Lei de Resfriamento de Newton

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EQUAđỏES DIFERENCIAIS

  2 2 2 2  Uma solução de uma equação diferencial é uma função y = f (x) a qual, juntamente com as suas Exemplos: (a) Verificar que y = 4.e + 5 é uma solução da equação diferencial de segunda ordem e 2d y dy primeiro grau   . C.eUsando a condição inicial y(0) = 3, ou seja, y = 3 e x = 0, obtêm: y = C.e  3 = C e  C = 3 Exercícios Constatar a ordem e o grau de cada uma das seguintes equações diferenciais.dy 2 21.

1.1 Introdução

  2 2 2 2  Uma solução de uma equação diferencial é uma função y = f (x) a qual, juntamente com as suas Exemplos: (a) Verificar que y = 4.e + 5 é uma solução da equação diferencial de segunda ordem e 2d y dy primeiro grau   . C.eUsando a condição inicial y(0) = 3, ou seja, y = 3 e x = 0, obtêm: y = C.e  3 = C e  C = 3 Exercícios Constatar a ordem e o grau de cada uma das seguintes equações diferenciais.dy 2 21.

1.2 Classificação das Equações Diferenciais de 1ª Ordem Existem numerosos métodos desenvolvidos para resolver equações diferenciais ordinárias

  Isto é, pode ser escrita na forma: dy M ( x , y )  N ( x , y )  (1)dx ou (multiplicando ambos os membros pela diferencial dx, onde dx 0) M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 (2) onde M(x,y) e N(x,y) são funções envolvendo as variáveis x e y. Para esse tipo de equação, pode-se juntar todos os termos contendo x com dx e todos os termos contendo y com dy, obtendo-se umasolução através de integração.

1.2.1 Equações Diferenciais Separáveis

  Tornando a escrever, temos: 1 2  x ydx dydx xy dy 2 2 1 1 x  y dx  y  x dy    x y dx  dy  2 2 1  x 1  y ou x y dx  dy 2 2 1 1 x  y x y dx  dy 2  2 1  x 1  y 1 1 2 2ln( 1 ) ln( 1 )  x   y  C 2 2 ou 2 1 1  x ln( ) . A solução geral é: 2 y = x + CSubstituindo y = 1 e x = 2, temos: 2 1 = (2) + C  1 = 4 + C  - 3 = CPortanto, a solução particular é 2 y = x Exemplo 6 Resolver a equação diferencial y + xy’ = 0 sujeita à condição inicial de que y = 2 quando x = 3, ou seja, y(3) = 2.

24. A taxa de variação da temperatura de um objeto é proporcional à diferença entre sua temperatura e

  Isso funciona para equações da forma y’ = f(x,y), onde f é uma função homogênia. Definição 1.2.2 Função Homogênea Se uma função f satisfaz n f(tx,ty) = t f(x,y) para algum número real n, então dizemos que f é uma função homogênea de grau n.

2 Exemplos: (1) f(x,y) = x

  2 2 f(tx,ty) = (tx) 2 2 2 2 2 = t x xy + 5t y 2 2 2 2 = t [ x ] = t f(x,y)  função homogênea de grau dois. 3 3 3 f(tx,ty) = (tx) + (ty) + 1 f(x,y) t pois 3 3 3 3 3 3 t .f(x,y) = t x + t y + t  função não é homogênea.

2 Exemplos: (1) f(x,y) = 6xy y

  Teorema Mudança de Variáveis para Equações Homogêneas Se M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 é homogênea, então ela pode ser transformada em uma equação diferencial cujas variáveis são separáveis pela mudança de variável y = v.x onde v é uma funçãodiferenciável de x e dy/dx = v + x dv/dx. Então, substituindo, temos: 2 2 2 2 2 (x + v x )dx + (x )(v dx + x dv) = 0 2 2 2 2 2 2 2 (x + v x )dx + (x )vdx +(x )xdv = 0 2 2 2 3 x (1+ v + v )dx + x (1 2 32(dividindo por x ) x (1 + v)dx + x (1  dv  1 v x  2 dx  1 dv (utilizamos frações parciais)      1  v x   Depois de integrar a última linha, obtemos: y y (substituindo v)  2ln 1   ln x  ln c .

1.2.3 Equações Diferenciais Exatas

  Para nossos propósitos, é mais importante inverter o problema, isto é, dada uma equação como   3y 5x2x 5y dxdy 2 )dy = 0 ou = c, então por (2)(2x Embora a equação y dx + x dy = 0seja separável e homogênea, podemos ver que ela é também equivalente à diferencial do produto de x e y; isto éy dx + x dy = d(xy) = 0. 2 3 3 2 y dx + x y dy = 0 é exata, pois Exemplo 2 A equação x 1 3 3 2 3 3 2 d( x y ) = x y dx + x y dy.

3 O teorema seguinte é um teste para uma diferencial exata

  (Método da Substituição) x  2 2 y 1 2 2 Logo, (1 - x ) - cos x = c 1 2 2 ou 2 2 2 y (1 ) x = c, 2 2 2 em que c = 2c . ( xdx  ydy )  ; y(0) = 4 2 2x  y Respostas 1) x² - 3xy + y² = C 7) arc tg(x/y) = C 13) x² + y² = 16 x3x 2 2) ye = C14) e .sen3y = 0 1 x 2 y    8)  .

5 FATORES INTEGRANTES

  Multiplicando a equação dada por e , obtemos e e  e a equação diferencial exata 2 x x x (y e ) dx + 2ye dy = 0 x2 x f(x,y) = N(x, y) dy 2ye dy y ( )  e  g x  2 ' 2 x xx y ( ) = y e e  g x f ’(x,y) = – x e ' x(integração por partes)g ( x ) = x xx x 2 x Logo, g(x) = + e , o que implica na solução geral y + e = c.e OBS: Um outro fator integrante é: Se M(x,y) = y. x.(1) - -       1= 2 2 y 1 1= =  2 2 2 y y Multiplicando (1) por(x,y), obtemos: 1.[y.(1 - xy)dx + x.(1)dy] = 0,  2 (x y ) ou seja, xy 1 1   dx  dy  2 2x y xy que é exata.

1.2.4 Equações Diferenciais Lineares de Primeira ordem

  Definimos a forma geral para uma equação diferencial linear de ordem n como, n n - 1 d y d y d y a   x  a   x    a   x  a   x y  g(x) .   x dx x Respostas3x 5x 5 4x4 x 1) + Ce13) 5x²y = x 3 2) y = e + Ce x 14) y = x².

1.1 EDO de 2º ordem com coeficientes constantes

  São equações da forma a y’’ + b y’ + c y = f (x) (NH) onde a, b, c são constantes reais. A equação a y’’ + b y’ + c y = 0, (H) é chamada equação homogênea associada à não-homogênea.

b.) A equação x

  Além disso, a solução de (NH) é da forma y NH 1  v’’(x) = - 4 sen2x u(x) + c 2 v(x) + y P (x), onde c 1 e c 2 são constantes genéricas e y Teorema: Sejam u(x) e v(x) soluções LI de (H). 2 cos 2 2 2 2 2 cos2 , 2 cos  2  u’’(x) = - 4 cos2x v(x) = sen2x 2x + 2 sen 2 2x= 2 (cos 2 2x + sen 2 2x) = 2 0  u e v são linearmente independentes.

01. Em relação a e

  quação y’’ + 4y = 8e a.) y (x) = c cos2x + c sen2x é a solução geral de (H); H 1 2 2x b.) y (x) = e é uma solução particular de (NH); P 2x c.) y (x) = y (x) + e é solução de (NH). Verificar que as funções y (x) = e , y (x) = e .cosx e y (x) = e .senx são Ld ou Li.123 OBS: De acordo com os resultados anteriores, a busca da solução geral de uma EDO linear de 2ºordem envolve dois estágios: a determinação da solução geral da equação homogênea (H) e uma solução particular da não-homogênea (NH).

1.2 Solução geral da EDO homogênea associada

  Consideremos a equaçãoy ’’ – y = 0, (*) que tem a forma de (H) com a = 1, b = 0 e c = -1. 1 2 1 2 1 =  + i e r2 =  - i são raízes complexas da equação característica, então a solução geral é: x x y = c .

2 Além disso, como y ’ = 3 quando x = 0, temos

  (1) + 1] 5 = c  = - 3,  = 3 e a solução geral da EDO é y = c 1 .e -3x cos3 x + c 2 .e - 3x sen 3 x. Além disso, como y ’ = 1 quando x = 0, temos y ’ = - 2 c1 .e -2x 2 .(- 2x e -2x + e -2x Exercícios Resolver cada uma das seguintes equações diferenciais.

1.2.1 Equações diferenciais lineares de ordem mais alta

  OBS: Radiciação de Números Complexos cos  a   2 2 z = a + bi a b e z =  =  b (parte imaginária)  sen  b   z =.(cos + i.sen) a (parte real)  Forma Trigonométrica Dado um número complexo não nulo z = .(cos + i.sen) e um número natural n > 1, as raízes enésimas do complexo z são da forma: 1 2 2  k   k   n       Z  . y = C e + C e + C e + C e 1 2 3 4 x x x - x - x - x 07.

1.3 Equações Lineares Não-homogêneas de Segunda Ordem

  Teorema Solução geral de uma equação linear não homogênea (NH) S eja ay” + by’ + cy = F(x) uma equação diferencial linear não homogênea de 2ª ordem. Se y , é uma solução particular dessa equação e se y é a solução geral da equação homogênea ph correspondente, então: y = y .

1.3.1 O MÉTODO DOS COEFICIENTES A DETERMINAR

  A seguir, vamos tomar y do mesmo tipo que sen2x, isto é, h 1 2 p y = A.cosx + B.senx p = - A.senx + B.cosx y’ p= - A.cosx - B.senx p y’’Substituindo na equação, obtemos: (-A.cosx - B.senx) Portanto, y é uma solução, desde que os coeficientes dos termos correspondentes sejamp iguais. Obtemos, então, o sistema y = y + y = C e + C e + (1/5) cosx h p 1 2 – (2/5) senx.

2 A equação característica, m - m = m.(m - ) = 0

  2 2x e Como F(x) = x, escolhemos y p 1 2 x 3 x e 2 e Portanto, B = 1, A = - 3 e a solução geral é y = C =A + Bx, obtendo y’ Substituindo na equação, temos (0) + 3.(0) + 3.(B) + (A + Bx) = (3B + A) + Bx = x. y’’’ p = =B e y’’ p e 1 2 y’’ ) x Substituindo na equação diferencial, obtemos(2B + Ce x = 2B + Ce p x e a solução geral é y = C y’ p= A + 2Bx + Ce x 2 = Ax + Bx p y x ) = x + 2e x  x 2 p= 2B - 2A = 0, - 4B = 1, - C = 2 que tem soluções A = B = - ¼ e C = - 2.

1.3.2 O MÉTODO DE VARIAđấO DOS PARÂMETROS

  Então, a solução da equação homogênea é x x y = C y + C y = C e + C xe .h 1 1 2 2 1 2 Substituindo C e C por u , obtemos 1 2 2 e u 1 x x y = u y + u y = u e + u xe . Finalmente, integrando, obtemos:  11 x 1 1 1u   dx   e u  dx  ln x  ln x 1 2  2 2 2 x 2 Segue desse resultado quex x y = + (ln x)xe p – (1/2)xe é uma solução particular e que a solução geral é x x x x y = C e + C xe + (ln x)xe .

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