Ideais Monomiais Diferenciáveis

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Full text

(1)

Curso de P´os-graduac¸˜ao em Matem´atica Dissertac¸˜ao de Mestrado

Ideais Monomiais Diferenci´

aveis

´

Erica Nogueira Macˆedo

Salvador-Bahia

(2)

Ideais Monomiais Diferenci´

aveis

´

Erica Nogueira Macˆedo

Disserta¸c˜ao de mestrado

apresentada ao colegiado do

curso de P´os-Gradua¸c˜ao em

Matem´atica da Universidade

Federal da Bahia, como

re-quisito parcial para obten¸c˜ao

do T´ıtulo de Mestre em

Matem´atica.

Banca examinadora:

Prof. Dr. Carlos Eduardo Nogueira Bahiano (Orientador)

Prof. Dr. Thierry Corrˆea Petit Lob˜ao

Profa

. Dra

(3)

renci´aveis. Salvador-Ba, UFBA, 2004 (Disserta¸c˜ao

de Mestrado apresentada ao curso de p´os-graduac˜ao em

Matem´atica)59p.

(4)
(5)

prazer n˜ao ´e o conhecimento e sim a aprendizagem, n˜ao ´e a posse mas a aquisi¸c˜ao, n˜ao ´e a

presen¸ca mas o ato de atingir a meta.”

(6)

Agradecimentos

A Deus, em primeiro lugar, por ter me dado for¸ca e determina¸c˜ao para chegar ao fim de

mais uma etapa na minha vida. Aos meus colegas de curso pelo incentivo e pelas horas em que

compartilhamos as dificuldades, em especial para Azly, Odete Amanda, Laura, Ivana, Andr´ea,

Nelson, Rosely, Paulo, Gilmar, Jorge. Aos professores do Mestrado, com destaque para o meu

orientador, Prof. Dr. Carlos Eduardo Nogueira Bahiano, pela paciˆencia e disponibilidade em

todas as etapas deste trabalho.

Agrade¸co a Maria de F´atima, minha tia, por ter sido a primeira referˆencia e incentivo

para o estudo da matem´atica. Agrade¸co em especial a minha fam´ılia, Macˆedo (meu marido)

e a Nath´alia (minha filha), pela paciˆencia, incentivo e compreens˜ao nas horas em que tive que

estar ausente.

(7)

O texto a seguir, tem como objeto b´asico de estudo, ideais diferenci´aveis em an´eis de

polinˆomios sobre um corpo de caracter´ıstica zero. Ser´a dada ˆenfase aos ideais monomiais e a

fam´ılia de deriva¸c˜oes que preservem estes ideais. Um dos objetivos deste trabalho ´e encontrar,

para um ideal preservado por uma fam´ılia de deriva¸c˜oes, a decomposi¸c˜ao prim´aria, cujas

com-ponentes prim´arias sejam tamb´em preservadas pela mesma fam´ılia. A.Seidenberg em seu artigo

Differential ideals in rings of finitely generated typegarantiu a existˆencia de uma decomposi¸c˜ao

prim´aria de um ideal diferenci´avel cujas componentes prim´arias tamb´em s˜ao diferenci´aveis, mas

n˜ao explicitou qual decomposi¸c˜ao assume esta propriedade, nem forneceu meios comput´aveis

para encontr´a-la. Portanto, mostraremos para alguns casos, um m´etodo de encontrar esta

decomposi¸c˜ao prim´aria com componentes diferenci´aveis. Neste mesmo trabalho, abordaremos

rela¸c˜oes entre ideais que n˜ao s˜ao diferenci´aveis e pontos regulares de variedades, como forma

da exemplificar a importˆancia do t´opico estudado.

Para desenvolver as a¸c˜oes descritas acima, estudamos sobre as propriedades das deriva¸c˜oes,

abordamos o m´odulo das deriva¸c˜oes e a sua rela¸c˜ao com a matriz jacobiana, que nos permite

calcular as deriva¸c˜oes que preservam os ideais em quest˜ao.

(8)

´Indice

1 Defini¸c˜oes B´asicas 9

1.1 Ideais Prim´arios . . . 9

1.2 Decomposi¸c˜ao Prim´aria e An´eis Noetherianos . . . 10

2 Deriva¸c˜oes e Diferenciais 15

2.1 Deriva¸c˜oes . . . 15

2.2 O m´odulo das diferenciais de K¨ahler . . . 22

2.3 Seq¨uˆencias Fundamentais . . . 24

3 Ideais Diferenci´aveis 27

3.1 Ideais diferenci´aveis . . . 27

3.2 Ideais diferenci´aveis e a decomposi¸c˜ao prim´aria . . . 32

3.3 Ideais diferenci´aveis e regularidade . . . 45

A Apˆendice 49

A.1 An´eis e M´odulos . . . 49

A.1.1 Opera¸c˜oes com Ideais . . . 50

A.1.2 Anel Noetheriano . . . 51

(9)

A.1.3 An´eis Regulares . . . 51

A.1.4 Anel das S´eries de Potˆencia . . . 51

A.1.5 M´odulos . . . 54

A.1.6 Produto Tensorial de M´odulos . . . 54

A.1.7 Extens˜ao de M´odulos . . . 55

(10)

Cap´ıtulo 1

Defini¸c˜

oes B´

asicas

Neste cap´ıtulo, abordaremos alguns conceitos necess´arios para a compreens˜ao das

deriva¸c˜oes em an´eis de polinˆomios, especificamente quando aplicadas em ideais monomiais,

objeto central de estudo.

Considere para todo o texto, A um anel comutativo e com unidade, exceto quando

explicitarmos o contr´ario.

1.1

Ideais Prim´

arios

1.1 Definic¸˜ao. Seja I um ideal de um anel A . O radical de I ´e o conjunto dado por

I ={xA; xnI para algum n N}.

1.2 Definic¸˜ao. Um ideal pr´oprio I de A ´e dito ser prim´ario se para todo x, y A tais que

xyI tem-se xI ou yn I para algum n N

Em an´eis comutativos, isto equivale a dizer que sexy I e y /√I ent˜aoxI.Disto

decorre que:

I ´e prim´ario A

I 6= 0 e todo divisor de zero em A

I ´e nilpotente.

Vejamos alguns exemplos:

(11)

Exemplo 1.1. Os ideais prim´arios em Z s˜ao (0) e (pn),onde p´e um n´umero primo.

Exemplo 1.2. Seja A=R[x, y] e seja q= (x, y2) um ideal de A. Temos ent˜ao que:

A

q =

R[x, y] (x, y2) ∼=

R[y] (y2)

e portanto os divisores de zero s˜ao todos nilpotentes. Podemos concluir da´ı que q´e prim´ario e

temos que:

q=p(x, y2) = (x, y).

Exemplo 1.3. Seja A =R[x, y] e seja I = (x2, xy) um ideal de A. Temos que xy I

e como x /I, para I ser prim´ario, ´e necess´ario que yn I para algum n N. Como isto de

fato n˜ao acontece, ou seja, yn/I para todo nN, I n˜ao ´e um ideal prim´ario.

1.3 Proposic¸˜ao. Seja I um ideal prim´ario de um anel A. Ent˜ao √I ´e o menor ideal primo contendo I.

Demonstra¸c˜ao. Basta mostrar que p = √I ´e primo, pois temos que o radical de I ´e a

intersec¸c˜ao de todos os ideais primos que o cont´em, e claramente pela defini¸c˜ao acima temos

tamb´em queI √I.

Seja xyp ent˜ao (xy)m I para algum m >0.

Como I ´e prim´ario temos que xm I ou (ym)n I para algumn > 0, isto ´e , xI

ouy√I. Portanto concluimos que p=√I ´e primo .

I ´e dito serp-prim´ario se I ´e prim´ario e √I =p.

1.2

Decomposi¸c˜

ao Prim´

aria e An´

eis Noetherianos

A decomposi¸c˜ao de um ideal em componentes prim´arias ´e uma ferramenta

(12)

12

alg´ebrica. Como nosso ambiente de trabalho s˜ao an´eis de polinˆomios sobre um corpo de

car-acter´ıstica zero, temos que estes an´eis s˜ao noetherianos e portanto admitem decomposi¸c˜ao

prim´aria.

1.4 Definic¸˜ao. A decomposi¸c˜ao prim´aria de um ideal I em A ´e uma express˜ao de I como intersec¸c˜ao finita de ideais prim´arios. Isto ´e,

I =Tn

ı=1qı, onde cada qı ´e prim´ario, ı= 1, ..., n

Um ideal ´e dito ser decompon´ıvel se possui uma decomposi¸c˜ao prim´aria.

Os ideais prim´arios que aparecem na decomposi¸c˜ao prim´aria de um ideal I s˜ao

geral-mente chamados de componentes prim´arias deI.Um mesmo idealI pode ter diferentes

decom-posi¸c˜oes prim´arias, embora o conjunto dos radicais das componentes prim´arias seja invariante

como mostra o teorema a seguir.

1.5 Teorema. Seja I um ideal decompon´ıvel e seja I = Tn

ı=1qı a decomposi¸c˜ao prim´aria

m´ınima de I. Seja pı =

p

(qı), 1 6 ı 6 n. Ent˜ao pı s˜ao precisamente os ideais que aparecem

no conjunto dos ideais {p(I :x) xA} e independem da decomposi¸c˜ao particular de I.

Demonstra¸c˜ao. ParaxA, temos que

(I :x) = ( n

\

ı=1

qı :x) = n

\

ı=1

(qı :x)

e ent˜ao

p

(I :x) = n

\

ı=1

p

(qı :x) =

\

x /∈q

p.

Suponha que p(I :x) ´e primo. Ent˜ao temos que p(I :x) =p para algum.

Cada ideal primo da forma p(I :x) ´e um dosp. Por outro lado, para cadaı teremos

que se xı ∈/ qı ent˜ao xı ∈ T6=ıq, o que nos leva a concluir que a decomposi¸c˜ao ´e m´ınima e

ent˜ao temos

p

(I :xı) =pı.

(13)

Exemplo 1.4. Seja A=R[x, y] um anel e I = (x2, xy) um ideal deste anel.

O radical de um ideal ´e a intersec¸c˜ao de todos os primos que o cont´em, portanto,

I = (x)\(x, y) = (x)

Logo temos que I = (x)T

(x, y)2 onde os ideais (x) e (x, y)2 s˜ao prim´arios pois o primeiro ´e

primo e o segundo ´e a potˆencia de um maximal.

No entanto, observe que o ideal I n˜ao ´e prim´ario pois se temos hI ent˜ao

h =f x2+gxy =x(f x+gy),

mas x /I e f x+gy /√I = (x)

Se temos I =Tn

i=1qi com qi prim´arios e se

p

(qi) =pi dizemos que os ideaispi s˜ao os

primos associados deI. Indicaremos estes primos associados pela nota¸c˜ao Ass(I).

No exemplo anterior temos que (x) e (x, y) s˜ao os primos associados de I, ou seja,

Ass(I) = {(x),(x, y)}.

Um ideal I ´e prim´ario se, e somente se, possui um ´unico ideal primo associado.

Um ideal I de um anel A pode n˜ao ser decompon´ıvel, ou seja, pode n˜ao possuir uma

decomposi¸c˜ao prim´aria. Isto n˜ao o impede de ser expresso como uma intersec¸c˜ao de ideais

pr´oprios.

1.6Definic¸˜ao. Um idealI de um anelA´e dito ser redut´ıvel se existem ideais pr´oprios I1 6=I2

tais que I =I1∩I2. Caso contr´ario, o ideal ´e dito ser irredut´ıvel.

1.7 Proposic¸˜ao. Seja A um anel noetheriano, e ent˜ao todo ideal I de A ´e uma intessec¸c˜ao de ideais irredut´ıveis, isto ´e, existem ideais irredut´ıveisI1, . . . , Ir tais que I =∩rı=1Iı.

Demonstra¸c˜ao. SejaN o conjunto de todos os ideais de A que n˜ao podem ser escritos como

intersec¸c˜ao de ideais irredut´ıveis e assuma queN ´e n˜ao vazio.

Primeiramente, vemos que qualquer ideal emN ´e redut´ıvel, pois caso contr´ario ele seria

(14)

14

com I1 ou I2 ∈ N, pois caso contr´ario ter´ıamos uma decomposi¸c˜ao para I pela concatena¸c˜ao

das decomposi¸c˜oes deI1 eI2.

Dessa forma temos provado que para cada I N, temos J N tal que I est´a

pro-priamente contido em J e portanto podemos formar uma cadeia infinita ascendente de ideais

encaixados, o que contradiz o fato deA ser noetheriano.

A pr´oxima proposi¸c˜ao garante a existˆencia de decomposi¸c˜ao prim´aria em an´eis

noethe-rianos.

1.8 Proposic¸˜ao. Todo ideal pr´oprio irredut´ıvel de um anel noetheriano ´e prim´ario.

Demonstra¸c˜ao. Seja I um ideal de um anel noetheriano A. Seb A ent˜ao existe m N tal queI :bm =I :bm+1. De fato, temos que I I :b I :b2 ⊂ · · · ⊂ I :bm ⊂ · · · ´e uma cadeia

ascendente de ideais encaixados. J´a que A ´e noetheriano, esta cadeia estaciona, isto ´e, existe

mN tal que I :bm =I :bm+1.

Se I n˜ao ´e prim´ario ent˜ao I ´e redut´ıvel. De fato, se I n˜ao ´e prim´ario existemf, hA

tais quef hI, f /√I eh /√I, isto ´e, f /I e hm / I para qualquer m N.

Seja r N tal que I : hl = I : hl+1,l > r. Afirmamos que I = (I, f)(I, hr). Com efeito I (I, f)(I, hr) ´e imediato. Agora seja x um elemento desta intersec¸c˜ao; ent˜ao

x=s1+t1f =s2+t2hr, com s1, s2 ∈I e t1, t2 ∈A. (1.1)

Multiplicando 1.1 porhobtemoss2h+t2hr+1 =s1h+t1f h∈I; da´ı temos quet2hr+1 ∈

I, isto ´e, t2 ∈ I : hr+1 e uma vez que I : hr = I : hr+1 temos que t2 ∈ I : hr logo t2hr ∈ I e

finalmente, xI. Al´em disto (I, f)6=A e (I, hr) 6=A. De fato, se (I, f) =A ent˜ao existiriam

t A e u I tais que tf +u = 1 que multiplicado por hr resulta hr = thrf +hru e ent˜ao

hrI o que ´e uma contradi¸c˜ao. De maneira an´aloga mostra-se que (I, hr)6=A.

Podemos concluir ent˜ao que, em um anel noetheriano ou os ideais s˜ao irredut´ıveis,

portanto prim´arios, ou podem ser expressos por meio de uma intersec¸c˜ao de ideais irredut´ıveis.

Como todo ideal irredut´ıvel ´e prim´ario, garantimos uma intersec¸c˜ao finita de ideais prim´arios

(15)

Exemplo 1.5. Seja A=R[x, y, z] e seja I = (x2y, z) um ideal de A. Vemos que I n˜ao

´e um ideal irredut´ıvel pois podemos escrevˆe-lo da seguinte forma:

I = (x2, z)(y, z)

onde os ideais(x2, z) e(y, z)s˜ao irredut´ıveis e portanto prim´arios. Neste caso I n˜ao ´e um ideal

(16)

Cap´ıtulo 2

Deriva¸c˜

oes e Diferenciais

Neste cap´ıtulo, faremos uma abordagem sobre as deriva¸c˜oes e suas propriedades. A

seguir vamos caracterizar o m´odulo de diferenciais de K¨ahler que nos ajudar´a a encontrar o

conjunto de todas as deriva¸c˜oes de um m´odulo com o objetivo final de saber quais destas

deriva¸c˜oes preservam determinados ideais. Para caracterizar tais deriva¸c˜oes faremos uso das

seq¨uˆencias exatas, mais especialmente da segunda seq¨uˆencia exata fundamental.

2.1

Deriva¸c˜

oes

2.1 Definic¸˜ao. Sejam A uma k-´algebra, M um A-m´odulo. Uma deriva¸c˜ao de A com valores em M ´e uma aplica¸c˜ao D:AM satisfazendo as seguintes condi¸c˜oes:

1. D(a+b) =Da+Db

2. D(ab) =aDb+bDa

3. D(λ) = 0, λk

Segue das propriedades acima que:

4. D(λa) =λDa, λk

5. D(an) =na(n−1)Da, para todo natural n.

(17)

Observe que decorre da defini¸c˜ao acima que toda deriva¸c˜ao ´e uma Z-deriva¸c˜ao, pois

D(1) =D(1·1) =D(1) +D(1)

Logo, D(1) = 0. Consequentemente, para todo, λ positivo, temos:

D(λ) = λ

X

D(1) = 0.

Por outro lado,

D(1 + 1) = D(0)

D(1) +D(1) = 0

D(1) = 0

e ent˜ao, podemos concluir que :

D(λ) =D(1·λ) = 1D(λ) +λD(1) = 0.

Ou seja, D(x) = 0 para todo xZ.

Observe que em an´eis sem unidade temos sempre uma deriva¸c˜ao nula.

Exemplo 2.1. Considere D: 2Z→2Z. Temos que:

D(4) = D(2·2)

= 2D(2) + 2D(2)

= 4D(2)

Por outro lado, temos que D(4) =D(2 + 2) =D(2) +D(2) = 2D(2).

Portanto,

4D(2) = 2D(2)

2D(2) = 0

(18)

18

Como a deriva¸c˜ao anula o gerador do anel, dever´a anular todo e qualquer elemento do

anel. Assim o anel 2Z, que ´e um anel sem unidade, admite apenas a deriva¸c˜ao nula. 2.2 Definic¸˜ao. Dados D, D1 ∈Derk(A, M) e a, b∈A definamos :

1. (aD)b =a(Db)

2. a(D+D1) =aD+aD1

Decorre desta defini¸c˜ao que o conjuntoDer(A, M) das deriva¸c˜oes deAcom valores em

M, ´e um A-m´odulo. Se A´e uma k-´algebra, ent˜ao o conjunto Derk(A, M) das k-deriva¸c˜oes de

A com valores em M , ´e um subm´odulo de Der(A, M). Se M = A escrevemos Derk(A) para

Derk(A, M).

2.3 Teorema. Seja A uma k-´algebra. Seja S A um sistema multiplicativo tal que 0 / S. Seja S−1A o anel de fra¸c˜oes de A em rela¸c˜ao a S. Para qualquer S−1A-m´odulo B e para

qualquer D Derk(A, B) existe uma ´unica D′

∈ Derk(S−1A, B) que estende D. Al´em disto,

tem-se:

D′(x

y) =

yDxxDy y2

Demonstra¸c˜ao. Suponha queD′ seja uma deriva¸c˜ao que estenda D.Neste caso,

D(x) =D′(x

1) = D ′

(y· x y)

= yD′(x

y) + x yD

y

= yD′(x

y) + x yDy

= 1

y ·(y

2D(x

y) +xDy)

Logo,

D′(x

y) =

yDxxDy y2 .

Assim, D′ ´e determinada por D e tem que satisfazer a rela¸c˜ao acima e, portanto, a

unicidade est´a provada. Resta mostrar que de fato ela existe, e para isto basta verificar que a

(19)

Considere a aplica¸c˜ao D′ definida por D(x y) =

yDx−xDy y2 .

Mostremos que, D′ : S−1A B est´a bem definida, isto ´e, x y =

z

w nos leva a seguinte igualdade:

yDxxDy y2 =

wDzzDw w2

Sabemos que existe sS tal que s(xwyz) = 0. Ent˜ao existe tS tal que:

t·[w2(yDxxDy)y2(wDzzDw)] = 0

De fato, se s(xwyz) = 0 ent˜aosxw=syz.

Assim temos que:

0 = D(sxwsyz) = D(sxw)D(syz)

= [(xwyz)Ds+s(xDw+wDxyDzzDy)](syw)

= s(sxw)yDws2y2wDz+s2w2yDxs(syz)wDy

= s2y2zDws2y2wDz+s2w2yDxs2w2xDy

= s2[w2(yDxxDy)y2(wDzzDw)]

Para concluir basta verificar que D′ satisfaz as propriedades abaixo:

1. D′(x y +

z w) =D

(xw+zy yw ) =D

(x y) +D

(z w)

2. D′(x y ·

z w) = D

(xz yw) =

z wD

(x y) +

x yD

(z w)

3. D′(λ

1) =

D(λ)−λD(1)

12 = 0

2.4Corol´ario. SejaAumak-´algebra que ´e um dom´ınio de integridade eLum corpo contendo

A. Se D : A L ´e uma deriva¸c˜ao, ent˜ao D pode ser estendido de maneira ´unica para uma

deriva¸c˜ao D′ :K

→L onde K ´e o corpo de fra¸c˜oes de A. Al´em disso temos

D′(x

y) =

yDxxDy

(20)

20

Demonstra¸c˜ao. Segue de forma imediata.

Sendo o nosso ambiente de trabalho an´eis de polinˆomios sobre um corpo, precisamos

verificar como se comportam as deriva¸c˜oes neste ambiente. Como todo polinˆomio ´e uma soma

de monˆomios, encontraremos uma forma de calcular o valor que a deriva¸c˜ao assume em um

polinˆomio analisando o que acontece em cada parcela monomial.

2.5 Proposic¸˜ao. Seja D uma k-deriva¸c˜ao em A = k[x1, x2, . . . , xn], onde k ´e um corpo de

caracter´ıstica zero. Sejam um monˆomio da forma m=xr11 · · ·xrn

n . Ent˜ao

D(m) =D(xr11 · · ·xrn

n ) = n

X

ı=1

rıxr11 · · ·xırı−1· · ·xrnnD(xı)

Demonstra¸c˜ao. Seja gr(m) = r1+· · ·+rn o grau do monˆomio m.Usaremos a indu¸c˜ao sobre

gr(m).

Considere gr(m) = 1.Comorı ∈Npara ı∈ {1, . . . , n}temos que existe ∈ {1, . . . , n} tal que r = 1 e rı = 0 para todoı6=.Assim, m =x e portanto D(m) =D(x).

Suponha que para gr(m) = s a igualdade D(m) = n

X

ı=1

rıxr11 · · ·xırı−1· · ·xrnnD(xı) ´e

v´alida.

Paragr(m) = s+1 temos quem =xr11 · · ·xrn

n ·xıcomı∈ {1, . . . , n}.Logo, aplicando-se a deriva¸c˜ao emm obtemos

D(m) = D(xr11 · · ·xrn

n ·xı)

= xıD(xr11 · · ·xrnn) +xr11 · · ·xrnnD(xı)

= xı n

X

ı=1

rıxr11 · · ·xırı−1· · ·xrnnD(xı) +xr11 · · ·xrıı· · ·xrnnD(xı)

= n

X

ı=1

(rı+ 1)xr11 · · ·xırı· · ·xrnnD(xı)

2.6 Corol´ario. Seja A = k[x1, . . . , xn] e B um A-m´odulo. Ent˜ao toda k-deriva¸c˜ao D ∈

(21)

Demonstra¸c˜ao. Segue de forma imediata.

Assim para definir uma deriva¸c˜ao em um anel de polinˆomios, precisamos apenas indicar

o valor que ela assume no conjunto de geradores do anel .

Consideremos para a proposi¸c˜ao seguinte o anel Acomo sendo A=k[x] e utilizaremos

a nota¸c˜ao usual para representar as derivadas parcias relativas aos geradores do anel.

2.7 Proposic¸˜ao. Se A = k[x] = k[x1, x2, . . . , xn], ent˜ao Derk(A) ´e um A-m´odulo livre, de

posto n e {∂x1∂ , . . . ,∂xn} ´e uma base.

Demonstra¸c˜ao. DadoDDerk(A) definaD′ Derk(A) por

D′ =a

1∂x1∂ +a2∂x2∂ +· · ·+an∂xn

em queaı =D(xı).

Temos ent˜ao que D′(xı) = a

i o que nos leva a concluir que D = D′ e portanto D ´e combina¸c˜ao linear das derivadas parciais.

Considere agora ent˜ao a seguinte igualdade:

α1

∂ ∂x1

+α2

∂ ∂x2

+· · ·+αn

∂ ∂xn

= 0

Aplicando xı a esta igualdade obtemos ent˜ao:

n

X

ı=1

∂ ∂xı

(xı) = aı = 0 06ı6n.

Portanto podemos concluir que o conjunto{∂x1∂ , . . . ,∂xn}´e linearmente independente sobre A.

Logo, as k-deriva¸c˜oes de um anel de polinˆomios s˜ao geradas pelas derivadas parciais,

ou seja, toda k-deriva¸c˜ao pode ser escrita como uma combina¸c˜ao linear das derivadas parciais

com coeficientes em A. E claro que estes coeficientes coincidem com o valor que a deriva¸c˜ao´

(22)

22

Exemplo 2.2. Seja A = k[x, y] e seja D Derk(A) uma deriva¸c˜ao que satisfaz:

D(x) = xy e D(y) = 1. Como sabemos que as deriva¸c˜oes s˜ao combina¸c˜oes lineares das

derivadas parciais podemos escrever que D=a∂ ∂x+b

∂y. Assim temos que:

D(x) = a∂ ∂xx+b

∂yx=a e D(y) = a ∂ ∂xy+b

∂ ∂yy=b.

Portanto temos que D= (xy) ∂ ∂x+ 1·

∂ ∂y.

2.8 Proposic¸˜ao. Se ϕ:AB ´e um homomorfismo dek-´algebras e DDerk(B, M) ent˜ao

DϕDerk(A, M).

Demonstra¸c˜ao. Definaϕ(a)·v :=a·v

Para Dϕ Derk(A, M) temos que:

1. Dϕ(a+b) = D(ϕ(a+b)) =D(ϕ(a) +ϕ(b)) =D(ϕ(a)) +D(ϕ(b)) = (Dϕ)a+ (Dϕ)b

2. Dϕ(a·b) = D(ϕ(a·b)) =ϕ(b)D(ϕ(a)) +ϕ(a)D(ϕ(b)) = b(Dϕ)(a) +a(Dϕ)(b)

3. Dϕ(λ) =D[ϕ(λ)] =D(Pλ

ı=1ϕ(1)) =D(λϕ(1)) =λD(ϕ(1)) +ϕ(1)D(λ) =λ·0 = 0

Claramente a composi¸c˜ao Dϕ´e uma deriva¸c˜ao definida de A em M.

Exemplo 2.3. Seja A=R[x], B =R[x, y]e M =M2(B). ConsidereD∈DerR(B, M) dada porD(x) =

 x 0

0 0

 e por D(y) =   0 y 0 0  

Podemos calcular ent˜ao novas deriva¸c˜oes a partir de composi¸c˜oes com homomorfismos

como abaixo:

1. Seja ϕ1 : A → B definida por ϕ1(f(x)) = f(x). Ent˜ao temos uma nova deriva¸c˜ao

D′

∈DerR(A, M)definida por:

D′(x) =Dϕ1(x) =D(x) =

(23)

2. Sejaϕ2 :A→B definida porϕ2(f(x)) = f(x+y). Ent˜ao novamente temos uma deriva¸c˜ao

D′′

∈DerR(A, M)definida por:

D′′(x) = (Dϕ2)(x) = D(x+y) =D(x)+D(y) =

 x 0

0 0

+ 

 y 0

0 0

= 

x+y 0

0 0

Observa¸c˜ao 2.1. Sejam M e N A-m´odulos. Se ψ homA(M, N) e DDerk(A, M), ent˜aoψ D Derk(A, N).

´

E claro que a express˜ao satisfaz as condi¸c˜oes da defini¸c˜ao de deriva¸c˜ao, como segue:

1. ψD(a+b) =ψ(Da+Db) = ψDa+ψDb=ψDa+ψDb

2. ψD(ab) =ψ(bDa+aDb) = ψ(bDa) +ψ(aDb) =b(ψD)a+a(ψD)b

3. ψD(λ) =ψ(0) = 0

2.2

O m´

odulo das diferenciais de K¨

ahler

Introduziremos agora uma ferramenta importante para determinarmos o conjunto das

deriva¸c˜oes definidas sobre um m´odulo. Considere ent˜aoA uma k-´algebra e M um A-m´odulo.

2.9 Definic¸˜ao. Seja A uma k-´algebra. Um A-m´odulo Ω, munido de uma k- deriva¸c˜ao d :

A Ω, ´e chamado um m´odulo de diferenciais(de K¨ahler) de A se, para todo A-m´odulo M e

toda δ Derk(A, M), existir um ´unico ω HomA(Ω, M) tal que δ = ω d; isto ´e, tal que o

diagrama abaixo seja comutativo:

A d Ω

δ ց ↓ω

(24)

24

SejaA uma k-´algebra, e escreva uma k-´algebra B definida porB =AkA. Considere

as aplica¸c˜oesλ1, λ2 :A→B definidas por:

λ1(a) = a⊗1

λ2(a) = 1⊗a

Pela linearidade do produto tensorial temos que λ1 e λ2 s˜ao homomorfismos de k

-´algebras. DadosaA e xyB, define-se a multiplica¸c˜ao por escalar :

a·(xy) = λ1(a)(x⊗y) = ax⊗y

a·(xy) = λ2(a)(x⊗y) = x⊗ay

.

As multiplica¸c˜oes acima fornecem a B =AkA duas estruturas deA-´algebra .

2.10 Definic¸˜ao. O homomorfismo ξ:B A, induzido pela aplica¸c˜ao A-bilinear (x, y)xy

´e dito ser o homomorfismo diagonal. Temos ent˜ao que ξ(xy) = xy.

2.11 Proposic¸˜ao. Seja N B o n´ucleo de ξ. Ent˜ao λ1, λ2 induzem a mesma estrutura de

A-m´odulos em N

N2, isto ´e, ∀a ∈ A e f ∈ NN2, θ(λ1(a))f = θ(λ2(a))f onde θ : B → NB2 ´e o

homomorfismo canˆonico.

Demonstra¸c˜ao. De fato, se ξλ1 =ξ◦λ2 =IdA temos que (λ2−λ1)(A)⊆N.

Logo, para todo aA e f N obt´em-se (λ2−λ1)(a)·f ∈N2 e ent˜ao

θ((λ2−λ1)(a)f) = θ((λ2−λ1)(a))·f

= (θ(λ2)(a)−θ(λ1)(a))·f

= θ(λ2(a))f −θ(λ1(a))f = 0.

Para isto basta termos a·f :=θ(λ2(a))f =θ(λ1(a))f .

2.12 Teorema. Sejam A uma k-´algebra , B =AkA e N ⊆B o n´ucleo do homomorfismo

diagonalξ;λ1, λ2 como antes, eθ:B → NB2 o homomorfismo canˆonico. Escrevad=θ◦(λ2−λ1).

(25)

1. d :A N

N2 ´e uma k-deriva¸c˜ao.

2. NN2 ´e gerado como A-m´odulo, por {dy/y∈A}

3. O A-m´odulo NN2 ´e um m´odulo de diferenciais de K¨ahler

A demonstra¸c˜ao do teorema acima pode ser encontrada em [2].

2.13 Corol´ario. Sejam A uma k-´algebra, m um A-m´odulo. Ent˜ao

HomA(Ω, M)Derk(A, M).

Demonstra¸c˜ao. Segue imediatamente da defini¸c˜ao.

2.3

Seq¨

encias Fundamentais

As seq¨uencias fundamentais desempenham um papel importante na determina¸c˜ao do

conjunto das deriva¸c˜oes de um m´odulo. Tais deriva¸c˜oes podem ser encontradas quando

apli-camos homomorfismos na segunda seq¨uˆencia exata fundamental, j´a que o conjunto dos

homo-morfismos definidos do m´odulo das diferenciais de K¨ahler em um m´odulo ´e isomorfo ao m´odulo

das deriva¸c˜oes.

A segunda seq¨uˆencia exata do m´odulo de diferenciais diz respeito `a seguinte situa¸c˜ao

particular: sejam k um anel, I A um ideal da k-´algebra A, e B = A

I. A aplica¸c˜ao δ : I → Ωk(A)AB, definida por δ(x) = dA/kx⊗1, ´e um homomorfismo de A-m´odulos que satisfaz

δ(I2) = 0, e induz desta forma um homomorfismo de B-m´odulos δ : I

I2 → Ωk(A)⊗AB, dada porδ(f) = δ(f).

2.14 Teorema. (Segunda seq¨uˆencia fundamental exata)

1. A seq¨uˆencia de B-m´odulos, abaixo ´e exata.

I I2

δ

−→Ωk(A)O A

B −→β Ωk(B)−→0

2. Se A1 = IA2. Ent˜ao Ωk(A)

N

AB ≃Ωk(A1)

N

(26)

26

3. A seq¨uˆencia exata em (1) ´e cindida `a esquerda se, e somente se, a seq¨uˆencia exata natural

de k-´algebras

0 I

I2 →

A I2 →

A I →0

´e cindida.

Demonstra¸c˜ao.

1. Uma vez que ϕ:AB ´e sobrejetiva, temos que β ´e sobrejetiva eβδ= 0.Veja que se

D Der(A, T), onde T ´e um A/I-m´odulo, ent˜ao a sua restri¸c˜ao a I induz, de maneira

natural, um homomorfismo D|I ∈HomA/I(II2, T). De fato, para a∈ A, m∈I temos que

D(am) = aDm+mDa = aDm, j´a que mt = 0 para qualquer valor de t T e m I.

Seque da´ı ent˜ao que D(I2) = 0, logo D ´e umA/I-homomorfismo, que se anula sobreI2.

Como visto temos que a seq¨uˆencia

I I2

δ

−→Ωk(A)O A

B −→β Ωk(B)−→0

´e exata se, e somente se, a seq¨uˆencia abaixo ´e exata para qualque B-m´odulo T :

HomB(I/I2, T)←−δ∗ Derk(A, T)←−β∗ Derk(B, T),

onde δ∗(D) = D

|I. Ent˜ao ´e claro que se D|I ≡ 0, D pode ser vista como a extens˜ao de uma deriva¸c˜ao de B em T.

2. Um homomorfismo deB-m´odulosM N´e um isomorfismo se, e somente se, o

homomor-fismo induzidoHomN(M, T)←HomB(N, T) ´e um isomorfismo para qualquerB-m´odulo

T. Portanto,

Ωk(A)O A

B Ωk(A1)

O

A1

B ⇐⇒Derk(A, T)Derk(A

I2, T),

para qualquerB-m´oduloT.Por outro lado, o isomorfismo acima entre m´odulos de deriva¸c˜oes

´e evidente: toda deriva¸c˜ao D Derk(A, T) satisfaz D(I2) = 0, e portanto induz uma

deriva¸c˜ao D′ : A

I2 →T definida por D

(a) = D(a).

Reciprocamente toda deriva¸c˜ao D Derk(IA2, T) pode ser vista como uma deriva¸c˜ao

D : A T, que se anula sobre I2. Estas associa¸c˜oes s˜ao, pela propriedade universal,

(27)

3. J´a sabemos que a aplica¸c˜ao θ′ : A

I2 → AI ´e o homomorfismo natural induzido pelo homo-morfismo canˆonico, definido por θ′(a+I2) = a+I, cujo n´ucleo ´e I

I2. Suponha que δ tenha inversa `a esquerda, dada da seguinte forma:

σ : Ωk(A)O A

B −→ I I2

Consideremos a aplica¸c˜aoD:A II2,definida porD(a) = σ(da⊗1).E claro que´ D´e uma

k-deriva¸c˜ao, e satisfaz D(x) = x para qualquer valor de x I. Colocando-se ρ : A A I2

definida por ρ(a) = aD(a),temos um homomorfismo que cumpre ρ(I) = 0,e portanto

induz em A/I-homomorfismo ρ: A I →

A

I2,dado por ρ(a+I) = (a+I

2)D(a).

Compondo com o homomorfismo natural, temos que θ′(ρ(a)) =θ(aD(a)) = a.

Reciprocamente, suponhamos que exista ρ: A I →

A

I2, tal que θ

ρ = 1

A/I. Consequente-mente, ρθ′ : A

I2 → A

I2 ´e um homomorfismo que se anula sobre I I2,eθ

(1

−ρθ′) = 0. Em particular, temos

0 = (1ρθ′)((f)(1ρθ′)(g) = f gf ρ(g)gρ(f) +ρ(f)ρ(g),

Ou seja,

f g+ρ(f)ρ(g) = f ρ(g) +gρ(f).

Desta a forma, a aplica¸c˜ao D= 1ρθ′ ´e uma deriva¸c˜ao. Seχ

∈HomA/I(IA2, T), ent˜ao a composta D′ de

A−→ A I2

D

−→ II2

χ

−→T

´e um elemento de Derk(A, T), satisfazendo δ∗(D) = χ. De fato, para qualquer x I,

temos queD′(x) = χ(x

−ρ(θ′(x))) =χ(x).Portantoδ´e sobrejetiva para todoA/I-m´odulo

T. Al´em disso se tomarmosT = I

I2,vemos que todo endomorfismo de II2,inclusive a iden-tidade, corresponde a restri¸c˜ao a I de um elemento deDerk(A,II2),ou equivalentemente,

a restri¸c˜ao de um elemento de HomA/I(Ωk(A)⊗AA/I,II2) ao subm´odulo {da;a ∈I}.

Vale salientar que a seq¨uˆencia da demonstra¸c˜ao do primeiro ´ıtem nos permite

ca-racterizar as deriva¸c˜oes de Derk(AI) como deriva¸c˜oes de Derk(A,AI) cujas restri¸c˜oes a I s˜ao

(28)

Cap´ıtulo 3

Ideais Diferenci´

aveis

Uma vez que j´a conhecemos as deriva¸c˜oes e suas propriedades, neste cap´ıtulo,

definire-mos o conceito de ideais diferenci´aveis e uma forma de encontrar a fam´ılia de deriva¸c˜oes que

os tornem diferenci´aveis. A seguir, em an´eis noetherianos, faremos rela¸c˜oes entre os ideais

dife-renci´aveis e as suas componentes prim´arias, que neste caso herdam a diferenciabilidade, para

uma mesma fam´ılia de deriva¸c˜oes. Relacionaremos tamb´em an´eis locais que s˜ao regulares com

ideais primos n˜ao diferenci´aveis.

3.1

Ideais diferenci´

aveis

Sejam A um anel comutativo com unidade eD uma deriva¸c˜ao de A .

3.1Definic¸˜ao. Um idealI de A ´e chamadoD-invariante ou D-diferenci´avel se D(I)I. Se

Γ´e uma fam´ılia arbitr´aria de deriva¸c˜oes em A, I ´e dito ser Γ-invariante ou Γ-diferenci´avel se

D(I)I para cada DΓ.

I ´e chamado de diferenci´avel, se ´e D-diferenci´avel para qualquer que sejaDDer(A).

Exemplo 3.1. Seja A = k[x1, . . . , xn] um anel e I = (f1, . . . , fr) ⊂ A um ideal. Seja

D uma k-deriva¸c˜ao de A, ent˜aoI ´e um ideal D-diferenci´avel se, e somente se, D(fı)∈I para

todo ı= 1, . . . , r.

Dado h I, h =

r

X

ı=1

aıfı, com aı ∈ A temos que D(h) ∈ I pois I ´e um ideal D

(29)

diferenci´avel. Em particular, cada fı ∈I. Logo, temos que D(fı)∈I.

Por outro lado temos que se D(fı)I para todo ı= 1, . . . , r ´e claro que

r

X

ı=1

D(fı)I.

Logo, dado um h =

r

X

ı=1

aıfı ∈ I temos que D(h) = r

X

ı=1

aıD(fı) ∈ I, provando assim que I ´e

D-diferenci´avel.

Em an´eis de polinˆomios sobre um corpo, todo ideal ´e finitamente gerado. Assim para

uma deriva¸c˜ao preservar este ideal, ´e necess´ario e suficiente que preserve os seus geradores, ou

seja, quando aplicada aos geradores do ideal resulte em um elemento do pr´oprio ideal.

Exemplo 3.2. Considerando A = R[x, y, z] e I = (xy, yz) vamos encontrar uma deriva¸c˜ao que preserve I, ou seja, que torne I invariante por esta deriva¸c˜ao.

Seja D uma deriva¸c˜ao de A. Como toda deriva¸c˜ao em an´eis de polinˆomios sobre um

corpo ´e combina¸c˜ao linear das derivadas parcias, escreva D = a ∂ ∂x +b

∂ ∂y +c

∂z. Para I ser

invariante, precisamos queD(xy)eD(yz)I, ou seja, precisamos queD(xy) = xDy+yDx=

bx+ay I e que D(yz) = yDz +zDy =cy +bz I. Portanto, basta que que a, c (x, z) e

b(y).

Reciprocamente, a fam´ılia Γ :={(x, z)∂ ∂x + (y)

∂y + (x, z) ∂

∂z} preserva o ideal I.

Logo, Γ ´e o conjunto das deriva¸c˜oes que preservam I.

3.2Proposic¸˜ao. Seja I um ideal de um anelA que satisfazI =P1∩P2 onde P1, P2 s˜ao ideais

primos distintos e incompar´aveis. SejaDuma deriva¸c˜ao emA.SeI´e um idealD-diferenci´avel,

ent˜aoP1 e P2 s˜ao tamb´em D-diferenci´aveis.

Demonstra¸c˜ao.

Suponha que f P1\P2 e g ∈ P2. E claro que´ f g ∈ P1 ∩P2 = I. Como I ´e um ideal

D-diferenci´avel, temos que D(f g)I e consequentemente D(f g)P2.

Por outro lado temos queD(f g) = f D(g)+gD(f)P2e j´a quegD(f)∈P2 temos que

f D(g)P2. ComoP2 ´e um ideal primo, temos que, se f D(g)∈P2 ef /∈P2 obrigatoriamente

D(g) P2, o que nos leva a concluir que P2 ´e um ideal D-diferenci´avel. De forma an´aloga

(30)

30

3.3 Proposic¸˜ao. Sejam I e J dois ideais de um anel A que s˜ao Γ-diferenci´aveis. Ent˜ao, s˜ao

Γ-diferenci´aveis

a) IJ

b) I +J

c) I·J

Demonstra¸c˜ao.

a) Se I e J s˜ao Γ-diferenci´aveis ent˜ao D(I) I e D(J) J para qualquer D Γ. Assim, se

xIJ temos que xI exJ. Como I e J s˜ao Γ-diferenci´aveis ´e v´alido queDxI

e DxJ, o que nos leva a DxIJ. Portanto D(IJ)IJ para qualquer DΓ.

Logo IJ ´e um ideal Γ-diferenci´avel.

b) Se x I +J temos que x = u+v em que u I e v J. Como I e J s˜ao ideais

Γ-diferenci´aveis temos que D(u) I e D(v) J para qualquer D Γ. Logo D(x) =

D(u+v) = D(u) +D(v)I+J e, portanto,I+J ´e um ideal Γ-diferenci´avel.

c) Se x I·J ent˜ao x = X ı∈N

uıv em que uı ∈ I,∀ı e v ∈ J,∀. Assim para D ∈ Γ, temos

que D(x) =D X

ı∈N

uıv

!

=X ı∈N

D(uıv) =

X

ı∈N

[uıD(v) +vD(uı)] e como I eJ s˜ao ideais

Γ-diferenci´aveis, uıD(v) e vD(uı) pertencem a I ·J. Logo, D(x) ∈ I · J ∀D ∈ Γ, e

portanto I·J ´e um ideal Γ-diferenci´avel.

A seguir mostraremos uma forma mais espec´ıfica de encontrar as deriva¸c˜oes que

preser-vam ideais .

3.4Definic¸˜ao. O conjunto das deriva¸c˜oes que preservam um idealI de um anelA´e denotado por

DI(A) :={δ∈Derk(A)/δ(I)⊂I}.

3.5 Proposic¸˜ao. Se A=k[x1, . . . , xn] e I ⊂A ´e um ideal ent˜ao Derk(AI)≃

DI(A)

IDerk(A) como A

(31)

Demonstra¸c˜ao. Defina a fun¸c˜aoϕ :DI(A)−→Derk(A

I) comϕ(δ) = ˜δ,onde ˜δ(f) = δ(f)∈ A I.

Mostraremos que ˜δ ´e bem definida e queϕ ´e um homomorfismo de A-m´odulos.

Temos que ker(ϕ) =IDk(A, A).E claro da defini¸c˜ao que ˜´ δ= 0 se e somente seδ(f)I

para cadaf S. Assim, escreva δ= n

X

ı=1

∂x com gı ∈A e δ(x) =g.

Assim temos: δ ker(ϕ)g∈I ⇔δ ∈IDerk(A).

Agora, de acordo com a segunda seq¨uˆencia exata fundamental (veja teorema 2.14)

temos que :

A I n v −→X ı A I

dxı −→Ωk

A

I

−→0 (3.1)

ondev denota a transposta da matriz jacobiana do conjunto de geradoresf1, . . . , fm deI.

Dualizando 3.1, temos que

0−→Derk

A

I

−→Derk

A,A I v∗ −→Hom A I n ,A I ,

e portantoDerk AI

= kerv∗. Para verificar queϕ ´e sobrejetiva, seja

X

ı

g

∂ ∂xı ∈

Dk A I, A I ⊂X ı A I ∂ ∂xı . Ent˜ao, X ı gı ∂ ∂xı !

(f) =X ı

∂f

∂xı ∈

I, = 1, . . . , m

com X ı

∂ ∂xı ∈

DI(A).

Decorre da demonstra¸c˜ao acima que, num anel de polinˆomios, para encontrar os

ge-radores do subm´odulo das deriva¸c˜oes que preservam um ideal I, basta calcular o n´ucleo da

transposta da matriz jacobiana deste ideal m´oduloI.

Exemplo 3.3. Seja A =R[x, y] e seja I = (x2+y2 1) um ideal de A. Temos que a

transposta da matriz jacobiana ´e dada por

(32)

32

Calculando-se o seu n´ucleo m´oduloI,ou seja, o n´ucleo da matriz( 2x 2y x2+y21 ),

com utiliza¸c˜ao do software Singular, temos queDerk(AI)´e gerado como AI-m´odulo porny∂x∂ +x∂y∂ o.

Neste caso, as deriva¸c˜oes que s˜ao geradas pelo conjunto acima, s˜ao tamb´em as deriva¸c˜oes

que preservam o ideal I.

Exemplo 3.4. Sejam A =R[x, y, z] e I = (x2+y2 +z21). A transposta da matriz

jacobiana ´e dada por:

δ = ( 2x 2y 2z ).

Calculando o seu n´ucleo m´odulo I, obtemos que Derk(AI) ´e gerado por

−z ∂ ∂y +y

∂ ∂z,−y

∂ ∂x +x

∂ ∂y,−z

∂ ∂x +x

∂ ∂z

.

Assim, o conjunto acima, gera a fam´ılia Γ de deriva¸c˜oes que preservam I.

Exemplo 3.5. Sejam A = R[x, y, z] e I = (x2y, y2z, yz2). A matriz jacobiana ´e dada

por: δ =     

2xy x2 0

0 2yz y2

0 z2 2yz

   

Calculando-se o seu n´ucleo m´odulo I, temos que o conjunto das deriva¸c˜oes que

preser-vam I ´e gerado por

x ∂

∂x, z

2 ∂

∂x, yz ∂ ∂x, y

∂ ∂y, x

2 ∂

∂z, z ∂ ∂z

.

Podemos escrever ent˜ao a fam´ılia Γ de deriva¸c˜oes que preservam I da seguinte forma:

Γ ={(x, z2, yz) ∂

∂x + (y) ∂ ∂y + (x

2, z)

∂z}.

De uma forma espec´ıfica, temos que o conjunto das deriva¸c˜oes que preservam um ideal

monomialI A´e dado por DI(A) =Lnı=1(I : (I :xı))∂xı, como pode ser visto em [3].

De acordo com o exemplo acima, temos que:

I : (I :x) = (x, z2, yz)

I : (I :y) = (y)

(33)

3.6 Definic¸˜ao. Se A n˜ao possui ideais Γ-diferenci´aveis com excess˜ao dos ideais (0) e (1),

ent˜ao A ´e chamado de Γ-simples, ou apenas simples se Γ ´e o conjunto de todas as deriva¸c˜oes

em A.

De modo an´alogo, se um ideal I A n˜ao ´e preservado por alguma das deriva¸c˜oes do

anelA,dizemos que este ideal ´e n˜ao diferenci´avel. Veremos mais tarde que estes ideais possuem

uma interpreta¸c˜ao geom´etrica interessante.

3.2

Ideais diferenci´

aveis e a decomposi¸c˜

ao prim´

aria

J´a vimos que o anel de polinˆomios sobre um corpo ´e um anel noetheriano e portanto

admite decomposi¸c˜ao prim´aria. Sabemos tamb´em que para um ideal decompon´ıvel, a

decom-posi¸c˜ao prim´aria n˜ao ´e unica, embora preserve a lista dos ideais primos associados. Nosso

ob-jetivo ´e encontrar uma decomposi¸c˜ao prim´aria de um ideal Γ-diferenci´avel, cujas componentes

prim´arias sejam Γ-diferenci´aveis. Para garantir a diferenciabilidade das componentes prim´arias,

precisamos de v´arias decomposi¸c˜oes prim´arias distintas. Como em an´eis de polinˆomios esta n˜ao

´e uma tarefa r´apida, estenderemos o anel para o anel formal das s´eries de potˆencia, pois atrav´es

de automorfismos teremos uma boa variedade de decomposi¸c˜oes prim´arias para um mesmo

ideal, j´a que a“propriedade” primariedade ´e preservada por automorfismos.

Considere A∗ := A[[t]] o anel de s´eries formais de potˆencia em uma vari´avel com

coeficientes emA; e sejaDuma deriva¸c˜ao deA.Considere as extens˜oes canˆonicas das deriva¸c˜oes

em A, dadas por D(P

aıtı) =PD(aı)tı com aı ∈A. Observe que esta deriva¸c˜ao que obtemos

em A∗ coincide com a deriva¸c˜ao Dde A.Ent˜ao esta deriva¸c˜ao poder´a ser denotada porD sem

perda de generalidade.

Seja A um anel contendo os n´umeros racionais e seja E a seguinte express˜ao:

E = 1 +tD+ t

2

2!D

2+ t3

3!D

3+

· · ·

que pode ser denominada como E =etD, em decorrˆencia da sua similaridade com a expans˜ao

(34)

34

Ent˜ao temos que

Eα= (etD)α = (1 +tD+ t2 2!D

2+ t3

3!D

3+· · ·)α

= α+tDα+ t

2

2!D

2α+t3

3!D

3α+

· · ·

para cadaα A∗.

Observe que a aplica¸c˜ao que associa a cada α o valor determinado por Eα ´e um

automorfismo emA∗. De fato, dados a, b

∈A∗ temos:

E(a+b) = etD(a+b)

= a+b+tD(a+b) + t

2

2!D

2(a+b) + t3

3!D

3(a+b) +· · ·

= a+b+tDa+tDb+ t

2

2!D

2(a) + t2

2!D

2(b) + t3

3!D

3(a) + t3

3!D

3(b) +

· · ·

= [a+tDa+t

2

2!D

2(a) + t3

3!D

3(a) +

· · ·] + [b+tDb+ t

2

2!D

2(b) + t3

3!D

3(b) +

· · ·]

= etDa+etDb

= Ea+Eb

E(a)·E(b) = etDa·etDb

= (1 +tD+ t

2

2!D

2+ t3

3!D

3+

· · ·)a·(1 +tD+ t

2

2!D

2+ t3

3!D

3+

· · ·)b

= [a+tDa+t

2

2!D

2a+ t3

3!D

3a+

· · ·]·[b+tDb+ t

2

2!D

2b+t3

3!D

3b+

· · ·]

= ab+ [taDb+tbDa] + [t

2

2!aD

2b+t2

2!2DaDb+

t2

2!bD

2a] +

· · ·

= ab+tD(ab) + t

2

2!D

2(ab) +

· · ·

= etD(ab)

= E(ab)

Al´em disso, note que etD(e−tD)α = e−tD(etD)α = α. Assim como a aplica¸c˜ao possui

uma inversa, temos que ´e, de forma clara, bijetora.

3.7 Lema. Sejam A um anel noetheriano, I um ideal e A ֒i A∗ o homomorfismo canˆonico.

Ent˜ao:

(35)

Demonstra¸c˜ao. SejaαA∗ e β I; ent˜ao α=P

aıtı, aı ∈A. Portanto temos que:

α·β = (Xaıtı)β =

X

aıβtı=

X bıtı

com bı ∈I.

3.8 Corol´ario. Seja I =I1∩I2 com I1 e I2 ideais de A. Ent˜ao I ·A∗ =I1A∗∩I2A∗. Al´em

disso temos que IA∗

∩A=I.

Demonstra¸c˜ao. Se α IA∗, ent˜ao α =P

bıtı;bı ∈ I. Mas como bı ∈I1 e bı ∈ I2 temos que

αI1A∗ e que α∈I2A∗, e portanto α∈I1A∗∩I2A∗. Logo IA∗ ⊂I1A∗ ∩I2A∗.

Por outro lado temos que se αI1A∗∩I2A∗ podemos escreverα=Pbıtı,ondebı ∈I1

ebı ∈I2. Assimbı ∈I1∩I2 =I e da´ıα∈IA∗.Logo I1A∗ ∩I2A∗ ⊂IA∗.

Das inclus˜oes acima podemos concluir que IA∗ =I

1A∗∩I2A∗ e que IA∗∩A=I.

Para demonstrar um dos teoremas abaixo, precisamos trabalhar com os ideais

esten-didos definidos acima. Como nosso objetivo ´e encontrar componentes prim´arias diferenci´aveis

garantimos com os lemas abaixo que os ideais prim´arios que s˜ao estendidos continuam sendo

prim´arios. Para isto, demonstraremos primeiro que ideais primos estendidos continuam sendo

primos e ent˜ao para mostrarmos que ideais prim´arios estendidos s˜ao tamb´em prim´arios

usare-mos o fato de possuir apenas um ´unico ideal primo associado.

3.9 Lema. Sejam A um anel noetheriano e p um ideal primo. Ent˜ao pA∗ ´e um ideal primo.

Demonstra¸c˜ao. Sejam f = ∞

X

ı=0

aıtı e g = ∞

X

=0

bıt dois elementos de A∗ tais que f g ∈ pA∗, e

suponha queg = ∞

X

=0

bıt∈/ pA∗. Considere ent˜aor o menor ´ındice tal quebr ∈/ p,logo podemos

escreverg =g1+g2 com g1 =b0+b1t+· · ·+br−1tr−1 ∈pA∗ e g2 =brtr+br+1tr+1+· · ·∈/ pA∗.

Ent˜ao f g = f(g1 +g2) = f g1 +f g2 ∈ pA∗ e como f g1 ∈ pA∗ temos que f g2 ∈ pA∗.

J´a que f g2 =

X

k=r

cktk, com ck =

X

ı+=k

aıb ∈ p, temos que cr = a0br ∈ p, e como br ∈/ p temos

que a0 ∈ p. De maneira an´aloga temos que cr+1 =a0br+1+a1br ∈ p e como a0br+1 ∈ p ent˜ao

(36)

36

De uma maneira gen´erica temos que cr+k = akbr + k

X

s=1

ak−sbr+s ∈ p e como por

recorrˆencia k

X

s=1

ak−sbr+s ∈ p temos que ak ∈ p para k > 0. Logo, f ∈ pA∗ e portanto pA∗

´e um ideal primo.

3.10 Lema. Sejam A um anel noetheriano,q um ideal prim´ario com p o seu primo associado. Ent˜aoqA∗ ´e prim´ario e pA´e seu primo associado.

Demonstra¸c˜ao. Temos que q p e portanto qA∗

⊂pA∗. AssimqApA= pA. Por outro lado, como A ´e um anel noetheriano, existe um r tal que pr q. Logo, prA∗ qAe

portanto, √prA=pA

⊆√qA∗.

Deste modo, podemos concluir que √qA∗ =pA.

Afirma¸c˜ao: Ass(qA∗) =

{pA∗

}.

Suponhap′ Ass(qA∗).ComoA´e um anel noetheriano podemos escrever p= (qA:

v) comv /qA∗,e suponha quev =a

0+a1t+a2t2+· · ·+artr+· · · em quer´e o menor ´ındice tal quear ∈/ q. Ent˜ao podemos escreverv =v1+v2 com v1 =a0+a1t+a2t2+· · ·+ar−1tr−1 ∈qA∗

ev2 =artr+ar+1tr+1+· · ·∈/qA∗. Note que v2 =tr·v2′ com v′2 =ar+ar+1t+· · ·∈/ qA∗.

Nestas condi¸c˜oes temos que (qA∗ : v) = (qA: v

2). De fato, (qA∗ : v) ⊆ (qA∗ : v2′)

pois se f (qA∗ : v) temos que f v =f(v

1+v2) = f(v1 +trv2′) = f v1+trf v′2 ∈ qA∗; e como

f v1 ∈qA∗ temos tamb´em que trf v2′ ∈qA∗, o que nos leva a concluir que f v′2 ∈qA∗ e portanto

f (qA∗ :v

2). Reciprocamente, temos que (qA∗ :v)⊇(qA∗ : v2′) pois se f ∈(qA∗ : v2′) temos

quef v′

2 ∈qA∗.Comof v =f(v1+v2) =f(v1+trv′2) =f v1+trf v2′ ef v1 ∈qA∗ ent˜aof v∈qA∗,

nos levando assim af (qA∗ :v).

Podemos ent˜ao escrever p′ = (qA:w) em quew=w

0+w1t+· · · com w0 ∈/ q,e como

qA∗ =pAtemos que pA

⊆p′.

Seja agora f =b0+b1t+· · · ∈p′\pA∗, sendos o menor ´ındice tal quebs∈/p. Escreva

f =f1+f2 comf1 =b0+b1t+· · ·+bs−1ts−1 ∈pA∗; ent˜ao temosf2 =f−f1 =bsts+bs+1ts+1+

· · · ∈p′ \pA∗ com b

s ∈/ p. Temos ainda que f2 =bsts+bs+1ts+1+· · · = ts(bs+bs+1t+· · ·) e

comop′ ´e primo ets/ ptemos (b

(37)

Logo, (bs+bs+1t+· · ·)·w∈qA∗ e portanto bsw0 ∈q. Masq´e um ideal p-prim´ario, e

comobs∈/p temos que ar ∈q, o que nos leva a uma contradi¸c˜ao.

Assim, pA∗ p, e portanto qApossui um ´unico primo associado, isto ´e, qA´e um

idealpA∗-prim´ario.

3.11Lema. SejaA um anel noetheriano contendo os n´umeros irracionais e sejaΓuma fam´ılia de deriva¸c˜oes de A. Ent˜ao o ideal I ´e Γ-diferenci´avel se, e somente se, IA∗ ´e invariante por

{etD/D Γ}.

Demonstra¸c˜ao. Considere queIA∗ ´e invariante, e seja a

∈I e DΓ; ent˜ao temos que

etD(a) = 1·a+tDa+ t

2

2!D

2a+

· · ·=a+ta′+· · · ∈IA∗.

Logo, fica claro que a′ = Da

∈ I para qualquer valor de a I, e assim I ´e Γ-diferenci´avel.

Reciprocamente temos que seI ´e Γ-diferenci´avel,D(I)I para cadaDΓ.Portanto,

seαIA∗, α=P

aıtı com aı ∈I temos que

etD(α) = 1·α+t·D(α) + t

2

2!D

2(α) +

· · ·

com D(α) I para todo D Γ. Escrevendo Dn(α) = α

n com αn ∈ I, a express˜ao acima se resume etD(α) = P

αn · t

n

n! pertencendo claramente a IA

, sendo assim Γ-invariante por

{etD/D Γ}.

Podemos concluir ent˜ao que tendo um idealD-diferenci´avel, o seu estendido ´e invariante

por uma express˜ao escrita em fun¸c˜ao deD. Logo, garantimos a diferenciabilidade de ideais por

meio da invariˆancia dos seus estendidos.

3.12 Teorema. Seja A um anel noetheriano e seja Γ uma fam´ılia de deriva¸c˜oes em A e I

um ideal Γ-diferenci´avel com p1, . . . ,ps seus primos associados. Ent˜ao p1, . . . ,ps s˜ao ideais

Γ-diferenci´aveis; al´em disto I pode ser escrito como uma intersec¸c˜ao q1 ∩ · · · ∩ qs de ideais

(38)

38

Demonstra¸c˜ao. Seja I = q1 ∩ · · · ∩qs com qı prim´arios associados a pı onde ı = 1, . . . , s.

Ent˜ao

IA∗ = (q

1∩ · · · ∩qs)A∗ =q1A∗∩ · · · ∩qsA∗

ondeqıA∗ ´e prim´ario compıA∗ seu primo associado.

Aplicando o automorfismoetD comDΓ,n´os temos queetD(IA) =etD(q

1A∗)∩ · · · ∩

etD(q

sA∗) onde etD(qıA∗) ´e prim´ario e etD(pıA∗) ´e seu primo associado, ı= 1, . . . , s.

Pelo lema 3.11 IA∗ ´e invariante e temos tamb´em que etD permuta p

ıA∗, ou seja,

etD(p

ıA∗) =pA∗.

Ent˜ao se apı,aplicando o automorfismo descrito acima temos queetD(a) =a+ta′+

. . .A∗p

 agora com a∈p e da´ıpı ⊂p.

Mas por outro lado temos que pıA∗ =e−tD(pA∗) e portanto p ⊂pı o que nos leva a

pı=p.

Agora suponha prı

ı ⊂ qı com ı= 1, . . . , s e fixe a seq¨uˆencia (r1, . . . , rs). Ent˜ao IA∗ = q1A∗∩ · · · ∩qsA∗ e (pıA∗)rı ⊂qıA∗.

Considere agora todas as representa¸c˜oes deIA∗ =q

1∩ · · · ∩q′scom q′ı prim´ario e sendo

pıA∗ seu primo associado. Tome a seguir a interse¸c˜ao de todas estas representa¸c˜oes em que

(pıA∗)rı ⊂q′ı.

Seja IA∗ = q

1 ∩ · · · ∩qs. Ent˜ao qı ´e prim´ario com pıA∗ o seu primo associado e se

IA∗ = q

1 ∩ · · · ∩q′s ´e uma outra representa¸c˜ao ent˜ao qı ⊂ q′ı. Aplicando o automorfismo etD com DΓ,vemos que qı⊂etD(qı).

De forma an´aloga temos que qı ⊂ e−tD(qı) e da´ı temos que qı ´e invariante pelo

auto-morfismo.

Seja qı ∩ A = q∗ı. Ent˜ao q∗ı ´e prim´ario com pı seu primo associado, e ´e claro que

(pı)rı q

ı e q∗ıA∗ ⊂qı com ı= 1, . . . , s.

Como IA∗

∩A = I obtemos que IA∗ = q

1A∗ ∩ · · · ∩ q∗sA∗ com uma propriedade importante: qı ⊂q∗ıA∗.

(39)

Assim, se I ´e um ideal Γ-diferenci´avel e decompon´ıvel, existe uma decomposi¸c˜ao

prim´aria, cujas componentes prim´arias s˜ao Γ-diferenci´aveis. O teorema acima ´e existencial,

ou seja, prova que existe uma decomposi¸c˜ao prim´aria cujas componentes prim´arias s˜ao

Γ-diferenci´aveis, mas n˜ao fornece qual decomposi¸c˜ao assume esta propriedade. Em primeiro lugar

desenvolveremos alguns resultados encontrados como conseq¨uˆencia deste teorema.

3.13 Corol´ario. Se A n˜ao tem ideal pr´oprio primo e Γ-diferenci´avel ent˜ao, ´eΓ-simples. 3.14 Corol´ario. Se I ´e um ideal Γ-diferenci´avel, ent˜ao √I ´e Γ-diferenci´avel.

Demonstra¸c˜ao. Se I ´e diferenci´avel, temos que todos os seus primos associados s˜ao

Γ-diferenci´aveis. Assim sep1, . . . ,pn s˜ao os ideais primos associados a I e como a intersec¸c˜ao de

ideais Γ-diferenci´aveis ´e Γ-diferenci´avel, temos que√I =p1∩ · · · ∩pn ´e Γ-diferenci´avel.

Exemplo 3.6. Seja A = R[x, y] e I um ideal de A dado por I = (x2, xy). A fam´ılia

de deriva¸c˜oes Γ : (x)∂x∂ + (y)∂y∂ preserva I e, de acordo com o ´ultimo teorema, deve preservar

tamb´em os primos associados a I.

De fato, como temos que I = (x2, xy) = (x)(x2, y) = (x)[(x, y)]2, os seus primos

associados s˜ao (x) e (x, y) e tais ideais s˜ao preservados por Γ pois para D Γ, D := g1x∂x∂ +

g2y∂y∂ com g1, g2 ∈A, obtemos :

i) D(x) =g1x∂x∂ (x) +g2y∂y∂ (x) =g1x∈(x)

ii) D(y) = g1x∂x∂(y) +g2y∂y∂(y) = g2y∈(y).

Neste caso(x)(x2, y)´e uma decomposi¸c˜ao prim´aria paraI cujas componentes prim´arias

j´a s˜ao Γ-diferenci´aveis. Observe que para f, hA temos que:

i) D(f x) =g1x∂x∂ (f x) +g2y∂y∂ (f x) =

g1x∂f∂x+g1f +g2y∂f∂y

x(x)

ii) D(f x2+hy) =D(f x2) +D(hy) = 2f g

1+g1x∂f∂x +g2y∂f∂y

x2+g

1x∂h∂x+g2y∂h∂y +g2h

y

(40)

40

Para o exemplo acima, a decomposi¸c˜ao prim´aria encontrada j´a possu´ıa componentes

prim´arias diferenci´aveis. Como isto nem sempre acontece, dado um ideal diferenci´avel,

pre-cisamos determinar uma forma de encontrar a decomposi¸c˜ao prim´aria cujas componentes s˜ao

diferenci´aveis.

Para ideais principais monomiais que s˜ao Γ-diferenci´aveis, temos uma maneira simples

de encontrar as componentes prim´arias Γ-diferenci´aveis, pois escrevendo este ideal como

inter-sec¸c˜ao de dois ideais quaisquer monomiais e principais preservamos a diferenciabilidade para a

fam´ılia Γ de deriva¸c˜oes.

3.15 Proposic¸˜ao. Seja A = k[x1, . . . , xn] e seja I um ideal Γ-diferenci´avel com I = (m) =

(m1 · m2) = (m1) ∩(m2) onde m, m1, m2 ∈ A s˜ao monˆomios. Ent˜ao (m1) e (m2) s˜ao Γ

-diferenci´aveis.

Demonstra¸c˜ao. Seja m = xr11 · · ·xrn

n com algum rı 6= 0, ı = 1, . . . , n. Ent˜ao temos que

I = (m) = (xrı

ı )∩(xr22 · · ·xrnn).

Considere Γ ={Dλ}λ∈Λ uma fam´ılia de deriva¸c˜oes tal que I ´e Γ-diferenci´avel.

Temos que (xı) ´e Γ-diferenci´avel pois ´e um primo associado a I, com rı 6= 0. Assim

(xrı

ı ) ´e Γ-diferenci´avel pois D(xrıı) = rıxırı−1D(xı), e como D(xı) ⊂ (xı), podemos escrever

D(xı) = f xı onde f ∈A.Logo D(xrıı) =rıxırı−1D(xı) = rıf xırı ∈(xrıı).

Suponha m=m1·m2 = (x

rı1 ı1 · · ·x

rıl ıl )·(x

rıl+1 ıl+1 · · ·x

rın

ın )

Calculemos Dλ(m1) = Dλ(x

rı1 ı1 · · ·x

rıl ıl ) =

l

X

=1

rıx

rı1 ı1 · · ·x

rı−1 ı · · ·x

rı

ı Dλ(xı)

Como os primos m´ınimos de I, {(xı)/xı ∈ supp{m}}, s˜ao Γ-diferenci´aveis, temos que

Dλ(xı) ∈ (xı para todo xı ∈ supp{m1}. Portanto para cada xı ∈ supp{m1} temos que

Dλ(xı) =hıxı para hı ∈A.

Logo Dλ(m1) =

l

X

=1

rıhıx

rı1 ı1 · · ·x

rıl ıl =

l

X

j=1

rıhı

! m1.

Assim, Dλ(m1)∈(m1) para qualquerDλ ∈Γ. De forma an´aloga temos queDλ(m2)∈

(m2) para qualquer Dλ ∈Γ.

(41)

· · · ∩(xrn

n ), e suas componentes ser˜ao diferenci´aveis.

Se o ideal diferenci´avel n˜ao ´e principal, mesmo que possamos escrevˆe-lo como uma

intersec¸c˜ao de ideais gerados por monˆomios, esta decomposi¸c˜ao pode n˜ao preservar

diferencia-bilidade como mostra o exemplo abaixo.

Exemplo 3.7. Considere o ideal I de R[x1, x2, x3, x4, x5] dado por

I = (x1x2, x2x3, x3x4, x4x5, x1x5, x2x4, x3x5).

Seja D:=x4∂x1∂ . Observe que D preserva o ideal I.

Podemos escrever I como uma intersec¸c˜ao de dois ideais I1 e I2 da forma:

I1 = (x1, x2x3, x3x4, x4x5, x1x5, x2x4, x3x5)

I2 = (x2, x2x3, x3x4, x4x5, x1x5, x2x4, x3x5)

onde I =I1∩I2.

Observe que I1 ou I2 n˜ao s˜ao necessariamente preservados porD. Para provarmos isto

basta aplicar a deriva¸c˜ao acima nos geradores de I1 e I2.

Neste caso temos que o ideal I2 ´e D-diferenci´avel. Em I1 temos que D(x1) =x4 ∈/ I1;

portanto I1 n˜ao ´e diferenci´avel.

3.16 Proposic¸˜ao. Seja I A =R[x1, x2, . . . , xn] um ideal monomial Γ-diferenci´avel e Jı = [Dλ(xı)](I :I :xı),ondeDλ ∈Γ.SeH´e um ideal, tal queJı⊂H,ent˜aoH´eΓ-diferenci´avel.

Demonstra¸c˜ao. Sejaxr11 xr22 · · ·xrn

n e seja Dλ ∈Γ uma deriva¸c˜ao. Ent˜ao temos que :

Dλ(xr11 xr22 · · ·xrn

n ) = n

X

ı=1

rıxr11 · · ·xrı

−1

ı · · ·xrnnDλ(xı).

Como Dλ(xı)Jı temos que Dλ(xı)∈ H e consequentemente Dλ(xr11 x

r2

2 · · ·xrnn)∈H. Logo H est´a sendo preservado por Γ e ent˜ao temos que H ´e Γ-diferenci´avel.

Observe que nem todos os ideais prim´arios associados a ideais primos diferenci´aveis

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