Curvas planas: fórmula de Noether e resolução de singularidades.

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARING ´A CENTRO DE CIˆENCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEM ´ATICA

PROGRAMA DE P ´OS-GRADUAC¸ ˜AO EM MATEM ´ATICA (Mestrado)

Curvas Planas:

ormula de Noether e Resolu¸

ao de Singularidades

Priscila Costa Ferreira de Jesus Bemm

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PRISCILA COSTA FERREIRA DE JESUS BEMM

Curvas Planas: F´

ormula de Noether

e Resolu¸

ao de Singularidades

Disserta¸c˜ao de mestrado apresentada ao Programa de Mestrado em Matem´atica do Departamento de Matem´atica, Centro de Ciˆencias Exatas da Universidade Estadual de Maring´a, como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

Orientador: Prof. Dr. Rodrigo Martins

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“Talvez n˜ao tenha conseguido fazer o melhor, mas lutei para que o melhor fosse feito. N˜ao sou o que deveria ser, mas Gra¸cas a Deus, n˜ao sou o que era antes”.

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Agradecimentos

Agrade¸co primeiramente a Deus por ter me dado f´e diante de todas as dificuldades e proporcionado a ben¸c˜ao de conhecer pessoas maravilhosas que tornaram as dificuldades mais amenas.

Aos meus pais, Edna e Celso, pela paciˆencia, confian¸ca, amor, apoio emocional e financeiro, independentemente de minhas escolhas.

Aos meus irm˜aos Fernando, Ireni, Ederson e J´essica pelo companheirismo, exemplo e por fazer minha vida mais prazerosa.

Aos meus av´os, que s˜ao respons´aveis pela fam´ılia maravilhosa, sem a qual eu n˜ao estaria aqui.

Aos meus amigos Tatiane, Jesus, Patr´ıcia, Mˆonica e Fernando por dividir tantas ang´ustias, inseguran¸cas e, principalmente, alegrias e momentos que valem a pena nunca serem esquecidos.

Aos meus sogros, Cacildo e Terezinha, que mesmo distantes me apoiaram e torceram pelo meu sucesso.

Ao meu marido Laerte pela amizade, companheirismo, paciˆencia e por ser esta pessoa t˜ao maravilhosa, a qual n˜ao consigo mais viver sem; sempre ao meu lado, acreditando em mim at´e quando eu mesma n˜ao acreditava.

A todos os professores que contribu´ıram para minha forma¸c˜ao acadˆemica e humana, em especial a professora Dra. Claudete pelo incentivo e apoio.

Ao professor Dr. Rodrigo Martins, por ter aceitado a solicita¸c˜ao de orienta¸c˜ao, pela confian¸ca, paciˆencia e por me ajudar a lembrar o quanto ´e prazeroso aprender.

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Resumo

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Abstract

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Sum´

ario

Introdu¸c˜ao 1

1 Preliminares 4

1.1 An´eis das S´eries de Potˆencias Formais . . . 4

1.2 O Teorema da Prepara¸c˜ao de Weierstrass . . . 8

1.3 Fatora¸c˜ao de S´eries de Potˆencias . . . 16

1.4 Teorema da Base de Hilbert-R¨uckert . . . 19

1.5 Elimina¸c˜ao . . . 21

2 Curvas Alg´ebricas Planas 29 2.1 Teorema de Newton-Puiseux . . . 33

2.2 Extens˜oes de Corpos das S´eries de Laurant . . . 39

2.3 Parametriza¸c˜ao de Puiseux . . . 46

3 Interse¸c˜ao de Curvas 48 3.1 ´Indices de Interse¸c˜ao . . . 57

4 Resolu¸c˜ao de Singularidades de Curvas Planas 66 4.1 F´ormula de Noether . . . 73

4.2 Transforma¸c˜oes Quadr´aticas em C2 . . . . 76

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Introdu¸

ao

O objetivo do nosso trabalho ´e demonstrar a F´ormula de Noether que ´e usada para calcular o ´ındice de interse¸c˜ao entre duas curvas. O ´ındice de interse¸c˜ao entre duas curvas nos d´a uma estimativa do n´umero de interse¸c˜oes entre estas curvas. Este ´e um conceito muito ´util pois atrav´es dele podemos determinar se duas s´eries s˜ao relativamente primas, quando duas curvas s˜ao transversais e quando possuem retas tangentes em comum, al´em de outras aplica¸c˜oes que n˜ao ser˜ao o foco deste trabalho. Para o uso da F´ormula de Noether ser´a necess´ario o estudo de uma das t´ecnicas de desingulariza¸c˜ao denominada Blowing-up.

O Blowing-up ´e uma t´ecnica alg´ebrica que consiste em remover singularidades atrav´es de aplica¸c˜oes alg´ebricas simples. A teoria a partir do Blowing-up nos mune de resultados que s˜ao ´uteis em v´arias ´areas da matem´atica. Atrav´es do Blowing-up conseguimos decidir se uma s´erief ´e regular com rela¸c˜ao a alguma de suas vari´aveis e nos d´a evidˆencias sobre a irredutibilidade da s´erie, por exemplo.

O Teorema de Newton-Puiseux ´e um dos resultados necess´arios para demonstrar a F´ormula de Noether, juntamente com o Teorema da Prepara¸c˜ao de Weierstrass e o Teo-rema da Fun¸c˜ao Impl´ıcita de Newton. Newton encontrou uma maneira de parametrizar uma s´erie de potˆencias dada, parametrizar ´e equivalente a descrever suas solu¸c˜oes, assim podemos transformar uma s´erie de potˆencias em um polinˆomio de Weierstrass e encontrar as ra´ızes deste polinˆomio no fecho do Anel das S´eries de Potˆencias Formais de Laurent, denotamos este fecho por K((x)). O Teorema de Newton-Puiseux nos diz como s˜ao os elementos de K((x)).

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sobre um corpo que ´e um dom´ınio de fatora¸c˜ao ´unica. Para n´os, fatorar uma s´erie, ou seja, encontrar seus fatores irredut´ıveis ´e crucial. Por isso, apresentamos resultados que nos ajudam a decidir quando uma s´erie ´e irredut´ıvel. Al´em disso, mostramos que dada uma curva definida por uma s´erie f com coeficientes num corpo infinito, podemos encontrar uma curva equivalente g que ´e expressa de maneira mais “simples”. Mais precisamente, g ´e expressa como um polinˆomio cujos coeficientes s˜ao s´eries. O resultado que nos garante isso ´e chamado Teorema da Prepara¸c˜ao de Weierstrass. Outro conceito muito importante deste cap´ıtulo que nos ser´a muito ´util na sequˆencia do trabalho ´e o resultante entre dois polinˆomios com coeficientes em um dom´ınio de fatora¸c˜ao ´unica, o qual nos informa quando tais s´eries possuem termos em comum.

No cap´ıtulo 2, definimos Curva Alg´ebrica Plana e algumas de suas caracter´ısticas, tais como, cone tangente, retas tangentes, curvas regulares e curvas equivalentes. Ser´a abordado tamb´em o Teorema de Newton-Puiseux que, junto com o Teorema de Pre-para¸c˜ao de Weierstrass e o Teorema da Fun¸c˜ao ´ımplicita de Newton, afirma que toda s´erie ´e equivalente a um polinˆomio de Weierstrass. Outro resultado significativo deste cap´ıtulo ´e o Lema Unitangente, que nos d´a como ´e expressa a forma inicial de uma s´erie irredut´ıvel.

No cap´ıtulo 3, definimos Anel Coordenado, ´Indice de Intersec¸c˜ao entre duas curvas, Valora¸c˜ao associada a uma s´erie e Curvas Transversais. Demonstramos resultados que nos d˜ao maneiras alternativas de calcular o ´Indice de Intersec¸c˜ao entre duas curvas. Al´em disso, relacionamos o ´Indice de Intersec¸c˜ao com Valora¸c˜ao e a multiplicidade da Resultante de duas curvas.

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(12)

Cap´ıtulo 1

Preliminares

O objetivo deste cap´ıtulo ´e apresentar os pr´e-requisitos para o desenvolvimento do tra-balho, tais como defini¸c˜ao do anel das s´eries de potˆencias formais, multiplicidade de uma s´erie, defini¸c˜ao de s´erie regular, propriedades do Anel das S´eries de Potˆencias Formais, defini¸c˜ao de Pseudo-polinˆomio e de Polinˆomio de Weierstrass, Teorema da Prepara¸c˜ao de Weierstrass e a defini¸c˜ao e propriedades de Resultante entre dois polinˆomios.

Para tanto, definimos inicialmente o anel das s´eries de potˆencias formais o qual ´e objeto base do nosso trabalho.

1.1

An´

eis das S´

eries de Potˆ

encias Formais

Sejam K um corpo e x1, ..., xr indeterminadas sobre K. O conjunto R =K[[x1, ..., xr]]

formado por todas as somas formais do tipof =

X

i=0

Fi, onde Fi ´e polinˆomio homogˆeneo,

com as seguintes opera¸c˜oes:

f +g =

X

i=0

(Fi+Gi),

f g =

X

i=0

X

j+k=i

(FjGk),

(13)

Tamb´em podemos denotar os elementos de R=K[[x1, ..., xr]] por f = ∞ X i=0 X

i1+...+ir=i

ai1...airx1

i1...x

rir.

Defini¸c˜ao 1.1 Dada f =

X

i=0

X

i1+···+ir=i

ai1· · ·airx1

i1· · ·x

rir ∈ C[[x1,· · ·, xr]], se existe

ρR∗

+ tal que

X

i=0

X

i1+···+ir=i

|ai1· · ·air|ρ

i

converge absolutamente, dizemos que f ´e uma s´erie absolutamente convergente.

Exemplo 1.2 Qualquer polinˆomio ´e absolutamente convergente.

Exemplo 1.3 Seja f(x, y) =

X

i=1

X

j=i−1

−1 2

j+1 xjy=

∞ X i=1 −1 2 i xiy.

Neste caso, para cada iN∗,

|ai,1|=

1

2i e ent˜ao, tomandoρ = 1, temos

X

i=1

|ai,1|ρi =

X

i=1

1 2i1

i = 1.

Deste modo, f(x, y) ´e absolutamente convergente.

Observe que i= 0 ocorre apenas quando a s´erie possui o termo constante e, por isso, na s´erie acima n˜ao h´a termo constante.

Alguns elementos no anel das s´eries de potˆencias s˜ao invert´ıveis. Na pr´oxima pro-posi¸c˜ao apresentamos condi¸c˜oes necess´arias e suficientes para que uma s´erie seja in-vert´ıvel.

Proposi¸c˜ao 1.4 Um elementof =

X

i=0

Pi ∈ R, com Pi homogˆeneo de graui, ´e invert´ıvel

se, e somente se, P0 ´e invert´ıvel em K.

Demonstra¸c˜ao: De fato, suponha que f =

X

i=0

Pi ´e invert´ıvel e sejag =

X

i=0

Qi tal que

f g = 1, isto ´e, f g =

X

i=0

X

k+j=i

(14)

sistema        

P0Q0 = 1

P0Q1 +P1Q0 = 0

... tem solu¸c˜ao dada por

                          

Q0 =P0−1

Q1 =P0−1(P1Q0)

Q2 =P0−1(P2Q0+P1Q1)

...

Qn =P0−1(PnQ0+Pn−1Q1+· · ·P1Qn−1)

...

Reciprocamente, se P0 ´e invert´ıvel, ent˜ao o sistema

        

P0Q0 = 1

P0Q1 +P1Q0 = 0

...

tem solu¸c˜ao. Assim, dada f =

X

i=0

Pi, existe g =

X

i=0

Qi tal que f g = 1 e, portanto, f ´e

invert´ıvel. ✷

Exemplo 1.5 Dada a s´erief =x+ 2, resolvendo o sistema constru´ıdo na demonstra¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 1.4 temos que

f−1 =

X

i=0

xi

2i+1.

Defini¸c˜ao 1.6 Seja f = Pn +Pn+1 +... ∈ R\{0}, com cada Pi sendo um polinˆomio

homogˆeneo de graui ePn 6= 0. Chamamos Pn de forma inicial def en de multiplicidade

de f.

A multiplicidade de f ´e denotada por mult(f) e, por conven¸c˜ao, assumimos que se f 0 ent˜ao mult(f) = .

Exemplo 1.7 Dada a s´erie f =P∞

(15)

Proposi¸c˜ao 1.8 Se f, g∈ R, ent˜ao: (i) mult(f g) =mult(f) +mult(g);

(ii) mult(f + g) min{mult(f), mult(g)}. A igualdade ocorre quando mult(f)6=mult(g).

Demonstra¸c˜ao: Sejam f =Pn+Pn+1+· · · e g =Qm+Qm+1+· · · elementos de R.

(i) Ent˜ao,

f g= (Pn+Pn+1+· · ·)(Qm+Qm+1+· · ·) =PnQm+PnQm−1+· · ·+Pn+1Qm−1+· · ·

assim, mult(f g) =gr(PnQm) =nm=mult(f).mult(g).

(ii) Temos tamb´em que f+g =Pn+Pn+1+...+Qm+Qm+1+....

Se n < m, ent˜ao mult(f +g) =n =mult(f). Se n > m, ent˜ao mult(f +g) =m=mult(g).

Se n = m, ent˜ao pode ocorrer Pn+Qm = 0 e, neste caso, mult(f +g) ≥ n = m =

mult(f) = mult(g) = min{mult(f), mult(g)}. De qualquer maneira, mult(f +g) min{mult(f), mult(g)}. ✷

Proposi¸c˜ao 1.9 O anel R ´e um dom´ınio de integridade.

Demonstra¸c˜ao: De fato, sejam f, g ∈ R\{0} ent˜ao mult(f) < e mult(g) < assim, mult(f g) =mult(f) +mult(g)<. Logo f g6= 0. ✷

Nota¸c˜ao: Dado R =K[[x1,· · · , xr]], denotamos: MR o ideal gerado por x1, ..., xr;

R′ =K[[x

1,· · · , xr−1]]; a i-´esima potˆencia de MR porMiR e M0R=R.

Observa¸c˜ao 1.10 Note que f =P0+P1+· · · ∈ MR se, e somente se, P0 = 0; f ∈ M2R

se, e somente se, P0 = P1 = 0. De modo geral, f ∈ MnR se, e somente se, P0 = P1 =

· · ·=Pn−1 = 0.

Proposi¸c˜ao 1.11 O ideal MR ´e o ´unico ideal maximal de R e

\

i∈N

Mi

(16)

Demonstra¸c˜ao: Suponha que exista um ideal I ∈ R tal que MR ⊂ I ⊂ R com

I 6=MR.

Ent˜ao existe pI tal que p /∈ MR, isto ´e,p=P0+P1+...com P0 6= 0 e, portantop ´e

invert´ıvel, assim, I =R e MR ´e ideal maximal de R.

Para mostrar que MR ´e o ´unico ideal maximal de R suponha que exista um outro

ideal maximal J de R. Suponha que existe um elemento p =P0+P1+· · · ∈ J tal que

p /∈ MR, ou seja, P0 6= 0. Desta forma p ´e invert´ıvel e, comoJ ´e ideal, segue que 1∈ J

e assim J =R, contradizendo o fato de J ser maximal. Finalmente, dado f =P

j∈NPj ∈

\

i∈N

MiR, pela Observa¸c˜ao 1.10 segue que

f =P0+P1+· · · ∈

\

i∈N

Mi

R ⇔P0 =P1 =· · ·= 0,

e portanto f 0. ✷

1.2

O Teorema da Prepara¸

ao de Weierstrass

Defini¸c˜ao 1.12 Um polinˆomio de Weierstrass em xr ´e uma s´erie de potˆencias da

se-guinte forma:

f(x1, x2,· · · , xr) =xnr +a1x n−1

r +· · ·+an,

com ai ∈K[[x1,· · · , xr−1]], com mult(ai)≥i para cada i∈ {1,· · · , n}.

Nesta se¸c˜ao vamos ver que dada uma s´erie f ∈ MR, que satisfaz certas condi¸c˜oes,

´e poss´ıvel reescrevˆe-la como um polinˆomio de Weierstrass. Estabelecemos crit´erios de redutibilidade emK[[x, y]], ondeK ´e corpo exeys˜ao indeterminadas. Por conveniˆencia vamos considerar o grau do polinˆomio nulo como −∞.

Lema 1.13 Sejam p, q K[y] polinˆomios relativamente primos, n˜ao-constantes, com gr(p) = r e gr(q) = s. Dado um polinˆomio f K[y], com gr(f) < r +s, existem g, hK[y] unicamente determinados, tais que

(17)

com gr(h)< r e gr(g)< s.

Demonstra¸c˜ao: Como mdc(p, q) = 1, existem a, b K[y] tais que ap+bq = 1 e assim f ap+f bq = f. Al´em disso, pelo algoritmo da divis˜ao existem ρ e hK[y] tais que f b=ρp+h, onde gr(h)< gr(p) = r. Contudo,

f = f ap+f bq = f ap+ (ρp+h)q = f ap+ρpq+hq = (f a+ρq)p+hq

= gp+hq,onde g =f a+ρq.

Al´em disso,

gr(g) +gr(p) = gr(gp) =gr(fhq) =max{gr(f), gr(hq)}< r+s, visto que gr(p) = r, ent˜ao gr(g)< s.

Para mostrar a unicidade de h, q K[y] que satisfazem a tese, suponha que existam g′, h K[y] tais que f = gp+hq com gr(h) < r, gr(g) < s e gr(f) < r+s. Da´ı,

gp+hq =g′p+hq e portanto (g

−g′)p= (h

−h′)q.

J´a que mdc(p, q) = 1, ent˜ao q|(g g′) e isto implica que s = gr(q) gr(gg) ou

gg′ = 0. Como gr(g

−g′)< s, segue que g =g.

Analogamente, h=h′.

Lema 1.14 (Lema de Hensel) Seja f K[[x]][y] mˆonico tal que f(0, y) = p(y)q(y), onde p(y), q(y) K[y] s˜ao relativamente primos, gr(p(y)) = r e gr(q(y)) = s. Ent˜ao existem dois polinˆomios unicamente determinados g, h K[[x]][y] tais que f =gh com gr(g) = r, gr(h) = s, g(0, y) = p(y) e h(0, y) =q(y).

Demonstra¸c˜ao: Seja f K[[x]][y] mˆonico tal que n = gry(f) = gr(f(0, y)) =

gr(p(y)) +gr(q(y)) = r+s. Note que f pode ser escrito como f = f0(y) +xf1(y) +

x2f

(18)

Determinamos g(x, y) =p(y) +xg1(y) +· · · ∈K[[x]][y], com gr(gi(y))< r eh(x, y) =

q(y) +xh1(y) +· · · ∈ K[[x]][y], com gr(hi(y)) < s tais que f(x, y) =g(x, y)h(x, y). Isto

ocorre se, e somente se,        

      

f0(y) = p(y)q(y)

f1(y) = p(y)h1(y) +g1(y)q(y)

... ... ...

fi(y) = p(y)hi(y) +gi(y)q(y) +· · ·

tem solu¸c˜ao ou, equivalentemente,

p(y)hi(y) +gi(y)q(y) = fi(y)−

X

k+l=i k,l6=0

gk(y)hl(y).

Como f ´e mˆonico, temos que gr(fi(y))< n=r+s. Pelo Lema 1.13 a equa¸c˜ao pode

ser resolvida de maneira ´unica emgi(y) ehi(y) e portantog, h∈K[[x]][y] s˜ao unicamente

determinados comgr(g) =r e gr(h) =s. ✷

Nota¸c˜ao: Denotamos K((x)) o corpo das fra¸c˜oes sobreK[[x]]. Observe que dadoh= f

g ∈K((x))\{0}, visto quef =x

nueg =xmv, comm, nN,

u e v unidades em K[[x]], temos que h= f

g = xnu

xmv =x

n−muv−1 =xrw,

onde rZ e w´e unidade em K[[x]].

Corol´ario 1.15 Seja T um K-automorfismo de K((x)), ent˜ao existe uma unidade uK[[x]] tal que T(x) =xu(x).

Demonstra¸c˜ao: Seja T(x) = xru(x), onde u(x) ´e unidade em K[[x]] e r

∈Z. Se r <0, como T ´e um homomorfismo, ter´ıamos

(19)

Como T ´e um K-automorfismo existe T−1 definido por T−1(x) = xsv(x), com v(x)

unidade de K[[x]] e sZ+. Da´ı,

x=T(T−1(x)) =T(xsv(x)) = xrsT(v(x))us(x) =xrsw(x),

com w(x) = T(v(x))ur(x) unidade de K[[x]].

Assim w(x) = 1 e xrs =x, ou seja, r=s= 1 e, portanto, T(x) = xu(x), onde u(x) ´e

unidade em K[[x]]. ✷

Defini¸c˜ao 1.16 Uma s´erie f ∈ M´e regular de ordem m com respeito `a indeterminada xrsem=max{n|xnr divide f(0,· · ·0, xr)}. Quandon =mult(f) = mult(f(0, . . .0, xr))

dizemos que f ´e regular em xr.

Exemplo 1.17 Sejaf(x, y) = x4+y53x4y+7x2y4. Comof(0, y) =y5 ent˜aof ´e regular

em y de ordem 5. Por outro lado, f(x,0) =x4, ent˜ao mult(f(x,0)) = 4 = mult(f), isto

´e, f ´e regular em x.

Lema 1.18 Dadas f, g∈ R, sef eg s˜ao regulares com rela¸c˜ao a xr, com ordens n1 en2

respectivamente, ent˜ao f g ´e regular em xr de ordem n1 ou n2. Reciprocamente, se f g ´e

regular em xr de ordemm, ent˜ao f e g s˜ao regulares de ordens n1 e n2, respectivamente,

em xr onde n1+n2 ≥m.

Demonstra¸c˜ao: Suponha que f ´e regular em xr de ordem n1 e g ´e regular em xr de

ordem n2, isto ´e, xnr1 |f(0, . . . , xr) exrn2|g(0, . . . , xr). Ent˜aoxrn1+n2 |f g(0, . . . , xr), visto

que xn1

r |xnr1+n2 e xnr2|xrn1+n2, segue que xnr1 | f g(0, . . . , xr) ou xnr2 | f g(0, . . . , xr). Logo,

f g ´e regular de ordem n1 ou n2 em xr.

Reciprocamente suponha quexm

r |f g(0, . . . , xr), ent˜aof g(0, . . . , xr) =xmr p(0, . . . , xr),

ou seja, f(0, . . . , xr) = xnr1f1(0, . . . , xr) e g(0, . . . , xr) = xnr2g1(0, . . . , xr), onde

n1 +n2 ≥m.

Assim, f eg s˜ao regulares com rela¸c˜ao `a xr para algumas ordens. ✷

Teorema 1.19 Seja f ∈ MR, regular de ordem m com respeito `a xs. Dado g ∈ R

existem q ∈ R e r ∈ R[x

s] unicamente determinados tais que

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com r= 0 ou grxs(r)< m.

Demonstra¸c˜ao: Seja f =fn+· · ·+fm+fm+1+· · · ∈ MR regular em xs de ordem

m. Dado g =

X

i=0

aixis ∈R

[[x

s]] considere r−1 =

m−1

X

i=0

aixis.

Vamos construir qi, ri ∈ K[x1,· · · , xs] tais que 0 ≤ grxs(ri) < m, mult(qi) > i e mult(ri)>i+ 1 de modo que

g =f q+r.

Tome p = fn+· · ·+fm. Como xs divide f(0,· · · , xs) ent˜ao p = cxms +p1(xs) com

cK \ {0} e grxs(p1)< m.

Note que 1n =mult(p)m e considere h=gr−1 =hm+hm+1+· · ·=

X

i=m

aixis ∈R

[[xs]], (1.1)

em que hi′s s˜ao polinˆomios homogˆeneos de grau i.

Como hm ep s˜ao polinˆomios, pelo Algoritmo da Divis˜ao para polinˆomios, existemq0

e r0 ∈R[x1,· · · , xs−1][xs] tais que r0 =hm−q0p com grxs(hm−q0p)< m.

Observe que hm(0.· · · , xs) = 0 se, e somente se, q0 = 0. Seq0 = 0 ent˜ao mult(r0) =

mn, assim,mult(q0)≥0 e mult(r0)≥1.

Como o coeficiente l´ıder de p ´e invert´ıvel podemos considerar p como um polinˆomio em K[x1,· · · , xs−1][xs] e usar o algoritmo da divis˜ao para polinˆomios, isto ´e, dados p e

hm −q0fm+1 ∈ K[x1,···,xs−1][xs], ent˜ao r1 = hm+1 −q0fm+1 −q1p com grxs(r1) < m e mult(q1)≥1 e, consequentemente, mult(r1)≥2.

Com racioc´ınio an´alogo existe um ´unico q2 ∈ K[x1, x2,· · · , xs−1][xs] tal que

grxs(hm+2−q1fm+1−q0fm+2−q2p)< m emult(q2)≥2, desta maneira, mult(r2)≥3. Assim, constru´ımos sequˆencias q0, q1, q2· · · e r0, r1, r2· · · tais que

(21)

Contudo temos que

r0+r1+· · · = (hm−q0p) + (hm+1−q0fm+1−q1p) + (hm+2−q0fm+2−q1fm+1−q2p) +· · ·

= (hm+hm+1+· · ·)−q0(p+fm+1+fm+2+· · ·)− · · ·

= (hm+hm+1+· · ·)−(q0+q1· · ·)(p+fm+1+· · ·)

= hqf =(1.1) qf +r

−1+r0+· · · .

Tomando r=r−1+r0+r1+· · · e q =q0+q1 +· · · demonstramos o teorema.

Observe que a unicidade de q e r seguem da unicidade de qi, ri assegurado pelo

algoritmo da divis˜ao para polinˆomios. ✷

Teorema 1.20 (Teorema da prepara¸c˜ao de Weierstrass) Dada uma s´erie regu-lar f ∈ R, de ordem m > 0 com respeito `a xs, ent˜ao existe u ∈ R, com u(0) 6= 0

e a1,· · ·, am∈ MR′ unicamente determinados por f tais que

f u=xm

s +a1xms−1+· · ·+am

e mais, se f ´e regular em xs, ent˜ao para cada i∈ {1,· · · , m} temos mult(ai)≥i.

Demonstra¸c˜ao: De fato, como xm

s |f(0,· · · , xs) ent˜ao f ∈ MR e, pelo algoritmo da

divis˜ao (Teorema 1.19), existemq∈ Rer∈ R[x

s] tais quexms =f q+r, comgrxs(r)< m our = 0.

Como xm

s |f(0,· · · , xs), ent˜ao xms divide xms −(f q)(0,· · · , xs) = r(0,· · · , xs). Visto

que grxs(r) < m, segue que r(0,· · · ,0, xs) = 0 e, implica que, q(0,· · · ,0, xs) ∈ K\{0} e q(0,· · ·,0) K\{0}, portanto, q ´e invert´ıvel. Assim tomando q = u e considerando r=(a1xms−1+a2xsm−2+· · ·+am)∈ R′[xs] teremos

f u=xm s +a1x

m−1+

· · ·+am.

Por outro lado f(0,· · · , xs)u(0,· · · ,0, xs) = xsm +a1(0)xm−1 +· · ·+am(0) e como

xm

s |f(0,· · · , xs) ent˜ao a1(0) = a2(0) = · · · = am(0) = 0 e assim ai ∈ MR′ para cada

(22)

Sef´e regular emxsent˜aom =mult(f) = mult(f u) = mult(xsm+a1xm−1+· · ·+am) e,

para que isso ocorra devemos ter mult(aixms−i)≥m para cadai= 1,· · · , me, portanto,

mult(ai)≥i. ✷

Observe que nos teoremas anteriores ´e relevante f ser regular, mas nem sempre isso ocorre. Vamos ver a seguir que uma s´erie n˜ao regular, com coeficientes num corpo infinito, pode se tornar regular atrav´es de um automorfismo em R.

Lema 1.21 Seja K um corpo infinito e F uma fam´ılia finita de polinˆomios homogˆeneos n˜ao nulos emK[y1,· · · , yr]. Ent˜ao existe uma transforma¸c˜ao linearT :K[x1,· · · , xr]−→

K[y1,· · · , yr] tal que para todo f ∈ F com grau m existe cf 6= 0 tal que,

f(T(x1,· · · , xr)) =cfxmr +p(xr),

onde p(xr)∈K[x1,· · · , xr−1][xr] s˜ao termos de grau menor que m em xr .

Demonstra¸c˜ao: Considere a transforma¸c˜ao T : K[x1,· · · , xr] −→ K[y1,· · · , yr]

defi-nida porT(xj) = xj+αjxr, se j ∈ {1,· · · , r−1}e T(xj) =αrxr, se j =r. Assim, dado

fn(x1,· · · , xr) =

X

l1+···+lr=n

al1,···,lrx

l1

1.xl22· · ·xlrr ∈ F, um polinˆomio homogˆeneo de grau n,

temos:

fn(T(x1,· · · , xr))) =

X

l1+···+lr=n

al1,···,lr(x1+α1xr)

l1(x

2+α2xr)l2· · ·(αrxr)lr

= (α1xr)l1· · ·(αrxr)lr + (termos de grau menor que n em xr).

= αl1

1 · · ·αlrr ·x l1+···+lr

r + (termos de grau menor que n em xr).

= fn(α1,· · · , αr)·xnr + (termos de grau menor que n em xr)..

Tomando cfn =fn(α1,· · · , αr) segue que fn(T(x1,· · · , xr)) =cfn·x

n

r + (termos de grau menor que n em xr.

Observe que cada polinˆomio de F possui um n´umero finito de ra´ızes em Kr. J´a que

F ´e finito e K ´e infinito, ´e poss´ıvel tomar (α1,· · · , αr) ∈ Kr tal que f(α1,· · · , αr) 6= 0

(23)

Corol´ario 1.22 SejaK um corpo infinito. Dada uma fam´ılia finitaF de elementos n˜ao nulos em R existe um automorfismo linear T de R tal que todos os elementos de T(F) s˜ao regulares na ´ultima indeterminada.

Demonstra¸c˜ao: Considere f1, f2,· · · , fn os polinˆomios homogˆeneos que definem as

multiplicidades dos elementos de F.

Pelo lema anterior existe uma transforma¸c˜ao T tal que, para todo i ∈ {1,· · · , r}, existecfi 6= 0 satisfazendo fi(T(x1,· · · , xr)) =cfix

mi

r +pi(xr).

Assim, para cada f ∈ F temos quef T ´e regular na ´ultima indeterminada. ✷ Observe que para construir o automorfismo do corol´ario anterior, deve-se considerar a transforma¸c˜ao T : R −→ R definida por T(xj) = xj +αjxr, se j ∈ {1,· · · , r−1}

e T(xj) = αrxr, se j = r, de modo que, fi(α1,· · · , αr) 6= 0, onde fi s˜ao os polinˆomios

homogˆeneos que definem as multiplicidades dos elementos de F.

Corol´ario 1.23 Sef ∈ R \ {0}´e uma s´erie de multiplicidade n, ent˜ao existe T :R −→

R um K-automorfismo, uma unidade u ∈ R e ai ∈ R′, para i ∈ {1,· · · , r}, tais que

mult(ai)>i e f(T)·u=xnr +a1·xnr−1+· · ·+an.

Demonstra¸c˜ao: Pelo corol´ario anterior existe um automorfismo T de R tal que f(T(x1,· · · , xr)) = cf ·xnr+ (termos de grau menor que n em xr), ou seja, f ◦ T ´e

regular em xr de ordem n.

Pelo Teorema de prepara¸c˜ao de Weierstrass existe u∈ R invert´ıvel eai ∈ MR′ ⊂ R

tal que T(f)·u=xn

r +a1·xn

−1

r +· · ·+an. ✷

Exemplo 1.24 Note que o polinˆomio f =x2y3+ 2xy2+xy2 n˜ao ´e regular com rela¸c˜ao a x ou y. Se consideramos o automorfismo

φ: C[[x, y]] −→ C[[x, y]] x 7−→ x+y y 7−→ y

(24)

O estudo de um polinˆomio ´e mais simples do que o estudo de uma s´erie de potˆencias. Agora, dadof ∈ R\{0}n˜ao invert´ıvel emR, podemos fazer uma mudan¸ca de coordena-das para que possamos preparar f em um polinˆomio de Weierstrass.

1.3

Fatora¸

ao de S´

eries de Potˆ

encias

Defini¸c˜ao 1.25 Um Pseudo-polinˆomio em xr ´e uma s´erie de potˆencias em R da forma

p(x1,· · · , xr) =xmr +a1x1m−1+· · ·+am ∈ R′[xr]

tal que n >1 e mult(ai)>1.

Observe que todo polinˆomio de Weierstrass ´e Pseudo-polinˆomio.

Defini¸c˜ao 1.26 Seja A um dom´ınio. Dizemos que um elemento a A\{0}, n˜ao in-vert´ıvel, ´e irredut´ıvel se existem b, cA tal que a=b·c ent˜ao, b ou c´e unidade.

Lema 1.27 Sef1, f2· · · , fss˜ao polinˆomios mˆonicos emR′[xr], ent˜aof1f2· · ·fs´e

Pseudo-polinˆomio (respectivamente Pseudo-polinˆomio de Weierstrass) se, e somente se, para cada i = 1,· · · , s, fi ´e Pseudo-polinˆomio (respectivamente polinˆomio de Weierstrass).

Demonstra¸c˜ao: Sejam f1 =xmr +a1·xmr −1 +· · ·+am ef2 =xnr +b1·xnr−1+· · ·+bn

elementos deR[x

r], ent˜aof1f2 =xmr+n+c1·xrm+n−1+· · ·+cm+n, ondeci =

X

j+k=i

aj·bk

com a0 =b0 = 1.

Se f1 e f2 s˜ao Pseudo-polinˆomios, isto ´e, para cada i= 1,· · · , s temos mult(ai) >1

e mult(bi)>1 ent˜ao,

mult(ci) = mult(ai+ai−1b1+· · ·+a1bi−1+bi)

> min{mult(ai), mult(ai−1b1),· · · , mult(bi)}>1.

Logo, f1f2 ´e Pseudo-polinˆomio.

Da mesma forma, se f1 e f2 s˜ao polinˆomios de Weierstrass ent˜aof1f2 tamb´em ´e.

(25)

mult(f1) +mult(f2) = mult(f1f2) = m+n.

Como mult(f1) ≤ m e mult(f2) ≤ n, segue que ai(0) = 0 e bj(0) = 0 para todo

i= 1,· · · , m e j = 1,· · · , n.

Portanto, mult(ai)>1 e mult(bj)>1 para todo i= 1,· · · , m e j = 1,· · · , n. Logo,

f1 ef2 s˜ao Pseudo-polinˆomios.

Resta mostrar que se f1f2 ´e polinˆomios de Weierstrass, ent˜ao f1 e f2 s˜ao polinˆomio

de Weierstrass.

Se f1f2 ´e polinˆomio de Weierstrass, ent˜ao f1f2 ´e Pseudo-polinˆomio e, assim, f1 e f2

s˜ao Pseudo-polinˆomios o que implica que ai(0) = bj(0) = 0 para cada i = 1,· · · , m e

j = 1,· · ·, n. Da´ı,

mult(f1) +mult(f2) = mult(f1f2) = mult(f1f2(0,· · · , xr)) = m+n.

Visto que mult(f1)6m e mult(f2)6n segue que mult(f1) = m e mult(f2) =n.

Da´ı, m= mult(f1) =mult(xmr +a1xrm−1+· · ·+am) implica que mult(aixmr−i)> m

e mult(ai)>i.

Com racioc´ınio an´alogo segue que mult(bi) > i. Logo f1 e f2 s˜ao polinˆomios de

Weierstrass. ✷

Lema 1.28 Seja f ∈ R[x

r] um Pseudo-polinˆomio. Ent˜ao f ´e redut´ıvel em R se, e

somente se, f ´e redut´ıvel em R[x

r].

Demonstra¸c˜ao: Seja f =xm

r +a1xmr−1+· · ·+am ∈ R′[xr] tal que mult(ai)>1.

Suponha quef ´e redut´ıvel emR, isto ´e, f =f1f2 com f1, f2 ∈ R\{0}n˜ao invert´ıveis.

Como f ´e Pseudo-polinˆomio, ent˜ao f ´e regular de ordem m em xr e, pelo resultado

anterior, f1 e f2 s˜ao regulares de ordensm1 em2, respectivamente, com rela¸c˜ao `a xr.

Pelo Teorema de Weierstrass, existem u1 e u2 ∈ R invert´ıveis tais que f1u1 = h1 e

f2u2 =h2 ∈ R′[xr].

Assim,

(26)

Como f1 e f2 s˜ao Pseudo-polinˆomios em xr, ent˜ao h1 e h2 s˜ao Pseudo polinˆomios.

Da´ı, f = h1(h2u−21u−11), onde h1 e h2u−21u−11 n˜ao s˜ao invert´ıveis. Logo, f ´e redut´ıvel em

R′[x

r].

ComoR[x

r]⊂ R′, ent˜ao a redutibilidade emR′[xr] implica na redutibilidade emR′.

Logo, f redut´ıvel emR[x

r] implica que f ´e redut´ıvel em R′.

Teorema 1.29 R ´e um dom´ınio de fatora¸c˜ao ´unica.

Demonstra¸c˜ao: Sejam R = K[[x1, x2,· · · , xr]] e f = amxmr +am+1xmr+1 +· · · ∈ R,

n˜ao invert´ıvel, com mult(f) = mN. Se r = 1 podemos reescrever f = xm

r ·u onde u = am +am+1xr+· · · ´e invert´ıvel.

Portanto, f =xm

r ·u ´e uma decomposi¸c˜ao para f.

Suponha queR=K[[x

1, x2,· · · , xr−1]] ´e dom´ınio de fatora¸c˜ao ´unica e vamos mostrar

que K[[x1, x2,· · ·, xr]] tamb´em ´e.

Sejam f, g, h∈ Rcom f irredut´ıvel tal que f divide gh.

Se g ´e invert´ıvel ent˜ao f|h, isto ´e, h =f v para algum v ∈ R. Analogamente se h ´e

invert´ıvel ent˜ao g =f v′ para algum v

∈ R′.

Podemos supor que he g s˜ao regulares com rela¸c˜ao `a xr, caso contr´ario faremos uma

mudan¸ca de coordenada.

Se h e g n˜ao s˜ao invert´ıveis, pelo Teorema da Prepara¸c˜ao de Weierstrass temos que hu1 =xmr−1+a1xmr−−11+· · · e gu2 =xnr−1+b1xnr−−11+· · ·.

Como f ´e irredut´ıvel em Rtemos por um resultado anterior que f ´e irredut´ıvel em

R′[x

r]. Al´em disso, pelo Lema de Gauss, R′[xr] ´e dom´ınio de fatora¸c˜ao ´unica e desta

forma todo elemento irredut´ıvel ´e primo; Contudo f|gh implica que f|g ou f|h, isto ´e, g =f v′ ou h=f v e, portanto,

R´e dom´ınio de fatora¸c˜ao ´unica. ✷

Corol´ario 1.30 Seja f ∈ R[x

r] um Pseudo-polinˆomio (resp. polinˆomio de

Weiers-trass) com respeito `a xr. Se a decomposi¸c˜ao em fatores de irredut´ıveis em R ´e dada por

f =f1· · ·fn, ent˜ao podemos escolher uma decomposi¸c˜ao onde fi ´e um Pseudo-polinˆomio

(27)

Demonstra¸c˜ao: Seja f ∈ R[x

r] um Pseudo-polinˆomio. Como R′[xr] ´e dom´ınio de

fatora¸c˜ao ´unica, podemos decomporf =f1· · ·fncomo produto de irredut´ıveis emR′[xr].

Pelo Lema 1.28 , segue que fi ´e irredut´ıvel em R para todoi∈ {1,· · · , n}.

Al´em disso, comof´e Pseudo-polinˆomio segue do Lema 1.27 quefi´e Pseudo-polinˆomio

para cada i∈ {1,· · · , n}. ✷

1.4

Teorema da Base de Hilbert-R¨

uckert

Defini¸c˜ao 1.31 Um anel A ´e Noetheriano se todo ideal de A ´e finitamente gerado.

Teorema 1.32 (Teorema da Base de Hilbert) Se A´e Noetheriano, ent˜ao A[x]´e Noethe-riano.

Demonstra¸c˜ao: Seja I um ideal de A[x]. SeI = 0 ou I =A acabou. Caso contr´ario, considere J o conjunto formado pelos coeficientes l´ıder dos elementos de I. ´E claro que J ´e um ideal de A e, como A ´e Noetheriano ent˜ao J ´e finitamente gerado. Considere J =< a1,· · · , ar >.

Vamos denotar por ni eai o grau do coeficiente l´ıder de fi, respectivamente.

Seja n = max{n1,· · · , nr} e considere Jm ⊆ A, m = 1,· · · , n, o ideal formado por

todos os coeficientes l´ıderes dos polinˆomios de I de grau menor ou igual a m.

Como Jm ´e ideal de A, ent˜ao Jm=< am1, am2,· · · , amrm >, poisA´e Noetheriano. Considere < f1,· · · , fr, f01,· · · , f0r0,· · · , fn1,· · · , fnrn >= I

e vamos mostrar que

I =I′.

Temos que I′ I. Suponha que existe, um polinˆomio de menor grau poss´ıvel, g

I\I′, da seguinte forma, g = axd+

· · · ∈ I. Como c ´e o coeficiente l´ıder de g, ent˜ao cJ =< c1· · · , cr >. Da´ıc=b1c1 +· · ·+brcr, com b′is∈A.

Se d>n, ent˜ao

b1xd−n1f1+· · ·brxd−nrfr =b1xd−n1(a1xn1 +· · ·) +· · ·+brxd−nr(arxnr +· · ·)

=b1a1xd+· · ·+brarxd

= (b1a1+· · ·+brar)xd+· · ·

(28)

Assim,

h =g(b1xd−n1f1+· · ·brxd−nrfr)∈I,

com grau menor qued.

Se h /I′, ent˜ao temos um absurdo, pois ter´ıamos um polinˆomio de grau menor que

o grau de g.

Se hI, ent˜ao g I, e isto ´e uma contradi¸c˜ao.

Por outro lado, se d < n ent˜ao aJd, isto ´e, c=b1ad1 +· · ·+brdadrd e temos que b1xd−bd1fd1+· · ·+brdx

d−bdrdf

drd = (b1cd1+· · ·+arcdrd)x

d+

· · · ∈I′. Considere

h=gb1xd−bd1fd1+· · ·+brdx

d−bdrdf drd ∈I Se hI′ ent˜ao temos uma contradi¸c˜ao, pois

g =h+b1xd−bd1fd1+· · ·+brdx

d−bdrd

fdrd ∈I. Se h /I′ temos a contradi¸c˜ao da minimalidade do grau d deg.

Logo, I =I′.

Portanto A[x] ´e noetheriano. ✷

Teorema 1.33 (Teorema da Base de R¨uckert) O anel R ´e Noetheriano.

Demonstra¸c˜ao: Seja R=K[[x1,· · · , xs]]. Mostraremos por indu¸c˜ao sobre s que R ´e

Noetheriano.

Como K[[x1]] ´e um dom´ınio de ideais principais segue que R ´e Noetheriano quando

s= 1.

Vamos supor que R=K[[x

1,· · · , xs−1]] ´e Noetheriano e mostrar que R ´e

Noetheri-ano.

Seja I um ideal n˜ao nulo de R e tome f I\{0}. Podemos supor que f ´e regular com respeito `axr, caso contr´ario podemos fazer uma mudan¸ca de coordenadas visto que

(29)

Como R´e Noetheriano por hip´otese, ent˜ao

R′[x

s] ´e Noetheriano e, assim,

IT

R′[x

s] =< g1,· · · , gm >, onde gi ∈ R para i = 1,· · · , m. Dado h ∈ I, pelo

Teo-rema da Divis˜ao existem q ∈ R er ∈ R[x

s] tais que h=f q+r. Da´ı, r=h−f q ∈I e,

consequentemente, rIT

R′[x

s].

Assim, r=a1g1+· · ·+amgm, com ai ∈ R′[xr], para i= 1,· · · , m e h=f q+a1g1+

· · ·+amgm ∈< f, g1,· · ·, gm >.

Logo I =< f, g1,· · · , gm >e, portanto, R ´e Noetheriano. ✷

1.5

Elimina¸

ao

Defini¸c˜ao 1.34 SejaA um dom´ınio de fatora¸c˜ao ´unica e consideref =a0ym+a1ym−1+

· · ·+am e g =b0yn+b1yn−1+· · ·+bn ∈A[y]. Ent˜ao o resultante def e g ´e um elemento

de A definido por:

Ry(f, g) = detMf,g =det

                   

a0 a1 a2 · · · am 0 · · · 0

0 a0 a1 · · · am−1 am · · · 0

... ... ... ... ... ... ... ... ... 0 · · · · a0 · · · am

b0 b1 b2 · · · bn−1 bn 0 · · · 0

0 b0 b1 · · · . . . bn−1 bn · · · 0

... ... ... ... ... ... ... ... ... 0 · · · · b0 · · · bn

                   

m+n

.

Observe que o produto dos elementos da diagonal principal de Mf,g ´e an0bmn, al´em

disso, se considerarmos os coeficientes a′

is e b′js como vari´aveis, o resultante Ry(f, g) ´e

um polinˆomio bi-homogˆeneo de graun com rela¸c˜ao aosa′

is, e de graum com rela¸c˜ao aos

b′

js.

Lema 1.35 Os polinˆomiosf, g A[y]possuem fator comum n˜ao constante se, e somente se, existem p, q A[y]\{0}, com gr(p)< gr(f) e gr(q)< gr(g), tais que qf =pg.

(30)

Reciprocamente, se qf =pg com gr(p)< gr(f) e gr(q)< gr(g) e f e g n˜ao possuem fatores em comum, ent˜ao g|q. Mas isto n˜ao pode ocorrer poisgr(q)< gr(g).

Logo, f eg possuem termos n˜ao constantes em comum. ✷

Proposi¸c˜ao 1.36 Sejam f =a0yn+a1yn−1+· · ·+an e g = b0ym +b1ym−1 +· · ·+bm

elementos de A[y]\A. Ent˜ao Ry(f, g) = 0 se, e somente se, a0 = b0 = 0 ou se f e g

possuem fatores comuns n˜ao constantes em A[y].

Demonstra¸c˜ao: Se a0 = b0 = 0 ent˜ao a primeira coluna da matriz Mf,g ´e zero e,

portanto, Ry(f, g) = 0.

Resta mostrar que se a0 6= 0 ou b0 6= 0 ent˜ao Ry(f, g) = 0 se, e somente se, f e g

possuem fatores comuns n˜ao constantes.

Pelo lema anterior, f e g possuem fatores comuns n˜ao constantes se, e somente se, existem p e q em A[y], com gr(q) < gr(g) e gr(p) < gr(f), tais que f q = gp, ou equivalentemente:

0 = f(q0ym−1+· · ·+qm−1) +g((−p0yn−1) +· · ·+ (−pn−1))

= f q0ym−1+· · ·+f qm−1+−gp0yn−1− · · · −gpn−1. (1.2)

Segue que, B ={f ym−1, f ym−2,· · · , f, gyn−1,· · · , g}´e linearmente dependente sobre

o corpo das fra¸c˜oesF deA.

Reescrevendo os polinˆomios de B na base canˆonica de Fn+m, ent˜ao o determinante

da matriz obtida ´e exatamente Ry(f, g).

Portanto, Ry(f, g) = 0 se, e somente se,f eg possuem termos comuns n˜ao constantes.

Corol´ario 1.37 Sejam f, g ∈ R[y] Pseudo-polinˆomios com respeito `a indeterminada y. As s´eries f e g admitem um fator comum n˜ao invert´ıvel em R[[y]], se, e somente se, Ry(f, g) = 0.

(31)

Se f e g admitem um fator comum n˜ao invert´ıvel em R[[y]], ent˜ao possuem fator comum em R[y]. Pela proposi¸c˜ao anterior segue que Ry(f, g) = 0.

Reciprocamente, seRy(f, g) = 0, comoa0 6= 0 eb0 6= 0, ent˜ao pela proposi¸c˜ao anterior

f = f1h e g =g1h, onde h ∈ R[y] n˜ao ´e invert´ıvel. Al´em disso, pelo Lema 1.27, e pelo

fato de f e g serem Pseudo-polinˆomios, ent˜ao h ´e Pseudo-polinˆomio. Visto que R[y] ´e dom´ınio de fatora¸c˜ao ´unica podemos supor queh´e irredut´ıvel emR[y] e, pelo Lema 1.28, h´e irredut´ıvel em R[[y]] e portantoh ´e n˜ao invert´ıvel em R[[y]]. ✷

Corol´ario 1.38 Seja A = C{x}, onde C ´e o corpo dos n´umeros complexos, e x= (x1,· · · , xn−1), f =a0(x)yn+· · ·+an(x) e g =b0(x)ym+· · ·+bm(x) elementos de

C{x}[y] e seja U uma vizinhan¸ca de O em Cn−1, onde a

i e bj convergem absolutamente

em U. Ent˜ao R(α) = 0 se, e somente se, ou a0(α) = b0(α) = 0, ou f(α, y) e g(α, y)

admitem ra´ızes comum em C, onde R(x) =Ry(f, g) e α∈U.

Demonstra¸c˜ao: Suponha que R(α) = Ry(f(α, y), g(α, y) = 0. Pela Proposi¸c˜ao 1.36,

a0(α) = b0(α) = 0 ouf(α, y) e g(α, y) possuem fatores comuns n˜ao constantes.

Se a0(α) = b0(α) = 0 o corol´ario ´e demonstrado.

Sen˜ao, existem f1(α, y), g1(α, y) e h(α, y)∈ C[y] tais que f(α, y) =f1(α, y)k(α, y) e

g(α, y) =g1(α, y)k(α, y). Como C ´e algebricamente fechado ef(α, y) e g(α, y) possuem

fatores comuns n˜ao constantes, existe y0 tal que f(α, y0) = g(α, y0) = 0 e, portanto,

admitem ra´ızes comuns em C.

Reciprocamente, se a0(α) = b0(α) = 0, ent˜ao pela Proposi¸c˜ao 1.36, R(α) = 0.

Por outro lado, se f(α, y) eg(α, y) admitem ra´ızes em comum em C, ent˜ao possuem fatores em comum em C[y], como C ´e um dom´ınio de fatora¸c˜ao ´unica ent˜ao, pela

Pro-posi¸c˜ao 1.36, R(α) = 0. ✷

Proposi¸c˜ao 1.39 SeA´e um dom´ınio de fatora¸c˜ao ´unica ef, g A[y]\A, ent˜ao existem p, q A[y], com gr(p)< gr(f) e gr(q)< gr(g), tais que

(32)

Demonstra¸c˜ao: Sejam f =a0yn+a1yn−1 +· · ·+an e g =b0ym+b1ym−1+· · ·+bm

elementos de A[y]\A.

Se f e g possuem fatores n˜ao constantes em comum em A[y] ent˜ao, pelo Lema 1.35, existem pe qA[y] que satisfazem qf + (p)g = 0, com gr(q)< gr(g) e gr(p)< gr(f). Al´em disso, pela Proposi¸c˜ao 1.36,Ry(f, g) = 0 e portanto Ry(f, g) =qf + (−p)g.

Se f e g n˜ao possuem fatores n˜ao constantes em comum segue que Ry(f, g) 6= 0 e,

podemos escrever,                    

a0 a1 a2 · · · am 0 · · · 0

0 a0 a1 · · · am−1 am · · · 0

: : : . .. : : : : :

0 · · · · a0 · · · am

b0 b1 b2 · · · bn−1 bn 0 · · · 0

0 b0 b1 · · · . . . bn−1 bn · · · 0

: : : : : : : : :

0 · · · · b0 · · · bn

                                       

yn+m−1

yn+m−2

: yn

yn−1

yn−2

: 1                     =                    

ym−1f

ym−2f

: f yn−1g

yn−2g

: g                     .(1.3)

Substituindo a ´ultima coluna da matriz Mf,g pela coluna dos termos independentes

(1.3) obtemos a matriz:

M =                    

a0 a1 a2 · · · am 0 · · · ym−1f

0 a0 a1 · · · am−1 am · · · ym−2f

: : : . .. : : : : :

0 · · · · a0 · · · f

b0 b1 b2 · · · bn−1 bn 0 · · · yn−1g

0 b0 b1 · · · . . . bn−1 bn · · · yn−2g

: : : : : : : : :

0 · · · · b0 · · · g

                    .

Assim, pelo M´etodo de Crammer temos, 1 = detM

detMf,g

= detM Ry(f, g) ⇒

Ry(f, g) = detM.

Considere Ai o cofator deym−if eBj o cofator deyn−jg. Expandindo o determinante

(33)

detM = A1ym−1f +A2ym−2f +· · ·+Amf +B1yn−1g+B2yn−2g+· · ·+Bng

= (A1ym−1+A2ym−2+· · ·+Am)f+ (B1yn−1+B2yn−2+· · ·+Bn)g

Tomando q=A1ym−1+A2ym−2+· · ·+Am ep=B1yn−1+B2yn−2+· · ·+Bn temos

Ry(f, g) = detM =qf +pg. ✷

Observe que se f =a0(y−x1)· · ·(y−xn) e g =b0(y−y1)· · ·(y−ym) s˜ao elementos

deR′′ =A[x

1,· · · , xn, y1· · · , ym][y], ent˜ao Ry(f, g) ´e um polinˆomio de R′′.

Lema 1.40 O polinˆomioRy(f, g)´e homogˆeneo de graunmemR′′=A[x1,· · · , xn, y1· · · , ym],

onde n =gry(f) e m=gry(g).

Demonstra¸c˜ao: Sejam f =a0(y−x1)· · ·(y−xn) eg =b0(y−y1)· · ·(y−ym)∈R′′[y].

Considere S′

is e Sj′s fun¸c˜oes elementares sim´etricas de x′is e y′js respectivamente ent˜ao,

Ry(f, g)(x, y) =

a0 a0S1 a0S2 · · · a0Sn 0 · · · 0

0 a0 a0S1 · · · a0Sn−1 a0Sn · · · 0

: : : . .. : : : : :

0 · · · · · · · · · a0 · · · a0Sn

b0 b0S1′ b0S2′ · · · b0Sm′ −1 b0Sm′ 0 · · · 0

0 b0 b0S1′ · · · . . . b0Sm′ −1 b0Sm′ · · · 0

: : : : : : : : :

0 · · · · · · · · · b0 · · · b0Sm′

=am

0 bn0

1 S1 S2 · · · Sn 0 · · · 0

0 1 S1 · · · Sn−1 Sn · · · 0

: : : . .. : : : : :

0 · · · · 1 · · · · · · · Sn

1 S′

1 S2′ · · · Sm′ −1 Sm′ 0 · · · 0

0 1 S′

1 · · · . . . Sm′ −1 Sm′ · · · 0

: : : : : : : : :

0 · · · · 1 · · · · · · · S′

(34)

Ry(f, g)(T x, T y) = am0 bn0

1 T S1 T2S2 · · · TnSn 0 · · · 0

0 1 T S1 · · · Tn−1Sn−1 TnSn · · · 0

: : : . .. : : : : :

0 · · · · · · · · · 1 · · · · · · · · · TnS n

1 T S′

1 T2S2′ · · · Tm−1Sm′ −1 TmSm′ 0 · · · 0

0 1 T S′

1 · · · . . . Tm−1Sm′ −1 TmSm′ · · · 0

: : : : : : : : :

0 · · · · · · · · · 1 · · · · · · · · · TmS

m

Se multiplicarmos a linhalda matriz que nos d´aRy(f, g)(T x, T y) porTl−1, para cada

l ∈ {2,· · ·m}S

{m2,· · · , m+n}, ent˜ao o novo determinante ´e dado por TMR

y(f, g),

onde M = (1 +· · ·+ (m1)) + (1 +· · ·+ (n1)).

Por outro lado, se multiplicarmos a coluna l da matriz que nos d´a Ry(f, g)(x, y) por

Tl−1, para cadal ∈ {2,· · · , m+n}, obtemosTNR

y(f, g)(x, y), onde N = 1 +· · ·+ (m+

n1). Da´ı,

TMR

y(f, g)(T x, T y) = TNRy(f, g)(x, y),

como N M =nm > 0, esta igualdade implica que

Ry(f, g)(T x, T y) = TN−MRy(f, g)(x, y).

Portanto, Ry(f, g) ´e homogˆeneo de graumn. ✷

Proposi¸c˜ao 1.41 SejamK um corpo,f =a0yn+a1yn−1+· · ·+an eg =b0ym+b1ym−1+

· · ·+bm elementos de K[y]\K. Considere E uma extens˜ao do corpo K que cont´em as

ra´ızes α1,· · · , αn e β1,· · ·, βm de f e g, respectivamente, ent˜ao,

Ry(f, g) = am0 bn0 n Y i=1 m Y j=1

(αi−βj) = am0 n

Y

i=1

g(αi) = (−1)nmbn0 m

Y

j=1

f(βj).

Demonstra¸c˜ao: Considere f = a0(y−x1)· · ·(y−xn) e g = b0(y −y1)· · ·(y−ym)

elementos de R′′[y]. Se x

(35)

Pela Proposi¸c˜ao 1.36, Ry(f, g) = 0 e, assim, (xi−yj) divide Ry(f, g) para todo ie j.

Al´em disso,xi−yj exr−ys s˜ao coprimos sempre que (xi, yj)6= (xr, ys) e disso segue que

P divide Ry(f, g), onde

P =am0 bn0

n Y i=1 m Y j=1

(xi−yj).

O termo de menor grau emRy(f, g) que cont´em somente as indeterminadas (y1,· · · , ym)

´eam

0 Sm′1.

Al´em do mais,

P = am

0 bn0

n Y i=1 m Y j=1

(xi−yj)

= am

0 bn0

n

Y

i=1

(xi−y1)(xi−y2)· · ·(xi−ym)

= am

0

n

Y

i=1

b0(xi−y1)(xi−y2)· · ·(xi−ym)

= am

0

n

Y

i=1

g(xi).

Por outro lado,

P = am

0 bn0

n Y i=1 m Y j=1

(xi −yj)

= am

0 bn0

m

Y

j=1

(x1−yj)(x2−yj)· · ·(xn−yj)

= am0 bn0

m

Y

j=1

(1)n(yj −x1)(yj−x2)· · ·(yj −xn)

= (1)mnbn0

m

Y

j=1

a0(yj −x1)(yj −x2)· · ·(yj−xn)

= (1)mnbn

0

m

Y

j=1

f(yj).

O termo de menor grau emP =am

0

Qn

i=1g(xi) que cont´em somente as indeterminadas

y1,· · ·, ym tamb´em ´eam0 S1′n.

Contudo,

P =am

0 bn0

n Y i=1 m Y j=1

(xi −yj) =am0

n

Y

i=1

g(xi) = (−1)mnbn0

m

Y

j=1

(36)

O resultado segue se substituirmos xi por αi eyj por βj. ✷

Defini¸c˜ao 1.42 Dada a s´erief =

X

i=0

X

i1+i2=i

ai1,i2x

i1yi2 K[[x, y]], definimos a derivada

da s´erie f com rela¸c˜ao `a vari´avel y por Dy(f) =

X

i=0

X

i1+i2=i

i2ai1,i2x

i1yi2−1

Defini¸c˜ao 1.43 Seja A um dom´ınio de fatora¸c˜ao ´unica, f A[y] e fy a derivada de f

com rela¸c˜ao `a indeterminada y. Definimos o discriminante Dy(f) de f como

Dy(f) =Ry(f, fy).

Observe que se f A[y] ´e um polinˆomio de Weierstrass, ent˜ao Dy(f) = Ry(f, fy)6=

0 se, e somente se, o ´unico fator em comum entre f e fy ´e unidade. Assim, como

f = fn1

1 · · ·fsns e fy = n1· · ·nsf1n1−1· · ·fsns−1 segue que Dy(f) 6= 0 se, e somente se,

n1 =n2 =· · ·=ns = 1.

Defini¸c˜ao 1.44 Seja f A[y]. Dizemos que f ´e reduzido quando Dy(f) 6= 0. Se

f =fn1

1 · · ·fsns definimos a redu¸c˜ao def como red(f) = f1f2· · ·fs.

Proposi¸c˜ao 1.45 Se K ´e um corpo e f = a0yn +· · ·+an ∈ K[y]\K, onde as ra´ızes

α1,· · · , αn de f est˜ao contidas em K, ent˜ao

Dy(f) =a20n−1

Y

i6=j

(αi−αj).

Demonstra¸c˜ao: Pela Proposi¸c˜ao 1.41 temos: Dy(f) = Ry(f, fy) =an0−1

n

Y

i=1

fy(αi).

Al´em disso, fy(αi) =a0

Q

i6=j(αi−αj) e da´ı

Dy(f) = an0−1 n

Y

i=1

a0

Y

i6=j

(αi−αj) =an0−1an0 n

Y

i=1,i6=j

(αi−αj)

= a2n−1 0

n

Y

i=1,i6=j

(αi−αj).

(37)

Cap´ıtulo 2

Curvas Alg´

ebricas Planas

Em geral a curva alg´ebrica plana dada porf ´e definida como sendo o lugar geom´etrico dos pontos que satisfazem f(x, y) = 0. O polinˆomio f n˜ao fica bem determinado pela curva pois, podemos obter a mesma curva por polinˆomios diferentes. Por exemplo,f = 0 e f2 = 0 tem a mesma solu¸c˜ao. Mais ainda, xy = 0 e xy2 = 0 tˆem solu¸c˜oes idˆenticas.

Observe que nestes exemplos, os polinˆomios possuem os mesmos termos irredut´ıveis. Dito isso, podemos afirmar que dois polinˆomios em duas vari´aveis com coeficientes num corpo tˆem as mesmas solu¸c˜oes se, e somente se, possuem os mesmos fatores irredut´ıveis? A resposta ´e “sim”, como vemos no pr´oximo resultado.

Proposi¸c˜ao 2.1 Se f e g s˜ao elementos de K[x, y], ent˜ao f(x,y) e g(x,y) possuem as mesmas solu¸c˜oes se, e somente se, tˆem os mesmos fatores irredut´ıveis.

Demonstra¸c˜ao: Vamos mostrar que todo fator irredut´ıvel de f divide g em K[x, y]. Seja p K[x, y] um fator irredut´ıvel de f e note que, se (x, y) K2 que ´e raiz de p

ent˜ao tamb´em ´e raiz de g. Como p´e irredut´ıvel emK[x][y] e K[x][y]K(x)[y], ent˜aop ´e irredut´ıvel em K(x)[y]. Suponha que mdc(p, g) = 1, ent˜ao existem a, b K(x)[y] tais que,

ap+bg = 1.

Visto que a, bK(x)[y], podemos escreve-los como a= a′

c eb = b′

(38)

a′p+bg =c.

H´a infinitos valores para x tais que c(x) = 0, por outro lado p(x, Y) = 0 para um n´umero finito de valores dex e consequentemente o mesmo acontece para g(x, Y), o que ´e um absurdo. Logo,p divide g em K[x][y] e consequentemente em K[x, y]. ✷ Observe que dadas duas curvas com mesmas solu¸c˜oes ent˜ao, pela proposi¸c˜ao anterior, elas tˆem os mesmos fatores irredut´ıveis e, assim, elas s´o se diferenciam por uma unidade. Estudamos propriedades alg´ebricas de f(x, y) como um elemento de K[[x, y]] visto que o estudo das singularidades de uma curva alg´ebrica plana, ou uma curva anal´ıtica em C2, ´e representada localmente por uma equa¸c˜ao do tipo f(x, y) = 0.

Dadas duas s´eriesf, g ∈ R \ {0}, dizemos quef g se existe uma unidadeu∈ R tal que f =ug.

A rela¸c˜ao ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia e a classe de f ∈ R\{0}, denotada por (f), ´e chamada de Curva Alg´ebrica Plana.

Assim (f) = (g) se, e somente se, existe uma unidade u∈ R tal que f =ug.

Como a curva ´e uma classe de equivalˆencia podemos represent´a-la por qualquer ele-mento da classe. As propriedades locais da curva alg´ebrica (f) e de seus representantes s˜ao as mesmas, assim, de agora em diante quando nos referimos a curva alg´ebrica (f) podemos nos referir como “a curva alg´ebrica f” ou “a curva alg´ebrica determinada por f”.

Defini¸c˜ao 2.2 Uma curva alg´ebrica plana(f)´e regular se mult(f) = 1. Semult(f)>1 a chamamos de singular.

Defini¸c˜ao 2.3 Uma s´erie f ´e redut´ıvel em R se existem fi, fj ∈ R, n˜ao associados e

com fi 6=fj, tais que f =fifj. Caso contr´ario, dizemos que f ´e irredut´ıvel.

Exemplo 2.4 A s´erie f = 2y+P∞

i=0(−i)2xyi+1 ´e irredut´ıvel em C[[x, y]], pois

f =y(2 +P∞

i=0(−i)2xyi).

Exemplo 2.5 O polinˆomio g = xy3 y3 + x2 +x ´e irredut´ıvel em C[[x, y]] mas ´e

redut´ıvel em C[x][y], pois g = (xy3)(x+ 1) e (x+ 1)´e unidade em C[[x, y]] mas n˜ao ´e

(39)

Vamos ver a seguir que atrav´es de um K-automorfismo ´e poss´ıvel efetuar mudan¸cas de coordenadas em K[[x, y]] e algumas propriedades de curvas alg´ebricas planas s˜ao preservadas.

Defini¸c˜ao 2.6 Duas curvas alg´ebricas planas (f) e (g) s˜ao equivalentes, isto ´e, (f) (g), se existe um K-automorfismo φ de K[[x, y]] tal que (φ(f)) = (g), isto ´e, existe uma unidade uK[[x, y]] tal que φ(f) =u.g

Quando uma curva ´e equivalente a um polinˆomio de Weierstrass podemos supor que a curva ´e dada pelo polinˆomio de Weierstrass.

Curvas equivalentes preservam irredutibilidade, multiplicidade dentre outras propri-edades. Nos preocupamos com as propriedades de curvas alg´ebricas planas irredut´ıveis que s˜ao invariantes pela a rela¸c˜ao de equivalˆencia.

Com rela¸c˜ao a curvas equivalentes e regularidade segue a seguinte proposi¸c˜ao:

Proposi¸c˜ao 2.7 Se (f) e (g) s˜ao curvas regulares ent˜ao (f)(g).

Demonstra¸c˜ao: Sejam (f) e (g) duas curvas regulares. Comomult(f) = mult(g) = 1 ent˜ao f =ax+by+...e g =cx+dy....

Assim, existem as seguintes possibilidades: a6= 0 e c6= 0, ou a6= 0 e d6= 0, ouc6= 0 e b6= 0, ou b6= 0 e d6= 0.

Se a6= 0 considere o seguinte K-automorfismo:

φ: K[[x, y]] −→ K[[x, y]] x 7−→ f

y 7−→ y. Assim, φ(x) =f ou seja (x)(f).

Analogamente se b 6= 0 temos (y) (f), se c6= 0 ent˜ao (x) (g) e, se d 6= 0 temos (y)(g). Al´em disso (x)(y).

Logo, (f)(g).

Exemplo 2.8 Observe que verificar se duas curvas s˜ao equivalentes nem sempre ´e uma tarefa simples. Considere as curvas (f) e (g) onde:

(40)

g =8x3+ 16x4+ 24x2y+ 9y2. ´

E dif´ıcil responder de imediato se (f) ´e equivalente a (g) j´a que a ´unica informa¸c˜ao que temos ´e que mult(f) = mult(g).

Mas (f)(g) pois, se considerarmos,

φ: C[[x, y]] −→ C[[x, y]] x 7−→ 2x y 7−→ 4x2+ 3y

teremos φ(f) =u·g, onde u= 1.

Defini¸c˜ao 2.9 Seja (f) uma curva alg´ebrica plana tal que f = fn+fn+1..., chamamos

(fn) de cone tangente da curva (f).

Observe que todo polinˆomio homogˆeneo com duas indeterminadas e coeficientes num corpo algebricamente fechado decomp˜oe-se em fatores lineares, ent˜ao podemos escrever

fn= s

Y

i=1

(aix+biy)ri,

onde Ps

i=1ri =n e aibj−ajbi 6= 0 sempre que i6=j.

O cone tangente de (f) consiste nas formas lineares (aix+biy) com multiplicidaderi,

chamadas de retas tangentes de f.

Observe que se (f) ´e regular, ent˜ao o cone tangente (f1) consiste em uma reta tangente

de multiplicidade 1.

Exemplo 2.10 Seja f(x, y) = 4y2x3.

A forma inicial de f ´e f2 = 4y2 = (0x+ 2y)2. O cone tangente da curva (f)´e (4y2)

com retas tangentes (2y) com multiplicidade 2.

Exemplo 2.11 Considere g(x, y) = P∞

i=0(−1)i(x + y)i+3. A forma inicial de

f ´e f3 = (x +y)3, e o cone tangente ´e ((x+y)3), com retas tangentes (x +y) que

possuem multiplicidade 3.

(41)

2.1

Teorema de Newton-Puiseux

Seja K((x)) o corpo das fra¸c˜oes sobre K[[x]]. Dado h= f

g ∈ K((x))\ {0}, visto que f =xnue g =xmv, com m, nN, u ev unidades em K[[x]], n´os temos que

h= f g =

xnu

xmv =x

n−muv−1 =xrw,

onde rZ e w´e unidade em K[[x]].

Assim, os elementos h deK((x)) s˜ao da forma:

a−mx−m+a−m+1x−m+1+· · ·+a−1x−1+a0+a1x+a2x2+· · · ,

onde mN e ai′s s˜ao elementos de K.

Os elementos de K((x)) s˜ao chamados de s´eries de potˆencias formais de Laurent.

Exemplo 2.12 Considere f =x3+ 2x+ 7C[[x]] e g =x2+ 2xC[[x]]. Temos

h= f g =

x3+ 2x+ 7

x2+ 2x =

1(x3+ 2x+ 7)

x(x+ 2) =x

−1(x2+ 2x+ 7)(x+ 2)−1.

Vimos no exemplo 1.5 que

(x+ 2)−1 =

X

i=0

xi

2i+1,

assim,

h =x−1(x3+ 2x+ 7)(1

2 + x 4 +

x2

8 +· · ·). Portanto,

h= 7 2x

−1+ 11

4 +x+ 15 16x

2+ 15

32x

3+

· · · .

De agora em diante considere char(K) = 0 e K((x)) o fecho alg´ebrico deK((x)). As ra´ızes da equa¸c˜ao yn

− x = 0 est˜ao contidos em K((x)) para todo n Z∗

+,

consequentemente K((x)) deve conter os elementos da forma xn1, que apresentam as seguintes rela¸c˜oes:

(42)

ii) x(rnm)r =xmn

∀m, nZ en, r > 0.

Deste modo obtemos a extens˜ao K((x1n)) de K((x)).

Recordamos da Teoria de Galois, que se F/K ´e uma extens˜ao de corpos, ent˜ao o conjunto G(F/K) = {σ : F F;σ ´eK-automorfismo}, munido com a opera¸c˜ao de composi¸c˜ao, ´e um grupo, denominado grupo de Galois da extens˜aoF/K.

Defini¸c˜ao 2.13 Seja F/K uma extens˜ao de corpos. Se o grupo de Galois G(F/K) ´e finito e K = {a F, σ(a) = a,σ G(F/K)}, ent˜ao F/K ´e chamada extens˜ao Galoisiana.

Denotamos Un o grupo multiplicativo das n-´esimas ra´ızes da unidade em K, isto ´e,

Un={a∈F;an= 1}.

O grupo multiplicativo (Un,·) ´e c´ıclico gerado por <1

1

n >. Um elemento gerador de Un ´e chamado raiz n-´esima primitiva da unidade. Al´em disso, K((x

1

n)) ´e K-isomorfo a K((x)), bastando considerar o seguinte K-automorfismo:

ϕ : K((x)) −→ K((x1n)) x 7−→ x1n.

.

Temos do Corol´ario 1.15 que, para qualquer K-automorfismo σ de K((xn1)) temos, σ(xn1) =x

1

nu(x

1

n), onde u(x

1

n)∈K[[x

1

n]] ´e unidade.

Lema 2.14 A extens˜ao de corpos K((xn1))/K((x))´e finita e galoisiana, com o grupo de Galois isomorfo ao grupo Un.

Demonstra¸c˜ao: Seja G = G(K((xn1))/K((x))) e σ : K((x

1

n)) → K((x

1

n)) um K((x))automorfismo de G. Ent˜ao existe bσ(x

1

n) ∈ K[[x

1

n]] tal que σ(x

1

n) = bσ(x

1

n)x

1

n e, assim,bσ(x

1

n)

n

x=σ(xn1)n=σ(x) = x e desta formabσ(x

1

n)

n

= 1 ebσ ∈Un.

Para mostrar que G´e isomorfo a Un, defina:

f : G −→ Un

σ 7−→

(43)

Dados x1n ∈K((x

1

n)) e σ, ρ∈G, ent˜ao x1nbσρ(x

1

n) = σ◦ρ(x

1

n) =σ(ρ(x

1

n)) =σ(bρ(x

1

n)x

1

n) = σ(bρ(x

1

n))σ(x

1

n) = bρ(x

1

n)bσ(x

1

n)x

1

n =bρbσ(x

1

n)x

1

n

e, portanto, f ´e homomorfismo. Al´em disso, dado P

aix

i

n ∈K((x

1

n)) suponha f(σ) = f(ρ).

σ(Xaix

i n) =

X

σ(ai)σ(x

i n) =

X aiσ(x

i n) =

X aibσ(x

i n)x

i n = Xaibσ(x

i n)x

i n =

X aiρ(x

i n) =ρ(

X aix

i n).

Segue que f ´e injetora e, da maneira que foi definida f, segue que f ´e sobrejetora e, portanto, f ´e um isomorfismo.

Considere K((xn1))G = {a ∈ K((x

1

n));σ(a) = a,∀σ ∈ G} e vamos mostrar que K((x1n))G=K((x)).

Sabemos que K((x))K((xn1))G, resta mostrar que K((x

1

n))G ⊂K((x)). Suponha que para todo aUn, dado

X

i≥i0

bix

i

n ∈K((x

1

n)), paraσ ∈G temos, X

i≥i0

bix

i n =σ(

X

i≥i0

bix

i n) =

X

i≥i0

biσ(x

i n) =

X

i≥i0

biaix

i n.

Assim, bi =biai para todo i≥i0.

Se n∤i, como aUn, ent˜ao bi = 0, pois bi(1−ai) = 0.

Se n|i ent˜ao biaix

i

n ∈K((x)). Logo, X

i≥i0

bix

i

n ∈K((x)) e, portanto, K((x1n))G=K((x)).

Contudo temos que que K((xn1))⊂K((x))⊂K((x)).

Defini¸c˜ao 2.15 Denotamos por K((x))∗ a uni˜ao deK((xn1))para todo n

∈N\ {0}, isto ´e,

K((x))∗ = [

n∈N

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