2.1 Um algoritmo fundamental - Aproximações Racionais e Aritmética- Rodrigo Gond

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Aproxima¸c˜ oes Racionais e Aritm´etica

  Rodrigo Gondim - UFRPE

  1 Introdu¸ c˜ ao

  As civiliza¸c˜ oes mais antigas, desenvolvendo t´ecnicas de engenharia e agrimensura, por raz˜oes geom´etricas obvias, se depararam com n´ umeros irracionais. A bem da verdade, como aplica¸c˜ ao imediata em problemas concretos, uma “boa” aproxima¸c˜ ao de um n´ umero irracional por um racional j´a era suficiente. As ra´ızes quadradas parecem ter dado origem `as primeiras experiˆencias humanas na tarefa de aproximar. Mesopotˆamia, Gr´ecia, China, ´India foram as primeiras civiliza¸c˜ oes a estudar o problema. Havia sempre uma interpreta¸c˜ ao geom´etrica para o problema de extrair ra´ızes quadradas e, geralmente, os algoritmos por eles desenvolvidos se baseavam em racioc´ınios geom´etricos. Entretanto, na ´India foi concebido um algoritmo para extra¸c˜ ao de ra´ızes quadradas de car´ater profunda- mente Aritm´etico (Teoria de N´ umeros). Tal algoritmo est´a intimamente ligado com dois importantes ramos da Matem´atica chamados Aproxima¸c˜ ao Diofantina e Geometria Aritm´etica. Aproxima¸c˜ ao Diofantina ´e uma ´area da Matem´atica que conecta quest˜oes aritm´eticas (Teoria de N´ umeros) com quest˜oes de aproxima¸c˜ ao racional de n´ umeros irracionais. A Geometria Aritm´etica ´e uma forma moderna de tratar de Equa¸c˜ oes Diofantinas. Esse mimi-artigo tem como objetivo mostrar a evolu¸c˜ ao hist´orica do problema de aproxima¸c˜ ao conectando-o a problemas aritm´eticos. Ao fim apresentamos um importante teorema de Roth (de car´ater qualitativo) em Aproxima¸c˜ ao Diofantina, bem como algumas consequˆencias em Geometria Aritm´etica. A Geometria Aritm´etica vem impulsionando grandes avan¸cos em v´arias ´areas da Matem´atica do s´eculos XIX, XX e XXI.

  2 Algoritmos cl´ assicos de Aproxima¸ c˜ ao de Ra´ızes Quadradas

2.1 Um algoritmo fundamental

  Um algoritmo fundamental de extra¸c˜ ao de ra´ızes quadradas, desenvolvido na Mesopotˆamia e na Gr´ecia (Hieron), √ se baseava no seguinte argumento, ver [2]: Para extrair a raiz quadrada de um natural k, k , primeiramente

  √ k encontramos uma aproxima¸c˜ ao por falta a < . a c

  Figura 1: Processo de Arpoxima¸c˜ ao da ra´ız de k

  √ 2 2 2 k Da figura conclu´ımos que se a + c = , ent˜ao 2ac + c . Supondo c k−a 2 = k − a ≈ 0 (desprezando o quadrado do erro) temos que c ≈ . O s´ımbolo ≈ significa aproximadamente igual. Isso implica que se 2 a fizermos 2 2 k a + k

  − a a 2 = a + = .

  2a 2a Estamos desprezando o quadrado do erro. Isso ´e bastante razo´avel pois se o erro ´e “pequeno”, seu quadrado ´e

  √ menor. Ent˜ao a ´e uma aproxima¸c˜ ao de k , melhor do que a. Indutivamente, defina a = a e 2 2 1 a + k n−1 a = . n 2a n−1

  √ n n∈N converge para ver [2]. Esta f´ormula coincide com a sequˆencia recorrente de- k Ent˜ao a sequˆencia {a } scoberta por Newton com as derivadas e a aproxima¸c˜ ao linear. Por que??? Desprezando o quadrado do erro estamos “aproximando pela tangente”!

2.2 O algoritmo hindu

  Em linguagem moderna, a ideia do algoritmo hindu se baseia no seguinte argumento: Seja d um inteiro positivo √ n˜ao quadrado. A partir da determina¸c˜ ao de uma fra¸c˜ ao n˜ao trivial que aproxime d podemos determinar uma

  √ d sucess˜ao de fra¸c˜ oes que s˜ao uma melhor aproxima¸c˜ ao de . Esse algoritmo, como mostraremos na pr´oxima se¸c˜ ao, est´a baseado na determina¸c˜ ao de solu¸c˜ oes inteiras e positivas da seguinte Equa¸c˜ ao Diofantina. 2 2 x = 1

  (1) − dy x √ d em que ser˜ ao as aproxima¸c˜ oes racionais de . y x 1 A sucess˜ao a qual nos refer´ıamos pode ser definida recorrentemente da seguinte maneira: Seja uma fra¸c˜ ao y 1

  √ 2 2 x n d irredut´ıvel que aproxima , satisfazendo x = 1. Defina a sequˆencia de fra¸c˜ oes , indutivamente, por 1 − dy 1 n y x n = x n−1 x 1 + dy n−1 y 1 e y n = x n−1 y 1 + x 1 y n−1 . 2 2 x n

  , y d

  Temos que (x n n ) satisfazem x = 1 e que as fra¸c˜ oes irredut´ıveis convergem para . Detalhes em n − dy n n y [2]. Observa¸ c˜ ao 2.1

  H´a um algoritmo grego de extra¸c˜ ao de ra´ızes quadradas chamado Escada de Theon que parece estar ligado ao algoritmo hindu, ver [2]. O artigo [7] faz parte de uma incr´ıvel cole¸c˜ ao-referˆencia-hist´ orica sobre a Matem´atica na ´India. No mesmo o 2 2 autor desenvolve os argumentos que levam a crer que o algoritmo hindu estivesse ligado `a equa¸c˜ ao x = 1. − dy

3 Equa¸ c˜ oes de Pell-Fermat

  Uma Equa¸c˜ ao Diofantina ´e uma equa¸c˜ ao polinomial em v´arias vari´ aveis com coeficientes inteiros, da qual procuramos solu¸c˜ oes inteiras (ou racionais). Seja d ∈ Z um inteiro positivo que n˜ao ´e quadrado. A Equa¸c˜ao

  Diofantina 2 2 x = 1

  − dy

  ´e chamada equa¸c˜ ao de Pell-Fermat. De tal equa¸c˜ ao buscamos solu¸c˜ oes inteiras e positivas. Geometricamente tais equa¸c˜ oes representam hip´erboles no plano cartesiano; os pontos da hip´erbole s˜ao todas as solu¸c˜ oes reais e as solu¸c˜ oes inteiras s˜ao os pontos da hip´erbole com ambas coordenadas inteiras. Os pontos inteiros do plano est˜ao em uma malha e n˜ao ´e nada trivial mostrar que tais hip´erboles contenham uma infinidade de pontos em tal malha!!! Teorema 3.1

  

Seja d ∈ Z um inteiro positivo livre de quadrados, ent˜ao a equa¸c˜ao de Pell-Fermat

2 2

  x = 1

  − dy possui uma infinidade de solu¸c˜ oes inteiras.

  Uma demonstra¸c˜ ao natural deste teorema seria determinar uma solu¸c˜ ao n˜ao trivial y 6= 0 e, a partir dela produzir uma infinidade de solu¸c˜ oes inteiras. A parte n˜ ao trivial deste argumento consiste exatamente em encontrar uma solu¸c˜ ao inicial. Nessa se¸c˜ ao vamos explicar como encontrar uma infinidade de solu¸c˜ oes a partir de uma dada, sem determinar uma solu¸c˜ ao inicial. Procederemos com um tratamento alg´ebrico um pouco mais moderno.

  Defini¸ c˜ ao 3.2 Um Dom´ınio de Inteiros Quadr´ aticos de Pell-Fermat ´e um conjunto da forma √ √

  Z d d [

  ] = {a + b |a, b ∈ Z} ⊂ R em que d ∈ Z ´e um inteiro positivo livre de quadrados.

  Dizer que esse conjunto ´e um dom´ınio significa dizer que o mesmo est´a munido de duas opera¸c˜ oes, adi¸c˜ ao e √ multiplica¸c˜ ao, satisfazendo as propriedades usuais (como Z). A conjuga¸c˜ ao em Z[ d ] ´e definida da seguinte

  √ √ √ √ d d d d forma: z = a + b . A conjuga¸c˜ ao em Z[ ] satisfaz propriedades

  ∈ Z[ ], o conjugado de z ´e z = a − b an´alogas `as da conjuga¸c˜ ao complexa, isto ´e, z + w = z + w e z.w = z.w √

  Defini¸ c˜ ao 3.3 d

  A norma alg´ebrica em Z[ ] ´e definida por: N (z) = zz.

  √ 2 2 d d

  Logo, se z = a + b , ent˜ ao N (z) = a − b ∈ Z.

  √ A propriedade fundamental da norma alg´ebrica de Z[ d ] ´e

  N (zw) = N (z)N (w)

  A equa¸c˜ ao obtida fornece uma tradu¸c˜ ao moderna de uma f´ormula hindu: produto de dois elementos de norma √ d

  1 tem norma 1. Se z = a + b

  6= 1, ent˜ao n˜ao apenas ele, bem como todas as suas potˆencias d˜ao origem a 2 2 solu¸c˜ oes n˜ao triviais da equa¸c˜ ao x = 1. Nesse caso as potˆencias de z nos fornecem uma infinidade de 2 2 − dy 2 solu¸c˜ oes para a equa¸c˜ ao x ´e uma solu¸c˜ ao n˜ao trivial em inteiros

  −dy = 1. De fato, suponhamos que (a, b) ∈ Z √ √ d d positivos da equa¸c˜ ao 1. Ent˜ao z = a + b ] ´e um elemento de norma N (z) = 1. Assim, cada potˆencia

  ∈ Z[ n n n √ z n = z = a n + b n d tem norma N (z n ) = N (z ) = N (z) = 1. Logo, os pares (a n , b n ), assim definidos, s˜ao 2 2 √ d > solu¸c˜ oes n˜ao triviais da equa¸c˜ ao x = 1. Observamos que a + b 1 ´e um n´ umero real cujas potˆencias

  − dy s˜ ao todas distintas.

  √ Do nosso ponto de vista as solu¸c˜ oes da equa¸c˜ ao de Pell-Fermat fornecem “boas aproxima¸c˜ oes racionais”de d . 2 2 = 1, ent˜ao

  Com efeito, se x, y ∈ Z s˜ao tais que x − dy √ √ d )(x + y d ) = 1 e, portanto,

  (x − y √ x

  1 d . =

  − √ y y (x + y d ) x √ d ser´ a uma aproxima¸c˜ ao de t˜ao boa quanto quisermos. Observamos que se x, y → ∞, ent˜ao a fra¸c˜ao y Exemplo 4 Considere a equa¸c˜ ao 2 2 x

  = 1 − 2y

  √ √ uma solu¸c˜ ao n˜ao trivial ´e (3, 2) que corresponde ao elemento de norma 1 z = 3 + 2 2] que ´e maior que 2 ∈ Z[ 2 √ √ √ 3 4 1 e minimal. Suas potˆencias s˜ao: z = 17 + 12 2, z = 99 + 70 2, z = 577 + 408 2, ... que d˜ao origem `as seguintes solu¸c˜ oes da equa¸c˜ ao de Pell-Fermat: (17, 12), (99, 70), (577, 408), ... A aproxima¸c˜ ao 577 408 = 1, 41421568627451... (cinco casas de aproxima¸c˜ ao corretas!!!) aparece em antigos textos religiosos hindus para constru¸c˜ ao de altares, ver [2].

5 Aproxima¸ c˜ ao Diofantina: de Dirichlet a Roth

  O ramo da Matem´atica denominado Aproxima¸c˜ ao Diofantina tem seu in´ıcio marcado pelo seguinte teorema de Dirichlet.

  Teorema 5.1 x (Dirichlet) Seja α ∈ R um n´umero irracional. Ent˜ao existem infinitos inteiros x, y, y > 0 tais

  que ´e uma fra¸c˜ ao irredut´ıvel e y

  x

  1 . | − α| < 2 y y

  Prova: Defina ⌊x⌋ = m ∈ Z o ´unico inteiro tal que m ≤ x < m + 1, e {x} = x − ⌊x⌋. Considere, para cada natural N os distintos elementos do intervalo [0,1]:

  {0}, {α}, {2α}, ..., {Nα} Divida o intervalo [0, 1] em N partes iguais e utilizando o princ´ıpio das gavetas de Dirichlet (da´ı vem o nome!!!), k−1 k

  < sabemos que dois de tais elementos pertencem ao mesmo intervalo, digamos . Da´ı, 1 1 N N {sα} < {tα} ≤ {tα} − {sα} < donde conclu´ımos que qα − p < em que p = ⌊sα⌋ − ⌊tα⌋ e q = t − s. Portanto obtemos um N N p 1 1

  < < 2 . infinidade de p, q satisfazendo: α − q N q q

  ✷ No nosso contexto o teorema de Dirichlet implica o teorema 3.1. A prova para esse fato pode ser encontrada em [8] ou resulta das seguintes equivalˆencias, como em [11]:

  Proposi¸ c˜ ao 5.2

  Seja d > 0 um inteiro que n˜ ao ´e quadrado. Ent˜ ao s˜ ao equivalentes:

2

2 (i) Existem infinitos inteiros positivos x, y tais que x = 1;

  − dy

  x1 2 d

  ; (ii) Existem infinitos inteiros positivos x, y tais que | − | < y y 2 2 (iii) Existe m > 0 para o qual existem infinitos inteiros positivos x, y satisfazendo x = m

  − dy Observamos que n˜ao encontramos um algoritmo para determinar uma solu¸c˜ ao inicial. Sabendo da existˆencia x 1 2 x de uma infinidade de inteiros x, y tais que | − α| < , quando |x| → ∞ e |y| → ∞ a fra¸c˜ao irredut´ıvel ≃ α y y 1 2 y ser´ a uma boa aproxima¸c˜ ao racional de α. A estimativa de erro y → 0 decresce “quadraticamente”. 1 n

  Surge ent˜ao a pergunta: Para α irracional existem aproxima¸c˜ oes em que a estimativa de erro ´e do tipo e y

  converge para zero “mais rapidamente”; substituindo o expoente 2 por um outro expoente, n > 2? Para uma classe de n´ umeros irracionais a investiga¸c˜ ao do expoente ´otimo foi incessante.

  Defini¸ c˜ ao 5.3 Um n´ umero real α ∈ R ´e dito ser alg´ebrico se existir um polinˆomio n˜ao nulo f ∈ Q[X], com coeficientes racionais tal que f (α) = 0. O grau de α ´e o grau do polinˆomio n˜ao nulo, com coeficientes racionais, de menor grau que anula α.

  √ √ √ 3 Exemplo 5.4 2, 3, 2 s˜ao n´ umeros alg´ebricos (de graus 2, 2 e 3, respectivamente). Os n´ umeros que n˜ao s˜ ao alg´ebricos s˜ao chamados transcendentais, por exemplo π e e.

  Para a classe dos n´ umeros alg´ebricos v´arios matem´aticos buscaram expoente ´otimo de Aproxima¸c˜ ao Diofantina. Liouville (1900), Thue (1909), Siegel (1921) e Dyson (1947) obtiveram estimativas (cada vez melhores) do expoente ´otimo (mas todas dependiam do grau de α) Em 1955 Roth provou que o expoente 2, descoberto por Dirichlet, j´a era o ´otimo (independente do grau de α). Por esse resultado Roth foi agraciado com a medalha Fields, maior honra ao desenvolvimento cient´ıfico Matem´atico.

  Teorema 5.5 (Roth) Sejam α ∈ R um n´umero alg´ebrico irracional e ǫ > 0 um n´umero positivo arbitr´ario.

  Ent˜ ao existem, apenas um n´ umero finito de inteiros x, y tais que

  x

  1 | − α| < 2+ ǫ y y

6 Implica¸ c˜ oes em Geometria Aritm´ etica

  Geometria Aritm´etica ´e a ´area da Matem´atica que utiliza m´etodos Geom´etricos com o fim de resolver proble- mas de car´ater Aritm´etico, principalmente quest˜oes qualitativas envolvendo Equa¸c˜ oes Diofantinas; existˆencia de solu¸c˜ oes, finitude e estrutura das solu¸c˜ oes inteiras (ou racionais). O conjunto de zeros de uma Equa¸c˜ ao Diofantina pode ser interpretado geometricamente de modo que a uma Equa¸c˜ ao Diofantina em duas vari´ aveis associamos uma curva no plano, da qual procuramos pontos com coordenadas inteiras ou racionais. Um im- portante problema qualitativo ´e sobre a finitude (ou infinitude) do conjunto de solu¸c˜ oes inteiras de Equa¸c˜ oes Diofantinas. No caso das curvas esse problema foi completamente resolvido. A ´ ultima d´ecada do s´eculo XX, com o esfor¸co conjunto de muitos matem´aticos, viu um explosivo progresso no estudo da Geometria Aritm´etica (ou Diofantina), ver [9] para um panorama mais completo. Alguns problemas essenciais em Geometria Aritm´etica tˆem conex˜oes com Aproxima¸c˜ ao Diofantina (e seus resultados de finitude). Observamos que as curvas n˜ao singulares (que possuem reta tangente bem definida em todos os pontos) de graus 1 e 2 podem possuir uma infinidade de pontos inteiros. As retas s˜ao as famosas Equa¸c˜ oes Diofantinas lineares, conhecidas desde Euclides e Diofanto e que podem ser resolvidas com o algoritmo do MDC ver [10] ou [4] . Dentre as cˆonicas sabemos que as elipses possuem um n´ umero finito de solu¸c˜ oes inteiras, as par´abolas podem possuir um n´ umero finito ou uma infinidade de solu¸c˜ oes inteiras ver [4]. Nesse artigo mostramos as equa¸c˜ oes de Pell-Fermat, que s˜ao hip´erboles, possuem uma infinidade de solu¸c˜ oes inteiras. O teorema a seguir ´e uma vers˜ ao simplificada, para curvas n˜ao singulares no plano (Equa¸c˜ oes Diofantinas em duas vari´ aveis), do original teorema de Siegel, que lhe rendeu uma medalha Fields. A vers˜ ao original do teorema utiliza um outro invariante ao inv´es do grau, esse invariante ´e chamado gˆenero da curva e ´e um invariante de car´ater puramente geom´etrico. As demonstra¸c˜ oes mais conhecidas desse resultado s˜ao consequencias do teorema de Roth (ou de uma vers˜ ao mais fraca devida ao pr´oprio Siegel ver [9]). 2 Teorema 6.1

  uma curva alg´ebrica n˜ (Siegel) Seja C ⊂ R ao singular com coeficientes inteiros e grau d ≥ 3. Ent˜ ao C possui, apenas, um n´ umero finito de pontos inteiros.

  Referˆ encias

  [1] stewart, i. n.; tall, d. o. - Algebraic number theory and Fermat‘s last Theorem, A K Peters, Natick MA, 3rd Edition, 2002. [2] pitombeira, j.b. - A Raiz Quadrada ao longo dos S´eculos, V Bienal da SBM, Jo˜ao Pessoa, 2010. [3] garcia, a.; lequain, i. - Elementos de ´ Algebra, Projeto Euclides, IMPA, Rio de Janeiro, 1996. [4] gondim, r. - Aritm´etica em Retas e Cˆ onicas, V Bienal da SBM, Jo˜ao Pessoa, 2010. [5] waldschimidt, m. - On the so called Pell-Fermat Equation www.impa.br/opencms/en, Rio de Janeiro, 2010. http://www.math.jussieu.fr/ miw/articles/pdf/EquationPellFermatClermont052008VI.pdf [6] muniz neto, a. c. - Equa¸c˜ oes Diofantinas, Revista Eureka! n. 7, Brasil, 2000.

  [7] kumar dutta, a. - Mathematics in Ancient India-Diophantine Equations: The Kuttaka Resonance, An overview, Part 1, Vol. 7, No. 4, pp.4;19, Koltaka-India, 2002. [8] miranda , m. - Heur´ıstica e Equa¸c˜ oes Diofantinas FAMAT em revista n. 9, 2007. [9] hindry, m.; sylverman,j. - Diophantine Geometry: An Introduction Graduate texts in mathematics 201, Springer Verlag, 2000. [10] hefez, a. - Elementos de Aritm´etica Cole¸c˜ ao Textos Universit´arios SBM, 2006.

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