Gráficos Radiais com Curvatura Média Constante no Espaço Hiperbólico

90 

Full text

(1)

Instituto de Matem´

atica

Curso de P´os–Graduac¸˜ao em Matem´atica

Dissertac¸˜ao de Mestrado

Gr´

aficos Radiais com Curvatura M´

edia

Constante no Espac

¸o Hiperb´

olico

Adriano Pedreira Cattai

Salvador —Bahia

(2)

Gr´

aficos Radiais com Curvatura M´

edia Constante

no Espac

¸o Hiperb´

olico

Disserta¸c˜ao apresentada ao colegiado do curso de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia, como requisito parcial para

obten¸c˜ao do Grau de Mestre em Matem´atica.

Aprovada pela Banca Examinadora abaixo assinada.

Prof. Dr. Jos´e Nelson Bastos Barbosa (Orientador) UFBA

Prof. Dr. Jorge Herbert Soares de Lira UFC

Prof. Dr. Pedro Antonio Hinojosa Vera UFPB

(3)

Gr´aficos Radias com Curvatura M´edia Constante no Espa¸co Hiperb´olico/ Adriano Pedreira Cattai; orientador: Jos´e Nelson Bastos Barbosa. — Salva-dor: UFBA, 2006.

79 p.

1. Disserta¸c˜ao (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Departamento de Matem´atica.

Inclui referˆencias bilbiogr´aficas.

1. Matem´atica - Teses. 2. Geometria Riemanniana. I. Cattai, Adriano Pedreira. II. Barbosa, Jos´e Nelson Bastos. III. T´ıtulo.

(4)
(5)

intrigou a maior parte do ano e achar seu conte´udo mais excitante, mais perfeito, mais maravilhoso do que vocˆe sempre sonhou.

O bebˆe ´e a desculpa perfeita para fazer todas aquelas coisas as quais a vida adulta exigiu que vocˆe renunciasse.

N˜ao h´a por do sol mais bonito, n˜ao h´a maravilha maior do que um bebˆe!”.

(6)

Agradecimentos

Sempre `a Deus!

`

A minha amada fam´ılia: meu pai Ailton Teles Cattai, minha m˜ae Maria do Carmo Pedreira Cattai e meu irm˜ao Alessandro Pedreira Cattai, por sempre acreditar em mim e pela for¸ca ao longo de todos estes anos (acredito, que todo agradecimento nunca seria suficiente para recompens´a–los).

Aos meus amigos e parceiros de surf Bruno Melo, Diogo Rodrigues, Joney Santana e Thiago Melo (e seus familiares), por tornarem a minha vida mais gostosa pelo carinho que dedicam.

`

A minha grande companheira, amiga, namorada e esposa,Tharita Veirapor tudo que fez por mim nesse per´ıodo, profissionalmente e moralmente. Sua presen¸ca em minha vida com nossa filha Gabriela foi mais um presente de Deus.

Aos meus orientadores em tempos de inicia¸c˜ao cient´ıfica: Afonso Henriques por todo seu apoio, incentivo, ensinamentos e amizade; eHumberto Jos´e Bortolossi que muito nos ensina com sua amizade, dedica¸c˜ao, disposi¸c˜ao e aten¸c˜ao. Aos professores de gradua¸c˜ao. Aos colegas de gradua¸c˜ao: Antˆonio Oliveira Sim˜ao, Eduardo Palmeira, Fab´ıolo Moraes Amaral, Rosane Funatoe Vin´ıcius Modesto Sert´orio.

Aos colegas de turma: Ab´ılio Souza, Gabriela Goes, Gilcl´ecio Dantas, Josaphat Ri-cardo, Maur´ıcio Porto, Roberto Pastor, Rolando Restany, Rosane Funato, Silvia Costa e Tailson Jeferson, pela companhia e cumplicidade no dia a dia em cada mat´eria e nos intermin´aveis domingos de UFBA. Aos demais mestrandos deste programa que n˜ao citei.

(7)

A todos os professores da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica desta universidade, em especial ao coordenador Professor Enaldo Silva Vergasta, pela eterna simpatia, sabedoria e exemplo. Aos funcion´arios do Instituto de Matem´atica; `as secret´arias Tˆania Esp´ınola e Dona Zez´e sempre atentas aos nossos pedidos.

Um agradecimento especial ao Professor Jos´e Nelson Bastos Barbosa pela orienta¸c˜ao no desenvolvimento deste trabalho e escolha do tema; pela amizade e toda sua dedica¸c˜ao. Gostaria de agradecer tamb´em aos professores Jorge Herbert S. de Lira ePedro Antonio Hinojosa Vera, os quais compuseram a banca examinadora e verificaram com tanto zelo esta disserta¸c˜ao.

Na tentativa de n˜ao omitir nenhum nome: a todos os amigos de Canavieiras, da EMARC-UR, da UESC, da UFBA; aos colegas de surf, e aos de fora, pelo apoio, compre-ens˜ao e carinho, pelas piadas e pela for¸ca.

Finalmente, `a CAPES pelo apoio financeiro.

(8)

Resumo

Provamos a existˆencia de gr´aficos radiais com curvatura m´edia constante no espa¸co hiperb´olico Hn+1 definido sobre dom´ınios em esferas geod´esicas do Hn+1 em que a

cur-vatura m´edia no bordo ´e positiva com respeito a orienta¸c˜ao interna; descrito no artigo Radial Graphs with Constant Mean Curvature in the Hyperbolic Space, do professor da Universidade Federal do Cear´a, Jorge Herbert S. de Lira.

(9)

Abstract

The existence is proved of radial graphs with constant mean curvature in the hyper-bolic space Hn+1 defined over domains in geodesic spheres of Hn+1 whose boundary has

positive mean curvature with respect to the inward orientation; described in the article Radial Graphs with Constant Mean Curvature in the Hyperbolic Space, of the teacher of the Federal University of Cear´a, Jorge Herbert S. de Lira.

(10)

Sum´

ario

Apresenta¸c˜ao 1

Introdu¸c˜ao 2

1 Preliminares de Geometria Riemanniana 5

1.1 Variedades Diferenci´aveis . . . 5

1.2 Espa¸co Tangente . . . 6

1.2.1 Campo de Vetores . . . 8

1.3 M´etricas Riemannianas . . . 9

1.3.1 A Inversa da M´etrica . . . 10

1.4 Variedades Imersas . . . 10

1.5 Conex˜ao Afim . . . 11

1.6 Geod´esicas e a Aplica¸c˜ao Exponencial . . . 12

1.7 Segunda Forma Fundamental . . . 15

1.7.1 Segunda Forma Fundamental de Hipersuperf´ıcies . . . 16

1.8 Gradiente, Divergente, Laplaciano e Hessiano . . . 18

1.9 O Espa¸co Hiperb´olico . . . 27

1.9.1 Isometrias e o Modelo da Bola . . . 28

1.9.2 Superf´ıcies Umb´ılicas do Hn+1 . . . . 30

2 Equa¸c˜oes Diferencias Parciais e o Princ´ıpio do M´aximo 32 2.1 Continuidade H¨older . . . 32

2.2 Equa¸c˜oes Diferenciais Parciais El´ıpticas . . . 34

(11)

2.3 O Princ´ıpio do M´aximo . . . 37

2.3.1 O Princ´ıpio do M´aximo para Operadores Lineares . . . 37

2.3.2 O Princ´ıpio do M´aximo para Operadores Quasilineares . . . 46

2.4 Diferencial de Fr´echet . . . 47

2.5 O M´etodo da Continuidade . . . 50

3 Gr´aficos Radiais em Rn+1 e Hn+1 53 3.1 Gr´aficos Radiais emRn+1 . . . . 53

3.2 Gr´aficos Radiais emHn+1 . . . . 65

4 Prova do Teorema 3.3 69 4.1 Preliminares . . . 69

4.2 A Prova . . . 73

(12)

Apresenta¸

ao

Este trabalho ´e fruto da orienta¸c˜ao do professor Jos´e Nelson Bastos Barbosa, do De-partamento de Matem´atica desta universidade, para disserta¸c˜ao de mestrado. Estudamos a tese de doutorado Existˆencia e Unicidade de Hipersuperf´ıcie com Bordo e Curvatura M´edia Constante em Formas Espaciais ([13]), e o artigo Radial Graphs with Constante Mean Curvature in the Hyperbolic Space Hn+1 ([12]), ambos do professor Jorge Herbert Soares de Lira do Departamento de Matem´atica da Universidade Federal do Cear´a.

Para uma boa compreens˜ao deste trabalho, o leitor deve ter um n´ıvel de conhecimento semelhante ao aluno que cursa o segundo ano de mestrado em matem´atica, especialmente com bons conhecimentos de Geometria Riemanniana e de An´alise em Espa¸cos Euclidianos. Para este prop´osito, sugerimos respectivamente, [17] e [8]. Seria desej´avel ainda, que o leitor tivesse bons conhecimentos de Equa¸c˜oes Diferenciais Parciais (EDP’s) e o Princ´ıpio do M´aximo. Sugerimos para este prop´osito [7]. No entanto, exibimos os resultados mais relevantes para a nossa necessidade no Cap´ıtulo 2.

(13)

Introdu¸

ao

As calotas esferas, s˜ao exemplos cl´assicos de hipersuperf´ıcies com curvatura m´edica constante e com bordo conhecido.

A busca por exemplos n˜ao-esf´ericos de hipersuperf´ıcies mergulhadas com curvatura m´edia constante em espa¸cos de curvatura seccional constante ´e um problema muito co-nhecido. Um jeito corrente de se fazer isto ´e atrav´es da constru¸c˜ao de v´arios tipos de gr´aficos. Neste caso as hipersuperf´ıcies s˜ao descritas n˜ao-parametricamente por fun¸c˜oes definidas sobre um dom´ınio numa hipersuperf´ıcie umb´ılica do ambiente. A condi¸c˜ao que a superf´ıcie tenha curvatura m´edia constante implica que a fun¸c˜ao que descreve o gr´afico seja solu¸c˜ao de uma EDP quasilinear.

Gr´aficos com proje¸c˜ao central injetiva sobre uma Esfera Euclidiana em Rn+1 foram

constru´ıdas por Serrin [16]. Em [3], Treibergs e Wei provam a existˆencia de gr´aficos radiais definidos sobre toda esfera, cuja curvatura m´edia ´e prescrita por uma fun¸c˜ao satisfazendo certas condi¸c˜oes de crescimento.

Recentemente, demonstrou-se v´arios teoremas de existˆencia para gr´aficos com curva-tura m´edia constante no espa¸co hiperb´olico Hn+1 com proje¸c˜ao injetiva sobre dom´ınios

em hipersuperf´ıcies umb´ılicas com curvatura menor ou igual a 1. Por exemplo, J. L. Bar-bosa e R. S. Earp [15] obtiveram gr´aficos com curvatura m´edia constante sobre dom´ınios em hiperplanos geod´esicos. Gr´aficos sobre horoesfera foram constru´ıdos independente-mente por B. Nelli e J. Spruck em [6] e por R. L´opez e S. Montiel em [18]. Tamb´em, L´opez anunciou em [19] a existˆencia de solu¸c˜oes para equa¸c˜oes da curvatura m´edia sobre hipersuperf´ıcies eq¨uidistastes emHn+1.

(14)

auto-Introdu¸c˜ao

intersec¸c˜oes. O gr´afico radial de uma fun¸c˜ao χ definida sobre o fecho de um dom´ınio Ω em uma esfera geod´esica S em Hn+1 ´e o conjunto Σ dado por

Σ ={αx(χ(x));x∈Ω},

onde αx ´e a geod´esica minimizante ligando o centro geod´esico de S ao ponto x ∈ Ω.

Suponhamos que Γ =∂Ω ´e uma hipersuperf´ıcie de classeC2,αdeS, para algumα (0,1),

denotemos por HΓ a curvatura m´edia de Γ com respeito ao vetor normal apontando para o interior de Ω, demonstramos o seguinte teorema, provado por Jorge Herbert S. de Lira, em Radial Graphs with Constant Mean Curvature in the Hyperbolic Space. Geometriae Dedicata, 93 (2002), 11–23.

Teorema 3.3(Teorema Principal). Sejam S uma esfera geod´esica de raioρem Hn+1 e

um dom´ınio em S com fecho contido num hemisf´erio aberto de S. Se infHΓ < H 0, ent˜ao existe um ´unico gr´afico radial Σ sobre Ω com curvatura m´edia H e bordo Γ.

A prova deste teorema utilizamos um teorema devido a Serrin (Teorema 3.1) para garantir a existˆencia de um gr´afico radial m´ınimo emHn+1 com bordo Γ. Combinamos as

estimativasa priori para o gradiente (cf. [13], § 2.3) com o Teorema da Fun¸c˜ao Impl´ıcita (Teorema 2.16) e obteremos o resultado acima recorrendo `a teoria cl´assica de Schauder, assim como est´a exposta por D. Gilbarg e N. Trudinger em [7].

O trabalho trata da quest˜ao de encontrarmos solu¸c˜oes ´unicas para o seguinte pro-blema: uma hipersuperf´ıcie deve ser o gr´afico de uma fun¸c˜ao u C2,α(Ω), onde Ω ´e

um dom´ınio em uma esfera geod´esica S de raio ρ em Hn+1 cujo fecho est´a contido num

hemisf´erio aberto de S, tendo a curvatura m´edia hiperb´olica prescrita por uma fun¸c˜ao, sujeita `a condi¸c˜ao de u se anular na fronteira Γ = ∂Ω, ou seja, equivale a assegurar a existˆencia de uma solu¸c˜ao uC2,α(Ω), u <0, para o seguinte problema de Dirichlet:

(

QH(u) = 0 em Ω

u= 0 em Γ ,

em que QH(u) ´e definido em (3.31), p´agina 68.

(15)

problemas de Dirichlet. Esta parte foi baseada em [7] e em [20]. Apresentamos ainda a continuidade H¨older e o M´etodo da Continuidade, baseado em [7]. J´a no terceiro cap´ıtulo, apresentamos o problema de constru¸c˜ao de gr´aficos com curvatura m´edia constante em termos da existˆencia de solu¸c˜oes de uma classe espec´ıfica de equa¸c˜oes diferenciais parciais. A partir da no¸c˜ao de gr´afico radial no espa¸co EuclidianoRn+1, deduzimos equa¸c˜oes para gr´aficos radiais sobre esferas geod´esicas no espa¸co hiperb´olico Hn+1. No quarto e ´ultimo

(16)

Cap´ıtulo 1

Preliminares de Geometria Riemanniana

Este cap´ıtulo visa dar uma no¸c˜ao de alguns dos principais conceitos e resultados de Geometria Riemanniana, necess´arios para compreens˜ao dos resultados que pretendemos demonstrar.

1.1

Variedades Diferenci´

aveis

Uma variedade diferenci´avel de dimens˜ao n ´e um conjunto M e uma fam´ılia de aplica¸c˜oes biun´ıvocasxα :Uα ⊂Rn →M de abertos Uα deRn em M tais que:

(1) [

α

³

xα(Uα)

´

=M;

(2) Para todo parα,β, comxα(Uα)∩xβ(Uβ) =W 6=∅,os conjuntosx−α1(W) ex−β1(W)

s˜ao abertos em Rn e as aplica¸c˜oes x−1

β ◦xα s˜ao diferenci´aveis;

(3) A fam´ılia {(Uα,xα)}´e m´axima relativamente `as condi¸c˜oes (1) e (2).

O par (Uα,xα) (ou a aplica¸c˜ao xα) com p ∈xα(Uα) ´e chamado uma parametriza¸c˜ao

(ou sistema de coordenadas) deM em p ;xα(Uα) ´e chamada umavizinhan¸ca coordenada

emp. Uma fam´ılia{(Uα,xα)}satisfazendo (1) e (2) ´e chamada umaestrutura diferenci´avel

em M.

(17)

Sejam Mm eNnvariedades diferenci´aveis. Uma aplica¸c˜aoϕ :M →N ´ediferenci´avel em p M se dada uma parametriza¸c˜ao y : V ⊂ Rn N em ϕ(p) existe uma

parame-triza¸c˜aox:U ⊂Rm M em ptal que ϕ(x(U))y(V) e a aplica¸c˜ao

y−1ϕx:U ⊂Rm Rn

´e diferenci´avel emx−1(p). ϕ´e diferenci´avel em um aberto deM se ´e diferenci´avel em todos os pontos deste aberto. Decorre da condi¸c˜ao (2) da defini¸c˜ao de variedades diferenci´aveis que a defini¸c˜ao dada independe da escolha das parametriza¸c˜oes.

Em seguida, estenderemos `as variedades diferenci´aveis a no¸c˜ao de vetor tangente.

1.2

Espa¸

co Tangente

Seja Mn uma Variedade Diferenci´avel de dimens˜ao n. Uma aplica¸c˜ao diferenci´avel α: (ε, ε)M ´e chamada uma curva diferenci´avel em M.

Suponha que α(0) =pM e seja D(M) ={f :M →R ;f ´e diferenci´avel em p}. O

vetor tangente `a curva α em t= 0 ´e a fun¸c˜ao

α′(0) : D(M) R

f 7→ (f α)′(0)

ou seja, o vetor tangente `a variedade M em p ´e o vetor tangente em t = 0 de alguma curva α : (−ε, ε)→M com α(0) =p. Indicaremos por TPM o conjuntos desses vetores.

Sejam os seguintes caminhos no Rn,λi : (ε, ε)→ U ⊂Rn tais queλi(t) =q+t·ei,

i= 1, . . . , n, e seja x:U ⊂RnMn uma paramtriza¸c˜ao em p=x(q), q∈ U. As curvas

αi =xλi s˜ao chamadas de curvas coordenadas passando em p.

Com base nas defini¸c˜oes acima, temos

(αi)′(0)·f = (fαi)′(0) = ((f x)λi)′(0)

= X

j

∂(fx) ∂xj

(q)·(λij)′(0)

= ∂(f◦x) ∂xi

(q)

e poremos a seguinte nota¸c˜ao:

∂ ∂xi

(18)

1.2. Espa¸co Tangente

ou seja,

∂ ∂xi

(p) :D(M)→R ,

∂xi

(p)·f = ∂(f ◦x) ∂xi

(q) , q=x−1(p)

Queremos escrever o vetor tangenteα′(0) em termos do sistema de coordenadas deM. Sejam x: U ⊂Rn M um sistema de coordenadas locais de M em p, α : (ε, ε) M

uma curva diferenci´avel comα((ε, ε))x(U) e f :M R uma aplica¸c˜ao diferenci´avel

em p. Fa¸camos o seguinte:

α′(0)·f = (f α)′(0) =¡(f x)(x−1α)¢′(0) =

n

X

i=1

∂(f ◦x) ∂xi

¡

x−1◦α(0)¢·α′i(0)

=

n

X

i=1

∂(f x) ∂xi

¡

x−1(p)¢·α′i(0)

=

n

X

i=1

α′i(0)·

µ

∂ ∂xi

(p)·f

=

à n

X

i=1

α′i(0)· ∂ ∂xi

(p)

! ·f

portanto, α′(0) =

n

X

i=1

α′i(0) · ∂ ∂xi

(p), ou seja, o vetor v = α′(0) pode ser expresso na parametriza¸c˜ao x, e mostra que um vetor tangente a uma curva α em p depende apenas das derivadas de α em um sistema de coordenadas. Decorre tamb´em que o conjunto TpM, com as opera¸c˜oes usuais de fun¸c˜oes, forma um Espa¸co Vetorial de dimens˜ao n e

que a escolha de uma parametriza¸c˜ao x : U Rn M determina uma base associada

½

∂ ∂x1

(p), . . . , ∂ ∂xn

(p)

¾

em TpM. Conforme ilustra figura 1.1.

Da no¸c˜ao de espa¸co tangente podemos estender `as variedades diferenci´aveis a no¸c˜ao de diferencial de uma aplica¸c˜ao diferenci´avel.

Proposi¸c˜ao 1.1. Sejam Mm e Nn variedades diferenci´aveis e seja ϕ : M N uma

aplica¸c˜ao diferenci´avel. Para cada p M e cada v TpM, escolha uma curva

dife-renci´avel α : (−ε, ε) → M com α(0) = p, α′(0) = v. Fa¸ca β = ϕ α. A aplica¸c˜ao

dϕp(v) =β′(0) ´e uma aplica¸c˜ao linear que n˜ao depende da escolha de α.

A aplica¸c˜ao linear dϕp dada pela Proposi¸c˜ao 1.1 ´e chamada a diferencial deϕ em p.

(19)

Figura 1.1: Espa¸co TpM: ∂k = ∂ ∂xk

(p), ω =α′(0) =X

k

α′k(0)· ∂ ∂xk

(p)

Seja Mn uma variedade diferenci´avel. Diz–se que M ´eorient´avel se M admite uma estrutura diferenci´avel (Uα,xα) tal que, para todo par α, β, com xα(Uα) ∩xβ(Uβ) =

W 6=∅, a diferencial da mudan¸ca de coordenadas x−1

β ◦xα tem determinante da matriz

Jacobiana positivo em cada ponto do seu dom´ınio. Caso contr´ario, diz-se que M ´e n˜ao– orient´avel. Se M ´e orient´avel, a escolha de uma estrutura diferenci´avel ´e chamada uma orienta¸c˜ao deM eM ´e, ent˜ao, ditaorientada. Verifica–se que, seM ´e orient´avel e conexa, ent˜ao existem exatamente duas orienta¸c˜oes distintas em M.

1.2.1

Campo de Vetores

Umcampo de vetores Xe sobre uma variedade diferenci´avel M ´e uma correspondˆencia que a cada ponto p ∈ M associa um vetor X(p)∈ TpM, onde TpM ´e o espa¸co tangente

deM em p. Em termos de aplica¸c˜ao, Xe ´e uma aplica¸c˜ao deM em T M,

e

X : M T M

p 7→ ³(p),X(p)e ´

onde T M ´e o Fibrado Tangente de M.

Em termos de um sistema local de coordenadas x1, x2, . . . , xn, um campo vetorial

pode ser expresso porX(p) =e Pai(p)∂xi(p), ondeai s˜ao fun¸c˜oes definidas na vizinhan¸ca

coordenada, chamadas componentesdeXe com respeito ax1, x2, . . . , xn. Nessas condi¸c˜oes

e

(20)

1.3. M´etricas Riemannianas

Outra forma de expressar um campo de vetores, ´e considerando a seguinte aplica¸c˜ao

X : D(M) → F

f 7→ X·f : M R

p 7→ X(p)·f

onde D(M) ´e o conjunto das fun¸c˜oes diferenci´aveis emM eF o conjunto das fun¸c˜oes em M, ou seja, todo campo de vetores “leva”o conjunto de fun¸c˜oes diferenci´aveis com valores em M no conjunto das fun¸c˜oes em M, definido por (Xf)(p) =X(p)·f.

Seja X(M) o conjunto de todos os campos vetoriais diferenci´aveis sobre M. Ent˜ao, X(M) ´e um espa¸co vetorial real com as opera¸c˜oes naturais de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao por escalar. Note que se f ´e uma fun¸c˜ao sobre M e X X(M), ent˜ao f X X(M).

1.3

etricas Riemannianas

UmaM´etrica Riemanniana numa Variedade Diferenci´avel M ´e uma correspondˆencia que associa a cada ponto p de M um produto interno h , ip (i.´e., uma forma bilinear

sim´etrica, positiva definida) no espa¸co tangente TpM, que varia diferenciavelmente no

seguinte sentido: Se x:U ⊂R M ´e um sistema de coordenadas locais em torno de p,

com x(x1, . . . , xn) = p∈x(U) e

∂ ∂xi

(p) =dxp(0, . . . ,1, . . . ,0), ent˜ao

¿

∂ ∂xi

(p), ∂ ∂xj

(p)

À

p

=gij(x1, . . . , xn)

´e uma fun¸c˜ao diferenci´avel emU.

´

E claro que esta defini¸c˜ao n˜ao depende da escolha do sistema de coordenadas.

Outra maneira de exprimir a diferenciabilidade da M´etrica Riemanniana ´e dizer que para todo par X e Y de campos de vetores diferenci´aveis em uma coordenada em M, a aplica¸c˜ao

hX, Yi: M R

p 7→ hX(p), Y(p)ip

´e diferenci´avel nessa vizinhan¸ca.

As fun¸c˜oes gij :x(U)→R s˜ao chamadas asExpress˜oes da M´etrica Riemanniana (ou

“os gij da m´etrica”) no sistema de coordenadas x : U ⊂ Rn → M. Uma variedade

(21)

Estabeleceremos uma no¸c˜ao de equivalˆencias entre estruturas.

SejamMmeNnvariedades Riemannianas. Um difeomorfismoϕ:M N ´e chamado uma isometria se:

hu, viMp =hdϕp(u), dϕp(v)iNϕ(p) (1.1)

para todopM; u, v TpM.

Se, al´em disso para um aberto U ⊂ M, um difeomorfismo ϕ : U → ϕ(U) N satisfazendo (1.1) chama-se uma isometria local.

´

E usual dizer que a variedade Riemanniana M ´e localmente isom´etrica `a variedade N se para todo p M existe uma vizinhan¸ca V em M e uma isometria local ϕ : V → ϕ(V)N.

1.3.1

A Inversa da M´

etrica

Exibiremos a inversa da m´etrica gij =

¿

∂ ∂xi

, ∂ ∂xj

À

, a qual indicaremos por gij.

Sejam os vetores ei =

X

k

aki

∂ ∂xk

e ej =

X

l

alj

∂ ∂xl

, com o seguinte resultado

δij =hei, eji=

X

k,l

akialjh

∂ ∂xk

, ∂ ∂xli

=X

k,l

(aik)⊤·gkl·alj

e do fato que δij =

(

1 se i=j

0 se i6=j , obtemos a seguinte rela¸c˜ao I = A

·G·A e logo

G−1 =A·A, e portanto a express˜ao da inversa da m´etrica em coordenadas ´e

gij =X

k

aik(akj)⊤=

X

k

aikaij. (1.2)

1.4

Variedades Imersas

Sejam Mm e Nn variedades diferenci´aveis. Uma aplica¸c˜ao diferenci´avel ϕ :M N

´e uma imers˜ao se dϕp : TpM → Tϕ(p) ´e injetiva ∀p ∈ M. Se, al´em disso, ϕ ´e um

(22)

1.5. Conex˜ao Afim

Observe que se ϕ : Mm → Nn ´e uma imers˜ao, ent˜ao m ≤ n. A diferen¸ca n−m ´e chamada a codimens˜ao da imers˜aoϕ. E se, a codimens˜ao for igual a 1,ϕ(M) ´e chamada dehipersuperf´ıcie.

Suponha ϕ : Mn Nn+k uma imers˜ao, Nn+k uma variedade Riemanniana e Mn

uma variedade diderenci´avel. Defina

hu, viMp :=hdϕp(u), dϕp(v)iNϕ(p)

como sendo a m´etrica em M. Essa m´etrica ´e chamada de m´etrica induzida por ϕ, e ϕ ´e uma imers˜ao isom´etrica.

1.5

Conex˜

ao Afim

Uma conex˜ao afim ∇em uma variedade diferenci´avel M ´e uma aplica¸c˜ao:

∇:X(M)×X(M)X(M)

que satisfaz as seguintes propriedades, onde X, Y, Z ∈X(M)e f, g ∈ D(M):

(1) f X+gYZ =f∇XZ+g∇YZ;

(2) ∇X(Y +Z) = ∇XY +∇XZ;

(3) ∇X(f Y) = f∇XY +Xf Y.

Seja M uma variedade diferenci´avel com uma conex˜ao afim e uma m´etrica Rie-manniana h ,ip. A conex˜ao∇ ´e dita compat´ıvel com a m´etrica h ,ip se

XhY, Zi=h∇XY, Zi+hY,∇XZi, X, Y, Z ∈X(M)

Uma conex˜ao afim ∇em uma variedade diferenci´avel M ´e dita sim´etrica se

∇XY − ∇YX = [X, Y] X, Y ∈X(M)

(23)

1.6

Geod´

esicas e a Aplica¸

ao Exponencial

Nesta se¸c˜ao introduziremos a no¸c˜ao de geod´esica como uma curva cuja acelera¸c˜ao ´e nula. Geod´esica ´e um dos conceitos fundamentais da Geometria Riemanniana, pelo fato de minimizarem comprimento de arco para pontos “suficientemente pr´oximo”, e al´em disso, se uma curva minimiza o comprimento de arco entre dois quaisquer de seus pontos, ela ´e uma geod´esica.

Uma curva parametrizadaγ :I M ´e umageod´esica emt0 I se D dt

dt = 0 no ponto

t0. Se γ ´e geod´esica em t, para todot ∈I, dizemos que γ ´e uma geod´esica. Se [a, b]⊂I e γ :I M ´e uma geod´esica, a restri¸c˜ao de γ a [a, b] ´e chamada (segmento de)geod´esica ligando γ(a) a γ(b).

´

E comum, por abuso de linguagem, dizermos que geod´esica ´e a imagem γ(I) de uma geod´esica γ. Se γ ´e uma geod´esica, ent˜ao

d dt

¿

dγ dt,

dγ dt

À

= 2

¿

D dt

dγ dt,

dγ dt

À

= 0,

isto ´e, o comprimento do vetor dγdt ´e constante. Supondo que¯¯dγdt¯¯=c6= 0, o comprimento de arcos deγ, a partir de uma origem fixa, digamos t=t0, ´e ent˜ao dado por

s(t) =

Z t

t0

¯ ¯ ¯ ¯

dγ dt

¯ ¯ ¯

¯dt=c(t−t0).

Portanto, o parˆametro de uma geod´esica ´e proporcional ao comprimento de arco. Quando o parˆametro ´e o pr´oprio comprimento de arco, isto ´e, c = 1, diremos que a geod´esica γ est´a normalizada.

´

E poss´ıvel determinar as equa¸c˜oes locais satisfeitas por uma geod´esica γ em um sistema de coordenadas (U,x) em torno de γ(t0), conforme exposto em [17], e prova-se que para cada ponto p M e um vetor v TpM em p, existe uma ´unica geod´esica

passando em pcom dire¸c˜ao v. Temos assim o seguinte lema.

Lema 1.2 (Lema 2.3, p. 63, [17]). Existe um ´unico campo G em T M = {(q, v);q

M, v TpM} cujas trajet´orias s˜ao da format→(γ(t), γ′(t)), onde γ ´e uma geod´esica em

M.

(24)

1.6. Geod´esicas e a Aplica¸c˜ao Exponencial

Proposi¸c˜ao 1.3 (Proposi¸c˜ao 2.5, p. 63, [17]). Dado p ∈ M, existem um aberto

V M, p V, n´umeros δ > 0 e ε1 > 0 e uma aplica¸c˜ao C∞ γ : (−δ, δ)× U → M,

U = {(q, v);q ∈ V, v ∈ TqM,|v| < ε1}, tais que a curva t → γ(t, q, v), t ∈ (−δ, δ), ´e a

´

unica geod´esica de M que nos instante t = 0 passa por q com velocidade v, para cada

q∈V e cada v ∈TpM com |v|< ε1.

Esta ´ultima proposi¸c˜ao afirma que se |v| < ε1, a geod´esica γ(t, q, v) existe em um intervalo (−δ, δ) e ´e ´unica. Em verdade, ´e poss´ıvel aumentar a velocidade deuma geod´esica diminuindo o seu intervalo de defini¸c˜ao, ou vice-versa. Isto decorre do seguinte lema.

Lema 1.4 (Lema 2.6, p. 64, [17]). Se a geod´esica γ(t, q, v) est´a definida no intervalo

(δ, δ), ent˜ao a geod´esica γ(t, q, av), R, a > 0, est´a definida no intervalo ¡δ

a, δ a

¢

e

γ(t, q, av) =γ(at, q, v).

Uma aplica¸c˜ao muito ´util para nossos prop´ositos, ´e a aplica¸c˜ao exponencial, que definiremos agora. Seja V uma vizinhan¸ca de p M e U = {(q, w) ∈ T M, q V, w TqM,|w|< ε} um aberto. Ent˜ao a aplica¸c˜ao exp :U →M dada por

exp(q, v) = γ(1, q, v) =γ

µ

|v|, q, v

|v|

, (q, v)∈ U,

´e chamadaaplica¸c˜ao exponencial em U.

Geometricamente, expq(v) ´e o ponto de M obtido percorrendo um comprimento igual a |v|, a partir deq, sobre a geod´esica que passa porq com velocidade igual a v

|v|.

Figura 1.2: Aplica¸c˜ao Exponencial expp

Proposi¸c˜ao 1.5 (Proposi¸c˜ao 2.9, p. 65, [17]). Dado q M, existe um ε > 0 tal que

(25)

Se a aplica¸c˜ao exponencial expp ´e um difeomorfismo em uma vizinhan¸ca V da origem em TpM, exppV = U ´e chamada uma vizinhan¸ca normal de p. Se Bε(0) ´e tal que

Bε(0)⊂V, chamamos exppBε(0) =Bε(p) a bola normal (ou geod´esica) de centrope raio

ε. A fronteira de uma bola normal ´e um hipersuperf´ıcie em M ortogonal `as geod´esicas que partem de p, denotamos porSε(p) e denominamos por esfera normal(ou geod´esica).

As geod´esicas em Bε(p) que partem de ps˜ao chamadas geod´esicas radiais.

Figura 1.3: Esfera geod´esica: exppBε(0) =Bε(p)

Um segmento geod´esico γ : [a, b] → M ´e chamado minimizante se ℓ(γ) ≤ ℓ(c), em que ℓ(.) indica o comprimento de uma curva e c ´e qualquer curva diferenci´avel por partes ligandoγ(a) aγ(b). A seguinte proposi¸c˜ao assegura que as geod´esicas minimizam, localmente, o comprimento de arco.

Proposi¸c˜ao 1.6 (Proposi¸c˜ao 3.6, p. 71, [17]). Sejam pM, U uma vizinhan¸ca normal

de p, B U uma bola normal de centro p. Seja γ : [0,1]B um segmento de geod´esica

com γ(0) = p. Se c: [0,1]→M ´e qualquer curva diferenci´avel por partes ligando γ(0) a

γ(1) ent˜ao ℓ(γ)ℓ(c) e se a igualdade vale ent˜ao γ([0,1]) =c([0,1]).

Cabe observar que a proposi¸c˜ao acima n˜ao ´e global, pois se considerarmos as geod´esicas de uma esfera que partem de um ponto p n˜ao s˜ao minizantes depois que passam pelo ant´ıpoda de p. Por outro lado, se uma curva c diferenci´avel por partes ´e minimizante, ent˜ao c´e uma geod´esica. Como afirma o seguinte corol´ario.

Corol´ario 1.7 (Corol´ario 3.9, p.73, [17]). Se uma curva diferenci´avel por partes γ :

[a, b] M, com parˆametro proporcional ao comprimento de arco, tem comprimento

me-nor ou igual ao comprimento de qualquer outra curva diferenci´avel por partes ligandoγ(a)

(26)

1.7. Segunda Forma Fundamental

1.7

Segunda Forma Fundamental

Seja ϕ : Mn Mn+k uma imers˜ao isom´etrica. Para simplificar a nota¸c˜ao, identifi-caremos, para cada p M, cada vetor v T pM com dϕp(v) ∈ Tϕ(p)M e ϕ(W) com W,

onde W ⊂ M ´e uma vizinhan¸ca de p. Ent˜ao a m´etrica de M decomp˜oe TpM na soma

direta:

TpM =TpM ⊕(TpM)⊥,

onde (TpM)⊥ ´e o complemento ortogonal de TpM em TpM.

Se X, Y s˜ao campos locais de vetores em M, e X, Y s˜ao suas extens˜oes locais a M , ent˜ao a conex˜ao Riemanniana de M ´e dada por ∇XY = (∇XY)T, onde ∇ ´e a conex˜ao

Riemanniana de M.

Queremos definir a segunda forma fundamental da imers˜aoϕ. Para tanto, definiremos B(X, Y) = XY − ∇XY como um campo local em M normal a M , onde X e Y

s˜ao campos locais em M. Segue que B(X, Y) n˜ao depende das extens˜oes de X, Y, e a aplica¸c˜aoB :X(W)×X(W)X(W)´e bilinear e sim´etrica, ondeX(W)s˜ao os campos diferenci´aveis em M de vetores normais a M.

Estamos aptos a definir a segunda forma fundamental. SejapM eη(TpM)⊥. A

aplica¸c˜ao Hη :TpM ×TpM →R dada por

Hη(u, v) =hB(u, v), ηi, ∀u, v ∈TpM

´e uma forma bilinear sim´etrica. E portanto temos a seguinte defini¸c˜ao.

A forma quadr´atica IIη definida emTpM por IIη(v) =Hη(v, v) ´e chamada a segunda

forma fundamental de ϕ em p segundo o vetor normalη.

Denotaremos por Sη : TpM → TpM a aplica¸c˜ao linear auto–adjunta associada `a

segunda forma fundamental de ϕ, isto ´e,

hSη(u), vi=Hη(u, v) =hB(u, v), ηi, ∀ u, v ∈TpM.

E essa aplica¸c˜ao linear, em termos da derivada covariante, pode ser expressa como

Sη(v) =−(∇vN)T,

onde N ´e uma extens˜ao local de η normal a M.

(27)

K(u, v) e K(u, v) as curvaturas seccionais de M e M, respectivamente, no plano gerado por u ev.

Teorema 1.8 (Gauss). Sejam pM e u, v vetores ortonormais de TpM. Ent˜ao

K(u, v)−K(u, v) =hB(u, u), B(v, v)i − |B(u, v)|2.

Uma imers˜aoϕ :M M ´egeod´esica em pM se para todoη (TpM)⊥ a segunda

forma fundamental Hη ´e identicamente nula emp. A imers˜aoϕ ´etotalmente geod´esica se

ela ´e geod´esica para todo pM.

Uma imers˜ao ϕ:M M ´em´ınima se para todo pM e todo η (TpM)⊥ tem–se

que o tra¸co de Sη = 0.

Escolhendo um referencial ortonormal ξ1, . . . , ξk de vetores em (TpM)⊥, ovetor

cur-vatura m´edia deϕ em p´e definido por

H = 1 n

X

k

(trSξk)ξk

que n˜ao depende do referencial ξk escolhido. E, ´e claro que ϕ ´e m´ınima se, e somente se,

H(p) = 0, para todopM.

1.7.1

Segunda Forma Fundamental de Hipersuperf´

ıcies

Consideremos o caso particular em que a imers˜ao ´e uma hipersuperf´ıcie, isto ´e, ϕ : Mn Mn+1. Seja p M e η (TpM)⊥, |η| = 1. Como Sη : TpM → TpM ´e sim´etrica,

existe uma base ortonormal de vetores pr´oprios{ξ1, . . . , ξn}deTpM com valores pr´oprios

λi, . . . , λn, i.´e., Sη(ξ1) = λiξi, 1 ≤ i ≤ n. Se M e M s˜ao orient´aveis e est˜ao orientas,

ent˜ao o vetor η fica univocamente determinado se exigirmos que sendo {ξ1, . . . , ξn} uma

base na orienta¸c˜ao de M e {ξ1, . . . , ξn, η} seja uma base na orienta¸c˜ao de M. Neste caso,

denominamos, osξi dire¸c˜oes principais e osλi =ki curvaturas principais deϕ e portanto,

a curvatura de Gauss–Kronecker de ϕ ´e det(Sη) = λ1. . . λn, e a curvatura m´edia de ϕ ´e

1

ntr(Sη) =

1

n(λ1+. . .+λn).

Um caso importante ocorre quando M = Rn+1. Neste caso, podemos expressar a curvatura m´edia em coordenadas. Inicialmente, seja N uma extens˜ao local deη, unit´aria e normal a M. Sejam α(t) = (a1(t), . . . , an(t)) e β(t) = (b1(t), . . . , bn(t)) duas curvas

(28)

1.7. Segunda Forma Fundamental

Escrevendo u=X

i

a′i∂X ∂xi

e v =X

j

b′j∂X ∂xj

temos que

hB(u, v), Ni = hSη·u, vi

= − hdN·u, vi

= − *

dN·X

i

a′i∂X ∂xi

,X

j

b′j∂X ∂xj + = * X i

a′i dN·∂X ∂xi

,X

j

b′j∂X ∂xj

+

= −X

i,j

a′ib′j

¿

dN·∂X

∂xi ,∂X ∂xj À = X i,j

a′ib′j

¿

N, ∂ 2X ∂xi∂xj

À

onde a ´ultima igualdade vem do fato que

∂ ∂xi ¿ N,∂X ∂xj À = ¿

dN·∂X ∂xi ,∂X ∂xj À + ¿ N, ∂ 2X ∂xi∂xj

À

= 0.

Portanto,

bkl:=

¿ B µ ∂X ∂xk ,∂X ∂xl ¶ , N À = ¿ N, ∂ 2X ∂xk∂xl

À

,

e ent˜ao a curvatura m´edia pode ser escrita

H = 1 n

X

i,j

gijbij (1.3)

onde gij ´e a inversa da m´etrica gij =

¿ ∂ ∂xi , ∂ ∂xj À

(29)

1.8

Gradiente, Divergente, Laplaciano e Hessiano

Definiremos nesta se¸c˜ao, o gradiente, a divergˆencia, o laplaciano e o hessiano em uma variedade Riemanniana, determinando para cada um destes suas express˜oes em rela¸c˜ao a um referencial ortonormal e a um sistema de coordenadas. Destacaremos alguns resultados b´asicos que utilizaremos ao longo do nosso trabalho, tamb´em veremos a rela¸c˜ao que existe entre os laplacianos de duas variedades conformes.

Dada uma fun¸c˜ao f ∈ D(M), o gradiente def ´e o campo de vetores

gradf :M T M

p 7→ (p,gradf(p)),

definido por

hgradf, Xi=X(f) = df ·X, X X(M).

Dado X X(M), o divergentede X ´e a fun¸c˜ao divX :M R,definida por

divX(p) = tr¡Y(p)7→(∇YX)(p)

¢

,

onde tr representa o tra¸co da aplica¸c˜ao linear Y(p)7→(YX)(p).

O operador linear ∆ : D(M)→ D(M) definido por:

∆f = div(gradf), f ∈ D(M)

´e chamado o operador Laplaciano de M.

Calcularemos, primeiramente, as express˜oes de gradf, divX e ∆f em rela¸c˜ao a um referencial ortogonal (ξ1, . . . , ξn) definido em um aberto de M. Observemos no entanto

que as express˜oes do gradiente, da divergˆencia e do laplaciano independem do referencial escolhido, pois o gradiente em cara ponto p M ´e o vetor que representa o funcional linear dfp e a divergˆencia ´e o tra¸co de uma aplica¸c˜ao linear.

Como, por defini¸c˜ao,

hgradf, ξii=ξif, i= 1, . . . , m,

a express˜ao de gradf ´e

gradf =

m

X

i=1

¡

ξif

¢

(30)

1.8. Gradiente, Divergente, Laplaciano e Hessiano

De acordo com a defini¸c˜ao da divergˆencia de um campo X, temos

divX =

m

X

i=1

D

∇ξiX, ξi

E

,

e escrevendo X =

m

X

j=1

Xjξj segue que

h∇ξiX, ξii =

* ∇ξi

à m

X

j=1 Xjξj

!

, ξi

+ = m X j=1 D ∇ξi

¡

Xjξj

¢

, ξi

E = m X j=1 D¡

ξiXj

¢

ξj +Xj∇ξiξj, ξi

E

= ξiXi+ m

X

j=1 Xj

D

∇ξiξj, ξi

E

= ξiXi− m

X

j=1 Xj

D

∇ξiξi, ξj

E

= ξiXi−

D

∇ξiξi, X

E

.

Conclu´ımos ent˜ao que

divX =

m

X

i=1

n

ξiXi −

­

∇ξiξi, X

®o

. (1.5)

Para o c´alculo do laplaciano, combinando (1.4) e (1.5) para obter

δf = div(gradf) =

m X i=1 n ξi ¡

ξif

¢

−­∇ξiξi,gradf

®o , isto ´e, δf = m X i=1 n ξi ¡

ξif

¢

−¡∇ξiξi

¢

fo. (1.6)

Em particular, de {ξ1, . . . , ξm} ´e um referencial geod´esico em p, ou seja, se al´em da

ortogonalidade temos ¡∇ξiξj

¢

(p) = 0, i, j = 1, . . . , m,ent˜ao as express˜oes da divergˆencia e do laplaciano no ponto p s˜ao

divX(p) =

m

X

i=1

¡

ξiXi

¢

(p) e ∆f(p) =

m

X

i=1 ξi

¡

ξif

¢

(p).

Seja x :U → M um sistema de coordenadas locais, vamos calcular as express˜oes de gradf, divX e δf nesse sistema de coordenadas. Denotando ∂i =

∂ ∂xi

, seja {∂1, . . . , ∂m}

a base associada a esse sistema e considere a matrizG=¡gij

¢

definida por gij =

­

∂i, ∂j

®

(31)

i, j = 1, . . . , m. Denotemos por g = detG, G−1 = ¡gij¢ o determinante e a inversa de G, respectivamente.

Para o gradiente, escrevendo

gradf =

m

X

i=1 αi∂i,

temos que

∂f ∂xi

=hαi∂i∂ji= m

X

i=1 αigij,

e pondo A =¡αi

¢

m×1 e F =

µ

∂f ∂xi

m×1

, obtemos GA = F, ou seja, A = G−1F. Segue que

αi = m

X

j=1 gij ∂f

∂xi

e conseq¨uentemente,

gradf =

m

X

i=1

( m

X

j=1 gij ∂f

∂xi

)

∂i. (1.7)

Calculemos a express˜ao da divergˆencia. Se {ξ1, . . . , ξm} ´e um referencial ortogonal

definido em x(U), escrevendo

ξi = m

X

k=1

eki∂k, i= 1, . . . , m,

temos

δij =

­

ξi, ξj

®

=

m

X

k,l=1

ekleljgkl, i= 1, . . . , m.

Pondo E = (eij), segue que ETGE =I. Portanto, podemos tamb´em escrever

δij = m

X

i,j=1

gikeklejl, i, j = 1, . . . , m. (1.8)

Para um campo X X(M) dado por

X =

m

X

(32)

1.8. Gradiente, Divergente, Laplaciano e Hessiano

tem-se que

divX = X

k

­

∇ξkX, ξk

® =X k * ∇X i

eik∂i

X

j

aj∂j,

X

l

elk∂i

+

= X

i,j,k,l

elkeikh∇∂iaj∂j, ∂li

= X

i,j,k,l

elkeik

½¿

∂aj

∂xi

∂j, ∂i

À

+aj

­

∇∂i∂j, ∂l

®¾

= X

i,j,k,l

(

gjlelkeik

∂aj

∂xi

+X

r

³

grlelkeikajΓrij

´)

,

em que Γr

ij, i, j, r= 1, . . . , m, s˜ao os. utilizando s´ımbolos de Christoffel da conex˜ao ∇ no

sistema de coordenadas x. Utilizando (1.8), obtemos

divX =X

i ( ∂ai ∂xi +X j

ajΓiij

)

, (1.9)

e como

Γkij = 1 2 X l glk ½ ∂gjl ∂xi

+∂gli ∂xj −

∂ij ∂xl ¾ , segue que X i,j

Γiij =

1 2

X

i,j,l

ajgli

½

∂gjl

∂xi

+ ∂gli ∂xj −

∂gij ∂xl ¾ = 1 2 X i,j,l ½

ajgli

∂gjl

∂xi

+aiglj

∂glj

∂xi −

ajgil

∂glj ∂xi ¾ = 1 2 X i,j,l

ajgjl

∂glj

∂xi

.

Conseq¨uentemente,

divX = X

i

(

∂ai

∂xi

+ 1 2ai

X

j,l

gjl glj ∂xi ) =X i ½ ∂ai ∂aj +1 2aitr

µ

G−1∂G ∂xi ¶¾ = X i ½ ∂ai ∂xi + 1 2ai

1 g ∂g ∂xi ¾ =X i ½ ∂ai ∂xi

+ 1 g

∂ ∂xi

(√g)

¾

,

em que ∂G ∂xi

denota a matriz obtida deGderivando-se cada elemento em rela¸c˜ao `a i-´esima

coordenada, e onde usamos o fato que ∂g ∂xi

=gtr

µ

G−1∂G ∂xi

(veja [So], p. 56). Logo, a

express˜ao da divergˆencia de X ´e

divX = 1 g

X

i

∂i

¡

ai√g

¢

(33)

Finalmente, a partir de (1.7) e (1.10) obtemos o laplaciano como

∆f = 1 g

X

i,j

∂i

µ

gij√g ∂f ∂xj

. (1.11)

Conv´em mencionar agora algumas propriedades, que usando as defini¸c˜oes de gradi-ente, divergente e laplaciano, por um c´alculo direto podemos mostrar que

grad(f g) = fgradh+hgradf

div(f X) = fdivX+hgradf, Xi (1.12)

∆(f g) = f∆h+h∆f+ 2hgradf,gradhi, (1.13)

para quaisquer f, g ∈ D(M). Se M ´e compacta e orient´avel, com bordo ∂M, para X X(M) tem-se que

Z

M

(divX)dV =

Z

∂Mh

X, νidA,

em que dV e dA s˜ao os elementos de volume deM e do bordo ∂M, respectivamente, e ν ´e o campo unit´ario normal exterior em∂M Este resultado ´e conhecido como Teorema da Divergˆencia ([Sp], p. 192). Decorrem deste teorema e de (1.12) as chamadas F´ormulas

de Green Z

M

©

f∆g+hgradf,gradgiªdV =

Z

∂M

fhgradg, νidA (1.14)

e Z

M

©

f∆gg∆fªdV =

Z

∂M

©

fhgradg, νi −ghgradf, νiªdA, (1.15)

para f, g∈ D(M).

Introduziremos o conceito de variedades conformes. Seja ϕ : M N um difeomor-fismo, em que N ´e uma variedade Riemanniana. Denotaremos porh ,i, e ∆ a m´etrica em N, a conex˜ao Riemanniana e o laplaciano relativos a esta m´etrica, respectivamente. Suponha que existe uma fun¸c˜ao µ∈ D(M) que satisfa¸ca, para todo pM e todo par de vetores v, wTpM, µ(p)6= 0 e

hdϕp·v, dϕp·wi=µ2(p)hv, wi.

(34)

1.8. Gradiente, Divergente, Laplaciano e Hessiano

Observemos que dados X ∈ X(M) e f ∈ D(M), pondo g = f ϕ−1, temos para q=ϕ(p),

¡

(dϕ·X)g¢(q) = dgq·

¡

dϕp·X(p)

¢

=¡dfp◦dϕ−1◦dϕq

¢¡

X(p)¢

= dfp·

¡

X(p)¢=¡Xf¢(p)

= ¡Xf ϕ−1¢(q),

isto ´e,

¡

·X¢g =Xf ϕ−1. (1.16)

O lema a seguir nos mostra como se relacionam as conex˜oes de duas variedades conformes, neste caso as deM e N.

Lema 1.9. Se X, Y X(M), ent˜ao

∇dϕ·X(dϕ·Y) =dϕ·

½

∇XY +

1 2µ

−2³X¡µY +Y ¡µX

− hX, Yigrad¡µ2¢ ´

¾

(1.17)

Demonstra¸c˜ao. Seja S(X, Y) o campo que satisfaz

∇dϕ·X(dϕ·Y) = dϕ·

³

∇XY +S(X, Y)

´

, (1.18)

para quaisquer X, Y, Z X(M). Utilizando (1.16) obtemos

¡

·h·Y, dϕ·Zi = ¡dϕ·X¢ ¡µ2hY, Zi ◦ϕ−1¢ = X¡µ2hY, Zi¢ϕ−1,

ou seja,

¡

dϕ·X¢hdϕ·Y, dϕ·Zi=nX(µ2)hY, Zi+µ2XhY, Zio◦ϕ−1. (1.19)

Temos tamb´em que

h∇dϕ·X(dϕ·Y), dϕ·Zi = hdϕ·

¡

∇XY +S(X, Y)

¢

, dϕ·Zi

= µ2h∇XY +S(X, Y), Zi ◦ϕ−1

= nµ2h∇XY, Zi+µ2hS(X, Y), Zi

o

◦ϕ−1. (1.20)

Permutando-se Y eZ em (1.20) obtemos

hdϕ·Y,dϕ·X(dϕ·Z)i=

n

µ2hY,XZi+µ2hY, S(X, Z)i

o

(35)

Como

¡

·h·Y, dϕ·Zi=h∇dϕ·X(dϕ·Y), dϕ·Zi+hdϕ·Y,∇dϕ·X(dϕ·Z)i,

decorre de (1.19), (1.20) e (1.21) que (1.18) equivale a

X¡µ2¢hY, Zi=µ2©hS(X, Y), Zi+hY, S(X, Z)iª. (1.22)

Por outro lado, S(X, Y) dado por

S(X, Y) = 1 2µ

−2nX¡µY +Y ¡µX− hX, Yigrad¡µ2¢ o

obviamente verifica

hS(X, Y), Zi= 1 2µ

−2nX¡µ

hY, Zi+Y ¡µ2¢hX, Zi −Z¡µ2¢hX, Yio

e, conseq¨uentemente, satisfaz a equa¸c˜ao (1.22), o que conclui a demonstra¸c˜ao do lema. ¤

A proposi¸c˜ao seguinte nos mostra a rela¸c˜ao que existe entre os laplacianos das varie-dades conformesM e N.

Proposi¸c˜ao 1.10. Sejam f ∈ D(M) e g ∈ D(N) tais que g =f ϕ−1. Ent˜ao

∆g(q) =

½

1 µ2∆f+

m−2

2µ4 grad(µ 2)f

¾

(p), (1.23)

em que q=ϕ(p), pM.

Demonstra¸c˜ao. Seja {ξ1, . . . , ξm} um referencial ortogonal definido num aberto

V M. Temos que que {ηζ1, . . . , ηζm} ´e um referencial ortogonal definido no aberto

W =ϕ(V), em que η = 1 µ ◦ϕ

−1 e ζ

i = dϕ·ξi, i = 1, . . . , m. Assim, de acordo com 1.6,

em W, temos

∆g = m X i=1 n ηζi ¡

ηζig

¢

−¡∆ηζi(ηζ1)g

¢ o

. (1.24)

Utilizando (1.16), vem que

ζig =

¡

·ξi

¢

g =¡ξif

¢

◦ϕ−1, ζi

¡

ζig

¢

= (dϕ·ξi)

³

(ξif)◦ϕ−1

´

,

ζiξ = (dϕ·ξi)η =

½ ξi µ 1 µ ¶¾ ◦ϕ−1.

Calculemos cada parcela da soma em (1.24). Temos que

ηζi(ηζig) = η(ζiη)(ζig) +η2ζi(ζig) =

½ 1 µ µ ξi µ 1 µ ¶¶

(ηif) +

1 µ2ηi(ηi)

(36)

1.8. Gradiente, Divergente, Laplaciano e Hessiano

e

³

∆ηζi(ηζi)

´

g =η(ζiη)(ζig) +η2

³

(∆ζiζi)g

´

.

Para desenvolvermos esta ´ultima igualdade, vamos determinar a express˜ao de∇ζiζi. Pelo Lema 1.9 tem-se que

∇ζiζi =dϕ·

½

∇ξiξi+ 1 2µ2

³

2ξi

¡

µ2¢ξi −grad

¡

µ2¢ ´

¾

,

e decorre de (1.16) que

³ ∇ζiζi

´

g =½³∇ξiξi

´

f + 1 2µ2

³

2ξi

¡

µ2¢ξi−grad

¡

µ2¢ ´f

¾

◦ϕ−1.

Portanto,

³ ∇ηζi

¡ ηζi ¢´ g = ½ 1 µ µ ξi µ 1 µ ¶¶ ³

ξif

´

+ 1 µ2

·³ ∇xiiξi

´

f + 1 2µ2

³

2ξi

¡

µ2¢ξi−grad

¡

µ2¢ ´f

¸¾ ◦ϕ−1.

Conseq¨uentemente, o termo do somat´orio em (1.24) ´e

ηζi

¡

ηζig

¢

− ∇ηζi(ηζi) =

½

1 µ2

³

ξi(ξif)−(∇ξiξi)f

´ − 1 2µ4 ³ 2ξi ¡

µ2¢ξi−grad

¡

µ2¢ ´f

¾

◦ϕ−1. Logo, ∆g = ( 1 µ2 m X i=1 ³

ξi(ξif)−(∇ξiξi)f

´ + 1 2µ4 Ã m X i=1

grad¡µ2¢2

m

X

i=1 ξi

¡

µ2¢ξi

!

f

) ◦ϕ−1

=

½

1 µ2∆f +

1 2µ4grad

¡

µ2¢f

¾

◦ϕ−1,

e em q=ϕ(p) temos (1.23). ¤

Para finalizarmos a se¸c˜ao, definiremos o Hessiano de uma fun¸c˜ao f X(M).

Sejam f X(M) e p M. Defina o hessiano de f no ponto p como a aplica¸c˜ao bilinear, Hessf :TpM ×TpM →R dada por:

Hessf(X, Y) =­X(gradf), Y

®

(37)

Observando que

[X, Y](f) = XY(f)Y X(f) = (XY − ∇YX)(f),

temos que Hessf(X, Y) = Hessf(Y, X), em queX, Y X(M), isto ´e, Hessf ´e uma forma

bilinear sim´etrica. Se (x1, . . . , xn) ´e um sistema de coordenadas locais em M e ∂i =

∂ ∂xi

ent˜ao:

Hessf(∂i, ∂j) =∂i∂jf−(∇∂i∂j)(f).

Como ∇∂i∂j =

X

k

Γkij∂k podemos escrever a express˜ao acima da seguinte maneira:

Hessf(∂i, ∂j) =

³

∂i∂j−

X

k

Γkij∂k

´

(f).

Denotaremos tamb´em por Hessf o operador linear auto–adjunto associado ao hessiano de f.

As igualdades abaixo decorrem das propriedades do gradiente e divergente j´a vistas anteriormente:

∆(f g) = f∆g+g∆f+ 2h∇f,gi); 1

2∆(f

2) = f∆f+

(38)

1.9. O Espa¸co Hiperb´olico

1.9

O Espa¸

co Hiperb´

olico

Os espa¸cos de curvatura seccional constante podem ser agrupadas em trˆes tipos: os de curvaturas seccional positiva, os de negativa e os que possuem curvatura seccional nula. Se multiplicarmos uma m´etrica Riemanniana por uma constante positiva c, ent˜ao a sua curvatura seccional ´e multiplicada pelo inverso dec. Portanto, podemos supor que a curvatura seccional constante de uma variedade ´e 1, 0 ou −1.

O espa¸co euclidiano Rn+1 tem curvatura seccional nula, na esfera Sn esse valor ´e 1;

portanto para estudarmos as variedades com curvatura seccional constante devemos obter uma com curvatura 1. E esse ´e o caso do espa¸co hiperb´olico.

Definimos como Espa¸co Hiperb´olico de dimens˜ao n+ 1, o semi-espa¸co do Rn+1 dado

por

Hn+1 :={(x0, . . . , xn)Rn+1;xn >0}

munido da m´etrica

ds2 = dx 2

0+· · ·+dx2n

x2

n

= 1 x2

n n

X

i=0

dx2i. (1.25)

Este espa¸co ´e simplesmente conexo e ´e completo. Antes de justificarmos estes fatos, vejamos o seguinte exerc´ıcio.

Consideremos H2 o plano hiperb´olico, ou seja, H2 ={(x, y) R2;y >0}.

Mostrare-mos que o segmento γ : [a, b] H2, a > 0, do eixo dos y, dado γ(t) = (0, t) ´e a imagem

de uma geod´esica. De fato, para qualquer arco c: [a, b]H2 dado por c(t) = (x(t), y(t))

com c(a) = (0, a) e c(b) = (0, b), temos que

ℓ(c) =

Z b

a k

c′(t)kdt =

Z b

a

1 y

x′(t)¤2+£y(t)¤2dt

≥ Z b

a

1 y

y′(t)¤2dt

Z b

a

|y′(t)| y dt

≥ Z b

a

dy

y =ℓ(γ),

ou seja, γ minimiza arcos diferenci´aveis por partes, e ent˜ao pelo Corol´ario 1.7, a imagem deγ ´e uma geod´esica. A aplica¸c˜ao

z 7→ az+b

cz+d, z =x+iy, ad−bc= 1,

que ´e uma isometria emH2, transforma o eixoyem semi-c´ırculos superiores ou semi-retas

(39)

as geod´esicas de H2, pois por cada ponto p H2 e cada dire¸c˜ao em TpH2 passa um tal

c´ırculo com centro no eixo x.

Figura 1.4: Geod´esicas em H2

O espa¸co Hn+1 ´e completo pois as restas perpendiculares ao hiperplano xn = 0, e os

c´ırculos de Hn+1 cujos planos s˜ao perpendiculares ao hiperplano x

n = 0 e cujos centros

est˜ao neste hiperplano s˜ao geod´esicas de Hn+1. De fato, observe que uma isometria do Rn+1 que s´o envolver as vari´aveis x0, . . . , xn n˜ao altera a m´etrica dada em (1.25) e ´e,

portanto, uma isometria em Hn+1. Ent˜ao basta considerar retas e c´ırculos no planox0xn

e o exerc´ıcio que fizemos acima. Na verdade, essas s˜ao todas as geod´esicas de Hn+1.

1.9.1

Isometrias e o Modelo da Bola

Uma aplica¸c˜ao f : U Rn+1 Rn+1 de um aberto U Rn+1 ´e conforme se para todopU e todo par de vetoresv1 ev2 em p tivermos

hdfp(v1), dfp(v2)i=λ2(p)hv1, v2i, λ2 6= 0.

A fun¸c˜ao positiva λ:U R ´e chamada ocoeficiente de conformalidade def

As isometrias do espa¸co hiperb´olico no modelo do semi-espa¸co s˜ao as restri¸c˜oes a

Hn+1 Rn+1 das transforma¸c˜oes conformes de Rn+1 que levam Hn+1 sobre si mesmo. Uma demonstra¸c˜ao deste resultado, encontra-se em [17].

Identificaremos algumas hipersuperf´ıcies importantes do espa¸co hiperb´olicoHn+1. As

(40)

1.9. O Espa¸co Hiperb´olico

deRn+1 ortogonais aHn+1, e as interse¸c˜oes de Hn+1 com as esferas de Rn+1 com centro

em ∂Hn+1.

O espa¸co hiperb´olico possui outros modelos al´em do semi-espa¸co. Um deles veremos agora, que ´e o modelo da bola. Considere a bola Bn+1 Rn+1 de raio 2 e centro na origem,

Bn+1 ={pRn+1;|p|= 2}

e introduza a m´etrica

hij(p) =

δij

¡

1 14|p|2¢2.

Considere a aplica¸c˜ao f :Bn+1 Hn+1 dada por f(p) = 4 p−p0

|p−p0|2 −(0, . . . ,0,1), em que p0 = (0, . . . ,0,−2).

Mostraremos que f ´e uma isometria, e portanto, Bn+1 ´e isom´etrico aHn+1.

Com efeito, sev ´e um vetor empeh,iindica o produto interno na m´etrica euclidiana,

hdfp(v), dfp(v)i=

16hv, vi

|pp0|4. Por outro lado, indicando f(p) = (f1(p), . . . , fn(p)), obteremos

fn(p) =

4(xn+ 2)

|pp0|2 −1 =

4− |p|2

|pp0|2. Portanto,

hdfp(v), dfp(v)i

¡

fn(p)

¢2 =

16|pp0|4hv, vi

¡

4− |p|2¢2|pp 0|4

= ¡ hv, vi 1−1

4|p|2

¢2.

Da injetividade de f, conclui-se que f ´e uma isometria de Bn+1 em Hn+1. Observe que f

leva ∂Bn+1− {p} em Hn+1.

Note que uma aplica¸c˜ao g : Bn+1 Bn+1 ´e uma isometria de Bn+1 na m´etrica h

ij,

se e somente se, g ´e a restri¸c˜ao de uma transforma¸c˜ao conforme do Rn+1 que leva Bn+1

sobre Bn+1.

Observe f leva∂Bn+1− {p0} em Hn+1. O pontop0 seria ent˜ao levado no “infinito”,

pois nesse ponto o denominador da fra¸c˜ao na f´ormula de f se anularia uma potˆencia a mais do que o numerador.

(41)

Figura 1.5: Modelo da bola, Bn+1

do plano hiperb´olico mapeado no disco. A gravura mostra como n´os, euclidianos natos, vemos o mundo hiperb´olico desses chat´oides. Quando um chat´oide se afasta do centro do disco, vemos seu tamanho encolher ficando cada vez menor `a medida que se aproxima do c´ırculo limite. O chat´oide, ´e claro, n˜ao concorda com essa nossa descri¸c˜ao do que acontece em seu mundo. Para ele, nada muda de tamanho quando se desloca pelo disco. Isso se justifica j´a que suas r´eguas e trenas s˜ao modificadas na mesma propor¸c˜ao que seus corpos.

1.9.2

Superf´

ıcies Umb´

ılicas do

H

n+1

As superf´ıcies Umb´ılicas no espa¸co hiperb´olico s˜ao as esferas, horoesferas e as su-perf´ıcies eq¨uidistantes (ou hiperesferas), como descreveremos a seguir.

As esferas s˜ao as esferas euclidianas que est˜ao totalmente contidas em Hn+1. Se o

modelo do espa¸co hiperb´olico for o da bola Bn+1, ent˜ao essas superf´ıcies ser˜ao esferas

contidas na bola aberta de raio 2, centradas na origem.

Consideremos, a seguir, uma n-esfera euclidiana S tangente a ∂Hn+1 em um ponto p,

tal que S− {p} ⊂Hn+1. Por uma invers˜ao do Rn+1 em p(que ´e uma isometria do Hn+1)

S ´e levada em um hiperplano P paralelo a ∂Hn+1. Como a m´etrica induzida em P por Hn+1 ´e um m´ultiplo da m´etrica euclidiana, e P tem curvatura constante zero, o mesmo

acontece com S − {p}. Essas subvariedades s˜ao chamadas de horoesfera. No modelo

(42)

1.9. O Espa¸co Hiperb´olico

limite de uma fam´ılia de esferas que passam por um pontoppr´e-fixado e cujos centros se deslocam ao longo de uma reta fixa.

Figura 1.6: Horoesfera

Quando q→ ∞ em L, as esferas se aproxima a uma superf´ıcie. Esta superf´ıcie ´e um plano passando emp no caso do Rn+1. NoHn+1, esta superf´ıcie ´e a horoesfera.

Considere finalmente uma esfera euclidiana S que corta∂Hn+1 segundo um ˆangulo θ,

e sua interse¸c˜ao SHn+1 = Σ comHn+1. Por uma invers˜ao deRn+1 em um ponto deS

∂Hn+1, Σ ´e levada isometricamente na interse¸c˜ao comHn+1 de um hiperplanoP que corta

∂Hn+1 segundo o mesmo ˆangulo θ. Considere o hiperplano Q que ´e ortogonal a Hn+1 e cont´emP ∂Hn+1. Vejamos, queP ´e uma hipersuperf´ıcie eq¨uidistante da hipersuperf´ıcie

totalmente geod´esicaQ. Para isto, sejaγr uma geod´esica, ,representada em Hn+1 por um

semi-c´ırculo de raior, com centro 0 emP ∂Hn+1 e no plano perpendicular a PHn+1.

Como existe uma homotetia de centro 0 (isometria hiperb´olica) levando o c´ırculo de raio r em um c´ırculo de raio qualquer, o comprimento de γr entre os pontos de interse¸c˜ao

de γr com P e Q n˜ao depende de r. Conclui-se que P, ou sua imagem isom´etrica Γ, ´e

obtida tomando geod´esicas perpendiculares a uma hipersuperf´ıcie totalmente geod´esicaQ e marcando sobre elas uma distˆancia fixa. tais hipersuperf´ıcies s˜ao chamadas superf´ıcies eq¨uidistantes (ou hiperesferas).

As superf´ıcies umb´ılicas em Hn+1, possuem curvatura m´edia constante, mais

(43)

Cap´ıtulo 2

Equa¸

oes Diferencias Parciais e o

Princ´ıpio do M´

aximo

Apresentaremos neste cap´ıtulo ferramentas necess´arias de Equa¸c˜oes Diferenciais Par-ciais (EDPs) que nos ser˜ao ´uteis para obten¸c˜ao dos pr´oximos resultados, que podem ser encontrados no livro de Gilbarg & Trundiger [7]. Estamos interessados no Princ´ıpio do M´aximo e o M´etodo da Continuidade para Equa¸c˜oes Quasilineares El´ıpticas de 2a ordem.

2.1

Continuidade H¨

older

Sejax0um ponto emRnef uma fun¸c˜ao definida em um conjuntoDlimitado contendo

x0. Se 0< α <1, dizemos quef ´eH¨older cont´ınuacom expoenteαemx0 se a quantidade

[f]α,x0 = sup D x6=x0

|f(x)−f(x0)|

|xx0|α (2.1)

´e finita. Chamamos [f]α,x0 o α-Coeficiente de H¨older de f no ponto x0 com respeito a D. Claramente, se f ´e H¨older cont´ınua em x0, ent˜ao f ´e cont´ınua em x0. Quando (2.1) ´e finita para α= 1, f ´e dita ser lipschitziana em x0.

(44)

2.1. Continuidade H¨older

expoente α em Dse a quantidade

[f]α,D = sup

x,y∈D x6=y

|f(x)f(y)|

|xy|α , 0< α≤1 (2.2)

´e finita; elocalmente H¨older cont´ınuacom expoenteαemD sef ´e uniformemente H¨older cont´ınua com expoente α em todo subconjunto compacto de D. Obviamente que esses dois conceitos coincidem quandoD´e compacto. Al´em disso note que continuidade local de H¨older ´e uma propriedade mais forte do que H¨older continuidade pontual em subconjuntos compactos.

Continuidade de H¨older mede a continuidade que especialmente ´e bem adaptada ao estudo de EDPs. Num certo sentido, pode ser visto tamb´em como uma diferenciabilidade fracion´aria. Isto sugere uma extens˜ao natural dos espa¸cos bem conhecidos de fun¸c˜oes diferenci´aveis.

Seja Ω um conjunto aberto de Rn ek um inteiro n˜ao negativo. Os espa¸cos de H¨older

Ck,α(Ω) (Ck,α(Ω)) s˜ao definidos como os subespa¸cos de Ck(Ω) (Ck(Ω)) consistindo de

fun¸c˜oes cujas derivadas parciais de ordem k s˜ao uniformemente H¨older cont´ınuas (local-mente H¨older cont´ınuas) com expoenteα em Ω. Por simplicidade escrevemos

C0,α(Ω) =Cα(Ω), C0,α(Ω) =Cα(Ω),

com a compreens˜ao que 0< α < 1 sempre que esta nota¸c˜ao ´e usada, a menos que, caso contr´ario seja declarado.

Tamb´em, fixando

Ck,0(Ω) =Ck(Ω), Ck,0(Ω) =Ck(Ω),

podemos incluir os espa¸cos Ck(Ω) (Ck(Ω)) entre os espa¸cos Ck,α(Ω) (Ck,α(Ω)) para

0 < α < 1. Designamos por C0k,α(Ω) o espa¸co de fun¸c˜oes em Ck,α(Ω) que tem suporte compacto em Ω.

Estabelecemos as seguintes defini¸c˜oes:

[u]k,0;Ω = |Dku|0;Ω = sup

|β|=k

sup Ω |

|u, k= 0,1,2, . . .

a[u]k,α;Ω = [Dku]α;Ω = sup

|β|=k

[Dβu]α;Ω,

onde que, para todo β = (β1, . . . , βn), onde βi ´e um inteiro positivo e |β| =Piβi, temos

Dβu= ∂

|β|u

∂xβ1 1 · · ·∂x

βn

n

(45)

Com estas “semi-normas”, n´os podemos definir as normas relacionadas

kukCk(Ω) = |u|k;Ω =|u|k,0;Ω =

k

X

j=0

[u]j,0;Ω=

k

X

j=0

|Dju|0;Ω,

kukCk,α(Ω) = |u|k,α;Ω =|u|k;Ω+ [u]k,α;Ω =|u|k;Ω+ [Dku]α;Ω,

nos espa¸cos Ck(Ω) e Ck,α(Ω), respectivamente. `As vezes ´e ´util introduzir normas n˜ao-dimensionais em Ck(Ω), Ck,α(Ω). Se Ω ´e limitado, temos

kukCk(Ω) = |u|

k;Ω=

k

X

j=0

dj[u]j,0;Ω=

k

X

j=0

dj|Dju|0;Ω,

kukCk,α(Ω) = |u|

k,α;Ω =|u|′k;Ω+dk+α[u]k,α;Ω =|u|′k;Ω+dk+α[Dku]α;Ω.

onde d= diam Ω = sup x,y∈Ω

x6=y

|xy|.

Os espa¸cos Ck(Ω), Ck,α(Ω), munidos com essas respectivas normas, s˜ao espa¸cos de Banach.

2.2

Equa¸

oes Diferenciais Parciais El´

ıpticas

Apresentaremos, nesta se¸c˜ao, a solu¸c˜ao do cl´assico problema de Dirichlet para certos tipos de equa¸c˜oes el´ıpticas totalmente n˜ao-lineares; isto ´e, equa¸c˜oes el´ıpticas que n˜ao s˜ao quasilinear.

Uma equa¸c˜ao diferencial parcial de segunda ordem pra fun¸c˜oes reais em um dom´ınio Ω⊂Rn´e uma express˜ao da forma

F[u] =F(x, u,∇u,Hess u) = 0, (2.3)

onde F : Γ → R ´e uma fun¸c˜ao definida no conjunto Γ = Ω ×R×Rn× Am, em que

Am =Rn(n−1)/2 ´e o espa¸co vetorial das formas bilineares sim´etricas. Denotaremos pontos em Γ porγ = (x, z, p, r), em quexΩ,z R,p= (pi)1inRner= (rij)1i,jn∈ Am.

Se F ´e linear nas vari´aveis z, p e r ent˜ao a equa¸c˜ao (2.3) ´e dita linear. Se ´e linear nas vari´aveis r= (r)ij, ent˜ao a equa¸c˜ao (2.3) ´e dita quase-linear.

O operador F ´eel´ıptico num subconjunto U de Γ se a matriz ¡Fij(γ)

¢

, dada por

Fij(γ) =

∂F ∂rij

Figure

Updating...

References

Updating...

Download now (90 pages)