

        µ (A) µ (A ) definem duas medidas f-invariantes e absolutamente contínuas com relação a Lebesgue. dµ i Pelo teorema 3.3 as densidades ϕ i = são funções cuja variação é limitada. dm

        Logo existem intervalos J e J tal que ϕ &gt; 0 em J e ϕ &gt; 0 em J . Afirmo que c

        1

        2

        1

        1

        2 c

        2 J m-qtp. Ou equivalentemente m(J ) = 0 e m(J

        1

        2

        1

        Z dµ c

        2 ⊂ A m-qtp e J ⊂ A ∩ A ∩ A) = 0.

        1 De fato, se m(J ) &gt; 0 então por um lado dm &gt; 0, mas isto implica que

        1

        ∩ A c A dm c

        ∩J 1

        µ (J ) &gt; 0, uma contradição, pois

        1

        1

        ∩ A c c µ ((J ) 1 ∩ A ∩ A)

        µ (J ) =

        1

        1

        ∩ A µ (A)

        µ ( ∅)

        = µ (A) = 0. c

        Logo J

        1 2 m-qtp. Isto nos diz que A c ⊂ A m-qtp e, pela mesma justificativa, J ⊂ A e A possuem interior não vazio m-qtp e consequentemente possuem medida de Lebesgue c positiva. Desta forma A e A satisfazem as hipóteses da proposição 3.3, ou seja existem c

        ǫ &gt; 0 e ǫ &gt; 0 tal que m([c , c + ǫ ] , c + ǫ ] ) = 0. Tomando

        1

        2

        1

        1

        2

        2

        − ǫ \ A) = 0 e m([c − ǫ \ A ǫ = min , ǫ

        1

        2

        {ǫ } teremos que m([c (109)

        − ǫ, c + ǫ] \ A) = 0 e c m([c ) = 0. (110) − ǫ, c + ǫ] \ A

        Porém, c m([c ) = 0

        − ǫ, c + ǫ] \ A) = 0 =⇒ m([c − ǫ, c + ǫ] ∩ A =

        ⇒ [c − ǫ, c + ǫ] ⊂ A, m-qtp =

        ⇒ m([c − ǫ, c + ǫ] ∩ A) &gt; 0 c = ) &gt; 0

        ⇒ m([c − ǫ, c + ǫ] \ A o que por (110) é uma contradição. Portanto µ é ergódica e portanto física. c Agora provemos que m (B(µ )) = 1. Se isto não ocorre, então m(B(µ )) &gt; 0 e como c c

        B(µ ) é invariante, temos que B(µ ) também o é. Use a notação A = B(µ ) Pela proposição 3.4 existe uma medida de probabilidade µ A tal que µ A (A) = 1, além disso, µ A é f -invariante e pela proposição 3.5 (a parte já provada dela), é ergódica. Como µ A (A) = 1 temos que µ A (B(µ )) = 0, e por sua vez, µ (A) = 0 temos que µ (B(µ )) = 1. Portanto µ A o que contradiz a unicidade de µ . Portanto m (B(µ )) = 1.

        6= µ Teorema 0.3.5. A transformação unidimensional f de Lorenz possui uma única medida ergódica e absolutamente contínua com relação a medida de Lebesgue que será denotada por µ f . Consequentemente µ f é uma medida física para f e, mais ainda, sua bacia ergódica tem medida de Lebesgue total, i.e, m (B(µ f )) = 1.

      0.4 Medida Física para a Aplicação de Poincaré

        1

        1 , ] denotará a projeção canônica, i.e., p(x, y) = x e C (S; R)

        Neste seção, p : S −→ [−

        2

        2 denotará o espaço de Banach das funções contínuas munido com a norma do sup, i.e., ||ψ|| = sup |ψ(x)|.

        Agora, a partir da existência de uma medida SRB para a aplicação unidimensional de Lorenz f, construiremos uma medida física para a aplicação P de Poincaré. Para isto, fixemos a notação µ f para a única medida ergódica absolutamente contínua, e SRB, da aplicação unidimensional de Lorenz f.

        1

        1 Sejam Π a folheação de S, cujas folhas são os segmentos verticais γ x = , ] {x × [− }

        2

        2

        1

        1

        ∗

        , ] e P : S −→ S a aplicação de primeiro retorno definida no capítulo 2. com x ∈ [−

        2

      2 Para esta aplicação, valem as propriedades:

        A1 A imagem de qualquer γ x P (x) n ∈ Π diferente de Γ, está contida no elemento γ ∈ Π; (γ x ) tende para zero quando n

        A2 O comprimento de P x (γ x ) está definido. n −→ ∞, uniformemente, para todos os γ tais que o iterado P

        1

        1 : [ , ]

        −

        Para uma função contínua ψ : S −→ R, defina as funções ψ − −→ R e

        2

        2

        1

        1 ψ : [ , ]

        − −→ R da seguinte maneira:

      • 2

        2 ψ (x) = inf ψ(x, y) e ψ (x) = sup ψ(x, y). 1 + − (x,y)∈p (x) 1 (x,y)∈p (x) Lema 0.4.1.

        Dada qualquer função contínua ψ : S −→ R, ambos os limites

        Z Z n n lim (ψ ) dµ f e lim (ψ ) dµ f n →∞ n →∞ − ◦ P ◦ P

      • existem e coincidem.
      Demonstração. Seja ψ : S ) )

        1

        2

        −→ R contínua, ǫ &gt; 0 e δ &gt; 0 tal que |ψ(x − ψ(x | ≤ ǫ

        1

        2

        sempre que |x − x | ≤ δ. Uma vez que Π é uniformemente contraída por P , existe n ∈ N n tal que diam(P (γ x )) x . Por definição n n k ≤ δ para todo γ ∈ Π e todo n ≥ n

      • k n +k n

        (ψ ) − (x) ) − (f (x)) = inf (ψ P ) P ) (111) ◦ P − (ψ ◦ P | (γ ) − inf (ψ| (γ ) n n x f k (x)

      • k k

        (γ x ) (γ ), o que implica na limitação da expressão do Agora observe que P f

        ⊂ P (x) lado direito de (111) por n n (sup (ψ P ) P ))

        (γ ) (γ ) | − inf (ψ| ≤ ǫ. f k (x) f k (x)

        Portanto Z Z n n k

      • k

        (ψ ) dµ f (ψ ) dµ f

        

      − −

        ◦ P − ◦ P ◦ f ≤ ǫ. Além disso, usando o teorema de mudança de variáveis, podemos substituir a segunda inte-

        R n R n (ψ ) dµ f f (ψ ) dµ f gral por − pois µ é f-invariante. Como − é uma sequência

        ◦ P ◦ P n de Cauchy em R, temos que esta sequência é convergente. Mais ainda, n n n n

        ) (x) ) (x) P P

        − sup ψ| (γ + ) (γ ) ≤ ǫ

        ≤ |(ψ ◦ P − (ψ ◦ P | = x − inf ψ| x . Logo, as duas sequência do lema possuem o mesmo limite. para todo n ≥ n Proposição 0.4.1.

        Existe uma probabilidade µ P em S tal que Z Z Z n n

        ψdµ P = lim (ψ ) dµ f = lim (ψ ) dµ f n →∞ n →∞ − ◦ P ◦ P

      • +

        para toda função contínua ψ : S P é única e P -invariante.

        −→ R. Além disso, µ x

        −1

        Demonstração. Sejam ˆ µ(ψ) o valor dos dois limites e A = (x) x x ψ {ψ(x, y), (x, y) ∈ p }.

        (x) = sup A (x) = inf A Observe que ψ e ψ − . Portanto, dadas ψ x x x x x x x x ψ ψ 1 e ψ + 2 temos que

        A + A

      • inf A = inf A + A ψ ψ ⊂ A ψ +ψ ψ ψ ψ ψ ≥ inf A ψ +ψ
      • 1 x x x x x 2 1 2 o que implica em inf A 1 2 1 2 1 2 e sup A + sup A = sup A + A . Concluímos então que (ψ ) + (ψ ) ψ ψ ψ ψ ≤ sup A ψ +ψ 1 − 2 − 1 2 1 2 1 2 n n ≥ (ψ + ψ ) e (ψ ) + (ψ ) + ψ ) , em particular temos (ψ ) + (ψ )

          1 2 − + 1 +

          2 1 +

          2 1 − 2 − n n n n n n n ≤ (ψ ◦ P ◦ P ≥

          (ψ + ψ ) = ((ψ + ψ ) ) e (ψ ) + (ψ ) + ψ ) =

          1 2 −

          1 2 −

          

        1

          2 + + +

          1

          2

          ◦ P ◦ P ◦ P ◦ P ◦ P ≤ (ψ ◦ P ◦ P n ((ψ + ψ ) ) . Com essas observações temos que

          1 +

          2

          ◦ P Z Z Z n n n e Z Z Z n n n

        • (ψ ) dµ f (ψ ) dµ f ((ψ + ψ ) ) dµ f ,

          1 + +

          2

          1

          2

          ◦ P ◦ P ≤ ◦ P

        • ψ )

          1

          2

          e passando ao limite quando n → ∞, chegaremos a essas duas relações bµ(ψ ≤ µ(ψ µ(ψ µ(ψ + ψ ) µ(ψ µ(ψ ). Portanto, concluímos a seguinte relação de

          1

          2

          1

          2

          1

          2

          b ) + b ) e b ≥ b ) + b aditividade µ(ψ + ψ µ(ψ µ(ψ ). b

          1

          2

          1

          2

          ) = b ) + b Além disso, para α ∈ R temos bµ(αψ) = αbµ(ψ). Mais ainda, o funcional bµ é limitado. De

          ψ ψ = e observe que fato tome ψ 6= 0 contínua e e n ||ψ|| e

          ψ ψ = 1 ◦ P ≤ sup e

        • Z n e

          ψ dµ (S) f f ⇒ ◦ P ≤ µ

        • Z n e

          ψ dµ f f (S) ⇒ lim ◦ P ≤ µ n

        • ψ

          µ( e µ f (S) ⇒ b ≤ µ

          ψ) = b ||ψ||

          µ (ψ) f (S) ⇒ b ≤ µ ||ψ||. (S; R) é limitado. Agora tome ψ (S; R), com ψ

          ∈ C ≥ 0, Portanto o funcional linear bµ : C daí sup ψ(x) 1 ≥ 0

          (x,y)∈p (x)

          ⇒ ψ ≥ 0

        • Z n

          ψ dµ f ⇒ ◦ P ≥ 0

          Z n ψ dµ f

          ⇒ lim ◦ P ≥ 0 n µ(ψ)

          ⇒ b ≥ 0 portanto o funcional é positivo. Estes fatos reunidos colocam bµ nas hipóteses do teorema de Representação de Riesz que afirma a existência de uma única medida µ P em S tal que

          R µ(ψ) = ψdµ P (S; R). Para mostrar a P -invariância b para toda função contínua ψ ∈ C de µ P observemos que Z n

        • 1

          µ(ψ (ψ ) dµ µ(ψ),

          − f

          b ◦ P ) = lim ◦ P = b n e então Z

          µ(ψ) = ψdµ P (112) b Z

          = ψ P (113) ◦ P dµ

          Z = ψd(P P ) (114)

          ∗ µ P = µ P . Portanto segue-se, pela unicidade do teorema de Representação de Riesz, que P ∗µ µ P é P -invariante.

          1

          1 Lema 0.4.2. Seja ψ : S

          , ] tal que −→ R uma função contínua e x ∈ [− n

          2

          2

          −1

          Z

          X

          1 k j k lim (ψ ) (f (x)) = (ψ ) dµ f

          ± ± n →∞ ◦ P ◦ P n j =0

          1 R P n −1 j

          −1 para todo k n (ψ(P (x, y))) = ψdµ P para todo (x, y) (x). →∞

          ≥ 1. Então lim j ∈ p

          =0

          n

          1

          1 Demonstração. Primeiramente, vamos fixar ǫ &gt; 0, um x , ], como na hipótese, e ∈ [−

          2

          2 observar que j j j j

          

        −1 −2

        P (x, y) = f (x), g f (x), g f , . j −1 j · · · , g(f(x), g(x, y))

          Isto implica que P (x, y) (f (x)). Portanto temos ∈ p k k j k inf ψ (x, y) (P (x, y)) sup ψ (x, y) 1 j ◦ P ≤ ψ ◦ P ≤ ◦ P 1

          (x,y)∈p (f (x)) j k (x,y)∈p (f (x))

          ) e usando a definição de (ψ ◦ P ± temos k j k j k j (ψ ) (f (x)) (P (x, y)) ) (f (x)) (115)

          ◦ P − ≤ ψ ◦ P ≤ (ψ ◦ P + k

          Além disso, pela Proposição 4.1 temos que µ P (ψ) = lim µ f ((ψ ) ), isto implica que

          ±

          ◦ P existe um k ∈ N tal que

          ǫ ǫ k µ P (ψ) f ((ψ ) ) P (ψ) + (116)

          − ≤ µ ◦ P ± ≤ µ

          2

          2 . Por outro lado, por hipótese existe n

          ∈ N tal que para todo k ≥ k n

          −1

          X k k j k ǫ

          1 ǫ

          µ f ((ψ ) ± ) ((ψ ) ± )(f (x)) f ((ψ ) ± ) + , (117) ◦ P − ≤ ◦ P ≤ µ ◦ P 2 n j

          2

          =0 = n (k).

          para todo n ≥ n Somando as desigualdades (116) e (117) temos n −1

          X

          1 k j µ P (ψ) ((ψ ) )(f (x)) P (ψ) + ǫ.

          ± (118)

          − ǫ ≤ ◦ P ≤ µ n j =0 Agora some a desigualdade (115) em j = 0 · · · n − 1 para obter n −1 n −1 n −1

          X k j k j k j

          X X (ψ ) (f (x)) ψ (P (x, y)) (ψ ) (f (x)). j j j − ◦ P ≤ ◦ P ≤ ◦ P

        • =0 =0 =0

          Unindo este último fato com (118) obtemos n

          −1

          X

          1 k j µ P (ψ) (ψ )(P (x, y)) P (ψ) + ǫ (119)

          − ǫ ≤ ◦ P ≤ µ n j

          =0

          = n (k). Como ǫ pode ser tomado arbitrariamente pequeno e n arbi- para todo n ≥ n trariamente grande, temos n

          −1

          Z

          X

          1 j (ψ (x, y)) ψdµ P .

          ◦ P −→ n j

          =0 Teorema 0.4.1. O sistema (P, µ P ) é ergódico.

          Demonstração. Vamos utilizar a proposição 1.8 da seção sobre teoria Ergódica. Segundo esta proposição, precisamos mostrar que n

          −1

          Z

          X 1 n j

        →∞

        ϕ(P (x, y)) ϕdµ µ-qtp P

          −→ n j =0

          1 (S, R).

          . Escolheremos F = C apenas para as funções ϕ de um conjunto denso F ⊂ L k ) : M

          ±

          −→ R é limitada e Portanto, dada ϕ : S −→ R contínua, temos que (ϕ ◦ P k

          1

          1 portanto µ f -integrável. Logo, existe B , ] tal que ϕ ◦P ⊂ [− n −1

          2

          2 Z

          X

          1 k j k lim (ϕ ) (f (x)) = (ϕ ) dµ f ,

          ± ± n ◦ P ◦ P →∞

          n j

          =0 k −1 k

          onde µ f (B ) = 1, pois µ f é ergódica. Pelo lema 4.2, no conjunto p (B ) ϕ vale ϕ ϕ

          ◦P n ◦P ⊂ B −1

          Z

          X 1 n j →∞ ϕ(P (x, y)) ϕdµ P

          −→ ϕ n j =0 onde B é o conjunto dos pontos z ∈ S tais que n

          −1

          Z

          X

          1 j lim ϕ (z) = ϕdµ P . n ◦ P

          →∞

          n j =0 Portanto, para que µ P seja ergódica, resta mostrar que µ P (B ϕ ) = 1.

          1

          1

          1

          1 Uma vez que o espaço C ([ , ]; R) das funções contínuas ψ : [ , ] − − −→ R é denso

          2

          2

          2

          2

          1

          1

          1

          1

          1

          em L ([ , ], µ f ), tome uma sequência (ψ n ) n ([ , ]; R) de funções contínuas tal − ⊂ C − L (µ ) 1

          2 f

          2 1

          2

          2 que ψ n B . Uma vez que χ p = χ B −→ χ (B ) ◦ p temos que ϕ◦P k ϕ◦P k ϕ◦P k L 1

          (µ ) P 1

          ψ n = χ B p (B ) (120) ◦ p −→ χ ◦ p. ϕ◦P k ϕ◦P k Agora observe Z ψ n

          ◦ pdµ P = lim k →∞ Z

          = |

          | Z

          ψ n dµ f − µ f (B ϕ

          ◦P k

          ) | = |

          Z ψ n dµ f

          − Z

          χ B ϕ◦P k dµ f |

          Z ψ n

          (µ f )

          − χ B ϕ◦P k dµ f |

          ≤ Z

          |ψ n − χ B ϕ◦P k |dµ f =

          ||ψ n − χ B ϕ◦P k ||

          1 ≤ ǫ.

          Por um lado temos, Z

          ψ n dµ f −→ µ f (B ϕ

          ◦P k i

          −→ χ B ϕ◦P k , temos também a convergência das integrais. De fato, para um n suficientemente grande e ǫ &gt; 0 arbitrário

          Uma vez que nós temos a convergência ψ n L 1

          ψ n ◦ p ◦ P k

          

        →∞

          −

          dµ f (121) = lim k

          

        →∞

          Z ψ n

          ◦ f k dµ f (122)

          = lim k →∞ Z

          (ψ n )d(f k ∗ µ f ) (123)

          = lim k

          Z (ψ n )dµ f (124)

          ⇒ (123) segue do teorema de mudança de variáveis; (123) =⇒ (124) da f- invariância (e portanto da f k -invariância) de µ f e (124) =⇒ (125) pois a expressão não depende mais do índice k.

          = Z

          ψ n dµ f (125) onde (121) =⇒ (122), pois como observado no início da prova do lema 4.2, P k tem a forma

          P k (x, y) = f k (x), g f k

          −1

          (x), g f k

          −2

          , · · · , g(f(x), g(x, y))

          ; (122) =

          ) = 1, por (120) e observando que Z Z 1 temos Z Z

          ψ n dµ f = ψ n P ◦ pdµ

          Z 1 χ dµ P p (B )

          → ϕ◦P k

          −1 k

          = µ P (p (B ϕ )),

          ◦P P (p (B )) = 1. Consequentemente, como B ϕ −1 k

          portanto, pela unicidade do limite, µ ϕ

          ◦P

          ⊃

          −1 k

          p (B ), temos que µ P (B ϕ ) = 1. Logo µ P ϕ é ergódica.

          ◦P Concluímos este trabalho mostrando que µ P é uma medida física para P .

          Teorema 0.4.2. µ P é uma medida física para P . Demonstração. Seja ϕ : S

          −→ R uma função contínua. Como S é compacto, ϕ é uni- formemente contínua. Portanto, para todo ǫ &gt; 0 existe δ &gt; 0 tal que

          1 , y 1 ) 2 , y 2 ) 1 , y 1 ) 2 , y 2 ) |ϕ(x − ϕ(x | &lt; ǫ sempre que |(x − (x | &lt; δ.

          −1

          ), (a, y ) (B(µ f )), a contração uniforme das folhas, equação Além disso, dado (a, y

          1

          2

          ∈ p n n (59) (propriedade 2, página 44, capítulo 2), nos diz que (a, y ) (a, y )

          1

          2

          |P −P | −→ 0 quando n tal que n &gt; n implique em −→ ∞. Portando seja n n n

          (a, y ) (a, y )

          1

          2 |P − P | &lt; δ.

          Portanto n n (a, y

          1 )) (a, y 2 )) ,

          |ϕ(P − ϕ(P | &lt; ǫ sempre que n &gt; n daí n n n n −1 −1 −1 −1

          X X

          X X

          1 j j j j

          1

          1 ϕ(P (a, y )) ϕ(P (a, y )) = ϕ(P (a, y )) ϕ(P (a, y ))

          1

          2

          1

          2

          − − n n n j j j j

          =0 =0 =0 =0 n −1

          X

          1 j j = ϕ(P (a, y )) (a, y ))

          1

          2

          − ϕ(P n j n n =0 −1

          X X

          1 j j j j = ϕ(P (a, y )) (a, y )) + ϕ(P (a, y )) (a, y ))

          1

          2

          1

          2

          − ϕ(P − ϕ(P n j j n n =0 =n +1 −1

          X X

          1 j j j j

          1 ϕ(P (a, y +

          1 )) (a, y 2 )) ϕ(P (a, y 1 )) (a, y 2 ))

          ≤ − ϕ(P − ϕ(P n n j j n n =0 =n +1 −1

          X X

          1

          1 ϕ(P (a, y j j j j +

          1 )) (a, y 2 )) ϕ(P (a, y 1 )) (a, y 2 ))

          ≤ − ϕ(P − ϕ(P n n j =0 j =n +1 n −1

          X

          1

          1 C + ǫ ≤ n n j

          =n +1 n

          X

          1

          1 C + ǫ ≤ n n j =1

          1 C + ǫ, ≤ n fazendo n −→ ∞, temos n n

          −1 −1

          X X

          1 j j

          1 lim ϕ(P (a, y )) ϕ(P (a, y ))

          1

          2 n −→∞ − ≤ ǫ.

          n n j j

          =0 =0

          Como o ǫ é arbitrário, temos que o tempo médio de Birkhoff é igual para todo ponto

          −1

          em p (a) onde a f ), i. e., ∈ B(µ n n

          −1 −1

          X X

          1 j j

          1 lim ϕ(P (a, y )) ϕ(P (a, y )) = 0.

          1

          2 n −→∞ n −→∞ − lim n n j j =0 =0 .

          −1 −1

          (x) (B(µ f )) para x f ) os tempos implica que para todo ponto (x, y) ∈ p ⊂ p ∈ B(µ médios de Birkhoff são iguais, para toda função contínua ϕ : S −→ R, i.e, " n n #

          −1 −1

          X X

          1 j j

          1 lim ϕ(P (x, y )) ϕ(P (x , y ))

          1

          2

          2 n − −→∞

          n n j =0 j =0

          −1 −1

          1

          2

          ), (x, y ), (x) com x f ). Consequentemente, p (B(µ f )) para todos (x, y

          ∈ p ∈ B(µ ⊂

          −1 B(µ P ) como m(p (B(µ f ))) = 1 temos que m(B(µ P )) = 1. Referências Bibliográficas

          [21] Oliveira, K. I. M., Um primeiro curso em Teoria Ergódica e Aplicações, Colóquio Brasileiro de Matemática - IMPA, Rio de Janeiro, 2002. [21] Bartle, R. G., The Elements of Integration and Lebesgue Measure, WILEY, 1995. [21] Rana, I. K., An Introduction to Measure and Integration, American Mathematical Society, 2002. [21] Brin, M. e Stuck, G., Introduction to Dynamical Systems, Cambridge University Press, 2002. [21] Lima, E. L., Curso de Análise Volume 1, Projeto Euclides, Rio de Janeiro: IMPA, Decima Segunda Edição, 2009. [21] Lima, E. L., Curso de Análise Volume 2, Projeto Euclides, Rio de Janeiro: IMPA, Decima Segunda Edição, 2009. [21] Lima, E. L., Espaços Métricos, Projeto Euclides, Rio de Janeiro: IMPA, Quarta Edição, 2007. [21] Pacifico, M. J. e , V.D. Araújo Three Dimensional Flows, A Series of Modern Surveys in Mathematics, New York: Springer, 2010. [21] Lima, E. L., Variedades Diferenciáveis, Monografias de Matemática # 15, IMPA, 1973. [21] Camacho, C. e Neto, A. L., Teoria Geométrica das Folheações, Projeto Euclides, Rio de Janeiro: IMPA, 1979. [21] J. Milnor, Teoria Geométrica das Folheações, University Press of Virginia 1965.

          [21] M. Viana, Leture Notes on Attractors and Physical Measures . [21] M. Viana, Stochastic Dynamics of Deterministic Systems , Brazilian Mathematical Colloquium, Rio de Janeiro: IMPA, 1997.

          [21] J. Sotomayor, Lições de Equações Diferenciais Ordinárias, Projeto Euclides, Rio de Janeiro: IMPA, 1979. [21] J. Palis Jr. e W. Melo, Introdução aos Sistemas Dinâmicos, Projeto Euclides, Rio de Janeiro: IMPA, 1978. [21] V. S. Afraimovich V. V. Bykov e L. P. Shil’nikov, On the appearance and structure of the Lorenz attractor, Dokl. Acad. SCI. USSR 234 (1977), 336 - 339. [21] J. Guckenheimer e R. F. Williams, Structural stability of Lorenz attractors, Publ.

          Math. Inst. Hauters Études Sci. 50 (1979), 59-72. [21] W. Rudin, Real and complex analysis, McGraw-Hill, 3 edition, 1987. [21] P. J. Fernandez, Medida e Integração, Projeto Euclides, IMPA, 2 edição, 2007. [21] A. Lasota, J. A. Yorke. On the Existence of Invariant Measures for Piecewise Mono- tonic Transformations, Trans. Amer. Math. Soc., 186:481-488, 1973.

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