Caracterização de Imersões Conformes dom A Mesma Aplicação de Gauss: Uma Solução Completa do Problema de P Samuel

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Universidade Federal da Bahia - UFBA

Instituto de Matem´ atica - IM

Programa de P´ os-Graduac ¸˜ ao em Matem´ atica - PGMAT

Dissertac ¸˜ ao de Mestrado

  

Caracterizac ¸˜ ao de imers˜ oes conformes com a

mesma aplicac ¸˜ ao de Gauss: uma soluc ¸˜ ao completa

do problema de Pierre Samuel

  

Fellipe Antonio dos Santos Cardoso Leite

  Salvador-Bahia Mar¸co de 2012

  

Caracterizac ¸˜ ao de imers˜ oes conformes com a

mesma aplicac ¸˜ ao de Gauss: uma soluc ¸˜ ao completa

do problema de Pierre Samuel

  

Fellipe Antonio dos Santos Cardoso Leite

  Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

  Orientador: Prof. Dr. Enaldo Silva Vergasta.

  Salvador-Bahia Mar¸co de 2012 Leite, Fellipe Antonio dos Santos Cardoso.

  Caracteriza¸c˜ ao de imers˜ oes conformes com a mesma aplica¸c˜ ao de Gauss: uma

solu¸c˜ ao completa do problema de Pierre Samuel / Fellipe Antonio dos Santos Cardoso

Leite. – Salvador: UFBA, 2012.

  f. : il. Orientador: Prof. Dr. Enaldo Silva Vergasta.

Disserta¸c˜ ao (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´ atica,

Programa de P´ os-gradua¸c˜ ao em Matem´ atica, 2012.

  Referˆ encias bibliogr´ aficas.

1. Geometria Diferencial. 2. Geometria Riemanniana. 3. Imers˜ oes. I. Vergasta, Enaldo Silva. II. Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´ atica. III. T´ıtulo.

  CDU : 514 : 514.7

  

Caracterizac ¸˜ ao de imers˜ oes conformes com a

mesma aplicac ¸˜ ao de Gauss: uma soluc ¸˜ ao completa

do problema de Pierre Samuel

  

Fellipe Antonio dos Santos Cardoso Leite

  Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica, aprovada em de mar¸co de 2012.

  Banca examinadora:

  Prof. Dr. Enaldo Silva Vergasta (Orientador) UFBA

  Prof. Dr. Marcos Dajczer

  IMPA Prof. Dr. Diego Catalano Ferraioli

  UFBA

  A todos aqueles que acredi- taram em mim. Agradecimentos

  Em primeiro lugar, agrade¸co a Deus, sem o qual n˜ao apenas esse projeto ou minha carreira, mas toda a minha vida n˜ao existiria. A Ele a honra, gl´oria e louvor, pelos s´eculos sem fim! Obrigado pela for¸ca nos momentos de fraqueza, a gra¸ca da perseveran¸ca e o entendimento de que tudo que ocorre em minha vida ´e para o meu crescimento como ser humano.

  Em seguida agrade¸co aos meus pais, respons´aveis pela minha cria¸c˜ao e parte de minha vis˜ao de mundo. Vocˆes me educaram e incentivaram a perseverar nos estudos, gra¸cas a dedica¸c˜ao e amor de vocˆes, pude chegar onde estou. Estejam certos, como estou, de que vocˆes fizeram tudo o que estava ao alcance de vocˆes para que eu pudesse ser o melhor que possa ser. Entre os familiares, o muito obrigado `a tia Maria Jos´e que soube exigir quando necess´ario, incentivar quando o desˆanimo batia forte, ouvir quando o mundo me parecia surdo e acolher quando ningu´em o soube fazer, sem a senhora, este momento certamente n˜ao teria chegado. Agrade¸co a todos os familiares que seguraram as pontas enquanto estive me dedicando aos estudos; se algum dia lerem isso, pe¸co sinceramente que n˜ao tentem me compreender (j´a vivi o suficiente pra saber que isso ´e muito dif´ıcil), apenas estejam certos de que busquei agir da melhor maneira poss´ıvel e que jamais quis mago´a-los. Aos meus av´os cujos exemplos de vida me servem sempre de Norte, vocˆes que acreditaram antes de muitos outros que eu ainda tinha jeito, obrigado.

  Agrade¸co a meu orientador, Enaldo, por tantas coisas que jamais poderia enume- rar aqui: por aceitar me orientar, escolher um assunto t˜ao interessante, compreender as limita¸c˜oes, incentivar na caminhada acadˆemica e na pr´opria vida. Tenho plena consciˆencia que palavras e, mesmo a¸c˜oes, n˜ao s˜ao suficientes para fazˆe-lo, por isso “Deus lhe pague!”.

  Muito obrigado aos meus professores, todos os que j´a tive at´e hoje, com vocˆes pude aprender n˜ao somente conte´ udos, macetes e Teoremas; vocˆes me ensinaram posturas e valores, me mostraram o quanto esta profiss˜ao pode infuenciar pessoas. Obrigado pela dedica¸c˜ao e profissionalismo de vocˆes, espero me tornar um profissional t˜ao bom quanto os que encontrei nesta vida. Lembro de mencionar uma propaganda na qual um professor de educa¸c˜ao f´ısica olha para uma crian¸ca e percebe que ela tem um potencial de atleta, encontrei em minha vida muitos professores que olharam pra mim, viram algum potencial, acreditaram e investiram nisso. Espero sinceramente que outras pessoas encontrem e valorizem aquilo que eu encontrei.

  Gostaria de agradecer explicitamente aos professores Jos´e Nelson, Paulo Varan- das, Vilton, Ana L´ ucia, Joseph, Samuel, Evandro, Diego, Rita, Cristiana, S´ılvia Veloso, Bahiano, Jo˜ao Nestor, Esdras, Olenˆeva e tantos outros, pelos conselhos e incentivos du- rante esses ´ ultimos dois anos.

  Agrade¸co ao professor Marcos Dajczer, pela disponibilidade em esclarecer d´ uvidas, a boa receptividade, as sugest˜oes ao trabalho e `a honra de tˆe-lo em minha banca. Agrade¸co imensamente ao Laborat´orio de Ensino de Matem´atica e Estat´ıstica da Universidade Federal da Bahia (LEMA-UFBA), a participa¸c˜ao deste grupo durante a gradua¸c˜ao me permitiu complementar a s´olida forma¸c˜ao acadˆemica, ampliou meus hori- zontes e me apresentou pessoas marivilhosas, mas do que colegas de trabalho vocˆes s˜ao minha fam´ılia acadˆemica. Elinalva, Cristiana, Rita, Lia, Denise, Paulo, Luiz Cl´audio, Julianna, Fabiana Laranjeiras, Renivaldo, Antonio, Jos´e Fernandes, Gra¸ca Luzia e tantos outros, muit´ıssimo obrigado.

  Aos meus amigos e colegas de caminhada: Andrˆessa, Ana Paula, Dimi, Emanuele, Felipe Moscozo, Luiz, Rodrigo, Roberto e Thiago. A PGMAT tem raz˜ao, ao estudar com vocˆes pude crescer em muitos aspectos e posso dizer que, al´em de matem´atica, aprendi um pouco com cada um, pequenos detalhes que levo para vida. Nesses ´ ultimos anos dividimos alegrias, desesperos e muitos momentos felizes: as id´eias e formas de pensar t˜ao diversas, a acolhida di´aria, os risos, os encontros, as calourosas conversas. Levarei as melhores lem- bran¸caas que puder de cada um de vocˆes com os quais fui moldando o profissional que hoje sou. Aos que nos acolheram com tanto carinho: Caio, Franciscleide, K´atia e Renivaldo, nosso muito obrigado e o registro das saudades de um tempo bom! Aos doutorandos da UFBA: ˆ Angela, Te´ofilo, Adina, M´arcio e Giovanne, pelas conversas, incentivos e troca de informa¸c˜oes. Aos que ainda em minha gradua¸c˜ao me davam conselhos: Ela´ıs, Fabiana, Eliane, Manuela, Wendell, Teles, Roberto, Roberio e muitos outros que a mem´oria me falha agora. Muito obrigado, ao amigo Jo˜ao Paulo Cirineu, pelos in´ umeros conselhos, ajuda com TEX, conversas divertidas e grande incentivo! Aos demais amigos de vida fora

  IM: Ramon Lopes, Pablo Pinto, Fernando Pinto, Simone Oliveira, Gabriela Fernandes, Paulo Burger e tantos outros (muitos outros mesmo!), vocˆes que souberam compreender a ausˆencia, ouvir os lam´ urios, acolher com alegria e incentivar, mesmo sem compreender muito o que se passava, obrigado!

  Aos esquecidos e n˜ao mencionados, obrigado desde j´a, por contar com a compre- ens˜ao de vocˆes em saber que mais importante do que uma men¸c˜ao explic´ıta ´e o reconhe- cimento real pelo aux´ılio na jornada.

  Aos funcion´arios do Instituto de Matem´atica da UFBA, como esquecer daque- les que nos recebiam todo dia com um sorriso, sempre dispon´ıveis e compreenss´ıvos? Obrigado por alegrarem os nossos dias! De maneira especial, obrigado ao pessoal da CEAPG-MAT: D. T˜ania, Tati, Davilene, Solange, M´arcio e Marcos, valeu por “quebra- rem os galhos”.

  Finalmente, agrade¸co `a CAPES pelo apoio financeiro concedido a mim durante todo o meu mestrado.

  “Muitas vezes as pessoas s˜ao egocˆentricas, il´ogicas e insensatas. Perdoe-as assim mesmo. Se vocˆe ´e gentil, as pessoas podem acus´a-lo de interesseiro. Seja gentil assim mesmo. Se vocˆe ´e um vencedor, ter´a alguns fal- sos amigos e alguns inimigos verdadeiros. Ven¸ca assim mesmo. Se vocˆe ´e honesto e franco, as pessoas po- dem engan´a-lo. Seja honesto e franco assim mesmo. O que vocˆe levou anos para construir, algu´em pode destruir de uma hora para ou- tra. Construa assim mesmo. Se vocˆe tem paz e ´e feliz, as pessoas podem sentir inveja. Seja feliz assim mesmo. O bem que vocˆe faz hoje, pode ser esquecido amanh˜a. Fa¸ca o bem assim mesmo. Dˆe ao mundo o melhor de vocˆe, mas isso pode n˜ao ser o bastante. Dˆe o melhor de vocˆe assim mesmo. Veja vocˆe que, no final das contas, ´e tudo entre vocˆe e Deus. Nunca foi entre vocˆe e os outros.”

  Madre Tereza de Calcut´a Resumo

  O presente trabalho tem como objetivo apresentar a resposta para a seguinte quest˜ao, proposta pelo geˆometra alg´ebrico Pierre Samuel em 1947: sob que condi¸c˜oes duas imers˜oes, de uma variedade no espa¸co Euclideano, possuem a mesma aplica¸c˜ao de Gauss e induzem m´etricas conformes na variedade? A caracteriza¸c˜ao obtida ´e baseada no preprint “A complete solution of Samuel’s problem” de Marcos Dajczer e Ruy Tojeiro.

  Palavras-chave: Imers˜oes conformes; Aplica¸c˜ao de Gauss; Problema de Samuel.

  Abstract

  The present work aims to present the answer the following question, posed by the algebraic geometer Pierre Samuel in 1947: under which conditions two immersions, of a manifold into Euclidean space, have the same Gauss map and induce conformal metrics on the manifold? The obtained characterization is based on the preprint “A complete solution of Samuel’s problem” by Marcos Dajczer e Ruy Tojeiro. Keywords: Conformal immersions; Gauss map; Samuel’s problem. Sum´ ario

  

  1

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7.1 Propriedades dos subfibrados de T M ⊗ C . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

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  85 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

  88

  

  90 Introdu¸ c˜ ao n n N

  Sejam M uma variedade diferenci´avel e f : M uma imers˜ao. ´ E poss´ıvel f em M utilizando a imers˜ao f da seguinte maneira n → R definir uma m´etrica h , i f X, f

  ∗ ∗ hX, Y i = hf Y i, ∀X, Y ∈ T M. n

  , associa o n-plano Al´em disso, podemos definir uma aplica¸c˜ao F que, a cada ponto p ∈ M f (T M ), a imagem do espa¸co tangente T M pela diferencial da imers˜ao f. A aplica¸c˜ao

  ∗ p p

  assim definida ´e chamada de aplica¸c˜ao de Gauss de f. Dizemos que duas imers˜oes s˜ao n N conformes se as m´etricas induzidas por elas s˜ao conformes, isto ´e, f, g : M s˜ao n 2ϕ → R conformes se existe uma fun¸c˜ao diferenci´avel ϕ : M g = e f . Essas → R tal que h , i h , i n imers˜oes possuem a mesma aplica¸c˜ao de Gauss se f (T M ) = g (T .

  ∗ p ∗ p

  M ), ∀p ∈ M Em 1947 Pierre Samuel, um grande geˆometra alg´ebrico, propˆos o seguinte pro- blema no artigo : “sob que condi¸c˜oes duas imers˜oes f e g de uma variedade n N

  M em R s˜ao conformes e possuem a mesma aplica¸c˜ao de Gauss?” De certa forma, n N esta pergunta busca entender at´e que ponto uma imers˜ao f : M depende da → R estrutura conforme e da aplica¸c˜ao de Gauss. Nesse contexto, ´e comum dizer que g ´e uma deforma¸c˜ao conforme de f que preserva a aplica¸c˜ao de Gauss. Samuel conseguiu resolver parcialmente este problema em seu artigo, dividindo o problema em dois casos e caracterizando completamente um deles.

  Mesmo antes do trabalho de Samuel, outros matem´aticos estudaram casos par- ticulares desse problema. Christoffel, em 1867, buscava entender at´e que ponto uma

  2

  3

  superf´ıcie f : M ´e determinada por sua estrutura conforme e por sua aplica¸c˜ao de → R

  Gauss. Em 1982, Hoffman e Osserman, no artigo no ano de 1985, estudaram a vers˜ao isom´etrica do problema, isto ´e, quando ϕ ≡ 0. Bennet Palmer , al´em de contri-

  3

  buir com o caso geral, estudou deforma¸c˜oes de superf´ıcies em R que preservam a aplica¸c˜ao de Gauss mais revertem a orienta¸c˜ao do plano f (T p M ). Dajczer e Vergasta ,

  ∗ n n +1

  tamb´em estudaram o problema para hipersuperf´ıcies, isto ´e, imers˜oes f, g : M , → R com dimens˜ao n ≥ 3.

  2 Cada trabalho forneceu resultados e contribui¸c˜oes pr´oprias. Christoffel descobriu

  3

  que, em R , al´em dos casos triviais (superf´ıcies isom´etricas ou que diferem por homotetia e transla¸c˜ao), duas superf´ıcies que s˜ao conformes e tem a mesma aplica¸c˜ao de Gauss ou s˜ao m´ınimas ou s˜ao isot´ermicas, isto ´e, admitem uma parametriza¸c˜ao isot´ermica em que as curvas coordenadas s˜ao as linhas de curvatura. Hoffman e Osserman provaram que se N f e g s˜ao duas imers˜oes conformes de uma superf´ıcie em R cuja aplica¸c˜ao de Gauss pre- serva a orienta¸c˜ao do 2-plano (isto ´e, os planos f ∗ (T p M ) e g ∗ (T p M ), al´em de coincidirem, tem a mesma orienta¸c˜ao), ent˜ao f e g s˜ao superf´ıcies m´ınimas ou diferem por homotetia e transla¸c˜ao. Dajczer e Gromoll provaram que se duas imers˜oes s˜ao isom´etricas com a mesma aplica¸c˜ao de Gauss ent˜ao, localmente f e g s˜ao produtos de subvariedades Kaeh- lerianas que admitem uma fam´ılia associada, exatamente como ocorre com as superf´ıcies m´ınimas. J´a Vergasta obteve uma equa¸c˜ao, envolvendo o fator conforme e um tensor, que traduz a condi¸c˜ao de duas imers˜oes serem conformes com a mesma aplica¸c˜ao de Gauss. Esse trabalho tamb´em forneceu uma caracteriza¸c˜ao, em termos das curvaturas principais,

  3

  para que duas superf´ıcies em R sejam conformes e a aplica¸c˜ao de Gauss, embora seja a mesma, reverta a orienta¸c˜ao dos 2-planos. Usando essa caracteriza¸c˜ao, Vergasta consegue obter como exemplos as superf´ıcies m´ınimas, as ciclides de Dupin, as superf´ıcies de rota¸c˜ao

  3

  e as superf´ıcies de curvatura m´edia constante em R . Em , os autores obtiveram

  3 as hipersuperf´ıcies de rota¸c˜ao sobre curvas planas ou sobre superf´ıcies m´ınimas em R .

  Quanto a Pierre Samuel, podemos dizer que ele resolveu completamente o pro- N blema para superf´ıcies em R , mostrando que se as deforma¸c˜oes de f s˜ao n˜ao triviais ent˜ao elas ou s˜ao superf´ıcies m´ınimas (caso preservem a orienta¸c˜ao dos planos tangen- tes) ou superf´ıcies isot´ermicas (caso revertam a orienta¸c˜ao dos planos). Samuel tamb´em contribuiu enunciando formalmente o caso geral do problema e resolvendo totalmente o chamado caso holonˆomico e parcialmente o caso n˜ao-holonˆomico, conceitos esses que de- pendem da integrabilidade de distribui¸c˜oes que surgiram em seu estudo. ´ E interessante perceber que, apesar de algumas das solu¸c˜oes encontradas em trabalhos posteriores a Samuel j´a tivessem sido obtidas por ele, as demonstra¸c˜oes s˜ao diferentes (provavelmente porque n˜ao era conhecido por esses matem´aticos, levando-os a reobter o mesmo resultado por outros caminhos).

  Em 2010, Dajczer e Tojeiro resolveram completamente o problema pro- posto por Samuel. Para a ideia central do trabalho, eles destacam outra contribui¸c˜ao de Samuel: trabalhar com tensores complexificados. Al´em dessa ideia, s˜ao utilizados a equa¸c˜ao obtida por Vergasta em (chamada por eles, e tamb´em no presente tra- balho, de Lema de Vergasta), o Teorema de N¨olker e o Teorema de Hiepko. Esses dois ´ ultimos teoremas fornecem condi¸c˜oes para que uma imers˜ao e uma variedade, respecti- vamente, possam ser decompostas em produto de imers˜oes e produto de variedades, o

  3 produto warped. Os dois principais resultados dessa disserta¸c˜ao s˜ao N

  2 Teorema 4.1.1 (Dajczer-Tojeiro )Sejam f, g : M , duas imers˜oes com a

  → R

  2

  mesma aplica¸c˜ao de Gauss que induzem m´etricas conformes em M . Ent˜ao ocorre uma das seguintes alternativas: n n (i) g(M ) ´e composi¸c˜ao de homotetia e transla¸c˜ao aplicada a f (M ); n n

  (ii) f (M ) e g(M ) s˜ao superf´ıcies isot´ermicas; n n (iii) f (M ) e g(M ) s˜ao superf´ıcies m´ınimas. n N Teorema 7.2.1 (Dajczer-Tojeiro )Sejam f, g : M

  → R , n ≥ 3, duas imers˜oes com a mesma aplica¸c˜ao de Gauss que induzem m´etricas conformes n˜ao isom´etricas em n M . Ent˜ao ocorre uma das seguintes alternativas: n n

  (i) f (M ) e g(M ) s˜ao cones kaehlerianos reais m´ınimos; n n (ii) f (M ) e g(M ) s˜ao produtos warped de imers˜oes; n n (iii) f (M ) e g(M ) s˜ao produtos warped triplos de imers˜oes.

  O primeiro destes resultados j´a era conhecido pelo pr´oprio Samuel. O interessante ´e que agora ele ´e demonstrado utilizando, essencialmente, a mesma t´ecnica desenvolvida para demonstrar o segundo Teorema, que ´e o resultado principal do artigo. Tamb´em ´e importante observar que o Teorema trata exatamente dos casos ainda n˜ao comple- tamente resolvidos, isto ´e, deforma¸c˜oes conformes com a mesma aplica¸c˜ao de Gauss n˜ao triviais com n ≥ 3.

  A presente disserta¸c˜ao esta organizada em sete cap´ıtulos. O primeiro cap´ıtulo lembra conceitos e resultados b´asicos de Geometria Riemanniana e Teoria das Subvarie- dades que s˜ao importantes para o desenvolvimento do trabalho. Al´em disso, este cap´ıtulo tamb´em apresenta alguns conceitos e resultados n˜ao t˜ao conhecidos, mas que est˜ao inti- mamente ligados `a solu¸c˜ao do problema como, por exemplo, o tensor de decomposi¸c˜ao (em inglˆes splitting tensor ) e alguns resultados sobre subvariedades Kaehlerianas.

  O Cap´ıtulo 2 trata de pares de imers˜oes f e g com a mesma aplica¸c˜ao de Gauss, n traduzindo essa hip´otese na existˆencia de um tensor sobre M , com determinadas carac- ter´ısticas, que satisfaz uma equa¸c˜ao envolvendo os diferenciais de f e g. Tamb´em neste cap´ıtulo vemos como se relacionam as segundas formas fundamentais de f e g, bem como n as conex˜oes de Levi-Civita da variedade M , correspondentes `as m´etricas induzidas por f e g.

  O Cap´ıtulo 3 inicia propriamente o estudo de imers˜oes conformes com a mesma aplica¸c˜ao de Gauss. Nele verificamos que essas duas hip´oteses correspondem `a existˆencia

  n

  4

  ∞

  de um par (T, ϕ), em que T ´e um tensor ortogonal em M (M ) ´e o fator e ϕ ∈ C conforme entre as m´etricas, o qual deve satisfazer determinadas propriedades. Depois de enunciar e provar a vers˜ao real do Lema de Vergasta (obtido em ), apresentamos a vers˜ao complexificada. Em seguida, obtemos uma decomposi¸c˜ao do fibrado tangente complexificado (T M ⊗C) em auto-fibrados e verificamos que essa decomposi¸c˜ao tem duas caracter´ısticas cruciais para o restante do trabalho: al´em de ser ortogonal, ela ´e “pre- servada” pela segunda forma fundamental da imers˜ao f, conforme a Proposi¸c˜ao

  Terminamos esse Cap´ıtulo apresentando casos particulares do Lema de Vergasta comple- xificado, que s˜ao utilizados posteriormente, e simplifica¸c˜oes das equa¸c˜oes fundamentais de uma imers˜ao, ambos obtidos usando a decomposi¸c˜ao do fibrado tangente.

  O Cap´ıtulo 4 utiliza o maquin´ario constru´ıdo nos cap´ıtulos precedentes para re- solver o problema no caso em que f e g s˜ao superf´ıcies, isto ´e, n = 2. Apresentamos a N defini¸c˜ao de superf´ıcie isot´ermica em R , que ´e uma generaliza¸c˜ao natural do conceito

  3 dado para R .

  O Cap´ıtulo 5 apresenta, de maneira sucinta, os conceitos de produto twist e produto warped de variedades, exemplificando o segundo deles que ´e mais importante para o trabalho. O objetivo principal desse cap´ıtulo ´e apresentar os Teoremas de N¨olker e Hiepko. Para isso, recorremos a outros teoremas precedentes (o de de Rham e o de Moore) que serviram de inspira¸c˜ao para esses resultados. Tamb´em nesse cap´ıtulo, definimos N representa¸c˜ao produto warped para R e produto warped de imers˜oes. O Cap´ıtulo 6 apresenta classes de exemplos de imers˜oes conformes n˜ao-isom´etricas com a mesma aplica¸c˜ao de Gauss, para n ≥ 3. O primeiro deles combina uma de- forma¸c˜ao isom´etrica com uma deforma¸c˜ao conforme do ambiente, os cones Kaehlerianos reais m´ınimos. As duas ´ ultimas se¸c˜oes apresentam exemplos constru´ıdos com aux´ılio de produto warped de imers˜oes. A Se¸c˜ao 6.3 apresenta exemplos de produto warped de duas imers˜oes e a Se¸c˜ao 6.4 apresenta um exemplo de produto warped de trˆes imers˜oes.

  Finalmente, o Cap´ıtulo 7 conclui o trabalho apresentando a demonstra¸c˜ao do Te- orema de Dajczer-Tojeiro (Teorema . Segundo esse teorema, todos os pares de imers˜oes conformes n˜ao isom´etricas (de uma variedade de dimens˜ao n ≥ 3) que tem a mesma aplica¸c˜ao de Gauss devem pertencer a uma das 4 clas- ses de exemplos constru´ıdas no cap´ıtulo 6. Para isso, precisamos estudar as propriedades dos auto-fibrados da decomposi¸c˜ao de T M ⊗ C, o que ´e feito em dois lemas, e fazer uma an´alise das poss´ıveis decomposi¸c˜oes para T M ⊗ C.

  A disserta¸c˜ao tamb´em possui um apˆendice no qual o leitor poder´a encontrar algumas informa¸c˜oes adicionais sobre tensores em variedades Riemannianas. Cap´ıtulo 1 Preliminares

  Neste primeiro cap´ıtulo recordamos conceitos de variedades Riemannianas e for- necemos as defini¸c˜oes de alguns objetos da teoria de imers˜oes, fibrados e tensores que ser˜ao utilizados no trabalho. Al´em disso, apresentamos outros elementos que ser˜ao importantes ao longo do trabalho: subvariedades Kaehlerianas reais pluriharmˆonicas, complexifica¸c˜ao de espa¸cos vetoriais e o tensor de decomposi¸c˜ao de uma imers˜ao.

  Para a primeira se¸c˜ao, o leitor interessado em mais detalhes, poder´a consultar , . n

  Salvo men¸c˜ao em contr´ario, M sempre denotar´a uma variedade Riemanniana n dimensional e, `as vezes, tamb´em escrevemos apenas M.

  1.1 Alguns conceitos de geometria Riemanniana n

  Considere a variedade Riemanniana (M M para indicar a m´etrica de M. Lembramos que, em uma , h , i). Ao longo do trabalho, quando for conveniente escreveremos h , i variedade Riemanniana, existe uma ´ unica conex˜ao de Levi-Civita ou Riemanniana (isto ´e, uma conex˜ao sim´etrica e compat´ıvel com a m´etrica). Neste texto sempre trabalharemos com conex˜oes Riemannianas. Portanto, sempre que nos referimos a uma conex˜ao, estamos subentendo que esta ´e a conex˜ao Riemanniana. Denotaremos por T p M o espa¸co tangente de M no ponto p e por X(M ) o conjunto dos campos tangentes a M. Lembramos ainda p que T M = {(p, v) : p ∈ M, v ∈ T M } ´e o fibrado tangente de M. Al´em disso, o tensor de curvatura de M ´e a aplica¸c˜ao

  R : X(M ) × X(M) × X(M) → X(M)

  6 dada por X Y Y X

  [X,Y ]

  R(X, Y )Z = ∇ ∇ Z − ∇ ∇ Z − ∇ Z, ∀X, Y, Z ∈ X(M) , . . . , X M, a curvatura de Ricci de X em p ´e

  1 n p p

  e, dada uma base {X } de T M e X ∈ T dada por

  2n

  X Ric(X) = j )X j j hR(X, X , Xi.

  =1

  Seja ϕ : M → R uma fun¸c˜ao suave. Definimos o gradiente de ϕ como o campo vetorial suave ∇ϕ tal que (1.1) h∇ϕ, Xi = X(ϕ), ∀X ∈ X(M). Dessa forma, `a luz do Teorema de representa¸c˜ao de Riesz, o gradiente de ϕ no ponto p ´e o vetor que representa o funcional linear (ϕ )(p) : T p

  

M → R.

  1.2 Alguns conceitos da teoria de subvariedades n n m m

  Sejam M , M variedades Riemannianas e f : M uma imers˜ao. Dizemos → M que f ´e uma imers˜ao isom´etrica se M X, f

  ∗ ∗ M hX, Y i = hf Y i , ∀X, Y ∈ X(M).

  O n´ umero m − n ´e chamado codimens˜ao de M.

  Se M ´e uma variedade diferenci´avel e M ´e uma variedade Riemanniana, uma f , em M . Basta definir, em cada ponto n imers˜ao f : M → M induz uma m´etrica h , i n p ) p u, (f ) p

  ∗ ∗

  p ∈ M , o produto interno hu, vi := h(f vi. Ent˜ao, f torna-se uma imers˜ao f ) uma variedade Riemanniana. De agora em diante, salvo men¸c˜ao isom´etrica e (M, h , i n N contr´aria, usaremos as seguintes nota¸c˜oes. Dada uma imers˜ao f : M , a m´etrica f , a conex˜ao Riemanniana dessa m´etrica → R induzida por esta imers˜ao ser´a denotada por h , i ser´a denotada por ∇ e a conex˜ao do ambiente ser´a denotada por ∇. Quando tratarmos n N n de duas imers˜oes f, g : M , a conex˜ao da variedade (M g ) ser´a denotada por

  → R , h , i e ∇. n m

  Se f : M → M ´e uma imers˜ao, ent˜ao para cada ponto p ∈ M existe uma U ´e um mergulho sobre f (U ). Portanto, podemos identificar vizinhan¸ca U ⊂ M em que f |

  U e f (U ) e pensar f, localmente, como uma inclus˜ao. Isto induz uma decomposi¸c˜ao do espa¸co tangente T p M em soma direta

  ⊥

  T p M = T p p M , M ⊕ T

  7

  ⊥

  em que T p M ´e o complemento ortogonal de T p M em T p M . Globalmente, esta decom- posi¸c˜ao induz a decomposi¸c˜ao em soma de Whitney

  ⊥

  , T M = T M ⊕ T M

  ⊥

  em que T M ´e o fibrado normal de M. Assim, dados X, Y ∈ T M, tem-se X X Y ⊤ ⊥ X Y ,

  ∇ Y = ∇ + ∇

  ⊤ ⊥

  em que ( ) e ( ) denotam as componentes tangente e normal de X Y, respectivamente.

  ∇ Na verdade, estamos utilizando um abuso de nota¸c˜ao quando afirmamos que X, Y ∈ T M, pois a rigor, a conex˜ao ∇ deT M ´e uma aplica¸c˜ao ∇ : X(M) × Γ(T M) → T M. Isto ´e, estamos dizendo que X, Y ∈ T M, quando dever´ıamos nos referir `as respectivas se¸c˜oes do fibrado a que estes pertencem, isto ´e, X ∈ X(M) e Y ∈ Γ(T M). Durante todo o trabalho usaremos esse abuso de nota¸c˜ao sem maiores coment´arios.

  ⊤

  = Como consequˆencia da unicidade da conex˜ao Riemanniana, obtemos que ∇) f ,

  ∇, em que ∇ ´e a conex˜ao de M. Definindo agora a segunda forma fundamental de f, α como α f (X, Y ) := X X Y,

  ∇ Y − ∇ temos a f´ormula de Gauss X X Y + α f (X, Y ), ∇ Y = ∇ que tamb´em pode ser escrita como U ∗ ∗ U f (f V ) = f V ) + α (U, V ). (1.2)

  ∇ (∇

  ⊥

  Recordamos que a segunda forma fundamental α f ´e um : T M × T M → T M tensor (pois o valor de α f (X, Y )(p) s´o depende dos valores X e Y no ponto p) sim´etrico.

  Dessa forma, existe um operador linear auto-adjunto associado a α f , chamado de Operador de Weingarten e denotado por A ξ ξ f : T M → T M, dado por hA X, Y i = hα (X, Y ), ξi.

  Para qualquer imers˜ao isom´etrica, valem as equa¸c˜oes a seguir f f f f (Y, W ), α (X, W ), α hR(X, Y )Z, W i−h ¯ R(X, Y )Z, W i=hα (X, Z)i−hα (Y, Z)i (1.3) (Equa¸c˜ao de Gauss) Y f X f (1.4) h ¯ R(X, Y )Z, ηi = ∇ hα (X, Z), ηi − ∇ hα (Y, Z), ηi

  (Equa¸c˜ao de Codazzi)

  ⊥ η , A ξ (1.5)

  h ¯ R(X, Y )η, ξi − hR (X, Y )η, ξi = h[A ]X, Y i (Equa¸c˜ao de Ricci)

  8

  ⊥

  Nas equa¸c˜oes acima, ¯ R e R s˜ao as curvaturas definidas pelas conex˜oes ∇ e

  ⊥ ⊥ = , respectivamente e [A η , A ξ ] = A η A ξ ξ A η .

  ∇ ∇) − A Dizemos que uma imers˜ao f : M

  → M ´e totalmente geod´esica se α f

  (X, Y ) = 0, ∀X, Y ∈ T M. Observe que f ´e totalmente geod´esica se, e somente se, X X Y. n n +k ∇ Y = ∇ Se f : M M ´e uma imers˜ao isom´etrica, um referencial ortonormal

  → ˜

  

1 , . . . , ˜ e n +k M ´e dito adaptado `a imers˜ao se as restri¸c˜oes de

  {˜e } em um aberto, ˜ U ⊂ ˜ ˜ e , . . . , ˜ e a U = ˜

  1 n

  U ∩ M formarem um referencial em U. A existˆencia desse objeto ´e garantida pelo Teorema de Gram-Schmidt e o leitor interessado em mais detalhes pode , . . . , e n , η , . . . , η k

  1

  1

  consultar . Seja {e } um referencial adaptado `a f definido em um aberto U. Considere o campo n

  X

  1

  ⊥

  H = α f (e i , e i , (1.6) ) ∈ X(U) f (e i , e i ), η j η j e i , e i n i =1 como hα i = hA i, temos n n k n k

  X X

  X X

  X α f (e i , e i ) = f (e i , e i ), η j j = η e i , e i j . (1.7) j i =1 i =1 j =1 i =1 j =1 hα iη hA iη

  Substituindo , obtemos n k k

  X X

  X

  1

  1 H = e , e = tr(A )η , (1.8) η j i i j η j j hA iη n n i =1 j =1 j =1

  , . . . , e n

  1

  de maneira que H independe tanto do referencial tangente {e } quanto do refe-

  ⊥

  , . . . , η k , sendo o seu

  1

  rencial normal {η }. Assim, o campo H fica bem definido em X(M) valor em p ∈ M, H(p), chamado de vetor curvatura m´edia de f em p. Dizemos que f ´e m´ınima se H = 0. n se, para todo

  Dizemos que uma imers˜ao f : M → ˜ M ´e umb´ılica em p ∈ M p M , tem-se A ξ = λ ξ I, em que I ´e a identidade em T p M. Quando f ´e umb´ılica em ⊥ ξ ∈ T n dizemos que f ´e uma imers˜ao umb´ılica . Observe que as seguintes todo ponto p ∈ M afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes:

  (i) f ´e umb´ılica em p;

  ⊥

  (ii) A ξ p M ; = hH(p), ξiI, ∀ξ ∈ T p M.

  (iii) α(X, Y ) = hX, Y iH(p), ∀X, Y ∈ T

  9 Uma imers˜ao umb´ılica ´e chamada de esf´erica se o vetor curvatura m´edia ´e paralelo na conex˜ao normal, isto ´e, X ⊥ ∇ H = 0, ∀X ∈ T M.

  Para uso posterior, apresentamos aqui o Teorema de Liouville. Recordamos que aplica¸c˜oes de semelhan¸ca s˜ao aplica¸c˜oes conformes obtidas como composi¸c˜ao de transla¸c˜ao, transforma¸c˜oes ortogonais e homotetia, isto ´e, multiplica¸c˜ao por uma cons- tantes n˜ao nula.

  Teorema 1.2.1 n n (de Liouville). Toda aplica¸c˜ao conforme f : U → V de um aberto co- ´e a restri¸c˜ao de uma composi¸c˜ao de semelhan¸ca e nexo U ⊂ R em um aberto V ⊂ R invers˜oes, de fato, no m´aximo uma de cada.

  O leitor interessado em mais detalhes poder´a consultar os volumes 3 e 4 de .

  3 No primeiro deles (precisamente no Cap´ıtulo 4) se encontra a vers˜ao do Teorema em R n e no segundo (precisamente no cap´ıtulo 7, parte A) se conclui a generaliza¸c˜ao para o R ,

  aqui enunciada.

1.3 Complexifica¸ c˜ ao de um espa¸ co vetorial

  Seja V um espa¸co vetorial sobre R de dimens˜ao finita. ` As vezes ´e conveniente interpretar solu¸c˜oes de equa¸c˜oes em V como restri¸c˜ao do conjunto solu¸c˜ao da mesma equa¸c˜ao vista em um espa¸co vetorial complexo. Analogamente, operadores em V tamb´em podem ser vistos como restri¸c˜ao de um operador sobre um espa¸co vetorial complexo. Um exemplo cl´assico disso ´e a diagonaliza¸c˜ao de operadores definidos sobre um espa¸co vetorial real, pois como nem sempre o polinˆomio caracter´ıstico de um operador em V tem ra´ızes em R , ´e conveniente estender esse operador (e consequentemente a equa¸c˜ao caracter´ıstica) aos complexos e definir autovalores complexos de um operador real. Isso se justifica porque C ´e algebricamente fechado e assim a existˆencia de autovalores ´e garantida.

  Vejamos agora como funciona a complexifica¸c˜ao de um espa¸co vetorial e a ex- tens˜ao complexa bilinear de um produto interno sobre V. Essa se¸c˜ao ´e importante para entender melhor como funciona a complexifica¸c˜ao da m´etrica, da segunda forma funda- mental e da conex˜ao Riemanniana, que ´e feita para obter a vers˜ao complexificada do Lema de Vergasta na Se¸c˜ao e tamb´em para apresentar alguns fatos sobre espa¸cos vetori- ais complexos utilizados na pr´oxima se¸c˜ao quando falaremos de variedades Kaehlerianas. Faremos aqui apenas uma apresenta¸c˜ao de fatos sobre espa¸cos vetoriais complexos e dos resultados principais relativos `a complexifica¸c˜ao de V, cujos detalhes e demonstra¸c˜oes podem ser encontrados na segunda se¸c˜ao do apˆendice de .

  10 Seja V um espa¸co vetorial complexo de dimens˜ao finita. A restri¸c˜ao do corpo de

  C

  escalares deste espa¸co a R d´a origem a um espa¸co vetorial real V e a uma transforma¸c˜ao

  R

  2

  linear J : V tal que J .

  R R R

  → V = J ◦ J = −I, em que I ´e o operador identidade em V Al´em disso, a dimens˜ao complexa de V ´e o dobro da dimens˜ao real de V . Para entender

  C R

  melhor esses fatos, escrevamos V

  C R

  = V ⊕ iV que identificaremos como V = V × V sendo V um espa¸co vetorial real. Claramente a dimens˜ao de V como espa¸co vetorial complexo

  C

  ´e metade da dimens˜ao de V como espa¸co vetorial real. Al´em disso, a multiplica¸c˜ao pela

  R

  unidade imagin´aria i em V ´e tal que

  C

  i(v + iv + iv , v

  1

  2

  

2

  1

  1

  2 ) = (−v ), ∀v ∈ V.

  • iv ≈ , v , essa opera¸c˜ao nos permite

  2

1 C

  2

  1 R

  Fazendo a identifica¸c˜ao (−v ) ∈ V (−v ) ∈ V

  2

  criar a transforma¸c˜ao linear J : V , dada por J(v , v , v ) tal que J =

  R R

  1

  2

  2

  1

  → V ) = (−v , ..., e n , Je , ..., e n , Je n

1 C

  1

  1 J ◦ J = −I. ´ E f´acil verificar que se {e } ´e base para V ent˜ao {e } ´e uma base para V . R

  Dizemos que um operador linear J : V → V ´e uma estrutura complexa para o

  2

  espa¸co vetorial real V se J = −I. O pr´oximo resultado permite compreender o por quˆe desse nome, al´em de fornecer condi¸c˜oes para existˆencia desse objeto.

  Lema 1.3.1.

  Se V ´e um espa¸co vetorial real munido de uma estrutura complexa J : V → V ent˜ao V tem dimens˜ao par. Ademais se dim V = 2n, ent˜ao

  ′ ′ ′

  , e , . . . , e n , e = Je k , para todo

  1

  (i) podemos escolher uma base {e

  1 n } para V tal que e k

  1 ≤ k ≤ n; (ii) a opera¸c˜ao de extens˜ao de escalares complexos definida por (a + ib)v := (av + Jbv) torna V um espa¸co vetorial complexo cuja dimens˜ao complexa ´e n. Ademais, com a

  1 , . . . , e n nota¸c˜ao do item (i), {e } ´e uma base de V sobre C.

  Na discuss˜ao precedente, partindo de um espa¸co vetorial complexo, chegamos a um espa¸co vetorial real - munido de uma estrutura complexa - por meio de restri¸c˜ao dos escalares complexos a escalares reais. Agora faremos o caminho inverso, partindo de um espa¸co vetorial real chegaremos a um espa¸co vetorial complexo, utilizando dessa vez a extens˜ao de escalares reais a escalares complexos.

  Seja V um espa¸co vetorial real qualquer (perceba que n˜ao estamos dizendo que ele tem dimens˜ao par). Podemos dotar o espa¸co vetorial real V × V com a estrutura complexa

  J : V × V → V × V (u, v) 7→ (−v, u). Aplicando o item (ii) do Lema anterior podemos ver V ×V como espa¸co vetorial complexo que denotaremos por V e chamaremos de complexifica¸c˜ao de V. Ainda pelo item (ii) do

  C

  11 Lema conclu´ımos que 2 dim V = dim V , isto ´e, a dimens˜ao complexa de V ´e

  C R C

  metade da dimens˜ao real de V . ´ E interessante observar que, embora V possa ser inclu´ıdo

  R

  em V de forma canˆonica, preservando as opera¸c˜oes de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao por escalar,

  C V n˜ao ´e subespa¸co de V .

  C

  Dado um operador T : V → V, definimos a complexifica¸c˜ao de T (tamb´em chamado de complexificado de T ) como sendo o ´ unico operador T : V que coincide

  C C C

  → V com T em V, isto ´e, T E poss´ıvel mostrar que T (v

  1 +iv 2 ) = T v 1 +iT v 2 , C C

  (v) = T (v), ∀v ∈ V. ´ que as representa¸c˜oes matriciais de T e T s˜ao as mesmas, bem como seus polinˆomios

  C

  m´ınimo e caracter´ıstico. Al´em disso, se λ ´e autovalor de T, ¯ λ tamb´em o ´e e ambos tem a mesma multiplicidade alg´ebrica. Mais detalhes sobre esses fatos podem ser encontrados em .

  Seja V um espa¸co vetorial real munido do produto interno h , i : V × V → R. Lembramos que um produto interno sobre um espa¸co vetorial real ´e uma forma bilinear, sim´etrica e positiva definida. Ao definirmos o produto interno sobre um espa¸co vetorial complexo, percebemos que este n˜ao pode ser simultaneamente bilinear e positivo definido,

  2

  pois, supondo a bilinearidade temos −1 = i h1, 1i = hi, ii < 0. Na verdade, ´e poss´ıvel mostrar que, se o produto interno sobre um espa¸co vetorial complexo ´e positivo definido, ent˜ao ele ´e uma forma sesquilinear (n˜ao ´e bilinear nem sim´etrico). Dessa forma, o produto

  : V

  C C C

  interno real, h , i : V × V → R, pode ser complexificado para h , i × V → C de bilinear e sim´etrico.

  C C

  duas maneiras, conforme se escolha h , i positivo definido ou h , i Essa segunda maneira ´e a que ser´a utilizada nesse trabalho para complexificar a m´etrica e a segunda forma fundamental. O pr´oximo resultado fornece algumas propriedades dessa extens˜ao.

  Lema 1.3.2.

  Sejam V um espa¸co vetorial real munido do produto interno h, i : V ×V → R : V

  C C C

  e h , i × V → C a extens˜ao bilinear desse produto interno ent˜ao

  • iv , w + iw , w , w , w , w

  1

  2

  1

  2

  1

  1

  2

  2

  1

  2

  2

  1

  (i) hv i C = (hv i − hv i) + i(hv i + hv i);

  • iv , v

  C

  1

  2

  1

  

2

  1

  2

  (ii) hw, wi = 0, ∀w ∈ {v = v : hv i = 0 e kv k = kv k};

  C (iii) hv, ¯vi ≥ 0 e hv, ¯vi = 0 se, e somente se, v = 0.

  Prova: Todas as afirma¸c˜oes s˜ao decorrentes de como estamos fazendo a extens˜ao. Pro- varemos, no entanto, o item (iii) por sua importˆancia para c´alculos posteriores. De fato,

  2

  2 1 + iv 2 , v

  1

  2 1 , v

  1 2 , v

  2 1 , v

  2 2 , v

  1

  1 2 , C C

  hv, ¯vi = hv − iv i = hv i + hv i − ihv i + ihv i = kv k + kv k o que j´a ´e suficiente para concluirmos o desejado.

  Optamos por apresentar aqui o comportamento da extens˜ao complexa bilinear de um produto interno, dada a semelhan¸ca que este objeto tem com a m´etrica e a se- gunda forma fundamental de uma imers˜ao. Como escolhemos manter a compatibilidade

  12 entre m´etrica e conex˜ao, em consequˆencia da f´ormula de Koszul, que permite obter a conex˜ao em fun¸c˜ao da m´etrica, ao complexificarmos a m´etrica estamos automaticamente complexificando a conex˜ao, respeitando assim as mesmas propriedades que uma conex˜ao real possui. Dessa forma embora trabalhando com objetos definidos num fibrado com- plexificado, quase n˜ao perceber´ıamos diferen¸ca caso pens´assemos que ´e um fibrado real mesmo. N˜ao podemos dizer que o procedimento ´e exatamente o mesmo porque os deta- lhes expressos nos itens (ii) e (iii) do Lema anterior fazem alguma diferen¸ca nos c´alculos que envolvem a m´etrica e a segunda forma fundamental. Observamos que existe outra constru¸c˜ao para complexifica¸c˜ao de espa¸cos vetoriais, utilizando produto tensorial. Este m´etodo ´e rapidamente comentado em e nos pr´oximos cap´ıtulos desse texto.

  1.4 Variedades Kaehlerianas n

  Seja M uma variedade diferenciav´el real. Dizemos que um tensor J : T M → T M

  2

  definido em M ´e uma estrutura quasi-complexa se J n = −I.

  Uma variedade Kaehleriana ´e um par (M , J) em que M ´e uma variedade Rie- manniana complexa e J ´e uma estrutura quasi-complexa satisfazendo X X X (i) J ´e paralelo, isto ´e, (∇ J)Y := ∇ JY − J∇ Y = 0, ∀X, Y ∈ T M; (ii) J ´e ortogonal, isto ´e, hJX, JY i = hX, Y i.

  Com essa defini¸c˜ao munimos variedades com uma estrutura parecida com a unidade ima- gin´aria i dos n´ umeros complexos.

  A Proposi¸c˜ao abaixo mostra que J se comporta bem com rela¸c˜ao ao tensor de curvatura de uma variedade Kaehleriana.

  2n Proposi¸ c˜ ao 1.4.1.

  Seja M uma variedade Kaehleriana e J sua estrutura complexa ent˜ao (i) JR(X, Y )Z = R(X, Y )JZ;

  (ii) R(JX, JY )Z = R(X, Y )Z; (iii) Ric(X) = Ric(JX).

  Prova: U JV = Para provar o item (i), basta observar que, como J ´e paralelo, temos ∇

  U

  13 V. Ent˜ao J∇

  JR(X, Y )Z = J X Y Y X Z

  [X,Y ]

  ∇ ∇ Z − ∇ ∇ Z − ∇ X Y Y X Z

  [X,Y ]

  = J∇ ∇ Z − J∇ ∇ Z − J∇ X Y Y X JZ

  [X,Y ]

  = ∇ ∇ JZ − ∇ ∇ JZ − ∇ = R(X, Y )JZ. Para o item (ii), usando que J ´e ortogonal, temos

  (i)

  hR(JX, JY )Z, W i = hR(Z, W )JX, JY i = hJR(Z, W )X, JY i = hR(Z, W )X, Y i = hR(X, Y )Z, W i. p M, e considere uma Logo R(JX, JY )Z = R(X, Y )Z. Finalmente, sejam p ∈ M e X ∈ T

  , . . . , X p M tal que X = JX e X = X, logo

  1 2n 2i 2i−1

  1

  base ortonormal {X } de T

  2n 2n

  X X Ric(X) = j )X j j )X j j j hR(X, X , Xi = hJR(X, X , JXi

  =1 =1 2n 2n

  X X = j )JX j j , JX)JX, JX j j j hR(X, X , JXi = hR(JX i.

  =1 =1 i , JX j i , X j ij , . . . , JX 1 2n

  Como J ´e ortogonal, hJX i = hX i = δ , ou seja, o conjunto {JX } ainda ´e uma base para T p M e, como o Ric n˜ao depende da base considerada para T p M, conclu´ımos que

  2n

  X Ric(X) = j )JX, JX j j hR(JX, JX i = Ric(JX).

  =1 n N n

  Uma imers˜ao isom´etrica f : M , em que M ´e uma variedade Kaehleriana, → R

  ´e chamada de subvariedade Kaehleriana real . Uma subvariedade Kaehleriana real f ´e dita

  

  ser pluriharmˆonic se α f (JX, Y ) = α f (X, JY ), ∀X, Y ∈ T M. Sejam (M, J) e ( ˜ M , ˜

  M J) duas variedades Kaehlerianas. Dizemos que f : M → ˜

  ´e holomorfa se f . ´ E poss´ıvel mostrar que se f ´e holomorfa ent˜ao

  ∗ ∗

  ◦ J = ˜ J ◦ f ˜

  Jα (X, Y ) = α (JX, Y ) = α f f f 1 (X, JY ), ∀X, Y ∈ T M.

  o leitor que consultar as referˆencias poder´ a encontrar os termos circular ou pseudoholomorfa em lugar de pluriharmˆonica. Cabe observar que a no¸c˜ ao de pseudoholomorfa ´e introdu-

zida em e n˜ ao corresponde ` a defini¸c˜ ao aqui colocada. Por sugest˜ ao do pr´ oprio Dajczer, optamos

pela nomenclatura mais atual em detrimento ` aquela que aparece nesses artigos (circular). Aqueles que

queiram entender melhor essa escolha podem buscar os trabalhos de Renato Tribuzy, como por exemplo

.

  14 Em particular, toda imers˜ao holomorfa ´e pluriharmˆonica. O leitor interessado em mais detalhes pode consultar o Cap´ıtulo 8 de . O pr´oximo resultado relaciona subvarie- dades pluriharmˆonicas, imers˜oes m´ınimas, condi¸c˜oes que relacionam J e a segunda forma fundamental ou J e o operador de Weingarten. N

  2n

  Proposi¸ c˜ ao 1.4.2. Seja f : M uma subvariedade Kaehleriana real. As seguintes → R condi¸c˜oes s˜ao equivalentes:

  (i) f ´e pluriharmˆonica; (ii) α (JX, JY ) + α f f

  (X, Y ) = 0, ∀X, Y ∈ T M; (iii) f ´e m´ınima; (iv) JA ξ ξ J.

  = −A Prova:

  Primeiro vamos mostrar que (i) implica (ii). Se f ´e pluriharmˆonica ent˜ao

  2 α f (JX, JY ) = α f (J X, Y ) = α f f (X, Y ).

  (−X, Y ) = −α Agora vejamos que (ii) implica (iii). Para isso consideremos um referencial ortonormal

  , X , . . . X = JX . Temos

  1 2 2n 2i 2i−1

  {X } sobre M tal que X n n

  2n

  X X

  X 2nH = α f (X i , X i ) = α f (X , X ) + α f (X , X ). i i i 2i−1 2i−1 2i 2i =1 =1 =1 No referencial considerado, temos X = JX . Como α f (X i , X i f (JX i , JX i )

  

2i 2i−1

  ) = −α temos α f (X 2i , X 2i ) = α f (JX 2i−1 , JX 2i−1 f (X 2i−1 , X 2i−1 ),

  ) = −α portanto, H = 0.

  2n

  , basta mostrar que em uma Agora vejamos que (iii) implica (i). Seja p ∈ M

  1 , . . . , X 2n p M temos

  base {X } de T α (JX , X ) = α (X , JX ). f i j f i j , X , . . . X p M tal que X = JX . Sejam

  1 2 2n 2i 2i−1

  Considere uma base ortonormal {X } para T v i = (α f (X i , JX ), . . . , α f (X i , JX ))

  1 2n

  e w = (α (X , JX ), . . . , α (X , JX )). i f

  1 i f 2n i

  15 Ent˜ao

  2n

  X

i = f (JX i , X j

  2

  2

  kw k kα )k j

  =1

  e

  2n

  X

i = f (X i , JX j

  2

  2

  kv k kα )k j

  =1

  Observe que como X = JX , temos

  2i 2i−1

  ( f (X i , X j ), se j ´e par

  −1

  −α α f (X i , JX j ) = α f (X i , X j ), se j ´e ´ımpar.

  • 1

  Portanto,

  2n 2n

  X X i = f (X i , JX j = f (X i , X j . (1.9)

  2

  2

  2

  kv k kα )k kα )k j =1 j =1 Pela equa¸c˜ao de Gauss, fixado i, e dado j temos i , X j )X j , X i i , X j )X j , X i f (X i , X j ), α f (X j , X i hR(X i − hR(X i = hα )i− f (X j , X j ), α f (X i , X i hα )i.

  Somando essas equa¸c˜oes em j, obtemos

  2n 2n 2n

  X i , X j )X j , X i i , X j )X j , X i f (X j , X j ), α f (X i , X i

  X X j j j hR(X i − hR(X i = hα )i −

  =1 =1 =1 2n

  X f (X i , X j , (1.10)

  2 j kα )k =1

  Como f ´e m´ınima, temos

  2n 2n

  n o D n o E

  X f (X j , X j ), α f (X i , X i = α f (X j , X j ) , α f (X i , X i ) = 0. (1.11)

  X j j hα )i

  =1 =1

  Al´em disso, R(X i , X i )X i , X i = R(X i , X i )X i , X i = 0, (1.12)

  X i j j i i , X )X , X ) (1.13) j 6=i hR(X i = Ric(X N (1.14)

  e, como em R tem curvatura seccional constante c = 0,

  X X i j j i i j , X )X , X K(X , X (1.15) j j hR(X i = ) = (2n − 1)c = 0.

  6=i 6=i

  Substituindo , temos

  2n

  X

  2

  2 Ric(X i f (X i , X j i . (1.16)

  ) = − kα )k = −kv k j =1

  16 Analogamente,

  2n

  X

  2

  2 Ric(JX i f (JX i , X j i . (1.17)

  ) = − kα )k = −kw k j =1 Como Ric(Z) = Ric(JZ), as equa¸c˜oes implicam i i . (1.18)

  2

  2

  kv k = kw k Por outro lado,

  2n 2n

  X X Ric(X i ) = i , X j )X j , X i i , X j )X j , JX i j j hR(X i = hJR(X i

  =1 =1 2n

  X = i , X j )JX j , JX i j hR(X i

  =1 2n

  n

  X = i , X j )JX j , JX i f (X i , JX j ), α f (X j , JX i j hR(X i − hα )i +

  =1 f (X j , JX j ), α f (X i , JX i o hα )i 2n

  n o

  X = c i , JX i j , JX j i , JX j j , JX i j hX ihX i − hX ihX i

  • =1 2n 2n

  X f (X j , JX j ), α f (X i , JX i f (X i , JX j ), α f (X j , JX i

  X j j hα )i − hα )i.(1.19)

  =1 =1

  Al´em disso, como X 2i = JX 2i−1 , temos ( f (X j , X j ), se j ´e par

  −1

  −α α f (X j , JX j ) =

  α f (X j , X j ), se j ´e ´ımpar,

  −1

  de maneira que

  2n

  X f (X j , JX j ), α f (X i , JX i j hα )i = 0.

  =1 N

  Substituindo as duas ´ ultimas igualdades em e usando que c = 0 em R , temos

  2n

  X Ric(X i f (X i , JX j ), α f (X j , JX i i , w i (1.20) ) = − hα )i = −hv i. j

  =1

  Mas pela Desigualdade de Cauchy-Schwartz, temos

  2

  2

  2 i i i i , w

  (1.21) hv i ≤ kv k kw k e a igualdade s´o se verifica se v i e w i s˜ao linearmente dependentes. Dessa forma, , implicam que v i i . Afirmamos que v i = w i . De fato, se w i i ,

  = ±w = −v temos

  2 Ric(X i

  ) = kvk ≥ 0,

  17 por outro lado, em , temos

  2 Ric(X i i ,

  ) = −kv k o que ´e absurdo, a menos que v i = w i = 0. Logo v i = w i , o que implica α f (JX i , X j ) = α f (X i , JX j ), 1 ≤ i ≤ 2n, 1 ≤ j ≤ 2n. At´e aqui temos a equivalˆencia entre (i), (ii) e (iii). Agora mostraremos que (i) ´e p p M temos ⊥ equivalente a (iv). De fato, dados p ∈ M, X, Y ∈ T M e ξ ∈ T ξ A ξ ξ

  2

  hα(X, JY ), ξi = hA X, JY i = −hJ X, JY i = −hJA X, Y i e ξ hα(JX, Y ), ξi = hA JX, Y i.

  Logo ξ JX + JA ξ hα(JX, Y ) − α(X, JY ), ξi = hA X, Y i, o que nos permite concluir a equivalˆencia entre (i) e (iv).

  1.5 Fibrados, subfibrados e distribui¸ c˜ oes n

  Dada uma variedade diferenci´avel M , um fibrado vetorial sobre M ´e um par (E, π) em que E ´e uma variedade diferenci´avel e π : E → M ´e uma aplica¸c˜ao diferenci´avel sobrejetiva satisfazendo as seguintes condi¸c˜oes: p = π (p) possui uma estrutura −1

  (i) Existe k ∈ N tal que, para todo p ∈ M, o conjunto E de espa¸co vetorial real k-dimensional; (ii) Para cada p ∈ M existem uma vizinhan¸ca U ⊂ M de p e uma aplica¸c˜ao

  −1 k

  ψ : π tais que (U ) → U × R q ´e um isomorfismo linear entre E q e

  (I) Para cada q ∈ U, a restri¸c˜ao de ψ a E k , este ´ ultimo munido com a estrutura canˆonica de espa¸co vetorial real;

  {q} × R k (II) Se π U

  : U × R → U denota a proje¸c˜ao sobre o primeiro fator ent˜ao

  −1

  π = π U ◦ ψ : π (U ) → U. Com as nota¸c˜oes acima, dizemos que M ´e base do fibrado, E ´e seu espa¸co total e cada E p ´e uma fibra de E sobre p. O n´ umero natural k ´e o posto do fibrado, a aplica¸c˜ao π ´e a proje¸c˜ao ou aplica¸c˜ao de fibrado e ψ ´e chamada de trivializa¸c˜ao local . Quando n˜ao h´a possibilidade de confus˜ao denota-se o fibrado vetorial por E ou π, ficando subentendido o par. Neste trabalho denotaremos o posto k do fibrado E por rank(E).

  18 Uma se¸c˜ao de um fibrado vetorial (E, π) ´e uma aplica¸c˜ao η : M → E tal que M , em que Id M ´e a aplica¸c˜ao identidade sobre M. O fibrado tangente T M η ◦ π = Id tem uma estrutura natural de fibrado e os campos tangentes a M s˜ao as se¸c˜oes de T M. Observamos ainda que por simplicidade, chamaremos fibrados vetoriais simplesmente de fibrados.

  Sejam (E, π ) e (F, π ) fibrados vetoriais sobre M, a soma de Whitney de E e F,

  1

  2

  1 2 ) em que

  denotada por E ⊕ F ´e o fibrado vetorial (E ⊕ F, M, π ⊕ π (e) = π

  1

  2 E ⊕ F = {(e, f) ∈ E × F : π (f )}

  e π

  1

  2

  ⊕ π : E ⊕ F → M ((e, f )) = π (e) = π (f ).

  1

  2

  1

  2

  (e, f ) 7→ π ⊕ π Observe que a soma de Whitney ´e um fibrado cujas fibras sobre p s˜ao exatamente a soma direta dos espa¸cos vetoriais E p e F p .

  Um subfibrado de um fibrado (E, π) ´e um subconjunto D ⊂ E com as seguintes propriedades: (i) D ´e uma subvariedade mergulhada de E; p (p) ´e um subespa¸co linear de E p = π (p); −1 −1

  (ii) Para cada p ∈ M, a fibra D = D ∩ π (iii) Considerando cada D p com a estrutura de subespa¸co vetorial de E p e a proje¸c˜ao D D ) ´e um fibrado vetorial.

  π | : D → M, (D, π | D A condi¸c˜ao de D ser um fibrado vetorial implica que π | : D → M ´e sobrejetiva e que todas as fibras D tem a mesma dimens˜ao. p

  Uma distribui¸c˜ao sobre M ´e um subfibrado D de T M. Nesse caso, a dimens˜ao de cada fibra de D ´e chamada de dimens˜ao da distribui¸c˜ao. Assim, podemos pensar que p p M. uma distribui¸c˜ao ´e uma aplica¸c˜ao que a cada p ∈ M associa um subespa¸co D ⊂ T

  Uma distribui¸c˜ao D ⊂ T M ´e integr´avel se, para p ∈ N, existe uma variedade p = T p N. Nesse caso, dizemos tamb´em que N ´e uma variedade imersa N ⊂ M tal que D integral para D. Dada uma distribui¸c˜ao sobre M , podemos identificar geometricamente o problema de saber se esta ´e integr´avel, com o problema de encontrar uma subvariedade N de M tal que os espa¸cos tangentes dos pontos de N coincidam com os subespa¸cos correspondentes associados pela distribui¸c˜ao.

  ⊥

  tal Dizemos que um subfibrado E de T M ´e umb´ılico se existe uma se¸c˜ao η ∈ E que X

  ⊥ .

  h∇ Y, Zi = hX, Y ihη, Zi, ∀X, Y ∈ E, ∀Z ∈ E

  19 Nesse caso, dizemos que η ´e a curvatura normal m´edia de E. Observamos que, neste caso, se X, Y ∈ E temos X Y ∇ = hX, Y iη, E em particular, se X ´e unit´ario, temos X X = η. ∇ E

  Um subfibrado umb´ılico E de T M ´e esf´erico se

  ⊥ X .

  h∇ η, Zi = 0, ∀X ∈ E, ∀Z ∈ E Um subfibrado E de T M ´e totalmente geod´esico se X ∇ Y ∈ E, ∀X, Y ∈ E. X Um subfibrado E ´e chamado de paralelo se dados Y ∈ L e X ∈ T M temos ∇ Y ∈ E.

  As defini¸c˜oes dos subfibrados acima tem uma certa proximidade com os respec- tivos conceitos para imers˜oes (ou subvariedades). Na verdade, quando um subfibrado E ´e umb´ılico, totalmente geod´esico ou esf´erico ent˜ao E ´e integr´avel e suas folhas (veja defini¸c˜ao de folhas mais adiante) s˜ao subvariedades umb´ılicas, totalmente geod´esicas ou esfer´ericas, respectivamente.

  Dizemos que uma distribui¸c˜ao D ⊂ T M ´e involutiva se dado um par de se¸c˜oes X, Y de D (isto ´e, pares de campos tangentes X, Y definidos em um aberto de M tal que X p , Y p p

  ∈ D , ∀p) tem-se [X, Y ] ´e uma se¸c˜ao de D. O seguinte Teorema, cuja demonstra¸c˜ao poder´a ser consultada no cap´ıtulo 14 de , diz exatamente quando uma distribui¸c˜ao ´e integr´avel. Teorema 1.5.1 (Frobenius). Uma distribui¸c˜ao ´e integr´avel se, e somente se, ´e involutiva.

  Ao tomar variedades integrais m´aximas em uma distribui¸c˜ao k-dimensional in- volutiva, obtˆem-se uma parti¸c˜ao da variedade M em subvariedades de dimens˜ao k. Estas subvariedades funcionam localmente como fatias em coordenadas planas. Chamaremos n de folhea¸c˜ao de dimens˜ao k da variedade M a cole¸c˜ao F de subvariedades imersas k- dimensionais de M, disjuntas e conexas cuja uni˜ao ´e M e tal que para cada vizinhan¸ca de um ponto p ∈ M existe uma carta (U, x) tal que se uma folha intersecta U (aberto de M ), ent˜ao esta intersec¸c˜ao ´e uma uni˜ao enumer´avel de fatias k-dimensionais da forma k +1 k +1 n n k +1 n n −k x (q) = c , . . . , x (q) = c , em que (c , . . . , c ´e constante (essas cartas

  ) ∈ R s˜ao chamadas de cartas flat da folhea¸c˜ao ou cartas trivializadoras de F). A condi¸c˜ao de intersectar em uma uni˜ao enumer´avel de fatias tem natureza topol´ogica, justificada na p´agina 194 do volume I de . Entende-se por fatia um subconjunto da forma k +1 k +1 n n k +1 n n −k (q) = c , ..., x (q) = c , . . . , c ´e constante. {q ∈ U : x }, em que (c ) ∈ R

  20 Dada uma imers˜ao f : M → ˜ M , para cada p ∈ M definimos o espa¸co de nulidade relativa de f em p como ∆ f p M : α f p (p) = {X ∈ T (X, Y ) = 0, ∀Y ∈ T M }. A dimens˜ao deste subespa¸co de T p M ´e denotada por ν(p) e ´e chamada de ´ındice de nulidade relativa do ponto p. No caso de hipersuperf´ıcies, o ´ındice de nulidade relativa de um ponto p ´e exatamente o n´ umero de zeros que aparece na diagonal principal da matriz diagonalizada do operador de Weingarten na dire¸c˜ao normal. ´ E poss´ıvel mostrar que, em n abertos onde o ´ındice de nulidade relativa ν : M n → R ´e constante, a aplica¸c˜ao que a associa o subespa¸co ∆ f (x), ´e suave e define uma distribui¸c˜ao ∆ f , suave e cada x ∈ M integr´avel cujas folhas s˜ao totalmente geod´esicas em M e em ˜ M . O leitor interessado nas demonstra¸c˜oes destes fatos pode consultar os cap´ıtulos III e V de ). Desta forma, se ν ´e constante ent˜ao

  ∆ f f = {X ∈ T M : α (X, Y ) = 0, ∀Y ∈ T M}

  ´e um subfibrado de T M chamado de distribui¸c˜ao de nulidade relativa de f o qual ´e totalmente geod´esico.

  A pr´oxima proposi¸c˜ao relaciona subfibrados paralelos, totalmente geod´esicos, umb´ılicos e integr´aveis. Proposi¸ c˜ ao 1.5.2.

  Seja E um subfibrado de T M. Considere as seguintes condi¸c˜oes: (i) E ´e paralelo;

  (ii) E ´e totalmente geod´esico; (iii) E ´e umb´ılico; (iv) E ´e integr´avel.

  Ent˜ao (i) ⇒ (ii) ⇒ (iii) ⇒ (iv).

  Terminamos essa se¸c˜ao apresentando alguns resultados que ser˜ao utilizados nesse trabalho. Proposi¸ c˜ ao 1.5.3.

  Se ϕ : M → R ´e tal que ∇ϕ(p) 6= 0, ∀p ∈ M ent˜ao a distribui¸c˜ao

  ⊥ ´e integr´avel.

  ∇ϕ Prova:

  Como ∇ϕ(p) 6= 0, ∀p ∈ M, ent˜ao todo a ∈ R ´e valor regular para ϕ. Conse-

  −1

  quentemente, pelo Teorema da Fun¸c˜ao Impl´ıcita, ϕ (a) ´e uma subvariedade de M que

  ⊥ −1

  ´e tangente a ϕ (a) e, tem ∇ϕ como campo normal em M, logo a distribui¸c˜ao ∇ϕ

  −1 ⊥ ⊥

  consequentemente, ϕ ´e integr´avel.

  (a) ´e uma variedade integral para ∇ϕ . Logo ∇ϕ

  21 Lembramos que os autovalores de um tensor definido sobre M s˜ao fun¸c˜oes sobre N M. Al´em disso, em R , os conceitos de paralelo implicam alguma coisa ser constante, por N exemplo, o transporte paralelo de um vetor ´e sempre o mesmo vetor em R . Antes de n prosseguirmos, recordamos que uma fun¸c˜ao λ : M

  → C ´e constante com respeito a um subfibrado E se, para todo campo X ∈ E, temos X(λ) = 0. Este conceito est´a intima- mente ligado a no¸c˜ao de invariˆancia da fun¸c˜ao ao longo do campo, pois se uma fun¸c˜ao ´e constante no subfibrado ent˜ao ela n˜ao varia na dire¸c˜ao deste subfibrado. Agora mostra- remos algumas propriedades que relacionam subfibrados paralelos e tensores paralelos. Proposi¸ c˜ ao 1.5.4. Seja T um tensor paralelo, ent˜ao

  (i) Se X ´e autovetor de T ent˜ao o transporte paralelo de X ao longo de uma curva ´e um autovetor de T ; (ii) Se λ ´e autovalor de T ent˜ao λ ´e constante em M ; (iii) N (T ) ´e um subfibrado paralelo.

  Prova: , . . . , X n p M, e T X = λX. Dada uma

  1 −1

  Sejam {X } uma base ortonormal de T curva qualquer ligando um ponto q ∈ M ao ponto p, vamos usar o transporte paralelo

  1 (t), . . . , X n

  {X(t), X (t)} da base e de X para mostrar (i), (ii) e (iii). De fato, j Y T X(t), X j Y X j

  Y (hT X(t), X (t)i) = h∇ (t)i + hT X(t), ∇ (t)i Y T X(t), X j Y X(t), X j j j = h∇ (t)i = hT ∇ (t)i = 0 Logo hT X(t), X (t)i = hT X(0), X (0)i = 0. Al´em disso,

  T X(t) = λ(t)X(t), Y Y (λ(t)X(t)), ∇ (T X(t)) = ∇ Y Y X(t) T (∇ X(t)) = Y (λ(t))X(t) + λ(t)∇ e

  Y (λ(t)) = 0. Y Logo λ(t) = λ(0). Finalmente, dado Y ∈ T M e X ∈ N(T ) veremos que ∇ X ∈ Y Y T X =

  N (T ), ou seja, T ∇ X = 0. Como T ´e paralelo, isso ´e equivalente a mostrar que ∇ 0, mas isso ´e claramente v´alido, pois T X = 0.

1.6 O tensor de decomposi¸ c˜ ao de uma imers˜ ao

  Vamos agora apresentar o tensor de decomposi¸c˜ao de uma imers˜ao (“spliting tensor” em inglˆes) que aparece em .

  22 Seja D uma distribui¸c˜ao totalmente geod´esica. Definimos o tensor de decom- posi¸c˜ao C como sendo a correspondˆencia que a cada X ∈ D associa a aplica¸c˜ao

  ⊥ ⊥

  C X : D , dada por → D h

  C X X X Y ) . D Y = − Y := −(∇

  ∇

  ⊥

  , chamamos as componentes dessa Como temos a decomposi¸c˜ao ortogonal T M = D ⊕ D h v

  ⊥

  decomposi¸c˜ao de componentes horizontal e vertical, denotadas por e ∇∈ D ∇∈ D, respectivamente.

  ⊥

  Perceba que D ´e involutivo se, e somente se, C X ´e sim´etrico para todo X ∈ D.

  ⊥

  Neste caso, C X ´e exatamente o operador de Weingarten da inclus˜ao das folhas de D em M na dire¸c˜ao X.

  ⊥

  temos Observe que, como D ´e totalmente geod´esico, dados Z ∈ D e Y ∈ D Z

  ∇ Y ∈ D . De fato, dado V ∈ D, temos hV, Y i = 0 logo Z Z hV, ∇ Y i = −h∇ V, Y i = 0,

  ⊥ Z

  pois Y ∈ D

  e, como D ´e totalmente geod´esico e Z, V ∈ D, ent˜ao ∇ V ∈ D. Lembramos que a derivada do tensor de decomposi¸c˜ao ´e dada por V C (C Y. X V X X V (∇ )Y = ∇ Y ) − C ∇

  A pr´oxima proposi¸c˜ao nos fornece uma outra maneira de calcular a derivada do tensor de decomposi¸c˜ao que nos ser´a ´ util posteriormente.

  ⊥ ⊥ Proposi¸ c˜ ao 1.6.1.

  Sejam D uma distribui¸c˜ao totalmente geod´esica e C : D × D → D o tensor de decomposi¸c˜ao de D. Ent˜ao V C X )Y = C V C Y + C X Y.

  ∇ V

  (∇

  ⊥

  Prova: , temos Sejam X, V ∈ D e Y ∈ D V C X V (C X X V V ( Y h X V Y. (1.22)

  (∇ )Y = ∇ Y ) − C ∇ Y = −∇ X) − C ∇ h v ∇ Note que, como D ´e totalmente geod´esico, V Y = 0. De fato, pela decomposi¸c˜ao v ∇ ∇

  ⊥

  , temos Y T M = D ⊕ D X ∈ D. Al´em disso, V ∈ D e D totalmente geod´esico,

  ∇ logo V ( Y v ∇ X) ∈ D, h v ∇ assim V ( Y X) = 0. Portanto,

  ∇ ∇ h h h V Y X = V Y . ⊥ ∇ X ∈ D

  ∇ ∇ ∇

  h

  23 V ( Y . De fato,

  ⊥

  Por outro lado, ∇ X) ∈ D ∇ h h V Y Y ( V h∇ X), Zi = −h X, ∇ Zi = 0, ∀Z ∈ D,

  ∇ ∇ V pois, como D ´e totalmente geod´esico, ∇ Z ∈ D. Logo h h h h V Y X = V Y X = V Y X). (1.23)

  ∇ (∇ ∇ ∇ ∇ ∇

  Substituindo , obtemos V C X )Y V ( Y h X V Y (∇ = −∇ X) − C ∇ h V YX V Y. (1.24)

  = − ∇ X − C ∇ n N ∇ Como f : M , temos

  → R Y V V Y [Y,V ] X = 0, R(Y, V )X = ∇ ∇ X − ∇ ∇ X − ∇ e consequentemente, h h h V Y Y V X+

  X. (1.25)

  [Y,V ]

  − ∇ X = − ∇ v ∇ ∇ ∇ Al´em disso, como

  [Y, V ], X ∈ D e D ´e totalmente geod´esico, temos h v X = 0, (1.26)

  ∇

  [Y,V ]

  logo h h h V Y X = Y V X

  [Y,V ]

  − ∇ X− ∇ ∇ ∇ ∇ h

   h

  = X + C X Y

  

[Y,V ] ∇

V

  ∇ h h

   h h

  = +C X Y

  ∇ V X−

  ∇ ∇

  ∇ Y V ∇ h h V Y

  = X ( V Y ) + C X ( Y V ) + C X Y

  ∇ V

  −C ∇ ∇

  = C X C Y + C X V Y ) + C ∇ V X Y . (1.27) (∇

  Substituindo , conclu´ımos que V C X )Y = C V C Y + C X Y.

  ∇ V

  (∇ Cap´ıtulo 2 Imers˜ oes com a mesma aplica¸ c˜ ao de Gauss

  Neste cap´ıtulo, trataremos de pares de imers˜oes que possuem a mesma aplica¸c˜ao de Gauss. Veremos que tal condi¸c˜ao ´e equivalente `a existˆencia de um tensor de Codazzi que comuta com a segunda forma fundamental. Al´em disso, analisaremos como a conex˜ao correspondente `a m´etrica induzida por cada imers˜ao e a segunda forma fundamental de cada imers˜ao est˜ao relacionadas neste caso. Observamos que, nesse cap´ıtulo, ainda n˜ao su- pomos qualquer rela¸c˜ao entre as m´etricas induzidas na variedade pelas imers˜oes, diferente do que ser´a feito no Cap´ıtulo 3, onde essas m´etricas ser˜ao consideradas conformes.

  2.1 A aplica¸ c˜ ao de Gauss e tensores de Codazzi n N n

  Seja f : M uma imers˜ao. Cada espa¸co tangente de M ´e transformado → R N n por f em um subespa¸co n-dimensional de R ent˜ao f ∗ (T p M ) ´e N , ou seja, se p ∈ M um subespa¸co vetorial de R com dimens˜ao n. A correspondˆencia que a cada ponto n associa o n-plano f (T p M ) ´e conhecida como aplica¸c˜ao de Gauss da imers˜ao

  ∗

  p ∈ M f . Observe que esta aplica¸c˜ao generaliza a aplica¸c˜ao normal de Gauss cl´assica conhecida

  3

  3

  para superf´ıcies orient´aveis em R . De fato, em R a aplica¸c˜ao normal de Gauss associa a cada ponto um vetor unit´ario normal `a superf´ıcie (orient´avel) naquele ponto e, como sabemos, neste ambiente um plano fica completamente determinado quando conhecemos

  3

  o seu vetor normal. Dessa forma, em R , o plano f (T p M ) pode ser substitu´ıdo pelo seu

  ∗ vetor normal. N

  Recordamos que o conjunto de todos os n-planos do R ´e uma variedade dife- renci´avel, conhecida como variedade Grassmaniana que denotaremos por G N,n (o leitor pode encontrar mais detalhes em ). n N n Assim a aplica¸c˜ao de Gauss de uma imers˜ao f : M ´e a aplica¸c˜ao F : M N,n

  → R → G

  n N

  25 tal que F (p) = f (T p M ). As imers˜oes f, g : M tem a mesma aplica¸c˜ao de Gauss

  ∗

  → R n se os planos f (T p M ) e g (T p .

  ∗ ∗

  M ) coincidem, para cada p ∈ M n N Consideremos agora f, g : M imers˜oes com a mesma aplica¸c˜ao de Gauss e n → R p p ∗ ∗ p p p M tal que g v = f w. Seja φ : T M p ∈ M . Ent˜ao, dado v ∈ T M, existe w ∈ T M → T p p M tal que g v = f w. Tal aplica¸c˜ao ´e

  ∗ ∗

  a aplica¸c˜ao que a cada v ∈ T M associa w ∈ T claramente linear e, dessa forma, podemos definir o tensor φ : T M → T M tal que g ∗ = f ∗ (2.1) ◦ φ. Como f e g s˜ao imers˜oes, conclui-se que o tensor φ ´e invert´ıvel. Veremos que esse tensor satisfaz duas propriedades interessantes e relaciona as conex˜oes de f e g determinadas pelas respectivas m´etricas induzidas, bem como as respectivas segundas formas fundamentais.

  Dizemos que φ ´e um tensor de Codazzi se satisfaz X Y (2.2) (∇ φ)Y = (∇ φ)X, ∀X, Y ∈ T M.

  Dizemos ainda que o tensor φ comuta com a segunda forma fundamental de uma imers˜ao f se α f (φX, Y ) = α f

  (2.3) (X, φY ), ∀X, Y ∈ T M. Dada uma imers˜ao isom´etrica, a seguinte proposi¸c˜ao nos afirma que, a existˆencia de outra imers˜ao com a mesma aplica¸c˜ao de Gauss equivale `a existˆencia de um tensor de

  Codazzi que comuta com a segunda forma fundamental de f. n n N Proposi¸ c˜ ao 2.1.1. Sejam M uma variedade diferenci´avel e f : M uma imers˜ao n N → R isom´etrica. Se g : M ´e uma imers˜ao com a mesma aplica¸c˜ao de Gauss de f,

  → R

  ∗ = f ∗

  ent˜ao o tensor φ : T M → T M, definido por g ◦ φ, ´e de Codazzi e comuta com a n segunda forma fundamental de f. Reciprocamente, se M ´e uma variedade diferenci´avel simplesmente conexa e φ : T M → T M ´e um tensor de Codazzi que comuta com a segunda n N forma fundamental de f, ent˜ao existe uma imers˜ao g : M (´ unica a menos de

  → R transla¸c˜ao) tal que g = f

  ∗ ∗ n N ◦ φ.

  Prova: Sejam f, g : M imers˜oes com a mesma aplica¸c˜ao de Gauss. A 1-forma N → R

  ω = g = f satisfaz

  ∗ ∗

  ◦ φ em R φ([X, Y ]).

  ∗ ∗ ∗

  dω(X, Y ) = X(ω(Y )) − Y (ω(X)) − ω([X, Y ]) = X(f φ(Y )) − Y (f φ(X)) − f N Denotando por , temos

  ∇ a conex˜ao Riemanniana do R X (f ∗ Y (f ∗ ∗ φ([X, Y ]). dω(X, Y ) = ∇ φ(Y )) − ∇ φ(X)) − f

  26 Da´ı, usando a f´ormula de Gauss , obtemos dω(X, Y ) = (f φY ) + α φX) + α φ([X, Y ])

  ∗ X f ∗ Y f ∗

  (∇ (X, φY )) − (f (∇ (Y, φX)) − f = f X Y f f (Y, φX). (2.4)

  ∗

  (∇ φY − ∇ φX − φ([X, Y ])) + α (X, φY ) − α Como a 1-forma ω ´e exata, temos que ω ´e fechada, isto ´e, dω = 0. Portanto, as compo- nentes normal e tangente de dω(X, Y ) se anulam, ou seja, α (Y, φX) = 0 f f

  (X, φY ) − α e f X Y

  ∗

  (∇ φY − ∇ φX − φ([X, Y ])) = 0. A primeira equa¸c˜ao ´e equivalente a dizer que a segunda forma fundamental de f comuta com φ e, como f ´e imers˜ao, a segunda equa¸c˜ao X Y implica em ∇ φY − ∇ φX − φ([X, Y ]) = 0, ou equivalentemente X Y X Y X Y φ)X = 0, ∇ φY − ∇ φX − φ∇ Y − φ∇ X = (∇ φ)Y − (∇ que equivale a dizer que φ ´e um tensor de Codazzi.

  Reciprocamente, se existe um tensor de Codazzi φ : T M → T M que comuta com a segunda forma fundamental de f, podemos definir ω como antes e obtermos a mesma express˜ao para dω encontrada em . Observe que, sendo φ um tensor de Codazzi, a primeira parcela dessa express˜ao se anula. Como φ comuta com a segunda forma de f, a segunda parcela tamb´em ´e nula, logo ω ´e fechada. Como M ´e simplesmente conexa, ω n N ´e exata e, portanto, existe g : M tal que g = f

  ∗ ∗

  → R ◦ φ. Logo f e g tem a mesma aplica¸c˜ao de Gauss. Como f ´e imers˜ao, g tamb´em ´e. n Apresentamos agora a maneira como as duas conex˜oes de M , correspondentes

  `as m´etricas induzidas por imers˜oes com a mesma aplica¸c˜ao de Gauss, se relacionam, bem como a rela¸c˜ao que existe entre as segundas formas fundamentais das imers˜oes. n N Proposi¸ c˜ ao 2.1.2.

  Sejam f, g : M duas imers˜oes com a mesma aplica¸c˜ao de → R

  Gauss. Ent˜ao (i) e X X Y

  ∇ φY = φ∇ (ii) α g (X, Y ) = α f (φX, Y )

  Prova: X g X f φY. Pela

  ∗ ∗

  Como f e g tem a mesma aplica¸c˜ao de Gauss ent˜ao ∇ Y = ∇ f´ormula de Gauss aplicada `as imers˜oes f e g, temos X f φY = f X φY ) + α f (X, φY )

  ∗ ∗

  ∇ (∇ e X g Y = g X Y ) + α g (X, Y ).

  ∗ ∗

  ∇ (∇ Desse modo, f ∗ X φY ) + α f (X, φY ) = g ∗ X Y ) + α g (X, Y ) = f ∗ X Y ) + α g (X, Y ),

  (∇ (∇ φ(∇ e obtemos o resultado desejado comparando as componentes tangente e normal nesta equa¸c˜ao. Cap´ıtulo 3 Imers˜ oes conformes com a mesma aplica¸ c˜ ao de Gauss

  Neste cap´ıtulo, iniciamos o estudo de imers˜oes conformes com a mesma aplica¸c˜ao de Gauss. Apresentamos um resultado devido a Vergasta (), que fornece uma condi¸c˜ao necess´aria e suficiente para que duas imers˜oes sejam conformes com a mesma aplica¸c˜ao de Gauss. Ap´os estabelecermos a vers˜ao complexa desse resultado, apresen- tamos uma decomposi¸c˜ao global do fibrado tangente complexificado. Em fun¸c˜ao dessa decomposi¸c˜ao obtemos algumas simplifica¸c˜oes para as equa¸c˜oes de Codazzi e Gauss e alguns casos particulares do Lema de Vergasta.

3.1 O Par (T, ϕ)

  , definidas em uma variedade M, s˜ao conformes se

  1

  n existe uma fun¸c˜ao diferenci´avel ϕ : M → R tal que

2 Duas m´etricas h , i e h , i

  2ϕ = e .

  2

  1

  h , i h , i Dizemos que duas imers˜oes s˜ao conformes se as m´etricas induzidas por elas s˜ao conformes, n N isto ´e, f, g : M s˜ao imers˜oes conformes se existe uma fun¸c˜ao diferenci´avel ϕ : n → R n

  M f g , induzidas em M por f e g respectivamente, → R tal que m´etricas h , i e h , i satisfazem g = e f . (3.1) 2ϕ h , i h , i

  Quando as imers˜oes possuem a mesma aplica¸c˜ao de Gauss, os planos tangentes determinados por elas coincidem, isto ´e, f (T p M ) = g (T p

  ∗ ∗

  M ), ∀p ∈ M. Dessa forma ´e (T p M ) =

  ∗

  poss´ıvel comparar os vetores desses planos. Mais precisamente, sejam p ∈ M e f g (T p M ). Dado v T p M podemos extrair da rela¸c˜ao que

  ∗

  ∈

  28 g = e f = e ϕ ϕ

∗ (p) (p) ∗

kg vk = kvk kvk kf vk, ou equivalentemente,

  −ϕ

  g

  ∗ ∗ ke vk = kf vk.

  −1 −ϕ

  Logo a transforma¸c˜ao T p : T p p M que a cada v associa f e g v ´e uma trans-

  ∗

  M → T ∗ forma¸c˜ao ortogonal. Isto define um tensor ortogonal T : T M → T M, tal que

  −1 −ϕ

  T (v) = f e g ∗ v,

  

  ou seja, ϕ g = e f (3.2)

  ∗ ∗ ◦ T. ϕ Comparando a ´ ultima equa¸c˜ao com conclu´ımos que φ = e T.

  

N N

  De agora em diante, se f, g : M s˜ao imers˜oes conformes com a mesma → R aplica¸c˜ao de Gauss, nos referiremos ao tensor T e a aplica¸c˜ao ϕ dados em como o par (T, ϕ). Observe que nessas condi¸c˜oes T deve satisfazer , ou seja, X Y

  (3.3) (∇ T )Y = (∇ T )X, ∀X, Y ∈ T M. α f (T X, Y ) = α f

  (3.4) (X, T Y ), ∀X, Y ∈ T M.

3.2 O Lema de Kulkarni

  duas m´etricas para M. O

  1

  2 Sejam M uma variedade diferenci´avel e h , i e h , i

  seguinte resultado de Kulkarni responde a seguinte quest˜ao: “como se relacionam

  1

  2

  1

  2

  as conex˜oes Riemanniana das variedades (M, h , i ) e (M, h , i ) se as m´etricas h , i e h , i

  ∞

  ?”

  2

  1

  s˜ao conformes, isto ´e, se existe uma fun¸c˜ao positiva h ∈ C (M ) tal que h , i = h · h , i Lema 3.2.1

  (Kulkarni). Sejam M uma variedade diferenci´avel, h : M → R e

  2ϕ

  , com h = e . Ent˜ao as

  1

  2

  2

  1

  h , i , h , i duas m´etricas para M tais que h , i = h · h , i

  29 ), respectivamente

  1

  2

  conex˜oes ∇ e e ∇ das variedades Riemannianas (M, h , i ) e (M, h , i satisfazem e X X

  1 (3.5) ∇ Y = ∇ Y + X(ϕ)Y + Y (ϕ)X − hX, Y i ∇ϕ.

  Prova: Seja n o 1 e X X Y + . (3.6)

  1

  ∇ Y = ∇ X(h)Y + Y (h)X − hX, Y i ∇h 2h

  Como a conex˜ao Riemanniana ´e ´ unica, tudo que precisamos fazer ´e mostrar que a ex- press˜ao no lado direito de define uma conex˜ao sim´etrica e compat´ıvel com a m´etrica.

  ) e a conex˜ao definida pela ex-

  2 Usaremos a mesma nota¸c˜ao para a conex˜ao de (M, h , i

  press˜ao n˜ao se altera se trocarmos a ordem de X e Y. Portanto, a simetria de e ∇ decorre da simetria da conex˜ao ∇. Queremos mostrar que X X (3.7)

  2

  2

  2 XhY, Zi = h e ∇ Y, Zi + hY, e ∇ Zi , ∀X, Y ∈ T M.

  . Enquanto isso,

  2

  1

  1 X

  1 X

  1 Ora, XhY, Zi = X(hhY, Zi ) = X(h)hY, Zi + hh∇ Y, Zi + hhY, ∇ Zi

  do lado direito de temos D n o E

  1 X = h Y + , Z

  2 X

  1

  h e ∇ Y, Zi ∇ X(h)Y + Y (h)X − hX, Y i ∇h

  1

  2h n E o D1 X +

  1

  1

  = hh∇ Y, Zi X(h)Y + Y (h)X − hX, Y ∇h , Zi

  1

  2 n o

  1 X +

  1

  1

  1

  1

  1

  = hh∇ Y, Zi X(h)hY, Zi + Y (h)hX, Zi − hX, Y i h∇h, Zi

  2 e D n oE

  1 X = h Z +

  2 X

  1

  hY, e ∇ Zi Y, ∇ X(h)Z + Z(h)X − hX, Zi ∇h

  1

  2h D n oE X

  1 Y, +

  1

  1

  = hhY, ∇ Zi X(h)Z + Z(h)X − hX, Zi ∇h

  1

  2 n o

  1 X +

  1

  1

  1

  1 1 .

  = hhY, ∇ Zi X(h)hY, Zi + Z(h)hY, Xi − hX, Zi hY, ∇hi

  2 Ao somar as express˜oes acima, usando a defini¸c˜ao de gradiente, obtemos X

  2 X

  2 X

  1 X

  1

  1

  2 1 ),

  h e ∇ Y, Zi +hY, e ∇ Zi = hh∇ Y, Zi +hhY, ∇ Zi +X(h)hY, Zi = XhY, Zi = X(hhY, Zi .

  2

  ou seja, a express˜ao em define uma conex˜ao compat´ıvel com a m´etrica h , i

  2ϕ

  Como a fun¸c˜ao h ´e uma fun¸c˜ao positiva, podemos escrever h = e , para alguma fun¸c˜ao ϕ : M → R. Note que, neste caso, n o

  1

  2ϕ 2ϕ 2ϕ

  e X Y X Y + X(e )Y + Y (e )

  1

  ∇ = ∇ )X − hX, Y i ∇(e

  2ϕ

  2e n o

  1 X Y + 2e X(ϕ)Y + 2e 2e

  2ϕ 2ϕ 2ϕ

  1

  = ∇ Y (ϕ)X − hX, Y i ∇ϕ

  2ϕ X 2e 1 = ∇ Y + X(ϕ)Y + Y (ϕ)X − hX, Y i ∇ϕ.

  30

3.3 O Lema de Vergasta - vers˜ ao real

  Voltemos para o nosso problema de determinar os pares de imers˜oes conformes f g com a mesma aplica¸c˜ao de Gauss. Como discutimos acima, se as m´etricas h , i e h , i induzidas pelas imers˜oes f e g, respectivamente, s˜ao conformes e estas imers˜oes tem a mesma aplica¸c˜ao de Gauss existe um par (T, ϕ) como na Se¸c˜ao O pr´oximo resultado devido a Vergasta nos diz as condi¸c˜oes que esse par deve satisfazer. n N Lema 3.3.1 (de Vergasta). Sejam f, g : M imers˜oes conformes com a

  → R mesma aplica¸c˜ao de Gauss. Ent˜ao o par (T, ϕ), satisfaz X (3.8) (∇ T )Y = hY, ∇ϕiT X − hX, Y iT ∇ϕ. n N

  Reciprocamente, dados uma imers˜ao f : M de uma variedade Riemanniana → R simplesmente conexa e um par (T, ϕ) satisfazendo existe uma imers˜ao n N g : M tal que f e g s˜ao conformes com a mesma aplica¸c˜ao de Gauss.

  → R Prova: f g ) respectivamente. Como as

  Sejam ∇ e e ∇ as conex˜oes de (M, h , i ) e (M, h , i imers˜oes s˜ao conformes, pelo Lema . Por outro lado, pela Proposi¸c˜ao

  −ϕ −ϕ −ϕ ϕ T e Y = e φ e Y = e φY = e e T Y. X X X X

  ∇ ∇ ∇ ∇ Assim, ϕ ϕ

  −ϕ

  T e X Y = e (X(e )T Y + e X X T Y. ∇ ∇ T Y ) = X(ϕ)T Y + ∇

  Aplicando T em e subtraindo da ´ ultima equa¸c˜ao, obtemos X X T Y, 0 = T ∇ Y + Y (ϕ)T X − hX, Y iT ∇ϕ − ∇ ou equivalentemente, X X ∇ T Y − T ∇ Y + Y (ϕ)T X − hX, Y iT ∇ϕ. ϕ

  Para provar a rec´ıproca, definimos φ = e T. Assim ϕ ϕ ϕ α f (φX, Y ) = α f (e T X, Y ) = e α f (T X, Y ) = e α f (X, T Y ) = α f (X, φY ).

  Al´em disso, X φ)Y X X Y (∇ = ∇ φY − φ∇ X (e ϕ ϕ X Y

  = ∇ T Y ) − e T ∇ ϕ ϕ ϕ = X(e )T Y + e Y X X ϕ ∇ T Y − e T ∇

  = e X X Y ) ϕ (X(ϕ)T Y + ∇ T Y − T ∇ = e ϕ (X(ϕ)T Y + Y (ϕ)T X − hX, Y iT ∇ϕ) = e ϕ (Y (ϕ)T X + X(ϕ)T Y − hY, XiT ∇ϕ) = e Y Y Y φ)X.

  (Y (ϕ)T X + ∇ T X − T ∇ X) = (∇

  31 Logo φ ´e um tensor de Codazzi que comuta com a segunda forma fundamental de f. Dessa forma, pela Proposi¸c˜ao existe uma imers˜ao g, ´ unica a menos de transla¸c˜ao tal que g ∗ = f ∗ ◦ φ. Logo f e g s˜ao conformes e tem a mesma aplica¸c˜ao de Gauss.

3.4 O Lema de Vergasta - vers˜ ao complexificada

  Dados um espa¸co vetorial V sobre R e um operador S : V → V nem sempre existem autovalores para S. Isto ocorre porque R n˜ao ´e algebricamente fechado. Por isso, muitas vezes considera-se a extens˜ao de S a V j´a explicada no Cap´ıtulo 1. Seguindo

  C

  esse mesmo racioc´ınio, queremos estudar os autovalores do tensor T : T M → T M para analisar o problema em quest˜ao (determinar os pares de imers˜oes conformes com a mesma aplica¸c˜ao de Gauss) e, para isso, precisaremos estendˆe-lo ao fibrado tangente complexifi- cado. Como, pela Proposi¸c˜ao T est´a relacionado com a m´etrica e com a segunda forma fundamental, precisaremos estender esses dois objetos tamb´em.

  Denotaremos a complexifica¸c˜ao de T M por T M ⊗ C e recordamos que, como comentado no Cap´ıtulo 1, a m´etrica e a segunda forma complexificadas s˜ao bilineares e sim´etricas, isto ´e, h , i : T M ⊗ C × T M ⊗ C → C e

  ⊥

  α f : T M ⊗ C × T M ⊗ C → T M ⊗ C s˜ao bilineares e sim´etricas, exatamente como no caso real. Observe ainda que, consequen- temente, as conex˜oes Riemannianas determinadas por f e g tamb´em s˜ao complexificadas, ∇ : X(M) × T M ⊗ C → T M ⊗ C.

  Observa¸ c˜ ao 3.4.1. Ap´os as complexifica¸c˜oes descritas acima, o par (T, ϕ) constru´ıdo na se¸c˜ao tamb´em pode ser complefixicado. Basta trocar o tensor T : T M → T M pela sua extens˜ao complexa T : T M ⊗ C → T M ⊗ C. Daqui por diante, ao nos referirmos ao par (T, ϕ) estaremos assumindo que o tensor T ´e a complexifica¸c˜ao do tensor que aparece na se¸c˜ao

  A proposi¸c˜ao anterior assume a seguinte vers˜ao complexificada, cuja prova ´e a mesma da vers˜ao real. n N Lema 3.4.2 (de Vergasta, Complexificado). Sejam f, g : M imers˜oes conformes

  → R com a mesma aplica¸c˜ao de Gauss. Ent˜ao o par (T, ϕ), satisfaz U (3.9) (∇ T )V = hV, ∇ϕiT U − hU, V iT ∇ϕ. n N

  Reciprocamente, dados uma imers˜ao f : M de uma variedade Riemanniana → R simplesmente conexa e um par (T, ϕ) satisfazendo e α (T U, V ) = α (U, T V ), existe n N f f uma imers˜ao g : M tal que f e g s˜ao conformes com a mesma aplica¸c˜ao de Gauss.

  → R

  32 Como agora T ´e um tensor complexo, existem n autovalores complexos para T

  e, como este ´e um tensor ortogonal, seus autovalores tem m´odulo igual a um. Note

  • + +

    − c , em que L − = N (T + I),

  que pontualmente, T M ⊗ C = L ⊕ L ⊕ L = N (T − I), L P k P k n

  L = E ¯ = λ I). Observe que λ : M c λ i λ i i i i ⊕ E i i N (T − λ I) ⊕ N(T − ¯ → C associa

  =1 =1 i (p) de T p .

  a cada p ∈ M ao autovalor λ A seguinte proposi¸c˜ao nos diz que esta ´e uma decomposi¸c˜ao ortogonal que ´e “preservada” pela segunda forma fundamental da imers˜ao f. n N

  Proposi¸ c˜ ao 3.4.3. Sejam f : M → R uma imers˜ao e T : T M → T M um tensor ortogonal que comuta com a segunda forma fundamental de f. Ent˜ao λ , E µ c ;

  (i) hE i = 0, exceto se µ = ¯λ. Em particular hZ, Zi = 0 , ∀Z ∈ L (ii) α f (E λ , E µ ) = 0, exceto se µ = λ.

  Prova: λ µ Sejam X ∈ E e Y ∈ E . Queremos mostrar que hX, Y i = 0. Como T ´e ortogonal, T preserva produto interno, logo hX, Y i = hT X, T Y i = hλX, µY i = λµhX, Y i = 0,

  1 = ¯ ou seja, (1 − λµ)hX, Y i = 0. Como µ 6= λ, temos ent˜ao hX, Y i = 0, o que conclui a

  λ demonstra¸c˜ao de (i). Para o item (ii), usaremos que T comuta com a segunda forma fundamental de

  f, f λα f (X, Y ) = α f (T X, Y ) = α f (X, T Y ) = µα f (X, Y ), f (X, Y ) = 0. logo (λ − µ)α (X, Y ) = 0. Portanto se, λ 6= µ, temos α

  Assumiremos que c , (3.10)

  −

  T M ⊗ C = L ⊕ L ⊕ L

  • +

    ´e uma decomposi¸c˜ao global, isto ´e, cada parcela da decomposi¸c˜ao acima ´e um subfibrado λ ¯ por B λ . Ob- i λ i de T M ⊗C. Quando for conveniente denotaremos o bloco complexo E ⊕E i servamos ainda que escreveremos a decomposi¸c˜ao ainda que algum dos subfibrados seja trivial, isto ´e, L = {0}. Observa¸ c˜ ao 3.4.4.

  O par (T, ϕ) satisfaz se, e somente se, o par (−T, ϕ) tamb´em satisfaz essa equa¸c˜ao. Isso nos permite trocar o par (T, ϕ) por (−T, ϕ), promovendo uma troca entre os fibrados L e L . Mais precisamente, sejam (T, ϕ) e ( ˜ T , ϕ) tais que

  − +

  ˜

  • − c e T M = ˜ L L − L c s˜ao as decomposi¸c˜oes induzidas

  T = −T. Se T M = L ⊕ L ⊕ L ⊕ ˜ ⊕ ˜ por (T, ϕ) e ( ˜ T , ϕ), respectivamente, ent˜ao ˜ L = L e ˜ L = L . De maneira que tudo

  • − − que afirmarmos ou provarmos sobre L valer´a automaticamente para L .

  − +

  33 A seguir, fornecemos dois casos particulares do Lema de Vergasta obtidos com aux´ılio de . Essas equa¸c˜oes ser˜ao utilizadas posteriormente para provar propriedades dos subfibrados L , L − e L + c . Lema 3.4.5.

  As seguintes equa¸c˜oes s˜ao v´alidas Z λ µ ; (3.11) (T − µI)∇ W = Z(µ)W − λW (ϕ)Z + hZ, W iT ∇ϕ, ∀Z ∈ E , ∀W ∈ E Z Z = Z(¯ λ) ¯ λ , ; (3.12) ¯

  (T − ¯λI)∇ Z − λ ¯ Z(ϕ)Z + hZ, ¯ ZiT ∇ϕ, ∀Z ∈ E Z λ ; (3.13) (T − λI)∇ Z = Z(λ)Z − λZ(ϕ)Z, ∀Z ∈ E X λ (3.14)

  (T − λI)∇ Z = X(λ)Z − Z(ϕ)X, ∀X ∈ L , ∀Z ∈ E

  • Prova:

  Todas as equa¸c˜oes acima decorrem de substitui¸c˜ao direta de campos dos res- pectivos subfibrados em . Al´em da defini¸c˜ao de cada um dos subfibrados, utiliza-se o item (i) da Proposi¸c˜ao

  Tamb´em ser˜ao importantes alguns casos particulares das equa¸c˜oes de Gauss e n N Codazzi, no contexto de uma imers˜ao f : M cuja segunda forma fundamental

  → R satisfaz α f (E, F ) = 0, se E 6= F. Mais precisamente, estaremos interessados em imers˜oes f (X, Y ) = 0. tais que, dados X ∈ E e Y ∈ F tem-se α n N Lema 3.4.6.

  Seja f : M uma imers˜ao isom´etrica cuja segunda forma fundamen- → R tal satisfaz α f

  (E, F ) = 0, se E 6= F. Ent˜ao, dados X, Y ∈ E e Z ∈ F, as equa¸c˜oes de Gauss e Codazzi assumem, respectivamente as formas

  R(X, Y )Z = 0 (3.15) α X, Z) + α Z) = α Y, Z) + α Z). (3.16) f Y f Y f X f X

  (∇ (Z, ∇ (∇ (Y, ∇ N Prova: temos R = 0, pela equa¸c˜ao de

  Sejam X, Y, Z ∈ T M, lembrando que em R Gauss obtemos f (Y, W ), α f f (X, W ), α f hR(X, Y )Z, W i − hR(X, Y )Z, W i = hα (X, Z)i − hα (Y, Z)i α (X,Z) α (Y,Z) f f hR(X, Y )Z, W i = hA Y, W i − hA X, W i α f (X,Z) α f (Y,Z)

  = hA Y − A X, W i R(X, Y )Z = A α α f (X,Z) f (Y,Z) Y − A X, ∀X, Y, Z ∈ T M. f f (X, Z) = α (Y, Z) = 0, conclu´ımos que

  Como, dados X, Y ∈ E e Z ∈ F, temos α R(X, Y )Z = 0, ∀X, Y ∈ E, ∀Z ∈ F.

  Para a equa¸c˜ao de Codazzi , temos X f Y f (3.17) ∇ hα (Y, Z), ηi = ∇ hα (X, Z), ηi.

  34 Desenvolvendo o lado direito de , temos f f X f X f X ⊥ X(hα (Y, Z), ηi) − hα (∇ Y, Z), ηi − hα (Y, ∇ Z), ηi − hα (Y, Z), ∇ ηi =

  ⊥ ⊥ ⊥ X α f f f X X f X f X h∇ (Y, Z), ηi + hα (Y, Z), ∇ ηi − hα (∇ Y, Z), ηi − hα (Y, ∇ Z), ηi − hα (Y, Z), ∇ ηi

  ⊥ X α f f X f X

  = h∇ (Y, Z), ηi − hα (∇ Y, Z), ηi − hα (Y, ∇ Z), ηi

  ⊥

  α f f X f X = h∇ X (Y, Z) − α (∇ Y, Z) − α (Y, ∇ Z), ηi.

  Quanto ao lado esquerdo de , temos f f Y f Y f Y ⊥ Y hα (X, Z), ηi − hα (∇ X, Z), ηi − hα (X, ∇ Z), ηi − hα (X, Z), ∇ ηi =

  ⊥ ⊥ ⊥ Y Y α f f f Y f Y f Y h∇ (X, Z), ηi + hα (X, Z), ∇ ηi − hα (∇ X, Z), ηi − hα (X, ∇ Z), ηi − hα (X, Z), ∇ ηi

  ⊥ Y α f f Y f Y

  = h∇ (X, Z), ηi − hα (∇ X, Z), ηi − hα (X, ∇ Z), ηi

  ⊥

  α f f Y f Y = h∇ Y (X, Z) − α (∇ X, Z) − α (X, ∇ Z), ηi. Assim, dados X, Y, Z ∈ T M, temos

  ⊥ ⊥ Y α f (X, Z) + α f Y X, Z) + α f Y α f (Y, Z) + α f X X Y, Z) + α f X Z).

  − ∇ (∇ (Z, ∇ Z) = −∇ (∇ (Y, ∇ f (Y, Z) = α f (X, Z) = 0, logo Escolhendo agora X, Y ∈ E e Z ∈ F, temos α

  α f Y X, Z) + α f Y Z) = α f X Y, Z) + α f X Z). (∇ (Z, ∇ (∇ (Y, ∇ Cap´ıtulo 4 O caso das superf´ıcies

  No presente cap´ıtulo apresentamos a solu¸c˜ao do problema proposto por Pierre Samuel para o caso das superf´ıcies, isto ´e, classificamos todos os pares de imers˜oes de

2 N uma superf´ıcie M em R que s˜ao conformes e tem a mesma aplica¸c˜ao de Gauss.

4.1 O Teorema de Dajczer-Tojeiro para superf´ıcies

  Como comentamos na Introdu¸c˜ao, muitos matem´aticos estudaram o Problema de Samuel para o caso de superf´ıcies, antes mesmo de Pierre Samuel ter enunciado o caso geral e resolvido totalmente o caso das superf´ıcies em . O primeiro deles

  

3

  3

  foi Christoffel, que estudou superf´ıcies em R , concluindo que, se duas superf´ıcies em R s˜ao conformes e tem a mesma aplica¸c˜ao de Gauss, ent˜ao essas superf´ıcies s˜ao superf´ıcies

  3

  m´ınimas ou superf´ıcies isot´ermicas. Dizemos que uma superf´ıcie ´e isot´ermica em R se admite uma parametriza¸c˜ao isot´ermica em que as curvas coordenadas s˜ao as linhas de curvatura. Uma importante contribui¸c˜ao de Hoffman e Osserman em nos diz N que, se f e g s˜ao duas imers˜oes conformes de uma superf´ıcie em R cuja aplica¸c˜ao de Gauss preserva a orienta¸c˜ao do 2-plano (isto ´e, os planos f (T p M ) e g (T p M ), al´em de

  ∗ ∗

  coincidirem, tem a mesma orienta¸c˜ao), ent˜ao f e g s˜ao superf´ıcies m´ınimas ou diferem por homotetia e transla¸c˜ao. Outras contribui¸c˜oes interessantes para o caso das superf´ıcies foram dadas por Vergasta em , no qual o autor trabalhou com deforma¸c˜oes de uma N

  2

  imers˜ao f : M que invertem a orienta¸c˜ao, e por Palmer em , que estuda as → R superf´ıcies isot´ermicas.

  Para generalizar a defini¸c˜ao de superf´ıcie isot´ermica para codimens˜ao maior que

  3

  um, precisamos observar melhor o que acontece em R . As dire¸c˜oes principais s˜ao dadas pelos autovetores da diferencial da aplica¸c˜ao normal de Gauss, ou seja, s˜ao vetores que diagonalizam a aplica¸c˜ao de Weingarten na dire¸c˜ao normal. Em codimens˜ao maior que um, o problema de encontrar uma parametriza¸c˜ao isot´ermica cujos vetores coordenados

  36 s˜ao levados em vetores que diagonalizam a transforma¸c˜ao de Weingarten perde o sentido, pois para cada dire¸c˜ao normal ξ temos uma aplica¸c˜ao A ξ (em codimens˜ao um, s´o temos uma dire¸c˜ao normal e por isso uma aplica¸c˜ao de Weingarten). Ent˜ao, para resolver esse impasse sem privilegiar nenhuma dire¸c˜ao, podemos procurar uma parametriza¸c˜ao cujos vetores coordenados diagonalizem simultaneamente as transforma¸c˜oes de Weingarten em todas as dire¸c˜oes normais. Como sabemos, os operadores A ξ , A η s˜ao simultaneamente diagonaliz´aveis se, e somente se, eles comutam, isto ´e, A ξ η = A η ξ . Tendo em N ◦ A ◦ A mente a Equa¸c˜ao de Ricci e o fato de, em R , ˜ R = 0, conclu´ımos que A , A ξ η s˜ao simultaneamente diagonaliz´aveis se, e somente se, o fibrado normal ´e flat (ou seja, N

  ⊥

  

2

R = 0). Dizemos que uma superf´ıcie f : M ´e isot´ermica se tem fibrado normal

  → R flat e admite uma parametriza¸c˜ao isot´ermica cujas curvas coordenadas s˜ao as linhas de curvatura. ´ E interessante observar que em , o autor encontra um sistema de equa¸c˜oes que caracteriza a existˆencia de coordenadas isot´ermicas cujas curvas coordenadas

  3 s˜ao as linhas de curvatura, em R .

  O pr´oximo teorema foi retirado de , embora j´a fosse conhecido h´a muito tempo. O que torna a demonstra¸c˜ao aqui apresentada interessante ´e o fato dela utilizar essencialmente a decomposi¸c˜ao e o Lema de Vergasta, exatamente como os autores fazem na demonstra¸c˜ao do teorema principal do mesmo artigo. N

  2 Teorema 4.1.1 (Dajczer-Tojeiro). Sejam f, g : M , duas imers˜oes com a

  → R

  2

  mesma aplica¸c˜ao de Gauss que induzem m´etricas conformes em M . Ent˜ao ocorre uma das seguintes alternativas: n n (i) g(M ) ´e composi¸c˜ao de homotetia e transla¸c˜ao aplicada a f (M ); n n

  (ii) f (M ) e g(M ) s˜ao superf´ıcies isot´ermicas; n n (iii) f (M ) e g(M ) s˜ao superf´ıcies m´ınimas.

  Prova: Faremos uma an´alise das poss´ıveis decomposi¸c˜oes para o fibrado complexificado. Primeiramente, observemos que a matriz que representa o tensor T ´e de ordem 2. Dessa forma, ou L e L

  ) ou um deles tem posto 2

  • − +

  −

  tem posto 1 (isto ´e, T M ⊗ C = L ⊕ L c = E λ .

  ¯ − λ

  • o −

  (isto ´e T M ⊗ C = L ou T M ⊗ C = L ) ou T M ⊗ C = L ⊕ E

  • 1 Caso: T M ⊗ C = L ⊕ L
    • e L , respectivamente, ou seja,

  −

  Sejam X, Y ∈ T M ortonormais que geram L

  • hX, Xi = hY, Y i = 1, hX, Y i = 0, T X = X e T Y = −Y. Pelo Lema de Vergasta temos
  • X (∇ T )Y = hY, ∇ϕiT X − hX, Y iT ∇ϕ

      37 ou seja, X X ∇ T Y − T ∇ Y = hY, ∇ϕiT X − 0 = hY, ∇ϕiX.

      Da´ı X X Y = Y (ϕ)X.

      −∇ Y − T ∇ Tomando o produto interno por X temos X X h−∇ Y, Xi − hT ∇ Y, Xi = hY (ϕ)X, Xi, ou equivalentemente, X X Y, T −1 −h∇ Y, Xi − h∇ Xi = Y (ϕ)hX, Xi.

      Donde conclu´ımos X X Y (ϕ) = −2h∇ Y, Xi = 2h∇ X, Y i. Y X X e η Y Y, obtemos o

      Analogamente, X(ϕ) = 2h∇ Y, Xi. Definindo η = ∇ = ∇ sistema Y (ϕ) = 2hη , Y i,

    • − X(ϕ) = 2hη , Xi.
    • Y X Y )(ϕ), temos

        Como Y (X(ϕ)) − X(Y (ϕ)) = [Y, X](ϕ) = (∇ X − ∇ Y η Y

        − − −

        Y (X(ϕ)) = Y (2hη , Xi) = 2(h∇ , Xi + hη , ∇ Xi), X η

      • X X(Y (ϕ)) = X(2hη , Y i) = 2(h∇ , Y i + hη , ∇ Y i).

          −

          Como T M ⊗ C = L ⊕ L ´e gerado por {X, Y }, temos

        • η
        • X<

          = ∇ X = hη , Y iY, η Y

          − − X Y = ∇ Y = hη , XiX,

          ∇ = −hη , Y iX

        • +

          e Y

          − ∇ X = −hη , XiY.

          Dessa forma, Y X Y X Y )(ϕ) (∇ X − ∇ Y )(ϕ) = (∇ X)(ϕ) − (∇

          −

        • − −

          = −hη , XiY (ϕ) − (−hη , Y iX(ϕ))

          = −hη , Xi · 2hη , Y i + hη , Y i · 2hη , Xi = 0, Y (X(ϕ)) η Y − − Y

          = 2(h∇ , Xi + hη , ∇ Xi) Y η

          − − −

          = 2(h∇ , Xi + hη , −hη , XiY i) Y η Y η

          − − − −

          = 2(h∇ , Xi − hη , Xihη , Y i) = 2h∇ , Xi

          38 e X η X

          X(Y (ϕ)) = 2(h∇ , Y i + hη , ∇ Y i) X η

          = 2(h∇ , Y i + hη , −hη , Y iXi) X η X η

        • = 2(h∇ , Y i − hη , Y ihη , Xi) = 2h∇ , Y i.
        • Y X Y )(ϕ) nos fornece

            Assim, a condi¸c˜ao Y (X(ϕ)) − X(Y (ϕ)) = (∇ X − ∇ Y η − X η (4.1) h∇ , Xi = h∇ , Y i.

          • 3

            Essa ´e exatamente a condi¸c˜ao para existˆencia de coordenadas isot´ermicas em R , que pode ser encontrada em . Se mostrarmos agora que o fibrado normal ´e flat, concluiremos que essas superf´ıcies tem que ser isot´ermicas. Ora, pelo item (ii) do Lema temos α(X, Y ) = 0, logo X e Y s˜ao dire¸c˜oes principais e o fibrado normal da superf´ıcie ´e flat. Portanto, f e g s˜ao superf´ıcies isot´ermicas. Reciprocamente, qualquer superf´ıcie isot´ermica simplesmente conexa admite uma ´ unica deforma¸c˜ao conforme preservando a aplica¸c˜ao de Gauss. Esta deforma¸c˜ao ´e chamada superf´ıcie isot´ermica dual.

            o

          • 2 Caso T M ⊗ C = L ou T M ⊗ C = L
            • Sejam X, Y ortonormais gerando L . Por ,
            • X + X Y = Y (ϕ)X, ∇ Y − T ∇ portanto X X h∇ Y, Xi − hT ∇ Y, Xi = hY (ϕ)X, Xi, ou equivalentemente,

              −1 X X Y, T h∇ Y, Xi − h∇ Xi = Y (ϕ)hX, Xi,

              isto ´e, Y (ϕ) = 0. ϕ Analogamente X(ϕ) = 0, portanto, ∇ϕ ⊥ L , ou seja, ∇ϕ = 0. Neste caso,

            • φ = e T = kT = kI, com k ∈ R. Logo f e g diferem por homotetia e transla¸c˜ao.

              o c = E λ λ ¯

            • 3 Caso: T M ⊗ C = L ⊕ E
            • λ n˜ao nulo. Ent˜ao tomando o produto interno com ¯ λ em ¯ Seja Z ∈ E

                Z ∈ E obtemos Z Z, ¯ Z Z, ¯ Z(λ)hZ, ¯ Zi + λh∇ Zi − hT ∇ Zi = λZ(ϕ)hZ, ¯ Zi, isto ´e,

                −1 Z Z, ¯ Z Z, T ¯

                (Z(λ) − λZ(ϕ))hZ, ¯ Zi + λh∇ Zi − h∇ Zi = 0,

                39

                −1

                ¯ onde levando-se em conta que T Z = λ ¯ Z e hZ, ¯ Zi 6= 0, temos

                ¯ λZ(λ) = Z(ϕ). (4.2)

                Como λ tem m´odulo um, podemos dizer que λ = e , assim iθ iθ Z(λ) = Z(e ) = ie Z(θ) = iλZ(θ), e comparando com a equa¸c˜ao temos Z(ϕ) = iZ(θ). Escolhendo um sistema de

                ∂ 1 ∂ ∂ coordenadas isot´ermicas Z = = ( ), temos − i

                ∂z 2 ∂u ∂v ∂ 1 ∂ϕ ∂ϕ

                Z(ϕ) = ϕ = ( ), − i

                ∂z 2 ∂u ∂v e ∂ 1 ∂θ ∂θ iZ(θ) = i θ = ( i + ),

                ∂z 2 ∂u ∂v ou seja, ∂ϕ ∂θ

                = , ∂u ∂v

                ∂ϕ ∂θ .

                = − ∂v ∂u

                Logo a condi¸c˜ao anterior ´e equivalente a ϕ e θ serem harmˆonicas conjugadas. Como, pelo item (ii) da Proposi¸c˜ao temos α f (Z, ¯ Z) = 0 conclu´ımos que f ´e uma

                2

                superf´ıcie m´ınima. Como M ´e simplesmente conexa, se (u, v) s˜ao coordenadas isot´ermicas globais, ent˜ao a fam´ılia de todas as deforma¸c˜oes g da imers˜ao f tal que f e g s˜ao conformes e tem a mesma aplica¸c˜ao de Gauss, est´a em correspondˆencia com o conjunto das fun¸c˜oes holomorfas ψ = ϕ + iθ. Al´em disso, o elemento dessa fam´ılia que corresponde a ψ ´e a superf´ıcie m´ınima

                Z ψ g = e f z dz. (4.3)

                o Observa¸ c˜ ao 4.1.2.

                caso, ent˜ao ´e igual a zero. Isso implica Se ∇ϕ = 0 no 1 que as curvas integrais de X e Y s˜ao geod´esicas. Como pela Proposi¸c˜ao temos

                α f (X, Y ) = 0, segue que f = β × γ ´e um produto de duas curvas enquanto g = β × (−γ), a menos de homotetia e transla¸c˜ao. No terceiro caso, ∇ϕ = 0 implica em λ constante e, portanto, f e g s˜ao membros de uma fam´ılia associada de superf´ıcies m´ınimas a menos de homotetia.

                Cap´ıtulo 5 O produto warped de imers˜ oes

                Neste cap´ıtulo apresentamos as defini¸c˜oes de produto twist e produto warped de variedades, comparando-as e exemplificando especialmente o produto warped. Em seguida citamos alguns teoremas de decomposi¸c˜ao de variedades em produtos. Os teoremas de

                G. de Rhamd˜ao condi¸c˜oes suficientes para que uma variedade seja isom´etrica a uma variedade produto Riemanniano e a um produto warped de variedades, respectivamente. Outro teorema de decomposi¸c˜ao interessante ´e o de J.D. N Moore que fornece condi¸c˜oes suficientes para que uma imers˜ao isom´etrica f : M → R de uma variedade produto M = M k , possa ser descrita como produto de

                × . . . × M N imers˜oes. Ap´os o Lema de N¨olker que fornece todas as maneiras de escrever R como produto warped de variedades, definimos o produto warped de imers˜oes buscando tornar este conceito mais intuitivo com um exemplo motivador. Finalmente apresentamos uma N generaliza¸c˜ao do Teorema de Moore, o Teorema de N¨olker no caso do R (visto em

                . Para apresenta¸c˜ao do produto twist e warped seguimos as id´eias desse artigo e de .

                5.1 Produtos twist e warped de variedades M N ) e fun¸c˜oes dife-

                Dadas duas variedades Riemannianas (M, h , i ) , (N, h , i renci´aveis ρ e ρ definimos o produto twist de M e

                1 + +

                2

                : M × N → R : M × N → R ρ N como a variedade Riemanniana (M × N, h , i) com a m´etrica

                2

                

              2

              M ∗ M N ∗ N ) + ρ ) e ρ = (ρ , ρ ).

                1

                2

                h , i = ρ

                1 ◦ (π h , i 2 ◦ (π h , i

                Sendo π M N : M × N → M a proje¸c˜ao em M e π : M × N → N a proje¸c˜ao em N. Nesse caso, dizemos que ρ , ρ s˜ao as fun¸c˜oes twist. Observe que esta defini¸c˜ao generaliza a

                1

                2

                41 no¸c˜ao de variedade produto, em que M N , h , i = h , i + h , i ou seja, a variedade produto ´e o produto twist quando ρ = ρ

                1

                2

                ≡ 1. Assim, podemos pensar o produto twist de variedades como sendo a variedade produto M × N munida de uma m´etrica obtida como uma “tor¸c˜ao” da m´etrica produto usual, entendemos por “tor¸c˜ao” uma deforma¸c˜ao por uma fun¸c˜ao diferenci´avel, que desempenha o mesmo papel dos pesos em uma m´edia ponderada.

                Outro caso particular do produto twist ´e quando ρ em

                1

                2 N

                ≡ 1 e ρ = ρ ◦ π , isto ´e, quando a tor¸c˜ao n˜ao ´e feita na primeira variedade e a tor¸c˜ao que ρ : M → R

              • feita na segunda s´o depende do ponto de M. Mais precisamente, dadas duas variedades M N

                , definimos o ρ N , como sendo a variedade Riemanniana Riemannianas (M, h , i ) , (N, h , i ) e uma fun¸c˜ao diferenci´avel ρ : M → R

              • produto warped de M e N, denotado por M × (M × N, h , i) em que
              • M + ρ N ,

                  2

                  h , i = h , i h , i e nesse caso ρ ´e chamada de fun¸c˜ao warping. Apresentaremos a seguir as generaliza¸c˜oes das defini¸c˜oes acima ao produto de n variedades. Sejam M , . . . , M n variedades Riemannianas, M = M n e

                  −1 −1

                  × . . . × M ρ i i a m´etrica de M i e a π i a proje¸c˜ao π i i ,

                  : M → R . Denotando por h , i : M → M

                • definimos a m´etrica produto twist de M, por n

                  −1

                  X T = ρ (π i ) i . i ∗

                  2

                  h , i h , i i

                  =0

                  Sob condi¸c˜oes semelhantes, com a ressalva de que a ρ i : M , se i &gt; 0, ≡ 1 e ρ → R

                • definimos a m´etrica produto warped por n

                  −1

                  X W = ρ (π ) ∗ i . i

                  2

                  h , i h , i T ) ´e chamada produto twist de M , . . . , M n −1 e ´e de- i =0 A variedade Riemanniana (M, h , i n

                  −1 ρ Y notada por M i , em que ρ = (ρ , . . . , ρ n ). Nesse caso, ρ i s˜ao chamadas de fun¸c˜oes i

                −1

                =0 W ) ´e chamada produto warped de M , . . . , M n −1

                  twist. A variedade Riemanniana (M, h , i n

                  −1

                  Y e ´e denotada por M ρ M i , em que ρ = (ρ , . . . , ρ n ). Nesse caso, ρ i s˜ao chamadas

                  1 −1

                  × i

                  =1 fun¸c˜oes warping.

                  Como neste trabalho temos um interesse maior em produtos warped, veremos agora alguns exemplos de m´etrica warped e produto warped.

                  42 Exemplo 5.1.1 (Coordenadas cil´ındricas). Sejam M o semi-plano R a esfera

                • 1

                  1

                  × R e M

                2 S

                  . Considere a fun¸c˜ao warping ⊂ R

                  σ : R

                  × R → R r (r, z) 7→ ent˜ao a variedade M σ M ´e a variedade M munida com a m´etrica

                  1

                  1

                  × × M

                  2

                  , W ), (V , W , V + r , W

                  1

                  1

                  2 2 ((r,z),cos θ,sen θ)

                  1 2 (r,z)

                  1 2 (cos θ,sen θ)

                  h(V )i = hV i hW i

                  2

                  =

                  1 , V

                  2 1 , W

                  2 hV i + r hW i.

                  3 Note que M σ M 1 ´e isom´etrica a R

                  × \{(0, 0, z) : z ∈ R}. Para verificar isto, basta

                  3

                  considerar a seguinte aplica¸c˜ao (coordenadas cil´ındricas em R )

                  3

                  ψ : M M R σ

                  1

                  × → ((r, z), cos θ, sen θ) 7→ (r cos θ, r sen θ, z)

                3 De fato, considere R parametrizado pelas coordenadas cil´ındricas

                  X(r, θ) = (x(r, θ), y(r, θ), z(r, θ)) = (r cos θ, r sen θ, z), M σ M parametrizado por

                  1

                  × Y (r, θ) = ((r, z), cos θ, sen θ)

                  2

                  e tomemos uma curva α(t) = (r(t), θ(t)) em R . Ent˜ao as curvas X(α(t)) = X(t) e Y (α(t)) = Y (t) s˜ao tais que

                  

                ′ ′ ′ ′ ′ ′

                  X (t) = (r (t) sen θ(t), r (t) sen θ(t) + r(t)θ (t) cos θ(t), z (t)) (t) cos θ(t) − r(t)θ e

                  ′ ′ ′ ′ ′ Y (t) = ((r (t), z (t) sen θ(t), θ (t) cos θ(t)).

                  (t)), −θ Logo

                  ′ 2 ′ ′ ′ 2 ′ 2 ′

                  2

                  (t), X

                  (x,y,z)

                  kX (t)k = hX (t)i = {r (t)} + {r(t)θ (t)} + {z (t)}

                  ′ 2 ′ ′

                  (t), Y

                  ((r,z),cos θ,sen θ)

                  kY (t)k = hY (t)i

                  ′ ′ ′ ′ 2 ′ ′ ′ ′

                  , z ), (r , z sen θ, θ sen θ, θ = h(r )i + {r} h(−θ cos θ), (−θ cos θ)i

                  ′ 2 ′

                2 ′

                  2 .

                  = {r (t)} + {r(t)θ (t)} + {z (t)} n n

                  −1 Exemplo 5.1.2 (Coordenadas esf´ericas). Sejam M = R e M a esfera S .

                  1

                  ⊂ R

                • Considere a fun¸c˜ao warping

                  σ : R

                  → R r r 7→

                  43 ent˜ao a variedade M σ M ´e a variedade M munida com a m´etrica

                  1

                  1

                  × × M

                  2

                  , W ), (V , W , V r + r , W

                  1

                  1

                  2 2 (r,cos θ,sen θ)

                  1

                  2

                  1 2 (cos θ,sen θ)

                  h(V )i = hV i hW i

                  2

                  = , V , W

                  1

                  2

                  1

                  2 hV i + r hW i.

                3 Note que M σ M ´e isom´etrica a R

                  1

                  × \{(0, 0, 0)}. Para verificar isto, basta considerar a

                  3

                  seguinte aplica¸c˜ao (coordenadas esf´ericas em R )

                  3

                  ψ : M σ M R

                  1

                  × → (r, cos θ, sen θ) 7→ (r cos θ, r sen θ) A verifica¸c˜ao deste fato ´e inteiramente an´aloga `aquela do exemplo anterior.

                5.2 Teoremas de decomposi¸ c˜ ao

                  Uma ideia muito comum em matem´atica ´e procurar decompor um objeto em partes mais simples. Assim acontece, por exemplo, com os n´ umeros inteiros, que podem ser decompostos em produto de primos e com os grupos finitos, que se escrevem como produto de grupos simples. Da mesma forma, em geometria existem dois teoremas de decomposi¸c˜ao, cujas generaliza¸c˜oes ser˜ao importantes para o restante da disserta¸c˜ao. O primeiro deles ´e o Teorema de G. de Rham que fornece condi¸c˜oes para que uma variedade possa ser fatorada como produto riemanniano de variedades. Teorema 5.2.1

                  (de Rham). Seja M uma variedade Riemanniana simplesmente conexa e completa. Assuma que T M = T M

                  

                1

                2 ´e uma decomposi¸c˜ao em subfibrados

                  ⊕ T M p M , T M s˜ao invariantes pelo

                  1 p

                  2

                  paralelos tal que, em cada ponto p ∈ M, os subespa¸cos T grupo de holonomia linear Ψp. Sejam M e M as variedades integrais m´aximas de T M

                  1

                  2 1 e T M , respectivamente. Ent˜ao M ´e isom´etrica ao produto riemanniano de M por M .

                  2

                  1

                  2 O leitor interessado em mais detalhes poder´a consultar o volume I de . O

                  Teorema de G. de Rham foi generalizado por S. Hiepko para o caso em que a variedade tem uma decomposi¸c˜ao adequada do seu fibrado tangente. Nesse caso a variedade pode ser “fatorada” como produto warped de variedades Riemannianas. O resultado a seguir, enunciado em , ´e uma generaliza¸c˜ao natural do teorema obtido por Hiepko em para o produto de duas variedades. Lembramos que a folhea¸c˜ao canˆonica de M = M k determinada por M i ´e, em cada ponto p = (p , . . . , p k

                  × . . . × M ) ∈ M, dada por

                  L i i i i k

                  −1 +1 (p) = {p } × . . . × {p } × M × {p } × . . . × {p }.

                  Teorema

                  5.2.2 k (Hiepko). Sejam M uma variedade Riemanniana e E uma decomposi¸c˜ao ortogonal em subfibrados vetoriais n˜ao triviais tais i

                  T M = ⊕ i =0

                  ⊥

                  que cada E i ´e esf´erico e cada E ´e totalmente geod´esico. Ent˜ao i

                  44 (i) Para cada ponto p = (p , . . . , p k

                  ) ∈ M, existe uma isometria ψ de um produto warped M ρ 1 M ρ M k sobre uma vizinhan¸ca de p em M tal que

                  1 k

                  × × . . . × ρ (p o ) = . . . = ρ k (p o ) = 1 (5.1)

                  1

                  e ψ(L p ) ´e uma variedade integral de E i ; (5.2)

                  (ii) Se M ´e simplesmente conexa e completa ent˜ao, para cada ponto p ∈ M, existe uma isometria de um produto warped M ρ M ρ M k sobre M satisfazendo 1

                  1 k

                  × × . . . × e O segundo teorema de decomposi¸c˜ao a que nos referimos na introdu¸c˜ao desta se¸c˜ao ´e o an´alogo extr´ınseco do Teorema de de Rham. O pr´oximo teorema devido a J.D. N possa

                  Moore , fornece uma condi¸c˜ao para que uma imers˜ao isom´etrica f : M → R ser fatorada em produto de imers˜oes f i : M i i em que N i s˜ao subespa¸cos euclidianos N → N de R . N Teorema 5.2.3 uma imers˜ao isom´etrica, em que a

                  (J.D. Moore). Seja f : M → R variedade produto M = M k ´e tal que cada M i ´e conexa. Al´em disso, a segunda × . . . × M forma fundamental de f satisfaz

                  α f p L i p L j (X, Y ) = 0, ∀(X, Y ) ∈ T × T , com i 6= j. em que L , . . . , L k s˜ao as folhea¸c˜oes canˆonicas de M determinadas por M , . . . , M k res- N pectivamente. Ent˜ao existem uma isometria ψ : N e k imers˜oes k

                  × . . . × N → R f i : M i i , em que cada N i ´e um espa¸co euclideano, satisfazendo → N k ), f = ψ ◦ (f × . . . × f ou seja, f ´e um produto Riemanniano de f , . . . , f k .

                  Note que, para o Teorema de Moore, o ambiente em quest˜ao j´a possui em si uma estrutura natural como produto ou, seguindo a nomenclatura de , uma repre- senta¸c˜ao produto ψ que nos permite “encaixar” cada f i . Em outras palavras, a estrutura N natural de R como produto, permite definir facilmente o produto extr´ınseco de imers˜oes (como faremos na pr´oxima se¸c˜ao) utilizando uma isometria existente entre o espa¸co ambi- ente e o produto cartesiano dos subespa¸cos N i . Dessa forma, antes de qualquer tentativa N de generaliza¸c˜ao desse Teorema, precisamos nos perguntar quais as representa¸c˜oes de R em produtos twist ou warped. N¨olker encontrou as representa¸c˜oes em produto warped de ambientes de curvatura seccional constante no Teorema 7 de . Para uso posterior N enunciamos abaixo o caso de R .

                  N

                  45 Lema 5.2.4 uma imers˜ao isom´etrica, p um ponto de N (N¨olker). Sejam f : M → R k R i p M subespa¸cos vetoriais n˜ao triviais tais que T p i V i

                  , N ≥ 2 e V ⊂ T M = ⊕ =0 , k ≥ 1,

                  ´e uma decomposi¸c˜ao ortogonal de T p M. Sejam ainda z

                  1 . . . z k vetores dois a dois N ∈ V ortogonais. Denote por N , i = 1, . . . , k a esfera de R determinada por (p, V , z ), isto ´e, N i i i a esfera de R tangente a V i em p com vetor curvatura m´edia (normal) z i . Defina

                  X z i N i , ¯ i

                  := p − + {¯p ∈ V : hz pi &lt; 0, ∀z 6= 0} i

                  2 z i 6=0 kz k

                  e, para i = 1, . . . , k, σ i : N

                  → R

                • p i 7→ 1 + hz , p − ¯pi.

                  Ent˜ao a aplica¸c˜ao N ψ : N σ 1 N

                  1 k

                  × × . . . × N → R k

                  X

                • (p , . . . , p k ) σ i (p )(p i 7→ p − p) i

                  =1

                  ´e uma isometria sobre o subconjunto aberto denso X [ ψ N ⊥ z i + N := R ([z ) . i i

                  \ p − ] ⊕ V

                i

                  2 z z i 6=0 i 6=0 kz k n

                  V ; z , . . . , z ) ser´a chamada de re- i

                  1 n

                  Cada isometria ψ determinada por (p; ⊕ i =0 N presenta¸c˜ao produto warped de R e `as vezes tamb´em se diz que ψ ´e determinada por (p; N , N , . . . , N k ). Na verdade, segundo o Corol´ario 18 de , toda representa¸c˜ao de N

                1 R

                  em produto warped ou coincide com a representa¸c˜ao acima ou ´e uma restri¸c˜ao dela, N de modo que o lema anterior fornece todas as representa¸c˜oes produto warped de R .

                  ´ E interessante observar que a existˆencia de uma esfera determinada por (p, V, z) se assemelha muito ao Axioma das r-esferas. Uma subvariedade umb´ılica de uma variedade

                  Riemanniana ´e uma esfera extr´ınseca quando tem vetor curvatura m´edia paralelo na n conex˜ao normal. Dizemos que uma variedade Riemanniana M , n ≥ 3, satisfaz o axioma p M, existe das r-esferas, com r ≥ 2 fixo se, para todo ponto p ∈ M e todo subespa¸co L ⊂ T uma esfera extr´ınseca passando por p cujo espa¸co tangente em p ´e L. Foi demonstrado por Leung e Nomizu em que se M satisfaz o axioma das r-esferas ent˜ao M tem curvatura seccional constante. O leitor interessado poder´a encontrar mais detalhes sobre isto na Se¸c˜ao 1.3 de . Assim, num espa¸co de curvatura constante, dados um ponto p e um subespa¸co V, existe uma esfera extr´ınseca que ´e tangente a V no ponto p. O N e um vetor z resultado anterior admite que dados um ponto p, um subespa¸co V ⊂ R ´e poss´ıvel obter uma esfera extr´ınseca que ´e tangente a V em p e cujo vetor curvatura m´edia ´e z.

                  Antes de apresentarmos a generaliza¸c˜ao do Teorema de Moore, precisaremos de- finir o produto warped de imers˜oes.

                  46

                  5.3 Produtos warped de imers˜ oes N

                  Como comentamos na se¸c˜ao anterior, a representa¸c˜ao de R em produto ´e t˜ao natural que nos induz a definir o produto extr´ınseco de variedades Riemannianas ou, mais precisamente, o produto de imers˜oes Riemannianas. Sejam f i : M i i , i = 1 . . . n,

                  → N N P n imers˜oes em que cada N i ´e um subespa¸co de R satisfazendo dim(N i ) = N, dizemos i =1 que a imers˜ao N f : M n

                  1

                  × . . . × M → R (p , . . . , p n ) (p ), . . . , f n (p n ))

                  1

                  1

                  1

                  7→ (f ´e o produto extr´ınseco de variedades Riemannianas ou, simplesmente, produto de imers˜oes Riemannianas, denotado por f = f n .

                  1

                  × . . . × f Antes de definir o produto warped de imers˜oes vejamos um exemplo que motiva essa defini¸c˜ao.

                  Exemplo 5.3.1 (Superf´ıcie de Rota¸c˜ao). Sejam J um intervalo aberto e c : J → R × R

                • t 7→ (ρ(t), β(t)) uma curva parametrizada pelo comprimento de arco. Consideremos agora as variedades

                1 M = J, M = S , M ρ M . A imers˜ao

                  1

                  1

                  ×

                  

                3

                  f : M M ρ

                  1

                  × → R (t, cos θ, sen θ) 7→ (ρ(t) cos θ, ρ sen θ, β(t)) parametriza globalmente a superf´ıcie obtida pela rota¸c˜ao de c em torno do eixo z. Note

                  3

                  que f pode ser obtida pela composi¸c˜ao das coordenadas cil´ındricas de R com o produto 1 cartesiano de c e id , isto ´e, sendo

                  S

                  σ : R

                  × R → R (r, z) r

                  7→ e

                  1

                  3 S R

                  ψ : (R + σ × R) × →

                  ((r, z), cos θ, sen θ) 7→ (r cos θ, r sen θ, z) temos 1 ) = ψ(ρ, β, cos θ, sen θ),

                  S

                  f = ψ(c × id al´em disso, ρ = σ ◦ c. N Seja ψ : N σ 1 N

                  1 σ N k a representa¸c˜ao produto warped de k N × × . . . × → R N N

                  R , determinada por (p, N , N , . . . , N ) ou ψ = Id : R . Sejam f : M ,

                  1 k i i i

                  → R → N i = 0, . . . , k, imers˜oes isom´etricas e ρ i := σ i : N ◦f → R. O produto warped extr´ınseco ou,

                  k ),

                  47 simplesmente, produto warped de imers˜oes ´e a imers˜ao isom´etrica f := ψ ◦ (f × . . . × f dada por N f : M ρ M ρ 1

                  1 k

                  × × . . . × → R k

                  X

                  2

                  (p , p

                  1 , . . . , p k ) (p) + ρ (p )(f i (p i i 7→ f ) − p). i =1

                  Observe que, na defini¸c˜ao acima, o produto warped das imers˜oes f i : M i i N → N em que M ´e um produto warped de cada M i , dado por

                  ´e uma imers˜ao f : M → R M := M ρ 1 M ρ e ρ i := σ i .

                  1 k

                  × × . . . × ◦ f Agora estamos em condi¸c˜oes de enunciar uma generaliza¸c˜ao do Teorema de J.D. Moore. N

                  Teorema 5.3.2 uma imers˜ao isom´etrica de um

                  (N¨olker). Seja f : M → R produto warped M = M ρ M ρ 1

                  1 k

                  × × . . . × , k ≥ 1, de variedades Riemannianas conexas tal que a segunda forma fundamental de f satisfaz α f p L i p L j

                  (X, Y ) = 0, ∀(X, Y ) ∈ T × T , com i 6= j, em que L , . . . , L k s˜ao as folhea¸c˜oes canˆonicas de M determinadas por M , . . . , M k res- pectivamente. Seja p = (p , . . . , p k

                  1 (p o ) = . . . = ρ k (p o ) = 1. Ent˜ao f ´e um

                  ) ∈ M tal que ρ produto warped de imers˜oes f , mais precisamente: i N (i) Para cada i = 0, . . . , k definimos f i : M i por

                  → R f i (x) = (p , . . . , p i −1 , x, p i +1 , . . . , p k ), ent˜ao cada f ´e uma imers˜ao isom´etrica e i k

                  X

                  

                2

                  f (x) = f (x ) + ρ (x )(f i (x i i i =1 ) − f(p)), ∀x ∈ M. (ii) Se N i ´e a menor esfera de f i , para i = 1, . . . , k e V i , z i s˜ao, nessa ordem, o espa¸co tangente e o vetor curvatura m´edia de N i i , V j em f (p), ent˜ao hV i = 0, se i 6= k ⊥ j e z . . . , z := V . Portanto, (f (p), N , . . . , N ) determina uma

                  1 k i 1 k

                  ∈ V ⊕ i =1 N representa¸c˜ao produto warped de R , ψ. Ademais, f (M e ρ i = σ i para k ), onde f i : M i i . ) ⊂ N ◦ f i = 1, . . . , k. Consequentemente, f = ψ ◦ (f × . . . × f → N Como neste trabalho o fibrado de M est´a sendo decomposto em no m´aximo trˆes subfibrados (a saber L , L e L c ), sendo que L c sempre tem dimens˜ao par, usaremos

                • N

                  as seguintes representa¸c˜oes produto warped de R . A primeira, para o produto de duas imers˜oes, ´e dada por m N N

                  −m

                  ψ : R S (5.3)

                  1 x m

                  × → R + , . . . , x m , x m Y ) = (x , . . . , x m , x m y , . . . , x m y m ).

                  1 −1 1 −1

                  1

                  (X, Y ) 7→ (x

                  48 Para o produto de trˆes imers˜oes, usaremos m m m N 1 2 S S ψ : R x x m

                  (5.4)

                  2 m−1 ∗ × × → R

                  (X, Y

                  1 , Y

                  2 1 , . . . , x m −2 , x m −1 Y 1 , x m Y 2 ), m ) 7→ (x em que N = m + m + m e R , . . . , x m ) : x m , x m

                  1

                  2 1 −1 ∗ = {(x &gt; 0}.

                  Dessa forma, podemos utilizar as seguintes defini¸c˜oes (como feito em ). m N −m Dadas imers˜oes f : M , f : M definimos o produto warped das imers˜oes

                  1

                  1

                  2

                  2

                  → R → S + N f

                  1 , f 2 como sendo a imers˜ao f : M

                  1 2 dada por

                  × M → R f = ψ ) := ψ(f , f ).

                  1

                  1

                  

                2

                  1

                  2

                  ◦ (f × f m m 1 Analogamente para o produto warped de 3 imers˜oes f : M , f : M e

                  1

                  1

                  2

                  2 m 2

                  → R ∗ → S f : M definimos o produto warped triplo das imers˜oes f , f , f como sendo a

                  3

                  3

                  1

                  2

                  3

                  → S N imers˜ao f : M

                  1

                  2 3 dada por

                  × M × M → R f = ψ ).

                  2

                  

                1

                  2

                  3

                  ◦ (f × f × f Cap´ıtulo 6 Mais alguns exemplos

                  Neste cap´ıtulo, apresentamos exemplos de imers˜oes conformes com a mesma aplica¸c˜ao de Gauss em adi¸c˜ao `as superf´ıcies obtidas no Cap´ıtulo 4. Esses exemplos apa- recer˜ao na classifica¸c˜ao obtida no teorema principal deste trabalho.

                6.1 O caso trivial

                  Nesta se¸c˜ao estudamos o caso em que a variedade M, dom´ınio de duas imers˜oes conformes com a mesma aplica¸c˜ao de Gauss, ´e um aberto de um espa¸co euclideano. m N Exemplo 6.1.1. uma imers˜ao isom´etrica totalmente geod´esica

                  Sejam f : U ⊂ R → R e φ : U → U um difeomorfismo conforme. Ent˜ao f e g = f ◦ φ s˜ao imers˜oes conformes com a mesma aplica¸c˜ao de Gauss.

                  A proposi¸c˜ao seguinte nos afirma que se f e g s˜ao imers˜oes conformes com a m N totalmente geod´esica, ent˜ao g ´e como mesma aplica¸c˜ao de Gauss, com f : U ⊂ R → R no exemplo acima. m N Proposi¸ c˜ ao 6.1.2. uma imers˜ao isom´etrica totalmente geod´esica. Seja f : U ⊂ R → R N tal que f e g s˜ao con-

                  Se U ´e simplesmente conexo ent˜ao qualquer imers˜ao g : U → R formes com a mesma aplica¸c˜ao de Gauss tem a forma g = f ◦ φ, em que φ : U → U ´e um difeomorfismo conforme. Prova:

                  Como f e g tem a mesma aplica¸c˜ao de Gauss, existe φ : T U → T U tal que N g = f como uma 1-forma em U com valores em R , procedemos

                  ∗ ∗ ∗

                  ◦ φ. Considerando g como na demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao derivamos essa 1-forma e obtemos a express˜ao . Logo φ ser um tensor de Codazzi que comuta com a segunda forma fundamental de f ´e equivalente a g ser fechada, isto ´e, dg = 0. Portanto, como U ´e simplesmente

                  ∗ ∗

                  conexo, g

                  ∗ ´e exata e g = f ◦ φ.

                  50

                6.2 Cones Kaehlerianos reais m´ınimos

                  Podemos considerar ainda uma outra classe pouco interessante de exemplos, com- pondo uma invers˜ao com transforma¸c˜oes conformes do ambiente, como a homotetia e a N invers˜ao em esferas. Dado um cone em R , podemos tomar a esfera de raio um centrada em seu v´ertice. A intersec¸c˜ao do cone com a esfera d´a origem a uma subvariedade da esfera. O cone sobre essa subvariedade da esfera, isto ´e, o cone cujo v´ertice ´e o centro da esfera e cujas retas passam por essa subvariedade, coincide com o cone dado inicial- mente. Al´em disso, invers˜oes s˜ao transforma¸c˜oes conformes do ambiente que preservam a aplica¸c˜ao de Gauss desses cones. De fato, a aplica¸c˜ao de Gauss ´e constante ao longo de retas e retas s˜ao preservadas por invers˜ao. Assim, o cone inicial e sua invers˜ao com respeito ao centro da esfera s˜ao imers˜oes conformes com a mesma aplica¸c˜ao de Gauss. Observe, no entanto, que nesse caso a subvariedade ´e invariante pela deforma¸c˜ao, pois cones sobre esferas s˜ao invariantes por invers˜ao com respeito ao centro da esfera.

                  Nessa se¸c˜ao usaremos esse exemplo mais conhecido para construir uma classe interessante de imers˜oes conformes com a mesma aplica¸c˜ao de Gauss. Combinaremos a constru¸c˜ao precedente com deforma¸c˜oes isom´etricas que preservam a aplica¸c˜ao de Gauss de subvariedades Kaehlerianas. Assim estaremos construindo um exemplo de imers˜oes conformes que nem ´e isom´etrico nem ´e uma deforma¸c˜ao conforme do ambiente. h i n N

                  π Seja f : M

                  0, → R uma subvariedade Kaehleriana real. Tomando θ ∈

                  2 podemos definir a fam´ılia de 1-formas J = cos θI + sen θJ. θ

                  Note que, fixado θ, como J ´e um tensor paralelo, J θ tamb´em o ´e pois X J θ )Y X (J θ θ X Y (∇ = ∇ Y ) − J ∇ X X X Y

                  = ∇ (cos θY + sen θJY ) − cos θ∇ Y + sen θJ∇ X X X X Y = cos θ∇ Y + sen θ∇ JY − cos θ∇ Y − sen θJ∇ X J)Y = 0.

                  = sen θ(∇ θ X, J θ Assim como a estrutura quasi-complexa J, o tensor J θ ´e ortogonal. De fato, hJ Y i = hcos θX + sen θJX, cos θY + sen θJY )

                  2

                  2

                  = cos θhX, Y i + cos θ sen θhX, JY i + sen θ cos θhJX, Y i + sen θhJX, JY i

                  2

                  = hX, Y i + cos θ sen θhX, JY i − sen θ cos θhJX, J Y i = hX, Y i + cos θ sen θhX, JY i − sen θ cos θhX, JY i = hX, Y i

                  Al´em disso, se J comuta com a segunda forma fundamental de f o mesmo ocorre

                  51 com J θ , pois, neste caso, temos α f (J θ X, Y ) = α f (cos θX + sen θJX, Y )

                  = cos θα f (X, Y ) + sen θα f (JX, Y ) = cos θα f (X, Y ) + sen θα f (X, JY ) = α f (X, cos θY + sen θJY ) = α f (X, J θ Y ).

                  Como vimos no Cap´ıtulo 1, se f ´e m´ınima, ent˜ao f ´e pluriharmˆonica. Observe ainda que f pluriharmˆonica significa que a segunda forma fundamental de f comuta com J. Assim, se f ´e m´ınima, J θ ´e um tensor paralelo (logo de Codazzi) que comuta com a n N segunda forma fundamental de f. Pela Proposi¸c˜ao existe uma imers˜ao g : M

                  → R satisfazendo g = f θ = f θ , portanto, com a mesma aplica¸c˜ao de Gauss que f. Como J θ

                  ∗ ∗

                  ◦J n N tamb´em ´e ortogonal, cada f θ : M ´e uma deforma¸c˜ao isom´etrica de f que preserva → R a aplica¸c˜ao de Gauss. Ademais, pela Proposi¸c˜ao temos

                  α θ (X, Y ) = α f (J θ X, Y ), ∀X, Y ∈ T M, logo f θ ´e pluriharmˆonica e, portanto, m´ınima.

                  Da discuss˜ao anterior, conclu´ımos que toda subvariedade Kaehleriana real m´ınima simplesmente conexa define uma fam´ılia de variedades Kaehlerianas reais m´ınimas f θ , θ ∈ h i

                  π 0, (exatamente como ocorre com as superf´ıcies m´ınimas) que ´e chamada de fam´ılia as-

                  2 θ sociada {f }. Em , Dajczer e Gromoll resolveram a vers˜ao isom´etrica do problema proposto por Pierre Samuel, isto ´e, eles determinaram os pares de imers˜oes isom´etricas n˜ao triviais que tem a mesma aplica¸c˜ao de Gauss. A solu¸c˜ao encontrada diz que, local- mente, essas imers˜oes s˜ao produtos de variedades Kaehlerianas reais m´ınimas as quais, globalmente, admitem uma fam´ılia associada. Dessa maneira, fam´ılias associadas de uma subvariedade Kaehleriana real m´ınima constituem uma classe de exemplos de imers˜oes conformes com a mesma aplica¸c˜ao de Gauss. n N Um cone Kaehleriano real m´ınimo ´e uma subvariedade Kaehleriana real m´ınima f : M que admite uma folhea¸c˜ao por linhas retas concorrentes num mesmo ponto.

                  → R Ora, cones Kaehlerianos reais m´ınimos admitem uma fam´ılia associada de variedades Kaehlerianas reais m´ınimas e todos os elementos dessa fam´ılia s˜ao isom´etricos com a mesma aplica¸c˜ao de Gauss. Nosso objetivo ´e mostrar que os elementos da fam´ılia associada a um cone Kaehleriano real m´ınimo tamb´em s˜ao cones. Em seguida, consideraremos esses cones como cones sobre esferas, os quais s˜ao invariantes por invers˜ao com respeito ao centro da esfera (que ´e o v´ertice desse cone). De maneira que, cada f θ ´e um cone obtido como deforma¸c˜ao isom´etrica de f e, ap´os a invers˜ao com respeito ao v´ertice desse cone, encontramos g tal que f e g s˜ao cones Kaehlerianos reais m´ınimos, conformes e com a mesma aplica¸c˜ao de Gauss. Dessa forma, o cone Kaehleriano real m´ınimo inicial e o

                  52 cone obtido com essa deforma¸c˜ao, que ´e a combina¸c˜ao de deforma¸c˜ao isom´etrica com deforma¸c˜ao conforme do ambiente, constituem um exemplo de imers˜oes conformes com a mesma aplica¸c˜ao de Gauss. n N Exemplo 6.2.1 (cones Kaehlerianos reais m´ınimos). Seja f : M um cone Kaeh-

                  → R leriano real m´ınimo. Seja f θ qualquer elemento de sua fam´ılia associada e denotemos por θ . Ent˜ao, definindo I a invers˜ao com respeito ao centro da esfera centrada no v´ertice de f θ , temos que f e g s˜ao imers˜oes conformes com a mesma aplica¸c˜ao de Gauss. g = I ◦ f

                  A quest˜ao agora ´e: como construir explicitamente um cone Kaehleriano real m´ınimo? Al´em do mais, resta ver que realmente os elementos da fam´ılia associada a um cone Kaehleriano real m´ınimo tamb´em s˜ao cones. Para responder a essas quest˜oes, precisamos de alguns coment´arios adicionais. Observamos que, se f ´e pluriharmˆonica, ∆ f f , temos α f

                  ´e J-invariante. De fato, se X ∈ ∆ (X, Y ) = 0, ∀Y ∈ T M logo α f (JX, Y ) = α f (X, JY ) = 0, f f . Isso nos permite o que nos leva a concluir que para qualquer X ∈ ∆ , temos JX ∈ ∆ mostrar que ∆ f = ∆ f f temos θ

                  . De fato, seja X ∈ ∆ α θ (X, Y ) = α f (J θ X, Y ) = α f (X, J θ Y ) = 0, logo ∆ f f . Usando que f = f θ conclu´ımos que ∆ f f . θ ∗ −θ θ

                  ⊂ ∆ ◦ J ⊂ ∆ Tamb´em em , os autores mostraram que imers˜oes pluriharmˆonicas, al´em de apresentarem fam´ılia associada, tem outra caracter´ıstica muito parecida com as su- perf´ıcies m´ınimas. Lembramos que uma superf´ıcie m´ınima parametrizada em coordenadas isot´ermicas tem fun¸c˜oes harmˆonicas como coordenadas e, que dada uma fun¸c˜ao harmˆonica u em um conjunto simplesmente conexo, existe uma fun¸c˜ao ˜ u, ´ unica a menos de constante, chamada de harmˆonica conjugada tal que f (u, v) = u + i˜ u ´e uma fun¸c˜ao holomorfa (ver detalhes na Se¸c˜ao 3.5 de , - particularmente as p´aginas 240 e 254). ´ E este fato essen- cialmente que permite a constru¸c˜ao da fam´ılia associada e, de certa forma, isso tamb´em n N

                  ´e respeitado por imers˜oes pluriharmˆonicas. Mais precisamente, seja f : M uma → R imers˜ao pluriharmˆonica com fam´ılia associada n˜ao trivial (isto ´e, cujos membros n˜ao s˜ao n m todos iguais) e considere X = {F : M → R : F ´e imers˜ao, m ∈ N}, ent˜ao X possui um

                  ´ unico representante holomorfo dado por

                  1

                  1 π n N F = f : M . √ f ⊕ √ → C 2

                  2

                  2

                  1 π Ou seja, a imers˜ao f ´e parte real da imers˜ao F = ). ´ E interessante comentar que

                  √ (f ⊕if 2

                  2 n N a fam´ılia associada de uma imers˜ao pluriharmˆonica f : M ´e trivial se, e somente → R

                  53 se, f ´e holomorfa (o que implica N ser par). A seguinte proposi¸c˜ao nos mostra como construir cones Kaehlerianos reais m´ınimos e nos permite concluir que cada membro da fam´ılia associada de um cone Kaehleriano real m´ınimo ´e um cone Kaehleriano real m´ınimo. n N Proposi¸ c˜ ao 6.2.2. Seja f : M

                  → R , n ≥ 4, uma imers˜ao isom´etrica m´ınima de uma variedade Kaehleriana simplesmente conexa. Ent˜ao f ´e um cone se, e somente n N se, f ´e parte real de uma imers˜ao isom´etrica holomorfa F : M obtida como o n −1 −1 N N → C levantamento de uma imers˜ao holomorfa f : M . → CP pela proje¸c˜ao π : C → CP

                  C n N −1

                F

                  88 π //

                  M CP f f = π ◦ F Prova: A rec´ıproca desse resultado n˜ao traz nenhuma novidade, pois se F ´e obtida como n −1 N levantamento de uma imers˜ao de M em CP , ent˜ao sua parte real ´e claramente um

                  1 π cone. Basta mostrar que F = ) ´e obtida como descrito no enunciando, pois √

                  (f ⊕ if 2

                  2 f j´a ´e a parte real dessa F que ´e a ´ unica representante holomorfa do conjunto X citado N acima. Para isso, encontraremos uma folhea¸c˜ao de F (M ) por retas complexas de C N

                  −1

                  , ou seja, que concorrem num mesmo ponto, logo π ◦ F (M) ´e uma curva β em CP n n N −1 F ´e o levantamento de f : M que leva a variedade M na curva β. Vamos

                  → CP π primeiro mostrar que, assim como f, g = f ´e um cone. Como f ´e um cone, existe um n 2

                  −1

                  campo R e uma fun¸c˜ao suave γ sobre M tal que h = f + γ f R ´e constante. Assim,

                  ∗ −1

                  devemos mostrar que l = g + γ g R tamb´em ´e constante. Como h ´e constante, temos

                  ∗

                  que h ∗ X = 0, ∀X ∈ T M; por outro lado,

                  −1

                  h X = dhX = df X + d(γ f R)X

                  ∗ ∗ −1 −1 −1 −1

                  = f X + X(γ )f R + γ d(f R)X = f X + X(γ )f R + γ X(f R)

                  ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ −1 −1

                  = f X + X(γ )f R + γ (f X R + α f (X, R)) (6.1)

                  ∗ ∗ ∗

                  ∇ Dessa forma, h ∗ R = 0 implica em

                  2 R(γ) = γ , (6.2) R R = 0 (6.3)

                  ∇ e α f (R, R) = 0 (6.4)

                  54 S = 0, implica

                  ∗

                  . Para S ⊥ R, h S S(γ) = 0, (6.5) (6.6)

                  ∇ R = −γS e α f (R, S) = 0. (6.7)

                  −1

                  Dessa forma, derivando l = g + γ g R temos

                  ∗ −1 −1

                  l X = g X + X(γ )g R + γ (g R + α (X, R))

                  ∗ ∗ ∗ ∗ X g

                  ∇

                  −1 −1

                  = f JX + X(γ )f JR + γ (f X R + α f (JX, R)) (6.8)

                  ∗ ∗ ∗

                  J∇ Observe que l R = 0. De fato, trocando X por R em , vemos que as duas

                  ∗

                  1

                  primeiras parcelas de , a terceira parcela ´e nula. Finalmente, α f (JR, R) = 0, porque sendo f

                  ∗ R a dire¸c˜ao do v´ertice (para cada ponto p), temos R ∈ ∆.

                  S = 0. De fato, trocando X por S em , vemos

                  ∗

                  Se S ⊥ R tamb´em temos l que a primeira e a terceira parcelas de . Al´em disso, o segundo termo ´e zero por e α f

                  (JS, R) = 0, porque R ∈ ∆. Logo a aplica¸c˜ao π l ´e constante, o que nos faz concluir que g = f ´e um cone. 2 Agora, mostraremos que L = ger{R, JR} ´e uma distribui¸c˜ao integr´avel cujas N folhas s˜ao levadas por f e g em subespa¸cos de R . Considerando as equa¸c˜oes vemos que L ´e totalmente geod´esica. Al´em disso, de , temos L ⊂ ∆. De fato,

                  

                  z}|{ como α f (R, R) = α f (R, JR) = 0, resta apenas ver que α f f (R, R) = 0. N (JR, JR) = −α Logo as folhas de L s˜ao subespa¸cos afins de R , o que conclui a prova.

                  

                6.3 Deforma¸ c˜ oes conformes e a m´ etrica do plano hi-

                perb´ olico

                  Antes de apresentar os pr´oximos exemplos, faremos um pequeno parˆenteses para estudar a rela¸c˜ao entre deforma¸c˜oes de superf´ıcies m´ınimas contidas no semi-espa¸co supe- m rior R que preservam a aplica¸c˜ao de Gauss e a m´etrica induzida pela m´etrica do plano

                • hiperb´olico. n m

                  Sejam f, g : M imers˜oes isom´etricas que preservam a m´etrica do plano → R +

                  55 hiperb´olico, dadas por f = (a , . . . , a m , a) e g = (b , . . . , b m , b). Ent˜ao

                  1 −1 1 −1

                  

                  1 

                  X, f  ∗ ∗ hf Y i, pois f preserva a m´etrica do plano hiperb´olico;  L = 2  a hX, Y i

                   

                  1  

                  X, g

                  ∗ ∗

                  hg Y i, pois g preserva a m´etrica do plano hiperb´olico, b logo b

                  X, g X, f

                  

                ∗ ∗ ∗ ∗

                  hg Y i = hf Y i, a m ou seja, dizer que f e g induzem a mesma m´etrica do plano hiperb´olico R significa que m ϕ + f e g induzem m´etricas conformes a m´etrica Euclideana de R cujo fator conforme e

                • satisfaz ϕ e a = b. (6.9)

                  Sabemos que uma superf´ıcie ´e m´ınima se, e somente se, as fun¸c˜oes coordenadas numa parametriza¸c˜ao isot´ermica s˜ao harmˆonicas. Al´em disso, se a superf´ıcie for simples- mente conexa, existem as fun¸c˜oes harmˆonicas conjugadas dessas fun¸c˜oes coordenadas, as quais parametrizam outra superf´ıcie m´ınima. Essas duas superf´ıcies juntas d˜ao origem a uma fam´ılia associada de superf´ıcies m´ınimas isom´etricas com a mesma aplica¸c˜ao de Gauss (ver exerc´ıcio 14 de ).

                  O pr´oximo resultado utiliza as informa¸c˜oes dos dois par´agrafos precedentes para caracterizar pares de imers˜oes isom´etricas de uma superf´ıcie m´ınima no espa¸co hiperb´olico m R que preservam a aplica¸c˜ao de Gauss. Essas deforma¸c˜oes s˜ao importantes porque, al´em

                • de constitu´ırem um exemplo, dar˜ao origem a outros exemplos de imers˜oes conformes com a mesma aplica¸c˜ao de Gauss.

                  2 m Proposi¸ c˜ ao 6.3.1.

                  Duas superf´ıcies m´ınimas f, g : M tem a mesma aplica¸c˜ao → R + m de Gauss (orientada) e s˜ao isom´etricas com respeito `a m´etrica hiperb´olica de R se, e

                • somente se, f e g est˜ao relacionadas da seguinte maneira: se f ´e parametrizada em coordenadas isot´ermicas por f = (a , . . . , a m , a) e A = a + i˜ a ´e holomorfa ent˜ao

                  1 −1

                  Z

                  1 f z dz. (6.10) g = −

                  2 A

                  1 Al´em disso, a ´ ultima coordenada da fun¸c˜ao g ´e a parte real de . A

                  Prova: Diferenciando temos ϕ ϕ b z = e (a z + aϕ z ) = e (a z + iaθ z ), onde ψ = ϕ + iθ. Por outro lado, pelas express˜oes de f e g e por temos ψ b z = e a z ., (6.11)

                  56 logo ϕ ψ e (a + iaθ ) = e a z z z e a z (e ia z − 1)

                  θ z = ) (6.12) = (1 − e ai a

                  θ z iθ iθ Como z = 0. Portanto, k = (e

                  ¯

                  ´e harmˆonica, ent˜ao {(e − 1)/a} − 1)/a ´e uma a z fun¸c˜ao holomorfa, k = u + iv. Logo e = 1 + au + iav e, portanto,

                  2

                  2 + (av) .

                  1 = |e | = (1 + au) −2 −2 −2(u − iv)

                  2

                  2

                • v ). Por outro lado, = = , ou seja, a = Assim, a = −2u/(u

                  2

                  2

                  k u + iv u + v −2

                  Re e −2/k ´e holomorfa. Dessa forma, se A = a + i˜a ´e holomorfa, temos k = −2/A, k ou seja, A

                  −2a − ¯ e = ak + 1 = + 1 = . ψ A A

                  2 Logo as fun¸c˜oes holomorfas e tem o mesmo argumento e, portanto, coincidem. ψ e −1/A

                  2 Assim, trocando e

                  por −1/A em . Agora, se A = b + i˜b ´e holomorfa ψ

                  2 z z z z = e A /A = (1/A) , ou seja, b ´e parte ent˜ao juntando este fato e temos A = −A

                  real de 1/A, a menos de constante.

                  2 m

                  2 Observa¸ c˜ ao 6.3.2.

                  Se f : M ´e totalmente geod´esica, munindo M com a m´etrica → R + m

                  2

                  2

                  induzida pelo plano hiperb´olico sobre R temos que M ou ´e um aberto de R ou um

                • 2

                  2

                  aberto do plano hiperb´olico H ) ´e paralelo ao bordo de m c , c ∈ [−1, 0), dependendo se f(L

                  2

                  2

                  2 R ou n˜ao, conforme f seja uma restri¸c˜ao a M de uma imers˜ao isom´etrica de R ou H , c

                • respectivamente. Consequentemente, a menos de transla¸c˜ao, g ´e dada por g = f ◦ h onde

                  2

                  

                2

                  2 h ´e a restri¸c˜ao a M de uma isometria de R ou H , respectivamente. c

                6.4 Produto warped de imers˜ oes

                  Em s˜ao constru´ıdos dois exemplos utilizando produto warped de duas N imers˜oes. Ambos utilizam a seguinte representa¸c˜ao produto warped para R m N N

                  −m

                  ψ : R S

                  1 x m

                  × + → R (X, Y ) , . . . , x m , x m y , . . . , x m y m ).

                  1 −1

                  1

                  7→ (x Vamos inicialmente discutir quais as condi¸c˜oes para que duas imers˜oes, que s˜ao produto warped constru´ıdos com esta representa¸c˜ao, devem satisfazer para serem confor- mes e terem a mesma aplica¸c˜ao de Gauss. Em seguida, apresentaremos os dois exemplos

                  57 constru´ıdos em : no primeiro deles a primeira imers˜ao ´e uma superf´ıcie m´ınima no plano hiperb´olico e no segundo ela ´e uma curva do plano hiperb´olico. s N n −s N −m n

                  Sejam f , g : N e l : L imers˜oes isom´etricas. Se M = s n n N → R → S

                  −s

                  N e f, g : M s˜ao dadas por × L → R f = ψ

                  (6.13)

                  1

                  1

                  ◦ (f × l) e g = ψ ◦ (g × l) vemos que f e g tem a mesma aplica¸c˜ao de Gauss se, e somente se, f e g tamb´em tem a mesma aplica¸c˜ao de Gauss. Al´em disso, se as m´etricas h , i e h , ie induzidas por f e g s˜ao dadas, respectivamente, por

                  2

                  2

                • ρ + ˜ ρ , (6.14)

                  1

                  1

                  h , i h , i e h , ie h , i s s˜ao m´etricas em N induzidas por f e g

                  1

                  em que h , i e h , ie n −s , respectivamente, h , i

                  ´e a m´etrica em L induzida por l e as ´ ultimas coordenadas das fun¸c˜oes f e g s˜ao

                  ∞

                  dadas por ρ = x e ˜ ρ = x m m (M ) tal que

                  ◦ f ◦ g , respectivamente. Assim, existe ψ ∈ C

                  2

                  h , ie = ψ h , i se, e somente se

                  ∞

                  (i) ψ = ψ , para alguma ψ (N ); ◦ π ∈ C

                  2

                  = ψ o (ii) h , ie h , i;

                  2

                  2

                  2 (iii) ψ = ρ .

                  · ρ s˜ao

                  Em outras palavras, as equa¸c˜oes dos itens (ii) e (iii) implicam que, h , i e h , ie conformes se, e somente se,

                  1

                  1 = , h , ie h , i

                  2

                  ρ ˜ ρ ou seja, f e g induzem a mesma m´etrica e esta ´e a m´etrica do plano hiperb´olico. Neste

                  2

                  2

                  2

                  ´e ψ = ψ com ψ = ˜ ρ /ρ . Vamos caso, o fator conforme entre as m´etricas h , i e h , ie ◦ π destacar este resultado s N n N

                  −s −m

                  Proposi¸ c˜ ao 6.4.1. Sejam f , g : N e l : L imers˜oes isom´etricas, n s n n N → R → S

                  −s

                  M = N e f, g : M dadas por × L → R f = ψ

                  (6.15)

                  1

                  1 ◦ (f × l) e g = ψ ◦ (g × l).

                  Ent˜ao f e g s˜ao conformes e tem a mesma aplica¸c˜ao de Gauss se, e somente se, f e g tem a mesma aplica¸c˜ao de Gauss e induzem a mesma m´etrica, a m´etrica do plano m hiperb´olico em R .

                  Vamos agora aos exemplos, destacados cada um em uma proposi¸c˜ao. O primeiro deles ´e consequˆencia direta das Proposi¸c˜oes

                  m n N

                  58

                  2 −2 −m

                  Proposi¸ c˜ ao 6.4.2. Sejam f , g : N superf´ıcies m´ınimas e l : L uma → R → S + n s n −s n N imers˜ao isom´etrica qualquer. Sejam ainda M = N e f, g : M dadas por

                  × L → R f = ψ

                  1

                  1 ◦ (f × l) e g = ψ ◦ (g × l).

                  As imers˜oes f e g s˜ao conformes com a mesma aplica¸c˜ao de Gauss se, e somente se, quando f ´e parametrizada em coordenadas isot´ermicas por f = (a , . . . , a m , a) e A =

                  1 −1

                  Z

                  1 a + i˜ a ´e holomorfa tem-se g (f ) z dz. = −

                2 A Observa¸ c˜ ao 6.4.3.

                  Quando f (e consequentemente g ) ´e totalmente geod´esica, f (M ) ou ´e um subconjunto aberto do cilindro sobre l ou ´e um produto de uma reta com um m

                  2

                  cone sobre l, dependendo de f (N ) ser ou n˜ao paralela ao bordo de R . Ademais, a n menos de transla¸c˜ao tem-se g(M ) = f (M ), pois as folhas da folhea¸c˜ao produto de M correspondentes ao primeiro fator (superf´ıcie m´ınima) s˜ao folhas da nulidade relativa n dado por tanto de f quanto de g e g = f ◦ φ, sendo φ o difeomorfismo conforme de M

                  2

                  φ(x, y) = (h(x), y), onde h ´e, de acordo com a Observa¸c˜ao a restri¸c˜ao a N de uma

                  2

                  2 isometria de R ou H , respectivamente. c

                  O segundo exemplo ´e obtido quando descobrimos qual a condi¸c˜ao que duas cur- vas regulares do plano hiperb´olico devem satisfazer para induzirem a m´etrica do plano hiperb´olico nos intervalos e terem a mesma aplica¸c˜ao de Gauss. m n N

                  −1 −m

                  Proposi¸ c˜ ao 6.4.4. duas curvas regulares e l : L uma Sejam β, γ : I → R → S + n n −1 n N imers˜ao isom´etrica qualquer. Sejam ainda M e f, g : M dadas por

                  = I × L → R f = ψ

                  1

                  1 ◦ (f × l) e g = ψ ◦ (g × l).

                  Ent˜ao f e g s˜ao conformes com a mesma aplica¸c˜ao de Gauss se, e somente se, existe uma constante C &gt; 0 tal que Z

                  ′

                  β (τ ) dτ. (6.16) γ = −C

                  2

                  β (τ ) m Prova:

                  Pela Proposi¸c˜ao precisamos mostrar apenas que f e g tem a mesma aplica¸c˜ao de Gauss e induzem a m´etrica do plano hiperb´olico. Dizer que as curvas regulares γ e β tem a mesma aplica¸c˜ao de Gauss significa que seus campos velocidade tem a mesma

                  

                ∞ ′ ′

                  (I) tal que γ (s) = λ(s)β dire¸c˜ao, isto ´e, existe λ ∈ C (s), ∀s ∈ I. Por outro lado, m dizer que f e g induzem a m´etrica do plano hiperb´olico sobre R ´e o mesmo que dizer

                • que β e γ, vistas como curvas no modelo semi-espa¸co do plano hiperb´olico, admitem parametriza¸c˜ao comum pelo comprimento de arco, ou seja,

                  ′ ′

                  kβ (s)k kγ (s)k = .

                  β m (s) γ m (s)

                  59 Portanto, ou λ(s) = γ(s)/β m m (s). A primeira equa¸c˜ao implica na (s) ou λ(s) = −γ(s)/β m

                  . J´a a segunda equa¸c˜ao solu¸c˜ao trivial γ = Cβ + v, em que C &gt; 0 ´e constante e v ∈ R assume a forma

                  ′ ′

                  γ (s) β (s) m m .

                  = − γ m (s) β m (s)

                  2 Logo γ m = C/β m m e com C &gt; 0 constante. Assim, λ = −C/β

                  Z

                  ′

                  β (τ ) dτ. γ = −C

                  2

                  β (τ ) m Observa¸ c˜ ao 6.4.5.

                  Se m = 1 e β, γ : I → R est˜ao relacionadas por , ent˜ao n N n n

                  −1

                  γ = C/β. Neste caso, f, g : M dadas por com M s˜ao cones → R = I × L que diferem por uma invers˜ao com respeito a esfera centrada no v´ertice comum.

                6.5 O produto warped triplo

                  Na ´ ultima se¸c˜ao deste cap´ıtulo apresentamos mais um exemplo de imers˜oes con- formes com a mesma aplica¸c˜ao de Gauss, constru´ıdo em com aux´ılio do produto warped de imers˜oes. Para este exemplo utilizaremos a seguinte representa¸c˜ao produto N warped para R , m m 1 m 2 N S S

                  ψ : R x x m

                  2 ∗ × m−1 × → R

                  (X, Y

                  1 , Y 2 ) 1 , . . . , x m −2 , x m −1 Y 1 , x m Y 2 ), m 7→ (x em que N = m + m + m e R , . . . , x m ) : x m , x m

                  1

                  2 1 −1 ∗ = {(x &gt; 0}. m s 1 m 1

                2 Proposi¸ c˜ ao 6.5.1. Sejam f , g : N superf´ıcies m´ınimas, l : L e

                  1 s 2 m 2

                  → R ∗ n 1 → S s 1 2 2 s l : L imers˜oes isom´etricas quaisquer. Sejam ainda M = N e

                  2 2 → S n N

                  × L

                  1 × L

                  2

                  f, g : M dadas por → R f = ψ ) e g = ψ )). (6.17)

                  2

                  1

                  2

                  2

                  1

                  2

                  ◦ (f × l × l ◦ (g × l × (−l Ent˜ao as imers˜oes f e g s˜ao conformes e tem a mesma aplica¸c˜ao de Gauss se, e somente se, f e g satisfazem as seguintes condi¸c˜oes:

                  (i) Se f ´e parametrizada por coordenadas isot´ermicas f = (a

                  1 , . . . , a m −2 , a, ˜

                  a) com

                  a, ˜ a &gt; 0, ent˜ao a fun¸c˜ao A = a+i˜ a ´e holomorfa. Ademais, se g = (β , . . . , β m , β, ˜ β)

                  1 −2

                  com β, ˜ β ´e holomorfa;

                  β &gt; 0, s˜ao coordenadas isot´ermicas ent˜ao A = β + i ˜ m = (ii) Se R denota a reflex˜ao com respeito ao hiperplano ortogonal a e , ent˜ao R ◦ g

                  (β

                  1 , . . . , β m −2 β) se relaciona com f , β, − ˜ por em particular, A = 1/A.

                  60 Prova: Observe que f e g tem a mesma aplica¸c˜ao de Gauss se, e somente se f e R ◦ g tem a mesma aplica¸c˜ao de Gauss. Se as m´etricas h , i e h , ie induzidas por f e g s˜ao, respectivamente,

                  2

                  2

                  2

                  2

                • ρ + ρ + ˜ ρ + ˜ ρ , (6.18)

                  1

                  2

                  1

                  2

                  h , i

                  1 h , i 2 h , i e h , ie h , i 2 h , i

                  2

                  s˜ao m´etricas em N induzidas por f e g

                  1

                  em que h , i e h , ie s 1 s 2 , respectivamente, h , i ´e a m´etrica em L induzida por l ´e a m´etrica em L induzida por l , e as duas

                  1

                  2

                  2 1 , h , i

                  2

                  ´ ultimas coordenadas das fun¸c˜oes f e g s˜ao dadas por ρ

                  1 = x m −1 e ρ 2 = x m , ˜ ρ 1 =

                  ◦ f ◦ f

                  ∞

                  2

                  x , ˜ ρ = x m −1

                  2 m

                  ◦ g ◦ g , respectivamente. Assim, existe ψ ∈ C (M ) tal que h , ie = ψ h , i se, e somente se

                  ∞

                  (i) ψ = ψ , para alguma ψ (N ); ◦ π ∈ C

                  2

                  = ψ o (ii) h , ie h , i;

                  2

                  2

                  2

                  (iii) ψ = ˜ ρ · ρ i i , 1 ≤ i ≤ 2. Portanto, se f ´e parametrizada em coordenadas isot´ermicas (u, v) por f = (a , . . . , a m )

                  1

                  ent˜ao (u, v) s˜ao tamb´em coordenadas isot´ermicas para g e ψ ) z = e (f ) z (6.19)

                  (R ◦ g para alguma fun¸c˜ao holomorfa ψ = ϕ+iθ. Se chamarmos momentaneamente a = a , b = ψ m −1 a m , β = β m e γ = β m , ent˜ao por e pelo item (iii) temos β z = e a z , ea = ψ ϕ −1 β e γ z b z , e b = γ. Procedendo como na Proposi¸c˜ao conclu´ımos das duas

                  = −e ψ

                  2 ψ

                  2

                  primeiras equa¸c˜oes que e = 1/A e das duas ´ ultimas que e , sendo A = a + i˜ a = −1/B

                  2

                  2

                  e B = b + i˜b holomorfas. Logo, A , ou seja, b = ˜ a.

                  = −B Cap´ıtulo 7 Caracteriza¸ c˜ ao das imers˜ oes

                conformes com a mesma aplica¸ c˜ ao de

                Gauss

                  Neste cap´ıtulo conclu´ımos a caracteriza¸c˜ao de todos os pares de imers˜oes confor- mes com a mesma aplica¸c˜ao de Gauss. Como o problema j´a foi resolvido para o caso das superf´ıcies no Cap´ıtulo 4 (Teorema e a vers˜ao isom´etrica j´a tinha sido resolvida por Dajczer e Gromoll em , o problema se restringe agora a determinar os pares de n N imers˜oes f, g : M

                  → R , com n ≥ 3 tais que f e g s˜ao conformes, n˜ao isom´etricas, com a mesma aplica¸c˜ao de Gauss. Para resolver esse problema necessitamos estudar a decomposi¸c˜ao veremos algumas propriedades desses subfibrados, pensando em utilizar os Teoremas de Hiepko e N¨olker, trabalhados no Cap´ıtulo 5, para determinar uma estrutura de produto warped para a variedade M e para a imers˜ao f.

                  De posse das propriedades dos subfibrados, enunciaremos e provaremos o resul- tado principal deste trabalho (Teorema que tamb´em ´e o resultado principal de . Segundo esse resultado, duas imers˜oes de uma variedade n-dimensional (n ≥ 3) N em R tem a mesma aplica¸c˜ao de Gauss se, e somente se, s˜ao como os exemplos apresen- tados no Cap´ıtulo 6. No final desse cap´ıtulo, o leitor poder´a consultar um diagrama que esquematiza a prova do Teorema Principal.

                  7.1 Propriedades dos subfibrados de T M ⊗ C

                  Antes de passarmos `as propriedades dos subfibrados, apresentamos a seguir um resultado ´ util. Ele fornece uma condi¸c˜ao para garantir que um subfibrado umb´ılico ´e

                  62 esf´erico.

                  Proposi¸ c˜ ao 7.1.1.

                  Seja E um subfibrado umb´ılico de T M tal que rank(E) ≥ 2. Se (7.1)

                  R(X, Y )Z ∈ E, ∀X, Y, Z ∈ E, n N ent˜ao E ´e esf´erico. Ademais, se f : M ´e uma imers˜ao isom´etrica tal que → R

                  ⊥ α f (E, E ) = 0, ent˜ao vale

                  Prova: Como rank(E) ≥ 2, podemos tomar X, Y ∈ E ortonormais e, como o subfibrado

                  E ´e umb´ılico, temos X ⊥ X = Y Y .

                  ∇ ∇ = η ∈ E E E ⊥ ⊥ Y ⊥ ⊥ , temos

                  Queremos mostrar que h∇ η, Zi = 0, ∀Y ∈ E, ∀Z ∈ E . Se Z ∈ E Y Y X Y h∇ η, Zi = Y hη, Zi − hη, ∇ Zi = Y h∇ X, Zi − hη, ∇ Zi Y X X Y Y (7.2) = h∇ ∇ X, Zi + h∇ X, ∇ Zi − hη, ∇ Zi.

                  ⊥ Como, por hip´otese, R(X, Y )W ∈ E, ∀X, Y, W ∈ E, ∀Z ∈ E , temos hR(Y, X)X, Zi = 0.

                  Logo, como Y X X Y [Y,X] X, R(Y, X)X = ∇ ∇ X − ∇ ∇ X − ∇ temos Y X X Y [Y,X] (7.3) h∇ ∇ X, Zi = h∇ ∇ X, Zi + h∇ X, Zi

                  Como E ´e umb´ılico e X ⊥ Y temos Y

                  X Y ∇ = hX, Y iη = 0, E X Y ou seja, ∇ X ∈ E. Usando mais uma vez a umbilicidade de E, obtemos h∇ ∇ X, Zi = Y hX, ∇ Xihη, Zi = 0, pois kXk = 1. Al´em disso, como E ´e involutivo (lembre que E ´e umb´ılico e veja a Proposi¸c˜ao , dados X, Y ∈ E, temos [Y, X] ∈ E. Ent˜ao

                  [Y,X] Y X

                  h∇ X, Zi = h[Y, X], Xihη, Zi = h∇ X, Xihη, Zi − h∇ Y, Xihη, Zi X (7.4) = h∇ X, Y ihη, Zi.

                  Logo Y X X (7.5) h∇ ∇ X, Zi = h∇ X, Y ihη, Zi.

                  Por outro lado, X Y X Y Z X Y Z h∇ X, ∇ Zi = h∇ X, ∇ i + h∇ X, ∇ i E E Y Z X, Z (7.6) X Y = hη, ∇ ⊥ i + h∇ ∇ i. E E

                  Y Z Y

                  63 Observe que ∇ = h∇ Z, Y iY. De fato, seja E i i j i , W i {W ∈ E : hW i = hW , Y i = 0, i 6= j} tal que {Y } ∪ {W ∈ E} gera E. Ent˜ao Y Z = aY + b i W i ,

                  X ∇ E i Y Z Y i Y Z , W i Y Z, W i , ⊥ com a = h ∇ , Y i = h∇ Z, Y i e b = h ∇ i = h∇ i. Como Z ∈ E i i Y Z, W i Y W i E E temos hZ, W i = 0 e, consequentemente, b = h∇ i = −hZ, ∇ i. Usando a umbi- licidade de E, temos b W i Y i i Y Z em , tem-se = −hZ, ∇ i = −hY, W ihη, Zi = 0. Dessa forma, substituindo

                  ∇ X Y Y Y E X Y Y X h∇ X, ∇ Zi = hη, ∇ Zi + h∇ Z, Y ih∇ X, Y i = hη, ∇ Zi − hZ, ∇ Y ih∇ X, Y i Y X (7.7) = hη, ∇ Zi − hZ, ηih∇ X, Y i.

                  Substituindo conclu´ımos que E ´e esf´erico.

                  ⊥ ⊥

                  Se α (E, E f ,

                  ) = 0, aplicando a equa¸c˜ao de Gauss a X, Y ∈ E e U ∈ E

                  ⊥

                  temos temos R(X, Y )U = 0. Dessa forma dados X, Y, W ∈ E e U ∈ E 0 = hR(X, Y )U, W i = −hR(X, Y )W, Ui e, como U ´e qualquer, conclu´ımos que R(X, Y )W ∈ E, ∀X, Y, W ∈ E.

                  O pr´oximo resultado, relaciona subfibrados totalmente geod´esicos de T M e inva- riantes por T com o gradiente do fator conforme. Lema 7.1.2. Se L ´e um subfibrado vetorial de T M que ´e totalmente geod´esico e invariante por T, ent˜ao ∇ϕ ∈ L. Em particular, se a distribui¸c˜ao de nulidade relativa ´e n˜ao trivial, tem-se ∇ϕ ∈ ∆. Prova:

                  Pelo Lema de Vergasta , aplicado a X ∈ L, temos X X ∇ T X − T ∇ X = hX, ∇ϕiT X − T ∇ϕ X X X + X(ϕ)T X

                  T ∇ϕ = −∇ T X + T ∇ t X X X(ϕ)X, (7.8) ∇ϕ = −T ∇ T X + ∇ pois T ´e ortogonal. Observe agora que X, T X ∈ L, pois L ´e invariante por T. Como X X X L ´e totalmente geod´esico, temos ∇ X, ∇ T X ∈ L. Finalmente, como ∇ T X ∈ L e t

                  L ´e invariante por T, conclu´ımos que T X X T X tamb´em ´e t ∇ T X ∈ L, pois nesse caso ∇

                  −1

                  invariante por T = T . Dessa forma ∇ϕ ∈ L. Como ∆ ´e totalmente geod´esica, resta ver f que esta ´e invariante por T. De fato, se X ∈ ∆, temos α (X, Y ) = 0, ∀Y ∈ T M, como T comuta com a segunda forma, temos

                  α f (T X, Y ) = α f (X, T Y ) = 0,

                  64 o que nos leva a concluir que para qualquer X ∈ ∆, temos T X ∈ ∆.

                  Veremos agora algumas propriedades dos subfibrados L , L , L c e dos seus res-

                  pectivos complementos ortogonais. Lembramos que n˜ao estamos interessados em casos triviais, e por isso supomos sempre que ∇ϕ 6= 0. Lema 7.1.3.

                  Os subfibrados L e L − da decomposi¸c˜ao satisfazem as seguintes + propriedades:

                  ⊥ ⊥

                  (i) L e L − s˜ao umb´ılicos com curvaturas normais m´edias η e η − , respec-

                  ∈ L ∈ L tivamente, satisfazendo + (7.9)

                • L

                  (T − I)η = T (∇ϕ) e (T + I)η − ; (7.10) L

                  = T (∇ϕ) (ii) Se rank(L

                  (respectivamente L )

                • − −
                • ⊥ ⊥

                  ) ≥ 2 (respectivamente rank(L ) ≥ 2) ent˜ao L

                  ); ´e esf´erico e ∇ϕ ∈ L (respectivamente ∇ϕ ∈ L − +

                  (iii) L (respectivamente L − (res-

                  ) ´e totalmente geod´esico se, e somente se, ∇ϕ ∈ L

                  );

                  −

                  pectivamente ∇ϕ ∈ L Prova: Tendo em vista a Observa¸c˜ao pode ser obtida usando um procedi-

                • mento an´alogo ao que ser´a feito no item (i).

                  um campo unit´ario. Pelo Lema de Vergasta , temos X X Y (i) Seja Y ∈ L

                • ∇ Y − T ∇ = Y (ϕ)T X − hX, Y iT ∇ϕ, ou seja,
                • X Y (7.11) (T − I)∇ = hX, Y iT ∇ϕ − Y (ϕ)T X. X , logo o lado direito de tamb´em est´a nesse

                    Note que (T − I)∇ Y ∈ L + subfibrado. Observe que se rank(L ) = 1, claramente L ´e umb´ılico e, tomando + +

                    ⊥

                    . Dessa X = Y em , conclu´ımos que X(ϕ) = 0, ou equivalentemente, ∇ϕ ∈ L + X X = η ´e unit´ario), a equa¸c˜ao segue

                    forma, lembrando que ∇ (pois X ∈ L facilmente. Se rank(L ortogonal a Y, obtemos de

                    ) ≥ 2, tomando X ∈ L

                    ⊥ X Y = 0, ou

                    que Y (ϕ) = 0, ou equivalentemente, ∇ϕ ∈ L . Dessa forma (T − I)∇ + equivalentemente, Y X .

                  • + L

                    ∇ = 0 = hX, Y iη

                  • Logo L ´e umb´ıl

                    Y

                    65 X = 0. Dessa forma η = 0 e,

                  • + L

                    (ii) Como vimos no item anterior, neste caso, ∇

                  • portanto, L ´e esf´erico.
                  • (iii) Como, L ´e invariante por T, segue do Lema que se L ´e totalmente geod´esico + +

                    , ent˜ao a partir de ent˜ao ∇ϕ ∈ L . Para rec´ıproca, observe que se ∇ϕ ∈ L

                    conclu´ımos que η . Logo η = 0. Observe que, nesse caso,

                    ∈ L ∩ L X Y + E ∇ = hX, Y iη = 0, ∀X, Y ∈ E,

                  • pois L X ´e totalmente geod´esico.

                    ´e umb´ılico. Logo ∇ Y ∈ E, ∀X, Y ∈ E ou seja, L

                    ⊥ ⊥

                    Lema 7.1.4. Seja L um dos subfibrados L , L , L , L . Ent˜ao, L ´e totalmente geod´esico

                  • c
                  • c se, e somente se, ∇ϕ ∈ L.

                    Prova: A primeira parte j´a foi provada no Lema pois estes fibrados s˜ao invariantes por T. Para provarmos a rec´ıproca precisamos analisar caso a caso. Como a Proposi¸c˜ao anterior j´a mostrou o caso L = L e L = L , tendo em mente a Observa¸c˜ao

                    restam-nos os seguintes casos:

                    ⊥ ⊥ ⊥ (i) L = L . Queremos mostrar que dados W , W = L W W .

                    1 2 c − + c 1 2 c

                    ∈ L ⊕L , temos ∇ ∈ L Nesse caso W = X + Y e W = X + Y com X , X e Y , Y , portanto

                    1

                    1 W 1 W

                    1

                    2

                    2

                    2

                    1

                    2

                  • 2
                  • X 1 X

                      1 2 −

                      ∈ L ∈ L

                      2 X 1 Y

                      2 Y 1 X

                      2 Y 1 Y 2 (7.12)

                      ∇ = ∇ + ∇ + ∇ + ∇

                      ⊥

                      = L , das equa¸c˜oes , temos que c ⊕ L + − Observe que se ∇ϕ ∈ L

                      ) L ) L

                    • L + c

                      (T − I)(η − + (T − I)(η = T (∇ϕ) − e (T + I)(η ) L + (T + I)(η ) L c L , + +

                      

                    − −

                      = T (∇ϕ)

                      ⊥ ⊥

                      pois η e η . Logo η = 0 = η X 1 X

                      − − + +

                      2

                      ∈ L ∈ L . Dessa forma, ∇ ∈

                      − + L c L c

                      L

                    • 1 , X

                    2 Y

                      1 Y 2 − 1 , Y 2 − . Al´em disso, o Lema de Vergasta

                      , ∀X ∈ L e ∇ ∈ L , ∀Y ∈ L Y X . Portanto, L ´e totalmente ⊥ ⊥ c c − implica em ∇ X, ∇ Y ∈ L , ∀X ∈ L , Y ∈ L

                    • geod´esico.

                      ⊥ ⊥ ⊥

                      (ii) L = L na equa¸c˜ao obtemos . Se ∇ϕ ∈ L , tomando X ∈ L + + + X Y = 0,

                      (T − I)∇

                      ⊥ X , temos

                      ou seja, ∇ Y ∈ L . De maneira que dado Z ∈ L +

                    • X
                    • X , 0 = h∇ Y, Zi = −hY, ∇ Zi, ∀Y &is
                    • X .

                      ⊥ ⊥

                      ou seja, ∇ Z ∈ L , ∀X, Z ∈ L + +

                      66

                      ⊥ ⊥

                      (iii) L = L c . Basta observar que L = L c = L e usar que intersec¸c˜ao de fibrados ∩ L − + totalmente geod´esicos ´e um fibrado totalmente geod´esico.

                      Lema 7.1.5.

                      O subfibrado L c da decomposi¸c˜ao satisfaz as seguintes propriedades:

                      ⊥ ¯

                      (i) Um autovalor λ de T ´e constante em B λ = E λ λ ; λ ⊕ E se, e somente se, ∇ϕ ∈ B

                      (ii) Se B λ λ ; ∆ ⊗ C ent˜ao o autovalor λ de T ´e constante em B

                      (iii) Se rank(L c ) ≥ 4 ent˜ao um autovalor µ de T pode deixar de ser constante apenas em B µ . Ademais, isso s´o pode ocorrer se µ tem multiplicidade 1 e B µ

                      = ∆ ⊗ C;

                      ⊥

                      (iv) Se rank(L c c ; c ) ≥ 4 e ou ∆ ∩ L = {0} ou rank∆ ≥ 3 ent˜ao ∇ϕ ∈ L

                      ⊥

                      (v) Se rank(L c c ; c ) = 2, rank∆ ≥ 3 e L ⊂ ∆ ent˜ao ∇ϕ ∈ L c ent˜ao n = 2.

                      (vi) Se T M ⊗ C = L Prova:

                      o

                      (i) Procedendo como no 3 caso da demonstra¸c˜ao do Teorema obtemos a equa¸c˜ao , renumerada a seguir

                      ¯ λZ(λ) = Z(ϕ). (7.13)

                      Aplicando a conjuga¸c˜ao `a ´ ultima equa¸c˜ao, obtemos ¯

                      Z(ϕ) = λ ¯ Z(¯ Z(λ). (7.14) λ) = −¯λ ¯

                      De decorre que Z(λ) = ¯ Z(λ) = 0 se, e somente se, h∇ϕ, Zi = h∇ϕ, ¯ Zi = 0.

                      ⊥ Ou seja, λ ´e constante em B λ . λ

                      , se, e somente se, ∇ϕ ∈ B λ ) = 2 e B λ (ii) Nesse caso, rank(∆) ≥ 3, pois rank(B ∆ ⊗ C. Como mostramos no Lema ∆ ´e invariantes por T. Assim, se σ ´e uma folha de ∆, ent˜ao T (σ) ⊂ σ. k N

                      Al´em disso, como ∆ ´e totalmente geod´esica, σ ´e um R , pois toda geod´esica N N k N ⊂ R em σ ´e geod´esica em R σ ´e uma aplica¸c˜ao de R em R e . Logo f | : σ → R ϕ podemos aplicar a Proposi¸c˜ao Conclu´ımos assim que e T ´e a derivada da

                      | ∆

                      transforma¸c˜ao conforme φ de σ. Pelo Teorema de Liouville φ ´e uma composi¸c˜ao de invers˜ao com aplica¸c˜ao de semelhan¸ca, assim T tem autovalores constantes em ∆ ⊗ C. Em particular, λ ´e constante.

                      67 (iii) Como rank(L c λ

                      ) ≥ 4, ent˜ao existem pelo menos dois blocos complexos, digamos B e B µ µ , obtemos

                    • X
                    • X

                        . Seja W ∈ E . Tomando o produto interno de com X ∈ L hT ∇ W, Xi − µh∇ W, Xi = X(µ)hW, Xi − W (ϕ)hX, Xi e da´ı

                        X(µ) = 0. (7.15) , obtemos

                        −

                        Analogamente, tomando o produto interno de com Y ∈ L Y (µ) = 0. (7.16)

                        Assim, µ ´e constante em L e L , para concluir a primeira parte resta mostrar que

                        − + µ ´e constante nos blocos B λ λ µ .

                        ¯

                        com µ 6= λ. Seja Z ∈ E tal que hZ, W i = 0 se Z ∈ E Ent˜ao, tomando o produto interno de por ¯ W , obtemos Z Z W, ¯ W, ¯ hT ∇ W i − µh∇ W i = Z(µ)hW, ¯ W i − λW (ϕ)hZ, ¯ W i + 0 (7.17)

                        (7.18) Z(µ)hW, ¯ W i = 0 λ

                        Como hW, ¯ W i 6= 0, conclu´ımos que Z(µ) = 0, ∀Z ∈ E , λ 6∈ {µ, ¯µ}. Dessa forma, µ pode n˜ao ser constante apenas em B µ . Observe que isto s´o pode ocorrer se µ for raiz simples (isto ´e, tem multiplicidade 1). De fato, como rank(L c

                        ) ≥ 4 e temos pelo menos dois blocos B µ e B λ iguais, conclu´ımos que µ ´e constante em B λ (pelo item (i)) e λ ´e constante em B µ . Mas, como os blocos s˜ao iguais, temos λ = µ. Logo se µ tem multiplicidade maior que 1, ent˜ao µ ´e constante em B µ .

                        Vejamos agora que, se rank(L c µ µ . Para ) ≥ 4 e B 6⊂ ∆ ⊗ C ent˜ao µ ´e constante em B λ µ . Como, pelo isso, sejam λ um autovalor de T com λ 6∈ {µ, ¯µ}, Z ∈ E e W ∈ E

                        ⊥

                        pelo item (ii) da Proposi¸c˜ao para obter ¯

                        ¯ ¯

                        α f Z Z, W ) + α f ( ¯ Z W ) = α f Z Z, W ) + α f Z W ). (7.19) (∇ Z, ∇ (∇ (Z, ∇

                        ⊥

                        Utilizando que α (E, E ) = 0 e lembrando que rank(E ) = rank(E ) = 1, temos f λ λ ¯ ¯ ¯

                        α Z, W ) = α Z) , W ) = α Z, ¯ f Z f Z E µ f Z (∇ ((∇ (h∇ W iW, W ) Z Z, ¯ f (W, W ), (7.20) ¯

                        = h∇ W iα α f ( ¯ Z W ) = α f ( ¯ Z W ) E ¯ ) = α f ( ¯ Z Z)

                        Z, ∇ Z, (∇ λ Z, h∇ W, Zi ¯ Z f ( ¯ Z, ¯ Z), (7.21) = −hW, ∇ Ziα

                        α ¯ Z, W ) = α ¯ Z) , W ) = α ¯ Z, ¯ f Z f Z E µ f Z (∇ ((∇ (h∇ W iW, W ) Z ¯ Z, ¯ f (W, W ), (7.22)

                        = h∇ W iα

                        68 e α f

                        ¯ Z

                        (λ − µ)h∇ Z ¯ Z, W i = λW (ϕ).

                        (7.31) Mas, tomando o produto interno de por ¯ Z, obtemos hT ∇ Z W, ¯ Zi − µh∇ Z W, ¯ Zi = −λW (ϕ)hZ, ¯ Zi, ou seja,

                        (W, W ) 6= 0, pois B µ 6⊂ ∆ ⊗ C, temos h[Z, ¯ Z], ¯ W i = 0.

                        (7.30) Como estamos supondo α f

                        Z], ¯ W i = 0.

                        α f (W, W ) = 0 ou h[Z, ¯

                        ( ¯ W , ¯ W ) = 0. (7.29) Logo

                        (W, W ) = 0 (7.28) e consequentemente h[Z, ¯ Z], W iα f

                        Z], ¯ W iα f

                        (7.27) de maneira que se torna h[Z, ¯

                        ¯ Z, W i = h∇ Z Z, W i = 0,

                        ¯ Z

                        (7.26) Como λ 6∈ {µ, ¯µ}, conclu´ımos de que h∇

                        ¯ Z, W i = 0.

                        µ − λ)h∇

                        (Z, ∇

                        = −hW, ∇

                        ¯ Z

                        W ) = α f (Z, (∇

                        

                      ¯

                      Z

                        W ) E λ ) = α f (Z, h∇

                        ¯ Z

                        W, ¯ ZiZ)

                        ¯ Z

                        Trocando Z por ¯ Z no procedimento anterior, conclu´ımos que (¯

                        ¯ Ziα f (Z, Z) = 0.. (7.23)

                        Substituindo , obtemos h[Z, ¯ Z], ¯

                        W iα f (W, W ) = h∇ Z Z, W iα f ( ¯ Z, ¯ Z) − h∇ Z ¯

                        Z, W iα f (Z, Z). (7.24) Por outro lado, tomando o produto interno de por W, obtemos hT ∇ Z Z, W i − λh∇ Z Z, W i = Z(λ)hZ, W i − λZ(ϕ)hZ, W i,

                        Logo (¯

                        µ − λ)h∇ Z Z, W i = 0 (7.25)

                        (7.32)

                        69 Trocando Z por ¯ Z no procedimento anterior conclu´ımos que

                        ¯

                        (¯ Z (7.33) λ − µ)h∇ Z, W i = ¯λW (ϕ).

                        Subtraindo , obtemos Z ¯ ¯ Z (1 − µ¯λ)h∇ Z, W i − (1 − µλ)h∇ Z, W i = 0. Z Z ¯ ¯ Como por temos h∇ Z, W i = h∇ Z, W i, conclu´ımos que Z (7.34) ¯ (λ − ¯λ)h∇ Z, W i = 0. Z ¯

                        Assim, se h∇ Z, W i 6= 0, por ter´ıamos λ = ¯λ o que ´e absurdo. Logo Z ¯ (7.35) ¯ Z h∇ Z, W i = 0 = h∇ Z, W i.

                        ⊥ µ , o que pelo item (i)

                        Assim, de , conclu´ımos que ∇ϕ ∈ B implica que µ ´e constante em B µ . Dessa forma, tendo em mente o item (ii), se B µ µ somente se

                        6= ∆ ⊗ C temos µ constante. Assim µ pode n˜ao ser constante em B µ ´e raiz simples e B µ = ∆ ⊗ C.

                        (iv) Observe que se rank(L c c µ ´e tal que ) ≥ 4 e ∆ ∩ L = {0} ent˜ao todo bloco B

                        B µ µ . Assim, 6⊂ ∆ ⊗ C. Pelo item anterior, conclu´ımos que todo µ ´e constante em B

                        ⊥ c . Caso rank(L c pelo item (i), ∇ϕ ∈ L ) ≥ 4 e rank(∆) ≥ 3 devemos notar que

                        ∆ 6= {0} e proceder como na prova do item (ii), concluindo que todos os autovalores de T s˜ao constantes. Em particular, todos os autovalores complexos de T s˜ao

                        ⊥ c .

                        constantes. Novamente, pelo item (i) conclu´ımos que ∇ϕ ∈ L (v) Como rank(L c c ) = 2, rank∆ ≥ 3 e L ⊂ ∆, podemos usar a prova do item (ii). c

                        Como os autovalores de T s˜ao constantes em ∆ ⊗ C e L ⊂ ∆, conclu´ımos que todos

                        ⊥ c .

                        os autovalores complexos de T s˜ao constantes. Logo , pelo item (i), ∇ϕ ∈ L (vi) Pelo item (iv) do Lema basta mostrar que se rank(L c

                        ) ≥ 4 ent˜ao n˜ao existe um autovalor complexo de multiplicidade 1 tal que B µ = ∆⊗C, pois nesse caso todos os autovalores s˜ao constantes em seus blocos e, consequentemente na variedade. Logo

                        ⊥ pelo item (i) ∇ϕ ∈ L c . Nesse caso, conclu´ımos que ∇ϕ = 0.

                        Vamos assumir o contr´ario, isto ´e, que existe um autovalor µ que n˜ao ´e constante em B µ . Como rank(L C µ λ ) ≥ 4, sejam 0 6= W ∈ E e Z ∈ E com λ 6∈ {µ, ¯µ}. Logo

                        α f (W, W ) = 0 e α f (Z, Z) 6= 0. Repetindo o argumento para obten¸c˜ao de e

                        e Z Z Z, ¯ (7.36) h∇ Z, W i = h∇ W i = 0.

                        70 Al´em disso, como α f (Z, Z) 6= 0, pelo item (ii) temos que λ = β + iγ. Seja {X, Y } um referencial ortonormal em ∆ constante ao longo de cada folha. Segue de que o tensor de decomposi¸c˜ao C de ∆ satisfaz

                        −1

                        ¯ C X Z Z λ .

                        Z = −∇ X = hZ, ¯ Zi h∇ Z, XiZ, ∀Z ∈ E

                        −1 Z ¯ X Z = ρZ e C Y Z =

                        Chamando S = hZ, ¯ Zi ∇ Z e ρ = hS, Xi, percebemos que C νZ com ν = hS, Y i. Escrevendo S = U + iV, obtemos de que hV, W i

                        µ = . hβV − γU, W i

                        

                      2

                      Como µ¯

                        µ = 1, temos kV k = kβV − γUk . Como γ 6= 0, podemos escrever

                        2

                        2

                        (7.37) γ(kUk − kV k ) = 2βhV, Ui.

                        2

                        

                      2

                      A

                        Denotando A = hS, Si = (kUk − kV k ) − 2ihU, V i, ent˜ao implica que A/ ¯ n ´e constante em M . Portanto,

                        X(A) ¯ A = AX( ¯

                        A) (7.38) X C X Z = (C

                        

                      2

                      X C Y Z = C Y C X λ ,

                        Por outro lado, como ∇ X )Z e ∇ Z para Z ∈ E

                        2

                        2

                        2

                        obtemos X(ρ) = ρ e X(ν) = νρ. Como A = ρ + ν , temos X(A) = 2ρA. Subs-

                        2

                        tituindo essa ´ = 0. Logo ρ = ¯ ρ, isto ultima igualdade em , temos (ρ − ¯ ρ)|A|

                        ´e, hV, Xi = 0. Analogamente hV, Y i = 0. Logo V = 0, o que ´e absurdo. Logo rank(L c ) = 2 o que implica n = 2.

                        Lema 7.1.6.

                        Considere a decomposi¸c˜ao e suponha que L c 6= {0}. Nessas condi¸c˜oes,

                        L e L − satisfazem + ;

                        −

                        (i) ∇ϕ 6∈ L ∪ L

                      • (ii) Se rank(L ) = 1 e L ) = 1

                        − −

                        6⊂ ∆ (respectivamente rank(L 6⊂ ∆) ent˜ao

                        ⊥ ⊥

                        ); ∇ϕ ∈ L (respectivamente ∇ϕ ∈ L + −

                        (iii) Se L − ) = 1 e L

                        − ) = 1

                        6= {0}, rank(L ⊂ ∆ (respectivamente L 6= {0}, rank(L e L ) = 1 (respectivamente rank(L ) = 1) e L

                        − − + + −

                        ⊂ ∆) ent˜ao rank(L ⊕ L ⊂ ∆;

                        (iv) Se L c ´e totalmente geod´esico e L c ) =

                        −

                        6= {0} (respectivamente L 6= {0}) ent˜ao rank(L

                      • 2 e L (respectivamente L ) ´e esf´erico.

                        − +

                        Prova:

                        71 (i) Note que, ap´os provar o item (iii) do Lema , temos

                        ) = 1. Dado X ∈ L Z Z ¯ ¯ hT ∇ Z, Xi − ¯λh∇ Z, Xi = Z(¯λ)h ¯ Z, Xi − λ ¯ Z(ϕ)hZ, Xi + hZ, ¯ ZihT ∇ϕ, Xi Z ¯ (7.39) (1 − ¯λ)h∇ Z, Xi = hZ, ¯ ZiX(ϕ). Observe que, como hZ, ¯ Zi, X(ϕ) ∈ R e (1 − ¯λ) 6∈ R, a equa¸c˜ao implica Z ¯ h∇ Z, Xi 6∈ R. Por outro lado, como n˜ao estamos interessados no caso isom´etrico,

                        , podemos admitir que ∇ϕ 6= 0. Dessa forma, supondo por absurdo que ∇ϕ ∈ L

                      • (lembre que rank(L ) = 1). Assim, pela Proposi¸c&tild
                      • + +

                        conclu´ımos que ∇ϕ gera L

                        ⊥

                        ¯ conclu´ımos que L Z

                        ´e integr´avel. Ora, isso implica que h∇ Z, Xi ∈ R, o que + . ´e absurdo. Logo ∇ϕ 6∈ L

                      • (ii) Pela equa¸c˜ao , podemos escrever Z Z

                        (7.40) λ∇ Z − T ∇ Z = λZ(ϕ)Z − Z(λ)Z. Z Z , obtemos

                        Tomando o produto interno dessa igualdade com X ∈ L

                      • λh∇ Z, Xi − h∇ Z, Xi = 0, ou seja, Z (λ − 1)h∇ Z, Xi = 0.

                        Como λ ∈ C\R, temos Z (7.41) h∇ Z, Xi = 0.

                        ⊥

                        Pelo item (ii) da Proposi¸c˜ao na forma ¯ ¯

                        α f Z X, ¯ Z) + α f Z Z) = α f X Z, ¯ Z) + α f X Z). (7.42) (∇ (X, ∇ (∇ (Z, ∇

                        ⊥

                        Utilizando que α f (E, E ) = 0 e lembrando que rank(E λ ) = rank(E ) = 1, temos λ α f Z X, ¯ Z) = α f Z X) E , ¯ Z) = α f Z Z, ¯ Z)

                        (∇ ((∇ λ (h∇ X, Zi ¯

                        

                        z}|{ Z f ( ¯ Z, ¯ Z) = 0, (7.43) = −hX, ∇ Ziα

                        ¯ ¯ ¯ + α f Z Z) = α f Z Z) L ) = α f Z

                        (X, ∇ (X, (∇ (X, h∇ Z, XiX) Z f (X, X), (7.44) ¯ = h∇ Z, Xiα

                        α f X Z, ¯ Z) = α f X Z) E , ¯ Z) = α f X Z, ¯ Z) (∇ ((∇ λ (h∇ Z, Zi ¯ X f ( ¯ Z, ¯ Z) = 0 (7.45)

                        = h∇ Z, Ziα (7.46)

                        72 e ¯ ¯ ¯

                        α f X Z) = α f X Z) E ) = α f λ X Z, ¯ (Z, ∇ (Z, (∇ (Z, h∇ ZiZ) X Z, ¯ f (Z, Z) = 0. (7.47) ¯

                        = h∇ Ziα Substituindo , obtemos

                        ¯ α f Z (X, X)h∇ Z, Xi = 0.

                        ¯ Como rank(L ) = 1 e L f Z

                        6⊂ ∆, temos α (X, X) 6= 0, logo h∇ Z, Xi = 0. Portanto,

                        ⊥ implica X(ϕ) = 0 e, como rank(L .

                        ) = 1, temos ∇ϕ ∈ L

                        (iii) Suponhamos por absurdo que rank(L ) = 1 e L

                      • +

                        − −

                        ) ≥ 2 ou rank(L 6⊂ ∆. Observe

                        . No primeiro caso isso se justifica pelo item (ii) que, em ambos os casos, ∇ϕ ∈ L − do Lema Se mostrarmos agora

                        ⊥ ⊥ ⊥ c − + c = L , o que contradiz o item (iv),

                        que ∇ϕ ∈ L , conclu´ımos que ∇ϕ ∈ L ∩ L

                        ⊥

                        , vamos considerar dois concluindo a demonstra¸c˜ao. Para verificar que ∇ϕ ∈ L c casos

                        (a) rank(L c c ) ≥ 4. Neste caso ou ∆ ∩ L = {0} ou rank(∆) ≥ 3. Em ambos os c .

                        ⊥

                        casos, pelo item (iv) do Lema obtemos ∇ϕ ∈ L (b) rank(L c c c ) = 2. Neste caso ou ∆ ∩ L = {0} ou rank(∆) ≥ 3 e L ⊂ ∆. O primeiro caso, pelo item (ii) do Lema isso s´o λ

                        ⊥ c . No segundo pode ocorrer se ∇ϕ ∈ B , para todo bloco complexo. Logo ∇ϕ ∈ L ⊥ c .

                        caso, o item (v) do Lema fornece ∇ϕ ∈ L Dessa forma, tanto rank(L ) = 1 e L

                        − −

                        ) ≥ 2 quanto rank(L 6⊂ ∆ nos conduzem a

                      • um absurdo.

                        (iv) Vamos mostrar que n˜ao ocorre rank(L c c c ) ≥ 4. Se supusermos rank(L ) ≥ 4 e L ⊂ ∆, c . Isso contraria c ⊥ pelo item (iv) do Lema temos ∇ϕ ∈ L ∩ L c c ∇ϕ 6= 0. Supondo que rank(L ) ≥ 4 e L 6⊂ ∆, temos que a restri¸c˜ao de f `as folhas de L c n˜ao ´e totalmente geod´esica. Mais precisamente, se σ ´e uma folha de L c ent˜ao σ c , conclu´ımos f | n˜ao ´e totalmente geod´esica. Como, pelo Lema ∇ϕ ∈ L σ σ . A esse par de imers˜oes que g | ´e uma deforma¸c˜ao conforme n˜ao trivial de f | conformes com a mesma aplica¸c˜ao de Gauss corresponde a restri¸c˜ao de T `a folha σ como tensor ortogonal e σ como auto-fibrado complexo (isto ´e, σ ´e o subfibrado L c da decomposi¸c˜ao para o fibrado T σ ⊗ C). Logo σ ´e invariante por T e T σ ⊗ C c . Assim, pelo item (vi) do Lema s´o tem a componente complexa, isto ´e, T σ ⊗ C = L conclu´ımos que σ n˜ao pode ter dimens˜ao maior que 2. Logo rank(L c ) = 2.

                        73 Por causa do item (ii) do Lema s´o precisamos provar que L ´e esf´erico quando

                      • rank(L ) = 1. Como L c c .

                        ´e totalmente geod´esico, pelo Lema temos ∇ϕ ∈ L

                        Aplicando a campos unit´arios X ∈ L e Y ∈ L , concluiremos que 2hη , Y i = Y (ϕ) = 0 e consequentemente η . Sejam λ e ¯ λ os autovalores complexos

                      • + c

                      • λ e X unit´ario gerando L . Utilizando , obtemos X(λ) = 0 e ∈ L de T, Z &is
                      • Z(ϕ) = ¯ λZ(λ). Portanto
                      • c e que L c ´e totalmente geod´esico, (7.48) (1 − λ)hη , Zi = ¯λZ(&lamb
                      • +

                        Derivando com respeito a X, usando que ∇λ ∈ L temos X η
                      • X (1 − λ)h∇ , Zi + (1 − λ)hη , ∇ Zi = ¯λXZ(λ) = ¯λ[X, Z](&lam

                        z}|{ = ¯ X Z(λ) = ¯ X Z(λ), ¯ X Z(λ), ¯ X X η

                        λ∇ λh∇ ZiZ(λ) = (1 − λ)h∇ Zihη , ∇ Zi,

                      • portanto, h∇ , Zi = 0.
                      • 7.2 O Teorema Dajczer-Tojeiro para o caso geral

                        Essa se¸c˜ao ´e o ´apice do trabalho, pois aqui enunciamos e mostramos o Teorema principal de que ´e uma caracteriza¸c˜ao para imers˜oes conformes com a mesma aplica¸c˜ao de Gauss. Segundo essa caracteriza¸c˜ao todo par de imers˜oes conformes com a mesma aplica¸c˜ao de Gauss ´e como um dos exemplos constru´ıdos no cap´ıtulo anterior, desde que a dimens˜ao da variedade seja maior ou igual a 3 e o par n˜ao isom´etrico. Ao fim desta se¸c˜ao, apresentamos um diagrama que esquematiza a demonstra¸c˜ao. n N Teorema 7.2.1

                        (Dajczer-Tojeiro ). Sejam f, g : M → R , n ≥ 3, duas imers˜oes com a mesma aplica¸c˜ao de Gauss que induzem m´etricas conformes n˜ao isom´etricas em n

                        M . Ent˜ao ocorre uma das seguintes alternativas: n n (i) f (M ) e g(M ) s˜ao cones Kaehlerianos reais m´ınimos; n n

                        (ii) f (M ) e g(M ) s˜ao produtos warped de imers˜oes; n n (iii) f (M ) e g(M ) s˜ao produtos warped triplos de imers˜oes.

                        Prova: Analisaremos os poss´ıveis casos para a decomposi¸c˜ao do fibrado tangente em c . Nosso objetivo ´e usar as propriedades dos subfibrados para

                        −

                        T M ⊗ C = L ⊕ L ⊕ L

                      • conseguir aplicar os Teoremas de Hiepko e N¨olker, obtendo conclus˜oes sobre a estrutura da variedade M. n

                        Como M tem dimens˜ao maior ou igual que 3, temos os seguintes casos a consi- derar:

                        74 ;

                        −

                        (i) T M ⊗ C = L ou T M ⊗ C = L

                        (ii) T M ⊗ C = L ⊕ L

                      • c

                        ; (iii) T M ⊗ C = L

                      • c c

                        

                        (iv) T M ⊗ C = L ⊕ L ou T M ⊗ C = L ⊕ L c

                        −

                        (v) T M ⊗ C = L ⊕ L ⊕ L

                      • Observe que os dois casos descritos em (i) n˜ao s˜ao interessantes porque T = I ou T = −I. No segundo caso podemos supor que um dos subfibrados tem posto 1, pois se ambos tem posto maior que 2 conclu´ımos que ∇ϕ = 0 pelo item (ii) do Lema Suponhamos que rank(L ) = 1, logo rank(L

                        −

                        ) ≥ 2, pois n ≥ 3. Assim, pelo item (ii) do

                      • Lema L ´e totalmente geod´esico e

                        −

                        ´e esf´erico e ∇ϕ ∈ L podemos aplicar o Teorema de Hiepko para concluir que M = N

                        1 ρ N 2 com dim(N 1 ) = 1

                        × e dim(N

                        2

                        ) ≥ 2. Logo pelo Lema podemos aplicar o Teorema de N¨olker e concluir que f = ψ (f ρ f ) e g = ψ (g ) em que f e g s˜ao curvas regulares que, pela

                        1

                        1

                        1

                        1

                        × × g Proposi¸c˜ao . Vejamos que (iii) n˜ao ocorre. Utilizando o item (vi) do Lema descobrimos que M ´e uma superf´ıcie, isto ´e, n = 2 contradizendo a hip´otese n ≥ 3. c . Conforme a Observa¸c˜ao podemos reduzir (iv) ao caso T M ⊗ C = L ⊕ L

                      • Se rank(L

                        ) ≥ 2, pelo item (ii) do Lema conclu´ımos

                      • que L c , respectivamente. Logo, pelo Lema L c ´e totalmente

                        ´e esf´erico e ∇ϕ ∈ L

                      • geod´esico e, pelo item (iv) do Lema e os Teoremas de Hiepko e N¨olker, conclu´ımos que f = ψ (f ) e g = ψ (g )

                        1

                        1

                        1

                        1

                        × f × g em que f e g s˜ao superf´ıcies m´ınimas com a mesma aplica¸c˜ao de Gauss (orientada), m isom´etricas com respeito a m´etrica hiperb´olica de R e relacionadas como na Proposi¸c˜ao

                      • Supondo agora que rank(L ) = 1

                        ⊂ ∆, como n &gt; 3, temos duas possibilida- des: ou L = ∆ (caso rank(∆) = 1) ou rank(∆) ≥ 3 (caso rank(∆) &gt; 1). Em ambos os

                      • , na primeira alternativa porque, sendo ∆ totalmente geod´esico, podemos casos ∇ϕ ∈ L
                      • usar o Lema e na segunda porque ou rank(L c ) = 2 e L c c

                        ⊂ ∆ ou rank(L ) ≥ 4 e contradiz o rank(∆) ≥ 3 e usamos os itens (vi) ou (v) do Lema Mas ∇ϕ ∈ L

                      • item (i) do Lema Dessa forma, se rank(L ) = 1 tem-

                        6⊂ ∆. Pelo item (ii) do c

                        e, em consequˆencia do Lema Lema temos ∇ϕ ∈ L temos rank(L c ) = 2 e L ´e esf´erico. Procedendo como no caso rank(L

                        ) ≥ 2, conclu´ımos exatamente o mesmo: f, g s˜ao como no segundo exemplo da Se¸c˜ao Quanto ao item (v), precisamos analisar os poss´ıveis valores para os postos de L

                      • e L −
                      • c , rank(L − c em . Considerando isso, podemos subdividir o caso T M ⊗ C = L ⊕ L &opl

                        − −

                        (a) T M ⊗ C = L ⊕ L ⊕ L ) ≥ 2 e rank(L ) ≥ 2;

                        c , rank(L ) = rank(L ) = 1;

                        75

                      • − −

                        (b) T M ⊗ C = L ⊕ L ⊕ L c e ou rank(L ) = 1 ou rank(L ) = 1.

                        

                      − −

                      + +

                        (c) T M ⊗ C = L ⊕ L ⊕ L J´a ´e poss´ıvel resolver o caso (a). Utilizando o item (ii) do Lema conclu´ımos

                        

                      ⊥ ⊥

                      • − +

                        que L e L − c = L . Desta forma pelo Lema conclu´ımos s˜ao esf´ericos e ∇ϕ ∈ L ∩L

                        que L ´e totalmente geod´esico e consequentemente, pelo item (iv) do Lema e os Teoremas de Hiepko e N¨olker, concluindo que f e g s˜ao como o produto warped triplo descrito na Se¸c˜ao

                        De acordo com a possibilidade de L e L estarem, ou n˜ao, contidos em ∆,

                        − +

                        utilizando a Observa¸c˜ao podemos subdividir (b) em (b c , rank(L ) = rank(L ) = 1 e L , L

                        1 + − + − −

                        ) T M ⊗ C = L ⊕ L ⊕ L 6⊂ ∆;

                      • (b c , rank(L ) = rank(L ) = 1 e L

                        2 − − − + + +

                        ) T M ⊗ C = L ⊕ L ⊕ L ⊕ L ⊂ ∆; Se pensarmos em fazer o mesmo para o subitem (c), a rela¸c˜ao expressa no item (iii) do Lema nos induz uma redu¸c˜ao para o caso

                        ′

                        (c c , rank(L ) = 1, L

                        − + + + − ) T M ⊗ C = L ⊕ L ⊕ L 6⊂ ∆ e rank(L ) ≥ 2.

                        ′

                        Para os itens (b ) e (c c . No primeiro caso,

                        1

                        ) ´e poss´ıvel concluir que ∇ϕ ∈ L aplicamos o item (ii) do Lema e, para o segundo, utilizamos o item (ii) do Lema

                        ⊥ ⊥

                        = L . Assim, L ´e c c para concluir que ∇ϕ ∈ L − ∩ L

                      • totalmente geod´esico e, pelo item (iv) do Lema conclu´ımos que L e L s˜ao esf´ericos

                        − +

                        e rank(L c ) = 2. Como no caso (a), conclu´ımos que f e g s˜ao como o produto warped triplo descrito na se¸c˜ao

                        Quanto ao item (b ) mostraremos no Lema a seguir, que ele corresponde

                        2 aos cones Kaehlerianos reais m´ınimos.

                        Lema 7.2.2. c , rank(L ) = rank(L ) = 1 e L

                        − − − + + +

                        Se T M ⊗ C = L ⊕ L ⊕ L ⊕ L ⊂ ∆ θ , em que f θ ´e um membro da ent˜ao f ´e um cone Kaehleriano real m´ınimo e g = I ◦ f N com respeito ao v´ertice de f θ . fam´ılia associada de f e I ´e a invers˜ao em R Prova:

                        Dividiremos a prova desse lema em trˆes sublemas. No primeiro sublema desco-

                        ⊥

                        briremos que s´o existe um autovalor complexo para T, que L ´e totalmente geod´esico e c que existe um referencial ortonormal obedecendo certas equa¸c˜oes. No segundo sublemma utilizaremos as equa¸c˜oes do referencial obtido para concluir que f e g s˜ao cones. O ´ ultimo n sublemma ir´a nos dizer que a variedade M ´e Kaehleriana, que a imers˜ao f ´e m´ınima e que g ´e obtida pela invers˜ao de um membro da fam´ılia associada de f, ou seja, f e g s˜ao como no exemplo da Se¸c˜ao

                      • ) = rank(L
                      • ⊕ L
                      • ⊕ L

                        ⊥ − . Como ∇ϕ ∈ L, pelas

                        

                      c

                        ´e totalmente geod´esico e, pelo Lema ∇ϕ ∈ L. Caso contr´ario L ∆ e, consequentemente, rank(∆) &gt; 3 o que pelos itens (iv) e (v) do Lema implica em ∇ϕ ∈ L.

                        (ii) Para este item, faremos alguns c´alculos e concluiremos que a = Re(λ) e b = Im(λ) s˜ao determinados unicamente. Sejam X, Y campos unit´arios gerando L

                        −

                        , respectivamente. Logo η

                        ⊥

                        −

                        = ∇ Y Y ∈ L

                        equa¸c˜oes , temos (T − I)∇ X X = T ∇ϕ L e

                        −

                        (T − I)∇ Y Y = T ∇ϕ L + Somando essas equa¸c˜oes e usando que ∇ϕ ∈ L, η

                        −

                        e η

                        −

                        = ∇ Y Y ∈ L

                        1

                        2 ∇ϕ = ∇ X X + ∇ Y Y = Γ

                        1 Y + Γ

                        = ∆ ent˜ao L = L

                        Prova: (i) Se L = L

                        2 X, (7.57)

                        −

                        76 Sublema 7.2.3. Se T M ⊗ C = L

                        

                        ⊕ L c , rank(L

                        −

                        ) = 1 e L

                        −

                        ⊂ ∆, ent˜ao (i) O subfibrado L := L +

                        ⊕ L

                        ´e totalmente geod´esico e ∇ϕ ∈ L; (ii) O tensor T tem apenas um par de autovalores complexos λ, ¯ λ;

                        (7.55) S(γ) = 0. (7.56)

                        (iii) Se λ = a + ib ent˜ao existem γ : M n → R e um referencial ortonormal {R, S} em L tais que

                        T R = −aR − bS (7.49)

                        T S = −bR + aS (7.50)

                        C R = γI (7.51) C S

                        | E λ = iγI (7.52)

                        ∇ R R = 0 (7.53)S

                        S = γR (7.54) R(γ) = γ

                        2

                      • ⊕ L
                      • e L
                      • e η
                      • = ∇
                      • X X &is
                      • , obtemos
                      • = ∇
                      • X X ∈ L

                          77 √ em que Γ X Y

                          2Z =

                          1

                          2

                          = h∇ X, Y i e Γ = h∇ Y, Xi. Sejam {u, v} ortonormais tais que u + iv, logo hZ, ¯ Zi = 1 e Z u v u v u), (7.58) 2∇ Z = (∇ u − ∇ v) + i(∇ v + ∇ Z u v v u v). (7.59) ¯

                          2∇ Z = (∇ u + ∇ v) + i(∇ u − ∇ Aplicando a Z = u + iv, temos u v u v (7.60) h∇ u − ∇ v, Xi + ih∇ v + ∇ u, Xi = 0 e, analogamente u v v u (7.61) h∇ u − ∇ v, Y i + ih∇ u + ∇ v, Y i = 0.

                          Logo u u v v (7.62) ∇ = ∇ L L e u v u = 0. (7.63)

                          ∇ v + ∇ L Substituindo , X(ϕ) = 2Γ , obtemos

                          2 u v ,

                          2

                          (a − 1)h∇ u, Xi + bh∇ u, Xi = −2Γ v u (a − 1)h∇ u, Xi + bh∇ u, Xi = 0, pois Γ u v

                          2

                          ∈ R. Resolvendo esse sistema nas vari´aveis h∇ u, Xi e h∇ u, Xi e usando o fato de λ ser autovalor do tensor ortogonal T, temos u , (7.64)

                          2

                          h∇ u, Xi = Γ v Γ b

                          2 . (7.65)

                          h∇ u, Xi = a − 1 Substituindo apenas X por Y desde o in´ıcio do processo, de maneira an´aloga, en- u v contramos o seguinte sistema nas vari´aveis h∇ u, Y i e h∇ u, Y i u v ,

                          1

                          (a + 1)h∇ u, Y i + bh∇ u, Xi = 2Γ v u (a + 1)h∇ u, Y i − bh∇ u, Xi = 0, cuja solu¸c˜ao ´e u , (7.66)

                          2

                          h∇ u, Y i = Γ v Γ . (7.67) b

                          2

                          h∇ u, Y i = a + 1

                          78 De , conclu´ımos que u u (7.68) ∇ = ∇ϕ. L Como ∇ϕ ∈ L, temos

                          

                          1

                          1 z}|{ u v v u u u u (7.69) h ∇ , ∇ i = h∇ϕ, ∇ i = − h∇ϕ, ∇ vi L L L

                          2

                          2 Por outro lado, como hZ, Xi = hZ, Y i = 0, podemos concluir facilmente que

                          ⊥

                          e ent˜ao hu, Xi = hv, Xi = hu, Y i = hv, Y i = 0. Logo, u, v ∈ L u u 0 = uhv, ∇ϕi = h∇ v, ∇ϕi + hv, ∇ ∇ϕi, v v 0 = vhu, ∇ϕi = h∇ u, ∇ϕi + hu, ∇ ∇ϕi. u v u v Como 0 = [u, v](ϕ) = ∇ v(ϕ) − ∇ u(ϕ), temos h∇ v, ∇ϕi = h∇ u, ∇ϕi. Logo u v (7.70) hv, ∇ ∇ϕi = hu, ∇ ∇ϕi.

                          ⊥

                          , implicam Por outro lado, ∇ϕ ∈ L e u, v ∈ L u u v v (7.71) hv, ∇ ∇ϕi = −h∇ v, ∇ϕi e hu, ∇ ∇ϕi = −h∇ u, ∇ϕi. u v De conclu´ımos que hv, ∇ ∇ϕi = hu, ∇ ∇ϕi = 0. Assim, por , temos u u v u (7.72) h ∇ , ∇ i = 0. L L

                          2

                        2 Observe que, como a + b = 1, temos

                          b b

                          −1

                          . (7.73) = − a + 1 a − 1

                          Logo, usando , v v Γ Γ Γ . (7.74) b b −1

                          2

                          1

                          1

                          2

                          h∇ u, Xih∇ u, Y i = = −Γ a + 1 a − 1

                          Comparando , conclu´ımos que v v u u (7.75) h∇ u, Xih∇ u, Y i = −h∇ u, Xih∇ u, Y i.

                          

                        2

                          2

                          2

                          2 u v u v ,

                          Juntas , obtemos L L

                          2

                          2

                          (a + 1)Γ = 0. (7.76)

                          

                        2 + (a − 1)Γ

                          1 Da´ı

                          2

                          2

                          Γ

                          1 − Γ

                          2

                          a = Re(λ) = (7.77)

                          2

                          2

                          Γ + Γ

                          1

                          2

                          e, consequentemente, 2Γ Γ

                          1

                          2

                          . (7.78) b = Im(λ) = ±

                          2

                          2

                          Γ + Γ

                          1

                          2

                          79

                          

                          1 z}|{

                          2

                          2

                          = Γ + Γ . Defina (iii) Seja γ = k ∇ϕk

                          1

                          2

                          2

                          1

                          1 R = (Γ X + Γ Y ) (7.79)

                          2

                          1

                          ∇ϕ = 2γ γ

                          1 S = X + Γ Y ). (7.80)

                          1

                          2

                          (−Γ γ

                          Logo R e S s˜ao tais que R ⊥ S e kRk = kSk = 1. Mostremos agora que esse refe- rencial satisfaz as equa¸c˜oes desejadas, utilizando rela¸c˜oes obtidas no item anterior. Observe que, por , temos u u = v v . (7.81)

                          1 ∇ ∇ϕ = γR = ∇ L L u u u u v u

                          2 v u Como ∇ = γR, h ∇ , ∇ i = 0, rank(L) = 2 e R ⊥ S, temos ∇ L L L v u u u L tem a mesma dire¸c˜ao de S. Al´em disso, como k ∇ k = k ∇ k = kγRk = γ, L L v u temos ∇ = ±γS. Escolhendo b &gt; 0, obtemos L v u u v . (7.82)

                          ∇ = γS = − ∇ L L Logo

                          1

                          1 T R = T (Γ X + Γ Y ) = (Γ Y ), (7.83)

                          2

                          1

                          2

                          1 X − Γ

                          γ γ enquanto

                          2

                          2

                          Γ 1 2Γ Γ

                          1

                          1

                          2 1 − Γ

                          2

                          (Γ X + Γ Y ) X + Γ Y )

                          2

                          1

                          1

                          2

                          − aR − bS = − (−Γ

                          2

                          2

                          2

                          2

                          Γ + Γ γ Γ + Γ γ

                          1

                          2

                          1

                          2

                          1

                          

                        2

                          2

                          2

                          2

                          = Γ (Γ + Γ (Γ + Γ )Y

                          2

                          1

                          

                        2

                        1 )X − Γ

                          2

                          1

                          2

                          2

                          γ(Γ + Γ )

                          1

                          2

                          1 = (Γ Y )

                          (7.84)

                          2

                        1 X − Γ

                          γ Comparando ´e obtida pelo mesmo Z R tem a mesma dire¸c˜ao de Z com procedimento. Vamos agora mostrar que ∇ Z Z

                          ∇ R = −γZ. Para isso, mostraremos primeiro que ∇ R ⊥ L. Feito isso temos P P Z R = AZ + B ¯ Z + + C i W i D i W i Z ¯

                          ∇ i i . Ent˜ao verificaremos que ∇ W ⊥ R e Z ¯ ∇ W ⊥ R, ∀W, ¯ W ⊥ Z. Z Z Como kRk = 1, s´o precisamos mostrar que h∇ R, Si = 0, para ver que ∇ R ⊥ L. Z u v R e podemos utilizar e os fatos R tem a mesma Mas ∇ R = ∇ R + i∇ dire¸c˜ao de ∇ϕ e R ⊥ S para concluir que Z u v h∇ R, Si = h∇ R, Si + ih∇ R, Si = u v (7.85) = h∇ ∇ϕ, Si + ih∇ ∇ϕ, Si.

                          u S u

                          80 Como u(S(ϕ)) − S(u(ϕ)) = (∇ S)(ϕ) − (∇ u)(ϕ), conclu´ımos que h∇ ∇ϕ, Si = S hu, ∇ ∇ϕi. Mas como S, ∇ϕ ∈ L e L ´e totalmente geod´esico (pelo item (i) desse

                        S . Consequentemente

                        ⊥ Lema) temos ∇ ∇ϕ ∈ L e j´a vimos que u ∈ L S u (7.86) 0 = h∇ ∇ϕ, ui = h∇ ∇ϕ, Si e, analogamente, S v (7.87) 0 = h∇ ∇ϕ, vi = h∇ ∇ϕ, Si. Z Substituindo que Z W = 0

                          Z(λ)W + λ∇ W − T ∇ Z

                          e, tomando o produto interno dessa equa¸c˜ao por X e Y, obtemos h∇ W, Xi = Z Z Z ¯ h∇ W, Y i = 0. Logo ∇ W ⊥ R e, analogamente, ∇ W ⊥ R. Finalmente como P P

                          ¯

                        • Z Z R = AZ + B ¯ Z + C i W i D i W i com ∇ R ⊥ L, podemos escrever ∇ i i Z R, ¯ Z

                          ¯ A = h∇ Zi = −hR, ∇ Zi = −γ,

                          C i Z R, W i Z W i = h∇ i = −hR, ∇ i = 0,

                          ¯ D i Z R, ¯ W i Z W i = h∇ i = hR, ∇ i = 0.

                          Utilizando , temos Z Z B = h∇ R, Zi = −hR, ∇ Zi = 0. Z Z Conclu´ımos assim que ∇ R tem a mesma dire¸c˜ao de Z com ∇ R = −γZ, ou equivalentemente,

                          C R Z R = γZ Z = − ∇ u u v L que ´e . Como R ⊥ S temos 0 = h∇ R, Si = −hR, ∇ Si e 0 = h∇ R, Si = v Z Z Z Z ¯ ¯

                          −hR, ∇ Si e como ∇ W, ∇ W ⊥ L, temos ∇ W, ∇ W ⊥ S. Assim, exatamente Z como antes, conclu´ımos que ∇ S = −iγZ e C S Z S

                          Z = − ∇ = −iγZ L que ´e . Como R R = βS, logo kRk = 1 e L ´e totalmente geod´esico temos ∇

                          2 R R R R ∇ R R S

                          C = C C + C = C + βC , ∇ R ou seja,

                          2

                          2 R R S R

                          C Z = C + βC Z = C λ . ∇ R (γZ) + β(−iγZ) = γ Z − iβγZ, ∀Z ∈ E

                          2 R R R R R R C (C Z) = R(γ)Z. Logo β = 0 e R(γ) = γ .

                          Por outro lado, ∇ = ∇ )Z − C (∇ Concluindo assim .

                          81 Sublema 7.2.4.

                          − ) = rank(L + c , rank(L + − ) = 1 e

                          Se T M ⊗ C = L ⊕ L ⊕ L L

                        • −1

                          − ⊕ L ⊂ ∆ ent˜ao f e g s˜ao cones.

                          Prova: Para provar que f ´e um cone iremos mostrar que a aplica¸c˜ao h = f + γ f R ´e

                          ∗

                          constante. Como R ∈ ∆, temos α(R, X) = 0, ∀X ∈ T M assim

                          1

                          1 h R = f R + R( )f R + ( )f R R = 0,

                          ∗ ∗ ∗ ∗

                          ∇ γ γ por causa de . Por outro lado,

                          1

                          1 h S = f S + S( )f S + ( )f R = 0,

                          ∗ ∗ ∗ ∗ S

                          ∇ S γ γ por e de ∇ R = −γS. Para verificar a ´ultima igualdade lembremos que, como

                           S S = γ. Finalmente z}|{ hR, Si = 0 e L ´e totalmente geod´esico, temos −hS, ∇ Ri = h∇ S, Ri

                          1

                          1 h Z = f Z + Z( )f Z + ( )f Z c .

                          ∗ ∗ ∗ ∗

                          ∇ R = 0, ∀Z ∈ L γ γ

                          1

                          2 De fato, 2Z(γ ) = 2Z Z ∇ϕ

                          h∇ϕ, ∇ϕi = h∇ ∇ϕ, ∇ϕi = h∇ ∇ϕ, Zi = 0, pois L ´e to-

                          4 Z talmente geod´esico e ∇ϕ ∈ L. Logo Z(γ) = 0 e, usando que ∇ R = −γZ, por conclu´ımos que h ∗ Z = 0. n foi obtido usando somente a imers˜ao

                          Observe que o referencial {R, S} em M R, ˜

                          f. Para provar que g ´e cone vamos obter um outro referencial { ˜ S} sobre M que cor- responda `a imers˜ao g, transportando o referencial {R, S} para esse contexto com aux´ılio

                          −ϕ −ϕ

                          do tensor T. Como g e f s˜ao conformes, por temos que ˜ R = e R, ˜ γ = e γ e

                          −ϕ

                          ˜ S = e S, logo

                          ˜ ˜ ˜ ˜ Z R = ˜ γZ, ˜ ˜ R = 0 e ˜ ˜ R. ∇ ∇ R ∇ S S = −˜γ ˜

                          −1

                          ˜ g R tamb´em

                          ∗

                          Utilizando esses fatos, procedemos como antes e conclu´ımos que l = g − ˜γ ´e constante, isto ´e, g ´e um cone. Sublema 7.2.5. c , rank(L ) = rank(L ) = 1 e

                        • − −

                          Se T M ⊗ C = L ⊕ L ⊕ L n L θ , em

                          − N

                          ⊕ L ⊂ ∆ ent˜ao M ´e uma variedade Kaehleriana, f ´e m´ınima e g = I ◦ f

                        • que f θ

                          com respeito ao ´e um membro da fam´ılia associada de f e I ´e a invers˜ao em R v´ertice de f θ .

                          −1

                          ˜ Prova: g R constante,

                          ∗

                          Como conclu´ımos no sublema anterior, g ´e um cone com l = g−˜γ N digamos l = Q . ∈ R . Seja I a invers˜ao com respeito `a esfera unit´aria centrada em Q

                          Observe que I mant´em as folhas de g(M) invariantes, porque g ´e um cone. Al´em disso,

                          1 I (p) =

                          ∗

                          R,

                          2

                          kp − Q k

                          82 ). em que R ´e a reflex˜ao com respeito ao hiperplano ortogonal ao vetor posi¸c˜ao (p − Q

                          −1 2 −2

                          ˜ = ˜ γ g = ˜ γ . Logo

                          ∗

                          Como g(p) − Q R, temos kg(p) − Q k ϕ

                          2 2 −ϕ

                          2

                          ˆ ˆ ˆ = ˜ γ g f e γ f T ,

                          ∗ ∗ ∗ ∗

                          (I ◦ g) RT = ˜γ RT = e ⊥ ⊥ em que ˆ R R e ˆ R ´e definida por ˆ RR = −R e ˆ R | = I | T = RT. Agora vamos mostrar

                          = kf

                          ∗ ∗

                          que I ◦ g e f s˜ao homot´eticas, isto ´e, (I ◦ g) , k ∈ R. Para ver isso, basta mostrar

                          −ϕ

                          2

                          que e γ ´e constante em M. Ora, por

                          −ϕ

                          2 −ϕ

                          2

                          implica R(e γ γ

                          ) = 0. Al´em disso, se V ⊥ R temos V (ϕ) = 0 = V (γ). Dessa forma e ´e constante em M. Por outro lado, da defini¸c˜ao de ˆ T , por , temos

                          ˆ T (R − iS) = λ(R − iS), logo ˆ T ´e um tensor ortogonal sobre M cujos autovalores s˜ao λ e ¯ λ. Al´em disso, como f

                          T ´e paralelo. Em particular, pela e I ◦ g s˜ao homot´eticas, segue da Proposi¸c˜ao que ˆ n Proposi¸c˜ao temos que λ ´e constante em M e que ˆ E λ = N ( ˆ

                          T − λI) ´e um subfibrado paralelo de T M ⊗ C. Definido ˆ J : T M ⊗ C → T M ⊗ C por (

                          E λ ; iZ, se Z ∈ ˆ ˆ

                          JZ =

                          ¯

                          E λ −iZ, se Z ∈ ˆ e de maneira canˆonica nos subfibrados de posto um (L e L ), temos que ˆ J ´e uma

                          − +

                          estrutura quasi-complexa de T M ⊗ C, paralela com respeito `a conex˜ao Riemanniana. De

                          ¯

                          E λ E temos λ fato, se Z ∈ ˆ , W ∈ ˆ

                          2

                          ˆ J Z = ˆ J(iZ) = i ˆ

                          JZ = i · iZ = −Z e

                          2

                          ˆ J W = ˆ J(−iW ) = −i ˆ JW = (−i)(−i)W = −W.

                          2 ¯ ¯

                          Assim, ˆ J( ˆ E λ ) = ˆ E λ , ˆ J( ˆ E λ ) = ˆ E λ e ˆ J( ¯ Z) = ˆ JZ com ˆ J J ´e uma estrutura = −I, ou seja, ˆ quasi-complexa de T M ⊗ C. Como nos subfibrados de posto um este tensor ´e paralelo, resta mostrar que ´e paralelo no bloco ˆ E λ E ¯ E λ . Como ˆ E λ λ X E λ logo ˆ ⊕ ˆ . Sejam X ∈ T M ⊗ C e Z ∈ ˆ X X Z e

                          ´e um subfibrado paralelo, ∇ Z ∈ ˆ J∇ Z = i∇ X ˆ ˆ X X X X Z = 0. (∇ J)Z = ∇ JZ − ˆ J∇ Z = ∇ iZ − i∇ X E ¯ . Portanto, ˆ J ´e uma estrutura quasi-complexa ˆ λ

                          Analogamente, (∇ J)Z = 0 se Z ∈ ˆ paralela de T M ⊗ C.

                          Como ˆ J( ¯ Z) = ˆ JZ, ˆ J d´a origem a uma estrutura quasi-complexa paralela J para n Z + ¯ Z

                          M , o que torna M uma variedade Kaehleriana. Mais precisamente, se X = ∈

                          2 T M, definindo J : T M → T M por ˆ ˆ

                          JZ + ˆ J ¯ Z JZ + ˆ JZ J(X) = ˆ J(X) = =

                          ∈ T M,

                          2

                          2

                          83 temos

                          

                        2

                          2

                          ˆ ˆ J( ˆ JZ + ˆ JZ) J Z + ˆ J Z Z + ¯ Z

                        2 J (X) = = = − = −X.

                          2

                          2

                          2 n X X J = 0, de maneira que (M , J) ´e uma ˆ Tamb´em ´e poss´ıvel mostrar que ∇ J = ∇ variedade Kaehleriana.

                          Como a segunda forma fundamental de f comuta com T e ˆ T = RT, conclu´ımos que essa segunda forma tamb´em comuta com ˆ T e com J. Para verificar que α f comuta com ˆ T , basta perceber que ˆ ˆ = λI e ˆ ˆ = ¯ λI e verificar que a afirma¸c˜ao vale para

                          T | E T | E ¯ λ λ esses subfibrados. Quanto a α f comuta com J, isso decorre de α f comutar com ˆ J. Como α f comuta com J, conclu´ımos que f ´e pluriharmˆonica e, consequentemente, m´ınima. Portanto, f ´e um cone Kaehleriano real m´ınimo que ´e homot´etico a I ◦ g. Dessa forma, existe um membro f θ θ θ θ . da fam´ılia associada {f } tal que f = I ◦ g, a menos de homotetia. Logo g = I ◦ f

                          84 Apˆ endice A Apˆ endice

                          Apresentamos aqui alguns fatos sobre tensores, para mais detalhes recomendamos .

                          A.1 Tensores em Variedades Riemannianas

                          Seja V um espa¸co vetorial real de dimens˜ao finita. Uma aplica¸c˜ao k-linear com valores reais definida sobre V ´e chamada de um k-tensor covariante ou um tensor de grau

                          ∗

                          k e uma aplica¸c˜ao k-linear com valores reais definida sobre V ´e chamada de k-tensor contravariante. Um tensor misto ou tensor do tipo (k, l) ou tensor k-contravariante, l- covariante ´e uma aplica¸c˜ao multilinear

                          ∗ ∗

                          T : V × . . . V × V × V → R.

                          | {z } | {z } l fatores k fatores k Denotamos por T l (V ) o conjunto dos tensores contravariantes definidos em V, por T (V ) k o conjunto dos tensores covariantes definidos em V e por T (V ) o conjunto dos tensores l mixos do tipo (k, l). Essas s˜ao as defini¸c˜oes de tensores em espa¸cos vetoriais. ´ E poss´ıvel fazer uma descri¸c˜ao abstrata desse conceito, que parece se mostrar um pouco mais conve- niente quando queremos analisar as propriedades desses objetos. Para abord´a-la ´e preciso k l

                          (V ) primeiro definir o produto tensorial de dois tensores. Dados F ∈ T (V ) e G ∈ T k

                        • l

                          (V ) dado por definimos o tensor F ⊗ G ∈ T , . . . , X k , X k , . . . , X k ) = F (X , . . . , X k )G(X k , . . . , X k ).

                          1 +1 +l 1 +1 +l

                          F ⊗ G(X k r l s Mais geralmente, dados os tensores F ∈ T (V ) e G ∈ T (V ) definimos o tensor F ⊗ G ∈ l

                        • s

                          T (V ) dado por k

                        • r 1 k +r

                          1 k k +1 k +r , . . . ω , X , . . . , X l ) = F (ω , . . . , ω , X . . . , X l )G(ω , . . . , ω , X l . . . , X l ). 1 +s 1 +1 +s

                          F ⊗G(ω

                          86 ´

                          E poss´ıvel mostrar que todo k-tensor covariante pode ser escrito como combina¸c˜ao linear de produtos tensoriais de covetores. E utilizando a constru¸c˜ao abstrata aqui citada (que pode ser encontrada no cap´ıtulo 8 de ) podemos mostrar que

                          T l (V ) = V ⊗ . . . ⊗ V

                          | {z } l k ∗ ∗ fatores T (V ) = V

                          ⊗ . . . ⊗ V | {z } k fatores e k k

                        • 1

                          T (V ) = T (V ), l l

                        • 1 onde as igualdades acima s˜ao vistas a menos de isomorfismo.

                          Seja M uma variedade diferenci´avel, podemos utilizar os espa¸cos tangentes da variedade para construir um fibrado vetorial cujas fibras s˜ao um dos seguintes espa¸cos k k vetoriais T l (V ), T (V ) ou T (V ). Assim, um fibrado de k-tensores covariantes em uma l variedade M ´e o fibrado k k a T M = T (T p M ), p

                          

                        ∈M

                          o fibrado de k-tensores contravariantes ´e o fibrado a T l M = T l (T p M ) p ∈M e o fibrado de tensores misto do tipo (k, l) ´e o fibrado k k a T M = T (T p M ). l l p

                          

                        ∈M

                          Dizemos que qualquer um desses subfibrados ´e um fibrado tensorial de M. Um tensor sobre M ´e qualquer se¸c˜ao de um desses subfibrados. Dizemos que um tensor ´e suave se a se¸c˜ao que o define ´e suave. O seguinte Lema nos permite pensar tensores de uma maneira mais intuitiva. k Lema A.1.1.

                          M uma aplica¸c˜ao Seja M uma variedade diferenci´avel e seja σ : M → T k

                          (n˜ao necessariamente continua) tal que σ (T p p ∈ T M ) para cada p ∈ M. As seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes:

                          (i) σ ´e suave; (ii) Em qualquer carta coordenada as fun¸c˜oes componentes (ou fun¸c˜oes coordenadas) de

                          σ s˜ao suaves;

                          87 (iii) Se X , . . . , X k

                          1

                          s˜ao campos de vetores definidos em qualquer subconjunto aberto U ⊂ M, ent˜ao a fun¸c˜ao σ(X , . . . , X k )(p) = σ p (X (p), . . . , X k (p)) ´e suave.

                          1

                          1 Ent˜ao, podemos pensar um tensor como uma aplica¸c˜ao que em cada ponto ´e

                          uma aplica¸c˜ao multilinear e cujos valores s´o dependem das coordenadas dos campos no

                          ∗

                          ponto em quest˜ao. Em particular, os tensores T, φ ∈ Γ(T M ⊗ T M) identificados com φ : T M → T M e T : T M → T M aqui trabalhados, s˜ao aplica¸c˜oes que em cada ponto definem uma transforma¸c˜ao linear e o valor de φ no ponto p, por exemplo, s´o depende das coordenadas dos campos no ponto p.

                          Tensores podem ser derivados com respeito a um campo de vetores (covetores) com aux´ılio da Derivada de Lie que denotaremos por L (veja detalhes no cap´ıtulo 2 de ). Usaremos a seguinte Proposi¸c˜ao

                          ∞ Proposi¸ c˜ ao A.1.2.

                          Seja X um campo de vetores C sobre M ent˜ao

                          ∞

                          (i) L X (M ); f = X(f ) se f ∈ C (ii) L X Y = [X, Y ] se Y ∈ X(M);

                          ∗ ∗

                          (iii) L : Λ (M ) ´e uma deriva¸c˜ao que comuta com o diferencial exterior, isto X (M ) → Λ

                          ´e, L X dω = dωL X ;

                          ∗

                          (iv) Em Λ (M ), L X ω = i(X) ◦ dω + dω ◦ i(X), em que se ω ´e uma k − forma ent˜ao , . . . , X k ).

                          1 −1

                          i(X) ◦ ω ´e (k − 1)-forma dada por ω(X, X k (M ) e X j

                          (v) Sejam ω ∈ Λ ∈ X(M), 1 ≤ j ≤ k ent˜ao k

                          X L X ω(X , . . . , X k ) = L X (ω(X , . . . , X k ω(X , . . . , L X X i , . . . , X k ).

                          1

                          1

                          1

                          )) − i k =1 (M ) e X j

                          (vi) Sejam ω ∈ Λ ∈ X(M), 0 ≤ j ≤ k ent˜ao (v) temos k

                          X i dω(X , . . . , X k ) = X i ω(X, X

                          1 , . . . , ˆ

                          X i , . . . , X k i =0 (−1)

                          X i

                        • +j

                          ω([X + i , X j ], X , . . . , ˆ X i , . . . , ˆ X j , . . . , X k ). l i&lt;j (−1)

                          1 k , X i j

                          (vii) Dados T ∈ T ∈ X(M), ω ∈ Λ (M ), 1 ≤ i ≤ l e 1 ≤ j ≤ k ent˜ao L X (T )(ω

                          1 , . . . , ω k , X 1 , . . . , X l ) = X(T (ω k 1 , . . . , ω k , X 1 , . . . , X l ))

                          X T (ω , . . . , L X ω i , . . . , ω k , X , . . . , X l )

                          1

                          1

                          − i

                          =1 l

                          X T (ω

                          1 , . . . , ω k , X 1 , . . . , L X X i , . . . , X l ).

                          − j =1

                          88 Dizemos que um tensor ´e paralelo se a derivada de Lie dele ´e zero. No nosso caso, X Y X. como estamos trabalhando com variedades Riemannianas, temos [X, Y ] = ∇ Y − ∇ E trabalhamos com tensores φ do tipo (1, 1) logo a derivada de Lie ´e calculada por

                          L X X X X Y. (φ)(Y ) = (∇ φ)Y = ∇ φY − φ∇

                          Alguns livros denotam L X (φ)(Y ) por ∇φ(X, Y ) como, por exemplo, , vendo a derivada de um tensor covariante de grau 1 como um tensor covariante de grau 2.

                          Referˆ encias

                          [Cam10] CAMINHA NETO, Antonio M.. Introdu¸c˜ao `a geometria das aplica¸c˜oes harmˆonicas, S˜ao Carlos: RiMA, 2010. (XVI Escola de Geometria Diferencial ) [Dar72] Darboux G. Lecons sur la th´eorie des surfaces, Paris 1914 (Reprinted by Chelsea Pub. Co., 1972). [Daj90] DAJCZER, Marcos; et. al. Submanifolds and isometric immersions, Publish or

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                          [dC08] DO CARMO, Manfredo P. Geometria Riemanniana, Rio de Janeiro: Sociedade Brasileira de Matem´atica, 2008. (Projeto Euclides). [DG85] DAJCZER, Marcos; GROMOLL, Detlef. Real Kaehler submanifolds and unique- ness of the Gauss map, Journal Differential Geometry, n.22, p. 13 -28, 1985. [DG90] DAJCZER, Marcos; GROMOLL, Detlef. Rigidity of complete Euclidean hyper- surfaces, Journal Differential Geometry, n.31, p. 401 -416, 1990. [DR86] DAJCZER, Marcos; RODRIGUEZ, Lucio. Rigidity of Real Kaehler submanifolds, Duke Mathematical Journal, v. 53, n.1, p. 211- 220, (Mar¸co 1986), 1986. [DT10] DAJCZER, Marcos; TOJEIRO, Ruy. A complete solution of Samuel’s Problem, arXiv:1004.014v.1 [math.DS], 2010. [DV95] DAJCZER, Marcos; VERGASTA, Enaldo Silva. Conformal Hypersurfaces with the Same Gauss Map, Transactions of the American Mathematical Society, v.347, n.7, p.2437 -2450, 1995. ¨ [Ham02] BUENO, Hamilton. ´ Algebra Linear - um segundo curso, 2002.

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                          ´ Indice Remissivo

                          ´ındice superf´ıcie de rota¸c˜ao, fibrado base, aplica¸c˜ao vetorial, Distribui¸c˜ao, espa¸co total, axioma fibra, posto, proje¸c˜ao, se¸c˜ao, cone subfibrado,

                          Kaehleriano real m´ınimo, sobre a esfera, curvatura folhea¸c˜ao normal m´edia de E, fun¸c˜ao distribui¸c˜ao, twist, warping, dimens˜ao, involutiva, imers˜ao esfera extr´ınseca, espa¸co esf´erica, holomorfa, estrutura totalmente geod´esica, umb´ılica, umb´ılica em p, exemplo imers˜oes cones Kaehlerianos reais m´ınimos, com a mesma aplica¸c˜ao de Gauss, conformes,

                          Lema

                          92 de Kulkarni, de N¨olker, de N¨olker, m´etrica de Rham, warped, variedade

                          Grassmaniana, operador integr´avel, Kaehleriana, vetor produto curvatura m´edia, warped de imers˜oes, twist, referencial adaptado `a imers˜ao, representa¸c˜ao produto warped, soma de Whitney, subfibrado esf´erico, totalmente geod´esico, subvariedade

                          Kaehleriana real, Kaehleriana real pluriharmˆonica, superf´ıcie

                          3

                          isot´ermica em R , tensor de Codazzi, de decomposi¸c˜ao,

                          Teorema

                          Universidade Federal da Bahia - UFBA Instituto de Matem´atica / Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica

                          Av. Adhemar de Barros, s/n, Campus Universit´ario de Ondina, Salvador - BA CEP: 40170 -110

                          &lt;http://www.pgmat.ufba.br&gt;

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