CARACTERIZAÇÃO GEOMÉTRICA DO ESPAÇO MODULI DE CONEXÕES ASD DO FIBRADO DE HOPF QUATÉRNIO

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Aaron Aragon Maroja

CARACTERIZAđấO GEOMÉTRICA DO

ESPAÇO MODULI DE CONEXÕES ASD DO

  

FIBRADO DE HOPF QUATÉRNIO

Vitória - Espírito Santo, Brasil

06 de Março de 2017

  Aaron Aragon Maroja CARACTERIZAđấO GEOMÉTRICA DO ESPAđO MODULI DE CONEXÕES ASD DO FIBRADO DE HOPF QUATÉRNIO

  Dissertação apresentada ao Programa de Pós-graduação em Matemática da Univer- sidade Federal do Espírito Santo PPG- MAT/UFES, como parte dos requisitos para obtenção do título de Mestre em Matemá- o tica. Orientador: Prof Leonardo Meireles

  Câmara.

  Universidade Federal do Espírito Santo Ű UFES Departamento de Matemática

  Programa de Pós-Graduação em Matemática

  Orientador: Leonardo Meireles Câmara Vitória - Espírito Santo, Brasil 06 de Março de 2017

  

Dados Internacionais de Catalogação-na-publicação (CIP)

(Biblioteca Central da Universidade Federal do Espírito Santo, ES, Brasil)

Maroja, Aaron Aragon, 1990- M354c Caracterização geométrica do espaço moduli de conexões ASD do fibrado de Hopf quatérnio / Aaron Aragon Maroja. – 2017.

  155 f. : il. Orientador: Leonardo Meireles Câmara. Dissertação (Mestrado em Matemática) – Universidade Federal do Espírito Santo, Centro de Ciências Exatas.

1. Geometria diferencial. 2. Fibrados (Matemática). 3.

  

Instantons. 4. Teoria de Yang-Mills. I. Câmara, Leonardo

Meireles. II. Universidade Federal do Espírito Santo. Centro de Ciências Exatas. III. Título.

  CDU: 51

  SENHOR, tu tens sido o nosso refúgio, de geração em geração.

  

Ensina-nos a contar os nossos dias,

para que alcancemos coração sábio.

  Sl.: 90:1,12

  

Agradecimentos

  Em primeiro lugar, agradeço ao meu Deus e Pai, o Senhor Jesus Cristo, pela vida e por seu inĄnito amor, dia após dia renovando minhas forças e minha fé a Ąm de permanecer nos seus caminhos, os quais são mais altos do que os meus.

  Agradeço aos meus queridos pais, Paulo e Patrícia, pelo amor incondicional, pelas pa- lavras de conforto nas horas mais difíceis, pela educação que me proporcionaram; eles são exemplos de vida para mim. Tenho muito orgulhoso de ser chamado Ąlho deles. Agradeço ao meu irmão Eliel por ter sido paciente todo esse tempo e ter me ajudado até aqui.

  Agradeço a todos que de alguma forma me ajudaram a chegar neste momento. Um agradecimento especial ao meus amigos Enéas, Bruno, Thiago e José Eduardo (Zé), os quais Ązeram parte da minha jornada desde a graduação, nas discussões pré e pós-prova, nos momentos de descontração, nos tempos de PET, e cujo companheirismo e convivência foram fundamentais neste percurso.

  Agradeço ao meu orientador Prof. Leonardo Câmara, pela atenção, paciência e dispo- nibilidade a mim dispensadas durante a realização deste trabalho. Agradeço também aos professores do PPGMAT através dos quais adquiri minha formação acadêmica.

  Agradeço à CAPES, pelo apoio Ąnanceiro.

  

Resumo

  No ínício dos anos 80, C.H. Taubes e K. Uhlenbeck apresentaram o fundamento analítico para as soluções das Equações de Yang-Mills, chamadas instantons, de modo a tornarem- se um objeto geométrico de grande signiĄcância nesta época. A partir deste fundamento, Simon Donaldson pôde construir uma teoria em topologia sobre variedades fechadas, ori- entáveis, quadridimensionais a partir da variação da métrica, assim como na Teoria de Hodge, a Ąm de obter resultados que dependessem apenas da variedade a ser estudada. Neste caso, pode-se obter classes de conexões, chamadas anti-auto-duais, que necessaria- mente satisfazem as Equações de Yang-Mills. A coleção de todas estas conexões módulo uma relação de equivalência, chamada equivalência de calibre, é chamado o espaço mo- duli ℳ do Ąbrado e seu estudo tem proporciando muitas descobertas da estrutura de variedades quadridimensionais. É feito neste trabalho, o estudo detalhado de um exemplo particular da Teoria de Donaldson no caso do Ąbrado de Hopf quatérnio. Obtém-se as co- nexões BPST instantons deste Ąbrado através da 1-forma de Cartan em (2) e, uma vez tendo-as em mãos, escreve-se uma família de cinco parâmetros destas conexões. Através do Teorema de Atiyah, Hitchin e Singer, obtém-se que todo elemento do espaço moduli ℳ é unicamente representado por uma conexão nesta família. A partir disso, obtém-se 5 uma realização concreta de ℳ como uma bola unitária aberta em R . Em particular, ℳ

  é uma variedade de dimensão 5 com uma compactiĄcação natural, a saber, a bola fechada 5 4 unitária em R cuja fronteira é uma cópia do espaço em estudo .

  

Palavras-chaves: Espaço Moduli. Fibrado de Hopf. Teoria de Yang-Mills. Instantons.

  

Abstract

  In the early 80Šs, C.C. Taubes and K. Uhlenbeck provided the analytical foundations so that the solutions of the Yang-Mills equations, called instantons, would have a geometrical use, yet to be found in the same period. Simon Donaldson has built then a theory based on certain aspects of these solutions over 4-dimensional, oriented, closed, differentiable manifolds. In this context, one can isolate a class of connections, called anti-self-dual, that necessarily sastify the Yang-Mills equation. The collection of all such, modulo a natural equivalence relation, namely gauge equivalence, is called the moduli space ℳ of the bundle and its study has led to astonishing insights into the structure of smooth 4- manifolds. This work is set to study in detail a particular example of DonaldsonŠs Theory 4 on the Hopf bundle over the 4-dimensional manifold . We arrive at the BPST instantons of such bundle via the Cartan canonical 1-form on (2). Once these are in hand, we use the conformal invariance of anti-self-dual equations to write down a 5-parameter family of such connections. By making use of a theorem of Atiyah, Hitchin and Singer, we assert that every element of the moduli space ℳ is uniquely represented by a connection in this family. From this we obtain a concrete realization of ℳ as the open unit ball in 5 R

  . In particular, ℳ is a 5-dimensional manifold with a natural compactiĄcation whose 4 boundary is a copy of the base space .

  Key-words: Moduli Space. Hopf bundle. Yang-Mills Theory. Instantons.

  

Sumário

1 MOTIVAđấO FễSICA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 PRELIMINARES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

  . . . . . . . . . . . 107

  . . . . . . . . . . . 90

  

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

  

  

. . . . . . . . . . . . . 132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

  . . . . . . . . . . . . 120

  

. . . . . . . 81

  

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136

  

  . . . . . . . . . . . . . . . 137

  

  . . . . . . . . . . . . . . . . 72

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

  

  

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

  

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

  . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

  

  

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

  

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

  

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4 O DUAL DE HODGE E O FUNCIONAL DE YANG-MILLS . . . . . 90

  

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

  

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

  

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

0 Introdução Imagine que você esteja numa sala de jogos com um amigo jogando tênis de mesa.

  A conversa gira em torno da mecânica Newtoniana. Você joga a bola de ping-pong para o seu amigo. Os dois concordam que, dada uma velocidade e direção de lançamento, através da segunda Lei de Newton juntamente com a fórmula de atração gravitacional da superfície da terra, você consegue calcular o deslocamento da bola, pelo menos se a resistência do ar for considerada desprezível. Mas então você pergunta ao seu amigo: ŞA bola estava girando enquanto viajava na sua direção?Ť Ele responde: ŞEssa pergunta nem vale.Ť A Ąnal de contas, a bola é perfeitamente esférica e perfeitamente branca. Como seu amigo poderia saber se a bola estava girando no ar? Além disso, isso não importa, uma vez que a trajetória da bola é determinada inteiramente pelo deslocamento de seu centro de massa e nós já calculamos isso. Qualquer ŞspinŤ interno da bola é irrelevante para o seu deslocamento pelo espaço. É claro que esse spin interno torna-se relevante em outros contextos, por exemplo, se a bola interage (colide) com outra bola de ping-pong que também está viajando pela sala. Mais ainda, se acreditarmos na conservação de momento angular, qualquer mudança no estado de spin interno da bola deveria ser considerado por alguma força sendo exercida na bola, como por exemplo suas interações com a atmosfera da sala e, até o momento, consideramos desprezíveis essas interações em nosso cálculos. Parece ser interessante, então, considerarmos um spin da bola em torno de algum eixo como parte de sua Şestrutura internaŤ, não sendo relevante para o seu deslocamento no espaço, mas compreensivelmente relevante em outras situações.

  A fase de uma partícula em movimento em um campo eletromagnético (e.g. um campo de um monopolo) é muito semelhante ao spin interno de nossa bola de ping-pong. Uma mudança de fase altera a função de onda de uma partícula somente por fator de módulo um e, portanto, não afeta a probabilidade da partícula ser achada em algum lugar em particular, ou seja, não afeta seu deslocamento no espaço. Entretanto, quando duas par- tículas interagem (por exemplo como no experimento de Aharonov-Bohm), diferenças de fase são de crucial importância no resultado. O campo de calibre (conexão), que registra as mudanças de fases na partícula ao longo de vários caminhos através do campo eletro- magnético, é o análogo da atmosfera da sala a qual é o agente (ŞforçaŤ) responsável por qualquer alteração no spin interno da bola.

  O atual dogma na física de partículas é que partículas elementares são diferenciadas umas das outras exatamente por essa estrutura interna. Um próton e um nêutron, por exemplo, são considerados como dois estados de uma mesma partícula, diferenciados so- mente pelo valor de um Şnúmero quântico internoŤ chamado spin isotópico ou isospin. Na ausência de campo eletromagnético, essas duas partículas são indistinguíveis. Cada aspecto do estado interno de uma partícula interna é modelado, em cada ponto do his- tórico da partícula, por um tipo de objeto matemático (um número complexo de módulo um por isospin, etc.) e um grupo cujos elementos transformam um estado em outro ( (1) para a fase e, para o isospin, o grupo (2) de matrizes unitárias complexas 2 × 2 com determinante um). Um Ąbrado é construído de forma a registrar o estado interno da par- tícula (geralmente sobre uma variadade diferenciável de dimensão 4 que possa acomodar o ŞhistóricoŤ da partícula). Finalmente, conexões no Ąbrado são estudadas como modelos desses fenômenos físicos que podem medir as mudanças do estado interno. Claro que nem todas as conexões são de interesse físico, assim como nem todas 1-formas representam potenciais eletromagnéticos de maneira realística. As de interesse são as que satisfazem um conjunto de equações diferenciais chamadas equações de Yang-Mills, desenvolvidas por Chen Ning Yang e Robert Mills em como uma generalização não linear das equações de Maxwell.

  Do ponto de vista matemático, principalmente topológico, o estudo dos objetos men- cionados são de grande relevância, especialmente em dimensão 4. Para Ąbrados deĄnidos sobre variedades Riemaniannas, orientadas, fechadas de dimensão 4 (como por exemplo 4 a 4-esfera ), pode-se isolar uma classe de conexões, chamada de classe (anti-)auto-

  

dual, que necessariamente satisfaz as equações de Yang-Mills. O conjunto de todas essas

  classes quando passada o módulo por uma relação de equivalência natural (equivalência de calibre), é chamado espaço moduli ℳ do Ąbrado e seu estudo (iniciado por Simon Donaldson) tem trazido descobertas impressionantes no campo de variedades de dimensão

  4. Escolhemos estudar neste trabalho um exemplo que apresenta muitas características do trabalho de Donaldson em o qual damos um resumo no seguinte parágrafo.

  A estrutura do Ąbrado de Hopf está intimamente ligada às propriedades dos núme- 2 1 ros complexos. O espaço base é o plano complexo extendido, a Ąbra consiste dos 3 números complexos unitários e o espaço total pode ser visto como aqueles pares de 2 4 números complexos em C = R cujos módulos ao quadrado são iguais a 1. Vamos mos- 2 4 trar que, como em R , o espaço Euclidiano quadridimensional R admite uma estrutura multiplicativa, faltando somente a comutatividade dentre as propriedades desejadas da 4 multiplicação complexa. Esta estrutura quatérnia familiar em R permite a construção 4 4 de um análogo do Ąbrado de Hopf sobre (a compactiĄcação por 1 ponto de R ) com 3 7 8 Ąbra (homeomorfa a (2)) e espaço total . Ambos Ąbrados de Hopf, com-

  ⊖ R plexo e quatérnio, admitem conexões naturais, sendo o primeiro aquele associado com o monopolo de Dirac de força fraca. Nosso interesse, entretanto, se encontra no último o qual, quando escrito em termos de trivializações naturais do Ąbrado, produz as chama- das soluções instantons das equações de Yang-Mills descobertas inicialmente por Belavin, Polyakov, Schwartz e Tyupkin

  Os instantons BPST foram originalmente chamados de pseudopartículas e não foram vistas como expressões em coordenadas de uma conexão deĄnida globalmente em um Ąbrado. Na verdade, nada se encontra de Ąbrado no trabalho de cuja perspec- tiva estava voltada mais para a tradicional visão física-matemática: Dado um conjunto de 4 equações diferenciais em R (as de Yang-Mills) de um objeto de interesse (um potencial de calibre (2)) tem-se como objetivo achar soluções que satisfazem certas condições assin- tóticas físicas desejáveis. Somente algum tempo depois Ącou conhecido que estas condições assintóticas são suĄcientes para garantir a existência de uma extensão suave das soluções 4 ao Şponto no inĄnitoŤ, ou seja, a . Mais precisamente, esse memorável Teorema das

  

Singularidades Removíveis de K. Uhlenbeck garante que, para qualquer potencial

4

  de Yang-Mills em R de Şação ĄnitaŤ (i.e. de uma força/curvatura total do campo Ąnito, 4 4 calculado como uma integral em R ) existe um (2)-Ąbrado principal sobre e uma conexão no Ąbrado que quando escrito em termos de alguma trivialização do Ąbrado é exatamente aquele potencial dado. Além disso, o comportamento assintótico do potencial quando ‖ ‖ ⊃ ∞ é que determina o Ąbrado no qual essa conexão é deĄnida de modo que as condições assintóticas (boundary) estão diretamente codiĄcadas na topologia. Veremos que o comportamento das soluções encontradas no artigo dita o Ąbrado de Hopf quatérnio.

  Chegaremos às conexões dos instantons BPST por uma rota diferente (através da 1-forma canônica de Cartan em (2)). Uma vez que as tivermos em mãos, será uma questão de usar as propriedades das equações próprias (anti)-duais que satisfazem (Şin- variância conformeŤ) a Ąm de escrevermos uma família de 5 parâmetros dessas conexões. Um teorema profundo de Atiyah, Hitchin e Singer assegura que todo elemento do espaço Moduli ℳ é unicamente determinado por uma conexão nesta família de 5 pa- 5 . râmetros. Disso obtemos uma completa realização de ℳ como uma bola unitária em R Em particular, ℳ é uma variedade 5-dimensional com uma compactiĄcação natural (a 5 4 bola fechada em R ) cuja fronteira é uma cópia do espaço base . Donaldson mostrou que muitos aspectos desse simples exemplo são preservados em um contexto muito mais geral.

1 Motivação Física

  O objetivo desse capítulo inicial é mostrar a origem física e geométrica do termo Şcampo de calibreŤ, que para os matemáticos é conhecido como Şconexão em um Ąbrado principalŤ, assim como expor a ideia principal deste trabalho. A princípio não seremos muito rigorosos, o foco será principalmente expor as ideias de maneira preliminarmente superĄcial, posteriormente entraremos com as deĄnições precisas dos termos usados assim como as demonstrações mais interessantes. Seguimos como referência neste capítulo.

1.1 Caso Complexo

1.1.1 O monopolo Magnético de Dirac

  Consideremos uma partícula eletricamente carregada e estática situada na origem de um referencial inercial e recordemos da Lei de Coulomb que esta carga determina um campo elétrico dado por = 2 ^

  , com ̸= 0 (aqui usaremos coordenadas esféricas ( , ã, ), onde os vetores unitários são denotados por ^ , ^ e ^ ). O campo magnético ã 3 associado a é identicamente zero nesse referencial, i.e, e

  = 0, ̸= 0. Em R ⊗ ¶0♢,

  

  satisfazem as chamadas equações de Maxwell div = 0 div = 0 rot = 0 rot = 0 (1.1.1) lembrando que neste caso não temos matéria, ou seja, a densidade da carga e a corrente elétrica são nulas.

  Hipoteticamente, consideremos uma partícula em descanso sobre a origem de um re- ferencial que determina um campo eletromagnético descrito naquele referencial por

  ⃗ ⃗

  = 0, = ^ , (1.1.2) 2 ̸= 0 onde é uma constante (a intensidade do chamado monopolo magnético). Ora, e também satisfazem as equações de Maxwell no caso estático e sem matéria (1.1.1). Em particular, 3 div = 0 em R (1.1.3) 3 ⊗ ¶0♢ rot = 0 em R (1.1.4) 3 ⊗ ¶0♢

  Sabemos que R ⊗ ¶0♢ é simplesmente conexo, de (1.1.4) e resultados já conhecidos de análise podemos garantir a existência de uma função potencial escalar para , ou seja,

  3 3 existe uma função suave : R

  , em R ⊗ ¶0♢ ⊃ R cujo gradiente é exatamente ⊗ ¶0♢. segue que

  De fato, tomando ( , ã, ) = ⊗ (︃ )︃ grad ( , ã, ) = 0, 0, = 2 Nesse caso do campo magnético estamos interessados na existência de um potencial vetorial, ou seja, queremos encontrar um campo vetorial tal que rot = . Primeiro devemos deixar claro porque estaríamos interessados em tal potencial. Para isso, conside- raremos um sistema um pouco mais complicado do que um monopolo isolado.

  Novamente tenhamos em perspectiva um monopolo situado na origem de algum refe- rencial inercial. Agora introduzimos na vizinhança do monopolo uma partícula eletrica- mente carregada (aqui consideramos que o campo eletromagnético de tenha um efeito desprezível sobre o monopolo). De maneira clássica, em geral, o movimento da particula é determinada pela Segunda Lei de Newton e pela conhecida Lei de Força de Lorentz (que descreve como a partícula responde ao campo ).

  Aqui, a visão desse sistema é diferente. A partícula não é vista simplesmente como um ponto, e sim, como um objeto da mecânica quântica cuja descrição é dada por sua função de onda å( , , , ). Esta é uma função complexa em função do espaço ( , , ) e do tempo ( ) no qual toda informação física mensurável se encontra. Por exemplo, a probabilidade desta partícula ser encontrada em uma determinada região do espaço em 2

  = åå sobre . A função å para um dado instante é dada através da integração de ♣å♣ é encontrada através da solução da chamada equação de Schröedinger para o sistema monopolo-partícula. A equação de Schröedinger por sua vez é construída a partir do Ha- miltoniano do sistema e empregando as chamadas Şregras de correspondênciaŤ, as quais substituem cada quantidade física clássica (energia, momento,...) no Hamiltoniano pelo (︁ )︁ operador apropriado ~ , . O que importa para nós aqui é que o Hamilto-

  ⊗ ~grad, . . . niano de uma partícula em um campo eletromagnético envolve, de modo essencial, o vetor potencial do campo eletromagnético. Claro, esse potencial não é único. Substituindo por + grad Ω na equação de Schröedinger a solução å é substituída por å :

   å (1.1.5)

  ⊃ + grad Ω =⇒ å Como Ω é uma função real então cada é um número complexo de módulo 1. Portanto,

  

  • grad Ω muda somente a fase e não o módulo (amplitude) da função de onda ⊃

  

å . Por um tempo pensou-se que tais mudanças de fase na função de onda não tivessem

  signiĄcado físico algum uma vez que todas as quantidades físicas mensuráveis associadas 2 o qual é o mesmo para å e å . Entretanto, à partícula dependem somente de ♣å♣ em 1959, Aharonov e Bohm sugeriram que, embora não se possa medir a fase de uma única partícula, a fase ŞrelativaŤ de duas partículas eletricamente carregadas que interagem entre si deveria possuir consequências a serem observadas. Eles propuseram um experimento que descrevemos agora (Figura 1.1): Um feixe de elétrons é dividido em dois feixes parciais que passam em torno de lados opostos de um solenóide. Após o solenóide os feixes encontram-se novamente e são detectados em uma tela. O resultado é um padrão de interferência típica que se manifesta na forma de uma variação ponto a ponto da probabilidade de uma partícula ser detectada na tela. Primeiro observa-se esse padrão de interferência enquanto não há corrente elétrica através do solenóide, ou seja, de modo que o campo magnético no solenóide seja zero. Então novamente é feito o experimento, desta vez com a corrente elétrica ligada produzindo um campo magnético não-nulo. Como os elétrons passam em torno da bobina e o campo magnético permanece conĄnado dentro do solenóide qualquer mudança no padrão de interferência em ambos casos não pode ser atribuída ao campo magnético. Por outro lado, o vetor potencial geralmente é não nulo fora do solenóide mesmo que o campo magnético nessa região seja sempre zero. Conclui- se então que esse vetor potencial induz diferentes mudanças de fase nos dois feixes antes que eles se encontrem e que estas mudanças relativas de fase contribuem no padrão de interferência. Este experimento foi realizado em 1960 por R.G. Chambers e os resultados conĄrmaram as expectativas de Aharonov e Bohm.

Figura 1.1 Ű Efeito Aharonov-Bohm.

  Fonte: Elaborada pelo autor Com isso em mente, vemos a importância de um potencial Ąsicamente como parte do estado interno de uma partícula. Vemos que (1.1.3) é uma condição necessária para a existência de tal potencial, entretanto aĄrmamos que não é suĄciente, nem mesmo em uma região simplesmente conexa. Vejamos isso, supondo por contradição que exista tal 3 campo suave em R = . Tomamos então uma esfera de raio

  • + ⊗ ¶0♢ satisfazendo rot

  ⊗ em torno da origem, denotemos por o equador dessa esfera, e o hemisfério

  • + norte e sul, respectivamente. Orientemos no sentido anti-horário e usemos em , e

  ⊗ a orientação natural dada pelo vetor unitário ^ . Desse modo temos, ∫︁∫︁ ∫︁∫︁ (︃ )︃ rot ^

  ≤ = ≤ ^ ∫︁∫︁ 2 = 2 2

  = (4Þ ) = 4Þ 2 Por outro lado, pelo Teorema de Stokes ∫︁∫︁ ∫︁∫︁ ∫︁∫︁ rot rot rot = ≤ + ≤ ⌊︁ ⌊︁ ⊗ +

  ⃗ ⃗

  = ⌊︁ ⌊︁+ ≤

  ⃗ ⃗

  = ≤ ⊗ ≤

  = 0 logo chegamos a uma contradição. Isso nos diz que não existe um potencial vetorial de 3 em R ⊗ ¶0♢. Podemos deĄnir localmente estes potenciais da seguinte forma. Considere o eixo-z 3 não-positivo

  ⊗ = ¶(0, 0, ) ∈ R ; ⊘ 0♢ sendo uma corda de Dirac. Assim podemos 3 garantir a existência de um potencial vetorial no seu complemento = R . De + ⊗ fato, considere

  

  • + ( , ã, ) =

  (1.1.6) (1 ⊗ cos ã)^ sin ã

  • + deĄnido em , então ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ^ ^ sin ã^ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ã

  1 ⧹︃ ⧹︃ rot = + ⧹︃ ⧹︃ 2 ã ⧹︃ ⧹︃ sin ã ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ (1 ⊗ cos ã)

  1 = ( sin ã)^ 2 sin ã

  = ^ = 2 (veja que é suave em + + porque (1 ⊗ cos ã)/ sin ã é analítico em ã = 0). De modo 3 3

  = ¶(0, 0, ) ∈ R ; ⊙ 0♢ e + inteiramente análogo temos que se = R , então

  • + ⊗ ⊗

  

  ( , ã, ) = ⊗ (1 + cos ã)^ (1.1.7) ⊗ sin ã 3

  é um potential vetorial de em . Vemos que e cobrem R + 3 ⊗ ⊗ ⊗ ¶0♢, ou seja, R

  . Percebemos que na interseção , e devem ser + + ⊗ ¶0♢ = + ⊗ ∩ ⊗ ⊗ 3 diferentes pois, caso contrário, existiria um potencial vetorial global em R já sabemos que não existe. De fato, em temos = ^ . Notemos que + + ⊗ ⊗ sin ã se ( , ã, ) = 2 então (︃ )︃

  2

  2 grad ( , ã, ) = 0, 0, = ^ sin ã sin ã + isso nos diz que na interseção de seus domínios e diferem por um gradiente

  ⊗ = grad (2 ) (1.1.8)

  ⊗ + ⊗ Vejamos algo interessante que surge como consequência de (1.1.5), o que foi pela primeira vez observado por Dirac. Voltemos aos vetores potenciais e como deĄnidos

  • +

  em (1.1.6) e (1.1.7) em seus respectivos domínios e . Denotemos por å e å as + + ⊗ ⊗ (2 ) + funções de onda de nossa partícula determinadas (via equações de Schroedinger) por e . Em , (1.1.8) nos dá = + grad(2 ) então por (1.1.5) å = å . + + +

  ⊗ ∩ ⊗ ⊗ ⊗

  Porém em ambos å e å determinam exatamente um valor complexo em cada + + ⊗ ponto a cada instante. Portanto, para cada instante Ąxo , a mudança + 2Þ não altera å e å

  • + (2 )

  . Contudo, isso implica que + 2Þ também não altera o valor de , enquanto que, (2 ( +2Þ)) (2 ) (4 Þ) (4 Þ) (4 Þ) =

  Consequentemente, temos que = 1. Ora, sabemos que = cos(4 Þ) + sin(4 Þ) logo isto só é possivel se 4 Þ = 2 Þ para algum inteiro . Concluímos que

  1

   ,

  = (1.1.9) ∈ Z.

  2 Essa é a conhecida condição de quantização de Dirac e diz que mesmo se exitisse um único monopolo (intensidade ), então uma partícula deve ser ŞquantizadaŤ, ou seja, aparece apenas em múltiplos inteiros de alguma quantidade elementar de uma partícula 1 eletricamente carregada ( = ). 2 3 O fato de não existir um potencial vetorial global de em R 2

  ⊗ ¶0♢ (em particular, em ) torna-se um obstáculo quando o problema é registrar a mudança de fase de uma partícula em um monopolo magnético, ao longo de um determinado caminho percorrido pela partícula. Entretanto, é possível achar potenciais locais, e isto é feito através de um processo de Şlevantamento de caminhosŤ por meio de um objeto na matemática chamado Şconexão de um Ąbrado principalŤ. Uma vez tendo em mãos esta conexão, é feito o pull- back desta por Şseções transversaisŤ do Ąbrado escolhido de modo que os resultados são justamente potenciais locais que satisfazem (1.1.1).

  Para entendermos de maneira mais geométrica o que é esta conexão precisamos de 2 um Ąbrado principal (existem diversas formas de construir Ąbrados sobre a esfera ). No caso do monopolo magnético de intensidade = 1/2 (as intensidades são quantizadas), 1 3 2

  ˓

  este é o Ąbrado de Hopf complexo denotado por . Esta construção está

  2 feita no exemplo #3 da seção 1.3 do Capítulo 1. Chama-se o Şespaço baseŤ do Ąbrado, 3 o Şespaço totalŤ, que Ąsicamente é visto como um Şespaço de fasesŤ e é projeção do

  Ąbrado, que por sua vez está relacionado às mencionadas seções transversais do Ąbrado ⊗1 2

  . A nível de visualização, dado um caminho de : ⊃ ( ) através de ◇ = a o que uma conexão faz é dado pelo Teorema 2.4.1 e mostramos na Figura 2.2 1 A Ąm de enxergarmos isso para o caso do monopolo magnético vamos apresentar uma maneira geométrica de ver os elementos do Ąbrado de Hopf complexo. 3 2 2 Denotando a norma usual de R é o subconjunto 3 1 2 2 2 3 2 por ‖ ‖, a esfera = ¶ 3 R

  ) + ( ) + ( ) . Vamos usar aqui duas aplicações de projeção ; ‖ ‖ = ( = 1♢ de R 2 2 2 estereográĄca em . Seja = menos o pólo norte. DeĄnimos 2 (︁ )︁ 1 ⊗ ¶(0, 0, 1)♢ a esfera 2

  : por ( ) = , . Portanto leva na interseção da reta que 3 3 ⊃ R 1 1

  ⊗ passa por (0, 0, 1) e com o plano(-xy) horizontal (Figura 1.2). é contínua, injetiva e

  ⊗1 2 sobrejetiva e sua inversa é dada por : R com (︃ )︃ 2

  2

  2 2

  • ⊗ 1

  ⊗1 ( , ) = , , 2 2 2 2 2 2

  • 1 + 1 + 1 + + + (︃ )︃ (1.1.10)
  • ⊗ 1

  = , ,

  • 1 ( + 1) + 1

  ⊗1 onde na segunda igualdade identiĄcamos ( , ) com o número complexo = + . também é contínua logo é um ŞhomeomorĄsmoŤ. Mais ainda, é na verdade um ŞdifeomorĄsmoŤ. IdentiĄcando o plano-xy com o plano complexo C podemos, de maneira natural, adicionar um Şum ponto no inĄnitoŤ para obtermos plano extendido complexo

  • C = C ∪ ¶∞♢ (esse processo é chamado de ŞcompactiĄcação por 1 pontoŤ).

  2 Figura 1.2 Ű Esfera e a Projeção EstereográĄca.

  Fonte: Naber, 2010, pag. 11.

  2

  • Podemos então estender de maneira natural ao homeomorĄsmo : .

  ⊃ C 2 Analogamente, podemos deĄnir uma projeção estereográĄca do pólo sul de . Consi- 2 2 deramos = : por ⊗ ¶(0, 0, ⊗1)♢ e deĄnimos ⊃ R (︃ )︃ 1 2

  ( ) = , 3 3 1 + 1 + cuja inversa será dada por (︃ )︃ 2 2

  2

  2

  ⊗1 1 ⊗ ( , ) = , , 2 2 2 2 2 2

  • 1 + 1 + 1 + + + (︃ )︃ .
  • 1 ⊗

  , ,

  =

  • 1 ( + 1) + 1 As mesmas observações são feitas aqui, logo
  • 1 é um difeomorĄsmo. Além disso se 2 2 ( ) +( ) 1 2 2 2 e ( ) = = + sabemos que = + + 2 2 2 2 . Mas = = 3 2 + (1 ) + 1 ) 1+ 3 2 3

      ⊗ (1 ) ⊗( 3 2 = 1 3 então 1 3 1

      1 ⊗ = = 2 2 3 1 + 1 + 3 3 1 ⊗ 2 3 2

    • 1 ⊗

      = = 2 2 3 1 + 1 + 3 3 1 1 ⊗

    • Assim, concluímos que ( ) = .
    • 4 2 1 1 2 2 Para o nosso propósito, identiĄcamos R com C através da correspondência ( , , , 1 1 2 2 ) ↦
    • ( + , ) e escrevemos
    • 3 1 2 2 1 2 2 2

        ,

        = ¶( ) ∈ C ; ♣ ♣ + ♣ ♣ = 1♢ √ 2 2 é o módulo de . Uma parametrização de que nos será 3 onde ♣ ♣ = ♣ + ♣ =

      • 1 Ý 2 Ý
      • 2 2 útil é dada por = 1 e = 1 2 . Assim, como = 1 e ambos 2 (︁ )︁ (︁ )︁ ã ã 1 + 2 1 e 2 são não-negativos, existe ã em [0, Þ] tal que {︃(︃ )︃ ⨀︀ 1 = cos e 2 2 = sin . Portanto, 2 3 Ý ã ã ã Þ 1 Ý 2

          = cos , sin , Ý 1 , Ý 2 ∈ R

          ; 0 ⊘ 3

          2 2 2 ⊘

          2 2 Vamos tentar ŞvisualizarŤ da seguinte maneira: Primeiro, notamos que assim como , 3 3 3 3

        • pode ser vista como a compactiĄcação por 1 ponto (R ) = R através

          ∪ ¶∞♢ de R 3 de alguma projeção esterográĄca. Agora considere o subconjunto de deĄnido por 1 2 3 1 2

          ,

          ♣ = ♣ ♣♢ . Logo = ¶( ) ∈ ; ♣

          √ 1 2 2 2 1 2 2 1

          2 ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ = ♣ ♣ =

        • = 1 =⇒ 2♣ = 1 =⇒ ♣

          2 isto nos diz que ⧹︃ ⧹︃⧹︃ ⧹︃

          ã ã ã Þ

          2 ⧹︃ Ý 1 ⧹︃ = ⧹︃ cos ⧹︃ = cos = ⧹︃ ⧹︃ =⇒ Portanto {︃(︃ )︃ ⨀︀ √ √

          2 Ý 1 Ý

          2 2 = , ; Ý , Ý 1 2

          ∈ R

          2

          2 e claramente isso é a cópia de um toro (um toro nada mais é do que o produto Cartesiano 1 2 3 1 2 de dois círculos). Agora seja , 1 = ¶( ) ∈ ; ♣ ♣ ⊘ ♣ ♣♢. Ora, 1 2 ã ã Þ ã Þ sin

          ♣ ♣ ⊘ ♣ ♣ =⇒ cos =⇒ 2 ⊘ 1 . Agora se ã/2 = Þ/2 então = 0 com 2 4 ⊘ 2 ⊘

          2 1 2 O caso em que ã/2 = Þ/4 nos diz que 1 , ou seja, uma cópia do círculo. Para qualquer no círculo unitário o que nos dá ¶0♢ ×

          ã/ 2 Ąxado em (Þ/4, Þ/2) temos outro toro (assim como em ) então 1 é um toro solido

          limitado por . Enxergue isso como camadas de toros bidimensionais começando em e reduzindo em um círculo central na medida que ã/2 cresce de Þ/4 até Þ/2 (Figura 1.3).

          1 Figura 1.3 Ű Representação de .

          Fonte: Naber, 2010, pag.13 1 2 3 1 2 Nosso próximo passo é considerar , 2 3 = ¶( ) ∈ ; ♣ ♣ ⊙ ♣ ♣♢. Esse é o subcon- junto de 1 , é um toro sólido limitado correspondendo a 0 ⊘ ã/2 ⊘ Þ/4 e como para superiormente por cujas camadas são toros bidimensionais reduzindo-se ao círculo cen- 1 3 3 tral = expressa como a união de dois toros sólidos cuja 1 2

          × ¶0♢. Logo, interseção é . A Ąm de colocarmos isso numa só Ągura começamos pelo o círculo central de (ã/2 = Þ/2 ) e, na medida que ã/2 decresce de Þ/2 até Þ/4, expandimos através 1 de toros bidimensionais até chegarmos em . Enquanto ã/2 continua decrescendo de ã/4 até 0 obtemos 3 2 , formado por camadas de toros e expandindo até o que parece ser uma 3 linha reta em R , mas na verdade é um círculo em através do ponto no inĄnito (veja a Figura 1.4). 1 2 3

          ,

          Seja = ( ) em e em (1) (neste contexto é mais usual utilizar (1) para 1 denotar o círculo unitário ). Observe que se deĄnirmos 1 2 1 2

          , , )

          ≤ = ( ) ≤ = ( 3 . Escrevendo tudo em coordenadas Ąca claro que a então também se encontra em 3 3

          ∞

          ,

          é . Além disso, se 1 2

          3 Figura 1.4 Ű ŞVisualizaçãoŤ de .

          Fonte: Elaborada pelo autor. escrevendo o elemento neutro simplesmente por em (1) temos que 1 2 1 2 1 2 = ( , = (( ) , ( ) ) 1 1 2 1 2 1 2

          ( ) ≤ ) ≤ 1 2 1 2 = ( ( 1 2 ), ( 1 2 )) = ( , 1 2 ) 1 2 ) ) ≤ ( 3 = ≤ ( e = para todo em . Essas propriedades qualiĄcam a aplicação ( , ) ↦⊃ como sendo uma Şação (suave) à direita de um grupo de Lie ( (1)) sobre a variedade 3 ( )Ť.

          A Condição de Quantização de Dirac (1.1.9) diz que, para qualquer carga e qualquer intensidade do monopolo , deve-se obter = (1/2) para algum inteiro . Para uma carga de unidade de força ( = 1) temos que = (1/2) de modo que o menor valor positivo para é = 1/2. Neste caso, o potencial das 1-formas do monopolo são

          1 2 A =

          (1.1.11) (1 ⊗ cos ã) em

          2

          1 2 A (1 + cos ã) em (1.1.12) = ⊗ ⊖

          2 Portanto, em , A = então ∩ A

          A

          = A + em (16) A conexão que procuramos aparece de maneira natural como a restrição da entrada-11 da 1-forma de Cartan Θ de (2, C) a (2) (ver exemplo #2 pag. 50 e #2 pag. 64). Os potenciais locais de calibre A e A , em coordenadas esféricas, são dados por

          1 A

          

        i(1

          ⊗ cos ã) = ⊗

          2 (1.1.13)

          1 A

          i(1 + cos ã)

          =

          2 Em seus respectivos domínios, a intensidade de campo de cada um dos potenciais é dada por

          1 F

          i sin ã ã (1.1.14)

          = ⊗ ∧

          2 (basta calcular A e A ). A álgebra de Lie ImC (aqui identiĄcamos u(1) com esta álgebra) de (1) é o espaço tangente ao círculo no ponto 1 ∈ (1). O espaço tangente em qualquer ponto em (1) pode ser identiĄcado com sua ŞrotaçãoŤ em torno do círculo pela álgebra de Lie. Agora, 3

          (o espaço Ąbrado do Ąbrado de Hopf) possui uma Ąbra da aplicação de cada ponto 3 Hopf que passa através de , difeomorfa a (1). O espaço tangente tridimensional ( ) 3 no ponto , consistindo de todos os vetores velocidade das curvas suaves em que passam por , possui, portanto, um subespaço isomorfo à algebra de Lie de (1). Agora, assim como uma 1-forma qualquer é deĄnida precisamente como um operador de valores reais no espaço tangente, da mesma forma Ąca deĄnida a 1-forma na álgebra de Lie como um operador que leva vetores tangentes em elementos da álgebra de Lie. Logo, uma 1-forma 3 3

          

        ω na álgebra de Lie em uma transformação linear

        3 designa para cada ponto 3 ω

          de ( ) na cópia da álgebra de Lie ImC dentro de ( ) (pense em ω como uma espécie de ŞprojeçãoŤ). O núcleo ker ω desta aplicação é um subespaço bidimensional de 3 3 ( ) (na medida que varia sobre os núcleons ker ω determinam como um todo 3 o que é chamado de uma ŞdistribuiçãoŤ bidimensional em ). É possivel mostrar que 3 2

          (ou melhor, sua derivada em ) leva ker ω , isomorĄcamente, no espaço : 2 2 tangente ( cada vetor

          ( ) ) no ponto ( ). Assim ao longo de uma curva suave em velocidade é levantado por um desses isomorĄsmos a um único vetor situado ŞacimaŤ em 3

          . Como todas as aplicações são suaves estes vetores levantados podem, uma vez dado uma condição inicial, ser ŞencaixadosŤ em uma única curva integral que levanta a curva 2 original em .

          Estas 1-formas na álgebra de Lie (ou os procedimentos de levantamento de caminho correspondente, ou as distribuições no espaço Ąbrado correspondente) são chamadas co-

          

        nexões no Ąbrado (ou, na literatura de física, campos de calibre). Concluímos então

          que o Ąbrado de Hopf admite uma conexão ω cuja descrição em termos de 1-formas locais 2 em consiste precisamente dos potenciais (imaginários) do campo gerado pelo monopolo 3 de Dirac. O procedimento de levantamento de caminho correspondente em Şfaz o tra- balhoŤ dos vetores potenciais no monopolo. A derivada exterior Ω = ω desta 1-forma é chamada de curvatura da conexão, e corresponde (através de um ŞpullbackŤ) ao campo 2 . Monopolos de intensidades distintas são modelados por cone- do monopolo ⊗ F em 2 xões em (1)-Ąbrados sobre . Temos (pelo Teorema da ClassiĄcação) que esses Ąbrados estão em correspondência biunívoca com os elementos do grupo fundamental Þ ( (1)) do 1 círculo, i.e, com os inteiros.

        1.2 Caso Quatérnio

        1.2.1 Isospin de uma Partícula

          Em 1932, Werner Heisenberg sugeriu a possibilidade das partículas constituintes do núcleon ou núcleo atômico (próton e nêutron) serem, na verdade, a mesma partícula com diferentes ŞestadosŤ e propôs uma modelagem matemática para descrevê-los chamada es- tado de spin isotópico de um núcleon. Assim como a fase de uma partícula carregada é representada por um número complexo de módulo 1 e as mudanças de fase são realizadas 1 pela ação de (1) em (rotação), o spin isotópico de um núcleon é representado por um par de números complexos cuja soma dos quadrados das normas é 1 e as mudanças 3 de spin isotópico são realizadas pela ação de (2) em . Em 1954, C.N. Yang e R.L. Mills construíram uma teoria de spin isotópico que era estritamente análoga à teoria clás- sica do eletromagnetismo. Eles foram levados a considerar funções potenciais com valores matriciais (denotadas por ) e campos correspondentes ( ) construídos a partir das Û ÛÜ derivadas das funções potenciais. A ideia que envolve a teoria (invariância por cali-

          

        bre) foi assumir que, quando os efeitos do eletromagnetismo podem ser desprezados, as

          interações entre núcleons deveriam ser invariantes em relação às ŞrotaçõesŤ arbitrárias e independentes do estado de spin isotópico em cada ponto do espaço-tempo. Isso é intei- ramente análogo à invariância das interações do eletromagnetismo clássico em relação às mudanças de fase arbitrárias e tem efeito de ditar as propriedades de transformação das funções potenciais Û em relação a uma mudança de calibre, sugerindo uma combinação apropriada de Û e suas derivadas para agir como o campo ÛÜ , a saber, Û Ü ÛÜ Û Ü Ü Û = + ( ). (1.2.1) Ü Û ⊗ ⊗ Compare (1.2.1) com (3.2.10).

          A física do spin isotópico levou Yang e Mills a proporem certas equações chamadas

          equações de Yang-Mills (ver detalhes na seção C.2 do Apêndice C) A

          (1.2.2) em conjunto com a identidade de Bianchi (ver seção C.3 do Apêndice C) A

          F

          = 0 (1.2.3) as quais as funções potenciais Û deveriam satisfazer. Em 1975, Belavin, Polyakov, Schwartz e Tyupkin encontraram um número considerável de soluções dessas equações as quais chamaram de ŞpseudoparticulasŤ. Mostraremos neste trabalho que estas soluções 4 coincidem formalmente com os pullbacks (5.1.9) (Capítulo 5) para R das conexões no

          Ąbrado de Hopf (apenas o caso = 0 aparece explicitamente em o qual mostra- remos ser solução das equações de Yang-Mills no Capítulo 4). Esta observação foi expli- citada por Trautman A grande quantidade de pesquisa feita sobre a relação da Teoria de Yang-Mills clássica (ver Apêndice B) e a geometria e topologia de conexões têm produzido, não apenas re- sultados belíssimos na matemática desta era, como também um profundo entendimento da estrutura das teorias físicas fundamentais. Para o leitor interessado sugerimos para mais detalhes.

          Os potenciais A de maior interesse na física são aqueles que (localmente) minimizam o funcional de Yang-Mills (seção 2 - Capítulo 4) dado por 2 ∫︁ 2 4 = ( vol R ) (1.2.4)

          ℳ(A) = ‖F‖ ‖F( )‖ R 4 Mostraremos no Apêndice C que aplicando as técnicas de cálculo variacional para escrever as equações de Euler-Lagrange encontramos as equações de Yang-Mills (1.2.1) 4 para o potencial A. Em coordenadas usuais em H = R estas equações são dadas por ∑︁ 3 ( Ð ÐÑ Ð , ÐÑ ]) = 0, Ñ = 0, 1, 2, 3 (1.2.5)

          ℱ ℱ Ð=0 + [ Ð ÐÑ são como em (3.2.10). Este é um sistema de equações diferenciais parciais onde e ℱ Ð do potencial A. A não linearidade de segunda ordem, não-lineares das componentes das equações é vista como a representação da interação do campo de Yang-Mills consigo mesmo, algo que não ocorre na teoria clássica do eletromagnetismo (isto porque o grupo de calibre é (1), abeliano, então todos os colchetes de Lie são zero). Os potenciais BPST

          A Ú, (5.1.9) são todos soluções das equações de Yang-Mills.

          Uma maneira de desenvolver a teoria quântica é fazendo uso do método do funcional integral de Feymann que envolve a integração de exp(i ) onde é a ação. Usando uma continuação analítica para o tempo imaginário, o espaço de Minkowski é substituído pelo espaço Euclidiano de dimensão 4, a ação Euclidiana é um múltiplo positivo de i e portanto o integrando exp(i ) torna-se uma exponencial de decaimento cujo valor máximo ocorre no mínimo da ação Euclidiana. Então é de um signiĄcado importante determinar os mínimos absolutos de ℳ. Estes mínimos, chamados instantons, cujo estudo é um dos objetivos principais deste trabalho, são também os que serviram de inspiração para Donaldson apresentar uma revolução na Topologia de dimensão baixa. Os mínimos são soluções das equações de Yang-Mills, mas também podem ser caracterizados como soluções de um outro sistema de equações, mais simples, que descreveremos na seção 1 do Capítulo 4 dado por

          (1.2.6)

        • F = ⊗F Através da identidade de Bianchi vemos que F é solução de (1.2.1).
        • 1 De uma maneira inteiramente análoga ao caso complexo, para o estado de spin , 7 4 1 2 ≍ cuja conexão natural ω = HP existe o Ąbrado de Hopf quatérnio (2) ˓ registra, como dissemos no início dessa seção, a mudança do estado de isospin de uma 7 3 partícula, dada pela ação de (2) sobre as Ąbras da esfera difeomorfas a . Nosso objetivo é mostrar como se dá esta construção a partir da 1-forma de Cartan Θ , para

            = (2, H), a partir da qual encontraremos a conexão natural ω do Ąbrado de Hopf e por meio do pullback da mesma encontramos instantons para quando = 0 e Ú = 1.

          • ω

            Um estudo mais a fundo é feito das conexões , onde é uma ação natural à esquerda 7 de (2, H) sobre , em dois subgrupos particulares de (2, H) o que nos dá todos os BPST instantons (5.1.9) e (5.1.10). O estudo destas conexões leva à construção do que será chamado espaço moduli ℳ das conexões ASD do Ąbrado quatérnio de Hopf, assunto principal deste trabalho.

          2 Preliminares

            Neste capítulo premilinar Ązemos um resumo dos ítens de geometria diferencial ne- cessários para o desenvolvimento do curso principal deste trabalho. Como referência para este capítulo usamos, principalmente,

          2.1 Aplicações e Variedades Diferenciáveis

            Uma variedade topológica de dimensão é um espaço topológico Hausdorff, segundo contável com a propriedade de que, para cada , existe um conjunto aberto em contendo e um homeomorĄsmo de sobre um subconjunto aberto ( ) em

            R

            , ,

            . O par ( , ) é dito ser uma carta no ponto . Se ( 1 1 ) e ( 2 2 ) são duas cartas ⊗1 tais que 1 2 1 : 2 ( 1 2 1 ( 1 2 )

            ∩ ̸= ∅, então as funções de transição 2 ∩ ) ⊃

            ⊗1 e : ( ( ) são homeomorĄsmos inversos. 2 1 1 2 2 1 2 1 ∩ ) ⊃ Figura 2.1 Ű Fonte: Elaborada pelo autor.

            Duas cartas ( , ) e ( , ) são compatíveis se 1 1 2 2 1 2 1 2 = ∅, ou ̸= ∅ e

            ∞ as funções de transição são Ð Ð , de cartas

            . Um atlas de é uma coleção ¶( )♢ Ð duas a duas compatíveis tais que = . Uma carta é dita ser admissível em um Ð Ð

            ∞ atlas se é relacionada- com qualquer carta no atlas e o atlas é chamado maximal se contém todas as cartas admissiveis ao mesmo. Todo atlas está contido em um único atlas maximal (Teorema 5.3.1 Um atlas maximal é chamado de estrutura diferen-

            

          ciável para . Uma variedade topológica juntamente com uma estrutura diferenciável é

            chamada variedade diferenciável (ou suave). O inteiro é chamado dimensão de e é denotado por dim .

            Sejam e variedades suaves de dimensão e , respectivamente, e seja : uma aplicação contínua. Considere ( , ) uma carta em e ( , å) uma carta em com

            ⊗1 ∩ ( ) ̸= ∅. Então

            ⊗1 ⊗1 ⊗1

            å

            ( )) ◇ : ( ( )) ⊃ å(

            é chamada de expressão coordenada de em relação a estas duas cartas. é dita ser ∞

            ∞

            

          suave (ou ) se suas expressões coordenadas são para quaisquer cartas em algum

            atlas para e . Uma bijeção suave com inversa suave é um difeomorĄsmo e, se existe um difeomorĄsmo de sobre , dizemos que e são difeomorfos.

            Munindo a reta real R com sua estrutura diferenciável usual (atlas com uma única ∞ carta (R, )), denotamos por ( ) o conjunto de todas funções de valores reais suaves em e o munimos com a estrutura algébrica natural com identidade.

            ∞ Um vetor tangente em é uma função de valores reais v : ( ) ⊃ R linear e que satifaz a regra do produto de Leibniz

            ∞

            v( ) = ( )v( ) + v( ) ( ), ( ) (2.1.1)

            ∀ , A coleção de todos vetores tangentes é denotada por ( ), chamada de espaço tangente de em e munido com uma estrutura deĄnida ponto a ponto de espaço vetorial real.

            A dimensão de ( ) visto como um espaço vetorial real é a mesma de vista como uma variedade. De fato, se ( , ) é uma carta em de com funções coordenadas 1 ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ , = 1, . . . , ( ( ) = ( ( ), . . . , ( ))), então as aplicações lineares ⧹︃ = i ⧹︃ : ⧹︃

            ∞ ( ) ⊃ R deĄnidas por ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ = )( ( )) ⊗1 ∏︁ ⎫ ⨄︁ ⧹︃ ⧹︃ ⋀︁ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ n ⧹︃ ( estão em ( ) e ⎩ ⧹︃ ⧹︃ ⋂︁ 1 ⧹︃ . . . , ⧹︃ forma uma base de ( ), registramos isso no seguinte resultado.

            Teorema 2.1.1. Sejam uma variedade diferenciável e

            ∈ . Se ( , ) é uma carta

            

          em de com funções coordenadas é a projeção na

            ◇ , = 1, . . . , onde {︃ ⨀︀ i ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ =

            

          i-ésima coordenada, então é uma base de ( ). Mais ainda, para cada

          ⧹︃ =1,..., v ( )

            ∈ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

            v = v( ) ⧹︃ (2.1.2) ⧹︃ Observação 2.1.1. : Em (2.1.2) fazemos uso da notação da soma de Einstein.

            Se ( , ) é um intervalo aberto em R munido de sua estrutura diferenciável usual (determinado pelo atlas contendo uma única carta (( , ), Ø), Ø : ( , ) ⊃ R é a aplicação

            ′ ). O vetor velocidade de Ð em é a aplicação Ð ( ) :

            ∈ ( , ) e fazendo = Ð(

            ( ) ⊃ R deĄnida por ′

            ∞ (Ð ( ))( ) = ( ) (2.1.3) 1

            ( Ð)( ), para cada

            Então Ð ( ) pertence a ( ) e, na verdade, todo elemento de ( ) é o vetor velo- cidade de alguma curva suave em que passa por , colocamos isso num resultado

            

          Corolário 2.1.1. Sejam uma variedade suave, ( ). Então existe uma

            ∈ e v

          curva suave Ð em , deĄnida sobre algum intervalo de R contendo 0, tal que Ð (0) = v.

            

          Demonstração. Tome uma carta ( , ) sobre em com funções coordenadas =

          i ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

            , onde (v( )). DeĄna uma curva suave Ð em em algum ◇ e escreva v = ⧹︃

            ⊗1 1 1 intervalo de R contendo 0 pondo Ð( ) = ( ( ) + + . . . , ( ) + ). Então as {︃ ⨀︀ ⧹︃ ⧹︃

            ′ ⧹︃ componentes de Ð (0) com relação a i são ⧹︃ =1,...,

            ′

            Ð

            (0)( ) = 1 ( Ð)(0) 1 1

            ⊗1 = ( ( ) + + . . . , ( ) + ))(0) 1

            ( ◇

            = ( ( ) + (0) = ◇)

            ′ Logo Ð (0) = v.

            Se : é uma aplicação suave e , então a derivada de em é a aplicação linear : ( ) ( ),

            ( ) ⊃ ( ) deĄnida como segue: Para cada v

            (v) : ( ) ⊃ R é dada por *

            ∞ ( ( ) (2.1.4)

            (v))( ) = v( ), *

            Se v = Ð ( ) para alguma curva suave Ð, então ′ ′

            (v) = (Ð ( ( ) (2.1.5) )) = ( Ð) * * diz-se uma imersão em se é injetiva e uma imersão se isso for verdade para todo

          • é sobrejetiva e uma submersão se isso valer

            ∈ . é uma submersão em se * para todo . Uma imersão que também é um homeomorĄsmo sobre a sua imagem é chamada mergulho. Um ponto é chamado valor regular de se, para todo

            ⊗1 ( ), é uma submersão em . Caso contrário, é um ponto crítico de .

            ∈

            ′ Se Ð , Ð Ð é um atlas de então , com a

            ♢ ∈ é um subespaço aberto de em ¶

            ′ estrutura diferenciável determinada por este atlas, é chamado subvariedade aberta

            ′ de . Note que dim

            = dim . Mais geralmente, se dim = e 1 ⊘ é um ′ número inteiro então um subespaço topológico de é chamado de subvariedade de

            ′

            

          dimensão k de , se para cada , existe uma carta ( , ) na estrutura diferenciável

            ∈ de tal que 1 +1 +1

            , . . . , , , . . . , (2.1.6)

            ( ) = ¶( ) ∈ ( ); = ≤ ≤ ≤ = = 0♢ ′ ′ ′ ′ ′

            , ) para , onde

            Para cada ( , ) assim dada obtém-se uma carta ( é

            ′ ′ seguida de uma projeção de R = R sobre R , )

            × R . A coleção de todas as (

            ′ é um atlas de e portanto determina uma estrutura diferenciável para . Restrições de

            ∞ ∞ aplicações em a subvariedades são ainda em relação à estrutura diferenciável desta subvariedade. De acordo com o Teorema da Função Inversa, se e possuem a

            : ( ) é um isomorĄsmo se,

          • ( )

            mesma dimensão e : é suave, então ( ) ⊃ e somente se, é um difeomorĄsmo local em . Isto é um resultado que segue do seguinte Teorema

            Teorema 2.1.2. (Regra da cadeia) Sejam :

            ⊃ e : aplicações suaves

            entre variedades diferenciáveis. Então

            ◇ : é suave e para todo , = (2.1.7)

          • ( ) ◇ * *

            ( )

            Demonstração. Que

            ( ). Então, para ◇ é suave segue de análise. Considere v

            ∞ ( ( ( ))) temos que todo

            ( ) (v)() = v(◇ ( )) = v(( ) ◇ )

          • = ( (v))()
          • ( ) * *

            (v)( ) = = ( )(v)()

          • ( ) ◇ *

            Segue deste Teorema e do Teorema da Função Inversa que:

            Corolário 2.1.2. Seja :

            ⊃ uma aplicação diferenciável entre variedades diferen-

            

          ciáveis e seja : ( ) é um isomorĄsmo se, e somente se,

          ( )

            ∈ . Então ( ) ⊃ *

            

          é um difeomorĄsmo local em , i.e., se, e somente se, existem vizinhanças e de

          e ( ), respectivamente, tais que

            ♣ é um difeomorĄsmo de sobre . Se é um mergulho, então sua imagem ( ) é uma subvariedade de , e considerando como uma aplicação de em ( ), é um difeomorĄsmo pelo Colorário 2.1.2. Por outro lado, se : é qualquer aplicação suave e é um valor regular de ,

            ⊗1 então

            ( ) é vazio ou é uma subvariedade de de dimensão dim ⊗ dim (Colorário 5.6.7 Nesta altura paramos para dar alguns exemplos que serão usados neste trabalho.

            1. (Estruturas diferenciáveis naturais nos espaços vetoriais) Seja = um espaço 1 , . . . ,

          • 1

            . . . , da seguinte maneira: Para cada v = v

            ¶ ♢ de . DeĄna : ⊃ R 1 1 ∈ ,

            (v) = ( (v), . . . , (v)) = ( , . . . , ). Então é um isomorĄsmo. Munimos com a topologia que faz com que seja um homeomorĄsmo (processo feito independente da escolha de base). Agora tome o atlas de dado por uma única carta global ( , ) para munir com uma estrutura diferenciável (também independente da escolha de base). Ob- serve que, para cada ∈ , o espaço tangente ( ) pode ser identiĄcado canonicamente

            ′ = Ð

            ∈ com : Para cada v ∈ , deĄna v ( ) pondo v (0), onde Ð : R ⊃ é dado por

            Ð ( ) = + . Então a aplicação ↦⊃ v é o isomorĄsmo canônico de sobre ( ). 1

            2. (Estrutura diferenciável usual em uma esfera ) = , . . . , +1 1 2 2

          • +1 = ¶( ) ∈

            R ; ( ) + . . . + ( )

            . DeĄnimos duas = 1♢ com sua topologia herdada de R cartas da projeção estereográĄca em

            . Sejam = (0, . . . , 0, 1) e = (0, . . . , 0, ⊗1), = = : por

            ⊗ ¶ ♢ e ⊗ ¶ ♢. Agora deĄna ⊃ R 1 +1 (︃ )︃ 1 ( , . . . , , ) = , . . . , (2.1.8) +1 +1 1 ⊗ 1 ⊗ e : por

            ⊃ R 1 +1 (︃ )︃ 1 ( , . . . , , ) = , . . . , (2.1.9) +1 +1 1 + 1 +

            ⊗1 Então : R é

            ⊃ 2 1 2 ⊗1 ⊗1

            ) (2 , . . . , 2 , (2.1.10) ( ) = (1 + ‖ ‖ ‖ ‖ ⊗ 1)

            ⊗1 e : R é

            ⊃ 2 1 2 ⊗1 ⊗1

            ) (2 , . . . , 2 , ) (2.1.11) ( ) = (1 + ‖ ‖ 1 ⊗ ‖ 1

            ⊗1 ⊗1 Portanto em ( ) = ( ) = R ( ) = 2 = ( ).

            ∩ ⊗¶0♢,

            , ), ( , e consequentemente determina uma

            Desse modo, ¶( )♢ é um atlas de estrutura diferenciável para . 3 4 Observação 2.1.2. As estruturas de e são substancialmente elucidadas através do 4

            uso dos quatérnios. IndentiĄca-se R com o espaço vetorial das matrizes 2 ∏︀ ⎞

            × 2 comple- ∐︁ ̂︀ Ð Ñ

          xas da forma onde a norma ao quadrado desta matriz é tomada como sendo o

            Ñ Ð ¯

            ⊗ ¯

            

          determinante da mesma (ver Apêndice A). Multiplicação de matrizes corresponde à multi-

          4 3

          plicação de quatérnios em R . é o grupo dos quatérnios unitários e pode ser identiĄcado

          com o grupo unitário (2) (Teorema A.0.1 - Apêndice A). Além disso, as funções de

          4

          transição das cartas das projeções estereográĄcas ( , ) e ( , ) em podem ser

          escritas como

            ⊗1 ⊗1 ⊗1 ( ) = ¯ = ( ) (2.1.12)

            4

            para todo ∈ R ⊗ ¶0♢ = H ⊗ ¶0♢.

            3. (Espaços projetivos) Seja F = R, C ou H. Considere F como um módulo à direita e deĄna a forma bilinear de F (um espaço vetorial se F = e C). Seja 0 = (0, . . . , 0) ∈ F 1 1

            Õ + . . . + ¯ Ý Õ . Seja

            usual ⟨ , ⟩ : F × F ⊃ F por ⟨Ý, Õ⟩ = ¯Ý , para todos Ý, Õ ∈ F 2 4 tem a topologia de R , R ou R , então é homeomorfo = ¶Ý ∈ F : ⟨Ý, Ý⟩ = 1♢. F

            ⊗1 2 ⊗1 4 ⊗1 a , ou

            . DeĄna uma relação de equivalência ≍ em como segue: Õ Ý se, e somente se, existe ∈ F com ♣ ♣ = 1 tal que Õ = Ý . A classe de equivalência contendo

            Ý é 1 1 1

            [Ý] = [Ý , . . . , Ý , . . . , Ý 1 ] = ¶(Ý ); ∈ F, ♣ = 1♢ 3 Cada [Ý] é homeomorfo a , ou . O espaço quociente / ≍ é o espaço projetivo

            ⊗1 (real, complexo, quatérnio ou quaterniônico) FP . Todos estes são Hausdorff ( segundo contáveis, sendo imagens contínuas de esferas, são também compactos e conexos. 3 Mostremos o homeomorĄsmo citado acima a no caso em que F = H. Pelo Te- orema A.0.1 temos que o conjunto dos quatérnios unitários, i.e., dos elementos ∈ H 3 4 ⊗1

            ⊗1 ⊃ HP tais que ♣ ♣ = 1, é homeomorfo a . AĄrmamos que as Ąbras de : 3 1

            , . . . ,

            são homeomorfas a . Portanto para qualquer = ( , temos que 3 1 3 ) ∈ ⊖ H ⊗1

            ([ , . . . , ]) = ¶ ; ♢ = ¶( ) : ♢. Fixando , consideramos a 1

            ⊗1 aplicação : H , . . . , ) = ( ) , para algum

            ⊃ H deĄnida por ( ̸= 0. Identi- 4 4 Ącando H com R e H com R temos que essa função é contínua. De fato, escrevendo

          • = i + j + k e

            = Ð + Ñi + Òj + Ók, onde = 1, . . . , e ∈ ¶1, . . . , ♢. Logo é a composição de funções contínuas 1 1 1 1

            ( , , , , . . . , , , , , , , ) ↦⊃ ( ) ↦⊃ ∏︀

            Ð + Ñ + Ò + Ó Ð + Ó ∐︁Ñ Ò 2 2 2 2 , , 2 2 2 2 Ð + Ñ + Ò + Ó Ð + Ñ + Ò + Ó Ð + Ñ Ð + Ò

            ⊗ Ò Ó Ó Ñ ̂︀ 2 2 2 2 , 2 2 2 2 ⊗1 Ð + Ñ + Ò + Ó Ð + Ñ + Ò + Ó 1 3 ([ ]) que leva ( , é contínua e obviamente , . . . , Portanto a restrição ♣ ) em 1

             , . . . ,

            ) também é contínua. De fato, escrevendo = bijetiva. Sua inversa ↦⊃ (

          • i + j + k temos que
          • 1 1 1 1 1 1 1 1

               , ,

            • +

              ( , , , ) ↦⊃ ( 1 1 1 1 1 1 1 1

               , , . . . ,

            • + + +
            • + , ,
            • + + + , )
            • 4 4 1 deĄne uma função contínua de R em R . Concluímos que ( , . . . , 3 ) ↦⊃ é um ⊗1 ([ ]) sobre .

                ⊗1 Seja : ⊃ FP a aplicação quociente ( (Ý) = [Ý]). Para cada = 1, . . . , , tome

                ⊗1 ⊗1 ⊗1

                ; Ý ( : (= = ¶[Ý] ∈ FP ̸= 0♢. Então ) = ¶Ý ; Ý ̸= 0♢. DeĄna ⊃ F

                ⊗1 2 ⊗2 4 ⊗4 R

                , R , R ) por 1 1 1

                ⊗1 ⊗1 ([Ý]) = ([Ý , . . . , Ý , . . . , Ý ]) = (Ý (Ý ) , . . . , ^ 1, . . . , Ý (Ý ) ) (2.1.13)

                ⊗1 ⊗1 (onde Ş ^ Ť siginiĄca omitir). Então : F é dada por 1

                ⊗1 ( ) = [ , . . . , 1, . . . , ] (2.1.14)

                ⊗1 Esta aplicações são homeomorĄsmos inversos, o que signiĄca dizer que FP é localmente

                ⊗1 Euclidiano. As funções de transição : ( ( ) são suaves. Por

                ◇ ) ⊃ exemplo, 2 3 2 3

                ⊗1 2 ( , , . . . , ) = ([1, , , . . . , ]) 2 1 (︁ )︁ (2.1.15) 2 3 2 2

                ⊗1 ⊗1 ⊗1 = ( ) , ( ) , . . . , ( )

                ⊗1

                , é um atlas de FP e portanto determina uma estrutura diferen-

                Logo ¶( )♢ =1,..., ⊗1 ciável para FP .

                

              Observação 2.1.3. Temos interesse, em particular, no caso = 2. Neste caso existem

              1

                ⊗1

                apenas duas cartas ( , , . Além disso, 1 1 ) e ( 2 2 ) em FP 2 : 1 ( 2 1

                ◇ 1 ∩ ) ⊃

                ⊗1 ⊗1 2 ( ) é dada por ( ) = ([1, ]) = e analogamente o mesmo vale para 2 1 2 2

                ∩ 1 ⊗1 1 . Portanto, ( ) = ( 1 2 1 2 2

              1

                ◇ 2 ∩ ) = F ⊗ ¶0♢ e, ⊗1 ⊗1 ⊗1 2 ( ) = = ( ), (2.1.16) 1

                ◇ 1 ◇ 2 ∈ F ⊗ ¶0♢

                

              Fazemos um pequeno ajuste para que as funções de transição em (2.1.16) sejam seme-

              lhantes as de (2.1.12). DeĄnimos ¯ : ([Ý]) = ([Ý]) (em F = R, ¯ = ).

              1 1 1 1

                ⊃ F por ¯ 1 Então claramente ( , ¯ ) é também uma carta de FP e desta vez temos 1 1 ⊗1 ⊗1 ⊗1 2 ( ) = ¯ = ¯ ( ), (2.1.17) 1

                ◇ ¯ 1 ◇ 1 1 1 2 ∈ F ⊗ ¶0♢ 2 1 4 ≍ ≍ ≍

                Mostraremos agora que RP , CP e HP . Primeiro enunciamos um = = = lema.

                

              Lema 2.1.1. (Lema de Colagem) Sejam e espaços topológicos e suponha que

                = , onde e são abertos (ou fechados) em . Suponha que : 1 2 1 2 1 1

                ⊃ e 2 : 2 1 1 2 = . Então a aplicação : 2 1 2 sejam contínuas e que

                deĄnida por ⨄︁ ⋁︁ ∏︁ 1 1

                ( ), ( ) = ⋁︁ 2 2

                ( ), é contínua.

                1 1 2 4 Agora se F = R, C ou H, então FP é homeomorfo a , ou , respectivamente.

                Provemos ao mesmo tempo as três aĄrmações. Sejam ( , ) e ( , ) as cartas das 1 2 4 projeções estereográĄcas sobre , ou . Então suas aplicações de transição podem ser escritas como

                ⊗1 ⊗1 ⊗1 ( ) = ¯ = ( ),

                ◇ ∈ F ⊗ ¶0♢ 1 Agora sejam ( , ¯ ) e ( , ) as cartas de FP descritas acima cujas aplicações de 1 1 2 2 ⊗1 transição são dadas por (2.2.1) e consideremos os homeomorĄsmos : e 2 2

                ◇ ⊗1

                ⊗1 ⊗1 : . Observe que em ,ealas coincidem, ou seja, = .

                ◇ ¯ 1 1 ⊃ 1 2 1 ∩ 2 ◇ 2 ( 1 2 2 ◇ ¯ 1

                Com efeito, se [Ý] ∈ então ([Ý]) ∈ ) = F ⊗ ¶0♢. Mas em F ⊗ ¶0♢, ⊗1 ⊗1

                ¯ 1 = , logo 2 ◇

                ⊗1 ⊗1 ( ¯ 1 )( 2 ([Ý])) = ( )( 2 ([Ý]))

                ◇ 2 ⊗1

                ¯ 1 ([Ý]) = 2 )([Ý]) ◇ (

                ⊗1 ⊗1 1 ([Ý]) = 2 ([Ý]) 1 ◇ ¯ ◇ ⊗1 ⊗1

                Agora, 1 2 = FP e = . Pelo Lema 2.1.1, os homeomorĄsmos 2 e 1

                ¯ determinam uma bijeção contínua de FP sobre a esfera . As inversas são determinadas 1 ⊗1 ⊗1 ⊗1 ⊗1

                ⊗1 ⊗1 da mesma forma por ( ) = : e ( ) = : 2 2 1

                ◇ 2 ◇ ◇ ¯ 1 ◇ ¯ ⊃ 1 logo também são contínuas e segue o resultado. Mais ainda, este homeomorĄsmo é um difeomorĄsmo. Para vermos isso, escrevemos mais explicitamente. 2 1 2 1 2 ⊗1 ⊗1 ⊗1 2 ([Ý , Ý ]) = (Ý (Ý ) )

                ◇ 1 2 2 1 2 1 2 2 ⊗1 ⊗1 ⊗1 ⊗1

                (Ý ) ) (2Ý (Ý ) , (Ý ) ) = (1 + ‖Ý ‖ ‖Ý(︃ )︃ (︃ )︃ 2 2 1 2 1 2

                ¯ (2.1.18)

                Ý Ý

                ‖Ý ‖ ‖Ý ‖ = 2 , 1 2 2 2 2 2 2 2 ⊗ 1

                ‖Ý ‖ ‖ ‖Ý ‖ ‖Ý1 2 + ‖Ý 1 2 2 2 ¯

                = (2Ý Ý , ) 1 2 2 2Ý ‖ ⊗ ‖Ý ‖ = 1. Logo, cada função coordenada é suave. Fazendo o mesmo para pois ‖Ý ‖ + ‖Ý ‖ a inversa de , vemos que as funções coordenadas também são suaves e portanto 2 é um difeomorĄsmo. Em particular, para F = C escreve-se 2

                ◇ 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2

                , ) = ( ¯ + ¯ , ¯ + i¯ , ) (2.1.19)

                ( i ♣ ⊗ ♣ ♣ 4. (Grupos Clássicos) Seja F = R, C ou H tomamos gl( , F) como sendo o conjunto de 2

                , todas as matrizes × com entradas em F. Topologicamente, identiĄcamos gl( , R) = R 2 2 4 2 gl ( , C) = R e gl( , H) = R . Denote o conjunto de todos os elementos invertiveis de gl( , F) por ( , F). Então ( , F) é uma subvariedade aberta de gl( , F). Seja

                ⊗1 = ¯ F = R : ( , R) = ( ) = grupo ortogonal de ordem

                F = C : ( , C) = ( ) = grupo unitário de ordem

                F = H : ( , H) = ( ) = grupo simplético de ordem

                ( , F) é uma subvariedade de ( , F), mas isto não é óbvio. Por exemplo, ( ) é uma subvariedade de ( , R) porque é a imagem inversa de um valor regular em relação a uma aplicação suave de ( , R) em um espaço Euclidiano (identiĄcando o conjunto ( , R) n (n+1) 2 das matrizes × reais com R ), deĄna : ( , R) ⊃ ( , R) por ( ) =

                ⊗1 e note que ( ) = ( )). Quanto aos casos ( ) e ( ) faremos uma observação na Seção 2.2. A seguir, deĄnimos

                ( ) = ¶ ( ); det = 1♢ = grupo ortogonal especial de ordem ( ) = ¶ ( ); det = 1♢ = grupo unitário especial de ordem ( ) e ( ) são subvariedades de ( ) e ( ), respectivamente.

                5. (Produtos) Sejam e variedades diferenciáveis de dimensão e , respectiva- mente. Se ( , ) é uma carta em e ( , å) uma carta em , então ( × , × å) é uma

              • + = R carta no espaço topológico × (a aplicação produto ×å : × ⊃ R (︁ )︁

                ×R ( ), å( ) ). O conjunto de todas as cartas deste tipo é um

                é dada por × å( , ) = atlas para × que determina uma estrutura da variedade produto × . O processo estende-se para uma quantidade (Ąnita) maior de produtos. Exemplos que saltam são 1 1 1 1 1

                , × × × ,... e certos produtos de grupos clássicos como (2) × (1) (grupo de calibre do electroweak), (3) × (2) × (1) (partículas elementares do standard

                model), etc..

                Um campo vetorial em uma variedade diferenciável é uma aplicação V que em ( ). Se ( , ) é uma associa a cada ponto a um vetor tangente V( ) = V 1 ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                , . . . , i

                carta de com funções coordenadas é um campo vetorial em , então ↦⊃ ⧹︃ i ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                ( ) , onde as para cada = 1, . . . , . Para qualquer V e qualquer , V( ) = V ⧹︃ funções ( ) = V ( ) e chamadas de componente de V : ⊃ R são deĄnidas por com relação a ( , ). V é contínuo, suave, etc. se seus componentes forem contínuos, suaves, etc. para todas as cartas de algum atlas para . O conjunto de todos campos vetoriais suaves em é denotado por X( ) e possui a estrutura óbvia como módulo

                ∞ ∞ sobre

                ( ) dando V = V( ) ( ). Qualquer V ∈ X( ) age sobre qualquer

                ∞ ∞ em ( ) deĄnida por (V )( ) = V

                ( ) é ( ) para todo . Este operador em uma derivação, i.e.,

                ∞ ( ), e

                (i) V( + ) = V + V , para todos , ∈ R e , ∞ ( ).

                ∞ ∞ ( ) deĄne um campo vetorial

                Reciprocamente, qualquer derivação : ( ) ⊃ suave V em deĄnido por V( )( ) = ( )( ). Logo, campos vetoriais podem ser iden- tiĄcados com derivações. Como aplicação, deĄnimos o colchete de Lie [V, W] de dois campos vetoriais suaves V e W como sendo a derivação (o campo vetorial) deĄnida por

                (2.1.20) [V, W]( ) = V(W ) ⊗ W(V ) Colocamos aqui algumas propriedades úteis do colchete de Lie.

                [V, W] = ⊗[W, V]

                V , W] = , W] + , W]

                [ 1 1 2 2 1 [V 1 2 [V 2 [ V, W] = [V, W] + (V )W (W )V

              • V

                [[V , V ], V ] + [[V , V ], V ] + [[V , V ], V ] = 0 1 2 3 (︃ )︃ 3 1 2 2 3 1 [V, W] =

                ⊗ ∞ para quaisquer V, W, V , V , V , ( ) e, par última igual- 1 2 3 1 2

                ∈ X( ), ∈ R, , dade, qualquer carta em . Uma curva integral para V ∈ X( ) é uma curva Ð : ′

                ( ) em cada ponto em ( , ) coincide com o vetor ( , ) ⊃ cujo vetor velocidade Ð

                

              V(Ð( )), ou seja, Ð1( ) = V(Ð( )). Pelo menos lcoalmente, estas curvas sempre existem

              (Teorema 5.7.2 1 , . . . , 1 , . . . , ^

                ♢ e ¶^ ♢ duas bases or- Seja um espaço vetorial de dimensão e ¶

                ) , =1,..., tal que denadas de . Então existe uma única matriz × não singular real ( ^ = , = 1, . . . , . Como det(

                ) ̸= 0 podemos deĄnir uma relação de equivalência 1 , . . . , , . . . , ^ 1 ≍ no conjunto de todas as bases ordenadas de por ¶ ♢ ≍ ¶^ ♢ se, e somente se, det( ) > 0 e com isso, concluimos que existe exatamente duas classes de de equivalência, cada uma das quais tem-se uma orientação de . A classe de equiva- 1 , . . . , , . . . , ]. Agora seja uma variedade 1 lência que contém ¶ ♢ é denotada por [ diferenciável de dimensão n e um conjunto aberto de . Uma orientação em é uma de ( ) e satisfaz a aplicação Û que associa a cada ponto uma orientação Û seguinte condição de suavidade: Para cada em

                ∈ existe uma vizinhança de 1 , . . . , V ( ), . . . , V 1 com e campos vetoriais suaves V em com ¶V ( )♢ ∈ Û 1

                , . . . , ,

                para cada . Por exemplo, se ( , ) é uma carta com funções coordenadas [︃ ⟨ 1 , . . . , é uma orientação em . Uma variedade para a qual uma ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ n então ↦⊃ ⧹︃ ⧹︃ orientação existe em todo é dito ser orientável e é orientado para uma escolha qualquer especíĄca de uma orientação Û em . Uma variedade orientável, conexa ad- mite precisamente duas orientações (Teorema 5.10.2 Se uma das orientações é Û, então a outra é denotada por ⊗Û e chamada orientação oposta. Se é orien- 1 tável com orientação Û, então uma carta ( , ) com coordenadas , . . . , é dita ser {︃ ⨀︀ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                consistente com Û se , . . . , n 1

                ∈ Û ⧹︃ ⧹︃ para cada . Se ( , ) e ( , å) são

                1 1 cartas com funções coordenadas , . . . , e , . . . , , respectivamente, ambas consis- tentes com Û, e para as quais ̸= ∅, então o Jacobiano da transformação coordenada 1 ⊗1 1

                ( , . . . , ( , . . . , ) = å ) possui determinate positivo em ( ). Segue então que uma variedade orientável possui um atlas orientado, i.e., um atlas cujas funções de transição possuem determinante positivo. A recíproca é verdadeira, ou seja, uma varie- dade é orientável se, e somente se, possui um atlas orientado (Proposição 15.6

                ⊗1 Com excessão de RP para ímpar, todas as variedades introduzidas nos Exemplos 1-6 acima são orientáveis. Suponha que e sejam variedades com orientação Û e Ü, respectivamente, e que : seja um difeomorĄsmo. Então, para cada ,

                : ( ) ( ) é um isomorĄsmo e leva cada base de ( ) em uma base de ( ) ⊃

              • ( )

                leva cada base de ( ). Dizemos que preserva orientação se, para cada , *

                Û em uma base de Ü ( )

                . Se for conexo, então um difeomorĄsmo : preserva leva bases orientação ou reverte orientação no sentido de que, para cada , * ( ) de Û . O dual ( ) de ( ) é chamado espaço cotangente de em bases de ⊗Ü

              • em e seus elementos são chamados covetores em . Uma 1-forma (com valores

                

              reais) em é uma aplicação Θ que associa cada em

                ∈ a um covetor Θ( ) = Θ

                ( ) deĄnimos sua derivada exterior seguinte forma:

              • ( ). Por exemplo, se
              • é um elemento de ( ) é

                Para cada , ( ) = ( ) cujo valor em v ( )(v) = (v) = v( ). Então é uma 1-forma em . Em particular, se ( , ) é uma 1 carta em com funções coordenadas , . . . , então cada é uma 1-forma em e, em {︃ ⨀︀ ⧹︃ ⧹︃ 1 ⧹︃ ⧹︃

              • ⧹︃ ⧹︃ , . . .

                ( ) dual de 1 , . . . , n . cada ponto , o conjunto ¶ ♢ é uma base de ⧹︃ ⧹︃

                = Θ ( ) , Se Θ é uma 1-forma qualquer, em cada , Θ é escrito como Θ( ) = Θ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ onde Θ ( ) = Θ( ) i . As funções Θ são as componentes de Θ em relação a ( , ) e Θ é ⧹︃ dita contínua, suave, etc. se suas componentes Θ forem contínuas, suaves, etc. para todas

              • as cartas de algum atlas para . O conjunto X ( ) de todas as 1-formas suaves em pos-

                sui uma estrutura de módulo sobre ( ) dá origem ( ). Mais ainda, qualquer Θ ∈ X

                ∞ ∞ a um homomorĄsmo módulo- ( ) de

                ( ) deĄnido assim: Para todo V ∈ X( ),

                Θ(V) = ΘV é dado por (ΘV)( ) = Θ( )V( ) = Θ V . Logo,em relação a qualquer

                ∞ carta, Θ(V)( ) = Θ ( ) ( ). Reciprocamente, qualquer homomorĄsmo módulo- ( )

                ∞ ( ) determina uma única 1-forma Θ fazendo Θ(V) = (V) para

                : X( ) ⊃ todo V ∈ X( ). Se é dado ao conjunto desses homomorĄsmos uma estrutura natural de ∞ módulo- ( ), então esta correspondência é um isomorĄsmo, dessa forma não faremos distinção entre a 1-forma e o homomorĄsmo. Se : é suave e Θ é uma 1-forma

                em , então o pullback Θ ( ) é deĄnido por ∈ X

              • ( )
              • 1 Em coordenadas, se ( , ) for uma carta em com funções coordenadas , . . . , e 1

                  ( Θ) (v) = Θ ( (v)) (2.1.21)

                  , . . . ,

                  ( , å) uma carta em com funções coordenadas

                  Θ =⇒

                • Θ = (Θ

                  ◇ ) 1 1 1 1 (2.1.22) = Θ ( ( , . . . , ), . . . , ( , . . . , )) ( ( , . . . , )) 1 1 1 1

                  ⊗1 ( , . . . , ) = ( ( , . . . , ), . . . , ( , . . . , )). Em um caso especial, onde å

                  ∞ ( ), então se

                • (2.1.23)

                  ( ) = ( ) Funções suaves de valores reais são geralmente chamadas 0-formas e, se deĄnido o pull-

                  ( ), então este último back de uma 0-forma como : sendo = resultado lê-se

                • ou seja, o pullback comuta com a derivada exterior de 0-formas. Observe que o operador da derivada exterior leva 0-formas em 1-formas. Para referência registramos algumas de suas propriedades relevantes
                • ( ) = (

                  ) (2.1.24)

                  ∞ 1 2 1 + + ( ) = , ( )) 2 1 2 ( , ∈ R e

                  ∞ ( ) = + ( ))

                  ( ,

                  ∞ ∞ ( ) = ( )

                  ( )) ( : e 1

                  e, se ( , ) é uma carta em com funções coordenadas , . . . , , então ∞

                  = ( )) (2.1.25) (

                  ′ ′ Se é uma subvariedade de e Ø : ˓

                  ⊃ é a aplicação inclusão, então a restrição

                  ( ) a é deĄnida como sendo Ø

                  Θ. Finalmente, se :

                  de Θ ∈ X ⊃ e : são suaves, então

                • =

                  (2.1.26) ( ) ◇

                  ( ) temos que De fato, para quaisquer e v (︂ )︂

                • Θ (v))

                  (v) = Θ

                • ( )( )

                  ( ) (( ) = Θ ( ( (v))) ( ( ))

                • *
                • Θ) ( (v)) = ( ( Θ)) (v) = ( ) Θ(v) ( )

                  = (

                  ◇

                • ( ), como queríamos.
                • geralmente é denotado

                  para todo Θ ∈ X

                  Se é um espaço vetorial de dimensão Ąnita, então seu dual 1 2

                o conjunto de todas aplicações bilineares em × e referimo-nos aos seus elementos 1 2 como 2-tensores covariantes. Se Ð, Ñ ∈ ( ) o produto tensorial Ð · Ñ ∈ ( ) entre eles é deĄnido por

                  (2.1.27) (Ð · Ñ)( , ) = Ð( )Ñ( ) 1 1 1 ♢ é uma base de e ¶ ♢ é sua base dual de · , . . . , , . . . ,

                  Se ¶ 2 2 ( ), então ¶ ; , = 1, . . . , ♢ é uma base de ( ) e cada ∈ ( ) pode ser escrito de forma

                  única como

                  ,

                  = = ( ) (2.1.28) · · 2

                  (Lema 5.11.1 Um 2-tensor ∈ ( ) é dito simétrico se ( , ) = ( , ) para todos , ∈ , antissimétrico se ( , ) = ⊗ ( , ) para todos , ∈ , não-

                  degenerado se ( , ) = 0 para todo

                  ∈ implica que = 0 e não-negativo (respectivamente, não-positivo) se ( , ) ⊙ 0 (respectivamente ( , ) ⊘ 0) para todo ∈ com ( , ) = 0, somente se = 0. Um elemento não-degenerado, simétrico 2 e não-negativo de ( ) é chamado de produto interno em . O conjunto de todos 2 2 1 os elementos antissimétricos de ( ) é denotado por Λ ( ). Para todos Ð, Ñ ∈ ( ) 2 deĄnimos o produto exterior Ð Ñ ∈ Λ ( ) por

                  Ð

                  (2.1.29) 1 , . . . , , . . . , Ñ = Ð · Ñ Ñ · Ð 1 ♢ é uma base de e ¶ ♢ é sua base dual, então ¶

                  Se ¶ 2 2 ; 1 ⊘ < ♢ é uma base de Λ

                  ( ) e cada Ω ∈ Λ ( ) pode ser escrito de forma única como ∑︁

                  1 Ω = Ω = Ω (2.1.30)

                  ∧ <

                  2 onde Ω = Ω( , ) (Lema 5.11.2 Se é uma variedade diferenciável, então o 2-tensor covariante em é a aplicação 2 A que associa cada ( ( )). Se ( , ) é uma carta

                  ∈ a um elemento A( ) = A1 em com funções coordenadas , . . . , , então A( ) = ( ) . As funções (︃ )︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ · ( ) = A i , j e são as componentes de

                  : ⊃ R são deĄnidas por ⧹︃ ⧹︃

                A. A é dito ser contínua, suave, etc., se suas componentes o são para todas as cartas

                  2

                  ( ) e tem estrutura em algum atlas em . O conjunto de todas A é denotado por ∞ 2 módulo-

                  ( ) ( ). Um g ∈ ( ), que em cada , é um produto interno em 2

                  ( ), o qual em cada ponto é chamado de métrica Riemanianna de . Um Ω

                  ∈ é antissimétrico é chamado de 2-forma em e o conjunto de todas as 2-formas 2 2 2 e denotado por Λ ( ). Se Ω , Ω ( ), então Ω ( ) e Ω ( ) 1 2 ∈ X 1 · Ω 2 ∈

                • 2 1 ∧ Ω 2 ∈ Λ

                  ( ), então o pullback são deĄnidos ponto a ponto. Se : é suave e A 2

                • A

                  ∈ ( ) é deĄnido, em cada , por

                • A)

                  ( (v, w) = A ( ) ( (v), (w)), ( ) (2.1.31) O pullback de uma métrica Riemanniana continua sendo uma métrica Riemanniana, e o pullback de uma 2-forma ainda é uma 2-forma. Restrições, assim como para uma 1-formas, é o pullback pela aplicação inclusão.

                  Sejam e variedade diferenciáveis com métricas Riemannianas g e g , respecti- 1 2 1 2 vamente, e suponha : um difeomorĄsmo. Dizemos que é um difeomorĄsmo 1 2

                • conforme (e e são conformemente equivalentes) se
                • 1 2 g = Úg para alguma 2 1

                    função positiva suave Ú : Ú 1 ⊃ R. Se a função Ú é identicamente igual a 1, é chamado de isometria e e são isométricos. Daremos um exemplo usado no trabalho da 1 2 esfera . 1 1 +1 +1 +1 +1

                    Sejam g = + . . . + a métrica usual de R , Ø : ˓ a ⊕ ⊃ R inclusão e Ø . Sejam = : a

                  • g a métrica usual em

                    ⊗ ¶(0, . . . , 0, 1)♢ e ⊃ R ⊗1 projeção estereográĄca em relação ao pólo norte. Fazemos = : R de modo

                    ⊃ que 2 1 2 ⊗1

                    Ø ) (2 , . . . ,

                    2 , 1 ( ) = (1 + ‖ ‖ ‖ ‖ ⊗ 1) onde , . . . , são coordenadas usuais em R . Então = , = 1, . . . , são ◇

                    coordenadas em . Calculemos agora o pullback (Ø

                    g) = (Ø

                    g. Fixe e

                    ◇ ) ∈ R

                    v , w (R ). Então

                    ∈

                  • g) (v , w ) = g (Ø (v (w ))

                    ◇ )( ) * * ((Ø ) ((Ø ) ), (Ø )

                    Agora, (︃ )︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ (v ( + )

                    (Ø ) ) = (Ø ) * * (︂ 2 ⧹︃ =0 1 1 ⊗1

                    = ) (2 + 2 , . . . ,

                    2 (1 + ‖ + 2 )︂

                  • , =0

                    ‖ + ‖ ⊗ 1)♣ Calculando estas derivadas componente a componente obtemos que 2 ⊗2 2 1 1

                    (v ) ) , . . . , 2 ⊗ 4⟨ , (Ø ) ) = (1 + ‖ ‖ (2(1 + ‖

                  • ,

                    ) ⊗ 4⟨ ,

                    2(1 + ‖ ‖ 4⟨ , ⟩) (w ) calcula-se g (v (Ø

                    Usando isto e uma expressão análoga para (Ø ) ◇ )( ) ((Ø ) ), (Ø◇ * * ) (w )) como a soma dos produtos das coordenadas correspondentes (assim como o +1 2 ⊗1

                  • produto interno em R )

                    ). O resultado é 4(1 + ‖ ‖ ⟨ , ⟩ e portanto obtemos

                    4

                    ( (Ø

                    g)) (v , w ) = (2.1.32) 2 2 ,

                    n n

                    Denotando por g a métrica usual de (restrita a ) e por g R a métrica de R e 4 deĄnindo Ú : R 2 2 podemos escrever (2.1.31) da seguinte forma ⊃ R por Ú( ) = (1+ )

                    ‖

                  • ⊗1 n n

                    ( ) g = Úg R (2.1.33) ⊗1

                    Logo, é um difeomorĄsmo conforme de R sobre , i.e., R é conformemente equiva- lente à subvariedade aberta de . Cálculos semelhantes dão o mesmo resultado para então dizemos que é localmente conformemente equivalente a R . 2

                    ∞ ( ) dá origem a uma aplicação bilinear-

                    Um elemento A ∈ ( ) : X( ) ×

                    ∞

                    X ( ) ⊃ ( ) deĄnida da seguinte maneira: Para todos V, W ∈ X( ) deĄna (V, W) ∈ ∞

                    ( ) por (V, W)( ) = A (V , W ), para todo . Reciprocamente, qualquer apli- 2

                    ∞ ∞ cação bilinear-

                    ( ) cujo valor ( ) : X( ) × X( ) ⊃ ( ) determina um A

                    : em cada é a aplicação bilinear A ( ) × ( ) ⊃ R deĄnida como segue: Para

                    v, w

                    ∈ ( ) selecione V, W ∈ X( ) tais que V( ) = v e W( ) = w (isso é feito tomando 1 ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                    , . . . , i

                    uma carta ( , ) em com funções coordenadas , escrevendo v = v( ) , ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ( ) i , com e com isso, é possivel deĄnir um campo vetorial V pela fórmula V ⧹︃

                    V ( ) = v(

                    ) e consideramos uma função-bump Ñ em em . Então V = ÑV es- tendido a zero em todo cumpre V( ) = v) e deĄna A (v , w ) = A(V, W)( ). Esta correspondência é injetiva e preserva as estruras algébricas, então podemos idenĄcar as duas noções. Em particular, se Θ é uma 1-forma (pensada como uma aplicação de X( ) 2

                    ∞ em

                    ( ) por ( )), deĄnimos sua derivada exterior Θ ∈ Λ

                     Θ(V, W) = V(ΘW) (2.1.34)

                    ⊗ W(ΘV) ⊗ Θ([V, W]) Algumas propriedades de (2.1.33) são

                  • , Θ

                    ( Θ 1 + Θ 2 ) = Θ 1 + Θ 2 1 2 ( )) ∈ X

                    ( , ∈ R e Θ

                    ( )) ( Θ) = Θ + Θ

                  • ( ( ) e Θ ∈ X

                    ∞ ( ) = 0 ( ))

                    ( ∞ * * *

                    ( Θ) = ( Θ) ( ))

                    ( : e Θ ∈ X 1 e , se ( , ) é uma carta em com funções coordenadas , . . . , ,

                     Θ

                  • (Θ ) = Θ = ( )) (2.1.35)

                    ∧ (Θ ∈ X

                    Seja uma variedade diferenciável, um espaço vetorial real de dimensão Ąnita e

                    , . . . ,

                    ¶ 1 ♢ uma base de . Uma 0-forma com valores em em é uma aplicação , onde as funções suaves ã de valores reais de em . Logo, podemos escrever ã = ã 1 , . . . ,

                    ♢. ã é dita ser contínua, suave, são chamadas as componentes de ã em relação ¶ etc., se suas componentes o são em relação a alguma base (e portanto, a qualquer base) de , ∈ uma transformação linear ω( ) = ω ( ) em . Escrevendo ω = ω onde cada ω é uma 1-forma (com valores em R) usual, dizemos que ω é contínua, suave, 1 etc., se suas componentes ω , . . . , ω o são. Uma 2-forma com valores em em

                    : é uma aplicação Ω que associa cada uma transformação bilinear Ω( ) = Ω

                    , onde cada Ω é uma 2-forma com ( ) × ( ) ⊃ e pode ser escrita como Ω = Ω 1 valores em R. Novamente ω é contínua, suave, etc., se suas componentes Ω , . . . , Ω o são. Pullbacks de formas com valores em são são deĄnidos componente a componente assim como derivadas exteriores. Tudo isto é independente da escolha de base. Produtos exteriores de 1-formas com valores em não estão deĄnidos a não ser que seja dada alguma ŞmultiplicaçãoŤ no espaço vetorial na qual as 1-formas tomem seus valores. Suponha, mais geralmente, que , e sejam espaços vetoriais de dimensão Ąnita que seja dado uma aplicação bilinear : × ⊃ (quando = = esta aplicação é uma ŞmultiplicaçãoŤ em ). Agora, se ω é uma 1-forma em com valores em e η uma

                    η de ω e

                    1-forma em com valores em , então deĄnimos o produto -exterior ω

                    η

                    por (︂ )︂ (︂ )︂

                    η ω η

                    ) (v, w) = (v), η (w) (v), ω (w) (2.1.36) (ω ∧ ⊗

                    ( ). Então este produto é uma 2-forma em com para todo e todos v, w valores em . A seguir um Lema.

                    Lema 2.1.2. Sejam 1 , . . . , 1 , . . . ,

                    ¶ e bases de e , respectivamente, e :

                    uma 1-forma em de valores em

                    × ⊃ uma aplicação bilinear. Sejam ω = ω

                    uma 1-forma em de valores em

                    e η = η . Então ∑︁ ∑︁

                    ω η

                    = (ω ) ( , ) ∧ ∧ η =1 =1 Seguem alguns exemplos do Lema 2.1.2 utilizados no trabalho.

                  1. Sejam = = = ImH e tome : ImH × ImH ⊃ ImH como sendo o colchete de

                    Lie ( , ) = [ , ] = = Im( ). Sejam ω e η 1-formas em com valores em ImH 1 2 3 1 2 3

                    i + ω j + ω k e η = η i + η j + η k

                    e tome ¶i, j, k♢ uma base de ImH. Escrevendo ω = ω segue do Lema 2.1.2 que 1 1 1 2 1 3

                    

                  ω η = (ω )[i, i] + (ω )[i, j] + (ω )[i, k]

                    ∧ ∧ ηηη 2 1 2 2 2 3

                  • (ω )[j, i] + (ω )[j, j] + (ω )[j, k]
                  • 3ηηη 1 3 2 3 3<
                  • (ω )[k, i] + (ω )[k, j] + (ω )[k, k]
                  • 2ηηη 3 3 1 1 2 = 4[ω i + ω j + ω k]

                      ∧ ηηη Quando é dado pelo colchete de Lie de alguma álgebra de Lie como no exemplo acima,

                      

                    η

                    e utilzamos esta notação no trabalho.

                    2. Se ω e η são 1-formas em com valores em ImH e : ImH × ImH ⊃ ImH é uma

                      1 2 3 multiplicação quatérnia ( , ) = (veja (A.0.3)) então, escrevendo ω = ω i+ω j+ω k 1 2 3 e η = η i + η j + η k segue do Lema 2.1.2 que 1 1 2 2 3 3

                      ω η

                      =[ω ]+ ∧ ∧ ηωηωηωη 1 1 2 3 3 2

                      [ω + ω + ω ]i+ ∧ ηηηωη 2 2 3 1 1 3

                      [ω + ω + ω ]j+ ∧ ηηηωη 3 3 1 2 2 1

                      [ω + ω + ω ]kηηηωη

                      Como consequência deste último exemplos temos que se escrevermos 1-formas usuais em 1 2 3 1 2 3

                    • H com valores em ImH como = i + j + k e ¯ = i j k,

                      ⊗ então sendo a multiplicação quatérnia, segue que 2 3 3 1 1 2 = 2( i + j + k)

                      ∧ ∧ (︂ ( )i + ( )j 1 2 3 2 1 3

                    • ∧ ¯ = ⊗2 ∧ )︂
                    • + ( )k
                    • 3 1 2 (︂ 1 2 3 2 1 3 (2.1.37)

                        = 2 )i + ( + ( )j

                        ¯ ∧ ∧ 3 1 2 )︂

                      • ( )k

                        ∧ quando for a multiplicação quatérnia. Usaremos simplesmente ∧ no lugar de ∧

                      2.2 Grupos de Lie

                        Um grupo de Lie é uma variedade diferenciável na qual é deĄnida uma estrutura de grupo para qual a aplicação multiplicação ( , ) ↦⊃ de × em é uma aplicação suave. As translações à esquerda e à direita , ( ) = e

                        : deĄnidas por ( ) = são difeomorĄsmos para cada . Os grupos de Lie de nosso interesse são:

                        1. Os números reais, complexos, ou quatérnios não nulos com suas respectivas multi- plicações. 1 2

                        2. O circulo (visto como números complexos de módulo 1 em C = R ) com multi- plicação complexa. 3 4

                        3. A esfera (vista como os quatérnios unitários em H = R ) com multiplicação quatérnia.

                      4. Os grupos lineares gerais das matrizes × invertíveis, ( , R), ( , C) e ( , H) com multiplicação de matrizes.

                        5. Qualquer subgrupo de um grupo de Lie que também é uma subvariedade de é um grupo de Lie, portanto, em particular, todos os grupos clássicos são grupos de Lie:

                        ( ), ( ), ( ), ( ), ( )

                        6. Qualquer produto (Ąnito) de grupos de Lie (com estrutura produto de variedade e a estrutura de grupo do produto direto) é um grupo de Lie, e.g., (2) × (1), ou qualquer 1 1 tóro . × . . . Dois grupos de Lie e são isomorfos se existe um difeomorĄsmo de sobre 1 2 1 1 2 o qual também é um isomorĄsmo de grupo, e.g., é isomorfo a (1) e (2), enquanto 3

                        é isomorfo a (2) e (1). Qualquer subgrupo de algum ( , C) que também é uma subvariedade é chamado de grupo de Lie de matrizes e vamos restringir daqui em diante nossa atenção para esses grupos. ( , R) pode ser identiĄcado com um subgrupo de ( , C) que também é uma subvariedade. É menos óbvio, mas também verdadeiro, que ( , H) pode ser identiĄcado com um subgrupo de (2 , C) que também é uma

                      • subvariedade. Para vermos isso, primeiro observe que qualquer quatérnio i+ j+ k
                      • 1 2 1 1 2 2 3 1 2 3 pode ser escrito como j, onde = i e = i, e portanto, pod
                      • + + identiĄcado com um par de números complexos. Logo, qualquer matriz × quatérnia pode ser escrita como = + j, onde e são matrizes × complexas. DeĄna uma aplicação ã : gl( , H) ⊃ gl(2 , C) por ∏︀ ⎞ ∐︁ ̂︀

                        ã ( ) =

                        (2.2.1) ¯

                        ⊗ ¯ Então ã é um isomorĄsmo que preserva o conjugado transposto. Em particular, ( ) ∏︀ ⎞ se, e somente se, ã( ) ∈ (2 ). Além disso, uma matriz 2 × 2 complexa é da forma ∏︀ ⎞ ∐︁ ̂︀ ⊗1 ∐︁ ̂︀ se, e somente se, satisfaz = ¯ , onde = e, se for

                        ¯ ⊗ ¯

                        ⊗ 0 unitária, isto é equivalente a = . Logo, podemos identiĄcar ⊗1

                        = ¯ ( , H) = ¶ ∈ gl(2 , C); é invertível e

                        ( ) = ¶ (2 ); = ♢ Os grupos lineares especiais real e complexo ( , R) e ( , C) são os sub- grupos de ( , R) e ( , C), respectivamente, consistindo de todos os elementos com determinante 1. Apesar da não comutatividade de H impedir qualquer noção óbvia de determinante para matrizes quatérnias, é possivel deĄnir o grupo linear especial qua-

                        

                      ternio ( , H) como o subconjunto de ( , H) consistindo de todos os elementos

                        tais que det ã( ) = 1. De fato, este é um subgrupo de ( , H). É possível mostrar diretamente que ( , H), ( ) e ( , H) são todos subvariedades de (2 , C), mas existe um resultado mais geral que garante que todo subgrupo fechado de um grupo linear complexo é necessariamente uma subvariedade (ver Concluímos que todos os grupos clássicos são grupos de Lie.

                        Uma álgebra de Lie é um espaço vetorial L no qual é deĄnida uma operação [, ] : L

                        × L ⊃ L, chamada colchete, que satisfaz as seguintes propriedades: 1) antissimetria [ , ] = ⊗[ , ]; 2) identidade de Jacobi [[ , ], ] + [[ , ], ] + [[ , ], ] = 0 Duas álgebras de Lie L e L com colchetes [ , ] e [ , ] são isomorfas se existe 1 2 1 2 um isomorĄsmo linear : L que satisfaz ([ , ] ) = [ ( ), ( )] para todos 1 2 1 2

                        ⊃ L

                         , . Alguns exemplos são: 1

                        ∈ L

                        1. Qualquer espaço vetorial de dimensão Ąnita com o colchete trivial : [ , ] : × ⊃ deĄnido por [ , ] = 0 ∈ para todo , ∈ .

                        2. O comutator de duas matrizes e é deĄnido por [ , ] = . Como [ , ] = ⊗[ , ] e [[ , ], ]+[[ , ], ]+[[ , ], ] = 0, qualquer conjunto de matrizes que forme um espaço vetorial e seja fechado em relação ao comutador é uma álgebra de Lie com colchete dado pelo comutador. Examples incluem gl(R), gl(C) e gl(H) assim como conjuntos de todas matrizes × reais simétricas ( = ⊗ ), o conjunto de todas as matrizes × complexas simétricas Hermitianas ( ¯ = ⊗ ) e o conjunto de todas as matrizes × complexas que são ambas simétrias Hermitianas e livres de traço (tr ( ) = 0).

                        3. O conjunto ImC dos complexos puros i com colchete trivial é uma álgebra de Lie de dimensão 1.

                        4. O conjunto ImH dos quatérnios puros = i + j + k com o colchete [ , ] = ⊗ = 2Im( ) é uma álgebra de Lie de dimensão 3. Esta álgebra de Lie é isomorfa 3

                        à álgebra de Lie que consiste de R e colchete [ , ] = × .

                        Todo grupo de Lie possui uma álgebra de Lie associada g (chamada álgebra de

                        Lie de ) que pode ser descrita em umas das dus formas equaivalentes:

                        (i) Um campo vetorial V em é dito ser invariante pela esquerda se ( ) ◇ = *

                        V

                        ◇ , para todo , i.e., se

                        ( ) (V()) = V(),

                      • , ℎ

                        Tais campos vetoriais são necessariamente suaves (Teorema 5.8.2 O conjunto de todos os campos vetoriais invariantes pela esquerda em é um subespaço linear de X( ) e é fechado em relação a formação de colchetes de Lie (Teorema 5.8.4). Como o colchete de Lie é antissimétrico e satisfaz a identidade de Jacobi, este mune com a estrutura de álgebra de Lie.

                        (ii) Se denota o elemento identidade em então a aplicação V V( ) é um ( ). DeĄna o colchete [ , ] em ( ) da seguinte maneira: isomorĄsmo linear de sobre

                        Para v, w ( ) existem únicos campos vetoriais invariantes pela esquerda V, W ∈ com V( ) = v e W( ) = w. Faça [v, w] = [V, W]( ). Com isto, ( ) é uma álgebra de Para grupos de Lie de matrizes , ( ) pode ser identiĄcado com o conjunto de ( ))) com ( (0) = ,, matrizes (vetores velocidades em = 0 às curvas suaves ↦⊃ ( calculada entrada a entrada). É possível mostrar que este conjunto é sempre fechado em relação à formação de comutadores e que a álgebra de Lie consistindo de ( ) com colchete comutador é isomorfo à algebra de Lie de como deĄnida em (ii). Assim, o problema de encontrar a álgebra de Lie de um grupo de matrizes de Lie reduz-se em identiĄcar o conjunto das matrizes que surgem como vetores velocidades à curvas suaves em que passam pela identidade . A seguir alguns exemplos:

                        1. Para F = R, C e H, a álgebra de Lie de ( , F) é o conjunto gl( , F) de todas as matrizes × com entradas em F.

                        2. A álgebra de Lie o( ) do grupo ortogonal ( ) é o conjunto de todas as matrizes × reais, antissimétricas.

                        3. A álgebra de Lie s ( ) do grupo linear especial ( ) coincide com a álgebra de Lie o( ) de ( ) (pois ( ) é uma componente conexa de ( ) que contem então ( ( )) = ( ( ))).

                        4. A álgebra de Lie u( ) do grupo unitário ( ) é o conjunto de todas as matrizes × complexas antissimétricas.

                        5. A álgebra de Lie su( ) do grupo unitário ( ) é o conjunto de todas as matrizes × complexas antissimétricas e de traço livre.

                        6. IdentiĄcando ( ) com o grupo de Lie de matrizes ¶ (2 ); = ♢, a álgebra de Lie sp( ) de ( ) é dada por sp

                        ( ) = ¶ ∈ gl(2 , C); ¯ = ⊗ e + = 0♢ ⨄︁ ∏︁ ∏︀ ⎞ ⎫ ∐︁ ̂︀ ⋀︁ =

                        = ⎩ ¯ ⋂︁ ∈ gl(2 , C); ∈ u( ), ⊗ ¯

                        Grupos de Lie isomorfos possuem álgebras de Lie isomorfas. Por exemplo, (2) e (1) são isomorfos e portanto também são isomorfas suas álgebras de Lie su(2) e sp (1). Mas sp(1) é naturalmente identiĄcado com a álgebra de Lie ImH dos quatérnios 3 imaginários puros, o que por sua vez, é isomorfo a R com colchete sendo o produto vetorial. Entretanto, grupos de Lie não isomorfos podem ter álgebras de Lie isomorfas. Daremos o exemplo não trivial de (2) e (3). Este claramente não são isomorfos como 3 3 grupos de Lie. De fato, (2) ≍ pelo Teorema 1.1.4 e Þ ( ) = 0 (a prova

                        = 3 1 3 disto não é trivial). Por outro lado (3) ≍ (pag 399, e Þ (RP ) ≍ pelo = RP 1 = Z 2 Teorema 2.4.5 Para ver que su(2) e so(3) são isormofos introduzimos a noção de Şconstantes estruturaisŤ de um grupo de Lie. Seja g uma álgebra de Lie qualquer. 1 , . . . , , ] pertence a g então

                        ♢ para g. Para todo , = 1, . . . , , [ Selecione uma base ¶ existem únicas contantes , = 1, . . . , , tais que [ , ] = . As constantes ,

                         , , 1 , . . . , ♢.

                        = 1, . . . , são chamadas constantes estruturais de g relativas à base ¶ Duas álgebras de Lie são claramente isomorfas se, e somente se, existem bases para as quais as contantes estruturais são as mesmas. Agora, uma base natural para so(3) consiste de ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ 0 0 0 1 ̂︁ ̂︂ ̂︁ ̂︂ ̂︁ ̂︂ ̂︁ ̂︂ ̂︁ ̂︂ ̂︁ ̂︂ 0 ⊗1 0

                        á 1 = ̂︁ ̂︂ , á 2 = ̂︁ 0 0 ̂︂ , á 3 = ̂︁

                        1 ̂︂ (2.2.2) ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀ 0 0 ⊗1 0 1 ∑︀ ⊗1 0 0 3 e um cálculo simples mostra que [á , á ] = á , onde é o símbolo de Levi-Civita =1 deĄnido por ∏︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⨄︁ ⋁︁ 1, se é uma permutação par de 123 =

                        (2.2.3) se é uma permutação ímpar de 123 ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⊗1, 0, caso contrário 1

                        √ A base usual de su(2) consiste de ià onde ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ = ⊗ 2 ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀ 0 1 0 i

                        1

                        à = , à = , à = (2.2.4) 1 2 3

                        1 0 i 0 0 ⊗1 chamadas matrizes de Pauli não é difícil mostrar que ∏︀ ⎞ 2 ∐︁ ̂︀ 1 0

                        

                      à = à à = à = , = 1, 2, 3

                      1

                        0 1

                        

                      à à à = ià , onde é uma permutação par de 123. Daí pode-se veriĄcar que

                        = ⊗à ∑︀ 3 [ , ] = . Logo so(3) e su(2) são isomorfos. =1 ∑︀ 1

                        = . A série converge Para qualquer ∈ gl( , C) deĄnimos exp( ) = =1 ! 2 2 2 absolutamente e uniformemente em toda região limitada de gl( , C) = C = R (segue tr do Teste-M de Weierstrass). Toda exp( ) e invertível (pois det( ) = ), então exp é uma aplicação suave de gl( , C) em ( , C). Para qualquer ∈ gl( , C), a curva

                        R ⊃ ( , C)

                        (2.2.5) ↦⊃

                        é um homomorĄsmo suave do grupo aditivo R sobre ( , C) cujo vetor velocidade em = 0 é . é um grupo de Lie de matrizes qualquer, então sua álgebra de Lie g pode ser identiĄcada com uma subalgebra de gl( , C) para algum e a restrição de exp a g

                        é levado em . Apresentamos o seguinte resultado (ver Teorema 5.8.6 que é de nosso interesse neste trabalho.

                        Teorema 2.2.1. Seja em gl( , C).

                        1. Se é antissimétrica Hermitiana ( ¯ = ⊗ ), então ( ).

                        2. Se é antissimétrica Hermitiana e possui tr = 0, então

                        

                      3. Se = 2 e é antissimétrica Hermitiana e satisfaz + = 0, onde

                      ∐︁ ̂︀ ∏︀ ⎞

                        = e é a matriz identidade × , então ( ) = ¶

                        ⊗ 0 (2 ); = .

                        

                      Além disso, existem vizinhanças abertas de 0 em gl( , C) e de em ( , C)

                      tais que exp :

                        ⊃ é um difeomorĄsmo e, em , a recíproca de cada implicação (1),(2) e (3) é assegurada.

                        Observação 2.2.1. Como dissemos na seção 2.1 os grupos clássico ( ), ( ), ( ) são subvariedades de ( , C) e G (2 , C), respectivamente. Para vermos isso, deĄnimos 1 nk para uma carta ( , ) em com funções coordenadas , = 1, . . . , . Sejam , . . . ,

                      1

                        ⊗

                        quaiquer , . . . , constantes. O conjunto

                        ⊗ dessas funções coordenadas e 1 ⊗k 1 n = , . . . , = (2.2.6)

                        ¶ ;

                        é chamado de corte da coordenada- de . Então temos o seguinte resultado: Um

                        ′

                        subespaço topológico de é uma subvariedade de dimensão de se, e somente

                        ′ ′ ′

                        se, para cada ponto existe uma carta ( , ) de tal que é um slice da

                        ∈

                        ′ coordenada- de contendo .

                        ⊗1

                        Agora, tomando e como no Teorema 2.2.1 acima as restrições da carta ( , (exp )

                        ♣ )

                        para um desses subgrupos nos dá um slice da coordenada- na identidade. Ora, para te- mos esse slice em todos os ponto usamos a translação à esquerda da seguinte forma:

                        ⊗1

                        para todo . Então (

                        = ∈ gl( , C), tomamos ◇ exp ♣ ( ) = ◇ exp ♣ )

                        ⊗1 ⊗1 ⊗1 ⊗1 (exp ♣ ) ◇( ) = (exp ♣ ) ◇ , e consequentemente temos que a restrição da

                        ⊗1 ⊗1

                        carta ( , (exp

                        ♣ ) ◇ ) para os subgrupos ( ), ( ) e ( ), com = 2 nos

                        dá um slice da coordenada- , pelo resultado que acabamos de enunciar, temos que ( ), ( ) e ( ) são subvariedades de ( , F), onde F = C e H, respectivamente.

                        (g) com g, pelo A aplicação exp : g ⊃ possui derivada em 0 ∈ g e, identiĄcando isomorĄsmo canônico, exp

                        ; g ⊃ g é a aplicação identidade.

                      • 0

                        Uma 1-forma Θ em um grupo de Lie é dita ser invariante pela esquerda se ( )

                      • Θ = Θ, para todo

                        ∈ , isto é, para todos , ℎ tem-se que ⊗1

                        Θ() = (

                        ) (Θ()), ou equivalentemente, Θ() = ( ) (Θ()) (2.2.7) ∞

                        ( ) Qualquer 1-forma desse tipo é necessariamente suave (basta mostrar que ΘV para todo V ∈ X( )) e Ąca determinada unicamente por seu valor em . Em particular, qualquer covetor Θ em determina de maneira única uma 1-forma Θ em invariante pela esquerda tal que Θ( ) = Θ . Um exemplo particularmente importante é a 1-forma de Cartan Θ em com valores em g e é deĄnida da seguinte forma: para cada :

                        ∈ , Θ( ) = Θ ( ) ⊃ g é dada por ⊗1

                        Θ( )(v) = Θ (v) = ( ) (v) (2.2.8)

                      • Equivalentemente,

                        ( )(A( )) = A( ) (2.2.9) 1 , . . . , ♢ uma base para todo campo de vetor invariante pela esquerda A em . Seja ¶ 1

                        , . . . , Θ

                        de g e considere ¶Θ ♢ as únicas 1-formas invariantes pela esquerda com valores 1 ( ), . . . , Θ , . . . , 1 reais em das quais ¶Θ ( )♢ forma uma base dual de ¶ ♢. Então a

                        1-forma de Cartan Θ é dada por 1

                        Θ = Θ + . . . + Θ 1

                        ( ) arbitrário, então Para mostrarmos isso, tome qualquer e v

                      • ⊗1

                        ((Θ )( ))(v) = (Θ ( )(v)) = ((( ) ⊗1 ⊗1 (Θ ( )))(v)) = Θ ( )(( ) (v)) = ( ) (v) = Θ (v)

                      • *

                        As equações de Maurer-Cartan de Θ aĄrmam que

                        1

                         Θ = Θ , = 1, . . . , (2.2.10)

                        ∧ Θ

                        2 onde 1 , . . . , são as constantes estruturais de g em relação à base ¶ ♢. Se é um subgrupo de que também é uma subvariedade e Ø : ˓ é a aplicação inclusão, então a 1-forma de Cartan Θ de é a restrição a da 1-forma de Cartan Θ de , i.e.,

                      • Θ = Θ

                      • ( ),

                          Para vermos isso, Ąxamos . Então, para qualquer v

                        • ((Ø Θ )())(v) = ((Θ )(Ø()))(Ø (v)) = (Θ ())(Ø (v))
                        • * ⊗1

                          então precisamos mostrar que isto é igual a (Θ ())(v). Considere : e

                          ^ ⊗1 = ^ ⊗1 ⊗1Ø

                          : as aplicações de translação à esquerda em e . Logo então ⊗1 ⊗1 ⊗1 (Θ ())(v) = ( ) (v) = (^ (v) = (^ ) (Ø (v)) *ℎ ℎ *ℎ ℎ *Ø() * ⊗1Ø)

                          = (^ ) (Ø (v)) = (Θ ())(Ø (v)) * * * como queríamos. Em seguida alguns exemplos.

                          ⊗1

                          Θ( ) =

                          onde ∏︀ ⎞ 11 1 ̂︁ ̂︂ ̂︁ ̂︂ ≤ ≤ ≤ = ̂︁ ̂︂ ∐︁ ̂︀ ... ... ... 1

                          ≤ ≤ ≤

                        • com = i+ j+ k, para , = 1, . . . . Quando = 1 e se identiĄcarmos uma matriz 1 × 1 = ( ) com a sua única entrada , (1, H) é apenas o grupo H ⊗ ¶0♢

                          ⊗1 ⊗1 de quatérnios não nulos e então é apenas o produto quatérnio e é apenas o produto dos quatérnios

                          ¯ ⊗1 ⊗1

                          = = (2.2.11) 2

                          IdentiĄcando os vetores tangentes v (H ⊗ ¶0♢) com quatérnios ∈ H através do 1 ⊗1 isomorĄsmo canônico, temos que = 2 ¯ .

                          ♣ ♣ 2. = (2) ≍

                          = (1), g = su(2) ≍ = sp(1) ≍ = ImH: Primeiro considere sendo (2) (2,C) é a restrição de Θ a (2). É possível mostrar (2) ⊖ (2, C). Então Θ que ∏︀ ⎞ 11 11 12 12 11

                          ¯ ¯ ¯ ¯ 11

                        • 12
                        • 12 ∐︁ ̂︀

                            Θ = (2) 11 12 12 11 11 12 12 11 (2.2.12)

                            ¯ + ¯ ¯ + ¯ em (2). Agora pense em como (1) (identiĄcado com os quatérnios unitários). 2 Então Θ é a restrição de Θ (1) (1,H) = 1 então temos

                            = H ⊗ ¶0♢. Como em (1), ♣ ♣ que ⊗1

                            Θ = = ¯ (2.2.13) (1)

                            em (1). A identiĄcação natural de (1) com (2) é dada por ∐︁ ̂︀ ∏︀ ⎞ (2.2.14)

                          • j ↦⊃

                            ¯ ⊗ ¯ e esta leva Θ em Θ . No Capítulo 3 trabalhamos com o exemplo principal deste (1) (2) trabalho, a 1-forma de Cartan Θ de (2).

                            Seja um grupo de Lie de matrizes, um espaço vetorial de dimensão Ąnita e ( ) das transformações lineares não singulares em . A representação de em é um homomorĄsmo de grupo de em ( ). Escolhendo uma base para pode-se considerar qualquer representação de em como uma aplicação de sobre algum grupo linear e dizemos que a representação é contínua, suave, etc., se sua aplicação correspondente com valores nas matrizes é contínua, suave, etc.. Observe que esta deĄnição não depende da escolha da base de . Um exemplo de grande importância é dado a seguir. Para cada ∈ deĄna uma aplicação

                            : ⊗1

                             ⊗1 ⊗1 ↦⊃

                            = = é um difeomorĄsmo. Além disso, para todo . Logo ( ) = então a derivada de na identidade de leva g isomorĄcamente em g. Denotamos essa aplicação por

                            : g ⊃ g Logo, ⊗1 ⊗1 ⊗1

                            = ( ) = ( ) ) = ( ) ) ◇ ( ◇ ( * e mostramos agora um resultado que usaremos posteriormente.

                            Lema 2.2.1. Sejam um grupo de Lie de matrizes, g sua álgebra de Lie e

                            ∈ . Então, ⊗1

                            ⊗1

                            para cada ( ) = .

                            ∈ g, ∈ g e o isomorĄsmo : g ⊃ g é dado por

                            

                          Demonstração. Qualquer elemento de g é Ð (0) para alguma curva suave Ð em tal

                            que Ð(0) = e ′ ′ ′

                            (Ð (0)) = ( ) (Ð (0)) = ( (0) ◇ Ð) *

                            Ora, ⊗1

                            ( (Ð( )) = Ð( ) Ð)( ) =

                            ′ ′ ⊗1 Derivando entrada a entrada obtemos (Ð (0)) = Ð (0) como queríamos.

                            é um homomorĄsmo de sobre (g) e é chamado A correspondência ↦⊃

                            

                          representação adjunta de em g. A importância da representação adjunta torna-se-á

                          clara quando discutirmos conexões em Ąbrados principais.

                            Usaremos alguns fatos gerais sobre a forma de Killing restritos, claro, aos casos de interesse neste trabalho. Se é um grupo de Lie de matrizes com álgebra de Lie g e se e são dois elementos Ąxados em g, então podemos deĄnir uma transformação linear

                            : g ⊃ g pondo ( ) = [[ , ], ] para todo ∈ g. Então o traço da matriz desta transformação linear é um número real (pois g é um espaço vetorial) e a ) é uma forma bilinear simétrica aplicação : g ⊃ R deĄnida por ( , ) = tr ( em g chamada forma de Killing de g. é invariante por ( ) no sentido que, para qualquer ,

                            ( ( ), ( )) = ( , ), , ∈ g O grupo de Lie é dito ser semi-simples se a forma de Killing é não degenerada.

                            Se é conexo e semi-simples, então, por um Teorema de Weyl (Capítulo II, seção 6 de a forma de Killing é negativa se, e somente se, é compacto. Neste caso, obtém-se A métrica Riemanniana g em é então obtida por translação à esquerda, i.e., deĄnindo, ( ) para cada e todos v, w ⊗1 ⊗1

                            g ) (v), ) (2.2.15)

                            (v, w) = ⟨( (w)⟩ * * Esta métrica é invariante pela esquerda, i.e.,

                          • g = g para todo
                          • (︁ )︁ ,
                          • g) (vw) = g ( ) (v), ( ) (w)
                          • ⊗1 ⊗1 * * ( ) ( ) ) (( ) (v)), ) (( ) (w))

                              (

                              = ⟨( * * * * ⊗1 ⊗1 ) (v), ( )

                              = ⟨( (w)⟩ * * = g (v, w)

                              Também é invariante pela direita, pois para todo tem-se que (︁ )︁

                            • (

                              g) (vw) = g ( ) (v), ( ) (w) ⊗1 ⊗1 * * ( ) ( ) ) (( ) (v)), ) (( ) (w))

                              = ⟨( * * * ⊗1 ⊗1 ⊗1 ⊗1 * ) (v), ( )

                              = ⟨( (w)⟩ * * ⊗1 ⊗1 ⊗1 ⊗1 ) (v), ( )

                            • *

                              = ⟨( (w)⟩ ⊗1 ⊗1 ⊗1 ⊗1 (( ) (v)), (( )

                            • *

                              = ⟨ (w))⟩ ⊗1 ⊗1 ) (v), ( )

                            • *

                              = ⟨( (w)⟩ = g (v, w)

                              Uma métrica em um grupo de Lie que é invariante pela eraqueda e pela direita é dito ser

                              

                            bi-invariante e acabamos de mostrar que a forma de Killing em um grupo de LIe ,

                              compacto, conexo, semi-simples dá origem a uma métria Riemanniana em . Isto imlpica que, em particular, para = (2) que certamente é compacto e conexo (lembre-se 3 (2) ≍ ) também é semisimples (su(2) ≍

                              = = so(3) ≍ = sp(1) ≍ = ImH é a única álgebra de Lie de dimensão 3, semi-simples). Fazendo os cálculos (um tanto extensos) considerando su

                              (2) como sendo a álgebra de Lie de obtemos ⟨ , ⟩ = ⊗ ( , ) = ⊗tr ( ). Por outro lado, a identiĄcação natural ∏︀ ⎞ 2 ∐︁ ̂︀ + i 3 i 1

                            i + ( )j = i + j + k (2.2.16) +

                            2

                            3 1 2 3 ↦⊃ 2 3 i 1 i

                            • 3 de su(2) com ImH ≍ = R 3 , ⟨, ⟩ nada mais é do que duas vezes o produto interno usual em R .

                                A seguir, supomos um grupo de Lie e uma variedade diferenciável. Uma ação

                                suave à direita de sobre é uma aplicação suave à :

                                × que satisfaz 1. à( , ) = , para todo , e

                                ,

                                2. à( , 1 2 ) = à(à( , 1 ), 2 ), para todos 1 2

                                Pode-se escrever mais geralmente à( , ) = e pensar em Şagindo emŤ para produzir . Para um Ąxado deĄnimos à : por à ( ) = . Então à ⊗1 é um difeomorĄsmo de em cuja inversa é à . De modo análogo, uma ação suave

                                à esquerda de sobre é uma aplicação suave :

                                × que satisfaz: 1. à( , ) = , para todo , e

                                , , à , ,

                                2. à( 1 2 ) = à( 1 ( 2 )), para todos 1 2 e todo .

                                As aplicações : deĄnidas por ( ) = são difeomorĄsmos. Uma ação à direita é dita ser efetiva se = para todo implica que = , i.e., à = se, e somente se, = . A ação é dita ser livre se = para algum possui um ponto Ąxo se, e somente se, = . Uma ação

                                ∈ implica que = , i.e., à livre e efetiva, mas a recíproca geralmente é falsa. A ação é dita ser transitiva se, dados quaisquer sdois pontos e = 1 2 2 1 em , existe tal que . Dado um qualquer deĄni-se a órbita de em relação a à como sendo o subconjunto de

                                (2.2.17) ≤ = ¶ ; ♢ e seu subgrupo de isotropia (ou estabilizador) como sendo o conjunto

                                (2.2.18) = ¶ ; =

                                Temos que é um subgrupo fechado de para qualquer (Prop 7.26 + Prop 7.11

                                John M. Lee). Uma ação é livre se todo grupo de se isotropia é trivial e transitiva se existe uma única órbita. A seguir, alguns exemplos:

                                1. Qualquer grupo de Lie age sobre si mesmo através da multiplicação à direita. DeĄnindo, à : × por à( , ) = para todos , produz uma ação de 2 = 1 ( 1 ⊗1 2 )). sobre , claramente livre ( = =⇒ = ) e transitiva (

                                2. Qualquer grupo de Lie age sobre si mesmo por meio de conjugação. Isto é, ⊗1 deĄnindo à : × por à( , ) = para todos , produz uma ação

                                = suave à direita que não é livre nem transitiva (a menos que = ¶ ♢). Note que e, em geral,

                                é o centralizador de . A ação é efetiva se, e somente se, o centro de é trivial. As óbitas são as classes de conjugação de . A ação suave à esquerda ⊗1 = ( ). correspondente é ( , ) = =

                                3. ( , F) age sobre F são

                                (à esquerda) por = , onde os elementos de F escritos como matrizes colunas e o produto pela esquerda é a multiplicação de matrizes.

                                . A mesma Esta ação é efetiva, porém não é livre nem transitiva pois ( , F) Ąxa ∈ F ação em F ⊗ ¶0♢ é transitiva. ]

                                ⊗1 4. ( ) e ( ) agem transitivamente em através de = . O subgrupo

                                ⊗1 de isotropia do pólo norte sob a ação de ( )(respectivamente

                                = (0, . . . , 0, 1) ∈ ⊗1

                                ( )) em

                                2 4 ⊗1

                                ⊗1 ( ) e ( ) agem transitivamente em e ( ) age transitivamente sobre .

                                Os subgrupos de isotropia no pólo norte são isomorfos a ( ⊗ 1), ( ⊗ 1) e ( ⊗ 1), respectivamente. 4 1 1 2 ⊗1

                                5. IdentiĄcando com o conjunto de todos ( + , . . . , 2 ) ∈ H que satisfaz ♣ 4

                                ⊗1

                                . . . = 1 e (1) ≍ = (2) com o grupo de qautérnios unitários. DeĄna à :

                                ♣ ×

                              • 4 1 1 ⊗1

                                  , . . . , , . . . , ). Então à é uma ação

                                  (1) ⊃ por à( , ) = = ( ) ≤ = ( 4 4 ⊗1 ⊗1 suave à direita de (1) sobre , as órbitas são subvariedades de difeomórĄcas 3 1 4 a 1(1), i.e., . O espaço órbita é HP e, quando = 2, isto é simplesmente .

                                  Algumas observações precisam ser feitas a Ąm de esclarer mais os exemplos 4 e 5.

                                  

                                Observação 2.2.2. Existe um resultado geral (Teorema 1.6.6 que aĄrma que,

                                se é compacto, ( , )

                                  é

                                  ↦⊃ é uma ação transitiva à esquerda de sobre e

                                  o subgrupo de isotropia de algum

                                  ∈ Ąxado sob esta ação, então o grupo quociente

                                   / é homeomorfo a . O exemplo #4 então nos dá

                                  ⊗1 ≍ 2 = ( )/ ( ⊗ 1) ≍ = ( )/ ( ⊗ 1)

                                  ⊗1 ≍

                                  (2.2.19) 4 = ( )/ ( ⊗ 1) ≍ = ( )/ ( ⊗ 1) ⊗1

                                  ≍ = ( )/ ( ⊗ 1) 7

                                  ≍ A seguir escreveremos explicitamente o homeomorĄsmo

                                  = (2)/ (1) o qual é muito importante pra este trabalho. 7 ∐︁ ̂︀ ∏︀ ⎞ 1 2 1 2 2 2 Assim, consideramos como o conjunto de todos = = ∈ H ♣ ♣ 2 com ♣ + ♣ ∏︀ ⎞ ∐︁ ̂︀ Ð Ñ tais que 1 e (2) como sendo o conjunto de matrizes 2 × 2 quatérnias =

                                  Ò Ó

                                  ¯ = ¯ = I . Em particular, ¯ ÐÑ + ¯ÒÓ = 0 e Ò¯Ò + Ó¯Ó = 1. A ação transitiva à esquerda 7 2 de (2) em é dada por ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ 1 1 2 ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀ Ð Ñ Ð + Ñ =

                                  ( , ) ↦⊃ = 2 1 2 ∏︀ ⎞ Ò Ó Ò + Ó ∏︀ ⎞ ∐︁ ̂︀

                                  1 7 ∐︁ ̂︀ Ð Ñ Agora, Ąxe = . Seu grupo de isotropia consiste de todos em (2)

                                  ∈ ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞

                                  Ò Ó Ð Ñ ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀

                                  1

                                  1 tais que = , i.e., para os quais Ð = 1 e Ò = 0. Então ¯ ÐÑÒÓ = 0 implica

                                  Ò Ó

                                  que Ñ = 0, enquanto Ò¯Ò + Ó¯Ó = 1 implica Ó¯Ó = 1. Assim, o grupo de isotropia consiste ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀ 1 0 1 0 1 0 2

                                  1 de todos = 1. Como = este subgrupo é onde ♣ 1 2 1 2 isomorfo a (1) dos quaternios unitários e vamos identiĄcá-los ⨄︁ ⋀︁ ∏︁ ∏︀ ⎞ ⎫ ∐︁ ̂︀ 1 0 2

                                  (1) = = 1 ⎩ ⋂︁ (2); ♣

                                  ∏︀ ⎞ ∐︁ ̂︀ Ð Ñ

                                  Fixemos um = ∈ (2). A classe lateral à esquerda de módulo o subgrupo

                                  Ò Ó

                                  (1) é ∏︁ ⎫ ⨄︁ ⋀︁ ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞

                                ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀

                                Ð Ñ 1 0

                                2 [ ] = (1) = = 1 ⎩ ⋂︁ (2); ♣ ∏︁ ⎫ ⨄︁ ⋀︁ ∏︀ ⎞ Ò Ó ∐︁ ̂︀ Ð Ñ 2

                                  = = 1 ⎩ ⋂︁ (2); ♣

                                  Ò Ó 7 O homeomorĄsmo de (2)/ (1) sobre descrito no Teorema 2.6.2 é , portanto, ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ Ð ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀

                                  1 = : dado por ([ ]) =

                                  Ò 7

                                  : (2)/ (1) ⊃ ∏︀ ⎞ ∐︁ ̂︀ Ð [ ] ↦⊃ ∏︀ ⎞ Ò ∐︁ ̂︀ Ð Ñ onde = (qualquer representante da classe lateral [ ] que possua primeira coluna ∏︀ ⎞ Ò Ó ∐︁ ̂︀ Ð ).

                                  Ò O próximo resultado é algo que faremos uso.

                                  Proposição 2.2.1. (2) é um subgrupo de (2, H).

                                  Demonstração. Seja

                                  ∈ (2). Considere ã( ), onde ã é a função de (2.2.1). Então temos que (︁ )︁ det ã ( ) ã ( ) ã = det =⇒ det(ã( ) ( )) = 1 =⇒ det ã( ) = ∘1

                                  Resta mostrar que det ã( ) = 1. Ora, isso vem da continuidade de det ◇ã e da conexidade de (2),pois (2).

                                2.3 Fibrados Principais

                                  Seja uma variedade diferenciável e um grupo de Lie. Um Ąbrado principal

                                  suave sobre consiste de uma variedade diferenciável , uma aplicação suave

                                  : ⊃ de sobre e uma ação suave à direita à : × , à( , ) = , de sobre tais que as seguintes condições sejam satisfeitas:

                                  1. à preserva as Ąbras de , i.e., (2.3.1)

                                  ( ) = ( )

                                  2. (Trivialidade Local) Para cada existe um conjunto aberto (vizinhança

                                  ⊗1

                                  trivializante) em contendo

                                  e um difeomorĄsmo Ψ : ( ) ⊃ × da forma (2.3.2)

                                  Ψ( ) = ( ( ), å( )) ⊗1 onde å : ( ) ⊃ satisfaz

                                  å

                                  (2.3.3) ( ) = å( ) para todo e (å( ) é o produto em de å( ) e ). Tal que o seguinte diagrama comute:

                                  Ψ ⊗1

                                  ( ) 1 ×

                                  1 onde : × é a aplicação projeção do primeiro fator do produto × .

                                  Denotamos o -Ąbrado principal sobre pela tripla ℬ( , , à).

                                  , Ψ

                                  ∈ O par ( , Ψ) é chamado trivialização local do -Ąbrado e uma família ¶( )♢ de trivializações locais tal que = é chamada cobertura trivializante de .

                                  ∈ Dependendo do contexto podemos usar : , ou até mesmo , para referirmos ao

                                • Ąbrado principal sobre e indicamos isto escrevendo ˓ , ou simplesmente,

                                   ˓

                                  ⊃ . Para cada , a Ąbra de acima de ( ) coincide com a órbita de um em relação à à (Lema 4.1.1 e é uma subvariedade de difeomorfa a (qualquer projeção : de um Ąbrado principal é uma submersão, e as Ąbras

                                  ⊗1 ( ) particionam o espaço total em subvariedades de dimensão dim ⊗ dim ).

                                  Seguem alguns exemplos:

                                1. O G-Ąbrado trivial sobre consiste da variedade produto = × , a projeção

                                  : × sobre o primeiro fator e a ação à(( , ℎ), ) = ( , ℎ) ≤ = ( , ℎ ). Neste caso a vizinhança trivializante é todo e Ψ é dada pela aplicação identidade em ⊗1 ⊗1 ( ) = ( ) = × .

                                  ⊗1 ⊗1 ⊗1

                                  2. Seja = , = Z a ação à direita à( , ) = 2 2 1 1 = ¶⊗1, 1♢ e à : × Z ⊃ ⊗1 ⊗1

                                  , . . . , , . . . , ). O espaço base é = RP

                                  ≤ = ( )≤ = ( , a projeção :

                                  ⊗1 1 1 RP

                                  , . . . , ) = [ , . . . ,

                                  é a aplicação quociente, i.e., ( ) = ( ]. Então ( ) = ⊗1 2 . Para cada = 1, . . . , , considere =

                                  (∘ ) = [ ] = ( ) para todo 1 ⊗1 e ∈ Z 1 ⊗1 ⊗1

                                  , . . . , ; ( , . . . , ;

                                  ¶[ ] = [ ̸= 0♢. Então ̸= 0♢ ] ∈ RP ) = ¶ = ( ) ∈ 1

                                  ⊗1 e deĄnimos Ψ ( 2 por Ψ ( ) = Ψ ( , . . . , ) = ([ ], /

                                  × Z ♣ ♣). Assim,

                                  : ) ⊃ 1

                                  , . . . ,

                                  Ψ é um difeomorĄsmo da forma Ψ ( )), onde å ( ) = å ( ) =

                                  / , Ψ é uma =1,...,

                                  ♣ ♣ e å ( ) = ( )/ ♣ = ( )/ ♣ = å ( ) . Logo ¶( )♢ ⊗1 cobertura trivializante de RP e

                                  ⊗1 ⊗1 Z 2 ˓

                                  (2.3.4) ⊃ ⊃ RP

                                  ⊗1 é um Z 2 -Ąbrado principal sobre RP . 2 2 2

                                  ⊗1 ⊗1 ⊗1

                                  3. Seja = , = (1) e à : a ação à direita à( , ) = 1 1 × (1) ⊃ ⊗1

                                  , . . . , , . . . ,

                                  ). O espaço base é = CP ≤ = ( 2 ⊗1 ) ≤ = (

                                  , a projeção : 2 ⊗1

                                  ⊗1 e

                                  ⊃ CP é a aplicação quociente. Então ( ) = ( ) para todo 1 ⊗1

                                  , . . . , ; (1). Para cada = 1, . . . , , considere = ¶[ ] = [ ] ∈ CP ̸= 0♢. 1

                                  ⊗1 DeĄnimos Ψ ( ( ) = Ψ ( , . . . , ) = ([ ], /

                                  : ) ⊃ × (1) por Ψ ♣ ♣). Logo ⊗1

                                  , Ψ é uma cobertura trivializante de CP e =1,...,

                                  ¶( )♢ 2 ⊗1 ⊗1

                                  (2.3.5) ⊃ CP

                                  (1) ˓ ⊗1 é um (1)-Ąbrado principal sobre CP . 1 2 Observação 2.3.1. Quando = 2 podemos identiĄcar CP com a esfera (ver pag. 2

                                  

                                33) e, portanto, obtemos um (1)-Ąbrado principal sobre conhecido como fibrado de

                                Hopf complexo . 4 4 4

                                  ⊗1 ⊗1 ⊗1

                                  4. Seja = , = (1) e à : a ação à direita à( , ) = 1 1 × (1) ⊃ ⊗1

                                  , . . . , , . . . , ). O espaço base é = HP

                                  ≤ = ( 4 ⊗1 ) ≤ = ( , a projeção : 4

                                  ⊗1 ⊗1 e

                                  ⊃ HP é a aplicação quociente. Então ( ) = ( ) para todo 1 ⊗1

                                  , . . . ,

                                  ; (1). Para cada = 1, . . . , , considere ̸= 0♢. = ¶[ ] = [ ] ∈ HP 1

                                  ⊗1 DeĄnimos Ψ ( ( ) = Ψ ( , . . . , ) = ([ ], /

                                  : ) ⊃ × (1) por Ψ ♣ ♣). Logo ⊗1

                                  , Ψ é uma cobertura trivializante de HP e =1,...,

                                  ¶( )♢ 4 ⊗1 ⊗1

                                  (2.3.6) (1) ˓ ⊃ HP

                                  ⊗1 é um (1)-Ąbrado principal sobre HP . 1 4 Observação 2.3.2. Novamente, quando = 2, podemos identiĄcar HP com e obte- mos o fibrado de Hopf quatérnio ou quaterniônico.

                                5. Seja : ⊃ um -Ąbrado principal sobre (com ação à direita à) e suponha

                                  ′ ′ ⊗1 ′ ′= ′ ′ ′ que seja uma subvariedade de . Seja ( e à

                                  ♣ × . Para = ), = à

                                  ′ ′ ⊃ com ̸= ∅, faça cada trivialização local ( , Ψ) de ˓ = e

                                  ′ ′ ⊗1 ′ ′ ′ ′ ′ Ψ ) ( : é um -Ąbrado principal sobre , chamado

                                  ⊃ = Ψ♣( ). Então

                                  ′ ′ ′

                                  ,

                                  , e cada ( Ψ ) é uma trivialização local para ⊃ para de restrição de ˓

                                  ′ ′

                                   ˓ .

                                  ⊃ um -Ąbrado principal sobre e Ąxe uma cobertura trivializante

                                  Seja ˓ ⊗1

                                  ,

                                  Ψ de . Escreva cada Ψ como Ψ ( ),

                                  ⊗1 onde å

                                  ( ) = å ( ) para todo ∈ e . Suponha , e ̸= ∅. Então, ⊗1 ⊗1

                                  , å ( )(å ( )) ( ). Logo, para qualquer tem o mesmo valor para todo ∈ podemos deĄnir,

                                  ⊗1 : ( ))(å ( )) (2.3.7)

                                  ∩ por ( ) = (å ⊗1

                                  ( ). Estas aplicações são suaves e são chamadas aplicações de para qualquer

                                  

                                transição de ˓ , Ψ . Elas satisfazem as seguintes

                                  ⊃ correspondendo a ¶( )♢ condições

                                  ( ) = ⊗1

                                  (2.3.8) ( ) = ( ( ))

                                  ( ) ( ) = ( ) condição de cociclo sempre que , , e ̸= ∅. Uma seção transversal local de ˓ ⊃ ⊗1

                                  ( ) que satisfaz deĄnida num aberto é uma aplicação suave : ⊃ , i.e., é uma seção suave de um elemento de cada Ąbra acima de . Uma

                                  ◇ = ⊗1 seção transversal determina uma trivialização ( ,

                                  Ψ), onde Ψ : ( ) ⊃ × dada por Ψ( ( ) ≤ ) = ( , ). Provemos isso. Ψ claramente é uma bijeção e Ψ( ( ) ≤ ) = ( ( ( ) ≤ ), å( ( ) ≤ )), onde å( ( ) ≤ ) = . Então

                                  ′ ′ ′ ′

                                  å

                                  ) = (( ( ) ≤ ) ≤ ) = å( ( ) ≤ = å( ( ) ≤ )

                                  ′ ′ ⊗1 ′ ) = å( ) ( ) e todo ou seja, å( para todo . Precisamos somente

                                  ⊗1 mostrar que Ψ e Ψ são contínuas. Agora Ψ( , ) = ( ) ≤ , que é a composição

                                  ( , ) ↦⊃ ( ( ), ) ↦⊃ ( ) ≤ portanto é contínua. Finalmente, a continuidade de Ψ vem da continuidade de å : ⊗1

                                  ⊗1 ( ) ⊃ . Para todo = ( ) ≤ em ( ), å( ) = å( ( ) ≤ ) = . Escolha

                                  ′ ′ ′ ′ uma trivialização ( , Ψ ). Então

                                  ) em ( ) com Ψ = ( , å ′ ′ ′

                                  å ( ) = å

                                  ◇ ◇ )( )) (( ◇ ) ≤ ) = ((å

                                  ′ ′ ⊗1 então = å ( )((å = å( ), de onde a continuidade de å segue. Reciproca-

                                  ◇ ◇ )( )) ⊗1

                                  ( ) deĄnida mente, uma trivialização local determina uma seção transversal : ⊃ ⊗1 por ( ) = Ψ ( , ). Esta correspondência entre trivializações e seções transversais é biunícova. 7

                                  ⊃ 1 Como exemplo concreto desses dois conceitos consideramos o Ąbrado (1) ˓ 1 2 1 1 HP

                                  , ,

                                  Ψ =1,2 . Assim, 1 ;

                                  1 2

                                  1 2 1 2 1 1 1 2 2 , ; ( ) = å ( , ) = / ( ) = å ( , ) = 1 1 1 2 0♢, = ¶ = [ ] ∈ HP ̸= 0♢ , å ♣ e å 2 2

                                  / 12 , : 21 1 2

                                  ♣ ♣ então as aplicações de transição (1) são dadas por 1 2 1 1 2 2 ⊗1 12 ( ) = 12 ([ ]) = ( , / / ,

                                  ♣ ♣)( ♣) 1 2 2 2 1 1 (2.3.9) ⊗1 21 ( ) = ([ , ]) = ( / / 21

                                  ♣ ♣)( ♣) ⊗1

                                  ⊗1 As inversas Ψ : ( ), = 1, 2 são dadas por

                                  × (1) ⊃ 1 2 1 2 1 1 7 2 ⊗1 ⊗1

                                  Ψ ([ , ( / 1 ], ) = (♣ , ♣) ) ∈ ⊖ H 1 2 1 2 2 2 7 2 (2.3.10) ⊗1 ⊗1

                                  Ψ ([ , ], ) = ( ( / , 2 ♣ ♣) ♣ ) ∈ ⊖ H ⊗1

                                  Então as seções transversais (canônicas) associadas : ( ), = 1, 2 são 1 2 1 2 1 1 ⊃ ⊗1 1 ( ) = ([ , ( / ) 1

                                  ]) = (♣ , ♣) 1 2 1 2 2 2 (2.3.11) ⊗1 2 ( ) = ([ , ]) = ( ( / , 2

                                  ♣ ♣) ♣ ♣) 1 Vale a pena observar que 1 e 2 também são as vizinhanças coordenadas em HP (chama- 4 das 1 e 2 no exemplo #3 pág 9 e os difeomorĄsmos correspondentes : ⊃ H = R são 1 2 2 1

                                  ⊗1

                                  å ( ) = å([ , ]) = ( ) 1 1 2 1 2 (2.3.12) 2 ( ) = 2 ([ , ]) = ( ) ⊗1

                                  ⊗1 ⊗1 Suas inversas são ( ) = [1, ] e ( ) = [ , 1] então as funções de transição são 1 2

                                  ⊗1 ⊗1 ⊗1 2 ( ) = = ( ) (2.3.13) 1 1 ◇ 3 1 1 .

                                  ⊃ CP para todo ∈ H ⊗ ¶0♢. O mesmo vale para (1) ˓ 1 1 1 2 2 2 dois -Ąbrados principais sobre 1 e 2 ,

                                  Sejam ˓ e ˓ respectivamente. Por conveniência deĄna as ações de sobre 1 em 2 é uma aplicação suave : 1 e 2 pelo mesmo ponto 1 2

                                  Ş≤Ť. Uma aplicação Ąbrado (principal) de 1 que comuta com a ação ( ) = ( ) ≤ para todo e . Esta leva cada Ąbra 1 2 e consequentemente induz uma aplicação de difeomorĄcamente em alguma Ąbra de suave ¯ : . Se = = , então a aplicação 1 2 2 1 2 1

                                  ⊃ deĄnida por ◇ = ¯ ◇ Ąbrado : é uma equivalência se é um difeomorĄsmo e induz a aplicação 1 2

                                  ⊃ 1 2 identidade em , i.e., ¯ = 1 2 . Neste caso os Ąbrados ˓ e ˓

                                  ⊗1 são equivalentes. Segue, portanto, que : também é uma equivalência. Se 2 1

                                  ⊃

                                   ˓

                                  ⊃ é um único -Ąbrado sobre , então uma equivalência : é chamada automorĄsmo do Ąbrado. Um -Ąbrado principal sobre é dito ser trivial se é equivalente ao -Ąbrado trvial ˓ × . Este é o caso se, e somente se, o Ąbrado possui uma trivialização global e isto, por sua vez, é o caso se, e somente se, o Ąbrado possui uma seção transversal global : . Determinar se um Ąbrado principal é ou não trivial não é uma tarefa fácil em geral. Qualquer -Ąbrado principal sobre uma variedade é necessariamente trivial. Registramos em seguida versões suaves de alguns resultados feitos em um contexto topológico (i.e., para Ąbrados principais de classe ) o primeiro e encontra no capítulo 4, seção 3 de Estender estes resultados para Ąbrados principais suaves está fora do escopo deste trabalho e pode ser encontrado na Seção 3.2 de

                                  

                                Teorema 2.3.1. (Teorema de Reconstrução) Sejam uma variedade diferenciável,

                                um grupo de Lie e uma cobertura aberta de . Suponha que, para cada ,

                                  ¶ ♢ ∈

                                  com

                                  : ̸= ∅, existe uma aplicação suave e que estas aplicações

                                  possuam as seguintes propriedades se

                                  ∩ ̸= ∅, então ( ) ( ) = ( ) (2.3.14)

                                  

                                para todo . Então existe um -Ąbrado principal sobre , único a menos de

                                  ∈

                                  equivalência, que possui os , como aplicações

                                  ∈ , como vizinhanças trivializantes e correspondentes de transição.

                                  

                                Teorema 2.3.2. (Teorema de Classificação): Seja um grupo de Lie conexo. Então

                                o conjunto de classes de equivalências dos -Ąbrados principais sobre ,

                                  ⊙ 2, está em 2 ⊗1 Como exemplo, citamos os (1)-Ąbrados principais sobre que estão em corres- 1 pondência biunívoca com os elementos de Þ 4 1 ( (1)) ≍ = Þ 1 ( ) ≍ = Z. Analogamente, os

                                  (1)-Ąbrados principais sobre estão em correpondência biunívoca com os elementos 3 de Þ ( (2)) ≍ ( ) ≍ 3 = Þ 3 = Z.

                                  ⊗1 Num Ąbrado principal suave ˓ × qualquer as Ąbras ( ), , são

                                  ( ) contém um subespaço subvariedades de difeomorfas a , então, para cada , isomorfo à algebra de Lie g de (todos os vetores tangentes em às curvas suaves na Ąbra contendo ). Chamamos este subespaço de subespaço vertical de ( ) e o denotamos por Vert ( ). Os elementos de Vert ( ) são chamados vetores verticais em . A ação à de sobre proporciona uma maneira natural de identiĄcar cada Vert ( ) com g. Para isto, Ąxamos um elemento ∈ g (pensado como um conjunto de matrizes). Associamos # com um campo vetorial em , chamado campo vetorial fundamental em determinado por , da seguinte forma: Para cada a aplicação à : deĄnida por à

                                  ) na identidade. ( ) = à( , ) = é suave e portanto possui uma derivada (à

                                • Então, # ⧹︃ ⧹︃

                                  = (à ) ( ) = (2.3.15) # ⧹︃ ⧹︃ =0 # ( ≤ exp( ))

                                • ( ) é um isomorĄsmo de g sobre Vert ( ). De fato, ( ) é o vetor

                                  A aplicação ↦⊃ # ( ) é um vetor vertical em para 1 velocidade da curva ↦⊃ ≤ exp( ) em = 0.

                                  As definições de grupo de homotopia estão além do escopo deste trabalho, e recomendamos o capítulo 2 do livro texto usado para maiores detalhes.

                                  # ( ) é uma aplicação linear de g cada ∈ g. Logo se Ąxarmos , a aplicação ↦⊃ # # em Vert

                                  é injetiva. ( ). Como a ação à é livre ̸= 0 implica ( ) ̸= 0, i.e., ↦⊃

                                  Finalmente, como dim g = dim Vert ( ), esta aplicação é, de fato, um isomorĄsmo. Além disso, para quaisquer , ∈ g, # # # [ , ] = [ , ] (2.3.16)

                                  (Teorema 5.8.8 e, para todo , # # ⊗1 (à ) ( ) = ( ( )) (2.3.17)

                                • 2.4 Conexões e Curvatura

                                  ⊃ com ação à é uma 1-forma ω Uma conexão em um Ąbrado principal ˓ em com valores em g que satisfaz ⊗1 ⊗1

                                • ω

                                  1. (à ) = ( ),

                                  ◇ ω, para todo , i.e., para todo , e v ⊗1 ⊗1 ⊗1

                                  ω ((à ) (v)) = ω (v) (2.4.1) # *

                                  2. ω( ) = para todo ∈ g e , #

                                  ω

                                  ( ( )) = (2.4.2) ⊗1

                                  ( ) local do Ąbrado é chamada calibre local e o Uma seção transversal :

                                • ω

                                  pullback A = de ω para por é chamado potencial de calibre local. Se ⊗1

                                  ,

                                  Ψ é uma cobertura trivializante de e : ( ) é a seção transversal ¶(

                                  ⊃ )♢ associada a ( , Ψ =

                                • ω

                                  ) então a família ¶A

                                  ♢ de potenciais de calibre locais satisfazem

                                  A ⊗1

                                  = i Θ (2.4.3) ijA é a aplicação de transição correspondente e Θ é

                                  ∩ ̸= ∅, onde para todo , com a 1-forma de Cartan para (Lema 5.9.2, Reciprocamente, dada uma cobertura

                                  ,

                                  Ψ ∈ e uma 1-forma A trivializante ¶( )♢ de algum Ąbrado principal ˓ em e A relacionados como em (2.4.3) com valores em g, para cada com A sempre que

                                • ω

                                  =

                                  ∩ ̸= ∅, existe uma única forma de conexão ω em tal que A

                                  Θ em

                                • calculadas quando é um grupo de Lie de matrizes, e assim, é possível mostrar que para

                                  são facilmente para cada (Teorema 6.1.1 As 1-formas

                                  ⊗1 ( ), (

                                  Θ)(v) = ( ) ( )(v), onde é a ( )

                                • e qualquer v diferencial ponto a ponto de :

                                  cada

                                  ∩ . Dessa forma (2.4.3) pode ser escrita como ⊗1 ⊗1

                                  = (2.4.4)

                                • A A
                                Dada uma forma de conexão ω em deĄnimos, para cada , o subespaço

                                  horizontal Hor ( ) de ( ) por

                                  Hor ( ); ω (2.4.5) ( ) = ¶v (v) = 0♢

                                  Então ( ) = Vert ( )

                                  ( ) ⊕ Hor ( ) pode ser escrito de maneira única como v = v + v , de modo que todo v onde v ( ) e v ( ). De maneira análoga, um campo vetorial V em

                                  ∈ Vert ∈ Hor pode ser escrito como V = V + V , onde V e V são suaves e, para cada ,

                                  V ( ) e V

                                  leva Hor ( ) ∈ Hor

                                  ( ) ∈ Vert ( ). Se e ( ) = , então

                                • isomorĄcamente sobre ( ). Além disso, os subespaços horizontais são invariantes em relação à ação de sobre no sentido de que

                                  (à ) (Hor ( )) = Hor ( ) (2.4.6) ≤ * para todo e . Para vermos isso, observamos primeiramente que se v ∈ Hor ( ), então por (2.4.1) ⊗1 ⊗1 ⊗1

                                  ω

                                  ((à ) (v)) = ω ((à ) (v)) = (ω (v)) = (0) = 0 ≤ * (

                                  ≤ )≤ Então (à ) (Hor

                                  ( ) qualquer. Como (à ) ( )) ⊖ Hor ≤ ( ). Seja agora w ∈ Hor ≤ * *

                                  é um isomorĄsmo (à ( ) com (à ) (v) = w.

                                  é um difeomorĄsmo) existe um v * ( ). Ora,

                                  Precisamos mostrar que v ∈ Hor ⊗1

                                  

                                ω (v) = ω ((à ) (w)) = (ω (w)) = (0) = 0

                                  ≤ ( ) é um exemplo de e Ąca provada (2.4.6). Se a dim = então a aplicação ↦⊃ Hor uma distribuição suave de dimensão em e, além disso, qualquer distribuição suave de

                                  ( ) ≍ ( ) e (à ) = ( ) ⊕ Vert dimensão , ↦⊃ ( ) em satisfaz ( ( )) = ( )

                                • para todo e é a distribuição de subespaços horizontais para alguma forma de conexão em . Em geral, uma conexão em ˓ é deĄnida em qualquer uma das três maneiras equivalentes descritas acima: uma 1-forma com valores em g, uma coleção de potenciais de calibre locais, ou uma distribuição de subespaços horizontais.

                                  Uma conexão permite fazer um Şprocedimento de levantamento de caminhoŤ de a e consequentemente nos dá noções de Ştransporte paraleloŤ e ŞholonomiaŤ. Mais especiĄcamente, temos o seguinte teorema.

                                  Teorema 2.4.1. Sejam

                                  : um -Ąbrado principal suave sobre e ω uma

                                  forma de conexão em . Seja Ð : [0, 1] e

                                  ⊃ uma curva suave em com Ð(0) = ⊗1

                                  seja Ð

                                  ( ). Então existe uma única curva ˜

                                  1. ˜ Ð (0) = , 2. Ð

                                  ◇ ˜ ( ) = Ð( ), para todo ∈ [0, 1],

                                  3. ˜ Ð , para todo Ð( ) ˜ ( ) ∈ ∈ [0, 1].

                                  A nível de visualização o Teorema 2.4.1 se resume na Figura 2.2, onde : é um -Ąbrado principal, dim = 1 e dim = 2.

                                Figura 2.2 Ű Levantamento de caminho.

                                  Fonte: Elaborada pelo autor.

                                  ⊗1 Em particular, se Ð(1) = , então ˜ Ð ( ) e podemos deĄnir uma aplicação 1 1

                                  (1) ∈ ⊗1 ⊗1

                                  á ( ( ) (2.4.7) Ð 1

                                  : ) ⊃ chamada transporte paralelo ao longo de Ð determinada por ω, pondo á ( ) = Ð ⊗1

                                  

                                Ð ˜ (1) para cada ( ). Caso = (ou seja, Ð seja um caminho fechado),

                                1

                                  ∈ ⊗1 ⊗1 então á ( ( Ð

                                  : ) ⊃ ). Como age transitivamente nas Ąbras de , para cada ⊗1

                                  ( ( ) = Ąxo e permitindo Ð ∈ ) existe um único tal que á . Deixando

                                  

                                Ð variar sobre todos os caminhos fechados suaves em em obtém-se um subconjunto

                                  é transladado paralelamente ℋ( ) ⊖ que consiste de todos os tais que para

                                  ) é um subgrupo de sobre algum caminho fechado em . Mais ainda, ℋ( chamado grupo de holonomia de ω em . Registramos alguns exemplos importantes de conexões em Ąbrados principais.

                                  1.(Conexões Ćat em Ąbrados triviais) Sejam uma variedade diferenciável, um ⊃ o -Ąbrado trivial correspondente. grupo de Lie de matrizes qualquer, e ˓ × Seja Θ a 1-forma de Cartan em e deĄna uma 1-forma em × com valores em g

                                • Θ, onde Þ :

                                  pondo ω = Þ

                                  ( , ) conexão em × cujo subespaço horizontal Hor ( × ) em ( , ) ∈ × é o espaço tangente à subvariedade × ¶ ♢ em ( , ).

                                  2.(Conexão natural no Ąbrado de Hopf complexo) Consideramos o (1)-Ąbrado prin- cipal 3 1 (2.4.8)

                                  (1) ˓ ⊃ CP 3 (Então estamos no caso = 2 de (2.3.5)). Consideramos como uma subvariedade de 2 1 2 2 1 2 2 2 C

                                  ,

                                  consistindo de todos os pontos ( = 1 e identiĄcamos ♣ ♣

                                  ) ∈ C tais que ♣ + ♣ a álgebra de Lie de (1) com a álgebra ImC dos números complexos imaginários puros. 2 DeĄnimos uma 1-forma ˜ ω em C com valores em ImC por 1 1 2 2

                                  ω 1 2 2 ˜ = i Im(¯ + ¯ ) (2.4.9) 1 2 2 1 2 Logo, para cada = ( , e v = ( , (C ) ≍ = (C) ≍

                                  = C × C ) ∈ C ) ∈ T (C) × 1 1 2 2

                                  

                                ω ˜ = i Im(¯ + ¯ )

                                3 3 2 Agora seja ω a restrição de ˜ a , ou seja, ω = Ø ˜ , onde Ø : é a aplicação

                                • ω ω ˓
                                • 3 1 ⊃ C

                                    (a prova disso será dada inclusão. Então ω é uma forma de conexão em (1) ˓ ⊃ CP 1 2 neste trabalho para o caso do Ąbrado quatérnio no Capítulo 3). Para cada = ( , 3 3 ) ∈

                                    , Vert ( ) é o espaço tangente à Ąbra de contendo e isto é um subespaço de 3 1 3 dimensão 1 de ( ) pois essa Ąbra é difeomorfa à . O subespaço horizontal Hor ( ) 3 2 4 determinado por ω é a parte do complemento ortogonal real de Vert ( ) em C = R que 3 vive em ( ) (a prova é idêntica ao caso quatérnio e será dada neste trabalho). É possível

                                  • ω

                                    calcular os pontenciais de calibre , = 1, 2, para as seções transversais correspondentes às trivializações ( , Ψ ), = 1, 2. Vamos mostrar agora a relação que esta conexão tem 3 1 1

                                    (aqui identiĄcamos CP com ⊃ CP com o monopólo de Dirac. Considere (1) ˓ 2

                                    ). O difeomorĄsmo 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 [ , ¯ + ¯ , , ) (2.4.10) 1 2 ] ↦⊃ ( i¯ ♣ ⊗ ♣ ♣ de CP sobre identiĄca e com e , respectivamente, e nestes conjuntos temos 1 2

                                    ⊗1 ⊗1 as seções transversais canônicas : ( ) e : ( ). Descrevemos

                                    ⊃ 1 ⊃ 2

                                    ω ω

                                    agora os potenciais A = e A = em termos de coordenadas esféricas ã e em 2 ⊗1 ⊗1 * *

                                    ω ω

                                    . Queremos ( ) e ( ) , onde é uma carta de coordenada esférica 2 em dada por ⊗1

                                    (ã, ) = (sin ã cos , sin ã sin , cos ã) (2.4.11) Façamos o cálculo escrevendo

                                  • 1 1 2 2

                                      ω ω

                                      = Ø ˜ = Ø (i Im(¯ + ¯ )) 1 1 2 2

                                    • = iØ (Im(¯ + ¯ ))
                                    • 2 1 1 2 4 3 3 4<
                                    • = iØ + )

                                      ⊗ 1 1 2 2 3 4 (⊗ onde = i e = i, assim,

                                    • +
                                    • 2<

                                      • ⊗1
                                      • ⊗1
                                      • 1

                                      • 1
                                      • 2 4 3 3 4 ( ) ω ) ) + (2.4.12)

                                          ◇ = i(Ø (⊗ Mas

                                          ⊗1 (sin ã cos , sin ã sin , cos ã)

                                          (Ø )(ã, ) = Ø (︃ )︃

                                          ã ã ã

                                          = cos , 0, sin sin cos , ⊗ sin

                                          2

                                          2

                                          2 Um cálculo mostra que

                                          1

                                        • ⊗1

                                          ω

                                          ( ) i(1 (2.4.13) ◇ = ⊗ ⊗ cos ã)

                                          2 Analogamente,

                                          1

                                        • ⊗1

                                          ( ) ω = i(1 + cos ã) (2.4.14) ◇

                                          2 A curvatura Ω de uma conexão ω em ˓ é sua derivada covariante exterior deĄnida de modo que ω aja somente nas partes horizontais, i.e., para cada e todos

                                          v, w, ( ) deĄne-se

                                          ∈

                                          Ω (v, w) = ( ω) (v , w ) (2.4.15)

                                          A Equação Estrutural de Cartan (Teorema 6.2.1, aĄrma que

                                          1

                                          Ω = ω + [ω, ω] (2.4.16)

                                          2

                                          η

                                          onde usamos [ω, η] para denotar o produto exterior ω ∧ no qual : g × g ⊃ g é dado pelo colchete de Lie ( ( , ) = [ , ]).

                                          ⊗1

                                        • Ω é chamado

                                          ( ) é uma seção transversal local, então o pullback Se :

                                          

                                        intensidade de campo local e denotado por F . Escrevendo A = ω Ω a

                                          e F = Equação estrutural de Cartan torna-se

                                          1 F = A + [A, A] (2.4.17)

                                          2 ⊗1 ⊗1

                                          Se : ( ) e : ( ) são duas seções transversais com ⊃ ⊃

                                          ∩ ̸= ∅ e se : é a função de transição que relaciona as trivializações correspondentes,

                                          ⊗1 ⊗1

                                          então ( ) =

                                          e, como A = , temos ∩

                                        • A

                                          ( ) ≤ ( ) para cada ⊗1

                                          F F

                                          = (2.4.18) Registramos alguns exemplos.

                                          ⊃ um Ąbrado trivial, Θ 1. (Conexões Ćat em Ąbrados triviais) Sejam ˓ × a 1-forma de Cartan em e Þ : × a projeção. Como no exemplo #1 pág. 36,

                                        • ω Θ é uma forma de conexão em

                                          = Þ × . As equações de Maurer-Cartan (2.2.10) nos dão

                                           ω = (Þ Θ) = Þ ( Θ) (︂ )︂

                                          1

                                          1

                                          = Þ [Θ, Θ] [Þ Θ, Þ Θ]

                                        • ⊗ = ⊗

                                          2

                                          2

                                          1 [ω, ω]

                                          = ⊗

                                          2 Logo

                                          1

                                          Ω = ω + [ω, ω] = 0 (2.4.19)

                                          2 Portanto, estas conexões possuem esse nome ŞĆatŤ por terem curvatura identicamente zero.

                                          2. (Conexão Natural no Fibrado Complexo de Hopf ) Conexões ω em Ąbrados (1) ˓⊃ ⊃ possuem propriedades especiais e fazemos uma discussão de algumas delas. Iden- tiĄcamos a álgebra de Lie u(1) com a álgebra ImC dos complexos imaginários puros.

                                          Como u(1) tem dimensão 1, todos os colchetes se anulam de modo que a curvatura Ω de qualquer conexão coincide com sua derivada exterior

                                          

                                        Ω = ω

                                          (2.4.20) ⊗1

                                          ( ) é qualquer seção transversal, então podemos escrever o potencial de Se :

                                          calibre A = e intensidade de campo F =

                                          ω Ω como A

                                          = ⊗iA (2.4.21)

                                          F

                                          = A = ⊗i A = ⊗iF onde A e F são formas em com valores reais (o sinal negativo é convencional). Se ⊗1 ⊗1

                                          : ( ) e : ( ) são duas seções transversais com ⊃ ⊃

                                          ∩ ̸= ∅ e se :

                                          ∩ (1) é a função de transição correspondente, então ⊗1 ⊗1 ⊗1

                                          A A

                                          = = A (2.4.22) + + ⊗1

                                          F F

                                          = = F (2.4.23) em pois (1) é Abeliano. Em particular, as intensidades de campo locais podem ∩ ser coladas juntas e dão uma intensidade de campo F deĄnida globalmente em . Isto ocorre pois (1) é Abeliano, fato que geralmente não ocorre no caso em que o grupo que age sobre não é abeliano. Como é uma aplicação sobre (1), pode ser escrita como i Λ( ) ( ) = para alguma função de valores reais Λ em . Então i Λ

                                          ⊗1 ⊗iΛ =

                                          (⊗i Λ) = ⊗i Λ então A = Ai Λ, ou seja,

                                          A = A + Λ (2.4.24) a qual é a forma tradicional da relação entre dois Şvetores potenciaisŤ. 3 Agora voltemos para o caso da conexão natural ω do Ąbrado de Hopf complexo (1) ˓1 1 2 3 2

                                          . IdentiĄcamos CP com e os potenciais locais ⊃ CP e obtemos (1) ˓ de calibre A e A , em coordenadas esféricas, são dados por

                                          1 A

                                          

                                        i(1

                                          = ⊗ ⊗ cos ã)

                                          2 (2.4.25)

                                          1 A = i(1 + cos ã)

                                          2 Cada um possui a propriedade de que, em seus respectivos domínios, a intensidade de campo é dada por

                                          1 F

                                          i sin ã ã (2.4.26)

                                          = ⊗ ∧

                                          2 (basta calcular A e A ).

                                          3 Potenciais BPST instantons e suas Inten- sidades de Campo

                                          Neste capítulo faremos o cálculo dos chamados potenciais BPST instantons que na li- teratura física apareceram primeiramente como soluções das equações de Yang-Mills (ver Apêndice C para a derivação destas equações) no trabalho de Belavin, Polyakov, Schwartz e Tyupkin em 1975, os quais foram inicialmente chamados de pseudopartí-

                                          

                                        culas. Na literatura moderna, é mais comum referir-se aos mesmos e também à conexão

                                          natural ω dos quais estes potenciais surgem e determinam unicamente (ver primeiro e segundo parágrafos da Seção 2.4 Capítulo 1) como instantons. Mostraremos que estes potenciais são soluções das equações de Yang-Mills, apresentando-as como soluções de equações relativamente mais simples no Capítulo 4. Encontramos estes potenciais por um caminho diferente, através do cálculo de uma 1-forma canônica de Cartan em (2), ob- 3 7 4 temos então a conexão natural ω do Ąbrado de Hopf quatérnio ˓ e através

                                          ⊃ do pullback de ω por seções transversais canônicas chegamos nos potenciais anunciados. Na última seção calculamos explicitamente as intensidades de campo associadas a es- tes potenciais através do Teorema 3.3.1 e da Equação Estrutural de Cartan. Usaremos principalmente como referência neste capítulo.

                                        3.1 Cálculo dos Potenciais BPST instantons

                                          Uma 1-forma de Cartan para ( , H) pode ser identiĄcada em cada ( , H) ⊗1 com o produto de matrizes onde é dada por ∏︀ ⎞ 11 1 ̂︁ ̂︂ ̂︁ ̂︂ ≤ ≤ ≤

                                          = ̂︁ ̂︂ ∐︁ ̂︀ ... ... ... 1 ≤ ≤ ≤

                                        • onde = i+ j+ k, para , = 1, . . . . A 1-forma de Cartan para =
                                          • ⊗1

                                          ( ) é a restrição de Θ ( ) = a ( ) ond = (2, H), i.e., Θ ( ) = Ø Θ ( ), onde Ø : ( ) ˓ ( , H). Façamos o cálculo da 1-forma de Cartan para (2). Para ∏︀ ⎞

                                          Ð Ñ ∐︁ ̂︀ ⊗1

                                          cada = ( ) é dada por = (2, H), Θ

                                          . Agora se (2) então

                                          Ò Ó

                                          ⊗1

                                          ÐÐ

                                          vale = ¯ e ¯ = . Em particular, ¯ + ¯ÒÒ = 1. Com isso temos

                                          ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞

                                        11

                                        12 Ð ¯ ¯Ò

                                          ⊗1 ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀ = 21 22

                                          ¯ ∏︀ ⎞ Ñ ¯ Ó 11 21 12 22 Ð Ð ∐︁ ̂︀ ¯ + ¯Ò ¯ + ¯Ò = 11 21 12 22

                                          ¯ ¯

                                          

                                        Ñ Ñ

                                        • ¯Ó + ¯Ó

                                          ′ Qualquer elemento de ( (2)) pode ser escrito como Ö (0), onde Ö é uma curva suave

                                          ′ ′ em (2) tal que Ö(0) = . Ora, Ø (Ö (0) onde ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ 11 (0)) = (Ø Ö) * 12

                                          Ð ( ) Ñ( )

                                          ((Ø Ö)( )) ((Ø Ö)( )) ′ ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀

                                          ( ) = = (Ø Ö) 21 22

                                          Ò ( ) Ó( )

                                          ((Ø Ö)( )) ((Ø Ö)( )) com ¯ Ð ( )Ð( ) + ¯Ò( )Ò( ) = 1 para todo . Derivando em = 0 obtemos ′ ′ ′ ′

                                          Ð ¯ (0)Ð(0) + ¯ Ð (0)Ð (0) + ¯Ò (0)Ò(0) + ¯Ò(0)Ò (0) = 0

                                          ′ ′ ′ ′ (0)Ð + ¯ ÐÐ (0) + ¯Ò (0)Ò + ¯ÒÒ (0) = 0

                                          =⇒ ¯Ð ′ ′

                                          ′ ′ (0) + ¯ ÐÐ (0) + ¯ÒÒ (0) + ¯ÒÒ (0) = 0

                                          =⇒ ¯ÐÐ ′ ′

                                          (0) + ¯ÒÒ (0)) = 0 11 =⇒ Re(¯ÐÐ 21 ′ ′ ′ ′

                                          Além disso, Ð (0) = (Ø (Ö (0))) e Ò (0) = (Ø (Ö (0))), logo, 11 * * 21 ′ ′ ′ ′

                                          Re(¯ Ð (Ø (Ö (0))) + ¯Ò (Ø (Ö (0)))) = Re(¯ ÐÐ (0) + ¯ÒÒ (0)) = 0 11 * * 21

                                          Concluímos que ¯ Ð + ¯Ò é imaginário puro em Ø (Ö (0)). Mostramos, portanto, 11 11 21 21

                                        • que a entrada-11 da 1-forma de Cartan de (2) é a restrição de Im(¯ + ¯ ) a
                                        • 11 21 (2), onde ( ) = Ð e ( ) = Ò. Uma abordagem análoga mostra que a entrada-11 da 11 11 21 21 1-forma de Cartan Θ ( ) de (2) é a restrição a (2) de i vezes Im(¯ + ¯ ). 1 2 3 4 11 11 21 21 2 Introduzindo-se coordenadas reais ( , , , ) = ( , , , ) em C obtemos uma 4 3 2

                                            1-forma em R que pode ser restrita a e fazendo o pullback para por meio das seções 1 3 2 transversais do Ąbrado de Hopf complexo caracterizamos o monopólo de ⊃ 1 8 11 21 2 Dirac. Analogamente, introduzimos coordenadas reais ( . . . , ) = ( , . . . , ) em H 8 7 e isso nos dá uma 1-forma sobre R que pode ser restrita a . Além disso, temos o Ąbrado 3 7 4 de Hopf quatérnio que nos permite, através do pullback desta 1-forma 4 para , caracterizar as soluções BPST instantons das equações de Yang-Mills.

                                            As contas deste trabalho são feitas todas em termos da estrutura dos números qua- 7 2 7 1 2 térnios. Logo, identiĄcamos com o subconjunto de H dado por , 2 1 2 2 2 4 1 = ¶( ) ∈ H com HP .

                                            ♣ ♣ ; ♣ + ♣ = 1♢, e 7 1

                                            . Mais ainda, mostramos que ⊃ H

                                            A aplicação de Hopf será a projeção : 7 (2) ≍ =

                                            (1) 7 é dado por de maneira explícita, a saber, o homeomorĄsmo : (2)/ (1) ⊃ ∏︀ ⎞ ∐︁ ̂︀ Ð Ñ

                                            ([ ]) = (Ð, Ò), onde = ∈ (2)

                                            Ò Ó Suprindo (2)/ (1) com a estrutura diferenciável (deĄnição pag. 27) que faz com que 7 seja um difeomorĄsmo, podemos identiĄcar com (2)/ (1) também como variedades 11 11 21 21 diferenciáveis. Uma observação importante é que a entrada-11 Im(¯ + ¯ ) da 1-forma de Cartan para (2) depende apenas das entradas-11 e -21 em (2), ou seja, ∏︁ ⎫

                                          Ð e Ò, e desta forma, o mesmo é válido para cada ponto da classe lateral [ ] = (1) =

                                          ⨄︁ ⋀︁ ∏︀ ⎞ ∐︁ ̂︀ Ð Ñ

                                            . Assim, esta 1-forma descende naturalmente para uma 1- ⎩ ⋂︁ ; ∈ H, ♣ = 1

                                            Ò Ó 7 forma no quociente (2)/ (1), e consequentemente, para via . 7 1 2 Agora, colocamos na mesa a notação requerida de forma sucinta. , 2 1 2 2 2 7 2

                                            = ¶( ) ∈ H

                                            é a aplicação inclusão. A ação usual à direita de (1) ; ♣ ♣ + ♣ ♣ = 1♢ e Ø : ⊃ H 7 em é 1 2 1 2 1 2

                                            

                                          à (( , ), ) = ( , , )

                                            ) ≤ = ( IdentiĄcamos a álgebra de Lie sp(1) de (1) com ImH (ver (2.2.14) e (2.2.16)) e o Ąbrado 7 1 1 2 1 2 1 4

                                            ≍

                                            , ,

                                            ) = [ = . As ⊃ HP de Hopf quatérinio com (1) ⊃ , onde ( ] ∈ HP

                                            ,

                                            trivializações ( Ψ ) para este Ąbrado são dadas por: 1 2 1

                                            , ;

                                            = ¶ = [ ] ∈ HP ̸= 0♢ ⊗1 e Ψ (

                                            ( )), onde : ) ⊃ × (1) é dada por Ψ ( ) = ( ( ), å

                                            ⊗1

                                            å

                                            ( ) = ♣ ♣ ⊗1

                                            ⊗1 As inversas Φ = Ψ : ( ) são dadas por

                                            × (1) ⊃ 1 2 1 2 1 1 ⊗1

                                            Φ ([ , ( ) 1 1 2 ], ) = (♣ , ) 1 2 2 2 ⊗1

                                            Φ ([ , ], ) = ( ( ) 2 , ) então as funções de transição são 12 , 21 : 1 2 1 2 1 1 (1) são 2 2

                                            ⊗1 ⊗1 ⊗1 12 ( ) = 12 ([ ( ) , 12 ( ) = ( 12 ( )) ♣ ♣ ♣ e

                                            ]) = ♣ 7 as seções transversais canônicas : associadas com essas trivializações são 1 2 1 2 1 1 1 2 1 2 2 2 ⊗1 ⊗1 1 ( ) = ([ , ( ) ( ) = ([ , ]) = ( ( ) 1 2 2

                                            ]) = (♣ , ♣) e , ♣). Aqui 1 4 1 e são vizinhanças coordenadas em HP . Os difeormorĄsmos : 2 1 2 2 1 ⊗1 ⊃ H = R 1 2 correspondentes a estas vizinhanças são dados por ([ , ]) = ( ) e ([ , ]) = 1 2 ⊗1 ⊗1 ⊗1 1 1 ( ) cujas inversas são ( ) = [1, ] e = [ , 1] de tal modo que as aplicações de 1 2 transição são

                                            ⊗1 ⊗1 ⊗1 2 ◇ 1 ( ) = = ( ) 1 ◇ 2 7 usaremos a para todo ∈ H ⊗ ¶0♢. Como em geral, [1, ] e [ , 1] não pertencem a

                                            ⊗1 ⊗1 seguinte descrição equivalente de e . 1 [︁ ]︁ 2 2 1 2 1 ⊗1 ⊗ ⊗ 2 ( ) = ) , ) 2 1 (1 + ♣ ♣ (1 + ♣ [︁ ]︁ (3.1.1) 2 1 2 1

                                            ⊗1 ⊗ ⊗ 2 2

                                            ,

                                            ( ) = ) )

                                            ⊗1 ⊗1 Aplicando a ( ) e a ( ) obtemos 1 1 2 2

                                            1 ⊗1

                                            ( )( ) = √︁ (1, ) 1 1 2 1 + ♣

                                            (3.1.2)

                                            1 ⊗1 √︁

                                            ( 1 )( ) = ( , 1) 2 2 7 1 + ♣ ♣ A 1-forma em com valores em ImH de nosso interesse é obtida da seguinte maneira. 2 1 1 2 2

                                            ω ω ω

                                            DeĄna ˜ em H pondo ˜ = Im(¯ + ¯ ) e então, tome ω sendo a restrição de ˜ a 7 7

                                          • ω

                                            , ou seja, ω = Ø ( ˜ ( 7),

                                            ). Logo , para todo e todo v

                                            

                                          ω (v) = ˜ ω (Ø (v))

                                          Ø( )

                                          • 1
                                          • 2 7 1 2 7 Deixando de escrever as inclusões e escrevendo = ( , e v = (v , v ( 1 2 ) ∈ ) ∈ ) ⊖ (H) = (H) segue que

                                              (H) × 1 1 2 2 1 2 1 2

                                              ω

                                              (v) = Im(¯ + ¯ )( , )(v , v ) 1 1 1 2 2 2 1 2 (3.1.3) = Im(¯ (v , v ) + ¯ (v , v )) Usamos o isomorĄsmo canônico (Exemplo 1 - pag.7) para identiĄcar com ( ). i ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                              Voltando a (3.1.3) temos que pelo Teorema (2.2.1) podemos escrever v = v , onde i ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 1 2 ⧹︃

                                              

                                            v = v( ). Como (1) é o dual de temos que (v) = (v , v ) = , onde é o

                                            ⧹︃

                                            7

                                              elemento de H que corresponde a v ( ) através do isomorĄsmo canônico. Podemos, 7 1 2 ( ) com o par ( , então, identiĄcar v ) ∈ H de tal forma que (3.1.3) Ąca 1 2 1 2 1 1 2 2

                                              ω

                                              (v) = ω ( , ) = Im(¯ + ¯ ) (3.1.4) ( , ) 1 1 2 2 Mostraremos que a 1-forma ω (v) = Im(¯ + ¯ ) é uma conexão. Primeiro, aĄr- 1 2 ⊗1 ⊗1 7 1 2 mamos que se v = ( , ( ) então (à ) (v) = ( , ). De fato, conside- ) ∈ * 7 7

                                              ⊗1 ramos o difeomorĄsmo à : dado por ) = .

                                              ⊃ ( ) = e vemos que à (

                                              Então pelo Corolorário 2.2.1 existe uma curva suave Ð tal que ⊗1 ⊗1 ′ ′ (à ) (v) = (à ) (Ð (0)) = (à (0)

                                            • * Ð)

                                              Mas (àÐ)( ) = à

                                              (Ð( )) = Ð( ) ≤ . Portanto, 1 2 1 2 ′ ′

                                              (à (0) = Ð , , ) ◇ Ð) (0) ≤ = v = ( ) ≤ = ( como queríamos. Por outro lado, 1 1 2 2 ⊗1 ⊗1 ⊗1

                                              

                                            ω (v) = Im(( ) + ( ) )

                                              ≤ 1 1 2 2 ⊗1 ⊗1

                                              = Im( ¯ + 1 1 2 2 ¯ ) = Im( ¯ + ¯ )

                                              ⊗1 = . Logo, pois (1) implica que 1 1 2 2 ⊗1 ⊗1 ⊗1 ⊗1 ⊗1

                                              ω

                                              (ω (v)) = (v) = Im( ¯ + ¯ )

                                              ⊗1 ⊗1 (Im ) = Im( ).

                                              Agora, aĄrmamos que para todo (1) e ∈ H, tem-se 1 2 3 1 2 3

                                            • Para isso, escrevemos = +

                                              i + j + k e = i + j + k. Então

                                              ⊗1 1 2 3 1 2 3 = ¯ = i j k e Im = i + j + k implica que

                                              ⊗ 1

                                              ¯ (Im ) = [ ]i 1 2 3 3 2

                                            • +
                                            • + [ ]j
                                            • 2 2 1 3 1 1 3<
                                            • 3
                                            • 2 1 2 2 1<
                                            • + [ ]k +
                                            • 1 1 2 3 3 1 1 2 3 3 2 2 2 3 1 1 3 onde = [ + 2 ], = [ ], = [ + + 3 = [ ]. Por outro lado, 3 1 2 2 1<
                                            • 1 1 2 3 3 2 Im(¯) = [˜ + ˜ + ˜ ]i 2 2 1 3 1 ⊗ ˜ 1 3<
                                            • + ˜ + ˜ ]j
                                            • 3 2 1 2 ⊗ ˜ 2 1<
                                            • + ˜ + ˜ ]k
                                            • 1 1 ⊗ ˜
                                            • onde ˜ = [ + 2 ], ˜ = [ ], ˜ = [
                                            • 2 3 3 1 1 1 2 3 3 2 2 2 2 3 1 1 3 3 3 3 1 &ot
                                            • +

                                              ], ˜ = [ ]. Comparando-se ambas igualdades, 2 2 1

                                            • +

                                              ⊗1 ⊗1 vê-se que, de fato, vale (Im ) = Im( ). Portanto, 1 1 2 2 ⊗1 ⊗1 ⊗1

                                              (ω (v)) = Im( ¯ + ¯ ) 1 1 2 2

                                              = Im(¯ + ¯ ) ⊗1 = ω ((à ) (v))

                                              E temos (1). Para mostrar que ω age trivialmente em campos vetoriais fundamentais, # 7 = à( ) o campo vetorial fundamental em deter- tomamos ∈ sp(1) = ImH e # 7 minado por . Então ω( ) é uma função deĄnida em com valores em ImH por # # 7

                                              ω

                                              ( )( ) = ω ( . Ora, é o vetor velocidade em = 0 da 1 ( )), para cada 2 1 2 curva Ð ( ) = (

                                               , ). Portanto,

                                              ≤ exp( ), ≤ exp( )) e por (2.2.5) isto é apenas ( # 1 1 2 2

                                              

                                            ω ( ) = Im(¯ + ¯ )

                                            (︁ )︁ 1 2 2 2

                                              = Im ) (♣ ♣ + ♣ 7 = Im( ) = pois e ∈ ImH.

                                              Nosso interesse em conexões foi originalmente motivado pela sugestão de que esta estrutura proporciona um procedimento de levantamento de caminho único pelo qual pode-se obter o registro da evolução do estado interno de uma particula (e.g. fase, isospin) na medida que atravessa o campo estabelecido por uma outra partícula (e.g., campo eletromagnético de um monopólo).

                                              A distribuição horizontal de vetores proporciona uma maneira geométrica de visua- lizarmos uma conexão em um Ąbrado. Vejamos como isso se dá no caso de (3.2.4), ou 7 1 . É fácil veriĄcar que para seja, numa conexão do Ąbrado de Hopf (1) ⊃ ⊃ HP 4

                                               ,

                                              ∈ H = R o produto interno usual real é dado por ⟨ , ⟩ = Re(¯ ), e disso, po- 1 2 1 2 8 demos concluir que para ( , ), ( , , o produto interno usual real é 1 2 1 2 1 1 2 2 ) ∈ H 2 = R 1 2 7 2

                                              , ), ( , + ¯ ). Agora, suponha = ( , e consi-

                                              ⟨( ⊖ H 7 )⟩ = Re(¯

                                              ) ∈ 1 2 dere Vert (

                                              , ). Como a Ąbra é 1 2 ). Este é o espaço tangente à Ąbra de contendo ( ,

                                              ¶( ); (1)♢, então 1 2 7 1 2 Vert ( , ( , )

                                              ) = ¶( ); ∈ sp(1) = ImH♢ 1 2 7 8 1 2 Calculemos agora o complemento ortogonal de Vert ( ) em R . Ora, v = ( , ) ( , ) pertence ao complemento ortogonal se, e somente se, para todo ∈ ImH, tem-se que 1 2 1 2

                                               , ), ( ,

                                              ⟨( )⟩ = 0. Pelo que dissemos anteriormente este é o caso se, e somente se, Re( ) = 0. Mostraremos que este é o caso se, e somente se, ¯ + ¯ é real, 1 + 1 2 2 1 1 2 2 ou seja, se, e somente se, Im(¯ 1

                                            • 1
                                            • ¯ ) = 0. De fato, suponha que Re( ) = 0,
                                            • 2 2 1 1 2 2 então do fato de ∈ Im(H) e pelas propriedades de números quatérnios (ver Apêndice

                                                A) temos 1

                                              • 1
                                              • 2 2 = ¯ ¯ + ¯ ¯ 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 = ¯ + ¯ ) 1 1 2 2 mas 0 = Re(¯ ) = 0.

                                                  )) = ⟨ , ¯ ⟩ para todo ∈ ImH, logo Im(¯ 1 1 2 2

                                                  ω ω

                                                  A recíproca é óbvia. Logo ˜ (v) = Im(¯ + ¯ ) = 0, e temos que o núcleo de ˜ é 7 8 exatamente o complemento ortogonal de Vert ( ) em R . Como a conexão ω do Ąbrado 7

                                                  ω

                                                  de Hopf é apenas a restrição de ˜ à , seus subespaços horizontais são 7 7 Hor ( ) = ( (3.1.5) ) ∩ ker ˜ω

                                                  Com isso vemos que ω surge, na verdade, de maneira natural da estrutura do Ąbrado de 7 8 Hopf (e do modo que se encontra em R ) e pontanto é chamada de conexão natural 3 7 4 de .

                                                  ⊃ 1 4

                                                  Estamos interessados, particularmente, no pullback desta conexão para HP = por 7 1 . A Ąm de obtermos

                                                  ⊃ HP meio das seções transversais do Ąbrado de Hopf (1) ⊃ coordenadas para podermos escrever explicitamente nossos objetos, faremos o pullback 1 para H por meio das cartas em HP .

                                                  Proposição 3.1.1. Para cada (H) e cada = 1, 2, tem-se que (︂ )︂ (︂ )︂ ∈ H, cada v

                                                • ⊗1 ⊗1 * ⊗1

                                                  ( ) ω (v) = ( ω ) ( ) (v) (3.1.6) ◇ * ( ) k

                                                  Demonstração. Segue da deĄnição de pullback (2.1.20) e (2.1.25) que

                                                  (︂ )︂ (︂ )︂

                                                  ⊗1 ⊗1

                                                  ω ω

                                                  ( (v) = ( ) ) (v) ) ◇ ◇ (à (︂ )︂

                                                • ⊗1

                                                  ω

                                                  = ( ) (( ) ) (v) (︁ )︁

                                                • ⊗1 ⊗1

                                                  = ( ω ) ( ) (v) k * ( ) como queríamos.

                                                  ⊗1 Em outras palavras o resultado acima diz que se usarmos o difeomorĄsmo para

                                                  ⊗1 identiĄcar H com de modo que é identiĄcado com ( ) e v é identiĄcado com

                                                • ⊗1

                                                  ω ω ω

                                                  ( ) (v), então ( ) é identiĄcado com . Façamos o cálculo de ( ) .

                                                  ◇ *

                                                  ⊗1 ⊗1 AĄm de facilitar a escrita, usaremos = 1 ( 1

                                                  ◇ 1 2 1 : H ⊃ ). Para cada ∈ H, temos ⧹︃ ⧹︃2 ⧹︃

                                                  ) (1, ). Cada v (H) identiĄcaremos com ( + ) para ∈ que ( ) = (1 + ♣ ⧹︃ =0 através do isomorĄsmo canônico. Assim,

                                                  ∈ H correspondendo a v (︃ )︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ (v ) = ( + ) = (( + ))

                                                • * ∏︀ ⎞ ⧹︃ ⧹︃ =0 =0 ⧹︃ ⧹︃ ∐︁ ̂︀

                                                  1 ⧹︃ = √︁ (1, + ) 2 ⧹︃ ⧹︃ 1 + ♣ +

                                                  Agora, 2 = ( + )( + ) = ( + )(¯ + ¯ )

                                                  ♣ + 2 = ¯ + ¯ + ¯ + ¯ 2 2 2

                                                  = ♣ ♣ + ( ¯ + ¯ ) + ♣ 2 2 2 = ♣ ♣ + 2Re( ¯ ) + ♣ 2 2 2 2 ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ = ♣ ♣ + 2Re( ¯ ) + ♣

                                                  Então ) = Re( ¯ ), daí (1 + ♣ + ∏︀ ⎞ ⧹︃ =0 ⧹︃ ⧹︃ ∐︁ ̂︀ √︁

                                                  1 ⧹︃ ⧹︃

                                                  1

                                                  2Re( ¯ ) Re( ¯ ) 2 ⧹︃ = ⊗ = ⊗ 2 3/2 2 3/2 2 ) ) =0 (1 + ♣ ♣ (1 + ♣ ♣ 1 + ♣ + ♣ Com isso, temos que ∏︀ ⎞ ⧹︃ ⧹︃ ∐︁ ̂︀ √︁ √︁

                                                  1 ⧹︃

                                                  1 Re( ¯ ) ( + ) ⧹︃ = 2 ⧹︃ 22 3/2

                                                  ) =0 (1 + ♣ ♣ 1 + ♣ + ♣ 1 + ♣ ♣ Podemos concluir que ∏︀ ∐︁ Re( ¯ )

                                                  1 Re( ¯ )

                                                  ,

                                                  (v ) = (3.1.7)

                                                  ⊗ ⊗ 2 3/2 √︁ 2 2 3/2 ̂︀

                                                • ) )

                                                  (1 + ♣ ♣ (1 + ♣ ♣ 1 + ♣

                                                • ω

                                                  Agora, ( ) (v ) = ω ( ) ( (v )) cujo cálculo é feito como segue:

                                                  1 1 1 1 ) ( (v )) = ¯ ( ( )) ( (v )) ( ) ∏︀ ⎞ * * (︃ )︃ ∐︁ ̂︀ √︁

                                                  1 Re( ¯ ) = 22 3/2

                                                  ) (1 + ♣ ♣ 1 + ♣

                                                  Re( ¯ ) = ⊗ 2 2

                                                  ) (1 + ♣ ♣ quanto ao outro termo, 2 2 2 1

                                                  (¯ ) ( (v )) = ¯ ( ( )) ( (v ))

                                                • ( ) ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞
                                                • ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀ √︁ √︁

                                                  1

                                                  1 Re( ¯ ) = ¯ 2 22 3/2

                                                  ) (1 + ♣ ♣ 1 + ♣ ♣ 1 + ♣ 2

                                                1 Re( ¯ )♣ ♣

                                                  = 2 ¯ 2 2 ) 1 + ♣ ♣ (1 + ♣

                                                  Portanto, 1 1 2 2 Im(¯ )

                                                  ω

                                                  ( (v )) = (Im(¯ + ¯ )) ( (v )) =

                                                • * ( ) ( )
                                                • 2 1 + ♣

                                                    Consequentemente, (︂ )︂ (︃ )︃ Im(¯ ) ¯

                                                  • ⊗1

                                                    ω

                                                    ( ) (v) = = Im (3.1.8) 1 1 2 2 1 + ♣ ♣ 1 + ♣

                                                    Em (3.1.8), refere-se a qualquer ponto Ąxado em H e é o quatérnio que corresponde a algum vetor Ąxo v (H). Considerando como sendo uma função coordenada padrão ∈ 2

                                                    . Escrevendo ( = + i + j + k) em H, então também serão funções em H, ¯ e ♣

                                                    = + i + j + k como usualmente viemos fazendo temos que (v ) = e portanto (3.1.8) pode ser escrito como (︃ )︃ ¯

                                                    ⊗1 ( 1 ) ω = Im (3.1.9)

                                                  • 1 2 1 + ♣ ♣ Semelhantemente, (︃ )︃

                                                      ¯

                                                    • ⊗1

                                                      ( 2 ) ω = Im (3.1.10) ◇ 2 2 1 + ♣

                                                      Essas duas expressões são concisas e elegantes, entretanto não expressam exatamente o que está se passando. A Ąm de eliminar qualquer dúvida vamos escrever em detalhes 4 1 ( ), (3.1.9) e Proposição 3.1.1 cada uma dessas equações. Para e cada X implica (︂ )︂ (︃ )︃ 1 ( )

                                                    • ⊗1

                                                      ω ω

                                                      ( ) X = ( ) (( ) X) = Im 1 ◇ * 1 1 1 ( ) 1 1 2 1 + ♣ ( )♣ 4 X). De modo análogo, Para onde = (( 1 ) 2 ( ),

                                                      (︂ )︂ (︃ )︃ 2 ( )

                                                      ⊗1 * (

                                                    • ω ) X = ( ) ω (( ) X) = Im
                                                    • 2 ◇
                                                    • 2 2 2 ( ) 2 2 2 1 + ♣ ( )♣ onde = (( ) X). 2<
                                                    • Observe que em H ⊗ ¶0♢ (︃ )︃ (︃ )︃
                                                    • 2 2 ⊗1

                                                        ¯ ♣ ♣

                                                        ⊗1 Im = Im = Im( ) (3.1.11) 2 2 2 1 + ♣ ♣ 1 + ♣ ♣ 1 + ♣

                                                        Proposição 3.1.2. IdentiĄque (1, H) com H

                                                        ⊗¶0♢ e (1) com os quatérnios unitários

                                                        em H e considere Ø : (1) ˓

                                                        ⊗¶0♢. DeĄna : H⊗¶0♢ ⊃ (1) pondo ( ) = ⊃ H⊗¶0♢ ♣

                                                        ⊗1

                                                      • a aplicação inclusão de modo que Θ = Ø (Im( )) é a 1-forma de Cartan para (1).

                                                        ⊗1 *

                                                        Então Θ = Im( ).

                                                        Demonstração. Selecione

                                                        ∈ H ⊗ ¶0♢ e v (H ⊗ ¶0♢) quaisquer. Então por (2.1.25)

                                                      • ⊗1

                                                        Θ)

                                                        ( Im( ) (v) (v) = (Ø )

                                                        ⊗1 * Como = em (1), segue que Θ = Im( ), como queríamos.

                                                        ω ω

                                                        O que esses cálculos (e a Proposição 3.1.1) revelam é que 1 e são formalmente 2

                                                        ω ω

                                                        idênticos quando 1 é expressa nas coordenadas ( 1 , 1 ) e é expressa nas coordena- 2 das ( 2 , 2 ). Mostraremos como esses dois pullbacks se comportam em um mesmo sistema 1 2 ( ). Suponha que = ( ) 4 ⊗1 1 de coordenadas. Para isso, Ąxe e X

                                                        ⊗1 ⊗1 1 ( 1 2 2 ( ) = , então = ( ). ⊗1 ⊗1 ∩ 1 2 para ) = H ⊗ ¶0♢. Como

                                                        ⊗1 ⊗1 ⊗1 Em seguida, suponha X = ( ) (v ). Como ( 1 2 ) = ( 2 ) ) , então (︂ )︂ * * * * 1 ◇ ( 1

                                                        ⊗1 ⊗1 ⊗1

                                                        X = ( ) ( 2 2 ) (v ) . Logo,

                                                        ◇ * 1 (︂ )︂ (︃ )︃

                                                      • ¯
                                                      • ⊗1 *

                                                        ω ω

                                                        ( ) X = ( 1 ◇ 1 ) (v ) = Im (3.1.12) 1 2 1 + ♣ ♣ onde (v ) = e (︂ )︂ (︁ )︁

                                                      • ⊗1 ⊗1 *

                                                        ω ω

                                                        ( ) X = ( 2 ) 2 ) (v ) 2 (︃ )︃ * 2 ⊗1 1 (3.1.13)

                                                        ⊗1 = Im 2

                                                        ⊗1 ♣ (︁ )︁ 1 + ♣

                                                        ⊗1 onde 2 ) (v ) = . Calculamos esta última expressão, primeiro notando que

                                                        ◇ * 1 ⊗1 2 = 2

                                                        ⊗1 ♣ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 1 + ♣ 1 + ♣

                                                        Em seguida, v = ( + ) implica que ⧹︃ =0 ⧹︃ ⧹︃ ⊗1 ⊗1 ⧹︃

                                                        ( 2 ) (v ) = (( 2 )( + )) ⧹︃ * 1 1 ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ (︃ )︃ ⧹︃ ⧹︃ =0 ⧹︃ ⧹︃ ¯ + ¯

                                                        ⊗1 = ( + ) ⧹︃ = ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 2

                                                        2 2 2 2 então temos que ♣ + ♣ = ♣ ♣ + 2Re( ¯ ) + ♣ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ (︃ )︃ ⧹︃ (︃ 2 2 2 )︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ¯ (♣ + ♣ ) ⊗ (¯ + ¯ )(2Re( ¯ ) + 2♣ ♣ ⧹︃ ¯ + ¯

                                                        ) ⊗1

                                                        ( + ) ⧹︃ = ⧹︃ = ⧹︃ ⧹︃ 2 4 ⧹︃ ⧹︃ =0 =0 ♣¯ + ¯ ♣ ♣ + 2 =0

                                                        2Re( ¯ ¯

                                                        2Re( ¯ ¯

                                                        = = 4 ⊗ ⊗ 4 2 4 ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣

                                                        E isto nos dá (︃ )︃ ¯

                                                      • ω

                                                        ( ) X = Im (3.1.14) 2 2 2 )

                                                        ♣ ♣ (1 + ♣ ♣ ⊗1 ⊗1 onde = ( ), X = ( ) (v ) e (v ) = . 1 * 1

                                                      • ω ω
                                                      • 1 e em termos das coordenadas em 2 1 2 dadas por : 1 1 2<
                                                      • Portanto, (3.1.12) e (3.1.13) expressam

                                                        ∩ ⊃ H ⊗ ¶0♢. Escrevemos então (︃ )︃ ¯

                                                      • 1

                                                        (

                                                        ω ) X = Im (v ) (3.1.15) 2 (︃ )︃ 1 + ♣

                                                      • ω X = Im

                                                        ( ) ¯ (v ) (3.1.16) 2 2 2 )

                                                        ♣ ♣ (1 + ♣

                                                        ⊗1 ⊗1 onde = ( ), X = ( ) (v e cada 1 1 1 ∩ 2 4 ). Em mais detalhes, temos para cada

                                                      • X ( )

                                                        ∈ (︃ )︃ 2 ( )

                                                      • ω

                                                        ( ) X = Im 2 2 2 (︃ )︃ (3.1.17) 1 + ♣ ( )♣ 1 ( = Im 2 2

                                                        ) ♣ 1 1

                                                        ( )♣ (1 + ♣ ( )♣ onde (( ) X) = e (( ) X) = . 1 2

                                                      • *
                                                      • 4 Chegamos no nosso objetivo de fazer o pullback para da entrada-11 da 1-forma de Cartan de (2) através das seções transversais do Ąbrado de Hopf. O que acabamos de encontrar é um BPST instanton sobre o qual teremos mais a falar daqui a pouco. Vale a pena observar que fazendo = 0 e Ú = 1 em (3.2.9) obtemos (3.1.9).

                                                        3.2 Cálculo da Intensidade de Campo dos BPST instantons

                                                          Desejamos calcular com detalhes algumas fómulas clássicas que faremos uso nesta seção e nos demais capítulos. 1 2 3 4 Considere uma 1-forma ω = ω i+ω j+ω k em R = H com valores em ImH (lembre- se que estamos identiĄcando sp(1) com ImH). Como cada ω é uma 1-forma em H com 1 valores em R podemos escrevê-las em coordenadas usuais como ω = æ + æ + 2 3 Ð 1

                                                          æ

                                                        • æ = æ , = 1, 2, 3. Logo,

                                                          1 Ð 2 Ð 3 Ð

                                                          ω = (æ )i + (æ )j + (æ )k 1 Ð Ð Ð 2 3 1 3 2 3 3 3

                                                          = (æ i + æ j + æ k) + . . . + (æ i + æ j + æ k) 1 2 3 1 2 3 3 3 3 3 = (æ i + æ j + æ k) + . . . + (æ i + æ j + æ k) 3 3 3 Dessa forma, podemos escrever ω como 1 2 3

                                                          ω = æ + æ + æ + æ (3.2.1) 1 2 3

                                                          onde cada æ é uma função deĄnida em H com valores em ImH dada por Ð 1 2 3

                                                          æ Ð = æ i + æ j + æ k, Ð = 0, 1, 2, 3 (3.2.2) 2 Ð Ð Ð 3 3 1 1 2 i + ω j + ω k) (ver exemplo 1 - pag. 18)

                                                          Calculamos agora [ω, ω] = 4(ωωωω 2 3 2 Ð 3 Ñ 2 3 Ð Ñ

                                                          æ

                                                          nestes termos observando que ω = (æ ) = æ e que o ∧ ω Ð Ñ Ð Ñ 3 1 1 2 ) ∧ (æ mesmo se dá para ω e ω . Logo,

                                                          ∧ ωω (︂ 2 3 Ð Ñ 3 1 Ð Ñ [ω, ω] = 4 æ æ i + æ æ j Ð Ñ Ð Ñ 1 2 Ð Ñ )︂ (3.2.3)

                                                        • æ æ k Ð Ñ

                                                          ∧ Para reescrevemos esta última expressão, faremos o cálculo do produto em H: (︁ )︁(︁ )︁ 1 2 3 1 2 3

                                                          æ æ = æ i + æ j + æ k æ i + æ j + æ k Ð Ñ Ð Ð Ð Ñ Ñ Ñ 1 1 2 2 3 3 2 3 3 2 æ + æ æ + æ æ ) + (æ æ æ )i

                                                          ⊗ æ = ⊗(æ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ 1 3 1 3 1 2 2 1

                                                        • (æ æ æ )j + (æ æ æ )k Ð Ñæ Ð Ñ Ð Ñæ Ð Ñ

                                                          . Em seguida, note que ∑︁ 3 1 1 2 2 3 3 Ð Ñ ∑︁ ∑︁ 3 Ð,Ñ=0 2 = (æ æ + æ æ + æ æ ) = 0 3 Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ 3 2 Ð Ñ 3 2 3 Ð Ñ Ð,Ñ=0 Ð,Ñ=0 = (æ æ æ ) = 2 æ æ Ð Ñæ Ð Ñ Ð Ñ 1 3 1 3 1 2 2 1 Analogamente, o mesmo vale para æ æ æ e æ æ æ . Assim, Ð Ñ Ð Ñæ Ð Ñ Ð Ñæ Ð Ñ 2 3 Ð Ñ 3 1 Ð Ñ

                                                          

                                                        æ æ = 2æ æ i + 2æ æ j

                                                        Ð Ñ

                                                          ∧ Ð Ñ Ð Ñ 1 2 Ð Ñ

                                                        • 2æ æ k Ð Ñ

                                                          1 = [ω, ω]

                                                          2 Finalmente, observamos que [æ , æ ] = æ æ æ nos dá Ð Ñ Ð Ñ Ñ Ð Ð Ñ Ð Ñ Ñ Ñæ [æ , æ ] = æ æ æ Ð Ñ Ð Ñ Ñ Ð

                                                          ∧ æ Ð Ñ = 2æ æ

                                                          4 Concluimos, então, que para uma 1-forma ω em R com valores em ImH dada por (3.2.1) e (3.2.2), temos que

                                                          1 Ð Ñ Ð Ñ

                                                          1 [ω, ω] = æ æ = [æ , æ ] (3.2.4) Ð Ñ Ð Ñ

                                                          ∧

                                                          2 4

                                                          2 Agora, para a mesma 1-forma ω em R com valores em ImH iremos calcular a derivada 1 2 3 exterior ω = ω i + ω j + ω k da seguinde maneira: 1 Ð 2 Ð 3 Ð

                                                           ω = (æ )i + (æ )j + (æ )k (︂ Ð Ð Ð 1 2 3 = (æ )i + (æ )j + (æ k) + . . . 1 3 2 3 3 3 )︂

                                                        • (æ )i + (æ )j + (æ )k
                                                        • 1 3 2 3 3 3 = ( æ i + æ j + æ k) + . . . 1 3 2 3 3 3<
                                                        • æ i + æ j + æ k)
                                                        • 1 3 2 3 3 3 = ( æ i + æ j + æ k) + . . . 1 2 3 3

                                                            i + æ j + æ k)

                                                          • ( æ
                                                          • 3 3 3 ∧ 3 = æ + . . . + æ 3

                                                              ∧ Logo, Ñ

                                                               ω = æ (3.2.5) Ñ 1 2 3 (︁ )︁ (︁ )︁ (︁ )︁ 1 Ð 2 Ð 3 Ð i + æ j + æ k = æ i + æ j + æ k, onde,

                                                              Além disso, æ Ñ = æ Ð Ð Ð Ð Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ Ñ (︁ )︁ 1 2 3 Ð

                                                              

                                                            / = . Desse modo, æ = æ i + æ j + æ k = æ (derivada compo-

                                                            Ð Ñ Ð Ð Ð Ð Ñ Ñ Ñ Ñ

                                                              nente a componente de æ ) logo temos Ñ Ð Ñ Ð Ñ

                                                              1

                                                               ω = æ = ( æ æ ) (3.2.6) Ð Ñ Ð Ñ Ñ Ð

                                                              ∧

                                                              2 De acordo com (2.4.16) a curvatura de ω é dada por

                                                              1

                                                              1 Ð Ñ (3.2.7)

                                                              Ω = ω + [ω, ω] = ( æ æ + [æ , æ ]) Ð Ñ Ñ Ð Ð Ñ

                                                              ⊗

                                                              2

                                                              2 1 2 3 Teorema 3.2.1. Seja ( ) = ( ) + ( )i + ( )j + ( )k um função deĄnida em H 4

                                                              

                                                            suave qualquer. Considere a 1-forma ω = Im( ( ) ) em R com valores em ImH, onde

                                                              = i + j + k. Nestas condições tem-se que ω = Im( ( ) ) = æ onde 1 + 2 1 3 2 3 3 2 3 1 2 Ð 1 Ð

                                                            æ = i + j + k, æ = i + j k, æ i + j + k e æ = i j + k.

                                                            1

                                                            2

                                                            3 = ⊗

                                                              Além disso, vale

                                                              1

                                                            • ω

                                                              (3.2.8) [ω, ω] = Im( + ( ) ( ) )

                                                              2 Demonstração. Primeiro temos por (A.0.3) que

                                                            • [ ( )
                                                            • 1 + 1 ( ) + 2 ( ) 3 3<
                                                            • [ ( )
                                                            • 2 + 2 ( ) + 3 ( ) 1 1<
                                                            • [ ( )
                                                            • 3 + 3 ( ) + 2 ( ) 1 1<
                                                            • (
                                                            • 1 ( ) + ( )i + 3 ( )j 2<
                                                            • (
                                                            • 2 ( ) ⊗ 3<
                                                            • (
                                                            • 3 ( ) + 2 ( )i 1<
                                                            • ( ( )i +
                                                            • 3 ( )j 2<
                                                            • (⊗
                                                            • 3 ( )i + ( )j + 1 ( )k) 2<
                                                            • (+
                                                            • 2 ( )i 1

                                                              • 1

                                                              • ( Ð Ð
                                                              • ( Ð 1 Ð
                                                              • ( Ð 1 Ð
                                                              • ( Ð 2 Ð
                                                              • ( Ð 2 Ð
                                                              • ( Ð 3 Ð
                                                              • k( Ð 3 Ð

                                                                j

                                                                ) ∧

                                                                i

                                                                ⊗ ( Ð 1 Ð ) ∧ 1

                                                                ) ∧ 2

                                                                k + ( Ð 1 Ð

                                                                ) ∧ 3

                                                                j

                                                                ) ∧

                                                                k + ( Ð 2 Ð

                                                                ⊗ ( Ð 2 Ð ) ∧ 1

                                                                ) ∧ 2

                                                                ) ∧ 3

                                                                i

                                                                ) ∧

                                                                ) ∧ 1

                                                                j

                                                                ⊗ ( Ð 3 Ð ) ∧ 2

                                                                i + ( Ð 3 Ð

                                                                k

                                                                j + ( Ð Ð

                                                                ) ∧ 3

                                                                = Im( ( ) ) = ( 1 ( )i + 2 ( )j + 3 ( )k)

                                                                ( ) = [ ( ) + 1 ( ) 1 + 2 ( ) 2 + 3 ( ) 3 ]

                                                                ( ) 2 ]i

                                                                ( ) 3 ]j

                                                                ( ) 2 ]k = ( ( ) + 1 ( )i + 2 ( )j + 3 ( )k)

                                                                ( )k) 1

                                                                ( )i + ( )j + 1 ( )k) 2

                                                                ( )j + ( )k) 3 Logo vemos que

                                                                ω

                                                                ( )k) 1

                                                                ) ∧ 2

                                                                ( )j + ( )k) 3 = æ + æ 1 1 + æ 2 2 + æ 3 3 Agora, = 1

                                                                i + 2 j + 3 k = ( Ð

                                                              Ð

                                                                ) + ( Ð 1 Ð )i + ( Ð 2 Ð )j + ( Ð 3 Ð )k. Disso e de (A.0.2) seque que

                                                                ∧ = ( Ð Ð ) + ( Ð 1 Ð )i + ( Ð 2 Ð )j + ( Ð 3 Ð )k

                                                                ∧ (

                                                                i + 2 j + 3 k)

                                                                = ( Ð Ð ) ∧

                                                                ) ∧ 1

                                                                i + ( Ð Ð

                                                                ) ∧ 3 Logo

                                                              • 2
                                                              • 2 1<
                                                              • 3
                                                              • 3 1<
                                                              • 1
                                                              • 1 1

                                                                • 2
                                                                • 1 2
                                                                • 3
                                                                • 1 3
                                                                • 3

                                                                • 2
                                                                • 1
                                                                • 2 1 3 2 2 2 3 )︂<
                                                                • (︂
                                                                • 1
                                                                • 1 2<
                                                                • 3
                                                                • 3 2 1 3<
                                                                • 1
                                                                • 2 1 2 2 2
                                                                • 3
                                                                • 2
                                                                • 2<
                                                                • (︂
                                                                • 1
                                                                • 1 3<
                                                                • 2
                                                                • 2 3<
                                                                • 1
                                                                • 1
                                                                • 1 1 2<
                                                                • 3
                                                                • 1 3 2 2 1 2 2 2 1<
                                                                • 1
                                                                • 3 1
                                                                • 2
                                                                • 3 2 3 3 3 )︂<
                                                                • (
                                                                • 1 2 3 ) 1 3<
                                                                • (⊗
                                                                • 2 1 3<
                                                                • (
                                                                • 2 3 1<
                                                                • (︂
                                                                • (
                                                                • 1 3 2<
                                                                • (⊗
                                                                • 3 2 1<
                                                                • (
                                                                • 1 1 3 2<
                                                                • (⊗
                                                                • 1 2 3<
                                                                • (︂
                                                                • ( 1 +
                                                                • 3 2 ) 1 3<
                                                                • (
                                                                • 2 3 1<
                                                                • (
                                                                • 1 2 3<
                                                                • (⊗
                                                                • 1 1 2 2<
                                                                • (⊗
                                                                • 2 1 3

                                                                    ) 3

                                                                    ) 2 3 )︂

                                                                    i

                                                                    ( 2 2

                                                                    ) 2 + (⊗ 1 2 3

                                                                    ) 1 2

                                                                    ) 2 3

                                                                    ) 1 3

                                                                    ) 1 )︂ k.

                                                                    ) 3 + (⊗ 2 2 3 2

                                                                    j

                                                                    ( 3 3

                                                                    ) 3

                                                                    ) 2 3

                                                                    ) 2

                                                                    ) 1 2

                                                                    ) 1 )︂

                                                                    ) 1 2

                                                                    ) 2

                                                                    ⊗ 3 2 3

                                                                    Im( ) = (︂ 1

                                                                    ∧ 2 1 2 1 2 3 3 3 2

                                                                    ∧ 3

                                                                    i

                                                                    ∧ 2

                                                                    ⊗ 1 1 1 3 2 1 2 3

                                                                    ∧ 1

                                                                    ) 1 + (⊗ 2 1 3

                                                                    3 2 1 3 3 3 1 )︂

                                                                    j

                                                                    ∧ 3

                                                                    ∧ 2

                                                                    ⊗ 3 2 3 1

                                                                    k

                                                                    = (︂ ( 1 1

                                                                    Por outro lado temos de (3.2.6) que

                                                                  • ( æ
                                                                  • 2 2 æ ) 2<
                                                                  • ( æ
                                                                  • 3 3 æ ) 3<
                                                                  • (
                                                                  • 1<
                                                                  • (
                                                                  • 1<
                                                                  • (
                                                                  • 1<
                                                                  • (
                                                                  • 2<
                                                                  • (
                                                                  • 2<
                                                                  • (
                                                                  • 2<
                                                                  • (
                                                                  • 3<
                                                                  • (
                                                                  • 3<
                                                                  • (
                                                                  • 3

                                                                    • ( æ
                                                                    • 2 2

                                                                      • ( æ
                                                                      • 3 3

                                                                        • ( 1 æ
                                                                        • 2 2 æ 1 ) 1 2<
                                                                        • ( 1 æ
                                                                        • 3 3 æ 1 ) 1 3<
                                                                        • ( 2 æ
                                                                        • 3 3 æ 2 ) 2 3<
                                                                        • (⊗
                                                                        • 3<
                                                                        • (
                                                                        • 2<
                                                                        • 1
                                                                        • 1
                                                                        • 2
                                                                        • (⊗
                                                                        • 2 1 3<
                                                                        • (
                                                                        • 1 2 3<
                                                                        • (
                                                                        • 2 3 1<
                                                                        • (︂
                                                                        • (
                                                                        • 1 3 2<
                                                                        • (⊗
                                                                        • 3 2 1<
                                                                        • (
                                                                        • 1 1 3 2<
                                                                        • (︂
                                                                        • (
                                                                        • 1 + 3 2 ) 1 3<
                                                                        • (
                                                                        • 2 3 1<
                                                                        • (
                                                                        • 1 2 3<
                                                                        • (⊗
                                                                        • 1 1 2 2<
                                                                        • (⊗
                                                                        • 2 1 3<
                                                                        • [ ( )
                                                                        • 1 + 1 ( ) + 2 ( ) 3 3<
                                                                        • [ ( )
                                                                        • 2 + 2 ( ) + 3 ( ) 1 1<
                                                                        • [ ( )
                                                                        • 3 + 3 ( ) + 2 ( ) 1 1

                                                                            i + j + 1 k) 2

                                                                            ⊗ 3 (⊗ 3

                                                                            j + k)

                                                                            ⊗ 1

                                                                            i

                                                                            ( 2

                                                                            ∧ 3

                                                                            k) 1

                                                                            ⊗ 2

                                                                            

                                                                          j

                                                                            ⊗ 3 ( i + 3

                                                                            j + k)

                                                                            i

                                                                            ⊗ 1

                                                                            ( 2

                                                                            ∧ 2

                                                                            k) 1

                                                                            ⊗ 2

                                                                            j

                                                                            ⊗ 2 ( i + 3

                                                                            i + j + 1 k)

                                                                            (⊗ 3

                                                                            ∧ 3

                                                                            i +

                                                                          2

                                                                          j + 3 k)

                                                                            ⊗ 3 ( 1

                                                                            j + k)

                                                                            ∧ 3 = (︂ (

                                                                            ∧ 1

                                                                            ⊗ 1 1 )

                                                                            ( 3 3

                                                                            ( ) 2 ]k = α + α 1

                                                                            ( ) 3 ]j

                                                                            ( ) 2 ]i

                                                                            ( ) = [ ( ) + 1 ( ) 1 + 2 ( ) 2 + 3 ( ) 3 ]

                                                                            = Im( ) Passemos, então, para a segunda parte a ser provada. Chamemos

                                                                             ω

                                                                            Concluímos que

                                                                            ) 1 )︂ k.

                                                                            ) 1 2

                                                                            ) 2

                                                                            ) 2 3

                                                                            ) 3

                                                                            j

                                                                            ⊗ 1

                                                                            ) 1 )︂

                                                                            ) 1 3 + (⊗ 1 2 3

                                                                            ) 3

                                                                            ) 2 3

                                                                            ) 1 2

                                                                            ) 2 + (⊗ 1 2 3

                                                                            ( 2 2

                                                                            i

                                                                            ) 2 3 )︂

                                                                            ) 3 + (⊗ 2 2 3 2

                                                                            ) 2

                                                                            ) 1 3 + (⊗ 2 1 3

                                                                            ) 1 2

                                                                            i + 2 j + 3 k)

                                                                            i

                                                                            ⊗ 3

                                                                            ⊗ 3

                                                                            æ 3

                                                                            ) 2 1

                                                                            æ 2

                                                                            ⊗ 1

                                                                            æ 1

                                                                            ) 2

                                                                            æ 2

                                                                            ⊗

                                                                            æ

                                                                            ) 1 3

                                                                            æ 1

                                                                            æ 3

                                                                            ) 2 3

                                                                            ) 1 2

                                                                            æ 1

                                                                            ⊗ 2

                                                                            æ 2

                                                                            ) 1

                                                                            æ 1

                                                                            ⊗

                                                                            æ

                                                                            ⊗ 1 æ ) 1

                                                                            2 (︂ ( æ 1

                                                                            1

                                                                             ω =

                                                                            æ 2

                                                                            æ

                                                                            ∧ 2

                                                                            æ )

                                                                            ⊗ 2 ( 1

                                                                            i + j + 1 k)

                                                                            ∧ 1

                                                                            i + 2

                                                                          j +

                                                                          3 k)

                                                                            ⊗ 1 ( 1

                                                                            k)

                                                                            ⊗ 2

                                                                            j

                                                                            = ( i + 3

                                                                            ∧ 3

                                                                            æ )

                                                                            ∧ 2

                                                                            ∧ 1

                                                                            ⊗

                                                                            æ )

                                                                            = ( æ 1 1

                                                                            ) 3 2 )︂

                                                                            æ 3

                                                                            ⊗ 2

                                                                            æ 2

                                                                            ) 3 1

                                                                            æ 3

                                                                            ⊗ 1

                                                                            æ 1

                                                                            ) 3

                                                                            æ 3

                                                                            j + α 2

                                                                          j + α

                                                                          3 k = α.

                                                                            1 2 3 Então, pelo que mostramos, ω = Im( ( ) ) = α + α j + α k. Segue do exemplo 2 da pág. 18 temos que 1 1 2 2 3 3

                                                                            α

                                                                            ]+ ∧ α =[αααααααα 1 1 2 3 3 2

                                                                            [α + α + α ]i+ ∧ ααααα 2 2 3 1 1 3

                                                                            [α + α + α ]j+ ∧ ααααα 3 3 1 2 2 1

                                                                            [α + α + α ]kααααα 2 3 1 3 1 2 = 2α i + 2α j + 2α k.

                                                                            ∧ ααα Portanto, Im = α α. Por outro lado, pelo exemplo 1 da pág. 18 (︂ )︂

                                                                            1 2 3 1 3 1 2

                                                                            α [ω, ω] = 2 i + α j + α k .

                                                                            ∧ ααα

                                                                            2 Conclusão,

                                                                            1 = Im( ( ) )

                                                                            2 como queríamos. Finalmente, a soma das últimas duas igualdades provadas nos dá o resultado esperado

                                                                            1

                                                                          • ω [ω, ω] = Im( + ( ) ).

                                                                            2 Em seguida aplicamos este resultado às 1-formas em H com valores em ImH que têm um papel central neste trabalho.

                                                                            Teorema 3.2.2. Sejam Ú, em H com

                                                                            ∈ H e Ú &gt; 0 Ąxos e considere a 1-forma A

                                                                            valores em ImH dada por (︃ )︃

                                                                            ¯ ⊗ ¯

                                                                            A Ú, = Im . (3.2.9) 2 2

                                                                          • Ú

                                                                            Então a intensidade de campo F do potencial de calibre A é Ú Ú, 2

                                                                            1 Ú

                                                                          • F
                                                                          • Ú, Ú, Ú, Ú, = A [A , A ] = 2 2 2 ¯ 2 + Ú )

                                                                              (♣ (︁ )︁ ¯ ⊗¯

                                                                              Demonstração. Pelo Teorema 3.2.1 temos que A = Im Ú, 2 +Ú 2 = Im( ( ) ), ¯

                                                                              ♣ ♣ ⊗¯ onde ( ) = 2 +Ú 2 . Disso, segue que

                                                                              ♣

                                                                              1 ( ) ( ) = (¯ ⊗ ¯ ) ∧ (¯ ⊗ ¯ ) 2 2 2

                                                                            • Ú ) (♣

                                                                              Além disso,

                                                                            • Ú
                                                                            • 2 ) &oti
                                                                            • Ú
                                                                            • 2 ) &oti
                                                                            • Ú
                                                                            • 2 ) &oti
                                                                            • Ú
                                                                            • 2 ) &oti
                                                                            • Ú
                                                                            • 2 ) &oti
                                                                            • Ú
                                                                            • 2 ) ⊗1

                                                                              • Ú
                                                                              • 2 ) &oti
                                                                              • Ú
                                                                              • 2 ) &oti
                                                                              • Ú
                                                                              • 2 ) &oti
                                                                              • Ú
                                                                              • 2 ¯ + (¯ ⊗ ¯ ) (︃<
                                                                              • Ú
                                                                              • 2 )︃ Agora, (︃<
                                                                              • 1 (︃
                                                                              • Ú
                                                                              • 2 )︃ = (︃<
                                                                              • Ú
                                                                              • 2 )︃<
                                                                              • Ú
                                                                              • 2 )︃ 1<
                                                                              • 2 (︃
                                                                              • 3 (︃
                                                                              • Ú
                                                                              • 2 )︃ 2<
                                                                              • Ú
                                                                              • 2 )︃ 3 = &ot
                                                                              • Ú
                                                                              • 2 ) 2 (︂ 2(
                                                                              • 2(
                                                                              • 2 2<
                                                                              • Ú
                                                                              • 2 ) 2 (︂ ⊗ ¯ ) ¯ + ( ) ¯ )︂<
                                                                              • Ú
                                                                              • 2 ) 2 (︂ ⊗ ¯ ) ¯ + ⊗ ¯ ) )︂<
                                                                              • Ú
                                                                              • 2 )︃ = &ot
                                                                              • Ú
                                                                              • 2 ) 2 (︂ ♣¯ ⊗ ¯ 2 ¯ + (¯ ⊗ ¯ ) ⊗ ¯ ) )︂<
                                                                              • Ú
                                                                              • 2 ¯ &ot
                                                                              • Ú
                                                                              • 2 ) 2 (︂ ♣¯ ⊗ ¯ 2 ¯ + (¯ ⊗ ¯ ) ⊗ ¯ ) )︂<
                                                                              • Ú
                                                                              • 2 ) 2 (︂ ¯ + (¯ ⊗ ¯ ) ⊗ ¯ ) )︂<
                                                                              • Ú
                                                                              • 2 ) 2 (︂ ¯ + (¯ ⊗ ¯ ) ⊗ ¯ ) ∧ )︂

                                                                                  ⊗ ) + 2( 1

                                                                                  ⊗ 1 )

                                                                                  ) + 2( 3 3

                                                                                  ) )︂ = ⊗

                                                                                  1 (♣ 2

                                                                                  = ⊗

                                                                                  1 (♣ 2

                                                                                  Então (¯ ⊗ ¯ ) (︃

                                                                                  1 ♣ 2

                                                                                  1 (♣ 2

                                                                                  Logo, =

                                                                                  1 ♣ 2

                                                                                  1 (♣ 2

                                                                                  =

                                                                                  Ú 2

                                                                                  (♣ 2

                                                                                  Em seguida, calculamos ∧ =

                                                                                  Ú 2

                                                                                  (♣ 2

                                                                                  =

                                                                                  Ú 2 2 2 2 (︂

                                                                                  ⊗ ) + 2(

                                                                                  1 ♣ 2

                                                                                  1 (♣ 2

                                                                                  ))j ((♣ 2

                                                                                  = ((♣ 2

                                                                                  (¯ ⊗ ¯ )) = ((♣ 2

                                                                                  (( ) ⊗ ( 1 1 )i ⊗ ( 2 2 )j ⊗ ( 3 3

                                                                                  )k)) = ((♣ 2

                                                                                  (

                                                                                  )) ⊗ ((♣ 2

                                                                                  ( 1 1

                                                                                  ))i ((♣ 2

                                                                                  ( 2 2

                                                                                  ( 3 3

                                                                                  1 ♣ 2

                                                                                  ))k Mas

                                                                                  ((♣ 2

                                                                                  ( Ð Ð )) = (♣ 2

                                                                                  ) Ð + ( Ð Ð ) ((♣ 2

                                                                                  ) então =

                                                                                  1 ♣ 2

                                                                                  1 ♣ 2

                                                                                  1 ♣ 2

                                                                                  1 ♣ 2

                                                                                  1 ♣ 2

                                                                                  ¯ + ((¯ ⊗ ¯ ) ) ∧ ((¯ ⊗ ¯ ) ) )︂ Segue que 2

                                                                                  Ú

                                                                                  ∧ + ( ) ( ) = ¯ 2 2 2

                                                                                • Ú ) Ú
                                                                                • 2 (♣ ♣ Como 2 2 2 ( +Ú ) é real e ¯ é imaginário puro (2.1.36), concluímos que

                                                                                    ♣ 2

                                                                                    Ú

                                                                                    1 F Ú, = A + Ú, [A Ú, , A Ú, ] = 2 2 2 ¯ . 2 + Ú )

                                                                                    (♣ ♣ Novamente observamos que obtemos (3.1.9) fazendo = 0 e Ú = 1 em (3.2.9) Mos- traremos como surgem os potenciais A Ú, na seção 5.1. Estes potenciais são chamados

                                                                                    

                                                                                  potenciais BPST genéricos. O Teorema 3.2.2 nos dá explicitamente as intensidades

                                                                                  de calibre F Ú, destes potenciais como queríamos.

                                                                                  Observação 3.2.1. Assumindo que o domínio de é também uma vizinhança da

                                                                                  1 Ð

                                                                                  carta ( , ) com funções coordenadas , . . . , , podemos escrever A = e F =

                                                                                  Ð Ñ Ð ÐÑ Ð ÐÑ , onde e são funções em com valores em g. Então pelo que

                                                                                    ℱ ∧

                                                                                    mostramos em (3.2.7) ÐÑ = Ð Ñ Ñ Ð Ð , Ñ ]. (3.2.10)

                                                                                    ℱ ⊗

                                                                                  • [

                                                                                    4 O Dual de Hodge e o Funcional de Yang- Mills

                                                                                    Neste capítulo introduzimos a deĄnição do operador estrela de Hodge e deĄnimos o que é uma 2-forma auto-dual e anti-auto-dual, resultando na equação diferencial parcial

                                                                                  • F = ⊗F. Mostramos que os BPST instantons são soluções destas equações quando

                                                                                    = 0 e Ú &gt; 0 explicitamente. E no Ąnal, deĄnimos conexões anti-auto-duais que são os objetos de estudo do capítulo 5, na construção do espaço moduli ℳ das conexões ASD do Ąbrado de Hopf quatérnio. Seguimos principalmente neste capítulo.

                                                                                  4.1 O Dual de Hodge para 2-formas em Dimensão 4

                                                                                    Seja um espaço vetorial real orientado de dimensão 4 que possui produto interno 1 2 3 4 1 , , , 1 3 4

                                                                                    , , ,

                                                                                    ⟨ , ⟩. Sejam ¶ ♢ uma base orientada, ortonormal de e ¶ ♢ sua base

                                                                                    , ,

                                                                                    dual de . Estende-se a orientação de para deĄnindo ⟨ ⟩ = ⟨ ⟩ e estendo por 2 . Denotamos por Λ bilinearidade a ( ) o espaço das formas bilineares antissimétricas. 2

                                                                                  • Uma base de Λ

                                                                                    ( ) é dada por 1 2 1 3 1 4 2 3 2 4 3 4

                                                                                    , , , , , (4.1.1) 2 ♢ logo qualquer Ω ∈ Λ ( ) pode ser escrito como ∑︁ ∑︁ 4

                                                                                    1 Ω = Ω = Ω (4.1.2)

                                                                                    ∧ &lt; , =1

                                                                                    2 2 onde Ω = Ω( , ). Estendemos o produto interno para Λ ( ) deĄnindo, para todo 1 2 1 2 *

                                                                                    , , Ý , Ý ,

                                                                                    ∈ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 1 1 1 2

                                                                                    , Ý , Ý 1 2 1 2 ⧹︃ ⧹︃ ⟩ ⟨ , Ý

                                                                                    (4.1.3) ⟨ Ý ⟩ = ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 2 1 2 2

                                                                                    , Ý , Ý 2 2 ⟩ ⟨

                                                                                    ∧ DeĄnimos * : Λ ( ) ⊃ Λ ( ), chamado operador estrela de Hodge, pondo *(

                                                                                    ) = , onde é uma permutação par de 1234 e estendo por linearidade. Mais ∧ detalhadamente, 1 2 3 4 1 3 2 4

                                                                                    ) =

                                                                                  • ( * ( ) = ⊗
                                                                                  • 1 4 2 3 2 3 1 4 ) = ) = (4
                                                                                  • ( * (
                                                                                  • 1 4 1 3 3 4 1 2 ) =

                                                                                    • Ω
                                                                                    • 23 1 4<

                                                                                      • Ω = Ω
                                                                                      • 34 1 2 ⊗ Ω 24 1 3

                                                                                      • Ω
                                                                                      • 14 2 3 ⊗ Ω 13 2 4<
                                                                                      • Ω
                                                                                      • 12 3 4<

                                                                                        • Ω é chamado dual de Hodge de Ω ∈ Λ
                                                                                        • 2 ( ). introduzimos o símbolo de Levi-Civita deĄnido, para , , , = 1, 2, 3, 4
                                                                                        • (

                                                                                        1

                                                                                        ∧ 2

                                                                                        ∧ 3

                                                                                        , 1

                                                                                        ∧ 4

                                                                                        ∧ 2

                                                                                        ( ) = ¶Ψ ∈ Λ 2 ( ); *Ψ = ⊗Ψ♢ são os autoespaços de ∘1. Mais ainda, estes autoespaços são gerados pelas seguintes combinações Λ 2 + ( ) = ¶ 1

                                                                                        ( ); *Ψ = Ψ♢ e Λ 2

                                                                                        ( ) = Λ 2 + ( ) ⊕ Λ 2 ⊗ ( ) (4.1.10) onde Λ 2 + ( ) = ¶Ψ ∈ Λ 2

                                                                                        (4.1.9) para todos Ω, Ψ ∈ Λ 2 ( ). Consequentemente, como *, possui autovalores ∘1 então Λ 2 ( ) possui uma decomposição ortogonal (segue do Teorema Espectral) Λ 2

                                                                                        De #2 segue que * é uma transformação linear simétrica em relação a ⟨ , ⟩, ou seja, ⟨*Ω, Ψ⟩ = ⟨Ω, *Ψ⟩

                                                                                        1. * ◇ * = Λ 2 ( ) 2. * : Λ 2 ( ) ⊃ Λ 2 ( ) é uma isometria com relação ao produto interno ⟨ , ⟩ em Λ 2 ( ), i.e., ⟨*Ω, *Ψ⟩ = ⟨Ω, Ψ⟩, para todo Ω, Ψ ∈ Λ 2 ( ). Isto é consequência de * levar base ortonormal em base ortonormal.

                                                                                        ∧ (4.1.8) logo, * : Λ 2 ( ) ⊃ Λ 2 ( ) é uma transformação linear bem deĄnida. Registramos algumas propriedades de * que são de interesse.

                                                                                        4 , , , 4 ∑︁ Ω( , )

                                                                                        ∧ ^ =

                                                                                        4 , , , 4 ∑︁ Ω(^ , ^ ) ^

                                                                                        1

                                                                                        ♢ orientada, ortonormal de tem-se que

                                                                                        , ^ 2 , ^ 3 , ^ 4

                                                                                        (4.1.7) Com isto é possível mostrar que dada uma outra base ¶^ 1

                                                                                        2 ∧

                                                                                        1

                                                                                        ) =

                                                                                        (4.1.6) e para quaisquer , = 1, 2, 3, 4

                                                                                        = ∏︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⨄︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ 1 se é uma permutação par de 1234 ⊗1 se é uma permutação ímpar de 1234 caso contrário

                                                                                        (4.1.5)

                                                                                        , então

                                                                                        de modo que, se Ω = ∑︀ &lt; Ω ∧

                                                                                      • 3
                                                                                      • 4

                                                                                        , 1 4

                                                                                      • 2
                                                                                      • 3 (4.1.11)

                                                                                          2 1 2 3 4 1 3 4 2 Λ , ,

                                                                                          ( ) = ¶ 1 4 2 3 (4.1.12)

                                                                                          ∧ 2 + Para vermos isso, vemos que qualquer Ψ ∈ Λ ( ) é da forma Ψ = Ω + *Ω, onde Ω ∈ 2

                                                                                          Λ ( ), pois *Ψ = *Ω + Ω = Ψ. Por (4.1.5) escrevemos 1 2 3 4 12 ( ) + Ω 13 ( ) 1 3 4 2

                                                                                          Ω + *Ω = Ω 1

                                                                                        • 4
                                                                                        • Ω 14 ( + ) + Ω
                                                                                        • 2 3 23 ( ) 1 4 2 3<
                                                                                        • 24
                                                                                        • 1 3 4 2 34 ( 1 2 3 4<
                                                                                        • + Ω ( ) + Ω ) +

                                                                                          Logo 12 + Ω 34 )( ) 1 2 3 4

                                                                                        • Ψ = (Ω ∧
                                                                                        • 1 3 4 2<
                                                                                        • + (Ω
                                                                                        • 13 24 )( ) ⊗ Ω ∧ 1 4 2 3<
                                                                                        • + (Ω 14 + Ω 23 )( )

                                                                                          ∧ Com isso mostramos (4.1.11). De maneira análoga mostra-se que vale (4.1.12). Portanto, 2 2 +

                                                                                        • Ω , onde Ω

                                                                                          ⊗ ∘ ∈ Λ todo Ω ∈ Λ ( ) possui uma decomposição única Ω = Ω ∘ ( ). Além disso, como a decomposição é ortogonal, 2 2 2 +

                                                                                          (4.1.13) ‖Ω‖ ‖ ⊗ ‖

                                                                                          = ⟨Ω, Ω⟩ = ‖Ω + ‖Ω

                                                                                        • Ω = Ω + + +

                                                                                          ⊗ ⊗ ⊗ Ω ⊗ Note que *Ω = *(Ω ) = *Ω + *Ω (pois os autovalores são ∘1), o que nos permite escrever

                                                                                          1

                                                                                          1 + Ω = = (4.1.14)

                                                                                          ⊗ (Ω + *Ω) e Ω (Ω ⊗ *Ω)

                                                                                          2

                                                                                          2 ⊗

                                                                                          Em particular, *Ω = Ω se, e só se, Ω = 0, neste caso Ω é auto-dual (SD) e *Ω = ⊗Ω se, e só se, Ω = 0, neste caso dizemos que Ω é anti-auto-dual (ASD). +

                                                                                          

                                                                                        Observação 4.1.1. Em seguida, chamamos a atenção para algo importante que será

                                                                                        2 2 usado na Proposição 5.2.3. O operador estrela

                                                                                        • : Λ ( ) ⊃ Λ ( ) o qual depende da

                                                                                          escolha da orientação e produto interno

                                                                                          ⟨ , de é conformemente invariante, no

                                                                                          sentido de que se

                                                                                          ⟨ , for substituído por , ⟩ = Ú, , com Ú &gt; 0, de modo que 2

                                                                                          a orientação seja preservada, então, para todo Ω

                                                                                          ∈ Λ 2 ( ), obtém-se o mesmo elemento

                                                                                        • Ω de Λ

                                                                                          ( ) calculando-se o dual de Hodge em relação a qualquer um dos dois produtos

                                                                                          internos. De fato, se 1 , 2 , 3 , 4

                                                                                          ¶ é uma base orientada, ortonormal em relação a , 1

                                                                                          de 1 , ˜ 2 , ˜ 3 , ˜ 4 = , = 1, 2, 3, 4 é uma base orientada, ortonormal

                                                                                          , então ¶˜ , onde ˜ Ú

                                                                                          ′

                                                                                          em relação a de Ú para = 1, 2, 3, 4 então

                                                                                          =

                                                                                          ∑︁

                                                                                          4

                                                                                          1 Ω(˜ , ˜ ) ˜

                                                                                          ∧ ˜

                                                                                          4 , =1 ∑︁ 4 (︃ )︃

                                                                                          1

                                                                                          1

                                                                                          1 = Ω , Ú

                                                                                          √ √ ∧

                                                                                          4 , =1 ∑︁ 4 Ú Ú

                                                                                          1

                                                                                          1 = Ω( , ) Ú

                                                                                          ∧ 4 Ú , =1 ∑︁ 4

                                                                                          1 = Ω( , )

                                                                                          ∧

                                                                                          4 , =1 como queríamos.

                                                                                          Usaremos este resultado para mostrar que o operador estrela de Hodge comuta com o pullback, através de um isomorĄsmo conforme que preserva orientação.

                                                                                          Teorema 4.1.1. Sejam 1 e 2 espaços vetoriais reais orientáveis de dimensão 4, com

                                                                                        respectivos produtos internos e . Considere : um isomorĄsmo que

                                                                                        1 2 1 2

                                                                                          ⟨ , ⟩ ⟨ , ⟩ ⊃

                                                                                          preserve orientação e que seja conforme no sentido que 2 1

                                                                                        • , ⟩ = Ú,
                                                                                        • para algum Ú &gt; 0, onde o pullback é deĄnido por
                                                                                        • 2

                                                                                            ⟨ , 2 2

                                                                                          • (

                                                                                            ⟨ , ⟩ )( , ) = ⟨ ( ), ( )⟩ 2 *

                                                                                            para todos , . Para qualquer Ω ) deĄna o pullback Ω por 1 2

                                                                                            ∈ ∈ Λ ( 1

                                                                                          • ( Ω)( , ) = Ω( ( ), ( )),

                                                                                            ∀ ,

                                                                                            Então

                                                                                          • (
                                                                                          • Ω) =

                                                                                            (4.1.15)

                                                                                            (*Ω)

                                                                                          • Demonstração. De acordo com a Observação 4.1.1 podemos calcular Ω) em rela-

                                                                                          • (
                                                                                          • 1 2 3 4 2 1<
                                                                                          • , , , .

                                                                                            ção a uma base ¶ ♢ orientada e ortonormal em relação a , ⟩ = Ú, 1 ), ( ), ( ), ( , ˜ , ˜ , ˜ , a qual 2 3 4 1 2 3 4 2 Então ¶ ( )♢ = ¶˜ ♢ é uma base orientada de 2 é ortonormal em relação a ⟨ , ⟩ , logo podemos usá-la para calcular *Ω. Note que se 1 2 3 4 1 2 3 4

                                                                                          • , , , , ˜ , ˜ , ˜

                                                                                            ˜ é dado por ¶ ♢ e ¶˜ ♢ são as bases duais correspondentes, então

                                                                                          • ( ˜ )( ) = ˜ ( ( )), em particular,
                                                                                          • ( ˜ )( ) = ˜ ) = Ó
                                                                                          • Portanto, ˜ = . Agora, calculamos

                                                                                            ∑︁

                                                                                            4

                                                                                            1

                                                                                            Ω) = ( Ω)( , )

                                                                                          • (

                                                                                            4 , , , =1 ∑︁ 4

                                                                                            1 = Ω(˜ , ˜ )

                                                                                            ∧

                                                                                            4 , , , =1 Por outro lado, ∏︀ ⎞ ∑︁ 4

                                                                                            1

                                                                                          • ∐︁ ̂︀

                                                                                            Ω(˜ , ˜ ) ˜ ∧ ˜

                                                                                            (*Ω) = ∑︁ 4

                                                                                            4 , , , =1

                                                                                            1 = Ω(˜ , ˜ ) )

                                                                                            ∧ ˜

                                                                                            4 , , , =1 ∑︁ 4

                                                                                            1

                                                                                            ,

                                                                                            = Ω(˜ ˜ ) ( Ω) ) ∧ ( ) = *(

                                                                                            4 , , , =1 como queríamos.

                                                                                            Em seguida observamos que se Ω = Ω + Ω , então Ω = Ω Ω , logo + ⊗ ⊗

                                                                                          • +

                                                                                            Ω Ω) = Ω Ω + +

                                                                                          • (

                                                                                            Ω) = *( ) + *(

                                                                                          • + +

                                                                                            = Ω e ⊗

                                                                                          • Agora, se Ω é SD, então Ω = Ω e Ω Ω) = Ω

                                                                                            = 0, e consenquentemente *( Ω também é ASD. Em particular,

                                                                                          • +
                                                                                          • Ω também é SD. Analogamente, se Ω e ASD, então
                                                                                          • é SD e Ω
                                                                                          • Ω

                                                                                            é ASD logo ⊗

                                                                                            ( Ω) = Ω + + e ( Ω) = Ω (4.1.16) ⊗ ⊗ 1 2 que preserve orientação e qualquer para qualquer isomorĄsmo conforme : ⊃ 2 +

                                                                                            Ω = Ω + Ω em Λ ⊗ ( ).

                                                                                            Agora, estendemos esta ideia para 2-formas em variedades Riemannianas de dimensão

                                                                                            4. Seja uma variedade deste tipo, cada ( ) possui uma orientação determinada pela orientação de . Além disso, a métrica Riemanniana g em associa um produto interno

                                                                                            

                                                                                          g para cada ( ). Portanto, podemos deĄnir o operador estrela de Hodge em

                                                                                            = ⟨ , 2 cada Λ ( ( )), e que será denotado por 2 2 ( ( ( )) (4.1.17)

                                                                                          • : Λ ( )) ⊃ Λ
                                                                                          • 2 Como uma 2-forma Ω em associa uma forma bilinear Ω ( ( )) antissimétrica 2 ∈ Λ (

                                                                                              ∈ Λ para cada , tem-se que *Ω ( )) para cada . Mostraremos que ↦⊃ *Ω

                                                                                              é uma 2-forma, denotada por *Ω, provando que é suave. Fazemos isso localmente então considerando ( , ) com conexo. Aqui faremos uso de um resultado que nada mais é do que a versão suave do processo de ortonormalização de Gram-Schmidt para variedades Riemannianas.

                                                                                              Proposição 4.1.1. Seja uma variedade diferenciável de dimensão-n com uma métrica Riemanniana g e uma orientação Û. Seja um subconjunto aberto conexo de no qual estão deĄnidos campos vetoriais diferenciáveis V , . . . , V tais que ( ), . . . , V 1 1

                                                                                              ¶V ( )♢ ∈

                                                                                              Û para cada 1 , . . . , E em tais

                                                                                              ∈ . Então, existes campos vetoriais diferenciáveis E que, para cada ( ), . . . , E e g (E ( ), E ( )) = Ó .

                                                                                              ∈ , E 1 ( )♢ ∈ Û 1 2 3 4 i Se as funções coordenadas de ( , ) são , , , , então os campos vetoriais V =

                                                                                              , = 1, 2, 3, 4, satisfazem as hipóteses da Proposição 4.1.1. Portanto, existem campos vetoriais suaves E 1 , E 2 , E 3 e E 4 1 ( ), E 2 ( ), E 3 ( ), E 4 em tais que, para cada , ¶E ( )♢ ∈

                                                                                              Û

                                                                                              ( ), E = Ó . Como qualquer base orientada, ortonormal de ( ) pode ser e ⟨E ( )⟩ , temos que usada para calcular *Ω ∑︁ 4

                                                                                              1

                                                                                              Ω E

                                                                                              = (E ( ), E ( )) ( )

                                                                                            • Ω

                                                                                              ( ) ∧ E

                                                                                              4 , , , =1 ∑︁ 4 (︂ )︂

                                                                                              1 = Ω (E , E ) E ( )

                                                                                              ∧ E

                                                                                              4 , , , =1 então como Ω(E , E ) é uma composição de funções suaves e E é suave, segue que ∧ E é suave. ↦⊃ Ω

                                                                                              Logo, para qualquer 2-forma Ω na variedade Riemanniana orientada de dimensão 4 temos uma outra 2-forma *Ω chamada dual de Hodge de Ω. Ω é chamado auto-dual 1 + =

                                                                                              (SD) se *Ω = Ω e anti-auto-dual (ASD) se *Ω = ⊗Ω. DeĄnimos Ω (Ω + *Ω) e 1 2

                                                                                              Ω

                                                                                              = ⊗ 2 (Ω ⊗ *Ω) e temos que

                                                                                              Ω = Ω + Ω (4.1.18)

                                                                                            • ++

                                                                                              onde Ω é SD e Ω é ASD. Logo Ω é SD se, e somente se, Ω = Ω e Ω é ASD se, e +

                                                                                              ∞ somente se, Ω = Ω

                                                                                              e, como módulos- ( ) ⊗ 2 2 2

                                                                                              Λ ( ) = Λ ( ) ( ) ⊕ Λ

                                                                                              ⊗ + DeĄnindo o dual de Hodge para uma 2-formas em com valores em um espaço vetorial componente a componente, estende todas estas noções imediatamente. Suponha que ( , ) seja uma carta de , consistente com a orientação de e tal que, em cada ponto de , {︁ }︁ os campo vetoriais coordenadas i sejam ortonormais relativamente à métrica =1,2,3,4

                                                                                              Riemanniana em . Isto ocorre, por exemplo, para a orientação, métrica e coordenadas 4 usuais em R = H. Então, por (4.1.11) e (4.1.12) 1 2 3 4

                                                                                            • 1 3 4 2 (4.
                                                                                            • 1

                                                                                              ∧ 4 2 3

                                                                                            geram as 2-formas SD em e 1 2 3 4 1 3 4 2 (4.1.20) 1 4 2 3

                                                                                              ∧ geram as 2-formas ASD em . Portanto, segue do Teorema 3.2.2 e de (2.1.37) que todas 4 as 2-formas em R = H com valores em ImH dadas por 2

                                                                                              

                                                                                            Ú

                                                                                            F Ú, = 2 2 2 ¯

                                                                                            • Ú ) (♣ ♣ para algum Ú &gt; 0 e ∈ H são ASD. Estas são as intensidades de campo de calibre dos potenciais de calibre BPST genéricos (︃ )︃

                                                                                              ¯ ⊗ ¯

                                                                                              A Ú, = Im 2 2

                                                                                            • Ú
                                                                                            • 4 ♣ em R . 4 é um sistema

                                                                                                A equação anti-auto-dual *F = ⊗F para um campo de calibre em R de equações diferenciais dos componentes do potencial correspondente A e os potenciais BPST foram originalmente achados como soluções deste sistema. Em seguida, mostrare- mos como isto é feito para = 0.

                                                                                                Procuramos uma 1-forma A em H com valores em ImH cuja intensidade de campo F seja ASD e de modo que seja assintoticamente de calibre puro no sentido de que

                                                                                              • A Θ

                                                                                                ( ) = (♣ ♣) onde (♣ ♣) tende a 1 de forma decrescente na medida que ♣ ♣ ⊃ ∞, : H ⊗ ¶0♢ ⊃ (1) é dado por ( ) = / ♣ e Θ é a 1-forma de Cartan para (1). Aplicando a Proposição 3.1.2 podemos escrever

                                                                                                ⊗1 ⊗1

                                                                                                A

                                                                                                ) ) = Im( ( ) ) ( ) = (♣ ♣)Im( ) = Im(( (♣ ♣) 2

                                                                                                ⊗1 onde ( ) = (♣ ♣) = ♣ ♣ (♣ ♣)¯ . Por (3.2.8) temos que

                                                                                                F

                                                                                                ( ) = Im( ( ) ∧ + ( ) ( ) ) onde ⊗1 ⊗1

                                                                                                ( ) ( ) = (♣ ♣) (♣ ♣) 2 ⊗1 ⊗1

                                                                                                = ( (♣ ♣)) ∧ e ainda,

                                                                                                1 2 3 ⊗2 ⊗2

                                                                                                i j k))

                                                                                                ( ) = (♣ ♣ (♣ ♣)¯ ) = (♣ ♣ (♣ ♣)( 1 ⊗2 ⊗2

                                                                                                )i = (♣ ♣ (♣ ♣) ) ⊗ (♣ ♣ (♣ ♣) 2 3

                                                                                                ⊗2 ⊗2 )k

                                                                                                ⊗ (♣ ♣ (♣ ♣) )j (♣ ♣ (♣ ♣) Ð Ð Ð +

                                                                                                ⊗2 ⊗2 ⊗2 mas (♣ ♣ (♣ ♣) ) = ♣ ♣ (♣ ♣) (♣ ♣ (♣ ♣)) então

                                                                                                ⊗2 ⊗2 ( ) = ♣ ♣ (♣ ♣) ¯ + ¯ (♣ ♣ (♣ ♣)).

                                                                                                Agora, 1 ⊗2 ⊗2 1

                                                                                              • ⊗2

                                                                                                (♣ ♣ (♣ ♣)) = (♣ ♣ (♣ ♣)) (♣ ♣ (♣ ♣))

                                                                                              • ⊗2 ⊗2
                                                                                              • 3 2 3 (♣ ♣ (♣ ♣)) (♣ ♣ (♣ ♣)) com Ð Ð Ð Ð Ð ⊗2 ⊗3 ′ &oti
                                                                                              • 2

                                                                                                (♣ ♣ (♣ ♣)) = (♣ ♣ (♣ ♣) ⊗ 2♣ ♣ (♣ ♣)) Logo

                                                                                                ′ ⊗2 ⊗3 (♣ ♣) 1 1 2 2 3 3

                                                                                                (2 + 2 + 2 ) (♣ ♣ (♣ ♣)) = ♣

                                                                                              • 2
                                                                                              • 1 1 2 2 3 3 &oti
                                                                                              • 2 ) + + 2 ⊗ ♣ ♣ (♣ ♣)(2

                                                                                                ′ (♣ ♣) (♣ ♣)

                                                                                                = ( ¯ + ¯ ) 3 ( ¯ + ¯ ) ⊗ 4 2♣ ♣ ♣

                                                                                                ′ (♣ ♣) (♣ ♣)

                                                                                                = ( ¯ + ¯ ) 3 ( ¯ + ¯ ) ⊗ 4 (︃ )︃ 2♣ ♣ ♣ ♣ ′

                                                                                                (♣ ♣) (♣ ♣) = ( ¯ + ¯ ) 34

                                                                                                2♣ ♣ ♣ ♣ Então, (︃ )︃

                                                                                                ′ (♣ ♣) (♣ ♣) 2

                                                                                                ⊗2 ¯ + ¯ ¯ )

                                                                                                ¯ (♣ ♣ (♣ ♣)) = ⊗ (♣ 3 4

                                                                                                2♣ ♣ Portanto, (︃ )︃ (︃ )︃

                                                                                                ′ (♣ ♣) (♣ ♣) (♣ ♣) 2

                                                                                                = ¯ + ¯ + ¯ ¯ ) ⊗ 2 3 4 (♣

                                                                                                ♣ ♣ ♣ ♣ 2♣

                                                                                                E segue que, (︃ )︃ (︃ )︃

                                                                                                (♣ ♣) (♣ ♣) (♣ ♣) ∧ = ⊗ 2 ¯ + ¯ 2 (︃ )︃ (︃ )︃ ♣ 2♣ ♣ ♣

                                                                                                ′ ¯ ¯

                                                                                                (♣ ♣)

                                                                                              • ♣ ⊗ (♣ ♣) ∧
                                                                                              • 2 2

                                                                                                  2 (︃ )︃ ♣ ♣ ♣ ′

                                                                                                  ♣ ♣ (♣ ♣) ′ ⊗1 ⊗1

                                                                                                  = ( ) ∧

                                                                                                  ¯ + (♣ ♣) ⊗ (♣ ♣) Assim, ∧ + ( ) ( ) (︃ )︃

                                                                                                  ′ (♣ ♣) ♣

                                                                                                  ′ ⊗1 ⊗1 = ( )

                                                                                                  ¯ + (♣ ♣) ⊗ (♣ ♣) ∧

                                                                                                  2 2♣ 2 ⊗1 ⊗1

                                                                                                  ( ) ∧

                                                                                                • ( (♣ ♣)) (︃ )︃

                                                                                                  ′ ♣

                                                                                                  (♣ ♣) ′ ⊗1 ⊗1

                                                                                                  = ( )

                                                                                                  ¯ + (♣ ♣) + (♣ ♣)( (♣ ♣ ⊗ 1)) ∧

                                                                                                  2 2♣

                                                                                                  Temos que ¯ é imaginário puro (por (2.1.37)) e obtemos da Proposição 3.1.2 e de (︁ (︁ )︁ )︁ ¯ ⊗1 ⊗1 ⊗1 2

                                                                                                  (3.2.5) que ( Θ) = Im( ) = (Im( )) = Im(

                                                                                                • ) = Im ∧

                                                                                                  ♣ ♣ mas pelo processo feito anteriormente temos (︃ )︃ (︃ )︃

                                                                                                  ¯

                                                                                                  1

                                                                                                  1 2 = ¯ + ¯ 2 2 ♣ ♣ ♣ ♣

                                                                                                  1

                                                                                                  1

                                                                                                  1

                                                                                                  1 = (¯ ¯ ) 2 ¯ ⊗ ¯ ⊗ (¯ ¯ ) = ⊗ 2 4 4

                                                                                                  ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ Finalmente, (︃ )︃ (︃ )︃

                                                                                                  1

                                                                                                  1

                                                                                                • ( Θ) = Im = Im ⊗ (¯ ¯ ) ∧ ⊗ ¯ ∧ ¯
                                                                                                • 4 4 ♣ ♣

                                                                                                    ⊗1 ⊗1 ⊗1 ⊗1 )

                                                                                                    ∧ = Im(⊗( )) = ⊗Im(

                                                                                                    Com isso, obtemos

                                                                                                    1 ′

                                                                                                    F

                                                                                                    = (♣ ♣) ¯ (︃ )︃ 2♣

                                                                                                    (4.1.21) ♣

                                                                                                    ′ * ( Θ)

                                                                                                    ⊗ (♣ ♣) + (♣ ♣)( (♣ ♣) ⊗ 1)

                                                                                                    2 A partir de (4.1.21) vemos que F é ASD se

                                                                                                    2 ′

                                                                                                    (4.1.22) (♣ ♣) = ⊗ (♣ ♣)( (♣ ♣) ⊗ 1)

                                                                                                    ♣ ♣ e consequentemente, F Ąca

                                                                                                    1 F (4.1.23)

                                                                                                    = ⊗ (♣ ♣)( (♣ ♣) ⊗ 1) ¯ 2 ♣ logo precisamos resolver esta equação diferencial para obtermos (♣ ♣). Para isso, chame

                                                                                                    ∫︁ ∫︁

                                                                                                    ′ ′ ( ) 2 ( )

                                                                                                    1 = ⊗ =⇒ = ⊗2

                                                                                                    ( )( ( ) ⊗ 1) ( )( ( ) ⊗ 1) ∫︁ ∫︁ ′ ′

                                                                                                    ( ) ( )

                                                                                                    1 = 2

                                                                                                    =⇒ ⊗ ( )

                                                                                                    ( ) ⊗ 1 1 =⇒ ln( ( ) ⊗ 1) ⊗ ln( ( )) = 2 ln + (︃ )︃

                                                                                                    1 ( ) ⊗ 1

                                                                                                  • = ln
                                                                                                  • 1 =⇒ ln 2

                                                                                                      ( ) 2

                                                                                                      1 ( ) ⊗ 1

                                                                                                      = 1 =⇒ =⇒ ( ) = 2

                                                                                                    • ( )
                                                                                                    • 2 2 1 Tomando = Ú temos que 1 2

                                                                                                        (4.1.24) (♣ ♣) = 2 2

                                                                                                      • Ú
                                                                                                      • 2

                                                                                                          ⊗1 são soluções da equação diferencial (4.1.22) e portanto temos A( ) = 2 2 Im( ).

                                                                                                          ♣ ♣ +Ú Agora usamos (4.1.23) para obtermos (︃ )︃ (︃ )︃ 2 2

                                                                                                          1 ♣ ♣ ♣

                                                                                                          F

                                                                                                          = ⊗ ⊗ 1 ¯ 2 2 2 2 2

                                                                                                        • Ú + Ú ♣ ♣ ♣ ♣
                                                                                                        • 2 (4.1.25)

                                                                                                            Ú

                                                                                                            = 2 2 2 ¯

                                                                                                          • Ú ) (♣ ♣ como queríamos.

                                                                                                            Suponha ( , g ) e ( , g ) duas variedades Riemannianas de dimensão 4 com orien- 1 1 2 2 tações Û e Û . Suponha que : é um difeomorĄsmo conforme que preserva 1 2 1 2

                                                                                                            , : ( é um isomorĄsmo conforme 1 1 ( )

                                                                                                          • 2

                                                                                                            orientação. Então, em cada ) ⊃ que preserva orientação. Como o pullback e o dual de Hodge ambos são deĄnidos ponto a ponto, segue de (4.1.15) que

                                                                                                            

                                                                                                          Ω) =

                                                                                                            (4.1.26)

                                                                                                          • (
                                                                                                          • 2 (*Ω) ( ). Em particular, o pullback por um difeomorĄsmo conforme que 2 para todo Ω ∈ Λ 4 4 preserva orientação de uma 2-forma é ASD. Considere, por exemplo, H = R e ambos 4 com suas métricas Riemannianas e orientações. Sejam = :

                                                                                                              ⊗ ¶ ♢ e ⊃ H ⊗1 a projeção estereográĄca a partir do pólo norte . Então e ambos

                                                                                                              : H ⊃ são difeomorĄsmos conformes que preservam orientação (ver discussão de (2.1.32)). Con- 4 sequentemente, uma 2-forma em é ASD se, e somente se, seu pullback para H por ⊗1

                                                                                                              é ASD e sabemos que as 2-formas ASD em H são geradas por (4.1.20). Agora, por continuidade, uma 2-forma em Ω é ASD se, e somente se, sua restrição à é ASD em 4 . A conclusão é que anti-auto-dualidade em é algo direto de ser veriĄcado: Faça a 4

                                                                                                              ⊗1 restrição a e veja se é gerado por (4.1.20).

                                                                                                              ⊗ ¶ ♢, tome o pullback para H por 3 7 4 Fazemos esta mesma análise para uma conexão no Ąbrado de Hopf . 7 Agora, a curvatura Ω de ω é uma 2-forma em então a noção de anti-auto-dualidade

                                                                                                              4 ainda não está deĄnida para Ω. Entretanto, também é o domínio de uma seção

                                                                                                              ⊖ 1 ⊗1 transversal canônica : ( ) do Ąbrado de Hopf (corresponde a 2

                                                                                                              ⊃ ⊖ HP pelo difeomorĄsmo em (2.1.18)). A intensidade de calibre correspondente F = Ω é

                                                                                                            • uma 2-forma em e dizemos que Ω (e a conexão ω) é anti-auto-dual (ASD) se, e somente se, F é ASD. Como vimos acima, este será o caso se, e somente se, a expressão

                                                                                                              ⊗1 ⊗1 * *

                                                                                                              F

                                                                                                              coordenada ( ) Ω = ( ) é ASD.

                                                                                                              ◇ Para concluirmos esta seção, mostraremos que a conexão natural ω no Ąbrado de Hopf ⊗1 ω assim como as conexões ω = para (2, H) são ASD (ver deĄnição (5.1.1)).

                                                                                                            • Ora, temos que
                                                                                                            • ⊗1 * ⊗1

                                                                                                              ) Ω = ( )

                                                                                                            • ( (*Ω)
                                                                                                            • ⊗1

                                                                                                              = ( ) ( (*Ω))

                                                                                                              (4.1.27) ⊗1 *

                                                                                                            • Ω))

                                                                                                              = ( )

                                                                                                              (*(

                                                                                                            • ⊗1

                                                                                                              = ( ) ) (*F pois o dual de Hodge comuta com o pullback e como F são ASD a forma a conexão Ú, natural 1 1 +

                                                                                                              ω

                                                                                                              = Im( ) 2 2 é ASD no Ąbrado de Hopf. Além disso, ∏︁ ⨄︁ * * ⋁︁ ⊗1 ω ⊗1 ⋁︁ ( ) = ( ω) ⊗1 ω , ⊗1 ω ⊗1 * * *

                                                                                                              [ ] = [ω, ω] Logo

                                                                                                              1

                                                                                                              F

                                                                                                            ⊗1 ⊗1 ⊗1

                                                                                                            ω ) +

                                                                                                              ˜

                                                                                                            • = (

                                                                                                              [ ω , ω ] (︂ )︂

                                                                                                              2

                                                                                                              1

                                                                                                               ω [ω, ω] = (F S ) ⊗1

                                                                                                              • = ⊗1

                                                                                                              2 ⊗1 ω Consequentemente como F é ASD, por (4.1.27) são ASD. Voltaremos a falar

                                                                                                            • destas conexões no Capítulo 5 ao introduzirmos a deĄnição de espaço moduli.

                                                                                                            4.2 O Funcional de Yang-Mills Lembremos de um resultado que depende de (2.4.3).

                                                                                                              Teorema 4.2.1. Sejam um grupo de Lie de matrizes com álgebra de Lie g e

                                                                                                              ℬ( , , à)

                                                                                                              um -Ąbrado principal sobre . Seja , uma família de trivializações para

                                                                                                              ⎸ com seja uma 1-forma em com valores

                                                                                                              ∈ = . Suponha que, para cada , A

                                                                                                              em g e que, sempre que

                                                                                                              ∩ ̸= ∅,

                                                                                                              A ⊗1

                                                                                                              = + Θ (4.2.1) ijA

                                                                                                            • onde :

                                                                                                              = Θ é o pullback da 1-forma de é a função de transição e Θ

                                                                                                              

                                                                                                            Cartan Θ de por . Então existe uma única forma de conexão ω em tal que, para

                                                                                                            • ⊗1

                                                                                                              ω

                                                                                                            cada = , onde : ( ) é a seção transversal canônica associada

                                                                                                              ∈ , A

                                                                                                              com a trivialização ( , å ).

                                                                                                              Esqueçamos o Ąbrado de Hopf por um momento e consideremos a 1-forma A em H com valores em ImH (i.e., com valores em su(2)) dada por (︃ )︃ ¯

                                                                                                              A

                                                                                                              = Im 2 (4.2.2) 1 + ♣ ♣ Pelo Teorema 4.2.1 podemos identiĄcar A com o potencial de calibre de uma 1-forma de conexão no (1)-Ąbrado trivial sobre H. Vimos que, em H ⊗ ¶0♢, A pode ser escrito como 2 2

                                                                                                              ♣ ♣ ♣

                                                                                                            • ⊗1

                                                                                                              A

                                                                                                              = Im( ) = Θ 2 2 3 1 + ♣ ♣ 1 + ♣ ♣ ≍ = (1) ≍

                                                                                                              = (2) é dado por ( ) = / ♣ e Θ é a 1-forma de onde : H ⊗ ¶0♢ ⊃ Cartan no (1)-Ąbrado sobre H. Disso, Ąca claro que A é Şassintoticamente de calibre

                                                                                                              Θ quando Θ é visto como o potencial de calibre

                                                                                                              ♣ ♣ ⊃ ∞. Aqui puroŤ, ou seja, A de uma conexão Ćat (curvatura zero) no (1)-Ąbrado trivial sobre H⊗¶0♢. A intensidade de campo de A é dada por

                                                                                                              1 F = 2 2 ¯

                                                                                                              ) (1 + ♣ (︂

                                                                                                              2 1 2 3 = ( )i 2 2

                                                                                                              ) (1 + ♣ 2 1 3

                                                                                                            • ( )j

                                                                                                              ∧ 3 1 2 )︂

                                                                                                            • ( )k

                                                                                                              ∧ 2i 1 ⊗2i 2 3

                                                                                                              =

                                                                                                            • . . . +
                                                                                                            • 2 2 2 2 ) )

                                                                                                                (1 + ♣ ♣ (1 + ♣ ♣ Existe uma construção usual, que utiliza o produto interno determinado pela forma de Killing, para designar uma medida numérica da intensidade total de campo em cada 2 ponto . Mais especiĄcamente, deĄnimos para cada ∈ H a norma ao quadrado ‖F( )‖ de F( ) como sendo soma dos quadrados das normas dos componentes de F( ) em relação

                                                                                                                Ð Ñ

                                                                                                                a . Temos, portanto, pelo Teorema 3.2.2 (para Ú = 1 e = 0) e das componentes ∧ de F( ) acima que (︃ (︃ )︃)︃ 2

                                                                                                                4

                                                                                                                48 = 6 2 = (4.2.3)

                                                                                                                ‖F( )‖ 2 4 2 4 ) )

                                                                                                                (1 + ♣ ♣ (1 + ♣ 2 sobre Uma medida global da intensidade total de campo é obtida integrando ‖F( )‖ 4 R

                                                                                                                = H. Então, deĄnimos ∫︁ ∫︁ 2 2 4

                                                                                                                1 4 = (vol ) = 48 (vol ) (4.2.4) R R

                                                                                                                ‖F‖ ‖F( )‖ R R 4 4 2 4 )

                                                                                                                (1 + ♣ 4 Façamos o cálculo desta integral. Usaremos as coordenadas esféricas usuais em R deĄni- das por 1 = sin ä sin ã cos 2 = sin ä sin ã sin 3 = sin ä cos ã = cos ä onde = ♣ ♣ ⊙ 0, 0 ⊘ ä Þ,0 ⊘ ã Þ e 0 ⊘ ⊘ 2Þ. Portanto ∫︁ 2

                                                                                                                1 4 = 48 (vol R )

                                                                                                                ‖FR 4 2 4 ) ∫︁ ∫︁ ∫︁ ∫︁ 2Þ Þ Þ (1 + ♣

                                                                                                                1 3 2 = 48 sin ä ä ã 2 4 (︃ )︃ ∫︁ 3 ∫︁ ∫︁ )︂ (1 + ) (︂∫︁ 2Þ Þ Þ

                                                                                                                ∞ 2 = 48 sin ä ä ã 2 4 (︂ )︂ (1 + )

                                                                                                                1 2 = 48 2Þ 2

                                                                                                                12 = 8Þ A seguir apresentamos uma generalização deste resultado. (︁ )︁ ¯

                                                                                                                ⊗¯

                                                                                                                Proposição 4.2.1. Sejam = Im Ú, 2 2 . Consequentemente,

                                                                                                                ∈ H, Ú &gt; 0 e A +Ú 4

                                                                                                                Ú F Ú, = 2 2 2

                                                                                                              • Ú ) (♣

                                                                                                                Então, 4 2 48Ú 2 2 Ú, Ú, = e = 8Þ .

                                                                                                                ‖F ( )‖ ‖F2 2 4

                                                                                                              • Ú ) (♣

                                                                                                                Segue da Proposição 4.2.1 que todos os potenciais de calibre descritos (incluindo o caso = 0, Ú = 1 considerado anteriormente) possuem a mesma intensidade total de campo

                                                                                                                2 2 48Ú

                                                                                                                4

                                                                                                                8Þ Ú, = 2 2 4 possui um valor máximo . Observe que, para um Ąxado, ‖F ( )‖ ( +Ú ) 4

                                                                                                                ♣ ♣ 48 em = . Na medida que Ú ⊃ 0 esse valor máximo tende a inĄnito de maneira 4 2 que as integrais sobre R para vários valores de Ú permanecem constantes Ú, de ‖F ( )‖

                                                                                                                (ver Figura 4.1). Logo, na medida que Ú ⊃ 0 a intensidade de campo concentra-se mais e mais em = . Referimos-nos a como o centro e Ú como a escala do potencial A . Ú,

                                                                                                              Figura 4.1 Ű Fonte: Naber, 2010, pag. 357

                                                                                                                Considere mais geralmente um potencial de calibre A arbitrário no (1)-Ąbrado 4 4 2 trivial sobre R e seja F sua intensidade de campo. Em cada ∈ R deĄnimos ‖F( )‖ como sendo a soma dos quadrados das normas (relativa à forma de Killing em sp(1)) dos Ð Ñ componentes de F( ) em relação aos .

                                                                                                                ∧ Segue da deĄnição da forma de Killing em sp(1) e da lei de transformação (2.4.18) 2

                                                                                                                é invariante por calibre, i.e., se é uma para intensidade de campo que ‖F( )‖ 4 ⊗1

                                                                                                                F

                                                                                                                transformação de calibre sobre algum aberto de R e F = é a intensidade de 2 2 para cada . DeĄnimos a intensidade campo correspondente, então ‖F ( )‖ = ‖F( )‖ total de campo de A por 2 ∫︁ 2 4

                                                                                                                = (vol R ) 2F‖ ‖F( )‖ R 4F‖ é chamada ação de Yang-Mills de A e é denotada por ℳ(A). O funcional ℳ que associa uma ação de Yang-Mills ℳ(A) para cada potencial A é chamado 4 funcional de Yang-Mills em R .

                                                                                                                Certas restrições físicas são colocadas sobre as classes de potenciais A que são de interesse. Como ℳ(A) representa uma intensidade total de campo, considera-se apenas potenciais de ação Ąnita, ou seja, aqueles A tais que ∫︁ 2 4

                                                                                                                (vol R ℳ(A) = ‖F( )‖ ) &lt; ∞ A Ąm de garantirmos que ℳ(A) seja Ąnita, é necessário encontrar alguma transforma- ção de calibre local , deĄnida para ♣ ♣ suĄcientemente grande, de modo que os potenciais (︁ )︁ ¯

                                                                                                                ⊗¯

                                                                                                                nesse calibre decaiam ŞsuĄcientemente rápidoŤ. No caso de A = Im 2 +Ú 2 vimos 4

                                                                                                                que o calibre apropriado é deĄnido em R ⊗ ¶0♢ por ( ) = / ♣ pois A é assintótica- mente de calibre puro por . O essencial aqui é que estas transformações de calibre não 4 3 precisam estar deĄnidas em todo R . Para vermos isso, considere a esfera de centro 4 na origem em R e raio suĄcientemente grande contida no domínio de . Considere a aplicação 3 3

                                                                                                                : 3 (1). 3 Como pode ser vista como uma e (1) são ambos topologicamente 3-esferas, 3 3 3 aplicação de em

                                                                                                                . pode ser estendida continuamente a ♣ ♣ ⊘ se, e somente se, é homotopicamente trivial. Se 0 &lt; são suĄciemente grandes de modo que esteja 1 2

                                                                                                                ⊘ 3 3 contido no domínio de sempre que 1 2 são homotópicas. Para 3 4 então 1 e 2 3 vermos isso, considere : 1 , 2

                                                                                                                × [ ⊗ ¶0♢ dada por ( , ) = . Dado , ] ⊃ R 3 determina um elemento do grupo de homotopia Þ 3 ( ) ≍ = Z. Para o potencial de calibre 3 A

                                                                                                                , é a aplicação identidade. Logo, , é dado por ( ) = / ♣ e esta, restrita à esfera 3 3

                                                                                                                não é homotopicamente trivial, pois deg(

                                                                                                                ) = 1 (grau de Brouwer). Veremos que ♣ o inteiro que corresponde a um dado está diretamente relacionado com a Ştaxa de decaimentoŤ da intensidade de campo quando ♣ ♣ ⊃ ∞.

                                                                                                                Vimos na seção anterior que 2 2 2 (4.2.5) +

                                                                                                                ⊗ ℳ(A) = ‖F♣‖ = ‖F ‖ + ‖F4 Em particular, todos os potenciais em R descritos no Teorema 3.2.2 são anti-auto- duais.

                                                                                                                Lembremos que a ação Ąnita do potencial de calibre BPST deĄnido por (3.2.9) não é 4 somente um potencial deĄnido no (1)-Ąbrado trivial sobre R . Na verdade, é o pullback 4 4 para R de uma conexão no (1)-Ąbrado não trivial em R . Pode-se dizer que a conexão 4 4 no (1)-Ąbrado trivial que corresponde a A Şestende-se a Ť no sentido que é a 4 compactiĄcação por um ponto de R e, devido ao comportamento assintótico de A quando

                                                                                                                ♣ ♣ ⊃ ∞, a conexão estende-se ao ponto no inĄnito. É importante notar, entretanto, que este processo de extensão envolve, não só a conexão, mas também o próprio Ąbrado. Um teorema memorável de Karen Uhlenbeck assegura que o único impedimento para existência desta extensão é o fato da ação ser inĄnita. O Teorema de Singularidades

                                                                                                                

                                                                                                              Removíveis de K. Uhlenbeck é muito geral, mas no caso que estamos lidando, é simples

                                                                                                              4

                                                                                                                de ser enunciado: Seja A um potencial de calibre em R com valores em ImH que satisfaça √︃ 4 2 4 R ‖F( )‖ (vol R ) seja Ąnita. Então as equações de Yang-Mills e cuja ação ℳ(A) = 4 4 sobre , uma 1-forma de conexão ω em

                                                                                                                4 4 ⊗1 ⊗1 e uma seção transversal : ( )

                                                                                                              • ω

                                                                                                                onde 4 4 ⊗ ¶ ♢ ⊃ ⊗ ¶ ♢) tal que A = ( : é a projeção estereográĄca a partir do pólo norte .

                                                                                                                ⊗ ¶ ♢ ⊃ R 4 Agora os (1)-Ąbrados principais sobre são caracterizados topologicamente por um 3 inteiro, i.e., por um elemento de Þ ( ) ≍ 3 = Z (Teorema de ClassiĄcação 2.3.2). Cada inteiro 3 deste invariante pode ser obtido como o grau da aplicação característica : ( , 3 3 ) ⊃ do Ąbrado, onde é a função de transição e é a esfera ( (1), ) dada por = 4 equatorial de (ver capítulo 4, seção 4 de Existe outra maneira de calcular um inteiro que determina unicamente a classe de equivalência do Ąbrado, que é dado por um ramo da topologia conhecido como classes características. Embora não seja o obje- tivo deste trabalho tratar deste assunto, ganhamos um entendimento maior simplesmente registrando, sem prova, a fórmula para calcular este invariante topológico . A chamada Şfórmula de Chern-WeilŤ diz que 2 2 2

                                                                                                                = 8Þ (4.2.6) +F ‖ ⊗ ‖F ⊗ ‖ onde F é a intensidade de campo de A. Se F for anti-auto-dual, F = F e F = 0

                                                                                                              • +

                                                                                                                então tem-se que ∫︁

                                                                                                                1 2 4

                                                                                                                1 (vol R (4.2.7)

                                                                                                                ‖F( )‖ ℳ(A) = ⊗ ) = ⊗ 2 R 4 2

                                                                                                                8Þ 8Þ 2 ,

                                                                                                                Em particular, para a conexão BPST A dada por (4.2.2) encontramos ℳ(A) = 8Þ 3 7 4 , este geralmente é chamado número então = ⊗1 para o Ąbrado de Hopf

                                                                                                                

                                                                                                              instanton ou carga topológica do Ąbrado de Hopf. Observe que de (4.2.5) e (4.2.6)

                                                                                                                temos 2 (4.2.8)

                                                                                                                ℳ(A) ⊙ 8Þ ♣ Portanto, 2

                                                                                                                (4.2.9) ℳ(A) = 8Þ ♣ ⇐⇒ F = (sign )(*F) 4 Uma consequência imediata de (4.2.8) e (4.2.9) é que um potencial de calibre em R é um mínimo absoluto do funcional de Yang-Mills se, e somente se, F é Ćat ( = 0), auto-dual

                                                                                                                ( &gt; 0) ou anti-auto-dual ( &lt; 0). Conexões Ćat possuem intensidade de campo zero e 4 são estendidas apenas para o Ąbrado trivial sobre e não consideraremos mais este caso.

                                                                                                                Como auto-dual e anti-auto-dual podem ser trocados simplesmente mudando a orientação, podemos restringir nossa atenção apenas a um deles. Pelo fato do Ąbrado de Hopf ter carga topológica = ⊗1, vamos considerar apenas o caso anti-auto-dual. Logo (4.2.7) nos dá o 4 invariante topológico do (1)-Ąbrado sobre para o qual um potencial de calibre A 4 em R se estende como um múltiplo da intensidade de campo total. Porém a intensidade de campo total de um potencial de ação Ąnita é determinado inteiramente pela Ştaxa de 2 assintótico da intensidade de campo possa ser diretamente codiĄcada desta maneira na 4 topologia do Ąbrado sobre para o qual potenciais de calibre são estendidos. Também é notável o fato que essas intensidades de campo mínimas surgem ŞquantizadasŤ, i.e., parametrizadas por inteiros, de modo que naturalmente apresenta-se algo parecido com a condição generalizada de quantização de Dirac.

                                                                                                                5 Duas Decomposições Do Espaço Moduli e suas Características Geométricas

                                                                                                                Neste capítulo Ąnal deĄnimos o que é o espaço moduli ℳ de conexões ASD do Ąbrado de Hopf quatérnio e apresentamos duas caracterizações geométricas do mesmo. Apresen- tamos a primeira caracterização através da decomposição de Iwasawa de (2 , H) e identiĄcamos ℳ com (0, ∞) × H tanto como espaço topológico como uma variedade dife- renciável. A segunda caracterização vem da decomposição de Cartan também de (2, H) 5

                                                                                                                ⊗ ¶0♢. Por Ąm, comparamos os a qual nos permite identiĄcar ℳ ⊗ ¶[ω]♢ com a bola centros e escalas dos potenciais de ambas decomposições em seus respectivos espaços e analisamos o comportamento das intensidades de campo destes potenciais nos relativos espaços. Seguimos de perto como referência.

                                                                                                              5.1 O Espaço Moduli e a Decomposição de Iwasawa

                                                                                                                Teorema 5.1.1. Sejam : : 1 1

                                                                                                              2

                                                                                                              2

                                                                                                                ⊃ e dois -Ąbrados principais sobre

                                                                                                                

                                                                                                              o mesmo espaço base , : uma aplicação Ąbrado suave e ω uma forma de

                                                                                                              1 2

                                                                                                                ⊃

                                                                                                              • ω conexão em . Então é uma forma de conexão de .
                                                                                                              • 2 1 Vamos aplicar o Teorema 5.1.1 para o caso em que ambos Ąbrados sejam os Ąbrados

                                                                                                                  de Hopf quatérnio e ω é a forma de conexão BPST natural. Todas as aplicações Ąbrado através das quais fazemos o pullback surguem de uma ação à esquerda natural de 7 ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀ ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ 1 7 1 7 (2, H) em . Sejam =

                                                                                                                  ∈ (2, H) e ∈ 2 . DeĄna 2 normalizando ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀ 1 1 2

                                                                                                                • =
                                                                                                                • 2 1 2<
                                                                                                                • ou seja, ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞
                                                                                                                • 1 1 1 2<
                                                                                                                • ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀

                                                                                                                  ⊗ 2 1 2 2 1 2 2 ) (5.1.1) ≤ = (♣ ♣ + ♣ 2 1 2 7

                                                                                                                • +
                                                                                                                • AĄrmamos que esta, de fato, é uma ação à esquerda suave de (2, H) em . Com
                                                                                                                • 7 7 então mostramos que ⊃ efeito, escrevendo : (2, H) × 7 7 1 2 2 2

                                                                                                                    = (i) Para todo , tem-se ( , ) = . Basta ver que implica em ♣ ♣ +♣

                                                                                                                    1. Logo ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀ ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ 1 1 2 2 2 ⊗ 2 1 1 1 ) =

                                                                                                                    ♣ ♣ ( , ) = ≤ = (♣ + ♣ 2 2 2

                                                                                                                  • 1
                                                                                                                  • 2 ) 1 + ( 1 2 + 1 2 ) 22<
                                                                                                                  • 1
                                                                                                                  • 2 ) 1 + ( 1 2 + 1 2 ) 22 )︁<
                                                                                                                  • ♣(
                                                                                                                  • 1 2<
                                                                                                                  • 2
                                                                                                                  • 2 2 1<
                                                                                                                  • 2
                                                                                                                  • 22 + ♣ 2 1<
                                                                                                                  • 2
                                                                                                                  • 22<
                                                                                                                  • 2
                                                                                                                  • 2 ̂︀ ̂︀
                                                                                                                  • 2
                                                                                                                  • 22<
                                                                                                                  • 2
                                                                                                                  • 22<
                                                                                                                  • 2 1<
                                                                                                                  • 2
                                                                                                                  • 2 &r
                                                                                                                  • 2
                                                                                                                  • 2⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 2<
                                                                                                                  • 2
                                                                                                                  • 2 &r
                                                                                                                  • 2
                                                                                                                  • 2⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 2 ̂︀<
                                                                                                                  • 1
                                                                                                                  • 2 1<
                                                                                                                  • ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃
                                                                                                                  • 1 2 1<
                                                                                                                  • 1
                                                                                                                  • 2 1<
                                                                                                                  • 1
                                                                                                                  • 2 1 + 2 21 2 1 + 2 2<
                                                                                                                  • 1
                                                                                                                  • 2 1 + 2 2 ̂︀<
                                                                                                                  • 1
                                                                                                                  • 2 ) 1 + ( 1 2 + 1 2 ) 22<
                                                                                                                  • 1
                                                                                                                  • 2 ) 1 + ( 1 2 + 1 2 ) 22 )︁<
                                                                                                                  • ♣(
                                                                                                                  • 1 2 Em particular, é uma aplicação Ąbrado do Ąbrado de Hopf em si mesmo. Logo, se ω é a

                                                                                                                      = (︂ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 1 ( 2 1 + 2 2 ) + 1 ( 2 1 + 2 2 ) ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 2 + ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 1 ( 2 1 + 2 2 ) + 1 ( 2 1 + 2 2 ) ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 2 )︂1 2

                                                                                                                      ˜ 1 + 1 ˜ 2 1 ˜ 1 + 1 ˜ 2 ̂︀

                                                                                                                      = ∏︀ ∐︁ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 1 2 1

                                                                                                                      ⊗ 1 2 ∏︀

                                                                                                                      ∐︁ 1 2 1 + 2 2

                                                                                                                      √

                                                                                                                      √

                                                                                                                      √ √ ∏︀ ∐︁ 1

                                                                                                                      ˜ 1 + 1 ˜ 22

                                                                                                                      ( 2 1 + 2 2 ) + 1 ( 2 1 + 2 2 ) 1 ( 2 1 + 2 2 ) + 1 ( 2 1 + 2 2 ) ̂︀

                                                                                                                      = (︁ ♣( 1 2

                                                                                                                      ⊗ 1 ∐︁ 2 ∏︀ 1 2 + 1 2 1 2 + 1 2 1 2 + 1 2 1 2 + 1 2 ̂︀ como queríamos. Logo, para cada (2, H) Ąxado, a aplicaçao

                                                                                                                      : 7 7 deĄnido por ∏︀ ∐︁ 1 2 ̂︀

                                                                                                                      = ∏︀ ∐︁ 1 2 ̂︀ é um difeomorĄsmo. Note que preserva a (1)-ação à direita do Ąbrado de Hopf em 7

                                                                                                                      , i.e., para cada 7 , ∏︀ ∐︁ ∏︀ ∐︁ 1 2 ̂︀

                                                                                                                      ≤ ̂︀ = ∏︀ ∐︁ 1 2 ̂︀ = ∏︀ ∐︁ 1 2 ̂︀

                                                                                                                      ) ⊗ 1 2 ∏︀ ∐︁ 1

                                                                                                                      ˜ 1 + 1 ˜ 22 + ♣ 1

                                                                                                                      (ii)Para todo 7 e todos 1

                                                                                                                      ⊗ 1 ∐︁ 2 ∏︀ 1 2 + 1 2 1 2 + 1 2 1 2 + 1 2 1 2 + 1 2 ̂︀ Por outro lado,

                                                                                                                      , 2

                                                                                                                      ∈ (2, H), tem-se ( 1 2

                                                                                                                      , ) = ( 1 , ( 2 , )). Ora,

                                                                                                                      se 1 = ∏︀ ∐︁ 1 1 1 1 ̂︀ e 2 = ∏︀ ∐︁ 2 2 2 2 ̂︀ então 1 2 = ∏︀ ∐︁ 1 2 + 1 2 1 2 + 1 2 1 2 + 1 2 1 2 + 1 2 ̂︀ . Logo, ( 1 2

                                                                                                                      ,

                                                                                                                      ) = 1 2

                                                                                                                      = (︁ ♣( 1 2

                                                                                                                      ( 1 , ( 2 , )) = 1 ( 2 , )

                                                                                                                      ˜ 2 ̂︀ = (♣ 1

                                                                                                                      = 1∏︀ ∐︁ (♣ 2 1

                                                                                                                      ) ⊗ 1 2 ∏︀ ∐︁ 2 1

                                                                                                                      √ = (♣ 2 1

                                                                                                                      ) ⊗ 1 2

                                                                                                                      , ˜ 1 = 2 1 + 2 2 √ e ˜ 2 = 2 1 + 2 2

                                                                                                                      √ . Então, por deĄnição 1

                                                                                                                      ≤ ∏︀ ∐︁ ˜ 1

                                                                                                                      ≤

                                                                                                                    • ω

                                                                                                                      conexão natural no Ąbrado de Hopf, o Teorema 5.1.1 garante que também é uma forma 3 7 4 de conexão em . Agora, faremos o cálculo explícito dos potenciais de calibre ⊃

                                                                                                                      ⊗1

                                                                                                                      ω ω

                                                                                                                      ( ) ( ) como feito no Capítulo 3, pela Proposição 3.1.1 identiĄcaremos ( ) ◇

                                                                                                                    • ⊗1

                                                                                                                      ⊗1 ⊗1 *

                                                                                                                      ω

                                                                                                                      com ( ) ( ). Assim, para facilitar a escrita, façamos = ( ) ◇ 2 ◇ 2 2 2 1 ∏︀ ⎞ : H ⊃

                                                                                                                      ⊗ 2 ∐︁ ̂︀ ) . IdentiĄcamos cada e deixe ∈ H Ąxado. Então temos que ( ) = (1 + ♣ ⧹︃ ⧹︃

                                                                                                                      1

                                                                                                                      v (H) com ( + ) onde (v ) = . Logo, ⧹︃

                                                                                                                      ∈ (︁ )︁ =0

                                                                                                                      ω ω

                                                                                                                      ( ) (v ) = (( ) (v ) ◇ )

                                                                                                                      (5.1.2) = ω (( (v )) g ( ( ))

                                                                                                                      ◇ ) * onde ⧹︃ ⧹︃ ( (v ) = (( (5.1.3) ⧹︃

                                                                                                                      ◇ ) ◇ )( + )) * =0 Agora, ∏︀ ⎞ 2 1

                                                                                                                      ⊗ 2 ) ( + ) ∐︁ ̂︀ (1 + ♣ +

                                                                                                                      ( 1 )( + ) = 2

                                                                                                                      ⊗ 2 ) 2 1 (1 + ♣ +

                                                                                                                      ⊗ 2 ) . Então

                                                                                                                      Chame ( ) = (1 + ♣ + ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀ ( )( + ) ( )( + ) + ( ) =

                                                                                                                       ( ) ( )( + ) + ( )

                                                                                                                      Podemos escrever 2 = (( )( + ) + ( ))(( )( + ) + ( ))

                                                                                                                      ♣( )( + ) + ( )♣ 2 2 2 2 = (( ))

                                                                                                                      ♣ + 2 (♣ ♣ + ( + ) + ¯ ( + ) + ♣ 2 2 2 2 2 = (( ))

                                                                                                                      ) 2 (♣ ♣ (♣ ♣ + 2Re(¯ ) + ♣ ♣ ) + 2Re( ( + )) + ♣ 2 2 2 2 2 2 2 = (( ))

                                                                                                                      ) 2 (♣ ♣ ♣ ♣ + ♣ ♣ Re(¯ ) + ♣ ♣ ♣ ♣ + 2Re( + ¯ ) + ♣ 2 2 2 2 2 2 = (( ))

                                                                                                                    • 2Re( ¯ ¯ )) (♣ ♣ ♣ ♣ + 2Re( ¯ ¯ + ¯ ¯ ) + ♣ ♣ + ♣ ♣ ♣ ♣ o mesmo vale para
                                                                                                                    • 2 2 2 2 2 2 2 2 = (( <
                                                                                                                    • 2Re( ¯ ¯ )) ♣( )( + ) + ( )♣ ♣ ♣ ♣

                                                                                                                      (♣ ♣ + 2Re( ¯ ¯ + ¯ ¯ ) + ♣ ♣ + ♣ ♣ Disso, escrevemos a soma 2 2 2 2

                                                                                                                      = (( )) ( + + ) ♣( )( + ) + ( )♣ 2 2 + ♣( )( + ) + ( )♣ 2 2 2 2 2

                                                                                                                    • ♣ onde = (♣ ♣ + ♣ ♣ )♣
                                                                                                                    • 2 2 , = 2Re( ¯ ¯ + ¯ ¯ + ¯ ¯ + ¯ ¯ ) e = ♣ ♣ + ♣ ♣ + ♣ ♣ . Note que todos estes são reais e ainda

                                                                                                                        ♣ ♣ ♣ 2 2 .

                                                                                                                        ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀ +

                                                                                                                        Observe que = . Como ∈ (2, H) é invertivel, segue que 1 +

                                                                                                                        é estritamente positivo. Agora, temos que (︁ )︁ 1 ∏︀ ⎞ 2 ⊗ + + 2 ∐︁ ̂︀ ( + + . (5.1.4)

                                                                                                                        ◇ )( + ) =

                                                                                                                      • + Calculando a derivada coordenada a coordenada em = 0, obtemos (︃ )︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃
                                                                                                                      • 2 + + 2 1 ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ( + + ) ∏︀ 2 =0 1 1 2 ⧹︃ 1 ⎞ ⧹︃ 22

                                                                                                                          ( + + ) ( + + )( + + ) (2 + ) ⧹︃ ∐︁2 ̂︀ ⧹︃ = 2 ⧹︃ 1 1 1 + + ⧹︃ =0 22

                                                                                                                          ( ) ( ) ( ) ⊗ 2

                                                                                                                          = 1 3

                                                                                                                          1 ⊗ ⊗ 2 2

                                                                                                                          = ( + ) ⊗

                                                                                                                          2 + + o mesmo temos para ( + + ) 2 1 então segue que 2 ∏︀ ⎞ 1 1 3 ⊗ ⊗ 2 2

                                                                                                                          ( + ) ∐︁ ̂︀2 ( (v ) = 1 3 (5.1.5) 1

                                                                                                                        • ⊗ ⊗
                                                                                                                        • 2 2 ( + )

                                                                                                                            ◇ )

                                                                                                                            ⊗ 2 Precisamos calcular ω do vetor tangente dado por (5.1.5). Fazendo = 0 em (5.1.4) g ( ( )) temos que ∏︀ ⎞ + ∐︁ ̂︀ + ( ( )) = 1 ¯ ¯ ¯ ¯ + ¯ 2

                                                                                                                            √ √ então ¯ ( ( ( ))) = e ¯ ( ( ( ))) = . Logo, (︂ )︂ 1 3 1 1 ¯ ¯ + ¯

                                                                                                                            1 ⊗ ⊗ 2 2

                                                                                                                            (¯ ) g ( ( )) ( (v ) = √ ( + ) ◇ ) ⊗ *

                                                                                                                            2 (¯ ¯ + ¯ ) ¯ + ¯ )( + )

                                                                                                                            = ⊗ 2 2

                                                                                                                            2 2 ¯ + ¯

                                                                                                                            ♣ ♣ + ♣ = ♣

                                                                                                                            ⊗ 2

                                                                                                                            2 do mesmo modo, 2 2 2 2 ♣ ♣ + ¯ + ¯ ) ( (v ) = ♣ g ( ( ))

                                                                                                                            ◇ ) ⊗ * 2

                                                                                                                            2 Consequentemente,

                                                                                                                            1 1 2 2 Im(¯ + ¯ ) g ( ( )) ( (v ) ∏︀ ⎞ 2 2 (︁ )︁ ) * ) ¯ + ¯ + ¯ ∐︁ ̂︀ (♣ ♣ + ♣

                                                                                                                            = Im 2 2 + ∏︀ ⎞ 2 2 + ♣ + (︁ )︁

                                                                                                                            ) ¯ + ¯ + ¯ ∐︁ ̂︀ (♣ ♣ + ♣ ♣ = Im (v ) 2 2

                                                                                                                            ♣ + ∏︀ ⎞ ∐︁ ̂︀ + ♣ + ♣ Concluímos de (5.1.2) que, para = (︁ )︁ ) ¯ + ¯ + ¯ ∏︀ ⎞ (2, H), 2 2 (︁ )︁

                                                                                                                            (♣ ♣ + ♣ ♣ *

                                                                                                                          • ⊗1 ∐︁ ̂︀
                                                                                                                          • 2 ( ) = Im ω (5.1.6)

                                                                                                                              ◇ 2 2 2 + ♣ + ♣ +

                                                                                                                              De maneira análoga encontramos (︁ )︁ (︃ )︃ 2 2 ) ¯ + (¯ + ¯ )

                                                                                                                              (♣ ♣ + ♣

                                                                                                                              ⊗1 1 ◇ 1 ω 2 2 ( ) = Im

                                                                                                                              (5.1.7) ♣ + ♣ + ♣ +

                                                                                                                            • {︁ }︁

                                                                                                                              ω

                                                                                                                              De acordo com a unicidade do Teorema 4.2.1, a conexão Ąca completamente deter-

                                                                                                                              ω ω

                                                                                                                              minada pelo par de pullbacks ( 1 ), ( ) , i.e., pelas 1-formas (5.1.6) e (5.1.7) em 2 H . Neste caso, podemos dizer mais ainda. Qualquer conexão η no Ąbrado de Hopf é uni-

                                                                                                                              η η

                                                                                                                              camente determinado por apenas um dos potenciais de calibre ou . A razão disso 1 2

                                                                                                                            • ⊗1

                                                                                                                              η η η

                                                                                                                              é que uma vez dado, digamos, em 1 , então a lei de transformação = 1 2 1

                                                                                                                            • η

                                                                                                                              determina de maneira única em 2 1 . Mas em 2 1 falta apenas um ponto de 2 , 2

                                                                                                                            • η

                                                                                                                              então por continuidade determina em todo 2 2 . Por esta razão é comum encontrar-se na literatura uma conexão do Ąbrado de Hopf representado por somente uma 1-forma de 4 conexão em R com valores em ImH.

                                                                                                                              A seguir mostramos um resultado que mostra que é invariante por um subgrupo de (2, H). 7 7 Proposição 5.1.1. Sejam : (2, H) a ação à direita dada por ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ × 1 1 2 2 1 2 2 + 1 1 2 ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀2

                                                                                                                            • + )

                                                                                                                              ♣ ♣ ( , ) = ≤ = (♣ + ♣ 2 1 2

                                                                                                                            • e ω a forma de conexão natural do Ąbrado de Hopf. Então
                                                                                                                              • ω

                                                                                                                              (5.1.8) = ω ⇐⇒ (2) ⊖ (2, H) ∏︀ ⎞ ∐︁ ̂︀ 2 2 Demonstração. Suponha =

                                                                                                                              = 2 2 (2). Então ¯ = implica que ♣ ♣ + ♣ ♣ = 1 e ¯ + ¯ = ¯ + ¯ = 0. Além disso,

                                                                                                                              ♣

                                                                                                                            • ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀
                                                                                                                            • 1 +

                                                                                                                              = e =

                                                                                                                              1 + +

                                                                                                                              2 2 2

                                                                                                                              e, como os elementos de (2) preservam a forma bilinear em H = 2 2 2 , ♣ + ♣ + ♣ + ♣ . substituindo todos estes em (5.1.6) e (5.1.7) obtemos

                                                                                                                              ♣ + ♣ + ♣ + ♣ = 1 + ♣ (︃ )︃ ¯

                                                                                                                              ⊗1 ⊗1 * * ( 2 ) ( ω ) = Im = ( ) ω 2

                                                                                                                            • 2 ◇
                                                                                                                            • 2 2 (︃ )︃ 1 + ♣ ♣ ¯
                                                                                                                            • ⊗1 * * ⊗1

                                                                                                                              ω ω

                                                                                                                              ( 1 ) ( ) = Im = ( 2 ) 1 ◇ 2 2 1 + ♣

                                                                                                                              Logo

                                                                                                                              ω = ω. Reciprocamente, suponha que ω = ω. Então o lado direito de (5.1.6)

                                                                                                                              ⊗1 2 2 é apenas ( ) = 1 e ¯ + ¯ = 0 (então ¯ + ¯ ) e

                                                                                                                            • 2

                                                                                                                              ω 2 2 , isso implica que ♣ ♣ + ♣ 2 2 2 2

                                                                                                                              . Fazendo = 0 na última igualdade ♣ + ♣ + ♣ + ♣ = ♣ + ♣ + ♣ + ♣ = 1 + ♣ 2 2

                                                                                                                              = 1. Juntando estas informações temos que obtemos ♣ ♣ + ♣ ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀ ¯ ¯ 1 0 =

                                                                                                                              ¯ ¯ 0 1 portanto (2).

                                                                                                                            • ω

                                                                                                                              Vamos examinar, com mais detalhes, as conexões para em dois subgrupos de (2, H). Primeiro considere ∏︁ ⎫ ⨄︁ ⋀︁ ∏︀ ⎞ ∐︁ ̂︀

                                                                                                                              1 = ⎩ ⋂︁ ; ∈ H 0 1 ∏︀ ⎞ ∐︁ ̂︀

                                                                                                                              1 De fato é um subgrupo de (2, H). Primeiro, façamos o cálculo de ã (ver 0 1 (2.2.1)). Seja = j, onde , 1 2 1 2

                                                                                                                            • ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞

                                                                                                                              ∈ C. Então 1 2

                                                                                                                              1

                                                                                                                              1 ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀ = j + 0 1 0 1 0 0 Portanto ∏︀ ⎞ 1 2 ∏︀ ⎞ ̂︁ ̂︂ ̂︁ ̂︂ ̂︁ ̂︂

                                                                                                                              1 ∐︁ ̂︀

                                                                                                                              1 ̂︁ ̂︂ 1 0 0

                                                                                                                              ã = ̂︁ ̂︂ ̂︁ ̂︂ 2 1

                                                                                                                              0 1 1 ¯ ∐︁ ̂︀ 0 ⊗¯ ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ 0 1 ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀

                                                                                                                              1

                                                                                                                              1 Como det ã = 1 então ∈ (2, H). Além disso, é fechado em relação à 0 1 0 1 ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀

                                                                                                                              1 1

                                                                                                                              1 2

                                                                                                                              ,

                                                                                                                              multiplicação de matrizes. De fato, sejam ∈ dadas quaisquer, então 0 1 0 1 temos ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀ 1 + 1

                                                                                                                              1 2

                                                                                                                              1 1 2 =

                                                                                                                              ∈ 0 1 0 1 ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞

                                                                                                                              1 ⊗1

                                                                                                                              1 1 1 ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀ 1 ⊗ =

                                                                                                                              ∈ 0 1

                                                                                                                              1 Concluimos então, que é um subgrupo de (2, H).

                                                                                                                              A seguir, considere o conjunto ∏︁ ⎫ ∏︀ ⎞ ⨄︁ ⋀︁

                                                                                                                            ∐︁ ̂︀

                                                                                                                            Ú = ; Ú &gt; 0 ⎩ ⋂︁∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ 1/ Ú

                                                                                                                              √ √

                                                                                                                            ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀

                                                                                                                            Ú

                                                                                                                              Ú

                                                                                                                              Para qualquer = 1, portanto

                                                                                                                              √ ∈ temos claramente que det √ ∏︀ ⎞ 1/ Ú 1/ Ú

                                                                                                                              √ ∐︁ ̂︀ Ú √ ∈ (2, H). Mostremos que é fechado em relação à multiplicação de

                                                                                                                              1/ Ú ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ √ √ ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀ Ú Ú 1 2 matrizes. Para isso, tome ,

                                                                                                                              √ √ ∈ quaisquer. Logo, ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ 1/ Ú 1/ Ú 1 2

                                                                                                                              √ √ √ ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀ Ú Ú Ú Ú 1 2 1 2

                                                                                                                              = Ú 1 , Ú 2 &gt;

                                                                                                                              ∈ , √ √

                                                                                                                              1/ Ú 1/ Ú 1/ Ú Ú ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ 1 2 1 2 ⊗1

                                                                                                                              √ √ ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀ Ú 1/ Ú 1 = Ú &gt;

                                                                                                                              √ √ 1

                                                                                                                              1/ Ú Ú 1 1 Disso concluimos que também é um subgrupo de (2, H) e portanto o conjunto ∏︁ ⎫ ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ ⨄︁ ⋀︁

                                                                                                                              Ú ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀

                                                                                                                              1 =

                                                                                                                              √ ⎩ ⋂︁ ; ∈ H, Ú &gt; 0 ∏︁ ⎫ ∏︀ ⎞ 0 1 1/ Ú ⨄︁ ⋀︁ √ √ ∐︁ ̂︀ Ú / Ú =

                                                                                                                              √ ⎩ ⋂︁ ; ∈ H, Ú &gt; 0 1/ Ú ∏︀ ⎞

                                                                                                                              √ √

                                                                                                                              Ú / Ú ∐︁ ̂︀ ⊗1 ω

                                                                                                                              está contido em (2, H). Para = (o

                                                                                                                            • √ ∈ queremos calcular

                                                                                                                              1/ Ú motivo do inverso de será explicado em breve). Agora, ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ √ √

                                                                                                                              1/ Ú Ú /

                                                                                                                              ⊗1 ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀ = =

                                                                                                                              √

                                                                                                                              Ú

                                                                                                                              √ √ √ 2 2 onde = 1/ Ú Ú , = 0 e = Ú = 1, ¯ + ¯ 2 1 , = ⊗ / . Assim, ♣ ♣ + ♣ ♣ = ⊗¯, 2 2 = = Ú então (5.1.6) nos dá

                                                                                                                              ♣ + ♣ ♣ ♣ e ♣ + Ú (︃ )︃ ¯ ⊗ ¯

                                                                                                                            • ⊗1 ⊗1 ω

                                                                                                                              ( ) ( 2 ) = Im (5.1.9)

                                                                                                                            • 2 2 2<

                                                                                                                              • Ú

                                                                                                                              Analogamente, (︃ )︃ 2 2

                                                                                                                            • Ú

                                                                                                                              ⊗1 (♣ ♣ )¯ * * ⊗1 ω ( 1 ) ( ) = Im (5.1.10)

                                                                                                                              ◇ 1 2 2 2

                                                                                                                              ⊗1

                                                                                                                              ω

                                                                                                                              Os potenciais de calibre A = ( ) ( ⊗1 ) são chamados potenciais BPST Ú, 2 2

                                                                                                                              

                                                                                                                            genéricos. Vamos escrever (5.1.9) e (5.1.10) em - e -coordenadas em . Para

                                                                                                                            1 2 2 1 4

                                                                                                                              ∩ 2 ( ), (5.1.9) nos dá ∈ e X (︁ )︁ (︁ )︁ ⊗1 ω ⊗1 ω ⊗1 * * * *

                                                                                                                              ( ) X = ( 2 ) ( ) (( 2 ) X) 2 (︃ )︃ * 2 2 2 ( ) ( ) ⊗ ¯

                                                                                                                              = Im 2 2 2 + Ú ( ) ⊗ 4 onde (( ) X) = . De modo semelhante, para ( ), segue de (5.1.10) 2 1

                                                                                                                              ∈ e X

                                                                                                                            • que (︁ )︁ (︁ )︁
                                                                                                                            • ⊗1 * ⊗1 ⊗1

                                                                                                                              ( )

                                                                                                                              ω X = ( ) ( ω ) (( ) X) 2 ◇ (︃ )︃ 2 2 2 2 2 ( ) 2 *

                                                                                                                            • Ú )
                                                                                                                            • 1 (♣ ♣ ( ) ⊗

                                                                                                                                = Im 2 2 2 1 + Ú 1 ♣1 ⊗ ( )♣ ♣ ( )♣ onde (( ) X) = . Mostraremos esta última igualdade em termos de explicita- 1 4 2

                                                                                                                              • 1 2 ( ) tome =

                                                                                                                                ⊗1 2 ( 1 2 2 ∩ mente. Para e X ( ), onde ) = H ⊗ ¶0♢.

                                                                                                                                ⊗1 ⊗1 ⊗1 ⊗1 ⊗1

                                                                                                                                Como 1 = , segue que = ( ). Em seguida, Suponha X = ( ) (w ).

                                                                                                                                ◇ 2 1 2 * ⊗1 ⊗1

                                                                                                                                Como ( 1 ) = ( 1 ) ) , temos * * * 2 ◇ ( 2

                                                                                                                                ⊗1 ⊗1 ⊗1

                                                                                                                                

                                                                                                                              X = ( ) (w ) = ( ) ) ) (w )

                                                                                                                              2 ( ) 1

                                                                                                                              • *
                                                                                                                              • 1 1 ◇ ( ◇ ( * 2 ⊗1 ⊗1 ⊗1

                                                                                                                                  = ( ) ) (w ) 1 ◇ ( * 1 2

                                                                                                                                • Portanto, (︁ )︁ (︁ )︁
                                                                                                                                • ⊗1 ⊗1 * * ⊗1 ω ⊗1 ω ⊗1 1 ◇ (

                                                                                                                                  ( ) X = ( ) ( ) ) ) (w ) 1 ( ) 1 (︁ )︁ * 1 ◇ ( * * 1 2 ⊗1 ω ⊗1 ⊗1 ⊗1 ⊗1 ⊗1 * = ( ) ( 1 ) 1 ) (w ) (︁ )︁ (︁ )︁ 1 ( ( )) 1 ◇ ( * * 2

                                                                                                                                  ⊗1 * ⊗1 * ⊗1 = ( ) ( ω ) ( ) (w ) 1 1

                                                                                                                                  ◇ * ⊗1 2 (︃ )︃ 2 2 * ⊗1

                                                                                                                                • Ú )

                                                                                                                                  ⊗ (♣

                                                                                                                                  = Im ⊗1 2 2 ⊗1 2

                                                                                                                                • Ú (︁ )︁

                                                                                                                                  ♣1 ⊗ ( )♣ ♣ ♣ ⊗1 onde ( ) (w ) = . Já mostramos que 1

                                                                                                                                  ◇ * 2 ¯

                                                                                                                                  2Re( ¯ ⊗1

                                                                                                                                  ( ) (w ) = 1 2 ⊗ 2 4

                                                                                                                                • ⧹︃ ⧹︃

                                                                                                                                  ♣ ♣ ♣ 2 1 2 ⊗1

                                                                                                                                  ⊗1 onde w é identiĄcado com ( + ) ⧹︃ = 2 , = 2 e

                                                                                                                                  ♣ ♣ ♣ . Agora ♣1 ⊗ 2 ♣ 2 1 =0 ♣ ♣

                                                                                                                                  ⊗1 = 4 = 2 . Então,

                                                                                                                                  ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ 2 2 2 2 2

                                                                                                                                • Ú )
                                                                                                                                • 2 (♣ ♣ ⊗ + Ú

                                                                                                                                    ♣ ♣ (♣ ♣ ) 2 = 2 2 ♣ + Ú 1 Ú + 2 2 2

                                                                                                                                    ♣ ♣ ♣ ♣ Portanto, (︁ )︁ (︃ )︃ 2 2

                                                                                                                                  • Ú ) ¯

                                                                                                                                    ⊗ ¯ ¯ ⊗1 ω (♣ ♣ * * 1 ( ) X = Im 2 2 2

                                                                                                                                  • Ú ) (︃ )︃

                                                                                                                                    ♣ ♣ (♣ 2 2

                                                                                                                                  • Ú ) ¯ + ¯ ¯ (♣

                                                                                                                                    = Im 2 2 2

                                                                                                                                    ⊗1 ⊗1 onde = ( ), X = ( ) (w ). A segunda igualdade vem do fato direto que Im( ¯ ) = 2 2 4

                                                                                                                                  • 1
                                                                                                                                  • 2 ( ), ⊗Im(¯ ). Em detalhes, para cada e cada X (︁ )︁ (︃ )︃ 2 + Ú ) ( ) ¯ ( ) ( ) 2 2 2<

                                                                                                                                    • 2

                                                                                                                                    (♣

                                                                                                                                  • ⊗1 ω
                                                                                                                                  • 1 ( ) X = Im 2 2 2 (5.1.11) 2 2 + Ú ) ♣ ( )♣ (♣ ( ) ⊗ ♣ onde (( 2 ) X) = e (( 1 ) X) = .<
                                                                                                                                  • *
                                                                                                                                  • 1 2 e cada

                                                                                                                                      Um cálculo análogo mostra que a partir de (5.1.10), para cada 4 X ( ) tem-se que

                                                                                                                                      ∈ (︁ )︁ (︃ )︃ 1 ( + ( ) ( ) 1 1

                                                                                                                                    • ⊗1 ω X = Im
                                                                                                                                    • 2 ( ) 1 2 1 + Ú 2 2 1 ) 2 (5.1.12) ♣

                                                                                                                                        ( )♣ (♣ ( )♣ ( )♣ onde (( ) X) = e (( ) X) = .

                                                                                                                                      • 2
                                                                                                                                      • 1 3 7 4<
                                                                                                                                      • Temos agora uma coleção substancial de formas de conexão em .

                                                                                                                                        ⊃ Temos mais do que isso, se denotarmos por o conjunto de todas as formas de conexão 3 7 4 7 em , então a ação natural à esquerda de (2, H) em dada por (5.1.1)

                                                                                                                                        ⊃ dá origem à ação à esquerda de (2, H) em deĄnida por (2, H) × ⊃ ⊗1 η

                                                                                                                                      • ( , η) ↦⊃ η = o fato de ser uma ação à esquerda vem de
                                                                                                                                      • ⊗1 η ⊗1 ⊗1 η

                                                                                                                                        = ( ℎ, η) ↦⊃ () ≤ η = () ⊗1 ⊗1 *

                                                                                                                                        η

                                                                                                                                        = ( ) ⊗1 ⊗1 * * = (η)

                                                                                                                                        ◇ ⊗1

                                                                                                                                      • =

                                                                                                                                        (η) = ≤ (η)

                                                                                                                                        ⊗1 (o inverso de é usado para compensar o pullback). 1 2 3 1 2 3 Considere o subconjunto (2) = ¶ (2, H); , , (2)♢ de (2, H). Se ω é a conexão natural do Ąbrado de Hopf, então

                                                                                                                                        ω

                                                                                                                                        ( 1 2 3 1 2 3 ) = ( 1 2 ) ≤ ω = ( ) ≤ ( ) ≤ ω 3 ⊗1 ω = ω por (5.1.8). Como já calculamos ( 1 2 1 pois 2

                                                                                                                                      • ω =
                                                                                                                                      • 3 ) ≤ ω para e

                                                                                                                                          ∈ , ω Ąca determinado para todo (2). Embora esteja longe de ser óbvio, (2) na verdade é todo (2, H). Esta é chamada decomposição de Iwasawa de

                                                                                                                                          (2, H): (2, H) = (2) (5.1.13) a prova desta decomposição se encontra em Por meio de (5.1.13) identiĄcamos a órbita de ω em relação à ação de (2, H) em . Voltaremos nesta decomposição em breve. O Teorema 5.1.1 expõe outro assunto de interesse neste trabalho, a saber: quando duas conexões são suĄcientemente distintas em um Ąbrado para que devêssemos distinguí-las? Considere, por exemplo, as 1-formas em H com valores em ImH 2

                                                                                                                                          1 ♣

                                                                                                                                          ⊗1 ⊗1 2 Im( ) e Im(¯ ¯ ) 2 1 + ♣ ♣ 1 + ♣ ♣ Cada uma destas pode ser identiĄcada (pelo Teorema 4.2.1) com uma única conexão no

                                                                                                                                          (1)-Ąbrado trivial sobre H ⊗ ¶0♢. Ora, pensando desta maneira, elas parecem ser bem diferentes pois possuem valores nos vetores tangentes aos pontos de H ⊗ ¶0♢ e possuem um comportamento assintótico bem distinto quando ♣ ♣ ⊃ ∞. Entretanto, sabemos mais acerca destas duas 1-formas. De fato, as equações (3.1.15) e (3.1.16) mostram que são pullbacks para H ⊗ ¶0♢ da mesma forma de conexão ω no Ąbrado de Hopf através de duas seções transversais distintas do Ąbrado. Consequentemente, elas diferem apenas pela que chamamos de transformação de calibre (local) e, devido à correspondência biúnivoca entre seções transversais e trivializações (pag. 58), isso signiĄca que diferem apenas por uma maneira particular pela qual o Ąbrado é trivializado. Como tais, elas deveriam ser consideradas como duas expressões coordenadas distintas de um mesmo objeto geométrico e desse modo devem ser vistas como ŞequivalentesŤ. A seguir, formalizaremos isso.

                                                                                                                                          Uma transformação de calibre local é uma mudança de seção transversal e todas estas ⊗1

                                                                                                                                          ( ) uma seção transversal local mudanças surgem da seguinte maneira: Sejam : ⊃ ⊗1

                                                                                                                                          ( ) pondo e : uma aplicação suave. DeĄna : ⊃ ( ) = ( ) ≤ ( ), também é uma seção transversal local, de modo que para todo . Então ⋃︁ ⋃︁

                                                                                                                                          ⊗1 ( ) =

                                                                                                                                          ¶ ( ) ≤ ; ♢ = ¶ ( ) ≤ ; ♢ ∈

                                                                                                                                          ⊗1 ⊗1 Dessa forma, podemos deĄnir uma aplicação : ( ) ⊃ ( ) por ( ( ) ≤ ) =

                                                                                                                                          ⊗1 ( ) ≤ . AĄrmamos que é um automorĄsmo suave do -Ąbrado : ( ) ⊃ . De fato, como e são suaves segue que é suave, e consequentemente, é suave. Além disso, por ser invariante nas Ąbras temos,

                                                                                                                                          ( )) ◇ ( ( ) ≤ ) = ( ) = (

                                                                                                                                          = ( ( ( ))) = ( ( )) = para todo . Por outro lado, ( ( ) ≤ ) = ( ( )) = para todo . Portanto, ⊗1

                                                                                                                                          ◇ = e é um automorĄsmo Ąbrado de : ( ) ⊃ . Reciprocamente, suponha

                                                                                                                                          ⊗1 ⊗1 ( ) que seja dado um automorĄsmo do Ąbrado ( ) em si mesmo. Se :

                                                                                                                                          ⊗1 ( ) pondo

                                                                                                                                          é qualquer seção transversal, deĄnimos uma outra aplicação de em ⊗1 ⊗1

                                                                                                                                          ( ( )). Como é também um automorĄsmo Ąbrado, esta aplicação é uma ↦⊃ seção transversal em , pois

                                                                                                                                          ⊗1

                                                                                                                                          ⊗1 Logo, para cada existe um único ( ) ∈ tal que ( ( )) = ( ) ≤ ( ). Resta mostrar que , assim deĄnida, é uma aplicação suave. Com efeito, pode ser vista como a composição das seguintes aplicações suaves

                                                                                                                                          ⊗1

                                                                                                                                          å

                                                                                                                                          ⊗1 ⊗1 ( ) ( )

                                                                                                                                          ⊗1 ( ) ( )

                                                                                                                                          ( ( )) = ( ) ≤ ( ) onde å é deĄnida na pág. 43. Consequentemente, uma transformação de calibre em pode ser identiĄcada com

                                                                                                                                          ⊗1 um autormorĄsmo do Ąbrado ( ). Então se : é um -Ąbrado principal sobre , então uma transformação de calibre (global) é um automorĄsmo do Ąbrado, i.e., um difeomorĄsmo : que preserva Ąbras de ( ◇ = ) e comuta com a ação de sobre ( ( ) = ( ) ≤ ). Como composições e inversos de automorĄsmo são ainda automorĄsmos, a coleção de todas transformações de calibre de : forma um grupo sob composição, chamado grupo de transformações de calibre de : e será denotado por ( ). Agora, se ω é uma forma de conexão no Ąbrado também é uma forma de conexão no mesmo e ∈ ( ), então, pelo Teorema 5.1.1,

                                                                                                                                        • ω

                                                                                                                                          Ąbrado. Duas conexões ω e η são ditas equivalentes por calibre se existe um ∈ ( ) tal que η =

                                                                                                                                        • ω . AĄrmamos, que de fato, esta é uma relação de equivalência no conjunto de todas as formas de conexão de , ( ).

                                                                                                                                          (i)ω ω. É imediato, uma vez que ∈ ( ).

                                                                                                                                        • ω .

                                                                                                                                          (ii)ω η =⇒ η ω. Com efeito, se ω η então existe ∈ ( ) tal que η = Então

                                                                                                                                        • ⊗1 ⊗1 ⊗1 *

                                                                                                                                          

                                                                                                                                        η ω ω

                                                                                                                                          ( ) = ( ) ) = = ω (ω) = (

                                                                                                                                          ω e Û = . Logo η

                                                                                                                                          (iii)ω η e µ η =⇒ ω µ. Existem , ∈ ( ) tais η =

                                                                                                                                          

                                                                                                                                        µ ω ω

                                                                                                                                          = ( ) = (ω) = ( ) como ∈ ( ) temos o que queríamos.

                                                                                                                                          O conjunto ( )/ ( ) das classes de equivalência por calibre de em é chamado de

                                                                                                                                          

                                                                                                                                        espaço moduli de conexões no Ąbrado. Estes espaços tornaram-se, desde Simon Do-

                                                                                                                                          naldson, objetos de profunda signiĄcância para topologia. Para os físicos estes representam os espaços de conĄguração das teorias de campo quântico e, como tais, são variedades nas quais as integrais de caminho de Feymann são deĄnidas e avaliadas.

                                                                                                                                          ⊗1 ( ) é uma seção

                                                                                                                                          É importante notar que se é um automorĄsmo e :

                                                                                                                                        • ⊗1 * *

                                                                                                                                          ω ω

                                                                                                                                          transversal, então ( ( ) também é uma seção

                                                                                                                                          ) = ( ) . Como :

                                                                                                                                          ω ω

                                                                                                                                          transversal, então concluimos que e ( ) são, de fato, ambos potenciais de calibre de ω (por seções transversais distintas). Consequentemente, eles estão relacionados por uma lei de transformação de calibre do tipo (2.4.3). Agora, mostraremos um difeomorĄsmo que nos será muito útil em instantes. Cada

                                                                                                                                          A Ú,

                                                                                                                                          é determinado por um ponto (Ú, ) em (0, ∞) × H. Mostremos que (0, ∞) × H é difeomorfo ao disco aberto de dimensão 5. Para isso, considere (0, ∞) × H como um 6 6 1 2 3 4 5 subconjunto de R , com = 0 e = Ú &gt; 0 ( , , e são as coordenadas usuais 1 2 3 4 6 5 5

                                                                                                                                          

                                                                                                                                        , , , em H). Denotamos por o equador ( = 0) de e por a bola de

                                                                                                                                        4

                                                                                                                                          dimensão 5 interior a , i.e., 5 1 5 6 1 2 5 2

                                                                                                                                          , . . . , , ; ( ) + . . . + ( ) &lt; 5 = ¶( 0) ∈ R 1♢

                                                                                                                                          ⊗1 Seja :

                                                                                                                                          ⊗ ¶ ♢ ⊃ R × H a projeção estereográĄca pelo pólo norte. Note que 5 1 6 5 1 5

                                                                                                                                          , . . . , ; &gt; . Seja a

                                                                                                                                          leva (0, ∞) × H no hemisfério ŞfrontalŤ = ¶( ) ∈ 0♢ de 6 Þ 2 5 rotação em R por que deixa , . . . , Ąxos e leva = (0, 0, 0, 0, 0, 1) em (1, 0, 0, 0, 0, 0), 2 i.e., 1 2 3 4 5 6 6 2 3 4 5 1

                                                                                                                                          ( , , , , , ) = ( , , , , , ) 1 6 6 5 5 1 6 para todo ( , . . . , ) em R . Então leva no hemisfério ŞinferiorŤ , . . . , 5 6 5 5 = ¶( ) ∈ ; &lt; leva em . Além disso, é possivel mostrar que

                                                                                                                                          0♢. Finalmente, note que ⊗1 o determinante de é estritamente positivo, portanto é um difeomorĄsmo de 5 conforme que preserva orientação. (0, ∞) × H em

                                                                                                                                          Pelo Teorema 3.2.2 obtemos uma coleção de conexões ASD no Ąbrado de Hopf quatér- 4 nio. Cada um desses surgem de um potencial de calibre A Ú, em R com intensidade de 2 campo ASD F Ú, Ú, ) = 8Þ . Temos interesse nas classes e com ação de Yang-Mills ℳ(A de equivalência de calibre destas conexões. DeĄnimos o espaço moduli de conexões 3 7 4 ASD no Ąbrado de Hopf

                                                                                                                                          ⊃ como o conjunto ℳ das classes de equiva- 3 7 4 lência de calibre das formas de conexão ASD em . Desse modo, a conexão ⊃ natural ω, assim como cada ω para (2, H), determina um ponto no espaço moduli que consiste de todas as conexões ASD no Ąbrado Hopf que são equivalentes por calibre a estes. Entretanto, estes não determinam os pontos todos diferentes, pois como já vimos, ω = ω se (2). 3 7 4

                                                                                                                                          ′

                                                                                                                                          Lema 5.1.1. Seja ω a conexão natural em e sejam dados , (2).

                                                                                                                                          ′ ⊗1 ′ ′

                                                                                                                                          Então, esta na classe lateral

                                                                                                                                          ≤ ω = ω ⇐⇒ (2), se, e somente se, (2).

                                                                                                                                          Demonstração. Temos que é um homomorĄsmo. Segue da Proposição 5.1.1 ⊗1 ω ′ ⊗1 ω ′ ⊗1 ω * * * ′

                                                                                                                                          = ( ) ≤ ω = ω ⇐⇒ ⇐⇒ ω = ( ) ( )

                                                                                                                                        • ′ ⊗1

                                                                                                                                          )ω ⇐⇒ ω = ( ( ) ′ ⊗1 ⊗1 * ′ *

                                                                                                                                          ω ′ ⊗1 ω

                                                                                                                                          = ( ) = = ( ( ) ◇ ( ) ) ≤ ω

                                                                                                                                          ⊗1 ⊗1 ⇐⇒ (2) ⇐⇒ (2) Em particular a aplicação : (2, H) ⊃ ℳ dada por ( ) = [ ω] é constante em cada classe lateral (2) em (2, H). Portanto, esta aplicação descende para uma aplicação quociente de (2, H)/ (2) em ℳ de modo que o seguinte diagrama seja comutativo

                                                                                                                                          (2, H) ℳ

                                                                                                                                          ¯ (2, H)/ (2) onde : (2, H) ⊃ (2, H)/ (2) é a aplicação quociente no espaço das classes laterais à esquerda (2, H)/ (2) dada por ( ) = [ ].

                                                                                                                                          Teorema 5.1.2. (O Teorema de Atiyah-Hitchin-Singer A aplicação

                                                                                                                                          ¯ : (2, H)/ (2) ⊃ ℳ

                                                                                                                                          dada por ¯ 3 7 ([ ]) = [ ω], onde é o espaço moduli das conexões ASD no Ąbrado de Hopf 4 , é uma bijeção.

                                                                                                                                          ⊃

                                                                                                                                          Observação 5.1.1. Para mostrar que ¯ é injetiva precisamos mostrar que

                                                                                                                                          ≤ ω é equi-

                                                                                                                                          

                                                                                                                                        valente por calibre a pertence à classe lateral (2). Ora, ambos

                                                                                                                                          ≤ ω somente se ′ ′

                                                                                                                                          e A com

                                                                                                                                          ≤ ω e ω são unicamente determinados pelos potenciais de calibre A Ú , Ú, ′ ′

                                                                                                                                          intensidades de campos correspondentes F Ú , e F Ú, , respectivamente. Agora, se

                                                                                                                                          ≤ ω eω são equivalentes por calibre, então as intensidades de campo estão relacionadas pela ′ ′ 2 2

                                                                                                                                          

                                                                                                                                        lei de transformação (2.4.18). Mas isso implica que Ú , Ú, para cada

                                                                                                                                          ‖F 4 ( )‖ = ‖F ( )‖

                                                                                                                                          ′ ′ ′ ′

                                                                                                                                          e isto só é possivel se Ú . Logo

                                                                                                                                          = Ú e = (Teorema 3.2.2). Assim, A Ú , = A Ú, ∈ R

                                                                                                                                          ′ ′

                                                                                                                                          ≤ ω = ω e o Lema 5.1.1 implica que (2), como queríamos. A sobrejetividade

                                                                                                                                          

                                                                                                                                        de ¯ , ou seja, o fato de que qualquer classe de equivalência de calibre das conexões ASD

                                                                                                                                        do Ąbrado de Hopf é representada por algum

                                                                                                                                          ≤ ω, (2, H) e ω sendo a conexão

                                                                                                                                          

                                                                                                                                        natural, é um assunto mais delicado. A prova envolve resultados profundos de cohomologia

                                                                                                                                        de sheaf e geometria algébrica.

                                                                                                                                          Agora estamos em posição de apresentar a primeira característica geométrica do espaço moduli ℳ das conexões ASD. Pela decomposição de Iwasawa todo ω é unicamente determinado por um potencial BPST A e portanto, por um par (Ú, ), onde Ú &gt; 0 Ú, e ∈ H. O Teorema de Atiyah-Hitchin-Singer e o argumento da observação que segue implicam que os pontos do espaço moduli ℳ estão em correspondência biunívoca com 5 . o conjunto de todos os pares (Ú, ), i.e., com os pontos do espaço (0, ∞) × H em R

                                                                                                                                          ′ ′ Intuitivamente, pontos ŞvizinhosŤ (Ú, ) e (Ú ,

                                                                                                                                          ) em (0, ∞) × H dão origem a conexões cujos potenciais de calibre estão ŞpróximosŤ no sentido de que suas intensidades de campo estão centradas em pontos próximos e possuem aproximadamente a mesma escala (ver Figura 4.1). Sabe-se (pag 243 - que quaisquer duas estruturas diferenciáveis em

                                                                                                                                          5 R (que é homeomorfo a (0, ∞) × H) são necessariamente difeomorfas então podemos munir ℳ com a mesma estrutrura diferenciável de (0, ∞) × H. Com isso, identiĄcamos o espaço moduli ℳ com (0, ∞) × H como um espaço topológico e como uma variedade diferenciável.

                                                                                                                                          

                                                                                                                                        Observação 5.1.2. Vale ressaltar que não é uma tarefa fácil justiĄcar a introdução em

                                                                                                                                          ℳ da métrica Riemanniana e orientação de (0, ∞)×H, e de fato, existem outras escolhas

                                                                                                                                          

                                                                                                                                        possíveis ( Como os físicos estão interessados em deĄnir integrais de caminho

                                                                                                                                        nestes espaços moduli sua geometria é fundamental, resta ainda muito trabalho a ser feito

                                                                                                                                        (ver seção 9.5

                                                                                                                                        5.2 Decomposição de Cartan do Espaço Moduli ℳ

                                                                                                                                          A caracterização que obtivemos até então é simples, porém conseguimos ir além e explorar uma outra forma de ver o espaço moduli ℳ. Para chegarmos a esta outra visão de ℳ, mais no espírito da teoria geral de Donaldson, lembramos que (0, ∞) × H, com sua 5 estrutura usual, é difeomorfo à bola de dimensão 5, . Precisamos de uma parametrização 5

                                                                                                                                          . A grosso dos pontos de ℳ que os identiĄquem de maneira natural com os pontos de modo, queremos introduzir Şcoordenadas esféricasŤ em ℳ. Começamos assumindo um teorema não trivial de decomposição de matrizes, e consequentemente, uma decomposição chamada decomposição de Cartan de (2, H) (ver a saber:

                                                                                                                                          (2, H) = (2) (2) (5.2.1) A aĄrmação aqui é de que qualquer elemento de (2, H) pode ser escrito como um produto , onde , 1 2 1 2

                                                                                                                                          ∈ (2) e . A Ąm de usarmos este resultado propriamente precisamos desviar rapidamente do objetivo principal, como Ązemos anteriormente com a primeira decomposição. 7 Primeiro, considere a ação à esquerda de (2, H) em dada por (5.1.1). Como esta 7 ação respeita a (1)-ação natural à direita do Ąbrado de Hopf em , a mesma descende 7 1 4

                                                                                                                                          ≍ para uma ação à esquerda de (2, H) no quociente / (1) = HP = que é descrita da seguinte maneira: ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⨄︀ ⋀︀ ⨄︀ ⋀︀ ⨄︀ ⋀︀ ⨄︀ ⋀︀ +

                                                                                                                                          1 = =

                                                                                                                                          ≤ e ≤ 1 + 1 . Mos- para todo ∈ H. Em particular, (2) ⊖ (2, H) age naturalmente sobre HP 1 traremos que esta ação à esquerda de (2) sobre HP é transitiva. De fato, para cada

                                                                                                                                        5.2. Decomposição de Cartan do Espaço Moduli ℳ

                                                                                                                                          ∈ H ∪ ¶∞♢(≍ = 4

                                                                                                                                          ) deĄna (2) por

                                                                                                                                          = ∏︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⨄︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ 11+

                                                                                                                                          ♣ 2 ∏︀ ̂︁ ∐︁

                                                                                                                                          1 ⊗ ¯

                                                                                                                                          1 ̂︂ ̂︀ if ∈ H ∏︀ ̂︁ ∐︁

                                                                                                                                          1 ⊗1 0 ̂︂ ̂︀ if = ∞

                                                                                                                                          Então ≤ ⨄︀

                                                                                                                                        • ⊗ ¯
                                                                                                                                        • 1 ⋀︀ if ∈ H ⋁︀ ⨄︀

                                                                                                                                          1 ⊗ ⋀︀ if = ∞

                                                                                                                                          1 ⋀︀ = ⨄︀

                                                                                                                                          ; ♣ 2 = ♣ 2 = 1 ⋀︁ ⋂︁

                                                                                                                                          ⎩ ∏︀ ∐︁ ̂︀

                                                                                                                                          1 ⋀︀ é ∏︁ ⨄︁

                                                                                                                                          = 1. Portanto, o subgrupo de isotropia de ⨄︀

                                                                                                                                          = ∏︀ ∐︁ 1 0 0 1 ̂︀ então ♣ 2 = 1, ¯ = 0 (logo = 0) e ♣ 2

                                                                                                                                          ¯ 0 ¯ ¯ ̂︀

                                                                                                                                          , onde ̸= 0. Agora, ∏︀ ∐︁ ̂︀ (2) implica que ∏︀ ∐︁ ̂︀ ∏︀ ∐︁

                                                                                                                                          1 ⋀︀ = ⨄︀ ⋀︀

                                                                                                                                          1 ⋀︀ implica = 0, assim ⨄︀

                                                                                                                                          1 ⋀︀ = ⨄︀ ⋀︀ logo ⨄︀

                                                                                                                                          ≤ ⨄︀

                                                                                                                                          , então ⨄︀

                                                                                                                                          1 ⋀︀ em relação a essa ação à esquerda de (2) em HP 1 . Se = ∏︀ ∐︁ ̂︀

                                                                                                                                          1 ⋀︀ e a ação é transitiva. Em seguida calculamos o subgrupo de isotropia de ⨄︀

                                                                                                                                          1 ⋀︀ if = ∞ então cada elemento de HP 1 está na órbita de ⨄︀

                                                                                                                                          1 ⋀︀ = ∏︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⨄︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︀ ⨄︀

                                                                                                                                          1 ⋀︀ = ∏︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⨄︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︀ ⨄︀

                                                                                                                                          ≤ ⨄︀

                                                                                                                                          ⊗1 ⋀︀ if = ∞ Em particular,

                                                                                                                                          1 ⊗ ¯ ⋀︀ if ∈ H ⋁︀ ⨄︀

                                                                                                                                          1 ⋀︀ = ∏︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⨄︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︀ ⨄︀

                                                                                                                                          1 ⋀︀ if ∈ H ⋁︀ ⨄︀ e é isomorfo a (1) × (1). Como (2) é compacto, segue da Observação 2.2.2 que 1 4 HP ≍ ≍ (5.2.2)

                                                                                                                                          = = (2)/ (1) × (1)

                                                                                                                                          Agora, (2) é a união das classes laterais ( (1)× (1)), onde (2). Estas classes, 1 entretanto, estão em correspondência biunívoca com os pontos de HP e já vimos que cada 1 ⨄︀ ⋀︀ ⎡ ⎤ elemento de HP é ≤ para algum ∈ H ∪ ¶∞♢. Logo,

                                                                                                                                          1 ⋃︁ (2) =

                                                                                                                                          (5.2.3) ( (1) × (1))

                                                                                                                                          ∈H∪¶∞♢ Neste momento, usaremos (5.2.1) e do fato que os elementos de (1)× (1) comutam com os elementos de para escever

                                                                                                                                          (2, H) = (2) (2) ⋃︁ =

                                                                                                                                          ( (1) × (1)) (2) ∈H∪¶∞♢ ⋃︁

                                                                                                                                          = ( (1) × (1)) (2)

                                                                                                                                          ∈H∪¶∞♢ ⋃︁ = (2)

                                                                                                                                          ∈H∪¶∞♢ Portanto ⋃︁

                                                                                                                                          (2, H) = (2) (5.2.4) ∈H∪¶∞♢ 3 7 4 Como os elementos de (2) deixam Ąxa a conexão natural ω em segue

                                                                                                                                          ⊃ , de (5.2.4) que cada ponto do espaço moduli ℳ é ω para algum da forma = onde H ∪ ¶∞♢ e .

                                                                                                                                          Lema 5.2.1. Sejam ∏︀ ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ ⎞ ∏︀ ⎞ ∈ H e Ú &gt; 0. Então

                                                                                                                                          ⊗1 √ √ √

                                                                                                                                          1 1 Ú 1/ Ú Ú 2 / ∐︁ ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀ ̂︀ ∐︁ ̂︀ √︁ ⊗1/2

                                                                                                                                          ) √ √ √ 2 = (1 + ♣ ♣ 1 1/ Ú Ú ¯ Ú

                                                                                                                                          ⊗ ¯ 1 + ♣ ∏︀ ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ ⎞ ∏︀ ⎞ ⊗1

                                                                                                                                          √ √ 1 Ú Ú ∐︁ ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀ ̂︀ ∐︁ ̂︀ ⊗1/ =

                                                                                                                                          √ √ 1/ Ú Ú

                                                                                                                                          ⊗1 0 Demonstração. ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ √ √ √ 1 Ú Ú / Ú √︁ √︁

                                                                                                                                          1 ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀

                                                                                                                                          1 = = Û 2 √ √ √ 2 1 1/ Ú Ú 1/ Ú

                                                                                                                                          ⊗ ¯ ⊗ ¯ 1 + ♣ ♣ 1 + ♣ 1 ♣ 2 2 (1+ ) (1+ ) + como det Û = 2 = 1, então Û possui inversa e é dada por ♣ ♣ ∏︀ ⎞

                                                                                                                                          √ √ 1/ Ú Ú

                                                                                                                                          1 √︁ ∐︁ ̂︀ / 2 √ √ ¯ Ú Ú

                                                                                                                                        5.2. Decomposição de Cartan do Espaço Moduli ℳ

                                                                                                                                          como queríamos. Uma prova inteiramente análoga para o outro caso demonstra o resul- tado. ∏︀ ⎞∐︁ ̂︀

                                                                                                                                        Ú

                                                                                                                                          Lema 5.2.2. Seja = , onde Ú Ú =

                                                                                                                                          √ ∈ . Então (︃ )︃ 2 1/ Ú 2 2 (1 + Ú + (Ú

                                                                                                                                          ♣ ♣ ⊗ 1) ¯

                                                                                                                                        • ⊗1

                                                                                                                                          ( ) 2 (5.2.5)

                                                                                                                                          ◇ 2 ( ω) = Im 2 2 2

                                                                                                                                        • Ú ♣ ♣ ¯ + 1♣

                                                                                                                                          se

                                                                                                                                          ∈ H e (︃ )︃ 2

                                                                                                                                          Ú ¯

                                                                                                                                          ⊗1 ( ) 2

                                                                                                                                        • 2 ( ω) = Im
                                                                                                                                        • 2 2 1 + Ú

                                                                                                                                            (5.2.6)

                                                                                                                                            se = ∞.

                                                                                                                                            Demonstração. Escreva ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞

                                                                                                                                            √ √

                                                                                                                                            Ú Ú

                                                                                                                                            1 1/ √︁ ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀ / = 2 √ √

                                                                                                                                            

                                                                                                                                          Ú Ú

                                                                                                                                            ¯ 1 + ♣ ♣ Então segue de (5.1.6) que ∏︀ (︁ )︁ (︁ )︁ 2 ⎞ Ú Ú(1+ ) 1+ 1+ Ú 2 2 ¯ +

                                                                                                                                          • 2 + ¯ Ú

                                                                                                                                            ⊗ ¯ 1 ♣ 1 ♣ ♣ ♣ ♣

                                                                                                                                            ⊗1 * ∐︁ ̂︀ ( ) 2

                                                                                                                                            √ √ ◇ 2 ( ω) = Im 1 2 1 2 2 √ √ 2 Ú ¯ Ú

                                                                                                                                          • 1+ 1+

                                                                                                                                            ♣ ⊗ ♣ ♣ ♣ ∏︀ (︁ )︁ Ú Ú 1 ♣ 2 Ú 2 ⎞ 1 2 2 ¯ + 2 (Ú 2

                                                                                                                                          • Ú(1+ ) Ú(1+ ) Ú(1+ )

                                                                                                                                            ⊗ 1) ¯ ∐︁ ♣ ♣ ♣ ♣ ̂︀ = Im 1 1

                                                                                                                                          • 2
                                                                                                                                          • 2 2 ¯ + Ú 2 2 2 Ú(1+ ) Ú(1+ ) ♣ ♣Ú(︃ )︃ 2 ♣ ♣ 2 2 (1 + Ú + (Ú

                                                                                                                                              ♣ ♣ ⊗ 1) ¯ = Im 2 2 2

                                                                                                                                            • Ú ♣ ♣ ¯
                                                                                                                                            • 1♣ para todo ∈ H. O mesmo fazemos para o caso em que = ∞.

                                                                                                                                              Proposição 5.2.1. Sejam Ú &gt; 0, ∏︁ ⨄︁ ⋁︁ ∈ H ∪ ¶∞♢ e Ú , se

                                                                                                                                              ∈ H = ⋁︁ Ú , se =

                                                                                                                                              ∞ ⊗1

                                                                                                                                              Suponha = , Û = 1/Ú e

                                                                                                                                              ⊗ ¯ ⨄︁ ⋁︁ ∏︁ Û , se ∈ H

                                                                                                                                              ′ = ⋁︁

                                                                                                                                              , se =

                                                                                                                                              ∞ Û ∏︀ ⎞ ∞ √ ∐︁ ̂︀ Û onde Û = . Então,

                                                                                                                                              1/Û ⊗1 ′ ⊗1 * *

                                                                                                                                              ( 2 ) ( ) 2 2 ≤ ω) = ( 2 ( ω)

                                                                                                                                              ′

                                                                                                                                              Consequentemente,

                                                                                                                                              2 2 2

                                                                                                                                              1 ⊗1 ⊗1 ⊗1

                                                                                                                                              Demonstração. Temos que = 2 e pelo Lema

                                                                                                                                              ♣ ♣ = ♣ ⊗ ¯ ♣ = ♣ ¯ ♣ , ¯ = ⊗

                                                                                                                                              5.2.2 ∏︀ ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ ⎞ ∏︀ ⎞ ⊗1

                                                                                                                                              √

                                                                                                                                              Û

                                                                                                                                              1

                                                                                                                                              1 2 1/Û /Û ∐︁ ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀ ̂︀ ∐︁ ̂︀ √︁ ⊗1/2

                                                                                                                                              ) = (1 + ♣ 2

                                                                                                                                              √ √ 1/Û Û ¯ Û

                                                                                                                                              ⊗¯ 1 1 + ♣ (︃ )︃ ∏︀ ⎞ √ √

                                                                                                                                              ⊗1/2 ⊗1

                                                                                                                                              1 1/(1/ Ú ) ¯ / (1/ Ú ) ∐︁ ̂︀ = 1 + 2 √ √

                                                                                                                                              ⊗1 ♣ / Ú 1/ Ú (︃ )︃ √ √ ∏︀ ⎞

                                                                                                                                              ⊗1/2 ⊗1

                                                                                                                                              1 Ú Ú ¯ ) ∐︁ ̂︀ = 1 + 2 √ √

                                                                                                                                              ⊗1 ♣ / Ú 1/ Ú

                                                                                                                                              ⊗ então de (5.1.6) temos ∏︀ ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ ⊗1 2

                                                                                                                                              ⊗1 ⊗1 ̂︁ ∐︁ (︁ )︁ (︁ )︁ ̂︀ ∐︁ (︁ )︁ (︁ )︁ ̂︀ Ú Ú ¯ + ̂︂

                                                                                                                                            • ̂︁ 1+ Ú 1+ 1+ Ú 1+
                                                                                                                                            • 1 1 11 ̂︂ ⊗1 ′ ̂︁ ̂︁ ♣m♣2 ♣m♣2 ♣m♣2 ♣m♣2 ̂︂ ̂︂

                                                                                                                                                ( ) ( 2

                                                                                                                                              • 2 ≤ ω) = Im ̂︁ (︁ )︁ (︁ )︁ ̂︁ Ú
                                                                                                                                              • 2 1 ̂︂ 2<

                                                                                                                                                • ⊗1 ⊗1 ̂︂

                                                                                                                                                ♣ + ¯ ♣ ♣ ⊗ ∐︁ 1+ Ú 1+ ̂︀ ∏︀ ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ ÚÚ 2 m♣2 ♣m♣2 λ ⊗1 2 1 2 ⊗1 ⊗1 + 1♣

                                                                                                                                              • ̂︁ ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀ (︁ )︁ (︁ )︁ (︁ )︁ (︁ )︁

                                                                                                                                                ¯ + ̂︂ ̂︁ ♣m♣2 ♣m♣2 ♣m♣2 ♣m♣2 ̂︂ ̂︁ ̂︁ Ú 1+ Ú 1+ Ú 1+ Ú 1+ 1 1 11 ̂︂ ̂︂ = Im 2

                                                                                                                                              • ̂︁ (︁ )︁ (︁ )︁

                                                                                                                                                ⊗1 ⊗1 ̂︂ ̂︁ Ú 2 1 ̂︂ 2 ∏︀ ∐︁ (︁ )︁ Ú +1 2 Ú 1+ Ú 1+ 2 ⎞ m♣2 ♣m♣2 1 + ¯ ♣ ♣ ⊗ + 1♣ 1 ̂︀ 2 ¯ + 1 2 (Ú 2

                                                                                                                                                ⊗ 1) ¯ ∐︁ ̂︀ ♣ ♣ ♣ = Im 2 2 2

                                                                                                                                                ⊗1 ⊗1

                                                                                                                                                Ú

                                                                                                                                                ♣ + ¯ ♣ + ♣ ⊗ + 1♣ Mas (︃ )︃ (︃ )︃ 2

                                                                                                                                                ¯ ¯ ¯ ⊗1 2 2 ♣ + ♣ + = + ¯ +

                                                                                                                                              • + ¯ ♣ = ♣
                                                                                                                                              • 2 2 2 2 4 ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣

                                                                                                                                                  1

                                                                                                                                                  1 2

                                                                                                                                                • (︁ )︁

                                                                                                                                                  2Re( ¯ ) + = ♣ 2 2

                                                                                                                                                  ♣ ♣ ♣

                                                                                                                                                  1 2 2 = + 2Re( ¯ ) + 1 2 ♣ ♣

                                                                                                                                                  ♣ ♣ Por outro lado, 2 2 2

                                                                                                                                                  = ( ¯ + 2Re(¯ ) + 1 ♣ ¯ + 1♣ + 1) (¯ + 1) = ♣ ♣ ♣ 2 2

                                                                                                                                                • 2Re( ¯ ) + 1
                                                                                                                                                • 2 1 = ♣ ♣ ♣ 2 2 ⊗1

                                                                                                                                                    ⊗1 = 2

                                                                                                                                                    = ♣ ♣ ¯

                                                                                                                                                    Então ♣ + ¯ +1♣ . De maneira análoga, é fácil mostrar que ♣⊗ +1♣ 1 2 2 . Disso temos que

                                                                                                                                                    5.2. Decomposição de Cartan do Espaço Moduli ∏︀

                                                                                                                                                  (︁ )︁

                                                                                                                                                  Ú +1

                                                                                                                                                  2 2 ⎞

                                                                                                                                                    ♣ 2 ¯ + 1 2 (Ú 2 ⊗ 1) ¯

                                                                                                                                                    ♣ ♣ ♣ ♣ ⊗1 * ′ ∐︁ ̂︀

                                                                                                                                                    ( ) ( 2 2 ≤ ω) = Im 2 2 2

                                                                                                                                                    ⊗1 ⊗1

                                                                                                                                                    Ú ∏︀ ⎞ (︁ )︁ Ú ♣ +1 2 + ¯ ♣ + ♣ ⊗ + 1♣ 2 1 2 2 ¯ + (Ú 2

                                                                                                                                                    ⊗ 1) ¯ ∐︁ ̂︀ ♣ ♣ ♣ = Im 2 Ú + 2 2 1 2 2

                                                                                                                                                    ♣ ¯ + 1♣ ♣ (︃ )︃ 2 ♣ ♣ 2 2 (Ú + 1) ¯ + (Ú

                                                                                                                                                    ♣ ♣ ⊗ 1) ¯ = Im 2 2 2

                                                                                                                                                    

                                                                                                                                                  Ú

                                                                                                                                                    ♣ ¯ + 1♣ + ♣ ♣ ⊗1 *

                                                                                                                                                    = ( 2 ) 2

                                                                                                                                                    ( ω) ′ ′

                                                                                                                                                  • ⊗1 ′ ⊗1 *

                                                                                                                                                    como queríamos. Agora, escrevendo A Ú , = ( ) ( = ( ) 2 2 Ú, 2 2 ω) e A ( ω) ′ ′ ′ então A = A o que implica Ú , Ú, ω = ω. O mesmo procedimento se aplica para mostrar o outro caso.

                                                                                                                                                    Em resumo, qualquer ponto no espaço moduli ℳ é representado por um potencial de calibre (5.2.5) e (5.2.6) e para obter um conjunto de representantes, é suĄciente considerar ′ apenas Ú no intervalo 0 &lt; Ú ⊘ 1. Existe ainda alguma redundância, pois Ú = 1 especiĄca a conexão natural ω para qualquer ∈ H ∪ ¶∞♢. Para = ∞ isto Ąca claro por (5.2.6). No caso em que ∈ H e Ú = 1, (5.2.5) reduz-se a (︃ )︃ 2

                                                                                                                                                    )¯ (1 + ♣

                                                                                                                                                    Im 2 2 2 2 ♣ + ♣ ¯ + 1♣ 2 2 2 2 =

                                                                                                                                                    ♣ ♣ Mas ♣ ♣ +♣ ¯ +1♣ = (¯ ⊗ ¯ )( )+( ¯ +1)(¯ +1) = 1+♣ ♣ +♣ ♣ +♣ 2 2

                                                                                                                                                    ) então este é apenas o intanton BPST básico. Para completarmos essa (1 + ♣ ♣ )(1 + ♣ ♣ caracterização geométrica, precisamos fazer o cálculo da curvatura de (5.2.5) e (5.2.6).

                                                                                                                                                    Para isso, faremos uso do Teorema 3.2.1 e colocamos isso em um resultado

                                                                                                                                                    Teorema 5.2.1. Sejam Ú, 4 ∈ H ∪ ¶∞♢ e 0 &lt; Ú &lt; 1 Ąxados e considere a 1-forma A em H = com valores em Im(H

                                                                                                                                                    ∪ ¶∞♢ ≍ ∪ ¶∞♢) dada por (︃ )︃ 2 2 2 (1 + Ú + (Ú

                                                                                                                                                    ♣ ♣ ⊗ 1) ¯

                                                                                                                                                    A Ú, = Im 2 2 2

                                                                                                                                                  • Ú ♣ ♣ ¯ + 1♣

                                                                                                                                                    Então a intensidade de campo (curvatura) F do potencial de calibre A é 2 2 (︂ )︂ 2 2 2 2

                                                                                                                                                  2

                                                                                                                                                  Ú, Ú, 2 2 2 Ú + Ú + Ú + Ú

                                                                                                                                                    ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ♣ ⊗ 1

                                                                                                                                                  • ♣ + 2♣

                                                                                                                                                    F Ú, =

                                                                                                                                                    (5.2.7) 2 2 2 2 ¯

                                                                                                                                                  • Ú ) (♣ ♣ ♣ ¯ + 1♣ (︁ )︁ (1+Ú +(Ú
                                                                                                                                                  • 2 2 2 ♣ ⊗1) ¯

                                                                                                                                                      Demonstração. Escrevendo A = Im Ú, 2 +Ú +1 2 2 = Im( ( ) ), onde (1+Ú +(Ú 2 2 2 ♣ ♣ ¯ ♣

                                                                                                                                                      ♣ ♣ ⊗1) ¯ ( ) = . Temos que 2 2 2

                                                                                                                                                    • Ú
                                                                                                                                                    • 2 ♣ ¯ + 1♣ 2<
                                                                                                                                                    • (1 + Ú
                                                                                                                                                    • 2 2<
                                                                                                                                                    • Ú
                                                                                                                                                    • 2 ♣ &
                                                                                                                                                    • 1♣
                                                                                                                                                    • 2 ) 2<
                                                                                                                                                    • (1 + Ú
                                                                                                                                                    • 2 2

                                                                                                                                                      • Ú
                                                                                                                                                      • 2 ♣ &
                                                                                                                                                      • 1♣
                                                                                                                                                      • 2 ) 2<
                                                                                                                                                      • (Ú
                                                                                                                                                      • 2 ⊗ 1) 2<
                                                                                                                                                      • Ú
                                                                                                                                                      • 2 ♣ ¯ + 1♣ 2<
                                                                                                                                                      • Ú
                                                                                                                                                      • 2 ♣ &
                                                                                                                                                      • Ú
                                                                                                                                                      • 2 ♣ &
                                                                                                                                                      • 1♣
                                                                                                                                                      • 2 ¯ )︃ + (︃<
                                                                                                                                                      • 1♣
                                                                                                                                                      • 2 ¯ )︃<
                                                                                                                                                      • Ú
                                                                                                                                                      • 2 ♣ &
                                                                                                                                                      • Ú
                                                                                                                                                      • 2 ♣ &
                                                                                                                                                      • 1♣
                                                                                                                                                      • 2 ¯ + ¯ (︃ 1 + Ú 2<
                                                                                                                                                      • 1♣
                                                                                                                                                      • 2 )︃<
                                                                                                                                                      • ¯ (︃
                                                                                                                                                      • Ú
                                                                                                                                                      • 2 ♣ ¯ + 1♣ 2 )︃<
                                                                                                                                                      • Ð
                                                                                                                                                      • Ú
                                                                                                                                                      • 2 ♣ &
                                                                                                                                                      • 1♣
                                                                                                                                                      • 2 ) 2<
                                                                                                                                                      • Ú
                                                                                                                                                      • 2 ♣ ¯ + 1♣ 2

                                                                                                                                                          Chame Ξ = 1+Ú 2 2

                                                                                                                                                          ♣ 2 +Ú 2 ♣ ¯ +12 e ϒ = Ú 2 ⊗1

                                                                                                                                                          ♣ 2 +Ú 2 ♣ ¯ +12 então = Ξ ¯ + ¯ (Ξ) + ¯ (ϒ)

                                                                                                                                                          Calculemos (Ξ) e (ϒ) como segue (Ξ) = (Ξ) + 1 (Ξ) 1 + 2 (Ξ) 2 + 3 (Ξ) 3 onde

                                                                                                                                                          Ð (Ξ) Ð

                                                                                                                                                          = ⊗ (1 + Ú 2

                                                                                                                                                          ♣ 2 )

                                                                                                                                                          (♣ 2

                                                                                                                                                          (2( Ð Ð

                                                                                                                                                          ) + 2Ú 2 (♣ 2 Ð

                                                                                                                                                          )) Ð = ⊗

                                                                                                                                                          (1 + Ú 2 2

                                                                                                                                                          ) 2 (♣ 2

                                                                                                                                                          ) 2

                                                                                                                                                          2 Ð Ð

                                                                                                                                                          (1 + Ú 2 2

                                                                                                                                                          )(Ú 2 ⊗ 1)

                                                                                                                                                          (♣ 2

                                                                                                                                                          ) 2

                                                                                                                                                          ⊗ 1 ♣ 2

                                                                                                                                                          ♣ 2 2

                                                                                                                                                          Ú 2

                                                                                                                                                          ♣ 2

                                                                                                                                                          ( ) ( ) = (1 + Ú 2

                                                                                                                                                          ♣ 2 ) 2

                                                                                                                                                          (♣ 2

                                                                                                                                                          ) 2 ∧ ¯ )

                                                                                                                                                          )(Ú 2 ⊗ 1)

                                                                                                                                                          (♣ 2

                                                                                                                                                          (¯ ∧ ¯ )

                                                                                                                                                          )(Ú 2 ⊗ 1)

                                                                                                                                                          (♣ 2

                                                                                                                                                          ( ¯ ∧ ¯ )

                                                                                                                                                          (♣ 2

                                                                                                                                                          ) 2 ( ¯

                                                                                                                                                          ∧ ¯ )

                                                                                                                                                          Por outro lado, = (︃ 1 + Ú 2

                                                                                                                                                          ♣ 2 2

                                                                                                                                                          Ú 2

                                                                                                                                                          ⊗ 1 ♣ 2

                                                                                                                                                          = 1 + Ú 2 2

                                                                                                                                                          2 Ð Ð Logo

                                                                                                                                                        • Ú
                                                                                                                                                        • 2 ♣ ¯ + 1♣ 2

                                                                                                                                                          5.2. Decomposição de Cartan do Espaço Moduli ℳ

                                                                                                                                                            (Ξ) = (Ξ) + + (Ξ) (Ξ) (Ξ) 1 2

                                                                                                                                                          • 2
                                                                                                                                                          • 1 2 2 2 3 3 (1 + Ú )

                                                                                                                                                              ♣ 1 1 2 2 3 3 (2 + 2 + 2 + 2 )

                                                                                                                                                              = ⊗ 2 2 2 2

                                                                                                                                                            • Ú ) (♣ ♣ ♣ ¯ + 1♣
                                                                                                                                                            • 2 2 2 (1 + Ú )(Ú

                                                                                                                                                                ♣ ♣ ⊗ 1) 1 1 2 2 3 3 (2 + 2 + 2 + 2 )

                                                                                                                                                                ⊗ 2 2 2 2

                                                                                                                                                              • Ú ) (♣ ♣ ♣ ¯ + 1♣
                                                                                                                                                              • 2 2 2 (1 + Ú )

                                                                                                                                                                  ♣ ♣ ( ¯ + ¯ )

                                                                                                                                                                  = ⊗ 2 2 2 2

                                                                                                                                                                • Ú ) (♣ ♣ ♣ ¯ + 1♣
                                                                                                                                                                • 2 2 2 (1 + Ú )(Ú

                                                                                                                                                                    ♣ ♣ ⊗ 1) ( ¯ + ¯ )

                                                                                                                                                                    ⊗ 2 2 2 2

                                                                                                                                                                  • Ú )

                                                                                                                                                                    ♣ ¯ (♣ ♣ + 1♣ 2 2 2

                                                                                                                                                                    (1 + Ú ) ♣

                                                                                                                                                                    ( ¯ + ¯ ) = ⊗ 2 2 2 2

                                                                                                                                                                  • Ú ) (♣ ♣ ♣ ¯ + 1♣
                                                                                                                                                                  • 2 2 2 (1 + Ú )(Ú

                                                                                                                                                                      ♣ ♣ ⊗ 1) ( ¯ + ¯ )

                                                                                                                                                                      ⊗ 2 2 2 2

                                                                                                                                                                    • Ú ) (♣ ♣ ♣ ¯ + 1♣
                                                                                                                                                                    • 2 )

                                                                                                                                                                        = ⊗Ξ ( ¯ + ¯ ) ⊗ (Ξ ϒ)( ¯ + ¯ Fazendo o mesmo para ϒ obtemos 2 2 2

                                                                                                                                                                        (1 + Ú )(Ú ♣ ⊗ 1)

                                                                                                                                                                        ( ¯ + ¯ ) (ϒ) = ⊗ 2 2 2 2

                                                                                                                                                                      • Ú ) (♣ ♣ ♣ ¯ + 1♣
                                                                                                                                                                      • 2 2 (Ú

                                                                                                                                                                          ⊗ 1) ( ¯ + ¯ )

                                                                                                                                                                          ⊗ 2 2 2 2

                                                                                                                                                                        • Ú )

                                                                                                                                                                          ♣ ¯ (♣ ♣ + 1♣ 2

                                                                                                                                                                          ( ¯ + ¯ ) = ⊗(Ξ ϒ)( ¯ + ¯ ) ⊗ ϒ

                                                                                                                                                                          Multiplicando (Ξ) por ¯ e (ϒ) por ¯ obtemos 2 2 )

                                                                                                                                                                          ¯ (Ξ) = ⊗Ξ (♣ ♣ ¯ + ¯ ¯ ) ⊗ (Ξ ϒ)(¯ ¯ + ¯ ¯

                                                                                                                                                                          2 2 ¯ ¯ + ¯ ¯ + ¯ ¯ )

                                                                                                                                                                          (ϒ) = ⊗(Ξ ϒ)( ¯ ¯ ) ⊗ ϒ (♣ ♣ Logo 2 2

                                                                                                                                                                          ) = Ξ ¯ ⊗ Ξ (♣ ♣ ¯ + ¯ ¯ ) ⊗ (Ξ ϒ)(¯ ¯ + ¯ ¯ 2 2

                                                                                                                                                                          ¯ + ¯ ¯ + ¯ ¯ ) ⊗ (Ξ ϒ)( ¯ ¯ ) ⊗ ϒ (♣ ♣ DeĄnimos o centro e a escala de um instanton BPST em 4 ≍ = H ∪ ¶∞♢ de maneira análoga a que deĄnimos em H, é onde o máximo absoluto da densidade da ação de Yang-Mills se concentra, e a densidade da ação se encontra dentro de uma bola de

                                                                                                                                                                          é homeomorfo à bola aberta 5 de dimensão 5 menos a origem. Logo, podemos identiĄcar ℳ ⊗ ¶[ω]♢ com 5 ⊗ ¶0♢ e ver = 1 ⊗ Ú como a coordenada radial em ℳ. Então Ú = 1 preenche o ŞcentroŤ de ℳ com [ω] (ver Figura 5.1).

                                                                                                                                                                          Finalmente temos que ∧ + ( ) ( ) = (︂ Ξ ⊗ Ξ 2 2 ⊗ (Ξ ϒ)2Re(¯ ) ⊗ ϒ 2 2 )︂ ¯

                                                                                                                                                                          ) ≤ ω. Logo, todo ponto no espaço moduli ℳ exceto [ω] é representado de maneira única por um ponto (Ú, ) ∈ (0, 1) × H ∪ ¶∞♢. Agora, H ∪ ¶∞♢ é homeomorfo a 4 e (0, 1) × 4

                                                                                                                                                                          ¯ O Teorema 5.2.1 mostra que pontos distintos (Ú, ) em (0, 1) × H ∪ ¶∞♢ produzem conexões de calibre não equivalentes ( Ð Ú

                                                                                                                                                                          ♣ 2 (︂ 2 + ♣ 2

                                                                                                                                                                          F Ú, = Ú 2

                                                                                                                                                                          é real e ¯ é imaginário puro tem-se pelo Teorema 3.2.1

                                                                                                                                                                          ♣ 2 (︂ 2 + ♣ 2

                                                                                                                                                                          Ú 2

                                                                                                                                                                          ¯ Como

                                                                                                                                                                          ♣ 2 (︂ 2 + ♣ 2

                                                                                                                                                                          Ú 2

                                                                                                                                                                          =

                                                                                                                                                                          ) ∧ ( ¯ )

                                                                                                                                                                          ∧ = Ξ ¯ ⊗ Ξ 2 (♣ 2 ¯ + (¯ ¯ ) ∧ )

                                                                                                                                                                          ⊗ ϒ 2 ( ¯

                                                                                                                                                                          ♣ 2 ¯

                                                                                                                                                                          ⊗ (Ξ ϒ)( ¯ ) ∧ (¯ ) ⊗ ϒ 2

                                                                                                                                                                          ⊗ (Ξ ϒ)2Re(¯ ) ¯ ⊗ (Ξϒ)(¯ ) ∧ ( ¯ )

                                                                                                                                                                          ) = Ξ ¯ ⊗ Ξ 2 2 ¯ ⊗ Ξ 2 ) ∧ (¯ )

                                                                                                                                                                          ( ¯ ) ∧ ( ¯

                                                                                                                                                                          ⊗ (Ξ ϒ)(¯ ) ¯ ⊗ (Ξ ϒ)( ¯ ) ∧ (¯ ) ⊗ ϒ 2 2 ¯ ⊗ ϒ 2

                                                                                                                                                                          ⊗ (Ξ ϒ)(¯ ) ¯ ⊗ (Ξϒ)(¯ ) ∧ ( ¯ )

                                                                                                                                                                          ) ∧ ) = Ξ ¯ ⊗ Ξ 2 2 ¯ + Ξ 2 ) ∧ (¯ )

                                                                                                                                                                          ⊗ ϒ 2 (♣ 2 ¯ + ( ¯ ¯

                                                                                                                                                                          ⊗ (Ξ ϒ)(( ¯ ¯ ) ∧ + ( ¯ ¯ ) ∧ )

                                                                                                                                                                          ⊗ (Ξ ϒ)((¯ ¯ ) ∧ + (¯ ¯ ) ∧ )

                                                                                                                                                                        • Ú
                                                                                                                                                                        • 2 2 2<
                                                                                                                                                                        • Ú
                                                                                                                                                                        • 2 ⊗ 1 )︂<
                                                                                                                                                                        • Ú
                                                                                                                                                                        • 2<
                                                                                                                                                                        • 2♣
                                                                                                                                                                        • 2 (♣ 2<
                                                                                                                                                                        • Ú
                                                                                                                                                                        • 2 ♣ &
                                                                                                                                                                        • 1♣
                                                                                                                                                                        • 2 ) 2<
                                                                                                                                                                        • Ú
                                                                                                                                                                        • 2 2 2<
                                                                                                                                                                        • Ú
                                                                                                                                                                        • 2 ⊗ 1 )︂<
                                                                                                                                                                        • Ú
                                                                                                                                                                        • 2<
                                                                                                                                                                        • 2♣
                                                                                                                                                                        • 2 (♣ 2<
                                                                                                                                                                        • Ú
                                                                                                                                                                        • 2 ♣ &
                                                                                                                                                                        • 1♣
                                                                                                                                                                        • 2 ) 2<
                                                                                                                                                                        • Ú
                                                                                                                                                                        • 2 2 2<
                                                                                                                                                                        • Ú
                                                                                                                                                                        • 2 ⊗ 1 )︂<
                                                                                                                                                                        • Ú
                                                                                                                                                                        • 2<
                                                                                                                                                                        • 2♣
                                                                                                                                                                        • 2 (♣ 2<
                                                                                                                                                                        • Ú
                                                                                                                                                                        • 2 ♣ &
                                                                                                                                                                        • 1♣
                                                                                                                                                                        • 2 ) 2

                                                                                                                                                                          5.2. Decomposição de Cartan do Espaço Moduli ℳ Figura 5.1 Ű Esboço do espaço moduli de conexões ℳ.

                                                                                                                                                                            Fonte: Naber, 2010, pag. 375. raio e centro (em relação à de 4 induzida pela métrica Euclidiana em R 5 ). Note que

                                                                                                                                                                            é igual ao comprimento de arco do circulo máximo mais curto que liga à qualquer ponto da fronteira de (ver Figura 5.2). Para 4 denotamos por ˜ o ponto antípoda de e por ã : 4

                                                                                                                                                                            ⊃ H ≍ = R 4 a projeção estereográĄca a partir de .

                                                                                                                                                                          Figura 5.2 Ű O círculo representa a esfera

                                                                                                                                                                            4 ⊖ R 5 de centro . O arco em vermelho corresponde à bola mencionada no texto. As linhas em verde e vermelho representam os planos de dimensão 4 ortogonais à ˜ e . O ponto é o centro e é a escala do instanton em 4 . O parâmetro é igual à ( ), enquanto Ú é igual ao comprimento do segmento ^ com ^ = ã ˜ ( ). Fonte:

                                                                                                                                                                            Franchetti, 2016, pag. 10 O próximo resultado mostra como , e , Ú estão relacionados.

                                                                                                                                                                            4 Proposição 5.2.2. O centro e a escala de um instanton em estão relacionados

                                                                                                                                                                            com os parâmetros e Ú pelas seguintes relações

                                                                                                                                                                            = ã ( (5.2.8) ˜ 4 ( ) e Ú = ♣ã )♣

                                                                                                                                                                            onde é qualquer ponto em a uma distância de . Equivalentemente, (︃ )︃ Ú = tan (5.2.9)

                                                                                                                                                                            2 Þ

                                                                                                                                                                            

                                                                                                                                                                          Demonstração. No caso em que é o pólo sul = (0, 0, 0, 0, ,

                                                                                                                                                                            ⊗1) e 2 Þ =⇒ 2 temos que = 0 e Ú ⊘ 1. Agora, por (5.2.5) temos que (︃ )︃ ¯

                                                                                                                                                                            A Ú, = Im 2 2

                                                                                                                                                                          • Ú

                                                                                                                                                                            Neste caso e Ú coincidem com o centro e escala de um instanton em H. Como a projeção estereograĄca é uma transformação conforme (ver (2.1.32)) e a densidade da ação de Yang- Mills tr F ∧ *F é conformemente invariante pois depende do operador estrela de Hodge (ver (C.2.1) e Observação 4.1.1), a propriedade (5.2.8) de e seguem de suas projeções estereográĄcas. O resultado se generaliza para quaisquer valores de e pois a ação é invariante por (2) (Proposição 5.1.1). A equação (5.2.9) é imediata da Figura 5.2. 4 Um aspecto elegante da Figura 5.2 é que o espaço base do Ąbrado de Hopf em questão aparece naturalmente como um bordo do espaço moduli ℳ numa certa Şcompac- 5

                                                                                                                                                                            . Além disso, estes pontos do bordo possuem tiĄcaçãoŤ de ℳ, a saber, o disco fechado uma interpretação física relativamente simples. Vimos que as intensidades de campo cor- ⎡ ∏︀ ⎞ ⎤

                                                                                                                                                                            √ ⨄︀ ∐︁ ̂︀ ⋀︀ Ú respondentes a qualquer conexão da classe tornam-se cada vez mais

                                                                                                                                                                            √ ≤ ω

                                                                                                                                                                            1/ Ú concentrados em torno 0 na medida que Ú ⊃ 0, ou seja, na medida que ⊃ 1 e aproxima- 5 se do bordo do espaço moduli ao longo do raio de contendo 0 (o pólo sul). Este ponto no bordo pode ser intuitivamente identiĄcado com uma conexão (ou campo de calibre) concentrado inteiramente no ponto 0.

                                                                                                                                                                          6 Conclusão

                                                                                                                                                                            7 4 O espaço moduli ℳ das conexões anti-auto-duais do Ąbrado de Hopf (2) ⊃ ⊃ é um objeto um tanto abstrato a princípio, entretanto apresentamos neste trabalho uma Ągura relativamente simples deste espaço. IdentiĄcamos ℳ com a bola aberta uni- 5 5 tária em R . A classe de equivalência [ω] da conexão natural Ąca situada no centro.

                                                                                                                                                                            Movendo radialmente de dentro para fora a partir de [ω] encontra-se classes de equiva- lências de conexões com intensidades de campos que se concentram cada vez mais na 4 vizinhança de um único ponto em (Figura 4.1). Adjuntando estes pontos no Ąnal dos 5 segmentos radiais nos dá o disco fechado de dimensão 5 o qual enxergamos como uma 4 compactiĄcação do espaço moduli no qual a fronteira é uma cópia do espaço base .

                                                                                                                                                                            Simon Donaldson generaliza esta Ągura para provar um teorema (Apêndice D) acerca de variedades diferenciáveis de dimensão 4. Os detalhes vão além do escopo deste trabalho e para estudos posteriores indicamos

                                                                                                                                                                            

                                                                                                                                                                          APÊNDICE A Ű Números Quatérnios

                                                                                                                                                                            2 4 Assim como em R , o espaço euclidiano R admite uma estrutura multiplicativa que 3 4 permite esclarecer as topologias de e . 4 Introduzimos, inicialmente, esta estrutura multiplicativa em R de uma maneira na- tural. Consideremos o conjunto de matrizes complexas 2 × 2 ⨄︁ ⋀︁ ∏︁ ∏︀ ⎞ ⎫ 4 ∐︁ ̂︀ Ð Ñ =

                                                                                                                                                                            ℛ ⎩ ⋂︁ ; Ð, Ñ ∈ C 4Ñ Ð é fechado em relação à adição de matrizes e multiplicação por escalar

                                                                                                                                                                            Temos que ℛ 1 2 3

                                                                                                                                                                          • + real, portanto é visto como espaço vetorial real. Escrevendo Ð = e Ñ = temos que ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞
                                                                                                                                                                          • 1 2 3 ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀

                                                                                                                                                                              Ð Ñ

                                                                                                                                                                            • + =
                                                                                                                                                                            • 2 3 1<
                                                                                                                                                                            • Ñ Ð ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ 1 0
                                                                                                                                                                            • 1 2

                                                                                                                                                                                1 3

                                                                                                                                                                              • ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀
                                                                                                                                                                              • = + 0 1

                                                                                                                                                                                ⊗1 0 0 ⊗ 4 . Como a última soma é ∏︀ ⎞ logo as quatro matrizes indicadas na última igualdade geram ℛ ∐︁ ̂︀ 0 0 1 2 3 se, e somente se, = = = = 0, então essas matrizes formam uma base

                                                                                                                                                                                0 0 4 4 = 4. Introduzimos a seguinte notação de ℛ . Em particular, dim ℛ ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀ 1 0

                                                                                                                                                                                1

                                                                                                                                                                                1 = , i = , j = , k =

                                                                                                                                                                                0 1 ⊗1 0 4 0 ⊗ 4 4 em R dado por

                                                                                                                                                                                A base ¶1, i, j, k♢ de ℛ determina um isomorĄsmo natural de ℛ 1 2 3 1 2 3 4

                                                                                                                                                                                1 + i + j + k , , ,

                                                                                                                                                                                aĄrmando ↦⊃ (

                                                                                                                                                                                ). DeĄnimos um produto interno em ℛ 1 2 3

                                                                                                                                                                                1 + i + j + k é dada

                                                                                                                                                                                que a base ¶1, i, j, k♢ é ortonormal, então a norma de = 2 2 1 2 2 2 3 2 = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) , assim o isomorĄsmo natural é, na verdade, uma por ‖ ∏︀ ⎞ 2 ∐︁ ̂︀ Ð Ñ 4

                                                                                                                                                                                é o determinante da matriz é, na verdade, isometria. Note que ‖ ‖ . Assim, ℛ 4 4Ñ Ð

                                                                                                                                                                                R com uma topologia que faz com que o isomorĄsmo natural . De fato, munimos ℛ 4 4 se, torne-se um homeomorĄsmo, deĄnindo que um subconjunto de ℛ é aberto em ℛ 4 e somente se, sua imagem pelo isomorĄsmo natural é aberto em R . 4

                                                                                                                                                                                é fechado também em relação à multiplicação por matrizes Além disso, temos que ℛ pois

                                                                                                                                                                                ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ Ð Ñ Ò Ó ÐÒ ÐÓ + ÑÒ ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀ÑÓ

                                                                                                                                                                                = ⊗Ñ ÐÓ Ò ⊗(Ð Ó + Ñ Ò) Ð Ò ÑÓ ∏︀ ⎞

                                                                                                                                                                                ÐÒ ÐÓ + ÑÒ ∐︁ ̂︀ÑÓ 4

                                                                                                                                                                                = ∈ ℛ 4 ⊗(ÐÓ + ÑÒ) ÐÒ ÑÓ contém o inverso multiplicativo de cada elemento não nulo pois

                                                                                                                                                                                E mais ainda, ℛ ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ ⊗1

                                                                                                                                                                                Ð Ñ Ð

                                                                                                                                                                                1 ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀Ñ 4 =

                                                                                                                                                                                (A.0.1) 2 2 ∈ ℛ

                                                                                                                                                                                Ñ Ð

                                                                                                                                                                                ♣Ð♣ + ♣Ñ4Ñ Ð forma um grupo não-Abeliano em relação à multiplicação de matrizes. Sob essas Logo ℛ condições, é fácil veriĄcar que 2 2 2

                                                                                                                                                                                i

                                                                                                                                                                                = j = k = ⊗1

                                                                                                                                                                                (A.0.2)

                                                                                                                                                                                ij =

                                                                                                                                                                                ⊗ji = , jk = ⊗ kj = i, ki = ⊗ik = j e 1 é a identidade multiplicativa. Essas relações determinam completamente a multi- 4 . plicação em ℛ

                                                                                                                                                                                Construímos dessa maneira uma representação concreta da álgebra dos quatér-

                                                                                                                                                                                

                                                                                                                                                                              nios H, deĄnido mais comumente de maneira abstrata como um espaço vetorial real

                                                                                                                                                                                4-dimensional no qual é deĄnida uma multiplicação ( , ) ↦⊃ satisfazendo as seguintes leis de associatividade e distributividade para todo , , ∈ H e todo ∈ R.

                                                                                                                                                                                ( ) = ( ) ( + ) = +

                                                                                                                                                                                ( + ) = + ( ) = ( ) = ( ) no qual existe uma base canônica ¶1, i, j, k♢ satisfazendo (2) e 1 = 1 = para todo

                                                                                                                                                                                ∈ H. Desse modo H pode ser visto da maneira abstrata apresentada acima, ou como 4 4 , ou ainda, como o espaço vetorial R munido da estrutura multiplicativa o conjunto ℛ

                                                                                                                                                                                (A.0.3) e aplicando o isomorĄsmo natural.

                                                                                                                                                                                Apresentamos, agora, algumas propriedades algébricas das quais faremos uso cons- tante. Primeiro como 1 é a identidade multiplicativa podemos escrever um quatérnio, 1 sem perda de generalidade, como = i + j + k. A parte real de é 1

                                                                                                                                                                              • 2
                                                                                                                                                                              • 2 3 3 Re( ) = e a parte imaginária é Im( ) = i + j + k. Quatérnios cuja parte imaginária é zero são chamados quatérnios reais e o conjunto de todos estes é isomorfo 1 2 3 1 2 3

                                                                                                                                                                                  i + j + k; , ,

                                                                                                                                                                                  ∈ R♢ é o conjunto dos quatérnios imaginários a R. ImH = ¶ 1 2 3

                                                                                                                                                                                  i j k (caso seja visto

                                                                                                                                                                                  puros. O conjugado de é o quatérnio = como matriz em ℛ 4 , é matriz conjugada transposta de ). O produto de dois quatérnio

                                                                                                                                                                                  = + 1

                                                                                                                                                                                  No caso em que , ∈ ImH tem-se que: (a) se , ∈ Im H então = (b) , ∈ Im H então = 2 Im( ) Se ∈ H ⊗ ¶0♢ então (︃

                                                                                                                                                                                  é naturalmente isomorfa à álgebra usual dos números complexos C. Quando ∈ H e ♣ ♣ = 1 chamamos um quatérnio unitário e o conjunto de todos estes elementos é fechado em relação à multiplicação (Propriedade # 6 acima) e a inversão (♣ ♣ = 1 implica

                                                                                                                                                                                  tiplicação e inversão, ou seja, é uma subálgebra de H. Além disso, i 2 = ⊗1, e portanto

                                                                                                                                                                                  i é um subespaço linear de H também fechado para operação de mul-

                                                                                                                                                                                  (A.0.4) com isso (H⊗¶0♢, ≤) forma um grupo. O subconjunto de H que contém todos os elementos da forma + 1

                                                                                                                                                                                  = ♣ 2

                                                                                                                                                                                  = 1. Logo todo elemento não nulo de H possui um inverso multiplicativo deĄnido por ⊗1

                                                                                                                                                                                  = 1 da mesma forma (︁ 2 )︁

                                                                                                                                                                                  ♣ 2 2

                                                                                                                                                                                  ♣ 2 = ♣

                                                                                                                                                                                  ♣ 2 )︃ =

                                                                                                                                                                                  ∈ H e , ∈ R valem: 1. + = + ; 2. ( ) = ; 3. ♣ ♣ = ♣ ♣; 4. ♣ ♣ = ♣ ♣♣ ♣; 5. = ; 6. ♣ ♣ = ♣ ♣♣ ♣; 7. 2Re( ¯ ) = 2Re( ¯ ); 8. Im( ¯ ) = ⊗Im( ¯ ).

                                                                                                                                                                                  i + 2 j + 3 k e = + 1 i +

                                                                                                                                                                                2

                                                                                                                                                                                j + 3 k é dado por

                                                                                                                                                                                   ,

                                                                                                                                                                                  A seguir registramos algumas propriedades que foram usadas no texto. Para quaisquer

                                                                                                                                                                                  ) 2 + ( 1 ) 2 + ( 2 ) 2 + ( 3 ) 2 ) 1/2 temos que = = ♣ 2 .

                                                                                                                                                                                  (A.0.3) Em particular vemos que = = ( ) 2 + ( 1 ) 2 + ( 2 ) 2 + ( 3 ) 2 . DeĄnindo o módulo do quatérnio como sendo ♣ ♣ = ((

                                                                                                                                                                                  ⊗ 2 1 ]k

                                                                                                                                                                                  ]j+ [ 3 + 3 + 1 2

                                                                                                                                                                                  [ 2 + 2 + 3 1 1 3

                                                                                                                                                                                  ⊗ 3 2 ]i+

                                                                                                                                                                                  ]+ [ 1 + 1 + 2 3

                                                                                                                                                                                  =[ 1 1 2 2 3 3

                                                                                                                                                                                  ⊗1 ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 2 ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                                                                                                                                                                  4 este grupo de quatérnios um subgrupo dos quatérnios não nulos. Mostremos em ℛ

                                                                                                                                                                                  

                                                                                                                                                                                unitários. Como comentamos anteriormente o módulo de um quatérnio é o determinante

                                                                                                                                                                                4

                                                                                                                                                                                  , logo todos elementos possuem determinante 1. Por (A.0.1) qualquer da matriz em ℛ 4 ⊗1 com determinante 1 possui um inverso igual a transposta do conjugado ,

                                                                                                                                                                                  ∈ ℛ ou seja, unitário. Denotamos por (2) o conjunto de todas as matrizes complexas uni- tárias 2 × 2 com determinante igual a 1, este grupo é chamado grupo especial unitário de ordem 2. 4 Lema A.0.1. (2) .

                                                                                                                                                                                  ⊖ ℛ ∏︀ ⎞ ∐︁ ̂︀ Ð Ñ

                                                                                                                                                                                  Demonstração. Seja =

                                                                                                                                                                                  ∈ (2). Temos que det = 1 então ÐÓ ÑÒ = 1 n Ò Ó enquanto ¯ = I diz que ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀ 1 0 Ð Ñ Ð ¯ ¯Ò Ð Ð ¯ + Ñ ¯ Ñ Ð ¯Ò + ѯÓ

                                                                                                                                                                                  = = ¯ 0 1 Ò Ó Ñ ¯ Ó ÐÒ ¯ + ¯ ÑÓ Ò ¯Ò + Ó¯Ó

                                                                                                                                                                                  Logo

                                                                                                                                                                                  Ð

                                                                                                                                                                                  ¯Ò = ⊗Ñ¯Ó =⇒ ÐÒÒ) = (⊗ÑÒÓ =⇒ Ð(1 ⊗ Ó¯Ó) = (1 ⊗ ÐÓÓ =⇒ Ð ÐÓ¯Ó = ¯Ó ÐÓ¯Ó =⇒ Ð = ¯Ó =⇒ Ó = ¯Ð quanto a Ò temos que

                                                                                                                                                                                  ÐÒ ¯

                                                                                                                                                                                  = ⊗ ¯ÑÓ =⇒ (ЯÐ)Ò = ⊗ ¯Ñ(ÐÓ) =⇒ (1 ⊗ ¯ÑÑ)Ò = ⊗ ¯Ñ(1 + ÑÒ) =⇒ Ò ⊗ ¯ÑÑÒ = ⊗ ¯Ñ ⊗ ¯ÑÑÒ 4 =⇒ Ò = ⊗ ¯Ñ .

                                                                                                                                                                                  Isto mostra que ∈ ℛ 4 estão todos em (2). O Lema A.0.1 Vimos então que os quatérnios unitários em ℛ 4 e possui implica que qualquer elemento de (2) é um quatérnio unitário, pois está em ℛ 4

                                                                                                                                                                                  é exatamente (2). Com determinante 1. Assim, o grupo dos quatérnios unitários em ℛ isso, enunciamos o seguinte teorema caracterizando o subespaço (2). 3 4 Teorema A.0.1. A esfera é homeomorfa ao subespaço (2) de . 4 4 3

                                                                                                                                                                                  Demonstração. O homeomorĄsmo natural de R

                                                                                                                                                                                  leva em um subespaço de 4 3 sobre ℛ homeomorfo a . Como o homeomorĄsmo preserva distâncias, e consequentemente a ℛ 4 norma de qualquer vetor em R , então esta imagem consiste precisamente nos quatérnios 4

                                                                                                                                                                                  é unitários e nós acabamos de mostrar que o grupo dos quatérnios unitarios em ℛ (2).

                                                                                                                                                                                  

                                                                                                                                                                                APÊNDICE B Ű Mais sobre Física Quântica

                                                                                                                                                                                e Campo de Matéria

                                                                                                                                                                                B.1 Motivação Física

                                                                                                                                                                                  Em física o espaço base para os Ąbrados estudados é Şespaço-tempoŤ. Ignorando efeitos gravitacionais isto signiĄca Ş espaço -tempo de MinkowskiŤ, onde cada evento no histórico de um nêutron (worldline) é representado por quatro números ( , , , ) especiĄcando seu lugar no espaço ( , , ) e o tempo no qual ocupa este lugar. Como variedade diferenciável 4 isto é apenas R , entretanto o espaço de Minkowski não pode ser identiĄcado inteiramente 4 com R , pois a relação entre eventos físicos são expressos em termos de de um certo 1 2 1 2 1 2 1 2 4 produto interno ( ) ao invés do produto interno usual de R . + +

                                                                                                                                                                                  ⊗ Esta diferença é importante uma vez que nossa discussão da seção 2 do capítulo 4 sobre os campos de Yang-Mills dependem do Hodge dual e estes, por sua vez, foi deĄnido em 4 termos da estrutura Riemmaniana de R . Infelizmente, sabe-se muito pouco acerca de campos de Yang-mills em espaço de Minkowski, e mais, os objetos de interesse da teoria de física quântica (caminhos integrais de Feymann) são extremamente difíceis de fazerem qualquer sentido neste contexto. O sinal de menos no produto interno de Minkowski causa problemas. Os físicos para contornarem esse problema mudam o sinal introduzindo a coordenada á = i chamada rotação de Wick e transforma o espaço de Minkowski em 4 R através 1 2

                                                                                                                                                                                  ( ) = ( + á á ) + + 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2

                                                                                                                                                                                • 2

                                                                                                                                                                                  O problema é saber se esta mudança preserva ou não os conceitos físicos, para maiores detalhes indicamos Sob o ponto de vista matemático, esta mudança permite a existência de conexões anti-auto-duais e a compreensão do espaço moduli que nos permite encontrar várias propriedades topológicas. Com isso, vemos que vale a pena trabalhar 4 com campos de Yang-Mills sobre R e os campos cuja ação é Ąnita são particularmente desejáveis e a discussão feita no capítulo 4 nos leva a focar nas conexões sobre os (1)- 4 Ąbrados sobre . O que mostramos neste trabalho é como é feita a modelagem matemática desses cam- pos através de conexões em Ąbrados principais. Mas precisamos esclarer como as partículas carregadas e núcleons aparecem neste estudo.

                                                                                                                                                                                  Consideramos , novamente, a Ągura clássica de uma partícula carregada movendo-se através de uma região no espaço permeada com um campo eletromagnético. A carga é descrita por suas funções de onde å (uma função de valores complexos de , , e ) obtidas como soluções da equação de Schröedinger. O campo no qual a partícula se movi- menta entra na equação de Schröedinger através de suas funções escalares e vetoriais de potencial. Se estas existem numa região de interesse, então resolve-se a equação dife- rencial e inicia-se o processo de descobrir o que a solução å : ⊃ C signiĄca Ąsicamente. Na situação da partícula com spin isotópico associada com um campo de Yang-Mills, as ∏︀ ⎞ 1 ∐︁ ̂︀ å funções de onda possuem duas componentes complexas de modo que as Ąbras são 2 2

                                                                                                                                                                                  å

                                                                                                                                                                                  cópias de C e o efeito de uma transformação é representada por uma ação de (2) sobre 2 C (equivalentemente, pode-se considerar a função de onda com valores em H e a ação sendo a de (1)). Buscamos então o seguinte modelo: Uma partícula possui uma estru- tura de estado interno, os estados de cada são representados como elementos de algum grupo de Lie. A função de onda da partícula assume valores em algum espaço vetorial .

                                                                                                                                                                                  As partículas sofrem os efeitos de um campo de calibre representado por uma conexão de um -Ąbrado principal. A conexão descreve (pelo Teorema 2.4.1) a evolução do estado interno da partícula. A resposta da função de onda em cada ponto a uma transformação decalibre será dada pela ação à esquerda (representação) de sobre . e esta ação à esquerda de sobre determinam um ŞĄbrado vetorial associadoŤ obtido substituindo as -Ąbras do Ąbrado principal por cópias de . As seçõess transversais deste Ąbrado rer- pesentam as funções de onda locais da partícula que sofre os efeitos do campo de calibre. Finalmente, surge a partir da conexão no Ąbrado principal que representa o campo de calibre um processo de diferenciação invariante para estas funções de onda. Em termos da derivada é possível postular equações diferenciais (equações de campo) que descrevem a resposta quantitativa da partícula ao campo de calibre.

                                                                                                                                                                                  Na próxima seção formalizaremos esta construção matematicamente.

                                                                                                                                                                                  B.2 Fibrados Associados e Campos de Matéria

                                                                                                                                                                                  As provas das aĄrmações nesta seção encontram-se nas duas últimas seções do Capítulo 6 de e não serão feitas aqui. Seja ˓ um -Ąbrado principal suave sobre com ação à direita à :

                                                                                                                                                                                  × , à( , ) = . Seja uma variedade diferenciável sobre a qual age suavemente pela esquerda (a imagem de ( , Ý) ∈ × por esta ação é Ý). Então ⊗1

                                                                                                                                                                                  (( , Ý), ) ↦⊃ ( , Ý) ≤ = ( , Ý) é uma ação à direita de sobre × . Denotamos por × a órbita de × por esta ação. Mais precisamente, deĄnimos uma relação 1 , Ý , Ý ) se, e somente se, 1 2 2 de equivalência ≍ em × da seguinte forma: ( ) ≍ ( 2 , Ý 2 ) = ( 1 , Ý 1 existe um tal que ( ) ≤ . A classa de equivalência contendo ( , Ý) é

                                                                                                                                                                                  ⊗1 ≤Ý); ♢. Como conjunto ×

                                                                                                                                                                                  [ , Ý] = ¶( , = ¶[ , Ý], ( , Ý) ∈ × ♢ e munimos × com a topologia quociente determinada por : × × , ( , Ý) = [ , Ý].

                                                                                                                                                                                  é contínua e,

                                                                                                                                                                                  ⊗1 ⊗1

                                                                                                                                                                                  ( ). Se ( , Ψ) para todo , ( ) = ¶[ , Ý]; Ý ♢, onde é qualquer ponto em ⊗1

                                                                                                                                                                                  ( ) é a seção transversal é qualquer trivialização local de ˓ e :

                                                                                                                                                                                  ⊗1 associada, então a aplicação ˜ ( ) deĄnida por ˜ Φ( , Ý) = [ ( ), Ý] é um

                                                                                                                                                                                  Φ : × ⊃ ⊗1 homeomorĄsmo cuja inversa é dada por ˜

                                                                                                                                                                                  Ψ : ( ) ⊃ × , ˜Ψ([ ( ), Ý]) = ( , Ý). Se ( , Ψ ) e ( , Ψ ) são duas trivializações com :

                                                                                                                                                                                  ∩ ̸= ∅ e é a função ⊗1 de transição correspondente, então ˜ Ψ Ψ : (

                                                                                                                                                                                  ◇ ˜ ∩ ) × ⊃ ( ) × é dada por

                                                                                                                                                                                  ⊗1 ˜

                                                                                                                                                                                  Ψ Ψ ( , Ý) = ( , ◇ ˜

                                                                                                                                                                                  ( ) ≤ Ý) e portanto é um difeomorĄsmo. Segue que existe uma única ⊗1 onde cada ˜ estrutura diferenciável em × Ψ : ( ) ⊃ × é um difeomorĄsmo

                                                                                                                                                                                  é diferenciável. Chamamos e que, em relação a esta estrutura, : × (B.2.1)

                                                                                                                                                                                  : × ⊃ . o Ąbrado associado a ˓

                                                                                                                                                                                  O caso especial de maior interesse aparece da seguinte forma: Seja = um espaço vetorial de dimensão Ąnita e : ( ) uma representação suave. Então de surge uma ação suave à esquerda de sobre (( , ) ↦⊃ = ( ( ))( )). O Ąbrado associado com ˓ por esta ação é denotado por

                                                                                                                                                                                  (B.2.2) : × ⊃ e é chamado Ąbrado vetorial associado com ˓ pela representação . Neste

                                                                                                                                                                                  ⊗1 ⊗1

                                                                                                                                                                                  ( ), é uma caso, cada Ąbra ( ) = ¶[ , ]; ∈ ♢, onde é um ponto qulquer de cópia de e admite uma estrutura natural de espaço vetorial: 1 [ , ] + [ , ] = [ , ] + 1 2 2 1 1 2 2 para todos , , 1 2 1 2 ∈ R e ∈ . Registramos alguns exemplos.

                                                                                                                                                                                  ⊃ um (1)-Ąbrado principal arbitrário e = C (como um

                                                                                                                                                                                  1. Seja (1) ˓ espaço vetorial real bidimencional). Se : (1) ⊃ (C) é uma representação qualquer, C então o Ąbrado vetorial associado : × ⊃ possui Ąbras que são cópias de C e é chamado de Ąbrado em retas complexas sobre . Uma escolha para : (1) ⊃ (C) i

                                                                                                                                                                                  ,

                                                                                                                                                                                  é obtida tomando ( ( ))( ) = para cada (1) e ∈ C (se = 0 ⊘ ⊘ 2Þ, então ( ) é uma rotação por ). Mais geralmente, pode-se deĄnir, para cada inteiro , e portanto um Ąbrado vetorial uma representação : (C) por ( ( ))( ) = associado sobre .

                                                                                                                                                                                  2. Seja (1) ˓ um (1)-Ąbrado principal arbitrário e = H (como um espaço vetorial real quadridimencional). Se : (1) ⊃ (H) é uma representação H

                                                                                                                                                                                  ⊃ possui Ąbras que são qualquer, então o Ąbrado vetorial associado : × cópias de H e é chamado de Ąbrado em retas complexas sobre . Por exemplo, e portanto um

                                                                                                                                                                                  : (1) ⊃ (H) é obtida tomando ( ( ))( ) = ou ( ( ))( ) = Ąbrado vetorial associado sobre .

                                                                                                                                                                                  3. Sejam um grupo de Lie de matrizes qualquer e ˓ um -Ąbrado principal arbitrário. A representação adjunta : (g) associa cada à transformação não singular na álgebra de Lie g deĄnida por

                                                                                                                                                                                  ⊗1 ( ) = (B.2.3)

                                                                                                                                                                                  ⊃ por é chamado Ąbrado adjunto de O Ąbrado vetorial associado com ˓

                                                                                                                                                                                   ˓

                                                                                                                                                                                  ⊃ e denotado por g (B.2.4)

                                                                                                                                                                                  = × As Ąbras de são cópias da álgebra de Lie g de .

                                                                                                                                                                                  ⊃ um -Ąbrado principal arbitrário, uma variedade dife- Agora, seja ˓ reniável qualquer sobre o qual age e : × ⊃ o Ąbrado associado. Se é

                                                                                                                                                                                  ⊗1 um subconjunto aberto em , então uma aplicação suave ã : ( ) ⊃ é dita ser

                                                                                                                                                                                  equivariante se

                                                                                                                                                                                  ⊗1

                                                                                                                                                                                  ã

                                                                                                                                                                                  (B.2.5) ( ) = ã( )

                                                                                                                                                                                  ⊗1 ⊗1 ã ( ) por para todo ∈ ( ) e . Dado uma aplicação desta deĄni-se : ã ( ) = [ , ã( )] (B.2.6)

                                                                                                                                                                                  ⊗1 ( ). Então ã ã = . Reciproca- onde é qualquer ponto de é suave e satisfaz ◇ à

                                                                                                                                                                                  ⊗1 (chamada

                                                                                                                                                                                  ◇ à = mente, considere : ⊃ ( ) úma aplicação suave tal que ⊗1

                                                                                                                                                                                  seção transversal do Ąbrado

                                                                                                                                                                                  ⊃ ). DeĄna ã : × : ( ) ⊃ da seguinte

                                                                                                                                                                                  ⊗1 ⊗1

                                                                                                                                                                                  ( ) e existe um forma: Seja ∈ ( ). Então ( ) = está em logo ( ) ∈ único elemento ã

                                                                                                                                                                                  ( ) ∈ tal que ( ) = [ , ã ( )] (B.2.7)

                                                                                                                                                                                  Então ã é uma aplicação suave equivariante. Além disso, esta correspondência entre ⊗1

                                                                                                                                                                                  ⊗1 ( ) do aplicações equivariantes ã : ( ) ⊃ e seções transversais :

                                                                                                                                                                                  Ąbrado associado é biunívoca. Isto é aplicado, em particular, para o caso especial de um Ąbrado vetorial : × ⊃ associado a ˓ por alguma representação : ( ).

                                                                                                                                                                                  Sejam ˓ um -Ąbrado principal, um espaço vetorial e : ( ) uma representação. Uma aplicação equivariante com valores em ã : ⊃ em é ⊃ . Se = C, então ã é chamada campo de matéria (de tipo ) em ˓ 2

                                                                                                                                                                                  , ã é chamada de uma função de chamada de campo escalar complexo. Se = C

                                                                                                                                                                                  onda de duas componentes. Se

                                                                                                                                                                                  = g e = é a representação adjunta, então ã é chamada de campo de Higgs. Em particular, um campo de matéria ã é uma 0-forma em e portanto possui derivada exterior ã. Assumindo agora que ˓ possui deĄnida uma forma de conexão ω

                                                                                                                                                                                  ω

                                                                                                                                                                                  , deĄnimos a derivada exterior covariante ã de ã fazendo ã agir somente nas ( ), partes horizontais: Para cada e v ω

                                                                                                                                                                                  ( ã ) (v) = ( ã) (v ) (B.2.8) Esta é uma 1-forma em e satisfaz ω ω

                                                                                                                                                                                • ⊗1

                                                                                                                                                                                  à ( ã ) = ã (B.2.9)

                                                                                                                                                                                  ≤ para cada . Estas são as derivadas que aparecem nas equações de campo que descrevem a resposta quantitativa de uma partícula ao campo de calibre. Uma fórmula computacional análoga à Equação Estrutural de Cartan para curvatura Ω (que a deivada exterior covariante de ω) é obtida da seguinte maneira: Para qualquer ∈ g e ∈ deĄnimos ∈ por ⧹︃ = ( (exp( ))( )) ⧹︃ (B.2.10) ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                                                                                                                                                                  ≤ = (exp( ) ≤ ) =0 =0

                                                                                                                                                                                  

                                                                                                                                                                                Observação B.2.1. Ressaltamos dois casos especiais imediatamente. Se é um grupo

                                                                                                                                                                                de matrizes

                                                                                                                                                                                  × (com entradas em F = R, C ou H), = F e é a representação

                                                                                                                                                                                  natural de em

                                                                                                                                                                                  (multiplicação de matrizes), então, identiĄcando g com uma álgebra

                                                                                                                                                                                  de matrizes,

                                                                                                                                                                                  ≤ = (multiplicação de matrizes). Por outro lado, se = g e = ,

                                                                                                                                                                                  então, para todos , ∈ g, = [ , ].

                                                                                                                                                                                  Agora, se ã é uma 0-forma em com valores em e ω uma 1-forma em com valores em g podemos deĄnir uma 1-forma em por (v) = ω (B.2.11)

                                                                                                                                                                                  ≤ ã( ) (ω ã)

                                                                                                                                                                                  ( ). Então para cada e v ω

                                                                                                                                                                                  ã

                                                                                                                                                                                  (B.2.12) = ã + ω ã

                                                                                                                                                                                  Concluímos esta seção dando dois exemplos concretos em coordenadas locais que comple- mentam a discussão feita na seção anterior.

                                                                                                                                                                                  1. Seja (1) ˓ um Ąbrado principal com conexão ω e seja = C (visto como espaço vetorial real). Para cada inteiro deĄna : (1) ⊃ (C) como sendo a representação ( )( ) = . Denotamos ã = ã( 1, . . . , ) as coordenadas locais do pullback por alguma seção transversal de um campo de matéria. Analogamente, o potencial de calibre será escrito localmente como 1 1 Ð 1 Ð

                                                                                                                                                                                  A , . . . , , . . . , , . . . ,

                                                                                                                                                                                  = A( Ð ( ) Ð ( )

                                                                                                                                                                                  ω

                                                                                                                                                                                  A expressão em coordenadas locais correspondente para o pullback de ã é dado por ( ã ã ) = ( ) (B.2.13) Ð Ð Ð Ð α Ð Ð

                                                                                                                                                                                • i onde Ð = .
                                                                                                                                                                                • 2 . ⊃ um Ąbrado principal com conexão ω e considere = C

                                                                                                                                                                                  2. Seja (2) ˓⊃

                                                                                                                                                                                    ∏︀ ⎞ ∐︁ ̂︀ 1 Para cada inteiro considere a representação ( ) = ∐︁ ̂︀ ∏︀ ⎞ 1 : (1) ⊃ (C), dada por 2 2 . Escrevendo ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ 1 1 1 ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀ ã ã ( , . . . , ) ã = = 2 2 1 2 ã ã ( , . . . , ) para as coordenadas locais do pullback por alguma seção transversal de um campo de matéria e 1 1 Ð 1 Ð

                                                                                                                                                                                    A Ð Ð Ð ( , . . . , ) = A ( , . . . , ) ( , . . . , )

                                                                                                                                                                                    = = ⊗iÐ são antissimétricas e de traço livre, enquanto para o potencial de calibre local (onde Ð são Hermitianas e de traço livre) temos que ℬ ∏︀ ∏︀ ⎞ ∏︀ ⎞ ⎞ ∏︀ ⎞ 1 1 1

                                                                                                                                                                                    

                                                                                                                                                                                  ã ã ã

                                                                                                                                                                                  Ð Ð ∐︁ ∐︁ ̂︀ ∐︁ ̂︀ ̂︀ ∐︁ ̂︀ Ð Ð = ( Ð Ð ) (B.2.14) + 2 2i 2

                                                                                                                                                                                  ã ã ã

                                                                                                                                                                                  ω para a expressão local correspondente do pullback de ã . i

                                                                                                                                                                                    ã temos

                                                                                                                                                                                    Do Exemplo # 2 observamos que se houver uma mudança de fase ã que i ( Ð Ð Ð Ð Ð (Ω)))( ) +

                                                                                                                                                                                    ⊗ i )ã ⊃ ( q( i i = ( ã ( ) Ð Ð

                                                                                                                                                                                    ) ⊗ i i Ð (Ω)( ã ) ⊗ i i i

                                                                                                                                                                                    = (ã) + i (Ω) ã Ð Ð i i Ð Ð ( ã (Ω)( ) ⊗ i ) ⊗ i i

                                                                                                                                                                                    = ( Ð Ð )ãi

                                                                                                                                                                                    Logo, a função de onda ã e a derivada covariante ( )ã (mas não a derivada Ð Ði usual (ã)) transforma da mesma maneira em relação a uma transformação de calibre. Ð

                                                                                                                                                                                    Como resultado, equações de campo que envolvem covariante ao invés de derivadas usuais podem ser invariantes por calibre. Decidir quais equações é uma questão física, e que quase sempre é feita da seguinte maneira: Escolhe-se um cadidato para o que é chamada de ŞLagrangianoŤ do sistema em questão. fazendo um apelo ao ŞPrincípio de Menor AçãoŤ e de um resultado básico de Cálculo Variacional (as ŞEquações de Euler-LangrageŤ) é obtido um sistema de equações diferenciais cujas soluções tendem a imitar o que realmente acontece no mundo físico. Faremos esse processo no próximo apêndice a Ąm de acharmos as Equações de Yang-Mills.

                                                                                                                                                                                    

                                                                                                                                                                                  APÊNDICE C Ű Derivação das Equações de

                                                                                                                                                                                  Yang-Mills

                                                                                                                                                                                  C.1 Um pouco mais de Teoria de Hodge

                                                                                                                                                                                    Considere ( , g) uma variedade Riemanniana de dimensão . DeĄnimos um homo-

                                                                                                                                                                                  • morĄsmo Ąbrado ^ g :

                                                                                                                                                                                    ⊃ da seguinte maneira: Para cada e cada

                                                                                                                                                                                  • v ( ) ser o covetor deĄnido por

                                                                                                                                                                                    ∈ ( ), deixamos ^g(v) ∈

                                                                                                                                                                                    ^g(v)(w) = g (v, w), ( ) (C.1.1) para todo w Isto é um homomorĄsmo Ąbrado suave (pag 341. Se ( , ) é uma carta em 1 com funções coordenadas , . . . , então cada campo vetorial suave V

                                                                                                                                                                                    ^g(V) =

                                                                                                                                                                                    V (C.1.2)

                                                                                                                                                                                    onde a matriz ( ) do homomorĄsmo Ąbrado é a mesma matriz da transformação bilinear

                                                                                                                                                                                  • ⊗1

                                                                                                                                                                                  g. A matriz da inversa ^ g : ( ) é portanto a inversa de ( ) e a denotamos

                                                                                                                                                                                    ( ) ⊃ por ( ), de modo = = Ó

                                                                                                                                                                                  • ⊗1

                                                                                                                                                                                    ( ), o campo vetorial ^g (Θ) possui a representação em Logo, para cada covetor Θ ∈ X coordenadas

                                                                                                                                                                                    ⊗1 ^g (Θ) = Θ (C.1.3)

                                                                                                                                                                                    ⊗1 onde Θ = Θ. Usamos a notação Θ para denotar ^g (Θ). Para cada = 1, . . . , a métrica g determina um único produto interno em Λ ( g

                                                                                                                                                                                  • satisfazendo
                                                                                                                                                                                  • 1 1 ♯ ♯ (︂ )︂

                                                                                                                                                                                      ( )) denotado por ⟨ ,

                                                                                                                                                                                      , η ,

                                                                                                                                                                                      ) (η ) g (C.1.4) 1ω. . . ω. . . η ⟩ = det ⟨(ω1 onde ω , . . . , ω , η , . . . , η ♣ são covetores em . Com efeito, tome ¶ ; é crescente♢

                                                                                                                                                                                    • uma base ortonormal de Λ ( ( )) onde ( ) é um coreferencial dual de um referencial ortonormal. Então temos

                                                                                                                                                                                      ∏︀ ⎞ 1 1 1 ♯ k ♯

                                                                                                                                                                                      ) , ( ) g ) , ( ) g ̂︁ ̂︂ ̂︁ ̂︂ ⟨( ⟩ ≤ ≤ ≤ ⟨(

                                                                                                                                                                                      ⟨ ⟩ ... ... ∐︁ ̂︀ k ♯ ♯ k ♯ k ♯ 1 ) , ( ) g ) , ( ) g ∏︀ ⎞ ⟨( ⟩ ≤ ≤ ≤ ⟨( 1 1 1 k

                                                                                                                                                                                      , g = ̂︁ ̂︂ ...

                                                                                                                                                                                      g ̂︁ ̂︂ ̂︁ ̂︂ ≤ ≤ ≤ g

                                                                                                                                                                                      = ̂︁ ̂︂ ∐︁ ̂︀ k ... ... ... 1 k k

                                                                                                                                                                                      g

                                                                                                                                                                                      ≤ ≤ ≤ g = Ó

                                                                                                                                                                                      Estendendo por linearidade Ąca determinado um produto interno em Λ ( ( )). Resta

                                                                                                                                                                                    • mostrar que esta deĄnição não depende da escolha do frame (base do espaço tangente). Seja (˜ ) outro frame ortonormal de ( ). Então existe uma transformação ortonormal k k k tal que ˜ = . Logo k k k ♯ ♯ k ♯ k ♯ 1 k

                                                                                                                                                                                      

                                                                                                                                                                                    , ,

                                                                                                                                                                                      ) (˜ ) g ) ( ) g ) ⟩ k k ⟩ det(⟨(˜ ) = det(⟨( k ♯ k ♯ k k

                                                                                                                                                                                      ( ) , ( ) g ) = det(⟨ k kk k ♯ k k ♯

                                                                                                                                                                                      ) , ( ) g ) = det(⟨( k kk ♯ k ♯

                                                                                                                                                                                      ) , ( ) g ) = det(⟨(

                                                                                                                                                                                      A unicidade do produto interno é clara. Para cada = 0, . . . , existe um único homo- ⊗ * *

                                                                                                                                                                                      ( ( ( )) satisfazendo morĄsmo * : Λ ( )) ⊃ Λ

                                                                                                                                                                                      ω g g (C.1.5)

                                                                                                                                                                                      ∧ *η = ⟨ω, η⟩ Registraremos algumas propriedades desse homomorĄsmo. g g = 1; 1. *1 = e * (

                                                                                                                                                                                      ⊗ )

                                                                                                                                                                                      2. *(*ω) = (⊗1) , para toda -forma ω ∈ Λ

                                                                                                                                                                                      ω ( ( )).

                                                                                                                                                                                      : Ω ( ) ponto a ponto, i.e., para cada Para todo 0 ⊘ deĄnimos * ( ) ⊃ Ω

                                                                                                                                                                                      ⊗ : Λ

                                                                                                                                                                                      ( ( ( )). Este isomorĄsmo é chamado Operador fazemos * ( )) ⊃ Λ

                                                                                                                                                                                      ⊗

                                                                                                                                                                                      de Hodge. Para todo = 0, . . . , , : Ω ( ) é uma aplicação suave.

                                                                                                                                                                                      ( ) ⊃ Ω * : Ω ( ) por

                                                                                                                                                                                    • ( +1)+1

                                                                                                                                                                                      Para 1 ⊘ deĄnimos a aplicação ( ) ⊃ Ω

                                                                                                                                                                                      ω

                                                                                                                                                                                      (C.1.6)

                                                                                                                                                                                    • * ω = (⊗1)
                                                                                                                                                                                    • ω

                                                                                                                                                                                      = 0 onde * é o operador de Hodge. Estendemos esta deĄnição para 0-formas pondo

                                                                                                                                                                                      ( ). Esta extensão : Ω ( ) é chamada operador de para todo ω ∈ Ω ( ) ⊃ Ω

                                                                                                                                                                                      

                                                                                                                                                                                    Beltrami. AĄrmamos que vale = 0. De fato, segue da propriedade (2) do operador

                                                                                                                                                                                      ◇ de Hodge e das propriedades de (2.1.31) de Hodge que 2

                                                                                                                                                                                      Para ∈ N e uma variedade Riemanniana compacta, orientável de dimensão deĄni- mos a seguinte forma bilinear ( , ) : Ω ( ) × Ω ( ) ⊃ R ∫︁

                                                                                                                                                                                      (ω, η) = (C.1.7)

                                                                                                                                                                                      ⟨ω, η⟩ é o produto interno deĄnido ponto a ponto como em (C.1.5). Mostramos no onde ⟨ω, η⟩ resultado a seguir que esta forma bilinear é um produto interno de Ω ( ).

                                                                                                                                                                                      

                                                                                                                                                                                    Proposição C.1.1. Seja uma variedade Riemannian compacta, orientada de dimensão

                                                                                                                                                                                    n. A forma bilinear (, ) : Ω

                                                                                                                                                                                      ( ) × Ω ( ) ⊃ R dada por ∫︁ (ω, η) =

                                                                                                                                                                                      ⟨ω, η

                                                                                                                                                                                    • é um produto interno de Ω

                                                                                                                                                                                      é a adjunta da

                                                                                                                                                                                      ( ). Além disso, o operador de Beltrami

                                                                                                                                                                                      derivada exterior (covariante) em relação ao produto interno dado por (C.1.7), i.e.,

                                                                                                                                                                                    • η ) (C.1.8)

                                                                                                                                                                                      ( ω, η) = (ω,

                                                                                                                                                                                      ⊗1

                                                                                                                                                                                      para todo ω

                                                                                                                                                                                      ( ) ∈ Ω

                                                                                                                                                                                      ( ) e para todo η ∈ Ω

                                                                                                                                                                                      

                                                                                                                                                                                    Demonstração.A simetria, a bilinearidade, e o fato de ser não-degenerado de (C.1.7)

                                                                                                                                                                                      são óbvios. Além disso ( , ) é não negativo pois ∫︁ ∫︁ (ω, ω) = g g g g

                                                                                                                                                                                      ⟨ω, ω⟩ ⊙ 0 = ⟨ω, ω⟩ valendo a igualdade somente se ω = 0. Com isto,concluimos que ( , ) é um produto interno.

                                                                                                                                                                                      Como consequência de (2.1.32) para uma k-forma ω e uma l-forma η, tem-se que

                                                                                                                                                                                      ω (ω η) = ω η + (⊗1) ∧ η.

                                                                                                                                                                                      Então

                                                                                                                                                                                       ω

                                                                                                                                                                                      ∧ *η = (ω η) + (⊗1) * η integrando ambos lados sobre , usando a propriedade (2) e o Teorema de Stokes segue que ∫︁ ∫︁ ∫︁ ∫︁

                                                                                                                                                                                      (ω, η) = ω ω ω ∧ *η = (ω η) + (⊗1) ∧ (⊗1) ∧ * η ∫︁ ∫︁ (

                                                                                                                                                                                      ⊗ +1)(1⊗ )

                                                                                                                                                                                      

                                                                                                                                                                                    ω ω

                                                                                                                                                                                      = . =η + (⊗1) ∧ (⊗1) * (* * η) ∅ ∫︁ (

                                                                                                                                                                                      ⊗ +1)(1⊗ )

                                                                                                                                                                                      ω

                                                                                                                                                                                      ∧ (⊗1) * (* * η) 2 ( ( +1)+1 = (⊗1) ⊗ +1)(1⊗ )

                                                                                                                                                                                      Usando o fato de que ,

                                                                                                                                                                                    • é sempre par, temos que (⊗1) = (⊗1) logo segue que

                                                                                                                                                                                      ∫︁ ( +1)+1

                                                                                                                                                                                    • ω η

                                                                                                                                                                                      ( ω, η) = ).

                                                                                                                                                                                      ∧ *((⊗1) * * η) = (ω,

                                                                                                                                                                                      C.2 Equações de Yang-Mills

                                                                                                                                                                                      Nesta seção apresentamos uma prova das equações de Yang-Mills fazendo uso do mé- todo de variações de parâmetros do cálculo variacional. Para isso, considere o funcional de Yang-Mills dado por ∫︁

                                                                                                                                                                                      ℳ(A) = ⊗ 2tr (F ∧ *F) ∫︁ R 4 2 4 (C.2.1) = (vol R ) R 4F( )‖ onde * é o operador dual de Hodge, Ð, Ñ = 1, . . . , 4. Considere ( , ) uma carta com Ð Ñ Ð Ñ 1 Ð Ñ ÐÑ , F = funções coordenadas e em , escrevemos A = , B = ℬ ℱ ∧ 2 com ÐÑ = Ð Ñ Ñ Ð Ð Ñ ] (C.2.2) ,

                                                                                                                                                                                      ℱ ⊗ Ð ÐÑ são funções deĄnidas em com valores em g. + [ onde e ℱ Dada uma conexão A ∈ ( ) (espaços das conexões de ) escolhemos uma família a

                                                                                                                                                                                      1-parâmetro A + B (conjunto dos potenciais de calibre é um espaço aĄm, ver então a derivada direcional Ó de calibre é dada por ∏︀ ⎞ ⧹︃ ∐︁ ̂︀ ⧹︃ ⧹︃

                                                                                                                                                                                      Ó ⧹︃ (C.2.3)

                                                                                                                                                                                      ℳ(A + B) ( ℳ(A + B)) = A ⧹︃ =0

                                                                                                                                                                                      Primeiro escrevemos a curvatura F + B . A partir de (C.2.2), de (3.2.4) e (3.2.6) obtemos que

                                                                                                                                                                                      (︂ )︂

                                                                                                                                                                                      1 Ð Ñ

                                                                                                                                                                                      F A + B Ð Ñ Ñ Ñ Ð Ð Ð Ð Ñ Ñ

                                                                                                                                                                                      =

                                                                                                                                                                                      , ]

                                                                                                                                                                                      ( + ℬ ) ⊗ ( + ℬ ) + [ + ℬ + ℬ ∧

                                                                                                                                                                                      2 (︃

                                                                                                                                                                                      1 = Ð Ñ Ð Ñ Ñ Ð Ñ Ð Ð Ñ , ]

                                                                                                                                                                                      ⊗ ℬ ⊗ ℬ + [

                                                                                                                                                                                      2 2 Ð Ñ )︃ Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ , , ] + , ] (︃ + [ ℬ ] + [ℬ [ℬ ℬ ∧ 2 )︃

                                                                                                                                                                                      1 Ð Ñ ÐÑ ÐÑ ÑÐ ÐÑ Ð Ñ ÐÑ + = ( , , ]) + , ]

                                                                                                                                                                                    • [ ] + [ℬ [ℬ 2ℱ

                                                                                                                                                                                      2 (︂

                                                                                                                                                                                      2

                                                                                                                                                                                      1 Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ

                                                                                                                                                                                    • = ( ) , ] ÐÑ Ð Ñ Ñ Ð Ð Ñ

                                                                                                                                                                                      ∧ ℬ ⊗ ℬ ∧ + [ ℬ ∧ 2ℱ Ð Ñ Ð Ñ

                                                                                                                                                                                      2 )︂ 2 Ð Ñ Ð Ñ , ] ] + ,

                                                                                                                                                                                    • [ℬ ∧ [ℬ ℬ ∧ (︂

                                                                                                                                                                                      2

                                                                                                                                                                                      1 Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ

                                                                                                                                                                                      1

                                                                                                                                                                                      1

                                                                                                                                                                                      ,

                                                                                                                                                                                      = ÐÑ ( Ð Ñ Ñ Ð ) Ð Ñ ] + + ℬ ⊗ ℬ ∧ ℬ ∧

                                                                                                                                                                                      [ 2ℱ

                                                                                                                                                                                      2 )︂ 2

                                                                                                                                                                                      2

                                                                                                                                                                                      1 Ñ Ð Ð Ñ

                                                                                                                                                                                      , ] , ]

                                                                                                                                                                                    • Ð Ñ Ð Ñ

                                                                                                                                                                                      ⊗ [ ℬ ∧ [ℬ ℬ ∧

                                                                                                                                                                                      2 (︂

                                                                                                                                                                                      2 )︂

                                                                                                                                                                                      1

                                                                                                                                                                                      1 Ð Ñ Ð Ñ Ð Ñ +

                                                                                                                                                                                      ,

                                                                                                                                                                                      = ÐÑ ( Ð Ñ Ñ Ð ) Ð Ñ ] ℬ ⊗ ℬ ∧ ℬ ∧

                                                                                                                                                                                    • [ 2ℱ
                                                                                                                                                                                    • 2 Ð Ñ

                                                                                                                                                                                        2

                                                                                                                                                                                      • , Ð Ñ

                                                                                                                                                                                        ] [ℬ ℬ ∧

                                                                                                                                                                                        2 2

                                                                                                                                                                                      • A B = F [B, B] A A

                                                                                                                                                                                          2 onde é a derivada exterior covariante de B deĄnida por A

                                                                                                                                                                                          B

                                                                                                                                                                                          = B + [A, B] (C.2.4) Agora, calculemos a norma da curvatura A A A 2

                                                                                                                                                                                        • + B + B + B , F

                                                                                                                                                                                          ‖F ‖ = ⟨F⨀︁ A 2 A 2 ⨁︀

                                                                                                                                                                                          

                                                                                                                                                                                        F B B

                                                                                                                                                                                        A A

                                                                                                                                                                                          = [B, B], F [B, B] + + + + 2 A A

                                                                                                                                                                                          2 2 2

                                                                                                                                                                                          2 A A A

                                                                                                                                                                                          B B , F ,

                                                                                                                                                                                          ‖ ⟩ + ‖ = ‖F + 2 (‖ + ⟨F [B, B]⟩) 4 3 A 2

                                                                                                                                                                                        • B

                                                                                                                                                                                          ,

                                                                                                                                                                                          ⟨ [B, B]⟩ + [B, B]‖ 4 ‖

                                                                                                                                                                                          Como queremos a condição de mínimo, obtemos da Proposição C.1.1 que ∫︁ A

                                                                                                                                                                                          B A 4 , F R )

                                                                                                                                                                                          0 = Ó( ℳ(A)) = 2 ⟨ (vol ∫︁ R 4 A *

                                                                                                                                                                                          F A 4

                                                                                                                                                                                          = 2 ) R ) R 4B, ( (vol A *

                                                                                                                                                                                          F A

                                                                                                                                                                                          ) = 0, i.e., para todo B ∈ ( ). Logo ( 4(2+1)+1 A A (C.2.5) Como * é invertível, temos que A (C.2.6)

                                                                                                                                                                                        • F = 0 E chegamos onde queríamos, nas chamadas equações de Yang-Mills.

                                                                                                                                                                                          C.3 Identidade de Bianchi

                                                                                                                                                                                          Nesta seção mostramos a identidade de Bianchi mencionada em (1.2.2). De modo geral, ω ω . considere ˓ um -Ąbrado principal com conexão ω e curvatura Ω = Então ω

                                                                                                                                                                                          Ω = 0 (C.3.1)

                                                                                                                                                                                          Calculemos da deĄnição de derivada exterior covariante (C.2.4) ω

                                                                                                                                                                                          Ω = Ω + [ω, Ω] (︂ )︂ [︂ ]︂

                                                                                                                                                                                          1

                                                                                                                                                                                          1

                                                                                                                                                                                          ω ω , ω [ω, ω]

                                                                                                                                                                                        • = [ω, ω] + +

                                                                                                                                                                                          2

                                                                                                                                                                                          2

                                                                                                                                                                                          1

                                                                                                                                                                                          1 = ( ω) + ([ω, ω]) + [ω, ω] + [ω, [ω, ω]]

                                                                                                                                                                                          2

                                                                                                                                                                                          2

                                                                                                                                                                                          1 = ([ω, ω]) + [ω, ω]

                                                                                                                                                                                          2

                                                                                                                                                                                          1 =

                                                                                                                                                                                          ([ ω, ω] ⊗ [ω, ω]) + [ω, ω]

                                                                                                                                                                                          2

                                                                                                                                                                                          1 =

                                                                                                                                                                                          ([ω, ω] ⊗ [ω, ω]) + [ω, ω] = 0

                                                                                                                                                                                          2 e obtemos (C.3.1). A aplicação disso vem em mostrar de maneira trivial que se *F = ⊗F então pela identidade de Bianchi F satisfaz (C.2.6). APÊNDICE D Ű Teorema de Donaldson

                                                                                                                                                                                          Neste apêndice, exporemos a ideia do Teorema de Donaldson, a partir de resultados de topologia, apresentando uma interpretação visual do teorema, tudo isto feito para o caso de variedades com certas restrições, das quais passamos a discutir agora.

                                                                                                                                                                                          Consideraremos variedades de dimensão 4 compactas, simplesmente conexas, orientá- 4 2 2 veis e as denotaremos por . Exemplos incluem a esfera , o produto de duas 2 2 × esferas, o plano complexo projetivo CP . CP possui uma orientação natural pois é uma variedade complexa (as aplicações de transição do Capítulo 2 não são apenas suaves, mas 2 analíticas). Denotamos por CP a mesma variedade porém com orientação oposta. Um exemplo novo é a superfície de Kummer 3 que pode ser vista como uma subvariedade 3 de CP que consiste dos pontos cujas coordenadas homogêneas x , x , x , x satisfazem 4 4 4 4 1 1 3 4 x + x + x + x = 0. 1 2 3 4 Apresentamos, agora, alguns resultados mais avançados (sem prova) de topologia para estas variedades. Como é conexo, tem-se que o grupo de homologia ( ) ≍

                                                                                                                                                                                          = Z. Sendo simplesmente conexo (Þ ( ) ≍ ( ) ≍ ( )/[Þ ( ), Þ ( )]) 1 = 0) o teorema de Hurewicz ( 1 = Þ 1 1 1 implica que ( ) ≍ = 0. O Teorema de CoeĄcientes Universal e a Dualidade de Poincaré 1 implicam que ( ) ≍ = Z, ( ) ≍ = 0, e ( ) é um grupo Abeliano livre, Ąnita- 4 3 2 mente gerado e portanto completamente determinado pelo número de Betti 2 ( ). Em particular, duas variedades do tipo que estamos considerando podem diferir homologi- camente somente em 2 ( ). Outra propriedade deste tipo de variedade é que qualquer classe de homologia em 2 ( ) possui um representante, que é uma superfície (variedade bidimencional) mergulhada suavemente, compacta e orientável em .

                                                                                                                                                                                          A forma de interseção de é uma certa forma bilinear : 2 2 (D.0.1)

                                                                                                                                                                                          ( ) × ( ) ⊃ Z 4 a qual deĄnimos da seguinte maneira: Para variedades , como , com ( ) ≍ 2 = 0, é a forma vazia. Caso contrário, se α e α são duas classes em ( ), escolhemos duas 1 2 2 superfícies mergulhadas suavemente, compactas, orientáveis Σ e Σ que as representam. 1 2 Pelo Teorema de Transversalidade pode-se perturbar Σ e Σ ligeiramente sem que elas 1 2 deixem suas classes de homologia e de tal modo que as superfícies resultantes intersectem- se transversalmente, i.e., para cada ponto na interseção ( ) ≍ = (Σ (Σ ). Como 1 2

                                                                                                                                                                                          )⊕ Σ e Σ possuem dimensões complementares (2 + 2 = 4) isto implica que Σ é um 1 2 1 ∩ Σ 2 conjunto Ąnito de pontos isolados (ver Figura D.1). Um ponto na interseção é dado o valor +1 se uma base orientada de 1 ) seguida de uma base orientada de 2 ) é uma base orientada de

                                                                                                                                                                                          (α 1 , α 2 ) é a soma desses ( ); caso contrário, dá-se o valor ⊗1. valores ao longo de todos os pontos de interseção. Figura D.1 Ű Fonte: Elaborada pelo autor.

                                                                                                                                                                                          Com isso, é uma forma bilinear, simétrica, e além disso, é unimodular (no sen- tido que sua matriz relativa a qualquer base de 2 ( ) possui determinante ∘1). Se + 2 ( ) ≇ 0, a dimensão maximal de um subespaço de ( ) no qual é não-negativo 2 +

                                                                                                                                                                                          ⊗ (respectivamente, não-positivo) é denotado por ( ) (respectivamente por ( )). En- 2 2

                                                                                                                                                                                          ⊗ tão 2 ( ) = ( ) + ( ). A assinatura de (ou de ) é deĄnida por 2 2

                                                                                                                                                                                          ⊗

                                                                                                                                                                                        • à ( ) = à( ) = ( ). (D.0.2) 2 ( ) ⊗
                                                                                                                                                                                        • 2 A seguir colocamos uma lista com alguns exemplos onde é representada por sua matriz relativa a alguma base (não especiĄcada) de ( ). 2<
                                                                                                                                                                                        • 4
                                                                                                                                                                                        • 2 ( ) ( ) 2 2 ∅ ⊗⊗ CP Z 2 (1)

                                                                                                                                                                                            1 CP Z ∏︀ ⎞ (⊗1) 2 2 ∐︁ ̂︀ 0 1 Z

                                                                                                                                                                                            1 × ⊕ Z = 2Z ∏︀ ⎞ 1 0 ∐︁ ̂︀ 0 1

                                                                                                                                                                                            3

                                                                                                                                                                                            22Z 3 ) 8

                                                                                                                                                                                            3

                                                                                                                                                                                          • 2(⊗ 1 0

                                                                                                                                                                                            Aqui 8 é a chamada matriz de Cartan para a álgebra de Lie 8 e é dada por

                                                                                                                                                                                            ∏︀ ̂︁ ̂︁ ̂︁ ̂︁ ̂︁ ̂︁ ̂︁ ̂︁ ̂︁ ̂︁ ̂︁ ̂︁ ̂︁ ̂︁ ̂︁ ̂︁ ̂︁ ̂︁ ∐︁

                                                                                                                                                                                            ⊗1

                                                                                                                                                                                            ( ) = 0, mas 2 ( ) ̸= 0.

                                                                                                                                                                                            A prova é uma combinação da análise de um espaço moduli em bem parecido com o espaço moduli de 4 que estudamos em detalhes. Vamos então passar a expor a ideia de maneira bem resumida para o caso não-positivo, ou seja, de modo que

                                                                                                                                                                                          • + 2

                                                                                                                                                                                            R 4 porém não são difeomorfas (fenômeno que não ocorre para outro R ).

                                                                                                                                                                                            O Teorema de Donaldson juntamente com o Teorema de Freedman, providencia um grande repertório de exemplos de variedades de dimensão 4 que não admitem estrutura diferenciável alguma. Uma combinação menos óbvia dos dois teoremas prova a existência de falsos R 4 Šs, ou seja, variedades de dimensão 4 diferenciáveis que são homeomorfas a

                                                                                                                                                                                            

                                                                                                                                                                                          Teorema D.0.1. (Teorema de Donaldson) Seja uma variedade diferenciável de

                                                                                                                                                                                          dimensão 4 orientável, simplesmente conexa e compacta com uma forma de interseção

                                                                                                                                                                                          não-negativa (respectivamente, não-positiva). Então existe uma base de 2 ( ) para a

                                                                                                                                                                                          qual a matrix de é a matrix identidade (respectivamente, menos a matriz identidade).

                                                                                                                                                                                            1982Ď Freedman mostrou que qualquer forma bilinear simétrica, unimodular, com valores em Z em um grupo Abeliano Ąnitamente gerado é a forma de interseção para pelo menos uma (e no máximo duas) variedade (s) topológicas de dimensão 4, orientáveis, simplesmente conexas e compactas. Em 1983, Donaldson mostrou que existe apenas uma forma bilinear não-positiva/negativa simétrica, unimodular com valores em Z que pode ser a forma de interseção de uma variedade diferenciável de dimensão 4, orientável, simplesmente conexa e compacta.

                                                                                                                                                                                            2 ̂︂ ̂︂ ̂︂ ̂︂ ̂︂ ̂︂ ̂︂ ̂︂ ̂︂ ̂︂ ̂︂ ̂︂ ̂︂ ̂︂ ̂︂ ̂︂ ̂︂ ̂︂ ̂︀ É conhecido na literatura ( provou que duas variedades de dimensão 4, compactas, simplesmente conexas 1 e 2 possuem o mesmo tipo de homotopia se, e somente se, suas formas de interseção são equivalente (ou seja, existem bases de 2 ( 1 ) e 2 ( 2 ) para as quais 1 e 2 possuem a mesma matriz). Em

                                                                                                                                                                                            2 ⊗1

                                                                                                                                                                                            2 ⊗1

                                                                                                                                                                                            2 ⊗1

                                                                                                                                                                                            ⊗1

                                                                                                                                                                                            2 ⊗1 ⊗1

                                                                                                                                                                                            ⊗1

                                                                                                                                                                                            2 ⊗1

                                                                                                                                                                                            ⊗1

                                                                                                                                                                                            2 ⊗1

                                                                                                                                                                                            ⊗1

                                                                                                                                                                                            2 ⊗1

                                                                                                                                                                                            ⊗1

                                                                                                                                                                                            Como falado anteriormente os (2)-Ąbrados principais sobre 4 estão em correspon- dência biunívoca com os inteiros e segue da teoria de classes características que o mesmo é verdade para qualquer variedade que estamos considerando. Começamos o argumento do Teorema de Donaldson selecionando o (2)-Ąbrado sobre análogo ao Ąbrado de 4 Hopf sobre , a saber, com número de Chern 1. Denotamos simplesmente por (D.0.3) (2) ⊃ .

                                                                                                                                                                                            Agora escolha uma métrica Riemanniana g para . Vale ter em mente que tanto o Ąbrado quanto a métrica são objetos auxiliares que facilitam o estudo de . A partir de g e da orientação dada de obtém-se o operador estrela de Hodge * sobre formas deĄnidas em . Como dim = 4, o dual de Hodge de uma 2-forma é uma 2-forma.

                                                                                                                                                                                            Agora seja ω uma conexão em (2) ⊃ . A curvatura Ω é uma 2-forma em com valores na álgebra de Lie (não em ). Entretanto, fazendo o pullback de Ω por uma seção local que corresponde a alguma trivialização nos dá uma família de 2-formas em com valores na álgebra de Lie que estão relacionadas pela ação adjunta de (2) sobre sua álgebra de Lie, ⊗1 * * 2 ◇ Ω = Ω. (D.0.4) 12 1 Como resultado estas formas deĄnem 2-formas localmente em com valores na álgebra de Lie e formam uma 2-forma ω deĄnida globalmente em não tomando valores em su

                                                                                                                                                                                            (2) mas em no Ąbrado adjunto (ver B.2.4). Dizemos que um elemento ã de Λ ( , )

                                                                                                                                                                                            é tipo- tensorial se satisfaz ⊗1 *

                                                                                                                                                                                            ⊗1

                                                                                                                                                                                            ã

                                                                                                                                                                                            (a) σ = g g gã, onde σã denota

                                                                                                                                                                                            : é a aplicação σ ( ) = em e ⊗1 a ação de ( ) sobre os valores de ã; (b) ã é horizontal, i.e., se anula se qualquer de seus argumentos for tangente à Ąbra.

                                                                                                                                                                                            O subespaço Λ ( , ) de Λ ( , ) que consiste de todos os elementos que são do tipo- tensoriais é isomorfo a Λ

                                                                                                                                                                                            ã =

                                                                                                                                                                                            ( , × ). O isomorĄsmo pode ser descrito por ã ↦⊃ ¯ [ , ], onde é uma seção transversal arbitrária de . Como a curvatura Ω de uma

                                                                                                                                                                                          • ã
                                                                                                                                                                                          • 2 conexão ω é claramente do tipo- tensorial, corresponde a um ω ( , ).

                                                                                                                                                                                              ∈ Λ O ponto é que, sendo uma 2-forma na variedade de dimensão 4, ω possui um ω o qual também é uma 2-forma em , logo faz sentido em dizer que dual de Hodge * a conexão ω é ganti-auto-dual (g-ASD) se ω ω

                                                                                                                                                                                              (D.0.5) = ⊗ *

                                                                                                                                                                                            • +

                                                                                                                                                                                              Observação D.0.1. A deĄnição faz sentido, porém não é nada claro que estes objetos

                                                                                                                                                                                              

                                                                                                                                                                                            devam existir. Na verdade, é um Teorema profundo de Taubes que, como ( ) =

                                                                                                                                                                                            2
                                                                                                                                                                                            • +

                                                                                                                                                                                              0, de fato existem conexões g-ASD no Ąbrado (com número de Chern 1) (2) ⊃ 2 2

                                                                                                                                                                                              

                                                                                                                                                                                            . Se for ( = 1) com esta métrica e orientação então não existem estas

                                                                                                                                                                                              × 2 2

                                                                                                                                                                                              

                                                                                                                                                                                            conexões no (2)-Ąbrado correspondente. O mesmo é verdade para CP , entretanto, não

                                                                                                                                                                                            2 para CP (a teoria de Donaldson depende fortemente de orientação).

                                                                                                                                                                                              O grupo de calibre ( ) de nosso Ąbrado é o grupo (em relação à composição) de todos os difeomorĄsmos : que respeitam a ação do grupo no Ąbrado ( ( ) = ( ) ≤ , para todo e (2)) e respeitem ◇ = . Os elementos de ( ) são chamados transformações globais de calibre e agem sobre as conexões por pullback

                                                                                                                                                                                              ′ *

                                                                                                                                                                                              ω

                                                                                                                                                                                              ). Duas conexões ω e ω (ω = são equivalentes por calibre se existe em ( )

                                                                                                                                                                                              ′ *

                                                                                                                                                                                              ω

                                                                                                                                                                                              tal que ω = . A coleção de todas as classes de equaivalências de todas as conexões

                                                                                                                                                                                              g-ASD em (2)

                                                                                                                                                                                              ⊃ é denotada por (D.0.6)

                                                                                                                                                                                              ℳ = ℳ( , g) e chamada de espaço moduli das conexões g-ASD (instantons) em (2) ⊃ .

                                                                                                                                                                                              Escolhemos a métrica Riemanniana g e acontece que se escolhermos a métrica de um jeito ruim o espaço moduli ℳ( , g) pode nem ter uma estrutura matemática decente.

                                                                                                                                                                                              Entretanto, Donaldson mostrou que, para uma escolha ŞgenéricaŤ de g, o espaço moduli tem a seguinte forma: Figura D.2 Ű Fonte: Naber, 2010, pag. 408.

                                                                                                                                                                                              De uma maneira mais precisa:

                                                                                                                                                                                              2 ( ) com

                                                                                                                                                                                              1. Se é a metade do número de α (α, α) = ⊗1, então existem pontos , . . . , , . . . , 1 1 em ℳ tais que ℳ ⊗ ¶ ♢ é uma variedade diferenciável de dimensão 5 orientável.

                                                                                                                                                                                              2. Cada 2 , = 1, . . . , possui uma vizinhança em ℳ homeomorfa a um cone sobre CP com vértice e estas vizinhanças são diverenciáveis em todo ponto menos (o cone 2 2 2 sobre CP é obtido a partir do cilindro CP

                                                                                                                                                                                              × [0, 1] identiĄcando CP × ¶1♢ com um ponto que depois é chamado de vértice do cone).

                                                                                                                                                                                            3. Existe um subespaço compacto de ℳ tal que ℳ ⊗ é uma subvariedade de

                                                                                                                                                                                              1 , . . . , ℳ ⊗ ¶ ♢ difeomorfa ao cilindro × (0, 1).

                                                                                                                                                                                              cortando fora a metade aberta do Agora construa a partir de ℳ outro espaço ℳ topo de cada cone e o fundo aberto do cilindro (Figura D.3):

                                                                                                                                                                                              Figura D.3 Ű Fonte: Naber, 2010, pag. 409.

                                                                                                                                                                                              Então ℳ é uma variedade compacta com bordo que herda uma orientação de ℳ. O 2 2 ou CP . bordo consiste de uma união disjunta de uma cópia de ℳ e cópias de CP 2 2 Suponha que existem cópias de CP e cópias de CP é chamado 2 ( + = ). ℳ 2 2

                                                                                                                                                                                              2 de cobordismo orientado entre e a união disjunta CP . . . . . . = 2 2

                                                                                                                                                                                              ⊔ ⊔ CP ⊔ CP ⊔ CP

                                                                                                                                                                                              

                                                                                                                                                                                            CP e acontece que a assinatura da forma de interseção é um invariante por

                                                                                                                                                                                              ⊔ CP 2 2 cobordismo, i.e., as formas de interseção de e CP possuem a mesma assinatura. + CP Logo, como ( ) = 0,

                                                                                                                                                                                              2 + ⊗ ( ) ⊗ 2 ( ) = 2

                                                                                                                                                                                              ( ) = portanto 2 ( ) = + =

                                                                                                                                                                                              Em seguida mostramos que ( ) com (α , α 2 2 + 1 1 1 ( ) ⊙ . Tome algum α ) = ⊗1

                                                                                                                                                                                              (deve existir pelo menos um , pois 2 ( ) ̸= 0). Então existe uma ( ) = 0, mas 2 decomposição -ortogonal 2 ( ) = Zα (D.0.7) 1 1

                                                                                                                                                                                              Agora considere qualquer α ( ) com (α , α (caso não 2 2 2 2 2 1 ) = ⊗1 e α ̸= α exista α , então ( )Zα ( ) em relação a qual 2 1 2 1 1 2

                                                                                                                                                                                              = ∅ logo e ¶α ♢ é uma base de a matriz de é ⊗(1) e acabou). A desigualdade de Schwartz nos dá 2

                                                                                                                                                                                              ( (α , α )) &lt; (α , α ) (α , α ) = 1 (D.0.8) 1 2 1 1 2 2 Mas (α , α ) é um inteiro. Então (α , α ) = 0, logo α . Agora repita o 1 2 1 2 2 1 argumento em 1 2 ( ) com (α, α) = e prossiga indutivamente até que saia de α

                                                                                                                                                                                              ⊗1. Existem 2 classes α e elas ocorrem em pares (α, α), logo o resultado é uma decomposição -ortogonal, 2 ( ) = Zα 1 (D.0.9) ⊕ . . . ⊕ Zα onde é vazio ou o é complemento -ortogonal de Zα 1 . Em particular,

                                                                                                                                                                                              ⊕ . . . ⊕ Zα 2 ( ). Como mostramos que 2 ( ) ⊘ temos que 2 ( ) = = + . (D.0.10)

                                                                                                                                                                                              Como 2 ( ) é um grupo Abeliano livre Ąnitamente gerado, deve se vazio e 2 ( ) = Zα 1 (D.0.11) .

                                                                                                                                                                                              ⊕ . . . ⊕ Zα Como (α , α 1 , . . . , α

                                                                                                                                                                                              ) = ⊗1 para = 1, . . . , , a matriz de em relação à base ¶α ♢ é menos a identidade e Ąca provado o teorema para este caso. É preciso deixar claro como é construída a estrutura de ℳ mas não faremos isso aqui. Para os detalhes do Teorema de Donaldson recomendamos . Em qualquer caso, este é apenas o começo da história que continua com os invariantes de Donaldson, topologia da teoria de física quântica e Teoria de Calibre de Seiberg- Witten.

                                                                                                                                                                                              

                                                                                                                                                                                            Referências

                                                                                                                                                                                              [AB59] Y. Aharonov and D. Bohm. SigniĄcance of electromagnetic potencials in the quantum theory. Phys. Rev., pages 485Ű491, 1959. [AB83] M.F. Atiyah and R. Bott. The Yang-Mills equations over Riemann Surfaces, volume 308, pages 547Ű554. 1983. [AHS78] M.F. Atiyah, N.J. Hitchin, and I.M. Singer. Self duality in four dimensional Riemannian geometry. Proc. Roy. Soc. Lond., pages 425Ű461, 1978. [Ati79] M. F. Atiyah. Geometry of yang-mills Ąelds. Lezioni Fermiane Accademia Nazionale dei Lincei Scuola Normale Superione, Pisa, 1979. [BPST75] A. Belavin, A. Polyakov, A. Schwartz, and Y. Tyupkin. Pseudoparticles solu- tions of the yang-mills equations. Phys. Lett., 58B:85Ű87, 1975. [Don83] Simon K. Donaldson. An application of gauge theory to four dimensional topology. J. Diff. Geo., pages 279Ű315, 1983. [Don89] S. Donaldson. Yang-Mills invariants of 4-manifolds, pages 257Ű315. Cambridge University Press, 1989. 4

                                                                                                                                                                                              [Fra16]

                                                                                                                                                                                              G. Franchetti. Adiabatic dynamics of instantons of . Inst. für Theor. Phys., pages 1Ű10, 2016. [Fre82] M. Freedman. The topology of four-dimensional manifolds. J. Diff. Geo., pages 357Ű454, 1982. [FU84] D.S. Freed and Karen Uhlenbeck. Instantons and Four-Manifolds. MSRI Pu- blications, New York, Berlin, 1984. [Gui91] M. Guidry. Gauge Fields Theories. John Wiley &amp; Sons Inc., New York, 1991. [Hel62] S. Helgason. Differential Geometry and Symmetric Spaces. Academic Press, 1962. [How83] R. Howe. Very Basic Lie Algebra. Amer. Math. Monthly, pages 600Ű623, November 1983. [Law85]

                                                                                                                                                                                              H. Blaine Lawson. The theory of gauge Ąelds in four dimensions. Number 58 in Regional Conference Series in Mathematics. Amer. Math. Soc., 1985. [Lee03] John M. Lee. Introduction to Smooth Manifolds. Graduate Texts in Mathema- tics. Springer, New York, Berlin, 2 edition, 2003.

                                                                                                                                                                                              [Lim12a] E. L. Lima. grupo fundamental e espaços de recobrimento. IMPA, Brazil, 2012. [Lim12b] E. L. Lima. homologia básica. IMPA, Brazil, 2012. [Mat89] T. Matumoto. Three Riemannian metrics on the moduli space of BPST ins- 4 tantons over . Hiroshima Math. J., pages 221Ű224, 1989.

                                                                                                                                                                                              [MM92] K.B. Marathe and G. Martucci. The Mathematical Foundations of Gauge Theories. North-Holland, Amsterdam, 1992. [Nab10] G.L. Naber. Topology, Geometry and Gauge Fields: Foundations. Text in Applied Mathematics. Springer-Verlag, New York Berlin, 2 edition, 2010. [Nab11] G.L. Naber. Topology, Geometry and Gauge Fields: Interactions. Text in Applied Mathematics. Springer-Verlag, New York Berlin, 2 edition, 2011. [NT78] J. Nowakowski and A. Trautman. Natural connections on Stiefel bundles are sourceless gauges Ąelds. J. Math. Phys., 19(5):1100Ű1103, 1978. [Tau80] C.H. Taubes. Self-dual connections on non-self-dual 4-manifolds. Sci. Ameri- can, pages 104Ű138, 1980. [Tra77]

                                                                                                                                                                                              A. Trauman. Solutions of the Maxwell and Yang-Mills equations associated with Hopf Ąbrings. Inter. J. Theo. Phys., 16(8):561Ű565, 1977. [Uhl82] K. Uhlenbeck. Removable singularities in Yang-Mills Ąelds. Commun. Math.

                                                                                                                                                                                              Phys., pages 11Ű29, 1982.

                                                                                                                                                                                              [Whi49] J.H.C. Whitehead. On simply connected 4-dimensional polyhedra. Comment.

                                                                                                                                                                                              Math. Helv., pages 48Ű92, 1949.

                                                                                                                                                                                              [YM54] C.N. Yang and R.L. Mills. Conservation of isotopic spin and isotopic gauge invariance. Phys. Rev., pages 191Ű195, 1954.

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