Hipersuperfícies Mínimas Completas Estáveis Com Curvatura Total Finita

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Universidade Federal de Alagoas Instituto de Matemática

  Se denotarmos por o funcional área, então a fórmula da primeira A variação da área estabelece que Z D E ~′ ( n T , H dM , A ) = − M ~ onde T é o campo variacional associado a variação de x e H é o vetor curvatura média deM . A segunda variação da área é dada pela seguinte fórmula Z Z 2 2 ′′( )( f ) = f ∆ f A f dM f L f dM , A {− − | | } = − M M 2onde ∆ é o Laplaciano de M, A quadrado da norma da segunda forma fundamental e | | ∞ ∞ 2∆ ( ( ) = L : C M C M dado por L A é chamado de operador de estabilidade(ou operador ) → + | | ∞ R( de Jacobi ).

1.3.1 Hipersuperfícies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

  Se denotarmos por o funcional área, então a fórmula da primeira A variação da área estabelece que Z D E ~′ ( n T , H dM , A ) = − M ~ onde T é o campo variacional associado a variação de x e H é o vetor curvatura média deM . A segunda variação da área é dada pela seguinte fórmula Z Z 2 2 ′′( )( f ) = f ∆ f A f dM f L f dM , A {− − | | } = − M M 2onde ∆ é o Laplaciano de M, A quadrado da norma da segunda forma fundamental e | | ∞ ∞ 2∆ ( ( ) = L : C M C M dado por L A é chamado de operador de estabilidade(ou operador ) → + | | ∞ R( de Jacobi ).

2 Como para hipersuperfícies mínimas A

  Assuma que R 3 A dM | | B R = lim 0,1 2q + ∞R → R r 2 < < onde q , B M é uma bola geodésica de raio R centrado em algum ponto de M e A aR ⊂n 1 R segunda forma fundamental de x. Mostraremos que se M tem índice finito então M é estável fora de um conjunto compacto e mostraremos também que 2tem índice finito se, e somente se, existe um número finito de autofunções em L ( ) com MM autovalores negativos de tal forma que o operador L é não-negativo no complemento ortogonal 3do espaço gerado pelas autofunções.

1.1 Tensores

  T ( Y , ..., Y ) ,r r r r ∇ 1 1 )) − (∇ Z 1 ) − − 1 ∇ Z X para todo Y , ..., Y , Z ( M ) .r 1 ∈ X ( ) Para cada Z M a derivada covariante T de T em relação a Z é um tensor de ordem r dado ∈ ∇ Z por ( ( ) T Y , ..., Y T Y , ..., Y , Z .∇ Z r ) = ∇ r 1 1 Antes de prosseguir, vamos relembrar alguns operadores diferenciais que serão usados com frequência no decorrer desta dissertação. Finalmente, o Hessiano de f , que denotaremos por Hess f , é a forma bilinear simétrica∞ X ( ( ( ) Hess f : X M M C M ) × ) → dada porHess f ( p )( X , Y ) = ( XY f )( p Y ( f )( p ) .

1.2 Curvaturas

  A curvatura R de uma variedade Riemanniana M é uma correspondência que associa X X ( ) ( ) ( ( ) a cada par X , Y M uma aplicação R X , Y : X M M dada por ∈ ) → X R ( X , Y ) Z Z Z Z , Z ( M ) , = ∇ Y ∇ X − ∇ X ∇ Y + ∇ [ X ] ∈,Yonde [ X , Y ] = XY YX é o Colchete de Lie. Para quaisquer X, Y, Z, T M são válidas as seguintes relações: ∈ (a) ( X , Y, Z, T ) + ( Y , Z, X, T ) + ( Z , X, Y, T ) = (Bianchi);(b) ( X , Y, Z, T Y , X, Z, T ) ; ) = −( ( ) (c) X , Y, Z, T X , Y, T, Z ; ) = −( ( ) = ( ) (d) X , Y, Z, T Z , T, X, Y .

1 Q ( x , x ) = Ric ( x )

pn 1 − logo, a curvatura de Ricci na direção de x está bem definida de tal modo que não depende da base de T M escolhida.p Por outro lado, à forma bilinear Q em T M corresponde uma aplicação linear auto-adjuntap J : T M T M , dada porp → p ( ) Jx , y Q x , y , h i = ∈ p Portanto, 1 Ric ( x ) = Jx , y .p h i 1 n − Neste caso,n n 1 ( ) = ) ( ) = ( ) ( ) tr J JE , E n

1 Ric E n nJ p

  ∑ h 1 i i = ( − ∑ p i −n = = i 1 i 1 Consequentemente J ( p ) também não depende da forma bilinear simétrica escolhida. 1 Observe que Q é um tensor de ordem 2 e a forma bilinear Q é, às vezes, chamada de n 1 − tensor de Ricci .

1.3 Imersões Isométricas

  Seja x : M M uma imersão de uma variedade diferenciável M de dimensão n em uma → variedade Riemanniana M de dimensão k = . A métrica Riemanniana de M induz + n mde maneira natural uma métrica Riemaniana em M: se v , v T M , define-se v , vp 1 2 ∈ h 1 2 i = dx ( v ) , dx ( v .

2 O intuito desta seção é estudar as relações entre as geometrias de M e M. Inicialmente

  ) ∩ ⊂ ( ) Para simplificar a notação, identificaremos U com x U e cada vetor v T M , q U , com ∈ q ∈ ( dx v T M .q ) ∈ x ( q ) Para cada p M , o produto interno em T M decompõe T M na soma direta ∈ ( ) ( ) x p x p ⊥= ) , T M T M T M ( ) p ⊕ ( p x p ⊥ onde ( T M ) é o complemento ortogonal de T M em T M . pM ) ( T M ∈ p [ ⊥= A partir da decomposição acima, obtemos o fibrado normal em MTM p , vN | ) 7→ ( p , v ( e ) p , vT ) 7→ ( p , v ( Neste caso,TM x T .

1 Y

  Dados g C M e X, Y, Z U , e sejam g, X, Y, Z suas respectivas ∈ ∈ extensões locais a M, entãoA ( X , Y ) = Y Y ∇ − ∇ X X Y X X Y X X ) = ∇ − ∇ + ∇ − ∇ X − (−∇ Y + ∇ Y X Y Y = [ X , Y X , Y ] + A ( Y , X ) = A ( Y , X ) ] − [ [ ] = [ ] pois, em M, X , Y X , Y . ( ) Escolhendo um referencial ortonormal η , , η de vetores em X U , onde U é uma { · · · m } 1vizinhança de p M no qual x é um mergulho, podemos escrever, em p, ∈ mA ( z , y ) = H ( z , y ) η z , y T M , ∑ p i i ∈ i = 1 = onde H H .

1 A seguir apresentaremos duas equações importantes da teoria das imersões isométricas, a saber, equação de Gauss e Codazzi

  As seguintes equações se verificam: (a) Equação de GaussR ( X , Y ) Z , T R ( X , Y ) Z , T A ( Y , T ) , A ( X , Z h i = h i − h )i A ( X , T ) , A ( Y , Z ; (b) Equação de Codazzi ( ) )( )( ) R X , Y Z , η A X , Z, η A Y , Z, η . ) = h i A definição de derivada covariante se estende a este tipo de tensor de maneira bem natural: ( )( , Z, η ) = ( ( , Z, η , Z, η ( , , η ) A Y X A Y A Y A Y Z ∇ X )) − (∇ X ) − ∇ X ⊥ A ( Y , Z, η ) .

1.3.1 Hipersuperfícies

  É conveniente expressar algumas fórmulas vista nesta seção no caso particular em que a 1 n ( imersão isométrica x : M M é dada em codimensão 1. Neste caso x M M é chamada →) ⊂ de hipersuperfície. Às vezes se utiliza também a expressão hipersuperfície para designar a imersão isométrica x.

1. Seja E , . . . , E uma base de vetores de T M . Se M

  Assim, a segunda forma fundamental será dada por ⊥ H ( Z , Y A ( Z , Y ) , N , Z , Y T MeN T M ) ,p p N ) = h i ∈ ∈ ( R e podemos definir o operador h : T M T M dado porp × p → ( ) = ( ( ) h X , Y H X , Y A X , Y , N , X , Y T M , (1.8)N ) = h i ∈ p i = R ) = h , Ej K ( Ei . , Ej k, El i − h Ei , El ( A h , ) , El Ej ( A 1 R ijkmEm A ( Ej m = ∑ = j, Ek )i ) , A ( E , El A ( Ei i, Ek )i ) , A ( E , El ∑ ihii ∑ i 6= jhiihjj = 0, ou seja, | A | 2 = − 2K.

2.1 Primeira Variação da Área

  30 de [5] a qual diz que se V, W ( M ) e ψ é um fluxo local de V numa vizinhança de M, então 1 1 −[ V , W ]( p ) = lim [ dψ ( W W ] , ψ p p) − t l t t → que h i 1 1 − e Φ e = [ ( ( ( )] T , e E lim dΦ E p E 0, p , (2.2)k k t )) − k ttt →∂ = = ( ) = onde T dF e e E dF dϕ E . ∇ Observe que, sendo A a segunda forma fundamental de M e N o campo normal unitário a M em uma vizinhança de p ∈ M , então h A ( X , Y ) , N i = h∇ X Y , N i = − h Y , Assim, ′ ′ dij ( ) = ( ( ) ( )) = ( ( ))ν tr g g tr g t ij ij = dt tn 1 d = E , E ∑ i ih i 2 dti = 1 n 1 = E , E E , E ∑ (h∇ T i i i + h i ∇ T i i) 2 = i 1 n = E , E .

2.2 Segunda Variação da Área

  { D e E 1 ( t ) , · · · En ( t )} é geodésico em p temos que gkl ( ) = δ kle assim ndHtdt t == ∑ ∇ ) ( ) E k tE =∑ k ,l (( BB T )− 1 ) klD e ∇ ( t t ) El ( t ) , Nt E =∑ k ,lgkl ( k ,ldgkldt D e El , NE ∇ E k ( t ) El ( t ) , N tEt = =∑ k,ldgkldt ( ) D e ∇ E k El kT De δ ∇ E k ( t ) Ek ( t ) , Nt Et = . Sendo AN ta segunda forma fundamental na direção normal Nte ( gij )− 1 = Nt e B , Nt i = D n ~ Ht , Nt E =∑ iA N t ( ˜Ei − ) t ) =∑ ( t ) = Ei ( t ) , Ej ( t kaik aij ( t ) ajk ( t ) = ( BB T ) ij, onde B = ( ( ) , ˜E klD e El El ( t ) , Nt E =∑ i ,k,laikail D e ∇ E k ( t ) ( t ) , N ) tE =∑ k ,l (( B− 1 ) T B − 1 ) ail t i t ( t )) , N t .

2 T , e

  Portanto, ∇ E (⇒ ( ∇ E ∇ E k k kZ ∂′′ ( )( f n H f dM t A ) = −∂t M = t Z 2 2 = f ∆ f Ric ( N , N A ) f dM . Agora observe que a equação (2.8) se escreve da seguinte forma Z′′ ( )( f f L f dM , A ) = − M∞ ∞ 2onde L : C C ( M ) é o operador linear dado por L f = + ( Ric ( N , N A ) f .

2.3 Desigualdade de Simons

  |∇| | A || 2 ≤ n ∑ i,k = A 4 1 n k = ∑ i = 1hii ,khii 2 ≤ 4n ∑ 1 n ≤ ∑ i = 1h 2 iin ∑ i = 1h 2 ii ,k 2 ij,k 2 ik,i 2 ki,i ∑ 2 ii,i |∇ M | 1h i 6= kh 2 ii ,k ∑ i = 2 ii,i 3 = 2 ∑ i 6= kh 2 ii ,k ∑ ≥ i = = || i 6= kh A 2 i 1h A || k 6= i 6= j 6= kh ∑ 1h 4 ∆M | A || 2 . Assuma que R 2 A dM | | B Rlim = 0, 2 2q R → R r 2 < < onde q , B M é uma bola geodésica de raio R centrada em algum ponto de M e A aR ⊂n | 1 + q )| A | qf ∇| A | + | A | 1 ∇ f 2dM M = ( 1 ) 2 Z M | A | 2qf 2 |∇| A || 2dM ( |( =Z )Z 2 ∇| A |i dM .

2 Queremos transformar a equação (3.6) de forma que o integrando do lado direito tenha

  Assim, usando a desigualdade de Young para a A 2 f p |∇ |e b A chegamos a 2= | | f 2 2f f |∇ | p p |∇ | + + + 2 2q 2 2 2 2q 2 2 2q − A f = f A = f A A | | |∇ | | | | | | | 2 2f fs t 2 − t α α f ( ) |∇ | 2 2 2 − f A + f A , ≤ | | | | 2s t f ou seja,s t 2 − t α α f |∇ | 2 2 2 2q 2 s ( p ) p 2 2q A f f A f A . Agora, fixando R e 0 θ 1 e |∇ | ≤ tomando f em (3.8) dada por ( 1 para ρ p θR ; ) ≤  R ρ ( p ) − f ( p ) = para θR ρ ( p R ; , ≤ ) ≤ ( )  1 θ R −  para ρ ( p R .

0. Logo, como q , temos n 8

  − nUsando esse valores temos 1 2q + +1 2q Z ) Z2q 1 1 2q 2β α β α f 2 2 |∇ | 4 2q 2 2 3 − | | ≤ | | 1 2q 1 2q + 1 2q + +M Mf 2q 1 2 − Assim, tomando α suficientemente pequeno, temos+ 1 2q 2q 1− β α 2 >β = 1 0. ρ ρ 2 · { 1 | ) − 1 } Se ρ é infinito então, M B ( p ) é estável, isto é, tomando C = B ( p ) , M C é estável.

1 N Afirmação: Existe l tal que ρ é infinito, isto é, existe um ρ tal que M B ( p ) é estável

  RVeja que 1 1 − − ∆Lg = qg = ( u ( x )) u q ( u ( x )) u ∆gR R − R − 1 1 − −= ( u ( x )) u ( x )) qu ∆u − ( 1 −= ( u ( x )) ( qu ) ∆u − 1 −= ( ( )) = u x Lu 0 em A ,R = uma vez que Lu 0 em A . ∇ Aplicando a desigualdade da média aritmética-geométrica em 2ηφ φ η e usando o fato de ∇ · ∇ ( ) que M B p é estável, temos que − 2R Z Z Z 2 2 2 2 2 2Q ( ) ( 1 ) φ dM φ φ qφ dM η qφ dv|∇ | ≤ ) − (|∇ | − − B ( p ) B ( p ) B ( p ) R 2R 2R Z Z 2 2 2 2 η φ + + φ ) dM φ η dM .

1. Logo, (4.10) torna-se:

  |∇ | ≤Z Z Z 2 2 2 2 2 φ dM φ φ qφ dM η qφ dM 2Q 1 |∇ | ≤ ) − (|∇ | − − B ( p ) B ( p ) B ( p ) R 2R 2R Z Z Z 2 2 2 2 η + φ φ dM φ + dM η dM|∇ | |∇ | |∇ | B ( p ) B ( p ) M 2R 2R Z Z 2 2 2 2Q + + ( φ ) + qφ dM ( 1 η ) qφ dM ≤ −( ) ( ) B p B p 2R 2R Z Z 2 ( ) 6 4 1 η − 2 2 2 B ( p ) R B ( p ) R 2R 2R Z 2 2Q ( ) + 2 ( + 1 ) . φ q φ dM≤ B ( p ) 2R Portanto, Z Z 2 2 2Q ( ) + , (4.11) φ dM φ C φ dM|∇ | ≤ B ( p ) B ( p ) R 2R( ) onde C depende do máximo de q em B p .

2 M

  | 2 i,ρ Z (η e assim, Z Mq (η f i,ρ ) 2dM ≤Z M 2 · ∇η |∇ fi ,ρ | 2 i,ρ ∇ fi ,ρ Logo, M 2 i,ρdM ǫ , isso implica queZ 2 i,ρdM ≤Z Mf 2 i,ρ |∇η | 2dM como (−λ i ,ρ ) ≤ − M η − B 2R( p ) f 2 i,ρdM B 2R( p ) η 2f 2f M η ) 2fi ,ρ L fi ,ρdM ≤Z M η 2 ( f i ,ρ∆ fi ,ρ i ,ρ 2 Z ) dM ≤Z Mf 2 i ,ρ |∇η | 2 dM . Assim, −λ i,ρ Z Z Z 2 2 2 2 ( f f ) dM f dM f dM ( ) ( ) ( ) B p B p B p R 2R R Z Z 2 2 f dM c f dM c R ≤ 1 i ,ρ i ,ρ ( ) ( ) B p B p 2R 2R Z 2 ) ( ( ) + + ≤ ( ) ≤ c 1 .

3 Teorema 4.1.1. Seja N uma variedade com curvatura escalar não-negativa, e seja M uma superfície

  De fato, escolhamos uma exaustão de M B p = ∪ R i 2∞ ∞ ( ) (R , i ), tal que B p denota a bola geodésica de M na métrica ds , de raio Ri → → R ii ( ) centrada em p M . Então, para cada i existe um segmento de geodésica γ t que realiza a ∈ i 2 2 2 ( ) = distância de p à fronteira ∂B p na métrica e ds u ds , tal que t é o comprimento de arcoR i 2 de γ na métrica ds .

1. Então, como u é limitado inferiormente, a métrica u é completa

  Como u = em B ( ) , γ é uma pu p R iR R i i i 2 2 geodésica na métrica u ds . Isto é, γ v , assim, pela dependência de soluções em relação aos parâmetros (teoria de → R iEDO), estas geodésicas convergem em um conjunto compacto de [ 0, ∞ ) para uma geodésica 2limitada γ que minimize a e ds distância entre qualquer dois pontos e é parametrizado pelo 2 comprimento de arco na métrica ds .

0. Portanto, podemos substituir γ por γ e assumir que γ M C . Note que

  Seja φ uψ , onde ψ tem suporte compacto em ( ) 0, ∞ , então, ′ ′ ′ φ u ψ uψ e 1 2 1 2 1 2 2 2 − ′ − ′ ′ − ′ ′ ′ ′ u φ u u ψ uψ u u ψ u ψ ψψ assim, por (4.18), Z Z Z 2 ′ ′ ′ ∞ 2 ∞ 2 ∞ u u u | | | | | | 2 2 2 2 ′ ′ ′ φ ds = ψ ds ψ u ( ψ ) 2u + ψψ ds . Então, tξ c e t ξ c , ≤ ≤ | | ≤ | | ≤ 2 R Re assim Z Z ∞ Z ∞ Z ∞ R 2 2 2 2 ′ ′ ′′( ) ) uds uξ 6tξξ t ξ 2t ξξ uds C uds .≤ ≤ (− − − ≤ RComo C não depende de R, essa inequação implica que Z ∞ ∞ uds = 2 2 2assim a métrica e ds = u ds é uma métrica completa em M com curvatura gaussiana não negativa e K em M C .

1 De fato, seja α : a , a A , onde A é a região entre entre C e C , uma curva diferenciável

(− ) → r r r 1 ′ ′ ′( ) = ( ( ) ( )) ( ) = ( ) = ( ( ) ( )) dada por α t α t , α t , onde α p e α t α t , α t e seja x a função 1 2 1 2coordenada. Assim, d ′ ′ x , α ( ) ϕ = ( x α ) = α ( )u = ∇ ◦ | t 1 1dt ex , ϕ 0.v h∇ i = Assim, sendo x = Pϕ temos queu ∇′ ′ ′ ′ ( ) = ( ) = ( ) = ( )α x , α ϕ Pϕ , α ϕ Pα λ ∇ u u u 1 1 1 1

1 Logo, P = . Portanto

  |∇ | = h∇ ∇ i = · 2 λ λ Por outro lado, a estimativa de Cheng-Yau (Veja [15] teorema 6.1 e corolário 6.3) garante quec 2 x . |∇ | ≤ 2 ρ ( z ) Portanto, 1 c, ≤ 2 ( ) ( )λ z ρ z 1 1 c c = b max log max log log ǫ ≤ ≤ 2 2 C C ( ) ( ) r λ + r + ǫ ǫ ρ z min ρ zC r ǫ + ∞Como a métrica é completa, ρ quando ǫ 0, assim, → → ǫ= − ∞ lim b .

3 Corolário 4.1.1. Se N tem curvatura de Ricci não negativa e M é um superfície mínima completa e

  Como o Ric ( 0 a estabilidadeC e − 3 ) ≥de M C dará −Z Z Z 2 2 2 2 2 A φ dM ( Ric ( e A ) φ dM φ dM | | ≤ 3 ) + | | ≤ |∇ |M C M C M C − − −= para todo φ com suporte compacto em M C . Então, Z M − C | A | 2 2 2ǫ, Ri φ 2dM ≤Z M − C |∇ηφ | 2dM =Z M − ) R | ∈ ( (φ | ∈ ( η i: Di → R a função da distância radial definida por η i ( z ) =  se | z 0, ǫ z ) ; r −ǫ ǫ se | z | ∈ [ǫ , 2ǫ ] r = | z | 1 se | C 2 ) dM .

4.2 Superfícies Mínimas com Índice Finito no R

  Assim, comoj j 1 1 1 1 2r r , ≤ ⇒ ≥ ⇒ − ≤ − 2 2r r r r então temos Z Z Zǫ ǫ 1 1 1 1 1 − 2e = =η d v dr dr | ∇ | e 2 1 2 1 2 2 2 M ǫ r log ǫ ǫ r log log ǫ ǫZ Z ǫ ǫ 1 1 1 1 1 1 = dr dr − ≤ − 1 2 1 2 2 log ǫ log ǫ r ǫ r ǫ log log ǫ ǫ h i 1 1 1 1 log ǫ2 = log ǫ log ǫ = = . 1 M1,2 = Pela continuidade de Q com respeito a norma L , Q é negativa definida no espaço W ( ( ) ( ( ) span g , ou seja, Ind M Ind M , mas já sabemos que Ind M Ind M , portanto, { i } ) ≥ L ) ≤ L µµee ( ) = ( ) Ind M Ind M .

4.3 Superfícies Mínimas com Índice 1

  3 2 ( ) Sejam M uma superfície mínima completa e orientável em R e N : M S 1 a → ( ) aplicação de Gauss. Se Ind M é finito então, pelo teorema (4.2.2) M tem curvatura total finita e assim, pelo teorema (4.2.1), existe uma superfície de Riemann compacta M, tal que = M é conformemente equivalente a M p , .

2 Seja ds a métrica em M compatível com a estrutura de Riemann. Definiremos o operador

  1em M por L 1 2∆ L = N , 1 1 + |∇ 1 | 2onde ∆ e são o Laplaciano e o gradiente na métrica ds . Pelo corolário (4.2.1), temos que 1 ∇ 1 1 Ind ( M ) = Ind ( M ) .

1 Denotaremos por Q a forma quadrática associada a L , isto é

  1 1 Z 1 Q ( u uL udv , para todo u H ( M ) .1 ) = − 1 1 ∈ 2 MVamos enunciar agora alguns resultados que serão de grande importância na demonstração do principal teorema deseta seção. Então existe uma transformação conforme g : S ( 1 S ( 1 ) , tal que ) →Z Ψ ( ) = 0,ρ g dv ◦ 1 M 2 onde dv é a medida canônica associada a ds .

1 Lema 4.3.2. Sejam M uma superfície de Riemann compacta com gênero r e p um ponto de M. Então

  2 ( ) Dada uma superfície de Riemann M e uma aplicação meromorfa Ψ : M S 1 então → 2 1 − Ψ ( ) ( ( ) = para qualquer q S 1 o conjunto Ψ q p M p q tem o mesmo número r ∈ ) = { ∈ | } de elementos. Considerando agora a autofunção ϑ de ∆ cujo autovalor associado é o trivial, entãoM ( ) = = 2I 2Iϑ 2ϑ,M M ∆ ( ) ou seja, o primeiro autovalor de 2I é 2 e o segundo é 0.

1 R

  1para todo u C ( M ) tal que ρudv = 0, isto é, u ortogonal a ρ, temos 2∈ 1 ( ) S 1 ( Q u(4.19) ) ≥ 1 = e a realização da igualdade ocorre se, e somente se, L u 0. (4.20)Ψdv 1 MPor outro lado, Z 2 2 2¯Ψ ¯Ψ ¯Ψ ( ) = ) Q N dv ≤ (|∇ | − |∇ | | | 1 1 1 1 M Z 2 2¯Ψ = N ) dv (|∇ 1 | − |∇ 1 | 1 M¯Ψ = [ ( ( )] 8π gr gr N , ) − no qual combinando (4.19) e (4.20) temos que¯Ψ Ψ gr ( ) = gr ( gr ( N ) (4.21) ) ≥ 2¯Ψ ¯Ψ = e vale a igualdade se, somente se, ∆ N 0.

0. Assim, a igualdade em (4.21) implica que

  Como o gr ( N 1, de (4.21), concluímos que gr ( N ) = 1. Assim, a aplicação de Gauss N é injetiva ) ≥ e portanto M é o catenóide ou a superfície de Enneper.

b) Suponha que o gênero de M seja maior ou igual a 1, isto é, g M 1

  Logo,ij ij n n ′ ′ ′ ′ d det ( G ( t )) = a ( ) c ( ) + a ( ) c ( ) = a ( ) + c ( ) . Logo, ′ d 1 1 − −( ( ) ( )) = ( ( ) ( )) det B t B s tr B s B s , = dt t s ou seja,d ′ 1 1 − − det ( B ( s )) det ( B ( t )) = tr ( B ( s ) B ( s )) .

DESIGUALDADE DE YOUNG

  Portanto, suponhamos que a, b 0, com isso podemos considerar os seguintes casos: > = 1 1s t == s t 1 1 1 s a b t t t s t = ( ) = = = + ab a b aa a s t ′′ s t x ( ) = ( ) > b , note que a função g x e é estritamente convexa, pois g x 0 para todo 6= tt . Aplicando isso para λ = 1 s, ( 1 −λ ) = 1 t, x = ln ase y = ln bt = ) eln ( ab )= e ln as s ≤ ass g −λ x ( ∈R .

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