Universidade Federal da Bahia - UFBA Instituto de Matem´ atica - IM

Livre

0
0
49
1 year ago
Preview
Full text

  

Universidade Federal da Bahia - UFBA

Instituto de Matem´ atica - IM

Programa de P´ os-Graduac ¸˜ ao em Matem´ atica - PGMAT

Dissertac ¸˜ ao de Mestrado

  

Variedades de Einstein de dimens˜ ao 4 com

curvatura seccional n˜ ao negativa

Francisleide da Silva Pires

  Salvador-Bahia Fevereiro de 2011 Variedades de Einstein de dimens˜ ao 4 com curvatura seccional n˜ ao negativa Francisleide da Silva Pires

  Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

  Orientador: Prof. Dr. ´ Ezio de Ara´ ujo Costa.

  Salvador-Bahia Fevereiro de 2011 Pires, Francisleide da Silva.

  Variedades de Einstein de dimens˜ ao 4 com curvatura seccional n˜ ao negativa / Francisleide da Silva Pires. – Salvador: UFBA, 2011. 37 f. : il. Orientador: Prof. Dr. ´ Ezio de Ara´ ujo Costa. Disserta¸c˜ ao (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´ atica, Programa de P´ os-gradua¸c˜ ao em Matem´ atica, 2010. Referˆencias bibliogr´aficas.

  1. Geometria diferencial. 2. Variedades diferenci´aveis. 3. Variedades

riemannianas. I. Costa, ´ Ezio de Ara´ ujo. II. Universidade Federal da

Bahia, Instituto de Matem´ atica. III. T´ıtulo.

  CDU : 514.764.2 Variedades de Einstein de dimens˜ ao 4 com curvatura seccional n˜ ao negativa Francisleide da Silva Pires

  Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica, aprovada em 25 de fevereiro de 2011 .

  Banca examinadora:

  Prof. Dr. ´ Ezio de Ara´ ujo Costa (Orientador) UFBA

  Prof. Dr. Enaldo Silva Vergasta UFBA

  Prof. Dr. M´arcio Henrique Batista da Silva UFAL

  A Deus. Agradecimentos

  Primeiramente, agrade¸co a Deus “porque Dele, por Ele e para Ele s˜ao todas as coisas, gl´oria pois a Ele eternamente, am´em”. Agrade¸co-o pelo dom da vida e por ter me dado a for¸ca e gra¸ca para superar as dificuldades encontradas ao longo da caminhada e por fim alcan¸car esse objetivo: concluir o Mestrado em Matem´atica.

  Aos meus pais – Eunice e Francisco – pelo amor incondicional e por lutarem com muita dificuldade para me dar o de melhor. Aos meus irm˜aos – Elenice, Elisangela, Elisana e Melkzedeque– pelo apoio, pela compreens˜ao da minha ausˆencia em alguns momentos e ainda pela colabora¸c˜ao nos momentos em que precisei.

  Ao professor Jo˜ao Cardeal, um dos principais culpados por eu ter chegado at´e aqui, me encorajando a tentar o Mestrado, al´em dele os professores Jean, Ta´ıse e Cristiano que tamb´em me incentivaram a enfrentar a sele¸c˜ao e os demais professores da UEFS que contribu´ıram para minha forma¸c˜ao inicial em Matem´atica.

  Ao Professor Dr. ´ Ezio Costa, por ter aceitado me orientar e que al´em de ser um excelente profissional, foi uma pessoa muito prestativa e paciente na orienta¸c˜ao desse trabalho, dando sua parcela de contribui¸c˜ao na minha forma¸c˜ao de Mestre.

  Aos membros da banca, Dr. Enaldo Vergasta e Dr.M´arcio Batista por aceitarem participar da banca examinadora e pelas corre¸c˜oes sugeridas para enriquecimento desse trabalho.

  A todos os colegas do Mestrado em Matem´atica que tive a oportunidade de con- hecer nesse per´ıodo e compartilhar momentos bons ou at´e mesmo momentos de aperto e correria. Em especial aos meus companheiros de luta Renivaldo (mais chegado que um irm˜ao), Caio e K´atia que juntos enfrentamos in´ umeras dificuldades e trabalhamos com garra no objetivo de super´a-las. Tamb´em `a colega Ela´ıs que foi uma boa companheira de estudo quando cursou conosco duas disciplinas e ainda em outros momentos de descon- tra¸c˜ao. N˜ao esquecendo de agradecer ao colega Jo˜ao Paulo pelo aux´ılio com o TEX e contribui¸c˜ao nos grupos de estudo.

  Deixo meus sinceros agradecimentos aos professores Vilton Pinheiro, Ta´ıse Santi- ago, Paulo Varandas, Enaldo Vergasta, Ana L´ ucia e Armando, pessoas que admiro muito e que com muita dedica¸c˜ao e profissionalismo contribu´ıram para meu aprendizado e minha forma¸c˜ao de Mestre.

  Aos funcion´arios do IM: D.Neide, Douglas, Alan e Gilmar pela colabora¸c˜ao em seus servi¸cos. Agrade¸co tamb´em a secret´aria D. Tˆania por seu excelente trabalho, e n˜ao esquecendo de D. Zez´e pela sua aten¸c˜ao e colabora¸c˜ao quando precisei.

  Parece contradit´orio, mas tenho um agradecimento especial `as pessoas que n˜ao acreditaram em mim e lan¸caram palavras negativas. Hoje vejo que estas palavras me serviram de incentivo para que eu lutasse com mais garra e persistˆencia ainda , e ent˜ao posso afirmar sem medo:“posso todas as coisas Naquele que me fortalece”.

  Finalmente, agrade¸co `a CAPES pelo apoio financeiro.

  “As miseric´ordias do SENHOR s˜ao a causa de n˜ao sermos consumidos, porque as suas miseric´ordias n˜ao tˆem fim; renovam-se cada manh˜a.”

  (Lamenta¸c˜oes 3.22-23) Resumo

  O presente trabalho tem como objetivo estudar variedades de Einstein M de dimens˜ao 4, compactas, simplesmente conexas com curvatura seccional n˜ao negativa. Existe uma conjectura que afirma que uma tal variedade ´e localmente sim´etrica, logo

  4

  2

  2

  2

  ´e isom´etrica a esfera S , ou a S ou ao espa¸co projetivo complexo CP , todos esses × S espa¸cos com suas m´etricas canˆonicas. Mostaremos que essa conjectura se realiza nos

  1 seguintes casos: (1) a curvatura seccional de M ´e - pin¸cada, (2) M ´e K¨ahlerianna com 4 curvatura seccional n˜ao negativa e (3) M tem operador de curvatura n˜ao negativo.

  Palavras-chave: Variedades de Einstein; curvatura seccional; operador de curvatura; espa¸cos localmente sim´etricos.

  Abstract

  This work aims to study compact, simply connected, with nonnegative sectional curvature and four-dimensional Einstein manifolds. There is a conjecture which states

  4

  that such a manifold is locally symmetric, then M is isometric to the sphere S or to

  2

  2

  2 S

  or to the space complex projective CP , all these spaces with their standard × S metrics. We will show that this conjecture is held in the following cases: (1) the sectional

  1 curvature of M is - pinched, (2) M is K¨ahlerian with nonnegative sectional curvature 4 and (3) M has operator nonnegative curvature.

  Keywords: Manifolds Einstein; sectional curvature; curvature operator; locally symmetric spaces.

  37

  1

  31 Referˆ encias

  6 Apˆ endice

  27

  5 Variedade de Einstein 4-dimensional com operador de curvatura n˜ ao negativo

  20

  4 Variedades de Einstein K¨ ahlerianas de dimens˜ ao 4 com curvatura seccional n˜ ao negativa

  17

  4

  3 Variedades de Einstein de dimens˜ ao 4 com curvatura seccional

  Sum´ ario

  2.3 O tensor de Weyl de uma variedade de Einstein de dimens˜ao 4 . . . . . . . 16

  2.2 Decomposi¸c˜ao do tensor de curvatura de uma variedade de Einstein de dimens˜ao 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

  9

  2 Variedades de Einstein de dimens˜ ao 4 9 2.1 Lemas de Berger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  6

  4 1.2 O espa¸co de 2 - formas e o operador estrela de Hodge . . . . . . . . . . . .

  1 Preliminares 4 1.1 No¸c˜oes b´asicas de Geometria Riemanniana . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  1

  Introdu¸c˜ ao

  • pin¸cada
Introdu¸c˜ ao n

  Uma variedade Riemanniana M = M de dimens˜ao n ´e dita uma variedade de Einstein se tem curvatura de Ricci constante. Em dimens˜ao 2 ou 3 a condi¸c˜ao de ter curvatura de Ricci constante equivale a ter curvatura seccional constante e portanto, o estudo das variedades de Einstein ´e interessante quando a dimens˜ao ´e maior ou igual a

  4. Na nossa disserta¸c˜ao estaremos interessados especificamente no estudo das variedades de Einstein M de dimens˜ao 4, compactas, simplesmente conexas e que tem curvatura seccional n˜ao negativa. Existe uma conjectura de que essas variedades s˜ao localmente sim´etricas e consequentemente de acordo com um teorema de Jensen (ver [Js69]) M deve

  4

  2

  2

  ser isom´etrica a uma esfera S , ou a um produto de duas esferas S ou ao espa¸co × S

  2

  complexo projetivo CP , com suas respectivas m´etricas canˆonicas. Mostraremos que essa conjectura se realiza nos seguintes casos : 1 ) Teorema A.([Bg61]) Seja M uma variedade de Einstein de dimens˜ao 4, compacta e orientada. Se existe uma constante K > 0 tal que a curvatura seccional K de M satisfaz o

  4 K o o , ent˜ao M ´e isom´etrica a uma esfera S ou ao espa¸co projetivo complexo

  /4 ≤ K ≤ K

  2 CP .

  2 ) Teorema B.([Bg63]) Seja M uma variedade de Einstein de dimens˜ao 4, compacta e simplesmente conexa. Se M ´e tamb´em uma variedade K¨ahleriana e tem curvatura sec-

  2

  2

  cional n˜ao negativa ent˜ao M ´e isom´etrica a um produto de duas esferas S ou ao × S

  2 espa¸co projetivo complexo CP . 3 ) Teorema C. Seja M uma variedade de Einstein de dimens˜ao 4, compacta e sim-

  plesmente conexa. Se M tem operador de curvatura n˜ao negativo ent˜ao M ´e isom´etrica a

  4

  2

  2

  uma esfera S , ou a um produto de duas esferas S ou ao espa¸co projetivo complexo × S

  2 CP .

  Os Teoremas A e B foram provados por M. Berger em [Bg61] e [Bg63], respecti- vamente. O Teorema C ´e consequˆencia do seguinte resultado mais geral provado por S. Tachibana em [Tb74]: Teorema 0.0.1. Seja M uma variedade de Einstein de dimens˜ao n compacta e orientada.

  Se M tem operador de curvatura n˜ao negativo ent˜ao M ´e um espa¸co localmente sim´etrico. Entretanto, em nossa disserta¸c˜ao daremos um prova diferente para o caso em que M tem dimens˜ao 4. A demonstra¸c˜ao dos Teoremas A, B e C repousa essencialmente nos seguintes resultados: n

  ◮ F´ ormula de Lichnerowicz: Sejam M

  , n ≥ 2, uma variedade Riemanniana, compacta e orientada com tensor de curvatura R e conex˜ao Riemanniana ∇ e div R a divergˆencia de R. Ent˜ao

  Z Z Z

  1

  2

  2

  dV = F dV, | ∇R | | div R | dV −

  2 M M M onde F : M → R ´e dada por

  X

  1 F (p) = (R + ikjk R ihlm R jhlm R ijkh R khlm R lmij + 2R ikjh R iljm R klhm ), i,j,k,h,l,m

  2 i, j, k, h, l, m = 1, 2, 3, 4, R ijkl = R(X i , X j , X k , X l , X , X , X

  1

  2

  3

  4

  ) e {X } ´e uma base ortonormal de T p M . n Em particular, se M ´e uma variedade de Einstein, como div R = 0, temos

  Z Z

  1

  

2

F dV.

  | ∇R | dV = −

  2 M M

  4

  ◮ F´ ormula de Weitzenbock: Seja M = M uma variedade de Einstein de dimen- ± s˜ao 4, compacta, orientada e com curvatura de Ricci = ρ. Se W s˜ao as partes auto-dual e anti-auto-dual do tensor de Weyl W de M ent˜ao ± ± ± ±

  2

  

2

  2 +36 det W .

  ∆ | W | = −4ρ | W | − 2 | ∇W |

  4

  ◮ Teorema de Jensen ([Js69]): Seja M = M uma variedade de Einstein de di- mens˜ao 4, compacta e simplesmente conexa. Se M ´e um espa¸co localmente sim´etrico

  2

  

4

  ent˜ao M ´e isometrica a uma esfera S , ou ao espa¸co complexo projetivo CP ou a

  2

  2 um produto de duas esferas S .

  × S Na demonstra¸c˜ao dos Teoremas A e B, mostraremos que a fun¸c˜ao F que aparece na f´ormula de Lichnerowicz ´e n˜ao negativa e consequentemente ∇R ≡ 0, o que significa que M ´e localmente sim´etrica. Em seguida, usamos o Teorema de Jensen.

  Para a prova do Teorema C, usamos a f´ormula de Weitzenbock (ver [Bs87]) para mostrar que M ´e tamb´em um espa¸co localmente sim´etrico. Para atingir nosso objetivo, dedicamos o primeiro cap´ıtulo `as no¸c˜oes b´asicas da geometria Riemanniana que est˜ao relacionadas com o tema proposto. No segundo cap´ıtulo, apresentamos alguns resultados referentes a variedades de Einstein de dimens˜ao quatro, tais como: Lemas de Berger, decomposi¸c˜ao do tensor de curvatura e o Tensor de Weyl. Nos cap´ıtulos 3, 4 e 5, demonstramos os Teoremas A, B e C, respectivamente. Cap´ıtulo 1 Preliminares

  Neste cap´ıtulo introduziremos algumas defini¸c˜oes b´asicas e alguns resultados preliminares que ser˜ao utilizados nos cap´ıtulos posteriores. As defini¸c˜oes e resultados referentes `a Geometria Riemanniana encontram-se, por exemplo no livro de do Carmo [dC08]. n

  Seja M = M , n ≥ 2, uma variedade diferenci´avel n-dimensional. Denotaremos ∞ n por X(M ) o conjunto de campos de vetores de classe C tangentes a M e por T M o n n fibrado tangente de M p M denotar´a o espa¸co tangente de M

  . Para cada p ∈ M, T em p.

1.1 No¸c˜ oes b´ asicas de Geometria Riemanniana

  Defini¸c˜ ao 1.1.1. Uma m´etrica Riemanniana em M ´e uma correspondˆencia que asso- p , no espa¸co tangente T p M , que varia cia a cada ponto p ∈ M um produto interno h, i n diferencialmente com p no seguinte sentido: Se x : U ⊂ R → M ´e um sistema de coor- ∂ denadas locais em torno de p, com x(x , x , ..., x n ) = q e (q) = dx(0, ..., 1, ..., 0), ent˜ao

  1

  2

  ∂x i ∂ ∂ (q), ij (x , x , ..., x n ) s˜ao fun¸c˜oes diferenci´aveis em U .

  1

  2

  h (q)i = g ∂x ∂x i j

  Defini¸c˜ ao 1.1.2. Uma variedade Riemanniana ´e uma variedade diferenci´avel com uma dada m´etrica Riemanniana. n Defini¸c˜

  ´e um aplica¸c˜ao ao 1.1.3. Uma conex˜ao afim ∇ em M ∇ : X(M) × X(M) → X(M) que satisfaz as seguintes propriedades: f X X Y Z

  • gY

  (i) ∇ Z = f ∇ Z + g∇

  X X Y + X(f )Y ,

  (iii) ∇ (f Y ) = f ∇ (M ). para quaisquer que sejam X, Y, Z ∈ X(M) e f, g ∈ C Defini¸c˜ ao 1.1.4. Uma conex˜ao afim ´e dita ser compat´ıvel com a m´etrica se ela satisfaz a regra do produto, ou seja, X X XhY, Zi = h∇ Y, Zi + hY, ∇ Zi.

  Defini¸c˜ ao 1.1.5. Uma conex˜ao afim ∇ em uma variedade diferenci´avel M ´e dita ser sim´etrica quando X X Y = [X, Y ],

  ∇ Y − ∇ para quaisquer que sejam X, Y ∈ X(M).

  Defini¸c˜ ao 1.1.6. Uma conex˜ao ´e dita uma conex˜ao Riemanniana se ela for sim´etrica e compat´ıvel com a m´etrica. n Defini¸c˜ ao 1.1.7. A curvatura R de M ´e uma correspondˆencia que associa a cada par X, Y ∈ X(M) uma aplica¸c˜ao R(X, Y ) : X(M) → X(M) dada por Y X X Y Z,

  [X,Y ]

  R(X, Y )Z = ∇ ∇ Z − ∇ ∇ Z + ∇ X Y X ´e o colchete de Lie de X e Y . onde Z ∈ X(M) e [X, Y ] = ∇ Y − ∇ n Defini¸c˜

  ´e definido ao 1.1.8. Sejam X, Y, Z, W ∈ X(M). O tensor de curvatura de M por i p M ´e conveniente escrever R(X, Y, Z, W ) = hR(X, Y )Z, W i.

  Se {X } ´e uma base ortonormal de T R(X i , X j , X k , X l ) = R ijkl , o qual satisfaz as identidades

  R ijkl jikl ijlk = R klij , = −R = −R R ijkl + R iklj + R iljk = 0.

  Esta ´ ultima ´e conhecida como identidade de Bianchi. Defini¸c˜ ao 1.1.9. Sejam agora σ um subespa¸co bidimensional de T p

  M e {X, Y } uma base de σ. A curvatura seccional de σ em p ´e dada por R(X, Y, Y, X)

  K(σ) = K(X, Y ) = ,

  2

  |X ∧ Y |

  2

  2

  2

  2 No caso em que X i , X j s˜ao ortonormais, K ij = K(X i , X j ) = R(X i , X j , X j , X i ).

  Defini¸c˜ p ao 1.1.10. Seja X ∈ T M , com | X |= 1. Ent˜ao a curvatura de Ricci na dire¸c˜ao n

  X de X ´e dada por Ric(X) = K(X, X = X, ..., X i

  1 n i =1 ), onde {X } ´e uma base ortonormal de T p M . n

  Defini¸c˜ ao 1.1.11. Uma variedade Riemanniana M ´e dita ser uma variedade de Einstein se a mesma tem curvatura de Ricci constante. Defini¸c˜ ao 1.1.12. Seja M uma variedade Riemanniana. M ´e um espa¸co localmente sim´etrico se ∇R = 0, onde R ´e o tensor de curvatura de M.

  1.2 O espa¸co de 2 - formas e o operador estrela de Hodge

  Defini¸c˜ ao 1.2.1. Seja V um espa¸co vetorial de dimens˜ao n ≥ 2, com produto interno h, i. Uma 1-forma em V ´e um funcional linear f : V → R e como sabemos, existe um ´ unico vetor u ∈ V tal que f(v) = hu, vi, ∀v ∈ V . Ent˜ao podemos identificar f com um vetor u ∈ V e usar a nota¸c˜ao u(v) = hu, vi.

  Defini¸c˜ ao 1.2.2. Uma 2-forma em V ´e uma aplica¸c˜ao bilinear anti-sim´etrica α : V ×V → R. Se u e v s˜ao dois vetores em V , podemos definir a 2-forma u ∧ v (bivetor) da seguinte maneira u ∧ v : V × V → R

  ! hu, xi hu, yi (u ∧ v)(x, y) = det hv, xi hv, yi

  Note que v ∧ v = 0 e v ∧ u = −u ∧ v. n

  2 O conjunto das 2-formas em V ´e um espa¸co vetorial denotado por Λ i ´e

  (V ). Se {e } i =1 i j i<j ´e uma base para Λ (V ).

  2

  uma base de V ent˜ao {e ∧ e }

  2 Podemos definir um produto interno em Λ (V ), da seguinte forma:

  2

  2

  h, i : Λ (V ) × Λ (V ) → R ! i r i k , e , e i j , e r k he i he i he ∧ e ∧ e i = det j , e r j , e k he i he i

  2

  (V ), podemos definir o produto exterior de α = e i j Dadas 2-formas α β ∈ Λ

  ∧ e e β = e r k como a aplica¸c˜ao ∧ e

  α ∧ β : V × V × V × V → R, , v , v , v i , v j

  1

  

2

  3

  4

  (α ∧ β)(v ) = det(he i)

2 Uma 2-forma α ∈ Λ (V ) ´e dita decompon´ıvel de existem u, v ∈ V tal que α = u ∧ v.

  Valem as seguintes propriedades: (a) α ∧ β = β ∧ α

  (b) α ´e decompon´ıvel se e somente se α ∧ α = 0 Daqui em diante estamos interessados em espa¸cos vetoriais de dimens˜ao 4.

  Seja V um espa¸co vetorial de dimens˜ao 4 com produto interno h, i. Vamos definir

  1 , e 2 , e 3 , e

  4

  o operador estrela ∗. Para isto, seja {e } uma base orientada de V , temos ent˜ao que , e , e , e , e , e

  1

  2

  1

  3

  1

  

4

  2

  3

  2

  4

  3

  4

  {e ∧ e ∧ e ∧ e ∧ e ∧ e ∧ e }

  2

  ´e uma base de Λ (V ). Se (i , i , j , j ) ´e uma permuta¸c˜ao c´ıclica de (1, 2, 3, 4). Definimos i 1 i 2 ) = e j 1 j 2 .

  1

  2

  1

  2

  ent˜ao ∗(e ∧ e ∧ e Lema 1.2.3. O operador ∗ satisfaz as condi¸c˜oes

  (i) ∗ ◦ ∗ = I; (ii) ∗ ´e auto-adjunto; (iii) Os autovalores de ∗ s˜ao ±1, cada um com multiplicidade alg´ebrica 3.

  Prova: (i) De fato, basta verificar que esta propriedade ´e v´alida para os elementos da base de

  2

  Λ (V ):

  1

  2

  3 4 ) = e

  1

  

2

  2

  3

  1 4 ) = e

  2

  3

  ∗(∗(e ∧ e )) = ∗(e ∧ e ∧ e ∗(∗(e ∧ e )) = ∗(e ∧ e ∧ e ) = e ) = e ;

  1

  3

  2

  4

  1

  

3

  2

  4

  1

  3

  2

  4

  ∗(∗(e ∧ e )) = ∗(e ∧ e ∧ e ∗(∗(e ∧ e )) = ∗(e ∧ e ∧ e ) = e ) = e

  1

  4

  2

  3

  1

  

4

  3

  4

  1

  2

  3

  4

  ∗(∗(e ∧ e )) = ∗(e ∧ e ∧ e ∗(∗(e ∧ e )) = ∗(e ∧ e ∧ e

  • 1, cujas ra´ızes s˜ao ±1, cada uma com multiplicidade 3.

  (V ) na soma direta ortogonal Λ

  Os espa¸cos Λ

  

2

(V ); ∗α = −α}.

  (V ) = {α ∈ Λ

  (V ); ∗α = α} Λ

  2

  Λ

  (V ), onde Λ ± s˜ao os auto-espa¸cos de ∗ correspondentes aos auto- valores ±1, ou seja,

  (V ) = Λ

  2

  2

  Observa¸c˜ ao 1.2.4. O operador ∗ decomp˜oe o espa¸co Λ

  

4

  − 2λ

  6

  (V ). Como esta matriz ´e sim´etrica, ent˜ao ∗ ´e auto- adjunto. (iii) De fato, pois det(∗ − λI) = λ

  2

  , onde I ´e a identidade de Λ

  0 I I 0 !

  (ii) Com efeito, basta notar que a matriz do operador ∗ com respeito a base citada acima tem a forma

  • (V ) L Λ
  • (V ) = {α ∈ Λ
  • (V ) e Λ
  • (V ) s˜ao chamados a parte auto-dual e a parte anti-auto- dual de Λ

  2 (V ), respectivamente. Cap´ıtulo 2 Variedades de Einstein de dimens˜ ao 4

  Os exemplos mais simples de variedades de Einstein de dimens˜ao 4 com curvatura

  4

  de Ricci n˜ao negativa s˜ao: a esfera S com curvatura c > 0, o produto de duas esferas c

  2

  2

  2 S c c de mesma curvatura c > 0, o espa¸co projetivo complexo CP , o espa¸co projetivo

  × S

  4

  2

  2

  4

  real RP , o produto de dois espa¸cos reais projetivos RP , o espa¸co euclidiano R c × RP c

  4

  1

  1

  1

  1 e o toro flat T = S , todos com suas m´etricas canˆonicas.

  × S × S × S

2.1 Lemas de Berger

  Apresentaremos agora dois lemas importantes referentes a variedades de Einstein de dimens˜ao quatro, os quais foram provados por Berger em [Bg61]. Lema 2.1.1. Seja M uma variedade de Einstein de dimens˜ao 4 e seja p ∈ M. Se

  1 , ..., X

  4 p M e K ij ´e a curvatura secional

  {X } ´e uma base ortornormal do espa¸co tangente T K(X , X ) ent˜ao i j

  K = K ,

  12

  34 K = K ,

  13

  24 K = K .

  14

  23 Prova:

  Sejam M uma variedade de Einstein de dimens˜ao 4, ρ curvatura de Ricci de M , ..., X

  M . Sabemos que

  1

  4 p

  e {X } uma base ortornormal do espa¸co tangente T K + K + K = K + K + K = K + K + K = K + K + K = ρ.

  12

  13

  14

  21

  23

  24

  31

  32

  34

  41

  42

  43 Usando o fato de que K ij = K ji e combinando as equa¸c˜oes acima, temos Portanto, da ´ ultima igualdade obtemos que K = K e as outras igualdades s˜ao obtidas

  12

  34 de maneira an´aloga.

  Lema 2.1.2. Seja M uma variedade de Einstein de dimens˜ao 4 e tensor de curvatura R. i p M tal que: Ent˜ao para todo p ∈ M, existe uma base ortonormal ortonormal {X } de T i) Todos os R(X i , X j , X k , X h ) = R ijkh (i, j, k, h = 1, 2, 3, 4) s˜ao nulos, com exce¸c˜ao (even- tualmente) de K

  12 = K 34 , K 13 = K 24 , K 14 = K 23 , R 1234 , R 1342 e R 1423 .

  .

  1342 1234

  13 12 1342 1423

  13 14 1423 1234

  14

  12

  ii) | R −R |≤ K −K , | R −R |≤ K −K , | R −R |≤ K −K Prova:

  , ..., X

  1

  4 Sejam M uma variedade de Einstein de dimens˜ao 4, p um ponto de M e {X }

  uma base ortornormal do espa¸co tangente T p M . Seja σ(X

  1 , X 2 p M o 2-plano

  ) ⊆ T escolhido de modo que K(X , X ) seja um valor m´ınimo da curvatura seccional em

  1

  2

  , X ) o complemento ortogonal de σ(X , X ) em T p M . Para quais-

  3

  4

  1

  2

  p ∈ M e seja ξ(X , X , X ), sejam X e X vetores cujos valores m´aximos s˜ao

  1

  2

  3

  4

  1

  3

  quer Y ∈ σ(X ), Z ∈ ξ(X dados a K(Y, Z). Consideremos as fun¸c˜oes de θ definidas a seguir f (θ) = K(X , X cos θ + X sin θ),

  1

  1

  

2

  3

  f (θ) = K(X , X cos θ + X sin θ),

  2

  1

  

2

  4

  f (θ) = K(X , X cos θ + X sin θ),

  3

  2

  

1

  3

  f

  4 (θ) = K(X 2 , X 1 cos θ + X 4 sin θ).

  Observe que

  2

  2

  f

  1 (θ) = K(X 1 , X 2 cos θ + X 3 sin θ) = K 12 cos 1213 sin 2θ + K 13 sin θ,

  θ − R da´ı temos f cos 2θ + K sin 2θ.

  12 1213

  13 1 (θ) = −K sin 2θ − 2R

  Mas, f (0) = K(X , X ) e como K(X , X ) ´e valor m´ınimo da curvatura seccional temos ′ ′

  1

  1

  2

  1

  2

  f (0) = 0. Note que f (0) = 2R , donde conclu´ımos que R = 0. Seguindo o mesmo

  1213 1213

  1

  1

  racioc´ınio para as fun¸c˜oes f (θ), f (θ) e f (θ) , obtemos R = 0, R = 0, e R = 0,

  2

  3 4 1214 1223 1224

  como quer´ıamos. Analogamente, considerando as fun¸c˜oes K(X , X cos θ + X sin θ),

  1

  3

  4 K(X , X cos θ + X sin θ)

  3

  1

  2 e usando o fato de que K(X , X ) ´e extremo, obtemos R = 0, e R = 0.

  • bX
  • dX
  • 1
  • 1
  • 1
  • 1
  • 1
  • 1
  • 1
  • 1
  • hR(
  • hR(

  ,

  1 √

  ,

  1

  2 X

  1 √

  i

  2

  2 X

  1 √

  3

  3

  2 X

  1 √

  )

  4

  2 X

  1 √

  ,

  2

  2 X

  2 X

  )

  i + hR(

  ,

  1 √

  ,

  4

  2 X

  1 √

  )

  3

  2 X

  1 √

  2

  1 √

  2 X

  1 √

  i + hR(

  

2

  2 X

  1 √

  ,

  4

  2 X

  1 √

  

2

  2

  3 )

  2 X

  1 √

  i + hR(

  

2

  2 X

  1 √

  3 ,

  2 X

  1 √

  2 X

  1 √

  1 √

  1 ,

  2 X

  1 √

  i

  1

  2 X

  1 √

  4 ,

  2 ,

  2 X

  2 X

  ,

  1 √

  ,

  3

  2 X

  1 √

  )

  4

  2 X

  1 √

  1

  3 )

  2 X

  1 √

  i

  2

  2 X

  1 √

  3 ,

  2 X

  1 √

  2 X

  i

  1 √

  = K

  2 X

  1 √

  K(

  . Al´em disso, pelo item (i) desse lema, temos R ijkj = 0, se i 6= k. Juntando esses dois fatos, obt´em-se

  23

  = K

  14

  e K

  24

  13

  √

  (2.3) Pelo Lema 2.1.1, temos K

  1442 + K 24 ).

  − R

  2342

  − R

  1342

  − R

  2432

  − R

  1

  2 X

  23

  13

  14

  1423 1342

  13

  1 (K

  ) =

  14

  1342

  − 2R

  1423

  4 (2K

  2

  1

  ) =

  4

  2 X

  √

  3

  2 X

  1 √

  ,

  

1423

  1332

  1 √

  ,

  1 √

  ,

  2

  2 X

  1 √

  i + hR(

  

2

  2 X

  1 √

  4

  4

  2 X

  1 √

  )

  4

  2 X

  1 √

  ,

  1

  2 X

  2 X

  )

  − R

  2331

  2441

  − R

  14

  1423

  1341

  − R

  1324

  1431

  − R

  − R

  1 √

  13

  4 (K

  1

  i =

  2

  2 X

  1 √

  ,

  4

  2 X

  2 X

  4 )

  ). (2.4) Como, K ´e valor m´aximo da curvatura seccional, temos

  √

  4

  2 X

  √

  3

  2 X

  1 √

  )

  4

  2 X

  3

  1 √

  2 X

  1 √

  ,

  2

  2 X

  √

  1

  2 X

  1 √

  ,

  2 X

  4

  3

  i + hR(

  

1

  2 X

  1 √

  ,

  3

  2 X

  1 √

  )

  2 X

  1

  1 √

  ,

  1

  2 X

  1 √

  i = hR(

  2

  2 X

  √

  ) (2.2) = hR(

  2 X

  2 X

  , cX

  1 √

  K(

  2 , temos

  1 √

  , (2.1) quaisquer que sejam a, b, c, d ∈ R. Em particular, para a = b = c = d =

  13

  ) ≤ K

  4

  

3

  2

  1

  1

  K(aX

  3 , X 4 ). Dessa forma,

  ), Z ∈ ξ(X

  2

  1 , X

  quaisquer que sejam Y ∈ σ(X

  13

  E assim a parte (i) do Lema fica demonstrada. Para mostrarmos a parte (ii) usaremos o fato de que K(Y, Z) ≤ K

  2 X

  √

  √

  1 √

  3

  2 X

  1 √

  ,

  2

  2 X

  √

  1

  2 X

  Note que, K(

  2 X

  13 .

  ) ≤ K

  4

  2 X

  √

  3

  2 X

  1 √

  ,

  2

  1 √

  2

  2 X

  i + hR(

  1 √

  )

  3

  2 X

  1 √

  ,

  2

  2 X

  1 √

  

1

  4

  2 X

  1 √

  ,

  4

  2 X

  1 √

  )

  3

  2 X

  2 X

  ,

  ,

  2 X

  1 √

  2 ,

  2 X

  1 √

  i + hR(

  

1

  2 X

  1 √

  4 ,

  1 √

  1 √

  4 )

  2 X

  1 √

  1 ,

  2 X

  1 √

  i

  1

  2 X

  1 √

  1

  ,

  1

  )

  4

  2 X

  1 √

  ,

  1

  2 X

  1 √

  i

  2 X

  2 X

  1 √

  ,

  3

  2 X

  1 √

  )

  3

  2 X

  1 √

  1 √

  3

  2 X

  )

  1 √

  i

  1

  2 X

  1 √

  ,

  3

  2 X

  1 √

  4

  ,

  2 X

  1 √

  ,

  2

  2 X

  1 √

  i + hR(

  

1

  2 X

  1 √

  • hR(
  • hR(
  • hR(
  • hR(
  • hR(
  • R
  • R
  • K
  • K
  • R
  • 1
  • 1
  • 2R
  • 2K
  • R
  • K

  13

  1 (K + R + K ,

  13 1423 1342

  14

  13

  − R ) ≤ K

  2 ou seja,

  1

  1 (R 1423 1342 (K

  13 14 ).

  − R ) ≤ − K

  2

  2 Da´ı tem-se, R .

  1423 1342

  13

  14

  − R ≤ K − K

  1

  1 , b = c = d = em (2.1), realizando-se

  Al´em disso, note que se fizermos a = − √ √

  2

  2 c´alculos an´alogos, obt´em-se

  1

  1 (R (K ).

  1423 1342

  13

  14

  − − R ) ≤ − K

  2

  2 Assim, R

  1423 1342

  14

  13

  − R ≥ K − K e portanto, , (2.5)

  1342 1423

  13

  14

  | R − R |≤ K − K como quer´ıamos. Analogamente, como K

  12 ´e valor m´ınimo da curvatura seccional, quaisquer que

  sejam a, b, c e d, tem-se K(aX + bX , cX + dX . (2.6)

  1

  3

  

2

  4

  12

  ) ≥ K

  1 Em particular, para a = b = c = d = , temos √

  2

  1

  1

  1

  1 X , X +

  X + K( X .

  1

  3

  2

  4

  12

  √ √ √ √ ) ≥ K

  2

  2

  2

  2 Atrav´es de c´alculos an´alogos ao anterior, obt´em-se

  1

  1

  1

  1

  1 X + K( X ,

  X X ) = (K + R + R +

  1

  3

  2

  4 12 3221 1421 1234 1241 1432

  √ √ √ √ − R − R − R

  4

  2

  2

  2

  2

  • K + K + R

  14 3441 1223 32 1432 2423

  − R − R − R

  1343 3243 1443 + K 34 )

  − R − R − R

  1 = (2K + 2R + 2K )

  12 1432 1243

  14

  − 2R

  4

  1 = (K + R + K ). (2.7)

  12 1234 1423

  14

  − R

  2 Substituindo (2.7) na ´ ultima desigualdade acima, tem-se

  1 (K + R + K ,

  12 1234 1423

  14

  12 ou seja,

  1

  1 (R (K ).

  1234 1423

  12

  14

  − R ) ≥ − K

  2

  2

  1

  1 , b = c = d = em (2.6) e realizando-se c´alculos an´alogos obt´em-se

  Fazendo a = − √ √

  2

  2

  1

  1 (R (K ).

  1234 1423

  12

  14

  − − R ) ≥ − K

  2

  2 Portanto, R ,

  1234 1423

  14

  12

  − R ≤ K − K e da´ı segue que . (2.8)

  1234 1423

  14

  12

  | R − R |≤ K − K Finalmente combinando as desigualdades (2.5) e (2.8) obtemos .

  1342 1234

  13

  12

  | R − R |≤ K − K

  

2.2 Decomposi¸c˜ ao do tensor de curvatura de uma

variedade de Einstein de dimens˜ ao 4

  Nosso objetivo nesta se¸c˜ao ´e apresentar uma forma canˆonica para os tensores de curvatura em espa¸cos de Einstein de dimens˜ao 4, conforme aparece no artigo de Singer- Torpe [ST69].

  Seja M uma variedade orientada de dimens˜ao 4, em cada ponto x ∈ M vamos

  2 2 + −

  considerar V = T x M e Λ = Λ (T x M ) = Λ . O tensor de curvatura R em x ´e uma x x x ⊕ Λ aplica¸c˜ao linear sim´etrica definida por

  2

  2 R : Λ x x

  → Λ X ∧ Y 7→ R(X, Y ) onde x x M

  R(X ∧ Y ) : T M → T R(X ∧ Y )Z = R(X, Y )Z. x M , podemos Seja P = {X, Y } o plano gerado pelos vetores ortonormais X, Y ∈ T identificar P com X ∧ Y e denotar a curvatura seccional de M em P por

  K(P ) = hR(P ), P i = hR(X ∧ Y ), (X ∧ Y )i = hR(X, Y ), Y, Xi. Defini¸c˜ ao 2.2.1. Seja M uma variedade de Einstein de dimens˜ao 4, com operador de curvatura R e curvatura seccional K. Seja G o conjunto dos bivetores decompon´ıveis de comprimento 1. Um 2-plano P ∈ G ´e um plano cr´ıtico de R se P ´e ponto cr´ıtico de K : G → R.

  Da´ı, podemos provar o seguinte resultado:

  1 Lema 2.2.2. G ´e um produto de duas esferas, a saber as esferas de raio nos auto- √ ±

  2 espa¸cos Λ do operador estrela. x Prova: x

2 Sabemos que ξ ∈ Λ ´e decompon´ıvel se, e somente se, ξ ∧ ξ = 0.

  Logo,

  2 G = {ξ ∈ Λ x /ξ ∧ ξ = 0, hξ, ξi = 1} x

  2

  = {ξ ∈ Λ /hξ, ∗ξi = 0, hξ, ξi = 1},

  • 2 + −
  •   Como Λ = Λ , onde Λ ´e o auto espa¸co associado ao autovalor +1 e Λ x x x x x ⊕ Λ

      ´e o auto espa¸co associado ao autovalor −1, podemos escrever ξ = α + β, onde ∗α = α e ∗β = −β. Da´ı temos

      

    2

      2

      2

      2

      1 = hξ, ξi = hα + β, α + βi = kαk + kβk + 2hα, βi = kαk + kβk

      2

      2

      0 = hξ, ∗ξi = hα + β, ∗(α + β)i = hα + β, α − βi = kαk − kβk

      1 e portanto √

      Das equa¸c˜oes acima, conclu´ımos que kαk = kβk =

      2

      1 x √

      2 G = {α + β ∈ Λ , kαk = kβk = }.

      2 Proposi¸c˜ ao 2.2.3. P ∈ G ´e um ponto cr´ıtico de R se, e somente se, existem n´umeros reais λ e µ tais que R(P ) = λP + µP . Prova:

      Considere as trˆes fun¸c˜oes dadas por f (ξ) = hR(ξ), ξi, g(ξ) = hξ, ξi e h(ξ) = − −

      2

      1

      1 x . Note que, K ´e a restri¸c˜ao de f a G = g (0). Pelo m´etodo dos hξ, ∗ξi, ξ ∈ Λ n (1) ∩ h multiplicadores de Lagrange em R

      , temos que P ∈ G ´e um ponto cr´ıtico da curvatura seccional em P se, e somente se, existem n´ umeros reais λ e µ tais que, em P temos a igualdade onde λ e µ s˜ao os multiplicadores de Lagrange. Mas, se A : V → V ´e uma aplica¸c˜ao linear sim´etrica no espa¸co vetorial V , temos gradhA(v), vi = 2A(v). Aplicando isto as fun¸c˜oes f , g e h obtemos 2R(P ) = 2λP + 2µ(∗P ). de P em V . Da´ı segue Mas, para P ∈ G, ∗P ´e o complemento ortogonal orientado P que R(P ) = λP + µP .

      Podemos agora obter a decomposi¸c˜ao do operador de curvatura de uma variedade de Einstein de dimens˜ao 4, conforme Singer-Torpe [ST69]. Teorema 2.2.4. Seja M uma variedade de Einstein de dimens˜ao 4 e R o seu operador de curvatura. Ent˜ao existe uma base ortonormal de T p M tal que cada par de vetores gera um plano cr´ıtico de R. Com rela¸c˜ao a essa base, a matriz dos componentes da curvatura tem a forma

      ! A B

      [R] = , B A

          λ µ

      1

      1

              onde A = e B =

      λ µ

      2

      2

          λ

      3 µ

      3 Prova:

    4 Note que, se M ´e de Einstein e R ´e o operador de curvatura de M temos

      ∗ ◦ R = R ◦ ∗, e visto que os operadores ∗ e R s˜ao auto-adjuntos, ent˜ao os operadores podem ser diagonalizados simultaneamente . Seja ξ i (1 ≤ i ≤ 6) uma base ortonormal

      2

      para Λ tal que ( i = ξ i

      ∗ξ , i ≤ 3 i i , i > 3 ∗ξ = −ξ

      R(ξ ) = a ξ i i i (1 ≤ i ≤ 6),

      √

      ou seja, ξ i i para i > 3. Definindo P i = (ξ i + ξ i +3 )/ 2 e ∈ Λ para i ≤ 3 e ξ ∈ Λ ⊥ ⊥ ⊥

      P = (ξ )/ , P , P , P , P , P i i +3 i − ξ 2, temos que β = {P

      1

      2

      3

      1

      2 3 } ´e uma base ortonormal

      2

      para Λ satisfazendo h∗P, P i = 0, ∀P ∈ β, ou seja, os elementos de β se identificam com i = P , i = 1, 2, 3. i os elementos de G e vale ∗P Al´em disso,

      R(P i ) = λ i P i + µ i P i e ⊥ ⊥ onde λ i = (a i + a )/2 e µ i = (a i )/2 de modo que, pela Proposi¸c˜ao (2.2.3), β

      3+i 3+i

      − a

      2

      ´e uma base ortonormal de Λ consistitu´ıda de planos cr´ıticos de R e segundo a qual a matriz tem [R] a referida forma. Como P , P

      , P

      1

      2

      1

      

    2

      1

      2

      1

      ∈ β satisfazem P ∧ P = hP , ∗P iw = hP

      2 iw = 0, segue que

      P , e e e tais que e = P e

      1

      2

      1

      1

      2

      2

      1

      3

      2

      1

      2

      1

      ∩ P 6= {0} e sendo assim existem e ∈ P ∩ P ∈ P ∈ P ∧ e e

      1 3 = P 2 . Escolhendo e

      4 1 , e 2 , e 3 , e

      4

      ∧e ∈ V , de modo que {e } seja uma base ortonormal com ⊥ ⊥ orienta¸c˜ao compat´ıvel com a orienta¸c˜ao fixada em T M , temos e = P e e = P . p

      3

      4

      4

      2 i , P ´e uma combina¸c˜ao linear de e i

      ∧e

      1 ∧e

      2

      3

      1

      4 Da ortogonalidade de {P } segue que P ∧ e ⊥ ⊥ e e . Como P e P , P e

      2

      3

      3

      3

      1

      4

      3

      ∧ e ⊥ ⊥ 3 s˜ao decompon´ıveis e hP 3 i = 0, segue que e ∧ e = ±P e

      2

      3 3 s˜ao tamb´em planos cr´ıticos de R com os

      ∧ e = ±P

      3 , ou vice-versa. Mas, −P e ±P

      3

      mesmos multiplicadores de Lagrange λ e µ de P , ..., e

      3

      

    3

      3

      1

      4

      . Logo, a base {e } satisfaz as condi¸c˜oes do Teorema.

      

    2.3 O tensor de Weyl de uma variedade de Einstein

    de dimens˜ ao 4

      Seja M uma variedade Riemanniana orientada de dimens˜ao 4 com operador de curvatura R. Decorre da prova do Teorema 2.2.4 que se M ´e uma variedade de Einstein,

      2

    • = Λ

      1

      ent˜ao, para todo x ∈ M, existe uma base ortonormal B de Λ x x ⊕Λ x , B = {β , ..., β6} tal que R(β i ) = (λ i i )β i .

      ± µ Observe que λ i i s˜ao autovalores do operador de curvatura R de M . Se ρ ´e a curvatura

      ± µ ρ 2 I ´e chamado tensor de Weyl de M .

      Λ x

      de Ricci de M , o tensor W = R −

      3 ρ 2 Observe que, para uma variedade de Einstein, R = W +

      I

      Λ x e W ≡ 0 se, e

      3

      4

      somente se, M tem curvatura seccional constante . Pela a¸c˜ao do operador ∗, podemos − ± ±

    • decompor W na soma direta W = W , onde W s˜ao chamados de partes

      Λ

      ⊕ W = W | auto-dual e anti-auto-dual de W , respectivamente.

      3 X ± ρ

      Ainda, pelo Teorema 2.2.4, W tem autovalores λ i i , onde λ i = ρ ± µ −

      3 i

      =1

      

    3

    X

      e, pela primeira identidade de Bianchi, µ i = 0, pois µ

      1 1 ), P 1234 , ⊥ ⊥

    i =1

      = hR(P

      1 i = R

      µ

      2 2 ), P 1342 e µ

      3 3 ), P 1423 .

      2

      3

      = hR(P i = R = hR(P i = R Cap´ıtulo 3 Variedades de Einstein de dimens˜ ao 4 com

      1 curvatura seccional - pin¸cada

      4

      1 Uma variedade M ´e dita ser - pin¸cada se existe K > 0 tal que a curvatura

      4 K seccional de M satisfaz p M . Nosso ≤ K(X, Y ) ≤ K , quaisquer que sejam X, Y ∈ T

      4 objetivo nesse cap´ıtulo ´e demonstrar um resultado que classifica as variedades de Einstein 1 de dimens˜ao 4 que tem curvatura seccional - pin¸cada.

      4 Teorema A. Seja M uma variedade de Einstein de dimens˜ao 4, compacta e orientada.

      1

      4 Se a curvatura seccional de M for - pin¸cada , ent˜ao M ´e isom´etrica a uma esfera S ou

      4

      2 ao espa¸co projetivo complexo CP .

      Prova:

      4

      4 Sejam M um referencial ortonormal de T M i p uma variedade de Einstein, {X } i =1

      e F : M → R dada por

      X

      1 F (p) = (R R + ikjk ihlm R jhlm R ijkh R khlm R lmij + 2R ikjh R iljm R klhm ), (3.1) i,j,k,h,l,m

      2 onde R ´e o operador de curvatura de M e i, j, k, h, l, m = 1, 2, 3, 4. Utilizando, no ponto i cuja existˆencia e propriedades s˜ao assegurados pelo i

      4

      p, um referencial ortonormal {X } =1 Lema 2.1.2 e fazendo K = a, K = b, K = c, R = α, R = β, R = γ, um

      12

      13 14 1234 1342 1423

      c´alculo muito trabalhoso – conforme Berger [Bg61] e que consta no Apˆendice – nos mostra que F

      2

      2

      2

      2

      2

    • α = a(b − c) + b(c − a) + c(a − b) (b + c − 2a) + β (c + a − 2b)

      8

      2 Conforme provamos no Lema 2.1.2, temos as desigualdades | β − α |≤ b − a,

      | β − γ |≤ b − c, | γ − α |≤ c − a.

      Podemos substituir essas desigualdades na equa¸c˜ao acima, e obteremos F

      2

      2

      2

      2

      2

    • α ≥ a(β − γ) + b(γ − α) + c(α − β) (b + c − 2a) + β (c + a − 2b)

      8

      2

    • γ

      (a + b − 2c) − 6aβγ − 6bγα − 6cαβ, e simplificando teremos F

      2

      2

      

    2

      (3.3) ≥ α (b + c − a) + β (c + a − b) + γ (a + b − c) − 4aβγ − 4bγα − 4cαβ.

    16 E, como α + β + γ = 0, substituindo β por −(α + γ) em (3.3) obt´em-se

      F

      2

      2

    • cα ≥ aγ + (a + c − b)αγ.

      96 Ora, o segundo membro desta desigualdade pode ser visto como uma forma quadr´atica

      2

      2

      2

      2

      2

      = α +b em γ e seu discriminante ´e dado por {(a+c−b)α} −4acα {(a−c) −2b(a+c)}.

      1 Afirmamos que F ≥ 0. De fato, assuma que ≤ K ≤ 1. Inicialmente note que o

      4 sinal de α n˜ao interfere no sinal do discriminante e assim ´e necess´ario estudar o sinal de

      2

      2

    • b (a − c) − 2b(a + c).

      Observe que 1 1 1 1

      2

      2 2 2

      2 2 2

      2

    • b + c ) ) ). (3.4) (a − c) − 2b(a + c) = (b − (a )(b − (c − a

      1 Como ≤ a ≤ c ≤ b ≤ 1, ent˜ao

      4 2 1 2 1 2 1 1 2 b b (3.5)

      ≤ 2a ≤ 2a e 2 1 2 1 2 1 2 1 b b . (3.6) ≤ 2c ≤ 2c 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2

      2 Somando (3.5)e (3.6) obtemos b + c + c ) 1 1 1 1 1 ≤ a , e isto implica que b − (a ≤ 0. 1 1 2 2 2 2 2 2 2

      2 Por outro lado, b + a ) − c ≥ b − c ≥ 0, ou seja, b − (c − a ≥ 0. Da´ı temos (3.4) n˜ao positivo, ou seja, o discriminante da forma quadr´atica ´e n˜ao positivo e como a ´e positivo segue que F ≥ 0 e a afirma¸c˜ao fica provada.

      Para concluir a demonstra¸c˜ao do teorema, basta usar a F´ormulda de Lichnerowicz Z

      1

      2

      para variedades de Einstein e notar que como F ≥ 0 temos | ∇R | dV ≤ 0 e da´ı

      2 M segue que ∇R = 0, ou seja, M ´e um espa¸co localmente sim´etrico.

    4 Como M ´e compacta, orientada e tem curvatura seccional K > 0, conforme um

      dos corol´arios do Teorema de Synge-Weinstein [dC08, p. 206] temos que M ´e simplesmente

      4

      ou conexa. Como M ´e variedade de Einstein segue do Teorema de Jensen que M ≃ S

      2

      2

      2 n˜ao tem curvatura seccional K > 0.

      M ≃ CP , j´a que M ≃ S × S

      Cap´ıtulo 4 Variedades de Einstein K¨ ahlerianas de dimens˜ ao 4 com curvatura seccional n˜ ao negativa

      Nesse cap´ıtulo, demonstraremos o Teorema B sobre variedades de Einstein K¨ahle- rianas de dimens˜ao 4 com curvatura seccional n˜ao negativa. Antes, precisamos de algumas considera¸c˜oes. Iniciaremos com a defini¸c˜ao de Variedades K¨ahlerianas, que ´e v´alida, mais geralmente, para variedades de dimens˜ao par.

    4 Defini¸c˜ ao 4.0.1. Seja M

      uma variedade Riemanniana, com conex˜ao riemanniana ∇ e tensor de curvatura R. Dizemos que M ´e K¨ahleriana se existe um tensor J : T M → T M que satisfaz as seguintes propriedades: T M

      (i) J ◦ J = −Id (ii) hJX, JY i = hX, Y i, ∀X, Y ∈ T M; X X

      (iii) ∇ JY − J(∇ Y ) = 0, ∀X, Y ∈ T M Note que, como consequˆencia da defini¸c˜ao, J satisfaz a propriedade R(JX, JY ) = R(X, Y ).

      De fato Y X X Y

      [X,Y ]

      hR(X, Y )JZ, JW i = h∇ ∇ JZ − ∇ ∇ JZ + ∇ JZ, JW i Y X X Y

      [X,Y ]

      = h∇ J(∇ Z) − ∇ J(∇ Z) + J(∇ Z), JW i Y X X Y

      [X,Y ]

      = hJ(∇ ∇ Z) − J(∇ ∇ Z) + J(∇ Z), JW i Y X X Y [X,Y ] = hJ(∇ ∇ Z − ∇ ∇ Z + ∇ Z), JW i Por outro lado, hR(JX, JY )Z, W i = hR(JX, JY )JZ, JW i = hR(JZ, JW )JX, JY i = hR(JZ, JW )X, Y i = hR(X, Y )JZ, JW i = hR(X, Y )Z, W i, donde conclu´ımos que

      R(JX, JY ) = R(X, Y ). Os exemplos mais simples de variedades de Einstein compactas de dimens˜ao 4 que

      2

      2

      s˜ao K¨ahlerianas e simplesmente conexas s˜ao o produto de duas esferas S , ambas com ×S

      2

      mesma curvatura seccional e o espa¸co projetivo complexo CP . Por raz˜oes de natureza

      4 topol´ogica, sabe-se que a esfera S n˜ao admite m´etrica K¨ahleriana.

      Antes de provarmos o Teorema B precisamos do seguinte resultado devido a Berger [Bg63]. Lema 4.0.2. Seja M uma variedade de Einstein K¨ahleriana de dimens˜ao 4. Ent˜ao para i p M tal que cada p ∈ M, existe uma base ortonormal {X } de T

      (i) Todos os R ijkh (i, j, k, h = 1, 2, 3, 4) s˜ao nulos, com exce¸c˜ao (eventualmente) dos seguintes: R 1212 = R 3434 , R 1313 = R 4242 = R 1324 , R 1414 = R 2323 = R 1432 e R 1234 = R + R .

      1313 1414

      (ii) K )

      12

      13

      14

      ≥ 2(K − K Prova:

      1 , X 2 = JX

      1 1 p M unit´ario) de modo que

      Escolhamos {X } (X ∈ T K(X , JX p

      1

      1 ) = sup{(K(X, JX))/|X| = 1, X ∈ T M }.

      Seja W o complemento ortogonal do subespa¸co gerado por X , JX . Inicialmente note

      1

      1

      que qualquer base ortonormal de W ´e da forma {Z, JZ} (Z unit´ario). De fato, se Z ∈ W ´e Z unit´ario sabemos que JZ ´e unit´ario pois kJZk = kZk = 1 e al´em disto temos que

    2 X

      1

      1

      1

      1

      1 JZ ∈ W pois hX , JZi = −hJ , JZi = −hJX , Zi = 0 e hJX , JZi = hX , Zi = 0, .

      1

      visto que Z ∈ W e JX ∈ W , Z)X

      1

      1 Agora, consideremos a forma quadr´atica Q(Z) = hR(X , Zi associada `a 1 , X)X 1 x M . A restri¸c˜ao de Q

      forma bilinear sim´etrica B(X, Y ) = hR(X , Y i, X, Y ∈ T a W ´e tamb´em uma forma quadr´atica. Dessa forma, existe uma base ortonormal de W

      , X )X , JX

      3

      1

      3

      1

      3

      {Z, JZ} (Z unit´ario), ent˜ao tomemos X ∈ W e teremos hR(X i = 0, ou seja, R , X = JX , X , X = JX

      1314

      1

      2

      1

      3

      4

      3

      = 0. Mostremos agora, que o referencial {X } satisfaz `as condi¸c˜oes do lema. Em primeiro lugar, sabemos que R = 0. Agora, como M ´e de Einstein com

      1314

      curvatura de Ricci ρ, temos que i

      =4

      X i =1 R ijki = ρδ jk , e fazendo j = 3 e k = 4 temos R + R + R + R = 0,

      1341 2342 3343 4344 o que implica R = 0. 2342

      Al´em disso, R , X )JX , X , JX )JX , X = 0

      1323

      1

      3

      1

      3

      1

      3

      1 3 2423

      = hR(X i = hR(JX i = R e R , JX )JX , X , X )JX , X = 0.

      2441

      1

      3

      3

      1

      1

      3

      3 1 1341

      = hR(JX i = hR(X i = R Por outro lado,

      K(aX + bX , J(aX + bX )) =

      1

      3

      1

      3

      2

      2

      2

    • bX , J(aX + bX ))J(aX + bX ), aX + bX + b )

      1

      3

      1

      3

      1

      3

      1

      3

      = [hR(aX i](a

      1 , aJX 1 )aJX 1 , aX

      1 1 , bJX 3 )aJX 1 , aX

      1

      = [hR(aX i + hR(aX i + , bJX )bJX , aX , aJX )bJX , aX

      1

      3

      3

      1

      1

      1

      3

      1

    • hR(aX i + hR(aX i +

      , aJX )aJX , aX , bJX )aJX , aX

      3

      1

      1

      1

      3

      3

      1

      1

    • hR(bX i + hR(bX i +

      , bJX )bJX , aX , aJX )bJX , aX

      3

      3

      3

      1

      3

      1

      3

      1

    • hR(bX i + hR(bX i +

      , aJX )aJX , bX , bJX )aJX , bX

      1

      1

      1

      3

      1

      3

      1

      3

    • hR(aX i + hR(aX i +

      1 , bJX 3 )bJX 3 , bX

      3 1 , aJX 1 )bJX 3 , bX

      3

    • hR(aX i + hR(aX i +

      , aJX )aJX , bX , bJX )aJX , bX

      3

      1

      1

      3

      3

      3

      1

      3

    • hR(bX i + hR(bX i +

      2

      2

      2

      , bJX )bJX , bX , aJX )bJX , bX + b )

      3

      3

      3

      3

      3

      1

      3

      3

    • hR(bX i + hR(bX i](a

      4

      3

      2

      2

      3

      3

      2

      2

    • = [a R + a bR + a b R + a bR + a bR + a b R

      1221 1421 1441 1241 3221 3421

      3

      2

      2

      3

      2

      2

      3

      2

      2

    • ab R + a R
    • 3441 b 3241 + a bR 1223 + a b R 1423 + ab R 1443 + a b R 1243

      2

      2

      3

      4

      3

      2 2 −

      2

    • a b R + ab R + b R + ab R ].(a + b ) . (4.1)

      3223 3423 3443 3243

      Note que R , JX )JX , X , X )X , JX

      1241

      1

      1

      3

      1

      3

      1

      1

      1

      = hR(X i = hR(JX i R 1443

      1 , JX 3 )JX 3 , X

      3

      

    1

    3 )JX 3 , X 3 2343 = R 3243 ,

      = hR(X i = hR(JX , −X i = −R R , X )X , X , JX )X , X = R

      1331

      1

      3

      3

      1

      

    1

      3

      3 1 24313 1342

      = hR(X i = hR(JX i = R e R , JX )JX , X )JX , X = R .

      1441

      1

      3

      3

      1

      

    1

      3

      3 1 2341 1423

      = hR(X i = hR(JX , −X i = −R Pela identidade de Bianchi, temos

      R + R + R = 0,

      1234 2314 3124

      assim, R = R + R = K + K .

      1243 1234 1423 1342

      14

      13

      = −R Usando o fato de que K = K , temos

      12

      34

      4

      4

      2

      2

      3

      3

      (a + b )K + 2a b (3K + K ) + 4a bR + 4ab R

      12

      14 13 1241 1443

      K(aX +bX , J(aX +bX )) = .

      1

      3

      1

      3

      2

      2

      2

      (a + b ) Como

      K(X , JX ) = sup (K(X, JX)),

      1

      1

    x =p

      temos

      4

      4

      2

      2

      3

      3

      (a + b )K

      12 + 2a b (3K 14 + K 13 ) + 4a bR 1214 + 4ab R 1434

      ,

      12

      ≤ K

      2

      2

      

    2

      (a + b ) para quaisquer a e b n´ umeros reais. Simplificando temos:

      2

      2

      3

      3

      2a b (3K + K ) + 4a bR + 4ab R

      14

      13 12 1241 1443 − K ≤ 0.

      Fazendo A = 3K + K , B = 2R e C = 2R , teremos

      14 13 1241 1443

      2

      2

      3

      3

      2a b ) + 2Ba b + 2Cab

      12 (A − K ≤ 0.

      para quaisquer a e b n´ umeros reais.

    12 Afirmamos que A − K ≤ 0 e B = C = 0. De fato, por hip´otese

      2

      2

      3

      3

      a b ) + Ba b + Cab (4.2)

      12

      (A − K ≤ 0

      1 3 √ para quaisquer n´ e b = n, temos umeros reais a e b. Em particular, para a = ± 3 2 3 1 n n n

      (4.3)

      12 Tomando o limite da ´ ultima desigualdade quando n tende a infinito, obtemos ±C ≤ 0, ou seja C = 0. Sendo assim, temos

      2

      2

      3

      a b

      12 ) + Ba (4.4)

      (A − K b ≤ 0, 3

      1 √ para quaisquer a e b n´ umeros reais. Fazendo a = , obtemos n e b = ± 3 2 n n

      (4.5)

      2

      12 (A − K ) ± B ≤ 0.

      n Analogamente, tomando o limite em (4.5) quando n tende a infinito, obtemos ±B ≤ 0, o que implica B = 0.

      12 Dessa forma temos que B = C = 0 e consequentemente A−K ≤ 0 e a afirma¸c˜ao

      fica provada. Da´ı, R = R = 0.

      1214 1434

      Mas, R = R = 0

      1214 1232

      e R = R = 0

      1434 3234

      e portanto R = R = 0.

      1232 3234 + K .

      12

      12

      

    14

      13 Como A − K ≤ 0, temos ent˜ao K ≥ 3K

      Por outro lado, sabemos que K(aX + bX , J(aX + bX quaisquer

      1

      4

      1

      4

      12

      )) ≤ K n´ umeros reais a e b. Realizando c´alculos an´alogos aos anteriores, conclu´ımos que K

      12 13 + K

      14

      ≥ 3K e R = R = 0.

      1213 4243

      Finalmente, somando as ´ ultimas desigualdades obtidas, temos

      2K + 4K ,

      12

      13

      14

      ≥ 4K ou seja, K

      12 13 + K 14 ),

      ≥ 2(K e o lema fica demonstrado. Agora, podemos provar o seguinte resultado que classifica as variedades em estudo. Teorema B. Seja M uma variedade de Einstein de dimens˜ao 4, compacta e simplesmente conexa. Se M ´e tamb´em uma variedade K¨ahleriana e tem curvatura seccional n˜ao negativa

      2

      2

      ent˜ao M ´e isom´etrica a um produto de duas esferas S ou ao espa¸co projetivo complexo ×S

    2 CP .

      Prova: Seja F : M → R a fun¸c˜ao dada em (3.1). Novamente usaremos o seguinte fato provado por Berger [Bg61]: Para um referencial ortonormal que satisfaz R ikjk = 0 se

      , b = K , c = K , α = R , β = R e γ = R , obt´em-se

      12

      13 14 1234 1342 1423

    i 6= j, fazendo a = K

      F

      2

      2

      2

      2

      2

    • α = a(b − c) + b(c − a) + c(a − b) (b + c − 2a) + β (c + a − 2b)

      8

      2

    • γ

      (4.6) (a + b − 2c) − 6aβγ − 6bγα − 6cαβ. Al´em disso, para o referencial cuja existˆencia ´e assegurada pelo Lema (4.0.2), temos b = K

      13 14 1234 = b + c, substituindo essas igualdades

      = −β, c = K = −γ e α = R em (4.6), obtemos F

      2

      2

      2

      2

      2

    • (b + c) = a(b − c) + b(c − a) + c(a − b) (b + c − 2a) + b (c + a − 2b)

      8

      2

    • c

      (a + b − 2c) − 6abc − 6b(−c)(b + c) − 6c(b + c)(−b)

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      = a(b ) + b(c ) + c(a ) + (b + c) − 2bc + c − 2ac + a − 2ab + b (b + c − 2a)

      2

      2

    • b

      (c + a − 2b) + c (a + b − 2c) − 6abc + 12bc(b + c)

      2

      2

      2

      

    2

      2

      2

      2

      = ab + bc b + a c + (b + c) − 2abc + ac − 2abc + a c − 2abc + b (b + c − 2a)

      2

      2

      3

      2

      2

      3

    • b a + b + ac + bc c − 2b − 2c − 6abc + 12bc(b + c)

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      = 2ab + 2bc + a (b + c) + 2b c + (b + c) − 12abc + 2ac (b + c − 2a)

      3

      3 + 12bc(b + c).

    • −2b − 2c

      Como K(p) ≥ 0 para todo p ∈ M, temos b ≥ 0 e c ≥ 0. Se b = c = 0, temos F (p) = 0. Assim, daqui em diante, podemos supor que b + c > 0 e escrever

      

    2

      2 F 8bc 64b c

      2

      2

      2 ) ).

      = (b + c)(a − − + (b + c)(18bc − b − c 8 b + c b + c Do Lema (4.0.2), temos a ≥ 2(b + c), assim

      2

      2

      8bc 8bc 2(b + c) − 8bc 2(b − c)

      = = a − ≥ 2(b + c) − ≥ 0. b + c b + c b + c b + c

      Da´ı temos,

      2

      2

      2 F 64b c

      2(b − c)

      2

      2

      2

      ) ), ≥ (b + c)( − + (b + c)(18bc − b − c ou seja,

      4

      2

      2

      2

      2

      2

      4

      2

      2

      4

      2

      2

      2 F (b + c) c 3b c + 3c 3(b )

      4(b − c) (18bc − b − c ) − 64b − 6b − c

    • = = ≥ ≥ 0.

      8 b + c b + c b + c b + c Pela f´ormula de Lichnerowich, obtemos ∇R ≡ 0 e portanto M ´e localmente

      2

      4

      2

      2

      sim´etrico. Pelo Teorema de Jensen ([Js69]), M = S , ou M = S ou M = CP . Mas × S

      2

      4

      2

      2 S n˜ao admite m´etrica K¨ahleriana, portanto M = S ou M = CP .

      × S Cap´ıtulo 5 Variedade de Einstein 4-dimensional com operador de curvatura n˜ ao negativo

      4 Neste cap´ıtulo, provaremos o Teorema C. Para isso seja M uma variedade de

      Einstein orientada com curvatura de Ricci ρ. Seja R o operador de curvatura de M em ρ i i i i , onde λ x ∈ M. De acordo com o Teorema 2.2.4 os autovalores de R s˜ao λ ± µ ± µ −

      3

      s˜ao autovalores das partes auto-dual W e anti-auto-dual W do tensor de Weyl W de

      3

    3 X

      X M . Al´em disso, λ i = ρ e µ i = 0. i i

      =1 =1

      Note que se o operador R ´e n˜ao negativo ent˜ao λ i i ± µ ≥ 0, ∀i = 1, 2, 3. Precisamos do seguinte Lema:

      Lema 5.0.3. O valor m´aximo da fun¸c˜ao f (x, y, z) = xyz sujeita as condi¸c˜oes x+y+z = 0

      1

      2

      2

      2 e x + y + z = 1 ´e .

      √

      54 Prova:

      2

      2

      2 Seja g(x, y, z) = x + y + z e h(x, y, z) = x + y + z

      − 1. Usando o m´etodo dos multiplicadores de Lagrange, temos: grad f (x, y, z) = ζ grad g(x, y, z) + η grad(hx, y, z), da´ı temos o seguinte sistema de equa¸c˜oes:

        yz = ζ + 2ηx  

      (5.1) xz = ζ + 2ηy    xy = ζ + 2ηz

      ( x + y + z = 0 (5.2)

      2

      2

      

    2

      x + y + z = 1 Multiplicando as trˆes equa¸c˜oes em (5.1) por x, y e z, respectivamente, e somando- as membro a membro, obtemos

      2

      2

      2

      3xyz = ζ(x + y + z) + 2η(x + y + z ) (5.3) 3xyz

      Substituindo (5.2) em (5.3), obtemos 3xyz = 2η, isto ´e, η = . Substituindo

      2 o valor de η em (5.1), temos

      2

      yz = ζ + 3x yz (5.4)

      2

      xz = ζ + 3xy z (5.5)

      2

      xy = ζ + 3xyz (5.6) Subtraindo (5.4) de (5.5) tem-se

      2

      2

      yz + 3xy z = 0, yz − xz − 3x ou seja,

      (y − x)(3xyz + z) = 0, o que implica y − x = 0 ou

      3xyz + z = 0. Analisemos cada caso acima:

      Se y − x = 0 temos y = x. Como x + y + z = 0 temos z = −2x, substituindo estas

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      igualdades em x + y + z = 1, temos x + x = 1, da´ı 6x = 1, o que implica

    • (−2x) √ √ √ √ √

      6

      6

      6

      6

      6 . x = ± ,logo x = y = ± . Se x = ± , ent˜ao z = ∓ e f (x, y, z) = ∓

      6

      6

      6

      3

      18 Se 3xyz + xz = 0 temos z(3xy + 1) = 0, o que implica z = 0 ou 3xy + 1 = 0. Se z = 0 temos f (x, y, z) = 0 e sabemos que este valor n˜ao ´e m´aximo, pois no caso (1) j´a encontramos um valor positivo para f . Para o caso 3xy + 1 = 0 realizando-se os c´alculos necess´arios percebe-se que a fun¸c˜ao f (x, y, z) n˜ao possui pontos cr´ıticos. Sendo assim,

      √

      6

      1 temos que o valor m´aximo de f (x, y, z) ´e = , como quer´ıamos. √

      18

      54 Teorema C. Seja M uma variedade de Einstein de dimens˜ao 4, compacta e simples- mente conexa. Se M tem operador de curvatura n˜ao negativo ent˜ao M ´e isom´etrica a

      4

      2

      2

      uma esfera S , ou a um produto de duas esferas S ou ao espa¸co projetivo complexo × S

    2 CP .

      Prova:

    • (x) e W (x) as partes anti-dual e e anti-auto-dual do tensor

      Sejam x ∈ M e W de Weyl W (x), respectivamente. Ent˜ao, ±

      2

      

    2

      2

      2

      = α + α + α , | W |

      

    1

      2

      3

      3 X

      ρ ± onde α i = λ i i , s˜ao autovalores de W , respectivamente, α e α i = 0.

      1

      2

      3

      ±µ − ≤ α ≤ α

      3 i

      =1

      2

      2

      2

      2 Como α 1 +α 2 +α 3 = 0, ent˜ao α 2 +α

      3 1 e da´ı temos α = (α 2 +α 3 ) = α +2α 2 α 3 +α

      = −α

      1

      2

      3

      2

      2

      2

      e assim α α = α + α , e desta forma temos

      2

      3 1 − 2α

      3

      3 ±

      2

      2 = 2α α .

      2

      3

      | W |

      1 − 2α

      Como, α devemos ter α α

      1

      2

      3

      1

      3

      2

      2

      3

      ≤ α ≤ α ≤ 0 e α ≥ 0. Se α ≤ 0, ent˜ao α ≤ 0 e assim α

      2

      3

      −2α ≥ 0 e teremos ±

      2

      2

      2

      2

      = 2α

      2 α 3 .

      | W |

      1 − 2α ≤ 2α 1 ≤ 6α

      1 Como α α α .

      1

      2

      2

      3

      1

      3

      ≤ α ent˜ao −2α ≤ −2α

      2 Por outro lado, α

      α , e portanto

      3

      1

      2

      1

      2

      3 ±

      = −α − α ≤ −2α , da´ı temos −2α ≤ 4α

      1

      2

      2

      2 = 2α α .

      2

      3

      temos | W |

      1 − 2α ≤ 6α

      1 ±

      2

      2

      e como M tem operador de cur- Assim em todos os casos temos | W | ≤ 6α

      1

      vatura n˜ao negativo ent˜ao, ρ ρ

      = λ

      1

      1

      1

      0 ≥ α ± µ − ≥ −

      3

      3

      2

      ρ ±

      6

      2

      2

      2

      e da´ı, α = . Isto significa que se M tem

      1 ≤ . Assuma que ρ = 1. Ent˜ao | W | ≤

      9

      9

      3

      2

      2 +

      em M . Usaremos agora a f´ormula operador de curvatura n˜ao negativo ent˜ao | W | ≤ 3 de Weitzenbock ± ± ± ±

      2

      2

      2

    • 36 det W . (5.7) ∆ | W | = −4ρ | W | − 2 | ∇W |

      Como ρ = 1 tem-se Z Z ± Z

      2

      1 ±

      2 ∆ | W | ± 2 ±

      dV dV + +9 det W ]dV | ∇W | = − [− | W |

      2 M M M

      4 Z ±

      2 ±

      = +9 det W ]dV. (5.8) [− | W |

      α α α ±

      1

      2

      3

      , y = e z = . Temos que Considere | W |6= 0 e sejam x = ± ± ±

      | W | | W | | W |

      1

      2

      2

      2

      x + y + z = 0 e x + y + z , ou seja,

      = 1. Pelo Lema (5.0.4) temos que xyz ≤ √

      54 α α α

      1

      1

      2

      3 . . ± ± ± ≤ √

      | W | | W | | W |

      54 e da´ı ± ± | W |

      3

      det W = α α α

      1

      

    2

      3

      ≤ √

      54 ±

      2

      2

      , decorre de (5.8) que em M . Como | W | ≤

      3 Z Z ±

      1 ±

      2 ± 2 9 | W | 0 ≤ | ∇W | dV ≤ | W | {−1 + √ } ≤ 0.

      2 M M

      54 Da´ı, conclu´ımos que Z ± ±

      2 9 | W |

      √ M | W | {−1 + } = 0.

      54 Z ±

      2 ±

      Portanto, M | ∇W | dV = 0 e da´ı ∇W ≡ 0. Mas, o tensor de curvatura de uma ρ ρ

    • I = W
    • 2 I , onde 2<
    • Λ Λ

      variedade de Einstein admite a decomposi¸c˜ao R = W ⊕ ⊕ W

      3

      3 ρ ´e a curvatura de Ricci de M . Assim,

    • ∇R = ∇W + ∇W ≡ 0,

      4

      e isto prova que M ´e um espa¸co localmente sim´etrico. Como M ´e simplesmente conexo,

      4

      segue do teorema de Jensen que M ´e isom´etrica a uma esfera S , ou a um produto de

      2

      2

      2 duas esferas S ao espa¸co complexo projetivo CP .

      × S Cap´ıtulo 6 Apˆ endice

      Sejam i, j, k, h, l, m = 1, 2, 3, 4, vamos desenvolver a fun¸c˜ao

      X

      1 F (p) = ikjk R ihlm R + jhlm R ijkh R khlm R lmij + 2R ikjh R iljm R klhm ), (−R i,j,k,h,l,m

      2 que aparece na f´ormula de Lichnerowicz. Para isto, precisamos dos Lemas 2.1.1 e 2.1.2. Usaremos a nota¸c˜ao K = K = a, K = K = b, K = K = c e ainda R = α,

      12

      34

      13

      24

      14 23 1234 R 1342 = β e R 1423 = γ, logo, pela pela primeira identidade de Bianchi temos α +β +γ = 0.

      Lembremos ainda que, devido `a simetria da curvatura, s˜ao v´alidas as igualdades K ij = K ji , R = R = R = R ,

      1234 3412 4321 2143 R = R = R = R e R = R = R = R . 1342 4213 2431 3143 1423 2314 3241 4132

      Note que podemos escrever

      X

      1

    • F (p) = ikjk R ihlm R jhlm R ijkh R khlm R lmij + 2R ikjh R iljm R klhm ) (−R i =k6=j

      2 X

      1

    • ikjk R ihlm R jhlm R ijkh R khlm R lmij + 2R ikjh R iljm R klhm )

      (−R i 6

      2

      =k ikjk R ihlm R jhlm = 0 e 2R ikjh R iljm R klhm = 0, sendo assim a

      Se i = k temos −R express˜ao acima se resume a

      X X

      1 F (p) = R ijkh R khlm R + lmij ikjk R ihlm R jhlm ) (−R i =k6=j i

      2 6 =k | {z } | {z }

      (I) (II)

      X X

      1 R + + ijkh R khlm R lmij R ikjh R iljm R klhm i 6 =k i

      2 6 =k | {z } | {z }

      (III) (IV ) Vamos calcular separadamente cada parcela acima:

      1 X R R R C´ alculo de (I) = ijkh khlm lmij :

      2

      i=k6=j

      Para que esta parcela seja n˜ao nula, devemos ter k 6= h, i 6= h e l 6= m e da´ı temos

      X X

      1

      1 R ijkh R khlm R lmij = R ijih R ihlm R lmij

      2 i =k6=j i =j,i6=h

      2 6 l 6

      =m

      X X

      1

      1 = + R ijih R ihlm R lmij R ijih R ihlm R lmij

      2 i =h,l6=m j =h,i6=j j =h,i6=j 6 i =h,l6=m

      2 6 6 ijih = 0, para a base ortonormal cuja existˆencia ´e garantida Note que, se j 6= h, ent˜ao R pelo lema 2.1.2. Assim, a segunda parcela da express˜ao acima se anula e temos

      X X

      1

      1 (I) = R ijih R ihlm R lmij = R ijij R ijlm R lmij

      2 j i

      2 6 i =h,l6=m 6 =h,i6=j =j,l6=m

      X

      1

      2 K ij (R ijlm )

      = −

      2 i 6

      =j,l6=m

      X X

      1

      1

      3

      2

      (K ij ) K ij (R ijlm ) = − −

      2 i 6 =j i,j,l,m

      2

      2 a 2 distintos

      3

      3

      3

      2

      2

      2

      = −4a − 4b − 4c − 4aα − 4bβ − 4cγ

      X R R C´ alculo de (II) = ikjk ihlm jhlm ): i (−R

      6=k

      X ikjk R ihlm R jhlm R ikjk R ihlm R jhlm R ikjk R ihlm R jhlm

      X X i =k i =j6=k i =j,i6=k 6 (−R ) = − − 6 X R R R + 0 (pelo lema 2.1.2) ikik ihlm ihlm

      = − i 6

      =k,i6=h,l6=m

      X ik )(R ihlm )

      2

      = − (−K i 6

      =k,i6=h,l6=m

      X X

      2

      2 i k =h,i6=k k =h,i6=k 6 =h,l6=m i K + = ik (R ihlm ) K ik (R ihlm ) 6 =h,l6=m 6 X

      X

      2

      2 i 6 k + = K ih (R ihlm ) K ik (R ihlm ) 6

    =h,l6=m =h,i6=k

    i 6 =h,l6=m

      X X

      X

      3

      2

      2 = 2 (K + + ih ) K ih (R ihlm ) K ik (R ihlm ) . i =h 6 i,h,l,m k i 6 6 =h,i6=k 2 a 2 distintos =h,l6=m

    • X k 6 =h,i6=k i,h,l,m
    • X i,h,l,m
    • 2
    • X k
    • 6<
    • 4b
    • 4c
    • b
    • c
    • 8bβ
    • 8cγ

      =k

      2

      ) + 8b(a

      2

      2

      2

      2

      2

      ) + 8aα

      3

      3

      3

      (−R ikjk R ihlm R jhlm ) = 8(a

      X i 6

      )

      Sendo assim,

      2 ).

      2

      ) + 8c(α

      2

      2

      ) + 8b(α

      

    2

      2

      = 8a(β

      2

      K ik (R ihlm )

      =h,i6=k i,h,l,m 2 a 2 distintos

      2

      2

      ),

      (III) =

      2 X l 6

      1

      K ij R khlm R lmij +

      =j,l6=m

      2 X i 6

      1

      R ijkh R khlm R lmij = −

      2 a 2 distintos

      2 X l 6 =m i,j,k,h

      1

      2 X i 6 =j,l6=m R ijji R jilm R lmij +

      1

      R ijkh R khlm R lmij Inicialmente, note que, como i 6= k, para que essa parcela n˜ao seja nula (pelo Lema 2.1.2), ´e necess´ario que j 6= h, e al´em disso precisamos ter i 6= j, k 6= h, l 6= m. Vamos separar (III) em duas parcelas, uma com j = k (e pelo Lema 2.1.2 devemos ter i = h) e j 6= k (e pelo 2.1.2 devemos ter i 6= h). Assim,

      2

      6=k

      2 X i

      1

      C´ alculo de (III) =

      2 ).

      2

      ) + 8c(α

      2

      2

      ) + 8b(α

      2

      

    2

      ) + 8a(β

      X k 6

      2

      =m i,j,k,h R ijkh R khlm R lmij .

      (K ih )

      Note que:

      2 .

      K ik (R ihlm )

      =h,i6=k i,h,l,m 2 a 2 distintos

      2

      K ik (K ih )

      =h,i6=k,i6=h

      X k 6

      2

      K ih (R ihlm )

      2 a 2 distintos

      3

      =h

      =h

      X i 6

      Assim, temos (II) = 2

      2 .

      K ik (R ihlm )

      2 a 2 distintos

      2

      X k 6 =h,i6=k,i6=h K ik (K ih )

      = 2

      2

      K ik (R ihlm )

      =h,l6=m

      X k 6 =h,i6=k i 6

      Mas,

      2 X i 6

      (K ih )

      2

      2

      ) + 8c(a

      2

      2

      ) + 8b(a

      

    2

      2

      = 8a(b

      2

      K ik (K ih )

      =h,i6=k,i6=h

      2 X k 6

      ,

      2

      3

      2

      = 8aα

      2

      X i 6 =h6=l6=m K ih (R ihlm )

      ),

      3

      3

      3

      ) = 8(a

      3

      3

      3

      = 2.(4a

    • c
    • c
    • b
    • γ
    • γ
    • β
    • b
    • c
    • 8bβ
    • 8cγ
    • 8a(b
    • c
    • c
    • 8c(a
    • b
    • γ
    • γ
    • β

    • b
    • c
    • 8bβ
    • 8cγ
    • b
    • c

      2 a 2 distintos

      2

      = −2(4a.2α

      2

      K ij (R ijkh )

      2 a 2 distintos

      X i,j,k,h,

      R ijkh R khlm R lmij = −2

      2 X i,j,k,h,l,m

      

    2

      2

      K lm (R ijlm )

      2 a 2 distintos

      X i,j,l,m

      R ijkh R khlm R lmij = −

      =m,h6=l,l6=m i,j,k,h 2 a 2 distintos

      2 X k 6

      2

      ) = −16aα

      R ijkh R khlm R lmij +

      2

      6=k

      X i

      C´ alculo de (IV ) = 2

      2 .

      − 20c.γ

      2

      − 20bβ

      ) − 20aα

      2

      3

      3

      3

      III = −4(a

      2 Em resumo,

      − 16cγ

      2

      − 16bβ

      1

      =m,h=l,l6=m i,j,k,h 2 a 2 distintos

      R ikjh R iljm R klhm Para que a express˜ao acima seja n˜ao nula precisamos ter i 6= l, k 6= l, h 6= m, j 6= h, j 6= m. Vamos separar o somat´orio acima em duas parcelas, uma com i = j e outra com i 6= j. Pelo Lema 2.1.2 na primeira parcela devemos ter h = k e l = m e na segunda devemos ter h 6= k e l 6= m. Assim,

      3

      3

      

    3

      K ij R ijlm = −4(a

      2 a 2 distintos

      2 X i,j,l,m

      1

      −

      (K ij )

      ) −

      =j

      X i 6

      K ij R khlm R lmij = −

      =j,l6=m

      2 X i 6

      1

      Mas −

      3

      1

      2 X k

      2

      1

      R ijkh R khlm R lmij = =

      2 a 2 distintos

      2 X l 6 =m i,j,k,h

      1

      ), e al´em disso, temos

      2

      2

      2 (8aα

      ) − 4(aα

      3

      3

      

    3

      ) = −4(a

      2

      2

      2

    • 1
    • 4b.2β
    • 4c.2γ
    • b
    • c

    • 2
    • 2

      Mas, note que −2

      =k,k6=m m 6 =i

      (K ik )(K im )(K km ) + 4

      X i,j,l,m

      2 a 2 distintos

      K ij R iljm R imjl

      X i,k,j,h 2 a 2 distintos i,j,l,m 2 a 2 distintos k 6

      =l,h6=m R ikjh R iljm R klhm .

      X i 6

      Fazendo k = l e h = m na terceira parcela da express˜ao acima e somando com a segunda parcela teremos (IV) = −2

      =k,k6=m, m 6 =i

      (K ik )(K im )(K km ) = −2(4a.2bc + 4b.2ac + 4c.2a) = −48abc,

      4 X i,j,l,m

      2 a 2 distintos

      K ij R iljm R imjl = 4[4a.(−2βγ) + 4b(−2αγ) + 4c(−2αβ)] = −32aβγ) − 32αγ − 32αβ, e ainda,

      2 X i,k,j,h

      2 a 2 distintos i,j,l,m 2 a 2 distintos k 6 =l,h6=m

      R ikjh R iljm R klhm = 2(−4αγb − 4αβc − 4βγa − 4βαc − 4γβa − 4γαb) = −16aβγ − 16bαγ − 16cαβ.

      X i 6

      R ikjh R iljm R klhm .

      Em resumo,

      =k,k6=l,l6=i,j6=h h 6 =m,m6=j,j6=k,i6=h i 6 =j,k6=h,l6=m

      IV = −2

      X i 6

      =k,k6=m m 6 =i

      (K ik )(K im )(K km ) + 2

      X i,j,l,m

      2 a 2 distintos

      K ij R iljm R imjl

      X i 6

      R ikjh R iljm R khlm = −2

      2 a 2 distintos i,j,l,m 2 a 2 distintos k 6 =l,h6=m

      X i 6 =k,k6=m m 6 =i (K ik )(K im )(K km ) + 2

      X i,j,l,m

      2 a 2 distintos

      K ij R iljm R imjl

      X i,k,j,h

      2 a 2 distintos

      K ij R ikjh R ihjk + 2

      X i,k,j,h

    • 2

      Sendo assim,

      3

      3

      3

      2

      2

      2

      3

      3

      3

    • b + c + bβ + cγ ) + 8(a + b + c ) + F (p) = −4(a ) − 4(aα

      2

      2

      2

      

    2

      2

      2

      2

      2

      2

    • 8(aα + bβ + cγ ) + 8a(b + c ) + 8b(a + c ) + 8c(a + b ) +

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      3

      3

      3

    • 8a(β + γ ) + 8b(α + γ ) + 8c(α + β + b + c

      ) − 4(a ) −

      2

      2

      2

    • bβ + c.γ − 20(aα ) − 48abc − 48aβγ − 48bαγ − 48cαβ.

      E simplificando os c´alculos acima, obtemos,

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

    • 8γ (a + b) F (p) = −16aα − 16bβ − 16cγ + 8a(b − c) + 8b(c − a) + 8c(a − b)

      2

      2

    • 8β (a + c) + 8α

      (b + c) − 48abc − 48aβγ − 48bαγ − 48cαβ

      2

      2

      2

      2

    • 8α = 8a(b − c) + 8b(c − a) + 8c(a − b) (b + c − 2a)

      2

      2

    • 8β (a + c − 2b) + 8γ (a + b − 2c) − 48aβγ − 48bαγ − 48cαβ.

      Portanto, F

      2

      2

      2

      2

    • α = a(b − c) + b(c − a) + c(a − b) (b + c − 2a)

      8

      2

      2

    • β (a + c − 2b) + γ (a + b − c) − 6aβγ − 6bαγ − 6cαβ.
    Referˆ encias

      [Bg61] BERGER, Marcel. Sur quelques vari´et´es d’Einstein compactes. Annali di Matem- atica Pura ed Applicata, v. 53, no. 1, p. 89 - 95, 1961. [Bg63] BERGER, Marcel. Les vari´et´es K¨ahl´eriennes compactes d’Einstein de dimension quatre `a courbure positive. Tensor (N.S.), v. 13, no. 1, p. 71 - 74, 1963. [Bs87] BESSE, Arthur L. Einstein Manifolds. New York: Springer, 1987. [dC08] DO CARMO, Manfredo P. Geometria Riemanniana. 4. ed. Rio de Janeiro: IMPA,

      2008. (Projeto Euclides) [Js69] JENSEN, G. Homogeneous Einstein spaces of dimensional four. Journal Differen- tial Geometry, v. 3, p. 309 - 349, 1969.

      [ST69] SINGER, Isadore M.; THORPE, John A. The curvature of 4-dimensional Einstein spaces. Global Analysis, v. 9, p. 355 - 365, 1969. [Tb74] TACHIBANA, Schum-ichi. A Theorem on Riemannian manifolds of positive cur- vature operator. Proc. Japan Acad., v. 50, no. 4, p. 301 - 302, 1974.

      Universidade Federal da Bahia - UFBA Instituto de Matem´atica / Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica

      Av. Adhemar de Barros, s/n, Campus Universit´ario de Ondina, Salvador - BA CEP: 40170 -110

      &lt;http://www.pgmat.ufba.br&gt;

Novo documento

Tags

Documento similar

Universidade Federal de Ouro Preto - UFOP Instituto de Ciências Sociais e Aplicadas - ICSA
0
3
249
Universidade Federal do Pará - UFPA Instituto de Ciências da Arte - ICA Programa de Pós Graduação em Artes - PPGARTES
0
1
127
Universidade Federal de Uberlândia Instituto de História - INHIS
0
2
81
Universidade de Bras´ılia Instituto de Ciˆ encias Exatas Departamento de Matem´ atica Aprendizagem Ativa e Colaborativa: uma proposta de uso de metodologias ativas no ensino da matem´ atica
0
0
67
Universidade de Bras´ılia Instituto de Ciˆ encias Exatas Departamento de Matem´ atica
0
0
88
Universidade de Bras´ılia Instituto de Ciˆ encias Exatas Departamento de Matem´ atica
0
0
64
Universidade de Bras´ılia Instituto de Ciˆ encias Exatas Departamento de Matem´ atica
0
0
105
Universidade de Bras´ılia Instituto de Ciˆ encias Exatas Departamento de Matem´ atica
0
1
136
Universidade Federal da Bahia
0
5
167
Universidade de Bras´ılia Instituto de Ciˆencias Exatas Departamento de Matem´
0
0
97
Universidade de Bras´ılia Instituto de Ciˆencias Exatas Departamento de Matem´
0
1
102
Universidade de Bras´ılia Instituto de Ciˆ encias Exatas Departamento de Matem´ atica PRATICANDO ESTAT´ ISTICA NO ENSINO M´ EDIO
0
0
64
Universidade de Bras´ılia Instituto de Ciˆ encias Exatas Departamento de Matem´ atica Os polinˆ omios centrais de algumas ´ algebras
0
0
102
Universidade de Bras´ılia Instituto de Ciˆ encias Exatas Departamento de Matem´ atica
0
0
74
Universidade de Bras´ılia Instituto de Ciˆ encias Exatas Departamento de Matem´ atica
0
0
58
Show more