Superfícies Mínimas em R4 e um Teorema tipo Bernstein

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Universidade Federal da Bahia - UFBA

Instituto de Matem´ atica - IM

Programa de P´ os-Graduac ¸˜ ao em Matem´ atica - PGMAT

Dissertac ¸˜ ao de Mestrado

  4

  e um teorema tipo Superf´ıcies m´ınimas em R

Bernstein

  

Ana Paula Cruz de Freitas

  Salvador-Bahia Fevereiro de 2012

ANA PAULA CRUZ DE FREITAS

4 Superf´ıcies m´ınimas em e um teorema tipo Bernstein

  R

  Disserta¸c˜ao apresentada ao Programa de P´os- Gradua¸c˜ao em Matem´atica do Departamento de Matem´atica, Centro de Ciˆencias Exatas da Uni- versidade Federal da Bahia , como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

  ´ Area de concentra¸c˜ao: Geometria Orientador: Prof. Dr. Jos´e Nelson Bastos Barbosa

  Salvador Freitas, Ana Paula Cruz de.

  Superf´ıcies m´ınimas em R

  4 e um teorema tipo Bernstein / Ana Paula Cruz de Freitas. – Salvador: UFBA, 2012.

  73 f. : il.

  Orientador: Prof. Dr. Jos´e Nelson Bastos Barbosa. Disserta¸c˜ ao (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´ atica, Programa de P´ os-gradua¸c˜ ao em Matem´ atica, 2012.

  Referˆencias bibliogr´aficas.

  1. Superf´ıcies m´ınimas. 2. Curvas anal´ıticas complexas. 3. Inva-

riantes geom´etricos. I. Barbosa, Jos´e Nelson Bastos. II. Universidade

Federal da Bahia, Instituto de Matem´ atica. III. T´ıtulo.

  CDU : 514.7

  4

  e um teorema tipo Superf´ıcies m´ınimas em R Bernstein

  Ana Paula Cruz de Freitas

  Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica, aprovada em 24 de fevereiro de 2012.

  Banca examinadora:

  Prof. Dr. Jos´e Nelson Bastos Barbosa (Orientador) UFBA

  Prof. Dr. Andr´e Lu´ıs Godinho Mandolesi UFBA

  Profa. Dra. Marco Antonio Nogueira Fernandes

  Aos meus pais; Ana Lucia e Jorge,

  “A tarefa nem ´e tanto ver aquilo que ningu´em viu, mas pensar o que ningu´em ainda pensou sobre aquilo que todo mundo vˆe. ” Arthur Schopenhauer.

  

Agradecimentos

  Agrade¸co primeiramente a Deus por me dar condi¸c˜oes para concluir mais uma etapa na minha vida. Aos meus pais, Ana Lucia e jorge, por acreditarem em mim e por fazerem o imposs´ıvel para realiza¸c˜ao de um grande sonho. ` A toda minha fam´ılia pelo apoio, amor e for¸ca. ` As minhas amigas, Roselene, Eliete, Emanuele e Andrˆessa.

  A todos os meus amigos, em especial, aos meus companheiros de turma: Roberto, Thiago, Marcus, Luiz, Fellipe, Felipe Moscozo e ˆ Angela. Ao meu orientador Jos´e Nelson pelos esclare- cimentos, paciˆencia, aten¸c˜ao e disponibilidade para me atender. A todos os meus professores, em particular, aos professores (e funcion´arios tamb´em!) do departamento de matem´atica da UFBA.

  ` A Capes, pelo apoio financeiro. E, tamb´em, a todas as pessoas que n˜ao mencionei, mas que de uma forma ou de outra contribu´ıram para a conclus˜ao desse trabalho.

  Resumo

  Apresentaremos neste trabalho dois teoremas que caracterizam as curvas anal´ıticas complexas, isto ´e, os gr´aficos de fun¸c˜oes holomorfas ou anti-holomorfas, que mostraremos

  4 serem superf´ıcies m´ınimas em R . O primeiro resultado, que ´e um Teorema tipo Bernstein

  4 para superf´ıcies m´ınimas em R , caracteriza as curvas anal´ıticas complexas atrav´es do Jaco- biano. Este teorema ´e de grande importˆancia, uma vez que alguns resultados tipo Bernstein

  4 orema caracteriza as curvas anal´ıticas complexas a partir de dois invariantes geom´etricos, as curvaturas Gaussiana e Normal.

  Palavras-chave: Superf´ıcies m´ınimas; Curvas anal´ıticas complexas; Invariantes geom´etricos.

  

Abstract

  In this work we present two theorems that characterize the complex analytic curves, that is, the graphs of holomorphic or anti-holomorphic functions; we show that they are minimal

  4 surfaces in R . The first result, which is a Bernstein type theorem for minimal surfaces in

4 R , characterizes the complex analytic curves through the Jacobian. This theorem has great

  4 importance, since some Bernstein type results for surfaces in R , obtained earlier, follow geometric invariants; Gaussian and normal curvatures.

  Keywords: Minimal surfaces; Complex analytic curves; Geometric invariants.

  

Sum´ ario

  1 Superf´ıcies Param´ etricas: Teoria Local 14 1.1 Prolegˆomenos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  71

  55 3.2 Aplica¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  55 3.1 Resultado Principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  52

  45 2.4 Aplica¸c˜oes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  44 2.3 Resultado principal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  42

  4 42 2.1 No¸c˜oes b´asicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  2 Resultado tipo Bernstein em R

  35

  26 1.4 Teorema de Bernstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  24 1.3 Parˆametros isot´ermicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  14 1.2 Superf´ıcies n˜ao-param´etricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2.2 Gr´aficos m´ınimos em R

3 Curvas Anal´ıticas Complexas e Invariantes Geom´ etricos

  

Introduc ¸˜ ao

  Uma superf´ıcie que tem curvatura m´edia zero em todos os seus pontos ´e chamada uma superf´ıcie m´ınima. Achar exemplos de superf´ıcies com curvatura m´edia zero em todos os pontos n˜ao ´e, em princ´ıpio, uma tarefa f´acil. Mesmo para o caso mais simples de superf´ıcies que s˜ao gr´aficos z = f (x, y) de fun¸c˜oes diferenci´aveis.

  2 Em 1916, S. Bernstein demonstrou o seguinte resultado extraordin´ario: se f : R → R ´e uma fun¸c˜ao inteira e suave, cujo gr´afico, G f , de f ´e uma superf´ıcie m´ınima, ent˜ao f ´e uma fun¸c˜ao afim e G f ´e um plano.

  Foi conjecturado por um longo tempo que o teorema de Bernstein era v´alido para f : n

  R → R , sendo n um n´umero natural qualquer. Para n = 3 sua veracidade foi comprovada por E. De Giorge [6], para n = 4 por F. Almgren [1] e para n = 5, 6, 7 por Simons [15]. Por outro lado, Bombieri, De Giorge e Giuste [3] provaram que, para n

  ≥ 8, existiam solu¸c˜oes da equa¸c˜ao de superf´ıcies m´ınimas que n˜ao eram afins. Se f : C f de f em

  → C ´e uma fun¸c˜ao holomorfa ou anti-holomorfa, ent˜ao o gr´afico G

  2

4 C

  = R ´e uma superf´ıcie m´ınima e ´e chamado de curva anal´ıtica complexa. Por´em, existem

  4 gr´aficos m´ınimos em R que n˜ao s˜ao curvas anal´ıticas complexas. Por exemplo, o gr´afico da

  2

  2 fun¸c˜ao f : R , dada por

  → R 1 y y x

  −x f (x, y) = (e ) cos , .

  − 3e −sin

  2

  2

  2 1 2x

  −2x ´

  E interessante notar que a imagem do Jacobiano de f , dado por J f = (e ), ´e toda − 9e

  8 a reta real.

  O objetivo principal deste trabalho ´e encontrar sob quais condi¸c˜oes geom´etricas o gr´afico

  2

  2 resultado foi obtido por Chen e Osserman [4], onde eles provaram que se a diferencial df de f ´e limitada, ent˜ao o gr´afico de f ´e um plano. Posteriormente, Simon [14] obteve um resultado mais geral, impondo a condi¸c˜ao de limita¸c˜ao do Jacobiano de f ou de f . Supondo

  1

  2 f um difeomorfismo, Shoen [13] obteve o mesmo resultado. Al´em disso, Ni [10] obteve um resultado tipo Bernstein assumindo que f era uma aplica¸c˜ao que preservava ´area, ou seja, uma aplica¸c˜ao cujo Jacobiano, J f , satisfaz a rela¸c˜ao J f = 1. Este resultado foi generalizado por Hasanis, Savas-Halilaj e Vlachos em [8], assumindo apenas que o Jacobiano era limitado.

  O primeiro resultado a ser apresentado nesta disserta¸c˜ao ´e o seguinte Teorema tipo Berns- tein, que se encontra em outro trabalho de Hasanis, Savas-Halilaj e Vlachos, em [9].

  2

2 Teorema 0.1. Seja f : R uma fun¸c˜ao inteira, tal que o gr´afico G f de f ´e uma

  → R

  4 superf´ıcie m´ınima em R . Assuma que G f n˜ao ´e um plano. Ent˜ao, o gr´afico de f ´e uma

  2 curva anal´ıtica complexa se, e somente se, J f (R ) R. Em particular, se G f ´e uma curva

  2

  2 anal´ıtica complexa, ent˜ao J f (R ) = [0, + f (R ) = (0, +

  ∞) ou J ∞) se f ´e holomorfa, ou

  2

  2 J f (R ) = ( f (R ) = ( −∞, 0) ou J −∞, 0] se f ´e anti-holomorfa.

  Este Teorema tem uma grande importˆancia, visto que resultados tipo Bernstein conheci- dos e provados por R. Schoen [13], L. Fu [7], L. Ni [10], e os pr´oprios autores em [8] seguem como consequˆencia deste.

  Por outro lado, as curvas anal´ıticas complexas s˜ao superf´ıcies caracterizadas, localmente, pela rela¸c˜ao N N representam a curvatura de Gauss e a curvatura |K| = |K |, onde K e K normal, respectivamente. Apresentaremos tamb´em uma caracteriza¸c˜ao de curvas anal´ıticas complexas atrav´es destes invariantes geom´etricos que se encontra em [8].

  2

  2 Teorema 0.2. Seja G f o gr´afico de uma fun¸c˜ao inteira e suave f : R com curvatura → R

  Gaussiana K e curvatura normal K N . Se K N = cK, onde c ´e uma constante, ent˜ao G f ´e uma curva anal´ıtica complexa. Mais precisamente, K N = K = 0 e G f ´e um plano ou |c| = 1 e G f ´e uma curva anal´ıtica complexa n˜ao trivial.

  Iremos mostrar neste trabalho alguns resultados que ser˜ao imprescind´ıveis na demons- tra¸c˜ao dos teoremas citados anteriormente. No primeiro cap´ıtulo, de preliminares em su- disso, apresentaremos a demonstrar o Teorema de Osserman, pe¸ca fundamental na obten¸c˜ao dos resultados referidos, o qual garante a existˆencia de parˆametros isot´ermicos globais para n superf´ıcies m´ınimas em R . No cap´ıtulo 2, exibiremos a prova do resultado tipo Bernstein no espa¸co euclidiano de dimens˜ao 4 e algumas aplica¸c˜oes. Finalmente, no cap´ıtulo 3, apresen- taremos a demonstra¸c˜ao do resultado que caracteriza as curvas anal´ıticas complexas atrav´es das curvaturas Gaussiana e Normal.

  Cap´ıtulo 1

  

Superf´ıcies Param´ etricas: Teoria Local

  1.1 Prolegˆ omenos

  n n Seja (x , ..., x n ) um ponto em R . Uma superf´ıcie em R ´e uma transforma¸c˜ao dife-

  1 n

  2 renci´avel X : D , onde D ´e um dom´ınio em R . Sejam M a matriz Jacobiana associada

  → R n n

  2 `a diferencial de X em q : R , e S o subconjunto de R formado pelos pontos q

  ∈ D, dX → R X (u, v).

  , ..., v , ..., w Para dois vetores v = (v n ) , w = (w n ), denotaremos o produto interno por

  1

  1 n X v k w k , hv, wi = k =1 e o produto exterior por

    n N v , N  

  = ∧ w; v ∧ w ∈ E

  2 onde as componentes de v ∧ w s˜ao os determinantes v v i j

  , i < j , w i w j dispostos em uma ordem fixa. Demostraremos uma identidade que ser´a muito ´ util para n´os ao longo do trabalho. n

  Identidade de Lagrange . Para dois vetores v = (v , ..., v ), w = (w , ..., w ) em R 1 n 1 n obtemos

  ! ! !

  2 n n n

  X X

  X X

  2

  2

  2 v w v w w w . i i = (v i j j i ) i i

  − − v i i i i<j

  =1 =1 =1

  Prova: Sabemos que ! ! n n n n

  X X

  X X x y x y i j = i j i j i j

  =1 =1 =1 =1 n

  X X

  X

  • x y x y x y .
  • = i i i j i j

  i i<j j<i =1

  2

  2 Particularizando, para x i = v e y j = w , obtemos i j ! ! n n n

  X X

  X X

  X

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2 v w v w v w v w

  = + + i j i i i j i j i j i i<j j<i

  =1 =1 =1 e para x i = v i w i = y i

  ! 2 ! ! n n n

  X X

  X v w v w v w i i = i i i i i i i

  =1 =1 =1 n n

  X X

  X

  2

  2 v w v w v w v w v w

  = + i i j j i i j j + i i i =1 i<j j<i n n

  X X

  X

  2

  2

  w v w

  • = i i j j i i j j
  • v w v w v w v

  i i i i<j i<j =1 n

  X X

  2

  2

  = 2v i i j j i i i i<j

  • v w w v w

  =1 n

  X X

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  = + v i j j i ) i i i j j i

  • v w v w w w w

  − (v − v i i<j

  =1 n

  X X

  X X

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  • = + v w v w v w (v i w j j w i )

  i i i j j i − − v i i<j i<j i<j

  =1 n

  X X

  X X

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2 =

  ) + + v w v w v w (v i w j j w i i i i j i j

  − − v i i<j j<i i<j

  =1 ! ! n n

  X X

  X

  2

  2

  2 v w w w .

  = (v i j j i ) i j − − v i j i<j

  =1 =1 Finalmente, introduziremos a matriz n

  X ∂X ∂X ∂X k k ∂X

  T G = (g ij ) = M M ; g ij = = , , (1.1)

  ∂u ∂u j ∂u i ∂u j k

  =1

  2 det G = g g )

  11

  22

  12 − (g

  ! ! !

  2 n n n

  2

  2 X

  X X ∂X i ∂X i ∂X i ∂X i

  = −

  ∂u ∂u ∂u ∂u

  1

  2

  1

  1 i i i =1 =1 =1

  2 X ∂X ∂X ∂X ∂X i j j i

  = −

  ∂u ∂u ∂u ∂u

  1

  2

  1

  2 i<j

  2 X ∂(X , X ) i j

  = ∂

  (u, v) i<j

  2 ∂X ∂X = .

  (1.2) ∧

  ∂u ∂u

  1

  2 n

  Defini¸c˜ ao 1.1. Uma superf´ıcie parametrizada regular S ´e uma aplica¸c˜ao X : D , onde → R

2 D

  ´e um subdom´ınio de R , tal que

  1. X ´e diferenci´avel ; n

  2 2. Para todo q = (u, v) q : R , ´e injetora.

  ∈ D, a diferencial de X em q, dX → R n

  As vari´aveis u, v s˜ao os parˆametros da superf´ıcie. O subconjunto S de R obtido pela imagem da aplica¸c˜ao X, ´e denominado o tra¸co de X. A condi¸c˜ao 2 da defini¸c˜ao acima, vai garantir a existˆencia de um plano tangente em cada ponto da superf´ıcie. Vejamos abaixo algumas formas de expressar esta condi¸c˜ao. n

  Lema 1.2. Seja X : D uma aplica¸c˜ao diferenci´avel. Para cada ponto em D, as → R seguintes condi¸c˜oes s˜ao equivalentes:

  1. dX q ´e injetora; ∂X ∂X

  2. Os vetores , s˜ao linearmente independentes, 1 2 ∂u ∂u

  3. A matriz Jacobiana tem posto 2; ∂ (X i , X j ) 4. ∃ i , j ; 1 ≤ i ≤ j ≤ n, tais que 6= 0, ;

  ∂ (u, v) ∂X ∂X 5.

  ∧ 6= 0; ∂u 1 ∂u 2 Duas superf´ıcies parametrizadas podem ter o mesmo tra¸co. Sendo assim, se X ´e uma superf´ıcie regular podemos obter v´arias superf´ıcies que tˆem o mesmo tra¸co de X, da seguinte forma: n

  D Proposi¸c˜ ao 1.3. Seja X : D uma superf´ıcie parametrizada regular. Se h : ˜

  → R → D ´e

  D uma aplica¸c˜ao diferenci´avel cujo determinante da matriz Jacobiana n˜ao se anula e h( ˜ ) = D, ent˜ao Y = X ◦ h ´e uma superf´ıcie parametrizada regular que tem o mesmo tra¸co de X.

  Prova: A aplica¸c˜ao Y ´e diferenci´avel pois ´e uma composi¸c˜ao de fun¸c˜oes diferenci´aveis. Mos- T

  ˜ G > G M M M tremos ent˜ao, que det ˜ 0, onde ˜ = ˜ , sendo ˜ a matriz Jacobiana associada a diferencial de Y em q D . Seja U a matriz Jacobiana associada a diferencial de h em q.

  ∈ ˜ Como h ´e um difeomorfismo temos que det h = M U . Sendo assim,

  6= 0. Observe que ˜ T T T

  2 det ˜ G = det (U M M U ) = det (U GU ) = det G(det U ) > 0.

2 Seja X(u, v), (u, v) , uma superf´ıcie parametrizada regular. Se considerarmos

  ∈ D ⊂ R u 1 e u 2 como fun¸c˜oes diferenci´aveis de um parˆametro t, t

  ∈ I ⊂ R, obtemos uma curva diferenci´avel α(t) = X(u (t), u (t)) cujo tra¸co est´a contido na superf´ıcie descrita por X.

  1

2 Dizemos que α ´e uma curva da superf´ıcie e definiremos um vetor tangente `a superf´ıcie como

  sendo o vetor tangente a uma curva da superf´ıcie. Mais precisamente, Defini¸c˜ ao 1.4. Se X(u, v) ´e uma superf´ıcie parametrizada regular, dizemos que um vetor n

  ′ w de R ´e um vetor tangente a X em q = (u (t ), u (t )) se w = α (t ), onde α(t) =

  1

  2 X (u(t), v(t)) ´e uma curva da superf´ıcie.

  Defini¸c˜ ao 1.5. O plano tangente a X em q ´e o conjunto de todos os vetores tangentes a X em q, que denotamos por Π ou Π(q).

  Observamos que os conceitos de vetor tangente e plano tangente s˜ao definidos em um ponto q do dom´ınio de X e n˜ao no ponto X(q), j´a que a superf´ıcie X pode ter auto-interse¸c˜ao.

  ∂X ∂X n Corol´ ario 1.6. O plano tangente, Π(q), ´e o plano de R gerado pelos vetores e .

  ∂u ∂v

  ′ Prova: Se w (t ) onde α(t) = X(u (t), u (t)). Portanto,

  1

  2 ∈ Π(q), ent˜ao w = α

  ′ w

  = α (t ) d = (X(u(t), v(t))) t

  =t | dt

  ∂X ∂X ′ ′

  , v , v = (u )u (t ) + (u )v (t ),

  ∂u ∂v ∂X ∂X isto ´e, w ´e uma combina¸c˜ao linear dos vetores e em (u , v ). ∂u 1 ∂u 2

  ∂X ∂X , v , v

  Reciprocamente, suponhamos que w = a (u ) + b (u ), ent˜ao existe uma curva ∂u ∂v

  ′ α , v

  (t) da superf´ıcie, tal que (u ) = (u 1 (0), u 2 (0)) e α (0) = w. De fato, basta considerar α (t) = X(u(t), v(t)), onde u(t) = u + at e v(t) = v + bt.

  Para desenvolver a teoria local das superf´ıcies vamos introduzir duas formas quadr´aticas. A primeira, que veremos a seguir, est´a relacionada com o comprimento de curvas em uma superf´ıcie, ˆangulo entre vetores e ´area de subdom´ınios da superf´ıcie. n

2 Defini¸c˜ ao 1.7. Seja X : D uma superf´ıcie parametrizada regular,

  ⊂ R → R ∀ q ∈ D a aplica¸c˜ao

  I q : Π(q)

  → R w → hw, wi ´e denominada a primeira forma quadr´atica de X em q.

  , v Consideremos uma superf´ıcie dada por X(u 1 (t), u 2 (t)) e um ponto q = (u ). Ent˜ao um vetor w

  ∈ Π(q) ´e da forma ∂X ∂X w , v , v

  = a (u ) + b (u ), ∂u ∂v onde a, b

  ∈ R. Portanto, ∂X ∂X ∂X ∂X ∂X ∂X

  2

  2 I , , , . q (w) = a + 2ab + b

  ∂u ∂u ∂u ∂v ∂v ∂v Usando a nota¸c˜ao ∂X ∂X

  E , v , , v , (u ) = (u ) = g

  11 ∂u ∂u

  ∂X ∂X F (u , v ) = , (u , v ) = g ,

  12 ∂u ∂v

  ∂X ∂X G (u , v ) = , (u , v ) = g ,

  22 ∂v ∂v segue que

  2

  2 I (w) = a E (u , v ) + 2abF (u , v ) + b G (u , v ), q ou

  2

  2 I g g . q (w) = a + 2abg + b

  11

  12

  22 Variando (u(t), v(t)) temos fun¸c˜oes E(u 1 (t), u 2 (t)), e F (u i (t), u j (t)) e G(u i (t), u j (t)) dife- renci´aveis, que s˜ao denominadas os coeficientes da primeira forma quadr´atica. As fun¸c˜oes

  E, F e G satisfazem as seguintes propriedades:

1. E(u, v) > 0 e G(u, v) > 0 para todo (u, v), pois os vetores X u e X v s˜ao n˜ao nulos;

  2

  2 2. E(u, v)G(u, v) (u, v) > 0. De fato, E(u, v)G(u, v) (u, v) = det G > 0.

  − F − F n

2 Defini¸c˜ ao 1.8. Seja X : D uma superf´ıcie parametrizada regular. Fixado

  ⊂ R → R ⊥ q , v

  = (u ) , a segunda forma quadr´atica de X em q, segundo o vetor ∈ U e N ∈ Π

  X X normal N , ´e uma aplica¸c˜ao Π q : T q q associa Π q da → R, que para cada vetor w ∈ T seguinte forma: se α(t) = X(u(t), v(t)) ´e uma curva diferenci´avel da superf´ıcie, tal que

  ′ ′′ , v

  (u(t ), v(t )) = q e α (t) = w, ent˜ao definimos Π q (w) = (t ), N (u ) hα i.

  , v Vamos verificar que Π q (w) n˜ao depende da curva escolhida. Seja w = aX u (u ) +

  ′ bX v (u , v ), consideremos uma curva α(t) = X(u(t), v(t)) tal que (u(t ), v(t )) = q e α (t ) =

  ′ ′ w , v

  , isto ´e, (u(t ), v(t )) = (u ), (u (t ), v (t )) = (a, b). Como ′ ′ ′

  α (t) = u (t)X u (u(t), v(t)) + v (t)X v (u(t), v(t)) e

  2 ′′ ′′ ′

  α

  X (t) = u (t)X u (u(t), v(t)) + (u (t)) uu (u(t), v(t)) +

  2 ′ ′ ′

  X 2u (t)v (t)X uv (u(t), v(t)) + (v (t)) vv (u(t), v(t)) +

  ′′ obtemos ′′

  , v Π q (w) = (t ), N (u ) hα i

  2

  2 ′ ′ ′ ′

  = (u (t)) uu , N , v ) + 2u (t)v (t) uv , N , v ) + v (t)) vv , N , v ) hX i(u hX i(u hX i(u

  2

  2 , N , v , N , v , N , v

  = a uu ) + 2ab uv ) + b vv ), hX i(u hX i(u hX i(u onde a ´ ultima express˜ao n˜ao depende da curva α. Usando a nota¸c˜ao e (u , v ) = , N , v ) = b (N ), uu

  11 hX i(u f (u , v ) = uv , N , v ) = b (N ),

  12 hX i(u g , v , N , v

  (u ) = uu ) = b (N ),

  22 hX i(u teremos

  2

  2 Π q (w) = a e (u , v ) + 2abf (u , v ) + b g (u , v ).

  Variando (u, v) temos fun¸c˜oes diferenci´aveis e(u, v), f (u, v), g(u, v), que s˜ao denominadas coeficientes da segunda forma quadr´atica da superf´ıcie parametrizada X.

  ⊥ Defini¸c˜ ao 1.9. Sejam X(u, v) uma superf´ıcie parametrizada regular, N arbitr´ario e

  ∈ Π q , v = (u ). A fun¸c˜ao curvatura normal em q segundo o vetor normal N ´e uma aplica¸c˜ao

  N k : T q X q X n˜ao nulo, associa n

  − {0} → R que para cada vetor w ∈ T Π q (w)

  N k .

  (w) = n

  I q (w) N N

  X Observa¸c˜ ao: Se w q , w (λw) = k (w) para todo n´ umero real λ ∈ T 6= 0, ent˜ao k n n 6= 0. De fato, seja w = aX u (u , v ) + bX v (u , v ) onde (a, b) , f , g os

  6= (0, 0). Denotando por e , v coeficientes da segunda forma fundamental em (u ), ent˜ao

  Π q (λw) N k

  (λw) = n

  I q (λw)

  2

  2

  2

  2

  2 λ a e abf b g

  • 2λ + λ =

  2 λ hw, wi

  2

  2 a e g

  • 2abf + b = hw, wi

  N

  N Como consequˆencia deste fato, podemos falar na curvatura normal em q, k , segundo uma n dire¸c˜ao tangente `a superf´ıcie .

  N Proposi¸c˜ ao 1.10. Sejam X(u, v) uma superf´ıcie parametrizada regular e k a fun¸c˜ao cur- n vatura normal de X em q = (u , v ), segundo o vetor normal N . Ent˜ao existem vetores

  N N w , w

  X q tais que k = k (w ) e k = k (w ) s˜ao os valores m´ınimo e m´aximo da

  1

  2 1 n

  1 2 n

  2 ∈ T

  N fun¸c˜ao k . n

  N Prova: Se k ´e uma fun¸c˜ao constante, ent˜ao quaisquer dois vetores de T q X satisfazem n

  N as condi¸c˜oes da proposi¸c˜ao. Suponhamos que k n˜ao ´e constante. Consideremos a fun¸c˜ao n

  N

  2 ˜ k : R n → R definida por

  ˜ k (a, b) = k (aX u (q) + bX v (q)), (a, b) n n

  6= (0, 0), isto ´e,

  2

  2 a b b

  (N ) + 2abb (N ) + b (N ) N

  11

  12

  22 ˜ k

  . (a, b) = n

  2

  2 a g g

  • 2abg + b

  11

  12

  22 N Esta fun¸c˜ao ´e diferenci´avel j´a que (a, b)

  (λa, λb) = n

  6= (0, 0). Al´em disso, para todo λ 6= 0, ˜k N

  N ˜ k k

  (a, b). Portanto, para obter os valores m´ınimo e m´aximo da fun¸c˜ao ˜ , basta restringir n n

  N

  2

  2

  2 N ˜ k k a uma circunferˆencia C de R dada por a + b = 1. Como ˜ ´e cont´ınua, existem pontos n n

  (a , b ) e (a , b ) de C tais que

  1

  1

  2

  2 N N k k , b k , b

  (N ) = ˜ (a ) e k (N ) = ˜ (a ) 1 n

  1

  1 2 n

  2

  2 N s˜ao, respectivamente, o m´ınimo e o m´aximo da fun¸c˜ao ˜ k restrita a C. Portanto, n

  N k ,

  1 (a, b)

  2 ≤ ˜k n ≤ k

  N

  2 para todo (a, b) n˜ao ´e constante, k < k . Consideremos n

  1

  2 ∈ R \{(0, 0)}. Al´em disso, como k

  X agora os vetores de T q w = a X u (q) + b X v (q),

  1

  1

  1 w

  X X 2 = a 2 u (q) + b 2 v (q).

  N k

  X Pela pr´opria defini¸c˜ao de ˜ , temos que para todo w q n

  ∈ T \ {0}, N N N

  • 2b g
  • 2b g

  22 (N ) + 2a b

  22 (N ) + 2a b

  = (2b b

  12 )

  22

  − Π q (w)(2b g

  12 (N ))I q (w)

  = (2b b

  − k

  N n ∂b

  = 0, e ∂˜ k

  12 ))

  11

  − k (a g

  12 (N ))

  12 (N ))I q (w)

  I q (w)(2b g

  = 2I q (w)((a b

  (b

  Segue-se do fato de que (a , b

  − k g 22 )b = 0.

  22 (N )

  12 )a + (b

  − k g

  12 (N )

  − k g 12 )b = 0,

  22

  − k g 11 )a + (b 12 (N )

  Portanto, (b 11 (N )

  22 )) = 0.

  (a g 12 + b g

  22 (N ) − k

  = 2I q (w)((a b 12 (N ) + b b

  12 )

  11 (N ) + b b

  12 )

  ) ´e uma solu¸c˜ao n˜ao trivial do sistema acima, que o deter- b (N ) g b (N ) g

  H (N ) = k

  X v (q) com respeito `a normal N , ent˜ao

  X u (q) + b

  Note que k 1 (N ) e k 2 (N ) s˜ao as ra´ızes da equa¸c˜ao det (b ij (N ) − λg ij ) = 0. De fato, se k ´e uma curvatura principal em q, na dire¸c˜ao de w = a

  2 , ´e chamada curvatura m´edia de X em q.

  2 (N )

  1 (N ) + k

  2 (N ),

  N n

  1 (N ) e k

  N n s˜ao denominadas curvaturas principais de X em q com respeito a normal N . A semissoma de k

  2 (N ) = min k

  N n e k

  1 (N ) = max k

  Com a nota¸c˜ao da proposi¸c˜ao anterior, os vetores w 1 e w 2 s˜ao chamados vetores principais de X em q e as curvaturas k

  ∂˜ k

  ∂a =

  11

  12 )

  (w)(2a g

  I q

  (w) − k

  12 (N ))I q

  11 (N ) + 2b b

  = (2a b

  11

  ∂˜ k

  − Π q (w)(2a g

  12 (N ))I q (w)

  11 (N ) + 2b b

  ∂a = (2a b

  ∂˜ k N n

  ∂b = 0. Isto ´e,

  N n

  • b g
  • 2a g
  • 2a g

  11

  11

  12

  12 − k − k

  = 0 b g b g 12 (N )

  12 22 (N )

  22 − k − k isto ´e, k satisfaz a equa¸c˜ao

  2 b b

  (N )g (N )g + b (N )g (N )b (N ) (N )

  11

  11

  12

  12

  22

  22

  11

  22

  12 2 − 2b − b

  λ = 0. −

  • λ

  2

  2 g g g g

  11

  22

  11

  22 − g 12 − g

  12 Pela rela¸c˜ao entre os coeficientes de uma equa¸c˜ao do segundo grau e as ra´ızes da equa¸c˜ao conclu´ımos que b (N )g (N )g + b (N )g

  11

  11

  12

  12

  22

  22 − 2b

  H .

  (N ) = (1.3)

  2det(g ij ) ⊥

  Considere o funcional H : Π ij (N ) s˜ao lineares em N , → R definido em (1.3). Como os b

  ⊥ temos que esse funcional ´e linear em N para N . Pelo Teorema de Representa¸c˜ao de

  ∈ Π ⊥

  Riesz, existe um ´ unico vetor H tal que ∈ Π

  H (N ) = (1.4) hH, Ni.

  , ..., e O vetor H assim definido ´e chamado o vetor curvatura m´edia de X em q. Se n

  1 {e −2 } ´e

  ⊥ uma base ortonormal de Π , o vetor curvatura m´edia H pode ser expresso por n

  −2

  X H = H (e k )e k . (1.5) k =1

  Defini¸c˜ ao 1.11. A superf´ıcie S ´e uma superf´ıcie m´ınima se o vetor curvatura m´edia ´e nulo em todo ponto.

  ⊥ Em virtude de (1.4) e (1.5), H = 0 se e somente se H(N ) = 0 para todo N .

  ∈ Π Portanto, usando (1.3), superf´ıcies m´ınimas s˜ao caracterizadas em termos da primeira e segunda forma fundamental pela equa¸c˜ao

  ⊥

  1.2 Superf´ıcies n˜ ao-param´ etricas

  Nesta se¸c˜ao, iremos considerar uma escolha especial de parˆametros que ser˜ao de grande utilidade. Diremos que uma superf´ıc´ıe S, definida por X(u, v), est´a na forma n˜ao-param´etrica se : X (u, v) = (u, v, f (u, v), ..., f n (u, v)).

  3 Note que uma superf´ıcie n˜ao param´etrica ´e automaticamente regular. De fato, basta notar ∂ 1 ,f 2

  (f ) que = 1. ∂ (u,v)

  Para o restante da se¸c˜ao, iremos calcular os coeficientes da primeira e segunda forma fun- damental, com o objetivo de encontrarmos a equa¸c˜ao de superf´ıcies m´ınimas para superf´ıcies n na forma n˜ao-param´etrica em R .

  Se S ´e uma superf´ıcie na forma n˜ao-param´etrica, ent˜ao ∂X ∂f ∂f ∂X ∂f ∂f n n

  3

  3 , ..., , , ..., ,

  = 1, 0, = 0, 1, (1.7) ∂u ∂u ∂u ∂v ∂v ∂v

  2

  2

  2 ∂ X ∂ f ∂ f n

  3 , ..., .

  = 0, 0, ∂u∂v ∂u∂v ∂u∂v

  Assim, n n n

  2

  2 X

  X X ∂f ∂f ∂f ∂f k k k k g , g , g .

  = 1 + = = 1 +

  11

  12

  22 ∂u ∂u ∂v ∂v k k k

  =3 =3 =3 Usando (1.7), deduzimos que

  2

  2

  2

  2

  2

  2 ∂ X ∂ f ∂ f ∂ X ∂ f ∂ f

  3 n 3 n , ..., , , ..., ,

  = 0, 0, = 0, 0,

  2

  2

  2

  2

  2

  2 ∂u ∂u ∂u ∂v ∂v ∂v

  2

  2

  2 ∂ X ∂ f ∂ f n

  3 , ..., .

  = 0, 0, ∂u∂v ∂u∂v ∂u∂v

  , ..., N Portanto, para um vetor normal arbitr´ario N = (N n ), temos

  1 n n n

  2

  2

  2 X

  X X ∂ f k ∂ f k ∂ f k b = N k , b = N k , b = N k .

  11

  12

  22

  2

  2 ∂u ∂u∂v ∂v

  A equa¸c˜ao (1.6) para superf´ıcies m´ınimas fica na forma ! ! ! ! n n n n

  2

  2

  2 X

  X X

  X ∂f k ∂ f k ∂f k ∂f k ∂ f k 1 + N N k k

  − 2

  2 ∂v ∂u ∂u ∂v ∂u∂v k k k k

  =3 =3 =3 =3 ! ! n n

  2

  2 X

  X ∂f k ∂ f k + 1 + N k = 0.

  2 ∂u ∂v k =3 k =3

  Logo, " ! ! n n n

  2

  2

  2 X

  X X ∂f m ∂ f k ∂f m ∂f m ∂ f k 1 +

  − 2

  2 ∂v ∂u ∂u ∂v ∂u∂v m m k =3 =3 =3

  ! # n

  2

  2 X ∂f ∂ f m k

  • N 1 + k = 0.

  2 ∂u ∂v m

  =3 para todo vetor normal N .

  , ..., N Escolhendo N n arbitr´arios, tais que N k

  3 6= 0 para k ∈ {3, ..., n}, temos

  ! ! ! n n n

  2

  2

  2

  2

  2 X

  X X ∂f ∂ f ∂f ∂f ∂ f ∂f ∂ f m k m m k m k

  1 +

  • 1 + = 0, − 2

  2

  2 ∂v ∂u ∂u ∂v ∂u∂v ∂u ∂v m =3 m =3 m =3 k = 3, ..., n.

  Introduzindo a nota¸c˜ao ∂f ∂f f , ..., f p , q

  (u, v) = (f n ), = =

  3 ∂u ∂v

  2

  2

  2 ∂ f ∂ f ∂ f r = , s = , t = , (1.8)

  2

  2 ∂u ∂u∂v ∂v teremos

  ! !

  2

  2

  2

  2

  2 ∂f ∂ f ∂f ∂f ∂ f ∂f ∂ f k

  , 1 +

  • 1 + = 0, (1.9)

  − 2

  2

  2 ∂v ∂u ∂u ∂v ∂u∂v ∂u ∂v ou

  2

  2 n Essa ´e a equa¸c˜ao de superf´ıcies m´ınimas para superf´ıcies na forma n˜ao-param´etrica em R .

  Com a segunda nota¸c˜ao vetorial utilizada, os coeficientes da primeira forma fundamental ficam na forma

  2

  2 g , g . 11 = 1 + 12 = 22 = 1 + (1.11)

  |p| hp, qi, g |q| Portanto,

  2

  2

  2

  2

  2 = 1 + + + detg ij . (1.12)

  |p| |q| |p| |q| − hp, qi Denotaremos por W a raiz quadrada do determinante da matriz G, isto ´e, W pdet g .

  = ij (1.13) Segundo o resultado abaixo, toda superf´ıcie regular ´e, localmente, solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de superf´ıcies m´ınimas.

  , u , ..., x Proposi¸c˜ ao 1.12. Se S ´e uma superf´ıcie regular dada por X(u ) = (x n ), ent˜ao

  1

  2

  1 existe uma vizinhan¸ca V de cada ponto de S, tal que a superf´ıcie Σ obtida pela restri¸c˜ao de X a V tem uma reparametriza¸c˜ao ˜ Σ na forma n˜ao-param´etrica.

  Prova: ∂ , x

  (x i j ) Seja a um ponto de S. Como S ´e regular, ∃ i , j ; 1 ≤ i ≤ j ≤ n, tais que 6= 0.

  ∂ (u, v)

  Suponha, sem perda de generalidade, i = 1 e j = 2. Pelo Teorema da Aplica¸c˜ao Inversa, existe uma vizinhan¸ca V de a, tal que a aplica¸c˜ao h : (u , u ) , x ) ´e um difeomorfismo.

  1

  2

  1

  2 → (x

  −1

  X A reparametriza¸c˜ao ˜ = X est´a na forma n˜ao-param´etrica e define ˜ Σ.

  ◦ h

1.3 Parˆ ametros isot´ ermicos

  Ao estudarmos propriedades que s˜ao independentes de parˆametros, ´e conveniente es- colher parˆametros de modo que as propriedades geom´etricas da superf´ıcie sejam refletidas no plano. Um exemplo pode ser dado por uma aplica¸c˜ao conforme, de modo que ˆangulos entre curvas na superf´ıcie s˜ao iguais a ˆangulos entre as correspondentes curvas no plano. Analiticamente, essa condi¸c˜ao ´e expressa em termos da primeira forma fundamental por

  2 Os parˆametros u, v satisfazendo essas condi¸c˜oes s˜ao chamados parˆametros isot´ermicos.

  Muitas das express˜oes obtidas na teoria de superf´ıcie simplificam-se consideravelmente quando se refere a parˆametros isot´ermicos. Por exemplo,

  4 det (g ij ) = λ (1.15) e a f´ormula (1.6), para curvatura m´edia, torna-se b (N ) + b (N )

  11

  22 H (N ) = . (1.16)

  2 2λ

  Temos a seguinte f´ormula usual para o Laplaciano do vetor coordenada de uma superf´ıcie arbitr´aria. isot´ermicos. Ent˜ao

  ∆X = 2λH (1.17) onde H ´e o vetor curvatura m´edia.

  Prova: Uma vez que u, v s˜ao parˆametros isot´ermicos, temos ∂X ∂X ∂X ∂X ∂X ∂X

  , , , , = = 0. ∂u ∂u ∂v ∂v ∂u ∂v

  Diferenciando a primeira equa¸c˜ao com respeito a u, e a segunda com respeito a v, obtemos

  2

  2

  2 ∂ X ∂X ∂ X ∂X ∂ X ∂X , , , .

  = = −

  2

  2 ∂u ∂u ∂u∂v ∂v ∂v ∂u

  Assim,

  2

  2 ∂X ∂ X ∂ X ∂X

  , ∆X, + = = 0, para u = u, v.

  2

  2 ∂u ∂u ∂v ∂u

  Por conseguinte, ∆X ´e um vetor perpendicular ao plano tangente a S. Mas se N ´e um vetor normal arbitr´ario de S, temos

  2

  2 ∂ X ∂

  X

  • , N , N h∆X, Ni =

  2

  2 ∂u ∂v

  = b (N ) + b (N )

  11

  22

2 H

  = 2λ (N )

  2 por (1.16).

  O lema a seguir ´e consequˆencia imediata do resultado que acabamos de demonstrar. Lema 1.14. Se X(u, v) define uma superf´ıcie regular S em parˆametros isot´ermicos, ent˜ao S ´e uma superf´ıcie m´ınima se, e somente se, x k (u i , u j ) s˜ao fun¸c˜oes harmˆonicas.

  Assim, superf´ıcies m´ınimas surgem naturalmente em um contexto diferente daquele de minimizar ´area. Desejamos prosseguir ainda mais com a conex˜ao entre superf´ıcies m´ınimas e fun¸c˜oes harmˆonicas.

  Introduzimos a seguinte nota¸c˜ao. Dada uma superf´ıcie X(u i , u j ), consideremos a fun¸c˜ao complexa ∂x ∂x k k

  φ k (ζ) = ; ζ = u + iv. (1.18)

  − i ∂u ∂v

  Notamos as identidades: n n n n

  2

  2 X

  X X

  X ∂x k ∂x k ∂x k ∂x k

  2 φ (ζ) = k − − 2i

  ∂u ∂v ∂u ∂v k k k k

  =1 =1 =1 =1

  2

  2 ∂X ∂X ∂X ∂X

  , =

  − − 2i ∂u ∂v ∂u ∂v

  = g . (1.19)

  11

  22

  12 − g − 2ig n n n

  2

  2 X

  X X ∂x ∂x k k

  2 .

  11

  22 ∂u ∂v k k k

  • k (ζ) = = g + g (1.20) |φ |

  =1 =1 =1 Podemos inferir diretamente as seguintes propriedades das fun¸c˜oes φ k (ζ): (i) φ k (ζ) ´e anal´ıtica em (ζ) k s˜ao harmˆonicas em u, v;

  ⇐⇒ x (ii) u, v s˜ao parˆametros isot´ermicos

  ⇐⇒ n

  X

  2 φ

  (ζ) (1.21) k 6= 0.

  (iii) Se u, v s˜ao parˆamertros isot´ermicos, ent˜ao S ´e regular ⇐⇒ n

  X

  2 k (ζ) (1.22) |φ | 6= 0. k =1

  , u Lema 1.15. Se X(u, v) define uma superf´ıcie regular m´ınima, sendo u i j parˆametros isot´ermicos, ent˜ao as fun¸c˜oes φ k (ζ) definidas por (1.18) s˜ao anal´ıticas e satisfazem as equa¸c˜oes (1.21) e (1.22).

  Os resultados anteriores s˜ao baseados na suposi¸c˜ao que a superf´ıcie pode ser representada localmente em termos de parˆametros isot´ermicos. Contudo, a existˆencia de tais parˆametros

  1

  2 n˜ao ´e ´obvia, e no caso de superf´ıcies C nem sempre ´e verdade. Para superf´ıcies C existe um teorema geral garantindo a existˆencia, mas no caso de superf´ıcies m´ınimas podemos dar uma prova elementar.

  Lema 1.16. Para todo ponto regular de uma superf´ıcie m´ınima S, existe uma vizinhan¸ca em que existe uma reparametriza¸c˜ao de S em termos de parˆametros isot´ermicos.

  Prova: Pela proposi¸c˜ao (1.12), podemos encontrar uma vizinhan¸ca de um ponto regular de S que pode ser representada na forma n˜ao-param´etrica. Temos ent˜ao a equa¸c˜ao

  2 ∂ ∂ 1 + |q| hp, qi

  , =

  ∂u W ∂v W (1.23)

  2 ∂ ∂ hp, qi 1 + |p|

  , =

  ∂u W ∂v W

  2

  2

  2 satisfeita em algum disco (u ) + (v ) < R (Ver Osserman [11]). Essas equa¸c˜oes

  1

  2 − a − a implicam a existˆencia de fun¸c˜oes F (u, v), G(u, v) no disco, satisfazendo

  2 ∂F 1 + ∂F

  |p| hp, qi = , = , (1.24)

  ∂u W ∂u W

  2 ∂G ∂G 1 + hp, qi |q| , .

  = = ∂u W ∂u W

  Sejam

2 W

  • 1 +
  • 1 + |p|
  • 1 +
  • (1 +

  |q|

  2 . Seja A a matriz jacobiana da aplica¸c˜ao (u i , u j )

  1 , ξ

  , u j ) para k = 3, ..., n,. Podemos ent˜ao representar a superf´ıcie em termos de parˆametros ξ

  , u j ) e fun¸c˜oes x x = f k (u i

  2 ) → (u i

  1 , ξ

  > 0. Consequentemente, a transforma¸c˜ao (1.25) tem uma inversa local (ξ

  2

  2 = 2 + 2 +

  1 , ξ

  W

  12 )

  2

  22 − g

  11 g

  2 W

  |p|

  2 W

  → (ξ

  =

  2 ). Ent˜ao, A

  W + 1 + |q|

  2 ,

  |p|

  , ∂u W

  , ∂u hp, qi

  − hp, qi J W

  1 =

  ∂ξ

  , ∂v

  1 =

  2 = 1 + 1 +

  ∂ξ

  Segue que ∂u

       .

  ∂ξ 1 ∂u

  ∂ξ 2 ∂u

  ∂v −

  − ∂ξ 1

  ∂ξ 2 ∂v

      

  |q|

  2 W

  ( hp, qi)

  = hp, qi W

  2 )

  1 , ξ

  ∂ (ξ

  J =

  2 W e

  = 1 + 1 + |q|

  2 ∂v

  , ∂ξ

  2 ∂u

  1 + 1 + |q|

  , ∂ξ

  = hp, qi W

  1 ∂v

  ∂ξ

  2 W ,

  = 1 + 1 + |p|

  1 ∂u

  Assim, ∂ξ

  ∂ (u, v)

  = 1 + 1 + |p|

  2 W − hp, qi

  |q|

  2 −

  W

  2 )

  |q|

  2 )(1 +

  |p|

  2 W

  |p|

  W

  2 W

  2 = 1 + 1 +

  W

  2 W − hp, qi

  2 W 1 + |q|

  2 W

  |p|

  2 W

  |q|

  2 = 1 + 1 +

  • 1 +
  • (g

2 W

  • |p|

1 J

2 J W

  • 1 +
e, portanto, ∂x ∂f ∂u ∂f ∂v k k k

  = + ∂ξ ∂u ∂ξ ∂v ∂ξ

  1

  1

  1

  2 W ∂f ∂f

  • 1 + k k

  |p| hp, qi =

  − J W ∂u J W ∂v

  2 W + 1 + |p| hp, qi

  = p k q k , k = 3, ..., n; −

  J W J W ∂x k ∂f k ∂u ∂f k ∂v

  = + ∂ξ ∂u ∂ξ ∂v ∂ξ

  2

  2

  2

  2 ∂f W ∂f k + 1 + k hp, qi |q|

  = −

  • J W ∂u J W ∂v

  2 W

  • 1 +

  |q| hp, qi q p , k = k k = 3, ..., n.

  − J W J W

  , ξ Com respeito aos parˆametros ξ , temos

  1

  2 ∂x ∂x g ,

  ˜ 11 = ∂ξ ∂ξ

  1

  1 n

  2

  2 X W + 1 + |q| hp, qi p q

  = k k −

  J W J W k

  =1 ! n

  2

  2

  2

  2 X (W + 1 + )

  W + 1 + |q| 2 |q| hp, qi hp, qi

  2

  • = p p k q k q

  k k

  − 2

  2 J W (JW ) J W k =1 n n n

  2

  2

  2

  2 X

  X X (W + 1 + )

  W + 1 + |q| |q| hp, qi hp, qi

  2

  2 p p q q

  =

  • k k k − 2

  k

  2 J W J W

  (JW ) k k k

  =1 =1 =1

  2

  2 (W + 1 + )

  W + 1 + |q| hp, qi

  2 |q| hp, qi

  2 =

  • (1 + ) (1 + ) |p| − 2 |q|

  2 J W (JW ) J W

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2 (W + 1 +

  • ) (1 + ) ) (1 + ) |q| |p| − 2(W + 1 + |q| hp, qi hp, qi |q|

  =

  2 (JW )

  2

  2

  2

  2 (W + 1 + )(W + W + W )

  |q| |p| − W hp, qi =

  2 (JW )

  2

  2

  2 (W + 1 + )(1 + W + )

  |q| |p| − hp, qi =

2 J W

  2

  2

  • 2 + 2W + |p| |q|

  =

  2 J W = ,

  J

  ∂x ∂x ˜ g = ,

  22 ∂ξ ∂ξ

  2

  2 n

  2

  2 X W + 1 + |p| hp, qi q p

  = k k −

  J W J W k

  =1 ! n

  2

  2

  2

  2 X (W + 1 + )

  W + 1 + |p| 2 |p| hp, qi hp, qi

  2

  p = k k k k

  • q q p

  − 2

  2 J W (JW ) J W k =1 n n n

  2

  2

  2

  2 X

  X X (W + 1 + )

  W + 1 + |p| 2 |p| hp, qi hp, qi

  2

  • = q p k q k p

  k − 2 k

  2 J W J W

  (JW ) k =1 k =1 k =1

  2

  2

  2

  2

  2 (W + 1 + )

  W + 1 + |p| |p| hp, qi hp, qi

  2

  2 = (1 + ) (1 + )

  • 2

  |q| − 2 |p|

  J W J W

  (JW )

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2 (W + 1 + ) (1 + + ) ) (1 + )

  |p| |q| − 2(W + 1 + |p| hp, qi hp, qi |p| =

  2 (JW )

  2

  2

  2

  2 (W + 1 + )(W + W + W )

  |p| |q| − W hp, qi =

  2 (JW )

  2

  2

  2 (W + 1 + )(1 + W + )

  |p| |q| − hp, qi =

2 J W

  2

  2

  • 2 + 2W + |q| |p|

  =

  2 J W =

  J

2 J W

  2 )

  2 ) hp, qi

  = hp, qi (JW )

  2 − 2W

  |q|

  2 (1 +

  (JW )

  − (W + 1 +

  |p|

  |p|

  2 )

  |p|

  2 (1 +

  ) hp, qi (JW )

  (W + 1 + |q|

  2 ((W + 1 +

  |q|

  2 )(W + 1 +

  |q|

  2

  2 |q|

  2

  2

  2

  2 )

  2 )(1 +

  (JW )

  −(W + 1 + |p|

  2 )

  |p|

  2 )(1 +

  2 − (W + 1 + |q|

  2 ) + hp, qi

  2 hp, qi −

  (W + 1 + |p| )(W + 1 +

  |q| ) + hp, qi

  =1 W + 1 + |q|

  = n

  − hp, qi J W p k

  2 J W q k

  W + 1 + |p|

  − hp, qi J W q k

  p k

  X k

  (W + 1 + |p|

  2 = n

  ∂x ∂ξ

  1 ,

  ∂ξ

  12 = ∂x

  e ˜ g

  X k =1

  2 )(W + 1 +

  2

  2 p

  2 k =

  2 q

  (JW )

  2 ) hp, qi

  (W + 1 + |p|

  2 k −

  (JW )

  |q|

  2 ) hp, qi

  |q|

  − (W + 1 +

  2 p k q k

  2 (JW )

  2 ) + hp, qi

  2

  • 1 +
  • 2W + W |q|

  |q|

  = hp, qi (JW )

  • W |p|
  • |p|
  • |p|
  • hp, qi

2 W

  2 − 1 − |p|

  2 − |q|

  2 ) = 0.

  2 − W

  2 (W

  = hp, qi (JW )

  2 )

  2

  2 |q|

  2 − |p|

  2 − |p|

  2 − 1 − |q|

  2 (W

  −W |p|

  2 = hp, qi Isto ´e, W g g g

  2 |q|

  2 − |p|

  2 − |p|

  2 − 1 − |q|

  2 − W |q|

  2 |q|

  2 − |p|

  • hp, qi

  (JW )

  ˜ 11 = ˜ 22 = ; ˜ 12 = 0, (1.26) J de modo que ξ e ξ s˜ao parˆametros isot´ermicos.

  1

  2 Corol´ ario 1.17. Se x k (u, v), k = 3, ..., n, define uma superf´ıcie m´ınima na forma n˜ao- param´etrica, ent˜ao f k s˜ao fun¸c˜oes anal´ıticas reais de u, v.

  Concluiremos a se¸c˜ao com o seguinte lema elementar. Lema 1.18. Seja S uma superf´ıcie definida por X(u, v), onde u i , u j s˜ao parˆametros isot´ermicos,

  S u, v u, v u, v u, v u, v s˜ao parˆametros isot´ermicos se, e somente se, a aplica¸c˜ao (u i (˜ ˜ ), v(˜ ˜ )) ´e confome ou anti-conforme.

1.4 Teorema de Bernstein

2 Lema 1.19. Seja E(x , x ) em um dom´ınio convexo D, e suponha que a matriz Hes-

  1

  2 ∈ C siana

  2 ∂ E

  ∂x ∂x i j

  ´e positiva definida. Defina a aplica¸c˜ao ∂E , x , u . (x ) ), onde u i = (1.27)

  1

  2

  1

  2 → (u

  ∂x i Ent˜ao se x e y s˜ao dois pontos distintos de D, e se u, v s˜ao suas respectivas imagens pela aplica¸c˜ao 1.27, os vetores y

  − x e v − u satisfazem a equa¸c˜ao (1.28) hv − u, y − xi > 0. Prova:

  , ty x , x Seja G(t) = E(ty + (1 + (1 + (1 ) = E( ˜ ˜ ), 0

  1

  1

  2

  2

  1

  2 − t)x) = E(ty − t)x − t)x ≤ t ≤ 1.

  Ent˜ao

  2 X ∂E

  ′ G (t) = (ty + (1 i i )

  − t)x)(y − x ∂ x

  ˜ i i

  =1 e

  2

  2 X ∂ E

  ′′ G

  (t) = (ty + (1 (y i i )(y j j ) > 0 − t)x) − x − x

  ∂ x ∂ x ˜ i ˜ j i,j =1 para 0

  ≤ t ≤ 1, uma vez que a matriz Hessiana da aplica¸c˜ao E ´e positiva definida. Assim, P P

  2 ∂E 2 ∂E ′ ′

  G (1) > G (0), ou (y)(y i i ) > (x)(y i i ). Portanto, i − x i − x

  =1 ∂x =1 ∂x

  i i

2 X (v i i )(y i i ) > 0.

  − u − x i

  Lema 1.20. Com as hip´oteses do Lema (1.19), se definimos a aplica¸c˜ao (x , x ) , ξ ), por ξ (x , x ) = x + u (x , x ), (1.29)

  1

  2

  1 2 i

  1 2 i i

  1

  2 → (ξ onde u i (x , x ) ´e definido por 1.27, ent˜ao para quaisquer dois pontos distintos x e y em D,

  1

  2 suas imagens ξ e η satisfazem

  2 . (1.30) hη − ξ, y − xi > |y − x|

  Prova: Temos que η

  − ξ = (y − x) + (v − u). Da´ı, hη − ξ, y − xi = h(y − x) + (v − u), y − xi

  2

  2 > ,

  = hv − u, y − xi + |y − x| |y − x| uma vez que, pelo lema anterior, hv − u, y − xi > 0. Corol´ ario 1.21. Com as mesmas hip´oteses, temos

  (1.31) |η − ξ| > |y − x|. Prova: Pela inequa¸c˜ao de Cauchy- Schwarz, |hη − ξ, y − xi| ≤ |η − ξ||y − x|.

  Usando o lema anterior e a inequa¸c˜ao de Cauchy- Schwarz, teremos

  2 < |y − x| hη − ξ, y − xi ≤ |hη − ξ, y − xi| ≤ |η − ξ||y − x|.

  Portanto, |η − ξ| > |y − x|.

  2

  2

  2 Lema 1.22. Na nota¸c˜ao dos lemas anteriores, se D ´e o disco x +x < R , ent˜ao a aplica¸c˜ao

  1

  2 1.29 ´e um difeomorfismo de D em um dom´ınio ∆ que inclui um disco de raio R sobre ξ(0).

  Prova: A aplica¸c˜ao 1.29 ´e diferenci´avel, uma vez que E(x , x ) . Se x(t) ´e uma curva

  1

  2 ∈ C

  ′ ′ diferenci´avel em D, e ξ(x(t)) sua imagem, ent˜ao segue de (1.31) que (t) (t) |dξ(x(t))x | > |x |.

  ′

  x (t)

  ′ dξ >

  Assim, (x(t)) 1 para x (t) ′ 6= 0. Portanto, a aplica¸c˜ao 3.2 ´e um difeomorfismo local.

  |x (t)| Mostremos que (1.29) ´e injetiva. De fato, caso contr´ario ter´ıamos dois pontos distintos em D

  , x e y, cujas imagens ξ e η seriam iguais. Por (1.31) obtemos que 0 > |y − x|, o que ´e um absurdo. Dessa forma, conclu´ımos que a aplica¸c˜ao 1.29 ´e um difeomorfismo global sobre o dom´ınio ∆. Resta mostrar que ∆ inclui todos os pontos ξ(x(t)) tais que |ξ(x(t)) − ξ(0)| < R.

  Se ∆ for todo plano, n˜ao temos o que fazer. Caso contr´ario, suponhamos que exista um ponto ξ(x(t)) na fronteira de ∆ tal que k ) uma sequˆencia de |ξ(x(t)) − ξ(0)| < R. Sejam (ξ pontos em ∆ que tendem a ξ e (x k ) seus correspondentes pontos em D. Note que a (x k ) n˜ao

  −−−→ R tem nenhum ponto de acumula¸c˜ao em D, uma vez que ξ k

  e, por 6∈ ∆. Assim, |x | k

  →∞ (1.31), temos que k k |ξ − ξ(0)| > |k |. Segue que |ξ − ξ(0)| ≥ R, o que prova o lema.

  2

  2

  2 Lema 1.23. Seja f (x , x ) uma solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de superf´ıcie m´ınima para x + x < R .

  1

  2

  1

  2 , x , ξ

  Ent˜ao usando a nota¸c˜ao (1.8), (1.24), a aplica¸c˜ao (x ) ) definida por (1.25) ´e

  1

  2

  1

  2 → (ξ um difeomorfismo sobre o dom´ınio ∆ que inclui o disco de raio R sobre o ponto ξ(0).

  2

  2

  2 Prova: Segue das equa¸c˜oes (1.24) que existe uma fun¸c˜ao E(x , x ) em x + x < R satis-

  1

  2

  1

  2 fazendo

  ∂E ∂E = F, = G. (1.32)

  ∂x ∂x

  2

  2 2

  ∂ ∂ E (F,G) ∂ E 2 1+|p| 2 Ent˜ao E(x , x ) , e = >

  0. Note que = det = 1. De fato,

  1

  2 ∈ C

  ∂x W ∂ 1 (x ) i j 1 ,x 2 ∂x ∂x

  2 ∂ E ∂

  (F, G) det =

  ∂x ∂x ∂ , x i j (x )

  1

  2 ∂F ∂G ∂F ∂G

  = −

  ∂x ∂x ∂x ∂x

  1

  2

  2

  1

  2

  2

  2 1 + |p| 1 + |q| hp, qi

  = −

  W W W

  2

  2

  2

  2

  2 1 + + +

  |p| |q| |q| |q| − hp, qi =

  2 W 2 2 = 1.

  ∂ E ∂ E 2 Como > 0 e det = 1 obtemos que a fun¸c˜ao E(x , x ) tem uma matriz Hessiana

  1

  2 ∂x ∂x ∂x 1 i j positiva definida e podemos apelar para os Lema (1.19) e (1.22). Por (1.32), a aplica¸c˜ao (1.25) ´e justamente a aplica¸c˜ao (1.22) aplicado a essa fun¸c˜ao. Portanto o lema 1.23 segue imediatamente do Lema (1.22).

  1 , x

  Lema 1.24. Seja f (x ) uma fun¸c˜ao real em um dom´ınio D. A superf´ıcie S : x =

  1

  2

  3 ∈ C f , x

  (x

  1 2 ) est´a em um plano se, e somente se, existe uma transforma¸c˜ao linear n˜ao-singular (u , u ) , x ) tal que u , u s˜ao parˆametros isot´ermicos em S.

  1

  2

  1

  2

  1

  2 → (x

  Prova: Suponha que existam tais parˆametros u, v. Introduza as fun¸c˜oes φ k (ζ) por (1.18), k = 1, 2, 3. Por hip´otese, (x , x ) s˜ao fun¸c˜oes lineares de u , u e, por conseguinte, φ e φ s˜ao

  1

  2

  1

  2

  1

  2 constantes. Uma vez que u , u s˜ao parˆametros isot´ermicos temos que

  1

  2

  3 X

  2 φ

  (ζ) k ≡ 0. k

  =1 Da´ı,

  2 X φ φ

  3 (ζ) = k (ζ) − k

  =1 ∂x 3 ∂x 3

  e, portanto, φ 3 tamb´em ´e constante. Visto que φ 3 = , conclu´ımos que x 3 tem − i

  ∂u ∂u

  ∂x ∂f ∂x ∂f ∂x

  3

  1

  2

  • = ∂u ∂x ∂u ∂x ∂u

  1

  2 ∂f ∂f

  = a i + b i , ∂x ∂x

  1

  2 , x , x implicando que f tem gradiente constante com respeito a x . Portanto, f (x ) =

  1

  2

  1

  2 Ax 1 + Bx 2 + C. Reciprocamente, se f ´e dessa forma, ´e f´acil obter uma transforma¸c˜ao linear expl´ıcita produzindo coordenadas isot´ermicas; por exemplo, x = λAu + Bv, x = λBu

  1

  2 − Av,

  1

  2 2 2 . onde λ = Temos,

  1+A +B ∂x ∂x

  1

  1 φ

  (ζ) =

  1 − i

  ∂u ∂v = λA

  − iB, ∂x ∂x

  2

  2 φ (ζ) =

  2 − i

  ∂u ∂v = λB

  − iA, e ∂f ∂x ∂f ∂x

  1

  2 φ

  (ζ) = +

  3 ∂x ∂u ∂x ∂u

  1

  2

  2

  2 = λ(A + B ).

  Assim,

  3 X

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2 φ

  (ζ) = λ (A + B ) + B ) + λ (A + B ) k

  − (A k

  =1

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2 = λ (A + B )(1 + A + B ) + B )

  − (A = 0, ∀ζ ∈ C.

  Segue que u, v s˜ao parˆametros isot´ermicos. Teorema 1.25 (Osserman). Seja f (x , x ) uma solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de superf´ıcie m´ınima no

  1

  2 , x plano x . Ent˜ao existe uma transforma¸c˜ao linear n˜ao-singular

  1

  2 x

  1 = u

  , x tal que (u, v) s˜ao parˆametros isot´ermicos (globais) para superf´ıcie definida por x k = f k (x ), k =

  1

  2 3, ..., n.

  Prova: Introduzimos a aplica¸c˜ao (1.25), que agora definimos em todo plano x , x . Segue do

  1

  2 Lema (1.23) que essa aplica¸c˜ao ´e um difeomorfismo do plano x , x no plano ξ , ξ . Sabemos

  1

  2

  1

  2 , ξ de (1.26) que (ξ ) s˜ao parˆametros isot´ermicos sobre a superf´ıcie S definida por x k =

  1

  2 f (x , x ) , k = 3, ..., n. Pelo lema (1.15), as fun¸c˜oes k

  1

  2 ∂x ∂x k k

  φ , k k (ζ) = = 1, ..., n

  − i ∂ξ ∂ξ

  1

  2 s˜ao fun¸c˜oes anal´ıticas de ζ. Note que

  ∂x ∂x ∂x ∂x

  1

  1

  2

  2 ¯

  φ φ =

  1

  2 − i − i

  1

  2

  1

  2 ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2 .

  = − i −

  • ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ

  1

  1

  2

  2

  1

  2

  2

  1 Sendo assim, temos ∂ (x , x )

  1

  2 Im φ φ

  1

  2 { ¯ } = −

  ∂ , ξ 1 2

  1 2 ) ∂ (x ,x )

  > e uma vez que 0, deduzimos primeiro que φ

  1

  2 ∂ 1 ,ξ 2 6= 0 e φ 6= 0, ∀ ζ ∈ C, e depois que

  (ξ ) ¯

  φ φ φ

  1

  2

  2

  1 ¯

  Im Im φ = Im = φ < 0.

  2

  1

  2 ¯

  φ φ φ

  1

  1

  1

  1 2 |φ | φ

  Temos uma fun¸c˜ao anal´ıtica, , cuja parte imagin´aria ´e negativa. Pelo teorema de Picard, φ 1

  φ 2 ´e uma fun¸c˜ao constante. Segue que existe c = a

  − ib, b>0, tal que φ 1

  φ c = cφ ; = a (1.34)

  2

  1 − ib e b>0.

  Isto ´e, ∂x ∂x ∂x ∂x

  2

  2

  1

  1 = (a

  − i − ib) − i ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ

  1

  2

  1

  2 ∂x ∂x ∂x ∂x

  1

  1

  1

  1 b .

  = a + a − b − i

  ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ

  1

  2

  1

  2 Logo, ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x

  2

  1

  1

  2

  1

  1 e . Pela aplica¸c˜ao (1.33), temos ∂x ∂u ∂v ∂x ∂u ∂v

  2

  2 e .

  = a + b = a + b ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ

  1

  1

  1

  2

  2

  2 Comparando essas equa¸c˜oes com as equa¸c˜oes em (1.35), obtemos ∂u ∂v ∂u ∂v e

  = = ; −

  ∂ξ ∂ξ ∂ξ ∂ξ

  1

  2

  2

  1 implicando que u + iv ´e uma fun¸c˜ao holomorfa de ξ + iξ . Mas isso significa, pelo lema

  1

  2 , u (1.18), que (u ) s˜ao tamb´em parˆametros isot´ermicos, provando assim o teorema.

  1

2 Corol´ ario 1.26 (Bernstein). No caso onde n = 3, se f ´e uma solu¸c˜ao da equa¸c˜ao de su- perf´ıcie m´ınima em todo x , x -plano , ent˜ao f ´e uma fun¸c˜ao linear de x , x .

  1

  2

  1

  2 Prova: Pelo teorema de Osserman, existe uma transforma¸c˜ao linear n˜ao-singular tal que u , u

  , x

  1 2 s˜ao parˆametros isot´ermicos para a superf´ıcie definida por x 3 = f 3 (x

  1 2 ). Aplicando o Lema (1.24), obtemos que f ´e uma fun¸c˜ao linear de x , x .

  1

  2

  Cap´ıtulo 2

  4 Resultado tipo Bernstein em R

  Neste cap´ıtulo veremos uma caracteriza¸c˜ao de uma curva anal´ıtica complexa por meio do Jacobiano. Como corol´ario, obtemos um resultado tipo Bernstein para fun¸c˜oes suaves,

  2

  2 f : R , impondo a condi¸c˜ao de limita¸c˜ao para o Jacobiano de tais fun¸c˜oes.

  −→ R

  2.1 No¸c˜ oes b´ asicas

  n Uma superf´ıcie S num espa¸co euclidiano R ´e representada, localmente, por uma n

  2 transforma¸c˜ao X : D de posto 2, dada por

  ⊂ R −→ R

  X (x, y) = (f (x, y) , f (x, y) , ..., f n (x, y)) , (x, y)

  1

  2 ∈ D,

  2 onde D ´e um subconjunto aberto de R e f i : D −→ R, i ∈ {1, ..., n}, s˜ao fun¸c˜oes suaves. n

  Denotaremos por e por E, F , G os coeficientes da

  h, i o produto interno euclidiano em R primeira forma fundamental, que s˜ao dados por n n n

  2

  2 X

  X X ∂f ∂f ∂f ∂f i i i i E , F , G .

  = = = ∂x ∂x ∂y ∂y i i i

  =1 =1 =1 Os parˆametros (x, y) s˜ao chamados isot´ermicos se, e somente se, E = G e F = 0, ∀ (x, y) ∈ D. n

  Considere a base local ortonormal , e , ξ , ..., ξ n tal que, restrita a S, os vetores

  1

  2

  3 {e } em R e

  , ..., ξ , e s˜ao tangentes a S e, consequentemente, ξ n s˜ao normais a S. Denotaremos por

  1

  2

  3 ∇ n a usual conex˜ao linear em R e

  α h = e ξ α , e j ij i h∇ i, i, j ∈ {1, 2}, α ∈ {3, ..., n},

  s˜ao os coeficientes da segunda forma fundamental. O vetor curvatura m´edia H e a curvatura Gaussiana K de S s˜ao dados, respectivamente, por n

  X

  1 α α

  H , = (h + h ) ξ α

  11

  22

  2 α =3 n

  X α α α

  2 K h h = ) .

  11 22 − (h

  12 α

  =3 Al´em disso, se n n

  X X

  2 α

  2 h

  = |h| ij i,j =1 α =3

  ´e o quadrado do comprimento da segunda forma fundamental h, ent˜ao a equa¸c˜ao de Gauss implica

  2

  2 2K = 4H .

  − |h| No caso onde S ´e m´ınima, isto ´e, H = 0, teremos n

  X

  2

  2 α α

  K = ) + (h ) (2.1) − {(h

  11 12 }, α

  =3

  2

  2K = . (2.2) −|h|

  4 Outro invariante que desempenha um papel importante na teoria de superf´ıcie em R ´e a curvatura Normal K N de S que ´e dada por

  2 X

  3

  4

  3

  4 K h h h . N =

  − h 1i 2i 2i 1i i

  =1 Em particular, para superf´ıcies m´ınimas temos

  3

  4

  3

  4 K N = 2 h h h . (2.3)

  11 12 − h

  12

  11 O gr´afico G f de f ´e m´ınimo se, e somente se, satisfaz a seguinte equa¸c˜ao,

  2

  2 1 + y f xx x , f y xy + 1 + x f yy = 0. (2.4)

  |f | − 2hf if |f | Essa ´e a cl´assica equa¸c˜ao n˜ao param´etrica de uma superf´ıcie m´ınima, como vimos no cap´ıtulo

  4

2.2 Gr´ aficos m´ınimos em R

  2

  2

  4 Seja f : R uma fun¸c˜ao suave cujo gr´afico ´e uma superf´ıcie m´ınima em R .

  −→ R Tendo em vista uma obten¸c˜ao de um resultado tipo Bernstein, surge a seguinte quest˜ao: o

  4 gr´afico de f ´e um plano em R ? Em geral, a resposta ´e negativa. Um contra-exemplo simples

  2

  2 ´e dado pela fun¸c˜ao f (x, y) = (x , 2xy). De fato, note que (0, 0, 0, 0, p = (1, 0, 1, 0) e

  − y

  2

  2

  2 q ,

  = (0, 1, f = 2xy); (x, y) −1, 0) ∈ G {(x, y, x − y ∈ R }, e no entanto, p + q = (1, 1, 0, 0) n˜ao pertence a G f . Mostremos que G f ´e uma superf´ıcie m´ınima. Pela express˜ao de f , temos f x = (2x, 2y), f xx = (2, 0), f xy = (0, 2), f y = (

  −2y, 2x),

  2

  2

  2

  2 f e , f yy = ( y = x = 4(x + y ) x y −2, 0), |f | |f | hf i = 0.

  Assim, a equa¸c˜ao de superf´ıcie m´ınima fica na forma

  2

  2

  2

  2 1 + y f xx x , f y xy + 1 + x f yy = (1 + 4(x + y ))(2

  |f | − 2hf if |f | − 2, 0) = (0, 0),

  4 . isto ´e, o gr´afico de f ´e uma superf´ıcie m´ınima em R

  4 Existe uma infinidade de gr´aficos m´ınimos em R que n˜ao s˜ao planos, os chamados curvas anal´ıticas complexas. O gr´afico de uma fun¸c˜ao holomorfa ou anti-holomorfa ´e uma superf´ıcie m´ınima, como ser´a mostrado logo abaixo, e ´e chamado de curva anal´ıtica complexa.

  Proposi¸c˜ ao 2.1. O gr´afico de uma fun¸c˜ao holomorfa ou anti-holomorfa , ϕ : C −→ C, ´e uma superf´ıcie m´ınima.

  Prova: Seja ϕ : C −→ C uma fun¸c˜ao holomorfa com ϕ (x, y) = (f(x, y), g(x, y)). Como f

  ´e holomorfa, as fun¸c˜oes f e g s˜ao harmˆonicas e satisfazem as equa¸c˜oes de Cauchy-Riemann, isto ´e, f x = g y e f y = x . Assim, −g

  2

  2 , , ϕ . x = y x y xx = yy

  |ϕ | |ϕ | hϕ i = 0 e ϕ −ϕ Portanto,

  2

  2

  2 1 + y ϕ xx x , ϕ y xy + 1 + x ϕ yy = 1 + y (ϕ xx + ϕ yy ) = 0,

  |ϕ | − 2hϕ iϕ |ϕ | |ϕ |

  4 e o gr´afico de ϕ ´e uma superf´ıcie m´ınima em R .

  4 N˜ao ´e verdade que gr´aficos m´ınimos em R s˜ao apenas planos ou curvas anal´ıticas com-

  4 plexas. De fato, Osserman [11] construiu exemplos de gr´aficos m´ınimos em R que n˜ao s˜ao

  2

  2 planos e nem curvas anal´ıticas complexas. Por exemplo, o gr´afico da aplica¸c˜ao f : R ,

  −→ R dada por y y

  1 x

  −x f cos , .

  (x, y) = (e ) − 3e −sen

  2

  2

  2

  1 2x

  −2x ´

  E interessante notar que a imagem do Jacobiano de f que ´e dado por J f = (e ), − − 9e

  8 assume todos os valores reais.

2.3 Resultado principal

  2

  2

  2 Seja f : R , f (x, y) = (f (x, y), f (x, y)) , (x, y) uma solu¸c˜ao inteira

  1

  2 −→ R ∈ R

  4 da equa¸c˜ao de superf´ıcie m´ınima. Ent˜ao, o gr´afico de f ´e uma superf´ıcie m´ınima em R .

  Em virtude do teorema de Osserman (ver Teorema 1.25), podemos introduzir parˆametros isot´ermicos globais (u, v), via uma transforma¸c˜ao n˜ao singular x = u, y = au + bv, onde a

  , b s˜ao constantes reais com b > 0. Agora, a superf´ıcie m´ınima G f ´e parametrizada via a aplica¸c˜ao X (u, v) = (u, au + bv, ϕ(u, v), ψ(u, v)) , onde ϕ(u, v) := f (u, au + bv) e ψ(u, v) := f (u, au + bv). Uma vez que (u, v) s˜ao parˆametros

  1

  2 isot´ermicos, os vetores

  X , ψ , ψ u = (1, a, ϕ u u ) , X v = (0, b, ϕ v v ) (2.5) s˜ao ortogonais e de mesmo comprimento. Portanto,

  ϕ ϕ ψ u v + ψ u v =

  −ab

  2

  2

  2

  2

  2

  2 E .

  = 1 + a + ϕ + ψ = b + ϕ + ψ (2.6) u u v v

  Al´em disso, sendo G f uma superf´ıcie m´ınima, garantimos que as fun¸c˜oes ϕ e ψ s˜ao harmˆonicas, isto ´e,

  • ϕ
  • ψ
  • ϕ
  • ψ
  • ϕ
  • ψ
  • a
  • a
  • a
  • b
  • ϕ
  • b
  • ϕ
  • ψ
  • ϕ
  • ψ
  • a
  • (aϕ v
  • 2abϕ u
  • 2abψ u
  • (ϕ v
  • 2ϕ u
  • ϕ
  • ψ
  • a
  • (aϕ v
  • 2ab(ϕ u ϕ v + ψ u ψ v ) + (aψ v

  • (ϕ u
  • (ϕ u

  • ϕ
  • ψ
  • a
  • (aϕ v
  • (aψ v
  • a
  • (ϕ u ψ v
  • ϕ
  • ψ
  • (aϕ v
  • (aψ v
  • (ϕ u
  • a
  • (ϕ u
  • ψ
  • b
  • ψ
  • ψ
  • a
  • ψ
  • b
  • ψ
  • (ϕ u ψ v
  • a
  • a
  • ψ
  • b
  • ψ
  • ϕ
  • ψ
  • b
  • ϕ
  • ψ
  • (ϕ u ψ v

  2 ϕ

  − ϕ v

  ψ u

  )

  2 = E + 2a

  2 b

  2

  2 ϕ

  2 v

  2 v

  2 u

  ) + (ϕ u

  2 u

  − ϕ v ψ u )

  2 = E + a

  2 b

  2

  2 ϕ

  2 v

  2 v

  2 b

  ψ v

  u ψ v

  2 = E + a

  2 u

  2 ϕ

  2 v − 2abϕ u

  ϕ v + b

  2 ϕ

  2 u

  2 ψ

  2 v − 2abψ u

  ψ v + b

  2 ϕ

  ψ v

  2

  − ϕ v

  ψ u )

  2 = E + a

  2 ϕ

  2 v

  2 v

  2 ϕ

  2 u

  2 u − 2ab (ϕ u

  ϕ v

  2 u

  2 ϕ

   

  2 .

  (2.7) Definamos a aplica¸c˜ao Φ(u, v) = (ϕ(u, v), ψ(u, v)). Assim,

  ∂ (ϕ, ψ) ∂

  (u, v) =

   

  ∂ϕ ∂u

  ∂ϕ ∂v

  ∂ψ ∂u

  ∂ψ ∂v

  =  

  − ϕ v

  ∂f 1 ∂x

  ∂f 1 ∂y

  ∂f 2 ∂x

  ∂f 2 ∂y

   

    1 0 a b

    .

  Logo, J

  Φ = bJ f ,

  ψ u )

  ψ v

  2 u

  2

  u ψ v

  − ϕ v

  ψ u )

  2 = E + a

  2 b

  2

  2 v

  2 v

  2 a

  2 u

  2

  2 u

  − ϕ v ψ u )

  2 = E + a

  2 (E

  − 1) + (ϕ u ψ v

  − ϕ v ψ u )

  2 = E 1 + a

  2

  2 − b

  Ou equivalentemente, E

  ψ u )

  2 .

  − bϕ u )

  2 v ψ

  2 u

  2 u ψ

  2 v = b

  2

  2 v

  2 v

  2 b

  2

  2

  2 ψ

  ϕ v + (aψ v

  − bψ u )

  2

  ψ v

  ϕ v + ψ u

  ψ v )

  2 − 2ϕ u

  ϕ v

  ψ u

  2 u

  2 v

  − ϕ v

  2

  Apelando para a Identidade de Lagrange e tendo em conta a rela¸c˜ao (2.6) , obtemos E

  2 = (1 + a

  2

  2 u

  2 u )(b

  2

  2 v

  2 v )

  = b

  2 v

  2 u ψ

  2 v

  2 b

  2

  2 ϕ

  2 v

  2 ψ

  2 v

  2 ϕ

  2 u

  ψ v + (ϕ u

  ψ v

  − ϕ v

  2

  2 b

  2

  − bϕ u )

  2 − 2a

  2 b

  2

  − bψ u )

  2

  2 b

  − ϕ v ψ u )

  ψ u )

  2 = b

  2

  2 v

  2 v

  − bϕ u )

  2

  − bψ u )

  2

  ψ v

  2 v

  2 v

  2

  2 = b

  2

  ϕ v

  ψ u

  ψ v

  = b

  2

  2 v

  2 v

  2 b

  2

  − bϕ u )

  2

  − bψ u )

  2

  ϕ v + ψ u

  ψ v )

  2

  ψ v

  − ϕ v

  ψ u )

2 E + b

  • b
  • (ϕ u
onde J f , J s˜ao os Jacobianos de f e Φ, respectivamente. Assim (2.7) torna-se Φ

  2

  2

  2

  2

  2 J , = E + b )E + b (2.8)

  Φ − (1 + a que ser´a uma identidade muito ´ util para n´os.

  2

2 Teorema 2.2. Seja f : R uma fun¸c˜ao inteira, tal que o gr´afico G f de f ´e uma

  → R

  4 superf´ıcie m´ınima em R . Assuma que G f n˜ao ´e um plano. Ent˜ao, o gr´afico de f ´e uma

  2 curva anal´ıtica complexa se, e somente se, J f (R ) R. Em particular, se G f ´e uma curva

  2

  2 anal´ıtica complexa, ent˜ao J f (R ) = [0, + f (R ) = (0, +

  ∞) ou J ∞) se f ´e holomorfa, ou

  2

2 J f (R ) = ( f (R ) = ( −∞, 0) ou J −∞, 0] se f ´e anti-holomorfa.

  Prova: Em virtude do Teorema (1.25), podemos introduzir parˆametros isot´ermicos globais com b > 0. Agora, a superf´ıcie m´ınima G f ´e parametrizada via a aplica¸c˜ao X (u, v) = (u, au + bv, ϕ(u, v), ψ(u, v)) , onde ϕ(u, v) := f (u, au + bv) e ψ(u, v) := f (u, au + bv).

  1

  2 Definamos a aplica¸c˜ao Φ(u, v) = (ϕ(u, v), ψ(u, v)). Pela observa¸c˜ao acima, temos J .

  Φ = bJ f Uma vez que (u, v) s˜ao parˆametros isot´ermicos e G f ´e uma superf´ıcie m´ınima, segue que as fun¸c˜oes ϕ e ψ s˜ao harmˆonicas, isto ´e, x , uu + x vv = 0 = y uu + y vv ϕ . uu + ϕ vv = 0 = ψ uu + ψ vv

  Ent˜ao, as fun¸c˜oes complexas φ k : U ⊆ C −→ C, k = 1, 2, 3, 4, dadas por

   

  φ φ a = 1, =

  1

  2 − bi

  (2.9) 

  φ = ϕ , φ = ψ 3 u v 4 u v

  − iϕ − iψ s˜ao holomorfas e satisfazem

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2 φ + φ + φ + φ = 1 + a u ϕ v i + ψ u ψ v i

  1

  2

  3 4 − b − 2abi + ϕ u − ϕ v − 2ϕ u − ψ v − 2ψ

  2

  2

  2

  2

  2

  2 ϕ ψ

  = 1 + a + ϕ + ψ + b + ϕ + ψ u v + ψ u v ) i u u v v

  − 2 (ab + ϕ i = g 11 + g

  22

  12 − 2g Assuma que o gr´afico G f de f ´e uma superf´ıcie m´ınima que n˜ao ´e um plano, e suponha que J f n˜ao tome todos os valores reais. Em virtude de (2.10), podemos escrever

  2

  2 (φ ) (φ + iφ ) = φ + φ

  3

  4

  3

  4 − iφ

  3

  4

  2

  2 = + φ

  − φ

  1

  2

  2 =

  − 1 + (a − bi) = (2.11) −d.

  Afirmamos que d = 0. Assuma o oposto, isto ´e, que d ),

  3

  4 6= 0. Sendo assim, as fun¸c˜oes (φ − iφ

  (φ 3 + iφ 4 ) s˜ao fun¸c˜oes inteiras holomorfas n˜ao identicamente nulas. Defina a fun¸c˜ao complexa h : C −→ C por h

  = (φ ) . (2.12)

  3

  4 − iφ

  Ressaltamos que h ´e holomorfa, n˜ao constante e n˜ao identicamente nula. Combinando (2.10) com (2.12), obtemos (φ

  3 4 ) + (φ 3 + iφ 4 ) − iφ

  φ =

  3

  2 1 d = h ,

  − 2 h e

  (φ ) + iφ )

  3

  4

  3

  4 − iφ − (φ

  φ 4 =

  2 i d h . = + 2 h

  ¯ φ calculando a parte imagin´aria de φ

  3 4 , temos ¯

  Im (φ φ ) = Im((ϕ u v )(ψ u + iψ v ))

  3

  4 − iϕ

  ψ ψ ψ ψ = Im(ϕ u u + ϕ v v + i(ϕ u v v u ))

  − ϕ ψ ψ

  = ϕ u v v u − ϕ = J .

  Φ Por outro lado, de (2.11) obtemos

  ¯ i dh d ¯

  φ φ h = ¯h +

  3

  4 − −

  2 h

  4 |h|

  2 ¯ i dh d¯ h d ¯ dh

  • = h¯ h − − −

  2

  2 4 h h

  |h| |h|

  2

  2 ¯ i dh d¯ h

  |d|

  2 = + ,

  − |h| − −

  2

  2 h

  4 |h| |h| e

  ¯ i d dh ¯

  = + φ φ h

  3

  4 ¯h −

  2 4 h

  |h|

  2 ¯ i dh d¯ h d ¯ dh

  = + h¯ h − −

  2

  2 h h

  4 |h| |h|

  2

  2 ¯ i dh d¯ h

  |d|

  2 .

  = |h| − −

  • 2

  2 h

  4 |h| |h|

  Portanto, −i

  ¯ ¯ Im (φ φ ) = φ φ φ φ

  3

  4

  3

  4

  3

  4 − ¯

  2

  2

  2

  2

  2

  2 ¯ ¯ i dh d¯ h dh d¯ h

  |d| |d|

  2

  2 = + + +

  |h| − − |h| − −

  2

  2

  2

  2 h h

  8 |h| |h| |h| |h|

  2

  1 2 |d|

  =

  2 − |h| − 2

  2

  8 |h|

  2

  1 2 |d| + = .

  −|h|

  2

  4 |h|

  Assim, tendo em vista a rela¸c˜ao J = bJ f , temos que Φ

  J Φ

  J f = b

  1 ¯

  Im φ = (φ )

  3

  4 b

  2

  1 |d|

  2 .

  = −|h|

  • 2

  4b |h|

  Uma vez que h ´e uma fun¸c˜ao inteira e n˜ao constante, pelo teorema de Picard, existem sequˆencias n n e n n de n´ umeros complexos tais que n ) n ) {z } ∈N {w } ∈N |h(z | → ∞ e |h(w | → 0.

  2 Consequentemente, J f (z n ) f (w n ) (R ) = R, contradizendo a Φ

  → −∞ e J → ∞. Assim, J nossa suposi¸c˜ao. Portanto, d = 0, a = 0, b = 1 e, consequentemente x e y s˜ao parˆametros isot´ermicos. Al´em disso, de (2.11) obtemos que φ = , ou equivalentemente,

  3

  4 ±iφ

  ∂f ∂f ∂f ∂f

  1

  1

  2

  2 .

  = (2.13) De (2.13) deduzimos que f = f + if ´e holomorfa ou anti-holomorfa. Por conseguinte, G f ´e

  1

  2 uma curva anal´ıtica complexa.

  Reciprocamente, assuma que G f ´e uma curva anal´ıtica complexa que n˜ao ´e o plano. Assim, a fun¸c˜ao complexa f = f +if ´e holomorfa ou anti-holomorfa. Ent˜ao, para z = x+iy,

  1

  2 teremos

  ∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂x ∂f ∂y

  1

  1

  2

  2

  • f z = + i ∂x ∂z ∂y ∂z ∂x ∂z ∂y ∂z 1 ∂f ∂f

  1 ∂f ∂f

  1

  1

  1

  1

  2

  2

  • = + + i 2 ∂x 2i ∂y

  2 ∂x 2i ∂y ∂f ∂f i ∂f ∂f

  1

  1

  2

  2

  1 = + +

  − ∂x ∂y ∂x ∂y

  2

  2 e ∂f ∂x ∂f ∂y ∂f ∂x ∂f ∂y

  1

  1

  2

  2 f

  • = + z + i

  ¯ ∂x ∂ z ¯ ∂y ∂ ¯ z ∂x ∂ z ¯ ∂y ∂ z ¯ 1 ∂f

  1 ∂f 1 ∂f 1 ∂f

  1

  1

  2

  2 = + i

  − − ∂x ∂y ∂x ∂y 2 2i

  2 2i 1 ∂f ∂f i ∂f ∂f

  1

  2

  1

  2 + + = .

  − 2 ∂x ∂y 2 ∂y ∂x

  Note que (

  )

  2

  2

  2

  2 ∂f ∂f ∂f ∂f 1 ∂f ∂f ∂f ∂f

  1

  2

  2

  1

  1

  2

  1

  2

  2

  2

  • = +
  • z z

  ¯ |f | | − |f − − − − 4 ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y ∂x ∂y

  ∂f ∂f ∂f ∂f

  1

  2

  1

  2 = .

  − ∂x ∂y ∂y ∂x

  Isto ´e,

  2

  2 J . f = z z ¯ (2.14)

  |f | − |f | Consequentemente, J f f

  ≥ 0 se f ´e holomorfa e J ≤ 0 se f ´e anti-holomorfa. Em ambos os casos, J f n˜ao assume todos os valores reais. Se f ´e uma fun¸c˜ao holomorfa, ent˜ao

  2 Como o gr´afico G f de f ´e uma superf´ıcie m´ınima, via parˆametros isot´ermicos, as fun¸c˜oes f

  1 e f 2 s˜ao harmˆonicas. Assim,

  2

  2

  2

  2 ∂ ∂f ∂f ∂ f ∂ f ∂ f ∂ f ∂ ∂f ∂f

  1

  2

  1

  2

  2

  1

  2

  1 ,

  = = = + + − −

  2

  2 ∂x ∂x ∂y ∂x ∂x∂y ∂x∂y ∂y ∂y ∂x ∂y

  2

  2

  2

  2 ∂ ∂f ∂f ∂ f ∂ f ∂ f ∂ f ∂ ∂f ∂f

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  2

  1

  • = = + = .

  − − −

  2

  2 ∂y ∂x ∂y ∂x∂y ∂y ∂x∂y ∂x ∂x ∂x ∂y

  Isto ´e, as partes real e imagin´aria de f z satisfazem as equa¸c˜oes de Cauchy-Riemann e, portanto, f ´e holomorfa. Al´em disso, f n˜ao ´e constante, pois, caso contr´ario f ´e afim e z z

  G f ´e um plano. Pelo teorema de Picard, f z (C) = C ou f z (C) = C − {a}. Dessa forma, ou

  2

  2 J f (R ) = [0, + f (R ) = (0, + ∞) ou J ∞).

  Se f ´e uma fun¸c˜ao anti-holomorfa, ent˜ao

  2 J = f z ¯ −|f | e f z ´e uma fun¸c˜ao anti-holomorfa. De fato,

  ¯

  2

  2

  2

  2 ∂ ∂f ∂f ∂ f ∂ f ∂ f ∂ f ∂ ∂f ∂f

  1

  2

  1

  2

  2

  1

  2

  1 ,

  • = = =

  − − − − −

  2

  2 ∂x ∂x ∂y ∂x ∂x∂y ∂x∂y ∂y ∂y ∂x ∂y

  2

  2

  2

  2 ∂ ∂f ∂f ∂ f ∂ f ∂ f ∂ f ∂ ∂f ∂f

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  2

  1

  = = = − −

  • .
  • 2

  2 ∂y ∂x ∂y ∂x∂y ∂y ∂x∂y ∂x ∂x ∂x ∂y

  Dessa forma, a fun¸c˜ao ¯ f z ´e holomorfa. Novamente pelo teorema de Picard obtemos que ¯

  ¯ f f z (C) = C ou ¯ z (C) = C ¯ ¯

  − {a}. Como

  2

  2 J f , f = z = z ¯ ¯

  −|f | −| ¯ |

  2

  2

2.4 Aplica¸c˜ oes

  Nesta se¸c˜ao, obteremos alguns conhecidos teoremas tipo Bernstein para fun¸c˜oes in-

  2

  2 teiras f : R usando o m´etodo desenvolvido aqui. O seguinte resultado foi obtido

  → R primeiramente por Simon [14].

  2

  2 , f

  Corol´ ario 2.3. Seja f : R , f = (f ) uma solu¸c˜ao inteira da equa¸c˜ao de superf´ıcie

  1

  2 → R m´ınima, tal que f

  1 ou f 2 tem gradiente limitado. Ent˜ao f ´e uma fun¸c˜ao afim.

  Prova: Sem perda de generalidade, assumiremos que f 1 tem gradiente limitado. Em vir- tude do Teorema (1.25), podemos introduzir parˆametros isot´ermicos globais (u, v), via uma transforma¸c˜ao n˜ao singular x = u, y = au + bv, onde a, b s˜ao constantes reais com b > 0. Agora, a superf´ıcie m´ınima G f ´e parametrizada via a aplica¸c˜ao

  X (u, v) = (u, au + bv, ϕ(u, v), ψ(u, v)) , onde ϕ(u, v) := f (u, au + bv) e ψ(u, v) := f (u, au + bv).

  1

  2 Uma vez que (u, v) s˜ao parˆametros isot´ermicos, ϕ e ψ s˜ao fun¸c˜oes harmˆonicas. Al´em disso, as fun¸c˜oes Φ k : C

  → C, k = 1, 2, 3, 4, dadas pelo sistema (2.9) s˜ao holomorfas e satisfazem a equa¸c˜ao (2.10). Observe que ∂ϕ ∂f ∂f ∂ϕ ∂f

  1

  1

  1 e .

  = + a = b ∂u ∂x ∂y ∂v ∂y

  Visto que f tem gradiente limitado, obtemos que ϕ tamb´em tem gradiente limitado. Note

  1 que as fun¸c˜oes ϕ u e ϕ v s˜ao fun¸c˜oes harmˆonicas, j´a que ϕ ´e uma fun¸c˜ao harmˆonica. De fato, ϕ uuu + ϕ uvv = vvu + ϕ uvv = 0 e ϕ vuu + ϕ vvv = ϕ vuu uuv = 0.

  −ϕ − ϕ Temos ent˜ao que ϕ u e ϕ v s˜ao fun¸c˜oes harmˆonicas e limitadas, visto que o gradiente de ϕ ´e limitado. Pelo teorema de Liouville, tem-se que as fun¸c˜oes ϕ u e ϕ v s˜ao constantes. Por isso, φ ´e uma fun¸c˜ao constante. Em virtude de (2.10), obtemos que φ tamb´em ´e constante.

  3

  4 Portanto, G f ´e um plano e f ´e uma fun¸c˜ao afim.

  4 Uma classe interessante de superf´ıcies m´ınimas em R pode ser obtida considerando

  2 gr´aficos de aplica¸c˜oes da forma f = grad u , onde u : U

  ⊂ R → R ´e uma fun¸c˜ao su- somente se, a fun¸c˜ao u satisfaz a chamada equa¸c˜ao especial de Lagrange cosθ ∆u = sinθ(det Hess u

  − 1), para alguma constante real θ. Fu [7] provou que as ´ unicas solu¸c˜oes inteiras da equa¸c˜ao especial de Lagrange s˜ao fun¸c˜oes harmˆonicas ou polinˆomios quadr´aticos, o que significa que o gr´afico inteiro m´ınimo do grad u ´e uma curva anal´ıtica complexa ou um plano. Esse resultado segue como corol´ario do resultado principal mostrado neste cap´ıtulo.

2 Corol´ ario 2.4. Seja u : R

  −→ R uma solu¸c˜ao inteira da equa¸c˜ao especial de Lagrange cosθ ∆u = sinθ (det Hessu

  − 1) , onde θ ´e uma constante real. Ent˜ao u ´e uma fun¸c˜ao harmˆonica ou um polinˆomio quadr´atico.

  2

  2 Prova: Considere a fun¸c˜ao inteira f = grad u : R . Uma vez que u satisfaz a −→ R

  4 equa¸c˜ao especial de Lagrange , o gr´afico de f ´e uma superf´ıcie m´ınima em R . Note que o

  , u Jacobiano de f = (u x y ) ´e dado por u u xx xy J . f = u xy u yy

  2

  2 u , y , y

  Assim, J f = det Hess u = u xx yy . Se existe um ponto (x ) tal que J f (x ) = xy

  −u ∈ R 1, ent˜ao nesse ponto o Laplaciano de u satisfaz

  ∆u(x , y ) = u xx (x , y ) + u yy (x , y ) 6= 0.

  π Consequentemente, θ = e J f

  ≡ 1. Pelo Teorema 2.2, f ´e uma fun¸c˜ao afim e, portanto,

  2 u >

  ´e polinˆomio quadr´atico. Se J f 1, ent˜ao pelo Teorema 2.2 f ´e uma fun¸c˜ao afim e u um polinˆomio quadr´atico. Se J f < 1, ent˜ao pelo Teorema 2.2 deduzimos que J f ≤ 0 e f ´e uma fun¸c˜ao anti-holomorfa. Sendo assim,

  ∂f ∂f

  1

  2 .

  = −

  ∂x ∂y Isto ´e, u , implicando que u ´e uma fun¸c˜ao harmˆonica.

  Finalmente notamos que [8. Teorema 1.1], apresentado abaixo, segue imediatamente do Teorema 2.2.

  2

2 Corol´ ario 2.5. Seja f : R uma fun¸c˜ao inteira e suave, tal que o gr´afico G f ´e uma

  −→ R

  4 superf´ıcie m´ınima em R . Se o Jacobiano J f de f ´e limitado, ent˜ao G f ´e um plano.

  Cap´ıtulo 3

  

Curvas Anal´ıticas Complexas e

Invariantes Geom´ etricos

  Neste cap´ıtulo, caracterizaremos curvas anal´ıticas complexas a partir de dois inveri- antes geom´etricos, as curvaturas Gaussiana e normal.

3.1 Resultado Principal Para a prova do pr´oximo teorema, precisaremos do seguinte resultado auxiliar.

  2

2 Lema 3.1. Se Φ : R , Φ(u, v) = (ϕ(u, v), ψ(u, v)), ´e uma aplica¸c˜ao onde ϕ e ψ s˜ao

  → R

  2 fun¸c˜oes harmˆonicas em R , isto ´e, uma aplica¸c˜ao harmˆonica. Ent˜ao inf

  Φ |J | = 0, a menos que Φ seja uma fun¸c˜ao afim.

  Suponha, por absurdo, que Φ n˜ao ´e uma fun¸c˜ao afim e inf Φ

  |J | = c > 0. Consequente- mente Φ

  Φ |J | ≥ c > 0. Assuma em princ´ıpio que J ≥ c > 0. Vejamos Φ como uma fun¸c˜ao complexa Φ : C

  → C, Φ = ϕ + iψ. Ent˜ao, para z = u + iv, teremos ∂u ∂v ∂u ∂v

  ϕ ψ Φ z = u + ϕ v + i u + ψ v

  ∂z ∂z ∂z ∂z

  1

  1

  1

  1 ϕ ϕ ψ ψ

  = u v + i u v +

  • 2 2i

  2 2i i

  1 = (ϕ u + ψ v ) + (ψ u v )

  − ϕ

  2

  2 e ∂u ∂v ∂u ∂v

  ϕ ψ Φ z = u + ϕ v + i u + ψ v

  ¯ ∂ z ∂ z ∂ z ∂ z

  ¯ ¯ ¯ ¯

  1

  1

  1

  1 = ϕ u ϕ v + i ψ u ψ v

  − − 2 2i 2 2i i

  1 = (ϕ u v ) + (ϕ v + ψ u ) .

  − ψ

  2

  2 Note que

  1

  2

  2

  2

  2

  2

  2 z z = u + ψ v ) + (ψ u v ) u v ) u + ϕ v ) ¯

  |Φ | − |Φ | {(ϕ − ϕ − (ϕ − ψ − (ψ }

  4 ψ ψ . = ϕ u v v u

  − ϕ Isto ´e,

  2

  2 z z = J . (3.1) ¯ Φ

  |Φ | − |Φ | Uma vez que ϕ e ψ s˜ao fun¸c˜oes harmˆonicas, obtemos

  (ϕ u + ψ v ) = ϕ uu + ψ uv = vv + ψ uv = (ψ u v ) u −ϕ − ϕ v e

  (ϕ u + ψ v ) = ϕ uv + ψ vv = ϕ uv uu = u v ) v − ψ − (ψ − ϕ u

  Ou seja, as partes real e imagin´aria de Φ z satisfazem as equa¸c˜oes de Cauchy-Riemann. Mais precisamente, Φ z ´e uma fun¸c˜ao holomorfa. De nossa suposi¸c˜ao e usando (3.1) temos,

  2

  2 z z + c (3.2)

  ¯ |Φ | ≥ |Φ | ≥ c > 0.

  2

  2 >

  Observe tamb´em que Φ z n˜ao pode assumir o valor c. De fato, se Φ z = c ent˜ao c z ¯ 0, −c−|Φ |

  2 implicando que ∆ = 1 + 4 z z omite os valore 0 e c

  ¯ |Φ | ≥ 0, o que ´e um absurdo. Como Φ conclu´ımos, pelo Teorema de Picard, que Φ z ´e constante. Portanto, existem constantes reais

  κ e λ tais que ϕ u + ψ v = 2κ e ψ u v = 2λ.

  − ϕ De (3.2) deduzimos que

  2

  2

  2

  2 As fun¸c˜oes κ v = ϕ u u v + λ s˜ao harmˆonicas, uma vez que ϕ ´e uma fun¸c˜ao − ψ − κ e ψ − λ = ϕ harmˆonica. Sendo assim, a fun¸c˜ao Ψ = u + iϕ v ´e holomorfa e limitada. Pelo Teorema

  −ϕ de Liouville, Ψ ´e uma fun¸c˜ao constante. Logo, ϕ e ψ s˜ao fun¸c˜oes afins, contradizendo a suposi¸c˜ao feita inicialmente.

  Se J Φ Φ = ψ + iϕ. Assim, J ˜ = Φ ≤ −c < 0, basta considerar a fun¸c˜ao ˜ −J ≥ c > 0. Pelo

  Φ resultado acima, ˜ Φ ´e uma fun¸c˜ao afim e, portanto, Φ tamb´em o ´e. Novamente obtemos uma contradi¸c˜ao. Portanto, inf

  Φ |J | = 0, e a prova est´a conclu´ıda.

  2

  2 Teorema 3.2. Seja G f o gr´afico de uma fun¸c˜ao inteira f : R com curvatura Gaussi- → R

  4 ana K e curvatura normal K N . Assuma que G f ´e m´ınimo em R . Ent˜ao,

  N |K | inf = 0,

  |K| a menos que G f seja uma curva anal´ıtica complexa.

  |K N | Prova: Assuma que G f n˜ao ´e um plano e que inf K< >

  0. Introduzimos parˆametros glo- |K| bais isot´ermicos (u, v) tais que G f seja uma superf´ıcie m´ınima parametrizada via a aplica¸c˜ao

  X (u, v) = (u, au + bv, ϕ(u, v), ψ(u, v)), onde a,b s˜ao constantes reais com b > 0.

  Afirmamos que (a, b) = (0, 1). Suponha, por absurdo, que (a, b) 6= (0, 1). Iremos derivar a express˜ao (2.6) em rela¸c˜ao `as vari´aveis u e v e usaremos o fato de ϕ ser uma fun¸c˜ao harmˆonica para obtermos as equa¸c˜oes abaixo.

  ϕ uu ϕ v + ϕ u ϕ uv + ψ uu ψ v + ψ u ψ uv = 0 ϕ ϕ ψ ψ uu v + ϕ u uv = uu v u uv (3.3)

  ⇒ ϕ −ψ − ψ ϕ ϕ ϕ ψ ψ uv v + ϕ u vv + ψ uv v + ψ u vv = 0 uv ϕ v + ϕ u ϕ vv = uv ψ v u ψ vv

  ⇒ ϕ −ψ − ψ ϕ ϕ ψ ψ . uu u v uv = ψ uv v u uu (3.4)

  ⇒ ϕ − ϕ − ψ Elevando ao quadrado os dois membros das equa¸c˜oes (3.4) e (3.3), obtemos

  2

  2 ϕ ϕ ψ ψ

  (ϕ uu v + ϕ u uv ) = (ψ uu v + ψ u uv )

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2 e

  2

  2 ϕ ϕ ψ ψ

  (ϕ uu u v uv ) = (ψ uv v u uu ) − ϕ − ψ

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2 ϕ ϕ uu ϕ u ϕ v ϕ uv + ϕ ϕ = ψ ψ uu ψ v ψ u ψ uv + ψ ψ . (3.6) uu u v uv uu u v uv

  − 2ϕ − 2ψ Somando (3.5) e (3.6), temos

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2 ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ψ ψ ψ ψ

  • ϕ + ϕ + ϕ = ψ + ψ + ψ + ψ

  uu v u uv uu u v uv uu v u uv uu u v uv

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2 ϕ ϕ + ϕ ϕ ψ + ψ ψ

  • ϕ + ϕ = ψ + ψ + ψ

  uu v u uv v u uu v u uv v u

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2 ϕ + ϕ ϕ + ϕ = ψ + ψ ψ + ψ . (3.7) uu uv v u uu uv v u

2 Considere o seguinte subconjunto de R

  2 M = ; w(u, v) = 0 {(u, v) ∈ R }, onde

  2

  2

  2

  2 w ϕ ,

  (u, v) = ϕ + ϕ + ϕ uu uv v u ou, equivalentemente, como vimos em (3.7)

  2

  2

  2

  2 w (u, v) = ψ + ψ ψ + ψ . uu uv v u

  2

  2 Afirmamos que o complementar M = R ´e denso em R . Para este feito , ´e suficiente

  1 − M mostrar que o interior, int(M ), de M ´e vazio. Suponha, por absurdo, que int(M )

  6= ∅ e seja

  2 U uma componente conexa de int(M ) que contenha o ponto (x, y) tal que w(x, y) = 0.

  ∈ R Isto ´e,

  2

  2

  2

  2 w (x, y) = ϕ + ϕ ϕ + ϕ = 0. xx xy x y

  Usando este fato e a continuidade da fun¸c˜ao ϕ, garantimos a existˆencia de uma vizinhan¸ca

  V u = ϕ v = 0 ou ϕ uu = ϕ vv = 0 , para (u, v)

  ⊂ U de (x, y) tal que, ϕ ∈ V . Nos dois casos, a fun¸c˜ao anal´ıtica φ

  3 = ϕ u v fica na forma φ 3 = c

  1 2 em V e, pelo Teorema da − iϕ − ic

  Identidade, φ = c para (u, v)

  3

  1

  2 − ic ∈ U. Isto ´e, ϕ ´e uma fun¸c˜ao afim. Usando os mesmos argumentos, garantimos que ψ tamb´em ´e uma fun¸c˜ao afim. Dessa maneira o gr´afico de f ´e

  4 um plano em R , o que contradiz a nossa suposi¸c˜ao. Portanto, int(M ) = 1 ´e denso em

  ∅ e M

  2

  • ϕ
  • ϕ
  • ϕ
  • ϕ

  ϕ v

  2 v

  ϕ

  ϕ uu

  − ψ v ϕ v )

  − ψ uu (ψ u ϕ u

  − ψ u ϕ v )

  2 u = ψ uv (ψ v ϕ u

  2 v

  ϕ uu ϕ

  ϕ u

  ψ uv

  ϕ v + ψ v

  ψ v

  − ψ uu

  ψ uv

  Φ ψ uv

  (3.12) Somando as equa¸c˜oes (3.11) e (3.12), teremos

  ϕ uv = ψ uv

  ψ v

  ϕ u

  − ψ u

  ψ uu

  ϕ u .

  ϕ uu

  − ψ u

  ϕ

  2 v

  2 u ϕ uu =

  −ψ uu

  ψ u

  ϕ u

  2 u = J

  − ψ uu (ψ u

  − ϕ u

  −ϕ v z

  = 0 by

  = 0 e η

  1 = a b

  (ϕ v z + ψ v w ) − ϕ u z

  − ψ u w,

  1 b (

  − ψ v w ), z, w . Assim, bη

  1 , X v

  1 = (a(ϕ v z

  ) − bϕ u z

  − bψ u w,

  ( −ϕ v z

  − ψ v w

  ), bz, bw)

     x

  1 , X u i = 0 = hη

  ϕ u + ψ v

  ϕ v )

  ϕ v )

  ϕ uu =

  J Φ

  ψ uv

  − ψ uu (ψ u

  ϕ u + ψ v

  ϕ

  (x, y, z, w), tal que hη

  2 u

  2 v .

  (3.13) Nosso objetivo agora ´e encontrar dois vetores η e ξ, normais a G f . Seja η

  1 ∈ R

  4 , η

  1 =

  ϕ v

  2 u ϕ uu

  ψ u

  ψ u

  ψ uv

  − ψ u

  ϕ u

  ψ v

  −ψ uu

  2 u ϕ uv =

  2 v

  ϕ

  ϕ uv

  (3.9) Somando as equa¸c˜oes (3.8) e (3.9), teremos

  ϕ v .

  ψ uv

  − ψ v

  ϕ v

  ϕ v = ψ uu

  ϕ

  ϕ uu

  2 v − ϕ u

  ϕ

  ϕ uv

  , (3.8)

  ϕ u

  ψ uv

  − ψ u

  ϕ u

  ψ v

  −ψ uu

  2 u ϕ uv =

  ϕ u + ϕ

  ϕ v

  ϕ u + ψ uu

  ϕ v

  Multiplicando a equa¸c˜ao (3.3) por ϕ u e a equa¸c˜ao (3.4) por −ϕ v , obtemos

  ψ uu − ψ uv (ψ u ϕ u + ψ v ϕ v )

  − ψ u ϕ v ψ uv , (3.11)

  −ψ uu ψ v ϕ v

  2 v ϕ uu + ϕ v ϕ u ϕ uv =

  ϕ

  (3.10) Multiplicando a equa¸c˜ao (3.3) por ϕ v e a equa¸c˜ao (3.4) por ϕ u , obtemos

  2 v .

  2 u

  ϕ

  ϕ v )

  ϕ u + ψ v

  − ψ uv (ψ u

  ψ uu

  −J Φ

  ϕ uv =

  −J Φ

  − ψ v

  ϕ v

  ψ uv

  ϕ v

  ϕ uv

  ϕ

  2 v

  2 u = ψ uu (ψ u

  − ψ v

  2 u =

  ϕ u )

  − ψ uv (ψ u

  ϕ u + ψ v

  ϕ v )

  ϕ uv ϕ

  2 v

  ϕ uu

  • ϕ
  • ϕ
  • ϕ
  • ϕ

i. Ent˜ao,

  • ay + ϕ u z
  • ψ u w
  • ϕ v z
  • ψ v w
  • ψ v w
  • ϕ

  • b
  • ψ v + b
  • ψ
  • b
  • ϕ
  • ϕ
  • b
  • b
  • b
  • b

  • ϕ
  • ψ
  • (aψ v
  • b
  • ϕ
  • ϕ
  • ψ
  • (aψ v
  • b
  • a
  • a
  • b
  • 2abϕ
  • ϕ
  • ψ
  • (aψ v
  • b
  • ψ
  • ϕ
  • ϕ
  • ψ
  • (aψ v
  • b
  • (ϕ u

  2 v

  2 ψ

  2 v ϕ

  2 u − 2a

  2 ϕ

  2 v ψ

  2 v − 2b

  2 ϕ u ψ u ϕ v ψ v

  ψ v + 2abϕ u

  2 v ψ u

  ϕ v

  ψ

  2 v = b

  2 ((aϕ v

  − bϕ u )

  2

  2 v

  2 v

  2 v − 2abϕ u ϕ v ψ

  2 v ψ

  2 ϕ

  − bψ u )

  2 ϕ u ψ u )ϕ v ψ v

  = b

  2 ((aϕ v

  − bϕ u )

  2

  2 v

  2 v

  2

  2 u

  2 )

  2 ϕ

  2 v ψ

  2 v − 2abϕ 2 v

  ψ u

  ψ v + b

  2 ϕ

  2 v ψ

  − bψ u )

  2

  2

  4 sejam normais a G f . Sejam e

  {e

  1 , e

  2 , ξ

  3 , ξ

  4 } de R

  4 , tal que ξ

  3 e ξ

  1 =

  } ´e uma base de R

  1 √

  E

  X u , e 2 =

  1 √

  E

  X v e ξ 3 =

  1 |ξ|

  ξ . O vetor ξ 4 ser´a obtido pelo processo de ortogonaliza¸c˜ao

  4 ao longo do gr´afico de f . Estamos interessados em uma base ortonormal

  Note que {X u , X v , ξ, η

  2 v ϕ

  2 v

  2 u

  2 v ψ

  2 u −2ϕ u ψ u ϕ v ψ v )

  = b

  2 ((aϕ v

  − bϕ u )

  2

  2 v

  2 .

  − bψ u )

  2

  2

  ψ v

  − ϕ v

  ψ u )

  2 )

  = b

  − abϕ u ψ v + b

  − abϕ v ψ u

  2 ϕ v ψ v

  − bϕ u )

  − bψ u )

  2

  2 − ((aϕ v

  − bϕ u )(aψ v

  − bψ u ) + ψ u

  ϕ v )

  2 = (aϕ v

  2 (aψ v

  2 v

  − bψ u )

  2

  2 v (aϕ v

  − bϕ u )

  2

  2 (aϕ v

  − bϕ u )

  2

  2 (aψ v

  2

  − bψ u )

  |ξ|

  Sejam ξ = (aϕ v − bϕ u

  , −ϕ v

  , b, 0) e η = (aψ v

  − bψ u

  , −ψ v

  , 0, b). Esses vetores s˜ao normais a

  G f e satisfazem

  2 |η|

  − bϕ u )

  2 − hξ, ηi

  2 = b

  2 E

  2 .

  De fato, |ξ|

  2 |η|

  2 − hξ, ηi

  2 = (aϕ v

  2 v (aψ v

  2

  − 2(a

  2 v − 2abψ u

  2 v

  2 v

  − bψ u )

  2

  2 )

  2 v (a

  2 ψ

  ψ v + b

  − bϕ u )

  2 ψ

  2 u ) + ψ

  2 v (a

  2 ϕ

  2 v − 2abϕ u

  ϕ v + b

  2 ϕ

  2 u )

  2

  2 ((aϕ v

  2 v ψ

  2

  2 v

  2 ϕ

  2 v

  2 ψ

  2 v

  2 (aψ v

  − bψ u )

  4 − (aϕ v

  = b

  − bϕ u )

  2 (aψ v

  − bψ u )

  2 − ϕ

  2 v ψ

  2 v −2(aϕ v

  − bϕ u )(aψ v

  − bψ u )ϕ v ψ v

2 E

  de Gram-Schmidt.

  , η , η u u v v hX iX hX iX hξ, ηiξ

  ζ = η

  − − −

  2

  2

  2 u v |X | |X | |ξ| hξ, ηiξ

  = η −

  2 |ξ|

  2 η

  |ξ| − hξ, ηiξ . =

  2 |ξ|

  Assim,

  2

  2 η

  η|ξ| − hξ, ηiξ |ξ| − hξ, ηiξ

  2 = ,

  |ζ|

  2

  2 |ξ| |ξ|

  4

  2

  2

  2

  • |ξ| hη, ηi − 2|ξ| hξ, ηi hξ, ηi hξ, ξi

  =

  4 |ξ|

  4

  2

  2

  2

  2

  2

  • |ξ| |η| − 2|ξ| hξ, ηi |ξ| hξ, ηi

  =

  4 |ξ|

  4

  2

  2

  2 |ξ| |η| − |ξ| hξ, ηi

  =

  4 |ξ|

  2

  2

  2 |ξ| |η| − hξ, ηi

  =

  2 |ξ|

  2

  2 b E = .

  2 |ξ|

  ζ

  1

2 Seja ξ = , isto ´e, ξ = (η

  4

  4 |ξ| − hξ, ηiξ). Com o objetivo de encontrar a express˜ao b

  |ζ| |ξ|E das curvaturas Gaussiana e normal, calcularemos alguns coeficientes da segunda forma fun- damental.

  3 h = e 1 ξ , e

  3

  1 11 h∇ i

  X u

  Xu ξ ,

  = 3 √

  ∇ √

  E

  E

  1 , X

  = ) u u

  3 h(ξ i

  E 1 ξ u u |ξ| − ξ|ξ|

  = , X u

2 E

  |ξ|

  1 , X

  = u u hξ i E

  |ξ|

  1 , ψ

  = uv u u ) h(aϕ − bϕuu, −ϕuv, 0, 0), (1, a, ϕ i E

  |ξ| uu

  −bϕ = ,

  3 h ξ , e

  = e 1

  3

  2 12 h∇ i

  X v

  Xu ξ ,

  =

  3 ∇ √

  √ E

  E

  1 , X

  = ) u v

  3 h(ξ i

  E 1 ξ u u |ξ| − ξ|ξ|

  = , X v

  2 E |ξ|

  1 = , X u v hξ i

  E |ξ|

  1 = uv v , ψ v ) h(aϕ − bϕuu, −ϕuv, 0, 0), (0, b, ϕ i

  E |ξ| uv

  −bϕ ,

  = E

  |ξ|

  4 h ξ , e

  = e 1

  4

  1 ∇

  11 X u

  Xu

  = ξ ,

  4 ∇ √

  √ E

  E (ξ

  ) u

  4 , X

  = u E

  2

  2 η Eb η u u

  (|ξ| − hξ, ηiξ) |ξ| + (|ξ| − hξ, ηiξ)(bE|ξ|)

  , X = u

  3

  2

  2 E b |ξ|

  2 η u

  (|ξ| − hξ, ηiξ) , X

  = u

  2 E b |ξ|

  2

  2 η η ξ

  ) u u u u (|ξ| |ξ| − hξ, ηi − hξ, ηiξ

  • , X =

  u

  2 E b |ξ|

  2 η u u

  (|ξ| − hξ, ηiξ , X

  = u

  2 E b |ξ|

  2 u , X u u , X u |ξ| hη i − hξ, ηihξ i

  =

  2 E b |ξ|

  2

  • bψ uu uu −|ξ| hξ, ηibϕ

  =

  2 E b |ξ|

  2 ψ uu uu hξ, ηiϕ − |ξ|

  , =

  2 E |ξ|

  4 h ξ , e

  = e 1

  4

  2 12 ∇

  X v

  Xu ξ ,

  =

  4 ∇ √

  √ E

  E (ξ ) u

  4 = , X v

  E

  2

  2 η u Eb η u

  (|ξ| − hξ, ηiξ) |ξ| + (|ξ| − hξ, ηiξ)(bE|ξ|) =

  , X v

  3

  2

  2 E b |ξ|

  2 η u

  (|ξ| − hξ, ηiξ) = , X v

  2 E b |ξ|

  2

  2 η η ξ

  ) + u u u u

  (|ξ| |ξ| − hξ, ηi − hξ, ηiξ , X

  = v

  2 E b |ξ|

  2 η u u

  (|ξ| − hξ, ηiξ

  , X = v

  2 E b |ξ|

  2 , X , X u v u v

  |ξ| hη i − hξ, ηihξ i =

  2 E b |ξ|

  2 bψ

  • uv uv −|ξ| hξ, ηibϕ

  =

  2 E b |ξ|

  2 uv ψ uv hξ, ηiϕ − |ξ| = .

  2 E |ξ|

  Calculemos algumas express˜oes abaixo com a finalidade de chegar a uma representa¸c˜ao escrita razo´avel para curvatura Gaussiana. Usando as equa¸c˜oes (3.10) e (3.13)

  2

  2 J ψ uu ψ uv u ψ u + ϕ v ψ v )ψ u ψ u + ϕ v ψ v )ψ ψ uu ψ uv Φ

  Φ − (ϕ uu − (ϕ uv − J

  ϕ ψ + ϕ ψ = uu uu uv uv

  2

  2 ϕ

  • ϕ

  u v

  2

  2 ψ ψ u u + ϕ v v )(ψ + ψ )

  −(ϕ uu uv . =

  2

  2 ϕ

  • ϕ

  u v

  • ϕ
  • (aϕ v
  • ϕ
  • a
  • ϕ
  • a
  • 2(ϕ u ϕ v + ψ u ψ v )ϕ u ϕ v + b
  • ϕ
  • a
  • 2ψ u
  • ϕ
  • a
  • (a
  • ϕ
  • a
  • ϕ
  • a
  • b
  • ψ
  • (aψ v
  • ψ
  • a
  • ψ
  • a
  • 2(ψ u ψ v + ϕ u ϕ v )ψ u ψ v + b

  • ψ
  • a
  • 2ϕ u
  • ψ
  • a
  • (a
  • ψ
  • a
  • ψ
  • a
  • b
  • ϕ
  • ϕ
  • ϕ
  • ϕ
  • b
  • ϕ
  • ϕ
  • ψ
  • ϕ
  • ψ
  • ϕ u
  • ϕ
  • ψ
  • ψ
  • a
  • ψ
  • a
  • b

  ψ v + ϕ u

  ϕ v )(ϕ v

  ψ u + ϕ u

  ψ v ) + b

  2 ϕ u

  ψ u + ϕ v

  ψ v

  = a

  2 ϕ v

  ψ v

  u ψ u

  ψ

  2 v

  v ψ v

  ϕ

  2 u

  v ψ v

  ψ

  2 u

  u ψ u

  ϕ

  2 v

  2 ϕ u

  ψ v + (ψ u

  2 ϕ v

  = a

  2 ϕ v

  2 b

  2 − ϕ

  2 u ϕ

  2 v

  2 ψ

  2 u , hξ, ηi = (aϕ v

  − bϕ u )(aψ v

  − bψ u ) + ϕ v

  ψ v

  = a

  ψ v

  2 ϕ u ψ u + ϕ v ψ v

  − abϕ v

  ψ u

  − abϕ u

  ψ v + b

  2 ϕ u

  ψ u + ϕ v

  ψ v

  = a

  2 ϕ v ψ v

  − ab(ϕ v ψ u + ϕ u ψ v ) + b

  ψ u

  = ϕ v ψ v (1 + a

  v ψ v

  2

  2 ψ

  2 u − ψ 2 u

  ϕ

  2 u ϕ

  2 v

  2 ψ

  4 u

  2

  2

  4

  4

  2 v

  2

  4

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2 b

  4 u ψ

  2

  u ψ u

  2 u

  2 u ) + ϕ u ψ u (b

  2

  2 v

  2 v )

  = ϕ v ψ v

  E

  ψ u

  E = (ϕ v

  ψ v

  )E, A

  2 v

  = (ψ

  2 u

  2 v )

  |η|

  2 = b

  2 ψ

  2 u

  2 u ψ

  2 v

  2 ψ

  2 u ψ

  2 v

  2 v

  2 u ψ

  2 − ϕ

  ϕ v + b

  2 ϕ

  2 u = b

  2

  2 v

  2 ϕ

  2 v

  2 u ϕ

  2 v

  2 b

  2 u ϕ

  ψ v

  2 v − ψ 2 u

  ψ

  2 v ) + b

  2 ϕ

  2 u = b

  2

  2 v

  2 ϕ

  2 v

  2 u ϕ

  ϕ u

  2 v

  2 b

  ϕ v + b

  |ξ|

  2 = b

  2

  2 v

  − bϕ u )

  2 = b

  2

  2 v

  2 ϕ

  2 v − 2abϕ u

  2 ϕ

  2 u ϕ

  2 u = b

  2

  2 v

  2 ϕ

  2 v

  2 ϕ

  2 u = b

  2

  2 v

  2 ϕ

  2 v

  2 v

  2 − ψ

  2 ψ

  2 u ψ

  2 v

  ϕ v

  ψ u

  ψ v + b

  2 ψ

  2 u = b

  2

  2 v

  2 ψ

  2 v

  2 v

  2 v

  2 b

  2 − ψ

  2 u ψ

  2 v − ϕ 2 u

  ϕ

  2 v ) + b

  2 ψ

  2 u = b

  2

  2 v

  2 u ψ

  2 ψ

  2 u ψ

  2 v

  2 v

  2 ϕ

  2 u ,

  |η|

  2 = b

  2

  2 v

  − bψ u )

  2 = b

  2

  2 ψ

  2 v

  2 v − 2abψ u

  ψ v + b

  2 ψ

  2 u = b

  2

  2 v

  2 ψ

  2 v

  2 ψ

  2 u = b

  2

  2

  • ϕ
  • ϕ
  • a
  • ϕ
  • a
  • b
  • b
  • ϕ
  • a
  • ϕ
  • a
  • b
  • 2ϕ u
  • a
  • ϕ
  • a
  • ϕ

  • ϕ
  • ψ
  • a
  • ϕ
  • (b
  • ϕ
  • ψ
  • a
  • ϕ
  • a
  • ϕ
  • a
  • a
  • a
  • ϕ
  • a
  • ϕ
  • ϕ
  • a
  • ϕ
  • b
  • a
  • b
  • ϕ
  • a
  • ϕ
  • ϕ
  • a

  2 u ψ

  2 u

  2 u ϕ

  2 v ψ

  2 v

  2 b

  2 ϕ

  2 u − ϕ

  4 u ϕ

  2 u ψ

  2 v − ϕ

  2 u ψ

  2 v

  4 u ψ

  2 u

  2 v ψ

  2 u ψ

  2 v

  2 b

  2 ψ

  2 ϕ

  2 u ψ

  2 v

  2 v

  2 u )

  = ϕ

  2 v ψ

  2 v

  2 b

  2 − ϕ

  2 u ϕ

  2 v − ψ

  2 u ψ

  2 u ψ

  2 ψ

  2 u

  2 ϕ

  2 v ψ

  2 v

  4 b

  2 − a

  2 ϕ

  2 u ϕ

  2 v − a

  2 u −ϕ

  2 u ϕ

  2 v ψ

  4 v

  4 v − ϕ

  2 v ψ

  2 u ψ

  2 v

  2 u ϕ

  2 v ψ

  2 u

  2 v ψ

  2 b

  2 v − ϕ

  2 ψ

  2 v − ϕ

  2 u ϕ

  2 v ψ

  2 v −ψ

  2 u ψ

  4 v

  2 u ψ

  2 u ψ

  2 u ϕ

  2 ϕ

  2 u − ψ 4 u

  2 ϕ

  ψ

  2 v

  2 u ψ

  4 u

  2 ϕ

  2 v ψ

  2 v

  2 b

  4 − b

  2 u ϕ

  2 b

  2 v − b

  2 ψ

  2 u ψ

  2 v

  2 ϕ

  2 u ψ

  2 u

  4 v ψ

  2 v

  2 u ψ

  ψ

  2 v

  ψ

  4 v

  2 ϕ

  4 v

  2 u ϕ

  4 v

  2 b

  2 ϕ

  2 v − ϕ 2 v

  2 u ψ

  2 ϕ

  2 v

  2 ϕ

  2 u ϕ

  2 v C = 2E(ϕ v ψ v + ϕ u ψ u )

  2 = 2E(ϕ

  2 v ψ

  2 v

  ψ u

  ϕ v

  2 v

  4 u

  2 v − ψ 2 u

  2 ϕ

  B = (ϕ

  2 u

  2 v )

  |ξ|

  2 = b

  2 ϕ

  2 u

  2 u ϕ

  2 v

  2 u ϕ

  2 ϕ

  2 v

  4 u ϕ

  2 v

  2 b

  2 ϕ

  2 u − ϕ

  2 u ψ

  2 u ψ

  2 v

  ψ v + ϕ

  2 u ψ

  2 u )

  2 v

  2 u )(ϕ

  2 v ψ

  2 v

  2 b

  2 − ϕ

  2 u ϕ

  2 v − ψ

  2 u ψ

  2 u ψ

  2

  2 u )

  2

  2 v

  2 v )(ϕ

  2 v ψ

  2 v

  2 b

  2 − ϕ

  2 u ϕ

  2 u

  = (1 + a

  = 2E(ϕ

  2 u )

  2 v ψ

  2 v

  2 b

  2 − ϕ

  2 u ϕ

  2 v − ψ 2 u

  ψ

  2 v

  2 u ψ

  2 u )

  = (E + E)(ϕ

  2 v ψ

  2 v

  2 b

  2 − ϕ

  2 u ϕ

  2 v − ψ

  2 u ψ

  2 v

  2 u ψ

  2 v .

  • ϕ
  • B + C = b

  • a
  • b
  • b
  • ψ
  • a
  • a
  • b
  • a
  • b
  • b
  • ϕ
  • a
  • a
  • ϕ
  • a
  • ϕ
  • a
  • a
  • a
  • ϕ
  • a
  • ϕ
  • b
  • a
  • b
  • ϕ
  • a
  • ϕ
  • a

  • ϕ
  • ψ
  • ϕ
  • ψ
  • ϕ
  • ψ

  • b
  • ϕ
  • ψ
  • ϕ
  • ψ
  • ϕ
  • ψ
  • ϕ
  • ϕ
  • ψ
  • ϕ
  • ψ
  • b
  • ϕ
  • ψ
  • ψ
  • a
  • ϕ
  • b
  • ψ
  • a
  • ϕ
  • ϕ
  • a
  • ϕ
  • b
  • ψ
  • a
  • ϕ
  • ϕ
  • a
  • b
  • a
  • b
  • b
  • ψ
  • a
  • ϕ
  • a
  • b
  • (aψ v
  • 2abϕ u
  • ϕ
  • ψ
  • (aψ
  • 2ab(ϕ
  • ψ
  • ϕ
  • ψ
  • (aψ v
  • 2ab(
  • ϕ
  • ψ
  • (aψ v
  • ϕ
  • ψ

  2 v

  − 1 − a

  2 )

  = (2a

  2 b

  2

  2 v ψ

  2 v

  2 ψ

  2 u

  2 v

  2 ϕ

  2 v

  2 u ψ

  2 u

  2 ψ

  2 v ψ

  2 v

  2 ϕ

  2 u − ϕ

  2 u ψ

  2 u −ϕ

  2 v ψ

  2 v )E

  − (ϕ

  2 v ψ

  2 v

  2 ψ

  2 v ϕ

  2 v

  2 ϕ

  2 v (E

  − ϕ

  2 u − b

  2 u ψ

  2 u

  2 u )

  = a

  2 b

  2 E

  2 b

  2 E

  2 v ψ

  2 v E

  2 ψ

  2 u E

  2 v E

  2 ϕ

  2 v E

  2 u E

  2 )

  2 u (E

  − b

  2 u (E

  2 u ψ

  − ϕ

  2 u )

  − ψ

  2 ϕ

  2 v (E

  2 v ) + b

  − ϕ

  2 v (E

  2 ψ

  2 v )

  − ψ

  2 u ψ

  2 ϕ

  − 2b

  2

  2

  u ϕ v

  u ψ v

  ) + 2a

  2 b

  2

  2 v

  2 v )E

  = ((aϕ v − bϕ u )

  2

  − bψ u )

  2

  −ab) + 2a

  2 b

  2 v

  v − bψ u

  2 v )E

  = ((aϕ v − bϕ u )

  2

  − bψ u )

  2

  2 v

  2 v )E

  = (E

  2 − J

  2 Φ − b

  2 )E

  = ((1 + a

  2

  2 )E

  )

  2

  2 v (ϕ

  2 v

  2 u − ϕ 2 v

  ψ

  2 v − a

  2 ψ

  2 v ϕ

  2 v )

  = (2a

  2 b

  2

  2 ψ

  2 u

  2 v

  2 ϕ

  2 v

  2 ψ

  )

  ψ v + 2a

  − bϕ u

  = ((aϕ v

  2 v )E

  2 v

  2

  2 b

  ϕ v + 2abψ u

  2 v

  2

  − bψ u )

  2

  = ((aϕ v − bϕ u )

  2 u )E

  2 ϕ

  2 u ψ

  − ϕ

  2 v ψ

  2 u ψ

  2

  2 u ψ

  2 u

  2 ϕ

  2 v ψ

  2 v

  4 b

  2

  2 ϕ

  2 u ψ u + a

  2 b

  2 ϕ

  2 u − ϕ

  2 u ψ

  2 v

  2 v

  4 u ψ

  2 u

  2 b

  2 ψ

  2 u − ϕ 2 u

  ϕ

  2 v ψ

  2 u

  2 u ψ

  4 u

  2 ϕ

  2 v ψ

  2 v

  2 b

  2 b

  2 v ψ

  2 ϕ

  2 ψ

  A

  2 ψ

  2 u

  2 b

  2 ψ

  2 u

  2 ψ

  4 u

  2 ψ

  2 v

  4 v

  2 ψ

  4 v

  2 b

  2 v

  2 v

  2 ϕ

  2 u

  2 b

  2 ϕ

  2 u

  2 ϕ

  4 u

  2 ϕ

  2 v

  4 v

  2 ϕ

  4 v

  2 b

  2 ϕ

  4

  2 u ψ

  2 v )

  2 u ) + ϕ

  2 u ) + ψ

  2 v (b

  2

  2 v

  2 v ) + a

  2 ϕ

  2 v (b

  2

  2 v

  2 v )

  2 u ψ

  2 u (1 + a

  2

  2 u

  2 v (b

  2

  2

  2 v ) + a

  2 ψ

  2 v (b

  2

  2 v )

  2 ϕ

  2 u (1 + a

  2

  2 u )

  − ϕ

  2 u ψ

  2 u (ϕ

  2 v

  2 u

  2 u (1 + a

  2 u

  2 v ψ

  4 v ψ

  2 v

  2 b

  2 ϕ

  2 v − ϕ

  2 v ψ

  2 u ψ

  2 v

  2 v ψ

  4 v

  2 b

  2 ψ

  2 v − ϕ

  2 u ϕ

  2 v = a

  2 ψ

  2 b

  2 v )

  2 v

  2

  2 v (b

  2 v ψ

  2 v ) + ϕ

  2 v

  2

  2 (b

  2 b

  2 u ) + a

  2 u

  2

  2 (1 + a

  2 )E.

  • b

  P n α α

  2

  2 Com base nessas informa¸c˜oes e usando o fato que (h ) + (h ) , obtemos −K = α =3

  11

  12

  3

  2

  3

  2

  4

  2

  4

  2 ) + (h ) + (h ) + (h )

  −K = (h

  11

  12

  11

  12

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2 b ϕ b ϕ ψ ψ

  ( uu uu ) ( uv uv ) uu uv hξ, ηiϕ − |ξ| hξ, ηiϕ − |ξ|

  • =

  2

  2

  2

  2

  4

  2

  4

  2 E E E E |ξ| |ξ| |ξ| |ξ|

  1

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  4

  2

  2

  = (b )(ϕ + ϕ ) uu uu + ϕ uv uv ) + (ψ + ψ ) uu uv uu uv hξ, ηi − 2hξ, ηi|ξ| |ξ|

  • E ϕ ψ ψ

  4

  2 E |ξ|

  1

  2

  2

  2

  2

  2

  4

  2

  2 ϕ ψ ψ

  = ( (ϕ + ϕ ) uu uu + ϕ uv uv ) + (ψ + ψ ) uu uv uu uv

  |ξ| |η| − 2hξ, ηi|ξ| |ξ|

  4

  2 E |ξ|

  1

  2

  2

  2

  2

  2

  2 η ψ ψ = (ϕ + ϕ ) uu uu + ϕ uv uv ) + (ψ + ψ ) . uu uv uu uv

  | − 2hξ, ηi(ϕ |ξ|

4 E

  2

  2 1 (ψ + ψ ) uu uv

  2

  2

  2

  2

  2

  2 η ψ ψ .

  = (ψ + ψ ) + 2 u u + ϕ v v ) + (ϕ + ϕ ) | u v hξ, ηi(ϕ |ξ| u v

  4

  2

  2 E ϕ

  • ϕ

  u v

  2

  2 1 (ψ + ψ ) uu uv

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2 = η (ψ + ψ ) + 2E(ϕ u ψ u + ϕ v ψ v ) (ϕ + ϕ ) . +

  | u v |ξ| u v

  4

  2

  2 E ϕ

  • ϕ

  u v

  2

  2 1 (ψ + ψ ) uu uv = (A + B + C) .

  4

  2

  2 E ϕ + ϕ u v

  2

  2 1 (ψ + ψ ) uu uv

  2

  2

  2 = ((1 + a + b )E )E.

  − 2b

  4

  2

  2 E ϕ

  • ϕ

  u v

  2

  2 1 (ψ + ψ ) uu uv

  2

  2

  2 = ((1 + a + b )E ).

  − 2b

  3

  2

  2 E ϕ

  • ϕ

  u v Portanto,

  2

  2 1 (ψ + ψ ) uu uv

  2

  2

  2 K = (2b + b )E). (3.14) − (1 + a

  3

  2

2 E ϕ

  • ϕ

  u v

  • ϕ
  • J
  • ϕ
  • ψ

  • ϕ
  • ϕ
  • ψ
  • ϕ
  • ψ
  • b
  • ϕ
  • ϕ
  • ψ
  • ψ
  • b
  • ϕ
  • ϕ
  • ψ
  • ψ
  • b
  • b
  • b
  • b
  • 2b
  • a
  • 2a
  • b
  • a
  • 2a
  • b
  • (b
  • (b + 1)

  2

  2 )

  2

  (1 + a

  2 −

  ≤ 2b

  2 )E

  2

  2 − (1 + a

  2b

  2 . Portanto,

  2

  2

  2 v

  2 ≥ 1 + a

  2 u

  2 v

  2 u

  2

  2

  = 1 + a

  Isto ´e, E

  2 v .

  2 u

  2 v

  2 u

  2

  2

  2 =

  2 − (1 + a

  4b

  2

  2 )

  2

  2 )(a

  − 1)

  2

  2 (a

  1

  −

  2 =

  4 )

  2

  2 b

  4

  2 − (1 + 2a

  2

  2b

  2 =

  4 )

  2

  2 b

  4

  2

  2

  2 − (1 + 2a

  4b

  2 =

  2

  2 )

  2E = 1 + a

  2 v

  2 v , temos

  2 ψ uu )

  3 =

  E

  2b(ϕ uu ψ uv − ϕ uv ψ uu )

  2 =

  3 |ξ|

  E

  2 ϕ uv ψ uu )

  − b|ξ|

  2 ϕ uu ψ uv

  |ξ|

  2 = 2 (b

  3 |ξ|

  E

  − |ξ|

  ψ

  2 ψ uv ) + bϕ uv ( hξ, ηiϕ uu

  − |ξ|

  −bϕ uu ( hξ, ηiϕ uv

  11 = 2

  4

  12 h

  3

  12 − h

  4

  11 h

  3

  N = 2 h

  De (2.3), (3.10) e (3.13), obtemos K

  2b(J Φ

  2 uv − (ϕ u ψ u + ϕ v ψ v )ψ uu ψ uv + (ϕ u ψ u + ϕ v ψ v )ψ uu ψ uv + J

  2

  = 2b

  2 u = b

  2 u

  2

  E = 1 + a

  (3.15) Uma vez que

  J Φ

  2 v )

  2 u

  (ϕ

  2 uu )

  2 uv

  3 (ψ

  E

  2 v )

  Φ ψ

  2 u

  3 (ϕ

  E

  2 uu )

  Φ ψ

  2 uv

  Φ ψ

  = 2b(J

  2 v )

  2 u

  3 (ϕ

  E

  2 uu )

  < 0.

2 Isso mostra que M ; K(u, v) < 0

  1 ⊂ {(u, v) ∈ R }. Ademais,

  3

  2

  2

  2

  2 K N 2bE (ϕ + ϕ )(ψ + ψ )J u v uv uu Φ =

  3

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2 K E (ϕ + ϕ )(ψ + ψ )(2b + b )E) u v uv uu − (1 + a 2bJ

  Φ .

  =

  2

  2

  2 (2b + b )E)

  − (1 + a Usando a express˜ao acima e a equa¸c˜ao (2.8), temos

  2

  2

  2 K J 4b

  N Φ

  =

  2

  2

  2

  2

  2 K (2b + b )E) − (1 + a

  2

  2

  2

  2

  2 4b (E + b )E + b )

  − (1 + a =

  2

  2

  2

  2 (2b + b )E)

  − (1 + a

2 W

  = 4b (E), onde

  2

  2

  2

  2 t

  • b )t + b − (1 + a

  W (t) :=

  2

  2

  2

  2 ((1 + a + b )t ) 2 − 2b

  2b 2 2 ´e uma fun¸c˜ao crescente para t &gt; . De fato,

  1+a +b

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2 (2t + b ))((1 + a + b )t ) + b )t + b )(1 + a + b )

  − (1 + a − 2b − 2(t − (1 + a ′

  W (t) =

  2

  2

  2

  3 ((1 + a + b )t )

  − 2b

  2

  2

  2

  2 (1 + a + b ) t

  − 4tb =

  2

  2

  2

  3 ((1 + a + b )t )

  − 2b

  2

  2

  2

  2 t

  (a + (b )(a + (b + 1) ) − 1) .

  =

  2

  2

  2

  3 ((1 + a + b )t )

  − 2b

  2 2

  2b 2b 2 22 2 Como &gt; 0, temos W (t) &gt; 0 para t &lt; 0 ou para t &gt; . Uma vez que estamos

  1+a +b 1+a +b

  N

  |K | supondo inf K&lt; = 0, obtemos

  |K| N

  |K | inf &gt;

  0. M 1 |K|

  Sendo assim,

  2 K N

  2

  2 E Isto ´e, W (inf M 1 ) &gt; 0 ou, equivalentemente,

  2

  2

  2

  2

  2 J E E &gt; inf = (inf ) + b ) inf + b 0.

  − (1 + a Φ

  M 1 M 1 M 1 Por (2.8) e pela express˜ao acima, obtemos inf

  Φ |J | &gt; 0. M 1 2

  2 2 Afirmamos que inf M 1 temos inf R Φ Φ

  1 R Φ |J | = inf |J | &gt; 0. De fato, como M ⊂ R |J | ≤ 2 2 inf M 1 Φ Φ M 1 Φ Φ

  |J |. Suponha, por absurdo, que inf R |J | &lt; inf |J |. Seja ǫ &gt; 0 tal que inf R |J | +

  2 2 ǫ M 1 tal que (x) ´e

  Φ Φ Φ

  1 ≤ inf |J |. Sendo assim, existe x ∈ R |J | &lt; inf R |J | + ǫ. Como M

  2 denso em R , garantimos a existˆencia de uma sequˆencia (x n ) n de pontos em M com

  1 ∈N x n

  Φ (x n ) Φ (x) → x. Pela continuidade do Jacobiano, |J | → |J |. O que ´e um absurdo, j´a que 2

  (x n ) M 1 M 1 Φ Φ Φ Φ

  |J | &gt; inf |J |. Assim, inf R |J | = inf |J | &gt; 0, como hav´ıamos afirmado. Por outro lado, Φ(u, v) = (ϕ(u, v), ψ(u, v)) ´e uma aplica¸c˜ao harmˆonica. De acordo com o Lema (3.1), Φ ´e uma aplica¸c˜ao afim e, consequentemente, G f ´e um plano, fato esse que contradiz a nossa suposi¸c˜ao. Logo (a, b) = (0, 1).

  Por (2.9) e (2.10), as fun¸c˜oes complexas φ k : U ⊆ C −→ C, k = 1, 2, 3, 4, dadas por

   

  φ φ a = 1, =

  1

  2 − bi

   φ , φ

  = ϕ u v = ψ u v 3 − iϕ 3 − iψ s˜ao holomorfas e satisfazem a essas duas condi¸c˜oes:

  2

  2

  2

  2 ϕ + ϕ + ϕ + ϕ = 0

  1

  2

  3

  4 e

  2 .

  (φ ) (φ + iφ ) =

  3

  4

  3

  4 − iφ − 1 + (a − bi)

  Dessa forma, (φ ) (φ + iφ ) = 0.

  3

  4

  3

  4 − iφ

  Portanto, φ 3 = 4 . Isto ´e, ϕ u v = ψ v + iψ u e Φ ´e holomorfa ou ϕ u v = v u ±iφ − iϕ − iϕ −ψ − iψ

3.2 Aplica¸c˜ ao

  As curvas anal´ıticas complexas s˜ao superf´ıcies caracterizadas, localmente, pela rela¸c˜ao N N representam a curvatura de Gauss e a curvatura normal, respecti-

  |K| = |K |, onde K e K vamente. O resultado seguinte ´e uma caracteriza¸c˜ao de curvas anal´ıticas complexas a partir de dois invariantes geom´etricos, as curvaturas Gaussiana e Normal.

  2

  2 Teorema 3.3. Seja G f o gr´afico de uma fun¸c˜ao inteira f : R com curvatura Gaus- → R siana K e curvatura normal K N . Assuma que o gr´afico de f ´e uma superf´ıcie m´ınima em

4 R . Se K N = cK, onde c ´e uma constante, ent˜ao G f ´e uma curva anal´ıtica complexa. Mais

  precisamente, K N = K = 0 e G f ´e um plano ou f ´e uma curva anal´ıtica n˜ao |c| = 1 e G trivial.

  Prova: No caso onde K f ´e um plano. Considere agora o caso onde K n˜ao ´e ≡ 0, G

  N

  |K | identicamente nula. Temos inf K&lt; = f

  K |c|. Pelo teorema (3.2), c = 0 a menos que G seja uma curva anal´ıtica complexa. Afirmamos que o caso c = 0 n˜ao pode ocorrer. De fato, argumentando indiretamente suponha que c = 0. Na prova do Teorema (3.2), o conjunto M

  1

  2 ´e denso em R . De nossa suposi¸c˜ao, K N = cK = 0. Por (3.15)

  2

  2 2b (ψ + ψ ) uv uu

  K J N = Φ = 0.

  3

  2

  2 E (ϕ + ϕ ) u v

  2

  2

  2 Em M , ψ + ψ e, como M ´e denso em R obtemos

  1 uv uu Φ

  1

  1 6= 0. Temos assim que J ≡ 0 em M

  2 que J . Por (2.8) obtemos

  Φ ≡ 0 em R

  2

  2

  2

  2 E + b )E + b = 0, − (1 + a isto ´e, E ´e constante e, consequentemente, K

  ≡ 0, contradizendo a nossa suposi¸c˜ao. Portanto, c f ´e uma curva anal´ıtica complexa n˜ao trivial.

  6= 0 e G

  

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