UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA – UDESC CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS – FEJ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA MESTRADO EM AUTOMAÇÃO INDUSTRIAL DISSERTAÇÃO DE MESTRADO

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA – UDESC

CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS – CCT

DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA – DEE

PốS-GRADUAđấO EM AUTOMAđấO INDUSTRIAL Ố PGAI

  

Formação: Mestrado em Automação Industrial

DISSERTAđấO DE MESTRADO OBTIDA POR

  

Leo Schirmer

M M O O D D E E L L A A G G E E M M D D

  

O

O

R R O O B B O O T T H H R R O O N N

  • - - U U M M M M A A N N

  I I P P U U L L A A D D O O R R D D E E B B A A R R R R A A S S P P A A R R A A L L E E L L A A S S Apresentada em 11/02/2005 perante a Banca Examinadora: Prof. Dr. Silas do Amaral – Orientador – CCT/UDESC

  Prof. Dr. Alcy Rodolfo dos Santos Carrara – PUCPR Prof. Dr. Marcelo Teixeira dos Santos - IST Prof. Dr. Marcelo da Silva Hounsell – CCT/UDESC

  UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA – UDESC CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS – FEJ DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA ELÉTRICA MESTRADO EM AUTOMAđấO INDUSTRIAL DISSERTAđấO DE MESTRADO Mestrando: LEO SCHIRMER M O D E L A G E M D O R O B O T H R O - N M O D E L A G E M D O R O B O T H R - O N U M M A N

  I P U L A D O R D E B A R R A S P A R A L E L A S U M M A N

  I P U L A D O R D E B A R R A S P A R A L E L A S

  Dissertação submetida à Universidade do Estado de Santa Catarina como parte dos requisitos para a obtenção do grau de Mestre em Automação Industrial.

  Joinville, 11 de Fevereiro de 2005.

  FICHA CATALOGRÁFICA

  NOME: SCHIRMER, LEO DATA DA DEFESA: 11/02/2005 LOCAL: Joinville, CCT/UDESC

NÍVEL: Mestrado Número de ordem: 19 – CCT/UDESC

FORMAđấO: Automação Industrial ÁREA DE CONCENTRAđấO: Automação e Informática Industrial TÍTULO: MODELAGEM DO ROBTHRON – UM MANIPULADOR DE BARRAS

  PARALELAS

  PALAVRAS - CHAVE: Manipulador Robótico de Barras Paralelas; Modelagem Cinemática; Notação de Sheth-Uicker; Modelagem Mecânica Dinâmica; Estrutura de Barras Paralelas.. NÚMERO DE PÁGINAS: 103 p. CENTRO/UNIVERSIDADE: Centro de Ciências Tecnológicas da UDESC PROGRAMA: Mestrado em Automação Industrial CADASTRO CAPES: ORIENTADOR: Dr. Silas do Amaral PRESIDENTE DA BANCA: Dr. Silas do Amaral MEMBROS DA BANCA: Dr. Alcy Rodolfo Dos Santos Carrara

  Dr. Marcelo Teixeira dos Santos Dr. Marcelo da Silva Hounsell

   Deus,

à Mara, minha esposa,

a toda minha família.

  Agradecimentos Inicialmente, quero agradecer a Deus, por estar sempre me iluminando e protegendo durante toda minha vida;

  Agradeço, também, aos professores Silas do Amaral e Alcy Rodolfo Carrara, por

sua dedicação, orientação, paciência, que contribuíram enormemente para a elaboração

desta dissertação; Aos colegas de trabalho, em especial ao Jackson C. Leal e ao Klaus Ziegler pelos auxílios prestados com no cad.;

À minha esposa, Mara Schirmer, por sua compreensão, paciência e companheirismo;

  Finalmente, não posso deixar de agradecer a todos aqueles, que de uma forma ou

de outra contribuíram para a conclusão deste trabalho, permitindo alcançar os objetivos

propostos.

  

SUMÁRIO

  2.3 E STRUTURA DO B RAÇO E DA B ASE DO R OBOTHRON ............................................ 19

  3.5 PARÂMETROS DENAVIT-HARTENBERG PARA O MANIPULADOR ROBOTHRON ................................................................................................................ 43

  3.4 NOTAđấO E PARÂMETROS DE DENAVIT-HARTENBERG...................... 39

  3.3 CINEMÁTICA DIRETA DO ROBOTHRON .................................................... 32

  3.2.5 Cinemática Direta da Cadeia Fechada............................................................. 32

  3.2.4 Transformação entre Elos................................................................................ 30

  3.2.3 Numeração dos Corpos e das Juntas ............................................................... 29

  3.2.2 Descrição das Juntas........................................................................................ 28

  3.2.1 Descrição dos Elos........................................................................................... 26

  3.2 NOTAđấO E PARÂMETROS DE SHETH-UICKER....................................... 26

  3.1 ESPAÇO DOS ATUADORES E ESPAÇO DE JUNTAS................................... 25

  

3. CINEMÁTICA PARA MECANISMOS COMPLEXOS....................................... 24

  2.2 A HISTÓRIA DO ROBOTHRON....................................................................... 14

  

1. INTRODUđấO ........................................................................................................... 1

  2.1.5 Estrutura do Robô............................................................................................ 12

  2.1.4 Sensores de Posicionamento e Movimento Rotacional................................... 11

  2.1.3 Atuadores......................................................................................................... 11

  2.1.2 Sistemas de transmissão .................................................................................. 10

  2.1.1 Elementos do Manipulador................................................................................ 8

  2.1 ANATOMIA E COMPONENTES DE ROBÔS MANIPULADORES................. 8

  

2. ROBOTHRON E SUA ESTRUTURA ...................................................................... 8

  1.4 ORGANIZAđấO DO TEXTO ............................................................................. 6

  1.3 PROPOSTA DO TRABALHO.............................................................................. 4

  1.2 DEFINIđấO DE ROBÔ........................................................................................ 3

  1.1 BREVE HISTÓRICO DA ROBÓTICA ................................................................ 1

  3.6 OUTRAS FORMAS DE REPRESENTAđấO DA ORIENTAđấO.................. 46 3.6.1 Ângulos de Euler ............................................................................................. 47 3.6.2 Ângulos RPY (Rolamento, Arfagem e Guinada) ............................................ 48

  

4. CINEMÁTICA INVERSA DO MANIPULADOR ROBOTHRON ..................... 53

  7.3 ESTRUTURA ARTICULADA........................................................................... 90

  6.2.2 Torques nas Juntas........................................................................................... 81

  6.3 PRINCIPAIS MOMENTOS NO ANTEBRAÇO DO MANIPULADOR ROBOTHRON ................................................................................................................ 82

  7. DINÂMICA DO MANIPULADOR COM ESTRUTURA DO TIPO

PARALELOGRAMO ....................................................................................................... 85

  7.1 INTRODUđấO................................................................................................... 85

  7.2 ANÁLISE DINÂMICA DA ESTRUTURA POLAR .......................................... 87

  7.2.1 Dinâmica.......................................................................................................... 87

  7.2.2 Observações..................................................................................................... 90

  7.3.1 Dinâmica.......................................................................................................... 91

  6.2 ANÁLISE DAS FORÇAS E MOMENTOS ........................................................ 79

  7.3.2 Observações..................................................................................................... 93

  7.4 ESTRUTURA DO PARALELOGRAMO .......................................................... 94

  7.5 D

  INÂMICA DO

  R

  OBOTHRON

  .................................................................................. 96

  6.2.1 Balanço das Forças e Momentos ..................................................................... 79

  6.1 INTRODUđấO................................................................................................... 79

  4.1 CINEMÁTICA

  INVERSA PARA 5 ....................................... 61

  INVERSA DESACOPLADA.................................................... 55

  4.2 SOLUđấO DA CINEMÁTICA

  INVERSA PARA 1 ....................................... 56

  4.3 SOLUđấO DA CINEMÁTICA

  INVERSA PARA

  3 E 2 ............................... 58

  4.4 SOLUđấO DA CINEMÁTICA

  4.5 SOLUđấO DA CINEMÁTICA

  

6. ESTÁTICA................................................................................................................. 79

  INVERSA PARA 4 ....................................... 63

  4.6 SOLUđấO DA CINEMÁTICA

  INVERSA PARA 6 ....................................... 63 4.7 ÁRVORE DE SOLUđỏES ................................................................................. 64

  4.8 SIMULAđỏES DA CINEMÁTICA

  INVERSA ................................................. 65

  

5. CINEMÁTICA DIFERENCIAL ............................................................................. 69

  5.1 JACOBIANO DE UM MANIPULADOR........................................................... 69

  5.2 SINGULARIDADES .......................................................................................... 76

  7.5.1 Análise para o Elo 1 ........................................................................................ 96

  7.5.2 Análise para o Elo 2 ........................................................................................ 97

  7.5.3 Análise para o Elo 3 ........................................................................................ 97

  7.5.4 Análise para o Elo 4 ........................................................................................ 98

  

CONCLUSÕES GERAIS ............................................................................................... 102

PROPOSTAS PARA TRABALHOS FUTUROS......................................................... 103

APÊNDICES ........................................................................................................................ 1

  L P M

  V M ................................................................ 1

  ISTAGEM DE ROGRAMAS APLE E ATLAB

  M ATRISES PARA C

  INEMÁTICA

  I NVERSA E PARA O J ACOBIANO ........................................... 1 D ESENHOS DO R OBOTHRON ................................................................................................ 6

  

ANEXOS .............................................................................................................................. 1

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS .............................................................................. 2

  

LISTA DE ILUSTRAđỏES

  Figura 1 - Manipulador Robothron........................................................................................ 5 Figura 2 – Punho esférico do Robothron............................................................................... 6 Figura 3 - (a) Juntas rotacional e (b) prismática.................................................................... 9 Figura 4 Elos e Articulações............................................................................................... 9 Figura 5 Cadeias cinemáticas (a) serial; (b) fechada e (c) em árvore............................... 10 Figura 6 - (a) Fuso de esferas recirculantes; (b) polia e correias dentada ........................... 10 Figura 7 – Codificadores digitais de posição (a) absoluto; (b) incremental........................ 12 Figura 8 - (a) modelo do resolver; (b) tensões no primário e secundários .......................... 12 Figura 9 - Diagrama em blocos de um Robô....................................................................... 13 Figura 10 – (a) Concepção da base, ombro e cotovelo do Robothron;(b) Punho................ 15 Figura 11 – Manipulador AS100 que utiliza fuso de esferas recirculantes ......................... 16 Figura 12 – Esboço do manipulador com acionador de fuso de esferas recirculantes ........ 16 Figura 13 – Mecanismo de transmissão redutor harmônico................................................ 17 Figura 14 – Acionamento das juntas 2 e 3 utilizando correia dentada................................ 18 Figura 15 – Mecanismo do manipulador Robothron........................................................... 19 Figura 16 – Modelo do Robothron em madeira .................................................................. 20 Figura 17 – Representação 3D do manipulador do Robothron com paralelogramo ........... 20 Figura 18 – Manipulador Robothron................................................................................... 21 Figura 19 – (a)Antebraço e braço (b) paralelogramo .......................................................... 22 Figura 20 – Elementos das juntas 2, 3 e elo 1 ..................................................................... 22 Figura 21 – (a) Eixo, (b) mancal e (c) adaptador da base.................................................... 23 Figura 22 – Base do manipulador........................................................................................ 23 Figura 23 – A notação de Sheth-Uicker .............................................................................. 27 Figura 24 – (a)Junta de revolução e (b) junta prismática .................................................... 28 Figura 25 - Manipulador com duas cadeias fechadas e dois efetuadores finais .................. 29 Figura 26 - Numeração de corpos e juntas para o manipulador da Figura 25..................... 30 Figura 27 – Numeração dos corpos, elos e juntas para o manipulador ............................... 33 Figura 28 – Sistemas coordenados ligados aos elos e às juntas do manipulador ................ 34 Figura 29 – Gráficos das posições X e Y em função de q ................................................. 37

  1 Figura 30 – (a) Contornos horizontal e (b) vertical do Espaço de Trabalho ....................... 37

  Figura 31 - Volume de trabalho do manipulador ................................................................ 38

  Figura 33 – Modelo simplificado dos elos e juntas do Robothron...................................... 40 Figura 34 – Notação de Denavit-Hartenberg....................................................................... 40 Figura 35 – Sistema de eixos coordenados do Robothron .................................................. 42 Figura 36 - Volume de trabalho usando D-H ...................................................................... 46 Figura 37 - Representação dos ângulos de Euler................................................................. 47 Figura 38 - Rotações (a) ! em torno de Z, (b) em torno de Y e (c) " em torno de X...... 48 Figura 39 - Sistemas Coordenados da Base e do Efetuador Final....................................... 49 Figura 40 – Grafo representando as multiplicações das matrizes homogêneas .................. 54 Figura 41 – Representação das articulações do manipulador Robothron............................ 55 Figura 42 - Representação gráfica dos vetores de posição do punho e efetuador final....... 56 Figura 43 – Grafo representativo da equação (4.5) ............................................................. 57 Figura 44 – Vista superior do modelo como punho desacoplado........................................ 57 Figura 45 – Representação gráfica das origens das articulações do ombro e punho........... 59 Figura 46 – Grafo das operações de determinação dos ângulos do cotovelo e ombro........ 59 Figura 47 – Grafo representativo das transformações do punho......................................... 62 Figura 48 – Grafo representativo das transformações necessárias para obter ................ 64

  6 Figura 49 – Árvore de soluções para a cinemática inversa ................................................. 65

  Figura 50 - Trajetórias das juntas da base ........................................................................... 67 Figura 51 – Movimento do efetuador final devido a i-ésima junta ..................................... 72 Figura 52 - Alinhamento dos eixos Z e Z causa singularidade......................................... 77

  4

  6 Figura 53 - Singularidade de .......................................................................................... 78

  1 Figura 54 - Forças e Momentos atuantes no elo i................................................................ 80

  Figura 55 - Forças e momentos exercidos nas extremidades do manipulador .................... 81 Figura 56 - Representação do manipulador na situação crítica referente a estática ............ 83 Figura 57 - Manipulador Polar ............................................................................................ 87 Figura 58 - Manipulador planar de 2 graus de liberdade com cadeia serial........................ 91 Figura 59 - Estrutura simplificada tipo Paralelogramo ....................................................... 95 Figura 60 - Estrutura de Paralelogramo do manipulador .................................................... 96 Figura 61 - Dados do antebraço......................................................................................... 101

  

Figura C62 - Cotas do punho Robothron .............................................................................. 6

Figura C63 - Cotas do braço do Robothron........................................................................... 8

  

LISTA DE TABELAS

Tabela 3.1 – Parâmetros de Sheth-Uicker para o Robothron .............................................. 34Tabela 3.2 – Parâmetros de Denavit-Hartenberg para o manipulador Robothron .............. 43Tabela 4.1 – Ângulos das juntas e correspondente matriz de transformação homogênea .. 66Tabela 4.2 – Simulação da cinemática direta e inversa e o erro correspondente ................ 66Tabela 4.3 – Simulação da cinemática direta a partir da inversa calculada ........................ 66Tabela 4.4 – Simulação da cinemática direta a partir da inversa calculada ........................ 67

  Resumo da Dissertação apresentada à UDESC como parte dos requisitos necessários para obtenção do grau de Mestre em Automação Industrial.

  

MODELAGEM DO ROBOTHRON -

UM MANIPULADOR DE BARRAS PARALELAS

LEO SCHIRMER

  Fevereiro/2005 Orientador: Silas do Amaral, Dr.

  Área de Concentração: Automação e Informática Industrial. Palavras-chave: Manipulador Robótico de Barras Paralelas; Modelagem Cinemática; Notação de Sheth-Uicker; Modelagem Mecânica Dinâmica, Estrutura de Barras Paralelas.

  Número de Páginas: 103 O trabalho aborda a modelagem do manipulador robótico articulado de seis graus de liberdade, concebido para fins educacionais. São apresentadas a estrutura, a anatomia e os componentes robóticos, como sistemas de transmissão, atuadores e sensores utilizados em robôs manipuladores. São descritas a estrutura da base e do antebraço do Robothron. É estudada a modelagem por cinemática direta através das notações de Sheth-Uicker e também a de Denavit-Hartenberg. São apresentadas simulações e os gráficos do espaço de trabalho do Robothron para validar as equações da cinemática direta. A cinemática inversa deste manipulador é estudada e acompanhada de simulações. A cinemática diferencial apresenta o Jacobiano do manipulador e suas singularidades. No capítulo referente a análise das forças estáticas e momentos, são determinados os parâmetros dos sistemas de transmissão para as articulações do ombro e do cotovelo. A análise dinâmica estuda três configurações de manipuladores, são determinadas as equações dos torques nas articulações do ombro e do cotovelo do Robothron.

  Abstract of Dissertation presented to UDESC as a partial fulfillment of requirements for the degree of Master in Industrial Automation.

  

ROBOTHRON MODELING –

A PARALEL BARS MANUPULATOR

LEO SCHIRMER

  February/2005 Advisor: Silas do Amaral, Dr.

  Area of Concentration: Industrial Informatics and Automation. Keywords: Robot Manipulator; Kinematics Modeling; Sheth-Uicker Notation; Dynamic. Number of Pages: 103

  The work approaches the modeling of the articulated robotic manipulator with six degrees of freedom, conceived for educational ends. It’s presented the structure, the robotic anatomy and components, as systems of transmission, actuators and sensors used in manipulating robots. The arm and base structure of the Robothron manipulator are described. The forward kinematics modeling by Sheth-Uicker and also Denavit-Hartenberg notations are studied. The Robothron workspace simulations graphs are presented to validate the forward kinematics equations. The inverse kinematic manipulator is studied and simulation are presented. The diferential kinematic present the manipulator Jacobian and its singularities. The of the static forces and moments analysis are used to determinate the joints transmission parameters systems for shoulder and elbow. The dynamic analysis studies three manipulators configurations and the joints torques equations to the Robothron shoulder and the elbow are determined.

  Capítulo 1

  INTRODUđấO 1.

  A automação ocupa lugar importante nas mais diversas atividades industriais. A robótica, em particular, está presente em um número cada vez maior de aplicações industriais, realizando tarefas difíceis ou impossíveis para os operadores, aumentando a precisão, a produtividade, a flexibilidade, reduzindo custos, dentre outras vantagens. Os robôs manipuladores iniciaram uma revolução industrial em setores tais como: manipulação de materiais, soldagem, montagens, pintura, etc. [1].

  As indústrias nacionais aplicam uma quantidade relativamente reduzida de robôs em seus parques fabris comparando-se com as de países desenvolvidos. O mercado de robôs no Brasil está defasado se comparado com o potencial de sua economia, pois, enquanto a Espanha possui em torno de 4.000 robôs industriais, o Brasil só possui 850 unidades (dado de 1997). Os robôs instalados em nossas indústrias são importados de países da Europa, América do Norte e Japão, entre os fabricantes nacionais destacam-se a Villares-Hitachi, a Metrixer e a Romi. O Brasil precisa avançar mais na área da robótica por ser uma área estratégica, considerando as vantagens que o uso de robôs proporcionam para a indústria, tornando-a mais competitiva [2].

  Este trabalho pretende mostrar algumas das etapas como a modelagem cinemática e dinâmica do anteprojeto do braço de um manipulador robótico.

1.1 BREVE HISTÓRICO DA ROBÓTICA

  O grau de desenvolvimento tecnológico, adquirido ao longo da história da civilização ocidental, está diretamente associado ao conceito de evolução humana. A motivação de se criar máquinas para realizar o trabalho humano é característica da cultura ocidental. Diversas invenções propiciaram o conhecimento tecnológico necessário para substituir gradualmente o trabalho humano pela máquina, algumas das quais originaram a

  2 apresentados, em ordem cronológica, alguns dos fatos e dispositivos da história recente que mais influenciaram na formação desta nova ciência [4]:

  Joseph Marie Jacquard (1801) - desenvolvimento do tear programável através de cartões perfurados. A invenção de Jacquard é o primeiro dispositivo programável de que se tem notícia e foi tomado como base para o desenvolvimento de outros dispositivos programáveis desenvolvidos posteriormente.

  1 .

  Chistopher Spencer (1830) - invenção do torno programável por cames Seward Babbitt (1892) - invenção do guindaste motorizado. Willard Pollard e Harold Roselund (1938) - projeto do primeiro mecanismo de movimentação de pistola de pintura programável para a companhia Devilbiss. George C. Devol (1946) - patenteia dispositivo para manuseio de materiais, com "memória programável". Raymond Goetz (1951) - projeta um manipulador remoto, um dispositivo mestre-escravo utilizado para movimentar materiais perigosos - radioativos. Em 1952 é construída pelo Laboratório de Servomecanismos do Instituto de Tecnologia de Massachusetts (MIT) a primeira máquina-ferramenta controlada por comando

  2 numérico (máquina NC ).

C. W. Kenward (Inglaterra, 1954) - requer a patente da invenção do primeiro robô.

  George C. Devol (E.U.A.,1954) projeta e desenvolve o robô para transferência programada de peças para a Unimate. Esse dispositivo teve origem na combinação de duas novas tecnologias: o comando numérico e o manipulador remoto. A tecnologia NC permitia coordenar o funcionamento de uma máquina-ferramenta através da informação armazenada em programa. A aplicação dessa característica das máquinas NC em um manipulador remoto permitiu, então, a Devol criar um manipulador que pudesse ser programado e que funcionasse sem que uma pessoa o comandasse remotamente [5]. Planet Corporation (1959) - introduz o primeiro robô comercial para movimentação de peças, controlado por chaves fim-de-curso e cames. É lançado o primeiro robô Unimate hidráulico, pela Unimation (1960). Versatran - primeiro robô cilíndrico, projetado por Harry Johnson e Veljko Milenkovic é introduzido no mercado pela American Machinery Foundry Corporation. 1 Came é uma haste que transforma movimento circular em movimento retilíneo ou rotatório alternado. General Motors (1962) - instalação do primeiro robô industrial (Unimation) na linha de

  3 produção. Aplicação das transformações homogêneas a cinemática do robô (1965). Desenvolvimento do braço robótico elétrico na universidade de Stanford (1970). Lançamento do primeiro robô industrial controlado por minicomputador, T3, projeto de Richad Hohn, na Cincinnati Milacrom (1973).

  Em 1974, nos EUA, o professor Victor Scheinman, projetista do robô de Stanford, comercializa a versão industrial para este modelo. Desenvolvimento do robô PUMA - (Programmed Universal Machine for Assembly) pela Unimation (1978). Desenvolvimento do robô SCARA (Selective Compliance Arm for Robotic Assembly), pela universidade Yamanashi (Japão,1979).

  Todos estes fatos e invenções citadas, como o tear programável por cartões de Jacquard que deu origem aos dispositivos programáveis, o torno programável por cames de Spencer que deu origem as máquinas-ferramenta, o guindaste motorizado de Babbit que deu início aos estudos de articulações motorizadas, o mecanismo com memória programável para movimentação de materiais, associado ao conceito das máquinas- ferramenta, inspiraram Devol a projetar e desenvolver o robô para a Unimate.

  Estas e as demais invenções, as aplicações de conceitos e conhecimentos citados é que possibilitaram o desenvolvimento de dispositivos manipuladores robóticos, hoje fazem parte da ciência da Robótica.

1.2 DEFINIđấO DE ROBÔ

  Muitas empresas e instituições em países diversos construíram robôs e os principais fabricantes adotaram a sua própria definição do que vem a ser um robô. Três definições atuais de importantes associações na área de robótica são dadas a seguir:

  Definição de robô pela ISO 8373:1994" [6]:

  "Um robô industrial é definido como um manipulador programável em três ou

mais eixos, controlado automaticamente, reprogramável e multifuncional".

  Segundo o Instituto de Robôs da América RIA - Robot Institute of América [1], um robô pode ser definido como sendo:

  “Um manipulador reprogramável e multifuncional projetado para mover e

  4

  manusear materiais, peças, ferramentas, ou dispositivos especiais capazes de desempenhar uma variedade de tarefas através de movimentos variáveis programados”.

  A Associação Japonesa de Robôs Industriais, "Japanese Industrial Robot Association (JIRA)" [7], define robô de forma mais ampla: “Um dispositivo com graus de liberdade que pode ser controlado”.

  Além disso, divide os robôs nas seis classes seguintes: Classe 1: Robôs manipulados são dispositivos com vários graus de liberdade operados manualmente; Classe 2: Robôs de seqüência fixa são dispositivos manipuladores que desempenham sucessivas tarefas de acordo com um método predeterminado e imutável, muito difícil de ser modificado;

  Classe 3: Robôs de seqüência variável, dispositivos que desempenham tarefas sucessivas que podem ser facilmente modificadas; Classe 4: Robôs repetitivos são dispositivos que repetem uma seqüência de tarefas gravadas e são conduzidos ou controlados por operador humano; Classe 5: Robôs de controle numérico são robôs onde o operador programa os movimentos; Classe 6: Robôs inteligentes apresentam a capacidade de compreender seu ambiente e a habilidade de terminar tarefas apesar das mudanças nas circunstâncias.

  O Instituto de Robótica da América (RIA) considera como robôs apenas as três últimas destas classes

1.3 PROPOSTA DO TRABALHO

  Em 1994, a SOCIESC recebeu uma proposta de uma empresa para a aquisição de uma unidade de um sistema robotizado didático. A proposta da compra não despertou um interesse na época, além do elevado custo inicial de implantação, pois a aquisição do sistema pronto não permitiria o domínio de sua tecnologia com a mesma excelência que o desenvolvimento de um projeto próprio permite.

  5 laboratoriais nas áreas de mecânica, metalurgia e outros, bem como os recursos humanos disponíveis viabilizariam a execução de um projeto próprio.

  Pretende-se que o robô projetado apresente alta capacidade de carregamento, alta velocidade de movimentação e boa precisão de posicionamento do efetuador, baixo custo e que seja adequado às aplicações industriais. Para que o robô tenha versatilidade cinemática satisfatória, propõe-se um mecanismo articulado com seis graus de liberdade, uma classe de robôs com ampla utilização nas atividades industriais.

  A execução do projeto traz vantagens como o domínio de tecnologias nas áreas de Engenharia Mecânica e Elétrica, Informática, Controle e principalmente a Robótica, oferecendo condições para formação de técnicos capacitados com conhecimento nas referidas áreas.

  O Robothron é um robô articulado de seis graus de liberdade. É concebido como

  3

  um robô para fins educacionais. Um protótipo do punho esférico RPR já foi construído e para o acionamento da junta do cotovelo será projetado um mecanismo paralelo de quatro barras representada na Figura 1.

  Este trabalho aborda o desenvolvimento do anteprojeto do braço para a sustentação e movimentação do punho já existente [8].

  Figura 1 - Manipulador Robothron 3 Fonte: o autor

  Punho RPR (Roll-Pitch-Roll) realiza uma seqüência de movimentos de rotação, arfagem e rotação do

  6 O projeto do Robothron iniciou-se com a construção do punho esférico do manipulador, conforme a Figura 2.

  Figura 2 – Punho esférico do Robothron Fonte: Dokonal, C. V.

  Depois de concluído o projeto e execução do antebraço, o robô atuará como uma ferramenta didática no ensino da robótica e demais áreas do conhecimento tecnológico.

1.4 ORGANIZAđấO DO TEXTO

  O presente trabalho está organizado em sete capítulos mais os três apêndices e dois anexos. O texto inicia-se pela presente introdução, que apresenta um breve histórico de acontecimentos recentes que originaram a robótica, a definição de robô de acordo com três entidades representativas dos maiores fabricantes, os objetivos e a organização deste trabalho.

  No capítulo 2, são descritos alguns dos componentes elementares e aspectos construtivos de manipuladores robóticos. São apresentados os conceitos de cadeia cinemática aberta e fechada de robôs manipuladores, bem como os sistemas de transmissão, atuadores e sensores responsáveis pela movimentação dos elos de manipuladores robóticos. É relatada a história do robô Robothron. O capítulo encerra-se com a exposição detalhada e desenhos das partes componentes do braço do manipulador.

  O capítulo 3 aborda a cinemática para mecanismos complexos, apresentando conceitos de espaço dos atuadores e de espaço das juntas. Também é apresentada a notação de Sheth-Uicker, com a descrição dos elos e das juntas e seus parâmetros, a numeração dos elos e as transformações entre estes. Também é apresentada a cinemática para mecanismos de cadeia fechada. Também são aplicados os parâmetros de Sheth-Uicker à cinemática

  7 direta do Robothron. Outra modelagem cinemática apresentada envolve a cinemática direta com seus parâmetros de Denavit-Hartenberg. Ao final do capítulo são apresentadas três formas representativas da orientação do efetuador final e simulações em Matlab.

  No capítulo 4 é apresentado cálculo da cinemática inversa do manipulador Robothron, que consiste em determinar os ângulos de cada uma das articulações partindo- se de uma posição e orientação do efetuador final bem conhecidas. São apresentadas também as comprovações da cinemática inversa obtidas as simulações em computador.

  O capítulo 5 aborda o cálculo da cinemática diferencial onde são obtidas as equações do jacobiano geométrico e as singularidades do Robothron. O capítulo 6 aborda a estática do manipulador e nele são determinados as forças e os momentos utilizados para dimensionar os sistemas de transmissão e os atuadores. O capítulo 7 inicia-se com uma abordagem da dinâmica do manipulador polar com dois graus de liberdade, é abordada a dinâmica do manipulador planar de dois elos e completa-se com a dinâmica do paralelogramo que compõem o antebraço Robothron.

  O capítulo 8 apresenta as conclusões a respeito da presente estrutura do manipulador do Robothron. A dissertação é complementada com três apêndices: o primeiro apresenta as listagens das rotinas para a determinação da cinemática direta usando a notação de Sheth-

  Uicker com os programas Maple e Matlab. O segundo apêndice contém matrizes utilizadas na obtenção da cinemática inversa e do Jacobiano e o terceiro apêndice apresenta desenhos com cotas do manipulador Robothron elaborados no Autocad. O anexo mostra os desenhos dos redutores harmônicos.

  CAPÍTULO 2 ROBOTHRON E SUA ESTRUTURA 2.

  Neste capítulo são descritos aspectos construtivos de manipuladores robóticos e com a apresentação da anatomia e componentes de robôs manipuladores. São apresentados sistemas de transmissão, atuadores e sensores de movimento responsáveis pela movimentação de manipuladores robóticos. Também é relatada a história do robô Robothron. O capítulo completa-se com uma exposição detalhada das partes componentes do braço deste manipulador.

2.1 ANATOMIA E COMPONENTES DE ROBÔS MANIPULADORES

  Os robôs manipuladores são estruturas mecânicas de geometria variada, compostos, na sua maioria por corpos rígidos, articulados entre si, com a finalidade de sustentar e posicionar um dispositivo terminal, como uma garra ou uma ferramenta especializada que entra em contado com o processo [9].

2.1.1 Elementos do Manipulador

  Um robô é composto de um manipulador, uma unidade de controle e uma unidade de programação. O manipulador compõe-se de corpos rígidos como uma base, um braço e um punho que traz em sua extremidade o efetuador final. O efetuador final é a ferramenta, garra de manipulação ou dispositivo que realiza trabalho externo ao robô. Estes corpos rígidos, denominados elos, são interligados por articulações ou juntas móveis que proporcionam os movimentos relativos entre os elos. O movimento relativo que uma junta pode realizar num espaço tridimensional denomina-se grau de liberdade. As juntas podem ser rotacionais e translacionais ou prismáticas. As juntas rotacionais (Figura 3a) possibilitam movimentos de giro dos elos em torno de um eixo de rotação. Já as juntas prismáticas (Figura 3b), permitem o movimento linear entre dois elos alinhados um dentro do outro. O elo interno escorrega pelo elo externo originando o movimento linear.

  (a) (b)

  Figura 3 - (a) Juntas rotacional e (b) prismática Fonte: o autor

  A Figura 4 apresenta a disposição da montagem dos elos conectados por juntas compondo a cadeia cinemática de um manipulador.

  Articulações ou Juntas Elos

  Figura 4 Elos e Articulações Fonte: o autor

  Se os elos estão dispostos em série, então a cadeia de elos é dita aberta. Por outro lado, se estes formam um laço fechado, tem-se uma cadeia cinemática fechada. A classificação dos robôs, referente aos tipos de cadeias de elos ou cadeias cinemáticas, é apresentada a seguir:

  Cadeia cinemática serial: É definida como uma seqüência de elos e articulações,

  sempre existindo um elo entre duas articulações. A Figura 5a exibe um manipulador com cadeia cinemática serial.

  Cadeia cinemática fechada: É definida como uma seqüência de elos conectados por

  articulações que formam uma estrutura de malha fechada. Figura 5b exibe um manipulador com cadeia cinemática em formato de paralelogramo. vários órgãos terminais. A Figura 5c exibe um manipulador com cadeia cinemática em formato de árvore [4].

  (a) (b) (c)

  Figura 5 Cadeias cinemáticas (a) serial; (b) fechada e (c) em árvore Fonte: o autor Os dois últimos tipos são classificados como cadeias cinemáticas complexas [4].

  Para movimentar a cadeia cinemática, independente da forma da sua estrutura, são utilizados atuadores e sistemas de transmissão.

2.1.2 Sistemas de transmissão

  Os sistemas de transmissão são dispositivos que transmitem a energia mecânica gerada nos atuadores para os elos. Eles permitem realizar a movimentação dos elos nas articulações. Os sistemas de transmissão são compostos de engrenagens, fusos de esferas recirculantes (Figura 6-a), correias e polias dentadas (Figura 6-b), correntes, cabos, fitas de

  4 aço e engrenagens harmônicas ou redutores harmônicos .

  (a) (b)

  Figura 6 - (a) Fuso de esferas recirculantes; (b) polia e correias dentada Fonte: Telecurso 2000

  Estes dispositivos influenciam diretamente a rigidez e a eficiência operacional, importantes características de funcionamento do manipulador. ADADE, 1999 define rigidez como a resistência oferecida por um corpo a deformações quando submetido a esforços. Assume-se que os elos são considerados corpos rígidos para a grande maioria dos manipuladores industriais.

  2.1.3 Atuadores

  Os atuadores são dispositivos que convertem a energia elétrica, hidráulica ou pneumática, em energia mecânica e através dos sistemas de transmissão possibilitam o posicionamento e movimentação dos elos.

  Os atuadores hidráulicos e pneumáticos podem proporcionar movimentos lineares ou angulares. Ambos são comandados por válvulas direcionais que orientam a passagem do fluido sob pressão. Tanto os atuadores hidráulicos, como pneumáticos necessitam de unidades de compressão do fluido que transmitem energia para o sistema [10].

  Os atuadores eletromagnéticos são representados por motores elétricos. Os motores elétricos utilizados podem ser de corrente contínua, motores de passo ou servomotores de corrente alternada. Estes atuadores utilizam circuitos eletrônicos complexos para o acionamento, que são circuitos de eletrônica de potência.

  2.1.4 Sensores de Posicionamento e Movimento Rotacional

  Os sensores são dispositivos que medem as grandezas envolvidas nos movimentos e forças aplicadas pelos atuadores aos elos do robô. Os sensores que medem o posicionamento e velocidade dos motores são os codificadores digitais de posição (encoders) ou resolvers.

  Os codificadores digitais de posição são dispositivos eletromecânicos que convertem a rotação angular em sinais digitais através da codificação da posição num disco óptico [11]. Os codificadores digitais absolutos (Figura 7-a) possuem um único sistema de codificação para cada posição do disco óptico, já os codificadores incrementais (Figura 7- aumentar a resolução e determinar a direção do giro[7] [12].

  (a) (b)

  Figura 7 – Codificadores digitais de posição (a) absoluto; (b) incremental Fonte: http://www.diadur.com/phaise2/incenc.html

  Os resolvers são sensores analógicos cujo funcionamento elétrico assemelha-se ao dos transformadores. São constituídos de um enrolamento primário (rotor), alimentado com tensão C.A. de freqüência constante, e dois enrolamentos secundários (estatores) defasados fisicamente de 90º cujas tensões induzidas são proporcionais à posição do eixo [13] [9].

  (a) (b)

  Figura 8 - (a) modelo do resolver; (b) tensões no primário e secundários Fonte: www.mechatronik.uni-duisburg.de/..../robo_23.html - acesso: 26/05/2004

  Os resolvers determinam a posição absoluta e devido a característica analógica, a sua resolução e precisão são limitadas apenas pela eletrônica do circuito.

2.1.5 Estrutura do Robô

  A estrutura do manipulador está conectada a uma unidade de controle e programação. O sistema de programação instalado na memória do computador dentro da unidade de controle é acessado por meio do painel remoto de programação. Através deste painel são inseridos os programas para o controle dos movimentos do manipulador e do efetuador final [11]. A Figura 9 exibe um diagrama em blocos da estrutura funcional de um robô manipulador.

  Painel Remoto de Programação CPU

  Memória de

  Controle

  Sensores

  Atuadores e Acionadores Articulações /

  Juntas Efetuador Final / Ferramentas

  Figura 9 - Diagrama em blocos de um Robô Fonte: SPONG, 1989

  O computador (CPU) de controle, composto por microprocessadores, co- processadores matemáticos e unidades de memórias, processa os programas através do sistema de controle, convertendo-os em sinais elétricos de comando para o sistema de acionamento dos atuadores que movimentam os elos através das transmissões e realizam os movimentos. O sistema de controle calcula o torque necessário para os atuadores e sincroniza os movimentos nas juntas garantindo a posição e orientação corretas do efetuador final, de acordo com as informações provenientes dos sensores. Para cada articulação, existe uma malha de controle que faz a atuação e aquisição de sinais.

  O controle utilizado nos manipuladores robóticos pode ser realizado de dois modos: robôs com controle em malha-aberta e robôs com controle em malha-fechada. Robôs com controle em malha-aberta são chamados robôs não-servo controlados ou robôs de seqüência fixa, empregam chaves de fim de curso, ou sensores indutivos para definir o final das trajetórias ou a seqüência das operações, como por exemplo, os robôs do tipo pega–e-põe (pick-and-place). Esta estrutura de controle empregada nos primeiros manipuladores, em função da tecnologia disponível na época, não suporta estratégias de controle mais sofisticadas [14].

  Na grande maioria das tarefas onde são exigidas a precisão no posicionamento e a

  5

  repetibilidade é necessário um controle mais refinado e preciso, nesse caso, utiliza-se um sistema de controle em malha-fechada (robôs servo-controlados), empregado em controle de posição, velocidade e força.

  O espaço dentro do qual o manipulador do robô pode mover seu efetuador final é denominado volume de trabalho. Este volume é delimitado pela configuração física, pelas dimensões dos elos e pelas limitações dos movimentos nas articulações do manipulador.

  A estrutura dos elos e articulações associada ao volume de trabalho do manipulador possibilita classificar os manipuladores robóticos como: robôs de coordenadas cartesianas ou prismáticos, robôs de coordenadas cilíndricas, robôs de coordenadas esféricas, e. robôs articulados ou antropomórficos.

  Os robôs também podem ser classificados em dois grandes grupos: Os robôs fixos (rígidos ou flexíveis) e robôs móveis. Os robôs rígidos apresentam em sua estrutura, elos e elementos de contato rígidos nas juntas, rigidez estrutural suficiente para que não haja oscilações durante os movimentos.

  Os robôs flexíveis são formados por elementos não-rígidos, ou seja, apresentam um certo grau de elasticidade nas transmissões e articulações ou a presença de interação nos contatos entre o manipulador e o ambiente de trabalho. O primeiro grupo dos robôs manipuladores rígidos é o objeto de interesse desse trabalho.

2.2 A HISTÓRIA DO ROBOTHRON

  O Robothron é um robô que depois de concluído, apresentará estrutura articulada, punho esférico RPR e um mecanismo paralelo de quatro barras para o acionamento da junta 3.

  Em março de 1995, foram traçados os primeiros planos para o projeto e construção de um robô na Sociedade Educacional de Santa Catarina. Em junho de 1996, iniciou-se o projeto do punho esférico (Roll-Pitch-Roll) do robô e sua construção foi concluída em

  1998 [15].

  Após esta etapa, iniciou-se o estudo da geometria do braço que consiste de uma estrutura rígida de cadeia aberta, parte da qual é mostrada na Figura 10(a). A Figura 1(b) mostra a idéia inicial da localização do acionamento do cotovelo diretamente conectado à junta três, logo abaixo do mecanismo do punho.

  (a) (b)

  Figura 10 – (a) Concepção da base, ombro e cotovelo do Robothron;(b) Punho Fonte: LEAL, J. C,1995. Analisando-se esta primeira versão, conclui-se que a junta dois fica sobrecarregada em razão do peso excessivo das massas do acionador e do atuador da junta três. Várias idéias foram examinadas para aliviar o excesso de esforço sobre a junta dois.

  Uma das hipóteses consideradas foi realizar a transmissão de forças para movimentar o punho utilizando uma estrutura mecânica acionada por meio de fuso de esferas recirculantes, inspirada no robô AS100 fabricado pela ASEA [10], mostrado na Figura 11 Fuso de esferas recirculantes Figura 11 – Manipulador AS100 que utiliza fuso de esferas recirculantes Fonte: ASEA. Esta estrutura projetada apresenta como desvantagem as limitações nos movimentos das articulações, que dependem do comprimento do fuso guia (Figura 12).

  Alavanca Fuso de esferas Guias dos fusos Guia do de esferas fuso de esferas

  Figura 12 – Esboço do manipulador com acionador de fuso de esferas recirculantes Fonte: Leal, J C., 1995. Até este ponto, o robô proposto apresentava somente 5 graus de liberdade, alguns com acionamento direto por servomotores e dois com transmissão de movimentos aos eixos acionados feita por alavancas utilizando o fuso de esferas recirculantes. Este sistema restringia o espaço de trabalho do robô devido ao espaço físico ocupado pelo conjunto. A folgas causando problemas precisão e repetibilidade.

  Esta versão foi abandonada em favor do uso de “redutores harmônicos” [7]. Os redutores harmônicos são mecanismos de transmissão de movimentos por engrenagens destinados a reduzir ou aumentar a velocidade em sistemas mecânicos. São compostos por gerador de onda, engrenagem flexível e engrenagens circulares, como mostra a Figura 13.

  Engrenagem circular Engrenagem flexível Gerador de onda

  Figura 13 – Mecanismo de transmissão redutor harmônico Fonte: www.harmonic-drive.com

  O gerador de onda é composto de um rolamento com formato elíptico preciso e de um anel de aço, geralmente é conectado ao servomotor. A superfície exterior do anel pressionada pelo rolamento conforma-se à mesma forma elíptica. A engrenagem flexível é uma lâmina fina de aço reforçado, montada externamente ao gerador de onda. As engrenagens circulares externas são anéis de aço rígido com os dentes no perímetro interno, geralmente uma delas é fixada à carcaça do servomotor e não gira e a outra fixada ao elo. O gerador de onda conforma a lâmina flexível ao seu formato elíptico, que, por sua vez, acopla-se aos dentes das engrenagens circulares externas, transmitindo o movimento [16].

  O principal problema do projeto da estrutura apresentada na Figura 12, consistia em posicionar o sistema de transmissão e o atuador da junta 3 para uma região mais próxima da base, deslocando o centro de massa com o propósito de reduzir o efeito inercial das massas da localizadas na junta 3 sobre o mecanismo da junta 2. Cogitou-se em usar um mecanismo com correias dentadas, cujo esboço está representado na Figura 14 (podem-se ver as polias na parte de trás do mecanismo).

  Este tipo de transmissão não suporta a potência necessária de ser transmitida em função do peso e da inércia do punho.

  Mecanismo da Polia Correia dentada

  Figura 14 – Acionamento das juntas 2 e 3 utilizando correia dentada Fonte: Leal, J C., Rel. de Estágio. A idéia de utilizar-se mecanismo de acionamento da junta 3 por correia dentada foi abandonada em favor do conceito de um mecanismo de acionamento paralelo de quatro barras como é mostrado na Figura 14. Este mecanismo transmite a força para a junta 3 através de um braço de alavanca, reduzindo assim o peso na junta 3 e concentrando-o mais próximo da base.

  Manipuladores de cadeia fechada são aqueles cuja estrutura cinemática contém uma ou mais malhas-fechada, são ainda objetos de estudo e preferidos em pesquisas e aplicações industriais devido a sua tendência a serem mais rápidos e precisos que os mecanismos de cadeia aberta [17]. Outro aspecto de sua importância é a transmissão de força (necessária) requerida para as tarefas que exigem controle de força. Exemplos de tarefas assim são esmerilhamento, aplicação de troque em porcas e parafusos.

2.3 Estrutura do Braço e da Base do Robothron

  O primeiro modelo para a estrutura de paralelogramo é constituído de duas placas metálicas paralelas unidas somente pelos eixos das juntas dois e três e uma alavanca destinada a transferir o movimento do acionador (axialmente alinhado ao eixo da junta 2) para a junta 3. Os componentes da base e do braço e antebraço do Robothron são representados esquematicamente pela Figura 15.

  Neste modelo, como no anterior, também foram adotadas correias dentadas para acoplar os eixos dos motores aos mecanismos movimentação.

  Figura 15 – Mecanismo do manipulador Robothron

  Servomotores CA Base Estacionária Junta 2, do Ombro Junta 3 localizada no centro de gravidade Juntas 4,5,6 RPR

  Acionamento por correia dentada Punho Esférico RPR Flange para Instalação da Ferramenta Alavanca do mecanismo de quatro barras Um modelo em madeira (Figura 16) revelou problemas de estabilidade e uma torção indesejada no braço e uma simulação em computador utilizando CAD, calculou-se que placas laterais de sustentação do antebraço e do punho pesariam 35kg cada uma, comprometendo o mecanismo de movimentação da junta do ombro.

  Figura 16 – Modelo do Robothron em madeira Escolhido o modelo estrutural para a base, ombro e cotovelo do manipulador, iniciou-se um pré-projeto, cuja representação tridimensional da estrutura é apresentada na

  Figura 17.

  Com base nos dados de massas e centro de gravidade obtidos da simulação em computador, novas modificações foram introduzidas, substituindo-se as placas laterais do braço que estavam separadas por uma única estrutura com formato retangular para o corpo do braço, porém mantendo o conceito do mecanismo de quatro barras e favorecendo a rigidez estrutural (Figura 18).

  Figura 18 – Manipulador Robothron A Figura 19(a) mostra isoladamente corpo do braço e o antebraço, sem a base e a Figura 19(b) detalha somente o paralelogramo. Figura 19 – (a)Antebraço e braço (b) paralelogramo A Figura 20(a) exibe detalhes internos do mecanismo do ombro do manipulador, como a alavanca inferior da junta 3 e respectivo mancal; o eixo da junta 2 e mancais das juntas dois e três são mostrados na Figura 20(b) e os fixadores das laterais de apoio e a placa base para a conexão do ombro do manipulador sobre o mecanismo da base, na Figura 20(c).

  (a) (b) (c)

  Figura 20 – Elementos das juntas 2, 3 e elo 1 Os componentes internos da base, a saber, o eixo, mancal e adaptador da base são mostrados na Figura 21(a), (b) e (c), respectivamente. A placa base do ombro é montada sobre o eixo da base que se encaixa sobre o mancal da base e este é suportado pelo adaptador da base. O adaptador da base fixado no interior da base tem a função de suportar todo o manipulador.

  (a) (b) (c)

  Figura 21 – (a) Eixo, (b) mancal e (c) adaptador da base A Figura 22 mostra a base, que tem como função dar sustentação e permitir a fixação do manipulador do robô ao piso.

  Figura 22 – Base do manipulador Definido o tipo da estrutura, esboçados os mecanismos, determinados tipos de materiais adequados para uma futura construção do manipulador, procedeu-se ao levantamento do modelo cinemático, do espaço de trabalho e do comportamento em termos de velocidades.

  CAPÍTULO 3

3. CINEMÁTICA PARA MECANISMOS

  COMPLEXOS

  A cinemática é a ciência que trata o movimento sem atentar para as forças que o ocasionam. O problema da cinemática direta do manipulador consiste em determinar a posição e a orientação do efetuador final a partir do conhecimento das configurações das articulações.

  A posição e orientação dos corpos que compõem o manipulador podem ser determinadas trabalhando-se com sistemas de coordenadas convenientemente escolhidos e fixados aos elementos do manipulador. Estes sistemas de coordenadas devem levar em conta a clareza, a facilidade de representação e implicações de natureza computacional. Escolhas particulares desses sistemas coordenados fazem com que a geometria complexa possa ser representada através de um número reduzido de parâmetros.

  O modelo de mecanismo adotado para constituir o braço do manipulador, como já foi dito, é do tipo de cadeia cinemática fechada. Mecanismos de cadeia fechada apresentam vantagens sobre os de cadeia aberta, tais como: redução de inércia, elevada rigidez e elevada relação força-peso [18]. A estrutura de cadeia fechada escolhida para o Robothron é do tipo paralelogramo e apresenta dois atuadores axialmente alinhados para acionar as juntas dois e três (Figura 18). O atuador dois movimenta o elo dois e enquanto isso, o elo três permanece na mesma orientação relativa a base do robô (Figura 19), diferentemente do que acontece nos mecanismos de cadeia aberta onde o movimento ocorre relativamente ao elo anterior [19]. Esta é a característica fundamental que separa os manipuladores de cadeia aberta dos manipuladores de cadeia cinemática fechada.

  Para solucionar as restrições geradas pela cadeia cinemática do robô, deve-se ter uma descrição matemática das transformações espaciais em cada junta. Diversas notações simbólicas são propostas na literatura, entre as quais, a notação clássica de Denavit- Hartenberg [1], ou a versão de Richard Paul [20], são largamente aplicadas devido a sua

  6

  a ambigüidades em alguns dos parâmetros quando se trata de manipuladores com cadeias cinemáticas com mais de uma ramificação [21].

  Embora tendo desvantagens, a notação de Denavit-Hartenberg pode ser aplicada para obter o modelo cinemático de manipuladores de cadeia fechada. O método de Sheth-Uicker [22] estende a notação de Denavit-Hartenberg para múltiplos laços de cadeias cinemáticas, mas é muito mais complicado devido ao número de sistemas de coordenadas adicionais (dois para cada elo para uma cadeia serial simples).

3.1 ESPAÇO DOS ATUADORES E ESPAÇO DE JUNTAS

  O espaço das juntas é o espaço de todos os vetores q (nx1) de variáveis de juntas num manipulador de n graus de liberdade. A posição e a orientação de todos os elos do manipulador podem ser computadas no espaço das juntas através da cinemática direta.

  Em muitos manipuladores, as variáveis dos atuadores não se confundem com as variáveis das juntas, pois existem elementos intermediários: os acionadores que acoplam os movimentos dos atuadores aos movimentos das juntas. Esses acionadores podem ser transmissões como redutores harmônicos, fusos de esferas e mecanismo de quatro barras em manipuladores de cadeia cinemática complexa.

  Nos manipuladores com acionamento direto nas juntas, a transmissão do movimento através do acionador obedece a relação (3.1)

  q " N # ! $ i i i i

  onde q é o movimento da junta i , é o movimento no eixo do atuador i, N é um fator

  i i i constante que depende do tipo da transmissão e l é um “offset”. i

  Já os manipuladores, cujos atuadores estão próximos a base, requerem mecanismos mais complexos para a transmissão do movimento às juntas. Estes mecanismos acoplam os movimentos das juntas, de modo que a relação de transmissão de movimento para a junta j é descrita pela equação: f (q,A)=0 (3.2)

  j

  onde q é o vetor de posições das juntas e A o vetor de posições dos atuadores. As funções f (j=1,...,n) descrevem o relacionamento (não linear) entre essas variáveis. 6 j

  

Nos métodos de Denavit-Hartenberg e Richard Paul, os parâmetros são tomados com referência ao elo

  As informações para a cinemática direta de um mecanismo manipulador mais geral do que uma cadeia aberta de elos com atuadores diretamente conectados nas juntas, são completadas pelas equações (3.1) ou (3.2).

3.2 NOTAđấO E PARÂMETROS DE SHETH-UICKER

  O procedimento para determinar o modelo cinemático de manipuladores de cadeia cinemática fechada é melhor sistematizado através dos parâmetros de Sheth-Uicker, ao invés dos parâmetros de Denavit-Hartenberg. A aplicação da notação de Denavit- Hartenberg em mecanismos de cadeia cinemática fechada leva a ambigüidades em alguns dos parâmetros, pois os quatro parâmetros desta notação não dependem apenas da forma

  7

  do elo em questão, mas também da forma do elo anterior , na cadeia cinemática considerada.

3.2.1 Descrição dos Elos

  Como na notação de Sheth-Uicker, os elos são considerados rígidos, então suas formas permanecem constantes durante o movimento. Deste modo, a notação simbólica que descreve os elos é constituída por uma parte constante, que define a “forma” do elo, e uma parte variável distinta, que representa o movimento das articulações [23].

  A Figura 23 mostra dois elos sucessivos G e H de um mecanismo, com articulações rotacionais R , R e R conectados pela j-ésima articulação. Cada junta contém dois

  i j k

  sistemas coordenados {x,y,z} e {u,v,w} e dois elementos de acoplamento R e R , um fixado no final do elo e o outro no início do elo adjacente.

  Tomando-se como exemplo a junta j, que conecta os elos G e H, escolhe-se

  8 %

  arbitrariamente o primeiro sistema coordenado { ,x , y , z }, onde z está alinhado com o

  O j j j j j

  eixo de rotação. Este sistema é afixado ao elo G e pode ser pensado como a localização da

  % posição do elemento de acoplamento R . j

  7 Por exemplo, a normal comum depende também da orientação do eixo Z e a orientação deste eixo está i-1 8 relacionada com a forma do elo.

  

Na notação de Sheth-Uicker, a escolha das direções dos dois eixos é arbitrária, diferentemente da notação

  $

  O segundo sistema coordenado { ,u , v , w } é afixado ao elemento de

  O j j j j $

  acoplamento R no elo H, e escolhido tal que w está alinhado com o eixo de rotação da j j

  % $

  junta; u e v são orientados arbitrariamente. As origens O e O dos dois sistemas devem

  j j j j

  coincidir e os eixos coordenados z e w devem ter a mesma direção quando a junta de

  j j revolução estiver montada. z j w i x k - y j z k

  • - x j

  O j

  v i

  R k

  u i - y k

  R j G

  • + w j

  R i ij H r

  u j + v j

  O j +

  j

  q R j

  Projeção u i w i Projeção ij

  ' ij ij

  a b

  Projeção x j ij

  )

  ij

  ( t ij Figura 23 – A notação de Sheth-Uicker

  A forma de cada elo é especificada através da situação relativa entre os sistemas de

  $ $ %

  coordenadas { ,u , v , w } no início de elo G, portanto no e { ,x , y , z } no

  O j j j R O j j j j j j % elemento de acoplamento no final do elo H.

  R j

  Para determinar os parâmetros constantes, que definem a forma do elo, localiza-se a normal comum, t , de direção arbitrária positiva, entre os eixos z e w . São necessários seis

  ij i j parâmetros para definir a forma de cada elo.

  Estes parâmetros são relacionados ao elo G a seguir: & a e z , medida ao longo da normal comum t ;

  

ij : distância algébrica entre os eixos w i j ij

  & ) ij : ângulo entre w

  prismática (ver Figura 24-b), a variável de junta q

  positivo; Nesta notação existem elementos constantes, pertencentes a arquitetura do robô elementos variáveis, que correspondem aos graus de liberdade do manipulador.

  O movimento q

  j

  para junta de revolução (ver Figura 24-a) é medido no sentido anti- horário de x

  j

  positivo para u

  j

  positivo, em torno dos eixos comuns z

  j

  e w

  j

  . Quando a variável de junta é zero, os dois sistemas coincidem.

  Figura 24 – (a)Junta de revolução e (b) junta prismática Para uma junta R

  j

  j

  positivo, medido no sentido anti-horário em torno de w

  ) e é positiva na direção de z

  (a) (b)

  O - O + y j v j q j u j

  x j u j z j w j x j

  q j

  z j w j elo G elo H

  j positivo.

  j

  é a distância entre x

  (w

  j

  medida ao longo de z

  j

  e u

  j

  i

  ij

  i

  ij

  ij

  ; & (

  j

  , medida ao longo de z

  j

  a x

  : distância algébrica de t

  ij

  ij

  positivo; & b

  ij

  positivo, medido no sentido anti-horário em torno da normal comum t

  j

  positivo e z

  : ângulo entre t

  positivo e x

  positivo e t

  ij

  i

  : ângulo entre u

  ij

  ; & '

  i

  , medida ao longo de w

  a t

  j

  i

  : distância algébrica de u

  r ij

  positivo; &

  j

  positivo, medido no sentido anti-horário em torno de z

3.2.2 Descrição das Juntas

3.2.3 Numeração dos Corpos e das Juntas

  Os manipuladores analisados nesta seção podem apresentar cadeia cinemática complexa em sua estrutura ou até mesmo mais de um efetuador final. Cadeias cinemáticas fechadas dão origem a restrições geométricas no sistema e à existência de elos com mais de duas articulações (veja Figura 25).

  Considerando os manipuladores com um número n de corpos móveis, um número

  

m de efetuadores finais, L juntas (rotacionais ou prismáticas) e um número b de cadeias

  fechadas independentes, podem ter seus corpos e suas juntas numerados [3] da seguinte forma: 1 – A base é numerada com o índice 0, é o corpo C (Figura 25); 2 – O órgão terminal é numerado com o índice n, isto é C ;

  n o

  1 efetuador final Cadeia

  2

  o

  2 efetuador final

  Cadeia

  1 Base Figura 25 - Manipulador com duas cadeias fechadas e dois efetuadores finais 3 – As cadeias fechadas independentes são numeradas de 1 ao número máximo de cadeias fechadas independentes; 4 – O primeiro elo da cadeia fechada é aquele mais próximo da base C ; 5 – Abre-se a cadeia fechada na conexão entre o primeiro e o último elo; obtendo- se uma estrutura de árvore para o manipulador; 6 – Os elos e as juntas são numerados de 1 até n-m; 7 – As juntas previamente abertas são numeradas arbitrariamente. A Figura 26 exemplifica simbolicamente a numeração proposta

  C n

  o

  n

  1 C efetuador 8 final C 6

  8

  6 C n-1

  5 7 n-1 C C 5 7

  o

  n+2=

  2 C 3 efetuador 3 final

  2

  4 C 4 C 2 n+1 C 1

  1 C Base

  Figura 26 - Numeração de corpos e juntas para o manipulador da Figura 25 Com a numeração dos corpos e juntas, pode-se exprimir a forma geral da transformação que relaciona os sistemas coordenados de elos vizinhos.

3.2.4 Transformação entre Elos

  Nesta seção, é desenvolvida a expressão da forma geral da transformação que relaciona os sistemas coordenados dos elos vizinhos. Após determinar os seis parâmetros que definem a forma do elo, não existe mais a necessidade de trabalhar com dois sistemas de eixos coordenados por elo; o sistema coordenado colocado ao final do elo é selecionado como sistema coordenado do elo. A transformação T entre estes dois sistemas define a

  ij

  cinemática do corpo G conforme este se move pelo movimento da junta R . A matriz de

  i

  transformação T é obtida pela concatenação de duas transformações: uma que relaciona,

  ij

  {x y z } a {u v w }, que é denotada por F , e outra transformação que relaciona {u v w }

  

j j j i i i ij i i i

  a {x y z } denotada V . A matriz F relaciona os dois sistemas coordenados fixados nos

  i i i i ij

  terminais de um mesmo elo G; portanto, ela é uma matriz constante, que descreve a forma deste elo e é função dos seis parâmetros de Sheth-Uicker {a , b , r , ) , ( , ' }. É chamada

  ij ij ij ij ij ij de “matriz de forma”.

    • .

  • ij ij
  • ij ij
  • ij ij

  i

  z

  i

  y

  i

  (3.4) e a matriz de transformação homogênea entre os dois sistemas coordenados {x

  V

  q senq senq q q

  1 cos cos i i i i i i

  1

  % "

  1

  / / / /

  ) e é dada por:

  ,q

  } e {x

  i

  ) é uma matriz de rotação do tipo Rot(z

  i

  (q

  i

  é denominada de “matriz de junta” por caracterizar o movimento da junta. A matriz de junta V

  i

  . A matriz V

  i

  e define a parte variável do elo C

  i

  com relação ao seu precedente em função da coordenada generalizada q

  i

  i

  j

  i

  "

  u v w T u v w , - "

  T 1 T i i i ij j j j

  1

  3

  2

  é dada por,

  T

  , denotada como ij

  R u v w $

  e

  R u v w $

  (3.6) A matriz de transformação entre os sistemas

  1

  T 1 T i i i ij j j j x y z T x y z , -

  y

  1

  3

  2

  (3.5) é a versão generalizada da matriz de transformação de Denavit-Hartenberg e pode ser escrita como

  ij

  . F

  i

  = V

  ij

  }, denotada por: T

  j

  z

  j

  caracteriza o movimento do elo C

  A matriz V

  1 (3.7)

  }, através de sucessivas translações e rotações, obtendo-se:

  ) ) " ,

  s sen

  (3.3) onde

  1

  / . / . / . /

  1 j ,

  # % # # % # % # # # # $ # # # $ # # % # $ # # % # # % # #

# # # $ # #

  ) ( ) ( ) ) (

  ' ( ' ) ( ' ( ' ) ( ' ) ' ' ) ' ( ' ) ( ' ( ' ) ( ' ) ' ' )

  ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij

ij ij ij ij ij ij ij ij i

c c s c s c s s c c s s a c b s s s c c c s s s c c c c s a s b c s s s s c c r b c s

  ' ) ( " # # # # # " ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij ij

  F Trans w r Rot w Trans u a Rot w Rot z Trans z b

  ( , ) , ( , ) , , , ij i ij i ij i ij i ij j ij j ij

  i

  ( ( " ,

  z

  i

  y

  i

  } assumir a situação do sistema {x

  i

  w

  i

  v

  i

  é composta de modo direto fazendo o sistema {u

  ij

  Analisando-se a Figura 23 e usando-se os parâmetros de Sheth-Uicker, a transformação F

  s sen

  s sen

  j }).

  j

  , w

  j

  , v

  j

  ,u

  $ j O

  ({

  $ j R

  }) no sistema de coordenadas

  j

  , z

  j

  , y

  ,x

  ' ' " ,

  % j O

  ({

  % j R

  descreve o sistema de coordenadas

  ij

  A matriz F

  c ' ' "

  cos ij ij

  ( ( " e

  c

  cos ij ij

  ) ) " ,

  c

  cos ij ij

  • . . . . ,
    • i i i i
    • j j j j

3.2.5 Cinemática Direta da Cadeia Fechada

  A cinemática direta da cadeia fechada é descrita pelas transformações homogêneas entre o sistema de coordenadas da base e o sistema de coordenadas do efetuador final, isto é pelo produto das transformações T desde a base até o órgão terminal.

  ij

  A presença de cadeias fechadas na cadeia cinemática de um manipulador (veja Figura 25) leva a diversas seqüências de sistemas coordenados.

  Uma cadeia cinemática fechada com n juntas equaciona-se: (3.8)

  V q ( ) F V q ( ) F V q ( ) F V q ( ) F V q ( ) V q ( ) F

  I

  # # # # # # # # # " # j j j k k k n n n

  1 1 1,2

  2 2 2,3

  3 3 3,4 , ,1

  4 onde I é uma matriz identidade de quarta ordem que indica a cadeia fechada [4] [23].

4 A equação (3.8) permite deduzir que a soma vetorial das translações em torno da

  cadeia fechada é nula e a soma das velocidades angulares em trono da malha fechada é nula. As coordenadas generalizadas introduzidas em cada cadeia fechada não são todas independentes. A solução do sistema de equações em (3.8) permite obter as coordenadas generalizadas em função das variáveis independentes.

3.3 CINEMÁTICA DIRETA DO ROBOTHRON

  A aplicação da notação de Sheth-Uicker ao manipulador Robothron permite estabelecer as equações da cinemática direta, iniciando-se pela numeração dos corpos, elos e juntas mostrada na representação esquemática da Figura 26. Os movimentos das juntas são representado pelas setas curvas denotados por q , onde i=1..9. Os corpos dos elos são

  i representados por C onde o i-ésimo corpo ou elo i=8 [4] [23]. i q

  8 q

  4 q

  3 q

  6 q

  7 q

  2 q

  5 q

  9 q

1 Figura 27 – Numeração dos corpos, elos e juntas para o manipulador

  O passo seguinte é localizar os eixos z e w sobre os eixos de giro de todas as juntas e

  

j j

  atribuindo direções aleatórias aos demais eixos x , u , y e v seguindo a regra da mão

  j j j j

  direita. Devem ser localizadas as retas perpendiculares comuns entre os eixos w e z para

  i j

  todos os elos e finalmente identificar os seis parâmetros constantes para cada elo. A Figura 28 detalha os sistemas de eixos e parâmetros de cada um dos elos que compõe a estrutura.

  Analisando-se os sistemas de eixos nas juntas e observando a equação (3.8) obtêm-se: q = q

  3

  5

  q = 4 - q

  4

  5 q = 4 - q – q .

  9

  2

  5 Estas equações representam as restrições do manipulador e constituem os vínculos cinemáticos do mesmo. Figura 28 – Sistemas coordenados ligados aos elos e às juntas do manipulador Aplicando estes conceitos ao manipulador do Robothron, obtém-se as constantes dos elos com o auxílio da Tabela 3.1.

Tabela 3.1 – Parâmetros de Sheth-Uicker para o Robothron

  5

  = f(q

  3

  0° q

  3 O O

  6

  3 6 +90°

  )

  ,q

  ,q

  2

  = f(q

  9

  q

  9 O O

  2

  2

  2

  5

  5

  7 8 -90°

  90° q8

  8 O O

  10

  8 10 90°

  q7

  7 O O

  8

  q6

  )

  o

  ±180

  o

  ±180

  6 O O

  7

  6 7 -90°

  9

  q

  Parâmetros Constantes a(j) j a

  1 O O

  3

  q2

  2 O O

  3

  3

  2

  90° q1

  2

  4

  1 2 +90°

  Coord. Gen.

  a(j)j ' a(j)j

  r

  a(j)j ( a(j)j

  b

  a(j)j ) a(j)ij

  4

  3 O O

  5 O O

  q4= f(q

  9

  9

  5

  )

  5

  ,q

  2

  4 O O

  q3=f(q

  5

  5

  4

  )

  5

  ,q

  2

  v 1 z 1 y 1 x 1 u 1 w 1 y 2 z 2 z 3 w 3 z 4 w 4 z 5 w 5 z 9 w 9 w 2 z 6 w 6 z 7 w 7 z 8 w 8 z 10 y 10 y 8 v 8 v 7 y

7 y

6 v 6 v 3 y 3 y 4 y 5 x 2 x 9 x 5 x 6 x 3 x 4 x 7 x 8 x 10 t 1,2 t 2,3 t 6,7 t 3,6 t 4,5 t 7,8 t 8,10 o 1 o 2 o 9 o 3 o 4 o 6 o 5 o 7 o 8 o 10 x y z

8 O O

  % . / " . /

  1 F , - . / % % . / " . / . /

  0 0

  1 0 0 0 1 100 0 1

  1 7,8

  1 F % , - . / . / " . / . /

  1 0 0 0 1 150 1 0 0 0

  1 6,7

  . /

  1 F % , - . /

  0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1

  1 0 520 1 0 0 0 1 0 0

  1 3,6

  F , - . / . / " . / . /

  1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1

  1 9,2

  " . / . /

  1 F , - . / . /

  1 0 0 150 0 1 0 0 0 1 0 0 0

  1 5,9

  1

8,10

  F , - . / . / " . / . /

  1 F , - . / . /

  2

  (3.10)

  1

  V , - % . / . /

"

. / . /

  1 0 0 1 q q q q

  2 cos sen 0 0 sen cos 0 0

  2

  2

  2

  ;

  1

  1

  V , - % . / . / " . / . /

  1 0 0 1 q q q q

  1 cos sen 0 0 sen cos 0 0

  1

  1

  1

  1

  (3.9) As matrizes das variáveis dos elos são calculadas conforme (3.4):

  " . / . /

  1 0 0 750 0 1 0 0 0 1 0 0 0

  onde

  4 O O

  6

  = 0 mm

  9 O O

  2

  =150mm

  5 O O

  9

  =750mm

  5

  =275mm

  =150mm

  3 O O

  4

  =750mm

  2 O O

  3

  =380mm

  1 O O

  2

  3 O O

  7

  1 4,5

  " . / . /

  " . / . /

  1 F , - . / . /

  1 0 0 150 0 1 0 0 0 1 0 0 0

  1 3,4

  " . / . /

  1 F , - . / . /

  1 0 0 750 0 1 0 0 0 1 0 0 0

  1 2,3

  1 F , - . / . /

  6 O O

  1,2 0 0 1 1 0 0 0 1 0 200 0 0 0

  (3.9):

Tabela 3.1 a equação (3.3), obtém-se as matrizes de forma dos elos, mostradas na equação

  = 5 mm Estes valores numéricos foram obtidos diretamente dos dados de projeto e podem ser vistos nas Figura C1 e Figura C2 do apêndice C. Aplicando-se os valores constantes da

  10

  = 100 mm

  7 O O

  8

  =150mm

  , cos q % sen q 0 0 , cos % - q sen 0 0 - q

  3

  3

  4

  4 . / . / sen q cos q 0 0 sen q cos q 0 0

  • 3 * +

  3 * + 4 * +

  4 . / . /

  V " V "

  3

  4

  ;

  . / . / 1 0 1 0 . / . / 0 1 0 1

  1

  1 , cos q % sen q 0 0 , cos 0 0

  • q % sen q

  5

  5

  6

  6 . / . / sen q cos q 0 0 sen q cos q 0 0

  5

  5

  6

  6 . / . /

  V "

V "

5 ;

  6 . / . / 1 0 1 0 . / . / 0 1 0 1

  1

  1 , - %

  • q q , q % q cos sen 0 0 cos sen 0 0

  7

  7

  8

  8 . / . / q q q q sen cos 0 0 sen cos 0 0

  7

  7

  8

  8 . / . /

  V "

V "

7 ;

  8 . / . / 1 0 1 0 . / . / 0 1 0 1

  1

  1 Substituindo-se as equações das matrizes de forma (3.9)e as matrizes das variáveis

  das juntas (3.10) na equação (3.5), obtém-se a matriz de transformação homogênea para o manipulador Robothron mostrada na equação (3.11).

  10

  (3.11)

  T " V q ( ) # F # V q ( ) # F # V q ( ) # F # V q ( ) # F # V q ( ) # F # V q ( ) # F

  1

  1 1 1,2

  2 2 2,3

  3 3 3,6

  

6

6 6,7

  7 7 7,8

  8 8 8,10

  Esta é a equação da cinemática direta e o seu resultado é obtido através dos programas Maple e Matlab (veja apêncide A). Inicialmente são inseridos, no arquivo m-file “parmSU”, os parâmetros constantes que compõe as matrizes de forma dos elos, conforme a Tabela 3.1. Em seguida, é dada a entrada às variáveis das juntas, ou seja, são inseridos os valores de cada um dos ângulos das juntas, q , q , q , q , q e q .

  1

  2

  3

  6

  7

8 Dadas as entrada dos ângulos e parâmetros de forma, executa-se o m-file:

  “T110SU”, que encontra-se no apêndice A. Após a execução dos m-files no matlab, estes trazem como resultado a matriz de transformação, com as coordenadas da orientação e posição do órgão terminal do manipulador.

  O vetor de posição do efetuador final é dado pelas equações (3.12) a (3.14).

  (3.12)

  1 23 6

  1

  • px=50 -s s c +c s # # c -s c s c +50 s s s +c c s +200 -s s c +c s s

  7

  6 7 1 23 7

8 1 23 6 1 6

8 1 23 6 1 6 + * + * *

  • 200s c c +100s s s +100c c +100s c -520s s -750s c

  1 23 7 1 23 6 1 6 1 23 1 23 1 2

  (3.13) py= 50 c s c +s s c c c s c +50 -c s s +s c s +200 c s c +s s s $

  1 23 6 1 6 7 1 23 7

8 1 23 6 1 6

8 1 23 6 1 6

  7

    • 200c c c -100c s s +100s c -100c c +520c s +750c c

  1 23 7 1 23 6 1 6 1 23 1 23 1 2

  (3.14)

  pz=50 s s -c c c c -50s s s +200+200c c s -200s c

  23 7 23 6 7 8 23 6 8 23 6 7 23 7

  • 100s s -100s +520c +750s

  23 6

  23

  23

  

2

onde s " sen q e c " cos q para k=1...8. k * + k k * + k

  O espaço de trabalho do manipulador pode ser determinado a partir das equações do vetor de posição do manipulador. São estabelecidas as condições limitantes para os ângulos do braço do manipulador. Os ângulos da articulação do ombro e ângulo da articulação do cotovelo, q =-90º e q = 90º ,respectivamente, conferem a máxima excursão

  2

  3 horizontal ao braço do robô.

  A Figura 29 mostra os gráficos das coordenadas X e Y do efetuador final do manipulador ao variar o ângulo de rotação da base do robô q de -180º até +180º. Nesta

  1

  simulação os ângulos q e q tem seus valores fixados para permitir a máxima excursão do

  2

  3 braço do manipulador. 1000 1500 1000 1500 p o ic a Y s ic o X -500 500 s a o p o -500 500 -1500 -1000 -4 -3 -2 -1

theta1 theta1

1 2 3 4 -1500 -1000 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4

q q

1 1 Figura 29 – Gráficos das posições X e Y em função de q

  1 Os contorno do espaço de trabalho são obtidos, exibindo-se o máximo alcance do

  manipulador no plano horizontal e vertical, mostrados na Figura 30(a) e (b), respectivamente. 1000 1500 1200 1400 d o x Z 500 800 n 400 la 1000 600

  Eixo X P -1000 -500 Eixo Z -400 -200 200

  • 1500 -600 -1500 -1000 -500 500 1000 1500 dy -1500 -1000 -500 500 1000 1500 plano X

  Eixo X Eixo Y Na Figura 31 é exibe a representação tridimensional do volume de trabalho vista pela parte de trás e em formato de grade para maior comodidade de visualização. Os ângulos limite adotados aqui, estão compreendidos entre q =-150º a q =+150º para formar

  1

  1 a fenda, os ângulos q e q variam entre 0º e 90º.

  2

3 Z

  Y

  X Figura 31 - Volume de trabalho do manipulador O gráfico do volume de trabalho da Figura 31 foi composto por duas regiões; uma

  o o o

  superior onde q varia de 0 a 90º e a região inferior onde q =0 e q varia de -90º a 0

  2

  2

  3

  mostradas na Figura 32 . Outro detalhe que deve ser observado é o posicionamento dos eixos X e Y que são idênticos ao referenciamento dos eixos adotado na Figura 28.

  Figura 32 – Regiões Superior e Inferior do Volume de trabalho Até aqui se estudou a cinemática direta de manipuladores de cadeia fechada e a cinemática do manipulador Robothron utilizando a notação de Sheth-Uicker. As cinemáticas também podem ser obtidas através da notação de Denavit-Hartenberg que é estudada a seguir.

3.4 NOTAđấO E PARÂMETROS DE DENAVIT- HARTENBERG

  Um manipulador serial, ou um manipulador projetado com o formato de um mecanismo de cadeia aberta, consiste de uma seqüência de elos conectados entre si por uma cadeia de juntas ativas. Para analisar a estrutura deste mecanismo, considera-se um modelo físico onde só existe um eixo de movimento em cada junta (um só grau de liberdade). Para separar as juntas que concentram mais de um movimento, são considerados elos com comprimento nulo.

  A notação de Denavit-Hartenberg é um método sistemático que descreve o relacionamento cinemático entre um elo e seus adjacentes. Sua grande vantagem é utilizar um número reduzido de parâmetros. Inicia-se com a numeração crescente dos elos, considerando-se a base como elo 0 até o n-ésimo elo representado pelo efetuador final e as juntas são numeradas de 1 (primeiro elo móvel) até n (último elo móvel). Em cada elo é afixado um sistema de coordenadas e o sistema do elo da base é a referência para os demais elos manipulador.

  A Figura 33 mostra a numeração dos elos e das juntas para o Robothron, partindo da base até o efetuador final. Os eixos de movimento são denotados como z . Se a junta for do tipo rotacional, z

  i i será o eixo de rotação. Se a junta for do tipo prismática, z será o eixo de deslocamento. i

  A origem O é estabelecida no ponto de intersecção do eixo z com o eixo z . Se

  i i-1 i estes são paralelos, posiciona-se O na junta i+1. i Figura 33 – Modelo simplificado dos elos e juntas do Robothron Os eixos x

  i

  

i

  

i

  )

  i y i

  X i-1 z i-1 z i Y i-1

  X i Junta i Junta i+1 a i d i

  5

  )

  X i a i d i

  i y i

  X i-1 z i-1 z i Y i-1

  X i Junta i Junta i+1

  O

  i-1

  O

  5

  X i-1 z i-1 z i Y i-1

  são estabelecidos sobre a normal comum entre o eixo z

  i

  i-1

  e o eixo z

  i

  de acordo com a regra da mão direita, ou a normal ao plano formado pelos eixos z

  i-1

  e z

  , quando estes são paralelos. Os eixos y

  i y i

  i

  são estabelecidos de acordo com a regra da mão direita. Esta notação está descrita rapidamente a seguir. Para isso, veja a Figura 34, onde é mostrado um par de elos adjacentes e suas juntas associadas da cadeia cinemática.

  Figura 34 – Notação de Denavit-Hartenberg

  a i d i

  5

  

i

  )

  i Considerando dois sistemas coordenados {O ,X , Y , Z } e {O , X , Y , Z },

  i-1 i-1 i-1 i-1 i i i i

  um deles com origem em O rotacionado de um ângulo ) em torno de X . O outro sistema

  i i i

  coordenado, com origem em O possui mesma orientação do primeiro. A transformação

  i-1

  homogênea do primeiro para o segundo sistema é dada por uma rotação de um ângulo 5

  i

  em torno de Z ( Rot ), seguida de uma translação d ao longo do eixo Z ( Trans d ), uma

  i i i z z i i

  translação de a ao longo do eixo X ( Trans a ) e uma rotação de um ângulo ) em torno

  i i i

x i

i

  do eixo X ( Rot ! ), que é descrita matematicamente por:

  i x i i i i

  A =T =Rot ×Trans ×Trans ×Rot = i-1 i-1 z, z,d x,a x,! i i i c s

  5

  5

  1 1 a

  1 , % , , i i i , - - - - . / . / . / . /

  s

  5 c

  5

  1 1 c ) s ) i i i i % . / . / . / . /

  " # # # . 1 / . 1 d / . i i i 1 / . s ) c ) / . / . / . / . /

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  c % s # c s s a c , 5 5 ) 5 ) i i i i i i i 5 - . / s 5 c c 5 ) % c s 5 ) a s i i i i i i

  5 . / " . / s ) c ) d

i i i

  . /

  1

  1

  (3.15) onde

  s 5 " sen( 5 ) i i c 5 " cos( 5 ) i i s ) " sin( ) ) i i c ) " cos( ) ) i i

  Aplicando estas transformações para cada junta do manipulador obtém-se a matriz de transformação homogênea, como a da equação (3.16) a seguir: n

  1

2 n

! (3.16) T " T # T # # T

  

1 n %

  1 E que se enquadra na forma n n

  (3.17) n

, - R p

  H " T "

. /

  1

  1 n

  onde R descreve a orientação do efetuador final,

  n p expressa o vetor posição do efetuador final e 0 " .

  2

  3 Os parâmetros dos elos a , ) , d , 5 são :

  i i i i

  = distância ao longo do eixo x desde a origem O até o ponto de intersecção entre

  a i i i os eixos x e z . i i-1 ) = ângulo entre z e z medido sobre x . i i-1 i i

  = distância ao longo do eixo z desde a origem O até o ponto de intersecção

  d i i-1 i-1 entre os eixos x e z . É uma grandeza variável se a junta for do tipo prismática. i i-1

  = ângulo entre x e x medido em torno de z . É uma grandeza variável se a 5 i i-1 i i-1 junta for do tipo rotacional. Os parâmetros a e ) são determinados pela geometria do elo i: a representa o

  i i i comprimento do elo e ) é o ângulo de torção entre os dois eixos das juntas desse elo. i Somente um dos dois parâmetros, d ou 5 varia quando a junta se move. i i

  Para facilitar a análise da estrutura do manipulador do Robothron, recorre-se a uma representação simplificada das juntas e elos, que permite uma visualização mais clara do modelo para a obtenção dos parâmetros de Denavit-Hartenberg.

  Para aplicar a notação de Denavit-Hartenberg ao modelo simplificado de elos e juntas do manipulador do Robothron seguem-se os passos descritos anteriormente, obtendo-se os sistemas indicados na Figura 35.

  Figura 35 – Sistema de eixos coordenados do Robothron dos parâmetros D-H. De acordo com [24], para identificar os parâmetros de Denavit- Hartenberg em manipuladores de cadeira fechada, abre-se a cadeia cinemática e procede-se o levantamento dos parâmetros desconsiderando os elos e juntas da cadeia recém aberta.

3.5 PARÂMETROS DENAVIT-HARTENBERG PARA O MANIPULADOR ROBOTHRON

  Os parâmetros D-H do Robothron são apresentados na Tabela 3.2, cujos valores referentes aos parâmetros do punho foram obtidos da Figura C1 do Apêndice C e os parâmetros dos elos do braço obtidos da Figura C2 desenhadas com AUTOCAD.

Tabela 3.2 – Parâmetros de Denavit-Hartenberg para o manipulador Robothron

  Elo i a [mm] d [mm]

  i ) i i

  5 i

  o

  1 90 380

  5

  1

  2 750 5 +90º

  2 o

  3

  90

  5

  3

o

  4 -90 425

  5

  4 o

  5

  90

  5

  5

  6 105 5 +90º

  6 A matriz de transformação homogênea A associada a cada elo é obtida a partir da i

  equação (3.17) e as equações representam as matrizes de transformação homogênea para o Robothron.

  5

  5

  5

  (3.18) 5 5 ) 5 )

  , - ,

  • c % s c s s a c c s

  1

  1

  1

  1

  

1

  1

  1

  1

  1

  . / . / 5 5 ) 5 )

  5

  5

  5

  

s c c % s s a s s % c

  1

  1

  1

  1

  1

  

1

  1

  1

  1

  1

  1

  . / . / Base

  A " T " "

  1 . ) ) / .

  1 380 /

  s c d

  1

  1

  1

  . / . /

  1

  1 1 0 1 onde

  s 5 " sen( 5 ); c 5 " cos( 5 ); s ) " sin( ) ); c ) " cos( ) ) i i i i i i i i

1 A T

  5

  6

  6

  (3.22) Rotação do flange

  T A

  5 c s

s c

  5

  5

  5

  5

  4

  5

  5

  

6

  5

  5

  

1

  1

  

%

% " "

  1

  / / / /

  Arfagem do punho

  1 (3.21)

  " " . / % . /

  , - . / . /

  5

  6

  5

  6

  (3.24)

  1

  "

. /

. /

  " # # # # # "

, -

. /

. /

  1

x x x x

y y y y

z z z z

T A A A A A A

n s a p

n s a p

n s a p

  6

  5

  4

  

3

  2

  1

  (3.23) Com o auxílio da equação (3.10).

  6

  1 ,

  " " . / . /

  , - . / . /

  5 %

  5

  5

  5

  c s s c A T

  1

  1 105

  5

  5 %

  5

  Ombro

  1

  1 (3.19)

  " . / . /

  % . /

  , - . /

  5 % % %

  5

  5

  5

  5

  5

  s c s c s c

  1

  3

  750 750

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  " " =

  2

  2

  Cotovelo

  3

  5

  " " . / . /

  1 A T

  c s s c 1 425

  3

  4

  4

  4

  4

  4

  4

  Rotação do punho

  1 (3.20)

  % . /

  3

  5 , - . /

  5

  5

  5

  1 A T

  1

  c s s c

  2

  3

  3

  3

  • . . . . ,
onde os componentes da matriz de rotação são:

  n " c c c c c $ s s -s c s +s c s % s c c x 6 5 4 1 2+3 1 4 5 1 2+3 6 4 1 4 1 2+3

  n " y c c c s c -c s -s s s +s -s s c -c c 6 5 4 1 2+3 1 4 5 1 2+3 6 4 1 2+3 1 4

  n " $ z c c c s s c -s s s 6 5 4 2+3 5 2+3 6 4 2+3

  (3.25)

  s s c s s c c c c s s c c s s c c " % % $ % 6 1 5 2 3 $ 5 4 2 3 $ 5 4 1 6 4 1 4 1 2 3 $ x * + * +

  s " s c s c % c s c $ s s s % c c c $ s s c y 6 5 4 1 4 1 2 3 $ 5 1 2 3 $

  • 6 4 1 4 1 2 3 $

  s " -s c c s s s -c s s 6 4 5 2+3 5 2+3 6 4 2+3 $ z + * a s c c c s s c c s x " $ $ 5 4 1 2 3 4 1 5 1 2 3

  $ $ a " s c s c % s c $ c s s y 5 4 1 2 3 4 1 5 1 2 3 $ $

  a " s c s -c c z 5 4 2+3 5 2+3

  Os elementos componentes do vetor de posição são dados pelas equações (3.26), (3.27) e (3.28):

  (3.26)

  p 105 c c c s 105 s s s -105 c s c 425 c s 750 c c x " $ $ $

1 23 4 5 1 4 5 1 23 5 1 23 1 2

  (3.27)

  p 105s1 c s s c

  " % $ $ $ 1 s 425 s s 750 s c y 5 2 3 $ 5 4 2 3 $ 1 2 3 $ 1 2

  (3.28)

  p " 105 s c s % c c % 425 c $ 750 s z 5 4 2 3 $ 5 2 3 $ 2 3 $

  2 As equações do vetor de posição permitem determinar o volume de trabalho para o

  manipulador Robothron (Figura 36), o gráfico foi obtido do mesmo modo que na seção

  o 3.3. O ângulo 5 também varia de -150º a +150º, 5 e 5 também variaram de 0 a 90º.

  1

  2

  3 Z

  X Y Figura 36 - Volume de trabalho usando D-H

  Comparando os gráficos das Figura 31 e Figura 36 observa-se que ambos apresentam o mesmo formato, exceto o posicionamento dos eixos X e Y que neste caso segue a mesma orientação da Figura 35.

  Nesta e na seção precedente estudou-se a cinemática direta do manipulador Robothron através da notação de Denavit-Hartenberg, que permite obter a posição e a orientação do efetuador final a partir das coordenadas das juntas. Mas existem outros métodos, como os ângulos de Euler, ângulos RPY e quaternions de orientação, que também permitem obter a mesma orientação.

3.6 OUTRAS FORMAS DE REPRESENTAđấO DA ORIENTAđấO

  A orientação do efetuador final do manipulador pode ser descrita na forma da

  A matriz de orientação do efetuador final mostrada na equação (3.29) foi obtida da matriz dada pela equação (3.24).

  (3.29)

  , x x x . / Orientação n s a y y y

" . /

  • n s a

  . n s a / z z z

  1 Os elementos da matriz de orientação são representados pelas identidades (3.25).

  3.6.1 Ângulos de Euler

  Os ângulos de Euler descrevem a orientação do efetuador final do robô relativa as coordenadas da base. O sistema coordenadas da base (X , Y , Z ) é fixo e o sistema de coordenadas do efetuador final do manipulador, (X , Y , Z ), pode ser obtido a partir de

  n n n

  três rotações sucessivas. A primeira é uma rotação de um ângulo ) em torno do eixo Z (do sistema original); depois uma rotação de um ângulo ( em torno do novo eixo Y (obtido após a rotação )) e finalmente uma nova rotação de um ângulo ' em torno do eixo Z obtido após a rotação ( (Figura 37). Portanto, os ângulos de Euler são os ângulos destas rotações.

  Z ) Y

  n

  (

  Z n

  ( Y

  ' '

  X n

  ) (

  X Figura 37 - Representação dos ângulos de Euler A equação (3.30) expressa as rotações

  ) ) ( ( ' ' . / . / . /

  c s , c s c % s - % , , - -

  " s c # 1 # s c Rot !×Rot "×Rot # ) ) ' ' Z Y Z . /

  . / . / . / . / . / 1 % s c

  1 ( (

  

1

  1

  1

  (3.30)

  • , c c c % s s % c c s % s c c s

  ) ( ' ) ' ) ( ' ) ' ) ( . / " s c c $ c s % s c s $ c s s s

  ) ( ' ) ' ) ( ' ) ' ) ( . / . /

  % s c s s c ( ' ( ' (

  1 Igualando-se os elementos (3.29) com os elementos de (3.25) e isolando-se os

  ângulos (, ) e ', obtém-se

  2

  2

  atan2 n $ n a , ( " z y z

  6

  7

  a y a x

  ) atan2 , "

  8

  9

  8

  9

  s s ( (

  : ; (3.31)

  6

  7

  s % n z z

  ' atan2 , "

  8

  9

  8

  9

  s s ( (

  : ; Na simulação da rotina angeuler.m realizada no Matlab, foram atribuídos os seguintes valores para os ângulos das articulações:

  Ângulos das Juntas Ângulos de Euler ) ( ' q q q q q q

  1

  2

  3

  4

  

5

  6

o o o o o o o o o

  90 -90

  3.6.2 Ângulos RPY (Rolamento, Arfagem e Guinada)

  Tal como a representação de Euler, a representação RPY é obtida a partir de rotações elementares <, 5 e = em torno dos eixos Z, Y e X .

  Z Z

  Z’ Z’ Z’

  Z

  Y’

  <

  5 Y

  Y’

  Y Y =

  X’ X’

  X <

  X X

  X’

(a) (b) (c)

  Figura 38 - Rotações (a) < em torno de Z, (b) 5 em torno de Y e (c) = em torno de X

  • ,
    • . - . - .

  o o o o o o o

  q

  4

  q

  

5

  q

  6

  " !

  90

  q

  o

  o

  Os quartenions de orientação representam outra forma utilizada em muitos robôs Z Y

  X Z

  n

  X n

  Y n

  3

  2

  ! " " $ ' # ( #

  q

  % & ' ' ( ) * ' ( ( ) *

  ) * '

  (3.32) Igualando a matriz obtida na equação (3.32) com a matriz de rotação (3.29) - . atan2 , y x

  " $ n n - .

  atan2 , cos z x y

  n n n sen

  atan2 cos , cos x y x y

  Z Y Y Rot Rot Rot ! " # # $ c c c c s s c c c c s s s c s s s c c s s c c s s c s c c

  a sen a s sen s

  " " " " $ # ' # # ( #

  (3.33) Figura 39 - Sistemas Coordenados da Base e do Efetuador Final

  Numa simulação realizada no Matlab, foram atribuídos os seguintes valores para os ângulos das articulações e obtidos os seguintes resultados para os ângulos RPY:

  Ângulos das Juntas Ângulos RPY q

  1

  " ! " ! " " ! " " ! " ! " " ! " ! ! !

  • 90

3.6.3 Quaternions de orientação Os quaternions foram propostos por Hamilton e substituem as matrizes de rotação.

  Os quaternions apresentam quatro elementos, um escalar e três vetores (3.34)

  q =q +q i+q j+q k

  1

  2

  3 Existe uma equação de restrição para quaternions que representam rotações:

  2

  (3.35)

  =q +q q=1 q q # #

  Um quaternion inverso denotado por

  /

  (3.36)

  q =q +q

  Então

  /

  (3.37)

  q q # = q q +q -q + q -q # ( q q q # ( 0 -q

0 0 - . - . - .

  . . - -

  2

  $ q ( # q q =1

  O produto escalar de quaternions pode é

  

/

  (3.38)

  q q # $ # q q

  Uma rotação pode ser representada por composições de quaternions. Considerando-se um

  /

  vetor composto por um quaternion q do seguinte modo:

  v / v q # = 0+v + q -q

  . - . -

  • 2

  $ # v q+ q v v q ( 0 .

  Compondo este resultado no lado esquerdo com q :

  (3.39)

  • /

  q v q # # = 0+v + q -q . - .

  q -q v q+ q v v q $ # ( 0 .

  • 2

  .

  .

  2

  .

  $ q v q q v+2q q v+2q v q ( # # .

  Uma matriz de rotação equivalente pode ser obtida dos componentes de (3.34).

  (3.40) R= q -q×q I+2q S q +2q×q - .

  • 2 T

  .

  Onde S q é uma matriz anti-simétrica.

  • .

  Da equação (3.35), substituindo o lado esquerdo da equação obtém-se:

  (3.41)

  q -q q= 1-q q -q q # # # .

  • 2

  =1-2q q #

  2

  2 =1-2 q ( q ( q

  1

  2

  • 2

  3 .

  T

  onde q=q i+q j+q k= q q q . Para o elemento n ,

  x

  1

  2

  3

  1

  1

  2

  3

  2

  2

  2

  (3.42) n =1-2 q + +2q

  x

  1

  2

  

2

  1 - .

  =1-2q -2q

  2

  

3

Para o elemento da segunda coluna da matriz de orientação tem-se:

  (3.43) s =-2q q +2q q

  x 0 3 1 2

  De modo similar obtém-se:

  2

  2

  (3.44) % 1-2q -2q 2q q ' 2q q 2q q ( 2q q &

  2 3 1 2 0 3 1 3 0 2

  • )

  2

  2 R= 2q q ( 2q q 1 2q ' ' 2q 2q q ' 2q q

  1 3 2 3 0 1

  )

  • 1 2 0 3

  2

  ) 2q q ' 2q q 2q q ( 2q q 1 2q ' ' 2q

  • 2

  1

  2

  • 1 3 0 2 2 3 0 1

  , Comparando-se a matriz (3.44) com a matriz de orientação (3.29) e isolando-se os elementos dos quaternions, obtém-se:

  1 (3.45) q = n +s +a +1

  x y z

  2

  1 q = n -s -a +1

  1 x y z

  2

  1 q = -n +s -a +1

  2 x y z

  2

  1 q = -n -s +a +1

  3 x y z

  2 Na simulação realizada no Matlab, foram atribuídos os seguintes valores para os ângulos das articulações na rotina quat.m:

  Ângulos das Juntas Quaternions q q q q

  1

  2

  3

  4

  q q q q q q

  1

  2

  3

  4

  5

  6 o o o o o o

  0,5 0,5 0,5 0,5 Neste capítulo foram deduzidas as equações da cinemática direta para o manipulador do Robothron através de duas notações diferentes, Shet-Uicker e Denavit-

  Hartenberg; foram obtidas a posição e a orientação do dispositivo terminal em função dos ângulos das articulações. Formam também obtidas as equações da orientação do efetuador final pelos ângulos de Euler, RPY e a representação da orientação através de quaternions, que é comum em muitos robôs industriais.

  Neste capítulo foi desenvolvida a cinemática direta do manipulador e no capítulo seguinte será estudada a cinemática inversa que objetiva obter os ângulos de rotação das juntas a partir da orientação e posição do efetuador final.

  CAPÍTULO 4 CINEMÁTICA INVERSA DO 4. MANIPULADOR ROBOTHRON

  No capítulo anterior desenvolveu-se o procedimento para determinar a posição e a orientação do efetuador final, dadas as variáveis das juntas. Agora será examinado o procedimento inverso para determinar as variáveis das juntas, dada uma posição e orientação desejadas para o dispositivo terminal. O problema da cinemática inversa é importante porque as tarefas de movimentação são naturalmente estabelecidas em termos da posição e da orientação desejadas.

  Os modelos cinemático direto e inverso fazem parte do algoritmo de controle do robô industrial. Estes são incluídos nas malhas de servo controle e utilizados no comando e interpolação de trajetória.

  O problema da cinemática inversa é mais difícil que o problema da cinemática direta porque não há uma solução sistemática aplicável a todos os robôs [14]. A questão da cinemática inversa consiste em determinar-se o conjunto de ângulos e/ou deslocamentos das juntas que fornecem a posição e orientação especificadas para o efetuador final.

  Em geral, o problema da cinemática inversa pode ser resolvido por vários métodos, tais como as transformações inversas, álgebra de screw, matrizes duais, quartenions duais , método iterativo, aproximações geométricas[25], e a solução desacoplada de Piper [4].

  A cinemática de uma junta do manipulador foi definida em função dos parâmetros de Denavit-Hartenberg como (4.1)

  c " $ s " # % c s s " # a c " & ' i i i i i i i ( ) s " c c " # $ c s " # a s " i i i i i i

  ( )

  , , , # " !

  • T a d i i i i i i

  $

  1 ( s c d )

  # # i i i ( )

  1 , +

  e a cinemática direta do manipulador foi obtida através do produto das matrizes de cada uma das juntas como mostra a equação (4.2)

  6

  1

  2

  3

  4

  5

  6

  (4.2)

  T T T % % % * T T % T % T

  1

  2

  

3

  4

  5 O resultado deste produto é representado pela matriz de transformação homogênea cujos

  elementos são 12 equações não lineares e por comodidade, os elementos da matriz de orientação serão denominados r a partir deste ponto, como mostra a equação (4.3)

  ij

r r r p

  

& '

  11

  12 13 x

( )

  (4.3)

  

r r r p

  21

  22 23 y

  6

( )

  • H T

    ( r r r p )

    z

  31

  32

  33

( )

  1

, +

  Assumindo que as dimensões do robô, sua posição e orientação são conhecidas, então a matriz H obtida na análise da cinemática direta que dá a posição e orientação do efetuador final é uma matriz numérica.

  A matriz de transformação homogênea contém o vetor posição e sua orientação representados na equação (4.4) ; n n (4.4)

  

& '

R p

  6

  • H T * ( )

  1 n

, +

  onde R descreve a orientação do efetuador final, n expressa as coordenadas do vetor posição do efetuador final e

  p

  • .

  0 * .

  A equação (4.2) da cinemática direta é uma seqüência de transformações homogêneas para as articulações do manipulador, que inicia na base e seque até o efetuador final. O grafo da Figura 40 ilustra esta seqüência transformações realizadas na equação.

  2 T T

  3

  1 T T

  4 T T

  5

  6 T Figura 40 – Grafo representando as multiplicações das matrizes homogêneas A matriz de transformação homogênea do manipulador, dada pelo termo no lado esquerdo na equação (4.2), representada pela seta verde que segue no sentido anti-horário do grafo é uma matriz numérica que representa a posição e a orientação do efetuador final.

  O lado direito da mesma equação (4.2), ilustrado pela seta azul que segue no sentido horário e representa os produtos das matrizes das transformações homogêneas de cada articulação do manipulador e seus elementos são funções das variáveis das juntas.

  O lado esquerdo da equação (4.2) representa o vetor posição que vai da base do robô, cujo sistema coordenado tem a origem O , até o ponto central do efetuador final, no sistema coordenado com origem O , representado na Figura 41 . X 3

  6

  d d X Z 2

4 Z

  5 5

  6 O Y 2

  6 Z 3 X

  6 Z

  Z 2

  6 Y

  6

  a Y 1

  2 Z 1 X 1 Z

  d

1 Y

  X O

  Figura 41 – Representação das articulações do manipulador Robothron Os valores numéricos dos parâmetros D-H,representados por d , a , d e d podem

  1

  2

  4

  6 ser obtidos da Tabela 3.2.

4.1 CINEMÁTICA INVERSA DESACOPLADA

  A obtenção da cinemática inversa não é tarefa fácil para a maioria dos manipuladores e não pode ser obtida através de simples multiplicações matriciais. No entanto, nos manipuladores com seis graus de liberdade, onde os três últimos eixos consecutivos se interceptam num ponto, é possível desacoplar o problema da cinemática inversa em dois problemas simples [4], conhecidos respectivamente, como cinemática da interceptados num ponto constituem o chamado punho esférico, que é difícil de ser implementado mecanicamente.

  Desta forma a solução da cinemática inversa segue três passos: / A decomposição do manipulador no punho; / A determinação dos ângulos das três primeiras juntas; / A determinação dos três ângulos do efetuador final.

  A decomposição do manipulador no punho é o passo mais importante deste procedimento que se inicia com a localização do centro do punho [26]. Na Figura 42, o vetor p que determina a posição do efetuador final é conhecido e d também; já o vetor p que representa a posição do centro do punho do manipulador

  6 w pode ser obtido através da soma vetorial de p e o vetor de orientação do punho.

  d Y 2 X 3 X Z 2 Z 3 4 Z 5

  6 X

  6 Z

  Z 2

  6 Y

  6

  p Y 1 w

  X 1 Z 1 p Z Y

  X Figura 42 - Representação gráfica dos vetores de posição do punho e efetuador final

  Desta forma, o vetor p e a matriz de orientação do sistema do centro do punho w possibilitam determinar as variáveis das juntas encarregadas da posição do punho [26].

4.2 SOLUđấO DA CINEMÁTICA INVERSA PARA "1 Pós multiplicando-se o lado esquerdo da equação (4.2) obtém-se a equação (4.5).

  $

  1

  (4.5)

  6

  6

  1

  2

  3

  4

  5

  • T % T T T % % T % T % T

  5

  1

  2

  3

  4

  • ,

  Y0

  y desta origem.

  Figura 44 – Vista superior do modelo como punho desacoplado

  1

  2

  3

  4

  5

  6 T T T

  X0 O

  5

  5 " 1

  a 2 d 4 (O

  5

  )

  y

  (O

  5

  )

  x

  )

  e (O

  As operações realizadas pela equação (4.5) são ilustradas pelo grafo da Figura 43 ilustra onde a seta verde, no sentido anti-horário representa o produto do lado esquerdo e a seta azul no sentido horário, representa o lado direito desta equação.

  $ $ & ' ( ) $ $

  Figura 43 – Grafo representativo da equação (4.5) O produto da multiplicação das matrizes do lado esquerdo da equação (4.5) é apresentado na equação (4.6).

  ! 11 6 12 6 11 6 12 6 13 13 6

  1 21 6 22 6 21 6 22 6 23 23 6

  6

  6

  5 31 6 32 6 31 6 32 6 33 33 6

  1 x y z r c r s r s r c r p r d r c r s r s r c r p r d

  T T r c r s r s r c r p r d $

  ( ) % *

  x

  ( ) $ $

  ( )

  (4.6) A quarta coluna da equação (4.6) é o vetor w

  p , cujos elementos são valores

  numéricos e referem-se às coordenadas do centro do punho do manipulador. Esta posição é a origem O

  5

  do sistema coordenado localizada no centro do punho. A Figura 44 exibe a vista superior do modelo do manipulador com as coordenadas numéricas (O

  5

  )

  T T T T três primeiras linhas da quarta coluna da equação B1, mostradas na equação (4.7) , também representam as coordenadas da posição do centro do punho em função das variáveis das três primeiras juntas. Igualando os elementos da quarta coluna da matriz da equação (4.6) aos elementos da quarta coluna da matriz da equação B1,obtém-se:

  (4.7)

  & ' O

  ! a c c d c s 5 & ' x 2 1 2 4 1 23

  (

) ( )

  • O a s c d s s (

  ! 5 2 1 2 4 1 23 y

  

) ( )

(

) ( )

d a s $ d c

  • 1 2 2 4 23 ,

  O ( !

  • 5 ) z

  ,

  Para isolar a variável da primeira junta, o ângulo q , divide-se (O ) por (O ) no 1 5 y 5 x lado esquerdo da equação (4.7) e as mesmas linhas no lado direito, como mostra a equação (4.8)

  (4.8)

  r d $ d

  1 y

  2

23 6

  " * 3 atan2

  1

  4

  5 r d $ d

  13 6 x

  6

  7 Deduzida a equação do ângulo da articulação da base do manipulador calcula-se o seu valor numérico.

4.3 SOLUđấO DA CINEMÁTICA INVERSA PARA "3 E "2

  Com a dedução do ângulo de rotação da base, a obtenção dos ângulos das articulações do cotovelo e do ombro do manipulador podem ser obtidas a partir de uma análise da Figura 45.

  p

  O vetor que parte da origem O e segue até o centro do punho O possibilita

  1

  5 1w deduzir equações que relacionam os ângulos desejados.

  O

  5 x x

  3

  2 z

2 P

  

1w

  "

  3 x

  

1

O

  1

  "

  z

  2

1 Figura 45 – Representação gráfica das origens das articulações do ombro e punho

  O grafo da Figura 46 mostra de forma gráfica as operações necessárias para a dedução das equações dos ângulos de cotovelo e ombro do manipulador. A seta verde indica os valores numéricos até agora calculados e a seta em azul indica o que ainda precisa ser calculado.

  2 T T

  3

  1 T T

  4 T T

  5

  6 T Figura 46 – Grafo das operações de determinação dos ângulos do cotovelo e ombro

  A equação (4.9) representa o conjunto de transformações envolvidas no grafo da Figura 4.7

  $ 1 $

  1

  (4.9)

  1

  6

  6

  

2

  3

  4

  5

  • T % T % T T % T % T % T

  5

  

1

  2

  3

  4 ! !

  Efetuando-se a multiplicação das matrizes da equação (4.9), cujo produto pode ser observado na equação B2 do apêndice B e tomando-se os três primeiros elementos da quarta coluna, obtêm-se as equações (4.10), referente ao lado esquerdo, e (4.11) referente ao lado direito da equação (4.9)

  (4.10)

  5 & '

  O

  1 ! x & '

p c p s $ d r c r s

  ( ) x y !

  1

  1 6 13 1 23 1 ( )

  5 (

  O ) * p $ d $ d r z !

  1 1 6 33 y ( ) ( ) ( ) ( ) p s $ d c $ d r s $ r c

  1 y

  1 6 13 1 23 1 ! ,

  • 5 x

  O

  ( ! ) ,

  • 1 z

  A equação (4.11) é proveniente do vetor de posição obtido da equação B3 do apêndice B.

  (4.11)

  a c d s & '

  2 2 4 23 ( ) $ * a s d c

  Lado direito da equação (4.9)

  2 2 4 23 ( ) ( )

  , +

  Igualando-se as três primeiras linhas da quarta coluna das equações (4.10) e (4.11), obtém- se: (4.12)

  5 & '

  O

  1 ! x & '

d c d s $ d r c r s a c d s

  & ' ( ) x y !

  1

  1 6 13 1 23 1 2 2 4 23 (

  5 ( ) ( )

  O ) * * d $ d $ d r a s $ d c z !

  1 1 6 33 2 2 4 23 y ( ) ( ) ) (

  ( ) ( ) ( ) d s $ d c $

  1 y

  1

6 13 1 23 1 !

, ,

  • d r s $ r c
  • 5 x

  O

  ( ! ) z ,

  • 1

  Elevando-se ao quadrado os elementos componentes da primeira segunda linhas da equação (4.12) , elimina-se a variável de junta desconhecida " . Direcionando-se a equação

  2

  para a forma da lei dos co-senos, como mostra a equação (4.13) , obtém-se:

  2

  2

  2

  2

  (4.13)

  5

  5 O O a c d s a s $ * d c ! !

  1

1 2 2 4 23 2 2 4 23

! ! x y

  Isolando sen(" ),

  3

  2

  

2

  5

  5

  2

  2 O O $ a $ d

  1

  1

  2

  4 ! ! x y

  • s

  3 2 a d

  

2 4

  Aplicando-se a lei dos senos

  2 8 9

  

2

c * 3 1 $ s

  3

  3

  2 8 v

  Logo, a determinação do ângulo "

  3

  (4.14)

  " * atan2( , s 3 c )

  3

  

3

  3 Conhecida a variável de junta " , adota-se procedimento semelhante para a obtenção de " ,

  3 2 como é mostra a equação (4.15) .

  5

  (4.15)

  & ' O

  1 ! x & ' & '

a d s d c c

  2 4 3 4 3

  2 ( ) ( )

  ) * (

  5 ( )

$ d c a d s

s

  2 4 3

  2 , + ,

  • O 4 3

  !

  1 y Isolando-se cos(" ) na equação (4.16)

  2

  5 5 (4.16) a d s O $ d c O

  ! 2 4 3 ! 1 4 3 !

  1

!

x y

  • c

  2

  2

  2 a d 2 a d s

  2 4 2 4 3

  De modo análogo isola-se sen(" ) na equação (4.17)

  2

  (4.17)

  5

  5 a d s O d c O

  ! 2 4 3 1 4 3

  1 ! ! y x

  !

  • s

  2

  2

  2 a d a d s

  

2

  2 4 2 4 3

  Dividindo (4.17) por (4.16) , isolando o argumento e aplicando a função ATAN2 (4.18)

  

s c

" * atan2( , )

  2

  

2

  2 Até aqui foram determinados dois dos três passos do procedimento para a obtenção

  da cinemática inversa. Estabeleceu-se a posição do centro do punho e os três ângulos do antebraço do manipulador. A partir deste ponto será o terceiro passo que é a determinação dos ângulos do punho do manipulador.

4.4 SOLUđấO DA CINEMÁTICA INVERSA PARA "5

  A determinação da cinemática de orientação do punho pode ser obtida por diferentes caminhos. Retomando o estudo da equação (4.2) , observa-se que as três

  1

  2

  3

  primeiras matrizes de transformação são conhecidas, logo pré-multiplicando a

  T T % % T

  1

  

2

!

  a inversa deste produto pela matriz homogênea obtém-se como resultado a equação (4.19)

  $

  1

  (4.19)

  2

  3

  6

  4

  5

  6 T T % % T % T T % T % T

  • 1

  1

  2

  3

  4

  5 !

  Os termos do lado esquerdo da equação são valores numéricos e os termos do lado direito dependem das variáveis das juntas do punho. O grafo da Figura 47 ilustra este procedimento, onde seta verde no sentido anti-horário representa o lado esquerdo de (4.19) e a seta azul no sentido horário, representa as transformações do lado direito cujas variáveis de junta ainda permanecem incógnitas .

  • * $

    ( ) ( ) $
    • ,

  • ( ) ( )
    • ,

  "

  6 T T T T T T

  5

  4

  3

  1

  (4.24) Dividindo equação (4.24) por (4.23) , isolando-se o argumento, obtém-se:

  5

  5

  2

  (4.23) Aplicando a lei dos senos, tem-se:

  5 13 1 23 23 1 23 33 23 c r c s r s s r c * $

  ), como segue

  5

  (4.22) Observa-se que o elemento da terceira linha permite isolar cos(

  $

  $ $ & ' & ' ( ) ( ) $ * ( ) ( ) ( ) ( )

  • , + ,
    • 3 1 s c $

  5 r c c r s c r s c s r s r c s s r c s r s s r c c

  13 1 23 23 1 23 33 23 4 5

13 1 23 11 4 5

13 1 23 23 1 23 33 23

  (4.21) Igualando-se as equações (4.20) e (4.21) , como mostra a equação 4.22) ,

  & ' ( )

  5 _ (1,3) , c s Lado direito s s c

  4 5 4 5

  (4.20) De modo análogo, a equação (4.21) representa a terceira coluna do lado direito da equação B7.

  

$ $

& ' ( )

  _ (1,3) r c c r s c r s Lado esquerdo r s r c r c s r s s r c

  13 1 23 23 1 23 33 23 13 1 23 11 13 1 23 23 1 23 33 23

  Figura 47 – Grafo representativo das transformações do punho. As multiplicações do lado esquerdo e do lado direito da equação (4.19) , podem ser observadas nas equações B6 e B7,respectivamente, no apêndice B. Igualando os elementos de equações B6 e B7 e extraindo-se as coordenadas da terceira coluna da equação B6 obtém-se

  2 T

  (4.25)

  2 s 3 $ c

  " * atan2 ,

  1

  5

  5

  5 !

  Substituindo a equação (4.23) em (4.24) , e esta em (4.25) , obtém-se (4.26)

  2 (4.26)

  1 2 atan2 sin cos ,

  1 sin cos

  " r % " $ r % "

  • 5

  3 $ r % " $ r % " !

  4

  13

  1

  23

  1

  13

  1

  23

  1

  5

  6

  7

4.5 SOLUđấO DA CINEMÁTICA INVERSA PARA "4

  Conhecido o ângulo " , a variável " da junta 4 pode ser isolada a partir da primeira

  5

  4

  e segunda linhas da equação (4.22) , como mostra a equação (4.27) (4.27)

  $ r c c $ r s c r s 13 1 23 23 1 23 33 23

  • c

  4 s

  5 r s $ r c

  13 1 23 11

  • s

  4 s

5 Estas equações são válidas somente para s 0.

  5

  (4.28) " atan2 ,

  • s c

  !

  4

  

4

  4 Quando s =0 o robô apresenta uma singularidade.

  5

4.6 SOLUđấO DA CINEMÁTICA INVERSA PARA "6

  Com dois dos três ângulos do punho calculados, o ângulo pode ser obtido da "

  6

  equação (4.29)

  $

  1

  (4.29)

  1

  2

  3

  4

  6

  5

  6 % * T T % % T % T % T T T

  1

  2

  3

  4

  5 !

  O grafo da Figura 48 representa a equação (4.29)

  2 T T

  3

  1 T T

  4 T T

  5

  6 T Figura 48 – Grafo representativo das transformações necessárias para obter

  "

  6 A equação B8 do apêndice B apresenta o lado esquerdo e a equação B9 apresenta o

  lado direito da equação (4.29) . Igualando o elemento da terceira linha e primeira coluna da equação B8 e B9, obtém-se: (4.30)

  r s c $ * c c s $ r c c $ s c s $ r s s s 11 1 4 1 23 4 ! 21 1 4 1 3 4 ! 31 23

  4

  6 r s c $ $ * c c s r c c $ s c s $ r s s c

  ! ! 13 1 4 1 23 4 23 1 4 1 3 4 33 23

  4

  6

  (4.31) " * ATAN 2( , ) s c

  6

  

6

  6 Logo,

  (4.32) "

  ,

! !

  • ATAN

  2 r s c c c s r c c s c s r s s $ $ $ $ 6 11 1 4 1 23 4 21 1 4 1 23 4 31 23

  4 r s c $ c c s $ r c c $ s c s $ r s s

  ! ! 13 1 4 1 23 4 23 1 4 1 3 4 33 23

  4 !

  Com a cinemática direta é possível determinar a posição e orientação do efetuador final, já a forma inversa permite calcular os ângulos das juntas a partir da posição e orientação do mesmo efetuador final.

  4.7 ÁRVORE DE SOLUđỏES

  Como pode ser constatado pelas equações (4.8) , (4.14) e (4.25) , podem haver duas soluções para " , " , e para " significando que o manipulador pode alcançar oito

  1

  3

  5

  diferentes localizações especificadas pela matriz de transformação homogênea. Porém algumas desta oito diferentes posições são impraticáveis devido as restrições de movimento da estrutura de paralelogramo do manipulador.

  Na Figura 49 é apresentado o grafo das oito soluções possíveis para a obtenção da cinemática inversa.

  Matriz de Transformação Homogênea "

  1

  "

  1

  • "

  3 "

  3

  " "

  3

  3

  2

  2

  2

  2

  • " " " "
  • "
  • 5 "

  5 " " " " " "

  5

  5

  5

  5

  5

  5

  " " " " " " " "

  4

  4

  4

  4

  4

  4

  4

  4

  " " " " " " " "

  6

  6

  6

  6

  6

  6

  6

  6 Figura 49 – Árvore de soluções para a cinemática inversa

  A comprovação dos resultados apresentados acima são mostrados nas simulações implementadas no programa Matlab.

4.8 SIMULAđỏES DA CINEMÁTICA INVERSA

  A primeira simulação implementada no Matlab parte de valores iniciais, calcula a cinemática direta apresentando a matriz de transformação homogênea (Tabela 4.1) e com os valores desta calcula a cinemática inversa, determina o erro resultante e apresenta os resultados na Tabela 4.2 .

Tabela 4.1 – Ângulos das juntas e correspondente matriz de transformação homogênea

  Ângulos MTH

  • 0.0000 -0.0000 1.0000 530.0000 q

  1

  • 1.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 q

  2

  • 0.0000 -1.0000 -0.0000 750.0000 q

  3

  1.0000 q

  4

  q

  5

  q

  6 Tabela 4.2 – Simulação da cinemática direta e inversa e o erro correspondente

  Cinemática Direta Inversa erro 0,8668 -0.8668

  • 015
    • 1,0x10

  • 015 Como pode ser observado o erro resultante é da ordem de 10 que é praticamente nulo.

  Com a finalidade de comprovar a validade das equações foi novamente calculada a cinemática direta a partir dos valores da cinemática inversa da Tabela 4.2 e são apresentados na Tabela 4.3

Tabela 4.3 – Simulação da cinemática direta a partir da inversa calculada

  Ângulos MTH

  0,8668 -0.0000 -0.0000 1.0000 530.0000 q

  1

  • 1.0000 0.0000 -0.0000 0.0000 q

  2

  • 0.0000 -1.0000 -0.0000 750.0000 q

  3

  1.0000 q

  4

  q

  5

  q

  6

Tabela 4.4 – Simulação da cinemática direta a partir da inversa calculada

  Cinemática Direta Inversa erro 0,8668 0,8668

  • 015
    • 1,0x10 Nesta segunda simulação o erro é nulo.

  A segunda simulação implementada exibe os gráficos (Figura 50) das trajetórias das três primeiras juntas geradas a partir de uma trajetória retilínea entre os pontos [-100,

  • 100, 1130] a [1140, 100, 380] do espaço cartesiano. 200
  • J g ra ) ( s 150 u u n ta 1 100 50 ) s 200

      0.5 1 1.5 2 Tempo (s) 2.5 3 3.5 4 4.5 5 J 2 ( g ra ta u n u 150 100 ) -100 -125

      50 0.5 1 1.5 2 Tempo (s) 2.5 3 3.5 4 4.5 5 u s ra g u J ta n 3 ( -225 -200 -175 -150

    • 250
    • 0.5 1 1.5 2 Tempo (s) 2.5 3 3.5 4 4.5 5 Figura 50 - Trajetórias das juntas da base Para validar a cinemática inversa a partir dos ângulos de Euler, foram atribuídos valores iniciais para os ângulos das juntas e calculou- se os ângulos de Euler no Matllab. Na seqüência, forma determinados os valores dos ângulos das juntas.

        "=[ 45 0 0 0 0 0]

        0.7071 0.0000 0.7071 374.7666

        ' ( ) ( )

      • 0.7071 -0.0000 0.7071 374.7666 0.0000 -1.0000 -0.0000 750.0000 1.0000

        MTH &

      • (

        ) ( )

      • ,

        [ # : ;] = [45.0000 90.0000 -90.0000]

        Cinemática inversa Cálculo da matriz de transformação homogênea mthinveuler =

        0.7071 0.0000 0.7071 374.7666

      • 0.7071 -0.0000 0.7071 374.7666 0.0000 -1.0000 -0.0000 750.0000 0 0 0 1.0000

        Aplicando a transformação inversa obteve-se "=[ 45.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000] Neste capítulo foi obtida a cinemática inversa a partir da matriz de transformação homogênea. As simulações comprovaram a validade das equações deduzidas.

        CAPÍTULO 5 CINEMÁTICA DIFERENCIAL 5.

        Considerando a equação da cinemática direta do manipulador escrita na forma

        " R q p q # ! !

        T q !

        $ % T &

        1 ' ( T

        )

        1

      • onde q $ q q é o vetor das variáveis de juntas. A matriz de rotação R(q) e o

        6 vetor de posição p(q) variam com a variação de q.

        O objetivo da cinemática diferencial é encontrar as relações entre as velocidades das juntas e as velocidades linear e angular do efetuador final, ou seja, expressar p! a velocidade linear e + a velocidade angular do efetuador final em função das velocidades das juntas denotadas por q! [1] .

        Na cinemática é tratado do movimento do manipulador referente as velocidades de seus elos. Este estudo leva a uma matriz denominada Jacobiano do manipulador, que exerce um papel importante na análise e controle de seu movimento.

      5.1 JACOBIANO DE UM MANIPULADOR

        Para manipuladores robóticos, o Jacobiano de interesse é aquele que relaciona as velocidades das juntas às velocidades cartesianas do efetuador final: (5.1)

        v " # n

      ! !

      p $ $ J q , q

        ! % & n

      • ' ( onde q! é um vetor de velocidade das juntas [27] .

        A notação para o Jacobiano de (5.1) , para o manipulador com seis graus de liberdade é :

        (5.2)

        

      J J J J J J

      " #

      L L L L L L

        1

        2

        3

        4

        5

        6 J q !

        

      $ % &

      J J J J J J

      A A A A A A

        '

        1

        2

        3

        4

        5 6 (

        Em (5.2), os termos J são vetores coluna associados a velocidade linear

        Ln v e os termos n

        J correspondem as velocidades angulares + . A equação (5.1) pode ser escrita como

        An

      n

        (5.3)

        J J J J J J " # " # " # " # " # " # L L L L L L

        1

        2

        3

        4

        5

        6 ! ! ! ! ! ! ! p $ , - q , - q , - q , - q , - q , q

        1

        2

        3

        4

        5

        6 % & % & % & % & % & % &

        J J J J J J A A A A A A

        1

        2

        3

        4

        5

        6 ' ( ' ( ' ( ' ( ' ( ' (

        A velocidade do efetuador final p! é dada pela soma vetorial das velocidades do movimento de cada das articulações individuais representadas pelas colunas do Jacobiano. Como o manipulador em estudo é constituído de juntas rotacionais, opta-se por deduzir inicialmente a parte inferior do Jacobiano da equação (5.2), J referente à

        n

        velocidade angular. As velocidades angulares podem ser obtidas de somas vetoriais se estiverem expressas em relação ao mesmo sistema de coordenadas. Assim determina-se a velocidade angular do efetuador final em relação ao sistema de coordenadas da base do manipulador, somando-se vetorialmente as expressões da velocidade angular de cada articulação individual [27]. A velocidade angular da i-ésima articulação em relação ao sistema i-1 é dada por

        ! (5.4)

      • i Ai i i i

        $ J , $ , q z

        / 1 /

        1

        ! i .

        onde z é um vetor que representa a terceira coluna dos produtos das matrizes de

      i-1 orientação das articulações.

        Portanto, para a primeira articulação é dada por (5.5)

        

      " #

      % &

      J $ z A

        1

      $ % &

      % &

        

      1

      ' (

        Para determinar z a terceira coluna da matriz de rotação da primeira articulação

        1

        1

        (5.6) " A 1,3 # " sin . #

        ! !

        1

        %

        1 & % & 2,3 cos .

        J $ z $ A $ / A ! !

        2

        1

        1

        % & % &

        1

        % & % & 3,3

        A !

        ' ( ' (

        O vetor que aponta a velocidade angular da segunda articulação é obtido da terceira segunda (equação B11 do apêndice B) e é mostrado na equação (5.7)

        ! ! ! !

        , referente a velocidade linear já pode ser determinada. A velocidade do efetuador final pode ser obtida da derivada temporal do vetor de posição, valendo-se da regra da cadeia da derivação:

        

      /

      ' (

        (5.9)

        1 23 4 5 1 4 5 1 23 5

        6

      5 1 23 4 5 1 4 5 1 23 5

      23 4 5 23 5 A c c c s s s s c s c J z s c c s c s s s s c s c s c c

        / - - " # % & $ $ / - % & % &

        / ' (

        (5.10) Os elementos dos vetores z

        i

        compõem a parte inferior do Jacobiano do manipulador referente a velocidade angular A parte superior do Jacobiano da equação (5.2) , J

        L

        1 n n n i i

      i

      p

      p q

      q

        5

      4 1 23 4 1 4

      23 4 A c c s J z s c s c c s s

        $

        $

        1

        " !

        ! (5.11)

        A última coluna do jacobiano de J

        L

        , é n n

        p q

        Esta expressão representa a velocidade do efetuador final.

        / " # % & $ $ / / % & % &

        1 23 4

        !

        A A J z A A A A .

        1

        2 0 1

        1

        1

        2

        3 2 0 1

        1

        1

        2 0 1

        1,3 sin 2,3 cos 3,3 A

        . " # "

        (5.8) De modo semelhante, obtém-se os vetores para as duas últimas articulações do manipulador, conforme as equações (5.9) e (5.10) [27]

        # % & % &

        $ $ $ / % & %

        & % & % &

        ' ( ' (

        (5.7) O vetor para a quarta articulação é mostrado na equação (5.8)

        1 23

        4

      3 1 23

        23 A

      c s

      J z s s c

        " # % & $

      $ % &

        % &

      /

      ' (

        1 i / n vetor que vai da origem O

        i-1

        " " " ! ! !

        

      2

      " " " ! !

        !

        (5.15)

        !

        1

        1

        1

        1

        1 n i n i i n i i i i p R q k p q R k R p

        / / / / /

        $ 2 $

        2 " "

        ! !

        1 n n

      i i

      p q k p

        !

        1

        1

      n i

      i i q z p p

        / /

        $ 2 / !

        (5.16) .

        Z i-1

      n

      p

        1 n i p

        /

        1 i p

        / x

        y

        / $

        , tem-se

        até O

        A Figura 5.1 lustra o movimento do efetuador final devido ao movimento da articulação i. Deve-se observar que

        n

        , então

        1

        1

        1 n i i n i p p R p

        / / /

        $ - , (5.12)

        1

        1

        1 n i i n i p p R p

        / / /

        / $ , (5.13)

        1 i p

        i-1

        /

        e

        1 i R

        /

        são constantes quando só a i-ésima articulação é movimentada.

        Figura 51 – Movimento do efetuador final devido a i-ésima junta Portanto, derivando a equação (5.12) , obtém-se:

        1

        1 n i n

      i

      p R p

        / /

        $ ! !

        (5.14) Como o movimento do elo i é uma rotação q

        i

        em torno do eixo z

        z e deste modo n (5.17)

        p n i /

        1

        ! $ q z i i 2 p / p

        /

        1 ! q n

        Os elementos de velocidade linear do Jacobiano são dados por n i /

        1

        (5.18)

        J $ z Li i /

      2 p / p

      1 !

      i /

        1 Segue-se a determinação do vetor p para a junta i=1, portanto

        (5.19)

        

      " #

      % &

      p

        $ % &

      % &

      1

      ' (

        Para i=2 tem-se: (5.20)

        " # % & p

        1 $ % & % & d

        

      1

      ' (

        Para i=3 (5.21)

        s

      " #

        

      1

      % &

      p $ / c

        2

        

      1

      % &

      % &

      ' (

        Para i=4 (5.22)

        a c c

      " #

        

      2 1 2

      % &

      p a s c

        3 2 1 2 & $ %

        

      % &

      • - d a s

        

      1 2 2

      ' (

        Para i=5 (5.23)

      • a c c d c s

        " #

        

      2 1 2 4 1 23

      % &

      • p $ d s s a s c

        4 4 1 23 2 1 2

      % &

      % &

        / - - d c a s d 4 23 2 2

        1

      ' (

        Para i=6 (5.24)

      • d c s a c c

        " #

        

      4 1 23 2 1 2

      % &

      • p $ d s s a c c

        5 4 1 23 2 1 2

      % &

      % &

        / - - d c a c d 4 23 2 2

        1

      ' (

      • / - - - %
      • - - - - -

        %
      • - / / - -

        %

        (

        % & 2 / $ / / - % & % &

        3 4 / / - -

        % &

        5 6 %

        &

        5

        6

        &

        7 8 '

        (5.27)

        1 6 1 23 4 5 1 4 5 1 23 5 4 1 23 c d c c s d c c d c z p p s d s c s d c c d c s d s c c s c s s s s c d s s c d c c c s s s s c s c d c s

        ! ! ! !

        ! 1 23 6 4 5 23 6 5 23 4 23 23 6 5 1 4 23 6 1 4 5 6 1 23 5 4 1 23

        23 6 1 23 4 5 6 1 4 5 6 1 23 5 4 1 23

        3

        3 1 23 6 23 4 5 6 23 5 4 23 1 23 6 1 23 4 5 6 1 4 5 6 1 23 5 4 1 23 1 23

        s s d c s s d c c d c c d s s c c d c s s d s s c d s s c d c c c s d s s s d c s c d c s z p p c s d s c s d c c d c c s d s c c s d c s s d s s c d s s s s d

        

      / /

      / - -

        ! 6 1 23 4 5 6 1 4 5 6 1 23 5 4 1 23 c c c s d s s s d c s c d c s

        " # % & % & % & % & % & % & % & % & % &

        (

        " # % & % & / /

        1

        (5.28)

        1

        A seguir são calculados os produtos vetoriais entre os componentes vetoriais dos eixos das velocidades e as diferenças vetoriais para cada articulação [27]

        ! 6 1 4 5 1 23 4 5 23 5 4 1 23 2 1 2 6 1 4 5 1 6 23 4 5 6 1 23 5 4 1 23 2 1 2 d c s s s c c s s c d s s a s c z p p d s s s c d c c s d c s c d c s a c c

        " # / / / / % & 2 / $ / / / -

        % & % & ' (

        (5.25)

        ! ! !

        ! !

        ! 1 6 23 4 5 6 23 5 4 23 2 2

        1 1 6 23 4 5 6 23 5 4 23 2 2

        1 6 1 23 4 5 1 23 5 1 4 5 4 1 23 2 2

        1 6 1 23 4 5 1 23 5 1 4 5 4 1 23 2 1 2 c d s c s d c c d c a s z p p s d s c s d c c d c a s

      s d s c c s s s c c s s d s s a c

      c d c s c s s s s s s s d c s a c c

        1 6 1 23 4 5 1 4 5 1 23 5 4 1 23

        " # % & % & / / -

        % & 2 / $ / / / -

        % & % &

        & % &

        & ' (

        (5.26)

        ! ! !

        ! !

        ! 1 6 23 4 5 6 23 5 4 23

        2 2 6 23 4 5 6 23 5 4 23

        • 2 / $

          / /

          / - -
        • '

      • 2
      • / 2 / $ / / / / / - -
      • '
      • ( - )( - + ) ( - )( + + - )
      • (- + + )( -

        5

        (5.31) Aplicando a equação 3.56 ao manipulador Robothron, tem-se:

        1

        1

        2

        2

        

      3

        3

        4

        4

        5

        (5.30) Reunindo as componentes de velocidade linear, equação (5.18) , e angular, equação (5.19) , do Jacobiano, tem-se: Li i Ai

        1

        2

        3

        4

        5 z p p z p p z p p z p p z p p z p p J z z z z z z

        2 / 2 / 2 / 2 / 2 / 2 / " # $ % & ' (

        (5.32) Os elementos do Jacobiano são dados pelas equações (5.25) a (5.30) para os elementos que compõem as primeiras três linhas e as seis colunas correspondentes a velocidade linear. As três últimas linhas são compostas pelas equações (5.5) a (5.10) que formam as componentes da velocidade angular [27].

        O Jacobiano é um recurso importante para a caracterização do manipulador, e é útil para:

        9 Determinar configurações singulares;

        J J J " # $ % & ' (

        # % & % & % & % & % & % & % & % & ' (

        9 Analisar redundâncias;

        / - / - -

        ! ! !

        ! ! ! ! 1 23 6 23 4 5 6 23 5 23 6 1 23 4 5 6 1 4 5 6 1 23 5 2 1 2

        4

        4 23 6 1 23 4 5 6 1 4 5 6 1 23 5 2 1 2

        4

        4

        4 1 4 1 23 4 6 23 4 5 6 23 5 1 4 1 23 4 6 1 23 4 5 6 1 4 5 6 1 23 5 4 1

        2

        s c s d s c s d c s s s d s c c s d c s s d c s c a s c

      s s d cc c s d s s s d c s c a cc

      z p p s c cc s d s c s d c s s c cc s d s c c s d c s s d s s c d s

        

      ! !

      23 4 1 23 1 23 4 1 4 6 1 23 4 5 6 1 4 5 6 1 23 4 s d s s s c s cc d cc c s d s s s d c s c

        c c c s s s s c s c d s c c s d c s c d s s c s c c s c s s s s c d c c c c d s s s d c s c "

        " # % & % & % & % & % & % & % & /

        % & % &

        (

        (5.29)

        1 23 4 5 1 4 5 1 23 5 6 23 4 5 6 23 5 23 4 5 23 5 6 1 23 4 5 6 1 4 5 6 1 23 5 23 4 5 23 5 6 1 23 4 5 6 1 4 6 1 23 5 4 1 23

        5

        5 1 23 4 5 1 4 5 1 23 5 6 23 4 5 6 23 5 ( - + )( - )

        

      s c c s c s s s s c d s c s d c c

      s c s c c d s c c s d c s s d s s c s c s c c d c c c s d s s d c s c d c s z p p

      c c c s s s s c s c d s c s d c c

        2 / $ 1 23 4 5 1 4 5 1 23 5 6 1 23 4 5 6 1 4 5 6 1 23 5 1 23 4 5 1 4 5 1 23 5 6 1 23 4 5 6 1 4 5 6 1 23 5

        ) ( - + )( - + )

      • ( - + )( + + )

        9 Determinar-se o mapeamento entre forças aplicadas no efetuador final e os torques resultantes nas juntas;

      9 Derivar-se as equações dinâmicas de movimento; 9 Projetar esquemas de controle.

      5.2 SINGULARIDADES

        Na cinemática inversa pode haver uma multiplicidade de soluções, como também pode não haver solução alguma. A multiplicidade de soluções ocorre em estruturas redundantes onde ficam mantidas a posição e orientação do efetuador final, existe sempre um par de juntas que assumirá um ângulo infinito. A existência de soluções está ligada a singularidade [1].

        A singularidade pode ocorrer pelas limitações físicas da estrutura, como deflexões máximas nas juntas e comprimento dos segmentos, ou pelo alinhamento de juntas cujos eixos se interceptam, ocorrendo perda de um grau de liberdade da estrutura, impedindo que ela se mova em determinada direção enquanto estiver na configuração de singularidade. Identificar as singularidades de um manipulador é importante pelas seguintes razões:

      9 Singularidades representam configurações para as quais certas direções de movimentos são inatingíveis.

        Nas singularidades, saltos nas velocidades e nas forças da garra correspondem a travamentos nas velocidades e nos torques das juntas.

        A configuração é singular se e somente se (5.33) det J q $

        !

      !

        As singularidades podem ser desacopladas em singularidades do punho e singularidades do braço do manipulador. Particionando-se o jacobiano em duas matrizes 3x3:

        (5.34)

        

      " J J J J J J #

      L

        1 L

        2 L

        

      3 L

        4 L

        5 L

        6 J q !

        

      $ % &

      J J J J J J

      A

        1 A

        2 A

        

      3 A

        4 A

        5 A

        6

      ' (

        Deste modo o jacobiano do punho é dado por:

        (5.35)

        J J J " # L L L

        4

        5

        6 Jpunho q !

        $ % & J J J A A A

        '

        4

        5 6 (

        Aplicando-se (5.33) a equação (5.35) obtém-se a equação para as singularidades do punho.

        (5.36)

        J J J " # L L L

        4

        5

        6 det( Jpunho ) $ $ % &

        J J J A A A '

        4

        5 6 (

        A equação (5.35) conduz a (5.37)

        z 2 / p p z 2 / p p z 2 / p p " #

        3

        3

        4

        4

        5

        5 Jpunho $ $ det( ) % & z z z

        3

        4

        5 ' (

        Como os três eixos do punho interceptam-se num único ponto, escolhendo-se sistemas coordenados o = o = o = o, então (5.37) torna-se

        3

        4

        5

        (5.38)

        " # det( Jpunho ) $ $ % & z z z

        3

        4

        5 ' (

        A equação permite ver que o punho esférico está em uma configuração singular sempre que os vetores z , z e z forem linearmente dependentes. Isto acontece sempre que

        3

        4

        5

        os eixos das juntas 4 e 6 encontram se alinhados, como mostra a Figura 52

        4 z

        5

        6 z z

        Figura 52 - Alinhamento dos eixos Z e Z causa singularidade

        4

        6 Analisando-se a equação (5.33) da cinemática inversa do punho do manipulador obtém-se a mesma conclusão, se sin( ) 0 . $ tem-se uma singularidade.

        5

      • A singularidade de q é indicada pelo termo a c d s =0. Geometricamente isto é

        1 2 2 4 23

        equivalente a posição do centro do punho coincidir com o eixo Z , como mostra a Figura 53 .Neste caso os eixos das juntas 1,4, 5 e 6 se interseccionam-se e com isto, o efetuador final permanece fixo é possível rotacionar a junta 1 para qualquer posição e as juntas 4, 5 e 6 se moverão concordantemete. Entretanto, a junta 2 e a junta 3 devem permanecer nos mesmos ângulos. Isto produz uma solução indeterminada para q .

        1

        5

        6 Z 5 Z 3 Z 4

        4 Z

        3

        2

        1 Figura 53 - Singularidade de .

        1 A estrutura do tipo paralelogramo só apresenta esta singularidade para o antebraço

        A mesma singularidade pode ser observada através da equação (4.7) da cinemática inversa; se as posições do centro do punho (O ) e (O ) são iguais a zero, a equação

        5 x 5 y seguinte (4.8) não apresentará solução.

        Determinadas as cinemáticas direta, inversa e diferencial, a próxima etapa do desenvolvimento é a determinação das forças e torque atuantes na estrutura do manipulador.

        Capítulo 6 ESTÁTICA 6.

        Neste capítulo serão enfocadas as características estáticas do manipulador. Os atuadores produzem os movimentos que deslocam os elos do manipulador. Cada atuador produz um torque que é combinado com o torque dos outros motores através dos mecanismos dos elos para gerar a força no efetuador final para realizar uma tarefa.

        6.1 INTRODUđấO

        O contato entre o manipulador e seu meio resulta em forças interativas e momentos na interface manipulador/ambiente. Neste capítulo serão focadas das forças e momentos que atuam no braço do manipulador quando este está em repouso.

        Cada articulação do braço do manipulador é movimentada por um atuador individual. Seus torques são transmitidos através dos elos do braço até o efetuador final, onde as forças e momentos resultantes atuam sobre o meio. As relações entre os torques dos atuadores e as forças e momentos resultantes aplicados no efetuador final são de fundamental importância para o controle do robô.

        Se o manipulador transportar um objeto leve na garra, ou uma grande força é aplicada no efetuador final, a extremidade do manipulador flexiona-se. A magnitude desta deflexão é determinada diretamente através da precisão do manipulador. A precisão é uma característica importante para determinar a rigidez do manipulador [28].

        6.2 ANÁLISE DAS FORÇAS E MOMENTOS

      6.2.1 Balanço das Forças e Momentos

        Aqui são deduzidas as equações básicas que governam o comportamento estático do braço do manipulador robótico.

        Considerando o diagrama de corpo livre de um elo individual incorporado a uma cadeia cinemática aberta. Na Figura 54, são mostradas as forças e os momentos que atuam no elo i, conectado aos elos i-1 e i+1 através da juntas i-1 e i+1. A forca linear que

        f i i 1,

        atua na origem do sistema de coordenadas {O , x , y , z }, é exercida sobre o elo i pelo

        i-1 i-1 i-1 i-1

        elo i-1. A força C aplicada ao elo i+1 pelo elo i e sua antagônica é f . O torque n i i , 1 ! i 1, i exercido sobre o elo i pelo elo i-1 e n é o torque aplicado ao elo i+1 pelo elo i, portanto i i , 1 !

        

      n é o momento aplicado ao elo i pelo elo i+1. A força da gravidade m g atua sobre o

      i i , 1 ! i

        centróide C do elo i com massa m . O vetor r posição da origem O até a origem O e

        i i i i i-1 i 1,

        representa a posição do centróide com relação a origem O . Nesta notação todos os

        r i Ci i ,

        vetores estão definidos com relação ao sistema da base [28]. junta

        i+1

        z

        

      i-1 f

      f

        1, 1, i i

      i i

      n i 1, i n i i

        Elo i , 1 !

        r , i Ci

        C

        

      i

        O

        i-1

        O

        i r i 1, i

        Elo i-1 Elo i+1 m g

        i

        z Atuador i y

        O x Figura 54 - Forças e Momentos atuantes no elo i

        O balanço de forças é dado pela equação

        f f ! m " i i i i i onde i=1,...,n (6.1)

      1, , 1 !

      g

        As forças lineares e causam momentos em torno do centróide C .O

        f f i i i i i 1, , 1 !

        balanço dos momentos relativo ao centróide é dado por (6.2)

        n n r ! r % f ! r % f " i i i i i i i Ci i i i Ci i i 1, , 1 ! # 1, , $ 1, # , $ , 1 !

        # $ n

        Na equação (6.1) as forças f e os momentos cancelam as forças e os i 1, i i 1, i momentos entre os elos adjacentes i e i-1.

        n

      • !

        n n , 1

      • f n n , !
      • 1

          n 0,1

          Elo n+1

          f 0,1

          Base Figura 55 - Forças e momentos exercidos nas extremidades do manipulador

          Quando i=1, as forças de acoplamento e os momentos são f e n . Estas são as

          0,1 0,1

          forças de reação e momentos aplicados ao elo da base. Quando i=n, a força de acoplamento

          n

          e o momento são aplicados ao plano de trabalho (elo n+1) pelo efetuador

          f ! n n n n , 1 , !

          1 final. Para desempenhar suas tarefas o braço acomoda estas forças e momentos.

          As equações (6.1) e (6.2) podem ser obtidas para todos os elos exceto para a base. Então podem ser deduzidas 2n equações para as forças de acoplamento e 2(n+1) momentos. Duas das forças de acoplamento e momentos devem ser especificadas para que

          n

          as equações apresentem soluções. Combinando a força f e o momento obtém- n n , ! n n , 1 !

          1

          se a força no efetuador final dada pela equação (6.3) (6.3)

          & '

          f

        n n !

        ,

          

        1

        F

          " ( )

          n

        n n !

          ( )

          ,

          

        1

        6.2.2 Torques nas Juntas

          Os torques e forças exercidos pelos atuadores nas juntas e torque e força na extremidade são relacionados a seguir. O torque , é exercido pelo atuador na junta i e o vetor dos torques para todo o

          i

          manipulador é dado pela equação (6.4) (6.4)

        !

        T

        • , " , , , n

          1

        2 .

          Na condição estática definida na Figura 55, desconsiderando o atrito, relaciona-se a

          n

          força e torque na junta i à força f e torque para manter o equilíbrio estático n n ! n n , 1 !

          ,

          1 através das equações (6.5) e (6.6) . i 1 "

          (6.5) , i i i " Z f i 1,

          1 "

          (6.6) , " Z n i i 1, i

          O atuador da junta i deve suportar somente a componente de força ou torque que estiver na direção do eixo desta junta e as componentes de forças em outras direções são suportadas pela estrutura da junta, mas estas não efetuam trabalho.

          Os torques e forças , das juntas que são solicitados para suportar o torque e força F exercida no efetuador final são dados na equação (6.7), ,

          (6.7)

          " JF

          onde J é o Jacobiano do manipulador, definido na equação (5.32) que mapeia os deslocamentos diferenciais das juntas nos deslocamentos diferenciais do efetuador final e F é definido pela equação (6.3) .

          Este vetor de torques e forças nas juntas, em (6.7) , representa exclusivamente

          ,

          aquelas componentes que contrabalançam a força e torque aplicada na extremidade do manipulador, desconsiderando quaisquer outras forças e torques atuantes no manipulador. Portanto, a matriz Jacobiana transposta transforma as forças e torques exercidas pelos atuadores das juntas na força e torque exercidos pelo efetuador final.

          Para um dado vetor F de força e torque no efetuador final o vetor de torque das juntas é determinado de forma única. Ao contrário, para forças e torques de juntas dados, nem sempre existirá uma força e torque F para balancear na extremidade do manipulador [28].

        6.3 PRINCIPAIS MOMENTOS NO ANTEBRAÇO DO MANIPULADOR ROBOTHRON

          A situação mais crítica envolvendo forças e momentos no manipulador é apresentada na Figura 56 , na qual o manipulador encontra-se estático, na posição, com o braço totalmente distendido na horizontal.

          O momento na junta três é calculado através da equação , F é a força

          M " / F d L

          1 L

        2 Figura 56 - Representação do manipulador na situação crítica referente a estática

          Partindo-se da hipótese de que o manipulador apresente-se na condição de carregamento máximo, 5kg, e seu braço e antebraço encontrem-se estendidos, então o momento resultante em ambas as articulações é máximo, do ponto de vista estático. A equação (6.8) representa nesta situação os momentos nas juntas 3 e 2.

          (6.8) T =carreg×L

          3

          1 Considerando que o carregamento é composto pela ferramenta mais a carga útil, e

          que seu centro de massa dista 150mm do flange, calcula-se L =700mm do centro da junta

          1 três.

          Assim, o valor calculado para o torque T =3,5Nm.

        3 O torque na junta 2 é calculado através da equação

          (6.9) L

          2 T =carreg× L +L +m_antebraço×L +m_braço× # $

          2

          1

          2

          2

          2 onde a massa do antebraço é m_antebraço=52kg (valor medido), m_braço=32kg (valores obtidos da simulação do projeto) e L =750mm.

        2 Portanto, o torque calculado para a junta é T =123,5Nm.

          2 Com os valores dos torques obtidos através das equações da cinemática, torna-se possível especificar os redutores harmônicos para as juntas 3 e 2 respectivamente.

          O redutor harmônico selecionado para a junta 2 é o HDR40 com relação de redução de 1:100, torque máximo de 460Nm e suporta um torque momentâneo máximo de 549Nm. Da mesma forma o redutor selecionado para a junta 2 foi o HD50 com relação de redução de 1:100, torque máximo de 736Nm e suporta um torque momentâneo máximo de 1000Nm. Os dados técnicos dos redutores harmônicos estão no Anexo 1.

          Neste capítulo foi estudada a estática, que permitiu especificar os mecanismos de transmissão dos movimentos para as articulações do manipulador e a seguir será estudada a sua dinâmica.

          Capítulo 7

        7. DINÂMICA DO MANIPULADOR COM ESTRUTURA DO TIPO PARALELOGRAMO

        7.1 INTRODUđấO

          O projeto mecânico de manipuladores é um processo de criação de configurações com várias partes e componentes, abrangendo a seleção de materiais apropriados, os planos de desenvolvimento e dimensionamento destes componentes, tal que haja concordância entre as especificações.

          Uma execução adequada das etapas do projeto permite uma identificação clara das forças atuantes no sistema, sendo o desenvolvimento da estrutura dependente das variáveis envolvidas e dos valores numéricos das forças, momentos e torques. As forças que atuam no sistema determinam quais devem ser as resistências estruturais, qual será a durabilidade e outras dependências, tais como precisão e estabilidade durante os movimentos, e os sistemas do robô não são exceção sob este aspecto, por isso a análise de cada estrutura de robô tem uma grande importância, principalmente devido às forças estáticas (gravidade, atritos e interações durante as operações) e dinâmicas (inércia, centrípeta, Coriolis, vibrações), diferem muito em localização e intensidade de robô para robô. A consideração das forças de atrito é importante, apesar de muitas vezes serem consideradas forças secundárias de origem estática ou dinâmica, e muitas vezes desprezadas na etapa de modelagem matemática dos robôs.

          Se o projetista tem um entendimento claro da importância relativa das forças e dos fatores que influenciam suas grandezas, isto permite propor técnicas para minimizar os efeitos de algumas forças indesejáveis como as causadas por acoplamentos interaxiais no robô, ou determinar como deve ser seu balanceamento total ou parcial; por exemplo, o peso de balanceamento das forças gravitacionais e o desacoplamento em estruturas com

          3

          espaço R é problemática e mais ainda para robôs com estrutura que permitem movimentos redundantes.

          Um entendimento dos fatores que influenciam nestas forças e nas grandezas relativas de vários fatores de força, podem ser alcançados através de um estudo analítico de manipuladores planares. Serão analisadas as principais forças atuantes nos manipuladores planares como: manipulador polar, planar com dois elos e paralelogramo.

          A validade da análise de manipuladores no plano é bastante restrita, porém é muito

          

        3

        mais elementar que uma análise no espaço R .

          Se as forças estáticas são as mesmas, considerando ou não as deformações elásticas da estrutura do manipulador, as forças dinâmicas podem criar diferentes efeitos num manipulador, portanto podem ocorrer deformações nos elementos componentes do manipulador por serem inevitáveis os efeitos destas forças atuantes. Isto acontece porque podem ocorrer movimentos oscilatórios provocados pelas características de flexibilidade provocados pela velocidade efetiva, precisão e repetição utilizados pelos manipuladores de estrutura rígida ou flexível.

          Nesta análise será considerada a estrutura do manipulador realizando movimentos por regiões, o punho e a parte responsável pela contração do braço são considerados como inércias rígidas. As forças gravitacionais são consideradas somente se o manipulador realiza movimentos verticais ou em planos inclinados.

          São determinados os momentos estáticos atuantes nas juntas dois e três, nas situações mais críticas, onde são exigidos os maiores esforços estáticos dos mecanismos atuadores e transmissão.

          A dinâmica permite que se analise o comportamento do manipulador. Dois métodos podem ser usados para obter as equações do movimento: A formulação de Newton-Euler A formulação Lagrangeana. A formulação de Newton-Euler é obtida através da interpretação direta da segunda lei de Newton do movimento, que descreve a dinâmica do sistema e termos de forças e de momentos.

          Na formulação Lagrangeana o comportamento do sistema dinâmico é descrito em termos de trabalho e energia armazenada usando coordenadas generalizadas. A formulação Lagrangeana pode ser obtida sistematicamente. Toma-se a Energia cinética total e a energia potencial armazenada e deriva-se em relação ao tempo, obtendo-se assim,

        7.2 ANÁLISE DINÂMICA DA ESTRUTURA POLAR

          Considerando o manipulador polar com duas articulações uma rotacional e outra prismática com dois graus de liberdade mostrado na Figura 57 Y r m

          2

          r

          1

          m

          

        1

        #$

          X Figura 57 - Manipulador Polar São consideradas cargas do robô, a massa m no centro de gravidade, localizada a

          1

          uma distância r constante em relação ao centro de rotação, a junta é radial de massa m e

          1 2 distância r [19].

        7.2.1 Dinâmica

          O sistema mecânico é definido aplicando-se o Lagrangeano que é definido pela equação

          L K P (7.1)

          ! " Onde K é a energia cinética e P é a energia potencial do sistema [18] . Para a junta rotacional de variável q, podemos calcular o torque desenvolvido pelos atuadores aplicando

          (7.2) d L % % L

        • =

          ! dt ! % % Da mesma forma, para a junta prismática a força é dada por:

          d L L (7.3)

          % %

          F ! " dt x x

          % % A posição e a velocidade do manipulador são dadas por:

          Posição: (7.4)

          x ! r cos #

          1

          1

          sen #

          y ! r

          1

        1 Velocidade:

          (7.5) sen # #

          x ! r & '

          1

          1

          cos # #

          y ! r

        & '

          1

        1 Determinando o torque na junta 1 e a força na junta 2 aplicando as equações de Lagrange.

          2

          2

          2

          2

          2

          (7.6)

          V x y r sen # # r cos # # ! ( ! (

          1 & ' & '

          1

          1 1 & ' 1 & ' & ' & '

          2

          2

          2

          2

          2

          2 2 2 2

          2

          2 V ! r sen # # ( r cos # # ! r # sen # ( cos #

          1 1 & ' 1 & '

          1 & '

          2 2 2 V ! r

          #

          1

        1 Considerando uma massa m movimentando-se a uma velocidade V, então a sua

          energia cinética é dada por:

          1 (7.7)

          

        2

        K mV

          !

          2 Desta forma a energia cinética da massa da junta 1 é dada por:

          1 (7.8)

          

        2 2

        K ! m r #

          1

          1

          

        1

        & '

          2 As equações da posição e velocidade necessárias para determinar a energia cinética da junta 2 K devem considerar que r não é mais uma constante, assim tem-se:

          2

          (7.9)

          x ! r cos #

        2 Posição:

          y r sen #

          !

          2

          (7.10) cos # # sen #

          x ! r " r & ' & '

        2 Velocidade:

          sen # # cos #

          y ! r " r & ' & '

          2

          2

          2

          2 2 2 2 (7.11)

          V r cos # r # sen # r sen # r # cos # r r # ! " ( " ! (

          2 & ' & '

          Deste modo a energia cinética para a junta 2 é dada por:

          1 (7.12)

          

        2 2 2

        K ! m r ( r

          #

          2

          2

        & '

          2 A energia potencial P é calculada usando a equação (7.13) P=mgh (7.13)

          E a energia potencial deste sistema é dada por: (7.14)

          P m g r sen

          ! ) #

          1

          1

          1

          sen

          P ! m g r ) ) #

          2

        2 Calculando-se a energia cinética total K do sistema:

          1

          1 1 (7.15)

          2 2 2 2 2 K ! K ( K ! m r ( m r ( m r

          # #

          1

          2

          1

          1

          2

          2 & '

          2

          2

          2 A energia potencial P é: (7.16) sen sen

          P ! P ( P ! m g r ) # ( m g r ) ) #

          1

          2

          1

          1

          2 Calculando o Lagrangeano

          (7.17)

          1

          1

          1

          2 2 2 2 2

          sen sen

          L ! m r # ( m r ( m r # " m g r ) # " m g r ) ) #

          1

          1

          2

          2

          1

          1

          2 & '

          2

          2

          2 Para determinar o torque desenvolvido pela junta 1 deriva-se a equação (7.17)

          2

          2

          (7.18)

          ! ( ( ( ) ( # & '

        • m r # # # m r # 2 m rr g cos m r m r

          1 1

          2 2 1 1

          2 A força realizada pelo atuador linear é dada pela equação (7.19).

          2

          (7.19)

          F ! m r " m r ( m g ) sen r # # #

          2

          2

          2 A força F e o torque * serão desenvolvidos pelos atuadores das articulações que

          produzirão acelerações, velocidades e posições necessárias para r e r . Para calcular a força F e o torque * é necessário conhecer os parâmetros do manipulador, e alguns destes parâmetros dependem da configuração do robô. Para uma realizar uma análise mais conveniente as equações (7.18) e (7.19) podem ser reescritas da seguinte forma:

          (7.20)

        • ! D # ( D r

          #

          11

          

        12

          2

          2

          ( D # ( D r

          

        111 122

          ( D # r ( D # r

          

        112 121

          ( D

          1

          onde D e D são os termos de Inércia;

          11

          12 D e D são os termos das Forças Centrípetas;

          111 122

          D e D são os termos das Forças de Coriolis;

          112 121 D é o termo da Força de Gravidade.

          1

        7.2.2 Observações

          A equação (7.17) de Lagrange apresenta elementos não-lineares e contém produtos e de r e r por # tanto quando r#

          112

          , rr# , # , sen# e cos#. Os termos representados por D D e os termos com derivadas de segunda ordem são chamados “termos da Força

          121

          Centrípeta” e os termos com produtos de derivada de primeira ordem são chamados “termos de Coriolis” [18].

          As não linearidades nas equações acarretam em problemas de controle, seus efeitos são variados e como resultado final pode causar perturbações nas trajetórias do movimento. Estas perturbações podem ser reduzidas utilizando-se realimentações apropriadas com sensores fornecendo sinais dos erros gerados. No entanto os termos da força centrípeta D , D e da força da gravidade D podem ser atenuados ou até

          112 122

          1

          eliminados quando o braço é balanceado. O balanceamento da estrutura do manipulador polar exige um sistema adaptativo que continuamente modifica a posição das massas balanceadas de acordo com as mudanças de r que são causadas pelos movimentos radiais do braço. O atrito causado pelo acoplamento interaxial é responsável pelas forcas adicionais. O balanceamento eliminaria os termos correspondentes ao atrito, num total de três [18].

          Os produtos das derivadas presentes nas equações significam que durante a execução de uma trajetória programada poderiam ocorrer trocas de sinais nestes termos que exigiriam variações rápidas no torque e na força, exigindo um maior desempenho dos acionamentos dos atuadores. Consequentemente, os atuadores só responderiam a estas variações se os seus tempos de resposta fossem baixos. Os atuadores com estas características de desempenho representam um encarecimento no custo do projeto.

        7.3 ESTRUTURA ARTICULADA

          A estrutura articulada do manipulador planar mostrado na Figura 58 apresenta dois

          Y L

          

        2

        Lc

          2 # $

          ,

          L

        1 M

          2 M

          Lc

        1 M

          1 # $

        • X Figura 58 - Manipulador planar de 2 graus de liberdade com cadeia serial

          A estrutura planar da Figura 58 é composta de dois elos com comprimentos L e L ,

          1

          2

          massas M e M , com centros de massa L e L , respectivamente. Apresenta duas juntas

          1 2 c1 c2 rotacionais cujas variáveis são os ângulos # e # e M é a massa da carga do manipulador.

          1

          2 Esta estrutura será utilizada para deduzir o modelo dinâmico do manipulador articulado [

        7.3.1 Dinâmica

          As expressões da energia cinética e potencial para o primeiro elo são obtidas de modo similar aquele adotado para o manipulador polar e são mostradas na equação 1 1 (7.21)

          

        2

          2

          2 K ! M L # ( I #

          1 1 c 1 1 1 1

          2

          2 P ! M gL sen #

          1 1 c

          

        1

          1 As componentes de posição e velocidade do centro de gravidade para o elo 2 são

          dadas pela equação (7.22) (7.22)

          x ! L cos # ( L cos # # ( c

          2

          1

        1 c

        2 &

          1 2 '

          Posição:

          

        y L sen # L sen # #

        c c & ' ! ( (

          2

          1

          1

          2

          1

          2 A velocidade é obtida derivando-se a equação 7.22 da posição em relação ao tempo.

          (7.23)

          x ! " L # sen # " L # # ( sen # # (

        c c

        2 1 1

          1

          2

          1 2 &

          1 2 ' & '

          Velocidade:

          y ! L # cos # ( L # # ( cos # # ( c c 2 1 1

          1

          2

          1 2 &

          1 2 ' & ' A velocidade angular é # # e a energia cinética do elo 2 é dada pela equação (

          1

          2

          2

          1

          1

          2

          2 K M x y

        I # #

        ! ( ( ( c c

          2

          2

          2

          2 2 &

          1 2 ' & '

          2

          2

          1

          1

          2

          2

          2

          2 M L # M L # 2 # # # ! ( ( ( (7.24) c

          2 1 1

          2 2 &

        1 1 2

        2 '

          2

          2

          

        1

          2

          2

          2

          # # # cos # #

          2 # # # ( M L L ( ( c I ( ( 2 1 2 & 1 1 2 '

          2 2 & 1 1 2 2 '

          

        2

        A energia potencial do elo 2 é dada por :

          (7.25) - P ! M g L sen ( L sen ( . # # #

          2

          2

          1 1 c 2 &

          1 2 '

          / De modo similar, as energias cinética e potencial para a carga podem ser expressas como: Energia cinética:

          1

          1

          2

          2

          2

          2

          # #

          2 # # # K ! M L ( M L ( (

          0 1 1 2 1 1 1 2

          2 & '

          2

          2

          2 ( M L L # ( # # cos #

          0 1 2 1 1 2

          

        2

        & '

          (7.26) A energia potencial é dada como:

          (7.27) sen sen # - P ! M g L ( L # # ( .

          & '

          1

          1

          

        2

          1

          2

          / Das equações das energias cinéticas e potenciais (7.21) , (7.24) , (7.25) , (7,26) e

          (7.27) , o Lagrangeano L=K-P é dado por:

          1

          1

          2

          2

          2

          # #

          L ! M L ( c

          I 1 1 1 1 1

          2

          2

          1

          1

          2

          2

          2

          2

          # # 2 # # # ( M L ( M L ( ( c

          2 1 1

          2

          2 1 1 2

          2

        & '

          2

          2

          1

          2

          2

          2

          ( M L L # ( # # cos # ( c

          I # (

          2 # # ( #

          2 1

          2 1 1 2

          2

          2 1 1 2

          2

        & ' & '

          2

          1

          1

          2

          2

          2

          2

          ( M L # ( M L # ( 2 # # ( #

          0 1 1 2 1 1 1 2

          2

        & '

          2

          2

        2 M L L # # # cos #

          ( (

          0 1 2 & 1 1 2 '

          2

          sen # " M gL c

          1

          1

          1

          (7.28) " - M g L sen # ( L sen # # ( .

          2

          1 1 c 2 &

          1 2 '

          / sen # sen # # ( M g L ( L ( .

        • 1

          & '

          1

          2

          1

          

        2

          / Como as duas juntas são rotacionais é necessário calcular o lagrangeano de cada uma delas para que sejam determinados os torques.

          (7.29) - .

          d % L % L df i

        • i

          ! " (

          1

          2 dt % # % # d #

        i i i

          /

          Calculando as derivadas parciais envolvidas e simplificando as equações obtém-se:

          2

          2

          2

          2

          2

        • 2 cos # # .

          ! M L ( ( c c c & c '

          I M L ( M L ( I ( M L ( M L ( L M L ( M L

          1

          1

          1 1 2 1

          2

          2 2 0 1

          2

          1

          2 2 0 2

          2

          1

          /

        2 M L I M L L M L M L cos # # .

        • 2

          ( ( ( ( (

          2 c

          2 2 c

          2 1 & 2 c 2 0 2 '

          2

          2

          / 2 # # sen # " L M L ( M L

          & c '

          1

          2 2 0 2 1 2

          2

          2

          " L M L ( M L # g ) sen #

          1 & 2 c 2 0 2 '

          2

        2 M L M L M L g cos #

          ( ( ( )

          & c '

          1 1 2 1 0 1

          1

          (7.30) ( M L ( M L g ) cos # ( #

          & 2 c 2 0 2 ' &

          1 2 '

          2

          2 ! M L ( - * c c I ( M L ( L M L ( M L cos # # .

          2

          1

          2 2 0 2 1 & '

          

        2

        2 0 2

          2

          1 /

          2

          2

        • ( M L (

          I ( M L . # 2 c

          2 2 0 2

          2 /

          2

          # sen #

          ( L M L ( M L & c '

          1

          2 2 0 2

          1

          2 ( M L ( M L g ) cos # # ( c

          &

          2 2 0 2 ' &

          1

        2 '

          (7.31) Reescrevendo estas equações:

          2

          

        2

          (7.32)

          D # D # D # D # D # # * D # # D

          ! ( ( ( ( ( ( 1 11 1 12 2 111 1 122 2 112 1 2 121 1 2

          1

          

        2

          (7.33) # # # # # # # #

        • 2

          ! D ( D ( D ( D ( D ( D ( D 2 12 1 22 2 211 1 222 2 212 1 2 221 1 2

          2 Onde

          D : Inércia efetiva do elo i;

          ii

          D : Inércia do acoplamento;

          ij

          D : Força Centrípeta na junta i devido a rotação da junta j;

          ijj

          D : Força Coriolis na junta i devido a velocidade da junta i;

          iij

          D : Força Coriolis na junta i devido a velocidade da junta j;

          iji

          D : Força de gravidade na junta i;

          i

        7.3.2 Observações

          As equações dinâmicas neste tipo de estrutura apresentam um elevado grau de não fortes acoplamentos interaxiais, gerando termos matemáticos complexos de torque. Estes podem ser os responsáveis pelo aparecimento de forças e torques indesejáveis na estrutura.

        7.4 ESTRUTURA DO PARALELOGRAMO

          Um robô com estrutura de paralelogramo está mostrado na Figura 59 . Este manipulador possui dois motores coaxiais de revolução que desenvolvem torques de acionamento. Os dois motores coaxiais estão dispostos axialmente apesar de acionarem elos diferentes (1 e 2 na Figura 59). Devido à geometria da estrutura a rotação do motor 1 causaria somente movimento translacional (sem deslocamento angular) dos elos 3 e 4, enquanto a rotação do motor 2 causa somente movimento angular (sem deslocamentos paralelos) deste elo 4. Em algumas estruturas de robôs, um destes ou ambos os motores podem ser substituídos por atuadores translacionais (por exemplo fusos de esferas mostrado na Figura 6).

          Os manipuladores com estrutura do tipo paralelogramo tem sido desenvolvidos com o propósito de eliminar a necessidade de utilização de motores pesados, que acarretam inércias maiores nos elos que produzem o movimento.

          Nesta seção, será analisado o manipulador planar de quatro barras do tipo paralelogramo e por conveniência as juntas envolvidas são numeradas como junta 1, a articulação do ombro e junta 2 a articulação do cotovelo do manipulador.

          , $

          #

          L

          1 L

          2 L c1 Base L c4

          L

          4 L

        3 L c3

        • $ #

          : ângulo da junta 1 L

          #

          junta 2

          L c2 L

        2 Junta 1 e

          : distância ao centro de gravidade do elo 1

          c1

          : Comprimento do elo 1 L

          1

          Figura 59 - Estrutura simplificada tipo Paralelogramo Notações utilizadas: L

        • $

          : Comprimento do elo 4 L

          c4

          : distância ao centro de gravidade do elo 4 A Figura 59 pode ser comparada a Figura 60 que exibe o modelo desenhado no Mechanical Desktop.

          4

          : distância ao centro de gravidade do elo 3 L

          : Comprimento do elo 3 L

          3

          : ângulo da junta 2 L

          # ,$

          : distância ao centro de gravidade do elo 2

          c2

          : Comprimento do elo 2 L

          2

          c3

          L 2 L 4 L L 1 3 L 2 Figura 60 - Estrutura de Paralelogramo do manipulador

        7.5 Dinâmica do Robothron

          Para deduzirem-se as equações do movimento usando as equações de Lagrange, deve-se obter, para cada elo, as expressões da energia cinética e potencial. Os elos 1 e 2 , ver Figura 60, participam com os movimentos de revolução associados aos motores 1 e 2, e os ângulos # e # respectivamente. Para descrever os movimentos dos elos 2 e 4, seus

          1

          2

          movimentos parciais associados com cada coordenada # e # pode-se calculá-los

          1

          2

          separadamente, como segue:

        7.5.1 Análise para o Elo 1

          As energias cinética e potencial do elo 1 foram obtidas utilizando o mesmo procedimento adotado nas seções 7.2 e 7.3 e são dadas pela equação (7.34) ,

          

        2

          1

          1

          2

          # #

          K ! m L (

          I

          1 1 &

          1 c 1 ' 1 1

          2

          2 (7.34)

          P ! m L cos # 1 1 1 c

          1 onde m é a massa e I é o momento de inércia do elo 1.

          1

          1

          7.5.2 Análise para o Elo 2

          As energias cinética e potencial do elo 2 são dadas pela equação abaixo

          

        2

          1

          1

          2

          # #

          K ! m L (

          I

          2

          2

          2 2 2 2 & ' c

          2

          2

          (7.35)

          P m L cos # ! c

          2

          2

          2

          2 onde m é a massa e I é o momento de inércia do elo 2.

          2

          2

          7.5.3 Análise para o Elo 3

          Duas situações são possíveis para determinarem-se as velocidades do centro de gravidade L do elo 3:

          c3

          # ! , tem-se: (a) quando o elo 2 está estacionário

          2 & '

          3 ! 3 ! #

          3

          1

          1

          (7.36)

          V ! L # cg c 3 3 1 V ! " cg cg

        V cos # ! " L # cos #

          3 1 c3 1

          1 & ' 3 x

          V ! " cg cg

        V sin # ! " L # sin #

          3 1 c 3 1

          1 & ' 3 y

          # ! , então 3 =3 =0

          3

          1

          (b) quando o elo 1 está estacionário

          1 & '

          V ! cg V ! L # 3 03 2 2

          (7.37)

          V ! " L # cos # cg 2 2

          2 & ' 3 x

          # sin #

          V ! " L cg 2 2

          2 & ' 3 y

          A velocidade resultante e a energia cinética do elo 3 são dadas na equação 7.38:

          2

          2

          # cos # # cos # # sin # # sin #

          V ! " L " L ( " L " L ! cg c c 3 3 1 1 2 2

        2 3 1

        1 2 2

          2 & ' & '

          (7.38)

          2

        2 L # L #

          2 L L # # cos # # ! ( ( " c c & '

          2 2 3 1 2 3 1 2

          1

          

        2

          1

          1

          2

          2

          2

          2

        • K ! m L # ( L # ( c c & '

          2 L L # # cos # # " . (

          I #

          3 3 3 1 2 2 2 3 1 2

          1 2 3 1

          /

          2

          2 Para obter-se a expressão da energia potencial (P), a posição da componente vertical do centro de gravidade L do elo 3 deve ser determinada:

          c3

          A coordenada (y) do centro de gravidade L do elo 3 é dada por:

          c3

          (7.39)

          y L cos # L cos # cg c ! (

          3

          2

          2

          3

          1 A energia potencial é dada por:

        7.5.4 Análise para o Elo 4

          4

          cos cos cos o c c

          2

          4

          1

          1

          2

          4

          2

          é dada por:

          4

          ) são expressas: A coordenada (y) do cg

          ), e a energia potencial (V

          ! " ! " (7.44)

          c4

          (7.43) A posição do centro de gravidade (L

          # # # # # # # ! " " ( " ( ! ! ( ( "

          I # # # # # # # # # # # # # #

          V L L L L L L L L K m L L L L

          2 2 cg c c c c c

          1 1 2 cos

          1 2 4 2 cos cos sin sin 2 cos

          4 4 1 1 4 2 1 2 1 2

          2

          2

          y y L L L # # #

          

        & '

          

        2

        2 2

          c4

          / (7.46)

          2 K m L L L L I # # # # # # # - . ! ( " " (

          2

          1 1 2 cos

          2 1 1 4 2 1 4 1 2 1 2 0 2

          2

          2

          & ' 2 2

          , respectivamente :

          4

          por m e L

          e L

          4

          4

          , substituindo-se m

          4

          e V

          4

          (7.45) Para a carga, K e V são similares a K

          P m g L L # # ! "

          2

        cos cos

        c

          4

          1

          1

          4

          2

          1

          

        & '

          & ' & ' 3

          # # # #

          3 #

          3

          V L

          V L

          V V L

          cos sin cg o cg x cg y

          1

          4 2 1 1 4 1 1 1 1 1

          2

          2

          =0), tem-se:

          ! " ! "

          2

          (a) – quando o elo 2 está estacionário (#

          (7.40)

          ! (

          # #

          P m g L L

          2

        cos cos

        c

          2

          1

          3

          3

          3

          ! ! ! !

          (7.41) (b) – quando o elo 1 está estacionário

          1 4 1 2

          V L

          2 2 2 2 1 1 4 2

          2 4 1 1 1 4 2

        2 1 1

        1 4 2

          2

          2

          & ' & ' & ' & '

          (7.42) A velocidade resultante é:

          ! !

          ! ! !

          # # # #

          3 3 # #

          V L

          V L

          & '

          cos sin cg c cg c x cg c y

          2

          2 4 4 2

          2

          4

          4

          2 4 4 2

          2

          4

          & ' & '

          # ! ,temos:

          1

        • . ! ( " " ( /

          (7.51) Estas equações podem ser escritas para a junta 1, da seguinte forma:

          2

          2 3 2 3 4 1 4 0 1 4

          2 cos c c m L L m L L m L L # # # " ( " (

          1

          2

          3 4 1 4 0 1 4

          3 3 4 1 0 1 1 c c m L I m L I m L m L * # ! ( ( ( ( ( (

          3

          1

          1

          1

          1

          2

          2

          2

          & '

          1

          2

          2 2 c

          m L L L L

          I # # # # # # # - .

          ( " " ( /

          & ' 2 2

          2

          2 1 1 4 2 1 4 1 2 1 2 0 2

          (7.49) Calculando-se as derivadas parciais do Lagrangeano L= K – V [18] , e fazendo as multiplicações algébricas, obtém-se:

          1 1 2 cos

          2

          2

          m L L L L

          I # # # # # # # - .

          ( " " ( /

          2

          2 sin c c m L L m L L m L L

          2 4 1 1 4 2 1 2 1 2 1 2 4 2

          2

          2 2 3 2

          4

          

        4

        4 0 4

          2 c c m L I m L m L I m L I # ( ( " ( ( (

          & ' & '

          2 3 2 3 4 1 4 0 1 4

          1

          2

          1 sin c c m L L m L L m L L # # #

          " " ( " & ' & '

          2 2 3 2

          4

        4 0 4

          2 cos c c m L m L m L m L g #

          ( ( " (

          3

          2

          # # #

          ( ( (

          

        " ( " (

          1

          1

          3 1 4 1 0 1

          1 cos c c m L m L m L m L g

          #

          (7.50) Para a junta 2, tem-se:

          2

          & ' & ' 2 3 2 3 4 1 4 0 1 4

          2

          1

          1 cos c c

          '

          2

          1 1 2 cos

          2

          

        & '

          ( ( & '

          3

          3

          1

          2

          2 cos cos c m g L L

          # #

          4

          # # ! (

          1

          1

          4

          2 cos cos

        c

        m g L L

          # #

          ( ( & '

          & '

          P m gL m gL

          1

          ! "

          1

          1

          4

          2

        cos cos

          P m g L L

          # #

          (7.47) Assim a energia potencial para a estrutura do manipulador do tipo paralelogramo será a seguinte:

          cos cos c c

          1

          1

          1

          

        2

          2

          2

          1

          

        4

          2

          2

          2

          1

          2 c

          m L I # ( ( & '

          2

          2

          2 3 3 1 2 2 2 3 1 2

          2

          1 2 3 1

          1 1 2 cos

          2 2 c c

          m L L L L I # # # # # # # - .

          ( ( ( " ( /

          & ' 2 2

          

        2

          2

          2 cos cos m g L L

          1

          # #

          ( (

          (7.48) e a energia cinética é dada por :

          & '

          2

          2

          1

          2

          1

          1

          1

          2 c

          K m L

        I # ! (

        & '

          2

        • & ' & ' 3 2
        • & ' & '
        • & ' & '
          • m L L m L L m L L # # # ! " " " (

        • &
        • # # # # # # # #

        • # # # # # # # #

          ! ! ! (7.53)

          Todos os elementos não lineares podem ser eliminados se forem usados contrapesos para as forças gravitacionais. Os termos de inércia são menores que nos manipuladores seriais, pois as massas dos motores estão localizadas próximas da base. O espaço de trabalho é limitado pelas restrições dos movimentos do paralelogramo.

          ! (7.55) condição esta que pode ser satisfeita por aproximações de projeto.

          4

        c c

        m L L m L L

          3 2 3 4 1

          (7.54) Se esta condição imposta na equação 7.54 for satisfeita, todo o acoplamento entre as juntas do paralelogramo seria eliminado. Todos os termos não lineares também seriam eliminados, exceto os termos da gravidade, se a carga é desconsiderada (m0<<m4), tem-se:

          3 2 3 4 1 4 0 1 4 c c m L L m L L m L L " ( !

          Os termos de Coriolis não estão presentes. É estabelecia a condição de projeto:

          Após uma análise das equações dos torques podem ser extraídas conclusões importantes para o desenvolvimento do projeto do robô: O número de termos na equação do movimento para a estrutura do paralelogramo é menor que para um sistema articulado de cadeia aberta.

          211 212 221 D D D

          2

          ! ( ( ( ( ( (

          2 D D D D D D D

          2 2 11 1 22 2 211 1 222 2 212 1 2 221 1 2

          2

          (7.52) e para a junta 2:

          111 112 121 D D D ! ! !

          ! ( ( ( ( ( (

          1 D D D D D D D

          2 1 11 1 12 2 111 1 122 2 112 1 2 121 1 2

          A partir dos dados elo do antebraço obtido do Mechanical Desktop e mostrados na Figura 61

          Figura 61 - Dados do antebraço Na tabela da Figura 7.5 são obtidos importantes valores numéricos para a massa do elo 1 e seu momento de inércia para a determinação do torque nas juntas 1 e 2 através das equações 7.50 e 7.51 .

          Da mesma forma foram obtidos os valores das massas m e m e dos momentos

          2

          3

          inércia I e I . Os parâmetros do elo 4 dever ser obtidos através de estimativas

          2

          3 razoáveis.

          102

          CONCLUSÕES GERAIS

          Neste trabalho foi apresentada uma proposta para o antebraço do manipulador Robothron. Através do estudo da cinemática direta, deduzidas através de Sheth-Uicker e também Denavit-Hartenberg, foram deduzidas as equações que possibilitarão o futuro controle do manipulador.

          A notação de Denavit-Hartenberg é aplicável a manipuladores de cadeia cinemática aberta. A notação de Sheth-Uicker ainda é desconhecida na maioria das literaturas, porém se demonstrou eficiente quando aplicada aos manipuladores de cadeia cinemática complexa. As cinemáticas direta e a inversa possibilitaram a geração de rotinas de simulação. A cinemática diferencial permitiu obter os pontos de singularidade do manipulador, importante característica para solucionar futuros problemas de controle.

          A estática permitiu determinar importantes características de forças e momentos que viabilizaram o dimensionamento dos redutores harmônicos que compõe os sistemas de transmissão das forças e torques nas articulações.

          O estudo da estrutura no formato de paralelogramo conferiu ao braço do manipulador uma maior estabilidade, porque o centro de gravidade da estrutura de quatro barras paralelas está mais próximo do tronco do manipulador do que nos manipuladores de estrutura de cadeia aberta.

          Para a execução do projeto do braço do manipulador Robothron deverão ser feitas modificações na estrutura do braço, tais como: alterações do formato da alavanca do paralelogramo para que não ocorram interferências quando o manipulador for colocado na posição de máximo alcance horizontal.

          O modelo dinâmico do manipulador oferece informações importantes para se desenvolver um robô com estrutura compacta, com elevada precisão e sistemas de acionamento adequados aos esforços necessários para a realização das tarefas propostas. Juntamente com a modelagem cinemática, a dinâmica fornece atributos fundamentais para que sejam projetados os sistemas de controle adequados ao comportamento do sistema.

          103

          

        Propostas para Trabalhos Futuros

          A primeira etapa para futuros trabalhos é construção da estrutura para sustentação do punho RPR que já existe. Um segundo passo é projetar uma unidade de controle para o manipulador Robothron. O terceiro passo seria o desenvolvimento de programas de controle, a criação de um sistema operacional para o robô e uma linguagem de programação baseada em normas internacionais.

          

        Apêndices

        Apêndice A – m-files para MATLAB Apêndice B – Matrizes da Cinemática Diferencial e Jacobiano Apêndice C – Desenhos do Robothron com dimensões

          1 Apêndice A

          Listagem de Programas MapleV e Matlab

        % PARAMETROS CONSTANTES DE SHETH-UICKER OBTIDOS DA Erro! Fonte de referência não

        encontrada. a12=0; b12=0; r12=300.0; a23=750.0; b23=0; r23=0; a34=150.0; b34=0; r34=0; a45=750.0; b45=0; r45=0; a59=150.0; b59=0; r59=0; a92=0; b92=0; r92=0; a36=0; b36=275; r36=0; a67=0; b67=150; r67=0; a78=0; b78=100; r78=0; a810=0; b810=0; r810=5; alpha12=pi/2; beta12=0; gamma12=pi/2; alpha23=0; beta23=0; gamma23=0; alpha34=0; beta34=0; gamma34=0; alpha45=0; beta45=0; gamma45=0; alpha59=0; beta59=0; gamma59=0; alpha92=0; beta92=0; gamma92=0; alpha36=pi/2; beta36=0; gamma36=-pi/2; alpha67=pi/2; beta67=pi; gamma67=pi; alpha78=-pi/2; beta78=0; gamma78=0; alpha810=pi/2; beta810=0; gamma810=pi/2; %Matriz de transformação usando o m de SHETH-UICKER para o manipulador ROBOTHRON. var1=a23*sin(gamma23)-b23*cos(gamma23)*sin(alpha23); var2= -sin(alpha12)*sin(beta12)*sin(q2)+ sin(alpha12)*cos(beta12)* cos(q2); var3= a23* cos(gamma23) + b23* sin(gamma23)* sin(alpha23); var4= sin(alpha12)* sin(beta12)* cos(q2) + sin(alpha12)* cos(beta12)* sin(q2);

        var5= var4* sin(gamma23)* sin(alpha23) - var2* cos(gamma23)* sin(alpha23)+ cos(alpha12)* cos(alpha23);

        var6= a36* sin(gamma36) - b36 *cos(gamma36)* sin(alpha36); var7= -sin(gamma23)*sin(beta23)+ cos(gamma23)* cos(alpha23)* cos(beta23); var8= -cos(gamma23)* sin(beta23)- sin(gamma23)* cos(alpha23)* cos(beta23); var9= var4* var8 + var2* var7 + cos(alpha12)* sin(alpha23)* cos(beta23);

          2

          var11= cos(gamma23)* cos(beta23) - sin(gamma23)* cos(alpha23)* sin(beta23); var12= var4* var11 + var2* var10 + cos(alpha12)* sin(alpha23)* sin(beta23); var13= -var12* sin(q3) + var9* cos(q3); var14= a36* cos(gamma36) + b36*sin(gamma36)* sin(alpha36); var15= var12* cos(q3) + var9* sin(q3); var16= var15* sin(gamma36)* sin(alpha36) - var13* cos(gamma36)* sin(alpha36) + var5* cos(alpha36); var17= a67* sin(gamma67) - b67* cos(gamma67)* sin(alpha67); var18= -sin(gamma36)* sin(beta36) + cos(gamma36)* cos(alpha36)* cos(beta36); var19= -cos(gamma36)* sin(beta36) - sin(gamma36)* cos(alpha36)* cos(beta36); var20= var15* var19 + var13* var18 + var5* sin(alpha36)* cos(beta36); var21= sin(gamma36)* cos(beta36) + cos(gamma36)* cos(alpha36)* sin(beta36); var22= cos(gamma36)* cos(beta36) - sin(gamma36)* cos(alpha36)* sin(beta36); var23= var15* var22 + var13* var21 + var5* sin(alpha36)* sin(beta36); var24= -var23* sin(q6) + var20* cos(q6); var25= a67* cos(gamma67) + b67* sin(gamma67)* sin(alpha67); var26= var23* cos(q6) + var20* sin(q6); var27= var26* sin(gamma67)* sin(alpha67) - var24* cos(gamma67)* sin(alpha67) + var16* cos(alpha67); var28= a78* sin(gamma78) - b78* cos(gamma78)* sin(alpha78); var29= -sin(gamma67)* sin(beta67)+ cos(gamma67)* cos(alpha67)* cos(beta67); var30= -cos(gamma67)* sin(beta67)- sin(gamma67)* cos(alpha67)* cos(beta67); var31= var26* var30 + var24* var29 + var16* sin(alpha67)* cos(beta67); var32= sin(gamma67)* cos(beta67) + cos(gamma67)* cos(alpha67)* sin(beta67); var33= cos(gamma59)* cos(beta67) - sin(gamma67)* cos(alpha67)* sin(beta67); var34= var26* var33 + var24* var32 + var16* sin(alpha67)* sin(beta67); var35= -var34* sin(q7) + var31* cos(q7); var36= a78* cos(gamma78) + b78* sin(gamma78)* sin(alpha78); var37= var34* cos(q7) + var31* sin(q7); var38= var37* sin(gamma78)* sin(alpha78)- var35* cos(gamma78)* sin(alpha78) + var27* cos(alpha78); var39= a810* sin(gamma810) - b810* cos(gamma810)* sin(alpha810); var40= -sin(gamma78)* sin(beta78)+ cos(gamma78)* cos(alpha78)* cos(beta78); var41= -cos(gamma78)* sin(beta78)- sin(gamma78)* cos(alpha78)* cos(beta78); var42= var37* var41 + var35* var40 + var27* sin(alpha78)* cos(beta78); var43= sin(gamma78)* cos(beta78) + cos(gamma78)* cos(alpha78)* sin(beta78); var44= cos(gamma78)* cos(beta78) - sin(gamma59)* cos(alpha78)* sin(beta78); var45= var37* var44 + var35* var43 + var27* sin(alpha78)* sin(beta78); var46= -var45* sin(q8) + var42* cos(q8); var47= a810* cos(gamma810) + b810* sin(gamma810)* sin(alpha810); var48= var45* cos(q8) + var42* sin(q8); var49= -sin(gamma810)* sin(beta810) + cos(gamma810)* cos(alpha810)* cos(beta810); var50= -cos(gamma810)* sin(beta810) - sin(gamma810)* cos(alpha810)* cos(beta810);

          3

          var51= sin(gamma810)* cos(beta810) + cos(gamma810)* cos(alpha810)* sin(beta810); var52= cos(gamma810)* cos(beta810) - sin(gamma810)* cos(alpha810)* sin(beta810); var53= sin(q1)* sin(gamma12)* sin(alpha12)- cos(q1)* cos(gamma12)* sin(alpha12); var54= -sin(gamma12)* sin(beta12)+ cos(gamma12)* cos(alpha12)* cos(beta12); var55= -cos(gamma12)* sin(beta12)- sin(gamma12)* cos(alpha12)* cos(beta12); var56= sin(q1)* var55 + cos(q1)* var54; var57= sin(gamma12)* cos(beta12)+ cos(gamma12)* cos(alpha12)* sin(beta12); var58= cos(gamma12)* cos(beta12)- sin(gamma12)* cos(alpha12)* sin(beta12); var59= sin(q1)* var58 + cos(q1)* var57; var60= -var59* sin(q2) + var56* cos(q2); var61= var59* cos(q2) + var56* sin(q2); var62= var61* sin(gamma23)* sin(alpha23)- var60* cos(gamma23)* sin(alpha23) + var53* cos(alpha23); var63= var61* var8 + var60* var7 + var53* sin(alpha23)* cos(beta23); var64= var61* var11 + var60* var10 + var53* sin(alpha23)* sin(beta23); var65= -var64* sin(q3) + var63* cos(q3); var66= var64* cos(q3) + var63* sin(q3); var67= var66* sin(gamma36)* sin(alpha36)- var65* cos(gamma36)* sin(alpha36) + var62* cos(alpha36); var68= var66* var19 + var65* var18 + var62* sin(alpha36)* cos(beta36); var69= var66* var22 + var65* var21 + var62* sin(alpha36)* sin(beta36); var70= -var69* sin(q6) + var68* cos(q6); var71= var69* cos(q6) + var68 *sin(q6); var72= var71* sin(gamma67)* sin(alpha67)- var70* cos(gamma67)* sin(alpha67) + var67* cos(alpha67); var73= var71* var30 + var70* var29 + var67* sin(alpha67)* cos(beta67); var74= var71* var33 + var70* var32 + var67* sin(alpha67)* sin(beta67); var75= -var74* sin(q7) + var73* cos(q7); var76= var74* cos(q7) + var73* sin(q7); var77= var76* sin(gamma78)* sin(alpha78)- var75* cos(gamma78)* sin(alpha78) + var72* cos(alpha78); var78= var76* var41 + var75* var40 + var72* sin(alpha78)* cos(beta78); var79= var76* var44 + var75* var43 + var72* sin(alpha78)* sin(beta78); var80= -var79* sin(q8) + var78* cos(q8); var81= var79* cos(q8) + var78* sin(q8); var82= cos(q1)* sin(gamma12)* sin(alpha12)+ sin(q1)* cos(gamma12)* sin(alpha12); var83= cos(q1)* var55 - sin(q1)* var54; var84= cos(q1)* var58 - sin(q1)* var57; var85= -var84* sin(q2) + var83* cos(q2); var86= var84* cos(q2) + var83* sin(q2); var87= var86* sin(gamma23)* sin(alpha23)- var85* cos(gamma23)* sin(alpha23) + var82* cos(alpha23); var88= var86* var8 + var85* var7 + var82* sin(alpha23)* cos(beta23); var89= var86* var11 + var85* var10 + var82* sin(alpha23)* sin(beta23); var90= -var89* sin(q3) + var88* cos(q3);

          4

          var91= var89* cos(q3) + var88* sin(q3); var92= var91* sin(gamma36)* sin(alpha36)- var90* cos(gamma36)* sin(alpha36) + var87* cos(alpha36); var93= var91* var19 + var90* var18 + var87* sin(alpha36)* cos(beta36); var94= var91* var22 + var90* var21 + var87* sin(alpha36)* sin(beta36); var95= -var94* sin(q6) + var93* cos(q6); var96= var94* cos(q6) + var93* sin(q6); var97= var96* sin(gamma67)* sin(alpha67)- var95* cos(gamma67)* sin(alpha67) + var92* cos(alpha67); var98= var96* var30 + var95* var29 + var92* sin(alpha67)* cos(beta67); var99= var96* var33 + var95* var32 + var92* sin(alpha67)* sin(beta67); var100= -var99* sin(q7) + var98* cos(q7); var101= var99* cos(q7) + var98* sin(q7);

        var102= var101* sin(gamma78)* sin(alpha78)- var100* cos(gamma78)* sin(alpha78) + var97*

        cos(alpha78); var103= var101* var41 + var100* var40 + var97* sin(alpha78)* cos(beta78); var104= var101* var44 + var100* var43 + var97* sin(alpha78)* sin(beta78); var105= -var104* sin(q8) + var103* cos(q8); var106= var104* cos(q8) + var103* sin(q8);

          1 %Apos estabelecer algumas variaveis auxiliares para facilitar a multiplicaçao da matrizes obtemos: T110=[var106*var52+var105*var51+var102*sin(alpha810)*sin(beta810) var106*var50+var105*var49+var102*sin(alpha810)*cos(beta810) var106*sin(gamma810)*sin(alpha810)-var105*cos(gamma810)*sin(alpha810)+var102*cos(alpha810) var106*var47+var105*var39+var102*(r810+b810*cos(alpha810))+var101*var36+var100*var28+var97*(r78+b78*cos(alpha78))+var96*var25+var95*var17+var92*(r67

        • b67*cos(alpha67))+var91*var14+var90*var6+var87*(r36+b36*cos(alpha36))+var86*var3+var85*var1+var82*(r23+b23*cos(alpha23))+cos(q1)*(a12*cos(gamma12)+b 12*sin(gamma12)*sin(alpha12))-sin(q1)*(a12*sin(gamma12)-b12*cos(gamma12)*sin(alpha12)) var81*var52+var80*var51+var77*sin(alpha810)*sin(beta810) var81*var50+var80*var49+var77*sin(alpha810)*cos(beta810) var81*sin(gamma810)*sin(alpha810)-var80*cos(gamma810)*sin(alpha810)+var77*cos(alpha810) var81*var47+var80*var39+var77*(r810+b810*cos(alpha810))+var76*var36+var75*var28+var72*(r78+b78*cos(alpha78))+var71*var25+var70*var17+var67*(r67+b67* cos(alpha67))+var66*var14+var65*var6+var62*(r36+b36*cos(alpha36))+var61*var3+var60*var1+var53*(r23+b23*cos(alpha23))+sin(q1)*(a12*cos(gamma12)+b12*sin (gamma12)*sin(alpha12))+cos(q1)*(a12*sin(gamma12)-b12*cos(gamma12)*sin(alpha12)) var48*var52+var46*var51+var38*sin(alpha810)*sin(beta810) var48*var50+var46*var49+var38*sin(alpha810)*cos(beta810) var48*sin(gamma810)*sin(alpha810)-var46*cos(gamma810)*sin(alpha810)+var38*cos(alpha810) var48*var47+var46*var39+var38*(r810+b810*cos(alpha810))+var37*var36+var35*var28+var27*(r78+b78*cos(alpha78))+var26*var25+var24*var17+var16*(r67+b67*

          cos(alpha67))+var15*var14+var13*var6+var5*(r36+b36*cos(alpha36))+var4*var3+var2*var1+cos(alpha12)*(r23+b23*cos(alpha23))+r12+b12*cos(alpha12)

          0 0 0 1 ];

          2 %Matriz DH %Parâmetros de Denavit-Hartenberg alpha1 = 1/2*pi; alpha2 =0; alpha3 = pi/2; alpha4 =-pi/2; alpha5=pi/2; alpha6=0; d1=380; d2=0; d3=0; d4=425; d5:=0; d6:=106; a1:=0; a2:=750; a3:=0; a4:=0; a5:=0; a6:=0; %Posição X dx

          = d6*sin(theta5)*cos(theta4)*cos(theta1)*cos(theta2)*cos(theta3)-

        d6*sin(theta5)*cos(theta4)*cos(theta1)*sin(theta2)*sin(theta3)+d6*sin(theta5)*sin(theta1)*sin(theta4)+d6*cos(theta5)*cos(theta1)*cos(theta2)*sin(theta3)+d6*cos(theta5

          )*cos(theta1)*sin(theta2)*cos(theta3)+d4*cos(theta1)*cos(theta2)*sin(theta3)+d4*cos(theta1)*sin(theta2)*cos(theta3)+cos(theta1)*a2*cos(theta2); %Posição Y

        dy = d6*sin(theta5)*cos(theta4)*sin(theta1)*cos(theta2)*cos(theta3)-d6*sin(theta5)*cos(theta4)*sin(theta1)*sin(theta2)*sin(theta3)-

        d6*sin(theta5)*cos(theta1)*sin(theta4)+d6*cos(theta5)*sin(theta1)*cos(theta2)*sin(theta3)+d6*cos(theta5)*sin(theta1)*sin(theta2)*cos(theta3)+d4*sin(theta1)*cos(theta2

        )*sin(theta3)+d4*sin(theta1)*sin(theta2)*cos(theta3)+sin(theta1)*a2*cos(theta2); %Posição Z

        dz = d6*cos(theta4)*sin(theta5)*cos(theta2)*sin(theta3)+d6*sin(theta5)*cos(theta4)*sin(theta2)*cos(theta3)-

        d6*cos(theta5)*cos(theta2)*cos(theta3)+d6*cos(theta5)*sin(theta2)*sin(theta3)+d4*sin(theta2)*sin(theta3)-d4*cos(theta2)*cos(theta3)+a2*sin(theta2)+d1; %Matiz de Orientação r11= cos(theta6)*cos(theta5)*cos(theta4)*cos(theta1)*cos(theta2)*cos(theta3)- cos(theta6)*cos(theta5)*cos(theta4)*cos(theta1)*sin(theta2)*sin(theta3)+cos(theta6)*cos(theta5)*sin(theta1)*sin(theta4)- cos(theta6)*sin(theta5)*cos(theta1)*cos(theta2)*sin(theta3)-cos(theta6)*sin(theta5)*cos(theta1)*sin(theta2)*cos(theta3)- sin(theta6)*sin(theta4)*cos(theta1)*cos(theta2)*cos(theta3)+sin(theta6)*sin(theta4)*cos(theta1)*sin(theta2)*sin(theta3)+sin(theta6)*sin(theta1)*cos(theta4);

          3

        r12= -sin(theta6)*cos(theta5)*cos(theta4)*cos(theta1)*cos(theta2)*cos(theta3)+sin(theta6)*cos(theta5)*cos(theta4)*cos(theta1)*sin(theta2)*sin(theta3)-

        sin(theta6)*cos(theta5)*sin(theta1)*sin(theta4)+sin(theta6)*sin(theta5)*cos(theta1)*cos(theta2)*sin(theta3)+sin(theta6)*sin(theta5)*cos(theta1)*sin(theta2)*cos(theta3)- cos(theta6)*sin(theta4)*cos(theta1)*cos(theta2)*cos(theta3)+cos(theta6)*sin(theta4)*cos(theta1)*sin(theta2)*sin(theta3)+cos(theta6)*sin(theta1)*cos(theta4); r13

          = sin(theta5)*cos(theta4)*cos(theta1)*cos(theta2)*cos(theta3)-

        sin(theta5)*cos(theta4)*cos(theta1)*sin(theta2)*sin(theta3)+sin(theta5)*sin(theta1)*sin(theta4)+cos(theta5)*cos(theta1)*cos(theta2)*sin(theta3)+cos(theta5)*cos(theta1)*

        sin(theta2)*cos(theta3); r21=cos(theta6)*cos(theta5)*cos(theta4)*sin(theta1)*cos(theta2)*cos(theta3)-cos(theta6)*cos(theta5)*cos(theta4)*sin(theta1)*sin(theta2)*sin(theta3)- cos(theta6)*cos(theta5)*cos(theta1)*sin(theta4)-cos(theta6)*sin(theta5)*sin(theta1)*cos(theta2)*sin(theta3)-cos(theta6)*sin(theta5)*sin(theta1)*sin(theta2)*cos(theta3)- sin(theta6)*sin(theta4)*sin(theta1)*cos(theta2)*cos(theta3)+sin(theta6)*sin(theta4)*sin(theta1)*sin(theta2)*sin(theta3)-sin(theta6)*cos(theta1)*cos(theta4); r22=-

        sin(theta6)*cos(theta5)*cos(theta4)*sin(theta1)*cos(theta2)*cos(theta3)+sin(theta6)*cos(theta5)*cos(theta4)*sin(theta1)*sin(theta2)*sin(theta3)+sin(theta6)*cos(theta5)*c

        os(theta1)*sin(theta4)+sin(theta6)*sin(theta5)*sin(theta1)*cos(theta2)*sin(theta3)+sin(theta6)*sin(theta5)*sin(theta1)*sin(theta2)*cos(theta3)- cos(theta6)*sin(theta4)*sin(theta1)*cos(theta2)*cos(theta3)+cos(theta6)*sin(theta4)*sin(theta1)*sin(theta2)*sin(theta3)-cos(theta6)*cos(theta1)*cos(theta4); r23=sin(theta5)*cos(theta4)*sin(theta1)*cos(theta2)*cos(theta3)-sin(theta5)*cos(theta4)*sin(theta1)*sin(theta2)*sin(theta3)- sin(theta5)*cos(theta1)*sin(theta4)+cos(theta5)*sin(theta1)*cos(theta2)*sin(theta3)+cos(theta5)*sin(theta1)*sin(theta2)*cos(theta3);

        r31=cos(theta6)*cos(theta4)*cos(theta5)*cos(theta2)*sin(theta3)+cos(theta6)*cos(theta4)*cos(theta5)*sin(theta2)*cos(theta3)+cos(theta6)*sin(theta5)*cos(theta2)*cos(th

        eta3)-cos(theta6)*sin(theta5)*sin(theta2)*sin(theta3)-sin(theta4)*sin(theta6)*cos(theta2)*sin(theta3)-sin(theta4)*sin(theta6)*sin(theta2)*cos(theta3); r32=-sin(theta6)*cos(theta4)*cos(theta5)*cos(theta2)*sin(theta3)-sin(theta6)*cos(theta4)*cos(theta5)*sin(theta2)*cos(theta3)- sin(theta6)*sin(theta5)*cos(theta2)*cos(theta3)+sin(theta6)*sin(theta5)*sin(theta2)*sin(theta3)-sin(theta4)*cos(theta6)*cos(theta2)*sin(theta3)- sin(theta4)*cos(theta6)*sin(theta2)*cos(theta3); r33=cos(theta4)*sin(theta5)*cos(theta2)*sin(theta3)+sin(theta5)*cos(theta4)*sin(theta2)*cos(theta3)- cos(theta5)*cos(theta2)*cos(theta3)+cos(theta5)*sin(theta2)*sin(theta3);

          4 %Jacobiano j11=-d6*sin(theta1)*sin(theta5)*cos(theta4)*cos(theta2+theta3)+d6*sin(theta5)*cos(theta1)*sin(theta4)-d6*sin(theta1)*cos(theta5)*sin(theta2+theta3)- sin(theta1)*d4*sin(theta2+theta3)-sin(theta1)*a2*cos(theta2); j12=-cos(theta1)*(d6*cos(theta4)*sin(theta5)*sin(theta2+theta3)-d6*cos(theta5)*cos(theta2+theta3)-d4*cos(theta2+theta3)+a2*sin(theta2)); j13=-cos(theta1)*(d6*cos(theta4)*sin(theta5)*sin(theta2+theta3)-d6*cos(theta5)*cos(theta2+theta3)-d4*cos(theta2+theta3)); j14=-cos(theta1)*(d6*cos(theta4)*sin(theta5)*sin(theta2+theta3)-d6*cos(theta5)*cos(theta2+theta3)-d4*cos(theta2+theta3)); j15=d6*(cos(theta1)*cos(theta4)*cos(theta5)*cos(theta2+theta3)-sin(theta2+theta3)*sin(theta5)*cos(theta1)+cos(theta5)*sin(theta1)*sin(theta4)); j16=0;

        j21=d6*sin(theta5)*cos(theta1)*cos(theta4)*cos(theta2+theta3)+d6*sin(theta5)*sin(theta1)*sin(theta4)+d6*cos(theta1)*cos(theta5)*sin(theta2+theta3)+cos(theta1)*d4*si

        n(theta2+theta3)+cos(theta1)*a2*cos(theta2); j22=-sin(theta1)*(d6*cos(theta4)*sin(theta5)*sin(theta2+theta3)-d6*cos(theta5)*cos(theta2+theta3)-d4*cos(theta2+theta3)+a2*sin(theta2)); j23=-sin(theta1)*(d6*cos(theta4)*sin(theta5)*sin(theta2+theta3)-d6*cos(theta5)*cos(theta2+theta3)-d4*cos(theta2+theta3)); j24=-sin(theta1)*(d6*cos(theta4)*sin(theta5)*sin(theta2+theta3)-d6*cos(theta5)*cos(theta2+theta3)-d4*cos(theta2+theta3)); j25=d6*(-sin(theta2+theta3)*sin(theta5)*sin(theta1)-cos(theta5)*cos(theta1)*sin(theta4)+cos(theta5)*cos(theta1)*sin(theta4)*cos(theta2+theta3)^2-

        cos(theta1)*sin(theta4)*cos(theta2+theta3)*cos(theta5)*cos(theta2)*cos(theta3)+cos(theta1)*sin(theta4)*cos(theta2+theta3)*cos(theta5)*sin(theta2)*sin(theta3)+cos(theta

        5)*sin(theta1)*cos(theta4)*cos(theta2)*cos(theta3)-cos(theta5)*sin(theta1)*cos(theta4)*sin(theta2)*sin(theta3)); j26=0; j31=0; j32=sin(theta1)*(d6*sin(theta1)*sin(theta5)*cos(theta4)*cos(theta2+theta3)-

        d6*sin(theta5)*cos(theta1)*sin(theta4)+d6*sin(theta1)*cos(theta5)*sin(theta2+theta3)+sin(theta1)*d4*sin(theta2+theta3)+sin(theta1)*a2*cos(theta2))+cos(theta1)*(d6*si

        n(theta5)*cos(theta1)*cos(theta4)*cos(theta2+theta3)+d6*sin(theta5)*sin(theta1)*sin(theta4)+d6*cos(theta1)*cos(theta5)*sin(theta2+theta3)+cos(theta1)*d4*sin(theta2+t

        heta3)+cos(theta1)*a2*cos(theta2));

          5 j33=sin(theta1)*(d6*sin(theta1)*sin(theta5)*cos(theta4)*cos(theta2+theta3)-

        d6*sin(theta5)*cos(theta1)*sin(theta4)+d6*sin(theta1)*cos(theta5)*sin(theta2+theta3)+sin(theta1)*d4*sin(theta2+theta3))+cos(theta1)*(d6*sin(theta5)*cos(theta1)*cos(th

        eta4)*cos(theta2+theta3)+d6*sin(theta5)*sin(theta1)*sin(theta4)+d6*cos(theta1)*cos(theta5)*sin(theta2+theta3)+cos(theta1)*d4*sin(theta2+theta3)); j34=d6*sin(theta5)*cos(theta4)*cos(theta2+theta3)+d6*cos(theta5)*sin(theta2+theta3)+d4*sin(theta2+theta3); j35=d6*(cos(theta5)*cos(theta4)*cos(theta2)*sin(theta3)+cos(theta5)*cos(theta4)*sin(theta2)*cos(theta3)+sin(theta5)*cos(theta2)*cos(theta3)- sin(theta5)*sin(theta2)*sin(theta3)); j36=0; j41=0; j42=sin(theta1); j43=in(theta1); j44=sin(theta1); j45 = -cos(theta1)*sin(theta4)*cos(theta2+theta3)+sin(theta1)*cos(theta4); j46 = sin(theta5)*cos(theta1)*cos(theta4)*cos(theta2+theta3)+sin(theta5)*sin(theta1)*sin(theta4)+cos(theta1)*cos(theta5)*sin(theta2+theta3); j51=0; j52= -cos(theta1); j53=(-cos(theta1)); j54=(-cos(theta1)); j55= -sin(theta1)*sin(theta4)*cos(theta2+theta3)-cos(theta1)*cos(theta4); j56= sin(theta5)*sin(theta1)*cos(theta4)*cos(theta2+theta3)-sin(theta5)*cos(theta1)*sin(theta4)+sin(theta1)*cos(theta5)*sin(theta2+theta3); j61=1; j62=0; j63=0; j64=0; j65=-sin(theta2+theta3)*sin(theta4); j66 = cos(theta4)*sin(theta5)*sin(theta2+theta3)-cos(theta5)*cos(theta2+theta3);

          6 Orientação RPY %Orientação RPY roll pitch e Yaw fi=atan2(r21,r11); theta=atan2(-r31,r11*cos(fi)-r21*sin(fi)); psi=atan2(r31*sin(fi)-r32*cos(fi),r11*cos(fi)-r21*sin(fi)); display('roll picth yaw'),display(fi*180/pi),display(theta*180/pi), display(psi*180/pi); Quaternions %Quaternions quat1=0.5*sqrt(r11+r22+r33+1); quat2=0.5*sqrt(r11-r22-r33+1); quat3=0.5*sqrt(-r11+r22-r33+1); quat4=0.5*sqrt(-r11-r22+r33+1); quaternions=[quat1 quat2 quat3 quat4] % Cinemática Inversa a partir dos ângulos de Euler nxi=cos(alfa)*cos(gamma)-sin(alfa)*cos(beta)*sin(gamma); nyi=sin(alfa)*cos(gamma)-cos(alfa)*cos(beta)*sin(gamma); nzi=sin(beta)*sin(gamma); sxi=-cos(alfa)*sin(gamma)-sin(alfa)*cos(beta)*cos(gamma); syi=-sin(alfa)*sin(gamma)+cos(alfa)*cos(beta)*cos(gamma); szi=sin(beta)*sin(gamma); axi=sin(alfa)*sin(beta); ayi=sin(alfa)*sin(beta); azi=cos(beta); mthinveuler=[nxi sxi axi dx;nyi syi ayi dy;nxi sxi axi dz;0 0 0 1] r11=mthinveuler(1,1); r12=mthinveuler(1,2); r13=mthinveuler(1,3); r14=mthinveuler(1,4); r21=mthinveuler(2,1); r22=mthinveuler(2,2); r23=mthinveuler(2,3); r24=mthinveuler(2,4); r31=mthinveuler(3,1); r32=mthinveuler(3,2); r33=mthinveuler(3,3); r34=mthinveuler(3,4); r41=mthinveuler(4,1); r42=mthinveuler(4,2); r43=mthinveuler(4,3); r44=mthinveuler(4,4);

          (B3)

          3

          6 12 1 22 1 6 11 1 12 1 6 12 1 22 1 6 13 1 x y z T T T r c r s c r c r s s r c r s s r c r s c r c r s d c d s d r c r s r c r s r s r c r d d d r r s r c c r s r c s r s r c c r s r c s r s

          " " # ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! !

          23 1

          1

          1 6 13 1 23 1

          1 x y r c d s d c d r s r c

          $ % & ' & ' & ' & ' ( )

          (B2) 23 4 5 5 23 4 23 4 5 5 2 2 4 23 23 4 5 23 5 23 4 23 4 5 23 5 2 2 4 23

          2

          4

          1

          5

          1

          2

          3

          4 4 5 4 5 4 5 2 3 2 3

          1 c c c s s c s c c s s c a c d s s c c c s s s s c s c c a s d c

          T T T T s c c s s s ! ! ! ! $

          % & ' !

          & ' " " " #

          & ' & ' ( )

          1 6 13 1 23 1 31 6 32 6 31 6 32 6 33 1 6 33 11 1 12 1

          5 11 1 12 1 6 12 1 22 1 6 11 1 12 1 6 12 1 22 1 6 13 1 23 1

          1 Apêndice B Matrises para Cinemática Inversa e para o Jacobiano

          4 23 5 23 4 5 23 4 23 4 5 23 5 c c c c c s s s s c s c c c s c c c s c s c s s s a c c d c s s c c c s s s c s c s c s c c s c c s s s c c s s a s c d s s

          1 23 4 5 1 23 5 1 4 5 1 4 1 23 4 1 23 4 5 1 23 5 1 4 5 2 1 2 4 1 23 1 23 4 5 1 23 5 1 4 5 1 23 4 1 4 1 23 4 5 1 23 5 1 4 4 2 1 2 4 1 23

          1

          2

          3

          4

          5

          1

          2

          3

          T T T T T c s s c c s s s c s c c ! ! ! ! !

          6

          " " " " # ! !

          1 2 2 4 23

          1 d a s d c

          $ % & ' & ' & ' !

          & ' ( )

          (B1)

          1

          1

          1

          6

        •   2

            23

            

          33

            1

            1

            6

            1

            1

            1 6 2 2 4 23 2 2 4 23 x y O O dxc dys d r c r s dz d d r a c d s a s d c ! # ! ! ! # ! !

            (B5)

            1

            1

            3

            1

            6

            1

            2 11 1 23 21 1 23 31 23 12 1 23 22 1 23 23 23 13 1 23 23 1 23 33 23 1 23 1 23 23 1 2 3 11 1 12 1 12 1 22 1 13 1 23 1

            1

            1 11 1 23 21 1 23 31 23 12 1 23

            22 x y z x y T T T T r c c r s c r s r c c r s c r s r c c r s c r s d c c d s c d s d a c r s r c r s r c r s r c d s d c r c s r s s r c r c s r

            " " " # ! ! ! ! # ! ! !

            1 23 32 23 13 1 23 23 1 23 33 23 1 23 1 23 23 1 23 2 3

            1 x y z s s r c r c s r s s r c d c s d s s d c d c a s

            $ % & ' & ' & ' ! ! ! !

            & ' ( )

            13

            1

            (B6) A equação B7 representa o lado direito da equação 3.24

            T T T T s c c s s s ! ! ! ! $

            2 23 4 5 5 23 4

            2

            3

            4

            5

            1

            2

            3

            4 2 3 23 4 5 2 3 5 2 2 4 23 23 4 5 23 5 23 4 23 4 5 23 5 2 2 4 23

            4 5 4 5 4 5

            1 c c c s s c s c c s s c a c d s s c c c s s s s c s c c a s d c

            % & ' !

            5

            & ' " " " #

            & ' & ' ( )

            (B4) Coordenadas x e y elevadas ao quadrado para a obtenção de ,

            3

            2

            2

            2

            2

            2

            2

            5

            T T T T T r s s c c c r c s s c c r s c r s s c c c r s c c c s r s c r c s r s s r c r c s r s s r c r s c c c s r c c s c s r s s r s c

            ! ! ' )

            " " " " # ! ! ! ! ! ! !

            ! #

            

          1 23 4

          22 1 4 1 3 4 32 23 4 13 1 4 1 23 4

          23 1 23 4 1 4 33 23 4 1 23 4 1 4 1 23 4 1 4 23 4 1 23 4 2 3 4

          13 1 23 23 1 23 33 23

            4 1 23 1 23 23 1 23 2 3 13 1 4 x y z x y z c c s r c c s c s r s s r s s c c c r s c c c s r s c d c c c s s d s c c c s d s c d s c a c c r c s r s s r c d d c s d s s d c d c a s r s c

            $ & & & & (

            ! ! ! ! ! ! ! ! !

            1 23 4

          23 1 4 1 3 4 33 23 4 1 4 1 23 4 1 4 1 23 4 23 4 1 23 4 2 3 4

            1 x y z c c s r c c s c s r s s d s c c c s d c c s c s d s s d s s a c s

            % ' ' '

            (B8) 5 6 5 6 5 6 5 5 6 5 6

          •   4 11 1 23 21 1 23 31 23 12 1 23 22 1 23 32 23 11 1 4 1 23 4 21 1 4 1 3 4 31 23 4 12 1 4

              5 6 5

              5

              6

              4

              5

              6

              6

              1 c c c s s d s s c s c c d c

              T T s c $ % & ' & ' " # & ' & ' ( )

              3 11 1 4 1 23 21 1 4 1 23 4 31 23 4 12 1 4 1 23 4 22 1 23 4 1 4 32 23 4

              (B9)

              T T T s c s s c d d c $

              3 4 5 6

              4 6 4 5 6 4 6 4 5 6 4 5 4 5 6 4 6 4 5 6 4 6 4 5 6 4 5

              4

              5

              6

              3

              4

              5 5 6 5 6 5

            4 6 5

              

            1

            c c c s s c c s s c c s d c s s c c c s s c s c c s s d s s

              % & ' ! !

              2

              & ' " " #

              & ' ! & ' ( )

              (B7)

              1

              1

              2

              3

              4

              6

              1

              4 Matrizes Auxiliares para a obtenção das velocidades angulares das articulações.

              A A A s c d a s $ % & ' & ' # & ' ! & ' ( )

              & ' ( )

              & ' ! !

              & ' #

              % & ' !

              A A A A s c c s s d c a s d ! $

              1 c c c c s c c s a c c d c s s c c c s s s s c s c c d s s a s c

              1

              3 23 4 23 23 4 4 23 2 2

              2

              4 0 1

              3

              2

              1

              (B11) 1 23 4 1 23 1 23 4 2 1 2 4 1 23 1 23 4 1 4 1 23 1 23 4 1 4 4 1 23 2 1 2

              1 c c s c s a c c s c c s s a s c

              A terceira coluna da matriz de rotação representa z i para cada matriz.

              A A s c d a s $ % & ' & ' # & ' ! & ' ( )

              1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

              1

              2 0 1

              2

              2 1 2 2

              1 c c c s s a c c s c s s c a s c

              (B10) 1 23 1 1 23 2 1 2 1 23

              23 1 2 2

              1 1 23 2 1 2

              1

              2

              3 0 1

              2

              23

              (B12)

              5 1 23 4 5 1 4 5 1 23 5 1 23 4 1 4 1 23 4 5 1 4 5 1 23 5 4 1 23 2 1 2 1 23 4 5 1 4

              5 1 23 5 1 23 4 1 4 1 23 4 5 1 4 5 1 23 5 4 1 23 2 1 2

              1

              2

              3

              4

              5 0 1

              2

              3

              4 23 4 5 23 5 23 4 23 4 5 23 5 c c c c s s c c s s c c s s c c c c s s s s c s c d c s a c c s c c c c s c s s s s c s c c s c c s c s s s s c d s s a c c

              A A A A A s c c c s s s s c s c c ! ! ! ! ! ! !

              # ! 4 23 2 2

              1

              1 d c a c d

              $ % & ' & ' & ' ! ! & ' ( )

              (B13)

              6 C Apêndice C

              Desenhos do Robothron Desenho do Robothron elaborado no AUTOCAD com as principais cotas do punho.

              150mm d =425mm

              4 d =105mm

            6 Figura C62 - Cotas do punho Robothron

              7 Desenho do braço do manipulador Robothrom elaborado no Autocad.

              Figura C63 - Cotas do braço do Robothron a

              2

              =750 mm d

              1

              =380 mm

              1 Anexos Redutores Harmônicos para a junta do Ombro, Cotovelo e Base do Robothron.

              2 Referências Bibliográficas [1] SPONG, Mark W., VIDYASAGAR, Mathukumalli. Robot dynamics and control.

              United States of America: John Wiley & Sons, 1989. [2] Folha de São Paulo, caderno "mais!" edição de 30 de Novembro de 1997. [3] ROMANO, Vitor Ferreira Ed. ROBÓTICA INDUSTRIAL Editora Edgard Blucher Ltda. São Paulo, 2002.

              [4] ADADE, Alberto; Fundamentos de Robótica CTA, 1992. [5] CARRARA, Alcy Rodolfo dos Santos; ],1989. [6] RI/SME – ROBOTICS INTERNATIONAL OF SME. Society manufacturing engineers.

              [7] RÁNKY P.G., HO C.Y., ROBOT MODELLING Control And Applications with Software, IFS Ltd, UK 1985, pg. 3. [8] DOKONAL, C.V., - Projeto de um Punho Robótico Esférico RPR [9] ROSÁRIO, J.M., Princípios de Mecatrônica, Pearsons Prentice Hall, São Paulo, 2005. [10] USATEGUI, José Maria Angulo, GONZALEZ, Rafael Avilez. Curso de robótica. Madrid, España: Paraninfo, 1985. [11] KOREN, Yoram, Robotics for Engineers McGraw-Hill, 1985. [12] http://www.diadur.com/phaise2/incenc.html (site do fabricante de encoders). [13] GMC3 – Curso Siemens de Servomotores (2001). [14] SCHILLING, Robert J.. Fundamentals of robotics – Analysis & control. New Jersey, United States of America: Prentice Hall, 1990. [15] MURRAY, Richard ;LI, Zexiang, SASTRY, S. Shankar, A Mathematical Introdution to ROBOTIC MANIPULATION, CRC Press, 1993. [16] HARMONIC-DRIVE disponível em: www.harmonic-drive.com, acesso em 22 de agosto de 2001. [17] ARKIN, RONALD; Behavior-Based Robotics; MIT Press; 1998. [18] KOIVO, Antti J.; Fundamentals for Control of Robotic Manipulators – John Wiley & Sons – 1989. [19] CRAIG, J.O.J. (1989). Introduction to Robotics: Mechanics and Control. Addison- Wesley. [20] PAUL, Richard P. Robots manipulators. United States of America: Massachusetts Institute of Technology, 1992.

              3 [21] YOUCEF-TOUMI, Kamal, ASADA, Haruhiko, Direct-Dirve Robots, Theory and Practice, MIT Press, 1987 [22] ROBOTICS – TECHNOLOGY. http://www.robotics-technology.com [23] SHETH, P.N; UICKER,J.J., A Generalized Symbolic Notation for Mechanisms, Transactions of ASME, february 1971.

              [24] MURRAY, J.J. LOWEL, G.H., Dynamic Modeling of Closed-Chain Robotic Manipulators and Implications for Tajectory Control, IEEE Transaction on Robotic and Automation , vol.5 no.4 august 1989.

              [25] SANTOS,V., Robótica Industrial,2001. [26] http://www.cs.utah.edu/classes/cs5310 Introduction to Robotics, John M. Hollerbach, 2003 [27] SCIAVICCO, L., SICILIANO, B., Modeling and Control of Robot Manipulators, McGraw-Hill, 1996 [28] ASADA,H, SLOTINE, J-J., Robot Analysis and Control, Weley&Sons, 1986.

              [29] USATEGUI, Jose Maria Angulo ROBOTICA PRATICA Tecnologia y Aplicaiones Barcelona Ediciones REDE, 1985 [30] FLUCKIGER,L, PIGUET,L.,BAUR,C, Generic Robotic Kinematic Generator for Virtual Vnvironment Interfaces ;1996 [31] RAMIREZ, Alejandro Rafael Garcia, PIERI, Edson R. de and GUENTHER, Raul.

              Controle em cascata de um manipulador robótico com um elo e uma transissão flexível. [32] Sba Controle & Automação, Nov./Dec. 2003, vol.14, no.4, p.393-401. ISSN 0103- 1759.

              [33] LEWIS,F.L.;ABDALLAH,C.T.; DAWSON,D.M., Control of Robot Manipulators, Macmillan. [34] GHORBEl, F., WANG, Z., and DABNEY, J.B., "A singular perturbation approach to the modeling of closed kinematic chains", submitted to the ASME Journal of Dynamic Systems, Measurement, and Control. [35] GHORBEL,F, CHETELAT, O, Modeling and Set Point Control of Closed-Chaim Mechanisms: Theory and Experimet, IEEE transactions on Control, vol.8 no.5 september2000 [36] BARA - THE BRITISH AUTOMATION & ROBOT ASSOCIATION. www.bara.org.uk. [37] http://nas.cl.uh.edu/dabney/Frame3Research.htm

              4 [38] FIELD ROBOTICS CENTER. Carnegie Melon University. www.frc.ri.cmu.edu. [39] ROBOTICS ON LINE. http://www.robotics.org [40] RFA – RIJLAARSDAM FACTORY AUTOMATION B.V. http://www.site.yahoo.com/rfa/index.html. [41] REVISTA CONTROLE E AUTOMAđấO. www.fee.unicamp.br/revista.sba/ welcome.html [42] MONASH UNIVERSITY – Department of mechanical engineering. http://www- mec.eng.monash.edu.au/ind4335. www.harmonic-drive.com [43] HANSELMAN, D., LITTLEFIELD, B. Matlab 6, Curso Completo, Prentice Hall, São Paulo, 2003.

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