Tailson Jeferson Paim dos Santos

64 

Full text

(1)

Instituto de Matem´atica

Curso de P´os-Graduac¸˜ao em Matem´atica Dissertac¸˜ao de Mestrado

uma caracterizac

¸˜

ao do toro de clifford

atrav´

es do ´ındice de Morse

Tailson Jeferson Paim dos Santos

Salvador-Bahia

(2)

atrav´

es do ´ındice de Morse

Disserta¸c˜ao apresentada ao

colegiado do curso de P´

os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da

Universidade Federal da Bahia,

como requisito parcial para

obten¸c˜ao do T´ıtulo de Mestre

em Matem´atica Pura.

Banca examinadora

Prof. Dr. Jos´e Nelson Bastos (Orientador) - UFBA

Prof. Dr. Isaac Costa L´azaro - UFBA

(3)

Uma Caracteriza¸c˜ao do toro de Clifford atrav´es do ´Indice de Morse/

Tailson Jeferson Paim dos Santos; Orientador: Jos´e Nelson Bastos Barbosa.

— Salvador: UFBA, 2006.

55 p.

1. Disserta¸c˜ao (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Departamento

de Matem´atica.

Inclui referˆencias bilbiogr´aficas.

1. Matem´atica - Teses. 2. Geometria Riemanniana. I.Paim, Tailson

Jeferson. II. Barbosa, Jos´e Nelson Bastos. III. T´ıtulo.

(4)

todo carinho aos meus filhos,

Tales e Taelen, minha amada

es-posa Carla, aos meus pais, meus

(5)

depois de uma viagem que ningu´em nos pode poupar ou fazer por n´os.”

(6)

A Deus Pai bondoso por todas as gra¸cas e ben¸c˜aos. Por escolher, tra¸car e guiar-me

por este caminho me carregando em seus bra¸cos nos momentos mais dif´ıceis, sendo sempre fiel

a alian¸ca e aos la¸cos de ora¸c˜ao que nos uni.

Agrade¸co aos amigos e colegas que fizeram e fazem parte dessa hist´oria, no dia a

dia com uma palavra amiga, com um pequeno gesto de aten¸c˜ao, solidariedade no estudo em

grupo, motiva¸c˜ao, ora¸c˜oes, pensamentos positivos, colaborando de forma significativa ao meu

crescimento profissional e pessoal durante este Mestrado.

Agrade¸co aos meus pais, Tadeu e Dete, minha esposa, Carla, meus filhos, Taelen e

Tales, meus irm˜aos, Taislan e Tielson, testemunhas do empenho e colaboradores diretos para

a minha supera¸c˜ao frente as pequenas e grandes dificuldades desta jornada. A todos eles mais

que um muito obrigado, um inestim´avel carinho e amor.

Agrade¸co ao meu orientador Prof. Dr. Jos´e Nelson Bastos Barbosa pela paciˆencia,

orienta¸c˜ao e incentivo. A parceria e convivˆencia com esta pessoa al´em de fazer progredir como

Matem´atico, me trouxe grandes li¸c˜oes de vida, sobretudo pela sua tranq¨uilidade e bom humor.

Agrade¸co mais uma vez a Deus pela hist´oria de vida oferecida a mim neste Mestrado.

Pois a minha esperan¸ca vem de Deus, s´o ele ´e minha rocha, minha salva¸c˜ao, minha fortaleza.

Jamais vacilarei.

(7)

uma caracterizac

¸˜

ao do toro de clifford

atrav´

es do ´Indice de Morse

Seja Mn uma hipersuperf´ıcie m´ınima compacta, orient´avel, n˜ao totalmente geod´esica, com o quadrado da norma da segunda forma fundamental constante, imersa na esfera euclidiana

unit´ariaS(n+1)(1). Mostraremos que o ´ındice de estabilidade de M ´e maior ou igual a n+ 3 e que a igualdade ocorre se, e somente se,M ´e isom´etrica ao Toro de Clifford. Demonstraremos tamb´em o caso em que a dimens˜ao de M, ´e igual a 2. Para esta demonstra¸c˜ao n˜ao faz-se necess´ario que o quadrado da norma da segunda forma fundamental seja constante.

(8)

A characterization of the Clifford Torus

in terms of its index de Morse

LetMnbe a compact orientable minimal hypersurface nontotally geodesic with constant scalar of curvature of the (n+ 1) - dimensional sphere. We will show that the index of stability ofM it is larger or equaln+ 3 and in the lower bounded of the index,M it is isometric to the toro of Clifford.

(9)

Resumo vii

Abstract viii

Introdu¸c˜ao 1

1 Preliminares 4

1.1 Variedades Riemannianas . . . 4

1.2 Geometria das Subvariedades . . . 10

2 O Toro de Clifford 23 3 Estabilidade e ´Indice de Morse 31 3.1 Primeira e Segunda Varia¸c˜ao e Estabilidade . . . 31

3.2 ´Indice de Morse de Hipersuperf´ıcies da Esfera . . . 34

3.3 O Espectro de uma Variedade Riemanniana . . . 36

3.4 Transforma¸c˜oes Conformes na Esfera . . . 38

4 Teoremas 44 4.1 Teorema em dimens˜ao 2 . . . 44

4.2 Teorema em dimens˜ao n . . . 49

4.3 Exemplos de ´Indice de Hipersuperf´ıcies onde ||σ||2 ´e constante . . . 51

Bibliografia 53

(10)

Dentre as subvariedades, aquelas que tˆem r-curvatura m´edia seccional constante

de-sempenham um papel especial. Elas incluem, em particular, as subvariedades m´ınimas, que

tem rela¸c˜oes com a tens˜ao superficial e com problemas de engenharia estrutural.

As superf´ıcies m´ınimas s˜ao solu¸c˜oes de um problema variacional de minimiza¸c˜ao de

´area no sentido de que estas s˜ao caracterizadas como os pontos cr´ıticos da fun¸c˜ao ´area para

certas varia¸c˜oes. Em outras palavras, para qualquer varia¸c˜ao, a primeira derivada da fun¸c˜ao

´area se anula no parˆametro correspondente a superf´ıcie. Uma superf´ıcie m´ınima com bordo ´e

ditaest´avel se para toda varia¸c˜ao normal que fixa seu bordo, a segunda derivada da fun¸c˜ao ´area

no parˆametro que est´a associada a superf´ıcie ´e positiva. Dizemos que uma superf´ıcie m´ınima

com bordo ´einst´avel se, para alguma varia¸c˜ao normal, a segunda derivada ´e negativa.

Em 1887, H. Schwarz deu uma primeira contribui¸c˜ao importante para o estudo da

estabilidade com o seguinte resultado:

Teorema (H.Schwarz[Sc]). Sejam S R3 uma superf´ıcie m´ınima e D S um dom´ınio limitado. Suponha que a curvatura Gaussiana K de S n˜ao se anula em D, que a aplica¸c˜ao de

Gauss N de S ´e biun´ıvoca em D, e que a imagem esf´erica N(D) est´a estritamente contida em

um hemisf´erio aberto da esfera unit´aria S2(1)R3. Ent˜ao D ´e est´avel.

Nas d´ecadas de 70 e 80 do s´eculo XX, J.L.Barbosa e M.P. do Carmo obtiveram um

resultado que representou uma forte generaliza¸c˜ao ao teorema de estabilidade de Schwarz, sem

restri¸c˜oes sobre a aplica¸c˜ao de Gauss e substituindo, no Teorema de Schwarz, a hip´otese de

(11)

Teorema (Barbosa - do Carmo,[B-C 1]). Sejam S R3 uma superf´ıcie m´ınima e DS

um dom´ınio limitado. Se ´area (N(D))<2π, ent˜ao D ´e est´avel.

Com o advento das variedades Riemannianas o problema acima descrito ´e generalizado

para as imers˜oes isom´etricas de hipersuperf´ıcies m´ınimas em uma forma espacial Qn+1c com

c=1,0,1, ou seja, espa¸cos com curvatura seccional constante.

Seja φ : Mn Sn+1(1) uma imers˜ao isom´etrica de uma variedade Riemaniana M,

compacta, orient´avel e de dimens˜ao n, na esfera euclidiana unit´aria Sn+1(1). Se φ ´e m´ınima e

0≤ ||σ||2 n, J. Simons [S] provou que||σ||2 0 ou ||σ||2 n.Posteriormente, S.Chen, M.do Carmo e S.Kobayashi [Ch-DoC-K] mostraram que uma hipersuperf´ıcie m´ınima de Sn+1 com ||σ||2 n´e um toro de Clifford m´ınimoSn−k(r)×Sk(1r2), r2 = n−k

n .Estes resultados

so-mados ao comportamento do operador de estabilidade da imers˜ao das hipersuperf´ıcies m´ınimas

da esfera nos induz a uma caracteriza¸c˜ao do toro de Clifford atrav´es do ´ındice de Morse.

Nesta disserta¸c˜ao estudaremos o toro de Clifford entre as hipersuperf´ıcies da esfera,

m´ınimas, compactas, orient´aveis, com o quadrado da norma da segunda forma fundamental

constante, em termos do ´ındice de Morse. Objetivamos estimar o ´ındice de estabilidade para

estas hipersuperf´ıcies m´ınimas n˜ao totalmente geod´esicas e caracterizar o toro de Clifford como

o limite inferior do ´ındice dessas hipersuperf´ıcies.

Esta disserta¸c˜ao ´e baseada nos artigos de: Francisco Urbano, Minimal surfaces with

low index in the three-dimensional Sphere e Guadalupe, Aldir Brasil Junior, J.A Delgado, A

Characterization of the Clifford torus.

Enuciaremos agora os resultados principais dessa disserta¸c˜ao. Primeiramente para o

caso de dimens˜ao 2, obtido por Francisco Urbano [Urb] e em seguida para dimens˜ao n, obtido por Aldir Brasil J´unior, Guadalupe e J.A.Delgado [ABJ- G - J.A.Del]:

Teorema 4.1 (Francisco Urbano). Seja M uma superf´ıcie m´ınima, compacta,orient´avel,

n˜ao totalmente geod´esica em S3(1). Ent˜ao ind(M)5, e a igualdade se verifica se e somente

se M ´e o Toro de Clifford.

Teorema 4.2 (Aldir Brasil - Guadalupe - J.A.Delgado). Seja Mn uma hipersuperf´ıcie

(12)

forma fundamental constante emSn+1(1). Ent˜ao ind(Mn)n+ 3, e a igualdade se verifica se

e somente se Mn ´e o Toro de Clifford S1(1r2)×Sn−1(r).

Observa¸c˜ao 4.2. Para dimens˜ao n faz-se necess´ario assumir que||σ||2 ´e constante para provar

quefv ´e autofun¸c˜ao de −||σ||2.

Esta disserta¸c˜ao ´e dividida em quatro cap´ıtulos. No cap´ıtulo 1, apresentaremos

defini¸c˜oes e resultados b´asicos relacionados a geometria das variedades e subvariedades

Rie-mannianas, al´em de fixar a nota¸c˜ao que ser´a utilizada no decorrer do trabalho.

Veremos no cap´ıtulo 2,a defini¸c˜ao do toro de Clifford , calcularemos as suas curvaturas principais, curvatura m´edia e segunda forma fundamental bem como expressaremos o quadrado

da norma da segunda forma fundamentalS em fun¸c˜ao da curvatura m´edia H.

No cap´ıtulo 3 introduziremos a teoria da estabilidade com o estudo do problema

varia-cional de minimiza¸c˜ao de ´area para `as hipersuperf´ıcies em uma forma espacial com curvatura

constante, em particular, a esfera. Apresentaremos as f´ormulas da primeira e da segunda

varia¸c˜ao para imers˜oes entre variedades Riemannianas bem como resultados relacionados com o

operador estabilidade, forma quadr´atica associada, ´ındice de Morse e o primeiro autovalor deste

operador e transforma¸c˜oes conformes na esfera, os quais ser˜ao utilizados nas demonstra¸c˜oes dos

teoremas 4.1 e 4.2.

(13)

Preliminares

O objetivo principal deste cap´ıtulo ´e estabelecer `as nota¸c˜oes necess´arias a compreens˜ao

dos cap´ıtulos posteriores, bem como, apresentar defini¸c˜oes e resultados b´asicos relacionados a

geometria intr´ınseca das variedades Riemannianas e da geometria das subvariedades que ser˜ao

utilizados na teoria desenvolvida no decorrer do trabalho.

Seja Mn uma variedade Riemanniana de dimens˜ao n e de classe C∞. Denotemos por h , i sua m´etrica Riemanniana , ∇ a conex˜ao de Levi-Cita ou Riemanniana de M, T M o fibrado tangente a M, X(M) o conjunto dos campos de vetores de classe Cem M e por

C∞(M) o anel das fun¸c˜oes reais de classe Cdefinidas emM.

1.1

Variedades Riemannianas

Uma forma de se estudar a geometria de uma variedade Riemanniana ´e estabelecer

rela¸c˜oes da mesma, imersa em outra variedade a qual denominamos variedade ambiente. Neste

primeiro momento evidenciaremos defini¸c˜oes que n˜ao dependem da segunda forma fundamental

da imers˜ao. Nesse contexto mencionaremos as defini¸c˜oes das curvaturas, gradiente, divergˆencia,

(14)

A curvatura R deM ´e uma correspondˆencia que associa a cada parX,Y X(M) uma

aplica¸c˜ao R(X, Y) :X(M)X(M) dada por

R(X, Y)Z =Y∇XZ− ∇X∇YZ+∇[X,Y]Z,

∀Z X(M).

Podemos intuitivamente interpretar R como uma maneira de medir o quantoM deixa de ser euclidiana.

1.1Proposic¸˜ao. O tensor CurvaturaRsatisfaz as seguintes propriedades para todoX,Y,Z,W

X(M) :

a)hR(X, Y)Z, Wi+hR(Y, Z)X, Wi+hR(X, Y)Z, Wi= 0

b)hR(X, Y)Z, Wi=−hR(Y, Z)X, Wi

c)hR(X, Y)Z, Wi=−hR(Y, Z)W, Xi

d)hR(X, Y)Z, Wi=hR(Z, W)X, Yi

Considere σ TpM um subespa¸co bidimensional do espa¸co tangente TpM e {v, w}

uma base deσ.A curvatura seccional de M em psegundo σ ´e definida por:

K(σ) = R(v, w, v, w)

kvwk2

ondekv wk2=kv k2 · kwk2 −hv, wi2.

Os espa¸cos de curvatura constante, ou seja, variedades Riemannianas com curvatura

seccional constante tˆem um papel importante no desenvolvimento da geometria Riemanniana.

Estes espa¸cos s˜ao dotados de uma propriedade importante que ´e a de possuir um n´umero

significativo de isometrias locais. Dentro deste contexto, destacaremos o seguinte resultado:

Sejam M, p um ponto de M e {e1, ..., en}, uma base de ortonormal de TpM. Ent˜ao

K(p, σ) =Ko, ou seja, o espa¸co possui curvatura seccional constante, se e somente se

(15)

com i, j, k, ℓ= 1, ..., n e onde

δij =

  

1 se i=j

0 se i6=j

Escrevendo Rijkℓ = hR(ei, ej), ek, eℓi temos em outras palavras, K(p, σ) = Ko para

todo σ TpM se e somente se Rijkℓ = − Rijkℓ =Ko para todo i 6= j, e Rijkℓ = 0 nos outros

casos.

De uma forma geral temos:

hR(X, Y)Z, Wi=Ko{hX, ZihY, Wi − hX, WihY, Zi} com X, Y, Z, W ∈ TpM.

A forma bilinear ℜ:T M×T M C∞(M) que associa a cada par de campos (X, Y),

o tra¸co da aplica¸c˜ao Z 7→R(X, Z)Y,´e denominada Tensor de Ricci e ´e dada por

ℜ(X, Y) = 1

n1tr(Z 7→R(X, Z)Y).

A curvatura de Ricci na dire¸c˜ao X T M, com |X |= 1 ´e definida como

Ric(X) = 1

n1ℜ(X, X).

Se X ´e um campo unit´ario e X(p) = v, p M e v TpM, ent˜ao a curvatura de Ricc

na dire¸c˜ao X e no pontop´e escrita como Ricp(v),ao inv´es de

1

n1ℜ(X, X). Como o tra¸co de uma aplica¸c˜ao bilinear independe da base escolhida, tomemos{e1, ..., en}uma base ortonormal

com v =ei,para algum i. Ent˜ao temos que

Ricp(v) =

1

n1ℜ(X, X)

= 1

n1 tr(Z 7→R(X, Z)X)

= 1

n1

n−1

X

i=1

hR(v, ei)v, eii

= 1

n1

n−1

X

i=1

(16)

Observamos que a curvatura de Ricci ´e uma m´edia obtida das combina¸c˜oes das

cur-vaturas seccionais numa dada dire¸c˜ao X(p) = v. Ao considerarmos essa m´edia nas n-dire¸c˜oes estaremos com a express˜ao da curvatura escalar.

A curvatura escalar ´e uma fun¸c˜ao ρ:M R de M no conjunto dos n´umeros reais R

dada por

ρ(p) = 1

n(n1) tr((X, Y)7→ ℜ(X, Y))

Se {e1, ...en}´e uma base ortonormal de TpM, ent˜ao

ρ(p) = 1

n(n1)

n

X

i=1

Ric(ei, ei)

= 1

n

n

X

i=1

Ric(ei)

= 1

n(n1)

n

X

i=1

(

n

X

j=1,j6=i

K(ei, ej))

= 1

n(n1)

n−1

X

i,j=1

K(ei, ej);com i6=j.

Definiremos a seguir gradiente, divergˆencia, laplaciano e hessiano em uma variedade

Riemanniana determinando para cada um deles suas express˜oes em rela¸c˜ao a um referencial

geod´esico. Destacaremos algumas propriedades e resultados dessas aplica¸c˜oes.

Dada uma fun¸c˜ao f C∞(M), definimos o gradiente def como o campo grad f em

M dado por

hgradf , Xi= Xf = df·X,X X(M).

A divergˆencia de um campoX X(M) ´e a fun¸c˜ao

divX :M R

definida por

(17)

onde tr denota o tra¸co da aplica¸c˜ao linear (Y(p)7−→(YX)(p)). Olaplaciano deM ´e definido

como o operador ∆ :C∞(M)C(M) dado por

∆f = div(gradf),f C∞(M).

Seja{E1, ..., En}umreferencial geod´esico emp, ou seja, al´em de termos a

ortonormali-dade entre os campos do espa¸co tangente, temos tamb´em que (EiEj)(p) = 0,comi, j = 1, ..., n.

Ent˜ao as express˜oes do gradiente, divergˆencia, e do laplaciano no pontop, para este referencial podem ser escritas como

gradf(p) =

n

X

i=1

(Eif)Ei(p). (1.2)

E escrevendo o campoX como X(p) =

n

X

i=1

aiEi(p),temos que

divX(p) =

n

X

i=1

(aiEi)(p) e ∆f(p) = n

X

i=1

Ei(Eif)(p). (1.3)

Ressaltemos agora algumas propriedades ´uteis nos cap´ıtulos subseq¨uentes, como:

grad(f h) =f gradh+hgradf , (1.4)

div(f X) =f divX+hgradf, Xi (1.5)

∆(f h) =f∆h+h∆f+ 2hgradf,gradhi, (1.6)

1 2∆(f

2) = ff+

(18)

para quaisquer f, hC∞(M).

Se M ´e compacta e orient´avel, com bordo∂M, paraX X(M) temos que

Z

M

(divX)dV =

Z

∂Mh

X, νidA, (1.8)

onde dV e dA s˜ao os elementos de volume de M e do bordo ∂M, respectivamente, e ν ´e o campo normal a ∂M apontando para M ao longo de ∂M. Este resultado ´e conhecido como

Teorema da Divergˆencia. Decorrem deste teorema e de (1.5), as chamadasF´ormulas de Green

Z

M{

f∆h+hgradf, gradhi}dV =

Z

∂M

fhgradh, νidA (1.9)

Z

M{

f∆hh∆f}dV =

Z

∂M{

fhgradh, νi −hhgradf, νi}dA, (1.10)

para f, hC∞(M).

Sejam f C∞(M) e p M. Defina o hessiano de f no ponto p, como a aplica¸c˜ao

bilinear, Hessf :X(M)×X(M)C(M) dada por:

Hessf(X, Y) = h∇Xgradf, Yi.

Observando que

Hessf(X, Y) = Xhgradf, Yi − hgradf,∇XYi

= XY f− hgradf,[X, Y] +∇YXi

= XY f− hgradf,[X, Y]i − hgradf,∇YXi

= XY f[X, Y]f − {Y.hgradf, Xi − h∇Ygradf, Xi}

= XY f[X, Y]f Y Xf+h∇Ygradf, Xi

= [X, Y]f[X, Y]f+h∇Ygradf, Xi

= Hessf(Y, X)

para X, Y X(M), conclu´ımos que Hessf ´e uma forma bilinear sim´etrica. Se (x1, ..., xn) ´e um

sistema de coordenadas locais emM e ∂i =

∂ ∂xi

ent˜ao:

(19)

Como∂i∂j = X

k

Γkij∂k, a express˜ao acima pode ser escrita da seguinte forma:

Hessf(∂i∂j) = (∂i∂j−

X

k

Γkij∂k)(f)

Denotemos o operador linear auto-adjunto hessf(p) :TpM →TpM dado por:

hhessf X, Yi= Hessf(X, Y)

como o operador associado ao hessiano de f. E dentro deste contexto ainda tem-se que

∆f = tr(hessf). (1.11)

1.2

Geometria das Subvariedades

Sejam M e M variedades diferenci´aveis. Uma aplica¸c˜ao diferenci´avel φ : M M

´e uma imers˜ao se dφp : TpM → TpM ´e injetiva para todo p ∈ M. Se al´em disso, φ ´e um

homeomorfismo sobre φ(M) M, onde φ(M) tem topologia induzida por M, diz-se que φ

´e um mergulho. Se M M e a inclus˜ao i : M M ´e um mergulho, diz-se que M ´e uma

subvariedade de M .

Seja φ :M M uma imers˜ao de uma variedade M, em uma variedade Riemanniana

M de dimens˜ao igual a k =m+n.

O teorema da forma local das imers˜oes estabelece que se φ´e uma imers˜ao, ent˜ao dado

pM existe um aberto U ∋p deM tal que φ|U :U →M ´e um mergulho, ou seja,φ(U) ´e uma subvariedade de M; por este resultado ´e natural identificar os pontos de U com os pontos de

φ(U) pensando φ como inclus˜ao. Com esta identifica¸c˜ao, o TpM ´e identificado com dφp(TpM),

ou seja, identificamosv TpM com dφp(v).

Considerando a m´etrica induzida h , i do ambiente M, em M, temos de maneira natural uma m´etrica Riemanniana emM, de forma que se v, wTpM, define-se

hv, wip =hdφp(v), dφp(w)iφ(p).

Desta forma,φ passa a ser uma imers˜ao isom´etrica deM emM , em que podemos pensar que

(20)

a dimens˜ao da variedade ambiente e a dimens˜ao da variedade imersa, chamada codimens˜ao

de φ ´e igual a 1, φ(M) = M ´e denominada hipersuperf´ıcie. Observemos que ao se tratar de imers˜oes, focamos a imagem de φ, de forma que identificamos φ(M) = M.

Para cada pM,a m´etrica em TpM decomp˜oe TpM na soma direta:

TpM =TpM ⊕(TpM)⊥.

Indicaremos por T M⊥ o fibrado normal de φ e por X(M)o conjunto das sec¸c˜oes de

(TpM)⊥. Se X, Y s˜ao campos locais de vetores em M e X , Y s˜ao extens˜oes locais a M ,

definimos ∇XY = (∇XY)⊤ como a conex˜ao Riemanniana de M em que (∇XY)´e tamb´em a

componente tangente da conex˜ao em M . Dado X, Y X(U) definimos a aplica¸c˜ao bilinear e

sim´etrica σ:X(U)×X(U)X(U)´e dada por:

σ(X, Y) = ∇XY − ∇XY,

onde U ´e uma vizinhan¸ca de M identificada com φ(U). Escolhida uma dire¸c˜ao qualquer η

X(U)T Ma segunda forma fundamental de φ em p, segundo o vetor η´e definida por

Hη(X, Y) = hσ(X, Y), ηi.

Denotaremos porAη :TpM →TpM a aplica¸c˜ao linear auto-adjunta associada a segunda forma

fundamental deφ na dire¸c˜ao η, isto ´e,

hAηX, Yi=Hη(X, Y) =hσ(X, Y), ηi,∀X, Y ∈TpM.

Observemos que a segunda forma fundamental, nome tamb´em designado a aplica¸c˜aoσ,

depende intr´ınsecamente deη e que a codimens˜ao deφ determina a dimens˜ao de T M⊥.O fato deHη ≡0 ´e equivalente a σ≡0,onde para uma base ortonormal a representa¸c˜ao matricialAη

´e a matriz nula.

1.2 Proposic¸˜ao. Seja pM, x TpM e η ∈TpM. Seja N uma extens˜ao local de η normal a M. Ent˜ao

Aη(x) =−(∇xN)⊤.

(21)

tangentes a M. Ent˜ao usando o fato dehN, Yi= 0 e hN, Ni= 1 temos assim,

hAη(x), yi = hσ(X, Y)(p), Ni=h∇XY − ∇XY, Ni(p)

= h∇XY, Ni(p) =XhY, Ni(p)− hY,∇XNi(p)

= h−∇xN, yi

para todoyTpM.

¥

A componente normal de∇Xη, denominadaconex˜ao normal da imers˜ao ´e definida

da seguinte forma

∇⊥ : X(M)×X(M)−→ X(M)

(X, η) 7−→ ∇

Xη:= (∇Xη)N.

Explicitamente,

∇⊥

xN = (∇xN)N =∇xN −(∇xN)⊤=∇xN +Aη(x).

em que esta conex˜ao normalpossui as propriedades usuais de uma conex˜ao, isto ´e, ´e linear

em X, aditiva em η, e

∇X(f η) = fXη+X(f)η, f C∞(M).

Se a codimens˜ao for um podemos dispensar o ´ındice η. Ent˜ao,

A(x) =−∇xN,

em queA ´e chamado operador forma ou operador de Weingarten.

Ainda para o caso em que a codimens˜ao ´e um e M =Rn+1, N pode ser pensado como uma aplica¸c˜ao deM Sn(1) e dN

p(x) = ∇xN. Logo,

A(x) =dN,

em queA ´e a aplica¸c˜ao de Gausse ⊥ Xη≡0.

Seja T um tensor de ordem r. A diferencial covariante ∇T de T ´e um tensor de ordem (r+ 1) dado por

(22)

Para cadaZ X(M), aderivada covariante ZT de T em rela¸c˜ao aZ ´e um tensor de ordem

r dado por

∇ZT(Y1, ..., Yr) =∇T(Y1, ..., Yr, Z).

1.3 Proposic¸˜ao. As seguintes equa¸c˜oes se verificam: a) Equa¸c˜ao de Gauss

hR(X, Y)Z, Ti=hR(X, Y)Z, Ti − hσ(Y, T), σ(X, Z)i+hσ(X, T), σ(Y, Z)i,

b) Equa¸c˜ao de Codazzi

hR(X, Y)Z, ηi= (∇Yσ)(X, Z, η)−(∇Xσ)(Y, Z, η)

Demonstra¸c˜ao. Para o ´ıtem a) sabemos que XY = ∇XY +σ(X, Y) e ∇⊥Xη = ∇Xη+Aη(X). Considere a equa¸c˜ao R(X, Y)Z = ∇Y∇XZ − ∇X∇YZ +∇[X,Y]Z, calculando

cada membro da equa¸c˜ao acima separadamente, obtemos:

∇Y∇XZ = ∇Y(∇XZ+σ(X, Z)) = ∇Y∇XZ+∇Yσ(X, Z) = ∇Y∇XZ+σ(∇XZ, Y) +

Yσ(X, Z)−Aσ(X,Z)Y

∇X∇YZ = ∇X(∇YZ+σ(Y, Z)) = X∇YZ+∇Xσ(Y, Z)

= ∇X∇YZ+σ(∇YZ, X) +∇⊥

Xσ(Y, Z)−Aσ(Y,Z)X

e

∇[X,Y]Z =∇[X,Y]Z+σ([X, Y], Z).

Da´ı, obtemos:

R(X, Y)Z = R(X, Y)Z+σ(∇XZ, Y) +∇⊥

Yσ(X, Z)− − Aσ(X,Z)Y −σ(∇XZ, Y)− ∇⊥Xσ(Y, Z)+

+ Aσ(Y,Z)X+σ([X, Y], Z).

Tomando o produto interno com T, os termos na dire¸c˜ao normal se anulam e temos que

(23)

¥

Da equa¸c˜ao de Gauss ocorre o caso particular

K(x, y)K(x, y) =hσ(x, x), σ(y, y)i− |σ(x, y)|2 . (1.12)

No caso de hipersuperf´ıcie φ : Mn Mn+1 a f´ormula de Gauss (1.12) admite uma express˜ao

mais simples. Sejam p M e η (TpM)⊥. Seja {e1, . . . , en} uma base ortonormal de TpM

para a qual Aη = A ´e diagonal, isto ´e, A(ei) = λiei, i = 1, . . . , n, em que λ1, . . . , λn s˜ao os

autovalores de A. Ent˜ao H(ei, ei) = λi eH(ei, ej) = 0, sei6=j. Portanto (1.12) se escreve

K(ei, ej)−K(ei, ej) = λiλj

.

Demonstra¸c˜ao. No ´ıtem b) sabemos que

R(X, Y)Z = R(X, Y)Z+σ(∇XZ, Y) +

Yσ(X, Z)− − Aσ(X,Z)Y −σ(∇XZ, Y)− ∇⊥Xσ(Y, Z)+

+ Aσ(Y,Z)X+σ([X, Y], Z)

fazendo o produto interno comη temos

hR(X, Y)Z, ηi = hσ(Y,∇XZ), η)i+h∇⊥

Yσ(X, Z), ηi − hσ(X,∇YZ), η)i− −h∇⊥

Xσ(Y, Z), ηi+hσ(∇XY, Z), ηi − hσ(∇YX, Z), ηi

em que

hσ(Y,∇XZ), η)i − h∇⊥

Xσ(Y, Z), ηi+hσ(∇XY, Z), ηi=−(∇Xσ)(Y, Z, η)

e

−hσ(X,∇YZ), η)i+h∇

Yσ(X, Z), ηi − hσ(∇YX, Z), ηi= (∇Yσ)(X, Z, η)

¥

Se o espa¸co ambiente M tem curvatura seccional constante, por (1.1) , a equa¸c˜ao de Codazzi se reduz a

(24)

Al´em disso, se a codimens˜ao ´e 1 a equa¸c˜ao de Codazzi se escreve

h∇XAηY, Zi − hAη(∇XY), Zi=h∇XAηX, Zi − hAη(∇YX), Zi

e portanto

(∇XA)(Y) = (∇YA)(X)

utilizando-se a seguinte nota¸c˜ao

∇A(X, Y) = (YA)(X) =∇Y(AX)−A(∇YX).

Uma imers˜ao φ : M M ´e geod´esica em p se para todo η (TpM)⊥ a segunda

forma fundamentalHη ´e identicamente nula em p.A imers˜ao φ ´etotalmente geod´esica se ela ´e

geod´esica para todo pM.

Uma condi¸c˜ao mais fraca do que a de totalmente geod´esica ´e a condi¸c˜ao de m´ınima.

Uma imers˜ao φ : M M ´e m´ınima se para todo p M e todo η (TpM)⊥ tem-se

que o tra¸coAη = 0. Neste caso dizemos tamb´em que M ´e m´ınima. Tomando{e1, ..., en} como

referencial ortonormal de vetores deTpM,ovetor curvatura m´edia de φ em p ´e definido por

− →H

= 1

n ·(tr σ)

em que trσ=

n

X

i=1

σ(ei, ei). Observe que−→H independe da escolha da base {e1, ..., en}. De forma

que escolhendo esta tal que diagonalizaAη temos:

− →

H = 1

n(σ(e1, e1) +...+σ(en, en))

= 1

n(λ1N+...+λnN)

= (λ1+...+λn)

(25)

em queN ´e um vetor normal aM. Portanto

Hη = h−→H , ηi=h

1

n trσ, ηi

= 1

n

n

X

i=1

hσ(ei, ei), ηi

= 1

n

n

X

i=1

hAη(ei), eii=

1

n trAη

Observe que se trAη = 0, ou seja, λ1+...+λn= 0, ∀p, temos que H(p) = 0∀p.

O quadrado da norma da segunda forma fundamental de φ ´e dado por:

S =||σ||2 =||A||2 = tr(AAt) = n

X

i=i

λi.

SejamM hipersuperf´ıcie m´ınima orientada compacta imersa na esferan+1 dimensional

Sn+1 e N o campo normal unit´ario ao longo de M.

Denotemos por ,D as conex˜oes Riemannianas em Sn+1 e Rn+2, respectivamente. Para cada vetor fixov Rn+2 definimos afun¸c˜ao altura e afun¸c˜ao suporte respectivamente da

seguinte forma:

hv : M → R

p 7→ hv(p) = hv, pi

fv : M → R

p 7→ fv(p) =hv, N(p)i,

ondep presente no produto interno hv, pi corresponde ao vetor posi¸c˜ao normal a esfera.

De Mn ֒Sn+1 ֒Rn+2 temos,

Rn+2 =TpM ⊕[N]⊕[p]

em que [N] corresponde ao espa¸co dos vetores gerados por N ou seja, unit´arios e normais a

M e [p] o espa¸co dos vetores gerados por p normais a esfera. Portanto v Rn+2 ´e expressado

comov =vT +λN +λp onde λ =hv, Ni=fv e λ=hv, pi=hv, assim,

(26)

Relacionaremos agora as conex˜oes de Mn, Sn+1 e Rn+2. Sejam σ a segunda forma fundamental da imers˜aoMn֒Sn+1 ,σa segunda forma fundamental da imers˜aoSn+1 ֒Rn+2

e σe=σ+σ a segunda forma fundamental deMn ֒Rn+2.SejamX, Y X(M) eN X(M)

unit´ario temos:

DXY =∇XY +σ(X, Y) +σ(X, Y)

e do fato de na esfera

A−p : TpM −→ TpM

X 7−→ A−p(X) =X

poisAp =−dNp =Id, em que Id ´e a fun¸c˜ao identidade da esfera e

σ(X, Y) = Xhσ(X, Y), NiN

= hANX, YiN

σ(X, Y) = Xhσ(X, Y),pi(−p) = hA−pX, Yi(p) = −hX, Yip

temos portanto

DXY =∇XY +hA(X), YiN− hX, Yip (1.13)

1.4 Lema. Sejam v ∈ Rn+2 um vetor qualquer fixo e hv como na defini¸c˜ao acima. Ent˜ao

gradhv =vT.

Demonstra¸c˜ao. Seja X X(M), ent˜ao temos que

hgrad hv, Xi=X·hv

Tomemos α:I M uma curvaC∞ tal que α(0) =pe α(0) =X(p), temos que

(X.hv(p)) =

d

dt((hv ◦α)(t))|t=0 =hv, α

(0)i=hv, X(p)i.

Escrevendo v =vT +vN em que vN [N][p] segue que

(27)

logo

grad hv =vT =v−fvN −hvp.

¥

1.5 Lema. Sejam v Rn+2 um vetor qualquer fixo e fv como na defini¸c˜ao acima. Ent˜ao

grad fv =−A(vT).

Demonstra¸c˜ao. De maneira an´aloga sabemos que h grad fv, Xi = Xfv. Tomemos

α:I M uma curva C∞ tal que α(0) =p e α′(0) =X(p) temos que

(X.fv(p)) = X(p).fv

= d

dt((fv ◦α)(t))|t=0 = d

dt{hv, N(α(t)}|t=0

= hv, Nα(0)(α′(0))i

= hv, Np(X(p))i

= hv,A.(X(p))i = −hvT, A.(X(p))i

= −hvT, A.Xi(p)

= −hA(vT), Xi,X X(M)

e portanto

grad fv =−A(vT)

¥

1.6 Lema. Sejam X, Y TpM, e hv como na defini¸c˜ao acima ent˜ao

i)X(hv) = hX, vi e

ii) Hesshv(X, Y) = heσ(X, Y), vi

Demonstra¸c˜ao.

(28)

ii) Hesshv(X, Y) = h∇X(gradhv), Yi

= Xhgradhv, Yi − hgradhv,∇XY(hv)i

= X(Y(hv))− ∇XY(hv)

= XhY, vi − ∇XYhp, vi

= hDXY, vi+hY, DXvi − ∇XYhp, vi

= hDXY, vi − h∇XY, vi

= hDXY − ∇XY, vi

= heσ(X, Y), vi.

1.7 Lema. Sejam M , v e hv definidos como anteriormente, ent˜ao ∆hv =−nhv

Demonstra¸c˜ao. Seja{Ei=1}n uma base ortonormal local de campos tangentes a M e da equa¸c˜ao (1.13) para Y =vT temos:

DXvT =∇XvT +hA(X), vTiN − hX, vTip (1.14)

Escrevendo v =vT +fvN +hvp, comov por hip´otese ´e fixo temos que:

0 =DXv = DXvT +DX(fvN) +DX(hvp)

= (XvT +hA(X), vTiN − hX, vTip) +fvDXN+X(fv)N +hvDXp+X(hv)p

= ∇XvT +hA(X), vTiN − hX, vTipfvA(X) +X(fv)N+hvX+X(hv)p

usando (1.14) na segunda igualdade e selecionando a parte tangente temos,

∇XvT =−hvX+fvA(X)

Logo

∆hv = n

X

i=1

h∇Ei(∇hv)i

= h−hvEi+fvA(Ei), Eii

= hv n

X

i=1

hEi, Eii+fv n

X

i=1

hA(Ei), Eii

= −nhv+fvtr(A)

(29)

Considerando a imers˜ao m´ınima na express˜ao acima chegamos ao resultado.

¥

1.8 Lema. Sejam M , v e fv definidos como anteriormente, ent˜ao ∆fv =− kAk2 fv.

Demonstra¸c˜ao. Analogamente, temos

DX(∇fv) =∇X(∇fv) +hAN(X),∇fviN +hApX,∇fvip

DX(∇fv) =∇X(∇fv) +hAN(X),∇fviN − hX,∇fvip

fazendo a express˜ao DX(∇fv) com um campo Y qualquer tangente a M temos ent˜ao

hDX(∇fv), Yi=hX(∇fv), Yi

j´a que os demais termos s˜ao perpendiculares aM. Ainda temos que

DX(∇fv) = −DX(AN(vT))

= −{(DXA)(vT) +A(DXvT)}

= −{(DA)(X, vT) +A(∇XvT +hA(X), vTiN − hX, vTip)}

= −{(DA)(X, vT) +A(∇XvT)}

= −{(DA)(X, vT +A(−hv(X) +fvA(X)}

= −{(DA)(X, vT)hvA(X) +fvA2(X)}

DX(∇fv) = −(DA)(X, vT)−hvA(X) +fvA2(X)

Na sec¸c˜ao 1.2, em rela¸c˜ao ao fato do espa¸co ambiente ser de curvatura seccional con-stante, tˆem-se que a equa¸c˜ao de Codazzi se reduz a,

(DXA)(Y) = (DYA)(X)

FazendoX =Ei,obtemos

∆fv = n

X

i=1

h∇Ei(∇fv), Eii

=

n

X

i=1

h(DA)(vT, Ei), Eii+hv n

X

i=1

hA(Ei), Eii −fv n

X

i=1

hA2Ei, Eii

=

n

X

i=1

h(DA)(Ei, vT), Eii+hvtr(A)−fvtrA2

= −tr(DvTA) +hvtr(A)−fvtr(A2)

(30)

Considerando novamente a imers˜ao m´ınima na express˜ao acima chegamos ao resultado

desejado.

¥

Finalizando o cap´ıtulo de preliminares mencionaremos o teorema de Gauss-Bonnet e

suas conseq¨uˆencias.

Dizemos que uma regi˜ao simples que tem apenas trˆes v´ertices com ˆangulos externos

αi 6= 0, i= 1,2,3 ´e umtriˆangulo.

Uma triangula¸c˜ao de uma regi˜ao regular R S ´e uma fam´ılia finita

τ

de triˆangulos

Ti, i= 1, ..., n, tal que

1.ni=1 =R.

2. SeTi∩Tj 6=∅, i6=j, ent˜ao Ti e Tj ou um v´ertice comum de Ti eTj.

Dada uma triangula¸c˜ao

τ

de uma regi˜ao regular R S de uma superf´ıcie S, deno-taremos por F o n´umero de triˆangulos (faces), por E o n´umero de lados (arestas), e por V o n´umero de v´ertices da triangula¸c˜ao. O n´umero

F E+V =χ

´e chamado caracter´ıstica de Euler-Poincar´e da triangula¸c˜ao.

1.9 Proposic¸˜ao. Seja S R3 uma superf´ıcie compacta e conexa; ent˜ao um dos valores

2,0,−2, ...,−2n, ...´e assumido pela caracter´ıstica de Euler-Poincar´eχ(S). Al´em disso, seS′ ⊂

R3 ´e uma outra superf´ıcie compacta e conexa e χ(S) = χ(S), ent˜ao S ´e homeomorfa a S.

Em outras palavras, toda superf´ıcie compacta e conexa S R3 ´e homeomorfa a uma esfera com um n´umero G de al¸cas. O n´umero

G = 2−χ(S) 2

´e chamado gˆenero deS.

1.10 Teorema de Gauss-Bonnet Global. Seja RS uma regi˜ao regular de uma superf´ıcie

(31)

fronteira ∂RdeR. Suponha que cadaCi ´e orientada positivamente e sejam θ1, ..., θp o conjunto

de ˆangulos externos curvas C1, ..., Cn. Ent˜ao

n

X

i=1

Z

Ci

kg(s)ds+

Z

R

Z

Kdσ+

p

X

t=1

θt= 2πχ(R),

onde s denota o comprimento de arco de Ci, K a curvatura de Gaussiana da regi˜ao S, kg a

curvatura geod´esica referente aos arcos regulares de Ci, e a integral sobre Ci, significa a soma

das integrais em todos os arcos regulares de Ci

1.11 Corol´ario. Seja S uma superf´ıcie compacta e orient´avel; ent˜ao

Z

S

Z

(32)

O Toro de Clifford

Neste cap´ıtulo veremos algumas propriedades b´asicas da fam´ılia simples de

hipersu-perf´ıcies da esfera euclidiana unit´ariaSn+1(1) Rn+2. Em particular o toro de Clifford, do

qual calcularemos as suas curvaturas principais, curvatura m´edia e segunda forma fundamental.

Iniciaremos com algumas considera¸c˜oes sobre variedade produto e sobre produto de imers˜oes.

Sejam M, N, M e N variedades Riemannianas, f : M M e g : N N imers˜oes isom´etricas. Considere em M × N e M × N as m´etricas produto e a imers˜ao isom´etrica

f×g :M ×N M ×N. Sejam M,N, M e N as conex˜oes Riemannianas de M, N, M

eN, respectivamente e

∇M×N

X Y =∇ M

XMYM + ∇

N XNYN

e

∇MU×NV =∇ M

UMVM + ∇ N UNVN,

onde, X = (XM, XN) e Y = (YM, YN) s˜ao os campos de vetores tangentes a M × N,

U = (UM, UN) eV = (VM, VN) os campos de vetores a M×N , XM,YN ∈X(M) e XN, YN(N) ∈X(N) , U

M, VM ∈X(M) e UN eVN ∈X(N).

Sejam σf, σg as segundas formas fundamentais de f e g, respectivamente, com os

operadores forma associadosAfη :T M T M eAgµ :T N T N paraηX(M)eµX(N)

eu, v tangentes a M e w, v tangentes a N,temos:

(33)

Assim,

σf×g(X, Y) = (σf(XM, YM), σg(XN, YN))

´e a segunda forma fundamental da imers˜ao produto f×g.

Seja N = (η, µ) normal a M × N, com η normal a M e µ normal a N tal que

|2 +|µ|2= 1. Vamos encontrar o operador AN associado af ×g.

hANX, Yi = hσf×g(X, Y), Ni

= h(σf(XM, YM), σg(XN, YN)),(η, µ)i

= hσf(XM, YM), ηi+hσg(XN, YN), µi

= |η | hAfη

|η|XM, YMi+|µ| hA

f

µ

|µ|XN, YNi

Portanto, para a imers˜ao produto f×g o operador de forma na dire¸c˜ao normalN ´e

ANX = |η|Afη

|η|XM ⊕ |µ|A

g

µ

|µ|XN

= (|η|A η

|η| ◦π

f

1 +|µ|A|µµ| ◦π

g 2X)

onde,π1 ´e a proje¸c˜ao sobreM e π2 ´e a proje¸c˜ao sobreN.

Dados dois n´umeros inteiros positivosn1 e n2 com n1+n2 =n e dois n´umeros reais r1

er2 tal que r12+r22 = 1, o produto Sn1(r1)×Sn2(r2) das esferas Sni(ri) ={pi ∈Rni+1 :|pi|=

ri}, i= 1,2 ´e uma hipersuperf´ıcie compacta homogˆenea da esferaSn+1(1) chamada usualmente

de Toro de Clifford. Se p = (p1, p2) ´e um ponto em M = Sn1(r1)×Sn2(r2), o vetor unit´ario normal a M neste ponto ´e definido por:

N(p1, p2) =

µ

−rr2 1

p1,

r1

r2

p2

. (2.1)

Temos ent˜ao que

|N|=

s¯ ¯ ¯ ¯− r2 r1 p1 ¯ ¯ ¯ ¯ 2 + ¯ ¯ ¯ ¯ r1 r2 p2 ¯ ¯ ¯ ¯ 2 = 1

Mostremos agora que N ´e normal a M. Primeiro ´e necess´ario provarmos que N

(34)

qualquer deTpM ´e igual a zero. Comecemos com o c´alculo do produto interno entre p eN.

hp, Ni=

¿

(p1, p2),

µ

−r2

r1

p21+ r1

r2

p22

¶À

=−r2

r1|

p1|2+r1

r2|

p2|2 =−r2

r1

r12+r1

r2

r22 = 0

Portanto N (TpM)⊥. Agora, dado v = (v1, v2)∈TpM,seja

α: (−ε, ε)→M

definida por

α(t) = (α1(t), α2(t))

uma parametriza¸c˜ao de uma curva emM, com α(0) =p= (p1, p2) eα′(0) = v = (v1, v2),sendo

α1(t)∈S1n(r1), α2(t)∈S2n(r2). Observamos diretamente que

hα1(t), α1(t)i=|α1(t)|2 =r21

hα2(t), α2(t)i=|α2(t)|2 =r22,

derivando o primeiro dos produtos internos, temos

hα′1(t), α(t)i= 0

para todo t(ε, ε).Em particular, parat = 0, segue quehα′

1(0), α(t)i= 0, ou seja,hp1, v1i=

0. De modo an´alogo mostra-se que hp2, v2i= 0. Conseq¨uentemente

hN, vi=

¿µ

−rr2 1

p1,

r1

r2

p2

,(v1, v2)

À

=r2

r1h

p1, v1i+

r1

r2h

p2, v2i= 0,

para todov TpM. Portanto N ´e normal a M como desejamos mostrar.

Observando que

N(α(t)) =

µ

−r2

r1

α1(t),

r1

r2

α2(t)

,

temos

Av =−∂N(∂tα(t)) =

µ

r2

r1

α1′(t),r1 r2

α′2(t)

.

Para v = (α′

1(0),0), temos Av =

r2

r1

(α′(0),0) = r2

r1

v, portanto r2

r1

´e uma curvatura

principal. De modo an´alogo, para v = (0, α′

2(0)), vemos que −

r1

r2

tamb´em ´e uma curvatura

(35)

A=                 r2 r1

0 . . . 0 0 0

0 . .. 0 0

0 0 r2

r1

0 ... ... r1

r2

...

0 0 . ..

0 0 0 . . . r1 r2                

Observando a matriz, vemos que trA = n1

r2

r1 −

n2

r1

r2

. Logo, M ´e m´ınima se, e somente se,

n1r22 =n2r21 (2.2)

Sabemos que o quadrado da norma da segunda forma fundamentalσ´e igual ao quadrado da norma da matriz A.Usando este fato e a igualdade (2.2), temos

||σ||2 =n1

r22 r2 1

+n2

r12 r2 2

=n2

r12 r2 1

+n1

r22 r2 2

=n2+n1 =n. (2.3)

Para fins de adequa¸c˜ao ao contexto utilizado, melhoria da nota¸c˜ao e simplifica¸c˜ao na

computa¸c˜ao do operador forma da imers˜ao, curvaturas principais, curvatura m´edia e rela¸c˜oes

entre o quadrado da segunda forma fundamental e a curvatura m´edia, redefiniremos o toro de

Clifford da forma a seguir.

Considere as imers˜oes canˆonicas

f :Sn−k(r1)֒→Rn−k+1

g :Sk(r2)֒→Rk+1

i:Sn+1 ֒Rn+2.

Denotemos φ o produto dessas imers˜oes tal que φ:f×g :Sn−k(r

1)×Sk(r2)֒→Rn+2.

Sejam os pontosp Sn−k(r1) eq ∈Sk(r2), isto ´e, |p|=r1 e |q| =r2. Para um ponto (p, q) da

variedade produto Sn−k(r

1)×Sk(r2) temos |(p, q)|2 = |p|2+|q|2 = r21 +r22. Se r12+r22 = 1 e

fazendor1 =r e r2 = √

1r2 teremos umToro de Clifford ouhipersuperf´ıcie de Clifford,

(36)

Vale ressaltar que dada uma imers˜ao i:Sn(r)֒Rn+1 temos que a aplica¸c˜ao Normal de Gauss na esfera de raio r ´e dada porN(p) =− p

|p|; portanto segue que −dNp(v) =

1

r (v) =

1

rId. Na sec¸c˜ao 1.2, vimos que seja N :M

nRn+1, ent˜ao

−dNp(v) = −(∇vN) =AN(v)

onde A ´e um operador forma e ´e a conex˜ao de Rn+1. Sendo assim para as imers˜oes

f :Sn−k(r1)֒→Rn−k+1 ; g :Sk(r2)֒→Rk+1 e i:Sn+1 ֒→Rn+2, teremos os operadores forma

associados: Afη = 1

rId , A

g µ =

1

1−r2Id e A i

N =Id com η(p) = −

p

r e µ(q) = − q

1−r2 ·

Da defini¸c˜ao (2.1) de vetor normal ao toro de Clifford no ponto (p, q) Sn−k(r)×

Sk(1r2), citada neste pr´oprio cap´ıtulo, o vetor normal ´e dado por

N(p, q) = (

1−r2

r p, r

1r2 q)

e o operador forma na sua dire¸c˜ao ser´a

AN = √

1−r2(Af)

−pr ◦π1−r(A

g) −√q

1−r2 ◦

π

Temos assim:

AN(X,0) = √

1r2(Af)

−prX = √

1r2

r X

e

AN(0, Y) =−r(Ag)−√q

1−r2Y = −r

1r2Y.

Tomando uma base ortonormal de vetores def ×g dada por

{(e1,0),(e2,0), ...,(en−k,0),(0, hn−k+1),(0, hn−k+2), ...,(0, hn−k+k)},

onde {ei} diagonaliza Afη e {hi} diagonaliza Agµ, temos as curvaturas principais do Toro de

Clifford dadas por

λ1 =, ...,=λn−k= √

1r2

r

e

λn−k+1 =, ...,=λn = −

r

1r2.

(37)

H = λ1+λ2+...+λn−k+λn−k+1+...λn

n

nH = (nk)λ1+k(λn−k+1)

nH = (nk)(

1r2

r ) +k(

−r

1−r2)

segue que

nH = n−nr

2k

r√1−r2 (2.4)

De (2.2) e (2.4) podemos observar que a imers˜ao φ ´e m´ınima e por conseq¨uˆenciaM ´e m´ınima se, e somente se,

r2 = n−k

n .

O quadrado da norma da segunda forma fundamental de φ denotaremos da mesma forma que no cap´ıtulo de preliminares,

S=kAk2 =

n

X

i=1

λ2i

isto ´e,

S =

Ã

(nk).

µ√

1r2

r

¶2

+k .

µ

−r

1r2

¶!2

= (nk).1−r

2

r2 +k .

·

r2

1−r2 + 1−1

¸

= (nk).

µ

1

r2 −1

+k .

µ

1 1r2

−k

= (nk). 1 r2 +k .

1

1−r2 −n+k−k

= (nk). 1 r2 +k .

1

(38)

Com isso temos a express˜ao de S em fun¸c˜ao de r dada por

S = (nk). 1 r2 +k .

1

1r2 −n. (2.5)

Escrevamos a seguir S em fun¸c˜ao de H. De temos que

(1r2)H2n2r2 =n2(1r2)22nk(1r2) +k2,

e pondo 1−r2 =t, obtemos

H2n2(1t)t=n2t22nkt+k2

H2n2(tt2) = n2t22nkt+k2

(H2n2+n2)t2(2nk+H2n2)t+k2 = 0.

A express˜ao do discriminante ∆ para a computa¸c˜ao das ra´ızes ´e dada por

∆ = 4n2k2+H4n4 + 4n3H2k4k2(H2n2+n2) = n2H2(4nk4k2+n2H2),

encontrando t= 1r2,temos

1r2 = 2nk+n

2H2±pn2H2[n2H2+ 4k(nk)]

2(n2+n2H2)

r2 = n

2H2+ 2n22nkpn2H2[n2H2+ 4k(nk)]

2(n2+n2H2) ,

e com isso

1

r2 =

2n2(1 +H2)

n2H2+ 2n22nkpn2H2[n2H2+ 4k(nk)]

1 1r2 =

2n2(1 +H2)

2nk+n2H2±pn2H2[n2H2+ 4k(nk)]

fazendo as devidas racionaliza¸c˜oes dos denominadores das express˜oes acima encontramos

1

r2 =

n2H2+ 2n22nk±pn2H2[n2H2+ 4k(nk)]

2(nk)2 (2.6)

1 1r2 =

n2H2+ 2nkpn2H2[n2H2+ 4k(nk)]

2k2 (2.7)

Substituindo (2.6) e (2.7) na express˜ao (2.5) obtemos

S =n+ n

3

2k(nk)H

2

±n(n2k(2nk)kH k −k)

p

(39)

se

r2 = n

2H2+ 2n(nk) +pn2H2[n2H2 + 4k(nk)]

2n2(H2+ 1) ,

temos,

r2 2n(n−k) + 2n

2H2

2n2(H2+ 1)

2n(nk) + 2n(nk)H2

2n2(H2+ 1) =

nk n .

Observemos que este ´e o caso em que

S =n+ n

3

2k(nk)H

2+n(n−2k)kH k

2k(nk)

p

H2n2+ 4k(nk) (2.9)

Por outro lado, se

r2 = n

2H2+ 2n(nk)pn2H2[n2H2+ 4k(nk)]

2n2(H2+ 1) ,

e usando o fato de quen2H2 pn2H2[n2H2+ 4k(nk)],

r2 = n

2H2 + 2n(nk)pn2H2[n2H2+ 4k(nk)]

2n2(H2+ 1)

≤ n

2H2 + 2n(nk)n2H2

2n2(H2+ 1) =

2n(nk) 2n2(H2+ 1)

≤ 2n(n−k)H

2+ 2n(nk)

2n2(H2+ 1) =

2n(nk)(H2+ 1) 2n2(H2+ 1)

= n−k

n ,

onde conclu´ımos acima que

r2 n−k n .

Neste caso,

S=n+ n

3

2k(nk)H

2 n(n−2k)kH k

2k(nk)

p

H2n2+ 4k(nk)·

Em particular, para k = 1, temos que o quadrado da norma da segunda forma funda-mental do toroSn−1(r)×S1(1r2), com r2 n−1

n ,´e dado por

S =n+ n

3

2(n1)H

2 n(n−2)kH k

2k(n1)

p

H2n2+ 4(n1),

enquanto que para o toroSn−1(r)×S1(√1r2), com r2 n−1

n , tem-se

S =n+ n

3

2(n1)H

2 n(n−2)kH k

2k(n1)

p

(40)

Estabilidade e ´Indice de Morse

No presente cap´ıtulo faremos uma apresenta¸c˜ao de fatos relacionados a teoria de

es-tabilidade, com o estudo de um problema variacional de minimiza¸c˜ao de ´area de variedades

Riemanianas em uma forma espacial Qn+1c com c = 1,0,1, ou seja, espa¸cos com curvatura constante. Em particular, as hipersuperf´ıcies m´ınimas, com bordo, imersas na esfera (n+ 1) -dimensional unit´ariaSn+1(1). Introduziremos o conceito de varia¸c˜ao de uma imers˜ao bem como as f´ormulas da primeira e segunda varia¸c˜ao. A f´ormula da primeira varia¸c˜ao nos permite

caracterizar as hipersuperf´ıcies m´ınimas como os pontos cr´ıticos da fun¸c˜ao ´area, enquanto que

a da segunda varia¸c˜ao ´e de fundamental importˆancia no sentido de encontrar um m´ınimo local

desta fun¸c˜ao ou ´ındice para hipersuperf´ıcie, em cada varia¸c˜ao.

3.1

Primeira e Segunda Varia¸c˜

ao e Estabilidade

Sejam M uma variedade Riemanniana e φ:M M uma imers˜ao isom´etrica.

Para caracterizarmos as imers˜oes m´ınimas como pontos cr´ıticos da fun¸c˜ao ´area,

pre-cisamos formalizar o conceito de varia¸c˜ao. Trabalharemos aqui com o caso em que M ´e com-pacta, orientada, com bordo∂M. Nos restringiremos `as varia¸c˜oes que fixam o bordo de M.

Uma varia¸c˜ao da imers˜ao φ´e uma aplica¸c˜ao X : (−ε, ε)×M M de classe C∞, que

(41)

(a) cada aplica¸c˜aoφt:M →M definida por φt(p) =X(t, p) ´e uma imers˜ao;

(b) φ0 =φ;

(c) φt|∂M|∂M, para todot (−ε, ε)

O campo W definido por

W(p) =dX.∂X

∂t (t, p)|t=0 , p∈M (3.1)

´e chamado campo variacional deX.

Vejamos que para cadapM, W(p) ´e o vetor velocidade, emt= 0,da curvaα:I M

definida por α(t) =X(t, p).

3.1 Observa¸c˜ao. A varia¸c˜ao X ´e dita normal se o campo W ´e um campo normal. Neste caso

W =uN, uC∞(M), u|∂M ≡0.

Seja dMt o elemento de ´area de M na m´etrica induzida por φt. Definamos a fun¸c˜ao

A: (−ε, ε)→R por

A(t) =

Z

M

dMt,

isto ´e,A(t) ´e a ´area deM com rela¸c˜ao `a m´etrica induzida porφt.

A f´ormula da primeira varia¸c˜ao da hipersuperf´ıcie ´e dada por

A′(0) =−n

Z

Mh

H, WidM0 (3.2)

ondedM0 ´e o elemento de ´area em M na m´etrica induzida, n a dimens˜ao da hipersuperf´ıcieM

ehH, Wi a proje¸c˜ao do campo variacional na dire¸c˜ao normal.

Como conseq¨uˆencia da express˜ao acima (3.2) temos que a imers˜ao φ ´e m´ınima se, e somente se, φ ´e um ponto cr´ıtico para a fun¸c˜ao ´area correspondente a cada varia¸c˜ao. Mais precisamente, do fato de φ ser m´ınima se e somente se, para cada varia¸c˜ao tem-se A′(0) = 0,

temos que o ponto t = 0, o qual est´a associado `a imers˜ao φ, ´e um ponto cr´ıtico para a fun¸c˜ao

(42)

uma fun¸c˜ao diferenci´avelA: (ε, ε)R, ou a instabilidade da hipersuperf´ıcieM ´e necess´ario conhecermos a express˜ao de A′′(0), chamada f´ormula da segunda varia¸c˜ao.

Adequando o contexto descrito com o nosso interesse neste trabalho, faremos algumas

restri¸c˜oes. Suporemos a partir de agora e em todo o cap´ıtulo queM =Sn+1(1), esfera unit´aria

(n+ 1)- dimensional, de forma que φ : M Sn+1 ´e uma imers˜ao m´ınima e que a varia¸c˜ao X

´e normal, isto ´e, o campo W definido em (3.1) ´e um campo normal. Observemos ainda que a condi¸c˜ao W 0 equivale au|∂M 0.

Considerando a varia¸c˜ao normal dada por u, seja Au : t 7→ Au(φt), a fun¸c˜ao ´area

associada a esta varia¸c˜ao normal, onde φt : M → Sn+1(1) ֒→ Rn+2 ´e a imers˜ao definida por

φt=X(t, p), p∈M. A f´ormula dasegunda varia¸c˜ao ´e dada por

A′′u(0) =

Z

M

©

u∆u(Ric(N) +||σ||2)u2ªdM

onde ∆ ´e o operador Laplaciano da imers˜ao, Ric(N)´e a curvatura de Ricci de M = Sn+1 na

dire¸c˜ao de N, |σ| ´e a norma da segunda forma fundamental da imers˜ao. Observe que para

M =Sn+1,temos

Ric(X) =n,X TpSn+1.

Uma hipersuperf´ıcie M ´e ditaest´avel se para toda varia¸c˜ao normal que fixa seu bordo

A′′u(0)>0. M´e ditainst´avel se para alguma varia¸c˜ao normal que fixa seu bordoA′′u(0)<0. Vale ressaltar que hipersuperf´ıcie n˜ao est´avel difere-se da inst´avel, pois no caso da hipersuperf´ıcie

n˜ao est´avel, pode ocorrer queA′′u(0) = 0, enquanto que na inst´avel existe a desigualdade estrita.

De posse destas defini¸c˜oes podemos ent˜ao responder a indaga¸c˜ao anunciada

ante-riormente. Uma imers˜ao m´ınima φ representa um m´ınimo local da fun¸c˜ao ´area se temos

Au(0) ≤ Au(t), para todo t ∈ (−ε, ε) e para toda varia¸c˜ao φ, ou de outra forma, podemos

tamb´em dizer que se A′

u(0) = 0 e A′′u(0) > 0 para toda varia¸c˜ao normal que fixa bordo, M

representa um m´ınimo local. Se M al´em de ser um m´ınimo local, sua ´area ´e menor ou igual que a ´area de qualquer outra hipersuperf´ıcieMt que tenha a mesma fronteira definimosM por minimizante. Por´em se para algum uC∞(M), A′′

u(0)<0, ou seja,M ´e inst´avel, vemos que a

´area deM ´e maior que a ´area de Mt para pequenos valores det 6= 0. Em particular, M, n˜ao ´e

um m´ınimo local da fun¸c˜ao ´area, embora seja um ponto cr´ıtico desta fun¸c˜ao. Veremos a seguir

(43)

3.2

´Indice de Morse de Hipersuperf´ıcies da Esfera

Seja Mn imersa isom´etricamente na esfera unit´aria (n+ 1) - dimensional, Sn+1(1). O

operador de estabilidade da imers˜ao, ´e expressado por

L= ∆ +||σ||2+n. (3.3)

Para hipersuperf´ıcies da esfera, o operador de estabilidadeLinduz uma forma quadr´atica dada por

Q(u, u) =

Z

Mn ©

|∇u|2(||σ||2+n)u2ªdMn (3.4)

onde∇u ´e o gradiente da fun¸c˜aou e dMn ´e a m´etrica sobreMn. Definimos o´ındice de Morse

de uma hipersuperf´ıcie Mn, e denotamos por ind(Mn), o ´ındice da forma quadr´atica Q, que consiste em encontrar a dimens˜ao m´axima do subespa¸co vetorial das fun¸c˜oes ondeQ´e negativa definida. Intuitivamente, o ind(Mn) mede o n´umero de dire¸c˜oes em queMndeixa de minimizar ´areas. Do fato doRic(N) = n,do Teorema da divergˆencia (1.8) e das F´ormulas de Green(1.9) e (1.10) temos que a segunda varia¸c˜ao coincide com a forma quadr´atica na esfera, ou seja, temos

que

A′′u(0) =Q(u, u) uC∞(M), u|∂M ≡0

Assim est´a claro que, para uma dada fun¸c˜ao u, cuja forma quadr´atica ´e negativa, temos que a segunda varia¸c˜ao segundo esta fun¸c˜ao ´e negativa. De maneira a conclu´ımos que se

uma hipersuperf´ıcie ´e inst´avel esta apresenta ´ındice. Observemos ainda que afirmar que uma

hipersuperf´ıcie ´e est´avel equivale a dizer que seu ´ındice ´e igual a zero. Em [S], J.Simons provou

que M ´e uma hipersuperf´ıcie m´ınima da esfera, ent˜ao ind(M) ≥1, e caracterizou as imers˜oes totalmente geod´esicas como as ´unicas cujo ind(M) = 1.

As imers˜oes m´ınimas na esfera tˆem uma peculiar propriedade de exprimir o ´ındice

de uma dada hipersuperf´ıcie em fun¸c˜ao do n´umero de autovalores negativos associados ao

(44)

Seja L2(M) o espa¸co das fun¸c˜oes mensur´aveis u em M para as quais

Z

M||

u||2dM <.

Em L2(M) consideramos o produto interno usual, e a norma induzida, dada respectivamente

por:

hu, vi=

Z

M

uvdM, ||u||2L2(M) =hu, ui=

Z

M

u2dM,

para u, v em M. Temos a seguinte rela¸c˜ao:

Q(u, u) =−hLu, uiL2(M) =A′′ uN(0)

desenvolvendo a forma quadr´aticaQ,induzida pelo operador estabilidadeL,temos pelo teorema da divergˆencia:

Q(u, u) =

Z

Mn ©

|∇u|2(||σ||2+n)u2ªdMn

= −

Z

Mn ©

u(∆u+||σ||2u+nu)ªdMn

= −

Z

Mn{

u.Lu}dMn

Sendo u uma autofun¸c˜ao de L,temos Lu=λu, logo

Q(u, u) = λ

Z

Mn

u2dMn

Portanto

A′′uN(0) =Q(u, u) =λ

Z

Mn

u2dMn <0,

se e somente seλ <0.

Do mesmo modo, fazendo an´alise com referˆencia aos problemas de autovalores temos

que se λi, i= 1,2...s˜ao autovalores de L, efi as autofun¸c˜oes correspondentes, ent˜ao

λk = inf u∈X

R

D|∇u|2 −R (||σ||2+n)u2 dM Du2 dM

onde X = [f1, . . . , fk−1]⊥ para todau com u|∂D= 0.Logo

(45)

para qualquer fun¸c˜aoucomRMnu2 dMn= 1 e R

Mnufi dMn= 0, i= 1,2, ...(k−1),onde temos

a igualdade se e somente se u´e autofun¸c˜ao de L ,ou seja,

Lu+λku= 0

Conclu´ımos com o exposto que encontrar o ´ındice de Morse da hipersuperf´ıcie M ´e encontrar autofun¸c˜oes do operadorL associadas a autovalores negativos.

3.3

O Espectro de uma Variedade Riemanniana

Nesta sec¸c˜ao, segue que M ´e uma variedade Riemanniana conexa e compacta munida da m´etrica Riemanniana g = h , i e sobre esta, um operador ∆, que como antes, denotar´a o Laplaciano de M onde o mesmo ´e um operador autoadjunto, el´ıptico diferenci´avel, positivo definido.

Chamamos deespectrode uma variedade Riemanniana (M, g) e denotamos porSpec(M, g), o conjunto dos valores deλR tal que f C∞(M), f 6= 0 onde se verifica

∆f+λf = 0.

Seja f C∞(M) tal que ∆f +λf = 0 com λ Spec(M, g). Este n´umero real λ ´e

chamado de autovalor em (M, g) para o operador ∆ e a fun¸c˜ao f ´e chamada de autofun¸c˜ao associada a λ. Dizemos tamb´em que o conjunto

Pλ(M, g) ={f ∈C∞(M); ∆f+λf = 0}

´e o autoespa¸co associado a λ.

Para todo λ Spec(M, g), Pλ(M, g) tem dimens˜ao finita. Esta dimens˜ao ´e chamada

demultiplicidade de λi associada a Pλi(M, g).

Consideremos os seguintes problemas de autovalores:

Problema fechado de autovalor - Seja M como definido nesta sec¸c˜ao. Encontrar todos os n´umeros reaisλpara os quais exista uma solu¸c˜ao n˜ao trivialf C2(M)para a equa¸c˜ao

(46)

Problema de autovalor de Dirichelet - Para M conexa com fecho compacto e fronteira suave, achar todos os valores reais λ para os quais exista uma solu¸c˜ao n˜ao trivial

f C2(M)C0(M) para 3.6 satisfazendo a condi¸c˜ao de fronteira

f|∂M = 0 (3.7)

3.2 Teorema. Para cada um dos problemas de autovalores acima, o conjunto de autovalores consiste de uma seq¨uencia 0 ≤ λ1 < λ2 < λ3 . . . ↑ +∞, e cada autoespa¸co ´e de dimens˜ao

finita. Autoespa¸cos associados a distintos autovalores s˜ao ortogonais em L2(M), e L2(M) ´e

soma direta de todos os autoespa¸cos.

Demonstra¸c˜ao. : Ver [Chav]

3.3 Teorema (Quociente de Rayleigh). Para toda u6= 0 temos

λ1 ≤

Q(u, u)

||u||2 L2(M)

, (3.8)

com igualdade se s´o se u ´e uma autofun¸c˜ao de λ1. Se f1, f2, . . . ´e uma base ortonormal

com-pleta de L2(M) tal que fj ´e uma autofun¸c˜ao de λj para cada j = 1,2, . . . ent˜ao para u 6= 0

satisfazendo u[f1, f2, . . . fn−1]⊥ temos a desigualdade

λk ≤

Q(u, u)

||u||2L2(M)

, (3.9)

com igualdade se s´o se u ´e uma autofun¸c˜ao de λk

Demonstra¸c˜ao. : Ver [Chav]

3.4 Observa¸c˜ao. A multiplicidade do autovalor λ = 0 ´e 1. Com efeito as ´unicas autofun¸c˜oes

associadas a 0, ou seja, autofun¸c˜oes harmˆonicas s˜ao as constantes, porque

hf,∆fi=h∇f,fi,

assim

∆f = 0⇒ ∇f = 0

Figure

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