UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ

CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA

PROGRAMA DE PốS-GRADUAđấO EM MATEMÁTICA

  (Mestrado) MARCOS CASTELLI

  

Teoremas de ponto fixo UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARINGÁ CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS

  DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PốS-GRADUAđấO EM MATEMÁTICA

  EOREMAS DE PONTO FIXO T ARCOS ASTELLI M C

  Dissertação apresentada ao Programa de Pós- Graduação em Matemática do Departamento de Matemática, Centro de Ciências Exatas da Univer- sidade Estadual de Maringá, como requisito para obtenção do título de Mestre em Matemática. Área de concentração: Equações Diferencias.

  Orientador: Prof. Dr. Gleb Germanovitch Doronin. Dados Internacionais de Catalogação na Publicação (CIP) (Biblioteca Setorial BSE-DMA-UEM, Maringá, PR, Brasil) C348t Teoremas de ponto fixo / Marcos Castelli. -- Castelli, Marcos Maringá, 2016. Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Orientador: Profº. Drº. Gleb Germanovitch 72 f. : il. figs. Doronin. 1. Teoria do ponto fixo. 2. Teorema da contração. Graduação em Matemática - Área de Concentração: Maringá, Centro de Ciências Exatas, Programa de Pós- Equações Diferenciais, 2016. Mollifiers function. 11. Compact mapping. I. Fixed point theory. 9. Null lagrangians. 10. parabólicas. 7. Equações diferenciais elipticas. 8. Aplicação compacta. 6. Equações diferenciais 3. Lagrangiana nula. 4. Função suavizante. 5. Concentração: Equações Diferenciais. III. Título. Programa de Pós-Graduação em Matemática - Área de Estadual de Maringá. Centro de Ciências Exatas. Doronin, Gleb Germanovitch, orient. II. Universidade CDD 22.ed. 515.7248

  TEOREMAS DE PONTO FIXO MARCOS CASTELLI

  Dissertação apresentada ao Programa de Pós- Graduação em Matemática do Departamento de Matemática, Centro de Ciências Exatas da Universidade Estadual de Maringá, como re- quisito para obtenção do título de Mestre em Matemática.

BANCA EXAMINADORA

  Prof. Dr. Gleb Germanovitch Doronin Universidade Estadual de Maringá

  Prof. Dr. Marcos Roberto Teixeira Primo Universidade Estadual de Maringá

  

a a

  Prof . Dr . Luci Harue Fatori Universidade Estadual de Londrina

  Dedico este trabalho à minha família, com especial carinho para minha vó, Maria Dias de Barros (in memorian).

  

Agradecimentos

  Meus sinceros agradecimentos aos meus queridos pais, Venilda de Lourdes de Bar- ros Castelli e Amarildo Castelli por tudo aquilo que me ensinaram, pelo amor, confi- ança e incentivo que me deram. Aos meus irmãos, Fabio Castelli e Silvana Castelli pelo companheirismo, afeto e apoio.

  Gostaria de agradecer ao meu orientador, professor Gleb Germanovitch Doronin, primeiramente por ter aceitado está empreitada corrida que foi este trabalho. Também por todo apoio, dedicação e compreensão durante todo o processo, por ter acreditado e pelo tempo exigido.

  Aos servidores da UEM que de alguma forma influenciaram na conclusão deste trabalho, dentre os quais destaco a professora Rosali Brusamarello e a Lúcia k. Kato por todo contratempo.

  Não poderia deixar agradecer a todos meus amigos, em especial ao Anderson e a Juliana por toda a ajuda, e aos companheiros de sala pelo ambiente de estudo mais agradável.

  Agradeço também à Capes pelo apoio financeiro.

  

Resumo

  Neste trabalho estudaremos teoremas sobre pontos fixos, a citar, Banach, Brouwer, Schauder e Schaefer, e apresentamos algumas aplicações destes. Para o de Banach, sua demonstração fornece um processo interativo para encontrar o ponto fixo.

  Munidos dos resultados sobre Lagrangianas nulas provamos que não existe uma re- tração suave da bola unitária em sua fronteira. Utilizando ideias de função suavizante constatamos que não existe retração contínua, com a posse desses fatos demonstramos o teorema do ponto fixo de Brouwer.

  O teorema de Schauder, é uma generalização do teorema de Brouwer, cuja prova é obtida por aproximações de aplicações com imagens de dimensão finita, e pelo teorema do ponto fixo de Brouwer conseguimos provar o resultado.

  Sobre aplicações compactas e um certo conjunto limitado, definimos uma aplicação nas hipóteses do teorema de Schauder onde computamos a existência de um ponto fixo que a fortiori é o ponto fixo desejado no teorema do Schaefer.

  Trazemos como resultados do teorema do ponto fixo de Banach as equações inte- grais de Fredholm e Volterra, o teorema de Picard-Lindelöf sobre sistema de equações diferenciais ordinárias e a existência de solução fraca de uma equação diferencial para- bólica semilinear. Como aplicações dos teorema de Schauder e Schaefer comprovamos a existência de solução fraca para equações diferenciais elípticas semilinear e quase- linear.

  

Palavras-chave: Ponto fixo, contração, lagrangiana nula, função suavizante, aplicação

compacta.

  

Abstract

  This work is concerned with the Fixed Point theorems, more precisely, we deal with the Banach, Brouwer, Schauder and Schaefer theorems, and their applications. For the proof of Banach’s theorem, the iterative process has been presented provi- ding the successive approximation algorithm for applications. In order to prove the Brouwer Fixed Point theorem, we show that there is no con- tinuous retraction from the unit ball into its boundary. The machinery of the Null-

  Lagrangian and some Functional Analysis results are used.

  The Shauder theorem is proven as a generalization of the Brouwer Fixed Point the- orem to the infinite-dimensional compact and convex sets. Finite-dimensional projec- tions are used for continuous operators to show the to be possessed with a fixed point.

  As a corollary, we prove in the sequel the Schaefer Fixed Point theorem which is useful to solve boundary and initial-boundary value problems for non-linear differen- tial equations.

  Keywords: Fixed point, null lagrangians, mollifiers function, compact mapping.

  

SUMÁRIO

Introdução

  8

  1 Teorema do ponto fixo de Banach

  11

  1.1 Teorema do Ponto Fixo de Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

  1.2 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

  2 Teorema do ponto fixo de Brouwer

  31

  2.1 Equação de Euler-Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

  2.1.1 Lagrangianas nulas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

  2.2 Teorema do Ponto Fixo de Brouwer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

  3 Teoremas de ponto fixo de Schauder e de Schaefer

  47

  3.1 Teorema do Ponto Fixo de Schauder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

  3.2 Teorema do Ponto Fixo de Schaefer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

  3.3 Aplicações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

  Apêncice

  61

  3.4 Análise Real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

  3.5 Análise Funcional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 p

  3.6 Epaços L e Espaços de Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

  

INTRODUđấO

  A teoria sobre pontos fixos são de vasta aplicação em matemática, sendo também uma ferramenta corriqueira no estudo envolvendo equações diferenciais não lineares. Devido a valiosas informações que um ponto fixo pode oferecer, grandes matemáticos enriqueceram a teoria com grandes teoremas sobre pontos fixos.

  Existem diversos teoremas de ponto fixo em diferentes ramos da matemática, neste trabalho abordaremos os que se referem a contrações estritas e aplicações compactas. Trazemos no primeiro capítulo um teorema sobre contrações, o conhecido Teorema do Ponto Fixo de Banach, um importante resultado na teoria de espaços métricos. As hipóteses exigidas são de completude e uma aplicação contrativa. A partir de um ponto x qualquer, construímos uma sequência de Cauchy, que irá convergir para o único ponto fixo da aplicação. O interessante dessa demonstração, é que fornece um método para encontrar melhores aproximações para o ponto fixo.

  Concluímos o capítulo trazendo algumas aplicações do Teorema do Ponto Fixo de Banach para garantir a existência de soluções para equações integrais, as conhecidas equações de Volterra e equações de Fredholm. Também provamos o famoso teorema de Picard-Lindelöf sobre sistema de equações diferenciais ordinárias e encerramos com a constatação da existência de uma única solução para o sistema de difusão e reação.

  No segundo capítulo vamos apresentar o Teorema do Ponto Fixo de Brouwer, talvez o de maior relevância dos teoremas sobre ponto fixo, pois através dele conseguimos provar no capitulo seguinte outros dois teoremas, de Schauder e de Schaefer. Além generalização do teorema de Brower.

  Estudamos a equação de Euler-Lagrange e definimos o conceito de Lagrangiana nula. Provando alguns resultados sobre o assunto para funções suaves, determinamos que não existe uma função suave da bola unitária em sua fronteira que mantém fixo o bordo. Na segunda etapa demonstramos que não existe uma retração contínua da bola unitária em sua fronteira. Agimos por contradição. Suponhamos que exista tal função (apenas contínua), estendemos essa função para uma função suave através da convolução com uma função suavizante. Tal extensão contradiz a conclusão da pri- meira etapa. Com estes fatos comprovados, a veridicidade do teorema de Brouwer decorre sem esforços.

  Para o último capítulo reservamos os teoremas de ponto fixo de Schauder e de Schaefer. Começamos verificando com um exemplo, que o Teorema do Ponto Fixo de Brouwer não é válido para espaços de dimensão infinita, o motivo se deve ao fato das bolas unitárias fechadas em tais espaços não serem compactas. Adicionando a hipó- tese de compacidade, generalizamos o teorema de Brouwer para espaços de dimensão infinita, o conhecido Teorema do Ponto Fixo de Schauder. Para este fim, seja dada uma aplicação A : K → K contínua, onde K é um subconjunto compacto e convexo de um espaço de Banach. Aproximando-se essa aplicação por aplicações onde é possível aplicar o teorema de Brouwer, obtemos uma sequência de pontos fixos para estas apro- ximações que, pela propriedade da projeção de Schauder, converge para o ponto fixo em questão do teorema de Shauder.

  Em seguida provamos o Teorema do Ponto Fixo de Schaefer para aplicações contí- nuas e compactas A, adicionando a hipótese de limitação do conjunto de pontos fixos retratores das funções I − λA. Definindo uma aplicação à nas hipóteses do teorema do Shauder, obtemos um ponto fixo para à que também será ponto fixo de A.

  Finalizamos o trabalho aplicando o teorema de Schaefer a um exemplo de uma equação diferencial parcial elíptica quase-linear para comprovar a existência de solu- ção. O método utilizado consite em transformar o problema em um problema de ponto fixo que se encaixe nas hipóteses do teorema, acarretando o resultado.

  Para complementar adicionamos um apêndice contendo resultados utilizados no desenvolvimento do trabalho. Nos atentamos a demonstrar os resultados que são uti-

  

CAPÍTULO 1

TEOREMA DO PONTO FIXO DE BANACH

  Neste capítulo abordaremos o Teorema do Ponto Fixo de Banach, também conhecido como . Este teorema é um resultado fundamental em espaços métricos, teorema das contrações ele garante a existência de um único ponto fixo para uma aplicação sobre certas condi- ções.

  O nome deste teorema é devido a Stefan Banach, um cientista polonês que concedeu grandes contribuições para a matemática. Ele fundou a Análise Funcional Moderna e, entre os vários trabalhos, destacam-se as suas ideias para a teoria das séries ortogonais e na teoria de medida e integração. Banach foi quem introduziu o conceito de espaços vetorias normados, e provou vários teorema dessa área.

  

Definição 1.1. Um espaço métrico é um par (X, d) onde X é um conjunto não vazio e d é uma

  função definida sobre X × X assumindo valores em R cumprindo as seguintes condições para todo x, y, z ∈ X :

  • M ) d(x, y) 1 é finito e não negativo, isto é 0 ≤ d(x, y) < ∞ ;
  • M ) d(x, y) = 0 ⇔ x = y 2 ;
  • M ) d(x, y) = d(y, x) 3 ; • M ) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y).
  • 4
diremos simplesmente o espaço métrico X, deixando subentendido qual é a métrica d que está sendo considerada.

  Um exemplo simples de um espaço métrico é o conjunto dos números reias R mu- nido com a seguinte métrica d(x, y) = |x − y|. onde | · | denota o valor absoluto em R.

  Quando nos referirmos a R como espaço métrico estaremos considerando essa mé- trica. Se X for um espaço vetorial normado sobre um corpo K, podemos definir uma métrica, que o torna um espaço métrico, da seguinte forma d(x, y) = kx − yk. A métrica d obtida dessa forma chama-se métrica induzida da norma. n

  Sobre o espaço vetorial R , sobre o corpo R, existem 3 normas equivalentes, que serão usadas no decorrer deste trabalho: 1 n ! 2 X 2 kxk = x ; n i =1 i

  X kxk = |x i | ; 1 i =1 n kxk = max {|x i |}, 2 1≤i≤n onde x : (x , . . . , x n ) ∈ R . 1 Como uma das aplicações do teorema do ponto fixo de Banach, iremos provar o teorema de existência e unicidade de solução para um sistemas de EDOs, o fa- moso teorema de Picard-Lindelöf. Na sua demonstração usaremos o espaço vetorial n n C ([a, b], R ) := {f : [a, b] → R : f é contínua} com a norma kf k = sup {|f (x)|}, x ∈[a,b] Se X for um espaço vetorial sobre um corpo K munido de um produto interno h· , ·i : X × X → K , obtemos uma norma sobre X da seguinte forma p kxk = hx, xi, (x ∈ X).

  Definição 1.2 (Sequência de Cauchy, Espaço Completo). Uma sequência (x n )

  em um es- paço métrico (X, d) é dita de Cauchy se para todo ε > 0 existir N = N(ε) ∈ N tal que ∀m, n > N. d(x m , x n ) < ε ,

  O espaço X é dito completo se toda sequência de Cauchy em X converge para um elemento de

  X .

  Um espaço vetorial normado cuja métrica induzida o torna um espaço métrico com- pleto é chamado de espaço de Banach, como também se um espaço vetorial munido de um produto interno cuja norma obtida o classifica como espaço de Banach, é chamado . espaço de Hilbert

1.1 Teorema do Ponto Fixo de Banach

  Esta seção destina-se a enunciar e demonstrar um importante teorema em matemática conhecido como Teorema do Ponto Fixo de Banach ou Teorema das Contrações, bem como trazer um de seus corolários. Este teorema tem uma vasta gama de aplicações em matemática, algumas delas trataremos posteriormente.

  

Definição 1.3. Um ponto fixo da aplicação T : X → X é um ponto x ∈ X tal que T (x) = x.

Definição 1.4 (Contração). Sejam X e Y espaços métricos. Uma aplicação f : X → Y é

  chamada uma contração, se existe um número real 0 < c < 1 tal que, para todo x, y ∈ X tem-se d(f (x), f (y)) ≤ c d(x, y). O Teorema do Ponto Fixo de Banach enunciado a seguir, é um teorema sobre exis- tência e unicidade de ponto fixo de certas aplicações, e ele também fornece um pro-

  ∈ X fixo. Este procedimento é chamado de iteração, isto é, dado um ponto arbitrário x calculamos a sequência recursiva x , x , x , . . . pela seguinte relação 1 2 x n = f (x n )

  • +1 com n ∈ N ∪ {0}. Processos iterativos são usados largamente em matemática aplicada, e provas de convergência e estimativas para o erro são obtidos como uma aplicação do Teorema do Ponto Fixo de Banach.

  

Teorema 1.5 (Teorema do Ponto Fixo de Banach). Considere um espaço métrico X =

  (X, d) , onde X 6= ∅. Suponha que X seja completo e f : X → X seja uma contração. Então, f possui precisamente um único ponto fixo. Ponto esse que pode ser obtido como limite 2 −1 n n

  , f (x ), f (x ) , . . .), (x ) := f (f (x )) , ∈ X da sequência (x onde f para qualquer x . Demonstração:

  Seja x ∈ X e f : X → X uma contração. Consideremos a sequência iterativa (x n ) definida por x , x 1 = f (x ), x 2 = f (x 1 ), e assim sucessivamente. Afirmamos que esta sequência converge.

  De fato, pela Definição 1.4, existe 0 < c < 1 tal que d(f(x), f(y)) ≤ c d(x, y), assim d(x n , x n ) = d(f (x n ), f (x n ))

  • +1 −1

  ≤ c d(x n , x n ) −1 = c d(f (x n −1 ), f (x n −2 )) 2

  ≤ c d(x n , x n ) −1 −2 ... n ≤ c d(x 1 , x ). Usando a desigualdade triangular e a fórmula da soma de uma progressão geométrica obtemos, para n > m, que d(x m , x n ) ≤ d(x m , x m ) + d(x m , x n ) +1 +1 ≤ d(x m , x m ) + d(x m , x m ) + d(x m , x n ) +1 +1 +2 +2 ...

  ≤ d(x m , x m ) + d(x m , x m ) + . . . + d(x n , x n ) m m n +1 +1 +2 −1 +1 −1 ≤ c + c + . . . + c d(x , x ) n −m 1 m 1 − c = c d(x , x ). 1 1 − c n −m

  Desde que 0 < c < 1 e n > m, então 1 − c < 1 , consequentemente, m c d(x m , x n ) ≤ d(x , x 1 ) −→ 0 quando m → ∞. (1.1-1) 1 − c

  Isto prova que (x n ) é de Cauchy. Como X é completo, tem-se lim x n = x ∈ X . n →∞ Para provar que x é um ponto fixo de f. A continuidade de f implica que x = lim x n = lim f (x n ) = f lim x n = f (x). n →∞ n →∞ n →∞ −1 −1

  E para finalizar mostraremos que x é o único ponto fixo. Suponhamos que y ∈ X seja um ponto fixo de f, assim d(x, y) = d(f (x), f (y)) ≤ c d(x, y), isso implica que d(x, y) = 0, pois c < 1. Logo x = y, e isto completa a demonstração.

  O Teorema do Ponto Fixo de Banach é especialmente útil, uma vez que, além da existência garante a unicidade do ponto fixo. No entanto, a exigência da aplicação ser uma contração limita a sua utilidade. Nos próximos capítulos estaremos enfraque- cendo as hipóteses sobre a aplicação, porém pediremos condições mais fortes sobre o domínio e contradomínio da aplicação. Demonstração: m Seja g = f , assim g é uma contração sobre X. Pelo Teorema do Ponto Fixo de n x . Novamente o

  Banach, g tem um único ponto fixo, isto é, g(bx) = bx, logo g (b x) = b teorema do ponto fixo de Banach implica que para todo x ∈ X temos n lim g x n →∞ n mn (x) = b = f , temos

  Em particular para x = f(bx), desde que g n x = lim g x)) b (f (b n →∞

  = lim x))))) n →∞ f (f (f (. . . (f (b | {z } mn +1 vezes

    

  = lim f n →∞ f(f(. . . (f(bx)))) n | {z } mn vezes = lim f (g x)) n →∞ (b = lim x) n →∞ f (b x) . = f (b

  Isto prova que bx é um ponto fixo de f, como todo ponto fixo de f é também ponto fixo de g, temos que f tem um único ponto fixo.

1.2 Aplicações

  Aplicaremos agora o Teorema do Ponto Fixo de Banach a alguns exemplos. Lembre- n mos que o espaço C ([a, b], R ) é um espaço métrico completo em relação a norma de- finida anteriormente. Para algumas das aplicações precisamos do seguinte resultado. m n

  ∈ X

  

Lema 1.7. Sejam X ⊂ R um subconjunto arbitrário, K ⊂ R compacto e x fixado. Se

p

  f : X × K → R é contínua. Então, para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que,

  ∀x ∈ X k < δ =⇒ kf (x, t) − f (x , t)k < ε, tal que kx − x para todo t ∈ K.

  > 0 Suponhamos por contradição que exista ε tal que para todo n ∈ N pode-se

  1 obter x n ∈ X e t n ∈ K de modo que kx n − x k < e kf(x n , t n ) − f (x , t n )k > ε . n

  Como K é compacto, passando a subsequência se necessário, podemos assumir que t → t ∈ K → x n . Como x n , a continuidade da f nos daria ε ≤ lim kf (x n , t n ) − f (x o , t n )k = kf (x o , t ) − f (x o , t )k = 0, n →∞ o que é uma contradição, provando o resultado.

  Definição 1.8. Uma equação integral da forma b

  Z f (t) − µ k(t, τ )f (τ ) dτ = g(t) (1.2-2) a

  1 é chamada de equação integral de Fredholm de segunda espécie .

  Aqui [a, b] é um intervalo real, f é uma função real sobre [a, b] desconhecida, e µ ∈ R é um parâmetro, o Núcleo k da equação é uma função dada sobre G = [a, b] × [a, b], e g é uma função dada sobre [a, b]. 2 Se k é contínua, como G ⊂ R é compacto, segue que existe 0 < c ∈ R tal que |k(t, τ )| < c ∀(t, τ ) ∈ G.

  Queremos saber sobre quais condições existe solução a expressão (1.2-2).

  

Aplicação 1.9 (Equação Integral de Fredholm). Suponha que k : G → R seja uma função

  contínua sobre G = [a, b] × [a, b] e suponha ainda que g ∈ C[a, b]. Se

  1 |µ| <

  (1.2-3) c(b − a) onde |k(t, τ)| < c sobre G. Então a equação

  Z b 1 f (t) − µ k(t, τ )f (τ ) dτ = g(t) a

  Uma equação sem o termo f(t) assume a forma b Z k (t, τ )f (τ ) dτ = g(t) tem uma única solução f sobre [a, b]. Demonstração:

  Para cada f ∈ C[a, b] a equação (1.2-2) define um operador dado por b Z T f (t) = g(t) + µ k(t, τ )f (τ ) dτ. a

  ∈ [a, b] n → t Vamos mostrar que T f é contínua em [a, b]. Seja t e t em [a, b]. Como k é contínua, dado ε > 0 o lema 1.7 garante que existe δ > 0 tal que, se µ, f 6= 0

  ε |t − t | < δ =⇒ |k(t n o n , τ ) − k(t , τ )| < , para todo τ ∈ [a, b].

  2|µ| kf k |b − a| Assim, como g é contínua, se n é suficientemente temos b

  Z |T f (t n ) − T f (t ) | = n ) − g(t ) + µ [k(t n , τ ) − k(t , τ )] f (τ ) dτ g(t a b

  Z ≤ |g(t n ) − g(t )| + |µ| |k(t n , τ ) − k(t , τ )||f (τ )| dτ b a

  Z ε ε

  ≤ + |µ|kf k dτ 2 a 2|µ| kf k |b − a| ε ε = + |µ|kf k|b − a| = ε. 2 2|µ| kf k |b − a| Isso garante que T f é contínua. Assim podemos considerar T : C[a, b] → C[a, b].

  Logo, encontrar a solução de (1.2-2) se transforma em um problema de ponto fixo da aplicação T . A demonstração deste teorema seguirá imediatamente do teorema de Banach se T for uma contração.

  Sejam f, h ∈ C[a, b] temos d(T f , T h ) = max |T f (t) − T h (t)| t ∈[a,b] b Z

  = |µ| max k(t, τ )[f (τ ) − h(τ )] dτ t ∈[a,b] a b Z

  ≤ |µ| max |k(t, τ )||f (τ ) − h(τ )| dτ t ∈[a,b] a Z b

  ≤ |µ| |f (x) − h(x)| a c max dτ x ∈[a,b] Z b

  |f (x) − h(x)| = |µ| c max dτ x ∈[a,b] a = |µ| c d(f, h)(b − a) = α d(f, h) onde α = |µ| c(b − a). De (1.2-3) temos

  1 α = |µ|c(b − a) < .c(b − a) = 1. c(b − a) Logo T é uma contração, provando então o teorema.

  Uma equação integral da forma t Z f (t) − µ k(t, τ )f (τ ) dτ = g(t) (1.2-4) a

  é chamada de Equação Integral de Volterra e se diferencia de uma equação de Fredholm apenas no limite superior de integração, visto que, agora o limite de integração é variá- vel. Este fato é essencial, pois não precisamos de restrições sobre o parâmetro µ para a existência e unicidade para tais equações.

  

Aplicação 1.10 (Equação Integral de Volterra). Suponhamos que g em (1.2-4) seja contínua

  sobre [a, b] e que o núcleo k é contínua sobre a região triangular R no plano tτ dada por a ≤ τ ≤ t, a ≤ t ≤ b . Então (1.2-4) tem uma única solução f sobre [a, b] para todo µ.

  T : C[a, b] → C[a, b] dada por t Z

  T f (t) = g(t) + µ k(t, τ )f (τ ) dτ, (1.2-5) a e assim encontrar a solução de (1.2-4) se reduz ao problema f (t) = T f (t) ou seja, encontrar o ponto fixo da aplicação T .

  Sendo R compacto e k contínua, segue que existe c ∈ R tal que |k(t, τ )| < c ∀(t, τ ) ∈ R.

  Como f, h ∈ C[a, b] temos que t Z

  |T f (t) − T h (t)| = |µ| k(t, τ )[f (τ ) − h(τ )] dτ a t

  Z ≤ |µ| |k(t, τ )||f (τ ) − h(τ )| dτ a t

  Z ≤ |µ| c d(f, h) dτ a t

  Z = |µ| c d(f, h) dτ a = |µ| c(t − a) d(f, h) (1.2-6)

  Usaremos indução sobre m para provar que m m m m m (t − a) |T f (t) − T h (t)| ≤ |µ| c d(f, h). (1.2-7) m!

  Para m = 1 é verdadeiro por (1.2-6). Suponha válido até m, assim, usando a hipótese de indução temos m m m m +1 +1 |T f (t) − T h (t)| = T f (t) − T T h (t)

  T t Z m m

  = |µ| k(t, τ )[T f (τ ) − T h (τ )] dτ a t Z m m

  ≤ |µ| |k(t, τ )||T f (τ ) − T h (τ )| dτ a t Z m m m (τ − a)

  ≤ |µ| c |µ| c d(f, h) dτ a m! t Z m m m +1 +1 (τ − a)

  = |µ| c d(f, h) dτ m +1 a m! m m +1 +1 (t − a) = |µ| c d(f, h)

  (m + 1)! o que completa a demonstração de (1.2-7) por indução.

  Usando o fato que t − a ≤ b − a temos m m m m m (b − a) |T f (t) − T h (t)| ≤ |µ| c d(f, h). m!

  Assim tomando max em ambos os lados da inequação temos que t ∈[a,b] m m d T f , T h ≤ α m d(f, h), onde m m m (b − a) α m = |µ| c . m! m

  Fixado µ e para m suficientemente grande temos que α m < 1 , assim T é uma contra- ção sobre C[a, b], segue do corolário 1.6 que (1.2-4) tem uma única solução.

  Equações Diferenciais tem uma grande relevância na Matemática, além do que, pode ser uma ferramenta importante, e as vezes imprescindível em muitos outros ra- mos do conhecimento humano. De posse do Teorema do Ponto Fixo de Banach, vamos estabelecer a existência e unicidade de solução para o problema de Cauchy associado a uma EDO de primeira ordem, o conhecido teorema de Picard-Lindelöf. n contínua e lipschitziana na segunda variável em Ω. Então o PVI   x

  (t) = f (t, x(t)) (1.2-8)

   x (t ) = x tem uma única solução sobre I α , onde b

  α = min

  a, M e |f| < M. b n

  Sendo I a e B bolas fechadas centradas em t e x de raios a e b em R e R , res- pectivamente, temos que Ω é compacto, sendo f contínua, temos que f(Ω) é limitado. Assim, existe M tal que |f (t, x)| < M ∀(t, x) ∈ Ω.

  Demonstração: Integrando de t até t ambos os lados da equação diferencial em (1.2-8) obtemos t

  Z

  • x (t) = x f (s, x(s)) ds. (1.2-9) t

  Assim, uma solução do problema (1.2-8) dever ser também uma solução da equação (1.2-9), e reciprocamente, se x(t) é solução da equação integral (1.2-9) então x (t ) = x e x = f (t, x) pelo teorema fundamental do Cálculo, ou seja, x(t) é uma solução de (1.2-8). Ainda, se t

  Z

  • g (t) = x f (s, x(s)) ds, t obtemos que g

  (t ) = x e g (t) = f (t, x)

  e, portanto, g (t) = x(t).

  , B b ) Considerando o espaço métrico C (I α com a métrica d(f , g) = sup |f (t) − g(t)| t ∈I α temos que este é completo. b n

  Definamos uma aplicação T : C (I α , B ) → C (I α , R ) dada por Z t

  • x ∈ C (I T x(t) = x f (s, x(s)) ds, α , B ) . t b

  Destacamos as seguintes propriedades de T : (1) b

  Im(T ) ⊂ C (I α , B ) n (2) T é uma contração, para n suficientemente grande. De fato, para todo t ∈ I α , t

  Z |T x(t) − x | = f (s, x(s)) ds | ≤ M α ≤ b. t ≤ M|t − t Isto prova (1). Quanto a (2), para todo x, y ∈ C (I α , B b ) e todo n ≥ 1 n n

  |t − t | n n K x y |T (t) − T (t) | ≤ d(x, y), t ∈ I α , (1.2-10) n! onde K é a constante de Lipschitz de f. Provaremos está desigualdade por indução sobre n. Para n = 1

  Z t |T x(t) − T y(t) | = t f (s, x(s)) − f (s, y(s)) ds

  Z t ≤ |f (s, x(s)) − f (s, y(s))| ds t

  Z t ≤ K|x(s) − y(s)| ds t

  Z t ≤ Kd(x, y) ds t = K|t − t |d(x, y) Suponhamos que a desigualdade seja válida para k, então k k k k +1 +1 |T x (t) − T y (t) | = T x (t) − T T y (t)

  T t Z h k k i x y

  = f s, T (s) − f s, T (s) ds t t Z k k x y

  ≤ s, T (s) − f s, T (s) t f ds Z t k k

  ≤ x − T y t K T (s) (s) ds Z t k k

  K |s − t | ≤ K d(x, y) ds k Z t +1 t k!

  K k = d(x, y) |s − t | ds k! k k +1 +1 t

  K |t − t | = d(x, y).

  (k + 1)! Portanto, n n n n K α

  |T x − T y | ≤ (t) (t) d(x, y) n n n!

  K α assim para n suficientemente grande, < 1 visto que este é o termo da série cuja kα n n! α , B b ) soma é e , donde T é uma contração em C (I . Pela Proposição 1.6 temos que T possui um único ponto fixo, e isto prova o teorema de Picard-Lindelöf.

  n Definição 1.12. O Laplaciano △ de uma função f : R → R n 2 é dado por

  X ∂ f

  △f := , 2 i =1 ∂x i n m → R onde as derivadas parciais não mistas da f devem existir. Se f : R , então o Laplaciano 1 m m 1

  , . . . , △f ) , . . . , f ) de f é dado por △f := (△f , onde f = (f e as derivadas parciais não mistas das funções coordenadas devem existir.

  

Aplicação 1.13. Vamos agora aplicar o Teorema do Ponto Fixo de Banach para comprovar a

  existência de solução para o problema de contorno semi-linear com condições iniciais para o sistema de difusão e reação          u t − △u = f (u) em U T u

  = 0 sobre ∂U × [0, T ] u = g sobre U × {t = 0}

  (1.2-11) onde u = (u 1 , . . . , u m )

  , g = (g 1 , . . . , g m )

  , escrevemos U T = U × (0, T ] , com U ⊂ R n aberto, limitado e com fronteira suave e T > 0 fixo.

  Mas antes, precisamos de alguns resultados sobre equações parabólicas lineares.

  Definição 1.14 (Equação Parabólica). O problema de contorno com condição inicial

           u t + Lu = f em U T u = 0 sobre ∂U × [0, T ] u = g sobre U × {t = 0}

  (1.2-12) aqui f : U T → R e g : U → R são dadas e u : U T

  → R é desconhecida u = u(x, t). Como também, L denota para cada tempo t um operador diferencial de segunda ordem, que se apresenta na sua forma não divergente

  Lu = − n

  X i,j =1 a ij (x, t) u x i x j + n

  X i =1 b i (x, t) u x i + c(x, t)u.

  Suponhamos temporariamente que u = u(x, t) seja uma solução suave do problema parabólico (1.2-12). Vamos mudar nosso ponto de vista, associando com u a aplicação u : [0, T ] → H 1 (U ) definida por

  [u(t)] (x) := u(x, t) (x ∈ U, 0 ≤ t ≤ T ). Similarmente defina f : [0, T ] → L 2 (U ) por [f (t)] (x) := f (x, t) (x ∈ U, 0 ≤ t ≤ T ). grando por partes obtemos ′ ′ d (u , v) + B[u, v; t] = (f , v) = (1.2-13) dt 2 para cada 0 ≤ t ≤ T . Denotamos por ( , ) o produto interno em L (U ) e n n

  Z

  X ij i

  X B[u, v; t] := a (·, t) u b + x v x (·, t) u x v + c(·, t)uv dx U i,j i =1 =1 i j i é uma forma bilinear. −1 Temos também que u t ∈ H (U ) com −1 1 2 ku t k ≤ C kuk + ku t k . H (U ) H L (U ) (U )

  O primeiro termo em (1.2-13) pode ser expresso por hu , vi , onde h , i denota a duali- −1 m 1 m dade de H (U ; R ) e H (U ; R ).

  Definição 1.15. Dizemos que uma função 2 1 ′ 2 −1

  u ∈ L 0, T ; H (U ) com u ∈ L 0, T ; H (U )

  é uma solução fraca do problema (1.2-12) se

  • hu , vi + B[u, v; t] = (f , v)
  • 1 (U ) para todo v ∈ H , 0 ≤ t &le
  • u(0) = g.
  • 2 Temos que u ∈ C ([0, T ]; L (U )) .

      Teorema 1.16 (Existência da solução fraca). Existe uma única solução fraca de (1.2-12).

      Voltemos agora ao problema da equação parabólica semi-linear. Assuma a priori 1 m m m que g ∈ H (U ; R ) e que f : R → R seja uma função Lipschitz contínua. Assim para m todo z ∈ R temos que Portanto |f (z)| ≤ C (kzk + 1) (1.2-14) onde C = (L + |f(e 1 )|) . Dizemos que 2 1 ′ m m 2 −1 u ∈ L 0, T ; H (U ; R ) ∈ L 0, T ; H (U ; R ) com u (1.2-15)

      é uma solução fraca de (1.2-11) se hu 1 m , vi + B[u, v] = (f (u), v) q.t. 0 ≤ t ≤ T (1.2-16) para todo v ∈ H (U ; R ) , 0 ≤ t ≤ T e u (0) = g. (1.2-17) −1 m m 1 Em (1.2-16), h , i denota a dualidade de H (U ; R ) e H (U ; R ) , B[ , ] é a forma 1 m 2 m bilinear associada com −△ em H (U ; R ) , e ( , ) é o produto interno em L (U ; R ) . A 1 m norma em H (U ; R ) é considerada como sendo 1 1 m Z 2 2 kuk = kDuk dx . H (U ;R ) 2 m U

      Sabemos que u ∈ C ([0, T ]; L (U ; R )) , depois de uma possível redefinição de u sobre um conjunto de medida nula.

      Teorema 1.17. Existe uma única solução fraca de (1.2-11).

      Demonstração: Para demonstrar este teorema, vamos aplicar o Teorema do Ponto Fixo de Banach. Considere o espaço 2 m

      X = C [0, T ]; L (U ; R ) , com a norma 2 m kvk := max kv(t)k . 0≤t≤T L (U ;R ) d dt kw − w k 2 L 2 (U ;R m ) = d dt Z U (w − w

    , w − w

    ) R m dx =

      Pelo teorema (1.16), a EDP linear parabólica          w t − △w = h em U T w

      = 0 sobre ∂U × [0, T ] w = g sobre U × {t = 0} (1.2-18) tem uma única solução w ∈ L 2 0, T ; H 1 (U ; R m ) com w ∈ L 2 0, T ; H −1 (U ; R m ) . (1.2-19)

      Assim, w ∈ X satisfaz hw , vi + B[w, v] = (h, v) q.t. 0 ≤ t ≤ T (1.2-20) para todo v ∈ H 1 (U ; R m ) e w(0) = g. Defina A : X → X por

      A[u] = w, com w fornecido acima.

      Afirmamos que se T é suficientemente pequeno então A é uma contração. Com efeito, dadas u, u ∈ X , defina w = A[u] e w = A[u ] . Assim w satisfaz

      (1.2-20) com h = f(u), e w satisfaz uma identidade similar para h = f (u ) .

      Temos pela fórmula da integração por partes que

      Z U 2(w t − w t , w

      

    − w

    ) R m dx = 2 Z U (△w + h − △w − h , w − w ) R m dx

      = 2 Z U (△w − △w , w − w ) R m dx + 2 Z U (h − h , w − w ) R m dx = 2 Z U

      " m

      X i =1 △(w i

    − w

    i ) · (w i − w i ) # dx + 2(h − h , w − w ) = −2

      Z U " m

      X i =1 ▽(w i

    − w

    i ) · ▽(w i − w i ) # dx

    • 2(h − h , w − w ) Z k ▽ (w − w

    • 2 dx , w − w

      2 2

      a εb Logo, aplicando as desigualdades de Cauchy-Schwars, Young ab ≤ , ε > 0 +

      2ε

      2 e Poincaré temos d 2 ∗ 2 m m 2 1 kw − w k + 2kw − w k L (U ;R ) H (U ;R ) dt ∗ ∗

      = 2 (w − w , h − h ) ∗ ∗ 2 m m 2 ≤ 2kw − w k · kf (u) − f (u L )k L (U ;R ) (U ;R ) 2 ∗

      1 2 ≤ εkw − w k kf (u) − f (u )k L (U ;R ) L (U ;R ) + 2 m m 2

      ε 2 ∗

      1 2 ≤ εCkw − w k kf (u) − f (u )k H L (U ;R ) 1 (U ;R ) m m 2

    • ε

      2 Para ε < deduzimos C d d 2 ∗ 2 m 2 ∗ 2 m 2 1 kw − w k ≤ kw − w k k m L L (U ;R ) (U ;R ) H (U ;R ) + (2 − εC)kw − w dt dt

      1 2 2 m ≤ kf (u) − f (u

      )k L (U ;R ) ε 2 2 m L ≤ Kku − u k , L (U ;R ) com K = , desde que 0 < (2 − εC) e f é Lipschitz. Consequentemente, de w − ε w

      (0) = 0 temos, s Z 2 ∗ 2 m m d 2 2 kw(s) − w (s)k = kw(t) − w (t)k dt L (U ;R ) L (U ;R ) dt

      Z s 2 2 m ≤ K ku(t) − u 2 (t)k dt (1.2-21) L (U ;R )

      ≤ KT ku − u k para cada 0 ≤ s ≤ T . Assim, 2 ∗ 2 kw − w k ≤ KT ku − u k .

      Logo 2 ∗ 1 kA[u] − A[u ku − u k, ]k ≤ (KT ) (1.2-22) 2 1 portanto A é uma contração se T é pequeno tal que (KT ) = γ < 1 . 2 1

      > 0 ) < 1 Dado T > 0, escolhemos T 1 tão pequeno tal que (KT 1 . Então aplicamos

      1 m

      ] (U ; R ) sobre o intervalo de tempo [0, T 1 . Desde que u(t) ∈ H quase sempre em 1 m 0 ≤ t ≤ T , podemos redefinir T se necessário e assumir que u(T ) ∈ H (U ; R ) . 1 1 1 Observe que o tempo T 1 > 0 depende da constante K, que por sua vez depende da somente constante de Lipschitz para f. Podemos então repetir o que foi feito acima para o intervalo [T , 2T ] e estender nossa solução para esse intervalo. Após alguns 1 1 passos construímos uma solução fraca em todo o intervalo [0, T ].

      Para finalizar, provemos a unicidade. Suponha que u e u sejam duas soluções de ∗ ∗ (1.2-11). Temos para w = A[u] e w = A[u ] na desigualdade (1.2-21) que s 2 ∗ 2 m m m 2 ∗ 2 Z 2 2 ku(s) − u (s)k = kw(s) − w (s)k ≤ K ku(t) − u (t)k dt L (U ;R ) L (U ;R ) L (U ;R ) para 0 ≤ s ≤ T . De acordo com a desigualdade de Gronwall temos u ≡ u .

      

    CAPÍTULO 2

    TEOREMA DO PONTO FIXO DE BROUWER

      O Teorema do Ponto Fixo de Brouwer assegura, sob certas condições, a existência de ao menos um ponto fixo para uma função, esse tipo de teorema é dos chamados "teoremas de existência". O nome dado a este teorema é devido ao matemático holandês Luitzen Egbertus Jan Brouwer, que propôs sua demonstração por volta de 1910.

      Luitzen Egbertus Jan Brouwer mais conhecido como L.E.J. BROUWER, nasceu em Overschie no dia 27 de fevereiro de 1881 vivendo até o dia 2 de dezembro de 1966, em Blaricum. Foi um grande gênio matemático com fortes tendências filosóficas. Embora a própria demonstração proposta por ele recebeu suas críticas, por terem base na lei do terceiro excluído (demonstração por absurdo), Brouwer foi quem fundou o intuici- onismo matemático que considera qualquer objeto matemático como um produto da construção de uma mente, e portanto, a existência de um objeto matemático equivale a construção dele.

      O intuicionismo matemático contrasta com a abordagem clássica da matemática, abordagem esta que, a existência de uma entidade matemática pode ser provada atra- vés da refutação da sua não existência. No entanto, para o intuicionismo, a refutação da não existência não implica que é possível achar uma prova construtiva da existên- cia.

      Existem demonstrações do teorema de Brouwer que não ultrapassam algumas li- dos provados anteriormente. Optamos aqui utilizar técnicas do cálculo variacional e resultados sobre aproximações de funções através de convolução com funções suavi- zante. Porém, para o caso unidimensional a demonstração é simples.

      Suponhamos que f : [−1, 1] → [−1, 1] seja uma função contínua. Então f possui um ponto fixo. Demonstração:

      Suponhamos que f não tenha ponto fixo, assim a função g : [−1, 1] → {−1, 1} definida por f [x] − x g[x] :=

      |f [x] − x| é uma função contínua. Sendo I = [−1, 1] um intervalo e g contínua, temos que g[I] é um intervalo e, portanto, g[I] = {−1} ou g[I] = {1}. Se g[I] = {1} então f [1] − 1 1 = g[1] = =⇒ 1 − f [1] = f [1] − 1 =⇒ 2(1 − f [1]) = 0 =⇒ f [1] = 1

      |f [1] − 1| em contradição com a hipótese. O caso em que g[I] = {−1} é análogo, portanto f possui um ponto fixo. n

      O caso geral do teorema é considerado a bola fechada B = B[0, 1] ⊂ R e f : B → B contínua. E a demonstração faremos depende de alguns resultados que apresentare- mos agora.

    2.1 Equação de Euler-Lagrange

      m n

      Uma função f : Ω → R , onde Ω ⊂ R é um aberto, é dita uma função suave se m f ∈ C (Ω, R ). n Sejam U ⊂ R um conjunto aberto, limitado com fronteira ∂U suave, e L uma função suave n

      × R × U → R L : R que chamamos de Lagrangiana.

      Escreveremos L = L(p, z, x) = L(p , . . . , p n , z, x , . . . , x n ) 1 1 n

      , z ∈ R para p ∈ R e x ∈ U. Também estabelecemos as notações D p L = (L p 1 , . . . , L p ) ; n D z L = L z ; D x L = (L x 1 , . . . , L x ). n que será útil para o desenvolvimento da teoria que segue.

      Considere agora w : U → R uma função suave satisfazendo a condição de contorno w = g sobre ∂U. (2.1-1) Defina

      Z I[w] := L(Dw(x), w(x), x)dx (2.1-2) U

      Problemas de encontrar uma função que seja o mínimo de I[ · ] ocuparam um im- portante lugar na matemática a partir do século XVI, nomes como Newton, Jean Ber- noulli, Euler, Lagrange, Legendre, Hamilton entre outros, estão associados ao estudo de tais problemas.

      Um exemplo simples onde encontramos problemas desse tipo é o seguinte. Supo- nhamos que queremos encontrar uma função f : [a, b] → R tal que, f(a) = c e f(b) = d e o comprimento do arco de gráfico da f seja o menor possível. Em outras palavras, encontrar o mínimo de b

      Z p l(f ) = 1 + f (x) dx. a Outros exemplos de tais problemas são

      Superfícies mínimas. Considere uma membrana bidimensional em repouso ocupando uma região limitada Ω. Desejamos submetê-la a deformações normais a superfície e de modo que o deslocamento na fronteira seja perscrito, isto é, w = g sobre ∂Ω.

      A posição de equilíbrio pode ser encontrada minimizando-se a energia potencial de deformação ZZ q 2 2 U = 1 + w + w dx dy x y Braquistócrona. Dado um corpo de massa unitária situado na origem (0, 0), queremos deslocá-lo até um ponto A = (x A , y A ) com y A < 0 < x A sob a ação da gravidade na ausência de atrito. Queremos determinar a curva y(x) satisfazendo y(0) = 0 e y(A) = y A para o qual o tempo de percurso é o mínimo.

      Pode-se mostrar que o tempo é dado por x s Z A ′2 1 + y

      T (y) = dy.

      2gy Euler e Lagrange estudavam juntos o problema da curva tautocrônica, que con- siste em determinar uma curva na qual uma partícula irá cair para um ponto fixo num tempo fixo, independentemente do ponto de partida. Lagrange resolveu este problema em 1975 e enviou uma carta para Euler com a solução. Desenvolvendo as ideias conti- das na carta, Euler aplicou a mecânica, levando a formulação da mecânica de Lagrange. A frequente correspondência entre os dois levaram a criação do cálculo variacional.

      Um resultado crucial no cálculo variacional é o lema du Bois-Reymond, sua for- malização impulsionou fortemente o cálculo variacional. O lema foi objeto de inves- tigação por matemáticos como Euler e Lagrange, tendo sido apresentado por P. du Bois-Reymond no ano de 1879. Foi entretanto K. Weierstrass, que apresentou pela pri- meira vez uma demonstração clara e completa em seus seminários (1875-1882). Para mais informações ver [4]. Para nossos propósitos trazemos o seguinte lema.

      Lema 2.1. Seja w : U → R uma função contínua tal que

      Z U w(x)v(x)dx = 0, para toda função suave v com suporte compacto. Então w ≡ 0.

      Demonstração: Como w é contínua, basta mostrar que w se anula em U e consequentemente em

      U . Suponha então que exista x ∈ U de modo que w(x ) > 0 , por U ser aberto e pela continuidade de w existe δ > 0 tal que w(x) > 0 para todo x ∈ B(x , δ) ⊂ U.

      Defina  1 2 Temos então que v é suave com suporte compacto além do que, v(x) > 0 para todo x ∈ B(x , δ) , assim ∈ B(x w(x)v(x) > 0 se x ∈ B(x , δ) e w(x)v(x) = 0 se x / , δ). Logo

      Z Z U B ,δ w(x)v(x)dx = w(x)v(x)dx > 0, (x ) em contradição com a hipótese, portanto w ≡ 0.

      Voltemos ao problema de minimizar (2.1-2). Suponha que existe uma função suave u cumprindo u = g sobre ∂U e u seja um minimizador de I[·] entre todas as funções satisfazendo (2.1-1). Vamos demonstrar que u sobre essas hipóteses é solução de uma

      EDP não linear.

      Para confirmar nossa afirmação, escolha qualquer função suave v com suporte com- pacto, assim toda função w que cumpre (2.1-1) pode ser escrita como w(x) = u(x) + ε(x)v(x) com ε(x) ∈ R. Para simplificar, escrevemos w = u + εv e considere a função real definida por i(ε) := I[u + εv] (ε ∈ R). (2.1-3)

      Sendo u um minimizador de I[ · ] e u = u + εv = g sobre ∂U, obtemos então que i(·) tem um ponto de mínimo em ε = 0. Então i (0) = 0. (2.1-4) Calculemos explicitamente esta derivada chamada de primeira variação. Escrevemos

      Z i(ε) = L(Du + εDv, u + εv, x)dx. (2.1-5) U Pelo teorema da derivação sob o sinal da integral

      Z d i (ε) = [L(Du + εDv, u + εv, x)] dx. (2.1-6) Pela regra da cadeia obtemos que d d [L(Du + εDv, u + εv, x)] = DL (Du + εDv, u + εv, x) dε dε

      = D p L[Dv] + D z L[v] + D x L[0] n

      X = L p i (Du + εDv, u + εv, x)v x i + L z (Du + εDv, u + εv, x)v. i =1 Substituindo em (2.1-6) obtemos

      " n #

      Z

      X i (ε) = L p i (Du + εDv, u + εv, x)v x i + L z (Du + εDv, u + εv, x)v dx. (2.1-7) U i =1 Fazendo ε = 0 deduzimos de (2.1-4) que

      " # n Z

      X 0 = i (0) = L (Du, u, x)v + L (Du, u, x)v dx n U i =1 p i x i z Z

      X = [L p (Du, u, x)v x + L z (Du, u, x)v] dx . (2.1-8) i =1 U i i

      Finalmente, desde que v tem suporte compacto, fazendo a integração por partes obte- mos Z Z Z i U U ∂U L p (Du, u, x)v x dx = − (L p (Du, u, x)) v dx + L p (Du, u, x)vν dS i i i i x i

      Z = − (L p (Du, u, x)) v dx. U i x i onde ν é o vetor normal unitário no ponto x ∈ ∂U. Substituindo em (2.1-8) obtemos n Z h i

      X 0 = − (L p (Du, u, x)) v + L z (Du, u, x)v dx i =1 U i x i " # n

      Z

      X = − (L p (Du, u, x)) + L z (Du, u, x) v dx. U i =1 i x i 1 Como está igualdade é válida para todas as funções v ∈ C (U ) , concluímos do lema 2.1 que u deve ser solução da EDP não linear n

      X − (L p (Du, u, x)) + L z (Du, u, x) = 0 i em U. (2.1-9) x i Esta é a equação de Euler-Lagrange associada ao funcional I[ · ] definido em (2.1-2). Observe que (2.1-9) é uma EDP quase-linear na forma de divergência.

      Resumindo, qualquer minimizador suave de I[·] é uma solução da EDP de Euler- Lagrange dada (2.1-9). Como também, podemos tentar encontrar uma solução de (2.1- 9) através da procura de minimizadores em (2.1-2).

      Como um exemplo, considere

      1 2 L(p, z, x) = kpk . p = p i z = 0

      2 Então L i para i = 1, . . . , n e L , logo a equação de Euler-Lagrange associada ao funcional Z

      1 2 kDwk I[w] = dx

      2 U é n n n 2 X

      X X ∂ u 0 = − (p i ) = (u x ) = = △u em U. x i x i i 2 i i i =1 =1 =1 ∂x i e este fato é conhecido como Princípio de Dirichlet.

      A equação de Euler-Lagrange acima pode ser facilmente generalizada para o caso de sistemas. As complicações que aparecem agora é devido a notação. Considere m ×n M o espaço das matrizes m × n, e assuma que a função suave Lagrangiana m m ×n

      L : M × R × U → R é dada. Como feito antes, escreva 1 m m 1 m m ×n L = L(P, z, x) = L(p , . . . , p , z , . . . , z , x 1 n 1 , . . . , x n ) para P ∈ M , z ∈ R , x ∈ U , onde

        1 1 · · · p p 1 n

         

          m m m m p · · · p 1 n 1 m ×n

      P = ... ... ... Defina Z

      I[w] := L(Dw(x), w(x), x) dx. (2.1-10) U Aqui

        1 1 w · · · w x 1 x n    

          m m

      Dw(x) = ... ... ...

      · · · w w x 1 x n m ×n é a matriz gradiente de w em x. 1 m Se u = (u , . . . , u ) é um minimizador de I[ · ], entre as funções iguais a g sobre ∂U 1 m ∞ m e v = (v , . . . , v ) ∈ C (U ; R ) , escreva i(ε) := I[u + εv].

      Como antes, i (0) = 0.

      Calculando a derivada de i(·) obtemos Z d i (ε) = [L(Du + εDv, u + εv, x)] dx U dε

      Z d = DL (Du + εDv, u + εv, x) dx U

      Z = D P L[Dv] + D z L[v]dx U

      " n m m # Z

      X X k k k k

      X = L (Du + εDv, u + εv, x)v L z (Du + εDv, u + εv, x)v dx. + U i k k =1 =1 =1 p x i i

      Se ε = 0 então " n m m #

      Z

      X X k k k k

      X 0 = i (0) = L (Du, u, x)v + U i k k =1 =1 =1 p x i i L z (Du, u, x)v dx. e a integração por partes nos dá n m m Z Z

      X X k k k k

      X 0 = L (Du, u, x)v dx + L (Du, u, x)v dx i =1 k =1 k =1 n m m U U p z i x i Z Z

      X X k k k k

      X = − L (Du, u, x) v dx + L (Du, u, x)v dx i =1 k =1 k =1 U U p z i x i m n "

      # Z

      X X k k k = − L (Du, u, x) + L (Du, u, x) v dx. U k i =1 =1 p z i x i 1 n Como está igualdade está válida para todas as funções testes v , . . . , v concluímos que n

      X k k − L (Du, u, x) + L (Du, u, x) = 0 em U (k = 1, . . . , m). (2.1-11) i =1 p z i x i

      O sistema de EDP’s determinado em (2.1-11) compreende-se a equação de Euler- para o funcional I[ · ] definido em (2.1-10). Lagrange

    2.1.1 Lagrangianas nulas

      Definição 2.2 (Lagrangiana nula). A função L é chamada de Lagrangiana nula se para toda m

      função suave w : U → R o sistema de equações de Euler-Lagrange é satisfeito, isto é n

      X k k − L (Dw, w, x) + L (Dw, w, x) = 0 i =1 p z em U (k = 1, . . . , m). (2.1-12) i x i

      A importância de lagrangianas nulas é que o funcional correspondente Z

      I[w] := L(Dw(x), w(x), x)dx U depende somente da condição de fronteira. m

      

    Teorema 2.3. Seja L uma Lagrangiana nula. Assuma que u, f sejam duas funções em C (U , R )

      tais que u ≡ f sobre ∂U.

      Então I[u] = I[f ].

      Dadas u, f nas condições acima, defina i(ε) := I[εu + (1 − ε)f ] (0 ≤ ε ≤ 1).

      Então " n m

      Z

      X X k k k i (ε) = L (εDu + (1 − ε)Df , εu + (1 − ε)f , x)(u − f ) U i =1 k =1 p i x i x i m #

      X k k k =1 L (εDu + (1 − ε)Df , εu + (1 − ε)f , x)(u − f ) dx z k

    • m n

      " Z

      X X k

      = L (εDu + (1 − ε)Df , εu + (1 − ε)f , x) k i =1 =1 U k p i k k x i

    • L (εDu + (1 − ε)Df , εu + (1 − ε)f , x)] (u − f ) dx z

      = 0 ∞ m pois L é uma Lagrangiana nula e temos que (εu + (1 − ε)f) ∈ C (U , R ) para todo 0 ≤ ε ≤ 1 . Logo i( · ) é constante, e assim I[u] = i(1) = i(0) = I[f ].

      m ×n

      Seja P ∈ M e denotamos por cofP a matriz dos cofatores de P . Sabemos da álgebra linear que T

      (det P )I = P ( cofP ), isto é n

      X k k (det P )δ ij = p ( cofP ) (i, j = 1, . . . , n). (2.1-13) k =1 i j

      Em particular, tomando i = j = m, temos n

      X ∂ det P ∂ l l k k k = p ( cofP ) = ( cofP ) (k, m = 1, . . . , n). (2.1-14) m m m

      ∂p ∂p m m l =1 l k De fato, se l 6= k então (cofP ) não possui a variável p , pois retira-se a coluna m da m m

      ∂ l l n n

      → R

      Lema 2.4. Seja u : R uma função suave. Então n

      X k ( = 0 (k = 1, . . . , n). (2.1-15) k =1 cofDu) i,x i

      Demonstração: Seja P = Du em (2.1-13). Diferenciando em relação a x j , pela regra da cadeia, n n

      X k ∂ det Du k k

      X δ ij ( cofDu) u = δ ij p m x m x m j k x j k,m k,m =1 =1 ∂p m

      ∂ = [(det Du)δ ij ]

      ∂x j " # n

      X ∂ k k

      = u ( x i j cofDu) ∂x j n k =1

      X k k k k = u ( cofDu) + u ( cofDu) . k =1 x x x i j j i j,x j Somando em relação a j = 1, . . . , n, temos n n

      X k k k k k k

      X j,k,m =1 j,k =1 δ ij ( cofDu) u = u ( cofDu) + u ( cofDu) . (2.1-16) m x m x j x i x j j x i j,x j Como δ ij = 0 se i 6= j, chegamos então a igualdade n n n

      X k k k k k k

      X X j,k,m k,m j,k =1 =1 =1 δ ij ( cofDu) u = ( cofDu) u = u ( cofDu) . m x m x m x m x x x j j i i j Simplificando em (2.1-16) obtemos, n n !

      X k

      X k k =1 =1 u ( cofDu) = 0 (i = 1, . . . , n), (2.1-17) x i j,x j j que na realidade é um sistema linear homogêneo. Se det Du(x ) 6= 0 , então concluímos que n

      X k j =1 ( cofDu) = 0 (k = 1, . . . , n) j,x j em x . Agora se det Du(x ) = 0 , escolha ε > 0 de modo que det D(u(x ) + εI) 6= 0 , e repita o que fizemos acima para a função f = u + εI , assim vamos chegar em n

      X k j =1 ( cofD(u(x ) + εx ) = 0 (k = 1, . . . , n). j,x j Como a função cof é uma função contínua, fazendo ε → 0 temos o resultado.

      n n

    ×n

    Teorema 2.5. A função determinante L : M × R × U → R

      dada por L(P, z, x) := det P é uma Lagrangiana nula.

      Demonstração: Como L depende somente da primeira variável, iremos simplesmente escrever n

      L(P, z, x) = L(P ) . Seja agora u : U → R uma função suave. De acordo com (2.1- 14), temos k k L = (cof P ) (i, k = 1, . . . , n). p i i Assim, pela conclusão do lema precedente, n n

      X k k

      X ki =1 i =1 L (Du) + L z (Du) = − (cof Du) = 0 (k = 1, . . . , n). p i,x i x i i Portanto L é uma Lagrangiana nula.

    2.2 Teorema do Ponto Fixo de Brouwer

      Após as considerações feitas na seção anterior, estamos com as ferramentas necessárias para a demonstração do principal teorema deste capítulo. A sua demonstração será dividida em três etapas; em cada uma das quais o método utilizado é por absurdo. n

      Teorema 2.6 (Teorema do Ponto Fixo de Brouwer). Assuma que

      u : B[0, 1] → B[0, 1] seja uma função contínua. Então u tem um ponto fixo, isto é, existe x ∈ B[0, 1] tal que u (x) = x. Demonstração:

      

    Etapa I. Escreva B = B[0, 1]. Nossa primeira afirmação é que não existe uma função

      suave w : B → ∂B (2.2-18) cumprindo w (x) = x para todo x ∈ ∂B. (2.2-19) Com efeito, suponhamos que tal função w exista. Assim, por (2.2-19) temos w ≡ I sobre ∂B.

      Desde que a função determinante é uma Lagrangiana nula, então o teorema 2.3 implica que Z Z B B det Dw dx = det DI dx = vol(B) 6= 0. (2.2-20) 2

      ≡ 1 Por outro lado, (2.2-18) implica que kwk , e então diferenciando, nós temos T 2 hDw, wi = (Dw) w = 0. (2.2-21) T

      Como kwk = 1 , (2.2-21) diz que 0 é um auto valor de (Dw) para todo x ∈ B, assim T det Dw = det (Dw) = 0, em contradição com (2.2-20). Logo não existe uma função suave w satisfazendo (2.2-18) e (2.2-19). n n n w : R → R (x) = x − B. 1 dada por w 1 se x ∈ R n ε

      Observe que w (x) 6= 0 se x ∈ R . Fixe ε > 0 tão pequeno que w = η ε ∗ w , onde η ε 1 ε n 1 1 é dada pela definição 3.26 do apêndice, cumpra kw (x)k 6= 0 (x ∈ R ) . Isto é possível 1 devido a propriedade (iii) do teorema 3.28 do apêndice.

      Note também que, para ε > 0 suficientemente pequeno, se kxk ≥ 2, então kx − yk ≥ 1 para todo y ∈ B(0, ε), assim w (x − y) = x − y , logo 1 ε Z w 1 (x) = (η ε ∗ w ) (x) = η ǫ (y)w (x − y)dy 1 B (0,ǫ) 1 Z = η ǫ (y) [x − y] dy B (0,ǫ)

      Z Z = x η ǫ (y)dy − η ǫ (y)y dy B B (0,ǫ) (0,ǫ) = x − K

      Z ε onde K = η ǫ (y)y dy e satisfaz kKk < 2. Defina w := w + K , então w (x) = x , B (0,ǫ) n 2 1 2 para ε > suficientemente pequeno e x ∈ R − B[0, 2] .

      Defina 2w 2 w := , 3 kw k 2 então w é uma função suave pois, w é uma função suave devido a propriedade (i) do 3 2 n teorema 3.28 do apêndice e w (x) 6= 0 (x ∈ R ). A função w cumpre as condições (2.2- 2 3

      18) e (2.2-19) para a bola B[0, 2]. Usando os mesmos argumentos da Etapa I conclue-se que isto é impossível.

      

    Etapa III. Finalmente vamos a prova do nosso teorema. Suponhamos que exista u

      contínua mas não possua ponto fixo. Defina a aplicação w : B → ∂B por x − u(x) w (x) := , kx − u(x)k observe que w é uma função contínua pois kx − u(x)k 6= 0 para todo x ∈ B. Note que w (x) é o ponto de ∂B que é atingido pelo vetor de origem x passando por u(x). w (x) u (x)

      Então w(x) = x sobre ∂B, e w é uma função contínua que cumpre (2.2-18) e (2.2-19). Mas isto é uma contradição com a etapa II, portanto u possui um ponto fixo.

      Para futuras aplicações, será necessário uma generalização para conjuntos conve- xos do Teorema do Ponto Fixo de Brouwer.

      

    Definição 2.7. Seja X um espaço topológico não vazio. Dizemos que X tem a propriedade do

    ponto fixo se toda função contínua f : X → X tem um ponto fixo.

      

    Teorema 2.8. Se X tem a propriedade do ponto fixo e X é homeomorfo a Y , então Y tem a

    propriedade do ponto fixo.

      Demonstração: Seja h : X → Y um homeomorfismo e seja g : Y → Y uma função contínua. Assim −1 h ◦ g ◦ h : X → X

      ∈ X é contínua. Logo existe x tal que −1 h ◦ g ◦ h(x ) = x .

      ∈ Y Tome h(x ) = y , então g(y ) = y .

      

    Definição 2.9. Sejam A ⊂ X. Dizemos que A é um retrato de X, se existe uma aplicação

    contínua r : X → A onde r ≡ I sobre A. A função r é chamada retração.

      

    Teorema 2.10. Se X tem a propriedade do ponto fixo e A é um retrato de X, então A tem a

    propriedade do ponto fixo.

      Demonstração: Seja r : X → A uma retração e f : A → A contínua. Logo f ◦ r : X → A ⊂ X é uma função contínua. Assim, de X ter a propriedade do ponto fixo, existe x ∈ X tal

      Agora vamos a generalização. n

      Teorema 2.11. Todo conjunto K ⊂ R

      convexo, fechado, limitado e não vazio tem a proprie- dade do ponto fixo.

      Demonstração: Sendo K limitado, segue que K ⊂ B[0, M] para M > 0 suficientemente grande. Sendo B[0, 1] e B[0, M] homeomorfas, segue do Teorema do Ponto Fixo de Brouwer que B[0, 1] tem a propriedade do ponto fixo e portanto B[0, M] também o possui.

      O teorema 3.23 do apêndice afirma que K é uma retração de B[0, M], e pelo teorema 2.10, K possui a propriedade do ponto fixo.

      

    CAPÍTULO 3

    TEOREMAS DE PONTO FIXO DE SCHAUDER E DE

    SCHAEFER

      Finalizamos nosso trabalho trazendo os teoremas de ponto fixo de Schauder e de Scha- efer. Neste capítulo, X denotará um espaço de Banach real.

    3.1 Teorema do Ponto Fixo de Schauder

      Nesta seção estabeleceremos uma extensão do Teorema do Ponto Fixo de Brouwer para espaços de Banach. Agora a hipótese exigida é compacidade. Esta generalização é devida a Schauder. A ideia agora é aproximar aplicações compactas por aplicações com imagem de dimensão finita.

      Vejamos com um exemplo que para espaços de Banach de dimensão infinita X, uma aplicação A : B[0, 1] → B[0, 1] contínua não necessariamente possui ponto fixo. Considere 2 X 2 l := {x = (x , x , . . .) : kxk = |x i | < ∞} 2 1 2 i =1 e B := B[0, 1] ⊂ l 2 . Defina A : B → B por p 2 A[x] := 1 − kxk , x , x , . . . 1 2

      Note que 2 2 p 2 X 2 2 2 kA[x]k = |x i | ) + kxk = 1. 1 − kxk = (1 − kxk + i =2 −1 Logo, A está bem definida. n n n n Para a continuidade de A, seja x = (x , x , . . .) ∈ B tal que x → x . Então 1 2 2 ! n 2 p p n 2 2 X n 2 kA[x k − |x − x | 2 + ] − A[x]k = 1 − kx 1 − kxk i −1 i =2 i −1 p p n 2 2 n 2 n = 1 − kx k − 1 − kxk + kx − xk . 2 Assim, kA[x ] − A[x]k → 0 quando n → ∞, logo A é contínua. Suponha que A possua um ponto fixo x ∈ B, assim p 2 (x , x , x , . . .) = x = A[x] = 1 − kxk , x , x , . . . . 1 2 3 1 2 p 2 Então x = 1 − kxk e x i = x i para todo i = 1, 2, . . . 1 +1

      Logo, 2 2 2 1 = kA[x]k = kxk = 1 − (x ) 1 então x = 0 e x = (0, 0, . . .). Mas A[x] = (1, 0, 0, . . .) 6= (0, 0, . . .) = x, o que é uma 1 contradição. Portanto A não possui ponto fixo.

      Para demonstração do Teorema do Ponto Fixo de Schauder precisamos de alguns resultados auxiliares.

      } ⊂ X.

      }

      Definição 3.1. Seja Y = {u 1 , . . . , u n Chamamos por envoltória convexa de {u 1 , . . . , u n

      o conjunto ( ) n n

      X X conv (Y ) := λ i u i : 0 ≤ λ i ≤ 1, λ i = 1 . i i =1 =1 A envoltória convexa de um conjunto Y = {u , . . . , u n } é um conjunto fechado e é 1 o menor convexo que contém Y . De fato, seja {v k } uma sequência de pontos de conv (Y ) que converge para v ∈ X. n n k =1

      X k k k

      X k Temos que v k = λ u i com 0 ≤ λ ≤ 1 e λ = 1 para todo k ∈ N. Como {λ } i i i k 1 =1 k

      ⊂ N λ = λ ≤ 1 isto é, existe J k 1 infinito tal que lim k ∈J 1 1 1 com 0 ≤ λ 1 . Considerando agora a k sequência {λ } k 2 ∈J 1 real limitada, temos que existe J ⊂ J infinito tal que lim λ = λ e 2 1 k ∈J 2 2 2 0 ≤ λ ≤ 1 . Continuando esse raciocínio obtemos um conjunto J ⊂ J i infinito, tal que 2 n n k X k

      X ≤ 1 k ∈J lim λ = λ i com 0 ≤ λ i . Da seguinte igualdade λ = 1 obtemos que λ i = 1. i n i i =1 =1 i

      X Defina então v = λ i u i ∈ conv (Y ) . i =1 Temos que v = v . Com efeito, dado ǫ > 0 existe N ∈ N tal que se k ∈ J e k > N, então

      ǫ ǫ k kv k − vk < e |λ − λ i | < para i = 1, . . . , n. i 2 2(ku k + . . . + ku n k) 1 Assim, ∗ ∗ 0 ≤ kv − v k ≤ kv − v N k + kv N − v k ǫ N N

      < + |λ − λ |ku k + . . . + |λ − λ n |ku n k 1 1 1 n

      2 < ǫ.

      Portanto v = v e conv (Y ) é fechado.

      Claramente Y ⊂ conv (Y ) e dados u, v ∈ conv (Y ) temos que n n

      X X k u = λ i u i com 0 ≤ λ i ≤ 1 e λ = 1 i i =1 =1 i e também n n

      X X k ≤ 1 v = β i u i com 0 ≤ β i e β = 1. i =1 i =1 i

      Assim, para 0 ≤ t ≤ 1 temos n n

      X X (1 − t)u + tv = (1 − t) λ i u i + t β i u i n i i =1 =1

      X = [(1 − t)λ i + tβ i ]u i i =1 n

      X = ξ i u i , i =1

      = [(1 − t)λ + tβ ] onde ξ i i i com n n n

      X X

      X i i i =1 =1 =1 ξ i = (1 − t) λ i + t β i = (1 − t) + t = 1.

      Logo (1 − t)u + tv ∈ Y c e, portanto, conv (Y ) é convexo.

      Para completar nossa afirmação, vamos mostrar que conv (Y ) é o menor convexo que contém Y . Suponha por absurdo que exista Y ⊂ C conv (Y ) com C convexo. Então existe u ∈ conv (Y ) \ C, assim u é uma combinação convexa dos elementos de Y . Devemos mostrar que u ∈ C, o que será feito por indução. Se n = 1 o resultado é óbvio. Suponhamos que o resultado é válido para n − 1 e provemos para n. Considere n n

      X X u = λ i u i com 0 ≤ λ i ≤ 1 e λ i = 1. i i =1 =1 n −1

      X Se λ n = 1, então u = u n ∈ C , caso contrário λ i > 0 e então i =1 ! !

      λ λ n 1 −1 v = u + . . . + u n n n 1 −1 P −1 P −1 i i =1 =1 λ i λ i n −1

      X pertence a C por hipótese. Como u n ∈ C , para t = λ i da convexidade de C temos i =1 que n

      X tv + (1 − t)u n = λ i u i = u ∈ C. i =1 Portanto conv (Y ) é o menor convexo que contém Y .

      Para futuras aplicações, definimos o casco convexo de convexo de um conjunto qualquer Y ⊂ X.

      

    Definição 3.2. Seja Y ⊂ X chamamos por envoltória convexa de Y , e denotamos por conv (Y )

    , o menor convexo que contém Y .

      Segue um importante resultado sobre envoltória convexa de conjuntos compactos, sua demonstração pode ser encontrada em [2] capítulo 5 teorema 5.35.

      

    Teorema 3.3. Em um espaço métrico localmente convexo, o fecho da envoltória convexa de um

      Este teorema abrange os espaços de Banach com a topologia proviniente da norma.

      Notação : Para ε > 0 fixo, denotamos n

      [ Y ε := B(u i , ε) i =1 e definimos para i = 1, . . . , n a aplicação ω i : Y ε → R por

      ω i [u] := max{0, ε − ku − u i k}. Note que cada ω i é contínua.

      Seja agora K ⊂ X um subconjunto compacto e convexo. Para ε > 0 fixo, seja Y = {u , . . . , u } 1 N ε um subconjunto de K tal que N ε

      [ K ⊂ B(u i , ε) = Y ε . i =1 Isto é possível pois K é compacto. Como K é convexo, Y ⊂ K e conv (Y ) é o menor convexo que contém Y , segue que conv (Y ) ⊂ K.

      A projeção de Schauder é a aplicação P ε : K → conv (Y ) definida por N P ε i =1 ω i [u]u i P ε [u] := .

      P n i =1 ω i [u] Notemos que a projeção de Schauder está bem definida pois se u ∈ Y ε , então u ∈ N ε

      X B(u i , ε) e assim 0 < ε − ku − u i k = ω i [u]

      e, portanto, ω i [u] > 0 . Notando que cada i =1 P ε [u] é combinação convexa dos elementos de Y , segue que P ε [u] ∈ conv (Y ) .

      

    Lema 3.4. Seja K ⊂ X um subconjunto compacto e convexo. A projeção de Schauder definida

      acima é contínua e ainda mais, para todo u ∈ K temos ku − P ε [u]k < ε. (3.1-1) Demonstração: N ε u ∈ K temos N ε P N ε

      X ω[u] ω i [u]u i i =1

      1 ku − P [u]k = u − = ω[u]u − ω [u]u ε i i ω[u] ω[u] ω[u] N N N ε ε ε i =1

      X X

      X

      1

      1 = ω i [u]u − ω i [u]u i = ω i [u](u − u i )

      ω[u] ω[u] N ε i i i =1 =1 =1

      X

      1

      1 ≤ k < ω i [u]ku − u i ω[u]ε = ε.

      ω[u] ω[u] i =1 Agora estamos com as ferramentas necessárias para demonstração do teorema.

      

    Teorema 3.5 (Teorema do Ponto fixo de Schauder). Suponha que K ⊂ X é compacto e

      convexo, e assuma que A : K → K é contínua. Então A possui um ponto fixo.

      Demonstração: Fixe ε > 0. Como K é compacto e convexo, seja Y = {u , . . . , u N } um subconjunto 1 ε de K tal que conv (Y ) ⊂ K ⊂ Y ε . Considere a projeção de Schauder P ε : K → conv (Y ) definida anteriormente.

      Defina agora o operador A ε : conv (Y ) → conv (Y ) por A ε [u] := P ε [A[u]] (u ∈ conv (Y )).

      Temos que A ε é contínua pois é a composição de contínuas. E desde que conv (Y ) é convexo e fechado como também limitado, pois conv (Y ) ⊂ K e K é compacto, e sendo um subconjunto de um subespaço vetorial de dimensão finita, contido em span{u , . . . , u N ε } , segue que conv (Y ) é homeomorfo a algum conjunto convexo, fe- 1 m chado e limitado Z ⊂ R para algum m ≤ u N ε . Segue dos teoremas 2.8 e 2.11 do capítulo 2 que existe u ε ∈ conv (Y ) satisfazendo

      A ε [u ε ] = u ε . (3.1-2)

      ∞

      } cumprindo (3.1-2). Isto define uma sequência {u k em K, sendo compacto, existe k =1 uma subsequência {u k } e um ponto u ∈ K com u k → u . j j j =1 Assim, pelo lema 3.4 temos

      1 ku k − A[u k ]k = kA k [u k ] − A[u k ]k = kP k A[u k ] − A[u k ]k < . j j j j j j j j k ] → A[u] k j Como A é contínua segue que A[u j e a desigualdade acima implica que u = A[u] .

      

    Corolário 3.6. Seja C ⊂ X um subconjunto convexo e fechado. Se A : C → C é uma aplicação

    contínua e A [C] ⊂ K ⊂ C, onde K é um conjunto compacto. Então A possui um ponto fixo.

      Demonstração: Sendo K compacto, existe Y = {u , . . . , u N } ⊂ K, tal que A [C] ⊂ K ⊂ Y ε . Uma vez 1 ε que C é convexo temos que conv (Y ) ⊂ C. Seja projeção de Schauder P ε : K → conv (Y ) e considere A ε : conv (Y ) → conv (Y ) por A ε [u] := P ε [A[u]] (u ∈ conv (Y )).

      Prosseguindo de modo análogo a demonstração do teorema do ponto fixo de Schauder } obtemos que A ε tem um ponto fixo u ε . Isto define uma sequência {u k em C com a k =1 sequinte propriedade

      1 ku k − A[u k ]k = kA k [u k ] − A[u k ]k = kP k [A[u k ]] − A[u k ]k < . k ]} k k ] → u

      Como {A[u é uma sequência em K, podemos assumir que A[u em K, a k =1 desigualdade acima implica que u k → u , como C é fechado, u ∈ C. Como A é contínua segue que A[u] = u.

    3.2 Teorema do Ponto Fixo de Schaefer

      

    Definição 3.7. Uma aplicação A : X → X é chamada compacta se para toda sequência limi-

    k } k ]} ∞ ∞ tada {u a sequência {A[u possui uma subsequência convergente em X. k k =1 =1 Teorema 3.8 (Teorema do Ponto Fixo de Schaefer). Suponha que

      A : X → X seja uma aplicação contínua e compacta. Assuma ainda que o conjunto Y = {u ∈ X : u = λA[u] para algum 0 ≤ λ ≤ 1}

      é limitado. Então, A tem um ponto fixo. Demonstração:

      Sendo Y limitado, seja M > 0 uma cota superior de Y , isto é, kuk < M se u = λA[u] para algum 0 ≤ λ ≤ 1 (3.2-3) Defina à : X → X por

       

      A[u] se kA[u]k ≤ M 

      Ã[u] := (3.2-4)

      M A[u]  se kA[u]k ≥ M.  kA[u]k

      } Sendo A compacta segue que à é compacta. Com efeito, seja {u k uma sequência k =1 limitada em X, seja {A[u k ]} convergente para v ∈ X. Se kvk > M, existe N ∈ N tal j j =1 M v que kA[u k ]k > M se j > N, assim a subsequência {Ã[u k ]} converge para ∈ X . j j j>N kvk

      ]} Se kvk < M de modo análogo temos que existe N ∈ N tal que {Ã[u k j converge j>N para v ∈ X. Agora, se kvk = M, temos que deve existir uma subsequência {A[u k ]} jn =1 n de tal modo que kA[u k ]k < M , kA[u k ]k > M ou kA[u k ]k = M para todo n ∈ N. Os jn jn jn dois primeiros casos recaem nos anterios, para o terceiro basta notar que A[u] = Ã[u].

      Note que Ã[X] ⊂ B[0, M], assim podemos considerar à : B[0, M] → B[0, M]. Seja

      Afirmamos que K é compacto e convexo. Com efeito, vamos mostrar a priori que Ã[B[0, M]] é compacto. Isto segue sem dificuldades observando que se à é uma aplicação compacta, então toda sequência em Ã[B[0, M]] possui uma subsequência convergente, pois a pré imagens formam uma sequência limitada.

      Sendo Ã[B[0, M]] compacto, seque do teorema 3.3 que K é um conjunto compacto. A convexidade de K segue por ser o fecho de um conjunto convexo.

      Considere à | K : K → K . Como K é compacto e convexo, sendo à contínua, segue do Teorema do Ponto Fixo de Schauder que existe um ponto u ∈ K tal que Ã[u ] = u (3.2-5)

      Afirmamos agora que u é um ponto fixo de A. Suponhamos o contrário, isto é, u 6= A[u ] . Logo kA[u ]k > M, pois se kA[u ]k ≤ M teríamos por (3.2-4) e (3.2-5) que u = Ã[u ] = A[u ] .

      Assim, de acordo com a definição de à temos M A[u ] M u = = λA[u ] < 1. para λ = (3.2-6) kA[u kA[u

      ]k ]k Mas,

      M A[u ] ku k = k Ã[u ]k =

      = M, kA[u ]k o que é uma contradição com (3.2-3) e (3.2-6).

      Para algumas aplicações é conveniente termos um resultado que é uma variação do teorema acima.

      

    Teorema 3.9 (Teorema de ponto fixo para conjuntos convexos). Seja K um subconjunto

      convexo de um espaço de Banach X, com 0 ∈ K. Se A : K → K é uma aplicação contínua e compacta para o qual o conjunto

      é limitado, então A tem um ponto fixo.

      Para provar este teorema, basta fazer uma leve modificação na demonstração acima. Observando que se 0 ∈ K então K ∩ B[0, M] é não vazio e convexo para todo M > 0, assim podemos considerar à : K ∩ B[0, M] → K ∩ B[0, M]. Como K ∩ B[0, M] é con- vexo, o fecho do menor conjunto convexo que contém Ã[K ∩ B[0, M]] está contito em K ∩ B[0, M ] , e o resultado segue de modo análogo.

    3.3 Aplicações

      p Para as apliacações precisamos de alguns fatos dos espaços L e espaços de Sobolev.

      As integrais que aparecem nesta seção são as integrais de Lebesgue. n

      

    Teorema 3.10 (Teorema da Convergência Dominada). Seja U ⊂ R um aberto, e p ∈

      [1, +∞), n } e {f uma sequência de funções mensuráveis com domínio em U. Suponhamos que p {f n }

      (U ) n (x)| ≤ g(x) converge quase sempre para f, e exista uma função g ∈ L tal que, |f para todo x ∈ U − Z, onde Z é um conjunto de medida nula. Então cada f n assim como f p p (U ) n → f (U ). pertencem a L e f em L

      

    Corolário 3.11. Dada f ∈ C(R) tal que |f(t)| ≤ α(1 + |t|) onde α > 0. Então a aplicação

    2 2 u 7−→ f (u) é contínua de L (U ) em L (U ).

      

    Aplicação 3.12 (Equação Elíptica Semilinear). Vamos estudar a equação diferencial semili-

      near com a forma  

      − △ u = f (u) em U (3.3-7)

       u = 0 sobre ∂U, onde U é limitado com fronteira suave e f : R → R uma função dada. n

      Teorema 3.13. Seja U ⊂ R

      um aberto, limitado e com fronteira suave, e f ∈ C(R) uma 1 (U ), função limitada. Então o problema de contorno 3.3-7 tem uma solução fraca u ∈ H isto é, a seguinte igualdade

      Z Z U U Du · Dφ dx = f (u)φ dx é válida para toda função teste φ ∈ C (U ).

      2 2

      (U ) → L (U ) Defina a aplicação A : L por, −1 A(u) := (−△) (f (u)) .

      Nosso objetivo é mostrar que A se encaixa nas hipóteses do teorema do ponto fixo de Schauder, obtendo assim um ponto fixo que será a solução fraca desejada.

      A é uma aplicação contínua. O corolário 3.11 garante que u 7−→ f(u) é contínua 2 −1 de L (U ) nele mesmo. O corolário 3.38 do apêndice, afirma que (−△) é contínua de 2 1 2 L (U ) em H (U ) , que pode ser imerso contínuamente em L (U ) pela proposição 3.35.

      Portanto A é uma aplicação contínua.

      Vamos encontrar um conjunto não vazio K fechado e convexo tal que A : K → K. 2 Dada u ∈ L (U ) , temos que A(u) satisfaz Z Z 2 2 2 2 U U kDA(u)k dx = A(u)f (u) dx ≤ kf k kA(u)k ≤ a|U |kA(u)k (3.3-8) L (U ) L (U ) L (U ) pela desigualdade de Cauchy-Schwarz, onde a é tal que |f(x)| ≤ a (∀x ∈ R) . A desi- gualdade de Poincaré nos dá 2 2 2 2 2 kA(u)k ≤ CkDA(u)k ≤ a|U |CkA(u)k L L (U ) L (U ) 2 (U ) 2 para alguma constante C. Seja r := a|U|C e escolha K := {u ∈ L (U ) : kuk L ≤ r}. (U ) Então A : K → K.

      Vamos provar agora que A(K) está contido em algum compacto. Aplicando nova- mente a desigualdade de Poincaré do lado direito de (3.3-8) obtemos 2 2 2 kDA(u)k ≤ CkDA(u)k L L (U ) (U ) 2 ≤ C para alguma constante C. Assim kA(u)k L , isto implica que A(K) é limitado em 1 (U ) 1 2 H (U )

      (U ) (U ) pelo corolário 3.40 do apêndice. E uma vez que a imersão de H em L está contida em algum compacto, segue que A(K) está contido em algum compacto.

      Uma vez que K é convexo e fechado, A é contínua e A(K) está contido em algum compacto segue do corolário do teorema do ponto fixo de Schauder que A tem um 1

      

    Aplicação 3.14. Vamos agora aplicar o Teorema de Schaefer para provar a existência de solução

      de um problema elíptico de valores de fronteira quasilinear  

      − △ u + g (Du) + µu = 0 em U (3.3-9)

       u = 0 sobre ∂U, n → R onde U é aberto, limitado com fronteira suave e g : R uma função suave e Lipschitz. n

      Sendo g uma função Lipschitz, temos que para todo p ∈ R |g(p)| ≤ C (kpk + 1) , (3.3-10) para alguma constante C. 2 1 Teorema 3.15. Se µ > 0 é suficientemente grande, existe uma função u ∈ H (U ) ∩ H (U ) solução fraca do problema de valor de fronteira (3.3-9).

      Demonstração: 1 Dada u ∈ H , defina f := −g (Du) . (3.3-11) 2 (U )

      Devido a estimativa (3.3-10), temos que f ∈ L . Pela proposição 3.37 do apêndice, 1 temos que existe w ∈ H (U ) que é a unica solução para o problema linear  

      − △ w + µw = f em U (3.3-12)

       w = 0 sobre ∂U. 2 Pela teoria da regularidade, olhar [5], temos que w ∈ H (U ) , com a estimativa 2 2 kwk ≤ K kf k , (3.3-13) H (U ) L (U ) para alguma constante K. 1 1 2 Assim, fica bem definida a aplicação A : H (U ) → H (U ) ∩ H (U ) dada por Logo de (3.3-10) e (3.3-13) segue a desigualdade 2 2 2 2 kA[u]k H = kwk H ≤ K kf k = K k−g (Du)k (U ) (U ) L L (U ) (U ) 2 1 ≤ k kDuk kuk L + 1 = k H + 1 , (3.3-14) (U ) (U ) onde k = KC > 0.

      Note que, se A tiver um ponto fixo, então esse ponto fixo será a solução procurada do problema (3.3-9). Para provar a existência de tal ponto fixo, utilizaremos o Teorema 1 1 do Ponto Fixo de Schaefer. Vamos mostrar que A : H (U ) → H (U ) se enquadra das hipóteses do teorema. 1 Com efeito, se u k → u em H (U ) , então u k é limitada por uma constante M > 0, assim por (3.3-14) nós temos 2 2 1 kA[u k ]k = kw k k ≤ k ku k k + 1 ≤ k (M + 1) . H (U ) H (U ) H (U )

      Logo, 2 kw k sup k H < ∞. (3.3-15) k (U ) 1 Portanto existe uma subsequência {w k } e uma função w ∈ H (U ) tal que j j =1 1

      → w w k j em H (U ). (3.3-16) Agora,

      Z Z 1 U U Dw k · Dv + µw k v dx = − g Du k v dx j j j para todo v ∈ H (U ). Como g é contínua, de u k → u e por (3.3-16) temos que j Z Z 1 U U (Dw Dv + µwv) dx = − g (Du) v dx · (U ). para todo v ∈ H Assim w é a solução fraca de (3.3-12) e A[u] = w , portanto A é contínua.

      } Para mostrar que A é compacta, basta observar que se {u k é uma sequência limi- 1 k =1 tada em H (U ) , temos então que (3.3-15) também é satisfeita, e prosseguindo de modo 1

    • µkuk
    • 2 dx = − Z U<
    • εb
    • 2<
    • Ckuk
    • 2

        2C

        C(C + 1)

        2 Z U kDuk 2 dx + K Z U kuk 2 + 1 dx, (3.3-18) onde K =

        1

        2 dx ≤

        2

        (C + 1)kuk 2

        2 Z U kDuk 2 dx + Z U C

        1

        2 dx =

        2

        Ckuk 2

        2 Z U kDuk 2 dx + Z U C

        1

        2

        Z U C |Duk 2

        2 é uma constante que não depende λ. Então, subtraindo os termos em (3.3-18) se µ for suficientemente grande obtemos Z Z Z 2 1

        Z U λC (kDuk + 1) kuk dx

        Finalmente vamos mostrar que se µ é suficientemente grande, então o conjunto Y = {u ∈ H 1 (U ) : u = λA[u] para algum 0 ≤ λ ≤ 1}

        é limitado em H 1 (U ) . Assuma que u ∈ H 1 (U ) é tal que u = λA[u] para algum 0 &lt; λ ≤ 1.

        Então u λ

        = A[u] , isto é, u ∈ H 2 (U ) ∩ H 1 (U ) e − △ u + µu = −λg(Du) em U.

        Multiplicando essa igualdade por u e integrando sobre U, obtemos que Z U kDuk 2

        λg(Du)u dx ≤

        ≤ Z U

        Z U kDuk 2 + µkuk 2 dx ≤

        C (kDukkuk + kuk) dx. (3.3-17) Aplicando a desigualdade ab ≤ a 2

        2ε

        2 (ε &gt; 0) com a = kDuk, b = kuk e ε = C temos que kDukkuk ≤

        |Duk 2

        2C

        2 , substituindo em (3.3-17) temos,

      • Ckuk
      • 2<
      • kuk dx ≤
      • kuk
      • 21

        1 2 2 kuk ≤ kDuk dx + (µ − K) kuk dx ≤ K 1 dx = K|U |, H (U )

        2 U U U e portanto Y é limitado. 1 Aplicando o Teorema do Ponto fixo de Schaefer com X = H (U ) , concluímos que 1 2 A tem um ponto fixo u ∈ H (U ) ∩ H (U ) que é solução fraca do problema de contorno (3.3-9).

        

      APÊNDICE

      3.4 Análise Real

        n Nesta seção U ⊂ R sempre será um conjunto aberto e k ∈ {1, 2, . . .}. k Definição 3.16. Dizemos que a fronteira ∂U é de classe C ∈ ∂U n k −1 se para todo x existe r &gt; 0

        → R e uma função γ : R de classe C tal que (reorientando os eixos se necessário) temos U ∩ B(x , r) = {x ∈ B(x , r) : x n &gt; γ(x k 1 , . . . , x n −1 )}. A fronteira é dita de classe C se ∂U é C para k = 1, 2, . . . 1 Definição 3.17. (i) Se ∂U é C , então ao longo de ∂U é definido o campo de vetores normais apontado para fora

        ν = (ν , . . . , ν n ) 1 ∈ ∂U ) = ν = (ν , . . . , ν ) o vetor normal unitário de um ponto x é ν(x 1 1 n .

        (ii) Seja u ∈ C (U ) . Chamamos ∂u

        := νDu ∂ν (apontando para fora) de derivada normal de u.

        

      Teorema 3.18 (Teorema de Gauss-Green). Suponhamos que U seja limitado e que ∂U seja

      1 C

        :

        1

        (U ) (i) Se u ∈ C . Então

        Z Z i U ∂U u x dx = uν dS (i = 1, . . . , n). i (ii) Temos

        Z Z 1 n U ∂U div u dx = u ν dS. para cada campo de vetores u ∈ C (U , R ) .

        O item (ii) é chamado de Teorema da Divergêcia. 2 Teorema 3.19 (Fórmula de integração por partes). Seja u, v ∈ C (U ) . Então Z Z Z i U U ∂U u x vdx = − uv x dx + uvν dS. i i

        

      Teorema 3.20 (Desigualdade de Gronwall). Seja ξ(t) não negativa, somável sobre [0, T ] e

        cumpra para quase todo t a desigualdade t Z

        ξ(t) ≤ C ξ(s)ds + C 1 2 para constantes C , C ≥ 0 . Então 1 2 C 1 t ξ(t) ≤ C 1 + C te 2 1 para quase todo t ∈ [0, T ]. Em particular, se

        Z t ξ(t) ≤ C 1 ξ(s)ds para quase todo t. Então

        ξ(t) = 0 q.s.

      3.5 Análise Funcional

        

      Teorema 3.21 (Projeção sobre um convexo fechado). Sejam X um espaço de Hilbert e

        K ⊂ X tal que kx − u(x)k = min kx − vk. (3.5-19) v ∈K Ainda mais, u(x) se caracteriza por

          u(x) ∈ K

        (3.5-20)  hx − u(x), v − u(x)i ≤ 0 ∀v ∈ K.

        Dizemos que u(x) é a projeção de x sobre K.

        Proposição 3.22. Com as mesmas hipóteses do teorema acima, verifica-se ku(x) − u(y)k ≤ kx − yk ∀x, y ∈ X.

        Demonstração: Como u(x), u(y) ∈ K temos de 3.5-20 que hx − u(x), u(y) − u(x)i ≤ 0 hy − u(y), u(x) − u(y)i ≤ 0, somando essas desigualdades temos hy − x + u(x) − u(y), u(x) − u(y)i ≤ 0

        =⇒ hu(x) − u(y), u(x) − u(y)i ≤ hx − y, u(x) − u(y)i 2 =⇒ ku(x) − u(y)k ≤ kx − ykku(x) − u(y)k.

        O que prova o resultado. n n Teorema 3.23. Todo conjunto K ⊂ R convexo, fechado e não vazio é uma retração do R .

        Demonstração: n Considere a aplicação u : R → K definida no teorema 3.21, pela proposição 3.22 ela é contínua, é por 3.5-20 temos que se x ∈ K então 2

        Então n u(x) = x.

        E portanto K é uma retração do R .

        

      Definição 3.24. O suporte de uma função f : Ω → R é o conjunto supp(f) = {x ∈ Ω : f(x) 6= 0} .

        Uma função f é dita ter suporte compacto se o conjunto supp(f) é compacto. Note que o suporte é sempre um conjunto fechado, assim, o suporte é compacto se e somente se é limitado. Denote o conjunto de todas as funções suaves com suporte compacto por

        C . As vezes vamos chamar a função φ pertencente a C de função teste. 1 n p n

        Definição 3.25. Sejam f ∈ L (R ) (R )

        e g ∈ L com 1 ≤ p ≤ +∞. A convolução de f por g é definida por

        Z n (f ∗ g)(x) = f (x − y)g(y)dy. R n Seja U ⊂ R um conjunto aberto e ǫ ≥ 0, escrevemos U ǫ = {x ∈ U | dist(x, ∂U ) ≥ ǫ}. n Temos que U ǫ é um subconjunto aberto de R . n

        Definição 3.26. (i) Seja η ∈ C (R )

        dada por 

        1  

        C exp se kxk &lt; 1 2 kxk − 1 η(x) =

          se kxk ≥ 1

        Z −1 Z

        1 exp dx η(x)dx = 1 onde C := é tomado para . 2 n B (0,1) kxk − 1 R

        (ii) Para todo ǫ ≥ 0 , seja 1 x η ǫ (x) = η . n

        ǫ ǫ ∈ C

        Chamamos η de função de mollifiers. A função η ǫ satisfaz as seguintes propri- edades: Z η ǫ (x)dx = 1 e supp(η ǫ ) ⊂ B(0, ǫ).

        ǫ

        : U → R

        Definição 3.27. Seja f : Ω → R uma função contínua e ǫ &gt; 0, defina f ǫ por ǫ

        f (x) := (η ǫ ∗ f )(x) isto é, ǫ Z Z f (x) = η ǫ (x − y)f (y)dy = η ǫ (y)f (x − y)dy. U B (0,ǫ) Para a segunda igualdade usamos a mudança de variável y → x−y e a propriedade de que supp(η ǫ ) ⊂ B(0, ǫ) . Observe ainda que , se y ∈ B(0, ǫ) e x ∈ U ǫ então x − y ∈ U, logo as integrais acima fazem sentido.

        Teorema 3.28. Propriedades de mollifiers. ǫ

        ∈ C (U ǫ ) (i) f ǫ

        → f (ii) f se ǫ → 0 ε (iii) f converge uniformemente sobre subconjuntos compactos contido em U.

        Demonstração: i.Fixe x ∈ U ǫ e i ∈ {1, . . . , n} . Como U ǫ é aberto, seja h ∈ R suficientemente pequeno de modo que x + he i ∈ U ǫ . Nessa condições temos ǫ ǫ Z

        − y) − η f (x + he i ) − f (x) η ǫ (x + he i ǫ (x − y) = f (y)dy h h U Z

        η ǫ (x + he i − y) − η ǫ (x − y) = f (y)dy V h onde V ⊂ U é um subconjunto compacto. Desde que

        η ǫ (x + he i − y) − η ǫ (x − y) ∂η ǫ h lim = (x − y) →0 h ∂x i e a integral está sendo tomada sobre um conjunto compacto, temos ǫ ǫ ǫ

        ∂f f (x + he i ) − f (x) (x) = lim h →0

        ∂x i h Z

        η ǫ (x + he i − y) − η ǫ (x − y) = lim f (y)dy h →0 V h

        Z ∂η ǫ

        = (x − y)f (y)dy V ∂x i Com um processo de indução e argumentos análogos prova-se que para qualquer multi-índice α tem-se α ǫ α D f = D η ǫ ∗ f.

        Em particular f ∈ C (U ǫ ). ii. De acordo com o Teorema da Diferenciação de Lebesgue

        Z

        1 r →0 lim |f (y) − f (x)| dy = 0 (3.5-21) n vol(B)r B (x,r) n para todo x ∈ U, onde vol(B) é o volume da bola unitária em R . Fixe x ∈ U ǫ , então ǫ Z |f (x) − f (x)| = η (x − y)[f (x) − f (y)] dy B (x,ǫ) ǫ

        Z 1 x − y ≤ |f (y) − f (x)| dy n η

        ǫ ǫ B (x,ǫ) Z

        1 ≤ |f (y) − f (x)| dy −→ 0 vol(B)K n quando ǫ → 0, vol(B)ε B (x,ǫ) onde K é tal que |η| &lt; K. O que prova (ii). iii. Dado V ⊂ U compacto, sendo U aberto, podemos escolher W ⊂ U compacto de modo que V ⊂ W . Sendo f contínua, temos que f é uniformemente contínua sobre

        W . Assim, o limite 3.5-21 detém de forma uniforme para x ∈ V . Consequentemente ǫ → f f uniformemente sobre V . p

      3.6 Epaços L e Espaços de Sobolev

        

      n

      Definição 3.29. Seja p ∈ (0, ∞) e Ω ⊂ R

        . Se f : Ω → R é uma função mensurável, definimos 1 p Z p p p kf k |f (x)| L := dx . (Ω) O Espaço L (Ω) é definido como p p L (Ω) := {f : Ω → R : kf k L &lt; ∞}. n (Ω)

        Definição 3.30. Seja U ⊂ R , . . . , α n )

        um aberto conexo. Seja α := (α 1 um multi-índice.

         n α

        (R ) Para qualquer φ ∈ C defina o operador diferencial D por α 1 α 2 α n α ∂ ∂ ∂ D φ := . . . φ. 1 ∞ ∂x ∂x ∂x n 1 2 Assuma agora que u ∈ C (U ) . Se φ ∈ C (U ) , a fórmula de integração por partes nos dá

        Z Z Z i U U ∂U uφ x i dx = − u x i φ dx + uφν dS Z

        = − u x i φ dx. (3.6-22) U Pois não existe termos na fronteira, desde que φ tem suporte compacto em U, e assim k desaparece perto de ∂U. Mais geralmente, se k é um inteiro positivo, u ∈ C (U ) e α := (α 1 , . . . , α n ) é um multi-índice de ordem |α| = α 1 + . . . + α n = k , então

        Z Z α α α U U uD φdx = (−1) D uφ dx (3.6-23) onde aplicamos a fórmula 3.6-22 |α| vezes. th

        Definição 3.31. Dadas u, v : U → R e α um multi-índice. Dizemos que v é α

      • derivada fraca de u e escrevemos α

        D u = v, se Z Z α α U U uD φdx = (−1) vφ dx (3.6-24)

        (U ) para toda função teste φ ∈ C . th

        Lema 3.32. A α -derivada fraca, se existe, é única a menos de um conjunto de medida nula.

        Demonstração: Assuma que v, w : U → R satisfaçam

        Z Z Z α α α U U U uD φdx = (−1) vφ dx = (−1) wφ dx. Então, Z U (u − w) φ dx = 0 para toda φ ∈ C (U ) , então u = w quase sempre. k,p

        Definição 3.33. O espaço de Sobolev W (U )

        é o conjunto formado por todas as funções

        1

        u : U → R localmente integráveis tal que para cada multi-índice α, com |α| ≤ K, a derivada α p fraca D u existe e pertence a L (U ). k,p Proposição 3.34. O espaço de Sobolev W (U ) é um espaço de Banach. k,p k

      Notação : Se p = 2 usualmente escrevemos W (U ) = H (U ) , note que H (U ) =

      2 ∞ k,p k,p L (U ) . O fecho do conjunto C (U ) em W (U ) é denotado por W (U ) , se p = 2 k 1 denotamos H (U ) . O espaço dos operadores lineares limitados f : H → R é denotado −1 por H (U ) . 1 2 Proposição 3.35. O espaço de Sobolev H (U ) está imerso continuamente em L (U ). 1 Proposição 3.36. O conjunto H (U ) é um espaço de Hilbert com o produto interno

        Z Z hu, vi := Du · Dv dx + uv dx −1 U U 1 Proposição 3.37. Seja g ∈ H (U ) (U ) e µ ≥ 0. Então existe uma única v ∈ H tal que

        − △ v + µv = g em D (U ) e v é a única solução do problema variacional Z Z 1 U U Dv · Dw dx + µ vw dx = hg, wi ∀w ∈ H (U ). −1 1 Além disso, a aplicação g → v é contínua de ∈ H (U ) em ∈ H (U ) . −1 2 1 Corolário 3.38. A aplicação g 7−→ (− △ +µI d ) g = v é contínua de L (U ) para H (U ), isto é, 1 2 kvk ≤ Ckgk L H (U ) (U ) onde C é uma constante que depende de U. 1,p

        Teorema 3.39 (Desigualdade de Poincaré). Se p ∈ [1, +∞) e u ∈ W (U )

        . Então existe uma constante C que depende somente de U e de p, cumprindo

        1

        (U )

        Corolário 3.40. A norma sobre H pode ser definida por 1 2 1 kuk = kDuk L H (U ) (U ) para todo u ∈ H (U ) . Está norma é equivalente a norma definida na proposição 3.36.

        

      REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

      [1] ACKER, F.; DICKSTEIN, F. Uma Introdução à Análise Convexa. IMPA, 1983.

        [2] ALIPRANTIS, C. D.; BORDER, K. C. Infinite Dimensional Analysis: A Hitchhiker’s Guide . 3.ed. Springer, Berlin, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 2006.

        [3] CAVALCANTI, M. M. ; CAVALCANTI, V. N. D. Introdução à Teoreia das Distribui- ções e aos Espaços de Sobolev . Maringá, Eduem, 2009.

        [4] DU BOIS-REYMOND, P. Fortsetzung der Erläuterungen zu den Anfangsgründen der

        o Mathematische Annalen, vol. 15, n 2, 1879, p. 564-576 .

        Variationsrechnung . [5] EVANS, C. L. Partial Diferential Equations. vol. 19, 2.ed. American Mathematical Society, 2010.

        [6] GOLDENSTINE, H. A History of the Calculus of Variations, from 17th through the 19th Century . Springer−Verlag, New York, 1980.

        [7] KREYSZIG, E. Introductory Functional Analysis With Applications. Wiley, 1989. [8] LIMA, E. L. Análise Real: Funções de n Variáveis. vol.2. Rio de Janeiro: IMPA, 2010. [9] LIMA, E. L. Espaços Métricos. Rio de Janeiro: IMPA, 2005. [10] MARTINEZ, A. L. M. Pontos fixos em cones de espaços de Banach e uma equação dife-

        .(Dissertação mestrado), Universidade Estadual de Maringá, rencial de quarta ordem

        [11] NIRENBERG, L. Topics on Nonlinear Functional Analysis. Courant Inst. of Math. Sc., N.Y. University, N-Y, 1974.

        [12] SMITH, Z. Fixed point methods in nonlinear analysis. 2014.

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