Ideais Monomiais Diferenciáveis

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  Universidade Federal da Bahia

  Instituto de Matem´ atica Curso de P´ os-graduac ¸˜ ao em Matem´ atica

  Dissertac ¸˜ ao de Mestrado

  Ideais Monomiais Diferenci´ aveis ´ Erica Nogueira Macˆedo

  Salvador-Bahia Outubro 2004 Ideais Monomiais Diferenci´ aveis ´ Erica Nogueira Macˆedo

  Disserta¸c˜ao de mestrado apresentada ao colegiado do curso de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia, como re- quisito parcial para obten¸c˜ao do T´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

  Banca examinadora:

  Prof. Dr. Carlos Eduardo Nogueira Bahiano (Orientador) Prof. Dr. Thierry Corrˆea Petit Lob˜ao

  a a

  Prof . Dr . Aparecida Francisco da Silva

  ´ Macedo, Erica Nogueira.Ideais monomiais dife- renci´aveis. Salvador-Ba, UFBA, 2004 (Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao curso de p´os-graduac˜ao em Matem´atica)59p.

  PALAVRAS-CHAVE: deriva¸c˜oes, ideais monomiais.

  A Deus e a Nath´alia.

  “Sempre me pareceu estranho que todos aqueles que estudam seriamente esta ciˆencia acabam tomados de uma esp´ecie de paix˜ao pela mesma. Em verdade, o que proporciona o m´aximo de prazer n˜ao ´e o conhecimento e sim a aprendizagem, n˜ao ´e a posse mas a aquisi¸c˜ao, n˜ao ´e a presen¸ca mas o ato de atingir a meta.”

  Carl Friedrich Gauss Agradecimentos

  A Deus, em primeiro lugar, por ter me dado for¸ca e determina¸c˜ao para chegar ao fim de mais uma etapa na minha vida. Aos meus colegas de curso pelo incentivo e pelas horas em que compartilhamos as dificuldades, em especial para Azly, Odete Amanda, Laura, Ivana, Andr´ea, Nelson, Rosely, Paulo, Gilmar, Jorge. Aos professores do Mestrado, com destaque para o meu orientador, Prof. Dr. Carlos Eduardo Nogueira Bahiano, pela paciˆencia e disponibilidade em todas as etapas deste trabalho.

  Agrade¸co a Maria de F´atima, minha tia, por ter sido a primeira referˆencia e incentivo para o estudo da matem´atica. Agrade¸co em especial a minha fam´ılia, Macˆedo (meu marido) e a Nath´alia (minha filha), pela paciˆencia, incentivo e compreens˜ao nas horas em que tive que estar ausente. Apresenta¸c˜ ao

  O texto a seguir, tem como objeto b´asico de estudo, ideais diferenci´aveis em an´eis de polinˆomios sobre um corpo de caracter´ıstica zero. Ser´a dada ˆenfase aos ideais monomiais e a fam´ılia de deriva¸c˜oes que preservem estes ideais. Um dos objetivos deste trabalho ´e encontrar, para um ideal preservado por uma fam´ılia de deriva¸c˜oes, a decomposi¸c˜ao prim´aria, cujas com- ponentes prim´arias sejam tamb´em preservadas pela mesma fam´ılia. A.Seidenberg em seu artigo Differential ideals in rings of finitely generated type garantiu a existˆencia de uma decomposi¸c˜ao prim´aria de um ideal diferenci´avel cujas componentes prim´arias tamb´em s˜ao diferenci´aveis, mas n˜ao explicitou qual decomposi¸c˜ao assume esta propriedade, nem forneceu meios comput´aveis para encontr´a-la. Portanto, mostraremos para alguns casos, um m´etodo de encontrar esta decomposi¸c˜ao prim´aria com componentes diferenci´aveis. Neste mesmo trabalho, abordaremos rela¸c˜oes entre ideais que n˜ao s˜ao diferenci´aveis e pontos regulares de variedades, como forma da exemplificar a importˆancia do t´opico estudado.

  Para desenvolver as a¸c˜oes descritas acima, estudamos sobre as propriedades das deriva¸c˜oes, abordamos o m´odulo das deriva¸c˜oes e a sua rela¸c˜ao com a matriz jacobiana, que nos permite calcular as deriva¸c˜oes que preservam os ideais em quest˜ao.

  ´Indice

  1 Defini¸c˜ oes B´ asicas 9 1.1 Ideais Prim´arios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  9 1.2 Decomposi¸c˜ao Prim´aria e An´eis Noetherianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  10

  2 Deriva¸c˜ oes e Diferenciais 15 2.1 Deriva¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  15 2.2 O m´odulo das diferenciais de K¨ahler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  22 2.3 Seq¨ uˆencias Fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  24

  3 Ideais Diferenci´ aveis 27 3.1 Ideais diferenci´aveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  27 3.2 Ideais diferenci´aveis e a decomposi¸c˜ao prim´aria . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  32 3.3 Ideais diferenci´aveis e regularidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  45 A Apˆ endice

  49 A.1 An´eis e M´odulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  49 A.1.1 Opera¸c˜oes com Ideais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  50 A.1.2 Anel Noetheriano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  51 A.1.3 An´eis Regulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  51 A.1.4 Anel das S´eries de Potˆencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  51 A.1.5 M´odulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  54 A.1.6 Produto Tensorial de M´odulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  54 A.1.7 Extens˜ao de M´odulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  55 A.1.8 Sequˆencia Exata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  56 Cap´ıtulo 1 Defini¸c˜ oes B´ asicas

  Neste cap´ıtulo, abordaremos alguns conceitos necess´arios para a compreens˜ao das deriva¸c˜oes em an´eis de polinˆomios, especificamente quando aplicadas em ideais monomiais, objeto central de estudo.

  Considere para todo o texto, A um anel comutativo e com unidade, exceto quando explicitarmos o contr´ario.

  1.1 Ideais Prim´ arios

  1.1 Definic ¸˜ ao. Seja I um ideal de um anel A . O radical de I ´e o conjunto dado por √

  n

  x I = {x ∈ A; ∈ I para algum n ∈ N}. ¸˜ ao.

  1.2 Definic Um ideal pr´oprio I de A ´e dito ser prim´ario se para todo x, y ∈ A tais que

  n

  xy ∈ I tem-se x ∈ I ou y ∈ I para algum n ∈ N √

  Em an´eis comutativos, isto equivale a dizer que se xy ∈ I e y / ∈ I ent˜ao x ∈ I. Disto decorre que:

  A A ´e nilpotente.

  I ´e prim´ario ⇔ 6= 0 e todo divisor de zero em

  I I

  Vejamos alguns exemplos: n

  Exemplo 1.1. Os ideais prim´arios em ),onde p ´e um n´ umero primo.

  Z s˜ao (0) e (p

  2 Exemplo

1.2. Seja A = R[x, y] e seja q = (x, y ) um ideal de A. Temos ent˜ao que:

  A R[x, y] R[y]

  ∼ =

  =

  

2

  2

  q (x, y ) (y ) e portanto os divisores de zero s˜ao todos nilpotentes. Podemos concluir da´ı que q ´e prim´ario e temos que:

  √

  2 q = p(x, y ) = (x, y).

  2 Exemplo

1.3. Seja A = R[x, y] e seja I = (x

  , xy) um ideal de A. Temos que xy ∈ I

  n

  e como x / ∈ I, para I ser prim´ario, ´e necess´ario que y ∈ I para algum n ∈ N. Como isto de

  n

  fato n˜ao acontece, ou seja, y / ∈ I para todo n ∈ N, I n˜ao ´e um ideal prim´ario.

  √ ¸˜ ao.

  1.3 Proposic Seja I um ideal prim´ario de um anel A. Ent˜ao I ´e o menor ideal primo contendo I.

  √ Demonstra¸c˜ ao. Basta mostrar que p = I ´e primo, pois temos que o radical de I ´e a intersec¸c˜ao de todos os ideais primos que o cont´em, e claramente pela defini¸c˜ao acima temos

  √ I. tamb´em que I ⊂

  m Seja xy ∈ p ent˜ao (xy) ∈ I para algum m > 0.

  √

  

m m n

  Como I ´e prim´ario temos que x )

  I ∈ I ou (y ∈ I para algum n > 0, isto ´e , x ∈

  √ √ I. Portanto concluimos que p = I ´e primo . ou y ∈

  √ I ´e dito ser p-prim´ario se I ´e prim´ario e I = p.

  1.2 Decomposi¸c˜ ao Prim´ aria e An´ eis Noetherianos

  A decomposi¸c˜ao de um ideal em componentes prim´arias ´e uma ferramenta impor- tante da ´algebra, pois permite o c´alculo efetivo das componentes irredut´ıveis de uma variedade alg´ebrica. Como nosso ambiente de trabalho s˜ao an´eis de polinˆomios sobre um corpo de car- acter´ıstica zero, temos que estes an´eis s˜ao noetherianos e portanto admitem decomposi¸c˜ao prim´aria.

  1.4 Definic ¸˜ ao. A decomposi¸c˜ao prim´aria de um ideal I em A ´e uma express˜ao de I como intersec¸c˜ao finita de ideais prim´arios. Isto ´e, T

  n

  q I = ı , onde cada q ı ´e prim´ario, ı = 1, ..., n

  ı=1 Um ideal ´e dito ser decompon´ıvel se possui uma decomposi¸c˜ao prim´aria.

  Os ideais prim´arios que aparecem na decomposi¸c˜ao prim´aria de um ideal I s˜ao geral- mente chamados de componentes prim´arias de I. Um mesmo ideal I pode ter diferentes decom- posi¸c˜oes prim´arias, embora o conjunto dos radicais das componentes prim´arias seja invariante como mostra o teorema a seguir.

  T

  n

1.5 Teorema. Seja I um ideal decompon´ıvel e seja I = q a decomposi¸c˜ao prim´aria

  ı ı=1

  m´ınima de I. Seja p ı = p(q ı ), 1 6 ı 6 n. Ent˜ao p ı s˜ao precisamente os ideais que aparecem no conjunto dos ideais { p(I : x) x ∈ A} e independem da decomposi¸c˜ao particular de I.

  Demonstra¸c˜ ao. Para x ∈ A, temos que

  n n

  \ \ q (I : x) = ( ı : x) = (q ı : x)

  ı=1 ı=1

  e ent˜ao

  n

  \ \ p(I : x) = p(q : x) = p .

  ı  ı=1 ∈q  x /

  Suponha que para algum . p(I : x) ´e primo. Ent˜ao temos que p(I : x) = p 

  Cada ideal primo da forma p(I : x) ´e um dos p . Por outro lado, para cada ı teremos

  

  T q que se x ı / ı ent˜ao x ı  , o que nos leva a concluir que a decomposi¸c˜ao ´e m´ınima e

  ∈ q ∈ 6=ı ent˜ao temos p(I : x ) = p .

  ı ı

  2 Exemplo 1.4. Seja A = , xy) um ideal deste anel.

  R[x, y] um anel e I = (x O radical de um ideal ´e a intersec¸c˜ao de todos os primos que o cont´em, portanto,

  \ √

  I = (x) (x, y) = (x)

  2

  2 Logo temos que I = (x) onde os ideais (x) e (x, y) s˜ao prim´arios pois o primeiro ´e

  T(x, y) primo e o segundo ´e a potˆencia de um maximal.

  No entanto, observe que o ideal I n˜ao ´e prim´ario pois se temos h ∈ I ent˜ao

  2

  h = f x + gxy = x(f x + gy), √ mas x / I = (x)

  ∈ I e fx + gy / ∈ T n

  Se temos I = q com q prim´arios e se p(q ) = p dizemos que os ideais p s˜ao os

  i i i i i i=1

  primos associados de I. Indicaremos estes primos associados pela nota¸c˜ao Ass(I).

  No exemplo anterior temos que (x) e (x, y) s˜ao os primos associados de I, ou seja, Ass(I) = {(x), (x, y)}.

  Um ideal I ´e prim´ario se, e somente se, possui um ´ unico ideal primo associado. Um ideal I de um anel A pode n˜ao ser decompon´ıvel, ou seja, pode n˜ao possuir uma decomposi¸c˜ao prim´aria. Isto n˜ao o impede de ser expresso como uma intersec¸c˜ao de ideais pr´oprios.

  1.6 Definic ¸˜ ao. Um ideal I de um anel A ´e dito ser redut´ıvel se existem ideais pr´oprios I

  1

  2

  6= I tais que I = I . Caso contr´ario, o ideal ´e dito ser irredut´ıvel.

  1

  2

  ∩ I ¸˜ ao.

  1.7 Proposic Seja A um anel noetheriano, e ent˜ao todo ideal I de A ´e uma intessec¸c˜ao

  r

  de ideais irredut´ıveis, isto ´e, existem ideais irredut´ıveis I , . . . , I I .

  1 r ı

  tais que I = ∩ ı=1 Demonstra¸c˜ ao. Seja N o conjunto de todos os ideais de A que n˜ao podem ser escritos como intersec¸c˜ao de ideais irredut´ıveis e assuma que N ´e n˜ao vazio.

  Primeiramente, vemos que qualquer ideal em N ´e redut´ıvel, pois caso contr´ario ele seria , I tais que I = I

  1

  2

  1

  2 com I ou I

  1

  2

  ∈ N, pois caso contr´ario ter´ıamos uma decomposi¸c˜ao para I pela concatena¸c˜ao das decomposi¸c˜oes de I e I .

  1

2 Dessa forma temos provado que para cada I ∈ N, temos J ∈ N tal que I est´a pro-

  priamente contido em J e portanto podemos formar uma cadeia infinita ascendente de ideais encaixados, o que contradiz o fato de A ser noetheriano.

  A pr´oxima proposi¸c˜ao garante a existˆencia de decomposi¸c˜ao prim´aria em an´eis noethe- rianos.

1.8 Proposic ¸˜ ao. Todo ideal pr´oprio irredut´ıvel de um anel noetheriano ´e prim´ario.

  Demonstra¸c˜ ao. Seja I um ideal de um anel noetheriano A. Se b ∈ A ent˜ao existe m ∈ N tal

  m m+1 2 m

  que I : b = I : b . De fato, temos que I ⊂ I : b ⊂ I : b ⊂ · · · ⊂ I : b ⊂ · · · ´e uma cadeia ascendente de ideais encaixados. J´a que A ´e noetheriano, esta cadeia estaciona, isto ´e, existe

  m m+1 = I : b .

  m ∈ N tal que I : b Se I n˜ao ´e prim´ario ent˜ao I ´e redut´ıvel. De fato, se I n˜ao ´e prim´ario existem f, h ∈ A

  √ √

  m

  I e h / I, isto ´e, f / / tais que f h ∈ I, f / ∈ ∈ ∈ I e h ∈ I para qualquer m ∈ N.

  l l+1 r

  = I : h ). Com

  Seja r ∈ N tal que I : h , ∀l > r. Afirmamos que I = (I, f) ∩ (I, h

  r

  ) ´e imediato. Agora seja x um elemento desta intersec¸c˜ao; ent˜ao efeito I ⊂ (I, f) ∩ (I, h

  r

  x = s

  1 + t 1 f = s 2 + t

2 h , com s

1 , s

  2 1 , t 2 (1.1) ∈ I e t ∈ A. r+1 r+1

  Multiplicando 1.1 por h obtemos s h + t h = s h + t h

  2

  2

  1

  1

  2

  f h ∈ I; da´ı temos que t ∈

  r+1 r r+1 r r

  I, isto ´e, t e uma vez que I : h = I : h temos que t logo t h

  2

  2

  2

  ∈ I : h ∈ I : h ∈ I e

  

r

  finalmente, x ∈ I. Al´em disto (I, f) 6= A e (I, h ) 6= A. De fato, se (I, f) = A ent˜ao existiriam

  r r r r

  resulta h = th f + h u e ent˜ao t ∈ A e u ∈ I tais que tf + u = 1 que multiplicado por h

  r r

  h ∈ I o que ´e uma contradi¸c˜ao. De maneira an´aloga mostra-se que (I, h ) 6= A.

  Podemos concluir ent˜ao que, em um anel noetheriano ou os ideais s˜ao irredut´ıveis, portanto prim´arios, ou podem ser expressos por meio de uma intersec¸c˜ao de ideais irredut´ıveis. Como todo ideal irredut´ıvel ´e prim´ario, garantimos uma intersec¸c˜ao finita de ideais prim´arios e, assim, conclu´ımos tamb´em que todo anel noetheriano admite decomposi¸c˜ao prim´aria.

  2 Exemplo

1.5. Seja A = y, z) um ideal de A. Vemos que I n˜ao

  R[x, y, z] e seja I = (x ´e um ideal irredut´ıvel pois podemos escrevˆe-lo da seguinte forma:

2 I = (x

  , z) ∩ (y, z)

  2

  onde os ideais (x , z) e (y, z) s˜ao irredut´ıveis e portanto prim´arios. Neste caso I n˜ao ´e um ideal prim´ario.

  Cap´ıtulo 2 Deriva¸c˜ oes e Diferenciais

  Neste cap´ıtulo, faremos uma abordagem sobre as deriva¸c˜oes e suas propriedades. A seguir vamos caracterizar o m´odulo de diferenciais de K¨ahler que nos ajudar´a a encontrar o conjunto de todas as deriva¸c˜oes de um m´odulo com o objetivo final de saber quais destas deriva¸c˜oes preservam determinados ideais. Para caracterizar tais deriva¸c˜oes faremos uso das seq¨ uˆencias exatas, mais especialmente da segunda seq¨ uˆencia exata fundamental.

2.1 Deriva¸c˜ oes

  2.1 Definic ¸˜ ao. Sejam A uma k-´algebra, M um A-m´odulo. Uma deriva¸c˜ao de A com valores em M ´e uma aplica¸c˜ao D : A → M satisfazendo as seguintes condi¸c˜oes:

  1. D(a + b) = Da + Db

  2. D(ab) = aDb + bDa

  3. D(λ) = 0, ∀λ ∈ k

  Segue das propriedades acima que:

  4. D(λa) = λDa, ∀λ ∈ k

  n (n−1) 5. D(a ) = na Da, para todo natural n. Observe que decorre da defini¸c˜ao acima que toda deriva¸c˜ao ´e uma Z-deriva¸c˜ao, pois

  D(1) = D(1 · 1) = D(1) + D(1) Logo, D(1) = 0. Consequentemente, para todo, λ positivo, temos:

  λ

  X D(λ) = D(1) = 0. Por outro lado,

  D(−1 + 1) = D(0) D(−1) + D(1) = 0

  D(−1) = 0 e ent˜ao, podemos concluir que : D(−λ) = D(−1 · λ) = −1D(λ) + λD(−1) = 0. Ou seja, D(x) = 0 para todo x ∈ Z. Observe que em an´eis sem unidade temos sempre uma deriva¸c˜ao nula.

  Exemplo

2.1. Considere D : 2

  Z → 2Z. Temos que: D(4) = D(2 · 2)

  = 2D(2) + 2D(2) = 4D(2) Por outro lado, temos que D(4) = D(2 + 2) = D(2) + D(2) = 2D(2).

  Portanto,

  4D(2) = 2D(2)

  2D(2) = 0 D(2) = 0 Como a deriva¸c˜ao anula o gerador do anel, dever´a anular todo e qualquer elemento do anel. Assim o anel 2 Z, que ´e um anel sem unidade, admite apenas a deriva¸c˜ao nula.

2.2 Definic ¸˜ ao. Dados D, D

  1 k

  ∈ Der (A, M ) e a, b ∈ A definamos : 1. (aD)b = a(Db) 2. a(D + D ) = aD + aD

  1

1 Decorre desta defini¸c˜ao que o conjunto Der(A, M ) das deriva¸c˜oes de A com valores em

  M , ´e um A-m´odulo. Se A ´e uma k-´algebra, ent˜ao o conjunto Der (A, M ) das k-deriva¸c˜oes de

  k

  A com valores em M , ´e um subm´odulo de Der(A, M ). Se M = A escrevemos Der (A) para

  k Der (A, M ). k 2.3 Teorema. Seja A uma k-´algebra. Seja S ⊂ A um sistema multiplicativo tal que 0 / ∈ S.

  − −

  1

  1 Seja S A o anel de fra¸c˜oes de A em rela¸c˜ao a S. Para qualquer S A-m´odulo B e para ′ − 1 k (A, B) existe uma ´ unica D k (S

  A, B) que estende D. Al´em disto, qualquer D ∈ Der ∈ Der tem-se: x

  

′ yDx − xDy

  D ( ) =

  2

  y y

  ′

  Demonstra¸c˜ ao. Suponha que D seja uma deriva¸c˜ao que estenda D. Neste caso, x x

  ′ ′

  D(x) = D ( ) = D ) (y · 1 y x x

  ′ ′

  = yD ( ) + D y y y x x

  ′

  = yD ( ) + Dy y y 1 x

  ′

  2

  = D ( ) + xDy) · (y y y

  Logo, x

  ′

  yDx − xDy D ( ) = .

  2

  y y

  ′

  Assim, D ´e determinada por D e tem que satisfazer a rela¸c˜ao acima e, portanto, a unicidade est´a provada. Resta mostrar que de fato ela existe, e para isto basta verificar que a rela¸c˜ao acima j´a define uma deriva¸c˜ao que estende D. satisfaz as propriedades abaixo:

  1. D

  xDy = s

  2

  zDw − s

  2

  y

  

2

  wDz + s

  2

  w

  2

  yDx − s

  2

  w

  2

  2

  2

  [w

  2

  (yDx − xDy) − y

  2

  (wDz − zDw)] Para concluir basta verificar que D

  ′

  Considere a aplica¸c˜ao D

  ′

  (

  x y

  z w

  ′

  ′

  xw+zy yw

  y

  yDx − s(syz)wDy = s

  ′

  nos leva a seguinte igualdade: yDx − xDy y

  ′

  definida por D

  ′

  (

  x y

  ) =

  yDx−xDy y 2 .

  Mostremos que, D

  ′

  : S

  −

  1 A → B est´a bem definida, isto ´e, x y

  =

  z w

  2

  2

  = wDz − zDw w

  2 Sabemos que existe s ∈ S tal que s(xw − yz) = 0. Ent˜ao existe t ∈ S tal que:

  t · [w

  2

  (yDx − xDy) − y

  2

  (wDz − zDw)] = 0 De fato, se s(xw − yz) = 0 ent˜ao sxw = syz.

  Assim temos que: 0 = D(sxw − syz) = D(sxw) − D(syz) = [(xw − yz)Ds + s(xDw + wDx − yDz − zDy)](syw) = s(sxw)yDw − s

  2

  y

  2

  wDz + s

  2

  w

  x y

  • z w

  (

  ) =

  ′

  (

  z w

  )

  3. D

  ′

  (

  λ

  1

  D(λ)−λD(1)

  x y

  1 2 = 0

  Seja A uma k-´algebra que ´e um dom´ınio de integridade e L um corpo contendo

  A. Se D : A → L ´e uma deriva¸c˜ao, ent˜ao D pode ser estendido de maneira ´unica para uma deriva¸c˜ao D

  ′

  : K → L onde K ´e o corpo de fra¸c˜oes de A. Al´em disso temos D

  ′

  ( x y

  ) = yDx − xDy y

  2 ∀x, y ∈ A, y 6= 0.

  D

  ) +

  ) = D

  ·

  ) + D

  (

  (

  ) = D

  )

  2. D

  ′

  (

  x y

  z w

  x y

  ) = D

  ′

  (

  xz yw

  ) =

  z w

  D

  ′

  (

2.4 Corol´ ario.

  Demonstra¸c˜ ao. Segue de forma imediata.

  Sendo o nosso ambiente de trabalho an´eis de polinˆomios sobre um corpo, precisamos verificar como se comportam as deriva¸c˜oes neste ambiente. Como todo polinˆomio ´e uma soma de monˆomios, encontraremos uma forma de calcular o valor que a deriva¸c˜ao assume em um polinˆomio analisando o que acontece em cada parcela monomial.

  2.5 Proposic ¸˜ ao. Seja D uma k-deriva¸c˜ao em A = k[x , x , . . . , x ], onde k ´e um corpo de

  1 2 n r 1 n r

  caracter´ıstica zero. Seja m um monˆomio da forma m = x . Ent˜ao

  1 · · · x n

n

  X

  r 1 r n r 1 r ı − 1 r n

  D(m) = D(x ) = r x D(x )

  ı ı 1 · · · x n 1 · · · x ı · · · x n

ı=1

  Demonstra¸c˜ ao. Seja gr(m) = r o grau do monˆomio m. Usaremos a indu¸c˜ao sobre

  1 n

  • · · · + r gr(m).

  Considere gr(m) = 1. Como r

  ı

  ∈ N para ı ∈ {1, . . . , n} temos que existe  ∈ {1, . . . , n} tal que r = 1 e r e portanto D(m) = D(x ).

   ı  

  = 0 para todo ı 6= . Assim, m = x

  n

  X

  r 1 ı − n r 1 r

  Suponha que para gr(m) = s a igualdade D(m) = r ı x D(x ı ) ´e

  1

  · · · x ı · · · x n

  ı=1 v´alida. r

  1 r n

  Para gr(m) = s+1 temos que m = x

  ı 1 · · · x n ·x com ı ∈ {1, . . . , n}. Logo, aplicando-se

  a deriva¸c˜ao em m obtemos

  r 1 n r

  D(m) = D(x ı )

  1

  · · · x n · x

  r 1 r n r 1 r n

  = x D(x ) + x D(x )

  ı ı 1 · · · x n 1 · · · x n n

  X

  − r 1 r ı 1 r n r 1 r ı r n

  = x r x D(x ) + x D(x )

  ı ı ı ı 1 · · · x ı · · · x n 1 · · · x ı · · · x n ı=1 n

  X

  r 1 r ı r n

  = (r + 1)x D(x )

  ı ı 1 · · · x ı · · · x n ı=1

  2.6 Corol´ ario. Seja A = k[x , . . . , x

  1 n

  ] e B um A-m´odulo. Ent˜ao toda k-deriva¸c˜ao D ∈ Der (A, B) fica determinada pelas imagens de x , . . . , x .

  k 1 n Demonstra¸c˜ ao. Segue de forma imediata.

  Assim para definir uma deriva¸c˜ao em um anel de polinˆomios, precisamos apenas indicar o valor que ela assume no conjunto de geradores do anel .

  Consideremos para a proposi¸c˜ao seguinte o anel A como sendo A = k[x] e utilizaremos a nota¸c˜ao usual para representar as derivadas parcias relativas aos geradores do anel.

2.7 Proposic ¸˜ ao. Se A = k[x] = k[x , x , . . . , x ], ent˜ao Der (A) ´e um A-m´odulo livre, de

  1 2 n k ∂ ∂

  , . . . , posto n e { } ´e uma base.

  ∂x 1 ∂x n

  Demonstra¸c˜ (A) defina D (A) por

  k k

  ao. Dado D ∈ Der ∈ Der

  

′ ∂ ∂ ∂

  D = a + a

  1 2 n

  • · · · + a

  ∂x 1 ∂x 2 ∂x n em que a = D(x ). ı ı ′

  ′

  Temos ent˜ao que D (x ) = a o que nos leva a concluir que D = D e portanto D ´e

  ı i combina¸c˜ao linear das derivadas parciais.

  Considere agora ent˜ao a seguinte igualdade: ∂ ∂ ∂

  α + α = 0

  1 2 n

  • · · · + α ∂x ∂x ∂x

  1 2 n

  Aplicando x a esta igualdade obtemos ent˜ao:

  ı n

  X ∂ a (x ) = a = 0 0 6 ı 6 n.

  ı ı ı

  ∂x

  ı ı=1 ∂ ∂

  , . . . , Portanto podemos concluir que o conjunto { } ´e linearmente independente sobre A.

  ∂x 1 ∂x n

  Logo, as k-deriva¸c˜oes de um anel de polinˆomios s˜ao geradas pelas derivadas parciais, ou seja, toda k-deriva¸c˜ao pode ser escrita como uma combina¸c˜ao linear das derivadas parciais com coeficientes em A. ´ E claro que estes coeficientes coincidem com o valor que a deriva¸c˜ao assume nos geradores do anel.

  Exemplo (A) uma deriva¸c˜ao que satisfaz:

  k

2.2. Seja A = k[x, y] e seja D ∈ Der

  D(x) = x − y e D(y) = 1. Como sabemos que as deriva¸c˜oes s˜ao combina¸c˜oes lineares das

  ∂ ∂

  derivadas parciais podemos escrever que D = a + b . Assim temos que:

  ∂x ∂y ∂ ∂ ∂ ∂

  D(x) = a x + b x = a e D(y) = a y + b y = b.

  ∂x ∂y ∂x ∂y ∂ ∂

  . Portanto temos que D = (x − y) + 1 ·

  

∂x ∂y

2.8 Proposic ¸˜ ao.

  (B, M ) ent˜ao

  k

  Se ϕ : A → B ´e um homomorfismo de k-´algebras e D ∈ Der (A, M ).

  k

  D ◦ ϕ ∈ Der Demonstra¸c˜ ao. Defina ϕ(a) · v := a · v

  (A, M ) temos que:

  k

  Para D ◦ ϕ ∈ Der

  1. D ◦ ϕ(a + b) = D(ϕ(a + b)) = D(ϕ(a) + ϕ(b)) = D(ϕ(a)) + D(ϕ(b)) = (D ◦ ϕ)a + (D ◦ ϕ)b

  2. D ◦ ϕ(a · b) = D(ϕ(a · b)) = ϕ(b)D(ϕ(a)) + ϕ(a)D(ϕ(b)) = b(D ◦ ϕ)(a) + a(D ◦ ϕ)(b) P

  λ

  3. D ◦ ϕ(λ) = D[ϕ(λ)] = D( ı=1 ϕ(1)) = D(λϕ(1)) = λD(ϕ(1)) + ϕ(1)D(λ) = λ · 0 = 0 Claramente a composi¸c˜ao D ◦ ϕ ´e uma deriva¸c˜ao definida de A em M.

  Exemplo

2.3. Seja A =

  R (B, M )

  R[x], B = R[x, y] e M = M

  2

  (B). Considere D ∈ Der     x 0 0 y     dada por D(x) = e por D(y) =

  0 0 0 0 Podemos calcular ent˜ao novas deriva¸c˜oes a partir de composi¸c˜oes com homomorfismos como abaixo:

1. Seja ϕ (f (x)) = f (x). Ent˜ao temos uma nova deriva¸c˜ao

  1

  1

  : A → B definida por ϕ

  ′

  D R (A, M )definida por: ∈ Der

    x 0

  ′

    D (x) = D(x) =

  1

  (x) = D ◦ ϕ 0 0

2. Seja ϕ (f (x)) = f (x+y). Ent˜ao novamente temos uma deriva¸c˜ao

  2

  2

  : A → B definida por ϕ

  ′′

  D (A, M )definida por:

  R

  ∈ Der       x 0 y 0 x + y 0

  ′′

  D )(x) = D(x+y) = D(x)+D(y) = =

  •      

  2

  (x) = (D◦ϕ 0 0 0 0 Observa¸c˜ ao

  (A, M ),

  A k

2.1. Sejam M e N A-m´odulos. Se ψ ∈ hom (M, N ) e D ∈ Der (A, N ).

  k

  ent˜ao ψ ◦ D ∈ Der ´

  E claro que a express˜ao satisfaz as condi¸c˜oes da defini¸c˜ao de deriva¸c˜ao, como segue: 1. ψ ◦ D(a + b) = ψ(Da + Db) = ψDa + ψDb = ψ ◦ Da + ψ ◦ Db 2. ψ ◦ D(ab) = ψ(bDa + aDb) = ψ(bDa) + ψ(aDb) = b(ψ ◦ D)a + a(ψ ◦ D)b 3. ψ ◦ D(λ) = ψ(0) = 0

  2.2 O m´ odulo das diferenciais de K¨ ahler

  Introduziremos agora uma ferramenta importante para determinarmos o conjunto das deriva¸c˜oes definidas sobre um m´odulo. Considere ent˜ao A uma k-´algebra e M um A-m´odulo.

  2.9 Definic ¸˜ ao. Seja A uma k-´algebra. Um A-m´odulo Ω, munido de uma k- deriva¸c˜ao d : A → Ω, ´e chamado um m´odulo de diferenciais(de K¨ahler) de A se, para todo A-m´odulo M e

  (A, M ), existir um ´

  k A

  toda δ ∈ Der unico ω ∈ Hom (Ω, M ) tal que δ = ω ◦ d; isto ´e, tal que o diagrama abaixo seja comutativo:

  

d

  A Ω →

  δ ց ↓ ω M

  A. Considere

  k

  Seja A uma k-´algebra, e escreva uma k-´algebra B definida por B = A ⊗ as aplica¸c˜oes λ , λ

  1

  2

  : A → B definidas por: λ

  1

  (a) = a ⊗ 1 λ

  2

  (a) = 1 ⊗ a Pela linearidade do produto tensorial temos que λ e λ s˜ao homomorfismos de k-

  1

  2

  ´algebras. Dados a ∈ A e x ⊗ y ∈ B, define-se a multiplica¸c˜ao por escalar :

  1

  a · (x ⊗ y) = λ (a)(x ⊗ y) = ax ⊗ y .

  2

  a · (x ⊗ y) = λ (a)(x ⊗ y) = x ⊗ ay A duas estruturas de A-´algebra .

  k

  As multiplica¸c˜oes acima fornecem a B = A ⊗ ¸˜ ao.

  2.10 Definic O homomorfismo ξ : B → A, induzido pela aplica¸c˜ao A-bilinear (x, y) → xy ´e dito ser o homomorfismo diagonal. Temos ent˜ao que ξ(x ⊗ y) = xy.

  2.11 Proposic ¸˜ ao. , λ induzem a mesma estrutura de

  1

  2 Seja N ⊂ B o n´ucleo de ξ. Ent˜ao λ N N B

  A-m´odulos em

  2 2 , θ(λ (a))f = θ(λ 2 ´e o

  1

  2

  , isto ´e, ∀a ∈ A e f ∈ (a))f onde θ : B →

  N N N homomorfismo canˆonico.

  Demonstra¸c˜ = Id temos que (λ

  1

2 A

  2

  1 ao. De fato, se ξ ◦ λ = ξ ◦ λ − λ )(A) ⊆ N.

  2

  e ent˜ao

  2

  1 Logo, para todo a ∈ A e f ∈ N obt´em-se (λ − λ )(a) · f ∈ N

  θ((λ )(a)f ) = θ((λ

  2

  1

  2

  1

  − λ − λ )(a)) · f = (θ(λ

  2

  1

  )(a) − θ(λ )(a)) · f = θ(λ (a))f (a))f = 0.

  2

  1

  − θ(λ (a))f = θ(λ (a))f .

  2

  1 Para isto basta termos a · f := θ(λ k

2.12 Teorema. Sejam A uma k-´algebra , B = A ⊗ A e N ⊆ B o n´ucleo do homomorfismo

  B

  diagonal ξ; λ , λ

  1

  2

  2

  1

  como antes, e θ : B → o homomorfismo canˆonico. Escreva d = θ◦(λ −λ

  N

  2 ).

  Ent˜ao:

  N 2 ´e uma k-deriva¸c˜ao.

  1. d : A →

  N N

  ´e gerado como A-m´odulo, por {dy/y ∈ A}

  N N

  2 2.

3. O A-m´odulo

  2 ´e um m´odulo de diferenciais de K¨ahler N A demonstra¸c˜ao do teorema acima pode ser encontrada em [2].

  2.13 Corol´ ario. Sejam A uma k-´algebra, m um A-m´odulo. Ent˜ao Hom (A, M ).

  A k

  (Ω, M ) ≃ Der Demonstra¸c˜ ao. Segue imediatamente da defini¸c˜ao.

  2.3 Seq¨ uˆ encias Fundamentais

  As seq¨ uencias fundamentais desempenham um papel importante na determina¸c˜ao do conjunto das deriva¸c˜oes de um m´odulo. Tais deriva¸c˜oes podem ser encontradas quando apli- camos homomorfismos na segunda seq¨ uˆencia exata fundamental, j´a que o conjunto dos homo- morfismos definidos do m´odulo das diferenciais de K¨ahler em um m´odulo ´e isomorfo ao m´odulo das deriva¸c˜oes.

  A segunda seq¨ uˆencia exata do m´odulo de diferenciais diz respeito `a seguinte situa¸c˜ao

  A

  particular: sejam k um anel, I ⊂ A um ideal da k-´algebra A, e B = . A aplica¸c˜ao δ : I →

  I

  Ω

  B, definida por δ(x) = d

  k A A/k

  (A) ⊗ x ⊗ 1, ´e um homomorfismo de A-m´odulos que satisfaz

2 I

  2

  δ(I ) = 0, e induz desta forma um homomorfismo de B-m´odulos δ : k A

  B, dada → Ω (A) ⊗

  I por δ(f ) = δ(f ).

2.14 Teorema. (Segunda seq¨ uˆencia fundamental exata) 1. A seq¨ uˆencia de B-m´odulos, abaixo ´e exata.

  O I β

  δ

  (A) B

  k k

  −→ Ω −→ Ω (B) −→ 0

  2 I A

  N N

  A

2. Se A =

  2 . Ent˜ao Ω (A) (A ) B 1 k k

  

1

  3. A seq¨ uˆencia exata em (1) ´e cindida `a esquerda se, e somente se, a seq¨ uˆencia exata natural de k-´algebras

  I A A 0 → → → → 0

  2

  I I ´e cindida.

  2 I

  Demonstra¸c˜ ao.

1. Uma vez que ϕ : A → B ´e sobrejetiva, temos que β ´e sobrejetiva e β ◦ δ = 0. Veja que se

  D ∈ Der(A, T ), onde T ´e um A/I-m´odulo, ent˜ao a sua restri¸c˜ao a I induz, de maneira

  I

  (

  natural, um homomorfismo D| ∈ Hom , T ). De fato, para a ∈ A, m ∈ I temos que

  2 I A/I

  I D(am) = aDm + mDa = aDm, j´a que mt = 0 para qualquer valor de t ∈ T e m ∈ I.

  2

  2 Seque da´ı ent˜ao que D(I ) = 0, logo D ´e um A/I-homomorfismo, que se anula sobre I .

  Como visto temos que a seq¨ uˆencia O

  I δ β (A) B

  k k

  −→ Ω −→ Ω (B) −→ 0

  2 I A

  ´e exata se, e somente se, a seq¨ uˆencia abaixo ´e exata para qualque B-m´odulo T :

  ∗ ∗ δ β

  2 Hom (I/I , T ) (A, T ) (B, T ), B k k

  ←− Der ←− Der

  ∗

  onde δ

  I I

  (D) = D| . Ent˜ao ´e claro que se D| ≡ 0, D pode ser vista como a extens˜ao de uma deriva¸c˜ao de B em T .

  2. Um homomorfismo de B-m´odulos M → N ´e um isomorfismo se, e somente se, o homomor- fismo induzido Hom (N, T ) ´e um isomorfismo para qualquer B-m´odulo

  N B

  (M, T ) ← Hom T. Portanto,

  O O A Ω (A) (A ) ( , T ),

  k k 1 k k

  B ≃ Ω B ⇐⇒ Der (A, T ) ≃ Der

  2 I A A

  1

  para qualquer B-m´odulo T. Por outro lado, o isomorfismo acima entre m´odulos de deriva¸c˜oes

  2

  (A, T ) satisfaz D(I ) = 0, e portanto induz uma

  k

  ´e evidente: toda deriva¸c˜ao D ∈ Der

  ′ A ′

  deriva¸c˜ao D : 2 (a) = D(a).

  → T definida por D

  I A

  2 k ( , T ) pode ser vista como uma deriva¸c˜ao

  Reciprocamente toda deriva¸c˜ao D ∈ Der

  I

  2

  . Estas associa¸c˜oes s˜ao, pela propriedade universal, D : A → T, que se anula sobre I unicamente determinadas.

  ′ A A

3. J´a sabemos que a aplica¸c˜ao θ :

  2 ´e o homomorfismo natural induzido pelo homo-

  →

  I I ′

  I

  

2

  morfismo canˆonico, definido por θ (a + I ) = a + I, cujo n´ ucleo ´e 2 .

  I Suponha que δ tenha inversa `a esquerda, dada da seguinte forma:

  O

  I σ : Ω (A)

  k

  B −→

  2 I A

  I

2 E claro que D ´e uma

  Consideremos a aplica¸c˜ao D : A → , definida por D(a) = σ(da⊗1). ´

  I A

  2

  k-deriva¸c˜ao, e satisfaz D(x) = x para qualquer valor de x ∈ I. Colocando-se ρ : A →

  I

  definida por ρ(a) = a − D(a), temos um homomorfismo que cumpre ρ(I) = 0, e portanto

  A A

  2

  induz em A/I-homomorfismo ρ :

  I I ′ ′

  2 , dado por ρ(a + I) = (a + I → ) − D(a).

  Compondo com o homomorfismo natural, temos que θ (ρ(a)) = θ (a − D(a)) = a.

  A A ′

  Reciprocamente, suponhamos que exista ρ :

  2 , tal que θ . Consequente-

A/I

  → ◦ ρ = 1

  I I ′ A A I ′ ′

  :

  2

2 ´e um homomorfismo que se anula sobre

2 , e θ ) = 0. Em

  mente, ρ ◦ θ → (1 − ρ ◦ θ

  I I

  I

  particular, temos

  ′ ′

  0 = (1 − ρ ◦ θ )((f )(1 − ρ ◦ θ )(g) = f g − fρ(g) − gρ(f) + ρ(f)ρ(g), Ou seja, f g + ρ(f )ρ(g) = f ρ(g) + gρ(f ).

  ′ A

  Desta a forma, a aplica¸c˜ao D = 1 − ρ ◦ θ ´e uma deriva¸c˜ao. Se χ ∈ Hom

  2 A/I ( , T ), ent˜ao

  I ′

  a composta D de A D I χ

  A −→ −→ −→ T

  

2

  I

  2 I

  ∗ ′

  ´e um elemento de Der (A, T ), satisfazendo δ (D

  k

  ) = χ. De fato, para qualquer x ∈ I,

  ′ ′ ∗

  temos que D (x) = χ(x (x))) = χ(x). Portanto δ ´e sobrejetiva para todo A/I-m´odulo −ρ(θ

  I I

  T . Al´em disso se tomarmos T =

  2 , vemos que todo endomorfismo de 2 , inclusive a iden-

  I I

  I

  tidade, corresponde a restri¸c˜ao a I de um elemento de Der (A,

  2 ), ou equivalentemente, k

  I I

  a restri¸c˜ao de um elemento de Hom (Ω A/I,

  I Vale salientar que a seq¨ uˆencia da demonstra¸c˜ao do primeiro ´ıtem nos permite ca- A A

  2 A/I k A (A) ⊗ ) ao subm´odulo {da; a ∈ I}.

  racterizar as deriva¸c˜oes de Der k ( ) como deriva¸c˜oes de Der k (A, ) cujas restri¸c˜oes a I s˜ao

  I I identicamente nulas. Cap´ıtulo 3 Ideais Diferenci´ aveis

  Uma vez que j´a conhecemos as deriva¸c˜oes e suas propriedades, neste cap´ıtulo, definire- mos o conceito de ideais diferenci´aveis e uma forma de encontrar a fam´ılia de deriva¸c˜oes que os tornem diferenci´aveis. A seguir, em an´eis noetherianos, faremos rela¸c˜oes entre os ideais dife- renci´aveis e as suas componentes prim´arias, que neste caso herdam a diferenciabilidade, para uma mesma fam´ılia de deriva¸c˜oes. Relacionaremos tamb´em an´eis locais que s˜ao regulares com ideais primos n˜ao diferenci´aveis.

  3.1 Ideais diferenci´ aveis Sejam A um anel comutativo com unidade e D uma deriva¸c˜ao de A .

  3.1 Definic ¸˜ ao.

  Um ideal I de A ´e chamado D-invariante ou D-diferenci´avel se D(I) ⊆ I. Se Γ ´e uma fam´ılia arbitr´aria de deriva¸c˜oes em A, I ´e dito ser Γ-invariante ou Γ-diferenci´avel se D(I) ⊆ I para cada D ∈ Γ.

  I ´e chamado de diferenci´avel, se ´e D-diferenci´avel para qualquer que seja D ∈ Der(A).

  Exemplo

3.1. Seja A = k[x , . . . , x ] um anel e I = (f , . . . , f

  1 n 1 r

  ) ⊂ A um ideal. Seja D uma k-deriva¸c˜ao de A, ent˜ao I ´e um ideal D-diferenci´avel se, e somente se, D(f ı

  ) ∈ I para todo ı = 1, . . . , r.

  r

  X h = a f , com a

  ı ı ı

  Dado h ∈ I, ∈ A temos que D(h) ∈ I pois I ´e um ideal D- diferenci´avel. Em particular, cada f

  ı ı ∈ I. Logo, temos que D(f ) ∈ I. r

  X Por outro lado temos que se D(f D(f

  ı ı ) ∈ I para todo ı = 1, . . . , r ´e claro que ) ∈ I.

  ı=1 r r

  X X Logo, dado um h = a f a D(f

  ı ı ı ı

  ∈ I temos que D(h) = ) ∈ I, provando assim que I ´e

  ı=1 ı=1 D-diferenci´avel.

  Em an´eis de polinˆomios sobre um corpo, todo ideal ´e finitamente gerado. Assim para uma deriva¸c˜ao preservar este ideal, ´e necess´ario e suficiente que preserve os seus geradores, ou seja, quando aplicada aos geradores do ideal resulte em um elemento do pr´oprio ideal.

  Exemplo

3.2. Considerando A = R[x, y, z] e I = (xy, yz) vamos encontrar uma deriva¸c˜ao que preserve I, ou seja, que torne I invariante por esta deriva¸c˜ao.

  Seja D uma deriva¸c˜ao de A. Como toda deriva¸c˜ao em an´eis de polinˆomios sobre um

  ∂ ∂ ∂

  corpo ´e combina¸c˜ao linear das derivadas parcias, escreva D = a + b + c . Para I ser

  ∂x ∂y ∂z

  invariante, precisamos que D(xy) e D(yz) ∈ I, ou seja, precisamos que D(xy) = xDy + yDx = bx + ay ∈ I e que D(yz) = yDz + zDy = cy + bz ∈ I. Portanto, basta que que a, c ∈ (x, z) e b ∈ (y).

  ∂ ∂ ∂

  • (y) + (x, z) Reciprocamente, a fam´ılia Γ := {(x, z) } preserva o ideal I.

  ∂x ∂y ∂z Logo, Γ ´e o conjunto das deriva¸c˜oes que preservam I.

3.2 Proposic ¸˜ ao. Seja I um ideal de um anel A que satisfaz I = P onde P , P s˜ao ideais

  1

  2

  1

  2

  ∩P primos distintos e incompar´aveis. Seja D uma deriva¸c˜ao em A. Se I ´e um ideal D-diferenci´avel, ent˜ao P

  1 e P 2 s˜ao tamb´em D-diferenci´aveis.

  Demonstra¸c˜ ao.

  1

  2 2 . ´

  1 2 = I. Como I ´e um ideal

  Suponha que f ∈ P \P e g ∈ P E claro que f g ∈ P ∩ P .

  2 D-diferenci´avel, temos que D(f g) ∈ I e consequentemente D(fg) ∈ P

  temos que

  2

  2 Por outro lado temos que D(f g) = f D(g)+gD(f ) ∈ P e j´a que gD(f ) ∈ P

  . Como P e f / obrigatoriamente

  2

  2

  2

  2

  f D(g) ∈ P ´e um ideal primo, temos que, se f D(g) ∈ P ∈ P , o que nos leva a concluir que P ´e um ideal D-diferenci´avel. De forma an´aloga

  2

2 D(g) ∈ P mostra-se que o ideal P ´e D-diferenci´avel.

  1

3.3 Proposic ¸˜ ao. Sejam I e J dois ideais de um anel A que s˜ao Γ-diferenci´aveis. Ent˜ao, s˜ao

  Γ-diferenci´aveis

  a) I ∩ J

  b) I + J

  c) I · J Demonstra¸c˜ ao.

  a) Se I e J s˜ao Γ-diferenci´aveis ent˜ao D(I) ⊂ I e D(J) ⊂ J para qualquer D ∈ Γ. Assim, se x ∈ I ∩ J temos que x ∈ I e x ∈ J. Como I e J s˜ao Γ-diferenci´aveis ´e v´alido que Dx ∈ I e Dx ∈ J, o que nos leva a Dx ∈ I ∩ J. Portanto D(I ∩ J) ⊂ I ∩ J para qualquer D ∈ Γ. Logo I ∩ J ´e um ideal Γ-diferenci´avel.

  b) Se x ∈ I + J temos que x = u + v em que u ∈ I e v ∈ J. Como I e J s˜ao ideais Γ- diferenci´aveis temos que D(u) ∈ I e D(v) ∈ J para qualquer D ∈ Γ. Logo D(x) = D(u + v) = D(u) + D(v) ∈ I + J e, portanto, I + J ´e um ideal Γ-diferenci´avel.

  X u v em que u

  ı  ı 

  c) Se x ∈ I · J ent˜ao x = ∈ I, ∀ı e v ∈ J, ∀. Assim para D ∈ Γ, temos

  ı∈N

  !

  X X

  X que D(x) = D u v = D(u v ) = [u D(v ) + v D(u )] e como I e J s˜ao ideais

  

ı  ı  ı   ı

ı∈N ı∈N ı∈N

  Γ-diferenci´aveis, u D(v ) e v D(u

  ı   ı

  ) pertencem a I · J. Logo, D(x) ∈ I · J ∀D ∈ Γ, e portanto I · J ´e um ideal Γ-diferenci´avel.

  A seguir mostraremos uma forma mais espec´ıfica de encontrar as deriva¸c˜oes que preser- vam ideais .

  ¸˜ ao.

  3.4 Definic O conjunto das deriva¸c˜oes que preservam um ideal I de um anel A ´e denotado por D

  I k (A) := {δ ∈ Der (A)/δ(I) ⊂ I}.

  D (A)

  I A ¸˜ ao.

3.5 Proposic Se A = k[x , . . . , x ( como

  1 n k

  ] e I ⊂ A ´e um ideal ent˜ao Der ) ≃

  I IDer (A) k A -m´odulo. A A Demonstra¸c˜ ao. Defina a fun¸c˜ao ϕ : D ( ) com ϕ(δ) = ˜ δ, onde ˜ δ(f ) = δ(f ) .

I k

  (A) −→ Der ∈

  I I Mostraremos que ˜ δ ´e bem definida e que ϕ ´e um homomorfismo de A-m´odulos.

  Temos que ker(ϕ) = ID (A, A). ´ E claro da defini¸c˜ao que ˜

  k

  δ = 0 se e somente se δ(f ) ∈ I

  n

  X ∂ g com g ) = g .

  ı ı  

  para cada f ∈ S. Assim, escreva δ = ∈ A e δ(x ∂x

  ı=1  k (A).

  Assim temos: δ ∈ ker(ϕ) ⇔ g ∈ I ⇔ δ ∈ IDer Agora, de acordo com a segunda seq¨ uˆencia exata fundamental (veja teorema 2.14) temos que :

  n

  v

  X A A A

  dx (3.1)

  ı k

  −→ −→ Ω −→ 0

  I I

  I ı onde v denota a transposta da matriz jacobiana do conjunto de geradoresf , . . . , f de I.

  1 m

  Dualizando 3.1, temos que

  n ∗

  A A A v A

  A, , ,

  k k

  0 −→ Der −→ Der −→ Hom

  I I

  I I

  A ∗

  e portanto Der = ker v . Para verificar que ϕ ´e sobrejetiva, seja

  k

  I X

  X ∂ A A A ∂ g  k , .

  ∈ D ⊂ ∂x

  I I I ∂x

  ı ı ı ı

  Ent˜ao, !

  X X ∂ ∂f  g ı (f  ) = g ı

  ∈ I,  = 1, . . . , m ∂x ∂x

  ı ı ı ı

  X ∂ com g (A).

  ı

  I

  ∈ D ∂x ı

  ı

  Decorre da demonstra¸c˜ao acima que, num anel de polinˆomios, para encontrar os ge- radores do subm´odulo das deriva¸c˜oes que preservam um ideal I, basta calcular o n´ ucleo da transposta da matriz jacobiana deste ideal m´odulo I.

  2

  2 Exemplo

3.3. Seja A = R[x, y] e seja I = (x + y

  − 1) um ideal de A. Temos que a transposta da matriz jacobiana ´e dada por δ = ( 2x 2y ).

  2

  2 Calculando-se o seu n´ ucleo m´odulo I, ou seja, o n´

  ucleo da matriz ( 2x 2y x

  • y

  − 1 ), n o

  A A ∂ ∂ com utiliza¸c˜ao do software Singular, temos que Der ( ) ´e gerado como -m´odulo por + x .

k

  −y

  I I ∂x ∂y

  Neste caso, as deriva¸c˜oes que s˜ao geradas pelo conjunto acima, s˜ao tamb´em as deriva¸c˜oes que preservam o ideal I.

  2

  2

  2 Exemplo

3.4. Sejam A = + y + z

  R[x, y, z] e I = (x − 1). A transposta da matriz jacobiana ´e dada por:

  δ = ( 2x 2y 2z ).

  A

  Calculando o seu n´ ucleo m´odulo I, obtemos que Der ( ) ´e gerado por

  k

  I

  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ + y + x + x . −z , −y , −z

  ∂y ∂z ∂x ∂y ∂x ∂z Assim, o conjunto acima, gera a fam´ılia Γ de deriva¸c˜oes que preservam I.

  2

  2

  2 Exemplo

3.5. Sejam A = y, y z, yz ). A matriz jacobiana ´e dada

  R[x, y, z] e I = (x por:  

  

2

  2xy x    

  2

  δ = 2yz y

     

  

2

  z 2yz Calculando-se o seu n´ ucleo m´odulo I, temos que o conjunto das deriva¸c˜oes que preser- vam I ´e gerado por

  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

  2

  2 x , z , yz , y , x , z .

  ∂x ∂x ∂x ∂y ∂z ∂z Podemos escrever ent˜ao a fam´ılia Γ de deriva¸c˜oes que preservam I da seguinte forma:

  ∂ ∂ ∂

  2

  2

  , yz) + (y) + (x , z) Γ = {(x, z }.

  ∂x ∂y ∂z De uma forma espec´ıfica, temos que o conjunto das deriva¸c˜oes que preservam um ideal

  L

  n ∂

  (A) = (I : (I : x )) , como pode ser visto em [3].

  I ı

  monomial I ⊂ A ´e dado por D

  

ı=1 ı

∂x

  De acordo com o exemplo acima, temos que:

  2 I : (I : x) = (x, z , yz)

  I : (I : y) = (y)

  2 I : (I : z) = (x , z).

  3.6 Definic ¸˜ ao. Se A n˜ao possui ideais Γ-diferenci´aveis com excess˜ao dos ideais (0) e (1), ent˜ao A ´e chamado de Γ-simples, ou apenas simples se Γ ´e o conjunto de todas as deriva¸c˜oes em A.

  De modo an´alogo, se um ideal I ⊂ A n˜ao ´e preservado por alguma das deriva¸c˜oes do anel A, dizemos que este ideal ´e n˜ao diferenci´avel. Veremos mais tarde que estes ideais possuem uma interpreta¸c˜ao geom´etrica interessante.

3.2 Ideais diferenci´ aveis e a decomposi¸c˜ ao prim´ aria

  J´a vimos que o anel de polinˆomios sobre um corpo ´e um anel noetheriano e portanto admite decomposi¸c˜ao prim´aria. Sabemos tamb´em que para um ideal decompon´ıvel, a decom- posi¸c˜ao prim´aria n˜ao ´e unica, embora preserve a lista dos ideais primos associados. Nosso ob- jetivo ´e encontrar uma decomposi¸c˜ao prim´aria de um ideal Γ-diferenci´avel, cujas componentes prim´arias sejam Γ-diferenci´aveis. Para garantir a diferenciabilidade das componentes prim´arias, precisamos de v´arias decomposi¸c˜oes prim´arias distintas. Como em an´eis de polinˆomios esta n˜ao

  ´e uma tarefa r´apida, estenderemos o anel para o anel formal das s´eries de potˆencia, pois atrav´es de automorfismos teremos uma boa variedade de decomposi¸c˜oes prim´arias para um mesmo ideal, j´a que a“propriedade” primariedade ´e preservada por automorfismos.

  ∗

  Considere A := A[[t]] o anel de s´eries formais de potˆencia em uma vari´avel com coeficientes em A; e seja D uma deriva¸c˜ao de A. Considere as extens˜oes canˆonicas das deriva¸c˜oes

  ı ı

  em A, dadas por D( P a t ) = P D(a )t com a

  ı ı ı

  ∈ A. Observe que esta deriva¸c˜ao que obtemos

  ∗

  em A coincide com a deriva¸c˜ao D de A. Ent˜ao esta deriva¸c˜ao poder´a ser denotada por D sem perda de generalidade.

  Seja A um anel contendo os n´ umeros racionais e seja E a seguinte express˜ao:

  

2

  3

  t t

  2

  3

  • E = 1 + tD + D D + · · ·

  2! 3!

  tD

  que pode ser denominada como E = e , em decorrˆencia da sua similaridade com a expans˜ao da fun¸c˜ao exponencial em s´eries de potˆencia.

  • t
  • · · · )α = α + tDα + t

  2

  3

  3! D

  3

  b + t

  2

  2! D

  2

  a + · · · ] · [b + tDb + t

  

3

  3! D

  3

  a + t

  2

  2! D

  3

  2

  3! D

  3

  2

  2! D

  2

  3

  3! D

  3

  2

  2! D

  2

  = (1 + tD + t

  tDb

  · e

  b + · · · ] = ab + [taDb + tbDa] + [ t

  2! aD

  = Ea + Eb E(a) · E(b) = e

  − tD

  ı

  t + . . . /b

  1

  e ∗

  I

  Ent˜ao:

  ∗ o homomorfismo canˆonico.

  ֒→ A

  i

  )α = α. Assim como a aplica¸c˜ao possui uma inversa, temos que ´e, de forma clara, bijetora.

  tD

  (e

  

tD

  )α = e

  (e

  2

  2

  b + t

  2

  2!

  2DaDb + t

  2

  2! bD

  a] + · · · = ab + tD(ab) + t

  tD

  2

  2! D

  2

  (ab) + · · · = e

  tD(ab)

  = E(ab) Al´em disso, note que e

  tDa

  tDb

  (a + b) + · · · = a + b + tDa + tDb + t

  ∗ .

  3! D

  3

  (a + b) + t

  2

  2! D

  2

  = a + b + tD(a + b) + t

  tD(a+b)

  temos: E(a + b) = e

  ∗

  . De fato, dados a, b ∈ A

  ∗

  Observe que a aplica¸c˜ao que associa a cada α o valor determinado por Eα ´e um automorfismo em A

  α + · · · para cada α ∈ A

  tDa

  3

  3! D

  3

  α + t

  2

  2! D

  2

  3

  3! D

  3

  2

  2! D

  2

  )α = (1 + tD + t

  3

  2

  Ent˜ao temos que Eα = (e

  2! D

  (b) + · · · ] = e

  3

  3! D

  3

  (b) + t

  2

  2! D

  2

  (a) + · · · ] + [b + tDb + t

  3

  3! D

  3

  (a) + t

  2

  2

  2! D

  (b) + · · · = [a + tDa + t

  3

  3! D

  3

  (a) + t

  3

  3! D

  3

  (b) + t

  2

  2! D

  2

  (a) + t

  2

  tD

  • e
  • t
  • t
  • · · · )a · (1 + tD + t
  • · · · )b = [a + tDa + t

3.7 Lema. Sejam A um anel noetheriano, I um ideal e A

  • b

  ∗ ı

  Demonstra¸c˜ t , a

  P a ı ı ao. Seja α ∈ A e β ∈ I; ent˜ao α = ∈ A. Portanto temos que:

  X X

  X ı ı ı a t )β = a βt = b t

  ı ı ı

  α · β = ( com b

  ı ∈ I.

  ∗ ∗ ∗ ario.

3.8 Corol´ Seja I = I

  1 2 com I 1 e I 2 = I

  1 A

  2 A . Al´em

  ∩ I ideais de A. Ent˜ao I · A ∩ I

  ∗

  disso temos que IA ∩ A = I.

  ∗ ı

  Demonstra¸c˜ , ent˜ao α = P b t ; b e b temos que

  ı ı ı 1 ı

  2

  ao. Se α ∈ IA ∈ I. Mas como b ∈ I ∈ I

  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

  1 A

  2 A

  1 A

  2 A . Logo IA

  1 A 2 A .

  α ∈ I e que α ∈ I , e portanto α ∈ I ∩ I ⊂ I ∩ I

  ∗ ∗ ı

  A A podemos escrever α = P b t , onde b

  1 2 ı ı

  ∈ I

  1 Por outro lado temos que se α ∈ I ∩I

  ∗ ∗ ∗ ∗

  e b ı

  2 . Assim b ı

  1 2 . Logo I

  1 A 2 A .

  ∈ I ∈ I ∩ I = I e da´ı α ∈ IA ∩ I ⊂ IA

  ∗ ∗ ∗ ∗

  Das inclus˜oes acima podemos concluir que IA = I A A e que IA

  1

  2 ∩ I ∩ A = I.

  Para demonstrar um dos teoremas abaixo, precisamos trabalhar com os ideais esten- didos definidos acima. Como nosso objetivo ´e encontrar componentes prim´arias diferenci´aveis garantimos com os lemas abaixo que os ideais prim´arios que s˜ao estendidos continuam sendo prim´arios. Para isto, demonstraremos primeiro que ideais primos estendidos continuam sendo primos e ent˜ao para mostrarmos que ideais prim´arios estendidos s˜ao tamb´em prim´arios usare- mos o fato de possuir apenas um ´ unico ideal primo associado.

  ∗ 3.9 Lema. Sejam A um anel noetheriano e p um ideal primo. Ent˜ao pA ´e um ideal primo. ∞ ∞

  X X

  ı  ∗ ∗

  Demonstra¸c˜ ao. Sejam f = a t e g = b t dois elementos de A , e

  ı ı

  tais que f g ∈ pA

  ı=0 =0 ∞

  X

  ∗ 

  suponha que g = b t / . Considere ent˜ao r o menor ´ındice tal que b /

  ı r

  ∈ pA ∈ p, logo podemos

  =0 ∗ ∗ r−1 r r+1 escrever g = g + g com g = b + b t e g = b t + b t .

  1

  2

  1 1 r−1 2 r r+1

  t + · · · + b ∈ pA + · · · / ∈ pA

  ∗ ∗ ∗

  Ent˜ao f g = f (g

  1 + g 2 ) = f g 1 + f g 2 e como f g 1 temos que f g 2 .

  ∈ pA ∈ pA ∈ pA

  ∞

  X X

  k

  J´a que f g = c t , com c = a b = a b /

  

2 k k ı  r r r

  ∈ p, temos que c ∈ p, e como b ∈ p temos

  k=r ı+=k

  que a = a b + a b b

  r+1 r+1 1 r r+1

  ∈ p. De maneira an´aloga temos que c ∈ p e como a ∈ p ent˜ao a b

  1 r

  1 k

  X De uma maneira gen´erica temos que c = a b a + b

  r+k k r k−s r+s

  ∈ p e como por

  s=1 k

  X

  ∗ ∗

  recorrˆencia a b e portanto pA

  k−s r+s k

  ∈ p temos que a ∈ p para k > 0. Logo, f ∈ pA

  s=1 ´e um ideal primo.

3.10 Lema. Sejam A um anel noetheriano, q um ideal prim´ario com p o seu primo associado.

  ∗ ∗ Ent˜ao qA ´e prim´ario e pA ´e seu primo associado.

  √ √

  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

  Demonstra¸c˜ . Assim q A p A = pA . Por ao. Temos que q ⊂ p e portanto qA ⊂ pA ⊆

  ∗ ∗ r r

  outro lado, como A ´e um anel noetheriano, existe um r tal que p A e ⊂ q. Logo, p ⊂ qA

  √ √

  ∗ ∗ ∗ r portanto, p A = pA q A .

  ⊆ √ ∗

  ∗

  q Deste modo, podemos concluir que A = pA .

  ∗ ∗

  Afirma¸c˜ao: Ass(qA ) = {pA }.

  ′ ∗ ∗ ′ ∗

  Suponha p ). Como A ´e um anel noetheriano podemos escrever p = (qA : ∈ Ass(qA

  ∗ 2 r

  v) com v / , e suponha que v = a +a t+a t t

  1 2 r

  ∈ qA +· · ·+a +· · · em que r ´e o menor ´ındice tal

  2 r−1 ∗

  que a / + v com v = a + a t + a t t

  r

  1

  

2

  1

  1 2 r−1

  ∈ q. Ent˜ao podemos escrever v = v + · · · + a ∈ qA

  ∗ ′ ′ ∗ r r+1 r

  e v = a t + a t . Note que v = t com v = a + a .

  2 r r+1 2 r r+1

  • · · · / ∈ qA · v

  2 2 t + · · · / ∈ qA ∗ ∗ ′ ∗ ∗ ′

  Nestas condi¸c˜oes temos que (qA : v) = (qA : v ). De fato, (qA : v )

  2 : v) ⊆ (qA

  2 ∗ r ′ r ′ ∗

  : v) temos que f v = f (v

  1 + v 2 ) = f (v 1 + t v ) = f v 1 + t f v ; e como

  pois se f ∈ (qA

  2 2 ∈ qA ∗ ′ ∗ ′ ∗ r

  f v temos tamb´em que t f v , o que nos leva a concluir que f v e portanto

  1

  ∈ qA

  2 ∈ qA 2 ∈ qA

∗ ′ ∗ ∗ ′ ∗ ′

  : v ). Reciprocamente, temos que (qA : v : v ) temos f ∈ (qA

  2 : v) ⊇ (qA 2 ) pois se f ∈ (qA

  2 ′ ∗ r ′ r ′ ∗ ∗

  que f v . Como f v = f (v

  1 + v 2 ) = f (v 1 + t v ) = f v 1 + t f v e f v 1 , 2 ∈ qA 2 2 ∈ qA ent˜ao f v ∈ qA ∗

  : v). nos levando assim a f ∈ (qA

  ′ ∗

  Podemos ent˜ao escrever p = (qA : w) em que w = w + w /

  1

  t + · · · com w ∈ q, e como √

  ∗ ∗ ′ ∗

  q A = pA temos que pA .

  ⊆ p

  ′ ∗

  Seja agora f = b + b , sendo s o menor ´ındice tal que b /

  1 s

  t + · · · ∈ p \ pA ∈ p. Escreva

  s−1 ∗ s s+1

  f = f

  1 + f 2 com f 1 = b + b

1 s−1 t ; ent˜ao temos f

  2 1 = b s t + b + s+1 t

  t + · · · + b ∈ pA = f − f

  ′ ∗ s s+1 s

  com b / = b t + b t (b + b

  s 2 s s+1 s s+1

  · · · ∈ p \ pA ∈ p. Temos ainda que f + · · · = t t + · · · ) e

  ′ ′ ′ s

  como p ´e primo e t / temos (b + b .

  s s+1

  ∗

  Logo, (b + b e portanto b w

  s s+1 s

  t + · · · ) · w ∈ qA ∈ q. Mas q ´e um ideal p-prim´ario, e como b /

  s r ∈ p temos que a ∈ q, o que nos leva a uma contradi¸c˜ao.

  ∗ ′ ∗ ∗

  Assim, pA , e portanto qA possui um ´ unico primo associado, isto ´e, qA ´e um ⊇ p

  ∗ ideal pA -prim´ario.

3.11 Lema. Seja A um anel noetheriano contendo os n´ umeros irracionais e seja Γ uma fam´ılia

  ∗

  de deriva¸c˜oes de A. Ent˜ao o ideal I ´e Γ-diferenci´avel se, e somente se, IA ´e invariante por

  tD {e /D ∈ Γ}.

  ∗

  Demonstra¸c˜ ao. Considere que IA ´e invariante, e seja a ∈ I e D ∈ Γ; ent˜ao temos que

  2

  t

  ′ ∗ tD 2 e D .

  (a) = 1 · a + tDa + a + · · · = a + ta + · · · ∈ IA 2!

  ′

  Logo, fica claro que a = Da ∈ I para qualquer valor de a ∈ I, e assim I ´e Γ- diferenci´avel.

  Reciprocamente temos que se I ´e Γ-diferenci´avel, D(I) ⊂ I para cada D ∈ Γ. Portanto,

  ∗ ı

  , α = t com a P a ı ı se α ∈ IA ∈ I temos que

  2

  t

  tD

  2

  e D (α) = 1 · α + t · D(α) + (α) + · · ·

  2!

  n

  (α) = α com α

  n n

  com D(α) ∈ I para todo D ∈ Γ. Escrevendo D ∈ I, a express˜ao acima

  n t ∗ tD

  se resume e (α) = pertencendo claramente a IA , sendo assim Γ-invariante por P α n

  ·

  n! tD

  {e /D ∈ Γ}.

  Podemos concluir ent˜ao que tendo um ideal D-diferenci´avel, o seu estendido ´e invariante por uma express˜ao escrita em fun¸c˜ao de D. Logo, garantimos a diferenciabilidade de ideais por meio da invariˆancia dos seus estendidos.

  3.12 Teorema. Seja A um anel noetheriano e seja Γ uma fam´ılia de deriva¸c˜oes em A e I um ideal Γ-diferenci´avel com p

  1 , . . . , p s seus primos associados. Ent˜ao p 1 , . . . , p s s˜ao ideais

  Γ-diferenci´aveis; al´em disto I pode ser escrito como uma intersec¸c˜ao q de ideais

  1 s

  ∩ · · · ∩ q prim´arios Γ-diferenci´aveis.

  • . . . ∈ A

  ∗

  ı A ∗

  seu primo associado. Tome a seguir a interse¸c˜ao de todas estas representa¸c˜oes em que (p

  ı

  A

  ∗

  )

  r ı

  ⊂ q

  ′ ı

  . Seja IA

  = q

  ′ ı

  1

  ∩ · · · ∩ q

  s . Ent˜ao q ı ´e prim´ario com p ı A ∗

  o seu primo associado e se

  IA

  ∗

  = q

  ′ 1 ∩ · · · ∩ q ′ s

  ´e uma outra representa¸c˜ao ent˜ao q

  ı

  prim´ario e sendo p

  com q

  ′ ı

  e (p

  , . . . , r

  s

  ). Ent˜ao IA

  ∗

  = q

  1 A ∗

  ∩ · · · ∩ q

  s

  A

  ∗

  ı

  ′ 1 ∩ · · · ∩ q ′ s

  A

  ∗

  )

  r ı

  ⊂ q

  ı

  A

  ∗ .

  Considere agora todas as representa¸c˜oes de IA

  ∗

  = q

  ⊂ q

  . Aplicando o automorfismo e

  com ı = 1, . . . , s e fixe a seq¨ uˆencia (r

  ı

  ∩ A = I obtemos que IA

  

  = q

  ∗

  1 A ∗

  ∩ · · · ∩ q

  ∗ s

  A

  ∗

  com uma propriedade importante: q

  ⊂ q

  Como IA

  ∗ ı

  A

  ∗ .

  Ent˜ao temos que q

  ı

  = q

  ∗

  A

  ∗

  onde q

  ∗

  ı com ı = 1, . . . , s.

  tD

  ∗ ı

  com D ∈ Γ, vemos que q

  ı

  ⊂ e

  tD

  (q

  ı ).

  De forma an´aloga temos que q ı ⊂ e

  −

tD

  (q ı ) e da´ı temos que q ı ´e invariante pelo auto- morfismo.

  Seja q ı ∩ A = q

  . Ent˜ao q

  ⊂ q

  ∗ ı

  ´e prim´ario com p ı seu primo associado, e ´e claro que (p

  ı

  )

  r ı

  ⊂ q

  ∗ ı

  e q

  ∗ ı

  A

  ∗

  1

  r ı ı ⊂ q ı

  Demonstra¸c˜ ao. Seja I = q

  tD

  ı

  A

  ∗ seu primo associado.

  Aplicando o automorfismo e

  tD

  com D ∈ Γ, n´os temos que e

  tD

  (IA

  ∗

  ) = e

  (q

  ∗

  1 A ∗

  ) ∩ · · · ∩ e

  tD

  (q

  s

  A

  ∗

  ) onde e

  tD

  (q

  ´e prim´ario com p

  A

  A

  = (q

  1

  ∩ · · · ∩ q

  s

  com q

  ı

  prim´arios associados a p

  ı onde ı = 1, . . . , s.

  Ent˜ao

  IA

  ∗

  1

  ı

  ∩ · · · ∩ q

  s

  )A

  

  = q

  1 A ∗

  ∩ · · · ∩ q

  s

  A

  ∗

  onde q

  ı

  ∗

  Agora suponha p

   .

  (a) = a + ta

  ′

  ∗

  p

  

  agora com a ∈ p

  

  e da´ı p

  ı

  ⊂ p

  Mas por outro lado temos que p ı A

  , aplicando o automorfismo descrito acima temos que e

  ∗

  = e

  − tD

  (p  A

  ∗

  ) e portanto p  ⊂ p

  ı o que nos leva a

  p

  ı

  = p

   .

  tD

  ı

  ) ´e prim´ario e e

  ı

  tD

  (p

  ı

  A

  

) ´e seu primo associado, ı = 1, . . . , s.

  Pelo lema 3.11 IA

  ∗

  ´e invariante e temos tamb´em que e

  tD

  permuta p

  A

  Ent˜ao se a ∈ p

  ∗

  , ou seja, e

  tD

  (p

  ı

  A

  ∗

  ) = p

  

  A

  ∗ .

  ∗ s˜ao Γ-diferenci´aveis. Assim, se I ´e um ideal Γ-diferenci´avel e decompon´ıvel, existe uma decomposi¸c˜ao prim´aria, cujas componentes prim´arias s˜ao Γ-diferenci´aveis. O teorema acima ´e existencial, ou seja, prova que existe uma decomposi¸c˜ao prim´aria cujas componentes prim´arias s˜ao Γ- diferenci´aveis, mas n˜ao fornece qual decomposi¸c˜ao assume esta propriedade. Em primeiro lugar desenvolveremos alguns resultados encontrados como conseq¨ uˆencia deste teorema.

  3.13 Corol´ ario. Se A n˜ao tem ideal pr´oprio primo e Γ-diferenci´avel ent˜ao, ´e Γ-simples.

  √ ario.

  3.14 Corol´ Se I ´e um ideal Γ-diferenci´avel, ent˜ao I ´e Γ-diferenci´avel. Demonstra¸c˜ ao. Se I ´e Γ-diferenci´avel, temos que todos os seus primos associados s˜ao Γ- diferenci´aveis. Assim se p , . . . , p s˜ao os ideais primos associados a I e como a intersec¸c˜ao de

  1 n

  √ ideais Γ-diferenci´aveis ´e Γ-diferenci´avel, temos que I = p

  1 n ´e Γ-diferenci´avel.

  ∩ · · · ∩ p

  2 Exemplo

3.6. Seja A = R[x, y] e I um ideal de A dado por I = (x , xy). A fam´ılia

  ∂ ∂

  de deriva¸c˜oes Γ : (x) + (y) preserva I e, de acordo com o ´ ultimo teorema, deve preservar

  ∂x ∂y tamb´em os primos associados a I.

  2

  2

  2 De fato, como temos que I = (x , os seus primos

  , xy) = (x) ∩ (x , y) = (x) ∩ [(x, y)]

  ∂

  • x

  1

  associados s˜ao (x) e (x, y) e tais ideais s˜ao preservados por Γ pois para D ∈ Γ, D := g

  ∂x ∂

  g y com g , g

  2

  1

  2

  ∈ A, obtemos :

  ∂y ∂ ∂

  i) D(x) = g

  1 x (x) + g 2 y (x) = g

  1

  x ∈ (x)

  ∂x ∂y ∂ ∂

  ii) D(y) = g x (y) + g y (y) = g

  1

  2

  2 y ∈ (y). ∂x ∂y

  2

  , y) ´e uma decomposi¸c˜ao prim´aria para I cujas componentes prim´arias Neste caso (x)∩(x j´a s˜ao Γ-diferenci´aveis. Observe que para f, h ∈ A temos que:

  ∂f ∂f ∂ ∂

  i) D(f x) = g

  1 x (f x) + g 2 y (f x) = g 1 x + g 1 f + g 2 y

  x ∈ (x)

  ∂x ∂y ∂x ∂y ∂f ∂f

  2

  2 2 ∂h ∂h

  ii) D(f x + hy) = D(f x ) + D(hy) = 2f g + g x + g y x g x + g y + g h +

  1

  

1

  2

  1

  2

  2

  y ∈

  ∂x ∂y ∂x ∂y

  2 (x , y).

  Para o exemplo acima, a decomposi¸c˜ao prim´aria encontrada j´a possu´ıa componentes prim´arias diferenci´aveis. Como isto nem sempre acontece, dado um ideal diferenci´avel, pre- cisamos determinar uma forma de encontrar a decomposi¸c˜ao prim´aria cujas componentes s˜ao diferenci´aveis.

  Para ideais principais monomiais que s˜ao Γ-diferenci´aveis, temos uma maneira simples de encontrar as componentes prim´arias Γ-diferenci´aveis, pois escrevendo este ideal como inter- sec¸c˜ao de dois ideais quaisquer monomiais e principais preservamos a diferenciabilidade para a fam´ılia Γ de deriva¸c˜oes.

3.15 Proposic ¸˜ ao. Seja A = k[x , . . . , x ] e seja I um ideal Γ-diferenci´avel com I = (m) =

  1 n

  (m ) = (m ) onde m, m , m ) e (m ) s˜ao Γ-

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  · m ) ∩ (m ∈ A s˜ao monˆomios. Ent˜ao (m diferenci´aveis.

  r

  1 r n

  Demonstra¸c˜ ao. Seja m = x com algum r

  ı 1 · · · x n 6= 0, ı = 1, . . . , n. Ent˜ao temos que r ı r 2 r n I = (m) = (x ). ı ) ∩ (x 2 · · · x n uma fam´ılia de deriva¸c˜oes tal que I ´e Γ-diferenci´avel.

  λ λ∈Λ

  Considere Γ = {D } Temos que (x ı ) ´e Γ-diferenci´avel pois ´e um primo associado a I, com r ı

  6= 0. Assim

  r ı r ı r ı−1

  (x ) ´e Γ-diferenci´avel pois D(x ) = r x D(x ), e como D(x ), podemos escrever

  ı ı ı ı ı ı ı ) ⊂ (x ı ı ı r r r r

  ı ı ı ı ı

  onde f ∈ A. Logo D(x ı ı ı ∈ (x ı

  ı−1 D(x ) = f x ) = r x D(x ) = r f x ).

  r r

r ıl+1 r

  ı1 ıl ın

  Suponha m = m = (x )

  1 2 ı

1 ı l ı l+1 ı n

  · m · · · x ) · (x · · · x

  l

  X

  r r r r r ı−1 ı

ı1 ıl ı1

  Calculemos D (m ) = D (x ) = r x   D (x )

  λ 1 λ ı

1 ı l ı  ı

1 ı ı λ ı 

  · · · x · · · x · · · x

  =1 ı )/x ı

  Como os primos m´ınimos de I, {(x ∈ supp{m}}, s˜ao Γ-diferenci´aveis, temos que D (x para todo x

  λ ı  ı  ı  1 ı 

  1

  ) ∈ (x ∈ supp{m }. Portanto para cada x ∈ supp{m } temos que D (x ) = h x para h

  λ ı  ı  ı  ı  ∈ A.

  !

  l l

  X X

  r r ı1 ıl Logo D (m ) = r h x = r h m .

  λ 1 ı  ı  ı

1 ı l ı  ı 

  1

  · · · x

  =1 j=1

  Assim, D (m ) para qualquer D (m

  λ

  1 1 λ λ

  2

  ) ∈ (m ∈ Γ. De forma an´aloga temos que D ) ∈ (m ) para qualquer D

  2 λ ∈ Γ. r

  1 Sendo assim, por recorrˆencia, chegaremos a sua decomposi¸c˜ao prim´aria I = (x r n ), e suas componentes ser˜ao diferenci´aveis.

  · · · ∩ (x n Se o ideal diferenci´avel n˜ao ´e principal, mesmo que possamos escrevˆe-lo como uma intersec¸c˜ao de ideais gerados por monˆomios, esta decomposi¸c˜ao pode n˜ao preservar diferencia- bilidade como mostra o exemplo abaixo.

  Exemplo

3.7. Considere o ideal I de , x , x , x , x ] dado por

  R[x

  1

  2

  3

  4

  5 I = (x x , x x , x x , x x , x x , x x , x x ).

  1

  2

  2

  3

  3

  4

  4

  5

  1

  5

  2

  4

  3

  5 ∂

  Seja D := x . Observe que D preserva o ideal I.

  4 ∂x

  1 Podemos escrever I como uma intersec¸c˜ao de dois ideais I 1 e I 2 da forma:

  I = (x , x x , x x , x x , x x , x x , x x )

  1

  1

  2

  3

  3

  4

  

4

  5

  1

  5

  2

  4

  3

  5 I = (x , x x , x x , x x , x x , x x , x x )

  2

  2

  2

  3

  3

  4

  

4

  5

  1

  5

  2

  4

  3

  5 onde I = I .

  1

  2

  ∩ I Observe que I ou I n˜ao s˜ao necessariamente preservados por D. Para provarmos isto

  1

  2 basta aplicar a deriva¸c˜ao acima nos geradores de I e I .

  1

  2 Neste caso temos que o ideal I 2 ´e D-diferenci´avel. Em I 1 temos que D(x 1 ) = x 4 / 1 ;

  ∈ I portanto I n˜ao ´e diferenci´avel.

  1 ¸˜ ao.

3.16 Proposic

  1 , x 2 , . . . , x n ] um ideal monomial Γ-diferenci´avel e J ı =

  Seja I ⊂ A = R[x [D (x ), onde D

  λ ı ı λ ı )] ⊂ (I : I : x ∈ Γ. Se H ´e um ideal, tal que J ⊂ H, ent˜ao H ´e Γ-diferenci´avel. r 1 r

  2 r n

  Demonstra¸c˜ ao. Seja x x e seja D

  λ

  1 2 · · · x n ∈ Γ uma deriva¸c˜ao. Ent˜ao temos que : n

  X

  − r 1 r 2 r n r 1 r ı 1 r n D (x x ) = r x D (x ).

  

λ ı λ ı

  1 2 · · · x n 1 · · · x ı · · · x n ı=1 r 1 r

  2 r n

  Como D (x temos que D (x (x x

  λ ı ı λ ı λ

  ) ∈ J ) ∈ H e consequentemente D

  1 2 · · · x n ) ∈ H.

  Logo H est´a sendo preservado por Γ e ent˜ao temos que H ´e Γ-diferenci´avel.

  Observe que nem todos os ideais prim´arios associados a ideais primos diferenci´aveis s˜ao diferenci´aveis, como mostra o exemplo a seguir.

  2

  2

  2 Exemplo

3.8. Considerando A = , y , z ) temos que p = (x, y, z) ´e

  R[x, y, z] e q = (x

  ∂

  (A) dado por D := yz . Observe que o ideal p ´e

  k

  um ideal primo associado a q. Seja D ∈ Der

  ∂x

  2

  diferenci´avel, mas o ideal q n˜ao ´e diferenci´avel pois D(x ) = 2xyz / ∈ q.

  Por outro lado, considerando an´eis da forma A = k[x , . . . , x ], onde k ´e um corpo

  1 n

  de caracter´ıstica zero, potˆencias de ideais monomiais diferenci´aveis s˜ao tamb´em diferenci´aveis, uma vez que j´a mostramos que produto de ideais diferenci´aveis ´e diferenci´avel.

  3.17 Proposic ¸˜ ao. , . . . , x ] um ideal monomial Γ-diferenci´avel sendo k um

  1 n

  Seja I ⊂ A = k[x

  r

  corpo de caracter´ıstica zero. Ent˜ao I , r > 1 para r ∈ N ´e um ideal Γ-diferenci´avel. Demonstra¸c˜ ao.

  Se I ´e um ideal Γ-diferenci´avel ent˜ao para qualquer D ∈ Γ temos que D(I) ⊂ I.

  Como A ´e um anel noetheriano, todo ideal ´e finitamente gerado. Assim existem g , g , . . . , g , g , . . . , g ).

  1 2 s

  1 2 s

  ∈ A tais que I = (g

  n s

  X X

  α 1 α 2 s r α

  , temos que f = a g g com α = r. Assim podemos afir-

  ı 

  Dado um f ∈ I

  1 2 · · · g s ı=1 =1

  !

  

s

s

  X X

  α 1 α 2 s α 1 α 2 s r α r α

  mar que I g ; α = g g ; α = r .

   

  ´e gerado pelo conjunto {g

  1 2 · · · g s = r}, ou seja I

  1 2 · · · g s =1 =1 r r r

  Para I ser Γ-diferenci´avel, precisamos que D (I para todo D

  λ λ

  ) ⊂ I ∈ Γ. De fato, isto

  s

  X

  α α α − α

  1 2 α s 1 α ı 1 α s 1 α ı − 1 α s

  acontece j´a que D λ (g g ) = α ı g D λ (g ı ); como (g

  1 2 · · · g s

1 · · · g ı · · · g s

1 · · · g ı · · · g s ) ∈ ı=1 α 1 − r−1

  α ı 1 α s r I , e I ´e diferenci´avel D (g (g para todo ı = 1, . . . , s. λ ı λ ı

  ) ∈ I. Logo g

  1 · · · g ı · · · g s ·D ) ∈ I r

  Assim, I ´e Γ-diferenci´avel.

  3.18 Lema. Seja q um ideal prim´ario de A e sejam q e q .

  1

  2

  1

  2

  dois ideais de A com q ⊃ q ∩ q √ q

  Ent˜ao q

  1 ou q

  2 ⊂ ⊂ q.

  Demonstra¸c˜ ao. Suponha que q tal que para todo

  1 * √q. Em particular, existe x ∈ q

  1 n

  /

  2

  1

  2

  n ∈ N, x ∈ q. Seja y ∈ q . Temos que xy ∈ q · q ⊂ q e da´ı xy ∈ q. Como q ´e prim´ario e para

  n

  /

  2 todo n ∈ N, x ∈ q, temos que y ∈ q. Logo q ⊂ q.

  3.19 Lema. Seja q um ideal prim´ario de A e sejam q , . . . , q ideais de A com q

  1 r 1 r ∩ · · · ∩ q ⊂ q.

  √ Ent˜ao existe 1 6 ı 6 r, tal que q q ou q

  ı ı ⊂ ⊂ q.

  ′ ′

  Demonstra¸c˜

  1 onde q = q 2 r . Assim pelo lema anterior (lema

  ao. Considere q ⊃ q ∩ q

  1 1 ∩ · · · ∩ q

  √ ′ ′ ′ ′ 3.18) temos que q q ou q

  = q onde

  1 1 * √q, ent˜ao q

  2

  ⊂

  1 ⊂ q. Se q 1 ⊂ q. Considere q 1 ∩ q

  2 ′ ′ √ ′

  q = q e novamente q q ou q

  3 r

  2

  2 2 ∩· · ·∩q . Assim q ⊃ q ∩q 2 ⊂ 2 ⊂ q. Repetindo-se este processo,

  de forma recorrente chegamos que q ı

  r−1 r

  ⊂ q para algum ı ∈ {1, . . . , r − 2} ou q ∩ q ⊂ q. Na √ ocorrˆencia do segundo caso, temos q q ou q

  r−1 r ⊂ ⊂ q.

  ¸˜ ao.

  3.20 Proposic Seja p um ideal primo monomial de um anel A = k[x

  1 , x 2 , . . . , x n ], onde k r

  ´e um corpo de caracter´ıstica zero. Ent˜ao p ´e um ideal p-prim´ario para r > 1.

  Demonstra¸c˜ ao. Seja p um ideal primo monomial. Podemos supor sem perda de generalidade √

  r que p = (x , . . . , x ). Considere J = (p) . ´ E claro que J = p. 1 s Afirma¸c˜ao: J ´e um ideal p-prim´ario.

  √ Suponha que f · g ∈ J e f / ∈ J; queremos mostrar que g ∈ J. Sem perda de generali-

  √ dade podemos supor que f e g s˜ao monˆomios com f / ∈ J e f g ∈ J.

  α σ n α+σ ω

  Seja f = x e g = x ; temos que f g = x com α, σ ∈ N ∈ J, logo existe x ∈ J, √

  ω α+σ

  ı ı ı ı

  6 gerador m´ınimo, tal que x . Portanto existe ω tal que ω α + σ . Mas como f / J

  |x ∈ temos que α = 0 sempre que x

  ı ı ∈ p.

  ω σ

6 Assim, ω σ

  ı ı para todo ı ∈ {1, . . . , s}. Logo x |x , isto ´e, g ∈ J.

  Em geral potˆencias de ideais primos n˜ao s˜ao prim´arios. Este ´e um caso particular onde se verifica a condi¸c˜ao acima.

  Exemplo

3.9. Seja A = R[x, y, z, w] e seja p = (x, y, z) um ideal de A. Claramente p

  A

  ⋍ ´e um ideal primo pois R[w] ´e dom´ınio de integridade.

  p

  3

  3

  3

  3

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  3 Considere p = (x , y , z , x y, xy , x z, xz , y z, yz , xyz). Temos neste caso que p ´e um ideal p-prim´ario pois possui apenas um ideal primo associado. Com os resultados obtidos at´e agora, podemos enunciar o teorema que nos d´a qual de- composi¸c˜ao prim´aria de um ideal Γ-diferenci´avel I possui componentes prim´arias Γ-diferenci´aveis, pois verificamos que dentro do nosso ambiente de trabalho (an´eis de polinˆomios) as potˆencias dos primos associados ao ideal I s˜ao ideais prim´arios Γ-diferenci´aveis. Portanto com algumas combina¸c˜oes a serem feitas, encontramos bons candidatos para serem as componentes prim´arias Γ-diferenci´aveis.

3.21 Proposic ¸˜ ao. Seja A = k[x , . . . , x ] um anel onde k ´e um corpo de caracter´ıstica zero.

  1 n

  seja uma decom-

  1 s

  Seja I ⊂ A um ideal monomial Γ-diferenci´avel de forma que I = q ∩ · · · ∩ q posi¸c˜ao prim´aria reduzida, com q ideais p -prim´arios para 1 6 ı 6 s. Ent˜ao uma decomposi¸c˜ao

  ı ı

  prim´aria reduzida de I, com componentes prim´arias Γ-diferenci´aveis, ´e dada por:

  ′ ′

  I = q

  1 ∩ · · · ∩ q s ′ r ı r ı com q = p + I em que r ı ´e o menor valor tal que p ı . ı ı

  ı ⊆ q Demonstra¸c˜ ao.

  Seja I = q 1 r uma decomposi¸c˜ao prim´aria reduzida de I.

  ∩ · · · ∩ q

  r ı r ı

  Considere r > 0, de menor valor poss´ıvel, tal que p . J´a vimos que p ´e um ideal

  ı ı ı ⊂ q ı

  p -prim´ario e Γ-diferenci´avel.

  ı ∗ r ı Seja q = p .

  ı ı ı + I ⊂ q ∗ Claramente q ´e um ideal Γ-diferenci´avel, pois ´e a soma de dois ideais Γ-diferenci´aveis. ı ∗

  Resta provar que q ´e p -prim´ario.

  ı ı

  √

  ∗

  Primeiro verificamos que de fato q = p pois,

  ı ı

  q q p

  √ √ √

  pq = p + I = pp I = p I = p = p

  • r ı r ı

  ı ı ı ı ı ı ∗ ı r

  = p + I; podemos considerar, sem perda de generalidade, que f e g s˜ao Seja f g ∈ q ı ı

  ∗ n r ı

  monˆomios. Suponha que para todo n > 0 temos f / = p + I o que nos leva a concluir

  ı ı

  ∈ q que f / .

  ı

  ∈ p

  ∗ ı , pois p ı . Como p ı ´e primo e f / ı ı .

  Por outro lado f · g ∈ p ⊃ q ı ∈ p temos que g ∈ p

  Como f / , nenhum gerador de p divide f, e portanto nenhuma potˆencia dos gera-

  ı ı

  ∈ p dores de p dividir´a f.

  ı

  √ √

  n

  Temos tamb´em que f / I, uma vez que p ı

  I. Logo f / ∈ ⊃ ∈ I para todo n ∈ N. Assim, particularmente, temos que f /

  ∈ I e portanto os geradores de I n˜ao dividem f. Como

  ı ı ı r r r

  p + I, os geradores de p + I divide f g. J´a que os geradores

  ı + I ´e um ideal monomial e f g ∈ p ı ı r ı r ı

  de p + I.

  ı + I n˜ao dividem f, algum deles dever´a dividir g. Logo, g ∈ p ı r ı r ı

  Se p ´e a componente prim´aria Γ-diferenci´avel procurada.

  ı ⊃ I temos que p ı

  2

  2

  2 Exemplo

3.10. Seja A = y, yz , y z).

  R[x, y, z] e considere o ideal I de A dado por I = (x Temos que

  2

  2

2 I = (x , yz , y

  z) ∩ (y)

  2

  2

  2

  2

  2

  = (x , y, y , z , y z) ∩ (x z) ∩ (y)

  2

  2

  

2

  2

  2

  = (x , z , y , y) ∩ (x ) ∩ (x , z) ∩ (y)

  2

  2

  

2

  2

  = (x , y , z , z) ∩ (x ) ∩ (y)

  ´e uma decomposi¸c˜ao prim´aria de I onde p = (x, z), p = (x, y, z), p = (y) s˜ao seus primos

  1

  2

  3 associados.

  A fam´ılia de deriva¸c˜oes Γ que torna I um ideal Γ-diferenci´avel ´e dada por Γ =

  ∂ ∂ ∂

  2

  2 (x, z , yz) + (y) + (x , z) ( vide exemplo 3.5). ∂x ∂y ∂z

  Pelo teorema 3.12 p

  1 = (x, z), p 2 = (x, y, z), p 3 = (y) s˜ao ideais Γ-diferenci´aveis.

  Vamos explicitar uma decomposi¸c˜ao prim´aria para I, onde suas componentes prim´arias sejam Γ-diferenci´aveis.

2 Temos que q = (x , z) e q = (y) j´a s˜ao componentes prim´arias Γ-diferenci´aveis. A

  1

  3

  2

  2

  2

  componente q = (x , y , z ) n˜ao ´e Γ-diferenci´avel. Para r = 4, temos que o ideal

  2

  4

  4

  4

  4

  3

  3

  2

  2

  2

  2

  

3

  3

  3

  3

  2

  2

  2

  2

  2

  p = (x , y , z , xy , xz , x y , x z , x y, x z, yz , y z, y z , xy z, xyz , x yz)

  2

  4

  est´a contido em q . Como p

  2 + I, tomaremos o ideal

  2

  4

  4

  4

  4

  3

  

3

  2

  2

  3

  2

  2

  2

  p + I = (x , y , z , xy , xz , x z , x z, x y, yz , y z)

  2 Este ideal p -prim´ario ´e a componente Γ-diferenci´avel procurada pois

  2

  4 = I.

  1

  3

  1

  3

  2 I ⊂ q ∩ q ∩ (p 2 + I) ⊂ q ∩ q ∩ q ∗

2 Assim I pode ser escrito como I = (x , z) q (y) onde

  ∩

  2 ∩ ∗

  4

  4

  4

  3

  3

  

2

  2

  3

  2

  2

  2 q = (x , y , z , xy , xz , x z , x z, x y, yz , y z).

2 Esta ´e uma decomposi¸c˜ao prim´aria para I, cujas componentes prim´arias s˜ao Γ-diferenci´aveis.

  Para ideais que n˜ao s˜ao monomiais, est´a se desenvolvendo uma t´ecnica parecida com utilizada para encontrar a decomposi¸c˜ao prim´aria de um ideal diferenci´avel monomial, com componentes prim´arias diferenci´aveis, embora sejam necess´arias algumas modifica¸c˜oes. Esta t´ecnica, desenvolvida pelo professor Dr. Carlos E. N. Bahiano, est´a em fase final de elabora¸c˜ao.

  3.3 Ideais diferenci´ aveis e regularidade

  At´e ent˜ao estudamos propriedades e proposi¸c˜oes partindo de ideais deferenci´aveis para uma fam´ılia Γ de deriva¸c˜oes. Como j´a visto, um ideal I de A ´e n˜ao diferenci´avel se existe uma deriva¸c˜ao D de A, tal que D(I) 6⊂ I. Veremos abaixo interpreta¸c˜oes geom´etricas para ideais primos n˜ao diferenci´aveis.

  3.22 Teorema. Sejam A = k[x , . . . , x ] uma k-´algebra finitamente gerada, p um ideal primo

  1 n

  e A ´e diferenci´avel.

  p p

  o anel local de p. Ent˜ao p ´e diferenci´avel se, e somente se, p · A Demonstra¸c˜ ao. Seja p um ideal n˜ao diferenci´avel em A, ou seja, existe uma deriva¸c˜ao D de A tal que D(p) 6⊂ p.

  Seja N = {x/yx = 0 para algum y / ∈ p}; N ´e um ideal de A e ´e diferenci´avel pois,

  ′

  se yx = 0 temos que Dyx = 0 e ent˜ao rDx + xDr = 0 (considerando Dx = x ) e assim

  ′ ′ ′ ′

  yx + xy = 0. Multiplicando-se a express˜ao anterior por y obtemos y(yx + xy ) = 0 e da´ı

  ′

  2

  y x = 0, o que nos leva a concluir que Dx ∈ N.

  p p

′ a Da ′ A ′

  = Colocando D , D induz uma deriva¸c˜ao D em onde D . O anel

  6⊂

  N N N N N

A A

  A = p ´e um subanel do anel quociente . D pode ser estendida ao anel quociente para

  p N N N A p .

  

′ ′

A

  Considere agora a deriva¸c˜ao D de A onde D . Seja = k[x , . . . , x ].

  (p · A ) 6⊂ p · A

  p p p 1 n

  N ′ ′ u ı A p

  Temos que D x , sendo D x = com u , v e v / .

  ı p ı ı ı ı

  ∈ A ∈ ∈

  v ı N N p ′ ′

  A ′

  Substituindo D por (πv ı )D temos novamente uma deriva¸c˜ao sobre e ainda D ( ) 6⊂

  N N p

  . Considere em A uma decomposi¸c˜ao prim´aria do ideal (0) = q . Seja q

  1 s ı

  ∩ · · · ∩ q ⊂ p para

  N

  ı = 1, . . . , t e q .

  ı 1 t

  6⊂ p para ı > t. Ent˜ao N = q ∩ · · · ∩ q

  ′

  Seja R = k[y , . . . , y ] um anel de polinˆomios com n vari´aveis e seja q a imagem de q

  1 n ı ı

  ′ ′ ′ ′ ′

  num homomorfismo que leva y em x . Seja I = q e I = q . Ent˜ao I ´e o

  ı ı 1 ∩ · · · ∩ q m m ∩ · · · ∩ q t ′

  n´ ucleo do homomorfismo mencionado acima e I ´e o n´ ucleo do homomorfismo que leva y em

  ı ′ ′

  x . A deriva¸c˜ao D ´e induzida por uma deriva¸c˜ao de R. De fato, seja y uma representa¸c˜ao em

  ı ı ′ ′ ∂

  R de D x ; ent˜ao δ = P y ´e a deriva¸c˜ao.

  ı ı ∂x ı ′ ′ ′ ′ p

  O ideal I ´e diferenci´avel por δ, ou seja δ(I . Se p ´e a imagem de em R, ent˜ao ) ⊂ I

  N ′ p ′ ′ ′

  δ(p com a / . Substituindo δ por aδ temos que I ´e diferenci´avel

  ′

  ) 6⊂ . Seja a ∈ q t+1 ∩ · · · ∩ q s ∈ p

  ′ ′

  por δ e ainda δp 6⊂ p . Agora δ induz uma deriva¸c˜ao D em A com D(p) 6⊂ p.

3.23 Teorema. Sejam k um corpo e A = k[x

  1 , . . . , x n ] uma k-´algebra finitamente gerada. Seja p ´e regular. Ent˜ao p n˜ao ´e diferenci´avel. p

  ∈ Spec(A), p n˜ao m´ınimo tal que A Demonstra¸c˜ ao. Se A ´e um anel e V /k uma variedade irredut´ıvel, ent˜ao W = V (p), a variedade de p ´e uma subvariedade pr´opria de V simples em V ; e de modo inverso, cada variedade simples W d´a origem a um ideal p com as propriedades assumidas.

  Vamos considerar o primeiro caso. Seja V uma variedade r-dimensional e W uma variedade s-dimensional. Por [8] existem coordenadas uniformes n , . . . , n de W tal que

  1 p+r

  n , . . . , n s˜ao parˆametros uniformes de W em V. Por defini¸c˜oes vistas, n , . . . , n

  1 r−s 1 r−s p

  ∈ p · A e existem deriva¸c˜oes D , . . . , D de A tal que D = δ para ı,  = 1, . . . , p + r. Assim

  1 p+r p n  ı D p p .

  1

  (p · A ) 6⊂ p · A Para generalizar, seja (0) = q a decomposi¸c˜ao prim´aria de (0) em A. Por

  1 s

  ∩ · · · ∩ q propriedades elementares de an´eis quocientes podemos assumir que q , tem como

  1

  1

  ⊂ p e q primo associado p

  1 , e A p ´e o anel local de V = (p) em V (p 1 ). Assim reca´ımos no primeiro caso e completamos a prova.

  2

  2 Exemplo

3.11. Seja A = + y

  R[x, y] e sejam q = (x − 1) e p = (x, y − 1) dois ideais de A. Temos que p ∈ Spec(A).

  A ∂ ∂ R

  O conjunto Der ( + x q ) ´e gerado por {−y } conforme exemplo 3.3.

  ∂x ∂y A A

  Como o anel , ´e regular pois dim = 1 (dimens˜ao de Krull) ´e igual a

  q p q p q q p p p

  2

  dimens˜ao do espa¸co vetorial dado por /( ) , pelas hip´oteses do teorema acima, temos que

  q q q n˜ao pode ser diferenci´avel. p

  De fato, podemos calcular as deriva¸c˜oes que preservam o ideal , usando novamente o

  q A/q A

  n´ ucleo da matriz jacobiana m´odulo q, uma vez que . Assim, o conjunto das deriva¸c˜oes ≃

  p /q p +q p ∂ ∂

  que preservam , x

  q ´e gerado por {(y−1) }, ou seja, podemos escrever a fam´ılia de deriva¸c˜oes ∂x ∂x p

  Γ que preserva da seguinte forma:

  q

  ∂ ∂

  2

  2 + (x + y .

  Γ = (y − 1, x) − 1) ∂x ∂y

  p A

  Portanto, , dada por

  q n˜ao ´e um ideal diferenci´avel pois para a deriva¸c˜ao D ∈ q p ∂ ∂ + x .

  D = −y temos que D(x) = −y / ∈

  ∂x ∂y q

  Exemplo

  3.12. Seja A = R[x, y, z] uma R-´algebra finitamente gerada e sejam I =

  2

  2

  2 A R

  (x + y + z ( ) ´e gerado

  − 1) e J = (x, y, z − 1) dois ideais com J ∈ Spec(A). O conjunto Der

  I ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

  • y + x + x por {−z , −y , −z }.

  ∂y ∂z ∂x ∂y ∂x ∂z

  Neste caso m = J/I ´e claramente um ideal n˜ao diferenci´avel pois a ´ unica deriva¸c˜ao

  A que o preserva ´e a deriva¸c˜ao nula, que foi calculada usando o conjunto das deriva¸c˜oes de . I+J A m A

  As hip´oteses do teorema s˜ao satisfeitas pois dim = dim

  2 = 2, que mostra que o anel I m

  I ´e regular. A ∂ ∂ R

  ( + y Logo, para D ∈ Der ) da forma D = −z , temos que D(y) = −z / ∈ J/I.

  I ∂y ∂z

  Exemplo

  3.13. Seja A = R[x, y, z] uma R-´algebra finitamente gerada e sejam I =

  2

  2

  2

  2

2 A

  (x + y + z + y

  R ( ) ´e

  − 1) e J = (x − 1, z) dois ideais com J ∈ Spec(A). O conjunto Der

  I ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

  • y + x + x gerado por {−z , −y , −z }.

  ∂y ∂z ∂x ∂y ∂x ∂z ∂ ∂

  • x O ideal J/I ´e preservado por um conjunto de deriva¸c˜oes gerado por {−y }.

  ∂x ∂y A ∂ ∂ R ( + x , temos que D(z) = x / Logo para D ∈ Der ), onde D = −z ∈ J/I.

  I ∂x ∂z

  2

  2

  

2

Exemplo

3.14. Seja I = (x + y ) um ideal de A =

  R[x, y, z]. O conjunto das − z

  A

  deriva¸c˜oes em ´e gerado por

  I

  ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

  • y , x + y + z + x , z + x {z , −y },

  ∂y ∂z ∂x ∂y ∂z ∂x ∂y ∂x ∂z m´odulo I.

  A A

  ´e primo e que o anel n˜ao ´e regular, pois Observe que o ideal J = (x, y, z) ⊂

  I I J A J

  I J

  2 dim = 2 e dim = 3.

  Veja que o ideal J ´e um ideal diferenci´avel,pois ´e preservado por todos os geradores do

  A R .

  conjunto Der

  I De acordo com o exemplo acima poder´ıamos pensar na rec´ıproca deste teorema (3.23), p n˜ao ´e regular, ent˜ao p ´e um ideal diferenci´avel. Infelizmente

  ou seja, seja p ∈ Spec(A), tal que A esta rec´ıproca n˜ao ´e verdadeira como mostra o exemplo abaixo.

  3

  2 Exemplo

3.15. Seja A = R[x, y, z] e I um ideal de A dado por I = (x ). O

  − y

  A ∂ ∂ ∂ ∂ 2 ∂

  conjunto das deriva¸c˜oes em , 3x + 3y , 2y + 3x ´e gerado por { }.

  I ∂z ∂x ∂y ∂x ∂y A A A

  ) mas o anel Seja J = (x, y, z) ⊂ um ideal. Observe que este ideal J ∈ Spec(

  I I

  I J A n˜ao ´e regular, pois dim = 2 e o ideal J n˜ao pode ser gerado por apenas dois elementos.

  I Ainda assim, com as hip´oteses do teorema n˜ao sendo satisfeitas, temos que o ideal ∂

  J n˜ao ´e diferenci´avel pois para a deriva¸c˜ao dada por D = temos que D(z) = 1 / ∈ J.

  ∂z A

  Generalizando, todo ideal H = (x, y, z − a) ⊂ em que a ∈ R, ´e n˜ao diferenci´avel. Logo,

  I

  podemos verificar que a rec´ıproca do teorema n˜ao ´e verdadeira, ou seja, para an´eis A em que A p n˜ao ´e regular, n˜ao temos garantia que o ideal p seja diferenci´avel.

  Apˆ endice A Apˆ endice A.1 An´ eis e M´ odulos

  A.1 Definic ¸˜ ao. Um conjunto n˜ao vazio R ´e dito ser um anel se est˜ao definidas duas opera¸c˜oes,

  ′′ ′′

  que denotaremos por + ” (adi¸c˜ao) e · ” (multiplica¸c˜ao), respectivamente, tais que para todo

  a, b, c em R, temos: (i) (a + b) + c = a + (b + c) (ii) a + b = b + a (iii) Existe um elemento 0 ∈ R tal que a + 0 = a, para todo a ∈ R (iv) Para todo a ∈ R, existe −a tal que a + (−a) = 0 (v) a · (b · c) = (a · b) · c (vi) a · (b + c) = a · b + a · c ¸˜ ao. A.2 Definic Um anel R ´e dito ser comutativo se adicionalmente, verifica-se o seguinte axioma: (vii) para todos a e b em R, a · b = b · a ¸˜ ao. A.3 Definic Um anel R ´e dito ser com unidade se satisfaz tamb´em o seguinte axioma: (viii) existe um elemento, 1 ∈ R, tal que a · 1 = 1 · a = a para todo a ∈ R.

  A.4 Definic ¸˜ ao. Um subconjunto I de um anel A ´e dito ser um ideal de A se ´e um grupo aditivo e se satisfaz AI ⊂ I, isto ´e, para x ∈ A e y ∈ I temos sempre que xy = yx ∈ I.

  n ¸˜ ao.

  A.5 Definic Im ideal I ⊂ A[X] ´e dito ser monomial se existe um subconjunto M de N

  α

  de expoentes tal que I ´e gerado pelo conjunto {X ; α ∈ M}

  A.1.1 Opera¸c˜ oes com Ideais

  A.6 Definic ¸˜ ao. Se I, J s˜ao ideais de um anel A, definimos o quociente de I por J como sendo: I : J := {x ∈ A; xy ∈ I, ∀y ∈ J}

  A.7 Proposic ¸˜ ao. A opera¸c˜ao quociente de ideais goza das seguintes propriedades: (i) I ⊂ I : J (ii) (I : J) : K = (I : JK) = (I : K) : J (iii) I : J = A ⇐⇒ J ⊂ I

  I (I : J)

  ı∈N ı ı∈N ı

  (iv) (∩ : J) = ∩ P

  n n

  (v) I : J (I : J )

  ı ı ı=1 = ∩ ı=1

  para I, J, K ⊂ A ideais. A.8 Proposic ¸˜ ao. , . . . , x , . . . , x

  1 n 1 n

  Seja I ⊂ k[x ] um ideal e seja g ∈ k[x ]. Se I ∩ (g) = (h , . . . , h ) ent˜ao:

  1 s

  I : (g) = (h /g, h /g, . . . , h /g)

  1 2 s Dado um ideal J = (g , g , . . . , g ) n´os temos que I : J = (I : (g )).

  1 2 r 1 r

  )) ∩ · · · ∩ (I : (g Demonstra¸c˜ ao. Cada h

  ı

  /g ∈ I : (g) e assim a inclus˜ao ´e clara. Dado f ∈ I : (g) temos que gf ∈ I, (g), isto ´e gf ∈ I ∩ (g). Assim a afirma¸c˜ao acima ´e imediata. A.1.2 Anel Noetheriano ¸˜ ao.

  A.9 Definic Um anel A ´e dito ser noetheriano se satisfaz as seguintes condi¸c˜oes equiva- lentes: (ı) Todo conjunto de ideais em A tem um elemento maximal. (ıı) Toda cadeia ascendente de ideais em A estaciona. (ııı) Todo ideal em A ´e finitamente gerado.

  A.1.3 An´ eis Regulares

  A.10 Definic ¸˜ ao. A dimens˜ao de Krul de um anel A ´e definida como o m´aximo da altura da cadeia de primos, ou seja, dim(R) = sup{ht(p); p ⊂ A´e primo}

  A.11 Definic ¸˜ ao. Um anel local A com ideal m´aximo m, ´e dito ser regular se a dimens˜ao de

  m A

  Krul de A ´e igual a dimens˜ao de 2 como espa¸co vetorial, sobre o corpo .

  m m ¸˜ ao.

  A.12 Proposic Seja (A, m) um anel local noetheriano e d = dim(A). Ent˜ao s˜ao equiva- lentes:

  1. GN m (A) = k[t 1 , . . . , t d ] ´e um anel de polinˆomios em d vari´aveis.

  2. A ´e regular de dimens˜ao d. 3. m pode ser gerado por d elementos.

  A demonstra¸c˜ao desta proposi¸c˜ao encontra-se em [4], p´agina 303.

  A.1.4 Anel das S´ eries de Potˆ encia

  P ∞

  v v ¸˜ ao.

  A.13 Definic a v x , com a v O conjunto A[[x]] = { v=0 ∈ A e x ∈ G} ´e dito ser o anel das s´eries formais de potˆencia em uma vari´avel com respeito a soma e produto definidas a seguir:

  P ∞ P ∞

  ı 

  Dados dois elementos f = a x e g = b x de A[[x]]

  ı 

ı=0 =0

  X

  v 1. f + g = (a + b )x . v v v=0

  ∞

  X X

  k c x onde c = a b . k k ı 

  2. f · g =

  k=0 ı+=k

  Note que as opera¸c˜oes definidas acima s˜ao an´alogas as opera¸c˜oes definidas no anel de polinˆomios em uma vari´avel, o que nos permite concluir que A[x] ´e subanel de A[[x]].

  P ∞

  ı

  A.14 Teorema. Seja A um anel local completo com ideal maximal M. Seja f (x) = a x

  ı ı=0

  uma s´erie de potˆencias em A[[x]] de modo que nem todo a est´a em M. Seja a , . . . , a

  ı n−1

  ∈ M e a n ∈ A \ M ´e um unit´ario. Dado g ∈ A[[x]] podemos resolver a equa¸c˜ao g = qf + r de maneira ´ unica com q ∈ A[[x]] e r ∈ A[x] com gr(r) 6 n − 1.

  A.15 Teorema. A s´erie de potˆencias f descrita acima pode ser escrita unicamente da forma

  n n−1

  f (x) = (x + b n x )µ,

  • · · · + b com b

  ı ∈ M e µ um unit´ario em A[[x]].

  Demonstra¸c˜ ao.

  n

  Usando o algoritmo euclidiano podemos escrever x = qf + r. Temos que q ´e invers´ıvel porque q = c + c x + . . . ,

  o

  

1

n

  f = . . . + a x + . . .

  n n n (modM ), ent˜ao c ´e unit´ario em A. Obtemos assim qf = x

  Como temos 1 ≡ c · a − r,

  − 1 n

  e ent˜ao podemos escrever f = q (x − r) com r ≡ 0(modM).

  Com issso garantimos a sua existˆencia. A unicidade ´e de forma imediata. O inteiro n utilizado nos dois teorema s anteriores ´e chamado grau de Weierstrass de

  f f, e ´e denotado por gr = n. As s´eries de potˆencia que n˜ao possuem este coeficiente podem ser expressas como produto de polinˆomios que possuem este grau de Weierstrass e s˜ao s´eries de potˆencias unit´arias.

  A.16 Teorema. Se A ´e um anel noetheriano, ent˜ao A[[x]] ´e tamb´em noetheriano. Demonstra¸c˜ ao.

  Seja I um ideal de A[[x]]. Seja a − ı o conjunto de todos os elementos a ∈ A tal que a

  ı ı ´e o coeficiente de x na s´erie de potˆencia ax + termos de menor grau que n˜ao est˜ao em I.

  Ent˜ao a ´e um ideal de A, e a . Ent˜ao a cadeia de ideais a =

  ı ı ı+1 1 r

  ⊂ a ⊂ a ⊂ . . . ⊂ a a r+1 estaciona porque A ´e noetheriano.

  Considere a (ı = 1, . . . , r  = 1, . . . , n ) como os geradores dos ideais a , e seja

  ı ı ı f ı ı .

  ∈ A[[x]] tendo como coeficientes a Dado f ∈ I, come¸caremos com o termo de grau d, sendo d 6 r, podemos achar elementos c , . . . , c

  1 nd

  ∈ A tal que f f

  1 d 1 n d d nd

  f − c − · · · − c tenha o termo de grau maior ou igual a d.

  Procedendo de forma indutiva, usaremos a combina¸c˜ao linear

  (d) d−r (d) d−r

  x f x f nr

  r 1 r

  f − c

  1 − · · · − c n r

  para chegar na s´erie de potˆencia com termo de grau maior que d + 1. Se come¸carmos com a s´erie de potˆencia de grau d > r, ent˜ao podemos expressar a combina¸c˜ao linear de f , . . . , f

  r 1 r n−r

  por meio dos coeficientes

  

∞ ∞

  X X

  (v) (v) v−r v−r

  g (x) = c x , . . . , g r (x) = c x .

  1 n n−r

  1

v=d v=d

  Assim podemos concluir que f ´e gerador do ideal I e portanto temos que A[[x]] ´e

  ı tamb´em noetheriano.

  ario. A.17 Corol´ Se A ´e noetheriano, ou um corpo, ent˜ao A[[x]] ´e noetheriano. Demonstra¸c˜ ao.

  Segue imediatamente do teorema anterior, procedendo-se uma indu¸c˜ao sobre n, usando o fato de A[[x

  1 , . . . , x n ]] ser isomorfo a A[[x 1 , . . . , x n−1 ]][[x n ]].

  A.1.5 M´ odulos

  Se M ´e um grupo abeliano, temos que o conjunto End(M ) dos endomorfismos de M tem estrutura de anel.

  A.18 Definic ¸˜ ao. Seja A um anel. Um A-m´odulo M ´e um par (M, φ) onde M ´e um grupo abeliano, escrito aditivamente, e φ um homomorfismo de an´eis A → End(M). Se escrevemos am para denotar φ(a)m, teremos as seguintes propriedades: (M1) (a + b)m = am + bm (M2) a(m + n) = am + an (M3) a(bm) = (ab)m para quaisquer a, b ∈ A e m, n ∈ M.

  Sejam M um B-m´odulo e A um anel munido de um homomorfismo de an´eis ϕ : A → B. Ent˜ao M admite uma estrutura natural de A-m´odulo tal que am = ϕ(a)m, a ∈ A e m ∈ M.

  A.19 Definic ¸˜ ao. Se M tem estrutura de anel e de A-m´odulo, ent˜ao diz-se que M ´e uma A-´algebra.

  A.1.6 Produto Tensorial de M´ odulos

  A.20 Definic ¸˜ ao. Seja A uma anel. dados A-m´odulos M, N, um A-m´odulo T munido de uma N,

  A

  aplica¸c˜ao A-bilinear ⊗ : M ×N → T, ´e dito ser o produto tensorial de M e N sobre A, M ⊗ se satisfaz a seguinte propriedade universal: Para cada ϕ ∈ L(M, N, L), existe uma ´unica aplica¸c˜ao A-linear h : T → L tal que h(x ⊗ y) = ϕ(x, y).

  Observa¸c˜ ao A.1. O conjunto L(M, N, L) denota todas as fun¸c˜oes A-bilinares definidas no cartesiano M × N a valores em L.

  Vale resaltar que o produto tensorial de m´odulos goza das seguintes propriedades: 1. x = 0 ou y = 0 ⇒ x ⊗ y = 0 2. (x + x

  1

  1

  ) ⊗ y = x ⊗ y + x ⊗ y

  1

  1

  3. x ⊗ (y + y ) = x ⊗ y + x ⊗ y 4. λ(x ⊗ y) = λx ⊗ y = x ⊗ λy; λ ∈ k

  5. Se M, N s˜ao A-´algebras ent˜ao M ⊗ N ´e tamb´em uma A-´algebra colocando-se: ) = xx

  1

  1

  1

  1

  1

  1 (x ⊗ y)(x ⊗ y ⊗ yy ∀x, x ∈ M; y, y ∈ N.

  B

  A A A A

  6. M ⊗ N ⊗ B = (M ⊗ N ) ⊗

  7. M ⊗ N ≃ N ⊗ M A = M

  A

  8. M ⊗ M (M

  λ λ λ λ

  9. (⊕ ) ⊗ N = ⊕ ⊗ N) para M, N, B como A- m´odulos.

  A.1.7 Extens˜ ao de M´ odulos

  2

  = 0. Ent˜ao o A-m´odulo Seja k um anel, A uma k-´algebra e N ⊂ A um ideal tal que N

  N pode ser visto como um A/N -m´odulo. De fato, N ⊆ Ann(N). Neste caso diz-se que A ´e uma extens˜ao da k-´algebra A/N pelo A/N -m´odulo N e escreve-se

  

ı θ

  0 → N −→ A −→ A/N A extens˜ao ´e trivial, ou cindida se existe um homomorfismo de k-´algebras ψ : A/N → A

A/N

  tal que θψ ≡ 1 . Neste caso, pode-se identificar A/N = ψ(A/N ) e portanto A = N ⊕ A/N, como k-´algebras.

  A.21 Definic ¸˜ ao. Sejam A um anel, M, N A-m´odulos. Um homomorfismo de A-m´odulos, ou um A-homomorfismo ψ : M → N, ´e um homomorfismo de grupos abelianos M, N que ´e A-linear, isto ´e, ψ(am) = aψ(m), m ∈ M.

  A nota¸c˜ao Hom A (M, N ) ser´a usada para denotar o grupo dos A-homomorfismos de M em N.

  A.22 Proposic ¸˜ ao.

  Seja ϕ : A → B um homomorfismo de an´eis. Seja M um A-m´odulo.Para qualquer B-m´odulo T tem-se: Hom B A

  (M ⊗

B, T ) ≃ Hom(M, T )

  Demonstra¸c˜ ao. Basta mostrar que a aplica¸c˜ao ψ : Hom A B A

  B, T ) (M, T ) → Hom (M ⊗ t ´e um isomorfismo de A-m´odulos.

  A A A A

  dada por ψ(h) = h ⊗ 1 onde h ⊗ 1(m ⊗ t) = h(m) ⊗ De fato, h ⊗ 1 = f ⊗ 1 ⇔ (h − f) ⊗ 1 ≡ 0

  ⇔ (h − f)(m) ⊗ 1 = 0∀m ∈ M ⇔ h = f mostra que ψ ´e bem definida e injetiva. O fato que ψ ´e um homomorfismo de A- m´odulos ´e imediato pela sua defini¸c˜ao. Al´e disto ψ ´e sobrejetiva pois para todo B-homomorfismo 1 ´e um elemento de Hom (M, T ),

  B A A A

  F ∈ Hom (M ⊗

B, T ), sua restri¸c˜ao, f ao subm´odulo M ⊗ satisfazendo ψ(f ) = F.

  A.1.8 Sequˆ encia Exata

  A.23 Definic ¸˜ ao. Um seq¨ uˆencia de A-m´odulos er A-homomorfismos,

  

ı ϕ ı+1

ϕ

ı−1 ı ı+1

  ´e dita exata em M se Im(ϕ ) = ker(ϕ ). A seq¨ uˆencia ´e dita exata se ´e exata em cada M .

  ı ı ı+1 ı

  A.24 Proposic ¸˜ ao. Uma seq¨ uˆencia exata de A-m´odulos e homomorfismos ,

  

β

α

  M −→ N −→ P −→ 0

  ´e exata se, e somente se, para qualquer A-m´odulo T a seq¨ uˆencia

  ∗ ∗ β α

  0 −→ Hom(P, T ) −→ Hom(N, T ) −→ Hom(M, T ) ´e exata.

  ∗ ∗

  As aplica¸c˜oes α , e β s˜ao dadas por:

  ∗

  α (h) = h ◦ α;

  ∗

  β (f ) = f ◦ β. A demonstra¸c˜ao da proposi¸c˜ao acima encontra-se em [1]. Bibliografia

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  [4] Greuel,G. and G. Pfister. A Singular Introduction To Comutative Algebra, Ed. Springer, 2002.

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  Universidade Federal da Bahia-UFBa Instituto de Matem´atica/ Depto. de Matem´atica

  Campus de Ondina, Av. Adhemar de Barros s/n, CEP:40170-110 www.im.ufba.br/hpinst/mestrado

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