UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS INSTITUTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA UFBA-UFAL GREGÓRIO MANOEL DA SILVA NETO

Livre

0
0
66
1 year ago
Preview
Full text

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS

  

INSTITUTO DE MATEMÁTICA

PROGRAMA DE PốS-GRADUAđấO EM MATEMÁTICA UFBA-UFAL

GREGÓRIO MANOEL DA SILVA NETO

  

Hipersuperfícies Estáveis e Fórmula de

Monotonicidade Envolvendo Curvatura

Escalar em Espaços de Curvatura

Seccional Limitada

  

Tese de Doutorado

Maceió

2014

  GREGÓRIO MANOEL DA SILVA NETO Hipersuperfícies Estáveis e Fórmula de Monotonicidade Envolvendo Curvatura Escalar em Espaços de Curvatura

  Seccional Limitada

  Tese de Doutorado apresentada ao Programa de Pós-graduação em Matemática UFBA- UFAL do Instituto de Matemática da Universi- dade Federal de Alagoas como requisito parcial para obtenção do grau de Doutor em Matemá- tica.

  Orientador: Prof. Dr. Hilário Alencar da Silva

  Maceió 2014

  Catalogação na fonte Universidade Federal de Alagoas Biblioteca Central Divisão de Tratamento Técnico Bibliotecária Responsável: Maria Auxiliadora G. da Cunha S586h Silva Neto, Gregório Manoel da.

  Hipersuperfícies estáveis e fórmula de monotonicidade envolvendo

curvatura escalar em espaços de curvatura seccional limitada / Gregório

Manoel da Silva Neto. – 2014.

  64 f. : il.

  Orientador: Hilário Alencar da Silva. Tese (Doutorado em Matemática) – Universidade Federal de Alagoas. Instituto de Matemática. Maceió, 2014.

  Bibliografia: f. 60-62. Apêndice: f. 63. Índice: f. 64.

  1. Estabilidade . 2. Curvatura escalar. 3. Gráficos. 4. Volume curvatura de Graus-Kronecker. 5. Curvatura média. 6. Vizinhança tubular. 7. Monotonicidade.

  8. Desigualdade de Poincaré. 9. Valor médio. 10. Desigualdade isoperimétrica.

I. Título.

  CDU: 514.464.27

  3 Ao meu orientador, professor Dr. Hilário Alencar, aos meus pais, irmão e amigos.

  

Agradecimentos

  Ao professor Dr. Hilário Alencar, pela sua amizade e apoio, por ser muito mais que um orienta- dor, pelos conselhos e pela paciência, mas acima de tudo pelo exemplo e referencial de pessoa e de profissional que tem sido.

  À minha colega de doutorado Adina Rocha pela leitura crítica desta tese e pelas valiosas discussões durante sua elaboração. Aos professores Dr. Detang Zhou, Dr. Gregório Pacelli, Dr. Harold Rosenberg, Dr. Man- fredo do Carmo e Dra. Walcy Santos, pelas discussões e sugestões para melhoria deste trabalho. Aos meus pais Geine Pereira e João Gregório da Silva, por todos os sacrifícios que fizeram por mim, desde o início da minha educação e que possibilitaram que eu chegasse até aqui.

  A geometria é uma ciência de todas as espécies possíveis de espaços.

  —IMMANUEL KANT

  

Resumo

  Nesta tese provamos que não existem hipersuperfícies de dimensão três no espaço Euclidi- ano de dimensão quatro, com curvatura escalar zero, completas e estáveis, satisfazendo certas condições de curvatura. Em seguida provamos, em colaboração com Hilário Alencar, uma de- sigualdade do valor médio e uma fórmula de monotonicidade envolvendo as curvaturas média e escalar de uma hipersuperfície imersa em uma variedade Riemanniana de curvatura seccional limitada superiormente por uma constante. Além disso, demonstramos uma desigualdade tipo Poincaré envolvendo curvaturas média e escalar de hipersuperfícies imersas em variedades Rie- mannianas de curvatura seccional limitada superiormente por uma constante. Aplicamos essa desigualdade para obter um resultado sobre hipersuperfícies estáveis de curvatura escalar zero no espaço Euclidiano.

  Palavras-chave: Estabilidade, Curvatura escalar, Gráficos, Curvatura de Gauss-Kronecker, Volume, Curvatura média, Vizinhança tubular, Monotonicidade, Desigualdade de Poincaré, Valor médio, Desigualdade isoperimétrica.

  

Abstract

  In this thesis we prove there is no complete hypersurfaces of dimension three in the Eucli- dean space of dimension four, satisfying some conditions of curvature. Next, we prove in a work jointly with Hilário Alencar, a mean value inequality and a monotonicity formula invol- ving the mean and scalar curvatures of hypersurfaces immersed into a Riemannian manifold of sectional curvature bounded above by some constant. Moreover, we prove a Poincaré type ine- quality involving the mean curvature and the scalar curvature of hypersurfaces immersed into Riemannian manifolds of sectional curvature bounded above by some constant. We apply this inequality to obtain a result about stable hypersurfaces with zero scalar curvature in Euclidean space. Keywords: Stability, Scalar curvature, Graphs, Gauss-Kronecker curvature, Volume, Mean curvature, Tubular neighbourhood, Monotonicity, Poincaré Inequality, Mean value, Isoperime- tric inequality.

  Lista de Ilustrações

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  63

  

Sumário

  30

  

  50

  

  42

  

  37

  

  30

  

  26

  12

  

  25

  

  19

  

  14

  

  12

  

  58

  

Introdução

  Nesta tese demonstramos alguns resultados envolvendo curvatura escalar de hipersuperfícies em variedades Riemannianas.

  No primeiro capítulo, provamos que não existem hipersuperfícies de curvatura escalar zero, estáveis, completas no espaço Euclidiano de dimensão quatro, com crescimento de volume po- (−K) linomial, tais que

  ≥ c > 0 em todo ponto para alguma constante c > 0, onde K denota a

3 H

  curvatura de Gauss-Kronecker e H denota a curvatura média da imersão. Como consequência (−K) obtemos que não existem gráficos inteiros com curvatura escalar zero e tais que

  ≥ c > 0

  3 H

  em todo ponto para alguma constante c > 0. Finalmente mostramos que, se existem hipersuper- (−K) fícies estáveis com curvatura escalar zero e

  ≥ c > 0 em todo ponto para alguma constante

3 H

  c > 0, então a vizinhança tubular não é mergulhada para um raio adequado.

  No segundo capítulo estabelecemos alguns resultados, obtidos em colaboração com Hilário Alencar, sobre monotonicidade de funções envolvendo as curvaturas média e escalar de uma hipersuperficie própria imersa em uma variedade Riemanniana com curvtura seccional limitada superiormente por uma contante. Como consequência das técnicas usadas na demonstração dos resultados acima, provamos uma desigualdade de Poincaré envolvendo as curvaturas média e escalar de hipersuperfícies imersas em uma variedade Riemanniana com curvatura seccional limitada superiormente por uma constante. Aplicamos essa desigualdade para obter uma desi- gualdade isoperimétrica envolvendo a integral da curvatura média, além de um resultado sobre hipersuperfícies estáveis de curvatura escalar zero no espaço Euclidiano.

  APÍTULO

  C

  1 Hipersuperfícies estáveis com curvatura escalar

zero

  4 Neste capítulo demonstramos que não existem hipersuperfícies de R com curvatura escalar

  (−K) zero, estáveis, com crescimento de volume polinomial e tais que ≥ c > 0 em todo ponto

  3 H

  para alguma constante c > 0, onde K é curvatura de Gauss-Kronecker e H é a curvatura média da imersão. Nosso segundo resultado é o teorema do tipo Bernstein: Não existem gráficos in- (−K)

  4

  teiros de R com curvatura escalar zero e tal que ≥ c > 0 em todo ponto, para alguma

  3 H

  constante c > 0. Concluímos este capítulo provando que, se existem hipersuperfícies com cur- (−K) vatura escalar zero, estáveis e tais que

  ≥ c > 0 em todo ponto então sua vizinhança

3 H tubular não é mergulhada para um raio adequado.

1.1 Introdução

  3

4 Seja x : M uma imersão isométrica. Se λ , λ , λ são os autovalores da segunda forma

  1

  2

  3

  → R fundamental, então a curvatura escalar não normalizada R, a curvatura média não normalizada e a curvatura de Gauss-Kronecker K são dadas, respectivamente, por

  H

  • R = λ λ λ λ λ λ , H = λ λ λ λ λ λ . (1.1) + +

  1

  2

  1

  3

  2

  3

  1

  2 3 e K =

  1

  2

  3 Em 1959, Hartman e Nirenberg, ver mostraram que as únicas superfícies com curvatura Gaussiana nula no espaço Euclidiano tridimensional são os planos e os cilindros.

  Generalizando este fato, em 1977, Cheng e Yau, ver mostraram que as únicas hipersuperfícies completas e não compactas com curvatura escalar zero e curvatura seccional

  n n p

  • 1 −p

  não negativa no espaço Euclidiano R são os cilindros generalizados S .

  × R

  3

  um domínio regular, isto é, um domínio com fecho compacto e fronteira suave Seja D ⊂ M por partes. Uma variação com suporte compacto da imersão x é uma aplicação diferenciável

  4

  4 X ε , ε , ε ε , ε ), a aplicação X , definida

  : (−

  t : D → R

  ) × D → R > 0, tal que, para cada t ∈ (− por X (p) = X(t, p) é uma imersão satisfazendo X e X = X . É conhecido que

  t D t

  = x| | ∂ D | ∂ D

  4

  hipersuperfícies de R com curvatura escalar nula são pontos críticos do funcional A

  (t) = H (t)dM

  

1 t

M

  dentre todas as variações com suporte compacto em D (ver [

  Seguindo Alencar, do Carmo e Elbert, ver ], iremos definir a seguir o conceito de estabilidade para imersões com curvatura escalar zero. Seja A : T M → TM o operador linear associado à segunda forma fundamental da imersão x. Definimos a primeira transformação de Newton P

  1 : T M → TM por P

  1 = HI − A, onde I denota o operador identidade em T M.

1.1 INTRODUđấO

  13 Introduzimos agora o operador diferencial de segunda ordem que irá desempenhar um papel similar ao do Laplaciano no caso de hipersuperfícies mínimas, a saber, L ( f ) = div(P (∇ f )), (1.2)

  1

  1

  onde divX denota a divergência do campo de vetores X e ∇ f denota o gradiente da função f na métrica induzida pela imersão x. Em ], Hounie e Leite mostraram que L é elíptico se,

  1 1 é elíptico e, se H > 0,

  e somente se, o posto de A > 1. Logo, se K ̸= 0 em todo ponto, então L então P é um operador linear positivo definido.

  1 Calculando a segunda derivada do funcional A , obtemos

  1

2 A

  d

  1

  f (L f

  1

  = −2 − 3K f )dM,

  2

  dt M t =0 dX (0), η e η é o campo de vetores normais à imersão. onde f = ⟨

  dt

  2

  2

  

2

  2 Como H

  • 2R, se R = 0 então H = |A| = |A| . Logo, se K ̸= 0 em todo ponto, então

  2

2 H

  = |A| ̸= 0 em todo ponto. Isto implica que H > 0 em todo ponto ou H < 0 em todo ponto. Desta forma, ao contrário do caso de hipersuperfícies mínimas, o sinal do funcional A

  1

  3

  depende da escolha da orientação de M . Se escolhermos uma orientação tal que H > 0 em

2 A

  d

  1

  todo ponto, então a imersão será estável se > 0 para todas as variações com suporte

  

2

  dt

  t =0

  compacto. Caso contrário, ou seja, se escolhermos uma orientação tal que H < 0, então x é

2 A

  d

  1 estável se < 0. Mais detalhes podem ser encontrados em ].

  2

  dt

  t =0

  Em Alencar, do Carmo e Elbert formularam a seguinte

  3

  4

  em R com curvatura escalar zero, completas, Pergunta 1.1.1. Existem hipersuperfícies M estáveis e tais que a curvatura de Gauss-Kronecker é não-nula em todo ponto?

  O objetivo deste capítulo é dar algumas respostas parciais a essa pergunta. Seja B

  r

  (p) a bola geodésica de M, de centro p ∈ M e raio r. Dizemos que uma variedade

3 Riemanniana M tem crescimento de volume polinomial, se existe α

  ∈ [0,4] tal que vol(B (p))

  r

  < ∞, (1.3)

  α

  r para p ∈ M e para todo r > 0. Uma desiguadade consagrada na literatura estabelece que

  1

  2 HK R (1.4) .

  ≤

  2 K é sempre negativo, independente da

  Se R = 0 e K ̸= 0 em todo ponto, então o quociente

  3 H

  3

  escolha de orientação. Além disso, considerando K e H como funções dos autovalores da segunda forma fundamental, podemos ver que

  4 (−K) 0 < ,

  ≤

  

3

14 CAPÍTULO 1 HIPERSUPERFÍCIES ESTÁVEIS COM CURVATURA ESCALAR ZERO

  3

  visto que K e H são polinômios homogêneos de grau 3. Mais detalhes podem ser vistos no Apêndice.

  O primeiro resultado apresentado neste capítulo é

  3

  4 R Não existem hipersuperfícies completas de com curvatura escalar zero, Teorema A.

  M

  estáveis, com crescimento de volume polinomial e tais que

  (−K) ≥ c > 0

  3 H em todo ponto para alguma constante c > 0.

  Como consequência do Teorema A, obtemos o seguinte resultado do tipo Bernstein:

  3

  4 R Não existem gráficos inteiros de com curvatura escalar zero e tais que

  Teorema B. M (−K)

  ≥ c > 0

  3 H em todo ponto para alguma constante c > 0.

  3 Seguindo Nelli e Soret, ver [], mostramos na seção 5 que se M é uma hipersuperfície

  4

  (−K) de R com curvatura escalar zero, estável e tal que ≥ c > 0 em todo ponto, então o tubo

  3 H

  em torno de M não é mergulhado para um raio adequado. Precisamente, se definirmos o tubo de raio r em torno de M por

4 T η

  (M, h) = {x ∈ R ; ∃ p ∈ M, x = p +t , t ≤ h(p)} onde η é o campo de vetores normais à imersão e h : M → R é uma função suave e positiva em todo ponto, provamos:

  3

  4 R Seja uma hipersuperfície completa e estável de com curvatura escalar

  Teorema C. M ,

  

nula. Se a segunda forma fundamental da imersão é limitada e existe uma constante c > 0 tal

  (−K)

  

que em todo ponto, então, para quaisquer constantes e para

  0 < b > 0

  1

  2

  ≥ c > 0 ≤ 1, b

3 H

  qualquer função suave h satisfazendo

  : M → R { } b

  1 δ

  (1.5) h , b ρ (p) , δ > 0,

  2

  (p) ≥ inf |A(p)|

  

o tubo não é mergulhado. Aqui ρ denota a distância intrínsica em de a um

  T (M, h) (p) M p

  ponto fixo

  p ∈ M.

1.2 Resultados preliminares

  Y Y Seja B(X,Y ) = ∇

  X X a segunda forma fundamental da imersão x, onde ∇ e ∇ são as

  − ∇

  3

  4

  conexões de M e R , respectivamente. Seja A : T M → T M definido por

  B η (X,Y ) = ⟨A(X),Y ⟩ , ∀ X,Y ∈ T M,

1.2 RESULTADOS PRELIMINARES

  15 o único operador linear simétrico associado à segunda forma fundamental da imersão, onde

  η é o campo de vetores normal à imersão x.

  2

  2

  = tr(A ) a norma ao quadrado da matriz do operador linear associado à Denotemos por |A|

  2

  2

  2

  2

  segunda forma fundamental. Como H

  • 2R, se R = 0, então H = |A| = |A| . Logo, se K ̸= 0 em todo ponto então |H| = |A| ̸= 0 em todo ponto e podemos escolher uma orientação de M tal que H > 0 em todo ponto.

  3 Observação 1.2.1. De agora em diante, vamos fixar uma orientação de M

  tal que H > 0 em todo ponto. Uma desigualdade consagrada na literatura estabelece que

  1

  2 HK R .

  ≤

  2 Portanto, usando a desigualdade acima, se R = 0 e H > 0 em todo ponto, então K < 0 em todo ponto. Definimos a primeira transformação de Newton P

  1

  : T M → TM por P

  1 = HI − A.

  é positiva definida. A seguir vamos dar uma prova deste fato, e para Se R = 0 e H > 0, então P

  1

λ > 0, i = 1, 2, 3. De fato,

  isto, é suficiente mostrar que H − i

  2

  2

  2

  2 + λ + λ ) = λ ( λ λ ) = λ λ λ λ .

  1

  2

  3

  2

  3 1 (H −

  1

  1

  1 Visto que R = + + λ λ λ λ λ λ = 0, temos

  1

  2

  1

  3

  2

  3

  2

  2

  0 = λ R = λ ( λ λ + λ λ λ ) = + λ λ λ λ λ λ λ + λ + ,

  1

  1

  1

  2

  1

  3

  

2

  3

  2

  3

  1

  2

  3

  1

  1

  isto é,

  2

  2

  • λ λ λ λ λ λ λ

  2

  3

  

1

  2

  3

  1 1 = − = −K > 0.

  Logo

  2

  2

  2

λ + λ ) = λ λ λ λ λ λ λ > 0,

  1

  2

  3

  1

  2

  3 1 (H − 1 1 = − λ > 0. Os outros casos são análogos.

  e, portanto, H −

1 Hounie e Leite, ver [HL99b], demonstraram que se P é positiva definida, então L ( f ) =

  1

  1 div(P (∇ f )) é um operador diferencial elíptico.

1 Nossa escolha de orientação, isto é, tal que H > 0 em todo ponto, implica que a condição

  de estabilidade é equivalente a ∫ ∫

2 K f dM

  (1.6)

  1 − 3 ≤ ⟨P (∇ f ), ∇ f ⟩dM. M M A desigualdade (acima é conhecida como desigualdade de estabilidade.

  Quando então e é negativa definida. Neste caso, a condição

  Observação 1.2.2. H < 0, K > 0 P

  1 de estabilidade é equivalente a ∫ ∫

  2

3 K f dM

  1 ≤ ⟨(−P )(∇ f ), ∇ f ⟩dM. M M

16 CAPÍTULO 1 HIPERSUPERFÍCIES ESTÁVEIS COM CURVATURA ESCALAR ZERO

  Z Z

  X Seja ∇A(X,Y,Z) := ⟨∇ (A(X)) − A(∇ ),Y ⟩ a derivada covariante do operador A. A pro- posição a seguir irá desenpenhar um papel fundamental nas provas dos teoremas apresentados neste capítulo. Em [], do Carmo e Peng demonstraram um resultado análogo para hiper- superfícies mínimas.

  −K

  Se e existe tal que em todo ponto, então existe

  Proposição 1.2.1. R = 0 c > 0 ≥ c > 0

  3 H dependendo apenas de tal que

  c > 0, c ,

  2

  2

  2

  2

  , |∇A| − |∇H| ≥ |∇H|

  2

  1 + 2c

  onde é o gradiente de ∇H H .

  Demonstração. (p), e (p), e p M Vamos fixar p ∈ M e escolha {e

  1

  2

  3

  (p)} uma base ortonormal T tal que h (p) = λ (p) δ , onde h ), e λ (p) denotam os autovalores de A em p e δ

  i j i i j i j i j i i j

  = ⟨A(e ⟩, é o delta de Kronecker { 1 se i = j;

  δ = i j 0 se i ̸= j.

  Estendendo esta base via transporte paralelo ao longo de geodésicas partindo de p para um refe- e (p) = 0, para todo i, j = 1, 2, 3. Este referencial rencial em uma vizinhança de p, temos ∇ j

  e (p) i é chamado referencial geodésico em p.

  Vamos denotar por h = (h ) (h ) as derivadas covariantes da função h , e por h

  i j ;k i j k := e k i j i j i jk

  

1

  2 3 i jk k

  }, isto é, h , e , e

  , e , e = ∇A(e i , e j , e ). Visto que os componentes do tensor ∇A no referencial {e

  1

  2

  3

  {e } é um referencial geodésico, temos h = ∇A(e , e , e (A(e e ), e (A(e )), e

  

i jk i j k e i e i j e i j

  ) = ⟨∇ k )) − A(∇ k ⟩ = ⟨∇ k ⟩ = e ), e ), ∇ e ), e (h )

  k i j i e j k i j k i j

  (⟨A(e ⟩) − ⟨A(e k ⟩ = e (⟨A(e ⟩) = e = h .

  i j ;k

  2

  2

  . Usando este fato, obtemos Como R = 0, temos H

  = |A| [( ) ]

  2

  3

  3

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  4H = h

  |∇H| = |∇(H )| = |∇(|A| )| i j

  ∑ ∑ k i , j=1 =1 ( ) ( ) k

  2

  2

  3

  3

  3

  3 = 2h h = 4 h h . i j i j ;k ii ii ;k

  ∑ ∑ ∑ ∑ i i k =1 , j=1 k =1 =1

  Em seguida, usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz, obtemos ( )

  2 [( ) ( )]

  3

  3

  3

  3

  3

  2

  2

  4 h h h h

  ii ii ;k ii

  ≤ 4 ii ;k

  ∑ ∑ ∑ ∑ ∑ k =1 i =1 k =1 i =1 i =1 ( ) ( )

  3

  3

  2

  2

  2

  2

  h h = 4H .

  ii ii

  = 4|A| ;k ;k

  ∑ ∑ i ,k=1 i ,k=1

1.2 RESULTADOS PRELIMINARES

  • h
  • h
  • h
  • h
  • h
  • h
  • h
  • h
  • h
  • h
  • h
  • h
  • h
  • h
  • h
  • h
  • h

1 H

  22

  2 333

  =

  1 (H − h

  11

  )

  2

  [h 221 (H − h

  22 ) + h 331

  (H − h

  33 )]

  2

  (H − h

  

2

  )

  2 111

  [h

  112

  (H − h

  22

  ) + h

  332

  (H − h

  33

  )]

  2

  (H − h

  2 222

  22 )].

  Elevando as identidades acima ao quadrado e somando-as, obtemos h

  (H − h

  33 )].

  Analogamente, escolhendo k = 2 e k = 3, h

  222

  = −

  − h

  22

  [h

  112

  (H − h

  11

  ) + h

  332

  33

  )

  )] e h

  333

  = −

  − h

  33

  [h

  113

  (H − h

  11

  ) + h

  223

  (H − h

  33

  [h

  

2

  h

  h

  2 331

  11 H

  − h

  22 )

  2

  h

  2 112

  33 H

  − h

  22 )

  2

  2 332

  11 )

  11 H

  − h

  33 )

  2

  h

  2 113

  22 H

  − h

  33 )

  2

  h

  2 223 ] .

  2

  − h

  331

  2

  113

  (H − h

  11

  ) + h

  223

  (H − h

  22

  )]

  2 .

  Agora, usando a desigualdade (a + b)

  2

  = a

  2

  33 H

  ≤ 2(a

  2

  2

  ), temos h

  2 111

  2 222

  2 333 ≤ 2 [

  ( H − h

  − h

  

11

)

  2

  h

  2 221

  (H − h

  ) + h

  22

  h

  33

  22

  h

  33

  − h

  2 12 − h 2 13 − h

  2

  23

  )

  k

  = h

  11k

  22

  11

  11

  h

  22k

  11k

  h

  

33

  11

  h

  33k

  22k

  h

  33

  h

  22

  33k

  33

  17 Portanto, |∇H|

  2

  ≤

  3 ∑ i ,k=1

  h

  2 ii ;k

  . (1.7) Por outro lado, visto que R = h

  11

  h

  22

  11

  h

  22

  h

  h

  33

  − h

  2

  12

  − h

  2

  13

  − h

  2

  23

  = 0 temos, para k = 1,2,3, 0 = (h

  11

  22

  h

  − 2h

  22

  (h

  22

  33

  ) + h

  22k

  (h

  11

  33

  ) + h

  33k

  (h

  11

  ) = h

  12

  11k

  (H − h

  11 ) + h 22k

  (H − h

  22 ) + h 33k

  (H − h 33 ). Logo, escolhendo k = 1 na desigualdade acima, temos h

  111

  = −

  − h

  11

  [h

  221

  (H − h

  11k

  = h

  33k

  h

  h

  12k

  − 2h

  13

  h

  13k

  − 2h

  23

  h

  23k

  = h

  h

  11k

  22

  h

  22

  33

  h

  22k

  11

  33k

  11

  

33

  h

  11k

  22k

  h

1 H

1 H

  • h
  • h
  • 1
  • 1
  • 2ab + b
  • b

22 H

  • h
  • h
  • ( H − h
  • ( H − h
  • ( H − h
  • ( H − h
  • ( H − h

18 CAPÍTULO 1 HIPERSUPERFÍCIES ESTÁVEIS COM CURVATURA ESCALAR ZERO

  3 Visto que as funções g : R i j

  → R, definidas por )

  2

  ( H − h ii g (h , h , h ) = , i, j = 1, 2, 3,

  i j

  11

  22

  33 H j j

  − h são quocientes de polinômios homogêneos de mesmo grau, os valores de g dependem apenas

  i j

  2

  

3

  3

  de sua restrição a S , h , h ,

  11

  22 33 ; R = 0} é fechado em R { } { } . Como {(h ) ∈ R

  K K

  3

  2

  (h , h , h ; − = (h , h , h ; −

  11

  22

  33

  11

  22

  33

  ) ∈ R ≥ c > 0 ) ∈ S ≥ c > 0

  3

  3 H H

  2

  3

  e S são subconjntos compactos de R , a intesecção dos três conjuntos formam um subconjunto

  2

  2

  compacto de S tem um máximo e um mínimo em S . Se c . Portanto, todas as funções g

  > 0

  i j

  é o maior dos valores máximos das funções g , i, j = 1, 2, 3, então

  i j

  2

  2

  2

  2

  2

  

2

  2

  2

  2

  2 h + h + h (h + h + h + h + h + h ) .

111 222 333 ≤ 2c 112 113 221 223 331 332

  Isto implica

  3

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  h = h + h + h + h + h + h + h + h + h |∇H| ≤ iik 111 112 113 221 222 223 331 331 333

  ∑ i ,k=1 )

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  (h ) + h + h + h + h + h

  ≤ (1 + 2c 112 113 221 223 331 332 [

  1

  1

  1

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  ) (h + h ) + (h + h ) + (h + h ) ≤ (1 + 2c 121 211 131 311 212 122

  2

  2

  2 ]

  1

  1

  1

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  (h + h ) + (h + h + ) + (h + h )

  232 322 313 133 323 223

  2

  2

  2

  2

  1 + 2c

  2

  2

  2

  

2

  2

  2

  = (h + h + h + h + h + h

  121 211 131 311 212 122

  2

  2

  2

  

2

  2

  2

  2 +h + h + h + h + h + h ) . 232 322 313 133 323 233

  Portanto,

  3

  3

  3

  3

  2

  2

  2

  2

  2

  • = h h h h |∇A| i jk ≥ iik iki kii

  ∑ ∑ ∑ ∑

i , j,k=1 i ,k=1 i i

̸=k=1 ̸=k=1

  2

  

2

  2

  • ≥ |∇H| |∇H|

  2 ( ) 1 + 2c

  2

  2 = .

  1 + |∇H|

  2

  1 + 2c

1.3 RESULTADOS PRINCIPAIS

  19

1.3 Resultados principais

  De agora em diante, até o fim deste capítulo, vamos fixar um ponto p a

  r

  ∈ M e denotar por B bola geodésica (intrínsica) e centro p e raio r. O resultado central a ser usado na demonstração do Teorema A é a proposição a seguir.

  3

4 Seja uma imersão isométrica com curvatura escalar zero, está-

  Proposição 1.3.1. x : M → R

  −K

vel e tal que K em todo ponto. Se existe uma constante c tal que em todo

  > 0

  3

  ̸= 0 ≥ c > 0

  H

ponto então, para toda função suave ψ com suporte compacto em para todo δ e para

  M , > 0

  2 todo existem constantes tais que

  0 < q < , Λ

  

1 (q), Λ

2 (q) > 0

  2 1+2c ) 5+2q 5+2q

  ( (−K)

  

5+2q 5+2q 5+2q

− 3+2q

  2

  (1.8) H δ ψ dM δ ψ dM .

  1

  2

  − Λ ≤ Λ |∇ |

3 M H M Demonstração.

  Vamos escolher uma orientação de M tal que H > 0 e aplicar a desigualdade de estabilidade correspondente ∫ ∫

  2

  3 dM (1.9)

  1

  (−K) f ≤ ⟨P (∇ f ), ∇ f ⟩dM,

  M M 1+q

  é uma função suave com suporte compacto em M. Inicial- para f = H ϕ , onde q > 0 e ϕ mente, notemos que

  1+q q 1+q ϕ ϕ ϕ ∇ f = ∇(H ) = (1 + q)H ∇H + H ∇ .

  Isto implica

  2 2q

  2 H ϕ

  1

  1

  ⟨P (∇ f ), ∇ f ⟩ = (1 + q) ⟨P (∇H), ∇H⟩

  1+2q

  • 2(1 + q)H ϕ (∇H), ∇ ϕ

  1

  ⟨P ⟩

  

2+2q

  • H (∇ ϕ ), ∇ ϕ

  1 ⟨P ⟩.

  A seguir, vamos estimar o segundo termo do lado direito da identidade acima. Visto que √

  é positivo definido e, desta forma, existe . Usando a desigualdade de H > 0, então P

  P

  1

  1

  2

  2

  x y Cauchy-Schwarz seguida da desigualdade xy ≤

  • , válida para todo x, y ∈ R, obtemos √ √

  2

  2 √ √

  1+2q 2q

  H ϕ (∇H), ∇ ϕ β ϕ P (∇H), (1/ β )H P (∇ ϕ

  1

  1

  1

  ⟨P ⟩ = H ⟨ )⟩ √ √ √ √

  2q β ϕ P β )H P (∇ ϕ

  1

  1

  ≤ H ∥ (∇H)∥∥(1/ )∥ ( √ √ ) √ √

  2

  2 β ϕ P β )H P (∇ ϕ

  

1

  1 2q ∥ (∇H)∥ ∥(1/ )∥

  (1.10)

  • ≤ H

  2

  2

  1

  β 2q 2 2+2q

  = H ϕ H (∇ ϕ ), ∇ ϕ

  1

  1

  ⟨P (∇H), ∇H⟩ + ⟨P ⟩

  • 2(1 + q)
  • (1 + q) β )
  • ( 1 +
  • ⟨P

  

1

  M

  (∇H), ∇H⟩dM = −

  1

  ⟨P

  2

  2q ϕ

  H

  M

  (1 + 2q)

  (∇H), ∇ ϕ ⟩. Integrando ambos os lados da identidade acima e usando o teorema da divergência, obtemos

  1

  ⟨P

  1+2q ϕ

  (∇H), ∇H⟩ + 2H

  ⟨P

  1+2q ϕ

  1+2q

ϕ

  (∇H), ∇(H

  

1+2q

ϕ

  2

  )⟩ = div(HP

  1

  (∇(H

  2

  2

  ))) + H

  1+2q ϕ

  2 L

  1

  (H)

  2q ϕ

  H

  2 L

  2 L 1 (H)

  2

  2 L

  1

  (H)dM

  M

  H

  2q ϕ

  ⟨P

  H

  1

  (∇H), ∇H⟩

  H

  2+2q

  ⟨P

  1

  1+2q ϕ

  M

  1

  (∇H), ∇ ϕ ⟩dM. Usando a desigualdade ), temos

  (H)dM −2

  M

  H

  1+2q ϕ

  ⟨P

  1

  (1 + 2q)

  (∇H), ∇H⟩dM ≤ −

  M

  H

  2q ϕ

  2

  ⟨P

  1

  1

  1+2q ϕ

  (∇ ϕ ), ∇ ϕ ⟩dM,

  H

  H

  M

  2

  ≤ ((1 + q)

  (∇ ϕ ), ∇ ϕ ⟩dM

  

1

  ⟨P

  2+2q

  H

  M

  ⟩dM

  1 (∇H), ∇ ϕ

  ⟨P

  1+2q ϕ

  

M

  ))) + H

  2

  20 CAPÍTULO 1 HIPERSUPERFÍCIES ESTÁVEIS COM CURVATURA ESCALAR ZERO para qualquer constante

  β > 0. Desta forma, a desigualdade de estabilidade ) torna-se

  3

  M

  (−K)H

  2+2q ϕ

  dM ≤ (1 + q)

  (∇H), ∇H⟩dM

  2 M

  H

  

2q

ϕ

  2

  ⟨P

  1

  2q ϕ

  2

  ⟨P

  1

  2

  1 (∇(H 1+2q

ϕ

  ) = div(HP

  2

  1 (H 2+2q ϕ

  (∇ f ), ∇g⟩, temos L

  1

  f

  1

  (∇g)) + gL

  1

  (∇( f g))) = div( f P

  1

  ( f g) = div(P

  (∇H), ∇H⟩dM. Usando a identidade L

  1

  1

  (∇H), ∇H⟩dM

  (1 + q)

  β ) M

  H

  2+2q

  ⟨P

  1

  (∇ ϕ ), ∇ ϕ ⟩dM.

  (1.11) A seguir, vamos estimar

  M

  H

  2q ϕ

  2

  ⟨P

  • ⟨P
  • (1 + 2q)H
  • β

  • 1

1.3 RESULTADOS PRINCIPAIS

  21 isto é, ∫ ∫

  2q

2 1+2q

  2

β ) H ϕ H ϕ L (H)dM

  1

  1

  (1 + 2q − ⟨P (∇H), ∇H⟩dM ≤ −

  M M

  1

  2+2q

  H ϕ ϕ

  • 1 (∇ ), ∇ ⟨P ⟩dM.

  β M

  Por outro lado, é conhecido, ver [], Lema 3.7, que

  

2

  2

  1 −L (H) = |∇H| − |∇A| − 3HK.

  Visto que P é positivo definido, temos

  1

  2

  2

  ,

  1

  

1

  ⟨P (∇H), ∇H⟩ ≤ (trP )|∇H| = 2H|∇H| ou seja,

  1

2 P

  1 |∇H| ≥ (∇H), ∇H⟩.

  2H ⟨ Usando a Proposição e a desigualdade acima, obtemos

  2

  1

  2

  1 1 −L (H) ≤ − |∇H| − 3HK ≤ − ⟨P (∇H), ∇H⟩ − 3HK.

  2

  2

  1 + 2c (1 + 2c )H Portanto ( ) ∫ ∫

  1

  2q 2 2+2q

  2

  1 + β H ϕ H ϕ dM

  1

  • 2q − ⟨P (∇H), ∇H⟩dM ≤ 3 (−K)

2 M M

  1 + 2c

  1

  2+2q

  ), ∇ + H ϕ (∇ ϕ ϕ

  1 ⟨P ⟩dM.

  β M

  Substituindo a última desigualdade acima em (a desigualdade de estabilidade torna-se ∫ ∫

  2+2q 2 2+2q

  2

  3

  ϕ dM H ϕ

  1

  (−K)H ≤ 3C (−K)dM

  M M 2+2q

  • C H (∇ ϕ ), ∇ ϕ

  2

  1

  ⟨P ⟩dM,

  M

  isto é, ∫ ∫

  2+2q 2 2+2q

  ) H ϕ dM H (∇ ϕ ), ∇ ϕ

  1

  2

  1 3(1 −C (−K) ≤ C ⟨P ⟩dM. M M

  onde

  2

  2

  • (1 + q) β (1 + q) (1 + q) (1 + q) + (1 + q) β
  • C = , C = 1 +

  1 2 ( ) ,

  1

  1 β

  1 + β

  2

  • 2q −

  β 1 + β 1+2c

  2

  • 2q −

  1+2c

  1

  2

  2

  − q

  1+2c

  1

  2 é escolhido tal que 0 < 1+2c

  por hipótese, e β β < . Essa escolha de β 0 < q <

  q + 2 é necessária para termos C

  < 1. De fato,

  1

22 CAPÍTULO 1 HIPERSUPERFÍCIES ESTÁVEIS COM CURVATURA ESCALAR ZERO

  1

  2

  2

  − q

  1+2c

  1

  2 β <

  • β q + 2 β < ⇒ q

  2

  q

  • 2 1 + 2c

  1

  2 β (1 + q) < 1 + + β

  ⇒ (1 + q) + 2q −

  2

  1 + 2c

  2 β (1 + q) + (1 + q) = < 1.

  1

  ⇒ C

  

1

  1 + β

  2

  • 2q −

  

1+2c

  Portanto ∫ ∫ C

  

2

2+2q

2 2+2q

  (1.12) H ϕ dM H (∇ ϕ ), ∇ ϕ

  1 (−K) ≤ ⟨P ⟩dM. M ) M

  3(1 −C

  1 Por outro lado, como P é positivo definido, temos

  1

  2

  2 (∇ ϕ ), ∇ ϕ ϕ .

  1

  

1

  ⟨P ⟩ ≤ (trP )|∇H| ≤ 2H|∇ |

  2C

2 Denotando por C e usando a desigualdade acima, a desigualdade (1.12) torna-se

  =

  3

  )

  1 ∫ ∫ 3(1 −C

  C

  

3

2+2q

2 2+2q

  H ϕ dM H (∇ ϕ ), ∇ ϕ

  1

  (−K) ≤ ⟨P ⟩dM

  M

  2 M

  3+2q

  2 H ϕ dM .

  

3

  ≤ C |∇ |

  M p

  Escolhendo ϕ = ψ , onde 2p = 5 + 2q, obtemos ∫ ∫

  2+2q 5+2q 2 3+2q 3+2q

  2 H ψ dM p H ψ ψ dM . (1.13)

  

3

  (−K) ≤ C |∇ |

  M M

  Usando a desigualdade de Young

  a b

  x y

  1

  1

  • xy , = 1,

  ≤ a b a b para

  2 ψ

  5 + 2q 5 + 2q |∇ |

  3+2q 3+2q

  x δ H ψ e δ

  = , y = , a = , b = > 0,

  2

  δ 3 + 2q

  obtemos

  5+2q 5+2q

  2 3 + 2q

  3+2q 3+2q 2 5+2q 5+2q 5+2q

  • 3+2q −

  2 H ψ ψ δ H ψ δ ψ .

  |∇ | ≤ |∇ | 5 + 2q 5 + 2q

  Substituindo a última desigualdade acima na desigualdade (

  5+2q

  3 + 2q

  2+2q 5+2q 2 5+2q 5+2q 3+2q

  H ψ dM p C δ H ψ dM

  3

  (−K) ≤

  M M

  5 + 2q

  5+2q

  2

  2 5+2q −

  • 2

  p C δ ψ dM ,

  3

  |∇ |

1.3 RESULTADOS PRINCIPAIS

  23 ou seja, )

  5+2q 5+2q

  ( (−K)

  5+2q 5+2q 5+2q − 3+2q

  2 H dM dM (1.14) δ ψ δ ψ ,

  1

  2

  − Λ ≤ Λ |∇ |

3 M H M

  2

  2p 3 + 2q

  2 onde Λ = p C e Λ = C .

  1

  3

  2

  3

  5 + 2q 5 + 2q Em Schoen, Simon e Yau obtiveram a seguinte desigualdade de Sobolev para

  n n

  • 1

  hipersuperfícies mínimas M imersas em R : ∫ ∫

  

2p 2p 2p

ψ dM ψ dM , (1.15)

  |A| ≤ C(n, p) |∇ |

  M M

  √2/n) e para toda função ψ para p ∈ [2,2 + : M → R com suporte compacto em M. Usando a

  3

  desigualdade da Proposição obtemos um resultado análogo para hipersuperfícies M de

  4

  2

  2 R

  com curvatura escalar nula. De fato, se R = 0, então H . A escolha de uma orientação = |A| tal que H > 0 implica H = |A|. Neste caso, temos o

  3

  4 Se uma imersão com curvatura

  Corolário 1.3.1 (Desigualdade tipo Sobolev). x : M → R

  (−K)

  

escalar nula, estável e tal que em todo ponto, então, para toda função suave ψ

  ≥ c > 0

3 H

  ( )

  5

  5

  1

com suporte compacto em M , para todo δ > 0 e p , , existe uma constante

  • 2

  ∈

  2

  2 1+2c tal que

  C (p) > 0 ∫ ∫

  2p 2p 2p ψ dM ψ dM (1.16) .

  |A| ≤ C(p) |∇ |

  M M Em um artigo recente, ], Ilias, Nelli e Soret obtiveram resultados Observação 1.3.1. similares para hipersuperfícies de curvatura média constante.

  A seguir, vamos demonstrar o Teorema A da Introdução deste capítulo.

  

3

  4 R Não existem hipersuperfícies de com curvatura escalar zero, completas,

  Teorema A. M

  estáveis, com crescimento de volume polinomial e tais que

  (−K) ≥ c > 0

3 H em todo ponto para alguma constante c > 0.

  Demonstração. Suponha por absurdo que existe uma hipersuperfície completa e estável satis- fazendo as condições do Teorema A. Logo, podemos aplicar a Proposição Escolhamos a função de suporte compacto ψ

  : M → R definda por 1 ; se p ∈ B r

  

ρ (p)

  2r −

  ψ ( ρ (p)) =

  (1.17) ; se p ∈ B 2r r  r \B

  ,

  24 CAPÍTULO 1 HIPERSUPERFÍCIES ESTÁVEIS COM CURVATURA ESCALAR ZERO onde na desigualdade da

  ρ (p) = ρ (p, p ) é a função distância de M. Usando esta função ψ

  Proposição temos ∫ ∫ ) )

  5+2q 5+2q 5+2q ( (−K) 5+2q ( (−K) 5+2q

  3+2q 3+2q

  H δ dM H δ ψ dM

  1

  1

  − Λ ≤ − Λ

  3

  3 H H B r B 2r 5+2q

  5+2q

  2

  (1.18)

  δ ψ dM

  2

  ≤ Λ |∇ |

  B 2r 5+2q

  vol B

  2r

  2 δ ,

  2

  ≤ Λ

  5+2q r

  1

  para 0 < q < . Escolhendo δ > 0 suficientemente pequeno e visto que, por hipótese,

  2 1+2c

  (−K) ≥ c > 0, obtemos

3 H

  )

  5+2q

  ( (−K)

  3+2q δ > 0.

  

1

  − Λ

3 H

  Por hipótese, M tem crescimento de volume polinomial. Isto implica ) vol(B r lim < ∞, α ∈ (0,4].

  α r →∞ r

  Fazendo r → ∞ na desigualdade , obtemos )

  5+2q

  )

  1 vol(B 2r

  5+2q ( (−K) 3+2q

  lim H δ dM lim = 0

  1

  2

  − Λ ≤ Λ · lim

  3 α α r r r 5+2q− →∞ H →∞ r →∞ r

  B r e, portanto H ≡ 0. Esta contradição finaliza a prova do teorema.

  Observação 1.3.2. Na demonstração do Teorema A, M não precisa ser propriamente imersa, visto que estamos considerando bolas intrínsicas (geodésicas). Visto que M é completa, temos

  ∞

  M B para alguma sequência r = r n n n =1 → ∞, e logo podemos considerar r → ∞ na estimativa.

  Schoen, Simon e Yau usaram a sua desigualdade tipo Sobolev ) para dar uma nova

  n

  demonstração do teorema de Bernstein, a saber, que os únicos gráficos inteiros mínimos M

  n +1

  em R , n ≤ 5, são os hiperplanos. Usando nossa versão da desigualdade de Sobolev , demonstramos o seguinte teorema tipo Bernstein:

  3

  4 R

  Teorema B. Não existem gráficos inteiros M de com curvatura escalar zero e tais que (−K)

  ≥ c > 0

3 H

  em todo ponto para alguma constante c > 0.

  Demonstração. Suponhamos que existe um gráfico inteiro M satisfazendo as condições do Teorema B. Em [], na Proposição 4.1, p. 3308, Alencar, Santos e Zhou mostraram que gráficos inteiros com curvatura escalar nula e cuja curvatura média não muda de sinal

  2

  2

  são estáveis. A hipótese R = 0 implica H = |A| . Como K ̸= 0 em todo ponto, temos que

  

1.4 EXEMPLOS

  25

  2

  2 H > 0 e isto implica que H não muda de sinal. Logo, o gráfico inteiro M é estável. Por

  = |A|

  4

  outro lado, gráficos satisfazem vol(B , para alguma constante C > 0. De fato, como M

  r

  ) ≤ Cr

  4

  

2

  2

  2

  2

  2

  é um gráfico, se Ω ; x

  4

  := {(x e − r ≤ x ) ∈ R

  r 1 , x 2 , x 3 , x

4 + x + x + x

  

1

  2

  3 4 ≤ r ≤ r}, então

  4

  1dx vol(B dx dx dx = Cr .

  r

  

1

  2

  3

  4

  ) ≤

  Ω r

  K Portanto, usando a hipótese −

  ≥ c > 0, a desigualdade ,

  3 H e fazendo r → ∞, obtemos a mesma contradição.

  

1.4 Exemplos

  A classe de hipersuperfícies tratadas aqui não é vazia, como veremos no exemplo a seguir, ver [p. 161.

  3

  4 Exemplo 1.4.1. Seja M a hipersuperfície de rotação parametrizada por

  ⊂ R X (t, θ , ϕ ) = ( f (t) sen θ cos ϕ , f (t) sen θ sen ϕ , f (t) cos θ ,t),

  2

  t

  • m e m é uma constante não negativa. As curvaturas principais são onde f (t) =

  4m

  1/2 1/2

  m 1 m

λ = λ = e λ .

  1

  2

  3

  = −

  3/2 3/2

  2 f f K

  4

  3

  em todo ponto. Visto que M é uma hipersuperfície de Isto implica que R = 0 e − =

  3

  27 H rotação e a curva geratriz é quadrática, a hipersuperfície tem crescimento de volume polinomial. Portanto, o Teorema A implica que a imersão é instável.

  Este exemplo aparece em Teoria da Relatividade como um mergulho da variedade de Schwarzchild tipo espaço e de massa m/2 > 0, ver por exemplo a introdução de ] para mais detalhes.

  A classe de hipersuperfícies a seguir é bem conhecida, ver [p. 214, e são exem- plos clássicos de hipersuperfíces estáveis com curvatura escalar nula. Esta classe nos mostra que a condição sobre a nulidade da curvatura de Gauss-Kronecker é necessária.

  3

  4 Exemplo 1.4.2. Seja M o cilindro parametrizado por

  ⊂ R x(u,v,t) = (u,v, α (t), β (t)), u, v,t ∈ R, α (t), β (t)) é um curva parametrizada com curvatura k(t) positiva em todo ponto. onde c(t) = ( Neste caso, as curvaturas principais são

λ = 0, λ = 0 e λ = k(t).

  1

  2

  3

  3

  é estável, ver ]. Observe Logo R = 0, H > 0 e K = 0 em todo ponto. Portanto, M

  3

  que se c(t) = (t, f (t)), o cilindro M é o gráfico de uma função suave F : R → R dada por

  √

  2

  2 F (u, v,t) = f (t). Em particular, escolhendo f (t) = t ou f (t) = 1 +t , obtemos um gráfico inteiro com R = 0, H > 0 e K = 0 em todo ponto.

26 CAPÍTULO 1 HIPERSUPERFÍCIES ESTÁVEIS COM CURVATURA ESCALAR ZERO

1.5 Tubos não mergulhados

  3

4 Seja x : M uma imersão isométrica. Seguindo Nelli e Soret, ver [NS07], definimos o

  → R tubo de raio h em torno de M por

4 T η

  (M, h) = {x ∈ R ; ∃ p ∈ M, x = p +t , t ≤ h(p)}, onde

  η

  é o campo de vetores normais à segunda forma fundamental de x e h : M → R é uma função positiva em todo ponto. Se |A| ̸= 0 em todo ponto, definimos o tubo subfocal por ( )

  ε

  T M , , 0 < ε ≤ 1.

  |A| na

  Denotemos por T (r,h) o tubo de raio h em torno de B r r ⊂ M, isto é, considerando M = B definição acima e seja

  V (r, h) = dT ,

  T (r,h)

  onde dT denota o elemento de volume do tubo. Se R = 0 e escolhermos uma orientação para M tal que H > 0, então H = |A|. Sob as condições da Proposição , e assumindo que

  (−K) ≥ c > 0, o Corolário , afirma que existe uma constante C(q) dependendo

3 H

  

  1

  apenas de 0 < q < , tal que

  2 1+2c ∫ ∫

5+2q 5+2q 5+2q

  (1.19) ψ dM ψ dM . |A| ≤ C(q) |∇ |

  B B r r

  Escolhendo a mesma função com suporte compacto usada na demonstração do Teorema A (ver (), obtemos vol(B )

  2r 5+2q

  dM . |A| ≤ C(q)

  5+2q B r r

  O lema a seguir é essencialmente o mesmo Lema 1 de [p. 496, e omitiremos sua demonstração aqui.

  3

  

4

R Seja uma hipersuperfície de com curvatura escalar nula, completa, estável

  Lema 1.5.1. M (−K) e tal que em todo ponto.

  ≥ c > 0

3 H

  

(a) Para r suficientemente grande, existe uma constante α dependendo apenas de

  > 0 (q),

  1 tal que

  0 < q <

  2 1+2c 5+2q

  (1.20) vol(B r ) > α (q)r .

  1

(b) Para cada β e satisfazendo a desigualdade acima,

  > 1, 0 < q < r > 0 (

  2 1+2c existe suficientemente grande tal que

  ˜r > r

  5+q vol(B −1 ) > α (q)r . ˜r

  ) − vol(B β ˜r

1.5 TUBOS NÃO MERGULHADOS

  27 O próximo resultado é uma versão para curvatura escalar nula do Teorema 1, p. 499 de [].

  3

  4 R Seja M uma hipersuperfície completa e estável de com curvatura escalar Teorema C.

  ,

  

nula. Se a segunda forma fundamental da imersão é limitada e existe uma constante tal

  c > 0 (−K)

  

que em todo ponto, então, para quaisquer constantes e para

  0 < b > 0

  1

  2

  ≥ c > 0 ≤ 1, b

3 H

  qualquer função suave satisfazendo

  h : M → R { } b

  1 δ

  h ρ δ (1.21) , b

  2 (p) , > 0,

  (p) ≥ inf |A(p)|

  

o tubo não é mergulhado. Aqui ρ denota a distância intrínsica em de a um

  T (M, h) (p) M p

  ponto fixo

  p ∈ M. Demonstração. Em [Nelli e Soret mostraram que ∫ ∫ ∫

  1

  1

  

2

  4 V (r, h) = h h (p) H h (p) K (p)dM.

  (p)dM − (p)dM −

  2

  4 B B B r r r Usando a desigualdade clássica entre as médias geométrica e quadrática, obtemos

  K = λ λ λ λ λ λ

  1

  2

  

3

  1

  2

  3

  ≤ | || || | ( ) 3/2

  2

  2

  2

  • λ λ λ

  1

  2

  3

  ≤

  3

  1

  3

  = , √ |A|

  3

  3 isto é,

  1

  3

  (1.22) K . √

  (p) ≤ |A(p)|

  3

  3 b

  1

  −

  Seja B o subconjunto de B tal que é o ínfimo em ) e B = B . Temos

  r r r r \B r |A(p)|

  2 ∫ 4 ∫

  1 b 1 b

  1

  1

  1 V dM HdM KdM

  1

  (r, h) ≥ b − −

  2

  4

  2

  4 B r B r B r |A| |A| |A|

  

2 ∫

4 ∫

  b b

  δ

  

2

2 δ

  2 4 δ

  dM HdM KdM +b ρ ρ ρ .

  2

  − −

  − − −

  2

  4 B B B r r r Visto que H = |A|, temos ( )

  2 4 ∫

  b b

  1

  1

  1 V b dM 1 √

  (r, h) ≥ − 2 −

  • 2 ∫

  B

  12 3 r |A|

  4 ∫

  b b

  δ 2 δ 4 δ

  

2

  2 +b ρ dM ρ HdM ρ KdM .

  2

  − −

  − − −

28 CAPÍTULO 1 HIPERSUPERFÍCIES ESTÁVEIS COM CURVATURA ESCALAR ZERO

  −

  Vamos estimar as integrais sobre B . Usando a desigualdade acima, obtemos

  r

  1 b

  1

  1 3 δ −3

  ρ

  −K ≥ − √ |A| ≥ − √ b

  3

  3

  3

  3

  2

  e b

  1 δ

  − ρ .

  −H = −|A| ≥ b

  2

  1 . Logo

  Visto que |A| é limitado por hipótese, existe a := inf

  M ( ) ( ) |A|

  3

  2 4 ∫ ∫

  1 b b b b b b

  2

  1

  1 δ

  1

  1

  2

  • V b dM b ρ dM

  1

  2

  (r, h) ≥ − √ − √

  −

  2 −

  B 2 − B

  • 2

  12 3 r

  |A| 12 3 r ( ) ( )

  4 3 ∫

  b b b b b b

  2

  1

  1

  1

  1 2 + δ

  1 √ r 2 √

  ≥ a − −

  b b dM vol(B ) + ρ .

  −

  2 − 2 −

  B

  12

  3

  12 3 r Por outro lado, para r suficientemente grande, ∫ ∫ ∫ ∫

  

δ δ δ δ

ρ dM ρ dM ρ dM ρ dM

  • =

  ≥

  − − − − − − B B B B r r \B r \B ) β −1r β −1r β −1r

  δ

  ( r

  − −

  [vol(B )]

  r

  ≥ ) − vol(B −1

  r β

  β − − )]. r

  ≥ [vol(B ) − vol(B −1

  r

β

  Logo, ( )

  2

  4 ( )

  b b

  1

1 + + +

  V b ) + vol(B )

  1 vol(B

  (r, h) ≥ a − √ r ) − vol(B

  −1 −1 r r

  β β

  2 − ( )

  12

  3

  2

  3 ( )

  b b b b

  1

  1

  2

  2 − −

  • b vol(B )

  2

  √ −

  r ) − vol(B −1 β r

  2 −

  12

  3 r −1 )]. ≥ C[vol(B ) − vol(B β r

  Usando o Lema item (b), existe ˜r > r tal que

  5+q

  V . (1.23) (˜r, h) ≥ C˜r

  Visto que a distância Euclidiana é menor ou igual à distância intrínsica, temos B

  r

  (p) ⊂ B(p,r),

1.5 TUBOS NÃO MERGULHADOS

  29 onde B

  r r e B(p,r) denotam as bolas intrínsica e Euclidiana de centro p e raio r, respec-

  (p) ≡ B tivamente. Usando , temos } { } { b b b

  1

  1

  1 δ δ h , b ρ (q) inf , b ρ (q) = inf = b a .

  2

  2

  1

  (q) ≥ min ≥ min

  M M

  |A| |A| |A| suficientemente grande, temos Logo, para 0 < b ρ

  1

  ≤ 1 e T (r, b a

  1 ) ⊂ T (r,h).

  Suponha, por contradição, que T (r,b a ) é mergulhado. Visto que

1 T (r, b a a ),

  1

  1

  ) ⊂ B(p,r + 2b a então seu volume V (r,b

  1 ) satisfaz

  4 V (r, b a a )) = ω (r + 2b a ) ,

  1

  1

  4

  1

  ) ≤ vol(B(p,r + 2b onde ω

  4 é o volume de B(p,1). Vamos considerar dois casos diferentes. Primeiro, se M não

  está contida em nenhuma bola, a desigualdade acima é uma contradição com ) para r a ) e, desta forma, T (r, h) não é mergulhado para r suficientemente grande. Portanto T (r,b

  1

  suficientemente grande. No segundo caso, se M está contida em alguma bola, então T (M,h) tem volume finito (visto que T (M,h) é mergulhada) e isto também contradiz .

  APÍTULO

  C

  2 Fórmula de monotonicidade e desigualdade de

Poincaré

  Neste capítulo provamos uma desigualdade do valor médio e uma fórmula de monotonicidade envolvendo as curvaturas média e escalar de uma hipersuperfície propriamente imersa em uma variedade Riemanniana com curvatura seccional limitada superiormente por uma constante. Como consequência das técnicas usadas na demonstração dos resultados acima, provamos uma desigualdade de Poincaré envolvendo as curvaturas média e escalar de hipersuperfícies imersas em uma variedade Riemanniana com curvatura seccional limitada superiormente por uma cons- tante. Aplicamos essa desigualdade para obter uma desigualdade isoperimétrica envolvendo a integral da curvatura média, além de um resultado sobre hipersuperfícies estáveis de curvatura escalar zero no espaço Euclidiano.

2.1 Introdução

  A desigualdade clássica de Poincaré estabelece que para qualquer função suave e não negativa

  m m

  f , com fronteira de

  : Ω ⊂ R → R, onde Ω é um subconjunto limitado, conexo e aberto de R

  1

  classe C e para todo 1 ≤ q < ∞, existe uma constante C = C(m,q,Ω) dependendo apenas de m , q e Ω, tal que ∫ ∫

  

q q

  f dx dx , ≤ C |∇ f |

  Ω Ω m

  onde dx denota a medida de Lebesgue de R . Em particular, se Ω = B r (x ), onde B r (x ) denota

  m

  a bola aberta de R , existe uma constante C = C(m, q) dependendo apenas de m e q tal que ∫ ∫

  q q

  f dx dx , ≤ Cr |∇ f |

  B B r (x ) r (x )

  ver por exemplo [p. 289-290. Desigualdades do tipo Poincaré são um tópico fértil de pesquisa para funções definidas no espaço Euclidiano, assim como para variedades Rieman- nianas mais gerais. Podemos citar, por exemplo, e suas referências.

  Neste capítulo estabelecemos uma nova desigualdade de Poincaré envolvendo funções si- métricas dos autovalores da segunda forma fundamental de uma hipersuperfície imersa em uma variedade Riemanniana com curvatura seccional limitada superiormente por uma cons- tante. Estas funções simétricas podem ser interpretadas como múltiplos da curvatura média e da curvatura escalar, em um contexto que detalharemos em breve. Antes de estabelecer os principais resultados deste capítulo, vamos fixar algumas definições e notações.

  m

  Seja M , m ≥ 3, uma hipersuperfície, possivelmente com bordo, de uma variedade Rie-

  m

  • 1

  manniana M . Se denotarmos por A : T M → T M o operador linear associado à segunda

2.1 INTRODUđấO

  31 forma fundamental da imersão, então a curvatura média da imersão é definida por 1 tr

  H = A .

  M

  m É conhecido que A é um operador linear auto-adjunto e seus autovalores k são cha-

  , k , . . . , k m

  1

  2

  mados de curvaturas principais da imersão. Definimos a primeira e a segunda funções simétri- cas associadas aos autovalores de A, respectivamente, por

  

m m

  e S (2.1) S = k i = k i k j .

  1

  2

∑ ∑

i =1 i < j

  Estas funções tem significado geométrico natural. De fato, S = mH e, usando a equação de

  1 Gauss, se M tem curvatura seccional constante κ , então 2S κ ), onde R denota

  2

  = m(m −1)(R− a curvatura escalar de M.

  = K (x, Π ) a curvatura seccional Seja i(M) o raio de injetividade de M. Denotando por K x

  M M

  M

  x x , definimos

  de M em x ∈ M relativa ao subespaço bidimensional Π ⊂ T inf

  

κ (x) = K (x, Π x ).

  M M Π x x ⊂T

  Um domínio Ω ⊂ M é chamado um domínio regular se Ω tem fecho compacto Ω e fronteira

  ∂ M = /0.

  suave por partes. Neste capítulo vamos considerar domínios regulares Ω tais que Ω ∩ Sejam a função distância de M e

  ρ

ρ

  diam Ω = sup{ (x, y); x, y ∈ Ω} o diâmetro extrínseco de Ω. Definimos ( ) m

  • 1

  5  m

  −1

  arcsen κ (diam Ω) se κ > 0; √ × 2

  2 r = κ (2.2) m

  2 −1

  se κ (diam Ω) 5 × 2

  ≤ 0, onde assumimos m +1m

  −1 κ

  × 2 (diam Ω) ≤ 1, se

  κ > 0.

  O primeiro resultado deste capítulo é uma desigualdade do tipo Poincaré envolvendo as funções simétricas S e S .

  1

  2 m

  • 1

  Seja uma variedade Riemanniana

  Teorema 2.1.1 (Desigualdade tipo Poincaré). M , m ≥ 3,

  • -dimensional de curvatura seccional limitada superiormente por uma constante κ

  (m + 1) ∈ R.

  m

  • 1 m

  Seja M uma hipersuperfície de M , possivelmente com bordo, tal que S e S

  1

  2 ̸= 0 ≥ 0.

  Assuma uma orientação de tal que Sejam um domínio regular tal que M S > 0.

  1

  Ω ⊂ M Ω ∩

  1 C e uma função não negativa, de classe e com suporte compacto contido ∂ M = /0 f

  : M → R

  em Se 2r então

  Ω. < i(M), ∫ ∫ [ ) ] ( m( κ κ

  ) −

  f dM

  • f S dM
  • S ,

  1

  1

  2

  ≤ Λ(m)(diamΩ) |∇ f |S

  4

32 CAPÍTULO 2 FÓRMULA DE MONOTONICIDADE E DESIGUALDADE DE POINCARÉ

  onde { m +1 m −3 m 2 −1

  π , se κ > 0;

  × 5 × 2 Λ(m) = 2m m m −3

  2 −1

  2 se κ , × 5 ≤ 0.

  Observação 2.1.1. Visto que k k não depende da escolha de

  

i j i j ), o sinal de S

  2

  = (−k )(−k orientação de M. Logo, se S

  1

  2

  ̸= 0 e S ≥ 0, podemos escolher uma orientação de M tal que S > 0 e S

  1

  2 ≥ 0.

  Observação 2.1.2. Uma pergunta interessante é sobre a otimização da constante Λ(m). As técnicas usadas aqui não nos permitem responder a essa questão. Em 2003, Acosta e Durán,

  m

  ver [obtiveram uma desigualdade ótima para domínios convexos em R , a saber: Se

  m 1,1

  é um subconjunto convexo e f (Ω) satisfaz f dM = 0, então Ω ⊂ R ∈ W ∫ ∫

  1 (diam Ω) | f |dx ≤ |∇ f |dx.

  2

  Ω Ω Além disso, a constante 1/2 é ótima.

  Observação 2.1.3. Se κ ≤ 0 e M é uma variedade Riemanniana completa e simplesmente conexa, então i(M) = ∞ e a condição 2r

  ≤ i(M) do Teorema é automaticamente satisfeita.

  π √

  Por outro lado, se κ > 0, então r por definição de r , ver ) acima. Em particular, ≤

  2 κ

  π √

  κ , então i(M) = e a

  se M é a esfera Euclidiana (m+1)−dimensional de curvatura constante

  κ

  condição 2r ≤ i(M) é automaticamente satisfeita. Mais geralmente, se as curvaturas seccionais

  1 π

  de M estão entre e √

  κ κ , ver por exemplo [p.276. Logo, também neste

  , então i(M) ≥

  4 κ

  caso, a condição 2r ≤ i(M) é automaticamente satisfeita.

  Seja

  

m +1

  S ( κ ) se κ > 0;

  m

  • 1

    m +1

  R se M ( κ ) = κ = 0;  m

  • +1

  H ( κ ) se κ < 0,

  m

  • 1

  onde S ( κ

  ) denota a esfera Euclidiana (m + 1)−dimensional de curvatura seccional cons-

  m +1 m +1

  tante κ > 0, R ( κ ) denota o espaço

  é o espaço Euclidiano (m + 1)−dimensional e H κ < 0. hiperbólico (m + 1)−dimensional de curvatura seccional constante

  Se K (v, w) denota a curvatura seccional de M no subespaço bidimensional gerado pelos

  M

  vetores v ∈ TM e w ∈ TM, lembramos que a curvatura escalar R de M é dada por

  m

1 R K

  = M (e i , e j )

  ∑

  m (m − 1)

  i < j

  , e , . . . , e

  1

2 m

para qualquer referencial ortonormal {e } definido em M. m +1 m

  Seja uma hipersuperfície de , possivelmente com fron-

  Corolário 2.1.1. M M ( κ ) , m ≥ 3,

  

teira, com curvatura média H e curvatura escalar R κ . Assuma uma orientação de M tal

  ̸= 0 ≥

  

que Seja um domínio regular tal que Se κ assuma ainda que

H > 0.

  ∂ M = /0. > 0,

  Ω ⊂ M Ω ∩ m +1m

  −1 κ × 2 (diam Ω) ≤ 1.

2.1 INTRODUđấO

  33

  1 C Se é uma função não negativa, de classe e com suporte compacto contido em

  f Ω,

  : M → R

  então ∫ ∫ [ ]

  (m − 1) f HdM

  κ dM ) f .

  ≤ Λ(m)(diamΩ) |∇ f |H + (R −

  2

  Ω Ω

  Definimos A

  (2.3) (Ω) = S dM ,

  1

  1 Ω

  a 1−area de um domínio regular Ω ⊂ M. Como aplicação do Teorema obtemos

  m +1

  Teorema 2.1.2 (Desigualdade Isoperimétrica). Seja M uma variedade Riemanniana , m ≥ 3,

  dimensional de curvatura seccional limitada superiormente por uma constante κ

  (m + 1)− ∈ R.

  m +1 m Seja M uma hipersuperfície de M , possivelmente com fronteira, tal que S e S

  1

  2 ̸= 0 ≥ 0.

  Assuma uma orientação de tal que Seja um domínio regular tal que 2r M S > 0.

  <

  1

  Ω ⊂ M i (M). Então [ ) ] ( m( κ κ )

  − A A

  (2.4) ( ∂ Ω) + + S dM .

  1

  1

  2

  (Ω) ≤ Λ(m)(diamΩ)

  4

  Ω

  Como casos particulares do Teorema Corolário 2.1.2.

  m m

  • 1 +1

  (i) Se então

  M = M ( κ ), [ ] m − 1

  A A ( ∂ Ω) + κ )dM .

  1

  1

  (Ω) ≤ Λ(m)(diamΩ) (R −

  2

  Ω Em particular, se então

  R = κ , A ( ∂ Ω).

  1

  1

  (Ω) ≤ Λ(m)(diamΩ)A

  (ii) Se M é compacta e sem fronteira, então [ ) ]

  ( m( κ κ ) −

  A dM

  

1 + S

2 ,

  (M) ≤ Λ(m)(diamM)

  4 M

  onde diam M denota o diâmetro extrínsico de M . m +1 m +1

  (iii) Se M é compacta, sem fronteira e M = M ( κ ), então ( ) −1

  min H Λ(m) . diam M ≥

  κ

  maxR − (m − 1)

  A última aplicação da desigualdade de Poincaré que apresentaremos neste capítulo refere-se

  m +1

  à estabilidade de hipersuperfícies com curvatura escalar zero em R , no sentido que intro- duzimos a seguir.

34 CAPÍTULO 2 FÓRMULA DE MONOTONICIDADE E DESIGUALDADE DE POINCARÉ

  m m

  • 1

  Seja M e Ω ⊂ M um domínio regular. Uma variação , m ≥ 3, uma hipersuperfície de R

  m +1 ε , ε , ε > 0,

  de Ω com suporte compacto é uma aplicação diferenciável F : (− ) × Ω → R

  m

  • 1

  ε ε

  , ), a aplicação F t , definida por F t (p) = F(t, p) é uma tal que, para cada t ∈ (− : Ω → R imersão, F é a imersão original restrita a Ω e F

  = F . É conhecido que hipersuperfícies

  

t

  | ∂ Ω | ∂ Ω

  m +1

  de R com curvatura escalar constante são pontos críticos do funcional A

  (t) = S (t)dM

  1 1 t

  para todas as variações com suporte compacto em Ω. Mais detalhes a respeito desta discussão podem ser encontrados em [].

  Seguindo Alencar, do Carmo e Elbert, ver [iremos definir o conceito de estabili- dade para imersões com curvatura escalar nula. Se S

  > 0 em todo

  1

  1

  ̸= 0 em todo ponto, podemos escolher uma orientação de M tal que S ponto ou S < 0 em todo ponto. Ao contrário do caso de hipersuperfícies mínimas, o sinal do

  1 m

  funcional A depende da escolha da orientação de M . Se escolhermos uma orientação tal que

  1

  2 A

  d

  1 S > 0 em todo ponto, então a imersão será estável se > 0 para todas as variações

  1

  2

  dt

  t =0

  com suporte compacto. Caso contrário, isto é, se escolhermos uma orientação tal que S < 0,

  1

2 A

  d

  1

  então a imersão será estável se < 0.

  2

  dt

  t =0

  Modificando convenientemente a prova do Teorema obtemos uma desigualdade de Poincaré modificada, ver Proposição a qual usamos para demonstrar o resultado a seguir. Seja

  

m

  S = k k k

  

3 i j l

i < j<l

a terceira função simétrica dos autovalores da segunda forma fundamental da imersão. m m +1

  R Teorema 2.1.3. Seja M uma hipersuperfície de com curvatura escalar zero. , m ≥ 3,

  Além disso, vamos assumir que e escolher uma orientação tal que Seja S S > 0.

  1

  1

  ̸= 0 Ω ⊂ M

  um domínio regular. Se ) −1

  Λ(m)

  3

  ( −3S sup , ≤

  2 S 1 2(diamΩ) Ω onde

  2m m

m

−3

  2 −1

  Λ(m) = 2 , × 5 então é estável.

  Ω Sejam

  Ric (V ,W ) = tr (E → R(V ,E)W ), E,V ,W ∈ T M,

  M M

  o tensor de Ricci de M, onde R é o tensor curvatura de M, P

  1

  : T M → TM definida por P = S

  I

  1

  

1

  − A,

  r = B r (p)

  a primeira transformação de Newton, onde I : T M → TM é a aplicação identidade, e B a bola geodésica de M de centro p e raio r.

2.1 INTRODUđấO

  35 O resultado a seguir será importante na demonstração da desigualdade de Poincaré, além de ser de interesse independente.

  m Seja M uma hipersuperfície própria Teorema 2.1.4 (Desigualdade do Valor Médio).

  , m ≥ 3,

  m +1

de uma variedade Riemanniana de curvatura seccional limitada superiormente por uma

  M

  

constante κ Suponhamos que S e escolhamos uma orientação para M tal

  1

  

2

  ∈ R. ̸= 0, S ≥ 0

  

que Sejam ρ a função distância de e uma função não negativa,

  S > 0. = ρ M f

  1

  : M → R (p, ·)

1 C

  localmente integrável e de classe Se então

  . σ < t < i(M), 0 <

  2

  2 (i) para κ e κ

  > 0 t < π , ∫ ∫

  1

  1 f S dM f S dM m − m

  1

  1 −1 −1

  √ √

  M M 2 t

  2

∩B ∩B σ

  (sen κ t ) (sen κσ )

  t m

  1 −1 √

  −1 −

  2

  r (sen κ r ) ≥ ×

  2

  σ [⟨ ⟩ ] ρ ∇ ρ , P (∇ f ) + 2S f η + f Ric ( ρ ∇ ρ , η ) dMdr ;

  1

  2

  ×

  M M r ∩B (ii) para κ

  ≤ 0, ∫ ∫

  1

  1 m f S dM f S dM

  1 m

  

1

  −

  −1 −1 M M

  2 t 2 σ ∩B ∩B

  t σ ∫ ∫

  t m [⟨ ⟩ ]

  • 1

  1

  −

  2 r ρ ∇ ρ , P (∇ f ) + 2S f η + f Ric ( ρ ∇ ρ , η ) dMdr .

  

1

  2

  ≥

  M

  2

  σ M ∩B r

  Como consequência da desigualdade do valor médio, obtemos uma fórmula de monotoni- cidade que enunciamos a seguir. Fórmulas de monotonicidade aparecem em muitos ramos da Análise e da Geometria Riemanniana, no estudo para determinar o comportamento variacional de grandezas geométricas ver, por exemplo, [], [] para mais detalhes.

  m Seja uma hipersuperfície própria de uma va-

  Teorema 2.1.5 (Monotonicidade). M , m ≥ 3,

  m +1

riedade Riemanniana M de curvatura seccional limitada superiormente por uma constante

Suponhamos que e escolhamos uma orientação tal que Se existem κ S S > 0.

  1

  2

  1

  ∈ R. ̸= 0, S ≥ 0

  α e < i(M) tais que

  0 < 0 < R ≤ 1, Γ ≥ 0 ) ) ∫ −1 α

  ( m( ( r

  κ κ )

  −

  −1

  A (2.5)

  

α + S dM ),

  2 1 r

  ≤ Γ (M ∩ B

4 M R

  r ∩B para todo então

  r ), ∈ (0,R

  2

  2 (i) para κ > 0 e κ R π , a função h definida por

  : (0,R ≤ ) → R

  A )

  1 r α α (M ∩ B

  

1−

  h (r) = exp(ΓR r ) m

  −1

  √

  2

  (sen κ r )

  é monótona não decrescente;

36 CAPÍTULO 2 FÓRMULA DE MONOTONICIDADE E DESIGUALDADE DE POINCARÉ

  (ii) para κ a função definida por

  h : (0,R ≤ 0, ) → R

  A )

  1 r

  (M ∩ B

  α α 1−

  h (r) = exp(ΓR r ) m

  −1

  2

  r é monótona não decrescente. Observação 2.1.4. Existem resultados anteriores envolvendo fórmulas de monotonicidade e funções simétricas, ver por exemplo,

  Como caso particular da fórmula de monotonicidade acima, temos

  m

  • 1

  Corolário 2.1.3 (Monotonicidade). Seja M ( κ ) uma variedade Riemanniana dimensional (m+1)−

  m

  • 1 m

  de curvatura seccional constante κ Seja uma hipersuperfície própria de

  . M M ( κ ) , m ≥ 3 tal que S = 0 e S Assuma uma orientação de M tal que S > 0.

  2

  1 1 ̸= 0.

  2 2 π

(i) Se κ e κ r π então a função g definida por

  > 0 , : (0, ≤ ) → R

  κ

  A )

  1 r

  (M ∩ B g (r) = m

  −1

  √

  2

  r (sen κ )

  é monótona não decrescente; (ii) Se κ então a função definida por

  g : R → R

  ≤ 0, A

  )

  1 r

  (M ∩ B g (r) = m

  −1

  2

  r é monótona não decrescente. Seguindo as ideias de Simon, ], p. 84-85, queremos analisar a importante questão

  

p

  sobre o que acontece ao assumirmos limitações L para S . A segunda aplicação da desigual-

  2 dade do valor médio é o teorema a seguir. m

  Teorema 2.1.6. Seja M uma hipersuperfície própria de uma variedade Riemanniana , m ≥ 3,

  m +1

de curvatura seccional limitada superiormente por uma constante κ Suponhamos

  M ≤ 0.

  que para alguma constante e que Se existem e

  S c > 0 S < i(M), Γ > 0 p > 1

  1 2 0 < R ≥ c ≥ 0. tais que [ ] ) p 1/p

  ( m( κ κ ) −

  • S dM (2.6)

  2

  ≤ Γ,

4 M

  ∩B R0 então ) )

  1/p 1/p ( )

  ( A ( A m m

  −1 −1

  2Γ ) t )

  1 σ

  1

  (M ∩ B (M ∩ B

  1− 1−

  • 2p 2p
  • m m t σ

      ≤ −

      −1 −1 1−1/p

      c

      2

      2 σ t (m − 1 + 2p) para quaisquer σ < t < R .

      0 <

    2.2 RESULTADOS PRELIMINARES

      37

    2.2 Resultados preliminares

      m +1 m

      Seja M .

      , m ≥ 3, uma hipersuperfície m−dimensional de uma variedade Riemanniana M Denotemos por ∇ e ∇ as conexões de M e M, respectivamente. Seja X : M → TM um campo

      T N T N ⊥

      de vetores que decompomos da forma X = X + X , onde X . Sejam ∈ T M e X ∈ T M

      Y , Z ∈ T M e denotemos por ⟨·,·⟩ a métrica de M. Temos que

      T N

      X X + ∇

      X Y Y Y ⟨∇ , Z⟩ = ⟨∇ , Z⟩

      T N Y

      X Y

      X = ⟨∇ , Z⟩ + ⟨∇ , Z⟩

      T N

      X , ∇ Z

      Y Y

      = ⟨∇ , Z⟩ − ⟨X ⟩

      T N

      X , ∇ Z Z

      Y Y Y

      = ⟨∇ , Z⟩ − ⟨X − ∇ ⟩

      T N

      X Y = ⟨∇ , Z⟩ − ⟨X , B(Y, Z)⟩,

      Z Z denota a segunda forma fundamental da imersão. Se η denota o onde B(Y,Z) = ∇ Y Y − ∇

      N

      campo de vetores normal e unitário à imersão, então X

      η η . Isto implica

      = ⟨X, ⟩

      T

      X X η η

      Y Y

      ⟨∇ , Z⟩ = ⟨∇ , Z⟩ − ⟨X, ⟩⟨ , B(Y, Z)⟩ (2.7)

      T

      X η

      Y

      = ⟨∇ , Z⟩ − ⟨X, ⟩⟨A(Y ),Z⟩, onde A : T M → TM é o operador linear associado à segunda forma fundamental, definido por

      η ⟨A(V ),W ⟩ = ⟨ , B(V,W )⟩, V,W ∈ T M. A primeira transformação de Newton é definida por

      Definição 2.2.1. P

      1 : T M → TM

      P = S

      I

      1

      

    1

      − A,

      onde S A e I é a aplicação identidade.

      = tr M

      1 : T M → TM

      também é um operador linear Observação 2.2.1. Visto que A é auto-adjunto, temos que P

      1

      auto-adjunto. Denotemos por k , k , . . . , k

      1 2 m os de A, também conhecidos como curvaturas prin-

      cipais da imersão. Visto que P é um operador linear auto-adjunto, podemos considerar seus

      1 autovalores θ , θ , . . . , θ dados por θ = S , i = 1, 2, . . . , m.

      1 2 m i 1 i

      − k Observação 2.2.2. Se S > 0 e S é semipositivo definido. Este fato é conhecido

      1

      2

      

    1

      ≥ 0, então P

      2

      e pode ser encontrado em observação 2.1, p.552. De fato, se S =

      2

      ≥ 0, então S

      1

      2

      2

      2

      2

    • 2S

      = (S )(S + k ) e isto

      2 1 i 1 i

      |A| ≥ k , para quaisquer i = 1, 2, . . . , m. Logo 0 ≤ S − k − k

      i 1 i

      implica que todos os autovalores de P são não negativos, visto que S é

      1

      1

      1

      ≥ 0. Portanto, P semipositivo definido. Definição 2.2.2. Sejam X um campo de vetores. O gradiente de

      : M → TM ∇ X : T M → T M

      é definido por

      X ∇ X(V ) = ∇ X .

      V A divergência de em é definida por

      X M div (X) = tr (∇ X).

      M M

    38 CAPÍTULO 2 FÓRMULA DE MONOTONICIDADE E DESIGUALDADE DE POINCARÉ

      Se é um referencial ortonormal adaptado, tangente a então

      , e , . . . , e m M ,

      1

      2

      {e }

      

    m

      div (X) = X , e

      

    i

    =1

      

    M e i i

    ⟨∇ ⟩.

      O tensor de Ricci de é definido por

      M Ric

      (V ,W ) = tr

      M M (E → R(V ,E)W ), onde e denota o tensor de curvatura de E R M .

      ,V ,W ∈ T M O lema a seguir é conhecido e incluímos uma prova aqui por razões de completeza. Lema 2.2.1. Se (div P )(V ) = tr P )(V )), onde (∇ P )(V ) = ∇ (P (∇ V ),

      1 M E

      1 E

      1 E

      1

      1 E

      (E 7→ (∇ (V ))−P

      então

      (div P )(V ) = Ric (V, η )

    1 M

      

    para todo onde η denota o campo de vetores unitários normais à imersão. Em parti-

      V ∈ T M,

      m +1 cular, se M tem curvatura seccional constante κ então div P

      , 1 = 0. Demonstração. , e , . . . , e m

      Seja {e

      1

      2

      } um referencial geodésico tangente a p ∈ M. Usando a equação de Codazzi A A η

      V Y

      ⟨(∇ )(Y ), Z⟩ − ⟨(∇ )(V ), Z⟩ = ⟨R(Y,V )Z, ⟩ para Y = Z = e e somando sobre i de 1 a m, temos

      i m

      V A )(e i ), e i e A )(V ), e i i ,V )e i , η i

      ⟨(∇ ⟩ − ⟨(∇ ⟩ = ⟨R(e ⟩,

      ∑ i =1

      isto é,

      m A )(e ), e (V, η ).

      V i i

      ⟨(∇ ⟩ − (divA)(V ) = Ric M

      ∑ i =1

      Observando que

      m m

      V A )(e i ), e i

      V i ), e i ) = div(S I )(V ),

      1

      1

      ⟨(∇ ⟩ = ⟨A(e ⟩ = V (S

      ∑ ∑ i =1 i =1

      onde I : T M → TM é a aplicação identidade, concluímos div(S I (V, η ).

      1

      − A)(V ) = Ric M Em particular, se M tem curvatura seccional constante

      κ , então Ric (V, η ) = m κ η M ⟨V, ⟩ = 0, o que implica divP = 0.

    1 A proposição a seguir será uma ferramenta importante na demonstração do Teorema 2.1.1.

    2.2 RESULTADOS PRELIMINARES

      39

      m +1 m Se é uma hipersuperfície de e é um campo

      Proposição 2.2.1. M M

      X : M → TM

      , m ≥ 3,

      de vetores, então ( ( )) ( ) T T

      T

      div (P (X )) = tr E ∇ X + Ric (X , η ) + 2S η (2.8)

      M

      1 M

      1 E

      2

      7−→ P ⟨X, ⟩,

      M T onde Ric denota o tensor de Ricci de e

      M X η η é a parte tangente de X .

      M = X − ⟨X, ⟩ Demonstração.

      1 , e 2 , . . . , e m

      Seja {e } um referencial ortonormal adaptado a M. Inicialmente, visto que P é auto-adjunto, temos ( ( )) ⟨ ( ) ⟩

      1 ( ) T ( ) T m m

      tr E ∇ X = P ∇ X , e = X , P (e

      M

      ∑ ∑ i =1 i =1

    1 E 1 e i e 1 i (2.9) 7−→ P i ⟨∇ i )⟩.

      Usando , e o fato de A ser auto-adjunto, obtemos ( )

      m m m T e i X , P (e i e X , P (e i i ), P (e i η

      1 i

      1

      1

      ⟨∇ )⟩ = ⟨∇ )⟩ − ⟨A(e )⟩ ⟨X, ⟩

      ∑ ∑ ∑ i =1 i =1 i =1 ( ) m m

      T

      X η = e , P i 1 (e i 1 )(e i ), e i

      ⟨∇ )⟩ − ⟨(A ◦ P ⟩ ⟨X, ⟩

      ∑ ∑ i =1 i =1 m

      T

      = X , P (e η

      e 1 i M

      ∑ i =1

      1 ⟨∇ i )⟩ − tr (A ◦ P )⟨X, ⟩.

      Portanto, ( ( ))

      m ( ) T T

      X , P (e E ∇ X + tr η

    1 E M

      e 1 i M

      ∑ i =1

      1 ⟨∇ i )⟩ = tr 7−→ P (A ◦ P )⟨X, ⟩.

      Por outro lado, o fato de P ser auto-adjunto implica

      1 m m m T T T T

      X X

      X

      1

      ⟨∇ )⟩ = ⟨∇ )⟩ = ⟨∇ )⟩

      e , P (e i e + B(e i , X ), P (e i e , P (e i i 1 i 1 i

      ∑ ∑ ∑ i =1 i =1 i =1 m m m

      T T T

      = (∇ X ), e (P (X )), e P )(X ), e

      1 e i e 1 i e 1 i

      ⟨P i ⟩ = ⟨∇ i ⟩ − ⟨(∇ i ⟩

      ∑ ∑ ∑

    i i i

    =1 =1 =1

      T T

      P = div M (P (X M E )(X ))

      1

      1

      )) − tr (E → (∇

      T T = div M (P (X )(X ).

      1

      1

      )) − (divP Logo, ( ( )) ( ) T

      T T

      div

      M (P (X )) = tr M E ∇ E

      X + (div P )(X ) + tr M η

      1

      1

      1

      1 7−→ P (A ◦ P )⟨X, ⟩.

      O resultado segue, portanto, usando o Lema e a igualdade abaixo

      2

      2

      2

      tr I tr

      1

    1 M M (A ) = S = 2S 2 .

      M 1 ) = tr M

      (A ◦ P (A ◦ (S − A)) = S (A) − tr

      1 − |A|

    40 CAPÍTULO 2 FÓRMULA DE MONOTONICIDADE E DESIGUALDADE DE POINCARÉ

      m +1

      de M satisfaz Observação 2.2.3. Se a curvatura seccional K

      

    M

    κ κ

      ≤ K M ≤ para números reais e

      κ κ , então

      m ( κ κ ) −

      |Ric M (V ,W )| ≤

      2 para qualquer par ortogonal de vetores V , W ∈ TM tais que |V| ≤ 1, |W| ≤ 1. De fato, consi- , e , . . . , e , e

      1

    2 m m +1

      derando um referencial ortonormal {e } tangente a M, obtemos

      m +1 m +1

      2

      2 Ric K

      (V ,V ) = i )V , e i (V , e i i )

      

    M ⟨R(V ,e ⟩ = M )(|V | − ⟨V ,e ⟩

    ∑ ∑ i =1 i =1 m

    • 1

      2

      2

      2

      2 κ ) = κ ]

    i

      ≤ (|V | − ⟨V ,e ⟩ [(m + 1)|V | − |V |

      ∑ i =1

      2 = m κ .

      |V |

      2 Analogamente, Ric é uma forma bilinear simétrica, κ . Visto que Ric

      M (V ,V ) ≥ m |V | M

      1 Ric (V ,W ) = [Ric (V +W ,V +W ) − Ric (V −W ,V −W )],

      M M M

      4

      1

      2

      2 κ κ

      [m ] ≤ |V +W | − m |V −W |

      4

      1

      2

      2

      2

      2

      = [m κ κ )] (|V | + 2⟨V ,W ⟩ + |W | ) − m (|V | − 2⟨V ,W ⟩ + |W |

      4

      1

      2

      

    2

      = m ( κ κ ) − )(|V | + |W |

      4 m ( κ κ ) − . ≤

      2 m ( κ κ ) −

      Analogamente, Ric . Portanto,

      M (V ,W ) ≥ −

      2 m ( κ κ ) m ( κ κ ) − − . − ≤ Ric M (V ,W ) ≤

      2 ( ( )) ( )

      2 T No lema a seguir iremos estimar tr em termos de S

      E ∇ X , da função

      M

      1 E

      1

      7−→ P distância de M e da cota superior κ da curvatura seccional de M.

      m

    • 1

      Sejam uma variedade Riemanniana de curvatura seccional limitada

      Lema 2.2.2. M , m ≥ 3,

      m

    • 1

      

    superiormente por uma constante κ , M uma hipersuperfície de M , ρ (x) = ρ (p, x) a distân-

    cia geodésica de partindo de e

      M p X = ρ ∇ ρ o campo de vetores radial partindo de p ∈ M

      ∈ M

      e restrito a Suponhamos que seja semipositivo definido. Se é tal que ρ

      M . P q (q) < i(M)

      1

      ∈ M

      2

      

    2

      e, além disso, para κ tivermos κρ então

      > 0 (q) < π , { ( ( )) ( ) √ √

      T κρ κρ se κ

      1 (q)( (q)) cot( (q)), > 0,

      (m − 1)S tr E ∇

      X M

    1 E

      7−→ P (q) ≥

      se κ

      (q),

      1 (m − 1)S ≤ 0.

    2.2 RESULTADOS PRELIMINARES

      41 Seja Demonstração. γ : [0, ρ γ (t) = exp p M , a única geodé-

      (q)] → M definida por p (tu), u ∈ T sica unitária tal que

      γ (0) = p e γ ( ρ (q), e (q), . . . , e

      1 2 m

      (q)) = q. Seja {e (q)} uma base ortonomal de T M formada por autovetores de P

      q

      1

      em q ∈ M, isto é, P (e (q)) = θ (q)e (q), i = 1, 2, . . . , m,

      1 i i i

      ver Observação . Sejam Y , i = 1, 2, . . . , m, as projeções unitárias de e (q) sobre

      i i ′ ⊥

      γ ( ρ (q)) M , isto é, q

      ⊂ T

      ′ ′

      e γ ρ γ ρ

      i i (q), ( ( (q))

      (q) − ⟨e (q))⟩ Y

    i = , i = 1, 2, . . . , m.

      ′ ′

      (q), γ ( ρ γ ( ρ

      i i

      ∥e (q) − ⟨e (q))⟩ (q))∥ Portanto,

      ′

      e Y γ ρ

      

    i (q) = b i i + c i ( (q)),

      2 ′ ′ ′

      onde b (q), γ ( ρ γ ( ρ (q), γ ( ρ +

      i i i i i

      = ∥e (q) − ⟨e (q))⟩ (q))∥ e c = ⟨e (q))⟩. Observemos que b i

      2 ′

      c = 1 e Y γ

      κ e para κ > i para todo i = 1,2,...,m. Visto que a curvatura seccional K

      ⊥ ≤

      i M

      2

      2

      0 temos

      κρ (q) < π , não existem pontos conjugados a p ao longo de γ . Se θ , θ , . . . , θ

      1 2 m

      denotam os autovalores de P , então ( ( ))

      1 ( ) T m m

      tr

      M E ∇ E

      X = e X , P (e i θ i e X , e i

      1 i 1 i

      7−→ P ⟨∇ )⟩ = ⟨∇ ⟩

      ∑ ∑ i =1 i =1 m

      ′

      = θ ′ X , b Y + c γ

      i b Y i i i

      ⟨∇ i i +c i γ ⟩

      ∑ i =1 m m

      2

      2 ′ ′

      = θ b X ,Y θ c X , γ

      i Y i i i γ i ⟨∇ ⟩ + i ⟨∇ ⟩ ∑ ∑ i i =1 =1 m [ ]

    • θ b c X , γ ′ X ,Y .

      i i i Y i

      ⟨∇ i ⟩ + ⟨∇ γ ⟩

      ∑ i =1 ′ ′

      ρ (t)∇ ρ (t) = ρ (t) γ (t) e ∇ ′ γ = 0, obtemos

      Por outro lado, como X(t) =

      γ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

      ′ ′ ′

      X , γ ( ργ ), γ ρ , γ γ ρ ∇ γ + , γ

      γ γ γ

      ⟨∇ ⟩ = ⟨∇ ⟩ = ⟨⟨∇ ⟩ ⟩

      ′ ′ ′ ρ , γ γ , γ

      = ⟨∇ ⟩⟨ ⟩ = 1,

      

    ′ ′ ′ ′ ′ ′

    • X , γ ( ργ ), γ , ∇ ρ γ ρ ∇ γ , γ

      Y Y i Y

      ⟨∇ i ⟩ = ⟨∇ i ⟩ = ⟨⟨Y ⟩ i ⟩

      ′ ′ ′ i , γ ρ Y γ , γ i

      = ⟨Y ⟩ + ⟨∇ ⟩

      ρ ′ ′

      = Y γ , γ

      i

      ⟨ ⟩ = 0,

      2

      ′ ′ ′ ′ ′

      X ,Y + ′ ( ργ ),Y γ , ∇ ρ γ ρ ∇ ′ γ ,Y

      

    i i i

    ⟨∇ γ ⟩ = ⟨∇ γ ⟩ = ⟨⟨ ⟩ γ ⟩ = 0.

      Logo, ( ( )) ( ) m m T

      2

      2

      tr E ∇ X = θ b X ,Y θ c .

      M

    1 E i Y i i

      7−→ P i ⟨∇ i ⟩ + i

      ∑ ∑

    42 CAPÍTULO 2 FÓRMULA DE MONOTONICIDADE E DESIGUALDADE DE POINCARÉ

      Agora, usando o Lema 2.5, p.713 de [], temos √ √ κρ (q) cot( κρ (q)), se κ > 0;

      (2.10)

      Y i X ,Y i ρ 1, se κ = 0;

      ⟨∇ ⟩( (q)) ≥ √ √ κρ (q) coth( κρ (q)), se κ < 0.

      − − √ √

      π √

      No caso κ κρ κρ ρ , obtemos cot( > 0, visto que 0 ≤ ) ≤ 1 para ≤ ( ( )) 2 κ ( ) m m T

      √ √

      2

      2

      tr E ∇ X θ b ρ κ cot( κρ ) + θ c

      M

    1 E i i

      7−→ P ≥ i i

      ∑ ∑ i i

    (

    =1 =1 m

      ) √ √

      2

      2 θ κρ κρ i (b + c ) cot( ) i i

      ≥

      ∑ i =1

      √ √ = (tr P ) κρ cot( κρ )

      M

      1

      √ √ κρ cot( κρ ).

      1

      = (m − 1)S A prova para o caso κ

      κ > 0 observando que

      ≤ 0 é análoga e segue das ideias do caso √ √

      κρ coth( κρ − − ) ≥ 1.

    2.3 Desigualdade do valor médio e fórmula de monotonicidade

      Sejam K = K (x, Π

      x

      ) a curvatura seccional de M em x ∈ M relativa ao subespaço bidimensi-

      M M

      onal Π e inf M κ (x) = K (x, Π ). De agora em diante, denotaremos por B = B (p)

      x x x r r

      ⊂ T M

      M Π x x ⊂T

      ∂ M = /0. Se M é uma hiper- r

      a bola aberta em M com centro em p ∈ M e raio r. Assuma B (p) ∩

      m

    • 1

      superfície própria de M , então e

      ∂ ∂ ) satisfazem r r r

      (M ∩ B ) ̸= 0. Além disso, M ∩ B (M ∩ B as hipóteses do Teorema de Gauss-Green, ver [p. 478.

      1

      . A seguir Seja f : M → R uma função não negativa, localmente integrável e de classe C iremos obter uma desigualdade do valor médio para a função F definida por  ∫ m

      −1

      √

      −

      2

      (sen κ r ) f S dM , se κ > 0;

      1 M r ∩B

      F (r) = m

      −1

      2

      se r f S dM , κ

      1 ≤ 0. M

    r

    ∩B m

      Teorema 2.3.1 (Desigualdade do Valor Médio). Seja M uma hipersuperfície própria , m ≥ 3,

      m +1

    de uma variedade Riemanniana M com curvatura seccional limitada superiormente por uma

    constante κ Suponhamos que e escolhamos uma orientação para tal que

      . S M

      1

      2

      ̸= 0, S ≥ 0 S Sejam ρ ρ a função distância de M e f uma função não negativa,

      1 > 0. =

      : M → R (p, ·)

    1 C

      localmente integrável e de classe Se então

      . 0 < σ < t < i(M),

    2.3 DESIGUALDADE DO VALOR MÉDIO E FÓRMULA DE MONOTONICIDADE

      43

      2

      2 (i) para κ e κ

      > 0 t < π , ∫ ∫

      1

      1 f S dM f S dM m − m

      1

      1 −1 −1

      √ √

    2 M t

      2 M

    ∩B ∩B σ

      t (sen κ ) (sen κσ )

      t m

      1 −1 √

      −1 −

      2

      r (sen κ r ) ≥ ×

      2

      σ [⟨ ⟩ ] ρ ∇ ρ , P (∇ f ) + 2S f η + f Ric ( ρ ∇ ρ , η ) dMdr ;

      1

      2

      ×

      M M r ∩B

      (ii) para κ

      ≤ 0, ∫ ∫

      1

      1 m f S dM f S dM

      1 m

      

    1

      −

      −1 −1

      2 M

      2 M ∩B t ∩B σ

      t σ ∫ ∫

      t m [⟨ ⟩ ]

    • 1

      1

      −

      2

      r ρ ρ f η ρ ρ η dMdr ∇ , P

      1 (∇ f ) + 2S 2 + f Ric ( ∇ , ) .

      ≥

      M

      2

      σ M ∩B r

      Demonstração. Denotemos por X = ρ ∇ ρ o campo de vetores radial de M restrito a M. Inici- almente, notemos que ( ( )) ( ) T ⟨ ⟩ m tr

      E ∇ f X = ∇ ( f X), P (e )

      1 E e i 1 i

      7−→ P

      ∑ i =1 m m

      (2.11) = e (e f X , P (e

      ( f )⟨X,P )⟩ + ⟨∇ i )⟩

      i 1 i e 1 i

      ∑ ∑ i =1 i =1 ( ( )) ( ) T

      E ∇ X .

      1

      1 E

      = ⟨X,P (∇ f )⟩ + f tr 7−→ P Por outro lado, visto que M é própria, se denota o campo de vetores conormal unitário

      ν

      de ∂ ), visto como uma hipersuperfície de M, então o Teorema de Gauss-Green, ver

      r

      (M ∩ B [p. 478, implica ∫ ∫

      T T

      div (P ( f X ))dM = ( f X ), ν (r), (2.12)

      M

      1

      1 M

      ⟨P ⟩dS

      M r ∂ r ) ∩B (M∩B

      onde dS

      ∂ ). Integrando a identidade da Pro- M r

      (r) é a medida (m − 1)−dimensional de (M ∩ B posição ) acima, obtemos ∫ ∫ ( ( )) ( )

      T T

      tr E ∇ f X dM = div (P ( f X ))dM

    1 E M

      1

      7−→ P

      M r M r ∩B ∩B ∫ ∫ T

      Ric η

      2S η ( f X ,

      2

      − M )dM − ⟨ f X, ⟩dM

      M M ∩B r ∩B r T

      = ( f X ), ν (r)

      1 M

      ⟨P ⟩dS

      

    ∂ r )

    (M∩B

    T

      f [Ric (X , η ) + 2S η

      2

      − M ⟨X, ⟩]dM,

      M ∩B r

      (2.13)

    44 CAPÍTULO 2 FÓRMULA DE MONOTONICIDADE E DESIGUALDADE DE POINCARÉ

      Integrando (obtemos ∫ ∫ ( ( )) ( ) T

      T

      f tr E ∇ X dM = f (X ), ν (r)

    1 E

      1 M

      7−→ P ⟨P ⟩dS

      M r ∂ r ) ∩B (M∩B

      (2.14)

      1

      − ⟨X,P (∇ f )⟩dM

      

    M

    r ∩B [ T

      Ric ] dM. f (X , η ) + 2S η

      2

      − M ⟨X, ⟩

      

    M

    ∩B r

      A seguir, iremos estimar os termos de (que envolvem P θ

      1 . Denotemos por i

      , 1 ≤ i ≤ m, os autovalores de P . Vamos mostrar que as hipóteses S > 0 e S

      1

      1

      2

      ≥ 0 implicam

      θ i

      1

      ≤ 2S são θ são os autova- para todo i = 1,2,...,m. De fato, os autovalores de P i = S i , onde k i

      1

      1

      − k lores da segunda forma fundamental da imersão. Temos

      θ i = S i i

      1

      

    1

      − k ≤ S + |k |

      2

      2

      2

    • k + k

      1

      ≤ S + ··· + k m

      1

      2

      2

      = S + S

      1

      1

      2

    • |A| = S − 2S

      1 .

      1

      ≤ 2S √

      Visto que P é semipositivo definido, existe P . Usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz

      1

      1

      obtemos, para quaisquer campos de vetores U e V tangentes a M, √ √

      P (U), P

      1

      

    1

      1

      |⟨P (U),V ⟩| = |⟨ (V )⟩| √ √

      P P

      1

      1

      ≤ | (U)|| (V )|

      1/2 1/2

      (2.15)

      1

      1

      = ⟨P (U),U⟩ ⟨P (V ),V ⟩

      1/2 1/2

      ) )

      1

      1

      ≤ (2S |U|(2S |V |

      1 ≤ 2S |U||V |.

      ρ ρ

      Usando ) e o fato |∇ ∫ ∫ ∫ | ≤ |∇ | = 1, obtemos

      T

      f (X ), ν (r) = f ρ (∇ ρ ), ν f S dS (r)

    1 M

      1 M

      1 M

      ⟨P ⟩dS ⟨P ⟩dS (r) ≤ 2r

      ∂ r ) ∂ r ) ∂ r ) (M∩B (M∩B (M∩B −1

      f ρ S dS (r).

      1 M

      ≤ 2r |∇ |

      ∂ r ) (M∩B

      Por outro lado, a fórmula da coárea, ver ], p. 80, implica ∫ ∫ ( ) d

      −1 2r f ρ S dS (r) = 2r f S dM .

    1 M

      1

      |∇ | dr

    2.3 DESIGUALDADE DO VALOR MÉDIO E FÓRMULA DE MONOTONICIDADE

      45 Portanto, aplicando ( ( ( )) ( ) ( ) T

      1 d tr f E ∇ X dM f S dM

      1 E

      1

      7−→ P ≤ r

      2 M dr M r r ∩B

      ∩B

      (2.16)

      1 ρ ∇ ρ , P (∇ f ) + 2S f η ( ρ ∇ ρ , η )]dM.

      1

      2

      − [⟨ ⟩ + f Ric

      M

    2 M r

      ∩B

      Vamos analisar separadamente os casos κ > 0 e κ ≤ 0.

      Caso κ > 0. A estimativa do Lema implica ( ( )) ( )

      T

      √ √ tr f E ∇ X dM κρ cot( κρ ) f S dM

    1 E

      1

      7−→ P ≥ (m − 1)

      M r M r ∩B

      ∩B (2.17)

      √ √

      κ r κ r ) f S dM ,

      cot(

      1

      ≥ (m − 1)

      M r ∩B

      visto que ρ ≤ r. Substituindo () temos [⟨

      1

      ρ ∇ ρ , P (∇ f ) +2S f η ( ρ ∇ ρ , η )] dM

      1

      2

      ⟩ + f Ric

      M

    2 M r

      ∩B

      √ √ (m − 1)

      κ κ + r r ) f S dM (2.18)

      cot(

      1

      2 M r ( ) ∩B d f S dM .

      1

      ≤ r dr

      M r ∩B

      Como ( ) ∫ ∫ d √ √

      (m − 1) f S dM r f S dM

      κ cot( κ )

      1

      1

      −

      2 dr M M

      ∩B r ∩B r m m ( ) −1 d −1

      √ √

      −

      2

      2

      = (sen κ r ) (sen κ r ) f S dM ,

      1

      dr

      M r ∩B

      obtemos m 1 −1 √

      −

      2

      (sen κ r ) ρ ∇ ρ , P (∇ f ) + 2S f η ( ρ ∇ ρ , η )]dM

      1

      2

      [⟨ ⟩ + f Ric

      M

    2 M r

      ∩B ( ) m (2.19) d −1

      √

      −

      2 κ r f S dM

      sen( ) 1 . ≤ r dr M

      ∩B r

      O resultado para o caso κ > 0 segue, portanto, dividindo a expressão acima por r e integrando de

      σ a t.

      Caso κ ≤ 0. Usando o Lema temos ( ( )) ( )

      

    T

      f tr E ∇ X dM f S dM .

    1 E

      1

      7−→ P ≥ (m − 1)

      M r M r ∩B

      ∩B

      Substituindo a estimativa acima em ) e usando o fato ( ) ( ) ∫ ∫ ∫ m m d m −1 d −1 − 1

      −

      2

      2

      f S dM f S dM r f S dM = r ,

      1

      

    1

      1

      −

      2

      46 CAPÍTULO 2 FÓRMULA DE MONOTONICIDADE E DESIGUALDADE DE POINCARÉ obtemos m

      −1

      1

      −

      2

      r ρ ∇ ρ , P (∇ f ) + 2S f η ( ρ ∇ ρ , η )]dM

      1

      2

      [⟨ ⟩ + f Ric M

    2 M

      ∩B r ( ) (2.20) m −1

      d

      −

      2 r f S dM .

      1

      ≤ r dr M r

      ∩B

      O resultado para o caso κ ≤ 0 segue, portanto, da desigualdade acima dividindo por r e inte- grando de

      σ a t.

      Observação 2.3.1. (Caso convexo) por

      1 Se A ≥ 0, então podemos estimar os autovalores de P

      no lugar de

      e, desta forma, os expoentes da desigualdade do valor

      θ = S θ i 1 i 1 i

      1

      − k ≤ S ≤ 2S

      m −1

      . Neste caso, a desigualdade do valor médio torna-se médio tornam-se m − 1 no lugar de

      2

      2

      2

      (i) para κ > 0 e κ t π , ∫ ∫

      1

      1 f S dM f S dM

      1

      1

      √ − √

      m m −1 −1

      t M M (sen κ ) t (sen κσ ) σ ∫ ∫ ∩B ∩B t [⟨ ⟩ ]

      √

      −1 −(m−1)

      ; r (sen κ r ) ρ ∇ ρ , P (∇ f ) + 2S f η + f Ric ( ρ ∇ ρ , η ) dMdr

      1

      2

      ≥

      M M σ r

      ∩B

      (ii) para

      κ

      ≤ 0, ∫ ∫

      1

      1 f S dM f S dM

      1

      1

      −

      m m −1 −1

      t σ

      M t M ∫ ∫ ∩B ∩B σ t [⟨ ⟩ ] −(m−2)

      r ρ ρ f η ρ ρ η dMdr ∇ , P

      1 (∇ f ) + 2S 2 + f Ric ( ∇ , ) .

      ≥

      M σ M r

      ∩B O corolário a seguir será útil na prova da desigualdade de Poincaré. m +1 m

      Seja uma hipersuperfície de uma variedade Riemanniana

      Corolário 2.3.1. M M

      , m ≥ 3,

      com curvatura seccional limitada superiormente por uma constante κ . Suponhamos S

      1

      ̸= 0,

      e escolhamos uma orientação tal que Seja ρ a função distância de

      S S > 0. = ρ M .

      2

      

    1

      ≥ 0 (p, ·)

      1 C

    Seja uma função não negativa, de classe com suporte compacto em tal que

      f , M ,

      : M → R

      Se então ∂ M = /0. 0 < σ < t < i(M),

      supp f ∩

      2

      2 (i) para κ e κ t π

      > 0 , m m∫ ∫

      −1 −1

      √ √

      − −

      2

      2

      (sen κσ ) f S dM κ t ) f S dM

      1

      1

      ≤ (sen

      M M

    σ t

    ∫ ∫ ∩B ∩B [ ) ] t m

      −1

      √ ( m( κ κ ) −

      −

      ;

    • (sen κ ) r + S f dMdr
    • >2

        1

        2

        |∇ f |S

        

      M

        4

        σ r ∩B

        (ii) para κ

        ≤ 0, m m ∫ ∫

        −1 −1 − −

        2

        2 σ f S dM f S dM

        1

        1

        ≤ t

        M M t ∩B σ ∩B ∫ ∫ [ ) ] t m −1 ( m( κ κ

        ) −

        −

        2

        r f dMdr + S .

        1

        2

        |∇ f |S

        4

        σ M ∩B r

      2.3 DESIGUALDADE DO VALOR MÉDIO E FÓRMULA DE MONOTONICIDADE

        47 Demonstração. Visto que f : M → R tem suporte compacto, podemos considerar integrais sobre qualquer domínio de M sem requerer a hipótese adicional que M é própria. Neste caso, o resultado segue observando que

        1

        ρ ∇ ρ , P (∇ f ) + 2S f η ( ρ ∇ ρ , η )]dM

        1

        2

        [⟨ ⟩ + f Ric M

        2 M r

        ∩B ∫ ∫

        1 = ρ ρ , P ρ f S ρ , η

        1

        2

        ⟨∇ (∇ f )⟩dM + ⟨∇ ⟩dM

        2 M M r r ∩B ∩B

        1 Ric

      • f ρ (∇ ρ , η )dM

        M

        2 M

      ∫ ∫

      ∩B r dM S f dM

        1

        2

        ≥ −r |∇ f |S − r

        M r M r ∩B ∩B )

        ( m( κ κ ) − f dM

        − r

        4 M r ∩B [ ) ] ( m( κ κ )

        −

      • S f dM ,

        1

        2

        = −r |∇ f |S

        M r

        4

        ∩B

        onde usamos que ρ ρ ρ ≤ r, |∇ | ≤ |∇ | = 1, além da Observação para estimar

        Ric (∇ ρ , η

        ρ , P

        1 M ) e das desigualdades em (para estimar ⟨∇ (∇ f )⟩.

        Seguindo as ideias de Simon, [p. 84-85, iremos analisar a questão importante sobre

        p

        o que acontece ao assumirmos limitações L para S . A primeira consequência nesta direção é

        2

        a seguinte fórmula de monotonicidade:

        m Seja uma hipersuperfície própria de uma va-

        Teorema 2.3.2 (Monotonicidade). M , m ≥ 3,

        m

      • 1

        

      riedade Riemanniana de curvatura seccional limitada superiormente por uma constante

        M

        Suponhamos que S e escolhamos uma orientação tal que S Se existem κ

        > 0.

        1

        2

        1

        ∈ R. ̸= 0, S ≥ 0

        e tais que

        0 < α 0 < R < i(M) ≤ 1, Γ ≥ 0 ) ) ∫ −1 α

        ( m( ( r

        κ κ )

        −

        −1

        A (2.21)

        

      α + S dM r )

        2

        1

        ≤ Γ (M ∩ B

      4 M R

        ∩B r para todo então

        r ), ∈ (0,R

        2

        2 (i) para κ > 0 e κ R π , a função h definida por

        : (0,R ≤ ) → R

        A )

        1 r α α (M ∩ B

        

      1−

        h (r) = exp(ΓR r ) m

        −1

        √

        2

        (sen κ r )

        é monótona não decrescente; (ii) para κ a função definida por

        h : (0,R ≤ 0, ) → R

        A

        r )

        1 α α (M ∩ B

        1−

        h (r) = exp(ΓR r ) m

        −1

        2

        r é monótona não decrescente.

      48 CAPÍTULO 2 FÓRMULA DE MONOTONICIDADE E DESIGUALDADE DE POINCARÉ

        Vamos demonstrar o teorema para o caso Demonstração.

        κ > 0. O caso κ

        ≤ 0 é inteiramente

        σ < t < R ,

        análogo. Usando o Corolário acima para f ≡ 1 temos, para 0 < ∫ ∫ )

        t

        A A m ) ) −1 ( m( κ κ )

        1 t 1 σ √

        (M ∩ B (M ∩ B −

        −

        2

        (sen κ r ) + S dMdr m − m ≥ −

        2 −1 −1

        √ √

        4

        2 2 σ M r ∩B

        (sen κ t ) (sen κσ ) ) ∫ −1 α

        t m −1 ( r

        √

        −

        2 A α κ r

        Γ (sen )

        1 r )dMdr,

        ≥ − (M ∩ B

        σ R

        A )

        1 r

        (M ∩ B onde, na última desigualdade acima, usamos a hipótese ). Denotando por g(r) = m

        −1

        √

        2 κ r

        (sen )

        σ , obtemos

        e dividindo a desigualdade acima por t − ) ∫ −1 α

        t

        g σ ) 1 ( r (t) − g(

        α g

        Γ (r)dr ≥ − t σ t σ σ R

        − − [ ) ) ] ∫ −1 ∫ −1 α α

        t σ

        1 ( r ( r

        α Γ g α Γ g (r)dr ,

        = − (r)dr − t σ ε R ε R − para todo ε

        σ , o lado esquerdo da desigualdade

        > 0 suficientemente pequeno. Tomando t → ( )

        α −1

        σ ′

        tende a g ( σ ) e o lado direito da desigualdade tende a α Γ g ( σ ). Portanto, ( ) R

        

      α

      −1

        σ ′

        g ( σ ) + α Γ g ( σ ) ≥ 0.

        R Visto que ( ) ( ) α

        −1

        d (

        σ α α α α

        ′ 1− 1−

        exp(ΓR σ )g( σ ) ) = exp(ΓR σ ) α Γ g ( σ ) + g ( σ ) ≥ 0, d σ

        R

        α α 1− σ ) = exp(ΓR σ )g( σ ) é monótona não decrescente para todo σ ).

        concluímos que h( ∈ (0,R

        Como caso particular da fórmula de monotonicidade acima, temos o

        m +1 Seja uma variedade Riemanniana dimensional

        Corolário 2.3.2 (Monotonicidade). M ( κ ) (m+1)−

        m +1 m de curvatura seccional constante κ . Seja M uma hipersuperfície própria de M ( κ )

        , m ≥ 3,

        tal que e Assuma uma orientação de tal que S = 0 S M S > 0.

        2

        1 1 ̸= 0.

        2 2 π

      (i) Se κ e κ então a função definida por

        > 0 r π , g : (0, ≤ ) → R

        κ

        A )

        1 r

        (M ∩ B g (r) = m

        −1

        √

        2 κ r

        (sen )

        é monótona não decrescente;

      2.3 DESIGUALDADE DO VALOR MÉDIO E FÓRMULA DE MONOTONICIDADE

        49

        (ii) Se κ então a função definida por

        g : R → R

        ≤ 0, A

        r )

        1

        (M ∩ B g (r) = m

        −1

        2

        r é monótona não decrescente. A segunda aplicação da desigualdade do valor médio é o teorema a seguir.

        m Seja uma hipersuperfície própria de uma variedade Riemanniana

        Teorema 2.3.3. M , m ≥ 3,

        m

      • 1

        M de curvatura seccional limitada superiormente por uma constante κ Suponhamos ≤ 0.

        que para alguma constante e que Se existem e

        S c > 0 S 0 < R < i(M), Γ > 0 p > 1

        1

        

      2

      ≥ c ≥ 0. tais que [ ] 1/p ) p

        ( m(

        κ κ )

        − (2.22)

      • S dM

        2

        ≤ Γ,

      4 M

        ∩B R0 então ) )

        1/p 1/p ( )

        ( A ( A m m

        −1 −1

        2Γ ) t )

        1 σ

        1

        (M ∩ B (M ∩ B

        1− 1− 2p 2p m m

        σ + t ,

        ≤ −

        −1 −1 1−1/p

        2 2 c σ t (m − 1 + 2p) para quaisquer σ < t < R .

        0 < Demonstração.

        Usando a desigualdade para f ≡ 1, temos ) ( A m d ) −1

        1

        1 r

        (M ∩ B

        −

        2

        r ρ ∇ ρ , 2S η ρ ∇ ρ , η )]dM

      m ≥ r [⟨ ⟩ + Ric(

        2 −1

        dr

        2

      2 M r

        

      ∩B

        r m +1 ) ( m( κ κ )

        −

        −

        2 + S dM .

        2

        ≥ −r

        M r

        4

        

      ∩B

        Usando a desigualdade de Hölder e a hipótese ), obtemos ∫ ∫ ) [ ) p ] 1/p ( m( κ κ ) ( m( κ κ )

        − −

        1−1/p

      • S dM + S dM )

        2 2 vol(M ∩ B r

        ≤

        M r r

      4 M

        4

        ∩B ∩B 1−1/p

        )

        r

        ≤ Γvol(M ∩ B Γ

        1−1/p

        A ) .

        1 r

        ≤ (M ∩ B

        1−1/p

        c Isto implica )

        ( A m

        −1

        d r ) Γ

        1

        (M ∩ B

        − 1−1/p

        2 A m r ) .

        1 r

        ≥ − (M ∩ B

        −1

      1−1/p

        dr

        2 c

        r Logo ( ) ) 1/p ) )

        1 p −1

        ( A ( A ( A d ) 1 ) d )

        1 r

      1 r

      1 r

        (M ∩ B (M ∩ B (M ∩ B m m m =

        −1 −1 −1

        dr p dr

        2

        2

        2

        r r r )

        1 p −1

        ( A m

        1

        Γ ) −1

        1 r

        (M ∩ B

        1− − p

        2 A

        r )

        1 r

        ≥ − m (M ∩ B

        −1 1−1/p

        pc

        2 m r −1

        Γ

        

      2p

        r . = −

        1−1/p

      50 CAPÍTULO 2 FÓRMULA DE MONOTONICIDADE E DESIGUALDADE DE POINCARÉ

      2.4 Demonstração da desigualdade de Poincaré

        1 m −1

        M

        Seja

        ∈ R.

        dimensional de curva- tura seccional limitada superiormente por uma constante κ

        (m + 1)−

        

      uma variedade Riemanniana

        , m ≥ 3,

        m +1

        Lema 2.4.2. Seja M

        κ > 0.

        ≤ 1, se

        dM )

        M

        1

        f S

        Ω

        (Ω)

        1

        A

        m −1

        (diam Ω)

        2

        α )

        2(1 + α ) 2 −

        m uma hipersuperfície de

        , possivelmente com bordo, tal que

        m

        ∂

        (2.23)

        dM ≥ 1.

        1

        1 A f S

        Assuma ainda que

        1 e com suporte compacto em Ω.

        C

        uma função não negativa, de classe

        : M → R

        e f

        M = /0

        Ω ∩

        √

        um domínio regular tal que

        Ω ⊂ M

        Sejam

        tal que S 1 > 0.

        M

        Assuma uma orientação de

        2 ≥ 0.

        S

        e

        ̸= 0

        1

        S

        κ ( (

        , se κ ≤ 0, onde assumimos

        Integrando a desigualdade acima de σ a t, obtemos o resultado.

        

      B

      ∈B ′

        1

        r

        α < 2,

        e com suporte compacto em Ω. Definimos, para 0 <

        1

        = /0 e f : M → R uma função não negativa, de classe C

        ∂ M

        Sejam Ω ⊂ M um domínio regular tal que Ω ∩

        5B é a bola de mesmo centro que B e raio 5 vezes o raio de B . No lema a seguir usamos algumas ideias inspiradas em [

        onde

        5B,

        B ⊂

        1 √

         tal que B ∈B

        ⊂ B

        ′

        B

        então existe uma subcoleção de bolas duas a duas disjuntas

        } < ∞,

        sup{diam(B); B ∈ B

        

      é uma família de bolas fechadas em um espaço métrico com

        B

        Se

        A prova do lema a seguir pode ser encontrada, por exemplo, em p. 115. Lema 2.4.1.

        O objetivo desta seção é demonstrar o Teorema . A etapa principal da demonstração é o Lema abaixo para “colar as bolas” e, desta forma, obter uma desigualdade global tipo Poincaré.

        =

        κ

        1 m −1

        1 m −1

        dM )

        

      1

        f S

        1 (Ω)

        A

        m −1

        (diam Ω)

        2

        α )

        2 −

        α )

        , se κ > 0; ( ( 2(1 +

        dM )

        arcsen

        1

        f S

        Ω

        (Ω)

        1

        A

        m −1

        (diam Ω)

        2

        α )

        2(1 + α ) 2 −

        κ ( (

      • 1

      2.4 DEMONSTRAđấO DA DESIGUALDADE DE POINCARÉ

      • ( m( κ
      • S
      • S

      2 G

      2 F p (r)dr

      2 F

        

      1

        α sup σ

        ∈(0,r

        1 )

        σ − m

        −1

        2 F p

        ( σ ). (2.29) Vamos estimar a segunda integral no lado direito de ). Como supp f ⊆ Ω, temos

        F p (r) =

        M ∩B r (p)

        f S

        f S

        dM ≤

        Ω

        1

        1 dM .

        (2.30) Usando a estimativa acima, fazendo a mudança de variáveis r por r

        1

        s na segunda integral do lado direito de e usando que

        5

        1

        s

        − m −1

        2

        − m −1

        (r)dr ≤

        2 F p

        1

        r

        − m

      −1

        p

        (r)dr +

        5r

        1 r

        1

        r

        − m −1

        (r)dr ] .

        p

        (2.28) Tomando o supremo sobre r de 0 a r

        1

        na primeira integral do lado direito de

        1

        2

        α r −1

        1 r

        1

        r

        ds < 2, válido para m ≥ 3,

        2

        α r −1

        1

        Ω

        α r

      m

        −1

        2

        

      1

        5

        1

        s

        − m −1

        2

        ds ×

        f S

        1

        1

        dM <

        α r

      m

        −1

        2

        

      1

        f S

        1

        dM ,

        (2.31)

        2

        dM =

        2

        α

      (

        α r −1

        1 5r

        1 r

        1

        r

        − m −1

        p

        (r)dr ≤

        1

        2

        r

        1

        −1

        1 5r

        1 r

        1

        r

        − m −1

        2

        dr ) ×

        Ω

        f S

        1 [ r

        2

        51 Seja α ∈ (0,2).

        1

        (2.24) Demonstração. Com o objetivo de simplificar a notação, definimos

        F

        p

        (r) =

        M ∩B

      r (p)

        f (x)S

        1

        (x)dM (2.25) e G p (r) =

        M ∩B r (p) [

        S

        (x)|∇ f (x)| + ( m( κ

        2 )

        −

        κ

        (x))

        4

        2

        (x) ) f (x) ] dM .

        (2.26) Caso κ

        ≤ 0. Suponhamos que não existe r ∈ (0,r

        1

        ) satisfazendo (), isto é, F

        p

        f ] dM .

        4

        

      −1

        (p)

        Se 5r

        1

        ≤ i(M)

        então para todo

        p ∈ Ω

        existe

        r = r(p) ∈ (0,r

        1

        )

         tal que M ∩B 5r

        f S

        κ )

        1

        dM ≤ 2

        α −1

        5 m

        −3

        2

        r

        1 M ∩B r (p)

      [

        |∇ f |S

        1

        −

        (5r) > 2 α

        5 m

        1

        

      1

        p (r)dr <

        1

        2

        α

        5

        − m −3

        2

        r

        −1

        1 r

        r

        r

        − m −1

        2 F p (5r)dr

        =

        1

        2

        α r −1

        1 5r

        1

        r

        − m

      −1

        =

        − m −1

        1

        −3

        r

        2

        r

        1 G p

        (r) para todo r ∈ (0,r

        1

        ), ou seja, G

        p

        (r) <

        1

        2

        α

        5

        

      m −3

        2

        r

        −1

        1 F p

        (5r).

        (2.27) Multiplicando a desigualdade ) acima por r

        − m −1

        2

        e integrando de 0 a r

        1

        ,

      2 F

      2 F

      52 CAPÍTULO 2 FÓRMULA DE MONOTONICIDADE E DESIGUALDADE DE POINCARÉ

        Substituindo obtemos

        r m

        1 m m −1 −1

        1 −1

        −

        2 − −

        2

        2

        r G (r)dr < α sup σ F ( σ ) + α r f S dM . (2.32)

        p p

        1

        1

        2

        Ω σ )

        ∈(0,r

      1 Tomando o supremo em σ de 0 a r

        1 na desigualdade (ii) do Corolário e usando

        (temos m r ∫ ∫

      m m

      −1

        1 −1 −1 − −

        2 −

        2

        2

        sup σ F ( σ f S dM r G (r)dr. +

        ) ≤ r

        p 1 p

        1

      σ )

        ∈(0,r

      1 Substituindo a estimativa (2.32) na desigualdade acima, vemos que

        m m −1 m −1 1 −1

        −

        2 −

        −

        2

        2

        sup σ F ( σ f S dM α sup + σ F ( σ )

        ) ≤ r

        p 1 p

        1

        2

        Ω σ ) σ )

        ∈(0,r

        1

      −1

        1

      m

      ∈(0,r

        

      2

      α + r f S dM .

        1

        1 Ω

        Agora, usando a definição de r para o caso κ

        1 m ≤ 0, m −1 −1 α )

        2(1 + −

        2 −

        2

        sup σ F ( σ ) < r f S dM

        p

        

      1

        1 α

        Ω

        2 −

        σ ) ∈(0,r

        1 ( ) ) −1/2 −1 m ∫ ∫

        −1

      α α ( (diam Ω)

        2(1 + ) 2(1 + ) = f S dM f S dM

        1

        1 A α α (Ω) Ω Ω

        2 − 2 − m

        1 −1

      ( )

      1/2

        −

        2

        (diam Ω) = f S dM .

        

      1

      −1/2

        A

        Ω 1 (Ω)

        (2.33) Finalizamos a demonstração por contradição mostrando que a desigualdade () e a definição de r para o caso

        κ

        1

        ≤ 0, ( )

        1 ( ) ( ) m

        2 2 −1 m ∫

        −1 m −1

        α α

        2(1 + ) (diam Ω) 2(1 + ) r f S dM = diam Ω > diamΩ,

        1

        1

        ≥ A

        α (Ω) Ω α

        2 −

        

      1 2 −

        i (M) ) e logo diam Ω < . Assim, podemos considerar B

        1 diam Ω

        isto é, diam Ω ∈ (0,r ⊂ M e, visto

        5 que M ∩ B diamΩ ⊃ Ω, obtemos m m ∫ ∫

        −1 −1 − −

        2

        2

        f S dM f S dM (diam Ω) = (diam Ω)

        1

        1 Ω M (p) ∩B m diam Ω

        −1 −

        2 σ f S dM .

        1

        ≤ sup

        M (p) ∩B σ

      σ )

      2.4 DEMONSTRAđấO DA DESIGUALDADE DE POINCARÉ

        53 Usando a estimativa acima e a desigualdade ( m m ∫ ∫

        −1 −1 − −

        2

        2

        (diam Ω) f S dM σ f S dM

        1

        1

        ≤ sup

        Ω M (p) ∩B σ

      σ )

        

      ∈(0,r

        1 m −1 ( ) 1/2

        2

        (diam Ω) < f S dM ,

        1 A −1/2

        (Ω) Ω

        1

        isto é, ( ) 1/2 1/2 f S dM < (A (Ω)) .

        1

        1 Ω

        Usando a hipótese (novamente na desigualdade acima, obtemos ( ) 1/2 1/2 1/2 A

        (Ω) f S dM < A (Ω) ,

        1

        

      1

        1

        ≤

        Ω

        o que é claramente uma contradição. Isto prova o lema para o caso em que κ ≤ 0.

        Caso κ > 0. Suponhamos que não existe r, 0 < r < r , satisfazendo ), explicitamente, m

        1 −3

        −1

        5 r G (r), para todo 0 < r < r ,

      2 F (5r) > 2 α

        1

        p 1 p

        isto é, m 1 −3

        − −1

        p p

        1

      2 G (r) < α 5 r F (5r), para todo 0 < r < r .

        1

        2 m

        −1

        √

        −

        2 κ r ) e integrando em r de

        Multiplicando ambos os lados da desigualdade acima por (sen 0 a r ,

        1 r r m

        1 m m 1 −1 −1

        1 −3 ( ) √

        √

        −

        2 − − −1

        2

        2

        5 sen (sen κ r ) G p (r)dr &lt; α r κ r F p (5r)dr

        

      1

        2 m ( √ ) −1

        2 5r m

        1

        1 −1

        κ r − −1

        2

        5 sen = α r F (r)dr

        p

        

      1

        2 [

        5 m ( √ ) −1 − (2.34)

        r

        2 m

        1

        1 −1 κ r

        − −1

        2

        = α 5 r sen F (r)dr

        p

        

      1

        2 m

        5 ] ( √ ) −1

        2 5r

        1 κ r

        sen + F (r)dr .

        p r

        5

      1 A fim de estimar as integrais do lado direito da desigualdade (2.34) acima, notemos que, como

        sen sen

        θ é uma função concava em [0, π ], então sen β θ β θ β θ π ]. Isto

        para 0 ≤ ≥ ≤ 1 e ∈ [0, implica ( √ )

        1

        κ r √ sen (sen κ r ) ;  ≥ para 0 ≤ r ≤ r

        1 ( √ )

        5

        5

        κ r r √ sen r para r (sen κ ) ,

        1

        1

        1

        ≥ ≤ r ≤ 5r 5 5r

      54 CAPÍTULO 2 FÓRMULA DE MONOTONICIDADE E DESIGUALDADE DE POINCARÉ

      2 F

      2 F

        1 5r

        r

        1

        )

        − m −1

        2 (

        r m

        −3

        2

        1

        1 r

        √

        r

        − m −1

        2 F p (r)dr )

        ≤

        1

        2

        α

        (sen √

        κ

        2

        α (sen

        −1

        2

        ds &lt; 2, (2.37) temos que a segunda integral no lado direito de ) torna-se

        1

        2

        α

        5

        − m −1

        2

        r

        1 5r

        1

        1 r

        e, portanto, ( sen

        sen √

        κ r

        5 )

        − m −1

        p

        (r)dr ≤

        1

        κ r

        − m −1

        )

        sup

        1

        (sen √

        κ r ) − m

        −1

        p

        (r)dr &lt;

        1

        2

        

      α

        σ ∈(0,r

        1 dM .

        1 )

        (sen √

        κσ ) − m

        −1

        2 F p

        ( σ )

        √

        − m −1

        2

        (2.38) Aplicando as estimativas (), obtemos ∫ r

        f S

        s

        2

        2 (

        r m

        −3

        2

        1 5r

        1 r

        1

        r

        − m −1

        dr ) ×

        2

        Ω

        f S

        1

        dM &lt; α (sen

        √

        κ r

        1

        )

        − m −1

        − m −1

        1 (

        (2.39) Por outro lado, considerando o supremo em σ de 0 a r

        1

        1

        (sen √

        

      κ r

      1 ) − m

        −1

        2

        r

        − m −1

        2

        para r

        ≤ r ≤ 5r 1 .

        −1

        (2.35) Usando a primeira desigualdade em ) por

        1

        2

        α

        5

        − m −1

        2

        r

        −1

        2

        r m

        5

        κ r ) −

      m

        √

        κ r

        5 )

        − m −1

        2

        ≤ 5 m

        −1

        2

        (sen √

        −1

        2

        

      2

        para 0 &lt; r ≤ r

        1

        , ( sen √

        κ r

        5 )

        − m −1

        2

        ≤ 5 m

        −1

        1 r 1 (

        sen √

        κ r

        1

        F

        p

        (r) =

        M ∩B r (p)

        f S

        1

        dM ≤

        Ω

        f S

        dM e r m

        2 F p ( σ ).

        −3

        

      2

        

      1

      5r

        1 r

        1

        r

        − m −1

        2

        dr =

        (2.36) A seguir, vamos estimar a segunda integral do lado direito de (seguida dos fatos

        −1

        5 )

        κ r

        − m −1

        p

        (r)dr ≤

        1

        2

        α r −1

        1 r

        1

        (sen √

        )

        κσ ) − m

        − m −1

        2 F p (r)dr

        ≤

        1

        2

        α

        sup

        σ ∈(0,r

        1 )

        (sen √

        1

      2 G

      • α (sen

        1 dM .

        f S

        κ r

        1

        )

        f S

        2 G p (r)dr.

        −1

        κ r ) − m

        (sen √

        1

        r

        dM +

        1

        2

        1 na desigualdade do Corolário , p.

        

      m

      −1

        )

        1

        κ r

        √

        ( σ ) ≤ (sen

        p

        −1

        κσ ) − m

        (sen √

        σ )

        ), sup

      2 F

      2.4 DEMONSTRAđấO DA DESIGUALDADE DE POINCARÉ

        55 Substituindo ) na desigualdade acima, m m m

        −1 −1

        1 −1 √ √ √

        − − −

        2

        

      2

        2

        sup κσ F σ κ r f S dM α sup κσ F σ (sen ) ( ) &lt; (sen ) + p

        1 1 (sen ) p ( )

        2

        Ω σ )

        σ ) ∈(0,r

        1 m ∈(0,r

        1 −1

        √

        −

      • 2

        α (sen κ r ) f S dM ,

        

      1

        1 Ω

        isto é, m m

        −1 −1

        √ 2(1 + α ) √

        − −

        2

        2

        sup (2.40) (sen κσ ) F ( σ ) &lt; (sen κ r ) f S dM .

        p

        1

        1 α

        2 − Ω

        σ ) ∈(0,r

      1 Como, para

        κ &gt; 0 ( ) ( ) m 1 

        2 −1 m ∫ −1

        1 2(1 + α ) (diam Ω) r = arcsen κ f S dM ,

        1

        1

        √ A

        α (Ω) κ 1 Ω

        2 − temos m

        −1 ( ) ∫ ∫ 1/2 m m

        2 α ) −1 −1 (diam Ω)

        2(1 + √ √

        − −

        2

        2 κ r f S dM κ f S dM

        (sen

        1 ) 1 = ( )

        1 −1/2

        A

        α Ω (Ω) Ω

        2 −

        1

        e a desigualdade (torna-se m m

        −1 −1

        √ 2(1 + α ) √

        − −

        2

        2

        sup (sen κσ ) F ( σ ) &lt; (sen κ r ) f S dM

        p

        1

        1 α

        Ω

        2 −

        σ ) ∈(0,r

        1 m (2.41) −1 ( ) 1/2

      m

        2 −1 (diam Ω)

        √

        −

        

      2

      = ( κ ) f S dM .

        1 −1/2

        A (Ω) Ω

        1 Vamos estimar o lado esquerdo de (obtemos ( ) ( ) m

        1 2 −1 m

      −1

        √ 2(1 + α ) (diam Ω) √

      κ f S dM &gt; κ diam Ω.

        1 A α (Ω)

        1 Ω

        2 − Visto que arcsen x é uma função crescente, usando a definição de r para o caso κ &gt; 0 e a

        1

        1 √ desigualdade acima, temos r

        &gt; arcsen( κ

        1 diam Ω). Além disso, como arcsenx &gt; x, x ∈

        √

        κ

        (0, 1), temos

        1 √

        κ . (2.42)

        diamΩ &lt; arcsen( diam Ω) &lt; r

        1

        √

        κ

        i (M)

        ) e, desta forma, diam Ω &lt; . Usando estes e o fato Portanto, diam Ω ∈ (0,r

        1

      56 CAPÍTULO 2 FÓRMULA DE MONOTONICIDADE E DESIGUALDADE DE POINCARÉ

        1

        Agora estamos prontos para demonstrar o Teorema Demonstração do Teorema

        Denotemos por v

        m

        ( f , Ω) =

        1 A

        1 (Ω)

        f S

        dM o valor médio da função f . Se f : M → R satisfaz as condições do teorema, então ˜f =

        , que é claramente uma contradição e isto prova o lema para o caso

        1 v m ( f ,Ω)

        f satisfaz v

        m

        ( ˜f, Ω) = 1. Definimos para a função ˜f a constante r =

        5

        2 r

        1

        κ &gt; 0.

        1/2

        5

        (Ω)

        

      1/2

        &lt; A

        1

        (Ω)

        1/2 .

        Usando a hipótese (novamente na desigualdade acima, obtemos A

        1

        1/2

        (Ω)

        ≤ (

        Ω

        f S

        

      1

        dM )

        1/2

        &lt; A

        1

        , isto é, r =

        2 √

        1

        1 M ∩B r

      (p)

      [

        1

        dM ≤ 2

        α −1

        5 m

        −3

        2

        r

        |∇ ˜f|S

        M ∩B (p)

        1

        −

        κ

        )

        4

        2 )

        ˜f ] dM . (2.44)

        ˜fS

        ) tal que

        κ

        (diam Ω) ) se κ &gt; 0;

        arcsen (√

        κ (

        2(1 +

        α )

        2 −

        

      α

      )

        2 m −1

        5 2 × ( 2(1 +

        1

        α )

        2 −

        α )

        2 m −1

        (diam Ω) se κ ≤ 0. Logo, se 2r

        &lt; i(M), então 5r

        1

        &lt; i(M). Portanto, usando o Lema para todo p ∈ Ω existe r (p) ∈ (0,r

        dM )

        f S

        M ∩ B

        2 M ∩B diamΩ

        2

        f S

        1

        dM ≤ (sen

        √

        κ diam Ω) − m

        −1

        f S

        diam Ω) ))

        1

        dM ≤ sup

        σ ∈(0,r

        1 )

        (sen √

        κσ ) − m

        −1

        − m −1

        κ

        σ (p)

        (diam Ω)

        diam Ω

        ⊃ Ω, obtemos a estimativa a seguir para o lado direito de ( (

        √

        κ

        )

        − m −1

        2

        − m −1

        arcsen( √

        2

        f S

        1

        dM = ( sen

        √

        

      κ

      (

        1 √

        κ

        2 M ∩B

        f S

        Ω

        − m −1

        dM &lt; (

        √

        κ

        )

        − m −1

        2

        (diam Ω)

        2 A

        f S

        1

        (Ω)

        −1/2 (

        f S

        1

        dM )

        1/2

        , isto é, (

        1

        2

        1

        2 √ κ )

        dM , (2.43) onde, na primeira desigualdade usamos e o fato que (sen

        √

        κ x ) − m

        −1

        2

        é uma função de- crescente em ( 0,

        π

        , enquanto que na segunda desigualdade usamos que diam Ω ∈ (0,r

        − m −1

        1 ).

        Substituindo (), obtemos (

        √

        κ

        )

        − m −1

        2

        (diam Ω)

      • ( m( κ
      • S

      2.4 DEMONSTRAđấO DA DESIGUALDADE DE POINCARÉ

        ∑ p ∈S M

        κ

        )

        ˜f ] dM ≤ 2

        1 ∑ p ∈S M

        r

        2

        −3

        5 m

        α −1

        dM ≤ 2

        1

        ˜fS

        (p)

        ∩B 5r(p)

        dM ≤

        ( m( κ −

        1

        ˜fS

        Ω

        (p)), onde S é um subconjunto discreto de Ω. Além disso, a compacidade de Ω nos permite escolher um conjunto finito S . Assim,

        5r(p)

        (M ∩ B

        r (p) (p)) ⊂ p ∈S

        (M ∩ B

        p ∈Ω

        (p)), usando o Lema existe uma subcoleção de bolas duas a duas disjuntas tais que Ω ⊂

        r (p)

        (M ∩ B

        p ∈Ω

        57 Visto que Ω ⊂

        1 +

      • S
      • S
      • ( m( κ
      • S

        |∇ ˜f|S

      • ( m( κ
      • S
      • ( m( κ
      • S

        −

        −1

      (

        2 α

        −3

        × 5 m

        π

        ) =

        α

        f ] dM , onde Λ(m,

        2 )

        4

        κ )

        1

        α )

        |∇ f |S

        α )(diam Ω) [

        dM ≤ Λ(m,

        1

        f S

        Ω

         x , temos

        2

        π

        f ] dM . Como arcsen x &lt;

        2 )

        4

        2(1 + α ) 2 −

        2 m −1

        −

        α )

        := h(m).

        2 m −1

        2 )

        √ 9m

        − 30m + 57 3m + 3 −

        2

        9m

        ( 3m −9+ √

        2

        √ 9m

        tem um mínimo global 2(m − 1) m

        2 m −1

        1 + α 2 −

        , se κ &gt; 0. 2 × 5 m

        −1 (

        Concluímos a prova do teorema calculando a constante Λ(m) e, para isto, iremos otimizar Λ(m, α ). Notemos que a função g( α ) = α

        κ ≤ 0.

        , se

        2 m −1

        α )

        ) 2 −

        α

        2(1 +

        −1

      (

        2 α

        −3

        κ )

        |∇ f |S

        1

        )

        −1 (

        2 α

        −3

        dM ≤ 2 × 5 m

        1

        f S

        Ω

        juntas. Logo, para κ ≤ 0,

        r (p) (p), p ∈ S , são dis-

        ˜f ] dM , onde, na última desigualdade, usamos que as bolas extrínsicas M ∩ B

        2 )

        4

        κ

        α )

        ( m( κ −

        1 +

        |∇ ˜f|S

        1 [

        r

        2

        −3

        5 m

        α −1

        ∩B r (p)

        2 )

        4

        2(1 +

        2 −

        

      (p)

      [

        −3

        Ω [

        ×

        (diam Ω) )) ×

        2 m −1

        α )

        2(1 + α ) 2 −

        κ ( (

        arcsen (√

        κ

        1 √

        −1

        2 α

        dM ≤ 2 × 5 m

        α )

        1

        f S

        f ] dM e para

        2 )

        4

        κ )

        −

        1

        |∇ f |S

        Ω [

        (diam Ω)

        2 m −1

        κ &gt; 0,

      58 CAPÍTULO 2 FÓRMULA DE MONOTONICIDADE E DESIGUALDADE DE POINCARÉ

        1 m h (m) = . Logo

        A função h(m) é uma função decrescente para m ≥ 3 e, além disso, lim

        →∞

        2

        h (m) &lt; h(3) &lt; 2. Portanto, as constantes da desigualdade de Poincaré podem ser dadas por { m m +1

        −3 m 2 −1 π , se κ &gt; 0;

        × 5 × 2 Λ(m) =

        2m m m −3 −1

        2

        2 se κ , × 5 ≤ 0. ( ) m

        2 −1

      α

        1 + Finalmente, a escolha de α nos fornece

        &lt; 2 e, desta forma, podemos considerar

        

      α

      ( ) 2 − m

      • 1

        5  m

        −1

        arcsen κ se κ (diam Ω) &gt; 0;

        √ × 2 r

        2 κ = m

        2 −1

        se (diam Ω) κ 5 × 2

        ≤ 0.

      2.5 Demonstração do resultado de estabilidade

        Antes de demonstrar o Teorema , apresentamos uma desigualdade de Poincaré modificada envolvendo o primeiro operador de Newton P .

        1 m +1 Seja M uma variedade Riemanniana dimensional de Proposição 2.5.1.

        , m ≥ 3, (m + 1)−

        m

      curvatura seccional limitada superiormente por uma constante κ Seja uma hipersuper-

        M ∈ R.

        m +1

      fície de M , possivelmente com fronteira, tal que S e S Assuma uma orientação

        1

        2 ̸= 0 ≥ 0.

      de tal que Sejam um domínio regular tal que e uma

      M S &gt; 0.

        ∂ M = /0 f

        1

        : M → R Ω ⊂ M Ω ∩

      1 C

        

      função não negativa, de classe e com suporte compacto contido em Se então

      ∫ ∫ [ ) ] Ω. 2r &lt; i(M),

        ( m( Λ(m)

        κ κ ) 1/2 1/2 −

      • f S dM (diam Ω) S + S f dM , (2.45)

        1 √

        1

        2

        ≤ ⟨P (∇ f ), ∇ f ⟩

        1

        4

        Ω Ω

        2

        onde { m +1 m −3 m 2 −1

        π , se κ &gt; 0;

        × 5 × 2 Λ(m) = 2m m m −3

        2 −1

        2 se κ , × 5 ≤ 0.

        Demonstração. Modificando a estimativa ( por

        T 1/2 1/2 ρ ρ ρ

        1 (∇ f ), ∇

        1 1 ((∇ ) ), ∇

        ⟨P ⟩ ≤ ⟨P (∇ f ), ∇ f ⟩ ⟨P ⟩

        1/2 1/2 1 (2S 1 )

        ≤ ⟨P (∇ f ), ∇ f ⟩ √

        1/2 1/2

        2S = ,

        

      1

        ⟨P (∇ f ), ∇ f ⟩

        1

        podemos redefinir a função G (r), ver por [ p ) ] 1 ( m( κ κ

        1/2 (x)) 1/2 −

        G S f dM

      p (r) = (x) + + S (x) (x) .

        1

        2 1 (x)⟨P (∇ f ), ∇ f ⟩

        4 M (p)

        ∩B r

      2 Reescrevendo a demonstração do Teorema 2.1.1, passo-a-passo, usando a definição de G

        p (r) acima no Lema obtemos o resultado.

      2.5 DEMONSTRAđấO DO RESULTADO DE ESTABILIDADE

        59 Nossa escolha de orientação, isto é, tal que S Demonstração do Teorema &gt; 0 em todo

        1

        2

        ponto, e a desigualdade S implicam S S

        1

        3

        3

        ≤ S ≤ 0 em todo ponto. Desta forma, a condição de

        2

        estabilidade é equivalente a ∫ ∫

        2

        (2.46) S u dM

        3

        1

        − 3 ≤ ⟨P (∇u), ∇u⟩dM

        Ω Ω

        1

        Ω

        = 0, onde Ω para qualquer função u : Ω ⊂ M → R de classe C , com suporte compacto e u| ∂

        é um domínio regular. Suponhamos que Ω é instável. Isto significa que existe uma função não

        1

        = 0 e tal que negativa u : Ω → R, de classe C ∂ Ω ∫ ∫ , com suporte compacto, satisfazendo u|

        2

        dM (2.47)

        3 )u &gt;

        1 (−S ⟨P (∇u), ∇u⟩dM. Ω Ω m +1

        2 m

      • 1

        Escolhendo f = u , a desigualdade de Poincaré () acima para S

        2 = 0 e M = R

        torna-se ∫ ∫

        1/2

        2 1/2 u S dM 2Λ(m)(diamΩ) S u dM .

        1

        1

        ≤ ⟨P (∇u), ∇u⟩

        1 Ω Ω

        Usando a desigualdade de Cauchy-Schwarz no lado direito da desigualdade acima, obtemos ∫ ∫ ∫ ( ) 1/2 ( ) 1/2

        1/2 1/2

      2 S u dM u S dM

        1

        1

        1

        ⟨P (∇u), ∇u⟩ ≤ ⟨P (∇u), ∇u⟩dM

        1 Ω Ω Ω

        e, portanto, ( ) 1/2 ( ) 1/2 ∫ ∫

        2

        u S dM .

        1 2Λ(m)(diamΩ)

        1

        ≤ ⟨P (∇u), ∇u⟩dM

        Ω Ω

        Usando a hipótese (temos ∫ ∫

        2

        2

        2

        u S dM (diam Ω)

        1

        1

        ≤ 2Λ(m) ⟨P (∇u), ∇u⟩dM

        Ω Ω

        2

        2

        2

        dM &lt; 2Λ(m) (diam Ω)

        3 )u

        (−3S

        Ω )

        3

        2 2 ( −3S

        2

        (diam Ω) sup u S dM ,

        1

        ≤ 2Λ(m) S

        1 Ω Ω

        isto é, )

        3

        2 2 ( −3S

        (diam Ω) sup , 1 &lt; 2Λ(m) S

        1 Ω

        o que é uma contradição.

        

      Referências Bibliográficas

        1

        [AD04] Gabriel Acosta and Ricardo G. Durán. An optimal Poincaré inequality in L for convex domains. Proc. Amer. Math. Soc., 132(1):195–202 (electronic), 2004. [AdCC93] H. Alencar, M. do Carmo, and A. G. Colares. Stable hypersurfaces with constant scalar curvature. Math. Z., 213(1):117–131, 1993. [AdCE03] Hilário Alencar, Manfredo do Carmo, and Maria Fernanda Elbert. Stability of hy- persurfaces with vanishing r-mean curvatures in Euclidean spaces. J. Reine Angew.

        , 554:201–216, 2003. Math.

        [AdCS02] Hilário Alencar, Manfredo do Carmo, and Walcy Santos. A gap theorem for hyper- surfaces of the sphere with constant scalar curvature one. Comment. Math. Helv., 77(3):549–562, 2002. [ASZ10] Hilário Alencar, Walcy Santos, and Detang Zhou. Stable hypersurfaces with cons- tant scalar curvature. Proc. Amer. Math. Soc., 138(9):3301–3312, 2010.

        [BC97] João Lucas Marques Barbosa and Antônio Gervasio Colares. Stability of hypersur- faces with constant r-mean curvature. Ann. Global Anal. Geom., 15(3):277–297, 1997. [BdLS04] Cleon S. Barroso, Levi L. de Lima, and Walcy Santos. Monotonicity inequalities for the r-area and a degeneracy theorem for r-minimal graphs. J. Geom. Anal.,

        14(4):557–566, 2004. [Bér86] Pierre H. Bérard. Spectral geometry: direct and inverse problems, volume 1207 of

        . Springer-Verlag, Berlin, 1986. With appendixes by Lecture Notes in Mathematics Gérard Besson, and by Bérard and Marcel Berger.

        [Bra01] Hubert L. Bray. Proof of the Riemannian Penrose inequality using the positive mass theorem. J. Differential Geom., 59(2):177–267, 2001. [CM11] Tobias Holck Colding and William P. Minicozzi, II. A course in minimal surfaces, volume 121 of Graduate Studies in Mathematics. American Mathematical Society,

        Providence, RI, 2011. [CM14] Tobias Holck Colding and William P. Minicozzi, II. Ricci curvature and mono- tonicity for harmonic functions. Calc. Var. Partial Differential Equations, 49(3-

        4):1045–1059, 2014. [Col12] Tobias Holck Colding. New monotonicity formulas for Ricci curvature and appli- cations. I. Acta Math., 209(2):229–263, 2012.

        

      REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

        61 [CY77] Shiu Yuen Cheng and Shing Tung Yau. Hypersurfaces with constant scalar curva- ture. Math. Ann., 225(3):195–204, 1977. [dC92] Manfredo Perdigão do Carmo. Riemannian geometry. Mathematics: Theory &amp;

        Applications. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1992. Translated from the second Portuguese edition by Francis Flaherty. [dCE04] Manfredo do Carmo and Maria F. Elbert. On stable complete hypersurfaces with vanishing r-mean curvature. Tohoku Math. J. (2), 56(2):155–162, 2004.

        3 [dCP79] M. do Carmo and C. K. Peng. Stable complete minimal surfaces in R are planes.

        Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) , 1(6):903–906, 1979. [Eck01] Klaus Ecker. A local monotonicity formula for mean curvature flow. Ann. of Math.

        (2) , 154(2):503–525, 2001. [Eck05] Klaus Ecker. Local monotonicity formulas for some nonlinear diffusion equations.

        Calc. Var. Partial Differential Equations , 23(1):67–81, 2005. [Eva10] Lawrence C. Evans. Partial differential equations, volume 19 of Graduate Studies in Mathematics . American Mathematical Society, Providence, RI, second edition,

        2010. [Fed69] Herbert Federer. Geometric measure theory. Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Band 153. Springer-Verlag New York Inc., New York, 1969.

        [FG13] Mostafa Fazly and Nassif Ghoussoub. De Giorgi type results for elliptic systems.

        , 47(3-4):809–823, 2013. Calc. Var. Partial Differential Equations [Fre96] Katia Rosenvald Frensel. Stable complete surfaces with constant mean curvature.

        , 27(2):129–144, 1996. Bol. Soc. Brasil. Mat. (N.S.)

        [Grü88] Michael Grüter. The monotonicity formula in geometric measure theory, and an application to a partially free boundary problem. In Partial differential equations and calculus of variations , volume 1357 of Lecture Notes in Math., pages 238–255. Springer, Berlin, 1988. [HL99a] Jorge Hounie and Maria Luiza Leite. Two-ended hypersurfaces with zero scalar curvature. Indiana Univ. Math. J., 48(3):867–882, 1999.

        [HL99b] Jorge Hounie and Maria Luiza Leite. Uniqueness and nonexistence theorems for hypersurfaces with H = 0. Ann. Global Anal. Geom., 17(5):397–407, 1999.

        r

        [HN59] Philip Hartman and Louis Nirenberg. On spherical image maps whose Jacobians do not change sign. Amer. J. Math., 81:901–920, 1959. [HS74] David Hoffman and Joel Spruck. Sobolev and isoperimetric inequalities for Rie- mannian submanifolds. Comm. Pure Appl. Math., 27:715–727, 1974.

      62 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

        [HS75] David Hoffman and Joel Spruck. A correction to: “Sobolev and isoperimetric inequalities for Riemannian submanifolds” (Comm. Pure Appl. Math. 27 (1974), 715–725). Comm. Pure Appl. Math., 28(6):765–766, 1975. [INS12] Said Ilias, Barbara Nelli, and Marc Soret. Caccioppoli’s inequalities on constant mean curvature hypersurfaces in Riemannian manifolds. Ann. Global Anal. Geom.,

        42(4):443–471, 2012. [JK81] L. Jorge and D. Koutroufiotis. An estimate for the curvature of bounded submani- folds. Amer. J. Math., 103(4):711–725, 1981.

        [Li07] Jun-Fang Li. Eigenvalues and energy functionals with monotonicity formulae under Ricci flow. Math. Ann., 338(4):927–946, 2007. [LW08] Peter Li and Jiaping Wang. A generalization of Cheng’s theorem. Asian J. Math., 12(4):519–526, 2008. [MS73] J. H. Michael and L. M. Simon. Sobolev and mean-value inequalities on generali-

        n zed submanifolds of R . Comm. Pure Appl. Math., 26:361–379, 1973.

        [NS07] Barbara Nelli and Marc Soret. Stably embedded minimal hypersurfaces. Math. Z., 255(3):493–514, 2007. [Ôtspl] Tominosuke Ôtsuki. A remark on the Sobolev inequality for Riemannian submani- folds. Proc. Japan Acad., 51:785–789, 1975 suppl. [Rei73] Robert C. Reilly. Variational properties of functions of the mean curvatures for hypersurfaces in space forms. J. Differential Geometry, 8:465–477, 1973. [Ros93] Harold Rosenberg. Hypersurfaces of constant curvature in space forms. Bull. Sci.

        , 117(2):211–239, 1993. Math.

        [Sim83] Leon Simon. Lectures on geometric measure theory, volume 3 of Proceedings of the Centre for Mathematical Analysis, Australian National University . Australian National University, Centre for Mathematical Analysis, Canberra, 1983. [SSY75] R. Schoen, L. Simon, and S. T. Yau. Curvature estimates for minimal hypersurfaces.

        , 134(3-4):275–288, 1975. Acta Math.

        [Urb03] John Urbas. Monotonicity formulae and curvature equations. J. Reine Angew.

        , 557:199–218, 2003. Math.

        

      Apêndice

        Vamos demonstrar o seguinte fato estabelecido na Introdução:

        3

        4

        : M Seja x uma imersão isométrica com curvatura escalar nula. Se H e K denotam

        → R a curvatura média e a curvatura de Gauss-Kronecker, respectivamente, então

        4 −K 0 ≤

        ≤

        

      3

        27 H em todo ponto de M .

        

      2

        onde De fato, seja ( λ , λ , λ ) = t ω ω . Usando ), podemos ver que R, H e K são

        1

        2

        3

        ∈ S

        2

        3

        polinômios homogêneos. Isto implica H(t ω ) = tH( ω ), R(t ω ) = t R ( ω ), K(t ω ) = t K ( ω ) e portanto K K (t ω ) = ( ω ).

        3

        3 H H K

        Desta forma, vemos que o comportamento de depende apenas de sua restrição à esfera

        3 H

        2

        3

        2 S λ λ λ λ λ λ λ λ λ é compacta,

        1 , 2 , 3 ; R =

        1

        2

        1

        3

        2

        3

        . Como N := {( ) ∈ R = 0} é fechada e S

        K

        2

        obtemos que N é compacta, ver figura 1 abaixo. Isto implica que : N

        ω 3 ω

        = N ∩ S → R é

        H

        uma função contínua com suporte compacto. Usando o teorema dos máximos e mínimos de

        K

        Weierstrass, vemos que : N .

        3 ω ω

        → R atinge um valor máximo e um valor mínimo em N

        H

        4 O valor mínimo é obviamente igual a zero e o valor máximo pode ser calculado usando o

        27 método dos multiplicadores de Lagrange.

        K

        2 Figura 1 Representação do domínio N de sobre S , considerando o quociente como uma função

        ω

      3 H

        2 algébrica de seus autovalores. Este domínio é a intersecção do plano λ λ λ

        1

        2 + + 3 = 1 com S . A hipótese suprime apenas três pequenas vizinhanças em torno dos eixos coordenados.

        

      Índice Remissivo

        Bola geodésica, Hipersuperfície de rotação,

        Campo de vetores normais, Imersão estável,

        Cilindro, Primeira transformação de Newton, ,

        Curvatura

        Referencial escalar, média,

        Segunda forma fundamental, Desigualdade derivada covariante, clássica de Poincaré,

        Tensor de Ricci, Teorema isoperimétrica,

        A, B, C,

        Diâmetro extrínsico, Distância de Gauss-Green,

        Tubo, intrínsica,

        Variação, Divergência,

        Volume, crescimento polinomial de, Domínio regular, Equação de Codazzi, Esfera Euclidiana, Espaço

        Euclidiano, Fórmula da coárea, de Monotonicidade,

        Função simétrica primeira, segunda,

Novo documento

Tags

Documento similar

UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE LICENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA JOSE WELLINSON SILVA COSTA
0
3
37
UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL
0
0
39
UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL
0
0
62
UNIVERSIDADE FEDERAL DO CEARÁ CENTRO DE CIÊNCIAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL JOSÉ MARIO VIANA DA SILVA
0
0
58
UNIVERSIDADE FEDERAL DE SÃO CARLOS PROGRAMA DE MESTRADO PROFISSIONAL EM MATEMÁTICA EM REDE NACIONAL DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA FABIANO DONIZETI DA SILVA LUZETTI
0
0
80
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA E CIENTÍFICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICAS EDILENE DA SILVA E SILVA
0
0
117
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA E CIENTÍFICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
0
0
201
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA E CIENTÍFICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICA
0
0
124
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA E CIENTÍFICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICAS LUIS CARLOS DA SILVA
0
2
108
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA E CIENTÍFICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICAS CLÁUDIA SILVA DE CASTRO
0
0
159
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA E CIENTÍFICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICAS LÊDA VALÉRIA ALVES DA SILVA
0
1
55
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS EXATAS E NATURAIS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM QUÍMICA MARCONIEL NETO DA SILVA
0
0
100
MANOEL JANUÁRIO DA SILVA NETO ENSINO DE FÍSICA PELA COMPARAÇÃO ENTRE EXPERIMENTO E MODELO TEÓRICO COM USO DA MODELAGEM MATEMÁTICA
0
1
132
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA E CIÊNTÍFICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM EDUCAÇÃO EM CIÊNCIAS E MATEMÁTICA CURSO DE MESTRADO ACADÊMICO MARCOS GUILHERME MOURA SILVA
0
0
101
UNIVERSIDADE FEDERAL DE UBERLÂNDIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENSINO DE CIÊNCIAS E MATEMÁTICA MARIANA AUGUSTA RAMOS DA SILVA RODRIGUES
0
0
91
Show more