Hipersuperfícies Mínimas Completas Estáveis Com Curvatura Total Finita

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  Universidade Federal de Alagoas Instituto de Matemática Curso de Pós-Graduação em Matemática Dissertação de Mestrado

  

Hipersuperfícies Mínimas Completas Estáveis

Com Curvatura Total Finita

Robério Batista da Rocha

  

Maceió, Brasil

30 de Março de 2010 ROBÉRIO BATISTA DA ROCHA Hipersuperfícies Mínimas Completas Estáveis com Curvatura Total Finita

  Dissertação de Mestrado na área de concentração de Geometria Diferen- cial submetida em 30 de março de 2010 à Banca Examinadora, desig- nada pelo Colegiado do Programa de Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal de Alagoas, como parte dos requisitos necessários à obtenção do grau de mestre em Matemática.

  Orientador: Prof. Dr. Marcos Petrúcio de Almeida Cavalcante Maceió, Brasil 30 de Março de 2010

  Catalogação na fonte Universidade Federal de Alagoas Biblioteca Central Divisão de Tratamento Técnico Bibliotecária Responsável: Helena Cristina Pimentel do Vale R672h Rocha, Robério Batista da.

  Hipersuperfícies mínimas completas estáveis com curvatura total finita / Robério Batista da Rocha, 2010. 99 f. Orientador: Marcos Petrúcio de Almeida Cavalcante. Dissertação (mestrado em Matemática) – Universidade Federal de Alagoas.

  Instituto de Matemática. Maceió, 2010. Bibliografia: f. 97-98. Índices: f. 99.

  1. Ricci, Curvatura de. 2. Curvatura total finita. 3. Hipersuperfícies mínimas.

  4. Morse, Índice de. 5. Operador de estabilidade. 6. Catenóide. 7. Segunda forma fundamental. I. Título.

CDU: 514.772.2

  Aos meus pais Delvani e José, aos meus irmãos Emanuel, Rogério e Maura e a minha querida esposa Maiara.

  

“A Geometria faz com que possamos adquirir o hábito

de raciocinar, e esse hábito pode ser empregado, então,

na pesquisa da verdade e ajudar-nos na vida.” Jacques Bernoulli

  

AGRADECIMENTOS

  Agradeço primeiramente a Deus, por ter me dado força, saúde, coragem e determinação diante de tantas dificuldades que a vida nos oferece. Aos meus pais Delvani e José pelo amor, carinho e dedicação. Bem como aos meus irmãos

  Emanuel e Rogério por serem minha fonte de inspiração, e a minha irmã Maura pelo carinho que sempre tivera por mim.

  A todos os meus tios e primos que de algum modo me deram força para esta vitória. Em especial, agradeço a Ivania e Ivone as quais estiveram sempre dispostas a me ajudar. A minha esposa Maiara Souza Mendes, que com determinação, amor e carinho esteve sempre ao meu lado me dando força e incentivo para chegar até o final deste trabalho. Aos professores da Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal da Bahia e aos colegas do mestrado em Matemática da UFBA. Em especial, aos professores Isaac Lázaro e Enaldo Vergasta pela motivação, aos amigos João Paulo, Roberto, Teles e Wendell pelo companheirismo e Ângela Soldatelli pelo apoio neste final de dissertação.

  Ao professor Jorge Ferreira, pelo incentivo e pela confiança. Ao meu orientador, Prof. Marcos Petrúcio, pela sua orientação, confiança, determinação e por acreditar que eu seria capaz de ir até o final deste trabalho. Agradeço-o também por me motivar a continuar na busca pelo conhecimento.

  Ao professor Feliciano Vitório, que com muita competência, dedicação e paciência me orientou no último capítulo, na correção e na apresentação deste trabalho. Agradeço-o ainda por me incentivar a seguir nos estudos.

  Aos professores Hilário Alencar e Jorge Herbert de Lira, pelas sugestões, correções e dicas de escrita, bem como por concordarem em participar da banca. Aos professores da Pós-Graduação em Matemática da Universidade Federal de Alagoas e aos colegas de mestrado em Matemática da UFAL. Em especial, ao professor Adán Corchó pelo incentivo e pelo apoio como coordenador do programa e aos colegas Fábio, Kennerson, Rodrigo, Viviane, Natália e Alex que estiveram sempre dispostos a me ajudar.

  Ao Instituto Federal de Ciência e Tecnologia de Alagoas. Em especial, às direções e às coordenações do campus Marechal Deodoro que com muita flexibilidade foram essenciais para esta vitória. Bem como a todos os colegas de trabalho que direta ou indiretamente deram suas contribuições.

  Por fim, agradeço a todos que de alguma maneira contribuíram para que esse momento se concretizasse.

  

RESUMO

  O objetivo principal desta dissertação é apresentar alguns resultados importantes sobre hipersuperfícies mínimas no espaço Euclidiano relacionados com o operador de estabilidade. Inicialmente, apresentaremos as demonstrações das fórmulas da primeira e da segunda variações da área bem como a demonstração da desigualdade de Simons. Estes resultados, que são básicos da teoria, serão usados posteriormente. Em seguida, apresentaremos a demonstração do teorema de do Carmo-Peng, o qual assegura que uma hipersuperfície mínima

  2 completa estável imersa no espaço Euclidiano com a norma L da segunda forma fundamental

  3 finita é um hiperplano. Incluiremos na dissertação um resultado análogo com a norma L da segunda forma fundamental. Este último resultado foi provado por Li-Wei no caso em que a hipersuperfície tem dimensão 3, mas notamos que a demonstração se aplica para 3 n 7.

  ≤ ≤

  Concluiremos apresentando alguns resultados sobre hipersuperfícies mínimas não estáveis

  3 no R obtido por Fischer-Colbrie e López-Ros. Em particular, mostraremos que o catenóide e a superfície de Enneper são as únicas superfícies mínimas completas e orientadas com índice igual a um.

  Palavras-chave: Curvatura de Ricci, Curvatura Total finita, Hipersuperfícies Mínimas, Índice de Morse, Operador de Estabilidade, Catenóide, Segunda Forma Fundamental.

  

ABSTRACT

  The main goal of this dissertation is to present some results on minimal hypersurfaces in the Euclidean space related to the stability operator. Initially, we will present the demonstrations of the formulas of first and second variations of area and also the demonstration of the Simons’ inequality. These results (which are basic results of the theory) will be used later. Next we will present the proof of the do Carmo-Peng’s theorem showing that a complete stable minimal hypersurface immersed in the Euclidean

  2 space with finite L norm of the second fundamental form is a hyperplane. We will include

  3 in this dissertation a similar result with the L norm of the second fundamental form. This last result was proved by Li-Wei in the case where the hypersurface has dimension 3, but we note that proof applies to 3 n 7.

  ≤ ≤

  3 We will conclude by presenting some results on non-stable minimal hypersurfaces in R due to Fischer-Colbrie and Lopez-Ros. In particular, we will show that the catenoid and Enneper’s surface are the only minimal complete orientable surfaces with index equal to one.

  Keywords: Ricci Curvature, Finite Total Curvature, Minimal Hypersurfaces, Morse Index, Stability Operator, Catenoid, Second Fundamental Form.

  

SUMÁRIO

  11

  15

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

1.3.1 Hipersuperfícies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

  32

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

  56

  

  . . . . . . . . . . . . . 56

  

  . . . . . . . . . . . . . 63

  

  66

  

  67

  

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

  

  90

  92

  94

  

INTRODUđấO

  • n n

  1 R Seja x : M uma imersão isométrica de uma variedade Riemanniana orientada

  →

  n n

  • n

  1

  1 M = M (uma hipersuperfície em R ) e seja A a sua segunda no espaço Euclidiano R forma fundamental. Se denotarmos por o funcional área, então a fórmula da primeira

  A

  variação da área estabelece que

  

Z

  D E

  ~ ′

  ( n T , H dM , A ) = −

  M

  ~

  onde T é o campo variacional associado a variação de x e H é o vetor curvatura média de M . Como uma consequência deste resultado, as hipersuperfícies mínimas são caracterizadas como pontos críticos para o funcional área, ou seja, a curvatura média dessas hipersuperfícies

  é identicamente nula.

  A teoria das superfícies mínimas tem sua origem com as pesquisas de J. L. Lagrange, em 1760 (veja p. 236). Desde então recebeu colaborações de importantes matemáticos, como por exemplo, Euler, Gauss, Riemann, Plateau, Meusnier, Scherk, Schwarz, Enneper, Weierstrass, Bernstein, Darboux, Douglas, Radó; e mais recentemente, Nitsche, Chern, de Giorgi, Giusti, Miranda, Bombieri, Osserman, Schoen, Simons, Yau, Simon, Gray, White, Bryant, Fischer-Colbrie, Ros, Peréz, Barbosa, do Carmo, Peng, Rosenberg, Meeks, Minicozzi, Colding, Nadirashivili, para citar alguns.

  A segunda variação da área é dada pela seguinte fórmula

  Z Z

  2

  2

  ′′ ( )( f ) = f ∆ f A f dM f L f dM , A {− − | | } = −

  M M

  2 onde ∆ é o Laplaciano de M, A quadrado da norma da segunda forma fundamental e

  | |

  ∞ ∞

  2 ∆

  ( ( ) =

  L : C M C M dado por L A é chamado de operador de estabilidade(ou operador

  ) → + | |

  ∞

  R (

  de Jacobi ). O operador L induz de maneira natural a forma quadrática Q : C M definida

  ) →

  por

  

Z

  Q ( f f L f dM ,

  ) = −

  M que atua no espaço das funções suaves em M. Neste caso, o índice de Morse da hipersuperfície

  ∞ M , denotado por Ind ( M ) , é definido como a dimensão máxima do subespaço V de C ( M ) em que Q é negativa definida. Equivalentemente, Ind ( M ) é o número de autovalores negativos do operador L contados com multiplicidade (veja

  ∞

  ( ( )

  Diremos que uma hipersuperfície mínima é estável se Q f 0 para todo f C M . Em

  ) ≥ ∈ ( ) =

  termos do índice, estabilidade significa que Ind M 0.

  É bem conhecido que gráficos mínimos no espaço Euclidiano são hipersuperfícies mínimas estáveis. A despeito deste fato, temos o famoso problema de Bernstein, a saber, "uma

  • n

  1

  hipersuperfície mínima que é um gráfico inteiro no R é um hiperplano?". Este problema foi mostrado ser afirmativo para n 7 e negativo para n 8 (veja Diante da solução do

  

≤ ≥

  problema de Bernstein, a seguinte pergunta é natural: quais são as hipersuperfícies mínimas

  • n

  1 completas estáveis no R ? Este problema foi resolvido no caso em que n = 2 por do Carmo- Peng (veja Eles mostraram que tal superfície é o plano. Mas será que toda hipersuperfície mínima completa e estável é um hiperplano? Para n 8 a solução do problema de Bernstein fornece a existência de

  ≥

  hipersuperfícies que são gráficos mínimos completos, porém não são hiperplanos. No caso em que 3 n 7 este problema encontra-se completamente em aberto.

  ≤ ≤

  Nesta dissertação, apresentaremos a demonstração de um outro teorema de do Carmo- Peng, feito em 1980 (veja onde este problema é resolvido com uma condição sobre o decaimento da norma da segunda forma fundamental, mais precisamente:

  • n n

  1 R

Teorema A (do Carmo - Peng). Seja x : M uma hipersuperfície mínima completa e estável.

  → Assuma que

  R

  2 A dM

  

| |

  B R lim = 0,

  • +

  2 2q

  →

  R R

  r

  2

  < <

  onde q , B M é uma bola geodésica de raio R centrada em algum ponto de M e A a R ⊂ n

  • n

  1

  

R

( segunda forma fundamental de x. Então x M é um hiperplano.

  ) ⊂

2 Como para hipersuperfícies mínimas A

  2K, onde K é a curvatura escalar, temos como

  | | = −

  consequência desse Teorema que hipersuperfície mínima, completa e estável com curvatura total finita é um hiperplano.

  Usando as técnicas da demonstração do Teorema A, provaremos o seguinte resultado n n

  1

  • R Teorema B (Li-Wei). Seja x : M (

  3 n 7) uma hipersuperfície mínima completa e

  → ≤ ≤

  estável. Assuma que

  R

  3 A dM

  

| |

  B R

  =

  lim 0, 1 2q +

  ∞ R

  → R

  r

  2

  < <

  onde q , B M é uma bola geodésica de raio R centrado em algum ponto de M e A a R ⊂ n

  • n

  1 R segunda forma fundamental de x. Então x ( M é um hiperplano.

  ) ⊂ =

  Este teorema foi provado por Li-Wei em 2006 (veja apenas para n 3, mas notamos que a demonstração se aplica para 3 n

  7.

  ≤ ≤

  Para finalizar esse trabalho, faremos um estudo sobre superfícies mínimas completas M

  3 com índice finito em uma variedade Riemanniana N (veja Mostraremos que se M tem índice finito então M é estável fora de um conjunto compacto e mostraremos também que

  2 tem índice finito se, e somente se, existe um número finito de autofunções em L ( ) com

  M M autovalores negativos de tal forma que o operador L é não-negativo no complemento ortogonal

  3 do espaço gerado pelas autofunções. No caso em que N é o espaço Euclidiano R , provaremos que para qualquer superfície mínima completa e orientável a condição de que M tenha índice finito é equivalente a condição de que M tenha curvatura total finita. Mostraremos que se M é uma superfície mínima completa então M é conforme a uma superfície de Riemann menos um número finito de pontos. No caso em que a curvatura escalar de N é limitada inferiormente por uma constante positiva então M será compacta. Se N tem curvatura de Ricci não-negativa,

  2

  3 mostraremos que A é integrável em M e isso implica o resultado para R . Esses resultados

  | | foram estudados, em 1985, por Fischer-Colbrie (veja Para finalizar este trabalho, mostraremos que "O catenóide e a superfície de Enneper são as únicas superfícies mínimas completas e orientáveis com

  índice igual a 1."

  

CAPÍTULO 1

PRELIMINARES

  Neste capítulo, introduziremos algumas definições e alguns resultados básicos de Geometria Riemanniana com o intuito de fixar a notação, admitindo que o leitor esteja familiarizado com os pré-requisitos necessários. Ao longo desta dissertação, a palavra

  ∞ diferenciável sempre significará de classe C . Para este capítulo as principais referências são

1.1 Tensores

  A ideia de tensor é uma generalização natural da ideia de campos de vetores, e o ponto importante é que, analogamente aos campos de vetores, os tensores podem ser derivados covariantemente. n

  ( )

  Seja M uma variedade diferenciável orientada de dimensão n. Vamos denotar por X M o ∞

  ( )

  conjunto dos campos diferenciáveis em M e por C M o conjunto das funções diferenciáveis ∞ em M. Convém observar que X ( ) é um módulo sobre o anel C ( ) , isto é, X ( ) tem uma

  M M M ∞ estrutura linear quando tomamos como “escalares” os elementos de C ( M ) .

  Definição 1.1.1. Um tensor covariante T de ordem r é uma aplicação multilinear

  ∞

  X

  ( ( ) ( ) T : X M ... M C M .

  

) × × →

  | {z } r f atores

  X

  ( ) ( )

  Isto quer dizer que, dados Y , ..., Y M , T Y , ..., Y é uma função diferenciável em M, e T é r ∈ r

  1

  1 linear em cada argumento, ou seja,

  ( ) = ( ) + ( + )

  T Y , ..., f X gY , ..., Y f T Y , ..., X , ..., Y gT Y , ..., Y , ..., Y 1 i i r 1 i r 1 i r

  ∞

  X para todo i = 1, ..., r, X , Y , ..., Y ( M ) e f , g C ( M ) . r i

  1 ∈ ∈ O tensor T é diferenciável em p M se, escolhido um referencial móvel E , . . . , E , n

  ∈ {

  1 } as componentes de T em relação a esse referencial são diferenciáveis em p. O tensor T é diferenciável em M se é diferenciável em cada p M . No decorrer desta dissertação, diremos

  ∈ somente que T é um tensor, omitindo a palavra diferenciável.

  n

  ( )

  Para o que se segue, M , g é uma variedade Riemanniana orientada de dimensão finita n 2, munido da métrica Riemanniana g, ou simplesmente , , a qual denotaremos apenas por

  ≥ h i M e com a Conexão de Levi-Civita de M denotada por .

  ∇

  Analogamente a um campo de vetores, um tensor pode também ser derivado. A seguinte definição introduz a noção de derivada de tensores.

  Definição 1.1.2. Seja T um tensor de ordem r. A diferencial covariante

  T de T é um tensor de ordem

  ∇

  • 1 ) ( r dado por

  T ( Y , ..., Y , Z ) = Z ( T ( Y , ..., Y T Y , ..., Y ... T ( Y , ..., Y ) , r r r r

  ∇

  1 1 )) − (∇ Z 1 ) − − 1 ∇ Z

  X para todo Y , ..., Y , Z ( M ) . r 1 ∈

  X

  ( )

  Para cada Z M a derivada covariante T de T em relação a Z é um tensor de ordem r dado

  ∈ ∇ Z

  por

  ( ( ) T Y , ..., Y T Y , ..., Y , Z . ∇ Z r ) = ∇ r

  1

  1 Antes de prosseguir, vamos relembrar alguns operadores diferenciais que serão usados com frequência no decorrer desta dissertação.

  ∞

  ( )

  Dada uma função f C M , definimos o gradiente de f como sendo o único campo

  ∈

  vetorial : M dado por f TM

  ∇ →

  f ( p ) , X d f ( X ) , p M , X T M . p p

  h∇ i = ∈ ∈ Em outras palavras, f é o dual da forma d f na métrica Riemanniana. ∇

  Considerando um referencial ortonormal E , . . . , E em um aberto U M podemos

  { n } ⊂

  1 escrever, n d f = f w ,

  ∑ i i

  i =

  1

  =

  onde w , i 1, ...n, são as n 1-formas duais associadas ao referencial E , . . . , E , ou seja, i

  { n }

  1

  ( ) = = ( )

  w E δ . A função f é chamada a derivada de f na direção E . Além disso, f d f E , isto i j ij i i i i

  é, n f = f E .

  

∇ i i

  i =

  1 X

  ( )

  Outro conceito importante é o de divergência de um campo. Dado X M , definimos a

  ∈ R

  divergência de X como sendo a aplicação divX : M dada por

  →

  divX ( p ) = Tr ( Y ( p X )( p )) ,

  ) 7→ (∇ Y

  onde tr ( Y ( p X )( p )) é o traço da aplicação linear Y ( p X )( p ) .

  ) 7→ (∇ Y ) 7→ (∇ Y Sejam X um campo diferenciável de vetores em M e E , . . . , E um referencial geodésico.

  n

  {

  1 } n

  = ∑

  Escrevendo X x E temos que

  = k k

  k

  1 n

  =

  divX X , E E , E (1.1)

  ∑ h∇ E j ih i j i

i

  i = ,j

  1 n n

  =

  x E , E E , E

  ∑ h∇ E ∑ j ih i j i i k k i = k =

  ,j

  1

  1 n

  = ( )

  E x E , E E , E

  ∑ h ih i

  i k k j i j i = ,j,k

  1 n

  = E ( x ) ∑

  i i i = 1 n

  =

  x ,

  ∑ i

  ;i i = 1 onde usamos a seguinte notação, x = E ( x ) . i ;i i i

  ∞ Agora, dada uma função f C ( M ) , definiremos o Laplaciano de f como sendo a aplicação

  ∈

  ∞

  R

  : M dada por ∆ f ( p ) = div f )( p ) . Observe que ∆ f C ( M ) e tomando o ∆ f

  → (∇ ∈

  referencial geodésico E , . . . , E podemos expressar o Laplaciano de f por

  { n }

  1

  = )( )

  ∆ f div f p

  (∇

  n

  = div ( f E ) ∑ i i

  =

  i

  1 n

  

= f .

  

  ii i =

  1 ∞ ∞

  O operador linear ∆ : C ( M C ( M ) , dado por

  ) → = div f ) ,

  ∆ f

  (∇ é chamado de Laplaniano de M.

  Finalmente, o Hessiano de f , que denotaremos por Hess f , é a forma bilinear simétrica ∞

  X

  ( ( ( )

  Hess f : X M M C M

  ) × ) →

  dada por Hess f ( p )( X , Y ) = ( XY f )( p Y ( f )( p ) .

  ) − ∇

  X R Observe que sendo f : M uma função diferenciável. Podemos considerar f como

  →

  sendo um tensor covariante de ordem 0, o qual denotaremos por f . De forma geral,

  ∇

  k 1 + podemos definir indutivamente o tensor covariante f da seguinte forma:

  ∇

  • + k k

  1

  )

  f f ,

  ∇ = ∇(∇

  ou seja,

  • k

  1 k

  ( , ..., Y , Z ) = ( , ..., Y ))

  f Y Z f Y

  ∇

  1 k (∇ 1 k k k f Y , ..., Y ... f ( Y , ..., Y ) .

  −∇ (∇ Z

  1 k ) − − ∇ 1 ∇ Z k

  1

  2 X Assim, por exemplo, dados X, Y ( M ) temos que f e o f coincidem,

  ∈ ∇ ∇

  ∈

  X respectivamente, com o gradiente e o Hessiano de f . De fato, dados X, Y ( M )

  1

  ( ) = ) = ( )

  f

  X X f d f

  X

  ∇ (∇

  

f .

  k

  f ∆g

  =

  E k g

  1 f E k

  =

  k

  ∑

  1 E k gE k f + n

  =

  k

  ∑

  1 E k gE k f + n

  =

  ∑

  ∑

  E k f + n

  1 gE k

  =

  k

  ∑

  n

  =

  k f + f E k g )

  ( gE

  1 E k

  =

  k

  ∑

  n

  k =

  ) =

  i .

  2 é o quadrado da norma do campo

  |

  f

  |∇

  2 , (1.2) onde

  |

  f

  f ∆ f

  =

  2

  2 ∆ f

  1

  Em particular,

  g

  1 E k gE k f

  ∇

  f ,

  h∇

  2

  = f ∆g + g∆ f +

  E k

  E k f k

  1 g k

  k =

  ∑

  n

  f ∆g

  =

  n

  p

  e

  X

  ∇ f .

  1 f apenas por

  ∇

  Por simplicidade, denotaremos

  ) .

  f

  (

  X

  ) − ∇ Y

  f

  (

  YX

  ) =

  1 Y

  Lema 1.1.1. Seja f ∈

  (∇

  1 f

  )) − ∇

  X

  (

  1 f

  (∇

  Y

  ) =

  X , Y

  (

  2 f

  ∇

  O lema a seguir é um fato bem simples e incluiremos aqui a sua demonstração para completude do texto.

  C ∞

  )(

  1 , ..., E n

  f g

  (

  1 E k E k

  k =

  ∑

  n

  ) =

  p

  )(

  f g

  (

  em uma vizinhança de p. Então, ∆

  }

  E

  (

  {

  M e escolha um referencial ortonormal geodésico

  ∈

  Demonstração. Fixe p

  i .

  g

  ∇

  f ,

  h∇

  2

  ( f g ) = f ∆g + g∆ f +

  . Então ∆

  )

  M

  • g∆ f
  • 2
  • g∆ f
  • 2
  • |∇

1.2 Curvaturas

  Nesta seção, recordaremos os conceitos básicos de curvatura em uma variedade Riemanniana. A curvatura, intuitivamente, mede o quanto localmente uma variedade Riemanniana deixa de ser o espaço Euclidiano. Dando sequência, definiremos mais especificamente a curvatura seccional, a curvatura de Ricci e a curvatura escalar. Nossa principal referência foi o livro

  

Definição 1.2.1. A curvatura R de uma variedade Riemanniana M é uma correspondência que associa

  X X

  ( ) ( ) ( ( )

  a cada par X , Y M uma aplicação R X , Y : X M M dada por

  ∈ ) →

  X R ( X , Y ) Z Z Z Z , Z ( M ) ,

  = ∇ Y ∇

  X − ∇ X ∇ Y + ∇ [ X ] ∈ ,Y onde [ X , Y ] = XY YX é o Colchete de Lie.

  −

  Observe que é frequente na literatura encontrarmos a definição de curvatura que difere da definição acima por sinal, (veja por exemplo A seguir, enunciaremos algumas das principais propriedades de curvatura.

  Proposição 1.2.1. A curvatura R de uma Variedade Riemanniana goza das seguintes propriedades:

  X (i) R é bilinear em X ( M ( M ) , isto é,

  ) ×

  • ( ) = ( ) + ( )

  R f X gX , Y f R X , Y gR X , Y

  1

  2

  1

  1

  1

  2

  1

  ( ) = ( ) + ( + )

  R X , f Y gY f R X , Y gR X , Y

  1

  1

  2

  1

  1

  1

  2 ∞

  X

  ( ) ( )

  f , g C M e X , X , Y , Y M ;

  ∈

  1

  2

  1 2 ∈

  X X

  ( ) ( ) ( ( )

  (ii) Para todo X , Y M o operador curvatura R X , Y : X M M é linear, isto é,

  ∈ ) →

  R ( X , Y )( Z W ) = R ( X , Y ) Z R ( X , Y ) W + + R ( X , Y ) f Z = f R ( X , Y ) Z

  ∞

  X f C ( M ) , Z , W ( M ) ;

  ∈ ∈

  X

  ( )

  (iii) (Primeira Identidade de Bianchi). Para quaisquer X , Y, Z M vale

  ∈ ( )

  • ( ( ) + ) =

  R

  X Z R Y , Y , Z , X

  X R Z Y 0.

  

Observação 1.2.1. Uma análise da proposição acima mostra que a necessidade do aparecimento do

( )

  termo Z na definição de curvatura está ligado ao fato de desejarmos que a aplicação R X , Y :

  ∇ [

  X ,Y ]

  X X

  ( ( ) M M seja linear.

  ) →

  De agora em diante, usaremos a notação R ( X , Y ) Z , T X , Y, Z, T ) .

  h i = ( E temos as seguintes propriedades decorrentes das anteriores.

  X

  ( ) Proposição 1.2.2. Para quaisquer X, Y, Z, T M são válidas as seguintes relações:

  ∈

  (a) ( X , Y, Z, T ) + ( Y , Z, X, T ) + ( Z , X, Y, T ) = (Bianchi); (b) ( X , Y, Z, T Y , X, Z, T ) ;

  ) = −( ( )

  (c) X , Y, Z, T X , Y, T, Z ;

  ) = −( ( ) = ( )

  (d) X , Y, Z, T Z , T, X, Y .

  É conveniente escrever o que foi visto acima em um sistema de coordenadas ( , x ) em torno U

  

  do ponto p M . Indicaremos = E . Ponhamos

  ∈ i x i

  R ( E , E ) E = R E . (1.3)

  ∑

  i j k ijkl l l

  ( ) Assim R são as componentes da curvatura R em U , x .

  ijkl Relacionado com o tensor curvatura está a curvatura seccional, que passaremos a definir.

  Dado um espaço vetorial V e x, y V , indicaremos por x y a expressão

  

∈ | ∧ |

  q

  2

  2

  2 x y x , y ,

  

| | | | − h i

  que representa a área do paralelogramo bi-dimensional determinado pelo par de vetores x , y

  V

  ∈ Definição 1.2.2. Dado p

  M e um subespaço bi-dimensional σ T M, o número real

  ∈ ⊂ p ( x , y, x, y )

  K ( σ ) = K ( x , y ) = ,

  2 x y

  | ∧ |

  • by e cx
  • dy sejam linearmente independentes, temos que
  • by
  • dy
  • by , cx
  • dy , ax
  • by , cx
  • +

    dy
  • dy , ax
  • by , cx
  • dy
  • dy , ax
  • by , cx
  • dy
  • by , cx
  • dy
  • by , cx
  • dy
  • dy
  • dy
  • dy

  • b
  • dy
  • +

    by
  • dy

  Algumas combinações das curvaturas seccionais aparecem com tanta frequência que elas merecem nomes. Seja x = E n um vetor unitário em T p

  2 = K ( x , y ) .

  |

  cx

  ∧

  ax

  ( ax + by , cx + dy , ax + by , cx + dy ) |

  Portanto, K ( ax + by , cx + dy ) =

  2 ( x , y, x, y ) .

  bc )

  = ( ad −

  x , y, x, y )

  )(

  2

  2adbc + b

  2 c

  −

  2

  2 d

  a

  ) = (

  x , y, x, y

  (

  2

  2 c

  b

  ) +

  x , y, x, y

  (

  adbc

  M ; tomemos uma base ortonormal

  {

  E

  =

  ( E

  1 Ric p

  j =

  

  1 n n

  K ( p ) =

  x , E i i e

  )

  x , E i

  (

  R

  h

  1

  i

  1 ,

  ∑

  1

  −

  1 n

  −

  1 n

  ) =

  x

  (

  M ortonormal a x e consideremos as seguintes médias: Ric p

  1 } do hiperplano de T p

  −

  , E n

  · · ·

  ) −

  (

  x , y, x, y

  )

  b

  

) +

  x , cx

  (

  a

  ) = =

  ax

  (

  M , temos também que

  T p

  ∈

  e, usando a linearidade, a Proposição e o fato de que ( x , x, y, z ) = 0 para todo x, y, z

  2

  bc

  y , cx

  −

  ad

  = (

  2

  |

  cx

  ∧

  ax

  |

  tais que ax

  ∈ R

  ∈ σ . De fato, dados a, b, c, d

  Observe que K não depende da escolha dos vetores x, y

  onde x , y é uma base qualquer de σ, é chamado curvatura seccional de σ em p.

  (

  ) =

  adbc

  ) +

  ) −

  x , y, x, y

  (

  2

  2 d

  a

  ) =

  x , y, y, cx

  (

  2 c

  )

  y , x, x, cx

  (

  bca

  x , y, y, cx

  ad

  (

  adb

  ) +

  x , y, x, cx

  (

  2 d

  a

  ) =

  y , x, ax

  

(

  bc

  ) +

  x , y, ax

  (

  j ) . As médias acima são denominadas, respectivamente, curvatura de Ricci na direção de x e curvatura escalar em p. Portanto, podemos escrever a curvatura escalar da sequinte forma:

  1

  ( ) = ( , E ) , Ej . (1.4)

  K p R E E

  ∑ h i j i i ( )

  n n

  1

  −

  i j

  6=

  Vamos provar que essas médias não dependem da escolha das correspondentes bases ortonormais de T M . p

  M T M x Tr z R x y p × p → 7→ Proposição 1.2.3. Q é uma aplicação bilinear simétrica.

  R Considere a seguinte aplicação Q : T dada por Q ( , y ) = ( ( , z ) ) .

  Demonstração. Com efeito, considerando o referencial ortonormal de T M escolhido acima, p temos que n n

  

( ) = ( ) = ( ) = ( )

Q x , y x , E , y, E y , E , x, E Q y , x .

  

∑ i i ∑ i i

= =

  i 1 i

  1 Logo, Q é simétrica. Além disso, n Q ( x αy , z ) = , E , z, E

  • ( x αy )

  ∑

  i i i = 1 n n

  = ( ) + ( )

  x , E , z, E α y , E , z, E

  ∑ i i ∑ i i

  1

  i = 1 i =

  

= Q ( x , z ) + αQ ( y , z )

R

  para todos x, y, z T M e α . Usando a simetria e a bilinearidade na primeira entrada de p

  ∈ ∈ Q obtemos assim, a sua bilinearidade.

  Notemos que

1 Q ( x , x ) = Ric ( x ) ,

  p n

  1

  −

  logo, a curvatura de Ricci na direção de x está bem definida de tal modo que não depende da base de T M escolhida. p

  Por outro lado, à forma bilinear Q em T M corresponde uma aplicação linear auto-adjunta p

  J : T M T M , dada por p → p

  ( )

  Jx , y Q x , y ,

  h i = para todo x, y T M .

  ∈ p

  Portanto,

  1 Ric ( x ) = Jx , y . p

  h i

  1 n

  −

  Neste caso, n n

  1

  

( ) = ) ( ) = ( ) ( )

  tr J JE , E n

1 Ric E n 1 nJ p .

  ∑ h

  1 i i = ( − ∑ p i − n

  = =

  i 1 i

  1 Consequentemente J ( p ) também não depende da forma bilinear simétrica escolhida.

  1 Observe que Q é um tensor de ordem 2 e a forma bilinear Q é, às vezes, chamada de n

  1

  − tensor de Ricci .

1.3 Imersões Isométricas

  Seja x : M M uma imersão de uma variedade diferenciável M de dimensão n em uma

  →

  variedade Riemanniana M de dimensão k = . A métrica Riemanniana de M induz + n m de maneira natural uma métrica Riemaniana em M: se v , v T M , define-se v , v p

  1 2 ∈ h

  1 2 i = dx ( v ) , dx ( v . Nesta situação, x passa a ser uma imersão isométrica de M em M. p p

  h

  1 ) i

2 O intuito desta seção é estudar as relações entre as geometrias de M e M. Inicialmente

  notamos que, para cada p M , existe uma vizinhança U M de p tal que x ( U M é

  ∈ ⊂ ) ⊂

  uma subvariedade de M. Isto quer dizer que existe uma vizinhança U M de x ( p ) e um

  ⊂

  k k

  R

  difeomorfismo ϕ : U V em um aberto V do R , tais que ϕ aplica difeomorficamente

  → ⊂

  n k

  R ( x U U em um aberto do subespaço R .

  ) ∩ ⊂ ( )

  Para simplificar a notação, identificaremos U com x U e cada vetor v T M , q U , com

  ∈ q ∈ (

  dx v T M . q ) ∈ x ( q )

  Para cada p M , o produto interno em T M decompõe T M na soma direta

  ∈ ( ) ( )

  x p x p

  ⊥ = ) ,

  T M T M T M

  ( ) p ⊕ ( p

  x p

  ⊥ onde ( T M ) é o complemento ortogonal de T M em T M .

  p p x ( p )

  ⊥

  Denominamos espaço normal da imersão x em p ao conjunto ( T M ) . Assim, cada v T M , p

  ∈ x ( p )

  pode ser escrito como T N T N

  ⊥

) + = v v v , v T M e v T M . ∈ p ∈ ( p Diz-se que v T

  é a componente tangencial de v e v N a componente normal de v. Tal decomposição

  )

  X Y

  − ∇

  X Y

  (∇

  1 são extensões de X e Y, respectivamente, então temos

  1 e Y

  1 . Com efeito, se X

  1 e Y

  não depende das extensões X

  X , Y

  X

  (

  Afirmamos que A

  (1.5) é um campo local em M normal a M.

  X Y ) N

  = (∇

  X Y :

  

− ∇

  X Y

  ∇

  ) − (∇

  1 − ∇

  →

  ) = + =

  X , Y ) está

  = 0 ao longo de uma trajetória de X. Portanto A (

  1

  Y

  = 0 em M e Y −

  1

  X

  −

  0, pois X

  1

  X Y

  Y

  −

  Y

  1 (

  X

  1 Y − ∇

  X

  −

  X

  ) = ∇

  M . Para isto convém introduzir previamente a seguinte definição: Se X, Y são campos locais em M, A ( X , Y ) =

  Queremos definir a segunda forma fundamental da imersão x : M

  é evidentemente diferenciável no sentido que as aplicações de TM em TM dadas por

  ) são diferenciáveis.

  ⊥ .

  p M )

  ( T

  M

  

  p

  

[

  ⊥ =

  A partir da decomposição acima, obtemos o fibrado normal em M TM

  p , v N

  |

  ) 7→ (

  p , v

  (

  e

  )

  p , v T

  ) 7→ (

  p , v

  (

  Neste caso, TM

  x

  T .

  TM

  )

  X Y

  

= (∇

  X Y

  ∇

  . Se X e Y são campos locais de vetores em M, e X, Y são extensões locais a M, definimos a conexão em M por

  ∇

  A conexão Riemanniana de M será indicada por

  ⊥ .

  } = TM ⊕

  (

  M é a projeção

  →

  x ( M ) , π : TM

  ) ∈

  X

  TM ; π (

  ∈

  X

  ) = {

  M

1 Y

  bem definido e vale que:

  = ( )

  Y Y Y Y A X , Y .

  ∇ − ∇

  X = ∇ − ∇

  X

  1 X

  X

  1 ⊥

  No que se segue, indicaremos por X ( ) o espaço vetorial dos campos de vetores normais U a x ( U ) .

  ⊥

  X X

  ∈ ) × ) →

  X Proposição 1.3.1. Se X, Y ( U ) , a aplicação A : X ( U ( U ( U ) dada por

  A ( X , Y ) = Y Y

  X

  ∇ − ∇

  X é bilinear e simétrica.

  ∞

  X

  ( ) ( )

  Demonstração. Dados g C M e X, Y, Z U , e sejam g, X, Y, Z suas respectivas

  ∈ ∈

  extensões locais a M, então A ( X , Y ) = Y Y

  ∇ − ∇

  X X Y

  X X Y

  X X )

  = ∇ − ∇ + ∇ − ∇

  X − (−∇ Y + ∇ Y

  X Y Y

  = [

  X , Y X , Y ] + A ( Y , X ) = A ( Y , X )

  ] − [ [ ] = [ ]

  pois, em M, X , Y X , Y . Provando, com isso, que A é simétrica.

  Observe também que em M

  

( ) = = = ( )

  A gX , Y Y Y g Y g Y gA X , Y .

  ∇ − ∇ gX ∇ − ∇

  X gX

  X Além disso,

  X Y , Z ) = Z Z

  • X Y X + Y
  • A ( ∇ − ∇

  Z Z Z Z

  X

  = ∇ − ∇ + ∇ − ∇ Y

  X Y

  = ( ) + ( )

  A X , Z A Y , Z . Usando a simetria de A provamos assim a linearidade na segunda componente. Portanto A é bilinear. Como A é bilinear, concluímos, exprimindo A em um sistema de coordenadas, que o valor

  ( )( ) ( ) ( )

  A X , Y p depende apenas de X p e Y p .

  ⊥ )

  Agora podemos definir a segunda forma fundamental. Sejam p M e η T M . A

  ∈ ∈ ( p R

  aplicação H : T M T M dada por

  η p × p → ( , y ( , y ) , η , , y

  H z A z z T M

  

η ) = h i ∈ p

  que é, pela Proposição uma forma bilinear simétrica é chamada segunda forma fundamental de x em p .

  Às vezes se utiliza também a expressão segunda forma fundamental para designar a aplicação A . Observe que à aplicação bilinear H fica associada uma aplicação linear auto-adjunta

  η

  S : T M T M dada por

  η p → p

( ) ( ( )

S z , y H z , y A z , y , η .

h η i = η ) = h i

  A proposição seguinte nos dá uma expressão da aplicação linear associada à segunda forma fundamental em termos da derivada covariante.

  ⊥

Proposição 1.3.2 (Fórmula de Weingarten). Sejam p M, z T M e η T M ) . Seja N uma

  p p

  ∈ ∈ ∈ (

  extensão local de η normal a M. Então T

  

( )

S z N .

  η ) = −(∇ z

  Demonstração. Dados z, y T M denotamos por Z e Y as extensões locais, respectivamente, de

  ∈ p

  z e y tangentes a M e por Z e Y as extensões locais de Z e Y, respectivamente, tangente a M, então, S ( z ) , y H ( z , y A ( z , y ) , η Y Y , N p )

  η η h i = ) = h i = h∇ − ∇ Z i(

  Z Y , N p Y , N p Y , N p )

  Z

  = h∇ i( ) − h∇ i( ) = h∇ i(

  Z Z T Y , N p Y , N ) p )

  

= −h ∇ i( ) = −h (∇ i(

  Z Z T

  ( ) y , N . = −h ∇ i

  Z T

  η ) = −(∇ z ⊥

  ( ) Portanto, S z N .

  ( )

  Escolhendo um referencial ortonormal η , , η de vetores em X U , onde U é uma

  { · · · m }

  1 vizinhança de p M no qual x é um mergulho, podemos escrever, em p,

  ∈

  m A ( z , y ) = H ( z , y ) η z , y T M ,

  ∑ p

  i i ∈ i =

  1

  = onde H H .

  η

  i i O vetor normal m

  1

  ~

  H ( p ) = A ( E , E ) (1.6)

  ∑ i i

  n i =

  1 não depende do referencial E escolhido. Fica assim bem definido, em cada p M , um vetor i

  ∈ ~

  H ( p ) normal a M em p, denominado o vetor curvatura média de x em p. Além disso, o quadrado da norma da segunda forma fundamental de x é definido por k

  2

  2

  = (

  A A E , E . (1.7)

  

| | ∑ | i j )|

=

  i ,j

1 A seguir apresentaremos duas equações importantes da teoria das imersões isométricas, a saber, equação de Gauss e Codazzi.

  Teorema 1.3.1. As seguintes equações se verificam:

  (a) Equação de Gauss R ( X , Y ) Z , T R ( X , Y ) Z , T A ( Y , T ) , A ( X , Z

  h i = h i − h )i

  A ( X , T ) , A ( Y , Z ;

  • h )i

  (b) Equação de Codazzi

  ( ) )( )( )

  R X , Y Z , η A X , Z, η A Y , Z, η .

  h i = (∇ Y ) − (∇

  X

  ⊥

  Dada uma imersão isométrica, convém indicar por X ( ) o espaço dos campos de vetores M normais a M. A segunda forma fundamental da imersão pode então ser considerada como um tensor

  ⊥

  X X D

  ( ( ( ) ( )

  A : X M M M M

  

) × ) × →

  definido por

  ( ( )

  A X , Y, η A X , Y , η .

  ) = h i

  A definição de derivada covariante se estende a este tipo de tensor de maneira bem natural:

  

( )( , Z, η ) = ( ( , Z, η , Z, η ( , , η )

  A Y

  X A Y A Y A Y Z

  ∇

  X )) − (∇ X ) − ∇

  X

  

A ( Y , Z, η ) .

  − ∇

  X O teorema a seguir relaciona a curvatura de M com a curvatura de M e as segundas formas fundamentais. Se x, y T M T M , são linearmente independentes, indicaremos por K ( x , y ) p p

  ∈ ⊂ ( )

  e K x , y as curvaturas seccionais de M e M, respectivamente, no plano gerado por x e y.

  Teorema 1.3.2 (Gauss). Sejam p M e x , y vetores ortonormais de T M. Então ∈ p

  2 ( , y ( , y ( , x ) , A ( , y ( , y .

  K x K x A x y A x

  

) − ) = h )i − | )|

1.3.1 Hipersuperfícies

  É conveniente expressar algumas fórmulas vista nesta seção no caso particular em que a

  • n

  1 n

  (

  imersão isométrica x : M M é dada em codimensão 1. Neste caso x M M é chamada

  → ) ⊂

  de hipersuperfície. Às vezes se utiliza também a expressão hipersuperfície para designar a imersão isométrica x.

  ⊥ )

  Sejam p M e N T M , N

1. Seja E , . . . , E uma base de vetores de T M . Se M

  ∈ ∈ ( p | | = { n } p

  1 e M são ambas orientáveis e estão orientadas então o vetor N fica univocamente determinado se exigirmos que sendo E , . . . , E uma base na orientação de M, E , . . . , E , N seja uma

  {

  1 n } { 1 n } base na orientação M.

  Assim, a segunda forma fundamental será dada por

  ⊥

  H ( Z , Y A ( Z , Y ) , N , Z , Y T MeN T M ) , p p

  N ) = h i ∈ ∈ (

  R

  e podemos definir o operador h : T M T M dado por p × p →

  ( ) = ( ( )

  h X , Y H X , Y A X , Y , N , X , Y T M , (1.8) N ) = h i ∈ p

  • 1
  • h
    • n

  • − h

  i = R

  

) = h

  , E j

  K ( E i

  . (1.9) Em particular, fazendo k = i e l = j , obtemos a curvatura seccional em termos da segunda forma,

  h jl h ik − h il h jk

  =

  Portanto podemos escrever a equação de Gauss como R ijkl

  il h jk .

  ijkl − h jl h ik

  N

  2 ij .

  ) , N

i

  , E k

  A ( E j

  ) , h

  , E l

  A ( E i

  i

  N

  i

  jj h ii − h

  Além disso, se

  )

  h jj h ii .

  =

  Finalmente, se supusermos que trA = 0, então ∑ i h ii

  j h ii h jj .

  6=

  i

  ) = ∑

  p

  (

  Em particular, usando a curvatura escalar de M é dada por K

  

) =

  {

  , E j

  E i

  (

  podemos escrever a equação acima como sendo K

  = 0 e, portanto,

  é uma base que diagonaliza A, temos que h ij

  }

  1 , . . . , E n

  E

  , N

  , E k

  0. Elevando esta equação ao quadrado, obtemos

  E i

  R ( E i

  k , E l i = h

  ) E

  , E j

  R ( E i

  = h

  . Usando a equação de Gauss se resumirá a

  )

  , E j

  (

  ) E

  h

  =

  :

  1 , . . . , E n } um referencial geodésico e defina h ij

  E

  {

  podemos ver que a equação de Gauss admite uma expressão mais simples. De fato, seja

  No caso em que a hipersuperfície está imersa no R n

  onde N é o campo unitário normal a M.

  , E j

  k , E l i − h

  E i

  , E l

  (

  A

  h

  ,

  )

  , E l

  E j

  (

  A

  1 R ijkm E m

  A ( E j

  m =

  ∑

  =

  j , E k )i

  ) , A ( E

  , E l

  A ( E i

  i , E k )i

  ) , A ( E

  , E l

  • h
  • h

  ∑

  • 2

  i h ii

  ∑

  i

  6=

  j h ii h jj

  =

  0, ou seja,

  |

  A

  |

  2

  = −

  2K. (1.10) Esta equação será utilizada no capítulo 3 e no capítulo 4 desta dissertação.

  

CAPÍTULO 2

  

VARIAđỏES DE ÁREA E DESIGUALDADE

DE SIMONS

  Neste capítulo, vamos derivar a equação das superfícies mínimas como a equação de Euler- Lagrange do funcional área de gráficos e assim encontrar a fórmula paramétrica da equação das superfícies mínimas (a primeria variação da área). Encontraremos a segunda variação da área e por último a desigualdade de Simons. Tais resultados darão suporte para demonstrarmos os principais resultados desta dissertação. Nossas principais referências foram os livros

2.1 Primeira Variação da Área

  Iniciaremos apresentando a definição de variação de uma hipersuperfície imersa em uma variedade Riemanniana. n

  • n

  1

  

Definição 2.1.1. Seja x : M M uma hipersuperfície. Uma variação de x é uma aplicação

  diferenciável F : M ε , ε M

  × (− ) →

  satisfazendo as seguintes condições:

  1. A aplicação F , t ) : M M é uma imersão para todo t ε , ε ) e F , 0 ) = x;

  (· → ∈ (− (·

  = ) 2. F , t x para todo t ε , ε . (· )| | ∈ (−

  M M

  

  =

  O campo de vetores T dF em M é chamado de campo variacional associado à

  = t t variação F.

  R

  O funcional área : ε , ε associado à variação F é dado por

  A (− ) →

Z

  ) =

  t dM , (2.1)

  

A( t

  M onde dM denota o elemento de volume da métrica induzida em M por F . Note que se a t t orientação de M coincide com aquela induzida por M, então dM = dM e .

  A( ) = A O lema abaixo é um resultado básico de espaços métricos que será útil no próximo teorema.

  1 R

  Lema 2.1.1. Sejam M compacta e f : M a , b uma função de classe C . Então × [ ] →

  Z Z

  d f

  ( ) = ( )

  f x , t dM x , t dM , dt M M t t = t

  ] onde t a , b . ∈ [ Demonstração. Vide p.144.

  )

  Tomando em M ε , ε a métrica produto e E . . . . E um referencial móvel em uma

  × (− {

  1 n } vizinhança de p , temos que, para todo t , ε ) , ϕ : M dado por

  M ε M t

  ∈ ∈ (− → × { } ( ) = ( , p ) é uma isometria. Sejam F : M , ε uma variação de x e Φ o fluxo local ϕ t p t

  ε M t × (− ) →

  

  ◦ ◦ ◦ ◦ k k k t

  Φ de dF . Logo, F ϕ = x implica dF dϕ = dΦ dx . Sendo E = E ( t , p ) = ( dϕ ) E t t t t t t p

  ∈

  X temos, pela proposição 5.4, p. 30 de a qual diz que se V, W ( M ) e ψ é um fluxo local de

  V numa vizinhança de M, então

  1

  1

  − [

  V , W ]( p ) = lim [ dψ ( W W ] ,

  ψ p p ) −

  t l t t

  →

  que h i

  1

  1

  −

  e Φ e

  = [ ( ( ( )]

  T , e E lim dΦ E p E 0, p , (2.2) k k t )) − k t t t

  →

  = = ( ) =

  onde T dF e e E dF dϕ E . Como dF dϕ dΦ dx então k t ◦ t k t ◦ t t ◦

  t h i

  1

  1

  − = [ ( ( ( )]

  T , e E lim dΦ dΦ dx E p E p k t ◦ k )) − k t t t

  →

  1

  = [ ( ( ( )]

  lim dx E p E p k )) − k t t

  →

  1

  = [ ( ( )] =

  lim E p E p 0. k ) − k t t

  →

  Logo, h i T , e E = 0.

  (2.3) k

  Segue da simetria da conexão e que

  ∇

  D E D E e e

  = T , ˜E , ˜E ˜E , ˜E T , ˜E .

  ∇ T − ∇

  k k k k k ˜E k

  =

  Como T , ˜E 0 então k

  D E D E e e , ˜E = , ˜E . (2.4)

  ˜E T

  ∇ T k k ∇ k

  ˜E k Agora estamos aptos a demonstrar o principal resultado desta seção, a saber, a primeira variação da área.

  • n

  1 n

  ~ Teorema 2.1.1. Seja x : M M uma hipersuperfície com vetor curvatura média

  H. Se

  →

  n 1 + F : M ε , ε M é uma variação de x, então

  × (− ) →

Z

  D E d

  A ~ (

  n T , H dM ,

  ) = −

  dt M

  = onde T dF .

  t

  Demonstração. Sejam p M e E , ..., E um referencial móvel em uma vizinhança de p M ,

  ∈ { n } ∈

  1

  ( ) = ( ) = = )

  geodésico em p e seja ainda E t dF E com i 1, ..., n. A métrica induzida por F F , t i t i t (·

  • n

  1

  ij i j

  ( ) = ( ) ( ) em M é dada, neste sistema de coordenadas, por g t E t , E t . Seja também ν t

  =

  det

  ) =

  d dt t = q det ( g ij

  ( t ) g

  ij

  ( ) =

  1

  2 d dt t

  = (

  (

  ( ν

  g ij

  (

  t

  )

  g ij

  ( )))

  q det ( g ij

  ( ) g

  t

  temos d dt t =

  ( )) =

  X , E i

  , E j

  =

  n

  ∑

  i

  =

  1

  ∇ E i

  . (2.6) Usando no Lema ver apêndice A, G

  ( )

  

(

  t

  ) =

  g ij

  (

  t

  )

  g ij

  ij

  1

  X , E j

  ( )

  ∇ E i

  E j

  =

  0 para todo i, j

  =

  1, ..., n. Com isso g ij

  ( ) =

  E i

  , E j

  1 , ..., E n } ortonormal na métrica induzida por F

  ( ) =

  E i

  , E j

  = δ

  ij .

  Portanto, g ij

  ( ) = δ

  ij .

  e, no ponto p,

  E

  2 d dt t

  ( ))) =

  = (

  det

  (

  g ij

  (

  t

  )

  g ij

  1

  {

  2 tr

  (

  g

  ′

  ij

  ( )

  g ij

  ( )) .

  Podemos escolher o referencial

  E i

  ∇ E i

  q det ( g ij

  g ij

  t

  ))

  det

  (

  g ij

  ( ))

  q det

  (

  ( ))

  g ij

  dx

  1 . . . dx n

  = Z

  ν

  t dM .

  Logo,

  A(

  t

  (

  (

  M

  dM t

  ( t )) det ( g

  ij

  

( )) , onde g

  ij denota a matriz inversa de g ij

  . Então,

  A(

  t

  ) = Z

  = Z

  q det

  q det

  (

  g ij

  (

  t

  ))

  dx

  1 . . . dx n

  = Z

  ) = Z

  ν

  1

  X N

  X

  h

  Y , N

  i = h∇

  X Y , N

  i + h

  Y ,

  ∇

  i

  i

  . Além disso, temos também de que div

  (

  X

  ) =

  n

  ∑

  i ,j

  =

  , (2.5) pois 0 =

  X N

  t dM .

  t

  Assim, pelo Lema que d

  A

  dt t

  = =

  Z

  M d dt t

  = (

  ν

  ) dM .

  ∇

  Observe que, sendo A a segunda forma fundamental de M e N o campo normal unitário a M em uma vizinhança de p

  ∈

  M , então

  h

  A ( X , Y ) , N

  i = h∇

  X Y , N

  i = − h

  Y ,

  Assim,

  ′ ′

  d ij

  ( ) = ( ( ) ( )) = ( ( ))

ν tr g g tr g

  t ij ij

  =

  dt t n

  1 d

  =

  E , E

  

∑ i i

h i

  2 dt i =

  1 n

  1

  =

  E , E E , E

  ∑ (h∇ T i i i + h i ∇ T i i)

  2

  =

  i

  1 n

  = E , E .

  ∑ h∇ T i i i

  i =

  1 Logo, usando temos que n n n D E d

  T N

  ( ν ) = E , E T , E = + ( T T ) , E

  t ∑ T ∑ E ∑ E

  h∇ i i i = ∇ i ∇ i i i

  dt t = i = i = i =

  1

  1

  1 n n D E D E T N

  = T , E T , E .

  • E i ∇ E i i i

  ∑ ∇ ∑

  = =

  1 N Aplicando nesta última equação e usando o fato de T T , N N

  i 1 i

  = h i

  encontramos

  • T ,
    • =

  • T ,
    • =

  • T ,
    • = div ( T

  Logo, pelo teorema da divergência, obtemos d

  dM

  )

  T T

  (

  M div

  H E dM

  ~

  M D T ,

  Z

  n

  = = −

  dt t

  A

  H E .

  n

  ~

  T ,

  n D

  ) −

  T

  )

  , E i

  E i

  (

  1 A

  =

  i

  ∑

  = −

  Z

  −

  n

  M n

  ⊂

  n

  Definição 2.1.2. Uma hipersuperfície M

  Portanto M é um ponto crítico para o funcional área se, e somente se, a curvatura média H é identicamente nula.

  M H f dM .

  Z

  n

  = −

  H E dM

  ~

  M D T ,

  Z

  ( ) = −

  M D T ,

  dt

  A

  , observamos que a primeira variação da área se resume a d

  i

  T , N

  = h

  HN e f

  =

  H

  ~

  Tomando

  H E dM .

  ~

  n

  ) +

  é dita mínima, se a sua curvatura média é identicamente nula.

  ) =

  =

  N , E i

  i ∇ E i

  T , N

  h

  1

  i =

  

  n

  ) +

  T T

  (

  div

  N , E i

  (

  i

  T , N

  ∇ E i h

  1

  i =

  

  n

  ) +

  T

  ) = div ( T

  t

  ( ν

  d dt t =

  div

  T T

  T T

  i

  (

  div

  N

  i

  , N

  )

  , E i

  E i

  (

  A

  h

  1

  =

  ∑

  ) +

  n

  −

  ) +

  T T

  (

  div

  N

  N , E i

  ∇ E i

  1

  i =

  ∑

  n

  • Z
  • 1

2.2 Segunda Variação da Área

  Para estudarmos a segunda variação da área de uma hipersuperfície mínima, observamos primeiro que, sendo H a curvatura média de F e f T , N , onde N é o campo unitário t t t = h t i t normal a F , temos, do Teorema que t

  

Z

  d

  A n H f dM .

  = − t t t

  dt M

  = = = =

  Daí, como H H 0, f f e dM dM , temos "

  #

  Z Z ∂ ∂ f

  t

  ′′ ( n H H + f dM dM

  t t

  A ) = − t t

  M M

  = =

  t t

  Z n H f dM .

  (2.7) t

  = − t

  M

  =

  t n

  • n

  1

  ′′ ( )

  

Teorema 2.2.1. Seja x : M M uma imersão mínima e F uma variação de x. Então dado

  A

  por

  Z

  2

  2

  ′′ ( )( f ) = f ∆ f Ric ( N , N A ) f dM (2.8) A {− − ( ) + | | }

  M depende somente de f .

  Demonstração. De observamos que, para demonstrar o teorema, basta calcular

  

  n H . Para isso, sejam p M e E , , E um referencial móvel em uma vizinhança t n

  ∈ {

  1 · · · }

  t =

  t de p M , geodésico em p. Sejam ainda E ( t ) = dF ( E ) e g ( t ) = E ( t ) , E ( t ) . Se t

  ∈

  i i ij i j ˜E ( t ) , , ˜E ( t denota um referencial ortonormal em uma vizinhança de F ( p , t ) contida n

  {

  1 · · · )} em F ( M ) , com E ( t ) = ∑ a ( t ) ˜E ( t ) então t i k ik k ik

  i ∑ k k

  

( ) = ( ) ( )

˜E t a t E t .

  Note que

  Com o intuito de simplificar os passos da demonstração, calcularemos em separado o primeiro e o segundo somatório em n dH t dt t = . Para calcularmos o primeiro somatório, veja que

  Como o referencial

  E k

  (

  t

  )

  E l

  (

  t

  )

  , N t

  E .

  {

  D e

  E

  1

  ( t ) , · · ·

  E n

  ( t )}

  é geodésico em p temos que g kl

  ( ) = δ

  kl e assim n dH t dt t

  = =

  ∑

  ∇

  )

  ( )

  E k

  t E

  = ∑

  k ,l

  ((

  BB T

  ) −

  1

  )

  kl D e

  ∇

  (

  t

  t

  )

  E l

  (

  t

  

)

  , N t

  E

  = ∑

  k ,l g kl

  (

  k ,l dg kl dt

  D e

  E l

  , N E

  ∇ E k ( t )

  E l

  ( t ) , N

  t E t =

  = ∑

  k ,l dg kl dt

  ( )

  D e

  ∇ E k

  E l

  k T D e

  δ

  ∇

  E k

  ( t )

  E k

  (

  t

  )

  , N t

  E t

  = .

  kl T D e

  k ,l

  ∇ E k

  E l

  E l

  , N E

  k ,l g kl

  ( )

  T D e

  ∇

  E k

  (

  t

  )

  (

  , N E

  t

  )

  , N t

  E t

  = =

  ∑

  k ,l dg kl dt

  ( )

  D e

  ∇ E k

  E l

  ( t ) , N

  ∇ E k ( t )

  g ij

  g ij então, fixando t, temos nH t = h nH t

  1

  = (

  a ij

  ) .

  Sendo A N t a segunda forma fundamental na direção normal N t e

  (

  g ij

  ) −

  1

  =

  N t

  e B

  , N t i =

  D n

  ~

  H t

  , N t

  E

  = ∑

  i A N t

  (

  ˜E i

  −

  )

  t

  ) = ∑

  (

  t

  ) =

  E i

  (

  t

  )

  , E j

  (

  t

  k a ik

  a ij

  (

  t

  )

  a jk

  (

  t

  ) = (

  BB T

  )

  ij , onde B

  = (

  (

  ) , ˜E

  kl D e

  E l

  E l

  (

  t

  )

  , N t

  E

  = ∑

  i ,k,l a ik a il

  D e

  ∇ E k ( t )

  ( t ) , N

  )

  t E

  

=

  k ,l

  (( B −

  1

  )

  T B

  −

  1

  )

  a il

  t

  i

  t

  (

  t

  )) , N

  t .

  Assim, usando nH t

  = ∑

  i D e

  ∇

  ˜E i

  (

  )

  (

  ˜E i

  (

  t

  )

  , N t

  E

  = ∑

  i ,k,l

  D e

  ∇

  a ik E k

  • D e

  2

  ∇ E k

  T T , E l

  E

  h

  A

  (

  E k

  , E l

  )

  , N

  i −

  ∑

  ∑

  k ,l

  D f e

  ∇ E k

  N , E l

  E

  E k

  (

  f

  )

  N , E l i h

  A

  (

  k ,l D e

  2

  , E l

  , N

  ∇ E k

  T T , E l

  E

  ∇ E k

  T N , E l

  E

  h

  A

  (

  E k

  , E l

  )

  i = −

  ) , N i = −

  2

  ∑

  k ,l D e

  ∇ E k

  T T , E l

  E

  ∇ E k

  f N , E l

  E

  h

  A ( E k

  , E l

  E k

  )

  k ,l

  ) , N i

  ∇

  E k T T

  , E l

  E D e

  ∇

  E k N , E l

  E

  ∑

  k ,l

  h

  A ( E k

  , E l

  2

  k ,l

  =

  2

  ∑

  k D e

  

∇ E

k

  T T , ( e

  ∇ E k

  N

  )

  T E

  A

  |

  D e

  ∑

  , N

  ∑

  i = −

  2

  ∑

  k ,l D e

  ∇ E k

  T T , E l

  E

  h

  A ( E k

  , E l

  ) , N i −

  2 f

  k ,l

  2

  D e

  ∇ E k

  N , E l

  E

  h

  A

  (

  E k

  , E l

  )

  , N

  i =

  D e

  ∑

  2 ,

  t

  (

  t

  )i

  segue, de que

  −

  dg jl dt

  ( ) = −

  T

  h

  E k

  (

  ) , E

  ) , E

  l

  

(

  t

  )i

  t

  = = −

  D e

  ∇ T

  E k

  (

  t

  )

  l

  t

  (

  ( ) + ∑

  ∑

  j g kj

  (

  t

  )

  g jl

  (

  t

  ) = δ

  kl ⇒ ∑ j dg kj dt

  ( )

  g jl

  j g kj

  (

  ( )

  dg jl dt

  ( ) = ⇒

  dg kl dt

  ( ) = −

  dg jl dt

  ( ) .

  Como g kl

  (

  t

  ) = h

  E k

  , E l

  t

  2

  ∇ E k

  (

  t

  )

  E l

  (

  t

  ) , N

  E

  = −

  2

  ∑

  k ,l D e

  T , E l

  ∇

  E D e

  ∇

  E k

  (

  t

  )

  E l

  (

  t

  ) , N

  E

  = −

  E k

  D e

  )

  E t

  E t

  = −

  D E k

  (

  t

  )

  , e

  ∇ T

  E l

  (

  t

  )

  = = −

  ( )

  D e

  ∇

  E k T , E l

  E

  

  D E k

  , e

  ∇

  E l T E .

  Logo de segue que

  ∑

  k ,l dg kl dt

  • D e
  • h
  • 2 f
  • 2 f |

  k D e

  E k

  ( t )

  e

  

∇ T

  E k

  (

  t

  )

  , N t

  E t

  =

  ∇

  k D e

  E k

  ( t )

  E k

  (

  t

  )

  , e

  ∇ T

  N t

  E t

  = .

  Assim, usando a definição de curvatura e de curvatura de Ricci, temos

  ∇

  t E t =

  k T D e

  ∇ E k ( t )

  t

  )

  , e

  ∇ T

  N t

  E t

  = =

  ∑

  k D e

  ∇ T

  e

  E k

  ( t ) , N

  ( t ) −

  e

  ∇ E k ( t )

  e

  ∇ T

  E k

  ( t ) +

  e

  ∇ [ T

  ,E k

  ( t )]

  E k

  ∑

  ∇ E k ( t )

  E k

  e

  = =

  Ric

  (

  T , N

  )

  k D e

  ∇

  E k

  (

  t

  )

  

∇ T

  N t

  E k

  ( t ) , N

  t E t =

  k D e

  ∇

  E k

  (

  t

  )

  E k

  ( t ) , e ∇ T

  N t

  E t

  ∇ T

  E k

  ∇ E k ( t )

  ( t ) , N

  t E t =

  = ∑

  k

  h

  ¯R

  ( E

  k , T ) E k

  , N t

  i

  t =

  k D e

  e

  , e

  ∇ T

  E k

  ( t ) , N

  t E t =

  k D e

  ∇

  E k

  ( t )

  E k

  (

  t

  )

  

(

  )

  E t =

  ∇ T

  ) , A ( E

  i , E j

  ) = |

  A

  |

  2 .

  Observando que [ T , E k

  ( t )] =

  0, e daí e

  ∇ E k

  T = e

  E k

  =

  ) , temos para o segundo somatório de

  n dH t dt t = que

  ∑

  k T D e

  ∇ E k ( t )

  E k

  ( t ) , N

  t E t =

  = ∑

  k D e

  ∇

  T e

  1 A ( E i , E j

  i ,j

  E k

  = ∑

  onde na última igualdade usamos o fato de

  ∑

  i ,j

  =

  1 A

  (

  E i

  , E j

  )

  , N

  2

  i ,j

  = ∑

  =

  1 A

  (

  E i

  , E j

  )

  , A

  (

  E i

  , E j

  )

  , N N

  ∇ E k ( t )

  ( t ) , N

  t

  E k

  E k

  (

  t

  )

  , N t

  E t

  =

  k D e

  ∇ E k ( t )

  e

  

∇ T

  ( t ) , N

  e

  t E t =

  k D e

  ∇ [ T

  ,E k

  ( t )]

  E k

  ( t ) , N

  t E t =

  k D e

  ∇

  E k

  (

  ∇ T

  )

  t E t =

  t

  k D e

  ∇ E k ( t )

  E k

  ( t ) , e ∇

  T N t

  E t =

  = ∑

  k D e

  ∇ T

  e

  ∇

  E k

  (

  t

  )

  E k

  (

  t

  )

  , N t

  E t

  = − ∑

  k D e

  ∇

  E k

  (

D E D E e e

  = ( ) +

  Ric T , N E E , N T , e N

  ∑ k ∇ T k − ∇ E ∇ E k k

  k D E D E e

  • E , N N , e N

  ∑ ∇ E k ∇ E k k

  k

  =

  Ric ( T , N ) + E E T , N

  ∑

  k k h i k D E D E e

  E T , e N T , e N ,

  ∑ E ∑ E E − k ∇ − ∇ ∇ k k k

  k k onde usamos o fato de E , E ser um referencial geodésico em p. Mais precisamente,

  {

  1 · · · n } D E D E D E e e

  ∇ E k ∇ T ∇ E k ∇ T k k

  E , e N = E , N N , e N = 0.

  D E T N T

  = = = + +

  Agora, como T T T T f N , T , N f e N , e N 0, temos

  h i = ∇ E k

  D D E D E E T e

  T E ( t ) , N = Ric ( T , N ) + E T , e N E f N , e N t ∆ f

  ∑ ∇ ( ) k − ∑ k ∇ E − ∑ k ∇ E

  E t k k k t = k k k

  D E D E T e e

  , e , e f N N T N

  − ∑ ∇ E ∇ E − ∑ ∇ E ∇ E k k k k

  k k D E

  = ( ) +

  Ric T , N ∆ f E f N , e N

  − ∑ k ∇ E k

  k D E D E e

  ( )

  f N , e N E f N , e N

  − ∑ ∇ E ∇ E − ∑ k ∇ E k k k

  k k D E D E T T e

  • E T , e

  N T , e N

  − ∑ k ∇ E ∇ E ∇ E k k k

  k D E

  2 T e

  

= Ric ( T , N ) + f N

  2 T , e N ∆ f

  − ∑ e ∇ E − ∑ ∇ E ∇ E k k k

  k k D E T e

  , e . (2.9) T N

  − ∑ ∇ E ∇ E k k

  k Como E , N 0 então

  h k i =

  D E D E e e E , N N , E (2.10)

  ∇ E l = − ∇ E l k k

  • f N temos

  ) ⊥

  , e

  ∇ E l

  N E p

  , onde na última igualdade estamos usando e o fato de que e

  ∇ E l

  E k ∈ (

  T p

  M

  e e

  N E p

  ∇ E l

  N

  ∈

  T p

  M para todo k, l = 1, ..., n. Logo, de temos

  h

  ¯R

  ( E

  k D E k

  ∇ E k

  ) E

  

  ∇ E k

  E k

  , e

  ∇ E l

  N E p

  −

  E k

  D e

  E l E k

  , e

  , N E p

  ∇

  E l E k

  , e

  ∇

  E l N E p

  = −

  E l

  D E k

  k , E l

  k , N

  −

  h kk ) − ∑ k

  T , N

  )

  p

  = ∑

  k ,l

  β

  l E l

  (

  ,l

  é a segunda forma fundamental escalar de M. Sendo assim, Ric

  β

  l E k

  (

  h kl

  ) +

  f Ric

  (

  N , N

  )

  (

  N E p

  i

  kl

  p

  

= −

  E l

  ( h

  kk

  ) + E

  k

  ( h

  ) ,

  ∇ E l

  onde h ij

  =

  h

  (

  E i

  , E j

  ) =

  D E k

  , e

  D e

  , N E p

  p .

  l

  ) , N i

  2

  = |

  A

  |

  2 . (2.11)

  Escrevendo T

  = ∑

  β

  E k

  l E l

  Ric

  (

  T , N ) =

  − ∑

  l

  β

  l Ric

  , E l

  (

  N , E l

  E

  e, portanto,

  ∑

  k e ∇ E k

  N

  = ∑

  k ,l D e

  ∇ E k

  N , E l

  2

  A

  = ∑

  k ,l D e

  ∇ E

k

  E l

  , N E

  2

  = ∑

  k ,l

  h

  

(

  ) +

  E k

  

∇ E

k

  ) E

  k , N

  i

  p

  =

  D e

  ∇ E l

  e

  E k − e

  ( E

  ∇ E k

  e

  ∇ E l

  E k

  , N E p

  =

  E l

  D e

  ∇ E

k

  k , E l

  ¯R

  f Ric

  , E l

  (

  N , N )

  = − ∑

  k ,l

  β

  l h ¯R

  (

  E k

  )

  

] = 0 e o referencial é ortonormal e geodésico em p, segue que

h

  E k

  , N

  i +

  f Ric

  (

  N , N

  ) .

  Visto que [ E k

  , E l

  • D e
  • E
  • β

  • ∇ E k
    • = −
    • h
    • =

  , e

  E t

  = =

  ∑

  k ,l

  β

  l E l

  (

  h kk

  ) + ∑

  k D T T

  ∇ E k

  )

  e

  ∇ E k

  N E

  (

  N , N

  )

  p

  −

  f

  |

  , N t

  t

  |

  ∇ E k

  Logo, Ric ( T , N ) p

  = ∑

  k ,l

  β

  l E l

  (

  h kk

  ) + ∑

  k D T T

  , e

  e

  (

  ∇ E k

  N E

  p . (2.12)

  Substituindo obtemos

  ∑

  k T D e

  ∇

  E k

  ( t )

  E k

  A

  2

  ∇

  ) = ∑

  ∇ E k

  T T , e

  ∇ E k

  N E , onde usamos o fato de

  ∑

  k ,l

  β

  l E l

  ( h

  kk

  l

  ∑

  β

  l E l

  !

  ∑

  k h kk

  !

  = T

  T

  ( nH ) = T

  T

  k D e

  2

  

  ∇ E k

  2

  ∑

  k D e

  ∇ E k

  T T , e

  ∇ E k

  N E

  − ∑

  k D T T

  , e

  e

  −

  ∇ E k

  N E

  = f Ric ( N , N )

  p

  −

  f

  |

  A

  |

  2

  E k N E .

  E k e

  ( ) = 0. dH t

  l

  E

  = β

  l

  ∑

  j D e

  ∇ E k

  N , E j

  E E j

  ! , E l

  β

  ∑

  ∇ E k

  j D

  ∇

  E k D e

  ∇

  E k E j

  , N E E j

  , E l

  E

  = − β

  l

  N , E l

  e

  j

  ∇ E k

  Veja também que,

  β

  l D e

  ∇ E k

  e

  ∇ E k

  N , E l

  E

  = β

  l D

  e

  ∇ E k

  ∇ E k

  N , E l

  E

  l e

  ∇ E k

  e

  ∇ E k

  N N , E l

  = β

  l D

  ∑

  ∇

  ∇

  k

  ) = ∑

  k ,l

  β

  l D e

  ∇ E k

  e

  ∇ E

k

  N , E l

  E

  = ∑

  l

  (

  β

  l E l

  , e

  

  E k e

  ∇

  E k N

  ∑

  k D T T

  , e

  h kl

  l E k

  E k h kj

  ) δ

  E j

  , E l

  = − β

  l

  ∑

  j

  {

  E k

  ( h

  kj

  lj

  β

  kj ∇ E k

  E j

  , E l }

  = − β

  l E k

  ( h

  kl

  ) ,

  e, consequentemente,

  − ∑

  k ,l

  • f Ric ( N , N )
  • f Ric
  • ∆ f
  • +

    ∆ f

  Agora, depois de termos calculado o primeiro e o segundo somatário em n , obtemos

  =

  dt t que D E dH t

  T T

  2 e e

  = ( ) ( ) + +

  n

  2 T N 2 f A f Ric N , N ,

  

∑ ∇ E ∇ E | |

k k

  p

  =

  dt t k

  D E T

  2 e

  • N

  ∆ f f A

2 T , e

  − | | − ∑ ∇ E ∇ E k k

  k

  2

  • = f Ric ( N , N f + ) A ,

  ∆ f

  | |

  p D E T e e e

  = ) = )

  a última igualdade vem do fato de que N , N N N . Portanto,

  ∇ E (⇒ ( ∇ E ∇ E k k k Z

   ′′

  ( )( f n H f dM

  t

  A ) = − t

  M

  =

  t

  Z

  2

  2 = f ∆ f Ric ( N , N A ) f dM .

  {− − ( ) + | | }

  M Sejam M uma superfície mínima e D M um domínio limitado de M. Dizemos que D

  ⊂ ′′

  ( )( ) >

  é estável se f 0, para toda variação normal de M que fixa o bordo D de D. Isto

  A significa que D é um ponto (crítico da área) de mínimo relativo para toda variação normal.

  ′′ R

  = ( )(

  Se M não é estável, então existe uma função f : M com f 0 tal que f 0.

  → | A ) ≤ M

  Se a desigualdade for estrita, então M é chamada de instável. Agora observe que a equação se escreve da seguinte forma

  Z ′′

  ( )( f f L f dM , A ) = −

  M ∞ ∞

  2 onde L : C C ( M ) é o operador linear dado por L f = + ( Ric ( N , N A ) f . Por

  ∆ f

  → ) + | |

  simplicidade denotaremos por Q forma quadrática associada ao operador L, ou seja,

  Z Q ( f f L f dM .

  ) = −

  M A aplicação linear L é chamada de operador de estabilidade ou operador de Jacobi.

  ∞ Define-se o índice da forma quadrática Q como a dimensão do maior subespaço de C ( M ) no qual Q é negativa. O índice de Q nos fornece uma medida de não estabilidade de M. Tal

  índice é chamado de índice de Morse, Ind ( M ) da superfície M.

  ∞

  • C M , isto é, λ é um autovalor de L. Observe

  = ( )

  Seja λ dado por L f λ f 0 para algum f

  

N

  que o operador L é diagonalizável por uma sequência crescente λ de autovalores reais

  { j } j ∈

  de L,

  <

  ∞

  λ λ λ λ , (2.13)

  1 2 ≤ 3 ≤ · · · ≤ n ≤ · · · ր + cujos auto-espaços associados tem dimensão finita. Dessa forma podemos escrever

  ∞

  

( ) = ( )

  Q f λ f , f ,

  ∑ i i i

  i =

  1 onde f é uma autofunção correspondente ao autovalor λ . i i

  Decorre daí que Ind ( ) é o número de autovalores negativos (contados com M multiplicidade) do operador L. Uma consequência de é que o índice de uma superfície mínima compacta com bordo é finito.

  Observe que apesar de L e Q serem definidas nos espaços das funções diferenciáveis por partes em M que se anulam no bordo, eles podem ser expandidos para espaços vetoriais de funções diferenciáveis em quase todos os pontos de M, isto é, exceto em um conjunto de medida nula.

  Para finalizar essa seção, mostraremos, agora, uma desigualdade que será de fundamental importância em argumentos vindouros.

  • n

  1 n

  

Lema 2.2.1 (Desigualdade da Estabilidade). Seja M M uma hipersuperfície mínima estável.

  ⊂

  Então para qualquer função Lipschitz η com suporte compacto

  Z Z

  2

  2

  2 + A Ric ( N , N )) η dM η dM .

  (| | ≤ |∇ M |

  M M M Demonstração. Como M é estável então

  Z Z

  2

  2 ηLηdM ( ηη + A Ric ( N , N )) η ) dM . M

  ≤ − = − + (| |

  M M M

  R R

  2 Assim, vendo que ηηdM η dM , temos que M = − |∇ M |

  M M

  Z Z

  2

  2

  2

  • ( )) A Ric N , N η dM η dM .

  (| | ≤ |∇ M |

  M M M Observe que se estivermos em um ambiente onde a curvatura de Ricci é identicamente nula, então a desigualdade acima se resume a

  Z Z

  2

  2

  2 A η dM η dM . (2.14)

  | | ≤ |∇ M |

  M M

2.3 Desigualdade de Simons

  Nesta seção, vamos obter uma desigualdade que envolve o Laplaciano do quadrado da n

  1

  • norma da segunda forma fundamental de uma hipersuperfície mínima M no R . Esta desigualdade foi provada por J. Simons em e afirma, em sua forma mais geral, que
  • n

  1 n uma hipersuperfície mínima M M a

  ⊂

  2

  2

  2 ∆

  A C (

  1 A ) , M | | ≥ − + | | onde C depende apenas de M.

  • n n

  1

  R

  Seja M uma hipersuperfície mínima e sejam E , , E um referencial

  ⊂ { · · · n }

  1 ortonormal em uma vizinhança de p M e N o vetor unitário normal a M. Já sabemos de

  ∈

  que D E D E e e

  ( ( )

  h X , Y A X , Y , N Y , N N , Y .

  ) = h i = ∇

  X = − ∇

  X D E e

  Seja h : = h ( E , E ) . Logo h N , E e definimos h : h . Observe que ij i j ij = − ∇ E j ij ,k = ∇ E ij i k

  • n

  1 estamos tomando e e como as conexões do R e M, respectivamente.

  ∇ ∇ Lema 2.3.1. h como definido acima é simétrico, isto é, h = h .

  ij ij ji e

  Demonstração. Como e E = E então

  ∇ E j ∇ E i i j

  D E D E e e h = h ( E , E ) = E , N = E , N = h .

  E E ij i j ∇ j ∇ i ji i j Observe que h é um tensor simétrico de ordem 2.

  ij ij ,k kj ,i

  = Lema 2.3.2. h é simétrico com relação ao primeiro e terceiro índice, isto é, h h . Demonstração. Note que

  ( ) = ( ( )

  h h E , E E h E , E h E , E h E , E ij = ∇ E i j k i j ) − (∇ E i j ) − i ∇ E j

  ,k k k k D E D E D E e e e

  E N , E N , E N , E

  k E j E j ∇ E ∇ E j i ∇ i i k

  • = − ∇ ∇

  Ek

  D E D E D E D E e e e e e

  N , E N , e E N , E N , E

  

= − ∇ E ∇ E j − ∇ E ∇ E j ∇ E j ∇ E ∇ E j

k k ∇ i k i i i Ek

  D E D E D E D E N e e e e e e

  N , E N , E N , E ) N , E

  ∇ E ∇ E j − ∇ E ∇ E j − ∇ E ∇ E j ∇ E j k i i k i k ∇ i Ek

  • ( = −

  D E e , .

  • N E

  ∇

  E ∇ E j i k

  • n

  1

  e e

  = ( ) =

  Assim, como a curvatura do R é nula, temos que 0 R E , E N N i ∇ E ∇ E − k i k

  D E e e e e e e

  = =

  N e com isso e N N . Veja que N , N 1 implica N , N 0,

  ∇ E ∇ E ∇ E ∇ E ∇ E ∇ E h i = ∇ E k i k i i k i

  D E N e e assim N , ( E ) =

  0.

  ∇ E ∇ E j i k

  Portanto, D E D E e e e h N , E N , E = h .

  • ij = − ∇

  ,k E ∇ E j ∇ E j kj ,i i k ∇ k

  Ei Usando os Lemas podemos concluir que h é simétrico em todos os índices.

  ij ,k

  ( ) )( ) ( ) = =

  Defina m X , Y, Z : h X , Y , assim m E , E , E h . Seja agora h :

  = (∇ Z i j

  k ij ,k ij ,kl

  )(

  m E , E , E h . Diferente de h , que é simétrico em todos os índices, h não é

  (∇ E i j ) = ∇ E l l k ij ,k ij ,k

  ij ,kl simétrico em relação ao último índice. Em detalhes temos o seguinte lema.

  Lema 2.3.3. Dado h como acima, vale que

  ij ,kl n n

  = + +

  h R h R h h .

  ∑ mj ∑ mi

  ij ,kl ij ,lk lkim lkjm

  = =

  1 Demonstração. Note que

  m 1 m

  )( )

  h m E , E , E ij = (∇ E i j k

  ,kl l

  

= ( ( ( )

  E m E , E , E m E , E , E m E , E , E m E , E , E l i j k ) − (∇ E i j k ) − i ∇ E j k ) − i j ∇ E k l l l

  = )( , E , E )( , )( , E )

  E h E h E h E E h E l (∇ E i j ) − (∇ E )(∇ E i j ) − (∇ E i ∇ E j ) − (∇ E i j k k l k l k

  ∇ El

  = E E h ( E , E E h E , E E h ( E , E )

  l k i j ) − l (∇ E i j ) − l i ∇ E j k k E h E , E ) + h E , E ) + h E , E )

  − k (∇ E i j (∇ E ∇ E i j (∇ E i ∇ E j l k l l k

  E h ( E , E ) + h E , E ) + h ( E , E )

  − k i ∇ E j (∇ E i ∇ E j i ∇ E ∇ E j l k l k l E h ( E , E ) + h E , E ) + h ( E , E ) . −∇ E k i j (∇ E i j i ∇ E j l ∇ k ∇ k

  El El ( ) = ( )

  Ademais, E E h E , E E E h E , E , E E

  e, usando a definição de curvatura, i j i j ∇ E = ∇ E l k k l l k k l

  ) = ( ( ) ) + ) h E , E h R E , E E , E h E , E .

(∇ E ∇ E i j l k i j (∇ E ∇ E i j

k l l k

  Analogamente, h ( E , E ) = h ( E , R ( E , E ) E ) + h ( E , E ) . i ∇ E ∇ E j i l k j i ∇ E ∇ E j k l l k

  Logo, arrumando as parcelas,

  

= ( ( )

  h E E h E , E E h E , E E h E , E ij k l i j ) − k (∇ E i j ) − k i ∇ E j

  ,kl l l

  ) + ( ) + )

  E h E , E h E , E h E , E

  − l (∇ E i j i ∇ E ∇ E j (∇ E i ∇ E j k l k k l ( ) + ) + ( )

  E h E , E h E , E h E , E

  − l i ∇ E j (∇ E i ∇ E j i ∇ E ∇ E j k l k l k ( , E ) + , E ) + ( , )

  E h E h E h E E

  −∇ E l i j (∇ E i j i ∇ E j k l l ∇ ∇

  Ek Ek

  • h ( R ( E , E ) E , E ) + h ( E , R ( E , E ) E )

  l k i j i l k j n n

  = + +

  h R h R h , (2.15) ij ∑ lkim mj ∑ lkjm mi

  ,lk

  = =

  m 1 m

  1 onde R está definido em lkim

  Observe, de que

  =

  R h h h h

  −

  ijkl ik jl jk il Usando este fato em n n

  • = +

  h h R h R h ik ik ∑ kjim mk ∑ kjkm mi

  ,jk ,kj

  = =

  1 n n

  m 1 m

  • = h ( h h h h ) h ( h h h h ) h . (2.16) +

  ik ,kj ∑ ki jm − ji km mk ∑ kk jm − jk km mi m = m =

  1

  1 De vemos que n n

  2

  2

  2

  = ( ) =

  A A E , E , N h ,

  | | ∑ i j ∑

  ij

  = =

  1

  i ,j 1 i ,j

  • n n

  1

  R

  e sendo M uma hipersuperfície mínima, então de

  ⊂ ~ = = ( ) = ( ) = n H A E , E A E , E , N N h N .

  ∑ i i ∑ h i i i ∑ ii

  i i i Logo,

  

=

  (2.17)

  ∑ ii

  h 0.

  i Agora, usando os lemas temos o seguinte

  • n n

  1 R

  Teorema 2.3.1 (Equação de Simons). Seja M uma hipersuperfície mínima. Então

  n

  2

  4

  2 ∆

  • A A A A ,

  h

  | | M | | + |∇ M | || = −| | ∑

  ij ,k i = ,j,k

  1 n n 1 + onde A é a segunda forma fundamental da imersão isométrica de M em R , ∆ e são,

  M M

  ∇ respectivamente, o Laplaciano e o gradiente em M.

  Demonstração. Usando

  1

  2

  2 ∆ ∆ A A A A .

  M | | = | | M | | + |∇ M | ||

  2

  • n
  • n

  h ki h jm − h ji h km

  n

  ∑

  i ,j,k =

  1 h ij h ik

  ,kj

  ∑

  i ,j,k,m =

  1 h ij

  

(

  )

  !

  h mk

  ∑

  i ,j,k,m

  =

  1 h ij

  (

  h kk h jm − h jk h km

  )

  h mi

  =

  h mi

  n

  =

  =

  n

  ∑

  i ,j,k

  =

  1 h ij h ik

  ,kj

  ∑

  m

  1

  )

  (

  h ki h jm − h ji h km

  )

  h mk

  ∑

  m

  =

  1

  (

  h kk h jm − h jk h km

  =

  ∑

  1 h ij h ik

  ) −

  i ,j,k

  =

  1 h ij h ik ,kj

  ∑

  i ,j,k,m

  =

  1 h ij h mk

  ( h

  ki h jm − h jk h mi

  n

  n

  ∑

  i ,j,k,m

  =

  1 h

  2 ij h

  2 km

  ∑

  i ,j,k,m

  =

  ∑

  =

  i ,j,k

  i ,j,k,m

  =

  1 h ij h ik ,kj

  ∑

  i ,j,k,m

  =

  1 h ij h ki h jm h mk

  −

  n

  ∑

  =

  1 h ij h jk h km h mi

  1 h

  2 ij h

  2 km

  ∑

  i ,j,k,m

  =

  1 h ij h kk h jm h mi − n

  ∑

  i ,j,k,m

  =

  ,jk

  =

  1 h ij h kk h jm h mi . ij . Assim, pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, teremos que

  M

  2 ij !

  =

  n

  ∑

  i ,j

  =

  1

  1

  2 ∆

  ( h

  

=

  2 ij

  ) =

  n

  ∑

  i ,j

  =

  1 h ij

  ∆ M h ij

  ∑

  1 h

  i ,j

  =

  2 ij ,

  Por outro lado, usando e o fato de

  |

  A

  |

  2

  = ∑

  n i ,j

  =

  1 h

  1

  

  2 ∆

  M

  |

  A

  |

  2

  =

  1

  2 ∆

  M n

  i ,j

  1

  i ,j,k

  1 h ij

  ,j

  =

  1 h ij

  ∆ M h ij = −|

  A

  |

  4 . De fato, usando os Lemas temos n

  ∑

  i ,j =

  ∆ M h ij

  2 ij ,k .

  =

  n

  ∑

  i ,j,k

  =

  1 h ij h ij

  ,kk

  =

  n

  ∑

  Assim, basta mostrar que ∑ n i

  1 h

  |∇ M

  A

  h ij |

  2 .

  Logo,

  |

  A

  |

  ∆ M |

  A

  | + |∇ M |

  ||

  =

  2

  =

  n

  

  i ,j

  

=

  1 h ij

  ∆ M h ij

  ∑

  i ,j,k

  • n
  • n
  • n
  • n
  • n
  • n
  • n
  • n

  δ

  = −

  2 km !

  1 h

  =

  k ,m

  ∑

  2 ij n

  1 h

  i ,j =

  ∑

  n

  2 km

  A

  2 ij h

  1 h

  =

  i ,j,k,m

  ∑

  ∆ M h ij = − n

  1 h ij

  i ,j =

  ∑

  Logo, n

  = −|

  |

  )

  |

  i

  = λ

  , i = 1, .., n tal que, em p, h ij

  Observe primeiro que, como h é simétrico, podemos escolher E i

  2 ij ,k .

  1 h

  =

  i ,j,k

  ∑

  4

  A

  4 .

  = −|

  2

  ||

  A

  | + |∇ M |

  A

  ∆ M |

  |

  A

  |

  Portanto,

  , temos que z ij = − z ji .

  h ki h jm − h jk h mi

  Como M é uma hipersuperfície mínima, vemos que n

  i ,j,k =

  k =

  ∑

  1 h ij n

  =

  i ,j

  ∑

  n

  =

  ,kj

  1 h ij h ik

  ∑

  ,kj !

  0 e, portanto, n

  =

  Assim ∑ n k h ik ,kj

  = 0.

  k h kk

  ∑

  E i n

  E j

  = ⇒

  k h kk

  ∑

  1 h ik

  = 0.

  (

  =

  h ij h mk

  =

  0, pois chamando z ij

  ) =

  h ki h jm − h jk h mi

  (

  1 h ij h mk

  i ,j =

  ∑

  0, pois M é uma hipersuperfície mínima. E, fixando k e m, temos n

  ! h jm h mi

  Temos também que n

  1 h kk

  1 h ij ∑ k =

  

=

  i ,j,m

  ∑

  n

  =

  1 h ij h kk h jm h mi

  =

  i ,j,k,m

  ∑

  • n

  0,

  E i

  6=

  i h jj .

  Assim, para todo i, temos h 2 ii ,i

  = ∇

  E i h ii

  2

  = − ∇

  ∑

  = 0 e, consequentemente, h

  j

  6=

  i h jj

  2

  = ∑

  j

  6=

  i h jj

  ii = − ∑ j

  Demonstração. Como M é mínima então ∑ k h kk

  2 .

  A

  ⊂ R

  n

  uma hipersuperfície mínima. Então

  |

  A

  |

  ∆ M |

  | + |

  2 .

  A

  

|

  4

  ≥

  2 n

  |∇ M |

  A

  ||

  ,i

  E mais, para todo α

  Teorema 2.3.2 (Desigualdade de Simons). Seja M

  (

  j

  6=

  i h jj

  ,i

  2

  −

  4

  n

  4

  −

  1

  ) ∑

  j

  6=

  i h

  2 jj ,i

  ≤

  ∑

  0 tem que ser menor ou igual a zero, ou seja,

  ∈ R

  2

  e i fixo, ∑ j

  6=

  i

  (

  h jj

  ,i

  )

  ≥

  =

  0. Logo o discriminante da equação do segundo grau ∑ j

  6=

  i

  (

  h jj

  ,i

  )

  2

  n

  2 ii ,k . (2.18)

  4

  k

  ∑

  i =

  1 h ij ,n h ij

  2

  =

  4 n

  ∑

  =

  1 h ij ,1 h ij

  1 n

  ∑

  j ,i

  =

  1 h ij ,k h ij

  2

  =

  4 n

  , . . . , 2 n

  =

  k

  2

  |

  A

  |

  2

  |∇|

  A

  ||

  = |∇|

  j ,i

  A

  |

  2

  |

  2

  =

  2 n

  ∑

  ∑

  =

  1 h

  Portanto,

  |

  2 n

  ∑

  i ,k

  =

  1 h

  2 ii ,k .

  |∇|

  |

  A

  ||

  2

  ≤

  n

  ∑

  i ,k

  =

  A

  4

  1 n

  k =

  ∑

  i =

  1 h ii ,k h ii

  2

  ≤

  4 n

  ∑

  1 n

  ≤

  ∑

  i =

  1 h

  2 ii n

  ∑

  i =

  1 h

  2 ii ,k

  • 1
  • +

    α
  • α
  • n

  • + (

  2 ij ,k

  2 ik ,i

  2 ki ,i

  • n

  ∑

  2 ii ,i

  |∇ M |

  1 h

  i

  6=

  k h

  2 ii ,k

  ∑

  i

  =

  2 ii ,i

  3

  =

  2

  ∑

  i

  6=

  k h

  2 ii ,k

  ∑

  ≥

  i =

  =

  ||

  i

  6=

  k h

  A

  2

  i

  1 h

  A

  ||

  k

  6=

  i

  6=

  j

  6=

  k h

  ∑

  1 h

  4

  ∆ M |

  A

  

||

  2 .

  Logo, usando a equação de Simons, temos que

  |

  A

  |

  A

  ||

  | + |∇ M |

  A

  ||

  2

  ≥ −|

  A

  

|

  2

  A

  2 ii ,i

  i

  i

  6=

  k h

  2 ii ,k

  =

  2

  ∑

  6=

  |∇|

  k h

  2 ii ,k

  ∑

  i ,k =

  1 h

  2 ii ,k

  ≥

  2 n

  k h

  i

  6=

  ∑

  ∑

  i ,k

  =

  1 h

  2 ii ,k

  =

  n

  i

  ≤

  6=

  k h

  2 ii ,k

  ∑

  i

  =

  1 h

  2 ii ,i

  n

  2

  2 ii ,k

  

  logo,

  ∑

  j

  6=

  i h jj ,i

  2

  ≤ (

  n

  1

  ||

  ) ∑

  j

  6=

  i h

  2 jj ,i . (2.19)

  Assim, de teremos

  |∇|

  A

  ≤

  n

  ∑

  é simétrico em todas os índices, n

  i h

  2 jj ,i

  ≥

|∇ M |

  A

  ||

  2 n .

  Por outro lado, como h ij ,k

  ∑

  i

  i ,j,k

  =

  1 h

  2 ij ,k

  = ∑

  i

  6=

  k h

  6=

  j

  ∑

  Portanto,

  6=

  k h

  2 ii ,k

  n

  −

  1

  ) ∑

  j

  6=

  i h

  2 jj ,i

  =

  n

  ∑

  j

  6=

  i h

  2 ii ,k .

  • n
  • n
  • +

  • n
  • |∇|

  2 .

  • 2 n
  • |∇ M |
Portanto,

  2

  4

  2 ∆ A A A A .

  

| | M | | + | | ≥ |∇ M | ||

  n

  

CAPÍTULO 3

HIPERSUPERFÍCIES MÍNIMAS

COMPLETAS ESTÁVEIS

  Neste capítulo, apresentaremos os principais resultados deste trabalho, que consistem em mostrar que uma hipersuperfície mínima completa estável cuja curvatura total é finita é, na verdade, um hiperplano. Esse teorema foi provado por do Carmo-Peng em e ele será enunciado e devidamente provado na primeira seção deste capítulo. Finalizaremos este capítulo fazendo uma pequena extensão do resultado de Li-Wei obtido em

  2

  da Norma da Segunda Forma Fundamental

3.1 Estimativas L

  Apresentaremos um resultado importante obtido por do Carmo-Peng que consiste em mostrar que, com algumas condições sob a curvatura, hipersuperfícies mínimas completas e

  • n

  1 orientadas no R é um hiperplano. A principal referência para essa seção foi o artigo n n

  1

  • R Teorema 3.1.1 (do Carmo-Peng). Seja x : M

  uma hipersuperfície mínima completa e

  →

  estável. Assuma que

  R

  2 A dM

  

| |

  B R lim = 0,

  • +

  2 2q

  R

  → R

  r

  2

  < <

  onde q , B M é uma bola geodésica de raio R centrada em algum ponto de M e A a R ⊂ n

  • 1 é um hiperplano.
  • 2q
  • 1
  • 2q
  • 1
  • 1
  • +

    2q
  • 1
  • 2q +

  |

  1 + q

  )|

  A

  |

  q f

  ∇|

  A

  | + |

  A

  |

  1

  ∇

  f

  2 dM

  M

  = (

  1

  )

  2 Z M

  |

  A

  |

  2q f

  2

  

|∇|

  A

  ||

  2 dM

  (

  |(

  = Z

  ) Z

  2

  ∇|

  A

  |i

  dM . (3.1) Agora, usando com η

  = |

  A

  |

  1 + q f , temos

  Z

  M

  |

  A

  |

  (|

  2 dM

  A

  |

  1

  f

  )

  2 dM

  ≤ Z

  M

  |∇(|

  A

  |

  1

  f

  )|

  1

  M

  h∇

  f

  |

  2q f

  2

  |∇|

  A

  

||

  2 dM + 2 ( 1 + 2q )

  Z

  M

  |

  A

  |

  1

  h∇

  |

  f ,

  ∇|

  A

  |i

  dM

  M

  |

  A

  |

  2

  |∇

  f

  |

  2 dM .

  A

  2 Z M

  |

  |

  A

  |

  1

  f

  h∇

  f ,

  ∇|

  A

  |i

  dM

  M

  |

  A

  2

  1 + q )

  |∇

  f

  |

  2 dM .

  Logo,

  Z

  M

  |

  A

  |

  4

  f

  2 dM

  ≤ (

  f ,

  f

  (3.2)

  M

  Z

  M

  |

  A

  |

  2q

  f

  2 ∆

  |

  A

  |

  dM

  = Z

  |

  f

  A

  |

  4 + 2q f

  2 dM

  − Z

  M D

  ∇(|

  A

  |

  2q +

  1 f

  2

  )

  ,

  2 dM +

  4

  A

  2 n

  segunda forma fundamental de x. Então x

  (

  M

  ) ⊂

R

  n

  Demonstração. Sejam q

  >

  0 um número real e f uma função de Lipschitz com suporte compacto em M. Assim, multiplicando a desigualdade de Simons por

  |

  A

  |

  2q f

  2 e integrando em M, obtemos, usando o teorema da divergência, que

  Z

  |

  M

  |

  A

  |

  2q f

  2

  |∇|

  A

  ||

  2 dM

  ≤ Z

  M

  |

  A

  ∇|

  |

  2q

  A

  2 dM .

  Portanto,

  (

  2 n

  1 )

  Z

  M

  |

  A

  |

  2q f

  2

  |∇|

  ||

  A

  2 dM

  ≤ Z

  M

  |

  A

  |

  4

  f

  2 dM

  −

  2 Z M

  |

  A

  |

  ||

  |∇|

  E dM

  2q

  = Z

  M

  |

  A

  |

  4

  f

  2 dM

  −

  2 Z M

  |

  A

  |

  f

  2

  h∇

  f ,

  ∇|

  A

  |i

  dM

  −(

  2q

  

)

Z

  M

  |

  A

  |

  2q f

  • q
  • q
  • q
  • q
  • q
  • q
  • 2
  • 2q
  • Z
  • 2q
  • 2q
  • 2q
  • Z

  ( )

  • q

  Multiplicando obtemos

  Z Z

  2 4 2q 2 2q

  2

  2

  • A f dM + + (

  1 + q )( 2q + 1 ) A f A dM

  | | | | |∇| ||

  M n M

  Z Z

  4 2q 2 2q

  1

  ) ( ) + +

  1 q A f dM

  2

  1 q A f f , A dM

  ≤ ( | | − | | ∇| |i h∇

  M M

  Z

  4 2q

  2

  • A f dM | |

  M

  Z Z

  4 2q 2 2q

  1

  • ) ( )
  • q A f f , A dM

  1 q A f dM

  2

  1

  ≤ ( | | − | | ∇| |i h∇

  M M

  Z Z

  2 2q

  2

  2 1 2q

  • (

  1 q ) A f A dM 2 ( 1 q + ) A ,

  f f A dM

  | | |∇| || | | h∇ ∇| |i

  M M

  Z

  2 2q

  2

  • A f dM
  • ,

  | | |∇ |

  M ou seja,

  Z Z

  2 2q

  2

  2 2 2q

  2

  2

  (

  1 q )( 2q 1 + ) A A dM + 1 q ) A + f f + A dM

  | | |∇| || − ( | | |∇| ||

  n M M

  Z Z

  4 2q

  2 2 2q + 2 +

  • q A f dM A f dM .

  ≤ | | | | |∇ |

  M M Portanto,

  Z Z Z

  2

  2q

  2

  2 4 2q

  2 2 2q

  2

  (

  1 + + )(

  • )

  . (3.3) q q A f A dM q A f dM A f dM

  | | |∇| || ≤ | | | | |∇ |

  n M M M

  2

  2 b b

  √

  2

  >

  Agora, observe que 0 para todo ε 0, ou seja, 2ab , para todo

  • εa

  εa − √ ≥ ≤

  ε ε

  >

  0 e, usando a e b na desigualdade obtemos

  ε A f A f = |∇| || = | ||∇ |

  • q
  • (
  • q
  • 2q
  • Z
  • q
  • ε
  • q
  • q
  • (
  • Z
  • q
  • 1
  • q
  • q
  • ε

  • ε
  • q
  • +

    q
  • ε
  • q
  • 1
  • ε
  • 2q
  • +

    2q
  • 2q
  • q
  • q
  • q
  • q
  • 2q
  • ε +
  • 2q
  • +

    2q
  • 2q
  • q
  • 2 n
  • q
  • q
  • q
  • ε

  1 + q )( 1 + q + ε ) q

  (

  1

  )(

  2 n

  ) Z

  M

  |

  A

  |

  4

  f

  2 dM +

  (

  1 + q )( 1 + q + ε )

  (

  1

  )(

  2 n

  ) Z

  M

  |

  A

  |

  2

  |∇

  f

  |

  2 dM

  ≤ (

  f

  2 dM

  ε Z

  )(

  1

  ) Z

  M

  |

  A

  |

  2q f

  2

  |∇|

  A

  ||

  2 dM

  M

  4

  |

  A

  |

  2 + 2q

  |∇

  f

  |

  2 dM . (3.4)

  Assim, substituindo a equação obtemos

  Z

  M

  |

  A

  |

  1 + q

  M

  ε Z

  2 q +

  f

  |

  2 dM , (3.5) onde β

  I é uma constante que depende somente de n, ε e q. Usando o fato de q

  <

  r

  2 n , obtemos

  (

  1

  )

  q q + 2 n

  =

  q

  2 n

  2

  <

  q

  q +

  2 n

  = 1.

  Assim, podemos escolher ε

  >

  0 suficientemente pequeno tal que

  (

  1

  )

  q

  (

  2 n

  |∇

  |

  |

  f

  A

  |

  2

  |∇

  f

  |

  2 dM , isto é,

  Z

  M

  |

  A

  |

  4

  2 dM

  A

  ≤ (

  1 + q + ε ) q

  (

  2 n

  ) Z

  M

  |

  A

  |

  4

  f

  2 dM + β

  I Z M

  |

  1

  2 dM

  ≤ (

  1

  A

  |i

  dM

  M

  |

  A

  |

  2

  |∇

  f

  |

  2 dM

  ≤ (

  )

  f , f

  2 Z M

  |

  A

  |

  2q f

  2

  |∇|

  A

  ||

  2 dM

  (

  1

  ) Z

  ∇|

  |∇

  |

  |

  Z

  M

  |

  A

  |

  4 + 2q f

  2 dM

  ≤ (

  1

  )

  2 Z M

  |

  A

  2q f

  A

  2

  |∇|

  A

  ||

  2 dM

  1

  ) Z

  M

  |

  A

  |

  2q

  2

  h|

  M

  A

  4 + 2q f

  ε Z

  )(

  1

  ) Z

  M

  |

  A

  |

  2q f

  2

  |∇|

  A

  ||

  2 dM

  M

  |

  |

  A

  |

  2 + 2q

  |∇

  f

  |

  2 dM .

  Logo

  Z

  M

  |

  A

  |

  1

  = (

  2 dM

  2q

  2q f

  2

  |∇|

  A

  ||

  2 dM

  1

  ) ε

  Z

  M

  |

  A

  |

  |

  |

  |

  f

  |∇

  2 + 2q

  |

  A

  M

  A

  2 dM

  

|

  f

  |∇

  2

  |

  1. Logo,

  • q ) <
encontramos que

  Z Z

  4 2q

  2 2 2q

  2 A f dM β A f dM (3.6)

  | | ≤

  2 | | |∇ | M M onde β é uma constante que depende somente de n, ε e q.

2 Queremos transformar a equação (3.6) de forma que o integrando do lado direito tenha

  2

  < <

  | |

  A . Para isto, usaremos a desigualdade de Young, veja Seja p, 0 p 2 2q um +

  −

  p 2 2q

  número ainda a ser determinado. Assim, usando a desigualdade de Young para a A

  • = | |

  2

  f p |∇ | e b A chegamos a

  2 = | |

  f

  2

  2 f f

  |∇ | p p |∇ | + + +

  2 2q

  2

  2 2 2q

  2 2 2q

  −

  A f = f A = f A A

  | | |∇ | | | | | | |

  2

  2 f f s t

  2

  − t

  α α f

  ( ) |∇ |

  • s 2q p p

  2

  2

  2

  −

  f A + f A ,

  ≤ | | | |

  2 s t f ou seja, s t

  2

  − t

  α α f

  |∇ |

  2

  2 2 2q

  2

  s ( p ) p 2 2q

  A f f A f A . (3.7)

  | | |∇ | ≤ | | | |

  2 s t f

  Agora, escolha p satisfazendo as seguintes equações:

  1

  1

  • + ( ) = = =

    + +

  −

  s 2 2q p 4 2q, pt 2, 1.

  s t Isso é realmente possível. De fato, a solução é

  2 1 q + p = , t = 1 q , s = . + 1 + q q

  Usando esses valores e o fato de que podemos tomar α tão pequeno quanto se queira, obtemos de que

  Z Z

  4 2q

  2 2 2q

  2 A f dM β A f dM

  | | ≤

  2 | | |∇ | M M

  

Z Z

  s t

  2

  − t

  α α f

  ( ) |∇ |

  • +

    p

  2 s 2 2q

  2 p

  − = β + f A β f A .

  2 | | 2 | |

  2 M s M t f Assim,

  1 q + q Z Z +

  1 q 2 2q

  − −

β α β α f

  2 2 |∇ | 4 2q

  2

  2

  2

  • 1 A f dM f A ,

  − | | ≤ | |

  1 q 2 2q

  • q f
  • 1

  M M q ou seja,

  Z Z

  2 2q

  • f

  |∇ |

  4 2q

  2

  2

  • A f dM β A . (3.8)

  | | ≤ | |

  3 2q

  M M f q

  1

  • Trocando f por f em chegamos em

  Z Z

  1

  1 + 1 + + q q q f ) , f

  4 2q 2 2q

  2 A f dM β A

  • (h∇( ∇( )i)

  | | ≤

  3 | |

  • ( q )

  1 2q M M f

  Z ( q ) Z + +

  1 2q 2 2q f f

  |∇ |

  2

  2 2 2q

  • = β A = β A f .

  3 | | 3 | | |∇ |

  ( + q )

  1 2q M M f

  Seja B uma família de subconjuntos de M dada por R

  ( , p ,

  B p M ρ p R R = { ∈ | ) ≤ } onde ρ ( p , p ) é a distância geodésica em M de p até um ponto fixado p . Por completude, B é

  R compacto e

  [ B = M .

  R

  R 0, )

  ∈( < <

  É conhecido que ρ 1 em quase toda parte de M. Agora, fixando R e 0 θ 1 e

  |∇ | ≤

  tomando f em dada por   ( 1 para ρ p θR ;

  ) ≤

    

  R ρ ( p )

  −

  f ( p ) = para θR ρ ( p R ; ,

  ≤ ) ≤ ( )

   1 θ R

  −

     para ρ ( p R .

  ) ≥

  Vemos, por que

  R

  2 Z Z Z A

  | |

  B

  • R

      4 2q 4 2q

      2 4 2q

      2

      =

      A dM A f dM A f dM β , (3.9)

      | | | | ≤ | | ≤

      3 2q

      2

    • ((

      1 θ ) R ) B B B θR θR R −

      ρ

      1

      −∇

      2 onde f . Usando a nossa hipótese sobre o decaimento de A

      |∇ | = ≤ | | (

      1 θ ) R ( 1 θ ) R

      − −

      →

      ∞ temos que o lado direito de vai a zero quando R . Por outro lado, o esquerdo converge

      para uma integral em toda M. Portanto,

      Z

      4 2q + A dM 0.

      

    ≤ | | ≤

      M n

    • R

      1

      (

      Como A é uma aplicação contínua então A 0, isto é, x M é um

      | | | | = ) ⊂ hiperplano.

      Como consequência desse teorema temos o seguinte resultado. n n

      1

    • R

      Corolário 3.1.1. Seja x : M uma hipersuperfície mínima completa e estável, e seja A a sua

      →

      segunda forma fundamental. Assuma que

      Z

      2

      <

      ∞ A dM .

      | |

      M

    • n

      1

      R ( Então x M é um hiperplano.

      ) ⊂ R

      2

      > <

      Demonstração. Basta observar que existe um c 0 tal que A dM c

      e, portanto,

      | |

      M

      R

      2 A dM

      

    | | c

      M

      =

      lim lim 0.

      

      2 2q 2 2q ∞ ∞

      → →

      R R R R

      n

    • R

      1

      ( Logo, pelo Teorema x M é um hiperplano.

      ) ⊂ Agora, seguindo temos a seguinte definição.

      Definição 3.1.1. Dizemos que uma hipersuperfície M tem curvatura total finita quando Z

      <

      ∞ KdM .

      M

      2 Se M é uma hipersuperfície mínima sabemos, de que A

      2K. Portanto, o

      | | = −

      corolário acima diz que uma hipersuperfície mínima, completa e estável com curvatura total finita é de fato um hiperplano.

      3

      da Norma da Segunda Forma Fundamental

    3.2 Estimativas L

      2 Nesta seção, consideraremos não mais a estimativa L da norma, como foi obtido na seção

      3 anterior, e sim a estimativa L da norma, no qual, estenderemos o resultado de Li-Wei (veja para 3 n 7, encontrando assim, nas condições do teorema que será enunciado a

      ≤ ≤

      seguir, que a hipersuperfície terá a norma da segunda forma fundamental nula, i.e., A 0,

      | | =

      ou seja, a nossa hipersuperfície é um hiperplano. As principais referências para essa seção foram os artigos

    • n n

      1 R

      Teorema 3.2.1 (Li-Wei). Seja x : M (

      3 n 7)uma hipersuperfície mínima completa e

      → ≤ ≤

      estável. Assuma que

      R

      3 A dM

      

    | |

      B R lim = 0,

    • +

      1 2q

      R

      → R

      r

      2

      < <

      onde q e B M é uma bola geodésica de raio R centrada em algum ponto de M e A a R

      ⊂

      n

    • n

      1 R

      ( segunda forma fundamental de x. Então x M é um hiperplano.

      ) ⊂

      Demonstração. Com os mesmos cálculos da seção anterior obtemos, de que

      Z Z

      4 2q

      2 2 2q

      2 A f dM β A f dM , (3.10)

      | | ≤

      2 | | |∇ | M M r

      2

      < onde q .

      n E usando a desigualdade de Young (ver apêndice B Lema ou seja, s t

      2

      − t

      α α f s ( p ) p |∇ | 2 2q

      2

      2 2 2q

      2

    • >A f f f A , (3.11)

        

      | ≤ | | | |

      • + A

        | | |∇

        2 s t f

        1

        1

        > < <

        onde α 0, t e s são números reais positivos satisfazendo + = 1 e p, 0 p + 2 2q um s t número que determinaremos a seguir.

        Agora, escolha p satisfazendo as seguintes equações;

        1

        1

        

      ( ) = = =

      + +

      • s pt 3,

        2 2q p 4 2q,

        1

        −

        s t Isso é realmente possível. De fato, a solução é

        6 1 2q + 1 2q +

        = = = p , t , s .

        1 2q 2 2q

      • r

        1

        −

        2

        > > < <

        Como s 1 então 2q

        1

      0. Logo, como q , temos n 8.

        −

        n Usando esse valores temos

        1 2q + + 1 2q

        Z ) Z 2q

      • − −(

        1

        1 2q

        2 β α β α f

        2 2 |∇ | 4 2q

        2

        2

        3

      • 1 A f dM f A . (3.12)

        − | | ≤ | |

        1 2q 1 2q + 1 2q + + M M f

        2q

        1

        2

        −

        Assim, tomando α suficientemente pequeno, temos

      • + 1 2q 2q

        1 −

        

      β α

        2

        > β =

        1 0.

        3 − 1 2q

      • 2q

        1

        −

        Logo, da desigualdade temos

        Z Z

        1 2q + f

        |∇ |

        4 2q

        2

        3

      • A f dM β A (3.13)

        | | ≤

        4 | | 2q

        1

        −

        M M f onde β depende somente de α, n, ε e q. Agora, usando a arbitrariedade de f e trocando f por

        4

        1 2q +

        2

        f em obtemos

        Z Z

        4 2q 1 2q

        3 + 1 2q + + A f dM β A f . (3.14)

        | | ≤

        4 | | |∇ | M M n

      • R

        1

        ( E, analogamente à seção anterior, temos A 0, isto é, x M é um hiperplano. | | = ) ⊂ Como corolário desse Teorema temos o seguinte resultado.

        n n

        1

      • R Corolário 3.2.1. Seja x : M (

        3 n 7) uma hipersuperfície mínima completa e estável, e

        → ≤ ≤

        seja A a sua segunda forma fundamental. Assuma que

        Z

        3

        <

        ∞ A dM .

        | |

        M

      • n

        1

        R ( Então x M é um hiperplano.

        ) ⊂ Demonstração. Segue de modo análogo ao Corolário

        

      CAPÍTULO 4

      SUPERFÍCIES MÍNIMAS COM ÍNDICE

        3 FINITO NO R

        3 Neste capítulo, estudaremos superfícies mínimas completas com índice finito no R .

        Primeiro discutiremos o índice do operador L, seguindo com uma discussão geométrica do índice finito de superfícies mínimas em uma variedade Riemanniana N de dimensão 3, ou seja,

        3

        3 em N e finalmente analisaremos essa mesma situação no R . As principais referências, para este capítulo, são

        3 Seja M uma superfície mínima completa e orientada em uma variedade Riemanniana N .

        O primeiro autovalor do operador estabilidade L, i.e., λ , em um domínio limitado Ω M é

        ⊂

        1 dado por

        Z

        ∞

        2 Ω Ω

        λ ( ) = inf Q ( φ φ C ( ) , φ dM =

        1 1 )| ∈

        Ω onde Q é a forma quadrática associada ao operador L.

        Sejam p M um ponto de M e B ( p ) a bola geodésica em M de raio R e centrada em p.

        ∈ R Seja também W um subespaço de dimensão finita de funções seccionalmente suaves em B ( ) .

        R Q é uma forma negativa definida em W se Q ( φ ) < 0 para todo φ W , φ 0.

        ∈ 6= ′ ′

        Ω

        Lema 4.0.1. Se Ω e Ω são domínios compactos em M e Ω , então ⊂

        ′

        Ω Ω

        

      ( ( )

      λ λ .

        ) ≥

        1

        1

        ′

        Ω Se Ω ∅ então a desigualdade é estrita.

        − 6=

        3

        com

        4.1 Superfícies Mínimas de Índice Finito em N Curvatura Escalar não negativa

        3 Nesta seção, iremos trabalhar com superfícies mínimas de índice finito imersas em N que tem curvatura escalar não negativa.

        

      Proposição 4.1.1. Se M tem índice finito então existe um conjunto compacto C em M tal que M C

      − =

        é estável e existe uma função positiva g em M de modo que Lg 0 em M C.

        − ( )

        Demonstração. Fixe p M e seja B p a bola geodésica de raio ρ centrada em p.

        ∈ ρ

        Seja

        = ( ) ρ 2 sup ρ B p é estável .

        1 · { | ρ } Caso ρ seja infinito então M é estável. Caso contrário, defina

        1

        > ρ = 2 sup ρ ρ B ( p B ( p ) é estável .

        ρ ρ

        2 · { 1 | ) −

        1 }

        Se ρ é infinito então, M B ( p ) é estável, isto é, tomando C = B ( p ) , M C é estável. Caso

        

      ρ ρ

        2 −

        1 1 − <

        ∞

        ( ( ) ρ , então B p B p é instável. Assim, indutivamente, defina

        ρ ) − ρ

        2

        2

        1 > = ( ( )

        ρ 2 sup ρ ρ B p B p é estável .

        1 − −

        k · { k | ρ ) − ρ } 1 k

        Se ρ é infinito então M ( ) é estável. Caso contrário definimos, de modo análogo, B p k − ρ k

        1 − ρ .

      • k

      1 N Afirmação: Existe l tal que ρ é infinito, isto é, existe um ρ tal que M B ( p ) é estável.

        ρ ∈ l l − l < <

        De fato, suponha que exista uma sequência ( ρ ) , ρ ρ . . . tal que A = B ( p B ( p )

        ρ ρ ρ

        k

        1 2 ) − i i i −

        1 é instável para cada ρ da sequência. Assim, para cada i, o autovalor λ de L em A é negativo.

        ρ

        i 1 i

        Seja f a autofunção associada a λ no anel A , logo f tem suporte em A e Q é negativa

        ρ ρ

        i 1 i i i definida sobre o espaço gerado pela f . Como M tem índice finito, só pode existir um número i

        ′

        finito de f s , isto é, o processo acima deverá parar depois de um número l de passos e assim M i

        = ( ) é estável fora do conjunto compacto C B p .

        ρ l

        Como M é estável fora de C então o operador L tem autovalores não negativos em M C ,

        − (

        assim, λ D 0 para todo domínio limitado D M C . Como M é completo e não

        ) ≥ ⊂ −

        1

        ( )

        compacto, podemos escolher R , R suficientemente grandes tal que C esteja contido em B p R

        1 ∅

        = ( ( )

        para algum p M , D A B p B p e A D , ou seja, A contém

        ∈ ⊂ R R ) − R R − 6= R

        1

        1

        1

        1 ( ) > (

        propriamente D. Pelo Lema e pela estabilidade de A temos λ D λ A 0.

        R R ) ≥

        1

        1

        1

        1 Logo, ( ) >

        (4.1)

        λ D

        1 para qualquer domínio limitado D M C .

        ⊂ −

        Afirmamos que M B ( p ) é a união de um número finito de componentes conexas R

        − >

        Ω Ω , . . . , Ω . De fato, seja q e seja γ a menor geodésica de p a q. Assim, existe ǫ

        1 k ∈ i

        ( ( ∅ ( ( ) Ω

        tal que γ B p B p , então Ω intersecta B p B p , ou seja

        ∩ R ) − R ǫ ) 6= R ) − R ǫ ∪ + + + +

        2ǫ i 2ǫ i

        ( ( ) ( ( )

        é uma cobertura de B p B p . Como B p B p é compacto então essa R ) − R ǫ R ) − R ǫ

        2ǫ 2ǫ

      • cobertura admite uma subcobertura finita, isto é, existe um número finito de componentes conexas Ω , . . . , Ω .

        k

        1

        =

        Basta provar agora a existência de uma solução positiva g de L em M de modo que Lg

        >

        em M C . Para isto, fixemos um ponto p M . Para cada R R , considere o problema

        − ∈

        ( Lu = 0 em A ;

        R (4.2) u =

        1 em A R

        Inicialmente, queremos mostrar que o problema possui uma única solução. Para isso, considere a seguinte afirmação

        Afirmação. Só existe a solução trivial (i.e, identicamente nula) para o problema

        ( Lu = 0 em A ;

        R (4.3) u = em A .

        R De fato, caso contrário, existiria f não identicamente nula solução do problema de Dirichilet

        Logo, f estaria associado ao autovalor zero. Assim, algum λ ( A ) seria zero, o que é uma R i contradição já que λ ( A ) > 0.

        R

        1

        >

        Pelo Teorema 6.15 de para cada R R existe uma única função v em A tal que R

      • +

        q

        x

        . Logo, se u

        ≥

        0 em A R então u

        >

        0 em A R .

        Mostraremos que u

        ≥

        0 em A R por absurdo, ou seja, suponhamos que

        K

        = {

        x

        ∈

        A r | u

        

      (

        ) < } 6=

        ≥

        R

        ( Lu = 0 em K; u = em K

        R garante que Lu = 0 em K. Observe também u = em K por continuidade. Logo, segue de e da afirmação acima que

        A R , então Lu = 0 em A

        ⊂⊂

        0. (4.5) Como K

        ) >

        

      ( A

        ∅ . Diante disso, K é um domínio limitado e K

        1

        ( K ) > λ

        1

        λ

        A R . Assim, pelo Lema temos que

        ⊂⊂

        0 em A R

        . Em virtude do princípio do máximo forte (teorema 3.5 de basta provar que u

        ( Lv = q em A

        u

        R v = em A

        R ,

        (4.4) onde q

        = −|

        A

        |

        2

        −

        Ric

        (

        N , N

        ) .

        Por outro lado, de temos que L

        (

        −

        0 em A R

        −

        >

        u = v + 1. Assim, v + 1 é a única solução de como queríamos inicialmente. Agora provaremos que u

        

        1

        −

        1 também é solução de Pela unicidade, v = u

        Logo, u

        1

        1 = 0 em A R .

        −

        q em A R e u

        =

        Lu

        ) =

        (4.6)

        

      =

        não possui solução não trivial, sendo assim, u 0 em K, contradizendo a definição de K. Com

        R

        > isso, mostramos que u 0 em A .

        (

        Dado que u x 0 com x A , consideremos agora uma função g definida em M C

        ) 6= ∈ R R −

        dada por

        1

        −

      ( ) = ( ( )) ( )

      g x u x u x .

        R Veja que

        1

        1

        − −

        ∆ Lg = qg = ( u ( x )) u q ( u ( x )) u

        ∆g R R − R −

        1

        1

        

      − −

      = ( u ( x )) u ( x )) qu

        ∆u

        − (

        1

        − = ( u ( x )) ( qu )

        ∆u

        

        1

        − = ( ( )) =

        u x Lu 0 em A , R

        =

        uma vez que Lu 0 em A . Assim, R

        ( Lg = em A ;

        R R (4.7)

        g x 1, g 0 em A .

        

      >

      ( ) =

        R R R Pela desigualdade de Harnack (veja teorema 20, p, 199 de existe uma constante c tal que qualquer compacto K A , temos

        ⊂ R

        sup g c inf g . (4.8) R ≤ R

        K K Como inf g g ( x ) = 1, segue da desigualdade que r

        K R ≤ g c em K.

        R ≤ Daí, pelas estimativas de Schauder interiores (veja teorema 6.2, p 90) garantimos que as derivadas de ordem menor ou igual a dois de g são equicontínuas. Logo, segue do teorema

        R ∞ de Ascoli-Arzelá que podemos escolher R tal que ( g ) converge uniformemente para

        R j → + i uma função g em K, e por conseguinte, Lg Lg em K.

        R → i Sendo assim, acabamos de obter uma função g satisfazendo Lg = 0 e g ( ) =

        1. Por fim, x como g não é identicamente nula e, pela convergência uniforme, g 0, segue do princípio do

        ≥ >

        máximo que g 0 terminando assim a demonstração.

        Nosso próximo resultado mostrará que o índice pode ser encontrado com a dimensão de

        2 um espaço de autofunções L 2 definidos globalmente em M.

        

      Proposição 4.1.2. M tem índice finito se, e somente se, existe um subespaço de dimensão finita W de

        2

        ( )

        L M tendo uma base ortonormal f , . . . , f consistindo de autofunções, com autovalores λ , . . . , λ , 1 k

        1 k ∞

        ⊥ ( (

        respectivamente. Cada λ é negativo e Q φ 0 para todo φ C M W . Além disso, se i ) ≥ ∈ ) ∩

        ( ) < ( ) = ( ) Ind M ∞, então dim W Ind M .

        2

        ( )

        Demonstração. Suponha que exista um subespaço de dimensão finita W de L M tendo uma base ortonormal f , . . . , f consistindo de autofunções, com autovalores λ , . . . , λ , 1 k

        1 k ∞

        ⊥

        respectivamente. Cada λ é negativo e Q ( 0 para todo φ ( . Tome agora

        φ C M W

        i ) ≥ ∈ ) ∩ qualquer ponto p M e R suficientemente grande. Se Ind ( B ( p )) > ( W ) , então existe um dim

        ∈

        R ∞

        ⊥ φ C ( M W tal que φ é uma outra autofunção de L com autovalor λ negativo, ou seja,

        ∈ ) ∩

      Z Z

        2

        Q φ φLφ λ φ

        < ( =

        ) = − ( ) ( )

        B p B p R R

        

      ( ( )

      o que é uma contradição, e com isso Ind M dim W . Portanto, M tem índice finito.

        ) ≤

        Agora, suponha que M tenha índice finito, pela proposição existe uma bola geodésica

      • > ( ) ( )

        B p tal que M B p é estável. Seja R R 6 e seja η uma função tal que R − R

        = ( )

      η 0 em B p

        R

        

      = ( )

      η 1 em M B p

        −

        2R e

        6 .

        η |∇ | ≤

        R

        ( )

        Usando a estabilidade de M B p e usando a desigualdade de estabilidade temos que

        − R Z Z Z

        2

        2

        2

      • ( ) =

        q ηφ dM ηφ dM η φ φ η dM

        ≤ |∇( )| | ∇ ∇ |

        M M M

        Z

        2

        2

        2

        2

        = ( η + φ 2ηφ φ η φ η ) dM , (4.9) + |∇ | ∇ · ∇ |∇ |

        M ∞

        ( ) onde φ é uma função C M .

        ( )

        Com a escolha do η acima, e adicionando Q φ em ambos os membros da desigualdade temos que

        Z Z Z

        2

        2

        2

        2

        2

        2

        2

        

      ( ) ) ( ) + ( )

      +

        q ηφ dM φ qφ dM Q φ η φ 2ηφ

        φ η φ η dM (|∇ ≤ ∇ |∇ | | − |∇ | · ∇

        M M M assim,

        Z Z Z Z

        2

        2

        2

        2

        2

        2

        (

        1 η φ dM ( 1 η ) qφ dM Q ( φ ) + 2ηφ + φ ηdM φ η dM

        

      − )|∇ | − − ≤ ∇ · ∇ |∇ |

        M M M M e com isso,

        Z Z Z Z

        2

        2

        2

        2

        2

        2

        2

      • ( ( ) ( + )
      • dM η φ dM

        φ

        1

        2Q φ φ qφ dM 1 η qφ dM

        |∇ | − )|∇ | ≤ ) − (|∇ | − − ( )

        B p A M M R R

        Z Z

        2

        2 2ηφ φ ηdM φ η dM .

      • M M

        ∇

      • · ∇ |∇ |

        Aplicando a desigualdade da média aritmética-geométrica em 2ηφ φ η e usando o fato de

        ∇ · ∇ ( )

        que M B p é estável, temos que

        −

        2R

        Z Z Z

        2

        2

        2

        2

        2

        2Q ( ) ( 1 )

        φ dM φ φ qφ dM η qφ dv |∇ | ≤ ) − (|∇ | − −

        B ( p ) B ( p ) B ( p ) R

        2R

        2R Z Z

        2

        2

        2

        2

        η φ + + φ ) dM φ η dM . (4.10) |∇ |( + |∇ | |∇ |

        M M

        2 4 ( 1 η )

        −

        2 Podemos escolher η acima de tal forma que η em B ( p ) . De fato, tome

        |∇ | ≤

        2R

        2 R

        1

        2

        = ( ) = ( ) = ) η , tal que, η 0 em B p , η 1 em M B p e η . Estabeleça η

        1 1 η , R − |∇ | ≤ − ( −

        1

        1

        1

        2R

        1

        1 R

        2

        

      ( ) ( )

        4 1 η

        4 1 η

        

      − −

        2

        2

        2

        = ( )

        então, η

        4 1 η η e sabemos também, pela escolha do

        |∇ | − |∇ | ≤ ≤

        1

        1

        2

        2 R R R que η

      1. Logo, (4.10) torna-se:

        |∇ | ≤ Z Z Z

        2

        2

        2

        2

        2

      • ( ) ( )

        φ dM φ φ qφ dM η qφ dM

        2Q

        1

        |∇ | ≤ ) − (|∇ | − −

        B ( p ) B ( p ) B ( p ) R

        2R

        2R

      Z Z Z

        2

        2

        2

        2

        η + φ φ dM φ + dM η dM |∇ | |∇ | |∇ |

        B ( p ) B ( p ) M

        2R

        2R Z Z

        2

        2

        2

        2Q + + ( φ ) + qφ dM ( 1 η ) qφ dM

        ≤ − ( ) ( )

        B p B p

        2R

        2R Z Z

        2

        ( )

        6

        4 1 η

        −

        2

        2

      • φ dM φ dM

        2 B ( p ) R B ( p ) R

        2R

        2R Z

        2

        2Q ( ) + 2 ( + 1 ) .

        φ q φ dM ≤

        B ( p )

        2R

        Portanto,

        Z Z

        2

        2

        2Q ( ) + , (4.11)

        φ dM φ C φ dM |∇ | ≤

        B ( p ) B ( p ) R

        2R ( ) onde C depende do máximo de q em B p .

        2R Uma consequência imediata de é

        Z

        2

        ( )

        − ≤

        C φ dM 2Q φ .

        M

        ( ) = = ( ( ))

        Se Ind M m , então existe um R suficientemente grande, tal que, m Ind B ,

        1

        ρ >

        para todo ρ . Seja f , . . . , f uma base ortonormal de autofunções com autovalores R

        1 1,ρ m ,ρ

        

      λ , . . . , λ , respectivamente, onde cada λ é negativo. O max λ , . . . , λ é uma função

        m m

        1,ρ ,ρ i ,ρ { 1,ρ ,ρ }

        > < > decrescente de ρ e, portanto, existe um ǫ 0 tal que λ ǫ com i = 1, . . . , m e ρ R .

        i ,ρ

        1 Estendendo f a zero fora de B ( p ) e usando φ = f (usualmente, φ pode ser tomado como

        ρ

        i ,ρ i ,ρ

        i ,ρ i ,ρ ≥ −

        > uma aproximação C de funções f ), segue-se que λ c para i = 1, . . . , m e ρ R .

        1 Portanto, λ c , ǫ ] . i ,ρ ∈ [− −

        Voltando para a equação com φ = f , observe que i ,ρ

        Z Z Z

        1

        1

        2

        2

        2

        2 2η f f ηdM = f η dM η dM

        ∆ f i ,ρ ∇ i ,ρ · ∇ ∇ · ∇ = − i ,ρ i ,ρ

        2

        2 M M M

        Z

        1

        2

        2

        η ( f f ) dM

        ∆ f

        = − i ,ρ i ,ρ + |∇ i ,ρ |

      2 M

      • f
      • 2η f
      • q ( f
      • Z

        ,ρ

        2

        ρ ] .

        Por outro lado, implica que

        Z

        B R

        (

        p

        ) |∇

        f i

        |

        R ,

        2 dM

        ≤

        2Q

        (

        f i

        ,ρ

        ) +

        C

        Z

        1

        ∈ [

        2R (

        M

        (

        1

        − η

        2

        )

        R

        2 f

        2 i ,ρ dM e portanto,

        Z

        −

        2 (4.12) para todo R

        B

        2R (

        p

        )

        f

        2 i ,ρ dM

        ≤

        cR

        −

        B

        p

        M

        2R ( p )

        c

        1 Z B

        2R ( p )

        f

        2 i ,ρ dM

        Z

        M

        −

        B

        f

        2 i ,ρ dM

        2 i ,ρ dM

        ≤

        c

        1 Z B

        2R ( p )

        f

        2 i ,ρ dM

        (

        R

        =

        f

        )

        p

        f

        2 i ,ρ dM

        = −

        2 Z M f i

        ,ρ L f i

        ,ρ dM

        Z

        B

        2R (

        )

        2R ( p )

        f

        2 i ,ρ dM

        ≤

        2c

        Z

        M f

        2 i ,ρ dM

        Z

        B

        4

        ≤ Z

        ) assim temos que

        2

        2

        )

        dM

        ≤ Z

        M

        ( η

        2

        |∇

        f i ,ρ |

        −

      η

        |∇ η

        2

        ( f

        i ,ρ ∆ f i ,ρ + |∇ f i ,ρ |

        2

        ) + f

        2 i ,ρ

        |∇ η

        |

        2 dM .

        |

        2 i ,ρ

        Z

        ( η

        e assim,

        Z

        M q

        ( η f

        i ,ρ

        )

        2 dM

        ≤ Z

        M

        2

        · ∇ η

        |∇

        f i

        ,ρ

        |

        2

        i ,ρ

        ∇

        f i

        ,ρ

        Logo,

        M

        2 i ,ρ dM

        ǫ , isso implica que Z

        2 i ,ρ dM

        

      Z

        M f

        2 i ,ρ

        |∇ η

        |

        2 dM como

        (− λ

        i ,ρ ) ≤ −

        M

        η

        −

        B

        2R ( p )

        f

        2 i ,ρ dM

        B

        2R ( p )

        η

        2 f

        2 f

        M

        η

        )

        2 f i ,ρ

        L f i ,ρ dM

        ≤ Z

        M

        η

        2

        ( f

        i ,ρ ∆ f i ,ρ

        i ,ρ

        2

        Z

        ) dM ≤ Z

        M f

        2 i ,ρ

        |∇ η

        |

        2 dM .

        Assim,

        − λ

        i ,ρ

      • C
      • C
      • 2c
      • c

        Z Z Z

        2

        2

        2

        2

        

      ( f f ) dM f dM f dM

      • i ,ρ | ≤ |∇ i ,ρ | i ,ρ i ,ρ
      • |∇

        ( ) ( ) ( )

        B p B p B p R

        2R R Z Z

        2

        2

      • ( )

        f dM c f dM c R

        ≤

        1 i ,ρ i ,ρ

        ( ) ( )

        B p B p

        2R

        2R Z

        2

        ) ( ( ) + +

        ≤ ( ) ≤

        c 1 . f dM c R c R

        1 i ,ρ

        B ( p )

        2R

        Portanto,

        Z

        2

        2

        ( ) ( )

        f f dM c R . (4.13)

      • |∇ i | ≤

        i ,ρ ,ρ

        B ( p ) R 1,2

        As desigualdades juntamente com o fato de que o espaço sobolev H ( B ( )) R

        2 ∞

        é um compactamente imerso em L ( B ( )) implicam que existe uma subsequência R tal R j → que, para i = 1, . . . , m, vale

        2

        j i i ,R

        = ( ) lim ∞ f f em L M .

        → j

        2

        ( )

        Segue-se que f , . . . , f são autofunções ortonormais em L M com autovalores m

        1 ∞

        2

        ⊥ ] ( ) (

        

      λ , . . . , λ c , ǫ . Seja W um espaço gerado em L M e observe que se φ C M W

        m ∈ [− −

        ∈ ) ∩

        1 então, m

        

      φ = a f φ ,

      • ρ

        i ,ρ i ,ρ i =

        1 com φ ortogonal a f , . . . , f . Assim,

        ρ m ,ρ

        1,ρ

        Z Z m Z m Z = = = +

        

      φ f dM a f f dM φ f dM a f f dM a ,

        i ∑ i j i ρ i ∑ i j i i ,ρ ,ρ ,ρ ,ρ ,ρ ,ρ ,ρ ,ρ ,ρ

        M M M M j = 1 j =

        1 R

        2

        = ( )

        ou seja, a φ f dM . Da convergência em L M temos que i i

        ,ρ ,ρ M

        

      Z Z

      = = =

        lim a lim φ f dM φ f dM 0. i i i

        ,ρ j ,ρ j ∞ ∞ j j

        M M

        → →

        Portanto, desde que ρ seja suficientemente grande, tal que sptφ B ( p ) ,

        ρ

        ! !

        Z m m

      • (
      • Q φ a f φ L a f φ dM

        ) = − ∑ i i ρ ∑ j j ρ

        ,ρ ,ρ ,ρ ,ρ M

        = =

        1 Z m m Z m a f L a f dM a f Lφ dM

        i 1 j

        = − ∑ i i ∑ j j − ∑ i i ρ

        ,ρ ,ρ ,ρ ,ρ ,ρ ,ρ M M

        = = =

        1 Z m Z

        i 1 j 1 i

        φ L a f dM φ Lφ dM − ρ ∑ j j − ρ ρ

        ,ρ ,ρ M M

        =

        j

        1 m Z m Z

        2

        2

        =

        a λ f dM a f Lφ dM

        ∑ i − ∑ i i ρ

        i ,ρ i ,ρ ,ρ ,ρ ,ρ

        M M

        = =

        1 Z m

        i 1 i

      • a λ φ f dM Q ( φ ) +

        ρ ρ ∑ j ,ρ j ,ρ j ,ρ

        M

        =

        j

        1 Z m m

        2

        = λ a f Lφ + a dM Q ( φ ) ρ ρ

        ∑ i ,ρ − ∑ i ,ρ i ,ρ

        i ,ρ M

        = =

        1 m

        i 1 i

        2

        2

        = (

      • ρ ) ≥ − | |

        a λ Q φ ǫ a ,

        ∑

        i ,ρ i ,ρ i ,ρ i =

        1 onde para a última igualdade foi usada a segunda identidade de Green (veja p. 17).

        ∞

        ( Fazendo ρ chegamos a Q φ 0 tal como exigido. → ) ≥

        3 Pela proposição para M, uma superfície mínima completa com índice finito em N , existe uma função positiva u onde Lu = 0 em M .

        C

        −

      3 Teorema 4.1.1. Seja N uma variedade com curvatura escalar não-negativa, e seja M uma superfície

        2

        2 mínima, completa e orientável em N. Se M tem índice finito, então, a métrica u ds é uma métrica completa em M com curvatura Gaussiana não-negativa fora de C. Em particular, segue-se que M é difeomorficamente conforme a uma superfície completa de Riemann menos um número finito de pontos.

        Demonstração. Como M tem índice finito, pela Proposição existem uma função positiva

        2 u e algum subconjunto compacto C de M tal que, em M C , Lu =

        0. Seja ds a métrica original

        −

        2

        2

        2 em M. Para essa métrica, temos a métrica conforme e ds = u ds em M.

        2

        

      ( ) [

        Afirmamos que existe uma geodésica γ t : 0, ∞ M C na métrica e ds , onde t é

        ) → −

        2

        ( )

        comprimento de arco na métrica ds . De fato, escolhamos uma exaustão de M B p

        = ∪ R i

        2 ∞ ∞

        ( )

        (R , i ), tal que B p denota a bola geodésica de M na métrica ds , de raio R i → → R i i

        ( )

        centrada em p M . Então, para cada i existe um segmento de geodésica γ t que realiza a

        ∈

        i

        2

        2

        2

        ( ) =

        distância de p à fronteira B p na métrica e ds u ds , tal que t é o comprimento de arco R i

        2

      • = =

        de γ na métrica ds . Para ver isso, defina u u η onde η é suave, η 0 para x R e i

        R i

        | | < i

        2

        2

        = η 1 para x R

      • ds

      1. Então, como u é limitado inferiormente, a métrica u é completa,

        | | > i R i

        R i assim que essas geodésicas existam. Como B é compacto, podemos ligar p a qualquer ponto

        R i

        2

        2

        ( )

        do bordo de B p com a menor geodésica na métrica u ds . Seja ρ ∂B tal que, ρ está R i i ∈ R i i

        R i mais próximo de p e seja γ a menor distância de p até ρ . Note que γ deve ficar inteiramente i i i dentro de B ( ) ou outro ponto estaria mais próximo de p. Como u = em B ( ) , γ é uma p u p

        R i R R i i i

        2

        2 geodésica na métrica u ds .

        2 Vamos supor que γ está parametrizado pelo comprimento de arco na métrica ds . Agora, i ∞ vamos tomar uma subsequência de R tal que o vetor tangente convirja para um limite i →

        ′

        v . Isto é, γ v , assim, pela dependência de soluções em relação aos parâmetros (teoria de

        →

        R i EDO), estas geodésicas convergem em um conjunto compacto de [ 0, ∞ ) para uma geodésica

        2 limitada γ que minimize a e ds distância entre qualquer dois pontos e é parametrizado pelo

        2 comprimento de arco na métrica ds .

        Como γ é semi-geodésica, segue-se que γ C está contido em γ 0, l para algum l

        > ([ ])

        

      0. Portanto, podemos substituir γ por γ e assumir que γ M C . Note que,

        | ⊂ −

      • + [ l 1,∞ )

        2 pela construção de γ, a integrabilidade de e ds irá seguir se pudermos mostrar que γ tem

        2 comprimento e ds infinito, isto é, devemos mostrar que

        Z ∞

        ∞

        ( ( )) = u γ s ds .

        ~

        Seja φ n uma variação de γ dada por onde n é normal a γ e φ tem suporte compacto

        · ~

        2

        2

        2

        ( ) =

        em 0, ∞ . Como γ é uma geodésica minimizante em e ds u ds , a segunda variação do comprimento de arco (veja dará !

        2 Z ∞ dφ

        2

        2 e e

        Kφ ds (4.14)

        − ≥

        e ds dφ dφ ds dφ

        1

        −

        desde que, = = u e

        ·

        e ds e ds ds ds

        2

        −

        e ∆ K = u ( K log u ) . (4.15)

        −

        Assim, torna-se

        Z ∞

        2 Z ∞ dφ

        1

        2

        2

        2

        − −

        ∆

        ( )

        u ds u K log u φ ds (4.16)

        ≥ −

        ds

        1

        2

      • (

        Portanto, como u 0 é uma solução para Lu ∆u Ku S A 0, sendo K a

        > = ) =

        − | |

        2 curvatura Gaussiana de M, S a curvatura escalar de N, então ∆u Ku e

        ≤

        2

        2 u∆u u u

        − |∇ | |∇ |

        ∆ log u = K . (4.17)

        ≤ −

        2

        2 u u

        Primeiro, note que, de podemos concluir que e K 0, e observando que

        ≥

        2

        ′

        ∆ u K log u

        | | −

        e usando temos que

        ≤

        3 u u

        Z ∞ Z ∞ Z ∞ Z ∞

        2

        ′

        ∆ u K log u

        | | −

        2

        2

        2

        1

        2

        − ′ ( ( ))

        φ ds φ ds u e Kφ ds u φ s ds . (4.18) ≤ ≤ ≤

        3 u u

        ∞

        R

        ∞

        

      = =

        Agora vamos mostrar que uds . Seja φ uψ , onde ψ tem suporte compacto em

        ( )

        0, ∞ , então,

        

      ′ ′ ′

      • + =

        

      φ u ψ uψ

        e

        1

        2

        1

        2

        1

        2

        2

        2

        

      − ′ − ′ ′ − ′ ′ ′ ′

      • ) = + ( ) ( ) ( ) 2u + ( =

        u φ u u ψ uψ u u ψ u ψ ψψ assim, por

        Z Z Z

        2

        ′ ′ ′

        ∞ 2 ∞ 2 ∞

        u u u

        | | | | | |

        2

        2

        2

        2

        ′ ′ ′ φ ds = ψ ds ψ u ( ψ ) 2u + ψψ ds .

      • 3

        ≤

        u u u Logo,

        Z ∞ Z ∞ Z ∞

        2

        2

        

      ′ ′ ′ ′ ′ ′

      ( + ) = ( ) +

        ≤ Z Z Z

        u ψ 2u ψψ ds u ψ 2 u ψψ ds

        ∞ ∞ ∞

        2

        2

        2

        ′ ′ ′′ ′ ′′ = u ( ψ )

        2 u ( ψ ) uψψ ds u + ( ψ ) 2uψψ ds ,

        − − = − onde na penúltima igualdade foi usada integração por partes.

        ( ) = ( ) ( )

        Agora, escolhendo ψ t tξ t onde ξ tem suporte compacto em 0, ∞ temos

        

      ′ ′

      = +

        

      ψ ξ tξ

        e

        

      ′′ ′ ′′

      ψ = 2ξ + tξ .

        Assim,

        Z

        ∞

        2

        ′ ′ ′′

        u ( ξ tξ ) 2utξ ( t )( 2ξ tξ ) ds 0, + +

        

      − − ≥

        com isso,

        Z Z

        ∞ ∞

        2

        2

        2

        2

        ′ ′ ′′ uξ 6tξξ t ( ξ ) 2t ξξ ) uds .

        ≤ (− − −

        Escolhendo ξ, tal que

        

      ξ ( t ) = 1 para 0 t R

      ≤ ≤ >

        ξ ( t ) = 0 para t

        2R c c

        2

        ′ ′′ ′ ′′

        e ξ e ξ limitadas por e , respectivamente, para R t

        2R. Então, tξ c e t ξ c ,

        ≤ ≤ | | ≤ | | ≤

        2 R R e assim

        Z Z ∞ Z ∞ Z ∞

        R

        2

        2

        2

        2

        ′ ′ ′′ ( ) ) uds uξ 6tξξ t ξ 2t ξξ uds C uds . ≤ ≤ (− − − ≤

        R Como C não depende de R, essa inequação implica que

        Z ∞

        ∞ uds =

        2

        2

        2 assim a métrica e ds = u ds é uma métrica completa em M com curvatura gaussiana não negativa e K em M C .

        −

        Resta mostrar que M é conformemente uma superfície de Riemann menos um número finito de pontos. Pela desigualdade de Cohn-Vossen (veja e a não-negatividade da Curvatura de Gauss em M C , temos que

        − Z

        <

        c Kdv 2πχ,

        ≤

        M onde c é uma constante e χ é a característica de Euler de M. Portanto, M é topologicamente finito, assim M é uma superfície de Riemann menos um número finito de discos.

        2

        (

        Seja C o limite do disco de raio r centrado em p, o qual foi retirado, e seja λ z dz a r

        )| |

        métrica na bola de raio 1, contendo C . De p.76 a curvatura Gaussiana de M C é dada r

        −

        ∆ log λ por K , como ela é positiva, então

        = −

        2

        λ

        1 ∆ log 0,

        ≥

      λ

        1

        1

        1

        = =

        assim log é uma função subharmônica. Seja a max log em C e seja b max log em

        ǫ

        1

        λ λ λ

        C . + r ǫ

        1

        2

        ( ) = Sejam x , y as coordenadas do ponto z entre C e C . Por um lado, temos que x .

        r |∇ |

        1

        ( ) λ z

        1

      1 De fato, seja α : a , a A , onde A é a região entre entre C e C , uma curva diferenciável

        (− ) →

        r r r

        1

        ′ ′ ′ ( ) = ( ( ) ( )) ( ) = ( ) = ( ( ) ( ))

        dada por α t α t , α t , onde α p e α t α t , α t e seja x a função

        1

        2

        1

        2 coordenada. Assim, d

        ′ ′

        x , α ( ) ϕ = ( x α ) = α ( ) u =

        ∇ ◦ | t

        1

        1 dt e x , ϕ 0. v

        h∇ i =

        Assim, sendo x = Pϕ temos que u

        ∇ ′ ′ ′ ′

        

      ( ) = ( ) = ( ) = ( )

      α x , α ϕ Pϕ , α ϕ Pα λ

        ∇ u u u

        1

        1

        1

        1

      1 Logo, P = . Portanto,

        λ

        1

        1

        2 x x , x λ = .

        |∇ | = h∇ ∇ i = ·

        2

        λ λ

        Por outro lado, a estimativa de Cheng-Yau (Veja teorema 6.1 e corolário 6.3) garante que c

        2 x .

        |∇ | ≤

        2

        ρ ( z )

        Portanto,

        1 c ,

        

        2

        

      ( ) ( )

      λ z ρ z onde ρ é a distância geodésica em C , e c é uma constante. Consequentemente,

        1

        1 c c

        =

        b max log max log log

        ǫ ≤ ≤

        2

        2 C C ( ) ( ) r λ + r + ǫ ǫ ρ z min ρ z C r ǫ +

        ∞ Como a métrica é completa, ρ quando ǫ 0, assim,

        → →

        ǫ = −

        ∞ lim b .

        ǫ

        b a

        

      ǫ

      − <

        Defina h ( z ) = α log z a , onde α = . Então, para todo 0 ǫ 1, temos que

        ǫ ǫ ǫ | | +

        ≤

      • ( )

        log r ǫ log z

        | |

        1 1 h log em C , já que, em C vale 1, h log em C e h é harmônica.

        ǫ r ǫ r ǫ ǫ ǫ + + ≥

        ≤ ≥

        1

        λ λ

        ( + )

        log r ǫ

        1

        >

        ∞

        

      (

        Fixe z em A . Se r 0 então vale que lim h z , mas isso é uma contradição, já que,

        ǫ ǫ ) = −

        r →

        1 log tem um valor finito. Assim r = 0 e o disco removido é um ponto.

        λ ( z )

      3 Corolário 4.1.1. Se N tem curvatura de Ricci não negativa e M é um superfície mínima completa e

        orientável com índice finito em N, então

        Z

        2

        <

        ∞ A dM .

        | |

        M Demonstração. Devemos mostrar que

        Z

        2

        <

        ∞ A dM

        | |

        M C

        −

        onde C é um conjunto compacto, tal que M é estável. Como o Ric ( 0 a estabilidade C e

        −

        3 ) ≥ de M C dará

        − Z Z Z

        2

        2

        2

        2

        2 A φ dM ( Ric ( e A ) φ dM φ dM

        | | ≤

        3 ) + | | ≤ |∇ | M C M C M C

        − − − =

        para todo φ com suporte compacto em M C . Pelo teorema M M p , . . . , p

        − − { }

        1 k e em cada p , M é conformemente equivalente a um disco furado, que denotaremos por D . i i

        Tomando o raio do disco suficientemente pequeno podemos, sem perda de generalidade, supor que cada D está compactamente contido em M C . i − k

        = = (

        Fixe φ tal que φ 0 em C, φ 1 em D e φ é linear em M C D . Em cada D , seja i − ) − ∪ i i

        =

        i

        1

      • 2
      • η
      • η

        ≤ Z

        ∑

        i

        =

        1 Z D i

        |

        A

        |

        2

        η

        2 i

        φ

        2 dM

        ( M −

        φ

        C

        )−∪ k i =

        1 D i |∇

        

      φ

      |

        2 dM + k

        ∑

        i =

        1 Z D i

        ( φ

        2

        |∇ η

        i |

        2 dM

        2

        2 i

        |

        (

        M

        −

        C

        ) − ∪

        k i =

        1 D i .

        Logo,

        Z

        M

        −

        C

        A

        

      |

        |

        2

        η

        2

        φ

        2 dM

        = Z

        ( M −

        C

        )−∪ k i =

        1 D i |

        A

        2

        |∇ φ

        = η

        2 dM

        Portanto,

        Z

        M

        −

        C

        |

        A

        

      |

        2

        η

        2

        φ

        ≤

        2

        c independente de ǫ. Fazendo ǫ

        →

        0 temos que

        Z

        M

        −

        C

        

      |

        A

        |

        2 dM

        ≤

        ≤ c .

        ǫ

        |

        ′

        2

        ) dM ≤

        c

        ′

        ∑

        i =

        1 Z D i

        |∇

      η

        i |

        2 dM

        ≤

        c

        ∑

        2

        i =

        1 Z D i

        1

        ǫ

        2 dM

        ≤

        c

        ′

        ∑

        i =

        1

        β ǫ

        i em cada D i e 1 em

        Com o φ acima, defina η

        c como desejado.

        η

        i

        = raio de D

        i .

        Então,

        Z

        M

        −

        C

        |

        A

        |

        2

        2

        2ǫ, R i

        φ

        2 dM

        ≤ Z

        M

        −

        C

        |∇ ηφ

        |

        2 dM

        = Z

        M

        

        ) R

        

      | ∈ (

        ( φ

        

      | ∈ (

        η

        i : D i →

        R

        a função da distância radial definida por

        η

        i

        (

        z

        ) =

               se

        |

        z

        0, ǫ

        z

        )

        ; r

        − ǫ ǫ

        se

        |

        z

        

      | ∈ [

      ǫ , 2ǫ ] r

        = |

        z

        |

        1 se

        |

        C

        2

        ) dM .

        2 dM

        2 , assim,

        Z

        M

        −

        C

        |

        A

        |

        2

        η

        2

        φ

        ≤

        |∇ φ

        2 Z M

        −

        C

        ( φ

        2

        |∇ η

        |

        2

        2

        |∇ φ

        |

        2

        |

        2

        |∇ η

        dM e usando a média aritmética-geométrica temos que

        |

        2

        h η

        ∇ η

        , φ

        ∇ φ i +

        η

        2

        |∇ φ

        |

        2

        )

        2

        2

        h η

        ∇ η , φ

        ∇ φ i ≤

        2

        | η

        ||∇ η

        ||

      φ

        ||∇ φ

        | ≤ φ

        2

        |∇ η

        |

      • k
      • η
      • k
      • k
      • k

        3

      4.2 Superfícies Mínimas com Índice Finito no R

        3 ∆

        =

        No caso em que N é o R , o operador estabilidade L é dado por L 2K.

        −

        Provaremos nesta seção um resultado que faz a associação entre a finitude do índice e a finitude da curvatura total, mas antes precisaremos de alguns resultados, demonstrados em

        

      Teorema 4.2.1. Seja M uma variedade bidimensional completa e Riemanniana cuja curvatura de Gauss

        satisfaz K

        

        e

        Z

        ∞ K .

        

      | | <

        M Então existe uma variedade bidimensional compacta M, um número finito de pontos p , . . . p em M e

        { i k }

        2 uma isometria entre M e M p , . . . p . Além disso a aplicação de Gauss g : M S ( 1 ) estende-se

        − {

        1 k } →

        2 a uma aplicação meromorfa g : M S ( 1 ) .

        →

        Demonstração. Vide Teorema 9.1 e lema 9.5, p. 81

        82

        −

        3 Teorema 4.2.2. Seja M uma superfície mínima completa e orientável no R . Assim, M tem índice finito, se, somente se, M tem curvatura total finita.

        3

        3

        2 Demonstração. Suponhamos que M tenha índice finito no R , sabendo que em R , A

        2K

        | | = −

        e usando o corolário índice finito implica que

        Z

        2

        <

        ∞ A dM ,

        | |

        M assim

        Z <

        | |

        ∞ . K dM

        M Reciprocamente, suponhamos que M tem curvatura total finita, assim temos que, pelo teorema M é conformemente uma superfície de Riemann M com furos p , . . . p e

        {

        1 k }

        2 2 a aplicação de Gauss g : M S se estende holomorficamente à aplicação g : M S .

        → → Vamos mostrar que o índice de M depende somente da aplicação de Gauss em M, não do

        2

        2

        =

        fator métrico. Seja ds µ dz a métrica de M. Então,

        | |

        1

        2

        2

        =

        g g ,

        

      |∇ | |∇ |

      µ

        onde denota o gradiente na métrica µ e denota o gradiente Euclidiano. Seja e , e um

        ∇ ∇ {

        1 2 } referencial ortonormal em M e v um vetor normal unitário. Então h = , e define a v ij ∇ e j i segunda forma fundamental de M e

        2

        2

        2 g = h e , e = h 2K.

        |∇ | ∑ ij i j ∑ = −

        ij ij

        2 Denotaremos o operador L na métrica µ dz por L .

        µ | |

        1

        1

        2

        2 ∆ ∆ ∆

        = = =

      • g g

        L

        2K

        

      µ − − |∇ | |∇ |

      µ µ

        e

        Z Z

        1

        1

        2 ∆

        Q ( φ φL φds φ g + φµdxdy

        µ µ ) = − = − |∇ |

        µ µ

        M M

        Z

        1

        1

        2

        2

        2

        = φ g φ µdxdy

        |∇ | − |∇ | µ µ

        M

        Z

        2

        2

        2

        = φ g φ dxdy |∇ | − |∇ |

        M para todo φ com suporte compacto em M.

        2 dz em M temos que

        Assim, para uma outra métrica eµ

        | | Q ( φ ) = Q ( φ ) .

        µ µ

        e

        2 dz é uma função suave em M então

        Se eµ

        | |

        1 1 µ e

        2 ∆ L = g = ( µL ) = L .

        µ e

      • |∇ | µ µ

        e e

        

      µ µ µ

        2 Como g estende-se suavemente para p , . . . p η é uma função , eµ é suave no infinito e

        1 k |∇ | suave limitada em M, então, L tem espectro discreto e, portanto, índice finito na superfície de

        µ

        e Riemann compacta M. Assim, ∞

        ( ) = ( ( ) < Ind M Ind M Ind M .

        L L ) ≤ L µ µ µ

        e e Portanto, M tem índice finito.

        2 dz uma métrica suave em M. Então Ind ( M ) = Ind ( M ) .

        Corolário 4.2.1. Seja eµ | |

        L µ

        e

        2

        2 Demonstração. = µ dz uma métrica suave em M e Ind ( M ) = l . Tome f , . . . , f Sejam dev e

        | | L µ 1 i e

        funções suaves em M no qual são autofunções em L . Construiremos um espaço W de funções

        µ

        e ∞

        C ( M ) no qual Q ( φ ) < 0.

        µ

        e Escolha uma coordenada z centrada em p , e defina η , para um ǫ suficientemente pequeno, j j por

        

        2  se z ǫ ;

        | | <

            1 se z ǫ ;

        | | > η ( z ) =

        j z

        | |

         log

        2

        

        ǫ

        2   se ǫ z ǫ .

        ≤ | | ≤

        

        1 log

        ǫ

        Seja η = η na ǫ-bola sobre cada p e 1 fora da bola. Assim, como j j

        1

        1

        1

        1

        2 r r ,

        

      ≤ ⇒ ≥ ⇒ − ≤ −

        2

        2 r r r r então temos

        Z Z Z

      ǫ ǫ

        1

        1

        1

        1

        1

        −

        2 e

        = = η d v dr dr

        | ∇ | e

        2 1

        2

        1

        2

        2

        2 M ǫ r log ǫ ǫ r

        log log

        ǫ ǫ Z Z

        ǫ ǫ

        1

        1

        1

        1

        1

        1

        = dr dr − ≤ −

        1

        2

        1

        2

        2

        log ǫ log ǫ r

        ǫ r ǫ

        log log

        ǫ ǫ

        h i

        1

        1

        1 1 log ǫ 2 = log ǫ log ǫ = = .

      • 1

        −

        1

        1 log ǫ log ǫ log log log

        ǫ ǫ ǫ

        Logo,

        Z

        2 e

        e

        

      | ∇ | → →

        

      η d v 0 com ǫ

      0.

        M

        =

        Seja g η f . Então, i i

        Z Z Z Z

        2

        2

        2

        2

        2

        2

        < ( ) = ( ) ( )

        g f d v 1 η f d v 1 η f d v c d v cǫ i − i e − e ≤ − e ≤ e i i

        M M B ( p ) B ( p ) ǫ ǫ j j assim,

        Z

        2

        ( )

        g f d v 0 com ǫ 0. i − i e → →

        M Além disso,

        Z Z Z

        2

        2

        2 e e e e

        = ) ) = )

      • i i )| e (| ∇( − i | e (| − ∇ · i ∇ i · ( − )| e

        | ∇( −

        g f d v 1 η f d v η f f 1 η d v

        M M M

        Z

        2

        2

        2

        2 e e e e

      • η f 2 f (

        1 η η f 1 η ) f ) d v e

        ≤ (| ∇ | i − )| ∇ || ∇ i | + ( − | ∇ i |

        i M

        Z

        2

        2

        2

        2 e e

      • ( ) )

        2 η f 1 η f d v ,

        ≤ (| ∇ | − | ∇ i | e

        i M onde na última desigualdade foi usada a desigualdade da média aritmética-geométrica.

        2

        2 e

        Como f e f são limitadas, temos que,

        | ∇ i |

        i

        Z

        2 e g f d v 0 com ǫ 0,

        

      | ∇( i − i )| e → →

        M assim,

        Z

        2

        2

        2

        = + ( )

        k i − i k |∇( i − i )| i − i → →

        f g f g f g dv 0 com ǫ 0.

        1 M 1,2

        =

        Pela continuidade de Q com respeito a norma L , Q é negativa definida no espaço W

        ( ( ) ( ( )

        span g , ou seja, Ind M Ind M , mas já sabemos que Ind M Ind M , portanto,

        { i } ) ≥ L ) ≤ L µ µ e e

        ( ) = ( ) Ind M Ind M .

        L

        µ e

      4.3 Superfícies Mínimas com Índice 1

        Nesta seção, iremos mostrar primeiro que o catenóide e a superfície de Enneper são as

        3 únicas superfícies mínimas completas e orientáveis no R com índice igual a 1. Nossas principais referências foram

        3

        2

        ( )

        Sejam M uma superfície mínima completa e orientável em R e N : M S 1 a

        → ( )

        aplicação de Gauss. Se Ind M é finito então, pelo teorema existe uma superfície de Riemann compacta M, tal que

        =

        M é conformemente equivalente a M p , . . . , p , p M para k 1, . . . n. Além disso, a

        − { n } k ∈

        1

        2

        ( )

        aplicação de Gauss estende para p , . . . , p como uma aplicação meromorfa N : M S 1 .

        {

        1 n }

        →

      2 Seja ds a métrica em M compatível com a estrutura de Riemann. Definiremos o operador

        1 em M por

        L

        1

        2 ∆

        L = N ,

        1 1 + |∇ 1 |

        2 onde ∆ e são o Laplaciano e o gradiente na métrica ds . Pelo corolário temos que

        1 ∇

        1

        1 Ind ( M ) = Ind ( M ) . L

      1 Denotaremos por Q a forma quadrática associada a L , isto é,

        1

        1 Z

        1 Q ( u uL udv , para todo u H ( M ) . 1 ) = −

        1 1 ∈

        2 M Vamos enunciar agora alguns resultados que serão de grande importância na demonstração do principal teorema deseta seção.

        2 R

        Lema 4.3.1. Seja ρ : M : M (

        1 ) uma função positiva e suave e Ψ S uma aplicação meromorfa

        → →

        2

        2 não constante. Então existe uma transformação conforme g : S (

        1 S ( 1 ) , tal que

        ) → Z

        Ψ

        ( ) = 0, ρ g dv

        ◦

        1 M

        2 onde dv é a medida canônica associada a ds .

        1

      1 Lema 4.3.2. Sejam M uma superfície de Riemann compacta com gênero r e p um ponto de M. Então

      • existe uma função φ meromorfa não-constante em M que tem um pólo de ordem menor ou igual a r

        1 em p e é holomorfa para todos os outros pontos de M. Este último Lema é uma consequência do Teorema de Riemann-Roch e a sua demonstração pode ser encontrada em p. 130.

        2

        ( )

        Dada uma superfície de Riemann M e uma aplicação meromorfa Ψ : M S 1 então

        →

        2

        1

        −

        Ψ

        ( ) ( ( ) =

        para qualquer q S 1 o conjunto Ψ q p M p q tem o mesmo número r

        ∈ ) = { ∈ | }

        de elementos. A demonstração desse resultado pode ser vista em p. 272. O número r é

        Ψ

        ( )

        chamado grau da aplicação meromorfa e denotaremos por gr . Um resultado imediato é que a Ψ

        ( ) =

        aplicação Ψ é injetiva se, e somente se, gr 1.

        Vale observar também que, do Teorema 9.4 de o catenóide e a superfície de Enneper são

        3 as únicas superfícies mínimas completas e orientáveis imersas no R com curvatura total igual a 4π. Uma consequência disso é que o catenóide e a superfície de Enneper são as únicas

        −

        3 superfícies mínimas completas e orientáveis imersas no R no qual a aplicação de Gauss é injetiva.

        3

        ( ) =

      Teorema 4.3.1. Seja M uma superfície mínima completa e orientável no R . Então Ind M 1 se, e

      somente se, M é o catenóide ou a superfície de Enneper.

        2

        ( )

        →

        Demonstração. Seja M o catenóide ou a superfície de Enneper e N : M S 1 a aplicação de

        2

        2

        ( )

        dz em M dada pelo pullback da métrica em S 1 por N. Então Gauss. Tome a métrica eu | |

        ∆

        ( )

      • L K

        2I u = − M e

        . Como M é o catenóide ou a superfície de Enneper então N é injetiva e

        ( )

      • L u

        assim Ind M é igual ao número de autovalores negativos do operador ∆

        2I. Mas para o

        M

        e

        2 Laplaciano temos que λ ( ( 1 )) = 2, onde λ é o primeiro autovalor não-trivial. Tomando ϑ a S

        1

        1 autofunção do Laplaciano cujo autovalor associado é 2, temos

        ∆ ∆

        (

      • M M

        2I ) ϑ = ϑ

        2Iϑ 2ϑ 2ϑ = 0, + +

        = −

        ∆

        ( )

      • +

        M

        ou seja, ϑ é uma autofunção do operador

        2I cujo autovalor associado é 0. Considerando

        agora a autofunção ϑ de ∆ cujo autovalor associado é o trivial, então M

        ( ) = =

      • ∆ ∆
      • ϑ ϑ

        2I

        2Iϑ 2ϑ, M M

        ∆

        ( )

      • M

        ou seja, o primeiro autovalor de

        2I é 2 e o segundo é 0. Logo, temos apenas um

        −

        ∆

        ( ) ( ) =

      • M

        autovalor negativo para

        2I e portanto Ind 1.

        M L u

        e

        Pelo corolário Ind ( ) = ( ) . Portanto, se M é o catenóide ou a superfície de M Ind M

        L u

        e

        Enneper então Ind ( ) = 1.

        M Reciprocamente, suponhamos que Ind ( M ) = 1, assim pelo corolário Ind ( M ) = 1.

        L

        1 Seja ρ a primeira autofunção de L (lembre-se que ρ é positiva em toda parte). Por hipótese,

      1 R

        1 para todo u C ( M ) tal que ρudv = 0, isto é, u ortogonal a ρ, temos

        2 ∈

        1

        ( )

        S

        1

        (

        Q u (4.19)

        ) ≥

        1

        =

        e a realização da igualdade ocorre se, e somente se, L u 0.

        1

        2

        ( )

        Seja Ψ : M S 1 uma aplicação meromorfa não constante. Usando o Lema temos

        →

        2

        2 Ψ

        ( ) = ( )

        uma transformação conforme, g, de S 1 tal que ¯Ψ g : M S 1 satisfaz

        ◦ → Z

        = ρ ¯

        0. (4.20) Ψdv

        1 M Por outro lado,

        Z

        2

        2

        2 ¯Ψ ¯Ψ ¯Ψ

        ( ) = )

        Q N dv

        ≤ (|∇ | − |∇ | | |

        1

        1

        1

        1 M

        Z

        2

        2 ¯Ψ

        = N ) dv (|∇

        1 | − |∇ 1 |

        1 M ¯Ψ

        

      = [ ( ( )]

        8π gr gr N ,

        ) −

        no qual combinando temos que ¯Ψ

        Ψ gr ( ) = gr ( gr ( N ) (4.21)

        ) ≥

        2 ¯Ψ ¯Ψ

        =

        e vale a igualdade se, somente se, ∆ N

        0. Mas, como ¯Ψ é uma aplicação

      • + |∇ |

        1

        1

        2 ¯Ψ ¯Ψ ¯Ψ

        =

        meromorfa, temos que ∆

      0. Assim, a igualdade em (4.21) implica que

      • |∇ |

        1

        1 ¯Ψ

        N em toda parte. Agora discutiremos os seguintes casos:

        |∇ | = |∇ |

        1

        1 a) M é uma esfera.

        Ψ Tomando Ψ com a aplicação identidade, então Ψ é injetiva e assim gr ( ) =

        1. Como o gr ( N 1, de concluímos que gr ( N ) =

        1. Assim, a aplicação de Gauss N é injetiva

        ) ≥ e portanto M é o catenóide ou a superfície de Enneper.

        (

      b) Suponha que o gênero de M seja maior ou igual a 1, isto é, g M 1.

        ) ≥

        De p. 75 temos que gr ( N g ( M ) +

        1. Se a desigualdade é estrita, pelo Lema

        ) ≥

        ¯Ψ chegamos em uma

        ) ≤

        contradição. Se vale a igualdade, seja p M um ponto regular de N. Novamente, a partir

        ∈

        do Lema obtemos uma aplicação meromorfa Ψ, do mesmo grau que N a qual tem

        ( ) +

        p como um ponto de ramificação de ordem g M

        1. Então, temos a igualdade em ¯Ψ

        ¯Ψ

        ) =

        e assim N em todo ponto de M. Mas, p 0 e N p 0, o que

        |∇ | = |∇ | |∇ |( |∇ |( ) 6=

        1

        1

        1

        1

        1 é uma contradição e o teorema está provado.

        

      APÊNDICE A

      A DERIVADA DO DETERMINANTE

        Neste apêndice demonstraremos dois resultados de álgebra linear sobre a derivada da função determinante.

        ( ) = ( ( )) ( ) =

      Lema A.0.3. Seja G t a t , t I, uma família suave de matrizes n n, tais que G Id.

        ij ∈ × Então

        ′

        d

        ( ( )) = ( ( )) det G t tr G .

        =

        dt t Demonstração. Observe que n det ( G ( t )) = det ( a ( t )) = a ( t ) c ( t ) , ij ∑ 1j 1j j =

        1 onde c são os cofatores de ( a ) . Logo, ij ij n n

        ′ ′ ′ ′

        d det ( G ( t )) = a ( ) c ( ) + a ( ) c ( ) = a ( ) + c ( ) .

        ∑ ∑

        1j 1j 1j 1j

        11

        11 dt t = j = j =

        1

        1

        ′ ′

        Indutivamente, calculando c ( ) e depois c ( ) temos que

        22

        11 n

        ′ ′

        d det ( G ( t )) = a ( ) = tr ( G ( )) .

        

        jj t = dt j =

        1 A partir desse Lema temos o seguinte corolário:

        ( ) = ( ( ))

      Corolário A.0.1. Seja B t b t uma família suave de matrizes inversíveis n n. Então para

        ij

        × )

        todo s ε , ε

        ∈ (−

        d

        1

        − ( ( )) = ( ( ) ( )) ( ( )) det B t tr B s B s det B s .

        t = s dt

        1

        − ( ) = ( ) ( ) ( ) =

        Demonstração. Seja G t B t B s . Assim G s Id e pelo lema anterior temos que

        ′

        d

        ( ( )) = ( ( ))

        det G t tr G s

        =

        dt t s

        ′

        1

        − = ( ( ) ( )) tr B s B s .

        Logo,

        ′

        d

        1

        1

        − − ( ( ) ( )) = ( ( ) ( ))

        det B t B s tr B s B s ,

        =

        dt t s ou seja, d ′

        1

        1

        − − det ( B ( s )) det ( B ( t )) = tr ( B ( s ) B ( s )) .

        t = s dt

        Portanto,

        

        d

        1

        − ( ( )) = ( ( ) ( )) ( ( )) det B t tr B s B s det B s .

        =

        dt t s

        

      APÊNDICE B

      DESIGUALDADE DE YOUNG

        Neste apêndice apresentaremos a demonstração da desigualdade de Young que foi utilizada nos teoremas

        1

        1

      • =

        

      Lema B.0.4 (Desigualdade de Young). Sejam s e t números reais positivos tais que 1 e a e

        s t b números reais não negativos. Então vale a seguinte desigualdade: s s t t

        −

      α a α b

      • +

        ab , (B.1)

        ≤

        s t

        > onde α 0 é arbitrário.

        s t a b

      • Demonstração. Basta provar que ab .

        ≤

        s t

        É claro que é verdade se ab

        0. Portanto, suponhamos que a, b 0, com isso podemos considerar os seguintes casos:

        > =

        1

        1 s t

        = =

      • b teremos, usando o fato de que 1, que
        • Se a s t

        s t

        1

        1 1 s

        a b

      • s

        t t t s t

        = ( ) = = = +

        ab a b aa a s t

        ′′

        s t x

        ( ) = ( ) >

        b , note que a função g x e é estritamente convexa, pois g x 0 para todo

        6=

      • Se a
      • (

        t t .

        , teremos que ab

        (

        y

        ) .

        Aplicando isso para λ =

        1 s , (

        1

        − λ ) =

        1 t , x = ln a s e y = ln b t

        =

        )

        e ln

        (

        ab

        ) =

        e

        ln as s

        ≤

        a s s

        g

        − λ

        x

        (

        ∈ R

        . Então para todo λ

        ∈ (

        0, 1

        )

        e todos os números reais x, y, com x

        6=

        y , obtemos g

        x

        1

        1

        − λ

        )

        y

        

      ) ≤

      λg

        (

        x

        ) + (

      • ln bt t
      • b

        

      REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

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        Contemporânea, Vol 28

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        − 105.

        ÍNDICE REMISSIVO

        Índice de Morse, Campo Variacional, Catenóide, Colchete de Lie, Componente

        Norma, Tagencial,

        Conexão de Levi-Civita, Curvatura,

        Total Finita, Escalar, Seccional,

        Derivada Covariante, Desigualdade de Simons, de Young,

        Diferencial Covariante, Divergência, Domínio

        Estável, Instável,

        Equação de Codazzi, de Gauss,

        Equação de Simons, Espaço Normal, Fórmula de Weingarten, Fibrado Normal, Forma Negativa Definida, Funcional Área, Gradiente, Grau da Aplicação, Hessiano, Hipersuperfície,

        Mínima, Imersão Isométrica, Laplaciano, Métrica Riemanniana, Operador de Jacobi, Estabilidade,

        Primeira Identidade de Bianchi, Segunda Forma Fundamental, Superfície de Enneper, Tensor, Teorema do Carmo-Peng,

        Li-Wei, Variação, Variedade Riemanniana, Vetor Curvatura Média,

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