Universidade Federal de Alagoas Instituto de Matemática Programa de Pós-Graduação em Matemática Dissertação de Mestrado

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Universidade Federal de Alagoas Instituto de Matemática

  Essencialmente ele consiste na construção de medidas físicas e ergódicas para dois tipos de aplicações,uma unidimensional que é seccionalmente expansora (piecewise expanding) e outra bidi- mensional que contrai as folhas de uma folheação invariante. A primeira faz uso de umoperador (operador de transferência) agindo no espaço das funções de variação limitada, enquanto que a segunda utiliza o teorema de representação Riesz bem como algumas outraspropriedades topológicas.

1. Ergódico. 2. Lorenz, Modelo geométrico de. 3. Atrator. I. Título

  Essencialmente ele consiste na construção de medidas físicas e ergódicas para dois tipos de aplicações,uma unidimensional que é seccionalmente expansora (piecewise expanding) e outra bidi- mensional que contrai as folhas de uma folheação invariante. Veremos que a aplicação de Poincaré, 1 1 1 1 P : [ , ] , ]− × [− \ Γ −→ R, do modelo geométrico pode ser escrita como 2 2 2 2 P (x, y) = (f (x), g(x, y)), isto é, uma das funções coordenadas é unidimensional.

0.1 Preliminares

  Dados dois campos de vetores f : E e f : E 1 1 2 2 −→ R −→ R 1 2 1 2 e seus fluxos φ e φ , dizemos que os campos f e f , ou que os fluxos φ e φ , são t t 1 2 t t diferenciavelmente conjugados se existe um difeomorfismo g : E 1 2 , chamado de −→ E conjugação diferencial, tal que para todo t∈ R, 2 1 φ t ◦ g = g ◦ φ t n mDefinição 0.1.3. Dados dois campos de vetores f : E e f : E e seus 1 1 2 2 −→ R −→ R 1 2 1 2 fluxos φ e φ , dizemos que os campos f e f , ou que os fluxos φ e φ , são topologicamente t t 1 2 t t conjugados se existe um homeomorfismo g : E , chamado de conjugação topológica, 1 2 −→ E tal que para todo t ∈ R, 2 1 φ t t◦ g = g ◦ φ Definição 0.1.4.

0.1.2 Resultados de Teoria da Medida

  uma sequência (E k ) 1 2 k E k = A n ; ⊂ X crescente E ⊂ E ⊂ · · · ⊂ E ⊂ · · · tal que k n =1 =1 ∞ ∞ [ [) E = A2. uma sequência (E k 1 2 k k n ; ⊂ X decrescente E ⊃ E ⊃ · · · ⊃ E ⊃ · · · tal que n =1 n =1 ∞ ∞ [ [3. uma sequência (F k ) m n = F k = A n ; ⊂ X tal que F ∩ F ∅ para n 6= m e k nk =1 =1[ Demonstração.

3. Dada uma sequência arbitrária (A n ) construa a sequência encaixada do item 1.. A

  Se (A n )A n = lim µ(A n ); ⊂ X é uma sequência crescente, então µ n n −→∞ =1 2. Se (A n )n ) < , então⊂ X é uma sequência decrescente e µ(A ∞ para algum n !

1. Defina a sequência (E k ) por E = A e E k = A k k . Esta

  Então vale a seguinte desigualdade∈ X, A ⊂ A +1 n =1 Z Z Zαϕdµ f n dµ f n dµ (2) A A n n ≤ ≤ RUma vez que a função de conjunto definida por λ(E) = ϕdµ para todo mensurável E ∞ [E n ) é encaixada com X = A n temos que ∈ X é uma medida e sequência (A n =1 Z Z ϕdµ = lim ϕdµ. Z f dµ≤ lim inf Z f n dµ,donde =Z gdµ + lim inf Z gdµ +Z f n dµ (g + f n )dµ= lim inf ≤ lim infZ ≤Z lim inf (g + fn )dµ =Z lim inf (g + f n )dµ =Z lim (g + f n )dµ Z f n dµ, (13) ≤Portanto Z Z Z lim sup f n dµ f dµ f n dµ,(15) ≤ ≤ lim inf dondeZ Z f = lim f n dµ.

2 Feito essa observação, podemos enunciar o teorema de Decomposição de Hahn que será a base para a prova do teorema de Radon-Nikodým

  Uma vez que a união de conjuntos positivos e um conjunto n =1 positivo, a sequência (A n ) pode ser escolhida de modo que seja monótona crescente, pois podemos definir uma nova sequência de positivos com estas mesmas propriedades fazendoS k ∞ [λ(E A ) n ∩ P ) = λ(E ∩ n =1 ∞ [= λ( E n ) n ∩ A =1 = lim λ(E n )∩ A ≥ 0 visto que todos os termos da sequência são maiores ou iguais que zero. 1 1 \ E − λ(E 1 não pode ser um conjunto positivo pois se P 1 = P 1 ) temos que ∪ (E \ EPortanto E \ EP 1 é positivo e λ(P 1 ) = λ(P 1 )) = λ(P ) + λ((E 1 )) > α contradizendo mais uma ∪ (E \ E \ E) contém um conjunto de carga negativa.

2 Mais uma vez, como antes, E \ (E ∪ E

  Agora defina o conjunto B por ∞ ∞ [ \B = X A j = P (jc), \ Defina f c por:( (k k− 1)c se x ∈ A f c (x) =se x ∈ B k ), Dado um mensurável E temos que E, é a união disjunta, E = (E ∩ B) ∪ (E ∩ A k∈ N, portanto segue-se de (2) que Z Z Z f c dµ (f c + c)dµ f c dµ + cµ(X). Seja m ≥ n, e observe queZ Z −mE E f c dµ f c dµ + 2 µ(X) n ≤ λ(E) ≤ m Z Z −nE E f c dµ f c dµ + 2 µ(X) m ≤ λ(E) ≤ n o que implica em Z −n f n m dµ µ(X),− f E ≤ 2 para todo E ∈ X.

a) Seja A

  Para o caso mais geral considere uma sequência (g n ) de funçõessimples tal que 0 ≤ g n ≤ g n ≤ g ∀n ∈ N tal que g n −→ g. EntãoZX ′ gd(f ∗ µ)(23) (A = lim nZX ′ g n d(f ∗ µ)(24) = lim nZX g n ◦ fdµ(25) =ZX limn g n ◦ fdµ(26) Z ′ −1 ZX ′ gd(f∗ µ) = Demonstração.

b) Decomponha g em sua parte positiva e negativa, i.e., escreva g = g

  R Rφdµ φdµ para toda função contínua Reciprocamente, suponha que n converge paraφ, então dado qualquer F = , φ , N n 1 2 tal que µ {φ · · · , φ } e ǫ, existe um n ∈ V (µ, F, ǫ) para n > n , φ , N j 1 2 tal que · · · , φ } então para cada j existe n. Usamos o lema 1.2 para tomar um subconjunto F = : n n {ϕ ∈ N} enu- (M ).merável e denso na bola unitária de C , µ ) definaAgora dado um par de medidas (µ 1 2 ∞ Z Z X 1 d(µ 1 , µ 2 ) = ϕ n dµ 1 ϕ n dµ 1 (33)n − .

2 Z Z

  De fato 4 Afirmo que B(µ, δ) ⊂ V (µ, F ∞ Z Z X −n ν 2 ϕ dµ ϕ dν n n∈ B(µ, δ) =⇒ − n < δ =1 Z Z n j= ϕ n dµ ϕ n dν δ para todo 1 ⇒ j − j ≤ j ≤ N< 2 Z Z n j ǫ= ψ j dµ ψ j dν δ + < ǫ para todo 1 ⇒ − ≤ n ≤ N. Seja A ǫ uma vizinhança ⊂ B um compacto tal que µ(B \ K \ Kaberta de K ǫ definida por A ǫ = ǫ ) < r {z : d(z, K } para um r suficientemente pequeno de modo que µ(A ǫ ǫ ) e (ϕν) µ(K ǫ ǫ ) sejam ambos menores do que ǫ e tal que a fronteira\ K \ K de A ǫ tenha medida µ nula.

0.1.3 Teoria Ergódica e Medidas Físicas

  Se ϕ (X, µ) com 1 ϕ definida por∈ L ≤ p < ∞ então a função e n −1 X 1 jϕ(x) = lim ϕ(f (x)) en −→∞ n jp =0pertence a L (X, µ) e satisfaz n −1 X 1 j lim ϕ ϕ(f (x)) = 0,(36) n e − −→∞ n j =0 p ϕ ϕ, µ (37) ep ◦ f = e − qtp x ∈ X 3. Para isto, seja z ∈ B, e ϕ uma função contínua e ǫ > 0, observe quen n n −1 −1 −1 Z X X X 1 j j j 1 1ϕ(f (z)) ϕdµ ϕ(f (z)) ϕ k (f (z)) − ≤ − n n nj j j =0 =0 =0 n −1 Z Z Z X 1 j n j =0 Como ϕ k (z) , tal que para k > k ocorra−→ ϕ(z), seja k n −1 n −1 X X 1 j j 1 ǫ ϕ(f (z)) ϕ k (f (z)) .

1 Logo faça k > max{k }. Agora, considere um n

  (51) − ≤ nj 3 =0 Z X X X 1 j j j 1 1ϕ(f (z)) ϕdµ ϕ(f (z)) ϕ k (f (z)) − ≤ − n n nj j j =0 =0 =0 n −1 Z Z Z X 1 jϕ + k (f (z)) + ϕ k dµ ϕ k dµ ϕdµ − − ≤ ǫ.n j =0 Portanto B ⊂ B(µ) e consequentemente 1 = µ(B) ≤ µ(B(µ)) ≤ 1 o que implica µ(B(µ)) = 1. Seja (X, X, µ) um espaço de probabilidade e f : X −→ X uma trans- formação mensurável que é µ-ergódica, onde µ é absolutamente contínua com relação amedida de Lebesgue.

0.1.4 Funções de Variação Limitada Definição 0.1.24

  Assim 1j ) j −1 ) = j ) j −1 ) + c [g(x j ) j −1 )] · · · < x |(f + cg)(x − (f + cg)(x | |f(x − f(x − g(x | j ) j −1 ) j ) j −1 ) n n n ≤ |f(x − f(x | + |c||g(x − g(x | X X X= ) ) ) ) ) ) j j −1 j j −1 j j −1 ⇒ |(f + cg)(x − (f + cg)(x | ≤ |f(x − f(x | + |c| |g(x − g(x | j =1 j =1 j =1 = f (x) f (x) + g (x). Seja ψ n : M−→ R, n ≥ 1 uma sequência de funções em M e assuma que existem constantes K > 0 e K > 0 tais que sup ψ n e varψ n 1 2 ≤ K 1 ≤ K 2 para todo nn ) k e uma função ψ : M≥ 1.

1 L (m)

  − δ ≤ ψ ≤ ψ ≤ ψ ≤ ψEntão para um k suficientemente grande, ± ± ± ± ± ± ± ψ (x) (q ) (q ) (x) (q ) (q ) + δ (x) + 2δ 1 n 1 n n 2 2 − 2δ ≤ ψ − δ ≤ ψ ≤ ψ ≤ ψ ≤ ψ ≤ ψ k k k o que prova afirmação. Em particular, ψ n m-qtp e em L .k → ψ Finalmente,(a) n (a) 1 es s |ψ | = lim |ψ | ≤ K k k X X(a j ) (b j ) n (a j ) n (b j ) var(ψ n ) , 2j j |ψ − ψ | = lim |ψ k − ψ k | ≤ sup k ≤ K k k=1 =1 para todo a e a 1 1 s s é contínua a direita ≤ b ≤ · · · ≤ a ≤ b em [0, 1] \ E.

0.2 Modelo Geométrico de Lorenz

  1 1 Considere as regiões S = (x, y, 1) : , ,|x| ≤ |y| ≤ 2 2 S = S ={(x, y, 1) ∈ S : x < 0} , {(x, y, 1) ∈ S : x > 0} ∗ − + S = S = S onde Γ = ∪ S \ Γ, {(x, y, 1) ∈ S : x = 0} . Figura 1: RegiõesTemos então τ λ τ λ τ 2 (x ) 3 (x ) X (x , y , 1) = (sgn(x ), y e , e ) λ2 λ3 − − λ1 λ1 = (sgn(x ), y , ),|x | |x | λ λ 3 2 < λ < < 1 < β = .

2 Observe que 0 < −λ −λ , portanto 0 < α = − −

  Observe que o ponto de equilíbrio na origem é hiperbólico, com autovalores λ 1 ≈ 11, 83,λ 2 3 ≈ −22.83 e λ ≈ −2, 67, portanto, pelo teorema da variedade estável, sua variedade s u estável W (0) e instável W (0) estão bem definidas e são de dimensão 2 e 1 respectivamente. ±1A expansão E θ , que ocorre ao longo do eixo x, é dada pela matriz  θ 0 0  E = θ 0 1 0   0 0 1 −α 1−α satisfazendo as condições θ2 < 1 e θα2 > 1.

3 As translações T ± : R são escolhidas de modo que a direção instável, partindo

  −→ R ± melhor) e que as imagens de Σ sejam disjuntas. Assim, a composição T leva ± ± ± ◦ E ◦ R ± segmentos Σ 1 ∩ {z = z } em segmentos S ∩ {x = x }.

2 Observe que

  ( α f (x ), se x < 0 1 f (x) = α i f (x ), se x > 0 onde f i = ( θ i , i = 0, 1;−1) · x + b e ( α β g 1 (x , y, x ), se x < 0 g(x, y) = α β g (x , y, x ), se x > 0 1 1 −− + + onde g = [ , 0), I = (0, ]. Existe C 1 > 0 e λ 1 < 1 tal que sup g 1 λ ≤ C 1 para todo η ∈ P e para todo n ≥ 1.> 0 será fixada suficientemente grande de modo que varg No que segue, C 1η i ≤ C 1 para X Xϕ −1 −1 Lϕ = (g η ϕ) η ) χ f = ( ) η ) χ f (60) (η) (η) ◦ (f| ◦ (f| η ∈P η ∈P (1) (1) η : η |Df|Note que pela propriedade 1.

1 Proposição 0.3.2

  De fato lZ Z Xϕ (ψ (ϕ) (ψ (72) ◦ f)dm = ◦ f)dm j =1 l η jZ X −1 −1 = ϕ η ψ dm (73) f ◦ f| j |Df|j (η ) j =1lZ Xϕ −1 = η ψχ f dm (74) (η ) ◦ f| j j −1j |Df|=1 l Z Xϕ −1 = η ψχ f dm (η ) (75) ◦ f| j j −1j |Df|=1 Z= (Lϕ) ψdm (76) onde (72) =⇒ (73) devido a fórmula de mudança de variável e as demais implicaçõessão contas diretas. Em particular, pontos fixos de L definem medidas f-invariantese absolutamente contínuas com relação a m (medida de Lebesgue).

1 Teorema 0.3.2

  = 1 n kn k X j =1 L j 1= X j =1L j 1 + X j 1 n k− 1 n k= 1 n kn k X j =0 L j 1− 1 n k= 1 n kn k X j =0L j 1− 1 n k= 1 n kn k −1 Z|ψ l |dm ≤ 2C X 1 jL ψ l 1 l 1 || || ≤ ||ψ || ≤ 2. Para toda função integrável ϕ : [0, 1] n n −→ R e todo n ≥ 1 o iterado da medida de Lebesgue por f pode ser escrito f n m, com∗ (ϕm) = ϕ X n n −1 ϕ n = g η ) η η · ϕ ◦ (f | ( onde a soma é feita sobre os η n) tais que m(η) > 0.

0.4 Medida Física para a Aplicação de Poincaré

  1 1, ] denotará a projeção canônica, i.e., p(x, y) = x e C (S; R) Neste seção, p : S −→ [− 2 2 denotará o espaço de Banach das funções contínuas munido com a norma do sup, i.e.,||ψ|| = sup |ψ(x)|. Agora, a partir da existência de uma medida SRB para a aplicação unidimensional deLorenz f, construiremos uma medida física para a aplicação P de Poincaré.

2 Para esta aplicação, valem as propriedades:

  Portanto, dadas ψx x x x x x x x ψ ψ 1 e ψ + 2 temos que A + A 1 2 − + 1 + 2 1 + 2 1 − 2 −n n n n n n n ≤ (ψ ◦ P ◦ P ≥ (ψ + ψ ) = ((ψ + ψ ) ) e (ψ ) + (ψ ) + ψ ) = 1 2 − 1 2 − 1 2 + + + 1 2 ◦ P ◦ P ◦ P ◦ P ◦ P ≤ (ψ ◦ P ◦ P n((ψ + ψ ) ) . ± (118) − ǫ ≤ ◦ P ≤ µ nj =0Agora some a desigualdade (115) em j = 0 · · · n − 1 para obter n −1 n −1 n −1 X k j k j k j X X (ψ ) (f (x)) ψ (P (x, y)) (ψ ) (f (x)).j j j −◦ P ≤ ◦ P ≤ ◦ P Unindo este último fato com (118) obtemos n −1 X 1 k jµ P (ψ) (ψ )(P (x, y)) P (ψ) + ǫ (119) − ǫ ≤ ◦ P ≤ µ nj =0 = n (k).

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