UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA – UDESC CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS – CCT PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA – PPGEEL MESTRADO PROFISSIONAL EM ENGENHARIA ELÉTRICA

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UNIVERSIDADE DO ESTADO DE SANTA CATARINA – UDESC CENTRO DE CIÊNCIAS TECNOLÓGICAS – CCT

  Difere de outras técnicas de produção de imagens a partir de sinais eletromagnéti-cos por se tratar de um método não invasivo e sem contato cuja sua finalidade principal é a obtenção da distribuição de condutividade em objetos, o que encontra aplicações importantes na indústria e na medicina. Um sistema de tomografia baseado na capacitância elétrica consiste de três partes:uma fonte de campo elétrico primário, os sensores eletrônicos de campo secundário, circuitos de processamento de sinais medidos e um computador para a reconstrução de imagens.

2 J – Corrente induzida [A/m ]

  Um sistema de tomografia baseado na capacitância elétrica consiste de três partes:uma fonte de campo elétrico primário, os sensores eletrônicos de campo secundário, circuitos de processamento de sinais medidos e um computador para a reconstrução de imagens. É um método que calcula a distribuição de resistividade elétrica do subsolo a partir de um A técnica de Tomografia Permeabilidade Magnetostática tem como objetivo reconstruir a distribuição de per- meabilidade de um objeto usando dados de medição magnetostáticos.

1.1 OBJETIVOS

  1.1.1 OBJETIVO GERAL O objetivo geral desse trabalho é o desenvolvimento de uma ferramenta de modelagem numérica direta e inversa para ser aplicada em um sistema de Tomografia de Indução Magnética planar. Desenvolver um programa computacional para obter imagens bidimensionais da distribuição de condutivi- dade em um objeto, usando medições da diferença de fase entre os campos primário e secundário, em umsistema de Tomografia de Indução Magnética planar.

1.2 ESTRUTURA DO TRABALHO O trabalho está organizado em seis capítulos que serão brevemente descritos

  O Capítulo 3 apresenta o Método das Impedâncias tridimensional e faz uma revisão sucinta dos elementos da teoria eletromagnética clássica, tais como: potencial elétrico, campos e potenciais magnéticos, correntes decondução e de deslocamento. O capítulo 4 apresenta uma revisão das técnicas de regularização descritas na literatura para reconstrução de imagens com o objetivo de resolver o problema inverso em Tomografia de Indução Magnética.

2.1 DEFINIđấO DA TÉCNICA

  Esta figura é meramente ilustrativapois o sistema simulado neste trabalho utiliza dezesseis canais de geração e quinze canais de medição, permitindo duzentas e quarenta medições independentes de campo e de distribuição de correntes, para um objeto situado nocentro do tomógrafo. No caso de material biológico a Figura 2.3 mostra o diagrama fasorial que representa a amplitude do campo magnético totalB composto pelos campos primário real B e secundário imaginário ∆B .

1 MHz 0, 83 − 0, 85 0, 30 0, 63 0, 37 − 0, 39 0, 4 − 0, 9 0, 2 0, 073 0, 7

  Quando uma determinada região de tecido biológico apresenta uma patologia que altera a sua composição eletrolítica, a forma ou volume das células, a condutividade elétrica é alterada. A partir da medição direta em tumores alojados ou extraídos, verificou-se que o tecido lesado apresenta condutividade e permissividade aumentadas em uma grandefaixa de frequências, que se estende até dezenas de megahertz [Surowiec et al., 1988].

10 Hz

  Alguns sistemas híbridos, citados na literatura, são alimentados por uma fonte constituída de bobinas magnéticas, entretanto, a medição da diferença de potencialelétrico na superfície é feita com a utilização de eletrodos [Freeston e Tozer, 1995] e [Gençer et al., 1996]. Outra técnica utilizada em sistemas híbridos é a injeção de corrente elétrica alternada através de eletrodos e a mediçãodo campo magnético externo através de solenóides sensores [Tozer et al., 1998].

2.2 APLICAđỏES DE SISTEMAS TIM

  Atualmente, existem vários sistemas TIM sendo desenvolvidos e aperfeiçoados em todo o mundo. Alguns desses sistemas experimentais serão brevemente relatados, mantendo-se a ordem cronológica de divulgação nomeio científico.

2.2.1 TIM PARA PROCESSOS INDUSTRIAIS

  Osistema permite analisar o comportamento do fluxo de dois materiais na produção do aço, bem como avaliar a quantidade de ar contida em um fluxo de metal fundido com o propósito de não danificar o processo de fundição. O interesse é conhecer a composição de metais na indústria mineral, a quantidade de água misturada ao petróleo e a quantidade de água em gasodutos no transporte de óleo, entre outras aplicações possíveis.

2.2.2 TIM PARA DIAGNÓSTICOS MÉDICOS Um sistema TIM para aplicação biomédica foi descrito pela primeira vez em 1993 por S. Al-Zeibak e N

  Hollaus e outros desenvolveram um algoritmo rápido para obtenção da matriz de sensibilidade em TIM usando o método dos elementos finitos para calcular as correntes eddy em cada bobina e o teorema dareciprocidade para calcular os coeficientes da matriz de sensibilidade [Hollaus et al., 2004]. A exatidão versus o tempo de processamento e o espaço der memória ocupado, utilizando essa aproximação, foi avaliado e comparada com o software comercial COMSOL .

2.3 MÉTODOS NUMÉRICOS USADOS EM TIM

  Em TIM são aplicados métodos numéricos para a solução dos problemas direto e inverso. O problema direto refere-se ao cálculo dos campos e o problema inverso consiste na obtenção da imagem.

2.3.1 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA O CÁLCULO DE CAMPO

  As propriedades físicas são constantesdentro de cada elemento e a incógnita do problema é escrita em termos de um número finito de graus de liberdade e de funções de base locais, geralmente funções de interpolação polinomiais, para a obtenção dos valores emqualquer ponto [Bastos, 1992]. O operador de diferenças finitas para a derivada pode ser obtido a partir da série de Taylor, então é fácil deduzir a fórmula para a diferença descendente, no ponto (1), conforme segue:∆f f (x + ∆x) − f (x ) o o xo ∆x ∆xA diferença ascendente é definida como: ∆f f (x ) − f (x − ∆x) o o − (2.2) | = .

2.3.2 MÉTODOS NUMÉRICOS PARA RECONSTRUđấO DE IMAGENS

  Para cada conjunto de coeficientes a , com i = 1 : n, o desvio ou resíduo da aproximação da equação (2.4) no i ponto x será: k r(x ) = f (x ) − g(x )(2.5) k k k r(x ) = f (x ) − [a φ (x ) + a φ (x ) + . V = E ∆x, n − V m x (3.3)V = E ∆y, n − V m y V n m = E z ∆z,− V I nm = J x ∆y∆z,I = J ∆x∆z, (3.4) nm y I = J ∆x∆y.nm z Substituindo na equação 3.5 e usando as relações 3.2 a 3.4, obtemos as seguintes expressões para as impedân- Z = , x (σ + jωε ε )∆y∆z x x ∆y(3.5) Z = , y (σ y + jωε ε y )∆x∆z∆z Z = .

3.3 CÁLCULO DO CAMPO PRIMÁRIO

  A modelagem eletromagnética completa de um sistema físico pode ser feita a partir da solução das equações de Maxwell, uma vez conhecidas as propriedades eletromagnéticas do meio e as características das fontes de campo. Substituindo esta relação na lei de Faraday, obtém-se: ∂A= 0, (3.10) ∇ × E +∂t o que resulta na conhecida equação do campo elétrico para fontes dependentes do tempo: ∂A, (3.11) E = −∇ϕ −∂t onde: ϕ é o potencial escalar.

2 J (3.14) σ ε s

  (3.17)A(r) = 4π ′|R| L A constante γ quando escrita na forma γ = α + jβ, dá origem, na solução do potencial magnético, ao termo −αr −jβr de decaimento e e ao termo de fase e , ou seja: −γr −αr −jβr e = e e . Nestas condições, podemos calcular o campo magnético a partir da equação anterior, o que resulta na conhecida lei de Biot-Savart: Z Z ′ ′ µ I(r )dl µ I(r)dl × R B(r) = = .

3.4 CÁLCULO DAS CORRENTES EDDY

  y x Z i, j, k y ( ) Z i+1, j, k y ( ) Z i, j+1, kx ( ) Z i, j, kx ( ) A i, j, kx ( )A i, j+1, k x ( ) A i+1, j, ky ( ) A i, j, k y ( ) I i, j+1, kz ( ) I i, j, k( ) z ( ) I i-1, j, k z ( ) I i+1, j, k z I i, j-1, kz ( ) I I, j, k bx ( ) I I, j+1, k bx ( ) I i+1, j, kby ( ) I i, j, kby ( ) Figura 3.5: Representação bidimensional do circuito equivalente para o plano xy com as correntes de malha, potenciais, impedâncias e correntes de ramos. I i, j, k+1 ( ) y x A i, j, k+1 ( ) I i, j, k+1 ( ) xbx Z i, j, k ( )x I i+1, j, k ( )Z i+1, j, k ( ) Z i, j, k ( ) bz y y I i, j, k ( ) bz A i+1, j, k ( ) A i, j, k ( ) I i+1, j, k ( ) I i, j, k ( ) I i-1, j, k ( )z z y y y Z i, j+1, k ( )x A i, j, k ( )xI i, j, k ( ) bx I i, j, k-1 ( )y Figura 3.7: Representação bidimensional do circuito equivalente para o plano xz com as correntes de malha, potenciais, impedâncias e correntes de ramos.

3.5 CÁLCULO DO CAMPO SECUNDÁRIO

  Consideremos o elemento de corrente obtido como combinação das correntes de ramo na posição (i, j, k) da malha: Idl(i, j, k) = I ∆xa + I ∆ya + I ∆za . (3.43) bx x by y bz z Usando a lei de Biot-Savart obtemos o campo secundário pela soma algébrica das contribuições de todos os elementos da rede de discretização: N Xµ R mn B= (Idl) ; (3.44) sm n × 3 4π R mn n=1 onde: R identifica a posição de cálculo m em relação à posição na malha n.

3.6 CÁLCULO DE SENSIBILIDADE

  Definimos, então, a sensibilidade para a posição m da fonte de campo, posição m do sensor f s e posição (s x , s y ) do elemento de imagem, como o quociente entre as amplitudes do campo secundário e primário, considerando apenas a contribuição do elemento de imagem em questão:B (s , s , m , m ) s x y f s s ,sx y S = . (A ) (A ) = (A ) 4.2.5 MATRIZ TRANSPOSTAT Dada uma matriz A com m linhas e n colunas, a sua transposta A pode ser obtida fazendo-se as m linhas de T T A se tornarem as m colunas de A e as n colunas de A se tornarão as n linhas de A .

4.3.3 MÉTODO DOS MÍNIMOS QUADRADOS

  Em 1809, Carl Friedrich Gauss (1777-1855) demonstrou que a melhor maneira de determinar um parâmetro desconhecido de uma equação é minimizando a soma dos quadrados dos resíduos, mais tarde chamado de métododos Mínimos Quadrados por Adrien-Marie Legendre (1752-1833). Escrevendo c = , onde d m , podemos expressar o resíduoˆ c ∈ R s = c − Rx como: " # # " #" ˆ c ˆ R ˆ Rxc − ˆ s = x = .

4.3.4 MÉTODO DE REGULARIZAđấO DE TIKHONOV

  O método de regularização de Tikhonov foi desenvolvido por David Phillips e Andrey Tychonoff [Phillips, 1962],[Tychonoff e Arsenin, 1977] com o objetivo de obter soluções aproximadas para sistemas mal-condicionados acres- centando informações adicionais na solução desejada visando reduzir o número de condicionamento. Na formageral, o método nos conduz à minimização do seguinte problema: 2 2 2 (4.10) + λ .min ||Ax − b|| 2 ||L(x − x )|| 2 onde x é uma solução aproximada inicial, λ é o parâmetro de regularização que controla o peso dado à minimiza-ção do termo de regularização, relativo à minimização da norma residual.

2 Menor filtragem

||x Ponto ótimo λg || L lo Maior filtragemx - blog || A ||2 Figura 4.1: Gráfico da curva L para obtenção do parâmetro ótimo de regularização. 4.4 RECONSTRUđấO DE IMAGENS EM SISTEMAS TIM PARA APLI- CAđỏES BIOMÉDICAS

4.4.1 MALHA DE DISCRETIZAđấO

As posições das fontes e sensores na malha de discretização contendo o objeto não-homogêneo é mostrada naFigura 4.2: yn = 1 3 fontes eB s 2 rm s sensores decampo magnético 1σ

1 B p

r m pσ 2z 8x 15

12 N = N N s f Figura 4.2: Esquema de um tomógrafo planar contendo a malha de discretização, o objeto, as fontes e os sensores

  onde: N é o número total de fontes de campo, N é o número total de sensores de campo, B é o campo primário, f s p B é o campo secundário, r é a distância da fonte até um elemento de área, r é a distância do elemento de s mpms área até o sensor que mede o campo secundário, σ e σ representam diferentes valores de condutividades elétricas 1 2 no objeto. Uma vez que a medição de pequenas variações de fase é menos susceptível a erros e interferências que a medição depequenas variações de amplitude, neste estudo, consideramos apenas a sensibilidade em relação à fase do campo: 1 ; (4.13) ou, [B B 22 21 S S 1N .

11 S

  Com isso, o W = diag{w 1 2 N } e w 1 ≥ w 2 ≥ . ≥ w N ≥ 0 são os valores singulares de S produto deU com o argumento da norma do resíduo se torna: T ′ ′ T ′ T ′ T T ′ (4.24)(S S φ φ ||U σ − φ )|| = ||U σ − U || = ||W V σ − U || T ′ T pois U S = W V .

4.6 MÉTODO DE APROXIMAđỏES SUCESSIVAS

  Deseja-se obter a solução do sistema linear da equação 4.31, considerando que a matriz A é mal-condicionada, n×n o que implica que a solução por um método direto, devido aos erros de truncamento, não é possível:A x = b . (4.31) n×n n×1 n×1 Dada uma aproximação inicial x para x, é possível obter um incremento δx tal que quando somando ao elemento i i do vetor x minimiza a norma do vetor de resíduos r ; (4.32) 1 = b − A x 1 onde é o vetor após o incremento no elemento para a aproximação inicial x 1 x i.

1 T

  A fim de obter o valor de ótimo, consideramos a expressão para a norma do vetor de resíduos da iteraçãoδx i m + 1 em função do vetor de resíduos da iteração m:q 2 2 2 res (δx ) = (r δx ) + (r δx ) + . (4.38) k,i m (k) − a k,i i k=1 Assim obtemos o valor de crítico:δx i P n [a r (k)] k,i m k=1 δx = .

4.6.1 ALGORITMO PARA O MÉTODO DE APROXIMAđỏES SUCESSIVAS A Figura 4.4 mostra o pseudocódigo da técnica de aproximações sucessivas na resolução do sistema linear

  A densidade de corrente é dada pela equação 5.4: ∞ n+1 X Iσγ 2n + 1 n+0,5(αr) a 1 1 (5.4)J φ (r, θ) = √ P (cos θ )P (cos θ); n n 2αa ar n(n + 1) I r n−0.5(αa) n=1 onde: I representa as funções de Bessel modificadas de primeira ordem e P são os polinômios de Legendre de nn primeiro grau. As constantes que aparecem nesta equação são: a é o raio da esfera, (r , θ ) são as coordenadas n+1 n polares da bobina em relação ao centro da esfera, r é o mínimo entre (r, r ), r é o máximo entre (r, r ), < > pα = (1 + i) ωµσ/2 é a constante de propagação e γ = iωµI r sin θ é uma constante.

5.3 SIMULAđấO DO CASO ESFÉRICO

  Para a análise numérica das distribuições de campos e correntes na esfera condutora o sistema de equações de malha obtido pelo método das impedâncias foi resolvido usando um algoritmo iterativo baseado no método deGauss-Seidel com sobrerrelaxação sucessiva usando o fator de aceleração de 1,84. O erro quadrático médio dos resultados em relação aos valores previstos pelo modelo analítico é de 2,57% para o raio de 0,03 m, de 2,28%para o raio de 0,06 m e de 2,32% para a distância radial de 0,09 m.

0.1 B B

  Os campos radial e polar foram obtidos a partir das seguintes equações:B = B cos θ (5.9) r y sin θ − B z B = B cos θ + B sin θ (5.10) θ y z Nestes gráficos pudemos observar a boa concordância entre os resultados numéricos e analíticos comprovando a eficiência do método das impedâncias e dos algoritmos desenvolvidos. A Tabela 5.2 mostra o erro quadrático médio nas frequências de 100 kHz, 1 MHz e 10 MHz para a distribuição de densidade de corrente e para os camposmagnéticos: Tabela 5.2: Erros quadráticos médios para os campos magnéticos e a densidade de corrente.

5.4 SIMULAđấO DO CASO CILễNDRICO

  A profundidade de penetração em uma superfície plana de um volume semi-infinito depende da frequência e −1/2 da condutividade de acordo com a equação: δ = (πf µ σ) . Assim, a diferença de phase pode ser obtida através da equação 5.11 dada a seguir: N p sm sm X B B (5.11)∆φ = arctan = S ; m ≃ mn · σ n B pm B pm n=1 onde os índicesé o número m e n identificam a posição de medição e a posição no pixel, respectivamente, e N pde pixeis na imagem.

5.6 OBTENđấO DE IMAGENS

  O objeto da Figura 5.8 mostra respectivamente a imagem real, a imagem obtida utilizandoa técnica de Tikhonov, e a imagem obtida utilizando o método de aproximações sucessivas, para um cilindro de raio 0,04 m e altura 0,24 m com centro nas coordenadas (0, 0, 0), condutividade de 1 S/m, permissividade e permeabilidade relativas iguais a 1. A Figura 5.11 mostra imagens referentes a dois objetos cilíndricos na mesma malha, descritos anteriormente: um com raio 0,04 m e altura 0,24 m e centro nas coordenadas (0; 0, 07; −0, 07) e o outro com raio de 0,075 m e altura 0,24 m, centrado nas coordenadas(0; −0, 03; 0, 03), ambos com condutividade de 1 S/m, permissividade e permeabilidade relativas iguais a 1.

5.7 RESOLUđấO DAS IMAGENS

  O índice de qualidade usadoneste estudo é definido pela equação 5.12: σ 2¯ x¯ y 2σ σ xy x y (5.12) Q = .· · 2 2 2 2 σ σ (¯ x) + (¯ y) σ + σ x y x y O primeiro termo é o coeficiente de correlação entre x e y, que mede o grau de correlação linear entre x e y, cujos valores devem estar na faixa de = ax + b para todo i =[−1, 1]. 1 0.3 4 5 6 7 8 0.1 0.2 0.4 2 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1 Luminância Tikhonov Luminância Aproximações SucessivasContraste Tikhonov Contraste Aproximações Sucessivas ÍndiceNúmero de Pixels Figura 5.14: Comparação entre os índices de luminância média e de contraste para o métodos de Tikhonov e de Aproximações Sucessivas em função do número de pixels de raio do objeto.

5.8 QUALIDADE DAS IMAGENS EM TRABALHOS PUBLICADOS

  Usando o método das impedâncias e a lei de Biot-Savart o cálculo da sensibilidade foi realizado de maneira eficiente pois o método das impedâncias fornece diretamente a distribuição de correntes no objeto e o camposecundário pode ser calculado diretamente desta distribuição usando a equação de Biot-Savart. Como propostas de trabalhos futuros sugerimos que a técnica de aproximações sucessivas seja otimizada a fim de reduzir os erros contidos nos fatores de luminância e de contraste com o objetivo de fornecer imagens maisprecisas da distribuição de condutividades no objeto.

6 F

8 R U %% 6 % & 7 : . 13 ! L 6 E 13G 9% C 8 K 13 E 134 5 V ;354 5 3 8. = J G E G 1I 7P: . + +) ! A 6 ! & HG I 13 ! 5 O E ! %H G3 0 + A

3 G I C

  E I 6 H %% 5 H CH 13 ! E F 13 G3 E G 13H E 6 M % 7 : E , 6 E 1I 13 7 1 : 7 2 : 3C 3 7&: 1 ) 3 2 N) 7!: O E 1IP !

0.1 Conductivity (S/m)

  3 F EJ L % C 5 6 1 % 6 27#: 6 E 1I 3 6 E 13 0 " 7R . / 0 K 13F 13 0K 13 0 + 0 EL 7N: 5 G L 6% # % G F 6 13 13 E 13 C H !

1 Jφ

1 MHz

  8 R U %% 6 % & 7 : . L 6 E 13G 9% C 8 K 13 E 134 5V;354 5 3 8.

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