Universidade Federal da Bahia - UFBA Instituto de Matem´ atica - IM

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Full text

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Universidade Federal da Bahia - UFBA

Instituto de Matem´

atica - IM

Programa de P´os-Graduac¸˜ao em Matem´atica - PGMAT Dissertac¸˜ao de Mestrado

Variedades de Einstein de dimens˜

ao 4 com

curvatura seccional n˜

ao negativa

Francisleide da Silva Pires

(2)

Variedades de Einstein de dimens˜

ao 4 com

curvatura seccional n˜

ao negativa

Francisleide da Silva Pires

Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

Orientador: Prof. Dr. ´Ezio de Ara´ujo Costa.

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Pires, Francisleide da Silva.

Variedades de Einstein de dimens˜ao 4 com curvatura seccional n˜ao negativa / Francisleide da Silva Pires. – Salvador: UFBA, 2011.

37 f. : il.

Orientador: Prof. Dr. ´Ezio de Ara´ujo Costa.

Disserta¸c˜ao (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´atica, Programa de P´os-gradua¸c˜ao em Matem´atica, 2010.

Referˆencias bibliogr´aficas.

1. Geometria diferencial. 2. Variedades diferenci´aveis. 3. Variedades riemannianas. I. Costa, ´Ezio de Ara´ujo. II. Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´atica. III. T´ıtulo.

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Variedades de Einstein de dimens˜

ao 4 com

curvatura seccional n˜

ao negativa

Francisleide da Silva Pires

Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica, aprovada em 25 de fevereiro de 2011 .

Banca examinadora:

Prof. Dr. ´Ezio de Ara´ujo Costa (Orientador) UFBA

Prof. Dr. Enaldo Silva Vergasta UFBA

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(6)

Agradecimentos

Primeiramente, agrade¸co a Deus “porque Dele, por Ele e para Ele s˜ao todas as coisas, gl´oria pois a Ele eternamente, am´em”. Agrade¸co-o pelo dom da vida e por ter me dado a for¸ca e gra¸ca para superar as dificuldades encontradas ao longo da caminhada e por fim alcan¸car esse objetivo: concluir o Mestrado em Matem´atica.

Aos meus pais – Eunice e Francisco – pelo amor incondicional e por lutarem com muita dificuldade para me dar o de melhor. Aos meus irm˜aos – Elenice, Elisangela, Elisana e Melkzedeque– pelo apoio, pela compreens˜ao da minha ausˆencia em alguns momentos e ainda pela colabora¸c˜ao nos momentos em que precisei.

Ao professor Jo˜ao Cardeal, um dos principais culpados por eu ter chegado at´e aqui, me encorajando a tentar o Mestrado, al´em dele os professores Jean, Ta´ıse e Cristiano que tamb´em me incentivaram a enfrentar a sele¸c˜ao e os demais professores da UEFS que contribu´ıram para minha forma¸c˜ao inicial em Matem´atica.

Ao Professor Dr. ´Ezio Costa, por ter aceitado me orientar e que al´em de ser um excelente profissional, foi uma pessoa muito prestativa e paciente na orienta¸c˜ao desse trabalho, dando sua parcela de contribui¸c˜ao na minha forma¸c˜ao de Mestre.

Aos membros da banca, Dr. Enaldo Vergasta e Dr.M´arcio Batista por aceitarem participar da banca examinadora e pelas corre¸c˜oes sugeridas para enriquecimento desse trabalho.

A todos os colegas do Mestrado em Matem´atica que tive a oportunidade de con-hecer nesse per´ıodo e compartilhar momentos bons ou at´e mesmo momentos de aperto e correria. Em especial aos meus companheiros de luta Renivaldo (mais chegado que um irm˜ao), Caio e K´atia que juntos enfrentamos in´umeras dificuldades e trabalhamos com garra no objetivo de super´a-las. Tamb´em `a colega Ela´ıs que foi uma boa companheira de estudo quando cursou conosco duas disciplinas e ainda em outros momentos de descon-tra¸c˜ao. N˜ao esquecendo de agradecer ao colega Jo˜ao Paulo pelo aux´ılio com o TEX e contribui¸c˜ao nos grupos de estudo.

(7)

forma¸c˜ao de Mestre.

Aos funcion´arios do IM: D.Neide, Douglas, Alan e Gilmar pela colabora¸c˜ao em seus servi¸cos. Agrade¸co tamb´em a secret´aria D. Tˆania por seu excelente trabalho, e n˜ao esquecendo de D. Zez´e pela sua aten¸c˜ao e colabora¸c˜ao quando precisei.

Parece contradit´orio, mas tenho um agradecimento especial `as pessoas que n˜ao acreditaram em mim e lan¸caram palavras negativas. Hoje vejo que estas palavras me serviram de incentivo para que eu lutasse com mais garra e persistˆencia ainda , e ent˜ao posso afirmar sem medo:“posso todas as coisas Naquele que me fortalece”.

(8)

“As miseric´ordias do SENHOR s˜ao a causa de n˜ao sermos consumidos, porque as suas miseric´ordias n˜ao tˆem fim; renovam-se cada manh˜a.”

(9)

Resumo

O presente trabalho tem como objetivo estudar variedades de Einstein M de dimens˜ao 4, compactas, simplesmente conexas com curvatura seccional n˜ao negativa. Existe uma conjectura que afirma que uma tal variedade ´e localmente sim´etrica, logo ´e isom´etrica a esfera S4, ou a S2×S2 ou ao espa¸co projetivo complexo CP2, todos esses

espa¸cos com suas m´etricas canˆonicas. Mostaremos que essa conjectura se realiza nos seguintes casos: (1) a curvatura seccional de M ´e 1

4- pin¸cada, (2) M ´e K¨ahlerianna com curvatura seccional n˜ao negativa e (3)M tem operador de curvatura n˜ao negativo.

(10)

Abstract

This work aims to study compact, simply connected, with nonnegative sectional curvature and four-dimensional Einstein manifolds. There is a conjecture which states that such a manifold is locally symmetric, then M is isometric to the sphere S4 or to S2 × S2 or to the space complex projective CP2, all these spaces with their standard

metrics. We will show that this conjecture is held in the following cases: (1) the sectional curvature of M is 1

4- pinched, (2) M is K¨ahlerian with nonnegative sectional curvature and (3)M has operator nonnegative curvature.

(11)

Sum´

ario

Introdu¸c˜ao 1

1 Preliminares 4

1.1 No¸c˜oes b´asicas de Geometria Riemanniana . . . 4 1.2 O espa¸co de 2 - formas e o operador estrela de Hodge . . . 6

2 Variedades de Einstein de dimens˜ao 4 9

2.1 Lemas de Berger . . . 9 2.2 Decomposi¸c˜ao do tensor de curvatura de uma variedade de Einstein de

dimens˜ao 4 . . . 13 2.3 O tensor de Weyl de uma variedade de Einstein de dimens˜ao 4 . . . 16

3 Variedades de Einstein de dimens˜ao 4 com curvatura seccional 1

4- pin¸cada 17

4 Variedades de Einstein K¨ahlerianas de dimens˜ao 4 com curvatura

seccional n˜ao negativa 20

5 Variedade de Einstein 4-dimensional com operador de curvatura n˜ao

negativo 27

6 Apˆendice 31

(12)

Introdu¸c˜

ao

Uma variedade Riemanniana M = Mn de dimens˜ao n ´e dita uma variedade de

Einstein se tem curvatura de Ricci constante. Em dimens˜ao 2 ou 3 a condi¸c˜ao de ter curvatura de Ricci constante equivale a ter curvatura seccional constante e portanto, o estudo das variedades de Einstein ´e interessante quando a dimens˜ao ´e maior ou igual a 4. Na nossa disserta¸c˜ao estaremos interessados especificamente no estudo das variedades de Einstein M de dimens˜ao 4, compactas, simplesmente conexas e que tem curvatura seccional n˜ao negativa. Existe uma conjectura de que essas variedades s˜ao localmente sim´etricas e consequentemente de acordo com um teorema de Jensen (ver [Js69])M deve ser isom´etrica a uma esfera S4, ou a um produto de duas esferas S2 ×S2 ou ao espa¸co

complexo projetivoCP2, com suas respectivas m´etricas canˆonicas. Mostraremos que essa

conjectura se realiza nos seguintes casos :

1◦) Teorema A.([Bg61]) Seja M uma variedade de Einstein de dimens˜ao 4, compacta e

orientada. Se existe uma constanteKo >0 tal que a curvatura seccional K deM satisfaz

Ko/4≤K ≤Ko, ent˜ao M ´e isom´etrica a uma esfera S4 ou ao espa¸co projetivo complexo

CP2.

2◦) Teorema B.([Bg63]) Seja M uma variedade de Einstein de dimens˜ao 4, compacta e

simplesmente conexa. Se M ´e tamb´em uma variedade K¨ahleriana e tem curvatura sec-cional n˜ao negativa ent˜ao M ´e isom´etrica a um produto de duas esferas S2 ×S2 ou ao

espa¸co projetivo complexo CP2.

3◦) Teorema C. Seja M uma variedade de Einstein de dimens˜ao 4, compacta e

sim-plesmente conexa. SeM tem operador de curvatura n˜ao negativo ent˜aoM ´e isom´etrica a uma esfera S4, ou a um produto de duas esferas S2×S2 ou ao espa¸co projetivo complexo CP2.

(13)

2

Os Teoremas A e B foram provados por M. Berger em [Bg61] e [Bg63], respecti-vamente. O Teorema C ´e consequˆencia do seguinte resultado mais geral provado por S. Tachibana em [Tb74]:

Teorema 0.0.1. SejaM uma variedade de Einstein de dimens˜aon compacta e orientada. SeM tem operador de curvatura n˜ao negativo ent˜aoM ´e um espa¸co localmente sim´etrico.

Entretanto, em nossa disserta¸c˜ao daremos um prova diferente para o caso em queM tem dimens˜ao 4. A demonstra¸c˜ao dos Teoremas A, B e C repousa essencialmente nos seguintes resultados:

ormula de Lichnerowicz: Sejam Mn, n 2, uma variedade Riemanniana, compacta e orientada com tensor de curvatura R e conex˜ao Riemanniana edivR

a divergˆencia de R. Ent˜ao

1 2

Z

M | ∇

R|2 dV =

Z

M |

divR |2 dV

Z

M

F dV,

onde F :M R ´e dada por

F(p) = X

i,j,k,h,l,m

(RikjkRihlmRjhlm+

1

2RijkhRkhlmRlmij+ 2RikjhRiljmRklhm),

i, j, k, h, l, m = 1,2,3,4, Rijkl = R(Xi, Xj, Xk, Xl) e {X1, X2, X3, X4} ´e uma base

ortonormal de TpM.

Em particular, se Mn ´e uma variedade de Einstein, como divR= 0, temos

1 2

Z

M | ∇

R|2 dV =

Z

M

F dV.

ormula de Weitzenbock: Seja M =M4 uma variedade de Einstein de dimen-s˜ao 4, compacta, orientada e com curvatura de Ricci = ρ. Se W± s˜ao as partes

auto-dual e anti-auto-dual do tensor de Weyl W de M ent˜ao

||2=||2 +36 detW±2| ∇|2 .

Teorema de Jensen ([Js69]): Seja M = M4 uma variedade de Einstein de di-mens˜ao 4, compacta e simplesmente conexa. Se M ´e um espa¸co localmente sim´etrico ent˜ao M ´e isometrica a uma esfera S4, ou ao espa¸co complexo projetivo CP2 ou a

(14)

3

Na demonstra¸c˜ao dos Teoremas A e B, mostraremos que a fun¸c˜ao F que aparece na f´ormula de Lichnerowicz ´e n˜ao negativa e consequentementeR 0, o que significa queM ´e localmente sim´etrica. Em seguida, usamos o Teorema de Jensen.

Para a prova do Teorema C, usamos a f´ormula de Weitzenbock (ver [Bs87]) para mostrar que M ´e tamb´em um espa¸co localmente sim´etrico.

(15)

Cap´ıtulo 1

Preliminares

Neste cap´ıtulo introduziremos algumas defini¸c˜oes b´asicas e alguns resultados preliminares que ser˜ao utilizados nos cap´ıtulos posteriores. As defini¸c˜oes e resultados referentes `a Geometria Riemanniana encontram-se, por exemplo no livro de do Carmo [dC08].

Seja M =Mn, n

≥2, uma variedade diferenci´avel n-dimensional. Denotaremos por X(M) o conjunto de campos de vetores de classe Ctangentes a Mn e por T M o

fibrado tangente de Mn. Para cada p M, T

pM denotar´a o espa¸co tangente de Mn

em p.

1.1

No¸c˜

oes b´

asicas de Geometria Riemanniana

Defini¸c˜ao 1.1.1. Uma m´etrica Riemanniana em M ´e uma correspondˆencia que asso-cia a cada ponto p M um produto interno h,ip, no espa¸co tangente TpM, que varia

diferencialmente com p no seguinte sentido: Se x:U ⊂Rn → M ´e um sistema de

coor-denadas locais em torno dep, comx(x1, x2, ..., xn) =q e ∂

∂xi

(q) = dx(0, ...,1, ...,0),ent˜ao

h ∂

∂xi

(q), ∂ ∂xj

(q)i=gij(x1, x2, ..., xn) s˜ao fun¸c˜oes diferenci´aveis em U.

Defini¸c˜ao 1.1.2. Uma variedade Riemanniana ´e uma variedade diferenci´avel com uma dada m´etrica Riemanniana.

Defini¸c˜ao 1.1.3. Uma conex˜ao afim em Mn ´e um aplica¸c˜ao

∇:X(M)×X(M)X(M)

que satisfaz as seguintes propriedades:

(i) f X+gYZ =f∇XZ+g∇YZ

(ii) X(Y +Z) = ∇XY +∇XZ

(16)

5

(iii) X(f Y) =f∇XY +X(f)Y,

para quaisquer que sejam X, Y, Z X(M) e f, gC(M).

Defini¸c˜ao 1.1.4. Uma conex˜ao afim ´e dita ser compat´ıvel com a m´etrica se ela satisfaz a regra do produto, ou seja,

XhY, Zi=h∇XY, Zi+hY,∇XZi.

Defini¸c˜ao 1.1.5. Uma conex˜ao afim em uma variedade diferenci´avel M ´e dita ser sim´etrica quando

∇XY − ∇XY = [X, Y],

para quaisquer que sejam X, Y X(M).

Defini¸c˜ao 1.1.6. Uma conex˜ao ´e dita uma conex˜ao Riemanniana se ela for sim´etrica e compat´ıvel com a m´etrica.

Defini¸c˜ao 1.1.7. A curvatura R de Mn ´e uma correspondˆencia que associa a cada par

X, Y X(M) uma aplica¸c˜ao R(X, Y) :X(M)X(M) dada por

R(X, Y)Z =Y∇XZ− ∇X∇YZ+∇[X,Y]Z,

onde Z X(M) e [X, Y] =XY − ∇YX ´e o colchete de Lie de X e Y.

Defini¸c˜ao 1.1.8. Sejam X, Y, Z, W X(M). O tensor de curvatura de Mn ´e definido

por

R(X, Y, Z, W) = hR(X, Y)Z, Wi.

Se {Xi} ´e uma base ortonormal deTpM ´e conveniente escrever

R(Xi, Xj, Xk, Xl) =Rijkl,

o qual satisfaz as identidades

Rijkl =−Rjikl=−Rijlk =Rklij,

Rijkl+Riklj +Riljk= 0.

Esta ´ultima ´e conhecida como identidade de Bianchi.

Defini¸c˜ao 1.1.9. Sejam agora σ um subespa¸co bidimensional deTpM e{X, Y}uma base

de σ. A curvatura seccional de σ em p´e dada por

K(σ) =K(X, Y) = R(X, Y, Y, X)

|XY|2 ,

(17)

6

No caso em que Xi, Xj s˜ao ortonormais,

Kij =K(Xi, Xj) = R(Xi, Xj, Xj, Xi).

Defini¸c˜ao 1.1.10. Seja X TpM, com |X |= 1. Ent˜ao a curvatura de Ricci na dire¸c˜ao

de X ´e dada por Ric(X) =

n

X

i=1

K(X, Xi), onde {X1 =X, ..., Xn} ´e uma base ortonormal

de TpM.

Defini¸c˜ao 1.1.11. Uma variedade RiemannianaMn´e dita ser uma variedade de Einstein

se a mesma tem curvatura de Ricci constante.

Defini¸c˜ao 1.1.12. Seja M uma variedade Riemanniana. M ´e um espa¸co localmente sim´etrico se R = 0, onde R ´e o tensor de curvatura de M.

1.2

O espa¸co de

2

- formas e o operador estrela de

Hodge

Defini¸c˜ao 1.2.1. Seja V um espa¸co vetorial de dimens˜ao n 2, com produto interno

h,i. Uma 1-forma em V ´e um funcional linear f : V R e como sabemos, existe um ´

unico vetor u V tal que f(v) = hu, vi, v V. Ent˜ao podemos identificar f com um vetor uV e usar a nota¸c˜ao u(v) = hu, vi.

Defini¸c˜ao 1.2.2. Uma 2-forma emV ´e uma aplica¸c˜ao bilinear anti-sim´etricaα:V×V R. Se u e v s˜ao dois vetores em V, podemos definir a 2-forma uv (bivetor) da seguinte maneira

uv : V ×V R

(uv)(x, y) =det hu, xi hu, yi

hv, xi hv, yi

!

Note que v v = 0 e vu=uv.

O conjunto das 2-formas em V ´e um espa¸co vetorial denotado por Λ2(V). Se {e

i}ni=1 ´e uma base deV ent˜ao {ei∧ej}i<j ´e uma base para Λ2(V).

Podemos definir um produto interno em Λ2(V), da seguinte forma:

h,i : Λ2(V)×Λ2(V)R

hei∧ej, er∧eki=det h

ei, eri hei, eki

hej, eri hej, eki

(18)

7

Dadas 2-formas α β Λ2(V), podemos definir o produto exterior de α=e

i∧ej

eβ =er∧ek como a aplica¸c˜ao

αβ : V ×V ×V ×V R,

β)(v1, v2, v3, v4) =det(hei, vji)

Uma 2-forma α Λ2(V) ´e dita decompon´ıvel de existem u, v V tal que

α=uv.

Valem as seguintes propriedades:

(a) αβ =βα

(b) α ´e decompon´ıvel se e somente se αα= 0

Daqui em diante estamos interessados em espa¸cos vetoriais de dimens˜ao 4.

SejaV um espa¸co vetorial de dimens˜ao 4 com produto internoh,i. Vamos definir o operador estrela . Para isto, seja {e1, e2, e3, e4} uma base orientada deV, temos ent˜ao que

{e1∧e2, e1∧e3, e1∧e4, e2∧e3, e2∧e4, e3∧e4} ´e uma base de Λ2(V). Se (i

1, i2, j1, j2) ´e uma permuta¸c˜ao c´ıclica de (1,2,3,4). Definimos ent˜ao (ei1 ∧ei2) = ej1 ∧ej2.

Lema 1.2.3. O operador satisfaz as condi¸c˜oes

(i) ∗ ◦ ∗=I;

(ii) ´e auto-adjunto;

(iii) Os autovalores de s˜ao ±1, cada um com multiplicidade alg´ebrica 3.

Prova:

(i) De fato, basta verificar que esta propriedade ´e v´alida para os elementos da base de Λ2(V):

∗((e1∧e2)) =∗(e3∧e4) = e1∧e2 ∗(∗(e2∧e3)) =∗(e1∧e4) =e2∧e3

∗((e1∧e3)) =∗(e2∧e4) = e1∧e3 ∗(∗(e2∧e4)) =∗(e1∧e3) =e2∧e4

(19)

8

(ii) Com efeito, basta notar que a matriz do operador com respeito a base citada acima tem a forma

0 I

I 0

!

,

onde I ´e a identidade de Λ2(V). Como esta matriz ´e sim´etrica, ent˜ao ´e auto-adjunto.

(iii) De fato, pois det(∗ −λI) = λ6 2λ4 + 1, cujas ra´ızes s˜ao ±1, cada uma com multiplicidade 3.

Observa¸c˜ao 1.2.4. O operador decomp˜oe o espa¸co Λ2(V) na soma direta ortogonal Λ2(V) = Λ+(V)LΛ(V), onde Λ± s˜ao os auto-espa¸cos de correspondentes aos

auto-valores ±1, ou seja,

Λ+(V) ={αΛ2(V);α =α}

Λ−(V) =

Λ2(V);α=α}.

Os espa¸cos Λ+(V) e Λ+(V) s˜ao chamados a parte auto-dual e a parte

(20)

Cap´ıtulo 2

Variedades de Einstein de

dimens˜

ao 4

Os exemplos mais simples de variedades de Einstein de dimens˜ao 4 com curvatura de Ricci n˜ao negativa s˜ao: a esfera S4

c com curvatura c > 0, o produto de duas esferas

S2c ×S2c de mesma curvatura c > 0, o espa¸co projetivo complexoCP2, o espa¸co projetivo

real RP4, o produto de dois espa¸cos reais projetivos RP2c ×RP2c , o espa¸co euclidiano R4

e o toro flatT4 =S1×S1×S1×S1, todos com suas m´etricas canˆonicas.

2.1

Lemas de Berger

Apresentaremos agora dois lemas importantes referentes a variedades de Einstein de dimens˜ao quatro, os quais foram provados por Berger em [Bg61].

Lema 2.1.1. Seja M uma variedade de Einstein de dimens˜ao 4 e seja p M. Se

{X1, ..., X4}´e uma base ortornormal do espa¸co tangenteTpM e Kij ´e a curvatura secional

K(Xi, Xj) ent˜ao

K12=K34,

K13=K24,

K14=K23. Prova:

Sejam M uma variedade de Einstein de dimens˜ao 4, ρ curvatura de Ricci de M

e{X1, ..., X4} uma base ortornormal do espa¸co tangenteTpM. Sabemos que

K12+K13+K14=K21+K23+K24=K31+K32+K34=K41+K42+K43=ρ. Usando o fato de queKij =Kji e combinando as equa¸c˜oes acima, temos

(21)

10

Portanto, da ´ultima igualdade obtemos que K12=K34 e as outras igualdades s˜ao obtidas

de maneira an´aloga.

Lema 2.1.2. Seja M uma variedade de Einstein de dimens˜ao 4 e tensor de curvatura R. Ent˜ao para todo pM, existe uma base ortonormal ortonormal {Xi} de TpM tal que:

i) Todos osR(Xi, Xj, Xk, Xh) = Rijkh(i, j, k, h= 1,2,3,4) s˜ao nulos, com exce¸c˜ao

(even-tualmente) de K12 =K34, K13 =K24, K14 =K23, R1234, R1342 e R1423.

ii)|R1342−R1234 |≤K13−K12, |R1342−R1423 |≤K13−K14, |R1423−R1234 |≤K14−K12. Prova:

SejamMuma variedade de Einstein de dimens˜ao 4,pum ponto deM e{X1, ..., X4} uma base ortornormal do espa¸co tangente TpM. Seja σ(X1, X2) ⊆ TpM o 2-plano

escolhido de modo que K(X1, X2) seja um valor m´ınimo da curvatura seccional em

p M e seja ξ(X3, X4) o complemento ortogonal de σ(X1, X2) em TpM. Para

quais-quer Y σ(X1, X2), Z ∈ ξ(X3, X4), sejam X1 e X3 vetores cujos valores m´aximos s˜ao

dados aK(Y, Z). Consideremos as fun¸c˜oes de θ definidas a seguir

f1(θ) = K(X1, X2cosθ+X3sinθ),

f2(θ) = K(X1, X2cosθ+X4sinθ),

f3(θ) = K(X2, X1cosθ+X3sinθ),

f4(θ) = K(X2, X1cosθ+X4sinθ). Observe que

f1(θ) =K(X1, X2cosθ+X3sinθ) = K12cos2θ−R1213sin 2θ+K13sin2θ,

da´ı temos

f1′(θ) =K12sin 2θ−2R1213cos 2θ+K13sin 2θ.

Mas,f1(0) =K(X1, X2) e como K(X1, X2) ´e valor m´ınimo da curvatura seccional temos

f′

1(0) = 0. Note que f1′(0) = 2R1213, donde conclu´ımos que R1213 = 0. Seguindo o mesmo racioc´ınio para as fun¸c˜oesf2(θ), f3(θ) ef4(θ) , obtemos R1214 = 0, R1223 = 0, eR1224 = 0, como quer´ıamos. Analogamente, considerando as fun¸c˜oes

K(X1, X3cosθ+X4sinθ),

K(X3, X1cosθ+X2sinθ)

(22)

11

E assim a parte (i) do Lema fica demonstrada.

Para mostrarmos a parte (ii) usaremos o fato de que K(Y, Z) K13 quaisquer que sejam Y σ(X1, X2), Z ∈ξ(X3, X4). Dessa forma,

K(aX1+bX2, cX3+dX4)≤K13, (2.1)

quaisquer que sejam a, b, c, dR. Em particular, para a=b=c=d= 1

2, temos

K(√1

2X1+ 1

2X2, 1

2X3+ 1

2X4)≤K13. Note que,

K(√1

2X1+ 1

2X2, 1

2X3 + 1

2X4) (2.2)

= hR(1 2X1+

1

2X2, 1

2X3+ 1

2X4) 1

2X3+ 1

2X4, 1

2X1+ 1

2X2i = hR(1

2X1, 1

2X3) 1

2X3, 1

2X1i+hR( 1

2X2, 1

2X3) 1

2X3, 1

2X1i + hR(√1

2X1, 1

2X4) 1

2X3, 1

2X1i+hR( 1

2X2, 1

2X4) 1

2X3, 1

2X1i + hR(1

2X1, 1

2X3) 1

2X4, 1

2X1i+hR( 1

2X2, 1

2X3) 1

2X4, 1

2X1i + hR(√1

2X1, 1

2X4) 1

2X4, 1

2X1i+hR( 1

2X2, 1

2X4) 1

2X4, 1

2X1i + hR(√1

2X1, 1

2X3) 1

2X3, 1

2X2i+hR( 1

2X2, 1

2X3) 1

2X3, 1

2X2i + hR(1

2X1, 1

2X4) 1

2X3, 1

2X2i+hR( 1

2X2, 1

2X4) 1

2X3, 1

2X2i + hR(√1

2X1, 1

2X3) 1

2X4, 1

2X2i+hR( 1

2X2, 1

2X3) 1

2X4, 1

2X2i + hR(√1

2X1, 1

2X4) 1

2X4, 1

2X2i+hR( 1

2X2, 1

2X4) 1

2X4, 1

2X2i

= 1

4(K13−R2331−R1431+R1324 −R1341+R1423 + K14−R2441−R1332+K23+R1423−R2432−R1342

− R2342 −R1442+K24). (2.3)

Pelo Lema 2.1.1, temos K13 =K24 eK14 =K23. Al´em disso, pelo item (i) desse lema, temosRijkj = 0, se i6=k. Juntando esses dois fatos, obt´em-se

K(√1

2X1+ 1

2X2, 1

2X3+ 1

2X4) = 1

4(2K13+ 2R1423−2R1342+ 2K14)

= 1

(23)

12

Como,K13 ´e valor m´aximo da curvatura seccional, temos 1

2(K13+R1423−R1342+K14)≤K13, ou seja,

1

2(R1423−R1342)≤ 1

2(K13−K14). Da´ı tem-se,

R1423−R1342 ≤K13−K14. Al´em disso, note que se fizermos a = √1

2 , b = c = d = 1

2 em (2.1), realizando-se c´alculos an´alogos, obt´em-se

−12(R1423−R1342)≤ 1

2(K13−K14). Assim,

R1423−R1342 ≥K14−K13 e portanto,

|R1342 −R1423 |≤K13−K14, (2.5)

como quer´ıamos.

Analogamente, como K12 ´e valor m´ınimo da curvatura seccional, quaisquer que sejama, b, ce d, tem-se

K(aX1+bX3, cX2+dX4)≥K12. (2.6)

Em particular, para a=b =c=d= √1

2, temos

K(1 2X1+

1

2X3, 1

2X2+ 1

2X4)≥K12. Atrav´es de c´alculos an´alogos ao anterior, obt´em-se

K(1 2X1+

1

2X3, 1

2X2+ 1

2X4) = 1

4(K12−R3221−R1421+R1234 −R1241+R1432 + K14−R3441−R1223+K32+R1432−R2423

− R1343 −R3243−R1443+K34)

= 1

4(2K12+ 2R1432−2R1243+ 2K14)

= 1

2(K12+R1234−R1423+K14). (2.7) Substituindo (2.7) na ´ultima desigualdade acima, tem-se

1

(24)

13

ou seja,

1

2(R1234−R1423)≥ 1

2(K12−K14). Fazendoa=√1

2, b=c=d= 1

2 em (2.6) e realizando-se c´alculos an´alogos obt´em-se

−1

2(R1234−R1423)≥ 1

2(K12−K14). Portanto,

R1234−R1423 ≤K14−K12, e da´ı segue que

|R1234 −R1423 |≤K14−K12. (2.8)

Finalmente combinando as desigualdades (2.5) e (2.8) obtemos

|R1342−R1234 |≤K13−K12.

2.2

Decomposi¸c˜

ao do tensor de curvatura de uma

variedade de Einstein de dimens˜

ao 4

Nosso objetivo nesta se¸c˜ao ´e apresentar uma forma canˆonica para os tensores de curvatura em espa¸cos de Einstein de dimens˜ao 4, conforme aparece no artigo de Singer-Torpe [ST69].

Seja M uma variedade orientada de dimens˜ao 4, em cada ponto x M vamos considerarV =TxM e Λ2x = Λ2(TxM) = Λ+x ⊕Λ

x. O tensor de curvatura R em x ´e uma

aplica¸c˜ao linear sim´etrica definida por

R : Λ2x → Λ2x

XY 7→ R(X, Y) onde

R(XY) :TxM →TxM

R(XY)Z =R(X, Y)Z.

SejaP ={X, Y}o plano gerado pelos vetores ortonormaisX, Y TxM, podemos

identificarP com XY e denotar a curvatura seccional deM em P por

(25)

14

Defini¸c˜ao 2.2.1. Seja M uma variedade de Einstein de dimens˜ao 4, com operador de curvatura R e curvatura seccional K. Seja G o conjunto dos bivetores decompon´ıveis de comprimento 1. Um 2-plano P G ´e um plano cr´ıtico de R se P ´e ponto cr´ıtico de

K :GR.

Da´ı, podemos provar o seguinte resultado:

Lema 2.2.2. G ´e um produto de duas esferas, a saber as esferas de raio 1

2 nos

auto-espa¸cos Λ±

x do operador estrela.

Prova:

Sabemos que ξΛ2

x ´e decompon´ıvel se, e somente se,ξ∧ξ= 0.

Logo,

G = {ξΛ2x/ξ∧ξ = 0,hξ, ξi= 1}

= {ξΛ2x/hξ,ξi= 0,hξ, ξi= 1},

Como Λ2

x = Λ+x ⊕Λ−x, onde Λ+x ´e o auto espa¸co associado ao autovalor +1 e Λ−x

´e o auto espa¸co associado ao autovalor 1, podemos escrever ξ =α+β, onde α= α e

∗β=β. Da´ı temos

1 =hξ, ξi=hα+β, α+βi=kαk2+kβk2+ 2hα, βi=kαk2+kβk2

0 = hξ,ξi=hα+β,(α+β)i=hα+β, αβi=kαk2− kβk2

Das equa¸c˜oes acima, conclu´ımos quekαk=kβk= √1

2 e portanto

G={α+β Λx2,kαk=kβk=

1

2}.

Proposi¸c˜ao 2.2.3. P G ´e um ponto cr´ıtico de R se, e somente se, existem n´umeros reais λ e µ tais que R(P) = λP +µP⊥.

Prova:

Considere as trˆes fun¸c˜oes dadas por f(ξ) = hR(ξ), ξi, g(ξ) = hξ, ξi e h(ξ) =

hξ,ξi, ξ Λ2

x. Note que, K ´e a restri¸c˜ao de f a G=g−1(1)∩h−1(0). Pelo m´etodo dos

multiplicadores de Lagrange em Rn, temos que P G ´e um ponto cr´ıtico da curvatura

seccional em P se, e somente se, existem n´umeros reais λ e µ tais que, em P temos a igualdade

(26)

15

ondeλeµs˜ao os multiplicadores de Lagrange. Mas, seA:V V ´e uma aplica¸c˜ao linear sim´etrica no espa¸co vetorial V, temos gradhA(v), vi = 2A(v). Aplicando isto as fun¸c˜oes

f, g eh obtemos

2R(P) = 2λP + 2µ(P).

Mas, para P G, P ´e o complemento ortogonal orientado P⊥ de P em V. Da´ı segue

que

R(P) =λP +µP⊥.

Podemos agora obter a decomposi¸c˜ao do operador de curvatura de uma variedade de Einstein de dimens˜ao 4, conforme Singer-Torpe [ST69].

Teorema 2.2.4. Seja M uma variedade de Einstein de dimens˜ao 4 e R o seu operador de curvatura. Ent˜ao existe uma base ortonormal deTpM tal que cada par de vetores gera

um plano cr´ıtico deR. Com rela¸c˜ao a essa base, a matriz dos componentes da curvatura tem a forma

[R] = A B

B A

!

,

onde A=

  

λ1 0 0

0 λ2 0

0 0 λ3

 

 e B =

  

µ1 0 0

0 µ2 0

0 0 µ3

  

Prova:

Note que, se M4 ´e de Einstein e R ´e o operador de curvatura de M temos

∗ ◦R = R◦ ∗, e visto que os operadores e R s˜ao auto-adjuntos, ent˜ao os operadores podem ser diagonalizados simultaneamente . Seja ξi (1 ≤ i ≤ 6) uma base ortonormal

para Λ2 tal que

(

∗ξi =ξi, i≤3

∗ξi =−ξi, i >3

R(ξi) =aiξi (1≤i≤6),

ou seja, ξi ∈ Λ+ para i ≤ 3 e ξi ∈ Λ− para i > 3. Definindo Pi = (ξi +ξi+3)/

2 e

P⊥

i = (ξi −ξi+3)/

2, temos que β = {P1, P2, P3, P1⊥, P2⊥, P3⊥} ´e uma base ortonormal para Λ2 satisfazendo h∗P, Pi= 0, P β, ou seja, os elementos de β se identificam com os elementos deG e vale Pi =Pi⊥, i= 1,2,3.

Al´em disso,

R(Pi) = λiPi+µiPi⊥

e

R(P⊥

(27)

16

onde λi = (ai +a3+i)/2 e µi = (ai −a3+i)/2 de modo que, pela Proposi¸c˜ao (2.2.3), β

´e uma base ortonormal de Λ2 consistitu´ıda de planos cr´ıticos de R e segundo a qual a matriz tem [R] a referida forma.

Como P1, P2 ∈ β satisfazem P1∧P2 =hP1,∗P2iw = hP1, P2⊥iw = 0, segue que

P1∩P2 6={0}e sendo assim existeme1 ∈P1∩P2,e2 ∈P1 ee3 ∈P2 tais quee1∧e2 =P1 e

e1∧e3 =P2. Escolhendoe4 ∈V, de modo que{e1, e2, e3, e4}seja uma base ortonormal com

orienta¸c˜ao compat´ıvel com a orienta¸c˜ao fixada emTpM, temose3∧e4 =P1⊥ee4∧e2 =P2⊥.

Da ortogonalidade de {Pi, Pi⊥} segue que P3 ´e uma combina¸c˜ao linear de e1∧e4

e e2 ∧e3. Como P3 e P3⊥ s˜ao decompon´ıveis e hP3, P3⊥i = 0, segue que e1 ∧e4 = ±P3 e

e2∧e3 =±P3⊥, ou vice-versa. Mas, −P3 e ±P3⊥ s˜ao tamb´em planos cr´ıticos deR com os mesmos multiplicadores de Lagrange λ3 e µ3 de P3. Logo, a base {e1, ..., e4} satisfaz as

condi¸c˜oes do Teorema.

2.3

O tensor de Weyl de uma variedade de Einstein

de dimens˜

ao 4

Seja M uma variedade Riemanniana orientada de dimens˜ao 4 com operador de curvaturaR. Decorre da prova do Teorema 2.2.4 que seM ´e uma variedade de Einstein, ent˜ao, para todoxM, existe uma base ortonormalB de Λ2

x = Λ+x⊕Λ−x,B ={β1, ..., β6} tal que

R(βi) = (λi ±µi)βi.

Observe queλi±µi s˜ao autovalores do operador de curvatura RdeM. Seρ´e a curvatura

de Ricci de M, o tensor W =Rρ

3IΛ2x ´e chamado tensor de Weyl deM.

Observe que, para uma variedade de Einstein, R = W + ρ

3IΛ2x e W ≡ 0 se, e

somente se, M4 tem curvatura seccional constante . Pela a¸c˜ao do operador , podemos decomporW na soma direta W =W+W, ondeW± =W|

Λ± s˜ao chamados departes

auto-dual e anti-auto-dual de W, respectivamente.

Ainda, pelo Teorema 2.2.4, W± tem autovalores λ

i ±µi −

ρ

3, onde 3

X

i=1

λi = ρ

e, pela primeira identidade de Bianchi, 3

X

i=1

µi = 0, pois µ1 = hR(P1), P1⊥i = R1234,

(28)

Cap´ıtulo 3

Variedades de Einstein de

dimens˜

ao 4 com

curvatura seccional

1

4

- pin¸cada

Uma variedade M ´e dita ser 1

4- pin¸cada se existe K0 > 0 tal que a curvatura seccional de M satisfaz K0

4 ≤ K(X, Y) ≤K0, quaisquer que sejamX, Y ∈ TpM. Nosso objetivo nesse cap´ıtulo ´e demonstrar um resultado que classifica as variedades de Einstein de dimens˜ao 4 que tem curvatura seccional 1

4- pin¸cada.

Teorema A. Seja M uma variedade de Einstein de dimens˜ao 4, compacta e orientada. Se a curvatura seccional deM for 1

4- pin¸cada , ent˜ao M ´e isom´etrica a uma esfera S

4 ou

ao espa¸co projetivo complexo CP2.

Prova:

SejamM4 uma variedade de Einstein, {X

i}4i=1 um referencial ortonormal deTpM

eF :M Rdada por

F(p) = X

i,j,k,h,l,m

(RikjkRihlmRjhlm+

1

2RijkhRkhlmRlmij+ 2RikjhRiljmRklhm), (3.1) onde R ´e o operador de curvatura de M e i, j, k, h, l, m = 1,2,3,4. Utilizando, no ponto

p, um referencial ortonormal {Xi}4i=1 cuja existˆencia e propriedades s˜ao assegurados pelo Lema 2.1.2 e fazendo K12 = a, K13 =b, K14 = c, R1234 =α, R1342 = β, R1423 = γ, um c´alculo muito trabalhoso – conforme Berger [Bg61] e que consta no Apˆendice – nos mostra que

F

8 = a(b−c)

2+b(c

−a)2+c(ab)2+α2(b+c2a) +β2(c+a2b)

+ γ2(a+b2c)6aβγ6bγα6cαβ. (3.2)

(29)

18

Conforme provamos no Lema 2.1.2, temos as desigualdades

α |≤ba,

γ |≤bc,

α|≤ca.

Podemos substituir essas desigualdades na equa¸c˜ao acima, e obteremos

F

8 ≥ a(β−γ)

2+b(γ

−α)2+c(αβ)2+α2(b+c2a) +β2(c+a2b) + γ2(a+b2c)6aβγ 6bγα6cαβ,

e simplificando teremos

F

16 ≥α

2(b+c

−a) +β2(c+ab) +γ2(a+bc)4aβγ4bγα4cαβ. (3.3)

E, como α+β+γ = 0, substituindo β por (α+γ) em (3.3) obt´em-se

F

96 ≥aγ

2+2 + (a+c

−b)αγ.

Ora, o segundo membro desta desigualdade pode ser visto como uma forma quadr´atica emγ e seu discriminante ´e dado por{(a+cb)α}24acα2 =α2{(ac)2+b22b(a+c)}.

Afirmamos que F 0. De fato, assuma que 1

4 ≤K ≤1. Inicialmente note que o sinal de α n˜ao interfere no sinal do discriminante e assim ´e necess´ario estudar o sinal de (ac)2+b22b(a+c).

Observe que

(ac)2+b22b(a+c) = (b(a12 +c 1

2)2)(b−(c

1

2 −a

1

2)2). (3.4)

Como 1

4 ≤a≤c≤b ≤1, ent˜ao

b12 ≤2a 1

2b

1

2 ≤2a

1

2 (3.5)

e

b12 ≤2c 1

2b

1

2 ≤2c

1

2. (3.6)

Somando (3.5)e (3.6) obtemosb12 ≤a 1

2 +c

1

2,e isto implica queb−(a 1

2+c

1

2)2 ≤0.

Por outro lado,b12 −c 1

2 +a

1

2 ≥b

1

2 −c

1

2 ≥0,ou seja, b−(c 1

2 −a

1

(30)

19

Da´ı temos (3.4) n˜ao positivo, ou seja, o discriminante da forma quadr´atica ´e n˜ao positivo e comoa ´e positivo segue queF 0 e a afirma¸c˜ao fica provada.

Para concluir a demonstra¸c˜ao do teorema, basta usar a F´ormulda de Lichnerowicz para variedades de Einstein e notar que como F 0 temos 1

2

Z

M | ∇

R |2 dV 0 e da´ı segue queR = 0, ou seja, M ´e um espa¸co localmente sim´etrico.

Como M4 ´e compacta, orientada e tem curvatura seccional K >0, conforme um dos corol´arios do Teorema de Synge-Weinstein [dC08, p. 206] temos queM´e simplesmente conexa. Como M ´e variedade de Einstein segue do Teorema de Jensen que M S4 ou

(31)

Cap´ıtulo 4

Variedades de Einstein K¨

ahlerianas

de dimens˜

ao 4 com curvatura

seccional n˜

ao negativa

Nesse cap´ıtulo, demonstraremos o Teorema B sobre variedades de Einstein K¨ahle-rianas de dimens˜ao 4 com curvatura seccional n˜ao negativa. Antes, precisamos de algumas considera¸c˜oes. Iniciaremos com a defini¸c˜ao de Variedades K¨ahlerianas, que ´e v´alida, mais geralmente, para variedades de dimens˜ao par.

Defini¸c˜ao 4.0.1. Seja M4 uma variedade Riemanniana, com conex˜ao riemanniana e

tensor de curvatura R. Dizemos que M ´e K¨ahleriana se existe um tensor J :T M T M

que satisfaz as seguintes propriedades:

(i) J J =IdT M

(ii) hJX, JYi=hX, Yi, X, Y T M; (iii) XJY J(XY) = 0, X, Y T M

Note que, como consequˆencia da defini¸c˜ao, J satisfaz a propriedade

R(JX, JY) =R(X, Y).

De fato

hR(X, Y)JZ, JWi = h∇Y∇XJZ − ∇X∇YJZ +∇[X,Y]JZ, JWi = h∇YJ(∇XZ)− ∇XJ(∇YZ) +J(∇[X,Y]Z), JWi = hJ(Y∇XZ)−J(∇X∇YZ) +J(∇[X,Y]Z), JWi = hJ(Y∇XZ− ∇X∇YZ+∇[X,Y]Z), JWi

(32)

21

Por outro lado,

hR(JX, JY)Z, Wi = hR(JX, JY)JZ, JWi

= hR(JZ, JW)JX, JYi

= hR(JZ, JW)X, Yi

= hR(X, Y)JZ, JWi

= hR(X, Y)Z, Wi,

donde conclu´ımos que

R(JX, JY) =R(X, Y).

Os exemplos mais simples de variedades de Einstein compactas de dimens˜ao 4 que s˜ao K¨ahlerianas e simplesmente conexas s˜ao o produto de duas esferasS2×S2, ambas com

mesma curvatura seccional e o espa¸co projetivo complexo CP2. Por raz˜oes de natureza

topol´ogica, sabe-se que a esfera S4 n˜ao admite m´etrica K¨ahleriana.

Antes de provarmos o Teorema B precisamos do seguinte resultado devido a Berger [Bg63].

Lema 4.0.2. Seja M uma variedade de Einstein K¨ahleriana de dimens˜ao 4. Ent˜ao para cada pM, existe uma base ortonormal {Xi} de TpM tal que

(i) Todos os Rijkh(i, j, k, h = 1,2,3,4) s˜ao nulos, com exce¸c˜ao (eventualmente) dos

seguintes: R1212 = R3434, R1313 = R4242 = R1324, R1414 = R2323 = R1432 e R1234 =

R1313+R1414.

(ii) K12 2(K13K14) Prova:

Escolhamos {X1, X2 =JX1} (X1 ∈TpM unit´ario) de modo que

K(X1, JX1) = sup{(K(X, JX))/|X|= 1, X ∈TpM}.

Seja W o complemento ortogonal do subespa¸co gerado por X1, JX1. Inicialmente note que qualquer base ortonormal deW ´e da forma{Z, JZ} (Z unit´ario). De fato, seZ W

´e Z unit´ario sabemos que JZ ´e unit´ario pois kJZk = kZk = 1 e al´em disto temos que

JZ W pois hX1, JZi = −hJ2X1, JZi = −hJX1, Zi = 0 e hJX1, JZi = hX1, Zi = 0, visto que Z W e JX1 ∈W⊥.

Agora, consideremos a forma quadr´atica Q(Z) = hR(X1, Z)X1, Zi associada `a forma bilinear sim´etrica B(X, Y) = hR(X1, X)X1, Yi, X, Y ∈ TxM. A restri¸c˜ao de Q

a W ´e tamb´em uma forma quadr´atica. Dessa forma, existe uma base ortonormal de W

(33)

22

{Z, JZ} (Z unit´ario), ent˜ao tomemos X3 ∈ W e teremos hR(X1, X3)X1, JX3i = 0, ou seja, R1314 = 0. Mostremos agora, que o referencial {X1, X2 = JX1, X3, X4 = JX3} satisfaz `as condi¸c˜oes do lema.

Em primeiro lugar, sabemos que R1314 = 0. Agora, como M ´e de Einstein com curvatura de Ricci ρ, temos que

i=4

X

i=1

Rijki =ρδjk,

e fazendoj = 3 e k = 4 temos

R1341+R2342+R3343+R4344 = 0, o que implicaR2342 = 0.

Al´em disso,

R1323 =hR(X1, X3)JX1, X3i=hR(JX1, JX3)JX1, X3i=R2423 = 0 e

R2441 =hR(JX1, JX3)JX3, X1i=hR(X1, X3)JX3, X1i=R1341 = 0. Por outro lado,

K(aX1+bX3, J(aX1+bX3)) =

= [hR(aX1+bX3, J(aX1+bX3))J(aX1+bX3), aX1+bX3i](a2+b2)−2 = [hR(aX1, aJX1)aJX1, aX1i+hR(aX1, bJX3)aJX1, aX1i+

+ hR(aX1, bJX3)bJX3, aX1i+hR(aX1, aJX1)bJX3, aX1i+ + hR(bX3, aJX1)aJX1, aX1i+hR(bX3, bJX3)aJX1, aX1i+ + hR(bX3, bJX3)bJX3, aX1i+hR(bX3, aJX1)bJX3, aX1i+ + hR(aX1, aJX1)aJX1, bX3i+hR(aX1, bJX3)aJX1, bX3i+ + hR(aX1, bJX3)bJX3, bX3i+hR(aX1, aJX1)bJX3, bX3i+ + hR(bX3, aJX1)aJX1, bX3i+hR(bX3, bJX3)aJX1, bX3i+

+ hR(bX3, bJX3)bJX3, bX3i+hR(bX3, aJX1)bJX3, bX3i](a2+b2)−2 = [a4R1221+a3bR1421+a2b2R1441+a3bR1241 +a3bR3221 +a2b2R3421 + + ab3R

3441+a2b2R3241+a3bR1223+a2b2R1423+ab3R1443+a2b2R1243+

+ a2b2R3223+ab3R3423+b4R3443+ab3R3243].(a2+b2)−2. (4.1)

Note que

(34)

23

R1443 =hR(X1, JX3)JX3, X3i=hR(JX1,−X3)JX3, X3i=−R2343 =R3243,

R1331 =hR(X1, X3)X3, X1i=hR(JX1, JX3)X3, X1i=R24313=R1342 e

R1441 =hR(X1, JX3)JX3, X1i=hR(JX1,−X3)JX3, X1i=−R2341 =R1423. Pela identidade de Bianchi, temos

R1234+R2314+R3124 = 0, assim,

R1243 =−R1234 =R1423 +R1342 =K14+K13. Usando o fato de queK12=K34, temos

K(aX1+bX3, J(aX1+bX3)) =

(a4+b4)K

12+ 2a2b2(3K14+K13) + 4a3bR1241+ 4ab3R1443

(a2+b2)2 .

Como

K(X1, JX1) = sup

x=p

(K(X, JX)),

temos

(a4+b4)K

12+ 2a2b2(3K14+K13) + 4a3bR1214+ 4ab3R1434

(a2+b2)2 ≤K12,

para quaisquer a eb n´umeros reais. Simplificando temos:

2a2b2(3K14+K13−K12) + 4a3bR1241+ 4ab3R1443 ≤0. FazendoA= 3K14+K13, B = 2R1241 eC = 2R1443, teremos

2a2b2(AK12) + 2Ba3b+ 2Cab3 ≤0. para quaisquer a eb n´umeros reais.

Afirmamos que AK12 ≤0 e B =C = 0. De fato, por hip´otese

a2b2(AK12) +Ba3b+Cab3 0 (4.2)

para quaisquer n´umeros reais a e b. Em particular, para a=±1

n e b=

3

n, temos

n23

n2(A−K12)±

n13

(35)

24

Tomando o limite da ´ultima desigualdade quando n tende a infinito, obtemos ±C 0, ou seja C = 0. Sendo assim, temos

a2b2(AK12) +Ba3b 0, (4.4)

para quaisquer a eb n´umeros reais. Fazendo a =√3

n e b=±1

n, obtemos n23

n2(A−K12)±B ≤0. (4.5)

Analogamente, tomando o limite em (4.5) quandon tende a infinito, obtemos±B 0, o que implica B = 0.

Dessa forma temos queB =C = 0 e consequentementeAK12 ≤0 e a afirma¸c˜ao fica provada. Da´ı,

R1214 =R1434 = 0. Mas,

R1214 =R1232 = 0 e

R1434 =R3234 = 0 e portanto

R1232 =R3234 = 0. ComoAK12 ≤0, temos ent˜aoK12 ≥3K14+K13.

Por outro lado, sabemos que K(aX1 +bX4, J(aX1 + bX4)) ≤ K12 quaisquer n´umeros reais a e b. Realizando c´alculos an´alogos aos anteriores, conclu´ımos que

K12≥3K13+K14

e

R1213 =R4243 = 0.

Finalmente, somando as ´ultimas desigualdades obtidas, temos

2K12 ≥4K13+ 4K14,

ou seja,

K12≥2(K13+K14),

(36)

25

Teorema B.SejaM uma variedade de Einstein de dimens˜ao 4, compacta e simplesmente conexa. SeM ´e tamb´em uma variedade K¨ahleriana e tem curvatura seccional n˜ao negativa ent˜aoM ´e isom´etrica a um produto de duas esferasS2×S2 ou ao espa¸co projetivo complexo CP2.

Prova:

Seja F : M R a fun¸c˜ao dada em (3.1). Novamente usaremos o seguinte fato

provado por Berger [Bg61]: Para um referencial ortonormal que satisfaz Rikjk = 0 se

i6=j, fazendo a=K12, b=K13, c=K14, α=R1234, β =R1342 eγ =R1423, obt´em-se

F

8 = a(b−c)

2+b(c

−a)2+c(ab)2+α2(b+c2a) +β2(c+a2b)

+ γ2(a+b2c)6aβγ6bγα6cαβ. (4.6)

Al´em disso, para o referencial cuja existˆencia ´e assegurada pelo Lema (4.0.2), temos b = K13 =−β, c=K14 =−γ e α =R1234 =b+c, substituindo essas igualdades em (4.6), obtemos

F

8 = a(b−c)

2+b(c

−a)2+c(ab)2+ (b+c)2(b+c2a) +b2(c+a2b) + c2(a+b2c)6abc6b(c)(b+c)6c(b+c)(b)

= a(b22bc+c2) +b(c22ac+a2) +c(a22ab+b2) + (b+c)2(b+c2a) + b2(c+a2b) +c2(a+b2c)6abc+ 12bc(b+c)

= ab22abc+ac2 +bc22abc+a2b+a2c2abc+b2c+ (b+c)2(b+c2a) + b2a+b2c2b3+ac2+bc22c36abc+ 12bc(b+c)

= 2ab212abc+ 2ac2+ 2bc2+a2(b+c) + 2b2c+ (b+c)2(b+c2a) + 2b32c3+ 12bc(b+c).

Como K(p) 0 para todo p M, temos b 0 e c 0. Se b = c = 0, temos

F(p) = 0. Assim, daqui em diante, podemos supor que b+c >0 e escrever

F

8 = (b+c)(a− 8bc b+c)

2

− 64b

2c2

b+c + (b+c)(18bc−b

2

−c2).

Do Lema (4.0.2), temosa2(b+c), assim

a 8bc

b+c ≥2(b+c)−

8bc b+c =

2(b+c)28bc

b+c =

2(bc)2

b+c ≥0.

Da´ı temos,

F

8 ≥(b+c)(

2(bc)2

b+c )

2

−64b

2c2

b+c + (b+c)(18bc−b

2

(37)

26

ou seja,

F

8 ≥

4(bc)4

b+c +

(b+c)2(18bcb2c2)64b2c2

b+c =

3b46b2c2 + 3c4

b+c =

3(b2c2)2

b+c ≥0.

Pela f´ormula de Lichnerowich, obtemos R 0 e portanto M ´e localmente sim´etrico. Pelo Teorema de Jensen ([Js69]),M =S4, ou M =S2×S2 ouM =CP2

. Mas

(38)

Cap´ıtulo 5

Variedade de Einstein

4

-dimensional

com operador de curvatura n˜

ao

negativo

Neste cap´ıtulo, provaremos o Teorema C. Para isso seja M4 uma variedade de Einstein orientada com curvatura de Ricci ρ. Seja R o operador de curvatura de M em

xM. De acordo com o Teorema 2.2.4 os autovalores de Rs˜ao λi±µi, onde λi±µi−

ρ

3 s˜ao autovalores das partes auto-dual W+ e anti-auto-dual Wdo tensor de Weyl W de

M. Al´em disso, 3

X

i=1

λi =ρ e

3

X

i=1

µi = 0.

Note que se o operador R ´e n˜ao negativo ent˜ao λi±µi ≥0,∀i= 1,2,3.

Precisamos do seguinte Lema:

Lema 5.0.3. O valor m´aximo da fun¸c˜aof(x, y, z) = xyz sujeita as condi¸c˜oesx+y+z= 0

e x2+y2+z2 = 1 ´e 1 54.

Prova:

Seja g(x, y, z) =x+y+z e h(x, y, z) =x2+y2+z21. Usando o m´etodo dos multiplicadores de Lagrange, temos:

gradf(x, y, z) =ζgradg(x, y, z) +ηgrad(hx, y, z),

da´ı temos o seguinte sistema de equa¸c˜oes:

   

  

yz = ζ+ 2ηx xz = ζ+ 2ηy xy = ζ+ 2ηz

(5.1)

(39)

28

(

x+y+z = 0

x2+y2+z2 = 1 (5.2)

Multiplicando as trˆes equa¸c˜oes em (5.1) porx,yez, respectivamente, e somando-as membro a membro, obtemos

3xyz = ζ(x+y+z) + 2η(x2 +y2+z2) (5.3)

Substituindo (5.2) em (5.3), obtemos 3xyz = 2η, isto ´e,η= 3xyz

2 . Substituindo o valor deη em (5.1), temos

yz = ζ+ 3x2yz (5.4)

xz = ζ+ 3xy2z (5.5)

xy = ζ+ 3xyz2 (5.6)

Subtraindo (5.4) de (5.5) tem-se

yzxz3x2yz+ 3xy2z = 0,

ou seja,

(yx)(3xyz +z) = 0,

o que implica

yx= 0 ou

3xyz+z = 0.

Analisemos cada caso acima:

Seyx= 0 temos y=x. Comox+y+z = 0 temosz =2x, substituindo estas igualdades emx2+y2+z2 = 1, temosx2+x2+ (2x)2 = 1, da´ı 6x2 = 1, o que implica

x=±

6

6 ,logo x=y=±

6

6 . Se x=±

6

6 , ent˜ao z =∓

6

3 ef(x, y, z) =∓

6 18.

Se 3xyz+xz = 0 temos z(3xy+ 1) = 0, o que implica z = 0 ou 3xy+ 1 = 0. Se

z = 0 temos f(x, y, z) = 0 e sabemos que este valor n˜ao ´e m´aximo, pois no caso (1) j´a encontramos um valor positivo paraf. Para o caso 3xy+ 1 = 0 realizando-se os c´alculos necess´arios percebe-se que a fun¸c˜ao f(x, y, z) n˜ao possui pontos cr´ıticos. Sendo assim, temos que o valor m´aximo def(x, y, z) ´e

6 18 =

1

(40)

29

Teorema C. Seja M uma variedade de Einstein de dimens˜ao 4, compacta e simples-mente conexa. Se M tem operador de curvatura n˜ao negativo ent˜ao M ´e isom´etrica a uma esfera S4, ou a um produto de duas esferas S2×S2 ou ao espa¸co projetivo complexo CP2.

Prova:

Sejam xM e W+(x) e W(x) as partes anti-dual e e anti-auto-dual do tensor

de WeylW(x), respectivamente. Ent˜ao,

|W±

|2=α21+α22+α23,

ondeαi =λi±µi−

ρ

3 , s˜ao autovalores deW

±, respectivamente,α

1 ≤α2 ≤α3e

3

X

i=1

αi = 0.

Comoα1+α2+α3 = 0, ent˜aoα2+α3 =−α1 e da´ı temosα12 = (α2+α3)2 =α22+2α2α3+α23 e assimα2

1 −2α2α3 =α23+α23, e desta forma temos

|W± |2= 2α212α2α3.

Como, α1 ≤ α2 ≤ α3 devemos ter α1 ≤ 0 e α3 ≥ 0. Se α2 ≤ 0, ent˜ao α2α3 ≤ 0 e assim

−2α2α3 ≥0 e teremos

|W±

|2= 2α2

1−2α2α3 ≤2α21 ≤6α21. Comoα1 ≤α2 ent˜ao −2α2α3 ≤ −2α1α3.

Por outro lado, α3 = −α1 −α2 ≤ −2α1, da´ı temos −2α2α3 ≤ 4α12, e portanto temos|

|2= 2α2

1−2α2α3 ≤6α21.

Assim em todos os casos temos ||2 6α2

1 e como M tem operador de cur-vatura n˜ao negativo ent˜ao,

0α1 =λ1±µ1−

ρ

3 ≥ −

ρ

3

e da´ı,α2

1 ≤

ρ2

9 . Assuma queρ= 1. Ent˜ao |W

±

|2 6 9 =

2

3 . Isto significa que se M tem operador de curvatura n˜ao negativo ent˜ao|W+ |2 2

3 em M. Usaremos agora a f´ormula de Weitzenbock

||2=||2 +36 detW±2| ∇|2 . (5.7) Como ρ= 1 tem-se

1 2

Z

M | ∇

|2 dV =

Z

M

||2

4 dV +

Z

M

[− ||2 +9 detW±]dV

=

Z

M

[− |

(41)

30

Considere |

|6= 0 e sejam x = α1

|W±|, y =

α2

|W± | e z =

α3

|W±|. Temos que

x+y+z = 0 e x2+y2+z2 = 1. Pelo Lema (5.0.4) temos que xyz 1

54, ou seja,

α1

|W±|.

α2

|W± |.

α3

|W± |

1

54

e da´ı

detW± =α1α2α3 ≤ |

|3

54

em M. Como||2 2

3, decorre de (5.8) que

0 1 2

Z

M

| ∇W±

|2 dV

Z

M

|W±

|2 {−1 + 9|W± | 54 } ≤0. Da´ı, conclu´ımos que

Z

M |

|2 {−1 + 9|W

±|

54 }= 0.

Portanto,

Z

M | ∇

|2 dV = 0 e da´ı

≡ 0. Mas, o tensor de curvatura de uma

variedade de Einstein admite a decomposi¸c˜ao R=W ρ

3IΛ2 =W

+W+ ρ

3IΛ2, onde

ρ´e a curvatura de Ricci de M. Assim,

∇R =W++W−0,

e isto prova queM4 ´e um espa¸co localmente sim´etrico. Como M ´e simplesmente conexo, segue do teorema de Jensen que M ´e isom´etrica a uma esfera S4, ou a um produto de

(42)

Cap´ıtulo 6

Apˆ

endice

Sejam i, j, k, h, l, m= 1,2,3,4, vamos desenvolver a fun¸c˜ao

F(p) = X

i,j,k,h,l,m

(RikjkRihlmRjhlm+

1

2RijkhRkhlmRlmij+ 2RikjhRiljmRklhm),

que aparece na f´ormula de Lichnerowicz. Para isto, precisamos dos Lemas 2.1.1 e 2.1.2. Usaremos a nota¸c˜ao K12 =K34 =a, K13 =K24 =b, K14 = K23 =c e ainda R1234 = α,

R1342 =βeR1423 =γ, logo, pela pela primeira identidade de Bianchi temosα+β+γ = 0. Lembremos ainda que, devido `a simetria da curvatura, s˜ao v´alidas as igualdades

Kij =Kji, R1234 =R3412 =R4321 =R2143,

R1342 =R4213 =R2431 =R3143e R1423 =R2314 =R3241 =R4132.

Note que podemos escrever

F(p) = X

i=k6=j

(RikjkRihlmRjhlm+

1

2RijkhRkhlmRlmij + 2RikjhRiljmRklhm)

+ X

i6=k

(RikjkRihlmRjhlm+

1

2RijkhRkhlmRlmij+ 2RikjhRiljmRklhm)

Se i = k temos RikjkRihlmRjhlm = 0 e 2RikjhRiljmRklhm = 0, sendo assim a

express˜ao acima se resume a

F(p) = X

i=k6=j

1

2RijkhRkhlmRlmij

| {z }

+X

i6=k

(RikjkRihlmRjhlm)

| {z }

(I) (II)

+ X

i6=k

1

2RijkhRkhlmRlmij

| {z }

+X

i6=k

RikjhRiljmRklhm

| {z }

(III) (IV)

(43)

32

Vamos calcular separadamente cada parcela acima:

C´alculo de (I) = 1 2

X

i=k6=j

RijkhRkhlmRlmij:

Para que esta parcela seja n˜ao nula, devemos ter k 6= h, i 6= h e l 6= m e da´ı temos

1 2

X

i=k6=j

RijkhRkhlmRlmij =

1 2

X

i6=j,i6=h l6=m

RijihRihlmRlmij

= 1

2

X

j=h,i6=j i6=h,l6=m

RijihRihlmRlmij+

1 2

X

j6=h,i6=j i6=h,l6=m

RijihRihlmRlmij

Note que, se j 6= h, ent˜ao Rijih = 0, para a base ortonormal cuja existˆencia ´e garantida

pelo lema 2.1.2. Assim, a segunda parcela da express˜ao acima se anula e temos

(I) = 1 2

X

j=h,i6=j i6=h,l6=m

RijihRihlmRlmij =

1 2

X

i6=j,l6=m

RijijRijlmRlmij

= 1

2

X

i6=j,l6=m

Kij(Rijlm)2

= 1

2

X

i6=j

(Kij)3−

1 2

X

i,j,l,m

2 a 2 distintos

Kij(Rijlm)2

= 4a34b34c34aα2 4bβ24cγ2

C´alculo de (I I) = X

i6=k

(−RikjkRihlmRjhlm):

X

i6=k

(RikjkRihlmRjhlm) = −

X

i=j6=k

RikjkRihlmRjhlm−

X

i6=j,i6=k

RikjkRihlmRjhlm

= X

i6=k,i6=h,l6=m

RikikRihlmRihlm+ 0 (pelo lema 2.1.2)

= X

i6=k,i6=h,l6=m

(Kik)(Rihlm)2

= X

k=h,i6=k i6=h,l6=m

Kik(Rihlm)2+

X

k6=h,i6=k i6=h,l6=m

Kik(Rihlm)2

= X

i6=h,l6=m

Kih(Rihlm)2+

X

k6=h,i6=k i6=h,l6=m

Kik(Rihlm)2

= 2X

i6=h

(Kih)3 +

X

i,h,l,m

2 a 2 distintos

Kih(Rihlm)2+

X

k6=h,i6=k i6=h,l6=m

(44)

33

Mas,

X

k6=h,i6=k i6=h,l6=m

Kik(Rihlm)2 = 2

X

k6=h,i6=k,i6=h

Kik(Kih)2+

X

k6=h,i6=k i,h,l,m

2 a 2 distintos

Kik(Rihlm)2.

Assim, temos

(II) = 2X

i6=h

(Kih)3+

X

i,h,l,m

2 a 2 distintos

Kih(Rihlm)2+ 2

X

k6=h,i6=k,i6=h

Kik(Kih)2+

X

k6=h,i6=k i,h,l,m

2 a 2 distintos

Kik(Rihlm)2.

Note que:

2X

i6=h

(Kih)3 = 2.(4a3+ 4b3+ 4c3) = 8(a3+b3+c3),

X

i6=h6=l6=m

Kih(Rihlm)2 = 8aα2+ 8bβ2+ 8cγ2,

2 X

k6=h,i6=k,i6=h

Kik(Kih)2 = 8a(b2+c2) + 8b(a2+c2) + 8c(a2 +b2),

X

k6=h,i6=k i,h,l,m

2 a 2 distintos

Kik(Rihlm)2 = 8a(β2+γ2) + 8b(α2+γ2) + 8c(α2+β2).

Sendo assim,

X

i6=k

(RikjkRihlmRjhlm) = 8(a3+b3+c3) + 8aα2+ 8bβ2+ 8cγ2+ 8a(b2+c2) + 8b(a2+c2)

+ 8c(a2 +b2) + 8a(β2+γ2) + 8b(α2+γ2) + 8c(α2 +β2).

C´alculo de (I I I) = 1 2

X

i6=k

RijkhRkhlmRlmij

Inicialmente, note que, como i 6= k, para que essa parcela n˜ao seja nula (pelo Lema 2.1.2), ´e necess´ario que j 6= h, e al´em disso precisamos ter i 6= j, k 6= h, l 6= m. Vamos separar (III) em duas parcelas, uma com j = k (e pelo Lema 2.1.2 devemos ter

i=h) e j 6=k (e pelo 2.1.2 devemos ter i6=h). Assim,

(III) = 1

2

X

i6=j,l6=m

RijjiRjilmRlmij+

1 2

X

l6=m i,j,k,h

2 a 2 distintos

RijkhRkhlmRlmij

= 1

2

X

i6=j,l6=m

KijRkhlmRlmij+

1 2

X

l6=m i,j,k,h

2 a 2 distintos

(45)

34

Mas

−12 X

i6=j,l6=m

KijRkhlmRlmij = −

X

i6=j

(Kij)3−

1 2

X

i,j,l,m

2 a 2 distintos

KijRijlm

= 4(a3+b3+c3) 1 2(8aα

2+ 82+ 82) = 4(a3+b3+c3)4(aα2+bβ2+cγ2),

e al´em disso, temos

1 2

X

l6=m i,j,k,h

2 a 2 distintos

RijkhRkhlmRlmij =

= 1

2

X

k=m,h=l,l6=m i,j,k,h

2 a 2 distintos

RijkhRkhlmRlmij+

1 2

X

k6=m,h6=l,l6=m i,j,k,h

2 a 2 distintos

RijkhRkhlmRlmij

= X

i,j,l,m

2 a 2 distintos

Klm(Rijlm)2+

1 2

X

i,j,k,h,l,m

2 a 2 distintos

RijkhRkhlmRlmij

= 2 X

i,j,k,h,

2 a 2 distintos

Kij(Rijkh)2

= 2(4a.2α2+ 4b.2β2+ 4c.2γ2) =16aα216bβ216cγ2

Em resumo,

III =4(a3+b3+c3)20aα220bβ220c.γ2.

C´alculo de (I V) = 2X

i6=k

RikjhRiljmRklhm

Para que a express˜ao acima seja n˜ao nula precisamos ter i 6= l, k 6= l, h 6= m,

(46)

35

IV = 2 X

i6=k,k6=m m6=i

(Kik)(Kim)(Kkm) + 2

X

i,j,l,m

2 a 2 distintos

KijRiljmRimjl

+ 2 X

i6=k,k6=l,l6=i,j6=h h6=m,m6=j,j6=k,i6=h

i6=j,k6=h,l6=m

RikjhRiljmRkhlm

= 2 X

i6=k,k6=m m6=i

(Kik)(Kim)(Kkm) + 2

X

i,j,l,m

2 a 2 distintos

KijRiljmRimjl

+ 2 X

i,k,j,h

2 a 2 distintos

KijRikjhRihjk+ 2

X

i,k,j,h2 a 2 distintos

i,j,l,m2 a 2 distintos

k6=l,h6=m

RikjhRiljmRklhm.

Fazendok =l e h=m na terceira parcela da express˜ao acima e somando com a segunda parcela teremos

(IV) = 2 X

i6=k,k6=m m6=i

(Kik)(Kim)(Kkm) + 4

X

i,j,l,m

2 a 2 distintos

KijRiljmRimjl

+ 2 X

i,k,j,h2 a 2 distintos

i,j,l,m2 a 2 distintos

k6=l,h6=m

RikjhRiljmRklhm.

Mas, note que

−2 X

i6=k,k6=m, m6=i

(Kik)(Kim)(Kkm) = −2(4a.2bc+ 4b.2ac+ 4c.2a) = −48abc,

4 X

i,j,l,m

2 a 2 distintos

KijRiljmRimjl = 4[4a.(−2βγ) + 4b(−2αγ) + 4c(−2αβ)]

= 32aβγ)32αγ 32αβ,

e ainda,

2 X

i,k,j,h2 a 2 distintos

i,j,l,m2 a 2 distintos

k6=l,h6=m

RikjhRiljmRklhm = 2(−4αγb−4αβc−4βγa

− 4βαc4γβa4γαb) = 16aβγ 16bαγ16cαβ.

Em resumo,

(47)

36

Sendo assim,

F(p) = 4(a3+b3+c3)4(aα2+bβ2+cγ2) + 8(a3+b3+c3) + + 8(aα2+bβ2+cγ2) + 8a(b2 +c2) + 8b(a2+c2) + 8c(a2+b2) + + 8a(β2+γ2) + 8b(α2 +γ2) + 8c(α2+β2)4(a3+b3+c3)

− 20(aα2+bβ2+c.γ2)48abc48aβγ 48bαγ48cαβ.

E simplificando os c´alculos acima, obtemos,

F(p) = 16aα216bβ216cγ2+ 8a(bc)2+ 8b(ca)2+ 8c(ab)2+ 8γ2(a+b) + 8β2(a+c) + 8α2(b+c)48abc48aβγ48bαγ48cαβ

= 8a(bc)2+ 8b(ca)2+ 8c(ab)2+ 8α2(b+c2a)

+ 8β2(a+c2b) + 8γ2(a+b2c)48aβγ48bαγ48cαβ.

Portanto,

F

8 = a(b−c)

2+b(c

−a)2 +c(ab)2+α2(b+c2a) + β2(a+c2b) +γ2(a+bc)6aβγ6bαγ6cαβ.

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