A CENTRO DE CIˆ ENCIAS EXATAS DEPARTAMENTO DE MATEM ´ ATICA PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM MATEM ´ ATICA

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARING ´ A

CENTRO DE CIˆ ENCIAS EXATAS

DEPARTAMENTO DE MATEM ´ ATICA

PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM MATEM ´ ATICA

  (Mestrado) RICHARD WAGNER MACIEL ALVES

  

Aspectos de uniformidade em espa¸cos topol´ ogicos admiss´ıveis

  Maring´a-PR UNIVERSIDADE ESTADUAL DE MARING ´ A CENTRO DE CI ˆ ENCIAS EXATAS

  DEPARTAMENTO DE MATEM ´ ATICA PROGRAMA DE P ´ OS-GRADUAC ¸ ˜ AO EM MATEM ´ ATICA

  Aspectos de uniformidade em espac ¸os topol´ ogicos admiss´ıveis Richard Wagner Maciel Alves

  Disserta¸c˜ao apresentada ao Programa de P´os- Gradua¸c˜ao em Matem´atica do Departamento de Ma- tem´atica, Centro de Ciˆencias Exatas da Universidade Estadual de Maring´a, como requisito para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

  ´ Area de concentra¸c˜ao: Geometria e Topologia.

  Orientador: Prof. Dr. Josiney Alves de Souza.

  Maring´a-PR, 1 de dezembro de 2014 ASPECTOS DE UNIFORMIDADE EM ESPAC ¸ OS TOPOL ´ OGICOS ADMISS´IVEIS

RICHARD WAGNER MACIEL ALVES

  Disserta¸c˜ao apresentada ao Programa de P´os- Gradua¸c˜ao em Matem´atica do Departamento de Matem´atica, Centro de Ciˆencias Exatas da Universidade Estadual de Maring´a, como requi- sito para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Ma- tem´atica.

  BANCA EXAMINADORA Prof. Dr. Josiney Alves de Souza

  Universidade Estadual de Maring´a Prof. Dr. Lino Anderson da Silva Grama

  Universidade Estadual de Campinas Prof. Dr. Carlos Jos´e Braga Barros

  Universidade Estadual de Maring´a Maring´a, 07 de novembro de 2014. Dedico este trabalho `a Deus todo poderoso

Agradecimentos

  • Senhor, n˜ao s´o agrade¸co como tamb´em dedico este trabalho `a Ti, sei que sem tua ajuda nada disso seria poss´ıvel. Obrigado por ter me concedido sabedoria e for¸ca para realiza¸c˜ao desse sonho.
  • Agrade¸co aos meus pais S´ergio e Regina e `a minha irm˜a Glenda pelo amor incondicional, pela ajuda nos momentos dif´ıceis, pelas ora¸c˜oes a meu favor e principalmente por sempre acreditarem que de algum modo eu sou um vence- dor. (Amo vocˆes!) • Agrade¸co tamb´em a todos os membros de minha fam´ılia.
  • Em especial, rendo agradecimentos `a minha av´o, que apesar de n˜ao saber exatamente o que eu fa¸co, sempre me ajudou com palavras de incentivo e f´e.
  • Agrade¸co `a minha noiva Patricia por estar ao meu lado sempre me apoiando nos bons e nos maus momentos. (Amo vocˆe!)
  • Agrade¸co a Orlando Fassina e Marli de Lima Fassina, por serem t˜ao carinhosos comigo.
  • Agrade¸co aos irm˜aos da Igreja do Evangelho Quadrangular que, participaram dos cultos de adora¸c˜ao e agradecimento a Deus por cada etapa vencida neste mestrado.
  • Agrade¸co tamb´em aos amigos de mestrado com quem convivi ao longo desses dois anos pela companhia e ajuda dispensadas.
  • Gostaria tamb´em de expressar meus sinceros agradecimentos ao Prof. Dr. Jo- siney Alves de Souza que me orientou neste trabalho, por ser sempre atencioso e paciente. Agrade¸co tamb´em pela escolha do tema a ser estudado. Nem se pudesse escolher os rumos deste trabalho faria escolha t˜ao aben¸coada. Obrigado! • Agrade¸co `a CAPES pelo apoio financeiro.

  ...

  

Resumo

  Um espa¸co topol´ogico ´e dito admiss´ıvel se puder ser munido de uma fam´ılia ad- miss´ıvel de coberturas abertas. Sabemos que um espa¸co topol´ogico ´e uniformiz´avel se e somente se ´e completamente regular, e al´em disso que espa¸cos uniformiz´aveis s˜ao admiss´ıveis. A rec´ıproca de tal afirma¸c˜ao at´e ent˜ao era um problema em aberto em Topologia. Neste trabalho provamos a validade da rec´ıproca demonstrando que espa¸cos admiss´ıveis e uniformiz´aveis formam uma mesma classe de espa¸cos to- pol´ogicos. Al´em disso, fizemos um estudo dos espa¸cos topol´ogicos admiss´ıveis com respeito a aspectos de uniformidade e topologia.

  Palavras-chave: espa¸cos uniformiz´aveis, espa¸cos admiss´ıveis, cobertura de Le- besgue, fibrados principais, fibrados associados.

  

Abstract

  A topological space is said to be admissible if it can be provided with an admis- sible family of open coverings. We know that a topological space is uniformizable if and only if it is completely regular, and moreover that uniformizable spaces are ad- missible. The converse to this fact was an open problem in Topology. In this thesis, we prove that the converse demonstrating that uniformizable and admissible spaces form the same class of topological spaces. In addition, we studied the admissible topological spaces with respect to aspects of uniformity and topology.

  Key-words: uniformizable spaces, admissible spaces, Lebesgue covering, prin- cipal bundles, associated bundles.

  

SUM ´ ARIO

  Introdu¸c˜ ao

  11

  1 Espa¸cos Uniformes

  14

  1.1 Espa¸cos uniformes - defini¸c˜oes e exemplos . . . . . . . . . . . . . . . 15

  1.2 Base para uma estrutura uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

  1.3 Topologia Uniforme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

  1.4 Fam´ılia de coberturas uniformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

  1.5 Espa¸cos uniformes completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

  2 Espa¸cos topol´ ogicos admiss´ıveis

  28

  2.1 Fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas . . . . . . . . . . . . . . . . 29

  2.2 Espa¸cos topol´ogicos admiss´ıveis - defini¸c˜oes e exemplos . . . . . . . . 31

  2.3 Propriedades gerais dos espa¸cos admiss´ıveis . . . . . . . . . . . . . . . 35

  2.4 Lema da cobertura de Lebesgue . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

  2.5 Fun¸c˜oes uniformemente cont´ınuas em espa¸cos admiss´ıveis . . . . . . 45

  2.6 Conjuntos limitados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

  2.7 Espa¸cos admiss´ıveis completos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

  2.8 Compacidade uniforme local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

  2.9 Conexidade uniforme local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

  2.10 Dimens˜ao topol´ogica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

  3 Fibrados principais e associados

  63

  3.1 Fibrados principais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

  3.2 Sec¸c˜ao e trivialidade local . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

  3.3 Fun¸c˜oes de transi¸c˜ao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

  3.4 Fibrados associados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

  3.5 Fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas em fibrados associados . . . 83 A Redes em espa¸cos topol´ ogicos

  88 B A¸c˜ oes de grupos e espa¸cos quocientes

  92 Bibliografia

  94

  

INTRODUC ¸ ˜ AO

  Nesta disserta¸c˜ao realizamos um estudo geral dos espa¸cos topol´ogicos admiss´ıveis no que diz respeito a aspectos de uniformidade e topologia. Dizemos que um espa¸co topol´ogico ´e admiss´ıvel se puder ser munido de uma fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas. Um importante resultado provado em [16] diz que espa¸cos uniformiz´aveis s˜ao admiss´ıveis, por´em a rec´ıproca at´e ent˜ao era um problema em aberto em Topo- logia. Neste trabalho provamos a validade da rec´ıproca demonstrando que qualquer espa¸co uniformiz´avel ´e admiss´ıvel e vice-versa. Al´em disso, fornecemos algumas aplica¸c˜oes do Lema da cobertura de Lebesgue em espa¸cos n˜ao m´etricos.

  A no¸c˜ao de fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas foi introduzida em [13] no intuito de desenvolver a teoria de transitividade por cadeias para semifluxos. Seguindo a mesma linha de investiga¸c˜ao, os artigos [1], [3],[17] e [18] expandiram a teoria de recorrˆencia por cadeias para a¸c˜oes de semigrupos em espa¸cos topol´ogicos. O artigo [12] faz uso de tal conceito aplicado ao contexto da teoria de fibrados.

  Fazendo uso da estrutura admiss´ıvel de um espa¸co admiss´ıvel, a ideia central deste trabalho ´e estudar propriedades como completude, compacidade uniforme lo- cal, conexidade uniforme local e equicontinuidade uniforme, adaptando ao contexto da fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas algumas demonstra¸c˜oes de resultados cl´assicos em teoria de espa¸cos uniformes.

  A disserta¸c˜ao est´a organizada como segue. No Cap´ıtulo 1 desenvolveremos um estudo introdut´orio da teoria cl´assica de espa¸cos uniformes com base em [22]. To- mamos o cuidado de ressaltar os principais objetivos da teoria, al´em de enfatizar somente os resultados mais importantes que nortear˜ao a constru¸c˜ao do Cap´ıtulo 2. Apresentaremos na Se¸c˜ao 1.1 os dois principais m´etodos de constru¸c˜ao de estruturas uniformes em um conjunto X, al´em disso forneceremos alguns exemplos de espa¸cos uniformes. As Se¸c˜oes 1.2, 1.3 e 1.4 trazem respectivamente os conceitos de base e sub-base para uma estrutura uniforme, topologia uniforme e fam´ılia de cobertu- ras uniformes, cujo intuito ´e familiarizar o leitor com rela¸c˜ao aos aspectos gerais da teoria. Encerramos o Cap´ıtulo 1 com uma breve apresenta¸c˜ao do conceito de completude em espa¸cos uniformes.

  O Cap´ıtulo 2 ´e dedicado aos espa¸cos topol´ogicos admiss´ıveis. Em um enfoque mais amplo faremos um estudo detalhado de tais espa¸cos investigando suas proprie- dades gerais. Mais especificamente, na Se¸c˜ao 2.2, construiremos algumas estruturas admiss´ıveis sob certas classes de espa¸cos topol´ogicos cujo objetivo ´e dar exemplos de espa¸cos admiss´ıveis e suas respectivas fam´ılias de coberturas abertas. Tal fam´ılia de coberturas abertas ´e o conceito-chave desse trabalho e ser´a devidamente definida na Se¸c˜ao 2.1.

  Sabemos que todo espa¸co uniformiz´avel ´e admiss´ıvel (Ver [16], Teorema 4). Pro- varemos no Cap´ıtulo 2 uma equivalˆencia entre espa¸cos topol´ogicos uniformiz´aveis e admiss´ıveis. Visto que um espa¸co topol´ogico ´e uniformiz´avel se, e somente se, ´e completamente regular (Ver [22], Teorema 38.2), conclu´ımos neste trabalho que espa¸cos topol´ogicos admiss´ıveis s˜ao regulares.

  Ainda com respeito ao desenvolvimento do Cap´ıtulo 2, destacamos o Lema da cobertura de Lebesgue para espa¸cos topol´ogicos admiss´ıveis (Ver Se¸c˜ao 2.4) o qual fornece uma nova interpreta¸c˜ao do n´ umero de Lebesgue em espa¸cos n˜ao metriz´aveis em fun¸c˜ao da fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas. A demonstra¸c˜ao de tal lema em espa¸cos admiss´ıveis foi apresentada em [16].

  Uma propriedade relevante da fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas ´e que sua estrutura admiss´ıvel permite demonstra¸c˜oes mais elucidativas de alguns resul- tados cl´assicos em teoria de espa¸cos uniformes. Denotando por C(X, Y ) o conjunto de todas fun¸c˜oes cont´ınuas de X em Y demostraremos que se K ´e um espa¸co ad- miss´ıvel compacto, ent˜ao F ⊂ C(K, Y ) ´e uniformemente equicont´ınua se e somente se ´e equicont´ınua (Teorema 2.5.2, Se¸c˜ao 2.5). Nas Se¸c˜oes 2.8 e 2.9, introduzire- mos os conceitos de compacidade uniforme local e conexidade uniforme local em espa¸cos admiss´ıveis cujo objetivo respectivamente ´e fornecer um bom crit´erio na busca de espa¸cos admiss´ıveis completos e mostrar que espa¸cos admiss´ıveis com- pactos localmente conexos s˜ao necessariamente uniformemente localmente conexos. Ainda neste cap´ıtulo, introduziremos o conceito de continuidade uniforme de fun¸c˜oes entre espa¸cos admiss´ıveis, apresentaremos a no¸c˜ao de conjunto limitado e al´em disso forneceremos uma descri¸c˜ao do conceito de dimens˜ao topol´ogica de Lebesgue, em fun¸c˜ao da fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas (Ver Se¸c˜ao 2.10).

  No ´ ultimo cap´ıtulo do trabalho faremos um estudo introdut´orio da teoria de fi- brados topol´ogicos principais e associados, dando ˆenfase na demonstra¸c˜ao detalhada dos resultados mais relevantes da teoria. O intuito principal do desenvolvimento da teoria de fibrados neste cap´ıtulo ´e a demonstra¸c˜ao da continuidade uniforme da aplica¸c˜ao π E : E −→ X que define o fibrado associado com respeito a duas fam´ılias admiss´ıveis de coberturas abertas sobre o espa¸co total e o espa¸co base, sendo o fi- brado associado localmente trivial com fibra t´ıpica um espa¸co m´etrico compacto e espa¸co base localmente compacto e paracompacto.

  

CAP´ITULO 1

ESPAC ¸ OS UNIFORMES

  Uma estrutura uniforme em um espa¸co topol´ogico generaliza a estrutura gerada pela m´etrica de um espa¸co m´etrico. Em espa¸cos topol´ogicos n˜ao metriz´aveis, os conceitos que fazem uso da rela¸c˜ao ǫ − δ, tais como; continuidade uniforme, completude de espa¸cos e convergˆencia uniforme n˜ao podem ser definidos. A teoria de espa¸cos uni- formes d´a condi¸c˜oes para que tais conceitos ditos uniformes sejam tamb´em definidos em espa¸cos topol´ogicos n˜ao metriz´aveis. A estrutura respons´avel por permitir tal constru¸c˜ao ´e chamada de estrutura uniforme.

  Neste cap´ıtulo apresentaremos dois m´etodos principais de constru¸c˜ao de estru- turas uniformes num determinado conjunto X. Para desenvolvimento te´orico do cap´ıtulo adotaremos a nota¸c˜ao e terminologia de Willard [22], por´em indicamos a leitura de [6], [20], [7], os quais fornecem desenvolvimento detalhado da teoria geral de espa¸cos uniformes.

1.1 Espa¸cos uniformes - defini¸c˜ oes e exemplos

  Vejamos algumas defini¸c˜oes iniciais: Defini¸c˜ ao 1.1.1. Seja X um conjunto n˜ao vazio. Dado V ⊆ X × X definimos

1 V := {(x, y) ∈ X × X : (y, x) ∈ V }.

  Para cada U, V ⊆ X × X considere U ◦ V := {(x, y) ∈ X × X : (∃z ∈ X)(x, z) ∈ U, (z, y) ∈ V }.

  Para cada V ⊆ X × X e para cada x ∈ X, a V -vizinhan¸ ca de x ´e o conjunto V [x] := {y ∈ X : (x, y) ∈ V }

  Definimos a diagonal de X por ∆ := {(x, x) : x ∈ X} ⊂ X × X.

  Abaixo segue uma defini¸c˜ao de espa¸co uniforme via fam´ılia de vizinhan¸cas dia- gonais, historicamente introduzida por A.Weil em [21].

  Defini¸c˜ ao 1.1.2. Um espa¸co uniforme ´e um par (X, D) formado por um conjunto X e uma fam´ılia D ⊆ X × X chamada estrutura uniforme ou fam´ılia de vizinhan¸ cas diagonais, que satisfaz as seguintes propriedades:

  1. D ∈ D ⇒ ∆ ⊂ D.

  2. D1, D2 ∈ D ⇒ D1 ∩ D2 ∈ D.

  3. D ∈ D ⇒ E ◦ E ⊂ D para algum E ∈ D.

  1 4. D ∈ D ⇒ E ⊂ D para algum E ∈ D.

  5. D ∈ D, D ⊂ E ⇒ E ∈ D.

  Nota-se que em virtude da condi¸c˜ao 1 cada elemento da estrutura uniforme D ´e ′′ ′′ chamado de vizinhan¸ca diagonal. Sendo assim diremos que x est´a D perto de y se (x, y) ∈ D para algum D ∈ D.

  O conceito b´asico aqui ´e que quaisquer dois pontos x, y est˜ao pr´oximos entre si, se (x, y) est´a pr´oximo `a diagonal de X.

1 Observa¸c˜ ao 2-a Se D ∈ D ent˜ao D ∈ D, pelos itens (4) e (5).

  Observa¸c˜ ao 2-b Os itens (3) e (4) da defini¸c˜ao anterior equivalem a:

  1

  ⊂ D D ∈ D ⇒ E ◦ E para algum E ∈ D.

  Suponha que (3) e (4) sejam v´alidos. Tome D ∈ D e E ∈ D tal que E ◦ E ⊂ D

  1

  1

  1

  1 1 ∈ D tal que E ⊂ E ∩ E ⊂ D.

  e E

  2

1 . Assim, basta tomarmos E = E

  1 2 , da´ı E ◦ E

  2

  1 Por outro lado, tome D ∈ D, encontre E ∈ D de modo que E ◦ E ⊂ D, assim − −

  1

1 E ⊂ D e se F = E ∩ E logo F ∈ D e dessa forma F ◦ F ⊂ D, portanto vale os itens (3) e (4).

  A estrutura uniforme generaliza a estrutura do espa¸co m´etrico, ou seja, todo espa¸co m´etrico corresponde a um espa¸co uniforme, como veremos mais adiante. Dado um conjunto qualquer X, podemos muni-lo com diferentes estruturas uni- formes. Abaixo seguem dois exemplos de estruturas uniformes sobre um conjunto conhecidas como estruturas uniformes triviais. Exemplo 1.1.1. A estrutura uniforme discreta sobre um conjunto X ´e dada por:

  D X := {V ⊆ X × X : ∆ ⊆ V }. Exemplo 1.1.2. A estrutura uniforme indiscreta sobre um conjunto X ´e dada por:

  D i ≡ {X × X} Quando X = ∅ ent˜ao D i ´e a estrutura uniforme vazia.

1.2 Base para uma estrutura uniforme Nesta se¸c˜ao apresentamos o conceito de base de uma estrutura uniforme.

  Defini¸c˜ ao 1.2.1. Uma base para uma estrutura uniforme D ´e qualquer sub-cole¸c˜ao E ⊂ D tal que cada D ∈ D cont´em algum E ∈ E, ou seja: ∀D ∈ D ∃E ∈ E tal que E ⊂ D.

  Proposi¸c˜ ao 1.2.1. Uma cole¸c˜ao E de subconjuntos de X × X ´e base para alguma estrutura uniforme em X se, e somente se, satisfaz os itens 1,3 e 4 da defini¸c˜ao 1.1.2 e 2’ onde: 2’) D , D ∈ E ⇒ D ⊂ D ∩ D para algum D ∈ E.

  1

  2

  3

  1

  2

  3 Defini¸c˜ ao 1.2.2. Uma sub-base para D ´e uma sub-cole¸c˜ao E ⊂ D, tal que todas intersec¸c˜oes finitas de elementos de E forma uma base para D.

  Proposi¸c˜ ao 1.2.2. Dado um espa¸co uniforme (X, D), seja

  1 }.

  Sym(D) = {V ∈ D : V = V Ent˜ao Sym(D) formam uma base para D.

  1 Demonstra¸c˜ ao: Basta observar que para todo D ∈ D, temos que, E = D ∩D

  ´e um elemento sim´etrico. De fato, − − − − − − − − −

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1 E = D ∩ D = (D ) ∩ D = (D ∩ D) = (D ∩ D ) = E , − − −

  1

  

1

  1

  logo E = E . Como D ∈ D, ent˜ao D ∈ D, assim D ∩ D ∈ D e veja que

  1 ∩ D ⊂ D. Da´ı todo elemento D cont´em um elemento sim´etrico E.

  E = D A proposi¸c˜ao anterior nos diz que as vizinhan¸cas diagonais sim´etricas, geome- tricamente aquelas que mant´em simetria com rela¸c˜ao `a diagonal s˜ao vizinhan¸cas fundamentais de qualquer estrutura uniforme. De certa forma, s˜ao num espa¸co uniforme o que as bolas s˜ao num espa¸co m´etrico.

  Seguem alguns exemplos de estruturas uniformes. Exemplo 1.2.1. Para cada a ∈ R, seja D a = ∆ ∪ {(x, y)|x > a, y > a}.

2 Dessa forma, a cole¸c˜ao E = {D a ⊂ R : a ∈ R} ´e base para uma estrutura uniforme em R. Com efeito, satisfaz as condi¸c˜oes da Proposi¸c˜ao 1.2.1.

  1) Obviamente, ∆ ⊂ D a para cada a ∈ R.

  ∈ E com a, b ∈ R. Se b ≤ a ent˜ao D ∩ D 2’) Sejam D a e D b a b = D a , se a ≤ b ent˜ao D a ∩ D b = D b . Agora, tome c = max{a, b} da´ı D c ⊂ D a ∩ D b .

  3) Tome D a ∈ E, a ∈ R e observe que D a ◦ D a ⊂ D a . De fato, se tomarmos (x, y) ∈ D a ◦ D a , ent˜ao existe z ∈ R tal que (x, z) ∈ D a e (z, y) ∈ D a , logo x, z > a e y, z > a portanto (x, y) ∈ D . − − a

  1

  1 4) Se D a ∈ E, a ∈ R, existe D a = D ∈ E tal que D ⊂ D a . a a

  2 Exemplo 1.2.2. Para cada ǫ > 0, seja D ǫ = {(x, y) ∈ R ; |x − y| < ǫ}. A cole¸c˜ao E de todos conjuntos D ǫ , com ǫ > 0 ´e base para uma estrutura uniforme em R.

  De fato, 1) ∆ ⊂ D ǫ para todo ǫ > 0.

  ∈ E. Tome γ = min{ǫ, δ} ent˜ao D ∈ E e D ⊂ D ∩ D 2’) Considere D ǫ , D δ γ γ ǫ δ . ǫ 3) Seja D ∈ E, existe δ = > 0 tal que D ∈ E e D ◦ D ⊂ D . ǫ δ δ δ ǫ

  2

− −

  1

  1 4) Seja D ǫ ∈ E, existe D ǫ = D ∈ E tal que D ⊂ D ǫ . ǫ ǫ

1.3 Topologia Uniforme

  Uma cole¸c˜ao de vizinhan¸cas diagonais D representa uma estrutura maior do que a estrutura topol´ogica no sentido de que, toda estrutura uniforme induz de maneira natural uma topologia sobre um conjunto X, podendo inclusive duas estruturas uniformes distintas gerar a mesma topologia.

  Nesta se¸c˜ao definiremos a topologia uniforme associada `a estrutura uniforme D, dada pela fam´ılia de vizinhan¸cas diagonais. Al´em do mais, daremos alguns exemplos Defini¸c˜ ao 1.3.1. Para cada x ∈ X e D ∈ D, n´os definimos: D[x] = {y ∈ X|(x, y) ∈ D}.

  Note que x ∈ D[x] pois (x, x) ∈ ∆ ⊆ D.

  S Se A ⊆ X, D[A] = D[x]. x∈A Teorema 1.3.1. Seja (X, D) um espa¸co uniforme. Para cada x ∈ X, a cole¸c˜ao D x = {D[x]|D ∈ D} forma uma vizinhan¸ca b´asica em x, tornando X um espa¸co topol´ogico.

  Demonstra¸c˜ ao: Primeiro note que x ∈ D[x] para cada x ∈ X. Veja tamb´em que ∩ D

  D

  1 [x] ∩ D 2 [x] = D

  1 2 [x].

  Assim a intersec¸c˜ao de vizinhan¸cas ´e uma vizinhan¸ca. Finalmente, se D[x] ∈ D x , encontre E ∈ D tal que E ◦ E ⊂ D. Ent˜ao para qualquer y ∈ E[x], E[y] ⊂ D[x], logo as propriedades de vizinhan¸ca s˜ao satisfeitas.

  Defini¸c˜ ao 1.3.2. A topologia assim associada com a fam´ılia de vizinhan¸cas dia- gonais D ´e chamada de topologia uniforme gerada por D denotada por τ D , e definida como: D τ = {U ⊂ X|∀x ∈ U ∃D ∈ D; D[x] ⊂ U }.

  Defini¸c˜ ao 1.3.3. Toda vez que a topologia do espa¸co puder ser obtida atrav´es de uma fam´ılia de vizinhan¸cas diagonais D, dizemos que X ´e um espa¸co topol´ogico uniformiz´avel. Defini¸c˜ ao 1.3.4. Uma estrutura uniforme D ´e dita separada se, e somente se,

  \ D∈D D = ∆ A demonstra¸c˜ao do teorema abaixo pode ser encontrada em ([22],Teorema 35.6,p´agina

  240,item b). Optamos por reproduzir tal demonstra¸c˜ao no intuito de deixar o texto mais auto-suficiente.

  Demonstra¸c˜ ao: Suponha D separada. Se x, y ∈ X, com x 6= y, ent˜ao para ∈ D. Tome E ∈ D um elemento sim´etrico tal que E ◦ E ⊂ D. algum D ∈ D, (x, y) / Da´ı supondo z ∈ E[x] ∩ E[y] temos que (x, z) ∈ E e (y, z) ∈ E como E ´e sim´etrico (z, y) ∈ E e ent˜ao (x, y) ∈ E ◦ E ⊂ D logo (x, y) ∈ D, o que n˜ao ocorre, ent˜ao

  ∈ E[x], E[y] s˜ao disjuntos. Por outro lado, se a topologia ´e Hausdorff, ent˜ao se (x, y) / ∆, x 6= y assim E[x] ∩ D[y] = ∅ para algum D, E ∈ D, portanto E ∩ D ∈ D o qual

  T n˜ao cont´em (x, y), da´ı (x, y) / ∈ D∈D D.

  Exemplo 1.3.1. Em geral qualquer m´etrica d sobre um espa¸co X gera uma estrutura uniforme U d que tem como base a cole¸c˜ao de subconjuntos d U = {(x, y) ∈ X × X|d(x, y) < ǫ}. ǫ As estruturas uniformes U d geradas por uma m´etrica d s˜ao ditas metriz´aveis.

  Exemplo 1.3.2. Uma estrutura uniforme num espa¸co induzida por uma m´etrica d ´e sempre separada, pois

  \ \ \ d U ∈U ǫ> ǫ> d U = U = (x, y) ∈ X × X; d(x, y) < ǫ} = ∆. ǫ Vejamos alguns exemplos de topologias geradas por estruturas uniformes.

  Exemplo 1.3.3. A estrutura uniforme discreta gera a topologia discreta. Exemplo 1.3.4. A estrutura uniforme indiscreta gera a topologia indiscreta. Exemplo 1.3.5. Considere em R a estrutura uniforme que tem como base a cole¸c˜ao D a = ∆ ∪ {(x, y)|x > a, y > a}. para cada a ∈ R. Observe que D a [x] = {x} toda vez que a ≥ x. Consequentemente esta estrutura uniforme gera a topologia discreta em R.

  Os dois ´ ultimos exemplos nos mostra que estruturas uniformes diferentes podem gerar topologias iguais. Segue uma importante caracteriza¸c˜ao de espa¸cos uniformiz´aveis. Teorema 1.3.3. Um espa¸co topol´ogico ´e uniformiz´avel se e somente se ´e comple-

  Demonstra¸c˜ ao: Ver [22], Teorema 38.2, p´agina 256. Segue o seguinte corol´ario.

  Corol´ ario 1.3.1. Uma estrutura uniforme ´e metriz´avel se, e somente se, ´e separ´avel e possui base enumer´avel.

  Demonstra¸c˜ ao: Ver [22], Corol´ario 38.4, p´agina 258. Exemplo 1.3.6. Considere Ω um conjunto bem ordenado n˜ao enumer´avel possuindo um maior elemento ω com a a seguinte propriedade: se α ∈ Ω e α < ω ent˜ao

  1

  1

  {β ∈ Ω|β ≤ α} ´e enumer´avel. Os elementos do conjunto Ω s˜ao ditos ordinais com ω sendo o

  1

  primeiro ordinal n˜ao-enumer´avel. Denotamos por Ω = Ω − {ω } o conjunto dos

  1 ordinais enumer´aveis.

  Para uma constru¸c˜ao mais detalhada do conjunto dos n´ umeros ordinais enu- mer´aveis indicamos a leitura de [22], p´aginas 10 e 11. Vejamos o teorema abaixo. Teorema 1.3.4. Seja A ⊂ Ω um subconjunto enumer´avel n˜ao contendo ω ent˜ao

  1 sup A < ω .

1 Demonstra¸c˜ ao: Ver [22], Teorema 1.20, p´agina 11.

  O pr´oximo exemplo nos mostra que o fato da topologia gerada por uma estrutura uniforme ser metriz´avel n˜ao garante que a estrutura uniforme seja metriz´avel.

  Exemplo 1.3.7. Considere Ω o conjunto ordinais enumer´aveis. Para cada α ∈ Ω , seja D α = {(x, y)|x = y ou x > α, y > α}.

  } n˜ao ´e metriz´avel pois n˜ao A estrutura uniforme gerada pela base {D α : α ∈ Ω possui base enumer´avel j´a que todo subconjunto enumer´avel possui supremo inferior a ω . No entanto veja que qualquer base enumer´avel leva a constru¸c˜ao da cole¸c˜ao

  1

  {α } = ω D α n com a propriedade sup n n 1 . Por´em a topologia gerada ´e obviamente a discreta pois D α [β] = {β} se β < α. Teorema 1.3.5. Existe uma estrutura uniforme em R que induz a topologia usual de R.

  Demonstra¸c˜ ao: Defina D ǫ = {(x, y) ∈ R × R; |x − y| < ǫ} para cada ǫ > 0. Seja,

  U = {U ⊂ R × R|U ⊃ D ǫ } para algum ǫ > 0. Afirmamos que U ´e uma fam´ılia de vizinhan¸cas diagonais sobre R . De fato:

  ⊂ U , da´ı veja que D ⊂ D

  1. Seja U ∈ U ent˜ao ∃ǫ > 0 tal que D ǫ ǫ e ∆ ⊂ D portanto ∆ ⊂ U ∀U ∈ U .

  2. Se U, V ∈ U ent˜ao existem ǫ , ǫ > 0 tais que D ǫ 1 ⊂ U e D ǫ 2 ⊂ V , assim

  1

  2 ⊂ D ∩ D ⊂ U ∩ V com ǫ = min{ǫ }.

  D ǫ ǫ 1 ǫ 2

  1 , ǫ

  2 ǫ

  3. Para todo U ∈ U ∃ǫ > 0 tal que D ǫ ⊂ U assim D ⊂ U . Mostremos que ǫ ǫ 2 D ◦ D ⊂ U . Veja que, 2 2 U ◦ U [x] = {y : (x, y) ∈ U ◦ U } = {y|∃z ∈ R; (x, z) ∈ U, (z, y) ∈ U } e ǫ ǫ ǫ ǫ ǫ ǫ D ◦ D [x] = {y : (x, y) ∈ D ◦ D } = {y|∃z ∈ R; (x, z) ∈ D , (z, y) ∈ D } 2 2 2 2 2 2 portanto ǫ ǫ

  D [x] = {y : (x, y) ∈ D } = {y : |y − x| < ǫ/2} 2 2 assim, ǫ ǫ D ◦ D [x] = {y : |x − z| < ǫ/2, |z − y| < ǫ/2} ⊂ {y : |y − x| < ǫ} = D ǫ [x] 2 2 para cada x ∈ R. Desse modo temos que ǫ ǫ ǫ ǫ D ◦ D ⊂ D ǫ 2 2 assim D ◦ D ⊂ U . 2 2

  4. Se U ∈ U ent˜ao para cada V tal que U ⊂ V temos que existe D ǫ ⊂ U ⊂ V ent˜ao V ⊂ U .

  Por fim, mostremos que topologia uniforme τ U gerada por U coincide com a topologia usual de R. De fato considere W ∈ τ U , sendo assim para cada x ∈ W ⊂ U para algum ǫ positivo temos que existe U ∈ U tal que U [x] ⊂ W . Por´em D ǫ assim (x − ǫ, x + ǫ) = D ǫ [x] ⊂ U [x] ⊂ W portanto W ´e aberto na topologia usual da reta. Por outro lado, considere um aberto qualquer O na topologia usual de R. Sendo assim para cada x ∈ O existe ǫ > 0 tal que (x − ǫ, x + ǫ) = D ǫ [x] ⊂ O. Desde que D ǫ ⊂ U temos que por defini¸c˜ao de τ U , O ∈ τ U

  Por 1,2,3 e 4 temos que U ´e um estrutura uniforme em R que induz a topologia usual.

  Segue logo abaixo a defini¸c˜ao de fun¸c˜ao uniformemente cont´ınua em espa¸cos uniformes.

  Defini¸c˜ ao 1.3.5. Sejam X, Y espa¸cos uniformes com estruturas uniformes da- das respectivamente por D,E . Uma fun¸c˜ao f: X → Y se diz uniformemente cont´ınua se para cada E ∈ E existe D ∈ D tal que (x, y) ∈ D ⇒ (f (x), f (y)) ∈ E.

  Sendo assim, vejamos. Teorema 1.3.6. Toda fun¸c˜ao uniformemente cont´ınua ´e cont´ınua

  Demonstra¸c˜ ao: Suponha X, Y e D, E estruturas uniformes de X e Y respec- tivamente e f : X → Y uma fun¸c˜ao uniformemente cont´ınua. Veja que E[f (x)] ´e uma vizinhan¸ca b´asica de f (x) para algum E ∈ E, pela continuidade uniforme existe D ∈ D de modo que (f (x), f (y)) ∈ E. Portanto f (D[x]) ⊂ E[f (x)] assim f ´e cont´ınua em x ∈ X.

  Defini¸c˜ ao 1.3.6. Uma aplica¸c˜ao f : X −→ Y se diz um homeomorfismo uni- forme se f ´e uniformemente cont´ınua com inversa tamb´em uniformemente cont´ınua.

  Obviamente pela defini¸c˜ao anterior temos a seguinte proposi¸c˜ao: Proposi¸c˜ ao 1.3.1. Todo homeomorfismo uniforme ´e homeomorfismo. Exemplo 1.3.8. Um homeomorfismo pode n˜ao ser uniforme. De fato considere a

  1

  seguinte fun¸c˜ao f : R −→ R definida por f (x) = e a sequˆencia de Cauchy x

  1

  } dada por { n∈N . Veja que f ´e homeomorfismo que n˜ao ´e uniforme, pois se fosse n

  1

  deveria levar sequˆencias de Cauchy em sequˆencias de Cauchy, por´em leva { } n∈N n em {n} n∈N a qual n˜ao ´e uma sequˆencia de Cauchy.

  Observa¸c˜ ao: Existem espa¸cos uniformes homeomorfos que n˜ao s˜ao uniforme- mente homeomorfos. Para o leitor mais interessado indicamos ([22],ex 39.E). Agora vejamos o conceito de equicontinuidade em espa¸cos uniformes:

  Defini¸c˜ ao 1.3.7. Seja X um espa¸co topol´ogico e Y um espa¸co uniforme. Uma fam´ılia F ⊂ C(X, Y ) de fun¸c˜oes cont´ınuas se diz equicont´ınua em x ∈ X se e somente se para cada D ∈ D com D estrutura uniforme de Y existir vizinhan¸ca U de x tal que f (U ) ⊂ D[f (x)] para qualquer f ∈ F. Dizemos que a fam´ılia F de fun¸c˜oes f : X −→ Y ´e equicont´ınua se for equicont´ınua em cada ponto de x ∈ X.

1.4 Fam´ılia de coberturas uniformes

  A partir de agora desenvolveremos a constru¸c˜ao de uma estrutura uniforme num espa¸co topol´ogico em termos de uma fam´ılia O de coberturas, e n˜ao mais em sub- conjuntos do produto cartesiano X × X . Em outras palavras, mostraremos ser poss´ıvel definir uma estrutura uniforme em X simplesmente listando coberturas para o espa¸co, as quais consistem de conjuntos de mesmo tamanho. Os resultados desta se¸c˜ao fornecer˜ao uma apresenta¸c˜ao alternativa da teoria de espa¸cos uniformes mais adequada aos prop´ositos do pr´oximo cap´ıtulo. Defini¸c˜ ao 1.4.1. Uma cobertura de um espa¸co uniforme (X, D) se diz uma cober- tura uniforme, se e somente, se pode ser refinada por uma cobertura da forma

  U D = {D[x]|x ∈ X} para algum D ∈ D.

  Defini¸c˜ ao 1.4.2. Se U ´e uma cobertura de X e A ⊂ X, a estrela de A com respeito a cobertura U ´e o conjunto: [ {U ∈ U|A ∩ U 6= ∅}.

  Defini¸c˜ ao 1.4.3. Se U e V s˜ao coberturas de X, dizemos que U ´e um refinamento estrela de V e escrevemos U∗ ≺ V, se e somente se para cada U ∈ U existe V ∈ V tal que St[U, U ] ⊂ V . Teorema 1.4.1. A cole¸c˜ao O de todas coberturas uniformes de um espa¸co (X, D) possui as seguintes propriedades: a) se U , U ∈ O, ent˜ao para algum U ∈ O,temos U ∗ ≺ U e U ∗ ≺ U ,

  1

  2 ′ ′

  

3

  3

  1

  3

  2 b) se U ≺ U e U ∈ O ent˜ao U ∈ O.

  Por outro lado, tome O uma fam´ılia de coberturas de um conjunto X que satisfaz S

  a) e b) ent˜ao a cole¸c˜ao de todos conjuntos da forma D U = {U × U |U ∈ U} com U ∈ O ´e base para uma estrutura uniforme em X cujas coberturas uniformes s˜ao precisamente os elementos de O.

  Sendo assim, os conceitos de fam´ılia de vizinhan¸cas diagonais e fam´ılia de co- berturas uniformes s˜ao equivalentes.

  Demonstra¸c˜ ao: Ver[22], Teorema 36.2, p´agina 244. Observa¸c˜ ao: Uma cobertura de um espa¸co m´etrico (X, d) ´e uniforme se ´e refi- nada por {B(x, r) : x ∈ X} para algum r > 0.

  Agora vejamos como ficam definidos os conceitos de base e sub-base em fun¸c˜ao da fam´ılia de coberturas uniformes. Defini¸c˜ ao 1.4.4. Uma base para uma estrutura uniforme O em X ´e uma sub- cole¸c˜ao O de O tal que ′ ′ ′ O = {U|U ≺ U : U ∈ O }.

  Defini¸c˜ ao 1.4.5. Qualquer fam´ılia de coberturas O de X que satisfaz o item a) da defini¸c˜ao 1.4.4 ´e base para uma estrutura uniforme em X. Defini¸c˜ ao 1.4.6. Uma sub-base para uma estrutura uniforme O ´e qualquer sub- cole¸c˜ao O de O para a qual cole¸c˜ao de todas interse¸c˜oes finitas de elementos de O formam uma base para O, com a interse¸c˜ao de coberturas definida por

  U ∧ V = {U ∩ V : U ∈ U, V ∈ V} Teorema 1.4.2. Uma estrutura uniforme ´e gerada por uma m´etrica d se e somente d d se as coberturas U = {U |x ∈ X} por ǫ- esferas, ǫ > 0 formam uma base. ǫ ǫ

1.5 Espa¸cos uniformes completos Nesta se¸c˜ao introduziremos conceitos relativos `a completude de espa¸cos uniformes.

  V´arios resultados ser˜ao listados, por´em n˜ao demonstrados, j´a que no Cap´ıtulo 3 faremos em detalhes praticamente todas demonstra¸c˜oes referentes `a completude de um espa¸co fazendo uso de de uma estrutura ainda mais geral do que a fam´ılia de coberturas uniformes, a saber, a fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas.

  Seguem algumas defini¸c˜oes e resultados: Defini¸c˜ ao 1.5.1. Seja O uma fam´ılia de coberturas uniformes em X e Λ um con- junto dirigido. Uma rede (x λ ) λ∈ ´e uma O-rede de Cauchy se e somente se para

  Λ

  cada U ∈ O existir λ ∈ Λ tal que x λ 1 , x λ 2 ∈ U toda vez que λ , λ > λ .

  1

  2 Sabemos que propriedade topol´ogica se, e somente se, ´e invariante por home-

  omorfismos, ao passo que propriedade m´etrica se, e somente se, ´e invariante por

  1

  isometrias. Considere novamente a fun¸c˜ao f : R −→ R definida por f (x) = e a x

  1

  } sequˆencia de Cauchy dada por { n∈N . Perceba que f ´e homeomorfismo, por´em leva n

  1

  a sequˆencia { } de Cauchy em {n} a qual n˜ao ´e de Cauchy. Dessa forma n n∈N n∈N conclu´ımos que ser de Cauchy n˜ao ´e propriedade topol´ogica. Obviamente ´e uma propriedade m´etrica (invariante por isometrias). Sabemos por teoria de espa¸cos m´etricos que se f : M −→ N ´e uniformemente cont´ınua, ent˜ao leva sequˆencia de Cauchy em sequˆencias de Cauchy. Desde que definimos homeomorfismo uniforme como uma aplica¸c˜ao uniformemente cont´ınua com inversa tamb´em uniformemente cont´ınua, ent˜ao temos que M ´e completo se, e somente se N ´e completo.

  Dessa forma conclu´ımos ent˜ao que ser completo ´e invariante por homeomorfismos uniformes. Buscando contextos mais gerais onde podemos falar em continuidade uniforme em ausˆencia de m´etricas, percebemos que o conceito de estrutura uniforme nos permite entres outras coisas dizer que P ´e propriedade uniforme, se e somente se, ´e invariante por homeomorfismos uniformes.

  Seguem alguns resultados e defini¸c˜oes envolvendo fam´ılia de coberturas uniformes Defini¸c˜ ao 1.5.2. Uma fam´ılia de coberturas uniformes O ´e totalmente limitada, se e somente se, admite uma base consistindo de coberturas finitas. Se X ´e um espa¸co munido de uma fam´ılia de coberturas uniformes totalmente limitada, dizemos Lema 1.5.1. X ´e totalmente limitado, se e somente, se cada rede em X possui sub-rede de Cauchy.

  Demonstra¸c˜ ao:Ver [22], Lema 39.8, p´agina 262. Teorema 1.5.1. Um espa¸co uniforme X ´e compacto, se e somente se, ´e completo e totalmente limitado.

  Demonstra¸c˜ ao:Ver [22], Teorema 39.9, p´agina 262. Teorema 1.5.2. Uma fun¸c˜ao uniformemente cont´ınua definida em um subconjunto A de um espa¸co uniforme X num espa¸co uniforme completo Y pode ser estendida a A

  Demonstra¸c˜ ao:Ver [22], Teorema 39.10, p´agina 262.

  Faremos mais adiante uma adapta¸c˜ao de tais resultados em fun¸c˜ao de uma fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas para o espa¸co.

  

CAP´ITULO 2

ESPAC ¸ OS TOPOL ´ OGICOS ADMISS´IVEIS

  A ideia central deste cap´ıtulo consiste em apresentar conceitos da teoria de fam´ılias admiss´ıveis de coberturas abertas .

  Neste cap´ıtulo apresentaremos um estudo em detalhes dos espa¸cos topol´ogicos admiss´ıveis, investigando suas principais propriedades e, al´em disso, forneceremos algumas demonstra¸c˜oes de resultados cl´assicos de espa¸cos uniformes adaptadas ao contexto da fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas.

  No intuito de nos familiarizarmos com a estrutura admiss´ıvel imposta por tal fam´ılia, apresentaremos v´arios exemplos de espa¸cos topol´ogicos que admitem fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas. Al´em do mais, mostraremos ser poss´ıvel caracte- rizar a topologia de um espa¸co atrav´es da fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas. Nesse sentido, uma fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas garante ao espa¸co to- pol´ogico propriedades muito similares, por´em ainda mais gerais do que as proprie- dades comuns a espa¸cos m´etricos.

  De fato, tal fam´ılia nos permite, construir certos abertos que se comportam como ǫ-vizinhan¸cas em espa¸cos m´etricos, possibilitando generalizar v´arios resultados da teoria de espa¸cos uniformes.

2.1 Fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas

  Come¸camos estabelecendo as devidas nota¸c˜oes: Defini¸c˜ ao 2.1.1. Se U e V s˜ao coberturas de X, dizemos que U refina V ou que U ´e um refinamento de V e escrevemos U ≺ V se, e somente se, cada U ∈ U est´a contido em algum V ∈ V.

  ´ E f´acil ver que a rela¸c˜ao de refinamento ´e uma rela¸c˜ao de pr´e ordem no conjunto de todas coberturas de X.

  De fato, 1) U ≺ U (propriedade reflexiva). 2) Se U ≺ V e V ≺ W ent˜ao U ≺ W (propriedade transitiva). Lema 2.1.1. Seja X conjunto e A ⊂ X um subconjunto de X. Se U ´e uma cobertura qualquer de X Ent˜ao:

  [ St[A, U ] = St[a, U ] a∈A

  Demonstra¸c˜ ao: Tome x ∈ St[A, U ]. Assim x ∈ U para algum U ∈ U tal que U ∩A 6= ∅. Portanto existe a ∈ A∩U , da´ı temos que x, a ∈ U ∈ U, logo x ∈ St[a, U ].

  [ Por outro lado tome x ∈ St[a, U ]. Ent˜ao x ∈ St[a, U ] para algum a ∈ A. Da´ı, a∈A temos que x, a ∈ U para algum U ∈ U . Desse modo, x ∈ U para algum U ∈ U tal que U ∩ A 6= ∅ ent˜ao x ∈ St[A, U ].

  Relembremos agora a seguinte defini¸c˜ao. Defini¸c˜ ao 2.1.2. Se U e V s˜ao coberturas de X, dizemos que U ´e um refinamento estrela de V e escrevemos U∗ ≺ V, se e somente se, para cada U ∈ U, existe V ∈ V tal que St[U, U ] ⊂ V . Defini¸c˜ ao 2.1.3. Se U e V s˜ao coberturas de X, dizemos que U ´e um refinamento

  1

  duplo de V e escrevemos U ≺ V, se e somente se, para quaisquer U , U ∈ U tais

  1

  2

  2 que U ∩ U 6= ∅ ent˜ao U ∪ U ⊂ V para algum V ∈ V.

  1

  2

  1

2 Segue abaixo uma importante proposi¸c˜ao que relaciona refinamentos do tipo

  Proposi¸c˜ ao 2.1.1. Todo refinamento estrela ´e um refinamento duplo.

  ∈ U tais que U ∩ U 6= ∅. Demonstra¸c˜ ao: Suponha que U∗ ≺ V. Sejam U

  1 , U

  2

  1

  2 Desde que U∗ ≺ V ent˜ao St[U , U ] ⊂ V para algum V ∈ V. Sendo assim, como

1 U ∩ U 6= ∅ temos que por defini¸c˜ao U ⊂ St[U , U ] ⊂ V . Portanto, U ∪ U ⊂

  1

  2

  

2

  1

  1

  2

  1 V.

  St[U

  1 , U ] ⊂ V . Desse modo, temos que U ≺

  2 Observa¸c˜ ao: Nem todo refinamento duplo ´e um refinamento estrela. Em outras

  palavras, a rec´ıproca da proposi¸c˜ao anterior n˜ao ´e v´alida. Considere a cobertura aberta (topologia usual) de R dada por: U = {(−n, n) : n ∈ N}.

1 Veja que U ≺ V pois dados U , U ∈ U na forma U n = (−n, n) e U m = (−m, m),

  1

  2

  2

  ∩ U 6= ∅ ent˜ao: com m, n ∈ N tais que U

  1

2 U ∪ U = U ⊂ U

  1

  2

  1

  1

  se n ≥ m ou U ∪ U = U ⊂ U

  1

  2

  2

  2

  se n ≥ m. Por´em U n˜ao ´e um refinamento estrela de V. Observe que para todo n ∈ N temos que U = (−1, 1) ⊂ U n = (−n, n, ) assim;

1 St[(U , U ] = St[(−1, 1), U ] = R.

  1

  ∈ U; Supondo U∗ ≺ U ter´ıamos que para U

1 St[U , U ] = R ⊂ U m

  1

  para algum m ∈ N, logo R ⊂ (−m, m) para algum m ∈ N, o que ´e um absurdo! Portanto, segue o resultado.

  O seguinte teorema nos ser´a ´ util na demonstra¸c˜ao de alguns resultados posteri- ores, sua demonstra¸c˜ao pode ser encontrada em [22].

  Teorema 2.1.1. Um espa¸co X ´e paracompacto T se, e somente se, toda cobertura

  1 aberta de X admite refinamento estrela.

  Demonstra¸c˜ ao: Ver[22], Teorema 20.14, p´agina 149. Defini¸c˜ ao 2.1.4. Seja Y ⊂ X um subconjunto aberto, suponha A ⊂ Y um sub- conjunto qualquer de Y . Uma cobertura U de X ´e dita A- subordinada a Y se St[A, U ] ⊂ Y .

  Vejamos agora a defini¸c˜ao de fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas. Defini¸c˜ ao 2.1.5. Uma fam´ılia O de coberturas abertas de X se diz admiss´ıvel se satisfaz as seguintes propriedades:

  1 1. Para cada U ∈ O, existe V ∈ O tal que V ≺ U.

  2

  2. Se Y ⊂ X ´e um aberto qualquer de X e K um compacto em X tal que K ⊂ Y , ent˜ao existe U ∈ O cobertura aberta de X de modo que U ´e K- subordinada a Y.

  3. Para quaisquer U , V ∈ O existe W ∈ O tal que W ≺ U e W ≺ V, ou seja, duas coberturas abertas quaisquer da fam´ılia O admitem refinamento simultˆaneo.

  Note que as propriedades 1 e 3 equivalem a seguinte: Dadas U , V ∈ O existe

  1

1 W ∈ O tal que W ≺ U e W ≺

  V. Sendo assim, temos uma defini¸c˜ao alternativa

  2

  2

  de fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas que nos ser´a ´ util em alguns casos mais adiante ao longo do texto.

  Observa¸c˜ ao: As propriedades 1 e 2 da defini¸c˜ao anterior garantem que as estre- las St[x, U ] para x ∈ X e U ∈ O formam uma base para uma topologia em X,(Ver proposi¸c˜ao [2.2.1]) enquanto que a propriedade 3 assegura que a fam´ılia O ´e um conjunto dirigido segundo a rela¸c˜ao de pr´e ordem por refinamentos.

  

2.2 Espa¸cos topol´ ogicos admiss´ıveis - defini¸c˜ oes e

exemplos

  Nesta se¸c˜ao definiremos espa¸cos topol´ogicos admiss´ıveis e daremos alguns exemplos. Defini¸c˜ ao 2.2.1. Dizemos que um espa¸co topol´ogico X ´e admiss´ıvel se admitir fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas.

  Em resultados que envolverem mais de um espa¸co topol´ogico admiss´ıvel, diga- coberturas abertas de X e Y respectivamente. Caso contr´ario, se X for o ´ unico espa¸co topol´ogico admiss´ıvel envolvido, indicaremos uma fam´ılia admiss´ıvel para X simplesmente por O. Defini¸c˜ ao 2.2.2. Uma base para uma fam´ılia admiss´ıvel O em X ´e qualquer sub- cole¸c˜ao O de O tal que ′ ′ ′ O = {U : U ≺ U : U ∈ O }.

  Proposi¸c˜ ao 2.2.1. Considere X um espa¸co topol´ogico admiss´ıvel com O fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas. A cole¸c˜ao {St[x, U]|x ∈ X, U ∈ O} ´e uma base para uma topologia em X.

  Demonstra¸c˜ ao: Veja que, por defini¸c˜ao, para todo x ∈ X e U ∈ O, temos que St[x, U ] ´e aberta, por ser uni˜ao de abertos de X. Verifiquemos as condi¸c˜oes de base: • Para todo x ∈ X veja que x ∈ St[x, U].

  • Sejam St[x, U], St[y, V] elementos da fam´ılia {St[x, U]|x ∈ X, U ∈ O} tais que

  St[x, U ] ∩ St[y, V] 6= ∅. Tome z ∈ St[x, U ] ∩ St[y, V]. Desde que os conjuntos St[x, U ], St[y, V] s˜ao abertos por defini¸c˜ao, aplicando a condi¸c˜ao 2) de fam´ılia admiss´ıvel ao compacto {z} ⊂ St[x, U ] ∩ St[y, V] temos que existe W ∈ O tal que St[z, W ] ⊂ St[x, U ]∩St[y, V]. Portanto, a cole¸c˜ao {St[x, U ]|x ∈ X, U ∈ O} ´e base para uma topologia em X.

  Teorema 2.2.1. Considere (X, τ ) um espa¸co topol´ogico admiss´ıvel com O fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas. Um subconjunto U ⊂ X ´e aberto se, e somente se, para cada x ∈ U existe U ∈ O tal que St[x, U ] ⊂ U . Ou seja, a topologia gerada pela base {St[x, U ]|x ∈ X, U ∈ O} coincide com a topologia j´a existente no espa¸co.

  Demonstra¸c˜ ao: Sejam U aberto em X e x ∈ U . Pela condi¸c˜ao 2) de fam´ılia admiss´ıvel existe U x ∈ O tal que U x ´e {x}-subordinada ao aberto U , ou seja, [ [ St[x, U ] ⊂ U , logo U ⊂ St[x, U ] ⊂ U assim U = St[x, U ]. x x

  Pelas duas proposi¸c˜oes anteriores perceba que a topologia de um espa¸co ad- miss´ıvel ´e caracterizada pelos conjuntos St[x, U ]. Em resumo, tais conjuntos cum- prir˜ao papel similar ao desempenhado pelas bolas em espa¸cos m´etricos.

  Segue logo abaixo um importante teorema de caracteriza¸c˜ao de espa¸cos Hausdorff paracompactos.

  Teorema 2.2.2. Se X ´e um espa¸co topol´ogico Hausdorff paracompacto ent˜ao a fam´ılia de todas coberturas abertas de X ´e admiss´ıvel.

  Demonstra¸c˜ ao: Tome X um espa¸co Hausdorff paracompacto e denote por O(X) a fam´ılia de todas coberturas abertas de X. Como X ´e paracompacto Haus- dorff, X ´e paracompacto T

  1 , portanto, pelo Teorema 2.1.1, temos que para cada

  1 U ∈ O(X) existe V ∈ O(X) tal que V∗ ≺ U. Pela Proposi¸c˜ao 2.1.1, V ≺ U .

  2 Agora, considere Y ⊂ X um subconjunto aberto de X e K ⊂ Y um compacto

  contido em Y. Por hip´otese, X ´e Hausdorff, e K compacto implica K fechado , assim U = {Y, X \ K} ´e uma cobertura aberta de X. Tome V ⊂ O(X) tal que V∗ ≺ U. Se V ∈ V com K ∩ V 6= ∅, ent˜ao V ⊂ / X \ K o que implica que V ⊂ Y , portanto St[K, V] ⊂ Y , da´ı V ´e K subordinada a Y . Por fim, veja que se U , V ∈ O(X), ent˜ao U ∧ V ≺ U e U ∧ V ≺ V, portanto a fam´ılia O(X) ´e admiss´ıvel.

  Exemplo 2.2.1. Se X ´e um espa¸co topol´ogico Hausdorff compacto ent˜ao a fam´ılia O f de todas coberturas abertas finitas de X ´e admiss´ıvel.

  De fato, todo espa¸co Hausdorff compacto ´e paracompacto T e toda cobertura

  1 aberta admite uma subcobertura finita.

  Reproduziremos a demonstra¸c˜ao do lema abaixo no intuito de tornar o texto mais claro, por´em a mesma pode ser encontrada em ([14],Cap´ıtulo 2, p´agina 42).

  Lema 2.2.1. Seja (X, d) um espa¸co m´etrico. Para todo ǫ > 0 e Y ⊂ X temos as inclus˜oes: ǫ St[Y, U ] ⊂ B(Y, ǫ) ⊂ St[Y, U ǫ ] 2

  ǫ

  Demonstra¸c˜ ao: Mostremos primeiramente que: St[Y, U ] ⊂ B(x, ǫ). De fato ǫ ǫ ǫ 2 tome a ∈ St[Y, U ] assim a ∈ B(x, ) tal que B(x, ) ∩ Y 6= ∅. Assim existe y ∈ Y 2 ǫ

  2

  2

  tal que y ∈ B(x, ) logo por desigualdade triangular;

  2

  ǫ ǫ + d(a, y) ≤ d(a, x) + d(x, y) < = ǫ.

  2

  2 Por fim, veja que dessa forma temos: d(a, Y ) = inf {d(a, y); y ∈ Y } ≤ d(a, y) < ǫ ent˜ao a ∈ B(Y, ǫ) = {x|d(x, Y ) < ǫ}. Mostremos agora que B(Y, ǫ) ⊂ St[Y, U ǫ ].

  ∈ St[Y, U Suponha a / ǫ ] ent˜ao o elemento a n˜ao pertence a qualquer bola de raio ǫ que intercepte Y . Em especial a / ∈ B(y, ǫ) para todo y ∈ Y , ou seja, d(a, y) ≥ ǫ para todo y ∈ Y . Consequentemente, temos que ǫ ´e uma cota inferior para o conjunto {d(a, y); y ∈ Y } assim por defini¸c˜ao de ´ınfimo: d(a, Y ) = inf {d(a, y); y ∈ Y } ≥ ǫ.

  Portanto a / ∈ B(Y, ǫ), e est´a demonstrado o lema.

  O pr´oximo exemplo nos mostra que espa¸cos m´etricos s˜ao admiss´ıveis.(Ver [13], exemplo 3, p´agina 160) e ([14],Cap´ıtulo 2 p´agina 42, Lema 2.4) Exemplo 2.2.2. Seja (X, d) um espa¸co m´etrico, assim a fam´ılia O d de todas co- berturas U ǫ = {B(x, ǫ) : x ∈ X} com ǫ > 0 ´e admiss´ıvel. ǫ 1 ǫ ǫ ǫ

  Se U ǫ ∈ O d ent˜ao U ≺ U ǫ . De fato, considere B(x , ), B(x , ) ∈ U tais que 2

  1

  2 2 ǫ ǫ ǫ ǫ ǫ

  2

  2

  2 B(x 1 , ) ∩ B(x 2 , ) 6= ∅, logo existe z ∈ B(x 1 , ) e z ∈ B(x 2 , ) assim d(z, x 1 ) <

  2 ǫ ǫ ǫ

  2

  2

  2

  2

  e d(z, x ) < , portanto B(x , ) ∪ B(x , ) ⊂ B(z, ǫ) ∈ U ǫ , pois se tivermos: a ∈

  2

  1

  2 ǫ ǫ ǫ ǫ

  2

  2

  

2

+ B(x , ) ∩ B(x , ) ent˜ao d(a, z) ≤ d(a, x ) + d(x , z) < = ǫ assim a ∈ B(z, ǫ).

  1

  1

  

1

  1

  2 ǫ

  2 ǫ ǫ

  2

  2 Se a ∈ B(x 2 ,

2 ) + d(x

2 , z) < = ǫ assim a ∈ B(z, ǫ).

  • ) ent˜ao d(a, z) ≤ d(a, x

  2 ǫ ǫ

  2

  2 ǫ ǫ

  • Por fim, Se a ∈ B(x , ) ∩ B(x , ) ent˜ao d(a, z) ≤ d(a, x ) + d(x , z) < = ǫ

  1

  2

  1

  1

  2

  2

  2

  2 logo a ∈ B(z, ǫ). Seja U aberto em (X, d) e K ⊂ U um compacto contido em U .

  Defina o fechado F = X \ U e a seguinte fun¸c˜ao cont´ınua : g : K −→ R g(a) = d(a, F ).

  Observe que g(a) > 0 para todo a ∈ F pois se g(a) = 0 para algum a ∈ F d(a, F ) = 0 ent˜ao a ∈ F = F ent˜ao a ∈ F absurdo! desde que F ∩ K = ∅. Como g ´e cont´ınua definida num compacto assume valor m´ınimo digamos ǫ = min{g(a); a ∈ K}.

  Sendo assim , temos que ǫ > 0 e B(K, ǫ) ⊂ U . De fato B(K, ǫ) ∩ F = ∅, portanto B(K, ǫ) est´a contido no complementar de F logo B(K, ǫ) ⊂ U . Fazendo uso do ǫ ǫ lema anterior temos que St[K, U ] ⊂ B(K, ǫ) ⊂ U ent˜ao St[K, U ] ⊂ U . Sejam 2 2 U ǫ 1 e U ǫ 2 coberturas de X por ǫ , ǫ -bolas. Assim tome ǫ = min{ǫ , ǫ }, ent˜ao

  1

  2

  1

  2 U ǫ ≺ U ǫ 1 e U ǫ ≺ U ǫ 2 . De fato, seja B(x, ǫ) ⊂ U ǫ . Assim B(x, ǫ) ⊂ B(x, ǫ ) ∈ U ǫ 1 e

  1 B(x, ǫ) ⊂ B(x, ǫ ) ∈ U ǫ 1 .

  2

2.3 Propriedades gerais dos espa¸cos admiss´ıveis

  Nesta se¸c˜ao investigaremos as principais propriedades topol´ogicas dos espa¸cos ad- miss´ıveis.

  Teorema 2.3.1. Seja X um espa¸co topol´ogico admiss´ıvel e O(X) uma fam´ılia ad- miss´ıvel de coberturas abertas para X. Tome Y ⊂ X um subespa¸co topol´ogico de X com a topologia induzida, para cada U ∈ O(X) defina:

  U Y = {U ∩ Y |U ∈ U} Ent˜ao

  O(Y ) = {U Y |U ∈ O(X)} ´e uma fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas para Y .

  Demonstra¸c˜ ao: Primeiramente observe que, as coberturas U Y ∈ O(Y ) s˜ao abertas em Y . Veja que os elementos U ∩ Y ∈ U Y s˜ao abertos em Y , para qualquer U ∈ O(X) j´a que U ∈ U com U cobertura aberta de X.

  ∈ O(Y ) uma cobertura qualquer de O(Y ). Como X ´e admiss´ıvel

  1. Tome U Y

  1

  1

  existe V ∈ O(X) tal que V ≺ U. Afirmamos que V Y ≺ U Y . De fato, sejam

  2

  2

  (V ∩ Y ), (V ∩ Y ) ∈ U Y tais que (V ∩ Y ) ∩ (V ∩ Y ) 6= ∅ logo V ∩ V 6= ∅ por´em

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  1

  ∈ V com V ≺ U temos que V ∪ V ⊂ U para algum U ∈ U. Por fim

  V

  1 , V

  2

  1

  2

  2

  2. Seja A ∩ Y um aberto qualquer de Y e K ⊂ A ∩ Y um compacto qualquer contido nesse aberto. Por defini¸c˜ao de topologia induzida temos que A ´e aberto em X. Desde que K ⊂ A ∩ Y assim K ⊂ A, como X ´e admiss´ıvel existe U ∈ O(X) tal que St[K, U ] ⊂ A. Considere U Y ∈ O(Y ). Afirmamos que St[K, U Y ] ⊂ A ∩ Y . De fato seja a ∈ St[K, U Y ] ent˜ao a ∈ U ∩ Y para algum U ∩ Y ∈ U Y com U ∈ U, tal que x ∈ U ∩ Y para algum x ∈ K. Dessa forma, temos que a, x ∈ U ∈ U e a, x ∈ Y . Portanto a ∈ St[K, U ] ⊂ A da´ı a ∈ A, e desde que a ∈ Y , teremos que a ∈ U ∩ Y .

  3. Sejam U Y , V Y ∈ O(Y ) assim U, V ∈ O(Y ). Desde que O(Y ) ´e uma fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas para X temos que existe W ∈ O(X) tal que W ≺ U e W ≺ V. Afirmamos que W ≺ U ≺ V Y Y e W Y Y . De fato seja W ∩ Y ∈ W Y , com W ∈ W por´em W ≺ U ent˜ao W ⊂ U para algum U ∈ U . Portanto W ∩ Y ⊂ U ∩ Y com U ∩ Y ∈ U Y , assim W Y ≺ U Y . Do mesmo modo, tomemos W ∩ Y ∈ W Y , com W ∈ W. Por´em W ≺ V ent˜ao W ⊂ V para algum V ∈ V, e portanto, W ∩ Y ⊂ V ∩ Y com U ∩ Y ∈ V Y . Assim W Y ≺ V Y .

  Veja que pelo teorema anterior temos que subespa¸cos de espa¸cos topol´ogicos admiss´ıveis tamb´em s˜ao admiss´ıveis, ou seja, uma fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas sobre o espa¸co X, induz de maneira natural uma fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas sobre o subespa¸co Y .

  Lema 2.3.1. Sejam X, Y espa¸cos topol´ogicos admiss´ıveis e O(X) e O(Y ) suas respectivas fam´ılias admiss´ıveis de coberturas abertas. Para quaisquer U ⊂ X, V ⊂ Y , U ∈ O(X) e V ∈ O(Y ) temos que:

  St[U × V, U × V] = St[U, U ] × St[V, V] Demonstra¸c˜ ao: Tome (x, y) ∈ St[U × V, U × V] ent˜ao (x, y) ∈ U × V ∈ U × V x y para algum U x × V y ∈ U × V tal que (U x × V y ) ∩ (U × V ) 6= ∅. Logo existe

  (z, w) ∈ (U x ×V y )∩(U ×V ). Da´ı z ∈ U x ∩U e w ∈ V y ∩V portanto x ∈ U x ∈ U tal que U ∩U 6= ∅ e y ∈ V ∈ V tal que V ∩V 6= ∅. Dessa forma, x ∈ St[U, U] e y ∈ St[V, V] x y y portanto (x, y) ∈ St[U, U ] × St[V, V] assim St[U × V, U × V] ⊂ St[U, U ] × St[V, V]. Reciprocamente tome (x, y) ∈ St[U, U ] × St[V, V], ent˜ao x ∈ St[U, U ] e y ∈ St[V, V] assim x ∈ U x ∈ U para algum U x ∈ U tal que U x ∩ U 6= ∅ logo existe z ∈ U x ∩ U . De mesmo modo, y ∈ V y ∈ V tal que V y ∩V 6= ∅ logo existe w ∈ V y ∩V . Dessa maneira o

  ×V ∩V ×U ∩V . Portanto (x, y) ∈ U ×V ∈ U ×V par (z, w) ∈ (U x y )∩(U ×V ) = U x y x y com U x × V y ∩ U × V 6= ∅ ent˜ao (x, y) ∈ St[U × V, U × V].

  Observa¸c˜ ao: Assim como espa¸cos uniformes, existem tamb´em espa¸cos ad- miss´ıveis homeomorfos que n˜ao s˜ao uniformemente homeomorfos.

  Teorema 2.3.2. Sejam X um espa¸co topol´ogico admiss´ıvel e O(X) uma fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas de X. Considere Y um espa¸co homeomorfo a X. Ent˜ao Y ´e admiss´ıvel.

  Demonstra¸c˜ ao: Seja f : X −→ Y um homeomorfismo entre os espa¸cos to- pol´ogicos X e Y . Suponha X admiss´ıvel, e O(X) uma fam´ılia admiss´ıvel de co- berturas abertas para X. Para cada U ∈ O(X) defina f (U ) = {f (U )|U ∈ U }. Induzindo a fam´ılia admiss´ıvel, os espa¸cos s˜ao uniformemente homeomorfos. As- sim a cole¸c˜ao O(Y ) = {f (U )|U ∈ O(X)} ´e uma fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas para Y . Primeiramente note que f ´e sobrejetora ent˜ao f (X) = Y , desde

  [ [ X = U ent˜ao Y = f (X) = f (U ) para cada U ∈ O(X). Dessa forma, para U ∈U U ∈U cada U ∈ O(X) temos que f (U ) ´e uma cobertura para Y . Por outro lado, temos que os elementos f (U ) ∈ f (U ) s˜ao abertos, pois cada U ∈ U ´e aberto, j´a que U ´e uma cobertura aberta da fam´ılia O(X). Agora, como f ´e homeomorfismo, portanto uma aplica¸c˜ao aberta temos que f (U ) ´e aberto logo f (U ) ´e uma cobertura aberta de Y para cada U ∈ O(X). Mostremos que O(Y ) ´e admiss´ıvel.

  1. Seja f (U ) ∈ O(Y ). Desde que O(X) ´e fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas

  1

  1 para X, considere V ∈ O(X) tal que V ≺ U. Afirmamos que: f (V) ≺ f (U ).

  2

  2 De fato, sejam f (V 1 ), f (V

2 ) ∈ f (V) tais que f (V

1 ) ∩ f (V 2 ) 6= ∅. Logo exite y =

  f (x ) = f (x ) com x ∈ V e x ∈ V desde que f ´e bije¸c˜ao temos que x = x

  1

  2

  1

  1

  2

  

2

  1

  2

  1

  assim V ∩ V 6= ∅. Como V ≺ U ent˜ao V ∪ V ⊂ U da´ı f (V ∪ V ) ⊂ f (U )

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  2

  ∪ V para algum U ∈ U , portanto f (V

  1 ) ∪ f (V 2 ) ⊂ f (V

  1 2 ) ⊂ f (U ) para algum

  2. Tome A ⊂ Y um aberto qualquer em Y e K ⊂ A um compacto contido no

  1

  aberto A. Desde que f : X −→ Y ´e homeomorfismo ent˜ao f : Y −→ X

  1

  ´e cont´ınua, da´ı como K ⊂ Y ´e compacto temos que f (K) ´e compacto em − −

  1

  1 X. Por outro lado, K ⊂ A ent˜ao f (K) ⊂ f (A) como f ´e cont´ınua e A

  1

  ´e aberto em Y assim teremos f (A) aberto em X. Desse modo temos um − −

  1

  1

  compacto f (K) contido num aberto f (A) de X, portanto, desde que X ´e

  1

  admiss´ıvel, aplicando a condi¸c˜ao 2 de fam´ılia admiss´ıvel ao compacto f (K) − − −

  1

  1

  1 contido no aberto f (A) existe U ∈ O(X) tal que St[f (K), U ] ⊂ f (A).

  Afirmamos mais uma vez que St[K, f (U )] ⊂ A. Seja y ∈ St[K, f (U )], ent˜ao existe x ∈ K tal que y, x ∈ f (U ) ∈ f (U ) para algum U ∈ U ; ent˜ao y = f (x )

  1

  1

  ∈ U . Logo x ∈ St[f ∈ U e e x = f (x 2 ) com x 1 , x

  2 1 (K), U ] desde que x − − 1 , x

  2

  1

  1

  1

  x ∈ f (K), j´a que f (x ) = x ∈ K. Agora como St[f (K), U ] ⊂ f (A) da´ı

  2

  2

  1 x ∈ f (A), portanto y = f (x ) ∈ A e est´a demonstrado.

  1

  1

  3. Sejam f (U ) e f (V) ∈ O(Y ), assim U , V ∈ O(X). Desde que O(X) ´e uma fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas para X existe W ≺ U e W ≺ V.

  Afirmamos que f (W) ≺ f (U ) e f (W) ≺ f (V). Considere f (W ) ∈ f (W) ent˜ao W ∈ W, por´em W ≺ U assim W ⊂ U para algum U ∈ U . Assim temos que f (W ) ⊂ f (U ) ∈ f (U ), portanto, f (W) ≺ f (U ). De mesmo modo, tome f (W ) ∈ f (W) ent˜ao W ∈ W, por´em W ≺ V assim W ⊂ V para algum V ∈ V assim f (W ) ⊂ f (V ) ∈ f (V) portanto f (W) ≺ f (V). Assim conclu´ımos que O(Y ) ´e uma fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas para Y , sendo assim Y ´e admiss´ıvel.

  Agora provaremos que o produto cartesiano finito de espa¸cos admiss´ıveis ´e ad- miss´ıvel. Teorema 2.3.3. Sejam X, Y espa¸cos topol´ogicos admiss´ıveis munidos respectiva- mente com as fam´ılias admiss´ıveis O(X) e O(Y ). Dados U ∈ O(X) e V ∈ O(Y ), defina

  U × V = {U × V : U ∈ U, V ∈ V} Ent˜ao a fam´ılia

  ´e uma fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas para X × Y .

  Demonstra¸c˜ ao: 1) Seja U ×V, um elemento qualquer de O(X ×Y ). Assim U ∈ O(X) e V ∈ O(Y ). Temos por hip´otese que O(X) e O(Y ) s˜ao fam´ılias admiss´ıveis de coberturas abertas ′ ′ ′

  1

  de X, Y respectivamente, logo existem U ∈ O(X) e V ∈ O(Y ) tais que U ≺ U e

′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

  2

  1

  1 V ≺

  V. Afirmamos que U × V ≺ U × V. De fato tomemos U × V , U × V ∈

  1

  1

  2

  2 ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

  2

  2 U × V × V × V ∩ U 6= ∅ e V ∩ V 6= ∅,

  tais que (U ) ∩ (U ) 6= ∅ da´ı teremos que U

  1 ′ ′ ′

  1

  2

  2

  1

  2

  1

  2

1 Por´em temos que U ≺ U logo U ∪ U ⊂ U ∈ U para algum U ∈ U. De modo

  1

  

2

′ ′ ′

  2

  1

  inteiramente an´alogo V ≺ V logo V ∪ V ⊂ V ∈ V para algum V ∈ V. Por fim

  1

  2 ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′

  2

  × V × V ∪ U ∪ V veja que: (U ) ∪ (U ) ⊂ (U ) × (V ) ⊂ U × V ∈ U × V. Dessa

  1

  1

  2

  2

  1

  2

  1

  2 forma mostramos ser v´alida a condi¸c˜ao 1 de fam´ılia admiss´ıvel. ′ ′

  3) Sejam U × V , U × V ∈ O(X × Y ). Ent˜ao por defini¸c˜ao da fam´ılia de ′ ′ ∈ O(X) e V, V ∈ O(Y ). Como O(X) e O(Y ) coberturas O(X × Y ) temos que U , U s˜ao fam´ılias admiss´ıveis de coberturas abertas para X, Y respectivamente temos que ′ ′ existe U ∈ O(X) e V ∈ O(Y ) tais que U ≺ U, U e V ≺ V, V . Afirmamos que ′ ′

  U × V ≺ U × V, U × V × V ∈ U × V ∈ U ∈ V . De fato, se U ent˜ao U e V . Como U ≺ U temos que U ∈ U ∈ U, para algum U ∈ U. Analogamente, V ≺ V, da´ı V ⊂ V ∈ V, para algum V ∈ V. Portanto U × V ⊂ U × V ∈ U × V, assim ′ ′

  U × V ≺ U × V. De modo inteiramente an´alogo mostra-se que U × V ≺ U × V .

  2) Seja K ⊂ N ⊂ X × Y um compacto contido em um aberto qualquer N do espa¸co produto X × Y . Tome (x, y) ∈ K ⊂ N . Desde que N ´e aberto em X × Y existe um aberto b´asico na topologia produto digamos U x,y × V x,y com U x,y aberto em X e V aberto em Y , tal que (x, y) ∈ U × V ⊂ N . Assim x ∈ U ⊂ X x,y x,y x,y x,y e desde que X ´e admiss´ıvel existe uma cobertura aberta U x,y ∈ O(X) a qual ´e

  {x}-subordinada ao aberto U x,y , ou seja, St[x, U x,y ] ⊂ U x,y . De mesm´ıssimo modo temos y ∈ V ⊂ Y , e desde que Y ´e admiss´ıvel existe uma cobertura aberta x,y V x,y ∈ O(Y ) a qual ´e {y}-subordinada ao aberto V x,y , ou seja, St[y, V x,y ] ⊂ V x,y .

  Portanto, temos que St[x, U x,y ] × St[y, V x,y ] ⊂ U x,y × V x,y . Usando o Lema 2.3.1, temos que St[(x, y), U × V ] = St[x, U ] × St[y, V ] e desde que St[x, U ] × x,y x,y x,y x,y x,y St[y, V x,y ] ⊂ U x,y × V x,y ⊂ N ent˜ao St[(x, y), U x,y × V x,y ] ⊂ N . Pela condi¸c˜ao 1 ∗ ∗ ∗ ∗

  1 j´a mostrada, tomemos U × V ∈ O(X × Y ) tal que U × V ≺ U x,y × V x,y . x,y x,y x,y x,y

  2

  [ ∗ ∗ Veja que K ⊂ St[(x, y), U × V ]. Como K ´e compacto, extra´ımos uma x,y x,y n

  [ ∗ ∗ × V subcobertura finita, digamos K ⊂ St[(xi, yi), U ]. Considere agora, ∗ ∗ i =1 xi,yi xi,yi

  U × V ≺ U × V xi,yi xi,yi para todo i = {1, ..., n}. Afirmamos que St[K, U × V] ⊂ N . De fato, tomemos (z, w) ∈ St[K, U × V]. Assim existe U × V ∈ U × V tal que ∗ ∗ (z, w), (x, y) ∈ U × V com (x, y) ∈ K. Repare que U × V ≺ U × V para ∗ ∗ xi,yi xi,yi

  × V × V ∈ U × V todo i, portanto U × V ⊂ U i i para algum U i i . Assim ∗ ∗ xi,yi xi,yi (z, w), (x, y) ∈ U i × V i ∈ U × V . Por outro lado, note que (x, y) ∈ K ⊂ n xi,yi xi,yi [ ∗ ∗ ′ ′ ∗ ∗ i St[(xi, yi), U × V ] ent˜ao temos que (x, y), (xi, yi) ∈ U × V ∈ U × V xi,yi xi,yi i i xi,yi xi,yi

  =1 ′ ′

  para algum i. Sendo assim, temos que (x, y) ∈ U i × V i e (x, y) ∈ U × V ent˜ao ′ ′ ∗ ∗ ′ i i

  1 U i × V i ∩ U × V 6= ∅. Como U × V ≺ U xi,yi × V xi,yi logo U i × V i ∪ U × i i xi,yi xi,yi i

  2

  ∈ Z × W para algum Z × W ∈ U × V V xi,yi xi,yi ent˜ao desde que (z, w), (x i , y i ) ∈ i ′ ′ U i × V i ∪ U × V temos que (z, w), (x i , y i ) ∈ Z × W ∈ U xi,yi × V xi,yi . Desse modo, i i (z, w) ∈ St[(xi, yi), U xi,yi × V xi,yi ] ⊂ U xi,yi × V xi,yi ⊂ N . Logo U × V ∈ O(X × Y ) ´e K-subordinada ao aberto N . Por 1,2 e 3 o produto cartesiano de dois espa¸cos admiss´ıveis ´e admiss´ıvel.

  Do teorema anterior temos o seguinte corol´ario: Corol´ ario 2.3.1. O produto cartesiano finito de espa¸cos topol´ogicos admiss´ıveis ´e admiss´ıvel

  Demonstra¸c˜ ao: Como X × ... × X n = (X × ... × X n− ) × X n , o corol´ario

  1

  1

  1 resulta de sucessivas aplica¸c˜oes do teorema anterior.

  Segue uma importante caracteriza¸c˜ao de espa¸cos admiss´ıveis a qual julgamos ser o resultado mais importante deste trabalho. Teorema 2.3.4. Um espa¸co X ´e uniformiz´avel se, e somente se, ´e admiss´ıvel.

  Demonstra¸c˜ ao: Tomemos O uma base para uma fam´ılia de coberturas unifor- mes em X. Afirmamos que O ´e uma fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas para

  X. De fato, por defini¸c˜ao de cobertura uniforme temos que:

  1. Para quaisquer U ,U ∈ O existe algum U ∈ O tal que U ∗ ≺ U e U ∗ ≺ U

  1

  2

  3

  3

  1

  3

  2

  1

  1

  ≺ U ≺ U da´ı temos que U

  3 1 e U

  3 2 pois refinamentos do tipo estrela implicam

  2

  2

  2. Seja Y ⊂ X um aberto de X e K ⊂ Y um compacto qualquer de X contido em Y . Sabemos que os conjuntos da forma St[x, U ] para algum U ∈ O formam uma vizinhan¸ca b´asica em x na topologia uniforme de X. Sendo assim, para cada x ∈ K, existe U x ∈ O tal que St[x, U x ] ⊂ Y . Considere U x

2 U

  algum W ∈ W. Desde que W ≺

  ∈ U

  3

  para algum U

  3

  temos que W ⊂ U

  3

  1

  ∈ U

  3 . Por outro lado temos que z ∈ St[y, W] e portanto z, y ∈ W para

  . Dessa forma z, y ∈ U

  3

  . Dessa forma y, x ∈ U

  3

  ∈ U

  3

  para algum U

  3

  3

  3

  

2

  2 U

  1 . Logo z, x ∈ U ∈ U 1 e assim z ∈ St[x, U 1 ] ∈ B U 1 W

  ⊂ U para algum U ∈ U

  3

  ∪ U

  3

  temos que U

  1

  1

  ∈ U

  ≺

  3

  6= ∅. Como U

  3

  ∩U

  3

  . Sendo assim, veja que U

  3

  ⊂ U

  ∪ W

  1

  xi ent˜ao temos que U i ∪ U i ∈ U xi para algum U xi ∈ U xi portanto z, xi ∈ U xi ∈ U xi logo z ∈ St[xi, U xi ], como St[xi, U xi ] ⊂ Y segue o resultado. Por outro lado, seja uma fam´ılia admiss´ıvel O de coberturas abertas de X. Para cada U ∈ O defina a seguinte cobertura aberta de X:

  ∈ O tal que U

  3

  ∈ O. Desde que O ´e admiss´ıvel, considere U

  2

  , U

  1

  Seja B O = {B U : U ∈ O} a fam´ılia de todas as coberturas abertas do espa¸co topol´ogico X por U -vizinhan¸cas. Mostremos que B O ´e uma base para um estrutura uniforme em X. Sejam B U 1 , B U 2 ∈ B O . Assim U

  B U = {St[x, U ] : x ∈ X}

  1

  1

  St[xi, U xi ] da´ı x, xi ∈ U i ∈ U xi para algum i. Assim x ∈ U i e x ∈ U i portanto U i ∩ U i 6= ∅. Agora como U xi

  =1

  [ i

  [ i =1 St[xi, U xi ] . Agora tome V ≺ U xi para todo i ∈ {1, ..., n}. Afirmamos que St[K, V] ⊂ Y . De fato, se z ∈ St[K, V], ent˜ao existe x ∈ K tal que z, x ∈ V para algum V ∈ V. Desde que V ≺ U xi temos que para todo i ∈ {1, ..., n}, V ∈ U i para algum U i ∈ U xi . Por outro lado, x ∈ K ⊂ n

  K. Desde que K ´e compacto, considere uma subcobertura finita digamos K ⊂ n

  [ x∈K St[x, U x ] ´e uma cobertura aberta de

  com U x ∈ O. Agora veja K ⊂

  2 U x

  3

  ≺

  1

  2 U 1 e U

  temos que W

  3

  1

  6= ∅ e desde que W ≺

  2

  ∩ W

  1

  ∈ W. Desse modo W

  2

  ∈ W e a, x ∈ W

  1

  Afirmo que B W ∗ ≺ B U 1 . De fato, tome St[x, W] ∈ B W um elemento qualquer da cobertura B W e z ∈ St[St[x, W], B W ]. Ent˜ao z ∈ St[y, W] para algum St[y, W] ∈ B W tal que St[y, W] ∩ St[x, W] 6= ∅. Logo existe a ∈ X tal que a ∈ St[y, W] e a ∈ St[x, W]. Da´ı a, y ∈ W

  2 U 3 .

  1

  2 U 2 . Seja W ∈ O tal que W ≺

  1

  ≺

  

3

2 U

2 U

  U

  B 2 . Conclu´ımos assim que X ´e um espa¸co topol´ogico uniformiz´avel.

  Desde que o produto cartesiano arbitr´ario de espa¸cos uniformiz´aveis ´e unifor- miz´avel (Ver [22], Teorema 37.5, p´agina 252) temos pelo Teorema 2.3.4 que o produto cartesiano arbitr´ario de espa¸cos admiss´ıveis tamb´em ´e admiss´ıvel.

  A proposi¸c˜ao abaixo generaliza o resultado de que todo espa¸co pseudom´etrico T ´e um espa¸co m´etrico.

  Proposi¸c˜ ao 2.3.1. Se X ´e um espa¸co admiss´ıvel T ent˜ao X ´e Hausdorff.

  Demonstra¸c˜ ao: Considere O uma fam´ılia de coberturas abertas admiss´ıvel de X e x, y ∈ X. Por hip´otese X ´e um espa¸co T , sendo assim tome V ⊂ X com x ∈ V

  1

  ∈ V . Escolha U,V ∈ O de modo que U ´e {x}-subordinada ´a V e V ≺ U. Agora e y /

  2

  tome V , V ∈ V com x ∈ V e y ∈ V . Afirmamos que V ∩V = ∅. De fato temos que

  1

  2

  1

  2

  1

  2

1 V ≺ U logo se V ∩ V 6= ∅, existiria U ∈ U tal que V ∪ V ⊂ U , da´ı x, y ∈ U , ent˜ao

  1

  2

  1

  2

  2

  y ∈ St[x, U ].Por´em U ´e {x}- ´e subordinada ´a V , ou seja, St[x, U ] ⊂ V . Portanto y ∈ V , o que ´e uma contradi¸c˜ao. Sendo assim V ∩ V = ∅.

  1

  2 Observe que nem todo espa¸co Hausdorff ´e admiss´ıvel. De fato considere (R, τ )

  a reta munida da K-topologia gerada pela base {(a, b), (a, b) − K |a, b ∈ R} com

1 K = { |n ∈ N}. Obviamente (R, τ ) ´e Hausdorff, desde que τ ´e mais fina do que a

  n topologia usual em R. Por´em (R, τ ) n˜ao ´e regular desde que 0 e K n˜ao podem ser separados por abertos disjuntos n˜ao vazios. Assim (R, τ ) n˜ao ´e completamente regu- lar e portanto n˜ao-uniformiz´avel. Pelo Teorema 2.3.4 temos que (R, τ ) ´e Hausdorff n˜ao-admiss´ıvel.

  Vejamos o exemplo abaixo. Exemplo 2.3.1. Note que um espa¸co admiss´ıvel n˜ao necessariamente ´e um espa¸co T . Considere X munido com a topologia trivial. Logo X obviamente n˜ao ´e um espa¸co T j´a que seus pontos n˜ao s˜ao distingu´ıveis. Por´em, O = {X} evidentemente ´e uma fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas para X.

  Seja X um espa¸co topol´ogico admiss´ıvel e O uma fam´ılia admiss´ıvel de cober- com espa¸cos que admitem fam´ılias admiss´ıveis de coberturas abertas. No intuito de tornar o texto mais conciso, reproduziremos sua demonstra¸c˜ao, que pode ser encontrada em ([14], Cap´ıtulo 2, p´agina 42, Lema 2.4). Lema 2.3.2. Sejam U e V duas coberturas de X pertencentes `a fam´ılia admiss´ıvel

  1 U e x ∈ X, ent˜ao St[x, V] ⊂ St[x, U].

  de coberturas abertas O. Se V ≺

  2 Demonstra¸c˜ ao: Tome y ∈ St[x, V], e considere V ∈ V um aberto tal que y ∈ V .

  Logo existe a ∈ St[x, V] com a ∈ V . Como a ∈ St[x, V] temos que a, x ∈ V ∈ V

  1

  1

  ∈ V, logo a ∈ V ∩ V 6= ∅. Por´em V ≺ U, portanto para algum V

  1 1 da´ı V ∩ V

  1

  2 V ∪ V ∈ U ∈ U, logo y, x ∈ V ∪ V ∈ U para algum U ∈ U. Ent˜ao y ∈ St[x, U].

  1

1 Seguiremos a defini¸c˜ao de espa¸co topol´ogico regular segundo [22], p´agina 92, Defini¸c˜ao 14.1.

  Defini¸c˜ ao 2.3.1. Um espa¸co X se diz regular se, e somente se, A for um fechado ∈ A, ent˜ao existem abertos disjuntos U e V com x ∈ U e qualquer em X tal que x /

  A ⊂ V .

  Agora vejamos o seguinte teorema. Teorema 2.3.5. As seguintes afirma¸c˜oes s˜ao equivalentes para um espa¸co topol´ogico X.

  1. X ´e regular.

  ∈ U , ent˜ao existe um aberto V contendo x tal que 2. se U ´e aberto em X e x / V ⊂ U .

  3. cada x ∈ X possui uma fam´ılia de vizinhan¸cas b´asicas consistindo de conjuntos fechados.

  Segue uma importante aplica¸c˜ao do Lema 2.3.2. Teorema 2.3.6. Todo espa¸co topol´ogico X admiss´ıvel ´e regular.

  Demonstra¸c˜ ao: Suponha X um espa¸co admiss´ıvel munido de uma fam´ılia ad- miss´ıvel de coberturas O. Se U ´e aberto em X e x ∈ U , ent˜ao existe U ∈ O

  1

  tal que St[x, U ] ⊂ U . Tome V ∈ O tal que V ≺ U. Pelo lema anterior temos

  2

  que St[x, V] ⊂ St[x, U ]. Ent˜ao St[x, V] ´e um conjunto aberto contendo x tal que

2.4 Lema da cobertura de Lebesgue

  O objetivo central desta se¸c˜ao ´e fornecer um nova interpreta¸c˜ao para o n´ umero de Lebesgue em espa¸cos admiss´ıveis, (Ver [16],Teorema 5), mostrando que em espa¸cos n˜ao metriz´aveis, por´em admiss´ıveis o n´ umero de Lebesgue corresponde a uma co- bertura da fam´ılia admiss´ıvel O.

  De fato, o lema original, como bem sabemos, diz que se {U , ..., U n } ´e um cober-

  1

  tura aberta de um espa¸co m´etrico compacto X, existe ǫ (n´ umero de Lebesgue) tal que se A ´e um subconjunto qualquer de X, cujo diˆametro ´e menor do que ǫ, ent˜ao A ⊂ U i para algum i ∈ {1, ..., n}. Empregaremos uma metodologia de constru¸c˜ao do chamado Lema da cobertura de Lebesgue para espa¸cos admiss´ıveis em fun¸c˜ao da fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas do espa¸co.

  Vejamos a seguinte proposi¸c˜ao: O U Proposi¸c˜ ao 2.4.1. A fam´ılia B = {B : U ∈ O} de todas as coberturas abertas do espa¸co topol´ogico X por U -vizinhan¸cas ´e admiss´ıvel. U U ∈ B O

  Demonstra¸c˜ ao: Sejam B 1 , B 2 . Desde que por hip´otese O ´e admiss´ıvel

  1

  1

  existe U ∈ O tal que U ≺ U e U ≺ U . Suponha que St[x, U ] ∩ St[y, U ] 6= ∅,

  3

  3

  1

  3

  2

  3

  3

  2

  2

  e tome z ∈ St[x, U ] ∩ St[y, U ]. Se w ∈ St[x, U ], ent˜ao w, x ∈ U e z, x ∈ U

  3

  3

  3

  1

  ∈ U ≺ U ∈ U ∪ U ⊂ U com U, U . Desde que U , existe U tal que U , o

  3

  3

  1

  1

  1

  1

  2

  1

  2

  que implica que w ∈ St[z, U ]. Assim St[x, U ] ⊂ St[z, U ]. Do modo inteiramente

  1

  3

  1 U U U

  1

  an´alogo St[y, U ] ⊂ St[z, U ]. Portanto B 3 ≺ B 1 . Do mesm´ıssimo modo B 3 ≺

  3

  1

  2

1 B U O

  2 . Dessa forma B satisfaz os itens 1 e 3 da defini¸c˜ao de fam´ılia admiss´ıvel de

  2

  coberturas abertas. Assim s´o nos resta mostrar a condi¸c˜ao (2) de fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas. Por´em, a demonstra¸c˜ao ´e inteiramente an´aloga `a prova do Teorema 2.3.4 usando a Proposi¸c˜ao 2.2.1.

  Agora segue o mais importante teorema dessa se¸c˜ao: Teorema 2.4.1. (Lema da cobertura de Lebesgue) Seja X um espa¸co to- pol´ogico admiss´ıvel e O a fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas de X. Assuma

  [ K ⊂ X um compacto, tal que K ⊂ V α com a cole¸c˜ao {V α } α∈ uma cobertura α Λ Demonstra¸c˜ ao: Veja que para todo x ∈ K, x ∈ V α com α ∈ Λ. Tome U x , V x ∈

  1 O tais que U x ´e {x}-subordinada ao aberto V α e V x x . Para o mesmo ponto ≺ U

  2

  [ x ∈ K n´os obtemos uma outra cobertura aberta com K ⊂ St[x, V x ]. Desde que x∈K n [ K ´e compacto extra´ımos uma subcobertura finita, digamos que K ⊂ St[x i , V x i ]. i =1

  Agora tome U ∈ O tal que U ≺ V x i para todo i ∈ {1, ..., n}. Afirmamos que U ∈ O ´e a cobertura procurada. Repare que se x ∈ K ent˜ao x ∈ St[x i , V x ] para algum i i ∈ {1, ..., n}. Assim existe V ∈ V x tal que x, x i ∈ V . Desse modo se y ∈ St[x, U] i existe U ∈ U tal que y, x ∈ U . Desde que U ≺ V x i para todo i ∈ {1, ..., n} temos ′ ′ ′ ′ que y, x ∈ V para algum V ∈ V x , portanto x ∈ V ∩ V , ent˜ao V ∩ V 6= ∅. Por fim, i

  1

  como V x ≺ U x tem-se V ∪ V ⊂ U i para algum U i ∈ U x , logo y, x i ∈ U i ∈ U x da´ı i i i i

  2

  }-subordinada a um aberto V y ∈ St[x i , U x i ]. Desde que U x i ´e {x i α segue que y ∈ V α . Portanto St[x, U ] ⊂ V α .

  Qualquer cobertura U que satisfaz o teorema anterior ´e chamada de cobertura de Lebesgue para a cobertura {V α } α∈ do compacto K.

  Λ

  O teorema acima nos mostra que em espa¸cos topol´ogicos admiss´ıveis , o n´ umero de Lebesgue ´e representado por uma cobertura. Em outras palavras, a cobertura de Lebesgue para espa¸cos topol´ogicos admiss´ıveis constru´ıda no teorema acima cumpre papel do n´ umero de Lebesgue em espa¸cos m´etricos.

  

2.5 Fun¸c˜ oes uniformemente cont´ınuas em espa¸cos

admiss´ıveis

  Nesta se¸c˜ao caracterizaremos fun¸c˜oes uniformemente cont´ınuas via fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas, generalizando dessa forma o conceito de fun¸c˜oes uniforme- mente cont´ınuas em espa¸cos uniformes. Proposi¸c˜ ao 2.5.1. Sejam Xe Y espa¸cos topol´ogicos admiss´ıveis e O(X), O(Y ) suas respectivas fam´ılias admiss´ıveis de coberturas abertas. Uma fun¸c˜ao f : X −→ Y ´e cont´ınua, se e somente se, para qualquer x ∈ X e V ∈ O(Y ) existir U ∈ O(X) tal que se y ∈ St[x, U ] implica que f (y) ∈ St[f (x), V].

  Demonstra¸c˜ ao: Tome x ∈ X e V ∈ O(Y ) quaisquer. Note que V ´e uma cobertura de Y ; sendo assim considere V ∈ V tal que f (x) ∈ V . Por hip´otese

  1

  f : X −→ Y ´e cont´ınua assim f (V ) ´e uma vizinhan¸ca aberta de x. Como os conjuntos da forma St[x, U ] com U ∈ O(X) s˜ao uma base local em x, existe U ∈ O(X) tal que

  1 St[x, U ] ⊂ f (V ).

  Portanto, se y ∈ St[x, U ] temos que f (y) ∈ V . Desde que f (x) ∈ V ent˜ao f (y) ∈ St[f (x), V].

  Por outro lado, suponha que para qualquer x ∈ X e V ∈ O(Y ) existe U ∈ O(X) tal que se y ∈ St[x, U ] temos que f (y) ∈ St[f (x), V]. Considere V ⊂ Y um aberto

  1

  qualquer em Y . Tomemos x ∈ f (V ). Da´ı f (x) ∈ V , como V ´e aberto em Y existe V ∈ O(Y ) de modo que St[f (x), V] ⊂ V . Repare que, por hip´otese, para este V existe U ∈ O(X) tal que se y ∈ St[x, U ] temos que f (y) ∈ St[f (x), V], portanto − −

  1

  1

  f (St[x, U ]) ∈ St[f (x), V] da´ı St[x, U ] ⊂ f (St[f (x), V]) ⊂ f (V ). Logo, segue

  1 que f (V ) ´e aberto em X, portanto f ´e cont´ınua.

  Defini¸c˜ ao 2.5.1. Sejam X, Y espa¸cos admiss´ıveis e O(X) e O(X) suas respectivas fam´ılias admiss´ıveis de coberturas abertas. Dizemos que uma fun¸c˜ao f : X −→ Y ´e uniformemente cont´ınua com respeito `as fam´ılias admiss´ıveis de coberturas abertas O(X) e O(Y ) se para cada V ∈ O(Y ) existir U ∈ O(X) tal que se x, y ∈ U ∈ U ent˜ao f (x), f (y) ∈ V para algum V ∈ V, ou seja, se y ∈ St[x, U ] ent˜ao f (y) ∈ St[f (x), V].

  1 Se f ´e uma bije¸c˜ao uniformemente cont´ınua tal que f : Y −→ X ´e uniforme-

  mente cont´ınua com respeito a O(X) e O(Y ) ent˜ao f ´e dito um homeomorfismo uniforme.

  Proposi¸c˜ ao 2.5.2. Toda fun¸c˜ao f : X −→ Y uniformemente cont´ınua ´e cont´ınua.

  Agora mostraremos que toda fun¸c˜ao cont´ınua definida num espa¸co compacto ´e uniformemente cont´ınua. A demonstra¸c˜ao de tal resultado ´e um importante aplica¸c˜ao do lema da cobertura de Lebesgue em espa¸cos n˜ao m´etricos. Teorema 2.5.1. Sejam X, Y espa¸cos admiss´ıveis e O(X) e O(Y ) suas respectivas fam´ılias admiss´ıveis de coberturas abertas. Considere f : X −→ Y uma fun¸c˜ao cont´ınua e K ⊂ X um compacto. Tome V ∈ O(Y ) ent˜ao existe U ∈ O(X) tal que se x ∈ K, y ∈ X e x, y ∈ U para algum U ∈ U ent˜ao f (x), f (y) ∈ V para algum V ∈ V, ou seja, toda fun¸c˜ao cont´ınua num compacto ´e uniformemente cont´ınua.

  Demonstra¸c˜ ao: Para cada x ∈ K escolha V x ∈ V tal que f (x) ∈ V x . Ent˜ao [

1 K ⊂ f (V x ) ´e uma cobertura aberta de K pois f ´e cont´ınua por hip´otese.

  x∈K Pelo teorema da cobertura de Lebesgue, existe U ∈ O(X) tal que se x ∈ K, ent˜ao

1 St[x, U ] ⊂ f (V z ), para algum z ∈ K. Assim, se x ∈ K e y ∈ X e x, y ∈ U

  

  1

  para algum U ∈ U , temos que y ∈ St[x, U ] ⊂ f (V z ) para algum z ∈ K e assim ∈ V. Portanto, f (y) ∈ St[f (x), V]. f (x), f (y) ∈ V z

  A seguinte defini¸c˜ao de equicontinuidade em espa¸cos admiss´ıveis generaliza a no¸c˜ao de fam´ılia equicont´ınua de fun¸c˜oes em espa¸cos uniformes.

  Defini¸c˜ ao 2.5.2. Sejam X e Y espa¸cos admiss´ıveis e O(X) e O(Y ) suas respectivas fam´ılias admiss´ıveis de coberturas abertas. Denote por C(X, Y ) o conjunto de todas fun¸c˜oes cont´ınuas de X em Y . Seja x ∈ X, dizemos que uma fam´ılia F ⊂ C(X, Y ) ´e equicontinua em x com respeito a O(X) e O(Y ), se dado V ∈ O(Y ) existir U ∈ O(X) tal que f (St[x, U]) ⊂ St[f (x), V] para toda fun¸c˜ao f ∈ F. Uma fam´ılia F ´e equicont´ınua se ´e equicont´ınua em todos pontos de X.

  Defini¸c˜ ao 2.5.3. Uma fam´ılia F ⊂ C(X, Y ) ´e dita uniformemente equicont´ınua se para todo V ∈ O(Y ) existir U ∈ O(X) tal que f (St[x, U ]) ⊂ St[f (x), V] para todo f ∈ F e x ∈ X. Proposi¸c˜ ao 2.5.3. Se uma fam´ılia F ⊂ C(X, Y ) ´e uniformemente equicont´ınua, ent˜ao F ´e uma fam´ılia equicontinua.

  Segue uma importante aplica¸c˜ao do Lema da cobertura de Lebesgue a qual ca- racteriza uma fam´ılia equincont´ınua de fun¸c˜oes F ⊂ C(K, Y ) definidas sobre um espa¸co compacto. Teorema 2.5.2. Se K ´e um espa¸co compacto ent˜ao F ⊂ C(K, Y ) ´e uniformemente

  Demonstra¸c˜ ao: Suponha que F ´e equicontinua. Tomemos V ∈ O(Y ) uma cobertura qualquer da fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas de Y . Desde que

  1 O(Y ) ´e admiss´ıvel considere W ∈ O(Y ) tal que W ≺

  V. Por hip´otese, F ´e

  2

  uma fam´ılia equicont´ınua de fun¸c˜oes ent˜ao para a cobertura W e para cada x ∈ K ∈ O(K) elemento da fam´ılia admiss´ıvel de coberturas para K tal que existe U x

  1

  1 St[x, U x ] ⊂ f (St[f (x), W]), para toda f ∈ F. Para cada U x , considere W x ≺ U x

  2

  [ com W x ∈ O(K) . Note que K ⊂ St[x, W x ], sendo assim considere a cobertura x∈K [ de Lebesgue para a cobertura St[x, W x ]. Afirmamos que para todo z ∈ K, x∈K f ∈ F e V ∈ O(Y ), f (St[z, U ]) ⊂ St[f (z), V]. De fato, se y ∈ St[z, U ] ent˜ao desde que U ´e cobertura de Lebesgue existe x ∈ K tal que St[z, U ] ⊂ St[x, W x ]. Da´ı y, z ∈ St[x, W x ], logo, y, x ∈ W e z, x ∈ W com W , W ∈ W x . Dessa forma, temos

  1

  2

  1

  2

  1

  que W ∩ W 6= ∅ desde que x ∈ W ∩ W . Como W x ≺ U x ent˜ao W ∪ W ⊂ U

  1

  2

  1

  

2

  1

  2

  2

  1

  para algum U ∈ U x , portanto y, z ∈ St[x, U x ]. Como St[x, U x ] ⊂ f (St[f (x), W]) ′ ′′ ent˜ao f (y), f (z) ∈ St[f (x), W] portanto f (y), f (x) ∈ W e f (z), f (x) ∈ W com ′ ′′ ′ ′′ ′ ′′ W , W ∈ W. Assim temos que W ∩ W 6= ∅ desde que f (x) ∈ W ∩ W . Como ′ ′′

1 W ≺ V, ent˜ao W ∪ W ∈ V para algum V ∈ V, portanto f (y), f (z) ∈ V ∈ V

  2 ent˜ao f (y) ⊂ St[f (z), V] e est´a demonstrado.

  Portanto, equicontinuidade uniforme e equicontinuidade s˜ao conceitos coinciden- tes em espa¸cos admiss´ıveis compactos. X Vejamos agora o conceito de convergˆencia uniforme de redes no conjunto Y de todas fun¸c˜oes entre os espa¸cos admiss´ıveis X e Y . X Defini¸c˜ ao 2.5.4. Seja (f λ ) uma rede de fun¸c˜oes em Y . Dizemos que (f λ ) converge X pontualmente para f ∈ Y se (f λ (x)) converge para f (x) para cada x ∈ X; dizemos que (f λ ) converge uniformemente para f , se dado U ∈ O(Y ) existe λ tal que λ > λ implica que f λ (x) ∈ St[f (x), U ] para todo x ∈ X. X

  ∈ X converge Teorema 2.5.3. Se uma rede (f λ ) em Y de fun¸c˜oes cont´ınuas em x uniformemente para f ent˜ao f cont´ınua em x .

  1

  1 U e W ≺

  V. Tome Demonstra¸c˜ ao: Seja U ∈ O(Y ) e V, W ∈ O(Y ) com V ≺

  2

  2 Z ∈ O(X) tal que f λ (St[x , Z]) ⊂ St[f λ (x ), W]. Ent˜ao para cada x ∈ St[x , Z], temos que: f λ (x) ∈ St[f (x), W], f λ (x) ⊂ St[f λ (x ), W], f λ (x ) ∈ St[f (x ), W]. Assim, existem W , W , W ∈ W tais que:

  1

  2

  3

  f λ (x), f (x) ∈ W

  1 , f λ (x), f λ (x ) ∈ W 2 , f λ (x ), f (x ) ∈ W 3 .

  1 Desde que W ≺ V, existem V , V ∈ V tal que W ∪ W ⊂ V e W ∪ W ⊂ V .

  1

  2

  1

  2

  1

  2

  3

  2

  2

  1 U, existe U ∈ U com V ∪V ⊂ U . Assim f (x) ∈ St[f (x

  Como V ≺

  1 2 ), U ]. Portanto,

  2 f (St[x , Z]) ⊂ St[f (x ), U ], o que mostra que f ´e cont´ınua em x .

  Teorema 2.5.4. Sejam X, Y e Z espa¸cos topol´ogicos com Y compacto. Tome F : X × Y −→ Z uma fun¸c˜ao cont´ınua. Dada uma cobertura aberta U de Z, ent˜ao existe uma cober- tura aberta de X satisfazendo a seguinte propriedade: para qualquer y ∈ Y e u, v ∈ X tais que u, v ∈ V para algum V ∈ V existe U ∈ U com F (u, y), F (v, y) ∈ U .

  Tal resultado tem importantes aplica¸c˜oes em sistemas dinˆamicos (Ver [12]). Al´em disso, uma aplica¸c˜ao do teorema anterior ´e apresentada no seguinte resultado: Proposi¸c˜ ao 2.5.4. Sejam X, Y e Z espa¸cos topol´ogicos, com X admiss´ıvel, F : X × Y −→ Z uma fun¸c˜ao cont´ınua. Assuma O uma fam´ılia admiss´ıvel de cober- turas abertas para X. Tome K ⊂ X, N ⊂ Y subconjuntos compactos de X e Y , respectivamente. Considere U uma cobertura qualquer de Z, ent˜ao existe V ∈ O com a seguinte propriedade: para qualquer u ∈ K, y ∈ N e u, v ∈ X tais que u, v ∈ V para algum V ∈ V existe U ∈ U tal que F (u, y), F (v, y) ∈ U , ou seja, se v ∈ St[u, V] ent˜ao F (v, y) ∈ St[F (u, v), U ].

  Demonstra¸c˜ ao: Pelo teorema anterior existe uma cobertura aberta V de X tal que para quaisquer x ∈ X e y ∈ N , v ∈ St[x, V ] implica que F (v, y) ∈ [ [ ′ ′ St[F (x, y), U ]). Por outro lado, veja que K ⊂ X = St[x, V ] da´ı K ⊂ St[x, V ]. x∈X x∈X

  Agora, pelo lema da cobertura de Lebesgue existe V ∈ O tal que para todo u ∈ K e y ∈ N ,v ∈ St[u, V] implica que v ∈ St[u, V ] e ent˜ao F (v, y) ∈ St[F (u, y), U ].

2.6 Conjuntos limitados

  Introduziremos agora uma no¸c˜ao de conjuntos limitados em espa¸cos admiss´ıveis que generaliza o conceito de conjuntos limitados em espa¸cos m´etricos.

  Defini¸c˜ ao 2.6.1. Seja X um espa¸co admiss´ıvel e O uma fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas em X. Seja U ∈ O uma cobertura de X. Um subconjunto Y ⊂ X diz-se U -limitado se existir algum x ∈ X tal que Y ⊂ St[x, U ].

  O conjunto Y ´e O-limitado se for U -limitado para algum U ∈ O. Seguem alguns exemplos de conjuntos U -limitados. Exemplo 2.6.1. Obviamente as U -estrelas de x s˜ao exemplos de conjuntos U - limitados.

  Exemplo 2.6.2. Seja (X, d) um espa¸co m´etrico, considere O uma fam´ılia ad- d miss´ıvel de coberturas abertas U ǫ = {B(x, ǫ) : x ∈ X} por ǫ-bolas. Se Y ⊂ X ´e limitado existe ǫ > 0 tal que Y ⊂ B(x, ǫ) ⊂ St[x, U ǫ ]. Portanto Y ´e U ǫ -limitado. Por outro lado, se Y ⊂ X ´e O -limitado, existe ǫ > 0 tal que Y ⊂ St[x, U ] ⊂ B(x, 2ǫ). d ǫ

  Assim, Y ´e limitado. Portanto em espa¸cos m´etricos, os conceitos de conjunto limi- tado e conjunto U -limitado coincidem.

  Exemplo 2.6.3. Seja X um espa¸co Hausdorff compacto e considere a fam´ılia ad- miss´ıvel O f de todas coberturas abertas finitas de X. Tome U = X ∈ O f . Observe que X = St[x, U ] para qualquer x ∈ X, ent˜ao todo subconjunto de X ´e O f -limitado. Exemplo 2.6.4. Seja X um espa¸co paracompacto Hausdorff e considere a fam´ılia admiss´ıvel O de todas coberturas abertas de X. Desde que U = {X} ∈ O, ent˜ao todo subconjunto de X ´e O-limitado.

  Vejamos agora uma proposi¸c˜ao que ´e considerada uma vers˜ao do lema da cober- tura de Lebesgue.

  } ´e uma Proposi¸c˜ ao 2.6.1. Assuma que X ´e um espa¸co compacto. Se {U

  1 , ..., U n

  cobertura aberta de X existe um elemento U ∈ O tal que se A ⊂ X ´e qualquer subconjunto U -limitado de X ent˜ao A ⊂ U i para algum i. n

  [ Demonstra¸c˜ ao: Temos que X ´e um espa¸co compacto e X = U i . Considere x =1

  U a cobertura de Lebesgue. Ent˜ao existe U ∈ {U } tal que St[x, U] ⊂ U i

  1 , ..., U n i

  para qualquer x ∈ X. Por outro lado, se A ⊂ X ´e U -limitado existe x ∈ X tal que A ⊂ St[x, U ]. Sendo assim, A ⊂ St[x, U ] ⊂ U i .

  Agora segue uma outra importante aplica¸c˜ao do lema da cobertura de Lebesgue. Teorema 2.6.1. Seja f : X −→ Y uma fun¸c˜ao cont´ınua definida no espa¸co to- pol´ogico compacto admiss´ıvel X num espa¸co topol´ogico admiss´ıvel Y . Considere O(X), O(Y ) fam´ılias admiss´ıveis de coberturas abertas para X e Y respectivamente. Assim, para qualquer V ∈ O(Y ) existe uma cobertura U ∈ O(X) tal que para todo S ⊂ X subconjunto U -limitado de X tem-se que f (S) ⊂ V para algum V ∈ V.

  Demonstra¸c˜ ao: Tome V ∈ O(Y ) uma cobertura qualquer. Para cada x ∈ X temos que f (x) ∈ V x para algum V x ∈ V. Desde que cada V x ∈ V ´e um aberto

  1

  em Y ent˜ao o conjunto {f (V x ) : V x ∈ V} ´e uma cobertura aberta de X. Desde que X ´e compacto pelo lema da cobertura de Lebesgue existe U ∈ O(X) tal que

  1

  para todo x ∈ X temos que St[x, U ] ⊂ f (V z ) para algum V z ∈ V, portanto f (St[x, U ]) ⊂ V z . Se S ⊂ X ´e um subconjunto U -limitado de X temos que existe ∈ V e y ∈ X com S ⊂ St[y, U ]. Por fim, desde f (St[y, U ]) ⊂ V z para algum V z

  S ⊂ St[y, U ] logo f (S) ⊂ V z para algum V z ∈ V.

  Agora vejamos o conceito de encadeamento em espa¸cos topol´ogicos n˜ao necessa- riamente metriz´aveis por´em admiss´ıveis.

  Defini¸c˜ ao 2.6.2. Seja X um espa¸co topol´ogico admiss´ıvel e O sua fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas em X. Dado U ∈ O, uma U -cadeia em X ´e uma sequˆencia ∈ St[x finita x

  1 , ..., x n de pontos de X tais que x i +1 i , U ], i = 1, ..., n − 1. Os pontos x e x n desta U − cadeia s˜ao ditos U -encadeados.

1 Proposi¸c˜ ao 2.6.2. Dados x ∈ X e U ∈ O o conjunto C x,U dos pontos de X que

  s˜ao U -encadeados com x ´e aberto e fechado em X. Logo se X ´e conexo, dois pontos

  Demonstra¸c˜ ao: Primeiro mostremos que C x,U ´e aberto. Seja y ∈ C x,U ent˜ao y ´e U-encadeado a x logo existe sequˆencia finita de pontos x

  1 = y, ..., x n = x de pontos de

  X tais que x i ∈ St[x i , U ], i ∈ {1, ..., n−1}. Assim existem abertos U , ..., U n− ∈ U

  • 1

  1

  1

  tais que x , x ∈ U ,...,x n− , x n ∈ U n− . Veja que U ´e um aberto contendo y tal que

  1

  2

  1

  1

  1

  1

  ⊂ C U

  1 x,U . De fato tome z ∈ U

1 e considere U = U

1 , U 1 , U 2 , ..., U n− 1 abertos tais

  que z = x , y = x ∈ U , x , x ∈ U ,...,x n− , x n ∈ U n− ent˜ao temos a sequˆencia

  1

  2

  3

  2

  1

  1 finita de pontos z = x , y = x ,...,x n = x tal que x i ∈ St[x i , U ], i ∈ {1, ..., n − 1}.

1 +1

  ∈ C Ent˜ao y ´e U -encadeado a x, assim U

  1 x,U ent˜ao C x,U ´e aberto. Mostremos agora que C x,U ´e fechado ou equivalentemente que seu complementar X \ C x,U ´e aberto.

  De fato tome y ∈ X \ C x,U ent˜ao y ∈ X e y / ∈ C x,U . Se existir U ∈ O tal que St[y, U ] ⊂ X \ C x,U temos o resultado. Caso contr´ario, suponha que para todo U ∈ O St[y, U] ⊂ / X \ C x,U . Assim existe z ∈ St[y, U ] tal que z ∈ C x,U . Desse modo, z ´e U -encadeado a x, logo existe sequˆencia finita de pontos x = z, ..., x n = x de

  1

  ∈ St[x pontos de X tais que x i +1 i , U ], i ∈ {1, ..., n−1}. Como z ∈ St[y, U ], z, y ∈ U para algum U ∈ U, ent˜ao z, y ∈ U , z, x ∈ U ,...,x n− , xn ∈ U n− . Sendo assim,

  

2

  1

  1

  1

  considere a seguinte sequˆencia y = x , z = x , x , ..., x n = x, logo x i , x i ∈ U i para

  1 2 +1

  ∈ St[x qualquer i ∈ {1, ..., n − 1}. Ent˜ao x i +1 i , U ], i ∈ {1, ..., n − 1}, portanto, y ´e U-encadeado a x e temos um absurdo! logo para cada y ∈ X \ C x,U existe algum U ∈ U tal que St[y, U] ⊂ X \ C x,U portanto X \ C x,U ´e aberto logo C x,U ´e fechado.

  Portanto, se X ´e conexo, dois pontos quaisquer de X s˜ao U -encadeados, para todo U ∈ O, pois dados x ∈ X e U ∈ O, C x,U coincide com X.

  Proposi¸c˜ ao 2.6.3. Assuma que X ´e um espa¸co compacto admiss´ıvel e O sua fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas. Ent˜ao a componente conexa de um ponto x ∈ X coincide com os pontos de X que s˜ao U -encadeados ´a x. Assim denotando C x a componente conexa de x ∈ X ent˜ao C x = C x,U .

  Demonstra¸c˜ ao: Primeiramente mostremos que C x,U ´e conexo. Suponha U, V abertos e disjuntos em X tais que C x,U = U ∪ V . Sendo assim veja que U ´e aberto e fechado em C x,U , o qual ´e aberto e fechado em X. Ent˜ao U ´e aberto e fechado em X. Desde que todo fechado num compacto ´e compacto ,U ´e compacto em X. Ent˜ao temos que U ⊂ U com U compacto contido no aberto U . Pela condi¸c˜ao 2) de

  fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas existe U ∈ O tal que St[U, U ] ⊂ U , desde que U ⊂ St[U, U ] temos que St[U, U ] = U . Seja a ∈ C x,U , sem perda de generalidade, a ∈ U . Mostremos que para todo b ∈ C x,U temos que b ∈ U . De fato a, b ∈ C x,U ent˜ao a, x s˜ao U -encadeados e b, x s˜ao U -encadeados logo a, b s˜ao U -encadeados, ou seja, existe sequˆencia finita de pontos x

  1 = a, ..., x n = b de pontos de X tais que

  x i ∈ St[x i , U ], i ∈ {1, ..., n − 1}, logo existem U , U , ..., U n − 1 abertos em U tais

  • 1

  1

  2

  que a = x , x ∈ U , x , x ∈ U ,...,x n− , x n = b ∈ U n− . Veja que dessa forma:

  1

  2

  1

  2

  3

  2

  1

  1

  • a = x , x ∈ U ent˜ao x ∈ St[a, U] ⊂ St[U, U] = U portanto x ∈ U , logo

  1

  2

  1

  2

  2 St[x , U ] ⊂ St[U, U ] = U ,

  2

  • x ∈ U ∈ St[x

  , x ent˜ao pelo passo anterior, x , U ] ⊂ St[U, U ] = U portanto

  2

  3

  2

  3

  2

  x ∈ U ,

  3

  • Por racioc´ınio indutivo temos que ap´os um n´ umero finito de passos, temos que: x n− , x n ∈ U n− . Ent˜ao pelo passo anterior, x n ∈ St[x n− , U ] ⊂ St[U, U ] = U

  1

  1

  1

  portanto x n = b ∈ U . Ent˜ao a, b ∈ U , da´ı V = ∅, assim C x,U ´e conexo. Por fim observe que C x,U ´e um subconjunto conexo aberto e fechado em X. Ent˜ao C x,U ∩ C x ´e aberto e fechado em C x pela topologia do subespa¸co. Desde que C x ´e conexo seus ´ unicos subconjuntos simultaneamente aberto e fechado s˜ao ∅ e o pr´oprio C x . Agora note que C x,U ∩ C x ⊂ C x ent˜ao C x,U ∩ C x = C x ou C x,U ∩ C x = ∅, por´em C x,U ∩ C x 6= ∅, logo C x,U ∩ C x = C x , assim C x ⊂ C x,U . Por outro lado, C x ´e a componente conexa de x, ou seja ´e o maior subconjunto de conexo de X contendo x, dai pela maximalidade de C x , temos que C x,U ⊂ C x . Portanto C x,U = C x .

  Exemplo 2.6.5. Seja X um espa¸co Hausdorff compacto. Considere O f a fam´ılia admiss´ıvel de todas coberturas abertas finitas de X. Se dois pontos quaisquer de X podem ser U -encadeados para qualquer U ∈ O f ent˜ao X ´e conexo. De fato suponha X desconexo. Ent˜ao existem U, V abertos em X disjuntos n˜ao vazios tais que X = U ∪ V . Assim U = {U, V } ´e cobertura aberta finita de X, logo U ∈ O f . Por´em se tomarmos x ∈ U e y ∈ V ( note que isto ´e poss´ıvel pois U, V s˜ao n˜ao vazios) ent˜ao x, y obviamente n˜ao s˜ao U -encadeados pois U ∩ V = ∅, absurdo! Assim X ´e

2.7 Espa¸cos admiss´ıveis completos

  A no¸c˜ao de completude de um espa¸co topol´ogico pode ser estendida de espa¸cos m´etricos para espa¸cos uniformes. Nesta se¸c˜ao, definiremos completude de um espa¸co admiss´ıvel em termos de sua fam´ılia admiss´ıvel. Para tal, necessitamos de uma ge- neraliza¸c˜ao apropriada da no¸c˜ao de rede de Cauchy. Para os fins desejados conside- remos nesta se¸c˜ao um espa¸co admiss´ıvel X munido de uma fam´ılia admiss´ıvel O de coberturas abertas.

  A seguinte defini¸c˜ao ´e uma generaliza¸c˜ao do conceito de redes de Cauchy em espa¸cos uniformes devidamente introduzido no Cap´ıtulo 1 [ver Se¸c˜ ao 1.5].

  Defini¸c˜ ao 2.7.1. Uma rede (x λ ) λ∈ em X ´e uma O-rede de Cauchy se para cada

  Λ

  U ∈ O existir λ ∈ Λ tal que x λ 1 , x λ 2 ∈ U para algum U ∈ U se λ , λ > λ ou seja,

  1

  2

  ∈ St[x x λ 1 λ 2 , U ], toda vez que λ

  1 , λ 2 > λ .

  Defini¸c˜ ao 2.7.2. Se toda O-rede de Cauchy converge em X ent˜ao dizemos que X ´e um espa¸co admiss´ıvel completo.

  Proposi¸c˜ ao 2.7.1. Toda rede convergente em X ´e uma O-rede de Cauchy.

  Demonstra¸c˜ ao: Suponha que x λ −→ x e tome U ∈ O uma cobertura qualquer

  1

  da fam´ılia O. Tome V ∈ O tal que V ≺ U. Por defini¸c˜ao de rede convergente

  2

  ∈ Λ tal que x ∈ St[x, V] para todo λ ≥ λ temos a existˆencia de λ λ . Assim para todo λ , λ ≥ λ temos que x λ , x λ ∈ St[x, V]. Sendo assim, x λ , x ∈ V ∈ V e

  1

  2

  1

  2

  1

  1

  1

  x λ , x ∈ V ∈ V,ent˜ao V ∩ V 6= ∅. Desde que V ≺ U temos que V ∪ V ⊂ U para

  2

  2

  1

  2

  1

  2

  2

  ∈ U , portanto x ∈ St[x algum U ∈ U logo x λ , x λ λ λ , U ].

  1

  2

  1

  2 Proposi¸c˜ ao 2.7.2. Seja (x λ ) λ∈ uma O-rede de Cauchy em X. Se (x λ ) λ∈ admite Λ Λ

  O-sub-rede convergente ent˜ao (x ) tamb´em ´e convergente, ou seja toda O-rede de λ λ∈ Λ Cauchy em X que possui O sub-rede convergente tamb´em converge.(com o mesmo limite)

  Demonstra¸c˜ ao: Seja V ∈ O uma cobertura qualquer da fam´ılia admiss´ıvel O.

1 V. Considere (x

  Tome U ∈ O tal que U ≺ λ ) λ∈ Λ uma O-rede de Cauchy em X e

  2

  (x λ ) λ∈ ´e uma O-rede de Cauchy em X para a cobertura U ∈ O, existe λ ∈ Λ tal

  Λ

  ∈ U para algum U ∈ U, toda vez que λ ∈ St[x que x λ 1 , x λ 2

  1 , λ 2 > λ ou seja x λ 1 λ 2 , U ]

  toda vez que λ , λ > λ . Tamb´em temos que (x φ ) → x ent˜ao por defini¸c˜ao existe

  1 2 (µ)

  µ tal que x µ ∈ St[x, U] se µ > µ , j´a que St[x, U ] ´e um aberto contendo x. Pela ∈ Λ cofinalidade de φ existe µ

  1 tal que φ(µ 1 ) > λ , como φ ´e crescente para todo

  µ ≥ µ temos que φ(µ) ≥ φ(µ ) ≥ λ . Tome µ ∈ Λ tal que µ ≥ µ e µ ≥ µ ,

  1

  1

  2

  2

  2

  1

  note que isto ´e poss´ıvel pois Λ ´e um conjunto dirigido, assim φ(µ ) ≥ φ(µ ) ≥ λ e

  2

  1

  ≥ µ ∈ U ∈ U. µ

  2 , logo para todo λ ≥ φ(µ 2 ) temos que λ, φ(µ 2 ) ≥ λ ent˜ao x λ ,x φ 2

  1 (µ )

  Por outro lado como µ ≥ µ ent˜ao x φ 2 ∈ St[x, U], ent˜ao x φ 2 , x ∈ U . Dessa

  2 (µ ) (µ )

  2

  1

  forma U ∩ U 6= ∅ pois x φ 2 ∈ U ∩ U . Como U ≺ V ent˜ao U ∪ U ∈ V para

  1 2 (µ )

  1

  2

  1

  2

  2

  ∈ St[x, V]. Por fim como todo vizinhan¸ca aberta contendo algum V ∈ V, assim x λ x cont´em um elemento do tipo St[x, V] temos que x λ −→ x.

  Proposi¸c˜ ao 2.7.3. Assuma Y um espa¸co admiss´ıvel munido de uma fam´ılia ad- miss´ıvel O(Y ). Seja f : X −→ Y um fun¸c˜ao uniformemente cont´ınua. Se (x λ ) ´e uma O(X)-rede de Cauchy em X ent˜ao f (x λ ) ´e uma O(Y )-rede de Cauchy em Y .

  Demonstra¸c˜ ao: Tome V ∈ O(Y ) uma cobertura qualquer da fam´ılia ad- miss´ıvel O(Y ). Pela continuidade uniforme de f existe cobertura U ∈ O(X) tal que f (St[x, U ]) ⊂ St[f (x), V] para todo x ∈ X. Desde que (x λ ) ´e uma O(X)-

  ∈ Λ tal que x ∈ U para algum U ∈ U, ou seja rede de Cauchy, existe λ λ 1 , x λ 2 x λ 1 ∈ St[x λ 2 , U ] toda vez que λ , λ > λ . Ent˜ao f (x λ ) ∈ St[f (x λ ), V] toda vez

  1

  2

  1

  2 que λ , λ > λ , e portanto f (x λ ) ´e uma O(Y )-rede de Cauchy.

  1

2 O pr´oximo teorema traz algumas propriedades elementares dos espa¸cos admiss´ıveis completos.

  Teorema 2.7.1.

  1. Um subespa¸co fechado Y de um espa¸co admiss´ıvel completo ´e completo.

  2. Um subespa¸co completo Y de um espa¸co Hausdorff admiss´ıvel X ´e fechado.

  3. Se f : X −→ Y ´e um homeomorfismo uniforme ent˜ao X ´e completo se e

  Demonstra¸c˜ ao: (1) Assuma X completo e (x λ ) uma rede de Cauchy no su- bespa¸co fechado Y ⊂ X. Ent˜ao (x λ ) converge para um ponto x ∈ X. Desde que Y ´e fechado temos que x ∈ Y , e portanto Y ´e completo.

  (2) Suponha Y um subespa¸co completo de uma espa¸co Hausdorff admiss´ıvel X. Se x ∈ Y ent˜ao existe um rede (x λ ) ∈ Y tal que (x λ ) −→ x. Pela Proposi¸c˜ao [2.7.1] (x λ ) ´e uma rede de Cauchy em Y . Desde que Y ´e completo temos que x λ −→ y, para algum y ∈ Y . Desde que X ´e Hausdorff, temos que x = y e portanto Y ´e fechado.

  (3) Segue imediatamente da proposi¸c˜ao anterior. Agora apresentaremos um teorema de extens˜ao o qual garante que toda fun¸c˜ao uniformemente cont´ınua em um subconjunto A de um espa¸co admiss´ıvel pode ser estendida ao fecho de A. Teorema 2.7.2. Suponha Y um espa¸co admiss´ıvel completo munido de uma fam´ılia admiss´ıvel O(Y ). Se f : A −→ Y ´e uma fun¸c˜ao uniformemente cont´ınua em um subconjunto A de um espa¸co admiss´ıvel X, munido de uma fam´ılia admiss´ıvel O(X) ent˜ao a fun¸c˜ao f pode ser estendida ´a uma fun¸c˜ao uniformemente cont´ınua em A.

  Demonstra¸c˜ ao: Para cada x ∈ A, considere uma rede de Cauchy (x λ ) em A convergindo para x. Pela Proposi¸c˜ao [2.7.3], temos que (f (x λ )) ´e uma rede e Cauchy em Y . Desde que Y ´e completo (f (x λ )) converge para algum y ∈ Y . Neste caso ′ ′ ′ ′ ′

  1

  1

  definimos f (x) = y. Dado U ∈ O tomemos V, V ∈ O com V ≺ V e V ≺ U.

  2

  2 Pela continuidade uniforme de f existe W ∈ O(X) tal que se x, z ∈ W ∩ A para

  algum W ∈ W implica que f (x), f (z) ∈ V para algum V ∈ V. Agora suponha que x, z ∈ A e x, z ∈ W para algum W ∈ W. Seja (x λ ) e (z µ ) redes em A tais que, x λ −→ x e z µ −→ z. Assim f (x λ ) −→ f (x) e f (z µ ) −→ f (z). Dessa forma existem λ e µ ´ındices para os quais x λ , y µ ∈ W, toda vez que λ ≥ λ e µ ≥ µ . Assim temos que f (x λ ), f (y µ ) ∈ V λ,µ para algum V λ,µ ∈ V toda vez que λ ≥ λ e µ ≥ µ . Sejam V , V ∈ V com f (x) ∈ V e f (z) ∈ V .

  1

  2

  1

  2 Tomemos λ ≥ λ e µ ≥ µ tais que f (x λ ) ∈ V e f (z µ ) ∈ V toda vez que λ ≥ λ

  1

  1

  1

  2

  1

  µ ≥ µ

  1 . Segue ent˜ao que se λ ≥ λ 1 e µ ≥ µ 1 :

  ′ ′ ′ ′

  1 Por fim, desde que V ≺

  V existem V , V ∈ V tais que:

  1

  

2

  2

  ∪ V ⊂ V V λ,µ

  

1

  1

  e V λ,µ ∪ V ⊂ V .

  

2

  2 ′ ′

  1 Agora desde que V ≺ U, temos que existe U ∈ U com V ∪ V ⊂ U , e assim

  1

  2

  2 f (x), f (y) ∈ U , o que mostra a continuidade uniforme de f em A.

2.8 Compacidade uniforme local

  Nesta se¸c˜ao apresentaremos o conceito de compacidade uniforme local, a qual fornece um bom crit´erio para encontrarmos um espa¸co admiss´ıvel completo.

  Defini¸c˜ ao 2.8.1. Dizemos que uma espa¸co topol´ogico admiss´ıvel ´e uniforme- mente localmente compacto, quando existe V ∈ O tal que toda V-vizinhan¸ca St[x, V] ´e pr´ e -compacta, ou seja, tem fecho St[x, V] compacto.

  Note que do Lema resulta imediatamente da defini¸c˜ao de compacidade uniforme local que todo espa¸co uniformemente localmente compacto ´e localmente compacto.

  Proposi¸c˜ ao 2.8.1. todo espa¸co uniformemente localmente compacto ´e localmente compacto.

  Demonstra¸c˜ ao: Seja x ∈ X e U uma vizinhan¸ca qualquer de x. Desde que U ´e aberto existe U ∈ O tal que St[x, U ] ⊂ U . Tome V ∈ O tal que St[x, V] ´e

  1

  1

  compacto. Al´em disso, considere W ∈ O tal que W ≺ U e W ≺

  V. Pelo Lema

  2

  2

  [2.3.2] temos que St[x, W] ⊂ St[x, V] ent˜ao St[x, W] ⊂ St[x, V], logo St[x, W] ´e compacto desde que todo fechado num compacto ´e compacto. De mesmo modo, St[x, W] ⊂ St[x, U ] ⊂ U . Portanto X ´e localmente compacto.

  Proposi¸c˜ ao 2.8.2. Se X ´e uniformemente localmente compacto ent˜ao X ´e com- pleto.

  Demonstra¸c˜ ao: Suponha que X ´e uniformemente localmente compacto, logo existe V ∈ O tal que toda vizinhan¸ca St[x, V] tem fecho compacto. Seja (x λ ) uma O- rede de Cauchy em X. Por defini¸c˜ao existe λ ∈ Λ tal que x λ 1 , x λ 2 ∈ U para algum U ∈ U, toda vez que λ , λ > λ ou seja x λ 1 ∈ St[x λ 2 , U ] toda vez que λ , λ > λ .

  1

  2

  1

  2

  ∈ St[x Logo se λ > λ ent˜ao x λ λ , U ]. Sendo assim considere a sub-rede (x λ ) λ∈ Λ com Λ = {λ ∈ Λ : λ > λ }. Dessa forma veja que (x λ ) λ∈ ´e uma O-sub-rede

  Λ

  de Cauchy de (x λ ) λ∈ que est´a contida em St[x λ , U ] ⊂ St[x λ , U ]. Ent˜ao (x λ ) λ∈

  Λ Λ

  ´e uma sub-rede contida no compacto St[x λ , U ], logo possui sub-rede convergente para um ponto x. Agora como toda rede de Cauchy que possui sub-rede convergente tamb´em ´e convergente, assim (x λ ) λ∈ converge para x. De mesmo modo, (x λ ) λ∈

  Λ Λ

  ´e O-rede de Cauchy a qual possui sub-rede (x λ ) λ∈ Λ a qual converge para x, ent˜ao (x λ ) λ∈ tamb´em converge para x. Portanto toda O-rede de Cauchy em X converge,

  Λ assim X ´e completo.

  Proposi¸c˜ ao 2.8.3. Se toda parte limitada e fechada de X ´e compacta ent˜ao X localmente compacto e completo.

  Demonstra¸c˜ ao: Mostremos que X ´e uniformemente localmente compacto. Fixe

  1

  x ∈ X e tome V ∈ O. Considere U ∈ O tal que U ≺

  V. Assim, pelo Lema [2.3.2],

  2

  temos que St[x, U ] ⊂ St[x, V] e portanto St[x, U ] ´e U -limitado. Ent˜ao St[x, U ] ´e uma parte limitada e fechada de X, logo compacta por hip´otese. Ent˜ao para qualquer x ∈ X existe U ∈ O tal que toda vizinhan¸ca St[x, U ] possui fecho compacto logo X ´e uniformemente localmente compacto, portanto completo.

2.9 Conexidade uniforme local

  Nesta se¸c˜ao aplicaremos o lema da cobertura de Lebesgue para mostrar que todo espa¸co admiss´ıvel compacto localmente conexo ´e uniformemente localmente conexo.

  Defini¸c˜ ao 2.9.1. Um espa¸co admiss´ıvel X se diz uniformemente localmente conexo, se para qualquer U ∈ O, existe V ∈ O tal que toda vez que x, y ∈ V

  X. O espa¸co X ´e dito uniformemente localmente conexo por caminhos se para qualquer U ∈ O, existe V ∈ O tal que toda vez que x, y ∈ V para algum V ∈ V ent˜ao x, y s˜ao ligados por algum caminho U - limitado de X. Teorema 2.9.1. Se X ´e um espa¸co admiss´ıvel compacto localmente conexo, ent˜ao X ´e uniformemente localmente conexo.

  Demonstra¸c˜ ao: Tome U ∈ O. Para cada x ∈ X note que St[x, U ] ´e um aberto contendo x. Desde que X ´e localmente conexo considere V x uma vizinhan¸ca conexa ⊂ St[x, U]. Assim por defini¸c˜ao cada V de x tal que V x x ´e U -limitado. Por outro

  [ lado veja que X = x∈X V x . Tomando V a cobertura de Lebesgue para a cobertura aberta {V x : x ∈ X} do compacto X temos que se x, y ∈ V para algum V ∈ V ent˜ao ∈ {V y ∈ St[x, V] ⊂ V z para algum V z x : x ∈ X}. Portanto para qualquer U ∈ O existe V ∈ O tal que x, y ∈ V ent˜ao x, y pertencem ao mesmo subconjunto conexo U-limitado V z , assim X ´e uniformemente localmente conexo.

  A prova do Teorema [2.9.1] anterior pode ser facilmente modificada para mostrar que, se X ´e um espa¸co compacto localmente conexo por caminhos ent˜ao X ´e unifor- memente localmente conexo por caminhos. Este resultado estende uma propriedade de espa¸cos de Peano para espa¸cos admiss´ıveis localmente conexos por caminhos. Indicamos [22], Se¸c˜ao 31, para Espa¸cos de Peano.

2.10 Dimens˜ ao topol´ ogica

  O principal objetivo dessa se¸c˜ao ´e dar uma descri¸c˜ao do conceito de dimens˜ao to- pol´ogica de Lebesgue de um espa¸co topol´ogico X em termos da fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas. Trabalharemos com a teoria de dimens˜ao cl´assica explorada por Hurewicz e Wallman em [4].

  Inicialmente, abordamos os pr´e-requisitos da teoria de dimens˜ao necess´arios para o desenvolvimento do texto, expondo algumas defini¸c˜oes e resultados b´asicos da teoria. Recomendamos a leitura de [11],[4] para teoria de dimens˜ao.

  Vejamos uma defini¸c˜ao inicial. Defini¸c˜ ao 2.10.1. A dimens˜ao topol´ogica de um espa¸co X ´e o valor m´ınimo n ∈ N para o qual toda cobertura aberta de X admite refinamento de ordem menor ou igual a n + 1. Se n˜ao existe valor m´ınimo de n, dizemos que X tem dimens˜ao topol´ogica infinita.

  Nota¸c˜ ao: dim X = n Entendemos por ordem de uma cobertura de um espa¸co o n´ umero m´aximo de elementos da cobertura ao qual pertence qualquer ponto do espa¸co. Sendo assim, temos uma defini¸c˜ao alternativa do conceito de dimens˜ao topol´ogica dada por: Defini¸c˜ ao 2.10.2. Uma cobertura U de um espa¸co X tem ordem m + 1 se algum ponto de X est´a em m + 1 elementos de U , e n˜ao existe nenhum ponto de X o qual esteja em mais do que m + 1 elementos de U .

  Segue imediatamente da defini¸c˜ao, que um espa¸co X tem dimens˜ao zero se, e somente se, para cada vizinhan¸ca aberta U de x, existe um subconjunto aberto V ⊂ X tal que x ∈ V ⊂ U e ∂V = ∅.

  1

  1 Exemplo 2.10.1. A ordem da cobertura U = (n − , n + ) ´e 1, desde que n˜ao

  2

  2 existem dois elementos que se interceptam.

  O exemplo abaixo pode ser encontrado em [11], p´agina 305. Exemplo 2.10.2. Qualquer subespa¸co compacto X de R possui dimens˜ao topol´ogica no m´aximo igual a 1.

  Denote U a cole¸c˜ao de todos intervalos da forma (n, n + 1) em R com n ∈ Z.

  1

  1

  1 Seja U a cole¸c˜ao de todos intervalos da forma (n − , n + ) para n ∈ Z. Ent˜ao

  2

  2

  2 U = U ∪ U ´e uma cobertura aberta de R por conjuntos de diˆametro 1. Desde que

  1

  2

  n˜ao existe dois elementos de U nem de U que se interceptam ent˜ao temos que a

  1

  2 ordem de U ´e 2.

  Seja X um subespa¸co compacto de R. Tome C uma cobertura aberta qualquer de X por abertos de X. Considere δ o n´ umero de Lebesgue para esta cobertura. Ent˜ao qualquer cole¸c˜ao de subconjuntos de X com diˆametro menor que δ ´e um refinamento

  1

  para C. Seja f : R −→ R homeomorfismo definido como f (x) = ( δ)x. As imagens

  2

  dos elementos da cobertura U pela aplica¸c˜ao f formam uma cobertura aberta de R

  1

  de ordem 2 cujos elementos possuem diˆametro ( δ). A intersec¸c˜ao com X forma um

  2 refinamento de C de ordem menor ou igual a 2. Assim temos o resultado.

  Seguem alguns resultados b´asicos a respeito de teoria de dimens˜ao. Proposi¸c˜ ao 2.10.1. Seja (X, d) um espa¸co m´etrico separ´avel. Se X ´e enumer´avel ent˜ao dim X = 0.

  Demonstra¸c˜ ao: Sejam x ∈ X e U uma vizinhan¸ca aberta qualquer de x em

  X. Tomemos ǫ > 0 para o qual B(x, ǫ) ⊂ U . Desde que X ´e enumer´avel, existe 0 < δ < ǫ tal que: d(x, y) 6= ∅ para todo y ∈ B(x, ǫ). Sendo assim x ∈ B(x, δ) e ∂B(x, δ) = ∅, portanto dim X = 0.

  Exemplo 2.10.3. Segue imediatamente da proposi¸c˜ao 2.10.1 que n dim Q = 0, para qualquer que seja n ∈ N. Proposi¸c˜ ao 2.10.2. dim R \ Q = 0

  Demonstra¸c˜ ao: Sejam x ∈ R \ Q e U uma vizinhan¸ca aberta qualquer de x em R \ Q. Tomemos y, z ∈ R \ Q tal que V = (y, z) ∩ R \ Q ⊂ U . Desde que ∂V = ∅, temos o resultado.

  Proposi¸c˜ ao 2.10.3. Todo subconjunto dos n´ umeros reais que n˜ao cont´em intervalos ´e 0-dimensional.

  Demonstra¸c˜ ao: An´alogo a Proposi¸c˜ao 2.10.2. Teorema 2.10.1. Sejam X um espa¸co com dimens˜ao finita e Y ⊂ X um subcon- junto fechado, ent˜ao Y tem dimens˜ao finita e dim Y ≤ dim X.

  Demonstra¸c˜ ao: Ver[11], Teorema 50.1, p´agina 306. Teorema 2.10.2. Sejam X e Y espa¸cos tais que pelo menos um ´e n˜ao vazio. Ent˜ao: dim X × Y ≤ dim X + dim Y.

  Demonstra¸c˜ ao: Ver[4], Teorema 3.4, p´agina 33. Teorema 2.10.3. Seja X = Y ∪ Z, com Y e Z subespa¸cos fechados de X possuindo dimens˜ao topol´ogica finita. Ent˜ao: dim X = max{dim Y, dim Z}. Demonstra¸c˜ ao: Ver[11], Teorema 50.2, p´agina 307. Corol´ ario 2.10.1. Seja X = Y ∪ Y ∪ ... ∪ Y k , onde cada Y i ´e um subespa¸co fechado

  1

  2

  de X de dimens˜ao finita.Ent˜ao dim X = max{dim Y , dim Y , . . . , dim Y }.

  

1

2 k

  O teorema abaixo descreve a dimens˜ao topol´ogica de Lebesgue por meio da fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas.

  Teorema 2.10.4. Assuma que X ´e um espa¸co topol´ogico compacto e O uma fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas de X. Assim, dim X ≤ m, se e somente se, para todo U ∈ O existe uma cobertura aberta finita B de X por subconjuntos U -limitados tais que B possui ordem no m´aximo m + 1.

  Demonstra¸c˜ ao: Suponha que dim X ≤ m e tome U ∈ O. Considere uma U cobertura aberta B = {St[x, U ]; x ∈ X} por U -estrelas. Escolha uma cobertura V de X que refina B U e possui no m´aximo ordem m+1. Considere B uma subcobertura finita de V. Desse modo, B possui ordem no m´aximo m + 1 e seus membros s˜ao U-limitados. Reciprocamente, tome U uma cobertura aberta arbitr´aria de X. Pelo lema da cobertura de Lebesgue temos que existe V ∈ O tal que para cada x ∈ X, St[x, V] ⊂ U para algum U ∈ U. Agora veja que por hip´otese existe uma cobertura B de X por subconjunto U-limitados tal que B possui ordem no m´aximo m + 1. Desde que B refina U , segue que dim X ≤ m.

  

CAP´ITULO 3

FIBRADOS PRINCIPAIS E ASSOCIADOS

  O principal objetivo deste cap´ıtulo ´e a demonstra¸c˜ao da continuidade uniforme da aplica¸c˜ao π E : E −→ X (fibrado associado a um fibrado principal). Para este prop´osito, construiremos uma fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas sobre um fibrado associado com base localmente compacta e paracompacta. Tal constru¸c˜ao foi realizada por Patr˜ao-San Martin [12].

  No entanto, inicialmente, apresentaremos a teoria de fibrados principais e as- sociados em seu aspecto geral, dando ˆenfase nas propriedades topol´ogicas de tais objetos. Tomamos o cuidado de apresentar somente os principais teoremas da teo- ria, fornecendo demonstra¸c˜oes detalhadas de car´ater puramente topol´ogico.

  Seguiremos a nota¸c˜ao e terminologia conforme Kobayashi-Nomizu [8].

3.1 Fibrados principais

  A teoria de fibra¸c˜oes diz respeito a espa¸cos topol´ogicos que localmente se parecem com espa¸cos produtos.

  Vejamos algumas defini¸c˜oes iniciais. Defini¸c˜ ao 3.1.1. Uma fibra¸ c˜ ao ´e uma aplica¸c˜ao cont´ınua e sobrejetora

  π : Q −→ X, de um espa¸co topol´ogico Q denominado espa¸ co total num espa¸co topol´ogico X denominado espa¸ co base.

  Vejamos um exemplo. Exemplo 3.1.1. Sejam X e Y espa¸cos topol´ogicos ent˜ao a proje¸c˜ao em primeira coordenada π : X × Y −→ X ´e uma fibra¸c˜ao.

1 Defini¸c˜ ao 3.1.2. Para cada ponto x do espa¸co base X definimos a fibra de Q

  sobre x como seguinte conjunto:

  1 π (x) = {p ∈ Q : π(p) = x}.

  Defini¸c˜ ao 3.1.3. Para cada ponto q do espa¸co total Q definimos a fibra de Q atrav´ es de q como seguinte conjunto: Q q = {p ∈ Q : π(p) = π(q)}. Defini¸c˜ ao 3.1.4. (Isomorfismo de fibra¸ c˜ oes) Duas fibra¸c˜oes π : Q −→ X e π : ˆ ˆ Q −→ ˆ X s˜ao ditas isomorfas se existem homeomorfismos Ψ : Q −→ ˆ Q e φ : X −→ ˆ X entre os espa¸cos totais e os espa¸cos base respectivamente, tais que o diagrama abaixo ´e comutativo.

  

Ψ

//

  ˆ Q Q π π

φ

// ˆ

  ˆ

  X X O par (Ψ, φ) ´e denominado um isomorfismo de fibra¸c˜oes. Defini¸c˜ ao 3.1.5. (Fibrados principais) Uma fibra¸c˜ao π : Q −→ X ´e chamada um fibrado principal se existir um grupo topol´ogico G agindo livre e continua- mente `a direita de Q de modo que, as fibras de Q sobre os elementos x ∈ X sejam ´orbitas da a¸c˜ao de G sobre Q.

  O grupo G ´e chamado grupo estrutural do fibrado principal. Usualmente nos referiremos ao fibrado principal como sendo a aplica¸c˜ao:

  π : Q −→ X ficando subentendido, ´e claro, a existˆencia do grupo estrutural G agindo livre e continuamente `a direita do espa¸co total Q.

  Observe que cada ´orbita p.G = {pg : g ∈ G} define uma classe de equivalˆencia da seguinte rela¸c˜ao: p ∼ p ⇔ p = p g

  1

  2

  2

  1

  para algum g ∈ G. Sendo assim dois elementos p, q ∈ Q pertencem `a mesma fibra se, e somente se, pertencem a mesma ´orbita se, e somente se, pertencem a mesma classe de equivalˆencia ou seja,

  π(p) = π(q) ⇔ q = pg, para algum g ∈ G.

  Dessa forma temos que a a¸c˜ao do grupo topol´ogico G sobre a fibra ´e invariante, no seguinte sentido: − −

  1

  1

  p ∈ π (x) ⇒ pg ∈ π (x) j´a que p, pg s˜ao associados para todo g ∈ G, logo π(pg) = π(p) = x portanto,

  1 pg ∈ π (x). − −

  1

  1 Tome p ∈ π (x) ent˜ao para cada q ∈ π (x) veja que q = pg para algum g ∈ G,

  ou seja, a a¸c˜ao de G ´e transitiva quando restrita a uma fibra qualquer. Assim:

  1

  π (x) = {qg : g ∈ G} = q.G Em outras palavras, cada fibra ´e uma ´orbita de cada um de seus pontos. [

1 Desde que Q = π (x) ent˜ao escrevemos o espa¸co total Q como uni˜ao

  x∈X disjunta de fibras, onde cada fibra possui estrutura de grupo topol´ogico, j´a que

  −

  1

  π (x) ∼ = G. Assim dizemos que Q ´e um feixe bem organizado de grupos. De modo intuitivo podemos ainda pensar no espa¸co Q como uni˜ao de fibras parametrizadas por X e coladas pela topologia do espa¸co.

  Defini¸c˜ ao 3.1.6. Dois fibrados principais π : Q −→ X e ˆ π : ˆ Q −→ ˆ X com grupos estruturais G e ˆ G s˜ao ditos isomorfos se suas fibra¸c˜oes s˜ao isomorfas e existe um isomorfismo de grupos topol´ogicos;

  ϕ : G −→ ˆ

  G, tais que Ψ(pg) = Ψ(p).ϕ(g) para todo p ∈ Q e g ∈ G.

  O terno (Ψ, φ, ϕ) ´e denominado um isomorfismo de fibrados principais. Agora vejamos um exemplo de fibrado principal. Exemplo 3.1.2. (fibrado principal trivial) Considere a fibra¸c˜ao dada pela proje¸c˜ao em primeira coordenada:

  π : X × G −→ X

  1

  π

1 (x, g) = x.

Tal aplica¸c˜ao obviamente ´e uma fibra¸c˜ao do espa¸co total X × G no espa¸co base X, pois trata-se de uma aplica¸c˜ao cont´ınua e sobrejetora. Considere agora, o grupo topol´ogico G agindo `a direita de X × G do seguinte modo:

  ((x, g

  1 ), g 2 ) ∈ (X × G) × G −→ (x, g 1 g 2 ) ∈ (X × G).

  Tal a¸c˜ao ´e obviamente cont´ınua e livre, pois se ((x, g g ) = (x, g ), ent˜ao g g = g

  1

  2

  1

  1

  2

  1

  da´ı g = e. Por fim veja que,

  2

  1

  π (x) = (x, e).G

  1

  1 Ou seja, a a¸c˜ao de G faz com que as fibras π (x) sejam as ´orbitas (x, e).G , logo

  1

  a aplica¸c˜ao π 1 : X × G −→ X ´e um fibrado principal. Defini¸c˜ ao 3.1.7. (Fibrados principais localmente triviais) Um fibrado prin- cipal π : Q −→ X ´e chamado de localmente trivial se para todo ponto x do espa¸co

  1

  base existir um aberto U i contendo x e Ψ i : π (U i ) −→ U i × G homeomorfismo na seguinte forma:

  −

  1

  com φ i : π (U i ) −→ G uma aplica¸c˜ao cont´ınua equivariante, i.e, φ i (pg) = φ i (p).g

  1 para todo p ∈ π (U i ), g ∈ G.

  De modo mais geral dizemos que um fibrado principal ´e localmente trivial se existir uma cobertura aberta {U i : i ∈ I} do espa¸co base X e uma fam´ılia de homeomorfismos:

  1

  {Ψ i : π (U i ) −→ U i × G)} i∈I da forma: Ψ(p) = (π(p), φ i (p))

  1

  onde φ i : π (U i ) −→ G ´e uma aplica¸c˜ao cont´ınua equivariante, i.e, φ i (pg) =

  1 φ i (p).g para todo p ∈ π (U i ), g ∈ G.

  Cada aberto U i com i ∈ I ´e chamado de aberto trivializante e cada Ψ i de trivializa¸c˜ ao local do fibrado ou homeomorfismo local. Por fim dizemos que a cole¸c˜ao de cartas Ψ = (Ψ i , U i ) i∈I ´e um atlas do espa¸co total Q.

  ` As vezes chamaremos de trivializa¸c˜ao local o par (Ψ i , U i ). Exemplo 3.1.3. Considere o fibrado principal trivial constru´ıdo no exemplo ante-

  1

  rior. Note que π (X) = {(x, g) : π (x, g) = x ∈ X} = X × G. Desta forma, para

  1

  1

  cada x ∈ X escolha o aberto X contendo x e o seguinte homeomorfismo:

  1

  Ψ = id : π (X) = X × G −→ X × G

  1

  definido como: Ψ(x, g) = (x, g) = (π

  1 (x, g), π 2 (x, g)).

  Em outras palavras, uma trivializa¸c˜ao global ´e dada pela identidade. Por fim veja que a segunda coordenada do homeomorfismo Ψ ´e dada pela proje¸c˜ao em segunda coordenada, que ´e cont´ınua e equivariante. De fato, ∀(x, g ) ∈ X × G, g ∈ G temos

  1

  que: π ((x, g )g ) = π (x, g g ) = g g = π ((x, g )g .

  2

  1

  2

  2

  1

  

2

  1

  2

  2

  1

  2 Portanto o fibrado principal trivial ´e localmente trivial.

  Vejamos agora o seguinte teorema que nos diz que a condi¸c˜ao de trivialidade local implica que a fibra¸c˜ao π ´e aberta. Proposi¸c˜ ao 3.1.1. Seja π : Q −→ X um fibrado principal localmente trivial. Ent˜ao a aplica¸c˜ao π ´e aberta.

  Demonstra¸c˜ ao: Veja que para todo p ∈ Q temos que π(p) = x ∈ U i para algum −1 ◦ Ψ i ∈ I. Al´em disso, temos que P r

  1 i = π| π onde P r 1 denota a proje¸c˜ao em (U i ) −1

  1

  primeira coordenada P r : U i × G −→ U i . Assim π| π : π (U i ) −→ U i ´e uma

  

1 (U i )

aplica¸c˜ao aberta por composi¸c˜ao de aplica¸c˜oes abertas.

  Mostremos que a aplica¸c˜ao π : Q −→ X ´e aberta. Tome A ⊂ Q um aberto qualquer. Se x ∈ π(A) ent˜ao x = π(p), com p ∈ A. Note que π(p) = x ∈ U i , para − − −

  1

  1

  1

  algum i ∈ I, assim p ∈ π (U i ) e desde que π (U i ) ∩ A ´e aberto em π (U i ) e −1

  1

  π| π ´e aberta, ent˜ao π(π (U i ) ∩ A) ´e aberto em U i , o qual ´e aberto em X, ent˜ao (U i )

  1

  π(π (U i ) ∩ A) ´e aberto em X. Veja que:

  1 − − x ∈ π(π (U i ) ∩ A) ⊂ π(A).

  1

  1 De fato x ∈ π(π (U i ) ∩ A) pois x = π(p), p ∈ π (U i ) e p ∈ A. Portanto, para cada

  1

  x ∈ π(A) existe aberto π(π (U i ) ∩ A) contendo x e contido em π(A) para qualquer A ⊂ Q aberto em Q, e assim todo ponto de π(A) ´e interior. Dessa forma, π(A) ´e aberto, logo π ´e uma aplica¸c˜ao aberta.

3.2 Sec¸c˜ ao e trivialidade local Vejamos algumas defini¸c˜oes iniciais.

  Defini¸c˜ ao 3.2.1. Seja π : Q −→ X um fibrado principal. Uma aplica¸c˜ao χ : X −→ Q, se diz uma sec¸ c˜ ao ou sec¸ c˜ ao global do fibrado se π(χ(x)) = x, para todo x ∈ X.

  Defini¸c˜ ao 3.2.2. Seja π : Q −→ X um fibrado principal. Uma aplica¸c˜ao χ : U −→ Q de um aberto U do espa¸co base X. se diz uma sec¸ c˜ ao local do fibrado se ´e uma inversa local `a direita de π, ou seja, π(χ(x)) = x, para todo x ∈ U .

  Note que pela defini¸c˜ao anterior, uma sec¸c˜ao de um fibrado π : Q −→ X ´e uma

  1

  aplica¸c˜ao χ : X −→ Q tal que χ(x) ∈ π (x), para todo x ∈ X. Em outras palavras,

  1 a aplica¸c˜ao χ leva cada elemento x ∈ X em sua fibra π (x). Lema 3.2.1. Seja π : Q −→ X um fibrado principal localmente trivial. Considere

  1

  × G homeomorfismo trivializante qualquer pertencente ao atlas Ψ i : π (U i) −→ U i Ψ = (U i , Ψ i ). Assim, para qualquer x ∈ X e g ∈ G temos a seguinte igualdade: − −

  1

  1

  Ψ (x, g) = Ψ (x, e)g i i

  1

  1 Observa¸c˜ ao: Adotamos a nota¸c˜ao (Ψ i ) = Ψ no intuito de simplificar o i texto.

  1 Demonstra¸c˜ ao: De fato tome p = Ψ (x, g) ent˜ao π(p) = x e φ i (p) = g. − − i

  1

  1 Observe que π(Ψ (x, e)) = π(p) = x assim Ψ (x, e) e p s˜ao associados. Dessa i i

  1

  forma existe a ∈ G tal que p = Ψ (x, e)a. Afirmamos que a = g, pois: i φ i (p) = g,

  1

  e como p = Ψ (x, e)a ent˜ao i

  1

  φ i (Ψ (x, e))a) = g i Agora pela equivariˆancia da aplica¸c˜ao φ i vale:

  1

  φ i (Ψ (x, e))a = g i

  1 assim, e.a = g , logo, g = a. Portanto p = Ψ (x, e)g. i

  Agora construiremos uma bije¸c˜ao entre trivializa¸c˜oes locais e sec¸c˜oes locais de um fibrado principal. Teorema 3.2.1. (Correspondˆ encia entre trivialidade local e sec¸ c˜ oes lo- cais) Seja π : Q −→ X um fibrado principal com grupo estrutural G. Para todo x ∈ X existe uma vizinhan¸ca U aberta de x e uma aplica¸c˜ao χ : U −→ Q tal que π(χ(x)) = x, para todo x ∈ U se, e somente se, π : Q −→ X ´e um fibrado principal localmente trivial.

  Em outras palavras, um fibrado principal ´e localmente trivial, se e somente se, admite sec¸c˜ao local em cada um dos pontos de seu espa¸co base. Demonstra¸c˜ ao: Suponha π : Q −→ X um fibrado principal localmente trivial com grupo estrutural G. Considere Ψ = (U i , Ψ i ) um atlas do fibrado principal. Para cada U i ∈ {U i : i ∈ I}, defina a seguinte aplica¸c˜ao:

  1

  1 (U i ) −→ U i × G ´e homeomorfismo.

  (U i ) −→ U i × G ´e dada por:

  1

  Veja que a aplica¸c˜ao φ i ´e equivariante, pois para todo x ∈ U i e g ∈ G temos que; φ i (χ i (x)gg ) = gg = φ i (χ i (x)g)g .

  1 (U i ) ´e realmente da forma χ i (x)g para algum g ∈ G.

  (U i ) ent˜ao π(p) = x ∈ U i , para algum x ∈ U i . Por outro lado temos que π(χ i (x)) = x ent˜ao χ i (x), p pertencem `a mesma fibra, logo s˜ao associados, assim existe g ∈ G tal que p = χ i (x)g. Assim todo elemento de π

  1

  χ i (x)g = χ i (y)g ent˜ao x = π(χ i (x)g) = π(χ i (y)g ) = y. Como x = y ent˜ao χ i (x) = χ i (y). Assim, desde que a a¸c˜ao do grupo G `a direita de Q ´e livre e χ i (x)g = χ(y)g , temos que g = g . Portanto (x, g) = (y, g ). Al´em disso, se p ∈ π

  Mostremos que para cada i ∈ I, Ψ i : π

  χ i (x) := Ψ

  1 (U i ) −→ G definida como φ i (χ i (x)g) = g.

  (U i ) −→ U i × G Ψ i (χ i (x)g) = (π(χ i (x)g), φ i (χ i (x)g)) = (x, g). com φ i : π

  1

  ∈ {U i : i ∈ I} de X e a seguinte fam´ılia de aplica¸c˜oes definidas por: Ψ i : π

  Por outro lado, considere um fibrado principal tal que para cada x ∈ X, existe vizinhan¸ca aberta U i de x e uma aplica¸c˜ao χ i : U i −→ Q de modo que, π ◦ χ i (x) = x para todo x ∈ U i . Considere a cobertura aberta U i

  Dessa forma temos que aplica¸c˜ao χ i ´e cont´ınua e, π ◦ χ i (x) = x para todo x ∈ U i . Assim χ i ´e um sec¸c˜ao local do fibrado e portanto para cada x ∈ X existe uma vizinhan¸ca U i aberta de x e uma aplica¸c˜ao cont´ınua χ i : U i −→ Q tal que π(χ i (x)) = x para todo x ∈ U i .

  1 i (x, e).

  • Observe inicialmente que a aplica¸c˜ao Ψ i est´a bem definida pois, se tomarmos
  • Note que a aplica¸c˜ao inversa de Ψ i : π

  ϕ i (x, g) = χ i (x)g. Mostremos ser ϕ i , aberta e cont´ınua. Tome A ⊂ U × G, um aberto qualquer em U × G. Mostremos que ϕ (A) ´e i i i aberto em U i . Afirmamos que:

  1

  ϕ i (A) = π (P r (A)),

  1

  × G −→ U onde P r

  1 : U i i ´e a proje¸c˜ao em primeira coordenada.

  De fato, tome χ i (x)g = ϕ i (x, g) ∈ ϕ i (A). Ent˜ao π(χ i (x)g) = x = P r (x, g)

  1

  1

  com (x, g) ∈ A, portanto χ i (x)g ∈ π (P r

1 (A)). Por outro lado, tome:

  1

  χ i (x)g ∈ π (P r (A)), ′ ′ ′

  1

  assim π(χ i (x)g) = x = P r (x , g), com (x , g) ∈ A. Dessa forma x = x , e ent˜ao

  1 χ i (x)g = ϕ i (x, g) = ϕ i (x , g) ∈ ϕ i (A).

  Sendo assim temos a igualdade desejada. Agora desde que, P r : U i × G −→ U i ´e uma aplica¸c˜ao aberta e A ´e aberto

  1

  em U i × G ent˜ao P r (A) ´e aberto em U i . Como U i ´e aberto em X, temos que

  1

  1 P (A) ´e aberto em X. Por fim, como π : Q −→ X ´e cont´ınua, π (P (A)) r

  1 r

  1

  ´e aberto em Q, da´ı ϕ i (A) ´e aberto em Q, logo aberto em U i . Ent˜ao ϕ i ´e uma aplica¸c˜ao aberta.

  1 Agora mostremos a continuidade de ϕ i : U i × G −→ π (U i ). Seja (x λ , g λ )

  uma rede em U i × G, tal que: (x λ , g λ ) −→ (x, g).

  Assim x λ −→ x e g λ −→ g. Desde que a aplica¸c˜ao χ i ´e continua, χ i (x λ ) −→ χ i (x). Por fim usando o fato de que a a¸c˜ao do grupo topol´ogico G `a direita de Q ´e cont´ınua e (χ i (x λ ), g λ ) −→ (χ i (x), g) ent˜ao,

  χ i (x λ )g λ −→ χ i (x)g ou seja ϕ i (x λ , g λ ) −→ ϕ i (x, g), toda vez que (x λ , g λ ) −→ (x, g), assim ϕ i ´e Portanto temos que o fibrado principal ´e localmente trivial com atlas dado por Ψ = (U i , Ψ i ) i∈I .

  Se Ψ = (U i , Ψ i ) i∈I ´e um atlas de Q, pelo teorema anterior, cada carta local

  1

  1

  × G define uma sec¸c˜ao local χ Ψ i : π (U i ) −→ U i i (x) := Ψ (x, e) de modo que i

  1 pelo Lema [3.2.1], temos que Ψ (x, g) = χ i (x)g, g ∈ G. i

3.3 Fun¸c˜ oes de transi¸c˜ ao

  A propriedade de trivialidade local na defini¸c˜ao de fibrado principal est´a relacionada com uma certa classe de fun¸c˜oes de transi¸c˜ao satisfazendo determinadas proprieda- des.

  Nesta se¸c˜ao faremos uma breve discuss˜ao sobre tal classe de fun¸c˜oes. Sabemos que para cada trivializa¸c˜ao Ψ i , temos uma sec¸c˜ao local canˆ onica as-

  1

  −→ Q definida por χ sociada χ i : U i i (x) = Ψ (x, e). Desde que χ i (x), χ i (x)g i s˜ao associados ent˜ao π(χ i (x)g) = π(χ i (x)) = x. Por outro lado a equivariˆancia da aplica¸c˜ao φ i garante que φ i (χ i (x)g) = φ i (χ i (x))g = eg = g.

  Dessa forma: Ψ i (χ i (x)g) = (π(χ i (x)g), φ i (χ i (x)g) = (π(χ i (x)), φ i (χ i (x))g) = (x, g).

  1 Denotando U ij = U i ∩ U j , tome x ∈ U ij e trivializa¸c˜oes Ψ i : π (U i ) −→ U i × G e

  1

  1

  Ψ : π (U ) −→ U × G. Usando o Lema [3.2.1], o qual garante que Ψ (x, e)g = j j j i

  1

  Ψ (x, g), temos a fun¸c˜ao mudan¸ca de coordenadas: i

  1

  ◦ Ψ × G −→ U × G Ψ j : U ij ij i definida como: − −

  1

  1

  Ψ j ◦ Ψ (x, g) = Ψ j (Ψ (x, g)) = i i

  1

  = Ψ j (Ψ (x, e)g) = Ψ j (χ i (x)g) = i = (π(χ i (x)g), φ j (χ i (x)g) = (x, a ji (x)g)

  −→ G uma fun¸c˜ao cont´ınua definida como com a ji : U ij A aplica¸c˜ao a ji : U ij −→ G ´e conhecida como fun¸c˜ ao de transi¸c˜ ao entre os homeomorfismos trivializantes Ψ i , Ψ j nesta ordem.

  Pelo que foi visto acima, a fun¸c˜ao de transi¸c˜ao entre os homeomorfismo triviali- zantes Ψ i , Ψ j ´e uma fun¸c˜ao cont´ınua a ji : U ij −→ G para a qual a fun¸c˜ao mudan¸ca de coordenadas ´e dada por:

  1 Ψ j ◦ Ψ (x, g) = (x, a ji (x)g). i

  Em outras palavras, a fun¸c˜ao de transi¸c˜ao fornece a mudan¸ca de coordenadas entre duas trivializa¸c˜oes.

  Agora vejamos uma proposi¸c˜ao que relaciona sec¸c˜oes locais e fun¸c˜oes de transi¸c˜ao.

  1

  × G e Proposi¸c˜ ao 3.3.1. Considere duas trivializa¸c˜oes Ψ i : π (U i ) −→ U i

  1

  Ψ j : π (U j ) −→ U j × G e suas respectivas sec¸c˜oes locais associadas, χ i : U i −→ Q − −

  

1

  1 e χ j : U j −→ Q definidas por χ i (x) = Ψ (x, e) e χ j (x) = Ψ (x, e). i j

  Para todo x ∈ U ij temos que χ i (x) = χ j (x)a ji (x).

  Demonstra¸c˜ ao: Observe que: Ψ j (χ i (x)) = (π(χ i (x), φ j (χ i (x)) = (x, a ji (x)) (*). Por outro lado, desde que χ i (x) e χ i (x)a ji (x) pertencem `a mesma fibra, logo s˜ao as- sociados, basta observar que a (x) ∈ G, assim temos que π(χ (x)) = π(χ (x)a (x)). ji j j ji Deste modo vale:

  Ψ j (χ j (x)a ji (x)) = (π(χ j (x)a ji (x)), φ j (χ j (x)a ji (x))) = = (π(χ j (x)), φ j (χ j (x))a ji (x)) = (x, a ji (x)) assim por (*)

  Ψ j (χ i (x)) = Ψ j (χ j (x)a ji (x)). Como Ψ j ´e homeomorfismo, logo inje¸c˜ao, temos que: χ i (x) = χ j (x)a ji (x).

  Proposi¸c˜ ao 3.3.2. A fun¸c˜ao de transi¸c˜ao a ji : U ij −→ G definida por ◦ χ a ji (x) = φ j i (x)

  1. a ii (x) = e, para todo i ∈ I e x ∈ U i . 2. a ji (x) = a jk (x)a ki (x), para todo x ∈ U i

  3. Segue imediatamente do item anterior, pois e = a ii (x) = a ij (x)a ji (x). Defini¸c˜ ao 3.3.1. Um morfismo entre dois fibrados principais π : Q −→ X e

  X F // ˆ

  ˆ π

  Q

  Q f // π ˆ

  Note que, um morfismo de fibrados preserva fibras, portanto induz uma aplica¸c˜ao F : X −→ ˆ X, para a qual o diagrama abaixo comuta,

  ˆ π : ˆ Q −→ ˆ X com grupos estruturais G e ˆ G consiste num par de aplica¸c˜oes (f, f ) tais que f : Q −→ ˆ Q ´e homeomorfismo e f : G −→ ˆ G ´e homeomorfismo de grupos topol´ogicos tal que: f (pg) = f (p)f (g) para todo p ∈ Q e g ∈ G.

  = a jk (x)a ki (x) , para todo x ∈ U i ∩ U j ∩ U k .

  ∩ U j ∩ U k . 3. a ji (x) = a ij (x)

  Sendo assim veja que: a ji (x) = φ j (χ i (x)) = φ j (χ k (x)a ki (x)) = = φ j (χ j (x)a jk (x)a ki (x)) = φ j (χ j (x))a jk (x)a ki (x) =

  2. Sabemos pela proposi¸c˜ao anterior que χ i (x) = χ k (x)a ki (x) e χ k (x) = χ j (x)a jk (x).

  (x, g) = (x, g)), logo a ii (x) = e

  1 i

  1. Obviamente para todo x ∈ U i , temos que (x, a ii (x)g) = Ψ i ◦Ψ

  , para todo x ∈ U i ∩ U j Demonstra¸c˜ ao:

  1

  X ou equivalentemente, F ´e uma aplica¸c˜ao para a qual a igualdade F ◦ π = ˆ π ◦ f ´e satisfeita. Vejamos:

  1. De fato, para cada x ∈ X temos que x ∈ U i , para algum aberto trivializante da fam´ılia {U i : i ∈ I}. Defina a seguinte fun¸c˜ao: F : U i −→ ˆ

  X F (x) = ˆ π(f (χ i (x))).

  Sendo assim, veja que F est´a bem definida, j´a que se x ∈ U ij temos pela proposi¸c˜ao [3.3.1] que χ i (x) = χ j (x)a ji (x) ent˜ao: F (x) = ˆ π(f (χ i (x))) = ˆ π(f ((χ j (x)a ji (x))) = ˆ π(f ((χ j (x))f (a ji (x))) = ˆ π(f ((χ j (x)).

  1

  2. Tome p ∈ π (x), desde que o diagrama comuta temos que π(f (p)) = F (π(p)) = F (x). ˆ

  1 Desse modo, temos que a imagem da fibra π (x) pela aplica¸c˜ao f est´a contida − − −

  1

  1

  1

  na fibra ˆ π (F (x)). Sendo assim, desde que π (x) = p.G e ˆ π (x) = f (p). ˆ

  G,

  1

  temos que a restri¸c˜ao da aplica¸c˜ao f : Q −→ ˆ Q a fibra π (x) definida por: − −

  1

  1

  f : π (x) −→ ˆ π (F (x)) f (p.g) = f (p).f (g) ´e bije¸c˜ao. Por fim, veja que a aplica¸c˜ao induzida F ´e cont´ınua, pois tomando x ∈ U i para alguma vizinhan¸ca aberta de x e χ i uma sec¸c˜ao local. Por defini¸c˜ao de sec¸c˜ao local temos que π ◦ χ i = id U , portanto F = F ◦ π ◦ χ i = ˆ π ◦ f ◦ χ i e da´ı em i U i , F ´e escrita como composi¸c˜ao de fun¸c˜oes cont´ınuas.

  Defini¸c˜ ao 3.3.2. Um morfismo (f, f ) ´e dito um mergulho se f : Q −→ ˆ Q ´e um mergulho e f : G −→ ˆ G ´e um monomorfismo. Defini¸c˜ ao 3.3.3. Se (f, f ) ´e um mergulho entre dois fibrados com mesma base X e a aplica¸c˜ao induzida F ´e a identidade de X, dizemos que (f, f ) ´e uma redu¸ c˜ ao do grupo de estrutura do fibrado π : Q −→ X para G ou equivalentemente que

  O teorema a seguir fornece um boa caracteriza¸c˜ao de quando um grupo de es- trutura admite redu¸c˜ao. Este teorema ser´a usado pr´oxima se¸c˜ao.

  Teorema 3.3.1. O grupo de estrutura G ´e redut´ıvel para um subgrupo H se, e somente se, existe uma cobertura de X por trivializa¸c˜oes locais tal que as fun¸c˜oes de transi¸c˜ao tomam valores em H.

  Demonstra¸c˜ ao: Ver [8], Proposi¸c˜ao 5.3, p´agina 53.

3.4 Fibrados associados Nesta se¸c˜ao apresentaremos uma constru¸c˜ao em detalhes do fibrado associado.

  Um espa¸co topol´ogico F ´e dito um espa¸co homogˆ eneo de G se G age continu- amente, transitivamente e abertamente em F , i.e, pra cada u ∈ F a aplica¸c˜ao G −→ F g −→ gu

  ´e uma sobreje¸c˜ao cont´ınua e aberta.

  Um fibrado associado π E : E −→ X de um fibrado principal π : Q −→ X ´e uma fibra¸c˜ao π E (p.v) = π(p) constru´ıda a partir de uma a¸c˜ao cont´ınua, transitiva e aberta ´a esquerda do grupo topol´ogico G num espa¸co topol´ogico F , chamado fibra t´ıpica.

  O espa¸co base do fibrado associado ´e o mesmo espa¸co base do fibrado principal. J´a o espa¸co total E = Q × F/ ∼ ´e o quociente de Q × F pela seguinte rela¸c˜ao de equivalˆencia:

  1

  (p, v) ∼ (q, w) ⇔ q = pg, w = g v para algum g ∈ G. Assim: E = Q × F/ ∼:= {p.v : p ∈ Q, v ∈ F } onde p.v denota a classe de equivalˆencia do elemento (p, v).

  Observe que a aplica¸c˜ao π E (p.v) = π(p) est´a bem definida pois se tomarmos dois representantes de uma mesma classe de equivalˆencia digamos (p, v), (q, w) tais que

  1

  (p, v) ∼ (q, w) ⇒ q = pa, w = a v, assim

1 E (x) denota a fibra de E sobre x ∈ X.

1 E

  1 E (U i ) −→ U i × F ´e um homeomorfismo para cada i ∈ I.

  Agora veja que,

  Tome Ψ E i (q.w) = Ψ E i (p.v) ent˜ao (π(p), φ i (p)v) = (π(q), φ i (q)w). Sendo assim π(p) = π(q) e φ i (p)v = φ i (q)w. Desde que p, q pertencem a mesma fibra, s˜ao associados assim q = pa para algum a ∈ G.

  Dessa forma, Ψ E i (q.w) = (π(pa), φ i (pa)w) = (π(p), φ i (p)aw) = (π(p), φ i (p)v) = Ψ E i (p.v)

  1 v para algum a ∈ G.

  De fato tome p.v = q.w duas classes de equivalˆencia iguais. Da´ı temos: (p, v) ∼ (q, w), assim q = pa e w = a

  (U i ) −→ F definida como v E i (p.v) = φ i (p)v. Mostremos que Ψ E i : π

  Observa¸c˜ ao: E x = π

  1 E

  (U i ) −→ U i × F Ψ E i (p.v) = (π E (p.v), v E i (p.v)) = (π(p), φ i (p)v) com v E i : π

  Ψ E i : π

  Demonstra¸c˜ ao: Seja π : Q −→ X um fibrado principal localmente trivial e π E : E −→ X seu fibrado associado com fibra t´ıpica F . Denotando por Ψ = (U i , Ψ i ) um atlas do fibrado principal, considere a fam´ılia de aplica¸c˜oes dadas por:

  Em outras palavras, a condi¸c˜ao de trivialidade local ´e herdada pelo fibrados as- sociados.

  Vejamos o seguinte teorema: Teorema 3.4.1. Se um um fibrado principal π : Q −→ X ´e localmente trivial ent˜ao o fibrado associado π E : E −→ X tamb´em ´e localmente trivial.

  • Inicialmente note que a aplica¸c˜ao Ψ E i est´a bem definida.
  • injetividade:

  −

  1 Logo φ i (p)aw = φ i (p)v ⇒ aw = v e assim w = a v. Por fim, desde que

1 E

  q = pa e w = a v temos que (p, v) ∼ (q, w) portanto p.v = q.w, da´ı Ψ ´e i injetora.

  • sobrejetividade:

  Tome (x, v) ∈ U i × F um elemento qualquer. Considere p = χ i (x) com x ∈ U i onde χ i denota a sec¸c˜ao local associada a trivializa¸c˜ao Ψ i e definida como

  1

  χ i (x) = Ψ (x, e). Dessa maneira, desde que π(p) = x e φ i (p) = e temos que E i E Ψ (p.v) = (π(p), φ i (p)v) = (x, v) e assim Ψ ´e sobrejetora. i E i Mostremos que Ψ ´e cont´ınua. De fato, suas fun¸c˜oes coordenadas s˜ao: i • (π E : E −→ X ´ e cont´ınua).

  Tome U ⊂ X aberto em X. Por defini¸c˜ao de topologia quociente em: E = Q × F/ ∼,

  1

  1

  1

  temos que π (U ) ´e aberto em E se, e somente se, P (π (U )) ´e aberto em E E Q × F , onde P : Q × F −→ Q × F/ ∼ ´e a proje¸c˜ao canˆonica definida como P (p, v) = p.v. Afirmamos que: − − −

  1

  1

  1 P (π (U )) = π (U ) × F E ou em outras palavras, − −

  1

  1 − − − π (U ) = π (U ) × F/ ∼ . E

  1

  1

1 De fato se (p, v) ∈ P (π (U )) ent˜ao p.v = P (p, v) ∈ π (U ), logo

  E E − − π(p) = π E (p.v) ∈ U

  1

  1 , da´ı p ∈ π (U ), e portanto (p, v) ∈ π (U ) × F .

  Ent˜ao: − − −

  1

  1

  1 P (π (U )) ⊂ π (U ) × F. E − −

  1

  1 Por outro lado, considere (p, v) ∈ π (U ) × F ent˜ao p ∈ π (U ) e v ∈ F .

  1 Assim π(p) = x ∈ U , por´em π E (p.v) = π(p) = x ∈ U da´ı p.v ∈ π (U ). Por E

  1

  1

  fim, note que P (p, v) = p.v ent˜ao (p, v) ∈ P (π (U )), e assim: − − − E

  1

  1

  1 Dessa forma temos a igualdade (*).

  1 Agora observe que π : Q −→ X ´e cont´ınua da´ı π (U ) ´e aberto em Q desde

  1

  que U ´e aberto em X, e ent˜ao π (U ) × F ´e aberto em Q × F . Pela igualdade − −

  1

  1

  1

  (*), temos que P (π (U )) ´e aberto em Q × F e assim π (U ) ´e aberto em E E E portanto π E : E −→ X ´e cont´ınua. E

  1 • (v : π (U i ) −→ F ´ e cont´ınua). i E

  Considere as seguintes fun¸c˜oes:

  1

  1. H : π (U i ) × F −→ U i × F definida por, E H(p, v) = (π(p), φ (p)v) i

  1

  2. v : π (U i ) −→ F definida por, i E E v (p.v) = φ i (p)v i

  3. P : Q × F −→ Q × F/ ∼ definida por, P (p, v) = p.v

1 Mostremos que a fun¸c˜ao H : π (U i ) × F −→ U i × F ´e cont´ınua via caracteriza¸c˜ao por redes.

  

1 Tome (p λ , v λ ) ∈ π (U i ) × F tal que,

  

  1 (p λ , v λ ) −→ (p, v) ∈ π (U i ) × F.

  Assim, p λ −→ p e v λ −→ v. Desde que φ i e π s˜ao cont´ınuas φ i (p λ ) −→ φ i (p) e π(p λ ) −→ π(p). Agora como a a¸c˜ao de G `a esquerda de F ´e cont´ınua e

  (φ i (p λ ), v λ ) −→ (φ i (p), v), ent˜ao φ i (p λ )v λ −→ φ i (p)v. Portanto: H(p λ , v λ ) = (π(p λ ), φ i (p λ )v λ ) −→ (π(p), φ i (p)v) = H(p, v), toda vez que (p λ , v λ ) −→ (p, v). Assim H(p, v) ´e cont´ınua.

  (U i ) × F −→ F ´e cont´ınua, (P | π −1

  ((v E i )

  : π

  1

  π

  (U i )×F

  )

  1

  1

  (U i ) . Veja que como, v E i ◦ P | π −1

  (A)) ´e aberto em π

  1

  (U i ) × F o qual ´e aberto em Q × F , pois π ´e cont´ınua. Assim (v E i )

  1

  (A) ´e aberto em Q × F/ ∼. Portanto v E i : π

  1

  (U i )×F

  (A) ´e aberto em π

  (U i ) × F/ ∼−→ U i × F ´e cont´ınua. Dessa forma conclu´ımos que Ψ E i (p.v) = (π(p), φ i (p).v) ´e bije¸c˜ao cont´ınua.

  2 ◦ H.

  1

  (U i ) × F H // P (U i ) × F P r2 π

  1

  (U i ) × F/ ∼ v E i // F Veja que pela comutatividade do diagrama temos que v E i ◦ P | π −1

  

(U i )×F

  = P r

  Desde que P r

  1

  2

  e H s˜ao cont´ınuas ent˜ao v E i ◦P | π −1

  (U i )×F

  ´e cont´ınua. Agora mostremos que v E i ´e cont´ınua se v E i ◦ P | π −1

  (U i )×F o ´e.

  Seja A ⊂ F um subconjunto aberto em F mostremos que (v E i )

1 E

  • Veja que a fun¸c˜ao inversa de Ψ E i

  (U i ). Observe que, ϕ i est´a bem definida pois: π E (χ i (x).v) = π(χ i (x)) = x ∈ U i , assim χ i (x).v ∈ π

  Por fim, mostremos a continuidade de ϕ i : U i × F −→ π

  1 E (U i ).

  Considere (x λ , v λ ) ∈ U i × F uma rede no espa¸co topol´ogico U i × F , com λ ∈ Λ onde Λ ´e um conjunto dirigido qualquer tal que:

  (x λ , v λ ) −→ (x, v) ∈ U i × F. Dessa forma x λ

  −→ x e v λ −→ v. Como χ i ´e cont´ınua temos que:

  (p.v) = (π(p), φ i (p)v) ´e dada por ϕ i (x, v) = χ i (x).v com ϕ i : U i × F −→ π

1 E

1 E (U i ).

  Assim (χ i (x λ ), v λ ) −→ (χ i (x), v). Desde que a proje¸c˜ao canˆonica P : Q × F −→ Q × F/ ∼ ´e cont´ınua temos que se (χ i (x λ ), v λ ) −→ (χ i (x), v) ent˜ao χ i (x λ ).v λ −→ χ i (x).v, portanto:

  ϕ i (x λ , v λ ) −→ ϕ i (x, v), logo ϕ i ´e cont´ınua. E

  1 Conclu´ımos assim, que para cada i ∈ I, Ψ : π (U i ) −→ U i × F ´e homeomorfismo. i E Portanto, o fibrado associado ´e localmente trivial.

  −

1 Observa¸c˜ ao: Desde que π (U i ) ∼ = U i × F ent˜ao

  E

  1 π (x) ∼ = {x} × F ∼ = F. E

  1 Sendo assim, se a fibra t´ıpica F for compacta cada fibra π (x) ´e compacta. E

  Nota¸c˜ ao: ∼ = denota homeomorfismo Proposi¸c˜ ao 3.4.1. Sejam π : Q −→ X e π E : E −→ X um fibrado principal e seu respectivo fibrado associado. Ent˜ao para cada p ∈ Q temos uma bije¸c˜ao entre a fibra

  1

  π (x) = E x e a fibra t´ıpica F definida por, E Φ : F −→ E x .

  Φ(v) = p.v Demonstra¸c˜ ao: Veja que para cada p ∈ Q, temos que (p, v) ´e equivalente ao par (p, w) se, e somente se, v = w. De fato se (p, v) ∼ (p, w), ent˜ao existe g ∈ G

  1

  tal que p = pg e w = g v. Como a a¸c˜ao `a direita de G em Q ´e livre, temos que g = e, assim, v = w. Com isto temos que a aplica¸c˜ao v ∈ F −→ p.v ∈ E x est´a bem definida e al´em disso ´e injetora.

  Por outro lado, seja q.w ∈ E x assim π(q) = x. Desde que π(p) = x, temos que p, q est˜ao na mesma fibra portanto s˜ao associados, dessa forma existe g ∈ G tal que q = pg. Assim temos que q.w = p.(gw) = Φ(gw), e assim Φ ´e sobrejetora, portanto uma bije¸c˜ao.

  1 Dizemos assim que cada ponto p ∈ Q parametriza a fibra E x = π (x), π(p) = x E Proposi¸c˜ ao 3.4.2. Se a fibra t´ıpica F ´e compacta ent˜ao a aplica¸c˜ao π E : E −→ X ´e fechada.

  Demonstra¸c˜ ao: Veja que ∀ p.v ∈ E temos que π E (p.v) = π(p) = x ∈ U i , para E −1 ◦ Ψ | algum i ∈ I. Al´em disso, temos que p r

  1 = π E , assim i π

E (U i ) −1

  

1

  π E | : π (U i ) −→ U i , π (U ) E E i E ´e uma aplica¸c˜ao fechada por composi¸c˜ao de aplica¸c˜oes fechadas j´a que P r e Ψ s˜ao

  1 i

  fechadas. De fato temos que P : U × F −→ U ´e fechada j´a que F ´e compacto (Ver r

  1 i i

  [9],p´agina 182 proposi¸c˜ao 7, [11],p´agina 171,ex:7) e al´em disso Ψ i ´e homeomorfismo, logo fechada.

  Mostremos que a aplica¸c˜ao π : E −→ X ´e fechada. E Considere A ⊂ E um subconjunto fechado qualquer. Tome x ∈ π E (A), sendo assim, existe uma rede em π E (A) convergindo `a x, digamos

  π (p .v ) −→ x E λ λ com (p λ .v λ ) ⊂ A. Assim por defini¸c˜ao de convergˆencia de redes: π E (p λ .v λ ) ∈ U i ,

  1

  toda vez que λ > λ . Dessa forma temos que p λ .v λ ∈ π (U i ) ∩ A toda vez que E λ > λ , ent˜ao veja que: −1

  1

  | x ∈ π E (π (U i ) ∩ A). π E E (U i ) −1

  1 Por´em, temos que π E | ´e aplica¸c˜ao fechada e desde que π (U i ) ∩ A ´e fechado π E E (U i )

  1

  em π (U i ), assim: E −1

  1

  | x ∈ π E (π (U i ) ∩ A), π E E (U i )

  1

  da´ı x = π E (q.w) com q.w ∈ π (U i )∩A ⊂ A, assim x ∈ π E (A), logo π E (A) ⊂ π E (A), E portanto a aplica¸c˜ao π E ´e fechada.

  

3.5 Fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas em

fibrados associados

  Nesta se¸c˜ao construiremos uma fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas em um fibrado associado localmente trivial com espa¸co base localmente compacto e para- compacto conforme [12], p´aginas 11-13.

  O intuito principal de tal constru¸c˜ao ´e a demonstra¸c˜ao da continuidade uni- forme da aplica¸c˜ao π E : E −→ X (fibrado associado) com respeito a certas fam´ılias admiss´ıveis de coberturas abertas.

  Assumiremos nesta se¸c˜ao que a fibra tipica F ´e um espa¸co m´etrico compacto com E m´etrica d. Fixaremos um atlas Ψ = (U i , Ψ ) i∈I de E, com (U i ) i∈I uma cobertura i aberta de X e E

1 E E

  Ψ : π (U ) −→ U × F i E i i E Ψ (p.v) = (π E (p.v), v (p.v)), i i

  1 com v : π (U i ) −→ F um fun¸c˜ao cont´ınua. i E

  Desde que o espa¸co topol´ogico X ´e paracompacto n´os assumiremos para o resto desta se¸c˜ao que a cobertura, {U i : i ∈ I} ´e localmente finita. E

  Defini¸c˜ ao 3.5.1. (fam´ılia de coberturas Ψ-adaptadas) Seja Ψ = (Ψ , U i ) i um atlas de um fibrado associado E = Q × F/ ∼. Tome uma cobertura U de X subordinada `a cobertura {U i } i∈I e uma fun¸c˜ao ǫ : I −→ (0, ∞).

  Assim n´os definimos uma cobertura (U , ǫ) de E por: E

  1 (U , ǫ) = {(Ψ ) (U × B ǫ (v)) : U ∈ U, U ⊂ U i , i ∈ I, v ∈ F }. i i

  Dizemos que a cobertura aberta (U , ǫ) ´e adaptada ao atlas Ψ e denotamos por O (E) a fam´ılia de todas coberturas abertas de E adaptadas ao atlas Ψ.

  Ψ Finalmente provaremos o seguinte resultado.

  Teorema 3.5.1. Seja E um fibrado associado localmente trivial cujo espa¸co base X ´e localmente compacto e paracompacto. Considere O uma fam´ılia admiss´ıvel de

  Demonstra¸c˜ ao: Desde que o espa¸co base do fibrado associado ´e localmente } compacto e paracompacto, podemos tomar uma cobertura {U i i∈I de seu atlas tal que U i , i ∈ I ´e relativamente compacto e para cada i ∈ I o n´ umero de elementos j ∈ I tal que U i ∩ U j 6= ∅ ´e finito.

  1. Mostremos que para cada (U , ǫ) ∈ O (E) existe (V, δ) ∈ O (E) tal que

  Ψ Ψ

  1

  (V, δ) ≺ (U , ǫ). Primeiramente, observe que a aplica¸c˜ao

  2

  Φ : F × F −→ F × F Φ(u, v) = (a ij (x)u, a ij (x)v) ´e cont´ınua para todo x ∈ U ij , pois a a¸c˜ao de G `a esquerda de F ´e cont´ınua.

  Sendo assim, desde que F × F ´e compacto, temos que Φ ´e uniformemente cont´ınua. Logo, para cada ǫ j > 0 existe δ ij > 0 tal que, se d(u, v) < δ ij , ent˜ao

  1

  d(a ij (x)u, a ij (x)v) < ǫ j para todo x ∈ U ij . Seja V ≺ U e defina:

  2

  δ : I −→ (0, ∞)

  1 δ i = min{δ ij : U ij 6= ∅}.

  2 − − ′

1 E E

  1

  1 Afirmamos que (V, δ) ≺ (U , ǫ). Tome ξ ∈ (Ψ ) (V × B δ (v) ∩ (Ψ ) (V × i i j 2

  ⊂ B δ (v)), ent˜ao π E (ξ) ∈ V ∩ V . Assim existe U ∈ U tal que V ∪ V j E

  1 U ⊂ U k para algum k ∈ I. Tome α ∈ (Ψ ) (V × B δ (v). Ent˜ao temos E E E E i i que v (ξ) = ρ ik (π E (ξ), v (ξ)) e v (α) = ρ ik (π E (α), v (α)). Agora desde k i k i E E E E que d(v (ξ), v (α)) < 2δ i < δ ik ent˜ao d(v (ξ), v (α) < ǫ k . Sendo assim E E E − − i i k k

  1

  1

  (Ψ ) (V × B δ (v)) ⊂ (Ψ ) (V × B ǫ (v (ξ)). De modo inteiramente an´alogo, i k k E E E − − i k

  1

  1

  (Ψ ) (V × B δ (v)) ⊂ (Ψ ) (V × B ǫ (v (ξ)). Portanto j j k k k E E E E − − −

  1

  1

  1 (Ψ ) (V × B δ i (v)) ∪ (Ψ ) (V × B δ j (v)) ⊂ (Ψ ) (V × B ǫ (v (ξ)). i j k k k

  2. Observe que a proje¸c˜ao π E : E −→ X ´e cont´ınua e aberta. Desde que N ´e aberto em E, temos que π E (N ) ´e aberto em U i × F . Al´em disso temos que K ´e compacto em E, da´ı π E (K) compacto em U i × F , assim: π E (N ) ⊂ π E (K) ⊂ X.

  } Desde que a cobertura {U i i∈I ´e localmente finita temos que o conjunto

  ´e finito. De fato note que para cada π E (ξ) ∈ π E (K) temos que π E (ξ) ∈ X.

  } Desde que {U i i∈I ´e cobertura aberta localmente finita de X, existe vizinhan¸ca aberta V π de π E (ξ) tal que: E (ξ)

  V ∩ U i 6= ∅ π E (ξ) [ para um n´ umero finito de ´ındices i ∈ I. Desde que π (K) ⊂ E π E (ξ) ξ∈K V e

  π E (K) ´e compacto ent˜ao extra´ımos uma subcobertura finita, digamos: n [

  π E (K) ⊂ k =1 V π . E (ξ k ) Agora, suponha que existam infinitos ´ındices i ∈ I para os quais, U i ∩π E (K) 6= ∅. Ent˜ao: n

  [ U i ∩ k =1 V π 6= ∅, E (ξ k ) para infinitos i ∈ I. Portanto, para algum k ∈ {1, . . . , n} temos que U ∩ i

  V π 6= ∅ para infinitos i ∈ I, logo temos um absurdo! Portanto o conjunto: E (ξ k ) {i ∈ I : U i ∩ π E (K) 6= ∅}

  ´e finito, assim existe algum i ∈ I tal que π E (K) ∩ U i = ∅. Dessa forma, temos: X \ π E (K) ⊂ U i (∗),

  1

  para algum i ∈ I. Agora tome x ∈ π E (K) e q ∈ π (x). Para cada ξ ∈

  1 π (x) ∩ K com ξ = p.v e x ∈ U i temos que ξ ∈ K ⊂ N ent˜ao ξ ∈ N . E E E

  1

  1 Observe que ξ = p.v = (Ψ ) (π(p), φ i (p)v)) ⊂ N . Desde que (Ψ ) ´e i E i

  × B cont´ınua existe aberto V ξ ǫξ (v (ξ)) contendo (π(p), φ i (p)v) tal que, E E i

  1

  × B ξ ∈ (Ψ ) (V ξ ξ (v (ξ))) ⊂ N i i se x ∈ U i .

1 Agora como π (x) ∩ K ´e compacto, temos que existem ξ , . . . , ξ n tais que,

  E n

  1 − E − E [

  1

  

1

π (x) ∩ K ⊂ (Ψ ) (V ξ × B ǫξ (v (ξ k )) ⊂ N. E k =1 i k k i

  ∩ . . . ∩ V Defina V x = V ξ

  1 ξn e n

  [

  1 E ǫ x = inf{d(v i (ξ), v) : x ∈ U i , ξ ∈ E x ∩ K, v ∈ F \ B ǫξ (v (ξ k ))}. k i

  2

  −

1 Desde que π (x) ∩ K ´e compacto temos que ǫ x > 0 e assim para cada i ∈ I

  E E

  1

  ⊂ U × B para o qual V x i mostremos que se (Ψ ) (V x ǫ x (v)) ∩ K 6= ∅ ent˜ao: E i

1 E

   (Ψ ) (V × B (v)) ⊂ N. i x ǫ x

1 Seja α, ξ ∈ (Ψ ) (V x × B ǫ (v)) com ξ ∈ K. Sendo assim π E (α) ∈ V x e

  E E E i x d(v (ξ), v (α)) < 2ǫ x , portanto v (α) ∈ B ǫξ (v i (ξ k )) para algum k = 1, . . . , n. i i i k E E Desde que π(α) ∈ V x e V x ∈ V ξ assim (π E (α), v (α)) ∈ V ξ × B ǫξ (v (ξ k )) E E E k k i k i

  1

  1

  logo α ∈ (Ψ ) (V ξ × B ǫξ (v (ξ k ))) ⊂ N. Ent˜ao (Ψ ) (V x × B ǫ (v)) ⊂ N i k k i i x (**). Dessa forma, a fam´ılia:

  {V x : x ∈ π E (K)} ´e uma cobertura aberta de π E (K) e pela compacidade de π E (K) temos que existem x , . . . , x n tais que π E (K) ⊂ V x 1 ∪, . . . , ∪V x .

  1 m

  Por fim definimos seguinte cobertura V = {X \ π } E (K), V x 1 , . . . , V x m e ǫ : I −→ (0, ∞) por ǫ = min{ǫ x 1 , . . . , ǫ x }. Obviamente (V, ǫ) ∈ O (E) j´a m Ψ que por (*) temos que X \ π E (K) ⊂ U i para algum i ∈ I, da´ı :

  1

  Ψ (X \ π E (K) × B ǫ (v)) ⊂ O (E) i Ψ e al´em disso os conjuntos abertos em (V, ǫ) que possuem intersec¸c˜ao n˜ao vazia com K est˜ao contidos em N . De fato note que os abertos de (V, ǫ) s˜ao da forma

  1

  {Ψ i (V × B ǫ (v)) : V ∈ V, V ⊂ U i , i ∈ I, v ∈ F }. Assim se V = V para algum i ∈ {1, . . . , m} tal que x i

  1

  Ψ (V × B ǫ (v)) ∩ K 6= ∅ i

  1

  ent˜ao por (**) temos que Ψ (V × B ǫ (v)) ⊂ N . Por outro lado, se V = i

1 X \ π E (K) ent˜ao Ψ (V × B ǫ ) ∩ K = ∅.

  i

  3. Considere W ∈ O tal que, W ≺ U,W ≺ V, e ǫ = min{ǫ , ǫ } . Desde que U ´e

  1

  2

  subordinada `a cobertura {U i } i∈I e W ≺ U, ent˜ao W tamb´em ´e subordinada `a } cobertura {U i i∈I . Sendo assim, temos que: E

  1 (W, ǫ) = {(Ψ ) (W × B ǫ (v)) : W ∈ W, W ⊂ U i , i ∈ I, v ∈ F } ∈ O (E). i i E Ψ

  1 Afirmo que (W, ǫ) ≺ (U , ǫ ). De fato considere (Ψ ) (W × B ǫ (v)) um ele- 1 i E i

  1

  mento qualquer de (W, ǫ). Tome p.v ∈ (Ψ ) (W × B ǫ (v)), assim: i i (π(p), φ (p)v) ∈ W × B (v), i ǫ i portanto (π(p), φ i (p)v) ∈ U × B ǫ (v), para algum U ∈ U, desde que W ≺ U e 1i

  ǫ ≤ ǫ , logo B (v) ⊂ B (v). Da´ı temos que: i

  1 i ǫ i ǫ E 1i

  1 p.v ∈ {(Ψ ) (U × B ǫ (v)) : U ∈ U, U ⊂ U i , i ∈ I, v ∈ F } = (U , ǫ ). i 1i

  1 Do mesm´ıssimo modo, mostra-se que (W, ǫ) ≺ (U , ǫ ). Portanto a fam´ılia

  2 O (E) ´e admiss´ıvel. Ψ

  Teorema 3.5.2. Considere O (E) a fam´ılia admiss´ıvel de todas coberturas

  Ψ

  abertas de E Ψ- adaptadas e O(X) uma fam´ılia admiss´ıvel de coberturas abertas do espa¸co base X localmente compacto e paracompacto. A aplica¸c˜ao π E : E −→ X que define o fibrado associado ´e uniformemente cont´ınua com respeito `as fam´ılias O (E) e O(X).

  Ψ Demonstra¸c˜ ao: Seja U uma cobertura aberta qualquer da fam´ılia O(X).

  Considere uma cobertura aberta do espa¸co total E do fibrado associado dada por: E

  1 (U , ǫ) = {(Ψ ) (U × B ǫ (v)) : U ∈ U, U ⊂ U i , i ∈ I, v ∈ F } ∈ O (E). i i Ψ Considere q.w ∈ St[p.u, (U , ǫ)]. E

1 Assim temos que q.w, p.u, ∈ (Ψ ) (U × B ǫ (v)), para algum U ∈ U e v ∈

  i i F , da´ı π E (p.u), π E (q.w) ∈ U com U ∈ U. Logo π E (q.w) ∈ St[π E (p.u), U ]. Portanto π : E −→ X ´e uniformemente cont´ınua. E

  

APˆ ENDICE A

REDES EM ESPAC ¸ OS TOPOL ´ OGICOS

  Apresentamos agora v´arios resultados b´asicos de redes, que s˜ao an´alogos aos de sequˆencias. Defini¸c˜ ao A.0.2. Um conjunto Λ, com uma rela¸c˜ao ≤ se diz dirigido se ≤ satisfaz:

  1. λ ≤ λ ∀λ ∈ Λ (reflexividade), 2. se λ ≤ µ e µ ≤ ν ent˜ao λ ≤ ν (transitividade), 3. dados λ, µ ∈ Λ existe ν ∈ Λ tal que λ ≤ ν e µ ≤ ν.

  Desta forma dizemos que a rela¸c˜ao ≤ dirige o conjunto Λ, ou que Λ ´e um conjunto dirigido por ≤.

  Exemplo A.0.1. O conjunto dos n´ umeros naturais N munido com a rela¸c˜ao de ordem usual ≤ ´e um conjunto dirigido. Exemplo A.0.2. Seja (X, τ ) um espa¸co topol´ogico e U x a fam´ılia de todas vizi- nhan¸cas do ponto x ∈ X. Considere a seguinte rela¸c˜ao em U x :

  U ≤ V ⇔ V ⊂ U, a cole¸c˜ao U x ´e um conjunto dirigido.

  Proposi¸c˜ ao A.0.1. Sejam Λ , Λ conjuntos dirigidos, ent˜ao Λ ×Λ ´e um conjunto

  1

  2

  1

  2

  dirigido pela seguinte rela¸c˜ao: ′ ′ ′ ′

  Observa¸ c˜ ao: A proposi¸c˜ao nos diz que o produto cartesiano de conjuntos diri- gidos ´e ainda dirigido.

  Agora definiremos o conceito de rede: Defini¸c˜ ao A.0.3. Seja (X, τ ) um espa¸co topol´ogico e Λ um conjunto dirigido. A aplica¸c˜ao x : Λ −→ X

  λ −→ x λ , ´e denominada uma rede sobre X e denotada por (x λ ) λ∈

  Λ

  Defini¸c˜ ao A.0.4. Dizemos que uma rede x λ converge para um ponto x ∈ X se para qualquer vizinhan¸ca U de x existir λ ∈ Λ tal que x λ ∈ U toda vez que λ ≥ λ .

  Observa¸c˜ ao: Note que toda sequˆencia (x n ) n∈N ´e uma rede, ent˜ao a convergˆencia de redes generaliza convergˆencia de sequˆencias.

  Proposi¸c˜ ao A.0.2. Seja (X, τ ) um espa¸co topol´ogico e A ⊂ X u subconjunto de X e x ∈ A um ponto pertencente ao subconjunto A. Ent˜ao x ∈ A se e somente se existe uma rede (x λ ) λ∈ tal que x λ −→ x.

  Λ

  Demonstra¸ c˜ ao: Tome x ∈ A, ent˜ao dado U uma vizinhan¸ca qualquer do ele- ∈ U ∩A, portanto mento x temos que U ∩A 6= ∅, logo para cada U ∈ U x considere x U a rede (x U ) U ∈U ⊂ A e x U −→ x. Reciprocamente considere um rede (x λ ) contida x em A tal que x λ −→ x, assim por defini¸c˜ao de convergˆencia de redes para qualquer

  ∈ Λ tal que x ∈ U toda vez que λ ≥ λ ∈ U ∩ A U ∈ U x existe λ λ em especial x λ portanto x ∈ A.

  Proposi¸c˜ ao A.0.3. Sejam X, Y espa¸cos topol´ogicos e f : X −→ Y uma aplica¸c˜ao. Ent˜ao f ´e cont´ınua em x se e somente se para qualquer rede x λ ⊂ X com x λ −→ x, tivermos que a rede (f (x λ )) ⊂ Y converge para x.

  Demonstra¸ c˜ ao: Por hip´otese temos que f ´e cont´ınua em x ∈ X. Ent˜ao, dada V uma vizinhan¸ca de f (x), existe U uma vizinhan¸ca de x tal que f (U ) ⊂ V . Seja (x λ ) ⊂ X uma rede que converge para x. Assim, para esta vizinhan¸ca U , existe Portanto, a rede (f (x λ )) ⊂ Y converge para f (x). Reciprocamente , suponha por contradi¸c˜ao que f seja descont´ınua em x ∈ X. Ent˜ao, existe V vizinhan¸ca de f (x) tal que f (U ) ⊂ / V , para todo U vizinhan¸ca de x. Assim, para cada U ∈ U x podemos tomar x U ∈ U tal que f (x U ) ⊂ / V . Logo, a rede (x U ) U ∈U converge para x, mas a x rede (f (x U )) n˜ao converge para f (x).

  Teorema A.0.3. Um espa¸co topol´ogico (X, τ ) ´e Hausdorff se e somente se toda rede em X converge para no m´aximo um ´ unico ponto.

  Demonstra¸ c˜ ao: Tome X um espa¸co Hausdorff. Ent˜ao, para x, y ∈ X com x 6= y, existem U, V vizinhan¸cas disjuntas de x e y, respectivamente. Se (x ) ⊂ X ′ ′′ λ ´e uma rede em X tal que x λ −→ x e x λ −→ y ent˜ao existem; λ e λ pertencentes ´a ′ ′′ Λ tais que se λ ≥ λ temos que x λ ∈ U e se λ ≥ λ temos que x λ ∈ V . Agora,como ′ ′′ Λ ´e um conjunto dirigido, existe λ ∈ Λ tal que λ ≥ λ e λ ≥ λ , assim para qualquer λ ≥ λ temos que x λ ∈ U ∩ V , absurdo! logo toda rede em X converge para no m´aximo um ponto. Reciprocamente suponha por absurdo que X n˜ao seja um espa¸co de Hausdorff ent˜ao, existem x, y ∈ X com x 6= y tais que U ∩ V 6= ∅ para quaisquer vizinhan¸cas U, V de x e y, respectivamente. Considere as cole¸c˜oes U x e V y de vizinhan¸cas de x e y, respectivamente. Observe que U x × V y ´e um conjunto dirigido com a seguinte rela¸c˜ao: ′ ′ ′ ′

  (U, V ) ≤ (U , V ) ⇔ U ≤ U V ≤ V Defina a rede: x : U x × V y −→ X

  (U, V ) −→ x (U,V ) , onde x ∈ U ∩ V . Temos que a rede x converge para os pontos x e y

  (U,V ) (U,V )

  simultaneamente, de fato sejam as vizinhan¸cas U ∈ U x e V ∈ V Y arbitr´arias de X e y respectivamente, assim para todo (U, V ) ≥ (U , V ), temos que x ∈ U ∩ V ⊂

  (U,V ) U ∩ V ou seja x −→ x. (U,V )

  Defini¸c˜ ao A.0.5. Sejam (X, τ ) um espa¸co topol´ogico e (x λ ) λ∈ ⊂ X uma rede em

  Λ

  X. Dizemos que X ´e ponto de acumula¸ c˜ ao da rede (x λ ) se dados U vizinhan¸ca

  Defini¸c˜ ao A.0.6. Sejam (X, τ ) um espa¸co topol´ogico e x : Λ −→ X uma rede em −→ X ´e uma sub-rede de x : Λ −→ X, onde Λ

  X. Dizemos que y : Λ ´e um conjunto dirigido e a aplica¸c˜ao φ : Λ −→ Λ satisfaz:

  1. Se µ ≤ µ ent˜ao φ(µ ) ≤ φ(µ ); (φ ´e crescente);

  1

  2

  1

  2

  2. Dado λ ∈ Λ existe µ ∈ Λ tal que φ(µ) ≥ λ.(φ ´e cofinal) Denotamos a sub-rede de (x λ ) λ∈ por (x φ ) µ∈ .

  Λ (µ) Λ

  Proposi¸c˜ ao A.0.4. Se uma rede (x λ ) λ∈ ⊂ X em X converge para um ponto x ∈ X,

  Λ ent˜ao cada sub-rede tamb´em converge para x.

  Demonstra¸ c˜ ao: Tome (x λ ) λ∈ ⊂ X uma rede que convergindo para x ∈ X. Λ Sejam (x φ ) uma sub-rede e U uma vizinhan¸ca do ponto x. Como x λ −→ x

  (µ) µ∈ Λ

  ∈ Λ tal que x ∈ U toda vez que λ ≥ λ existe λ λ , agora, pelo fato de φ se uma aplica¸c˜ao cofinal, para este λ existe µ ∈ Λ tal que φ(µ ) ≥ λ , portanto para todo µ ≥ µ , temos que φ(µ) ≥ φ(µ ) ≥ λ assim (x φ ) µ∈ ∈ U , logo (x φ ) −→ x.

  (µ) Λ (µ)

  Proposi¸c˜ ao A.0.5. Sejam (X, τ ) um espa¸co topol´ogico e (x λ ) λ∈ ⊂ X uma rede

  Λ

  em X. Ent˜ao,x ´e um ponto de acumula¸c˜ao de (x λ ) se, e somente se, a rede possui uma sub-rede que converge a x.

  

APˆ ENDICE B

AC ¸ ˜ OES DE GRUPOS E ESPAC ¸ OS QUOCIENTES

Segue resultados os quais nos ser˜ao ´ uteis no desenvolvimento dos cap´ıtulos 3 e 4.

  Defini¸c˜ ao B.0.7. Sejam G um grupo e X um conjunto. Uma a¸c˜ao ´a esquerda de G em X ´e uma aplica¸c˜ao Φ : G × X −→ X satisfazendo as seguintes propriedades: 1. Φ(e, x) = x, para todo x ∈ X, onde e denota a identidade do grupo G.

  2. Φ(g , Φ(g , x)) = Φ(g g , x), para todo g , g ∈ G e x ∈ X.

  1

  2

  1

  2

  1

  2 Observa¸ c˜ ao:Para cada g ∈ G, considere Φ g : X −→ X uma aplica¸c˜ao definida

  1

  por Φ g (x) = Φ(g, x). Observe que Φ g ´e uma bije¸c˜ao com inversa dada por Φ , ou − − − g

  1

  1

  1

  ◦ Φ seja, para todo x ∈ X temos que Φ g (x) = Φ g (Φ(g , x) = Φ(g, Φ(g , x) = g

  1 Φ(e, x) = x = Φ ◦ Φ g (x). g

  Uma a¸c˜ ao ´ a direita Φ : X × G −→ X pode ser definida de mesma forma: 1. Φ(x, e) = x, para todo x ∈ X, onde e denota a identidade do grupo G.

  2. Φ(Φ(x, g ), g ) = Φ(x, g g ), para todo g , g ∈ G e x ∈ X.

  1

  2

  1

  2

  1

  2 Nota¸c˜ ao: Para todo g ∈ G e x ∈ X ´e usual denotarmos Φ(g, x) por gx ou g.x.

  Defini¸c˜ ao B.0.8. Para cada x ∈ X definimos a ´ orbita de x por: G.x = {g.x; g ∈ G}

  Observa¸c˜ ao; Note que cada ´orbita ´e a classe de equivalˆencia da seguinte rela¸c˜ao de equivalˆencia: x y ⇔ y = g.x para algum g ∈ G. Por isso ´e claro que duas ´orbitas s˜ao disjuntas ou coincidem.

  Defini¸c˜ ao B.0.9. Para cada x ∈ X definimos subgrupo de isotropia ou esta- bilizador de x o conjunto G x = {g ∈ G : gx = x} .

  Defini¸c˜ ao B.0.10. Considere Φ uma a¸c˜ao de G em X.

  1. A a¸c˜ao ´e dita efetiva se {g ∈ G : gx = x, ∀x ∈ X} = {x}.

  2. A a¸c˜ao ´e dita livre se os subgrupos de isotropia s˜ao dados pelo elemento neutro de G, ou seja ,se gx = x ent˜ao g = e. Ou seja, se o homomorfismo de grupos g 7→ Φ g possui Kernel trivial.

  3. Uma a¸c˜ao ´e dita transitiva se dados x , x ∈ X existe g ∈ G tal que x = x g.

  1

  2

  1

  2 Observa¸c˜ ao: Veja que toda a¸c˜ao livre ´e efetiva, j´a que G x = {e} para todo

  x ∈ X e, assim \ Ker(Φ) = G x . x∈X

  Exemplo B.0.3. Seja H um subgrupo de G. Considere o espa¸co quociente definido por G/H = {gH; g ∈ G}. Sendo assim considere a seguinte a¸c˜ao natural de G ´a esquerda de G/H dada por:

  (g

  1 , g

  2 H

  2 H) ∈ G × G/H −→ g 1 (g

  2 H) = g 1 g

  . Obviamente tal a¸c˜ao ´e transitiva. Al´em disso veja que os subgrupos de isotropia

  1 dessa a¸c˜ao s˜ao dados por G gH = gHg .

  Defini¸c˜ ao B.0.11. Seja G um grupo topol´ogico e X um espa¸co topol´ogico. Uma a¸c˜ao de G em X ´e cont´ınua se a aplica¸c˜ao Φ : X × G −→ X, Φ(x, g) for cont´ınua. Em outras palavras, uma a¸c˜ao ´e cont´ınua e a aplica¸c˜ao que define a a¸c˜ao for conti-

  Defini¸c˜ ao B.0.12. Seja G um grupo topol´ogico e H ⊂ G um subgrupo. A topologia quociente no espa¸co G/H ´e definida em termos da aplica¸ c˜ ao quociente π : G −→ G/H,

  1 π(g) = gH da seguinte maneira: A ⊂ G/H ´e aberto ⇔ π (A) ´e aberto em G.

  Observa¸c˜ oes:

  1. A topologia quociente ´e a menor topologia que torna a proje¸c˜ao canˆonica π : G −→ G/H uma aplica¸c˜ao continua.

  2. Quando o espa¸co G/H ´e munido da topologia quociente a aplica¸c˜ao π : G −→ G/H ´e aberta.

  

REFERˆ ENCIAS BIBLIOGR ´ AFICAS

  [1] Braga Barros, C.J. and Souza, J.A. Attractors and chain recurrence of semi- group actions.J. Dyn. Diff. Equations, (2010), 22,723-740.

  [2] Braga Barros, C.J. and Souza, J.A. Finest Morse decompositions for semigroup of fiber bundles.J. Dyn. Diff. Equations,(2010), 22,741-760.

  [3] Braga Barros, C.J. and Souza, J.A. On the number of maximal chain transitive sets in fiber bundles. Forum Math (2013), 25,363-381.

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  [5] Isbell, J.R. Uniform spaces. American Mathematical Society, Providence, R.I., 1964.

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  [12] Patr˜ao,M.and San Martin, L.A.B. Morse decompositions of semiflows on fiber bundles.Discrete.Contin.Dyn.Syst.Ser.A,(2007),17 113-139.

  [13] Patr˜ao, M. and San Martin, L.A.B. Semiflows on topological spaces: chain transitivity and semigroups. J.Dyn.Diff.Equation,(2007).19.155-180.

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  [15] San Martin, L. A. B. ´ Algebras de Lie. Editora da Unicamp, Campinas, 1999. [16] Souza, J.A. Lebesgue covering lemma on nonmetric spaces.International Jour- nal of Mathematics,(2013).241350018,1-12.

  [17] Souza, J.A. On limit behavior of semigroup actions on noncompact spaces.

  Proc.Amer.Math.Soc.,(2011).140,3959-3972. [18] Souza, J.A. Recurrence for semigroup actions. Semigroup Forum,(2011).83,351- 370.

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  [20] Tukey, J.W. Convergence and uniformity in topology, Princeton Univ.

  Press,1940. [21] Weil, A. Sur les espaces `a structure uniforme et sur la la topologia g´enerale,Hermann,1938.

  [22] Willard, S. General topology.Dover Publications,New York,2004.

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