Repositório UFAL: Fórmula de Rokhlin

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  UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS

  INSTITUTO DE MATEM ´ ATICA PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM MATEM ´ ATICA

  PEDRO HENRIQUE GOMES DE CARVALHO F ´ ORMULA DE ROKHLIN

  Macei´ o-AL 2017 PEDRO HENRIQUE GOMES DE CARVALHO F ´ ORMULA DE ROKHLIN

  Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Programa de P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal de Alagoas, como requisito parcial para obten¸c˜ao do grau de Mestre em Matem´atica.

  Orientador: Prof. Dr. Krerley Irra- ciel Martins de Oliveira Macei´ o-AL

  2017 Catalogação na fonte Universidade Federal de Alagoas Biblioteca Central Divisão de Tratamento Técnico

  Bibliotecária Responsável: Helena Cristina Pimentel do Vale C331f Carvalho, Pedro Henrique Gomes de.

  Fórmula de Rokhlin / Pedro Henrique Gomes de Carvalho. – 2017. 41 f.

  Orientador: Krerley Irraciel Martins de Oliveira.

Dissertação (mestrado em Matemática) – Universidade Federal de Alagoas.

  Instituto de Matemática. Maceió, 2017. Bibliografia: f. 41.

1. Matemática – Estudo e ensino. 2. Entropia. 3. Jacobiano. 4. Rokhlin, Fórmula de. 5. Sistemas dinâmicos. I. Título.

  

CDU: 519.218.84

  

Resumo

Neste trabalho ser´a apresentado a demonstra¸c˜ao de um teorema importante de Teoria Erg´odica.

  A F´ormula de Rokhlin afirma que dado uma transforma¸c˜ao localmente invert´ıvel f : M → M que admita Jacobiano, se existir uma parti¸c˜ao finita ou enumer´avel que gere a σ-´algebra de M, ent˜ao pode-se calcular a entropia do sistema dinˆamico atrav´es do Jacobiano; a entropia

  R log J ´e dada por h µ (f ) = µ f dµ. Depois deste resultado, ser´a dado a defini¸c˜ao de Sistema Dinˆamico Aleat´orio e como a F´ormula de Rokhlin pode ser estendida para esta dinˆamica.

  Palavras-chave: Entropia, Jacobiano, F´ ormula de Rokhlin

  

Abstract

  In this work a demonstration of an important theorem of Ergodic Theory is presented. The Rokhlin’s formula states that given a locally invertible transformation f : M → M which Jacobian admits, if there is a finite or enumerable partition that generates the σ-algebra of M, then one can compute an entropy of the dynamic system through the Jacobian; the

  R log J entropy is given by h µ (f ) = µ f dµ. After this result, is given a definition of Random Dynamic System and how a Rokhlin’s Formula can be extended to this dynamic.

  Keywords: Entropy, Jacobian, Rokhlin’s Formula

  

Sum´ ario

   p. 7

   p. 8

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 8

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 11

   p. 15

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 15

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 19

   p. 26

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 26

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 29

   p. 34

  . . . . . . . . . . . . . . . . . p. 35 p. 41

  

Introdu¸ c˜ ao

  Come¸caremos no primeiro cap´ıtulo definindo conceitos b´asicos da Teoria Erg´odica. Dis- cutiremos alguns conceitos importantes, como: Esperan¸ca Condicional, Desintegra¸c˜ao de Rokhlin.

  No segundo cap´ıtulo definiremos Entropia, ser´a dada uma no¸c˜ao intuitiva do surgimento do conceito de Entropia e tamb´em ser˜ao apresentados alguns teoremas que nos ajudar˜ao no c´alculo da entropia.

  O cap´ıtulo 03 ´e destinado ao tema principal deste trabalho. A no¸c˜ao de Jacobiano ´e claramente uma generaliza¸c˜ao da ideia de Jacobiano vista em c´alculo, o Jacobiano de um

  

n

  difeomorfismo com respeito ao volume de R . Neste cap´ıtulo iremos definir o que vem a ser o Jacobiano de uma fun¸c˜ao localmente invert´ıvel relativamente a uma medida η. Mais adiante, mostraremos o qu˜ao importante ´e a existˆencia de Jacobiano para facilitar o c´alculo da entropia. Por fim, ser´a demonstrado a F´ormula de Rokhlin, um teorema que relaciona o jacobiano de uma fun¸c˜ao com a sua entropia.

  No cap´ıtulo 04 faremos uma aplica¸c˜ao da f´ormula de Rokhlin. Apresentaremos a f´ormula de Rokhlin para o caso de Sistemas Dinˆamicos Aleat´orios.

1 Esperan¸ ca condicional

  Sabemos no caso de subconjuntos convexos de espa¸cos vetoriais com dimens˜ao finita tem- se que todo elemento do convexo pode ser escrito como combina¸c˜ao convexa dos elementos extremais. Por exemplo, todo ponto de um triˆangulo pode ser escrito como combina¸c˜ao convexa dos v´ertices do triˆangulo. Tratando do conjunto das medidas invariantes por uma transforma¸c˜ao, as medidas erg´odicas s˜ao pontos extremais. Agora, uma pergunta interessante em Teoria Erg´odica ´e saber se toda medida invariante ´e uma combina¸c˜ao linear de medidas erg´odicas. O teorema da decomposi¸c˜ao erg´odica responde essa pergunta. No entanto, estamos interessados nos conceitos que surgem na prepara¸c˜ao desse teorema. Um conceito importante ´e o de esperan¸ca condicional; este conceito ser´a fundamental para a demonstra¸c˜ao da F´ormula de Rokhlin, bem como o conceito da desintegra¸c˜ao de uma medida. Abordaremos esses conceitos neste cap´ıtulo.

1.1 Algumas defini¸ c˜ oes essenciais Nesta se¸c˜ao (M, B, µ) ser´a um espa¸co de probabilidade.

  Defini¸ c˜ ao 1.1.1 Dizemos que uma cole¸c˜ao P = (P n ) n n ∈ N, de conjuntos mensur´aveis de M ´e uma parti¸ c˜ ao se µ(P ∩ P ) = 0 para i 6= j e µ(X\ ∪ P ) = 0.

  i j i i

  2 Exemplo 1.1.1

  Seja M = R . Considere P = (P j ) j onde P j = {j} × R, com j ∈ R. Ent˜ao

  2 P ´e uma parti¸c˜ao de R .

  Exemplo 1.1.2 Seja (R, B, m) um espa¸co de medida, onde B ´e a σ-´algebra de Borel e m

  ´e a medida de Lebesgue. Ent˜ao P = (P ) onde P = {λ} ∈ R ´e uma parti¸c˜ao de R em

  λ λ λ c˜ ao em pontos conjuntos mensur´aveis. A chamada parti¸ . Defini¸ c˜ ao 1.1.2 Sejam P e Q duas parti¸c˜oes, dizemos que P ´e menos fina que Q, se todo elemento de Q est´a contido em algum elemento de P, a menos de medida nula, denotamos por P ≺ Q.

  Denotamos por P(x) o elemento da parti¸c˜ao que cont´em um ponto x. A soma P ∨ Q de duas parti¸c˜oes P e Q ´e a parti¸c˜ao cujos elementos s˜ao as interse¸c˜oes P ∩ Q com P ∈ P e Q ∈ Q. Mais geralmente, dada qualquer fam´ılia enumer´avel de parti¸c˜oes P n , definimos _ \ P = { P : P ∈ P para cada n}.

  n n n n n n

  A soma P ∨ Q ´e precisamente a menos fina de todas as parti¸c˜oes R tais que P ≺ R e Q ≺ R.

  Neste trabalho, P ser´a uma parti¸c˜ao de M em conjuntos mensur´aveis. Denotaremos por π : M → P a proje¸c˜ao natural que associa a cada x ∈ M o elemento P(x) da parti¸c˜ao que cont´em x.

  Este mapa π possibilita munir a parti¸c˜ao P com uma estrutura de espa¸co de probabi- lidade, da seguinte forma: Um subconjunto Q de P ´e mensur´avel se, e somente se, a pr´e imagem

  1

  π (Q) = uni˜ao dos elementos P ∈ P que pertencem a Q ´e um subconjunto mensur´avel de M.

  Proposi¸ c˜ ao 1.1.1 B dos subconjuntos mensur´aveis ´e uma σ-´algebra em P.

  A fam´ılia ˆ Demonstra¸ c˜ ao.

  

1 −

  1

  • {∅} e {P} ∈ ˆ

  B. De fato, ∅ = π (∅) e M = π (P) que ´e mensur´avel;

  1 1 c

  • Se P ∈ ˆ

  B, ent˜ao π ∈ M ´e − − (P ) ´e um conjunto mensur´avel em M, logo (π (P ))

  1 c 1 c c

  mensur´avel. Como (π (P )) = π (P ), conclu´ımos que P ∈ ˆ B;

  1

  • Se P ∈ ˆ B ´e uma sequˆencia enumer´avel de subconjuntos mensur´aveis, ent˜ao π (P ) ∈

  j j

  1 M ´e mensur´avel para todo j. Logo ∪ π (P ) ´e um subconjunto mensur´avel de M , j j

  1

  portanto π (∪ (P )) ´e mensur´avel, o que nos mostra que ∪ (P ) ∈ ˆ

  B. Logo, ˆ B ´e uma

  j j j j σ-´algebra em P. Com isso, definimos a medida quociente ˆ µ por

  1

  µ(Q) = µ(π ˆ (Q)) para cada Q ∈ ˆ B. Defini¸ c˜ ao 1.1.3 c˜ ao

  Uma desintegra¸ de µ relativamente a uma parti¸c˜ao P ´e uma fam´ılia {µ : P ∈ P} de probabilidades em M tal que, para todo conjunto mensur´avel E ⊂ M :

  P

  i. µ (P ) = 1 para ˆ µ-quase todo P ∈ P;

  P

  ii. a aplica¸c˜ao P → R, definida por P → µ (E) ´e mensur´avel;

  

P

iii. µ(E) = R µ (E)dˆ µ(P ). P As µ s˜ao chamadas probabilidades condicionais de µ relativamente a P.

  P

  Exemplo 1.1.3 Seja P = {P , P , P , ..., P } uma parti¸c˜ao finita de M em subconjuntos

  1

  2 3 n mensur´aveis com µ(P ) > 0 para todo i. A medida quociente ˆ µ ´e dada por ˆ µ({P }) = µ(P ). i i i

  Considere a restri¸c˜ao normalizada µ de µ a cada P

  i i

  µ(E ∩ P )

  i µ (E) = para todo E ⊂ M mensur´avel. i

  µ(P )

  i

  } ´e uma desintegra¸c˜ao de µ relativa a P, j´a que Ent˜ao {µ

  1 , µ 2 , ..., µ n X n })µ(E).

  µ(E) = µ({P

  i i=1

  Defini¸ c˜ ao 1.1.4 Dizemos que P ´e uma parti¸ c˜ ao mensur´ avel se, restrita a algum sub- conjunto de M com medida total, ela ´e o limite de uma sequˆencia crescente de parti¸c˜oes enumer´aveis. Mais precisamente, a parti¸c˜ao ´e mensur´avel se existe algum conjunto men-

  ⊂ M com medida total tal que, restrito a M sur´avel M _ P = P

  n

n=1

  para alguma sequˆencia crescente P ≺ P ≺ · · · P ≺ · · · de parti¸c˜oes enumer´aveis. Lembre

  1

2 n que P ≺ P significa que todo elemento de P est´a contido em algum elemento de P . i i+1 i+1 i A defini¸c˜ao acima ´e equivalente a seguinte defini¸c˜ao: Defini¸ c˜ ao 1.1.5 c˜ ao mensur´ avel

  Dizemos que P ´e uma parti¸ se existir um conjunto men- sur´avel M ⊆ M , com medida total, e uma fam´ılia enumer´avel {A ; n ∈ N} de conjuntos

  n

  ∈ {A } com mensur´aveis tais que, para cada P ∈ P, existe uma sequˆencia B n n , M \A n \ ∩ M P ∩ M = (B ).

  n

n∈N

  Exemplo 1.1.4 Seja M = (0, 1) × (0, 1), considere a parti¸c˜ao P = (0, 1) × {c}; com c ∈ (0, 1)} de M. P ´e mensur´avel, de fato, seja {a ; i ∈ N} uma enumera¸c˜ao do conjunto Q∩(0, 1)

  

i

  e defina a fam´ılia de conjuntos mensur´aveis

  1

  1

  j

  A = (0, 1) × [(a − , a ) ∩ (0, 1)] +

  i i a i j j

  2

  2

  j

  Assim, temos que {A ; i, j ∈ N} ´e uma fam´ılia enumer´avel de conjuntos mensur´aveis de M

  a i

  tal que, para todo P = (0, 1) × {c} ∈ P, \

  j j c P = B com B ∈ {A , (A ) }. i,j i,j a i a i i,j∈N

  Depois de definirmos o que vem a ser uma medida erg´odica, daremos um exemplo de uma parti¸c˜ao que n˜ao ´e mensur´avel.

  Teorema 1.1.1 (Desintegra¸c˜ao de Rokhlin) Suponha que o espa¸co m´etrico M ´e completo se- par´avel e que P ´e parti¸c˜ao mensur´avel. Ent˜ao a probabilidade µ admite alguma desintegra¸c˜ao relativamente a P.

  N˜ao demonstraremos o teorema acima, mas ele ser´a bastante ´ util. A demonstra¸c˜ao pode ser encontrada na referˆencia [2], Cap´ıtulo 5.

1.2 Esperan¸ cas condicionais

  ≺ P ≺ · · · P ≺ · · · de parti¸c˜oes Para o restante do cap´ıtulo, fixemos uma sequˆencia P

  1 2 n enumer´aveis tais que P = ∨ P restrito a algum conjunto M ⊂ M com medida total. n n=1

  Seja ψ : M → R uma fun¸c˜ao mensur´avel limitada qualquer. Para cada n ≥ 1, defina e (ψ) : M → R da seguinte forma:

  n

   Z

  1 ψ dµ, se µ(P (x)) > 0

  n

  µ(P (x))

  n P

n (x)

  e (ψ, x) =

  n

  0, caso contr´ario Como as parti¸c˜oes P s˜ao enumer´aveis, o segundo caso da defini¸c˜ao se aplica apenas num

  n

  conjunto de medida zero. Observe que e (ψ) ´e constante em cada P ∈ P ; denotamos por

  n n n

  E (ψ, P ) o valor desta constante. Ent˜ao

  n n Z Z Z X X

  ψdµ = ψdµ = µ(P )E (ψ, P ) = e (ψ)dµ (1.1) n n n n n P

  P n P n para todo n ∈ N.

  Lema 1.2.1 Seja ψ : M → R fun¸c˜ao mensur´avel qualquer, ent˜ao existe um subconjunto M

  ψ

  de M com µ(M ) = 1 tal que

  ψ

  1. e(ψ, x) = lim e (ψ, x) existe para todo x ∈ M ;

  n n ψ

  2. e(ψ) : M → R ´e mensur´avel e ´e constante em cada P ∈ P; 3. R ψdµ = R e(ψ)dµ.

  Demonstra¸ c˜ ao : Vamos supor que ψ ≥ 0. Para cada α < β, seja S(α, β) o conjunto dos pontos x ∈ M tais que lim inf e (ψ, x) < α < β < lim sup e (ψ, x)

  

n n

n n

  ´ E claro que a sequˆencia e (ψ, x) diverge se, e somente se, x ∈ S(α, β) (´obvio, pois se

  n

  lim inf = lim sup a sequˆencia converge) para algum α < β. Em outras palavras, o limite

  c

  e (ψ, x) existe se, e somente se, x pertence a interse¸c˜ao M de todos os S(α, β) com α < β

  n ψ

  racionais. Como se trata de uma interse¸c˜ao enumer´avel, para provar que µ(M ) = 1 basta

  ψ mostrar que µ(S(α, β)) = 0 para todo α < β.

  Como α, β est˜ao fixos, podemos escrever S = S(α, β). Dado x ∈ S, fixe uma sequˆencia

  x x x x

  de inteiros 1 ≤ a < b < ... < a < b < ... tais que

  1 1 i i x x

  e (ψ, x) < α e e (ψ, x) > β para todo i ≥ 1

  a b i i x x

  Defina A i como A i (x) = P a (x) e B i como sendo a uni˜ao dos elementos B i (x) = P b (x) i i obtidos deste modo, para todos os pontos x ∈ S. Por constru¸c˜ao, S ⊂ A ⊂ B ⊂ A para

  i+1 i i

  todo i ≥ 1. Em particular, S est´a contido no conjunto \ \ ∞ ∞ ˆ S = B i = A i .

  

i=1 i=1

x

  Como a sequˆencia P ´e crescente, n ≥ 1, dados dois quaisquer dos conjuntos A (x) = P (x)

  n i a i

  que formam A , ou eles s˜ao disjuntos ou um deles est´a contido no outro. Ent˜ao os conjuntos

  i

  A (x) maximais s˜ao disjuntos dois-a-dois e, portanto, constituem uma parti¸c˜ao de A . Logo,

  i i

  somando apenas sobre estes conjuntos maximais com medida positiva, temos Z Z X X ψ dµ = ψ dµ ≤ αµ(A (x)) = αµ(A ),

  i i A i A i (x) A (x) A (x) i i

  para qualquer i ≥ 1. Analogamente, Z Z X X ψ dµ = ψ dµ ≥ βµ(B i (x)) = βµ(B i ).

  B i B i (x) B i (x) B i (x)

  ⊃ B Como A i i e n´os estamos supondo que ψ ≥ 0, segue que Z Z

  αµ(A ) ≥ ψ dµ ≥ ψ dµ ≥ βµ(B ),

  i i A i B i

  para todo i ≥ 1. Tomando o limite quando i → ∞, obtemos que αµ( ˆ S) ≥ βµ( ˆ S). Isto implica que µ( ˆ S) = 0 e, portanto, µ(S) = 0. Isto prova a afirma¸c˜ao quando ψ ´e n˜ao-negativa. O caso

  • − ±

  − ψ geral segue imediatamente, sabendo que sempre podemos escrever ψ = ψ , onde ψ

  • s˜ao mensur´aveis, n˜ao-negativas e limitadas. Note que e (ψ) = e (ψ ) − e (ψ ) para todo

  n n n

  n ≥ 1 e, portanto, a conclus˜ao do lema ´e verdadeira para ψ se ela vale para ψ e ψ . Isto conclui a prova da afirma¸c˜ao (1).

  A mensurabilidade de e(ψ) segue do fato de que o limite de fun¸c˜oes mensur´aveis ´e men- sur´avel. Dado que P ´e menos fina que P, ´e claro que e (ψ) ´e constante em cada P ∈ P,

  n n

  restrito a um subconjunto de M com medida total. Logo o mesmo vale para e(ψ). Isto demonstra (2). Observe tamb´em que | e (ψ) |≤ sup | ψ | para todo n ≥ 1. Assim, usando o

  n

  teorema da convergˆencia dominada, podemos passar o limite em (1.1). Desta forma obtemos a afirma¸c˜ao (3).

  Estaremos interessados no caso que ψ ´e uma fun¸c˜ao caracter´ıstica, ψ = X A para algum conjunto mensur´avel A ⊂ M . Ou seja, e(ψ, x) = lim

  

n

  µ(P n (x) ∩ A) µ(P

  n

  (x))

2 Entropia

2.1 Defini¸ c˜ oes e alguns resultados

  Neste cap´ıtulo (M, B, µ) indicar´a um espa¸co de probabilidade e M ´e um espa¸co m´etrico compacto. Por parti¸c˜ao, sempre entenderemos uma fam´ılia finita ou enumer´avel P de sub- conjuntos mensur´aveis de M disjuntos dois-a-dois e cuja uni˜ao tem medida total. Defini¸ c˜ ao 2.1.1 Seja f : M → M uma transforma¸c˜ao mensur´avel, dizemos que a medida µ ´e invariante por f, ou que f preserva µ se

  1 µ(E) = µ(f (E)) para todo conjunto mensur´avel E ⊂ M .

  Exemplo 2.1.1 Consideremos a transforma¸c˜ao f : [0, 1] → [0, 1] definida por

  1 2x, se 0 ≤ x <

  2 f (x) =

  1 2x − 1, se ≤ x ≤ 1.

  2 A medida de Lebesgue em [0,1] invariante por f. A demonstra¸c˜ao pode ser encontrada na referˆencia [2]. Uma ideia ´e demonstrar que a medida ´e preservada em intervalos, depois demonstrar que ´e preservada numa uni˜ao de intervalos e da´ı usar um teorema de extens˜ao para obter que a medida ´e preservada em toda a σ-´algebra.

  Um teorema bastante importante ´e dado a seguir, ele assegura que dada uma medida invariante finita, quase todo ponto de qualquer conjunto mensur´avel E regressa a E um n´ umero infinito de vezes: Teorema 2.1.1 (Recorrˆencia de Poincar´e) Seja f : M → M uma transforma¸c˜ao mensur´avel e seja µ uma medida finita invariante por f. Seja E ⊂ M qualquer conjunto mensur´avel com

  µ(E) > 0. Ent˜ao, para µ-quase todo ponto x ∈ E existem infinitos valores de n para os quais

  n

  f (x) tamb´em est´a em E Demonstra¸ c˜ ao. Seja E o conjunto dos pontos x ∈ E que nunca regressam a E. Observe

  n

  que as pr´e-imagens f (E ) s˜ao disjuntas duas-a-duas. De fato, suponhamos que existem − −

  m n

  m > n ≥ 1 tais que f (E ) intersecta f (E ). Seja x um ponto na intersec¸c˜ao e seja

  n m−n m

  y = f (x). Ent˜ao y ∈ E e f (y) = f (x) ∈ E , que est´a contido em E. Isto quer dizer que y volta pelo menos uma vez a E, o que contradiz a defini¸c˜ao de E. Assim, as pr´e-imagens s˜ao duas-a-duas disjuntas.

  n

  Como a medida ´e invariante por f, µ(f (E )) = µ(E ) para todo n ≤ 1, conclu´ımos que [ ∞ ∞ ∞ − − X X

  n n µ( f (E )) = µ(f (E )) = µ(E ). n=1 n=1 n=1

  Como a medida ´e finita, a express˜ao do lado esquerda ´e finita. Por outro lado, do lado direito temos uma soma de infinitos termos, todos iguais, assim o ´ unico jeito dessa s´erie n˜ao explodir (da soma ser finita) ´e que as parcelas sejam nulas, isto ´e, µ(E ) = 0.

  Agora, denotemos por F o conjunto dos pontos x ∈ E que regressam apenas um n´ umero

  k

  finito de vezes. Por defini¸c˜ao de E, temos que todo ponto x ∈ F tem algum iterado f (x) ∈ E . Ou seja, [

  k F ⊂ f (E ). k=0

  Agora, como µ(E ) = 0 e µ ´e invariante, temos: [ ∞ ∞ ∞ − k − k X X µ(F ) ≤ µ( f (E )) ≤ µ(f (E )) = µ(E ) = 0.

  

k=0 k=0 k=0

Portanto, µ(F ) = 0 e conclu´ımos assim o teorema.

  Agora, introduziremos um dos conceitos fundamentais para o estudo da Teoria Erg´odica. Para motivar o enunciado, considere um conjunto mensur´avel E ⊂ M com medida positiva e um ponto x ∈ M qualquer. Queremos estudar o conjunto dos iterados de x que retornam para E, isto ´e,

  

j

  {j ≥ 0 : f (x) ∈ E}. Por exemplo, o teorema anterior (Recorrˆencia de Poincar´e) afirma que, para quase todo ponto x ∈ E, este conjunto ´e infinito. Por´em, gostar´ıamos de uma informa¸c˜ao mais precisa, edio de visita de uma natureza quantitativa. Chamamos de tempo m´ de x a E o valor de

  1

  j τ (E, x) = lim #{0 ≤ j < n : f (x) ∈ E}. n→∞

  n Seria interessante saber, por exemplo, em que condi¸c˜oes este tempo m´edio de visita ´e positivo. Antes de abordar este problema, ´e necess´ario responder a uma quest˜ao ainda mais b´asica: esse limite existe?

  O pr´oximo resultado responde essa pergunta e generaliza. Teorema 2.1.2 Seja f : M → M uma transforma¸c˜ao mensur´avel e seja µ uma probabilidade invariante por f. Dada qualquer fun¸c˜ao integr´avel ϕ : M → R, o limite X n−1

  1

  j

  ϕ(x) = lim ˆ ϕ(f (x))

  n→∞

  n

  j=0

  existe em µ-quase todo ponto x ∈ M . Al´em disso, a fun¸c˜ao ˆ ϕ definida desta forma ´e integr´avel e satisfaz Z Z ϕ(x)dµ(x) = ˆ ϕ(x) dµ(x).

  Demonstra¸ c˜ ao : Omitiremos a demonstra¸c˜ao deste resultado por n˜ao ser o foco princi- pal do trabalho, por´em a demonstra¸c˜ao pode ser obtida no livro ”Fundamentos da Teoria Erg´odica”Cap5.

  O limite ˆ ϕ ´e chamado m´ edia temporal , ou m´ edia orbital de ϕ. Uma outra observa¸c˜ao ´e que esse teorema resolve a pergunta feita anteriormente, basta tomarmos ϕ = X .

  E Podemos definir ent˜ao o que vem a ser uma medida erg´odica.

  Defini¸ c˜ ao 2.1.2 Seja µ uma medida de probabilidade invariante por uma transforma¸c˜ao

  odico

  mensur´avel f : M → M . Diremos que o sistema (f, µ) ´e erg´ se, dado qualquer conjunto mensur´avel E, temos que τ (E, x) = µ(E) para µ-quase todo ponto x ∈ M .

  Dizemos que uma fun¸c˜ao φ : M → R ´e invariante se φ = φ ◦ f em µ-quase todo ponto. Ou seja, a menos de um conjunto com medida nula, a fun¸c˜ao ´e constante em toda trajet´oria de f . Al´em disso, dizemos que um conjunto mensur´avel B ⊂ M ´e invariante se a sua fun¸c˜ao caracter´ıstica X ´e uma fun¸c˜ao invariante. Em outras palavras, B ´e invariante se ele difere

  B

  1

  da sua pr´e-imagem f (B) por um conjunto de medida nula:

  

1

  µ(B∆f (B)) = 0 Proposi¸ c˜ ao 2.1.1

  Seja µ uma probabilidade invariante de uma transforma¸c˜ao mensur´avel f : M → M . S˜ao equivalentes: a) (f, µ) ´e erg´odico.

  b) Para todo subconjunto invariante A tem-se µ(A) = 0 ou µ(A) = 1 Agora, daremos exemplo de uma parti¸c˜ao que n˜ao ´e mensur´avel.

  Exemplo 2.1.2 Seja f : M → M uma transforma¸c˜ao invert´ıvel e µ a medida de Le- besgue invariante, tal que µ(M ) = 1. Considere P a parti¸c˜ao de M em ´orbitas, onde

  n

  O

  

x = {f (x)|n ∈ Z}. Primeiramente, ´e f´acil perceber que as ´orbitas s˜ao subconjuntos inva-

  riantes por f. Agora, suponha por absurdo que exista uma sequˆencia crescente de parti¸c˜oes ≺ P ≺ · · · P ≺ · · · tais que enumer´aveis P

  1 2 n _

  P n = P.

  n=1

  ∈ P Seja P n n , perceba que P n ´e a uni˜ao de elementos da parti¸c˜ao de P, que s˜ao ´orbitas. Logo P ´e tamb´em uma conjunto invariante de f. Portanto, µ(P ) = 0 ou µ(P ) = 1. Assim,

  n n n

  existe um ´ unico elemento da parti¸c˜ao P n com medida total, vamos denotar este elemento por ∞ ∞ ˆ

  P . Agora, seja P ∈ ∨ P , ent˜ao P = ∩ P , onde P ∈ P . Com isso, temos duas

  n n n n n n=1 n=1

  possibilidades para P: \ P = P n , onde cada P n = ˆ P n e portanto µ(P ) = 1

  n=1

  ou ent˜ao

  \ ∞ P = P , onde existe ao menos um j ∈ N tal que P 6= ˆ P . Assim, µ(P ) = 0. n j j n=1

  Conclu´ımos ent˜ao que existe um ´ unico ˆ P ∈ P com medida total, absurdo! Pois, como P ´e uma parti¸c˜ao em ´orbitas, cada elemento P ∈ P ´e um conjunto enumer´avel, e portanto µ(P ) = 0, j´a que todo conjunto enumer´avel tem medida de Lebesgue igual a zero.

2.2 Entropia

  Comecemos por discutir, simplesmente por motiva¸c˜ao, o que o conceito de ganho de ”informa¸c˜ao”poderia significar. Um experimento nesse espa¸co significa que um ponto x ∈ M ´e selecionado aleatoriamente. Trataremos os conjuntos da parti¸c˜ao A ∈ B como os poss´ıveis resultados desse experimento, regido pela probabilidade µ. Isso significa que A ocorre com uma probabilidade µ(A). Aqui podemos fazer uma pergunta informal acerca de um A ∈ B fixo:

  Suponha que x seja um ponto escolhido aleatoriamente em M. O quanto de informa¸c˜ao ganhamos ao saber que x ∈ A? Por exemplo, se A = M , n˜ao ganhamos informa¸c˜ao alguma sobre x. Podemos dizer que a quantidade de ganho de informa¸c˜ao ´e zero (de fato, n˜ao ´e surpresa saber que x ∈ M ). Se A ´e apenas um ponto, esse ponto deve ser o pr´oprio x e n´os aprendemos a localiza¸c˜ao exata de x. Ent˜ao podemos dizer que a quantidade de ganho de informa¸c˜ao ´e m´axima. A pergunta anterior torna-se interessante quando consideramos uma parti¸c˜ao B e fazemos a seguinte pergunta:

  Suponhamos que x seja selecionado aleatoriamente em M e seremos informados sobre qual conjunto da parti¸c˜ao ele se encontra. Quanta informa¸c˜ao sobre a localiza¸c˜ao precisa de x esperamos ganhar?

  Por um lado, quando menor for µ(A), maior ser´a o ganho de informa¸c˜ao ao dizer que x ∈ A. Vamos abordar a primeira pergunta. Estamos a procura de uma fun¸c˜ao I : B → [0, ∞] tal que: I(A) :=o quanto de informa¸c˜ao ganhamos ao saber que x ∈ A.

  Al´em do mais, tenha as seguintes propriedades: i. µ(A) = µ(B) ⇒ I(A) = I(B) (a informa¸c˜ao depende apenas da medida do conjunto). ii. µ(A) = 1 ⇒ I(A) = 0 (nenhuma informa¸c˜ao ´e obtida sobre a localiza¸c˜ao de x) iii. µ(A) = 0 ⇒ I(A) = M onde M := sup I ∈ [0, ∞] (temos o maior ganho de informa¸c˜ao sobre x) iv. µ(A) < µ(B) ⇒ I(B) < I(A) v. µ(A ∩ B) = µ(A)µ(B) (isto ´e, A e B s˜ao independentes) ⇒ I(A ∩ B) = I(A) + I(B).

  Atrav´es da propriedade i., podemos imaginar que estamos a procura de uma fun¸c˜ao φ : [0, 1] → [0, ∞] tal que

  I(A) = φ(µ(A)) para todo A ∈ B. Vamos tentar definir uma φ universal, no sentido de que n˜ao depende do espa¸co de probabilidade estabelecido. Procuramos ent˜ao uma φ : [0, 1] → [0, 1] que seja estritamente decrescente, com φ(1) = 0 e que assuma o m´aximo no ponto zero. Al´em do mais, pela propriedade v., queremos que

  φ(ab) = φ(a) + φ(b) para todo a, b ∈ [0, 1]. Segue que φ ´e dada por φ(x) = − log x. Podemos entar definir formalmente a fun¸c˜ao informa¸c˜ao. Defini¸ c˜ ao 2.2.1 Seja (M, B, µ) um espa¸co de probabilidade. N´os dizemos que I : B → [0, ∞] dada por

  I(A) = − log(µ(A))

  c˜ ao informa¸ c˜ ao

  ´e a fun¸ em (M, B, µ). N´os podemos pensar em I(A) como o valor da informa¸c˜ao que se obt´em sobre a localiza¸c˜ao precisa de um ponto x escolhido aleatoriamente em M, se for dito que x ∈ A. Defini¸ c˜ ao 2.2.2 Seja f : M → M uma transforma¸c˜ao preservando a medida de probabi-

  c˜ ao P com respeito a µ

  lidade µ. Dada uma parti¸c˜ao P de M, a entropia da parti¸ ´e Z X H µ (P) := I(x)dµ = − µ(P ) log µ(P )

  P ∈P

  onde I(x) = − log(µ(P(x))). Usualmente, fazemos a conven¸c˜ao de que 0 log 0 = lim x log x = 0

  

x→0

  Defini¸ c˜ ao 2.2.3 Chamamos entropia condicional de uma parti¸c˜ao P com rela¸c˜ao a uma parti¸c˜ao Q ao n´ umero X X µ(P ∩ Q) H (P/Q) = −µ(P ∩ Q) log( ).

  µ

  µ(Q)

  P ∈P Q∈Q

  Observa¸ c˜ ao: 2.2.1 ´ E claro que H (P/M ) = H (P)

  µ µ

  Lema 2.2.1 Sejam P, Q e R parti¸c˜oes com entropia finita. Ent˜ao

  1. H (P ∨ Q/R) = H (P/R) + H (Q/P ∨ R);

  µ µ µ

  2. Se P ≺ Q ent˜ao H µ (P/R) ≤ H µ (Q/R) e H µ (R/P) ≥ H µ (R/Q)

  3. P ≺ Q se, e somente se, H (P/Q) = 0

  µ Demonstra¸ c˜ ao.

  Por defini¸c˜ao, X µ(P ∩ Q ∩ R)

  H (P ∨ Q/R) = −µ(P ∩ Q ∩ R) log

  µ

  µ(R)

P,Q,R

  X

  µ(P ∩ Q ∩ R) −µ(P ∩ Q ∩ R) log

  = µ(P ∩ R)

P,Q,R

  X

  µ(P ∩ R) −µ(P ∩ Q ∩ R) log

  . + µ(R) A soma do lado direito pode ser reescrita como X X µ(C ∩ Q) µ(P ∩ R)

  −µ(P ∩ R) log + −µ(S ∩ Q) log µ(S) µ(R)

  S∈P∨R,Q∈Q P ∈P,R∈R = H µ (Q/P ∨ R) + H µ (P/R).

  Isto demonstra o item (1). Observe que em (*) usamos o fato de que X X X µ(P ∩ R) µ(P ∩ R)

  −µ(P ∩ Q ∩ R) log = −µ(P ∩ R) log µ(R) µ(R)

  P,R Q P ∈P,R∈R

  j´a que X µ(P ∩ Q ∩ R) = µ(P ∩ R).

  Q

  Agora, para demonstrar (2) observe que se P ≺ Q ent˜ao X X X µ(P ∩ R)

  −µ(Q ∩ R) log H µ (P/R) =

  µ(R) X P R Q⊂P X X µ(Q ∩ R)

  ≤ −µ(Q ∩ R) log µ(R)

  P R Q⊂P = H (Q/R).

  µ

  E isto prova a primeira parte de (2). A segunda parte de (2) ´e deixada como exerc´ıcio para o leitor. Finalmente, segue da defini¸c˜ao que H µ (P/Q) = 0 se, e somente se, para todo P ∈ P e todo Q ∈ Q,

  µ(P ∩ Q) µ(P ∩ Q) = 0 ou ent˜ao = 1.

  µ(Q) Em outras palavras, ou Q ´e disjunto de P (a menos de medida nula) ou Q est´a contido em P (a menos de medida nula). Isto quer dizer que H (P/Q) = 0 se, e somente se, P ≺ Q e isto

  µ demonstra (3).

  1 Observe que se µ ´e invariante, ent˜ao H (f (P)) = H (P). Al´em disso, tomando R = µ µ

  M(parti¸c˜ao trivial) no item (1), vemos que H (P ∨ Q) = H (P) + H (Q/P) ≤ H (P) + H (Q).

  µ µ µ µ µ Consideremos de agora em diante (a menos de men¸c˜ao expl´ıcita) f : M → M mensur´avel

  n

  e µ invariante por f . Dada uma parti¸c˜ao P com entropia finita, denotamos por P =

  n−1 − j n

  ∨ f (P) para cada n ≥ 1. Observe que o elemento P (x) que cont´em x ∈ M est´a dado

  j=0

  por: − − −

  n

  1

  2 2 n+1 n−1 P (x) = P(x) ∩ f (P(f (x))) ∩ f (P(f (x))) ∩ · · · ∩ f (P(f (x))). m+n m n

  Teorema 2.2.1 H µ (P ) ≤ H µ (P ) + H µ (P ) para todo m, n ≥ 1.

  m+n−1 − − m+n i m m n

  Demonstra¸ c˜ ao: P = ∨ f (P) = P ∨ f (P ). Portanto

  i=0 m+n m m n

  H (P ) ≤ H (P ) + H (f (P ))

  µ µ µ m n n

  Como µ ´e invariante, temos que H (f (P )) = H (P ) para todo m, n. Assim, conclu´ımos

  µ µ

  que

  m+n m n H (P ) ≤ H (P ) + H (P ). µ µ µ

  Podemos ent˜ao definir a entropia da transforma¸c˜ ao f com respeito a parti¸ c˜ ao P e a probabilidade invariante µ por

  n−1 _

  1

  i h (f, P) = lim H ( f (P)). µ µ n→∞

  n

  i=0

  Por fim, a entropia m´ etrica de f com respeito a µ ´e h (f ) := sup{h (f, P) : P parti¸c˜ao finita},

  µ µ n n n n

  Observe que se P ≺ Q, ent˜ao P ≺ Q e portanto H (P ) ≤ H (Q ), o que mostra que

  µ µ

  h (f, P) ≤ h (f, Q)

  µ µ

  Exemplo 2.2.1 Considere a expans˜ao decimal f : [0, 1] → [0, 1] dada por f (x) = 10x−[10x]. O leitor pode verificar que a medida µ de Lebesgue ´e invariante por f. Seja P a parti¸c˜ao nos

  (i − 1) i

  n

  intervalos da forma ( , ) com i = 1, 2, ..., 10. Ent˜ao P ´e a parti¸c˜ao nos intervalos

  10

  10 (i − 1) i

  n

  da forma ( , ) com i = 1, 2, ..., 10 . Ent˜ao

  n n n X

  10 − n − n n

  H (P ) = −10 log 10 = n log 10.

  µ i=1

  e da´ı

  1

  1

  n h µ (f, P) = lim H µ (P ) = lim n log 10 = log 10. n→∞ n→∞

  n n

  n j

  Lema 2.2.2 h (f, P) = lim H (P/ ∨ f (P)) para qualquer parti¸c˜ao P com entropia

  µ n µ j=1

  finita. ′ ′ ′ ′ ′ Demonstra¸ c˜ ao

  ∨ Q ∨ : Lembre pelo Lema 2.2.1(1) que H µ (P /R) = Hµ(P /R) + H µ (Q /P ′ ′ n−1 −

  j

  R), assim tomando R = M, Q = P, P = ∨ f (P) e o fato de que a medida µ ´e invariante,

  j=1

  temos

  n−1 n−1 n−1 _ _ _

− − −

j j j

  H ( f (P)) = H ( f (P)) + H (P/ f (P)) =

  µ µ µ j=0 j=1 j=1 n−2 n−1 _ _ − − j j

  H ( f (P) + H (P/ f (P))

  µ µ j=0 j=1

  para todo n. Assim, por recorrˆencia temos

  n−1 n−1 k _ − j − j X _

  H ( f (P)) = H (P) + H (P/ f (P))

  µ µ µ j=0 j=1 k=1

  Portanto, h (f, P) ´e dada pelo limite Cesaro

  µ n−1 n−1 k _ X _

  1 − −

  1

  j j

  h µ (f, P) = lim H µ ( f (P)) = lim (P/ f (P))

  n n

  n n

  j=0 j=1 k=1 n j

  Por outro lado, o Lema 2.2.1(2) garante que a sequˆencia H (P/ ∨ f (P)) ´e decrescente e

  µ j=1 − n−1 k −

  1 P W

  n j j limitada, portanto lim H (P/ ∨ f (P)) existe e ´e igual a lim (P/ f (P)). n µ n j=1 k=1 j=1

  n Conclu´ımos assim que

  n − j h µ (f, P) = H µ (P/ ∨ f (P)). j=1 k

  Lema 2.2.3 Se P ´e parti¸c˜ao com entropia finita, ent˜ao h (f, P) = h (f, P ) para todo

  µ µ k ≥ 1. Demonstra¸ c˜ ao: Observe que dado qualquer n ≥ 1

  n−1 n−1 k−1 n+k−2 _ _ _ _ − − − − j k j i l n+k−1

  f (P ) = f ( f (P)) = f (P) = P .

  j=0 j=0 i=0 l=0

  Portanto

  1

  1

  n+k−1 n k

  h (f, P ) = lim H (P ) = lim H (P ) = h (f, P).

  µ µ µ µ n n

  n n A principal dificuldade no c´alculo da entropia reside no fato de calcular o supremo. O resultado a seguir facilita essa dificuldade Teorema 2.2.2 ≺ P ≺ · · · ≺ P ≺ · · · uma sequˆencia n˜ao-

  (Kolmogorov-Sinai) Seja P

  1 2 n

  decrescente de parti¸c˜oes com entropia finita tal que ∪ P gera a σ-´algebra dos conjuntos

  n n=1

  mensur´aveis a menos de medida nula. Ent˜ao h (f ) = lim h (f, P ).

  

µ n µ n

  Corol´ ario 2.2.1 Seja P uma parti¸c˜ao com entropia finita tal que a uni˜ao dos seus iterados

  n−1 − n j

  P = ∨ f (P), n ≥ 1 gera a σ-´algebra dos conjuntos mensur´aveis. Ent˜ao h (f ) =

  µ j=0

  h (f, P).

  µ

  1 2 n

  Demonstra¸ c˜ ao: ≺ P ≺ · · · ≺ P ≺ · · · . Pelo Lema 2.2.3, h Sabemos que P

  µ (f, P) = n k

  h (f, P ). Assim pelo teorema de Kolgomorov-Sinai, h (f ) = lim h (f, P ) = lim h (f, P) =

  µ µ µ µ n n

  h µ (f, P). Exemplo 2.2.2

  Considere a transforma¸c˜ao expans˜ao decimal f : [0, 1] → [0, 1], dada por f (x) = 10x−[10x], f preserva a medida de Lebesgue. Seja P a parti¸c˜ao [0, 1] nos intervalos da i − 1 i i − 1 i

  n

  forma ( , ] com i = 1, ..., 10. Ent˜ao P ´e a parti¸c˜ao nos intervalos da forma ( , ]

  n n

  10

  10

  10

  10

  n

  com i = 1, ..., 10 . Pelo Exemplo 2.2.1 vimos que

  1

  n h (f, P) = lim H (P ) = log 10. µ µ n

  n Agora, como P gera a σ-´algebra dos conjuntos mensur´aveis, pelo Corol´ario 2.2.1 podemos concluir que a entropia da transforma¸c˜ao expans˜ao decimal ´e h (f ) = h (f, P) = log 10.

  µ µ

3 F´ ormula de Rokhlin

3.1 Jacobiano

  A no¸c˜ao de Jacobiano ´e claramente uma generaliza¸c˜ao da ideia de Jacobiano vista em

  n

  c´alculo, o Jacobiano de um difeomorfismo com respeito ao volume de R . Neste cap´ıtulo iremos definir o que vem a ser o Jacobiano de uma fun¸c˜ao localmente invert´ıvel relativamente a uma medida η. Mais adiante, mostraremos o qu˜ao importante ´e a existˆencia de Jacobiano para facilitar o c´alculo da entropia.

  Defini¸ c˜ ao 3.1.1 Seja f : M → M uma transforma¸c˜ao mensur´avel. Diremos que f ´e local- mente invert´ıvel se existe alguma cobertura enumer´avel {U : k ≥ 1} de M por conjuntos

  k

  mensur´aveis tais que a restri¸c˜ao de f a cada U ´e uma bije¸c˜ao sobre a sua imagem, a qual ´e

  

k

  um conjunto mensur´avel, e a inversa dessa bije¸c˜ao tamb´em ´e mensur´avel. Os subconjuntos mensur´aveis destes conjuntos U ser˜ao chamados dom´ınios de injetividade.

  k

  1 Observa¸ c˜ ao: 3.1.1

  Observe que se f ´e localmente invert´ıvel ent˜ao a pr´e-imagem f (y) de qualquer y ∈ M ´e enumer´avel, de fato, como a restri¸c˜ao a cada U ´e uma bije¸c˜ao, a pr´e

  k imagem de y cont´em no m´aximo um ponto em cada U , que por sua vez ´e enumer´avel. k Defini¸ c˜ ao 3.1.2 Seja η uma probabilidade em M, n˜ao necessariamente invariante por f.

  Uma fun¸c˜ao mensur´avel ξ : M → [0, ∞) ´e um jacobiano de f relativamente a η se a restri¸c˜ao de ξ a qualquer dom´ınio de injetividade A ´e integr´avel com rela¸c˜ao a η e satisfaz Z η(f (A)) = ξ dη

  A

  Observa¸ c˜ ao : Note que a defini¸c˜ao n˜ao depende da escolha da cobertura {U : k ≥ 1}

  k ao singular Dizemos que uma medida ´e n˜ com rela¸c˜ao a transforma¸c˜ao f se a imagem de qualquer dom´ınio de invertibilidade com medida nula tamb´em tem medida nula: Se η(A) = 0

  d

  ent˜ao η(f (A)) = 0. Por exemplo, se f : U → U ´e um difeomorfismo local num aberto de R e η ´e a medida de Lebesgue, ent˜ao η ´e n˜ao singular (f´ormula de mudan¸ca de vari´aveis).

  ´ E f´acil ver que se f admite jacobiano com rela¸c˜ao a uma medida η ent˜ao essa medida ´e n˜ao singular. Vamos mostrar que a rec´ıproca tamb´em ´e verdadeira.

  Teorema 3.1.1 Seja f : M → M uma transforma¸c˜ao localmente invert´ıvel e seja η uma medida boreliana em M, n˜ao singular com rela¸c˜ao a f. Ent˜ao, existe algum jacobiano de f com rela¸c˜ao a η e ele ´e essencialmente ´ unico: dois jacobianos quaisquer coincidem em η-quase todo ponto.

  Demonstra¸ c˜ ao.

  : Provaremos inicialmente a existˆencia. Seja {U : k ≥ 1} uma cobertura

  k

  enumer´avel arbitr´aria de M , onde cada U ´e um dom´ınio de invertibilidade de f , defina

  k

  P = U e P = U \(U ∪ · · · ∪ U ) para cada k > 1. Ent˜ao, P = {P : k ≥ 1} ´e uma

  1 1 k k 1 k−1 k

  parti¸c˜ao de M formada por dom´ınios de invertibilidade. Para cada P ∈ P, represente por

  k

  η a medida definida em P por η (A) = η(f (A)). Em outras palavras, η ´e a imagem por

  k k k k

  1

  (f |P ) da medida η restrita a f (P ). A hip´otese de que η ´e n˜ao singular implica que cada

  k k

  η ´e absolutamente cont´ınua com rela¸c˜ao a η restrita a P :

  k k

  η(A) = 0 ⇒ η (A) = η(f (A)) = 0

  k

  para todo conjunto mensur´avel A ⊂ P . Seja ξ = dη /d(η|P ) a derivada de Rad´on-

  k k k k

  Nykodim. Ent˜ao ξ ´e uma fun¸c˜ao definida em P , integr´avel com rela¸c˜ao a η e satisfazendo

  k k Z

  η(f (A)) = η (A) = ξ dη

  k k A

  para todo conjunto mensur´avel A ⊂ P . Considere a fun¸c˜ao ξ : M → [0, ∞) cuja restri¸c˜ao a

  k

  cada P ∈ P est´a dado por ξ . Todo subconjunto de U pode ser escrito como uni˜ao disjunta

  k k k

  de subconjuntos de P , ..., P . Aplicando a igualdade anterior a cada um desses subconjuntos

  1 k

  e somando as respectivas igualdades, obtemos que Z η(f (A)) = ξ dη para todo conjunto mensur´avel A ⊂ U e k ≥ 1.

  k A Isto prova que ξ ´e um jacobiano de f relativamente a η.

  Agora, suponha que ξ e ζ s˜ao jacobianos de f relativamente a η e que existe B ⊂ M com η(B) > 0 tal que ξ(x) 6= ζ(x) para todo x ∈ B. A menos de substituir B por um subconjunto adequado, e permutar os pap´eis de ξ e ζ ´e necess´ario, podemos supor que ξ(x) < ζ(x) para todo x ∈ B. De modo similar, podemos supor que B est´a contigo em algum U

  f dη = Z

  1. Como η ´e n˜ao singular, existe J η f . Usando o teorema anterior temos Z

  f (A)

  X

  f (A)

  dη = η(f (A)) = Z

  A

  J

  η

  A

  dη para qualquer fun¸c˜ao mensur´avel ψ : A → R tal que as integrais est˜ao definidas (podendo ser ±∞) Demonstra¸ c˜ ao

  (X

  f (A)

  ◦ f )J

  η

  f dη E portanto a equa¸c˜ao se verifica para fun¸c˜oes caracter´ısticas. Pelo mesmo argumento se verifica para fun¸c˜oes simples. Usando o Teorema da Convergˆencia Dominada verifica-se que o lema ´e v´alido para toda ϕ : f (A) → R mensur´avel, j´a que podemos aproximar qualquer fun¸c˜ao mensur´avel integr´avel por fun¸c˜oes simples.

  2. Aplicando o item (1) `a fun¸c˜ao ϕ = (ψ/J

  η

  f ) ◦ (f |A)

  1

  :

  1

  k

  η f ´e integr´avel em cada dom´ınio de invertibilidade.

  . Ent˜ao, η(f (B)) = Z

  B

  ξ dη < Z

  B ζ dη = η(f (B)).

  Contradi¸c˜ao, logo o jacobiano ´e ´ unico.

  Usaremos a nota¸c˜ao J

  η f para representar o jacobiano de f com rela¸c˜ao a η, quando exista.

  Por defini¸c˜ao, J

  Corol´ ario 3.1.1 Seja f : M → M uma transforma¸c˜ao localmente invert´ıvel e η uma proba- bilidade boreliana em M n˜ao singular com rela¸c˜ao a f. Ent˜ao valem as seguintes f´ormulas de mudan¸cas de vari´aveis.

  (ψ/J η f ) ◦ (f |A)

  1. R

  f (A)

  ϕ dη = R

  A

  (ϕ◦f )J η f dη para todo dom´ınio de invertibilidade A ⊂ M e toda fun¸c˜ao mensur´avel ϕ : f (A) → R tal que as integrais est˜ao definidas (podendo ser ±∞)

  2. R

  A

  ψ dη = R

  f (A)

  temos justamente o resultado desejado. N˜ao ´e verdade que toda probabilidade invariante η ´e n˜ao singular, ´e f´acil construir contra- exemplos para isto.

3.2 F´ ormula de Rokhlin

  Teorema 3.2.1 Seja f : M → M uma transforma¸c˜ao localmente invert´ıvel e seja µ uma probabilidade invariante por f. Suponha que existe alguma parti¸c˜ao finita ou enumer´avel P

  n

  P tal que ∪ n gera a σ-´algebra de M e todo P ∈ P ´e dom´ınio de invertibilidade de f. Ent˜ao h (f ) = R logJ f dµ.

  µ µ n − j

  Demonstra¸ c˜ ao : Consideremos a sequˆencia de parti¸c˜oes Q n = ∨ f (P). Pelo Corol´ario

  j=1

  2.2.1 e pelo Lema 2.2.2, h µ (f ) = h µ (f, P) = lim n H µ (P/Q n ). (3.1) Por defini¸c˜ao (como anteriormente, φ(x) = −xlogx) X X X X

  µ(P ∩ Q ) µ(P ∩ Q )

  n n

  H (P/Q ) = −µ(P ∩ Q )log = µ(Q )φ( ) (3.2)

  µ n n n

  µ(Q ) µ(Q ) ∈Q ∈Q n n P ∈P Q n n P ∈P Q n n Seja e (φ, x) a esperan¸ca condicional de uma fun¸c˜ao φ relativamente `a parti¸c˜ao Q e seja

  n n

  e(φ, x) o seu limite quando n vai para o infinito. ´ E claro da defini¸c˜ao que µ(P ∩ Q )

  n = e (X , x) para todo x ∈ Q e todo Q ∈ Q . n P n n n

  µ(Q n ) Portanto, X X X Z

  µ(P ∩ Q )

  n

  µ(Q )φ( ) = φ(e (X , x)) dµ(x). (3.3)

  n n P

  µ(Q n )

  P ∈P Q n Q n P ∈P

  Pelo lema 1.2.1, o limite e(X , x) = lim e (X , x) existe para µ-quase todo ponto x. Ent˜ao,

  P n P n

  observando que a fun¸c˜ao φ ´e limitada, podemos usar o teorema da convergˆencia dominada para deduzir das rela¸c˜oes (3.1) - (3.3) que X Z h µ (f ) = φ(e(X P , x)) dµ(x). (3.4)

  P ∈P Precisaremos do seguinte lema para relacionar o jacobiano com o integrando do lado direito. Lema 3.2.1 Para toda fun¸c˜ao mensur´avel limitada ψ : M → R e toda probabilidade boreli- ana η invariante por f, X

  ψ e(ψ, x) = ˆ ψ(f (x)) para η-quase todo x, onde ˆ ψ(y) = (z). − η 1 J f

  z∈f (y) n − j

  Demonstra¸ c˜ ao.

  Lembre que Q n = ∨ f (P). Tamb´em usaremos a sequˆencia de parti¸c˜oes

  j=1 n−1 − − n j 1 n−1 n n

  P = ∨ f (P). Observe que Q (x) = f (P (f (x))) e P (x) = P (x) = P(x) ∩ Q (x)

  n n j=0

  para todo n e todo x. Ent˜ao, Z Z X ψ

  1

  ˆ ◦ (f |P ) n− n− 1 ψ dη = dη 1 P (f (x)) f (P )∩P (f (x)) η J f

  P ∈P

  Usando a f´ormula de mudan¸ca de vari´aveis dada no Corol´ario 3.1.1, a express˜ao do lado direito pode ser reescrita como X Z Z ψ(z) dη(z) = ψ dη.

  

P ∩Q n (x) Q n (x)

P ∈P

  Portanto, Z Z ˆ P (f (x)) Q n (x) n− 1 ψ dη = ψ dη (3.5)

  n−1

  A hip´otese de que η ´e invariante d´a que η(P (f (x)) = η(Q (x)). Dividindo ambos os lados

  n

  de (3.5) por este n´ umero, obtemos que e (ψ, x) = e ( ˆ ψ, f (x)) para todo x e todo n > 1.

  n n−1

  Ent˜ao, passando o limite, e(ψ, x) = e ( ˆ ψ, f (x)) para η-quase todo x. Por outro lado, ´e f´acil ver que e ( ˆ ψ, y) = ˆ ψ(y) para η-quase todo y ∈ M .

  Vamos aplicar este resultado a ψ = X e η = µ. Como f ´e injetiva em todo elemento de P

1 P, cada interse¸c˜ao P ∩ f (y) ou ´e vazia ou cont´em exatamente um ponto. Portanto, segue

  do Lema anterior que e(X , x) = ˆ X (f (x)), com

  P P

  (

  1

  1/J f ((f | P ) (y)) se y ∈ f (P );

  µ

  ˆ X (y) =

  P se y / ∈ f (P ).

  Z Z Z Z Ent˜ao, lembrando que a medida µ ´e invariante,

  1

  1

  φ(e(X , x)) dµ(x) = φ( ˆ X (y)) dµ(y) = ( log J f )◦(f |P ) dµ = log J f dµ

  P P µ µ

  J f

  µ f (P ) P

  (usamos na ´ ultima igualdade a parte (2) do corol´ario 3.1.1). Substituindo essa express˜ao em (3.4), vem que X Z Z h (f ) = log J f dµ = log J f dµ.

  µ µ µ P P ∈P

  Exemplo 3.2.1 Considere a expans˜ao decimal f : [0, 1] → [0, 1] dada por f (x) = 10x−[10x].

  (i − 1) i A medida µ de Lebesgue ´e invariante por f. Considere a cobertura U = ( , ) com

  i

  10

  10 i = 1, 2, 3, ..., 10, ent˜ao f restrita a cada U ´e uma bije¸c˜ao e sua inversa ´e mensur´avel, logo

  j

  10

  f ´e localmente invert´ıvel. Essa mesma cobertura P = ∪ U ´e uma parti¸c˜ao que gera a

  i i=1

  σ-´algebra de Borel em [0, 1]. Portanto, como f satisfaz as hip´oteses do Teorema, podemos aplicar a F´ormula de Rokhlin para esta transforma¸c˜ao. O jacobiano de f relativamente a µ ´e J f (x) = 10 para todo x ∈ P.

  µ

  Logo, conclu´ımos atrav´es da f´ormula de Rokhlin que a entropia da expans˜ao decimal ´e dada por h (f ) = R log J f dµ = R log 10 dµ = log 10.

  µ µ

  Um outro fato interessante ´e dado pelo seguinte exemplo:

  1

  1

  2 Exemplo 3.2.2 Seja f : S → S uma transforma¸c˜ao de classe C tal que |f (x)| > σ > 1

  1

  para todo x ∈ S . Nestas condi¸c˜oes sabemos que existe uma ´ unica medida µ absolutamente cont´ınua com respeito `a medida de Lebesgue m que ´e invariante por f. Al´em disso, µ ´e erg´odica (Recomenda-se uma leitura do capitulo 11 da referˆencia [2]).

  Neste caso, o Teorema de Birkhoff nos permite definir o n´ umero X n−1 1 ′ ′

  1

  i n λ = lim log |f (f (x))| = lim log |(f ) (x)|.

  n n

  i=0 Este n´ umero ´e chamado Expoente de Lyapunov de µ com respeito a f .

  Pode-se mostrar que sob estas condi¸c˜oes, existe δ > 0 tal que para toda parti¸c˜ao P com diˆametro menor que δ, P ´e geradora. Assim, podemos usar a f´ormula de Rokhlin para concluir que Z h (f ) = log J f dµ

  µ µ

  h ◦ f Vamos checar que J f = |f |. De fato, como µ = hm, podemos concluir que

  µ Z Z Z Z h ′ ′ h ◦ f

  µ(f (A)) = 1 dµ = h dm = |f |(h ◦ f ) dm = |f | dµ, h

  

f (A) f (A) A A

perceba que na terceira igualdade usamos a f´ormula de mudan¸ca de vari´aveis.

  Portanto, conclu´ımos que a entropia de f com respeito a µ ´e dada por Z Z h ◦ f h (f ) = log(J f ) dµ = log(|f | ) dµ.

  µ µ

  h Esta igualdade ´e uma caso particular da chamada F´ormula de Pesin que afirma que:

  

Teorema 3.2.2 Seja f : M → M uma transforma¸c˜ao expansora numa variedade Rieman-

  niana compacta, tal que a derivada Df ´e Holder. Seja µ a ´ unica probabilidade invariante absolutamente cont´ınua com respeito `a medida de Lebesgue em M. Ent˜ao X k h (f ) = d λ ,

  

µ i i

i=1

  onde λ , i = 1, · · · , k s˜ao os expoentes de Lyapunov de f em µ-quase todo ponto e d ,

  i i i = 1, · · · , k s˜ao as respectivas multiplicidades.

  1

  1 Exemplo 3.2.3 Seja G(x) = −[ ] a transforma¸c˜ao de Gauss, pode-se checar que a medida x x Z

  1 µ(E) = dx

  (1 + x) log 2

  E ´e invariante por G.

  1

  1 Seja P a parti¸c˜ao nos intervalos ( , ) para m ≥ 1. Perceba que G ´e localmente m + 1 m invert´ıvel e a parti¸c˜ao P ´e geradora. Portanto, pelo resultado acima podemos concluir que o jacobiano de G ´e dado por h ◦ G J G = |G |.

  µ

  h

  1 onde h = . Ent˜ao, podemos concluir pela F´ormula de Rokhlin que (1 + x) log 2 Z Z Z

  1

  2

  −2 log x dx h ◦ G ′ ′ π |G |) dµ = | dµ = h µ (G) = log( log |G = . h (1 + x) log 2 6 log 2 onde a segunda igualdade vem do fato da medida µ ser invariante por G.

4 Sistemas Dinˆ amicos Aleat´ orios

  Neste trabalho, um sistema dinˆamico aleat´orio (RDS) consiste da seguinte dupla: i. Um espa¸co m´etrico completo e separ´avel (X, F, P) e uma transforma¸c˜ao invert´ıvel θ : X → X preservando uma probabilidade boreliana erg´odica P. ii. Uma variedade Riemanniana Y conexa e compacta; uma transforma¸c˜ao mensur´avel

  F : X × Y → X × Y da seguinte forma F (x, y) = (θ(x), f (y))

  x

  1 onde cada f : Y → Y ´e um difeomorfismo local C . x

  Denotamos por J = X × Y e J = {x} × Y a fibra de x ∈ X. Definimos para cada inteiro

  x

  n ≥ 0 e cada x ∈ X

  n n− 1

  ◦ · · · ◦ f ◦ f f (y) := f θ(x) x (y)

  θ (x) x n n n tal que F (x, y) = (θ (x), f (y)). x Z

  Exemplo 4.0.1 Considere X = {0, 1} , P =Bernoulli, θ = σ (descolamento de Bernoulli) e Y uma variedade Riemanniana conexa e compacta. Considere as fun¸c˜oes ( f se x = 0; f =

  x

  f 1 se x = 1. onde f : Y → Y s˜ao difeomorfismos. ´ E um sistema dinˆamico aleat´orio, consiste em “iterar

  i dois difeomorfismos aleatoriamente de acordo com o lan¸camento de uma moeda”.

1 Seja M (J ) conjunto das medidas de probabilidade sobre (J , B) tal que

  P

  

1

  µ ◦ π = P

  

X

  onde π : J → X ´e a proje¸c˜ao na primeira coordenada (π (x, y) = x), e seja

  X

  X

  1

  

1

  1 M (F ) = {µ ∈ M (J ) : µ ◦ F = µ} P P

  1 Denotamos por ǫ a parti¸c˜ao de X sobre pontos. A parti¸c˜ao π (ǫ ) ´e mensur´avel (veja

  X X

  X

  1 Exemplo 1.1.4), portanto, para cada µ ∈ M (J ), pelo teorema da desintegra¸c˜ao de Rokhlin, P existe um sistema de medidas (µ ) tal que µ = R µ dP(x), chamando-se sistema canˆonico x x∈X x

  1

  de medidas condicionais. Por conveniˆencia, dado uma medida µ ∈ M (F ), denotaremos por P

  1 A (F |θ) o conjunto de todas parti¸c˜oes mensur´aveis α de J que s˜ao mais finas que π (ǫ ). µ

  X X

  Defini¸ c˜ ao 4.0.1 Uma parti¸c˜ao P ∈ A (F |θ) ´e geradora por F relativa a θ se e somente se ∞ − j µ _ P := F (P) ≡ ǫ .

  µ J S j=0 onde ǫ ´e a parti¸c˜ao de sob J = {x} × Y sobre elementos unit´arios. J x∈X

  ≡ P A rela¸c˜ao ≡ µ significa que dado duas parti¸c˜oes P

  1 e P 2 de J , ent˜ao P 1 µ 2 se existe um conjunto mensur´avel W ⊂ J com µ(J /W ) = 0 tal que P | = P | .

  1 W

  2 W

  Para um RDS podemos definir tamb´em a no¸c˜ao de entropia de uma forma bastante similar com a defini¸c˜ao introduzida no cap´ıtulo anterior. Perceba que no cap´ıtulo anterior a no¸c˜ao de entropia era dada em cima de parti¸c˜oes enumer´aveis. Agora, podemos estender essa no¸c˜ao para uma parti¸c˜ao mensur´avel (n˜ao necessariamente enumer´avel).

4.1 Entropia para sistemas dinˆ amicos aleat´ orios

  Vamos generalizar algumas no¸c˜oes de entropia para parti¸c˜oes mensur´aveis. A tripla (X, F, µ) ´e um espa¸co de Lebesgue. Para n´os, um espa¸co de Lebesgue ´e um espa¸co m´etrico compacto e separ´avel. Defini¸ c˜ ao 4.1.1 Se A ´e uma parti¸c˜ao mensur´avel de X ent˜ao a entropia ´e definida da se- guinte maneira: i. H(A) = ∞ se A ´e uma parti¸c˜ao n˜ao enumer´avel. P ii. H(A) = − µ(A) log µ(A) se A ´e uma parti¸c˜ao enumer´avel.

  A∈A

  Defini¸ c˜ ao 4.1.2 Se A e B s˜ao parti¸c˜oes mensur´aveis de X, ent˜ao a entropia condicional

  H (A|B) da parti¸c˜ao A sujeita a B ´e definida por

  µ Z

  H (A|B) = H (A|B)dˆ µ(B),

  µ µ B X/B

  onde (A|B) = {A ∩ B|A ∈ A}. ´ E claro que podemos reescrever a defini¸c˜ao acima como Z H µ (A|B) = H µ B (A|B(x))dµ(x) (x)

  X Portanto, podemos escrever como estamos habituados Z

  H (A|B) = I(A|B)dµ,

  µ

  X c˜ ao informa¸ c˜ ao condicional

  onde I(A|B) ´e a fun¸ definida por: I(A|B)(x) := − log µ B (A(x) ∩ B(x)).

  (x)

  1

  1 Defini¸ c˜ ao 4.1.3

  Se µ ∈ M (F ) e P ´e uma parti¸c˜ao mensur´avel de J mais fina que π (ǫ P

  X ),

  X

  ent˜ao 1

  n

  1

  |π h µ (F |θ; P) := lim H µ (P (ǫ

  X ))

  X n→∞

  n onde

  n−1 _ n j

  P = F (P).

  n=0

  Al´em do mais, seja h µ (F |θ) := sup{h µ (F |θ; P)} onde o supremo ´e tomado sobre todas as parti¸c˜oes mensur´aveis P de J que s˜ao mais finas − −

  1

  

1

  que π (ǫ ) e tem entropia finita relativa a π (ǫ ), isto ´e,

  X X

  X Z

  X

  1 H (P|π (ǫ )) := H (P )dP(x) < ∞ µ X µ x x

  X X

  onde P = {P ∩ J : P ∈ P}. O n´ umero h (F |θ) ´e chamado entropia de F relativa a θ

  x x µ com respeito a medida µ .

  Daremos agora uma adapta¸c˜ao ao cen´ario aleat´orio do bem conhecido Teorema de Kolmogorov- Sinai. Sua declara¸c˜ao e um esbo¸co de sua prova podem ser encontrados na referˆencia [1].

  1 Teorema 4.1.1

  Seja F : J → J ´e um sistema dinˆamico aleat´orio m´etrico, se µ ∈ M (F ), P e se α ∈ A (F |θ) ´e uma parti¸c˜ao geradora por F relativa a θ, ent˜ao

  µ

  1 h (F |θ) = h (F |θ; α) = H (ǫ J |F (ǫ J )). µ µ µ

  Teorema 4.1.2 Suponha que A e B s˜ao duas parti¸c˜oes mensur´aveis do Espa¸co de Lebesgue (X, F, µ) tal que A ∩ B ´e cont´avel (mod 0 com respeito a µ ) para quase todo B ∈ B. Ent˜ao

  B

  existe uma parti¸c˜ao cont´avel γ = {γ , γ , ...} de X (mod 0) tal que cada γ ∈ γ intersecta

  1 2 j

  quase todo B em n˜ao mais que um ponto, que ´e ent˜ao um ´atomo de µ , em particular

  B A ∨ B = γ ∨ B (mod 0).

  Observa¸ c˜ ao: 4.1.1 As demonstra¸c˜oes omitidos podem ser encontradas no cap´ıtulo 01 da referˆencia [4].

  Defini¸ c˜ ao 4.1.4 Seja (X, F, µ) um espa¸co de Lebesgue. Seja T : X → X uma trans- forma¸c˜ao mensur´avel. N´os dizemos que T ´e essencialmente cont´ avel se as medidas µ A

  1

  do sistema canˆonico de medidas condicionais para a parti¸c˜ao A := T (ǫ ) s˜ao puramente

  X atˆomicos (mod 0 com respeito a µ ), para todo A ∈ A. A Lema 4.1.1 Se T ´e essencialmente cont´avel e preserva µ ent˜ao existe um conjunto men- sur´avel Y ⊂ X de medida total tal que T (Y ) ⊂ Y e

  1

  1

  i. T (x) ∩ Y ´e cont´avel para cada x ∈ Y . Al´em do mais, para cada x ∈ Y , T (x) ∩ Y 1 consiste somente de ´atomos da medida condicional µ ;

  T (x)

  ii. T (B) ´e mensur´avel se B ⊂ Y ´e mensur´avel; iii. T | ´e n˜ao singular, isto ´e, µ(B) = 0 para B ⊂ Y implica µ(T (B)) = 0.

  Y Demonstra¸ c˜ ao.

  A demonstra¸c˜ao pode ser encontrada da referˆencia [2]. Teorema 4.1.3 Seja (X, F, µ) um Espa¸co de Lebesgue e T : X → X uma transforma¸c˜ao mensur´avel preservando µ, essencialmente cont´avel. Ent˜ao existe o Jacobiano, ele ´e ´ unico µ-q.t.p.. Demonstra¸ c˜ ao.

  Vamos definir o Jacobiano num conjunto Y de medida total, no comple- mentar de Y podemos definir o Jacobiano como sendo zero. Primeiramente, considere a

  1

  parti¸c˜ao γ = {γ , γ , ...} dada pela Teorema 4.1.2 com A = ǫ e B = T (ǫ), onde ǫ ´e a

  1

  2

  parti¸c˜ao em pontos do conjunto X. Ent˜ao para cada j, o mapa T | ∩ ´e injetivo, onde Y ´e o

  γ j Y

  conjunto de medida total dado pelo lema 4.1.1. Al´em do mais, T | ´e n˜ao singular, assim J

  Y

  existe em cada γ ∩ Y pelo Teorema de Radon-Nikodym, fazemos a mesma constru¸c˜ao feita

  j no Teorema 3.1.1 e conclu´ımos o resultado.

  Teorema 4.1.4 Seja (X, F, ν) um espa¸co de Lebesgue. Seja T : X → X uma trans- forma¸c˜ao preservando ν, essencialmente cont´avel. Ent˜ao o Jacobiano J tem logaritmo igual

  ν

  1 a I (ǫ|T (ǫ)), onde I(A|B)(x) := − log µ B (A(x) ∩ B(x)) ´e a fun¸c˜ao informa¸c˜ao. ν (x) Demonstra¸ c˜ ao.

  Considere j´a T restrita a Y . Seja Z ⊂ Y um conjunto mensur´avel tal que

  1 T ´e injetivo. Para cada y ∈ Y denotamos por A(y) o elemento de ζ = T (ǫ) contendo y.

  N´os obtemos

  −

  1

  ν(T (Z)) = ν(T (T (Z))) Z = 1 dν(y) 1 Z

  T (T (Z))

  = (1 Z (x)/ν A (y){x}) dν (x)) dν(y) 1 A(y) Z T (T (Z)) {y}) dν(y)

  = (1 (y)/ν 1 Z A(y) Z T (T (Z)) = (1/ν {y}) dν(y).

  A(y) Z

  1 Assim sendo, J (y) = 1/ν {y} e tem logaritmo igual a I (ǫ|T (ǫ))(y). De fato, log J (y) = ν A(y) ν ν

  1

  1

  {y}), enquanto que I(ǫ|T log( ) = − log(ν (ǫ))(y) = − log ν (ǫ(y) ∩ A(y)) =

  A(y) A(y)

  ν {y}

  A(y)

  − log(ν {y})

  A(y)

  Por fim, podemos agora enunciar a F´ormula de Rokhlin para sistemas dinˆamicos aleat´orios m´etrico.

  Teorema 4.1.5 Se µ ´e uma medida erg´odica invariante que admite uma parti¸c˜ao P F- geradora com respeito a θ, ent˜ao Z h µ (F |θ) = log J µ (F )dµ.

  Demonstra¸ c˜ ao. Como F ´e essencialmente cont´avel, podemos aplicar os teoremas anteriores. Da´ı pelo Teorema 4.1.1 e pelo Teorema 4.1.4 , como P ´e uma parti¸c˜ao geradora por F relativa a θ, temos que − − Z Z

  1

  1 h (F |θ) = H (ǫ J |F (ǫ J )) = I(ǫ J |F (ǫ J ))(x)dµ(x) = log J (F )dµ. µ µ

  µ

  J´a sabemos que existe o Jacobiano em µ-q.t.p., isto ´e, temos uma fun¸c˜ao n˜ao-negativa e um conjunto I ⊂ J de medida zero tal que para cada mensur´avel A ⊂ J\I para qual F ´e injetora, vale a seguinte igualdade: Z µ(F (A)) = J µ F dµ. Agora, restringindo J µ F a J x e usando o conjunto de medida zero I, consideremos a fun¸c˜ao J (f ) = J (F )|f sob a fibra J para P−q.t.p. x ∈ X. Pela defini¸c˜ao acima ´e claro que

  µ x x µ x x

Z

  µ (f (A )) = J (f ) dµ

  

θ(x) x x µ x x x

A x

  ⊂ J \I |A para qualquer A x x x mensur´avel tal que f x x ´e injetora. Em particular, J µ x ´e o jacobiano de f relativa a µ . Portanto, podemos escrever o teorema acima como sendo

  x x Z Z Z h µ (F |θ) = log J µ (F )dµ = ( log J µ x f x (y) dµ x (y)) dP(x).

  

X J x

  Exemplo 4.1.1 }, θ(x Seja X = {x ) = x , P = δ x e Y uma variedade Riemanniana

  1

  conexa e compacta. Considere f : Y → Y um difeomorfismo local C . Sob as condi¸c˜oes do

  x

  Teorema 4.1.5, conclu´ımos que a entropia de F relativa a θ ´e dada por Z Z Z Z h (F |θ) = log J F dµ = log J f (y) dµ (y)) dδ = log J f (y) dµ (y) =

  µ µ µ x x x µ x x x0 x0 x Y Y

  h (f )

  

µ x

x0 Neste caso, a entropia no caso determin´ıstico se iguala a entropia no caso aleat´orio.

  

Referˆ encias

  [1.] Bartle, Robert G., Elements of Integration and Lebesgue Measure, John Wiley & Sons, 1995. [2.] K. Oliveira, M. Viana Fudamentos da Teoria Erg´odica, Colecao Fronteiras da Mate- matica, SBM, (2014). [3.] Bilbao, Rafael Avarez. Medidas maximizantes em sistemas dinˆamicos aleat´orios. / Rafael Alvarez Bilbao. Macei´o, 2015. [4.]

  F. Przytycki and M. Urbanski, Conformal fractals- ergodic theory methods, London Mathematical Society Lecture Note 371 (2010). [5.]

  D. Simmons and M. Urbanski, Relative equilibrium states and dimensions of berwise invariant measures for distance expanding random maps, Stochastic and Dy- namics 14,1 (2014).

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