UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA

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Full text

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CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA

(Mestrado)

MARCOS CASTELLI

Teoremas de ponto fixo

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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA

T

EOREMAS DE PONTO FIXO

M

ARCOS

C

ASTELLI

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Matemática do Departamento de Matemática, Centro de Ciências Exatas da Univer-sidade Estadual de Maringá, como requisito para obtenção do título de Mestre em Matemática. Área de concentração: Equações Diferencias.

Orientador: Prof. Dr. Gleb Germanovitch Doronin.

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Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Biblioteca Setorial BSE-DMA-UEM, Maringá, PR, Brasil)

Castelli, Marcos

C348t Teoremas de ponto fixo / Marcos Castelli. -- Maringá, 2016.

72 f. : il. figs.

Orientador: Profº. Drº. Gleb Germanovitch Doronin.

Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Maringá, Centro de Ciências Exatas, Programa de Pós-Graduação em Matemática - Área de Concentração: Equações Diferenciais, 2016.

1. Teoria do ponto fixo. 2. Teorema da contração. 3. Lagrangiana nula. 4. Função suavizante. 5.

Aplicação compacta. 6. Equações diferenciais

parabólicas. 7. Equações diferenciais elipticas. 8. Fixed point theory. 9. Null lagrangians. 10.

Mollifiers function. 11. Compact mapping. I.

Doronin, Gleb Germanovitch, orient. II. Universidade Estadual de Maringá. Centro de Ciências Exatas. Programa de Pós-Graduação em Matemática - Área de Concentração: Equações Diferenciais. III. Título.

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MARCOS CASTELLI

Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Matemática do Departamento de Matemática, Centro de Ciências Exatas da Universidade Estadual de Maringá, como re-quisito para obtenção do título de Mestre em Matemática.

BANCA EXAMINADORA

Prof. Dr. Gleb Germanovitch Doronin Universidade Estadual de Maringá

Prof. Dr. Marcos Roberto Teixeira Primo Universidade Estadual de Maringá

Profa. Dra. Luci Harue Fatori

Universidade Estadual de Londrina

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Meus sinceros agradecimentos aos meus queridos pais, Venilda de Lourdes de Bar-ros Castelli e Amarildo Castelli por tudo aquilo que me ensinaram, pelo amor, confi-ança e incentivo que me deram. Aos meus irmãos, Fabio Castelli e Silvana Castelli pelo companheirismo, afeto e apoio.

Gostaria de agradecer ao meu orientador, professor Gleb Germanovitch Doronin, primeiramente por ter aceitado está empreitada corrida que foi este trabalho. Também por todo apoio, dedicação e compreensão durante todo o processo, por ter acreditado e pelo tempo exigido.

Aos servidores da UEM que de alguma forma influenciaram na conclusão deste trabalho, dentre os quais destaco a professora Rosali Brusamarello e a Lúcia k. Kato por todo contratempo.

Não poderia deixar agradecer a todos meus amigos, em especial ao Anderson e a Juliana por toda a ajuda, e aos companheiros de sala pelo ambiente de estudo mais agradável.

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Neste trabalho estudaremos teoremas sobre pontos fixos, a citar, Banach, Brouwer, Schauder e Schaefer, e apresentamos algumas aplicações destes. Para o de Banach, sua demonstração fornece um processo interativo para encontrar o ponto fixo.

Munidos dos resultados sobre Lagrangianas nulas provamos que não existe uma re-tração suave da bola unitária em sua fronteira. Utilizando ideias de função suavizante constatamos que não existe retração contínua, com a posse desses fatos demonstramos o teorema do ponto fixo de Brouwer.

O teorema de Schauder, é uma generalização do teorema de Brouwer, cuja prova é obtida por aproximações de aplicações com imagens de dimensão finita, e pelo teorema do ponto fixo de Brouwer conseguimos provar o resultado.

Sobre aplicações compactas e um certo conjunto limitado, definimos uma aplicação nas hipóteses do teorema de Schauder onde computamos a existência de um ponto fixo que a fortiori é o ponto fixo desejado no teorema do Schaefer.

Trazemos como resultados do teorema do ponto fixo de Banach as equações inte-grais de Fredholm e Volterra, o teorema de Picard-Lindelöf sobre sistema de equações diferenciais ordinárias e a existência de solução fraca de uma equação diferencial para-bólica semilinear. Como aplicações dos teorema de Schauder e Schaefer comprovamos a existência de solução fraca para equações diferenciais elípticas semilinear e quase-linear.

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This work is concerned with the Fixed Point theorems, more precisely, we deal with the Banach, Brouwer, Schauder and Schaefer theorems, and their applications.

For the proof of Banach’s theorem, the iterative process has been presented provi-ding the successive approximation algorithm for applications.

In order to prove the Brouwer Fixed Point theorem, we show that there is no con-tinuous retraction from the unit ball into its boundary. The machinery of the Null-Lagrangian and some Functional Analysis results are used.

The Shauder theorem is proven as a generalization of the Brouwer Fixed Point the-orem to the infinite-dimensional compact and convex sets. Finite-dimensional projec-tions are used for continuous operators to show the to be possessed with a fixed point.

As a corollary, we prove in the sequel the Schaefer Fixed Point theorem which is useful to solve boundary and initial-boundary value problems for non-linear differen-tial equations.

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Introdução 8

1 Teorema do ponto fixo de Banach 11

1.1 Teorema do Ponto Fixo de Banach . . . 13

1.2 Aplicações . . . 16

2 Teorema do ponto fixo de Brouwer 31

2.1 Equação de Euler-Lagrange . . . 32

2.1.1 Lagrangianas nulas . . . 39

2.2 Teorema do Ponto Fixo de Brouwer . . . 42

3 Teoremas de ponto fixo de Schauder e de Schaefer 47

3.1 Teorema do Ponto Fixo de Schauder . . . 47

3.2 Teorema do Ponto Fixo de Schaefer . . . 54

3.3 Aplicações . . . 56

Apêncice 61

3.4 Análise Real . . . 62

3.5 Análise Funcional . . . 63

3.6 EpaçosLp e Espaços de Sobolev . . . 67

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A teoria sobre pontos fixos são de vasta aplicação em matemática, sendo também uma ferramenta corriqueira no estudo envolvendo equações diferenciais não lineares. Devido a valiosas informações que um ponto fixo pode oferecer, grandes matemáticos enriqueceram a teoria com grandes teoremas sobre pontos fixos.

Existem diversos teoremas de ponto fixo em diferentes ramos da matemática, neste trabalho abordaremos os que se referem a contrações estritas e aplicações compactas. Trazemos no primeiro capítulo um teorema sobre contrações, o conhecido Teorema do Ponto Fixo de Banach, um importante resultado na teoria de espaços métricos. As hipóteses exigidas são de completude e uma aplicação contrativa. A partir de um pontox0 qualquer, construímos uma sequência de Cauchy, que irá convergir para o

único ponto fixo da aplicação. O interessante dessa demonstração, é que fornece um método para encontrar melhores aproximações para o ponto fixo.

Concluímos o capítulo trazendo algumas aplicações do Teorema do Ponto Fixo de Banach para garantir a existência de soluções para equações integrais, as conhecidas equações de Volterra e equações de Fredholm. Também provamos o famoso teorema de Picard-Lindelöf sobre sistema de equações diferenciais ordinárias e encerramos com a constatação da existência de uma única solução para o sistema de difusão e reação.

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generalização do teorema de Brower.

Estudamos a equação de Euler-Lagrange e definimos o conceito de Lagrangiana nula. Provando alguns resultados sobre o assunto para funções suaves, determinamos que não existe uma função suave da bola unitária em sua fronteira que mantém fixo o bordo. Na segunda etapa demonstramos que não existe uma retração contínua da bola unitária em sua fronteira. Agimos por contradição. Suponhamos que exista tal função (apenas contínua), estendemos essa função para uma função suave através da convolução com uma função suavizante. Tal extensão contradiz a conclusão da pri-meira etapa. Com estes fatos comprovados, a veridicidade do teorema de Brouwer decorre sem esforços.

Para o último capítulo reservamos os teoremas de ponto fixo de Schauder e de Schaefer. Começamos verificando com um exemplo, que o Teorema do Ponto Fixo de Brouwer não é válido para espaços de dimensão infinita, o motivo se deve ao fato das bolas unitárias fechadas em tais espaços não serem compactas. Adicionando a hipó-tese de compacidade, generalizamos o teorema de Brouwer para espaços de dimensão infinita, o conhecido Teorema do Ponto Fixo de Schauder. Para este fim, seja dada uma aplicação A : K → K contínua, onde K é um subconjunto compacto e convexo de

um espaço de Banach. Aproximando-se essa aplicação por aplicações onde é possível aplicar o teorema de Brouwer, obtemos uma sequência de pontos fixos para estas apro-ximações que, pela propriedade da projeção de Schauder, converge para o ponto fixo em questão do teorema de Shauder.

Em seguida provamos o Teorema do Ponto Fixo de Schaefer para aplicações contí-nuas e compactasA, adicionando a hipótese de limitação do conjunto de pontos fixos

retratores das funçõesI−λA. Definindo uma aplicaçãoÃnas hipóteses do teorema do Shauder, obtemos um ponto fixo paraÃque também será ponto fixo deA.

Finalizamos o trabalho aplicando o teorema de Schaefer a um exemplo de uma equação diferencial parcial elíptica quase-linear para comprovar a existência de solu-ção. O método utilizado consite em transformar o problema em um problema de ponto fixo que se encaixe nas hipóteses do teorema, acarretando o resultado.

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TEOREMA DO PONTO FIXO DE BANACH

Neste capítulo abordaremos oTeorema do Ponto Fixo de Banach, também conhecido como teorema das contrações. Este teorema é um resultado fundamental em espaços métricos, ele garante a existência de um único ponto fixo para uma aplicação sobre certas condi-ções.

O nome deste teorema é devido a Stefan Banach, um cientista polonês que concedeu grandes contribuições para a matemática. Ele fundou a Análise Funcional Moderna e, entre os vários trabalhos, destacam-se as suas ideias para a teoria das séries ortogonais e na teoria de medida e integração. Banach foi quem introduziu o conceito de espaços vetorias normados, e provou vários teorema dessa área.

Definição 1.1. Um espaço métrico é um par(X, d)ondeX é um conjunto não vazio edé uma função definida sobreX×X assumindo valores emRcumprindo as seguintes condições para

todox, y, z ∈X:

• M1) d(x, y) é finito e não negativo, isto é0≤d(x, y)<∞;

• M2) d(x, y) = 0 ⇔ x=y;

• M3) d(x, y) = d(y, x);

• M4) d(x, y)≤d(x, z) +d(z, y).

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diremos simplesmente o espaço métricoX, deixando subentendido qual é a métricad

que está sendo considerada.

Um exemplo simples de um espaço métrico é o conjunto dos números reiasR

mu-nido com a seguinte métrica

d(x, y) =|x−y|.

onde| · |denota o valor absoluto emR.

Quando nos referirmos aRcomo espaço métrico estaremos considerando essa

mé-trica.

Se X for um espaço vetorial normado sobre um corpo K, podemos definir uma

métrica, que o torna um espaço métrico, da seguinte forma

d(x, y) =kx−yk.

A métricadobtida dessa forma chama-se métricainduzidada norma.

Sobre o espaço vetorial Rn, sobre o corpo R, existem 3 normas equivalentes, que

serão usadas no decorrer deste trabalho:

kxk =

n

X

i=1 x2i

!1 2

;

kxk1 =

n

X

i=1

|xi|;

kxk2 = max

1≤i≤n{|xi|},

ondex: (x1, . . . , xn)∈Rn.

Como uma das aplicações do teorema do ponto fixo de Banach, iremos provar o teorema de existência e unicidade de solução para um sistemas de EDOs, o fa-moso teorema de Picard-Lindelöf. Na sua demonstração usaremos o espaço vetorial

C([a, b],Rn) :={f : [a, b]Rn:fé contínua}com a norma

kfk= sup

x∈[a,b]

{|f(x)|},

(14)

Se X for um espaço vetorial sobre um corpo K munido de um produto interno

h·,·i:X×X →K, obtemos uma norma sobreXda seguinte forma

kxk=phx, xi, (x∈X).

Definição 1.2(Sequência de Cauchy, Espaço Completo). Uma sequência(xn)em um

es-paço métrico(X, d)é dita de Cauchy se para todoε >0existirN =N(ε)∈Ntal que

d(xm, xn)< ε , ∀m, n > N.

O espaçoXé dito completo se toda sequência de Cauchy emX converge para um elemento de

X.

Um espaço vetorial normado cuja métrica induzida o torna um espaço métrico com-pleto é chamado deespaço de Banach, como também se um espaço vetorial munido de um produto interno cuja norma obtida o classifica como espaço de Banach, é chamado espaço de Hilbert.

1.1 Teorema do Ponto Fixo de Banach

Esta seção destina-se a enunciar e demonstrar um importante teorema em matemática conhecido comoTeorema do Ponto Fixo de BanachouTeorema das Contrações, bem como trazer um de seus corolários. Este teorema tem uma vasta gama de aplicações em matemática, algumas delas trataremos posteriormente.

Definição 1.3. Um ponto fixo da aplicaçãoT :X→X é um pontox∈Xtal queT(x) = x.

Definição 1.4 (Contração). Sejam X e Y espaços métricos. Uma aplicação f : X → Y é chamada uma contração, se existe um número real 0 < c < 1 tal que, para todo x, y ∈ X

tem-se

d(f(x), f(y))≤c d(x, y).

(15)

fixo. Este procedimento é chamado de iteração, isto é, dado um ponto arbitráriox0 ∈X

calculamos a sequência recursivax0, x1, x2, . . .pela seguinte relação

xn+1 =f(xn)

comn∈N∪ {0}. Processos iterativos são usados largamente em matemática aplicada,

e provas de convergência e estimativas para o erro são obtidos como uma aplicação do Teorema do Ponto Fixo de Banach.

Teorema 1.5 (Teorema do Ponto Fixo de Banach). Considere um espaço métrico X = (X, d), onde X 6= ∅. Suponha que X seja completo e f : X → X seja uma contração. Então,f possui precisamente um único ponto fixo. Ponto esse que pode ser obtido como limite da sequência(x0, f(x0), f2(x0), . . .),ondefn(x0) :=f(fn−1(x0)),para qualquerx0 ∈X.

Demonstração:

Sejax0 ∈ X ef : X → X uma contração. Consideremos a sequência iterativa(xn)

definida porx0, x1 =f(x0), x2 =f(x1),e assim sucessivamente. Afirmamos que esta

sequência converge.

De fato, pela Definição 1.4, existe0< c <1tal qued(f(x), f(y))≤c d(x, y), assim

d(xn+1, xn) = d(f(xn), f(xn−1))

≤ c d(xn, xn−1)

= c d(f(xn−1), f(xn−2))

≤ c2d(xn−1, xn−2)

...

≤ cnd(x1, x0).

(16)

d(xm, xn) ≤ d(xm, xm+1) +d(xm+1, xn)

≤ d(xm, xm+1) +d(xm+1, xm+2) +d(xm+2, xn)

...

≤ d(xm, xm+1) +d(xm+1, xm+2) +. . .+d(xn−1, xn) ≤ cm+cm+1+. . .+cn−1d(x

0, x1)

= cm1−c n−m

1−c d(x0, x1).

Desde que0< c <1en > m, então1−cn−m <1, consequentemente,

d(xm, xn)≤

cm

1−cd(x0, x1)−→0 quando m→ ∞. (1.1-1)

Isto prova que(xn)é de Cauchy. ComoX é completo, tem-se lim

n→∞xn=x∈X.

Para provar quexé um ponto fixo def. A continuidade def implica que

x= lim

n→∞xn= limn→∞f(xn−1) = f

lim

n→∞xn−1

=f(x).

E para finalizar mostraremos quexé o único ponto fixo. Suponhamos quey ∈ X seja

um ponto fixo def, assim

d(x, y) = d(f(x), f(y))≤c d(x, y),

isso implica qued(x, y) = 0, poisc <1. Logox=y, e isto completa a demonstração.

O Teorema do Ponto Fixo de Banach é especialmente útil, uma vez que, além da existência garante a unicidade do ponto fixo. No entanto, a exigência da aplicação ser uma contração limita a sua utilidade. Nos próximos capítulos estaremos enfraque-cendo as hipóteses sobre a aplicação, porém pediremos condições mais fortes sobre o domínio e contradomínio da aplicação.

(17)

Demonstração:

Seja g = fm, assimg é uma contração sobre X. Pelo Teorema do Ponto Fixo de

Banach, g tem um único ponto fixo, isto é, g(xb) = bx, logo gn(

b

x) = xb. Novamente o

teorema do ponto fixo de Banach implica que para todox∈X temos

lim

n→∞g

n

(x) =xb

Em particular parax=f(bx), desde quegn =fmn, temos

b

x = lim

n→∞g

n(f(

b x)) = lim

n→∞|f(f(f(. . .{z(f(bx)))))}

mn+1vezes

= lim

n→∞f

f(f(. . .(f(xb))))

| {z }

mnvezes

 

= lim

n→∞f(g

n(

b x)) = lim

n→∞f(bx)

= f(bx).

Isto prova quebxé um ponto fixo def, como todo ponto fixo def é também ponto fixo

deg, temos quef tem um único ponto fixo.

1.2 Aplicações

Aplicaremos agora o Teorema do Ponto Fixo de Banach a alguns exemplos. Lembre-mos que o espaçoC([a, b],Rn)é um espaço métrico completo em relação a norma

de-finida anteriormente. Para algumas das aplicações precisamos do seguinte resultado.

Lema 1.7. SejamX ⊂Rm um subconjunto arbitrário,K ⊂Rncompacto ex0 ∈X fixado. Se f :X×K →Rp é contínua. Então, para todoε >0existeδ >0tal que,

∀x∈X tal quekx−x0k< δ =⇒ kf(x, t)−f(x0, t)k< ε, para todo t∈K.

(18)

Suponhamos por contradição que exista ε0 > 0 tal que para todo n ∈ N pode-se

obter xn ∈ X e tn ∈ K de modo que kxn −x0k <

1

n e kf(xn, tn)−f(x0, tn)k > ε0.

Como K é compacto, passando a subsequência se necessário, podemos assumir que

tn→t0 ∈K. Comoxn →x0, a continuidade daf nos daria

ε0 ≤ lim

n→∞kf(xn, tn)−f(xo, tn)k=kf(xo, t0)−f(xo, t0)k= 0,

o que é uma contradição, provando o resultado.

Definição 1.8. Uma equação integral da forma

f(t)−µ Z b

a

k(t, τ)f(τ)dτ =g(t) (1.2-2)

é chamada de equação integral de Fredholm de segunda espécie1.

Aqui[a, b]é um intervalo real,f é uma função real sobre[a, b]desconhecida, eµ∈ Ré um

parâmetro, o Núcleokda equação é uma função dada sobreG= [a, b]×[a, b], egé uma função

dada sobre[a, b].

Sek é contínua, comoG⊂R2é compacto, segue que existe0< c ∈Rtal que

|k(t, τ)|< c ∀(t, τ)∈G.

Queremos saber sobre quais condições existe solução a expressão (1.2-2).

Aplicação 1.9(Equação Integral de Fredholm). Suponha quek :G →Rseja uma função

contínua sobreG= [a, b]×[a, b]e suponha ainda queg ∈C[a, b]. Se

|µ|< 1

c(b−a) (1.2-3)

onde|k(t, τ)|< csobreG. Então a equação

f(t)−µ Z b

a

k(t, τ)f(τ)dτ =g(t)

1Uma equação sem o termof(t)assume a forma

Z b

a

k(t, τ)f(τ)dτ =g(t)

(19)

tem uma única soluçãof sobre[a, b].

Demonstração:

Para cadaf ∈C[a, b]a equação (1.2-2) define um operador dado por

T f(t) =g(t) +µ Z b

a

k(t, τ)f(τ)dτ.

Vamos mostrar que T f é contínua em [a, b]. Seja t0 ∈ [a, b] etn → t0 em [a, b].

Comoké contínua, dadoε >0o lema 1.7 garante que existeδ >0tal que, seµ, f 6= 0

|tn−to|< δ =⇒ |k(tn, τ)−k(t0, τ)|<

ε

2|µ| kfk |b−a|, para todo τ ∈[a, b].

Assim, comogé contínua, sené suficientemente temos

|T f(tn)

−T f(t0)| =

g(tn)−g(t0) +µ Z b

a

[k(tn, τ)−k(t0, τ)]f(τ)dτ

≤ |g(tn)−g(t0)|+|µ| Z b

a

|k(tn, τ)−k(t0, τ)||f(τ)|dτ

≤ ε

2 +|µ|kfk

Z b

a

ε

2|µ| kfk |b−a|dτ

= ε

2 +|µ|kfk|b−a|

ε

2|µ| kfk |b−a| =ε.

(20)

Sejamf, h∈C[a, b]temos

d(T f, T h) = max

t∈[a,b]|T f

(t)−T h(t)|

= |µ|max

t∈[a,b]

Z b

a

k(t, τ)[f(τ)−h(τ)]dτ

≤ |µ|max

t∈[a,b] Z b

a

|k(t, τ)||f(τ)−h(τ)|dτ

≤ |µ|

Z b

a

c

max

x∈[a,b]|f(x)−h(x)|

= |µ|c

max

x∈[a,b]|f(x)−h(x)| Z b

a

= |µ|c d(f, h)(b−a) = α d(f, h)

ondeα=|µ|c(b−a). De (1.2-3) temos

α=|µ|c(b−a) < 1

c(b−a).c(b−a) = 1.

LogoT é uma contração, provando então o teorema.

Uma equação integral da forma

f(t)−µ Z t

a

k(t, τ)f(τ)dτ =g(t) (1.2-4)

é chamada deEquação Integral de Volterrae se diferencia de uma equação de Fredholm apenas no limite superior de integração, visto que, agora o limite de integração é variá-vel. Este fato é essencial, pois não precisamos de restrições sobre o parâmetroµpara a existência e unicidade para tais equações.

Aplicação 1.10(Equação Integral de Volterra). Suponhamos quegem (1.2-4) seja contínua sobre[a, b] e que o núcleok é contínua sobre a região triangularR no plano tτ dada por a ≤

τ ≤t, a≤t ≤b. Então (1.2-4) tem uma única soluçãof sobre[a, b]para todoµ.

Demonstração:

(21)

T :C[a, b]→C[a, b]dada por

T f(t) = g(t) +µ Z t

a

k(t, τ)f(τ)dτ, (1.2-5)

e assim encontrar a solução de (1.2-4) se reduz ao problema

f(t) = T f(t)

ou seja, encontrar o ponto fixo da aplicaçãoT.

SendoRcompacto ekcontínua, segue que existec∈Rtal que

|k(t, τ)|< c ∀(t, τ)∈R.

Comof, h∈C[a, b]temos que

|T f(t)−T h(t)| = |µ|

Z t

a

k(t, τ)[f(τ)−h(τ)]dτ

≤ |µ|

Z t

a

|k(t, τ)||f(τ)−h(τ)|dτ

≤ |µ|

Z t

a

c d(f, h)dτ

= |µ|c d(f, h)

Z t

a

= |µ|c(t−a)d(f, h) (1.2-6)

Usaremos indução sobrempara provar que

|Tm f(t)Tm h(t)| ≤ |µ|m cm(t−a)m

m! d(f, h). (1.2-7)

(22)

de indução temos

|Tm+1 f(t)Tm+1 h(t)| =

TTm f(t)TTm h(t)

= |µ|

Z t

a

k(t, τ)[Tm f(τ)−Tm h(τ)]dτ

≤ |µ|

Z t

a

|k(t, τ)||Tm f(τ)−Tm h(τ)|dτ

≤ |µ|

Z t

a

c|µ|m cm(τ−a) m

m! d(f, h)dτ = |µ|m+1 cm+1 d(f, h)Z

t

a

(τ−a)m

m! dτ

= |µ|m+1 cm+1(t−a)m+1

(m+ 1)! d(f, h)

o que completa a demonstração de (1.2-7) por indução.

Usando o fato quet−a≤b−atemos

|Tm f(t)Tm h(t)| ≤ |µ|m cm(b−a) m

m! d(f, h).

Assim tomando max

t∈[a,b]em ambos os lados da inequação temos que

dTm f, Tm hα

md(f, h),

onde

αm =|µ|m cm

(b−a)m

m! .

Fixadoµe paramsuficientemente grande temos queαm <1, assimTm é uma

contra-ção sobreC[a, b], segue do corolário 1.6 que (1.2-4) tem uma única solução.

Equações Diferenciais tem uma grande relevância na Matemática, além do que, pode ser uma ferramenta importante, e as vezes imprescindível em muitos outros ra-mos do conhecimento humano. De posse do Teorema do Ponto Fixo de Banach, vara-mos estabelecer a existência e unicidade de solução para o problema de Cauchy associado a uma EDO de primeira ordem, o conhecido teorema de Picard-Lindelöf.

Aplicação 1.11(Teorema de Picard-Lindelöf). SejaΩ = Ia×Bb uma região de R×Rn,

(23)

contínua e lipschitziana na segunda variável emΩ. Então o PVI

  

x′(t) =f(t,x(t))

x(t0) =x0

(1.2-8)

tem uma única solução sobreIα, onde

α= min

a, b

M

e|f|< M.

Sendo Ia e Bb bolas fechadas centradas em t0 ex0 de raios a e b em R e Rn,

res-pectivamente, temos queΩé compacto, sendof contínua, temos quef(Ω)é limitado.

Assim, existeM tal que

|f(t,x)|< M ∀(t,x)∈Ω.

Demonstração:

Integrando det0atétambos os lados da equação diferencial em (1.2-8) obtemos

x(t) = x0+

Z t

t0

f(s,x(s))ds. (1.2-9)

Assim, uma solução do problema (1.2-8) dever ser também uma solução da equação (1.2-9), e reciprocamente, sex(t)é solução da equação integral (1.2-9) então

x(t0) =x0 e x′ =f(t,x)

pelo teorema fundamental do Cálculo, ou seja,x(t)é uma solução de (1.2-8). Ainda, se

g(t) =x0+

Z t

t0

f(s,x(s))ds,

obtemos que

g(t0) =x0 e g′(t) =f(t,x)

e, portanto,

(24)

Considerando o espaço métricoC(Iα,Bb)com a métrica

d(f,g) = sup

t∈Iα

|f(t)−g(t)|

temos que este é completo.

Definamos uma aplicaçãoT :C(Iα,Bb)→C(Iα,Rn)dada por

T x(t)=x0+

Z t

t0

f(s,x(s))ds, x∈C(Iα,Bb).

Destacamos as seguintes propriedades deT:

(1)Im(T)⊂C(Iα,Bb)

(2)Tné uma contração, paransuficientemente grande.

De fato, para todot ∈Iα,

|T x(t)−x0|=

Z t t0

f(s,x(s))ds

≤M|t−t0| ≤M α ≤b.

Isto prova(1). Quanto a(2), para todox,y∈C(Iα,Bb)e todon ≥1

|Tn x(t)−Tn y(t)| ≤ K n|tt

0|n

n! d(x,y), t∈Iα, (1.2-10)

ondeK é a constante de Lipschitz de f. Provaremos está desigualdade por indução

sobren. Paran= 1

|T x(t)−T y(t)| =

Z t t0

f(s,x(s))−f(s,y(s))ds ≤ Z t t0

|f(s,x(s))−f(s,y(s))| ds ≤ Z t t0

K|x(s)−y(s)|ds

≤ Kd(x,y)

Z t t0 ds

(25)

Suponhamos que a desigualdade seja válida parak, então

|Tk+1 x(t)Tk+1 y(t)| =

TTk x(t)TTk y(t)

= Z t t0 h

fs, Tk x(s)−fs, Tk y(s)ids ≤ Z t t0

fs, Tk x(s)−fs, Tk y(s) ds ≤ Z t t0

KTk x(s)−Tk y(s) ds ≤ K Z t t0

Kk|st

0|k

k! d(x,y)ds

= K k+1

k! d(x,y)

Z t t0

|s−t0|k ds

= K

k+1|tt 0|k+1

(k+ 1)! d(x,y).

Portanto,

|Tn x(t)−Tn y(t)| ≤ K nαn

n! d(x,y)

assim paran suficientemente grande, K

nαn

n! <1visto que este é o termo da série cuja

soma éekα, dondeTné uma contração emC(I

α,Bb). Pela Proposição 1.6 temos queT

possui um único ponto fixo, e isto prova o teorema de Picard-Lindelöf.

Definição 1.12. O Laplaciano△de uma funçãof :Rn →Ré dado por

△f :=

n

X

i=1 ∂2f ∂x2

i

,

onde as derivadas parciais não mistas daf devem existir. Sef :Rn Rm, então o Laplaciano

def é dado por △f := (△f1, . . . ,fm), ondef = (f1, . . . , fm)e as derivadas parciais não

mistas das funções coordenadas devem existir.

(26)

sistema de difusão e reação

        

ut− △u=f(u) emUT

u=0 sobre ∂U ×[0, T]

u=g sobre U × {t= 0}

(1.2-11)

ondeu = (u1, . . . , um), g = (g1, . . . , gm), escrevemosU

T =U ×(0, T], comU ⊂ Rnaberto,

limitado e com fronteira suave eT >0fixo.

Mas antes, precisamos de alguns resultados sobre equações parabólicas lineares.

Definição 1.14(Equação Parabólica). O problema de contorno com condição inicial

        

ut+Lu=f emUT

u= 0 sobre ∂U ×[0, T]

u=g sobre U × {t = 0}

(1.2-12)

aqui f : UT → R e g : U → R são dadas e u : UT → R é desconhecida u = u(x, t).

Como também,Ldenota para cada tempo tum operador diferencial de segunda ordem, que se apresenta na sua forma não divergente

Lu=− n

X

i,j=1

aij(x, t)uxixj+

n

X

i=1

bi(x, t)uxi+c(x, t)u.

Suponhamos temporariamente queu=u(x, t)seja uma solução suave do problema

parabólico (1.2-12). Vamos mudar nosso ponto de vista, associando comua aplicação

u: [0, T]→H01(U)

definida por

[u(t)] (x) :=u(x, t) (x∈U,0≤t ≤T).

Similarmente definaf : [0, T]→L2(U)por

[f(t)] (x) := f(x, t) (x∈U,0≤t≤T).

Fixe a funçãov ∈ H1

0(U). Multiplicando porv a EDP ∂u

(27)

inte-grando por partes obtemos

(u′, v) +B[u, v;t] = (f, v)

= d

dt

(1.2-13)

para cada0≤t ≤T. Denotamos por(, )o produto interno emL2(U)e

B[u, v;t] :=

Z

U n

X

i,j=1

aij(·, t)u

xivxj +

n

X

i=1

bi(·, t)u

xiv+c(·, t)uv dx

é uma forma bilinear.

Temos também queut∈H−1(U)com

kutkH−1(U) ≤C

kukH1

0(U)+kutkL 2(U)

.

O primeiro termo em (1.2-13) pode ser expresso porhu′, vi, ondeh , idenota a

duali-dade deH−1(U;Rm)eH1

0(U;Rm).

Definição 1.15. Dizemos que uma função

u∈L2 0, T;H01(U) com u′ ∈L2 0, T;H−1(U)

é uma solução fraca do problema (1.2-12) se

• hu′, vi+B[u, v;t] = (f, v)

para todov ∈H1

0(U),0≤t ≤T e

• u(0) =g.

Temos queu ∈C([0, T];L2(U)).

Teorema 1.16(Existência da solução fraca). Existe uma única solução fraca de (1.2-12).

Voltemos agora ao problema da equação parabólica semi-linear. Assuma a priori queg∈H1

0(U;Rm)e quef :Rm →Rmseja uma função Lipschitz contínua. Assim para

todoz ∈Rm temos que

(28)

Portanto

|f(z)| ≤C(kzk+ 1) (1.2-14)

ondeC = (L+|f(e1)|).

Dizemos que

u∈L2 0, T;H01(U;Rm) com u′ ∈L2 0, T;H−1(U;Rm) (1.2-15)

é uma solução fraca de (1.2-11) se

hu′,vi+B[u,v] = (f(u),v) q.t. 0≤t ≤T (1.2-16)

para todov∈H1

0(U;Rm),0≤t ≤T e

u(0) =g. (1.2-17)

Em (1.2-16), h , i denota a dualidade de H−1(U;Rm) e H1

0(U;Rm), B[ , ] é a forma

bilinear associada com−△emH1

0(U;Rm), e(, )é o produto interno emL2(U;Rm). A

norma emH1

0(U;Rm)é considerada como sendo

kukH1

0(U;Rm) =

Z

U

kDuk2dx 1

2

.

Sabemos que u ∈ C([0, T];L2(U;Rm)), depois de uma possível redefinição de u

sobre um conjunto de medida nula.

Teorema 1.17. Existe uma única solução fraca de (1.2-11).

Demonstração:

Para demonstrar este teorema, vamos aplicar o Teorema do Ponto Fixo de Banach. Considere o espaço

X =C [0, T];L2(U;Rm),

com a norma

kvk:= max

0≤t≤Tkv(t)kL

2

(U;Rm).

Seja A o operador definido como segue. Dada uma função u ∈ X, seja h(t) :=

(29)

Pelo teorema (1.16), a EDP linear parabólica         

wt− △w=h emUT

w=0 sobre ∂U ×[0, T]

w=g sobre U × {t = 0}

(1.2-18)

tem uma única solução

w∈L2 0, T;H1

0(U;Rm)

com w′ ∈L2 0, T;H−1(U;Rm). (1.2-19)

Assim,w∈Xsatisfaz

hw′,vi+B[w,v] = (h,v) q.t. 0≤t≤T (1.2-20)

para todov∈H1

0(U;Rm)ew(0) =g.

DefinaA:X →Xpor

A[u] =w,

comwfornecido acima.

Afirmamos que seT é suficientemente pequeno entãoAé uma contração.

Com efeito, dadas u,u∗ ∈ X, defina w = A[u] e w∗ = A[u∗]. Assim w satisfaz

(1.2-20) comh =f(u), ew∗ satisfaz uma identidade similar parah∗ =f(u∗). Temos pela fórmula da integração por partes que

d

dtkw−w

k2

L2

(U;Rm) =

d dt

Z

U

(ww∗,ww∗)Rmdx

=

Z

U

2(wtw∗

t,w−w∗)Rmdx

= 2

Z

U

(△w+h− △w∗h∗,ww∗)Rmdx

= 2

Z

U

(△w− △w∗,ww∗)Rmdx+ 2 Z

U

(hh∗,ww∗)Rmdx

= 2 Z U " m X i=1

△(wiwi∗)·(wiwi∗) #

dx+ 2(hh∗,ww∗)

= −2

Z

U

"m X

i=1

▽(wiwi∗)· ▽(wiwi∗) #

dx+ 2(hh∗,ww∗)

= −2

Z

U

k ▽(ww∗)k2dx+ 2(hh∗,ww∗)

= −2kww∗k2

H1

0(U;Rm)+ 2(

(30)

Logo, aplicando as desigualdades de Cauchy-Schwars, Youngab≤ a

2

2ε+ εb2

2 , ε >0

e Poincaré temos

d

dtkw−w

k2

L2(U;Rm)+ 2kw−w∗k2H1 0(U;Rm)

= 2 (w−w∗,h−h∗)

≤ 2kw−w∗kL2

(U;Rm)· kf(u)−f(u∗)kL2

(U;Rm)

≤ εkw−w∗kL22(U;Rm)+

1

εkf(u)−f(u

)k2

L2(U;Rm)

≤ εCkw−w∗k2H1

0(U;Rm)+

1

εkf(u)−f(u

)k2

L2(U;Rm)

Paraε < 2

C deduzimos

d

dtkw−w

k2

L2

(U;Rm) ≤ d

dtkw−w

k2

L2

(U;Rm)+ (2−εC)kw−w∗k2H1 0(U;Rm)

≤ 1

εkf(u)−f(u

)k2

L2

(U;Rm)

≤ Kku−u∗k2

L2

(U;Rm),

com K = L

ε, desde que 0 < (2−εC) e f é Lipschitz. Consequentemente, de w−

w∗(0) = 0temos,

kw(s)−w∗(s)k2

L2(U;Rm) = Z s

0 d

dtkw(t)−w

(t)k2

L2(U;Rm)dt

≤ K

Z s

0

ku(t)−u∗(t)k2

L2(U;Rm)dt (1.2-21)

≤ KTku−u∗k2

para cada0≤s≤T. Assim,

kw−w∗k2 KTkuuk2.

Logo

kA[u]−A[u∗]k ≤(KT)

1

2 ku−u∗k, (1.2-22)

portantoAé uma contração seT é pequeno tal que(KT)12 =γ <1.

DadoT > 0, escolhemosT1 > 0tão pequeno tal que(KT1)

1

2 <1. Então aplicamos

(31)

sobre o intervalo de tempo [0, T1]. Desde que u(t) ∈ H01(U;Rm) quase sempre em

0≤t ≤T1, podemos redefinirT1 se necessário e assumir queu(T1)∈H01(U;Rm).

Observe que o tempo T1 > 0depende da constante K, que por sua vez depende

da somente constante de Lipschitz paraf. Podemos então repetir o que foi feito acima

para o intervalo [T1,2T1] e estender nossa solução para esse intervalo. Após alguns

passos construímos uma solução fraca em todo o intervalo[0, T].

Para finalizar, provemos a unicidade. Suponha queueu∗ sejam duas soluções de

(1.2-11). Temos paraw=A[u]ew∗ =A[u∗]na desigualdade (1.2-21) que

ku(s)−u∗(s)k2

L2

(U;Rm)=kw(s)−w∗(s)k2L2

(U;Rm) ≤K Z s

0

ku(t)−u∗(t)k2

L2

(U;Rm)dt

para0≤s≤T. De acordo com a desigualdade de Gronwall temosu≡u∗.

(32)

TEOREMA DO PONTO FIXO DE BROUWER

O Teorema do Ponto Fixo de Brouwer assegura, sob certas condições, a existência de ao menos um ponto fixo para uma função, esse tipo de teorema é dos chamados "teoremas de existência". O nome dado a este teorema é devido ao matemático holandês Luitzen Egbertus Jan Brouwer, que propôs sua demonstração por volta de 1910.

Luitzen Egbertus Jan Brouwer mais conhecido como L.E.J. BROUWER, nasceu em Overschie no dia 27 de fevereiro de 1881 vivendo até o dia 2 de dezembro de 1966, em Blaricum. Foi um grande gênio matemático com fortes tendências filosóficas. Embora a própria demonstração proposta por ele recebeu suas críticas, por terem base na lei do terceiro excluído (demonstração por absurdo), Brouwer foi quem fundou o intuici-onismo matemático que considera qualquer objeto matemático como um produto da construção de uma mente, e portanto, a existência de um objeto matemático equivale a construção dele.

O intuicionismo matemático contrasta com a abordagem clássica da matemática, abordagem esta que, a existência de uma entidade matemática pode ser provada atra-vés da refutação da sua não existência. No entanto, para o intuicionismo, a refutação da não existência não implica que é possível achar uma prova construtiva da existên-cia.

(33)

resulta-dos provaresulta-dos anteriormente. Optamos aqui utilizar técnicas do cálculo variacional e resultados sobre aproximações de funções através de convolução com funções suavi-zante. Porém, para o caso unidimensional a demonstração é simples.

Suponhamos quef : [−1,1]→[−1,1]seja uma função contínua. Entãofpossui um ponto fixo.

Demonstração:

Suponhamos que f não tenha ponto fixo, assim a função g : [−1,1] → {−1,1}

definida por

g[x] := f[x]−x

|f[x]−x|

é uma função contínua. SendoI = [−1,1]um intervalo eg contínua, temos queg[I]é

um intervalo e, portanto,g[I] ={−1}oug[I] ={1}. Seg[I] ={1}então

1 =g[1] = f[1]−1

|f[1]−1| =⇒ 1−f[1] =f[1]−1 =⇒ 2(1−f[1]) = 0 =⇒ f[1] = 1

em contradição com a hipótese. O caso em que g[I] = {−1} é análogo, portanto f

possui um ponto fixo.

O caso geral do teorema é considerado a bola fechadaB =B[0,1]⊂Rnef :B B

contínua. E a demonstração faremos depende de alguns resultados que apresentare-mos agora.

2.1 Equação de Euler-Lagrange

Uma função f : Ω → Rm, onde Ω ⊂ Rn é um aberto, é dita uma função suave se f ∈C∞(Ω,Rm).

Sejam U ⊂ Rn um conjunto aberto, limitado com fronteira ∂U suave, e L uma

função suave

L:Rn×R×U →R

que chamamos de Lagrangiana.

Escreveremos

(34)

parap∈Rn, z ∈Rex∈U. Também estabelecemos as notações

DpL = (Lp1, . . . , Lpn) ; DzL = Lz ;

DxL = (Lx1, . . . , Lxn).

que será útil para o desenvolvimento da teoria que segue.

Considere agoraw:U →Ruma função suave satisfazendo a condição de contorno

w=g sobre ∂U. (2.1-1)

Defina

I[w] :=

Z

U

L(Dw(x), w(x),x)dx (2.1-2)

Problemas de encontrar uma função que seja o mínimo deI[ · ]ocuparam um im-portante lugar na matemática a partir do século XVI, nomes como Newton, Jean Ber-noulli, Euler, Lagrange, Legendre, Hamilton entre outros, estão associados ao estudo de tais problemas.

Um exemplo simples onde encontramos problemas desse tipo é o seguinte. Supo-nhamos que queremos encontrar uma funçãof : [a, b]→Rtal que,f(a) =cef(b) =d

e o comprimento do arco de gráfico daf seja o menor possível. Em outras palavras,

encontrar o mínimo de

l(f) =

Z b

a

p

1 +f′(x)dx.

Outros exemplos de tais problemas são

Superfícies mínimas. Considere uma membrana bidimensional em repouso ocupando uma região limitadaΩ. Desejamos submetê-la a deformações normais a superfície e de

modo que o deslocamento na fronteira seja perscrito, isto é,w=gsobre∂Ω.

A posição de equilíbrio pode ser encontrada minimizando-se a energia potencial de deformação

U =

ZZ

Ω q

1 +w2

x+w2ydx dy

sobre todos os caminhosu(x, y)que coincidem comgsobre∂Ω. Este problema também

(35)

Braquistócrona. Dado um corpo de massa unitária situado na origem (0,0), queremos

deslocá-lo até um ponto A = (xA, yA) comyA < 0 < xA sob a ação da gravidade na

ausência de atrito. Queremos determinar a curvay(x)satisfazendoy(0) = 0ey(A) =

yApara o qual o tempo de percurso é o mínimo.

Pode-se mostrar que o tempo é dado por

T(y) =

Z xA

0 s

1 +y′2

2gy dy.

Euler e Lagrange estudavam juntos o problema da curva tautocrônica, que con-siste em determinar uma curva na qual uma partícula irá cair para um ponto fixo num tempo fixo, independentemente do ponto de partida. Lagrange resolveu este problema em 1975 e enviou uma carta para Euler com a solução. Desenvolvendo as ideias conti-das na carta, Euler aplicou a mecânica, levando a formulação da mecânica de Lagrange. A frequente correspondência entre os dois levaram a criação do cálculo variacional.

Um resultado crucial no cálculo variacional é o lema du Bois-Reymond, sua for-malização impulsionou fortemente o cálculo variacional. O lema foi objeto de inves-tigação por matemáticos como Euler e Lagrange, tendo sido apresentado por P. du Bois-Reymond no ano de 1879. Foi entretanto K. Weierstrass, que apresentou pela pri-meira vez uma demonstração clara e completa em seus seminários (1875-1882). Para mais informações ver [4]. Para nossos propósitos trazemos o seguinte lema.

Lema 2.1. Sejaw:U →Ruma função contínua tal que Z

U

w(x)v(x)dx= 0,

para toda função suavev com suporte compacto. Entãow≡0.

Demonstração:

Como w é contínua, basta mostrar que w se anula em U e consequentemente em

U. Suponha então que existax0 ∈ U de modo quew(x0) > 0, por U ser aberto e pela continuidade dewexisteδ >0tal quew(x)>0para todox∈B(x0, δ)⊂U.

Defina

v(x) =

  

1− 1

δ2kx−x0k2 se x∈B(x0, δ)

(36)

Temos então que v é suave com suporte compacto além do que, v(x) > 0 para todo

x∈B(x0, δ), assim

w(x)v(x)>0sex∈B(x0, δ) e w(x)v(x) = 0 sex∈/B(x0, δ).

Logo Z

U

w(x)v(x)dx=

Z

B(x0,δ)

w(x)v(x)dx >0,

em contradição com a hipótese, portantow≡0. Voltemos ao problema de minimizar (2.1-2). Suponha que existe uma função suave

ucumprindo u = g sobre ∂U euseja um minimizador de I[·] entre todas as funções

satisfazendo (2.1-1). Vamos demonstrar queusobre essas hipóteses é solução de uma

EDP não linear.

Para confirmar nossa afirmação, escolha qualquer função suavevcom suporte

com-pacto, assim toda funçãowque cumpre (2.1-1) pode ser escrita como

w(x) =u(x) +ε(x)v(x)

com ε(x) ∈ R. Para simplificar, escrevemos w = u +εv e considere a função real

definida por

i(ε) := I[u+εv] (ε ∈R). (2.1-3)

Sendouum minimizador deI[·]eu=u+εv=gsobre∂U, obtemos então quei(·)

tem um ponto de mínimo emε= 0. Então

i′(0) = 0. (2.1-4)

Calculemos explicitamente esta derivada chamada deprimeira variação. Escrevemos

i(ε) =

Z

U

L(Du+εDv, u+εv,x)dx. (2.1-5)

Pelo teorema da derivação sob o sinal da integral

i′(ε) =

Z

U

d

(37)

Pela regra da cadeia obtemos que

d

dε[L(Du+εDv, u+εv,x)] = DL

d

dε(Du+εDv, u+εv,x)

= DpL[Dv] +DzL[v] +DxL[0]

=

n

X

i=1

Lpi(Du+εDv, u+εv,x)vxi +Lz(Du+εDv, u+εv,x)v.

Substituindo em (2.1-6) obtemos

i′(ε) =

Z

U

" n X

i=1

Lpi(Du+εDv, u+εv,x)vxi+Lz(Du+εDv, u+εv,x)v #

dx. (2.1-7)

Fazendoε= 0deduzimos de (2.1-4) que

0 = i′(0) =

Z

U

" n X

i=1

Lpi(Du, u,x)vxi +Lz(Du, u,x)v # dx = n X i=1 Z U

[Lpi(Du, u,x)vxi +Lz(Du, u,x)v]dx

. (2.1-8)

Finalmente, desde quevtem suporte compacto, fazendo a integração por partes obte-mos

Z

U

Lpi(Du, u,x)vxidx = − Z

U

(Lpi(Du, u,x))xiv dx+ Z

∂U

Lpi(Du, u,x)vν

i dS

= −

Z

U

(Lpi(Du, u,x))xiv dx.

ondeνé o vetor normal unitário no pontox∈∂U. Substituindo em (2.1-8) obtemos

0 = n X i=1 Z U h

−(Lpi(Du, u,x))xiv+Lz(Du, u,x)v i dx = Z U " − n X i=1

(Lpi(Du, u,x))xi +Lz(Du, u,x) #

v dx.

Como está igualdade é válida para todas as funçõesv ∈ C1

0(U), concluímos do lema

2.1 queudeve ser solução da EDP não linear

− n

X

i=1

(38)

Esta é a equação de Euler-Lagrange associada ao funcional I[ · ] definido em (2.1-2).

Observe que (2.1-9) é uma EDP quase-linear na forma de divergência.

Resumindo, qualquer minimizador suave deI[·]é uma solução da EDP de

Euler-Lagrange dada 9). Como também, podemos tentar encontrar uma solução de (2.1-9) através da procura de minimizadores em (2.1-2).

Como um exemplo, considere

L(p, z,x) = 1 2kpk

2.

EntãoLpi =pi parai = 1, . . . , neLz = 0, logo a equação de Euler-Lagrange associada

ao funcional

I[w] = 1 2

Z

U

kDwk2dx

é

0 = − n

X

i=1

(pi)xi = n

X

i=1

(uxi)xi =

n

X

i=1 ∂2u ∂x2

i

=△u emU.

e este fato é conhecido comoPrincípio de Dirichlet.

A equação de Euler-Lagrange acima pode ser facilmente generalizada para o caso de sistemas. As complicações que aparecem agora é devido a notação. Considere

Mm×no espaço das matrizesm×n, e assuma que a função suave Lagrangiana

L:Mm×n×Rm×U →R

é dada. Como feito antes, escreva

L=L(P, z, x) =L(p11, . . . , pm

n, z1, . . . , zm, x1, . . . , xn)

paraP ∈Mm×n, z ∈Rm, x∈U, onde

P =

    

p1

1 · · · p1n

... ... ...

pm

1 · · · pmn

    

m×n

Sejaw: U → Rm uma função suave ,w = (w1, . . . , wm), que satisfaz a condição de

(39)

Defina

I[w] :=

Z

U

L(Dw(x),w(x), x)dx. (2.1-10)

Aqui

Dw(x) =

     w1

x1 · · · w

1

xn

... ... ...

wm

x1 · · · w

m xn     

m×n

é a matriz gradiente dewemx.

Seu= (u1, . . . , um)é um minimizador deI[·], entre as funções iguais agsobre∂U

ev= (v1, . . . , vm)C

0 (U;Rm), escreva

i(ε) :=I[u+εv].

Como antes,

i′(0) = 0.

Calculando a derivada dei(·)obtemos

i′(ε) =

Z

U

d

dε[L(Du+εDv,u+εv, x)]dx

= Z U DL d

dε(Du+εDv,u+εv, x)

dx

=

Z

U

DPL[Dv] +DzL[v]dx

= Z U " n X i=1 m X k=1 Lpk

i(Du+εDv,u+εv, x)v

k xi+

m

X

k=1

Lzk(Du+εDv,u+εv, x)vk #

dx.

Seε= 0então

0 =i′(0) =

Z U " n X i=1 m X k=1 Lpk

i(Du,u, x)v

k xi+

m

X

k=1

Lzk(Du,u, x)vk #

(40)

e a integração por partes nos dá 0 = n X i=1 m X k=1 Z U

Lpk

i(Du,u, x)v

k xi dx+

Z

U m

X

k=1

Lzk(Du,u, x)vkdx

= n X i=1 m X k=1 Z U

−Lpk

i(Du,u, x)

xi

vk dx+

Z

U m

X

k=1

Lzk(Du,u, x)vkdx

= Z U m X k=1 " − n X i=1

Lpk

i(Du,u, x)

xi

+Lzk(Du,u, x) #

vkdx.

Como está igualdade está válida para todas as funções testesv1, . . . , vnconcluímos que

− n

X

i=1

Lpk

i(Du,u, x)

xi

+Lzk(Du,u, x) = 0 emU (k = 1, . . . , m). (2.1-11)

O sistema de EDP’s determinado em (2.1-11) compreende-se a equação de Euler-Lagrangepara o funcionalI[·]definido em (2.1-10).

2.1.1 Lagrangianas nulas

Definição 2.2(Lagrangiana nula). A funçãoLé chamada de Lagrangiana nula se para toda função suavew:U →Rmo sistema de equações de Euler-Lagrange é satisfeito, isto é

− n

X

i=1

Lpk

i(Dw,w, x)

xi

+Lzk(Dw,w, x) = 0 emU (k= 1, . . . , m). (2.1-12)

A importância de lagrangianas nulas é que o funcional correspondente

I[w] :=

Z

U

L(Dw(x),w(x), x)dx

depende somente da condição de fronteira.

Teorema 2.3. SejaLuma Lagrangiana nula. Assuma queu,f sejam duas funções emC∞(U ,Rm)

tais que

u≡f sobre∂U.

Então

I[u] =I[f].

(41)

Dadasu,f nas condições acima, defina

i(ε) :=I[εu+ (1−ε)f] (0≤ε≤1).

Então

i′(ε) =

Z U " n X i=1 m X k=1 Lpk

i(εDu+ (1−ε)Df, εu+ (1−ε)f, x)(u

k xi−f

k xi)

+

m

X

k=1

Lzk(εDu+ (1−ε)Df, εu+ (1−ε)f, x)(uk−fk) # dx = m X k=1 Z U " − n X i=1

Lpk

i(εDu+ (1−ε)Df, εu+ (1−ε)f, x)

xi

+Lzk(εDu+ (1−ε)Df, εu+ (1−ε)f, x)] (uk−fk)dx

= 0

pois L é uma Lagrangiana nula e temos que(εu+ (1−ε)f) ∈ C∞(U ,Rm) para todo

0≤ε≤1. Logoi(·)é constante, e assim

I[u] =i(1) =i(0) =I[f].

Seja P ∈ Mm×n e denotamos por cofP a matriz dos cofatores de P. Sabemos da

álgebra linear que

(detP)I =PT(cofP),

isto é

(detP)δij = n

X

k=1 pk

i(cofP) k

j (i, j = 1, . . . , n). (2.1-13)

Em particular, tomandoi=j =m, temos

∂detP ∂pk m = n X l=1 ∂ ∂pk m pl

m(cofP) l m

= (cofP)k

m (k, m= 1, . . . , n). (2.1-14)

De fato, sel 6= k então(cofP)l

m não possui a variávelpkm, pois retira-se a colunam da

matrizP, logo a derivada ∂ ∂pk

m

pl

m(cofP)lm

(42)

Lema 2.4. Sejau:Rn→Rnuma função suave. Então

n

X

k=1

(cofDu)k

i,xi = 0 (k = 1, . . . , n). (2.1-15)

Demonstração:

SejaP =Duem (2.1-13). Diferenciando em relação axj , pela regra da cadeia,

n

X

k,m=1

δij(cofDu)kmukxmxj =

n

X

k,m=1 δij

∂detDu ∂pk

m

pkm

xj

= ∂

∂xj

[(detDu)δij]

= ∂ ∂xj " n X k=1 uk

xi(cofDu)

k j # = n X k=1 uk

xixj(cofDu)

k j +u

k

xi(cofDu)

k j,xj.

Somando em relação aj = 1, . . . , n,temos

n

X

j,k,m=1

δij(cofDu)kmukxmxj =

n

X

j,k=1

ukxixj(cofDu)

k j +u

k

xi(cofDu)

k

j,xj. (2.1-16)

Comoδij = 0sei6=j, chegamos então a igualdade

n

X

j,k,m=1

δij(cofDu) k mu

k xmxj =

n

X

k,m=1

(cofDu)kmukxmxi =

n

X

j,k=1

ukxixj(cofDu)

k j.

Simplificando em (2.1-16) obtemos,

n X k=1 uk xi n X j=1

(cofDu)kj,x

j !

= 0 (i= 1, . . . , n), (2.1-17)

que na realidade é um sistema linear homogêneo. SedetDu(x0)6= 0, então concluímos

que

n

X

j=1

(cofDu)kj,xj = 0 (k = 1, . . . , n)

(43)

repita o que fizemos acima para a funçãof =u+εI, assim vamos chegar em

n

X

j=1

(cofD(u(x0) +εx0)kj,xj = 0 (k= 1, . . . , n).

Como a função cof é uma função contínua, fazendoε →0temos o resultado.

Teorema 2.5. A função determinanteL:Mn×n×Rn×U →Rdada por

L(P, z, x) := detP

é uma Lagrangiana nula.

Demonstração:

Como L depende somente da primeira variável, iremos simplesmente escrever

L(P, z, x) = L(P). Seja agora u : U → Rn uma função suave. De acordo com

(2.1-14), temos

Lpk

i = (cof P)

k

i (i, k = 1, . . . , n).

Assim, pela conclusão do lema precedente,

− n

X

i=1

Lpk i(Du)

xi

+Lzk(Du) = −

n

X

i=1

(cof Du)ki,xi = 0 (k = 1, . . . , n).

PortantoLé uma Lagrangiana nula.

2.2 Teorema do Ponto Fixo de Brouwer

Após as considerações feitas na seção anterior, estamos com as ferramentas necessárias para a demonstração do principal teorema deste capítulo. A sua demonstração será dividida em três etapas; em cada uma das quais o método utilizado é por absurdo.

(44)

Teorema 2.6(Teorema do Ponto Fixo de Brouwer). Assuma que

u :B[0,1]→B[0,1]

seja uma função contínua. Entãoutem um ponto fixo, isto é, existex∈B[0,1]tal que

u(x) = x.

Demonstração:

Etapa I.EscrevaB = B[0,1]. Nossa primeira afirmação é que não existe uma função

suave

w:B →∂B (2.2-18)

cumprindo

w(x) = x para todox∈∂B. (2.2-19)

Com efeito, suponhamos que tal funçãowexista. Assim, por (2.2-19) temos

w≡I sobre∂B.

Desde que a função determinante é uma Lagrangiana nula, então o teorema 2.3 implica

que Z

B

detDwdx=

Z

B

detDIdx=vol(B)6= 0. (2.2-20)

Por outro lado, (2.2-18) implica quekwk2 1, e então diferenciando, nós temos

hDw,wi= (Dw)T w= 0. (2.2-21)

Comokwk2 = 1, (2.2-21) diz que0é um auto valor de(Dw)T para todo

x∈B, assim

detDw= det (Dw)T = 0,

em contradição com (2.2-20). Logo não existe uma função suavewsatisfazendo (2.2-18)

e (2.2-19).

Etapa II.Vamos provar agora que não existe função contínuawsatisfazendo (2.2-18) e

(45)

w1 :Rn→Rndada porw1(x) = xsex∈Rn−B.

Observe quew1(x)6= 0sex∈Rn. Fixeε >0tão pequeno quew1ε =ηε∗w1, ondeηε

é dada pela definição 3.26 do apêndice, cumprakw1ε(x)k 6= 0 (x ∈Rn). Isto é possível

devido a propriedade(iii)do teorema 3.28 do apêndice.

Note também que, paraε >0suficientemente pequeno, sekxk ≥2, entãokx−yk ≥

1para todoy∈B(0, ε), assimw1(x−y) = x−y, logo

1(x) = (ηε∗w1) (x) = Z

B(0,ǫ)

ηǫ(y)w1(x−y)dy

=

Z

B(0,ǫ)

ηǫ(y) [x−y]dy

= x Z

B(0,ǫ)

ηǫ(y)dy−

Z

B(0,ǫ)

ηǫ(y)y dy

= x−K

ondeK =

Z

B(0,ǫ)

ηǫ(y)y dye satisfazkKk <2. Definaw2 := wε1 +K, entãow2(x) = x,

paraε >suficientemente pequeno ex∈Rn−B[0,2]. Defina

w3 := 2w2

kw2k ,

entãow3é uma função suave pois,w2é uma função suave devido a propriedade(i)do teorema 3.28 do apêndice ew2(x)6= 0 (x∈Rn).A funçãow3cumpre as condições

(2.2-18) e (2.2-19) para a bolaB[0,2]. Usando os mesmos argumentos da Etapa I conclue-se que isto é impossível.

Etapa III. Finalmente vamos a prova do nosso teorema. Suponhamos que exista u

contínua mas não possua ponto fixo. Defina a aplicaçãow:B →∂Bpor

w(x) := x−u(x)

kx−u(x)k,

observe quewé uma função contínua poiskx−u(x)k 6= 0para todox∈ B. Note que w(x)é o ponto de∂Bque é atingido pelo vetor de origemxpassando poru(x).

x

(46)

Entãow(x) = xsobre∂B, ewé uma função contínua que cumpre (2.2-18) e (2.2-19).

Mas isto é uma contradição com a etapa II, portantoupossui um ponto fixo.

Para futuras aplicações, será necessário uma generalização para conjuntos conve-xos do Teorema do Ponto Fixo de Brouwer.

Definição 2.7. SejaX um espaço topológico não vazio. Dizemos queX tem a propriedade do ponto fixo se toda função contínuaf :X →Xtem um ponto fixo.

Teorema 2.8. Se X tem a propriedade do ponto fixo e X é homeomorfo a Y, entãoY tem a

propriedade do ponto fixo.

Demonstração:

Sejah:X →Y um homeomorfismo e sejag :Y →Y uma função contínua. Assim

h−1◦g◦h:X →X

é contínua. Logo existex0 ∈Xtal que

h−1 ◦g◦h(x0) =x0.

Tomeh(x0) =y0 ∈Y, entãog(y0) = y0.

Definição 2.9. Sejam A ⊂ X. Dizemos que A é um retrato de X, se existe uma aplicação contínuar :X →Aonder ≡IsobreA. A funçãoré chamada retração.

Teorema 2.10. Se X tem a propriedade do ponto fixo e A é um retrato de X, então Atem a propriedade do ponto fixo.

Demonstração:

Seja r : X → A uma retração e f : A → A contínua. Logo f ◦r : X → A ⊂ X é

uma função contínua. Assim, deX ter a propriedade do ponto fixo, existe x0 ∈ X tal

(47)

Agora vamos a generalização.

Teorema 2.11. Todo conjuntoK ⊂ Rnconvexo, fechado, limitado e não vazio tem a

proprie-dade do ponto fixo.

Demonstração:

Sendo K limitado, segue que K ⊂ B[0, M] para M > 0 suficientemente grande.

Sendo B[0,1] eB[0, M] homeomorfas, segue do Teorema do Ponto Fixo de Brouwer

queB[0,1]tem a propriedade do ponto fixo e portantoB[0, M]também o possui.

O teorema 3.23 do apêndice afirma queKé uma retração deB[0, M], e pelo teorema

2.10,K possui a propriedade do ponto fixo.

(48)

TEOREMAS DE PONTO FIXO DE SCHAUDER E DE

SCHAEFER

Finalizamos nosso trabalho trazendo os teoremas de ponto fixo de Schauder e de Scha-efer. Neste capítulo,Xdenotará um espaço de Banach real.

3.1 Teorema do Ponto Fixo de Schauder

Nesta seção estabeleceremos uma extensão do Teorema do Ponto Fixo de Brouwer para espaços de Banach. Agora a hipótese exigida é compacidade. Esta generalização é devida a Schauder. A ideia agora é aproximar aplicações compactas por aplicações com imagem de dimensão finita.

Vejamos com um exemplo que para espaços de Banach de dimensão infinita X,

uma aplicaçãoA:B[0,1]→B[0,1]contínua não necessariamente possui ponto fixo.

Considere

l2 :={x= (x1, x2, . . .) :kxk2 =

X

i=1

|xi|2 <∞}

eB :=B[0,1]⊂l2. DefinaA:B →B por

A[x] := p1− kxk2, x

(49)

Note que

kA[x]k2 =p1− kxk22+

X

i=2

|xi−1|2 = (1− kxk2) +kxk2 = 1.

Logo,Aestá bem definida.

Para a continuidade deA, sejaxn= (xn

1, xn2, . . .)∈B tal quexn→x. Então

kA[xn]−A[x]k2 = p1− kxnk2p1− kxk22+

X

i=2

|xni−1−xi−1|2 !

= p1− kxnk2p1− kxk22+kxn

−xk2.

Assim,kA[xn]A[x]k2 0quandon→ ∞, logoAé contínua. Suponha queApossua

um ponto fixox∈B, assim

(x1, x2, x3, . . .) =x=A[x] = p

1− kxk2, x

1, x2, . . .

.

Entãox1 = p

1− kxk2 e x

i+1 =xi para todoi= 1,2, . . .

Logo,

1 = kA[x]k2 =kxk2 = 1−(x1)2

entãox1 = 0 e x = (0,0, . . .). MasA[x] = (1,0,0, . . .) 6= (0,0, . . .) = x, o que é uma

contradição. PortantoAnão possui ponto fixo.

Para demonstração do Teorema do Ponto Fixo de Schauder precisamos de alguns resultados auxiliares.

Definição 3.1. SejaY ={u1, . . . , un} ⊂X.Chamamos por envoltória convexa de{u1, . . . , un}

o conjunto

conv(Y) :=

( n X

i=1

λiui : 0≤λi ≤1, n

X

i=1

λi = 1

) .

A envoltória convexa de um conjuntoY = {u1, . . . , un}é um conjunto fechado e é

o menor convexo que contémY.

De fato, seja{vk}∞

k=1uma sequência de pontos deconv(Y)que converge parav ∈X.

Temos quevk = n

X

i=1

λkiui com0≤ λki ≤1e n

X

i=1

λki = 1para todok ∈ N. Como{λk1}∞k=1

(50)

isto é, existeJ1 ⊂Ninfinito tal que lim

k∈J1

λk1 =λ1 com0≤λ1 ≤1. Considerando agora a

sequência{λk

2}k∈J1 real limitada, temos que existeJ2 ⊂J1 infinito tal que lim

k∈J2

λk

2 =λ2e

0≤ λ2 ≤1. Continuando esse raciocínio obtemos um conjuntoJ ⊂ Ji infinito, tal que

lim

k∈Jλ k

i = λi com0≤ λi ≤1. Da seguinte igualdade n

X

i=1

λki = 1obtemos que n

X

i=1

λi = 1.

Defina entãov∗ =

n

X

i=1

λiui ∈conv(Y).

Temos quev = v∗. Com efeito, dadoǫ > 0existe N Ntal que sek J ek > N,

então

kvk−vk<

ǫ

2 e |λ

k

i −λi|<

ǫ

2(ku1k+. . .+kunk)

para i= 1, . . . , n.

Assim,

0≤ kv−v∗k ≤ kv−vNk+kvN −v∗k

< ǫ

2+ |λ

N

1 −λ1|ku1k+. . .+|λNn −λn|kunk

< ǫ.

Portantov =v∗econv(Y)é fechado.

ClaramenteY ⊂conv(Y)e dadosu, v ∈conv(Y)temos que

u=

n

X

i=1

λiui com 0≤λi ≤1 e n

X

i=1

λki = 1

e também

v =

n

X

i=1

βiui com 0≤βi ≤1 e n

X

i=1

βik= 1.

Assim, para0≤t≤1temos

(1−t)u+tv = (1−t)

n

X

i=1

λiui+t n

X

i=1 βiui

=

n

X

i=1

[(1−t)λi+tβi]ui

=

n

X

(51)

ondeξi = [(1−t)λi+tβi]com

n

X

i=1

ξi = (1−t) n

X

i=1 λi+t

n

X

i=1

βi = (1−t) +t= 1.

Logo(1−t)u+tv∈Yc e, portanto,conv(Y)é convexo.

Para completar nossa afirmação, vamos mostrar que conv(Y)é o menor convexo

que contémY. Suponha por absurdo que existaY ⊂ C conv(Y) comC convexo. Então existeu ∈ conv(Y)\C, assimu é uma combinação convexa dos elementos de Y. Devemos mostrar queu ∈ C, o que será feito por indução. Sen = 1o resultado é óbvio. Suponhamos que o resultado é válido paran−1e provemos paran. Considere

u=

n

X

i=1

λiui com 0≤λi ≤1 e n

X

i=1

λi = 1.

Seλn = 1,entãou=un ∈C, caso contrário n−1 X

i=1

λi >0e então

v = Pnλ11

i=1 λi

!

u1+. . .+

λn−1 Pn−1

i=1 λi

! un−1

pertence aC por hipótese. Como un ∈ C, para t = n−1 X

i=1

λi da convexidade deC temos

que

tv+ (1−t)un = n

X

i=1

λiui =u∈C.

Portantoconv(Y)é o menor convexo que contémY.

Para futuras aplicações, definimos o casco convexo de convexo de um conjunto qualquerY ⊂X.

Definição 3.2. SejaY ⊂Xchamamos por envoltória convexa deY, e denotamos porconv(Y)

, o menor convexo que contémY.

Segue um importante resultado sobre envoltória convexa de conjuntos compactos, sua demonstração pode ser encontrada em [2] capítulo 5 teorema 5.35.

(52)

Este teorema abrange os espaços de Banach com a topologia proviniente da norma.

Notação :Paraε >0fixo, denotamos

Yε := n

[

i=1

B(ui, ε)

e definimos parai= 1, . . . , na aplicaçãoωi :Yε →Rpor

ωi[u] := max{0, ε− ku−uik}.

Note que cadaωi é contínua.

Seja agora K ⊂ X um subconjunto compacto e convexo. Para ε > 0 fixo, seja

Y ={u1, . . . , uNε}um subconjunto deK tal que

K ⊂

Nε [

i=1

B(ui, ε) =Yε.

Isto é possível poisK é compacto. Como K é convexo,Y ⊂ K econv(Y) é o menor convexo que contémY, segue queconv(Y)⊂K.

Aprojeção de Schauderé a aplicaçãoPε:K →conv(Y)definida por

Pε[u] :=

PNε

i=1ωi[u]ui Pn

i=1ωi[u]

.

Notemos que a projeção de Schauder está bem definida pois seu ∈ Yε, então u ∈

B(ui, ε)e assim0< ε− ku−uik = ωi[u]e, portanto, Nε X

i=1

ωi[u] >0. Notando que cada

Pε[u]é combinação convexa dos elementos deY, segue quePε[u]∈ conv(Y).

Lema 3.4. SejaK ⊂X um subconjunto compacto e convexo. A projeção de Schauder definida acima é contínua e ainda mais, para todou∈K temos

ku−Pε[u]k< ε. (3.1-1)

Demonstração:

A continuidade é imediata, pois cadaωi é contínua eω[u] := Nε X

i=1

(53)

u∈K temos

ku−Pε[u]k =

ω[u]

ω[u]u−

PNε

i=1ωi[u]ui

ω[u]

= 1

ω[u]

ω[u]u−

Nε X

i=1

ωi[u]ui

= 1

ω[u]

Nε X i=1

ωi[u]u− Nε X

i=1

ωi[u]ui

= 1

ω[u]

Nε X i=1

ωi[u](u−ui)

≤ 1

ω[u]

Nε X

i=1

ωi[u]ku−uik<

1

ω[u]ω[u]ε=ε.

Agora estamos com as ferramentas necessárias para demonstração do teorema.

Teorema 3.5 (Teorema do Ponto fixo de Schauder). Suponha que K ⊂ X é compacto e convexo, e assuma que

A:K →K

é contínua. EntãoApossui um ponto fixo.

Demonstração:

Fixeε >0. ComoK é compacto e convexo, sejaY = {u1, . . . , uNε}um subconjunto

deK tal que conv(Y) ⊂ K ⊂ Yε.Considere a projeção de SchauderPε : K → conv(Y)

definida anteriormente.

Defina agora o operadorAε :conv(Y)→conv(Y) por

Aε[u] := Pε[A[u]] (u∈conv(Y)).

Temos queAε é contínua pois é a composição de contínuas. E desde que conv(Y)

é convexo e fechado como também limitado, pois conv(Y) ⊂ K e K é compacto,

e sendo um subconjunto de um subespaço vetorial de dimensão finita, contido em

span{u1, . . . , uNε}, segue que conv(Y) é homeomorfo a algum conjunto convexo,

fe-chado e limitado Z ⊂ Rm para algum m ≤ uNε. Segue dos teoremas 2.8 e 2.11 do

capítulo 2 que existeuε∈conv(Y)satisfazendo

Aε[uε] =uε. (3.1-2)

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