Entropia Topológica e Tangências Homoclínicas Caroline Morais Batista

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  Universidade Federal da Bahia Instituto de Matem´atica Programa de P ´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica Disserta¸c˜ao de Mestrado

  

Entropia Topológica e Tangências Homoclínicas

Caroline Morais Batista

  SALVADOR – BA Agosto/2014 Entropia Topológica e Tangências Homoclínicas Caroline Morais Batista

  Dissertação apresentada ao Colegiado da Pós-graduação em Matemática da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para a obtenção do título de Mestre em Matemática.

  ORIENTADOR: Prof. Dr. Paulo César Rodrigues Pinto Varandas SALVADOR – BA

  Agosto/2014 Batista, Caroline Morais.

  Entropia Topológica e Taangências Homoclínicas / Caroline Morais Batista. - 2014. 66 f.: il.

  Orientador: Prof. Dr. Paulo César Rodrigues Pinto Varandas.

  Dissertação (mestrado) - Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matemática, Salvador, 2014.

  1. Trigonometria. 2.Entropia. 3. Tangência Homo- clínica. 4. Método de entropia máxima. I. Varandas, Paulo C. Rodrigues Pinto. II. Universidade Federal da Bahia. Instituto de Matemática. III. Título.

  CDD - 516.24 CDU - 514.116

  À minha família, pelo amor e força demonstrados à mim.

  

Agradecimentos

  À Deus pela sua infinita bondade e pelo seu precioso amor. Por sempre estar ao meu lado e me amparar nos momentos difíceis. Aos meus pais, Samuel e Ivonete, pelo cuidado e pelas lutas por amor

  à mim e à minha irmã. À Cinthia pelos beijos e abraços e por sempre aguardar, ansiosa, o meu retorno à Feira. À vovó Gonzo pelo zelo não só para comigo, mas para com seus filhos, netos, bisnetos e sobrinhos. Aos meus tios e primos pela torcida durante esses dois anos e pelo carinho demonstrado através de um sorriso, de uma palavra, de um olhar...

  À tia Eliúde pela estadia em Salvador, pelos conselhos e por ter sido uma mãe para mim. À tia Eliete pelo carinho e cuidado. Ao meu orientador, professor Paulo Varandas, pela prestatividade, paci-

  ência e pelo exemplo de profissional que é. Aos demais professores do Instituto de Matemática, a exemplo do professor Vítor, pelos primeiros ensinamentos em dinâmica e pela prestatividade desde a realização dos projetos. Ao professor João Paulo pelo incentivo e pela alegria ao saber de minha aceitação no mestrado.

  Aos membros da banca: professora Vanessa Ramos e professor Kleyber Mota pela leitura e contribuições à dissertação. À Adriana (Drew), Carol e Mille, companheiras desde a graduação, pela amizade, incentivo e sorrisos. Que bom que chegamos aqui! A Diego pela amizade, fraternidade e companheirismo.

  Ao meu amorzinho, Junilson, meu "solenóide", por ter sido, durante os primeiros nove meses de mestrado, um grande companheiro e amigo e depois por ter me escolhido para viver ao seu lado. Pelo seu cuidado, por me levantar nos momentos de angústia. Por sempre lembrar que temos um Deus que trabalha em favor daqueles que nele esperam e que a cada dia nos faz mais do que vencedores! Te amo, Ju!

  A todos os professores que, de alguma forma, são responsáveis pela minha formação: Desde tia Evânia, que me alfabetizou junto com a minha mãe na escola Jovita Alves, passando pelos professores da Escola Criativa, Castro Alves e Assis. Aos professores da UEFS, em especial ao professor Cristiano, pela amizade e orientação; ao professor Jean, por ser inspiração e exemplo, não só como professor, mas como ser humano; e ao professor João Cardeal pelas palavras de incentivo. Cada palavra de vocês é como combustível que nos dá força para caminhar e buscar vencer os obstáculos da carreira.

  Aos amigos de Feira pelo carinho, por compreenderem minha ausência e pela torcida. Amo vocês!! A todos os meus amigos da pós-graduação pelo carinho. Ficamos longe, por um tempo, da nossa família de sangue, mas ganhamos uma família do coração. É a primeira vez que eu vejo pessoas que, mesmo com tantas diferenças, zelam umas pelas outras, seja através de uma palavra de ânimo, de um abraço ou de um sorriso. Vocês tornaram essa jornada mais agradável. Sempre estarão no meu coração!!

  Por fim, à FAPESB e à CAPES pelo apoio financeiro.

  “São muitas, Senhor, Deus meu, as maravilhas que tens operado e também os teus desígnios para conosco. Eu quisera anunciá-las e delas falar, mas são incontáveis.” Salmos 40 : 5.

  

Resumo

  Neste trabalho estudamos a relação entre a existência de tangências homo- clínicas, continuidade da entropia topológica e existência de medidas de máxima entropia. Essencialmente, dos resultados de Bronzi e Tahzibi, um difeomorfismo com uma tangência homoclínica associada a um conjunto básico hiperbólico é ponto de variação da entropia se e somente se a peça básica tem entropia topo- lógica total. Mais ainda, seguindo Buzzi, usamos tangências homoclínicas para construir difeomorfismos em dimensão 2 que não tenham medida de entropia maximal.

  Palavras-chave: Tangência Homoclínica, entropia topológica, medida de entropia maximal.

  

Abstract

  In this work we study the relation between the existence of homoclinic tangency, continuity of topological entropy and the existence of measures of ma- ximal entropy. Essentially, of the results of Bronzi and Tahzibi, a diffeomorphism with a tangency associated homoclinic to a hyperbolic basic set is variation point entropy if and only if the basic piece has full topological entropy. Further, fol- lowing Buzzi, we use homoclinic tangency to build diffeomorphisms of dimension 2 which have no measure of maximal entropy.

  Homoclinic tangency, topological entropy, measure of maximal entropy. Keywords:

  

Sumário

iv

  

  1

   4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  5 . . . . . . . . . . . . .

  5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  8

  

  16

  . . . . . . . . . . . . 16

  

  

  30

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

  . . . . . . . . . . . . . . . . 48

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

  

  57

  Lista de Figuras

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

  . . . . . . . . . . . . . . . . 17

  . . . . . . . . . . . . . 18

  . . . . . . . . . . . . . 18 26figure.3.4

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

  

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

  

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

  

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

  

  . . . 43

  . . . 44

  

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

  

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

  

Capítulo 1

Introdução

  Um sistema dinâmico consiste de um conjunto X, não vazio, e uma aplica- ção f

  : X → X. A dinâmica está relacionada com a iteração da função. Então, se começarmos com um ponto x ∈ X (que corresponde ao tempo 0) depois ele estará em f (x) (instante 1), depois em f ( f (x)) (instante 2) e assim sucessivamente. Este é o modelo de dinâmica com tempo discreto. Existem, também, modelos de di- nâmica com tempo contínuo, mas neste trabalho nos restringiremos ao primeiro caso.

  Definimos a órbita de um ponto x pertencente a X como sendo

  n

  O (x) = { f (x); n ≥ 0}. O objetivo dos sistemas dinâmicos é descrever como a maioria das órbitas se comportam, especialmente quando o tempo vai para o infinito.

  A análise da quantidade de órbitas distinguíveis de um sistema dinâ- mico é uma das maneiras de caracterizarmos a sua complexidade. A entropia topológica representa este número. De forma intuitiva, dados dois pontos que estão próximos, suponhamos que não conseguimos distinguí-los através de uma resolução ǫ > 0. Assim, se tivermos duas órbitas de tamanho n, só conseguiremos distinguí-las se algum par de iterados delas distar mais do que ǫ. Se f estiver definido em um espaço métrico compacto o número dessas órbitas distinguíveis é

  

  finito Chamaremos este número de r(n, ǫ, f ). Quando este número cresce expo- nencialmente, quando n tende ao infinito, temos uma complexidade do sistema. Ao fazermos a resolução ǫ extremamente precisa, obtemos a entropia topológica 1 j j

  (x), f (y)) < Se S é (n, ǫ)-separado significa que para x ∈ S a bola dinâmica B(x, n, ǫ) = {y; d( f

ǫ, ∀0 6 j 6 n − 1} não contém nenhum outro ponto de S. Logo essas bolas são disjuntas e formam

uma cobertura aberta para S. Se a quantidade de bolas/pontos fosse infinita, entraríamos em

contradição com o fato de que em um compacto toda cobertura aberta admite uma subcobertura finita. de f .

  Dizemos que um difeomorfismo f é um ponto de constância da entropia

  k k

  topológica na topologia C se existe uma C -vizinhança U de f tal que para cada difeomorfismo g pertencente a U, a entropia de g é igual a entropia de f . Além disso, chamamos um difeomorfismo de ponto de variação da entropia se ele não

  k

  é um ponto de constância, ou seja, se para qualquer que seja a C -vizinhança U de f existe g difeomorfismo tal que a entropia de g é diferente da entropia de f .

  Segundo Smale para difeomorfismos Axioma A, Ω( f ) = Λ

  1 ,

  ∪ ... ∪ Λ m onde cada Λ i é fechado, f -invariante e f é topologicamente transitivo sobre Λ i . Além disso, como h ( f ) = max h ).

  i

  ( f |Λ

  

o≤i≤k

  existe pelo menos um conjunto que é responsável pela entropia do sistema, isto é, existe algum k k ). O primeiro resultado principal

  ∈ {1, ..., k} tal que h( f ) = h( f |Λ da dissertação é o seguinte:

  Teorema 1.0.1. Seja uma família parametrizada f µ

  : M → M de difeomorfismos de uma superfície fechada M desdobrando genericamente uma tangência homoclínica em µ = 0, onde Ω( f ) = Λ

  1 k i é um conjunto hiperbólico isolado e O (q) é a única

  ∪...Λ ∪O(q) e cada Λ órbita tangência homoclínica associada a um ponto fixo de sela p de algum Λ i . Então, se O

  (q) está associada a Λ k e Λ k é responsável pela entropia, f é um ponto de variação da

  r

  entropia topológica na topologia C , para 2 ≤ r ≤ ∞.

  Uma questão natural é saber o que acontece se a tangência corresponde à peça básica que não é responsável pela entropia. De forma mais precisa:

  2 Teorema 1.0.2. Seja f µ uma família a um parâmetro de difeomorfismos C numa superfície

  não é responsável pela entropia então f é um ponto de constância da entropia M. Se Λ| k

  2 topológica na topologia C .

  1

  É interessante notar que, na topologia C , mesmo que a tangência esteja no lugar errado, há variação da entropia:

  2 Teorema 1.0.3. Existe um difeomorfismo f de S fixando um ponto de sela com

  interseção homoclínica transversal e um outro com tangência homoclínica tal que f é um

  

1

ponto de variação da entropia na topologia C .

  Agora, dado um difeomorfismo f definido em uma variedade compacta M com entropia topológica positiva, ou seja, tendo um número exponencialmente grande de órbitas distintas com uma precisão fixa. Será que existe uma medida invariante descrevendo quase todas as órbitas? Em que sentido e sob quais condições a sua entropia é maximal e igual a h ( f )? Tal medida, se existe, contém

  top uma representante ergódica e a chamaremos de medida de entropia maximal. ′

  Considerando, então, P ( f ) como sendo o conjunto das medidas de proba- bilidade, invariantes e ergódicas para f que não são quase-periódicas e também,

  u u ′

  λ (P ( f )) := sup λ ( f, v), provaremos que

  ( f ) v∈P ∞

  

Teorema 1.0.4. Existe f (D) com h ( f ) = 0 e a seguinte propriedade: Para

  ∈ Di f f top

  r

  cada número de f em Di f f tal 1 ≤ r < ∞ e cada vizinhança U (D), existe f ∈ U

  1 u

  

1

  que h top ( f ) = λ( f ) > 0 e λ (P ( f )) = λ( f ) e este supremo não é atingido. Por

  r r consequência, f não tem medida de entropia maximal.

  A dissertação está organizada da seguinte forma. No segundo capítulo recordamos alguns conceitos e resultados da Teoria da Medida, Teoria Ergódica e Dinâmica Hiperbólica necessários para a compreensão da teoria envolvida no decorrer da dissertação. Apresentamos a definição e algumas propriedades da entropia topológica e dos conjuntos hiperbólicos, e estabelecemos os conceitos de ponto de constância e ponto de variação da entropia topológica de acordo com Bronzi e Tahzibi. Por fim, apresentamos o Lema de Perturbação e um teorema devido a Yondim utilizados na demonstração de alguns teoremas do terceiro capítulo.

  No terceiro capítulo mostramos condições suficientes para que um dife-

  r

  omorfismo f seja ponto de variação da entropia na topologia C , com 2 ≤ r ≤ ∞,

  2 r

  ponto de constância da entropia na topologia C e também, na topologia C para 1 ≤ r < ∞. Para uma órbita de tangência homoclínica associada a um ponto fixo de sela p de alguma peça básica Λ i , essas condições são o fato desta peça básica ser ou não responsável pela entropia do sistema. Apresentamos, também, a exis-

  2

  tência de um difeomorfismo f de S fixando um ponto de sela com interseção homoclínica transversal e um outro com tangência homoclínica tal que f é um

  1 ponto de variação da entropia na topologia C .

  No quarto e último capítulo, assumindo a existência de uma aplicação para obter f

  : D → D satisfazendo algumas propriedades, iremos perturbar f uma aplicação f que exiba uma sequência de ferraduras com entropia crescendo

  1 estritamente para log Λ e sem medida de entropia maximal. r

  

Capítulo 2

Notações, Definições e Ferramentas

  Neste capítulo recordaremos algumas definições e teoremas da Teoria da Medida, Teoria Ergódica e Dinâmica Hiperbólica que serão ferramentas básicas necessárias para a compreensão da teoria envolvida no decorrer desta dissertação.

2.1 Medidas Nesta seção abordaremos alguns conceitos iniciais da Teoria da medida.

  

Definição 2.1.1. (σ-álgebra) Seja X um conjunto. Uma família X de subconjuntos de X

  é dita uma σ-álgebra se

  • ∅ e X ∈ X

  C

  • Se A ∈ X então A ∈ X

  [ A

  • Se A n ∈ X, qualquer que seja n ∈ N então n ∈ X

  n=

  1 Definição 2.1.2. (Medida) Seja X um conjunto e X uma σ-álgebra. Uma medida é uma

  função µ : X → [0, +∞] tal que

  • µ(∅) = 0
    • ∞ +∞

  [

  X

  n E n ) = µ(E n )

  • µ é contavelmente aditiva, ou seja dados E ∈ X disjuntos, µ(

  1

  1 n= n=

  Observemos que se µ não assume o valor +∞, µ é uma medida finita. Se

  [ µ(X) = 1, µ é uma medida de probabilidade. Se existem (E n ) n E n

  ∈ X tais que X =

  n=

  1

  e µ(E n ) < +∞, ∀n, dizemos que µ é σ-finita.

  Definição 2.1.3. (Medidas invariantes) Seja

  (X, X, µ) um espaço de medida e f : X → X uma aplicação mensurável. Dizemos que µ é invariante por f se

  −1

  µ(E) = µ( f (E)), para todo conjunto mensurável E ⊂ X.

  

Definição 2.1.4. (Suporte de uma medida) O suporte de uma medida µ é o conjunto de

todos os pontos x ∈ X tal que µ(U) > 0 para todo aberto U que contém x. Definição 2.1.5.

  (Medida ergódica)Seja µ probabilidade f -invariante, tal que f : X → X.

  −1 (A) = A) tem-se que µ(A) = 0 ou µ(A) = 1.

  µ é ergódica se, ∀A ⊂ X f -invariante ( f

2.2 Entropia

  Definição 2.2.1. Seja f

  : M → M uma aplicação contínua definida em um espaço métrico com métrica d. Um conjunto S ⊂ M é (n, ε)- separado para f , (n > 0 e ε > 0), se para todo

  k k

  0 6 K 6 n, tal que d( f (x), f (y)) > ε. A quantidade x , y em S existir K inteiro, com de pontos distinguíveis (órbitas distinguíveis) é denominada por r

  (n, ε, f ) = max{#S; S ⊂ M é (n, ε) - separado para f } onde #S é a cardinalidade de elementos de S. O crescimento exponencial do número r (n, ε, f ) quando n tende a infinito é definido por

  1 h (ε, f ) = lim sup log(r(n, ε, f )). n

  n→∞

  Definimos a entropia topológica como h top ( f ) = lim h (ε, f )

  ε→0

2.2.1 Propriedades da Entropia Topológica Exemplo 2.2.2. A entropia topológica da identidade é zero.

  Demonstração. S é (n, ǫ) separado para f se para n ≥ 0 e ǫ > 0, para todo x , y,

  k k

  (x), f (y)) > ǫ. Para i < j, temos que se S é (i, ǫ)-separado ∃0 6 k 6 n − 1 tal que d( f implica que S é (j, ǫ)-separado. Assim,

  S

  i j = {S; S é (i, ǫ)-separado} ⊂ S = {S; S é (j, ǫ)-separado }.

  No caso da identidade, a inclusão contrária também é verdadeira. Vejamos: Se S

  é (j, ǫ) separado para f , para j ≥ 0 e ǫ > 0, para todo x , y, ∃0 6 k 6 j − 1 tal

  k k k k

  que d( f (x), f (y)) > ǫ. Como a função é a identidade, temos que d( f (x), f (y)) = k k i i

6

  (x, y) = d( f (x), f (y)) > ǫ para 0 6 k d i i − 1. Logo S é (i, ǫ)-separado. Assim,

  S , e portanto, S = S

  j i i j

  ⊂ S , ∀x, y ∈ N, o que implica que r(i, ǫ, f ) = r(j, ǫ, f ), ∀x, y ∈ N. Logo r(n, ǫ, f ) = r(ǫ, f ). Assim,

  1 h (ǫ, f ) = lim sup log(r(ǫ, f )) = 0. n

  n→∞ Logo, h top ( f ) = 0.

  Proposição 2.2.3. Se f

  : X → X é uma transformação contínua definida num espaço

  k métrico compacto, então h ( f ) = kh ( f ), para k > 1. top top

  Antes de iniciarmos a prova, vejamos a seguinte Demonstração.

  k

  (n, ǫ, f ) 6 r(nk, ǫ, f )

  Observação 2.2.4. r k

  Demonstração. Se S é (n, ǫ) separado para f significa que para n ≥ 0 e ǫ > 0, dados

  

k l k l

  x , y ) (x), ( f ) , ∃0 6 l 6 n − 1 tal que d(( f (y)) > ǫ. Como l 6 n − 1, implica

  (kl) (kl)

  )(x), ( f )(y)) > ǫ. Logo, S é que kl 6 k(n − 1) = kn − k 6 kn − 1. Assim, d(( f (nk, ǫ)-separado para f .

  k

  Mostremos, então, que h top ( f top ( f ): ) ≤ kh

  1

  k k

  h top ( f ) = lim lim sup log(r(n, ǫ, f ))

  ǫ→0

  n

  

n→∞

  1 lim sup log(r(nk, ǫ, f )) ≤ lim

  ǫ→0

  n

  

n→∞

  k = lim lim sup log(r(l, ǫ, f ))

  ǫ→0

  l

  

l→∞

  1 = k lim lim sup log(r(l, ǫ, f ))

  ǫ→0

  l

  l→∞

  = kh ( f ).

  top Observe que fizemos nk = l.

  Para a desigualdade contrária, temos que se S é (nk, ǫ)-separado para f ,

  j j

  (x), f (y)) > ǫ. Como f é uma transformação existe 0 ≤ j ≤ nk − 1 tal que d( f uniformemente contínua por hípótese, significa que d(x, y) > δ. Mas, tomando

  k k k 0 temos que d(x, y) = d(( f ) (x), ( f ) (y)) > δ. Logo S é (n, δ)-separado para f .

  j =

  k

  ). Portanto, como δ = δ(ǫ) converge para 0 quando ǫ Logo, r(nk, ǫ, f ) ≤ r(n, δ, f converge para 0, temos que:

  1

  1

  k

  h ( f ) = lim lim sup lim sup log(r(n, δ, f ))

  top

  log(r(nk, ǫ, f )) ≤ lim

  ǫ→0

  nk δ→0 nk

  n→∞ nk→∞

  1

  1

  1

  k k

  top

  = lim lim sup log(r(n, δ, f )) = h ( f ). k Assim, h ( f ) = kh( f ). top

  Se f Proposição 2.2.5.

  : X → X e g : X → X são transformações contínuas definidas em espaços métricos compactos, então h

  ( f × g) = h( f ) + h(g) A demonstração desta proposição encontra-se em

  Definição 2.2.6. Seja µ uma medida invariante. Definimos entropia métrica como

  1 ( f ) = lim log µ(B(x, n, ǫ)) h µ −

  n→∞

  n

  j j

  (x), f em que B(x, n, ǫ) = {y; d( f (y)) < ǫ, ∀0 6 j 6 n − 1}.

  Teorema 2.2.7. (Princípio VSeja f

  : M → M uma transformação contínua ( f ) coincide com o supremo num espaço métrico compacto M. A sua entropia topológica h top

  ( f ) da transformação f relativamente a todas as probabilidades invariantes, das entropias h µ ou seja: h

  top µ

  ( f ) = sup{h ( f ) ; µ ∈ M( f )} (com M(f ) conjunto das probabilidades f -invariantes.)

  

Definição 2.2.8. Uma medida µ é maximal se ela realiza o supremo, no Princípio Vari-

cional.

Definição 2.2.9. Uma medida é dita quase-periódica se é suportada por uma órbita

periódica ou se está inserida num círculo topológico que é conjugado a uma rotação. Proposição 2.2.10. A entropia de uma medida quase-periódica é zero. Definição 2.2.11. (Expoente de Lyapunov) Sejam f

  : M → M uma transformação

  x M, λ(x, v) =

  diferenciável e µ uma medida ergódica invariante. Para cada x ∈ X e v ∈ T

  1 n ′

  lim inf ) log k ( f (x).v k é chamado Expoente de Lyapunov associado a x e a v.

  n n→∞

2.3 Hiperbolicidade

  Nesta seção lembraremos de alguns conceitos envolvidos em uma linha muito importante dos Sistemas Dinâmicos: os sistemas uniformemente hiper- bólicos. Aqui, definiremos os conjuntos dos pontos não errantes, periódicos e, dentre outras coisas, enunciaremos o Teorema da Decomposição Espectral. Seja

  

  f : M → M um difeomorfismo de uma variedade compacta M 1 Para as quatro primeiras definições, f não precisa ser um difeomorfismo.

  Definição 2.3.1.

  (Conjunto dos pontos não errantes) Seja x ∈ M. x é dito não errante se

  n existir, para toda vizinhança U de x, um inteiro n tal que U ∩ f (U) , ∅.

  Denotamos o conjunto dos pontos não errantes de f por Ω( f ).

  n

  (x) = x Definição 2.3.2. (Conjunto dos pontos periódicos) x ∈ M é dito periódico se f para algum n > 0.

  Denotamos o conjunto dos pontos periódicos de f por Per( f ) e o período de x por τ(x).

  Definição 2.3.3. Um ponto periódico x é chamado hiperbólico se a aplicação linear τ(x) τ(x)

  (x) possui autovalores com valor absoluto diferente de 1. Onde D f (x) é a D f τ(x) derivada de f no ponto x.

  n k

  (Ômega limite) Definimos w f (x) = Definição 2.3.4.

  k → ∞ tal que lim

  (x) = {y ∈ X; ∃n k→∞ y}.

  Definição 2.3.5. (Função Topologicamente Transitiva) A função f é topologicamente n

  transitiva se existe x ∈ X tal que O(x) = X onde, O(x) = { f (x); n ∈ N}.

  Definição 2.3.6. (Função Topologicamente Misturadora) A função f é topologicamente

  misturadora se, para todo par de abertos U e V em X, existe um inteiro N = N (U, V) ≥ 1,

  n

  tal que f (U) ∩ V , ∅ para todo n ≥ N.

  Definição 2.3.7.

  (Conjuntos Hiperbólicos)Um subconjunto fechado Λ ⊂ M é hiperbólico

  u s

  se f M = E , tais que:

  x ⊕ E

  (Λ) = Λ e para x ∈ Λ, T x x

  s s u u

  (E ) = E ; D f (E ) = E

  • D f x x

  x x f (x) f (x)

  • Existem c > 0 e λ ∈ (0, 1) tais que:

  n n s

  1. k D f k v k, quando v ∈ E , n ≥ 0 (D f -contração);

  x (v) k≤ cλ x n u −n 2. k D f x k v k, quando v ∈ E x , n ≥ 0 (D f -expansão).

  (v) k≤ cλ

  u s Observação 2.3.8. T x M é o espaço tangente à M no ponto x. E e E são chamados os x x subespaços instável e estável relacionados a x, respectivamente.

  Definição 2.3.9. f

  : M → M é um difeomorfismo parcialmente hiperbólico se para todo

  s u c u c s

  , E e E e uma decomposição dominada T x M = E em que o x ∈ M existem E ⊕ E ⊕ E

  x x x x x x s u c

  subfibrado E é contraído, o subfibrado E é expandido e E é o subfibrado central.

  x x x Definição 2.3.10. (Axioma A) A função f é dita Axioma A, se

  • Per( f ) = Ω( f ).

  

Definição 2.3.11. (Conjuntos Estáveis e Instáveis) Definimos o Conjunto Estável de

  x ∈ M como sendo

  s n n

  W d ( f (x), f (x) = {y ∈ M; lim n→+∞ (y)) = 0}. Do mesmo modo, definimos

  u n n

  ( f (x), f W d

  (x) = {y ∈ M; lim n→−∞ (y)) = 0} como sendo o Conjunto Instável de x. Também definimos

  s n n

  W (x), f ǫ (x) = {y ∈ M; d( f (y)) ≤ ǫ, ∀n ≥ 0} e

  u −n −n

  W (x), f ǫ (x) = {y ∈ M; d( f (y)) ≤ ǫ, ∀n ≥ 0}, como sendo o Conjunto Estável Local e o Conjunto Instável Local de x, respectivamente.

  s u

  De fato, é possível provar que W e W são subvariedades de M tangentes ǫ ǫ

  s u aos espaços E e E em x, respectivamente. Veja, por exemplo, x x

  Seja Λ um conjunto hiperbólico para f . Então para toda constante positiva

  s u

  ǫ > 0, existe δ > 0 tal que se d(x, y) < δ então W (y) = [x, y] é um único ǫ (x) ∩ W ǫ ponto, para todo x, y ∈ Λ.

  Dizemos que Λ tem estrutura de produto local se [x, y] ∈ Λ para todo x, y ∈ Λ, com d(x, y) < δ. (Veja figura

  

Definição 2.3.12. (Conjunto maximal) Λ é maximal se existe uma vizinhança V de Λ

n

  = f (V). em M tal que Λ = ∩

  n∈Z Proposição 2.3.13. Λ tem estrutura de produto local se, e somente se, Λ é maximal.

  

Teorema 2.3.14. (Decomposição Espectral de Smale) Sejam M uma variedade dife-

  1

  renciável compacta e f . Suponha que Per ( f )

  : M → M um difeomorfismo de classe C é hiperbólico para f . Então existem subconjuntos fechados disjuntos Λ

  1 , ..., Λ m tais que

  Per ( f ) = Λ

  1 m , cada Λ i é hiperbólico com estrutura de produto local e f é topo-

  ∪ ... ∪ Λ logicamente transitivo sobre Λ i . Se f satisfaz ao Axioma A, então este teorema é válido para Ω ( f ).

  Os conjuntos Λ i deste teorema são chamados de peça básica.

  

Definição 2.3.15. Um ponto q é um ponto homoclínico para f se existe uma peça básica

  Λ

  Figura 2.1: Estrutura de Produto Local

  

u s

  q ∈ (W (x) \ x)∩ (W (x) \ x).

  u

  O ponto homoclínico q é chamado ponto homoclínico transversal se W (x) e

  s

  W (x) são transversais, isto é, o espaço tangente a M no ponto q pode ser escrito

  u s

  como a soma direta T q M = T q W q W (x). Caso contrário, q é uma tangência (x) ⊕ T homoclínica .

  

Definição 2.3.16. Uma classe homoclínica de um ponto periódico hiperbólico p para f

é o fecho das intersecções transversais entre as variedades estável e instável desse ponto.

  (p, f ). Podemos denotá-la por H

  (ϕ )

  

Definição 2.3.17. Seja t t fluxo em M e seja x um ponto de equilíbrio do tipo sela. Uma

  = trajetória Γ é um Laço Homoclínico em x se para todo y pertencente a Γ, lim ϕ(y, t)

  t→±∞ x.

  A partir daqui, por simplicidade, denotaremos h top ( f ) por h( f ).

  

Definição 2.3.18. Um difeomorfismo f é um ponto de constância da entropia topológica

k k

  na topologia C se existe uma C

  • vizinhança U de f tal que para todo difeormorfismo g ∈ U , h (g) = h( f ). Além disso, chamamos um difeomorfismo de ponto de variação da entropia

  k

  se ele não é um ponto de constância, ou seja, se para qualquer que seja a C -vizinhança U de f existe g difeomorfismo tal que h (g) , h( f ).

  

Lema 2.3.19. Seja f uma aplicação contínua, como definida no início desta seção. Temos

Ω ).

  que h ( f ) ( f ) = h( f |

  

Observação 2.3.20. O lema acima é uma consequência do Teorema de Recorrência de

Poincaré e do Princípio Variacional.

Definição 2.3.21. (Peça Responsável) . Dado f difeomorfismo Axioma A seja Ω ( f ) =

  Λ , dado pelo Teorema da Decomposição Espectral de Smale. Como

  1 ∪ Λ 2 ∪ ... ∪ Λ k

  ( f ) = max ). h h i

  ( f |Λ

  

o≤i≤k

  existe pelo menos um conjunto que é responsável pela entropia de um sistema uniforme- mente hiperbólico, isto é, existe algum k ). Assumiremos, ∈ {1, ..., k} tal que h( f ) = h( f |Λ k

  = sem perda de generalidade, que k k.

  Teorema 2.3.22.

  (λSeja f : M → M um difeomorfismo e p um ponto fixo hiperbólico para f . Consideremos D um disco mergulhado de mesma dimensão que

  u s

  W (p), que intersecta transversalmente W (p). Então, para todo ǫ > 0 existe um n tal

  n

  1 então f próximo da variedade instável local de p.

  que se n ≥ n (D) está ǫ − C

  

Definição 2.3.23. (Partições de Uma partição de Markov para f é uma

m

  tais que coleção finita de retângulos R = {R i }

  i=

  1 m

  R i ;

  • Λ = ∪

  i=

  1

  • Se j , i então intR i ∩ intR j = ∅ e f , então
  • Se z ∈ intR i j

  (z) ∈ intR

  

u u u

  f (W i ) = f (W (z, R i ( f (z), R j ) (z) ∩ R )) ⊃ W e

  

s s s

  f (W i ) = f (W (z, R i ( f (z), R j ) (z) ∩ R )) ⊂ W

  i (int(R j )), então

  • Se z ∈ int(R ∩ f −1

  u u

  (R (z, int(R ))) = W ( f (z), int(R ) int j i j ) ∩ f (W e

  s s −1

  int (R (W ( f (z), int(R ))) = W (z, int(R ))

  i j i α α ) ∩ f ′ ′

  ′

  onde W (z , int(R )) = W (z , int(R ), para α = u, s, todo ponto z e

  k k k

  )) ∩ int(R retângulo R .

  k

Definição 2.3.24. (Família parametrizada de difeomorfismos) Uma família de difeomor-

  ∞

  fismos ϕ µ e µ ∈ R, é uma aplicação

  : M → M, com M variedade diferenciável de classe c

  ∞

  Φ µ , onde a aplicação (x), µ) de classe C : M × R → M × R definida por Φ(x, µ) = (ϕ

  

µ (x) é um difeomorfismo de classe C x → ϕ para cada µ ∈ R.

  

Definição 2.3.25. (Desdobramento de tangência homoclínica) Uma família a um parâ-

  metro de difeomorfismos {ϕ µ } de uma variedade M desdobra genericamente uma tangência tem um ponto periódico p s u u

  (p ) e W (p ) com dim W (p ) = u, tem uma órbita suas variedades estável e instável, W de tangência que genericamente, é parabólica (de contato quadrático) e para valores de

  s

  (p ) µ µ ∈ (0, ε), intersecções transversais são criadas entre as continuações analíticas, W

  u

  e W (p ), das variedades estável e instável de p , respectivamente. Além disso, estas va- µ riedades invariantes movem-se com relativa velocidade não-nula com a tangência quando o parâmetro varia.

  Teorema 2.3.26.

  (R) não negativa tem um (Perron-FrToda matriz A ∈ M

  s×s

  autovetor não-negativo AU = λU, no qual o autovalor associado λ é igual ao raio espectral

  

max . Se A for irredutível, então existe um único autovetor não-negativo a menos de

  |λ| multiplicação por uma constante positiva, e este autovetor é estritamente positivo e além disso, o autovalor maximal de todo menor principal (de ordem menor do que s) de A

  ′ ′

  λ satisfaz λ ≤ λ. Se A for irredutível, λ

  Definição 2.3.27. (Filtração) Uma filtração L adaptada a f é uma sequência

  =

  1 k M

  ∅ = M ⊂ M ⊂ ... ⊂ M

  ∞

  = onde cada M i é uma subvariedade C de M compacta, com bordo, tal que dimM i dimM e f (M ).

  i i

  ) ⊂ int(M

  f

  T

  n

  Seja L uma filtração como acima. Temos que o conjunto K (L) = f (M

  i \ i n∈Z

  M ) é conjunto f -invariante maximal de M e é compacto. Além disso,

  i \ M i−1 i−1 f

  S k

  f

  denotamos K (L) = K (L). Temos também que

  i=

  1 i

  Ω = Ω

  

i i )

  \ M i−1 ( f ) ∩ (M

  f Proposição 2.3.28. Seja L uma filtração adaptada a f e seja U uma vizinhança de K (L).

  Então existe uma C - vizinhança U de f no conjunto dos homeomorfismos de M tal que,

  g

  (L) está contido em U. Além para toda g ∈ U, L é uma filtração adaptada à g e K = disso, tomando U i (M i

  \ M i−1 ) ∩ U, podemos escolher a vizinhança de U de modo que

  g K i .

  (L) ⊂ U

  i

  Esta proposição segue somente por continuidade de f e pelo fato da distância entre compactos ser positiva.

  m Lema 2.3.29. (Lema de Perturbação)Sejam duas aplicações diferenciáveis f e g : R

  →

  m m m ∞

  R de classe C , um conjunto compacto K ⊂ R e um aberto U ⊂ R tais que K ⊂ U. Seja

  m r m ∞

  (R (R ) contínuo numa vizinhança r ∈ N. Então existe um operador T : Diff m m ) → C = = de f tal que T K K e T (R (R . f | g|

  ( f )| ( f )| \U) \U)

2 T ( f )(x) = D

  • Db (x)(D f (x) − Dg(x)) + b(x)(D
  • Db (x)(D f (x) − Dg(x)) = D
  • 2Db(x)(D f (x) − Dg(x)) + b(x)(D

  b (x)( f (x) − g(x))

  g (x)) + Db(x)(D

  2

  f (x) − D

  2

  b (x)(D f (x) − Dg(x))

  2

  b (x)(D f (x) − Dg(x)) + 2D

  2

  3

  f (x) − D

  g (x) + D

  3

  D

  g (x))

  2

  f (x) − D

  2

  b (x)( f (x) − g(x))

  2

  2

  g (x) + D

  b (x)( f (x) − g(x)) + 3Db(x)(D

  g (x))

  3

  f (x) − D

  3

  g (x)) + b(x)(D

  2

  f (x) − D

  2

  3

  g (x))

  b (x)(D f (x) − Dg(x))

  2

  g (x) + 3D

  3

  g (x)) = D

  3

  f (x) − D

  3

  2

  2

  ∞

  → R

  é outro difeomorfismo de classe C

  1

  \ U, T( f )(x) = g(x). Se f

  m

  (2.2) Se x ∈ K, T( f )(x) = f (x). Se x ∈ R

  por T ( f )(x) = b(x) f (x) + (1 − b(x))g(x).

  m

  m

  , então para x ∈ U \ k temos que : | T( f )(x) − T( f

  ε > 0 arbitrário. Definimos uma nova aplicação T( f ) : R

  \ U (2.1) e 0 < b(x) < 1 se x ∈ U \ K. Sejam f e g como no enunciado, fixe um r ∈ N e seja

  m

  1 se x ∈ K 0 se x ∈ R

  tal que b (x) =   

  ∞

  → [0, 1] de classe C

  m

  g (x))

  1

  Demonstração.

  (x) + Db(x)( f (x) − g(x)) + b(x)(D f (x) − Dg(x)) D

  2

  f (x) − D

  2

  b (x)( f (x) − g(x))

  2

  g (x) + D

  2

  = Dg

  )(x) | = | b(x) f (x) + (1 − b(x))g(x) − b(x) f

  Db (x) f (x) + b(x)D( f (x)) + Dg(x) − Dg(x)b(x) − g(x)Db(x)

  ( f )(x) = Db(x) f (x) + b(x)D f (x) + Dg(x)(1 − b(x)) − g(x)Db(x) =

  Além disso, por indução na r-ésima derivada temos que: DT

  1 (x) | .

  (x) |<| f (x) − f

  1

  (x) − (1 − b(x))g(x) | = | b(x) || f (x) − f

  1

  Seja b uma função "bump"com suporte em U, isto é, b : R

3 T ( f )(x) = D

  • D

  • 2Db(x)(D
  • b (x)(D
  • D

  1 n

  j

  f

  j

  f (x) − D

  j

  b (x)k kD

  r−j

  r r − j ! k D

  j=

  X

  r

  (x)) k ≤

  1

  f

  f (x) − D

  (x) k ≤

  j

  b (x)(D

  r−j

  D

  r r − j !

  j=

  X

  r

  g (x)) k=k

  j

  1 (x)

  f

  j

  1

  r

  j

  r−j

  2m r R ( f ), (2.3)

  h (g n ) ≤ h( f ) +

  n→∞

  , lim sup

  r

  e g n → f na topologia C

  r

  : M → M de classe C

  Teorema 2.3.30. Para f

  , a entropia topológica de uma função que esteja na vizinhança de uma função f não pode crescer muito. Mais precisamente:

  r

  O seguinte teorema afirma que na topologia C

  b (x) k δ < Lδ < ε Logo, provamos a proposição.

  r r − j ! k D

  X

  j=

  X

  r

  , temos que

  L

  b (x) k é limitado, digamos por um L > 0 que depende natural- mente de r. Logo, tomando δ < ε

  r−j

  k D

  r j= r r−j

  P

  b (x) k δ. Assim, como a aplicação b e todas as suas derivadas são limitadas,

  r−j

  r r − j ! k D

  j=

  g (x) − D

  f (x) − D

  E portanto concluímos que para todo r ≥ 1: D

  C

  X

  r

  g (x) +

  r

  )(x) k = = k D

  1

  T ( f

  r

  T ( f )(x) − D

  r

  k D

  1 ) < δ,

  ( f, f

  g (x)) Logo, se d

  r r − j !

  j

  f (x) − D

  j

  b (x)(D

  r−j

  D

  r r − j !

  j=

  X

  r

  g (x) +

  r

  T ( f )(x) = D

  r

  j=

  D

  j

  j

  b (x)(D

  r−j

  D

  r r − j !

  j=

  X

  r

  = k

  g (x)) k

  j

  (x) − D

  1

  f

  b (x)(D

  r−j

  r−j

  D

  r r − j !

  

j=

  X

  r

  g (x) −

  r

  − D

  g (x))

  j

  f (x) − D

  j

  b (x)(D

  • D
A prova deste teorema é encontrada em

  

Capítulo 3

Tangência Homoclínica e Variação de

Entropia

3.1 Tangência Homoclínica e Variação de Entropia

  

Teorema 3.1.1. Seja Λ um conjunto invariante hiperbólico para um difeomorfismo

  f . Então, existe uma partição de Markov de Λ para f com retângulos de diâmetros arbitrariamente pequenos.

  Como as peças básicas do teorema da decomposição espectral satisfazem as hipóteses do teorema acima, temos que para cada peça básica Λ existe uma

  i partição de Markov com retângulos de diâmetro arbitrariamente pequenos.

  O primeiro teorema que iremos enunciar é devido a Bronzi e Tahzibi e estabelece que a presença da tangência na peça responsável pela entropia é

  r

  condição suficiente para a variação da entropia topológica na topologia C , para 2 ≤ r ≤ ∞.

  Teorema 3.1.2. Seja uma família parametrizada f µ

  : M → M de difeomorfismos de uma superfície fechada M desdobrando genericamente uma tangência homoclínica em µ = 0, onde Ω( f

  (q) ) = Λ

  1 k i é um conjunto hiperbólico isolado e O

  ∪ ...Λ ∪ O(q) e cada Λ é a única órbita tangência homoclínica associada a um ponto fixo de sela p de algum Λ .

  i

  Então, se O (q) está associada a Λ e Λ é responsável pela entropia, f é um ponto de

  k k r

  variação da entropia topológica na topologia C , para 2 ≤ r ≤ ∞. Demonstração. Seja uma família f como no teorema acima. Para µ > 0 conside- µ remos os conjuntos básicos Λ i (µ) como a continuação dos Λ i . Desse modo, nós temos que Λ i (µ) é hiperbólico e f Λ é conjugado a f Λ . Então, nós temos µ | (µ) | i i h ( f µ Λ ) = h( f Λ )

  para todo i = 1, ..., k e todo µ pequeno.

  Através do desdobramentos da família f novos pontos periódicos são µ criados e a entropia do conjunto dos pontos não errantes pode aumentar para certos parâmetros positivos µ. Mostraremos isto através da construção de um subsistema de f com uma dinâmica mais rica do que f Λ . µ

  | k Para construir tal subsistema, nós encontramos um subconjunto de Ω( f ) µ contendo Λ (µ) usando Partições de Markov. Tomamos um parâmetro µ muito

  k

  perto de µ = 0. Como f desdobra genericamente, a aplicação f tem interseção µ µ homoclínica transversal perto da O(q ), a órbita tangência de f .

  Figura 3.1: Tangência homoclínica próximo a µ = 0

  s

  Seja q µ esse ponto de interseção homoclínica transversal entre W (p µ ) e

  u

  W (p µ ) perto de q (a tangência de f ). Como Λ k (µ) é hiperbólico e invariante maximal definido para f , existe uma vizinhança isolante de Λ (µ), digamos, V . µ k k <

  Suponhamos que q . Seja também R , ..., R uma partição de Markov para µ V k

  1 s

  Λ (µ) tal que

  k

s

  [ Λ

  (µ) = R

  

k j ⊂ V k

j=

  

1

  < Como q µ k µ k V temos que uma parte da O(q ) continua fora de V . Tome

  s

  [

  j N 1 −N 2

  , N (q , f (q e f (q ) < N

  • 1

  2 µ s µ 1 µ R j

  2

  ∈ N, tais que f µ ) ∈ R µ ) ∈ R µ para j = −N

  j=

  1

  1, ..., 0, ..., N é o retângulo contendo a primeira iterada positiva de

  1 − 1. Ou seja, R s

  q que pertence a V e R é o retângulo contendo a primeira iterada negativa de µ k

  1 q que pertence a V . µ k

  Conseguimos estender a partição de Markov para um conjunto maior que contém Λ ) construindo outros retângulos contendo

  k

  (µ) ∪ O(q

  

1 N

+ −N 2 1 −1

  (q µ ), ..., q µ , ..., f (q µ { f µ µ

  )}

  Figura 3.2: Construção da Partição de Markov (Passo 1)

  N 2

  da seguinte maneira: se nós iteramos R

  1 sob f , temos uma estreita faixa ao redor u 1 −N

  da W (p ) contendo q . E se nós iteramos R s sob f temos uma estreita faixa ao µ µ

  s s u

  redor da W (p µ ) contendo q µ . Sabemos que W (p µ ) e W (p µ ) tem interseção trans- versal em q µ . Como nós pudemos tomar o diâmetro de Markov arbitrariamente

  N N −N 1 2 −N 1 2

  pequeno, temos que f (R s ) e f (R µ µ µ µ 1 ) são transversais. Seja C := f (R s (R 1 ).

  )∩ f

  s

  [ Observemos que C é disjunto de R i e contém q µ .

  i=

1 Figura 3.3: Construção da Partição de Markov (Passo 2)

  Como

  • + N N N
  • 1 1 −N 2 2 −N −N 2 1 (C) = R (R ) e f (C) = f ), f s

    µ ∩ f µ µ µ ∩ (R

    1 R s

      1 N 1 2 −N

      temos que f (C) é uma faixa vertical de altura total contida em R e f (C) é µ

      s µ

      uma faixa horizontal de altura total contida em R . Consideremos os conjuntos

      1

      disjuntos S definidos como

      i + j

    −N

    2

      = (C) S j f µ

      2

      2

      1 2 − 1. Note que S N 2

    • = para j = 1, 2, ..., N , N 1, ..., N N C . Agora denote
    • 1

      l = N N , S , ..., R , ..., S

      2 − 1 e considere P = {R 1 s 1 l } e

    s l

      [ [ . R = R i S j

      ∪

      i= 1 j=

      1

      \

      n

      = Assim, Λ R f (R) é um conjunto isolado hiperbólico tal que Λ k µ

      (µ) ⊂

      n∈Z

      Λ R µ ). O subsistema desejado é a restrição f µ : Λ R R .

      ⊂ Ω( f → Λ Lema 3.1.3. P é uma partição de Markov para Λ R .

      ′

      Demonstração. Temos que todos os R s satisfazem a propriedade de Markov. Resta

      i ′

      verificar a propriedade de Markov para S . Por construção nós temos que todos s

      j ′ ′

      e S são disjuntos dois-a-dois, além disso, f (S ) = S R s s µ j j+

      1

      para j = 1, ..., l − 1, já

      i j

    • + j

      j + −N 2 −N 2

      = que S j f (C) o que implica que f µ (S j ) = f µ ( f (C)) e, portanto, f µ (S j ) = µ µ

      j+

      1 + −N 2

      f (C). Assim, µ

      2 + −N 2

      j = µ (S

      1 ) = f (C) = S µ

      2

      1 ⇒ f

      3 + −N 2

      j = µ (S

      2 ) = f (C) = S µ

      3

      2 ⇒ f ...

      l + −N 2 µ l (S ) = f (C) = S .

      j = l − 1 ⇒ f l−1 µ

      N −N 1 2 Temos também que C := f (R (R ), o que implica que

    µ ) ∩ f µ

    s

      1 2 l+ 1 l+ 1 2

    + 1 l+ 1+N + +

    2 2 −N −N −N −N

      f (C) = f (R (R ). µ µ s µ

      1

      ) ∩ f

    • + N N N
    • 1 1 2 Mas l = N

      • 1 N

        2 (C) = R (R 1 ). Como

        − 1, o que implica que f µ s ∩ f µ

      • + + l+

        1 N N N −N 2 1 1 2

        f (S l ) = f (C) = f (C), temos que f (S l ) = R s (R µ µ µ µ ∩ f µ µ 1 ). Logo, f (S l s ) ⊂ R é uma faixa vertical de altura total.

        , Assim, f µ (S l s µ (S l i µ (S l j

        ∅, f = ∅, para i = 1, ..., s − 1 e f = ∅, ) ∩ R ) ∩ R ) ∩ R para j = 1, ..., l.

        Observemos também que, somente R

        1 tem imagem por f µ que intersecta

        algum S j . De fato,

      • + j j j + −N 2 −N 1 −N
      • 2 = (C) = f (R (R ). S j f s

        µ µ ) ∩ f µ

          1 j

          Assim, S (R

          1 j ∩ f µ

          ) , ∅. Para j = 1 temos que

          , (R (R f µ

          1 1 µ

        1 j

        ) ∩ S ∅ e f ) ∩ S = ∅, para j = 2, ..., l. 2 +

          1 1 + −N 2 −N 1 −N

          1 Além disso, como S = (C) = f (R (R ), implica que 1 2 1−1 + 1 f s µ µ ) ∩ f µ

          1 −N −N −1 −1 (S ) = f (R ). Logo, f (S .

          f µ ) ∩ (R µ ) ⊂ R 1 µ s

          1

          1

          1 −1

          Como f (S é uma faixa horizontal de altura total em R , então µ ) ⊂ R

          1

          1 1 −1

          , =

          S f ( f (S (R ). Assim, f (R , esta

          1 µ µ )) ⊂ f ) ∩ S 1 µ 1 µ

          

        1

        1 ∅ e, pela construção de S

          1

          interseção satisfaz as condições da Partição de Markov. Então P é uma Partição de Markov para Λ .

          R

          Associaremos o sistema f : Λ R R a um subshift do tipo finito, como µ → Λ

          1 , ..., P s+l

          }, como visto an- a seguir. Consideremos a partição de Markov P = {P = teriormente, e definamos uma matriz de transição A µ (a ij ) (s+l)x(s+l) para f µ tal que:

           , 1 se f (P µ i j ∅

          ) ∩ P 

          = a ij (3.1)

           0 se f (P µ i j = ∅ ) ∩ P µ e para i, j ∈ {1, ..., s + l}. Assim, obtemos uma conjugação topológica entre f

          P P P P σ A : , onde . A matriz de transição A µ tem a seguinte µ A → A A ⊂ s+l µ µ µ forma:

           H ij se 1 ≤ i, j ≤ s

           1 se i = 1, j = s + 1 ou i = s + l, j = s 

          ij

          = a (3.2)

          1 sej = i + 1 para s + 1 ≤ i ≤ s + l − 1   nos outros casos

          = onde H (H ) é a matrix de transição de f Λ , a qual é irredutível, visto que µ ij sXs µ | k (µ) f Λ (µ) é topologicamente transitivo. µ | k Seja f como no enunciado do teorema. Anteriormente construímos uma µ partição de Markov para f Λ µ | R , para µ ≥ 0. Como estamos lidando com uma

          Partição de Markov, podemos dar uma conjugação entre f Λ e a dinâmica de µ | R um subshift do tipo finito. Seja A µ a matriz de transição de f µ Λ , para µ > 0 | R suficientemente pequeno. Temos que h( f µ ) = log λ µ , onde λ µ é o maior autovalor

          de A . Pela construção da partição de Markov, temos que µ  

            1 0 0 . . . 0  

            0 0 0 . . . 0  

            H µ

             ... ... ... ... ... 

              0 0 0 . . . 0

               

          = A 0 0 . . . 0 0 1 0 . . . 0 µ

               

            0 0 . . . 0 0 0 1 . . . 0    

                ... ... ... ... ... ... ... ... ...  

                0 0 . . . 0 0 0 0 . . . 1

               

                0 0 . . . 1 0 0 0 . . . 0

          A seguinte proposição afirma que o maior autovalor de A µ é estritamente = Λ maior do que o maior autovalor de A H . Logo, a entropia do sistema f µ (µ)

          | k será maior do que a entropia de f Λ . | k

          

        Proposição 3.1.4. Seja A µ como definido acima. Se λ µ é o maior autovalor de A µ em

          > λ módulo, então, para todo µ > 0 perto de 0, λ µ . Demonstração. Pelo Teorema A deve ser irredutível, ou seja, para todo par µ

          n (i,j)

          i, j existe alguma potência n(i, j) tal que (A ) > 0. De fato: µ A µ i } é irredutível se, e somente se,

          , para a partição de Markov P = {P

          n

          i j ∅, o que é satisfeito por

          ) ∩ P construção. Observemos que como

        • + +

          , para cada par i, j existe n = n(i, j) tal que f (P

          

        j j j

        −N 2 −N

        1 −N

        2

          = S j f (C) = f (R s (R µ µ µ 1 ), (3.3)

          ) ∩ f implica que

          l−j+1 l+

          1

          f (S ) = (R (R ). (3.4) µ j s

          1

          ) ∩ f µ Logo,

          l−j+1

          ) ∩ R

          , f (S j s (3.5) µ ∅.

          l−j+1 j

          Como para cada S , f (S ) intersecta R e o iterado f (R ) intersecta S , obtemos a

          j j s µ 1 j

          propriedade desejada para todos os elementos de P. Podemos aplicar o teorema de Perron-Frobenius para a submatriz A , da matriz irredutível A , obtida excluindo µ,1 µ a última linha e a última coluna de A . Dessa forma, o maior autovalor λ de A µ µ µ

          é estritamente maior do que o maior autovalor λ de A . Apesar de A não µ,1 µ,1 µ,1

          ser, necessariamente, irredutível, utilizamos o teorema de Perron-Frobenius para a submatriz A , cujo maior autovalor é λ e assim λ λ . Repetimos µ,2 µ,2 µ,2 µ,1 µ ≤ λ este processo até obtermos a submatriz H , cujo maior autovalor λ é igual a λ , Λ e f Λ são topologicamente conjugados. Assim, λ λ . µ µ,l

          | µ já que f | k (µ) k Para concluir, observemos que para toda vizinhança V de f = f , tomamos f com µ perto de 0 tal que f µ µ ∈ V e a proposição anterior se verifica. Como Λ k

          é responsável pela entropia de f , h( f Λ ) > h( f Λ ) = h( f ). Logo, µ (µ) | ) ≥ h( f | k k h ( f ) , h( f ) e assim, f é um ponto de variação da entropia. µ

          Provaremos agora o seguinte teorema de Bronzi e Tahzibi

          2 Teorema 3.1.5. Seja f µ uma família a um parâmetro de difeomorfismos C numa superfície k não é responsável pela entropia então f é um ponto de constância da entropia

          M. Se Λ|

          2 topológica na topologia C .

          Considerando a Proposição por Palis-Takens, para um dife- Demonstração. omorfismo com uma tangência homoclínica, como estamos considerando, existe uma filtração L para Ω( f ) = Λ

          1 ∪ Λ 2 ∪ ... ∪ Λ k ∪ O(q) tal que

          T

          n

        • Λ i i \ M

          = f (M ), para i , k;

          i−1 n∈Z

          T

          n

          f (M )

        • Λ k ∪ O(q) = k \ M

          k−1 n∈Z

          Devido a esta última igualdade podemos escolher uma vizinhança aberta U k de Λ k

          ∪ O(q) suficientemente pequena tal que

          \ M k−1 \ M k−1 ) ⊂ M ) ⊂ M

          −1 f (U k k e f (U k k .

          T

          n

          = Esta vizinhança tem a forma U k int ( f (M k )), para algum

          \ M k−1

          |n|≤n

          n

          k ) e

          ∈ N suficientemente grande. Consideremos uma vizinhança U de f (U

          −1

          f (U k k . Observemos que \ M k−1

          ) tal que U ⊂ M Λ

          . (3.6)

          k ∪ O(q) ⊂ U k ⊂ U ⊂ M k \ M k−1

          2 Seja f , e assuma, sem perda de generalidade,

          : M → M difeomorfismo C que k = 4, Λ

          2

          3

          = {p } é um ponto fixo atrator e que Λ = {∞} é um ponto fixo repulsor. Como Λ

          4 não é responsável pela entropia de f e como a entropia de

          conjuntos invariantes finitos é nula, a entropia de Λ Λ . 1 2 e Λ 3 é zero. Dessa forma, a entropia de f é a entropia de f |

          2

          , perto de f . Então g tem Fixemos agora, um difeomorfismo g : M → M, C

          ∞ como um ponto fixo repulsor e p }. como ponto fixo atrator, tal que Ω(g) = {∞, p g

          Seja U = (M (L). Suponhamos que K é uma

          4

          4

          3

          \ M ) ∩ U,onde U é vizinhança de K vizinhança compacta de Λ

          4

          4 ∪ O(q) tal que K ⊂ U ⊂ U. m m

          Seja a função T( f ) : R do Lema que é a própria f em K e é g → R

          m r

          em R (para r grande)

          \U. Encontremos uma vizinhança de T( f ) na topologia C na qual a entropia não mude de peça responsável. Denotemos d = h Λ Λ Λ ). (3.7)

          ( f ) − h( f | 4 ) = h( f | 1 ) − h(T( f )| 4 =

          K K e aplicamos a

          f | Na última igualdade utilizamos o fato de que T( f )|

          4 da peça básica Λ 4 .

          proposição na vizinhança compacta K ⊂ U Consideremos r > 0 grande o suficiente para que

          2m 2m d .

          R ( f ), R (3.8) max{ (T( f ))} < r r

          10 Seja ε > 0 suficientemente pequeno e consideremos δ > 0 como na de- monstração do Lema podemos tomar uma vizinhança

          r

          ν de T( f ) na topologia C tal que para toda aplicação τ ∈ ν, temos que ε

          2m h R (T( f )) + . (3.9) (τ) ≤ h(T( f )) + R m r Λ Λ ). Usando a estima-

          10 Como h(T( f )| \U ) = 0, temos que h(T( f )) = h(T( f )| 4 ) = h( f | 4 tiva obtemos ε + d h Λ ) + . (3.10)

          (τ) < h( f | 4

          10

          ∞

          Tomemos, agora, uma vizinhança ω de f na topologia C (que está contida

          r

          na topologia C ) tal que para toda f

          1

          ∈ ω tenhamos

          

        n !

          X n n−j −1 ( f , f ) < δ( . (3.11) d C

          1

          k D b k) n − j

          j=

          Pela proposição acima, podemos escolher a vizinhança ω suficientemente

          f 1

          1

          4

          ∈ ω, tenhamos Γ f ∪ O(q) = K 1 (L) ⊂ K. Dessa

          = Λ pequena tal que para toda f

          4

          forma, pelo lema como f

          1 está próxima de f , para cada f

          1

          ∈ ω, T tem como

          r

          imagem a aplicação T( f

          1 ) de classe C que satisfaz as mesmas propriedades da f ,

          ou seja, =

          T ( f

        1 K f

          1 K e

          | m m m )| = =

          T ( f

          1 (R T (R (R , \U) \U) g| \U)

          )| ( f )| além disso,

          n !

          X n r n−j ∞ , f ) < δ. d C (T( f

          1 C ( f 1 (3.12)

          k D b k)d ), T( f )) ≤ ( n − j

          j=

          Assim toda aplicação f

          1

          ∈ ω que satisfaz e assim pertence a ν, ou seja, satisfaz Λ . ε + d h (T( f

          1 ) + (3.13) 4

          )) ≤ h( f |

          10 Observemos que h ( f Γ ) = h(T( f Γ )), (3.14)

          1 |

          1

          1

          )| ) ≤ h(T( f

          f1 f1

          então, pela desigualdade temos que ε + d h ( f

          1 Γ Λ ) + . (3.15)

          | ) ≤ h( f | 4

          f1

          10 Assim, para f

          1 pertencente a ω,

          ( f Γ ), h( f Λ h

          1

          

        1

          1

          ) = max{h( f | | 1 )}

          f1

          = Γ Λ

          

        1

          max{h( f | ), h( f | 1 )}

          f1 Λ ) + Λ ε + d

          ≤ max{h( f | 4 1 , h( f | )}

          10 = Λ h ) = h( f ). 1

          ( f | Logo, como h( f Λ ) = h( f Λ ) e h( f Λ ), temos que h( f ) =

          1

          

        1

          1

          1

          1

          ) ≤ h( f | 1 | 1 | 1 ) ≤ h( f ( f Λ Λ ) = h( f Λ ) = h( f ). Dessa forma, pela definição h

          1

          1

          1

          | 1 ). Assim, h( f ) = h( f | 1 | 1

          ∞ na C -vizinhança f é um ponto de constância da entropia topológica.

          De fato, pode-se extrair uma cota mais precisa para a constância da en- tropia como segue:

          r Teorema 3.1.6. f é um ponto de constância na topologia C

          (1 ≤ r < ∞) se h( f ) −

          2m h Λ ) > α r , em que α r := R ( f ).

          ( f | k

          r

          Demonstração. Provaremos o teorema no caso mais simples como na prova do Λ ) > k = R ( f ). Seja ε > 0 4 2m teorema anterior. Suponhamos que h( f ) − h( f |

          r

          suficientemente pequeno de modo que 2m h Λ ) > R ( f ) + ε (3.16)

          ( f ) − h( f | 4 r

          Pelo teorema existe uma vizinhança ν de T( f ), na topologia C , tal que para toda τ ∈ ν, 2m h (τ) < h(T( f )) + R (T( f )) + ε. (3.17) r

          r

          Como T é contínuo, se f está suficientemente próximo de f na topologia C ,

        1 T ( f

          1

          ) ∈ ν e assim, 2m h (T( f

          1 )) < h(T( f )) + R (T( f )) + ε. (3.18)

          r

          r

          Assim, como na demonstração do teorema anterior, temos que para f -próximo

          1 C

          de f , =

          T ( f f e

          1 K 1 | K m m m )|

          = = T ( f T

          

        1 (R (R g| (R

          )| \U) ( f )| \U) \U)

          f 1

          4 f ∪ O(q) = K 1 (L) ⊂ K. Como

          = Λ além disso, Γ

          4

          h ( f

          1 Γ ) = h(T( f

        1 Γ

        1 )), (3.19)

          | )| ) ≤ h(T( f

          f1 f1

          temos que 2m h ( f

          1 Γ ) < h(T( f )) + R (T( f )) + ε. (3.20)

          |

          f1 Λ ) temos que 4 r

          Como h(T( f )) = h( f | Γ Λ h ( f

          1 1 ), h( f

          1

          | | ) = max{h( f )}

          f1 f1

          = Γ Λ

          

        1

          max{h( f | ), h( f | )}

          f1 f1 Λ ) + Λ ε + d

          ≤ max{h( f | 4 , h( f | )}

          f1

          10 = h Λ ) = h( f ). 1

          ( f | Logo, como h( f Λ ) = h( f Λ ) e h( f Λ ), temos que h( f ) =

          1

          

        1

          1

          1

          1

          ) ≤ h( f | 1 | 1 | 1 ) ≤ h( f

          2m

          ( f Λ Λ ) = h( f Λ ) = h( f ). Dessa forma, se α = ( f ), na h

          1

          1 1 r R

          | 1 ). Assim, h( f ) = h( f | 1 | 1

          r ∞

        • vizinhança f é um ponto de constância da entropia topológica. C O próximo teorema nos dá a relação entre uma estimativa da entropia de um sistema depois de uma perturbação e os autovalores dos pontos periódicos associados correspondentes à tangência homoclínica.

          

        Teorema 3.1.7. Seja p um ponto periódico hiperbólico de um difeomorfismo f de

        1 u s

          (O(p)) é tangente à W (O(p)) em algum ponto. Dado ǫ > 0, para toda classe C tal que W vizinhança U de f existe g ∈ U tal que

          1 h (g) > log |λ(p)| − ǫ. τ(p)

          2 Teorema 3.1.8. Existe um difeomorfismo f de S fixando um ponto de sela com

          interseção homoclínica transversal e um outro com tangência homoclínica tal que f é um

          

        1

        ponto de variação da entropia na topologia C .

          Construíremos aqui, um sistema que apresenta uma ferradura e Demonstração. uma tangência homoclínica correspondente a um ponto fixo hiperbólico fora da ferradura. Pertubaremos o sistema em uma pequena vizinhança da tangência

          1

          a fim de criar uma interseção transversal. Faremos isto usando perturbação C "Snake like"(Newhouse) e obteremos um novo sistema cuja entropia é maior.

        2 Seja a esfera S cuja as órbitas dos pontos que estão próximos ao pólo

          norte p percorrem os meridianos e são atraídos pelo pólo sul p . Suponhamos

          ∞

          que o sistema tem uma ferradura e um laço homoclínico em regiões distintas da esfera. Estas regiões são delimitadas por meridianos. Suponhamos que este laço homoclínico é associado a um ponto fixo hiperbólico p cuja derivada têm

          −1 −1

          = autovalores λ(p) = 3 e λ(p) 3 . Suponhamos também que a ferradura na primeira região é formada por duas pernas.

           a Figura 3.4: Ferradura e Laço Homoclínico Figura encontrada em

          Temos, então, que o conjunto Ω( f ) apresenta três poços, uma fonte, uma ferradura e um ponto hiperbólico associado a um laço homoclínico . Então, a entropia topológica de f é a entropia topológica de f restrita à ferradura, ou seja Γ ) = log 2, e dessa forma, concluímos que a ferradura é responsável h ( f ) = h( f | pela entropia do sistema.

          

        1

        Perturbemos a f na topologia C para obter g que tem outra ferradura no s

          lugar do laço homoclínico. Escolhamos um ponto q na W (p) e uma vizinhança

          loc s

          U de q tal que I = W (p) ∩ U seja um domínio fundamental.

          loc

          Figura 3.5: Laço Homoclínico Em U façamos uma perturbação Snake Like. Suponhamos que φ : U →

          2

          é uma coordenada linearizante tal que φ(q) = 0. Consideremos a > 0 φ(U) ⊂ R

          −1

          tal que φ ([−a, a] × {0}) ⊂ I. Para cada N > 0, grande tomemos A = A(N) > 0 tal

          2

          2

          , tal que: → R que A.N → 0 quando N → ∞. Consideremos a função Φ : R

          πxN Φ (x, y) = (x, y + A cos ) πxN 2a

          Temos que Φ([−a, a] × {0}) = (x, A cos 2a ) onde x ∈ [−a, a]. Assim, Φ envia πxN . Além disso,

          [−a, a] sobre a curva γ, onde γ é o gráfico da função x 7→ A cos 2a podemos observar que a distância maximal entre γ e o eixo x é A. Também temos que γ intercepta [−a, a] N ou N + 1 vezes, a depender da paridade de N, pois para πxN πxN π

          ) = 0, obtemos que + = kπ. Dessa forma, −a ≤ x ≤ a, fazendo A cos(

          2a 2a

          2 N−1 −N−1

          temos que < k < . Observe que a matriz Jacobiana associada a Φ é

          2

          2

           

          1 (x, y) =

          DΦ   πxN

          −AπN

            sin( ) 1

          2a 2a Então Φ é conservativa já que | det(DΦ(x, y) |= 1.

        • kΦ(x, y) − I(x, y)k = k0, A cos( πxN
        • kDΦ(x, y)−DId(x, y)k =

          próximo de f , que g(z) = f (z) para z ∈ f

          =

          −AπN 2a

          sin( πxN

          2a

          ) ≤

          AπN 2a

          Definindo g := f ◦ h, temos que g está δ-C

          1

          −1

          2a

          (U), [−a, a] ⊂ W

          s

          (p, g) e γ ⊂ W

          u (p, g).

          Escolhamos agora um retângulo estreito R perto da W

          s loc

          (p, g) que retorna depois de n iterados por g, próximo da W

          u

          ) 0   

          sin( πxN

          Figura 3.6: φ Tome A suficientemente pequeno. Então para δ > 0 existe um difeomor- fismo h, δ-próximo da Id na topologia C

          )k ≤ A

          

        1

          . De fato, definindo h (x, y) =   

          Φ (x, y) para (x, y) ∈ B ǫ

          (0) (x, y) se (x, y) ∈ R

          2

          \ V; V ⊃ B ǫ (0) em que B ǫ (0) é uma vizinhança da origem e V é um aberto que contém B ǫ (0), temos que:

          Se h(x, y) = Φ(x, y),

          2a

            

          2a

          1

          −AπN 2a

          sin( πxN

          

        2a

          ) 1    −

             1 0

          0 1   

          =    −AπN

          (p, g) ∩ U e o intercepta trans-

          ′

          versalmente N vezes. Veja a figura abaixo. Definindo Λ como sendo o

          n n

          conjunto invariante maximal por g temos que h(g Λ ) = log N. Fazendo

          

        R

          | |

          1

          1 j n N−1 ′

          e (Λ ) = (g Λ ) = log N.

          Λ = ∪ g h | ), segue que h(g | e Λ

          j= n n

          Figura 3.7: Perturbação

          −1

          Temos que e (U). Logo,

          Λ ⊂ H(p, g), onde p = p( f ) = p(g), já que p < f

          1 lim log N = log | λ(p) |

          N→∞

          n Pelo teorema tomando N suficientemente grande tal que

          1 ) = h

          (g | e Λ log N > log | λ(P) | −ε n

          6

          ) >

          e

          e lembrando que | λ(p) |= 3, podemos considerar ε < log(

          5 ). Logo h(g | Λ

          6

          15

          5

          5

          = = Γ Γ log log ) log 3 − log

          6

        2 > log(g | ) = log( f |

          1 Logo f é um ponto de variação da entropia topológica na topologia C .

          

        Capítulo 4

        r

          

        Difeomorfismos sem medida de

        C

        entropia maximal

          Seja um difeomorfismo f definido em uma variedade compacta M com entropia topológica positiva, ou seja, tendo um número exponencialmente grande de órbitas distintas com uma precisão fixa. Será que existe uma medida invariante descrevendo quase todas as órbitas? Em que sentido e sob quais condições a sua entropia é maximal e igual a h top ( f )? Neste capítulo veremos que tal medida, se existe, contém uma representante ergódica e a chamaremos de medida de entropia maximal.

        4.1 Definições

          2

          2 2 r

          ; x o conjunto de y Seja D := {(x, y) ∈ R

        • ≤ 4}. Denotemos por Di f f

          r

          difeomorfismos C em D que coincidem com a identidade na vizinhança da fron- teira de D. Além disso, segundo a Desigualdade de Ruelle, em difeomorfismos de superfícies, para uma medida ergódica µ, +

          u

          h ( f, µ) , ( f, µ) ≤ λ

          u

        • + u
        • 1

            = onde λ ( f, µ) é o maior expoente de Lyapunov e λ ( f, µ) max[0, max λ(x, v),

            M v∈T x 1 n ′

            com λ(x, v) := lim inf )

            n→∞ log k ( f (x).v k. n

            1

            = Aqui, T M x M x x := {v ∈ T :k v k 1} é o fibrado tangente unitário. d ( f (x), f (y))

            Seja Lip( f ) := sup a constante de Lipschitz de f e seja λ( f ) := d (x, y)

            x,y

            1 n

            lim log Lip( f

            n→∞ ). Temos que λ(x, v) ≤ λ( f ). Logo, utilizando o Princípio n

            Variacional, h ( f ) = sup h

            µ∈Prob( f )

            top ( f, µ) ≤ λ( f ).

            4.2 Notações

            Utilizaremos as seguintes notações denominadas "Notações de Landau":

            f (x) f (x)

            f (x) = O(ψ(x)) se existe constante K tal que ψ(x) ψ(x) ≤ K, e f (x) = o(ψ(x)) se → 0 quando x tende a infinito.

            2 Além disso, as coordenadas canônicas usuais de R serão denotadas por

            2

            letras maiúsculas por (X, Y) := (π

            1 (p), π 2 . Como restringire-

            (p)) para p ∈ R mos nosso estudo apenas a um quadrado, definiremos aplicações simetrias por ρ (X, Y) = (X, Y), ρ

            1

            2

            3 (X, Y) = (Y, −X), ρ (X, Y) = (−X, −Y), ρ (X, Y) = (−Y, X).

            Nós denotaremos por C o quadrado em que faremos as perturbações

            1

            1

            2

            = = (que serão levadas por simetria aos outros quadrados) e Q

            1 , ]

            2

            ⊃ Q [−

            2

            2

            5

            5

            2

            1

            1

            2

            1

            1

            

          2

            , = , = , ]

            3 ] 4 ] .

            ⊃ Q ⊃ Q [−

            12 12 [−

            6 6 [−

            10

            10 Figura 4.1: Disco D

            4.3 Aplicação homoclínica f

            Nós começaremos apresentando a existência de um difeomorfismo f do disco D exibindo um laço homoclínico em um ponto fixo hiperbólico dependendo de dois parâmetros, K e L. O valor de L está associado ao comprimento das vari- edades estáveis e instáveis que conectam os pontos fixos hiperbólicos enquanto o valor de K está associado às constantes de hiperbolicidade destes pontos fixos e serão tomados no decorrer da construção.

            Proposição 4.3.1.

            Para todos os parâmetros K ≫ L > 1, existe um campo vetorial suave

            ∞

            C tal que considerando o fluxo X

            t

            : D → D, no tempo 1, ou seja, para t = 1, a aplicação f : D → D satisfaz as seguintes propriedades:

            = 1. f coincide com a identidade perto da fronteira de D, f ρ para i = 1, 2, 3

            ◦ ρ i i ◦ f

            6 −1

            e f (x, y) = (K , onde Λ = ; x, Λy), para todo (x, y) ∈ C

            5

            2. A constante de Lipschitz assintótica é λ( f ) = log Λ;

            3. Todos os ômega limite w

            1 ou estão inseridos em um círculo invariante

            (x), x ∈ Q topológico dentro de Q

            4 ou são pontos singulares; Todas as medidas de probabilidade

            invariantes ergódicas são quase-periódicas;

            4. Q

            1 é invariante pela f , ou seja, f (Q 1 ) = Q 1 . Além disso, f (Q

            1

            3

            1 2 e o

            \Q \Q ) ⊂ Q

            ômega limite de cada ponto deste conjunto coincide com a fronteira de Q

            1 ;

            S

            3

            ρ

            5. Existe uma vizinhança U de i

            1 tal que f

            1 i= ([1, 2] × {0}) ⊂ ∂Q (U \ Q ) ∩ U = ∅;

            (C (C ), definido

            , o tempo de transição para o canto seguinte, ρ

            1

            6. Para p ∈ f ) \ C

            n ±1 ±1

            1 L ± C

            (C . Além disso, por τ(p) := min{n ≥ 1 : f

            (p) ∈ ρ )} é tal que τ(p) = C se p = (p , p então τ(p) não depende de p .

            1

            2

            1

            ) ∈ C

            ∞

            7. Existem funções C h , e

            α : [2, 2Λ] → (0, ∞) e e : [0, 2] → [0, 2] (dependendo de K e τ = e

            (C , se q := f

            1 (C ), então q 1 h (p 2 ) e

            L) tal que, para algum p ∈ f ) \ C (p) ∈ ρ

            2 α(p 2 )p 1 , ou seja, q = (q 1 , q 2 ) = (e h (p 2 α(p 2 )p 1 ).

            e ), e τ(p)

            = q

            1 1 , ou

          8. Existe uma constante u < 1 tal que para todo p ∈ C vale | f ≤ u. | p |

            (p) | seja, há contração na x-coordenada. Omitiremos aqui a construção de f e a prova desta proposição, que se encontra em mas faremos alguns comentários: A propriedade (1) significa que f C tem contração na direção horizontal e expansão na direção vertical. A

            | propriedade (8) é essencial e significa que no tempo de chegada, independente

            3 do que ocorre em Q ρ (C )), há contração na coordenada x. 1 i

            \ (∪

            i=

          4.4 Perturbações

            Assumindo a existência da aplicação f : D → D como na proposição anteiror, iremos perturbar f para obter uma aplicação f que exiba uma sequência

            1

            de ferraduras com entropia crescendo estritamente para log Λ e sem medida de

            r entropia maximal. Figura 4.2: Quadrado Q

            1 ampliado

          4.4.1 Construção

            Iremos fazer as perturbações dentro dos quatro quadrados ρ (C ), com

            i S S 3 C = C . Porém, iremos trabalhar 3

            i = f

            0, 1, 2, 3, de modo que f | |

            

          ( ρ (C )) ( ρ (C ))

          i= i= i i

            apenas com o conjunto D que

            := {(X, Y) ∈ D; X 6 0, Y 6 0} e com o quadrado C

            2

            será identificado por [0, 2] , através da seguinte mudança de coordenadas afim:

            2 C

            → [0, 2] (x, y) 7→ 24(x, y) + (12, 12)

            1

            1

            5

            5 ) é levado em (2, 2).

            Observe que (−

            2 , − 2 ) é levado em (0, 0) e (− 12 , −

            12 Figura 4.3: Quadrado C

            Seja n . As perturbações

            ≫ 1 fixado. A construção de f vai depender de n

            . Serão feitas N

            n

            serão indexadas por inteiros n ≥ n dobras nos tempos n ≥

            n

            . Denotando o tempo de passagem para o próximo quadrado por T := 10 , n Λ r Tn

            n

            definimos N n := 5 . A n-ésima perturbação será suportada em

            n

            l n l n , b ,

            R n := [a n n ] ] × [−

            N n N n

            1

            1

            1 2 n 4 e l n = 4 .

          • n n n

            em que a n := 1 + ; b n := a

            Mostremos que os R n definidos acima são dois a dois disjuntos, ou seja, que

            1

            1

            1 &lt; . +

            2

            4

            2

            (n + 1) (n + 1) n Mas isto acontece se, e somente se,

            2

            2

            2

            4

            (n + 1) (n + 1) n n

          • &lt; .

            4

            2

            4

            2

            (n + 1) n (n + 1) n Como os denominadores são iguais, basta mostrar que o primeiro numerador é

            4

            3

            2

            menor do que o segundo numerador. Mas isto é claro, já que n 2n 2n

            &lt;

            4

            3

            2

          • n 4n 6n 4n + 1.

            Em R n , a aplicação original f é substituída por f n := f n , com ◦ g

            πN )

            n n n (x − a

          −T

            g n n (x, y)Λ {2 + sin(

            : (x, y) 7→ (x, y + α )} l n = ou seja, g , é perturbação da identidade, onde

            n Id + r n

            ) (b N n y

            n n

            (x − a − x) α n (x, y) = α(N n α(N n β( ). l l l

            n n n 1 ∞ ′ 1− r

            e não decrescente com α (x) = o(α(x) ), α(x) = 0 para onde α : R → [0, 1] é C

            1 ∞

            e β(x) = 0 x ≤ 0 e α(x) = 1 para x &gt; 1; β : R → [0, 1] é C com β(x) = 1 para | x |≤

            2 para | x |≥ 1 e é monótona em (−∞, 0] e em [0, ∞).

            A partir disso, podemos definir f : D → D por:

            n i (R n , i = 0, 1, 2, 3;

          • f (q) = f

            (q) se q ∈ ρ ) para algum n ≥ n S S , com b := ρ (R ). R R i n

          • f (q) = f (q) se q ∈ D \ b i= n&gt;n

            0,1,2,3

            Recorde que f = f depende de n sempre que ≥ 1. Omitiremos n

            ≥n possível para não sobrecarregar a notação. r r

            Lema 4.4.1. O difeomorfismo f e está C próximo de f

            , ou seja, ∀ǫ &gt; r : D → D é C = n C &lt; ǫ. Além disso, f (Q

            1 1 , entre quaisquer duas visitas Lembrando da vizinhança U da afirmação podemos assumir

            1 n 2

            −T n

            ∂g n − I

            )) = (0, o(1))

            −1(1− 1 r )T n

            (0, o(Λ

            ) =

            −T n

            l n )Λ

            n

            (0, C( N

            )) =

            n

            πN n l

            ∂x

            (3 ∂α n (x, y)

            (0, Λ

            (0, ∂α n (x, y)Λ

            ) =

            

          n

            α n (x, y) πN n l

            T n

            1 Λ

            ∂α n (x, y) ∂x 3 +

            T p

            1 Λ

            )) ≤ (0,

            n

            l

            n )

            (x − a

            n

            ∂y =

            −T n

            n

            )Λ

            (1+

            −1

            x e K

            −1

            restrita a C , na primeira coordenada é menor ou igual a K

            1 . Finalmente, f , ainda

            ) ⊂ Q

            1

            Também temos que f , na coordenada x, é igual a f na mesma coordenada. Além disso, f , na coordenada y é maior ou igual a f na mesma coordenada. Logo, pela afirmação temos que f (Q

            (0, o(1)) Como as derivadas parciais estão indo para 0, a igualdade é satisfeita para r = 1. Para r ≥ 1 qualquer, o raciocínio é análogo e omitiremos as contas.

            )) =

            −(1− 1 r )T n

            ) = (0, o(Λ

            −T n

            n

            ∂y {2 + sin(

            )}) ≤ (0, 3Λ

            πN

            n

            π(x − a

            n )

            l

            n

            −T n

            l

            ∂

            n

            (x, y) ∂y

            ) =

            (0, C( N

            n

            cos( πN

            α n (x, y) πN n l

            a b R = S

            n

            (x, y) ∂x

            n

            (0, ∂α

            ∂x =

            n − I

            ∂g

            Calculemos as derivadas parciais de g n − I de ordem 1:

            n .

            , teremos que f estará bem próximo de f

            = f ◦ g n

            n | R n

            . Pois assim, como f

            r

            estiver bem próximo da identidade na topologia C

            0, (4.1) ou seja, se g

            T n

            k g n − I| R n k C r =

            n→∞

            se lim

            r

            , segue que as aplicações f serão C

            ∞

            Como f é C

            ∞ .

            Demonstração. Devido às funções bump α(x, y) temos que as aplicações f n são C

            1 converge para um subconjunto de um círculo invariante topológico ou a um ponto fixo.

            \ C e qualquer órbita que não entra em Q

            1

            ρ i (R n ) existe uma visita a Q

            n≥n

            1 Λ

            {2 + sin( πN n

            T n

            )

            1 Λ

            )} +

            n

            l

            n )

            (x − a

            n

            {2 + sin( πN

            ∂α n (x, y) ∂x

            T p

            1 Λ

            (0,

            )}) =

            2

            n

            (x − a

            {cos( πN n

            n )

            l n )} + α

            n

            (x, y)

            1 Λ

            T n

            (x − a

            (l

            n )

            l n )(

            πN

            n

            l

            n

          • α n (x, y)
          • 1 n 4 ) &lt; 1.

            1 f (b R

            1 1 ). Mostremos esta última

            R ⊂ U. Assim, f (b ⊂ f ) \ Q ) \ Q (U \ Q inclusão: f (b R

            = que b R

            1 1 ).

            ⊂ f ) \ Q (U \ Q

            De fato, seja y pertencente a f (b R (Q

            1 ). Isto implica que existe x em

            ) \ f b (x) = y pertence a f (b R (U) e f (x) = y não pertence a

            R ⊂ U tal que f ) ⊂ f

            (Q ) = Q . Logo x não pertence a Q , então y pertence a f ) f

            1

            1

            1

            1

            (U \ Q

            

          k k

            Por indução, temos que f (b = (b não intercepta b para todo R

            1 f R

            1 R

            ) \ Q ) \ Q visitam b no máximo uma

            1 R

            k ≥ 1. Assim, as órbitas de f que não entram em Q vez, deste modo, eventualmente coincide com as órbitas de f dentro de Q . A

            1 última afirmação segue do item

            Figura 4.4: Vizinhança de [1, 2] × {0}

            Lema 4.4.2. As aplicações f

            , : D → D satisfazem, para todo (x, y) ∈ C 1

            ∂( f (x, y))

            2 1− r 2 ) ). (4.2)

            | |≤ o(( f (x, y) ∂x

            Demonstração. n , temos que Observe que para (x, y) ∈ R

            πN

            n n )

            (x − a

            −T n

            = (g n (x, y))

            2 y + α n (x, y)Λ

            {2 + sin( )} l n n −T

            (x, y)Λ .

            n

          • α(
          • | α(
          • | α(

            n )

            Λ

            −T n

            | + | ∂

            n

            (x, y) ∂x

            Λ

            

          −T n

            sin[ πN n

            (x − a

            l n ] |

            n

            (x, y)Λ

            −T n

            cos[ πN n

            (x − a

            n )

            l

            n

            ] πN

            n

            l

            (x, y) ∂x

            ∂

            (l

            n

            ∂α

            n

            (x, y) ∂x

            Λ

            −T n

            {2 + sin[ πN

            n

            (x − a

            n

            ) l n ]} + α

            (x, y)Λ

            } | ≤ | 2

            −T n

            {cos[ πN

            n

            (x − a

            n

            ) l n ]

            πN

            n l n

            (l n )

            2

            n

            n

            2

            −T n

            | ∂ n (x, y)

            ∂x | +Λ

            −T n

            | ∂ n (x, y)

            ∂x | +Λ

            −T n

            πN

            n

            l n α n (x, y)

            = Λ

            (3 | ∂ n (x, y)

            (x, y) | ≤ 2Λ

            ∂x | +

            πN

            n

            l n α n (x, y))

            Daqui, utilizando que ∂α n (x,y) ∂x

            N n l n

            o (α

            

          n

            (x, y)

            1− 1 r

            −T n

            n

            )

            l

            2

            | ≤ 2Λ

            −T n

            | ∂ n (x, y)

            ∂x | +Λ

            −T n

            | sin[ πN

            n

            (x − a

            n )

            n

            l n | |α

            ]| | ∂ n (x, y)

            ∂x |

            −T n

            | cos[ πN

            n

            (x − a

            n

            ) l n ]| |

            πN

            

          n

            ∂x | = |

            (x, y)

            ), deduzimos que

            )] | ≤ | α

            )[α

            ′

            ( N n (b n

            − x) l

            n

            )(− N n l

            n

            )β( N n y l

            n

            ′

            l

            ( N n

            (x − a

            n )

            l n )

            N

            n

            l n α(

            N n (b n − x) l n

            )β( N

            n

            n

            n )

            N

            n (x, y)

            Por outro lado, como α

            n

            (x, y) = α(

            N n (x−a n ) l n

            )α(

            N n

          (b

          n

          −x)

          l

          n

            )β(

            N n y l n

            ), temos que |

            ∂α

            ∂x | = | α

            N n (x − a

            ′

            ( N n

            (x − a

            n

            ) l n )

            N n l n α(

            N n (b

            n

            − x) l n )β(

            N n y l n )

            y l n ) |

            n

            n

            |≤ N

            ′

            ( N n (b n

            − x) l

            n

            )β( N n y l

            n

            ) | i Assim,

            | ∂α

            n

            (x, y) ∂x

            n

            n

            l n o (α

            n

            (x, y)

            1− 1 r

            ) onde nós usamos que | α

            ′

            (u) |= o(α(u)

            1− 1 r ) e | α(u) |, | β(u) |≤ 1.

            Portanto, |

            ∂g

            )α

            l

            (x − a

            = N n l n h

            n

            ) l n )α

            ′

            ( N

            

          n

            (b

            n − x)

            l n )

            N n l n β(

            N n y l n ) |

            | α

            n )

            ′

            ( N n

            (x − a

            n

            ) l n )α(

            N n (b

            n

            − x) l n )β(

            N n y l n ) |

            N n (x − a

          • | α n
          • Λ

            ∂g (x, y) 1 1

            n

            2 N N πN n n n 1− −T n 1− r r

            o (α (x, y) [3 o (α (x, y) ) + α (x, y)] | | ≤ n n n

            ) ≤ Λ ∂x l n l n l n 1 1 1 N n n 1− n 1− )T −T −(1− r r r

            = Λ [o(α n (x, y) ) + πα n (x, y)] = o(Λ )[o(α n (x, y) ) + πα n (x, y)] l n 1 1 1

            )T −(1− n 1− 1− r r r

            )(α n (x, y) n (x, y)

            2 ) ]

            ≤ o(Λ ) ≤ o[(g

            −1 −T n

            Finalmente, como f n (x, y) = f n , ou seja, f n (x, y) = (K x, Λ(y + α n (x, y)Λ πN ) ∂ f ∂g n (x−a n n (x,y) ◦ g 2 n (x,y) 2 {2 + 1

            1− r

            n (x, y) 2 )

            |= Λ | |, além disso, (g ]} em C , temos que | 1 l n ∂x ∂x 1 ∂ f (x,y) ∂g 2 n (x,y) 1 1 1 −1+ 1− r r

            = sin[

            1− −1+ 1− r r r

            Λ ( f n (x, y)

            2 ) n (x, y) 2 ) ) = Λo(Λ ( f (x, y) 2 ) ) =

            |= Λ | |≤ Λ o((g . Logo, | ∂x ∂x

            1−1r (( f (x, y) ) ). Nos outros retângulos o mesmo é obtido por simetria.

            o

            2

          4.4.2 Entropia das ferraduras

            T n T n

            Mostraremos que h( f

            e, como h( f ) =

            n |R n n n

            ) ≥ log N para cada n ≥ n Λ r Tn Tn 5 5

            log r log N log Λ log Λ log n n −log n T n5 n

            ( f = = = = T n h n

            ) isto implicará que h( f ) ≥ − 5 T T T r T T n n n n n log n

            1

            . Nós começaremos exibindo uma ferradura dentro de R

            n sup

            log Λ − . k · k

            r T n denotará a norma do supremo.

            

          T

          n

            Figura 4.5: f R n

            Lema 4.4.3.

            e de K e L. Para Seja K ≥ C, n ≥ C(K) e seja f dependendo de n ≥ n

            1 l n n 1 l

            1, ..., N : [a ) , a (j + ) ] e seja G j = n

            n,j n n n,j o conjunto das

            4 N n n

            4 N

            − 1, seja I (j −

            curvas que, em coordenadas do canto, são gráficos de funções φ : I n,j → R satisfazendo Λ −T n−1

            ′ −T n

            &lt; &lt; K . Então, para cada dupla j, k = 1, ..., N k φ k sup e k φ k sup

            n − 1, para todo

            10 T ′ ′ −1 n

            , existe Γ tal que Γ (ρ (Γ)), para i = 0, 1, 2, 3. Γ ∈ G n,j ∈ G n,k ⊂ ρ ◦ f i

            i+

          1 Demonstração. Por simetria, podemos assumir que i = 0. Observe que Γ é o gráfico

            de alguma função φ : I (x , y (Γ). Como f (x , y ) =

            n,j → R. Seja (x, y) := f n n n n πN (x ) n −a n ) ∈ f −1 −T

            −1 −1

          • l

            n

            πN n −a n π

            (K x , Λ(y α n (x , y )Λ x

            {2 + sin( |≤| K || )})), temos que | x |=| K

            (x ) −1

            x ) e α n (x , y ) = 1. Além disso, |= K | x | e | cos(

            ) |≥ cos(

            l n

            4

            πN

            n (x n )

            − a

            −T n

            α n (x , y )Λ | y | = | Λ(y {2 + sin(

          • l

            )}) |

            n

            πN

            n (x n )

            − a

            −T n −T n n (x , y )Λ n (x , y )Λ sin(

            ≤ Λ | y | +Λ | 2α | +Λ | α ) | l

            n

            √

            2

            −T n −T n

          n (x , y )Λ n (x , y )Λ

            ≤ Λ | y | +Λ | 2α | +Λ | α |

            2 √

            2

            1

          • + −T n

            )Λ ≤ Λ | y | +(2 +

            2

            1 −T n

          • + ≤ 3Λ

            , y onde esta última desigualdade foi obtida devido ao fato de que (x ) ∈ Γ, o que Λ Λ −T n−1 −T n+1

            2 +

            1 −T n

            &lt; (2 + )Λ . Estamos tomando

            10 10Λ

            2 −T n −T n

            | &lt; | &lt; implica que |y e assim, Λ|y

            valores de y em [2Λ , 3Λ ].

            Façamos y = φ(x ). Assim, πN (x ) n n − a n −1 −T

            , φ(x , Λ[φ(x , φ(x (x, y) = f n (x ) = (K x ) + α n (x ))Λ

            {2 + sin( )}]) l n

            Assim, πN (x ) n n

            −a −T n ′

            , φ(x [Λ[φ(x ) + α n (x ))Λ

            {2 + sin( dy

            l )}]] n

            =

            −1 ′

            dx [K x ] ∂α (x , φ(x ))

            n πN n (x n )

            − a

            ′

            = KΛφ (x ) + KΛ

            {2 + sin( )}

            ∂x l n πN n (x n ) πN K

            − a n

            −T n

          • , φ(x ))Λ cos( )

            KΛα (x

            n

            l n l n √ 1

            )T −(1− n r

            Λ

            2 N π

            n −T n

            = Λ π K

            ≥ KΛΛ √

            2 l n n 1

            2

            )T −(1− n r

            Λ

            −1 = (KΛ) .

            C n

            ′ −T n

            já que a primeira parcela não supera a segunda parcela, pois φ (x ) &lt; K ∂α πN (x ) n (x,y) N n −a n n 1 , |

            1− r

            (α (x, y) o n ∂x l l |≤ ) e {2 + sin( )} ≤ 3. n n

            

          k 1+k

            −T n n

            Observemos que f ( f . (Veja a figura (Γ)) ⊂ [0, 1] × [0, 3Λ ] ⊂ C +

            Figura 4.6: Curva Γ (Passo 1) +

            T

            n

          3 Assim, f contém uma parte que está a uma distância de Hausdorff de

            −t j

            no máximo b K com

            n

            para um segmento vertical contendo {0} × [2, 3] ⊂ f (C )\C Λ −(1− 1r )Tn

            T

          −1 n

            inclinação grande de pelo menos, C (KΛ) que vai para infinito quando

            n

            n vai para infinito. (Veja a figura τ Aplicando f que tem diferencial

              ±1

            

          C

            O (1) K

               ±1 

            C log K com respeito às coordenadas do canto respectivamente a C e a ρ (C ), nós obtemos

            1 1 dx −T n −1 −t j

            uma curva na CK . Tal curva

            }×[0, | ≤ K

          • vizinhança de { ] com inclinação |

            2 6 dy ′

            contém a imagem por ρ de algum gráfico Γ , provando o lema.

            1 ∈ G k r Corolário 4.4.4.

            e satisfaz: Para todo K, L ≥ C, ζ &gt; 0 e n ≥ C(K, L, ζ) a aplicação f é C r

            1

            1 C log(N n log Λ k f − f k − 1) = &lt; ζ e h( f ) ≥ sup

            T r

            n

          n≥n Figura 4.7: Curva Γ (Passo 2) Figura 4.8: Curva Γ (Passo 3)

          4.5 Expoente de Lyapunov

            Nós consideraremos f dependendo de parâmetros K, L e n tais que K ≥ C, L ≥ C(K) e n ≥ C(K, L) para limitantes inferiores que especificaremos no decorrer desta seção.

            [

            1 T D define um expoente inferior x

            Cada vetor não nulo (x, v) ∈

            x∈D

            1

            n

            λ(x, v) := lim inf (4.3) log k D f (x) · v k .

            n→∞

            n Observe que substituindo, na igualdade o vetor (x, v) por alguma iterada ( f (x), w), com w = D f (x).v, o valor de λ(x, v) não muda, pois:

            1

            n

            λ( f (x), D f (x).v) = lim inf log k D f ( f (x)).D f (x)v k

            n+ 1→∞

            n +

            1

            1

            1 n+

            = lim inf log k D f (x).v k

            n+ 1→∞

            n +

            1

            1

            n

            = lim inf log k D f (x) · v k= λ(x, v).

            n→∞

            n

            3

            [

            −1

            ρ ([2K

            i Nós definimos, em coordenadas do canto, △ := , 2] × (0, 2]). i=

            C

            Figura 4.9: ∆|

            

          Proposição 4.5.1. ≥ C(K, L), existe χ &gt; 0 tal que para

            Para todo K ≥ C, L ≥ C(K), n

            2

            todo x ∈ int(Q

            1 \ Q 3 \ {0},

            ) e todo v ∈ R

            1

            1

            k

            λ(x, v) &lt; (4.4) x ∈ △} log Λ − χ. lim inf #{0 ≤ k &lt; n; f

            n→∞

            r n Na seguinte seção veremos alguns resultados chave para a demonstração da proposição acima.

          4.5.1 Divisão da órbita

            S

            3 Pela proposição definimos C := ρ i (C ) onde f é afim. Cha- i=

            mamos de segmentos afins os intervalos maximais de inteiros k ∈ Z tais que

            k

            f (x) ∈ C. Há um número infinito deles em N. Estamos assumindo que x ∈ C e

            1 ] &lt; [t

            1 2 ] &lt; ... e assumimos

            , s , s x &lt; f (C). Nós denotamos os segmentos afins por [t

            que t = 0.

            Figura 4.10: Momentos os quais a órbita está contida em C (Visu- alização 1) De acordo com o lema os inteiros t j são somente os inteiros t ≥ 0

            t

            para o qual f (x) pode pertencer ao suporte R n de uma perturbação (para algum

            t t

            ) se e somente se f n ≥ n x ∈ C \ f (C x ∈ △. ). Note também que para cada t ≥ 0, f

            t

            &lt; t &lt; t

            1

            2 Em particular, {t &lt; ...} = {t ≥ 0 : f x ∈ △}.

            Fixemos v. Utilizaremos as seguintes notações correspondentes aos mo- mentos de primeira entrada em C: 

            t

          j

            = x j f (x) 

            

          t

          j

            =  v j D f (x)v

            Mais geralmente, para todo l ≥ 0: 

            

          l

            x (l) = f (x) 

            l

             v (l) = D f (x)v Dividiremos períodos na órbita de acordo com a posição relativa a C:

             τ =

            

          j t j (Diferença de tempos de entrada consecutivos)

            − t j−1 

            ′

            τ =  s j (Tempo "gasto"na j-ésima visita a C)

            − t j−1

            j Dado v = ((v ) , (v ) ), o seu declive é:

            j j 1 j

            2

            (v j )

            2

            θ = j (Declive no momento de entrada em C).

            (v j )

            1

            = Analogamente, se v ((v ) , (v ) ), definimos como sendo:

            s s j j j 1 s

            2

            (v s ) j

            1

            e = θ (Declive no momento de saída de C).

            j

            (v )

            s j

          2 Figura 4.11: Momentos os quais a órbita está contida em C (Visu-

            alização 2) Os seguintes lemas são aplicações diretas das estimativas anteriores da proposição para as sequências x(t), v(t), t ≥ 0.

          • j ′ ′

            Lema 4.5.2. Considerando o intervalo de tempos [t 1, s ] valem:

            j−1 1 τ

          • + −τ −1 j j j

            s

            (s ) = (t 1) (s ) + = Λ (t 1) (x) = 1. x j

          • 1 K x

            1 e x j 2 x 2 , ou seja: f

            1 j−1 j−1

          • + + + + t

            1 t 1 s t

          1 t

            1 j−1 j−1 j−1 j−1 −t j j −t j

            (x) (x) = (x) K f ′ ′ 1 e f

            2 K f 2 ; +

            1 τ −τ −1 s j j j

            = = Λ = + + 2. v (s j )

            1 K v (t 1) 1 e v (s j ) 2 v (t 1) 2 , ou seja: (( f ) (x)v)

            1 + + j−1 j−1 + t j−1 −t j−1 ′ ′ j−1 −t j−1 ′ j j j 1 t 1 s t 1 t

            1

          • + =

            K ) (x)v) (( f

            1 e (( f )

            (x)v)

            2 K (( f ) (x)v) 2 .

            [t , t 1], se x

          • j j j n

            Lema 4.5.3. Considerando o intervalo de tempos então:

            ∈ R

            −1 −T n

            (t 1) = (x ) (t 1) = Λ ((x ) (x )Λ ); + + + 1. x

            j

            1 K j e x 1 j 2 j 2 n j

            (2 ± 1)α 1

            −1 1−

            = = Λ + + r 2. v (t 1) K (v ) e v (t 1) ((v ) 1) ) (v ) ).

          • j

            1 j 1 j 2 j 2 ± C(x(t j 2 j

            1 Lema 4.5.4. Considerando o intervalo [s , t ] de tempos fora da região de coordenadas

          j j

            lineares dos cantos, valem: = e =

            1. (x )

            1 h (x(s ) 2 ) e (x ) 2 α(x(s ) 2 )x(s )

          1 ;

          j j j e j j ′

            = e 2. (v j )

          • 1 h (x(s j )

            2 )v(s j ) 2 e (v j ) 2 α(x(s j ) 2 )v(s j ) 1 α (x(s j ) 2 )x(s j ) 1 v (s j )

            2

            =| e e ′ ′ τ |.

            −τ C j j+ 1

            Λ Lema 4.5.5. . Para cada j ≥ 1, K ≤ K

            Demonstração. Usando temos que: τ τ ′ ′ j+ 1 j+ −1 −1 1 −T n (s ) = Λ (t 1) = Λ Λ ((x ) (x )Λ ) + + x

            j+

            1 2 x j 2 j 2 n j τ τ ′ ′ j+ 1 −T j+ n (2 ± 1)α 1

            = Λ ((x ) (x )Λ ((x ) ) +

            j 2 n j j

            2 τ τ ′ ′ (2 ± 1)α ) ≥ Λ ±1 j+ 1 j+ 1 −C

            = Λ = Λ α(x(s ) )x(s ) (s ) τ τ ′ ′ ′ e j

          • + 2 j

            1 k x j

            1

            1 −τ −C −C j+ 1 j+ = Λ 1 j

          • j

            K x (s ) K K x (t 1) ≥ Λ

            1

          • + 1 τ ′ ′ ′ ′ j−1 1 τ

            −τ −τ −C −1 −C −1 j+ 1 j j+ 1 j

            1

            = Λ = Λ K K K (x ) K K K (x ) .

            1 j−1 j−1

            Como τ τ ′ ′ j+ 1 j+ −1 1 −T n = Λ = Λ + + x (s

            j+ 1 ) j 1) 2 x (t

          2 ((x j )

          2 n (x j )Λ ) τ j+ 1 −T (2 ± 1)α n

            = Λ α(x(s +

            j ) 2 )x(s j ) 1 n (x j )Λ )

            (e τ ′ ′ (2 ± 1)α

            1 j+ 1 j −T + −τ n

            = Λ α(x(s ) )K (t 1) (x )Λ ) + + (e x

            j

            ′ ′ 2 1 n j τ j−1 (2 ± 1)α

            1 j+ 1 j −1 −T −τ n +

            = Λ α(x(s ) )K (x ) (x )Λ ) τ ′ ′ (e j

          • 2 K n

            1 j j−1

            (2 ± 1)α +

            1 −τ j+ 1 j −1 −T n

            e = Λ

            α(x(s ) )K (x(s ) (x )Λ ) (e j

            ′ ′ 2 K h 2 n j τ ±1 + j−1 ) + (2 ± 1)α

            1 −τ j+ 1 j −C −1 ±1 −T n

            = Λ (K K K C (x )Λ )

            n j τ ′ ′ −1 + log K + (2 ± 1)α 1 −τ j+ 1 j C −1 −T n

            (K K K C log K + 3α (x )Λ ) ≤ Λ n j τ j+ 1 −T

            1 n + = Λ

            ( C log K + 3α n (x j )Λ ) C j 1 τ K τ j+ 1 −T n

            1 ( C log K + 3Λ )

            ≤ Λ C j 1 τ + K

            1 C ≤ C + 1 log K + 3 ≤ C, τ j

            K e

            ±1 −1 −1

            = e (x )

            1 h (x(s ) 2 ) = C j−1 j−1

            log K ≥ C log K ≥ C segue que τ τ ′ ′ ′ ′

            −τ −τ −C −C −1 j+ 1 j j+ 1 j

            Λ Λ ) K (x ) K C

            C ≥ x(s j+

            1 2 ≥ K 1 ≥ K τ τ ′ ′ ′ ′ j−1 1 −τ −τ 1 −C j+ j ∗ −C j+ j

            Λ Λ K K

            ⇒. Assim sendo, C ≥ K ⇒. Isto e isto implica que 2C ≥ K ′ ′ τ

            −τ C j j+ 1

            Λ prova que K e assim completamos a prova do lema.

            ≤ K O próximo lema nos diz que o tempo "gasto"na j-ésima visita a C é grande.

            T n0

            ′ Lema 4.5.6. Para cada n .

            ≥ C(K), para cada j suficientemente grande, τ ≥

            3r j

            Demonstração. A prova segue de duas afirmações.

            T nAfirmação 4.5.7. Se x j n , então τ ∈ R com n ≥ n ≥ − C log n. j+ 1 2r −T n r

            Observe que se x , implica que (x )

            2 j ∈ R n j ≤ nΛ

            , para algum n ≥ n

            l n

          • 2 n j −T n −T n −T n

            = (Lembre-se de que o ponto extremo superior de R é .). Assim, x(t 1)

            N n n n

            1 n

            1 + 1 + + −T −T −T r r r

            Λ

            j 2 n j

            ≤ 2nΛ (2 ± 1)α ) ≤ Λ(nΛ

          • pelo Lema como τ τ ′ ′ −T n
          • ((x ) (x )Λ 3Λ ) = nΛ 3Λ e

            1 + −1 −1

          • = Λ j+ 1 j+
          • 1 r x (s

              j+ 1 ) 2 x (t j 1) 2 2nΛ τ ≤ Λ ⇒ Tn j+ 1 r

            • j+

              log x(s

              1 )

              2

              ≤ log Λ log 2n ⇒ T

              n ′

              log x(s )

              j+

              1 2 ≤ (τ − j+ 1 ) log Λ + log 2n ⇒

              r T n

              ′

              log x(s j+

              1 )

              2

              ≤ τ

              j+ 1 log Λ − log Λ + log 2n ⇒

              r T

              n ′

              log x(s ) +

              j+

              1

              2

              log Λ − log 2n ≤ τ

              1 log Λ ⇒ j+

              r log x(s )

              j+

              1

            2 log 2n

              T n

              ′

              τ

              j+

              1

              log Λ r − log Λ ≤ T n

              T n

              ′

              τ log n .C, ≥

              j+ 1 log 2n.C ≥

              r − 2r − o que prova a afirmação para n ≥ C. T

              n ′ Afirmação 4.5.8. lim sup τ &gt; . j

              3r

              j→∞

              T n

              ′

              Pela afirmação lim sup τ implica que a órbita de x eventu- ≤

              j

              3r

              j→

              almente coincide com a órbita de f . O item implica que

              ′

              lim τ = ∞, o que é uma contradição.

              j j→∞

              [

              log K ′ ′ ∗

              Afirmação 4.5.9. Se x j R n , então τ

              ≥ ητ − C

              &lt; log K, onde η := &gt; 1.

              j+ 1 j log Λ n≥n ±1

              Utilizando os lemas e assumindo que x(s ) = e

              j+

              1

              2 C ±1

              (x ) = , temos que

              1 C j−1 τ τ ′ ′ −1 ±1

              = = Λ = Λ j+ 1 j+ 1 C x (s ) x (t 1) (x )

            • τ ′ ′

              j+

              1 2 j ±1 ′ ±1 2 j

              2 τ j+

              1 + 1 −τ −C −C

              = Λ = Λ j+ 1 j K x (s )

            • 1 K K x (t 1)

              1 j ′ ′ ′ ′ ±1 j−1 τ τ 1 + ±1 j+ j j+ j 1 −C −1 −τ −τ 1 −C

              = Λ = Λ K K K (x )

              1 K K (x )

              1 τ τ ′ ′ ′ ′ ±1 j−1 j−1 j+ 1 −C j ±1 j+ −τ −τ 1 ±C j

              = Λ = Λ K K C K K

              Assim, τ ′ ′

              −τ

            ±C j+

            1 j

              Λ C = K K

              ⇒

              ′ ′

              1 log Λ − τ j ′ ′

              log K log C = ±C log K + τ j+

              τ log Λ = log C + τ

              j+ 1 j log K ± C log K

              Assim sendo: log C log K log K

              ′ ′ ′ ∗

              1 η ± C j+ j j

            • = τ τ τ log K C

              log Λ log Λ ± log Λ ≥

              T (η−1)T n0 n0

              Tomando n &gt; 2C log K e C log n &lt; ≥ C(K), nós garantimos que

              3r 6r T n0

              ′

              Da afirmação existe algum τ . Assumindo, por indução, que ≥

              j 3r T n0

              ′

              τ , aplicando a afirmação que, ≥ , nós obtemos, para cada n ≥ j ∗

              j 3r

              T T

              n n

              (η − 1)

              ′ ′

              τ )τ , ≥ min((1 +

              j+ 1 j ) ≥

              2 3 3r Nós podemos supor, dessa maneira, que n

              ≥ C(K) e que, para cada j ≥ 0,

              T n0

              ′ τ .

              ≥

              3r j ±1 ±1 −τ C

            −C −C j+

            1

              = + O + O Λ Lema 4.5.10. θ K (e θ (x(s ) )) = K (e θ (K )).

              j j j 1 j Demonstração.

              ′ ′

            • j

              (v ) α(x(s ) )v(s ) α (x(s ) )x(s ) v (s ) α(x(s ) ) α (x(s ) )x(s )

              2 e j 2 j 1 e j

            2 j

            1 j 2 e j 2 e j 2 j

              1

              e =

              = + = θ

              θ

              j j

              (v ) ′ ′ ′

              j

              1

              e e e h (x(s j )

              2 )v(s j ) 2 h (x(s j ) 2 ) h (x(s j ) 2 )

              2 Ce j 2 j 1 e j

              2

              α(x(s ) ) α(x(s ) )x(s ) α(x(s ) ) e j

              e = = + +

              θ (e θ Cx (s ) )

              1 j j j ′ ′ ′

              e e e h (x(s j )

              2 ) h (x(s j ) 2 ) h (x(s j ) ±1 2 ) −C

              α(x(s

              j ) 2 )

              e K = + O + O

              (e θ (x(s ) )) = (e θ (x(s ) ))

              j j 1 j j

              1 ±1 ′ C log K

              e h (x(s ) )

              j

              2 −C±1 ±1 K −C

              = Observe que fizemos K . Usando os lemas nesta ±1

              C log K

              ordem, concluimos que:

              

            c C C

            −τ j+ 1

            • 1 (K (x j )

              2 ) = O(K x (t j 1) 2 ) = O(K ).

              = O Λ x (s j )

            4.5.2 Expansão em um segmento afim

              Após a descrição da órbita de pontos típicos descrevemos o comporta- mento das iteradas dos vetores por D f . Construiremos expansões em segmentos

              (v ) j 2

              j (v ) j 1 do canto). 1 )τ −(1− r j+ 1 Definição 4.5.11. Um tempo t j é dito especial se θ j &gt; Λ .

              = afins, distinguidas de acordo com o valor da tangente θ (em coordenadas

              (Note que a definição depende de j.) O próximo lema garante cota de crescimento dos vetores v para v j se

              j−1 t não é especial. j−1

              Lema 4.5.12. não é especial então

              Para cada j ≥ 1, se t j−1

              τ′j r j

              | v |≤ C log K.Λ | v j−1 | (em que | · | é a norma euclidiana).

              −τ j

            • 2 temos que

              Demonstração. Usando os lemas e que x(t 1)

              ≤ CΛ

              j−1 +

              1 −τ j

            • j

              1

              v (t 1)

              1

            • O crescimento na direção horizontal é dado por |v(s = |K

              j−1 |;

              )| τ j −1 = Λ

            • 2 .

              j 2 v (t 1)

            • O crescimento na direção vertical é dado por |v(s j−1

              )|

            • Λ τ j
            • v (s
            • 1)
            • 1)
            • Λ τ j
            • 1)
            • 1)
            • 1)
            • 1)
            • 1)
            • (x(t
            • 1)

            • (CΛ
            • Λ τ j
            • Λ τ j
            • Λ
            • τ j
            • e α(x(s
            • e α

              j−1 |

              = (1 ± CΛ

              τ′j r

              ) | v j−1 |=| v j−1 | +CΛ

              τ′j r

              | v j−1 |≤ CΛ

              τ′j r |v j−1 |.

              Usando o lema | v j | = | e h (x(s

              j

              )

              2 )v(s j

              )

              2

              j

              )

              

            2 )v(s

            j

              )

              1

              ′

              (x(s

              j

              )

              2 )x(s j

              )

              1 v (s j

              ) | v

              −(1− 1 r j

              ≤ (1 + CΛ τ j Λ

              ≤ (K

              ≤ Λ

              −(1− 1 r j

              , pois t

              j−1

              não é especial, então substituimos na relação anterior e obtemos que | v(s j

              ) | ≤ (K

              −τ j

              (θ

              j−1

              −(1− 1 r j

              )) | v j−1 |

              −τ j

              j−1 |

              (Λ

              −(1− 1 r

            j

              −(1− 1 r j

              )) | v

              j−1 |

              = (K

              −τ j

              τ′j r

              Λ

              −(1− 1 r j

              ) | v

              )

              | ≤ | e h (x(s j )

              2

              

            τ′j

            r

            | v j−1 | .

              −C −1

              | v(s

              j )

              1

              | ≤ C log K | v(s

              j

              ) |≤ C log K(| v

              j−1 | +CΛ τ′ r

              | v j−1 |) ≤ C log K | v j−1 | +C

              ∗

              log KΛ

              O próximo lema garante cota de crescimento dos vetores v

              2

              j−2

              para v

              j

              se t

              j−1 é especial.

              Lema 4.5.13.

              Para cada j ≥ 2, se t

              j−1

              é especial então | v j |≤ K

              C

              | v

              | +K

              j )

              2 )v(s j )

              2

              2

              | + | e α(x(s j )

              2 )v(s j )

              1

              | + | e α

              ′

              (x(s j )

              2 )x(s j ) 1 v (s j )

              2

              | ≤ C log K | v(s

              j )

              | +K

              C log K | v(s

              −C −1

              | v(s

              j )

              1

              | +CK

              −C −1

              K

              −1

              C 1 log K | v(s

              j )

              2

              | =

              j−1

              j−1 |

              Como θ

              2

              j−1

              2

              ≤ K

              −τ j

              | v

              j−1

              | +Λ τ j

              −1

              Λ ((v

              j−1

              )

              ± C(x(t

              −1

              j−1

              2 ) 1− 1 r

              (v

              j−1

              )

              1 )

              = K

              −τ j

              | v

              j−1

              | +Λ τ j ((v

              v (t

              1

              )

              v (t

              Assim, | v(s j

              ) | ≤ v(s

              j

              )

              1

              j

              )

              2

              = K

              −τ

            j

            +

              

            1

              j−1

              )

              1

              −1

              v (t

              j−1

              2

              = K

              −τ j +

              1

              k

              −1

              (v

              j−1

              

            j−1

              2

              ) | v

              −τ j

              = K

              −τ j

              | v j−1 | +Λ τ j

              

            j−1

              j−1

              2 ) 1− 1 r

              )(v

              j−1

              )

              1

              ≤ K

              | v j−1 | +Λ τ j

              )

              

            j−1

              −τ j

              )

              1− 1 r

              ) | v

              j−1 |

              = K

              −τ j

              | v j−1 | +Λ τ j

              

            j−1

              −(1− 1 r j

              1

              j−1

              ± C(x(t

              j−1

              j−1

              2 ) 1− 1 r

              (v

              j−1

              )

              1 )

              = K

              −τ j

              | v j−1 | +Λ τ j

              

            j−1

              (v

              )

              )(v

              1

              ± C(x(t j−1

              2 ) 1− 1 r

              (v

              j−1

              )

              1 )

              = K

              −τ j

              | v j−1 | +Λ τ j

              j−1 ± C(x(t j−1

              2 ) 1− 1 r

              j−2 |.

              |

              1

              1 e θ j−1

              q 1 + (e θ

              j−1

              )

              2

              , segue que se e θ

              j−1

              &lt; 1 então |v

              s j−1

              | ≤ (v

              s j−1

              )

              2 min(e θ j−1 ,1) .

              | = (v s j−1 )

              Do lema utilizando o fato de que | v

              j

              |≤ C(log K) | v(s

              j

              ) |, pelos lemas e pelo fato de t

              j−1

              ser especial, segue que | v(s

              j

              ) | ≤ Λ τ j

              −1

              v (t

              j−1

              1

              s j−1

              1

              = (v

              | = q |(v

              

            s

            j−1

              )

              1

              |

              2

              |(v

              s j−1

              )

              1

              |

              2

              s j−1

              . De outra maneira, como |v

              )

              1

              q 1 +

              1 |e θ j−1 | 2 .

              Daqui, se e θ

              j−1

              &gt; 1 então |v

              s j−1

              | ≤ (v

              s j−1

              )

              1

              2

            min(e

            θ j−1 ,1)

              2

              v (t

              , |v

              1

              j−1

              )

              1

              = Λ τ j (v

              j−1

              )

              2

              −τ′j r

              −τ j

              )(v

              j−1

              )

              ≤ Λ τ j .2 min(θ

              −τ j

              j−1 , 1) | v j−1

              | +(CΛ

              −τ′j r

              −τ j

              ) | v j−1 |

              = (Λ τ j .2 min(θ

              j−1

              , 1) + CΛ

              −τ′j r

              −τ j

              ) | v j−1 |

              ≤ CΛ τ j min(θ

              j−1 , 1) | v j−1

              (v

              ) + K

              j−1

              1

              1

              ≤ Λ τ j ((v

              j−1

              )

              2

              

            j−1

              2

              )

              1− 1 r

              (v

              j−1

              )

              ) + K

              1

              −τ j

              (v

              j−1

              )

              1

              ≤ Λ τ j ((v

              j−1

              )

              2

              

            −(1−

            1 r ) τ′j

              (v

              j−1

              )

              s j−1

              2

              −C

              ≥ K

              θ

              

            j−1

              ≥

              1 K

              −C −1

              − CK

              C

              Λ

              −τ j

              θ

              

            j−1

              −C

              Λ

              − K

              C

              Λ

              −τ j

              Λ

              −(1− 1 r j

              = K

              = θ

              − K

              C

              Λ

              −τ j

              C

              Λ

              K

              −C ±1

              − K

              −C ±1

              CK

              C

              Λ

              

            −τ

            j

              K

              −C ±1

              = θ

              j−1

              −C ±1

              − CK

              − CK

              C

              Λ

              −τ j .

              Assim, e θ

              j−1

              θ

              j−1

              =

              1 K

              −C ±1

              

            −τ

            j

              −τ j

              j−1

              e |v

              | o que implica que (v

              j−1

              )

              2

              ≤ min(θ j−1 , 1) | v

              j−1 |. Além disso, como

              1 e θ sj−1

              =

              (v sj−1

              ) 2 (v sj−1

              ) 1

              j−1

              | v

              . Pelo lema e θ

              2

              −(1− 1 r j

              &gt; Λ

              )

              j−1

              é especial, isto é, θ

              2

              j−1

              )

              Demonstração. Seja n tal que t

              j−1

              j−1

              Λ

              3r é grande.

              

            τ′j

            r

              ≥ K

              −C

              − CΛ

              −τ′j r

              ≥ K

              −C

              quando τ

              ′ j

              ≥

              T n0

              Por definição, (v

              ≤ θ

              j−1

              )

              2

              = θ

              j−1

              (v

              

            j−1

              )

              1 . Assim, (v j−1

              )

              2

              K

            • 1 |e θ j−1 |
            • 2

                |

                s j−1

                |

                = |(v

                s j−1

                1

                |

                s j−1

                2

              • |(v
              • 1)
              • 1)
              • K τ j +
              • 1)
              • C (x(t
              • (CΛ
              • K
              • K
              • K
              • 1)

                Nós também temos que | v j−1 |≤ C(log K) | v(s j−1 ) | e | v(s j−1

                , 1) K

                | v

                C

                K

                | =

                j−2

                | v

                2 K C

                | ≤ C(log K)

                j−2

                | v

                C

                j−1

                | Nesta última igualdade utilizamos que log K ≪ K, já que K é grande. Dessa forma, (log K)

                , 1) min(e θ

                j−1

                min(θ

                2

                | v j−2 | ≤ C(log K)

                −τ j−1

                K

                , 1) Λ τ j

                j−1

                , 1) min(e θ

                j−1

                j−2

                2 K C

                2

                0, K, L ≥ C, n ≥ C(K) e, para cada j ≥ 0, τ

                2ǫTn0 (3r2) .

                &lt; Λ

                2 K C

                L e 1000

                C −1

                1000.C log K &lt; Λ

                . Estas hipóteses permitirão a aplicação do corolário Se necessário nós aumentamos os limitantes inferiores L ≥ CK e n ≥ C(K) para garantir que, para todo ǫ &gt; 0 dado,

                3r

                T n0

                ≥

                ′ j

                (x).v) a proposição não é afetada. Assim, nós podemos continuar assumindo que t =

                ≤ K

                t

                (x), D f

                t

                Lembremos que substituindo (x, v) por ( f

                = C .

                ′

                &gt; 0. Aqui, denotamos C

                ′

                , com C

                C

                = K

                2 K C

                min(θ

                C (log K)

                ) | ≤

                v (s

                1

                )

                j−2

                (v

                −τ j−1

                , 1) K

                

              j−1

                2 min(e θ

                =

                1

                j−2

                1

                2 min(e θ

                −τ j−1 +

                , 1) K

                

              j−1

                2 min(e θ

                =

                1

                )

                j−1

                , 1) v (s

                

              j−1

                2 min(e θ

                ≤

                

              j−1

                | v j−2 | =

                2

                −τ j−1

                , 1) K

                j−1

                2 min(e θ

                , 1)

                

              j−1

                Λ τ j min(θ

                2

                ≤ C(log K)

                j−1 , 1) | v(s j−1 ) |

                Λ τ j min(θ

                (log K)

                , 1) K

                = C

                j−1 , 1)C(log K) | v(s j−1 ) |

                ≤ C(log K)Λ τ j min(θ

                j−1 , 1) | v j−1 |

                ) | ≤ C(log K)CΛ τ j min(θ

                j

                | ≤ C(log K) | v(s

                j

                Assim, através das desigualdades acima, temos que: | v

                j−2 | .

                | v

                −τ j−1

              4.5.3 Prova da Proposição 4.5.1

                ′ ±1

                Quando τ = τ , os lemas implicam, respectivamente, +

                j C L j

                que −1

                C L τ′j τ′j r r Λ

                Λ (4.5)

                | v j | ≤ C log KΛ | v |≤ | v |

                j−1 j−1

                1000 −1L

                

              τ′j τ′j+C

              −1

              r r

              + C L

                Λ Λ = v |= v |

                j−1 j−1

                1000 | 1000 |

              τj−C− τj

                1L+C−1L r r

                Λ Λ = v

                | v |= |

                j−1 j−1

                1000 1000 | e

                C j

                (4.6) | v | ≤ K | v j−2 |

                2

              2ǫT

              n0

                Λ (3r )

                ≤ | v |

                j−2

                2 1000 r j τ

                Λ ≤ | v j−2 |

                2

                1000 ǫ τ )

              • + r

                

              j

              j−1

                Λ ≤ | v j−2 |

                2

                1000 Usaremos os seguintes grupos de segmentos afins para (x, v) escolhidos como na demonstração da proposição.

                [t , t

                

              Definição 4.5.14. Um bloco especial é um intervalo inteiro j , tal que t é

              + j−2 ) ⊂ Z j−1

                [t , t especial. Um bloco normal é um intervalo inteiro não vazio j tal que t é

              • + j−1 ) ⊂ Z j−1 não especial.

                Provaremos a proposição em dois passos: Afirmação 4.5.15.

                ) ou [t

                1 , t ) em uma

                Para todo N ≥ 1 existe uma partição de [0, t N N união disjunta de blocos especiais e blocos normais. Para definir a partição em blocos, seja a

                1 := t N

                e, por indução, a k+

                1 j ; j &gt; 0 tal que [t j , a k ) é um bloco especial ou um bloco normal.}

                := min{t

                I+ 1 não é definido. Para k = 1, ..., I j k denota o único

                Seja I ≥ 1 o mínimo tal que a = inteiro tal que a k t j . Vamos mostrar que j k I é 0 ou 1. Assuma por contradição

                I j é especial então [t j j N ) é um bloco especial e pode-se

                ≥ 2. Se t I −1 I −2 I ) ⊂ [0, t definir a = . Se t não é especial, [t , t ) é um bloco normal e

                , t que j

                I+ 1 t j j j j N I −2 I −1 I −1 I ) ⊂ [0, t

                pode-se definir a = . Em ambos os casos, isto contradiz a definição de I,

                I+ 1 t j I −1 provando que j é 0 ou é 1.

                I

                Afirmação 4.5.16. Existe C

                (x, v) &lt; ∞, independente de N, tal que

                tN r

                C (x, v)Λ |v N | ≤

                N

                1000 A desigualdade estabelece que se [a k+

                1 , a k ) é um bloco normal, então ak−ak+1

                1 r

                Λ =

              • 1000 k+

                k a k j k+

                1

                1. Do mesmo modo, a desigual- |v(a |v 1 |, onde fizemos j

                )| ≤

                ak−ak+1

                1 r

                , a Λ dade mostra que se [a k+

                1 k k 2 a

                |v k+ 1 |, ) é um bloco especial então |v(a )| ≤ 1000

              • k+

                1 2, neste caso. Observe que nas desigualdades acima utili-

                = onde fizemos j k j

                zamos que t = e (t = , respectivamente. Nós + +

                j k+ 1 k+ 1 j a k k+ 1 j 2 j a k k+

                1

                − t − a ) − t − a 1 k+ 1 k+ 1 obtemos, então, que

                I (ai−ai+1) aI

                Y r r

                tN

                Λ Λ r N /1000

                N

                |v | ≤ C(x, v) ≤ C(x, v)Λ

                j a (I) i −j i+ 1

                1000 1000 −a(I) i=

                1 r a (I)

                1000

                a (I) com C(x, v) := |v |Λ &lt; ∞. Assim, a desigualdade 4.7 é estabelecida.

                Para concluir a prova da proposição, observemos que N é igual ao número de

                tN r t CΛ N

                , implica que

                N N

                visitas a △ antes do tempo t , pois como kD f (x).vk ≤

                1000

                 

                tN r

                1

                1 CΛ

                t N

                lim inf log   log kD f (x).vk ≤ lim inf

                N

                 

                t t N →∞ N →∞

                t N t N 1000 1 t N = lim inf log C + log Λ − N log 1000

                t N →∞

                t N r

                1

                1

                1 = lim inf log C + .N. log 1000 log Λ − lim inf

                t t N →∞ N →∞

                t N r t N

                1 N = log Λ − (log 1000). lim inf

                t N →∞

                r t

                N

                1

                1

                k

                = ; f

                N log Λ − χ lim inf #{0 ≤ k &lt; t ∈ ∆}. t N →∞

                r t N

              4.6 Teoremas principais

                ′

                Seja P ( f ) o conjunto das medidas de probabilidade, invariantes e ergódi-

                u u ′

                cas para f que não são quase-periódicas. Seja também, λ (P ( f )) := sup λ ( f, v).

                ( f ) v∈P ∞

                

              Teorema 4.6.1. Existe f (D) com h top ( f ) = 0 e a seguinte propriedade: Para

                ∈ Di f f

                r

                cada número de f em Di f f tal 1 ≤ r &lt; ∞ e cada vizinhança U (D), existe f ∈ U

                1 u

                

              1

                que h top ( f ) = λ( f ) &gt; 0 e λ (P ( f )) = λ( f ) e este supremo não é atingido. Por

                r r consequência, f não tem medida de entropia maximal. Demonstração.

                Fixemos os parâmetros k ≥ C, L ≥ C(K), como no corolário

                k,L

                e proposição Seja f := f . Temos que h ( f ) = 0 já que f é a aplicação

                top

                tempo 1 de um campo vetorial do disco de duas dimensões. Dada uma vizinhança

                r

                U de f , ela contém a esfera B( f , γ) na norma C para algum γ &gt; 0. Agora,

              K,L

                ′

                para cada n ( f ).

                ≥ C(K, L, γ), f := f ∈ U pelo corolário Seja µ ∈ P

                ≥n

                Observe que µ não pode satisfazer µ(int(Q

                1 2 )) = 0, já que seria uma medida

                \ Q invariante para f . E por consequência seria quase-periódica, conforme item da proposição Por ergodicidade e invariância da segunda afirmação do lema µ(int(Q

                1

                2

                \ Q )) = 1. Então a órbita µ − qtp visita o conjunto ∆, implicando

                1

                que µ(∆) &gt; 0. De acordo com a proposição λ(x, v) &lt; r log Λ µ − qtpx e todo

                2

                . Em particular, o Expoente de Lyapunov instável de µ é vetor não-nulo v ∈ R

                1

                estritamente menor do que log Λ. Utilizando a desigualdade de Ruelle, segue

                r

                que

                1

              • + u

                ( f, µ) &lt; log Λ (4.7) h ( f, µ) ≤ λ r

                Pelo Princípio Variacional,

                1 h top ( f ) = sup h( f, µ) ( f ) log Λ

                µ∈P ≤

                r já que as medidas quase-periódicas tem entropia zero. Pelo corolário ob-

                1 temos que h ( f ) = log Λ. Logo, a primeira parte do teorema está provada. top r

                1 ′

                Observemos que se existisse µ ( f ) tal que h( f, µ ) = h ( f ) = , entra-

                top logΛ

                ∈ P

                r

                1

                ríamos em contradição com a desigualdade visto que ali, h( f, µ) &lt; log Λ,

                r ′

                ( f ). Assim, f não admite medida de entropia maximal. Temos que ∀µ ∈ P +

                u

                h ( f, µ) . Logo, também pelo Princípio Variacional, temos que h ( f ) =

                top

                ( f, µ) ≤ λ

                u u + ′ =

                sup h( f, µ)

                ( f ) ( f, µ) λ (P ( f )). Além disso,

                ≤ sup λ ′

                µ∈P ( f ) µ∈P

                1

                u

              • + λ &lt; log Λ (4.8)

                ( f, µ) r

                1

                u + u ′

                o que implica que sup λ ( f, µ) log Λ o que é equivalente a λ (P ′ ≤

                ( f )

                ( f )) ≤

                µ∈P

                r

                1

                1 u u ′

                log Λ. Logo, log Λ = λ (P ( f )) = sup λ ( f, µ) ( f ) e este número não é atin-

                µ∈P r

                r

                1 u ′

                gido, pois se existisse µ ( f ) tal que λ ( f, µ ) = log Λ, entraríamos em ∈ P

                r contradição com a desigualdade

                

              Corolário 4.6.2. Em qualquer variedade de dimensão pelo menos dois, para cada número

              r

                com entropia topológica finita e sem medida de 1 &lt; r &lt; ∞, existe um difeomorfismo C entropia maximal. d−2

                (com D Demonstração. Seja M uma variedade de dimensão d ≥ 2. Seja K := D×T um disco fechado de dimensão 2) e F : K → K em que (x, t) 7→ ( f (x), t). Temos que

                d−2

                Figura 4.12: K = D × T

                r d−2

                . Assim, F é um difeomorfismo C que coincide com a identidade ∂K = ∂D × T perto da fronteira de K; M contém uma bola de dimensão d e portanto uma cópia

                r

                difeomórfica de K. Defina um difeomorfismo C , G, por G | M \ K = Id e G | K = F. Conforme o Princípio Variacional, h top (G) = h top (F) &gt; 0. Observemos que qualquer medida ergódica com entropia maximal para G deve ser realizada por K. Mas então a medida projeção π : K → D em que (x, t) 7→ x é uma medida por f com alguma entropia, que seria uma entropia maximal para f , uma contradição com o teorema Logo G não tem medida de entropia maximal.

                Figura 4.13: Projeção Corolário 4.6.3.

                No d-Toro, para qualquer d ≥ 4, existe um difeomorfismo fortemente parcialmente hiperbólico com centro de dimensão 2 e sem medida de entropia maximal.

                d−2 d−2

                Demonstração. Seja φ : T um automorfismo hiperbólico,isto é, existe → T

                d−2 d−2

                uma matriz A : R → R

                , tal que detA = ±1, com entradas inteiras que é d−2 d−2

                é a projeção canônica hiperbólica e tal que φ ◦ π = π ◦ A, onde π : R → R

                d−2 d−2 Z .

                dada por π(x, y) = [(x, y)] ∈ R

                s u s d−2

                = Como A é hiperbólico então R , onde E é o subespaço estável

                E ⊕E

                A A A u d−2

                e E é o subespaço instável de A. Como φ é hiperbólico, para cada x ∈ T

                A

              s u s

              d−2

                x ⊕ E x,A x,A x,A u

                = podemos decompor T T E , onde E é subespaço uniformemente

                contraído e E é subespaço uniformemente expandido por Dφ(x) = φ. Agora,

                x,A

                

              4

                4 N

                para d = 4 considere a aplicação F : T dada por F(x, y) = (φ (x), f (y)), → T

                u

                onde N é um inteiro grande o suficiente tal que Λ := min{Λ ∈ sp(φ) : |Λ| &gt; 1} e

                s

                Λ := max{Λ ∈ sp(φ) : |Λ| &lt; 1}. Vejamos que F é parcialmente hiperbólico:

                4

                2

                

              2

                4

                2

                2

                = T T = T T = , coloquemos T T x x

                × T (x,y) ⊕ T Para cada (x, y) ∈ T

                s u 2 s 2 u

                T = T E y E y e denotemos

                ⊕ E ⊕ T ⊕ T ⊕ E

                x,A x,A x,A x,A

                 

                N

                φ (x) DF (x, y) =

                   

                (y) D f

                N onde Dφ (x), D f (y) e 0 são matrizes de ordem 2. s s c 2 u u s

                Coloque então E := E , E := T T e E := E , com dim E =

                y x,A x,A (x,y) (x,y) (x,y) (x,y) u c s N s N s

                2. Assim, DF(x, y)E (x)E φ Dφ E

                = = = = 1 = dim E e dim E

                x,A x,A (x,y) (x,y) (x,y) s s s u u c

                = = = = E E E . Analogamente, DF(x, y)E E e DF(x, y)E N N

              φ (x,y) (x,y) (x,y) (x,y)

              F F (x),A (φ (x), f (y))

                c s u

                E . Ou seja, E é o subfibrado uniformemente contraído por DF(x, y) e E

                F (x,y) (x,y) (x,y)

                2

                é o subfibrado uniformemente expandido por DF(x, y), com T T sendo a direção

                y central.

                N

                Se existisse uma medida µ com entropia maximal para F = φ × f , suas projeções π

                1 µ e π 2 µ satisfariam N

                , π µ) + h( f, π µ). h

                

              1

              2 (4.9)

                (F, µ) ≤ h(φ Como

                

              N

                h (F) = h (φ ) + h ( f ), (4.10)

                top top top N

                as projeções teriam que ter medida de entropia maximal para φ e f , pois se isso

                N N N

                não fosse verdade, ou seja, se h top (φ ) = sup h (φ , λ λ 1 1 ) &gt; h(φ , λ 1 ) e existisse π 2 µ tal que h ( f ) = sup h ( f, λ ) = h( f, π µ), por teríamos

                top λ 2

                2

              2 N N

                h , π

                1 µ) + h( f, π 2 µ) &lt; h (φ ) + h ( f ), top top

                (F, µ) ≤ h(φ uma contradição com

                Portanto, F, assim como f , não tem medida de entropia maximal.

                

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                Universidade Federal da Bahia-UFBA Instituto de Matemática / Colegiado da Pós-Graduação em Matemática

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