Curvas planas: fórmula de Noether e resolução de singularidades.

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  UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARING ´ A CENTRO DE CIˆ ENCIAS EXATAS

  DEPARTAMENTO DE MATEM ´ ATICA PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM MATEM ´ ATICA

  (Mestrado)

  

Curvas Planas:

F´ ormula de Noether e Resolu¸ c˜ ao de Singularidades

  Priscila Costa Ferreira de Jesus Bemm Maring´a - PR

  2016 PRISCILA COSTA FERREIRA DE JESUS BEMM

  

Curvas Planas: F´ ormula de Noether

e Resolu¸ c˜ ao de Singularidades

  Disserta¸c˜ao de mestrado apresentada ao Programa de Mestrado em Matem´atica do Departamento de Matem´atica, Centro de Ciˆencias Exatas da Universidade Estadual de Maring´a, como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica. Orientador: Prof. Dr. Rodrigo Martins

  Maring´a - PR 2016

  “Talvez n˜ ao tenha conseguido fazer o melhor, mas lutei para que o melhor fosse feito. N˜ ao sou o que deveria ser, mas Gra¸cas a Deus, n˜ ao sou o que era antes”.

  Marthin Luther King

  Dedico este trabalho a Deus Agradecimentos

  Agrade¸co primeiramente a Deus por ter me dado f´e diante de todas as dificuldades e proporcionado a ben¸c˜ao de conhecer pessoas maravilhosas que tornaram as dificuldades mais amenas.

  Aos meus pais, Edna e Celso, pela paciˆencia, confian¸ca, amor, apoio emocional e financeiro, independentemente de minhas escolhas. Aos meus irm˜aos Fernando, Ireni, Ederson e J´essica pelo companheirismo, exemplo e por fazer minha vida mais prazerosa. Aos meus av´os, que s˜ao respons´aveis pela fam´ılia maravilhosa, sem a qual eu n˜ao estaria aqui. Aos meus amigos Tatiane, Jesus, Patr´ıcia, Mˆonica e Fernando por dividir tantas ang´ ustias, inseguran¸cas e, principalmente, alegrias e momentos que valem a pena nunca serem esquecidos.

  Aos meus sogros, Cacildo e Terezinha, que mesmo distantes me apoiaram e torceram pelo meu sucesso. Ao meu marido Laerte pela amizade, companheirismo, paciˆencia e por ser esta pessoa t˜ao maravilhosa, a qual n˜ao consigo mais viver sem; sempre ao meu lado, acreditando em mim at´e quando eu mesma n˜ao acreditava.

  A todos os professores que contribu´ıram para minha forma¸c˜ao acadˆemica e humana, em especial a professora Dra. Claudete pelo incentivo e apoio. Ao professor Dr. Rodrigo Martins, por ter aceitado a solicita¸c˜ao de orienta¸c˜ao, pela confian¸ca, paciˆencia e por me ajudar a lembrar o quanto ´e prazeroso aprender. A banca examinadora pelo tempo dedicado para a leitura deste trabalho. Resumo

  O objetivo do nosso trabalho foi demonstrar a F´ormula de Noether, que ´e uma f´ormula que nos permite calcular o ´Indice de Interse¸c˜ao entre duas curvas alg´ebricas planas. Para isso trabalhamos com o anel das s´eries de potˆencias formais e, atrav´es do Teorema de Prepara¸c˜ao de Weierstrass, vimos que podemos associar qualquer s´erie a um polinˆomio de Weierstrass. A partir deste resultado, passaremos a ver toda s´erie como um polinˆomios de Weierstrass. Para o uso da F´ormula de Noether foi necess´ario apresentarmos v´arios resultados, entre eles, a t´ecnica de desingulariza¸c˜ao denominada Blowing-up, o Teorema de Newton-Puiseux e o Teorema da Fun¸c˜ao Impl´ıcita de Newton.

  Abstract

  The aim of this work is to demonstrate Noether’s Formula, which allows us to evaluate the intersection index between two algebraic plane curves. For that, we consider the ring of formal power series and, through Weierstrass’ Preparation Theorem, we realized it is possible to associate any series to a Weierstrass polynomial. After that, we consider every series as a Weierstrass’ polynomial. For Noether’s Formula it was necessary to present several results, among them the technique of resolution of singularities known as Blowing-up, Newton-Puiseux’s Theorem and Newton’s Implicit Function Theorem.

  Sum´ ario

  

  1

   4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  4 . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  19 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  21

   29 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  33 . . . . . . . . . . . . . . . . .

  39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  46

   48 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  57

  

  66 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  73

  

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  76

  

  81 Introdu¸ c˜ ao

  O objetivo do nosso trabalho ´e demonstrar a F´ormula de Noether que ´e usada para calcular o ´ındice de interse¸c˜ao entre duas curvas. O ´ındice de interse¸c˜ao entre duas curvas nos d´a uma estimativa do n´ umero de interse¸c˜oes entre estas curvas. Este ´e um conceito muito ´ util pois atrav´es dele podemos determinar se duas s´eries s˜ao relativamente primas, quando duas curvas s˜ao transversais e quando possuem retas tangentes em comum, al´em de outras aplica¸c˜oes que n˜ao ser˜ao o foco deste trabalho. Para o uso da F´ormula de Noether ser´a necess´ario o estudo de uma das t´ecnicas de desingulariza¸c˜ao denominada Blowing-up.

  O Blowing-up ´e uma t´ecnica alg´ebrica que consiste em remover singularidades atrav´es de aplica¸c˜oes alg´ebricas simples. A teoria a partir do Blowing-up nos mune de resultados que s˜ao ´ uteis em v´arias ´areas da matem´atica. Atrav´es do Blowing-up conseguimos decidir se uma s´erie f ´e regular com rela¸c˜ao a alguma de suas vari´aveis e nos d´a evidˆencias sobre a irredutibilidade da s´erie, por exemplo.

  O Teorema de Newton-Puiseux ´e um dos resultados necess´arios para demonstrar a F´ormula de Noether, juntamente com o Teorema da Prepara¸c˜ao de Weierstrass e o Teo- rema da Fun¸c˜ao Impl´ıcita de Newton. Newton encontrou uma maneira de parametrizar uma s´erie de potˆencias dada, parametrizar ´e equivalente a descrever suas solu¸c˜oes, assim podemos transformar uma s´erie de potˆencias em um polinˆomio de Weierstrass e encontrar as ra´ızes deste polinˆomio no fecho do Anel das S´eries de Potˆencias Formais de Laurent, denotamos este fecho por K((x)). O Teorema de Newton-Puiseux nos diz como s˜ao os elementos de K((x)).

  No cap´ıtulo 1, apresentamos o anel das s´eries de potˆencias formais com coeficientes sobre um corpo que ´e um dom´ınio de fatora¸c˜ao ´ unica. Para n´os, fatorar uma s´erie, ou seja, encontrar seus fatores irredut´ıveis ´e crucial. Por isso, apresentamos resultados que nos ajudam a decidir quando uma s´erie ´e irredut´ıvel. Al´em disso, mostramos que dada uma curva definida por uma s´erie f com coeficientes num corpo infinito, podemos encontrar uma curva equivalente g que ´e expressa de maneira mais “simples”. Mais precisamente, g ´e expressa como um polinˆomio cujos coeficientes s˜ao s´eries. O resultado que nos garante isso ´e chamado Teorema da Prepara¸c˜ao de Weierstrass. Outro conceito muito importante deste cap´ıtulo que nos ser´a muito ´ util na sequˆencia do trabalho ´e o resultante entre dois polinˆomios com coeficientes em um dom´ınio de fatora¸c˜ao ´ unica, o qual nos informa quando tais s´eries possuem termos em comum.

  No cap´ıtulo 2, definimos Curva Alg´ebrica Plana e algumas de suas caracter´ısticas, tais como, cone tangente, retas tangentes, curvas regulares e curvas equivalentes. Ser´a abordado tamb´em o Teorema de Newton-Puiseux que, junto com o Teorema de Pre- para¸c˜ao de Weierstrass e o Teorema da Fun¸c˜ao ´ımplicita de Newton, afirma que toda s´erie ´e equivalente a um polinˆomio de Weierstrass. Outro resultado significativo deste cap´ıtulo ´e o Lema Unitangente, que nos d´a como ´e expressa a forma inicial de uma s´erie irredut´ıvel.

  No cap´ıtulo 3, definimos Anel Coordenado, ´Indice de Intersec¸c˜ao entre duas curvas, Valora¸c˜ao associada a uma s´erie e Curvas Transversais. Demonstramos resultados que nos d˜ao maneiras alternativas de calcular o ´Indice de Intersec¸c˜ao entre duas curvas.

  Al´em disso, relacionamos o ´Indice de Intersec¸c˜ao com Valora¸c˜ao e a multiplicidade da Resultante de duas curvas.

  No cap´ıtulo 4, apresentamos as Transforma¸c˜oes Quadr´aticas e o Blowing-up que con- siste em uma t´ecnica de desingulariza¸c˜ao de curvas. Definimos Transforma¸c˜ao Total e a Transforma¸c˜ao Estrita da Transforma¸c˜ao Quadr´atica, al´em de encontrarmos rela¸c˜oes entre as caracter´ısticas das curvas e as caracter´ısticas da transforma¸c˜ao estrita da curva. Demonstramos que, ap´os um n´ umero finito de Transforma¸c˜oes Quadr´aticas, podemos transformar qualquer curva plana irredut´ıvel em uma curva plana regular. Enfim, de- monstramos a F´ormula de Noether a partir dos resultados mostrados ao longo do traba- lho.

  O cap´ıtulo 5 ser´a voltado para a defini¸c˜ao da generaliza¸c˜ao do Blowing-up de uma variedade e exemplos. Al´em disso, enunciamos o Teorema de Hironaka que mostra a existˆencia de sequˆencia de Blowing-ups que resolvem singularidades. Cap´ıtulo 1 Preliminares

  O objetivo deste cap´ıtulo ´e apresentar os pr´e-requisitos para o desenvolvimento do tra- balho, tais como defini¸c˜ao do anel das s´eries de potˆencias formais, multiplicidade de uma s´erie, defini¸c˜ao de s´erie regular, propriedades do Anel das S´eries de Potˆencias Formais, defini¸c˜ao de Pseudo-polinˆomio e de Polinˆomio de Weierstrass, Teorema da Prepara¸c˜ao de Weierstrass e a defini¸c˜ao e propriedades de Resultante entre dois polinˆomios.

  Para tanto, definimos inicialmente o anel das s´eries de potˆencias formais o qual ´e objeto base do nosso trabalho.

1.1 An´ eis das S´ eries de Potˆ encias Formais

  Sejam K um corpo e x , ..., x r , ..., x r ]]

  1

  1

  indeterminadas sobre K. O conjunto R = K[[x X formado por todas as somas formais do tipo f = F i , onde F i ´e polinˆomio homogˆeneo, i

  =0

  com as seguintes opera¸c˜oes: X f + g = (F i + G i ), X i =0 X f g = (F G ), i =0 j j k

  • k=i

  ´e um anel comutativo com unidade. Tal anel ´e denominado Anel das S´ eries de Potˆ encias Formais .

  , ..., x r ]] por

  1 Tamb´em podemos denotar os elementos de R = K[[x X X i i r 1 f = a ...a x ...x . i i r X i =0 i +...+i r =i X 1 1 i i 1 1 r r

  Defini¸ c˜ ao 1.1 Dada f = a i i x r r ]], se existe 1 r

  1

  1 i i · · · a · · · x ∈ C[[x , · · · , x =0 1 +···+i r =i tal que

  ρ ∈ R + X X i i r 1 i i i r |a · · · a |ρ

  =0 1 +···+i =i converge absolutamente, dizemos que f ´e uma s´erie absolutamente convergente.

  Exemplo 1.2 Qualquer polinˆomio ´e absolutamente convergente. ∞ j ∞ i X X +1 X −1 j −1 i Exemplo 1.3 Seja f (x, y) = x y = x y. i j i

  2

  2

  

=1 =i−1 =1

i,

  1

  1 e ent˜ao, tomando ρ = 1, temos Neste caso, para cada i ∈ N , |a | = i X ∞ ∞

  2 X i, = i i

  1 1 = 1.

  1

  |a |ρ i i i

  2

  =1 =1 Deste modo, f (x, y) ´e absolutamente convergente.

  Observe que i = 0 ocorre apenas quando a s´erie possui o termo constante e, por isso, na s´erie acima n˜ao h´a termo constante.

  Alguns elementos no anel das s´eries de potˆencias s˜ao invert´ıveis. Na pr´oxima pro- posi¸c˜ao apresentamos condi¸c˜oes necess´arias e suficientes para que uma s´erie seja in- vert´ıvel. X

  Proposi¸ c˜ ao 1.4

  Um elemento f = P i i homogˆeneo de grau i, ´e invert´ıvel i ∈ R, com P =0 se, e somente se, P ´e invert´ıvel em K. X ∞ ∞ X Demonstra¸ c˜ ao : De fato, suponha que f = P i ´e invert´ıvel e seja g = Q i tal que i i X X =0 =0

  f g = 1, isto ´e, f g = P k Q j = P Q + (P Q

  1 + P

  1 Q i =0 k ) + · · · = 1. Neste caso, o

  • j=i

  sistema P Q = 1 P Q

  

1 + P

  1 Q = 0 ...

  tem solu¸c˜ao dada por

  1  − Q = P

  1 Q = P (P Q )  −

  1

  1

  1 Q = P (P Q + P Q )

  2

  2

  1

  1  − ...

 Q n = P (P n Q + P n− Q Q n− )

  1

  1

  1

  1

  1 + · · · P ...

  Reciprocamente, se P ´e invert´ıvel, ent˜ao o sistema P Q = 1 P Q

  

1 + P

  1 Q = 0 X ∞ ∞ ... X tem solu¸c˜ao. Assim, dada f = P , existe g = Q tal que f g = 1 e, portanto, f ´e i =0 i =0 i i invert´ıvel.

  ✷ Exemplo 1.5 Dada a s´erie f = x + 2, resolvendo o sistema constru´ıdo na demonstra¸c˜ao

  da Proposi¸c˜ao temos que

X

i x 1 f = . i

  • 1
  • i

      2

      

    =0

      Defini¸ c˜ ao 1.6

      Seja f = P n + P n i sendo um polinˆomio

      <
    • ... ∈ R\{0}, com cada P

      

    homogˆeneo de grau i e P n n de forma inicial de f e n de multiplicidade

      6= 0. Chamamos P de f .

      A multiplicidade de f ´e denotada por mult(f ) e, por conven¸c˜ao, assumimos que se f ≡ 0 ent˜ao mult(f) = ∞. P ∞ i

    • +2 3i

      2 Exemplo 1.7 Dada a s´erie f = x y ent˜ao mult(f ) = 2 e a forma inicial ´e x . i =0

      Proposi¸ c˜ ao 1.8

      Se f, g ∈ R, ent˜ao:

      (i) mult(f g) = mult(f ) + mult(g); (ii) mult(f + g) A igualdade ocorre quando ≥ min{mult(f), mult(g)}. mult(f ) 6= mult(g).

      Demonstra¸ c˜ ao : Sejam f = P n + P n +1 m + Q m +1 + · · · e g = Q + · · · elementos de R.

      (i) Ent˜ao, f g = (P n + P n m + Q m n Q m + P n Q m− n Q m−

    • 1 +1 1 +1

      1

    • · · · )(Q + · · · ) = P + · · · + P + · · · assim, mult(f g) = gr(P n Q m ) = nm = mult(f ).mult(g).

      (ii) Temos tamb´em que f + g = P n + P n +1 + ... + Q m + Q m +1 + .... Se n &lt; m, ent˜ao mult(f + g) = n = mult(f ). Se n &gt; m, ent˜ao mult(f + g) = m = mult(g). Se n = m, ent˜ao pode ocorrer P n + Q m

      = 0 e, neste caso, mult(f + g) ≥ n = m = mult(f ) = mult(g) = min{mult(f), mult(g)}. De qualquer maneira, mult(f + g) ≥ ✷ min{mult(f), mult(g)}. Proposi¸ c˜ ao 1.9 O anel R ´e um dom´ınio de integridade. Demonstra¸ c˜ ao :

      De fato, sejam f, g ∈ R\{0} ent˜ao mult(f) &lt; ∞ e mult(g) &lt; ∞ assim, mult(f g) = mult(f ) + mult(g) &lt; ∞. Logo fg 6= 0. ✷ Nota¸ c˜ ao:

      1 r R o ideal gerado por x 1 , ..., x r ; Dado R = K[[x , · · · , x ]], denotamos: M i

      = K[[x r− R

      1

    1 R , · · · , x ]]; a i-´esima potˆencia de M por M R e M R = R.

      2 Observa¸ c˜ ao 1.10 Note que f = P + P R se, e somente se, P

      1 R

    • · · · ∈ M = 0; f ∈ M n

      

    se, e somente se, P = P se, e somente se, P = P =

      1 R

      1 n− = 0. De modo geral, f ∈ M 1 = 0.

      · · · = P Proposi¸ c˜ ao 1.11 R ´e o ´

      O ideal M unico ideal maximal de R e \

    R i i∈ N M = {0}. Demonstra¸ c˜ ao : R R . Suponha que exista um ideal I ∈ R tal que M ⊂ I ⊂ R com

      I 6= M R , isto ´e, p = P + P + ... com P

      1 Ent˜ao existe p ∈ I tal que p / ∈ M 6= 0 e, portanto p ´e R invert´ıvel, assim, I = R e M ´e ideal maximal de R. R ´e o ´

      Para mostrar que M unico ideal maximal de R suponha que exista um outro

    • P

      1

      ideal maximal J de R. Suponha que existe um elemento p = P + · · · ∈ J tal que p / R , ou seja, P ∈ M 6= 0. Desta forma p ´e invert´ıvel e, como J ´e ideal, segue que 1 ∈ J e assim J = R, contradizendo o fato de J ser maximal. P \ i

      Finalmente, dado f = P j , pela Observa¸c˜ao segue que j∈ ∈ M R

      N i∈ N \ i

      f = P + P = P

    1 R

      1

    • · · · ∈ M ⇔ P = · · · = 0, i∈ N e portanto f ≡ 0.

      ✷

    1.2 O Teorema da Prepara¸ c˜ ao de Weierstrass

      Defini¸ c˜ ao 1.12 Um polinˆomio de Weierstrass em x r ´e uma s´erie de potˆencias da se-

      guinte forma: n n−

      1

      f (x

      1 , x 2 r ) = x + a r r 1 x n ,

      , · · · , x + · · · + a

      com a i 1 r− 1 ]], com mult(a i ∈ K[[x , · · · , x ) ≥ i para cada i ∈ {1, · · · , n}. R , que satisfaz certas condi¸c˜oes,

      Nesta se¸c˜ao vamos ver que dada uma s´erie f ∈ M ´e poss´ıvel reescrevˆe-la como um polinˆomio de Weierstrass. Estabelecemos crit´erios de redutibilidade em K[[x, y]], onde K ´e corpo e x e y s˜ao indeterminadas. Por conveniˆencia vamos considerar o grau do polinˆomio nulo como −∞.

      Lema 1.13

      Sejam p, q ∈ K[y] polinˆomios relativamente primos, n˜ao-constantes, com

      gr(p) = r e gr(q) = s. Dado um polinˆomio f ∈ K[y], com gr(f) &lt; r + s, existem

      g, h ∈ K[y] unicamente determinados, tais que f = gp + hq,

      com gr(h) &lt; r e gr(g) &lt; s.

      Demonstra¸ c˜ ao : Como mdc(p, q) = 1, existem a, b K[y] tais que ∈ ap + bq = 1 e assim f ap + f bq = f . Al´em disso, pelo algoritmo da divis˜ao existem

      ρ e h ∈ K[y] tais que fb = ρp + h, onde gr(h) &lt; gr(p) = r. Contudo, f = f ap + f bq = f ap + (ρp + h)q = f ap + ρpq + hq = (f a + ρq)p + hq = gp + hq, onde g = f a + ρq.

      Al´em disso, gr(g) + gr(p) = gr(gp) = gr(f − hq) = max{gr(f), gr(hq)} &lt; r + s, visto que gr(p) = r, ent˜ao gr(g) &lt; s. ′ ′ ′ ′ ′ ′ Para mostrar a unicidade de h, q ∈ K[y] que satisfazem a tese, suponha que existam g , h p + h q com gr(h ) &lt; r, gr(g ) &lt; s e gr(f ) &lt; r + s. Da´ı,

      ∈ K[y] tais que f = g ′ ′ ′ ′ gp + hq = g p + h )q. q e portanto (g − g )p = (h − h

      ) ou J´a que mdc(p, q) = 1, ent˜ao q|(g − g ) e isto implica que s = gr(q) ≤ gr(g − g ′ ′ ′ ) &lt; s, segue que g = g . g − g = 0. Como gr(g − g Analogamente, h = h .

      ✷ Lema 1.14

      (Lema de Hensel) Seja f ∈ K[[x]][y] mˆonico tal que f(0, y) = p(y)q(y),

      

    onde p(y), q(y) ∈ K[y] s˜ao relativamente primos, gr(p(y)) = r e gr(q(y)) = s. Ent˜ao

    existem dois polinˆomios unicamente determinados g, h ∈ K[[x]][y] tais que f = gh com

      gr(g) = r, gr(h) = s, g(0, y) = p(y) e h(0, y) = q(y). Demonstra¸ c˜ ao : y (f ) = gr(f (0, y)) =

      Seja f ∈ K[[x]][y] mˆonico tal que n = gr gr(p(y)) + gr(q(y)) = r + s. Note que f pode ser escrito como f = f (y) + xf (y) +

      1

      2

      x f 2 i (y) = f (0, y).

      (y) + · · · , onde cada f (y) ∈ K[y] e f Determinamos g(x, y) = p(y) + xg i (y)) &lt; r e h(x, y) =

      1

      (y) + · · · ∈ K[[x]][y], com gr(g q(y) + xh

      1 i (y)) &lt; s tais que f (x, y) = g(x, y)h(x, y). Isto

      (y) + · · · ∈ K[[x]][y], com gr(h ocorre se, e somente se,  f (y) = p(y)q(y) f (y) = p(y)h (y) + g (y)q(y)

      1

      

    1

      1 ... ... ...

      f i (y) = p(y)h i (y) + g i (y)q(y) + · · · tem solu¸c˜ao ou, equivalentemente, X p(y)h i (y) + g i (y)q(y) = f i g k (y)h l (y).

      (y) − k k,l6 +l=i =0 Como f ´e mˆonico, temos que gr(f i (y)) &lt; n = r + s. Pelo Lema a equa¸c˜ao pode ser resolvida de maneira ´ unica em g i (y) e h i

      (y) e portanto g, h ∈ K[[x]][y] s˜ao unicamente determinados com gr(g) = r e gr(h) = s.

      ✷ Nota¸ c˜ ao: Denotamos K((x)) o corpo das fra¸c˜oes sobre K[[x]]. f n m

      Observe que dado h = u e g = x ∈ K((x))\{0}, visto que f = x v, com m, n ∈ N, g u e v unidades em K[[x]], temos que n f x u n−m −

      1 r

      h = = = x uv = x w, m g x v onde r ∈ Z e w ´e unidade em K[[x]]. Corol´ ario 1.15 Seja T um K-automorfismo de K((x)), ent˜ao existe uma unidade u ∈ K[[x]] tal que T (x) = xu(x). r Demonstra¸ c˜ ao

      : Seja T (x) = x u(x), onde u(x) ´e unidade em K[[x]] e r ∈ Z. Se r &lt; 0, como T ´e um homomorfismo, ter´ıamos r

      2

      3

      2 3 2r

      2 T (x + x + x ) + T (x u(x) + x u

    • · · · ) = T (x) + T (x ) + · · · = x (x) + · · · , desta forma a s´erie teria infinitos expoentes negativos e isto ´e um absurdo, pois T ´e um endomorfismo. Assim, devemos ter r ≥ 0.

      − − s

      1

      1 Como T ´e um K-automorfismo existe T definido por T (x) = x v(x), com v(x) − s rs s rs

    • 1

      . Da´ı, unidade de K[[x]] e s ∈ Z

      x = T (T (x)) = T (x v(x)) = x T (v(x))u (x) = x w(x), r com w(x) = T (v(x))u (x) unidade de K[[x]]. rs Assim w(x) = 1 e x = x, ou seja, r = s = 1 e, portanto, T (x) = xu(x), onde u(x) ´e unidade em K[[x]].

      ✷ Defini¸ c˜ ao 1.16

      Uma s´erie f ∈ M ´e regular de ordem m com respeito `a indeterminada n

      x r r r ))

      

    se m = max{n | x r divide f (0, · · · 0, x )} . Quando n = mult(f) = mult(f(0, . . . 0, x

    dizemos que f ´e regular em x r .

      4

      5

      4

      2

      4

      5 Exemplo 1.17 Seja f (x, y) = x +y y+7x y . Como f (0, y) = y ent˜ao f ´e regular

      −3x

      4

    em y de ordem 5. Por outro lado, f (x, 0) = x , ent˜ao mult(f (x, 0)) = 4 = mult(f ), isto

    ´e, f ´e regular em x.

      Lema 1.18 r , com ordens n e n

      1

      2 Dadas f, g ∈ R, se f e g s˜ao regulares com rela¸c˜ao a x respectivamente, ent˜ao f g ´e regular em x r de ordem n 1 ou n 2 . Reciprocamente, se f g ´e

    regular em x r de ordem m, ent˜ao f e g s˜ao regulares de ordens n e n , respectivamente,

      1

      2 em x r onde n + n

      1

      2 ≥ m.

      Demonstra¸ c˜ ao : Suponha que f ´e regular em x r de ordem n e g ´e regular em x r de n n n 1 2 1 +n

      1 2

      ordem n , isto ´e, x r ) e x r ). Ent˜ao x r ), visto

      2 r r r n n +n n n +n n n 1 1 2 2 | f(0, . . . , x |g(0, . . . , x | fg(0, . . . , x 1 2 1 2 que x e x , segue que x r ) ou x r ). Logo, r r r r r r

      |x |x | fg(0, . . . , x | fg(0, . . . , x f g ´e regular de ordem n ou n em x r .

      1

      2 m m

      Reciprocamente suponha que x r ), ent˜ao f g(0, . . . , x r ) = x p(0, . . . , x r ), r r n n 1 | fg(0, . . . , x 2 ou seja, f (0, . . . , x r ) = x f r r 1 (0, . . . , x r ) e g(0, . . . , x r ) = x g 1 (0, . . . , x r ), onde n + n

      1

      2 ≥ m.

      Assim, f e g s˜ao regulares com rela¸c˜ao `a x r para algumas ordens.

      ✷ Teorema 1.19 R , regular de ordem m com respeito `a x s

      Seja f ∈ M . Dado g ∈ R

      [x ] unicamente determinados tais que s

      existem q ∈ R e r ∈ R

      g = f q + r,

      com r = 0 ou gr x s (r) &lt; m.

      Demonstra¸ c˜ ao : Seja f = f + f regular em x de ordem n m m +1 R s ∞ m− + · · · + f + · · · ∈ M X i ′ i X

      1 m. Dado g = a x [[x ]] considere r − = a x . i s i =0 i =0 s ∈ R s 1 i

      Vamos construir q , r (r ) &lt; m, mult(q ) &gt; i e i i

      1 s x s i i

      ∈ K[x , · · · , x ] tais que 0 ≤ gr mult(r i ) &gt; i + 1 de modo que g = f q + r. m

      Tome p = f n m . Como x s s ) ent˜ao p = cx + p (x s ) com s

      1 x s (p + · · · + f divide f (0, · · · , x 1 ) &lt; m.

      c ∈ K \ {0} e gr Note que 1 ≤ n = mult(p) ≤ m e considere X i ′

      1 = h m + h m +1 a i x [[x s ]], (1.1) s h = g − r + · · · = ∈ R i =m em que h i s s˜ao polinˆomios homogˆeneos de grau i.

      Como h m e p s˜ao polinˆomios, pelo Algoritmo da Divis˜ao para polinˆomios, existem q e r

      1 s− 1 ][x s ] tais que r = h m p com gr x s (h m p) &lt; m.

      ∈ R[x , · · · , x − q − q Observe que h m s ) = 0 se, e somente se, q = 0. Se q = 0 ent˜ao mult(r ) =

      (0. · · · , x m ≥ n, assim, mult(q ) ≥ 0 e mult(r ) ≥ 1. Como o coeficiente l´ıder de p ´e invert´ıvel podemos considerar p como um polinˆomio em K[x s− ][x s ] e usar o algoritmo da divis˜ao para polinˆomios, isto ´e, dados p e

      1

      1

      , · · · , x h m f m ][x s ], ent˜ao r = h m f m p com gr x (r ) &lt; m e

    • 1 1,··· ,x 1 +1 +1

      1 s

      1

      − q ∈ K[x s−1 − q − q mult(q

      1

      1 ) ≥ 1 e, consequentemente, mult(r ) ≥ 2.

      Com racioc´ınio an´alogo existe um ´ unico q , x s− ][x s ] tal que

      2

      1

      2

      1

      ∈ K[x , · · · , x gr x (h m f m f m p) &lt; m e mult(q s +2

      1 +1 +2

      2

      2

      2 − q − q − q ) ≥ 2, desta maneira, mult(r ) ≥ 3.

      Assim, constru´ımos sequˆencias q , q

      1 , q 2 , r 1 , r

      2

      · · · e r · · · tais que r i = h m f m f m−i i p.

    • i +i 1 +1

      − q − q − · · · − q Contudo temos que r + r = (h p) + (h f p) + (h f f

      1 m m +1 m +1 1 m +2 m +2 1 m +1

      2

    • · · · − q − q − q − q − q − q p) + · · ·

      = (h m + h m (p + f m + f m

    • 1 +>· · · ) − q + · · · ) − · · · = (h m + h m +>1
    • · · · ) − (q · · · )(p + f + · · · ) = h − qf

      

      = qf + r − + r

      1 + · · · .

      Tomando r = r − + r + r + q

      1

      1

      

    1

    + · · · e q = q + · · · demonstramos o teorema.

      Observe que a unicidade de q e r seguem da unicidade de q , r assegurado pelo i i algoritmo da divis˜ao para polinˆomios.

      ✷ Teorema 1.20

      (Teorema da prepara¸ c˜ ao de Weierstrass) Dada uma s´erie regu- s

      lar f ∈ R, de ordem m &gt; 0 com respeito `a x , ent˜ao existe u ∈ R, com u(0) 6= 0 e a m R unicamente determinados por f tais que

      1

      , · · · , a ∈ M m m−

      1

      f u = x + a s s 1 x m

    • · · · + a

      e mais, se f ´e regular em x s i , ent˜ao para cada i ∈ {1, · · · , m} temos mult(a ) ≥ i. m

      Demonstra¸ c˜ ao : De fato, como x s R s

      e, pelo algoritmo da |f(0, · · · , x ) ent˜ao f ∈ M m

      [x s ] tais que x = f q+r, com gr x s (r) &lt; m s divis˜ao (Teorema , existem q ∈ R e r ∈ R ou r = 0. m m m

      Como x s ), ent˜ao x divide x s s ). Visto s s s |f(0, · · · , x − (fq)(0, · · · , x ) = r(0, · · · , x que gr x s s s

      (r) &lt; m, segue que r(0, · · · , 0, x ) = 0 e, implica que, q(0, · · · , 0, x ) ∈ K\{0} e q(0, · · · , 0) ∈ K\{0}, portanto, q ´e invert´ıvel. Assim tomando q = u e considerando m− m− ′

      1

      2

      x + a x m [x s ] teremos

      1 s 2 s

      r = −(a + · · · + a ) ∈ R m m−

      1

      f u = x + a s 1 x m .

    • · · · + a m m−
    • s s ) = x + a (0)x m (0) e como s

        1

        1 m Por outro lado f (0, · · · , x )u(0, · · · , 0, x + · · · + a x s ) ent˜ao a (0) = a m (0) = 0 e assim a i R para cada s

        1

        2

        |f(0, · · · , x (0) = · · · = a ∈ M i ∈ {1, · · · , m}. m m−

        1 Se f ´e regular em x s ent˜ao m = mult(f ) = mult(f u) = mult(x +a x m ) e, s

        1 m−i +· · ·+a para que isso ocorra devemos ter mult(a i x s

        ) ≥ m para cada i = 1, · · · , m e, portanto, mult(a i ) ≥ i.

        ✷ Observe que nos teoremas anteriores ´e relevante f ser regular, mas nem sempre isso ocorre. Vamos ver a seguir que uma s´erie n˜ao regular, com coeficientes num corpo infinito, pode se tornar regular atrav´es de um automorfismo em R.

        Lema 1.21

        Seja K um corpo infinito e F uma fam´ılia finita de polinˆomios homogˆeneos n˜ao nulos em K[y ]. Ent˜ao existe uma transforma¸c˜ao linear T : K[x 1 r

        1 r

        , · · · , y , · · · , x ] −→

        K[y r f

        1

        , · · · , y ] tal que para todo f ∈ F com grau m existe c 6= 0 tal que, m f (T (x r )) = c f x + p(x r ),

        1 r

        , · · · , x onde p(x ][x ] s˜ao termos de grau menor que m em x . r

        1 r− 1 r r

        ) ∈ K[x , · · · , x Demonstra¸ c˜ ao : Considere a transforma¸c˜ao T : K[x r r ] defi-

        1

        1

        , · · · , x ] −→ K[y , · · · , y nida por T (x j ) = x j + α j x r j ) = α r x r , se j = r. Assim, dado X , se j ∈ {1, · · · , r − 1} e T (x l l 1 2 l r f n (x r ) = a l ,··· ,l x .x

        1 r

        , · · · , x l +···+l r =n 1 1

        1 2 · · · x r ∈ F, um polinˆomio homogˆeneo de grau n,

        temos: X l l l 1 2 r f n (T (x

        1 r ))) = a l ,··· ,l r (x 1 1 + α 1 x r ) (x 2 + α 2 x r ) r x r )

        , · · · , x l 1 +···+l r =n l l r 1 · · · (α = (α 1 x r ) r x r ) + (termos de grau menor que n em x r ). l 1 l r l +···+l r · · · (α 1 = α + (termos de grau menor que n em x r ).

        1 · · · α r · x r

      n

      = f n (α r + (termos de grau menor que n em x r )..

        1 r

        , · · · , α ) · x Tomando c f n = f n (α

        1 r ) segue que

        , · · · , α n f n (T (x r )) = c f + (termos de grau menor que n em x r .

        1 n r

        , · · · , x · x r . J´a que

        Observe que cada polinˆomio de F possui um n´umero finito de ra´ızes em K r tal que f (α

        1 r 1 r

        F ´e finito e K ´e infinito, ´e poss´ıvel tomar (α , · · · , α ) ∈ K , · · · , α ) 6= 0 f = f (α r r . r

        1

        1

        para todo f ∈ F. Portanto c , · · · , α ) 6= 0 para algum (α , · · · , α ) ∈ K ✷

        Corol´ ario 1.22

        Seja K um corpo infinito. Dada uma fam´ılia finita F de elementos n˜ao

      nulos em R existe um automorfismo linear T de R tal que todos os elementos de T (F)

      s˜ao regulares na ´ ultima indeterminada.

        Demonstra¸ c˜ ao : Considere f , f n os polinˆomios homogˆeneos que definem as

        1

        2

        , · · · , f multiplicidades dos elementos de F. Pelo lema anterior existe uma transforma¸c˜ao T tal que, para todo i ∈ {1, · · · , r}, m i existe c f i (T (x r )) = c f x + p i (x r ). i

        1 i r

        6= 0 satisfazendo f , · · · , x Assim, para cada f ∈ F temos que f ◦ T ´e regular na ´ultima indeterminada. ✷ Observe que para construir o automorfismo do corol´ario anterior, deve-se considerar j ) = x j + α j x r a transforma¸c˜ao T : R −→ R definida por T (x , se j ∈ {1, · · · , r − 1} e T (x ) = α x , se j = r, de modo que, f (α s˜ao os polinˆomios j r r i

        1 r i

        , · · · , α ) 6= 0, onde f homogˆeneos que definem as multiplicidades dos elementos de F.

        Corol´ ario 1.23

        Se f ∈ R \ {0} ´e uma s´erie de multiplicidade n, ent˜ao existe T : R −→ i

        R um K-automorfismo, uma unidade u ∈ R e a ∈ R , para i ∈ {1, · · · , r}, tais que n n−

        1 mult(a i + a n . r 1 r

        ) &gt; i e f (T ) · u = x · x + · · · + a Demonstra¸ c˜ ao

        : Pelo corol´ario anterior existe um automorfismo T de R tal que n f (T (x )) = c + (termos de grau menor que n em x

        1 r f r

        , · · · , x · x r ), ou seja, f ◦ T ´e regular em x r de ordem n. i R

        Pelo Teorema de prepara¸c˜ao de Weierstrass existe u ∈ R invert´ıvel e a ∈ M ⊂ R n n−

        1 + a . 1 n

        tal que T (f ) · u = x r · x r + · · · + a ✷

        2

        3

        2

        2 Exemplo 1.24 Note que o polinˆomio f = x y + 2xy + xy n˜ao ´e regular com rela¸c˜ao a x ou y. Se consideramos o automorfismo

        φ : C[[x, y]] −→ C[[x, y]] x 7−→ x + y y 7−→ y

        5

        3

        2

        4

        

      2

        3 teremos φ(f ) = y + 3y + 3xy + 2xy + x y que ´e regular em y. O estudo de um polinˆomio ´e mais simples do que o estudo de uma s´erie de potˆencias. Agora, dado f ∈ R\{0} n˜ao invert´ıvel em R, podemos fazer uma mudan¸ca de coordena- das para que possamos preparar f em um polinˆomio de Weierstrass.

      1.3 Fatora¸ c˜ ao de S´ eries de Potˆ encias

        Defini¸ c˜ ao 1.25

        Um Pseudo-polinˆomio em x r m m− ´e uma s´erie de potˆencias em R da forma 1 ′

        p(x r ) = x + a x m [x r ]

        1

        1

        , · · · , x r

        1 + · · · + a ∈ R tal que n &gt; 1 e mult(a i ) &gt; 1.

        Observe que todo polinˆomio de Weierstrass ´e Pseudo-polinˆomio. Defini¸ c˜ ao 1.26

        Seja A um dom´ınio. Dizemos que um elemento a ∈ A\{0}, n˜ao in- vert´ıvel, ´e irredut´ıvel se existem b, c ∈ A tal que a = b · c ent˜ao, b ou c ´e unidade.

        Lema 1.27 Se f , f [x ] , ent˜ao f f ´e Pseudo-

        1 2 s r

        1 2 s

        · · · , f s˜ao polinˆomios mˆonicos em R · · · f

        

      polinˆomio (respectivamente polinˆomio de Weierstrass) se, e somente se, para cada i =

      i ´e Pseudo-polinˆomio (respectivamente polinˆomio de Weierstrass).

        1, · · · , s, f m m− n n−

        

      1

        1 Demonstra¸ c˜ ao : Sejam f = x + a m e f = x + b n ′ m m

        1 r · x r + · · · + a r · x r + · · · + b

        1

        2

        1 X

      • +n +n−1

        [x r ], ent˜ao f f = x + c m , onde c i = a j k

        1 2 r 1 r +n

        elementos de R · x + · · · + c · b j

      • k=i com a = b = 1.

        Se f e f i ) &gt; 1

        1

        2

        s˜ao Pseudo-polinˆomios, isto ´e, para cada i = 1, · · · , s temos mult(a e mult(b ) &gt; 1 ent˜ao, i mult(c i ) = mult(a i + a i− b b i− + b i )

        1

        1

        1

        1

      • · · · + a &gt; i ), mult(a i− b i

        1

        1 min{mult(a ), · · · , mult(b )} &gt; 1.

        Logo, f f ´e Pseudo-polinˆomio.

        1

      2 Da mesma forma, se f e f s˜ao polinˆomios de Weierstrass ent˜ao f f tamb´em ´e.

        1

        2

        1

        2 Analogamente, suponha que f f ´e Pseudo-polinˆomio. Ent˜ao,

        1

        2

      • · · · + a m ) implica que mult(a i x m−i r

        2 , respectivamente, com rela¸c˜ao `a x r .

        2

        u

        2

        f

        1 u 1 = h 1 e

        ∈ R invert´ıveis tais que f

        2

        1 e u

        Pelo Teorema de Weierstrass, existem u

        e m

        2

        

      1

        s˜ao regulares de ordens m

        2

        e f

        1

        e, pelo resultado anterior, f

        Como f ´e Pseudo-polinˆomio, ent˜ao f ´e regular de ordem m em x r

        2 ∈ R\{0} n˜ao invert´ıveis.

        1 f 2 com f 1 , f

        ∈ R [x r ] tal que mult(a i ) &gt; 1. Suponha que f ´e redut´ıvel em R, isto ´e, f = f

        = h

        ∈ R [x r ]. Assim, f = f

        x m−

        2

        h

        1

        ) = h

        2

        u

        1

        ⇔ f(u

        2

        u

        f

        1

        

      1

        u

        1

        = f

        2

        u

        1

        ⇔ fu

        2

        f

        1 r

        1

        2 .

        f

        s˜ao Pseudo-polinˆomios o que implica que a i (0) = b j (0) = 0 para cada i = 1, · · · , m e j = 1, · · · , n. Da´ı, mult(f

        2

        1 f 2 ´e polinˆomio de Weierstrass, ent˜ao f 1 f 2 ´e Pseudo-polinˆomio e, assim, f 1 e f

        s˜ao polinˆomio de Weierstrass. Se f

        2

        e f

        1

        ´e polinˆomios de Weierstrass, ent˜ao f

        2

        1

        2

        Resta mostrar que se f

        1 e f 2 s˜ao Pseudo-polinˆomios.

        ) &gt; 1 para todo i = 1, · · · , m e j = 1, · · · , n. Logo, f

        ) ≤ n, segue que a i (0) = 0 e b j (0) = 0 para todo i = 1, · · · , m e j = 1, · · · , n. Portanto, mult(a i ) &gt; 1 e mult(b j

        2

        ) ≤ m e mult(f

        1

        Como mult(f

        1 ) + mult(f 2 ) = mult(f 1 f 2 ) = m + n.

        mult(f

        1 ) + mult(f 2 ) = mult(f 1 f 2 ) = mult(f 1 f

        (0, · · · , x r )) = m + n. Visto que mult(f

        Demonstra¸ c˜ ao : Seja f = x m r + a

        

      1

      r

        somente se, f ´e redut´ıvel em R [x r ].

        [x r ] um Pseudo-polinˆomio. Ent˜ao f ´e redut´ıvel em R se, e

        Seja f ∈ R

        ✷ Lema 1.28

        s˜ao polinˆomios de Weierstrass.

        2

        e f

        1

        ) &gt; m e mult(a i ) &gt; i. Com racioc´ınio an´alogo segue que mult(b i ) &gt; i. Logo f

        x m−

        1

        1

        ) = mult(x m r + a

        1

        Da´ı, m = mult(f

        2 ) = n.

        ) = m e mult(f

        1

        ) 6 n segue que mult(f

        2

        ) 6 m e mult(f

      • · · · + a m
      Como f e f s˜ao Pseudo-polinˆomios em x r , ent˜ao h e h s˜ao Pseudo polinˆomios.

        1 − − − −

        2

        1

        2

        1

        1

        1

        

      1

      Da´ı, f = h 1 (h 2 u u ), onde h 1 e h 2 u u n˜ao s˜ao invert´ıveis. Logo, f ´e redut´ıvel em

        2

        1

        2

        1 [x r ].

        R ′ ′ ′ ′ [x r [x r .

        Como R ] ⊂ R , ent˜ao a redutibilidade em R ] implica na redutibilidade em R ′ ′ [x r . Logo, f redut´ıvel em R ] implica que f ´e redut´ıvel em R

        ✷ Teorema 1.29 R ´e um dom´ınio de fatora¸c˜ao ´unica. m m

      • 1

        Demonstra¸ c˜ ao : , x ]] e f = a x + a x

        1 2 r m m +1

        Sejam R = K[[x , · · · , x r r + · · · ∈ R, n˜ao invert´ıvel, com mult(f ) = m ∈ N. m Se r = 1 podemos reescrever f = x m + a m x r r +1 m · u onde u = a + · · · ´e invert´ıvel. Portanto, f = x r · u ´e uma decomposi¸c˜ao para f.

        = K[[x , x r− ]] ´e dom´ınio de fatora¸c˜ao ´ unica e vamos mostrar

        1

        2

      1 Suponha que R , · · · , x que K[[x , x r ]] tamb´em ´e.

        1

        2

        , · · · , x com f irredut´ıvel tal que f divide gh. Sejam f, g, h ∈ R

        . Analogamente se h ´e Se g ´e invert´ıvel ent˜ao f |h, isto ´e, h = fv para algum v ∈ R ′ ′ ′ invert´ıvel ent˜ao g = f v para algum v .

        ∈ R Podemos supor que h e g s˜ao regulares com rela¸c˜ao `a x , caso contr´ario faremos uma r mudan¸ca de coordenada.

        Se h e g n˜ao s˜ao invert´ıveis, pelo Teorema da Prepara¸c˜ao de Weierstrass temos que m m−

        1 n n−

        1

        hu = x + a x = x + b x

        1 r−

        1

        2

        

      1

      1 r− 1 + · · · e gu r−

      1 r−

      1 + · · · .

        Como f ´e irredut´ıvel em R temos por um resultado anterior que f ´e irredut´ıvel em R [x r

        [x r ] ´e dom´ınio de fatora¸c˜ao ´ unica e desta ]. Al´em disso, pelo Lema de Gauss, R forma todo elemento irredut´ıvel ´e primo; Contudo f |gh implica que f|g ou f|h, isto ´e, g = f v ou h = f v e, portanto, R ´e dom´ınio de fatora¸c˜ao ´unica. ✷

        Corol´ ario 1.30 [x r ] um Pseudo-polinˆomio (resp. polinˆomio de Weiers-

        Seja f ∈ R trass) com respeito `a x r . Se a decomposi¸c˜ao em fatores de irredut´ıveis em R ´e dada por

        f = f n , ent˜ao podemos escolher uma decomposi¸c˜ao onde f i ´e um Pseudo-polinˆomio

        1

        · · · f (resp. polinˆomio de Weierstrass) para cada i = 1, . . . , n.

        ′ ′

        Demonstra¸ c˜ ao : [x r [x r ] ´e dom´ınio de

        Seja f ∈ R ] um Pseudo-polinˆomio. Como R fatora¸c˜ao ´ unica, podemos decompor f = f

        1 n [x r ].

        · · · f como produto de irredut´ıveis em R Pelo Lema , segue que f i ´e irredut´ıvel em R para todo i ∈ {1, · · · , n}.

        Al´em disso, como f ´e Pseudo-polinˆomio segue do Lema que f i ´e Pseudo-polinˆomio ✷ para cada i ∈ {1, · · · , n}.

      1.4 Teorema da Base de Hilbert-R¨ uckert

        Defini¸ c˜ ao 1.31 Um anel A ´e Noetheriano se todo ideal de A ´e finitamente gerado. Teorema 1.32 (Teorema da Base de Hilbert) Se A ´e Noetheriano, ent˜ao A[x] ´e Noethe- riano.

        Demonstra¸ c˜ ao : Seja I um ideal de A[x]. Se I = 0 ou I = A acabou. Caso contr´ario, considere J o conjunto formado pelos coeficientes l´ıder dos elementos de I. ´ E claro que J ´e um ideal de A e, como A ´e Noetheriano ent˜ao J ´e finitamente gerado. Considere J =&lt; a r &gt;.

        1

        , · · · , a Vamos denotar por n i e a i o grau do coeficiente l´ıder de f i , respectivamente.

        1 r m

        Seja n = max{n , · · · , n } e considere J ⊆ A, m = 1, · · · , n, o ideal formado por todos os coeficientes l´ıderes dos polinˆomios de I de grau menor ou igual a m. Como J m ´e ideal de A, ent˜ao J m =&lt; a m , a m mr m &gt;, pois A ´e Noetheriano.

        

      1

        2

        , · · · , a Considere &lt; f

        1 r , f 01 0r n 1 nr n &gt;= I e vamos mostrar que , · · · , f , · · · , f , · · · , f , · · · , f I = I .

        Temos que I ⊆ I. Suponha que existe, um polinˆomio de menor grau poss´ıvel, g ∈ d , da seguinte forma, g = ax

        I\I + · · · ∈ I. Como c ´e o coeficiente l´ıder de g, ent˜ao r &gt;. Da´ı c = b c r c r , com b

        1

        1

        1 c ∈ J =&lt; c · · · , c + · · · + b i s ∈ A.

        Se d &gt; n, ent˜ao d−n d−n d−n n d−n n 1 r 1 1 r r b x f x f = b x (a x x (a x

        1 1 r r

        1 1 r r

      • · · · b + · · · ) + · · · + b + · · · ) d d

        = b a x r a r x

        1

        1

      • · · · + b d

        = (b

        1 a

      1 r a r )x

      d + · · · + b + · · ·

        = ax

      • · · ·
      Assim, d−n d−n r 1

        1 x f 1 r x f r

        h = g − (b + · · · b ) ∈ I, com grau menor que d. Se h / , ent˜ao temos um absurdo, pois ter´ıamos um polinˆomio de grau menor que

        ∈ I o grau de g. Se h ∈ I, ent˜ao g ∈ I, e isto ´e uma contradi¸c˜ao. d , isto ´e, c = b a d r a dr e temos que

        1 d d

        Por outro lado, se d &lt; n ent˜ao a ∈ J d−b d−b d ′ d 1 drd 1 + · · · + b b x f d r x f dr = (b c d r c dr )x .

        1 1 d d

        1 1 d

      • · · · + b + · · · + a + · · · ∈ I Considere d−b d−b d
      • 1 drd x f d r x f dr

          1 1 d d h = g − b + · · · + b ∈ I ent˜ao temos uma contradi¸c˜ao, pois

          Se h ∈ I d−b d−b d 1 drd g = h + b x f d r x f dr

          1 1 d d + · · · + b ∈ I.

          Se h / temos a contradi¸c˜ao da minimalidade do grau d de g.

          ∈ I Logo, I = I . Portanto A[x] ´e noetheriano.

          ✷ Teorema 1.33

          (Teorema da Base de R¨ uckert) O anel R ´e Noetheriano. Demonstra¸ c˜ ao s

          1

          : Seja R = K[[x , · · · , x ]]. Mostraremos por indu¸c˜ao sobre s que R ´e Noetheriano. Como K[[x

          1

          ]] ´e um dom´ınio de ideais principais segue que R ´e Noetheriano quando s = 1. = K[[x s−

          1

        1 Vamos supor que R , · · · , x ]] ´e Noetheriano e mostrar que R ´e Noetheri- ano.

          Seja I um ideal n˜ao nulo de R e tome f ∈ I\{0}. Podemos supor que f ´e regular com respeito `a x r , caso contr´ario podemos fazer uma mudan¸ca de coordenadas visto que a propriedade de ser Noetheriano ´e invariante por mudan¸ca de coordenadas.

        • · · · + a m g m , com a i
        • · · · + a m e g = b y n
        • b

        • · · · + b n
        • n .

          1

          a

          2

          · · · a m · · · · · · a a

          1

          · · · a m−

          1

          a m · · · · · · ... ... ... ... ... ... ... ... ...

          · · · · · · · · · a · · · · · · · · · a m b b

          1

          b

          2

          · · · b n−

          1

          b n · · · b b

          1

          · · · . . . b n−

          1

          b n · · · ... ... ... ... ... ... ... ... ...

          · · · · · · · · · b · · · · · · · · · b n m

          Observe que o produto dos elementos da diagonal principal de M f,g ´e a n b m n , al´em disso, se considerarmos os coeficientes a i s e b j s como vari´aveis, o resultante R y (f, g) ´e um polinˆomio bi-homogˆeneo de grau n com rela¸c˜ao aos a i s, e de grau m com rela¸c˜ao aos b j s.

          Lema 1.35

          Os polinˆomios f, g ∈ A[y] possuem fator comum n˜ao constante se, e somente se, existem p, q ∈ A[y]\{0}, com gr(p) &lt; gr(f) e gr(q) &lt; gr(g), tais que qf = pg.

          R y (f, g) = detM f,g = det a a

          ∈ A[y]. Ent˜ao o resultante de f e g ´e um elemento

          de A definido por:

          · · · + a m g m ∈&lt; f, g

          Como R ´e Noetheriano por hip´otese, ent˜ao R [x s ] ´e Noetheriano e, assim,

          I T R [x s ] =&lt; g

          1

          , · · · , g m &gt;, onde g i ∈ R para i = 1, · · · , m. Dado h ∈ I, pelo Teo- rema da Divis˜ao existem q ∈ R e r ∈ R [x s

          ] tais que h = f q + r. Da´ı, r = h − fq ∈ I e, consequentemente, r ∈ I T R [x s ]. Assim, r = a

          1 g

          1

          ∈ R [x r

          ], para i = 1, · · · , m e h = fq + a

          1 g 1 +

          1

          1

          , · · · , g m &gt;. Logo I =&lt; f, g

          1

          , · · · , g m &gt; e, portanto, R ´e Noetheriano.

          ✷

          1.5 Elimina¸ c˜ ao

          Defini¸ c˜ ao 1.34 Seja A um dom´ınio de fatora¸c˜ao ´ unica e considere f = a y m +a

          1

          y m−

          1

          1

          y n−

          Demonstra¸ c˜ ao : Suponha que existe k ∈ A[y]\{0} tal que f = kp e g = kq para algum p, q ∈ A[y]. Ent˜ao qf = qkp = gp.

          Reciprocamente, se qf = pg com gr(p) &lt; gr(f ) e gr(q) &lt; gr(g) e f e g n˜ao possuem fatores em comum, ent˜ao g|q. Mas isto n˜ao pode ocorrer pois gr(q) &lt; gr(g). Logo, f e g possuem termos n˜ao constantes em comum. n n−

          ✷

          1 m m−

          1 Proposi¸ c˜ ao 1.36 Sejam f = a y + a 1 y n e g = b y + b 1 y m y (f, g) = 0 se, e somente se, a = b = 0 ou se f e g + · · · + a + · · · + b elementos de A[y]\A. Ent˜ao R possuem fatores comuns n˜ao constantes em A[y].

          Demonstra¸ c˜ ao : Se a = b = 0 ent˜ao a primeira coluna da matriz M f,g ´e zero e, portanto, R y (f, g) = 0.

          Resta mostrar que se a y (f, g) = 0 se, e somente se, f e g 6= 0 ou b 6= 0 ent˜ao R possuem fatores comuns n˜ao constantes.

          Pelo lema anterior, f e g possuem fatores comuns n˜ao constantes se, e somente se, existem p e q em A[y], com gr(q) &lt; gr(g) e gr(p) &lt; gr(f ), tais que f q = gp, ou equivalentemente: m− n−

          1

          1

          0 = f (q y m− y n− ))

          1

          1 m− n− + · · · + q ) + g((−p ) + · · · + (−p

          1

          1

          = f q y m−

          1 y n− 1 . (1.2) m− m− n− + · · · + fq + −gp − · · · − gp

          1

          2

          1

          , f y Segue que, B = {fy , · · · , f, gy , · · · , g} ´e linearmente dependente sobre o corpo das fra¸c˜oes F de A. n +m Reescrevendo os polinˆomios de B na base canˆonica de F , ent˜ao o determinante da matriz obtida ´e exatamente R (f, g). y Portanto, R y (f, g) = 0 se, e somente se, f e g possuem termos comuns n˜ao constantes.

          ✷ Corol´ ario 1.37 Sejam f, g ∈ R[y] Pseudo-polinˆomios com respeito `a indeterminada y.

          

        As s´eries f e g admitem um fator comum n˜ao invert´ıvel em R[[y]], se, e somente se,

        R y (f, g) = 0.

          Demonstra¸ c˜ ao : Sejam f, g ∈ R[y] Pseudo-polinˆomios com respeito a indeterminada y.

          Se f e g admitem um fator comum n˜ao invert´ıvel em R[[y]], ent˜ao possuem fator y (f, g) = 0. comum em R[y]. Pela proposi¸c˜ao anterior segue que R

          Reciprocamente, se R y (f, g) = 0, como a 6= 0 e b 6= 0, ent˜ao pela proposi¸c˜ao anterior f = f h e g = g

          1

          1

          h, onde h ∈ R[y] n˜ao ´e invert´ıvel. Al´em disso, pelo Lema e pelo fato de f e g serem Pseudo-polinˆomios, ent˜ao h ´e Pseudo-polinˆomio. Visto que R[y] ´e dom´ınio de fatora¸c˜ao ´ unica podemos supor que h ´e irredut´ıvel em R[y] e, pelo Lema

          ✷ h ´e irredut´ıvel em R[[y]] e portanto h ´e n˜ao invert´ıvel em R[[y]]. Corol´ ario 1.38

          Seja A = C{x}, onde C ´e o corpo dos n´umeros complexos, e n m

          x = (x n− ), f = a (x)y n (x) e g = b (x)y m (x) elementos de

          1

          1

          , · · · , x + · · · + a + · · · + b n−

          1 , onde a i e b j convergem absolutamente

          C{x}[y] e seja U uma vizinhan¸ca de O em C

          

        em U . Ent˜ao R(α) = 0 se, e somente se, ou a (α) = b (α) = 0, ou f (α, y) e g(α, y)

        admitem ra´ızes comum em C, onde R(x) = R y

          (f, g) e α ∈ U. Demonstra¸ c˜ ao

          : Suponha que R(α) = R y (f (α, y), g(α, y) = 0. Pela Proposi¸c˜ao a (α) = b (α) = 0 ou f (α, y) e g(α, y) possuem fatores comuns n˜ao constantes. Se a (α) = b (α) = 0 o corol´ario ´e demonstrado. Sen˜ao, existem f (α, y), g

          (α, y)k(α, y) e

          1

          1

          1

          (α, y) e h(α, y) ∈ C[y] tais que f(α, y) = f g(α, y) = g (α, y)k(α, y). Como C ´e algebricamente fechado e f (α, y) e g(α, y) possuem

          1

          fatores comuns n˜ao constantes, existe y tal que f (α, y ) = g(α, y ) = 0 e, portanto, admitem ra´ızes comuns em C.

          Reciprocamente, se a (α) = b (α) = 0, ent˜ao pela Proposi¸c˜ao R(α) = 0. Por outro lado, se f (α, y) e g(α, y) admitem ra´ızes em comum em C, ent˜ao possuem fatores em comum em C[y], como C ´e um dom´ınio de fatora¸c˜ao ´ unica ent˜ao, pela Pro- posi¸c˜ao R(α) = 0.

          ✷ Proposi¸ c˜ ao 1.39

          Se A ´e um dom´ınio de fatora¸c˜ao ´ unica e f, g ∈ A[y]\A, ent˜ao existem

          p, q ∈ A[y], com gr(p) &lt; gr(f) e gr(q) &lt; gr(g), tais que R y (f, g) = qf + pg.

        • · · · + a n e g = b y m
        • b
        • · · · + b m elementos de A[y]\A.

          2

          · · · · · · y m−

          1 a m

          · · · a m−

          1

          f a a

          1

          · · · a m · · · · · · y m−

          a

          f : : : . ..

          1

           a a

          obtemos a matriz: M =

          . (1.3) Substituindo a ´ ultima coluna da matriz M f,g pela coluna dos termos independentes

          g : g

          2

          g y n−

          1

          2

          : : : : : · · · · · · · · · a

          2

          1

          ⇒ R y (f, g) = detM. Considere A i o cofator de y m−i f e B j o cofator de y n−j

          = detM R y (f, g)

          Assim, pelo M´etodo de Crammer temos, 1 = detM detM f,g

          · · · · · · · · · b · · · · · · · · · g .

          g : : : : : : : : :

          2

          b n · · · y n−

          · · · . . . b n−

          · · · · · · · · · f b b

          1

          g b b

          1

          · · · y n−

          1 b n

          · · · b n−

          2

          1 b

          f : f y n−

          f y m−

          : : : : : · · · · · · · · · a

          1 a

          : : : . ..

          a m · · · · · ·

          1

          · · · a m−

          1

          · · · a m · · · · · · a a

          2

          Se f e g n˜ao possuem fatores n˜ao constantes em comum segue que R y (f, g) 6= 0 e, podemos escrever,  a a

          · · · · · · · · · a m b b

          Se f e g possuem fatores n˜ao constantes em comum em A[y] ent˜ao, pelo Lema existem p e q ∈ A[y] que satisfazem qf + (−p)g = 0, com gr(q) &lt; gr(g) e gr(p) &lt; gr(f). Al´em disso, pela Proposi¸c˜ao R y (f, g) = 0 e portanto R y (f, g) = qf + (−p)g.

          1

          y m−

          1

          

        1

          y n−

          1

          Demonstra¸ c˜ ao : Sejam f = a y n + a

        • m−2

          1

          1

          · · · · · · · · · b n y n +m−1 y n

           y m−

          1 =

          :

          2

          y n−

          1

          : y n y n−

          : : : : : : : : : · · · · · · · · · b

          b

          b n · · ·

          1

          · · · . . . b n−

          1

          b n · · · b b

          1

          · · · b n−

          2

          g. Expandindo o determinante de M usando o Teorema de Laplace obtemos:

        • A
        • B
        • · · · + A m )f + (B
        • · · · + B n )g
        • A
        • B
        • · · · + A m e p = B
        • · · · + B n temos

          a S n · · · · · ·

          1 · · ·

          b S m · · · b b S

          1

          S m−

          2 · · · b

          b S

          1

          · · · · · · · · · a S n b b S

          : : : : : · · · · · · · · · a

          : : : . ..

          1

          1

          · · · a S n−

          1

          · · · a S n · · · · · · a a S

          2

          a S

          1

          R y (f, g)(x, y) = a a S

          ) · · · (y − y m ) ∈ R ′′ [y]. Considere S i s e S j s fun¸c˜oes elementares sim´etricas de x i s e y j s respectivamente ent˜ao,

          1

          ) · · · (y − x n ) e g = b (y − y

          1

          . . . b S m−

          b S m · · · : : : : : : : : :

          Demonstra¸ c˜ ao : Sejam f = a

          1 · · · · · · · · · S n

          1 · · · · · · · · · S m .

          : : : : : : : : : 0 · · · · · · · · ·

          1 S m · · ·

          . . . S m−

          1 · · ·

          1 S

          · · ·

          1 S m

          1 S 2 · · · S

        m−

          1 S

          : : : : : 0 · · · · · · · · ·

          · · · · · · · · · b · · · · · · · · · b

          · · · · · · : : : . ..

          1 S n

          · · · S n−

          1

          1 S

          · · · · · ·

          · · · S n

          2

          1 S

          1 S

          S m = a m b n

          (y − x

          · · · , y m ], onde n = gr y (f ) e m = gr y (g).

          detM = A

          2

          1

          2

          y m−

          2

          1

          y m−

          1

          g + · · · + B n g = (A

          2

          y n−

          g + B

          1

          1

          y n−

          1

          f + · · · + A m f + B

          2

          y m−

          2

          f + A

          1

          y m−

          1

          y n−

          2

          1

          (y − x

          , · · · , x n , y

          1

          · · · , y m ][y], ent˜ao R y (f, g) ´e um polinˆomio de R ′′ . Lema 1.40 O polinˆomio R y (f, g) ´e homogˆeneo de grau nm em R ′′ = A[x

          1

          , · · · , x n , y

          1

          ) · · · (y − y m ) s˜ao elementos de R ′′ = A[x

          1

          ) · · · (y − x n ) e g = b (y − y

          1

          ✷ Observe que se f = a

          y n−

          R y (f, g) = detM = qf + pg.

          2

          2 y n−

          1

          1 y n−

          2

          2 y m−

          1

          1 y m−

          Tomando q = A

          2

          Assim, n

          2

          1 T S T S T S n

          1

          2

          · · · · · · · · · n−

          1 n

          1 T S

        1 T S n−

          1 T S n

          · · · · · · · · · . .. : : : : : : : : n

          · · · · · · · · · · · · · · · · · · 1 T S n m n R (f, g)(T x, T y) = a b y

          

        2 ′ m−

        1 ′ m ′

          1 T S T S S T S m− m

          1 ′ m− ′ m ′ 2 · · · T 1 · · ·

          1

          1 T S . . . T S T S

          1 · · · m− 1 m · · ·

          : : : : : : : : : m ′

          1 S m · · · · · · · · · · · · · · · · · · T l−

          1 Se multiplicarmos a linha l da matriz que nos d´a R y (f, g)(T x, T y) por T , para cada M

          R y (f, g), S{m − 2, · · · , m + n}, ent˜ao o novo determinante ´e dado por T l ∈ {2, · · · m} onde M = (1 + · · · + (m − 1)) + (1 + · · · + (n − 1)). l− Por outro lado, se multiplicarmos a coluna l da matriz que nos d´a R y (f, g)(x, y) por

        1 N

          T R y

          , para cada l ∈ {2, · · · , m + n}, obtemos T (f, g)(x, y), onde N = 1 + · · · + (m + n − 1). Da´ı, M N

          T R y (f, g)(T x, T y) = T R y (f, g)(x, y), como N − M = nm &gt; 0, esta igualdade implica que N −M R (f, g)(T x, T y) = T R (f, g)(x, y). y y Portanto, R y (f, g) ´e homogˆeneo de grau mn. n n−

          1 m m−

          1 Proposi¸

          c˜ ao 1.41

          Sejam K um corpo, f = a y +a

          1 y m

        • 1 y n e g = b y +b
        • · · ·+a · · · + b elementos de K[y]\K. Considere E uma extens˜ao do corpo K que cont´em as

          ra´ızes α n e β m de f e g, respectivamente, ent˜ao,

          1

          1

          , · · · , α , · · · , β m n m nm n Y Y Y Y n m n m R y (f, g) = a b (α i j ) = a g(α i b f (β j ). i j i j − β ) = (−1)

          =1 =1 =1 =1

          Demonstra¸ c˜ ao : Considere f = a n ) e g = b m )

          1

          1 ′′ (y − x ) · · · (y − x (y − y ) · · · (y − y [y]. Se x i = y j , ent˜ao f e g possuem raiz em comum.

          elementos de R

          Pela Proposi¸c˜ao R y (f, g) = 0 e, assim, (x i − y j ) divide R y (f, g) para todo i e j.

          1

          

        2

          − y j ) · · · (x n − y j ) = a m b n m Y j

          =1

          (−1) n (y j

          − x

          1

          )(y j − x

          2

          ) · · · (y j − x n ) = (−1) mn b n m Y j

          =1

          a (y j − x

          )(y j − x

          1

          2

          ) · · · (y j − x n ) = (−1) mn b n m Y j =1 f (y j ). O termo de menor grau em P = a m Q n i

          =1

          g(x i ) que cont´em somente as indeterminadas y

          1

          , · · · , y m tamb´em ´e a m S ′n

          1 .

          Contudo, P = a m b n n Y i

          =1 m Y j =1

          (x i − y j ) = a m n Y i

          =1

          g(x i ) = (−1) mn b n m Y j

          − y j )(x

          (x

          Al´em disso, x i − y j e x r − y s s˜ao coprimos sempre que (x i , y j ) 6= (x r , y s ) e disso segue que

          )(x i − y

          P divide R y (f, g), onde P = a m b n n Y i

          =1 m Y

        j

        =1

          (x i − y j ).

          O termo de menor grau em R y (f, g) que cont´em somente as indeterminadas (y

          1

          , · · · , y m ) ´e a m S

          1 m .

          Al´em do mais, P = a m b n n Y i =1 m Y j =1 (x i

          − y j ) = a m b n n Y i =1 (x i

          − y

          

        1

          2

          =1

          ) · · · (x i − y m )

          = a m n Y i

          =1

          b (x i − y

          

        1

          )(x i − y

          2

          ) · · · (x i − y m ) = a m n Y i =1 g(x i ). Por outro lado,

          P = a m b n n Y i

          =1 m Y j =1

          (x i − y j )

          = a m b n m Y j

          =1 f (y j ). O resultado segue se substituirmos x i por α i e y j por β j . X X i i 1 2 ✷ Defini¸ c˜ ao 1.42 Dada a s´erie f = a x y i =0 i +i =i 1 2 i ,i 1 2 ∈ K[[x, y]], definimos a derivada

          da s´erie f com rela¸c˜ao `a vari´avel y por X

        X

        i i − 1 2

          1 D y (f ) = i a i ,i x y i i

          2 1 2 =0 1 +i

        2 =i

          Defini¸ c˜ ao 1.43

          Seja A um dom´ınio de fatora¸c˜ao ´ y a derivada de f unica, f ∈ A[y] e f com rela¸c˜ao `a indeterminada y. Definimos o discriminante D y (f ) de f como D (f ) = R (f, f ). y y y y (f ) = R y (f, f y

          Observe que se f ∈ A[y] ´e um polinˆomio de Weierstrass, ent˜ao D ) 6= 0 se, e somente se, o ´ unico fator em comum entre f e f ´e unidade. Assim, como n n − n y 1 s 1 s 1 n −

          1

          f = f e f y = n s f segue que D y s

          1 s 1 · · · f · · · n 1 · · · f (f ) 6= 0 se, e somente se, n = n s = 1.

          1

          2

          = · · · = n Defini¸ c˜ ao 1.44 y n 1 n s Seja f ∈ A[y]. Dizemos que f ´e reduzido quando D (f ) 6= 0. Se f = f definimos a redu¸c˜ao de f como red(f ) = f f s . s

          1

          2 1 · · · f n · · · f

          Proposi¸ c˜ ao 1.45 Se K ´e um corpo e f = a y n

        • · · · + a ∈ K[y]\K, onde as ra´ızes α n de f est˜ao contidas em K, ent˜ao

          1

          , · · · , α Y

          2n−1 D y (f ) = a (α i j ). i6 − α =j

          Demonstra¸ c˜ ao : Pela Proposi¸c˜ao temos: n− Y n

          1 D y (f ) = R y (f, f y ) = a f y (α i ). Q i =1

          Al´em disso, f y (α i ) = a (α i j ) e da´ı i6 n− =j − α Y Y Y n n 1 n−

          1 n

          D y (f ) = a a (α i j ) = a a (α i j ) i − α − α

          =1 i6 =j i =1,i6=j Y n 2n−1

          = a (α i j ). i − α

          =1,i6=j

          ✷ Cap´ıtulo 2 Curvas Alg´ ebricas Planas

          Em geral a curva alg´ebrica plana dada por f ´e definida como sendo o lugar geom´etrico dos pontos que satisfazem f (x, y) = 0. O polinˆomio f n˜ao fica bem determinado pela curva pois, podemos obter a mesma curva por polinˆomios diferentes. Por exemplo, f = 0

          2 2 e f = 0 tem a mesma solu¸c˜ao. Mais ainda, xy = 0 e xy = 0 tˆem solu¸c˜oes idˆenticas.

          Observe que nestes exemplos, os polinˆomios possuem os mesmos termos irredut´ıveis. Dito isso, podemos afirmar que dois polinˆomios em duas vari´aveis com coeficientes num corpo tˆem as mesmas solu¸c˜oes se, e somente se, possuem os mesmos fatores irredut´ıveis? A resposta ´e “sim”, como vemos no pr´oximo resultado.

          Proposi¸ c˜ ao 2.1

          Se f e g s˜ao elementos de K[x, y], ent˜ao f(x,y) e g(x,y) possuem as mesmas solu¸c˜oes se, e somente se, tˆem os mesmos fatores irredut´ıveis.

          Demonstra¸ c˜ ao : Vamos mostrar que todo fator irredut´ıvel de f divide g em K[x, y].

          2

          que ´e raiz de p Seja p ∈ K[x, y] um fator irredut´ıvel de f e note que, se (x, y) ∈ K ent˜ao tamb´em ´e raiz de g. Como p ´e irredut´ıvel em K[x][y] e K[x][y] ⊂ K(x)[y], ent˜ao p ´e irredut´ıvel em K(x)[y]. Suponha que mdc(p, g) = 1, ent˜ao existem a, b ∈ K(x)[y] tais que, ap + bg = 1. a b ′ ′ e b = e obtemos,

          Visto que a, b ∈ K(x)[y], podemos escreve-los como a = c c

          ′ ′ a p + b g = c.

          H´a infinitos valores para x tais que c(x) = 0, por outro lado p(x, Y ) = 0 para um n´ umero finito de valores de x e consequentemente o mesmo acontece para g(x, Y ), o que ´e um absurdo. Logo, p divide g em K[x][y] e consequentemente em K[x, y].

          ✷ Observe que dadas duas curvas com mesmas solu¸c˜oes ent˜ao, pela proposi¸c˜ao anterior, elas tˆem os mesmos fatores irredut´ıveis e, assim, elas s´o se diferenciam por uma unidade.

          Estudamos propriedades alg´ebricas de f (x, y) como um elemento de K[[x, y]] visto que o estudo das singularidades de uma curva alg´ebrica plana, ou uma curva anal´ıtica

          2 em C , ´e representada localmente por uma equa¸c˜ao do tipo f (x, y) = 0.

          Dadas duas s´eries f, g ∈ R \ {0}, dizemos que f ∼ g se existe uma unidade u ∈ R tal que f = ug. A rela¸c˜ao ∼ ´e uma rela¸c˜ao de equivalˆencia e a classe de f ∈ R\{0}, denotada por (f ), ´e chamada de Curva Alg´ ebrica Plana . Assim (f ) = (g) se, e somente se, existe uma unidade u ∈ R tal que f = ug. Como a curva ´e uma classe de equivalˆencia podemos represent´a-la por qualquer ele- mento da classe. As propriedades locais da curva alg´ebrica (f ) e de seus representantes s˜ao as mesmas, assim, de agora em diante quando nos referimos a curva alg´ebrica (f ) podemos nos referir como “a curva alg´ebrica f ” ou “a curva alg´ebrica determinada por f ”. Defini¸ c˜ ao 2.2 Uma curva alg´ebrica plana (f ) ´e regular se mult(f ) = 1. Se mult(f ) &gt; 1 a chamamos de singular.

          Defini¸ c˜ ao 2.3 i , f j

          Uma s´erie f ´e redut´ıvel em R se existem f ∈ R, n˜ao associados e com f i j , tais que f = f i f j . Caso contr´ario, dizemos que f ´e irredut´ıvel.

          6= f P ∞

          2 i +1

          Exemplo 2.4 P ∞ A s´erie f = 2y + xy ´e irredut´ıvel em C[[x, y]], pois i =0 (−i)

          2 i f = y(2 + xy ). i (−i) =0

          3

          

        3

          2 Exemplo 2.5

        • x + x ´e irredut´ıvel em C[[x, y]] mas ´e

          O polinˆomio g = −xy − y

          3

          )(x + 1) e (x + 1) ´e unidade em C[[x, y]] mas n˜ao ´e

          redut´ıvel em C[x][y], pois g = (x − y unidade em C[x, y].

          Vamos ver a seguir que atrav´es de um K-automorfismo ´e poss´ıvel efetuar mudan¸cas de coordenadas em K[[x, y]] e algumas propriedades de curvas alg´ebricas planas s˜ao preservadas. Defini¸ c˜ ao 2.6 Duas curvas alg´ebricas planas (f ) e (g) s˜ao equivalentes, isto ´e, (f ) ∼ (g), se existe um K-automorfismo φ de K[[x, y]] tal que (φ(f)) = (g), isto ´e,

          existe uma unidade u ∈ K[[x, y]] tal que φ(f) = u.g

          Quando uma curva ´e equivalente a um polinˆomio de Weierstrass podemos supor que a curva ´e dada pelo polinˆomio de Weierstrass. Curvas equivalentes preservam irredutibilidade, multiplicidade dentre outras propri- edades. Nos preocupamos com as propriedades de curvas alg´ebricas planas irredut´ıveis que s˜ao invariantes pela a rela¸c˜ao de equivalˆencia.

          Com rela¸c˜ao a curvas equivalentes e regularidade segue a seguinte proposi¸c˜ao: Proposi¸ c˜ ao 2.7 Se (f ) e (g) s˜ao curvas regulares ent˜ao (f ) ∼ (g). Demonstra¸ c˜ ao : Sejam (f ) e (g) duas curvas regulares. Como mult(f ) = mult(g) = 1 ent˜ao f = ax + by + ... e g = cx + dy....

          Assim, existem as seguintes possibilidades: a 6= 0 e c 6= 0, ou a 6= 0 e d 6= 0, ou c 6= 0 e b 6= 0, ou b 6= 0 e d 6= 0. Se a 6= 0 considere o seguinte K-automorfismo:

          φ : K[[x, y]] −→ K[[x, y]] x 7−→ f y 7−→ y. Assim, φ(x) = f ou seja (x) ∼ (f). Analogamente se b 6= 0 temos (y) ∼ (f), se c 6= 0 ent˜ao (x) ∼ (g) e, se d 6= 0 temos (y) ∼ (g). Al´em disso (x) ∼ (y). Logo, (f ) ∼ (g). Exemplo 2.8 Observe que verificar se duas curvas s˜ao equivalentes nem sempre ´e uma

          tarefa simples. Considere as curvas (f ) e (g) onde:

          

        2

          3

          f = y − x

          3

          

        4

          2

          2 + 16x + 24x y + 9y .

          g = −8x

          ´ E dif´ıcil responder de imediato se (f ) ´e equivalente a (g) j´a que a ´ unica informa¸c˜ao que temos ´e que mult(f ) = mult(g).

          Mas (f ) ∼ (g) pois, se considerarmos,

          φ : C[[x, y]] −→ C[[x, y]] x 7−→ 2x

          2

          y + 3y 7−→ 4x teremos φ(f ) = u · g, onde u = 1.

          Defini¸ c˜ ao 2.9

          Seja (f ) uma curva alg´ebrica plana tal que f = f n + f n ..., chamamos

        • 1 (f n ) de cone tangente da curva (f ).

          Observe que todo polinˆomio homogˆeneo com duas indeterminadas e coeficientes num corpo algebricamente fechado decomp˜oe-se em fatores lineares, ent˜ao podemos escrever Y s r i f n = (a i x + b i y) , i P s =1 onde r i = n e a i b j j b i i =1 − a 6= 0 sempre que i 6= j.

          O cone tangente de (f ) consiste nas formas lineares (a i x + b i y) com multiplicidade r i , chamadas de retas tangentes de f . Observe que se (f ) ´e regular, ent˜ao o cone tangente (f

          1 ) consiste em uma reta tangente de multiplicidade 1.

          2

        3 Exemplo 2.10 Seja f (x, y) = 4y .

          − x

          2

          2

          2 A forma inicial de f ´e f 2 = 4y = (0x + 2y) . O cone tangente da curva (f ) ´e (4y ) com retas tangentes (2y) com multiplicidade 2. P

        i i

        • 3

          Exemplo 2.11 Considere g(x, y) = (x + y) . A forma inicial de i (−1)

          =0

          3

          3

          f ´e f

          3 = (x + y) , e o cone tangente ´e ((x + y) ), com retas tangentes (x + y) que possuem multiplicidade 3.

          ✷

        2.1 Teorema de Newton-Puiseux

          Assim, os elementos h de K((x)) s˜ao da forma: a −m x −m + a −m +1 x −m

          Seja K((x)) o corpo das fra¸c˜oes sobre K[[x]]. Dado h = f g

          ∈ K((x)) \ {0}, visto que f = x n u e g = x m v, com m, n ∈ N, u e v unidades em K[[x]], n´os temos que h = f g

          = x n u x m v = x n−m uv

          1

          = x r w, onde r ∈ Z e w ´e unidade em K[[x]].

          <
        • a + a
        • · · · + a
        • · · · , onde m ∈ N e a i s s˜ao elementos de K.
        • 2x + 7 ∈ C[[x]] e g = x
        • 2x ∈ C[[x]]. Temos h = f g
        • 2x + 7 x
        • 2x + 7) x(x + 2)

          1 x

        • 2x + 7)(x + 2)
        • 2x
        • 2x + 7)(
        • x
        • x
        • 11
        • x +
        • 15
        • , consequentemente K((x)) deve conter os elementos da forma x
        • 1 n , que apresentam as seguintes rela¸c˜oes: i) x 1 1 = x. m m ( )r rn n

            h =

            (x

            3

            1

            2

            4

            2

            8 + · · · ).

            Portanto,

            7

            h = x

            2 x

            1

            4

            15

            16 x

            2

            32 x

            3 + · · · .

            De agora em diante considere char(K) = 0 e K((x)) o fecho alg´ebrico de K((x)). As ra´ızes da equa¸c˜ao y n

            − x = 0 est˜ao contidos em K((x)) para todo n ∈ Z

            1

            assim,

            1

            3

            1 x + a 2 x

            2

            Os elementos de K((x)) s˜ao chamados de s´eries de potˆencias formais de Laurent. Exemplo 2.12 Considere f = x

            3

            2

            = x

            3

            2

            = 1(x

            = x

            2 i +1 ,

            1

            (x

            2

            1 .

            Vimos no exemplo que

            (x + 2)

            1

            =0

            x i

            = X i

            ii) x = x ∀m, n ∈ Z e n, r &gt; 0. n 1 Deste modo obtemos a extens˜ao K((x )) de K((x)).

            Recordamos da Teoria de Galois, que se F/K ´e uma extens˜ao de corpos, ent˜ao o conjunto G(F/K) = {σ : F → F ; σ ´e K-automorfismo}, munido com a opera¸c˜ao de composi¸c˜ao, ´e um grupo, denominado grupo de Galois da extens˜ao F/K. Defini¸ c˜ ao 2.13 Seja F/K uma extens˜ao de corpos. Se o grupo de Galois G(F/K)

            

          ´e finito e K = {a ∈ F, σ(a) = a, ∀σ ∈ G(F/K)}, ent˜ao F/K ´e chamada extens˜ao

          Galoisiana.

            Denotamos U n o grupo multiplicativo das n-´esimas ra´ızes da unidade em K, isto ´e, n U n = {a ∈ F ; a = 1}. n 1 O grupo multiplicativo (U &gt;. Um elemento gerador de n

            , ·) ´e c´ıclico gerado por &lt; 1 n 1 U n ´e chamado raiz n-´esima primitiva da unidade. Al´em disso, K((x )) ´e K-isomorfo a K((x)), bastando considerar o seguinte K-automorfismo: n 1

            )) ϕ : K((x)) −→ K((x n 1 .

            . x 7−→ x n 1 Temos do Corol´ario que, para qualquer K-automorfismo σ de K((x )) temos, n n n n n 1 1 1 1 1 σ(x ) = x u(x ), onde u(x ]] ´e unidade.

            ) ∈ K[[x n 1 Lema 2.14

            A extens˜ao de corpos K((x ))/K((x)) ´e finita e galoisiana, com o grupo de Galois isomorfo ao grupo U . n n n n 1 1 1 Demonstra¸ c˜ ao : Seja G = G(K((x ))/K((x))) e σ : K((x )) um σ (x ]] tal que σ(x ) = b σ (x )x n n n n n 1 1 )) → K((x 1 1 1 K((x))−automorfismo de G. Ent˜ao existe b ) ∈ K[[x 1 n n n n 1 n 1 n e, assim, b (x ) x = σ(x ) = σ(x) = x e desta forma b (x ) = 1 e b . σ σ σ n

            ∈ U Para mostrar que G ´e isomorfo a U n , defina: n f : G −→ U σ . σ 7−→ b

            n n

            1 1 Dados x n n n n n n n n 1 ∈ K((x )) e σ, ρ ∈ G, ent˜ao 1 1 1 1 1 1 1 x b σ◦ρ (x ) = σ(ρ(x )) = σ(b ρ (x )x ) = σ(b ρ (x ))σ(x )

            ) = σ ◦ ρ(x n n n n n 1 1 1 1 1 = b (x )b (x )x = b b (x )x ρ σ ρ σ e, portanto, f ´e homomorfismo. n n i 1 Al´em disso, dado P a i x )) suponha f (σ) = f (ρ). X n n n n n i i i i i X ∈ K((x X X

            σ( a i x ) = σ(a i )σ(x ) = a i σ(x ) = a i b σ (x )x X i i n n n n X i X i = a i b σ (x )x = a i ρ(x ) = ρ( a i x ).

            Segue que f ´e injetora e, da maneira que foi definida f , segue que f ´e sobrejetora e, portanto, f ´e um isomorfismo. n n 1 G 1 Considere K((x )) n 1 G = {a ∈ K((x )); σ(a) = a, ∀σ ∈ G} e vamos mostrar que K((x )) = K((x)). n n 1 G G 1 )) , resta mostrar que K((x )) Sabemos que K((x)) ⊂ K((x ⊂ K((x)). X i n n 1 n i , dado b x

            Suponha que para todo a ∈ U ∈ K((x )), para σ ∈ G temos, X n n n n i i i i X i≥i X X i i i≥i i≥i i≥i i≥i b i x = σ( b i x ) = b i σ(x ) = b i a x .

            Assim, b i = b i a . para todo i ≥ i n , ent˜ao b i = 0, pois b i Se n ∤ i, como a ∈ U (1 − ai) = 0. i a x i n i Se n | i ent˜ao b ∈ K((x)). X i n n 1 G Logo, b i x )) = K((x)). i≥i ∈ K((x)) e, portanto, K((x n 1

            ✷ Contudo temos que que K((x )) ⊂ K((x)) ⊂ K((x)). n 1 Defini¸ c˜ ao 2.15 Denotamos por K((x)) a uni˜ao de K((x

            )) para todo n ∈ N \ {0}, isto

            ´e, [ n 1 K((x)) = K((x n∈ N )) ⊂ K((x)).

             q1 q2 p1 p2

            Observe que os elementos de K((x)) s˜ao da forma α = b x + b x

            1

            2

          • · · · , onde p

            p i p i +1 i b i i e q i com q i &gt; 0 e &gt; admite

            ∈ K, p ∈ Z com i ∈ N. Al´em disso , i ∈ N q i q i q i

          • 1 denominador comum.

            p

          1 Se b

            e, como demonstrado anteriormente, dados α e

            1

            6= 0, ent˜ao mult(α) = q

            1

            , temos: β ∈ K((x)) i) mult(αβ) = mult(α)mult(β); ii) mult(α + β)

            ≥ min{mult(α), mult(β)} e a igualdade vale quando mult(α) 6= mult(β); iii) mult(0) = ∞. n 1 Defini¸ c˜ ao 2.16 Denotamos por K[[x]] a uni˜ao de K[[x

            ]] para todo n ∈ N \ {0}, isto

            ´e,

          [

          n 1 K[[x]] = K[[x ]]. n∈ N

            Os elementos de K[[x]] s˜ao da mesma forma que os elementos de K((x)), com mult(α) ≥ 0. Lema 2.17 K((x)) ´e subcorpo de K((x)). ∗ ∗ Demonstra¸ c˜ ao : e dados f e g elementos de K((x)) , ent˜ao P n P n n n m m i j De fato, 0, 1 ∈ K((x)) 1 1 f = a i x )) e g = b j x )). i ∈ K((x j ∈ K((x

            =0 =0 n m.n m m.n 1 1 1 1 Al´em disso K((x )) e K((x )), desta forma, f + g, f g e − ∗ ∗ )) ⊂ K((x )) ⊂ K((x 1 1 mn

            f g s˜ao elementos de K((x e, portanto, K((x)) ´e subcorpo de K((x)).

            )) ⊂ K((x)) ✷ Teorema 2.18 (Teorema de Newton-Puiseux) Temos que K((x)) = K((x)) . Demonstra¸ c˜ ao

            : Se mostrarmos que K((x)) ´e alge1bricamente fechado teremos que K((x)) = K((x)) . [y], com grau maior ou igual a dois, ent˜ao p ´e

            Vamos mostrar que dado p ∈ K((x)) redut´ıvel em K((x))[y]. n n− ∗

          1 Seja p(x, y) = y + a y n [y] com gr y

            1 + · · · + a ∈ K((x)) (p) ≥ 2.

            Tome o seguinte K((x)) -isomorfismo: ∗ ∗ φ : K((x)) K((x)) [z]

            [y] → .

            1

            a (x)

            1

            y 7→ z − n Usando o binˆomio de Newton temos, a a

            1 n 1 n−

            1

            ) + a ) n

            1

            q(x, z) = φ(p(x, y)) = (z − (z − + · · · + a n n− n n X X

            1

            n! a a k n n−k k (n − 1)! n−

            1

            1 1 n−k−

            1

            ) + = z ( z ( ) (−1) (−1) + · · · n n k =0 k =0 n− k!(n − k)! k!(n − k − 1)!

            1

            nz a a n n−

            1

            1 1 n−

            2

            = z (z

            1

            − + · · · + a − (n − 1)z n n n− n − 1

            2 = z + b (x)z n (x).

            2

          • · · · + b Com esta mudan¸ca de vari´aveis eliminamos o termo de grau n−1 no polinˆomio p(x, y) [z].

            e obtemos o polinˆomio q(x, z) ∈ K((x)) n ∗ Se b i

            ´e redut´ıvel em K((x)) [z] e, (x) = 0, para todo i = 2, · · · , n, ent˜ao q(x, z) = z portanto, p ´e redut´ıvel em K((x)) [y].

            Por outro lado, se b i (x) 6= 0, para algum i ∈ {2, · · · , n}, faremos uma nova mudan¸ca ∗ ∗ de vari´aveis e transformaremos os elementos de K((x)) [z] em elementos de K((w)) [z]. u i

            Considere mult(b i (x)) = u i e u = min{ i , 2 ≤ i ≤ n}. u r , considere o seguinte isomorfismo de K-´algebras. Dado r ∈ N tal que u = r ∗ ∗

            ϕ : K((x)) [z] [z] → K((w)) r w x 7→ u r zw . z 7→ Temos que ϕ preserva o grau do polinˆomio em z, al´em disso, −nu r −nu r r u r h(w, z) = w ϕ(q(x, z)) = w q(w , zw ) −nu r n nu r r n−

            2 u r (n−2) r

            = w (z w + b (w )z w n (w ))

            2 n r n− − −nu r + · · · + b 2 2u r r

            = z + b (w )z w b n (w )

            2 n n− + · · · + w

            2

            = z + c

            2 (w)z n (w) n n−i r −iu X n + · · · + c r

            = z c (w)z + i i , onde c i (w) = b i (w )w .

            =2

            u i u r Note que

            ≥ , para todo i ≥ 0 e disso, segue que i r r −iu r mult(c i ) = mult(b i (w )) + mult(w ) = ru i r − iu ≥ 0.

            Quando i = r temos mult(c r ) = 0, consequentemente c r (0) 6= 0 e, desta forma, c . i

            (w) ∈ K[[w]] tal que Ent˜ao existe k ∈ Z + k n k n−i X n

          • h(w , z) = z c (w )z i i =2 ∈ K[[w]][z].

            Afirma¸c˜ao: h(0, z) tem pelo menos duas ra´ızes distintas. De fato, suponha que h(0, z) tenha exatamente uma raiz α. Ent˜ao n n n− n

            1 = z .

            h(0, z) = (z − α) − nαz + · · · + α Mas h(0, z) n˜ao possui termos de grau n − 1, ou seja, nα = 0, isto ´e, char(K) = n o que ´e um absurdo pois estamos trabalhando com char(K) = 0.

            Logo h(0, z) tem pelo menos duas ra´ızes distintas, ou seja, h(0, z) = p(z)q(z), onde p(z) e q(z) ∈ K[z] Agora, pelo Lema de Hensel (Lema , existem dois polinˆomios unicamente deter- minados h (w, z), h z (h z (h

            1

            2

            1

            2

            (w, z) ∈ K[[w]][z] com gr ) ≥ 1 e gr ) ≥ 1 tais que, k −nu r h(w , z) = h

            1 (w, z)h 2 (w, z).

            Como h(w, z) = w ϕ(q(x, z)) ent˜ao, nu nu r r k k 1 1 ϕ(q(x, z)) = w h(w, z) = w h (w , z)h (w , z).

            1

            2

            (h

            1

            ✷

            1

            (w 1 k , z))ϕ

            1

            (h

            1

            (w 1 k , z)) = x nur r ϕ

            2

            (h

            1

            (w 1 k , z))ϕ

            (h

            (w 1 k , z)) Logo, q(x, z) ´e redut´ıvel em K((x)) [z] e, portanto, K((x)) ´e algebricamente fechado.

            

          1

            (w nu r

            1

            (w 1 k , z) = ϕ

            2

            (w 1 k , z)h

            1

            (w nu r h

            1

            (w) = x 1 r assim, q(x, z) = ϕ

            1

            Al´em disso, ϕ

            2

          2.2 Extens˜ oes de Corpos das S´ eries de Laurant

            6= 0 ⇔ θ i

            i

            ∈ K((x 1 n )) e ρ ∈ U n , definimos a seguinte a¸c˜ao:

            ρ ∗ α = X i≥i b i (ρx 1 n ) i = X i≥i b i ρ i x i n . (2.1) Lema 2.19

            Seja α ∈ K((x))

            \ K((x)) e n = min{m; α ∈ K((x 1 m ))}. Considerando α

            um elemento de K((x 1 n

            )) ent˜ao, para todo ρ, θ ∈ U n , com ρ 6= θ, temos θ ∗ α 6= ρ ∗ α. Demonstra¸ c˜ ao :

            Suponha que existam ρ, α ∈ U n , com ρ 6= α, tal que θ ∗ α = ρ ∗ α. Dado α = ϕ(x 1 n ) = X i≥i b i x i n

            ∈ K((x 1 n )), com n ≥ 2, temos θ ∗ α = ρ ∗ α ⇔ ϕ(θx 1 n

            ) = ϕ(ρx 1 n ) ⇔ θ i x i n = ρ i x i n , sempre que b i

            Vimos que o grupo de Galois da extens˜ao K((x 1 n ))/K((x)) ´e isomorfo a U n ent˜ao, dados α = X i≥i b i x i n

            = ρ i , para todo i tal que b i 6= 0. Afirma¸c˜ao: Para cada i tal que b i 6= 0 temos que mdc(i, n) = 1. De fato, seja d i = mdc(n, i) para os quais b i

            6= 0 e considere d = min{d i }. Se d 6= 1 ent˜ao d|n e d|i, da´ı b i x i n

            = b i x i′ n′ , onde n = n d . Assim, α ∈ K((x 1 n′

            )). Mas n &lt; n d &lt; n = min{q; α ∈ K((x 1 q ))}, o que ´e um absurdo. Assim, para cada b i k s 6= 0 existem u k s ∈ Z e v ∈ Z que satisfazem: vn + u

          • u

            1

            1

            2

            i

            

          2

          • · · · + u k i k = 1
          e nv u i u n i n nv u i u n i n

            1 1 1 1 1

            θ = θ = θ = ρ = ρ · θ · · · · θ · ρ · · · · ρ mas isso ´e um absurdo pois, por hip´otese, θ 6= ρ.

            ✷ A seguir descrevemos as principais extens˜oes alg´ebricas de K((x)) que s˜ao obtidas pela adjun¸c˜ao de K((x)) com um elemento alg´ebrico α.

            Pelo Lema 3.7 da referˆencia temos K((x))(α) = K((x))[α] = {p(α); p ∈ K((x))[y]}. n 1 Teorema 2.20

            Dado α = ϕ(x q 1 ) ∈ K((x)) \K((x)), onde n = min{q ∈ N; α ∈

            K((x ))} ent˜ao: n 1

            i) K((x))[α] = K((x )); Y n i n 1 ii) g(x, y) = x )) ´e o polinˆomio minimal de α sobre K((x)), onde ρ ´e um i (y − ϕ(ρ =1 gerador fixado do grupo U n ; n n−

            1 iii) g(x, y) = y + a y

            1 n

          • · · · + a (x) ∈ K((x))[y], onde a n (x) mult(a i .

            (x) ≥ i · mult(α) = i · mult n

            A igualdade ´e v´alida quando i = n. Se mult(α) ≥ 1, ent˜ao g(x, y) ∈ K[[x]][y] ´e um polinˆomio de Weierstrass e, se mult(α) ≥ 0, ent˜ao g(x, y) ∈ K[[x]][y] ´e um Pseudo-polinˆomio.

            Demonstra¸ c˜ ao : n 1 i) Para mostrar que K((x))[α] = K((x )) vamos mostrar que: n 1 G = G(K((x ))/K((x))[α]) = (1).

            . n 1 Considere G = G(K((x ))/K((x))).

            Afirma¸c˜ao: G = {g ∈ G; g ∗ α = α}, onde ´e definida como em (2.1). n n 1 1

            . Ent˜ao σ : K((x )) e ´e K((x))[α]-automorfismo, De fato, seja σ ∈ G )) −→ K((x isto ´e, σ(p) = p para todo p ∈ K((x))[α]. Em particular, σ fixa os elementos de K((x)) ⊂

            n n

            1 1

            )) ´e um K((x))[α]. Al´em disso, α ∈ K((x))[α] e, portanto, σ : K((x )) −→ K((x K((x))-automorfismo e σ ∗ α = α. Portanto, G ⊂ {g ∈ G; g ∗ α = α}.

            Por outro lado, dado g ∈ G considere k f = a + a k (x)α

            1

            (x)α + · · · + a ent˜ao, k k

          • a

            1 k = a + a 1 k (x)α = f

            g ∗ f = a (x)g ∗ α + · · · + a (x)g ∗ α (x)α + · · · + a

            e, portanto, G = {g ∈ G; g ∗ α = α}. = (1).

            Pelo Lema temos que g ∗ α = α implica que g = 1 e, disso segue que, G n 1 Logo K((x))[α] = K((x )). ii) J´a vimos que G ∼ assim,

            = U n n 1 n = gr y (g(x, y)) = ))/K((x))) G(K ((x .

            Al´em disso, como g(x, y) ∈ K((x))[y], temos g(x, y) irredut´ıvel em K((x))[y]. i iii) Os coeficientes de g(x, y) s˜ao dados por a i S i , onde S i ´e um elemento (x) = (−1) dos polinˆomios sim´etricos e i = 1, · · · , n. Al´em disso, pelo item (ii), para j = 1, · · · , n, temos, n n 1 1 mult(α j ) = mult(ϕ(ξx )) = mult(ϕ(x )) = mult(α).

            Visto que , n mult(a S (α )) = mult(α ) = n.mult(α), n n

            1 n 1 n

            (x)) = mult((−1) , · · · , α · · · α mult(a n ) temos que, mult(α) =

            . Da´ı, para j = 1, · · · , n, n j mult(a (x)) n mult(a j S j (α

            1 n .

            (x)) = mult((−1) , · · · , α ) ≥ j.mult(α) = j. j n Observe que se mult(α) ≥ 1 ent˜ao mult(α (x)) ≥ j e, se mult(α) &gt; 0 ent˜ao mult(a j (x)) &gt; 0. n 1

            Corol´ ario 2.21 Toda extens˜ao finita de K((x)) ´e da forma K((x )) para algum n ∈ N \ {0}.

            Demonstra¸ c˜ ao : Como char(K((x))) = 0 ent˜ao toda extens˜ao L de K((x)) ´e separ´avel, al´em disso pelo Teorema do Elemento Primitivo (ver Teorema 3.3.4, p. 81 de ), existe

            α ∈ L tal que K((x))[α] = L e, pelo item (i) do Teorema , temos que K((x))[α] = n 1 K((x )).

            ✷ Corol´ ario 2.22 Seja f ∈ K((x))[y] um polinˆomio mˆonico, irredut´ıvel, de grau n ≥ 1, e uma raiz de f . Ent˜ao,

            seja α ∈ K((x)) q 1 i) n = min{q ∈ N; α ∈ K((x ))}. Y n i 1 n ii) f (x, y) = x n . i (y − ϕ(ξ )), onde ξ ∈ U =1

          iii) Se f ∈ K[[x]][y] ´e um polinˆomio de Weierstrass (respectivamente Pseudo-polinˆomio) ∗ .

            ent˜ao mult(α) ≥ 1 (respectivamente mult(α) &gt; 0). Em particular α ∈ K[[x]] 1 q

            Demonstra¸ c˜ ao : i) Pelo teorema anterior α = ϕ(x n 1

            ) ∈ K((x)) , onde n = min{q ∈ N; α ∈ K((x ))}. ii) Segue do Teorema anterior, pois f ´e polinˆomio minimal de α sobre K((x)). n n−

            1

            iii) Seja f (x, y) = y + a

            1 (x)y n (x) um polinˆomio de Weierstrass. Por

          • · · · + a hip´otese temos, n n− n n−

            1

            1

            0 = α + a (x)α n = a (x)α n (x)

            1

            1

          • · · · + a (x) ⇒ −α + · · · + a n n−

            1

            ) = mult(a (x)α (x))

            1 n

            ⇒ mult(−α + · · · + a n−

            1

            (x)α n

            1 ⇒ n.mult(α) ≥ min{mult(a ), · · · , mult(a (x)))}.

            Al´em disso, n− n−i

            1

            (x)α n i i (x)) + mult(α

            1 =1,··· ,n

            min{mult(a ), · · · , mult(a (x))} = min {mult(a ))} n−i = mult(a (x)) + mult(α ) i

            )mult(α), ≥ i + (n − i isto ´e, n · mult(α) ≥ i + (n − i ) · mult(α) = i + n · mult(α) − i · mult(α).

            Portanto, mult(α) ≥ 1. i ) + Se f ´e Pseudo-polinˆomio, com o mesmo racioc´ınio obtemos n.mult(α) ≥ mult(a .mult(α) e, consequentemente, mult(α) &gt; 0.

            (n − i )mult(α) &gt; 0 + n.mult(α) − i ✷

            Corol´ ario 2.23 (Teorema da Fun¸ c˜ ao Impl´ıcita de Newton) Seja f (x, y) ∈ K[[x, y]], n

            ∂ f

            irredut´ıvel com multiplicidade n, e suponha que Ent˜ao existe n (0, 0) 6= 0. n n n i i P 1 ∂y

            ϕ(x ) = b i x ]] tal que i≥

            1 ∈ K[[x

          1

          n

          n 1 f (x, ϕ(x )) = 0. n 1

            ]] que satisfaz f (x, α) = 0 ´e tal que α = ϕ(ξx ), para

            Al´em disso, qualquer α ∈ K[[x n . algum ξ ∈ U n

            ∂ f Demonstra¸ c˜ ao : Visto que n (0, 0) 6= 0 temos que f ´e regular de ordem n com rela¸c˜ao

            ∂y `a y. Pelo Teorema da Prepara¸c˜ao de Weierstrass, existe uma unidade u ∈ K[[x, y]] tal que n n− f = gu,

            1

            onde g = y + a (x)y n

            1 + · · · + a (x) ∈ K[[x]][y].

            Como mult(f ) = n, ent˜ao mult(a i (x)) ≥ i para cada i = 1, · · · , n. Em particular, g ´e Pseudo-polinˆomio e, assim, g ∈ K[[x]][y] ´e um polinˆomio mˆonico irredut´ıvel de grau n 1

            ) tal que n ≥ 1 e, pelo Corol´ario existe α = ϕ(x n 1 1 n n n 1 g(x, ϕ(x )) = 0. 1 Portanto, f (x, ϕ(x )) = g(x, ϕ(x )).u(x, ϕ(x )) = 0. n 1 ]] satisfaz

            Al´em disso, pelo Corol´ario qualquer α ∈ K[[x Y n f (x, y)u i ). i (y − α

            

          =1

            ✷ Lema 2.24

            (Lema Unitangente) Seja f ∈ K[[x, y]] com f(0, 0) = 0 irredut´ıvel com

            multiplicidade n. Ent˜ao a forma inicial de f ´e n

            f n = (ax + by) , onde a, b ∈ K n˜ao s˜ao simultaneamente nulos. Demonstra¸ c˜ ao : Podemos supor que f ´e regular em y, caso contr´ario podemos realizar uma mudan¸ca de coordenadas. Pelo Teorema da Prepara¸c˜ao de Weierstrass f = u.p, onde p ∈ K[[x]][y] e u ∈ K[[x, y]] ´e unidade.

            Como f ´e irredut´ıvel, por hip´otese, ent˜ao p ´e irredut´ıvel em K[[x, y]]. Pelo Lema p ´e irredut´ıvel em K[[x]][y]. Segue do Corol´ario ii que Y n i n 1 p(x, y) = x )), i (y − ϕ(ξ

            =1 n n n n 1 r r +1 1

            onde ξ ´e uma raiz primitiva da unidade e ϕ(x ) = b r x + b r +1 x )), com

          • · · · ∈ K((x b r 6= 0.

            Al´em disso, p ´e um polinˆomio de Weierstrass e, novamente, pelo Corol´ario n 1 mult(ϕ(x )) ≥ 1 e r ≥ n.

            A forma inicial de p ´e a forma inicial de Y r n rk n q(x, y) = b r x ) k =1 n kr n− (y − ξ r X n ! n 1 n n r = y b x ξ y b x . r − + · · · + (−1) r k =1

            Se r = n ent˜ao, Y Y n n rk n n r q(x, y) = b r x ) = n n x) . k k (y − ξ (y − b x) = (y − b

            =1 =1 ir ir

            &gt; n. Assim, como Se r &gt; n, observe que ir &gt; in ⇒ n &gt; i ⇒ n − i + n mult(p(x, y)) = mult(q(x, y)) n kr n− r P n

          n

          1 n n r r x ξ b x y r

            = mult{y − b k =1 + · · · + (−1) } ir = min{n, + n − i} = n, n n e, nesse caso, a forma inicial de p(x, y) ´e y .

            J´a que a forma inicial de f ´e o produto de u(0, 0) pela forma inicial de p, segue o resultado.

            ✷ Seja f = f n + f n

            <
          • · · · ∈ K[[x, y]] uma s´erie de potˆencias irredut´ıvel com multiplici- n dade n. Pelo Lema Unitangente f n = (ax + by) onde a, b ∈ K n˜ao s˜ao simultaneamente nulos, isto ´e, f ´e regular em x ou em y.

            Se f for regular em y podemos escrever n n− n

            1 +1

            f = a (x)y + a (x)y n (x) + y h(x, y), (2.2)

            1 i (x) unidade e mult(a i + · · · + a com h(x, y) ∈ K[[x, y]], a (x) ∈ K[[x]], a (x)) ≥ i, para todo

            i ∈ {1, · · · , n}.

            Observe que o Lema Unitangente nos ajuda a identificar quando as s´eries s˜ao re- dut´ıveis em K[[x, y]], isto ´e, uma condi¸c˜ao necess´aria para que f = f n + f n

          • 1
          • n + · · · ∈ M seja redut´ıvel em K[[x, y]] ´e f = (ax + by) com a e b n˜ao simultaneamente nulos. n

              Exemplo 2.25 A curva plana conhecida como Trissectriz de Maclaurin dada por

              2

              2

              2

              2

              f = x(x + y ) ´e redut´ıvel, pois f (0, 0) = 0 e a forma inicial de f ´e ) − (y − 3x

              √ √

              2

              2 dada por y 3x)(y + 3x).

              − 3x = (y − Figura 2.1: Trissectriz de Maclaurin

              2

              4

              2 Exemplo 2.26 ´e dada por f . Al´em

              2 A forma inicial de f = (x − y) − x = (x − y)

              2

              2 ). disso f (0, 0) = 0, mas f ´e redut´ıvel pois f = (x − y − x )(x − y + x n n− n 1 +1h(x,y)

              Lema 2.27

              Seja f = a (x)y + a (x)y n (x) + y

              1

            • · · · + a ∈ K[[x, y]] uma

              s´erie de potˆencias irredut´ıvel com multiplicidade n e regular em y. Ent˜ao para cada

              i ∈ {0, 1, 2, · · · , n}, vale a seguinte desigualdade: mult(a n (x)) mult(a i .

              (x)) ≥ i · n Demonstra¸ c˜ ao : Como f ´e regular em y de ordem n ent˜ao, pelo Teorema da Prepara¸c˜ao n n−

              1

              de Weierstrass, uf = y + A (x)y n

              1

            • · · · A (x) = P (x, y) ∈ K[[x]][y], para alguma i (0) = 0.

              unidade u ∈ K[[x, y]] e, para cada i ∈ {1, · · · , n}, A Al´em disso, P (x, y) ∈ K[[x, y]] e o item (iii) do Teorema nos garante que mult(A n (x)) mult(A i .

              (x)) ≥ i n J´a que u ´e unidade podemos tomar u = u (x) + u

              1 i

              (x)y + · · · , com u ∈ K[[x]] e u (0) 6= 0 assim,

              A i (x) = u (x)a i (x) + u (x)a i n− a n (x)

              1 +1

              1

              (x) + · · · + u (x) = A (x)a a (x). i i

              1 i +1 n− 1 n

              ⇒ u (x) − a (x) − u (x) − · · · − u Da´ı, mult(A n (x)) = mult(u (x)a n (x)) = mult(a n (x))

              Contudo temos, mult(a n (x)) mult(a i (x)) = mult(a i (x)u (x) = mult(A i (x)a i n− a n .

              1 +1

              1

              −(u (x)+· · ·+u (x))) ≥ i n ✷

            2.3 Parametriza¸ c˜ ao de Puiseux

              Seja f ´e irredut´ıvel de multiplicidade n e regular em y da forma , considere P (x, y) n n−

              1

              o Pseudo-polinˆomio associado a f , isto ´e, uf = y + A (x)y n (x) = P (x, y),

              1 n n 1 1 q 1 + · · · + A e seja α = ϕ(x

              ) ∈ K[[x ]], com n = min{q ∈ N; α ∈ K[[x ]]}.

              

            1

            1 Pelo Corol´ario P (x, α) = P (x, ϕ(x )) = 0. Fazendo t = x n

              n n

              , ent˜ao ϕ(t) ∈ K[[t]] e f (t , ϕ(t)) = 0. Nesta situa¸c˜ao dizemos que a mudan¸ca de vari´avel n x = t P i y = ϕ(t) = b i t , com b m i≥m ∈ K\{0} ao de Puiseux

              ´e uma Parametriza¸c˜ da curva (f ). n Qualquer outra raiz de f nos d´a outra parametriza¸c˜ao de Puiseux (t , ψ(t)) de f e n . mais, ϕ(t) = ψ(ξt), onde ξ ∈ U q 1 Observe tamb´em que o ´ındice i e n = min{q ∈ N; α ∈ K[[x ]]} n˜ao admitem fator comum para todo i tal que b i

              6= 0 e, portanto, s˜ao relativamente primos para qualquer parametriza¸c˜ao de Puiseux acima. Do item (iii) do Teorema temos, mult t x (α) = mult x (A n (x)) = mult x (a n

              (ϕ(t)) = n · mult (x)) ≥ n. n Se o cone tangente de (f ) ´e (y ), ent˜ao mult t (ϕ(t)) = mult x (a n (x)) &gt; n. (2.3) Se f ´e regular em x valem os mesmos resultados, basta trocar x por y. Cap´ıtulo 3 Interse¸ c˜ ao de Curvas

              Para calcular os pontos de interse¸c˜ao entre uma curva definida por f ∈ C[x, y] e uma reta l, dada pela equa¸c˜ao y = ax + b, resolvemos a seguinte equa¸c˜ao: f (x, ax + b) = 0. Dizemos que a equa¸c˜ao n˜ao admite solu¸c˜ao, isto ´e, f (x, ax + b) ´e uma constante n˜ao nula se, e somente se, a curva e a reta n˜ao possuem pontos em comum. Se l ´e uma componente de f , ent˜ao f (x, ax + b) ´e identicamente nula. No caso em que a reta e a curva se interceptam, como estamos trabalhando num corpo algebricamente fechado, ent˜ao podemos reescrever Y n m i f (x, ax + b) = c i ) , (3.1) i (x − x

              =1 onde c ´e uma constante e x i s˜ao as abscissas dos pontos de interse¸c˜ao.

              Para calcular a interse¸c˜ao entre curvas, digamos f e g, o processo ´e semelhante desde que seja poss´ıvel escrever uma das equa¸c˜oes de forma expl´ıcita. Neste caso fixamos uma vari´avel, por exemplo y, e consideramos f e g como polinˆomios com coeficientes em C[x]. Devemos ent˜ao calcular os valores de x para que f (x, Y ) e g(x, Y ) admitam raiz comum. Outra maneira de efetuar este c´alculo ´e lembrando que dois polinˆomios que admitem ra´ızes em comum possuem fatores em comum e, pelo Corol´ario podemos calcular pontos que satisfazem R y (f, g) = 0.

              2

            3 Exemplo 3.1

              Sejam f = y + x

              − 3 e g = 2xy − 4. Para calcular as interse¸c˜oes entre f e g devemos resolver f (x, y) = g(x, y) = 0 ou, equivalentemente,

              2

              3 y + x = 3 xy = 2.

              Considerando que f , g s˜ao polinˆomios com coeficientes em C[x], e substituindo

              1

              2

              3

              y = 2x em y + x = 3, obtemos

              5

              

            2

              x + 4 = 0 (3.2) − 3x

              

            que ´e exatamente R y (f, g). Assim, as abscissas das interse¸c˜oes entre f e g s˜ao as solu¸c˜oes

            da equa¸c˜ao

              Entretanto, na equa¸c˜ao de uma curva nem sempre ´e f´acil escrever uma vari´avel em fun¸c˜ao das outras e, assim, ´e necess´ario encontrar outras estrat´egias para calcular as interse¸c˜oes.

              Neste cap´ıtulo, apresentamos uma maneira de calcular o ´Indice de Interse¸c˜oes en- tre quaisquer duas curvas, que nem sempre coincide com a quantidade de pontos de interse¸c˜ao, mas identifica a multiplicidade delas. Para isso vamos introduzir alguns con- ceitos como, Anel Coordenado e Valora¸c˜ao, al´em da rela¸c˜ao entre ´Indice de Interse¸c˜ao e Resultante de duas curvas. Defini¸ c˜ ao 3.2

              Sejam K um corpo e f um elemento do ideal maximal M =&lt; x, y &gt; de

              K[[x, y]]. Definimos o Anel Coordenado da curva (f ) como sendo a K-´algebra K[[x, y]] O f = .

              &lt; f &gt; Se h ∈ K[[x, y]] e B ⊂ K[[x, y]] ´e um ideal dizemos que h ´e a classe residual de h em O f e B ´e o conjunto das classes residuais dos elementos de B.

              Proposi¸ c˜ ao 3.3 O anel O f possui um ´ f unico ideal maximal M = M = &lt; x, y &gt;. Demonstra¸ c˜ ao : De fato, suponha que exista um ideal I de O f f . tal que M ( I ⊂ O

              (x, y) + yh

              1

              2 Ent˜ao existe h ∈ I\M, isto ´e, h(x, y) = xh (x, y) + c, onde c ∈ K\{0}. Assim h(x, y) ´e invert´ıvel e, portanto, I = O f . Se existe outro ideal maximal J de O f ent˜ao existe g(x, y) ∈ J\M, e com o mesmo racioc´ınio, g(x, y) ´e invert´ıvel e portanto J = O f .

              ✷ Proposi¸ c˜ ao 3.4 Se f ´e irredut´ıvel, ent˜ao O f ´e um dom´ınio de integridade.

              Demonstra¸ c˜ ao : f

              Sejam g, h ∈ O tais que gh = 0. Ent˜ao, gh ∈&lt; f &gt; e isso implica que f |gh. Como f ´e irredut´ıvel ent˜ao f|g ou f|h, isto ´e, g = 0 ou h = 0. ✷ Se f ´e irredut´ıvel, ent˜ao denotamos o corpo das fra¸c˜oes de O f por K f . Teorema 3.5

              Dadas (f ) e (g) duas curvas alg´ebricas planas ent˜ao O f g se, e so-

              ≃ O mente se, (f ) ∼ (g).

              Demonstra¸ c˜ ao : Suponha que (f ) ∼ (g). Ent˜ao existe um K-automorfismo φ tal que φ(f ) = gu, para alguma unidade u ∈ K[[x, y]].

              Considere g π : K[[x, y]] −→ O p(x, y)

              7−→ p(x, y). Assim, g

              π ◦ φ : K[[x, y]] −→ O q(x, y) 7−→ φ(q(x, y)) ´e um homomorfismo sobrejetor.

              Al´em disso, Ker(π ◦ φ) = {p ∈ K[[x, y]]; (π ◦ φ)(p) = 0}

              = {p ∈ K[[x, y]]; π(φ(p)) = 0} = {p ∈ K[[x, y]]; φ(p) = 0} = {p ∈ K[[x, y]]; φ(p) ∈&lt; g &gt;} p = {p ∈ K[[x, y]]; φ(p) = g · h } − −

              1

              1

              (h p = {p ∈ K[[x, y]]; p = φ (g) · φ )}

              1 − 1 −

              1

              (u (h p = {p ∈ K[[x, y]]; p = f · φ ) · φ )} = &lt; f &gt; .

              K[[x, y]] K[[x, y]] Pelo Teorema do Isomorfismo segue que O f = = g .

              ≃ O &lt; f &gt;

              Ker(π ◦ φ) Reciprocamente, suponha O f g . Se f e g s˜ao regulares, pela Proposi¸c˜ao

              ≃ O (f ) ∼ (g). f g atrav´es Sen˜ao, sem perda de generalidade, podemos supor que mult(g) ≥ 2 e O ≃ O do isomorfismo φ tal que

              φ(x) = t

              1

              φ(y) = t ,

              2

              onde t

              1 , t

              2

              ∈ M, e a barra simples e a barra dupla representam as classes residuais de O f e O g respectivamente. Defina tamb´em

              φ : K[[x, y]] −→ K[[x, y]]

              1

              x 7−→ t .

              2

              y 7−→ t Como φ ´e um isomorfismo, existem r(x, y), s(x, y)

              ∈ K[[x, y]] tais que, x = φ(r(x, y)) = r(t , t ),

              1

              2 y = φ(s(x, y)) = s(t , t ).

              1

              2 Assim,

              2

              , t , t , e

              1

              2

              1

              2

              x − r(t ) = 0 =&lt; g &gt; que implica x − r(t ) ∈&lt; g &gt;⊂ M

              2 1 , t 2 1 , t

              2 y − s(t ) = 0 =&lt; g &gt; que implica que y − s(t ) ∈&lt; g &gt;⊂ M , pois mult(g) ≥ 2.

              Da´ı, t

              1

              2 = ax + by + · · · e t = cx + dy + · · · .

              Afirma¸c˜ao: ad − bc 6= 0. De fato, r(t , t ) = mt + nt

              1

              2

              1

              

            2

            • · · · = m(ax + by) + n(cx + dy) + · · · = x(ma + cn) + y(mb + nd) + · · · ,

              , t

              1

            2 Como mult(x − r(t )) ≥ 2 ent˜ao os termos de grau 1 n˜ao devem existir, isto ´e,

              mult(x − x(ma + nc) − y(yb + nd) + · · · ) ≥ 2 implica que ma + nc = 1 mb + dn = 0 e assim, ma 6= −nc ⇒ mad 6= −ncd ⇒ mad 6= mbc ⇒ ad 6= bc ⇒ ad − bc 6= 0.

              Seja f ∈ K[[x, y]] regular em y de ordem n. Ent˜ao O f ´e um K[[x]]- m´odulo livre de posto n gerado pelas classes residuais y i de y i , para cada i = 0, · · · , n−1, em O f , isto ´e, O f

              ) = f h , onde h = φ

              1

              (h

              1 ).

              Disso segue que φ(f ) = gh = φ(f )φ(h )h, e assim mult(h ) + mult(h) = 0 e, portanto, h ´e unidade. Logo (f ) ∼ (g).

              ✷ Proposi¸ c˜ ao 3.6

              = K[[x]] ⊕ K[[x]]y ⊕ · · · ⊕ K[[x]]y n−

              (h

              1 .

              Demonstra¸ c˜ ao : Dado g ∈ K[[x, y]] ent˜ao, pelo Algoritmo da Divis˜ao (Teorema , existem h ∈ K[[x, y]] e a i (x) ∈ K[[x]], para i = 0, · · · , n − 1, tais que g = f h + a (x) + a

              1

              (x)y + · · · + a n−

              1

              (x)y n−

              1

              1

              Consequentemente, 0 = φ(f ) = f (t

              2

              1

              , t

              

            2

              ) = f (t

              1

              , t

              ) = φ(f ) e, segue que φ(f ) ∈&lt; g &gt;, isto ´e, φ(f) = gh.

              (g) = f · φ

              Resta mostrar que h ´e unidade. Temos mult(f ) = mult(φ(f )) = mult(g) + mult(h) ≥ 2. Como φ(f ) = gh ent˜ao, f = φ

              1

              (g)φ

              1

              (h) ⇒ φ

              

            1

              1 . Assim, n−

              1

              g = a (x) + a

              1 n− 1 (x)y . n− (x)y + · · · + a

            1 Resta mostrar que 1, y s˜ao livres.

              · · · , y Sejam b n−

              1

              (x), · · · , b (x) ∈ K[[x]] tais que n−

              1

              b (x) + b n− (x)y = 0,

              1

              1

              (x)y + · · · + b n−

              1 n−

              1

              ent˜ao, b (x)+b

              1 n− 1 (x)y (x)+b 1 n− 1 (x)y =

              (x)y+· · ·+b ∈&lt; f &gt;, isto ´e, b (x)y+· · ·+b f q, para algum q ∈ K[[x, y]] ou, equivalentemente n−

              1 1 n− 1 (x)y ) = 0.

              f q + (−b (x) − b (x)y − · · · − b J´a que 0 = f · 0 + 0, segue pela unicidade do Algoritmo da Divis˜ao que n−

              1

              b (x) + b

              1 n− 1 (x)y = 0.

              (x)y + · · · + b Logo, b (x) = b n− (x) = 0 e portanto O f ´e um K[[x]]-m´odulo de base

              1

              1 n− (x) = · · · = b 1 {1, y, · · · , y }.

              ✷ Proposi¸ c˜ ao 3.7 n Seja f ∈ K[[x, y]] regular de ordem n em y e irredut´ıvel. Considere

              (t , ϕ(t)) uma parametriza¸c˜ao de Puiseux da curva (f ), ent˜ao a aplica¸c˜ao H ϕ

              : K[[x, y]] −→ K[[t]] n , ϕ(t)) g 7−→ g(t

              ´e um homomorfismo de K-´algebras com KerH ϕ =&lt; f &gt;.

              ´ Demonstra¸ c˜ ao

              : E claro que H ϕ ϕ . Resta ´e um homomorfismo e que &lt; f &gt;⊂ KerH mostrar que KerH ϕ ϕ ⊂&lt; f &gt; .

              Seja g ∈ KerH . Pelo Algoritmo da Divis˜ao (Teorema , existem q ∈ K[[x, y]] e y r &lt; n ou r = 0, tais que: r ∈ K[[x]][y], com gr n g = f q + r. n 1 Como (t , ϕ(t)) ´e uma parametriza¸c˜ao de Puiseux de (f ), existe α = ϕ(x ) tal que ϕ implica que 0 = g(t , ϕ(t)) = g(x, ϕ(x )) = g(x, α) n n 1 f (x, α) = 0. Al´em disso, g ∈ KerH e, assim, 0 = g(x, α) = f (x, α)q(x, α) + r(x, α) ⇒ r(x, α) = 0.

              Desta forma o polinˆomio minimal m α (x) de r sobre K((x)) divide r(x, y). Por outro lado, pelo Teorema gr(m α (x)) = n que, por sua vez, ´e maior que gr y r(x, y) e isto n˜ao pode ocorrer. Portanto r(x, y) = 0 .

              1 a

              ...

              a n−

              1

              1

              a n−

              1 2 · · · a n−

              1 n

            ou

              1 a

              1 a

              2 1 · · · a n−

              1

              1

              2

              2 n ...

              a

              2 2 · · · a n−

              1

              2

              1 a

              3

              a

              2 3 · · · a n−

              1

              3 ... ... ... ...

              1 a n a

              2 n · · · a n−

              . .. ...

              a

              Logo, g = f q e, portanto, kerH ϕ =&lt; f &gt; .

              Observe que quando f ´e regular em x, podemos fazer uma mudan¸ca de pap´eis entre x e y e usar resultados similares aos obtidos para o caso em que f ´e regular em y.

              ✷ Agora deduzimos uma das propriedades fundamentais das curvas que s˜ao representa- das por s´eries de potˆencias irredut´ıveis regulares de ordem n em y com a parametriza¸c˜ao de Puiseux dada por (t n , ϕ(t)).

              Considere o homomorfismo injetor de K-´algebras H ϕ : O f −→ K[[t]] dado por

              H ϕ (¯ g(x, y)) = g(t n , ϕ(t)), para todo ¯ g(x, y) ∈ O f . Tal homomorfismo nos permite iden- tificar O f com a sub´algebra A ϕ de K[[t]] definida por A ϕ := H ϕ (O f ) = K[[t n , ϕ(t)]].

              Se ξ denota uma n-´esima raiz da unidade, ent˜ao A ψ ≃ A ϕ , sempre que ψ(t) = ϕ(ξt), atrav´es do automorfismo: h ξ

              : K[[t]] −→ K[[t]] p(t) 7−→ p(ξt). Al´em disso, pela Proposi¸c˜ao temos que

              A ϕ = H ϕ (O f ) = H ϕ

              K[[x]] ⊕ K[[x]]y ⊕ · · · ⊕ K[[x]]y n−

              1

              = K[[t n ]] ⊕ · · · ⊕ K[[t n

              ]]ϕ n−

              1 (t).

              Do Teorema segue que o corpo das fra¸c˜oes de A ϕ ´e K((t)).

              Defini¸ c˜ ao 3.8

              2 2 · · ·

              Chamamos de Matriz de Vandermonde uma matriz da forma

              

              1

              1 · · ·

              1 a

              1

              a

              2

              · · · a n a

              2

              1

              a

              1 n .

              Os elementos a , a n s˜ao chamados elementos Caracter´ısticos da matriz.

              1

              2

              , · · · , a Teorema 3.9

              Seja V uma matriz de Vandermonde. O determinante da matriz de

            Vandermonde V ´e o produto de todas as diferen¸cas poss´ıveis entre os elementos carac-

            ter´ısticos, isto ´e,

            Y

              det(V ) = (a i j ), i&lt;j − a onde a s s˜ao os elementos caracter´ısticos de V . i Demonstra¸ c˜ ao

              : A demonstra¸c˜ao deste teorema segue por indu¸c˜ao sobre a ordem da matriz de Vandermonde.

              ✷ Teorema 3.10 n 1 Seja f ∈ K[[x]][y] um Pseudo-polinˆomio de grau n e considere ϕ ∈

              K[[x ]] tal que f (x, ϕ) = 0. Se D y (f )(x) ´e o discriminante de f (x, y) em K[[x]], ent˜ao n D (f )(t . y ϕ )K[[t]] ⊂ A n

              Demonstra¸ c˜ ao : ))[ϕ] segue, do

              Seja β ∈ K[[t]]. Como K[[t]] ⊂ K((t)) = K((t n Teorema que existem a i (t

              ) ∈ K((t)) tais que n− X

              1 n i β = a i (t )ϕ . n n i =0

              Pelo Lema na Se¸c˜ao Para cada j = 0, · · · , n − 1, defina j

              β j = ξ ∗ β n− j n i X

              1

              = ξ a (t )ϕ i n−i =0 X

              1 n i

              = a i (t )ϕ , i j j =0 onde ϕ j = ξ ∗ ϕ. i Tais β s d˜ao origem a um sistema, que por sua vez d´a origem a matriz (c ij ) = (ϕ ). j j

              O determinante desta matriz ´e um determinante de Vandermonde e, consequentemente,

              ∆ = Y r&gt;sr − ϕ s ).

              1 X i =0

              e, tamb´em, ∆

              2

              a i (t n ) = ∆M i ∈ K[[t]]. Observe que para todo j = 0, · · · , n − 1,

              ξ j ∗ ∆

              2

              a i (t n ) = ∆

              

            2

              a i (t n ) ∈ K[[t n ]].

              Visto que β = n−

              1 X i =0

              a i (t ni , obtemos D y (f )(t n

              )β = ±∆

              2 n−

              a i (t ni = ± n−

              ∈ K[[t]], segue da Regra de Crammer que a i (t n ) = ∆

              1 X

            i

            =0

              ∆

              2

              a i (t nin−

              1 X i =0

              K[[t n ]]ϕ i = A ϕ . Como β ∈ K[[t]], o resultado segue.

              ✷ Corol´ ario 3.11

              Seja A ϕ = H ϕ (O f ) ent˜ao,

              dim K K[[t]]

              A ϕ &lt; ∞. Demonstra¸ c˜ ao : Pelo Teorema temos D y (f )(t n

              )K[[t]] ⊂ A ϕ assim, dim K

              K[[t]] A ϕ

              &lt; dim K K[[t]]

              &lt; D y (f )(t n ) &gt; = mult(D y (f )(t n )) &lt; ∞.

              1 M i

              1

              Assim, segue do Corol´ario D y (f ) = Y i6

              · · · ϕ n−

              =j

              (α i − α j ).

              Contudo temos ∆

              2

              = Y r&gt;s (ϕ r − ϕ s )

              2

              = D

              2 y

              (f )(t n ), o que implica que ∆ = ±D y (f )(t n ). Portanto, ∆

              2

              ∈ K[[t n ]] ⊂ K[[t]]. Al´em disso, dado

              M i = ϕ

              · · · β

              1

              1 n−

              ϕ

              1 · · ·

              β

              

            1

              · · · ϕ n−

              1

              1 ...

              . ..

              ...

              . ..

              ... ϕ n−

              1 · · · β n−

              

            1

              · · · ϕ n−

              ✷ Defini¸ c˜ ao 3.12

              A fun¸c˜ao v f : O f f (g) = mult(H ϕ (g)) ´e

              \{0} −→ N, definida por v chamada Valora¸c˜ao associada `a f .

              Proposi¸ c˜ ao 3.13 f ent˜ao,

              Sejam g, h ∈ O

              i) v (g (g) + v (h); f f f · h) = v ii) v f (1) = 0; iii) v f (g + h) f (g), v f f f (h).

              ≥ min{v (h)}. A igualdade ocorre se v (g) 6= v Demonstra¸ c˜ ao

              : As demonstra¸c˜oes seguem da defini¸c˜ao e das propriedades de multi- plicidade.

              ✷

              ´

            3.1 Indices de Interse¸ c˜ ao

              Vimos anteriormente que a equa¸c˜ao que descreve interse¸c˜ao entre uma curva f ∈ C[x, y] e Q n m i a reta l dada por y = ax+b pode ser escrita como f l (x) = f (x, ax+b) = c i ) , i =1 (x−x onde x s˜ao as abscissas dos pontos de interse¸c˜ao e m ´e a multiplicidade da raiz x de i i i f l . No caso de interse¸c˜ao entre reta e curva, o ´Indice de Interse¸c˜ao de l e f no ponto (x i , ax i + b) coincide com a multiplicidade da ra´ız x i de f l .

              O c´alculo de ´Indice de Interse¸c˜ao entre curvas ´e feito de forma diferente. Dado um polinˆomio p ∈ K[x], podemos encontrar a multiplicidade da raiz α calculando p em x+α e m m obtemos p(x+α) = x u(x), onde u(x) ´e unidade em K[[x]]. Assim, &lt; p(x+α) &gt;=&lt; x &gt; e disso,

              K[[x]] K[[x]] = , m

              &lt; p(x + α) &gt; &lt; x &gt; e mais, K[[x]] K[[x]] dim K = dim k = m. m

              &lt; p(x + α) &gt; &lt; x &gt; K [[x]] Portanto, a multiplicidade da raiz α coincide com dim k m . &lt;x &gt; A partir dessa ideia definimos a interse¸c˜ao entre curvas. Nesta se¸c˜ao vamos ver tamb´em resultados que determinam t´ecnicas para seu c´alculo. Vamos considerar K um corpo e denotamos M o ideal maximal de K[[x, y]]. Defini¸ c˜ ao 3.14

              Sejam f e g ∈ M. O ´Indice de Intersec¸c˜ao de f e g ´e a dimens˜ao do

              K[[x, y]] K-espa¸co vetorial , isto ´e,

              &lt; f, g &gt; K[[x, y]] I(f, g) = dim K . &lt; f, g &gt;

              O f Observe que I(f, g) = , onde g denota a classe residual de g em O f . &lt; g &gt;

              Defini¸ c˜ ao 3.15 Duas curvas alg´ebricas (f ) e (g) s˜ao transversais se (f ) e (g) s˜ao regu- lares e suas retas tangentes s˜ao distintas.

              Teorema 3.16

              Sejam f, g, h ∈ M, ϕ um automorfismo de K[[x, y]] e uma unidade

              u ∈ K[[x, y]], ent˜ao i) I(f, g) &lt; ∞ se, e somente se, f e g s˜ao relativamente primos; ii) I(f, g) = I(g, h); iii) I(ϕ(f ), ϕ(g)) = I(uf, ug) = I(f, g); iv) I(f, gh) = I(f, g) + I(f, h); v) I(f, g) = 1 se, e somente se, (f ) e (g) s˜ao transversais. vi) I(f, g − hf) = I(f, g). Demonstra¸ c˜ ao

              : Os itens ii) iii) e vi) seguem da defini¸c˜ao. i) Podemos associar f e g a pseudo-polinˆomios visto que I(f, g), f e g serem relati- vamente primos s˜ao preservados por automorfismos. Suponha que f e g s˜ao relativamente primos em K[[x, y]] ent˜ao, pela Proposi¸c˜ao r

              R y y (f, g) = x (f, g) 6= 0 e assim R u, onde u ´e unidade e r ≥ 0.

              Pela Proposi¸c˜ao R y y r (f, g) ∈&lt; f, g &gt; e, pelo fato de R (f, g)(0) = 0 e u(0) 6= 0, segue que x ∈&lt; f, g &gt; e r &gt; 0.

              Suponha que gr y (f ) = n. Dado h ∈ K[[x, y]], pelo Algoritmo da Divis˜ao (Teorema n−

              1

              (x) + a

              1 n− 1 (x)y

              , existem q ∈ K[[x, y]] e a (x)y + · · · + a ∈ K[[x]][y] tais que n−

              1 h = f q + a (x) + a n− (x)y .

              1

              1

              (x)y + · · · + a Assim, n−

              1

              h = a (x) + a (x)y ,

              1 n−

              (x)y + · · · + a

              1 K

              [[x,y]] i j

              ou seja, ´e um K-espa¸co vetorial gerado por x y &lt;f,g&gt; , com 0 ≤ i ≤ r−1 e 0 ≤ j ≤ n−1. Logo, I(f, g) ´e finito.

              Reciprocamente, suponha que f e g n˜ao s˜ao relativamente primos, ent˜ao existem g ,

              1

              f

              1 1 h e g = g

              1

              h. Assim, ∈ K[[x]][y], n˜ao unidades e Pseudo-polinˆomios, tais que f = f &lt; f, g &gt;⊂&lt; h &gt;.

              K[[x, y]]

            2 Al´em disso, 1, x, x

              . De fato, , · · · s˜ao linearmente independentes sobre K em m h sejam k , k

              1 m 1 + k 1 m x = 0, ent˜ao

              , · · · , k ∈ K tais que k x + · · · + k m k + k m x = hh , com h

              1

              1

              1

              x + · · · + k ∈ K[[x, y]]. Mas h ∈ K[[x]][y] ´e Pseudo-polinˆomio e, portanto, k = k m = 0.

              1

              = · · · = k Desta forma,

              K[[x, y]] K[[x, y]] dim K K ≥ dim = ∞. &lt; f, g &gt; &lt; h &gt; Logo I(f, g) ´e infinito. iv) Se mostrarmos que a sequˆencia ψ φ / / / / / / / / O f O f O f

              &lt; h &gt; &lt; gh &gt; &lt; g &gt; ´e exata ent˜ao,

              O f O f O f dim K = dim K + dim K , &lt; gh &gt; &lt; h &gt; &lt; g &gt; ou, equivalentemente,

              I(f, gh) = I(f, h) + I(f, g). A barra simples representar´a a classe residual m´odulo &lt; h &gt; e a barra dupla repre- sentar´a a classe residual m´odulo &lt; hg &gt;. O homomorfismo ψ ´e definido por ψ(a) = ga e φ ´e induzido pela proje¸c˜ao π : O f −→

              O f , assim

              &lt; g &gt; O f ker(φ) = {a ∈ ; φ(a) ∈&lt; g &gt;}

              &lt; gh &gt; O f

              = {a ∈ ; π(a) ∈&lt; g &gt;} &lt; gh &gt;

              O f = {a ∈ ; a+ &lt; g &gt;∈&lt; g &gt;}

              &lt; gh &gt; &lt; g &gt;

              = &lt; gh &gt; = Im(ψ).

              Dado z ∈ Ker(ψ) ent˜ao,

              ψ(z) = 0 ⇔ gz = 0

              1

              ⇔ gz = ghk ⇔ z ∈&lt; h &gt; ⇔ z = 0.

              Contudo temos ψ ´e injetora, φ ´e sobrejetora e Im(ψ) = Ker(φ), portanto, I(f, gh) = I(f, h) + I(f, g). v) Suponha que (f ) e (g) s˜ao regulares com retas tangentes distintas. Com uma

              2

              mudan¸ca de coordenadas podemos assumir que existem f , g em que f = x + f

              1

              1

              1

              ∈ M e g = y + g . Podemos reescrever como f = ux + yf e g = vy + xg , onde u e v s˜ao

              1

              2

              2 unidades.

              Vamos mostrar que y ∈&lt; f, g &gt; e x ∈&lt; f, g &gt; e, assim, &lt; f, g &gt;=&lt; x, y &gt;. Temos que:

              1 −

              1

              g f g f

              2

              2

              2

              2

              y(v − u ) = yv − yu

              1

              g

              2

              = yv − u (f − ux) − −

              1

              1

              g

              2 f + u uxg

              2

              = yv − u

              1

              g f + xg

              2

              2

              = yv − u

              1

              g

              2 = g − u f ∈&lt; f, g &gt; .

              −

              1

              1

              g f g f ) ´e unidade e,

              2

              2

              2

              2 Al´em disso, (v − u )(0, 0) = v(0, 0) 6= 0, ou seja, (v − u portanto, y ∈&lt; f, g &gt;.

              Analogamente temos que x ∈&lt; f, g &gt; e, portanto, K[[x, y]] K[[x, y]] I(f, g) = dim K = dim K = 1. &lt; f, g &gt; &lt; x, y &gt;

              Reciprocamente, vamos supor que (f ) e (g) n˜ao s˜ao transversais e vamos mostrar que I(f, g) 6= 1. Se (f ) e (g) n˜ao s˜ao transversais, ent˜ao mult(f ) ≥ 2, ou mult(g) ≥ 2, ou possuem a mesma reta tangente. Ap´os uma mudan¸ca de coordenadas, se necess´ario, temos f =

              2

              yf

              1 + f 2 e g = yg 1 + g 2 com f 2 e g 2 e f 1 , g

              1 ∈ M ∈ K[[x, y]].

              2

              e, portanto, Assim, &lt; f, g &gt;⊂&lt; y &gt; +M

              K[[x, y]] K[[x, y]] K[[x]] I(f, g) = dim K K = dim K = 2.

              ≥ dim

              2

              2

              &lt; f, g &gt; &lt; x &gt; &lt; y &gt; +M

              ✷ Teorema 3.17 Considere a seguinte aplica¸c˜ao:

              I : M × M −→ N ∪ {∞} (f, g). (f, g) 7−→ I Se I satisfaz todos os itens do Teorema ent˜ao I = I.

              Demonstra¸ c˜ ao : Se I (f, g) = 1 ent˜ao (f ) e (g) s˜ao transversais e, portanto, I(f, g) = 1. ′ ′ Suponha que se I (f, g) = I(f, g).

              (f, g) ≤ r − 1 ent˜ao I (f, g) = r e considere um automorfismo φ de K[[x, y]]

              Sejam f, g ∈ M\{0} tal que I tal que φ(f ) = pu

              1 e φ(g) = qu 2 , onde u 1 e u 2 s˜ao unidades e p, q s˜ao Pseudo-polinˆomios.

              Pelo item (iii) do Teorema temos: ′ ′ I (f, g) = I (p, q) e I(f, g) = I(p, q).

              Sem perda de generalidade, podemos supor que n = gr y y (q) = m. m−n (p) ≤ gr Defina q p = xq , desta forma,

              1

              2 ′ ′ m−n ′ ′ ′ ′ = q − y I (p, q) = I p) = I (p, q ) = I (p, xq ) = I (p, x) + I (p, q ).

              

            1

              2

              2

              (p, q − y

            • y m−n

              5

              2

              , x

              3

              − x

              5

              )) = I(y

              3

              − x

              (y

              2

              2

              ) − y

              2

              − x

              7

              , (y

              3

              − x

              5

              (xy

              − 1)) = I(y

              2

              , x) = 2 · 5 · I(y, x) = 10.

              =1

              Demonstra¸ c˜ ao : Se f e g possuem fatores em comum ent˜ao I(f, g), mult(R y (f, g)) e P r i

              I(f, g) = r X i =1 v f i (g) = mult(R y (f, g)).

              composi¸c˜ao de f em fatores irredut´ıveis de Pseudo-polinˆomios, ent˜ao

              · · · .f r uma de-

              2

              .f

              1

              Teorema 3.19 Sejam f, g Pseudo-polinˆomios em K[[x]][y] e f = f

              5

              5

              , x) = 2 · I(y

              3

              − x

              5

              ) = 2 · I(y

              2

              , x

              3

              − x

              ) = I(y

              − x

              Se q

              2 ) ≤ r − 1.

              2

              ) = I(p, x) + I(p, q

              2

              I (p, q) = I (p, x) + I (p, q

              Logo,

              2 ).

              ) = I(p, q

              2

              Por hip´otese de indu¸c˜ao segue que I (p, x) = I(p, x) e I (p, q

              (p, q

              1

              ) ⇒ I (p, x) ≤ r − 1 e I

              2

              n˜ao ´e unidade ent˜ao, r = I (f, g) = I (p, x) + I (p, q

              2

              I (p, q) = I (p, x) = I (y n , x) = nI (y, x) = n. Se q

              ) = I (p, x) e, assim,

              2

              ´e unidade segue do Teorema que I (p, xq

              2

              ) = I(p, q

              p) = I(p, q)

              7

              2

              , y

              3

              − x

              5

              ) = I(y

              3

              − x

              5

              , y

              − x

              e, portanto, I = I.

              7

              I(f, g) = I(y

              3 ent˜ao,

              − x

              

            5

              2 e g = y

              − x

              7

              ✷ Exemplo 3.18 Dados f = y

              v f i (g) s˜ao infinitos e, portanto n˜ao h´a o que provar. Vamos analisar o caso de quando f e g n˜ao possuem termos em comum.

              X Y n n

              Como I(f, g) = I(f , g) e R (f, g) = R (f , g), se provarmos que para f irre- i =1 i =1 i y y i dut´ıvel temos I(f, g) = v (g) = mult(R (f, g)) ent˜ao, f y X n n n X X I(f, g) = I(f i , g) = v f i (g) = mult(R y (f i , g)) i =1 i =1 i =1 Y n = mult( R y (f i , g)) = mult(R y (f, g)). i

              =1 Ent˜ao faremos isso. n Seja f irredut´ıvel, n = gr (f ) e (t , ϕ(t)) uma parametriza¸c˜ao de Puiseux de f . y

              Defina a seguinte aplica¸c˜ao: L : K[[t]] −→ K[[t]] n , ϕ(t)). n h(t) −→ h(t)g(t

              Pela Proposi¸c˜ao g(t , ϕ) = 0 se, e somente se, g ∈&lt; f &gt;. Como f e g n˜ao possuem termos em comum segue que L ´e injetora. n

              Seja W o K-subespa¸co A ϕ = K[[t , ϕ]] de V = K[[t]]. Sabemos que A ϕ f , al´em ≃ O disso,

              W A ϕ O f = f . (3.3) n ≃ , onde g ∈ O

              L(W ) g(t , ϕ(t))A ϕ &lt; g &gt;

              V K[[t]] = . (3.4) n

              L(V ) &lt; g(t , ϕ(t)) &gt; Pelo Corol´ario temos que

              V K[[t]] dim K = dim K &lt; ∞. V V W A ϕ

              Como dim K K W &lt; ∞, dim L &lt; ∞, por um resultado de ´algebra linear segue que,

              (V )

              W

              V dim K = dim K . (3.5) L(W ) L(V )

              Al´em disso,

              V K[[t]] n dim K = dim K = mult(g(t , ϕ(t))) = v f (3.6) n (g) &lt; ∞. L(V ) &lt; g(t , ϕ(t)) &gt;

              = mult((at n + bϕ(t)) m ) = m · mult((at n

              =1

              (t n , ϕ(t)) + · · · )

              I(f, g) = mult(g(t n , ϕ(t))) = mult ((at n + bϕ(t)) m + g m

              Suponha que g(x, y) = (ax + by) m + g m +1 (x, y) + · · · . Ent˜ao, pelo Teorema

              Sendo f irredut´ıvel, regular em y e de multiplicidade n, podemos considerar a para- metriza¸c˜ao de Puiseux (t n , ϕ(t)) de (f ). Como o cone tangente de (f ) ´e dado por (y n ), temos mult(ϕ(t)) &gt; n.

              Demonstra¸ c˜ ao : Suponha que f, g ∈ M s˜ao irredut´ıveis e considere uma mudan¸ca de coordenadas de modo que f e g s˜ao associados a Pseudo-polinˆomios em K[[x]][y] e y ´e uma reta tangente de (f ).

              Se f, g ∈ M, ent˜ao I(f, g) ≥ mult(f) · mult(g). A igualdade ocorre se, e somente se, (f ) e (g) n˜ao possuem retas tangentes em comum.

              ✷ Teorema 3.20

              Portanto, I(f, g) = v f (g) = mult(g(t n , ϕ)) = mult(R y (f, g)).

              = mult(g(t n , ϕ)) = v f (g)

              g(x, ϕ(ξx 1 n ))) = n.mult(g(x, ϕ(ξx 1 n ))

              Da´ı, mult(R y (f, g)) = mult( Q n i

              Contudo temos, I(f, g) = dim K

              g(x, ϕ(ξx 1 n )), onde ξ ´e uma n-´esima raiz primitiva da unidade.

              =1

              Por outro lado temos pela Proposi¸c˜ao R y (f, g) = n Y i

               = v f (g).

              V L(V )

              = dim K

              

              L(W )

              = dim K W

              

              O f &lt; g &gt;

            • 1
            • bϕ(t)) ≥ m · n = mult(g)mult(f ).
            Observe que se a 6= 0, ent˜ao I(f, g) = mult(g)mult(f) e, assim, a reta tangente de g ´e x, isto ´e, (f ) e (g) tem retas tangentes distintas.

              ✷ Cap´ıtulo 4 Resolu¸ c˜ ao de Singularidades de Curvas Planas

              Agora j´a temos os pr´e-requisitos para mostrar que, a partir da transforma¸c˜ao quadr´atica, que definimos a seguir, ´e poss´ıvel transformar uma curva singular em uma curva regular. Mais ainda, apresentamos a F´ormula de Noether que nos permite calcular o ´ındice de interse¸c˜ao entre duas curvas irredut´ıveis. Para calcular o ´ındice de interse¸c˜ao precisamos aplicar sucessivas vezes a transforma¸c˜ao estrita na s´erie que define a curva ent˜ao, neste cap´ıtulo, definimos Transforma¸c˜ao estrita. Al´em disso, apresentamos um resultado que nos ajuda a verificar quando a s´erie ´e redut´ıvel, isto ´e, se a transforma¸c˜ao estrita da s´erie ´e redut´ıvel, ent˜ao a s´erie ´e redut´ıvel.

              Exceto men¸c˜ao contr´aria, vamos considerar K um corpo algebricamente fechado. Defini¸ c˜ ao 4.1

              Uma Transforma¸c˜ao Quadr´atica sobre K[[x, y]] ´e um homomorfismo de

              K-´algebras tal que,

              1 , y 1 ]]

              σ : K[[x, y]] −→ K[[x

              1

              x 7−→ x y .

              1

              1

              y 7−→ x

              Podemos considerar tamb´em a seguinte transforma¸c˜ao quadr´atica:

              , y ]]

              1

              1

              τ : K[[x, y]] −→ K[[x y

              1

              1

              x 7−→ x .

              1

              y 7−→ y Note que σ e τ n˜ao s˜ao sobrejetoras e, portanto, n˜ao s˜ao invert´ıveis, mas definem um isomorfismo entre K((x, y)) e K((x , y )), que s˜ao os corpos sa fra¸c˜oes de K[[x, y]] e

              1

            1 K[[x , y ]], respectivamente. Observe tamb´em que σ(< x, y >) =< x , x y >=< x >.

              1

              1

              1

              1

              1

              1

            1 Temos que T (0, 0) ´e a reta E : x = 0 e, ´e chamada divisor excepcional da trans-

              1 forma¸c˜ao quadr´atica.

              Agora, considere a seguinte s´erie formal de multiplicidade n: f (x, y) = f n (x, y) + f n

            • +1

              (x, y) + · · · ∈ K[[x, y]].

              (1)

              A transforma¸c˜ao estrita via σ da curva (f ) ´e denotada por f e ´e dada pela s´erie σ(f ) σ (f ) = n x

              1 Proposi¸ c˜ ao 4.2 Dados f, g ∈ K[[x, y]] ent˜ao:

              i) σ (f ) ´e invert´ıvel em K[[x ∗ ∗ ∗ 1 , y 1 ]] se, e somente se, f ´e regular em x; ii) σ (f g) = σ (f )σ (g); iii) mult(σ

              (g)) ≤ mult(f); n iv) Se f ´e um polinˆomio de Weierstrass em K[[x]][y], de grau n e cone tangente (y )

              ent˜ao σ (f ) ´e um Pseudo-polinˆomio de grau n em y; ∗ ∗ v) Se f ´e irredut´ıvel ent˜ao, ou σ (f ) ´e irredut´ıvel ou σ (f ) ´e unidade.

              Demonstra¸ c˜ ao : i) Seja f (x, y) ∈ K[[x, y]] tal que mult(f) = n. σ(f ) Sabemos que σ (f ) = = f n (1, y ) + x f n (1, y (f ) ´e invert´ıvel

              1 1 +1

              1 n ) + · · · . Como σ x n−

              1

              1 n

              ent˜ao f n (1, y ) = c + c y , onde c n (x, y) = c x

              1

              1 1 ∈ K\{0} e, desta forma, f + · · · .

              Assim, mult(f (x, 0)) = n = mult(f ). Portanto f ´e regular em x. n

              Reciprocamente, suponha que mult(f (x, 0)) = mult(f ). Ent˜ao f (x, 0) = cx n + · · · com c 6= 0 e, como mult(f) = n, f(x, y) = cx + · · · . Da´ı σ (f ) = f n (1, y

              1 ) + · · · = c + · · · .

              Logo, σ (f ) ´e invert´ıvel. ii) Dados f, g ∈ K[[x, y]] com mult(f) = n e mult(g) = m ent˜ao, f (x y , y )g(x y , y ) f (x y , y ) g(x y , y )

              1

              1

              1

              1

              1

              1

              1

              1

              1

              1

              1

              1 ∗ ∗ σ = = σ (f )σ (g).

              (f · g) = n ·

            • m n m

              x x x

              1

              1

              1

              iii) Observe que σ (f ) = f n (1, y

              1 ) + x

            1 f n +1 (1, y

              1

              ) + · · · . Al´em disso cada polinˆomio homogˆeneo de grau m ´e da forma X j k f m (x, y) = a j,k x y . j

            • k=m

              Assim, X k f n (1, y ) = a j,k y .

              1

            j

              1 +k=n

              Como todos os outros monˆomios de σ (f ) possui termos x , ent˜ao nenhum monˆomio

              1

              de f n (1, y ) pode ser cancelado com outro termo, assim,

              1

              mult(σ (f )) = mult(f n (1, y ) + x f n (1, y n (1, y

              1 1 +1

              

            1

              1 n n− ) + · · · ) = mult(f )) ≤ n = mult(f).

              1

              iv) Dado f (x, y) = y + a

              1 (x)y n n + · · · + a (x) ∈ K[[x]][y], com n ≥ 1, como o cone tangente de (f ) ´e (y ), temos mult(a i n− ) ≥ i, para cada i = 1, · · · , n. Ent˜ao

              1

              a (x )y a n (x ) ∗ n

              1

              1

              1 σ + (f ) = y . 1 + · · · + n

              x x

              1 a i (x ) i 1 i

            1 Como mult = mult(a i (x ) = mult(a i (x

              1

              1 x 1

              )) − mult(x

              1 )) − i ≥ i − i = 0, segue que mult(a i ) σ (f ) ´e Pseudo-polinˆomio.

              v) Pelo Lema a forma inicial de f ´e n f n = (ax + by) , com a e b n˜ao simultaneamente nulos. (f ) ´e unidade.

              Se a 6= 0 ent˜ao f ´e regular em x e pelo item i), σ Se a = 0 e b 6= 0 ent˜ao f ´e regular em y e n˜ao ´e regular em x e isso ocorre se, e n somente se, o cone tangente de (f ) ´e (y ).

              ∗ ∗

              Devemos mostrar que se f ´e irredut´ıvel e σ (f ) n˜ao ´e unidade, ent˜ao σ (f ) ´e irre- ∗ ∗ dut´ıvel. Suponha que f ´e irredut´ıvel, σ (f ) n˜ao ´e unidade mas σ (f ) ´e redut´ıvel. n Como σ (f ) n˜ao ´e unidade ent˜ao f n˜ao ´e regular em x e o cone tangente de (f ) ´e (y ).

              Podemos assumir que f ´e um polinˆomio de Weierstrass, caso contr´ario, pelo Teorema de Weierstrass, podemos trabalhar com seu associado. Observe que se f e g s˜ao associados, isto ´e, existe um unidade u tal que f = g · u, ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ent˜ao σ (f ) = σ (g)σ (u), onde σ (u) ´e unidade, ou seja, σ (f ) e σ (g) s˜ao

              (g · u) = σ associados. ∗ ∗ Pelo item iv) temos que σ (f ) ´e Pseudo-polinˆomio. Visto que σ (f ) ´e redut´ıvel em

              K[[x

              1 , y 1 ]] e Pseudo-polinˆomio, podemos escrevˆe-lo como produto de Pseudo-polinˆomios e irredut´ıveis em K[[x ]][y ].

              1

            1 Considere h(x , y ) um destes fatores, ent˜ao 0 < gr(h) < n e

              1

              1

              f (x , x y )

              1

              1

              1 n

              σ (f (x , y )) = = h(x , y )h (x , y , x y ) = x h(x , y )h (x , y )

              1

              1

              1

              1

              2

              1

              

            1

              1

              1

              1

              1

              1

              2

              1

              1 n

              ) ⇔ f(x

              1

              x

              1 n y y

              1

              1 , y ) = x h x , h x , .

              1

              1

              1

              2

              1

              ⇔ f(x

              1

              x x

              1

              1 Logo f ´e redut´ıvel em K[[x]][y] e, como ´e Pseudo-polinˆomio, f ´e redut´ıvel em K[[x, y]], o que ´e uma contradi¸c˜ao.

              ✷ Proposi¸ c˜ ao 4.3 n Seja f ∈ K[[x, y]] uma s´erie de potˆencias irredut´ıvel com cone tangente

              (y ) e I(f, y) = m. Ent˜ao ∗ ∗ i) I(σ (f ), y (f ), x ) = n;

              1

              1

              ) = m − n e I(σ ii) Se m − n ≥ n, ent˜ao mult(σ (f )) = mult(f ) = n. Mais ainda, se m − n &gt; n, ∗ n

              

            ent˜ao (σ (f )) tem cone tangente (y ) nem (y )

              1

              1 1 ) e, se m − n = n ent˜ao nem (x s˜ao retas tangentes de de (σ (f )); ∗ ∗

              (f ) tem cone tangente iii) Se m − n &lt; n, ent˜ao mult(σ (f )) = m − n &lt; mult(f) e σ m−n (x ).

              1 n n− n 1 +1

              Demonstra¸ c˜ ao : Seja f = a (x)y + a (x)y n (x) + y

              1

            • · · · + a h(x, y) ∈ K[[x]][y], com a (0) 6= 0 e h(x, y) ∈ K[[x, y]].

              Temos que m = I(f, y) = mult(a n (x)) e assim, pelo Lema mult(a n (x)) m mult(a i = i (4.1)

              (x)) ≥ i n n Por outro lado, σ(f )

              σ (f ) = n x

              1 n n n− 1 n− 1 n +1 n +1

              a (x )x y + a (x )x y n (x ) + x y h(x , x y )

              1

              1

              1

              1

              1

              1

              1

              1

              1

              1 1 + · · · + a

              1

              1

              = n x n n− n

              1 1 +1

              = b (x )y + b (x )y n (x ) + x y h(x , x y ),

              1

              1

              1

              1

              1

              1

              1

              1

              1 1 + · · · + b

              1

              a i (x

              1 )

              onde b i (x 1 ) = . i x

            1 Contudo temos,

              a i (x ) m

              1

              (m − n) mult(b i (x )) = mult( ) = mult(a i (x . (4.2)

              1 i )) − i ≥ i − i = i

              1

              x n n

            1 Agora podemos demonstrar os itens i), ii) e iii).

              n i) Como o cone tangente de (f ) ´e (y ), ent˜ao m = mult(a n (x)) &gt; n. Al´em disso,

              (m−n)

              b (x

              1 ) = a (x 1 ) ´e unidade e, assim, mult(b i &gt; 0. Contudo, ∗ n n ) ≥ i n

              I(σ (f ), x ) = I(b (x )y , x ) = I(y , x ) = nI(y , x ) = n

              1

              1

              1

              1

              1

              1

              1

              1 I(σ (f ), y )) = I(b n (x ), y ) = mult(b n (x )) = mult(a n (x

              1

              1

              1

              1

              1 )) − n = m − n. i (x (m−n)

              1

            ii) Observe que se m − n ≥ n ent˜ao, mult(b )) ≥ i n ≥ i. Al´em disso, como ∗ b (0) = a (f )) = n = mult(f ).

              (0) 6= 0 segue que mult(σ i x ) &gt; i assim, (y ) ´e cone tangente de σ (f ). n ∗

            1 Se m − n > n ter´ıamos mult(b

              Se m − n = n, ent˜ao n n n mult(b (x

              1 )y ) = mult(a (x 1 )y ) = mult(a (x 1 )) + mult(y ) = n

              mult(b n (x )) = mult(a n (x

              1

              1 )) − n = m − n = n. n

              Assim, pelo menos b (x )y e b n (x ) tem multiplicidade n, e as outras parcelas de σ (f )

              1

              1

              tem multiplicidade maiores ou igual a n. Desta forma nem (x

              1 ) nem (y 1 ) s˜ao retas tangente de σ (f ). n (x m 1 )) = m, mult(a i (x 1 e m &gt; n

              iii) Suponha que 0 &lt; m − n &lt; n. Como mult(a )) ≥ i n temos, n n mult(b (x )y ) = mult(a (x )y ) = n;

              1

              1

              mult(b n (x )) = mult(a n (x

              1

              1 n−i m )) − n = m − n; mult(b i (x 1 )y ) ≥ i n − i + n − i &gt; i − i + n − i = n − i, para 1 ≤ i ≤ n − 1. n n−

              1 Assim, n = mult(b (x 1 )y ) &gt; mult(b 1 (x 1 )y n (x

              1 ) &gt; · · · &gt; mult(b )) = m − n. m−n

              Portanto, mult(σ (f )) = mult(b n (x ) ´e cone

              1

              )) = m − n &lt; n = mult(f) e (x

              1 tangente de σ (f ).

              ✷ Lema 4.4

              Seja f ∈ K[[x, y]] irredut´ıvel de multiplicidade n &gt; 0 e regular em y. Ent˜ao

            existe um automorfismo φ de K[[x, y]] tal que φ(f ) ´e irredut´ıvel, de multiplicidade n,

            regular em y e I(φ(f ), y) n˜ao ´e divis´ıvel por n. n n− n

              1 +1

              Demonstra¸ c˜ ao : Seja f = a (x)y + a (x)y n (x) + y h(x, y), com

              

            1

            i + · · · + a n (x)).

              h(x, y) ∈ K[[x, y]], a (x) ∈ K[[x]], a (0) 6= 0 e I(f, y) = mult(a mult(a (x)) I(f, y) n Pelo Lema mult(a = i . i (x)) ≥ i n n

              Se n n˜ao divide I(f, y), considere o automorfismo φ = I d , caso contr´ario I(f, y) = r.n, r , ent˜ao mult(a i (x, y) = (x, y + cx ), com

              1

              com r ∈ N (x)) ≥ i.r. Neste caso, defina φ c ∈ K um parˆametro. Assim, r n r n− r n r

              1 +1

              φ (f ) = a ) + a ) n (x) + (y + cx ) h(x, y + cx )

              1

              1

              (x)(y − cx (x)(y − cx + · · · + a n n− nr n

              1 +1

              = b (c, x)y + b

              1 (c, x)y n (c, x) + p(c)x + y h 1 (c, x, y),

            • · · · + b onde b (c, 0) = a (0) 6= 0.

              Da´ı, ≥ ir, quando 1 ≤ i ≤ n − 1 mult(b i (c, x))

              &gt; nr, quando i = n e o grau de p em c ´e n.

              Seja c ) = 0 ent˜ao, ∈ K tal que p(c n n−

              1 n +1 φ (f ) = b (c , x)y + b (c , x)y n (c , x) + y h (x, y).

              1

              1

              2

            • · · · + b Segue que, φ (f ) ´e irredut´ıvel, regular em y e mult(b n (c , x)) &gt; nr. Note que

              1 I(φ 1 (f, y) = mult(b n (c , x)) deste modo, se n n˜ao divide mult(b n (c , x)) o resultado

              ´e demonstrado. Sen˜ao repetimos o processo e obtemos um automorfismo φ tal que n n− n

              2 1 +1

              φ (f ) = d (x)y + d (x)y n (x) + y h (x, y) com d i (x)) &gt;

              2

              1

              3

            • · · · + d (0) 6= 0 e mult(d mult(b i (x)). ′ n ′ n ′1

              Se este processo fosse infinito ter´ıamos φ(f ) = a (x)y (x)y + y h (x, y)

            • · · · + a n−

              1 que ´e redut´ıvel, o que ´e uma contradi¸c˜ao.

              Portanto, ´e poss´ıvel repetir o processo at´e encontrarmos φ m que satisfa¸ca φ m (f ) irre- dut´ıvel, com multiplicidade n e regular em y, tal que n ∤ I(φ m (f ), y). n

              (1)

              Proposi¸ c˜ ao 4.5 Seja (f ) uma curva irredut´ıvel com cone tangente (y ). Seja f = ∗ ∗

              (i) (i−1) σ (f ) e f = σ (f ), onde m = I(f, y) e n n˜ao divide m.

              m m

              (i) Ent˜ao ⌊ ⌋ = min{i; mult(f ) 6= mult(f)} e ⌊ ⌋ ´e o menor inteiro mais pr´oximo de

              n n m

              .

              n Demonstra¸ c˜ ao :

              Como n ∤ m existe r ∈ N tal que m = nq + r, onde 0 &lt; r &lt; n e m q = ⌊ ⌋. n

              (q)

              Pelo item i) da Proposi¸c˜ao temos que I(f q , y) = m − nq. Assim,

              (q)

              mult(f ) ≤ I(f , y) = m − nq &lt; n = mult(f). Al´em disso, m − nq = r &gt; 0 ⇒ m − nq + 2n − n &gt; n

              ⇒ m − n(q − 2) − n &gt; n

              (q−2) ⇒ I(f , y) − n &gt; n. (q−1)

              (i)

              Pelo item ii) da Proposi¸c˜ao temos mult(f ) = mult(f ) e, portanto, q = min{i; mult(f ) 6= mult(f )}.

              ✷ Teorema 4.6

              Dada uma curva plana irredut´ıvel, ap´os um n´ umero finito de transforma¸c˜oes quadr´aticas, obtemos como transformada estrita uma curva regular.

              Demonstra¸ c˜ ao : Seja f ∈ K[[x, y]] irredut´ıvel de multiplicidade n, regular em y, com

              I(f, y) = m. Podemos supor que n n˜ao divide m caso contr´ario, pelo Lema podemos fazer uma mudan¸ca de coordenadas e obter tal condi¸c˜ao. n

              (i−1) (i)

              Denotamos σ (f ) por f ′ (q) ′ , para i = {1, · · · , q = ⌊ ⌋} . m Considere n = mult(f ). Pela Proposi¸c˜ao n &lt; n.

              (q−1) (q)

              Se n = 1 o resultado segue. Sen˜ao I(f tem n ) − n &lt; n e, pela Proposi¸c˜ao f

              (q) cone tangente (x ), isto ´e, f ´e regular em x q de ordem n . q ′ (q) ′ ′ ′ m

              Considere m = I(f , x q ) e q faremos uma mudan¸ca de coordena- = ⌊ ⌋. Se n |m ′ ′ n das de modo que n ∤ m . ∗ ′

              (i) (i−1) Defina f = τ (f . ′′ (q+q ) ) para i = q + 1, · · · , q + q (q+q )

              Se n = mult(f ) = 1, o teorema est´a demonstrado. Caso contr´ario, f ´e ′′ regular de ordem n &gt; 1 em y e repetimos o processo, fazendo uma mudan¸ca de q +q coordenadas se necess´ario, e desta vez aplicamos σ .

              (q ) i

              Observe que com este processo n˜ao ´e poss´ıvel obter uma unidade pois se f (0, y) = 0 ∗ ∗

              (q i ) (q i )

              aplicamos τ e se f (x, 0) = 0 aplicamos σ , para todo q tal que mult(f i ) 6= mult(f).

              Com este processo as multiplicidades v˜ao decrescendo at´e obtermos uma curva regular

              (N ) f .

              ✷

              (1) (N )

              A sequˆencia f, f ´e chamada resolu¸c˜ao canˆonica de f e determina uma , · · · , f sequˆencia num´erica chamada sequˆencia multiplicidades:

              (1) (2) (N ) mult(f ), mult(f ), mult(f ) = 1.

              ), · · · , mult(f

              4.1 F´ ormula de Noether n

              , ϕ(t)) Seja f ∈ K[[x, y]] irredut´ıvel de multiplicidade n e regular em y. Considere (t uma parametriza¸c˜ao de Puiseux de f com m = mult(ϕ(t)) &gt; n. Assuma que n ∤ m e ∗ −n

              (1)

              considere f (x

              1 , y 1 ) = σ (f ) = x f (x 1 , x 1 y 1 ).

              1

              ϕ (t) ϕ (1) (1) n n −n n n n

              Como f (x n n (t) 1 , y 1 ) ´e regular em y ϕ 1 de ordem n e f (t , ) = (t ) f t , = 0 t t (1) ent˜ao, (t , ψ(t)) = t , n ´e uma parametriza¸c˜ao de Puiseux de f . t ∗ n ϕ (t) (f ), g) = mult g t , n .

              Portanto, dado g ∈ K[[x, y]], temos I(σ t n Proposi¸ c˜ ao 4.7

              ). Ent˜ao existe um

              

            Seja f ∈ K[[x, y]] irredut´ıvel com cone tangente (y

            homomorfismo natural injetor φ que torna o diagrama abaixo comutativo. φ (1)

              O f O f ֒→

              H H ϕ ψ k k I d A ϕ A ψ (1) ֒→

              Demonstra¸ c˜ ao : Seja φ : O f definida por φ(g(x, y)) = g(x , x y ) e suponha f

              1

              1

              1

              −→ O que mult(f ) = n. n−

              1 Vimos anteriormente que O f

              e, da mesma forma, = K[[x]] ⊕K[[x]]y ⊕· · ·⊕K[[x]]y n− (1)

            1 O

              f e, deste modo, φ ´e injetora.

              = K[[x]] ⊕ K[[x]]y ⊕ · · · ⊕ K[[x]]y f ent˜ao H ψ d ϕ pois, Dado g(x, y) ∈ O ◦ φ = I ◦ H n n n

              H ψ (φ(g(x, y))) = H ψ (g(x

              1 , x 1 y 1 )) = g(t , t ψ(t)) = g(t , ϕ(t)) = I d (H ϕ (g(x, y))).

              Portanto, φ ´e injetora e H ψ d ϕ . Logo, o diagrama ´e comutativo.

              ◦ φ = I ◦ H ✷

              Proposi¸ c˜ ao 4.8 Sejam (f ) e (g) duas curvas alg´ebricas planas irredut´ıveis, ent˜ao

              (1) (1) I(f, g) = mult(f )mult(g) + I(f , g ).

              Demonstra¸ c˜ ao : Podemos supor que f ´e regular em y, caso contr´ario podemos torn´a-la regular atrav´es de uma mudan¸ca de coordenadas. ′ n

              Considere n = mult(f ), n = mult(g) e (t , ϕ(t)) uma parametriza¸c˜ao de Puiseux de

              n ϕ(t)

              (1)

              (f ). Ent˜ao t , ´e uma parametriza¸c˜ao de Puiseux de f e n t n ϕ(t)

              (1) (1) (1)

              I(f , g ) = mult g (t , ) n n (t) t ϕ n ! t g(t , n ) t = mult n n n n n (t ) = mult(g(t ) )

              , ϕ(t))) − mult((t = v f

              (g) − nn = I(f, g) − mult(f)mult(g)

              (1) (1) Portanto, I(f, g) = mult(f )mult(g) + I(f , g ).

              ✷ Teorema 4.9 (F´ ormula de Noether) Sejam f e g duas curvas alg´ebricas planas

              irredut´ıveis, ent˜ao X N (i) (i)

              I(f, g) = mult(f )mult(g ), i

              =0 (0) (0) onde f = f e g = g.

              Demonstra¸ c˜ ao : Pela Proposi¸c˜ao , temos

              (1) (1)

              I(f, g) = mult(f )mult(g) + I(f , g )

              (1) (1) (2) (2) = mult(f )mult(g) + mult(f )mult(g ) + I(f , g ).

              (N ) (N )

              Com um n´ umero finito de blowing-ups, digamos N , temos (f ) e (g ) com retas tangentes distintas. Assim, pelo Teorema

              

            (N ) (N ) (N ) (N )

            I(f , g ) = mult(f )mult(g ).

              Da´ı, pela Proposi¸c˜ao temos X N

              (N ) (N ) (i) (i) )mult(g ) = mult(f )mult(g ).

              I(f, g) = mult(f )mult(g) + · · · + mult(f i

              =0

              ✷

              2

            4.2 Transforma¸ c˜ oes Quadr´ aticas em C

              Na se¸c˜ao anterior, dentre outros resultados, vimos o que ´e uma Transforma¸c˜ao Quadr´atica sobre K[[x, y]]. Neste cap´ıtulo definimos Transforma¸c˜ao Quadr´atica sobre

              2 C , neste caso a Transforma¸c˜ao Quadr´atica tamb´em pode ser chamada de Blowing-up.

              2 Observe que em C a sequˆencia de Blowing-ups s˜ao melhores visualizadas ent˜ao, al´em

              de definir e apresentar caracter´ısticas sobre Blowing-up, apresentamos alguns exemplos para melhor compreens˜ao.

              Defini¸ c˜ ao 4.10 Uma Transforma¸ c˜ ao Quadr´ atica ou um Blowing-up centrado

              2

              2 na origem de C ´e uma aplica¸c˜ao em algum sistema de coordenadas de C que satisfaz:

              2

              2 T : C

              −→ C (x, y) 7−→ (x, xy).

            1 Chamamos T (0, 0) de divisor excepcional do Blowing-up e ´e representado pela reta E : x = 0.

              2

              , ent˜ao Seja L : y − ax = 0 uma reta que passa pela origem de C

              1

              

            2

            T

              (L) = {(x, y) ∈ C ; (x, y) ∈ L)}

              

            2

              = {(x, y) ∈ C ; T (x, y) = (x, ax)}

              

            2

              = {(x, y) ∈ C ; x = 0 ou y = a)}

              

            2

              2 = {(0, y) ∈ C } ∪ {(x, a) ∈ C }.

            1 Assim, T (L) ´e a uni˜ao do divisor excepcional E e a reta y = a que corta E no ponto (0, a).

              2

              2 A transforma¸c˜ao T induz um isomorfismo anal´ıtico T : C \E −→ C \E.

              Seja C f um germe de uma curva anal´ıtica definida por um elemento f ∈ M ⊂ C(x, y), dado por f (x, y) = F n (x, y) + F n

            • 1

              (x, y) + · · ·

              − − −

              1

              1

              1

              2 T (C f f ) = {T (a, b); (a, b) ∈ C } = {T (a, b); f (a, b) = 0} = {(x, y) ∈ C ; f (T (x, y)) = 0}.

              −

            1 Ent˜ao a equa¸c˜ao de T (C f ) ´e dada por:

              f (T (x, y)) = F (T (x, y)) + F n n +1 (T (x, y)) + · · ·

              = F n (x, xy) + F n

            • 1
            • n (x, xy) + · · ·

                = x (F n (1, y) + F n

              • 1 (1, y) + · · · ).
              •   1 A s´erie f (T (x, y)) ´e chamada transforma¸c˜ao total de f que associada a curva T (C ) f ´e chamada transforma¸c˜ao total de C f . (1) (1)

                  A curva C ´e determinada pela equa¸c˜ao f (x, y) = 0, onde f

                  (1)

                  f (x, y) = F (1, y) + xF n n +1 (1, y) · · · ´e chamada transforma¸c˜ao estrita de C f .

                  1 Como T (0, 0) ´e o divisor excepcional dado por E : x = 0 temos que 1 (1) T (C f . f

                  ) = E ∪ C

                  2

                  2

                  2

                  3 Exemplo 4.11 Considere a curva C f dada por f (x, y) = y x − a − x = 0 com a 6= 0.

                  

                Esta curva ´e definida por um polinˆomio e n˜ao existem problemas de convergˆencia, al´em

                  2 disso f ´e definida para todo C .

                  Figura 4.1: Curva C f

                  A transforma¸c˜ao total de C f ´e

                  1

                  2

                  2

                  2

                  2

                  3

                  2

                  2

                  2 T (C f ) : f (x, y) = x y x = x (y − a − x − a − x) = 0.

                  A transforma¸c˜ao estrita de C f ´e dada por

                  2

                  

                2

                C : y f − a − x = 0.

                  Figura 4.2: Curva C f

                  As retas tangentes de C f na origem s˜ao dadas por

                  2

                  2

                2 F = y x

                  2

                  − a = (y − ax)(y + ax) = 0

                  

                que tem uma transforma¸c˜ao estrita dada por duas retas horizontais que passam por P =

                  1 (1)

                  (0, a) e P com E.

                  2

                  = (0, −a) que s˜ao pontos de interse¸c˜ao de C f (1) Note que depois de um blowing-up a curva C f ´e transformada em uma curva suave C . f No exemplo a seguir utilizamos ferramentas vistas nos cap´ıtulos anteriores exempli- ficando alguns conceitos. Dada uma curva (f ) obtemos uma curva equivalente (g) de modo a simplificar a resolu¸c˜ao da singularidade atrav´es de Blowing-ups. P ∞ P j j

                  1 +1 +1

                  Exemplo 4.12 Temos que h = x + ) x y ´e irredut´ıvel, pois i j (− P ∞ P =1 =i−1

                  2 1 j j

                • 1

                  ) x y). Pelo Teorema itens i) e vi) temos: h = x · (1 + i =1 j =i−1 (−

                  2 I(h, y) = I(x, y) = 1; I(h, x) = ∞, pois f e x n˜ao s˜ao relativamente primos.

                  Como h ´e irredut´ıvel, a F´omula de Noether, nos permite calcular o ´ındice de interse¸c˜ao

                  2 , observe que o cone tangente entre h e qualquer curva irredut´ıvel. Assim, dado φ = x−y

                  (1)

                da curva (h) ´e o mesmo que o da curva (φ), mas o cone tangente de (h ) ´e (x) e o cone

                  (1) tangente de

                  ) ´e (x − y). Pela F´ormula de Noether temos,

                  (1) (1) I(h, φ) = mult(h) · mult(φ) + mult(h ) · mult(φ ) = 1 · 1 + 1 · 1 = 2. K [[x,y]]

                  Exemplo 4.13 Observe que calcular dim K &lt;y −x ,y −x &gt; 2 3 2 5 n˜ao ´e uma tarefa simples. Po-

                  2

                  2

                  2

                  3

                demos perceber que os elementos 1, x, y, x , xy, x y n˜ao podem ser gerados por y e

                  − x

                  2

                  5

                por y . Mas como garantir que s˜ao os ´ unicos elementos em K[[x, y]] que n˜ao s˜ao

                  − x

                  2

                  3

                  2

                  5 gerados por y e por y ?

                  − x − x

                  2

                  3

                  2

                  5 Para responder a esta pergunta, seja f = y e g = y . Temos que

                  − x − x

                  (1) 2 (1)

                  2

                  3 (1)

                  f = y = y . Assim, embora f e g tenham o mesmo cone tangente, f − x e g − x

                  (1) e g possuem cones tangentes distintos. Da´ı, pela F´ormula de Noether,

                  (1) (1)

                  I(f, g) = mult(f )mult(g) + mult(f )mult(g K ) = 2 · 2 + 1 · 2 = 6.

                  [[x,y]]

                  2

                  2 Logo I(f, g) = dim K K &lt;y −x ,y −x &gt; 2 3 2 5 = 6 e, portanto, 1, x, y, x , xy, x y ´e base de [[x,y]] &lt;y −x ,y −x &gt; 2 3 2 5 . P ∞ n n

                  2 +3

                  Exemplo 4.14 Considere a curva C f onde f = (y x ). i =0 − x Temos que mult(f (0, y)) = 2 = mult(f ), ou seja, f ´e regular em y.

                  Pelo Teorema da Prepara¸c˜ao de Weierstrass existe u ∈ K[[x, y]], com u(0) 6= 0, tal que f u ´e um Polinˆomio de Weiestrass.

                  Considere u = (1 − x), da´ı X 2 n n +3

                  f u = [ (y x n − x )](1 − x) X ∞ ∞ =0 n n n n X 2 +3

                  2 +1 +4

                  = (y x (y x ) X n =0 n =0 − x ) − − x

                  2 n 2 n +1 n +3 n +4

                  = (y x n + x ) n − y − x

                  =0

                  2

                  2

                  2

                  2

                  2

                  2

                  

                2

                  3

                  4

                  4

                  5

                  5

                  = y x + y x + y x + x + x − y x − y − · · · − x − x − x · · ·

                  2

                  3 = y .

                  − x

                  2

                  3 ´e um polinˆomio de Weierstrass. As singularidades de C f Assim, g := f · u = y − x

                s˜ao as mesmas que as de C g , como ´e mais f´acil trabalhar com o polinˆomio g resolveremos

                a singularidade em g.

                  

                2

                A curva C ´e globalmente definida em C . A transforma¸c˜ao total de C ´e dada por g g

                  1

                  2

                  2

                  

                3

                  2

                  2 T (C g ) : x y = x (y ) = 0.

                  1

                  1 1 − x

                  

                1

                  1 1 − x A transforma¸c˜ao estrita ´e dada por (1)

                  2 C : y = 0, g 1

                1 − x

                que possui a reta tangente na origem x = 0.

                  1 (1)

                  (a) Curva C g (b) Curva C g Figura 4.3: Sequˆencia de Blowing-ups (C´ uspide).

                  Foi necess´ario um ´ unico Blowing-up para a curva C g tornar-se regular. Cap´ıtulo 5 Resolu¸ c˜ ao de Singularidades

                  Resolver a singularidade de uma variedade V consiste em encontrar uma modifica¸c˜ao pr´opria f : ˜ V n˜ao tenha singularidades. V −→ V de modo que a variedade modificada ˜

                  Quando nos referimos a ”modifica¸c˜ao pr´opria”estamos nos referindo a um morfismo cuja imagem inversa de compacto ´e compacto. A modifica¸c˜ao pr´opria f : ˜ V −→ V induz um isomorfismo f : ˜ W ) onde ˜ W ´e um conjunto anal´ıtico nunca denso em ˜ V . V \ ˜ W −→ V \f( ˜ n +1 n

                  K − {0}

                  O espa¸co projetivo P sobre um corpo K ´e o espa¸co quociente , sendo ∼

                  ∼ a rela¸c˜ao de equivalˆencia induzida pela multiplica¸c˜ao por escalar, isto ´e, n

                • 1

                  K − {0} . u ∼ v em ⇔ u = λv, para algum λ ∈ K

                  ∼ n +1 Cada ponto (x n

                  , · · · , x ) ∈ K −{0} define uma classe de equivalˆencia representada n por (x . Se fossemos definir as variedades projetivas como zeros de n : · · · : x ) ∈ P n n ] do espa¸co vetorial K n˜ao definiria +1

                  1

                  polinˆomios ent˜ao, o polinˆomio f ∈ K[x , · · · , x n

                  2

                  uma fun¸c˜ao em P . Por exemplo, f (x, y) = x − y satisfaz f (1, 1) = 0 e f (2, 2) = −2 6= 0

                  1 mas, (2 : 2) = (1 : 1) em P .

                  Se f ´e um polinˆomio homogˆeneo de grau d, temos que d f (αx ) = α f (x ) (5.1)

                  1

                  1

                  1

                  1

                  , · · · , αx , · · · , x e assim faz sentido falar sobre os zeros do polinˆomio f . n Defini¸ c˜ ao 5.1

                  ´e o conjunto de zeros de uma Uma Variedade Projetiva X ⊂ P cole¸c˜ao de polinˆomios homogˆeneos F α . Defini¸ c˜ ao 5.2

                  Uma variedade quase-projetiva ´e um subconjunto aberto U ⊂ X de uma n . variedade projetiva X ⊂ P

                  Defini¸ c˜ ao 5.3 ϕ de ϕ como o

                  

                Seja ϕ : U −→ V uma aplica¸c˜ao, definimos o gr´afico Γ

                conjunto

                  Γ ϕ n = {(x, ϕ(x)); x ∈ U} ⊂ U × V. Defini¸ c˜ ao 5.4

                  Seja X ⊂ P uma variedade quase-projetiva e p ∈ X algum ponto. Seja n−

                  1 n−

                  1

                  ˜ X = Γ ϕ o gr´afico da aplica¸c˜ao proje¸c˜ao de X em P em p. A aplica¸c˜ao

                  ⊂ X × P

                  1

                  π : ˜ X do

                  X −→ X ´e chamada Blowing-up de X em p. A imagem inversa E = π (p) ⊂ ˜ ponto p ´e chamada divisor excepcional do Blowing-up.

                  

                2

                  2

                  2 Exemplo 5.5 Considere a superf´ıcie S : x = 0 representada pela Figura (5.1).

                  − y − z Figura 5.1: Cone de Duas Folhas

                  S ´e singular na origem mas pode ser desingularizada atrav´es da seguinte transforma¸c˜ao

                  quadr´atica:

                  , y , z ]]

                  1

                  1

                  1

                  σ : K[[x, y, z]] −→ K[[x

                  1

                  x 7−→ x y

                  1

                  1

                  y 7−→ x z .

                  1

                  1

                  z 7−→ x

                  A transforma¸c˜ao total da superf´ıcie S ´e dada por

                  1

                  2

                  2

                  2

                  σ (S) : x ) = 0,

                  

                1 (1 − y

                1 − z

                  1 e a transforma¸c˜ao estrita de S ´e dada pelo cilindro

                  2

                  2 S : y + z = 1.

                  1

                  1 Figura 5.2: Resolu¸c˜ao da singularidade da superf´ıcie S.

                  Observe que a transforma¸c˜ao total consiste em duas componentes: o plano x 1 = 0

                  2

                  2

                e o cilindro y + z = 1 (Veja figura 5.2 ). O plano x = 0 ´e chamado hipersuperf´ıcie

                  1

                  1

                  1

                excepcional e ´e a imagem inversa do ponto singular da superf´ıcie S por σ. O cilindro S

                ´e uma aplica¸c˜ao n˜ao possui singularidade e ´e a desingulariza¸c˜ao de S, al´em disso, σ|S pr´opria para S que ´e um isomorfismo fora da singularidade.

                  Defini¸ c˜ ao 5.6 Se X for uma variedade afim irredut´ıvel, como o anel de coordenadas K[X] ´e dom´ınio de integridade, podemos construir o corpo de fun¸c˜oes racionais dado por f

                  K(x) = { | f, g ∈ K[x] e g 6= 0}. n m g Defini¸ c˜ ao 5.7

                  variedades afins. Uma aplica¸c˜ao racional Sejam X ⊂ K e Y ⊂ K m

                  1

                  φ : X −→ Y ´e uma m-upla de fun¸c˜oes racionais φ , · · · , φ ∈ K(X), tal que para todo i ´e regular, φ(x) = (φ m

                  

                1 ponto x ∈ X no qual φ (x), · · · , φ (x)) ∈ Y . A resolu¸c˜ao de singularidades, atrav´es de sequˆencias de Blowing-ups, de variedades alg´ebricas definidas, foi demonstrada por Hironaka em 1964.

                  Teorema 5.8 eorema de Hironaka) Seja V uma variedade quase-projetiva. Ent˜ao

                  existem polinˆomios f , f n tal que o gr´afico Γ φ da aplica¸c˜ao racional

                  1

                  2

                  , · · · , f n−

                  1

                  99K φ : V P

                  (x) : f n (x)]

                  1

                  2

                  x 7−→ [f (x) : · · · : f

                  ´e a resolu¸c˜ao de singularidades de V Para mais informa¸c˜oes sobre a demonstra¸c˜ao do teorema veja a referˆencia .

                  Bibliografia

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                  [3] HAUSER, H., The Hironaka Theorem on Resolution of Singularities, Bulletin (New Series) of the American Mathematical Society, Vol. 40, N. 3, 323-403, 2003.

                  [4] HEFEZ, A., Irredutible Plane Curve Singularities, Lecture Notes Series in Pure and Applied Mathmatics. 232, Decker, New York, 2003.

                  [5] HIRONAKA, H., Resolution of Singularities of an Algebraic Variety over a Field of Characteristic Zero. I, II. Ann. of Math. 70 1964, 109-203; 79 1964, 205-326.

                  [6] ROMAN, S., Field Theory, Graduate Texts in Mathematics, Vol. 158, 2

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                  Ed., Springer-Verlag, New York, 1995.

                  [7] STEWART, I., Galois Theory, 1

                  a Ed. Chapman and Hall, London, 1973.

                  [8] VAINSENCHER, I., Introdu¸c˜ao `as Curvas Alg´ebricas Planas, Cole¸c˜ao Matem´atica Universit´aria, 1

                  a Ed., IMPA, Rio de Janeiro, 1996.

                  ´ Indice

                  Anel Lema

                  Coordenado, Noetheriano,

                  Matriz de Vandermonde, Blowing-up,

                  Parametriza¸c˜ao de Puiseux, Classe residual,

                  Polinˆomio Cone Tangente,

                  Pseudo-polinˆomio, Curvas

                  Reduzido, Equivalentes,

                  Weierstrass, Transversais,

                  Racional Derivada da S´erie,

                  Aplica¸c˜ao, Discriminante,

                  Fun¸c˜ao, Divisor Excepcional,

                  Regular Elemento

                  Curva, Invert´ıvel,

                  S´erie, Irredut´ıvel,

                  Resultante, Extens˜ao Galoisiana,

                  Retas Tangentes, F´ormula de Noether,

                  S´erie Forma Inicial,

                  Absolutamente Convergente, Gr´afico, Grupo de Galois,

                  Sequˆencia Multiplicidade, Indice de Intersec¸c˜ao, Teorema da Base de Hilbert, da Fun¸c˜ao Impl´ıcita de Newton, Prepara¸c˜ao de Weierstrass,

                  Transforma¸c˜ao Estrita, Quadr´atica, Total,

                  Valora¸c˜ao, Variedade Projetiva, Variedade quase-projetiva,

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