Tailson Jeferson Paim dos Santos

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  Universidade Federal da Bahia Instituto de Matem´ atica Curso de P´ os-Graduac ¸˜ ao em Matem´ atica

  Dissertac ¸˜ ao de Mestrado uma caracterizac ¸˜ ao do toro de clifford atrav´ es do ´ındice de Morse

  Tailson Jeferson Paim dos Santos

  Salvador-Bahia Janeiro 2006 uma caracterizac ¸˜ ao do toro de Clifford atrav´ es do ´ındice de Morse

  Disserta¸c˜ ao apresentada ao colegiado do curso de P´ os- Gradua¸c˜ ao em Matem´ atica da Universidade Federal da Bahia, como requisito parcial para obten¸c˜ ao do T´ıtulo de Mestre em Matem´ atica Pura.

  Banca examinadora

  Prof. Dr. Jos´e Nelson Bastos (Orientador) - UFBA Prof. Dr. Isaac Costa L´azaro - UFBA Prof. Dr. Pedro Antonio Hinojosa Vera - UFPB Paim, Tailson Jeferson Uma Caracteriza¸c˜ao do toro de Clifford atrav´es do ´Indice de Morse/ Tailson Jeferson Paim dos Santos; Orientador: Jos´e Nelson Bastos Barbosa.

  — Salvador: UFBA, 2006.

  55 p.

  1. Disserta¸c˜ao (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Departamento de Matem´atica.

  Inclui referˆencias bilbiogr´aficas.

  1. Matem´atica - Teses. 2. Geometria Riemanniana. I.Paim, Tailson Jeferson. II. Barbosa, Jos´e Nelson Bastos. III. T´ıtulo.

  CDD: 510 Este trabalho ´e dedicado com todo carinho aos meus filhos, Tales e Taelen, minha amada es- posa Carla, aos meus pais, meus irm˜aos, amigos e familiares.

  “ A sabedoria n˜ao nos ´e dada; ´e preciso descobri-la por n´os mesmos depois de uma viagem que ningu´em nos pode poupar ou fazer por n´os.” Marcel Proust, escritor francˆ es. Agradecimentos

  A Deus Pai bondoso por todas as gra¸cas e ben¸c˜aos. Por escolher, tra¸car e guiar-me por este caminho me carregando em seus bra¸cos nos momentos mais dif´ıceis, sendo sempre fiel a alian¸ca e aos la¸cos de ora¸c˜ao que nos uni.

  Agrade¸co aos amigos e colegas que fizeram e fazem parte dessa hist´oria, no dia a dia com uma palavra amiga, com um pequeno gesto de aten¸c˜ao, solidariedade no estudo em grupo, motiva¸c˜ao, ora¸c˜oes, pensamentos positivos, colaborando de forma significativa ao meu crescimento profissional e pessoal durante este Mestrado.

  Agrade¸co aos meus pais, Tadeu e Dete, minha esposa, Carla, meus filhos, Taelen e Tales, meus irm˜aos, Taislan e Tielson, testemunhas do empenho e colaboradores diretos para a minha supera¸c˜ao frente as pequenas e grandes dificuldades desta jornada. A todos eles mais que um muito obrigado, um inestim´avel carinho e amor.

  Agrade¸co ao meu orientador Prof. Dr. Jos´e Nelson Bastos Barbosa pela paciˆencia, orienta¸c˜ao e incentivo. A parceria e convivˆencia com esta pessoa al´em de fazer progredir como Matem´atico, me trouxe grandes li¸c˜oes de vida, sobretudo pela sua tranq¨ uilidade e bom humor.

  Agrade¸co mais uma vez a Deus pela hist´oria de vida oferecida a mim neste Mestrado. Pois a minha esperan¸ca vem de Deus, s´o ele ´e minha rocha, minha salva¸c˜ao, minha fortaleza. Jamais vacilarei. Resumo

uma caracterizac ¸˜ ao do toro de clifford

atrav´ es do ´Indice de Morse

n

  Seja M uma hipersuperf´ıcie m´ınima compacta, orient´avel, n˜ao totalmente geod´esica, com o quadrado da norma da segunda forma fundamental constante, imersa na esfera euclidiana

  (n+1)

  unit´aria S (1). Mostraremos que o ´ındice de estabilidade de M ´e maior ou igual a n + 3 e que a igualdade ocorre se, e somente se, M ´e isom´etrica ao Toro de Clifford. Demonstraremos tamb´em o caso em que a dimens˜ao de M , ´e igual a 2. Para esta demonstra¸c˜ao n˜ao faz-se necess´ario que o quadrado da norma da segunda forma fundamental seja constante.

  Palavras-Chave: Operador de Estabilidade, ´Indice de Morse, Toro de Clifford. Abstract

A characterization of the Clifford Torus

in terms of its index de Morse

n

  Let M be a compact orientable minimal hypersurface nontotally geodesic with constant scalar of curvature of the (n + 1) - dimensional sphere. We will show that the index of stability of M it is larger or equal n + 3 and in the lower bounded of the index, M it is isometric to the toro of Clifford.

  KEY-WORDS: Stability operator, index of Morse, Clifford Torus. Sum´ ario

  Resumo vii

  34 3.3 O Espectro de uma Variedade Riemanniana . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  51 Bibliografia

  2 ´e constante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  4.3 Exemplos de ´Indice de Hipersuperf´ıcies onde ||σ||

  49

  44 4.2 Teorema em dimens˜ao n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  4 Teoremas 44 4.1 Teorema em dimens˜ao 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  38

  36 3.4 Transforma¸c˜oes Conformes na Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  31 3.2 ´Indice de Morse de Hipersuperf´ıcies da Esfera . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  Abstract viii

  3 Estabilidade e ´Indice de Morse 31 3.1 Primeira e Segunda Varia¸c˜ao e Estabilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  23

  2 O Toro de Clifford

  10

  4 1.2 Geometria das Subvariedades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  1 Preliminares 4 1.1 Variedades Riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  1

  Introdu¸c˜ ao

  53 Introdu¸c˜ ao

  Dentre as subvariedades, aquelas que tˆem r-curvatura m´edia seccional constante de- sempenham um papel especial. Elas incluem, em particular, as subvariedades m´ınimas, que tem rela¸c˜oes com a tens˜ao superficial e com problemas de engenharia estrutural.

  As superf´ıcies m´ınimas s˜ao solu¸c˜oes de um problema variacional de minimiza¸c˜ao de ´area no sentido de que estas s˜ao caracterizadas como os pontos cr´ıticos da fun¸c˜ao ´area para certas varia¸c˜oes. Em outras palavras, para qualquer varia¸c˜ao, a primeira derivada da fun¸c˜ao ´area se anula no parˆametro correspondente a superf´ıcie. Uma superf´ıcie m´ınima com bordo ´e dita est´avel se para toda varia¸c˜ao normal que fixa seu bordo, a segunda derivada da fun¸c˜ao ´area no parˆametro que est´a associada a superf´ıcie ´e positiva. Dizemos que uma superf´ıcie m´ınima com bordo ´e inst´avel se, para alguma varia¸c˜ao normal, a segunda derivada ´e negativa.

  Em 1887, H. Schwarz deu uma primeira contribui¸c˜ao importante para o estudo da estabilidade com o seguinte resultado:

3 Teorema (H.Schwarz[Sc]). Sejam S uma superf´ıcie m´ınima e D

  ⊂ R ⊂ S um dom´ınio limitado. Suponha que a curvatura Gaussiana K de S n˜ao se anula em D, que a aplica¸c˜ao de Gauss N de S ´e biun´ıvoca em D, e que a imagem esf´erica N (D) est´a estritamente contida em

  2

  3 .

  um hemisf´erio aberto da esfera unit´aria S (1) Ent˜ao D ´e est´avel.

  ⊂ R Nas d´ecadas de 70 e 80 do s´eculo XX, J.L.Barbosa e M.P. do Carmo obtiveram um resultado que representou uma forte generaliza¸c˜ao ao teorema de estabilidade de Schwarz, sem restri¸c˜oes sobre a aplica¸c˜ao de Gauss e substituindo, no Teorema de Schwarz, a hip´otese de

2 N (D) esta contido em um hemisf´erio de S (1) por uma condi¸c˜ao sobre a ´area de N (D).

  2

  3 Teorema (Barbosa - do Carmo,[B-C 1]). Sejam S uma superf´ıcie m´ınima e D

  ⊂ R ⊂ S um dom´ınio limitado. Se ´area (N (D)) < 2π, ent˜ao D ´e est´avel.

  Com o advento das variedades Riemannianas o problema acima descrito ´e generalizado

  n+1

  para as imers˜oes isom´etricas de hipersuperf´ıcies m´ınimas em uma forma espacial Q com

  c

  c = −1, 0, 1, ou seja, espa¸cos com curvatura seccional constante.

  n n+1

  Seja φ : M (1) uma imers˜ao isom´etrica de uma variedade Riemaniana M, → S

  n+1

  compacta, orient´avel e de dimens˜ao n, na esfera euclidiana unit´aria S (1). Se φ ´e m´ınima e

  2

  2

  2

  ≤ ||σ|| ≤ n, J. Simons [S] provou que ||σ|| ≡ 0 ou ||σ|| ≡ n. Posteriormente, S.Chen, M.do

  n+1

  Carmo e S.Kobayashi [Ch-DoC-K] mostraram que uma hipersuperf´ıcie m´ınima de S com n √

  − k

  2 k

  2 n−k 2 .

  (r) ( 1 ), r = Estes resultados so- ||σ|| ≡ n ´e um toro de Clifford m´ınimo S × S − r n mados ao comportamento do operador de estabilidade da imers˜ao das hipersuperf´ıcies m´ınimas da esfera nos induz a uma caracteriza¸c˜ao do toro de Clifford atrav´es do ´ındice de Morse.

  Nesta disserta¸c˜ao estudaremos o toro de Clifford entre as hipersuperf´ıcies da esfera, m´ınimas, compactas, orient´aveis, com o quadrado da norma da segunda forma fundamental constante, em termos do ´ındice de Morse. Objetivamos estimar o ´ındice de estabilidade para estas hipersuperf´ıcies m´ınimas n˜ao totalmente geod´esicas e caracterizar o toro de Clifford como o limite inferior do ´ındice dessas hipersuperf´ıcies.

  Esta disserta¸c˜ao ´e baseada nos artigos de: Francisco Urbano, Minimal surfaces with low index in the three-dimensional Sphere e Guadalupe, Aldir Brasil Junior, J.A Delgado, A Characterization of the Clifford torus.

  Enuciaremos agora os resultados principais dessa disserta¸c˜ao. Primeiramente para o caso de dimens˜ao 2, obtido por Francisco Urbano [Urb] e em seguida para dimens˜ao n, obtido por Aldir Brasil J´ unior, Guadalupe e J.A.Delgado [ABJ- G - J.A.Del]:

  

Teorema 4.1 (Francisco Urbano). Seja M uma superf´ıcie m´ınima, compacta,orient´avel,

  3

  n˜ao totalmente geod´esica em S (1). Ent˜ao ind(M ) ≥ 5, e a igualdade se verifica se e somente se M ´e o Toro de Clifford.

  n

Teorema 4.2 (Aldir Brasil - Guadalupe - J.A.Delgado). Seja M uma hipersuperf´ıcie

  m´ınima compacta, orient´avel n˜ao totalmente geod´esica com o quadrado da norma da segunda

  3 n+1 n

  forma fundamental constante em S (1). Ent˜ao ind(M ) ≥ n + 3, e a igualdade se verifica se

  √

  n

  1

  2 n−1

  e somente se M ´e o Toro de Clifford S ( 1 ) (r).

  − r × S

  2 Observa¸c˜ ao 4.2. Para dimens˜ao n faz-se necess´ario assumir que ´e constante para provar

  ||σ||

  2 .

  que f ´e autofun¸c˜ao de

  v

  −||σ|| Esta disserta¸c˜ao ´e dividida em quatro cap´ıtulos. No cap´ıtulo 1, apresentaremos defini¸c˜oes e resultados b´asicos relacionados a geometria das variedades e subvariedades Rie- mannianas, al´em de fixar a nota¸c˜ao que ser´a utilizada no decorrer do trabalho.

  Veremos no cap´ıtulo 2, a defini¸c˜ao do toro de Clifford , calcularemos as suas curvaturas principais, curvatura m´edia e segunda forma fundamental bem como expressaremos o quadrado da norma da segunda forma fundamental S em fun¸c˜ao da curvatura m´edia H.

  No cap´ıtulo 3 introduziremos a teoria da estabilidade com o estudo do problema varia- cional de minimiza¸c˜ao de ´area para `as hipersuperf´ıcies em uma forma espacial com curvatura constante, em particular, a esfera. Apresentaremos as f´ormulas da primeira e da segunda varia¸c˜ao para imers˜oes entre variedades Riemannianas bem como resultados relacionados com o operador estabilidade, forma quadr´atica associada, ´ındice de Morse e o primeiro autovalor deste operador e transforma¸c˜oes conformes na esfera, os quais ser˜ao utilizados nas demonstra¸c˜oes dos teoremas 4.1 e 4.2.

  Finalmente no cap´ıtulo 4, demonstraremos os teoremas 4.1 e 4.2 acima enunciados. Cap´ıtulo 1 Preliminares

  O objetivo principal deste cap´ıtulo ´e estabelecer `as nota¸c˜oes necess´arias a compreens˜ao dos cap´ıtulos posteriores, bem como, apresentar defini¸c˜oes e resultados b´asicos relacionados a geometria intr´ınseca das variedades Riemannianas e da geometria das subvariedades que ser˜ao utilizados na teoria desenvolvida no decorrer do trabalho.

  n ∞ .

  Seja M uma variedade Riemanniana de dimens˜ao n e de classe C Denotemos por h , i sua m´etrica Riemanniana , ∇ a conex˜ao de Levi-Cita ou Riemanniana de M, T M o

  ∞

  fibrado tangente a M, X(M ) o conjunto dos campos de vetores de classe C em M e por

  ∞ ∞

  C (M ) o anel das fun¸c˜oes reais de classe C definidas em M .

1.1 Variedades Riemannianas

  Uma forma de se estudar a geometria de uma variedade Riemanniana ´e estabelecer rela¸c˜oes da mesma, imersa em outra variedade a qual denominamos variedade ambiente. Neste primeiro momento evidenciaremos defini¸c˜oes que n˜ao dependem da segunda forma fundamental da imers˜ao. Nesse contexto mencionaremos as defini¸c˜oes das curvaturas, gradiente, divergˆencia, laplaciano e hessiano de uma variedade Riemanniana. Preliminares

  5 A curvatura R de M ´e uma correspondˆencia que associa a cada par X,Y

  ∈ X(M) uma aplica¸c˜ao R(X, Y ) : X(M ) → X(M) dada por

  (X, Y )Z =

  • R Z Z Z,

  Y

  X X Y [X,Y ]

  ∇ ∇ − ∇ ∇ ∇ ∀ Z ∈ X(M).

  Podemos intuitivamente interpretar R como uma maneira de medir o quanto M deixa de ser euclidiana.

1.1 Proposic ¸˜ ao. O tensor Curvatura R satisfaz as seguintes propriedades para todo X,Y,Z,W

  ∈

  X (M ) : a ) hR(X, Y )Z, W i + hR(Y, Z)X, W i + hR(X, Y )Z, W i = 0 b

  ) hR(X, Y )Z, W i = −hR(Y, Z)X, W i c ) hR(X, Y )Z, W i = −hR(Y, Z)W, Xi d

  ) hR(X, Y )Z, W i = hR(Z, W )X, Y i Considere σ M um subespa¸co bidimensional do espa¸co tangente T M e

  p p

  ⊂ T {v, w} uma base de σ. A curvatura seccional de M em p segundo σ ´e definida por:

  R (v, w, v, w)

  K (σ) =

  2

  k v ∧ w k

  2

  2

  2

  2 .

  onde = k v ∧ w k k v k · k w k −hv, wi Os espa¸cos de curvatura constante, ou seja, variedades Riemannianas com curvatura seccional constante tˆem um papel importante no desenvolvimento da geometria Riemanniana.

  Estes espa¸cos s˜ao dotados de uma propriedade importante que ´e a de possuir um n´ umero significativo de isometrias locais. Dentro deste contexto, destacaremos o seguinte resultado: , ..., e M

  Sejam M, p um ponto de M e . Ent˜ao

  1 n p

  {e }, uma base de ortonormal de T K (p, σ) = K , ou seja, o espa¸co possui curvatura seccional constante, se e somente se

  o

  , e ), e , e (δ δ δ ), (1.1)

  i j k ℓ o ik jℓ iℓ jk

  hR(e i = K − δ Preliminares

  6

  com i, j, k, ℓ = 1, ..., n e onde   1 se i = j

  δ =

  ij

   i 0 se

  6= j , e , e

  Escrevendo R ijkℓ = i j ), e k ℓ

  o para

  hR(e i temos em outras palavras, K(p, σ) = K todo σ M se e somente se R = = K para todo i = 0 nos outros

  p ijkℓ ijkℓ o ijkℓ

  ⊂ T − R 6= j, e R casos.

  De uma forma geral temos: M.

  o p

  hR(X, Y )Z, W i = K {hX, ZihY, W i − hX, W ihY, Zi} com X, Y, Z, W ∈ T

  

  A forma bilinear (M ) que associa a cada par de campos (X, Y ), ℜ : T M × T M → C o tra¸co da aplica¸c˜ao Z

  7→ R(X, Z)Y, ´e denominada Tensor de Ricci e ´e dada por

  1 tr(Z ℜ(X, Y ) = 7→ R(X, Z)Y ). n

  − 1 A curvatura de Ricci na dire¸c˜ao X

  ∈ T M, com | X |= 1 ´e definida como

  1 Ric (X) = ℜ(X, X). n

  − 1 Se X ´e um campo unit´ario e X(p) = v, p M , ent˜ao a curvatura de Ricc

  p

  ∈ M e v ∈ T

  1 na dire¸c˜ao X e no ponto p ´e escrita como Ric (v), ao inv´es de

  p

  ℜ(X, X). Como o tra¸co de n − 1

  1 n

  , ..., e uma aplica¸c˜ao bilinear independe da base escolhida, tomemos

  {e } uma base ortonormal com v = e , para algum i. Ent˜ao temos que

  i

1 Ric

  p (v) =

  ℜ(X, X) n − 1

  1 = tr(Z

  7→ R(X, Z)X) n − 1

  n−1

  X

  1 = )v, e

  i i

  hR(v, e i n − 1

  i=1 n−1

  X

  1 = K (v, e ).

  i

  n − 1 Preliminares

  7 Observamos que a curvatura de Ricci ´e uma m´edia obtida das combina¸c˜oes das cur-

  vaturas seccionais numa dada dire¸c˜ao X(p) = v. Ao considerarmos essa m´edia nas n-dire¸c˜oes estaremos com a express˜ao da curvatura escalar.

  A curvatura escalar ´e uma fun¸c˜ao ρ : M → R de M no conjunto dos n´umeros reais R dada por

  1 ρ

  (p) = tr((X, Y ) 7→ ℜ(X, Y )) n (n

  − 1) , ...e M,

  Se ent˜ao

  1 n p

  {e } ´e uma base ortonormal de T

  

n

  X

  1 ρ Ric , e

  (p) = (e i i ) n (n

  − 1)

  

i=1

n

  X

1 Ric

  = (e )

  

i

  n

  i=1 n n

  X X

  1 = ( K (e , e ))

  i j

  n (n − 1)

  

i=1

j=1,j6=i

n−1

  X

1 K , e

  = (e ); com i

  i j 6= j.

  n (n − 1)

  

i,j=1

  Definiremos a seguir gradiente, divergˆencia, laplaciano e hessiano em uma variedade Riemanniana determinando para cada um deles suas express˜oes em rela¸c˜ao a um referencial geod´esico. Destacaremos algumas propriedades e resultados dessas aplica¸c˜oes.

  ∞

  Dada uma fun¸c˜ao f (M ), definimos o gradiente de f como o campo grad f em ∈ C

  M dado por hgradf , Xi = Xf = df ·X, ∀ X ∈ X(M).

  A divergˆencia de um campo X ∈ X(M) ´e a fun¸c˜ao divX : M

  → R definida por X divX(p) = tr(Y (p) Y )(p)),

  7−→ (∇ Preliminares

  8 X

  onde tr denota o tra¸co da aplica¸c˜ao linear (Y (p) )(p)). O laplaciano de M ´e definido 7−→ (∇ Y

  ∞ ∞

  como o operador ∆ : C (M ) (M ) dado por → C

  ∞ ∆f = div(gradf ), (M ).

  ∀f ∈ C Seja , ..., E

  1 n

  {E } um referencial geod´esico em p, ou seja, al´em de termos a ortonormali- dade entre os campos do espa¸co tangente, temos tamb´em que ( E )(p) = 0, com i, j = 1, ..., n.

  E i j

  ∇ Ent˜ao as express˜oes do gradiente, divergˆencia, e do laplaciano no ponto p , para este referencial podem ser escritas como

  n

  X f grad f (p) = (E i )E i (p). (1.2)

  i=1 n

  X a E E escrevendo o campo X como X(p) = i i (p), temos que

  i=1 n n

  X X E E f divX(p) = (a i i )(p) e ∆f (p) = i (E i )(p). (1.3)

  i=1 i=1

  Ressaltemos agora algumas propriedades ´ uteis nos cap´ıtulos subseq¨ uentes, como: grad(f h) = f grad h + h grad f , (1.4) div(f X) = f divX +

  (1.5)

  hgrad f, Xi ∆(f h) = f ∆h + h∆f + 2

  (1.6)

  hgrad f, grad hi,

  1

  2

  2

  ∆(f ) = f ∆f +

  (1.7)

  | grad f |

  2 Preliminares

  9 ∞ para quaisquer f, h (M ).

  ∈ C Se M ´e compacta e orient´avel, com bordo ∂M , para X

  ∈ X(M) temos que Z Z

  (divX)dV =

  (1.8)

  hX, νidA,

  M ∂M

  onde dV e dA s˜ao os elementos de volume de M e do bordo ∂M , respectivamente, e ν ´e o campo normal a ∂M apontando para M ao longo de ∂M . Este resultado ´e conhecido como Teorema da Divergˆencia. Decorrem deste teorema e de (1.5), as chamadas F´ormulas de Green

  Z Z f (1.9) {f∆h + hgrad f, grad hi} dV = hgrad h, νidA

  M ∂M

  Z Z (1.10)

  {f∆h − h∆f} dV = {fhgrad h, νi − hhgrad f, νi} dA,

  M ∂M ∞

  para f, h (M ).

  ∈ C

  ∞

  Sejam f (M ) e p ∈ C ∈ M. Defina o hessiano de f no ponto p, como a aplica¸c˜ao

  ∞

  bilinear, Hessf : X(M ) (M ) dada por: × X(M) → C

  Hessf (X, Y ) = grad f, Y

  X h∇ i.

  Observando que Y

  Hessf (X, Y ) = X

  X

  hgrad f, Y i − hgrad f, ∇ i = XY f

  X Y − hgrad f, [X, Y ] + ∇ i

  X = XY f

  Y

  − hgrad f, [X, Y ]i − hgrad f, ∇ i = XY f Y grad f, X

  − [X, Y ]f − {Y.hgrad f, Xi − h∇ i} = XY f grad f, X

  Y

  − [X, Y ]f − Y Xf + h∇ i = [X, Y ]f grad f, X

  Y

  − [X, Y ]f + h∇ i = Hessf (Y, X)

  , ..., x para X, Y ) ´e um

  1 n

  ∈ X(M), conclu´ımos que Hessf ´e uma forma bilinear sim´etrica. Se (x ∂ sistema de coordenadas locais em M e ∂ i = ent˜ao:

  ∂x

  

i

Hessf (∂ , ∂ ) = ∂ ∂ f ∂ )(f ). i j i j ∂ i j

  − (∇ Preliminares

  10 X k

  Como ∂ = Γ ∂ , a express˜ao acima pode ser escrita da seguinte forma:

  ∂ i j k

  ∇ ij

  k

  X

  k

  ∂ ∂ ∂k Hessf (∂ i j ) = (∂ i j Γ )(f )

  − ij

  k

  Denotemos o operador linear auto-adjunto hessf (p) : T M M dado por:

  p p

  → T hhessfX, Y i = Hessf(X, Y ) como o operador associado ao hessiano de f. E dentro deste contexto ainda tem-se que

  ∆f = tr(hessf ). (1.11)

1.2 Geometria das Subvariedades

  Sejam M e M variedades diferenci´aveis. Uma aplica¸c˜ao diferenci´avel φ : M → M

  M M ´e uma imers˜ao se dφ : T ´e injetiva para todo p

  p p p

  → T ∈ M. Se al´em disso, φ ´e um homeomorfismo sobre φ(M ) ⊂ M, onde φ(M) tem topologia induzida por M, diz-se que φ

  ´e um mergulho. Se M ⊂ M e a inclus˜ao i : M ⊂ M ´e um mergulho, diz-se que M ´e uma subvariedade de M .

  Seja φ : M → M uma imers˜ao de uma variedade M, em uma variedade Riemanniana M de dimens˜ao igual a k = m + n.

  O teorema da forma local das imers˜oes estabelece que se φ ´e uma imers˜ao, ent˜ao dado p :

  ∈ M existe um aberto U ∋ p de M tal que φ| U U → M ´e um mergulho, ou seja, φ(U) ´e uma subvariedade de M ; por este resultado ´e natural identificar os pontos de U com os pontos de

  φ M M

  (

  p ´e identificado com dφ p (T p ),

  U) pensando φ como inclus˜ao. Com esta identifica¸c˜ao, o T ou seja, identificamos v M com dφ (v).

  p p

  ∈ T Considerando a m´etrica induzida h , i do ambiente M, em M, temos de maneira natural uma m´etrica Riemanniana em M, de forma que se v, w M, define-se

  p

  ∈ T .

  p = p (v), dφ p (w) φ(p)

  hv, wi hdφ i Desta forma, φ passa a ser uma imers˜ao isom´etrica de M em M , em que podemos pensar que M e M , s˜ao iguais do ponto de vista m´etrico. Em particular, se φ(M ) Preliminares

  11

  a dimens˜ao da variedade ambiente e a dimens˜ao da variedade imersa, chamada codimens˜ao de φ ´e igual a 1, φ(M ) = M ´e denominada hipersuperf´ıcie. Observemos que ao se tratar de imers˜oes, focamos a imagem de φ, de forma que identificamos φ(M ) = M .

  M M Para cada p p decomp˜oe T p na soma direta:

  ∈ M, a m´etrica em T

  ⊥ T M = T M M ) . p p p

  ⊕ (T

  ⊥ ⊥

  Indicaremos por T M o fibrado normal de φ e por X(M ) o conjunto das sec¸c˜oes de

  ⊥

  (T M ) . Se X, Y s˜ao campos locais de vetores em M e X , Y s˜ao extens˜oes locais a M ,

  p ⊤ ⊤

  definimos Y = ( Y ) como a conex˜ao Riemanniana de M em que ( Y ) ´e tamb´em a

  X

  ∇ ∇

  X

  ∇

  X

  componente tangente da conex˜ao em M . Dado X, Y ∈ X(U) definimos a aplica¸c˜ao bilinear e

  ⊥

  sim´etrica σ : X(U ) ´e dada por: × X(U) → X(U)

  σ (X, Y ) = Y Y,

  X

  ∇

  X − ∇

  onde U ´e uma vizinhan¸ca de M identificada com φ(U ). Escolhida uma dire¸c˜ao qualquer η ∈

  ⊥ ⊥

  X (U ) a segunda forma fundamental de φ em p, segundo o vetor η ´e definida por

  ⊂ T M H

  (X, Y ) =

  η hσ(X, Y ), ηi.

  M M Denotaremos por A η : T p p a aplica¸c˜ao linear auto-adjunta associada a segunda forma

  → T fundamental de φ na dire¸c˜ao η, isto ´e, X, Y M.

  (X, Y ) =

  

η η p

  hA i = H hσ(X, Y ), ηi, ∀X, Y ∈ T Observemos que a segunda forma fundamental, nome tamb´em designado a aplica¸c˜ao σ,

  ⊥ .

  depende intr´ınsecamente de η e que a codimens˜ao de φ determina a dimens˜ao de T M O fato de H η

  η

  ≡ 0 ´e equivalente a σ ≡ 0, onde para uma base ortonormal a representa¸c˜ao matricial A ´e a matriz nula.

1.2 Proposic ¸˜ ao. Seja p M e η M. Seja N uma extens˜ao local de η normal

  p p

  ∈ M, x ∈ T ∈ T a M. Ent˜ao

  ⊤ A N .

η (x) = x )

  −(∇ Demonstra¸c˜ ao. Seja y M e X, Y extens˜oes locais de x, y, respectivamente, e

  p

  ∈ T Preliminares

  12

  tangentes a M . Ent˜ao usando o fato de hN, Y i = 0 e hN, Ni = 1 temos assim, (x), y Y Y, N

  η

  X X

  hA i = hσ(X, Y )(p), Ni = h∇ − ∇ i(p) Y, N N

  =

  X X

  h∇ i(p) = XhY, Ni(p) − hY, ∇ i(p) N, y

  =

  x

  h−∇ i M. para todo y

  p

  ∈ T ¥

  ⊥

  η, A componente normal de denominada conex˜ao normal da imers˜ao ´e definida

  X

  ∇ ∇ da seguinte forma

  ⊥ ⊥ ⊥

  X : X(M ) (M )

  ∇ × X(M) −→

  N ⊥

  η η . (X, η) := ( )

  X

  7−→ ∇

  X ∇

  Explicitamente,

  N ⊥ ⊤

  N N N N N = ( ) = ) = + A (x).

  x x x x η

  ∇ x ∇ ∇ − (∇ ∇

  ⊥

  em que esta conex˜ao normal possui as propriedades usuais de uma conex˜ao, isto ´e, ´e linear ∇ em X, aditiva em η, e

  ⊥ ∞

  η (f η) = f + X(f )η, f (M ). ∇

  X ∇ ∈ C

  X Se a codimens˜ao for um podemos dispensar o ´ındice η. Ent˜ao,

  A N, (x) = x

  −∇ em que A ´e chamado operador forma ou operador de Weingarten.

  n+1

  Ainda para o caso em que a codimens˜ao ´e um e M = R , N pode ser pensado como

  n N.

  uma aplica¸c˜ao de M (1) e dN (x) = Logo,

  p x

  → S ∇ A

  (x) = dN,

  ⊥

  η em que A ´e a aplica¸c˜ ao de Gauss e ∇ X ≡ 0.

  Seja T um tensor de ordem r. A diferencial covariante ∇T de T ´e um tensor de ordem (r + 1) dado por

  , ..., Y , Z ) = Z(T (Y , ..., Y ) Y , ..., Y ) , ..., Y r Y ).

  1 r 1 r Z 1 r

  1 Z r Preliminares

  13 T

  Para cada Z de T em rela¸c˜ao a Z ´e um tensor de ordem ∈ X(M), a derivada covariante ∇ Z r dado por

  T (Y , ..., Y ) = , ..., Y , Z ).

  Z 1 r 1 r

  ∇ ∇T (Y

1.3 Proposic ¸˜ ao. As seguintes equa¸c˜oes se verificam:

  a) Equa¸c˜ao de Gauss hR(X, Y )Z, T i = hR(X, Y )Z, T i − hσ(Y, T ), σ(X, Z)i + hσ(X, T ), σ(Y, Z)i,

b) Equa¸c˜ao de Codazzi

  σ σ )(X, Z, η) )(Y, Z, η)

  Y

  X

  hR(X, Y )Z, ηi = (∇ − (∇

  ⊥

  Demonstra¸c˜ ao. Para o ´ıtem a) sabemos que Y = Y + σ(X, Y ) e η =

  X X

  ∇ ∇ ∇

  X

  η Z Z Z,

  • A (X). Considere a equa¸c˜ao R(X, Y )Z = calculando +

  X η Y

  X X Y [X,Y ]

  ∇ ∇ ∇ − ∇ ∇ ∇ cada membro da equa¸c˜ao acima separadamente, obtemos:

  Z = ( Z + σ(X, Z))

  Y

  X Y

  X

  ∇ ∇ ∇ ∇ Z σ

  = (X, Z) +

  Y

  X Y

  ∇ ∇ ∇

  ⊥

  Z Z, Y σ Y = Y

  X + σ( X ) + (X, Z) σ(X,Z)

  ∇ ∇ ∇ ∇ − A

  Y

  Z Z = ( + σ(Y, Z))

  X Y

  X Y

  ∇ ∇ ∇ ∇ Z σ

  =

  X Y

X (Y, Z)

  ∇ ∇ ∇

  = Z + σ( Z, X ) + σ (Y, Z)

  X X Y Y σ(Y,Z) ∇ ∇ ∇ ∇

  X − A

  e Z = Z + σ([X, Y ], Z).

  [X,Y ] [X,Y ]

  ∇ ∇ Da´ı, obtemos:

  ⊥

  R Z, Y σ (X, Y )Z = R(X, Y )Z + σ(

  X ) + (X, Z)

  ∇ ∇ −

  Y ⊥

  Y Z, Y ) σ (Y, Z)+

  σ(X,Z)

  X

  − A − σ(∇ − ∇

  X X + A + σ([X, Y ], Z). σ(Y,Z)

  Tomando o produto interno com T , os termos na dire¸c˜ao normal se anulam e temos que Y, T X, T

  σ(X,Z) σ(Y,Z)

  hR(X, Y )Z, T i = hR(X, Y )Z, T i − hA i + hA i Preliminares

  14

  ¥ Da equa¸c˜ao de Gauss ocorre o caso particular

  2 K .

  (x, y) (1.12)

  − K(x, y) = hσ(x, x), σ(y, y)i− | σ(x, y) |

  n+1 n

  No caso de hipersuperf´ıcie φ : M a f´ormula de Gauss (1.12) admite uma express˜ao → M

  ⊥

  mais simples. Sejam p M ) . Seja , . . . , e M

  p 1 n p

  ∈ M e η ∈ (T {e } uma base ortonormal de T e , i λ , . . . , λ para a qual A = A ´e diagonal, isto ´e, A(e ) = λ = 1, . . . , n, em que s˜ao os

  η i i i 1 n

  autovalores de A. Ent˜ao H(e , e ) = λ e H(e , e ) = 0, se i

  i i i i j

  6= j. Portanto (1.12) se escreve K , e , e λ

  (e ) ) = λ

  i j i j i j

  − K(e .

  Demonstra¸c˜ ao. No ´ıtem b) sabemos que

  ⊥

  R (X, Y )Z = R(X, Y )Z + σ( Z, Y ) + σ (X, Z)

  X

  ∇ ∇ Y −

  ⊥

  Y Z, Y σ ) (Y, Z)+

  σ(X,Z)

  X

  − A − σ(∇ − ∇

  X X

  • A σ(Y,Z) + σ([X, Y ], Z) fazendo o produto interno com η temos

  ⊥

  Z σ Z ), η) (X, Z), η ), η)

  X Y

  hR(X, Y )Z, ηi = hσ(Y, ∇ i + h∇ Y i − hσ(X, ∇ i−

  ⊥

  σ (Y, Z), η Y, Z ), η X, Z ), η

  X Y

  −h∇

  X i + hσ(∇ i − hσ(∇ i

  em que

  ⊥

  Z σ Y, Z σ

  X ), η) (Y, Z), η X ), η X )(Y, Z, η)

  hσ(Y, ∇ i − h∇ i + hσ(∇ i = −(∇

  X

  e

  ⊥

  Z σ X, Z σ ), η) (X, Z), η ), η )(X, Z, η)

  

Y Y Y

  −hσ(X, ∇ i + h∇ Y i − hσ(∇ i = (∇ ¥

  Se o espa¸co ambiente M tem curvatura seccional constante, por (1.1) , a equa¸c˜ao de Codazzi se reduz a ( σ )(X, Z, η) = ( σ )(Y, Z, η).

  Y

  X

  ∇ ∇

  Preliminares

  15 Al´em disso, se a codimens˜ao ´e 1 a equa¸c˜ao de Codazzi se escreve

  A Y, Z ( Y ), Z A X, Z ( X ), Z

  X η η

  X X η η Y

  h∇ i − hA ∇ i = h∇ i − hA ∇ i e portanto A A

  (

  X )(Y ) = ( Y )(X)

  ∇ ∇ utilizando-se a seguinte nota¸c˜ao A )(X) = (AX) X ).

  Y Y Y

  ∇A(X, Y ) = (∇ ∇ − A(∇

  ⊥

  M Uma imers˜ao φ : M

  ) a segunda

  p

  → M ´e geod´esica em p se para todo η ∈ (T forma fundamental H η ´e identicamente nula em p. A imers˜ao φ ´e totalmente geod´esica se ela ´e geod´esica para todo p ∈ M.

  Uma condi¸c˜ao mais fraca do que a de totalmente geod´esica ´e a condi¸c˜ao de m´ınima.

  ⊥

  Uma imers˜ao φ : M M ) tem-se

  p

  → M ´e m´ınima se para todo p ∈ M e todo η ∈ (T , ..., e que o tra¸co A = 0. Neste caso dizemos tamb´em que M ´e m´ınima. Tomando

  η 1 n

  {e } como referencial ortonormal de vetores de T M, o vetor curvatura m´edia de φ em p ´e definido por

  p

  1 → − H =

  · (tr σ) n

  n

  X → −

  σ , e H , ..., e em que tr σ = (e ). Observe que independe da escolha da base

  i i 1 n

  {e }. De forma

  i=1

  que escolhendo esta tal que diagonaliza A temos:

  η

  1 → −

  H , e , e = (σ(e

  1 1 ) + ... + σ(e n n ))

  n

  1 = (λ N + ... + λ N )

  

1 n

  n (λ + ... + λ )

  1 n

  = · N n

  Preliminares

  16

  em que N ´e um vetor normal a M. Portanto

  1 → −

  H = H , η tr σ, η

  η

  h i = h i n

  n

  X

  1 , e

  = ), η

  i i

  hσ(e i n

  i=1 n

  X

  1

  1 = (e ), e trA

  η i i η

  hA i = n n

  i=1

  Observe que se trA = 0, ou seja, λ + ... + λ = 0,

  η 1 n ∀ p, temos que H(p) = 0 ∀p.

  O quadrado da norma da segunda forma fundamental de φ ´e dado por:

  n

  X

  2 2 t S = = = tr(A ) = λ . i

  ||σ|| ||A|| ◦ A

  i=i

  Sejam M hipersuperf´ıcie m´ınima orientada compacta imersa na esfera n+1 dimensional

  n+1

  S e N o campo normal unit´ario ao longo de M .

  n+1 n+2

  , Denotemos por e R respectivamente.

  ∇, D as conex˜oes Riemannianas em S

  n+2

  Para cada vetor fixo v definimos a fun¸c˜ao altura e a fun¸c˜ao suporte respectivamente da ∈ R seguinte forma: h R

  : M

  v

  → p

  v (p) =

  7→ h hv, pi f : M R

  v

  → p (p) =

  

v

  7→ f hv, N(p)i, onde p presente no produto interno hv, pi corresponde ao vetor posi¸c˜ao normal a esfera.

  n n+1 n+2

  De M ֒ ֒ temos, → S → R

  n+2

  R M = T p

  ⊕ [N] ⊕ [p ] em que [N ] corresponde ao espa¸co dos vetores gerados por N ou seja, unit´arios e normais a

  n+2

  M e [p ] o espa¸co dos vetores gerados por p normais a esfera. Portanto v ´e expressado ∈ R

  T

  , como v = v + λN + λp onde λ = e λ = assim,

  v v

  hv, Ni = f hv, pi =h

  T v = v + f N + h p. v v Preliminares

  17 n n+1 n+2

  , S Relacionaremos agora as conex˜oes de M e R . Sejam σ a segunda forma

  n n+1 n+1 n+2

  fundamental da imers˜ao M ֒ , σ a segunda forma fundamental da imers˜ao S ֒ → S

  → R

  n n+2 ⊥

  ֒ . Sejam X, Y e eσ = σ + σ a segunda forma fundamental de M → R ∈ X(M) e N ∈ X(M) unit´ario temos:

  D Y = Y + σ(X, Y ) + σ(X, Y )

  X X

  ∇ e do fato de na esfera A M T M

  : T

  

p p

−p −→

  X (X) = X

  7−→ A

  −p

  pois A = p = Id, em que Id ´e a fun¸c˜ao identidade da esfera e −dN

  −p

  X σ (X, Y ) = hσ(X, Y ), NiN

  X, Y =

  

N

  hA iN

  X σ

  (X, Y ) = hσ(X, Y ), −pi(−p) X, Y

  = hA i(−p)

  

−p

  = −hX, Y ip temos portanto

  X =

  X (1.13)

  • D Y Y

  ∇ hA(X), Y iN − hX, Y ip

  n+2

1.4 Lema. Sejam v um vetor qualquer fixo e h como na defini¸c˜ao acima. Ent˜ao

  v

  ∈ R

  T .

  grad h = v

  v

  Demonstra¸c˜ ao. Seja X ∈ X(M), ent˜ao temos que

  , X

  v v

  h grad h i = X · h

  

∞ ′

  Tomemos α : I tal que α(0) = p e α (0) = X(p), temos que → M uma curva C d

  ′

  (X.h (p)) = ((h = (0)

  v v t=0 ◦ α)(t))| hv, α i = hv, X(p)i.

  dt

  T N N

  Escrevendo v = v + v em que v ∈ [N] ⊕ [p ] segue que

  T

  , X , X

  v Preliminares

  18

  T

  {hv, N(α(t)}|

  t=0

  = hv, N α(0) (α

  ′

  (0)) i = hv, N

  p

  (X(p)) i = hv, −A.(X(p))i =

  −hv

  T , A.

  (X(p)) i =

  −hv

  T

  , A.X i(p) =

  −hA(v

  ), X i, ∀X ∈ X(M) e portanto grad f v =

  t=0

  ) = X hv, pi = hD

  p, v i = hX, vi, ∀X ∈ T M.

  X

  v i = hD

  

X

  p, v i + hp, D

  X

  v

  T

  ) Hess h v (X, Y ) = heσ(X, Y ), vi Demonstra¸c˜ ao.

  como na defini¸c˜ao acima ent˜ao i ) X(h v ) = hX, vi e ii

  v

  ∈ T p M, e h

  1.6 Lema. Sejam X, Y

  ) ¥

  = d dt

  ◦ α)(t))|

  logo grad h

  ¥

  como na defini¸c˜ao acima. Ent˜ao grad f

  v

  um vetor qualquer fixo e f

  n+2

  ∈ R

  1.5 Lema. Sejam v

  v p.

  = −A(v

  N − h

  v

  = v − f

  T

  = v

  v

  v

  T ).

  v

  

  ((f

  = d dt

  v

  (p)) = X(p).f

  v

  (0) = X(p) temos que (X.f

  tal que α(0) = p e α

  Demonstra¸c˜ ao. De maneira an´aloga sabemos que h grad f

  ∞

  → M uma curva C

  Tomemos α : I

  v .

  , X i = Xf

  v

i ) X(h

  T

  = −nh

  X Y, v

  i − h∇

  X Y, v

  i = hD

  X Y

  − ∇

  X Y, v

  i = heσ(X, Y ), vi.

  v

  definidos como anteriormente, ent˜ao ∆h

  v

  v

  X Y

  Demonstra¸c˜ ao. Seja {E

  n i=1 } uma base ortonormal local de campos tangentes a M e

  da equa¸c˜ao (1.13) para Y = v

  T

  temos: D

  X

  v

  T

  = ∇

  X

  v

  T

  hp, vi = hD

  v i − ∇

  T

  v

  (1.14)

  Preliminares

  19

  ii ) Hess h

  v

  (X, Y ) = h∇

  X

  (grad h

  v

  ), Y i = X hgrad h

  v

  , Y i − hgrad h

  , ∇

  

X

  X Y

  (h

  v

  ) i = X(Y (h

  v

  )) − ∇

  X Y (h v

  ) = X hY, vi − ∇

  X Y

  hp, vi = hD

  X Y, v

  i + hY, D

1.7 Lema. Sejam M , v e h

  • hA(X), v
  • f
  • h
  • D

  iN − hX, v

  • X(f
  • X(h
  • hA(X), v
  • X(h v )p usando (1.14) na segunda igualdade e selecionando a parte tangente temos,

  h∇

  i

  A (E

  v

  i

  E

  i = h−h v

  v )

  ∇h

  E i (

  i=1

  i i

  X

  n

  Logo ∆h v =

  A (X)

  v

  X

  v

  = −h

  T

  v

  ), E

  = −h

  ∇

  i

  v + nHf v

  −nh

  tr(A) ∆h v =

  v

  v

  −nh

  i =

  i

  ), E

  hA(E

  v n

  i=1

  X

  v n

  i + f

  i

  , E

  i

  hE

  i=1

  X

  X

  A (X) + X(f v )N + h v

  X

  X

  v

  X

  ∇

  v

  (h

  X

  N ) + D

  v

  (f

  T

  ip

  v

  X

  v = D

  X

  p, como v por hip´otese ´e fixo temos que: 0 = D

  v

  N

  v

  T

  Escrevendo v = v

  T

  T

  iN − hX, v

  )p =

  v

  ip − f

  T

  iN − hX, v

  T

  T

  v

  X

  ∇

  v

  T

  p

  X

  D

  v

  )N + h

  v

  X N

  D

  v

  ip) + f

  p ) = (

  • hA(X), v
  • f
  • f
  • f

1.8 Lema. Sejam M , v e f

  ( ∇f v

  X

  ) = −D

  v

  ( ∇f

  X

  D

  ), Y i j´a que os demais termos s˜ao perpendiculares a M. Ainda temos que

  X

  N

  ), Y i = h

  ( ∇f v

  X

  hD

  v ) com um campo Y qualquer tangente a M temos ent˜ao

  ∇f

  X (

  (A

  (v

  v

  ) }

  T

  T

  v

  

X

  ) + A( ∇

  T

  = −{(DA)(X, v

  T

  T

  v

  

X

  ) + A(D

  T

  )(v

  X A

  −{(D

  )) =

  ip fazendo a express˜ao D

  iN − hX, ∇f

  T

  f

  X

  ) = ∇

  v

  ( ∇f

  X

  Demonstra¸c˜ ao. Analogamente, temos D

  v .

  2

  v

  = − k A k

  v

  definidos como anteriormente, ent˜ao ∆f

  v

  ¥

  20 Considerando a imers˜ao m´ınima na express˜ao acima chegamos ao resultado.

  Preliminares

  ip)} =

  ( ∇f

  ) + hA

  v

  v ) =

  ∇f

  N (X),

  hA

  v ) +

  ∇f

  X (

  ∇

  ∇f

  

N

  X (

  ip D

  v

  X, ∇f

  p

  iN + hA

  v

  (X), ∇f

  iN − hX, v

  • hA(X), v

  A (X)

  • A(

  i=1

  X

  n

  −

  i =

  i

  , E

  2 E i

  hA

  i=1

  X

  v n

  i

  i − f

  i

  ), E

  i

  hA(E

  i=1

  X

  

v

n

  i + h

  i

  ), E

  h(DA)(E

  T

  , v

  tr(A) − f

  

v

  f

  2

  − k A k

  H

  T

  −nD v

  ) =

  2

  tr(A

  v

  v

  , E

  A ) + h

  v T

  = −tr(D

  2

  trA

  v

  tr(A) − f

  

v

  i + h

  i

  ), E

  i

  h(DA)(v

  T

  } =

  ( ∇f

  X

  D

  (X) }

  2

  A

  A (X) + f v

  v

  ) − h

  T

  −{(DA)(X, v

  v

  ) = −(DA)(X, v

  (X) + f

  

v

  −h

  T

  = −{(DA)(X, v

  ) }

  T

  v

  

X

  ) + A( ∇

  T

  v

  T

  −{(DA)(X, v

  n

  i=1

  X

  n

  −

  i =

  v ), E i

  ∇f

  E i (

  h∇

  i=1

  X

  , obtemos ∆f v =

  ) − h

  i

  )(X) Fazendo X = E

  )(Y ) = (D Y A

  X A

  (D

  (X) Na sec¸c˜ao 1.2, em rela¸c˜ao ao fato do espa¸co ambiente ser de curvatura seccional con- stante, tˆem-se que a equa¸c˜ao de Codazzi se reduz a,

  2

  A

  v

  A (X) + f

  v

  • nHh v
Preliminares

  21 Considerando novamente a imers˜ao m´ınima na express˜ao acima chegamos ao resultado desejado.

  ¥ Finalizando o cap´ıtulo de preliminares mencionaremos o teorema de Gauss-Bonnet e suas conseq¨ uˆencias.

  Dizemos que uma regi˜ao simples que tem apenas trˆes v´ertices com ˆangulos externos α

i 6= 0, i = 1, 2, 3 ´e um triˆangulo.

  Uma triangula¸c˜ao de uma regi˜ao regular R τ de triˆangulos ⊂ S ´e uma fam´ılia finita

  T , i

  i = 1, ..., n, tal que n

  1. = R.

  ∪ i=1 2. Se T e T ou um v´ertice comum de T e T .

  

i j i j i j

  ∩ T 6= ∅, i 6= j, ent˜ao T Dada uma triangula¸c˜ao de uma regi˜ao regular R

  τ

  ⊂ S de uma superf´ıcie S, deno- taremos por F o n´ umero de triˆangulos (faces), por E o n´ umero de lados (arestas), e por V o n´ umero de v´ertices da triangula¸c˜ao. O n´ umero

  F − E + V = χ ´e chamado caracter´ıstica de Euler-Poincar´e da triangula¸c˜ao.

  3

  

1.9 Proposic ¸˜ ao. Seja S uma superf´ıcie compacta e conexa; ent˜ao um dos valores

  ⊂ R

  ′

  2, 0, −2, ..., −2n, ... ´e assumido pela caracter´ıstica de Euler-Poincar´e χ(S). Al´em disso, se S ⊂

  3 ′ ′ R ´e uma outra superf´ıcie compacta e conexa e χ(S) = χ(S ), ent˜ao S ´e homeomorfa a S .

  3 Em outras palavras, toda superf´ıcie compacta e conexa S ´e homeomorfa a uma

  ⊂ R esfera com um n´ umero G de al¸cas. O n´umero

  2 − χ(S)

  G =

  2 ´e chamado gˆenero de S.

  1.10 Teorema de Gauss-Bonnet Global. Seja R

  ⊂ S uma regi˜ao regular de uma superf´ıcie orientada e sejam C , ..., C as curvas fechadas, simples e regulares por partes que formam a

  1 n Preliminares

  22

  , ..., θ fronteira ∂R de R. Suponha que cada C ´e orientada positivamente e sejam θ o conjunto

  i 1 p , ..., C .

  de ˆangulos externos curvas C Ent˜ao

  1 n p n

  Z Z Z

  X X

  (s)ds + = 2πχ(R),

  • k Kdσ θ

  g t C i R i=1 t=1

  onde s denota o comprimento de arco de C , K a curvatura de Gaussiana da regi˜ao S, k a

  i g

  curvatura geod´esica referente aos arcos regulares de C , e a integral sobre C , significa a soma

  i i

  das integrais em todos os arcos regulares de C

  i

1.11 Corol´ ario. Seja S uma superf´ıcie compacta e orient´avel; ent˜ao

  Z Z Kdσ = 2πχ(S).

  S Cap´ıtulo 2 O Toro de Clifford

  Neste cap´ıtulo veremos algumas propriedades b´asicas da fam´ılia simples de hipersu-

  

n+1 n+2

  perf´ıcies da esfera euclidiana unit´aria S (1) . Em particular o toro de Clifford, do ⊂ R qual calcularemos as suas curvaturas principais, curvatura m´edia e segunda forma fundamental.

  Iniciaremos com algumas considera¸c˜oes sobre variedade produto e sobre produto de imers˜oes.

  Sejam M , N , M e N variedades Riemannianas, f : M → M e g : N → N imers˜oes isom´etricas. Considere em M

  × N e M × N as m´etricas produto e a imers˜ao isom´etrica

  M N M N

  f , , e as conex˜oes Riemannianas de M , N , M

  × g : M × N → M × N. Sejam ∇ ∇ ∇ ∇ e N , respectivamente e

  M N

  • Y = Y Y

  M N

  ∇

  X ∇

  X M ∇

  X N

  e

  M N M ×N

  V V

  V , =

  • M N

  ∇ U ∇ U M ∇ U N

  onde, X = (X , X ) e Y = (Y , Y ) s˜ao os campos de vetores tangentes a M

  M N M N

  × N, U , U , V

  , Y = (U ) e V = (V ) os campos de vetores a M , Y (N )

  M N N N M N M N × N, X ∈ X(M) e X

  M M N N

  , V e V ∈ X(N) , U ∈ X(M) e U ∈ X(N).

  Sejam σ , σ as segundas formas fundamentais de f e g, respectivamente, com os

  f g f g ⊥ ⊥

  operadores forma associados A : T M : T N e µ → T M e A → T N para η ∈ X(M) ∈ X(N)

  η µ

  e u, v tangentes a M e w, v tangentes a N, temos:

  f g

  u, v e w, z (u, v), η (w, g), µ

  f g hA η i = hσ i hA µ i = hσ i. O Toro de Clifford

  24 Assim,

  σ (X, Y ) = (σ (X , Y ), σ (X , Y ))

  f M M g N N f ×g

  ´e a segunda forma fundamental da imers˜ao produto f × g.

  Seja N = (η, µ) normal a M × N, com η normal a M e µ normal a N tal que

  2

  2

  = 1. Vamos encontrar o operador A + associado a f

  N

  | η | | µ | × g.

  X, Y (X, Y ), N

  N

  hA i = hσ f ×g i = (X , Y ), σ (X , Y )), (η, µ)

  f M M g N N

  h(σ i , Y , Y

  = (X ), η (X ), µ

  f M M g N N

  hσ i + hσ i

  f f η µ

  = X , Y X , Y

  M M N N

  | η | hA i+ | µ | hA i

  |η| |µ|

  Portanto, para a imers˜ao produto f × g o operador de forma na dire¸c˜ao normal N ´e

  f g η µ

  A

  X X

  X =

  N M N

  |η|A ⊕ |µ|A

  |η| |µ| f g

  η µ

  X = ( )

  • 1 |µ|A ◦ π

  |η|A ◦ π

  2 |η| |µ| onde, π ´e a proje¸c˜ao sobre M e π ´e a proje¸c˜ao sobre N .

  1

2 Dados dois n´ umeros inteiros positivos n e n com n + n = n e dois n´ umeros reais r

  2 2 n 1 n 2 n i n i +1

  e r

  2 tal que r + r = 1, o produto S (r

1 ) (r

2 ) das esferas S (r i ) = i : i

  1 2 × S {p ∈ R |p | = n+1

  r (1) chamada usualmente

  i

  }, i = 1, 2 ´e uma hipersuperf´ıcie compacta homogˆenea da esfera S

  n 1 n

  2

  , p de Toro de Clifford. Se p = (p ) ´e um ponto em M = S (r ) (r ), o vetor unit´ario

  1

  2

  1

  2

  × S normal a M neste ponto ´e definido por: µ ¶ r r

  

2

  1 N , p p , p .

  (p ) =

  (2.1)

  1

  2

  1

  2

  − r r

  

1

  2 Temos ent˜ao que

  2

  2

  ¯ ¯ ¯ s¯

  ¯ r ¯ ¯ r ¯

  2

  1

  ¯ ¯ ¯ ¯

  • p p = 1

  

1

  2

  |N| = ¯− ¯ ¯ ¯ r r

  1

  2 Mostremos agora que N ´e normal a M . Primeiro ´e necess´ario provarmos que N

  ∈

  n+1 ⊥

  (T M ) S e depois provarmos que o produto interno entre N e um vetor tangente

  p p O Toro de Clifford

  25 M qualquer de T ´e igual a zero. Comecemos com o c´alculo do produto interno entre p e N . p

  ¿ µ ¶À r r r r r r

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  • (p ), = + = + , p p p r r = 0

  1

  2

  1

  2

  hp, Ni = −

  1 2 − |p | |p

  | −

  1

  2

  r r r r r r

  1

  2

  1

  2

  1

  2 ⊥

  M , v M, Portanto N ) . Agora, dado v = (v ) seja

  p

  1 2 p

  ∈ (T ∈ T α : (

  −ε, ε) → M definida por α

  (t) = (α (t), α (t))

  

1

  2 ′

  , p , v uma parametriza¸c˜ao de uma curva em M , com α(0) = p = (p ) e α (0) = v = (v ), sendo

  1

  2

  1

  2 n n

  α

  1 (t) (r 1 ) , α 2 (t) (r 2 ). Observamos diretamente que

  ∈ S

  1 ∈ S

  2

  2

  2

  (t), α (t) (t) = r

  1

  1

  1

  hα i = |α |

  1

  2

  2

  , (t), α (t) (t) = r

  2

  2

  2

  hα i = |α |

  2

  derivando o primeiro dos produtos internos, temos

  ′

  1 i = 0 ′

  (t), α(t) hα

  para todo t (0), α(t) , v

  1

  1

  ∈ (−ε, ε).Em particular, para t = 0, segue que hα

  1 i = 0, ou seja, hp i =

  , v

0. De modo an´alogo mostra-se que

  2

  2

  hp i = 0. Conseq¨uentemente ¿µ ¶ À r r r r

  2

  1

  2

  1

  p , p , (v , v ) = , v , v

  1

  2

  1

  

2

  1

  1

  2

  2

  hN, vi = − − hp i + hp i = 0, r r r r

  1

  2

  1

  2 para todo v M. Portanto N ´e normal a M como desejamos mostrar. p

  ∈ T Observando que

  µ ¶ r r

  

2

  1 N (α(t)) = α (t), α (t) ,

  1

  2

  − r r

  

1

  2

  temos µ ¶

  ∂N r r (α(t))

  2

  1 ′ ′

  Av α α .

  = = (t), (t) −

  1 −

  2

  ∂t r r

  1

  2

  r r r

  2

  2

  2 ′ ′

  v, Para v = (α (0), 0), temos Av = (α (0), 0) = portanto ´e uma curvatura

  1

  r r r

  1

  1

  1

  r

  1 ′

  principal. De modo an´alogo, para v = (0, α (0)), vemos que tamb´em ´e uma curvatura

  2 −

  r

  2

  principal. Assim, o operador A pode ser representado matricialmente como

  • n
  • n

  • n

  ) × S

  k

  (r

  2

  ) ֒ → R

  n+2 .

  Sejam os pontos p ∈ S

  (r

  n−k

  1 ) e q

  ∈ S

  k

  (r

  2 ), isto ´e,

  |p| = r

  1 e

  1

  n−k

  (r

  k

  Considere as imers˜oes canˆonicas f : S

  n−k

  (r

  1

  ) ֒ → R

  n−k+1

  g : S

  (r

  Denotemos φ o produto dessas imers˜oes tal que φ : f × g : S

  2

  ) ֒ → R

  k+1

  i : S

  n+1

  ֒ → R

  n+2 .

  |q| = r

  variedade produto S

  2 . Para um ponto (p, q) da

  2

  2

  = 1 e fazendo r

  1

  = r e r

  2

  = √

  1 − r

  teremos um Toro de Clifford ou hipersuperf´ıcie de Clifford, φ : f

  1

  n−k

  (r)

  k

  ( √

  1

  2

  )

  2

  2

  n−k

  2

  (r

  1

  ) × S

  k

  (r

  2

  ) temos |(p, q)|

  = |p|

  . Se r

  2

  2

  = r

  2

  1

  2

  2

  = n. (2.3) Para fins de adequa¸c˜ao ao contexto utilizado, melhoria da nota¸c˜ao e simplifica¸c˜ao na computa¸c˜ao do operador forma da imers˜ao, curvaturas principais, curvatura m´edia e rela¸c˜oes entre o quadrado da segunda forma fundamental e a curvatura m´edia, redefiniremos o toro de Clifford da forma a seguir.

  1

  2

  − n

  Observando a matriz, vemos que trA = n

  1

  r

  2

  r

  1

  2

  2

  r

  1

  r

  2

  . Logo, M ´e m´ınima se, e somente se, n

  1

  r

                 

  r

  = n

  2

  O Toro de Clifford

  26 A

  =                 r

  2

  r

  1 . . .

  . .. r

  r

  1

  1 ... ...

  − r

  1

  r

  2 ...

  . .. . . .

  − r

  2

  2

  = n

  2

  = n

  

2

  r

  2

  1

  r

  1

  2

  1

  r

  2

  2

  r

  2

  2

  2

  r

  2

  1

  r

  2

  1 (2.2)

  Sabemos que o quadrado da norma da segunda forma fundamental σ ´e igual ao quadrado da norma da matriz A. Usando este fato e a igualdade (2.2), temos ||σ||

  2

  = n

  1

  r

  2

  2

  r

  2

  1

  2

  r

  2

  • r
  • r
  • |q|

  n+1 . O Toro de Clifford

  27 n n+1

  Vale ressaltar que dada uma imers˜ao i : S (r) ֒ temos que a aplica¸c˜ao Normal → R p

  1 de Gauss na esfera de raio r ´e dada por N (p) = ; portanto segue que (v) = (v) =

  p

  − −dN r |p |

  1

  

n n+1

  Id. Na sec¸c˜ao 1.2, vimos que seja N : M , ent˜ao → R r

  N (v) = ) = A (v)

  

p v N

  −dN −(∇

  n+1

  onde A ´e um operador forma e . Sendo assim para as imers˜oes ∇ ´e a conex˜ao de R

  

k k+1 n+1 n+2

n−k n−k+1

  f : S (r ) ֒ ; g : S (r ) ֒ e i : S ֒ , teremos os operadores forma

  1

  2

  → R → R → R p q

  1

  1

  f g i

  Id Id associados: A = , A = e A = Id com η(p) = e µ(q) = √

  √

  η µ N − − ·

  2

  2

  r r

  1

  1 − r

  − r

  n−k

  Da defini¸c˜ao (2.1) de vetor normal ao toro de Clifford no ponto (p, q) (r) ∈ S ×

  √

  k

2 S (

  1 ), citada neste pr´oprio cap´ıtulo, o vetor normal ´e dado por − r

  √

  2

  r

  1 − r

  N p, q (p, q) = ( )

  √ −

  2

  r

  1 − r e o operador forma na sua dire¸c˜ao ser´a

  √

  f g

  2 p q

  A

  N =

  1 (A )

  1 )

  2

  − r ◦ π − r(A √ ◦ π ·

  − − r

  1 −r2

  Temos assim: √

  2

  √

  1 − r

  f

  2 p

  A

  X X

  N (X, 0) =

  1 (A ) = − r

  − r

  r e

  g −r q A (0, Y ) = ) Y = Y.

  N

  2

  1 −r2

  1 − r

  Tomando uma base ortonormal de vetores de f × g dada por

  , 0), (e , 0), ..., (e , 0), (0, h ), (0, h ), ..., (0, h )

  1

  2

  {(e n−k n−k+1 n−k+2 n−k+k },

  f g

  onde e , temos as curvaturas principais do Toro de {e i } diagonaliza A {h i } diagonaliza A

  η µ

  Clifford dadas por √

  2

  1 − r

  λ =, ..., = λ =

  1

n−k

  r e −r λ . =, ..., = λ =

  n √ n−k+1

  2

  1 − r

  n+1

  Para uma orienta¸c˜ao conveniente, a curvatura m´edia H do toro imerso em S ´e dada por:

  • λ
  • ... + λ
  • λ
  • ...λ
  • k(λ

  2

  − 1 ¸

  2

  1 − r

  2

  · r

  2 + k .

  r

  1 − r

  µ

  = (n − k) .

  2

  ¶!

  2

  1 − r

  √

  µ −r

  2 + k .

  = (n − k) .

  1 r

  2

  1

  2

  1 − r

  1

  2 + k .

  1 r

  − n + k − k = (n − k) .

  2

  1 − r

  2 + k .

  2

  1 r

  = (n − k) .

  ¶ − k

  2

  1 − r

  1

  µ

  − 1 ¶ + k .

  r ¶

  1 − r

  − n O Toro de Clifford

  1

  −r √

  r ) + k(

  2

  1 − r

  √

  ) nH = (n − k)(

  n−k+1

  n nH = (n − k)λ

  2

  n

  n−k+1

  n−k

  2

  1

  λ

  28 H =

  O Toro de Clifford

  1 − r

  ) segue que nH

  µ√

  

2

  Ã (n − k) .

  isto ´e, S =

  2 i

  λ

  i=1

  X

  n

  =

  S = k A k

  = n − nr

  . O quadrado da norma da segunda forma fundamental de φ denotaremos da mesma forma que no cap´ıtulo de preliminares,

  = n − k n

  2

  De (2.2) e (2.4) podemos observar que a imers˜ao φ ´e m´ınima e por conseq¨ uˆencia M ´e m´ınima se, e somente se, r

  2 (2.4)

  1 − r

  − k r √

  2

  • 1

  29 Com isso temos a express˜ao de S em fun¸c˜ao de r dada por

  1

  1 S = (n + k .

  (2.5) − k) . − n.

  2

  2

  r

  1 − r

  Escrevamos a seguir S em fun¸c˜ao de H. De temos que

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  n r , (1 )H = n (1 ) ) + k

  − r − r − 2nk(1 − r

  2

  e pondo 1 = t, obtemos − r

  2

  2

  2

  2

  2 H n t

  (1 − t)t = n − 2nkt + k

  2

  2

  2

  2

  2

  2 H n t

  (t ) = n − t − 2nkt + k

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  n n (H + n )t )t + k = 0.

  − (2nk + H A express˜ao do discriminante ∆ para a computa¸c˜ao das ra´ızes ´e dada por

  2

  2

  4

  4

  3

  2

  2

  

2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  k n H k n H H ∆ = 4n + H + 4n (H + n ) = n (4nk + n ),

  − 4k − 4k

  2

  , encontrando t = 1 temos − r p

  2

  2

  2

  2

  2

  2 H n H H

  2nk + n [n + 4k(n ± − k)]

  2

  1 = − r

  2

  2

  2 H

  2(n + n ) p

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  n H n H H

  • 2n [n + 4k(n

  − 2nk ∓ − k)]

  2

  r ,

  =

  

2

  2

  2 H

  2(n + n ) e com isso

  

2

  2

  1 2n (1 + H ) = p

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  r n H + 2n n H [n H + 4k(n − 2nk ∓ − k)]

  2

  2

  1 2n (1 + H ) = p

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

1 H n H H

  − r 2nk + n [n + 4k(n ± − k)] fazendo as devidas racionaliza¸c˜oes dos denominadores das express˜oes acima encontramos p

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  n H + 2n n H [n H + 4k(n

  1 − 2nk ± − k)]

  =

  (2.6)

  2

  2

  r 2(n

  − k) p

  2

  2

  

2

  2

  2

  2

  n H n H H 1 + 2nk [n + 4k(n ∓ − k)]

  =

  (2.7)

  2

  2

  1 2k − r

  Substituindo (2.6) e (2.7) na express˜ao (2.5) obtemos

  3

  n n p (n

  2 − 2k) k H k

  2

  2 S H H n

  = n +

  • 4k(n (2.8) ± − k)
O Toro de Clifford

  30

  se p

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  n H + 2n(n n H [n H + 4k(n

  

2 − k) + − k)]

  r = ,

  

2

  2

  2n (H + 1) temos,

  2

  2

  2 H n

  2n(n 2n(n − k) + 2n − k) + 2n(n − k)H − k

  2

  r .

  = ≥ ≥

  2

  2

  2

  2

  n 2n (H + 1) 2n (H + 1)

  Observemos que este ´e o caso em que

  3

  p n n (n − 2k) k H k

  2

  2

  2

  • S = n + H H n + 4k(n (2.9)

  − k) 2k(n 2k(n

  − k) − k) Por outro lado, se p

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  n H + 2n(n n H [n H + 4k(n − k) − − k)]

  2

  r = ,

  

2

  2

  2n (H + 1) p

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  e usando o fato de que n H n H [n H + 4k(n ≤ − k)], p

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  n H + 2n(n n H [n H + 4k(n − k) − − k)]

  2

  r =

  

2

  2

  2n (H + 1)

  2

  2

  2

  2

  n H H

  • 2n(n 2n(n

  − k) − n − k) =

  ≤

  2

  2

  2

  2

  2n (H + 1) 2n (H + 1)

  2

  2

  2n(n + 2n(n 2n(n + 1) − k)H − k) − k)(H

  = ≤

  2

  2

  2

  2

  2n (H + 1) 2n (H + 1) n − k

  , = n onde conclu´ımos acima que n

  − k r . ≤ n

  Neste caso,

  3

  n n p (n

  

2 − 2k) k H k

  2

  2 S H H n

  = n +

  • 4k(n − − k)·

  2k(n 2k(n − k) − k)

  Em particular, para k = 1, temos que o quadrado da norma da segunda forma funda- √ n

  − 1

  1

  2

  2 n−1

  mental do toro S (r) ( 1 ), com r , ´e dado por × S − r ≥ n

  3

  p n n (n − 2) k H k

  2

  2

  2 S = n + H H n + 4(n

  − − 1), 2(n 2k(n

  − 1) − 1) n √

  − 1

  1

  

2

  2 n−1

  , enquanto que para o toro S (r) ( 1 ), com r tem-se

  × S − r ≤ n

  3

  p n n (n

  − 2) k H k

  2

  2

  2 S H H n

  = n + + 4(n − − 1).

  2(n 2k(n − 1) − 1) Cap´ıtulo 3 Estabilidade e ´Indice de Morse

  No presente cap´ıtulo faremos uma apresenta¸c˜ao de fatos relacionados a teoria de es- tabilidade, com o estudo de um problema variacional de minimiza¸c˜ao de ´area de variedades

  n+1

  Riemanianas em uma forma espacial Q com c =

  c −1, 0, 1, ou seja, espa¸cos com curvatura

  constante. Em particular, as hipersuperf´ıcies m´ınimas, com bordo, imersas na esfera (n + 1) -

  n+1

  dimensional unit´aria S (1). Introduziremos o conceito de varia¸c˜ao de uma imers˜ao bem como as f´ormulas da primeira e segunda varia¸c˜ao. A f´ormula da primeira varia¸c˜ao nos permite caracterizar as hipersuperf´ıcies m´ınimas como os pontos cr´ıticos da fun¸c˜ao ´area, enquanto que a da segunda varia¸c˜ao ´e de fundamental importˆancia no sentido de encontrar um m´ınimo local desta fun¸c˜ao ou ´ındice para hipersuperf´ıcie, em cada varia¸c˜ao.

3.1 Primeira e Segunda Varia¸c˜ ao e Estabilidade

  Sejam M uma variedade Riemanniana e φ : M → M uma imers˜ao isom´etrica. Para caracterizarmos as imers˜oes m´ınimas como pontos cr´ıticos da fun¸c˜ao ´area, pre- cisamos formalizar o conceito de varia¸c˜ao. Trabalharemos aqui com o caso em que M ´e com- pacta, orientada, com bordo ∂M . Nos restringiremos `as varia¸c˜oes que fixam o bordo de M .

  ∞

  Uma varia¸c˜ao da imers˜ao φ ´e uma aplica¸c˜ao X : ( , que −ε, ε) × M → M de classe C satisfaz: Estabilidade e ´ Indice de Morse

  32

  (a) cada aplica¸c˜ao φ : M (p) = X(t, p) ´e uma imers˜ao;

  

t → M definida por φ t

  (b) φ = φ; ,

  (c) φ t ∂M = φ ∂M para todo t | | ∈ (−ε, ε)

  O campo W definido por ∂X

  W (p) = dX. (t, p) , p (3.1)

  t=0

  | ∈ M ∂t ´e chamado campo variacional de X.

  Vejamos que para cada p ∈ M, W (p) ´e o vetor velocidade, em t = 0, da curva α : I → M definida por α(t) = X(t, p).

3.1 Observa¸c˜ao. A varia¸c˜ao X ´e dita normal se o campo W ´e um campo normal. Neste caso

  ∞

  W = uN , u (M ), u

  ∂M ∈ C | ≡ 0.

  Seja dM o elemento de ´area de M na m´etrica induzida por φ . Definamos a fun¸c˜ao

  t t

  A : (

  −ε, ε) → R por Z

  A dM , (t) = t

  M isto ´e, A(t) ´e a ´area de M com rela¸c˜ao `a m´etrica induzida por φ . t

  A f´ormula da primeira varia¸c˜ao da hipersuperf´ıcie ´e dada por Z

  ′

  A (0) =

  (3.2)

  −n hH, W idM

  M

  onde dM ´e o elemento de ´area em M na m´etrica induzida, n a dimens˜ao da hipersuperf´ıcie M e hH, W i a proje¸c˜ao do campo variacional na dire¸c˜ao normal.

  Como conseq¨ uˆencia da express˜ao acima (3.2) temos que a imers˜ao φ ´e m´ınima se, e somente se, φ ´e um ponto cr´ıtico para a fun¸c˜ao ´area correspondente a cada varia¸c˜ao. Mais

  ′

  precisamente, do fato de φ ser m´ınima se e somente se, para cada varia¸c˜ao tem-se A (0) = 0, temos que o ponto t = 0, o qual est´a associado `a imers˜ao φ, ´e um ponto cr´ıtico para a fun¸c˜ao A relativa a cada varia¸c˜ao. ´ E de fato neste sentido que dizemos que as imers˜oes m´ınimas s˜ao os pontos cr´ıticos da fun¸c˜ao ´area. Se φ ´e uma imers˜ao m´ınima, ´e natural ent˜ao indagar se, para cada varia¸c˜ao φ ´e um ponto de m´ınimo local, ou se φ n˜ao representa um ponto de m´ınimo desta fun¸c˜ao para alguma varia¸c˜ao. Como este ´e um problema de determinar o m´ınimo de

  Estabilidade e ´ Indice de Morse

  33

  uma fun¸c˜ao diferenci´avel A : ( −ε, ε) → R, ou a instabilidade da hipersuperf´ıcie M ´e necess´ario

  ′′ conhecermos a express˜ao de A (0), chamada f´ormula da segunda varia¸c˜ao.

  Adequando o contexto descrito com o nosso interesse neste trabalho, faremos algumas

  n+1

  restri¸c˜oes. Suporemos a partir de agora e em todo o cap´ıtulo que M = S (1), esfera unit´aria

  n+1

  (n + 1)- dimensional, de forma que φ : M ´e uma imers˜ao m´ınima e que a varia¸c˜ao X → S

  ´e normal, isto ´e, o campo W definido em (3.1) ´e um campo normal. Observemos ainda que a condi¸c˜ao W ∂M ≡ 0 equivale a u| ≡ 0.

  Considerando a varia¸c˜ao normal dada por u, seja A : t (φ ), a fun¸c˜ao ´area

  u u t

  7→ A

  n+1 n+2

  associada a esta varia¸c˜ao normal, onde φ t : M (1) ֒ ´e a imers˜ao definida por → S → R

  φ = X(t, p), p

  t

  ∈ M. A f´ormula da segunda varia¸c˜ao ´e dada por Z

  © ª

  2

  2 ′′

  A u (0) = ∆u )u dM

  − − (Ric(N) + ||σ||

  u M n+1

  onde ∆ ´e o operador Laplaciano da imers˜ao, Ric(N )´e a curvatura de Ricci de M = S na dire¸c˜ao de N, |σ| ´e a norma da segunda forma fundamental da imers˜ao. Observe que para

  n+1

  M = S , temos

  n+1 Ric S .

  (X) = n,

  p

  ∀X ∈ T Uma hipersuperf´ıcie M ´e dita est´avel se para toda varia¸c˜ao normal que fixa seu bordo

  ′′ ′′

  A (0) > 0. M ´e dita inst´avel se para alguma varia¸c˜ao normal que fixa seu bordo A (0) < 0. Vale

  u u

  ressaltar que hipersuperf´ıcie n˜ao est´avel difere-se da inst´avel, pois no caso da hipersuperf´ıcie

  ′′ n˜ao est´avel, pode ocorrer que A (0) = 0, enquanto que na inst´avel existe a desigualdade estrita. u

  De posse destas defini¸c˜oes podemos ent˜ao responder a indaga¸c˜ao anunciada ante- riormente. Uma imers˜ao m´ınima φ representa um m´ınimo local da fun¸c˜ao ´area se temos A

  (0) (t), para todo t

  u u

  ≤ A ∈ (−ε, ε) e para toda varia¸c˜ao φ, ou de outra forma, podemos

  ′ ′′

  tamb´em dizer que se A (0) = 0 e A (0) > 0 para toda varia¸c˜ao normal que fixa bordo, M

  u u

  representa um m´ınimo local. Se M al´em de ser um m´ınimo local, sua ´area ´e menor ou igual que a ´area de qualquer outra hipersuperf´ıcie M que tenha a mesma fronteira definimos M por

  

t

∞ ′′

  minimizante. Por´em se para algum u (M ), A (0) < 0, ou seja, M ´e inst´avel, vemos que a ∈ C u

  ´area de M ´e maior que a ´area de M para pequenos valores de t

  t

  6= 0. Em particular, M, n˜ao ´e um m´ınimo local da fun¸c˜ao ´area, embora seja um ponto cr´ıtico desta fun¸c˜ao. Veremos a seguir que a instabilidade de uma hipersuperf´ıcie M pode ser caracterizada com o que denominaremos ´ındice. Estabilidade e ´ Indice de Morse

  34 3.2 ´Indice de Morse de Hipersuperf´ıcies da Esfera n n+1

  Seja M imersa isom´etricamente na esfera unit´aria (n + 1) - dimensional, S (1). O operador de estabilidade da imers˜ao, ´e expressado por

  2 L

  = ∆ + + n. (3.3) ||σ||

  Para hipersuperf´ıcies da esfera, o operador de estabilidade L induz uma forma quadr´atica dada por Z

  © ª

  2

  2 2 n

  Q (u, u) = + n)u dM (3.4) |∇u| − (||σ||

  n M n n

  onde ´e a m´etrica sobre M . Definimos o ´ındice de Morse ∇u ´e o gradiente da fun¸c˜ao u e dM

  n n

  , de uma hipersuperf´ıcie M e denotamos por ind(M ), o ´ındice da forma quadr´atica Q, que consiste em encontrar a dimens˜ao m´axima do subespa¸co vetorial das fun¸c˜oes onde Q ´e negativa

  n n

  definida. Intuitivamente, o ind(M ) mede o n´ umero de dire¸c˜oes em que M deixa de minimizar ´areas. Do fato do Ric(N ) = n ,do Teorema da divergˆencia (1.8) e das F´ormulas de Green(1.9) e (1.10) temos que a segunda varia¸c˜ao coincide com a forma quadr´atica na esfera, ou seja, temos que

  ′′ ∞

  A (0) = Q(u, u) (M ), u ∂M

  

u ∀u ∈ C | ≡ 0

  Assim est´a claro que, para uma dada fun¸c˜ao u, cuja forma quadr´atica ´e negativa, temos que a segunda varia¸c˜ao segundo esta fun¸c˜ao ´e negativa. De maneira a conclu´ımos que se uma hipersuperf´ıcie ´e inst´avel esta apresenta ´ındice. Observemos ainda que afirmar que uma hipersuperf´ıcie ´e est´avel equivale a dizer que seu ´ındice ´e igual a zero. Em [S], J.Simons provou que M ´e uma hipersuperf´ıcie m´ınima da esfera, ent˜ao ind(M )

  ≥ 1, e caracterizou as imers˜oes totalmente geod´esicas como as ´ unicas cujo ind(M ) = 1.

  As imers˜oes m´ınimas na esfera tˆem uma peculiar propriedade de exprimir o ´ındice de uma dada hipersuperf´ıcie em fun¸c˜ao do n´ umero de autovalores negativos associados ao operador de estabilidade L contando com multiplicidade, de modo a existir uma equivalˆencia entre o n´ umero de autovalores negativos de L e a dimens˜ao m´axima do subespa¸co das fun¸c˜oes no qual a forma quadr´atica Q ´e negativa, obtida da seguinte forma. Estabilidade e ´ Indice de Morse

  35

2 Seja L (M ) o espa¸co das fun¸c˜oes mensur´aveis u em M para as quais

  Z

  2

  dM < ||u|| ∞.

  M

2 Em L (M ) consideramos o produto interno usual, e a norma induzida, dada respectivamente

  por: Z Z

  2

  2

  2

  uv dM, = u dM, hu, vi = ||u|| L (M ) hu, ui =

  

M M

  para u, v em M . Temos a seguinte rela¸c˜ao:

  ′′

  −hLu, ui uN desenvolvendo a forma quadr´atica Q, induzida pelo operador estabilidade L, temos pelo teorema da divergˆencia:

  2 Q (u, u) = = A (0) L (M )

  Z © ª

  

2

  2 2 n

  Q (u, u) = + n)u dM |∇u| − (||σ||

  n M

  Z © ª

  2 n

  = u (∆u + u + nu) dM − ||σ||

  n M

  Z

  n

  = − {u.Lu} dM

  n M

  Sendo u uma autofun¸c˜ao de L, temos Lu = λu, logo Z

  2 n

  Q u (u, u) = λ dM

  n M

  Portanto Z

  2 n ′′

  A u < (0) = Q(u, u) = λ dM 0,

  uN n

  M se e somente se λ < 0.

  Do mesmo modo, fazendo an´alise com referˆencia aos problemas de autovalores temos , i que se λ = 1, 2... s˜ao autovalores de L, e f as autofun¸c˜oes correspondentes, ent˜ao

  i i

  R

  2

  2

  2

  • n)u dM |∇u| − (||σ||

  D

  λ

  k = inf R

  2 u∈X u

  dM

  D ⊥

  , . . . , f onde X = [f

  1 ] para toda u com u k−1 |∂D = 0. Logo

  λ

  (3.5) k Estabilidade e ´ Indice de Morse

  36 R R 2 n n

  u uf para qualquer fun¸c˜ao u com n dM = 1 e n dM = 0, i = 1, 2, ...(k

  i −1), onde temos M M

  a igualdade se e somente se u ´e autofun¸c˜ao de L ,ou seja, Lu u

  • λ k = 0 Conclu´ımos com o exposto que encontrar o ´ındice de Morse da hipersuperf´ıcie M ´e encontrar autofun¸c˜oes do operador L associadas a autovalores negativos.

3.3 O Espectro de uma Variedade Riemanniana

  Nesta sec¸c˜ao, segue que M ´e uma variedade Riemanniana conexa e compacta munida da m´etrica Riemanniana g = h , i e sobre esta, um operador ∆, que como antes, denotar´a o Laplaciano de M onde o mesmo ´e um operador autoadjunto, el´ıptico diferenci´avel, positivo definido.

  Chamamos de espectro de uma variedade Riemanniana (M, g) e denotamos por Spec (M, g),

  ∞

  o conjunto dos valores de λ (M ), f ∈ R tal que f ∈ C 6= 0 onde se verifica ∆f + λf = 0.

  ∞

  Seja f (M ) tal que ∆f + λf = 0 com λ ∈ C ∈ Spec(M, g). Este n´umero real λ ´e chamado de autovalor em (M, g) para o operador ∆ e a fun¸c˜ao f ´e chamada de autofun¸c˜ao associada a λ. Dizemos tamb´em que o conjunto

  ∞

  P (M, g) = (M ); ∆f + λf = 0

  λ

  {f ∈ C } ´e o autoespa¸co associado a λ.

  Para todo λ (M, g) tem dimens˜ao finita. Esta dimens˜ao ´e chamada

  λ

  ∈ Spec (M, g), P de multiplicidade de λ i associada a P λ i (M, g).

  Consideremos os seguintes problemas de autovalores: Problema fechado de autovalor - Seja M como definido nesta sec¸c˜ao. Encontrar

  2

  todos os n´ umeros reais λ para os quais exista uma solu¸c˜ao n˜ao trivial f (M ) para a equa¸c˜ao ∈ C

  ∆f + λf = 0 (3.6) Estabilidade e ´ Indice de Morse

  37 Problema de autovalor de Dirichelet - Para M conexa com fecho compacto e

  fronteira suave, achar todos os valores reais λ para os quais exista uma solu¸c˜ao n˜ao trivial

  2

  f (M ) (M ) para 3.6 satisfazendo a condi¸c˜ao de fronteira ∈ C ∩ C f

  (3.7)

  |∂M = 0

  

3.2 Teorema. Para cada um dos problemas de autovalores acima, o conjunto de autovalores

< λ < λ . . .

  consiste de uma seq¨ uencia 0

  1

  2

  

3

  ≤ λ ↑ +∞, e cada autoespa¸co ´e de dimens˜ao

  2

  2

  finita. Autoespa¸cos associados a distintos autovalores s˜ao ortogonais em L (M ), e L (M ) ´e soma direta de todos os autoespa¸cos.

  Demonstra¸c˜ ao. : Ver [Chav]

  3.3 Teorema (Quociente de Rayleigh). Para toda u

  6= 0 temos Q

  (u, u) λ ,

  1 (3.8)

  ≤

  

2

  2

  ||u||

  L (M ) . , f , . . .

  com igualdade se s´o se u ´e uma autofun¸c˜ao de λ Se f ´e uma base ortonormal com-

  1

  1

  2

  2

  pleta de L (M ) tal que f ´e uma autofun¸c˜ao de λ para cada j = 1, 2, . . . ent˜ao para u

  j j

  6= 0

  ⊥

  , f , . . . f satisfazendo u ] temos a desigualdade

  1

  2

  ∈ [f n−1 Q

  (u, u) λ ,

  (3.9) k

  ≤

  

2

  2

  ||u||

  L (M )

  com igualdade se s´o se u ´e uma autofun¸c˜ao de λ

  k

  Demonstra¸c˜ ao. : Ver [Chav]

  

3.4 Observa¸c˜ao. A multiplicidade do autovalor λ = 0 ´e 1. Com efeito as ´ unicas autofun¸c˜oes

  associadas a 0, ou seja, autofun¸c˜oes harmˆonicas s˜ao as constantes, porque hf, ∆fi = h∇f, ∇fi, assim

  ∆f = 0 ⇒ ∇f = 0 o que implica que f ´e constante, pois trata-se de um espa¸co de Hilbert. Estabilidade e ´ Indice de Morse

  38 Relacionemos a seguir os espectros dos operadores ∆ e L.

  Se λ ´e um autovalor do Laplaciano ∆ associado a autofun¸c˜ao u, temos que ∆u + λu = 0

  2

  mas como Lu = ∆u + u + nu segue que ||σ||

  2 Lu + (λ − ||σ|| − n)u = 0.

  2 Conclu´ımos assim que se λ ´e um autovalor do Laplaciano ∆, (λ

  − ||σ|| − n) ´e um autovalor do operador de estabilidade L.

  Exemplo

3.1. Seja c uma fun¸c˜ao constante. Assim temos que ∆c = 0 = 0.c logo 0 ´e

  2

  autovalor de ∆ o que implica que ( −||σ|| − n) ´e um autovalor de L.

  O espectro de um operador, em uma variedade est´a intimamente relacionado com a geometria dessa variedade. A instabilidade das hipersuperf´ıcies da esfera, determinada pelo operador de estabilidade L, nos credencia a an´alise do espectro do mesmo, ou mais precisa- mente parte dele(correspondente aos autovalores negativos), a qual nos d´a o ´ındice de Morse. Utilizaremos destes fatos, no que refere-se a encontrar autofun¸c˜oes associadas a autovalores negativos, gerando ´ındice, para caracterizarmos o Toro de Clifford m´ınimo.

3.4 Transforma¸c˜ oes Conformes na Esfera

  Estudaremos as aplica¸c˜oes conformes na esfera no intuito de pontuar elementos rela- cionados a ´area de hipersuperf´ıcies da esfera, elementos estes que ser˜ao utilizados nas demonstra¸c˜oes dos teoremas do cap´ıtulo 4. Ao final da sec¸c˜ao enunciaremos resultados, os quais tamb´em ser˜ao utilizados nestas demonstra¸c˜oes.

  n+2 n+1 n+2

  Seja D a bola aberta unit´aria limitada por S (1) em R e G o grupo das

  n+1 n+2

  transforma¸c˜oes conformes em S (1). Ent˜ao para cada g definimos uma aplica¸c˜ao ∈ D

  n+1 n+1

  conforme F : S (1) (1) dada por:

  g

  → S p

  • (µ hp, qi + λ)g

  F (p) =

  (3.10) g Estabilidade e ´ Indice de Morse

  39 n+1

  2 − (1/2) −2

  , , µ para todo p onde λ = (1 ) = (λ e ∈ S −|g| −1)|g| h , i denota o produto interno

  n+2 n+1

  usual em R . F ´e uma transforma¸c˜ao de S que pode ser estendida para uma isometria em

  g n+2 n+2

  D dotado com a m´etrica hiperb´olica, que translada a origem de D sobre o ponto g. Al´em disso, cada transforma¸c˜ao de G pode ser expressada por T , onde T ´e uma transforma¸c˜ao ◦ F g

  n+1 n+2 ortogonal de S e F ´e dada conforme (3.10) para algum g . g

  ∈ D Computemos a seguir a diferencial dF de F . Sejam I = (

  g g

  −ε, ε) ⊂ R , um caminho

  n+1 ∞

  diferenci´avel em R , α : I (1), uma curva diferenci´avel C na esfera, tal que → S

  α (t) = p.cost + v.sent

  n+1 ′

  onde α(0) = p e α (0) = v para em p .

  |v| = 1, vetor tangente a esfera S

  ′ ′

  d (t) + µ (t), g

  {[α hα ig] · [λ(hα(t), gi + 1)]} (F =

  g t=0

  ◦ α(t)) |

  2

  2

  dt λ

  ( hα(t), gi + 1)

  ′

  (t), g {α(t) + (µhα(t), gi + λ) · g} · λhα i

  −

  2

  2

  λ ( hα(t), gi + 1)

  ′ ′

  (0) + µ (0), g {[α hα ig] · [λ(hα(0), gi + 1)]}

  =

  2

  2

  λ ( hα(0), gi + 1)

  ′

  (0), g {α(0) + (µhα(0), gi + λ) · g} · λhα i

  −

  2

  2

  λ ( hα(0), gi + 1)

  {[v + µh v, gig] · [λ(h p, gi + 1)]} =

  2

  2

  λ ( hp, gi + 1)

  {p + (µhp, gi + λ) · g} · λhv, gi −

  2

  2

  λ ( hp, gi + 1) Estabilidade e ´ Indice de Morse

  40

  λ ( hp, gi + 1)v + µhv, gighp, giλ + µλhv, gig

  =

  2

  2

  λ ( hp, gi + 1)

  2

  λ hv, gip − µhp, giλhv, gig − λ hv, gig −

  2

  2

  λ ( hp, gi + 1)

  2

  d λ (1 + ) hp, gi)v − λhv, gip + (µλ − λ h v, gig (F =

  g t=0

  ◦ α(t)) |

  2

  2

  dt λ ( hp, gi + 1)

  Ent˜ao para os vetores v , w e o vetor posi¸c˜ao p n´os temos

  2

  2

  2 −4 −4 g (v), dF g (w) (1 + (1 +

  hdF i = λ · (hp, gi + 1) · {λ hp, gi) hv, wi − λ hp, gi)hw, gihv, pi − − λ(1 + hp, gi) · µhw, gi · hv, gi −

  2

  2

  2

  • λ − λ hv, gi(1 + hp, gi)hp, wi + λ hv, gihw, gi|p | hv, giµhw, gihp, gi −

  2

  2

  − µhv, giλ(1 + hp, gi)hw, gi + µhv, giλhw, gihp, gi + µ hv, gihw, gi|g| }

  2

  2 −4 −4

  = λ (1 + · (hp, gi + 1) · {λ hp, gi) hv, wi − λ(1 + hp, gi) · µhw, gihv, gi +

  2

  • λ hv, gihw, gi + λhv, giµhw, gihp, gi −

  − µhv, giλ(1 + hp, gi)hw, gi + µhv, giλhw, gihp, gi +

  2

  2

  • µ hw, gihv, gi|g | }

  µ hv, wi hw, gihv, gi hw, gihv, gi = + +

  −

  2

  2

  3

  3

  2

  4

  λ (1 + λ (1 + λ (1 + hp, gi) hp, gi) hp, gi) µ µ hw, gihv, gihp, gi hw, gihv, gi

  • 3

  4

  

3

  3

  λ λ (1 + (1 + hp, gi) hp, gi)

  

2

  2

  µ µ hw, gihv, gihp, gi hv, gihp, gi|g|

  3

  4

  4

  4

  λ λ (1 + (1 + hp, gi) hp, gi) Estabilidade e ´ Indice de Morse

  41

  2µ hv, wi hw, gihv, gi

  • = −

  2

  2

  3

  3

  λ λ (1 + (1 + hp, gi) hp, gi)

  2

  2

  2

  2µ [λ + µ ] hw, gihv, gihp, gi |g | hw, gihv, gi

  3

  4

  4

  4

  λ (1 + λ (1 + hp, gi) hp, gi) 2µλ hv, wi hw, gihv, gi(1 + hp, gi)

  = −

  • 2

  2

  4

  4

  λ λ (1 + (1 + hp, gi) hp, gi)

  2

  

2

  2

  2µλ [λ + µ ] hw, gihv, gihp, gi |g | hw, gihv, gi

  4

  4

  4

  4

  λ λ (1 + (1 + hp, gi) hp, gi)

  2

  2

  2

  • µ hv, wi hw, gihv, gi{−2µλhp, gi − 2µλ + 2µλhp, gi + λ |g| }
  • =

  2

  2

  4

  4

  λ (1 + λ (1 + hp, gi) hp, gi)

  1 =

  · hv, wi

  2

  2

  λ (1 + hp, gi)

  2

  1 − |g|

  = · hv, wi

  2

  (1 + hp, gi) Da equa¸c˜ao

  2

  1 − |g|

  (v), dF (w)

  (3.11) g g

  hdF i = · hv, wi

  2

  (1 + hp, gi)

  2

  1 − |g| ´e o coeficiente de conformalidade de F . temos claramente que

  g

  2

  (1 + hp, gi)

  

n

  , Como M ´e compacta com m´etrica dM para cada coordenada da imers˜ao conforme

  n+1

  φ : M (1) n´os podemos considerar a fun¸c˜ao ´area A : G

  → S → R que aplica uma trans-

  n+1

  forma¸c˜ao conforme h de S sobre a ´area induzida da imers˜ao h . Denotaremos A(h

  i

  ◦ φ ◦ φ) ou A

  (h) esta ´area induzida pela imers˜ao. J´a que a fun¸c˜ao ´area ´e invariante sobre transforma¸c˜oes

  n+1

  , ortogonais de S podemos nos restringir `as transforma¸c˜oes conformes do tipo (3.10) . Segue que

  A (h ).

  g g g

  ◦ φ) = A(T ◦ F ◦ φ) = A(F ◦ φ) = A(F

  n+2

  Ent˜ao, a fun¸c˜ao ´area pode ser definida sobre uma bola unit´aria, A : D → R. De (3.11)

  n+1 n+1 n+1 n+1

  considerando φ : M (1), F : S (1) (1) e a composta F (1),

  g g

  → S → S ◦ φ : M → S Estabilidade e ´ Indice de Morse

  42 n+2

  observamos que para cada g obtemos ∈ D

  2

  (φ(p)) (φ(p)) (v), dF (w) (3.12)

  g g g g

  hdF · |∇φ(p)| · v, dF · |∇φ(p)| · wi = hdF i · |∇φ(p)|

  2

  1 − |g|

  2

  = · hv, wi · |∇φ(p)|

  2

  (1 + hφ, gi) Seja F

  g

  ◦ φ uma imers˜ao m´ınima, temos que ∆(F

  g g

  ◦ φ) + n(F ◦ φ) = 0 fazendo o produto interno em ambos os membros desta equa¸c˜ao por F g ◦ φ temos que

  g g g

  h∆(F ◦ φ) + n(F ◦ φ), F ◦ φi = 0

  2 g g g = 0,

  h∆(F ◦ φ), F ◦ φi + n · ||F ◦ φ|| integrando ambos os membros da equa¸c˜ao chegamos a Z Z

  2 dM = 0. g g g

  h∆(F ◦ φ), F ◦ φidM + n ||F ◦ φ||

  M M

  Do Teorema da divergˆencia (1.8) e das F´ormulas de Green(1.9) e (1.10) obtemos Z Z

  2 g g g dM

  − h∇(F ◦ φ), ∇(F ◦ φ)idM = −n ||F ◦ φ||

  M M

  De (3.12) obtemos Z Z

  2

  1

  1

  2 − |g|

  2

  dM = dM

  g

  ||F ◦ φ|| | · ||∇φ(p)||

  2

  n (1 +

  M M hp, gi)

  portanto Z Z

  2

  1

  1 − |g|

  2 A

  (F ) = dM = dM (3.13)

  g

  · ||∇φ(p)||

  2

  n (1 +

  M M hp, gi)

  Assim se verifica a seguinte rela¸c˜ao Z

  2

  dM = n ) . (3.14)

  g g

  ||∇(F ◦ φ)|| · A(F

  M n+2

  H Sejam φ imers˜ao isom´etrica , H e e os vetores curvatura m´edia de M em R e M

  n+1

  em S respectivamente curvatura m´edia H, temos que

  Estabilidade e ´ Indice de Morse

  43 Z N

  2

  2(

  H, g hφ, gi + 1)h e i + |g | A (0) = A(F ) + dM (3.15)

  g

  2

  (

  

M hφ, gi + 1)

  H Como a imers˜ao φ ´e m´ınima, e = 0 logo,

  Z

  N

  2

  |g | nA = nA(F g ) + n dM

  2

  (

  

M

  hφ, gi + 1) Da equa¸c˜ao acima e de (3.14) chegamos a

  Z Z µ ¶

  2 2 hN, gi

  nA = dM + n dM (3.16)

  g

  |∇(F ◦ φ)| (1 +

  

M M hφ, gi)

onde A ´e a ´area de M, e N ´e o campo de vetores unit´arios normais M .

  Enunciaremos agora alguns resultados, os quais utilizaremos nas demonstra¸c˜oes dos teoremas do cap´ıtulo 4.

  2

  2

  3.5 Lema. Seja ρ : M

  ´e uma superf´ıcie → R uma fun¸c˜ao diferenci´avel positiva, onde M

  2 n

  Riemanniana compacta e φ : M uma imers˜ao conforme, ent˜ao existe uma transforma¸c˜ao → S

  Z

  n n

  ρ conforme F : S tal que (F

  g g → S ◦ φ)dM = 0.

  M

  

3.6 Teorema (Obata). Seja (M, g) uma variedade Riemanniana completa de dimens˜ao n

n

  onde n ´e isom´etrica a esfera euclidiana se, e somente se, existe uma fun¸c˜ao f : ≥ 2. M

  n

2 M tal que Hessf = → R de classe C −f · Id.

  n

3.7 Teorema (S.S. Chern, M. Do Carmo e S.Kobayashi). Seja M uma hipersuperf´ıcie

  n+1

  

2

  2

  2

  m´ınima, compacta imersa em S (1), se = 0 ou = n, se e ||σ|| ≤ n ent˜ao ou ||σ|| ||σ||

  √

  n k n−k

  2

  somente se M ´e isom´etrica localmente ao Toro de Clifford S (r) ( 1 ).

  × S − r Cap´ıtulo 4 Teoremas

  No cap´ıtulo de preliminares vimos duas classes importantes de fun¸c˜oes no contexto das

  n+1

  imers˜oes m´ınimas em S que s˜ao as fun¸c˜oes suporte e altura, pelo fato destas serem auto- fun¸c˜oes do operador de estabilidade L. Prosseguindo mostramos no cap´ıtulo 3 que o ´ındice de Morse para as hipersuperf´ıcies m´ınimas da esfera consiste em encontrar o n´ umero de autovalores negativos de L contando com multiplicidade que ´e a dimens˜ao do autoespa¸co associado a este autovalor.

  Objetivamos demonstrar os teoremas (4.1) e (4.2), os quais nos d˜ao uma estimativa do ´ındice de Morse para as hipersuperf´ıcies m´ınimas da esfera, n˜ao totalmente geod´esicas e permitem uma caracteriza¸c˜ao para o Toro de Clifford como o limite inferior do ´ındice dessas hipersuperf´ıcies.

4.1 Teorema em dimens˜ ao 2

3 Seja φ : M (1) uma imers˜ao isom´etrica de uma superf´ıcie m´ınima, compacta,

  → S

  3

  4

  orient´avel em S (1). N´os denotaremos por bem como a m´etrica induzida h , i a m´etrica de R

  3

  4

  3

  sobre S (1) e M. Considere D, , S e

  ∇ e ∇ respectivamente as conex˜oes de Levi-Cita de R

  3 M

  , σ ; σ a segunda forma fundamental da imers˜ao M ֒ a segunda forma fundamental

  → S

  3 n+2

  ֒ , A da imers˜ao S com A → R N

  − φ os operadores associados respectivos e eσ = σ + σ a

  4

  2

  segunda forma fundamental de M ֒ e L (M ) o espa¸co das fun¸c˜oes mensur´aveis, tal como → R

  Teoremas 45 no Cap´ıtulo 3.

  

Teorema 4.1 (Francisco Urbano). Seja M uma superf´ıcie m´ınima, compacta,orient´avel,

  3

  n˜ao totalmente geod´esica em S (1). Ent˜ao ind(M ) ≥ 5, e a igualdade se verifica se e somente se M ´e o Toro de Clifford.

  

4

Demonstra¸c˜ ao. Para um vetor v qualquer fixo consideremos a fun¸c˜ao suporte

  ∈ R f =

  v hN, vi.

  Aplicando o operador de estabilidade a f v obtemos

  2 Lf f

  • v = ∆f v v + 2f v

  ||σ||

  e conforme o Lema (1.8), temos que

  2

  f

  • ∆f v v = 0

  ||σ|| portanto, Lf v v = 0. Ent˜ao,

  v :

  − 2f −2 ´e autovalor de L, e as fun¸c˜oes sobre o espa¸co V = {f

  4

  v ∈ R } s˜ao autofun¸c˜oes de −2. Mostremos que dim V = 4.

4 Seja T : R provemos que:

  → V uma aplica¸c˜ao tal que T v = f v i ) T ´e linear ii

  − 1 No ´ıtem i) temos que

  T (αv + w) = f

  αv+w

  = hN, αv + wi = α hN, vi + hN, wi = αf + f

  v w

  4

  , v Para o ´ıtem ii) se T n˜ao ´e 1

  = 0. Seja

  v

  − 1, ent˜ao existe v ∈ R 6= 0 tal que f

  4

  , v , v , v , c , c , c ,

  1

  2

  3 4 e f v i = i

  1

  2

  3 4 n˜ao todos nulos tais

  {v } base de R hN, v i. Existem escalares c

4 X

  c f que = 0, isto ´e,

  i v i i=1

  4

  4 X

  X c c v

  i i hN, vi = hN, i = 0. Teoremas

  46 Como v

  (4.1)

  (4.2)

  v .

  = −hX, Y ih

  = hA N X, Y if v − hX, Y ih v

  X, Y ihN, vi − hA − φ X, Y ihφ, vi

  N

  = hA

  i = heσ(X, Y ), vi = hσ(X, Y ) + σ(X, Y ), vi

  v

  X Y, v

  − ∇

  X Y

  i = hD

  X Y, v

  i − h∇

  X Y, v

  hφ, vi = hD

  Logo, Hess h v = −h

  h , i e pelo teorema (3.7) de Obata [O], temos que M ´e isom´etrica `a esfera unit´aria ou h

  v i − ∇

  1

  ρ (F

  M

  (1) tal que Z

  3

  de S

  g

  que pode ser tomada positiva. Ent˜ao conforme o Lema (3.5), existe uma transforma¸c˜ao conforme F

  = −2 com multiplicidade 4. Seja ρ uma autofun¸c˜ao de λ

  v

  2

  Agora suponhamos que ind(M ) = 5. Ent˜ao λ

  1 ´e sempre um. Portanto ind(M ) ≥ 1 + dim V = 5.

  (1), e novamente M ´e totalmente geod´esica, o que contraria mais uma vez a hip´otese. Assim, conclu´ımos que T ´e injetiva e a dim V = 4 . Ent˜ao −2 n˜ao pode ser o primeiro autovalor de L, porque vimos que a multiplicidade do primeiro autovalor, λ

  3

  (1), contradi¸c˜ao. No segundo caso, como v 6= 0, conclu´ımos que φ(M ) ´e o equador de S

  3

  = 0. No primeiro caso, das igualdades (4.1) e (4.2) conclu´ımos que σ = 0, portanto M ´e totalmente geod´esica em S

  X Y

  X

  1

  i

  = hφ, vi. Para X, Y

  v

  = 0. Calcule- mos agora a Hessiana da fun¸c˜ao h

  v

  6= 0 e f

  i

  v

  c

  v

  4 X i=1

  s˜ao linearmente independente, temos que v =

  4

  , v

  3

  , v

  2

  , v

  ∈ T M Hess h

  (X, Y ) = h∇

  i + hY, D

  v

  X Y, v

  hφ, vi = hD

  X Y

  ) = X hY, vi − ∇

  X Y (h v

  )) − ∇

  v

  ) i = X(Y (h

  (h

  X

  X Y

  , ∇

  v

  , Y i − hgrad h

  v

  ), Y i = X hgrad h

  v

  (grad h

  g ◦ φ)dM = 0.

  • 2)(F

  i

  2 i

  dM Z

  

M

  |∇(F

  g

  ◦ φ)

  |

  2

  2

  dA ≥

  Z

  M

  ||σ||

  2

  dM Conforme (3.16), obtemos

  (F g ◦ φ)

  ||σ||

  Z

  

M

  M

  (F

  g

  ◦ φ)

  2 i

  dM Z

  |∇(F

  M

  g

  ◦ φ)

  i

  |

  2

  dA ≥

  Z

  2A ≥

  M

  dA ≥ −2

  1

  − 2λ

  1

  λ

  2 .

  Da f´ormula de Gauss, como M ´e uma hipersuperf´ıcie, temos que K

  = K + λ

  λ

  )

  2

  logo ||σ||

  2

  = (2H)

  2

  − 2(K − 1) = 4H

  

2

  2

  2

  |σ|

  =

  2

  dM, (4.4) e a igualdade se verifica se e somente se a igualdade ocorre em (4.3) e hN, gi = 0.

  Sabemos que ||σ||

  2

  = k A k

  2

  X tr (A

  1

  2

  ) = λ

  2

  1

  2

  2

  = (λ

  Z

  2 i

  − 2K + 2

  ≥ −2 Z

  ◦ φ)

  i

  , (F

  g

  ◦ φ)

  i

  M

  Q (F

  (F

  g

  ◦ φ)

  2 i

  dM (4.3) para i = 1, 2, 3, 4. Assim da desigualdade (4.3) temos Z

  M

  © |∇(F

  g

  dM = 0 para i = 1, ..., k − 1; de (3.5) temos que as componentes de F g ◦ φ satisfazem

  ◦ φ)

  (F

  Teoremas

  47 Do fato de (F g

  ◦ φ) ∈ L

  2

  (M ) ser uma fun¸c˜ao onde Z

  M

  g

  i

  ◦ φ)

  2 i

  dM = 1 e Z

  M

  ρ (F

  g

  ◦ φ)

  g

  i

  ◦ φ)

  (F

  2

  dA −

  Z

  M

  ||σ||

  2

  g

  i

  ◦ φ)

  2 i

  dA − 2

  Z

  M

  (F

  g

  |

  ◦ φ)

  |

  Z

  2

  − (||σ||

  2

  g

  ◦ φ)

  2 i

  ª dA ≥ −2

  M

  g

  (F

  g

  ◦ φ)

  2 i

  dM Z

  M

  |∇(F

  • λ
  • λ
Teoremas

  48

  

2

  como φ ´e uma imers˜ao m´ınima temos que = 2 ||σ|| − 2K onde K ´e a curvatura de Gauss de

3 M e K ´e a curvatura de Gauss de S (1). Ent˜ao usando o teorema de Gauss-Bonnet, (1.10) e

  corol´ario(1.11), obtemos Z

  2 4πχ(M ) = 2A dM.

  − ||σ||

  M

  De (4.4) temos que 4πχ(M ) ≥ 0 o que implica que χ(M) ≥ 0. Da proposi¸c˜ao (1.9) chegamos

  2 − χ que χ = 0 ou χ = 2 de forma que o gˆenero de M, ´e menor ou igual a um. Se

  G =

  2 o gˆenero ´e zero temos que a caracter´ıstica de Euler χ = 2, logo M ´e homeomorfa a esfera

2 S

  (1) e usando um resultado de Almgren [A] o qual diz que uma variedade m´ınima, compacta, homeomorfa a esfera ´e isom´etrica a mesma, obtemos que M ´e totalmente geod´esica, o que contradiz a suposi¸c˜ao. Ent˜ao

  G = 1, portanto M deve ser um toro topol´ogico, e neste caso Z

  χ K

  = 0, o que implica do corol´ario (1.11) que dM = 0, da´ı integrando ambos os membros

  

M

  2

  da equa¸c˜ao = 2

  g =

  ||σ|| − 2K conclu´ımos que a igualdade em (4.4) se verifica. Se h hφ, gi, ent˜ao Hess h = −hh , i, e usando um racioc´ınio similar ao descrito anteriormente, ou seja,

  4

  , pelo teorema (3.7) de Obata [O], h

  g

  ≡ 0, mas isto implica que dado um vetor fixo g ∈ R φ

  (p) ⊥ g ∀p ∈ M. Portanto M ´e o equador totalmente geod´esico, contradi¸c˜ao, segue ent˜ao que g = 0 e ent˜ao F

  g ◦ φ = φ.

  Z

2 Do fato de g = 0 e 2A = dM, a igualdade em (4.3) se verifica tamb´em, da´ı

  |σ|

  M

  temos que as componentes φ de φ s˜ao autofun¸c˜oes de L associadas ao autovalor

  i

  −2, o que

  2 φ .

  implica que ∆φ = Escrevendo φ = pertence a classe das fun¸c˜oes

  i i i i i

  −||σ|| hφ, e i temos que φ

  2 .

  altura, logo do Lema (1.7) temos que ∆φ = Ent˜ao ( = 0 para i = 1, 2, 3, 4.

  i −2φ i ||σ|| − 2)φ i

2 Logo = 2, e usando usando um resultado bem conhecido de [Ch-DoC-K], n´os obtemos

  ||σ|| que M ´e o toro de Clifford.

  2 Finalmente, se M ´e o Toro de Clifford, n´os temos que = 2 e ent˜ao L = ∆ + 4.

  ||σ|| Consideremos µ os autovalores do operador Laplaciano ∆. Ent˜ao λ = µ

  i i i

  −4 s˜ao os autovalores do operador de estabilidade L. Conhecendo o espectro do Laplaciano do Toro de Clifford temos que µ

  1 = 0, µ 2 = 2, (com multiplicidade 4) e µ 3 = 4, o que implica que λ 1 = 2 =

  −4, λ −2 (com multilicidade 4) e λ = 0, portanto temos que ind(M ) = 5 o que conclui a prova do teorema.

  3 Teoremas

  49

4.2 Teorema em dimens˜ ao n

  n+1

  Seja φ : M (1) uma imers˜ao isom´etrica de uma hipersuperf´ıcie m´ınima, com- → S pacta, orient´avel, com o quadrado da norma da segunda forma fundamental constante em

  n+1 S (1). n

  

Teorema 4.2 (Aldir Brasil - Guadalupe - J.A.Delgado). Seja M uma hipersuperf´ıcie

  m´ınima compacta, orient´avel n˜ao totalmente geod´esica com o quadrado da norma da segunda

  n+1 n

  forma fundamental constante em S (1). Ent˜ao ind(M ) ≥ n + 3, e a igualdade se verifica se

  √

  n

  1 2 n−1

  e somente se M ´e o Toro de Clifford S ( 1 ) (r).

  − r × S

  n+2

  Demonstra¸c˜ ao. Para um vetor v qualquer fixo seja h =

  v

  ∈ R hφ, vi a fun¸c˜ao altura. Nesse caso, do Lema (1.7) temos que ∆h v + n h v = 0 ent˜ao obtemos

  2 L h h

  = 0,

  

v v

  − ||σ||

  2 n+2

  portanto ´e um autovalor de L, e W = : v

  v

  −||σ|| {h ∈ R } o autoespa¸co associado ao

  2 .

  autovalor −||σ||

  n

  Seja , v , v , ...v e h =

  1

  2 3 n v i i

  {v } base de R hφ, v i. Suponhamos que a dim W ≤ n + 1, ent˜ao dada uma combina¸c˜ao linear das fun¸c˜oes do espa¸co vetorial W temos que

  n+2

  X c h = 0

  

i v i

i=1

  para pelo menos um c i 6= 0, isto ´e,

  n+2 n+2

  X X c c c v

  i i i hφ, vi = hφ, i = 0. i=1 i=1 n+2

  X Como , v , v , ...v c v

  1

  2 3 n i i

  {v } ´e linearmente independente, temos que v = 6= 0. Ent˜ao con-

  i=1

  clu´ımos que existe v =

  v

  6= 0 tal que h hφ, vi = 0 ∀p ∈ M. Mas neste caso, como v 6= 0, ent˜ao

  

n n+1

  M (1)

  ⊂ [v] ∩ S Teoremas

  50 n n

  e da hip´otese de M ser compacta implica que M ´e totalmente geod´esica. Contradi¸c˜ao. Ent˜ao a dim W = n + 2.

  Seja agora ϕ = c uma fun¸c˜ao constante ent˜ao

  2 Lϕ ϕ

  = ∆ϕ + + nϕ ||σ|| e como as fun¸c˜oes constantes s˜ao trivialmente autofun¸c˜oes de ∆ associadas ao autovalor 0,

  

2

  • n)ϕ = 0 − (||σ||

  2

  o que implica que ϕ = c ´e uma autofun¸c˜ao de L associada ao autovalor + n). Portanto, −(||σ|| pelo fato dos autovalores associados as autofun¸c˜oes h e ϕ serem distintos, conclu´ımos que o

  v

  ind(M ) ≥ n + 3.

  Desejamos nesse momento caracterizar o Toro Clifford. Para tal, consideremos a fun¸c˜ao

  n

  suporte f = . Ent˜ao usando o

  v

  hN, vi onde N ´e o campo de vetores unit´arios normais a M

  2

  f Lema (1.8) verificamos que ∆f v v = 0 ent˜ao L f v v = 0, e portanto f v ´e uma

  ||σ|| − n f

  • autofun¸c˜ao associada ao autovalor ( −n).

  Necessitamos ainda de um important´ıssimo resultado cl´assico de Chen - Do Carmo -

  n n+1

  Kobayashi [Ch-DoC-K]: Seja M uma hipersuperf´ıcie m´ınima, compacta, imersa em S (1),

  2

  2 2 n n−k

  ∼ se (r)

  = S ||σ|| ≤ n ent˜ao ||σ|| ≡ 0 ou ||σ|| ≡ n, e ||σ|| ≡ n se, e somente se M ×

  √

  k

2 S

  ( 1 ), ou seja, ´e localmente um Toro de Clifford.

  − r De posse do conhecimento do autovalor associado a autofun¸c˜ao f e do resultado de

  v

  Chen - Do Carmo - Kobayashi, suponhamos que o ind(M ) = (n + 3). Suponhamos ainda que

  2 a qual por hip´otese ´e constante seja diferente de n.

  ||σ||

  n ⊥

  , v . Seja p = N (p ), v )) Temos portanto que f e f s˜ao autofun¸c˜oes

  1 2 v 1 v

  2

  ∈ M ∈ (N(p associadas ao autovalor ( v e f v s˜ao ortogonais. Seja a combina¸c˜ao −n). Provemos que fun¸c˜oes f

  1

  2

  linear de f e f dada por

  v 1 v

  2 n

  0 = af + bf = a + bv

  v 1 v

  2

  1

  2

  1

  2

  hN, v i + bhN, v i = hN, av i, ∀p ∈ M Se p = p temos que

  2

  2 0 = ), av + bv , av + bv + b , v .

  1

  2

  1

  1

  2

  1

  1

  2

  1

  hN(p i = hv i = a||v || hv i = a||v || Teoremas

  51 Ent˜ao n´os temos que a = 0 e isto implica que bf = 0. Mas como bf = b v 2 v 2 hN, v 2 i n

  implica que b = 0 ou pela aplica¸c˜ao de Gauss

  2

  2

  hN, v i. Se hN, v i = 0 ent˜ao a imagem de M

  n ⊥

  φ , (M )

  2 ]

  ⊂ [v

  ⊥

  , para todo v onde v ] o que implica

  2

  2

  1

  ∈ [v \

  n ⊥

  φ (M ) [v] ⊂

  ⊥ 1 ] v∈[ v n

  e que φ(M ) ´e discreto. Contradi¸c˜ao, pois φ ´e uma imers˜ao isom´etrica. Ent˜ao, existe v

  2

  ∈

  ⊥ .

  [v ] tal que f ´e ortogonal a f E assim obtemos

  1 v 2 6= 0. Logo temos que b = 0 e f v 1 v

  2

  , f , h , . . . , h

  v 1 v 2 v 1 v n+2

  {f }, (n + 4) autofun¸c˜oes. Como o ind(M) = n + 3 chegamos a uma

  2 n

  contradi¸c˜ao. O que implica que = n, e de [Ch-DoC-K] n´os obtemos que M ´e o Toro de ||σ|| Clifford.

  n

  2 Finalmente, se M ´e o Toro de Clifford, temos que = n e ent˜ao L = ∆ + 2n.

  ||σ|| Consideremos µ os autovalores do operador Laplaciano e λ os autovalores do operador de

  i i

  estabilidade L, tal que λ i = µ i

  1 = 0 (com

  − 2n. Conhecendo o espectro do Laplaciano, se µ multiplicidade 1), µ = n (com multiplicidade n + 2), e µ = 2n, implica que λ =

  2

  3

  1

  −2n (com multiplicidade 1), λ = = 0, portanto conclu´ımos que

  2

  3

  −n (com multilicidade n + 2) e λ ind(M ) = n + 3.

  2

  

4.1 Observa¸c˜ao. Para dimens˜ao n faz-se necess´ario assumir que ´e constante para provar

  ||σ||

  2 .

  que f ´e autofun¸c˜ao de

  v

  −||σ||

  2 n+1

  4.2 Observa¸c˜ao. O fato de = n, mostra que para as hipersuperf´ıcies de Clifford em S

  ||σ||

  n+2 n+2

  os espa¸cos V = : v : v

  v v {f ∈ R } e W = {h ∈ R }, coincidem.

  4.3 Exemplos de ´Indice de Hipersuperf´ıcies

  2

  onde ´ e constante ||σ|| n n+1 n

  Exemplo 4.1. Seja S totalmente geod´esica ent˜ao ind(S ) = 1.

  ⊂ S

  n ∞

  Demonstra¸c˜ ao. Definiremos o seguinte subespa¸co linear de C (S )

  n

  Γ = Teoremas

  52 Nosso objetivo ´e mostrar que a forma quadr´atica Q ´e negativa definida neste espa¸co e que

  dim(Γ) = 1. Temos ent˜ao

  2 L ϕ

  = ∆ ϕ + n)ϕ = 0, − (||σ|| como para as subvariedades totalmente geod´esicas

  ||σ|| ≡ 0 e ϕ ´e constante temos L ϕ−n ϕ = 0, isto ´e, ϕ ´e autofun¸c˜ao associada ao autovalor −n. Mostremos que Q ´e negativa definida em Γ. Z

  n+1

  Q Lϕ (ϕ, ϕ) =

  − · ϕ dS

  n n+1 S

⊂S

  Z

  2 n+1

  n ϕ < = dS

  −

  n n+1 S

⊂S

  e ´e ´obvio que o espa¸co Γ das fun¸c˜oes constantes tem dimens˜ao 1.

  n+1 Exemplo 4.2. O ´ındice das hipersuperf´ıcies de Clifford em S ´e n + 3.

  Demonstra¸c˜ ao. Seja M uma hipersuperf´ıcie de Clifford onde os espa¸cos

  n+2

  V = : v

  v

  {f ∈ R },

  n+2

  W = : v

  v

  {h ∈ R } coincidem. J´a sabemos que a dim(V ) = n + 2 ent˜ao basta mostrar que Q ´e negativa definida neste espa¸co. Segue que

  v = ∆ f v v + n f v

  • L f

  2

  2

  = + n f −||σ|| v ||σ|| v v

  • f f

  = nf

  v

  ent˜ao f v ´e a autofun¸c˜ao associada ao autovalor −n. E de

  Z

  n

  Q (f , f ) = L f .f dM

  v v v v

  −

  n

M

  Z

  n

  = n f .f dM

  v v

  −

  n

M

  Z

  2 n

  = n f , dM < 0, − v

  n

M

  implica que a hipersuperf´ıcie M tem ´ındice n + 3 pois, temos o primeiro autovalor de L, λ com

  1

  multiplicidade 1 e −n com multiplicidade n + 2.

  Bibliografia

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  Berstein’s theorem, Ann. of Math. 84(1996), 277 − 292.

  

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  o [dC] do Carmo, M., Superf´ıcies M´ınimas,

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  q

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Campus de Ondina, Av. Ademar de Barros s/n, CEP:40170–110

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