Gráficos Radiais com Curvatura Média Constante no Espaço Hiperbólico

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Universidade Federal da Bahia

Instituto de Matem´ atica

Curso de P´ os–Graduac ¸˜ ao em Matem´ atica

Dissertac ¸˜ ao de Mestrado

  

Gr´ aficos Radiais com Curvatura M´ edia

Constante no Espac ¸o Hiperb´ olico

Adriano Pedreira Cattai

  Salvador — Bahia

  Janeiro de 2006

  

Gr´ aficos Radiais com Curvatura M´ edia Constante

no Espac ¸o Hiperb´ olico

  Disserta¸c˜ ao apresentada ao colegiado do curso de P´ os-Gradua¸c˜ ao em Matem´ atica da Universidade Federal da Bahia, como requisito parcial para obten¸c˜ ao do Grau de Mestre em Matem´ atica.

  Aprovada pela Banca Examinadora abaixo assinada.

  Prof. Dr. Jos´ e Nelson Bastos Barbosa (Orientador) UFBA

  Prof. Dr. Jorge Herbert Soares de Lira UFC

  Prof. Dr. Pedro Antonio Hinojosa Vera UFPB

  Salvador, 27 de janeiro de 2006 Cattai, Adriano Pedreira Gr´aficos Radias com Curvatura M´edia Constante no Espa¸co Hiperb´olico/

  Adriano Pedreira Cattai; orientador: Jos´e Nelson Bastos Barbosa. — Salva- dor: UFBA, 2006.

  79 p.

  1. Disserta¸c˜ao (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Departamento de Matem´atica. Inclui referˆencias bilbiogr´aficas.

  1. Matem´atica - Teses. 2. Geometria Riemanniana. I. Cattai, Adriano Pedreira. II. Barbosa, Jos´e Nelson Bastos. III. T´ıtulo.

  CDD: 510 A meus pais, meu irm˜ao e minha filha Gabriela.

  “O nascimento do bebˆe ´e como desembrulhar um pacote que o intrigou a maior parte do ano e achar seu conte´ udo mais excitante, mais perfeito, mais maravilhoso do que vocˆe sempre sonhou.

  O bebˆe ´e a desculpa perfeita para fazer todas aquelas coisas as quais a vida adulta exigiu que vocˆe renunciasse. N˜ao h´a por do sol mais bonito, n˜ao h´a maravilha maior do que um bebˆe! ”.

  Pam Brown (Seja Bem-vindo, Bebˆe!) Agradecimentos

  Sempre `a Deus! `

  A minha amada fam´ılia: meu pai Ailton Teles Cattai, minha m˜ae Maria do Carmo Pedreira Cattai e meu irm˜ao Alessandro Pedreira Cattai, por sempre acreditar em mim e pela for¸ca ao longo de todos estes anos (acredito, que todo agradecimento nunca seria suficiente para recompens´a–los).

  Aos meus amigos e parceiros de surf Bruno Melo, Diogo Rodrigues, Joney Santana e Thiago Melo (e seus familiares), por tornarem a minha vida mais gostosa pelo carinho que dedicam.

  ` A minha grande companheira, amiga, namorada e esposa, Tharita Veira por tudo que fez por mim nesse per´ıodo, profissionalmente e moralmente. Sua presen¸ca em minha vida com nossa filha Gabriela foi mais um presente de Deus.

  Aos meus orientadores em tempos de inicia¸c˜ao cient´ıfica: Afonso Henriques por todo seu apoio, incentivo, ensinamentos e amizade; e Humberto Jos´e Bortolossi que muito nos ensina com sua amizade, dedica¸c˜ao, disposi¸c˜ao e aten¸c˜ao. Aos professores de gradua¸c˜ao. Aos colegas de gradua¸c˜ao: Antˆonio Oliveira Sim˜ao, Eduardo Palmeira, Fab´ıolo Moraes Amaral , Rosane Funato e Vin´ıcius Modesto Sert´orio.

  Aos colegas de turma: Ab´ılio Souza, Gabriela Goes, Gilcl´ecio Dantas, Josaphat Ri- cardo, Maur´ıcio Porto, Roberto Pastor, Rolando Restany, Rosane Funato, Silvia Costa e Tailson Jeferson, pela companhia e cumplicidade no dia a dia em cada mat´eria e nos intermin´aveis domingos de UFBA. Aos demais mestrandos deste programa que n˜ao citei.

  

vi

  Agradecimentos

  A todos os professores da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica desta universidade, em especial ao coordenador Professor Enaldo Silva Vergasta, pela eterna simpatia, sabedoria e exemplo. Aos funcion´arios do Instituto de Matem´atica; `as secret´arias Tˆania Esp´ınola e Dona Zez´ e sempre atentas aos nossos pedidos.

  Um agradecimento especial ao Professor Jos´e Nelson Bastos Barbosa pela orienta¸c˜ao no desenvolvimento deste trabalho e escolha do tema; pela amizade e toda sua dedica¸c˜ao. Gostaria de agradecer tamb´em aos professores Jorge Herbert S. de Lira e Pedro Antonio Hinojosa Vera

  , os quais compuseram a banca examinadora e verificaram com tanto zelo esta disserta¸c˜ao.

  Na tentativa de n˜ao omitir nenhum nome: a todos os amigos de Canavieiras, da EMARC-UR, da UESC, da UFBA; aos colegas de surf, e aos de fora, pelo apoio, compre- ens˜ao e carinho, pelas piadas e pela for¸ca.

  Finalmente, `a CAPES pelo apoio financeiro.

  

vii Resumo

  Provamos a existˆencia de gr´aficos radiais com curvatura m´edia constante no espa¸co

  n+1 n+1

  hiperb´olico H definido sobre dom´ınios em esferas geod´esicas do H em que a cur- vatura m´edia no bordo ´e positiva com respeito a orienta¸c˜ao interna; descrito no artigo Radial Graphs with Constant Mean Curvature in the Hyperbolic Space, do professor da Universidade Federal do Cear´a, Jorge Herbert S. de Lira.

  Palavras Chave: Espa¸co Hiperb´olico, Gr´aficos Radiais, Hipersuperf´ıcie com curvatura m´edia constante, EDP. Abstract

  The existence is proved of radial graphs with constant mean curvature in the hyper-

  n+1 n+1

  bolic space H defined over domains in geodesic spheres of H whose boundary has positive mean curvature with respect to the inward orientation; described in the article Radial Graphs with Constant Mean Curvature in the Hyperbolic Space, of the teacher of the Federal University of Cear´a, Jorge Herbert S. de Lira.

  Key Words: Hyperbolic Space, Radial Graphs, Hypersufaces with mean constant curvature, PDE. Sum´ ario

  Apresenta¸c˜ ao

  1 Introdu¸c˜ ao

  2

  1 Preliminares de Geometria Riemanniana

  5 1.1 Variedades Diferenci´aveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  5 1.2 Espa¸co Tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  6 1.2.1 Campo de Vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  8 1.3 M´etricas Riemannianas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  9 1.3.1 A Inversa da M´etrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  10 1.4 Variedades Imersas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  10 1.5 Conex˜ao Afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  11 1.6 Geod´esicas e a Aplica¸c˜ao Exponencial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  12 1.7 Segunda Forma Fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  15 1.7.1 Segunda Forma Fundamental de Hipersuperf´ıcies . . . . . . . . . .

  16 1.8 Gradiente, Divergente, Laplaciano e Hessiano . . . . . . . . . . . . . . . .

  18 1.9 O Espa¸co Hiperb´olico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  27 1.9.1 Isometrias e o Modelo da Bola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  28

n+1

1.9.2 Superf´ıcies Umb´ılicas do H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  30

  2 Equa¸c˜ oes Diferencias Parciais e o Princ´ıpio do M´ aximo

  32 2.1 Continuidade H¨older . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  32 2.2 Equa¸c˜oes Diferenciais Parciais El´ıpticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  34 2.2.1 Equa¸c˜oes Diferenciais Parciais Lineares . . . . . . . . . . . . . . . .

  36

2.2.2 Equa¸c˜oes Diferenciais Parciais Quasilineares . . . . . . . . . . . . .

  36 2.3 O Princ´ıpio do M´aximo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3 Gr´ aficos Radiais em R

  53

  77

  73 Referˆ encias Bibliogr´ aficas

  69 4.2 A Prova . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  69 4.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  65

  n+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  3.2 Gr´aficos Radiais em H

  n+1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  37 2.3.1 O Princ´ıpio do M´aximo para Operadores Lineares . . . . . . . . . .

  3.1 Gr´aficos Radiais em R

  53

  n+1

  e H

  n+1

  50

  47 2.5 O M´etodo da Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  46 2.4 Diferencial de Fr´echet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  37 2.3.2 O Princ´ıpio do M´aximo para Operadores Quasilineares . . . . . . .

4 Prova do Teorema 3.3

  Apresenta¸ c˜ ao

  Este trabalho ´e fruto da orienta¸c˜ao do professor Jos´e Nelson Bastos Barbosa, do De- partamento de Matem´atica desta universidade, para disserta¸c˜ao de mestrado. Estudamos a tese de doutorado Existˆencia e Unicidade de Hipersuperf´ıcie com Bordo e Curvatura M´edia Constante em Formas Espaciais ([13]), e o artigo Radial Graphs with Constante

  

n+1

  Mean Curvature in the Hyperbolic Space H ([12]), ambos do professor Jorge Herbert Soares de Lira do Departamento de Matem´atica da Universidade Federal do Cear´a.

  Para uma boa compreens˜ao deste trabalho, o leitor deve ter um n´ıvel de conhecimento semelhante ao aluno que cursa o segundo ano de mestrado em matem´atica, especialmente com bons conhecimentos de Geometria Riemanniana e de An´alise em Espa¸cos Euclidianos. Para este prop´osito, sugerimos respectivamente, [17] e [8]. Seria desej´avel ainda, que o leitor tivesse bons conhecimentos de Equa¸c˜oes Diferenciais Parciais (EDP’s) e o Princ´ıpio do M´aximo. Sugerimos para este prop´osito [7]. No entanto, exibimos os resultados mais relevantes para a nossa necessidade no Cap´ıtulo 2.

  Caso o leitor tenha conhecimento desses conte´ udos referidos acima, poder´a iniciar sua leitura a partir do Cap´ıtulo 3. Introdu¸ c˜ ao

  As calotas esferas, s˜ao exemplos cl´assicos de hipersuperf´ıcies com curvatura m´edica constante e com bordo conhecido. A busca por exemplos n˜ao-esf´ericos de hipersuperf´ıcies mergulhadas com curvatura m´edia constante em espa¸cos de curvatura seccional constante ´e um problema muito co- nhecido. Um jeito corrente de se fazer isto ´e atrav´es da constru¸c˜ao de v´arios tipos de gr´aficos. Neste caso as hipersuperf´ıcies s˜ao descritas n˜ao-parametricamente por fun¸c˜oes definidas sobre um dom´ınio numa hipersuperf´ıcie umb´ılica do ambiente. A condi¸c˜ao que a superf´ıcie tenha curvatura m´edia constante implica que a fun¸c˜ao que descreve o gr´afico seja solu¸c˜ao de uma EDP quasilinear.

  n+1

  Gr´aficos com proje¸c˜ao central injetiva sobre uma Esfera Euclidiana em R foram constru´ıdas por Serrin [16]. Em [3], Treibergs e Wei provam a existˆencia de gr´aficos radiais definidos sobre toda esfera, cuja curvatura m´edia ´e prescrita por uma fun¸c˜ao satisfazendo certas condi¸c˜oes de crescimento.

  Recentemente, demonstrou-se v´arios teoremas de existˆencia para gr´aficos com curva-

  n+1

  tura m´edia constante no espa¸co hiperb´olico H com proje¸c˜ao injetiva sobre dom´ınios em hipersuperf´ıcies umb´ılicas com curvatura menor ou igual a 1. Por exemplo, J. L. Bar- bosa e R. S. Earp [15] obtiveram gr´aficos com curvatura m´edia constante sobre dom´ınios em hiperplanos geod´esicos. Gr´aficos sobre horoesfera foram constru´ıdos independente- mente por B. Nelli e J. Spruck em [6] e por R. L´opez e S. Montiel em [18]. Tamb´em, L´opez anunciou em [19] a existˆencia de solu¸c˜oes para equa¸c˜oes da curvatura m´edia sobre

  n+1 hipersuperf´ıcies eq¨ uidistastes em H .

  Para hipersuperf´ıcies umb´ılicas de curvatura maior do que 1, isto ´e, as esferas geod´esicas

  n+1

  em H , a no¸c˜ao de gr´afico mais apropriada ´e a de gr´afico radial, a fim de evitar auto-

  Introdu¸c˜ ao

  intersec¸c˜oes. O gr´afico radial de uma fun¸c˜ao χ definida sobre o fecho de um dom´ınio Ω

  n+1

  em uma esfera geod´esica S em H ´e o conjunto Σ dado por Σ = (χ(x)); x

  x

  {α ∈ Ω}, onde α ´e a geod´esica minimizante ligando o centro geod´esico de S ao ponto x

  x ∈ Ω.

  2,α

  Suponhamos que Γ = ∂Ω ´e uma hipersuperf´ıcie de classe C de S, para algum α ∈ (0, 1), denotemos por H a curvatura m´edia de Γ com respeito ao vetor normal apontando para

  Γ

  o interior de Ω, demonstramos o seguinte teorema, provado por Jorge Herbert S. de Lira, em Radial Graphs with Constant Mean Curvature in the Hyperbolic Space. Geometriae Dedicata, 93 (2002), 11–23.

  n+1

  Teorema 3.3 (Teorema Principal). Sejam S uma esfera geod´esica de raio ρ em H e Ω < H um dom´ınio em S com fecho contido num hemisf´erio aberto de S. Se

  Γ

  − inf H ≤ 0, ent˜ao existe um ´ unico gr´afico radial Σ sobre Ω com curvatura m´edia H e bordo Γ. A prova deste teorema utilizamos um teorema devido a Serrin (Teorema 3.1) para

  n+1

  garantir a existˆencia de um gr´afico radial m´ınimo em H com bordo Γ. Combinamos as estimativas a priori para o gradiente (cf. [13], § 2.3) com o Teorema da Fun¸c˜ao Impl´ıcita

  (Teorema 2.16) e obteremos o resultado acima recorrendo `a teoria cl´assica de Schauder, assim como est´a exposta por D. Gilbarg e N. Trudinger em [7].

  O trabalho trata da quest˜ao de encontrarmos solu¸c˜oes ´ unicas para o seguinte pro-

  2,α

  blema: uma hipersuperf´ıcie deve ser o gr´afico de uma fun¸c˜ao u (Ω), onde Ω ´e ∈ C

  n+1

  um dom´ınio em uma esfera geod´esica S de raio ρ em H cujo fecho est´a contido num hemisf´erio aberto de S, tendo a curvatura m´edia hiperb´olica prescrita por uma fun¸c˜ao, sujeita `a condi¸c˜ao de u se anular na fronteira Γ = ∂Ω, ou seja, equivale a assegurar a

  2,α

  existˆencia de uma solu¸c˜ao u (Ω), u < 0, para o seguinte problema de Dirichlet: ∈ C

  ( Q (u) = 0 em Ω

  H

  , u = 0 em Γ em que Q H (u) ´e definido em (3.31), p´agina 68.

  A organiza¸c˜ao dos cap´ıtulos segue da seguinte maneira. Para o primeiro cap´ıtulo, exibimos alguns conceitos e resultados da Geometria Riemanniana expostos em [17]. O segundo tem o prop´osito de fundamentar o leitor de algumas ferramentas de EDP’s que ser˜ao necess´arias para a compreens˜ao dos resultados que pretendemos demonstrar. Fize- mos uma breve discuss˜ao sobre classifica¸c˜ao de EDP’s, baseado em [7]. Em seguida fize- mos um estudo sobre o Princ´ıpio do M´aximo, que envolve o Princ´ıpio do M´aximo Fraco, Princ´ıpio do M´aximo Forte, al´em de resultados que garantem a unicidade de solu¸c˜oes de Introdu¸c˜ ao

  problemas de Dirichlet. Esta parte foi baseada em [7] e em [20]. Apresentamos ainda a continuidade H¨older e o M´etodo da Continuidade, baseado em [7]. J´a no terceiro cap´ıtulo, apresentamos o problema de constru¸c˜ao de gr´aficos com curvatura m´edia constante em termos da existˆencia de solu¸c˜oes de uma classe espec´ıfica de equa¸c˜oes diferenciais parciais.

  n+1

  A partir da no¸c˜ao de gr´afico radial no espa¸co Euclidiano R , deduzimos equa¸c˜oes para

  n+1

  gr´aficos radiais sobre esferas geod´esicas no espa¸co hiperb´olico H . No quarto e ´ ultimo cap´ıtulo, exibimos a prova do nosso principal teorema, o Teorema 3.3.

  Cap´ıtulo 1

Preliminares de Geometria Riemanniana

  Este cap´ıtulo visa dar uma no¸c˜ao de alguns dos principais conceitos e resultados de Geometria Riemanniana, necess´arios para compreens˜ao dos resultados que pretendemos demonstrar.

1.1 Variedades Diferenci´ aveis

  Uma variedade diferenci´avel de dimens˜ao n ´e um conjunto M e uma fam´ılia de

  n n

  aplica¸c˜oes biun´ıvocas x : de R em M tais que:

  α α α

  U ⊂ R → M de abertos U ³ ´

  [

  (1) x ( ) = M ; α α

  U

  α −1 −1

  

(2) Para todo par α, β, com x ( ) ( ) = ( (

α U α ∩x β U β W 6= ∅, os conjuntos x W) e x W) α β n −1

  s˜ao abertos em R e as aplica¸c˜oes x α s˜ao diferenci´aveis; ◦ x

  β

  ,

  (3) A fam´ılia x ) α α {(U } ´e m´axima relativamente `as condi¸c˜oes (1) e (2).

  , O par ( x ) (ou a aplica¸c˜ao x ) com p ( ) ´e chamado uma parametriza¸c˜ao

  α α α α α

  U ∈ x U (ou sistema de coordenadas) de M em p ; x ( ) ´e chamada uma vizinhan¸ca coordenada

  α U α

  , em p. Uma fam´ılia α x α ) {(U } satisfazendo (1) e (2) ´e chamada uma estrutura diferenci´avel em M .

  n Indicaremos uma variedade diferenci´avel M de dimens˜ao n por M . Cap´ıtulo 1. Preliminares de Geometria Riemanniana m n

  Sejam M e N variedades diferenci´aveis. Uma aplica¸c˜ao ϕ : M → N ´e diferenci´avel

  n

  em p ∈ M se dada uma parametriza¸c˜ao y : V ⊂ R → N em ϕ(p) existe uma parame-

  m

  triza¸c˜ao x : U ⊂ R → M em p tal que ϕ(x(U)) ⊂ y(V) e a aplica¸c˜ao

  

−1 m n

  y ◦ ϕ ◦ x : U ⊂ R → R

  −1

  ´e diferenci´avel em x (p). ϕ ´e diferenci´avel em um aberto de M se ´e diferenci´avel em todos os pontos deste aberto. Decorre da condi¸c˜ao (2) da defini¸c˜ao de variedades diferenci´aveis que a defini¸c˜ao dada independe da escolha das parametriza¸c˜oes.

  Em seguida, estenderemos `as variedades diferenci´aveis a no¸c˜ao de vetor tangente.

1.2 Espa¸ co Tangente

  n

  Seja M uma Variedade Diferenci´avel de dimens˜ao n. Uma aplica¸c˜ao diferenci´avel α

  : ( −ε, ε) → M ´e chamada uma curva diferenci´avel em M.

  Suponha que α(0) = p ∈ M e seja D(M) = {f : M → R ; f ´e diferenci´avel em p}. O vetor tangente `a curva α em t = 0 ´e a fun¸c˜ao

  ′

  R α (0) :

  D(M) →

  ′

  f (0)

  7→ (f ◦ α) ou seja, o vetor tangente `a variedade M em p ´e o vetor tangente em t = 0 de alguma M curva α : ( o conjuntos desses vetores.

  P

  −ε, ε) → M com α(0) = p. Indicaremos por T

  n i n i

  Sejam os seguintes caminhos no R , λ : ( tais que λ (t) = q + t i , −ε, ε) → U ⊂ R · e

  n n

  i = 1, . . . , n, e seja x : uma paramtriza¸c˜ao em p = x(q), q U ⊂ R → M ∈ U. As curvas

  i i α = x s˜ao chamadas de curvas coordenadas passando em p.

  ◦ λ Com base nas defini¸c˜oes acima, temos

  

i ′ i ′ i ′

  (α ) (0) ) (0) = ((f ) (0) · f = (f ◦ α ◦ x) ◦ λ

  X ∂

  (f ◦ x) i ′

  = (q) ) (0) · (λ j

  ∂x

  j j

  ∂ (f ◦ x)

  = (q) ∂x

  i

  e poremos a seguinte nota¸c˜ao: ∂

  i ′

  (p) = (α ) (0) ∂x

  i

  1.2. Espa¸co Tangente

  ou seja, ∂ ∂ ∂ (f

  ◦ x)

  −1

  (p) : (p) (q) , q = x (p) D(M) → R , · f =

  ∂x ∂x ∂x

  i i i ′

  Queremos escrever o vetor tangente α (0) em termos do sistema de coordenadas de M .

  n

  Sejam x : U ⊂ R → M um sistema de coordenadas locais de M em p, α : (−ε, ε) → M uma curva diferenci´avel com α((

  −ε, ε)) ⊂ x(U) e f : M → R uma aplica¸c˜ao diferenci´avel em p. Fa¸camos o seguinte: ¡ ¢ ′

  ′ ′ −1

  α (0) (0) = (f (0)

  · f = (f ◦ α) ◦ x) ◦ (x ◦ α)

  n

  X ∂ ¡ ¢

  (f ◦ x)

  −1 ′

  = x (0) ◦ α(0) · α i

  ∂x

  i i=1 n

  X ∂ (f ¡ ¢

  ◦ x) −1 ′ = x (p) (0)

  · α i ∂x

  i i=1

n µ ¶

  X ∂

  ′

  α = (0) (p)

  i · · f

  ∂x

  i i=1

  Ã !

  n

  X ∂

  ′

  α = (0) (p)

  i · · f

  ∂x

  i i=1 n

  X ∂

  ′ ′ ′

  portanto, α (0) = α (0) (p), ou seja, o vetor v = α (0) pode ser expresso na

  i ·

  ∂x

  i i=1

  parametriza¸c˜ao x, e mostra que um vetor tangente a uma curva α em p depende apenas das derivadas de α em um sistema de coordenadas. Decorre tamb´em que o conjunto T M

  , com as opera¸c˜oes usuais de fun¸c˜oes, forma um Espa¸co Vetorial de dimens˜ao n e

  p n

  que a escolha de uma parametriza¸c˜ao x : U ⊂ R → M determina uma base associada

  ½ ¾ ∂ ∂ (p), . . . , (p) em T M . Conforme ilustra figura 1.1.

  p

  ∂x ∂x

  1 n

  Da no¸c˜ao de espa¸co tangente podemos estender `as variedades diferenci´aveis a no¸c˜ao de diferencial de uma aplica¸c˜ao diferenci´avel.

  m n Proposi¸c˜ ao 1.1. Sejam M e N variedades diferenci´aveis e seja ϕ : M

  → N uma aplica¸c˜ao diferenci´avel. Para cada p M , escolha uma curva dife-

  p

  ∈ M e cada v ∈ T

  ′

  renci´avel α : ( (0) = v. Fa¸ca β = ϕ −ε, ε) → M com α(0) = p, α ◦ α. A aplica¸c˜ao

  ′

  dϕ p (v) = β (0) ´e uma aplica¸c˜ao linear que n˜ao depende da escolha de α.

  A aplica¸c˜ao linear dϕ dada pela Proposi¸c˜ao 1.1 ´e chamada a diferencial de ϕ em p.

  p Com essa defini¸c˜ao, podemos falar em variedades orientadas. Cap´ıtulo 1. Preliminares de Geometria Riemanniana X ∂ ∂

  ′ ′ M α

Figura 1.1: Espa¸co T : ∂ = (p), ω = α (0) = (0) (p)

p k k ·

  ∂x ∂x k k k n

  Seja M uma variedade diferenci´avel. Diz–se que M ´e orient´avel se M admite uma , estrutura diferenci´avel ( x ) tal que, para todo par α, β, com x ( ) ( ) =

  α α α α β β

  U U ∩ x U

  −1

  tem determinante da matriz

  α

  W 6= ∅, a diferencial da mudan¸ca de coordenadas x β ◦ x Jacobiana positivo em cada ponto do seu dom´ınio. Caso contr´ario, diz-se que M ´e n˜ao– orient´avel. Se M ´e orient´avel, a escolha de uma estrutura diferenci´avel ´e chamada uma orienta¸c˜ao de M e M ´e, ent˜ao, dita orientada. Verifica–se que, se M ´e orient´avel e conexa, ent˜ao existem exatamente duas orienta¸c˜oes distintas em M .

1.2.1 Campo de Vetores

  Um campo de vetores e X sobre uma variedade diferenci´avel M ´e uma correspondˆencia M M que a cada ponto p , onde T ´e o espa¸co tangente

  p p

  ∈ M associa um vetor X(p) ∈ T

  X de M em p. Em termos de aplica¸c˜ao, e ´e uma aplica¸c˜ao de M em T M , e

  X : M

  → T M ³ ´ p (p), e

  X (p) 7→ onde T M ´e o Fibrado Tangente de M .

  , x , . . . , x Em termos de um sistema local de coordenadas x

  1 2 n , um campo vetorial

  P

  ∂

  pode ser expresso por e X (p) = a (p) (p), onde a s˜ao fun¸c˜oes definidas na vizinhan¸ca

  

i i

∂x i

  coordenada, chamadas componentes de e X com respeito a x , x , . . . , x . Nessas condi¸c˜oes

  1 2 n

  e

  X ´e diferenci´avel se, e somente se, suas componentes a : x(

  i U) → R s˜ao diferenci´aveis.

  1.3. M´ etricas Riemannianas

  Outra forma de expressar um campo de vetores, ´e considerando a seguinte aplica¸c˜ao X :

  D(M) → F f 7→ X · f : M → R p

  7→ X(p) · f onde D(M) ´e o conjunto das fun¸c˜oes diferenci´aveis em M e F o conjunto das fun¸c˜oes em

  M , ou seja, todo campo de vetores “leva”o conjunto de fun¸c˜oes diferenci´aveis com valores em M no conjunto das fun¸c˜oes em M , definido por (Xf )(p) = X(p) · f.

  Seja X(M ) o conjunto de todos os campos vetoriais diferenci´aveis sobre M . Ent˜ao,

  X (M ) ´e um espa¸co vetorial real com as opera¸c˜oes naturais de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao por escalar. Note que se f ´e uma fun¸c˜ao sobre M e X

  ∈ X(M), ent˜ao fX ∈ X(M).

1.3 M´ etricas Riemannianas

  Uma M´etrica Riemanniana numa Variedade Diferenci´avel M ´e uma correspondˆencia que associa a cada ponto p de M um produto interno (i.´e., uma forma bilinear

  p

  h , i M sim´etrica, positiva definida) no espa¸co tangente T , que varia diferenciavelmente no

  p

  seguinte sentido: Se x : U ⊂ R → M ´e um sistema de coordenadas locais em torno de p,

  ∂ com x(x , . . . , x ) = p (p) = dx (0, . . . , 1, . . . , 0), ent˜ao

  1 n p

  ∈ x(U) e ∂x

  i

  ¿ À ∂ ∂

  (p), (p) = g (x , . . . , x )

  ij 1 n

  ∂x ∂x

  i j

p

  ´e uma fun¸c˜ao diferenci´avel em U.

  ´ E claro que esta defini¸c˜ao n˜ao depende da escolha do sistema de coordenadas. Outra maneira de exprimir a diferenciabilidade da M´etrica Riemanniana ´e dizer que para todo par X e Y de campos de vetores diferenci´aveis em uma coordenada em M , a aplica¸c˜ao hX, Y i : M → R p

  7→ hX(p), Y (p)i p ´e diferenci´avel nessa vizinhan¸ca.

  As fun¸c˜oes g : x(

  ij

  U) → R s˜ao chamadas as Express˜oes da M´etrica Riemanniana (ou

  n

  “os g da m´etrica”) no sistema de coordenadas x :

  ij

  U ⊂ R → M. Uma variedade dife- renci´avel com uma dada M´etrica Riemanniana, chama–se uma Variedade Riemanniana. Cap´ıtulo 1. Preliminares de Geometria Riemanniana

  Estabeleceremos uma no¸c˜ao de equivalˆencias entre estruturas.

  m n

  Sejam M e N variedades Riemannianas. Um difeomorfismo ϕ : M → N ´e chamado uma isometria se:

  M N

  = (u), dϕ (v) (1.1)

  p p

  hu, vi p hdϕ i

  ϕ(p)

  M para todo p p . ∈ M; u, v ∈ T

  Se, al´em disso para um aberto U ⊂ M, um difeomorfismo ϕ : U → ϕ(U) ⊂ N satisfazendo (1.1) chama-se uma isometria local.

  ´ E usual dizer que a variedade Riemanniana M ´e localmente isom´etrica `a variedade

  N se para todo p ∈ M existe uma vizinhan¸ca V em M e uma isometria local ϕ : V →

  ϕ ( V) ⊂ N.

1.3.1 A Inversa da M´ etrica

  ¿ À ∂ ∂

  ij

  , Exibiremos a inversa da m´etrica g = , a qual indicaremos por g .

  ij

  ∂x ∂x

  i j

  X X ∂ ∂ a a

  Sejam os vetores e i = ki e e j = lj , com o seguinte resultado ∂x ∂x

  

k l

k l

  X X ∂ ∂

  ⊤

  δ , e a a , = (a )

  

ij he i j i = ki lj h i = ik · g kl · a lj

  ∂x ∂x

  k l

k,l k,l

  ( 1 se i = j

  ⊤

  e do fato que δ = , obtemos a seguinte rela¸c˜ao I = A

  ij

  · G · A e logo 0 se i 6= j

  −1 ⊤

  G = A , e portanto a express˜ao da inversa da m´etrica em coordenadas ´e · A

  X X

  ij ⊤ g a a a .

  = ik (a kj ) = ik ij (1.2)

  

k k

1.4 Variedades Imersas

  m n

  Sejam M e N variedades diferenci´aveis. Uma aplica¸c˜ao diferenci´avel ϕ : M → N

  M ´e uma imers˜ao se dϕ p : T p ϕ (p) ´e injetiva

  → T ∀p ∈ M. Se, al´em disso, ϕ ´e um homeomorfismo sobre a imagem ϕ(M ) ⊂ N, com a topologia induzida por N, diz–se que

  ϕ ´e um mergulho. E se, M ⊂ N e a insclus˜ao i : M ֒→ N ´e um mergulho, diz–se que M ´e uma subvariedade de N .

  1.5. Conex˜ ao Afim m n

  Observe que se ϕ : M ´e uma imers˜ao, ent˜ao m → N ≤ n. A diferen¸ca n − m ´e chamada a codimens˜ao da imers˜ao ϕ. E se, a codimens˜ao for igual a 1, ϕ(M ) ´e chamada de hipersuperf´ıcie.

  n n+k n+k n

  Suponha ϕ : M uma imers˜ao, N uma variedade Riemanniana e M → N uma variedade diderenci´avel. Defina

  M N

  p ϕ(p)

  := p (u), dϕ p (v) hu, vi hdϕ i

  como sendo a m´etrica em M . Essa m´etrica ´e chamada de m´etrica induzida por ϕ, e ϕ ´e uma imers˜ao isom´etrica.

1.5 Conex˜ ao Afim

  Uma conex˜ao afim ∇ em uma variedade diferenci´avel M ´e uma aplica¸c˜ao:

  ∇ : X(M) × X(M) → X(M) que satisfaz as seguintes propriedades, onde X, Y, Z ∈ X(M) e f, g ∈ D(M):

  Z Z Z

  (1) f X+gY = f X + g Y ;

  ∇ ∇ ∇

  • (2) (Y + Z) = Y Z ;

  X X

  X

  ∇ ∇ ∇ Y

  (3) X (f Y ) = f X + Xf Y.

  ∇ ∇ Seja M uma variedade diferenci´avel com uma conex˜ao afim

  ∇ e uma m´etrica Rie- manniana . A conex˜ao se

  p p

  h , i ∇ ´e dita compat´ıvel com a m´etrica h , i

  X Y, Z Z X, Y, Z

  X X

  hY, Zi = h∇ i + hY, ∇ i , ∈ X(M) Uma conex˜ao afim

  ∇ em uma variedade diferenci´avel M ´e dita sim´etrica se Y

  X X, Y = [X, Y ]

  X Y

  ∇ − ∇ ∈ X(M) Dada uma variedade Riemanniana M , a ´ unica conex˜ao afim

  ∇ em M que ´e sim´etrica e compat´ıvel com a m´etrica Riemanniana ´e chamada de conex˜ao Riemanniana. Cap´ıtulo 1. Preliminares de Geometria Riemanniana

1.6 Geod´ esicas e a Aplica¸ c˜ ao Exponencial

  Nesta se¸c˜ao introduziremos a no¸c˜ao de geod´esica como uma curva cuja acelera¸c˜ao ´e nula. Geod´esica ´e um dos conceitos fundamentais da Geometria Riemanniana, pelo fato de minimizarem comprimento de arco para pontos “suficientemente pr´oximo”, e al´em disso, se uma curva minimiza o comprimento de arco entre dois quaisquer de seus pontos, ela ´e uma geod´esica.

  D dγ

  Uma curva parametrizada γ : I = 0 no ponto

  → M ´e uma geod´esica em t ∈ I se

  dt dt

  t . Se γ ´e geod´esica em t, para todo t

  ∈ I, dizemos que γ ´e uma geod´esica. Se [a, b] ⊂ I e γ

  : I → M ´e uma geod´esica, a restri¸c˜ao de γ a [a, b] ´e chamada (segmento de) geod´esica ligando γ(a) a γ(b).

  ´ E comum, por abuso de linguagem, dizermos que geod´esica ´e a imagem γ(I) de uma geod´esica γ. Se γ ´e uma geod´esica, ent˜ao

  ¿ À ¿ À d dγ dγ D dγ dγ , ,

  = 2 = 0, dt dt dt dt dt dt ¯ ¯

  dγ dγ

  ¯ isto ´e, o comprimento do vetor ´e constante. Supondo que ¯ = c 6= 0, o comprimento

  dt dt

  de arco s de γ, a partir de uma origem fixa, digamos t = t , ´e ent˜ao dado por ¯ ¯

  Z

  t

  ¯ dγ ¯ ¯ ¯ s

  (t) = ).

  ¯ ¯ dt = c(t − t dt

  t

  Portanto, o parˆametro de uma geod´esica ´e proporcional ao comprimento de arco. Quando o parˆametro ´e o pr´oprio comprimento de arco, isto ´e, c = 1, diremos que a geod´esica γ est´a normalizada.

  ´ E poss´ıvel determinar as equa¸c˜oes locais satisfeitas por uma geod´esica γ em um sistema de coordenadas ( ), conforme exposto em [17], e prova-se

  U, x) em torno de γ(t que para cada ponto p M em p, existe uma ´ unica geod´esica

  p

  ∈ M e um vetor v ∈ T passando em p com dire¸c˜ao v. Temos assim o seguinte lema.

  Lema 1.2 (Lema 2.3, p. 63, [17]). Existe um ´ unico campo G em T M =

  {(q, v); q ∈

  ′

  M, v M (t)), onde γ ´e uma geod´esica em

  p

  ∈ T } cujas trajet´orias s˜ao da forma t → (γ(t), γ M .

  O campo G definido acima ´e chamado campo geod´esico em T M e seu fluxo ´e o fluxo geod´esico.

  1.6. Geod´ esicas e a Aplica¸c˜ ao Exponencial Proposi¸c˜ ao 1.3 (Proposi¸c˜ao 2.5, p. 63, [17]). Dado p

  ∈ M, existem um aberto

  ∞

  V > γ 0 e uma aplica¸c˜ao C : (

  1

  ⊂ M, p ∈ V , n´umeros δ > 0 e ε −δ, δ) × U → M, M,

  q

1 U = {(q, v); q ∈ V, v ∈ T |v| < ε }, tais que a curva t → γ(t, q, v), t ∈ (−δ, δ), ´e a

  ´ unica geod´esica de M que nos instante t = 0 passa por q com velocidade v, para cada q M com .

  p

  1

  ∈ V e cada v ∈ T |v| &lt; ε Esta ´ ultima proposi¸c˜ao afirma que se , a geod´esica γ(t, q, v) existe em um

  1

  |v| &lt; ε intervalo ( −δ, δ) e ´e ´unica. Em verdade, ´e poss´ıvel aumentar a velocidade deuma geod´esica diminuindo o seu intervalo de defini¸c˜ao, ou vice-versa. Isto decorre do seguinte lema.

  

Lema 1.4 (Lema 2.6, p. 64, [17]). Se a geod´esica γ(t, q, v) est´a definida no intervalo

  ¡ ¢

  δ δ

  ( , e

  −δ, δ), ent˜ao a geod´esica γ(t, q, av), ∈ R, a &gt; 0, est´a definida no intervalo −

  a a

  γ (t, q, av) = γ(at, q, v).

  Uma aplica¸c˜ao muito ´ util para nossos prop´ositos, ´e a aplica¸c˜ao exponencial, que definiremos agora. Seja V uma vizinhan¸ca de p ∈ M e U = {(q, w) ∈ T M, q ∈ V, w ∈

  T M,

  q

  |w| &lt; ε} um aberto. Ent˜ao a aplica¸c˜ao exp : U → M dada por µ ¶ v

  , exp(q, v) = γ(1, q, v) = γ (q, v) |v|, q, ∈ U,

  |v| ´e chamada aplica¸c˜ao exponencial em U.

  Geometricamente, exp (v) ´e o ponto de M obtido percorrendo um comprimento igual

  q v

  a .

  |v|, a partir de q, sobre a geod´esica que passa por q com velocidade igual a

  |v|

Figura 1.2: Aplica¸c˜ao Exponencial exp

p

  Proposi¸c˜ ao 1.5 (Proposi¸c˜ao 2.9, p. 65, [17]). Dado q

  ∈ M, existe um ε &gt; 0 tal que M exp : B (0)

  (0) sobre um aberto de M .

  ε q ε p ⊂ T → M ´e um difeomorfismo de B Cap´ıtulo 1. Preliminares de Geometria Riemanniana

  Se a aplica¸c˜ao exponencial exp ´e um difeomorfismo em uma vizinhan¸ca V da origem

  p

  M

  V em T , exp = U ´e chamada uma vizinhan¸ca normal de p. Se B (0) ´e tal que

  p ε p

  B B (0) (0) = B (p) a bola normal (ou geod´esica) de centro p e raio

  ε ε ε

  ⊂ V , chamamos exp p ε

  . A fronteira de uma bola normal ´e um hipersuperf´ıcie em M ortogonal `as geod´esicas que partem de p, denotamos por S (p) e denominamos por esfera normal (ou geod´esica).

  ε As geod´esicas em B (p) que partem de p s˜ao chamadas geod´esicas radiais. ε

  B

Figura 1.3: Esfera geod´esica: exp (0) = B (p)

ε ε p

  Um segmento geod´esico γ : [a, b] → M ´e chamado minimizante se ℓ(γ) ≤ ℓ(c), em que ℓ(.) indica o comprimento de uma curva e c ´e qualquer curva diferenci´avel por partes ligando γ(a) a γ(b). A seguinte proposi¸c˜ao assegura que as geod´esicas minimizam, localmente, o comprimento de arco.

  Proposi¸c˜ ao 1.6 (Proposi¸c˜ao 3.6, p. 71, [17]). Sejam p

  ∈ M, U uma vizinhan¸ca normal de p, B ⊂ U uma bola normal de centro p. Seja γ : [0, 1] → B um segmento de geod´esica com γ(0) = p. Se c : [0, 1]

  → M ´e qualquer curva diferenci´avel por partes ligando γ(0) a γ (1) ent˜ao ℓ(γ) ≤ ℓ(c) e se a igualdade vale ent˜ao γ([0, 1]) = c([0, 1]).

  Cabe observar que a proposi¸c˜ao acima n˜ao ´e global, pois se considerarmos as geod´esicas de uma esfera que partem de um ponto p n˜ao s˜ao minizantes depois que passam pelo ant´ıpoda de p. Por outro lado, se uma curva c diferenci´avel por partes ´e minimizante, ent˜ao c ´e uma geod´esica. Como afirma o seguinte corol´ario.

  

Corol´ ario 1.7 (Corol´ario 3.9, p.73, [17]). Se uma curva diferenci´avel por partes γ :

  [a, b] → M, com parˆametro proporcional ao comprimento de arco, tem comprimento me- nor ou igual ao comprimento de qualquer outra curva diferenci´avel por partes ligando γ(a) a γ(b) ent˜ao γ ´e uma geod´esica. Em particular ´e regular.

  1.7. Segunda Forma Fundamental

1.7 Segunda Forma Fundamental

  n+k n

  Seja ϕ : M uma imers˜ao isom´etrica. Para simplificar a nota¸c˜ao, identifi- → M caremos, para cada p (v) M e ϕ(

  p ϕ(p)

  ∈ M, cada vetor v ∈ T pM com dϕ ∈ T W) com W, onde M na soma

  p

  W ⊂ M ´e uma vizinhan¸ca de p. Ent˜ao a m´etrica de M decomp˜oe T direta:

  ⊥

  T M M M , = T )

  p p p

  ⊕ (T

  ⊥

  M M M onde (T ) ´e o complemento ortogonal de T em T .

  p p p

  Se X, Y s˜ao campos locais de vetores em M , e X, Y s˜ao suas extens˜oes locais a M

  T

  , ent˜ao a conex˜ao Riemanniana de M ´e dada por Y = ( Y ) , onde

  X

  ∇ ∇

  X ∇ ´e a conex˜ao Riemanniana de M .

  Queremos definir a segunda forma fundamental da imers˜ao ϕ. Para tanto, definiremos B Y Y

  (X, Y ) =

  X como um campo local em M normal a M , onde X e Y

  ∇ − ∇

  X

  s˜ao campos locais em M . Segue que B(X, Y ) n˜ao depende das extens˜oes de X, Y , e a

  ⊥ ⊥

  aplica¸c˜ao B : X( ´e bilinear e sim´etrica, onde X( s˜ao os campos W) × X(W) → X(W) W) diferenci´aveis em M de vetores normais a M .

  ⊥

  Estamos aptos a definir a segunda forma fundamental. Seja p M ) . A

  p

  ∈ M e η ∈ (T aplica¸c˜ao H : T M M

  η p p

  × T → R dada por H (u, v) = M

  

η p

  hB(u, v), ηi, ∀ u, v ∈ T ´e uma forma bilinear sim´etrica. E portanto temos a seguinte defini¸c˜ao.

  A forma quadr´atica II definida em T M por II (v) = H (v, v) ´e chamada a segunda

  

η p η η

forma fundamental de ϕ em p segundo o vetor normal η.

  M M Denotaremos por S η : T p p a aplica¸c˜ao linear auto–adjunta associada `a

  → T segunda forma fundamental de ϕ, isto ´e, M. (u), v (u, v) = hS η i = H η hB(u, v), ηi , ∀ u, v ∈ T p

  E essa aplica¸c˜ao linear, em termos da derivada covariante, pode ser expressa como

  T

  S (v) = N ) ,

  η v

  −(∇ onde N ´e uma extens˜ao local de η normal a M .

  Relacionaremos agora a curvatura de M com a curvatura de M e as segundas formas M M fundamentais. Se u, v , s˜ao linearmente independentes, indicaremos por

  p p

  ∈ T ⊂ T Cap´ıtulo 1. Preliminares de Geometria Riemanniana

  K (u, v) e K(u, v) as curvaturas seccionais de M e M , respectivamente, no plano gerado por u e v.

  M

  Teorema 1.8 (Gauss). Sejam p

  . Ent˜ao

  p

  ∈ M e u, v vetores ortonormais de T

  2 K .

  (u, v) − K(u, v) = hB(u, u), B(v, v)i − |B(u, v)|

  ⊥

  M Uma imers˜ao ϕ : M

  p ) a segunda

  → M ´e geod´esica em p ∈ M se para todo η ∈ (T forma fundamental H ´e identicamente nula em p. A imers˜ao ϕ ´e totalmente geod´esica se

  η

  ela ´e geod´esica para todo p ∈ M.

  ⊥

  M Uma imers˜ao ϕ : M

  ) tem–se

  p

  → M ´e m´ınima se para todo p ∈ M e todo η ∈ (T que o tra¸co de S η = 0.

  ⊥

  Escolhendo um referencial ortonormal ξ , . . . , ξ de vetores em (T M ) , o vetor cur-

  1 k p

  vatura m´edia de ϕ em p ´e definido por

  X

1 H

  = (trS )ξ

  ξ k k

  n

  

k

  que n˜ao depende do referencial ξ escolhido. E, ´e claro que ϕ ´e m´ınima se, e somente se,

  k

  H (p) = 0, para todo p ∈ M.

1.7.1 Segunda Forma Fundamental de Hipersuperf´ ıcies

  Consideremos o caso particular em que a imers˜ao ´e uma hipersuperf´ıcie, isto ´e, ϕ :

  n+1 n ⊥

  M M , M M . Seja p p ) η : T p p ´e sim´etrica,

  → M ∈ M e η ∈ (T |η| = 1. Como S → T existe uma base ortonormal de vetores pr´oprios , . . . , ξ M com valores pr´oprios

  1 n p

  {ξ } de T λ , . . . , λ , i.´e., S (ξ ) = λ ξ , 1

  i n η 1 i i

  ≤ i ≤ n. Se M e M s˜ao orient´aveis e est˜ao orientas, , . . . , ξ ent˜ao o vetor η fica univocamente determinado se exigirmos que sendo

  1 n

  {ξ } uma , . . . , ξ , η base na orienta¸c˜ao de M e

  1 n

  {ξ } seja uma base na orienta¸c˜ao de M. Neste caso, denominamos, os ξ dire¸c˜oes principais e os λ = k curvaturas principais de ϕ e portanto,

  i i i

  a curvatura de Gauss–Kronecker de ϕ ´e det(S ) = λ . . . λ , e a curvatura m´edia de ϕ ´e

  η 1 n

  1

  1 tr(S ) = (λ + . . . + λ ). η 1 n n n n+1

  Um caso importante ocorre quando M = R . Neste caso, podemos expressar a curvatura m´edia em coordenadas. Inicialmente, seja N uma extens˜ao local de η, unit´aria e normal a M . Sejam α(t) = (a (t), . . . , a (t)) e β(t) = (b (t), . . . , b (t)) duas curvas

  1 n 1 n ′ ′

  M M diferenci´aveis em M , com α(0) = β(0) = p (0) = u e β (0) = v .

  p p

  ∈ M, α ∈ T ∈ T

  • dN
    • =

  • X
    • =

  ∂X ∂x

  kl :=

  Portanto, b

  À = 0.

  j

  ∂x

  i

  ∂x

  2 X

  N, ∂

  À

  j

  , ∂X ∂x

  i

  ¿ dN ·

  µ ∂X ∂x

  À =

  j

  ∂X ∂x

  ¿ N,

  i

  ∂x

  À onde a ´ ultima igualdade vem do fato que ∂

  j

  ∂x

  i

  ∂x

  2 X

  ∂

  ¿ N,

  ¿ B

  k

  b

  g

  j

  ∂x

  , ∂

  i

  ∂ ∂x

  = ¿

  ij

  ´e a inversa da m´etrica g

  ij

  (1.3) onde g

  ij

  b

  ij

  

i,j

  , ∂X ∂x

  X

  1 n

  H =

  À , e ent˜ao a curvatura m´edia pode ser escrita

  l

  ∂x

  k

  ∂x

  2 X

  ∂

  ¿ N,

  À =

  ¶ , N

  l

  

j

  ′ i

  À , como foi visto em (1.2). Cap´ıtulo 1. Preliminares de Geometria Riemanniana

  temos que hB(u, v), Ni = hS

  X

  ,

  i

  ∂X ∂x

  ′ i

  a

  i

  X

  ·

  −

  − hdN·u, vi =

  ·u, vi =

  η

  j

  b

  ∂X ∂x

  ′ j

  b

  j

  X

  e v =

  i

  ∂X ∂x

  ′ i

  a

  i

  X

  Escrevendo u =

  1.7. Segunda Forma Fundamental

  j

  ′ j

  a

  −

  i,j

  X

  À =

  j

  , ∂X ∂x

  i

  ∂X ∂x

  ¿ dN ·

  ′ j

  b

  

i

  a

  i,j

  X

  j

  ∂X ∂x

  ∂X ∂x

  ′ j

  b

  j

  X

  ,

  i

  ∂X ∂x

  dN ·

  ′ i

  a

  

i

  −

  j

  • ¿

1.8 Gradiente, Divergente, Laplaciano e Hessiano

  Definiremos nesta se¸c˜ao, o gradiente, a divergˆencia, o laplaciano e o hessiano em uma variedade Riemanniana, determinando para cada um destes suas express˜oes em rela¸c˜ao a um referencial ortonormal e a um sistema de coordenadas. Destacaremos alguns resultados b´asicos que utilizaremos ao longo do nosso trabalho, tamb´em veremos a rela¸c˜ao que existe entre os laplacianos de duas variedades conformes.

  Dada uma fun¸c˜ao f ∈ D(M), o gradiente de f ´e o campo de vetores gradf : M

  → T M p 7→ (p, gradf(p)) , definido por hgradf, Xi = X(f) = df · X, ∀ X ∈ X(M).

  Dado X ∈ X(M), o divergente de X ´e a fun¸c˜ao divX : M → R, definida por

  ¡ ¢ divX(p) = tr Y (p) X )(p) ,

  Y

  7→ (∇

  X onde tr representa o tra¸co da aplica¸c˜ao linear Y (p) Y )(p). 7→ (∇

  O operador linear ∆ : D(M) → D(M) definido por:

  ∆f = div(grad f ), ∀ f ∈ D(M) ´e chamado o operador Laplaciano de M .

  Calcularemos, primeiramente, as express˜oes de gradf , divX e ∆f em rela¸c˜ao a um referencial ortogonal (ξ , . . . , ξ ) definido em um aberto de M . Observemos no entanto

  1 n

  que as express˜oes do gradiente, da divergˆencia e do laplaciano independem do referencial escolhido, pois o gradiente em cara ponto p ∈ M ´e o vetor que representa o funcional linear df e a divergˆencia ´e o tra¸co de uma aplica¸c˜ao linear.

  p

  Como, por defini¸c˜ao,

  f, i = 1, . . . , m,

  i i

  hgradf, ξ i = ξ a express˜ao de gradf ´e

  

m

  X ¡ ¢ ξ f ξ . gradf =

  (1.4)

  i i

i=1

1.8. Gradiente, Divergente, Laplaciano e Hessiano

  De acordo com a defini¸c˜ao da divergˆencia de um campo X, temos

  m

  D E

  X X, ξ , divX = ξ i i ∇

  i=1 m

  X X ξ e escrevendo X = segue que

  j j j=1

  • Ã !

  m m

  D E

  X X ¡ ¢

  X, ξ X ξ , ξ X ξ , ξ = h∇ ξ i i i = ∇ ξ i j j i ∇ ξ i j j i

  j=1 j=1 m

  E

  X D¡ ¢ ξ X ξ ξ , ξ

  = + X

  i j j j ξ i j i

  ∇

  j=1 m

  D E

  X

  X ξ = ξ

  • X , ξ

  i i j ξ i j i

  ∇

  j=1 m

  D E

  X = ξ

  X X ξ , ξ

  i i j ξ i i j

  − ∇

  j=1

  D E = ξ X ξ , X .

  i i ξ i i

  − ∇ Conclu´ımos ent˜ao que

  m

  n

  X ­ ®o divX = ξ

  X ξ , X . (1.5)

  i i ξ i i

  − ∇

  i=1

  Para o c´alculo do laplaciano, combinando (1.4) e (1.5) para obter

  m

  n

  X ¡ ¢ ­ ®o

  δf = div(gradf ) = ξ ξ f ξ , gradf ,

  i i ξ i i

  − ∇

  i=1

  isto ´e,

  m

  n o

  X ¡ ¢ ¡ ¢

  δf = ξ ξ f ξ f . (1.6)

  i i ξ i i

  − ∇

  i=1

  Em particular, de , . . . , ξ

  1 m

  {ξ } ´e um referencial geod´esico em p, ou seja, se al´em da ¡ ¢ ortogonalidade temos ξ (p) = 0, i, j = 1, . . . , m, ent˜ao as express˜oes da divergˆencia

  ξ i j

  ∇ e do laplaciano no ponto p s˜ao

  

m m

  X X ¡ ¢ ¡ ¢ divX(p) = ξ

  X (p) e ∆f (p) = ξ ξ f (p).

  i i i i

i=1 i=1

  Seja x : U → M um sistema de coordenadas locais, vamos calcular as express˜oes de

  ∂ , . . . , ∂ gradf , divX e δf nesse sistema de coordenadas. Denotando ∂ = , seja

  i {∂ 1 m }

  ∂x

  i

  ¡ ¢ ­ ® g ∂ , ∂ a base associada a esse sistema e considere a matriz G = definida por g = ,

  ij ij i j Cap´ıtulo 1. Preliminares de Geometria Riemanniana

  ¡ ¢

  −1 ij

  i, j = 1, . . . , m. Denotemos por g = detG, G = g o determinante e a inversa de G, respectivamente.

  Para o gradiente, escrevendo

  m

  X α ∂ , gradf =

  i i i=1

  temos que

  m

  X ∂f

  ∂ ∂ α g , = i i j i ij hα i =

  ∂x

  i i=1

  µ ¶ ¡ ¢ ∂f

  −1

  α F e pondo A = i e F = , obtemos GA = F , ou seja, A = G . Segue

  m×1

  ∂x

  i m×1

  que

  

m

  X ∂f

  ij

  α = g

  i

  ∂x

  i

j=1

  e conseq¨ uentemente, ( )

  m m

  X X ∂f

  ij g ∂ .

  gradf = (1.7)

  i

  ∂x

  i i=1 j=1

  , . . . , ξ Calculemos a express˜ao da divergˆencia. Se

  1 m

  {ξ } ´e um referencial ortogonal definido em x( U), escrevendo

  m

  X ξ e ∂ , i

  

i = ki k = 1, . . . , m,

k=1

  temos

  m

  X ­ ® δ = ξ , ξ = e e g , i = 1, . . . , m.

  ij i j kl lj kl k,l=1 T

  Pondo E = (e ), segue que E GE = I. Portanto, podemos tamb´em escrever

  ij m

  X δ = g e e , i, j = 1, . . . , m. (1.8)

  ij ik kl jl i,j=1

  Para um campo X ∈ X(M) dado por

  

m

  X X a ∂ , =

  i i

i=1

1.8. Gradiente, Divergente, Laplaciano e Hessiano

  • =
    • ∇X

  • a j

  ∂a

  j

  a

  ik

  e

  lk

  e

  rl

  ³ g

  

r

  i

  ∂x

  j

  ik

  r ij

  e

  lk

  e

  jl

  ( g

  i,j,k,l

  X

  =

  ® ¾

  l

  , ∂

  j

  Γ

  , em que Γ

  ´ )

  (1.9) e como Γ

  ∂x

  li

  ∂x

  ∂x

  jl

  ½ ∂g

  lk

  g

  ¾ , segue que

  1

  =

  k ij

  ) ,

  ∂ i

  i ij

  Γ

  j

  a

  j

  i

  ∂x

  

i

  ( ∂a

  i

  X

  , i, j, r = 1, . . . , m, s˜ao os. utilizando s´ımbolos de Christoffel da conex˜ao ∇ no sistema de coordenadas x. Utilizando (1.8), obtemos divX =

  r ij

  ∂

  À

  ­ ∇

  ∂

  lk

  e

  l

  X

  ,

  j

  ∂

  j

  a

  j

  X

  i

  ik

  i

  e

  i

  k

  X

  ® =

  k

  X, ξ

  ξ k

  ­ ∇

  k

  X

  tem-se que divX =

  ∂

  X

  − ∂

  i,j,k,l

  

i

  , ∂

  j

  ∂

  i

  ∂x

  j

  ½¿ ∂a

  ik

  e

  lk

  e

  X

  i,j,k,l

  i =

  

l

  , ∂

  j

  ∂

  j

  a

  ∂ i

  h∇

  ik

  e

  lk

  e

  • X
  • X
  • ∂g

  ij

2 X

  j

  • ∂g
  • a

  ¶¾ =

  G

  −1

  ∂G ∂x

  • 1
  • 1
  • 1
  • 1
Cap´ıtulo 1. Preliminares de Geometria Riemanniana

  i

  ½ ∂a

  i

  i

  X

  ∂x

  i

  i

  2 a

  i

  tr µ

  j

  2 a

  ∂x

  X

  j,l

  g

  jl

  g

  

lj

  

i

  ∂x

  ) =

  X

  i

  ½ ∂a

  i

  ∂a

  1 g ∂g

  ¾ =

  i

  = gtr µ

  (1.10)

  √ g ¢ .

  i

  ¡ a

  i

  ∂

  i

  X

  1 √ g

  ¶ (veja [So], p. 56). Logo, a express˜ao da divergˆencia de X ´e divX =

  i

  ∂G ∂x

  −1

  G

  i

  2 a

  √ g ∂

  X

  i

  ½ ∂a

  i

  ∂x

  i

  ∂x

  ∂x

  i

  ( √ g

  ) ¾

  , em que ∂G ∂x

  i

  denota a matriz obtida de G derivando-se cada elemento em rela¸c˜ao `a i-´esima coordenada, e onde usamos o fato que ∂g

  i

  ∂x

  i

  ¾ =

  ∂x

  j

  − ∂g

  ij

  ∂x

  l

  1

  i

  2 X

  i,j,l

  ½ a

  j

  g

  li

  li

  ∂x

  

jl

  =

  l

  l

  X

  i,j

  Γ

  i ij

  2 X

  

jl

  i,j,l

  a

  j

  g

  li

  ½ ∂g

  ∂g

  ∂x

  i

  

lj

  i,j,l

  a

  j

  g

  jl

  ∂g

  ∂x

  1

  

i

.

  Conseq¨ uentemente, divX =

  X

  i

  ( ∂a

  i

  2 X

  ¾ =

  

i

  i

  i

  g

  lj

  ∂g

  lj

  ∂x

  − a

  i

  j

  g

  il

  ∂g

  lj

  ∂x

  1

  Finalmente, a partir de (1.7) e (1.10) obtemos o laplaciano como µ ¶

  X ∂f

  1

  ij √

  ∆f = ∂ g g . (1.11)

  

i

  √ g ∂x

  j i,j

  Conv´em mencionar agora algumas propriedades, que usando as defini¸c˜oes de gradi- ente, divergente e laplaciano, por um c´alculo direto podemos mostrar que grad(f g) = f gradh + hgradf div(f X) = f divX + (1.12) hgradf, Xi

  ∆(f g) = f ∆h + h∆f + 2 (1.13) hgradf, gradhi, para quaisquer f, g

  ∈ D(M). Se M ´e compacta e orient´avel, com bordo ∂M, para

  X ∈ X(M) tem-se que

  Z Z (divX)dV = hX, νidA,

  M ∂M

  em que dV e dA s˜ao os elementos de volume de M e do bordo ∂M , respectivamente, e ν ´e o campo unit´ario normal exterior em ∂M Este resultado ´e conhecido como Teorema da Divergˆencia ([Sp], p. 192). Decorrem deste teorema e de (1.12) as chamadas F´ormulas de Green

  Z Z © ª f ∆g + dV = f (1.14) hgradf, gradgi hgradg, νidA

  M ∂M

  e Z Z

  © ª © ª f ∆g dV = f dA, (1.15) − g∆f hgradg, νi − ghgradf, νi

  M ∂M

  para f, g ∈ D(M).

  Introduziremos o conceito de variedades conformes. Seja ϕ : M → N um difeomor- fismo, em que N ´e uma variedade Riemanniana. Denotaremos por h , i, ∇ e ∆ a m´etrica em N , a conex˜ao Riemanniana e o laplaciano relativos a esta m´etrica, respectivamente.

  Suponha que existe uma fun¸c˜ao µ ∈ D(M) que satisfa¸ca, para todo p ∈ M e todo par de

  M vetores v, w p , µ(p) ∈ T 6= 0 e

  2

  (p)

  p p hdϕ · v, dϕ · wi = µ hv, wi.

  Neste caso, dizemos que ϕ ´e um difeomorfismo conforme, que M e N s˜ao variedades

  2 conformes e que a fun¸c˜ao µ ´e o coeficiente de conformalidade de ϕ.

1.8. Gradiente, Divergente, Laplaciano e Hessiano

  hY, Zi ¢

  . (1.19) Temos tamb´em que h∇ dϕ·X

  −1

  hY, Zi o ◦ ϕ

  2 X

  ) hY, Zi + µ

  2

  X (µ

  · X ¢ hdϕ · Y, dϕ · Zi = n

  , ou seja, ¡ dϕ

  −1

  ◦ ϕ

  2

  ¡ ∇

  ¡ µ

  ¢ = X

  −1

  hY, Zi ◦ ϕ

  2

  ¢ ¡ µ

  ¡ dϕ · X

  · X ¢ hdϕ · Y, dϕ · Zi =

  ∈ X(M). Utilizando (1.16) obtemos ¡ dϕ

  ´ , (1.18) para quaisquer X, Y, Z

  X Y + S(X, Y )

  ³ ∇

  (dϕ · Y ), dϕ · Zi = hdϕ ·

  X Y

  dϕ·X

  . (1.20) Permutando-se Y e Z em (1.20) obtemos hdϕ · Y, ∇

  . (1.21)

  −1

  hY, S(X, Z)i o ◦ ϕ

  2

  i + µ

  X Z

  hY, ∇

  2

  µ

  (dϕ · Z)i = n

  dϕ·X

  −1

  ¢ , dϕ

  hS(X, Y ), Zi o ◦ ϕ

  2

  i + µ

  X Y, Z

  h∇

  2

  = n µ

  −1

  

X

Y

  h∇

  2

  · Zi = µ

  (dϕ · Y ) = dϕ ·

  ∇

  Observemos que dados X ∈ X(M) e f ∈ D(M), pondo g = f ◦ ϕ

  ◦ dϕ

  = ¡

  ¢ (p)

  ¡ Xf

  ¢ =

  X (p)

  · ¡

  p

  ¢ = df

  X (p)

  ¢¡

  q

  −1

  −1

  ◦ dϕ

  p

  = ¡ df

  · X(p) ¢

  p

  · ¡ dϕ

  q

  (q) = dg

  · X)g ¢

  ¡ (dϕ

  , temos para q = ϕ(p),

  −1

  Xf ◦ ϕ

  ¢ (q), isto ´e,

  (1.17) Demonstra¸c˜ ao. Seja S(X, Y ) o campo que satisfaz

  ³

  ¢ ´ ¾

  2

  ¡ µ

  X − hX, Y igrad

  ¢

  2

  ¡ µ

  ¢ Y + Y

  

2

  µ

  X ¡

  −2

  ¡ dϕ · X

  2 µ

  1

  X Y +

  ½ ∇

  (dϕ · Y ) = dϕ ·

  dϕ·X

  ∈ X(M), ent˜ao ∇

  Lema 1.9. Se X, Y

  (1.16) O lema a seguir nos mostra como se relacionam as conex˜oes de duas variedades conformes, neste caso as de M e N .

  −1 .

  ◦ ϕ

  ¢ g = Xf

  • S(X, Y )
  • S(X, Y ), Z i ◦ ϕ
Cap´ıtulo 1. Preliminares de Geometria Riemanniana

  Como ¡ ¢ dϕ

  (dϕ (dϕ

  dϕ·X dϕ·X

  · X hdϕ · Y, dϕ · Zi = h∇ · Y ), dϕ · Zi + hdϕ · Y, ∇ · Z)i, decorre de (1.19), (1.20) e (1.21) que (1.18) equivale a ¡ ¢ © ª

  2

2 X µ .

  (1.22) hY, Zi = µ hS(X, Y ), Zi + hY, S(X, Z)i Por outro lado, S(X, Y ) dado por n

  1 ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ o

  −2

  2

  2

  2 S µ

  X µ Y µ X µ (X, Y ) = + Y

  − hX, Y igrad

  2 obviamente verifica n o 1 ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢

  −2

  2

  2

  2

  µ X µ µ µ hS(X, Y ), Zi = hY, Zi + Y hX, Zi − Z hX, Y i

  2

  e, conseq¨ uentemente, satisfaz a equa¸c˜ao (1.22), o que conclui a demonstra¸c˜ao do lema. ¤ A proposi¸c˜ao seguinte nos mostra a rela¸c˜ao que existe entre os laplacianos das varie- dades conformes M e N .

  −1 Proposi¸c˜ ao 1.10. Sejam f

  . Ent˜ao ∈ D(M) e g ∈ D(N) tais que g = f ◦ ϕ

  ½ ¾ 1 m − 2

  2

  ∆g(q) = ∆f + grad(µ )f (p), (1.23)

  2

  4

  µ 2µ em que q = ϕ(p), p

  ∈ M.

  , . . . , ξ Demonstra¸c˜ ao. Seja

  1 m

  {ξ } um referencial ortogonal definido num aberto V , . . . , ηζ

  1 m

  ⊂ M. Temos que que {ηζ } ´e um referencial ortogonal definido no aberto

  1

  −1

  W = ϕ(V ), em que η = e ζ i = dϕ i , i = 1, . . . , m. Assim, de acordo com 1.6,

  ◦ ϕ · ξ µ em W , temos

  m

  n

  X ¡ ¢ ¡ ¢ o

  ∆g = ηζ ηζ g ∆ (ηζ )g . (1.24)

  i i ηζ i

  1

  −

  i=1

  Utilizando (1.16), vem que ¡ ¢ ¡ ¢

  −1

  ζ g = dϕ g = ξ f ,

  i i i

  · ξ ◦ ϕ ³ ´

  ¡ ¢

  −1

  ζ ζ g f , = (dϕ ) (ξ )

  i i i i

  · ξ ◦ ϕ ½ µ ¶¾

  1

  −1 ζ ξ = (dϕ )η = ξ . i i i

  · ξ ◦ ϕ µ

  Calculemos cada parcela da soma em (1.24). Temos que ½ µ µ ¶¶ ¾

  1

  1

  1

  2 −1

  ηζ g η g ζ g ξ f η

  i (ηζ i ) = η(ζ i )(ζ i ) + η i (ζ i ) = i (η i ) + i (η i )

  ◦ ϕ

  2

  µ µ µ

1.8. Gradiente, Divergente, Laplaciano e Hessiano

  e ³ ´ ³ ´

  2 g η g ζ .

  ∆ (ηζ ) = η(ζ )(ζ ) + η (∆ )g

  

ηζ i i i i ζ i i

  ζ Para desenvolvermos esta ´ ultima igualdade, vamos determinar a express˜ao de . Pelo

  ζ i i

  ∇ Lema 1.9 tem-se que

  ½ ¾ ³ 1 ¡ ¢ ¡ ¢ ´

  2

  2

  = dϕ 2ξ

  • ζ ξ µ ξ µ ,

  ζ i i ξ i i i i

  ∇ · ∇ − grad

  2

  2µ e decorre de (1.16) que ¾

  ³ ´ ½³ ´ ³ 1 ¡ ¢ ¡ ¢ ´

  2 2 −1

  = 2ξ

  • ζ g ξ f µ ξ µ f .

  ζ i i ξ i i i i

  ∇ ∇ − grad ◦ ϕ

  2

  2µ Portanto,

  ½ µ µ ³ ¶¶ ³ ´

  ¡ ¢´

  1

  1 ηζ g = ξ ξ f

  ηζ i i i i

  ∇ µ µ

  ¸¾ ´ ³

  ·³

  1 1 ¡ ¢ ¡ ¢ ´

  2 2 −1 + + ξ f 2ξ µ ξ µ f . xi i i i i

  ∇ − grad ◦ ϕ

  2

  2

  µ 2µ Conseq¨ uentemente, o termo do somat´orio em (1.24) ´e

  ½ ³ ´

  ¡ ¢

  1 ηζ ηζ g ξ f ξ

  (ηζ ) = (ξ ) )f

  i i ηζ i i i i ξ i i

  − ∇ − (∇

  2

  µ ¾

  ³ ¡ ¢ ¡ ¢ ´

  1

  2 2 −1 µ ξ µ f .

  2ξ i i − − grad ◦ ϕ

  

4

  2µ Logo,

  (

  m

  ³ ´

  X

  1 ξ f ξ

  ∆g = i (ξ i ) ξ i )f − (∇ i

  2

  µ

  i=1

  Ã ! )

  

m m

  X X ¡ ¢ ¡ ¢

  1

  

2

2 −1

  • 4

  µ ξ µ ξ f grad i i − 2 ◦ ϕ

  2µ

  

i=1 i=1

  ½ ¾

  1 1 ¡ ¢

  2 −1

  µ f , = ∆f + grad

  ◦ ϕ

  2

  4

  µ 2µ e em q = ϕ(p) temos (1.23).

  ¤ Para finalizarmos a se¸c˜ao, definiremos o Hessiano de uma fun¸c˜ao f ∈ X(M). Sejam f

  ∈ X(M) e p ∈ M. Defina o hessiano de f no ponto p como a aplica¸c˜ao bilinear, Hessf : T M M

  p p

  × T → R dada por: ­ ® . Hessf (X, Y ) = (gradf ), Y

  X

  ∇ Cap´ıtulo 1. Preliminares de Geometria Riemanniana

  Observando que Y

  X [X, Y ](f ) = XY (f ) )(f ),

  X Y

  − Y X(f) = (∇ − ∇ temos que Hessf (X, Y ) = Hessf (Y, X), em que X, Y ∈ X(M), isto ´e, Hessf ´e uma forma

  ∂ bilinear sim´etrica. Se (x , . . . , x ) ´e um sistema de coordenadas locais em M e ∂ =

  1 n i

  ∂x

  i

  ent˜ao: , ∂ ∂ f ∂ Hessf (∂ i j ) = ∂ i j ∂ i j )(f ).

  − (∇

  X

  k

  ∂ ∂ Como = Γ podemos escrever a express˜ao acima da seguinte maneira:

  ∂ i j k

  ∇ ij

  k

  ³ ´

  X

  k

  , ∂ ∂ ∂ ∂ Hessf (∂ ) = Γ (f ).

  i j i j k

  − ij

  k

  Denotaremos tamb´em por Hessf o operador linear auto–adjunto associado ao hessiano de f .

  As igualdades abaixo decorrem das propriedades do gradiente e divergente j´a vistas anteriormente: ∆(f g) = f ∆g + g∆f + 2 h∇f, ∇gi);

  1

  2

  2

  ∆(f ) = f ∆f + ; |∇f|

  2 ∆f = tr(Hessf ).

  1.9. O Espa¸co Hiperb´ olico

1.9 O Espa¸ co Hiperb´ olico

  Os espa¸cos de curvatura seccional constante podem ser agrupadas em trˆes tipos: os de curvaturas seccional positiva, os de negativa e os que possuem curvatura seccional nula. Se multiplicarmos uma m´etrica Riemanniana por uma constante positiva c, ent˜ao a sua curvatura seccional ´e multiplicada pelo inverso de c. Portanto, podemos supor que a curvatura seccional constante de uma variedade ´e 1, 0 ou −1.

  n+1 n

  O espa¸co euclidiano R tem curvatura seccional nula, na esfera S esse valor ´e 1; portanto para estudarmos as variedades com curvatura seccional constante devemos obter uma com curvatura −1. E esse ´e o caso do espa¸co hiperb´olico.

  n+1

  Definimos como Espa¸co Hiperb´olico de dimens˜ao n + 1, o semi-espa¸co do R dado por

  n+1 n+1

  H := , . . . , x ) ; x &gt;

  n n

  {(x ∈ R } munido da m´etrica

  n

  2

  • dx

  2 X

  1

  2 · · · + dx n

  2 ds dx .

  = = (1.25)

  i

  2

  2

  x x

  n n i=0

  Este espa¸co ´e simplesmente conexo e ´e completo. Antes de justificarmos estes fatos, vejamos o seguinte exerc´ıcio.

  2

  2

  2 Consideremos H o plano hiperb´olico, ou seja, H = ; y &gt; 0

  {(x, y) ∈ R }. Mostrare-

  2

  mos que o segmento γ : [a, b] , a &gt; 0, do eixo dos y, dado γ(t) = (0, t) ´e a imagem → H

  2

  de uma geod´esica. De fato, para qualquer arco c : [a, b] dado por c(t) = (x(t), y(t)) → H com c(a) = (0, a) e c(b) = (0, b), temos que

  Z Z

  b b

  1 q£ ¤

  2 £ ¤

  2 ′ ′ ′

  ℓ x y dt (c) = + (t) (t) (t) k c k dt = y

  a a

  Z Z

  b b ′

  1 q£ ¤

  2 (t)

  |y |

  ′

  y (t) dt dt ≥ ≥ y y

  a a

  Z

  

b

  dy = ℓ(γ),

  ≥ y

  

a

  ou seja, γ minimiza arcos diferenci´aveis por partes, e ent˜ao pelo Corol´ario 1.7, a imagem de γ ´e uma geod´esica. A aplica¸c˜ao az + b z , z = x + iy, ad

  7→ − bc = 1, cz

  • d

  2

  que ´e uma isometria em H , transforma o eixo y em semi-c´ırculos superiores ou semi-retas

  2

  x , y &gt; = x

0. Estas curvas s˜ao, portanto, geod´esicas em H . Na verdade, estas s˜ao todas

  Cap´ıtulo 1. Preliminares de Geometria Riemanniana

  2

  2

  2 H

  as geod´esicas de H , pois por cada ponto p e cada dire¸c˜ao em T passa um tal

  p

  ∈ H c´ırculo com centro no eixo x.

  2 Figura 1.4: Geod´esicas em H n+1

  O espa¸co H ´e completo pois as restas perpendiculares ao hiperplano x n = 0, e os

  n+1

  c´ırculos de H cujos planos s˜ao perpendiculares ao hiperplano x = 0 e cujos centros

  n

n+1

  est˜ao neste hiperplano s˜ao geod´esicas de H . De fato, observe que uma isometria do

  n+1

  R , . . . , x que s´o envolver as vari´aveis x n˜ao altera a m´etrica dada em (1.25) e ´e,

  

n

n+1

  x portanto, uma isometria em H . Ent˜ao basta considerar retas e c´ırculos no plano x n

  n+1 e o exerc´ıcio que fizemos acima. Na verdade, essas s˜ao todas as geod´esicas de H .

1.9.1 Isometrias e o Modelo da Bola

  n+1 n+1 n+1

  Uma aplica¸c˜ao f : U de um aberto U ´e conforme se para ⊂ R → R ⊂ R todo p e v em p tivermos

  1

  2

  ∈ U e todo par de vetores v

  

2

  2

  , v

  p (v 1 ), df p (v 2 ) (p)

  1

  2 hdf i = λ hv i, λ 6= 0.

  A fun¸c˜ao positiva λ : U → R ´e chamada o coeficiente de conformalidade de f

  As isometrias do espa¸co hiperb´olico no modelo do semi-espa¸co s˜ao as restri¸c˜oes a

  n+1 n+1 n+1 n+1

  H das transforma¸c˜oes conformes de R que levam H sobre si mesmo.

  ⊂ R Uma demonstra¸c˜ao deste resultado, encontra-se em [17].

  n+1

  Identificaremos algumas hipersuperf´ıcies importantes do espa¸co hiperb´olico H . As

  n+1 n+1

  subvariedades totalmente geod´esicas de H s˜ao as interse¸c˜oes de H com hiperplanos

  1.9. O Espa¸co Hiperb´ olico n+1 n+1 n+1 n+1

  de R ortogonais a ∂H , e as interse¸c˜oes de H com as esferas de R com centro

  n+1 em ∂H .

  O espa¸co hiperb´olico possui outros modelos al´em do semi-espa¸co. Um deles veremos

  n+1 n+1

  agora, que ´e o modelo da bola. Considere a bola B de raio 2 e centro na ⊂ R origem,

  n+1 n+1

  B = ;

  {p ∈ R |p| = 2} e introduza a m´etrica δ

  ij h (p) = . ij

  ¡ ¢

  2

  1

  2

  1 − |p|

  4 n+1 n+1

  Considere a aplica¸c˜ao f : B dada por → H p

  − p f (p) = 4 = (0, . . . , 0, − (0, . . . , 0, 1), em que p −2).

  2

  |p − p |

  n+1 n+1 Mostraremos que f ´e uma isometria, e portanto, B ´e isom´etrico a H .

  Com efeito, se v ´e um vetor em p e h , i indica o produto interno na m´etrica euclidiana, 16 hv, vi

  . (v), df (v)

  p p

  hdf i =

  4

  |p − p | Por outro lado, indicando f (p) = (f (p), . . . , f (p)), obteremos

  1 n

  2

  4(x + 2)

  4

  n

  − |p| f (p) = .

  n

  − 1 =

  

2

  2

  |p − p | |p − p | Portanto,

  4 p (v), df p (v)

  16 hdf i |p − p | hv, vi hv, vi . = =

  ¡ ¢

  2 ¡ ¢ 2 ¡ ¢

  2

  1

  

2

  4

  2

  f (p)

  4

  1

  n

  − |p| |p − p | − |p|

  4 n+1 n+1

  Da injetividade de f , conclui-se que f ´e uma isometria de B em H . Observe que f

  n+1 n+1 leva ∂B .

  − {p} em ∂H

  n+1 n+1 n+1

  Note que uma aplica¸c˜ao g : B ´e uma isometria de B na m´etrica h ,

  ij

  → B

  n+1 n+1

  se e somente se, g ´e a restri¸c˜ao de uma transforma¸c˜ao conforme do R que leva B

  n+1 sobre B . n+1 n+1

  Observe f leva ∂B . O ponto p seria ent˜ao levado no “infinito”, − {p } em ∂H pois nesse ponto o denominador da fra¸c˜ao na f´ormula de f se anularia uma potˆencia a mais do que o numerador.

  Na figura 1.5, `a direita, ´e o C´ırculo Limite III de M. C. Escher, foi feita em 1959. Ele usou a geometria hiperb´olica no modelo da bola. Os peixes dessa gravura s˜ao repre- senta¸c˜oes de nossos queridos “chat´oides” (ou “poincaretas”, se vocˆe preferir), habitantes Cap´ıtulo 1. Preliminares de Geometria Riemanniana n+1

  Figura 1.5: Modelo da bola, B

  do plano hiperb´olico mapeado no disco. A gravura mostra como n´os, euclidianos natos, vemos o mundo hiperb´olico desses chat´oides. Quando um chat´oide se afasta do centro do disco, vemos seu tamanho encolher ficando cada vez menor `a medida que se aproxima do c´ırculo limite. O chat´oide, ´e claro, n˜ao concorda com essa nossa descri¸c˜ao do que acontece em seu mundo. Para ele, nada muda de tamanho quando se desloca pelo disco. Isso se justifica j´a que suas r´eguas e trenas s˜ao modificadas na mesma propor¸c˜ao que seus corpos.

  n

  • 1

1.9.2 Superf´ ıcies Umb´ ılicas do H

  As superf´ıcies Umb´ılicas no espa¸co hiperb´olico s˜ao as esferas, horoesferas e as su- perf´ıcies eq¨ uidistantes (ou hiperesferas), como descreveremos a seguir.

  n+1

  As esferas s˜ao as esferas euclidianas que est˜ao totalmente contidas em H . Se o

  n+1

  modelo do espa¸co hiperb´olico for o da bola B , ent˜ao essas superf´ıcies ser˜ao esferas contidas na bola aberta de raio 2, centradas na origem.

  n+1

  Consideremos, a seguir, uma n-esfera euclidiana S tangente a ∂H em um ponto p,

  n+1 n+1 n+1

  tal que S . Por uma invers˜ao do R em p (que ´e uma isometria do H ) − {p} ⊂ H

  n+1

  S ´e levada em um hiperplano P paralelo a ∂H . Como a m´etrica induzida em P por

  n+1

  H ´e um m´ ultiplo da m´etrica euclidiana, e P tem curvatura constante zero, o mesmo acontece com S

  − {p}. Essas subvariedades s˜ao chamadas de horoesfera. No modelo

  n+1 n+1

  B as horoesferas s˜ao as n-esferas que tangenciam ∂B . A horoesfera ´e um superf´ıcie

  1.9. O Espa¸co Hiperb´ olico

  limite de uma fam´ılia de esferas que passam por um ponto p pr´e-fixado e cujos centros se deslocam ao longo de uma reta fixa.

  

Figura 1.6: Horoesfera

  Quando q → ∞ em L, as esferas se aproxima a uma superf´ıcie. Esta superf´ıcie ´e um

  n+1 n+1 plano passando em p no caso do R . No H , esta superf´ıcie ´e a horoesfera. n+1

  Considere finalmente uma esfera euclidiana S que corta ∂H segundo um ˆangulo θ,

  

n+1 n+1 n+1

  e sua interse¸c˜ao S = Σ com H . Por uma invers˜ao de R em um ponto de S ∩ H

  ∩

  n+1 n+1

  ∂H , Σ ´e levada isometricamente na interse¸c˜ao com H de um hiperplano P que corta

  n+1 n+1

  ∂H segundo o mesmo ˆangulo θ. Considere o hiperplano Q que ´e ortogonal a ∂H e

  n+1

  cont´em P . Vejamos, que P ´e uma hipersuperf´ıcie eq¨ uidistante da hipersuperf´ıcie ∩ ∂H

  n+1

  totalmente geod´esica Q. Para isto, seja γ uma geod´esica, ,representada em H por um

  r n+1 n+1

  semi-c´ırculo de raio r, com centro 0 em P e no plano perpendicular a P .

  ∩ ∂H ∩ ∂H Como existe uma homotetia de centro 0 (isometria hiperb´olica) levando o c´ırculo de raio r em um c´ırculo de raio qualquer, o comprimento de γ entre os pontos de interse¸c˜ao

  r

  de γ com P e Q n˜ao depende de r. Conclui-se que P , ou sua imagem isom´etrica Γ, ´e

  r

  obtida tomando geod´esicas perpendiculares a uma hipersuperf´ıcie totalmente geod´esica Q e marcando sobre elas uma distˆancia fixa. tais hipersuperf´ıcies s˜ao chamadas superf´ıcies eq¨ uidistantes (ou hiperesferas).

  n+1

  As superf´ıcies umb´ılicas em H , possuem curvatura m´edia constante, mais preci- samente, as horoesferas tˆem curvatura m´edia ´e igual a 1, as hiperesferas tem curvatura m´edia a cos θ ∈ [0, 1) e as esferas tˆem curvatura maior do que 1. Cap´ıtulo 2 Equa¸ c˜ oes Diferencias Parciais e o Princ´ıpio do M´ aximo

  Apresentaremos neste cap´ıtulo ferramentas necess´arias de Equa¸c˜oes Diferenciais Par- ciais (EDPs) que nos ser˜ao ´ uteis para obten¸c˜ao dos pr´oximos resultados, que podem ser encontrados no livro de Gilbarg &amp; Trundiger [7]. Estamos interessados no Princ´ıpio do

  a M´aximo e o M´etodo da Continuidade para Equa¸c˜oes Quasilineares El´ıpticas de 2 ordem.

2.1 Continuidade H¨ older

  n

  Seja x um ponto em R e f uma fun¸c˜ao definida em um conjunto D limitado contendo x . Se 0 &lt; α &lt; 1, dizemos que f ´e H¨older cont´ınua com expoente α em x se a quantidade )

  |f(x) − f(x | [f ] = sup

  (2.1)

  α,x α D

  |x − x |

  x 6=x0

  ´e finita. Chamamos [f ] o α-Coeficiente de H¨older de f no ponto x com respeito a

  α,x

  D . Claramente, se f ´e H¨older cont´ınua em x , ent˜ao f ´e cont´ınua em x . Quando (2.1) ´e finita para α = 1, f ´e dita ser lipschitziana em x .

  A no¸c˜ao de continuidade de H¨older ´e estendida prontamente a todo o conjunto D (n˜ao necessariamente limitado). Dizemos que f ´e uniformemente H¨older cont´ınua com

  2.1. Continuidade H¨ older

  expoente α em D se a quantidade |f(x) − f(y)|

  , [f ] = sup 0 &lt; α (2.2)

  α,D

  ≤ 1

  α x,y ∈D

  |x − y|

  x 6=y

  ´e finita; e localmente H¨older cont´ınua com expoente α em D se f ´e uniformemente H¨older cont´ınua com expoente α em todo subconjunto compacto de D. Obviamente que esses dois conceitos coincidem quando D ´e compacto. Al´em disso note que continuidade local de H¨older ´e uma propriedade mais forte do que H¨older continuidade pontual em subconjuntos compactos.

  Continuidade de H¨older mede a continuidade que especialmente ´e bem adaptada ao estudo de EDPs. Num certo sentido, pode ser visto tamb´em como uma diferenciabilidade fracion´aria. Isto sugere uma extens˜ao natural dos espa¸cos bem conhecidos de fun¸c˜oes diferenci´aveis.

  n

  Seja Ω um conjunto aberto de R e k um inteiro n˜ao negativo. Os espa¸cos de H¨older

  k,α k,α k k

  C (Ω) (C (Ω)) s˜ao definidos como os subespa¸cos de C (Ω) (C (Ω)) consistindo de fun¸c˜oes cujas derivadas parciais de ordem k s˜ao uniformemente H¨older cont´ınuas (local- mente H¨older cont´ınuas) com expoente α em Ω. Por simplicidade escrevemos

  0,α α 0,α α

  C (Ω) = C (Ω), C (Ω) = C (Ω), com a compreens˜ao que 0 &lt; α &lt; 1 sempre que esta nota¸c˜ao ´e usada, a menos que, caso contr´ario seja declarado.

  Tamb´em, fixando

  k,0 k k,0 k

  C C (Ω) = C (Ω), (Ω) = C (Ω),

  k k k,α k,α

  podemos incluir os espa¸cos C (Ω) (C (Ω)) entre os espa¸cos C (Ω) (C (Ω)) para

  k,α k,α

  0 &lt; α &lt; 1. Designamos por C (Ω) o espa¸co de fun¸c˜oes em C (Ω) que tem suporte compacto em Ω.

  Estabelecemos as seguintes defini¸c˜oes:

  k β

  [u] = u = sup sup

  k,0;Ω 0;Ω |D | |D |u, k = 0, 1, 2, . . .

  Ω |β|=k k β a [u] = [D u ] = sup [D u ] , k,α;Ω α;Ω α;Ω |β|=k

  P onde que, para todo β = (β , . . . , β ), onde β ´e um inteiro positivo e β , temos

  1 n i i

  |β| =

  i |β|

  ∂ u

  β

  D u = . 1

  β β n

  ∂x

  n 1 · · · ∂x Cap´ıtulo 2. Equa¸c˜ oes Diferencias Parciais e o Princ´ıpio do M´ aximo

  Com estas “semi-normas”, n´os podemos definir as normas relacionadas

  k k

  X X

  j k

  u , = = = [u] =

  k;Ω k,0;Ω j,0;Ω 0;Ω

  k u k C (Ω) |u| |u| |D |

  j=0 j=0 k k,α

  u , = = + [u] = + [D ]

  k,α;Ω k;Ω k,α;Ω k;Ω α;Ω

  k u k C (Ω) |u| |u| |u|

  k k,α

  nos espa¸cos C (Ω) e C (Ω), respectivamente. ` As vezes ´e ´ util introduzir normas n˜ao-

  k k,α

  dimensionais em C (Ω), C (Ω). Se Ω ´e limitado, temos

  k k

  X X

  ′ ′ j j j k = = d [u] = d u , j,0;Ω 0;Ω

  k u k |u| k;Ω |D |

  C (Ω)

j=0 j=0

′ ′ ′ k+α ′ k+α k

k,α = = + d [u] = + d [D u ] . k,α;Ω α;Ω

  k u k |u| k,α;Ω |u| k;Ω |u| k;Ω

  C (Ω)

  onde d = diam Ω = sup |x − y|.

  x,y ∈Ω x 6=y k k,α

  Os espa¸cos C (Ω), C (Ω), munidos com essas respectivas normas, s˜ao espa¸cos de Banach.

2.2 Equa¸ c˜ oes Diferenciais Parciais El´ ıpticas

  Apresentaremos, nesta se¸c˜ao, a solu¸c˜ao do cl´assico problema de Dirichlet para certos tipos de equa¸c˜oes el´ıpticas totalmente n˜ao-lineares; isto ´e, equa¸c˜oes el´ıpticas que n˜ao s˜ao quasilinear.

  Uma equa¸c˜ao diferencial parcial de segunda ordem pra fun¸c˜oes reais em um dom´ınio

  n

  Ω ´e uma express˜ao da forma ⊂ R

  F [u] = F (x, u, (2.3)

  ∇u, Hess u) = 0,

  n m

  onde F : Γ , em que

  → R ´e uma fun¸c˜ao definida no conjunto Γ = Ω × R × R × A

  m n(n−1)/2

  = R ´e o espa¸co vetorial das formas bilineares sim´etricas. Denotaremos pontos A

  n m em Γ por γ = (x, z, p, r), em que x ) e r = (r ) . i 1≤i≤n ij 1≤i,j≤n

  ∈ Ω, z ∈ R, p = (p ∈ R ∈ A Se F ´e linear nas vari´aveis z, p e r ent˜ao a equa¸c˜ao (2.3) ´e dita linear. Se ´e linear nas vari´aveis r = (r) ij , ent˜ao a equa¸c˜ao (2.3) ´e dita quase-linear.

  ¡ ¢ O operador F ´e el´ıptico num subconjunto F (γ) , dada por

  ij

  U de Γ se a matriz ∂F

  F (γ) = (γ), i, j = 1, . . . , n

  ij

  ∂r

  ij

  2.2. Equa¸c˜ oes Diferenciais Parciais El´ıpticas

  ´e positiva para todo γ = (x, z, p, r) ∈ U. Denotando λ(γ) e Λ(γ), respectivamente,

  ¡ ¢ F o m´ınimo e o m´aximo autovalor de da matriz (γ) , dizemos que F uniformemente

  ij Λ

  

1

  el´ıptico (estritamente el´ıptico) em ( ) ´e limitado em U, se U.

  λ λ

  Estabeleceremos o seguinte princ´ıpio de compara¸c˜ao:

  2 Teorema 2.1 (Theorem 17.1, [7]). Sejam u, v (Ω) (Ω) satisfazendo o seguinte

  ∈ C ∩ C problema  

  F [u]

  ≥ F [v] em Ω  u em ∂ Ω

  ≤ v onde:

  (i) a fun¸c˜ao F ´e continuamente diferenci´avel com respeito as z, p, r em Γ; (ii) o operador F ´e el´ıptico em todas as fun¸c˜oes da forma βu + (1

  − β)v, 0 ≤ β ≤ 1;

  n n×n (ii) a fun¸c˜ao F ´e n˜ao-crescente em z para cada (x, p, r) .

  ∈ Ω × R × R Ent˜ao, segue que u ≤ v em Ω.

  Demonstra¸c˜ ao. Escrevamos w = u − v u

  = θu + (1

  θ

  − θ)v, θ ∈ [0, 1] Z

  1

  a (x) = F (x, u , , ∂ u )dθ

  ij ij θ θ ij θ

  ∇u Z

  1

  b (x) = F (x, u , , ∂ u )dθ

  

i p i θ θ ij θ

  ∇u Z

  1 c (x) = F (x, u , , ∂ u )dθ. z θ θ ij θ

  ∇u Ent˜ao, verifica-se que w ´e subsolu¸c˜ao de uma equa¸c˜ao linear el´ıptica em Ω:

  Lw = a ∂ w + b ∂ + cw

  

ij ij i i

  = F [u] − F [v] ≥ 0 em Ω. Al´em disso, as condi¸c˜oes (i), (ii) e (iii) implicam que L satisfaz as condi¸c˜oes do princ´ıpio do m´aximo fraco (Teorema 2.6), e ent˜ao w

  ¤ ≤ 0 em Ω, ou seja, u ≤ v em Ω. Hip´oteses mais fracas s˜ao claramente poss´ıveis no teorema acima. Tamb´em, em vir- tude do princ´ıpio de m´aximo forte (teorema 2.12), temos que u &lt; v em Ω ou u e v se coincidem. Um resultado de unicidade para o problema de Dirchlet segue imediatamente do teorema, dado a seguir no seguinte corol´ario. Cap´ıtulo 2. Equa¸c˜ oes Diferencias Parciais e o Princ´ıpio do M´ aximo

  2 Corol´ ario 2.2 (Corollary 17.2, [7]). Sejam u, v (Ω) (Ω) satisfazendo o seguinte

  ∈ C ∩ C problema  

  F [u] = F [v] em Ω  u = v em ∂ Ω e suponha que as condi¸c˜oes de (i) a (iii) do Teorema 2.1 aconte¸cam. Ent˜ao u = v em Ω.

  2.2.1 Equa¸ c˜ oes Diferenciais Parciais Lineares a

  Uma equa¸c˜ao diferencial parcial linear de 2 ordem ´e uma EDP da forma

  n n

  X X Lu = + a (x)∂ u b (x)∂ u + c(x)u + d(x) = 0 (2.4)

  ij ij j j i,j=1 j=1 ∞ n

  onde a , b , c e d s˜ao fun¸c˜oes reais de classe C definidas num dom´ınio Ω , n

  ij i

  ⊂ R ≥ 2,

  2

  ∂u ∂ u x u = , ∂ u = e a matriz dos a ´e sim´etrica, ou seja, a = a ,

  i ij ij ij ji

  ∈ Ω, ∂ ∂x ∂x ∂x

  i i j ∀ i, j = 1, . . . , n.

  A equa¸c˜ao Lu ´e el´ıptica em x ij ) ´e positiva, isto ∈ Ω se a matriz dos coeficientes (a

  ´e, se λ(x) e Λ(x) denotam, respectivamente, o m´ınimo e o m´aximo auto valor da matriz (a ), ent˜ao

  ij n

  X

  2

  2

  a ξ , 0 &lt; λ(x) (x)ξ

  ij i j

  |ξ| ≤ ≤ Λ(x)|ξ|

  i,j=1 n

  para todo ξ = (ξ , . . . , ξ )

  1 n ∈ R \{0}.

  Assim, por exemplo, a Equa¸c˜ao de Laplace

  n

  X ∂ u

  = 0

  

ii

i=1 a

  ´e uma EDP linear de 2 ordem el´ıptica, com a = δ e b = c = d = 0, e logo

  ij ij i n n n

  X X

  X

  2 n

  a (x)ξ ξ = δ ξ ξ = 1 ξ = &gt; 0,

  ij i j ij i j i i · ξ |ξ| ∀ ξ ∈ R \{0}. i,j=1 i,j=1 i=1

  2.2.2 Equa¸ c˜ oes Diferenciais Parciais Quasilineares a

  Uma equa¸c˜ao diferencial parcial quasilinear de 2 ordem, ´e uma EDP da forma

  n

  X ¡ ¢ ¡ ¢

  Qu = a x, u, ∂ u + b x, u, = 0, a = a (2.5)

  ij ij ij ji

  ∇u ∇u

  i,j=1

  2.3. O Princ´ıpio do M´ aximo n

  2 onde x = (x , . . . , x ) pertence a um dom´ınio Ω , n (Ω). 1 n

  ⊂ R ≥ 2, e a fun¸c˜ao u ∈ C Assumimos que as fun¸c˜oes reais a (x, z, p), i, j = 1, . . . , n e b(x, z, p), est˜ao definidas para

  ij n

  todos os valores de (x, z, p) .

  ∈ Ω × R × R

  

n

  Seja . Diz-se Qu ´e el´ıptica em U um subconjunto de Ω × R × R U se a matriz dos coeficientes a (x, z, p) ´e positiva para todo (x, z, p)

  ij

  ∈ U. Se λ(x, z, p) e Λ(x, z, p) denotam, ¡ ¢ a respectivamente, o m´ınimo e o m´aximo autovalor da matriz (x, z, p) , isto significa que

  ij n

  X

  2

  2

  a ξ ξ , 0 &lt; λ (2.6)

  ij i j

  |ξ| ≤ ≤ Λ|ξ|

  i,j=1 n

  para todo ξ ∈ R \{0} e para todo (x, z, p) ∈ U.

  Assim, por exemplo, a Equa¸c˜ao da Curvatura M´edia

  2 2 3/2

  M u u∂ u∂ u = (1 + )∆u i j ij = nH(1 + )

  |∇u| − ∂ |∇u|

  2 n+1

  ´e uma EDP quase-linear el´ıptica, em que o gr´afico de u (Ω) em R possui curvatura ∈ C

  2

  m´edia H(x) no ponto (x, u(x)), x .

  ∈ Ω, E λ(x, z, p) = 1, Λ(x, z, p) = 1 + |p|

2.3 O Princ´ ıpio do M´ aximo

  Enunciaremos vers˜oes do Teorema de Compara¸c˜ao, Teorema 2.1, para o caso de equa¸c˜oes lineares e quase-lineares.

2.3.1 O Princ´ ıpio do M´ aximo para Operadores Lineares

  Nesta se¸c˜ao, apresentaremos os Princ´ıpios do M´aximo Fraco e Forte para Operadores Lineares, que determinam, respectivamente, de acordo com o sinal do operador Lu, que o

  n

  m´aximo ou o m´ınimo de u no fecho de um dom´ınio limitado Ω ´e atingido na fronteira ⊂ R do mesmo, e se o m´aximo ou o m´ınimo de u for atingido em um ponto do interior de Ω, ent˜ao a fun¸c˜ao u ser´a constante.

  Lema 2.3. Seja L um operador el´ıptico de segunda ordem em um dom´ınio limitado Ω

  ⊂

  n

  2 R

  . Suponha que c = 0 e Lu &gt; 0 (&lt; 0) em Ω, com u (Ω) (Ω). Ent˜ao u n˜ao pode ∈ C ∩ C ter m´aximo (m´ınimo) local em Ω. Cap´ıtulo 2. Equa¸c˜ oes Diferencias Parciais e o Princ´ıpio do M´ aximo

  Demonstra¸c˜ ao. Suponha que exista um x ∈ Ω tal que u atinja um m´aximo local

  ¡ ¢ u ∂ u em x . Ent˜ao, ∂ (x ) = 0, para todo i = 1, . . . , n e a matriz Hessiana (x ) ´e

  i ij

  ¡ ¢ a uma matriz n˜ao positiva. Como L ´e el´ıptico, temos que a matriz (x ) ´e positiva.

  ij

  P

  n

  a u Consequentemente Lu(x ) = ij (x ) ij (x )

  · ∂ ≤ 0, contradizendo o fato que Lu &gt;

  i,j=1 0.

  ¤ O lema anterior imp˜oem a condi¸c˜ao que o termo de ordem nula c seja identicamente nulo. No entanto, podemos ainda ter uma vers˜ao desse teorema se a condi¸c˜ao c = 0 for substitu´ıda por c

  ≤ 0, em que vamos impor uma outra condi¸c˜ao para o sinal do m´aximo ou m´ınimo a ser atingido.

  Lema 2.4. Seja L um operador el´ıptico de segunda ordem em um dom´ınio limitado Ω

  ⊂

  n

  2 R

  . Suponha que c (Ω) (Ω). Ent˜ao u n˜ao pode ≤ 0 e Lu &gt; 0 (&lt; 0) em Ω, com u ∈ C ∩ C ter m´aximo (m´ınimo) local positivo (negativo) em Ω.

  Demonstra¸c˜ ao. Vamos definir o operador linear L dado por Lu = Lu − cu, onde c

  ´e o coeficiente do termo de ordem zero do operador L dado em (??). Claramente percebemos que o operador L n˜ao possui termos de ordem nula. Supondo agora, que exista x

  , ent˜ao, restringindo a uma ∈ Ω tal que u assuma o m´aximo local positivo em x vizinhan¸ca de x , onde u &gt; 0. Nesta vizinhan¸ca, temos que Lu &gt; 0, ) &gt; 0.

  −c ≥ 0 e u(x Logo

  Lu = Lu − cu &gt; 0. Aplicando o teorema anterior para L, vemos que u n˜ao pode ter m´aximo positivo local em Ω.

  ¤ A seguinte proposi¸c˜ao, possui a condi¸c˜ao em que Ω pode ser limitado ou n˜ao e que o resultado do teorema acima ainda continua v´alido.

  n Proposi¸c˜ ao 2.5. Seja L um operador el´ıptico de segunda ordem em um dom´ınio Ω

  ⊂ R

  2 (limitado ou n˜ao). Suponha que c = 0 e Lu &gt; 0 (&lt; 0) em Ω, com u (Ω) (Ω).

  ∈ C ∩ C Ent˜ao u n˜ao pode ter m´aximo (m´ınimo) local em Ω.

  Demonstra¸c˜ ao. Vamos supor que u atinja um m´aximo (m´ınimo) local em x ∈ Ω. Tomemos uma bola aberta B(x ) centrada em x de tal modo que B(x )

  ⊂ Ω. Desta &gt; forma Lu 0 (&lt; 0). Pelo teorema anterior, percebemos o absurdo.

  B(x )

  ¤ |

  n

  Uma conseq¨ uˆencia para esses resultados, ´e que para todo Ω limitado contido ⊂ R no dom´ınio de u, temos que: max u = max u. (2.7)

  ∂Ω Ω

  2.3. O Princ´ıpio do M´ aximo

  Exibiremos agora um contra-exemplo para essa observa¸c˜ao, ou seja, se Ω n˜ao for limitado, ent˜ao (2.7) n˜ao ´e satisfeita. Suponhamos que u esteja definido no plano, e seja

  2

  2

  Ω = ; y &gt; 0 ; y = 0 {(x, y) ∈ R }, ent˜ao ∂Ω = {(x, y) ∈ R }. Tomemos L como sendo o

  n

  X

  2 Laplaciano, ou seja, Lu = ∂ u , e u(x, y) = y . Assim Lu = 2 &gt; 0, mas max = + ii

  ∞ e

  Ω i=1

  max = 0.

  ∂Ω

Teorema 2.6 (Princ´ıpio do M´aximo Fraco, c = 0). Seja L um operador el´ıptico de

n

  segunda ordem em um dom´ınio limitado Ω . Suponha que c = 0 e Lu ⊂ R ≥ 0 (≤ 0) em

  2

  Ω, com u (Ω) (Ω). Ent˜ao o m´aximo (m´ınimo) de u em Ω ´e assumido em ∂Ω, ∈ C ∩ C isto ´e, sup u = sup u (inf u = inf u ). (2.8)

  Ω ∂Ω Ω ∂Ω

  Se n˜ao assumirmos u cont´ınua em Ω, (2.8) pode ser substitu´ıda por sup u = lim sup u (x) (inf u = lim inf u (x))

  Ω x→∂Ω Ω x→∂Ω

  Demonstra¸c˜ ao. Se Lu &gt; 0 em Ω, pelo lema 2.3 temos que u n˜ao assume m´aximo 1

  αx

  1 n ) = e , em que α &gt; 0 ser´a 1 αx

  , . . . , x no interior de Ω. Considere em Ω a fun¸c˜ao v(x) = v(x

  escolhido posteriormente. Como ∂ v = 0, se i v = αe ; ∂ = 0, se (i, j)

  i i ij 1 6= 1 e ∂ 6= (1, 1) 2 αx

  e ∂ = α e a express˜ao para Lv ´e

  11 1 1 2 αx 2 αx

  Lv a a = (α

  11 + αb 1 + c)e 11 )e

  ≥ (α − αb

  |b i |

  &gt; onde b ´e um n´ umero que limita dado em (??), e a 0 da elipticidade de L. O

  11 λ

  sinal de Lv ser´a o sinal da equa¸c˜ao do segundo grau em α. Assim, podemos escolher α suficientemente grande para termos Lv &gt; 0, permitindo escrever, para qualquer ǫ &gt; 0, L

  (u + ǫv) &gt; 0 ∈ Ω. A fun¸c˜ao u + ǫv est´a nas condi¸c˜oes do lema 2.3, isto ´e sup (u + ǫv) = sup (u + ǫv).

  Ω ∂Ω Fazendo ǫ u = sup u , como quer´ıamos.

  ¤ → 0, temos que sup

  Ω ∂Ω

  ´ E conveniente introduzir a seguinte terminologia sugerida pelo princ´ıpio m´aximo: uma fun¸c˜ao satisfazendo Lu = 0 (

  ≥ 0, ≤ 0) em Ω ´e uma solu¸c˜ao (subsolu¸c˜ao, supersolu¸c˜ao) de Lu em Ω. Quando L ´e o operador Laplaciano, estes termos correspondem respectivamente `as fun¸c˜oes harmonicas, as subharmonicas e as superharmonicas. Cap´ıtulo 2. Equa¸c˜ oes Diferencias Parciais e o Princ´ıpio do M´ aximo

  • Vamos supor mais geralmente que c

  ≤ 0 em Ω. Considerando o subconjunto Ω ⊂ Ω

  • u ∂ u ∂ u em que u &gt; 0, vemos que se L = a +b e

  u ij ij i i

  ≥ 0 em Ω, ent˜ao L ≥ −cu ≥ 0 em Ω

  conseq¨ uentemente o m´aximo de u em Ω deve ser assumido em ∂Ω e conseq¨ uentemente

  − +

  tamb´em em ∂Ω. Assim, escrevendo u = max(u, 0) e u = min(u, 0), n´os obtemos:

  

Corol´ ario 2.7 (Princ´ıpio do M´aximo Fraco, c Seja L um operador el´ıptico de

≤ 0). n

  segunda ordem em um dom´ınio limitado Ω . Suponha que c ⊂ R ≤ 0 e Lu ≥ 0 (≤ 0) em

  2

  Ω, com u (Ω) (Ω). Ent˜ao ∈ C ∩ C

  − +

  u u u u sup (inf ).

  ≤ sup ≥ inf

  Ω ∂Ω Ω ∂Ω

  Se Lu = 0 em Ω, ent˜ao sup |u| = sup |u|.

  Ω ∂Ω

  Talvez uma das principais aplica¸c˜oes deste resultado seja a unicidade do problema de Dirichlet (onde o valor de u ´e conhecido na fronteira de um conjunto). O resultado mostra que se a solu¸c˜ao existir ´e ´ unica. Note que a existˆencia n˜ao ´e tratada no resultado.

  n

Corol´ ario 2.8. Seja L um operador el´ıptico em um dom´ınio limitado Ω . Assuma

  ⊂ R c ≤ 0 e considere o problema de Dirichlet:

   

  Lu = f, em Ω  u = ψ, em ∂Ω

  2 Esse problema possui no m´aximo uma solu¸c˜ao em C (Ω) (Ω).

  ∩ C Demonstra¸c˜ ao. Suponha que o problema tenha solu¸c˜ao, vamos mostrar que ´e ´ unica.

  Para isso, considere u e u solu¸c˜oes do problema, definamos v = u . Logo em Ω

  1

  2

  1

  2

  − u temos: Lv = L(u ) = Lu = f

  1

  2

  

1

  2 − u − Lu − f = 0.

  E na fronteira ∂Ω teremos: v = u = ψ

  1

  2 − u − ψ = 0.

  Resumindo, temos o seguinte problema: (

  Lv = 0, em Ω v = 0, em ∂Ω

  • Pelo corol´ario anterior, temos que sup v v = 0. E aplicando o resultado

  Ω ≤ sup ∂Ω

  • para a fun¸c˜ao ( ( = 0, ou seja, sup v v −v temos: sup Ω −v) ≤ sup ∂Ω −v) Ω ≤ 0 e sup Ω ≥ 0.

  v Assim, sup = 0 e portanto, u = u em Ω.

  1

  2

  ¤

  Ω

  2.3. O Princ´ıpio do M´ aximo

  Podemos ainda conseguir um resultado para compararmos fun¸c˜oes se tivermos algu- mas desigualdades em lugar do problema de Dirichlet.

  n

Corol´ ario 2.9. Seja L um operador el´ıptico em um dom´ınio limitado Ω . Assuma

  ⊂ R c ≤ 0. Sejam u e v satisfazendo

   

  Lu ≥ Lv, em Ω

   u ≤ v, em ∂Ω

  Ent˜ao u ≤ v em Ω.

  Demonstra¸c˜ ao. Definamos w = u − v. Logo em Ω temos Lw = L(u − v) =

  Lu − Lv ≥ 0. E em ∂Ω, w = u − v ≤ 0. Resumindo, temos o seguinte problema

  ( Lw

  ≥ 0, em Ω w ≤ 0, em ∂Ω

  • +

    Pelo Corol´ario 2.7, temos sup w w = 0. Portanto, u

  Ω ≤ sup ∂Ω − v ≤ 0 em Ω e, portanto

  u ¤ ≤ v em Ω.

  2 O Corol´ario 2.8 garante a unicidade para o problema de Dirichlet em C (Ω) (Ω).

  ∩ C

  

2,α

O teorema a seguir, garante a unicidade C (Ω).

  

Teorema 2.10 (Theorem 6.14, [7]). Seja L um operador linear estritamente el´ıptico num

n

  α

  dom´ınio limitado Ω , com c (Ω).

  ⊂ R ≤ 0, e sejam f e os coeficientes de L fun¸c˜oes em C

  2,α 2,α

  Suponha que Ω ´e um dom´ınio C e que ψ (Ω). Ent˜ao o problema de Dirichlet ∈ C

   

  Lu = f em Ω  u

  = ψ em ∂Ω,

  2,α tem uma (´ unica) solu¸c˜ ao em C (Ω).

  Embora o Princ´ıpio do M´aximo Fraco baste para a maioria das aplica¸c˜oes, ´e freq¨ uen- temente necess´ario termos o Princ´ıpio do M´aximo Forte que, de acordo com Lu, nos indica que se o m´aximo ou o m´ınimo de u for atingido em um ponto do interior de Ω, ent˜ao a fun¸c˜ao u ser´a constante. N´os obteremos tal resultado para operadores localmente uniformemente el´ıptico por meio do Lema 2.11 a seguir, freq¨ uentemente ´ util que ´e o lema do ponto de fronteira. O dom´ınio Ω ´e dito satisfazer a “condi¸c˜ao de bola interior” em x

  ∈ ∂Ω se existe uma bola B ⊂ Ω com x ∈ ∂B, (isto ´e, o complemento de Ω satisfaz a condi¸c˜ao de bola exterior em x ). Cap´ıtulo 2. Equa¸c˜ oes Diferencias Parciais e o Princ´ıpio do M´ aximo

Lema 2.11 (do Ponto Fronteira de Hopf). Suponha que L ´e um operador uniformemente

  2

  el´ıptico com c = 0 em um dom´ınio Ω. Seja u (Ω) (Ω) com Lu ∈ C ∩ C ≥ 0. Seja x ∈ ∂Ω tal que: u

  (i) ´e cont´ınua em x ;

  u

  (ii) (x ) &gt; u(x) para todo x

  ∈ Ω;

  (iii) ∂ Ω satisfaz a condi¸c˜ao de bola interior em x ; (iv) Os coeficientes de L s˜ao limitados em Ω.

  Ent˜ao a derivada normal exterior de u no ponto x satisfaz a inequa¸c˜ao estrita ∂u (x ) &gt; 0.

  ∂η

  c

  Se c ´e limitado, a mesma conclus˜ao ´e obtido desde que u(x ) ) = 0 ≤ 0 e

  ≥ 0, e se u(x

  λ

  a mesma conclus˜ao ´e obtida independente do sinal de c. η ´e o vetor unit´ario normal a ∂ Ω em x , conforme a figura 2.1.

  h B x y

  W

Figura 2.1: O lema do ponto de fronteira

  Demonstra¸c˜ ao. Como ∂Ω satisfaz a condi¸c˜ao de bola interior em x , podemos tomar uma bola B = B R (y) R (y) seja tangente a ∂Ω no ponto ⊂ Ω tal que a fronteira ∂B x (ver figura 2.1). Para valores 0 &lt; ρ &lt; R e α &gt; 0, defina a fun¸c˜ao v : B (y) (y)

  R ρ

  \B → R dada por: 2 2

  −αr −αR

  v (x) = e

  − e onde r = |x − y| &gt; ρ. Logo 2 2

  −α|x−y| −αR

  v (x) = e 1 1 − e 2 2 2

  −α[(x −y ) + ··· +(x n −y n ) ] −αR

  = e 1 1 2 − e 2 2

  −α(x −y ) −α(x n −y n ) −αR .

  = e · · · · · e − e

  2.3. O Princ´ıpio do M´ aximo

  Assim, 2

  −αr

  ∂ v = )

  i i i

  −α · 2 · (x − y · e e para i 6= j temos;

  ³ ´ 2 2

  −αr 2 −αr

  ∂ v = ) )e = 4α (x )(x )e

  ij i i j j i i j j

  −α · (x − y · −α · 2(x − y − y − y Agora, se i = j, 2 ³ ´ 2

  −αr −αr

  ∂ = ) )e

  ii i i i i

  −α · 2e − α · 2(x − y · −α2(x − y 2 ¡ ¢

  2 −αr

  e = (x i i )(x i i )

  −2α + 4α − y − y Desta forma, 2 2 2 X

  X X

  2 −αr −αr −αr

  Lv a a e b = 4α (x )(x )e (x )e + cv,

  

ij i i j j ii i i i

  − y − y − 2α − 2α − y

  i,j i i

  ou ainda 2 ( )

  X X ¡ ¢ v

  −αr

2 Lv = e a 4α (x )(x ) a + b (x ) + c

  2

  ij i i j j ii i i i

  − y − y − 2α − y ·

  −αr

  e

  i,j i 2 ( )

  X ¡ ¢

  −αr

  2

  2

  λ a , , . . . , b 4α (x)r + c + b = (b )

  ij i n

  ≥ e − 2α |b|r

  i 2 n o −αr

  2

  2 ρ λ α α .

  1

  • K ≥ e − K

2 Assim, podemos encontrar α suficientemente grande tal que Lv

  ≥ 0 no anel A = ) &lt; 0 em ∂B (y), existe ǫ &gt; 0 tal que em ∂B (y),

  ρ ρ

  {x; ρ &lt; |x − y| &lt; R}. Como u − u(x tem-se w

  = u ) + ǫv − u(x ≤ 0.

  ¡ ¢ u Essa desigualdade se mant´em em ∂B (y), onde v = 0. Logo, temos que L )+ǫv

  R

  −u(x ≥ ) ) + ǫv

  −cu(x ≥ 0 em A, e u − u(x ≤ 0 em ∂A, isto ´e, conseguimos o seguinte problema: (

  Lw = Lu + ǫLv

  ≥ 0, em A w (y) (y)

  R ρ

  ≤ 0, em ∂A = ∂B ∪ ∂B Implicando que u(x) )

  − u(x ≤ −ǫv(x) em A. Se t &lt; 0, teremos: u v (x + tη) ) (x + tη)

  − u(x ; v(x ) = 0

  ≥ −ǫ t t ∂u ∂v

  (x ) (x ) ≥ −ǫ

  ∂η ∂η Mas, 2

  ∂v dv

  −αR

  (x ) = (R) = αe

  2R &gt; 0, − −

  ∂η dr Cap´ıtulo 2. Equa¸c˜ oes Diferencias Parciais e o Princ´ıpio do M´ aximo

  como quer´ıamos.

  ¤ Estamos agora em posi¸c˜ao de exibir o “Princ´ıpio de M´aximo Forte de Hofp” dado em dois resultados ´ uteis a serem empregados no resto do trabalho, s˜ao eles o Princ´ıpio do

  M´aximo Interior de Hopf e o Princ´ıpio do M´aximo na Fronteira de Hopf.

  

Teorema 2.12 (Princ´ıpio do M´aximo Interior de Hopf). Seja L um operador uniforme-

n

  mente el´ıptico, c = 0 e Lu . Ent˜ao se u atinge m´aximo ≥ 0 (≤ 0) num dom´ınio Ω ⊂ R

  (m´ınimo) no interior de Ω, u ´e constante. Se c ≤ 0, ent˜ao u n˜ao pode assumir um m´aximo n˜ao-negativo (m´ınimo n˜ao-positivo) no interior de Ω a menos que seja constante.

  Demonstra¸c˜ ao. Se assumirmos o contr´ario, isto ´e, u n˜ao ´e constante e assume

  − −

  m´aximo M = ´e

  ≥ 0 em x ∈ Ω. Sendo o conjunto Ω {x ∈ Ω; u(x) &lt; M}, ent˜ao Ω

  −

  aberto n˜ao-vazio em Ω (pois, caso contr´ario, u seria constante) e ∂Ω

  1

  ∩ Ω 6= ∅. Seja x

  

− − −

um ponto em Ω que ´e mais pr´oximo de ∂Ω do que ∂Ω, ou seja, d(x , ∂ Ω ) &lt; d(x , ∂ Ω).

  1

  1 −

  Considere a maior bola B tendo x como centro. Assim ∂B tem um ponto y em

  1

  ⊂ Ω

  ∂u −

  comum com ∂Ω (y) &gt; 0,

  ∩Ω. Logo u(y) = M &gt; u(x), se x ∈ B. Pelo Lema 2.11, temos

  ∂η

  u, . . . , ∂ u o que implica que ) ∇u = (∂

  1 n 6= 0, mas y ´e um ponto de m´aximo de u, j´a que

  u (y) = M . Essa contradi¸c˜ao mostra que u ´e constante em Ω.

  W y

  W - x

  1 B

Figura 2.2: Princ´ıpio do M´aximo Interior de Hopf

  Se escolhermos o seguinte conjunto Ω := (x )

  R,ǫ R

  {x ∈ B ∩ Ω; d(x, ∂Ω) &gt; ǫ}, a con- clus˜ao acima mostra que u ´e constante em Ω , para todo R

  

R,ǫ

  ∈ R e ǫ &gt; 0, mas claramente isso implica que u ´e constante em Ω.

  ¤ Observe que provamos o teorema usando o resultado do lema 2.11, nos dois casos

  −

  c = 0 e c , ∂ Ω ) &lt; d(x , ∂ Ω) ´e para evitar coisas, por exemplo,

  1

  1

  ≤ 0, e que a condi¸c˜ao d(x do tipo ilustrados na figura a seguir.

  2.3. O Princ´ıpio do M´ aximo W

  W x

  1 W - W -

  B x

  1 −

  , ∂ , ∂

Figura 2.3: Princ´ıpio do M´aximo Interior de Hopf: d(x Ω ) = d(x Ω)

  1

  1

  2 Teorema 2.13 (Princ´ıpio do M´aximo na Fronteira de Hopf). Seja u (Ω) (Ω)

  ∈ C ∩ C uma solu¸c˜ao de Lu = 0 num dom´ınio Ω, onde L ´e um operador uniformemente el´ıptico,

  c

  c ´e limitado em Ω e Ω satisfa¸ca a condi¸c˜ao de bola interior em cada ponto de

  ≤ 0 e

  λ ∂u

  ∂ Ω. Se a derivada normal ´e definida em toda parte de ∂Ω e = 0 em ∂Ω, ent˜ao u ´e

  ∂η

  constante em Ω. Se, tamb´em, c &lt; 0 em algum ponto em Ω, ent˜ao u ≡ 0.

  Demonstra¸c˜ ao. Se u n˜ao ´e constante, podemos assumir que qualquer uma das fun¸c˜oes u ou em ∂Ω e ´e menor do

  −u atinge um m´aximo n˜ao-negativo M no ponto x que M em Ω (pelo princ´ıpio de m´aximo forte). Aplicando o lema 2.11 em x deduzimos

  ∂u

  que (x ) ¤ 6= 0, contrariando a hip´otese.

  ∂η

  Os resultados referentes a operadores dados em (??), como por exemplo conseq¨ uˆencias referentes ao princ´ıpio do m´aximo, s˜ao trivialmente falsos se n˜ao supusermos c ≤ 0. A seguir exibiremos um contra-exemplo para a unicidade do problema de Dirichlet. 2

  ∂ u ∂u 2 Consideremos o seguinte operador Lu = + 0 + u, onde u ´e uma fun¸c˜ao do

  ·

  ∂x ∂x

  intervalo Ω = (0, 2π) tomando valores na reta real, tal que u(0) = u(2π) = 0, assim o problema de Dirichlet ´e: (

  Lu = 0, em Ω = (0, 2π) u ≤ 0, em ∂Ω = {0, 2π} note que este problema tem infinitas solu¸c˜oes do tipo u = k

  · senx, para todo k ∈ R. Cap´ıtulo 2. Equa¸c˜ oes Diferencias Parciais e o Princ´ıpio do M´ aximo

2.3.2 O Princ´ ıpio do M´ aximo para Operadores Quasilineares

  Consideramos o operador quasilinear Qu, da forma

  n

  X ¡ ¢ ¡ ¢

  Qu a x, u, (∂ u, . . . , ∂ u ) ∂ u + b x, u, (∂ u, . . . , ∂ u ) , a = a ,

  ij 1 n ij 1 n ij ji

  ≡

  i,j=1 n

  2

  1 n ) pertence a um dom´ınio Ω (Ω).

  , . . . , x , n onde x = (x

  ⊂ R ≥ 2, e a fun¸c˜ao u ∈ C Assumimos que as fun¸c˜oes reais a (x, z, p), i, j = 1, . . . , n e b(x, z, p), est˜ao definidas para

  ij n

  todos os valores de (x, z, p) .

  ∈ Ω × R × R Apresentaremos o Princ´ıpio do M´aximo e de Compara¸c˜ao para operadores quasilinea- res Qu, que estendem resultados correspondentes aos que vimos para operadores lineares.

  Vimos, que se L ´e um operador linear satisfazendo as hip´oteses do princ´ıpio do m´aximo

  2

  fraco, dado no Corol´ario 2.7, e se u, v (Ω) (Ω) satisfaz as inequa¸c˜oes Lu ∈ C ∩ C ≤ Lv em Ω, u

  ≥ v em ∂Ω, ent˜ao u ≥ v em Ω. Este princ´ıpio de compara¸c˜ao possui a seguinte extens˜ao para operadores quase-lineares, que ´e uma vers˜ao do Teorema 2.1, p´agina 35.

  2 Teorema 2.14 (Princ´ıpio de Compara¸c˜ao). Seja u, v (Ω) (Ω) satisfazendo Qu

  ∈ C ∩C ≥ Qv em Ω, u

  ≥ v em ∂Ω, onde

  (i) o operador Q ´e localmente uniformemente el´ıptico com respeito a u ou a v; (ii) os coeficientes a s˜ao independentes de z; ij n

  (iii) o coeficiente b ´e n˜ao-crescente em z para cada (x, p) ;

  ∈ Ω × R

  

(iv) os coeficientes a e b s˜ao continuamentes diferenci´aveis com respeito a vari´avel p

ij n

  em Ω .

  × R × R Ent˜ao, segue que u

  ≤ v em Ω. Al´em disso, se Qu &gt; Qv em Ω, u ≤ v em ∂Ω e as condi¸c˜oes (i), (ii) e (iii) asseguram, (mas n˜ao necessariamente (iv)), a desigualdade estrita u &lt; v em Ω.

  Demonstra¸c˜ ao. Assuma que Q ´e el´ıptico com respeito a u. Ent˜ao temos

  n n

  ³ ´

  X X Qu a a ∂ v

  ij (x, ij (u ij (x, ij (x, ij

  − Qv = ∇u)∂ − v) + ∇u) − a ∇v)

  i,j=1 i,j=1

  • b(x, u,

  ∇u) − b(x, u, ∇v) + b(x, u, ∇v) − b(x, v, ∇v) ≥ 0

  2.4. Diferencial de Fr´ echet

  de forma que escrevemos w = u

  − v a

  ij (x) = a ij (x,

  ∇u)

  n n

  ³ ´

  X X b (x)∂ w = a (x, (x, ∂ v + b(x, u,

  i i ij ij ij

  ∇u) − a ∇v) ∇u) − b(x, u, ∇v)

  i=1 i,j=1

  obtemos  n n

  X X  

  • Lw = a (x)∂ w b (x)∂ w =

  ij ij i i

  ≥ 0 em Ω {x ∈ Ω; w(x) &gt; 0}

  i,j=1 i=1

    w

  ≤ 0 em ∂Ω Note que a existˆencia das fun¸c˜oes b localmente limitadas ´e garantida pela condi¸c˜ao (iv)

  i

  e pelo teorema do valor m´edio para a fun¸c˜ao a , onde este ´ ultimo nos diz que

  ij

  X X a ∂ a u v ∂ a w

  

ij (x, ij (x, k ij (ξ) i i ) = k ij (ξ) i )

  ∇u) − a ∇v) = · (∂ − ∂ · (∂

  k k

  em que ξ = ξ( ∇u, ∇v) significa que ξ depende de ∇u e ∇v. Consequentemente, usando as condi¸c˜oes (i) e (iv) temos pelo Princ´ıpio do M´aximo Fraco (Teorema 2.6) que w

  ≤ 0 em Ω. Se Qu &gt; Qv em Ω, a fun¸c˜ao w n˜ao assume m´aximo n˜ao-negativo em Ω. Conse- quentemente w &lt; 0 em Ω. Se Q ´e el´ıptico em v, o resultado segue do princ´ıpio m´ınimo para supersolu¸c˜oes.

  ¤ Este ´ ultimo teorema garante a unicidade do problema de Dirichlet para operadores quasilineares Qu, como resumido no seguinte teorema.

  2 Teorema 2.15 (Theorem 10.2, [7]). Seja u, v (Ω) (Ω), satisfazendo o seguinte

  ∈ C ∩ C problema de Direchlet  

  Qu = Qv, em Ω  u

  = v, em ∂Ω e suponha que as condi¸c˜oes (i) e (iv) do teorema anterior sejam satisfeitas. Ent˜ao u = v em Ω.

2.4 Diferencial de Fr´ echet

  A seguir, estabeleceremos uma vers˜ao n˜ao linear do m´etodo da continuidade exibida no Teorema 2.17, p´agina 51. Em princ´ıpio, o m´etodo de continuidade envolve o mergu- lho de determinado problema em uma fam´ılia de problemas indexados por um intervalo fechado, [0, 1]. Cap´ıtulo 2. Equa¸c˜ oes Diferencias Parciais e o Princ´ıpio do M´ aximo

  O subconjunto S de [0, 1] para qual os problemas correspondentes s˜ao sol´ uveis ´e mostrado por ser n˜ao vazio, fechado e aberto, e conseq¨ uentemente coincide com o intervalo todo.

  Como no caso quasilinear, a teoria linear ´e novamente vital mas na situa¸c˜ao presente aplicaremos a derivada de Fr´echet do operador F para demonstrar que o conjunto solu¸c˜ao S ´e aberto.

  Comecemos com a formula¸c˜ao anal´ıtica de um funcional abstrato. Sejam

  1 e

  2 B B

  espa¸cos de Banach e F uma aplica¸c˜ao definida num aberto , em . A aplica¸c˜ao F

  1

  2 U ⊂ B B

  ´e dita Fr´echet Diferenci´avel num elemento u se existe uma aplica¸c˜ao linear limitada

  1

  ∈ B L

  : tal que

  1

  2 B k F [u + h] − F [u] − Lh k (2.9) 1 → 0

2 B → B

  

B

  k h k quando h . A aplica¸c˜ao linear L ´e chamada a derivada (ou diferencial) de

  1

  → 0 em B Fr´echet de F em u e denotaremos por F u .

  n m

  Quando e s˜ao espa¸cos Euclideanos, R e R , a derivada de Fr´echet coincide

  1

2 B B

  com a no¸c˜ao usual de diferencial. ´ E evidente de (2.9) que a diferenciabilidade Fr´echet de F em u implica que F ´e cont´ınua em u e que a derivada de Fr´echet F ´e determinada

  u

  unicamente por (2.9). Dizemos que F ´e continuamente diferenci´avel em u se F ´e Fr´echet diferenci´avel numa vizinhan¸ca de u e a aplica¸c˜ao resultante v ,

  v

  1 2 )

  7→ F ∈ E(B B ,

  ´e cont´ınua em u, onde E( ) ´e o espa¸co de Banach de aplica¸c˜oes lineares de em

  1

  2

  1

  B B com norma dada por 2 B k Lv k k L k= sup

  2 B B

  v

∈B1

1 B

  k v k

  v

6=0

  A regra da cadeia ´e v´alida para a diferencia¸c˜ao de Fr´echet, ou seja, se F : e

  1

  2 B → B

  G : s˜ao Fr´echet diferenci´aveis em u e F [u] , respectivamente, ent˜ao a

  2

  3

  1

  2 B → B ∈ B ∈ B

  aplica¸c˜ao composta G ´e Fr´echet diferenci´avel em u e

  1

  3

  1

  ◦ F : B → B ∈ B (G = G

  u F [u] u

  ◦ F ) ◦ F O teorema do valor m´edio tamb´em ´e satisfeito, no sentido que se u, v , F :

  1

  1

  2

  ∈ B B → B ´e diferenci´avel no segmento de reta fechado γ que une u e v em , ent˜ao,

  1 2 1 B B B

  k F [u] − F [v] k ≤ K k u − v k onde K = sup w k F k.

  w∈γ

  2.4. Diferencial de Fr´ echet

  Suponha que , e ´e Fr´echet

  1

  2

  1

  2 B B X s˜ao espa¸cos de Banach e que G : B × X → B

  1

  diferenci´avel no ponto (u, ω), u e ω (h)

  1

  ∈ B ∈ X . As derivadas parciais de Fr´echet, G

  (u,ω)

  2

  e G (k) em (u, ω), s˜ao aplica¸c˜oes lineares limitadas de e

  1

  2 (u,ω)

  B X , respectivamente, em B definidas por

  

1

  2 G (h, k) = G (h) + G (k) (u,ω) (u,ω) (u,ω)

  para h e k

  1 ∈ B ∈ X .

  Agora estamos em posi¸c˜ao de enunciar o teorema da fun¸c˜ao impl´ıcita.

  ,

  Teorema 2.16 (Theorem 17.6, [7]). Sejam e

  1

  2 B B X espa¸cos de Banach e G uma

  , ω aplica¸c˜ao de um subconjunto aberto . Seja (u ) um ponto em B

  

1 × X em B

  2 B 1 × X

  satisfazendo:

  (i) G [u , ω ] = 0;

  , ω

  (ii) G ´e continuamente diferenci´avel e em (u );

  1 (iii) a derivada parcial de Fr´echet L = G ´e invers´ıvel. (u ,ω )

  Ent˜ao existe uma vizinhan¸ca tal que a equa¸c˜ao G[u, ω] = 0, ´e sol´ uvel para cada N de ω ω em .

  1

  ∈ N , com solu¸c˜ao u = u B

  

Figura 2.4: Teorema da Fun¸c˜ao Impl´ıcita

  Demonstra¸c˜ ao. Consideremos T : definida por

  σ

  

1

  2 B → B

  ³ ´ −1

1 T G

  (u) = u

  σ

  − (u ,σ ) ◦ G[(u, σ)] ³ ´ −1

  1 G Temos que T ´e Fr´echet diferenci´avel, pois G[(u, σ)] ´e diferenci´avel e ´e linear. σ

  (u ,σ )

  Aplicando o Teorema do valor M´edio em uma bola de centro u e raio δ , B = B 1 (u ),

  1 1 δ Cap´ıtulo 2. Equa¸c˜ oes Diferencias Parciais e o Princ´ıpio do M´ aximo

  tem-se que ∃ w ∈ B tal que

  (u) (v) 1 ) 1 1

  σ σ B σ w B B

  k T − T k ≤ sup k (dT k k u − v k

  

w∈B

  Mostremos agora, que ´e uma contra¸c˜ao em B (u ). Com efeito,

  σ δ

  ∃ δ &gt; 0 tal que T pela regra de cadeia, ³ ´ −1

  ¡ ¢

  

1

  1

  v G dT = v

  σ − ◦ G · v, (u ,σ ) (u,σ) u

  isto ´e ³ ´ −1

  ¡ ¢

  1

  1 G

  dT = I 1

  σ B

  − (u ,σ ) ◦ G (u,σ)

  u

  ³ ´ −1 ³ ´ −1

  1

  

1

  1

  1

  = G G

  (u ,σ ) ◦ G (u ,σ ) − (u ,σ ) ◦ G (u,σ)

  ³ ´ −1 n o

  1

  1

  1 G G

  =

  (u ,σ ) ◦ (u ,σ ) − G (u,σ)

  Portanto,

  −1

  1

  1

  1

  )

  σ u

  k (dT k=k G (u ,σ ) k · k G (u,σ) − G (u ,σ ) k

  1

  , σ Como G ´e continuamente diferenci´avel em (u ), tem-se u , tamb´em ´e.

  7→ G

  (u,σ)

  Portanto, ) e uma vizinhan¸ca em X tal que, se 1 &lt; δ e

1 B

  ∃ σ (0 &lt; σ &lt; σ N de δ k u − u k σ

  ∈ N ent˜ao

  1

  1

  1 .

  k G (u,σ) − G (u ,σ ) k &lt;

  −1

  1

  k G k

  (u ,σ )

  Logo, se u δ (u ) ent˜ao, ∈ B

  )

  δ u k (dT k &lt; 1.

  u Assim, σ σ σ = u σ , isto ´e,

  ∃ u ∈ B tal que T ³ ´

  −1

1 G (u ,σ ) ◦ G[(u, σ)] = 0.

  ³ ´ −1

1 G

  Do fato em que ´e invers´ıvel, logo injetora, conclu´ımos que G[(u, σ)] = 0. ¤

  (u ,σ )

2.5 O M´ etodo da Continuidade

  Sejam e espa¸cos lineares normados. Uma aplica¸c˜ao linear T : ´e

  1

  2

  1

  V V → V limitada quando a quantidade 2 V k T x k k T k= sup

  2 V

  x

∈V1

1 V

  k x k

  x

6=0

  2.5. O M´ etodo da Continuidade

  ´e finita. Claramente que uma aplica¸c˜ao linear ´e limitada se, e somente se, ´e cont´ınua.

  A inversabilidade de uma aplica¸c˜ao linear limitada, as vezes, pode ser deduzida a partir da inversabilidade de uma aplica¸c˜ao similar atrav´es do teorema a seguir, o qual ´e conhecido em aplica¸c˜oes como o M´etodo da Continuidade.

  Teorema 2.17 (Theorem 5.2, [7]). Seja

  B um espa¸co de Banach, V um espa¸co linear , L normado e sejam L :

1 B → V operadores lineares limitados. Para cada t ∈ [0, 1], seja

  L = (1 + tL

  t

  1

  − t)L e suponha que exista uma constante C &gt; 0 tal que x

  

B t

  V

  k x k ≤ C k L k para t : :

  1 ∈ [0, 1]. Ent˜ao L B → V ´e sobrejetiva se, e somente se, L B → V ´e sobrejetiva.

  A t´ecnica que usaremos na demonstra¸c˜ao do Teorema 3.3, ´e o m´etodo da continuidade. Este m´etodo permite obter, a partir de uma solu¸c˜ao de uma equa¸c˜ao el´ıptica dada, solu¸c˜oes para equa¸c˜oes el´ıpticas constru´ıdas por uma pertuba¸c˜ao da primeira. A ferramenta b´asica neste sentido ´e o da fun¸c˜ao impl´ıcita (Teorema 2.16). Uma condi¸c˜ao requerida para o

  2,α

  emprego deste m´etodo, ´e que tenhamos, para algum α uniformes ∈ [0, 1], estimativas C para as solu¸c˜oes da fam´ılia de operadores el´ıpticos ligados por homotopia. Com este prop´osito, algumas estimativas a priori para equa¸c˜oes lineares ser˜ao essenciais.

  2,α n 2,α Teorema 2.18 (Theorem 6.6, [7]). Seja em R e seja u (

  U um dom´ınio C ∈ C U) uma solu¸c˜ao da equa¸c˜ao el´ıptica linear Lu = f em U, em que f e os coeficientes de L s˜ao

  α 2,α

  fun¸c˜oes em C ( ( U). Seja φ ∈ C U), e suponhamos u = φ em ∂U. Ent˜ao

  • ), +

  

2,α 0,α 2,α 0,α

  |u| ≤ C(|u| |φ| |f|

  α

  em que C ´e uma constante positiva dependendo da norma C dos coeficientes de L, dos autovalores da parte principal de

  L e do dom´ınio U, sendo independente de u. A aplica¸c˜ao deste teorema requer que tenhamos, para algum α

  ∈ (0, 1), estimativas

  1,α

  C das solu¸c˜oes de (2.3). Todavia, o teorema a seguir permite obtermos estas estimativas a partir de estimativas para o gradiente.

  Cap´ıtulo 2. Equa¸c˜ oes Diferencias Parciais e o Princ´ıpio do M´ aximo

  2 Teorema 2.19 (Theorem 13.7, [7]). Seja u (Ω) solu¸c˜ao do seguinte problema

  ∈ C  

  F [u] = 0 em Ω  u

  = 0 em ∂Ω.

  ³ ´

  µ K

  2 Ent˜ao se ∂Ω ´e de classe C , temos, para alguma constante α = α n, K, , Ω , a λ K

  estimativa µ ¶

  µ

  K

  n, K, , , [ α ,Ω Ω

  ∇u] ≤ C λ

  K

  &lt; λ em que K = sup e µ s˜ao constantes satisfazendo 0 &lt; λ (x, p), |∇u| e λ K K K

  Ω

  (x, p) a (x, p) a (x, p) , 1

  ij xl ij pl ij K

  |a | + |∂ | + |∂ | + |b(x, z, p)| ≤ µ ≤ l ≤ n, ,para |z| + |p| ≤ K, em que λ ´e o menor dos autovalores da matriz a (x, p).

  ij

  Por fim, no processo de convergˆencia das solu¸c˜oes no m´etodo da continuidade, ´e necess´ario o seguinte teorema de regularidade.

  2,α

Teorema 2.20 (Theorem 6.19, [7]). Suponhamos ∂Ω de classe C . Seja u uma solu¸c˜ao

2 C

  (Ω) (Ω) do problema ∩ C

   

  Lu = f em Ω  u

  = 0 em ∂Ω

  α 2,α em que f e os coeficientes de (Ω). Ent˜ao u (Ω).

  L pertencem a C ∈ C Cap´ıtulo 3 n+1 n+1

  Gr´ aficos Radiais em R e H

  No que segue, formularemos o problema de constru¸c˜ao de gr´aficos com curvatura m´edia constante (CMC) em termos da existˆencia de solu¸c˜oes de uma classe espec´ıfica de equa¸c˜oes diferenciais parciais. A partir da no¸c˜ao de gr´afico radial no espa¸co euclidiano

  n+1 n+1

  R , deduziremos equa¸c˜oes para gr´aficos radiais sobre esferas geod´esicas de H . n

  • 1

3.1 Gr´ aficos Radiais em R

  n+1 n+1

  Consideremos em R a esfera de raio a &gt; 0, S = ; {X ∈ R |X| = a}. Seja Ω um dom´ınio cujo fecho est´a contido em um hemisf´erio aberto de S. Denotemos Γ = ∂Ω

  n+1

  o bordo de Ω relativamente a S. Por meio de uma isometria de R , fixamos Ω ⊂ {X =

  n+1

  , . . . , X &gt; (X ) ; X

  1 n

  1

  ∈ R }. O gr´afico radial Σ de uma fun¸c˜ao u : Ω → R ´e definido como

  u(x) n+1

  Σ = x ; x (3.1) {X = e ∈ R ∈ Ω}. Consideremos uma parametriza¸c˜ao de Ω:

  n

  Ψ : U ⊂ R −→ Ω ⊂ S q

  7−→ x = Ψ(q) Ent˜ao, dada a aplica¸c˜ao

  n+1

  X : Ω ⊂ S −→ Σ ⊂ R x

  7−→ p = X(x) n+1 n+1 Cap´ıtulo 3. Gr´ aficos Radiais em R e H n n+1

  a qual define o gr´afico, obtemos a parametrtiza¸c˜ao X em p ◦ Ψ : U ⊂ R −→ Σ ⊂ R para Σ, conforme o esquema abaixo e a Figura 3.1.

  n

  U ⊂ R N N N N N

N

  

X◦Ψ

N

Ψ N N N N '' ²²

  // n+1

  Ω Σ

  ⊂ S ⊂ R

  X Figura 3.1: Gr´afico Radial Σ: x = Ψ(q), p = X(x) = X ◦ Ψ(q) k

  Denotaremos, C (Ω) o espa¸co das fun¸c˜oes definidas em Ω com derivadas cont´ınuas

  k k

  at´e ordem k, e C (Ω) o espa¸co de todas as fun¸c˜oes de C (Ω) tais que as derivadas parciais

  2

  extendem-se continuamente para o fecho Ω. Assim, supondo u (Ω), a condi¸c˜ao de que ∈ C

  n+1

  Σ seja uma hipersuperf´ıcie de R cuja curvatura m´edia seja prescrita por uma fun¸c˜ao

  u(x)

  h x

  : Ω ,

  → R, de modo que h(x) corresponda a curvatura m´edia de Σ no ponto X = e equivale a u ser solu¸c˜ao de seguinte EDP: µ ¶ µ ¶ 1 n

  ∇u u div = h . (3.2) − nae

2 W (u) a W (u)

  Aqui, ∇ e div s˜ao, respectivamente, o gradiente e o divergente relativos a m´etrica usual 1

  2

  2 2 de S, e W (u) = (1 + a ) .

  |∇u| Veremos como se obt´em a equa¸c˜ao (3.2).

  Adotando a nota¸c˜ao estabelecida acima, fixemos coordenadas (x , . . . , x ) em

  1 n

  U ⊂

  n u(x)

  R . Se denotarmos v(x) := e , os vetores geradores do espa¸co tangente de Σ em

  • v

  = ³ dv

  (t) ´¯¯

  ′

  (t) ·α(t) + v(α(t))·α

  ′

  ·α

  α(t)

  t=0

  t=0

  ´¯¯ ¯

  ³ v (α(t)) ·α(t)

  = d dt

  t=0

  ´¯¯ ¯

  X ◦ α

  d dt ³

  ¯

  = (dv

  (0) = w. Assim, temos que dX

  = µ dv

  i .

  ∂ ∂x

  ¶ ·x + v(x)·

  i

  ∂x

  · ∂

  x

  i

  x

  ∂x

  · ∂

  x

  , ficamos com dX

  

i

  ∂x

  ·w)·x + v(x)·w e tomando o caso particular em que w = ∂

  x · w =

  ′

  3.1. Gr´ aficos Radiais em R n+1

  k

  1 ≤ k ≤ n, s˜ao os campos coordenados em Ω com respeito `as coordenadas x

  ,

  k

  ∂x

  (3.3) onde ∂

  1 ≤ k ≤ n,

  ,

  ∂ ∂x

  Figura 3.2: Campos coordenados do Gr´afico Radial Σ: ∂X ∂x i

  x

  k

  ∂x

  = ∂v

  k

  ∂x

  X (x) = v(x)x s˜ao ∂X

  k .

  De fato, ∂X

  Ω, com |w| = 1, seja α : (−ε, ε) → Ω uma curva diferenci´avel em Ω com α(0) = x = Φ(q) e α

  ∂ ∂x

  Mas, para todo w ∈ T x

  i

  ∂x

  · ∂

  x

  = dX

  i

  Φ(q) ·

  ∂x

  = dX

  i

  ·e

  q

  = dX Φ(q) ·dΦ

  (p) = d(X ◦ Φ) q ·e i

  i

  (3.4)

  • v
  • v

  σ

  À = a

  2

  ∂v ∂x

  i

  ∂v ∂x

  j

  2

  ij

  ∂x

  Portanto g

  ij

  (X) = a

  2

  ∂v ∂x

  i

  (x) ∂v

  ∂x

  j

  , ∂

  (x) + v

  j

  , ∂v

  ∂x

  j

  x À

  ∂ ∂x

  i

  , v ∂

  ∂x

  À = a

  i

  2

  ∂v ∂x

  i

  ∂v ∂x

  j

  2

  ¿ ∂

  ∂x

  j

  2

  ∂ ∂x

  ∂x

  ∂x

  i

  À = a

  2

  2

  v ¿

  ∇v(x), ∂

  i

  i

  À − a

  2

  v ∂v

  ∂x

  i

  − av ¿ x,

  ∂ ∂x

  i

  x + v ∂

  ∂x

  σ

  |∇v|

  ij

  (x). (3.5) O campo normal unit´ario a Σ no ponto X(x) = e

  u(x)

  x ´e dado, a menos de mudan¸ca de sinal, por N (X) = a

  2

  ∇v(x) − vx a p v

  2

  2

  2

  ∇v(x) − vx, ∂v

  . (3.6) De fato, ´e normal:

  ¿ a

  2

  ∇v(x) − vx, ∂X ∂x

  i

  À =

  ¿ a

  2

  i

  À

  À = 0,

  (p) = ∂v

  ∂x

  i

  (Φ(q)) = ∂v

  ∂x

  i

  (x), a express˜ao (3.4) se reduz a ∂X ∂x

  i

  ∂x

  i

  i

  (x) ·x + v(x)·

  ∂ ∂x

  i .

  Portanto, omitindo o ponto x temos justamente (3.3), como desejado.

  Denotando a m´etrica induzida em Ω pela m´etrica usual de S, expressa em coordenadas x

  k

  , por σ

  (q) = ∂v

  ∂x

  , ou seja, σ

  x

  Cap´ıtulo 3. Gr´ aficos Radiais em R n+1 e H n+1

  Como dv

  x

  · ∂

  ∂x

  i

  = dv

  ·dΦ

  (v ◦ Φ)

  q

  ·e

  i

  = d(v ◦ Φ)

  q

  ·e

  i

  = ∂

  ij

  ij

  

j

  ∂x

  ∂x

  j

  x

  ∂ ∂x

  j

  À =

  ¿ ∂v

  i

  i

  x, ∂v

  ∂x

  j

  x À

  ∂v ∂x

  i

  x, v ∂

  ∂x

  , ∂v

  ∂ ∂x

  = ¿

  x

  ∂ ∂x

  i

  , ∂

  ∂x

  j

  À , expressaremos agora a m´etrica g

  ij

  , induzida em Σ pela m´etrica euclideana. g

  ij

  = ¿

  ∂X ∂x

  i

  , ∂X ∂x

  j

  À =

  ¿ ∂v

  ∂x

  i

  • ¿
  • ¿ v
  • ¿ v
  • v
  • v
  • a

  • a
n+1

  3.1. Gr´ aficos Radiais em R

  ¿ À ∂ ∂ x, pois = 0, uma vez que x Ω. E por fim, ´e unit´ario h∇v(x), xi = ∇v(x), ∈ T

  ∂x ∂x

  i i

  ¯ ¯ ­ ®

  2

  2

  2

  2

  ¯ ¯a a

  = ∇v − vx ∇v − vx, a ∇v − vx

  ­ ® ­ ® ­ ®

  2

  2

  

2

  2

  a a vx, a =

  • 4

  ∇v, a ∇v − ∇v, vx − ∇v hvx, vxi

  2

  2

  2

  = a + a v |∇v|

  2

  2

  2

  = a ( + v ), |∇v| p

  2

  2

  2

  2 ou seja v + a .

  |a ∇v − vx| = a |∇v| A fim de calcular a curvatura m´edia h de Σ com respeito a esta orienta¸c˜ao, usaremos a express˜ao do tra¸co da segunda forma fundamental de Σ, isto ´e,

  X

  1

  ij

  h g b , = ij (3.7) n

  i,j ij

  onde g ´e a inversa da m´etrica g e

  ij

  ¿ À

  2

  ∂

  X b , N , =

  (3.8)

  ij

  ∂x ∂x

  

i j

como vimos na se¸c˜ao 1.3.

  Entretanto, diferenciando a express˜ao (3.3), obtemos

  2

  2

  2

  ∂ X ∂ v ∂v ∂ ∂v ∂ ∂ x , = + + v (3.9) +

  ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x

  

i j i j i j j i i j

n+1

  onde o ´ ultimo termo simboliza a diferencia¸c˜ao usual de vetores em R . Assim, substi- tuindo (3.6) e (3.9) em (3.8), resulta que

  2

  2

  2

  ∂ v ∂v ∂ ∂v ∂ ∂ a ∇v(x) − vx

  • b = x + v ,

  ij

  p

  2

  2

  2

  ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x

  i j i j j i i j

  a v + a |∇v|

  ¿ À

  2

  2

  ∂ v ∂v ∂ ∂v ∂ ∂

  1

  2

  x , a =

  • v p

  ∇v(x) − vx

  2

  2

  2

  ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x a v i j i j j i i j

  • a

  |∇v| À ¿ À

  Ã ¿

  2

  ∂ v ∂v ∂

  1

  2

  2

  x, a , a =

  • ∇v(x) − vx ∇v(x) − vx aW ∂x ∂x ∂x ∂x

  (v)

  i j i j

  ¿ À ¿ À !

  2

  ∂v ∂ ∂

  2

  2

  • , a v , a ∇v(x) − vx ∇v(x) − vx

  ∂x ∂x ∂x ∂x

  j i i j

  Ã ¿ À !

  2

  2

  2

  ∂ v ∂v ∂v ∂v ∂v ∂ v ∂ x

  1

  2

  2

  2

  2

  2

  = va + a + a + a v , −

  − av aW (v) ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x ∂x a

  i j i j j i i j i j n+1 n+1 Cap´ıtulo 3. Gr´ aficos Radiais em R e H

  ou seja, Ã

  µ ¿ À¶

  

2

  2

  ∂ v ∂

  1

  2

  b a v , = +

  ij

  − ∇v aW ∂x ∂x ∂x ∂x (v)

  i j i j

  ¿ À !

  2

  ∂v ∂v ∂ x

  2

  2

  ,

  • 2a + av (3.10)

  − ∂x ∂x ∂x ∂x a

  i j i j

  p

  2

  2

  2 v .

  onde W (v) = + a |∇v|

  Contudo, o hessiano da fun¸c˜ao v em Ω, cuja matriz em termos das coordenadas x k designaremos por v , satisfaz, por defini¸c˜ao, a igualdade

  ij

  ¿ À

  2

  2

  ∂ v ∂ v , .

  ij =

  − ∇v ∂x ∂x ∂x ∂x

  

i j i j

  ¿ À

  2

  ∂ x

  1 , σ

  Al´em disso, = , visto que a express˜ao `a esquerda ´e a segunda forma

  ij

  − ∂x ∂x a a

  i j ∂ ∂

  fundamental de S aplicada aos vetores coordenados e . De fato, sendo N uma

  ∂x i ∂x j x x

  extens˜ao local de η, unit´aria e normal a S, ou seja, N = , e do fato que S η , − · x =

  a a

  temos

  1

  1 , ∂ , ∂ , ∂ σ

  i j ), N η i j i j ij

  hB(∂ i = hS · ∂ i = h∂ i = a a e ainda,

  ¿ À

  x x x ∂ x B (∂ , ∂ ), = ∂ ∂ , = ∂ , = ,

  2 D E D E D E

  i j ∂ i j ∂ i j ∂ i j

  − ∇ − ∇ − ∇ − − a a a ∂x ∂x a

  i j

  portanto ¿ À

  2

  ∂ x

  1 , σ . =

  ij

  − ∂x ∂x a a

  i j

  ∂v v Denotando por ∂ i , conclu´ımos que

  ∂x

  i

  ¡ ¢

  1

  2

  2

  2 b vv ∂ v∂ v σ .

  = + 2a + v (3.11)

  

ij −a ij i j ij

  aW (v)

  n

  Seja a imagem de Ω por meio da proje¸c˜ao estereogr´afica π de S sobre U ⊂ R

  n

  R = , . . . , X ); X = 0

  1 n+1

  1

  {X = (X }, com p´olo (−a, 0, . . . , 0). Como, por escolha de

  n+1

  coordenadas de R , estamos supondo que o dom´ınio Ω em , . . . , X ); X &gt;

  1 n+1

  1

  {X = (X define uma parametriza¸c˜ao de Ω por coordenadas conformes, ou seja, tais }, ent˜ao π| Ω

  2

  δ que σ (x) = µ , onde

  ij ij

  2 µ (x) = 2 ,

  |π(x)| 2

  1 +

  a n+1

  3.1. Gr´ aficos Radiais em R

  para todo x ∈ Ω.

  Nestas coordenadas, podemos exibir a inversa da m´etrica g , a saber:

  ij

  µ ¶

  2

  1 a

  ij

  g = δ ∂ v∂ v . (3.12)

  ij i j

  −

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  µ v µ (v + a ) |∇v|

  2

  2

  2 De fato, como g = a ∂ v∂ v + v σ , onde σ = µ δ , temos ik i k ik ik ik

  Ã !Ã µ ¶ !

  2

  1 a

  kj

  2

  2

  2

  g g = a ∂ v∂ v + v µ δ δ ∂ v∂ v

  ik i k ik ij i j

  −

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  µ v µ (v + a ) |∇v|

  2

  4

  2

  a δ a a

  kj

  2

  ∂ v∂ v v ∂ v∂ v δ ∂ v∂ v, = (∂ ) + δ

  i k − k i j ik kj − δ ik k j

  2

  2

  4

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  µ v µ v µ

  (v + a ) (v + a ) |∇v| |∇v|

  ( ) Ã !

  X X

  X

  1

  1 δ ∂ v ∂ ∂ v ∂ , tomando a soma em k, e atento a = e

  ij j i i i

  ∇v =

  2

  2

  µ µ

  i j i

  X X

  1

  1

  2

  2

  2

  ∂ v∂ vµ δ v = = (∂ )

  i j ij i

  |∇v|

  4

  2

  µ µ

  i,j i

  temos

  2

  4

  2

  a a a

  kj

  

2

  2

  g g ∂ v∂ v µ ∂ v∂ v ∂ v∂ v

  ik = i j i j + δ ij i j

  − |∇v| −

  2

  2

  4

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  µ v µ v µ (v + a ) (v + a )

  |∇| |∇v| =

  2

  2

  2

  4

  2

  2

  4

  2

  2

  2

  2

  2

  a v µ ∂ v∂ v + a µ ∂ v∂ v µ ∂ v∂ v v µ ∂ v∂ v

  i j i j i j i j

  |∇v| − a |∇v| − a

  • = δ

  ij

  4

  2

  

2

  2

  2

  µ v (v + a ) |∇v| .

  = δ ij Portanto, reunindo (3.11) e (3.12) em (3.7), temos as igualdades a seguir

  X 1 ¡ ¢

  ij

  2

  2

  2

  2

  nh = g (v σ + a ∂ v∂ v ) + a ∂ v∂ v vv

  ij i j i j ij

  − a aW (v)

  i,j

  X 1 ¡ ¢

  ij ij

2 ij

2 ij

  g g g g ∂ v∂ v vg v = ij + a i j ij

  − a aW (v)

  i,j

  X n a ¡ ¢

  ij ij ij = + g g ∂ v∂ v v . i j ij

  − vg aW aW (v) (v)

  i,j

  Da´ı, podemos escrever (3.7) na forma de uma equa¸c˜ao diferencial com parte principal

  ij

  dada por uma matriz positiva, a saber, g : 1 X

  X ¡ ¢

  2 ij 2 ij

  2

  2

  2 2

  a v g v g ∂ v∂ v = n a (v + a ) . (3.13)

  ij i j

  − a − nh |∇v|

  i,j i,j n+1 n+1 Cap´ıtulo 3. Gr´ aficos Radiais em R e H

  Entretanto, utilizando a express˜ao (3.12), o primeira termo de (3.13) se escreve µ ¶

  2

  X a a

  2 X

  2 ij a v g v = δ ∂ v∂ v v . ij ij i j ij

  −

  2

  2

  2

  2

  2

  vµ µ (v + a ) |∇v|

  i,j i,j

  P

  2 −2

  2

  µ ∂ v Por outro lado, usando o fato de que = , o segundo termo de (3.13) vem

  |∇v| i

  i

  a ser

  2

  X X a a

  4 X

  2 ij −2 2 −4

  2

  2

  a g ∂ v∂ v µ ∂ v µ ∂ v∂ v

  i j = i − i i

  2

  2

  2

  2

  2

  v v (v + a )

  |∇v|

  i,j i i,j

  2

  4

  a a

  2

  4

  = |∇v| − |∇v|

  2

  

2

  2

  2

  2

  v v (v + a )

  |∇v|

  2

  2

  a |∇v| = .

  2

  2

  2

  v

  • a

  |∇v| Substituindo estas duas ´ ultimas express˜oes em (3.13) e, em seguida, multiplicando 1

  −2

  2

  2 2 − 2

  ambos os lados da equa¸c˜ao resultante por va (v + a ) , obt´em–se a equa¸c˜ao do |∇v| gr´afico radial de curvatura m´edia h, em termos de v:

  µ ¶ µ ¶

  2

  a nv

  1

  1

  1

  2 δ ∂ v∂ v v v . ij i j ij = (3.14)

  − − |∇v| − ah

  2

  4

  3

  3

  2

  µ W µ W W a W (v) (v) (v) (v)

  Um operador muito presente em equa¸c˜oes como a da curvatura m´edia ´e dado por ³ ´

  ∇v

  div , com W (v) representando, em geral, a norma do campo normal ao gr´afico da

  W (v)

  solu¸c˜ao. Procedemos `a verifica¸c˜ao de que este fato ´e v´alido no caso da equa¸c˜ao (3.14), com o divergente na m´etrica de S. Da defini¸c˜ao de divergente, segue que µ ¶ ¿ µ ¶ À

  1

  1 ∇v

  , , div = ∆v + (3.15) ∇ ∇v

  W (v) W (v) W (v) onde µ ¶ µ ¶

  X 1 ∂ 1 ∂

  

−2

= µ .

  ∇ W ∂x W ∂x

  (v) i (v) i

  i

  Ã ! µ ¶

  ∂

  1

  1 Calculemos, ent˜ao, = ∂ i . Pela regra da cadeia, p

  2

  2

  2

  ∂x W (v)

  i v + a

  |∇v| temos

1 W

  • a
  • a

2 X

  • a
  • a
  • X
  • X

2 X

  ∂

  ki )

  δ

  2

  j (µ

  v∂

  k

  v∂

  j

  

jk ) +

  j,k

  X

  X

  δ

  2

  i (µ

  v∂

  k

  v∂

  −

  j

  j,k

  −2

  ∂

  2

  v )

  j

  (∂

  j

  X

  2 Ã

  µ

  ∂

  ! =

  ij )

  δ

  2

  k (µ

  v∂

  k

  v∂

  ∂

  j

  X

  j,k

  ∂

  i

  ∂

  2 ³

  1

  v µ

  k

  v∂

  j

  j,k

  2

  X

  =

  k ij

  v Γ

  k

  v∂

  j

  ∂

  j,k

  (µ

  δ

  (µ

  δ

  2 Ã

  −2

  µ

  ¶ =

  −2

  · µ

  ) ´

  ij

  2

  jk

  (µ

  k

  ) − ∂

  ki

  δ

  2

  (µ

  j

  ) + ∂

  i

  X

  2

  (µ

  ) e ent˜ao

  −2

  (µ

  i

  ∂

  2

  ) = µ

  2

  i

  j,k

  ∂

  −2

  ), temos µ

  2

  (µ

  i

  ∂

  −2

  X

  ∂

  −2

  −2

  (3.18)

  2

  v ¢

  j

  ¡ ∂

  j

  X

  )

  (µ

  j

  i

  2 ∂

  

2

  µ

  = −

  k ij

  v Γ

  k

  v∂

  ) + µ

  (µ

  ) +

  X

  (µ

  k

  v∂

  k

  v∂

  i

  ∂

  k

  ) −

  ) !

  2

  (µ

  j

  v∂

  i

  v∂

  j

  ∂

  

j

  2

  = µ

  i

  (1) = ∂

  ∂

  2

  ) = µ

  −2

  µ

  2

  (µ

  i

  i

  −2

  ) ainda que, 0 = ∂

  2

  i (µ

  ∂

  2

  v ¢

  j

  ¡ ∂

  j

  X

  Portanto escrevemos a segunda parcela de (3.17) da seguinte forma:

  −2

  i

  j

  ¢ X

  −2

  ¡ µ

  i

  2 ∂

  2

  v

  Ã v∂

  2

  3

  (v)

  −1 W

  ! =

  v ) ´

  j

  (∂

  i

  v∂

  (∂ j v )

  2

  ∂

  Agora, como v

  k

  X

  v −

  j

  ∂

  i

  = ∂

  ij

  (3.16)

  µ

  !

  v )

  i (∂ j

  v∂

  j

  ∂

  j

  X

  −2

  j

  −2

  k

  ¡ v

  3

  2W (v)

  −1

  ¢ =

  

2

  |∇v|

  2

  2

  i

  2 X

j

  ∂

  3

  2W (v)

  = −1

  (v) ¶

  µ

  i

  ∂

  3.1. Gr´ aficos Radiais em R n+1

  Ã 2v∂ i v

  ∂

  v + 2µ

  v + a

  2 j

  ∂

  −2

  µ

  i

  ³ ∂

  j

  2

  i

  i

  Ã v∂

  3

  −1 W (v)

  ! =

  v ¢

  2 j

  ∂

  −2

  ¡ µ

  ∂

  v Γ

  · µ

  e visto que g ij = µ

  tem-se Γ

  ij

  δ

  −2

  = µ

  ij e g ij

  δ

  2

  lk

  =

  ´ ·g

  

k (g ij )

  −∂

  i (g jl )+∂ j (g li )

  ³ ∂

  l

  1

  =

  k ij

  k ij

  1

  k ij (3.17)

  δ

  ) ´

  ij

  δ

  2

  (µ

  k

  ) − ∂

  ki

  

2

  2 ³

  (µ

  j

  ) + ∂

  jk

  δ

  2

  (µ

  i

  ∂

  Por´em, Γ

  v Γ

  k ij

  k ij

  v ) =

  i (∂ j

  v∂

  j

  ∂

  j

  X

  e escrevemos

  v Γ

  j

  k

  ∂

  k

  ij

  v = v

  j

  ∂

  i

  , tiramos ∂

  X

  Ã ∂

  k

  X

  v∂

  j

  ∂

  j,k

  ij

  vv

  

j

  ∂

  j

  ! =

  j

  k ij

  v Γ

  k

  ∂

  k

  X

  v

  ij + ∂ j

  vv

2 X

  • a

  3

  vv

  i

  ∂

  j

  X

  −2

  µ

  2

  v + a

  i

  Ã v∂

  1 W (v)

  ! .

  −

  ¶ =

  1 W (v)

  µ

  i

  que ´e justamente a terceira parcela de (3.16), e finalmente, substituindo este resultado em (3.16), temos ∂

  2

  v )

  j

  (∂

  j

  X

  ij

  Por outro lado, temos ∇v =

  −2

  (3.15) fica div µ

  X

  ∂ ∂x

  X

  X

  ij

  v

  −2

  µ

  i

  X

  ¶ =

  ∇v W (v)

  ij . Portanto, a equa¸c˜ao

  X

  v

  −2

  µ

  i

  X

  i e ∆v =

  v∂

  i

  ∂

  −2

  µ

  i

  )

  (µ

  µ v∂

  j

  ∂

  

j

  X

  −2

  µ

  2

  v ) = a

  j

  (∂

  i

  v∂

  ∂

  i

  j

  X

  −2

  µ

  2

  e usando (3.18) temos: a

  −2

  µ

  2

  Multiplicando (3.17) por a

  Cap´ıtulo 3. Gr´ aficos Radiais em R n+1 e H n+1

  j

  vv

  ij

  2

  ∂

  2

  2 a

  1

  −

  ij

  vv

  i

  ∂

  

j

  X

  −2

  µ

  2

  = a

  k ij

  v Γ

  k

  v∂

  j

  ∂

  j,k

  X

  −2

  µ

1 W (v)

  • =

  Ã −

1 W (v)

  • a
  • a
  • a
  • X

  3

  ij

  −4

  W (v)

  2

  ∂

  i

  v∂

  

j

  v ¶ v

  1 W (v)

  −

  2

  3

  v |∇v|

  2

  , dessa forma, a equa¸c˜ao (3.14) pode ser escrita na forma divergente como div

  µ ∇v

  W (v)

  ¶ = nv a

  2

  µ

  − a

  1 W (v)

  v

  

3

  |∇v|

  2

  − a

  2

  µ

  4 W (v)

  3 X i,j

  ij

  ij

  ∂

  i

  v∂

  j

  v =

  1 W (v) µ

  µ

  −2

  δ

  µ

  . (3.19) Observe que, como v = e

  − ah ¶

  2

  u

  ∇u, e W

  (e

  u

  ) = p (e

  u

  )

  2

  |e

  i

  u

  ∇u|

  2

  = e

  u

  p 1 + a

  2

  |∇u|

  2 .

  = e

  u∂

  ij

  X ∂

  u

  , temos ∇v = µ

  −2

  X ∂

  i

  v∂

  i

  = µ

  −2

  i

  i

  e

  

u

  ∂

  i

  = e

  u

  µ

  −2

  X ∂

  − v W (v)

  δ

  i

  µ

  X

  i

  µ

  −2

  v

  ij +

  X

  i

  µ

  k

  

2

  Ã −

  1 W (v)

  3

  µ v∂

  i

  v∂

  i

  v

  1 W (v)

  ∂x

  ij

  j

  v

  2

  µ

  −2

  −2

  i,j

  v

  ij

  ∂

  v ¶!

  v ∂

  µ

  i

  ,

  i

  k

  µ

  −2

  ∂

  k

  2

  µ

  −2

  i

  v

  2

  µ

  −2

  X

  i,j

  v

  ij

  ∂

  v∂

  Ã v∂

  j

  v !

  =

  1 W (v)

  X

  i

  µ

  −2

  v

  2 i

  3

  X

  1 W (v)

  i,j

  v

  ij

  ∂

  i

  v∂

  j

  v ¶!

  =

  −4

  W (v)

  X

  i

  µ

  −2

  v

  ij

  i

  µ

  

−2

  • a
n+1

  3.1. Gr´ aficos Radiais em R

  p

  u

  2

2 Pondo W (u) = 1 + a , temos que W (v) = e W (u) e

  |∇u| µ ¶ µ ¶ µ ¶ µ ¶

  u u

  1 ∇v ∇u

  e ne 1 n

  u

  div = div = = h , − ah − ae

  u

2 u

  2 W e W a e W a W

  (v) (u) (u) (u) logo, em termos da fun¸c˜ao u, as equa¸c˜oes (3.14) e (3.19) s˜ao escritas, respectivamente, da seguinte forma:

  µ ¶ µ ¶

  2 −4

  a µ n

  1

  1

  −2 u

  µ δ ∂ u∂ u u h = (3.20)

  ij i j ij

  − − ae

  3

  2 W W a W

  (u) (u) (u) e µ ¶ µ ¶ n

  1 ∇u

  u

  div = h . (3.21) − ae

2 W a W

  (u) (u) A equa¸c˜ao (3.21) ´e exatamente a equa¸c˜ao (3.2) que quer´ıamos obter.

  n

  Podemos escrever a equa¸c˜ao (3.20) como uma equa¸c˜ao em , uma vez, que pela U ⊂ R defini¸c˜ao do hessiano,

  X

  k

  u ∂ u, = ∂ Γ

  

ij ij k

  − ij

  k k k

  onde Γ ∂ = Γ ∂ (x) s˜ao os s´ımbolos de Christoffel em S, em termos das coordenadas

  k k ij ij

  x u e ∂ designa as derivadas parciais de segunda ordem da express˜ao coordenada de u.

  k ij

  Assim, escrevendo abreviadamente

  2 −4

  a µ

  1

  −2

  a u, . . . , ∂ u µ δ ∂ u∂ u,

  ij (x, ∂ 1 n ) = ij i j

  −

  3 W W

  (u) (u) a equa¸c˜ao (3.20) pode ser expressa em coordenadas na forma geral de uma equa¸c˜ao qua- silinear em dom´ınios euclidianos:

  X a (x, ∂ u (x), . . . , ∂ u (x))∂ u + b(x, u(x), ∂ u (x), . . . , ∂ u (x)) = 0, (3.22)

  ij 1 n ij 1 n i,j

  onde X n n

  u k (x, u(x), ∂ + b u (x), . . . , ∂ u (x)) = e h Γ a ∂ u. 1 n ij k

  − − ij

  2

  a W (u) a

  i,j,k

  Destas considera¸c˜oes, ´e poss´ıvel aplicarmos a teoria padr˜ao referente `as equa¸c˜oes el´ıpticas quasilineares `a equa¸c˜ao (3.20) reescrita sob a forma dada em (3.22). Para tanto,

  2

  devemos supor que Γ ´e uma subvariedade de classe C em S, uma vez que as t´ecnicas anal´ıticas a serem empregadas requerem hip´oteses sobre a regularidade do dom´ınio Ω. En- tretanto, h´a um forte v´ınculo entre a curvatura m´edia de Γ e a possibilidade de existˆencia de solu¸c˜oes para (3.2). Nesta dire¸c˜ao, enunciamos o seguinte teorema, devido a Serrin (v. [20] §23), de grande importˆancia para a prova do Teorema Principal. n+1 n+1 Cap´ıtulo 3. Gr´ aficos Radiais em R e H

  Seja h a curvatura m´edia de Γ como subvariedade de S, calculada com respeito ao

  Γ

  vetor unit´ario normal a Γ apontando para o interior de Ω. Temos:

  2 Teorema 3.1 (Teorema de Serrin). Seja Ω um dom´ınio de classe C em uma esfera S n+1

  de R , cujo fecho est´a em um hemisf´erio aberto de S. Seja, ainda, h(x) uma fun¸c˜ao

  1

  n˜ao-positiva em C (Ω). Ent˜ao, existe um ´ unico gr´afico radial sobre Ω com curvatura m´edia prescrita h(x) e bordo Γ, desde que n h (x)

  Γ

  ≥ |h(x)|, n − 1 para todo x

  ∈ Γ. n+1

  3.2. Gr´ aficos Radiais em H

  n

  • 1

3.2 Gr´ aficos Radiais em H

  n+1

  Nesta se¸c˜ao, definiremos gr´aficos radiais no espa¸co hiperb´olico H e discutiremos a existˆencia de tais gr´aficos com curvatura constante. O lema a seguir estabelece uma rela¸c˜ao entre a curvatura m´edia euclidiana h de Σ e sua curvatura m´edia hiperb´olica H.

  Lema 3.2. Sejam (M, g) uma variedade riemanniana, e µ : M

  → R uma fun¸c˜ao dife- renci´avel positiva. Se Σ ´e uma hipersuperf´ıcie de M cuja curvatura m´edia na m´etrica g, relativa a um campo normal unit´ario N , ´e denotada por h, ent˜ao a curvatura m´edia de

2 M g

  na m´etrica µ ´e dada por h

  1 H N = (µ), (3.23)

  −

  2

  µ µ onde N (µ) ´e a derivada de µ na dire¸c˜ao N .

  Demonstra¸c˜ ao. Denote por h , i (resp. hh , ii) o produto escalar na m´etrica g

  2

  2

  (resp. µ g ); seja g ) e sejam

  ∇ (resp. ∇) a conex˜ao Levi-Cevita na m´etrica g (resp. µ X, Y M

  , p

  p

  ∈ T ∈ M. Queremos que n o

  1

  • Y = Y X (µ)Y + Y (µ)X (3.24)

  X X

  ∇ ∇ − hX, Y i∇µ µ em que X(µ) = hX, ∇µi

  Como ∇ est´a definida ´e uma conex˜ao sim´etrica, n´os temos que verificar ∇ ´e compat´ıvel

  2

  com a m´etrica µ g , isto ´e: X ( Y, Z Z (3.25)

  X X

  hhY, Zii) = hh∇ ii + hhY, ∇ ii M, p

  p ∀ X, Y, Z ∈ T ∈ M.

  O primeiro termo de (3.25) ´e igual a

  2

  2

  2 X Y, Z Z

  (µ ) (

  X X

  hY, Zi) = X(µ hY, Zi + µ h∇ i + hY, ∇ i)

  2 Y, Z Z

  = 2µX(µ) (

  X X

  hY, Zi + µ h∇ i + hY, ∇ i) e o segundo termo ´e igual a

  2

  µ Y, Z

  X

  h∇ i + µX(µ)hY, Zi + µY (µ)hX, Zi − µhX, Y ihZ, ∇µi

2 Z, Y

  • µ

  X

  h∇ i + µX(µ)hX, Y i − µhX, Zi − µZ(µ)hX, Zih∇µ, Y i n+1 n+1 Cap´ıtulo 3. Gr´ aficos Radiais em R e H

  assim (3.25) ´e verificada.

  Agora, seja ξ um vetor unit´ario (na m´etrica g) tangente a uma dire¸c˜ao principal de Σ tal que

  N =

  ξ

  ∇ −kξ

  −1 −1

  isto ´e, k´e a curvatura principal. Seja ξ = µ e N = µ N , assim por (3.24) µ ¶

1 N (µ)

  N = ξ ∇ −k +

  ξ

  µ µ

  2

  g Conseq¨ uentemente ξ ´a a dire¸c˜ao principal para µ e a curvatura principal ´e k N

  (µ)

  • −k = −

  2

  µ µ (3.23) segue somando as curvaturas principais de Σ. ¤

  n+1

  Seja S uma esfera geod´esica de raio ρ no espa¸co hiperb´olico H . Consideremos um dom´ınio Ω em S cujo fecho esteja contido em um hemisf´erio aberto de S. Denotaremos por Γ a fronteira de Ω, ou seja, Γ = ∂Ω.

  2 Definimos o gr´afico radial Σ de uma fun¸c˜ao n˜ao-negativa χ (Ω) como o subcon-

  ∈ C junto

  n+1

  Σ = ; X = α (χ(x)), x (3.26)

  x

  {X ∈ H ∈ Ω}, onde, para cada x ´e a geod´esica minimizante ligando o centro geod´esico de S a

  x

  ∈ Ω, α x . ´ E imediato da defini¸c˜ao que χ(x) ´e a distˆancia do centro de S ao ponto X(x).

  2,α

  Suponhamos que Γ ´e uma hipersuperf´ıcie de classe C de S, para algum α ∈ (0, 1), denotemos por H a curvatura m´edia de Γ com respeito ao vetor normal apontando para

  Γ

  o interior de Ω, temos o seguinte teorema:

  n+1

Teorema 3.3 (Teorema Principal). Sejam S uma esfera geod´esica de raio ρ em H e Ω

  um dom´ımio em S com fecho contido num hemisf´erio aberto de S. Se &lt; H

  Γ

  − inf H ≤ 0, ent˜ao existe um ´ unico gr´afico radial Σ sobre Ω com curvatura m´edia H e bordo Γ.

  A prova deste teorema, deixamos para o quarto e ´ ultimo cap´ıtulo.

  n+1

  Usaremos, no que segue o modelo de Poincar´e para H , isto ´e, o disco unit´ario em

  n+1

  R (

  )

  n+1

  X

  n+1

  2 D

  X , . . . , X X &lt; = = (X ) ;

  1

  1 n+1

  ∈ R i

  i=1 n+1

  3.2. Gr´ aficos Radiais em H

  4 munido da m´etrica δ , dita hiperb´olica. Nomeamos hiperb´olica as quanti- P ij

  2

  2

  (1 X ) − i

  i dades definidas com rela¸c˜ao a esta m´etrica. n+1 n+1

  Por meio de uma isometria de H , podemos tomar a origem de R como o centro geod´esico de S. Desta forma, identificamos S com uma esfera euclidiana, centrada na

  ρ origem, cujo raio a depende do raio geod´esico ρ de S, mais precisamente, a = tgh( ).

  2 n+1

  As semi-retas retas partindo da origem s˜ao, neste modelo de H , tra¸cos de geod´esicas. Assim, se definirmos a fun¸c˜ao u : Ω

  → R, como µ ¶

  χ 1 (x)

  u(x)

  e , = tgh (3.27) a

  2 para cada x ∈ Ω, ent˜ao o gr´afico radial Σ de χ corresponde ao gr´afico radial da fun¸c˜ao u

  n+1

  em R , como definido em (3.1), ou seja,

  

u(x)

  x Σ = ; x (3.28) {X = e ∈ Ω}.

  De fato, dado um ponto x x definida acima corresponde, neste ∈ Ω, a geod´esica α

  n+1 u(x)

  modelo, `a semi-reta ligando a origem de R a x. Se X = e x , ent˜ao a distˆancia hiperb´olica da origem a X ´e, por defini¸c˜ao de u, igual a χ(x).

  Demonstramos, conforme (3.21), que dada uma fun¸c˜ao h : Ω → R, o gr´afico radial Σ

  n+1 u(x)

  ´e uma hipersuperf´ıcie de R com curvatura m´edia h(x) no ponto X = e x quando u satisfaz a seguinte EDP: µ ¶ µ ¶ n

  1 ∇u u

  Q h

  (u) = div = 0, (3.29)

  h

  − − nae

  2 W (u) a W (u)

  onde div e ∇ denotam, respectivamente, o divergente e o gradiente em S na m´etrica p

  n+1

  2

  2

  usual, induzida de R , e W (u) = 1 + a . A curvatura m´edia h ´e calculada, |∇u| como fixamos acima, de acordo com a orienta¸c˜ao definida pelo campo normal unit´ario dado em (3.6).

  n+1

  Denotaremos por H a curvatura m´edia de Σ como hipersuperf´ıcie de H , com a orienta¸c˜ao escolhida acima.

  4

2 Tomando-se M = D e µ = no Lema 3.2, podemos obter a curvatura

  2

  

2

  (1 ) − |X|

  n+1

  m´edia de Σ como hipersuperf´ıcie de H , isto ´e, na m´etrica hiperb´olica de D. Temos, ent˜ao

  1

1 H (x) = h (x) gradµ(X)

  − · N(X),

  

2

  µ µ n+1 n+1 Cap´ıtulo 3. Gr´ aficos Radiais em R e H

  2

  n+1

  2

  onde gradµ denota o gradiente de µ(X) = em R , dado por gradµ = µ X ; P

  2

1 X

  − i

  i

n+1

  e “ . Assim,

  ·” significa o produto interno usual de R

  2

  h µ X h · N

  H (x) = = − − X · N

  2

  µ µ µ h

  1

  

2

X

  = − · (a ∇u(x) − x)

  µ aW (u) µ P ¶

2 X

  1

  1 −

  

i i u

  2

  h e x = (a

  − · ∇u − x · x) aW 2 (u)

  µ ¶

  2 2u u

  e ae

  1 − a

  = W 2 (u)

  • h .

  Logo obtemos µ ¶

  u

  ae

  2 h H =

  (3.30) −

  2 2u

  e W 1 (u) − a

  Assim, substituindo (3.30) em (3.29), deduzimos a equa¸c˜ao diferencial a ser satisfeita por u de modo que Σ tenha curvatura m´edia H na m´etrica hiperb´olica, dada na proposi¸c˜ao abaixo.

  2 n+1

Proposi¸c˜ ao 3.4. Uma fun¸c˜ao u (Ω) descreve um gr´afico radial em H sobre Ω

  ∈ C com curvatura m´edia H quando u &lt; 0 e µ ¶ µ ¶

  u u

  n ae 2ne

  ∇u Q

  H

  • (u) = div

  = 0. (3.31)

  H

  − −

  2 2 2u

  W a W a e W (u) (u) (1 ) (u)

  − a

  n+1

  Portanto, garantir a existˆencia de um gr´afico radial Σ em H com curvatura m´edia

  2 H e bordo Γ = ∂Ω ´e equivalente a assegurar a existˆencia de solu¸c˜ao u (Ω), u &lt; 0,

  ∈ C para o seguinte problema de Dirichlet (

  Q (u) = 0 em Ω

  H

  (3.32) u = 0 em Γ. Cap´ıtulo 4 Prova do Teorema 3.3

  Reservamos este cap´ıtulo para a prova do nosso principal teorema, o Teorema 3.3. Afirmamos no final da se¸c˜ao 3.1, que ´e poss´ıvel aplicar `as equa¸c˜oes (3.2) e (3.31)

  n

  a teoria relativa a EDPs em dom´ınios do R , pois a equa¸c˜ao (3.2), quando expressa em coordenadas na forma (3.22), ´e uma equa¸c˜ao el´ıptica quasilinear em um dom´ınio

  n

  . Apresentamos, no final do cap´ıtulo 2 resultados sobre esta classe de equa¸c˜oes, U ⊂ R cujos enunciados e demonstra¸c˜oes encontram-se em [7]. Para iniciarmos a nossa prova, precisamos ainda, apresentar outros resultados, como a estimativa a priori do gradiente

  n+1

  de u (cf. [13], , para que possamos

  § 2.3) e a existˆencia do gr´afico radial m´ınimo em H aplicar o m´etodo da continuidade.

4.1 Preliminares

  A seguinte proposi¸c˜ao formula uma estimativa a priori do gradiente de u, cuja de-

  1

  monstra¸c˜ao encontra-se em [13], a priori para Gr´aficos radiais em § 2.3: Estimativas C

  n+1

  H .

  &lt; H

  Proposi¸c˜ ao 4.1. Se Γ

  − inf H ≤ 0, ent˜ao a fun¸c˜ao u descrevendo o gr´afico radial de curvatura m´edia H e bordo Γ satisfaz sup

  |∇u| ≤ C

  Ω em que C = C(Ω, H), ´e uma constante positiva dependendo apenas de Ω e de H. Cap´ıtulo 4. Prova do Teorema 3.3

  Por comodidade, identifiquemos Ω com U, e u com sua express˜ao em coordenadas.

  2,α

  Fixemos α um n´ umero entre 0 e 1. Suponhamos Γ de classe C . Como vimos em (2.3),

  2,α α

  seja F : C (Ω) (Ω) o operador diferenci´avel el´ıptico quasilinear dado por → C F [u] = F [x, u, ∂ u, ∂ u ] = a (x, ∂ u )∂ u + b(x, u, ∂ u ), (4.1)

  k kl ij k ij k

  em que ∂ u e ∂ u representam, respectivamente, as derivadas parciais de primeira e

  k kl

  segunda ordens da express˜ao coordenada de u; e os coeficientes a e b est˜ao definidos

  ij

  em (3.22). Como usualmente, podemos tomar (4.1) como defini¸c˜ao de uma fun¸c˜ao dife-

  n n×n

  u u renci´avel F = F [x, z, p, r] em Ω , fazendo z = u, p = ∂ k , r = ∂ kl × R × R × R

  ∂F ∂b

  em (4.1). De (4.1) segue que = e

  ij

  ≤ 0 se, e somente se, h ≤ 0 (basta derivar a

  ∂z ∂z ∂F ∂b n u

  b dados em (3.22) em rela¸c˜ao a u e obter = = e h ). Da´ı o Princ´ıpio de Com-

  ∂z ∂z a

  para¸c˜ao (Teorema 2.1) ´e igualmente v´alido para a equa¸c˜ao (3.31), desde a f´ormula (3.30) seja substitu´ıda no lugar de h, nesta equa¸c˜ao. Ainda a partir desta observa¸c˜ao podemos enunciar a seguinte conseq¨ uˆencia geom´etrica do Teorema 2.1.

  

Proposi¸c˜ ao 4.2 (Princ´ıpio de Compara¸c˜ao). Sejam Σ e Σ dois gr´aficos radiais sobre

  1

  2

  Ω

  1 e u 2 , respectivamente. Se h

  2

  1 1 e h

  2

  ⊂ S, descritos pelas fun¸c˜oes u ≤ h ≤ 0, em que h representam, nesta ordem, as curvaturas m´edias euclidianas de Σ e Σ , e u em Γ,

  1

  2

  2

  1

  ≤ u ent˜ao u em Ω.

  2

  1

  ≤ u Uma observa¸c˜ao importante, derivada da demonstra¸c˜ao do Teorema 2.1 ´e apresentada abaixo.

  n+1 Proposi¸c˜ ao 4.3. Seja Σ um gr´afico radial em R sobre Ω com curvatura m´edia h

  ≤ 0,

  2,α

  descrito por uma fun¸c˜ao u (Ω). Ent˜ao, se u ∈ C ≤ 0 ao longo de Γ = ∂Ω, temos u &lt; 0 em Ω, ou seja, Σ est´a contido em

  R R = {tx; x ∈ Ω, 0 ≤ t ≤ 1}, o cilindro s´olido sobre Ω.

  ′

  Demonstra¸c˜ ao. Seja S a esfera totalmente geod´esica de codimens˜ao 1 em S que determina o hemisf´erio em que Ω est´a contido. Ent˜ao consideremos a fam´ılia de esferas

  n+1 ′

  tais que S(0) = S e S(t) , quando t &gt; 0, de modo que {S(t); t ∈ [0, ∞)} em R ∩ S = S

  n+1

  seus centros fiquem alinhados sobre a semi-reta partindo da origem de R ortogonal ao

  ′

  hiperplano que determina S em S e passando por um ponto do hemisf´erio de S contendo Ω. Por constru¸c˜ao, segue que, para todo t &gt; 0 tal que S(t )

  ∩Σ R 6= ∅ e S(t)∩Σ = ∅, para todo t &gt; t . Al´em disso, S(t ) ) e Σ

  R

  ∩ Γ = ∅. Portanto, os pontos de contato entre S(t

  

  s˜ao interiores a Σ . Em uma vizinhan¸ca Ω suficientemente pequena da proje¸c˜ao radial

  R

  4.1. Preliminares

  x de um destes pontos em Ω, escolhido arbitrariamente, podemos descrever S(t ) como

  ′

  o gr´afico radial de uma fun¸c˜ao u , de modo que u(x ) = u (x ) e u &lt; u em Ω

  1

  1

  1

  − {x } (o ponto x ´e o ponto de tangˆencia isolado, pois caso contr´ario, Σ e S(t ) coincidiriam em

  R

  um aberto e teriam, portanto a mesma curvatura). Entretanto, a curvatura m´edia h

  1 de

  S (t ) ´e maior do que zero, ao passo que h ≤ 0. Da´ı, temos

  µ ¶ n ∇u

  u

  Q h

  h (u) = div + nae

  −

  2 W a W

  (u) (u) µ ¶ n

  ∇u u u = div + nae (h ) + nae h

  1

  1

  − − h

  2 W (u) a W (u)

  µ ¶ n ∇u

  u

  h

  • nae =: Q 1 (u).

  1 h

  ≤ div −

  2 W a W

  (u) (u) Logo, Q 1 (u) (u) = 0 = Q 1 (u ). Assim, Q 1 (u) 1 (u ). Entretanto, como vimos

  h h h 1 h h

  1

  ≥ Q ≥ Q na demonstra¸c˜ao do Teorema 2.1, definindo w = u , sabemos existir um operador − u

  1

  linear L tal que

  = Q 1 (u) 1 (u )

  w h h

  1 L − Q ≥ 0. ′ ′

  Portanto, temos w , w(x ) = 0 e w &lt; 0 em Ω . Contudo, o Lema de Hopf L ≥ 0 em Ω − x

  (Lema 2.11) assegura que o gradiente de w em x ´e n˜ao-nulo, o que contradiz o fato de x ser ponto de m´aximo interior para w. Desta contradi¸c˜ao, conclu´ımos que Σ n˜ao tem

  R

  pontos fora de ¤ R.

  O Lema de Hopf, ou o Princ´ıpio do M´aximo Forte (Teorema 2.12), acarreta alguns fatos geom´etricos, a saber:

  n+1 Observa¸c˜ ao 4.4 (Princ´ıpio de Tangˆencia). Sejam Σ e Σ 1 duas hipersuperf´ıcies em R

  tangentes em um ponto interior a ambos, descritas em uma vizinhan¸ca Ω deste ponto como gr´aficos radiais de duas fun¸c˜oes u e u , de modo que u em Ω. Se Σ e Σ tˆem

  

1

  1

  1

  ≤ u a mesma curvatura m´edia, ent˜ao u

  1 em Ω. O mesmo pode ser afirmado para gr´aficos

  ≡ u

  n+1 radiais em H . n+1

  Observa¸c˜ ao 4.5. Os gr´aficos radiais Σ em H de curvatura H H

  ≤ 1 e bordo Γ est˜ao contidos na bola geod´esica de raio ρ, isto ´e, Σ x (t); x

  H ⊂ R = {α ∈ Ω, 0 &lt; t ≤ ρ}.

  Outro resultado que precisamos, ´e a garantia da existˆencia de gr´afico radial m´ınimo

  n+1 em H . Utilizaremos o Teorema 3.1 (Serrin) para provar a seguinte proposi¸c˜ao.

  ¡ ¢

  n

Proposi¸c˜ ao 4.6. Se inf H a , ent˜ao existe um ´ unico gr´afico radial m´ınimo sobre

  Γ

  ≥

  n−1 n+1

  Ω em H com bordo Γ.

  Cap´ıtulo 4. Prova do Teorema 3.3

  Demonstra¸c˜ ao. Por (3.27) e (3.28) o gr´afico radial euclidiano Σ de uma fun¸c˜ao

  n+1

  u sobre Ω, com curvatura m´edia euclidiana h, ´e, de fato, um gr´afico radial em H de curvatura m´edia hiperb´olica H quando u &lt; 0 e

  µ ¶

  u

  ae

  2 h H . =

  (4.2) −

  2 2u

  1 a W (u) − a

  n+1

  O Teorema 3.1 implica a existˆencia de gr´afico radial Σ sobre Ω em R com curvatura m´edia h desde que h

  (i)

  ≤ 0 em Ω, e ¡ ¢

  n−1 (ii) h em Γ.

  Γ

  |h| ≤

  n

  Tomando h ≤ 0, segue da Proposi¸c˜ao 4.3 que Σ est´a contido na bola euclidiana de raio

  n+1

  a . Em particular, Σ . Suponhamos,

  ⊂ D e, portanto, Σ ´e uma hipersuperf´ıcie de H ent˜ao, h ≤ 0. Da express˜ao (4.2), temos que a condi¸c˜ao (ii) equivale a

  µ ¶ µ ¶

  u

  ae n

  2 − 1

  H h em Γ.

  Γ

  − ≥ −

  2 2u

  1 a W (u) n − a

  u

  Entretanto, e = 1 ao longo de Γ. Por outro lado, a m´etrica hiperb´olica em D induz em

  4 2 2 S δ

  a m´etrica , homot´etica `a m´etrica usual. Donde segue que

  ij (1−a )

  µ ¶

  2

  1 − a

  H h (x) = (x),

  Γ Γ

  ∀ x ∈ Γ,

  2 e ent˜ao µ ¶ µ ¶ µ ¶ 2 a n

  2 − 1 H H em Γ.

  Γ

  − ≥ −

  2

  2 W n

  1 (u)

  1 − a − a

  Visto que a &lt; 1, conclu´ımos que a condi¸c˜ao (ii) pode ser escrita como µ ¶ a n

  − 1 H H em Γ.

  Γ

  − ≥ − W (u) n

  a

  Ainda assim, ≤ a. Logo, a desigualdade acima ´e implicada por

  W (u)

  µ ¶ n − 1 inf H (4.3)

  Γ ≥ a − H.

  n Por outro lado, por um argumento an´alogo ao da demonstra¸c˜ao da proposi¸c˜ao 4.3,

  n+1

  considerando que as esferas S(t) s˜ao esferas geod´esicas de H com curvatura m´edia maior do que 1, verificamos que, se H ≤ 1, ent˜ao Σ n˜ao cont´em pontos fora da bola

  n+1

  geod´esica de raio ρ em H (v. Observa¸c˜ao 4.5). Assim, temos por exemplo para H ≤ 0,

  u 2 2u

  que e &lt; 1 e, portanto, 1 e &gt;

0. Logo, a express˜ao (4.2) permite concluir que H

  − a ≤ 0 implica h

  ≤ 0.

  4.2. A Prova

  ¡ ¢

  n−1

  Fixando H = 0, temos h a , ´e imediato que H = 0

  Γ

  ≤ 0. Supondo inf H ≥

  n

  tamb´em satisfaz (4.3), condi¸c˜ao equivalente a (ii) quando h ≤ 0. Assim, pelo Teorema 3.1, garantimos a existˆencia de um gr´afico radial m´ınimo com bordo Γ.

  ¤

4.2 A Prova

  Exibiremos uma vers˜ao da prova do Teorema 3.3, exposta em [13]. Para esta prova, empregaremos o M´etodo da Continuidade. Em princ´ıpio, este m´etodo envolve o mergulho de determinado problema em uma fam´ılia de problemas indexados por um intervalo fechado, [0, 1]. O m´etodo permite obter, a partir de uma solu¸c˜ao de uma equa¸c˜ao el´ıptica dada, solu¸c˜oes para equa¸c˜oes el´ıpticas constru´ıdas por uma pertuba¸c˜ao da primeira. O subconjunto S de [0, 1] para qual os problemas correspondentes s˜ao sol´ uveis ´e mostrado por ser n˜ao vazio, fechado e aberto, e conseq¨ uentemente coincide com o intervalo todo.

  Como vimos no final da Se¸c˜ao 3.2 que, o problema de encontrar um gr´afico radial em

  n+1

  H de curvatura m´edia H se reduz a resolver a equa¸c˜ao (3.31) dada na Proposi¸c˜ao 3.4 ou, equivalentemente, a equa¸c˜ao

  µ ¶

  2 −4

  a µ

  1

  −2

  Q µ δ ∂ u∂ u ∂ u

  H (u) = ij i j ij

  −

3 W W

  (u) (u) · µ ¶¸

  u u

  X n 1 2e ae

  k

  H Γ a ∂ u, (4.4)

  ij k

  − − − − ij

  

2 2u

  a aW (u) (1 e ) W (u) − a

  k

  para uma fun¸c˜ao u &lt; 0, onde H ´e a curvatura m´edia hiperb´olica que estamos prefixando e ∂ u e ∂ u denotam, respectivamente, as derivadas de primeira ordem e segunda ordens

  i ij de u.

  ³ ´

  µ k

  n, , K Seja α = α a constante fornecida pelo Teorema 2.19, em que K corres-

  λ k

  ponde a estimativa global de |∇u| obtida na Proposi¸c˜ao 4.1. Redefinimos α, a classe de regularidade das derivadas de um atlas de Γ, como min

  {α, α }. Consideremos, para cada

  2,α

  τ (Ω) tal que u = 0, o operador diferencial de segunda ordem F [u]

  ∂Ω τ

  ∈ [0, 1] e u ∈ C | Cap´ıtulo 4. Prova do Teorema 3.3

  dado por F [u] = F [x, u, ∂ u, ∂ u ]

  τ τ k kl

  µ ¶

  2 −4

  a µ

  1

  −2

  µ δ ∂ u∂ u ∂ u =

  

ij − i j ij

3 W W

  (u) (u) · µ ¶¸

  u u

  X n 1 2e ae

  k

  τ H Γ a ∂ u. (4.5)

  ij k

  − − − − ij

  2 2u

  a aW (u) 1 e W (u) − a

  k

  Observemos que F 1 corresponde `a equa¸c˜ao (4.4).

  2,α

  Denotaremos por (Ω) das fun¸c˜oes que se anulam na B o subespa¸co (fechado) de C fronteira ∂Ω. Ent˜ao uma fun¸c˜ao em [u] = 0 se, e somente se, ´e solu¸c˜ao do

  τ

  B satisfaz F seguinte problema (

  Q (u) = 0 em Ω

  τ H u = 0 em ∂Ω.

  ´ E claro da defini¸c˜ao de gr´afico radial que o pr´oprio dom´ınio Ω ´e, trivialmente, solu¸c˜ao para este problema, fazendo-se u

  ≡ 0. No entanto, o valor da curvatura m´edia H = cotgh(ρ), correspondente a esta solu¸c˜ao, n˜ao permite empregarmos o m´etodo da continui- dade, uma vez que n˜ao podemos assegurar o invertibilidade do linearizado operador Q H neste ponto. Por inspe¸c˜ao imediata, verificamos que um gr´afico com H = 0 pode servir de etapa inicial para o m´etodo. Como vimos, a Proposi¸c˜ao 4.6 assegura a existˆencia do gr´afico radial hiperb´olico m´ınimo, ent˜ao seja u a fun¸c˜ao em

  B descrevendo o gr´afico radial hiperb´olico com bordo Γ e H = 0. Uma vez que os coeficientes de cada um dos operadores definidos em (4.5) s˜ao dife- renci´aveis (conforme (3.22), p´agina 63), ´e claro que a imagem de est´a contida

  τ

  B por F

  α

  em C . A diferencial de Frech´et de F com respeito u

  τ

  ∈ B, calculada em alguma fun¸c˜ao v ∈ B, ´e

  ∂F ∂F ∂F

  τ τ τ

  ∂ v ∂ v v,

  • τ,u [v] = ij i (4.6) L +

  ∂r ∂p ∂

  ij i z

  onde z, p i e r ij tˆem o significado usual. Para utilizarmos o Teorema da Aplica¸c˜ao Impl´ıcita, Teorema 2.16, na an´alise da fun¸c˜ao G[u, τ ] := F [u], devemos encontrar condi¸c˜oes para as

  τ

  quais a derivada parcial ∂ G [u, τ ] = seja invert´ıvel. Do Teorema 2.10 e da express˜ao

  u τ,u

  L

  ∂F τ

  (4.6), conclu´ımos que isto ocorre se vale ≤ 0. Entretanto, verificamos, por meio da

  ∂z ∂F τ

  defini¸c˜ao (4.5), que ≤ 0 se, e somente se,

  ∂z

  µ ¶ µ ¶ µ ¶

  

2 2u 2u u u u

  1 + a e 2e ae 2e a H − − ≤ 0.

  2 2u 2 2u 2 2u

  e e W e W

  1 1 (u) 1 (u) − a − a − a

  4.2. A Prova

  ³ ´

  2u u 2e ae 2 H

  Pela Proposi¸c˜ao 4.3, se supusermos h = 2u − ≤ 0, ent˜ao nos pontos

  1−a e W (u)

  X (x) do gr´afico radial de curvatura H teremos

  2

2 2u(x)

  2

  e &lt; = a 1,

  |X| ≤ a o que torna a desigualdade acima v´alida.

  Em particular, assumindo H . Neste caso,

  τ,u

  ≤ 0, garantimos a invertibilidade de L segue do Teorema 2.16 que o conjunto S

  = {τ ∈ [0, 1]; G[u, τ] = 0, para algum u ∈ B} ´e aberto. Resta provar que S ´e fechado.

  Temos que G[u, τ ] = 0 implica que u ´e solu¸c˜ao do problema linear ( u v u

  := a (x, u(x), ∂ (x))∂ + b(x, u(x), ∂ (x), τ ) = 0

  v ij k ij k

  L v = 0,

  | ∂Ω em que a ij e b s˜ao os termos de segunda e primeira ordens, respectivamente, da equa¸c˜ao

  n

  (4.5). J´a que estes termos s˜ao diferenci´aveis em Ω , conclu´ımos dos teoremas × R × R

  1 2,α

  2.18 e 2.19 que a estimativa C de u obtida na Proposi¸c˜ao 4.1 fornece uma estiva C uniforme para qualquer elemento do conjunto E

  = {u ∈ B; G[u, τ] = 0 para algum τ ∈ [0, 1]}.

  2,α

  Entretanto, (Ω) o qual, por sua vez, ´e um subespa¸co B ´e um subespa¸co fechado de C

  2

  compacto de C (Ω). Assim, qualquer seq¨ uencia u em E cont´em uma subseq¨ uˆencia, que

  k

  2

  2 tamb´em denotamos por u , que converge na norma C para uma fun¸c˜ao u (Ω). k

  ∈ C , τ

  Deste modo, existe τ ] = 0 e, passando a uma subseq¨ uˆencia,

  k k k

  ∈ [0, 1] para a qual G[u se necess´ario, temos τ k → τ, para algum τ ∈ [0, 1], e 0 = G[u , τ ]

  k k → G[u, τ].

  2,α

  Segue, ent˜ao, do Teorema 2.20 que u pertence de fato a C (Ω). Al´em disso, 0 = u

  k ∂Ω

  | → u . Logo, u

  ∂Ω | ∈ E.

  Portanto, se τ k ´e uma sequˆencia em S de modo que τ k k → τ, para algum τ ∈ [0, 1] e u s˜ao as respectivas solu¸c˜oes de G[u , τ ] = 0, ent˜ao, restringindo-nos a uma subsequˆencia,

  k k 2,α

  se necess´ario, temos que u , para alguma fun¸c˜ao u

  k

  → u na norma C ∈ E. Assim, G

  [u, τ ] = 0 e, por defini¸c˜ao, τ ∈ S. Isto prova que S ´e fechado. Cap´ıtulo 4. Prova do Teorema 3.3

  Logo, S = [0, 1]. Em particular, o problema de Direchlet (

  Q

  H

  (u) = 0 em Ω u = 0 em ∂Ω ´e sol´ uvel para H no intervalo (

  − inf H

  Γ

  , 0]. A unicidade da solu¸c˜ao ´e uma consequˆencia do Princ´ıpio de Compara¸c˜ao (Proposi¸c˜ao

  4.2), uma vez que H ≤ 0 implica h ≤ 0.

  ¤ Referˆ encias Bibliogr´ aficas [1]

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  Universidade Federal da Bahia — UFBA Instituto de Matem´ atica — P´ os-Graduac ¸˜ ao em Matem´ atica

  

Campus de Ondina, Av. Ademar de Barros s/n, CEP:40170–110

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