R que estão totalmente contidos em R, numerando-

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  I NSTITUTO F EDERAL DE E DUCAđấO , C IÊNCIA E T ECNOLOGIA

  • – IFBA

  IFERENCIAL E

  I NTEGRAL

  II P .: G C

  • – C OORDENAđấO DE M ATEMÁTICA C ÁLCULO D

ROF USTAVO OSTA

  A LUNO : ______________________________________________________

ESTUDO DIRIGIDO

  

Integral Dupla

Considere uma superfície definida numa região fechada e limitada R do plano xy. zf   x , y

  é a projeção da

  R

  superfície sobre o plano xy.

  Traçando-se retas paralelas aos eixos ox e oy, respectivamente, recobrimos a região R por pequenos retângulos. Considere somente os retângulos que estão totalmente contidos em R, numerando-

  R k os de 1 até n (figura 1).

  Figura 1 Figura 2

  n

  Em cada retângulo R , escolha um ponto interno P x , y e forme a soma fx , y   A ,

    k k k k k k k

   k

  1

  onde  A   x .y é a área do retângulo .

  R k k k k

  Suponha que mais retas paralelas aos eixos coordenados são traçadas, tornando as dimensões dos retângulos cada vez menores (figura 2). Isso é feito de tal maneira que a diagonal máxima dos retângulos tende a zero quando n tende ao infinito.

  R k n

  Nessa situação, se fx , y   A existe, ele é chamado de integral dupla da função

  lim k k k

   n

    k

  1 f   x , y sobre a região R. Denotamos este limite como f x , y dA ou f x , y dxdy ou f x , y dydx .

         R  R  R n fx , y   A = f   x , y dA lim k k k

    R n   k

1 Observações: 1. A região R é denominada região de integração.

  n 2. A soma é chamada de soma de Riemann de sobre R. fx , y   A zf   x , y k k k

   k

1 Veremos que se z f x , y , a integral dupla pode ser interpretada como um volume.

     

  Interpretação geométrica da integral dupla

  Suponha sobre R. Observe que

  zf   x , yfx , y   representa o volume de um prisma A k k k reto, cuja base é o retângulo e cuja altura é (figura 3). fx , y

  R k k k

  Figura 3 Figura 4

  n

  A soma de Riemann fx , y   A representa uma aproximação do volume da porção do

  k k kk

  1  espaço compreendida abaixo do gráfico da superfície e acima da região R do plano xy. zf   x , y

  Assim, quando nos dá o volume do sólido delimitado superiormente

  f   x , y  , a f   x , y dA 

  R

  pela superfície , inferiormente pela região R e lateralmente pelo cilindro vertical cuja

  zf   x , y base é o contorno de R (figura 4).

  Obs.: Se f x , y f x , y dA nos dá o volume do sólido, porém com o sinal negativo.

     , a    R Propriedades da integral dupla. Sejam e funções contínuas sobre a região R, então:

  f   x , y g   x , y a) , para todo k real. k . f   x , y dAk . f   x , y dA

    R R b) f     x , yg x , y dAf   x , y dAg   x , y dA .

     R  R  R

c) Se a região R é composta de duas subregiões R e R que não tem pontos em comum (figura 5),

  

1

  2

  exceto os pontos de fronteira, então: f   x , y dAf   x , y dAf   x , y dA .

   R  R  R

  1

  2 Figura 5 Cálculo das integrais duplas

  De acordo com o tipo de região de integração R, podemos calcular a integral dupla de duas formas:

  b g x  

  2 .

   Se R é uma região do tipo I, então f   x , y dAf   x , y dydx

     R a g x

   

  1 d h y  

  2  Se R é uma região do tipo II, então f   x , y dAf   x , y dxdy .

   Rch y 1  

   

2 Região tipo I: .

    x , y   axb e g   xyg   x

  

  1 2

   

   

  

  1 2

2 Região tipo II:   x , y   c  y  d e h   y  x  h   y .

   

  Exercícios:

  2

  1. Calcule

  1 8 xy dA , onde R é a região retangular x , y / 1 y 2 , x 3 .

              

   R

  2 Proposição: Se R é a região retangular   x , y   / axb , cyd , então   b d d b f   x , y dydxf   x , y dxdy .

   acca 2. Calcule . A região R está representada na figura 6.

   4xydA 

  R 3. Calcule y dA . A região R está representada na figura 7.

   R

  4.Calcule ysen   xy dA , onde R é a região retangular de vértices

   R e .

  A,2   , B 1 ,2    , C 1 ,D   ,

  2

  • -x

  5. Calcule e dxdy , sendo R a região delimitada por x

  4 y , y e x 4 .

      R 6. Calcule xy dA . A região R está representada na figura 8.

   R figura 6 figura 7

  figura 8 Respostas:

  3 2 -16 1) 57. 2) 15/4. 3) (e /3)-( e /4)+(5/12). 4) 1+( ). 5) (1-e )/8. 6) 0.

  

Aplicações da integral dupla

Volumes de sólidos

  Se nos dá o volume do sólido delimitado superiormente

  f   x , y  a integral dupla f   x , y dA 

  R

  pela superfície , inferiormente pela região R e lateralmente pelo cilindro vertical cuja

  zf   x , y base é o contorno de R.

  Exercícios:

  7. Calcule o volume do sólido delimitado superiormente pelo plano , inferiormente

  z4xy

  pela região R delimitada por e e lateralmente pelo cilindro

  x, x2 , yyx 4

  1

  2     vertical cuja base é o contorno de R. Esboce o sólido.

  8. Calcule o volume do sólido no primeiro octante, delimitado pelo plano zy

  2 e pelo

  2

  cilindro vertical que contorna a região plana delimitada pelas curvas yx e yx . Esboce o sólido.

  2

  2

  9. Calcule o volume do sólido no primeiro octante, delimitado pelos cilindros e

  xy

  16

  2

  2 . Esboce o sólido. xz

  16 10. Calcule o volume do sólido delimitado pelas superfícies abaixo. Esboce o sólido.

  2 z1x (cilindro parabólico) e pelos planos z, y  e xy4 .

  Respostas: 7) 15/4. 8) 4/15. 9) 128/3. 10) 16/3.

  Áreas de regiões planas

  Se na expressão f   x , y dA fazemos f   x , y  , obtemos

  1 dA que nos dá a área da região  R

   R de integração R.

  Área (R) =  

  1 dA  R

  11. Calcule a área da região R mostrada na figura abaixo:

  12. Calcule a área da região plana limitada pelas curvas abaixo. Esboce os gráficos e identifique a região.

  yln   x , 1xe   y1x ,x

  1   x ye ,xe

   e

   xe , 1ye

  

  Respostas: 11) 146/9.

  e

  12) e – (5/2)  12,65.

  

Integral dupla em coordenadas polares

Descrição de regiões planas em coordenadas polares (revisão).

   Integral dupla em coordenadas polares.

  Descrição de regiões planas em coordenadas polares (revisão)

  As equações xr cos  e yrsen  definem as relações de coordenadas do

     

  sistema polar para o sistema cartesiano. Para o estudo das integrais duplas em coordenadas polares, basta considerarmos

  r  e   , 2  .

    xr cos

    

  2

  2

  2

  2

  2 De , obtemos as relações xyr (ou rxy ) e   arctg y x .

   

  

  yrsen   

   A descrição de um ponto P x , y no sistema polar é P r , , sendo r a distância de P ao centro e

      

  o ângulo que o segmento PO forma com o eixo x positivo. Por exemplo, o ponto P

  1 , 1 em 

    

 

  coordenadas cartesianas é representado por P

  2 , no sistema polar. Verifique!

 

  

4

 

  No sistema cartesiano as retas verticais e horizontais têm equações da forma ( constante)

  xx x o o

  e ( constante), respectivamente. Já no sistema polar, ( constante) representa

  yy y

     

  o o o o

  uma reta que passa pela origem e constante) representa uma circunferência de centro na

  r  ( r r o o origem e raio . Prove estes resultados. r o Exercício: Descreva as regiões circulares abaixo em coordenadas polares.

  Integral dupla em coordenadas polares Algumas integrais são mais fáceis de serem calculadas se a região R de integração for expressa em coordenadas polares. Por exemplo, o setor circular da figura 1 tem descrição mais simples em coordenadas polares do que em coordenadas cartesianas.

  Figura 1

  2 Esta região é descrita em coordenadas polares como R    r ,    rrr e      .

  

  1

  2

  1 2

  Chamamos este tipo de região de retângulo polar. A descrição dos retângulos polares em coordenadas cartesianas não é tão simples como a descrita acima. Além disso, as integrais

  2

  2

  duplas cujos integrandos envolvem xy também tendem a ser mais fáceis de serem calculadas

  2

  em coordenadas polares, pois esta soma é igual a

  r , quando aplicadas as fórmulas de conversão e . xcos r    yrsen    Considere zf   x , y uma superfície definida numa região R fechada e limitada do plano xy. n

  Sabemos que f   x , y dA = fx , y   A , onde  A   x .y representa a área do

  lim k k k k k k

    R n   k

  1

k -ézimo retângulo obtido na partição da região R em coordenadas cartesianas e  x , y  é um

k k

  ponto interno deste retângulo. Este limite expressa a soma de Riemman que define a integral dupla da função f sobre a região R. Vamos calcular esta soma num sistema de coordenadas polares. Para isso, dividiremos a região R em pequenos retângulos polares (ver figura 2).

  Figura 2 Considere apenas os retângulos polares internos a região R. Vamos destacar o pequeno retângulo polar da figura 2 e calcular a sua área.

  Figura 3 Seja       e  rrr .

  k k k1 k k k

  1

  • * *

   k k

  Vamos escolher o ponto arbitrário P r ,  como sendo o “centro” deste k-ézimo retângulo polar.

  Então:

  

rr   

  • * * k

  

1 k k

1 k e . r    k k

  2

  2 Considerando  a área desse retângulo polar como a diferença de áreas entre dois setores A k

  circulares, obtemos:

  2

  2

  2

  2

       r     r       rr     rr  rr

  k k k k1 kk k1k k k1 k k

  1

   A     

  k

  2

  2

  2

  2rr

  • * *

  k k

  1 r r r r . Assim,  Ar   r    .

                 k k k k k k1 k k k k

  2 Desta forma, o limite da soma de Riemman que define a integral dupla no sistema polar é

  n n

  • * * * * * .

  limf x , y   Alim f r cos, r sen   r   r   

k k kk   k k   kk k k

    n   n   k1 k

1 Esta soma sugere então que .

  f   x,y dAfr cos   θ , rsen   θ r dr d θ  

  R R Conclusão:

  Para calcularmos uma integral dupla no sistema de coordenadas polares devemos descrever a região R em coordenadas polares, aplicar as fórmulas de conversão e

  xcos r   

  na equação da superfície e lembrar que , isto é:

  yrsen    zf   x , y dxdyrdrdf   x,y dxdyfr cos   , rsen    r dr d .

  θ θ θ  R  R

  2 Exemplo: Mostre que a área de uma circunferência de raio a é  usando integral dupla em a coordenadas cartesianas e polares.

   Usando integral dupla em coordenadas cartesianas:

  2

  2

  2

  2 Rx , y /axa ,axyax é a descrição da região em coordenadas  

    cartesianas.

  2

  2 a a a x a

   x

  2

  2

  2

  2 2  

  2 Área = = * = x axa arcsen   a .

    1 dydx2 ax dx      a

   

   a

  2

  2aa a x

   

    π  * Calcule esta integral usando a substituição trigonométrica xasen t , t   , .

   

  2

  2

     Usando integral dupla em coordenadas polares:

  Rr ,/ra ,    2  é a descrição da região em coordenadas polares.

      a 2a

  22

  2

  2 r a

  2

  Área =   1 r drd   d   d    a .

     

  2

2 Realmente as coordenadas polares simplificaram bastante este cálculo!!!

  Exercícios:

  2

  2 13. Calcule sen xy dxdy , onde R é a região da figura abaixo.

     R

  2

  2 x y

    

14. Calcule , onde R é a região do plano xy delimitada por

  2 e dxdy 

  R

  2

  2

  2

  2 e . xy1 xy

  4 15. Calcule dxdy , onde R é a região sombreada da figura abaixo.

   R

  2

  4 4 yy

  2

  2 16. Calcule xy dxdy . Esboce a região de integração.

     

  

1

  3

  3

  

  4

  3 sen   u du   sen     u cos ucos     u sen uuC

   

  

4

  8

  8

   Use, se necessário, as integrais .

   

  1

  3

  3

  4

  3

   cos u du cos u sen u cos u sen u u C

                

  4

  8

  8

   17. Calcule o volume do sólido delimitado pelas superfícies abaixo. Esboce as superfícies.

  2

  2

   ( )

  xy1 cilindro

  2

  2

   ( )

  

  z9xy parabolóid e

   a) ( ) .

  b) .

  zplano

   

  2

  2 zxy ( parabolóid e )

  

  2 2 

  ( )

  zxy parabolóid e

  

    1cos   4   

6

  3 381

4 Resp: 13)

  . 14) 2ee . 15) . 16) 12 . 17.a) u . v . 17.b) u . v .

    

  4

  

4

  2

  4 Bibliografia utilizada: Cálculo B, Diva Flemming e Cálculo Vol. 2, James Stewart.

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