UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

PROGRAMA DE PốS-GRADUAđấO EM MATEMÁTICA

  (Mestrado)

BRUNO ALEXANDRE RODRIGUES

  

Classificação topológica de sistemas de controle lineares

  Maringá-PR 2014 UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS

  DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PốS-GRADUAđấO EM MATEMÁTICA

  LASSIFICAđấO TOPOLốGICA DE C SISTEMAS DE CONTROLE LINEARES RUNO LEXANDRE ODRIGUES B A R

  Dissertação apresentada ao Programa de Pós- Graduação em Matemática do Departamento de Matemática, Centro de Ciências Exatas da Univer- sidade Estadual de Maringá, como requisito para obtenção do título de Mestre em Matemática. Área de concentração: Geometria/Topologia.

  Orientador: Prof. Dr. Alexandre José Santana. Co-orientador: Prof. Dr. Thiago Fanelli Ferraiol

  Maringá-PR 2014

  Dedico este trabalho à todas as minhas mães, com especial carinho para minhas três velhinhas, Terezinha Maria Andretto (in memorian),

  Nadir Andretto e Laíde Aparecida Andretto.

  

Agradecimentos

  Em primeiro lugar, agradeço a Deus por permitir-me tal conquista. Aos meus pais, Elaine Aparecida Andretto e Paulo Roberto Rodrigues, pelo dom da vida. E dedico especial carinho às minhas mães, Terezinha Maria Andretto, Nadir Andretto e Laíde Aparecida Andretto, pois sem o amor das quais nada disto teria sido possível.

  Agradeço imensamente a minha namorada, Thaís Fernanda Cabral dos Santos, por todo o amor, carinho e força que tem me dado ao longo desta caminhada, sendo sem- pre a melhor justificativa e o melhor motivo para que haja felicidade inclusive nos mo- mentos mais difíceis, sempre apoiando e motivando-me a seguir em busca de nossos objetivos.

  Agradeço a todos os meus familiares que, direta ou indiretamente, contribuíram para que eu pudesse chegar até aqui. Agradeço ao meu orientedor, Prof. Dr. Alexandre José Santana, co-orientaddor,

  Prof. Dr. Thiago Fanelli Ferraiol, e aos colegas de seminário, João Augusto Navarro Cossich, Prof. Dr. Marcos André Verdi e Prof. Dr. César Adolfo Hernandez Melo, por todo o conhecimento que me foi transmitido nos inúmeros seminários que realizamos e por todas as contribuições, sugestões e correções que foram de grande valia para a conclusão desta dissertação.

  Agradeço aos meus amigos e colegas de mestrado, Me. Ademir Benteus Pampu, Anderson Macedo Setti, Me. Richard Wagner Maciel Alves, que em muitas das longas tardes de estudos na biblioteca contribuíram para este trabalho com ideias e sugestões das melhores e mais variadas.

  Agradeço a todos os professores com quem convivi e adquiri todo o conhecimento que me permitiu alcançar o sonho de ser, eu também, professor. Aos membros da banca examinadora agradeço por todas as sugestões e correções indicadas. Por fim, agradeço à CAPES pelo apoio financeiro, o qual foi imprescindível durante o período de realização deste trabalho.

  Aos outros, dou o direito de ser como são. A mim, dou o dever de ser a cada dia melhor.

  Chico Xavier

  

Resumo

  Neste trabalho estudaremos o problema de classificação topológica de sistemas de con- trole lineares, o que será feito por meio de famílias de trajetórias associadas ao sistema de controle. Também classificaremos tais sistemas via fluxos produto cruzado. Como resultado principal, estabeleceremos que dois sistemas de controle lineares são topo- logicamente conjugados se, e somente se, possuirem os mesmos índices de Kronecker, mesma inércia e as matrizes geradoras da parte não controlável dos sistemas forem semelhantes.

  Também mostraremos que se o conjunto das imagens dos controles for compacto, então para um sistema de controle do tipo ˙x = Ax + Bu, com A hiperbólica, o fluxo de ˙x = Ax e o fluxo de controle de ˙x = Ax + Bu são topologicamente conjugados.

  

Palavras-chave: Sistemas de controle, conjugação topológica, índices de Kronecker,

equivalência de feedback, forma de Brunovský.

  

Abstract

  In this work we study the problem of classification of linear control systems. We do this first by using families of trajectories associated to a control system and after we use skew product flows to obtain another kind of classification. As main goal, we will state that two control systems are topologically conjugate if, and only if, they have the same Kronecker indices, the same inertia and the matrices that generate the noncontrollable parts of the systems are similar.

  We also show that if the control range is compact, then to a control system of the form ˙x = Ax + Bu with A hyperbolic, the associated linear flow Φ and the associated affine flow Ψ are topologically skew conjugate.

  

Keywords: Control systems, topological conjugation, Kronecker indices, feedback equi-

valence, Brunovský canonical form.

  

SUMÁRIO

Introdução

  9

1 Preliminares

  14

  1.1 Quocientes e projeções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

  1.2 Existência de soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Classificação topológica de sistemas lineares

  21

  2.1 Conjugação linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

  2.2 Conjugação topológica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

  2.3 Classificação topológica de sistemas afins . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

  3 Índices de Kronecker e a Forma Canônica de Brunovský

  45

  3.1 Sistemas de controle lineares e controlabilidade . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2 Índices de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

  3.3 A F-equivalência, ou equivalência de feedback . . . . . . . . . . . . . . . 61

  3.4 F-equivalência e índices de Kronecker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4 Classificação topológica de sistemas de controle lineares

  70

  4.1 Conjugação topológica, diferencial e linear . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

  4.2 Teoremas de classificação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

5 Classificação topológica de fluxos afim-lineares

  87

  5.1 Fibrados vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

  5.2 Classificação de sistemas de controle lineares via fluxos . . . . . . . . . . 89

  A Dualidade e produto interno 104 Bibliografia 107 Índice Remissivo 109

  

INTRODUđấO

  Neste trabalho vamos estudar a classificação de sistemas de equações diferenciais line- ares e sistemas de controle lineares, tópico de grande importância na teoria matemática dos Sistemas de Controle.

  Desde a antiguidade já existia a necessidade de se controlar sistemas físicos para obter algum comportamento desejado. Constatamos isto, por exemplo, na necessidade de se medir o tempo com precisão.

  A clepsidra (do grego, κλǫψ´υδρα) foi um dos primeiros instrumentos utilizados para medir o tempo. Funciona, assim como a ampulheta, por meio da ação da gravi- dade sendo, porém, movida pela água. Tal objeto consiste de dois recipientes posici- onados em alturas diferentes: um na parte superior, contendo água, e outro na parte inferior dotado de uma escala de níveis interna e inicialmente vazio. Através de uma abertura parcialmente controlada no recipiente superior, a água passa para o recipiente inferior e o tempo é medido pela escala.

  Ao longo da história, a clepsidra foi usada para medir períodos de tempo curtos, por exemplo,

  • a duração de discursos de defesa (justiça) na Grécia Antiga;
  • a duração dos turnos de guarda das legiões romanas;
  • medição do tempo à noite ou em condições nas quais não se podia fazer uso de relógios de sol.

  Contudo, a clepsidra era um sistema com precisão duvidosa, pois com o passar do tempo, à medida em que o nível de água caía, a pressão também era reduzida, fato que diminuía a vazão de água e prejudicava a linearidade da medição.

  Por volta do ano 270 a.C., o matemático e engenheiro grego Ctesíbio inventou uma boia reguladora para a clepsidra. A função deste regulador era manter o nível de água no recipiente superior a uma profundidade constante - o nível de água no recipiente inferior dependia, portanto, do tempo decorrido.

  O design do controle de sistemas como o exposto acima era essencialmente baseado em tentativa/erro e uma boa dose de engenhosa intuição. Era, portanto, muito mais arte que ciência.

  Foi somente em meados do século XIX que se usou matemática para estudar o con- trole de sistemas físicos. Surgia então a teoria matemática dos Sistemas de Controle. Nesta teoria, o astrônomo britânico G. B. Airy foi o primeiro a utilizar equações dife- renciais em seus estudos, por volta do ano de 1840.

  A teoria moderna de Sistemas de Controle fundamenta-se, basicamente, no uso de modelos matemáticos para descrever e fazer com que um sistema físico concreto comporte-se de acordo com especificações estabelecidas. Uma das técnicas mais co- muns é o uso de um modelo espaço estado com tempo contínuo do sistema a ser con- trolado. Isto é dado, em alguns casos, por uma equação diferencial da forma n n ˙x(t) = Ax(t) + Bu(t), x ∈ R , t ∈ R, m onde chamamos R de “espaço estado” do sistema e u : R −→ R é uma função com determinada regularidade, chamada de função de controle.

  Neste trabalho, nosso objetivo será classificar sistemas de controle do tipo acima por meio de certas relações de equivalência e conjugações. A classificação de sistemas de controle é de fundamental importância nesta teoria, o que se justifica pelo fato de que sistemas numa mesma classe de equivalência (ou de conjugação) possuem todos propriedades semelhantes, tais como controlabilidade e estabilidade, por exemplo. As- sim sendo, para conhecer as propriedades de todos os elementos de uma mesma classe, basta apenas estudar um único elemento, que seja tão simples quanto possível.

  O problema de classificação para sistemas de controle lineares completamente con- troláveis foi estudado por Brunovský [4], que introduziu o conceito de equivalência de feedback e mostrou que existe apenas uma quantidade finita de classes de equivalência de feedback, cada uma representada por uma forma canônica relativamente simples.

  A classificação topológica para sistemas de controle lineares governados por equa- ções diferenciais foi estudada primeiramente por J. C. Willems [12]. Tal classificação é baseada no conceito de família de trajetórias de um sistema de controle, i.e., curvas no espaço estado que são soluções da equação diferencial para determinados valores iniciais e funções de controle admissíveis.

  Já nos trabalhos de A. J. Santana e F. Colonius, [10] e [11], são classificados os sis- temas de controle bilinear, afim e afim-linear, sob o conceito de fluxo de uma equação diferencial. Podemos também usar [10], como veremos no capítulo 5, para classificar sistemas de controle lineares.

  A estrutura deste texto está organizada do seguinte modo. No capítulo 1 faremos um apanhado geral e breve dos conceitos de Álgebra Linear e Equações Diferenciais que serão mais úteis neste texto, introduziremos os espaços quociente e determinadas projeções neste tipo de espaço que serão essenciais para os resultados de classificação de sistemas de controle lineares. Também enunciaremos o teorema de Carathéodory para existência e unicidade de soluções para equações diferenciais ordinárias e, a partir da definição de exponencial de matrizes, observamos alguns resultados sobre existên- cia e unicidade de solução para o sistema ˙x = Ax. Encerramos o capítulo explicitando a solução do sistema de equações diferenciais ˙x = Ax + Bu, peça chave deste trabalho.

  Para que seja mantida certa “linearidade” na apresentação dos fatos, bem como para embasar os resultados que seguem, no capítulo 2 classificamos sistemas de equa- ções diferenciais lineares homogêneas, o que fundamenta todo o estudo subsequente. Iniciamos com a conjugação linear, caso mais simples e que se vale da existência de certo isomorfismo satisfazendo propriedades adequadas. Também trazemos pela pri- meira vez o conceito de fluxo de uma equação diferencial, o que proporciona diferentes meios de classificação dos sistemas.

  O ápice deste capítulo consiste no estudo da conjugação topológica, imprescindível na classificação a ser feita no capítulo 4. Os resultados de classificação obtidos para sistemas homogêneos são então generalizados para sistemas afins no final do capítulo, cujos resultados são devidos a A. J. Santana e F. Colonius, [11]. Tal desenvolvimento já assemelha-se bastante ao que será desenvolvido no capítulo 5.

  Os capítulos 3 e 4 são devotados à classificação topológica de sistemas de controle lineares introduzida em [12]. O capítulo 3 é reservado para os resultados referentes à equivalência de feedback, índices de Kronecker e a Forma Canônica de Brunovský, que são as ferramentas necessárias para se obter a classificação topológica apresentada no capítulo seguinte.

  Na primeira seção do capítulo definimos o que exatamente são os sistems de con- trole e apresentamos os principais elementos a estes relacionados, no que tange à con- trolabilidade e resultados elementares a ela referentes. Este passa a ser o ambiente no qual desenvolvemos o restante da teoria.

  Os índices de Kronecker (determinadas sequências finitas de números naturais) e a forma canônica de Brunovský (determinados pares de matrizes A e B) são objetos que possibilitam classificar topologicamente os sistemas de controle lineares por meio de seus conjuntos de trajetórias. Os índices de Kronecker permitem-nos identificar cada classe de equivalência segundo a equivalência de feedback e ainda nos dizem que a quantidade de classes possíveis é finita e relativamente pequena, sendo que cada classe possui seu único representante canônico, dado pela forma canônica acima ci- tada. A equivalência de feedback também se mostra fundamental para a classificação topológica. Por fim, estabelecemos algumas relações entre a equivalência de feedback e os índices de Kronecker, o que possibilita uma visão mais ampla da importância de tais ferramentas.

  O capítulo 4 é reservado exclusivamente para expormos a classificação topológica de sistemas de controle lineares segundo J. C. Willems, sendo que iniciamos forma- lizando o conceito de conjugação para as famílias de trajetótias de sistemas do tipo

  ˙x = Ax+Bu e demonstramos alguns resultados técnicos necessários, para então termos condição plena de demonstrar os teoremas de classificação, tanto no caso controlável quanto no caso não controlável.

  No capítulo 5, a partir dos trabalhos [10], [11] e [3], apresentamos as definições de fibrados vetoriais e de somas de Whitney para que tenhamos um ambiente adequado para lidar com os conceitos de fluxo produto cruzado e fluxo afim-linear para, por meio destes, exibir um modo alternativo de classificar sistemas de controle lineares.

  

CAPÍTULO 1

PRELIMINARES

  Para podermos entender de modo satisfatório a classificação topológica de sistemas de controle lineares via famílias de trajetórias, são fundamentais as noções de espaço quo- ciente e projeção, posto que a ideia será, basicamente, considerar trajetórias módulo o subespaço de controlabilidade do sistema em questão.

  Com o intuito de definir posteriormente o conceito de controlabilidade para siste- mas lineares e demonstrar alguns resultados elementares e essenciais, vamos primeira- mente expor os fundamentos teóricos necessários ao bom desenvolvimento das ideias aqui presentes. Por se tratarem de resultados de Álgebra Linear, facilmente encontra- dos na literatura, serão dadas poucas demonstrações neste primeiro momento. Um desenvolvimento completo e formal destes tópicos pode ser encontrado, por exemplo, em Hoffman & Kunze [7] e Wonham [13].

  No decorrer do texto utilizaremos letras maiúsculas A, B, T, . . . para identificar ma- trizes e aplicações e maiúsculas caligráficas B, R, S . . . para espaços e conjuntos. É claro, com algumas exceções, por exemplo, U que denotará o espaço das funções de m controle enquanto que U ⊂ R o conjunto dos valores de controle.

1.1 Quocientes e projeções

  Excetuando-se menção contrária, todos os espaços vetoriais considerados serão de di- mensão finita.

  Dado um espaço vetorial X , é fácil verificar que o conjunto de todos os subespaços vetoriais de X é parcialmente ordenado pela relação de inclusão ⊂, e que as operações e ∩ possuem características minimais e maximais com respeito a inclusão, i.e., R + S +

  é o menor subespaço contendo R e S e, do mesmo modo, R ∩ S é o maior subespaço contido em ambos simultâneamente.

  A toda aplicação linear A : X → Y entre espaços de dimensão n e m, respectiva- mente, podemos associar de forma única uma martriz A de ordem m × n. Por este motivo faremos pouca distinção entre matrizes e transformações lineares.

  Sejam X um espaço vetorial e R ⊂ X um subespaço qualquer. Dizemos que x, y ∈ X são congruentes módulo R se x − y ∈ R. Definimos o espaço quociente X /R como sendo o conjunto de todas as classes de equivalência x/R = {y ∈ X | y − x ∈ R}, x ∈ X .

  Por vezes chamamos x/R de classe lateral. Pode-se provar que X /R é um espaço vetorial com as operações (x /R) + (x /R) := (x + x )/R

  1

  2

  1

  2

  e c(x

  1 /R) := (cx 1 )/R.

  Definição 1.1 (Projeção Canônica). A aplicação linear

  P : X −→ X /R x 7−→ x/R é chamada de projeção canônica de X em X /R. Claramente P é sobrejetora e ker P = R.

  Quando o espaço vetorial X é escrito como soma direta de subespaços vetoriais, i.e., X = R ⊕ S, como cada x ∈ X é unicamente representado por x = r + s, r ∈ R, s ∈ S , fica bem definida a aplicação

  Q : X →

  X x −→ r.

  É simples a verificação de que Q é linear, ImQ = R e ker Q = S.

  Se S ⊂ R ⊂ X são subespaços vetoriais e P : X → X /S é a projeção canônica, temos que R/S = P (R), o que faz de R/S um subespaço de X /S. Note, contudo, que se R for um subespaço que não contém S, não faz sentido algum falar no quociente R/S. Temos, neste caso,

  R + S P (R) = .

  S Agora, sejam A : X → X linear e R ⊂ X um subespaço A-invariante, ou seja, tal que A(R) ⊂ R . Defina a aplicação

  ¯ A : X /R −→ X /R x/R 7−→ Ax/R.

  Notemos que x/R = y/R ⇒ (x − y) ∈ R em X /R

  ⇒ Ax/R − Ay/R = (Ax − Ay)/R = (A(x − y))/R = = ¯ A((x − y)/R) = 0/R, ou seja, a aplicação ¯ A está realmente bem definida. Além disso, a linearidade de A é preservada por ¯ A , vejamos

  ¯ x/R, αy/R ∈ X /R ⇒ A(x/R + αy/R) = ¯ A((x + αy)/R) = A(x + αy)/R = (Ax + αAy)/R = Ax/R + αAy/R = ¯ A(x/R) + α ¯ A(y/R). Observe que se P : X → X /R é a projeção canônica, então para todo x ∈ X ¯ A ◦ P (x) = ¯ A(x/R) = Ax/R = P (Ax) = P ◦ A(x). i.e.,

  ¯ A ◦ P = P ◦ A. A

  Isto prova que ¯ é a única aplicação tal que o diagrama abaixo é comutativo A // P P

  X //

  X X /R X /R

A

¯

Chamamos ¯ A de aplicação induzida em X /R por A, ou projeção de A em X /R.

1.2 Existência de soluções

  Nesta seção apresentaremos o Teorema de Carathéodory para existência de soluções de equações diferenciais ordinárias. Uma discussão detalhada deste resultado pode ser encontrada em Coddington [5]. Também discutiremos brevemente sobre as soluções dos principais tipos de equações tratadas ao longo do texto. n n

  Teorema 1.2 (Teorema de Carathéodory). Seja f : R × R −→ R n tal que i) f (·, x) é mensurável para cada x ∈ R ;

  ii) f (t, ·) é contínua para quase todo t ∈ R fixo; n iii) para cada compacto K ⊂ R × R existe uma função integrável m K (t) com kf (t, x)k ≤ m K (t), ∀(t, x) ∈ K. Nessas condições, o problema de valor inicial

  ˙x(t) = f (t, x(t)) x(0) = x

  − a, t + a], a > 0. possui uma solução absolutamente contínua definida em algum intervalo [t

  Definimos a exponencial de uma matriz A ∈ M n (R) por

  1

  1

  1

  1

  X A j j

  2

  3

  e = Id + A + A A + · · · + A + + · · · = A 2! 3! j! j! j

  =0

  Os próximos resultados são clássicos e as demonstrações podem ser encontradas, por exemplo, em Doering & Lopes [6]. n At

  

Proposição 1.3. Dados uma matriz A ∈ M n (R) e x ∈ R , então os caminhos t 7−→ e em

At n

  M n (R) e t 7−→ e x em R são deriváveis com d At At e = Ae ∈ M n (R) dt e d At At n e x = Ae x ∈ R . dt

  No caso do sistema linear homogêneo ˙x = Ax, temos o amplamente conhecido n

  

Teorema 1.4. Dada uma matriz A ∈ GL n (R) e uma condição inicial x ∈ R , a solução

At

correspondente é única e dada por ϕ t (x ) = e x .

  Demonstração: Basta observar que A (t+h) At

  d e x − e x At (e x ) = lim h→ dt h At Ah At

  (e · e − e )x = lim h→ Ah h At At e − Id = e lim ( ) = e Ax , h→ d At At At h ou seja, (e x ) = e Ax , e, portanto, e x é uma solução do problema. dt

  Agora, suponha que x(t) seja uma outra solução para o problema de valor inicial e At defina y(t) := e x(t) . Assim, dy d dx − − At At

  = e x(t) + e dt dt dt

  − − At At

  = −Ae x(t) + e Ax(t) − At = e (−A + A)x(t) = 0.

  Isto significa que y é constante. Por fim, como y(0) = x(0) = x , então x(t) = y(t) para todo t ∈ R, o que garante que At x(t) = e x , ∀t ∈ R.

  Corolário 1.5. Dadas matrizes A A A A A A 1 e A 2 em M n (R), temos: 1 2 1 +A

2

2 1

  i) se A A = A A então e e = e = e e ;

  1

2 A A A

  2

  1 − − 1

1

  1 1 ) = e .

  ii) a matriz e é sempre inversível com (e Para o sistema de equações diferenciais não-homogêneo

  ˙x(t) = Ax(t) + Bu(t) m onde A ∈ M n (R) , B ∈ M n×m (R) e u : R −→ R é contínua por partes, temos que o problema de valor inicial

  ˙x(t) = Ax(t) + Bu(t) (1.2-1) x(0) = x , também admite única solução dada por At A (t−τ ) Z t + x(t) = e x e Bu(τ )dτ.

  De fato, se duas curvas x

  1 (t) e x 2 (t) são soluções de (1.2-1), então

  d (x (t) − x (t)) = ˙x (t) − ˙x (t) = (Ax (t) + Bu(t)) − (Ax (t) + Bu(t))

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  dt = Ax (t) − Ax (t)

  1

  2

  = A(x

  1 (t) − x 2 (t)),

  ou seja, x −x é solução de ˙x = Ax e portanto, pela unicidade demonstrada no teorema acima, segue que x

  1

  Bu(τ )dτ + e A

  Z t e A

  O mesmo procedimento pode ser realizado para o sistema afim ˙x(t) = Ax(t) + a, a ∈ R , x(0) = x , sendo que neste caso a solução é dada por x(t) = e At x +

  = A e At x + Z t e A (t−τ ) Bu(τ )dτ + Bu(t) = Ax(t) + Bu(t).

  =τ

  Bu(τ ) t

  (t−τ )

  

(t−τ )

  = x

  Z t Ae A

  Bu(τ )dτ = Ae At x +

  

(t−τ )

  Z t e A

  ˙x(t) = d dt e At x +

  2 . Além disso,

  (t−τ ) adτ.

  

CAPÍTULO 2

CLASSIFICAđấO TOPOLốGICA DE SISTEMAS

LINEARES

  O objeto de estudo deste capítulo será o sistema de equações diferenciais ordinárias n ˙x = Ax, com A ∈ M n (R) e x ∈ R . O propósito será estabelecer uma classificação topológica para tais sistemas com respeito a um certo tipo de conjugação, a qual será posterior- mente generalizada para sistemas de controle lineares. Para este capítulo, uma discus- são mais aprofundada e detalhada pode ser encontrada em Robinson [9].

2.1 Conjugação linear

  De agora em diante denotaremos a aplicação ϕ, definida no produto cartesiano R × M, aplicada em (t, x) por ϕ t (x) ao invés da notação clássica ϕ(t, x).

  É de suma importância nesta teoria o conceito de fluxo. Embora possa ser defi- nido de modo independente, tal objeto está intimamente relacionado com equações diferenciais, bem como com sistemas de controle.

  Dada um sistema de equações diferenciais n ˙x = Ax, x ∈ R , onde A ∈ M n (R) , dizemos que o fluxo do sistema é uma função n n

  ϕ : R × R → R satisfazendo n ϕ (x) = x, ∀x ∈ R e d

  ϕ t (x) = Aϕ t (x), n dt para x ∈ R e t ∈ R. Formalmente, num contexto mais geral temos a seguinte

  

Definição 2.1 (Fluxo). Dado um espaço métrico M, chamamos de fluxo em M a toda aplicação

  contínua ϕ : R × M → M que satisfaça

  (x) = x, para todo x ∈ M ; i) ϕ ii) ϕ t (ϕ s (x)) = ϕ t +s (x), para todos t, s ∈ R e x ∈ M. Se M for um espaço vetorial e ϕ for linear em M , dizemos que ϕ é um fluxo linear.

  Para podermos estudar a conjugação de sistemas de controle de maneira adequada, n devemos introduzir o conceito de família de trajetórias em R , que consiste meramente n de um conjunto Γ de aplicações ϕ : R → R . n

  Definição 2.2 (Conjugação). Dizemos que duas famílias de trajetórias Γ n n 1 e Γ 2 em R são

  → R

  conjugadas se existe uma bijeção H : R tal que

  ϕ ∈ Γ ⇐⇒ Hϕ ∈ Γ ,

  1

  1

  1

  2

  onde Hϕ

  1 (t) := H(ϕ 1 (t)). Se a bijeção H é um homeomorfismo, difeomorfismo ou isomorfismo, dizemos que a conjugação é topológica, diferencial ou linear, respectivamente. Alternativamente, podemos definir de modo independente a conjugação entre flu- xos, a saber, n

  

Definição 2.3 (Conjugação de fluxos). Dois fluxos ψ e ϕ em R são conjugados se existir

n n

  → R uma bijeção H : R tal que n H(ϕ t (x)) = ψ t (H(x)), ∀x ∈ R e ∀t ∈ R.

  Do mesmo modo como antes, a regularidade da bijeção caracteriza o tipo de conjugação (topoló- gica, diferencial e linear). n Observe que as soluções de ˙x = Ax definem um fluxo linear em R , n n

  ϕ : R × R −→ R At (t, x) 7−→ e x.

  De fato, A i) ϕ (x) = e x = x, At As A

  (t+s)

  ◦ ϕ (x) = e (e x) = e x = ϕ (x), ii) ϕ t s t +s At At At iii) ϕ t (αx + y) = e (αx + y) = αe x + e y = αϕ t (x) + ϕ t (y), n para todos x, y ∈ R e α, t, s ∈ R.

  Por trajetórias associadas a um sistema, entendemos as curvas-solução do sistema. Assim, dizemos que dois sistemas lineares são conjugados se os fluxos ou as famílias de trajetórias a eles associadas forem conjugadas. Note que não há ambiguidade, pois tanto o fluxo quanto as famílias de trajetórias são formadas a partir das soluções dos sistemas. Em outras palavras, os fluxos A t A t

  1 1

  2 2

  ϕ (x) = e x e ϕ (x) = e x t t são conjugados se, e somente se, as famílias

  1 n n

  Γ = {ϕ (x) : R → R |x ∈ R }

  1 e n n

  2

  Γ = {ϕ (x) : R → R |x ∈ R }

  2 i

  são conjugadas, onde as trajetórias ϕ (x) são também dadas pelas soluções do sistema n n correspondente. De fato, supondo que as famílias são conjugadas, seja H : R → R tal que

  1

  1

  ϕ ∈ Γ

  1 ⇐⇒ Hϕ ∈ Γ 2 . n

  1

  1

  2

  2

  1 Se Hϕ (x) ∈ Γ , temos que Hϕ (x) = ϕ (y) , para algum y ∈ R . Como Hϕ (x) = Hx,

  segue que Hx = y, o que nos dá

  1 2 n A t A t 1 Hϕ (x) = ϕ (Hx), ∀t ∈ R e ∀x ∈ R , 2 t t ou seja, os fluxos e x e e x são conjugados. A recíproca é imediata.

  Ao longo deste capítulo, conjugaremos sistemas pelos fluxos associados. Entre- tanto, para sistemas de controle nos apoiaremos inicialmente na noção de famílias de trajetórias.

  Observação: No que segue, denotaremos sistemas de equações diferenciais por Σ.

  O próximo resultado fornece-nos uma primeira classificação para sistemas lineares da forma ˙x = Ax, correspondente a conjugação linear.

  Teorema 2.4. Sejam Σ i : ˙x = A i x, i = 1, 2, sistemas lineares. Então, são equivalentes:

  i) Σ ∼ D Σ ;

  1

  2

  ∼ Σ ii) Σ

  1 L 2 ;

  iii) A é semelhante a A , D L

  1

  2 onde ∼ e ∼ denotam conjugação diferencial e linear, respectivamente. n n Demonstração: Se Σ ∼ L Σ , é óbvio que Σ ∼ D Σ , pois se H : R −→ R é linear

  1

  2

  1

  2

  1 e inversível, segue que tanto H como sua inversa H são diferenciáveis.

  Suponha que Σ ∼ D Σ e seja H o difeomorfismo correspondente, ou seja,

  1

  2 A t A t n 1 2 He x = e Hx, ∀t ∈ R e ∀x ∈ R . Derivando com relação a x, temos A t A t 1 2 DH| e = e DHx. e A1t x Defina T := DH(0) e note que A t A t A t A t 1 1 2 2 T e = DH(0)e = e DH(0) = e T, ou seja, Σ ∼ L Σ .

  1 A t A t 1

  2 2 Como T e = e T , segue também que A t A t 1

  1 2

  e = T e T, = logo, derivando a expressão acima em t e avaliando em t = 0 concluímos que A

  1

  1 T A T , ou seja, A e A são semelhantes.

  2

  1

  2

  = Por fim, suponha que as matrizes A

  

1 e A

2 sejam semelhantes, ou seja, que A

  1

  1 T A T para alguma T ∈ GL n (R) . Então,

  2

  2

  1

  2

  (A

  1 t) − T (A 2 t) T

  1 Id + A t + + · · · = Id + T (A t)T + + · · ·

  1

  2

  2! 2!

  2 (A t)

  2

  

1

  = T ( t + + · · · )T, Id + A

  2 − − k k 2!

  1

  1

  pois (T A tT ) = T (A t) T para todo k ∈ N. Isto significa que

  2

2 A t A t

  1 2 T e = e T.

  Portanto, os fluxos são linearmente conjugados, o que encerra a demonstração.

2.2 Conjugação topológica

  Em contrapartida ao que vimos na seção anterior, a conjugação topológica fornece um resultado de classificação mais forte, contudo mais elaborado. Em poucas palavras, tal classificação consistirá em avaliar a parte real dos autovalores das matrizes envolvidas, n

  os quais fornecem decomposições do espaço estado (R ) em subespaços invariantes, que denominaremos subespaços (ou subfibrados, como veremos no capítulo 5) estável e instável.

  

Definição 2.5 (Matriz hiperbólica). Seja A uma matriz real de ordem n × n. Dizemos que A

  é hiperbólica se todos os autovalores de A possuem parte real não-nula. Neste caso, a matriz A induz uma equação diferencial linear hiperbólica, ˙x = Ax.

  Definimos o subespaço estável associado a matriz A (e portanto ao sistema ˙x = Ax) como sendo a soma direta dos autoespaços generalizados gerados pelos autovalores

  com parte real negativa, denotando-o por L . De modo semelhante, L e L denotam os

  

subespaços central e instável obtidos como soma direta dos autoespaços generaliza-

dos correspondentes aos autovalores com parte real nula e positiva, respectivamente.

  Para classificar topologicamente os sistemas lineares, o resultado abaixo é de suma importância.

  

Teorema 2.6 (Norma Adaptada). Seja A uma matriz n × n real e considere a equação dife-

  rencial ˙x = Ax. São equivalentes: n i) Existe uma norma k · k A em R e uma constante a > 0 tal que para qualquer condição n inicial x ∈ R , a solução satisfaz At − ta ke xk A ≤ e kxk A , ∀t ≥ 0. n ii) Para toda norma k · k em R existem constantes a > 0 e C > 0 tais que para qualquer n condição inicial x ∈ R a solução satisfaz At at ∗ ∗ ke xk ≤ Ce kxk , ∀t ≥ 0. iii) As partes reais de todos os autovalores de A são negativas.

  Demonstração: Suponha inicialmente que i) seja válida. Como em espaços de

  dimensão finita duas normas quaisquer são sempre equivalentes, segue que existem constantes C

  1 , C 2 > 0 tais que ∗ ∗ C kxk ≤ kxk A ≤ C kxk . Então, para t ≥ 0, At At at

  1 1 − C − 2 at ke xk ≤ ke xk A ≤ e kxk A ≤ e kxk

  C C C C 2

  1

  1

  1 Tomando C = , obtemos ii). C 1 Para ver que iii) é válido sob a condição ii), suponha que exista um autovalor λ =

  α+iβ com α ≥ 0. Então existe uma solução para o autovetor correspondente v = u+iw da forma αt e [sin(βt)u + cos(βt)w], e esta solução não converge para 0 quando t → ∞, uma contradição. Logo, iii) é verificada.

  Por fim, suponha iii) e vamos provar i). Sejam a > 0 tal que Re(λ) < −a para todos os autovalores λ de A. Pode-se provar, devido à forma das soluções que para este a existe τ > 0 tal que At − at ke xk ≤ e kxk, ∀t > τ, sendo k · k a norma euclidiana ou qualquer norma fixada (cf. [9]).

  Defina Z τ as As kxk A := e ke xkds.

  Note que isto de fato define uma norma: Z τ as As as As kxk A = 0 ⇔ e ke xkds = 0 como τ > 0 e tanto e como e nunca se anulam, segue que kxk A = 0 ⇔ x = 0

  Também vale que Z τ as As n kxk A = e ke xkds ≥ 0, ∀x ∈ R e kαx + yk A = Z τ e as ke As (αx + y)kds

  = Z τ e as ke As αx + e As ykds

  e a

  ke A

  (n+1)τ

  e Au xkdu ≤

  Z τ t e a

  (u−t )

  e anτ ke Au xkdu + Z t e a

  (u+τ −t )

  (n+1)τ

  ke Anτ e Au xkdu + Z t e a

  ke Au xkdu =

  Z τ t e a

  (u−nτ −t )

  ke Au xkdu + Z t e a

  (u−nτ −t )

  ke Au xkdu =

  Z τ e a (u−nτ −t ) ke Au xkdu = e a

  (−nτ −t )

  (u+τ −t )

  (u−t )

  ≤ Z τ e as αke As xk + e as ke As yk ds

  = Z τ −t e as ke Anτ e A (t +s) xkds +

  = α Z τ e as ke As xkds +

  Z τ e as ke As ykds = αkxk A + kyk A

  Vamos provar que esta norma satisfaz o desejado. Seja t ≥ 0 e escreva t = nτ + t , com 0 ≤ t ≤ τ . Assim, ke At xk A =

  Z τ e as ke As e At xkds =

  Z τ e as ke As e A

  (nτ +t )

  xkds =

  Z τ −t e as ke Anτ e A (t +s) xkds + Z τ τ −t e as ke Anτ e A (t +s) xkds

  Z τ τ −t e as ke A (n+1)τ e A (t τ +s) xkds.

  Z τ t e a

  Fazendo a substituição u = t + s na primeira integral, u = t − τ + s na segunda e utilizando a estimativa anterior para ke Anτ xk , obtemos ke At xk A =

  Z τ −t e as ke Anτ e A

  (t +s)

  xkds + Z τ τ −t e as ke A

  (n+1)τ

  e A

  (t τ +s)

  xkds =

  Z τ e au ke Au xkdu = e at kxk A , o que conclui a demonstração.

  A classificação topológica para sistemas lineares que citamos no início do capítulo é dada nos dois próximos teoremas. Classificar sistemas do tipo ˙x = Ax consiste em olhar para a parte real dos autovalores da matriz A, ou seja, numa mesma classe de conjugação encontram-se todos os sistemas cujas matrizes possuem a mesma quan- tidade de autovalores com parte real negativa, nula e positiva. A classificação que apresentaremos levará em conta apenas o caso onde nenhum autovalor possui parte real nula, o caso geral pode ser encontrado em Kuiper [8]. No capítulo 4 apresentamos uma generalização deste resultado para sistemas de controle lineares.

  1 2 n Teorema 2.7. Sejam ϕ e ϕ dois fluxos em R dados por

1 A t

  1

  2 A t 2 ϕ (x) = e x e ϕ (x) = e x. t t

  Admita que os autovalores de A e A tenham todos parte real negativa. Então os dois fluxos

  1

  2

  lineares ϕ

  1 e ϕ 2 são topologicamente conjugados.

  Demonstração: Dada uma matriz A ∈ M n (R) , seja k · k A sua norma adaptada e n

  a ∈ R tal que At at n ke xk A ≤ e kxk A , x ∈ R , t ≥ 0.

  Para obter uma estimativa semelhante para tempo negativo, vamos analisar a desi- At n gualdade acima em e x ∈ R e −t, t ≤ 0. Temos A At a At

  (−t) (−t)

  ke e xk A ≤ e ke xk A , ou seja, At at n ke xk A ≥ e kxk A , x ∈ R , t ≤ 0.

  Agora, observemos que a aplicação At t 7→ ke xk A i) é contínua pela Proposição 1.3 e pela continuidade da norma; ii) é estritamente decrescente (e portanto injetora). De fato, dados s, t ∈ R, suponha, sem perda de generalidade que t > s. Então, At At As As a As As − −

  (t−s) ke xk A = ke e e xk A ≤ e ke xk A < ke xk A . n

  A partir de i) e ii), vemos que para cada x ∈ R não-nulo existe um único tempo τ (x) para o qual

  (x) ke xk = 1, (x) ou seja, e x ∈ S A , esfera unitária na norma adaptada k · k A .

  Isto define uma aplicação n τ : R − {0} −→ R x 7−→ τ (x).

  A aplicação τ satisfaz as seguintes propriedades i) Se kxk A = 1 , então τ(x) = 0;

ii) Se kxk A > 1 , então • τ (x) > 0 .

  De fato, se fosse τ(x) ≤ 0, teríamos Aτ aτ

  (x) (x)

  1 = ke xk A ≥ e kxk A > 1, contradição. a 1 • τ (x) ≤ ln kxk . A De fato, Aτ aτ

  (x) (x)

  ke xk A ≤ e kxk A aτ (x) ⇒ 1 ≤ e kxk A

  

(x)

  ⇒ e ≤ kxk A a 1 ⇒ τ (x) ≤ ln kxk . A

  < 1 , então • τ (x) < 0 .

iii) Se kxk A

  De fato, se fosse τ(x) ≥ 0, teríamos 1 = ke

  (x)

  xk A ≤ e

  (x)

  kxk A < 1, contradição.

  • τ (x) ≥ ln kxk
  • A 1 a .

      (x)

      x k ≤ ln ke

      por k · k A 1 e k · k A 2 . Sejam τ(x)

      2

      e A

      1

      Denotemos as normas adaptadas às matrizes A

      Portanto, τ assim como definimos é contínua.

      xk A 1 a = |ln 1| = 0.

      (x)

      x k k A 1 a k→∞ −→ ln ke

      (x)

      (x)

      kxk A ≤ ke

      Então, |τ (x k ) − τ (x)| = τ e

      |τ (x)| ≤ ln kxk A 1 a , ∀x ∈ R n − {0}.

      é contínua. Seja x k −→ x em R n − {0} . Temos que

      De fato, e

      (x) xk A = 1.

      De fato, e A (τ (x)−t) e At x A = ke Aτ (x) e At e At xk A = ke

      ⇒ ln kxk A 1 a ≤ τ (x). iv) τ e At x = τ (x) − t , ∀x ∈ R n − {0} .

      kxk A ≤ 1 ⇒ kxk A ≤ e aτ (x)

      (x)

      xk A ⇒ e

      (x)

      Isto permite-nos provar que a aplicação τ : R n − {0} −→ R e ˜τ(x) os únicos tempos para os quais A τ A τ 1 (x) ˜ (x) 2 ke xk A = 1 e ke xk A = 1, 1 2 respectivamente.

      Consideremos a aplicação h : S A → S A 1 2 x n dada por h (x) = . Como toda norma em R é contínua, torna-se evidente que kxk A 2 y

      1 h é um homeomorfismo com inversa dada por h (y) = .

      kyk A 1 Utilizando-nos de h e τ, podemos definir a aplicação n n H : R → R pondo

       A τ (x) A τ (x) 2 1  e h (e x), x 6= 0;

      H(x) =  0, x = 0.

      O resultado ficará demonstrado de pudermos mostrar que H é um homeomorfismo e que conjuga os fluxos em questão. Note que H é contínua em todos os pontos x 6= 0, posto que todas as aplicações envolvidas são contínuas. Verifiquemos que H é contí- nua na origem. n A τ 1 k Seja x k −→ 0 em R e denotemos por τ k o tempo para o qual ke x k k A = 1 . 1 Observe que τ k −→ −∞. De fato, não pode ocorrer τ k ≥ 0 , pois se fosse o caso teríamos A τ aτ 1 k k 1 = ke x k ≤ e kx k −→ 0, k A k A 1 1 o que é uma contradição. Assim, considerando τ ≤ 0, como para cada x 6= 0 a trajetória At e x intercepta apenas uma vez S A , são únicos o tempo τ k < 0 e o ponto y k ∈ S A tal 1 1 que A τ 1 k e x k = y k .

      Supondo também que |τ k | < M , para todo k ∈ N e para alguma constante M > 0, segue que (τ k ) possui uma subsequência convergente (τ k ) , digamos para τ . Como a i ) sequência correspondente (y k i está contida no compacto S A , garantimos a existência 1 de uma outra subsequência (y ki m ) tal que

      (y ki m ) −→ y, com y ∈ S A 1 . Por outro lado, como x ki m −→ 0 , segue que y ki m = e A 1 τ ikm x ik m −→ 0, nova contradição. Consequentemente, τ k −→ −∞ .

      Note que kh (e A 1 τ k x k )k A 2 = ke A 1 τ k x k k A 2 ke A 1 τ k x k k A 2 = 1, logo, kH(x k )k A 2 = ke A 2 τ k h (e A 1 τ k x k )k A 2

      ≤ ke A 2 τ k k A 2 kh (e A 1 τ k x k )k A 2 = ke A 2 τ k k A 2

      ≤ e a 2 τ k k→∞ −→ 0 e isto prova que H(x k ) −→ H(0) quando k −→ ∞, ou seja, H é contínua em x = 0.

      Para concluirmos que H é homeomorfismo, devemos mostrar que H é inversível. Mas isto realmente ocorre, basta definir

      H

      1

      (x) =    e − A 1

      ˜ τ (x)

      h

      1

      (e A 2

      ˜ τ (x)

      x), x 6= 0 0, x = 0.

      Como ˜τ(e A 2 t x) = ˜ τ (x) − t e h (e A 1 τ (x) x) ∈ S A 2 , temos ˜ τ (e A 2 τ (x) h (e A 1 τ (x) x)) = ˜ τ (h (e A 1 τ (x) x)) + τ (x) = τ (x). Assim, − − − A τ A τ

      1 1 (x) (x) 2 1

      (H ◦ H)(x) = H e h e x − −A2τ (x) A1τ(x) − − A τ ˜ e h e x A τ −A2τ (x) h A1τ(x) x A τ A τ 1

      

    1

    2 ˜ (e (e )) 2 (x) 1 (x)

      ( ( ))h

      = e e e h e x − − − A τ (x) 1

    1 A τ (x) A τ (x) A τ (x)

      2 2 1

      = e h e e h (e x) = x. A t 1

      1 A ˜ τ (x) 2 Como também vale que τ(e x) = τ (x) − t e h (e x) ∈ S A , segue que − − − A τ ˜ (x) 1 1

    1 A τ ˜ (x)

      2

      1 A τ ˜ (x) 2

      τ (e h (e x)) = τ (h (e x)) + ˜ τ (x) = ˜ τ (x), logo, − − − A τ A τ

      1 1 ˜ (x)

      1 2 ˜ (x)

      (H ◦ H )(x) = H e h e x A τ e −A1 ˜ h e A2 ˜ x A τ −A1 ˜ h A2 ˜ x − A τ − A τ 2 (e (e )) ˜ (x) τ −1 τ τ −1 τ (x) (x) (x) (x) 1 1 1 ˜ (x) 2 ( (

      = e ))h e e h e x − − − A τ A τ A τ A τ 2 ˜ (x) 1 ˜ (x) 1 ˜ (x)

      1 2 ˜ (x)

      = e h e e h (e x) = x.

      Portanto, H é um homeomorfismo. Resta apenas mostrar que tal homeomorfismo rea- liza a conjugação desejada. Vejamos: A t A τ (e x ) A τ (e x ) A t 1 − A1t A1t 2 1 1 H(e x) = e h e e x A A A t 2 (τ (x)−t) (τ (x)−t) 1 1 = e h e e x A t A τ A τ 2 2 (x) 1 (x)

      = e e h e x A t 2 = e H(x), como queríamos demonstrar.

      n

      1

      2 Teorema 2.8. Sejam ϕ e ϕ dois fluxos em R dados por A t A t

      1 1

      2 2 ϕ (x) = e x e ϕ (x) = e x. t t

      Admita que os autovalores de A e A tenham todos parte real não-nula e que os subespaços estáveis de A

      1 e A 2 tenham a mesma dimensão (consequentemente, os subespaços instáveis

      também têm mesma dimensão). Então os dois fluxos lineares ϕ e ϕ são topologicamente

      1

      2 conjugados.

      Demonstração: Observe inicialmente que se dois sistemas com matrizes A e A ,

      1

      2

      cujos autovalores têm todos parte real positiva, então como a parte real dos autovalores A t 1 de −A A t 2 1 e −A 2 são todas negativas, segue do teorema anterior que os fluxos e e A t A t 1 2 e são topologicamente conjugados, ou seja e e e são também topologicamente conjugados. A t A t 1 2 − −

      Com isto, se restringirmos os fluxos e e e aos subespaços L e L , respecti- A A 1 2 vamente, vemos que existe uma conjugação − − − h : L −→ L A A 1 2 1 2

    • A t A t

      entre e − e e − . Do mesmo modo, restringindo os fluxos a L e L , garanti- L L A A 1 2 A1 A2 mos a existência de uma conjuação

    • A t A t 1 2 h : L −→ L A A 1 2 entre os fluxos e e e . Considerando as projeções + + L L A1 A2

      − −

      n

        π : R −→ L A 1 e n

      • + +

      • n π : R −→ L , A 1 vemos que qualquer x ∈ R pode ser escrito como +

          x = π (x) + π (x)

          e, portanto, as duas conjugações combinadas produzem uma conjugação no espaço estado todo, a saber, n n H : R −→ R − −

          x 7−→ h π (x) + h π (x) Como os fluxos são lineares, vemos facilmente que H define uma conjugação: A t A t A 1 − − 1 1 t

          H(e x) = h π (e x) + h π (e x) − − A + 1 + t t A 1 L L

        • + = h e π (x) + h e π (x)
        • A 2 t A t A1 A1 − − 2

            = e − h π (x) + e h π (x) + L L A t − − A2 A2 2 + + = e x h π (x) + h π (x) A t 2 = e x (H(x)) .

            Definimos a inversa de H simplesmente considerando as projeções nos subespaços estável e instável da matriz A . A continuidade de ambas segue imediatamente da

            2 continuidade das funções envolvidas.

          2.3 Classificação topológica de sistemas afins

            Vamos agora generalizar para sistemas afins do tipo n ˙x = Ax + a, A ∈ GL n (R), a ∈ R (2.3-1) o que já foi feito para sistemas homogêneos. Desta vez, porém, exigimos que A seja inversível, para que em alguns momentos tenhamos a garantia de existência de um ponto de equilíbrio.

            Muitas das demonstrações serão breves dada a semelhança com o que já foi feito. Um estudo mais detalhado deste tipo de sistemas pode ser encontrado em [11].

            Observe que para tais sistemas, a solução n n Φ : R × R −→ R , dada por t At A (t−τ ) Z

            Φ t (x) = e x + e adτ, n também define um fluxo sobre R . Em verdade, Φ é contínua pelo Teorema de Ca- rathéodory, n Φ (x) = x, ∀x ∈ R e t A A Z +s

            (t+s) (t+s−τ )

            Φ t (x) = e x + e adτ

          • s t t
          • A A A Z +s Z (t+s) (t+s−τ ) (t+s−τ )

              = e x + e adτ + e adτ t A A A Z s Z t

              (t+s) (s−τ ) (t+s−τ )

              = e x + e adτ + e adτ = Φ t (Φ s (x)) . n

              

            Definição 2.9 (Ponto fixo). Um ponto e ∈ R é chamado de ponto fixo (ou equilíbrio) da

              equação (2.3-1) se Φ (e ) = e , ∀t ∈ R. t Será de fundamental importância ao longo desta seção o seguinte resultado.

              

            Proposição 2.10. Suponha A ∈ M n (R) estável, isto é, todos seus autovalores têm parte real

              negativa. Então existe um único ponto fixo, e , para a equação (2.3-1). Além disso, para todo n x ∈ R temos que Φ t (x) −→ e quando t −→ ∞.

              

            Demonstração: Como 0 não é autovalor de A, segue que A ∈ GL n (R) . Portanto,

              0 = Ae + a

              1

              ⇔ e = −A a. Mas como t At A Z

              (t−τ )

              e = e e + e adτ, n obtemos que para qualquer x ∈ R t t At A At A Z Z

              (t−τ ) (t−τ )

              kΦ t (x) − e k = e x + e adτ − e e − e adτ At t→∞ = e (x − e ) −→ 0, pelo Teorema da Norma Adaptada. A unicidade segue à maneira clássica, sem ne- nhuma dificuldade.

              O teorema a seguir fornece-nos o equivalente ao Teorema 2.4, referente à conjugação linear.

              Teorema 2.11. Considere os fluxos Φ e Ψ associados aos sistemas

              ˙x = A

              1 x + a 1 e ˙x = A 2 x + a 2 , A 1 , A 2 ∈ GL n (R),

              respectivamente. São equivalentes: i) Os fluxos Φ e Ψ são diferencialmente conjugados; ii) Os fluxos Φ e Ψ são linearmente conjugados;

              1 iii) Existe T ∈ GL n (R) tal que A = T A T e T a = a .

              1

              2

              1

              2 Demonstração: Assim como no Teorema 2.4, ii) evidentemente implica i). Suponha

              que para alguma T ∈ GL n (R) valha

              

            1

            A = T A T = a .

              1 2 e T a

              1

              2 Observe que a primeira igualdade ocorre se, e somente se, A t A t 1 2

              1

              e = T e T , ou seja, − − A t A t

              1 1 2

              1 T e = e T .

              Defina a aplicação (evidentemente linear) n n h : R −→ R

              1 x 7−→ T x. Veja que t t A t A A t A Z Z 1 1 (t−τ ) 1 (t−τ ) 1 1 h e x + e a dτ = T e x + e a dτ

              1

              1 − − A t A Z t

              1 1

              1 1 (t−τ )

              = T e x + T e a dτ t

              1 A t − − Z 2

              1 A (t−τ ) 2

              1

              = e T x + e T a dτ t

              1 A t A

              Z 2 2 (t−τ ) = e h(x) + e a dτ,

              2 ou seja, os fluxos são linearmente conjugados.

              Por outro lado, se supormos os fluxos linearmente conjugados, com isomorfismo n n h : R −→ R , temos t t A t A (t−τ ) A t A (t−τ ) 1 Z Z 1 2 2 h e x + e a dτ = e h(x) + e a dτ. (2.3-2)

              1

              2 Derivando com respeito a x, obtemos A t A A t A t 1 Z t 1 (t−τ ) 1 2 Dh e x + e a dτ e = e Dh(x).

              1

              1 Como h é isomorfismo de espaços vetoriais, defina T := Dh(0) e veja que

            1 A t A t A t A t

              1 1 2 2

              1 T e = Dh(0)e = e Dh(0) = e T ,

              de onde

              1 A 1 = T A 2 T .

              Além disso, a linearidade de h juntamente com (2.3-2) implica que − − A t A A t A Z t Z t

              1 1 1 (t−τ ) 2

              1 2 (t−τ )

              T e x + e a

              1 dτ = e T x + e a 2 dτ,

              ou seja, t t t − − − Z A A t A t A A Z Z

              1 1 (t−τ ) 2

              1

              1

            1

            2 (t−τ ) 2 (t−τ ) T e a dτ = e T x − T e x + e a dτ = e a dτ.

              1

              2

              2 Assim, para todo t, t t A t A τ A Z Z 2 2 2 (t−τ ) e e a dτ = e a dτ

              2 t

              2 Z A 1 (t−τ ) 1

              = T e a dτ

              1 − − A t A τ Z t

              1 1 1

              = T e e a

              1 dτ A t A τ 2 − − Z t

              1 1

              = e T e a dτ t

              1 A t

              Z − − 2

              1 A τ 1

              = e T e a dτ t

              1 A t A τ

              Z − − 2 2

              1 = e e T a dτ. − − − − A t A t

              1 2 2

              1

              1 Logo, e a 2 = e T a 1 para todo t, portanto, a 2 = T a 1 .

              Suponha agora que os fluxos são diferencialmente conjugados, com difeomorfismo n n h : R −→ R . Sejam e

              1 e e 2 os pontos fixos de

              ˙x = A x + a e ˙x = A x + a ,

              1

              1

              2

              2

              respectivamente. Diferenciando A t A A t A 1 Z t Z t 1 (t−τ ) 2 2 (t−τ ) h e x + e a

              1 dτ = e h(x) + e a 2 dτ

              com respeito a x, obtemos A t A A t A t 1 Z t 1 (t−τ ) 1 2 Dh e x + e a 1 dτ e = e Dh(x).

              Calculando em x = e e definindo H := Dh(e ) , vem

            1 A t A

              1

              1 2 He = e H.

              Por fim, diferenciando novamente em t e calculando em t = 0, obtemos HA

              1 = A 2 H .

              Um cálculo análogo ao feito acima nos dá ii). Sendo h um difeomorfismo, segue que H = Dh(e ) é isomorfismo e, portanto, conjugação linear.

              1 Para classificar sistemas afins, tal como antes, precisamos garantir a existência da norma adaptada, que será dada no próximo teorema, cuja demonstração segue as mes- mas linhas gerais do Teorema 2.6. Observe apenas que se Φ t (x) é solução de ˙x = Ax+a, A ∈ GL (R) n , então

              Φ t (x) − e

              1

              é solução de ˙x = Ax, com valor inicial x − e , onde e = −A a é o ponto fixo do sistema afim, isto é, d

              Φ t (x) = AΦ t (x) − Ae + a dt

              1 = AΦ (x) − AA a + a = AΦ (x). t t Para a equivalência entre ii) e iii), cf. Teorema 2.2 em [11]. n

            Teorema 2.12. Seja Φ o fluxo associado ao sistema afim ˙x = Ax + a, A ∈ GL n (R), a ∈ R e

              1

              = −A a o único ponto fixo do sistema. Então, são equivalentes: seja e n n i) Existe uma norma k · k A em R e α > 0 tais que para todo x ∈ R αt kΦ t (x) − e k A ≤ e kx − e k A , ∀t ≥ 0; n n ii) Para toda norma k · k em R existem α > 0 e C > 0 tais que para todo x ∈ R αt kΦ t (x) − e k ≤ Ce kx − e k, ∀t ≥ 0; iii) Todo autovalor de A tem parte real negativa.

              Para encerrar este capítulo, os dois próximos resultados, tal como na seção anterior, fornecem a classificação topológica para sistemas afins, apresentando inicialmente o caso estável e, em seguida, o caso hiperbólico.

              Teorema 2.13. Sejam Φ e Ψ fluxos correspondentes aos sistemas

              ˙x = A x + a e ˙x = A x + a ,

              1

              1 n

              2

              2

              respectivamente, com A

              1 , A 2 ∈ GL n (R) e a 1 , a 2 ∈ R . Se todos os autovalores de A 1 e A 2 têm parte real negativa, então os fluxos Φ e Ψ são topologicamente conjugados.

              Demonstração: Observe que existem únicos pontos fixos e 1 e e 2 para os sistemas

              ˙x = A x + a e ˙x = A x + a ,

              1

              1

              2

              2

              respectivamente, e que pelo Teorema 2.7, os fluxos A t A t 1 2 e x e e x n n são topologicamente conjugados via um homeomorfismo h : R −→ R . n Além disso, para cada x ∈ R , Φ t (x) − e é solução de

              

            1

              ˙x = A x

              1

              x(0) = x − e

              1 ,

              bem como Ψ t (x) − e é solução de

              2

              ˙x = A

              2 x x(0) = x − e .

              2 Portanto, A t A t 1 2

              Φ t (x) − e

              1 = e (x − e 1 ) e Ψ t (x) − e 2 = e (x − e 2 ).

              Como h é conjugação, vale que A t A t A t 1 2 2 h e (x − e ) = e h(x − e ) = e (h(x − e ) + e − e ) ,

              1

              

            1

              1

              2

              2

              que pode ser reescrito como h (Φ t (x) − e

              

            1 ) = Ψ t (h(x − e

            1 ) + e 2 ) − e 2 . (2.3-3)

              Defina n n H : R −→ R x 7−→ h(x − e ) + e .

              1

              2 Assim, de (2.3-3) temos H (Φ t (x)) = Ψ t (H(x)) .

              Finalmente, como h é homeomorfismo o mesmo é válido para H, o que conclui a de- monstração.

              O próximo resultado nos dá a classificação topológica para sistemas afins hiperbó- licos. A grosso modo, a demonstração segue os mesmos moldes do Teorema 2.8 e, por este motivo, será feita com poucos detalhes.

              Teorema 2.14. Sejam Φ e Ψ fluxos associados com

              ˙x = A x + a x + a ,

              1 1 e ˙x = A

              2 n

              2 respectivamente. Suponha que A , A ∈ GL n (R), a , a ∈ R e que A e A sejam hiperbólicas.

              1

              2

              1

              2

              1

              2 Nestas condições, os fluxos Φ e Ψ são topologicamente conjugados se, e somente se, as dimensões

              dos subespaços estáveis de A

              1 e A 2 forem iguais.

              Demonstração: Note que são possíveis as decomposições n n

            − −

              R = L ⊕ L e R = L ⊕ L . A A A A 1 1 2 2 Considerando as projeções

            • n n
            • A A A A<
            • π : R −→ L : R −→ L , − −
            • 1 1 e π 1 n 1<
            • n
            • π : R −→ L e π : R −→ L , A A A A
            • 2 2 2 2 e os “subsistemas” ˙x = A| x + π a L A 1

                1 A1

                e ˙x = A| x + π a L A 2

                2 A2

                nos subespaços estáveis e

              • +

                ˙x = A| x + π a L A 1

                1 e

              • +

                ˙x = A| x + π a L A 2

                2 A2

                nos subespaços instáveis, segue do teorema anterior que existe uma aplicação de con- jugação − − − h : L −→ L A A 1 2 para os subsistemas estáveis e, revertendo o tempo nos subsistemas instáveis, garanti- mos a exitência da conjugação

              • + + +

                h : L −→ L .
              • A A 1 2 Como cada solução de ˙x = A i x + a i é escrita como soma de soluções dos subsistemas respectivos, segue que podemos definir a conjugação topológica entre Φ e Ψ por − −<
              • H(x) := h π (x) + h π (x) .
              • A A 1 1 Isto encerra a demonstração.

                  

                CAPÍTULO 3

                ÍNDICES DE KRONECKER E A FORMA CANÔNICA DE

                BRUNOVSKÝ

                  Neste capítulo apresentamos, a partir de um detalhado estudo do artigo [12], os ali- cerces para a classificação topológica de sistemas de controle lineares que menciona- mos. Em síntese, associaremos ao par de matrizes (A, B) de um sistema de controle linear uma lista finita de números naturais, os Índices de Kronecker de (A, B), o que possibilitará definir em poucos passos um par de matrizes nilpotentes que servirá de representante canônico para as classes de equivalência módulo a equivalência de feed- back. Além disso, mostraremos que os índices de Kronecker satisfazem propriedades que garantem que o número de classes de equivalência sob a equivalência de feedback é finito, o que simplifica, por exemplo, um estudo qualitativo de tais sistemas.

                3.1 Sistemas de controle lineares e controlabilidade

                  Um sistema de controle é dado por i) um espaço estado M, que é uma variedade C de dimensão n; m ii) um conjunto de valores de controle U ⊂ R e um conjunto de funções de controle admissíveis

                  U = {u : R −→ U, localmente integrável}; iii) uma dinâmica ˙x = X(x, u(t)), que é dada por uma família de equações diferenciais dependendo dos controles, sendo que para cada u ∈ U X u : x 7−→ X(x, u) seja um campo de vetores C .

                  De agora em diante, lidaremos com sistemas de controle lineares da forma Σ : ˙x = X(x, u) , n X(x, u) = Ax + Bu, t ≥ 0, (3.1-1) sendo o espaço estado R , e as funções de controle u ∈ U m u : R −→ R localmente integráveis. Como o sistema é unicamente determinado por A e B, faremos a identificação do mesmo com o par ordenado de matrizes (A, B) ∈ M n (R) × M n×m (R) .

                  Se x(0) = x , temos que t At A (t−s) Z

                • x(t) = e x e Bu(s)ds, t ≥ 0, é solução do sistema (3.1-1). De modo mais geral, se x(t ) = x , A (t−t ) A (t−s)

                  Z t + x(t) = e x e Bu(s)ds, t ≥ 0, t ≥ 0. t Denotemos por ϕ t (x , u) a correspondente solução do sistema Σ, i.e., t At A (t−s) Z ϕ (x , u) = e x e + t Bu(s)ds. n

                  

                Definição 3.1 (Ponto atingível). Dizemos que um ponto x ∈ R é atingível a partir de x

                se existirem t e u, com 0 &lt; t &lt; ∞ e u ∈ U de modo que ϕ t (x , u) = x. n

                  Inicialmente, denotemos por R o conjunto de todos os pontos de R que são atin- gíveis a partir da origem. Verifica-se sem dificuldades, utilizando a linearidade da

                  n

                  integral, que R é um subespaço vetorial de R . Os dois próximos resultados propor- cionarão uma boa caracterização do espaço R . n n n

                Lema 3.2. Sejam V ⊂ R um subespaço vetorial e A : R → R uma aplicação linear.

                  Denotemos por hA|Vi o menor subespaço A-invariante contendo V. Nestas condições, é verdade que n−

                  1

                  hA|Vi = V + AV + · · · + A V.

                  Demonstração: Note primeiramente que, de fato, existe um menor subespaço A- n

                  invariante contendo V, pois R é A-invariante contendo V e a interseção de todos os subespaços com estas caracteristicas ainda as preserva. n Agora, note que a A-invariância de V garante-nos que A V ⊂ hA|Vi , qualquer que seja n ∈ N. De fato, n− n V ⊂ hA|Vi ⇒ AV ⊂ hA|Vi,

                  1

                  e se A V ⊂ V ⊂ hA|Vi , então A V ⊂ AV ⊂ hA|Vi , como queríamos. Disto obtemos n−

                  1

                  que V + AV + · · · + A V ⊂ hA|Vi. Para concluir a demonstração devemos apenas n−

                  1

                  garantir que V + · · · + A V é A-invariante, pois a minimalidade de hA|Vi assegurará a igualdade. Seja χ A o polinômio característico de A, i.e., χ A (x) = det( Idx − A) = n n−

                  1

                  x + a n− x + · · · + a x + a , com coeficientes a i ∈ R . Pelo Teorema de Cayley-

                  1

                  1 Hamilton (cf. [7]) temos que n n−

                  

                1

                  χ (A) = A + a A + · · · + a A + a A n−

                  1

                  1 Id = 0,

                  ou seja, n n−

                  1 A = −a n− A − · · · − a A − a Id. (3.1-2)

                  1 n−

                  1

                  1 Agora, dado x ∈ V + AV + ... + A

                  V , temos que n−

                  1 x = x + Ax + ... + A x n− .

                  1

                  1 Usando (3.1-2) temos que n

                  2 Ax = Ax + A x 1 + ... + A x n−

                  1 2 n−

                  1

                  = Ax + A x + ... + (−a n− A − ... − a A − a Id)x n−

                  1

                  1

                  1

                  1

                  n−

                  1

                  = −a x + A(x − a x ) + ... + A (x − a x ) n−

                  1 n− 1 n− 1 n− 2 n− 1 n−

                  1

                  1

                  ∈ V + AV + ... + A V, o que conclui a demonstração.

                  Nosso intuito é descrever R em termos de A e B apenas. Para isso, vamos conven- n−

                  1

                  cionar a notação B := ImB. Ao conjunto hA|Bi = B + AB + · · · + A B daremos o nome de subespaço de Kalman associado ao par (A, B). Para maiores esclarecimentos acerca da teoria utilizada na demonstração do próximo teorema, vide o Apêndice A.

                  = hA|Bi.

                  Teorema 3.3. Com as definições acima, temos que R Demonstração: Seja x ∈ R . Então existem t ∈ R e u ∈ U tais que x = ϕ t (0, u) . Note

                  que para todo s ∈ [0, t] n

                  X A (t−s) n (t − s) e Bu(s) = A Bu(s) ∈ hA|Bi, n n!

                  =0

                  logo Z t A (t−s) x = e Bu(s)ds ∈ hA|Bi, pela própria definição da integral de Riemann.

                  Afirmação:

                  hA|Bi = ImW t , t &gt; 0, (3.1-3) onde t t Z Z As A s As T A s T

                  W t := e BB e ds = e BB e ds, n n ′ ′ sendo que W t é vista como aplicação de R em R e A e B são as aplicações duais a A e B (cf. Apêndice A). Como W t é simétrica, provar (3.1-3) equivale a provar hA|Bi = ker W , t &gt; 0. t

                  Se x ∈ ker W t , então x W t x = 0 , e assim Z t Z t Z t ′ ′ ′ ′ ′ As A s A s A s A s ′ ′ ′ ′ x e BB e xds = hB e x, B e xids = |B e x|ds = 0. Logo, ′ As x e B = 0, 0 ≤ s ≤ t.

                  Diferenciando e calculando em s = 0 repetidas vezes, obtemos x B = 0 x BA = 0

                  

                2

                  x BA = 0 n− ...

                  

                1

                  x BA = 0, n− ⊥ ⊥

                  1

                  o que nos mostra que x ∈ (B + AB + · · · + A B) = hA|Bi . Se x ∈ hA|Bi , revertendo os passos acima obtemos x W t x = 0 , e, como W t ≥ 0 , t segue que x ∈ ker W , pelo Teorema Espectral. Isto prova a afirmação. n Agora, seja x ∈ hA|Bi e fixe t &gt; 0. Então x = W t y , para algum y ∈ R , o que conclui

                  = ker W t a demonstração da igualdade hA, Bi . Escolhendo A

                  (t−s)

                  u(s) = B e y, 0 ≤ s ≤ t, vemos que t Z A (t−s) x = W t y = e Bu(s)ds = ϕ t (0, u), i.e., x ∈ R , o que conclui a demonstração.

                  n

                  O subespaço R = hA|Bi ⊂ R é dito ser o subespaço controlável do par (A, B), ou, como já dissemos, o subespaço de Kalman do par (A, B). Descrevemos R como n sendo o menor subespaço de R A -invariante que contém ImB. n n Agora, sejam ¯ X = R /R , P : R → ¯ n X a projeção canônica, ¯ A a aplicação induzida em ¯

                  X por A e denote ¯x := P x, x ∈ R . Como P B = 0 (pois ImB ⊂ R ), segue que o sistema Σ/R (projeção de Σ) é dado por Σ/R : ˙¯ x(t) = ¯ A¯ x(t). (3.1-4) Note que, pela construção utilizada na demonstração do Teorema 3.3, x ∈ R implica que para todo t &gt; 0 existe u ∈ U tal que x = ϕ t (0, u) . At Observe também que x é atingível a partir de x se, e somente se, x − e x ∈ R . At De fato, x − e x ∈ R se, e somente se, existem t ∈ R e u ∈ U tais que At A Z t

                  (t−s)

                  x − e x = e Bu(s)ds, ou seja, t At A Z

                  (t−s) n + x = e x e Bu(s)ds.

                  Disto também se conclui que x ∈ R é atingível a partir de x se, e somente se, ¯x = At ¯ e x ¯ , para algum 0 &lt; t &lt; ∞.

                  Isto sugere a seguinte definição:

                  

                Definição 3.4 (Par controlável). Dizemos que o par (A, B) é controlável quando o subespaço

                n n de Kalman a ele associado coincide com todo o R , i.e., hA|Bi = R .

                  Como consequência da discussão realizada, fica evidente que (A, B) é controlável n−

                  1

                  se, e somente se, a matriz [B AB · · · A B] , formada pela justaposição das matrizes i A B , tem posto n. Damos a ela o nome de matriz de Kalman de (A, B). De agora em c diante, denotaremos o conjunto dos pares controláveis por S , e o conjunto de todos n,m os pares de matrizes de ordens n × n e n × m, por S n,m .

                  Observe que t Z As A s

                  W t = e BB e ds n é simétrica positiva definida para todo t &gt; 0. Dado x ∈ R e fixado t &gt; 0, defina ′ − A At

                  (t−s)

                  1 u(s) := B e W (x − e x ), 0 ≤ s ≤ t. t

                  Com isto, temos t At A (t−s) A (t−s) Z ′ −

                  1 At

                  ϕ t (x , u) = e x e BB e W (x − e + x )ds At At At At t

                  1 = e x + W t W (x − e x ) = e x + x − e x = x. n t n

                  Ou seja, todo ponto x ∈ R pode ser atingido a partir de qualquer x ∈ R em qualquer intervalo de tempo positivo. Por esta razão, podemos simplificar a notação de R para

                  R , apenas.

                  Suponha agora que no sistema usual Σ : ˙x(t) = Ax(t) + Bu(t), t ≥ 0, modifiquemos a função de controle, escolhendo n m u(t) = F x(t) + v(t), t ≥ 0, onde F : R → R é arbitrária e v ∈ U é um novo controle. Tal tipo de mudança é chamado de mudança de feedback no sistema. É imediato verificar que a mudança de feedback equivale a substituir o par (A, B) pelo par (A + BF, B).

                  O próximo resultado nos garante que controlabilidade é uma propriedade invari- ante por isomorfismos no espaço estado e mudanças de feedback. De agora em diante, i n vamos denotar por R os seguintes subespaços de R : i i−

                  1 n n m m n m R := B + AB + · · · + A B.

                  → R → R → R

                  

                Proposição 3.5. Sejam T : R e G : R isomorfismos e F : R uma

                  transformação linear arbitrária. Então i i − − −

                  1

                  1

                  1

                  (T AT, T BG) = T R (A, B), i = 1, . . . , n; (i) R i i (ii) R (A + BF, B) = R (A, B), i = 1, . . . , n.

                  Demonstração: (i) Observe que para todo i = 1, . . . , n − 1 temos i i

                  X − i − − i −

                  X

                  1

                  1

                  1

                  1 k k (T AT ) Im(T BG) = (T AT ) T Im(BG) =1 =1 i

                  X − − i

                  1

                  1

                  = T A T T Im(BG) k

                  =1 i i

                  X − − i i

                  X

                  1

                  1

                  = T A A B. k k ImB = T − − − − =1 =1 i

                  1

                  1

                  1

                  B) , segue que R (T AT, T BG) =

                  1 Como além disso temos que Im(T BG) = Im(T i

                1 T R (A, B) .

                  (ii) Vamos provar inicialmente que

                  B + (A + BF )X = B + AX , n n m para quaisquer que sejam X ⊂ R subespaço e F : R → R linear. De fato, como BF X ⊂ B , segue que B + (A + BF )X ⊂ B + AX . Formalmente, x ∈ B + (A + BF )X ⇔ x ∈ B + AX + BF X

                  X X

                  X ⇔ x = + + α i b i β i x i γ i b i onde b i ∈ B , x i ∈ AX , b ∈ BF X formam bases e α i , β i e γ i são escalares. Como b ∈ B i i para todo i, podemos escrever a última igualdade como X

                  X x = α + b β x ∈ B + AX . i i i i n A inclusão contrária é imediata, posto que BF X é subespaço vetorial de R . De fato, x ∈ B + AX ⇔ x = v + w, v ∈ B, w ∈ AX

                  ⇔ x = v + w + 0, v ∈ B, w ∈ AX , 0 ∈ BF X ⇒ x ∈ B + AX + BF X = B + (A + BF )X , o que prova a igualdade desejada. Para concluir o resultado, denote ˜ A = A + BF .

                  Assim, temos i i n−

                  1 R (A + BF, B) = R ( ˜

                  A, B) = B + ˜ AB + · · · + ˜ A B = B + ˜ A(B + ˜ A(· · · (B + ˜ AB)) · · · ) n−

                  1

                  = B + AB + · · · + A B i = R (A, B), como queríamos demonstrar.

                  n n m m n m Corolário 3.6. Sejam T : R → R → R → R

                  e G : R isomorfismos, F : R qualquer c

                  aplicação linear e (A, B) ∈ S . Então n,m − − c

                  1

                  

                1

                  (T AT, T BG) ∈ S n,m e c (A + BF, B) ∈ S . n,m

                  Demonstração: Basta observar que os subespaços de Kalman correspondentes são iguais ao subespaço de Kalman de (A, B).

                  3.2 Índices de Kronecker

                  Índices de Kronecker (ou índices de controlabilidade) são sequências finitas de núme- ros naturais que servem de “rótulo” para certas classes de equivalência no conjunto dos pares de matrizes controláveis.

                  Um índice de Kronecker nada mais é que uma partição de um número n ∈ N.

                  

                Definição 3.7 (Partição). Uma partição de um número natural n em r partes é uma sequên-

                  , κ , . . . , κ ) tal que cia finita κ = (κ

                  1 2 r

                  κ ≥ κ ≥ · · · ≥ κ r &gt; 0 e κ + κ + · · · + κ r = n

                  1

                  2

                  1

                  2 c

                  Particionaremos o conjunto de pares (A, B) controláveis, S , em classes de equi- n,m valência. Como veremos, cada classe será unicamente determinada por seu índice de Kronecker, o que faz com que a quantidade de classes seja relativamente pequena. De c fato, em S o número de classes será dado exatamente pela quantidade de partições n,m para as quais r ≤ m. Por exemplo, se n = 4 e m = 2, temos exatamente 3 classes de equivalência, correspondentes aos índices (4), (3, 1) e (2, 2).

                  A forma canônica citada, chamada forma de Brunovský, é definida com base numa partição de n, como segue:

                  

                Definição 3.8 (Forma de Brunovský). Se κ = (κ , . . . , κ r ) é uma partição de n, com r ≤ m,

                  1

                  ,

                  1

                  1

                  = B e R n = R , o subespaço de Kalman do par (A, B).

                  Defina λ i = dim

                  R i R i−

                  1

                  e vamos mostrar que λ = (λ

                  , λ

                  Note que R := {0}

                  2

                  , . . . , λ n ) define uma partição de n. Para verificar tal fato, consideremos o seguinte resultado:

                  Proposição 3.9. Para quaisquer subespaços S ⊂ R ⊂ R n

                  e qualquer aplicação linear A : R n

                  → R n , vale que dim R S

                  = dim AR AS

                  R ∩ ker A S ∩ ker A

                  , R

                  1 B, i = 1, 2, . . . , n.

                  então o par (A κ , B κ ) tal que

                          onde A κ i ∈ M κ i (R) e b κ i ∈ M κ i ×

                  A κ ∈ M n (R) e B κ ∈ M n×m (R) são dados por A κ =

                         

                  A κ 1 · · · A κ 2 · · · ... ... ... ...

                  · · · A κ r         e

                  B κ =         b κ 1 · · · b κ 2 · · ·

                  ... ... ... ... 0 · · · b κ r

                  1 (R) são da forma

                  R i = B + AB + · · · + A i−

                  A κ i =         0 1 0 · · ·

                  0 0 1 . .. ...

                  ... ... ... ... 1 0 0 0 · · ·         e b κ i =

                          ...

                  1        

                  , é chamado Forma Canônica de Brunovský relativa à partição κ.

                  Vamos agora definir os índices de Kronecker formalmente. Para isso, seja (A, B) ∈ S c n,m e consideremos os subespaços R i associados ao par (A, B), i.e.,

                • dim

                  n

                  e, se T ⊂ R , R R + T R ∩ T dim = dim + dim .

                  S S + T S ∩ T

                  Demonstração: Dados dois espaços S ⊂ R, sabemos, pelo Teorema do Núcleo e da

                  Imagem que R dim = dim (R) − dim (S) .

                  S R De fato, basta considerar a projeção canônica π : R → . Do mesmo modo, vale que

                  S AR dim = dim (AR) − dim (AS) ,

                  AS e que R ∩ ker A dim = dim (R ∩ ker A) − dim (S ∩ ker A) .

                  S ∩ ker A Considerando as restrições AR e AS e aplicando novamente o Teorema do Núcleo e da Imagem, temos que dim(AR) = dim(R) − dim(R ∩ ker A) dim(AS) = dim(S) − dim(S ∩ ker A).

                  Logo, AR dim = dim(R) − dim(R ∩ ker A) − dim(S) + dim(S ∩ ker A)

                  AS = dim(R) − dim(S) − [dim(R ∩ ker A) − dim(S ∩ ker A)] , ou seja,

                  AR dim(R) − dim(S) = dim + [dim(R ∩ ker A) − dim(S ∩ ker A)] AS

                  R AR R ∩ ker A dim = dim + dim .

                  S AS S ∩ ker A Para a segunda igualdade, observe que dim(R + T ) = dim(R) + dim(T ) − dim(R ∩ T ) e que R + T dim = dim(R + T ) − dim(S + T ).

                  S + T Sendo assim,

                  R + T dim = dim(R + T ) − dim(S + T ) S + T = dim(R) − dim(S) + [dim(S ∩ T ) − dim(R ∩ T )] .

                  Logo, R R + T R ∩ T dim = dim + dim

                  S S + T S ∩ T Para mostrarmos que λ = (λ , λ , . . . , λ n ) constitui uma partição, observe que para os i

                  1

                  2 i i +1

                  espaços R definidos anteriormente, vale B + AR = R , e também i i i ∩ ker A

                  R AR R dim = dim + dim . i− i− i−

                  1

                  

                1

                  1 R AR R ∩ ker A

                  Mas como pela proposição anterior i i i  +1  z }| { R i + AR   AR ∩ B

                  B AR

                    dim = dim + dim , i− −1 i− i

                  1

                  1 B

                • +  

                  AR AR AR ∩ B | {z } R i segue que i i i i

                • 1

                  R R AR ∩ B R ∩ ker A dim = dim + dim + dim . i− i i− i−

                  1

                  1

                  1 R R AR ∩ B R ∩ ker A

                  Isto é, i i AR ∩ B R ∩ ker A

                  λ i = λ i + dim + dim ,

                • 1 i− i−

                  1

                  1 AR ∩ B R ∩ ker A

                  de onde concluímos que λ n n n 1 ≥ λ i 2 ≥ · · · ≥ λ n . E como

                  X X

                  1

                  X R i i−

                  λ i = dim = dim(R ) − dim(R ) = dim(R) = n, i−

                  1 i =1 i =1 i =1 R concluímos que λ é, de fato, uma partição de n.

                  

                Definição 3.10 (Índices de Kronecker). O índice de Kronecker (ou os índices) do par (A, B)

                é dado por κ = (κ , κ , . . . , κ r ), onde κ i é o número de λ j ’s maiores ou iguais a i.

                • 1
                • 1
                • κ

                  1

                  2

                  · · · A n−

                  1

                  b m        

                  , onde b i a A j b i denotam a i-ésima coluna da matriz B e A j B , respectivamente. Em ¯ R , vamos trocar cada vetor A j b i , j = 0, 1, . . . , n − 1, i = 1, . . . , m por um sinal, 1 ou 0, de acordo com a seguinte regra: Olhamos para a matriz ¯ R pelas linhas, ou seja, na ordem b

                  1

                  , b

                  2

                  , . . . , b m , Ab

                  1

                  , . . . , Ab m , . . . , A n−

                  b

                  

                1

                  1

                  , . . . , A n−

                  1

                  b m (3.2-5) O vetor A j b i será trocado por 1 se for linearmente independente dos anteriores em (3.2-5), caso contrário o trocamos por 0. Após isto, obtemos uma matriz da forma

                  ¯ R =

                           1 1 1 1

                  · · · 1 1

                1

                1 · · · 1 1 · · · ..

                  .

                  .. .

                  

                ..

                .

                  .. . ... ... 1 · · ·

                          

                  b

                  1 A n−

                  Como já dissemos, κ deve formar uma partição de n. Para provar isto, observe inicialmente que κ i ≥ κ i

                  2 + · · · + κ r = n.

                  , i = 1, 2, . . . , n. De fato, não pode ocorrer κ i

                  &gt; κ i , pois todo λ j maior ou igual a i + 1 é também maior ou igual a i. Logo, κ

                  1

                  ≥ κ

                  2 ≥ · · · ≥ κ r .

                  Para concluir que κ é partição de n, temos a seguinte

                  Proposição 3.11. Dado (A, B) ∈ S c n,m

                  , então κ = (κ

                  1 , κ 2 , . . . , κ r ), obtido a partir da partição

                  λ, é tal que κ

                  1

                  Demonstração: Observe inicialmente que o espaço de Kalman de (A, B) de dimen-

                  b

                  são n é gerado pelos vetores que constituem a matriz ¯

                  R =         b

                  1

                  b

                  

                2

                  · · · b m Ab

                  1 Ab

                  

                2

                  · · · Ab m ... ...

                  ...

                  ... A n−

                  1

                  Observe que, como os vetores A j b i geram o espaço de Kamlman de (A, B), então o

                  R número total de uns na matriz ¯ é exatamente n, pois, por controlabilidade, temos que j n span{A b i | j = 1, . . . , n − 1, i = 1, . . . , m} = R . j Além disso, abaixo de zeros existem somente zeros. De fato, se substituímos A b i por 0, então j i −

                  1 m

                  1 j j j

                  X X

                  X j i i + A b i = α ij A b i α ij A b i

                  

                =0 =1 =1

                  Logo, para qualquer k = 1, . . . , n − j , temos " − # j −

                  1 m i

                  1 j +k k j j

                  X X

                  X j i i + A b i = A α ij A b i α ij A b i j

                − −

                =0 =1 =1

                1 m i

                  1 X

                  X j j

                  X

                • k +k
                • j i i + = α ij A b i α ij A b i j

                  =0 =1 =

                • k e, portanto, A b i deve ser substituído também por zero.

                  Agora, note que a quantidade de uns na i-ésima linha de ¯ R é dada por λ i . De fato, i−

                  1

                  os vetores que geram R são exatamente aqueles representados por uns na primeira i até a linha (i − 1) de ¯ R . Do mesmo modo, os vetores que geram o espaço R são estes citados mais aqueles da i-ésima linha que são linearmente independentes dos mesmos. i i−

                1 Assim, vemos que λ i = dim R − dim R é dado precisamente pela quantidade de uns

                  na i-ésima linha de ¯ R . Desta forma, k i é o número de linhas nas quais a quantidade de 1’s é maior ou igual a i. Como a quantidade de 1’s em cada linha não aumenta e se o simbolo 0 aparece em uma coluna o restante das entradas também serão 0, segue que k é a quantidade de 1’s na coluna com quantidade máxima destes, k a quantidade de

                  1

                  2

                  1’s na coluna com a segunda maior quantidade de 1’s e assim sucessivamente. Como a quantidade total de números 1 em ¯ R é o número de elementos de uma base do espaço de Kalman, e este tem dimensão n, segue que k + k + ... + k r = n .

                  1

                  2 Observação: Podemos definir índices de Kronecker para pares não controláveis

                  exatamente pelo mesmo procedimento, exceto pelo fato de que neste caso os índices particionam a dimensão do subespaço de Kalman, dim R, ao invés de particionar a dimensão do espaço estado todo, n.

                  Exemplo 3.12. Sejam n = 6 e m = 3 e consideremos o par (A, B) dado por

                2 B = [e

                  6

                  , e

                  2

                  , e

                  

                1

                  = [e

                  6

                  , R

                  5

                  , R

                  4

                  ], R

                  5

                  , e

                  , e

                  , e

                  4

                  , e

                  3

                  , e

                  2

                  , e

                  1

                  = B + AB + A

                  3

                  R

                  3

                  , e

                  4

                  = 5 − 3 = 2, λ

                  = 2 e

                  2

                  = 3 , κ

                  1

                  Ou seja, a partição auxiliar é λ = (3, 2, 1). Assim sendo, temos que κ

                  4 = λ

                5 = λ

                6 = 0.

                  = 6 − 5 = 1, λ

                  2

                  − dimR

                  3

                  = dimR

                  3

                  1

                  = B + AB = [e

                  − dimR

                  2

                  = dimR

                  2

                  = 3, λ

                  1

                  = dimR

                  1

                  Com isto, λ

                  6 ].

                  , e

                  5

                  2 , e 3 , e 4 , e 5 , e 6 ],

                  2

                  A =           0 1 0 0 0 0

                  , R

                  , e

                  4

                  , e

                  3

                  , e

                  2

                  , e

                  1

                  . Seja {e

                  6

                  e R

                  5

                  4

                  , e

                  , R

                  3

                  , R

                  2

                  , R

                  1

                  , que é a forma canônica de Brunovský dada pela partição κ = (3, 2, 1). Calculemos o índice de Kronecker de (A, B). Para isto, devemos determinar inicialmente a partição inicial λ, o que é possível conhecendo-se a dimensão dos subespaços R

                           

                  0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1

                            0 0 0

                            e B =

                  0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

                  5

                  6

                  ], R

                  ], A

                  6

                  , e

                  5

                  , e

                  3

                  = B = [e

                  1

                  Assim, R

                  6 B = {0}.

                  

                5

                B = A

                  4 B = A

                  3 B = A

                  1

                  } a base canônica de R

                  ], A

                  4

                  , e

                  2

                  ], AB = [e

                  6

                  , e

                  5

                  , e

                  

                3

                  . Verifica-se sem dificuldades que B = [e

                  6

                2 B = [e

                  κ

                  , e

                  5

                  , e

                  4

                  , e

                  3

                  , e

                  2

                  1

                  6 ].

                  = [e

                  6

                  , R

                  5

                  , R

                  4

                  , R

                  , e

                  Logo, λ

                  R

                  , λ

                  3 = 3.

                  = 2 e κ

                  2

                  = 2, κ

                  1

                  Assim sendo, vemos que κ

                  6 = 0, isto é, λ = (3, 3).

                  5

                  1

                  , λ

                  4

                  , λ

                  3

                  = 3, λ

                  2

                  = 3, λ

                  3

                  1 , e 2 , e 3 , e 4 , e 5 , e 6 ]

                  3

                            .

                  ] AB = [e

                  6

                  , e

                  4

                  , e

                  

                2

                  Vamos calcular o índice de Kronecker de (A, B). Neste caso, temos B = [e

                  1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1

                  , e

                            0 0 0

                            e B κ =

                  0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

                            0 1 0 0 0 0

                  relativa à partição κ = (2, 2, 2), ou seja, A κ =

                  

                Exemplo 3.13. Considerando ainda n = 6 e m = 3, seja a forma canônica de Brunovský

                  = 1 , isto é, o índice de Kronecker do par (A, B) é κ = (3, 2, 1).

                  

                1

                  3

                  = B + AB = [e

                  = B = [e

                  2

                  ] R

                  6

                  , e

                  4

                  , e

                  2

                  1

                  , e

                  Portanto, R

                  6 B = {0}.

                  5 B = A

                  4 B = A

                  3 B = A

                  2 B = A

                  ] A

                  5

                  E o índice de Kronecker de (A κ , B κ ) é κ = (2, 2, 2).

                3.3 A F-equivalência, ou equivalência de feedback

                  c

                  Vamos agora tratar da relação que fornece a partição de S em classes de equivalência n,m c mencionada, a chamada equivalência de feedback. Considere S o conjunto de todos n,m os pares (A, B) controláveis, ou seja, tais que n−

                  1

                  dim(B + AB + · · · + A B) = n. c Por uma questão de conveniência, podemos considerar (A, B) ∈ S como um ele- N n,m

                  2

                  mento p ∈ R , N = n + nm . Agora, introduzimos um conjunto G de transformações N g em R , definidas por − −

                  

                1

                  1 gp := g(A, B) := (T (A + BF )T, T BG).

                  Isto é, cada g ∈ G é representada por uma terna distinta de matrizes n mn m 2 2 (T, F, G) ∈ R × R × R , onde T e G são isomorfismos. Ao elemento g ∈ G daremos o nome de transformação

                  de feedback. c c Segue diretamente da Proposição 3.5 que se (A, B) ∈ S e g ∈ G, então g(A, B) ∈ n,m S . n,m c

                  Com isto, fica claro que S é invariante pela ação de G, i.e., n,m c c c [ G S = gS = S . n,m n,m n,m g∈G

                  Munimos G com uma estrutura de grupo de transformações, com regra de compo- sição

                  1

                  g ◦ g = (T T , F + G F T , G G ),

                  2

                  1

                  1

                  2

                  1

                  1

                  2

                  1

                  2

                  1

                  elemento identidade Id = (Id n , 0, Id m ), e elemento inverso − − − −

                  1

                  1

                  1

                  1 c g = (T , −G F T, G ). c

                  Agora, seja (A, B) ∈ S . O conjunto G(A, B) = {g(A, B) | g ∈ G} ⊂ S é n,m n,m chamado órbita de (A, B) sob G.

                  Definição 3.14 (F-equivalência). Dois pares (A, B) e ( ˜

                  A, ˜

                  B) são ditos F-equivalentes (ou

                  feedback equivalentes ) se (A, B) e ( ˜

                  A, ˜ B) pertencem à mesma órbita. c Como sabemos, as órbitas particionam S em subconjuntos disjuntos. Assim, n,m c temos realmente uma relação de equivalência em S . n,m

                3.4 F-equivalência e índices de Kronecker

                  As próximas três proposições nos mostram como associar índices de Kronecker com a F-equivalência definida. c

                  Proposição 3.15. Se dois pares controláveis (A, B), ( ˜

                  A, ˜

                  B) ∈ S são F-equivalentes, então n,m estes possuem os mesmos índices de Kronecker.

                  Demonstração: Basta observar que os índices de Kronecker de um par (A, B) são i

                  obtidos pelas dimensões dos espaços R . Como, pela Proposição 3.5, as dimensões de tais espaços são invariantes pela F -equivalência, segue-se imediatamente que pares F -equivalentes possuem os mesmos índices de Kronecker.

                  As demonstrações das duas próximas proposições, apesar de longas e trabalhosas, são extremamente simples. Excetuando-se extensos cálculos matriciais, os artifícios utilizados em cada passo são constituídos de ideias pouco elaboradas. Recomenda-se uma leitura que priorize o entendimento global das demonstrações. c

                  

                Proposição 3.16. Se (A, B) ∈ S tem índice de Kronecker κ = (κ , κ , . . . , κ r ), então

                n,m

                  1

                  2 (A, B) é F-equivalente à forma canônica (A κ , B κ ) definida por κ.

                  Demonstração: O que faremos será mostrar que existe uma sequência finita de

                  transformações de feedback que associam o par (A, B) ao par (A κ , B κ ) . O resultado seguirá então por transitividade. c

                  , κ , . . . , κ ) Seja (A, B) ∈ S com índice de Kronecker κ = (κ n,m

                  1 2 r e consideremos

                  novamente a matriz   b

                  1 b 2 · · · b m

                     

                  Ab Ab · · · Ab m

                  1

                  

                2

                    ¯

                    R = .   ...

                  ... ... ...     n− n− n−

                  1

                  

                1

                  1 A b A b · · · A b m

                  1

                  2 Inicialmente, multiplicamos B por uma matriz de permutação V 1 (evidentemente

                  inversível) que rearranje as colunas de B de tal modo que, ao montarmos a matriz ¯

                  R , a quantidade de uns nas colunas da mesma, tal como já fizemos, passe a ser não crescente, i.e., a coluna com mais uns passa a ser a primeira e assim por diante. Por simplicidade continuamos denotando BV apenas por B, assim como suas colunas por

                  1

                  b i . A transformação de feedback g ∈ G correspondente é dada por

                  1 g = (Id n , 0, V ).

                  1

                  1 Note que (como já observamos na Proposição 3.11) o número de uns na i-ésima

                  coluna de ¯ R agora é representado por κ i . Além disso, os vetores κ − − − 1 1 κ 2 1 κ r

                  1

                  b , Ab , . . . , A b , b , . . . , A b , . . . , b r , . . . , A b r

                  1

                  1

                  1

                  2

                  2 n agora são linearmente independentes, portanto formam uma base de R . κ i

                  Observe que, pelo fato de A b i ser o primeiro 0 da i-ésima coluna, podemos escre- ver r κ i κ κ i k

                  X X

                  X A b i α ij A b j = − α ijk A b j i i κ j&lt;i j =1 k

                • =1

                  ou seja, ! r i κ κ i κ i k

                  X X

                  X A b + i α ij b j = − α ijk A b j (3.4-6) j&lt;i j

                  =1 k =1

                  O próximo passo é simplificar a expressão acima multiplicando, para isso, a matriz B por outra matriz inversível V

                  2 , resultando em novas colunas

                  X ˜ + b i := b i α ij b j , i = 1, . . . , r e ˜b i := b i para i &gt; r. j&lt;i

                  1−k b j , . . .

                  X j =1 α rj

                  1

                  b

                  2

                  = A

                  13

                  e

                  1 b j ,

                  2 = Ab r + r

                  =1

                  X j =1 α 2j1 b j , . . . , e r

                  22 = Ab 2 +

                r

                  X j =1 α 1j1 b j , e

                  12 = Ab 1 + r

                  = b r , e

                  1

                  , . . . , e r

                  

                2

                  X j

                  2 X k =1

                  21

                  α rjk A

                  α ijk A κ i

                  1 X k =1

                  =1

                κ

                i

                  X j

                  b i + r

                  1

                  e iκ i = A κ i

                  2−k b j , . . .

                  2 X k =1

                  α

                  =1

                  X j

                  = Ab r + r

                  3

                  b j , . . . , e r

                  2−k

                  A

                  1jk

                  = b

                  , e

                  Tal matriz é dada por

                  20 0 · · ·

                  1                    

                  · · · 0 · · ·

                  ... ... ... ... ... ... ... ...

                  0 · · · · · · 1 0 · · · · · · 1 · · · ...

                  (r−1)0

                  ... ... ... ... ... ... ... ... α r

                  1 ...

                  0 · · · 1 α 320 · · · α r

                  

                2

                  10

                  · · · α r

                  310

                  α

                  210

                  =                     1 α

                  2

                  V

                  Deste modo, continuando a denotar BV

                  ainda por B, vemos que 3.4-6 passa a ser escrita como A κ i b i + r

                  1

                  1

                  = b

                  11

                  Desta forma, e

                  1 := b i .

                  α ijk A l− 1−k b j ; e i

                  1 X k =1

                  X j =1 l−

                  b i + r

                  A seguir, para cada i = 1, . . . , r e l := 1, . . . , κ i , definimos os vetores e il := A l−

                  X j

                  2 ).

                  = (Id n , 0, V

                  2

                  g

                  2 ∈ G equivalente é

                  A este estágio, a transformação de feedback g

                  X k =1 α ijk A κ i k b j = 0, com novos coeficientes α ijk , naturalmente.

                  =1 κ i

                • r

                  Considerando a base k k 1 1 b , ..., b λ , Ab , .., Ab λ , ..., A b , ..., A b λ n

                  1 1

                  1

                2

                1 r

                  de R , vemos que e il é escrita na forma da matriz ¯ R , e que e il é uma combinação linear envolvendo somente o elemento de posição i, l desta matriz, com coeficiente 1, e os elementos das linhas acima. Logo, ao dispormos os coeficientes das combinações lineares que fornecem e il em forma matricial, obteremos uma matriz triangular inferior com 1’s na diagonal, que é inversível. Daí se vê que os vetores e il são linearmente independentes.

                  Isto faz com que a matriz T := [e , e , . . . , e , e , . . . , e , . . . , e rκ r , . . . , e r ]

                  1κ 1 1(κ 1 1) 11 2κ 2

                  21

                  1

                  seja inversível. Observe agora que " # r l− r l−

                  1

                  1 l− l− l l−k

                  X X

                  X X

                  1 1−k j =1 k j =1 k + Ae = A A + il b i α ijk A b j = A b i α ijk A b j = r l r r =1 =1 l l−k

                  X X

                  X X = A b + i α ijk A b j − α ijl b j = e i − α ijl b j

                j k j j

                (l+1) =1 =1 =1 =1 se l &lt; κ i

                  e, consequentemente, para l = κ i r κ i r r κ κ k i i

                  X X

                  X X Ae iκ i i α ijk A b j − α ijκ i b j = − α ijκ i b j = A b + j =1 k j =1 j =1

                  =1

                  Sabendo disto, observe que AT = A[e , e , . . . , e , e , . . . , e , . . . , e rκ , . . . , e r ]

                  1κ 1 1(κ 1) 1 11 2κ

                2

                21 r

                  1

                  = [Ae , Ae , . . . , Ae , Ae , . . . , Ae , . . . , Ae rκ r , . . . , Ae r ]

                  1κ 1 1(κ 1 1)

                11 2κ

                2

                  21

                  1

                  = T ˜

                  A, onde   A A A A A · · · A 11 21 12 1r 22 2r · · ·

                    ˜

                    A = , .. .. ..

                   ...  A A A rr r . . . 1 r

                2

                · · ·

                  com     · · · · · ·

                  1 · · · · · ·

                          .. .. .. .. .. ..     A ii = ... e A ji = ...

                  . . . . . .

                          · · · · · · − − · · · − − − · · · − α iiκ i α α ii α ijκ i α α ij ii i (κ −1) (κ −1)

                  1 1 ij i 1 De maneira similar, como e i = b i , então B = T ˜ B , sendo que

                  1

                      ˜b

                  1 0 · · · 0 ∗ · · · ∗

                          0 ˜b · · · 0 ∗ · · · ∗

                      ˜

                      B = , onde ˜b i =

                  2 ...

                      ... ... ... ... ... ... ...         0 · · · ˜b r ∗ · · · ∗ n×m κ

                  1 i ×

                  1 Tais cálculos sugerem a próxima transformação de feedback g ∈ G ,

                  3

                  g = (T, 0, Id m ),

                  3

                  aplicada, é claro, ao par (A, BV

                  1 V 2 ) já obtido, o qual insistimos por chamar de (A, B).

                  Observe que as matrizes − −

                  1

                  1 T AT e T B

                  1

                  diferem das matrizes desejadas A κ e B κ apenas por algumas poucas linhas (em T AT )

                  1 e colunas (em T B ) não nulas. Vejamos como eliminá-las.

                  1 Na matriz T B , note que as últimas m − r colunas (possivelmente não nulas) de-

                  pendem linearmente das r primeiras (pois o posto de B é r). Assim, podemos aplicar uma mudança de base V no espaço dos valores de controle para zerá-las, isto é, com uma determinada transformação de feedback g ∈ G ,

                  4

                  g = (Id n , 0, V ),

                  4

                  obtemos a forma desejada para a segunda matriz do par. Ainda resta zerar as linhas

                  1

                  não nulas de T AT que a diferem da forma canônica. Para isto, consideremos a matriz

                  B κ recém obtida e a matriz de ordem m × n F =

                  ... ... ... ... 0 · · · b κ r

                  Demonstração: Isto se verifica por meio de um cálculo direto. Vejamos explicita-

                  mente tal procedimento. O par canônico é dado por A κ =

                         

                  A κ 1 · · · A κ 2 · · · ... ... ... ...

                  · · · A κ r         n×n e B κ =

                          b κ 1 · · · b κ 2 · · ·

                          n×m

                  1 AT, B κ ) , obtemos o resultado desejado.

                  , onde A κ i e b κ i são da forma A κ i =

                          0 1 0 · · · 0

                  0 0 1 ... ...

                  ... ... ... ... 1 0 0 0 · · · 0         κ i × κ i e b κ i =

                          ...

                  1         κ i ×

                  Proposição 3.17. Dada κ = (κ 1 , κ 2 , . . . , κ r ), r ≤ m, uma partição de n, então a forma canô- nica de Brunovský defnida por κ tem índice de Kronecker exatamente κ.

                  = (Id n , F, Id m ) ao par (T

                        α 11κ 1 α 11(κ 1 −1) · · · α 111 α 21κ 2 · · · α 211 · · · α r r α r 1(κ r −1) · · · α r 12κ 11 α 1 α 12(κ 1 −1) · · · α 121 α 22κ 2 · · · α 221 · · · α r r α r 2(κ r −1) · · · α r 21 ..

                  .. .

                  .

                  .. .

                  ...

                  .. .

                  .. .

                  

                ...

                  ...

                  5

                  .. .

                  .. .

                  ...

                  .. . α 1rκ 1 α 1r(κ 1 −1) · · · α 1r1 α 2rκ 2

                · · ·

                α 2r1 · · · α rrκ r α rr r −1) · · · α rr 1 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

                        com as primeiras r linhas representadas acima e últimas m − r linhas arbitrárias (indi- cadas pelos asteriscos). Aplicando a transformação de feedback g

                  5

                  ∈ G, g

                  1 .

                  = (κ r − 1)r + (r − 1) dim R κ r +2 = (κ r − 1)r + 2(r − 1) ...

                  e, particularmente, A κ i κ B κ =

                  = r + r ... dim R κ r

                  2

                  = r dim R

                  1

                  B κ anula- se. Tendo realizado tais potências e produtos matriciais, resta apenas avaliar o posto de tais matrizes, que fornecem-nos o índice de Kronecker desejado. Temos dim R

                  1 . Portanto, A κ 1 κ

                  b κ i

                  1

                  , onde o último bloco-coluna não nulo na diagonal é A κ i κ i

                  · · · 0 0 · · ·        

                  A j κ 1 b κ 1 · · · 0 0 · · · A j κ 2 b κ 2 · · · 0 0 · · · ... ... ... ... ... ... ...

                         

                  ,

                  Observemos que A j κ =

                         

                  ... ... ... ... · · · A j κ r b r 0 · · ·

                  ...

                  A j κ 1 b κ 1 · · · 0 · · · A j κ 2 b κ 2 · · · 0 · · · ... ...

                  A j κ B κ =        

                  , para 1 ≤ j &lt; κ i e A κ i κ i = h i κ i × κ i , sendo que na matriz coluna A κ i j b κ i , o 1 encontra-se na entrada κ i − j . Veja ainda que dim(A κ i ) = κ i −1 e dim(A j κ i ) = κ i −j , onde dim(·) denota o posto da matriz em questão. Além disso,

                  1

                             κ i ×

                  1 ...

                  , A j κ i b κ i =            ...

                  · · · A j κ r        

                  A j κ 1 · · · A j κ 2 · · · ... ... ... ...

                         

                • 1

                • 1
                • 1

                  B) ∈ S c n,m e suponha que estes tenham os mesmos índices de Kronecker, digamos κ = (κ

                  = 2 λ κ 2

                  = 1, λ κ 2

                  = 1, . . . , λ κ 1 = 1 λ κ 1 +1 = 0 = · · · = λ n .

                  Assim, uma simples contagem nos mostra que o índice de Kronecker do par (A κ , B κ ) é κ = (κ

                  1

                  , κ

                  2 , . . . , κ r ) .

                  Proposição 3.18. Sejam dois pares (A, B), ( ˜

                  A, ˜

                  1

                  = r − 2, λ κ r−1

                  , κ

                  2

                  , . . . , κ r ). Então (A, B) e ( ˜

                  A, ˜

                  B) são F- equivalentes.

                  Demonstração: Pela proposição anterior, segue que

                  (A, B) ∼ (A κ , B κ ) e ( ˜

                  A, ˜

                  B) ∼ (A κ , B κ ), onde ∼ denota a F-equivalência. Por transitividade, segue que (A, B) ∼ ( ˜

                  = r − 2, . . . , λ κ r−2 = r − 2, . . . λ κ r−i = r − i, . . . λ κ 3

                  λ κ r−1

                  A, ˜ B).

                  1

                  dim R κ r−1 +1 = (κ r − 1)r + (κ r−

                  1

                  − κ r )(r − 1) + (r − 2) ... dim R κ r−i

                  = (κ r − 1)r + · · · + (κ r−i − κ r−

                  (i−1)

                  )(r − i) + (r − (i + 1)) ... dim R κ 1

                  = (κ r − 1)r + (κ r−

                  1

                  − κ r )(r − 1) + · · · + (κ

                  − κ

                  = r, . . . , λ κ r = r, λ κ r +1 = r − 1, λ κ r +2 = r − 1, . . . , λ κ r−1 = r − 1

                  2

                  )(r − r + 1) e isto nos dá a partição preliminar λ = (λ

                  1

                  , . . . , λ n ) : λ

                  1

                  = r, λ

                  2

                  = r, λ

                  

                3

                • 1
                • 1
                • 1 = 2, λ κ
                • 3 +2 = 2, . . . , λ κ 2<
                • 1
                • 2

                  

                CAPÍTULO 4

                CLASSIFICAđấO TOPOLốGICA DE SISTEMAS DE

                CONTROLE LINEARES

                  Temos agora ferramentas suficientes para classificar topologicamente sistemas de con- trole lineares. Provaremos que dois destes sistemas são topologicamente conjugados se, e somente se, possuirem os mesmos índices de Kronecker, mesma inércia e as ma- trizes geradoras da parte não controlável dos sistemas forem semelhantes. Em outras palavras, o que faremos será generalizar a classificação presente no capítulo 2 para sis- temas de controle, pois o que entendemos por parte não controlável de um sistema nada mais é que um sistema de equações diferenciais homegêneo, sendo a inércia de uma matriz uma terna de naturais que representam a quantidade de autovalores com parte real negativa, nula e positiva, respectivamente.

                  Antes de expor a principal definição deste capítulo, façamos um pequeno esclare- cimento quanto a notação a ser adotada ao longo desta etapa. n Vamos utilizar letras minúsculas para identificar vetores, por exemplo, x ∈ R

                  e, diferentemente do restante do texto, caracteres em negrito para identificar trajetórias dependentes do tempo, por exemplo, n

                  

                x : R → R

                t 7→ x(t).

                  A letra grega maiúscula Σ continuará identificando sistemas de controle lineares, bem como os conjuntos de trajetórias por estes determinados.

                  Estas observações são importantes pois em certos momentos, durante o texto, tais objetos confundem-se a ponto de serem quase indistintos, isto é, podemos entender como sistema tanto uma equação do tipo ˙x = Ax + Bu quanto o conjunto de trajetórias por ela determinada. Do mesmo modo, na maioria dos casos, os vetores serão simples- mente valores pontuais de trajetórias, embora não especificado no decorrer do texto. Os principais resultados deste capítulo foram originalmente estudados em [12].

                4.1 Conjugação topológica, diferencial e linear

                  

                Definição 4.1 (Conjugação). Diremos que dois sistemas Σ e Σ , definidos por ˙x = A x+B u

                n

                  1

                  2

                  1 n n

                  1

                  e ˙x = A

                  2 x + B 2 u em R são conjugados

                1 ∼ Σ

                2 ) quando existir uma bijeção S : R → R

                  de modo que

                x ∈ Σ ⇔ Sx ∈ Σ , ∀t ∈ R.

                  1

                  1

                  

                1

                  2

                  ∼ T Σ ) se S for homeomorfismo, Os sistemas Σ

                  1 e Σ 2 são topologicamente conjugados

                  1

                  2

                diferencialmente conjugados (Σ ∼ D Σ ) se S for difeomorfismo e linearmente conjuga-

                  1

                  2 dos (Σ 1 ∼ L Σ 2 ) se S for linear. n

                  Note que consideramos Σ i definindo uma família de trajetórias em R do seguinte modo n Σ i := { x : R → R | x abs. contínua e ∃u : R → U t.q. ˙x = A i x + B i u q. s.} n

                  Observação: Uma aplicação x : R → R é dita absolutamente contínua se para todo n

                  ǫ &gt; 0 existir δ &gt; 0 tal que, se {(a i , b i )} é uma família de intervalos disjuntos, com i n =1 X i (b i − a i ) &lt; δ,

                  =1

                  então n

                  X i =1 k x(a i ) − x(b i )k &lt; ǫ. n Seja Σ um sistema definido em R e R o subespaço de Kalman associado, i.e., o n menor subespaço A-invariante de R que contém B. Seja agora o espaço quociente n n n

                  R /R = {x/R; x ∈ R } A /R

                  . Consideremos a aplicação ¯ induzida em R por A e Σ/R n a projeção do sistema Σ em R /R , i.e., Σ/R : ˙¯x = ¯ A¯ x. n

                  

                Proposição 4.2. Sejam S e S subespaços quaisquer de R e assuma que Σ ∼ Σ , com bijeção

                  1

                  2 n

                  1

                  2

                  /S ) = Sx /S ∈ R /S ∼ Σ /S correspondente S. Suponha que S(x

                  1

                  1

                  1 2 , ∀x 1 . Então Σ

                  1

                  1

                  2 2 com

                  bijeção correspondente S , n n S : R /S −→ R /S

                  1

                  2 x /S 7−→ Sx /S .

                  1

                  1

                  1

                  2

                Demonstração: Devemos provar que S é uma bijeção e que preserva trajetórias. n

                  Suponha Sx /S = Sy /S em R /S . Note que

                  1

                  2

                  1

                  2

                  2 Sx 1 /S 2 = Sy 1 /S

                2 ⇔ S(x

                1 /S 1 ) = S(y 1 /S 1 )

                  Como S é bijeção, segue que x /S = y /S . De fato,

                  1

                  1

                  1

                  

                1

                − −

                  1

                  1 S(x /S ) = S(y /S ) ⇔ S S(x /S ) = S S(y /S),

                  1

                  1

                  1

                  1

                  1

                  1 n n

                  1

                  e fica provada a injetividade. Dado qualquer x /S ∈ R /S , temos que x ∈ R . Sendo n

                  2

                  2

                  2

                  2 S bijeção, existe x ∈ R tal que Sx = x . Logo, S (x /S ) = Sx /S = x /S , o que

                  1

                  1

                  2

                  1

                  1

                  1

                  2

                  2

                  2 prova ser S sobrejetiva.

                  Por fim, dado x /S ∈ Σ /S , podemos assumir x ∈ Σ . Isto significa que Sx ∈ Σ

                  1

                  1

                  1

                  1

                  1

                  1

                  1

                  2

                  e, portanto, Sx /S ∈ Σ /S . Como, por definição S (x /S ) = Sx /S , obtemos o

                  1

                  2

                  2

                  2

                  1

                  1

                  1

                  2

                  resultado, i.e., x /S ∈ Σ /S ⇔ S (x /S ) ∈ Σ /S .

                  1

                  1

                  1

                  1

                  1

                  1

                  2

                  2 Verifica-se sem dificuldades que propriedades como linearidade, continuidade e diferenciabilidade são preservadas por S .

                  

                Proposição 4.3. Seja Σ : ˙x = Ax + Bu. Então, x ∈ B se, e somente se, para M &gt; kx k e

                  1

                  1 T &gt; 0 existe x T ∈ Σ satisfazendo:

                  (t)k ≤ M, ∀t ∈ [0, T ]; i) kx T ii) x T (0) = 0 iii) x T (T ) = x .

                1 T ∈ C ∞ * Podemos também assumir que x .

                  Demonstração: Suponha M &gt; kx 1 k e T &gt; 0 tais que exista x T ∈ Σ satisfazendo

                  i)-iii) acima. Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, T T Z Z x = x T (T ) = Ax T (τ )dτ + B u(τ )dτ.

                1 Disto, veja que

                  T T Z Z x − B u(τ )dτ = Ax T (τ )dτ

                1 T

                  Z ≤ kAx T (τ )k dτ T

                  Z T → ≤ kAk · kx T (τ )kdτ ≤ M kAkT −→ 0, ou seja, x ∈ ¯ B . Mas como B é subespaço vetorial de um espaço de dimensão finita,

                  1

                  temos ¯ B = B , i.e., x 1 ∈ B , como queríamos. m Reciprocamente, sejam x ∈ B e r ∈ R com Br = x . Defina

                  1 n n

                  1

                  R T,M = {x ∈ R | ∃ x : [0, T ] −→ R , x ∈ C ,

                  x(t) − Ax(t) ∈ B, kxk ≤ M, x(0) = 0, x(T ) = x} ˙

                  Note que toda solução de Σ : ˙x = Ax + Bu limitada por M e com condição inicial x(0) = 0 fornece, no tempo T , um ponto de R T,M . n Admita que Σ é controlável, caso contrário, substitua R pelo subespaço de Kalman R .

                  Afirmação: B ∩ B M (0) ⊂ R T,M , onde B M (0) representa a bola aberta de raio M centrada na origem.

                  De fato, sejam f ǫ funções que aproximam a Delta de Dirac no intervalo [0, T ], cen- trada em T , que sejam positivas, contínuas e nulas em [0, T − ǫ], satisfazendo Z T ǫ→ f ǫ (τ )dτ −→ 1 (4.1-1) e

                  Z T ǫ→ g(τ )f ǫ (τ )dτ −→ g(T ), ∀g ∈ C . (4.1-2) Então, os problemas de valor inicial

                  

                x = Ax + Brf ˙ ǫ (t)

                x(0) = 0

                  nos fornecem soluções t Z A (t−τ ) ǫ→

                x ǫ (t) = e Brf ǫ (τ )dτ.

                  Note que x ǫ (T ) −→ x , de fato, basta tomar

                1 A (T −τ )

                  g(τ ) := e Br e aplicar (4.1-2), pois g(T ) = x .

                  1

                  k &lt; M ǫ (t)k ≤ M Além disso, como kx

                  1 , segue que kx , para todo t ∈ [0, T ] e ǫ

                  suficientemente pequeno, em verdade, T T Z Z A A

                  (t−τ ) (t−τ )

                  k x ǫ (t)k = e Brf ǫ (τ )dτ ≤ ke k · kBrk · f ǫ (τ )dτ t Z A (t−τ )

                  ≤ x ke k · f ǫ (τ )dτ

                  1 T −ǫ ǫ→

                  ≤ kx k max ke k −→ kx k &lt; M,

                  1 τ ∈

                  1 (−ǫ,ǫ)

                  para todo ǫ suficientemente pequeno. ǫ→ Logo, para ǫ suficientemente pequeno temos x ǫ (T ) ∈ R T,M . Como x ǫ (T ) −→ x ,

                  1

                  segue que x

                  1 ∈ R T,M . Pode-se provar que o conjunto n m

                  R K = {x ∈ R | ∃ u : [0, T ] → R , k uk ≤ K com ϕ T (0, u) = x} tem interior não vazio e contendo 0. Sendo assim, considere N ⊂ R K uma vizinhança

                  1 ǫ , onde x ǫ x ǫ , e escolha u ǫ controle com ku ǫ

                  − x ∈ N = (T ) k de 0. Seja ǫ &gt; 0 tal que x

                  pequena o bastante de modo que a solução y de ˙x = Ax + Bu ǫ com condição inicial ǫ y (0) = 0 seja tal que y (T ) = x − x ǫ . ǫ ǫ

                1 Então x + ǫ y é solução de ˙x = Ax + B(rf u + ǫ ǫ ) e

                  ǫ i) x ǫ (T ) + y (T ) = x ǫ + x ǫ 1 − x ǫ At ii) kx ǫ (t) + y (t)k ≤ k x ǫ (t)k + k y (t)k ≤ M − δ + sup e · kBk · K , para algum δ &gt; 0. At ǫ ǫ t∈ [0,T ] Como sup e · kBk · K pode ser feito menor que δ tomando-se K suficientemente t∈

                  [0,T ] pequeno, o resultado segue.

                  

                Proposição 4.4. Sejam sistemas Σ e Σ , Σ ∼ T Σ , com homeomorfismo correspondente S.

                  1

                  2

                  1

                  2 Então, i i n

                  S(x /R ) = Sx /R ∀x ∈ R , i = 1, 2, . . . , n

                  1

                  1

                  1

                  1

                2 Demonstração: Seja Σ : ˙x = Ax + Bu.

                  Afirmação 1: x ∈ x + B se, e somente se, para M &gt; kx k existe um conjunto de

                  1

                  1

                  trajetórias x T ∈ Σ satisfazendo: (i) kx T (t)k ≤ M, ∀t ∈ [0, T ];

                  (ii) x T (0) = x (iii) lim x T (T ) = x . T →

                  1 De fato, suponha M &gt; kx 1 k e que existe um conjunto de trajetórias satisfazendo i)-iii)

                  acima. Como Z T T Z T → T → lim [ x T (T ) − x T (0)] = lim A x T (t)dt + B u(t)dt , temos que

                  Z T Z T T → T → T → lim [ x (T ) − x (0)] − lim B u(t)dt = lim A x (t)dt. T T T

                  ∈ x + B Segue da continuidade de B que x

                  

                1 , pois

                  Z T Z T x − x + B lim u(t)dt = lim A x T (t)dt

                  1 T → T → T

                  Z ≤ lim A x T (t)dt T → ≤ lim M kAkT = 0 T → e x + B é fechado.

                  Reciprocamente, seja x ∈ x + B . Podemos escrever x = x + y , com y ∈ B. Pela ′ ∞

                  1

                  1 Proposição 4.3, para M &gt; kx

                1 k existe x T ∈ Σ ∩ C tal que

                  k x T (t)k ≤ M ∀t ∈ [0, T ];

                  

                x T (0) = 0;

                At ∞

                x T (T ) = y.

                  Defina ¯x T (t) := e x x T (t) . Então ¯x T ∈ Σ ∩ C At At At + e, além disso, (t)k = k (t) + e x k ≤ k (t)k + ke k ≤ M + ke k ∞ := M,

                  (i) k¯x T x T x T A (ii) ¯x T (0) = x T (0) + e x = Idx = x , At

                  ¯ (iii) lim x + T (T ) = lim e x x T (T ) = x + y = x T → T → 1 , o que garante a afirmação feita.

                  Afirmação 2: Pela caracterização topológica dada a x + B na afirmação 1, segue que

                  Σ ∼ T Σ ⇒ S(x + B ) = Sx + B ,

                  1

                  2

                  1

                  1

                  1

                  2 onde Σ : ˙x = A x + B u , Σ : ˙x = A x + B u , B := ImB e B := ImB .

                  1

                  1

                  1

                  2

                  2

                  

                2

                  1

                  1

                  2

                  2 De fato, admita Σ ∼ T Σ , ou seja

                  1

                  2

                x ∈ Σ ⇔ S x ∈ Σ ,

                  1

                  2

                  sendo S homeomorfismo entre os espaços-estado, e considere Sx ∈ S(x + B ), com x ∈ x + B arbitrário.

                  ∈ Σ Pelo resultado anterior, existe M &lt; ∞ tal que para todo T &gt; 0 existe x T

                  1 satisfa-

                  zendo k x T (t)k ≤ M, t ∈ [0, T ];

                  

                x T (0) = x ,

                  1

                  e T → lim x T (T ) = x.

                  Note que S x T (0) = Sx e lim S x T (T ) = Sx.

                1 T →

                  Devemos usar a equivalência topológica para obter kSx T (t)k ≤ K , para algum K &lt; ∞ , t ∈ [0, T ], o que implica, pelo mesmo resultado, que Sx ∈ Sx + B . Como cada

                  1

                  2

                  x T ∈ Σ

                  1 , a equivalência topológica nos garante que S x T ∈ Σ , ∀T &gt; 0.

                  

                2

                n

                  Consideremos a bola fechada de raio M centrada na origem, B M (0) ⊂ R , compacta por natureza. n Como S é homeomorfismo, SB M (0) ⊂ R é um conjunto compacto e, portanto, existe K &gt; 0 tal que kxk ≤ K, ∀x ∈ SB M (0). Como x T (t) ∈ B M (0) para todo T &gt; 0 e para todo t ∈ [0, T ], temos Sx T (t) ∈ SB M (0) para todos T &gt; 0 e t ∈ [0, T ]. Portanto, kS x T k ≤ K, ∀T &gt; 0. Em resumo, fomos capazes de garantir, graças à equivalência topológica, a existên- cia de uma constante K &gt; 0 tal que para todo T &gt; 0 existe Sx T ∈ Σ satisfazendo

                  2

                  kS (t)k ≤ K, t ∈ [0, T ],

                  x T

                  S x T (0) = Sx

                  1 e T → lim S x T (T ) = Sx.

                  Pelo resultado exposto, segue que Sx ∈ Sx

                  1 + B 2 .

                  Para a inclusão contrária, seja x ∈ Sx + B . Então, existe M &gt; 0 tal que para todo

                  1

                  2 T &gt; 0 existe x T ∈ Σ 2 satisfazendo

                  k x T (t)k ≤ M, t ∈ [0, T ],

                  

                x T (0) = Sx

                  1

                  e T → lim x T (T ) = x.

                  

                1

                Note que é suficiente mostrarmos que S x ∈ x + B . Para isso, consideremos nova- n

                  1

                  1

                  1

                  mente a bola fechada B M (0) ⊂ R . Então S B M (0) é compacta, i.e., existe K &gt; 0 tal

                  1

                  que kxk ≤ K para todo x ∈ S B M (0) . Pela equivalência topológica,

                  1

                x T ∈ Σ ⇒ S x T ∈ Σ .

                  2

                  1

                  1 Assim, obtivemos K &gt; 0 tal que para todo T &gt; 0 existe S x T ∈ Σ satisfazendo

                  1

                  1

                  kS x T (t)k ≤ K, t ∈ [0, T ],

                1 S x T (0) = x

                  1

                  e − −

                  1

                  1 T → lim S x T (T ) = S x.

                  Portanto, pelo mesmo resultado já citado, podemos afirmar que

                1 S x ∈ x + B ,

                  1

                  1

                  ou seja, x ∈ S(x

                  1 + B 1 ) . Isto prova a igualdade desejada.

                  Aplicando a Proposição 4.2, concluimos que Σ /B ∼ T Σ /B pelo homeomorfismo

                  1

                  1

                  2

                  2 S : x 1 + B 1 7→ Sx 1 + B 2 . n n

                  /B n Vamos agora caracterizar Σ/B. Seja L ⊂ R tal que L ≈ R . Assim, escreva R

                  = B ⊕ L . Logo, Σ/B é dado por Σ/B = z : R → L | ∃b abs. contínua t.q. ˙z(t) = ¯ A z(t) + ¯ B b(t), ∀t ∈ R , onde as matrizes ¯ A e ¯ B são definidas como

                  ¯ A : L −→ L z 7−→ A(0, z)/B e

                  ¯ B : B −→ L b 7−→ Ab/B, o que condiz com o que foi feito no início da seção. Portanto,

                  Σ/B = z : R → L | z e ˙z são absolutamente contínuas e z ∈ Σ( ¯

                  A, ¯ B) . Na verdade, ¯ A e ¯ B não são unicamente determinadas, pois elas dependem da es- n colha da base para a decomposição R = B ⊕ L . Entretanto, é fácil ver que todos os n pares ( ¯

                  A, ¯

                  B) são equivalentes, em verdade, mudanças de base no espaço estado R estão entre aquelas que caracterizam a F -equivalência. Agora, aplicamos o mesmo raciocínio usado anteriormente, porém com Σ/B no lugar de Σ. A necessidade adicional de suavidade requerida em Σ/B (de que ˙z também seja contínua) é levada em conta pelo fato de que x T pode ser considerada C (e assim

                  x ˙ T também é absolutamente contínua). ′ ′ ′

                  Portanto, S (z

                  1 + ¯ B 1 ) = S z 1 + ¯ B 2 , e, após identificarmos S e z 1 , podemos escrever S(x + B + A B ) = Sx + B + A B .

                  1

                  1

                  1

                  1

                  1

                  2

                  2

                  2 Continuando este mesmo processo com (Σ/B)/ ¯ B , etc., obtemos o resultado: i i

                  S(x + R ) = Sx + R

                  1

                  1

                  1

                  2

                4.2 Teoremas de classificação

                  Esta seção contém os principais teoremas de classificação deste trabalho. A definição a seguir será de grande valia.

                • , p e p
                • + os fatores mônicos de p = p p p cujas raízes possuem parte real negativa, nula e positiva, − −

                    Definição 4.5 (Inércia). Seja p um polinômio real e mônico. Denotemos por p

                    respectivamrente. A inércia de p é definida como sendo a terna [n , n , n ], onde n , n e n

                  • são, nesta ordem, os graus de p , p e p .

                    Podemos generalizar esta definição para matrizes quadradas:

                    

                  Definição 4.6. A inércia de uma matriz quadrada A é definida como sendo a inércia de seu

                  polinômio característico, e será denotada por s(A).

                    No que se segue, denotamos por L A o subespaço central de A, isto é, o subespaço gerado pelos autovetores de A correspondentes aos autovalores que são imaginários puros. Portanto, s(A) é uma terna de números naturais onde cada componente denota o número de autovalores de A (contando multiplicidade) com parte real negativa, nula e positiva, nessa ordem.

                    O conteúdo dos Teoremas 4.8 e 4.9 é uma generalizção do seguinte resultado clás- sico para sistemas lineares, que é essencialmente o Teorema 2.8, porém com subespaço central não vazio. Uma demonstração para este resultado pode ser encontrada em Arnold [2]. n

                    Teorema 4.7. Sejam Σ i : ˙ x i = A i x i , x i (t) ∈ R , i = 1, 2. Então,

                    ∼ Σ ⇔ Σ ∼ Σ ⇔ A i) Σ

                    1 L

                    2

                    1 D

                    2 1 e A 2 são semelhantes.

                    ii) Σ ∼ T Σ ⇔ s(A ) = s(A ) e A /L A é semelhante a A /L A .

                    1

                    2

                    1

                    2

                    1 1

                    2 2 Observação: duas matrizes A e B são semelhantes se, e somente se, existe T não-

                    1 singular tal que B = T AT .

                    Teorema 4.8. Sejam Σ i : ˙ x i = A i x i + B i u i , i = 1, 2, dados e assuma que Σ 1 é controlável.

                    Então são equivalentes:

                    , B ) e (A , B ) possuem os mesmos índices de Kronecker; (i) Σ

                    2 é controlável e (A

                    1

                    1

                    2

                    2

                    (ii) Σ

                    1 ∼ L Σ 2 ;

                    (iii) Σ

                    1 ∼ D Σ 2 ;

                    (iv) Σ

                    1 ∼ T Σ 2 .

                    Demonstração: A demonstração será estruturada do seguinte modo: i) ⇒ ii) ⇒

                    iii) ⇒ iv) ⇒ i) . Note que ii) ⇒ iii) e iii) ⇒ iv) são triviais. Vamos então analisar as duas implicações restantes.

                    A implicação i) ⇒ ii) é uma consequência imediata da Proposição 3.18. Para ver isto, usaremos os dois fatos a seguir:

                    Fato 1: Para quaisquer R ∈ GL m (R) e K ∈ M m×n (R) ,

                    Σ(A, B) = Σ(A + BK, BR), i.e., mudança de base no espaço estado e transformação de feedback não alteram as trajetórias do sistema. Basta observar que

                    Σ(A + BK, BR) : ˙ x = (A + BK)x + BRu = A x + B(Kx + Ru) = A x + B(Kx + Ru) : Σ(A, B), onde Kx + Ru representa apenas uma mudança no feedback do sistema Σ(A, B). For- malmente, o conjunto de trajetórias n

                    { x : R → R | x abs. contínua e ∃u : R → U t.q. ˙x = A i x + B i u q. s.} permanece inalterado. De fato, se ˙

                  x = Ax + Bu q.s. para algum u ∈ U,

                    1

                    basta tomar v := R ( u − Kx) ∈ U e ver que

                    x = (A + BK)x + BRv q.s. ˙ Do mesmo modo, se ˙

                    

                  x = (A + BK)x + BRv q.s. para algum v ∈ U,

                    tomando u := Kx + Rv ∈ U, temos

                    x = Ax + Bu q.s. ˙ o que basta para a igualdade.

                    Fato 2: Para S ∈ GL n vale

                    1 Σ(A, B) ∼ L Σ(S AS, SB).

                    Para verificar isto, utilizaremos a própria S como sendo o isomorfismo necessário. As- sim, se x ∈ Σ(A, B), ou seja, ˙

                    

                  x = Ax + Bu q.s. para algum u ∈ U,

                    então

                    1 S( ˙ x) = S(Ax + Bu) = SAx + SBu = SAS S x + SBu q.s. para algum u ∈ U,

                    ou seja,

                    1 S x ∈ Σ(SAS , SB).

                    

                  1 Por outro lado, se Sx ∈ Σ(SAS , SB), então

                    1

                    ˙ S x = SAS S x + SBu q.s. para algum u ∈ U, ou seja,

                    S ˙ x = SAx + SBu ⇒ ˙x = Ax + Bu,

                    1 logo, x ∈ Σ(A, B), o que prova que Σ(A, B) ∼ L Σ(SAS , SB) .

                    Agora, pela Proposição 3.18 (A , B ) e (A , B ) são F -equivalentes, pois possuem

                    1

                    1

                    2

                    2 os mesmos índices de Kronecker. Segue que existem S, R e K tais que

                    1 (A , B ) = (S(A + B K)S , SB R).

                    2

                    2

                    1

                    1

                    1 Portanto, 1 Σ(A , B ) = Σ(S(A + B K)S , SB R) ∼ L Σ(A + B K, B R) = Σ(A , B ).

                    2

                    2

                    1

                    1

                    1

                    1

                    1

                    1

                    1

                    1 Para ver iv) ⇒ i), assuma sem perda de generalidade que S(0) = 0. Como Σ ∼ T Σ e

                    1

                    2

                    Σ

                    1 é controlável, segue imediatamente que Σ 2 também deve ser controlável, pois pela

                    Proposição 4.4, tomando x = 0 , segue que S(R ) = R . Agora, seja S o homeomor-

                    1

                    1

                    2

                    fismo correspondente a esta equivalência. Assim, pela Proposição 4.4, temos i i SR = R , i = 1, . . . , n − 1.

                    1 i i

                    2

                    1

                    e, como S e S são contínuas, dim R = dim R . Portanto, os índices de Kronecker são

                    1

                    2 os mesmos, como queríamos.

                    

                  Teorema 4.9. Sejam Σ i : ˙x i = A i x i + B i u i e denotemos por ¯ A i a aplicação induzida no

                  n

                    /R i quociente R , i = 1, 2. Então, 1. são equivalentes:

                    ∼ L Σ i) Σ

                    1 2 ;

                    ii) Σ ∼ D Σ ;

                    1

                    2

                    iii) (A

                    1 , B 1 ) e (A 2 , B 2 ) possuem os mesmos índices de Kronecker e ¯ A 1 é semelhante a

                    ¯ A 2 .

                    2. são equivalentes: i) Σ

                    1 ∼ T Σ 2 ;

                    ii) (A , B ) e (A , B ) possuem os mesmos índices de Kronecker, s( ¯ A ) = s( ¯ A ) e

                    1

                    1

                    2

                    2

                    1

                    2

                    ¯ A /L A é semelhante a ¯ A /L A .

                    1 1

                    2 2

                    ∼ Σ

                    Demonstração: 1) Suponha Σ

                    1 L 2 e seja S o isomorfismo correspondente a esta

                    equivalência. Como, pela linearidade, S(0) = 0, segue da Proposição 4.4 que i i S(R ) = R , i = 1, 2, . . .

                    1

                    2

                    e, portanto, os índices de Kronecker dos pares em questão são os mesmos. Ainda pela Proposição 4.4, segue que n

                    S(x

                    1 + R 1 ) = Sx 1 + R 2 , ∀x 1 ∈ R .

                    Assim, aplicando a Proposição 4.2, obtemos que Σ /R ∼ L Σ /R .

                    1

                    1

                    2

                    2 Como Σ /R e Σ /R são dados por

                    1

                    1

                    2

                    2

                    ˙¯x ¯ ¯ = ¯ A x e ˙¯x = ¯ A x ,

                    1

                    1

                    1

                    2

                    2

                    2 segue do Teorema 4.7-(i) que ¯ A é semelhante a ¯ A .

                    1

                    2 A implicação Σ 1 ∼ L Σ 2 ⇒ Σ 1 ∼ D Σ 2 é imediata.

                    Vamos ver iii) ⇒ i) e ii) ⇒ i). O conceito de família de trajetórias de um sistema n nos será muito útil agora. Dado um sistema Σ : ˙x = Ax + Bu, e V ⊂ R um subespaço vetorial, defina V

                    Σ| := { x ∈ Σ | x(t) ∈ V, ∀t ∈ R} V Não podemos dizer que a família Σ| é, necessariamente, proveniente de um sis- V tema de controle linear. Contudo, se V for um subespaço A-invariante, segue que Σ| é, de fato, o conjunto de trajetórias do sistema V V ˜

                    Σ| : ˙ x = ˜ A x + ˜ B u, x(t) ∈ V, ˜ A = A| , B tal que Im ˜ B = B ∩ V, pois pela A-invariância de V e por Im ˜ B ⊂ V , obtemos que ˜ A x(t) + ˜ B u(t) ∈ V, ∀t ∈ R. Um tal sistema é dito subsistema de Σ.

                    Assim, para um sistema Σ : ˙x = Ax + Bu, considerando seu subespaço de Kalman n R R , o espaço R /R e uma matriz K de modo que (A + BK)| e ¯ A tenham espectro n disjunto, obtemos que é possível decompor R como a soma direta n

                    R = R ⊕ S, sendo o subespaço R A-invariante e S (A + BK)-invariante. Como Σ(A + BK, B) = R

                    Σ(A, B) , segue que Σ pode ser decomposto em subsistemas Σ| (parte controlável) e S R Σ| (parte não-controlável), onde Σ| é completamente controlável, por ser a restrição S de Σ ao seu subespaço de Kamlan e Σ| é da forma S S

                    Σ| : ˙ x = ˜ A x, x(t) ∈ S, ˜ A = A| , cuja família de trajetórias é identificada com a de Σ/R.

                    Deste modo, se considerarmos os sistemas Σ e Σ decompostos como acima, para

                    1

                    2

                    concluir que Σ

                    1 ∼ L Σ 2 , basta aplicar o Teorema 4.8 para as partes controláveis e o Teorema 4.7-i) para as partes não-controláveis de Σ e Σ .

                    1

                    2

                  2) Suponha Σ

                    1 ∼ T Σ 2 , seja S o homeomorfismo correspondente e assuma, sem

                    perda de generalidade, que S(0) = 0. Como, pela Proposição 4.4, i i S(R ) = R , i = 1, 2, . . .

                    1

                    2

                    segue que (A

                    1 , B 1 ) e (A 2 , B 2 ) possuem os mesmos índices de Kronecker. Valendo-se

                    ainda da mesma proposição, observe que n S(x + R ) = Sx + R , ∀x ∈ R .

                    1

                    1

                    1

                    2

                    1 Então, tal como no item 1), aplicamos a Proposição 4.2 para obter que Σ /R ∼ T Σ /R .

                    1

                    1

                    2

                    2 Por fim, aplicando o Teorema 4.7-(ii), concluimos que s( ¯ A 1 ) = s( ¯ A 2 ) e que ¯ A 1 /L A é 1 semelhante a ¯ A /L A .

                    2 2 Reciprocamente, basta considerarmos Σ

                    1 e Σ 2 na decomposição feita no item i)

                    e aplicar o Teorema 4.8 nas partes controláveis e o Teorema 4.7-ii) nas partes não- controláveis para obtermos que Σ é topologicamente conjugado a Σ . Isto encerra

                    1

                    2 a demonstração.

                    

                  CAPÍTULO 5

                  CLASSIFICAđấO TOPOLốGICA DE FLUXOS

                  AFIM-LINEARES

                    Neste capítulo apresentamos um método semelhante para se classificar sistemas de controle lineares. Aqui, porém, a classificação é feita para sistemas hiperbólicos e a peça chave serão os fluxos afim-lineares. Estabeleceremos que um fluxo deste tipo, quando hiperbólico, é skew conjugado à sua parte linear. Isto é usado para mostrar a classificação para tais fluxos, o que induz tal classificação topológica para sistemas de controle lineares. Os resultados deste capítulo foram estudados originalmente em [10].

                  5.1 Fibrados vetoriais

                    Antes de tratar dos fluxos e da classificação propriamente ditos, façamos alguns escla- recimentos quanto ao “ambiente” no qual estabeleceremos os resultados.

                    

                  Definição 5.1 (Fibrado vetorial). Seja B um espaço topológico. Por fibrado vetorial real de

                    dimensão n entendemos um par (E, p), onde E é um espaço topológico, chamado espaço total, e p : E −→ B é uma aplicação contínua, chamada projeção, tal que para cada b ∈ B, a “fibra”

                    1

                    p (b) tem a estrutura de espaço vetorial real n-dimensional. Exigimos ainda a condição de trivialidade local, isto é, para cada b ∈ B existe uma vizinhança U de b e um homeomorfismo n

                    1

                    φ : p (U ) −→ U × R tal que i) π ◦ φ = p;

                    1 − ′ n

                    1

                    ◦ φ : p (b ) −→ R ∈ U . ii) π

                    2 é um isomorfismo de espaços vetoriais para todo b Aqui, π i denota a projeção na i-ésima coordenada.

                    Na prática, iremos abusar da notação e nos referir ao fibrado vetorial (E, p) apenas por E, visando simplicidade. Lidaremos apenas com fibrados vetoriais do tipo produto (ou fibrados triviais), cujo n espaço base é um espaço topológico B, o espaço total é considerado como sendo B ×R e a aplicação p é a projeção na primeira coordenada.

                    Obviamente, para cada b ∈ B a fibra

                    1 n

                    p (b) = {b} × R tem estrutura de espaço vetorial e a condição de trivialidade local é satisfeita esco- lhendo U = B como a vizinhança necessária e

                    1 n

                    φ : p (B) −→ B × R a idendtidade.

                    Aqui, será importante a noção de “soma direta”, amplamente conhecida como soma de Whitney. Dados dois fibrados vetoriais E e E sobre um mesmo espaço base B , com projeções p e p e dimensões n e m, respectivamente, a soma de Whitney de tais fibrados é o fibrado sobre B dado por ′ ′ ′ ′ ′ E ⊕ E := {(u, u ) ∈ E × E | p(u) = p (u )}. − ′− n m

                    

                  1

                    1

                    (b) ⊕ p (b) ⊕ R As fibras sobre cada b ∈ B são dadas por p , que são isomorfas a R . Um subfibrado vetorial de um fibrado vetorial E sobre B é um subespaço E ⊂ E que seja ele próprio um fibrado vetorial, com projeção dada por E p| : E −→ B, onde p é a projeção do fibrado E.

                    Agora temos condições apropriadas para definir o tipo de fluxo e o tipo de con- jugação que utilizaremos para estudar a classificação de sistemas de controle lineares utilizando os fluxos induzidos.

                    

                  5.2 Classificação de sistemas de controle lineares via flu-

                  xos

                    Sistemas de controle lineares, principal objeto de estudo deste texto, definem fluxos afim-lineares. Além disso, se a parte linear do sistema de controle for hiperbólica, os teoremas (5.7) e (5.8) nos fornecem uma classificação com respeito à conjugação skew topológica. n

                    

                  Definição 5.2 (Fluxo produto cruzado). Seja B × R um fibrado vetorial com espaço base B

                  n

                    métrico e compacto. Um fluxo linear sobre B × R é dito um fluxo produto cruzado se for da forma n n Φ : R × B × R −→ B × R

                    (t, b, x) 7−→ (θ t (b), ϕ t (b, x)), onde θ é um fluxo no espaço base B, chamado fluxo base, e n n ϕ : R × B × R −→ R satisfaz a propriedade do cociclo, i.e.,

                    ϕ t (b, x) = ϕ t (θ s (b), ϕ s (b, x)).

                  • s Se Φ for linear na variável x, dizemos que Φ é um fluxo produto cruzado linear.

                    Estamos interessados num tipo ainda mais específico de fluxo:

                    Definição 5.3 (Fluxo afim-linear). Uma aplicação contínua n n

                    Ψ = (θ, ψ) : R × B × R −→ B × R , n

                    (onde B × R é um fibrado vetorial com espaço base B métrico e compacto) é dita um fluxo n

                    

                  produto cruzado afim-linear , ou fluxo afim-linear, em B × R se existir um fluxo produto

                    cruzado linear n n Φ = (θ, ϕ) : R × B × R −→ B × R e uma função n f : B −→ L (R, R )

                    (chamada de termo afim) tal que f (b, t + s) = f (θ s (b), t), ∀b ∈ B, (5.2-1) n para quase todos t, s ∈ R. E ainda, para todos (t, b, x) ∈ R × B × R , Z t

                    Ψ t (b, x) = Φ t (b, x) + Φ t−τ (θ τ (b), f (b, τ )) dτ, sendo que f (b, t) denota a função f (b)(s), s ∈ R e a integral acima é considerada apenas na n variável do R .

                    Portanto, como os fluxos base coincidem, em termos de suas coordenadas Ψ é es- crita como Z t Ψ t (b, x) = θ t (b), ϕ t (b, x) + ϕ t−τ (θ τ (b), f (b, τ ))dτ . n

                    Veja que Ψ realmente define um fluxo em B × R , isto é, Z n

                    Ψ (b, x) = Φ (b, x) + Φ τ (θ τ (b), f (b, τ ))dτ = (b, x), ∀(b, x) ∈ B × R e Ψ t (b, x) =

                  • s t

                    Z +s = Φ t (b, x) + Φ t (θ τ (b), f (b, τ ))dτ

                  • s +s−τ

                    Z s Z t

                  • s

                    = Φ t ◦ Φ s (b, x) + Φ t +s−τ (θ τ (b), f (b, τ ))dτ + Φ t +s−τ (θ τ (b), f (b, τ ))dτ s Z s Z t

                    = Φ ◦ Φ (b, x) + Φ ◦ Φ (θ (b), f (b, τ ))dτ + Φ (θ (b), f (b, τ + s))dτ t s t s−τ τ t−τ τ +s s t Z Z

                    = Φ t ◦ Φ s (b, x) + Φ t ◦ Φ s−τ (θ τ (b), f (b, τ ))dτ + Φ t−τ (θ τ (b), f (θ s (b), τ ))dτ

                  • s
                  s

                    Z = Ψ t θ s (b), ϕ s (b, x) + ϕ s−τ (θ τ (b), f (b, τ ))dτ = Ψ t (Ψ s (b, x)) = Ψ t ◦ Ψ s (b, x).

                    Note também que, como Φ é contínua, então Ψ é contínua se, e somente se, o termo t Z a(t, b) := Φ t−s (θ s (b), f (b, s))ds, t ∈ R, b ∈ B

                    é contínuo. n Seja Ψ um fluxo afim-linear em B × R e considere valores iniciais (b, x ), (b, x ) ∈ n

                    1

                    2 B × R . Então a diferença das soluções correspondentes é uma solução do sistema n homogêneo com valor inicial (b, x − x ) ∈ B × R . Ou seja

                    1

                    2 Ψ t (b, x ) − Ψ t (b, x ) = Φ t (b, x − x ), ∀t ∈ R.

                    1

                    2

                    1

                    2 De fato, t

                    Z Ψ t (b, x ) − Ψ t (b, x ) = Φ t (b, x ) + Φ t−τ (θ t−τ (b), f (b, τ )) dτ

                    1

                    2

                    

                  1

                  t

                    Z −Φ t (b, x ) − Φ t−τ (θ t−τ (b), f (b, τ )) dτ

                    2

                    = Φ t (b, x

                    1 − x 2 ).

                    

                  1

                    1

                    1

                    2

                    2

                    2 Definição 5.4 (Skew conjugação). Sejam Ψ = (θ , ψ ) e Ψ = (θ , ψ ) dois fluxos afim- n n

                    1

                    2

                    1

                    2

                    lineares sobre fibrados vetoriais B × R e B × R , respectivamente. Dizemos que Ψ e Ψ são

                    topologicamente skew conjugados se existir um homeomorfismo n n

                    1

                    2 H : B × R −→ B × R

                    tal que

                    1

                    2 B

                    H Ψ (b, x) = Ψ (H(b, x)) , t t ou seja, H é da forma (h , h), onde

                    

                  1

                    2

                    h B : B −→ B e n n

                    1

                    h : B × R −→ R satisfazem B B

                    1

                    2

                    h (θ (b)) = θ (h (b)) t t

                    1

                    1

                    2

                    h θ (b), ψ (b, x) = ψ (h B (b), h(b, x)) , t t t n

                    1 para todos t ∈ R, b ∈ B e x ∈ R . B Note que a condição sobre h garante que os fluxos base são conjugados. n n

                    Dado um fluxo linear-afim sobre B × R , suponha que B × R admita uma decom- posição em somas de Whitney de dois subfibrados vetoriais n

                    1

                    2 B × R = L ⊕ L ,

                    1

                    2

                    onde L e L são invariantes sob o fluxo linear Φ, ou seja, para cada b ∈ B podemos n decompor R como n

                    

                  1

                    2 R

                    = L ⊕ L , b b i n i i sendo que para cada b ∈ B a componente L ⊂ R é identificada com {b} × L ⊂ L , i b b i = 1, 2 . Além disso, dizer que cada L é invariante por Φ significa que i i Φ t (b, x) ∈ L , θ t (b) para x ∈ L e t ∈ R, i = 1, 2. b i i Denotaremos a restrição dos fluxos lineares a L por Φ i i i t

                    e, dada a aplicação linear x 7−→ ϕ (b, x) : L −→ L , i t b θ t (b) denotamos sua norma por kΦ (b, ·)k . Também decompomos o termo afim na forma t

                    1

                    2 i i f (b, s) = f (b, t) + f (b, t), onde f (b, t) ∈ L , t ∈ R, b ∈ B. i b i

                    Se f satisfizer a condição (5.2-1), então L também é invariante pelo fluxo afim- linear t i i i i Z Ψ (b, x) = Φ (b, x) + Φ t t t−τ i b, f (b, τ ) dτ, i = 1, 2.

                    Dizemos que o subfibrado L é estável se existirem constantes α &gt; 0 e K &gt; 1 tais i i que para o fluxo Φ restrito a E valha i αt kΦ (b, ·)k ≤ Ke , ∀t ≥ 0 t e ∀b ∈ B, i = 1, 2.

                    Com isto, podemos provar o próximo resultado que nos mostra a existência e de- pendência contínua de soluções limitadas.

                    Proposição 5.5. Seja Ψ um fluxo afim-linear para o qual se tenha

                    1

                    2

                    i) A parte linear Φ de Ψ admite uma decomposição em subfibrados invariantes L e L ,

                    1 sendo L estável.

                    ii) O termo afim satisfaz a propriedade (5.2-1) e existe M &gt; 0 tal que

                    1 kf (b)k ≤ M, ∀b ∈ B.

                    1

                    1 Então para cada b ∈ B existe uma única solução limitada e (b, t), t ∈ R para o fluxo Ψ .

                    Se a aplicação Z n

                    1

                    1

                    b 7−→ ϕ − θ τ (b), f (b, τ ) dτ : B −→ R −∞ τ d

                    1 é contínua, então a aplicação e : B × R −→ R é contínua.

                    Demonstração: Primeiramente note que o fluxo linear Φ tem somente a solução

                    trivial limitada em R. De fato, suponha ϕ t (b, x) uma solução limitada em R. Então, para t ≥ 0 kxk = kϕ (b, x)k − −

                    = kϕ t (θ t (b), ϕ t (b, x)) k

                    1 − −

                    ≤ kΦ (θ t (b), ·)k · kϕ t (b, x)k t αt t→∞ ≤ Ke sup kϕ s (b, x)k −→ 0. s∈R Portanto, x = 0. Deste fato observamos que a unicidade fica garantida de imediato, pois como mostramos, a diferença entre duas soluções limitadas é uma solução limi- tada da equação homogênea, que neste caso é nula. n

                    t Z

                  1 Vamos provar a existência. Defina e : B × R −→ R pondo

                    1

                    1

                    1 e (b, t) := ϕ θ τ (b), f (b, τ ) dτ. −∞ t−τ

                    Veja que a integral existe, pois para qualquer b ∈ B e τ ≤ t vale

                    1

                    1

                    1 1 α (t−τ )

                    kϕ (θ τ (b), f (b, τ ))k ≤ kΦ (θ τ (b), ·)k sup kf (b, τ )k ≤ KM e , t−τ t−τ

                    1 portanto e está bem definida.

                    1 Para demonstrarmos a continuidade de e , sejam t ∈ R e b ∈ B e denote a função

                    característica em (−∞, t] por χ . Assim,

                    (−∞,t]

                    1

                    1

                    ke (b, t) − e (b , t )k = t t Z Z

                    1

                    1

                    1

                    1

                    = ϕ θ τ (b), f (b, τ ) dτ − ϕ − θ τ (b ), f (b , τ ) dτ −∞ −∞ t−τ t τ Z Z

                    1

                    1

                    1

                    1

                    ≤ χ (s)ϕ θ τ (b), f (b, τ ) dτ − ϕ − θ τ (b), f (b, τ ) dτ R R (−∞,t] t−τ t τ t t Z Z

                    1

                    1

                    1

                    1

                  • ϕ θ τ (b), f (b, τ ) dτ − ϕ θ τ (b ), f (b , τ ) dτ t − τ t − τ

                    Z Z

                    1

                    1

                    1

                    1 −∞ −∞ ϕ θ + − τ (b), f (b, τ ) dτ − ϕ − θ τ (b ), f (b , τ ) dτ t τ t τ

                    Note que na primeira parcela os integrandos são limitados e que

                    1

                    1

                    1

                    1

                    χ (s)ϕ θ τ (b), f (b, τ ) −→ χ (s)ϕ − θ τ (b ), f (b , τ )

                    (−∞,t] t−τ (−∞,t ] t τ

                    quando (b, t) −→ (b , t ) . Portanto, pelo Teorema da Convergência Dominada de Le- besgue, segue que a primeira parcela converge a 0 quando (b, t) −→ (b , t ) . Para a segunda parcela, basta aplicarmos o mesmo raciocínio. Quanto à terceira, veja que

                    Z Z

                    1

                    1

                    1

                    1

                    1

                    1 −∞ −∞ ϕ t − τ t − τ

                    b, ϕ (θ τ (b), f (b, τ ) dτ − ϕ b , ϕ (θ τ (b ), f (b , τ ) dτ Z Z

                    1

                    1

                    1

                    1

                    1

                    1

                    = ϕ t τ t τ b, ϕ − (θ τ (b), f (b, τ ) dτ − ϕ b , ϕ − (θ τ (b ), f (b , τ ) dτ . −∞ −∞ R

                    1

                    1

                    1 Juntando isto com a continuidade de ϕ e a de b 7−→ ϕ (θ τ (b), f (b, τ )) dτ garan- −∞ − τ timos que esta parcela também converge para 0 quando (b, t) −→ (b , t ) .

                    Para concluir o resultado, devemos apenas mostrar que e

                    2

                    e Φ

                    1

                    é instável e são tais que as restrições Φ

                    2

                    é estável, L

                    1

                    , onde L

                    e L

                    de Φ a L

                    1

                    i) a parte linear Φ de Ψ seja hiperbólica e, portanto, admita uma decomposição em subfi- brados vetoriais invariantes L

                    Proposição 5.6. Considere Ψ um fluxo afim-linear tal que

                    Para obtermos os resultados desejados em conjugação topológica, precisamos deste resultado para sistemas hiperbólicos. Isto é feito na seguinte

                    1 satisfaz a condição (5.2-1) exigida na definição de fluxo afim-linear.

                    (b, τ ) , o que mostra que f

                    1

                    2

                    1

                    

                  1

                  τ

                    , t ≤ 0 para constantes α &gt; 0, K

                    2

                    e f

                    1

                    ii) os termos f

                    2 ≥ 1 e ∀b ∈ B.

                    , K

                    1

                    2 e αt

                    e L

                    (b, ·)k ≤ K

                    2 t

                    e αt , t ≥ 0 e kΦ

                    1

                    (b, ·)k ≤ K

                    1 t

                    , respectivamente, satisfaçam kΦ

                    2

                    θ τ (b), f

                    Z −∞ ϕ

                    1

                    (b, τ ) dτ =

                    1 t−τ

                    ϕ

                    (b, τ ) dτ + Z −∞

                    1

                    θ τ (b), f

                    1 t−τ

                    Z t ϕ

                    1

                    1

                    θ τ (b), f

                    1 t−τ

                    ϕ

                    (b, t) = Z t −∞

                    1

                    . Como e

                    1

                    tal como definida é uma solução do fluxo Ψ

                    θ τ (b), f

                    (b, τ ) dτ =

                    (b, x), para x := e(b, 0) =

                    1

                    1 t

                    (b, τ ) dτ + ϕ

                    1

                    θ τ (b), f

                    1 t−τ

                    Z t ϕ

                    (b, τ ) dτ =

                    θ τ (b), f

                    Z t ϕ

                    1 τ

                    ϕ

                    b, Z −∞

                    1 t

                    (b, τ ) dτ + ϕ

                    1

                    θ τ (b), f

                    1 t−τ

                    da decomposição de f satisfaçam condição (5.2-1) e exista M &gt; 0 com kf (b)k ≤ M, ∀b ∈ B. Então para todo b ∈ B existe uma única solução limitada e(b, t), t ∈ R, para o fluxo Ψ.

                    Se as aplicações dadas por Z Z

                    1

                    2

                    b 7−→ ϕ (θ (b), f (b, τ )) dτ e b 7−→ ϕ (θ − (b), f (b, −τ )) dτ −∞ −∞ − τ τ τ τ n forem contínuas, então a aplicação e : R × B −→ R é contínua.

                    Demonstração: Inicialmente, como

                    1

                    2

                    kf (b, t)k ≤ kf (b, t)k (b, t)k ≤ kf (b, t)k, e kf segue que

                    1

                    

                  2

                  kf (b, t)k ≤ M e kf (b, t)k ≤ M, ∀b ∈ B.

                    1 Aplicando a proposição anterior, segue que existe uma solução limitada e (b, t) ,

                    1

                    2

                    t ∈ R , b ∈ B para o fluxo Ψ . Se invertermos o tempo em Ψ , podemos aplicar o mesmo

                    2

                    raciocínio para concluir que existe uma única solução limitada e (b, t) . Isto nos fornece a solução limitada

                    1

                    2

                    e(b, t) := e (b, t) + e (b, t) para Ψ. Por outro lado, uma solução limitada de Ψ decompõe-se como soma de solu-

                    1

                    2

                    ções limitadas de Ψ e Ψ , o que garante a unicidade de e(b, t). Para a continuidade,

                    1

                    2

                    basta aplicar a mesma argumentação da proposição anterior para os fluxos Ψ e Ψ , sendo este último com o tempo invertido.

                    Vamos agora mostrar que fluxos afim-lineares hiperbólicos são topologicamente skew conjugados com suas partes lineares. Este resultado nos permitirá exibir uma classificação para sistemas de controle alternativa àquela presente no capítulo 4.

                    Teorema 5.7. Seja Ψ um fluxo afim-linear e suponha que

                    1

                    2

                    i) a parte linear Φ de Ψ é hiperbólica com subfibrado estável L e subfibrado instável L ;

                    1

                    2

                    ii) os termos f e f da decomposição de f são tais que i i f (b, t + s) = f (θ s (b), t), para todo b ∈ B e quase todos t, s ∈ R, i = 1, 2, e que exista M &gt; 0 para o qual n kf (b)k ≤ M ∀b ∈ B. iii) as aplicações B −→ R

                    Z Z

                    1

                    2

                    b 7−→ ϕ (θ τ (b), f (b, τ )) dτ e b 7−→ ϕ (θ τ (b), f (b, −τ )) dτ −∞ −∞ − τ τ são contínuas.

                    Então, Ψ e sua parte linear Φ são topologicamente skew conjugadas.

                    Demonstração: Como os fluxos base de Ψ e Φ coincidem, podemos considerar a B

                    coordenada h de H como sendo a identidade. Agora, defina a coordenada h como sendo a translação com respeito à única solução limitada e(b, t), isto é, n h(b, x) = x − e(b, 0), (b, x) ∈ B × R .

                    Segue do item iii) que h é uma aplicação contínua. Assim sendo, n n H : B × R −→ B × R

                    (b, x) 7−→ (b, h(b, x)) é contínua. Além disso, tem inversa contínua dada por n n

                  1 H : B × R −→ B × R (b, x) 7−→ (b, x + e(b, 0)).

                    De fato,

                  1 H H (b, x) = H (b, x + e(b, 0)) = (b, x + e(b, 0) − e(b, 0)) = (b, x)

                    e − −

                    1

                  1 H (H(b, x)) = H (b, x − e(b, 0)) = (b, x − e(b, 0) + e(b, 0)) = (b, x), portanto, H é um homeomorfismo.

                    O resultado ficará demonstrado se provarmos que H é uma skew conjugação topo- lógica para os fluxos Ψ e Φ. Para isto, veja que a diferença de soluções para valores ini- ciais x e e(b, 0) é uma solução do sistema homogêneo com valor inicial (b, x − e(b, 0)) ∈ n B × R

                    , isto é, Ψ t (b, x) − Ψ t (b, e(b, 0)) = Φ t (b, x − e(b, 0)), ∀t ∈ R.

                    Como

                    1

                    2

                    e(θ t (b), 0) = e (θ t (b), 0) + e (θ t (b), 0) Z Z

                    1

                    1

                    2

                    2

                    = ϕ − θ t (b), f (θ t (b), τ ) dτ + ϕ − θ t (b), f (θ t (b), τ ) dτ −∞ −∞ τ +τ τ +τ Z Z

                    1

                    1

                    2

                    2

                    = ϕ − θ t (b), f (b, t + τ ) dτ + ϕ − θ t (b), f (b, t + τ ) dτ −∞ −∞ τ +τ τ +τ Z t Z t

                    1

                    1

                    2

                    2

                    = ϕ θ (b), f (b, τ ) dτ + ϕ θ (b), f (b, τ ) dτ −∞ −∞ t−τ τ τ − τ

                    1

                    2

                    = e (b, t) + e (b, t) = e(b, t), obtemos que, h (θ t (b), ψ t (b, x)) = ψ t (b, x) − e (θ t (b), 0)

                    = ψ t (b, x) − e (b, t) = ψ t (b, x) − ψ t (b, e(b, 0)) = ϕ t (b, x − e(b, 0)) = ϕ t (b, h(b, x)) .

                    Isto mostra que o homeomorfismo H realmente conjuga Ψ e Φ.

                    Deve-se notar a estreita relação existente entre o próximo teorema com o que foi feito para fluxos lineares no capítulo 2, Teorema 2.7.

                    

                  Teorema 5.8. Dois fluxos afim-lineares Ψ e ˜ Ψ satisfazendo as condições i), ii) e iii) do teorema

                    anterior são topologicamente skew conjugados se, se somente se, os fluxos base são topologica- mente conjugados e os subfibrados estáveis de Φ e ˜ Φ possuem a mesma dimensão.

                    Demonstração: De fato, pelo Teorema 2.8, segue que os fluxos Φ e ˜Φ são topolo-

                    gicamente skew conjugados (a conjugação topologica fornecida por tal teorema é, na verdade, skew topológica). Assim, basta aplicar o teorema anterior e ver que, por tran- Ψ sitividade, os fluxos Ψ e ˜ são topologicamente skew conjugados.

                    Vamos agora ver formalmente como um sistema de controle linear define um fluxo afim-linear. Considere o sistema n m ˙x = Ax + Bu, x ∈ R , u ∈ U, com u : R −→ U ⊂ R , sendo U compacto. Sabemos que a solução da parte homogê- nea

                    ˙x = Ax é dada por At ϕ t (u, x) = e x.

                    Fixando o controle u ∈ U, temos que a solução geral de ˙x = Ax + Bu é exatamente t At A Z

                    (t−τ )

                    ψ t (u, x) = e x + e Bu(τ )dτ. (5.2-2) Com isto em mãos, é facil verificar que tal sistema define um fluxo produto cruzado afim-linear da forma n n

                    Ψ : R × U × R −→ U × R (t, u, x) 7−→ (θ t (u), ψ t (u, x)) , onde θ t (u) é o shift em u por t, isto é,

                    θ : R × U −→ U (t, u) 7−→ θ t (u) := u(t + ·) e ψ t (u, x) é a solução dada em (5.2-2). Basta considerar o fluxo produto cruzado linear n n Φ : R × U × R −→ U × R

                    (t, u, x) 7−→ (θ t (u), ϕ t (u, x)) com o mesmo fluxo base descrito acima (shift) e ϕ t (u, x) definida por n n ϕ : R × U × R −→ R At

                    (t, u, x) 7−→ e x juntamente com a aplicação n f : U −→ L (R, R ) u 7−→ f (u, t) := Bu(t) e notar que

                    Z t ψ t (u, x) = ϕ t (u, x) + ϕ t−τ (θ τ (u), f (u, τ )) dτ

                    e, portanto, Z t Ψ t (u, x) = Φ t (u, x) + Φ t−τ (θ τ (u), f (u, τ )) dτ.

                    Como f (u, t + s) = Bu(t + s) = Bθ t u(s) = f (θ s (u), t) , para toda u ∈ U e quase todos t, s ∈ R, segue que Ψ definido deste modo é realmente um fluxo produto cruzado afim-linear.

                    O próximo resultado fornece a classificação topológica para sistemas de controle lineares com respeito à conjugação skew topológica.

                    Teorema 5.9. Considere o sistema de controle n m ˙x(t) = Ax(t) + Bu(t), com x(t) ∈ R e u(t) ∈ U ⊂ R compacto e sejam Ψ e Φ os fluxos associados. Se o fluxo Φ é

                    hiperbólico (ou seja, a matriz A é hiperbólica), então Ψ e Φ são topologicamente conjugados.

                    Dados dois sistemas de controle desse tipo, estes são topologicamente skew conjugados se, e somente se, os fluxos shift no espaço base U são topologicamente skew conjugados e as dimensões dos subfibrados estáveis é a mesma para ambos os sistemas.

                    Demonstração: Este resultado é uma consequência imediata dos teoremas (5.7) e

                    (5.8). Tudo o que devemos fazer é verificar que as hipóteses são plenamente satisfeitas pelo fluxo afim-linear que acabamos de definir.

                    Note que a hiperbolicidade é assumida por hipótese e que a propriedade exigida do termo afim, f (u, t + s) = f (θ s (u), t), já foi demonstrada. Como f(u, t) = Bu(t) é linear, as projeções nos subfibrados estável e instável são determinados pelas projeções de B, e disto segue que as projeções em tais

                    1

                    2

                    subfibrados são ambas lineares. Consequentemente, as projeções f e f satisfazem

                    1

                    1

                    2

                    2 f (u, t + s) = f (θ s (u), t) e f (u, t + s) = f (θ s (u), t).

                    Resta apenas a condição de continuidade das aplicações Z Z

                    1

                    2 u 7−→ ϕ − (θ τ (b), Bu(τ )) dτ e u 7−→ ϕ (θ τ (b), Bu(τ )) dτ. −∞ −∞ τ τ

                    Note que o integrando em Z Z

                    1

                    1 −∞ ϕ − (θ τ (b), Bu(τ )) dτ = ϕ (θ τ (b), Bu(τ )) dτ τ τ

                    é limitado por

                    1 − −

                    1

                    kϕ (θ τ (b), Bu(τ )) k ≤ kΦ (θ τ (u), ·)k · kBu(τ )k τ s αt ≤ K e · sup kBu(τ )k

                    1 − αt τ ∈ U ≤ K e · kBk · sup ku(τ )k.

                    1 τ ∈U

                    Como − − Aτ Aτ kϕ τ (θ τ (u n ), f (u n , τ )) − ϕ τ (θ τ (u ), f (u , τ )) k = ke f (u n , τ ) − e f (u o , τ )k Aτ Aτ = ke B(u n (τ ) − e Bu (τ )k

                    Aτ At = ke B (u (τ ) − u (τ )) k, n a continuidade de e B garante a convergência pontual do integrando em questão

                    quando há a convergência pontual de u n (τ ) para u (τ ) em U. Logo, pelo Teorema da Convergência Dominada de Lebesgue, segue que Z

                    1

                    u 7−→ ϕ − (θ τ (b), Bu(τ )) dτ −∞ τ é contínua. De forma análoga mostramos a continuidade da segunda aplicação. Isto encerra a demonstração.

                    Observação: Veja, por fim, que podemos explicitar a aplicação de conjugação, entre

                    um sistema hiperbólico ˙x = Ax + Bu e sua parte linear ˙x = Ax, a qual é dada por n n H : U × R −→ U × R

                    (u, x) 7−→ ( Id, h), n n −→ R onde Id : U −→ U é a aplicação identidade e h : U × R é dada por h(u, x) = x − e(u, 0), sendo que

                    1 e(u, t) := −A Bu(t).

                    De fato, como − −

                    1

                    1

                    e(θ t (u), 0) = −A θ t (u)(0) = −A Bu(t) = e(u, t) e − −

                    1

                    1

                    Ψ t (u, x) − Ψ t (u, −A Bu(0)) = Φ t (b, x + A Bu(0)) = Φ t (b, x − e(b, 0)), ∀t ∈ R, ou seja, ψ (b, x) − ψ (b, e(b, 0)) = ϕ (b, x − e(b, 0)) , t t t segue que h (θ t (b), ψ t (b, x)) = ψ t (b, x) − e (θ t (b), 0) = ψ t (b, x) − e (b, t) = ψ t (b, x) − ψ t (b, e(b, 0)) = ϕ t (b, x − e(b, 0)) = ϕ t (b, h(b, x)) , o que prova ser H uma conjugação entre Ψ e Φ.

                    

                  APÊNDICE A

                  DUALIDADE E PRODUTO INTERNO

                    Seja X um espaço vetorial sobre um corpo F (R ou C). Ao conjunto de todos os fun- cionas lineares f : X → F damos o nome de espaço dual a X , denotando por X . É rotineiro verificar que X com as operações (f + f )x := f x + f x, f ∈ X , x ∈ F,

                    1

                    2

                    1 2 i

                    (cf )x := c(f x), f ∈ X , x ∈ X , c ∈ F, torna-se espaço vetorial. Se B = {x , . . . , x n } é uma base para X , a base dual correspondente para X é dada

                    1 ′ ′

                    = {f , . . . , f } ⊂ X pelo único conjunto B

                    1 n tal que f i x j = δ ij , i, j = 1, . . . , n.

                    

                  Definição A.1 (Aplicação dual). Se X e Y são espaços vetoriais sobre F e W : X → Y é

                  ′ ′ ′

                    : Y → X linear, definimos sua aplicação dual W pondo ′ ′ W (g) := gW, g ∈ Y .

                    Note que a definição é consistente pois g é uma aplicação de Y em F. Em termos ′ ′ matriciais, verifica-se facilmente que a matriz associada a W na base B é exatamente

                    ′ T

                    ] = [W ] a transposta da matriz associada a W na base B, i.e, [W B . B

                    

                  Definição A.2 (Anulador). Seja R ⊂ X um subespaço vetorial. O anulador de R, denotado

                  ⊥ ′

                    R , é o subespaço de X ⊥ ′ R := {f ∈ X | f (r) = 0 ∀r ∈ R}. ⊥ ′ ⊥ É imediato verificar que {0} = X e X = {0} .

                    Proposição A.3. Se R, S ⊂ X são subespaços vetoriais, então ⊥ ⊥ ⊥ (R + S) = R ∩ S .

                    Demonstração: De fato,

                    f (t) = 0 ∀t ∈ R + S ⇐⇒ f (r + s) = 0, ∀r ∈ R, ∀s ∈ S, ⇐⇒ f (r) + f (s) = 0, ∀r ∈ R, ∀s ∈ S.

                    Em particular, para s = 0 temos f(r) = 0 para todo r ∈ R. Do mesmo modo, para r = 0 vale que f(s) = 0 para todo s ∈ S. Ou seja, ⊥ ⊥ ⊥ f ∈ (R + S) ⇒ f ∈ R ∩ S Por outro lado, ⊥ ⊥ f ∈ R ∩ S ⇒ f (r) = 0 e f(s) = 0, ∀r ∈ R, ∀s ∈ S,

                    ⇒ f (r) + f (s) = 0, ∀r ∈ R, ∀s ∈ S, ⇒ f (r + s) = 0, ∀r ∈ R, ∀s ∈ S, o que prova o desejado.

                    Esta proposição nos diz que a aplicação que leva um subespaço de X em seu anulador (em X ) simplesmente associa o menor subespaço contendo R e S ao maior subespaço

                    ⊥ ⊥ contido em R e S simultaneamente. ⊥ ′ Proposição A.4. Se W : X → Y é linear, então (ImW ) = ker W .

                    Demonstração: De fato, ⊥ ′

                    ( ImW ) = {g ∈ Y | gy = 0, ∀y ∈ ImW } = {g ∈ Y | gW x = 0, ∀x ∈ X } ′ ′ = {g ∈ Y | W gx = 0, ∀x ∈ X } = ker W .

                    Podemos munir o espaço X de um produto interno. Isto permite-nos fazer uma outra identificação de X com seu dual X . Assuma que X seja um espaço vetorial complexo e considere B = {x , . . . , x n } uma

                    1

                    base para X . Se x, y ∈ X são tais que n n

                    X X x = a i x i e y = b i x i , i i

                    

                  =1 =1

                    definimos o produto interno de x por y pondo n

                    X ¯ hx, yi := a i b i . i

                    =1

                    Tal produto é linear na primeira variável e antilinear na segunda variável (o que alguns autores costumam chamar de forma sesquiliear).

                    , . . . , x n } Com a base B = {x

                    1 fixada, podemos induzir um isomorfismo X ≈ X : f 7−→ x que associa para cada f ∈ X o vetor n

                    X x = f (x )x i =1 i i de X . Sob este isomorfismo, podemos identificar X com espaço X e escrever o produto interno hx, yi como f(¯y), onde a barra representa a conjugação de todos os coeficentes de y na base B fixada, de fato n n !

                    X X ¯ ¯ f (¯ y) = f b i x i = b i f (x i ) = hx, yi, i i

                    =1 =1 onde (b , . . . , b n ) são os coeficientes de y na base B.

                  1 Vale observar também que a norma euclidiana de x ∈ X é dada por

                    p p ∗ ′ kxk := hx, xi = (x ) x. Se X é um espaço real munido de produto interno, então W : X → X é dita simé-

                    trica se hx, W yi = hW x, yi para quaisquer x, y ∈ X . Ou, equivalentemente, ′ ′ f (W y) = (W x) y = f W y. O que implica W = W . Portanto, W é simétrica se, e somente se, W = W .

                    Uma aplicação simétrica W é dita positiva definida (W &gt; 0) se hx, W xi &gt; 0 para todo x ∈ X não-nulo. Caso hx, W xi ≥ 0 para todo elemento não-nulo x ∈ X , dizemos que W é positiva semidefinida (W ≥ 0). Pelo Teorema Espectral, cf. [13], W ≥ 0 e hx, W xi = 0 implicam x ∈ ker W .

                    

                  REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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                    337-362 (2007). [4] BRUNOVSKÝ, P. A classification of linear controllable systems. Kybernetika (Prague) 3, 173-187 (1970).

                    [5] CODDINGTON, E. A.; LEVINSON, N. Theory of Ordinary Differential Equations.

                    New York: McGraw-Hill, 1955. [6] DOERING, C. I.; LOPES, A. O. Equações Diferenciais Ordinárias. Coleção Matemá- tica Universitária, 4.ed., Rio de Janeiro: IMPA, 2010.

                    [7] HOFFMAN, K.; KUNZE, R. Linear Algebra. 2.ed. New Jersey: Prentice-Hall, 1971. [8] KUIPER, N. H., The topology of the solutions of a linear differential equation on R n .

                    “Manifolds-Tokyo 1973”, pp. 195-203, Proceedings of the Internarional Confe- rence on Manifolds and Related Topics in Topology, Univ. of Tokyo Press, Tokyo, 1975. [9] ROBINSON, C. Dynamical systems, Stability, Symbolic Dynamics, and Chaos. 2.ed., CRC Press: 1999.

                    [10] SANTANA, A. J.; COLONIUS, F. Topological conjugacy for affine-linear flows and con- trol systems . Communications on pure and applied analysis, volume 10, number 3, pp. 847-857 (2011). [11] SANTANA, A. J.; COLONIUS, F. Stability and topological conjugacy for affine dif- ferential equations . Bol. Soc. Paran. Mat., Essays (3s) volume 26 1-2, pp. 141-151

                    (2008). [12] WILLEMS, J. C. Topological Classification and Structural Stability of Linear Systems. J.

                    Differential Equations 35, pp. 306-318 (1980). [13] WONHAM, W. M. Linear Multivariable Control, a Geometric Approach. Lecture No- tes in Economics, n

                    o 101, New York: Springer-Verlag, 1974.

                    ÍNDICE REMISSIVO

                    índice de Kronecker, 56 anulador, 105 aplicação dual, 104 aplicação induzida, 17, 49 aplicação simétrica, 107 base dual, 104 conjugação, 71 de fluxos, 23 diferencial, 23, 71 linear, 23, 71 skew, 91 topológica, 23, 71 espaço dual, 104 espaço quociente, 15 feedback, 62 equivalência, 62 grupo de transformações de, 61 fibrado vetorial, 87 fluxo, 22 afim-linear, 89 produto cruzado, 89

                    Forma de Brunovský, 53 inércia, 80 de uma matriz, 80 matriz hiperbólica, 26 norma adaptada, 26 par controlável, 50 partição, 53 ponto atingível, 46 fixo, 37 produto interno, 106 projeção canônica, 15 sistema linear homogêneo, 18 solução, 18 subespaço central, 26 estável, 26 instável, 26

                    Teorema de Carathéodory, 17

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