2.1 Um algoritmo fundamental - Aproximações Racionais e Aritmética- Rodrigo Gond

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(1)

Aproxima¸c˜

oes Racionais e Aritm´etica

Rodrigo Gondim - UFRPE

1

Introdu¸

ao

As civiliza¸c˜oes mais antigas, desenvolvendo t´ecnicas de engenharia e agrimensura, por raz˜oes geom´etricas obvias, se depararam com n´umeros irracionais. A bem da verdade, como aplica¸c˜ao imediata em problemas concretos, uma “boa” aproxima¸c˜ao de um n´umero irracional por um racional j´a era suficiente.

As ra´ızes quadradas parecem ter dado origem `as primeiras experiˆencias humanas na tarefa de aproximar. Mesopotˆamia, Gr´ecia, China, ´India foram as primeiras civiliza¸c˜oes a estudar o problema. Havia sempre uma interpreta¸c˜ao geom´etrica para o problema de extrair ra´ızes quadradas e, geralmente, os algoritmos por eles desenvolvidos se baseavam em racioc´ınios geom´etricos.

Entretanto, na ´India foi concebido um algoritmo para extra¸c˜ao de ra´ızes quadradas de car´ater profunda-mente Aritm´etico (Teoria de N´umeros). Tal algoritmo est´a intimamente ligado com dois importantes ramos da Matem´atica chamados Aproxima¸c˜ao Diofantina e Geometria Aritm´etica.

Aproxima¸c˜ao Diofantina ´e uma ´area da Matem´atica que conecta quest˜oes aritm´eticas (Teoria de N´umeros) com quest˜oes de aproxima¸c˜ao racional de n´umeros irracionais. A Geometria Aritm´etica ´e uma forma moderna de tratar de Equa¸c˜oes Diofantinas.

Esse mimi-artigo tem como objetivo mostrar a evolu¸c˜ao hist´orica do problema de aproxima¸c˜ao conectando-o a problemas aritm´eticos. Ao fim apresentamos um importante teorema de Roth (de car´ater qualitativo) em Aproxima¸c˜ao Diofantina, bem como algumas consequˆencias em Geometria Aritm´etica. A Geometria Aritm´etica vem impulsionando grandes avan¸cos em v´arias ´areas da Matem´atica do s´eculos XIX, XX e XXI.

2

Algoritmos cl´

assicos de Aproxima¸

ao de Ra´ızes Quadradas

2.1

Um algoritmo fundamental

Um algoritmo fundamental de extra¸c˜ao de ra´ızes quadradas, desenvolvido na Mesopotˆamia e na Gr´ecia (Hieron), se baseava no seguinte argumento, ver [2]: Para extrair a raiz quadrada de um natural k, √k, primeiramente encontramos uma aproxima¸c˜ao por falta a <√k.

a c

(2)

Da figura conclu´ımos que se a+c = √k, ent˜ao 2ac+c2 =

k−a2. Supondo

c2

≈ 0 (desprezando o quadrado do erro) temos que c ≈ k−a2

2a . O s´ımbolo ≈ significa aproximadamente igual. Isso implica que se

fizermos

a2=a+

ka2

2a =

a2

+k 2a .

Estamos desprezando o quadrado do erro. Isso ´e bastante razo´avel pois se o erro ´e “pequeno”, seu quadrado ´e menor. Ent˜aoa2´e uma aproxima¸c˜ao de

k, melhor do quea. Indutivamente, definaa1=ae

an =

a2 n−1+k

2an−1

.

Ent˜ao a sequˆencia {an}n∈N converge para √

k ver [2]. Esta f´ormula coincide com a sequˆencia recorrente de-scoberta por Newton com as derivadas e a aproxima¸c˜ao linear. Por que??? Desprezando o quadrado do erro estamos “aproximando pela tangente”!

2.2

O algoritmo hindu

Em linguagem moderna, a ideia do algoritmo hindu se baseia no seguinte argumento: Sejadum inteiro positivo n˜ao quadrado. A partir da determina¸c˜ao de uma fra¸c˜ao n˜ao trivial que aproxime√dpodemos determinar uma sucess˜ao de fra¸c˜oes que s˜ao uma melhor aproxima¸c˜ao de √d. Esse algoritmo, como mostraremos na pr´oxima se¸c˜ao, est´a baseado na determina¸c˜ao de solu¸c˜oes inteiras e positivas da seguinte Equa¸c˜ao Diofantina.

x2

−dy2

= 1 (1)

em que x

y ser˜ao as aproxima¸c˜oes racionais de

√ d.

A sucess˜ao a qual nos refer´ıamos pode ser definida recorrentemente da seguinte maneira: Seja x1

y1 uma fra¸c˜ao

irredut´ıvel que aproxima√d, satisfazendox2 1−dy

2

1= 1. Defina a sequˆencia de fra¸c˜oes xn

yn, indutivamente, por

xn=xn−1x1+dyn−1y1 e yn =xn−1y1+x1yn−1.

Temos que (xn, yn) satisfazemx2n−dy 2

n= 1 e que as fra¸c˜oes irredut´ıveis xn

yn convergem para

d. Detalhes em [2].

Observa¸c˜ao 2.1 H´a um algoritmo grego de extra¸c˜ao de ra´ızes quadradas chamado Escada de Theon que parece estar ligado ao algoritmo hindu, ver [2].

O artigo [7] faz parte de uma incr´ıvel cole¸c˜ao-referˆencia-hist´orica sobre a Matem´atica na ´India. No mesmo o autor desenvolve os argumentos que levam a crer que o algoritmo hindu estivesse ligado `a equa¸c˜aox2

−dy2= 1.

3

Equa¸

oes de Pell-Fermat

Uma Equa¸c˜ao Diofantina ´e uma equa¸c˜ao polinomial em v´arias vari´aveis com coeficientes inteiros, da qual procuramos solu¸c˜oes inteiras (ou racionais). Seja d∈ Z um inteiro positivo que n˜ao ´e quadrado. A Equa¸c˜ao Diofantina

x2

−dy2

(3)

´e chamada equa¸c˜ao de Pell-Fermat. De tal equa¸c˜ao buscamos solu¸c˜oes inteiras e positivas. Geometricamente tais equa¸c˜oes representam hip´erboles no plano cartesiano; os pontos da hip´erbole s˜ao todas as solu¸c˜oes reais e as solu¸c˜oes inteiras s˜ao os pontos da hip´erbole com ambas coordenadas inteiras. Os pontos inteiros do plano est˜ao em uma malha e n˜ao ´e nada trivial mostrar que tais hip´erboles contenham uma infinidade de pontos em tal malha!!!

Teorema 3.1 Sejad∈Z um inteiro positivo livre de quadrados, ent˜ao a equa¸c˜ao de Pell-Fermat

x2

−dy2

= 1

possui uma infinidade de solu¸c˜oes inteiras.

Uma demonstra¸c˜ao natural deste teorema seria determinar uma solu¸c˜ao n˜ao trivial y 6= 0 e, a partir dela produzir uma infinidade de solu¸c˜oes inteiras. A parte n˜ao trivial deste argumento consiste exatamente em encontrar uma solu¸c˜ao inicial. Nessa se¸c˜ao vamos explicar como encontrar uma infinidade de solu¸c˜oes a partir de uma dada, sem determinar uma solu¸c˜ao inicial.

Procederemos com um tratamento alg´ebrico um pouco mais moderno.

Defini¸c˜ao 3.2 Um Dom´ınio de Inteiros Quadr´aticos de Pell-Fermat ´e um conjunto da forma

Z[√d] ={a+b√d|a, bZ} ⊂R

em qued∈Z´e um inteiro positivo livre de quadrados.

Dizer que esse conjunto ´e um dom´ınio significa dizer que o mesmo est´a munido de duas opera¸c˜oes, adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao, satisfazendo as propriedades usuais (como Z). A conjuga¸c˜ao em Z[√d] ´e definida da seguinte forma: z =a+b√d∈Z[√d], o conjugado dez ´ez =a−b√d. A conjuga¸c˜ao em Z[√d] satisfaz propriedades an´alogas `as da conjuga¸c˜ao complexa, isto ´e, z+w=z+wez.w=z.w

Defini¸c˜ao 3.3 A norma alg´ebrica em Z[√d]´e definida por:

N(z) =zz.

Logo, sez=a+b√d, ent˜aoN(z) =a2

−b2

d∈Z.

A propriedade fundamental da norma alg´ebrica deZ[√d] ´e

N(zw) =N(z)N(w)

A equa¸c˜ao obtida fornece uma tradu¸c˜ao moderna de uma f´ormula hindu: produto de dois elementos de norma 1 tem norma 1. Se z =a+b√d6= 1, ent˜ao n˜ao apenas ele, bem como todas as suas potˆencias d˜ao origem a solu¸c˜oes n˜ao triviais da equa¸c˜aox2

−dy2 = 1. Nesse caso as potˆencias de

z nos fornecem uma infinidade de solu¸c˜oes para a equa¸c˜aox2

−dy2

= 1. De fato, suponhamos que (a, b)∈Z2

´e uma solu¸c˜ao n˜ao trivial em inteiros positivos da equa¸c˜ao 1. Ent˜aoz=a+b√d∈Z[√d] ´e um elemento de normaN(z) = 1. Assim, cada potˆencia zn =zn =an+bn

dtem norma N(zn) = N(zn) = N(z)n = 1. Logo, os pares (an, bn), assim definidos, s˜ao

solu¸c˜oes n˜ao triviais da equa¸c˜aox2

−dy2

(4)

s˜ao todas distintas.

Do nosso ponto de vista as solu¸c˜oes da equa¸c˜ao de Pell-Fermat fornecem “boas aproxima¸c˜oes racionais”de√d. Com efeito, sex, yZs˜ao tais quex2

−dy2

= 1, ent˜ao (x−y√d)(x+y√d) = 1 e, portanto,

x y −

d= 1

y(x+y√d). Observamos que sex, y→ ∞, ent˜ao a fra¸c˜ao x

y ser´a uma aproxima¸c˜ao de

dt˜ao boa quanto quisermos.

Exemplo 4 Considere a equa¸c˜ao

x2

−2y2

= 1

uma solu¸c˜ao n˜ao trivial ´e (3,2) que corresponde ao elemento de norma 1z= 3 + 2√2∈Z[√2] que ´e maior que 1 e minimal. Suas potˆencias s˜ao: z2= 17 + 122,

z3= 99 + 702,

z4= 577 + 4082, ...

que d˜ao origem `as seguintes solu¸c˜oes da equa¸c˜ao de Pell-Fermat: (17,12), (99,70), (577,408), ... A aproxima¸c˜ao

577

408= 1,41421568627451...(cinco casas de aproxima¸c˜ao corretas!!!) aparece em antigos textos religiosos hindus

para constru¸c˜ao de altares, ver [2].

5

Aproxima¸

ao Diofantina: de Dirichlet a Roth

O ramo da Matem´atica denominado Aproxima¸c˜ao Diofantina tem seu in´ıcio marcado pelo seguinte teorema de Dirichlet.

Teorema 5.1 (Dirichlet) Seja α∈Rum n´umero irracional. Ent˜ao existem infinitos inteiros x, y,y >0 tais que x

y ´e uma fra¸c˜ao irredut´ıvel e

|x y −α|<

1 y2.

Prova: Defina⌊x=mZo ´unico inteiro tal quemx < m+ 1, e {x}=x− ⌊x. Considere, para cada naturalN os distintos elementos do intervalo [0,1]:

{0},{α},{2α}, ...,{N α}

Divida o intervalo [0,1] em N partes iguais e utilizando o princ´ıpio das gavetas de Dirichlet (da´ı vem o nome!!!), sabemos que dois de tais elementos pertencem ao mesmo intervalo, digamos k−1

N <{sα} < {tα} ≤ k N. Da´ı,

{tα} − {sα}< N1 donde conclu´ımos queqα−p < N1 em quep=⌊sα⌋ − ⌊tα⌋eq=t−s. Portanto obtemos um infinidade dep, qsatisfazendo: αpq < 1

N q < 1

q2. ✷

No nosso contexto o teorema de Dirichlet implica o teorema 3.1. A prova para esse fato pode ser encontrada em [8] ou resulta das seguintes equivalˆencias, como em [11]:

Proposi¸c˜ao 5.2 Seja d >0um inteiro que n˜ao ´e quadrado. Ent˜ao s˜ao equivalentes:

(i) Existem infinitos inteiros positivosx, y tais que x2

−dy2

(5)

(ii) Existem infinitos inteiros positivosx, y tais que |x y−

d|<y12;

(iii) Existem >0 para o qual existem infinitos inteiros positivos x, ysatisfazendo x2

−dy2=

m

Observamos que n˜ao encontramos um algoritmo para determinar uma solu¸c˜ao inicial. Sabendo da existˆencia de uma infinidade de inteirosx, ytais que |x

y−α|< 1

y2, quando|x| → ∞ e|y| → ∞ a fra¸c˜ao irredut´ıvel

x y ≃α

ser´a uma boa aproxima¸c˜ao racional deα. A estimativa de erro 1

y2 →0 decresce “quadraticamente”.

Surge ent˜ao a pergunta: Para αirracional existem aproxima¸c˜oes em que a estimativa de erro ´e do tipo 1 yn e

converge para zero “mais rapidamente”; substituindo o expoente2 por um outro expoente, n >2? Para uma classe de n´umeros irracionais a investiga¸c˜ao do expoente ´otimo foi incessante.

Defini¸c˜ao 5.3 Um n´umero real α∈R ´e dito ser alg´ebrico se existir um polinˆomio n˜ao nulof ∈Q[X], com coeficientes racionais tal quef(α) = 0. O grau deα´e o grau do polinˆomio n˜ao nulo, com coeficientes racionais, de menor grau que anulaα.

Exemplo 5.4 √2,√3, √3

2 s˜ao n´umeros alg´ebricos (de graus 2, 2 e 3, respectivamente). Os n´umeros que n˜ao s˜ao alg´ebricos s˜ao chamados transcendentais, por exemploπee.

Para a classe dos n´umeros alg´ebricos v´arios matem´aticos buscaram expoente ´otimo de Aproxima¸c˜ao Diofantina. Liouville (1900), Thue (1909), Siegel (1921) e Dyson (1947) obtiveram estimativas (cada vez melhores) do expoente ´otimo (mas todas dependiam do grau deα) Em 1955 Roth provou que o expoente 2, descoberto por Dirichlet, j´a era o ´otimo (independente do grau de α). Por esse resultado Roth foi agraciado com a medalha Fields, maior honra ao desenvolvimento cient´ıfico Matem´atico.

Teorema 5.5 (Roth) Sejam α ∈ R um n´umero alg´ebrico irracional e ǫ > 0 um n´umero positivo arbitr´ario. Ent˜ao existem, apenas um n´umero finito de inteirosx, ytais que

|x y −α|<

1 y2+ǫ

6

Implica¸

oes em Geometria Aritm´

etica

Geometria Aritm´etica ´e a ´area da Matem´atica que utiliza m´etodos Geom´etricos com o fim de resolver proble-mas de car´ater Aritm´etico, principalmente quest˜oes qualitativas envolvendo Equa¸c˜oes Diofantinas; existˆencia de solu¸c˜oes, finitude e estrutura das solu¸c˜oes inteiras (ou racionais). O conjunto de zeros de uma Equa¸c˜ao Diofantina pode ser interpretado geometricamente de modo que a uma Equa¸c˜ao Diofantina em duas vari´aveis associamos uma curva no plano, da qual procuramos pontos com coordenadas inteiras ou racionais. Um im-portante problema qualitativo ´e sobre a finitude (ou infinitude) do conjunto de solu¸c˜oes inteiras de Equa¸c˜oes Diofantinas. No caso das curvas esse problema foi completamente resolvido. A ´ultima d´ecada do s´eculo XX, com o esfor¸co conjunto de muitos matem´aticos, viu um explosivo progresso no estudo da Geometria Aritm´etica (ou Diofantina), ver [9] para um panorama mais completo. Alguns problemas essenciais em Geometria Aritm´etica tˆem conex˜oes com Aproxima¸c˜ao Diofantina (e seus resultados de finitude).

(6)

graus 1 e 2 podem possuir uma infinidade de pontos inteiros. As retas s˜ao as famosas Equa¸c˜oes Diofantinas lineares, conhecidas desde Euclides e Diofanto e que podem ser resolvidas com o algoritmo do MDC ver [10] ou [4] . Dentre as cˆonicas sabemos que as elipses possuem um n´umero finito de solu¸c˜oes inteiras, as par´abolas podem possuir um n´umero finito ou uma infinidade de solu¸c˜oes inteiras ver [4]. Nesse artigo mostramos as equa¸c˜oes de Pell-Fermat, que s˜ao hip´erboles, possuem uma infinidade de solu¸c˜oes inteiras. O teorema a seguir ´e uma vers˜ao simplificada, para curvas n˜ao singulares no plano (Equa¸c˜oes Diofantinas em duas vari´aveis), do original teorema de Siegel, que lhe rendeu uma medalhaFields. A vers˜ao original do teorema utiliza um outro invariante ao inv´es do grau, esse invariante ´e chamado gˆenero da curva e ´e um invariante de car´ater puramente geom´etrico. As demonstra¸c˜oes mais conhecidas desse resultado s˜ao consequencias do teorema de Roth (ou de uma vers˜ao mais fraca devida ao pr´oprio Siegel ver [9]).

Teorema 6.1 (Siegel)Seja C⊂R2 uma curva alg´ebrica n˜ao singular com coeficientes inteiros e grau

d≥3. Ent˜ao C possui, apenas, um n´umero finito de pontos inteiros.

Referˆ

encias

[1]stewart, i. n.; tall, d. o. -Algebraic number theory and Fermat‘s last Theorem, A K Peters, Natick MA, 3rd Edition, 2002.

[2]pitombeira, j.b. -A Raiz Quadrada ao longo dos S´eculos, V Bienal da SBM, Jo˜ao Pessoa, 2010.

[3]garcia, a.; lequain, i. -Elementos de ´Algebra, Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 1996.

[4]gondim, r. -Aritm´etica em Retas e Cˆonicas, V Bienal da SBM, Jo˜ao Pessoa, 2010.

[5] waldschimidt, m. - On the so called Pell-Fermat Equation www.impa.br/opencms/en, Rio de Janeiro, 2010. http://www.math.jussieu.fr/ miw/articles/pdf/EquationPellFermatClermont052008VI.pdf

[6]muniz neto, a. c. -Equa¸c˜oes Diofantinas, Revista Eureka! n. 7, Brasil, 2000.

[7]kumar dutta, a. - Mathematics in Ancient India-Diophantine Equations: The KuttakaResonance, An overview, Part 1, Vol. 7, No. 4, pp.4;19, Koltaka-India, 2002.

[8]miranda , m. -Heur´ıstica e Equa¸c˜oes DiofantinasFAMAT em revista n. 9, 2007.

[9]hindry, m.; sylverman,j. - Diophantine Geometry: An Introduction Graduate texts in mathematics 201, Springer Verlag, 2000.

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