Cálculo Diferencial e Integral, na Modalidade a Distância MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA

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PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO

PUC-SP

Antonio Fernando Silveira Alves

  

Um Estudo das Atividades Propostas em um Curso de

Licenciatura em Matemática, na Disciplina de Introdução ao

Cálculo Diferencial e Integral, na Modalidade a Distância

  

MESTRADO PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA

São Paulo

2011

  

PONTIFÍCIA UNIVERSIDADE CATÓLICA DE SÃO PAULO

PUC-SP

Antonio Fernando Silveira Alves

  

Um Estudo das Atividades Propostas em um Curso de

Licenciatura em Matemática, na Disciplina de Introdução ao

Cálculo Diferencial e Integral, na Modalidade a Distância

  Dissertação apresentada à Banca Examinadora da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, como exigência parcial para obtenção do título de MESTRE PROFISSIONAL EM ENSINO DE MATEMÁTICA, sob a orientação do Professor Doutor Armando Traldi Junior.

  

São Paulo

Banca Examinadora

  

_____________________________________________

_____________________________________________

_____________________________________________

  

Com todo meu amor, para meu pai, Oswaldo Alves

(In Memoriam) e minha mãe, Maria Lucia Arruda

Silveira Alves (In Memoriam), que foram os alicerces para a minha vida.

  À minha esposa Verusca, pelo incentivo, compreensão e amor nos momentos difíceis. A todos de minha família, em especial, minhas irmãs, Mônica, Marta e Mara, meus cunhados e

meus sobrinhos, que sempre estarão ao meu lado e

no meu coração.

  

Agradeço a Deus por ter-me dado saúde, vontade

e a oportunidade de estudar, e acima de tudo, por

ter-me dado esta família amada e maravilhosa.

A GRADECIMENTOS

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  . # & .& ( " Os meus sinceros agradecimentos.

R ESUMO

  

Este trabalho teve como objetivo de pesquisa verificar se as atividades propostas na

disciplina de Cálculo Diferencial e Integral de um curso de Licenciatura em Matemática na

modalidade EaD propiciam a utilização de diferentes estratégias de ensino, tais como:

investigação, resolução de problemas e exercícios; e verificar quais são os

questionamentos, “dúvidas” propostas pelos alunos e qual o encaminhamento dado a

esses questionamentos pelo professor da disciplina. Para a realização deste estudo,

analisamos as atividades propostas aos futuros professores, durante o desenvolvimento

da disciplina Cálculo Diferencial e Integral. Também utilizamos como documentos para

análise, as interações virtuais originadas a partir da utilização da ferramenta “Fórum de

Discussões”. Para realizar as análises, utilizamos o quadro teórico proposto por Ponte

(2003) que define quatro tipos de tarefas: i) exercícios; ii) problemas; iii) exploração; iv)

investigação. Utilizamos como metodologia a pesquisa qualitativa realizada por meio de

estudo de caso de uma Instituição de Ensino Superior da rede privada da cidade de São

Paulo. A análise dos dados revelou uma predominância das atividades do tipo exercícios

em relação às atividades de resolução de problemas e explorações. Não foram

verificadas atividades de caráter investigativo. As interações virtuais concentraram-se em

dúvidas que foram categorizadas como dúvidas tecnológicas. As dúvidas matemáticas

concentraram-se em temas relacionados ao estudo das funções polinomiais, modulares,

racionais e maior inteiro e ao estudo das funções trigonométricas, principalmente na

determinação de valores do seno e cosseno de ângulos superiores a 90º. Quanto aos

encaminhamentos dado às dúvidas pelo professor, verificamos que ocorreu um equilíbrio

entre encaminhamentos com respostas diretas e encaminhamentos com respostas que

levam ao processo investigativo. Ao final da pesquisa realizada, foi possível elaborar um

"guia" com exemplos de atividades de Cálculo Diferencial e Integral explorando as

situações de exercícios, problemas, exploração e investigações.

  

Palavras-chave: Educação a Distância. Formação de Professores de Matemática.

  Atividades de exploração. Atividades de Investigação.

A BSTRACT

  

This study had as objective to verify if the activities proposed for the subject Differential

and Integral Calculus of a Bachelor Mathematics Degree in a Distance Education Course

render the use of different learning strategies, such as investigation, problems solving and

exercises. We also aimed at verifying which are the questions and doubts sent by the

students to the teachers, as well as the reference these teachers give to these questions.

To do so, we analyzed the activities proposed to the future teachers during Differential

and Integral Calculus subject. We also used as analysis documents the virtual

interactions originated from the use of “Discussion Forum” tool. To handle the analysis,

we used Ponte (2003) theoretical model, which defines 4 kinds of tasks: i) exercises; ii)

problems; iii) exploration; iv) investigations. We used qualitative research as methodology,

carried out through the case study of a São Paulo’s private Superior Education Institution.

Data analyses revealed the prevalence of exercises activities in relation to solving

problems and exploration activities. Investigative activities were not found. We concluded

that virtual interactions were focused in doubts which were categorized as “technical

doubts”. Among the mathematical doubts we noticed that they were concentrated in

polynomial, modular, rational and greatest integer functions and the study of trigonometric

functions, especially on sine and cosine values for angles higher than 90º. In relation to

the doubts sent to the professors, we found that there was a balance between the direct

answers sent to the students’ doubts and the ones which led to an investigative process.

At the end of the performed study it was possible to create a "guide" containing examples

of Differential and Integral Calculus activities exploring the exercises situations, problems,

exploration and investigations.

  

Key words: Distance Education. Mathematics teacher’s formation. Exploration activities.

  Investigation activities.

L

ISTA DE Q UADROS

  

Quadro 1: Classificação das Tarefas – Grau de Dificuldade e Estrutura .................... 28

Quadro 2: Classificação das Tarefas – Tempo e Contextualização ........................... 28

Quadro 3: Exemplo de atividade classificada como Exercício .................................... 30

Quadro 4: Exemplo de atividade classificada como Problema ................................... 30

Quadro 5: Exemplo de atividade classificada como Exploração ................................ 34

Quadro 6: Exemplo de atividade classificada como Investigação .............................. 35

Quadro 7: Exemplo de atividade com contexto matemático ....................................... 36

Quadro 8: Exemplo de atividade com contexto real ................................................... 36

Quadro 9: Categoria de análise: Atividades propostas ............................................... 50

Quadro 10: Categoria de análise: Fórum de discussões ............................................ 50

Quadro 11: Atividade classificada como Problema ..................................................... 58

Quadro 12: Atividade classificada como Exercício ..................................................... 59

Quadro 13: Atividade classificada como Exploração .................................................. 61

Quadro 14: Resumo da classificação das atividades ................................................. 62

Quadro 15: Interações Virtuais: Dúvidas matemáticas com encaminhamento para exploração/investigação ..................................................................

  65 Quadro 16: Interações Virtuais: Dúvidas matemáticas com encaminhamento para resposta direta .................................................................................

  66 Quadro 17: Interações Virtuais: Dúvidas tecnológicas – uso do AVA ........................ 67

Quadro 18: Interações Virtuais: Dúvidas tecnológicas – uso de Softwares ................ 68

Quadro 19: Interações Virtuais: Dúvidas tecnológicas – uso do AVA ........................ 69

Quadro 20: Resumo da classificação Interações Virtuais ........................................... 70

Quadro 21: Dúvidas matemáticas por tópico .............................................................. 70

Quadro 22: Dúvidas Matemáticas – Tópico 3 – Funções Polinomiais, Modulares,

  Racionais e Maior Inteiro .........................................................................

  72 Quadro 23: Dúvidas Matemáticas – Tópico 3 – Funções Polinomiais, Modulares, Racionais e Maior Inteiro .........................................................................

  73 Quadro 24: Dúvidas Matemáticas – Tópico 3 – Funções Polinomiais, Modulares,

  Quadro 25: Dúvidas Matemáticas – Tópico 3 – Funções Polinomiais, Modulares, Racionais e Maior Inteiro .........................................................................

  76 Quadro 26: Dúvidas Matemáticas – Tópico 3 – Funções Polinomiais, Modulares, Racionais e Maior Inteiro .........................................................................

  76 Quadro 27: Dúvidas Matemáticas – Tópico 4 – Funções Trigonométricas ................ 78

Quadro 28: Dúvidas Matemáticas – Tópico 4 – Funções Trigonométricas ................ 79

Quadro 29: Dúvidas Matemáticas – Tópico 4 – Funções Trigonométricas ................ 79

Quadro 30: Dúvidas Matemáticas – Tópico 4 – Funções Trigonométricas ................ 80

Quadro 31: Dúvidas Matemáticas – Tópico 4 – Funções Trigonométricas ................ 80

Quadro 32: Resposta com encaminhamento direto para atividade classificada como exercício ........................................................................................

  87 Quadro 33: Resposta com encaminhamento para investigação para atividade classificada como exploração ..................................................................

  88 L

  ISTA DE F

IGURAS

  Figura 1: Cálculo da área da região limitada entre o gráfico e o eixo das

  35 abscissas (Ox) .............................................................................................

S UMÁRIO

  

INTRODUđấO .......................................................................................................... 12

Origem do Trabalho .............................................................................................. 12 Estrutura do Trabalho ........................................................................................... 14

  CAPÍTULO 1 ....................................................................................................

  16 JUSTIFICATIVA, PROBLEMÁTICA E RELEVÂNCIA ......................................... 16

  1.1 Educação a Distância: A Formação Inicial do Professor ............................... 16

  1.2 As Diretrizes Curriculares para a Formação de Professores da

Educação Básica ...........................................................................................

  19

  1.3 Relações entre a formação e a prática docente ............................................ 22

  1.4 Objetivo e Questões de Pesquisa .................................................................. 22

CAPÍTULO 2 ............................................................................................................. 26

  FUNDAMENTAđấO TEốRICA ............................................................................ 26

  2.1 Tipos de Tarefas ............................................................................................ 26

CAPÍTULO 3 ............................................................................................................. 38

  PESQUISAS SOBRE FORMAđấO DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA NA MODALIDADE A DISTÂNCIA ........................................................................

  38 CAPÍTULO 4 ............................................................................................................. 44 METODOLOGIA DA PESQUISA ......................................................................... 44

  4.1 Estabelecendo o Roteiro da Pesquisa ........................................................... 44

  4.2 Unidades de Análise e Coleta dos Dados ...................................................... 47

  4.3 Cenário da Pesquisa ...................................................................................... 50

  4.3.1 A Instituição ........................................................................................ 50

  4.3.2 O Curso ............................................................................................... 51

  4.3.3 A Disciplina “Funções e Limites” ......................................................... 53

  

CAPÍTULO 5 ............................................................................................................. 56

DESCREVENDO OS DADOS COLETADOS E ANÁLISES EFETUADAS ......... 56

  5.1 Organização e Classificação das Atividades ................................................. 58

  5.1.1 Unidade de Análise: Atividades ........................................................... 58

  5.1.2 Unidade de Análise: Fórum de Discussões ........................................ 63

CONSIDERAđỏES FINAIS .................................................................................... 84

REFERÊNCIAS ........................................................................................................ 92

ANEXO ...................................................................................................................... 96

  Ementa da disciplina Funções e Limites ............................................................... 96

I NTRODUđấO Origem do Trabalho

  Minha formação inicial como docente ocorreu em duas universidades, sendo uma parte numa instituição pública do interior do estado de São Paulo e outra numa instituição privada da cidade de São Paulo. As duas etapas foram centradas no modelo tradicional de ensino, calcadas fortemente no estudo e aprendizagem de conceitos matemáticos.

  No ano de 2006, tive a oportunidade de atuar em uma Instituição de Ensino Superior de Educação a Distância na cidade de São Paulo, desempenhando a função de professor tutor das disciplinas de Matemática, Estatística e Tecnologia para o Ensino a Distância em cursos de Licenciatura em Letras e em Pedagogia na cidade de São Paulo. Atualmente leciono a disciplina de Matemática em escolas de educação básica da rede estadual e municipal de São Paulo e as disciplinas de Cálculo Diferencial e Integral I, II e IV, Cálculo Numérico, Vetores e Geometria Analítica e Análise Combinatória e Probabilidades para os cursos de Engenharia de Produção e Ambiental de uma Instituição de Ensino Superior da rede privada da cidade de São Paulo.

  Durante o desenvolvimento das minhas atividades como tutor, quando tive os meus primeiros contatos com a Educação a Distância (EaD), comecei a me questionar de que maneira ocorreria o ensino nessa nova modalidade, que mesmo com tantos recursos tecnológicos, não estaria imune aos desafios e dificuldades inerentes ao processo de ensino-aprendizagem, em especial, ao da matemática. Com o passar do tempo, senti a necessidade de buscar uma formação que abordasse as metodologias de ensino de matemática, em particular, num curso a distância, pois em minha formação inicial, esse tema não havia sido discutido.

  Ciente de que na EaD, o aluno necessita de independência no seu processo de aprendizagem, meus questionamentos estavam relacionados aos tipos de atividades que deveriam ser propostas. Atividades que pudessem desenvolver a autonomia desejada para uma aprendizagem eficiente.

  Sendo assim, os questionamentos a seguir despertaram meu interesse na busca de respostas: a) Quais as diferentes possibilidades de se ensinar matemática em um curso a distância? b) Quais são os tipos de atividades que podem ser propostos num curso a distância? c) Qual deve ser a mediação do professor frente às atividades propostas? d) Será que a apresentação de conceitos matemáticos e a resolução de listas de exercícios é a melhor estratégia para se ensinar matemática na EaD?

  A partir desses questionamentos e sentindo a necessidade de aperfeiçoar meus conhecimentos, matriculei-me no curso de Mestrado Profissional em Ensino de Matemática da Pontifícia Universidade Católica de São Paulo (PUC-SP), na expectativa de discutir essas questões com uma abordagem mais teórica.

  Ao iniciar o mestrado na PUC, me aproximei do grupo de pesquisa, “Organização e desenvolvimento curricular e formação de professores de matemática”. Entre os temas de pesquisas desenvolvidas pelo grupo, me despertou o interesse o projeto “Formação de Professores de Matemática” que investigou os processos de formação inicial e continuada de professores de matemática, procurando identificar as mudanças ocorridas na formação docente frente às novas necessidades do sistema educacional brasileiro. O projeto buscava compreender o desenvolvimento e a construção de diferentes competências profissionais durante o processo de formação.

  Um ponto que consideramos pertinentes a ser discutido no ambiente do grupo é a formação de professores nos cursos a distância, sendo que esta modalidade de formação inicial tem apresentado um sensível crescimento nos últimos anos, em relação ao número de cursos ofertados.

  Diante da minha experiência profissional na função de professor tutor num curso EaD, da participação no grupo de pesquisa de formação de professores e mediante aos questionamentos acima relacionados, despertou-me o interesse em fazer uma pesquisa que buscasse compreender como ocorre a formação de professores de matemática num curso de Licenciatura em Matemática na modalidade a distância.

Estrutura do Trabalho

  Este trabalho está organizado conforme descrito a seguir: O primeiro capítulo traz a trajetória da construção desta pesquisa, discorrendo sobre a formação inicial dos professores nos cursos a distância baseada nas Diretrizes Curriculares de Formação de Professores. Nesse capítulo anunciamos o problema, o objetivo e as questões de pesquisa.

  No segundo capítulo descrevemos a fundamentação teórica em que pautamos essa pesquisa.

  No terceiro capítulo temos a revisão bibliográfica dos estudos que contribuíram para a construção deste estudo, incluindo as pesquisas que abordam a formação de professores de matemática nos cursos a distância e a elaboração de material didático para disciplina de Cálculo Diferencial e Integral para cursos a distância.

  O quarto capítulo traz a metodologia de pesquisa, a forma como foi realizada a coleta de dados e a descrição das categorias que serviram de base para a análise dos dados coletados. Na sequência descrevemos a instituição, a disciplina e a estrutura do curso sobre o qual foi feito este estudo.

  O quinto capítulo traz a descrição dos dados coletados durante o desenvolvimento da disciplina juntamente com a classificação e a análise de acordo com o quadro teórico. A análise dos dados proporcionou respondermos a questão de pesquisa elaborada inicialmente e algumas reflexões. Finalizamos com as considerações finais, nas quais apresentamos os resultados deste estudo e as contribuições que este estudo proporcionou ao autor para a prática docente.

  C APÍTULO

  1 JUSTIFICATIVA, PROBLEMÁTICA E RELEVÂNCIA

  Neste capítulo discutiremos a carência de professores formados em nível superior no Brasil e também a legislação relacionada à formação de professores, como as diretrizes curriculares para a formação de professores, diretrizes curriculares para formação de professores de matemática, a Lei de Diretrizes e Bases da Educação Nacional (LDB), os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio – Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias (PCNEM) e sobre o desenvolvimento da Educação a Distância no Brasil (EaD) e suas relações com a formação de professores de matemática.

  Diferentes estudos (GATTI; BARRETO, 2009; PASSOS, 2008) mostram que o sistema educacional atual apresenta falta de professores para atender a demanda emergida devido à expansão do acesso à Educação Básica iniciada nos anos 90. Nos últimos anos, tem ocorrido o aumento da oferta de cursos para a formação inicial de professores e para a formação continuada, muitos deles provenientes de ações do setor público, de maneira a atender o que estipula a Lei 9434/96 - Lei de Diretrizes e Bases (LDB), em seu artigo 87, § 4º, que diz que “até o fim da Década da Educação somente serão admitidos professores habilitados em nível superior ou formados por treinamento em serviço”. Com o aumento do número de vagas para os alunos da educação básica, emerge a necessidade da contratação de professores, cuja formação específica não acompanhou em números absolutos a evolução da demanda originada. Segundo Passos (2008), as disciplinas matemática, química, física e biologia apresentam conjuntamente um déficit de 270 mil professores devidamente habilitados, problema causado pela má gestão do ensino público dos últimos governos.

  A autora também discute que após a promulgação da LDB em 1996, algumas medidas, mesmo que ainda tímidas, vêm sendo tomadas pelo Estado para amenizar o problema. Destacamos dentre elas a complementação pedagógica em licenciaturas paralelas de 540 horas ou licenciaturas “rápidas” de 120 horas aos bacharéis de quaisquer áreas. Ainda dentro desse conjunto de iniciativas, temos a criação do Programa Pró-licenciatura (2005) que oferece gratuitamente cursos de formação inicial a distância para professores em exercício nos anos/séries finais do ensino fundamental ou ensino médio dos sistemas públicos de ensino. O objetivo é melhorar a qualidade de ensino na educação básica por meio de formação inicial consistente e contextualizada do professor em sua área de atuação. O programa é desenvolvido no âmbito da Universidade Aberta do Brasil (UAB), outra iniciativa que institucionaliza os programas de formação de professores a distância como política pública de formação.

  O Sistema UAB foi criado pelo Ministério da Educação no ano de 2005, em parceria com a Associação Nacional dos Dirigentes das Instituições Federais de Ensino Superior (ANDIFES) e com Empresas Estatais, no âmbito do Fórum das Estatais pela Educação com foco nas Políticas e na Gestão da Educação Superior. Trata-se de uma política pública de articulação entre a Secretaria de Educação a Distância (SEED/MEC) e a Diretoria de Educação a Distância (DED/CAPES) com vistas à expansão da educação superior, na esfera do Plano de Desenvolvimento da Educação (PDE).

  Atualmente, 88 instituições integram o Sistema UAB, entre universidades federais, universidades estaduais e Institutos Federais de Educação, Ciência e Tecnologia (IFETs). Dessa maneira, a UAB incentiva a formação de professores com a oferta de vagas não-presenciais para o Plano Nacional de Formação de Professores da Educação.

  Cumprindo o que prevê a LDB no que tange a incentivar e promover o desenvolvimento da EaD no Brasil, o governo adotou várias medidas, além da criação da Universidade Aberta do Brasil e do Pró-Licenciatura já citados. Destacamos a criação da Secretaria de Educação a Distância (SEED/MEC) em 1996, que desenvolve diversos programas e projetos, como o TV Escola, Pro-Info, RIVED, WebEduc, entre outros.

  Os programas mencionados estão respaldados na legislação, conforme apresentaremos a seguir: Na LDB (Lei 9394/96) observamos o Art. 80º, que indica o desenvolvimento e a veiculação de programas de EaD para todos os níveis e modalidades de ensino e para educação continuada. No Art. 87º, que estabelece a Década da Educação, no parágrafo 3º, define que os municípios e, supletivamente, o Estado e a União, deverão realizar programas de capacitação para todos os professores em exercício, utilizando também, para isso, os recursos da educação a distância.

  Dessa maneira, a EaD surge como uma alternativa para a formação de professores para atuar na educação básica. Além disso, ela aparece como uma oportunidade à população para a formação inicial em um curso de licenciatura ou para os professores em exercício não devidamente habilitados, que estariam impossibilitados de concluir sua formação devido a diversos fatores, como dificuldade de acesso às universidades (NUNES, 1994).

  O número de alunos matriculados em cursos na modalidade EaD, vem aumentando sensivelmente nos últimos anos, passando de 309.957 no ano de 2004 para quase 1 milhão no ano de 2007, o que mostra uma evolução de 213,8% no período de 2004 a 2007, conforme constatado na última edição do Anuário Brasileiro Estatístico de Educação Aberta e a Distância realizado em 2008 (AbraEAD/2008).

  Observa-se também um grande aumento na oferta de cursos de Licenciatura em Matemática. Gatti e Barreto (2009), de acordo com o Censo da Educação Superior de 2006, verificou a existência de 176 cursos de licenciaturas na modalidade EaD. Desse total, 53 cursos ou 30% estão voltados para as áreas de Matemática e Ciências da Natureza, aquelas que apresentam o maior déficit de docentes titulados depois dos cursos de formação de professores dos anos iniciais de escolaridade. O censo relaciona ainda, 24 cursos de Licenciatura em Matemática na modalidade EaD, com 12.359 alunos ingressando no ano de 2006, somando-se às 10.582 matrículas já existentes em 30/06/2006.

  Como visto, temos um grande número de cursos na modalidade EaD para a formação de professores de matemática. Mas qual o perfil esperado dos futuros professores de matemática que atuarão na educação básica, quer sejam formados por cursos na modalidade presencial ou na modalidade EaD?

  As respostas para esse questionamento estão descritas nas legislações que norteiam a formação de professores para a educação básica, que discutiremos a seguir.

  

1.2 As Diretrizes Curriculares para a Formação de Professores da

Educação Básica

  As Diretrizes Curriculares Nacionais para a Formação de Professores da Educação Básica, em nível superior – DCFP – (Parecer CNE/CP/09/2001), indicam alguns princípios norteadores, destacando-se a relação entre a formação oferecida e a prática esperada dos futuros professores, que visam alterar a formação tradicional, estabelecendo relações entre os conhecimentos específicos com os conhecimentos pedagógicos necessários para a prática docente.

  De acordo com as DCFP (2001), espera-se que os cursos de formação de professores se pautem pelos elementos indispensáveis ao processo de construção do conhecimento profissional, como a ênfase no conhecimento didático-pedagógico da matemática, a vinculação da formação acadêmica com a prática profissional e as práticas investigativas que possibilitem a articulação entre a teoria e a prática.

  As Diretrizes Curriculares Nacionais para os cursos de Matemática, Bacharelado e Licenciatura – DCNLM – (Parecer CNE/CES 1.302/2001), estabelecem as normas para a organização curricular dos cursos de Licenciatura em Matemática, e delimitam o perfil esperado dos formandos oriundos dos cursos de Licenciatura e Bacharelado em Matemática. Entre as competências e habilidades que devem ser desenvolvidas nos alunos egressos desses cursos, destacamos: a) capacidade de compreender, criticar e utilizar novas ideias e tecnologias para a resolução de problemas; b) habilidade de identificar, formular e resolver problemas na sua área de aplicação, utilizando rigor lógico-científico na análise da situação-problema; c) conhecimento de questões contemporâneas. No que se refere às competências e habilidades próprias do educador matemático, as DCNLM (2001), apontam que o “licenciado em matemática deverá ter a

  

capacidade de desenvolver estratégias de ensino que favoreçam a criatividade, a

autonomia e a flexibilidade do pensamento matemático dos educandos, buscando

trabalhar com mais ênfase nos conceitos do que nas técnicas, fórmulas e

algoritmos (DCNLM, 2001, p. 04, grifo meu).

  Temos ainda, a Resolução CNE/CP 1 de 18 de fevereiro de 2002, que institui as Diretrizes Curriculares Nacionais para a Formação de Professores da Educação Básica, em nível superior, curso de licenciatura, de graduação plena. Em seu Art. 2º, essa resolução determina que “a organização curricular de cada

  

instituição deve promover a formação para a atividade docente, de maneira que o

futuro professor esteja apto a desenvolver nos alunos diversas habilidades, entre

as quais, o aprimoramento em práticas investigativas, o uso de tecnologias da

informação e da comunicação e de metodologias, estratégias e materiais de apoio

inovadores” (CNE/CP 1, 2002, p. 01, grifo meu).

  No Art. 3º, destaca-se que a formação dos professores deve contemplar alguns princípios norteadores que considerem a aprendizagem como processo de construção de conhecimentos, habilidades e valores em interação com a realidade e com os demais indivíduos, no qual são colocadas em uso capacidades pessoais. Evidencia, ainda, o papel da pesquisa, com foco no processo de ensino e de aprendizagem, uma vez que ensinar requer tanto dispor de conhecimentos e mobilizá-los para a ação, como compreender o processo de Chamamos a atenção para o Art. 5º, Parágrafo único, no qual consta que “a aprendizagem deverá ser orientada pelo princípio metodológico geral, que pode ser traduzido pela ação-reflexão-ação e que aponta a resolução de situações-problema como uma das estratégias didáticas privilegiadas” (RESOLUđấO CNE/CP 1, 2002, p. 03).

  Por meio da análise das legislações apresentadas, constatamos que a formação dos futuros professores da educação básica, deve ser fundamentada em estratégias e metodologias que rompam com o modelo tradicional e que forme um profissional capaz de desenvolver em seus alunos o espírito crítico, reflexivo e investigativo, além da capacidade de aplicar os conceitos estudados para a resolução de situações problemas e relacionar os conceitos com situações da vida real.

  Essas habilidades devem ser desenvolvidas não somente nas disciplinas pedagógicas, mas também nas disciplinas de caráter específico, ou seja, durante o desenvolvimento de todo o curso, como podemos verificar nas Diretrizes Curriculares Nacionais para a Formação de Professores da Educação Básica – DCFP (2001):

  As competências tratam sempre de alguma forma de atuação, só existem “em situação” e, portanto, não podem ser aprendidas apenas no plano teórico nem no estritamente prático. A aprendizagem por competências permite a articulação entre teoria e prática e supera a tradicional dicotomia entre essas duas dimensões, definindo-se pela capacidade de mobilizar múltiplos recursos numa mesma situação, entre os quais os conhecimentos adquiridos na reflexão sobre as questões pedagógicas e aqueles construídos na vida profissional e pessoal, para responder às diferentes demandas das situações de trabalho.

  Cursos de formação em que teoria e prática são abordadas em momentos diversos, com intenções e abordagens desarticuladas, não favorecem esse processo. O desenvolvimento de competências pede uma outra organização do percurso de aprendizagem, no qual o exercício das práticas profissionais e da reflexão sistemática sobre elas ocupa um lugar central (Parecer CNE/CP/09/2001, 2001, p. 30)

  1.3 Relações entre a formação e a prática docente

  Verificamos por meio das Diretrizes Curriculares as orientações a respeito formação dos professores. Após a sua formação inicial, o professor deverá ter como referência para a sua prática docente os Parâmetros Curriculares Nacionais (PCNs), que indicam as habilidades e competências esperadas dos alunos egressos da educação básica.

  Analisando ambos os documentos, observamos algumas similaridades em suas expectativas, como a formação de cidadãos críticos, reflexivos, que possuam habilidades investigativas que os permitam compreender as ciências e o mundo em que vivemos.

  Ao discutir a prática docente em seus anos iniciais, Bireaud (1995) refere- se ao isomorfismo, e afirma que o professor somente terá condições de desenvolver essas habilidades em seus alunos, se o mesmo vivenciar esse processo em sua formação, pois o professor tende a repetir em sua prática, o modelo didático-pedagógico utilizado durante a sua formação.

  Dessa forma, nos parece que o princípio do isomorfismo, deve estar no cerne da formação docente, pois o futuro professor ao desempenhar sua profissão, terá tanto mais oportunidade de desenvolver as habilidades e competências expressas nos documentos oficiais, quanto mais oportunidades tiver de vivenciar essas situações durante a sua formação.

  1.4 Objetivo e Questões de Pesquisa

  Tendo em vista os seguintes aspectos: i) a falta de professores habilitados na disciplina de matemática para atender a atual demanda de número de alunos matriculados na educação básica; ii) a possibilidade de os cursos na modalidade a distância contribuírem para a formação desses professores; iii) as Diretrizes Curriculares, que determinam que os futuros professores devem vivenciar durante o seu processo de formação, estratégias e metodologias de ensino que desenvolvam o espírito crítico, investigativo e a capacidade de aplicar os conceitos estudados para a resolução de situações problemas e relacionar os conceitos com situações da vida real, elegemos como objeto de estudo, as atividades propostas na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral de um curso de Licenciatura em Matemática na modalidade EaD, oferecido por uma instituição da rede privada da cidade de São Paulo.

  Na instituição de ensino onde realizamos este estudo, optamos por acompanhar a disciplina “Funções e Limites”, que aborda as ideias iniciais do Cálculo Diferencial e do Cálculo Integral. Essa disciplina se mostra muito importante na formação docente, pois, de acordo com as pesquisas, é uma área que: a) possibilita uma diversidade de registros de representações de seus conteúdos, que dependendo de sua abordagem, pode favorecer a unificação de conceitos dos quadros da álgebra, da geometria e da geometria analítica; b) traz noções de conceitos estudados na educação básica, como número real, infinito, funções, continuidade; c) possibilita explorar as relações de seus conceitos com outras áreas do conhecimento.

  Em relação ao objeto de estudo, encontramos na literatura pesquisada, Ponte (2003) que discute sobre as diferentes atividades que podem ser propostas, classificando-as em exercícios, problemas, exploração e investigação e o papel de cada uma no processo de ensino-aprendizagem.

  Diante deste cenário, temos como objetivo de pesquisa: verificar se as

  

atividades propostas na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral de um

curso de Licenciatura em Matemática na modalidade EaD propiciam a

utilização de diferentes estratégias de ensino, tais como: investigação,

resolução de problemas e exercícios; e verificar quais são os

questionamentos, “dúvidas” propostas pelos alunos e qual o

encaminhamento dado a esses questionamentos pelo professor da

disciplina.

  Portanto, temos como questões de pesquisa: Quais são os diferentes tipos de atividades (exercícios, problemas,

  • exploração, investigação) propostos na disciplina de “Funções e Limites”, em um curso de Licenciatura em Matemática, na modalidade a distância?

  Quais são os questionamentos efetuados pelos alunos em relação à

  • disciplina de Cálculo Diferencial e Integral ao desenvolverem as atividades propostas no curso? Os questionamentos estão relacionados a dúvidas de conceitos matemáticos ou a dúvidas tecnológicas? Qual a postura do professor da disciplina em relação à resposta aos
  • questionamentos dos alunos? As respostas são dadas por meio de um encaminhamento direto ou as respostas são direcionadas para os processos de investigação e exploração?

  C APÍTULO

  2 FUNDAMENTAđấO TEốRICA

  Neste capítulo, apresentamos os pressupostos teóricos utilizados na construção da questão de pesquisa, e na análise dos dados coletados.

  Como visto no capítulo anterior, as Diretrizes Curriculares Nacionais para a Formação de Professores da Educação Básica, em nível superior (DCFP, 2001), e as Diretrizes Curriculares Nacionais para os cursos de Matemática, Bacharelado e Licenciatura – (DCNLM, 2001) indicam alguns princípios norteadores para a formação inicial dos professores de matemática. Entre esses princípios, destacamos que a formação dos professores deve ser estruturada de maneira que possibilite aos futuros professores desenvolverem em seus alunos habilidades relacionadas ao processo investigativo e a habilidade de aplicar os conceitos estudados para a resolução de situações-problemas.

  A metodologia de resolução de problemas e a utilização de processos de investigação também são recomendadas nos Parâmetros Curriculares Nacionais quando estes mencionam que “os PCNEM explicitam três conjuntos de competências: comunicar e representar; investigar e compreender; contextualizar social ou historicamente os conhecimentos” (PCN+, 2002, p. 15), além de salientar que “a resolução de problemas é peça central para o ensino de matemática, pois o pensar e o fazer se mobilizam e se desenvolvem quando o indivíduo está engajado ativamente no enfrentamento de desafios” (idem, p. 112). Ainda encontramos no PCN+ (2002), que a resolução de problemas envolve atividades muito mais elaboradas que a simples aplicação de conceitos e técnicas matemáticas, pois essa metodologia isolada não garante de fato a aprendizagem. O aluno pode buscar em seu repertório situações semelhantes já desenvolvidas e repetir o processo aplicado anteriormente. Atividades que envolvam a resolução de problemas devem ser pautadas por situações reais, que exijam do aluno a articulação de seus conhecimentos anteriores perante uma situação nova, que ofereçam ao aluno a oportunidade de pensar por si mesmo, construir estratégias de resolução e argumentações, relacionar diferentes conhecimentos e perseverar na busca da solução.

  Considerando que as atividades de investigação são recomendadas nos PCNs e as habilidades que estas desenvolvem são esperadas tanto em alunos da educação básica quanto nos professores egressos dos cursos de Licenciatura em Matemática conforme as DCNLM (2001), e ainda com base no isomorfismo, que nos diz que o professor tende a repetir na sua prática docente o modelo pedagógico utilizado na sua formação inicial, procuramos compreender o que são atividades do tipo exercícios, problemas, exploração e investigação e como essas atividades podem ser desenvolvidas no processo de ensino-aprendizagem.

  Para realizar este estudo, utilizaremos como subsídio, as ideias de Ponte (2003), que apresenta diferentes categorias para classificar as atividades desenvolvidas no processo de ensino-aprendizagem da matemática e que estabelece quatro diferentes dimensões: i) grau de dificuldade: fácil ou difícil; ii) estrutura: aberta ou fechada; iii) contexto referencial; iv) tempo necessário para resolução.

  Em relação às duas primeiras dimensões, grau de dificuldade e estrutura, analisando-as conjuntamente, Ponte (2003) define quatro tipos de tarefas.

  • Grau de dificuldade
  • Estrutura

  

Fácil

Exercício Exploração

  Aberto Fechado

Problema Investigação

  

Difícil

Quadro 1: Classificação das Tarefas – Grau de Dificuldade e Estrutura (Ponte, 2003).

  As dimensões tempo e contextualização estão organizadas da seguinte maneira:

  • Tempo

  

Curta Média Longa

Exercícios Problemas Projetos

Tarefas de investigação

Tarefas de exploração

  • Contexto referencial Realidade

  Matemática pura

Quadro 2: Classificação das Tarefas – Tempo e Contextualização (Ponte, 2003).

  Analisando os quadros acima, observamos que, em relação à dimensão tempo e estrutura, as tarefas de investigação e exploração estão agrupadas, sendo que ambas demandam um tempo médio para a sua realização e apresentam estrutura aberta, diferenciando-se apenas de acordo com a dimensão grau de dificuldade, sendo que as atividades de exploração estão categorizadas com grau de dificuldade fácil e tarefas de investigações, como grau de dificuldade difícil. As tarefas que envolvem exercícios e problemas, de acordo com a dimensão estrutura, estão categorizadas como tarefas de estrutura fechada, sendo que os exercícios apresentam grau de dificuldade fácil e os problemas, grau de dificuldade difícil. De acordo com a dimensão tempo, os exercícios necessitam de curta duração para sua realização, enquanto os problemas demandam um tempo médio.

  Ponte (2003) utiliza ainda a dimensão contexto para categorizar as tarefas. As tarefas podem situar-se no contexto da matemática pura, em que os conteúdos abordados e sua resolução referem-se somente à matemática, ou ao contexto real, no qual ocorre a relação entre os conceitos estudados e a resolução de problemas, explorações e investigações, situados na vida real.

  A seguir, discutiremos mais detalhadamente as diferenças entre os tipos de tarefas categorizadas.

  Polya (1975), apud Ponte, Brocardo e Oliveira (2003), afirma que um problema é uma questão para a qual o aluno não dispõe de um método que permita a resolução imediata, enquanto um exercício é uma questão que pode ser resolvida por meio de um método já conhecido. Ambos apresentam pontos em comum: a) são situações de estruturas fechadas; b) o seu enunciado indica claramente o que é dado e o que é pedido; c) a solução é sabida de antemão pelo professor e a resposta do aluno está certa ou errada.

  Sendo assim, conforme as características descritas anteriormente, citaremos como exemplo de exercícios a atividade abaixo, proposta para estudantes de um curso de Licenciatura em Matemática que já estudaram o conceito de limite.

  1) Calcular os limites: 2

  x

  1

  − lim

  a)

  1

  xx

  1

  −

  4 x

  3 2

  • x

  lim

  b) 2

  x

  3

  → x x

  6

  − − lim

  5 x

  3 2 2

  • 2 x

  1

  c)

  5 x

  2

  − x

  • 2 x

  →

  2 Quadro 3: Exemplo de atividade classificada como Exercício, segundo Ponte (2003).

  Utilizaremos a atividade abaixo para ilustrar o que, segundo Ponte (2003), é considerado como um exemplo de problema, proposto para alunos de Licenciatura em Matemática que ainda não estudaram o tema otimização.

  1) Uma caixa fechada com base quadrada deve ter um volume de 2.000 cm³.

  O material da tampa e da base deve custar R$ 3,00 por centímetro quadrado e o material para o lado custa R$ 1,50 por centímetro quadrado. Queremos encontrar as dimensões da caixa cujo custo total do material seja mínimo.

  

Quadro 4: Exemplo de atividade classificada como Problema, segundo Ponte (2003).

  Já as investigações, tratam de situações abertas. A questão não está bem definida no início, dando maior liberdade a quem investiga para definir quais os rumos a serem tomados. Não existe uma única resposta correta, uma vez que as investigações podem ser iniciadas por caminhos distintos e dessa forma chegar a resultados também diferentes. As investigações apresentam um dos principais fatores para a aprendizagem. Há o envolvimento ativo do aluno na sua resolução. O aluno aprende quando mobiliza seus recursos cognitivos e afetivos com vista a atingir um objetivo (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2003).

  O conceito de investigação matemática, como atividade de ensino- aprendizagem, portanto, ajuda a trazer para a sala de aula o espírito da atividade matemática genuína, constituindo, por isso, uma poderosa metáfora educativa. O aluno é chamado a agir como um matemático, não só na formulação de questões e conjecturas e na realização de provas e refutações, mas também na apresentação de resultados e na discussão e argumentação com os seus colegas e o professor (PONTE; BROCARDO; OLIVEIRA, 2003, p. 23).

  As atividades de investigação e exploração são indicadas para momentos em que se pretende que o aluno descubra relações entre os entes matemáticos, perceba padrões e regularidades no objeto em estudo. Essas atividades permitem que os alunos envolvam-se ativamente com a matemática e com o processo de aprendizagem, pois, segundo Ponte (2003), a realização de investigação matemática envolve quatro momentos principais: o primeiro, no qual se reconhece o problema, efetuam-se explorações e a formulação de questões; o segundo refere-se ao processo de formulação de conjecturas; o terceiro inclui a realização de testes e eventual refinamento das conjecturas; e por último, realiza-se a argumentação, demonstração e a avaliação do trabalho realizado.

  Durante este processo, cabe ao professor a função de mediador do processo de construção do conhecimento, instigando os alunos, efetuando intervenções nos momentos críticos e questionando-os de maneira que os leve a atingir os objetivos propostos inicialmente. Dessa forma, o professor é peça central para o desenvolvimento da aprendizagem. Além de propor atividades de caráter investigativo, o professor deve conduzir o desenvolvimento das atividades seguindo os mesmos preceitos da investigação, evitando dar as respostas prontas aos alunos, interrompendo assim o processo da investigação. As tarefas de exploração e investigação também favorecem o desenvolvimento da autonomia dos alunos em relação ao processo de aprendizagem.

  Discutindo sobre as características que diferenciam os tipos de atividades e as intervenções do professor durante o processo de resolução, Ernest (1998) concebe o processo de resolução de problema como uma “atividade de procura de um caminho de uma reposta” e esse “processo não pode pressupor uma resposta única, pois uma questão pode ter múltiplas soluções, ou nenhuma” (Ibidem).

  Ernest (1998) afirma que a postura de inquirição que o professor deve ter diante do processo de resolução das atividades pelos alunos é uma característica essencial tanto para os problemas quanto das investigações.

  Para o autor, a investigação deve ser entendida como “um processo de inquirição”, isto é,

  É a actividade de procura de um caminho para a resposta. Contudo este processo não pode pressupor uma resposta única, pois uma questão pode ter múltiplas soluções, ou nenhuma, e demonstrar este facto representa um nível mais elevado de resolução de problemas. (ERNEST, 1998, p. 30).

  Ernest (1998) relaciona características comuns à resolução de problemas e as investigações. Ambas são entendidas como uma abordagem pedagógica em que professores e alunos exercem papéis fundamentais. Na abordagem de resolução de problemas, cabe ao professor colocar o problema e, ao aluno, a tarefa de encontrar a resolução. Nas investigações, o professor propõe o ponto de partida, a situação inicial, porém são os alunos que definem os caminhos a serem trilhados nesse processo. São eles que definem quais as estratégias que serão utilizadas e quais questões poderão ser formuladas a partir da situação inicial. Nesse momento, o processo de inquirição realizado pelo professor, orienta os alunos nos caminhos que devem seguir.

  Alguns pesquisadores como Fiorentini, Fernandes e Cristóvão (2005), Grando, Nacarato e Gonçalves (2008) discutem que os limites que diferenciam uma exploração de uma investigação nem sempre são claros, uma vez que ambas diferem somente no grau de dificuldade apresentado, sendo difícil prever inicialmente qual o grau de complexidade que uma tarefa aberta terá para um grupo de alunos.

  Segundo Fiorentini, Fernandes e Cristóvão (2005), as explorações tendem a ser mais livres e menos sistemáticas, demandando um tempo relativamente pequeno de trabalho. As explorações são frequentemente utilizadas para introduzir um novo tema de estudo ou para problematizar e produzir significados a um conceito matemático. Já as investigações, por sua vez, levam mais tempo – podendo ter duração de duas aulas a até um semestre letivo.

  • − = ) ( metros.

  4

  1

  1 s s t s t s

  V m − = ∆ − ∆ +

  = Calculando esse valor temos, obtemos:

  2

  4

  2

  2 2 . ) ( ) (

  s =

  8

  1

  4 = + −

  1

  4

  1

  1 2 . ) ( ) (

  s =

  3

  4

  1 = + −

  2

  ) ( ) ( ) ( ) (

  _____________ 1 Atividade adaptada de: Forster, S.R.L. Cálculo: Derivadas. Apostila. Universidade de Santo Amaro. São

  =

  Para ilustrar atividades de exploração, utilizaremos o exemplo a seguir,

  1

  que tem como objetivo introduzir a definição de derivada através do cálculo de limites:

  Sabemos que na Física, podemos calcular a velocidade média de um determinado móvel

em um trajeto, se conhecermos informações como a distância percorrida e o tempo gasto

para percorrer essa distância.

  Numa viagem, um automóvel iniciou seu percurso na cidade A, situada no Km 43 da

rodovia Isaac Newton com destino a cidade B, situada no Km 523 da mesma rodovia. Para

realizar esse percurso levou o tempo de 6 horas.

  Desta forma, podemos determinar a velocidade média do percurso: t s

  V m ∆ ∆

  = =

  6 43 523 − −

  6 480 = 80 h km / Com base no exemplo visto, observe a questão abaixo:

  1 = ∆ t

e

  Vamos supor que uma bola é lançada verticalmente para cima. Sua distância até o solo em cada instante t (em segundos) é conhecida e dada por t t t s

  4 2

  Como você faria para determinar a velocidade exata, ou seja, a velocidade instantânea, para um determinado tempo fixado, por exemplo, para

  1 = t segundo?

  Já que não sabemos, até o momento, como calcular velocidades instantâneas e nem

mesmo como definir matematicamente este conceito, vamos tentar, pelo menos, obter uma

resposta aproximada para este problema.

  Parece ser razoável tomar como aproximação para a velocidade da bola no instante

  1 = t , a velocidade média calculada sobre um intervalo de tempo t t t

  − = ∆ , com t próximo de t . Por exemplo, para

  2 =

t segundos temos:

  • − =
  • − =
Substituindo na equação da V temos: m

  V m = −

  4 3 = 1 m/s

  Como a nossa intenção é determinar a velocidade no instante t

  1 , e para isso

  =

tentaremos obter uma resposta aproximada, nos parece razoável repetir o processo anterior,

algumas vezes, com valores de t cada vez mais próximos de zero. Para isso basta tomar

  ∆ valores de t cada vez mais próximos de t 1 .

  = Efetue os cálculos solicitados e preencha a tabela abaixo:

t 1,5 1,25 1,125 1,0625 ... 1,0078 1,0039 1,0019 1,0009

V m

  Após o preenchimento da tabela responda as questões: O que você observa sobre os valores das velocidades médias quando os valores de se t aproximam de 1?

  a) Já é possível responder a questão inicial do problema proposto? Se positivo, qual a velocidade instantânea para

  1 ?

  t =

  b) Em relação ao método utilizado, de aproximações dos valores de cada vez mais t

  ∆ próximos de zero, o que você conclui, relacionando com as ideias de limites estudadas anteriormente? c) Escreva suas conclusões acima utilizando a notação de limite.

  d) Complete a sentença abaixo: De um modo geral, podemos concluir que a velocidade instantânea em um ponto qualquer é definida por: ____________________________________ O limite das velocidades médias nos permitiu calcular a velocidade instantânea em

  1 .

  t =

  E esse limite é precisamente a derivada da função calculada em s (t ) t

  1 =

  e) Escreva como podemos determinar a derivada de uma função qualquer, f (x )

utilizando a expressão encontrada acima, expressa através do cálculo de limites.

2 Quadro 5: Exemplo de atividade classificada como Exploração, segundo Ponte (2003) .

  Para ilustrar atividades de investigação, utilizaremos o exemplo a seguir,

proposto para alunos da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral do curso de 2 _____________

Atividade adaptada de: Forster, S. R. L. Cálculo: Derivadas. Apostila. Universidade de Santo Amaro. São Licenciatura em Matemática, que ainda não tiveram contato com o conceito de integral. Para realizar a investigação é proposto que os alunos desenvolvam métodos para o cálculo da área de uma figura plana.

  Você estudou na educação básica, conceitos de geometria plana que possibilitam

efetuar o cálculo da área de polígonos. Os problemas para o cálculo de área, não

apresentam grandes dificuldades se a figura plana for um retângulo, um paralelogramo ou

um triângulo.

  Que estratégias você utilizaria para calcular a área da figura abaixo? 3 Quadro 6: Exemplo de atividade classificada como Investigação, segundo Ponte (2003) .

  

Figura 1: Cálculo da área da região limitada entre o gráfico e o eixo das abscissas (Ox).

  Como visto anteriormente, Ponte (2003) classifica as tarefas a serem desenvolvidas em quatro tipos: exercícios, problemas (ambos com estrutura fechada, variando apenas no grau de dificuldade para a sua resolução), explorações e investigações (ambas com estrutura aberta, diferenciando-se também pelo grau de dificuldade para a resolução). Nesse contexto, Ponte (2003), considera os projetos como uma atividade de investigação, pois eles nada mais são do que uma investigação de caráter mais prolongado. 3 _____________

  Analisado a dimensão contexto referencial temos que as tarefas podem ser contextualizadas numa situação real, ou formuladas puramente em termos matemáticos.

  Nesse cenário, tarefas contextualizadas numa situação puramente matemática são tarefas que se referem à matemática e somente a ela. São tarefas do tipo: 2

  x

  1

  

lim

  • Calcular o limite da função

  x

  1

  → x

  1

  

2

  Calcular o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função , f ( x ) x

  2

  = nos pontos (1,3) e (0,2). 4 Quadro 7: Exemplo de atividade com contexto matemático, segundo Ponte (2003) .

  Tarefas contextualizadas numa situação real são tarefas com referências a situações da vida real.

  5 Como exemplo, citaremos o problema a seguir, no qual se discute o

  conceito de otimização do custo de produção de um determinado produto: Um fabricante de armários usa mogno reflorestado para produzir cinco peças por dia.

  

Cada entrega de um contêiner de madeira custa R$ 5.000,00, enquanto sua estocagem

custa R$ 10,00 por dia, por unidade armazenada (uma unidade é a quantidade de matéria-

prima necessária para produzir uma peça). Quanta matéria-prima deve ser encomendada de

cada vez e com que freqüência, de modo a minimizar o custo médio diário nos ciclos de

produção entre as entregas?

  

Quadro 8: Exemplo de atividade com contexto real, segundo Ponte (2003)

  Os documentos oficiais, os PCN+ (2002) e diversos autores, entre eles Ponte (2003), afirmam que não devemos simplesmente substituir os exercícios tradicionais, que enfatizam a repetição de procedimentos, por meio de atividades como “calcule”, “determine o valor”, pela resolução de problemas e investigações. 4 _____________ 5 Atividade elaborada pelo pesquisador a partir da leitura de diferentes livros didáticos. Cada tipo de tarefa desempenha uma função no processo de aprendizagem e todas devem ser utilizadas pelo professor.

  Esses autores afirmam que o nosso desafio é saber articular os diferentes tipos de tarefas de maneira a promover o desenvolvimento matemático dos alunos com diferentes níveis de desempenho. Ponte (2003) afirma que, em vez de uma dicotomia, temos um continuum entre exercício e problema, e que seu interesse educativo depende de muitos fatores para além de seu grau de dificuldade.

  A utilização de investigações no processo de ensino-aprendizagem é defendida por vários autores além de Ponte (2003), como Polya (1981, p. 101 e 157) e Braumann (2002, p. 5), que afirmam que a realização de investigações na resolução de problemas constitui-se uma ferramenta poderosa no processo de construção do conhecimento.

  Diante do referencial teórico exposto, utilizaremos as quatro dimensões apresentadas: dificuldade, estrutura, tempo e contexto para categorizar as atividades propostas no curso de Curso de Licenciatura em Matemática. Modalidade Educação a Distância durante o desenvolvimento da disciplina “Funções e Limites” e relacionar os questionamentos efetuados pelos alunos na ferramenta fórum de discussões às respostas e encaminhamento dados pelo professor do curso a essas dúvidas.

  C APÍTULO

  3 PESQUISAS SOBRE FORMAđấO DE PROFESSORES DE MATEMÁTICA NA MODALIDADE A DISTÂNCIA.

  Neste capítulo, apresentaremos a revisão bibliográfica, focando estudos com a temática de formação de professores de matemática nos cursos a distância.

  Procurando maiores reflexões sobre essa temática, iniciamos a nossa revisão bibliográfica pesquisando nos bancos de dados de Instituições de Ensino Superior, buscando por dissertações, teses e artigos que discorreram sobre os temas relevantes para a realização deste estudo.

  Entre os trabalhos analisados, Forster (2007) pesquisou a elaboração de material didático para o conteúdo “limites e continuidade de funções de uma variável real”, para a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral II do curso de Licenciatura em Matemática na modalidade a distância de uma universidade privada de São Paulo. O autor utilizou dois referenciais teóricos: os registros de representação semiótica, de Raymond Duval e as teorias de Piaget e Vygotsky.

  Como metodologia, utilizou a metodologia de design, que combina a pesquisa educacional empírica com o planejamento teórico de ambientes de aprendizagem, apoiado em análises qualitativas e quantitativas dos dados coletados em observações de diversas naturezas.

  Os resultados encontrados por Forster apontam que o material e as metodologias aplicadas foram bem aceitas, revelando maior preferência por parte dos alunos aos materiais de mídia impressa. Mostrou também que o desempenho dos alunos está relacionado com o nível de interação durante o curso, pois os alunos que tiveram maior nível de interação apresentaram melhor desempenho. O estudo também constatou que as atividades com diferentes tipos de registros de representações semióticas provocaram questionamentos, favoreceram o aprendizado de conceitos matemáticos e permitiram observar se os conceitos foram assimilados pelos alunos. Por fim, a pesquisa de Forster conclui que o material elaborado não foi suficiente para atingir plenamente os objetivos de promoção da aprendizagem, sugerindo, assim, uma reorganização do material.

  Abordando outra questão, Semedo (2004) pesquisou a formação de professores de matemática na modalidade a distância, analisando as perspectivas de formandos e formadores sobre os conteúdos, o funcionamento e o sistema de avaliação usado no curso de uma universidade em Cabo Verde, Portugal. Foram estudas questões relativas às perspectivas de formandos e formadores em relação ao processo de adaptação ao curso na modalidade a distância, aos materiais utilizados, aos conteúdos, à construção de conhecimentos e de competências e às perspectivas gerais sobre o curso.

  O enquadramento teórico do estudo de Semedo (2004) analisa os principais conceitos relativos à formação a distância, incidindo sobre os modelos pedagógicos usados nesse dispositivo, sobre os sistemas de interação e sobre as principais potencialidades e desvantagens relativamente ao modelo presencial. No que diz respeito ao desenvolvimento profissional, discutiu sobre as principais questões relativas à formação de professores em Matemática e em Ciências da Educação. Em seguida, aborda a problemática da pedagogia no ensino superior, discorrendo também a respeito da missão desse nível de ensino e da problemática do insucesso escolar nessa etapa de formação.

  Como metodologia, o autor adotou o estudo de caso de natureza qualitativa, coletando os dados por meio de entrevista com os participantes (formandos e formadores), realizando a análise documental e a reflexão sobre as conversas informais mantidas após as entrevistas. A análise dos dados foi feita segundo categorias definidas a partir das questões do estudo.

  As conclusões obtidas por Semedo (2004) em relação aos formandos revelam que todos se adaptaram ao curso na modalidade a distância, mesmo sendo esse o primeiro contato com ela. Os formandos afirmaram que o curso contribuiu para a melhoria de seu desempenho profissional e para dar mais coesão ao seu conhecimento em matemática, ampliando assim, os recursos para a atividade docente. Os formandos avaliaram positivamente vários elementos do curso, como os testes formativos e as sessões presenciais e relataram, como fatores negativos, as deficiências de caráter administrativo, a interrupção do curso pelo período de um ano por questões financeiras, além de terem se mostrado insatisfeitos com o sistema de avaliação usado – consideraram que o exame final é insuficiente para medir a aprendizagem que tiveram durante o curso.

  Em relação aos formadores, verificou-se um nível satisfatório de adaptação ao curso e à modalidade de formação a distância. Eles consideraram muito significativo o contato com professores de diversas ilhas, com grande experiência profissional e que essa experiência foi importante para quem, como eles, trabalham na formação de professores. Destacaram a grande motivação dos formandos e que estes corresponderam bem ao que lhes foi pedido.

  A análise do curso que fizeram corrobora a análise feita pelos formandos em relação aos materiais disponibilizados, testes formativos e encontros presenciais, apontando que as falhas de caráter administrativo e a interrupção do curso poderiam ter levado ao fracasso todo o trabalho desenvolvido.

  Tanto os formandos como os formadores, criticaram o fato de não terem sido utilizadas as novas tecnologias de informação e de comunicação, pelas quais, poderiam ter maior facilidade na comunicação direta entre formandos e formadores, evitando assim os problemas encontrados referentes à comunicação e ao desenvolvimento das atividades de ambas as partes.

  Numa abordagem mais restrita, Santana (2008) apresenta sua pesquisa na qual aborda a modelagem matemática e a dinâmica da formação a distância com o objetivo de verificar como os alunos do curso de licenciatura a distância relatam suas experiências em uma disciplina de Modelagem Matemática. Para tanto, analisa o desenvolvimento da disciplina Modelagem Matemática, num curso a distância, semipresencial. Santana (2008) compreende a modelagem como um ambiente de aprendizagem no qual, os alunos são convidados a indagarem ou investigarem situações com referência na realidade por meio da matemática (BARBOSA, 2003; 2006), sob a perspectiva sóciocrítica, em que tal atividade oferece oportunidades para que os alunos discutam o papel da matemática na sociedade e a natureza dos modelos matemáticos.

  A metodologia adotada pelo autor foi desenvolvida na abordagem qualitativa, por meio de entrevistas e da observação dos momentos presenciais do curso e análise de documentos (material do fórum de discussão). Os participantes dessa pesquisa foram alunos de uma Instituição privada de Ensino Superior a Distância que cursaram a disciplina Modelagem Matemática Aplicada ao Ensino, durante o 6º período da Licenciatura, no ano de 2007.

  A relação entre alunos e professores, no que tange a comunicação, foi estudada por Schneider (2008), que pesquisou a comunicação on-line na mediação pedagógica num curso de formação de professores de matemática na modalidade a distância da UNISUL Virtual. O tema da pesquisa centrou-se na comunicação on-line do professor na EaD com o intuito de verificar se é possível uma comunicação dialógica entre professor e aluno num curso on-line, se essa comunicação on-line do professor em EaD é uma mediação pedagógica ou imediatismo pedagógico, e se é possível se evidenciar uma EaD emancipatória num curso de formação de professores.

  Como metodologia, Schneider (2008) utilizou o estudo de caso exploratório, com uma abordagem qualitativa de natureza descritiva. Para atender os objetivos da pesquisa, utilizou entrevistas, questionários e análise de documentos.

  Como referencial teórico, o autor apoiou-se na análise de conteúdo de Franco (2005) e na teoria das comunicações de Vinicius Lima (2004) que teoriza oito modelos para o estudo das comunicações: Manipulação, Persuasão, Função, Informação, Linguagem, Mercadoria, Cultura e Diálogo.

  A partir das análises feitas, constatou-se que a comunicação entre professor e aluno nesse tipo de curso não é dialógica, já que o diálogo apresentado mostrou-se de forma unidirecional e vertical, professor – conteúdo – aluno, e o aluno é colocado como um sujeito passivo, contemplativo e receptivo, não colaborando para a formação de um cidadão crítico, reflexivo. O estudo sinalizou também as frustrações, anseios e dilemas dos alunos num curso de formação de professores de matemática na modalidade a distância e discutiu a necessidade de se repensar a estrutura do curso para não formar professores apenas com um diploma, sem conhecimento e sem didática, eliminado os procedimentos tradicionalistas, alterando para processos que dêem ênfase à participação ativa dos alunos, à colaboração e que favoreçam as associações e formulações, tornando assim, os alunos, atores principais no processo de aprendizagem.

  Discutindo sobre o processo de formação de professores, Caldeira (2008) apresenta um artigo, no contexto do projeto “Educação Matemática de Professores de Matemática” do Programa de Extensão Universitária Universidade sem Fronteiras – SET/PR – subprograma: Apoio às Licenciaturas. As perguntas de investigação do autor são: que processos de aprendizagem de futuros professores podem ser identificados no desenvolvimento de tarefas no Projeto “Educação Matemática de Professores de Matemática” do Programa Universidade sem Fronteiras? Como a participação nesse programa colabora com esses processos de aprendizagem?

  Os objetivos de sua pesquisa são: busca identificar os processos de negociação de significados como mecanismo de aprendizagem de futuros professores envolvidos no projeto; estudar os processos de aprendizagem destes futuros professores; analisar as mudanças por meio da participação das reuniões com os colegas e coordenadores do projeto; investigar se o grupo estudado se caracteriza como uma comunidade de prática.

  Como referencial teórico, Caldeira (2008) se apóia nos pressupostos de trabalho em comunidades de prática, sob a perspectiva teórica da Aprendizagem Situada de Jean Lave e Etienne Wenger (1991).

  A pesquisa foi realizada com abordagem qualitativa de cunho interpretativo utilizando-se de entrevistas, notas de campo, gravações entre outros. Sendo assim, verificamos que os estudos presentes na literatura têm se concentrado na pesquisa sobre a formação de professores de matemática na modalidade a distância, e, em alguns casos, debruçados sobre disciplinas específicas, e na utilização da metodologia de estudo de caso de caráter qualitativo. Neste trabalho, pretendemos lançar um olhar diferenciado, analisando as atividades propostas no curso de Cálculo Diferencial e Integral, buscando verificar se as atividades propostas nesta disciplina propiciam aos futuros professores o desenvolvimento de estratégias e de metodologias de ensino por meio da investigação, da exploração, da formulação de conjecturas e da resolução de problemas, colaborando, assim, para formar um profissional crítico, reflexivo e capaz de desenvolver essas mesmas habilidades em seus futuros alunos.

  C APÍTULO

  4 METODOLOGIA DA PESQUISA

  Para responder as questões de pesquisa, foi necessário delinear os trajetos para atingir o objetivo proposto.

  Dentre as metodologias de pesquisa estudadas, optamos pela metodologia qualitativa, por razões que estão diretamente ligadas ao objeto de pesquisa e que estão relacionadas a seguir.

  As pesquisas referentes à formação de professores não são recentes. Inicialmente as pesquisas se baseavam na coletas de dados e se organizavam de modo quantitativo, centrando-se nas relações entre o conhecimento do professor e o rendimento dos alunos. Porém esse método não se mostrou capaz de responder aos questionamentos existentes, além de produzirem resultados conflitantes. Essa situação levou a um novo direcionamento nas questões de pesquisa, e com isso, alterou-se o modelo de pesquisa para o modelo qualitativo (MARCELO, 1993).

  Entre as abordagens qualitativas, temos o estudo de caso, que segundo Ponte (1994):

  pode ser caracterizado como um estudo de uma entidade bem definida como um programa, uma instituição, um curso, uma disciplina, um sistema educativo, uma pessoa, ou uma unidade e os seus “porquês”, evidenciando a sua unidade e a sua identidade próprias. É uma investigação que se assume como particularística, isto é, que se debruça deliberadamente sobre uma situação específica que se supõe ser única em muitos aspectos, procurando descobrir a que há nela de mais essencial e característico e, desse modo, contribuir para a compreensão global do fenômeno de interesse (PONTE, 1994, p. 2).

  Em educação, e em especial em Educação Matemática, têm-se tornado cada vez mais frequente os estudos de caso de natureza qualitativa.

  Ponte (1994) apresenta algumas características do estudo de caso e afirma que esse tipo de estudo é um modelo de pesquisa com um forte cunho descritivo, objetivando auxiliar o pesquisador a compreender profundamente uma determinada situação, apoiando-se numa descrição factual, literal, sistemática e o mais completa possível do seu objeto de estudo. É uma investigação de natureza empírica, baseada fortemente em trabalho de campo ou análise documental, estudando uma dada entidade no seu contexto real, tirando a maior quantidade de informações possíveis de fontes múltiplas de evidências como entrevistas, observações, documentos e artefatos (YIN, 1984 apud PONTE, 1994).

  Os estudos de caso podem ser classificados como exploratórios, nos quais o objetivo é obter informações preliminares a respeito de um objeto, descritivos, com finalidade de descrever, informar “como é” o caso em análise e por último, podem ser analíticos, com a finalidade de problematizar o seu objeto de estudo, construir ou desenvolver uma nova teoria ou confrontá-la com uma teoria já existente (YIN, 1984 apud PONTE, 1994).

  Neste estudo, denominamos como caso a ser estudado a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral ministrada num curso de formação inicial de professores de matemática oferecido na modalidade a distância. Nesse curso, a disciplina de Cálculo Diferencial e Integral é nomeada “Funções e Limites”. Para este estudo, faremos uma breve descrição do curso e da disciplina para, em seguida, efetuar um estudo de caso analítico, realizando a análise das atividades propostas na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral e as interações virtuais originadas a partir da ferramenta fórum de discussões, de acordo com os subsídios teóricos apresentados por Ponte (2003), que classifica as atividades propostas como exercícios, problemas, explorações e investigações, sendo as duas últimas, as atividades que permitem aos alunos realizarem conjecturas, formular hipóteses, validar seus resultados, compreender os conceitos estudados, colaborando assim para que a aprendizagem ocorra de maneira significativa.

  Um estudo de caso pode seguir duas perspectivas, uma interpretativa, que procura compreender o objeto de estudo e outra, pragmática com o objetivo de proporcionar uma perspectiva global do objeto de estudo do ponto de vista do pesquisador. Um estudo de caso produz um tipo de conhecimento que busca encontrar algo de muito universal no mais particular (ERICKSON, 1986 apud PONTE, 1994).

  Por meio da análise das atividades propostas, esta pesquisa busca verificar quais são os tipos de atividades propostas na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral num curso de formação inicial de professores de matemática na modalidade a distância, relacionar os questionamentos postados pelos alunos na ferramenta fórum de discussão às atividades propostas e verificar se essas atividades propiciam aos futuros professores desenvolver em seus alunos as habilidades inerentes ao processo investigativo e de resolução de situações- problema. Sendo assim, este estudo busca produzir um conhecimento relacionando um caso particular a algo universal.

  De acordo com cada pesquisa, temos diferentes tipos de estudo de caso: (1) Estudo de caso intrínseco, quando há um interesse intrínseco em algo particular; (2) Estudo de caso instrumental, quando o caso é utilizado para se compreender outro fenômeno; e (3) Estudo de caso agregado, quando há vários casos que possibilitam compreender melhor sobre um determinado fenômeno (STAKE, 1994).

  Dessa forma, definimos este estudo como um estudo de caso intrínseco, pois busca um interesse intrínseco em algo particular, analisando as atividades propostas na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral num curso de Licenciatura em Matemática na modalidade a distância. De acordo com as definições expostas anteriormente, este estudo será uma pesquisa qualitativa, na modalidade estudo de caso, com natureza pragmática, analítica e de caráter intrínseco.

  O estudo de caso baseia-se fortemente em trabalho de campo ou análise documental e, com isso, a coleta dos dados a serem observados tem um papel de extrema relevância, assim como a maneira como é realizada, define os rumos da pesquisa.

  O referencial teórico é fundamental para orientar tanto a investigação como o processo de análise e nos auxilia a responder os questionamentos do tipo: O que observar? Que dados colher? Que perguntas fazer? Que tipos de categorias construir? (PONTE, 1994).

  Para realizar a coleta dos dados e efetuar a análise das atividades propostas e das interações virtuais originadas a partir da ferramenta fórum de discussões, obtivemos o acesso ao Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA), utilizado para a realização do curso. Esse acesso nos permitia apenas observar o andamento do curso e coletar os dados de nosso interesse, não sendo possível participar da resolução das atividades propostas nem intervir nos debates do fórum de discussão. O acesso às atividades foi efetuado junto com um professor que ministrava uma disciplina no mesmo curso. O professor responsável pela disciplina observada foi informado da nossa intenção de pesquisa e autorizou o nosso acesso. É relevante informar que a nossa participação nesse processo deu-se unicamente sob a perspectiva de pesquisador, e nossas ações restringiram-se apenas às observações como descritas acima, não sendo este autor professor ou tutor do curso.

  As atividades foram disponibilizadas no Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA) e foram organizadas em sete tópicos. Cada tópico abordou um tema específico dos conceitos inerentes ao Cálculo Diferencial e Integral, iniciando pelo estudo das funções e finalizando com a introdução ao estudo de limites. A distribuição dos tópicos foi assim organizada:

  • Tópico 1 – Reta Real e Plano Cartesiano;
  • Tópico 2 – Funções e Variáveis;
  • Tópico 3 – Funções Polinomiais, Modulares, Racionais e Maior Inteiro;
  • Tópico 4 – Funções Trigonométricas;
  • Tópico 5 – Função Bijetora e Função Inversa;
  • Tópico 6 – Função Exponencial e Função Logarítmica;
  • Tópico 7 – Introdução ao conceito de Limite Após o acompanhamento do curso, de posse dos dados coletados, iniciamos o processo de análise dos dados.

  Para o nosso estudo, identificamos duas unidades de análise: a) as atividades propostas aos alunos durante a realização da disciplina; b) as interações virtuais realizadas entre os alunos e os formadores do curso realizadas por meio da ferramenta “Fórum de Discussões”.

  A escolha das atividades propostas aos alunos e das interações virtuais oriundas do fórum de discussões como unidades de análise justifica-se devido à relação de isomorfismo que ocorre nos anos iniciais da carreira docente, o que nos indica que o professor tende a repetir em sua prática os modelos de ensino vistos em sua formação inicial (BIREAUD, 1995).

  Os documentos utilizados para compor as unidades de análise foram coletados da seguinte forma:

  • Download de todas as atividades disponibilizadas aos alunos no

  Ambiente Virtual de Aprendizagem da disciplina de Cálculo Diferencial e Integral;

  • Acompanhamento das interações virtuais realizadas entre alunos e

  formadores do curso, em cada tópico da disciplina, por meio da ferramenta “fórum de discussões”. A análise dos documentos coletados foi realizada de acordo com as duas unidades de análise definidas anteriormente, apoiando-se, para isso, no quadro teórico utilizado.

  Denominamos a primeira unidade de análise atividades. Essa unidade de análise procura classificar as atividades propostas durante a realização da disciplina, de acordo com as quatro dimensões definidas por Ponte (2003): grau de dificuldade, estrutura, tempo e contextualização. Dessa forma, definimos duas categorias para a análise de classificação das atividades propostas. Denotaremos a primeira categoria por a) grau de dificuldade e estrutura. Conforme o quadro teórico adotado, as análises dessas duas dimensões conjuntamente definem quatro tipos de tarefas. Sendo assim, necessitaremos dividir essa categoria em quatro subcategorias: a ) atividades de exercícios; a ) atividades de resolução de

  1

  2 problemas; a 3 ) atividades de exploração; a 4 ) atividades de investigação. Para

  definirmos a segunda categoria, utilizaremos a dimensão contexto. Assim, a segunda categoria será denominada b) contextualização. De acordo com os subsídios teóricos de Ponte (2003), necessitamos também dividir a segunda categoria em duas subcategorias: b

  1 ) contexto real; b 2 ) contexto matemático.

  Denominamos a segunda unidade de análise fórum de discussões. Essa unidade de análise procura identificar as interações virtuais ocorridas durante a realização da disciplina por meio da ferramenta fórum de discussões. Sendo assim, as interações virtuais serão divididas em duas categorias: a) dúvidas

  

tecnológicas, que contém as discussões que abordaram dúvidas sobre a

  utilização do ambiente virtual e suas ferramentas; b) dúvidas matemáticas, contendo discussões que abordaram dúvidas sobre os conceitos matemáticos abordados em cada tópico. A primeira categoria, dúvidas tecnológicas, foi dividida em duas subcategorias: a

  1 ) dúvidas sobre a utilização dos softwares matemáticos utilizados para a realização das atividades propostas durante a disciplina; a 2 )

dúvidas tecnológicas sobre a utilização do Ambiente Virtual de Aprendizagem

  (AVA). A segunda categoria, dúvidas matemáticas, foi dividida em duas subcategorias: b

  1 ) encaminhamento para exploração e investigação, contendo as

  dúvidas esclarecidas pelo formador com encaminhamento que propiciam o desenvolvimento de exploração e investigação sobre os conceitos em questão; formador com encaminhamento para resposta direta. Neste estudo, definimos a subcategoria resposta direta, como as respostas efetuadas de maneira objetiva, pronta e de forma clara aos questionamentos efetuados pelo aluno, não sendo necessário que este busque aprofundamentos no tema em questão para esclarecer suas dúvidas.

  

UNIDADE DE ANÁLISE: TAREFAS/ATIVIDADES PROPOSTAS

Categorias: I) Dimensões: Grau de dificuldade e Estrutura

  II) Dimensão: Contexto Contexto Contexto

  Subcategorias Exercícios Problemas Explorações Investigações Real Matemático

  

Quadro 9 – Categoria de análise: Atividades propostas

UNIDADE DE ANÁLISE: FÓRUM DE DISCUSSÕES

  II) DÚVIDAS MATEMÁTICAS TECNOLÓGICAS Dúvidas Dúvidas sobre a sobre a Encaminhamento para Encaminhamento

  Subcategorias utilização dos utilização do exploração/investigação para resposta direta softwares

  AVA matemáticos

Quadro 10 – Categoria de análise: Fórum de discussões

  A pesquisa teve como base uma Instituição de Ensino Superior privada da cidade de São Paulo. Essa instituição oferece cursos de graduação em diversas áreas há mais de 50 anos, entre eles o curso de Licenciatura em Matemática, reconhecido em 1943. São oferecidos também cursos de pós-graduação em matemática desde 1975 e em Educação Matemática desde 1994, tendo sido credenciado pela CAPES em 1997. A instituição já ministrou cursos de especialização para professores da rede pública voltados para o uso da tecnologia no contexto da escola e dos núcleos de tecnologia educacional na modalidade semipresencial, nos anos de 2000 e 2001 e, desde então, vem desenvolvendo vários projetos na modalidade EaD em parceria com instituições governamentais e órgãos do sistema educacional, entre eles, o curso Programa de Educação Continuada (PEC) – Formação Universitária Estado e Municípios (com 4.200 alunos) apoiado em diferentes tecnologias incorporadas em ações descentralizadas e realizadas em pólos; o Curso de Especialização em Desenvolvimento de Projetos Pedagógicos com o uso de Novas Tecnologias (distribuídos por 16 Estados Brasileiros); o Projeto Práxis: formação de educadores via Telemática; o Centro Virtual Interamericano para a Formação de Educadores a Distância; a Formação de gestores escolares e coordenadores para a gestão de tecnologias de informação e comunicação. Todos os cursos são desenvolvidos em parceria com o Programa Nacional de Informática na Educação (ProInfo), a Secretaria de Educação a Distância (SEED) e o Ministério da Educação (MEC) entre outros.

  A graduação em Licenciatura em Matemática na modalidade a distância passou a ser oferecida no ano de 2009.

  O curso tem a duração de 3 (três) anos divididos em 6 (seis) semestres com carga horária total de 2.952 horas. São oferecidas 100 vagas e foi reconhecido em 05/08/2008. Tem como público alvo, num primeiro momento, os professores da rede pública do Estado de São Paulo, que não tenham completado a sua graduação, e aos estudantes em geral que tenham concluído o ensino médio.

  De acordo com o projeto pedagógico do curso de Licenciatura em Matemática na modalidade a distância da instituição, sua finalidade é formar professores de matemática da Educação Básica, buscando no aluno egresso um perfil que relacione os conteúdos matemáticos ao estudo de seu ensino didático em disciplinas específicas dos núcleos de Cálculo, de Álgebra, de Geometria e de Matemática Aplicada, assim como em disciplinas do núcleo de Educação Matemática, numa configuração que possibilite o rompimento da dicotomia entre conhecimentos pedagógicos e conhecimentos específicos e da dicotomia entre teoria e prática. Propõe-se a formar um profissional crítico da realidade nacional, capaz de elaborar diagnósticos e propor soluções aos desafios da ação profissional e capaz de desenvolver o ensino e a aprendizagem de modo a levar seus futuros alunos a se tornarem sujeitos do seu próprio processo de construção de conhecimentos. O professor de matemática precisa ser um profissional com grande competência para formular questões que estimulem a reflexão de seus alunos, que possua sensibilidade para apreciar a originalidade e a diversidade na elaboração de hipóteses e de proposições de solução aos problemas.

  Em relação à formação específica, o curso orienta-se no sentido de que o egresso possa:

  • Construir modelos matemáticos para representar os problemas e suas soluções.
  • Criar e desenvolver tarefas e desafios que estimulem os estudantes a coletar, organizar e analisar informações, resolver problemas e construir argumentações lógicas.
  • Estimular a interação entre três componentes básicos da matemática: o formal, o algorítmico e o intuitivo.
  • Estimular seus alunos para que busquem alcançar uma ampla e diversificada compreensão do conhecimento matemático e para vincular a matemática com outras áreas do conhecimento humano.

  Em relação às competências referentes aos conteúdos específicos, o curso está organizado com os seguintes blocos de disciplinas/atividades curriculares:

  • Aritmética e Álgebra; Teoria Elementar dos Números; Estruturas Algébricas: Anéis e Corpos; Introdução à Álgebra Linear; Álgebra Linear e Introdução à Teoria dos Grupos.
  • Funções e Limites; Funções e Continuidade; Introdução ao Cálculo

  Diferencial e Integral; Cálculo Diferencial; Cálculo Integral; Tópicos de Análise Real.

  • Geometria Euclidiana Espacial; Geometria Euclidiana Plana; Geometria Analítica no Plano; Geometria Analítica no Espaço; Geometria das Transformações; Geometrias não Euclidianas; Geometria Euclidiana Axiomática.
  • Análise exploratória de dados, Métodos Estatísticos, Análise

  Combinatória; Cálculo de Probabilidades; Interfaces da Matemática com a Física: Mecânica; Interfaces da Matemática com a Física: Óptica; Interfaces da Matemática com a Economia.

  De acordo com o interesse deste estudo, que busca verificar se as atividades propostas na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral de um curso de Licenciatura em Matemática na modalidade EaD propiciam a utilização de diferentes estratégias de ensino, decidimos acompanhar o desenvolvimento de uma das disciplinas oferecidas no curso nessa modalidade. Como a origem dos questionamentos que nos levaram a este estudo estão relacionadas às atividades que devem ser propostas em um curso de formação de professores de matemática na modalidade EaD, a disciplina a ser observada, deveria ser uma disciplina de caráter específico matemático, pertencente à grade curricular do curso.

  Sendo assim, optamos por acompanhar a disciplina “Funções e Limites”, que aborda as ideias iniciais do Cálculo Diferencial e do Cálculo Integral. Essa disciplina se mostra muito importante na formação docente, pois, de acordo com as pesquisas, é uma área que: a) possibilita uma diversidade de registros de representações de seus conteúdos, que dependendo de sua abordagem, pode favorecer a unificação de conceitos dos quadros da álgebra, da geometria e da geometria analítica; b) traz noções de conceitos estudados na educação básica, como número real, infinito, funções, continuidade; c) possibilita explorar as relações de seus conceitos com outras áreas do conhecimento.

  que ela tem como objetivo, introduzir os principais conceitos que compõem o Cálculo Diferencial e Integral, focando nos estudos sobre funções e limites, buscando identificar o objeto matemático “função” em suas variadas representações, manipular o conceito de limite e contribuir para uma postura crítica e de maior autonomia ao estudante.

  A cada semestre, as disciplinas oferecidas são organizadas em 3 (três) blocos (1, 2 e 3), previstos para serem cumpridos em 6, 5 e 5 semanas respectivamente, e mais uma semana para finalização das atividades do módulo pelos estudantes que tiverem essa necessidade.

  A disciplina “Funções e Limites”, objeto deste estudo é oferecida no primeiro período do primeiro ano letivo e faz parte do Bloco 1 das disciplinas oferecidas. Possui como objetivo(s) geral(is): Construir conceitos e ferramentas para o Cálculo Diferencial e Integral, desenvolvendo competências para a construção de modelos matemáticos que possibilitem a resolução de problemas

  e, como objetivo(s) específico(s): Identificar o objeto “função” em suas variadas representações e utilizar o conceito de limite. Os temas centrais abordados na disciplina são: Variável e função, Gráfico de função, Função inversa, Função composta, Continuidade, Funções de múltiplas variáveis, Limite de uma

  π seqüência, Os números e, e , Limite por aproximação, Definição geral de limite.

  Para dar suporte aos alunos foram desenvolvidos materiais didáticos, constituídos primordialmente pelos conteúdos e atividades apresentados no formato de hipermídia no ambiente virtual de aprendizagem. Esses materiais contam também com diversos outros recursos, como materiais impressos, vídeos, simulações, dentre outros, contendo as ideias iniciais que serão abordadas em cada tópico e de atividades e exercícios complementares que proporcionam a construção dos conhecimentos abordados. 6 _____________ Para o desenvolvimento das atividades foi disponibilizado o ambiente virtual de aprendizagem Moodle, no qual os alunos podem acessar os materiais disponibilizados, interagir com outros alunos por meio do Chat, enviar suas dúvidas ao professor responsável e participar dos fóruns de discussão.

  Também foram disponibilizados os plug-ins, manuais de instrução e os

  7

links para download dos softwares abertos (Geogebra e Cabri) necessários para

o desenvolvimento das atividades.

  Os alunos são avaliados continuamente por meio da sua participação nas atividades propostas e pela sua colaboração nas atividades de interação, sendo a média final composta por 40% correspondente às atividades realizadas a distância e 60% compostas por atividades avaliativas realizadas presencialmente. 7 _____________

  

Maiores informações sobre os softwares podem ser obtidas em http://www.geogebra.org/cms/ e

  C APÍTULO

  5 DESCREVENDO OS DADOS COLETADOS E ANÁLISES EFETUADAS

  Neste capítulo apresentamos algumas das atividades propostas na disciplina Funções e Limites e algumas das interações virtuais ocorridas na ferramenta fórum de discussões.

  Num primeiro momento, utilizamos a unidade de análise: atividades. As atividades estão descritas conforme foram distribuídas no desenvolvimento da disciplina, ou seja, organizadas em sete (7) tópicos, sendo que os temas abordados em cada tópico estão descritos a seguir:

  Tópico 1 – Reta Real e Plano Cartesiano; • Tópico 2 – Funções e Variáveis; • Tópico 3 – Funções Polinomiais, Modulares, Racionais e Maior Inteiro; • Tópico 4 – Funções Trigonométricas; • Tópico 5 – Função Bijetora e Função Inversa;

  • Tópico 6 – Função Exponencial e Função Logarítmica; • Tópico 7 – Introdução ao conceito de Limite •

  Dentro de cada um dos tópicos, as atividades foram classificadas conforme as duas categorias definidas anteriormente. A primeira categoria, grau de

  

dificuldade e estrutura foi dividida em quatro subcategorias: a ) atividades de

  1

  exercícios; a 2 ) atividades de resolução de problemas; a 3 ) atividades de

exploração; a ) atividades de investigação. A segunda categoria,

  4 contextualização, também foi dividida em duas subcategorias: b 1 ) contexto real; b

  2 ) contexto matemático.

  De acordo com os temas de cada tópico e objetivos propostos em cada atividade, foram apresentados textos introdutórios com conceitos inerentes ao tema estudado e conforme o objetivo de nosso estudo, nossa análise esteve centrada nas atividades propostas durante o desenvolvimento da disciplina.

  Após cada exemplo das atividades que destacamos, realizamos um comentário sobre a atividade proposta contendo as justificativas para a classificação efetuada.

  Ao final da primeira unidade de análise, inserimos um quadro resumo, contendo as classificações das atividades analisadas.

  Posteriormente utilizamos a segunda unidade de análise: fórum de

  

discussões. As interações virtuais originadas a partir da ferramenta fórum de

  discussões estarão organizadas conforme as duas categorias definidas anteriormente. A primeira categoria, a) dúvidas tecnológicas, contém as discussões que abordaram dúvidas sobre a utilização do ambiente virtual e suas ferramentas. Esta primeira categoria foi dividida em duas subcategorias: a )

  1

dúvidas sobre a utilização dos softwares matemáticos utilizados para a realização

das atividades propostas durante a disciplina; a

  2 ) dúvidas tecnológicas sobre a

utilização do Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA). A segunda categoria, b)

dúvidas matemáticas, contendo discussões que abordaram dúvidas sobre os

  conceitos matemáticos abordados em cada tópico, também foi dividida em duas subcategorias: b ) encaminhamento para exploração e investigação; b )

  1 2 encaminhamento para resposta direta.

  Ao final da segunda unidade de análise, inserimos um quadro resumo, contendo as classificações das discussões analisadas.

  Categoria: Grau de dificuldade e estrutura Subcategoria: Problema Categoria: Contextualização Subcategoria: Contexto real Atividade 3.1

  

3.1.1. Suponhamos que uma mercadoria esteja sendo vendida a R$1,50 o quilo. Denotemos

com p o preço a ser pago por uma certa quantidade dessa mercadoria e de x a quantidade

em quilos.

(a) Podemos dizer que p é função de x? Justifique. Se sim, qual a variável independente, a

variável dependente, o domínio e a imagem desta função? (b) Represente esta função com sua expressão algébrica.

(c) Represente esta função num sistema cartesiano, com os valores de x marcados em um

eixo horizontal e os valores correspondentes de p num eixo vertical. Cuidado! Você tem que respeitar o domínio da função para fazer esta representação.

  

3.1.2. No Brasil a temperatura ambiente é sempre dada em graus Celsius (ºC) e nos Estados

Unidos em graus Fahrenheit (ºF). Para relacioná-las, lembremos que 0º C corresponde 32º F

e 100° C corresponde a 212º F. Denotando com C e F os valores correspondentes da

temperatura nas escalas Celsius e Fahrenheit, respectivamente, temos:

  C F

  32 − −

  5 160 C F

  32 − ou ainda ou .

  = C F

  = = − 100 212

  32 − −

  9

  9

  5

  9

(a) Esta relação representa função? Se sim, qual é a variável independente e a variável

dependente? (b) Represente-a graficamente (marque o ponto para o qual F = - 40º). 8 Quadro 11: Atividade classificada como Problema

  Este primeiro bloco inicialmente busca retomar por meio da resolução de problemas situados no contexto real, as relações de dependência existentes entre 8 _____________

  

Esta atividade foi elaborada por: Benedito Antonio da Silva, Lydia Z. Vieira, Maria Thereza G. Dubus, as variáveis e a determinação da sentença matemática que representa essas situações reais vistas no tópico anterior, tendo como objetivo principal a construção do conceito de funções polinomiais de primeiro grau.

  As atividades propostas reúnem as seguintes características: estrutura fechada, grau de dificuldade difícil e tempo médio. De acordo com os pressupostos de Ponte (2003), classificamos as atividades propostas acima como problema, já que o aluno geralmente não dispõe de um método pronto para a resolução e o desenvolvimento da ideia de linearidade e as relações de proporcionalidade são os conhecimentos a serem desenvolvidos para a resolução da tarefa. O enunciado indica claramente o que é dado e o que é pedido, admite resposta única, o resultado já é sabido de antemão pelo professor e a resposta do aluno está certa ou errada. Em relação ao contexto, podemos afirmar que as atividades situam-se no contexto real.

  Tópico 3 – Funções Polinomiais, Modulares, Racionais e Maior Inteiro Categoria: Grau de dificuldade e estrutura Subcategoria: Exercício Categoria: Contextualização Subcategoria: Contexto matemático

  

3.4.8. Indique as coordenadas do vértice das seguintes funções e aponte qual é a abscissa

onde a função assume um valor máximo ou mínimo e determine qual é valor da função

nesse respectivo ponto:

  9 Quadro 12: Atividade classificada como Exercício

  A atividade proposta apresenta estrutura fechada, grau de dificuldade fácil, o aluno possui um método para a resolução, desenvolvido nas atividades 9 _____________

  

Esta atividade foi elaborada por: Benedito Antonio da Silva, Lydia Z. Vieira, Maria Thereza G. Dubus,

  anteriores. Dessa forma, a atividade acima pode ser classificada como exercícios. Podemos afirmar que o objetivo da atividade é consolidar os conhecimentos as atividades propostas situam-se no contexto matemático.

  Tópico 4 – Funções Trigonométricas Categoria: Grau de dificuldade e estrutura Subcategoria: Exploração Categoria: Contextualização Subcategoria: Contexto matemático Atividade 4.2

Abra o arquivo Cabri senoecossenoatividade4_2.fig. e utilize-o para responder os itens

abaixo, você movimentar o ponto B no ciclo trigonométrico. Fixe um ponto P e considere o triângulo retângulo OPP’. Sabendo que a hipotenusa OP mede 1,0, determine: A medida do cateto PP' ___________.

  A medida do cateto OP' ___________.

Com os dados obtidos acima e considerando o triângulo retângulo OPP’, calcule cosseno do

ângulo PÔP’ e seno do ângulo PÔP’. _________________ A abscissa do ponto P é ________________________. A ordenada do ponto P é _______________________.

Movimentando o ponto P e considerando o triângulo retângulo OPP’, preencha a tabela a

seguir, calculando os valores de seno e cosseno, para os ângulos PÔP’ dados.

  Ângulo Cateto Cateto Hipotenusa Abscissa Ordenada Seno Cosseno PÔP’ PP' OP' OP 15º

  30º 45º 60º 90º 120º Compare, em cada caso, o seno com as coordenadas de P. O que você pode concluir?

  _______________________________________________________ Compare, em cada caso, o cosseno com as coordenadas de P. O que você pode concluir? ___________________________________________________

Como você pode calcular o seno e o cosseno de ângulos com mais de 90°, sem utilizar o

triângulo retângulo? ___________________________________

Essa maneira também pode ser utilizada para ângulos com menos de 90°? Justifique.

______________________________________________________

  Movimentando o ponto P no ciclo trigonométrico responda:

  

Você pode determinar um valor para o arco AP , cujo cosseno desse arco seja igual a 1,3?

Se sim, qual será este arco?________________________

  

Você pode determinar um valor para o arco AP , cujo cosseno desse arco seja igual a -2?

Se sim, qual será este arco?________________________

  

Você pode determinar um valor para o arco AP , cujo cosseno desse arco seja igual a -1?

Se sim, qual será este arco?________________________

  

Você pode determinar um valor para o arco AP , cujo cosseno desse arco seja igual a 1? Se

sim, qual será este arco?________________________

  

Você pode determinar um valor para o arco AP , cujo seno desse arco seja igual a -1,2? Se

sim, qual será este arco?___________________________

  

Você pode determinar um valor para o arco , cujo seno desse arco seja igual a 3? Se

  AP

  sim, qual será este arco?_____________________________

  

Você pode determinar um valor para o arco AP , cujo seno desse arco seja igual a -1? Se

sim, qual será este arco?_____________________________

  

Você pode determinar um valor para o arco AP , cujo seno desse arco seja igual a 1? Se

sim, qual será este arco?_____________________________ ∩

  

A partir das repostas anteriores, qual o maior valor possível para seno do arco AP ? E para

∩ cosseno do arco AP ? __________________________________

  ∩ ∩

Qual o menor valor possível para seno do arco AP ? E para cosseno do arco AP ?

___________________________________________________________

Existem arcos diferentes cujo seno desses arcos sejam iguais a 1? Se sim, de um exemplo.

  ____________________________________________________

Existem arcos diferentes cujo cosseno desses arcos sejam iguais a 1? Se sim, de um

exemplo. __________________________________________________ 10 Quadro 13: Atividade classificada como Exploração

  A atividade possui estrutura aberta, grau de dificuldade fácil e possibilita ao aluno desenvolver a ideia de periodicidade e observar as relações e regularidades existentes no ciclo trigonométrico, sendo classificada como exploração e situando-se no contexto matemático. 10 _____________

  

Esta atividade foi elaborada por: Benedito Antonio da Silva, Lydia Z. Vieira, Maria Thereza G. Dubus,

  • Exploração

  7 Problemas Contexto Real Exploração

  3 Contexto Real

  5 Função Bijetora e Função Inversa

  Investigação Contexto Matemático

  4 Exercícios

  5 Problemas

  3 Contexto Real

  5 Exploração

  6 Função Exponencial e Função Logarítmica

  Investigação Contexto Matemático

  3 Exercícios

  7 Introdução ao conceito de Limite Investigação

  8 Exercícios

  Contexto Matemático

  7 Exercícios

  43 Problemas

  26 Contexto Real

  22 Exploração

  11 Total Investigação Contexto Matemático

  58 Quadro 14: Resumo da classificação das atividades 11 Ao classificarmos o conjunto de atividades propostas para o

  desenvolvimento da disciplina “Funções e Limites” do curso em questão, segundo os referenciais apresentados por Ponte (2003), considerando as dimensões “Grau

  

de dificuldade e Estrutura”, constatamos que 43, ou seja, 53,75% das atividades

  propostas foram classificadas como tarefas do tipo exercícios, e 26 atividades

  1 Problemas

  Contexto Matemático

  _____________ 11 Embora não tenham sido encontradas atividades de caráter investigativo, verificamos a utilização desta

  Matemático

  Abaixo apresentamos um quadro resumo contendo a classificação das 80 atividades propostas na disciplina “Funções e Limites”.

  TÓPICO TEMA TIPO DE TAREFA QUANTIDADE CONTEXTO REFERENCIAL QUANTIDADE Exercícios

  8 Problemas Contexto Real

  1 Reta Real e Plano Cartesiano Investigação

  Contexto Matemático

  8 Exercícios

  7 Problemas

  9 Contexto Real

  9 Exploração

  2 Funções e Variáveis Investigação Contexto

  7 Exercícios

  4 Funções Trigonométri cas Investigação

  10 Problemas

  10 Contexto Real

  8 Exploração

  9

  3 Funções Polinomiais, Modulares, Racionais e Maior Inteiro Investigação

  Contexto Matemático

  21 Exercícios

  5 Problemas

  1 Contexto Real Exploração

  2

  • Exploração
foram classificadas como tarefa do tipo problemas, o que corresponde a 32,5% do total proposto, sendo o restante, um total de 11 atividades, 13,75% das atividades propostas, classificadas como tarefas de exploração. Isso nos mostra a predominância de tarefas do tipo exercícios na elaboração do curso. Salientamos que não identificamos nenhuma atividade, dentre o total de 80 atividades propostas, que pudesse ser classificada como uma atividade de investigação.

  Em relação à dimensão Contexto, observamos o total de 58 (72,5%) atividades situadas no contexto matemático e 22 (27,5%) atividades situadas no

  contexto real.

  Podemos observar, dessa forma, ao analisarmos a dimensão contexto, a predominância das atividades situadas no contexto matemático em relação às atividades situadas no contexto real.

  Neste item concentramos nossa atenção na ferramenta fórum de discussões como unidade de análise.

  Para a disciplina Funções e Limites, o fórum de discussões não foi utilizado de forma que provocasse discussões, debates e reflexões entre os alunos sobre os temas de cada tópico estudado, colaborando, assim, para a construção e aprofundamento do conhecimento de todos os alunos como um todo. A ferramenta fórum de discussões foi utilizada como um mural de dúvidas em que todos os alunos poderiam acessar os questionamentos postados pelos colegas de curso. As respostas aos questionamentos efetuados pelos alunos ficaram sob a responsabilidade do professor da disciplina.

  Não nos compete julgar se a utilização da ferramenta foi feita de maneira adequada ou não, ou se foi possível explorar todos os seus potenciais. Levantamos a hipótese de que o propósito da utilização da ferramenta fórum de discussões tenha sido concebido com outras finalidades pelos professores formadores. Iremos focar nossa atenção apenas nas análises das interações virtuais originadas a partir desta ferramenta, conforme as categorias definidas anteriormente.

  Durante o acompanhamento e desenvolvimento da disciplina Funções e Limites, observamos um total de 60 tópicos nessa ferramenta, sendo que deste total, 39 interações estavam relacionados a dúvidas que categorizamos como dúvidas de ordem tecnológicas que se originaram a partir da utilização dos softwares Geogebra e Cabri, dúvidas referente à utilização do ambiente virtual Moodle e dúvidas referente a interpretações das atividades propostas e prazos para a realização das mesmas.

  Destacamos que ocorreu um encontro presencial no início da disciplina, com o objetivo de mostrar aos alunos as formas de utilização dos softwares Geogebra, Cabri e do Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA).

  Apenas 21 dúvidas estiveram relacionadas a temas que categorizamos como dúvidas matemáticas, que abordaram dúvidas referentes aos conceitos matemáticos necessários para a realização das atividades.

  Salientamos que ocorreram alguns encontros presenciais, não oficiais e não programados, entre o professor e os alunos do curso, com a finalidade de esclarecimentos de dúvidas de caráter matemático. Conforme conversa com os professores formadores, nos foi relatada essa disponibilidade de ambas as partes, professores e alunos.

  Dessa forma, consideramos que esses encontros ocasionais colaboraram para a aprendizagem dos alunos, e consequentemente, para a redução da quantidade de dúvidas de caráter matemático postadas no Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA) por meio da ferramenta “fórum de discussões”.

  Essa categoria, dúvidas matemáticas, foi dividida de acordo com o encaminhamento da resposta dada pelo professor formador em duas subcategorias: dúvidas com encaminhamento direto onde encontramos um total de 10 interações virtuais e dúvidas com encaminhamento para exploração/investigação contendo um total de 9 interações virtuais. Duas respostas dadas pelo professor não foram classificadas nas categorias acima, pois as respostas foram realizadas via Chat, conforme relatado no fórum de discussões, sendo que não foi possível obter o registro do conteúdo dessas interações, devido às características tecnológicas da ferramenta utilizada.

  Relacionamos a seguir, algumas dessas interações para ilustrar como ocorreram.

  Efetuamos pequenas alterações de ordem ortográficas e gramaticais, nos registros das dúvidas dos alunos, sem comprometer a essência das interações realizadas.

  Categoria: dúvidas matemáticas Subcategoria: encaminhamento para exploração/investigação Assunto: Tópico 4 Aluno:

Professor na pergunta: Como você pode calcular o seno e o cosseno de ângulos com

mais de 90°, sem utilizar o triângulo retângulo?

Eu acho que não dá para calcular seno e cosseno sem o triângulo retângulo pois são

relações do triângulo retângulo, eu estou certo?” Professor: o o

“Seria possível calcular o seno de 120 utilizando o seno de 60 . Verifique isso no ciclo

trigonométrico. E o cosseno?

  

Quadro 15: Interações Virtuais: Dúvidas matemáticas com encaminhamento para

exploração/investigação

  Podemos observar, na interação acima, as dificuldades apresentadas por um aluno, no que se refere à aprendizagem da trigonometria. Levantamos a hipótese de que essa dúvida originou-se devido ao processo de ensino que o aluno vivenciou, no qual pode ter ocorrido predominância nos estudos da trigonometria no triângulo retângulo em relação ao estudo da trigonometria por meio do ciclo trigonométrico. Isso talvez possa justificar a dificuldade do aluno em determinar os valores do seno e cosseno de ângulos superiores a 90º.

  Destacamos o encaminhamento da resposta dada pelo professor ao aluno, incentivando-o a investigar os valores de seno e cosseno por meio do ciclo trigonométrico.

  Categoria: dúvidas matemáticas Subcategoria: encaminhamento para resposta direta Assunto: Tópico 4 Aluno:

“Professor, quando eu coloco 120° no quadrante 2 n o ciclo trigonométrico, a hipotenusa

continua positiva? me explique” Professor:

“Neste caso a hipotenusa é o raio da circunferência, seu valor no ciclo trigonométrico é

igual a 1 não importa o quadrante, pois o raio de uma determinada circunferência tem

sempre o mesmo valor. Isso é diferente para o seno e o cosseno de um ângulo, pois

esses estão relacionados com as coordenadas do ponto P, que por sua vez está

relacionado com um determinado ângulo. Note que a mudança nas coordenadas do

ponto P dependem do quadrante, enquanto que o raio da circunferência (ou distância de

P ao ponto de origem do plano é constante, nesse caso 1). Uma circunferência pode ser

definida como um lugar geométrico dos pontos equidistantes a um ponto C, chamado

centro da circunferência. Por favor, se permanecer com dúvidas entre em contato

novamente.

  

Quadro 16: Interações Virtuais: Dúvidas matemáticas com encaminhamento para resposta

direta

  Verificamos, na interação acima, a dificuldade do aluno em trabalhar com ângulos acima de 90º, reforçando a discussão efetuada na dúvida relatada anteriormente. Porém, neste exemplo, a pergunta está relacionada ao valor da hipotenusa e não aos valores do seno e cosseno especificamente. Observamos que o aluno confundiu a variação do sinal dos valores do seno e cosseno que ocorre à medida que variamos os quadrantes nos quais se situam os ângulos a serem estudados, com a variação do sinal da hipotenusa do triângulo retângulo o que, de fato, como sabemos, não ocorre.

  Para esta dúvida, como podemos verificar, a resposta do professor foi classificada, de acordo com as categorias definidas, como resposta com encaminhamento direto. Destacamos o empenho do professor em responder ao questionamento efetuado da maneira mais completa possível, abordando vários conceitos importantes, indo além do ponto principal da questão. Por outro lado, o em sua reposta, estabelecesse um diálogo com o aluno, a fim de levá-lo a pesquisar e encaminhá-lo ao processo investigativo, abordando os aspectos necessários para o esclarecimento da dúvida e, consequentemente, a aprendizagem dos conceitos em questão.

  Categoria: dúvidas tecnológicas Subcategoria: uso do Ambiente Virtual de Aprendizagem AVA Assunto: Medida da reta! Aluno:

Professor, quando eu estava mandando o restante das minhas tarefas do Tópico 1, sumiu a

caixinha para carregar os meus arquivos! O que eu faço? Será que o Sr poderia me

orientar?? Obrigada Professor:

O máximo de arquivos que podem ser enviados para a ferramenta TAREFA é 20. Você

já chegou no 20. Que bom! Vou abrir outra TAREFA TOPICO 1 - Parte 2 para que seja possível enviar mais arquivos. Com isso se resolve.

  

Quadro 17: Interações Virtuais: Dúvidas tecnológicas – uso do AVA

  Observamos na interação acima, um exemplo de dúvidas postadas na ferramenta “fóruns de discussão” que classificamos como dúvidas de origem tecnológicas, referentes à utilização do Ambiente Virtual de Aprendizagem (AVA). Observamos um total de 12 interações contendo nesta categoria. A disciplina “Funções e Limites”, objeto deste estudo foi a primeira disciplina oferecida aos alunos ingressantes no curso de Licenciatura em Matemática na modalidade a distância ofertada pela instituição e, por mais conhecimentos tecnológicos que os alunos possuam, esse tipo de dúvida é recorrente no início de um curso baseado em plataformas de educação a distância.

  Corroborando o que expressamos acima, podemos citar a experiência deste autor, que ministrou cursos na EaD, na função de professor tutor, e também realizou cursos como aluno, tendo contato com diferentes plataformas, como o TelEduc, Moodle e outros AVAs: encontramos as mesmas dificuldades iniciais relatadas pelos alunos da disciplina “Funções e Limites”.

  Categoria: dúvidas tecnológicas Subcategoria: uso de Softwares Assunto: Sinais Aluno: “Olá professor,

Como eu faço pra por aqueles dois traços antes e depois do x na atividade 3.6.5? f(x)=

?x? Também não tenho o sinal de radical no meu teclado. Tenho que comprar outro

teclado?” Professor:

“Olá, você pode utilizar o Word, no link inserir, depois símbolos, ou utilizar o Word

equation, se esse link não estiver na barra de ferramentas de seu Word faça o seguinte:

Clique em ferramentas, em seguida personalizar, depois clique em inserir, do lado

direito da tela vai aparecer várias ferramentas, procure o equation editor, clique e

mantenha clicado, arraste este link para a sua barra de ferramentas, preferencialmente

na primeira linha. Com esta ferramenta você pode inserir várias fórmulas matemáticas.

  

Quadro 18: Interações Virtuais: Dúvidas tecnológicas – uso de Softwares

  A interação relatada acima mostra a dificuldade inicial dos alunos em utilizar os softwares disponibilizados para a realização das atividades propostas durante o desenvolvimento do curso.

  Como na categoria descrita anteriormente, esse tipo de dúvida tende a concentrar-se nas disciplinas iniciais, pois provavelmente este deve ser o primeiro contato da maioria dos alunos com este tipo de ferramenta.

  A próxima interação demonstra o potencial que os softwares matemáticos possuem para auxiliar no processo de aprendizagem dos conceitos matemáticos. A utilização da tecnologia e dos softwares para o processo de aprendizagem é Matemática, Bacharelado e Licenciatura – DCNLM (2001) – como destacamos no capítulo inicial deste estudo.

  Assunto: Tarefas tópico 1 Aluno:

Peço desculpa, pois mandei as tarefas do tópico 1 e trabalhando com o geogebra,

percebi e aprendi novos recursos, então entrei na pasta das tarefas enviadas e as

deletei e coloquei as novas. Espero que entenda.

Com relação a atividade 4, os dados solicitados são idênticos a da atividade 3? não

entendi. abraço Professor Olá

Quanto às mudanças, tudo bem, não há problema. Em relação aos itens 3 e 4, são

distintos, por favor, veja a orientação que dei no fórum. Se permanecer com dúvidas,

entre em contato novamente.

  

Quadro 19: Interações Virtuais: Dúvidas tecnológicas – uso do AVA

  Como verificamos, após a realização das atividades utilizando o software Geogebra, o aluno relata que este software propiciou a ampliação do seu entendimento dos conceitos estudados o que o levou a efetuar as correções nas atividades enviadas anteriormente.

  A utilização das Tecnologias da Informação e Comunicação (TIC’s) são recomendadas tanto nas Diretrizes Curriculares como nos Parâmetros Curriculares Nacionais devido ao potencial que apresentam para auxiliar o processo de aprendizagem e a interação postada acima é um exemplo que justifica a sua utilização.

  A seguir apresentamos um quadro contendo o resumo da classificação das dúvidas postadas pelos alunos na ferramenta “fóruns de discussões”.

  

Fórum de discussões

Tópicos aberto para discussões: 60

Dúvidas Tecnológicas Total: 39

  3

  21 Quadro 21: Dúvidas matemáticas por tópico

  2 TOTAL

  7

  1

  6

  1

  5

  5

  4

  5

  3

  2

  Dúvidas matemáticas: Total 21 Dúvidas sobre o uso de Softwares

  4

  1

  TÓPICO TOTAL DE DÚVIDAS POR TÓPICO

  Analisando o quadro a seguir, podemos verificar que as interações referentes às dúvidas matemáticas concentraram-se nos quatro primeiros tópicos da disciplina, sendo que o tópico 3 – Funções Polinomiais, Modulares, Racionais e Maior Inteiro e o tópico 4 – Funções Trigonométricas, apresentaram as maiores incidências.

  Entre as duas categorias utilizadas para classificação das interações virtuais, verificamos 39 interações realizadas na categoria dúvidas tecnológicas e 21 interações referentes à categoria dúvidas matemáticas.

  9 Quadro 20: Resumo da classificação Interações Virtuais

  10

  2

  12

  27

  Não identificadas Respostas com encaminhamento direto Respostas com encaminhamento para exploração/investigação

  Duvidas sobre o uso do AVA

  Os temas abordados no tópico 3 – Funções Polinomiais, Modulares, Racionais e Maior Inteiro e no tópico 4 – Funções Trigonométricas compõem um dos principais eixos temáticos da matemática visto durante o Ensino Médio, e também são de extrema importância para o estudo da disciplina Cálculo Diferencial e Integral.

  Isso nos mostra a grande dificuldade encontrada pelos alunos nesses temas, o que nos leva a levantar a hipótese de que esses conteúdos não devem ter sido trabalhados adequadamente quando os alunos cursaram o ensino médio.

  De acordo com as recomendações do PCN+ (2002, p. 121) observamos que o estudo das funções deve permitir ao aluno adquirir a linguagem algébrica assim como a linguagem das ciências, necessária para expressar a relação entre grandezas e modelar situações-problemas permitindo várias conexões dentro e fora da própria matemática. Destaca ainda que os problemas de aplicação não dever ser deixados para serem trabalhados no final, após a apresentação dos conceitos, mas devem apresentar motivos e contextos para o aluno aprender funções.

  Provavelmente, os alunos devem ter tido sua formação focada nos modelos tradicionais, com o forte emprego de definições e cálculos, às vezes demasiadamente trabalhosos e desnecessários, sem nenhuma relação com a aplicação desses conceitos, fato que não colabora para uma aprendizagem consistente da matemática e que, de acordo com a experiência docente de mais de 7 anos desse autor, atuando na Educação Básica, causa, na maioria das vezes, resistência por parte dos alunos para a aprendizagem dos diversos tipos de funções.

  A seguir, relacionamos as dúvidas referentes ao tópico 3 – Funções Polinomiais, Modulares, Racionais e Maior Inteiro e ao tópico 4 – Funções Trigonométricas.

  Faremos uma análise das dúvidas enviadas pelos alunos, relacionando-as com as atividades propostas a fim de verificar as diferentes metodologias e estratégias de ensino que essas atividades propiciam de acordo com o referencial teórico utilizado neste estudo.

  

Tópico 3Funções Polinomiais, Modulares, Racionais e Maior Inteiro

Assunto: Tarefas Tópico 3 Aluno: Prof, tudo bem??!!

Quanto ao tópico 3.4.8 não consegui entender onde a função assume um valor máximo

ou mínimo. Abraços Professor: Olá,

Estude novamente as coordenadas do vértice de uma parábola, veja o que descobre!

Se permanecer com dúvidas entre em contato.

  

Quadro 22: Dúvidas matemáticas – Tópico 3 – Funções Polinomiais, Modulares, Racionais e

Maior Inteiro

  A atividade 3.4.8 que originou essa dúvida está descrita no quadro 12, foi classificada como exercício e está situada no contexto matemático. A atividade solicita ao aluno que determine as coordenadas dos vértices de funções polinomiais de 2º grau e que indique a abscissa do ponto onde a função assume valor máximo ou mínimo e que determine qual é o valor que a função assume nesse ponto.

  De acordo com o quadro 14, no qual apresentamos o resumo das classificações das atividades propostas, no tópico 3 temos um total de 29 atividades, distribuídas em 10 atividades que foram classificadas como exercícios, 10 atividades que foram classificadas como problemas e 9 atividades que foram classificadas como exploração. Em relação à dimensão contexto, encontramos apenas 8 atividades situadas no contexto real e 21 atividades situadas no

  contexto matemático.

  Dessa forma, observamos que os temas abordados neste terceiro tópico poderiam estar concentradas em atividades do tipo problemas, exploração e investigação e situadas num contexto real, o que favoreceria uma aprendizagem mais contextualizada aos alunos e propiciando-o a desenvolver estratégias semelhantes para o ensino desses conceitos em sua prática docente futura. Sendo essa uma das primeiras atividades envolvendo o cálculo de máximos e mínimos, podemos levantar a hipótese de que se essa atividade proposta estivesse situada num contexto real, a compreensão do conceito de máximo e mínimo de uma função pelo aluno ocorreria com maior consistência e facilidade.

  A seguir apresentamos a segunda dúvida classificada como dúvida matemática, referente ao tópico 3.

  Assunto: Tarefas Tópico 3 Aluno: Oi Professor, tudo bem??!!!! No tópico 3.4.11 não consegui entender o que deve ser realizado nas questões: I – Use a função demanda para escrever custo e receita como funções de p.

  

II – A função lucro é dada por L = R – C, escreva a função lucro em função do preço p

da anuidade.

  III – Qual é a anuidade que maximiza o lucro? Me ajuda!!!! Professor: Olá! Vamos lá! 3.4.11. (a) Um clube de saúde particular tem funções de custo e receita dados por

C = 10.000 + 35q e R = pq, onde q é o número de membros anuais do clube e p é o

preço da anuidade. A função de demanda para o clube é q = 3.000 – 20p. I – Use a função demanda para escrever custo e receita como funções de p.

Se a função demanda é q = 3000 - 20p, então devemos utilizar essa informação para

escrever C e R em função de p, para isto basta substituir q por (3000 - 20p) nas funções

C e R. Por exemplo, para o custo temos: C = 10.000 + 35(3000 - 20p). Realize as

operações e faça o mesmo para a função R. Note que para R você encontrará uma

função quadrática!

  

II – A função lucro é dada por L = R – C, escreva a função lucro em função do preço p

da anuidade.

Após realizar o item I você terá as Funções R e C em função de p, para encontrar L

basta fazer R - C, ou seja, uma função menos a outra, já que L = R - C.

  III – Qual é a anuidade que maximiza o lucro?

Se você realizou corretamente os itens I e II, você deve ter encontrado uma função

quadrática para L. Deve ter percebido também que uma função quadrática tem um valor

2

máximo ou mínimo (dependendo do coeficiente a em y = ax +bx+c, neste caso temos

como variável independente p e variável dependente L), este máximo ou mínimo pode

ser encontrado utilizando as coordenadas do vértice da parábola. Agora é com você! Se tiver problemas entre em contato novamente! Problemas que envolvem o cálculo de máximo ou mínimo de funções quadráticas.

  Aluno: Muito Obrigada!!!!!!!!!!!

  

Quadro 23: Dúvidas Matemáticas – Tópico 3 – Funções Polinomiais, Modulares, Racionais e

Maior Inteiro

  A atividade que originou esta dúvida está descrita no interior dos comentários feitos pelo aluno e pelo professor. Trata-se de uma atividade que foi classificada como problema situado no contexto real.

  Por meio da resposta dada pelo professor, percebemos que a dúvida do aluno não está relacionada ao problema de determinar o máximo da função e sim, em determinar a sentença matemática das funções custo e receita em função do preço. Podemos inferir que essa dificuldade deve-se ao fato de, na maioria das vezes, os estudos sobre funções serem efetuados diretamente por meio de cálculos, sem relações com o contexto real, solicitando-se que sejam determinados os valores das raízes das funções, valores máximos e mínimos, sempre de maneira abstrata, e raramente abordados a partir de situações problemas, em que o primeiro passo a ser dado para a resolução é a determinação da sentença matemática que expressa a relação entre as variáveis envolvidas.

  Diversos autores afirmam que muitos alunos tem dificuldades na resolução de problemas algébricos bastante simples, principalmente quando estes necessitam da tradução da linguagem corrente para a linguagem formal. “Sem a capacidade de interpretar expressões, os alunos não dispõem de mecanismos para verificar se um dado procedimento é correto” (LOCHHEAD e MESTRE, 1995, p. 148).

  Em relação às tarefas propostas nessa disciplina, observamos em atividades anteriores e posteriores às apresentadas, situações-problemas que envolvem o estudo de funções e que, para a sua resolução, é necessário determinar a sentença matemática que expressa a relação entre as variáveis envolvidas no problema, realizando-se, assim, a tradução da linguagem corrente para a linguagem algébrica como descrita no parágrafo anterior.

  A seguir, apresentamos a terceira dúvida classificada como dúvida matemática, referente ao tópico 3. Assunto: Tarefas Tópico 3 Aluno:

Professor na atv. 3.6.5, f(x)=IxI está em modulo portanto entendi que em modulo IxI + k

seria igual x+k ou seja igual a Ix+kI e a translação seria vertical em relação ao eixo y?

esta correto? ou a translação seria em grau? Professor: Olá,

Se somar uma constante k diferente de 0 à função f(x)=IxI, terá então f(x)=IxI + k, o

gráfico dessa nova função irá sofrer um translação vertical em relação ao gráfico de

f(x)=IxI. Se somar k a variável independente de f(x)=IxI, terá f(x)=Ix+kI, o que ocorre

com o gráfico nesse caso? É igual ao anterior? Veja o que descobre? Se quiser utilizar

o geogebra, selecione o link abs(x) na barra onde você digita as leis das funções.

  

Quadro 24: Dúvidas Matemáticas – Tópico 3 – Funções Polinomiais, Modulares, Racionais e

Maior Inteiro

  A dúvida acima está relacionada à atividade 3.6.5. do tópico 3, que foi classificada como uma atividade de exploração, situada no contexto

  

matemático. O estudo das transformações que ocorrem nos gráficos das

  funções quando somamos ou multiplicamos uma constante à função ou à variável independente é recomendado tanto nos PCNs quanto na Proposta Curricular do Estado de São Paulo. Na Proposta Curricular do Estado de São Paulo, sugere-se que esse tema seja abordado no 3º bimestre do 3º ano do Ensino Médio (p. 58).

  Segundo os PCNs, um dos objetivos centrais do estudo das funções é a análise dos gráficos das funções. O estudo dessas transformações auxilia o aluno a ampliar o conhecimento a respeito das funções e possibilita que ele realize um esboço do gráfico de diversas funções a parir de uma função elementar similar à função dada, evitando assim, todo o processo desgastante para a construção de gráficos de uma função.

  Destacamos novamente o incentivo do professor ao aluno para a utilização dos softwares para a resolução da atividade proposta.

  A seguir apresentamos a quarta dúvida classificada como dúvida matemática, referente ao tópico 3.

  Assunto: Tarefas Tópico 3 Aluno: Bom dia professor, O senhor disse que ia me explicar a atividade 3 no Chat lembra? Professor:

Você precisa desenhar um intervalo, por exemplo, para x>2 pode ser feito uma semi-

reta em cima do eixo das abscissas (eixo x), é necessário indicar que o número 2 não

pertence ao intervalo, isso pode ser feito colorindo de vermelho o ponto 2 e de outra cor

o restante da semi-reta que satisfaz a condição x > 2 (x maior que 2). Indique que o

intervalo é aberto em 2.

  

Quadro 25: Dúvidas Matemáticas – Tópico 3 – Funções Polinomiais, Modulares, Racionais e

Maior Inteiro

  A dúvida acima não nos permite efetuar uma análise mais profunda, em virtude de não termos condições de verificar qual era exatamente a dúvida do aluno. Por meio da resposta do professor, sabemos que a dúvida refere-se à representação de intervalos na reta numérica.

  A seguir apresentamos a quinta dúvida classificada como dúvida matemática, referente ao tópico 3.

  Assunto: Tarefas Tópico 3 Aluno:

Professor o ponto que toca ou corta os eixos x e y são onde a parábola corta os pontos

das retas x e y? Professor:

Isso mesmo, são os pontos onde a parábola toca ou corta os eixos das abscissas (eixo

x) e das ordenadas (eixo y).

  Aluno: Obrigado!!!

  

Quadro 26: Dúvidas Matemáticas – Tópico 3 – Funções Polinomiais, Modulares, Racionais e

Maior Inteiro.

  A dúvida anterior está relacionada à atividade 3.4.10 que foi classificada como exercício, estando situada no contexto matemático. A atividade consiste em preencher uma tabela na qual, na primeira coluna são fornecidos diversos gráficos de funções polinomiais do 2º grau, e as demais colunas devem ser preenchidas com as informações referentes à expressão algébrica, coordenadas do vértice, eixo de simetria, domínio e imagem da função e os pontos onde a função toca ou corta os eixos x e y.

  A dúvida do aluno está relacionada à compreensão e à determinação do zero da função, ou seja, da raiz da função fornecida, bem como, no estabelecimento da relação entre o valor do termo independente da expressão algébrica que representa a função e o valor onde o gráfico intercepta o eixo das ordenadas.

  Essa atividade contempla de uma única vez, a aplicação de todos os conceitos estudados nas atividades anteriores, durante o tópico 3, sendo um dos principais objetivos da atividade, estabelecer as relações entre as transformações ocorridas nos gráficos das funções e as alterações ocorridas na expressão algébrica das funções quando somamos uma constante ao valor da variável independente, ou quando somamos uma constante à expressão da função.

  Podemos verificar que a princípio, de acordo com a pergunta efetuada, o aluno não tem o conceito de raiz da função bem definido e que também não domina a relação existente entre o valor do termo independente e o ponto onde o gráfico intercepta o eixo das ordenadas.

  Por meio da atividade proposta, podemos intuir que o aluno terá condições de verificar essas relações existentes, bem como ampliar os demais conceitos abordados nessa atividade e nas atividades anteriores, principalmente em relação às transformações ocorridas nos gráficos.

  A seguir apresentamos as dúvidas classificadas como dúvidas matemáticas, referente ao tópico 4.

  Tópico 4 – Funções Trigonométricas.

  A análise das dúvidas referentes ao tópico 4 – Funções Trigonométricas, será feita de maneira diferente da realizada para as dúvidas referentes ao tópico 3

  • – Funções Polinomiais, Modulares, Racionais e Maior Inteiro. Essa alteração deve-se ao fato de que, as 5 dúvidas postadas referentes ao tópico 4 estarem relacionadas diretamente a realização da atividade 4.2, cujo tema principal é o cálculo dos valores do seno e cosseno dos ângulos superiores a 90º por meio do ciclo trigonométrico.

  Sendo assim, apresentaremos primeiramente, de forma agrupada, as 5 dúvidas matemáticas referentes ao tópico 4 e, posteriormente, efetuaremos a análise dessas dúvidas, relacionando-as com as atividades propostas, a fim de verificar as diferentes metodologias e estratégias de ensino que essas atividades propiciam de acordo com o referencial teórico utilizado neste estudo.

  Assunto: Tarefas Tópico 4 Aluno: Professor na pergunta:

Como você pode calcular o seno e o cosseno de ângulos com mais de 90°, sem utilizar

o triângulo retângulo?

Eu acho que não dá para calcular seno e cosseno sem o triângulo retângulo pois são

relações do triângulo retângulo, eu estou certo? Professor: Seria possível calcular o seno de 120 o utilizando o seno de 60 o . Verifique isso no ciclo trigonométrico. E o cosseno?

  

Quadro 27: Dúvidas Matemáticas-Tópico 4-Funções Trigonométricas Assunto: Tarefas Tópico 4 Aluno:

Professor, quando eu coloco 120° no quadrante 2 no ciclo trigonométrico, a hipotenusa

continua positiva? me explique Professor:

Neste caso a hipotenusa é o raio da circunferência, seu valor no ciclo trigonométrico é

igual a 1 não importa o quadrante, pois o raio de uma determinada circunferência tem

sempre o mesmo valor. Isso é diferente para o seno e o cosseno de um ângulo, pois

esses estão relacionados com as coordenadas do ponto P, que por sua vez está

relacionado com um determinado ângulo. Note que a mudança nas coordenadas do

ponto P dependem do quadrante, enquanto que o raio da circunferência (ou distância de

P ao ponto de origem do plano é constante, nesse caso 1). Uma circunferência pode ser

definida como um lugar geométrico dos pontos eqüidistantes a um ponto C, chamado

centro da circunferência. Por favor, se permanecer com dúvidas entre em contato

novamente.

  

Quadro 28: Dúvidas Matemáticas-Tópico 4-Funções Trigonométricas

Assunto: Tarefas Tópico 4 Aluno:

Professor, na ativ. 4.2 como se precisa do valor de um dos catetos para eu poder

definir o outro então o que eu faço? devo representar um dos catetos como sendo 1-x? Professor:

Primeiro abra o arquivo seno e cosseno atividade 4.2, em seguida clique no ponto P e

movimente-o, observe as mudanças de valores nas coordenadas do ponto

P(genericamente é o par ordenado (x, y)), tente interpretá-los e verifique se há alguma

relação desses valores com os pontos sobre os eixos x e y (plano cartesiano). Fixe o

ponto P, e tente observar qual é a medida dos segmentos OP', PP', OP'' e PP''. Alguns

de segmentos tem a mesma medida? Há relação com o par ordenado (x, y)? Veja o

que descobre! Depois entre em contato novamente.

  Aluno:

Professor, eu observei que o ponto x,y representam os catetos e a hipotenusa é

sempre maior do que um deles. o cateto OP'= ao cateto P''P e o cateto OP''= ao cateto

P'P.

  Professor:

Isso mesmo. Além disso, a hipotenusa é igual a 1, a medida dos segmentos é dada pela

sua coordenada menos 0, ou seja, sua coordenada no eixo x ou eixo y indica a medida

do segmento, por exemplo, se o ponto P tem coordenadas P(0,87 , 0,5), então, a

medida do segmento PP' é 0,5, e a medida de PP'' é 0,87, e respectivamente nessa

ordem para OP'' e OP'.

  Aluno: Obrigado, agora vou tentar fazer a atividade.

  

Quadro 29: Dúvidas Matemáticas-Tópico 4-Funções Trigonométricas Assunto: Tarefas Tópico 4 Aluno:

Professor não consegui entender a ativ. 4.2 na tabela que pede para calcular cateto,hip,

absc, ordenada, seno e cosseno. Li que a hipotenusa é sempre 1 e os catetos são a

metade da hipotenusa não compreendo parece que vai ser sempre a mesma e na ord e

absc é que não sei nada não achei nada não compreendi e no seno e cosseno entendi

que no angulo de 30 graus tenho que calcular OP"/OP e PP'/OP só que não consigo

entender como calculo no ciclo.

  Professor: Olá,

Por favor, olhe no fórum todas as informações que dei sobre o tópico 4 (atividade 4.2).

Se permanecer com dúvidas entre em contato novamente.

  

Quadro 30: Dúvidas Matemáticas-Tópico 4-Funções Trigonométricas

Assunto: Tarefas Tópico 4 Aluno: Professor eu já li e continuo sem entender esta matéria.

  Professor: Podemos marcar na próxima terça-feira às 17h para tirar dúvidas sobre este tópico?

  

Quadro 31: Dúvidas Matemáticas-Tópico 4-Funções Trigonométricas

  Como foi possível observar, as dúvidas acima estão relacionadas à atividade 4.2, que por meio da utilização do ciclo trigonométrico com o auxílio do software Cabri, tem como objetivo principal, estabelecer as relações de congruência entre os valores do seno e cosseno dos ângulos superiores a 90º com ângulos situados no 1º quadrante, ou seja, para os ângulos entre 0º e 90º. E é exatamente neste ponto, em que se concentram as dificuldades apresentadas pelos alunos.

  A primeira dúvida relacionada foi citada no quadro 15, como um exemplo que foi categorizado como dúvida matemática com encaminhamento para exploração/investigação. Na análise que efetuamos inicialmente, observamos as dificuldades apresentadas por um aluno no que se refere à aprendizagem da trigonometria. Discutimos sobre a hipótese de que essa dúvida tenha se originado em consequência do processo de ensino da trigonometria, no qual, geralmente, a aprendizagem ocorre por meio de cálculos extenuantes, com emprego de fórmulas extensas e sem conexão e aplicação com o contexto real. Podemos inferir ainda, que no processo de aprendizagem da trigonometria tenha ocorrido predominância nos estudos da trigonometria no triângulo retângulo em relação ao estudo da trigonometria por meio do ciclo trigonométrico, não ocorrendo a extensão e a transição entre esses dois temas.

  Na segunda dúvida, também relacionada à atividade 4.2 e que foi citada no quadro 16, reforça-se a discussão efetuada anteriormente sobre a dificuldade de os alunos trabalharem com ângulos de medidas acima de 90º, com o diferencial de que nesse exemplo, o questionamento está relacionado ao valor da hipotenusa e não aos valores do seno e cosseno especificamente. A discussão sobre a dificuldade apresentada pelo aluno e o encaminhamento dado pelo professor foi realizada anteriormente, quando citamos essa atividade no quadro 16.

  As demais dúvidas relacionadas apresentam questionamentos que, ainda que primeira vista, sejam diferentes dos anteriores, podemos constatar, com um olhar mais criterioso, que estão relacionados ao mesmo conhecimento que geraram as duas primeiras dúvidas, ou seja, determinar os valores do seno e cosseno de ângulos maiores de 90º.

  As dificuldades em relação aos cálculos dos valores de seno e cosseno de ângulos maiores que 90º estão respaldadas nas recomendações contidas no PCN+, conforme descrito abaixo:

  Apesar de sua importância, tradicionalmente a trigonometria é apresentada desconectada das aplicações, investindo-se muito tempo no cálculo algébrico das identidades e equações em detrimento dos aspectos importantes das funções trigonométricas e da análise de seus gráficos. O que deve ser assegurado são as aplicações da trigonometria na resolução de problemas que envolvem medições, em especial o cálculo de distâncias inacessíveis e para construir modelos que correspondem a fenômenos periódicos. Dessa forma, o estudo deve se ater às funções seno, cosseno e tangente com ênfase ao seu estudo na primeira volta do círculo trigonométrico e à perspectiva histórica das aplicações das relações trigonométricas.

  Outro aspecto importante do estudo deste tema é o fato desse conhecimento ter sido responsável pelo avanço tecnológico em diferentes épocas, como é o caso do período das navegações ou, atualmente, na agrimensura, o que permite aos alunos perceberem o conhecimento matemático como forma de resolver problemas que os homens se propuseram e continuam se propondo (PCN+, 2002, p. 122).

  Como podemos observar, a resolução de situações problemas é a metodologia de ensino recomendada para a aprendizagem da trigonometria, aliada a situações que estejam situadas no contexto real, facilitando assim, melhor compreensão dos conceitos e de suas aplicações.

  Durante a análise das atividades propostas no tópico 4 – Funções Trigonométricas, verificamos um total de 8 atividades, sendo que 5 destas atividades foram classificadas como exercícios, 2 atividades foram classificadas como problemas e apenas 1 atividade foi classificada como exploração, sendo que todas as 8 atividades estão situadas no contexto matemático, como podemos observar no Quadro 14: Resumo da classificação das atividades.

  Assim, observamos a predominância de atividades do tipo exercícios, correspondendo a 62,5% do total de atividades propostas neste tópico, destacando ainda que 100% dessas atividades estão situadas no contexto matemático.

  Encaminhamentos dados pelo professor

  A análise referente aos encaminhamentos dados pelo professor aos questionamentos feitos pelos alunos está relacionada às dúvidas matemáticas. Entre as 21 dúvidas matemáticas que verificamos na ferramenta fórum de discussões constatamos que: 10 respostas foram efetuadas por meio de encaminhamento direto e 9 respostas foram efetuadas por meio de encaminhamento para o processo investigativo, sendo que não foi possível categorizar 02 respostas devido à sua ocorrência via Chat, a cujo registro do conteúdo não tivemos acesso. Verificamos, dessa forma, um equilíbrio entre os tipos de encaminhamentos dados pelo professor. As 10 respostas que categorizamos como encaminhamentos diretos estão relacionadas em sua maioria (7 atividades) às atividades que foram classificadas como exercícios e estão situadas no contexto real. Verificamos 2 atividades classificadas como problemas e 1 atividade classificada como exploração que tiveram respostas com encaminhamento direto.

  As 09 respostas categorizadas como encaminhamentos para investigação estão relacionadas a 04 atividades de exploração, 02 atividades de resolução de problemas e 03 atividades de exercícios.

  Analisando os dados acima, verificamos que os encaminhamentos dados pelo professor aos questionamentos efetuados pelos alunos estão, em sua maioria, de acordo com os tipos de atividades propostas.

C ONSIDERAđỏES F

INAIS

  A Educação a Distância percorre seus primeiros passos no Brasil e acreditamos no seu potencial para ser uma das possibilidades de formação de professores e dessa forma, sanar o déficit de professores na educação básica que nosso país apresenta.

  Dessa maneira, a EaD apresenta um terreno fértil para o desenvolvimento de futuras pesquisas no que tange a formação de professores e o processo de construção do conhecimento. Futuras pesquisas poderão responder a questões não abordadas neste momento. Acreditamos que estudos mais aprofundados, focando nas interações ocorridas entre professor-aluno e aluno-professor, sejam um ponto importante a ser investigado, pois o diálogo estabelecido entre o professor e o aluno é fundamental no processo de aprendizagem, como podemos observar na fala de Porto (2010):

  ... o diálogo é uma comunicação com qualidades específicas, segundo Skovsmose & Alro (2006), que tem grande destaque no processo de aprendizagem. Ou seja, o diálogo como entendido na educação e na educação matemática em particular, não é uma simples conversa entre professor e alunos. Esta comunicação entre os participantes do processo de ensino aprendizagem tem um objetivo principal que deve pautar todo este processo: a produção coletiva do conhecimento. [...] sejam eles a construção de um conhecimento matemático por parte da turma ou a resolução de um problema (PORTO, 2010, p. 116).

  Referente à Análise dos Dados

  O nosso objetivo de pesquisa era verificar se as atividades propostas na disciplina de Cálculo Diferencial e Integral de um curso de Licenciatura em de ensino, tais como: investigação, resolução de problemas e exercícios, assim como verificar quais seriam os questionamentos, “dúvidas” propostas pelos alunos e qual o encaminhamento dado a esses questionamentos pelo professor da disciplina.

  Para atender ao objetivo proposto, estabelecemos algumas questões de pesquisa que nortearam este estudo, entre elas: Quais são os diferentes tipos de atividades propostos na disciplina de Introdução ao Cálculo Diferencial e Integral, em um curso de Licenciatura em Matemática na modalidade a distância? Quais são os questionamentos efetuados pelos alunos em relação à disciplina de Cálculo Diferencial e Integral? Esses questionamentos estão relacionados a dúvidas de conceitos matemáticos ou a dúvidas tecnológicas? Qual a postura do professor da disciplina em relação à resposta aos questionamentos dos alunos? As respostas são dadas por meio de um encaminhamento direto ou as respostas são direcionadas para os processos de investigação e exploração?

  Com o intuito de responder as questões de pesquisa e para fundamentar as análises das atividades propostas e das interações virtuais, questionamentos e dúvidas postadas pelos alunos, utilizamos como referencial teórico as ideias de Ponte (2003) que categoriza as atividades desenvolvidas para a aprendizagem em 4 tipos de tarefas, sendo elas: Exercícios, Problemas, Exploração e

  

Investigação. Essas atividades podem estar situadas no contexto real ou no

contexto matemático.

  Utilizamos, ainda, como aporte teórico, o princípio do isomorfismo, que afirma que o professor tende a repetir nos ano iniciais de sua prática docente o modelo pedagógico vivenciado em sua formação (Bireaud, 1995).

  De acordo com o nosso entendimento, a partir das ideias de Ponte (2003), verificamos que o encaminhamento dado pelo professor da disciplina às dúvidas postadas pelos alunos, foi um ponto importante a ser observado, pois de acordo com o modelo de resposta utilizado pelo professor, pode ocorrer alterações na proposta metodológica utilizada na concepção das atividades. Se uma atividade foi desenvolvida com a finalidade de propiciar o desenvolvimento de uma exploração ou investigação e o professor responde as dúvidas do aluno de forma direta, dando a solução imediata da questão, o processo investigativo é interrompido, e compromete o objetivo proposto inicialmente pela atividade em questão. Por outro lado, se o encaminhando dado pelo professor aos questionamentos e dúvidas postadas pelos alunos, tiver a característica de instigar momentos de reflexão, exploração e investigação, o processo de aprendizagem poderá se dar de maneira diferenciada, favorecendo a apreensão de conceitos, a percepção de padrões e regularidades nos entes matemáticos estudados.

  No desenvolvimento da disciplina “Funções e Limites”, foram propostas um total de 80 atividades e verificamos que: 43, ou seja, 53,75% das atividades, foram classificadas como atividades do tipo exercícios; 26 atividades foram classificadas como problemas, o que corresponde a 32,5%; e 11 atividades, correspondente a 13,75% do total, foram classificadas como atividades de

  

exploração. Isso nos mostra a predominância de tarefas do tipo exercícios na

  elaboração do curso. Em nossa análise, não verificamos atividades do tipo investigação.

  Em relação à dimensão Contexto, observamos o total de 58 (72,5%) atividades situadas no contexto matemático e 22 (27,5%) atividades situadas no

  contexto real.

  Podemos observar, dessa forma, ao analisarmos a dimensão contexto, a predominância de atividades situadas no contexto matemático em relação às atividades situadas no contexto real, conforme definido por Ponte (2003).

  Analisando as interações virtuais que ocorreram por meio da ferramenta fórum de discussão, no qual foram postados os questionamentos e dúvidas dos alunos, observamos um total de 60 interações. Desse total, 39 interações foram classificadas como dúvidas tecnológicas (27 sobre dúvidas de utilização de softwares e 12 dúvidas sobre a utilização do AVA), e 21 interações classificadas como dúvidas matemáticas, que foram subcategorizadas conforme o encaminhamento da resposta dada pelo professor. Nesse item verificamos 10 respostas com encaminhamento direto e 9 respostas com encaminhamento para exploração e investigação. Duas dessas respostas não nos permitiram realizar uma classificação, pois foram realizadas via Chat, conforme descrito no interior das interações ocorridas. Entre as dúvidas matemáticas, observamos que estiveram concentradas nos temas abordados no Tópico 3 – Funções Polinomiais, Modulares, Racionais e Maior Inteiro e no Tópico 4 – Funções Trigonométricas, temas que compõem um dos principais eixos temáticos da matemática estudados durante o Ensino Médio, e que são de extrema importância para o estudo da disciplina Cálculo Diferencial e Integral. Constatamos ainda que as dúvidas referentes ao Tópico 4 – Funções Trigonométricas estavam relacionadas à determinação dos valores do seno, cosseno de ângulos com medidas superiores a 90º.

  Em relação aos tipos de encaminhamentos dados pelo professor aos questionamentos efetuados pelos alunos, verificamos por meio da análise dos dados, que os encaminhamentos dados pelo professor estão, em sua maioria, de acordo com o tipo de atividades propostas, ou seja, onde ocorreu o encaminhamento direto, as atividades do tipo exercícios prevaleceram e onde ocorreu o encaminhamento para os processos investigativos, ocorreu predominância de atividades do tipo problemas e exploração.

  Os exemplos a seguir ilustram o que constatamos durante essa pesquisa.

  Assunto: Tópico 7 Aluno: Professor, Não entendi direito o que está pedindo em exercícios como o exercício c.

  Professor: Olá

Sua dúvida está relacionada ao cálculo do limite? Em relação ao item c, se for sobre os

limites, você deve calcular qual é o limite da função quando x tende a 2 pela direita, ou

seja, x tende a dois assumindo valores menores que 2, como 1,9; 1,99; 1,999, nesse

caso você deve verificar qual sentença utilizará (lembre-se, trata-se de uma única

função com duas sentenças) para calcular este limite. Depois, deve calcular qual é o

limite da função quando x tende a 2 pela esquerda, ou seja, x tende a dois assumindo

valores maiores que 2, como 2,1; 2,01; 2,001, nesse caso você deve verificar qual

sentença utilizará para calcular este limite. Se os limites laterais da função forem iguais

a L (um número real) quando x tende a 2 pela direita e pela esquerda, então o limite da

função quando x tende a 2 será L. Caso contrário não há limite para está função quando

x tende a 2, pois os limites laterais serão distintos. Seria bom consultar um livro de

Cálculo Diferencial e Integral I. O site www.somatematica.com.br tem alguns exemplos

de limites na parte de Ensino Superior. Se permanecer com dúvidas, por favor, entre em

contato novamente.

  Aluno: Obrigado, Professor!!!

  

Quadro 32 – Resposta com encaminhamento direto para atividade classificada como

  Esta interação retrata uma discussão entre o professor e o aluno referente a atividade 7.2.2 que foi classificada como exercício. Analisando o encaminhamento dado pelo professor ao questionamento efetuado pelo aluno, podemos perceber que o mesmo foi condizente com o tipo de atividade proposta, pois o mesmo esclareceu a dúvida de forma direta e objetiva.

  Analisando a interação a seguir, observamos uma postura diferenciada do professor em relação ao questionamento efetuado pelo aluno, que discute sobre a atividade 4.2 descrita no quadro 13 e foi classificada como atividade de exploração.

  Assunto: Tópico 4 Aluno:

Professor, na ativ. 4.2 como se precisa do valor de um dos catetos para eu poder

definir o outro então o que eu faço? devo representar um dos catetos como sendo 1-x?

Professor:

Primeiro abra o arquivo seno e cosseno atividade 4.2, em seguida clique no ponto P e

movimente-o, observe as mudanças de valores nas coordenadas do ponto

P(genericamente é o par ordenado (x, y)), tente interpretá-los e verifique se há alguma

relação desses valores com os pontos sobre os eixos x e y (plano cartesiano). Fixe o

ponto P, e tente observar qual é a medida dos segmentos OP', PP', OP'' e PP''. Alguns

segmentos têm a mesma medida? Há relação com o par ordenado (x, y)? Veja o que

descobre! Depois entre em contato novamente.

  Aluno:

Professor, eu observei que o ponto x,y representam os catetos e a hipotenusa é

sempre maior do que um deles. o cateto OP'= ao cateto P''P e o cateto OP''= ao cateto

P'P.

  Professor:

Isso mesmo. Além disso, a hipotenusa é igual a 1, a medida dos segmentos é dada pela

sua coordenada menos 0, ou seja, sua coordenada no eixo x ou eixo y indica a medida

do segmento, por exemplo, se o ponto P tem coordenadas P(0,87 , 0,5), então, a

medida do segmento PP' é 0,5, e a medida de PP'' é 0,87, e respectivamente nessa

ordem para OP'' e OP'.

  Aluno: Obrigado, agora vou tentar fazer a atividade.

  

Quadro 33 – Resposta com encaminhamento para investigação para atividade classificada

como exploração

  Observamos por meio do encaminhamento dado a dúvida do quadro 33, que o professor proporcionou ao aluno momentos de investigação em relação ao tema abordado e, analisando a reposta enviada pelo aluno, podemos perceber que o mesmo conseguiu chegar às conclusões esperadas, identificando as regularidades existentes. Posteriormente o professor complementou as informações ao aluno. A postura do professor em relação ao tipo encaminhamento da resposta foi ao encontro da proposta da atividade elaborada, que foi classificada como uma atividade de exploração.

  Diante das observações que realizamos durante o desenvolvimento deste estudo, temos como resposta para a nossa questão de pesquisa, que as atividades propostas na disciplina Funções e Limites na modalidade EaD propiciam que o professor vivencie diferentes tipos de estratégias de ensino aprendizagem como exercícios, resolução de problemas e atividades de exploração, sendo que observamos uma predominância das atividades de exercícios em relação aos outros tipos de atividades. Em relação aos questionamentos efetuados pelos alunos, observamos que a maioria estavam relacionados a dúvidas tecnológicas. Já as dúvidas matemáticas foram esclarecidas pelo professor por meio de encaminhamentos que, em sua maioria, atenderam aos propósitos que as atividades foram elaboradas.

  Contribuições da Pesquisa para a Prática do Pesquisador

  Realizar este estudo proporcionou alterações em nossa concepção de ensino, tanto para o presencial quanto na modalidade a distância.

  O referencial teórico utilizado, que discorre sobre os diferentes tipos de atividade que podemos utilizar no processo de aprendizagem, e os benefícios que cada tipo de atividade pode propiciar aos alunos, nos fez refletir sobre a nossa prática docente. Percebemos o quanto é importante proporcionar aos alunos momentos de reflexão, de investigação, em que eles assumem a responsabilidade pela construção do conhecimento a ser construído, deixando de serem alunos passivos, meros espectadores e assumindo um papel ativo, fazer matemática” descobrem o processo de evolução do conhecimento, da ciência, colaborando, assim, para uma formação focada no desenvolvimento das habilidades e competências preconizadas nas Diretrizes Curriculares e nos PCNs.

  Essas reflexões também nos fizeram repensar a nossa prática no ensino a distância, que devido às suas características e particularidades, requer alunos que desenvolvam disciplina e autonomia para a aprendizagem. Sendo assim, percebemos que um dos percursos para desenvolver essa autonomia está relacionado à proposição de atividades direcionadas ao processo investigativo, de exploração e resolução de problemas.

  Analisar as atividades propostas no curso EaD nos levaram, de certa forma, a refletir sobre as diferenças entre as atividades num curso EaD e num curso presencial. Destacamos a importância do procedimento do professor em relação às interações virtuais ocorridas entre professor-aluno e aluno-professor, direcionando esses momentos para o processo investigativo. Observamos que em relação à variável tempo, o mesmo torna-se um aliado nesse processo, pois a EaD favorece o desenvolvimento de um ambiente reflexivo pelos alunos, que pode ser realizado por meio de atividades de investigação. Nessa modalidade, a pressão do tempo é menor, o aluno dispõe de maior flexibilidade para realizar as atividades propostas e o professor tende a não sofrer a ansiedade de responder aos questionamentos do aluno instantaneamente, além de não ter necessidade de iniciar e acabar todo o processo numa mesma aula ou num período pré- determinado, como ocorre no ensino presencial. Na EaD, o tempo para desenvolver as discussões é mais prolongado, o professor não está presente no momento da dúvida e o aluno tem mais tempo para desenvolver a investigação, refletir e pesquisar. Salientamos ainda o fato de que todas as reflexões, dúvidas, hipóteses e validações realizadas durante o processo investigativo estarão registradas na ferramenta fórum de discussões, estando, assim, acessível a todos alunos, facilitando a troca de conhecimentos e incentivando o desenvolvimento da aprendizagem colaborativa.

  Este estudo também apresentou contribuições à nossa concepção enquanto pesquisador, proporcionando o desenvolvimento de saberes referentes ao processo de realização de uma pesquisa científica, da coleta de dados e o tratamento adequado às informações coletadas. Durante a realização deste estudo, tivemos contato com outros referenciais teóricos que, por motivos diversos, não os incluímos nesta pesquisa, mas que contribuíram significativamente à nossa formação enquanto pesquisador.

  Esperamos que este estudo traga contribuições para a EaD, para a formação de professores e para que outros estudos venham contemplar questões não abordadas neste momento como por exemplo: Como é a prática docente dos professores formados por meio da EaD? O fato de esses professores terem vivenciado o emprego de softwares matemáticos durante a sua formação, influencia(rá) na sua prática docente?

R EFERÊNCIAS

  AbraEAD. 2008. Anuário Brasileiro Estatístico de Educação a Distância Disponível em: <http://www.abraead.com.br/anuario/anuario_2008.pdf> Acesso em 24 out. 2010.

  BIREAUD, A. Os métodos pedagógicos do Ensino Superior. Trad. Irene Lima Mendes. Porto: Editora Porto, 1995.

  BRASIL. Ministério da Educação. Lei nº 9394, de 1996. Estabelece as Diretrizes da Educação Nacional. Brasília: Ministério da Educação, 1996.

  __________. Parecer CNE/CP/09/2001. Estabelece as Diretrizes Curriculares Nacionais para a Formação de Professores da Educação Básica, em nível superior, curso de licenciatura, de graduação plena. Brasília: Ministério da Educação, 2001.

  __________. Parecer CNE/CES 1.302/2001. Estabelece as Diretrizes Curriculares Nacionais para os Cursos de Matemática, Bacharelado e Licenciatura. Brasília: Ministério da Educação, 2001. __________. Resolução CNE/CP n.º 1, de 18 de fevereiro de 2002.

  Institui as Diretrizes Curriculares Nacionais para a Formação de Professores da Educação Básica, em nível superior, curso de licenciatura, de graduação plena. Brasília: MEC/CNE, 2002.

  __________. Ministério da Educação. Secretaria da Educação Média e

  Tecnológica. Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Médio – Ciências da

Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília: Ministério da Educação, 1999.

  __________. Ministério da Educação. Secretaria da Educação Média e

  Tecnológica. PCN+ Ensino Médio: Orientações Educacionais complementares

  

aos Parâmetros Curriculares Nacionais, Ciências da Natureza, Matemática e suas

Tecnologias. Brasília: Ministério da Educação, 2002.

  BRAUMANN, C. Divagações sobre investigação matemática e o seu papel na aprendizagem da matemática. In: PONTE, J. P., COSTA, C., ROSENDO, A. I., MAIA, E., FIGUEIREDO, N & DIONÍSIO, A. F. (Eds), Atividades de investigação

  na aprendizagem da matemática e na formação de professores. Lisboa: SEM- SPCE, 2002.

  CALDEIRA, J. S. Um estudo sobre o pensamento algébrico em uma Comunidade

  

de Prática de formação de professores de Matemática. Dissertação (Mestrado em

  Ensino de Ciências e Educação Matemática) Universidade Estadual de Londrina, Londrina, 2010.

  ERNEST, Paul. Investigações, resolução de problemas e Pedagogia. In: ABRANTES, P., LEAL, L. C., PONTE, J. P. (Org.). Investigar para aprender matemática: textos selecionados. Lisboa: Projeto MPT e APM, 1998. p. 25-48.

  FIORENTINI, D.; FERNANDES, F. L. P.; CRISTOVÃO, E. M. Um estudo das

  

potencialidades pedagógicas das investigações matemáticas no desenvolvimento

do pensamento algébrico. In: Seminário Luso-Brasileiro: Investigações

  matemáticas no currículo e na formação de professores. Lisboa, 2005. Disponível em: http://www.educ.fc.ul.pt/docentes/jponte/temporario/SEM-LB/Fiorentini- Fernandes-Cristovao2.doc . Acesso em 12 out. 2010. FORSTER, S. R. L. Ensino a distância: uma análise do design de um curso de cálculo com um olhar no conteúdo de limites e continuidade de uma variável real. 2007. Dissertação (Mestrado em Educação) Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2007.

  FORSTER, S. R. L. Cálculo: Derivadas. Apostila. Universidade de Santo Amaro. São Paulo, 2009.

  GATTI, B. A.; BARRETO, E. S. de S. (Coord.) Professores do Brasil: impasses e desafios. Brasília: UNESCO, 2009.

  GRANDO, R. C.; NACARATO, A. M.; GONÇALVES, L. M. G. Compartilhando saberes em Geometria: investigando e aprendendo com nossos alunos. Caderno

  Cedes, Campinas, v. 28, n. 74, p. 39-56, jan/abril. 2008.

  LOCHHEAD, Jack; MESTRE, José P. Das Palavras à Álgebra: corrigindo concepções erradas. In: COXFORD, Arthur F. e SHULTE, Albert P. As idéias da

  Álgebra. São Paulo: Atual, 1995.

  MARCELO, C. Como conocem los professores la matéria que enseñan – algunas contribuicones de la investigacion sobre conocimiento didactico del contenido. In: MESA, L.; JEREMIAS, L. (Eds.). Las didácticas específicas em la formacion del professorado. Santiago de Compostela: Tórculo, 1993.

  NUNES, I. B. Noções de Educação a Distância. Revista Educação a Distância, 4/5, Dez./93-Abr/94. Disponível em http://www.rau-tu.unicamp.br/nou-rau/ead/document/?view=3 Acesso em 09 abr. 2010.

  PASSOS, L. F. Professores não habilitados e os programas especiais de formação de professores: a tábua de salvação ou a descaracterização da profissão? Revista Diálogo Educacional, Curitiba, v. 8, n. 23, p. 105-120, jan./abr. 2008 Disponível em http://www2.pucpr.br/reol/index.php/DIALOGO?dd1=118 Acesso em 16 mai. 2010.

  PÓLYA, G. Mathematical discovery (v.2). New York: Wiley. (edição original de 1965), 1981.

  PONTE, J. P. Investigar, ensinar e aprender. In: ACTAS do PROFMAT. Lisboa: APM, 2003. p. 25-39.

  PONTE, J. P. O estudo de caso na investigação em educação matemática.

  Quadrante, v. 3, n. 1, 3-18, 1994.

  PONTE, J. P.; BROCARDO, J.; OLIVEIRA, H. Investigações matemáticas na sala de aula. Belo Horizonte: Autêntica, 2003. PORTO, J. F. Diálogo e interatividade em videoaulas de matemática. Dissertação (Mestrado em Educação), Universidade de São Paulo, 2010.

  SANTANA, T. S.; BARBOSA, J. C. Modelagem Matemática e a Dinâmica da Formação a Distância. In: Encontro Brasileiro de Estudantes de Pós-graduação em Educação Matemática, 12. Rio Claro-SP, 2008.

  Disponível em: http://www2.rc.unesp.br/eventos/matematica/ebrapem2008/upload/52-1-A- gt9_santana_ta.pdf Acesso em 12 jan. 2010.

  SCHNEIDER, M. B. D. A formação de professores a distância: um estudo da

  UNISUL virtual. Dissertação (Mestrado em Educação) Universidade de Brasília, Brasília, 2008.

  SECRETARIA DA EDUCAđấO DO ESTADO DE SấO PAULO. Proposta Curricular do Estado de São Paulo: Matemática, Ensino Fundamental e Médio. São Paulo. 2008. SEMEDO, J.F.F. Formação a Distância de Professores de Matemática: Perspectivas de Formandos e Formadores. Dissertação (Mestrado em Educação), Universidade de Lisboa, Lisboa, 2003.

  STAKE, R. Case Studies. In: Norman Dezin e Yvonna Lincoln (EDT), Handbook of qualitative research. London: Sage Publications. 1994.

  THOMAS, G. B. et al. Cálculo. Volume 1. 11 ed. Pearson. São Paulo, 2009.

A NEXO Ementa da disciplina Funções e Limites Funções e Limites Semestre: 1º

  Período: 1º. Dimensão do componente curricular: CCNCC HR

  67 Núcleo responsável: NA

  Ementa Um estudo dos conceitos de funções e limites. Objetivo(s) geral(is) Construir conceitos e ferramentas para o Cálculo Diferencial e Integral, desenvolvendo competências para a construção de modelos matemáticos que possibilitem a resolução de problemas. Objetivo(s) específico(s) Identificar o objeto “função” em suas variadas representações e utilizar o conceito de limite. Temas Centrais: Variável e função. Gráfico de função. Função inversa. Função composta. Continuidade. Funções de múltiplas variáveis. Limite de uma seqüência. Os

  π números e, e ,. Limite por aproximação. Definição geral de limite.

  Referência Básica Courant, R., Robbins, H. O que é matemática? Rio de Janeiro: Editora Ciência Moderna Ltda. 2000.

  GUIDORIZZI, H.L. Um Curso de Cálculo. São Paulo: L.T.C. 2001. Ávila, G. Introdução ao Cálculo. Rio de Janeiro: LTC. 1998.

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