Universidade Federal de Santa Catarina Curso de Pós-Graduação em Matemática Pura e Aplicada

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Universidade Federal de Santa Catarina

Curso de Pós-Graduação em Matemática

Pura e Aplicada

  

Problemas fracionários de

Cauchy com operadores quase

setoriais

  

Marduck Montoya Henao

Orientador: Prof. Dr. Paulo M. de Carvalho Neto

  Florianópolis Fevereiro de 2018

  Universidade Federal de Santa Catarina Curso de Pós-Graduação em Matemática Pura e Aplicada

  Problemas fracionários de Cauchy com operadores quase setoriais

  Dissertação apresentada ao Curso de Pós- Graduação em Matemática Pura e Apli- cada, do Centro de Ciências Físicas e Mate- máticas da Universidade Federal de Santa Catarina, para a obtenção do grau de Mes- tre em Matemática, com Área de Concen- tração em Análise.

  Marduck Montoya Henao Florianópolis

  Fevereiro de 2018

  

Ficha de identificação da obra elaborada pelo autor,

através do Programa de Geração Automática da Biblioteca Universitária da UFSC.

quase setoriais / Marduck Montoya Henao ;

Problemas fracionários de Cauchy com operadores

Henao, Marduck Montoya Santa Catarina, Centro de Ciências Físicas e

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de

149 p. orientador, Paulo M. de Carvalho Neto, 2018. Matemáticas, Programa de Pós-Graduação em Matemática

quase setorial. I. Carvalho Neto, Paulo M. de . II.

fracionário. 3. operador setorial. 4. operador 1. Matemática Pura e Aplicada. 2. cálculo Inclui referências. Pura e Aplicada, Florianópolis, 2018. Título.

Pós-Graduação em Matemática Pura e Aplicada. III.

Universidade Federal de Santa Catarina. Programa de

  

Problemas fracionários de Cauchy com

operadores quase setoriais

  por Esta Dissertação foi julgada para a obtenção do Título de Mestre,

  Área de Concentração em Análise, e aprovada em sua forma final pelo Curso de Pós-Graduação em Matemática Pura e Aplicada.

  Prof. Dr. Ruy Coimbra Charão (Coordenador da Pós-Graduação) 1 Florianópolis, Fevereiro de 2018.

  Bolsista do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico - CNPq.

  Agradecimentos

  Agradeço primeiro a Deus por suas infinitas misericórdias e me per- mitir chegar até aqui. Meus pais e irmãs que sempre estiveram comigo ainda que distantes para me dar ânimo, alegrias e energia para continuar. Ao meus colegas e amigos na matemática que lutaram comigo até o final do mestrado com quem compartilhei minhas alegrias e superei minhas lutas. Também agradecer aos meus amigos colombianos que sempre me fizeram sentir em família com os almoços e jantas para sair da rotina.

  Ao professor Matheus Bortolan com quem fiz o curso de verão para ingressar ao mestrado, quem sempre se preocupa com a formação aca- dêmica, bem estar mental e psicológico de seus alunos. Sou grata por seus conselhos e sinceridade em momentos muito difíceis de minha vida.

  A todos os professores que fizeram parte de minha formação durante o mestrado, sou muito grata a eles por compartilhar seu conhecimento e conselhos que foram uma base importante para a dissertação e também para minha vida. Em especial ao professor Rômulo Maia Vermersch e o professor Danilo Royer.

  Ao meu orientador, professor Dr. Paulo M. de Carvalho Neto por sua enorme paciência e compreensão, por sua admirável vontade de en- sinar e aprender e por me ajudar em tudo. Ele foi meu salvador em todas as disciplinas do mestrado, sempre me deu ânimo, não somente foi meu professor de matemática, mas também foi meu professor de português e inglês. Sou grata por todos seus conselhos, sua confiança e por me mostrar que tinha capacidade para enfrentar esta dissertação ainda quando eu achava que não ia ter a capacidade. Estou infinita- mente agradecida.

  Ao departamento de matemática pura e aplicada da UFSC pela oportunidade de fazer o mestrado e ao CNPq pelo apoio financeiro durante o mestrado.

  Resumo

  O estudo da teoria do cálculo fracionário é uma questão de interesse atual em muitas áreas da ciência e engenharia. Motivados por essa jus- tificativa, dedicamos este trabalho ao estudo das equações diferenciais abstratas com derivadas fracionárias na variável do tempo.

  Em um primeiro momento introduzimos todos os pré-requisitos para o estudo dos semigrupos analíticos e seus geradores; abordamos ainda a existência e unicidade de soluções para equações diferenciais abstratas clássicas com operadores setoriais.

  Depois introduzimos todos os conceitos básicos necessários para o entendimento das derivadas fracionárias de Caputo, das funções de Mittag-Leffler, das funções de tipo Wright e por fim estudamos a exi- tência e unicidade de soluções para equações diferenciais abstratas com derivadas fracionárias na variável do tempo e operadores setoriais.

  Finalmente abordamos os operadores quase setoriais e as equações diferenciais abstratas com derivadas fracionárias na variável do tempo relacionadas a estes operadores; discutimos uma justificativa do mo- tivo de se estudar este tipo de operador e analisamos a existência e unicidade de soluções mild e clássica para este problema, tanto no caso linear quanto no caso não linear.

  Palavras chaves: cálculo fracionário, operador quase setorial, ope- rador setorial, solução mild, solução clássica.

  Abstract

  The study of the fractional calculus theory is a matter of current interest in many areas of science and engineering. This is why we dedicate this work to the study of the abstract differential equations with time fractional derivatives.

  At first we introduced the prerequisites for the study of the analy- tic semigroups and their generators; we also discuss the existence and uniqueness of solutions for classical abstract differential equations with sectorial operators.

  Then we introduce the basic concepts concerning Caputo fractional derivative, the Mittag-Leffler functions, the Wright-type functions and finally we address the existence and uniqueness of solutions for abstract differential equations with time fractional derivatives and sectorial ope- rators.

  Finally we discuss the almost sectorial operators and the abstract differential equations with time fractional derivatives related to them; we discuss some reasons for the study of this kind of operator and analyze the existence and uniqueness of mild and classical solutions to this problem, both in the linear and nonlinear case.

  Keywords: fractional calculus, almost sectorial operator, sectorial operator, mild solution, classical solution.

  Sumário

  

  1

   11 . . . . . . . . .

  11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  21 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  48 . . . . .

  58

  

  66 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  67 . . . . . . . . . . . . .

  67 . . . . . . . .

  69 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  70 . . . . . . . . . .

  72 . . . . . . . . . . . . . .

  73 . . . . . . . . .

  75

2.2.1 Uma introdução aos problemas fracionários de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  78 . . . . . . . . . . . . . . .

  81

3 Problemas fracionários com operadores quase setoriais 88

   . . . . . . . .

  89 . . . . . . . . . . .

  99

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

  . . . . . . . . . . . . 124

  127

  Introdução

  Nesta dissertação temos como objetivo principal o estudo das equa- ções diferenciais com operadores quase setoriais e derivadas fracioná- rias no tempo. Mais especificamente, estamos interessados em abordar o problema abstrato

  α

  D u(t) =

  c t −Au(t) + f(t, u(t)), t > 0,

  (1) u(0) = u ,

  α

  D denotando a derivada fracionária de Caputo de

  c

  com α ∈ (0, 1), t ordem α, A um operador quase setorial, f uma função adequada (hi- póteses adicionais serão requisitadas mais adiante no texto) e u uma condição inicial pertencendo a um espaço de Banach X.

  É claro que para um estudo completo dos assuntos propostos neste texto, discutimos de forma bastante detalhada vários conceitos intro- dutórios, tais como: operadores fecháveis, operadores fechados, opera- dores setoriais, semigrupos fortemente contínuos e os semigrupos ana- líticos. Estes tópicos são de fundamental importância para o estudo de diversas equações diferenciais clássicas da literatura matemática. Uti- lizamos como alicerces para nossos estudos iniciais os livros de Henry e Taylor-Lay, os quais estão descritos nas referências bibliográficas res- pectivamente por

  Os principais assuntos que este manuscrito aborda foram desenvol- vidos a partir de uma pesquisa detalhada do artigo de Wang-Chen- Xiao e por isso, para que este texto fique mais interessante, optamos por motivar durante esta introdução dois dos principais tópi- cos matemáticos que desenvolvemos nesta dissertação.

  O Cálculo Fracionário Os principais objetos pesquisados na teoria do cálculo fracionário, sem dúvida, são as derivadas e integrais de ordem não inteira. Muito embora os estudos dedicados a esta teoria não sejam recentes (para mais detalhes veja podemos enfatizar que a pesquisa mais rigo- rosa e profunda, principalmente com relação as equações diferenciais, é relativamente nova.

  É interessante destacar que a falta de aplicabilidade durante os pri- mórdios desta teoria, foi um dos principais fatores que colaboraram para o lento desenvolvimento da área. Porém, a recente mudança de pa- radigma no contexto das aplicações do cálculo fracionário (veja alguns exemplos em e nas referências citadas por es- tes trabalhos), não só atraiu a atenção de diversos pesquisadores, mas também resultou em um grande aumento das publicações sobre este assunto em revistas de alto impacto na sociedade matemática; como alguns exemplos nos últimos anos, veja

  Segundo B. Ross historicamente o início do cálculo fracionário data de 1675, quando Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) publicou suas pesquisas que introduziam o símbolo

  n

  d y(x) ,

  

n

  dx o qual referia-se à derivada da ordem n da função y(x), com relação a variável x. Foi então que em 1695, G. F. Antoine, também conhecido como Marquês de L’Hôpital (1661-1704), questionou a G. W. Leibniz sobre o que aconteceria se n fosse igual a 1/2. Leibniz responde de forma intuitiva (ver mais detalhes em que:

  

“Bernoulli seems to have told you of my having men-

tioned to him a marvelous analogy which makes it

possible to say in a way that successive differenti-

als are in geometric progression. One can ask what

would be a differential having as its exponent a frac-

tion. You see that the result can be expressed by an

infinite series. Although this seems removed from

Geometry, which does not yet know of such fractional

exponents, it appears that one day these paradoxes will

yield useful consequences, since there is hardly a paradox

without utility. Thoughts that mattered little in themselves

may give occasion to more beautiful ones.”

  Nesta mesma carta Leibniz dá uma aproximação do que poderia ser uma derivada de ordem não inteira, tomando como exemplo a derivada 1/2 da função y(x) = x,

  1/2

  √ d x = x dx : x.

  1/2

  dx Aproximadamente trinta anos após essa comunicação entre L’Hôpital e Leibniz, Euler escreveu uma nota sobre a necessidade de uma teoria de interpolação entre séries que poderiam auxiliar nesta definição fra- cionária para uma derivada:

  

“Concerning transcendental progressions whose terms can-

not be given algebraically: when n n n is a positive integer,

the ratio can always be expressed algebraically.

d f /dx Now it is asked: what kind of ratio can be made if n be

a fraction? ... the matter may be expedited with the help

of the interpolation of series, as explained earlier in this

dissertation.”

  Em suas notas, B. Ross parece não saber ao certo de qual dissertação Euler estava se referindo, mas de qualquer forma ressalta, de maneira muito enfática, que foi Euler um dos primeiros a introduzir as funções

  Z

  ∞ p−1 −x

  Γ(p) = x e dx, Z

  1 p−1 q−1

  β(p, q) = (1 x dx, − x) que são de fundamental importância para o estudo do cálculo fracioná- rio (as funções acima são respectivamente a função Gamma e a função Beta; veja a Seção para maiores detalhes).

  Seguindo essa linha, em 1730, Euler aplicou sua fórmula de interpo- lação do fatorial de um número inteiro positivo para dar uma possível definição para a derivada de ordem fracionária; em 1812 Laplace define a derivada fracionária por meio de uma integral.

  Foi apenas em 1819 que surgiu a primeira discussão sobre derivadas fracionárias em um texto de cálculo escrito por S. F. Lacroix. Em seu livro de 700 páginas intitulado “Traité du Calcul Différential et du Calcul Intégral”, ele responde a pergunta de G. F. Antoine, Marquês de

  n

  L’Hôpital, procedendo da seguinte forma: tomando a função y(x) = x , é fácil notar que

  m

  d n!

  n−m

  y(x) = x , (2)

  m

  dx (n − m)! sempre que n ≥ m. Mas então, ao utilizar a representação do fatorial pela função Gamma de Euler, Lacroix reinterpretou a equação como

  m

  d Γ(n + 1)

  n−m

  y(x) = x . (3)

  m

  dx Γ(n − m + 1) Da analiticidade da função Gamma, ao fixar m = 1/2 e n = 1, a equação se reescreve como

  1/2

  d Γ(2)

  2

  1/2 1/2

  x = x = x ,

  1/2

  dx Γ(3/2) Γ(1/2) √ que por fim, do fato que Γ(1/2) = π, satisfaz

  √

  1/2

  d 2 x x = .

  √

  1/2

  π dx Vale a pena observar que este é o mesmo resultado sustentado hoje em dia pela definição de derivada fracionária de Riemann-Lioville, ampla- mente aceita na sociedade matemática.

  Deixaremos a história de lado a partir deste ponto, porém é impor- tante ressaltar que foram muitas as pessoas que continuaram contri- buindo neste ramo da matemática; de fato mais adiante neste texto in- troduziremos e discutiremos rigorosamente estas derivadas, priorizando a derivada fracionária de Caputo (veja a Definição para mais de- talhes), que é uma das mais recentes versões de derivada fracionária estudada hoje em dia.

  Operadores Quase Setoriais Em geral quando estudamos equações diferenciais do tipo su- pomos que o operador linear A : D(A) ⊂ X → X é fechado, densa- mente definido e que gera um semigrupo fortemente contínuo, digamos {T (t) : t ≥ 0} ⊂ L(X), que satisfaz certas propriedades adequadas (veja o Teorema para uma justificativa mais completa).

  Porém, existe uma classe de operadores lineares fechados e densa- mente definidos, chamados de operadores setoriais, que garantem mais propriedades para o semigrupo que eles geram; por exemplo, para cada x

  ∈ X, a aplicação [0,

  ∞) ∋ t 7→ T (t)x ∈ X, tem uma extensão analítica em um certo setor do plano complexo con- tendo o intervalo real [0, ∞) (para mais detalhes veja o Teorema

  Uma outra justificativa que corrobora a importância dos operadores setoriais é que eles descrevem muitas das equações diferenciais que tem aplicações diretas, como a equação de reação difusão e as equações de Navier-Stokes. É por isso que a teoria de operadores setoriais é bastante vasta e possui uma enorme literatura a disposição; Alguns textos clássicos são

  Por outro lado, existem algumas equações diferenciais que não es- tão relacionadas com operadores setoriais. Ainda assim, necessitam de estudo; é por isso que introduzimos o conceito de operadores quase setoriais.

  Para exemplificar uma destas situações (este estudo foi feito por Arrieta-Carvalho-Lozada-Cruz em considere

  Ω := D ,

  ǫ

1 ǫ

  2

  ∪ R ∪ D com D

  1 e D 2 domínios com fronteira suave, disjuntos e limitados em N

  R (N ǫ

  ≥ 2), unidos por um canal R , com ǫ ∈ (0, 1], que degenera para um segmento de linha R , quando o parâmetro ǫ tende a zero, como nas Figuras Tais domínios são chamados de tipo Dumbbell, ou apenas Dumbbell para facilitar.

  Figura 1: Domínio Dumbbell.

  Figura 2: Limite do Domínio Dumbbell. Considere então a equação diferencial parcial ( u , t > 0,

  t ǫ

  − ∆u + u = f(u), x ∈ Ω (4)

  ∂u

  = 0, x ,

  

ǫ

  ∈ ∂Ω

  ∂n

  com ∆ simbolizando o operador Laplaciano com respeito a variável

  ∂

  x , ∂Ω a fronteira de Ω , denotando a derivada normal exterior

  ǫ ǫ ǫ

  ∈ Ω

  ∂n

  em ∂Ω

  ǫ

  e f : R → R uma função dissipativa não linear, isto é, que satisfaz f (s) lim sup < 1. s

  |s|→∞

  Agora, ao considerarmos o limite formal ǫ → 0, temos que a equação diferencial também se deformará em outras equações; tais equações limites estão definidas em Ω = D e são dadas pelo sistema

  

1

  2

  ∪ R ∪ D de equações  w , t > 0,  t

  1

  2

  − ∆w + w = f(w), x ∈ D ∪ D     ∂w 

  = 0, x ),

  1

  2

  ∈ ∂(D ∪ D

  ∂n

   v t ,  − L(v) + v = f(v), s ∈ R     v(p ) = w(p ), v(p ) = w(p ),

  

1

  1

  com w uma função definida em D , v uma função definida no

  

1

  2

  ∪ D segmento de linha R , L um operador diferencial que vai depender da geometria do canal R e por fim, p e p os pontos de interseção entre

  1 R e D .

  1

  2

  ∪ D Para simplificar as ideias que discutiremos a frente, assumimos que

  N

  R := : 0 < x < 1 {(x, 0, . . . , 0) ∈ R } e, portanto, que o problema limite é dado por:

   w(t)

  1 2 , t > 0,

  − ∆w + w = f(w), x ∈ D ∪ D    

  ∂w

   

  = 0, x

  1 2 ),

  ∈ ∂(D ∪ D

  ∂n

  (5)

  1

   v (gv ) + v = f (x, v), x

  t x x

   − ∈ (0, 1),

  g

      v(0) = w(P ), v(1) = w(P ),

  1

  com P = (0, 0, ...., 0), P = (1, 0, ...., 0) sendo os pontos de junção entre

  1

  o segmento de linha R e o conjunto aberto D . A função g está

  1

  2

  ∪ D relacionada com a forma pela qual a geometria do canal R colapsa no

  ǫ

  segmento de linha R

  e, por estar fora do escopo desta dissertação, nos referimos a para mais detalhes. Para tratar o problema assuma que g é uma função positiva suficientemente regular e que p ∈ [1, ∞). Então considere os espaços

  p p

  de Banach V := L (Ω ), com ǫ

  ǫ

ǫ ∈ (0, 1), munido da norma

  Z Z

  1

  p p p p

  = dx + dx,

  ǫ ǫ

  ku k |u| |u |

  V ǫ N −1

  ǫ

  Ω R ǫ

  e para ǫ = 0, defina o espaço de Banach Z

  1 p p p p

  V := (w, v) (Ω) (0, 1) : g dx < , ∈ L × L |v| ∞ com norma dada por

  Z Z

  1 p p p p = dx + g dx.

  k(w, v)k |w| |v|

  V Ω p p

  Considerando então o operador linear A : D(A ) dado

  ǫ ǫ ǫ ǫ

  ⊂ V → V por A (u) =

  ǫ

  −∆u + u, para 0 < ǫ ≤ 1, com ∂u

  2,p p

  D(A ) = u (Ω ) : ∆u , = 0 em ∂Ω ,

  

ǫ ǫ ǫ

  ∈ W ∈ V ǫ ∂n

  p p

  e o operador A : D(A ) dado por ⊂ V → V

  1 A (w, v) = (gv ) + v ,

  x x

  −∆w + w, − g com

  p p

  D(A ) = : w ), (gv ) (0, 1),

  N x x g

  {(w, v) ∈ V ∈ D(∆ ∈ L v(0) = w(P ), v(1) = w(P )

  1

  }, podemos reinterpretar como sendo os respectivos problemas de Cauchy abstratos u = u + F (u), t > 0,

  t ǫ ǫ

  −A u(0) ǫ , ∈ X e u t = u + F (u), t > 0,

  −A (6) u(0) . ∈ X Um dos pontos difíceis para o tratamento do problema no espaço

  p

  V , é que A não é um operador setorial, já que seu espectro contém

  π

  um setor S , π), exatamente como no caso setorial,

  θ

  , para algum θ ∈ (

  2

  porém o seu operador resolvente satisfaz uma estimativa distinta; M

  −1 L p p

  ) , k(λ + A k (V ,V ) ≤

  σ

  • 1 |λ|

  

N

  < 1 (para uma prova detalhada

  θ

  para cada λ ∈ S e 0 < σ < 1 − 2p desta estimativa, busque pela Proposição 3.1 em

  Dizemos que esta estimativa é deficiente, já que 0 < σ < 1. Caso σ = 1, poderíamos aplicar a teoria padrão de operadores setoriais. Essa deficiência vem da condição de continuidade que precisamos impor em D(A ), principalmente pela geometria da junção de D e R .

  1

  2

  ∪ D Exatamente como discutimos mais adiante nesta dissertação, neste caso particular A de fato continuará sendo gerador de uma família de

  (t) : t operadores {T ≥ 0}, porém só consiguiremos garantir a continui- dade da aplicação

  p

  [0, (t)(w, v) , ∞) ∋ t → T ∈ V ). em t = 0 para dados (w, v) ∈ D(A

  Uma justificativa mais direta para este comportamento é que con- seguimos demonstrar apenas a estimativa

p p

−1+σ (t) L ,

  (V ,V )

  kT k ≤ Ct para algum 0 < σ < 1, dependendo de p e N, ou seja, que a existência

  p , é bastante razoável.

  de uma singularidade em t = 0, para algum x ∈ V Observe porém que um operador setorial não é necessariamente quase setorial, ou mesmo o contrário (veja o Exemplo ou as li- teraturas como fontes de outras situações).

  Muito embora os domínios de tipo Dumbbell possam parecer artifi- cias, servindo apenas de justificativa para o estudo de operadores quase setoriais, vale a pena observar que S. Jimbo realizou diversos estudos sobre estes domínios, os quais foram bastante anteriores as discussões que os relacionaram a este tipo de operador; veja alguns destes estudos em

  Considerações Finais Com o propósito de estudar a teoria dos operadores setoriais, quase setoriais e o cálculo fracionário, dividimos esta dissertação em 4 capí- tulos. No Capítulo 1 apresentamos a parte teórica base para compre- ender as diferentes características dos operadores lineares, discutimos um pouco a teoria dos semigrupos e por fim introduzimos os opera- dores setoriais, os semigrupos analíticos e as potências fracionárias de operadores setoriais. No Capítulo 2 apresentamos a transformada de Laplace, as funções Gamma e Beta, a função de tipo Wright, ferramen- tas para entender a derivada e integral de ordem fracionária dada por Caputo e os operadores de Mittag-Leffler. O Capítulo 3 é dedicado ao estudo dos operadores quase setoriais, suas potências fracionárias e os semigrupos gerados por estes operadores. Tomamos ainda um problema abstrato de Cauchy, com derivada temporal fracionária, e provamos a existência e unicidade de solução. Para encerrar temos o Capítulo 4 que faz um fechamento de todo o texto.

  Capítulo 1 Preliminares

  Neste primeiro capítulo estabelecemos as definições e ferramentas básicas mais importantes que são utilizadas no decorrer deste traba- lho. Abordamos alguns resultados da Análise Funcional em espaços de Banach, algumas propriedades espectrais de operadores lineares e a teoria dos semigrupos (veja mais detalhes nas literaturas clássi- cas

  A partir deste ponto, denotaremos por N, R, C os números naturais, reais e complexos, respectivamente, e por X e Y espaços de Banach complexos.

1.1 Análise espectral de operadores lineares

  Nesta seção introduzimos conceitos e resultados necessários para discutirmos as propriedades fundamentais de alguns operadores lineares definidos em espaços de Banach.

  Considere a função T : X → Y . Diremos que T é uma transforma- ção linear, se para quaisquer x, y ∈ X e λ ∈ C valem as igualdades T (u + v) = T (u) + T (v) e T (λu) = λT (u).

  Uma transformação linear T : X → Y é chamada de transformação linear limitada quando existe M > 0 tal que ,

  Y

  X kT vk ≤ Mkvk ∀v ∈ X.

  O espaço de todas as transformações lineares limitadas de X em Y é o espaço de Banach L(X, Y ), com norma L = sup .

  Y

  kT k (X,Y ) kT xk X =1

  

x∈X,kxk

  Observação 1.1. Algumas considerações pertinentes são: i) Quando X = Y denotaremos o espaço L(X, Y ) apenas por L(X).

ii) Se X ⊂ Y e T for uma transformação linear, trocamos a notação

  X por D(T ) e passamos a escrever T : D(T ) ⊂ Y → Y e a chamar T de operador linear (D(T ) é a notação para domínio do operador T ).

iii) Para qualquer transformação linear T tem-se:

  T é contínua ⇔ T é limitada. Agora fazemos uma pequena apresentação da teoria espectral, onde discutimos algumas definições e resultados importantes.

  Definição 1.2. Seja A : D(A) ⊂ X → X um operador linear. O conjunto resolvente de A, denotado por ρ(A), é composto por todos os λ

  ∈ C que satisfazem as seguintes propriedades: i) (λ − A) é injetor.

ii) Im(λ − A) = X.

  −1

  : Im(λ iii) (λ − A) − A) ⊂ X → X é limitado. Por fim, o espectro do operador A é definido por σ(A) = C \ ρ(A). Observação 1.3.

i) Para cada λ ∈ ρ(A), chamamos o operador

  −1 de operador resolvente.

  linear (λ − A) ii) Na notação (λ − A), apresentada na definição acima, omitimos o operador identidade de X, mas na realizade estamos nos referindo ao operador (λI

  X

  − A). Optamos por essa notação para facilitar a leitura do texto. No que segue introduzimos um teorema e seu corolário, os quais desempenham um papel importante nas demonstrações dos teoremas que desenvolvemos nesta seção. L < 1, então (1 −1 (X)

  Teorema 1.4. Se A ∈ L(X) é tal que kAk − A) existe e define um operador limitado em X.

  Demonstração. Considere o operador A

  n

  ∈ L(X), dado por

  n

  X

  

k

  A n := A (n ∈ N).

  k=0 L < 1, a sequência é de Cauchy, e portanto ∞ (X) n

  Como kAk {A } n=1 podemos definir o operador

  ∞

  X

  k

  A := A

∞ ∈ L(X).

  k=0

  Agora observe que

  n+1

  A (I = (1 ,

  n X n

  − A) = 1 − A − A)A

  n L (X)

  e como kA k → 0, quando n → ∞, obtemos A (1 X = (1 .

  

∞ − A) = I − A)A ∞

  Os cálculos desenvolvidos acima nos permitem concluir que

  ∞

  X

  n −1

  (1 := A .

  − A)

  n=0

  Por fim, das propriedades das séries geométricas, obtemos a desi- gualdade

  ∞

  X

  1

  

n

−1 L L = <

  k(1 − A) k (X) ≤ kAk ∞,

  (X)

  1 L

  (X)

  − kAk

  n=0 como queríamos. L , então λ (X)

  Corolário 1.5. Se A ∈ L(X) e |λ| > kAk ∈ ρ(A) e

  ∞

  X

  n −1 −n−1

  (λ = λ A .

  − A)

  n=0

  Quando trabalhamos com equações diferenciais parciais, muitas ve- zes somos forçados a considerar uma classe de operadores lineares que são ilimitados de X em X. Embora tais operadores não sejam contí- nuos, verifica-se que muitos deles, uma vez que o domínio seja adequa- damente selecionado, pertencem a uma classe especial, a qual chama- mos de operadores fechados. Definição 1.6. Seja A : D(A) ⊂ X → X um operador linear. Dizemos

  ∞ n

  que A é um operador fechado, se para toda sequência {x } n=1 ⊂ D(A), com x

  n n

  → x ∈ X e Ax → y ∈ X, quando n → ∞, tem-se x ∈ D(A) e Ax = y. Definimos o gráfico de A em X × X por

  G(A) := {(x, Ax) : x ∈ D(A)}. Observação 1.7. A Definição é equivalente a seguinte sentença: A é fechado se, e somente se, seu gráfico é um subconjunto fechado de

  X × X. Podemos ainda enfatizar que: i) O fato do operador linear A ser fechado não é suficiente para garantir que A seja também limitado. Considere, por exemplo, o operador linear

1 A : C ([0, 1], C)

  ⊂ C([0, 1], C) → C([0, 1], C) com

  ′

  A(φ) = φ , e assuma que = sup

  C([0,1],C) kφk |φ(t)|. t∈[0,1]

  Então por teoremas clássicos da análise, concluímos que A é um operador fechado. Para concluir que A não é um operador limi- tado, basta observar que

  −nt −nt L

  n = = ) ,

C([0,1],C) C([0,1],C) (C([0,1],C))

  kne k kA(e k ≤ kAk para todo n ∈ N. ii) Se o operador linear A é limitado, não necessáriamente A é fe- chado. De fato, seja por exemplo

1 A : C ([0, 1], C)

  ⊂ C([0, 1], C) → C([0, 1], C) fixe p ∈ C([0, 1], C) e defina A(φ) = pφ. Como p ∈ C([0, 1], C), o operador A é claramente limitado. Po- rém, como podemos aproximar funções contínuas e não diferen- ciaveis por polinômios, então é fácil de verificar que A não pode ser fechado pois seu domínio nos “atrapalha”.

iii) No entanto, se D(A) = X, então A é limitado se, e somente se,

  é fechado. Esse resultado segue do clássico Teorema do Gráfico Fechado. Definição 1.8. Dizemos que um operador linear A : D(A )

  ⊂ X → X

  ∞ n n

  é fechável, se para toda sequência {x } n=1 ⊂ D(A), com x → 0 ∈ X e Ax

  n → y ∈ X, quando n → ∞, tem-se que y = 0.

  Observação 1.9. Uma interessante caracterização dos operadores fe- cháveis é a seguinte: um operador linear A : D(A )

  ⊂ X → X é fechável, se o fecho do gráfico de A em X × X é o gráfico de um ope- rador fechado A : D(A) ⊂ X → X. O operador A é chamado de fecho de A . Em geral denotamos o fecho de A por A .

  Três lemas importantes que vão nos ajudar a justificar o motivo de nos restringimos apenas a operadores fechados, são os seguintes. Lema 1.10. Suponha que um operador linear A : D(A )

  ⊂ X → X tenha conjunto resolvente ρ(A ) não vazio. Se para algum λ ), ∈ ρ(A

  −1 (λ ) for injetor, então A é fechável.

  − A

  ∞

  Demonstração. Se ) satisfaz

  n

  {x } n=1 ⊂ D(A x x

  n n

  → 0 e A → y, quando n → ∞, precisamos apenas garantir que y = 0 para concluir que A é fechável.

  ), então Inicialmente observe que se λ ∈ ρ(A

  −1

  (λ ) : Im(λ ) − A − A ⊂ X → X

  ) é um operador limitado (e portanto fechável), e assim existe (λ − A

  −1 .

  −1

  Então, assuma que λ ) é tal que (λ ) é injetor e ∈ ρ(A − A

  ∞

  ), por

  n

  defina a sequência {y } n=0 ⊂ Im(λ − A y n = (λ )x n .

  − A Note que y n n

  → −y e x → 0,

  

−1 −1

  tal que x = (λ ) y e como (λ ) é fechado, temos

  n n

  − A − A

  −1 (λ ) y = 0.

  − A É claro que da injetividade, suposta acima, concluímos por fim que y = 0, como queríamos. Lema 1.11. Assuma que A : D(A) ⊂ X → X seja um operador

  −1

  fechado e que λ ∈ ρ(A). Então (λ − A) ∈ L(X). Demonstração. Considere λ

  ∈ ρ(A). Se concluirmos que Im(λ

  − A) = X,

  −1 segue da definição de conjunto resolvente que (λ − A) ∈ L(X).

  Para isso tome x ∈ X qualquer. Pela definição de conjunto resol-

  ∞ n n

  vente, existe {x } n=1 ⊂ Im(λ − A) tal que x → x, quando n → ∞.

  ∞

  = x

  n n n Seja {y } n=1 ⊂ D(A) tal que (λ − A)y , para todo n ∈ N.

  Observe que a sequência

  ∞

−1

  (λ x n − A)

  n=1 n

  é de Cauchy e portanto, existe y ∈ X tal que y → y, quando n → ∞.

  Juntando o fato de que (λ − A) é um operador fechado com y

  n n

  → y e (λ − A)y → x, deduzimos que y ∈ D(A) e que (λ − A)y = x, isto é, x ∈ Im(λ − A).

  Lema 1.12. Se A : D(A ) ⊂ X → X é um operador fechável, com A : D(A) ) = ρ(A).

  ⊂ X → X seu fecho, então ρ(A

  −1

  é um operador Demonstração. Seja λ

  ∈ ρ(A). Pelo Lema (λ−A) limitado de X em X. Como A é uma extensão do operador A , concluímos que existe

  −1

  (λ ) : Im(λ ) − A − A → X e que este operador é limitado. Falta apenas concluirmos que

  Im(λ ) = X, − A

  ). Escolha então para que λ ∈ ρ(A

  −1 y y.

  ∈ X e defina x = (λ − A) Da Observação como (x, y) ∈ G(λ − A), existe uma sequência

  ∞ n ), tal que

  {x } n=1 ⊂ D(A x )x

  n n

  → x e (λ − A → y, ), ou seja, X ). quando n → ∞. Logo y ∈ Im(λ − A ⊂ Im(λ − A Como trivialmente temos Im(λ )

  − A ⊂ X, ) = X, como queríamos. vale a igualdade Im(λ − A

  ), então Por outro lado, se λ ∈ ρ(A

  −1

  (λ ) : Im(λ ) − A − A → X ) = X.

  é um operador limitado e Im(λ − A Mostremos que (λ − A) é injetor. Seja x ∈ D(A) satisfazendo a igualdade (λ − A)x = 0. Da Observação existe uma sequência

  ∞ n ), tal que

  {x } n=1 ⊂ D(A x )x

  n n

  → x e (λ − A → 0,

  −1 ) é limitada segue que x = 0.

  quando n → ∞. Como (λ − A Com uma justificativa similar, mostramos ainda que

  −1

  (λ : Im(λ − A) − A) → X

  é um operador limitado. De fato, seja y ∈ Im(λ − A) e assuma que x ∈ D(A) seja tal que (λ − A)x = y. Novamente a Observação garante que existem sequências

  ∞

  , y ) ),

  n n

  {(x } ⊂ G(λ − A

  n=1

  tais que x

  n n

  → x e y → y, quando n → ∞. Porém a sentença acima pode ser reinterpretada como

  −1 −1

  (λ ) y y e y

  n n

  − A → (λ − A) → y,

  −1

  ) e de quando n → ∞. Portanto, através da continuidade de (λ − A um argumento de limite, deduzimos que

  −1 −1 ) y = y . n X n

  X X

  X

  k(λ − A k ≤ cky k ⇒ k(λ − A) k ≤ ckyk )

  Por fim, como Im(λ−A ⊂ Im(λ−A), temos que Im(λ − A) = X, ou seja, λ ∈ ρ(A). Basicamente o primeiro lema diz que um operador que tem conjunto resolvente não vazio e

  −1

  (λ ) ) − A é injetor para algum λ ∈ ρ(A

  é fechável, enquanto que o terceiro lema diz que, se um operador é fechável, então o seu conjunto resolvente e de seu fecho, coincidem. Como gostaríamos de estudar operadores que não tem resolvente vazio, fica claro que o estudo dos operadores fechados é suficiente para uma boa completude desta teoria.

  Com isso conseguimos reformular o conjunto resolvente, para o caso de operadores fechados, da seguinte maneira. Proposição 1.13. Seja A : D(A) ⊂ X → X um operador fechado. O conjunto resolvente de A, denotado por ρ(A), é composto por todos os

  −1

  λ ∈ C tais que (λ − A) : X → X é bijetor e (λ − A) ∈ L(X) . Por outro lado, σ(A) é composto pelos λ

  ∈ C tais que (λ − A) : X → X não

  −1

  é bijetor ou (λ − A) 6∈ L(X).

  Vamos, por hora, retomar o estudo do conjunto resolvente no caso dos operadores fechados. Nosso intuito é entender um pouco melhor esta teoria. Teorema 1.14. Seja A : D(A) ⊂ X → X um operador fechado. Então ρ(A) é um subconjunto aberto de C e, consequentemente, σ(A) é um subconjunto fechado. Se λ

  ∈ ρ(A) é tal que

  −1 L < 1, (X)

  |λ − µ|k(λ − A) k para algum µ ∈ C, então µ ∈ ρ(A) e ainda

  ∞

  X

  n −1 −n−1

  (µ = (λ (λ .

  − A) − µ) − A)

  n=0

  Demonstração. Como na hipótese do teorema, considere λ ∈ ρ(A) e

  µ ∈ C, tais que

  −1 L < 1.

  (X)

  |λ − µ|k(λ − A) k Observe que a identidade

  −1

  (µ

  I X − A) = (λ − A) − (λ − µ)(λ − A) e o Teorema garantem que (µ − A) é inversível, e que

  −1 −1 −1 −1

  (µ =

  I X (λ − A) − (λ − µ)(λ − A) − A)

  ∞

  X

  

n

−n −1

  = (λ (λ (λ − µ) − A) − A)

  n=0

  ∞

  X

  

n

−n−1

  = (λ (λ .

  − µ) − A)

  n=0

  Por fim, para qualquer λ ∈ ρ(A), se escolhermos

  1 r 0, ,

  λ

  ∈

  −1 L (X)

  k(λ − A) k então a construção feita acima garante B (λ) :=

  r λ λ

  {z ∈ C : |z − λ| < r } ⊂ ρ(A), ou seja, que ρ(A) é aberto.

  O resultado abaixo é conhecido como igualdade do resolvente e é de muita importância para a teoria espectral de operadores lineares. Teorema 1.15. Seja A : D(A) ⊂ X → X um operador linear. Se λ, µ

  ∈ ρ(A), então

  −1 −1 −1 −1

  (λ = (µ (λ (1.1) − A) − (µ − A) − λ)(µ − A) − A) e

  −1 −1 −1 −1

  (λ (µ = (µ (λ . (1.2) − A) − A) − A) − A)

  Demonstração. Veja que

  −1 −1 −1

  (µ = (µ (λ − A) − A) − A)(λ − A)

  −1 −1

  = (µ [(µ − A) − A) + (λ − µ)](λ − A)

  −1 −1 −1 = (λ + (λ (λ .

  − A) − µ)(µ − A) − A)

  

−1 −1 −1 −1

  = (µ (λ , o que prova Logo (λ − A) − (µ − A) − λ)(µ − A) − A) é análoga.

  Neste ponto apresentamos o último resultado desta seção que ga- rante a analiticidade do operador resolvente, um operador muito im- portante em nossos estudos. Corolário 1.16. Seja A : D(A) ⊂ X → X um operador fechado. Então a função

  −1

  ρ(A) ∋ λ 7→ (λ − A) ∈ L(X)

  é analítica em ρ(A) e

  n

  d

  n −1 −n−1

  (λ = ( n!(λ .

  − A) −1) − A)

  n

  dλ Demonstração. Vamos verificar que o operador resolvente é contínuo em todo λ ∈ ρ(A). Para isso, escolha µ pertencente a bola aberta centrada em λ e com raio

  1 .

  −1

  2 L

  (X)

  k(λ − A) k O Teorema garante que µ ∈ ρ(A) e que

  ∞

  X

  n −1 −n−1

  (µ = (λ (λ .

  − A) − µ) − A)

  n=0

  Com isso, deduzimos a desigualdade

  ∞

  X

  n n −1 −1 −1 L L L

  k(µ − A) k (X) ≤ |λ − µ| k(λ − A) k k(λ − A) k (X)

  (X) n=0 ∞

  X

  1

  −1 L (X)

  ≤ k(λ − A) k

  n

  2

  n=0 −1 L = 2 .

  (X)

  k(λ − A) k Então o Teorema nos permite verificar a desigualdade

  2

−1 −1 −1

L , (X) L

  k(λ − A) − (µ − A) k ≤ 2|µ − λ|k(λ − A) k (X) e portanto que

  

−1 −1

  lim L = 0,

  (X)

  k(λ − A) − (µ − A) k

  µ→λ −1

  provando assim que ρ(A) ∋ λ → (λ − A) ∈ L(X) é contínua. Por fim, novamente pelo Teorema concluímos que

  −1 −1

  (µ − A) − (λ − A)

  −1 −1

  = (µ , −(λ − A) − A)

  µ − λ

  −1

  , e pela continuidade de (λ − A)

  −1 −1

  d (µ − A) − (λ − A)

  −1 −2

  (λ = lim = , − A) −(λ − A) dλ µ→λ µ

  − λ

  −1

  é analítica. Temos ainda que ou seja, (λ − A)

  −n −n −1 −1 −n+1

  (λ =[(λ ] − A) − (µ − A) − A) − (µ − A) ◦ [(λ − A)

  −n+2 −1 (λ (µ + ...

  − A) − A)

  −1 −n+2 −n+1

  ... + (λ (µ + (µ ], − A) − A) − A) e portanto

  −n −n

  d (λ − A) − (µ − A)

  −n −n−1 (λ = lim = .

  − A) −n(λ − A) dλ µ→λ λ − µ

  Logo d

  −1 −2

  (λ = , − A) −(λ − A) dλ

  2

  d d

  −1 −2 −3

  (λ = ( ) = 2(λ , − A) −(λ − A) − A)

  2

  dλ dλ e fazendo este processo n-vezes, por indução, verificamos que

  n

  d d

  n −1 −n−1

  (λ = ( n! (λ .

  − A) −1) − A)

  n

  dλ dλ

1.2 Semigrupos

  Nesta seção apresentamos o básico da teoria de semigrupos de ope- radores lineares, assunto fundamental para o estudo da existência e unicidade de soluções para uma equação diferencial. Para uma abor- dagem mais detalhada, veja

  Definição 1.17. Um semigrupo de operadores lineares em X, é uma família {T (t) : t ≥ 0} ⊂ L(X) que satisfaz:

i) T (0) = I .

  X ii) T (t + s) = T (t)T (s), para todo t, s ≥ 0.

  Definição 1.18. Se a família {T (t) : t ≥ 0} ⊂ L(X) define um semi- grupo de operadores lineares em X, temos as seguintes possibilidades: L + X , e nesse caso chamamos k (X) 7→ 0, quando t → 0 i) kT (t) − I este semigrupo de uniformemente contínuo. L + (X) ii) kT (t)x − xk 7→ 0, quando t → 0 , para cada x ∈ X, e nesse caso chamamos este semigrupo de fortemente contínuo ou de C -semigrupo. Observação 1.19. É interessante enfatizar que todo semigrupo uni- formemente contínuo é fortemente contínuo, porém a reciproca não é verdadeira. Um exemplo desse fato pode ser ilustrado pelo semigrupo de translações; considere a família de operadores lineares

  {T (t) : t ≥ 0} ⊂ L(BC([0, ∞), C)), com BC([0, ∞), C) denotando o espaço de Banach das funções de [0, ∞) em C que são contínuas e limitadas, de modo que

  

s∈[0,∞)

  n

  − f

  (BC([0,∞),C)) ≥ kT (t)f n

  τ ), então kT (t) − Ik L

  n

  : [0, ∞) → C por f n (τ ) = sen(2

  n

  . Com isso, se definirmos f

  f (t + s) − f(s) = 0. ii) Por outro lado, podemos concluir que {T (t) : t ≥ 0} não é uni- formemente contínuo. De fato, fixado t > 0, escolha n ∈ N satisfazendo n > ln π/t ln 2

  t→0 +

  lim

  kT (t)f − fk BC([0,∞),C) = sup

  T (t)f (τ ) := f (t + τ ), ∀t ≥ 0. i) Para verificar que {T (t) : t ≥ 0} é um semigrupo fortemente contínuo, veja que: a) T (0)f (τ ) = f (τ ).

  t→0 +

  e portanto da continuidade e limitação da função f, lim

  BC([0,∞),C)

  T (t)f − f

  t→0 +

  = lim

  

BC([0,∞),C)

  kT (t)f − fk

  t→0 +

  c) Finalmente, observe que pela continuidade da norma lim

  b) T (t + s)f (τ ) = f (t + s + τ ) = T (t) T (s)f (τ ).

  k BC([0,∞),C) n n

  = sup (t + s)) s) |sen(2 − sen(2 |

  s∈[0,∞)

  = 2,

  n n n já que 2 (t + s) s = 2 t > π.

  − 2 O estudo dos semigrupos de operadores lineares está associado ao estudo de problemas de Cauchy da forma

  d

  u(t) = Au(t),

  dt

  (1.3) u(0) = x ∈ X, com A : D(A) ⊂ X → X um operador linear limitado (ou ilimitado).

  Para uma explicação mais clara da afirmação feita acima, em pri- meiro lugar introduzimos o princípio de contração de Banach, que está enunciado a seguir. Lema 1.20. Seja X um espaço métrico completo, com a métrica

  • d : X ,

  X

  × X → R e uma função F : X → X tal que

  n n

  d (F (x), F (y)) (x, y),

  X X

  ≤ kd ∀x, y ∈ X,

  n

  para algum inteiro positivo n e k é chamada ∈ (0, 1) (nesta situação, F de contração). Então, existe um único x

  ∈ X, tal que F (x) = x. O ponto x é chamado ponto fixo de F (Veja para maiores detalhes). Agora vamos mostrar que, no caso de A ser um operador limitado, existe uma única solução de e que podemos definir um semigrupo a partir desta solução.

  Para cada x ∈ X e τ > 0, considere o espaço métrico completo n o K = u ,

  ∈ C([0, τ], X) : u(0) = x e defina a aplicação F : K → K por Z t F (u)(t) := x + Au(s)ds. Note que, dados u, v ∈ K, vale

  Z t ds

  X X

  kF (u)(t) − F (v)(t)k ≤ kAu(s) − Av(s)k

  L sup .

  (X)

  X

  ≤ tkAk ku(s) − v(s)k

  s∈[0,τ ]

  Baseados na desigualdade acima, deduzimos indutivamente que

  

n n

  t L kAk (X)

  n n

  (u)(t) (v)(t) sup

  X X

  kF − F k ≤ ku(s) − v(s)k n!

  s∈[0,τ ] n n

  τ L kAk (X) sup

  X ,

  ≤ ku(s) − v(s)k n!

  s∈[0,τ ] para todo t ∈ [0, τ].

  Como

  n n L

  |τ| kAk

  (X)

  → 0, quando n → ∞, n! pois sabemos que

  n n ∞

  X L |τ| kAk

  

(X)

L |τ |kAk (X)

  = e , n!

  n=0 n

  existe n é contração. Sendo assim, pelo Lema a ∈ N, tal que F aplicação F tem um único ponto fixo. Em outras palavras, existe uma

  única função contínua u : [0, τ ] → X que satisfaz Z

  t

  u(t) = x + Au(s)ds, ∀t ∈ [0, τ]. Como τ > 0 foi escolhido arbitrariamente, da unicidade do ponto fixo de F , temos que existe uma única função contínua u : [0, ∞) → X, que satisfaz

  Z

  t

  u(t) = x + Au(s)ds, ∀t ∈ [0, ∞). Observando que se u(t) é suficientemente regular, não é difícil veri- ficar que esta função satisfaz as equações do problema Defina agora a família de operadores lineares {T (t) : t ≥ 0}, de X em X, por

  T (t)x := u (t), (1.4)

  x

  ∀t ≥ 0, com u : [0,

  x

  ∞) → X sendo a única solução do problema com dado inicial x ∈ X. Mostremos que {T (t) : t ≥ 0} é um semigrupo. i) É bastante claro que T (0)x = u (0) = x.

  x ii) Para cada s ≥ 0 fixado, as funções v(t) = T (t + s)x e w(t) = T (t)T (s)x são soluções de

  d

  u(t) = Au(t), t > 0,

  dt

  u(0) = T (s)x ∈ X, e portanto, da unicidade de solução, T (t+s) = T (t)T (s) para todo t

  ≥ 0. Como s ≥ 0 foi escolhido arbitrariamente, concluímos o desejado. Observação 1.21. Para A ∈ L(X) considere a família de operadores lineares

  ∞

n n

  X A t

  At

  e := , ∀t ≥ 0. n! L < n=0 (X)

  Como kAk ∞ e

  n n ∞ ∞ n n

  X X t L A t kAk

  (X) L At t kAk (X)

  e L ≤ = = e ,

  (X)

  n! n!

  n=0 L n=0 (X)

  concluímos que a série converge absolutamente e uniformemente em subconjuntos compactos de [0, ∞).

  Desta convergência uniforme e das propriedades da série, não é di-

  At

  fícil verificar que a família e : t define um semigrupo; mais ≥ 0 ainda, define um semigrupo uniformemente contínuo, pois

  ∞ n n

  X A t

  At L = X (X)

  ke − I k n!

  n=1 L (X)

  " #

  n n ∞

  X t L L kAk (X) = t

  (X)

  kAk (n + 1)!

  n=0

  h i L

  t L kAk (X)

  e

  (X)

  ≤ t kAk → 0,

  • .

  quando t → 0

  At

  Por fim, podemos deduzir que a função u(t) := e x também é uma

  At

  solução de e portanto, identificamos e = T (t), para todo t ≥ 0

  (o semigrupo T (t) mencionado aqui é aquele construído em da origem a um semigrupo uniformemente contínuo.

  Para ampliar um pouco mais nossas discussões, introduzimos o se- guinte conceito. Definição 1.22. Se {T (t), t ≥ 0} é um semigrupo fortemente contínuo, seu gerador infinitesimal é o operador definido por A : D(A) ⊂ X → X, com

  T (t)x − x +

  D(A) = x existe , ∈ X : lim

  t→0 t

  T (t)x − x

  Ax = lim , ∀x ∈ D(A). + t

  t→0

  Um teorema que é utilizado nesta seção é o famoso Teorema da Limitação Uniforme, o qual enunciamos a seguir.

  ∞

  uma sequência de operadores lineares

  n

  Teorema 1.23. Seja {T } n=1 limitados, T : X

  n

  → Y . Se para cada x ∈ X existe K(x) > 0, tal que x

  n Y

  kT k ≤ K(x), ∀n ∈ N,

  ∞

  então a sequência das normas também é limitada, isto é,

  

n

  {kT k} n=1 existe K > 0 tal que L

  n (X,Y ) kT k ≤ K, ∀n ∈ N.

  O teorema a seguir é bastante interessante pois relaciona os semigru- pos uniformemente contínuos de maneira biunívoca com os operadores limitados. Teorema 1.24. Se {T (t) : t ≥ 0} é um semigrupo fortemente contínuo, são equivalentes: i) {T (t) : t ≥ 0} é uniformemente contínuo. ii) O gerador infinitesimal de

  {T (t) : t ≥ 0} está definido em todo X.

  At iii) Para algum A .

  ∈ L(X), temos que T (t) = e Demonstração. (i

  → iii) Como o semigrupo é uniformemente contínuo, existe δ > 0 tal que L < ,

1 X (X) kT (s) − I k ∀s ∈ [0, δ].

  2 Mostraremos agora que a aplicação [0, ∞) ∋ t 7→ T (t) ∈ L(X) é contínua. De fato, fixado um t > 0 e dado h ∈ [0, ∞), com 0 < t−h < δ, temos L L

  = T (t)

  (X) X (X)

  kT (t + h) − T (t)k k T (h) − I k L L

  (X) X (X)

  ≤ kT (t)k kT (h) − I k → 0

  • , e quando h → 0 L = T (t L

  (X) X (X)

  kT (t) − T (t − h)k k T (h) − I − h)k = T (t + I L

  X X X (X)

  k T (h) − I − h) − I k

  3 L

  X (X)

  ≤ kT (h) − I k → 0,

  2 . Em outras palavras, se t > 0, quando h → 0 L

  • lim = 0.

  (X)

  kT (t + h) − T (t)k

  h→0

  Com isto temos que T (s) é integrável e que Z Z

  δ δ

  1

  1 T (s)ds

  

X = T (s)

X ds

  − I − I δ δ L L

  (X) (X)

  Z δ

  1 L ds .

  1 X (X) ≤ kT (s) − I k ≤

  δ

  2 R δ Assim, pelo Teorema

  T (s)ds tem inversa limitada. Agora defi- nindo o operador linear !

  −1

  Z δ A = T (δ)

  

X T (s)ds

  − I ∈ L(X), provemos que A é gerador infinitesimal de {T (t) : t ≥ 0}. De fato, se escolhermos um h > 0 suficientemente pequeno, temos

  δ Z δ

  Z T (h) T (s)ds = T (h + s) ds

  X

  − I − T (s) Z h+δ Z δ

  = T (s)ds T (s)ds −

  

h Z h+δ Z h = T (s)ds T (s)ds

  −

  

δ

  Z h Z h = T (δ) T (s)ds T (s)ds.

  − Com isso, deduzimos que

  Z δ Z h T (h) T (δ)

  X X

  − I − I T (s)ds = T (s)ds, h h

  • , obtemos e portanto, quando h → 0

  Z

  δ h

  (T (h) ) Z T (s)

  X

  − I lim T (s)ds = lim T (δ)

  X ds

  • + + − I h h

  h→0 h→0

  R

  h

  T (s)ds = T (δ)

  X lim

  − I + h

  h→0

  T (h) = T (δ)

  X lim

  − I +

  h→0

  1 = T (δ) .

  X

  − I Das verificações acima, concluímos que

  !

  −1

  Z

  δ

  T (h)

  X

  − I

  X T (s)ds

  − T (δ) − I → 0, h L

  (X) quando h → 0 , e portanto A é o gerador infinitesimal de {T (t) : t ≥ 0}.

  • Isto nos permite concluir que d T (t + h) T (h)

  X

  − T (t) − I T (t) = lim = T (t) lim = T (t)A, dt h→0 h h→0 h

  d

  e analogamente, que T (t) = AT (t). Portanto,

  dt

  d T (t) = AT (t) = T (t)A, dt

  At ou seja, T (t) = e .

  (ii → i) Pela hipótese temos que

  T (t)x − x é limitado ∀x ∈ X. t

  t∈[0,1] Portanto, pelo Teorema obtemos L

  X

  kT (t) − I k (X) : t é limitado.

  ∈ [0, 1] t Assim concluímos L

  (X)

  kT (t) − Ik ≤ ct, ∀t ∈ [0, 1], o que garante L lim = 0,

  X (X)

  kT (t) − I k

  • + t→0 ou seja, {T (t) : t ≥ 0} é uniformemente contínuo.

  (iii → ii) Como demonstramos anteriormente que

  !

  −1

  Z δ A = T (δ)

  

X T (s)ds

  − I ∈ L(X), então o gerador infinitesimal de {T (t) : t ≥ 0} está definido em todo

  X. Muito embora as discussões anteriores sobre semigrupos uniforme- mente contínuos sejam importantes, estamos interessados em situações mais gerais, pois na maioria das aplicações o operador A não é limitado.

  Nosso intuito portanto, é que a partir deste ponto, passemos a discu- tir apenas os semigrupos fortemente contínuos. Para esse fim, começa- mos caracterizando os seus geradores infinitesimais e provando algumas propriedades intrínsecas desses semigrupos.

  Proposição 1.25. Suponha que {T (t) : t ≥ 0} é um semigrupo forte- mente contínuo. Então existem constantes M > 0 e β ∈ R tais que L βt

  ,

  (X)

  kT (t)k ≤ Me ∀t ≥ 0,

1 L com β ln e δ > 0.

  (X)

  ≥ δ kT (δ)k Demonstração. Assuma que existe δ > 0 tal que

  M = sup L < kT (t)k (X) ∞.

  t∈[0,δ]

  Se t ∈ [0, ∞), existe n ∈ N tal que t = nδ + σ com σ ∈ [0, δ). Logo

L = L L n (X) (X) L (X) kT (t)k kT (nδ + σ)k ≤ kT (δ)k (X) kT (σ)k n ln[kT (δ)k]δ nβδ (nδ+σ)β δ −σβ

  e = M e = M e e ≤ M

  tβ −σβ

  = M e e , ∀t ≥ 0. Agora demonstremos que o tal δ > 0 de fato existe. Se assumirmos por um instante que esse valor não existe, então existiria uma sequência

  ∞ n com lim t n = 0 e ainda n=1 n→∞

  {t } lim ) L = (1.5)

  n (X) kT (t k ∞. n→∞ ∞ n )x n )x

  } n=1 → x, quando Mas {T (t é limitado para cada x ∈ X, pois T (t L é ∞ n

  n )

  → ∞. Assim, pelo Teorema Teorema 1.26. Se {T (t) : t ≥ 0} é um semigrupo fortemente contínuo, então: i) Para qualquer x

  ∈ X, a aplicação [0, ∞) ∋ t → T (t)x ∈ X é contínua. ii) Se A é gerador infinitesimal de

  {T (t) : t ≥ 0}, A é fechado, densamente definido e para cada x ∈ D(A), a aplicação

  [0, ∞) ∋ t → T (t)x ∈ X

  é diferenciável, e vale d T (t)x = AT (t)x = T (t)Ax, t > 0. dt

  m ∞

  iii) D(A ) = X ∩ m=1 iv) Seja β dado como no Proposição Para cada λ

  ∈ C, com Reλ > β, temos que λ

  ∈ ρ(A) e ainda Z

  ∞ −1 −λt

  (λ = e T (t)dt.

  − A) Demonstração. i) Sejam x

  ∈ X e t > h > 0. Observe que T (t + h)x

  − T (t)x = T (t) T (h)x − x → 0, . Por outro lado, pela Proposição temos quando h → 0 L

  • X (X)

  X

  kT (t)x − T (t − h)xk ≤ kT (t − h)k kT (h)x − xk

  ≤ Me

  1 hǫ Z

  h T (t)xdt.

  1 hǫ Z

  T (t)T (ǫ)xdt −

  h

  1 hǫ Z

  T (t)xdt =

  h

  T (t)xdt −

  h→0 +

  ǫ+h ǫ

  1 hǫ Z

  T (t)xdt =

  ǫ

  1 hǫ Z

  T (t)xdt −

  ǫ+h h

  Logo, lim

  T (h)x

  T (t)xdt =

  h

  − x ǫ

  = T (ǫ)x

  ǫ T (h)x

  X

  T (ǫ) − I

  h→0

+

  T (t)xdt = lim

  1 h Z

  ǫ

  ǫ

  X

  T (ǫ) − I

  h→0

+

  h = lim

  ǫ

  − x

  1 hǫ Z

  ǫ

  β(t−h)

  lim

  ⊂ X trivialmente, precisamos apenas verificar que X ⊂ D(A). Considere então x ∈ X e defina, para ǫ > 0, x

  A continuidade em t = 0 segue da definição de semigrupo forte- mente contínuo. ii) Mostremos inicialmente que D(A) = X. Como D(A)

  X = 0, ou seja, que T é continuo para todo t > 0.

  kT (t + h)x − T (t)xk

  h→0

  kT (h)x − xk X = 0. As sentenças acima significam que lim

  h→0 +

  βt

  :=

  ≤ Me

  X

  kT (t)x − T (t − h)xk

  h→0 +

  , e portanto lim

  X

  kT (h)x − xk

  ǫ

  1 ǫ

  1 hǫ Z

  Z ǫ T (h)T (t)xdt

  T (h + t)xdt −

  ǫ

  1 hǫ Z

  =

  Z ǫ T (t)xdt

  1 ǫ

  −

  1 ǫ

  Z ǫ T (t)xdt ∈ X.

  1 h

  h =

  ǫ

  − x

  ǫ

  ∈ D(A). De fato, fixe ǫ > 0 e tome 0 < h < ǫ. Então T (h)x

  ǫ

  Afirmamos que x

  , assim x

  ǫ

  ∈ D(A) e ainda T (ǫ)x

  − x Ax = .

  ǫ

  ǫ

  • Agora note que x , pois

  ǫ

  → x, quando ǫ → 0 Z ǫ Z ǫ

  1

  1 = xdt T (t)xdt

  ǫ

  X

  kx − x k − ǫ ǫ

  X Z ǫ

  h i

  1 = x dt ,

  − T (t)x ǫ

  X

  o que garante que Z

  ǫ

  1 lim ǫ

  X X dt

  • + + kx − x k ≤ lim kx − T (t)xk

  ǫ

  ǫ→0 ǫ→0

  • + = lim = 0,

  X

  kx − T (ǫ)xk

  ǫ→0 ou seja, x ∈ D(A) como queríamos.

  Para verificarmos que A : D(A) ⊂ X → X é um operador fechado,

  −1

  ∈ L(X) assuma que ρ(A) 6= ∅ e que existe λ ∈ ρ(A) tal que (λ − A) (tal fato é garantido pelo item iv) deste teorema).

  ∞ n

  Escolha uma sequência {x } n=1 ⊂ D(A) satisfazendo x e Ax

  n n

  → x → y, quando n → ∞. Queremos verificar que x ∈ D(A) e que Ax = y. Para

  ∞

  dada por

  n

  isso, considere a sequência {y } n=1 y n = (λ n , − A)x e observe que y

  n

  → λx−y, quando n → ∞, e portanto da continuidade

  −1

  , sabemos que do operador resolvente (λ − A)

  

−1 −1

(λ y λx . n

  − A) → (λ − A) − y quando n → ∞.

  −1

  y n = x n → x, quando n → ∞. Logo, da

  Por outro lado, (λ − A) unicidade do limite, deduzimos a igualdade

  −1

  (λ λx = x, − A) − y ou seja, que x ∈ D(A) e que Ax = y, como queríamos. Por fim, mostremos que se x ∈ D(A) então (0,

  ∞) ∋ t 7−→ T (t)x ∈ X é diferenciável. De fato, para x ∈ D(A), note que

  T (t + h) T (h)

  X

  − T (t) − I lim x = lim T (t) x

  • + +

  h→0 h→0 h

  h T (h)

  X

  − I = T (t) lim x + h

  h→0

  = T (t)Ax, isto é,

  • d

  T (t)x = T (t)Ax, ∀t > 0. dt

  Porém, de um resultado clássico da análise, como a derivada a di- reita de T (t)x é contínua então T (t)x é continuamente diferenciável, o que nos permite concluir que d

  T (t)x = T (t)Ax, ∀t > 0. dt

  Para encerrar a demonstração deste item, basta observar que para x ∈ D(A) temos a igualdade

  T (h) T (h)

  X X

  − I − I T (t) x = T (t)x h h o que garante que T (t)x ∈ D(A) e que d

  T (t)x = T (t)Ax = AT (t)x, ∀t > 0. dt iii) De modo a completar de forma precisa esta etapa da demons- tração, introduzimos brevemente dois conceitos:

  ∞

  X (I, R) o conjunto de todas as

  Seja I ⊂ R. Denotamos por C funções de I em R que sejam infinitamente diferenciaveis em I.

  ∞

  X (I, R), definimos o seu suporte como

  Para uma função ϕ ∈ C sendo o conjunto supp ϕ := {x ∈ I : ϕ(x) 6= 0}.

  ′′ .

  h→0 +

  Z

  ∞

  ϕ(t − h) − ϕ(t) h

  ′

  (t) T (t)xdt −

  Z

  ∞

  ϕ

  ′ (t)T (t)xdt.

  Assim, pelo Teorema da Convergência Dominada conclui-se lim

  T (h)xϕ − xϕ h

  ϕ(t − h) − ϕ(t)

  = −

  Z

  ∞

  ϕ

  ′ (t)T (t)xdt.

  Portanto, xy ∈ D(A) e Axϕ =

  −xϕ

  ′ .

  Analogamente, Axϕ

  ′

  = −xϕ

  T (t)xdt =

  ∞

  Sejam x ∈ X e ϕ ∈ C

  ∞

  ∞

  (R, R), com o supp ϕ um subconjunto compacto de R e contido em (0, ∞). Considere a notação xϕ :=

  Z

  ∞

  ϕ(t)T (t)xdt, para a integral acima. Primeiro provaremos que xϕ ∈ D(A

  m

  ), para todo m ∈ N. Para isso, tome h satisfazendo

  0 < h < inf {s : s ∈ supp ϕ}, e observe que

  T (h)xϕ − xϕ =

  Z

  ϕ(t) T (t + h)x − T (t)x dt

  1 h Z

  = Z

  ∞ h

  ϕ(t − h)T (t)xdt −

  Z

  ∞ ϕ(t)T (t)xdt.

  Mas então, como ϕ(t) = 0, para todo t < 0, temos a igualdade T (h)xϕ

  − xϕ = Z

  ∞

  ϕ(t − h) − ϕ(t) T (t)xdt.

  Logo T (h)xϕ

  − xϕ h =

  • ϕ
Como xϕ

  ′ tem as mesmas propriedades de xϕ, então Axϕ ∈ D(A).

  Z

  D(A

  m∈N

  As justificativas acima provam que X = T

  X dτ = 0.

  ϕ(τ) T (τ/n)x − x

  ∞

  n→∞

  iv) Pela Proposição existem constantes M > 0 e β ∈ R tais que kT (t)k L

  ≤ lim

  X

  − xk

  n

  kx

  n→∞

  m ).

  

(X)

  X dτ.

  X

  X

  |kT (t)xk

  −λt

  |e

  ∞

  ≤ Z

  T (t)dt ∈ L(X), para Reλ > β, já que kR(λ)xk

  ≤ Me

  

−λt

  e

  ∞

  Z

  Logo deduzimos que o operador R(λ) =

  βt .

  Assim, o Teorema da Convergência Dominada nos assegura que lim

  ϕ(τ) T (τ/n)x − x

  Logo xϕ ∈ D(A

  ∞

  Mostremos que x

  m ).

  D(A

  m∈N

  \

  nϕ(nt)T (t)xdt ∈

  = Z

  → x, quando n → ∞. De fato, observe que kx

  n

  Agora defina para cada x ∈ X o elemento x

  ∞ ϕ(t)dt = 1.

  Z

  ), ∀m ∈ N. Para concluirmos esta demonstração, tomemos uma função ϕ como acima, porém satisfazendo ϕ(t) ≥ 0, para todo t ∈ R, e ainda

  

m

  n

  n

  ∞

  X

  Z

  dt =

  X

  nϕ(nt) T (t)x − x

  ∞

  ≤ Z

  nϕ(nt)xdt

  − xk

  ∞

  Z

  nϕ(nt)T (t)xdt −

  ∞

  = Z

  X

  dt Z

  

βt −λt

  dt,

  X

  ≤ M |e ||e |kxk e portanto Z

  ∞

  M L e dt = .

  (β−Reλ)t (X)

  kR(λ)k ≤ M Reλ

  − β Mostremos agora que R(λ) é o operador inverso de (λ − A). Note que se x ∈ X, então

  Z

  ∞

  T (h)

  

X

  − I

  −λt

  • + AR(λ)x = lim e T (t)xdt (1.6)

  h→0 h

  Z

  ∞

  1

  

−λt

= lim e T (h + t)x dt.

  − T (t)x

  • + h→0 h

  Fazendo a mudança de variável h + t = s, obtemos Z Z

  ∞ ∞

  1

  1

  

−λt −λ(s−h)

  e T (h + t)xdt = e T (s)xds, h h

  h

  e portanto de deduzimos Z Z

  ∞ ∞

  1

  1

  −λ(t−h) −λt AR(λ)x = lim e T (t)xdt e T (t)xdt .

  • +

  h→0 h h h

  (1.7) Por fim, realizando algumas manipulações algébricas

  Z Z

  ∞ ∞

  1

  1

  −λ(t−h) −λt

  e T (t)xdt e T (t)xdt − h h

  h

  ! Z Z h

  ∞

  h i

  1

  1

  −λ(t−h) −λt −λ(t−h)

  = e T (t)xdt e T (t)xdt − e − h h

  ! Z Z h

  ∞ λh

  e

  1 − 1

  −λt −λ(t−h)

  = e T (t)xdt e T (t)xdt − h h

  ! Z Z h

  λh ∞ λh

  e e − 1

  −λt −λt

  = λ e T (t)xdt e T (t)xdt , −

  λh h e de encontramos a igualdade Z

  

−λt

  AR(λ)x = λ e T (t)xdt − x

  = λR(λ)x − x. Com isso (λ − A)R(λ)x = x, provando dessa forma que (λ − A) é a inversa a esquerda de R(λ).

  βt

  Portanto λ ∈ ρ(A), R(λ) = (λ − A)

  −1

  e k(λ − A)

  −1

  k L

  (X)

  ≤ Z

  ∞

  e

  −Reλt

  M e

  dt = M

  −λt T (t)Axdt = R(λ)Ax.

  Reλ − β .

  Agora estudamos alguns teoremas importantes como o Teorema de Hille-Yosida e Lumer Phillips que descrevem certas condições para que um operador linear seja gerador infinitesimal de um semigrupo. Para demonstrar o Teorema de Hille-Yosida, discutiremos previamente al- guns lemas importantes.

  Lema 1.27. Suponha que A : D(A) ⊂ X → X seja um operador linear fechado e densamente definido, cujo conjunto resolvente contém (0, ∞) e k(λ − A)

  −1

  k L

  

(X)

  ≤

  1 λ

  , ∀λ > 0. Então lim

  λ→∞

  λ(λ − A)

  −1

  Como já sabíamos que x = λR(λ)x − AR(λ)x, deduzimos que x = R(λ)(λ − A)x, ou seja, que (λ − A) é a inversa a direita de R(λ).

  e

  Agora escolha x ∈ D(A) e note que AR(λ)x = lim

  e

  h→0 +

  T (h) − I

  X

  h Z

  ∞

  e

  −λt

  T (t)xdt = lim

  h→0 +

  Z

  ∞

  

−λt

  ∞

  T (t + h) − T (t) h xdt.

  Como {T (t) : t ≥ 0} ⊂ L(X) é um semigrupo, AR(λ)x = lim

  h→0 +

  Z

  ∞

  e

  

−λt

  T (t) T (h)

  − I

  X

  h xdt, e pelo Teorema da Convergência Dominada,

  AR(λ)x = Z

  x = x, ∀x ∈ X. Demonstração. Seja x ∈ D(A) e λ > 0. Como vale a igualdade

  −1

  (λ (λ − A) − A)x = x, deduzimos que

  −1 −1 λ(λ x Ax.

  − A) − x = (λ − A) Então pela hipótese temos

  1

  −1

  x

  

X

X

  kλ(λ − A) − xk ≤ kAxk → 0, λ quando λ → ∞, para qualquer x ∈ D(A).

  Agora estenderemos este resultado para todo o espaço X. Para

  ∞ n

  qualquer x ∈ X, por hipótese, existe {x } n=1 ⊂ D(A) satisfazendo x

  n → x, quando n → ∞.

  Com isso, para λ > 0 suficientemente grande,

  −1 −1

  x (x )

  X n

  X

  kλ(λ − A) − xk ≤kλ(λ − A) − x k

  −1

  • x +

  n n X n

  X

  kλ(λ − A) − x k kx − xk

  −1

  • L L

  n X (X) X (X)

  ≤kx − x k kλ(λ − A) k kI k

  −1

  • x n n

  X

  kλ(λ − A) − x k

  −1 X x n n

  • n X .

  ≤2kx − x k kλ(λ − A) − x k Logo,

  −1

  lim sup x ,

  X n

  X

  kλ(λ − A) − xk ≤ 2kx − x k

  λ→∞

  e aplicando limite quando n → ∞ em ambos os lados, obtemos

  −1 lim sup x = 0.

  X

  kλ(λ − A) − xk

  λ→∞

  Portanto

  −1

  lim λ(λ x = x, − A) ∀x ∈ X,

  λ→∞ como queríamos.

  Lema 1.28. Assuma que A : D(A) ⊂ X → X seja um operador linear

  −1

  como no Lema Então A λ = λA(λ − A) ∈ L(X) e ainda lim A x = Ax, (1.8)

  λ ∀x ∈ D(A). λ→∞ Demonstração. Que A

  λ

  ∈ L(X) segue do fato que A é fechado e que λ

  ∈ ρ(A). Agora provemos temos

  

−1

  λ(λ Ax − A) → Ax, quando λ → ∞. Logo deduzimos

  −1 −1 lim A x = lim λA(λ x = lim λ(λ Ax = Ax. λ

  − A) − A)

  λ→∞ λ→∞ λ→∞

  Lema 1.29. Seja A : D(A) ⊂ X → X um operador linear como no

  

−1

  Lema Então A λ = λA(λ −A) ∈ L(X) é o gerador infinitesimal

  tA λ

  de um semigrupo uniformemente contínuo : t {e ≥ 0} tal que

  tA λ L (X)

  ke k ≤ 1, ∀t ≥ 0, e ainda para todo x ∈ X, λ, µ > 0 e t ≥ 0, temos que

  tA λ tA µ

  x x x x . (1.9)

  X λ µ

  X

  ke − e k ≤ tkA − A k Demonstração. Para cada λ > 0, note que

  2 −1 −1

  A = λA(λ = λ (λ

  λ − A) − A) − λ.

  2 −1

  Como A λ = λ (λ − A) − λ é um operador linear limitado, então pelo Teorema A λ gera um semigrupo uniformemente contínuo

  

tA

λ

  T (t) = e ,

  λ

  ∀t ≥ 0, e podemos estimar sua norma por 2 −1

  tA t(λ

λ (λ−A) −λ)

L L

  =

  (X) (X)

  ke k ke k 2 −1

  tλ −λt (λ−A) L

  = e

  (X)

  ke k 2 −1 L

  tλ −λt k(λ−A) k (X)

  e ≤ e

  λt −λt

  e = 1. ≤ e

  tA λ tA µ

  Por outro lado, é fácil ver que A , A , e , e , para λ, µ > 0 e

  λ µ

  t ≥ 0, comutam entre si. Logo

  Z

  1

  h i d

  tA tA tsA λ µ λ t(1−s)A µ

  x x = e e xds

  X

  ke − e k ds

  X Z

  1 tsA λ µ t(1−s)A

  = te e [A x x]ds

  λ µ

  − A

  X x x .

λ µ

  X

  ≤ tkA − A k Assim a desigualdade fica verificada e conclui-se a demonstra- ção deste lema.

  Lema 1.30. Suponha que A : D(A) ⊂ X → X seja um operador linear. Então os seguintes fatos são equivalentes: i) A é gerador infinitesimal de um semigrupo fortemente contínuo

  {T (t) : t ≥ 0} tal que L

  

(X)

kT (t)k ≤ 1, ∀t ≥ 0.

  ii) A é um operador linear fechado, densamente definido, cujo con- junto resolvente contém (0, ∞) e

  1

  −1 L

  ,

  (X) k(λ − A) k ≤ ∀λ > 0.

  λ Demonstração. (i

  → ii) Se A é o gerador infinitesimal de um semi- grupo fortemente contínuo, então pelo Teorema A é fechado, den- samente definido e se λ ∈ (0, ∞), temos que

  Z

  ∞

−1 −λt

  (λ x = e T (t)xdt, − A) para todo x ∈ X, com a estimativa

  1

  −1 L , (X)

  k(λ − A) k ≤ λ como queríamos.

  (ii → i) Pelo Lema para cada x ∈ D(A) e t ≥ 0, temos que

  tA λ tA µ

  x x x x

  X λ µ

  X

  ke − e k ≤ tkA − A k

  

λ x

X + t µ x X .

  ≤ tkA − Axk kAx − A k

  tA λ

  Então do lemma podemos concluir que e x é de Cau-

  λ≥0

  chy, quando λ → ∞, e portanto converge. Mais ainda, converge uni- formemente em subconjuntos compactos de [0, ∞).

  

tA λ

L

  x

  (X)

  Como D(A) é denso em X e ke k ≤ 1, usando um raciocínio

  tA λ

  análogo a outros já utilizados nos lemas acima, temos que e x

  λ≥0

  é convergente para todo x ∈ X, uniformemente em subconjuntos com- pactos de [0, ∞).

  Agora definamos para cada x ∈ X

  tA λ T (t)x := lim e x.

λ→∞

  Da definição concluímos que {T (t) : t ≥ 0} é um semigrupo que L

  (X)

  satisfaz kT (t)k ≤ 1. Além disso, a função [0,

  ∞) ∋ t → T (t)x ∈ X é contínua pois estamos tratando com limite uniforme de funções con- tínuas, ou seja, {T (t) : t ≥ 0} é um semigrupo fortemente contínuo.

  Resta demonstrar que A é seu gerador infinitesimal. Inicialmente assuma que B seja o gerador infinitesimal de {T (t) : t ≥ 0}. Queremos concluir que D(A) = D(B) e que Ax = Bx para todo x ∈ D(A).

  Para isso, note que se x ∈ D(A), então

  tA λ

  T (t)x (e x − x = lim − x)

  λ→∞

  Z

  t

  d

  sA λ

  = lim e x ds

  

λ→∞ ds

  Z t

  sA λ

  = lim e A xds

  λ λ→∞

  Z

  t = T (s)Axds. sA λ

  A última igualdade é consequência da convergência uniforme de e A λ x para T (s)Ax em subconjuntos compactos de [0, ∞).

  Portanto Z

  t

  T (t)x

  1 − x

  Bx = lim = lim T (s)Axds = Ax, + + t t

  t→0 t→0

  ou seja, D(A) ⊂ D(B) e Ax = Bx para todo x ∈ D(A). Em outras palavras, B : D(B) ⊂ X → X deve ser uma extensão do operador A.

  Agora observe que do fato de 1 ∈ ρ(A), podemos deduzir (I

  (1.10)

  X X − B)D(A) = (I − A)D(A) = X. L

(X)

  Por outro lado, como kT (t)k ≤ 1, a primeira parte da prova deste lema garante que 1 ∈ ρ(B). Então, (I (1.11)

  X − B)D(B) = X. Por fim, usando concluímos que X = (I

  X X

  X

  − B)D(B) ⊃ (I − B)D(A) = (I − A)D(A) = X, isto é, D(A) = D(B) e A = B em D(A). Com isto conclui-se o teorema.

  Teorema 1.31 (Hille-Yosida). Suponha que A : D(A) ⊂ X → X seja um operador linear. Então os seguintes fatos são equivalentes: i) A é gerador infinitesimal de um semigrupo fortemente contínuo

  {T (t) : t ≥ 0} e existe ω ∈ R tal que L ωt , kT (t)k (X) ≤ e ∀t ≥ 0. ii) A é um operador linear fechado, densamente definido, cujo con- junto resolvente contém (ω,

  ∞), para algum ω ∈ R, e

  1

  −1

L ,

(X)

  k(λ − A) k ≤ ∀λ > ω.

  λ − ω

  Demonstração. (i → ii) Se A é o gerador infinitesimal de um semi- grupo fortemente contínuo {T (t) : t ≥ 0} que satisfaz L ωt

  ,

  (X)

  kT (t)k ≤ e ∀t ≥ 0, então A−ω é o gerador infinitesimal do semigrupo fortemente contínuo

  −ωt

  T (t) : t {e ≥ 0} ⊂ L(X) que satisfaz

  −ωt

  T (t) L

  (X) ke k ≤ 1, ∀t ≥ 0.

  Então pelo Lema o operador linear A−ω é fechado, densamente definido, seu conjunto resolvente contém (0, ∞) e

  1

  −1

  , σ − (A − ω) ≤ ∀σ > 0. L

  (X) σ

  Fazendo a mudança de variável λ = σ + ω, concluímos que A é um operador linear fechado, densamente definido, com conjunto resolvente contendo (ω, ∞) e

  1

  −1

  , (λ − A) L ≤ ∀λ > ω,

  (X)

  λ − ω como queríamos.

  (ii → i) Assuma agora que A é um operador linear fechado, densa- mente definido, cujo conjunto resolvente contém (ω, ∞) e

  1

  −1

L ,

(X)

  k(λ − A) k ≤ ∀λ > ω.

  λ − ω

  Então A − ω é um operador linear fechado, densamente definido, cujo conjunto resolvente contém (0, ∞) e

  1

  −1

L

  , k(λ − (A − ω)) k (X) ≤ ∀λ > 0. λ

  Aplicando o Lema concluímos que A −ω é o gerador infinitesi- (t) : t

  ω

  mal de um semigrupo fortemente contínuo {T ≥ 0} que satisfaz (t) L

  ω (X) kT k ≤ 1, ∀t ≥ 0.

  ωt

  T (t), para todo t

  ω

  Defina {T (t) : t ≥ 0} por T (t) := e ≥ 0. É fácil ver que {T (t) : t ≥ 0} é um semigrupo fortemente contínuo, que A é seu gerador e que L ωt

  , kT (t)k (X) ≤ e ∀t ≥ 0, como queríamos.

  Um corolário que se apoia nos resultados do teorema de Hille-Yosida e que descreve uma forma mais geral das conclusões obtidas até aqui, é o seguinte. Corolário 1.32 (Forma geral do Teorema de Hille-Yosida). Considere o operador linear A : D(A)

  ⊂ X → X. As seguintes afirmações são equivalentes: i) A é gerador infinitesimal de um semigrupo fortemente contínuo

  {T (t), t ≥ 0}, e existem M > 0 e ω ∈ R, tal que L ωt , kT (t)k (X) ≤ Me ∀t ≥ 0. ii) A é operador linear fechado, densamente definido cujo conjunto resolvente contém (ω,

  ∞), para algum ω ∈ R, e

  −n −n L

  ,

  (X)

  k(λ − A) k ≤ M(λ − ω) ∀λ > ω, n = 1, 2, ..., para algum M > 0. Para o próximo teorema precisamos da definição de operador dis- sipativo, e por isso fazemos algumas construções necessárias. Assuma

  ∗

  então que para o espaço de Banach complexo X, o símbolo X signifi- que seu espaço dual, isto é, n o

  ∗ ∗ ∗ X := x : X é um funcional linear contínuo .

  → C : x

  ∗ ∗ ∗

  Para cada x ∈ X , usaremos o símbolo hx, x i para identificar a ava-

  

liação do operador linear limitado x no elemento x.

  Então considere o conjunto (também conhecido como aplicação du- alidade) F (x), o qual é dado por n o

  2 ∗ ∗ ∗ ∗

  F (x) := x : Re , L = .

  (X,C)

  X

  ∈ X hx, x i = kxk

  X kx k kxk Lema 1.33. F (x) 6= ∅ para todo x ∈ X.

  Demonstração. Se x = 0 é trivial verificar que F (x) 6= ∅. Assuma então que x ∈ X \ {0}. Pelo Teorema de Hahn-Banach (veja existe

  ∗ L

  f = 1. Logo x = f

  X (X,C)

  X

  ∈ X tal que Re hx, fi = kxk e kfk kxk satisfaz

  2

∗ ∗

  Re Re = L ,

  X X (X,C)

  hx, x i = kxk hx, fi = kxk

  X e kxk kx k e portanto F (x) 6= ∅.

  Finalmente podemos definir os operadores dissipativos. Definição 1.34. Um operador A : D(A) ⊂ X → X é dissipativo, se

  ∗ ∗ para todo x ∈ D(A) existe x ∈ F (x) tal que Re hAx, x i ≤ 0.

  A definição de dissipatividade como apresentada acima é bastante interessante, entretanto não muito simples de ser empregada. Sua apli- cabilidade pode ser entendida no seguinte resultado. Teorema 1.35. Seja H um espaço de Hilbert complexo e considere um operador linear A : D(A)

  ⊂ H → H. Se existe λ ∈ ρ(A) ∩ (0, ∞), tal que

  −1 L (1.12) (X)

  k(λ + A)(λ − A) k ≤ 1, então A é dissipativo. Demonstração. Seja x

  ∈ D(A). Se assumirmos que λ ∈ ρ(A) e que vale

  −1

  y = x e então existe y ∈ H tal que (λ − A)

  −1 y .

  H H

  k(λ + A)(λ − A) k ≤ kyk Porém, a desigualdade acima é equivalente a , (1.13)

  H H

  k(λ + A)xk ≤ k(λ − A)xk ,

  H

  e lembrando que H é um espaço de Hilbert com produto interno (·, ·) a desigualdade se reescreve como

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  • 2λRe (x, Ax) |λ|
  • kxk H H kAxk H ≤ |λ| kxk H −2λRe (x, Ax) H kAxk H que é equivalente a Re (x, Ax) ≤ 0.

  H ∗ ∗

  Defina x : H

  H → C por hz, x i = (x, z) , para qualquer z ∈ H. ∗

  Então x ∈ F (x) e

  ∗

  Re = Re (x, Ax) hAx, x i H H ≤ 0, ou seja, A é dissipativo.

  Uma vez que nossos objetivos são um pouco distintos dos objetivos para os quais aplica-se o resultado acima, faremos uma proposição que nos permitirá considerar uma definição mais maleável para operadores dissipativos.

  Proposição 1.36. O operador linear A : D(A) ⊂ X → X é dissipativo se, e somente se,

  

X

X

  k(λ − A)xk ≥ λkxk para todo λ > 0 e x ∈ D(A). Para demonstrar o Teorema de Lumer-Phillips, demonstramos em um primeiro momento a seguinte proposição.

  Proposição 1.37. Seja A : D(A) ⊂ X → X um operador dissipativo. Se Im(λ > 0, então:

  − A) = X, para algum λ i) A é um operador fechado.

ii) Im(λ − A) = X, ∀λ > 0.

  Demonstração. i) Observe que Im(λ − A) = X e a Proposição garantem a desigualdade

  1

  −1

  x ,

  X

  kxk ≥ k(λ − A) k ∀x ∈ X, λ

  −1

  e portanto (λ − A) ∈ L(X).

  ∞ n n

  Para concluir que A é fechado, seja {x } n=1 ⊂ X com x → x e Ax

  n → y, quando n → ∞. Observe que (λ x

  n

  − A)x → λ − y

  

−1

  e portanto da continuidade de (λ , temos que − A)

  −1

  x n (λ x → (λ − A) − y). Finalmente, da unicidade do limite, obtemos que

  −1

  (λ (λ x − A) − y) = x ⇐⇒ y = Ax, como queríamos.

ii) Seja Λ := {λ > 0 : Im(λ − A) = X}. Então

  X Λ

  6= ∅, pois λ ∈ Λ;

  X Λ é aberto em (0,

  ∞). De fato, se λ ∈ Λ, como Im(λ − A) = X e ,

  X X

  k(λ − A)xk ≥ λkxk ∀x ∈ D(A), então

  1

  

−1

  x ,

  X

  kxk ≥ k(λ − A) k ∀x ∈ X, λ

  −1

  ∈ L(X) e (λ − A) é bijetivo. Em outras e portanto (λ − A) palavras, λ ∈ ρ(A) . Porém, como ρ(A) é um conjunto aberto,

  −1

  existe δ > 0 tal que se µ ∈ (λ − δ, λ + δ), então (µ − A) ∈ L(X) e (µ − A) é bijetivo, o que garante que (λ − δ, λ + δ) ⊂ Λ.

  ∞

  X Λ é fechado em (0,

  n

  ∞). Tome λ ∈ Λ e seja {λ } n=1 ⊂ Λ tal que λ

  n

  → λ, quando n → ∞. Como A é um operador fechado, para = y.

  n n n

  cada y ∈ X e n ∈ N, existe x ∈ D(A) tal que (λ − A)x Logo, para todo n, m ∈ N, pela Proposição

  1

  n

  X X

  kx k kyk =

  

n n

  X

  ≤ k(λ − A)x k ≤ C, λ λ λ λ λ

  m n m n m

  para algum C > 0. Com isso,

  1 (x ) )

  n m X m n m n m

  X

  kx − x k ≤ kλ − x − A(x − x k λ

  m

  1 = x ) + (λ x ) + (λ )x

  m m m n n n m n n

  X

  k − (λ − Ax − Ax − λ k λ

  m

  1 = )x

  n m n

  X

  k − y + y + (λ − λ k λ

  m

  = kx

  i − Re hx, x

  ∈ F (x), temos Re hAx, x

  ∗

  i = lim

  t→0 +

  Re T (t)x

  − x t , x

  ∗ .

  Como Re hT (t)x − x, x

  ∗

  i = Re hT (t)x, x

  ∗

  ∗

  Im(λ − A) = X, ∀λ > 0. Agora, para todo x ∈ D(A) e x

  i e |Re hT (t)x, x

  ∗

  i | ≤ kT (t)k L

  

(X)

  kx

  ∗

  k L

  (X,C)

  kxk

  X

  ≤ kxk

  2 X

  

  ≤ 1, então pelo Teorema de Hille-Yosida temos que (0, ∞) ⊂ ρ(A) e como A é fechado

  n

  Como {λ

  k

  X

  λ

  m

  |λ

  n

  − λ

  m

  | ≤ C|λ

  n

  − λ

  m |.

  n

  (X)

  }

  ∞ n=1 é de Cauchy, então {x n

  }

  ∞ n=1

  também é de Cauchy, portanto converge para algum x ∈ X. Assim, Ax n → λx − y, quando n → ∞. Levando em conta que A é fechado obtemos que x ∈ D(A) e (λ − A)x = y, ou seja, λ ∈ Λ. Por fim, da conexidade de (0, ∞) concluímos que Λ = (0, ∞). Teorema 1.38 (Teorema de Lumer-Phillips). Suponha que A é um operador linear densamente definido. i) Se A é o gerador infinitesimal de um semigrupo fortemente con- tínuo

  {T (t) : t ≥ 0} tal que kT (t)k L

  (X) ≤ 1,

  então A é dissipativo e Im(λ − A) = X, para todo λ > 0. ii) Se A é dissipativo e Im(λ

  − A) = X para algum λ > 0, então

  A é gerador de um semigrupo fortemente contínuo {T (t) : t ≥ 0} tal que kT (t)k L

  (X) ≤ 1.

  Demonstração. i) Como A gera um semigrupo fortemente contínuo {T (t), t ≥ 0} com kT (t)k L

  , conclui-se que

  ∗

  Re hT (t)x − x, x i ≤ 0.

  • , temos que

  Dividindo por t > 0 e fazendo o limite quando t → 0 T (t)x

  − x

  ∗ ∗

  • + Re Re , x hAx, x i = lim ≤ 0.

  

t→0 t

  Então Re hAx, x i ≤ 0, ou seja, A é dissipativo. ii) Pela Proposição temos que λ − A é

  −1 injetor e que (λ−A) ∈ L(X) para todo λ > 0, ou seja, (0, ∞) ⊂ ρ(A).

  Mais ainda, a Proposição garante que

  1 X kxk

  −1 −1

  x

  

X x

X = ,

  k(λ − A) k ≤ k(λ − A)(λ − A) k λ λ para todo λ > 0. Logo aplicando o Teorema de Hille-Yosida, o ope- rador A gera um semigrupo fortemente continuo {T (t), t ≥ 0} tal que L

  (X) kT (t)k ≤ 1, para todo t ≥ 0.

1.3 Operadores setoriais

  Nesta seção faremos uma breve introdução à teoria dos semigru- pos analíticos que fazem parte do estudo que descrevemos neste texto. Começamos falando sobre operadores setoriais, dando uma detalhada definição e construção, já que isto facilitará o entendimento dos opera- dores quase setoriais que serão introduzidos adiante.

  Assuma por um momento que A : D(A) ⊂ X → X seja o gerador infinitesimal de um semigrupo fortemente continuo {T (t) : t ≥ 0}, e que ainda satisfaça

  S =

  a,φ

  {λ ∈ C : | arg(λ − a)| ≤ φ} ⊂ ρ(A) e C

  −1 L

  ,

  (X) a,φ

  k(λ − A) k ≤ ∀λ ∈ S \ {a}, |λ − a|

  π

  , π) e algum a para algum φ ∈ ( ∈ R.

  2 Gostaríamos de verificar quais propriedades intrínsicas este opera- π

  2

  , φ) e observe que do fato de dor possui. Para isso, escolha ϕ ∈ (

  a , existe um raio r > 0 tal que B (a)

  a,φ r a,φ

  ∈ S ∪ S ⊂ ρ(A), e portanto B (a)

  r a,ϕ ∪ S ⊂ ρ(A) (veja Figura para um esboço desta situação).

  Figura 1.1: Setor de A Agora, para um N suficientemente grande e um γ > a + r, conside- remos as curvas n h io

  iϕ N

  S a,N,1 := a + te : t r, , ∈ sen

  ϕ

  n h io

  N

−iϕ

  S := a + te : t r, ,

  a,N,2

  ∈ sen

  ϕ it

  θ := : t

  a

  {a + re ∈ [−ϕ, ϕ]},

  N

  β 1,N := , γ] {t + iN : t ∈ [a + tan ϕ },

  N

  β = , γ]

  2,N

  {t − iN : t ∈ [a + },

  tan ϕ

  γ N := {γ + it : t ∈ [−N, N]}, representadas na Figura abaixo

  Figura 1.2: Curvas Retificáveis do Setor

  λt −1

  (λ é Como pelo Corolário sabemos que ρ(A) ∋ λ 7→ e − A) uma função analítica na região que é limitada pela curva

  • S + β + γ ,

  

a,N,1 a a,N,2 2,N N 1,N

  −S − θ − β então pelo Teorema de Cauchy, Z

  λt −1

  e (λ x dλ = 0, − A) ∀x ∈ X.

  • S +β +γ −S a,N,1 −θ a a,N,2 2,N N −β 1,N

  Para justificar a descrição das curvas β e β , observe o esquema

  1,N 2,N descrito pela figura logo abaixo.

  Veja que tan(π − ϕ) = N/l. Logo, − tan ϕ = N/l e assim N l = > 0

  − tan(ϕ)

  π −1

  , π). Se σ = − tan(ϕ) > 0 então l = Nσ. Com isso pois ϕ ∈ (

  2

  dividimos [a − Nσ, γ] em intervalos √ √

  [a N σ] N σ, γ], − Nσ, a − ∪ [a −

  √ já que N < N e N ∈ N. Agora sobre β , se t > 0, temos

  1,N

  Z

  λt −1

  e (λ xdλ − A)

  β 1,N

  X √

  Z

  N σ a− −1 (s+iN )t

  = e (s + iN ) xds − A

  a−Nσ

  Z

  γ −1 (s+iN )t

  • e (s + iN ) xds

  − A

  √ N σ a−

  X √

  Z Z

  N σ γ a− st st

  Ce Ce

  X X

  kxk kxk ds + ds p p

  ≤

  √

  2

  2

  2

  2

  (s + N N σ (s + N

  a−Nσ a−

  − a) − a)

  • Ce

  rt cos ϕ

  é análogo ao de S

  a,N,2

  Assim, como o cálculo da integral sobre S

  2 , π) e portanto cos ϕ < 0 e tan ϕ < 0.

  π

  r , para todo N ∈ N, já que ϕ ∈ (

  X

  e C kxk

  at

  −t cos ϕ ≤ e

  tN/ tan ϕ

  − e

  r e

  , como o cálculo da integral sobre β

  X

  C kxk

  at

  ds = e

  st cos ϕ

  e

  N/senϕ r

  r Z

  X

  C kxk

  at

  s ds ≤ e

  X

  a,N,1

  2,N

  at+st cos ϕ

  −S a,N,2

  xdλ, ∀x ∈ X.

  −1

  (λ − A)

  λt

  e

  γ+iN γ−iN

  Z

  N →∞

  xdλ = lim

  −1

  (λ − A)

  λt

  e

  Z

  é análogo ao de β

  N →∞

  xdλ existe e que vale a identidade lim

  −1

  (λ − A)

  λt

  e

  −S a,N,1 −θ a

  Z

  N →∞

  é compacto e independe de N, concluímos que lim

  a

  e como o caminho θ

  1,N

  kxk

  Ce

  (1.14)

  N σ √ N σ

  e

  at

  = Ce

  X N

  √ N σ) kxk

  (γ − a +

  γt

  ds + Ce

  X N

  kxk

  (a−s)t

  Ce

  Z

  − e

  ds =

  X N

  kxk

  γt

  Ce

  

γ

a−

√ N σ

  ds + Z

  X N

  kxk

  st

  Ce

  a− √ N σ a−Nσ

  ≤ Z

  − √ N σt

  −Nσt

  r

  X

  ≤ Z N/senϕ

  X

  xds

  iϕ

  e

  −1

  − A)

  iϕ

  (a + se

  (a+se )t

  e

  N/senϕ r

  = Z

  xdλ

  kxk

  −1

  (λ − A)

  λt

  e

  S a,N,1

  Agora observe que, para t > 0, vale a desigualdade Z

  que tende a zero, quando N → ∞, ou seja, converge uniformemente em intervalos compactos de (0, ∞).

  X N

  √ N σ) kxk

  (γ − a +

  γt

  tN

  

X

  • S a,N,2
  • β

    2,N

  • γ N −β 1,N
  • θ a
  • S

    a,N,1

Em outras palavras, se S for a fronteira do setor S , orientada

  a a,ϕ

  com parte imaginária crescente, então de obtemos a identidade Z Z

  γ+i∞

  1

  1

  λt λt −1 −1

  e (λ xdλ = e (λ xdλ, (1.15) − A) − A)

  2πi 2πi

  S a γ−i∞ para todo x ∈ X, uniformemente em subconjuntos compactos de (0, ∞).

  Observação 1.39. Vale a pena enfatizar que garante que a transformada inversa de Laplace da função

  −1

  ρ(A) x ∩ {z ∈ C : Rez ≥ γ} ∋ λ 7→ (λ − A) ∈ X, para cada x ∈ X, pode ser expressada como a integral sobre um con- torno de um setor S contido no resolvente de um operador com as

  a,ϕ

  propriedades pedidas no início desta seção (discutimos um pouco mais a transformada de Laplace na Seção

  Nesse ponto já estamos preparados para introduzir as definições e os resultados formais desta teoria. Definição 1.40. Seja A : D(A) ⊂ X → X um operador densamente definido e fechado. A é chamado de operador setorial se existirem constantes a ∈ R, C > 1 e φ ∈ (0, π/2) tal que

  S =

  a,φ

  {λ ∈ C : φ ≤ | arg(λ − a)| ≤ π} ⊂ ρ(A) e C

  −1 L , (X) a,φ

  k(λ − A) k ≤ ∀λ ∈ S \ {a}.

  |λ − a| Se a = 0 chamaremos A de operador setorial positivo e para facilitar a notação, denotaremos S apenas por S .

  0,φ φ

  Observação 1.41. Agora fazemos algumas considerações pertinentes ao nosso estudo: i) A definição acima não está de acordo com os cálculos realizados no início desta seção. Isto deve-se ao fato de que pretendemos tratar de potências fracionárias de operadores setoriais mais adiante, e portanto seguimos as notações utilizadas por Henry em Mais especificamente, se A é setorial, como apresentado na Defi- nição então o operador −A tem exatamente as propriedades mencionadas no início desta seção (veja que S = ).

  a,φ a,π−φ −Γ ii) Existem várias caracterizações equivalentes a formulação de ope- radores setoriais que foi apresentada e desenvolvida aqui; para alguns exemplos, veja o apêndice de Hoppenstadt em no caso de operadores definidos em espa- ços de Hilbert, temos os operadores m−setoriais, no sentido de Kato, que também são setorias em nosso sentido (ver para detalhes).

  Embora uma série de operadores elípticos provenientes de proble- mas de valores de contorno definam operadores setoriais, como pode ser verificado no livro de Friedman em para que a apresentação desta teoria fique mais completa, mostramos abaixo que todo operador limitado é setorial. Exemplo 1.42. Considere A ∈ L(X). Assuma sem perda de genera- L

  = 1. Então A é fechado, D(A) = X e lidade que kAk (X) σ(A) π ⊂ {z ∈ C : |z| < 1} . Afirmamos que Γ

  −2, ⊂ ρ(A). De fato, se existisse ˜t ≥ 0 tal que 6 π i 6

  −2 + ˜te ∈ {z ∈ C : |z| < 1} , então π

  2

  √ √

  2 i 6

  2

  ˜ ˜ < 1

  2 3 t + 3 < 0 t 3 < 0, k − 2 + ˜te k ⇐⇒ ˜t − ⇐⇒ − π o que é um absurdo. Logo a fronteira de Γ está contida em ρ(A),

π

−2, 6 o que nos leva a concluir que Γ −2, ⊂ ρ(A).

6

Por fim, se λ é um elemento de Γ , para algum π/6 < ϕ < π, −2,ϕ então o Corolário garante que

  ∞ n

  X A

  −1

  (λ + 2)(λ = (λ + 2) − A)

  n+1

  λ

  n=0

  e portanto |λ + 2|

  −1 L

  k(λ + 2)(λ − A) k (X) ≤ ≤ C < ∞, L |λ| − kAk (X) ou seja,

  C

  −1 L .

  

(X)

  k(λ − A) k ≤ |λ − (−2)| Abaixo introduzimos os semigrupos analíticos (veja como uma fonte para esta definição). Definição 1.43. Diremos que o semigrupo {T (t) : t ≥ 0} ⊂ L(X) é analítico se satisfizer as propriedades:

i) T (0) = I

  X , T (t)T (s) = T (t + s), para todo t ≥ 0 e s ≥ 0.

  ii) lim + T (t)x = x, para todo x ∈ X.

  t→0

iii) Existe ǫ > 0 tal que, para todo x ∈ X, a aplicação

  [0, ∞) ∋ t → T (t)x ∈ X pode ser continuada analíticamente até {λ 6= 0 : | arg λ| < ǫ}.

  O principal teorema desta seção está vinculado aos cálculos que realizamos anteriormente e que agora são resumidos abaixo. Teorema 1.44. Se A : D(A) ⊂ X → X é um operador setorial, então −A gera um semigrupo fortemente contínuo {T (t) : t ≥ 0} dado por

   Z

  1

  λt −1

    e (λ + A) dλ,

  ∀t > 0, 2πi

  S a,θ

  T (t) := (1.16)

   

  I , t = 0,

  X

  com S a,θ o contorno em ρ( −A) para algum a ∈ R e θ ∈ (π/2, π).

  Além disso, {T (t) : t ≥ 0} é analítico no setor {t 6= 0 : | arg t| < ǫ}, para algum ǫ > 0; Para todo t > 0 temos as estimativas

  M L , L e , −at −at (X) (X) kT (t)k ≤ Me kAT (t)k ≤ t para alguma constante M > 0. Finalmente, para cada x

  ∈ X vale d (1.17)

  T (t)x = −AT (t)x, ∀t > 0. dt

  Demonstração. Assuma que a = 0. Observe que a existência da família de operadores {T (t) : t ≥ 0} ⊂ L(X) dada por é garantida pelos cálculos realizados no início desta seção.

  Pelo teorema de Cauchy, a integral fica inalterada quando o con- torno S é deslocado para a direita a uma pequena distância; chamamos

  θ ′

  este novo contorno de S (esta situação pode ser representada pela Fi-

  θ gura Figura 1.3: Contorno original e deslocado Então para t > 0 e s > 0, usando o Teorema e a analiticidade das funções que integramos, obtemos

  Z Z

  λt µs −2 −1 −1

  T (t)T (s) = (2πi) e (λ + A) e (µ + A) dµdλ

  S S θ θ

  Z Z

  λt+µs

  n o e

  −2 −1 −1

  = (2πi) (λ + A) dµdλ − (µ + A) µ

  S θ S − λ θ

  " # Z Z

  µs

  1 1 e

  λt

−1

  = e (λ + A) dµ dλ 2πi 2πi µ

  

S θ S − λ

θ

  Z Z

  λt

  1 1 e

  µs −1 + e (µ + A) dλ dµ.

  2πi 2πi λ

  S S − µ θ θ

  , pelo Teorema de Cauchy

  θ

  Mas como λ ∈ S e µ ∈ S θ Z Z

  

µs λt

  1 e 1 e

  µt dλ = 0 e dµ = e ,

  2πi µ 2πi λ

  S − λ S θ − µ θ

  o que garante que Z

  1

  µ(t+s) −1

  T (t)T (s) = e (µ + A) dµ = T (t + s), 2πi

  S θ isto é, que {T (t) : t ≥ 0} é um semigrupo.

  É fácil notar que, para valores pequenos de ǫ > 0, as estimativas e convergências feitas no início desta seção continuam válidas no setor {t 6= 0 : | arg t| < ǫ}, portanto o semigrupo é analítico.

  Além disso, fazendo a mudança de variável µ = λt, para t > 0, obtemos Z

  −1

  1 µ dµ L

µ

= e + A ,

  (X)

  kT (t)k ′′ 2πi t t

  S θ L (X) ′′

  com S sendo um caminho deslocado a uma pequena distância do ca-

  θ

  minho original S θ . Mas então, da analiticidade do integrando Z

  −1

  1 µ dµ L µ = e + A

  (X)

  kT (t)k 2πi t t

  S L θ (X)

  Z

  

µ

  e C

  1

  ≤ e |dµ| ≤ M.

  µ

  S θ

  Repetindo o mesmo processo acima, apenas com o adendo de que

  −1 −1

L L

  =

  (X) X (X)

  kA(λ + A) k kI − λ(λ + A) k ≤ 1 + C, obtemos Z

  µ

  f C e M L

  

2

. (X)

  kAT (t)k ≤ |dµ| ≤ t µ t

  S θ

  Provemos que lim T (t)x = x, para todo x +

  t→0

  ∈ X. Considere inicialmente x ∈ D(A) e t > 0. Então Z

  1

  

λt

−1 −1

  T (t)x e (λ + A) xdλ − x = − λ

  2πi

  S θ

  Z

  1

  λt −1 −1

  = λ e A(λ + A) xdλ −

  2πi

  S θ

  e portanto fazendo a mudança de variável µ = λt, temos Z

  −1

  t µ dµ

  µ −1

  = µ e A + A x

  X

  kT (t)x − xk 2πi t t

  S θ

  X Z µ

  e C .

3 X

  ≤ t kAxk |dµ|

  µ

  S θ Em outras palavras, concluímos que lim T (t)x = x. t→0+ Para x ∈ X, da densidade do operador D(A), sabemos que existe

  ∞ n n

  {x } n=1 ⊂ D(A) com x → x, quando n → ∞. Mas então

  X n X n n X n

  X

  kT (t)x − xk ≤ kT (t)x − T (t)x k kT (t)x − x k kx − xk M + 1 , +

  n n X n

  X

  ≤ kT (t)x − x k kx − xk ∀n ∈ N, e portanto

  • + lim sup

  

X M + 1 n

X , kT (t)x − xk ≤ kx − xk ∀n ∈ N. t→0

  Finalmente fazendo n → ∞, deduzimos lim = 0,

  X

  kT (t)x − xk

  • + t→0 como queríamos.

  Neste ponto provamos a igualdade Considere x ∈ X, t > 0 e da analiticidade do integrando, observe que Z d

  1

  λt −1

  T (t)x = e λ(λ + A) xdλ dt 2πi

  S θ

  Z Z

  1

  1

  λt λt −1

  = e A(λ + A) xdλ + e xdλ −

  2πi 2πi

  S S θ θ

  Z

  1

  λt −1

  = e A(λ + A) xdλ −

  2πi

  S θ

  = − AT (t)x. Para verificar que −A é o gerador infinitesimal de {T (t) : t ≥ 0}, procedemos como em outras demonstrações já feitas neste capítulo.

  Para encerrar esta demonstração, apenas observamos que se a 6= 0, então basta escolhermos A := A é um

  a a

  − a e observar agora que A

  a

  operador setorial positivo. Neste caso, como demonstrado acima, −A (t) : t

  a gera um semigrupo analítico {T ≥ 0}.

  Defina então a família de operadores {T (t) : t ≥ 0} ⊂ L(X) por

  −at

  T (t) = e T (t),

  

a

∀t ≥ 0.

  Claramente {T (t) : t ≥ 0} é um semigrupo analítico que tem −A como gerador infinitesimal, já que

  −at

  T (t)x e T (t)x

  a

  − x − x lim = lim

  • + +

  t→0 t t→0 t −at

  e − 1

  = lim T (t)x

  a + t→0 t T a (t)x − x

  • lim +

  t

  t→0

  = − Ax. e satisfaz, para todo t > 0, as estimativas L = T (t) L , −at −at (X) a (X) kT (t)k ke k ≤ Me

  M L L −at −at = T a (t) e , kAT (t)k (X) kAe k (X) ≤ t para alguma constante M > 0. Mais ainda, para cada x ∈ X temos h i d d

  −at

  T (t)x = e T (t)

  

a

  dt dt

  −at −at

  = T (t)x e T (t)x

  a a a

  −ae − A

  −at

  = T (t)x

  

a

  −Ae = −AT (t)x, ∀t > 0.

  Observação 1.45. Antes de finalizarmos esta seção, introduzimos duas sentenças simples que serão úteis mais a frente.

i) Se A : D(A) ⊂ X → X é um operador setorial positivo, então

  π

  , π) tais que S

  δ,θ

  existem δ > 0 e θ ∈ ( ⊂ ρ(−A) e ainda

  2 L e , −δt (X) δ

  kT (t)k ≤ M ∀t > 0, para alguma constante M

  

δ > 0.

ii) Se {T (t) : t ≥ 0} é um semigrupo analítico e o operador linear

  −A : D(A) ⊂ X → X é seu gerador infinitesimal, então A é setorial; veja para mais detalhes.

  

1.4 Potências fracionárias para operadores

setoriais

  O problema de encontrar uma representação adequada para uma potência fracionária de um operador ilimitado é muito interessante e complexo, e nesta seção estudamos a versão desta teoria para operado- res setoriais.

  A potência fracionária de operadores setoriais é muito útil na teoria que trata da existência de soluções para equações diferenciais parciais não lineares de tipo parabólico e na análise do comportamento assin- tótico da solução. Para mais informação veja

  Definição 1.46. Seja A um operador setorial positivo em X e β > 0. Então

  Z

  ∞

  1

  −β β−1

  A := s T (s)ds, Γ(β) com Γ : (0, ∞) → R representando a função Gamma (veja Definição

  para detalhes) e {T (t) : t ≥ 0} o semigrupo analítico gerado por −A. Observação 1.47. Agora levantamos alguns pontos interessantes re- lativos a última definição.

i) Para a completude da teoria, iremos consideramos A = I X .

  −1 ii) Quando β = 1, então A é de fato o operador inverso de A.

  Para verificar isso, tome x ∈ X e note que da Observação Z

  ∞

  1

  −1

  AA x = A T (s)xds Γ(1)

  Z

  

  = AT (s)xds Z

  ∞

  d = T (s)x ds

  − ds h i

  = lim T (r)x − − x

  r→∞ = x.

  Por outro lado, se x ∈ D(A) então novamente pela Observação

1.45 Z

  ∞

  1

  −1

  A Ax = T (s)Axds Γ(1)

  Z

  

  = T (s)Axds Z

  ∞

  d = T (s)x ds

  − ds h i

  = lim T (r)x − − x

  r→∞ = x. Proposição 1.48. Seja A um operador setorial positivo em X. Então

  −β

  para todo β ≥ 0 o operador A ∈ L(X) e é injetor. Além disso, se β e γ são números não negativos, então

  

−β −γ −(β+γ)

A A = A .

  Demonstração. Pela Observação existe δ > 0 tal que L −δt , kT (t)k (X) ≤ Ce ∀t > 0, com {T (t) : t ≥ 0} sendo o semigrupo analítico gerado por −A. Assim,

  Z

  

  1

  −β β−1 −δs

  x

  X s Ce ds

  X

  kA k ≤ kxk Γ(β)

  Z

  

−β

  δ

  β−1 −s

  = s Ce ds

  X

  kxk Γ(β)

  −β

  = Cδ ,

  X

  kxk

  −β

  ou seja, A é limitada. Para β, γ > 0, o Teorema de Fubini garante a igualdade Z Z

  

∞ ∞

  1

  −β −γ β−1 γ−1

  A A = t s T (t + s)dsdt Γ(β)Γ(γ)

  Z Z

  

∞ ∞

  1

  β−1 γ−1

  = t (u T (u)dudt − t)

  Γ(β)Γ(γ)

  

t

  Z Z

  u ∞

  1

  β−1 γ−1

  = t (u dtT (u)du − t)

  Γ(β)Γ(γ) Fazendo a mudança de variável t = ωu, deduzimos que

  Z Z

  1 ∞

  1

  −β −γ β−1 γ−1

  A A = (ωu) (u udωT (u)du − ωu)

  Γ(β)Γ(γ) Z

  

  1  β−1 γ−1

  ω (1 dω Z

  − ω) ∞  

  β+γ−1

    = u T (u)du

    Γ(β)Γ(γ)

  −(β+γ)

  = A , já que (para mais detalhes veja a Proposição Z

  1

  Γ(β)Γ(γ)

  β−1 γ−1 = ω (1 dω.

  − ω) Γ(β + γ)

  −β

  Além disso, se A x = 0, para algum x ∈ X, então para qualquer inteiro n > β,

  −n −(n−β) −β A x = A A x = 0.

−1 −n

  Porém A também é

  é injetor, já que 0 ∈ ρ(A). Sendo assim, A

  −β injetor e portanto x = 0. Em outras palavras, A é injetor. −β

  A construção acima garante que A é um operador bijetor sobre sua imagem, para qualquer A operador setorial. Agora queremos definir um operador que desempenhe o mesmo pa- pel que as potência fracionárias de operadores limitados. Para isso,

  β β

  consideramos β > 0 e definimos A : D(A ) ⊂ X → X, por

  β −β −1

  A = (A ) ,

  β −β

  e D(A ) = Im(A ).

  Na continuação daremos algumas propriedades muito importantes das potências fracionárias dos operadores setoriais. Teorema 1.49. Seja A um operador setorial positivo em X. Então para todos γ, β

  ≥ 0, temos:

  β i) Se β > 0, então A é um operador densamente definido e fechado.

  γ β ii) Se γ ) ).

  ≥ β, então D(A ⊂ D(A

  γ β β γ γ+β γ+β iii) A A = A A = A em D(A ). γ γ γ

  iv) A T (t) = T (t)A em D(A ), para t > 0, com {T (t) : t ≥ 0} sendo o semigrupo analítico gerado por

  −A. Demonstração. i) Pelo item ii), se n é um número inteiro maior que β,

  n β

  então D(A ) ). Mas então, pelo Teorema concluímos que ⊂ D(A

  

∞ m n β β

X = D(A ) ) ) ) = X.

  ∩ m=1 ⊂ D(A ⊂ D(A ⊂ X =⇒ D(A

  β β ∞

  Para verificar que A ) tal que

  n

  é fechado, considere {x } n=1 ⊂ D(A

  β

  x x

  n n

  → x e A → y, quando n → ∞. Como a Proposição garante

  β −β −β

  que A y, ou seja, que x ) e ∈ L(X), deduzimos que x = A ∈ D(A

  β que A x = y, como queríamos.

  γ β

ii) Vamos demonstrar que D(A ) ) com γ

  ⊂ D(A ≥ β ≥ 0. Seja

  γ −γ

  x ) = Im(A ) e suponha que γ = β + ǫ. Então, por defi- ∈ D(A

  −γ

  y. Porém, pela Proposição nição, existe y ∈ X tal que x = A concluímos que h i

  −γ −(β+ǫ) −β −ǫ

  x = A y = A y = A A y ,

  β ).

  isto é, x ∈ D(A

  γ+β

  ), existe y iii) Se x ∈ D(A ∈ X tal que (

  −γ −β

  A A y,

  −(γ+β)

  x = A y = ⇒ x =

  −β −γ

  A A y, sendo que a última implicação é assegurada pela Proposição Mas então deduzimos que

  γ γ −(γ+β) −β

  A x = A A y = A y,

  γ β

  ou seja, que A x ), e que ∈ D(A

  β β −(γ+β) −γ

  A x = A A y = A y,

  β γ

  ou seja, que A x ). Finalmente concluímos que ∈ D(A

  

γ β β γ γ+β

A A x = A A x = A x.

  iv) Se γ = 0 é trivial. Assuma então que γ > 0. Neste caso, para

  γ

  ) vale que todo x ∈ D(A Z

  ∞ γ γ−1

  Γ(γ) T (t)A x = T (t) s T (s)xds Z

  

γ−1

  = s T (t + s)xds Z

  

γ−1

  = s T (s)ds T (t)x

  γ = Γ(γ) A T (t)x .

  Lema 1.50. Se é A um operador setorial positivo e β ∈ (0, 1), então

  

−β 1−β

  A Ax = A x para todo x ∈ D(A).

  1−β −β

  Demonstração. Se x ) = X e A Ax ∈ D(A), como Im(A ∈ X,

  1−β

  ) tal que existe y ∈ D(A

  

−β 1−β

A Ax = A y.

  −(1−β)

  Mas então, ao aplicarmos A em ambos os lados da igualdade acima, pela Proposição obtemos

  

−1 −(1−β) −β −(1−β) 1−β

  x = A Ax = A A Ax = A A y = y, como queríamos. Teorema 1.51. Sejam A um operador setorial positivo e β ∈ (0, 1). Então existe M > 0 tal que

  β β 1−β

  x ,

  X X

  X kA k ≤ MkAxk kxk ∀x ∈ D(A).

  Demonstração. Se γ ∈ (0, 1) e ǫ > 0, então da Observação

  Z ǫ Z

  ∞ −γ γ−1 γ−1

  x + s T (s)xds s T (s)xds

  X

  kΓ(γ)A k ≤

  X ǫ

  X Z Z ǫ ∞

  d

  γ−1 γ−1 −1

  • = s T (s)xds s T (s) A xds ds

  ǫ

  

X

X

  Z ǫ

  γ−1 γ−1 −1

  • = s T (s)xds ǫ T (ǫ)A x

  

X

Z ∞ γ−2 −1

  • ǫ

  (γ T (s)A xds , − 1)s

  X

  e portanto, pelo Teorema temos Z

  

ǫ

−γ γ−1 −1 γ−1

  x s ds + C x ǫ

  X X

  X

  kΓ(γ)A k ≤Ckxk kA k Z

  ∞ −1 γ−2

  • C x (1 ds

  X

  kA k − γ)s

  ǫ γ

  ǫ

  −1 γ−1 X + 2C x X ǫ .

  ≤Ckxk kA k γ

  Como a desigualdade acima vale para todo ǫ > 0 e como o mínimo em ǫ do lado direito da desigualdade ocorre quando

  −1

  x

  X

  kA k ǫ = 2(1 ,

  − γ)

  X

  kxk deduzimos que

  γ −1

  C x

  X

  kA k

  −γ

  x 2(1

  X X

  kΓ(γ)A k ≤kxk − γ) γ

  X

  kxk

  γ−1 −1

  x

  X

  kA k

  −1

  • 2C x

  X 2(1 ,

  kA k − γ)

  X

  kxk e portanto

  γ 1−γ −γ −1

  x X x . kA k ≤ Mkxk kA k

  X X

  Assim, ao tomar γ = 1 − β e trocar x por Ax, obtemos a desigual- dade

  β

−(1−β) 1−β

  Ax ,

  X

  kA k ≤ MkAxk kxk

  X X que pelo Lema nos leva a deduzir a desigualdade desejada.

  Corolário 1.52. Seja A um operador setorial positivo em X e consi- dere β ∈ (0, 1). Então para todo x ∈ X e todo λ no setor do operador

  −A, temos:

  β −1 β−1

  (λ + A) x .

  

X

X

  kA k ≤ C|λ| kxk Demonstração. É uma consequência imediata do Teorema Uma última aplicação que apresentamos nesta seção é a seguinte. Definição 1.53. Seja A um operador setorial positivo em X. Para β

  ≥ 0 definimos o espaço vetorial

  

β β

  X = D(A ), imbuído da norma do gráfico β β = x .

  X

  kxk

  

X kA k

Teorema 1.54. Sejam A um operador setorial positivo em X e β ≥ 0. β Então o espaço X é um espaço de Banach.

  β β ∞

  Demonstração. Seja n de Cauchy na topologia de X .

  {x } n=1 ⊂ X Como sabemos que

  β β β

  x x = ,

  n m X n m

  kA − A k kx − x k

  X

  β ∞

  x é de Cauchy na topologia de X. Da completude

  n

  a sequência {A } n=1 de X, existe y ∈ X tal que

  β lim x = 0.

n

  X

  kA − yk

  n→∞

  Mas então, observe que

  β −β β

  y = x

  n

X n

  X

  kx − A k kA − yk → 0, quando n → ∞. As sentenças acima garantem que toda sequência

  

β β

  de Cauchy em X é convergente, ou seja, que X é um espaço de Banach. Capítulo 2 Cálculo fracionário

  Neste capítulo estudamos alguns conceitos do cálculo fracionário, que são: transformada de Laplace, funções Gamma e Beta, funções de tipo Wright, função de Mainardi, convolução, derivação e integração fracionária, e por último discutiremos um pouco sobre os operadores de Mittag-Leffer. Mais detalhes podem ser encontrados nas referên- cias

  k

  W p,k (S,X)

  ), está denotando o espaço de funções u ∈ L

  p

  (S, X) que possuem as derivadas fracas de ordem menor ou igual que k em L

  p

  (S, X), com norma ku(t)k W p,k

  (S,X)

  =

  X

  p,k

  n=0

  Z

  S

  kD

  n

  u(t) k

  p

  X

  dt ! 1 p

  (S, X), k · k

  X (W

  Começamos definindo algumas funções integráveis em espaços L

  L p (S,X)

  p no sentido de Dunford-Schwartz (veja

  X (L

  p

  (S, X), k · k L p

  (S,X)

  ), para (1 ≤ p < ∞), denota o conjunto de todas as funções mensuráveis de S ⊂ R em X tal que ku(t)k

  p

  X

  é integrável em S e sua norma é dada por ku(t)k

  = Z

  ( e S, X) para todo compacto e S contido em S ⊂ R. Estas funções são chamadas funções localmente integrável.

  S

  ku(t)k

  p

  X

  dt 1 p .

  X L

  p loc

  (S, X), para (1 ≤ p < ∞), denota o espaço de funções que pertencem a L

  p

  , se 1 ≤ p < ∞. X C(S, X) denota o espaço das funções contínuas de S ⊂ R em X.

  Quando S é compacto definimos a norma = sup X . ku(t)k C(S,X) ku(t)k

  t∈S

2.1 Pré-requisitos

  Neste ponto recordamos alguns princípios e algumas funções especi- ais. Também estudamos as definições de derivada e integral fracionária junto com suas propriedades básicas mais importantes.

2.1.1 Transformada de Laplace

  A transformada de Laplace é um operador linear muito útil para es- tudar soluções de equações diferenciais, pois através desta ferramenta podemos converter equações diferenciais lineares em equações algébri- cas que, em geral, são mais fáceis de resolver.

  Para estudar tal operador, primeiro introduzimos alguns conceitos e resultados. Definição 2.1. Uma função f : [0, ∞) → X é dita ser de tipo expo- nencial, se existem t , M > 0 e γ

  ∈ R tal que

  γt X ,

  kf(t)k ≤ Me . para todo t ≥ t Proposição 2.2. Se f : [0, ∞) → X é uma função localmente integrá- vel e de tipo exponencial, então existe γ > 0 tal que

  Z

  ∞ −λt

  e f (t) dt < ∞, para Re λ > γ.

  Demonstração. Como f é de tipo exponencial, existem t , M > 0 e γ

  ∈ R tal que

  γt X ,

  kf(t)k ≤ Me . para todo t ≥ t

  Então Z Z Z

  t ∞ ∞ −λt −λt −λt

  e f (t) dt e f (t) dt e f (t) dt ≤

  • t

  X X

  X Z Z

  t ∞ −Reλt −(Re λ−γ)t

  e dt + e dt ≤ kf(t)k

  X t

  Z t

  −(Re λ−γ)t

  e

  |Reλ|t

  dt + < ≤e kf(t)k X ∞.

  Re λ − γ Neste ponto podemos definir o objeto central deste estudo inicial.

  Definição 2.3. Seja f : [0, ∞) → R uma função localmente integrável e de tipo exponencial. A transformada de Laplace de f com λ ∈ R é dada por

  Z

  

−λt

  L e f (t) d = ˆ f (λ), (2.1) {f(t)}(λ) := sempre que a integral acima existir.

  Finalmente apresentamos um resultado famoso que nos auxiliará em garantir a invertibilidade da transformada de Laplace. Teorema 2.4 (Teorema de Lerch). Se f : [0, ∞) → R é seccionalmente contínua em [0,

  ∞) e de tipo exponencial, então existe λ ∈ R tal que a transformada de Laplace existe para todo Re λ > λ . Ainda mais, se uma função g : [0,

  ∞) → R seccionalmente contínua em [0, ∞) e de tipo exponencial satisfaz L

  {f(t)}(λ) = L{g(t)}(λ), para todo λ > Re λ , então f = g quase sempre em [0, ∞). Demonstração. Ver para os detalhes.

  Nas condições acima, o operador da transformada de Laplace L é bijetor e contínuo, e portanto podemos definir a transformada inversa de Laplace sobre a imagem do operador L. Teorema 2.5. Seja ˆ f : D( ˆ f )

  ⊂ C → C uma função integrável. Então Z

  c+i∞

  1

  −1 −λt

  ˆ f (t) = L f (λ) e f (λ)dλ, com c > c , { ˆ }(t) =

  2πi

  c−i∞

  com c no semi-plano direito da convergência absoluta da integral da transformada de Laplace .

2.1.2 A função Gamma e a função Beta

  A função Gamma denotada por Γ, e a função Beta denotado por B, são aplicações que estendem o conceito de fatorial aos números com- plexos. Definição 2.6. A função Gamma definida em D(Γ) = C\{0, −1, −2, ...} por

  2

  n!n Γ(z) = lim

  n→∞

  z(1 + z)(2 + z)....(n + z) (ver tem as seguintes propriedades:

  1. Se Rez > 0, Z

  ∞ z−1 −s

  Γ(z) = s e ds.

  2. Se n ∈ N, Γ(n + 1) = n!.

  3. Se z ∈ D(Γ), zΓ(z) = Γ(z + 1). Definição 2.7. A função Beta está definida no domínio D(B), com

2 D(B) = , z ) : Rez > 0, Rez > 0

  1

  2

  1

  2

  {(z ∈ C } por: Z

  1

z

1 z 2 −1 −1

  B(z , z ) = s (1 ds.

  1

  2

  − s) Agora enunciamos a seguinte proposição, para analizar a conexão entre a função Gamma e a função Beta.

  Proposição 2.8. Sejam z , z > 0 e Rez > 0.

  1

  2

  1

  2

  ∈ C tais que Rez Então Γ(z )Γ(z ) = Γ(z + z )B(z , z ).

  1

  2

  

1

  2

  1

  2 Demonstração. Pelas propriedades enunciadas na definição da função

  Gamma, temos Z Z

  ∞ ∞ z z −(t+s) 2 −1 1 −1 Γ(z )Γ(z ) = e t s dtds.

  1

  2

  2

  2 Fazendo a mudança de variável t = x e s = y , obtemos

  Z Z

  ∞ ∞

2

2

  • y ) 2(z 2(z −(x 2 −1) 1 −1)

  Γ(z )Γ(z ) = 4 e x y xydxdy

  1

  2 Z Z ∞ ∞

2

2

  • y ) 2z 2z −(x 2 −1 1 −1 = 4 e x y dxdy.
Por mudança de coordenadas polares, seja x = r cos θ e y = r sen θ. Então

  Z Z

  π/2 ∞ 2 2(z 1 +z 2 2z 2 2z 1 −r )−1 −1 −1

  Γ(z )Γ(z ) = 4 e r dr (cos θ) (senθ) dθ.

  1

  2

  

2

  2 Por a mudança de variáveis: r = w e (cos θ) = w , finalmente

  1

  2

  obtemos Z Z

  1 ∞ 1 z 1 +z

2

z 2 −1 z 1 −w −1 −1

  Γ(z )Γ(z ) = e (w ) dw w (1 ) dw

  1

  2

  1

  1

  2

  2 2 − w

  = Γ(z + z )B(z z ).

  1

  2

  1

  2

2.1.3 A convolução

  A convolução é um operador matemático que transforma duas fun- ções f e g numa terceira função, que mede a área subentendida pela superposição de f numa versão deslocada de g.

  Definição 2.9. Sejam f : R → R e g : R → R duas funções mensurá- veis. A convolução entre f e g é dada por Z

  ∞

  (f f (t ∗ g)(t) = − s)g(s)ds, ∀t ∈ R,

  −∞ sempre que a integral acima existir.

  É importante salientar que, muito embora a convolução esteja defi- nida apenas para funções sobre R, podemos realizar uma manipulação algébrica que nos permitirá fazer novas extenções desta definição.

  Para isso, assuma que T ∈ (0, ∞) e que as funções f : [0, T ] → R f : R e g : [0, T ] → R sejam mensuráveis. Considere então ˜ → R e ˜ g : R

  → R dadas por ( f (t), t

  ∈ [0, T ], ˜ f (t) = caso contrário,

  0, e ( g(t), t

  ∈ [0, T ], ˜ g(t) = 0, caso contrário. Assim, obtemos Z

  t

  ( ˜ f f (t ∗ ˜g)(t) = − s)g(s)ds, ∀t ∈ [0, T ]. A igualdade acima nos induz a seguinte formalização da noção de convolução para funções definidas em intervalos do tipo [0, T ].

  Definição 2.10. Sejam f : [0, T ] → R e g : [0, T ] → R duas funções mensuráveis onde T ∈ (0, ∞). A convolução em [0, T ] entre f e g é dada por

  Z

  t

  (f f (t ∗ g)(t) = − s)g(s)ds, ∀t ∈ [0, T ], sempre que a integral acima existir.

  O tipo de convolução definida acima é comum na teoria de equa- ções integrais de Volterra, e consequentemente, na teoria do cálculo fracionário. Os seguintes resultados são bastante clássicos e podem ser encontrados com maiores detalhes em

  Proposição 2.11. Seja T ∈ (0, ∞) e considere as funções mensuráveis

  f, g : [0, T ] → R e h : [0, T ] → R. Sempre que as integrais existirem, valem as identidades

  1. f ∗ g = g ∗ f;

  2. (f ∗ g) ∗ h = g ∗ (f ∗ h). Teorema 2.12. Sejam f : [0, ∞) → R e g : [0, ∞) → R funções localmente integráveis de tipo exponencial e seja L a transformada de Laplace (definição Então a função f

  ∗g : [0, ∞) → X é localmente integrável de tipo exponencial e L

  {(f ∗ g)(t)}(λ) = L{f(t)}(λ)L{g(t)}(λ), com λ na região de convergência adequada para as duas funções. Observação 2.13. Usando a mesma notação do teorema anterior, po- demos reescrever a igualdade acima da seguinte maneira; suponha que

  L L {f(t)}(λ) = F (λ) e que {g(t)}(λ) = G(λ). Então

  Z t

  −1 −1 −1

  L {F (λ)}(t − s)L {G(λ)}(s)ds = L {F (λ)G(λ)}(t).

2.1.4 Função geral de Mittag-Leffler

  Na continuação daremos a definição da função de Mittag-Leffler e algumas de suas propriedades, dada a sua grande importância nos problemas de cálculo fracionário. Definição 2.14. Sejam α, β > 0. A função geral de Mittag-Leffler E : C

  α,β

  → C é a função analítica definida por Z

  ∞ k λ α−β

  X z 1 λ e

  E (z) = = dλ,

  α,β α

  Γ(αk + β) 2πi λ

  γ

  − z

  k=0

  com γ uma curva que começa e termina em −∞ e envolve o disco

  1/α no sentido anti-horário.

  |λ| ≤ |z| Note que:

  X Se β = 1 obtemos a função de Mittag-Leffler, a qual é denotada por: E (z) = E (z).

  α α,1

  X Se α = β = 1, obtemos:

  z E α,β (z) = E 1,1 (z) = e .

  X Para α = 2 e β = 1, temos:

  ∞ ∞ 2 k k 2k

  X X ( ) ( z

  −z −1)

  2

2 E ( ) = E ( ) = = = cos z.

  α,β 2,1

  −z −z Γ(2k + 1) 2k!

  k=0 k=0

  X quando

  α,β

  Para α ∈ (0, 1) e β > 0, a expansão assintótica de E |z| → ∞, é dada por:

   1/α

  1

  1 z (1−β)/α

   z e + ǫ (z), πα,

  α,β

   para | arg(z)| ≤

  α

  2 E (z) = α,β

  

  1

   ǫ (z), para α)π,

  α,β

  | arg(−z)| < (1 −

  2

  (2.2) com

  N −1 −n

  X z

  −N

  ǫ (z) = + O( ), quando z

  α,β − |z| → ∞.

  Γ(β − αn)

  n=1

  (veja para detalhes no comportamento assintótico destas funções).

  X Finalmente, para α ∈ (0, 1], quando consideramos a função de Mittag-Leffler restrita a reta real, temos a Figura que es- boça razoavelmente a diferença de comportamento desta família de funções.

  Figura 2.1: Função de Mittag-Leffler - E (t)

  α

  Por último, enunciamos a versão fracionária do Teorema de Gronwall que é muito importante em nossa teoria. Teorema 2.15 (Versão fracionária da desigualdade de Gronwall). Seja b

  ≥ 0, α > 0 e l : [0, ∞) → R uma função não negativa e localmente integrável em [0, T ). Assuma que u : [0, ∞] → R é uma função não negativa e localmente integrável em [0, T ) que satisfaz

  Z t

  α−1 u(t) (t u(s)ds.

  ≤ l(t) + b − s) Então vale que

  Z

  t α α−1

  u(t) (t E α,α (bΓ(α)(t )l(s)ds, ≤ l(t) + bΓ(α) − s) − s) ∀t ∈ [0, T ]. Demonstração. Veja para os detalhes desta demonstração.

2.1.5 A função de tipo Wright

  Para o estudo do cálculo fracionário, uma função muito importante é a função de tipo Wright, cuja transformada de Laplace é a função geral de Mittag-Leffer. Ela aparece de forma natural quando trabalha- mos com a EDP fracionária homogênea e será usada frequentemente. Daremos algumas propriedades importantes destas funções, mas para um estudo mais profundo veja

  Definição 2.16. Sejam λ > −1 e µ ∈ C. A função de tipo Wright, denotada por W (z), é dada pela representação em serie complexa e

  λ,µ

  convergente em todo o plano complexo

  ∞ n

  X z W (z) = .

  λ,µ

  n!Γ(λn + µ)

  n=0

  Na literatura podemos encontrar um caso particular das funções de tipo Wright, o qual desempenha um papel muito importante no cál- culo fracionário; esta função é chamada de função M−Wright, ou como também é conhecida, função de Mainardi. Esse conceito foi sugerido por F. Mainardi em

  Abaixo fazemos uma definição formal desta função e apresentamos algumas de suas propriedades importantes.

  : C

  α

  Definição 2.17. Se α ∈ (0, 1), a função de Mainardi M → C é dada por M (z) = W (

  α −α,1−α −z),

  ou mais especificamente,

  ∞ n

  X (

  −z) M α (z) = . n! Γ(1

  − α − αn)

  n=0

  Proposição 2.18. Sejam α ∈ (0, 1), −1 < r < ∞, λ > 0 e z ∈ C. A função de Mainardi M α (z) tem as seguintes propriedades: i) M (t)

  α ≥ 0, para todo t ≥ 0.

  R

  ∞ Γ(r+1) r

  ii) t M (t)dt = .

  α Γ(αr+1)

iii) L α (t) α,α ( {αtM }(z) = E −z).

  iv) L (t) (

  α α {M }(z) = E −z). α −(1+α) −α −λ v) L M (t ) .

  α

  {αt }(λ) = e Demonstração. Como a demonstração deste resultado é bastante téc- nica e foge do escopo deste estudo, sugerimos as literaturas como textos suplementares.

  

2.2 Derivada e integral de ordem fracioná-

ria

  Nesta seção estudamos os operadores de integração e derivação do cálculo fracionário dados por Caputo, Liouville e Riemann. Seja X um espaço de Banach, b ∈ (0, ∞) e considere o operador de

  1

  integração I : L (0, b; X) → C([0, b], X) dado por

  Z t I(f )(t) = f (s)ds, ∀t ∈ [0, b].

  Note que na n-ésima iteração, a integral da função f é dada por Z t

  1

  n n−1

  (I f )(t) = (t f (r)dr, − r) ∀t ∈ [0, b].

  (n − 1)!

  De forma mais geral, podemos reescrever a igualdade acima da se- guinte maneira Z

  t

  1

  n n−1

  (I f )(t) = (t f (r)dr, − r) ∀t ∈ [0, b].

  Γ(n) Assim, a integração fracionária de f, com ordem α > 0, pode ser dada pela seguinte extrapolação do conceito acima

  Z

  t

  1

  α

α−1

  (I f )(t) = (t f (r)dr, (2.3) − r) ∀t ∈ [0, b].

  Γ(α) Introduzimos então uma função bastante útil para descrever a inte- gral fracionária como uma convolução.

  Definição 2.19. Sejam α > 0 e g : R

  

α

  → [0, ∞) dada por 

  1 

  α−1

   t , t > 0, Γ(α) g (t) =

  α

   

  0, t ≤ 0. A definição acima nos permite representar a fórmula integral

  1

  (0, b; X). Basta como uma convolução, sempre que α ∈ (0, 1) e f ∈ L assumir que f ≡ 0, para t < 0, e notar que

  Z

  t

  f (t) = g (t

  α α

  ∗ g − s)f(s)ds, quase sempre em [0, b]. Agora estamos prontos para definir derivação e integração fracionária.

  1

  (0, b; X), a integral Definição 2.20. Se α ∈ (0, 1), b > 0 e f ∈ L

  α

  fracionária de Riemann-Liouville de ordem α, denotada por J f (t), é

  t

  dada por

  α

  J f (t) = (g

  α

t ∗ f)(t), quase sempre em [0, b].

  Definimos J f (t) = f (t), quase sempre em [0, b].

  t

  Abaixo demonstramos uma propriedade interessante do operador linear dado pela integral de Riemann-Liouville. Teorema 2.21. Sejam α ∈ (0, 1) e b > 0. O operador integral fracio- nário de Riemann-Liouville de ordem α dado por

  α

  1

  1 J : L (0, b; X) (0, b; X) t → L

  Z

  t

  1

  α−1

  f (t) (t f (s)ds 7→ − s)

  Γ(α) é um operador linear limitado.

  α 1 1 Demonstração. Vamos provar que f (t) , t L (0,b;X) L (0,b;X)

  kJ k ≤ Ckfk

  1 (0, b; X).

  para todo f ∈ L Para isso, note que

  Z

  

t

  1

  α 1 α−1

  f (t) = (t f (s)ds

  L (0,b;X)

  kJ t k − s) Γ(α) 1 L (0,b;X)

  Z Z

  b t

  1

  α−1

  = (t f (s)ds dt − s)

  Γ(α)

  X Z Z b t

  1

  α−1

  (t ds dt ≤ − s) kf(s)k

  X

  Γ(α) Z

  b

  1

  α

  = (b ds, − s) kf(s)k

  X

  Γ(α + 1) onde para a última igualdade utilizamos o Teorema de Fubini. Logo usando a Desigualdade de Cauchy-Schwarz, obtemos

  1

  α α 1 ∞ 1

  f (t)

  L (0,b;X) L (0,b;R) L (0,b;X)

  kJ t k ≤ k(b − s) k kfk Γ(α + 1) 1

  , ≤ Ckfk L (0,b;X) e portanto a integral fracionária de Riemann-Liouville define um ope-

  1 rador linear limitado em L(L (0, b; X)).

  1

  (0, b; X) satisfazendo Definição 2.22. Sejam α ∈ (0, 1), b > 0 e f ∈ L

  1,1

  f (0, b; X). A derivada fracionária de Riemann-Liouville ∗ g 1−α ∈ W

  α

  de ordem α, denotada por D f (t), é dada por

  t α

  1

  1 1−α

  D f (t) = D J f (t) = D (g

  

t t t t 1−α ∗ f)(t),

1 d

  quase sempre em [0, b], com D a derivada fraca. Explicita- =

  t dt

  mente, temos: Z

  t

  d

  1

  α −α

  D f (t) = (t f (s)ds ,

  t − s)

  dt Γ(1 − α) quase sempre em [0, b].

  Observação 2.23. A derivada fracionária de Riemann-Liouville de uma constante é dada por

  −α

  t

  α D c = c . t

  Γ(1 − α)

  Note que temos um comportamento singular em zero, além de que a derivada de uma constante não é necessariamente nula. Michele Ca- puto, em 1969, propôs a derivada fracionária de Caputo que trata deste problema.

  Definição 2.24. Sejam α ∈ (0, 1), b > 0 e a função f ∈ C([0, b]; X)

  1,1

  (I; X). Então a derivada fracionária de Caputo de com f ∗ g 1−α ∈ W

  α

  ordem α é denotada por D , e definida por

  c t α α D f (t) := D f (t) . c

t t − f(0)

  Abaixo descrevemos alguns resultados relevantes sobre os operado- res integrais e diferenciais apresentados até o momento.

  1

  ([0, b], X), temos Proposição 2.25. Se f ∈ C

  Z t

  1

  α 1−α ′ −α ′

  D f (t) := J f (t) = (t f (s)ds.

  c t t − s)

  Γ(1 − α)

  Demonstração. De fato, note que

  α α

  D f (t) = D f (t)

  c t t − f(0)

  Z

  

t

  1

  1 −α

  = D (t f (s) ds

  t − s) − f(0)

  Γ(1 − α) Como f é diferenciável e C

  1

  α t

  (0, b; X) tal que f = J

  1

  Além disso, se existe uma função φ ∈ L

  f (s)) | s=0 .

  1−α s

  (J

  α−1

  1 Γ(α) t

  f (t) = f (t) −

  D

  φ(t), então J

  α t

  (0, b; X), então J

  1−α ∗ f ∈ W 1,1

  (0, b; X) e g

  1

  iii) Se f ∈ L

  1 (0, b; X).

  f (t) = f (t), para todo f ∈ L

  α t

  J

  α t

  α t

  ii) D

  ∈ C([0, b]; X) satisfazendo g 1−α ∗ f ∈ W

  u(t) = −Au(t), t > 0, u(0) = x

  c D α t

  Considere o problema fracionário de Cauchy

  

2.2.1 Uma introdução aos problemas fracionários

de Cauchy

  f (t) = f (t) − f(0). Demonstração. Para a demonstração deste resultado veja

  α t

  D

  α t c

  ([0, b]; X), te- mos que J

  1,1

  f (t) = f (t). v) Para f

  D

  α t

  J

  

α

t

  D

  c

  (0, b; X) então

  1

  ∈ L

  f (t) = f (t). iv) Se f

  

α

t

  α t

  1 (0, b; X).

  , obtemos que

  1 s

  1

  t

  − α) Z

  1 Γ(1

  1 t

  = D

  f (s) − f(0) ds

  1−α

  (t − s)

  D

  (t − s)

  1 − α−

  1

  t

  − α) Z

  1 Γ(1

  1 t

  f (t) = D

  α t

  D

  c

  1 − α

  1−α

  f (t), para todo f ∈ L

  ′

  α+β t

  f (t) = J

  β t

  J

  α t

  Proposição 2.26. Sejam α, β > 0. Podemos concluir que: i) J

  ′ (t).

  f

  1−α t

  (s)ds := J

  f

  f

  −α

  (t − s)

  − α) Z t

  1 Γ(1

  f (t) =

  α t

  D

  c

  Por fim, aplicando a regra de Leibniz para integrais, obtemos

  ′ (s)ds .

  ∈ X, (2.4)

  α

  D a derivada fracionária de Caputo e A um operador

  c

  com α ∈ (0, 1), t linear limitado em X.

  Para cada x ∈ X, considere τ > 0 e o espaço métrico completo K =

  {u ∈ C([0, τ], X) : u(0) = x} , e defina a aplicação F : K → K por Z

  t

  1

  α−1

  F (u)(t) := x (t Au(s)ds, t − − s) ∈ [0, τ].

  Γ(α) Para quaisquer u, v ∈ K, verificamos que

  Z

  

t

  1

  α−1

  (t ds

  X X

  kF (u)(t) − F (v)(t)k ≤ − s) kAu(s) − Av(s)k Γ(α)

  α

  t L sup . (

  X

  ≤ kAk X) ku(s) − v(s)k Γ(α + 1)

  s∈[0,τ ]

  A desigualdade acima nos auxilia em concluir que

  2

  2

  (u)(t) (v)(t)

  X

  kF − F k Z

  t

  1

  α−1

  (t

  X ds

  ≤ − s) kAF u(s) − AF v(s)k Γ(α)

  2 Z t C([0,τ ];X) L (

  ku(s) − v(s)k kAk

  X) α α−1

  (t s ds ≤ − s)

  Γ(α)Γ(α + 1) e portanto

  2α

  2

  t ( kAk L

  X)

  2

  2 (u)(t) (v)(t) .

  X C([0,τ ];X)

  kF − F k ≤ ku(s) − v(s)k Γ(2α + 1)

  Baseados na desigualdade acima, deduzimos indutivamente que

  

αn n

  t ( kAk L

  X) n n

  (u)(t) (v)(t)

  X C([0,τ ];X)

  kF − F k ≤ ku(s) − v(s)k Γ(αn + 1)

  αn n

  τ ( L kAk

  X)

  ,

  C([0,τ ];X)

  ≤ ku(s) − v(s)k Γ(αn + 1) para t ∈ [0, τ]. Como

  αn n

  |τ| kAk L

  (X)

  → 0, quando n → ∞, Γ(αn + 1) pois sabemos que

  αn n ∞

  X L |τ| kAk (X)

  α L

  = E α ( ), |τ| kAk (X)

  Γ(αn + 1)

  n=0 n

  existe n é contração. Sendo assim, pelo Lema a ∈ N, tal que F aplicação F tem um único ponto fixo. Em outras palavras, existe uma

  única função contínua u : [0, τ ] → X, que satisfaz Z

  t

  1

  α−1

  u(t) = x (t Au(s)ds, − − s) ∀t ∈ [0, τ].

  Γ(α) Como τ > 0 foi escolhido arbitrariamente, da unicidade do ponto fixo de F , podemos deduzir que existe uma única função contínua u :

  [0, ∞) → X, que satisfaz

  Z

  t

  1

  α−1

  u(t) = x (t Au(s)ds, − − s) ∀t ∈ [0, ∞),

  Γ(α)

  1

  ([0, ∞), X) , não e u(0) = x pois u ∈ K. Observando que u(t) ∈ C

  é difícil verificar que esta função é a única solução do problema (veja a Proposição para verificar as ferramentas que garantem essa afirmação).

  Relembrando a Observação como A ∈ L(X), pelo Teorema de Picard–Lindelöf concluímos que esta única solução de é dada por

  ∞ n αn

  X ( t

  −A) u(t) := x, ∀t ≥ 0,

  Γ(αn + 1)

  n=0

  tal que

  ∞ n αn

  X ( t

  −A) = x ku(t)k

  X

  Γ(αn + 1)

  n=0

  X n αn ∞

  t

  X L kAk

  

(X)

  X

  ≤ kxk Γ(αn + 1)

  n=0 α

  = E ( L t ) ,

  α (X)

  X kAk kxk ∀t ≥ 0.

  É por isso que passamos a representar a solução u(t) de por

  α

  u(t) = E ( )x,

  α −At ∀t ≥ 0. Por outro lado, se generalizamos e consideramos o problema de Cauchy

  α

  D u(t) =

  c t −Au(t) + f(t, u(t)), t > 0,

  u(0) = u ∈ X,

  α

  D a derivada fracionária de Caputo, A um operador

  c

  com α ∈ (0, 1), t linear limitado em X e f : [0, ∞) × X → X uma função contínua e localmente Lipschitz na segunda variável, isto é, para cada x

  ∈ X existe uma bola aberta B em X e uma constante L = L (B ) ≥ 0 tal que

  ,

  

X

X

  kf(t, z) − f(t, y)k ≤ L kz − yk para todo z, y ∈ B e t ∈ [0, ∞), somos capazes de verificar ao menos existência e unicidade de solução local, seguindo passos muito similares aos utilizados acima.

  Através de computos mais complexos, os quais serão discutidos no Capítulo ??, podemos ainda mostrar que essa solução local u(t) satisfaz localmente a equação integral

  Z t

  

α α

α−1

  • u(t) = E ( A)u (t E ( A)f (s, u(s))ds,

  α α,α

  −t − s) −(t − s) com

  ∞ n αn

  X ( t

  α −A)

  E ( ) := ,

  α,α −At ∀t ≥ 0.

  Γ(αn + α)

  n=0

2.3 Operadores de Mittag-Leffler

  Nesta seção introduzimos e estudamos a família de operadores de Mittag-Leffler gerados por operadores setoriais (para detalhes sugeri- mos os trabalhos

  Nosso objetivo é adaptar a representação dos semigrupos associados a operadores setoriais a um caso mais geral, isto é, para derivadas fraci- onárias de Caputo de ordem α ∈ (0, 1), e verificar que estes operadores são soluções do problema fracionário de Cauchy.

  Para isto, lembremos que dado ǫ > 0 e θ ∈ (π/2, π), o caminho de Hankel H a = H a (ǫ, θ) é dado por H a = H a + H a a , com H a 1 2 3 i

  − H definidos por

  iθ

  H a := te : t , 1 ∈ [ǫ, ∞)

  it

  H := ǫe : t , (2.5)

  a 2

  ∈ [−θ, θ]

  −iθ

  H := te : t ,

  a

3 ∈ [ǫ, ∞) (veja como referência). Teorema 2.27. Sejam α ∈ (0, 1) e A : D(A) ⊂ X → X um operador setorial positivo. Então, os operadores Z

  1

  α λt α α−1 −1

  E α (

  A) := e λ (λ + A) dλ, t −t ≥ 0,

  2πi

  H a

  e Z

  1−α

  t

  α λt α −1

  E α,α (

  A) := e (λ + A) dλ, t −t ≥ 0,

  2πi

  H a

  com H

  a

  ⊂ ρ(−A) dado por são as funções de Mittag-Leffler, estão

  α

  bem definidos e E (

  A) é fortemente continuo, isto é, para x

  α

  −t ∈ X

  α

  lim ( A)x

  α kE −t − xk = 0. t→0

  Além disso, existe uma constante M > 0 tal que

  α L

  sup (

  A)

  

α (X)

  kE −t k ≤ M

  t≥0

  e

  

α

L

  sup α,α (

  A)

  (X) kE −t k ≤ M. t≥0

  Demonstração. Os passos desta demonstração são similares aos reali- zados na demonstração do Teorema e podem ser encontrados, com todos os seus detalhes, em

  Agora usando a função Mainardi definida na Seção 2.1.4, construí- mos outra fórmula integral para este operador. Teorema 2.28. Consideremos as hipóteses do Teorema Então, podemos reescrever os operadores

  α α α (

  A) : t α,α (

  A) : t {E −t ≥ 0} e {E −t ≥ 0} da seguinte forma:

  Z

  ∞ α α

  E α (

  A) = M α (s)T (st )ds, t −t ≥ 0, e

  Z

  ∞ α α

  E (

  A) = αsM (s)T (st )ds, t

  α,α α

  −t ≥ 0, com {T (t) : t ≥ 0} o semigrupo analítico gerado por −A. (Veja Outro resultado muito importante é a seguinte proposição. Proposição 2.29. Sejam α ∈ (0, 1), λ ∈ R e A : D(A) ⊂ X → X um operador setorial positivo. Então para x ∈ X, temos

  

α α

α−1 −1

  L ( A)x (λ + A) x

  α

  {E −t }(λ) = λ e

  α α

α−1 −1

  L E α,α ( A)x + A) x.

  {t −t }(λ) = (λ Demonstração. A prova das igualdades acima tem um raciocínio simi- lar, por isso nos focaremos apenas na segunda. Seja x ∈ X, e note que pelo Teorema

  Z

  ∞

α α

α−1 −λt α−1

  L E ( A)x e t E ( A)xdt

  α,α α,α

  {t −t }(λ) = −t Z Z

  

∞ ∞

α −λt α−1 = e t αsM α (s)T (st )xds dt.

  −α

  Fazendo a mudança de variável s = ωt e utilizando o Teorema de Fubini, obtemos

  α α−1

  L E ( A)x

  α,α

  {t −t }(λ) Z Z

  ∞ ∞ −λt α−1 −α −α −α

  = e t αωt M (ωt )T (ω)xt dω dt

  α

  Z Z

  ∞ ∞ −(1+α) −α −λt

  = ω αt M (ωt )e dt T (ω)xdω.

  α 1/α

  Agora, seja t = τ ω em H, com Z

  ∞ −(1+α) −α −λt

  αt M (ωt )e dt . H = α

  Pelo item v) da Proposição Z

  ∞ 1/α 1/α 1/α ) 1/α −(1+α) −α −λ(τ ω

  α(τ ω ) M (ω(τ ω ) )e ω dτ H = α

  Z

  ∞ 1/α )τ −1 −(1+α) −α −(λω

  = ω ατ M (τ )e dτ α α ω

  −1 −λ = ω e .

  Portanto pelo item iv) do Teorema temos Z

  

α α ω α

α−1 −λ −1

L E ( A)x e T (ω)xdω = (λ + A) x.

  α,α

  {t −t }(λ) = Teorema 2.30. Consideremos as hipóteses do Teorema Então,

  α

  para x (t A)x é analítica para t

  α

  ∈ X a função E ≥ 0 e é a única solução de

  α α α

c D E α ( A)x = α ( A)x, t > 0.

t −t −AE −t

  Demonstração. Seja x ∈ X e definamos

  α ν(t) = E ( A)x.

α

  −t Da Definição e da analiticidade desta função, temos

  α 1−α ′ ′

  D ν(t) = J ν (t) = g (t).

  c

t t 1−α ∗ ν

  Note que o Teorema garante condições para que ν (t) esteja definido como: Z

  1

  λt α α

′ −1

  ν (t) = e λ (λ + A) dλ, 2πi

  H a

  (t) convergente tal que kν k ≤ C. Consequentemente, deduzimos a igualdade

  α ′

  L D ν(t) (t)

  c

  { t }(λ) = L{g 1−α ∗ ν }(λ)

  ′

  = L (t) (t) {g 1−α }(λ)L{ν }(λ) para Reλ > 0. Usando as propriedades da transformada de Laplace temos

  Z Z

  ∞ ∞

  1

  −λt −λt −α

  L (t) e g (t)dt = e t dt, {g 1−α } = 1−α

  Γ(1 − α) fazendo s = λt, obtemos

  Z

  ∞

  1

  −s −α α−1

  L (t) e s λ ds {g 1−α } =

  Γ(1 − α)

  Z

  α−1 ∞

  λ

  −s −α

  = e s ds Γ(1

  − α) Z

  ∞ α−1

  λ

  −s (1−α)−1

  = e s ds Γ(1

  − α)

  α−1

  λ = Γ(1

  − α) Γ(1

  − α)

  α−1 = λ . Logo,

  α α−1

  L D ν(t) λ [λL

  c { t }(λ) = {ν(t)}(λ) − ν(0)] .

  Pela Proposição conhecemos L{ν(t)}(λ), logo para Reλ > 0

  α α 2α−1 −1 α−1

  L c D ν(t) (λ + A) x x.

  { t }(λ) = λ − λ Por outro lado, A é um operador fechado e portanto a Proposição

  garante, para Reλ > 0, que

  α α−1 −1

  L λ (λ + A) x .

  {−Aν(t)}(λ) = −AL{ν(t)}(λ) = A Agora usando

  α α α −1 −1

  A(λ + A) x = x (λ + A) x, − λ concluímos que

  α 2α−1 −1 α−1

  L (λ + A) x x, {−Aν(t)}(λ) = λ − λ para Reλ > 0, e pelo Teorema a prova fica completa.

  Corolário 2.31. Sejam A : D(A) ⊂ X → X um operador setorial positivo e f : [0, ∞) × X → X uma função contínua e localmente

  Lipschitz na segunda variável, isto é, para cada x ∈ X, existe uma bola aberta B em X e uma constante L = L (B )

  ≥ 0 tal que kf(t, z) − f(t, y)k ≤ L kz − yk, para todo z, y e t > 0 e uma única

  ∈ B ∈ [0, ∞). Então, existe t função contínua u : [0, t ] → X que satisfaz

  Z t

  α α α−1

  • u(t) = E ( A)u (t E ( A)f (s, u(s))ds, (2.6)

  α α,α

  −t −s) −(t−s) para todo t ], ou seja, u(t) é a única solução local do problema ∈ [0, t fracionário de Cauchy

  α

  D u(t) =

  c t −Au(t) + f(t, u(t)), t > 0,

  (2.7) u(0) = u ∈ X.

  Demonstração. Para detalhes desta prova veja Observação 2.32. i) Embora esta seção tenha discutido de ma- neira breve as soluções locais para os problemas fracionários de Cauchy do tipo no Capítulo 3 abordaremos um pouco mais este assunto, porém devotados ao caso de operadores quase seto- riais.

ii) Vale a pena enfatizar que as funções que satisfazem a fórmula integral (2.6) são chamadas de soluções mild do problema (2.7).

  Para complementar e finalizar a discussão introduzida nesta seção, apresentamos um resultado que faz estimativas das famílias de opera-

  β

  dores de Mittag-Leffler no espaço das potências fracionárias X , com β ≥ 0, que foram definidos anteriormente.

  Teorema 2.33. Considere α ∈ (0, 1), 0 ≤ β ≤ 1, e suponha que o operador A : D(A) ⊂ X → X seja setorial. Então, existe uma constante M > 0 tal que

  α

β

−αβ

  ( A)x ,

  α

  X X

  kE −t k ≤ Mt kxk e

  α

β

−αβ

  ( A)x ,

  α,α

  X

  kE −t k

  X ≤ Mt kxk para todo t > 0.

  Demonstração. Temos que Z

  β

  A

  α λt α β α−1 −1 α ( A)x = e λ (λ + A) xdλ .

  kE −t k

  X

  2πi

  

H

a

  X Então, como A é um operador fechado, concluímos que α β

  ( A)x

  α

  kE −t k

  X Z

  1

  

λt β α

α−1 −1

  = e λ A (λ + A) xdλ 2πi

  H a

  X Z −α

  t

  −1

µ β α

α−1 = e µ A (µ/t) + A xdµ .

  2π

  H a

  X A última igualdade segue da mudança de variável µ = λt.

  Portanto, Z

  −α

  t

  −1 α Reµ β α β α−1

  ( A)x e (µ/t) + A x dµ

  α

  X X

  kE −t k ≤ |µ| kA k 2π

  H a e pelo Corolário Z

  α Reµ β −αβ α(β−1) α ( A)x C e d X .

  kE −t k

  X ≤ t |µ| |µ| kxk H a

  Note que escolhendo M > 0 tal que Z C

  Reλ α(β−1)

  e d |λ| |λ| ≤ M,

  2π

  H a

  concluímos a demonstração deste resultado. De forma análoga pode-se demonstrar a segunda estimativa. Capítulo 3 Problemas fracionários com operadores quase setoriais

  Faz aproximadamente 50 anos que os operadores setoriais come- çaram a ser estudados extensivamente. Muitos operadores diferenci- ais elípticos importantes pertencem à classe de operadores setoriais (veja para mais detalhes), especialmente quando são considerados

  p

  nos espaços de Lebesgue (por exemplo em L ). No entanto, se conside- rarmos espaços de funções mais regulares, como o espaço das funções Hölder contínuas, então esses operadores elípticos, em geral, contêm um setor em seu resolvente, mas não a estimativa requisitada e portanto não são operadores setoriais (para uma descrição mais completa destes fatos, veja

  Também temos problemas como o exposto na introdução desta dis- sertação, em que temos um domínio em que os operadores são setoriais mas quando estudamos o problema limite, perdemos esta caracteriza- ção. Neste caso conseguimos construir uma nova classe de operadores que ainda assim geram semigrupos.

  É por isso que dedicamos este capítulo a estudar esses operadores e os respectivos problemas fracionários de Cauchy associados a eles (a principal referência para este assunto é o artigo de Wang-Chen-Xiao em

  ∞

3.1 Uma introdução ao cálculo funcional H

  Começamos fazendo uma rápida descrição de algumas classes de funções que são abordadas por Cowling-Doust-McIntosh-Yagi, Markus, McIntosh e Periago-Straub nos respectivos

  Para φ ∈ (0, π/2), considere o setor aberto S =

  

φ {z ∈ C\{0} : | arg z| < φ},

  e defina S = S . Denote ainda

  φ φ

  H(S ) :=

  φ {f : S φ → C : f é holomorfo} ∞

  e H (S ) := ) : f é limitada φ {f ∈ H(S φ }. e ψ

  n

  Em C\{−1} consideramos as funções ϕ , para n ∈ N ∪ {0}, dadas por 1 z

  ϕ (z) := e ψ (z) := ,

  n n

  1 + z (1 + z) e definimos o conjunto ( ) f (z)

  Ψ (S ) := f ) : sup ,

  φ ∈ H(S φ

  < ∞ ϕ (z)

  z∈S φ

  e, para −1 < γ < 0 e s < 0, o conjunto ( )

  γ s

  Ψ (S ) := f ) : sup (z)f (z) ,

  

s φ ∈ H(S φ |ψ n | < ∞

z∈S φ

  com n o menor dos inteiros tal que n ≥ 2 e γ + 1 < −(n − 1)s. Observação 3.1. Para auxiliar na caracterização dos espaços Ψ (S )

  φ γ

  e Ψ (S ), ressaltamos que:

  s φ

  temos a estimativa i) Como φ ∈ (0, π/2), para todo z ∈ S φ arg z

  −i

2

  |1 + z| =|e | |1 + z| arg z

  −i

2

  = (1 + z) |e | arg z arg z

  i −i

  = 2 2 |e |z|e |

  • arg z arg z
  • ≥ cos |z| cos

  2

  2

  ∈ N tal que n ≥ 2 e γ + 1 < −(n − 1)s. Demonstração. A demonstração deste resultado, embora similar as jus- tificativas feitas na Observação podem ser encontradas com deta- lhes em

  φ

  ) = f ∈ H(S φ

  φ

  ) e F (S

  φ

  (S

  ) ∪ Ψ

  (S

  k n ∈ F γ

  γ s

  Ψ

  s<0

  ) = [

  φ

  (S

  γ

  ) : existem k, n ∈ N, tais que fψ

  (S

  , para todo z ∈ S φ . Defina então os conjuntos

  , ∀z ∈ S φ

  ), para todo r − k ≤ s < 0 e n

  φ

  (S

  k n ∈ Ψ

γ

s

  ∈ N com k > r, obtemos que f ψ

  ∈ H(S φ ) e satisfaz , então tomando k

  . (3.2) Por outro lado, se f

  r

  φ ) .

  −r

  |z|

  φ

  > 0 tais que |f(z)| ≤ K

  φ

  ), então existem constan- tes r, K

  As definições acima nos permitem enunciar o seguinte resultado. Proposição 3.2. Se φ ∈ (0, π/2) e f ∈ F (S φ

  F

  ns

  = cos arg z

  φ (1 +

  φ

  ≤ M

  ) e vale então f (z) ϕ (z)

  . (3.1) Por outro lado, se f ∈ H(S φ

  , ∀z ∈ S φ

  −1

  |z|)

  > 0 tal que |f(z)| ≤ M

  < ∞, ∀z ∈ S

  φ

  ), então existe M

  φ

  Portanto se f ∈ Ψ (S

  2 (1 + |z|).

  ≥ cos φ

  2 (1 + |z|)

  |1 + z| 1 + |z|

  φ .

  (1 + |z|)

  (S

  −s

  |z|

  

φ

  > 0 tal que |f(z)| ≤ M

  φ

  ) se, e somente se, existe uma constante M

  φ

  γ s

  Em outras palavras, Ψ (S

  ) pertence ao conjunto Ψ

  ii) Através de uma justificativa análoga a feita acima, uma função f ∈ H(S φ

  φ > 0 tal que é válida.

  ) para as quais existe M

  φ

  ) contém todas as funções de H(S

  φ

  • |z|

  ∞

  Da proposição acima concluímos que H (S ) ). Pela defi-

  φ ⊂ F (S φ γ

  nição de F (S ) temos que F (S ) ) e pela definição de F (S ) ⊂ H(S

  φ φ φ φ γ ∞

  temos que F (S ) (S ). Assim as classes de funções apresenta-

  φ ⊂ H φ

  das satisfazem a cadeia de inclusões

  γ ∞

  F (S ) (S ) ) ).

  φ ⊂ H φ ⊂ F (S φ ⊂ H(S φ

  Neste ponto estamos preparados para introduzir os operadores quase setoriais, os quais temos citado durante toda esta dissertação.

  π

  . Denotamos por Definição 3.3. Sejam −1 < γ < 0 e 0 < φ <

  2 γ

  Θ (X) a família de todos os operadores fechados A : D(A)

  φ

  ⊂ X → X que satisfazem

  φ

  i) σ(A) ⊂ S \ {0}, e > 0

  µ

  ii) para todo φ < µ < π com µ ∈ (φ, π) existe uma constante C tal que

  γ −1

  , .

  µ µ

  k(z − A) k ≤ C |z| ∀z ∈ C \ S O operador linear A é chamado de operador quase setorial em X se

  γ A (X). ω

  ∈ Θ Fica claro que a definição de operador quase setorial difere razoável- mente da definição de operador setorial positivo apresentada na Seção

  e por isso julgamos necessário fazer duas considerações. Observação 3.4. i) O domínio do operador A não precisa ser denso em X, como acontece no caso de operadores de tipo setorial. Esta

  é uma diferença bastante relevante, porém para termos uma teoria satisfatória de potências fracionárias complexas para os operado- res quase setoriais, necessitamos supor a densidade do domínio do operador. No nosso caso, como estamos apenas preocupados com potências fracionárias reais, não existe esta limitação (veja para mais detalhes).

  Existem alguns estudos mais completos sobre potências fracioná- rias complexas para operadores que não possuem domínio denso como exemplos ii) A estimativa do operador resolvente é “pior” no caso de operadores quase setoriais do que no caso de operadores setoriais, e este fato levará a implicações interessantes sobre o semigrupo gerado pelo operador quase setorial.

  • i(1 + t

  2(1 + t

  1 + i 2(1 + t

  2

  )

  2

  2(1 + t

  4+2γ

  ) −t

  2

  1 − i

  )      

  (t) =      

  −1

  com q

  −1 f.

  7→ q

  X −→ D(A) f

  :

  −1

  2

  , ∀t ∈ R, ou seja, A

  → y com y ∈ X então x ∈ D(A) e Ax = y. Porém, note que A é inversível, com

  ≤ kA

  −xk

  n

  kx

  X +

  k

  n

  y −x

  −1

  X

  −1

  −xk

  

n +x n

  y −x

  −1

  kA

  X =

  y −xk

  −1

  ∈ L(X). Mas então para todo n ∈ N temos kA

  A

  n

  Para a completude deste estudo, incluímos um exemplo de um ope- rador quase setorial que não é setorial. Exemplo 3.5. Considere X = C

  ∈ C ∞ (R, C) tais que f (t) = f

  |f

  t∈R

  := sup

  X

  (t) , ∀t ∈ R. O espaço X munido da norma kfk

  2

  (t), f

  1

  2

  (t) | + sup

  , f

  1

  que se anulam no infinito. Para cada f ∈ X, existem f

  2

  ) o espaço das funções contí- nuas de R em C

  2

  (R, C

  ∞

  1

  t∈R

  → x com x ∈ X e Ax

  2

  n

  ∈ D(A) vamos provar que se x

  n

  X Como q(t) é bastante regular, não é difícil de verificar que A é um operador fechado. De fato, dada a sequência x

  X f 7→ qf.

  ⊂ X −→

  ∀t ∈ R, e defina D(A) := {f ∈ X : qf ∈ X} e o operador linear A : D(A)

  ) ,

  − i(1 + t

  |f

  2

  1 + t

  4+2γ

  ) t

  2

  2

  Fixe γ ∈ (−1, 0), considere a matriz q(t) = 1 + t

  (t) | é um espaço de Banach.

  2

  X , e como

  −1 −1 L

  y ,

  n X (X) n

  X

  kA − x k ≤ kA k ky − Ax k obtemos que

  −1 −1 + y L .

  

X (X) n

X n

  X

  kA − xk ≤ kA k ky − Ax k kx − xk Aplicando limite em ambos os lados, obtemos

  −1

  y = 0,

  X

  kA − xk assim

  

−1

  A y = x, ou seja y(t) = q(t)x(t), para todo t ∈ R.

  X Vale que σ(A) = {x ± ix : x ≥ 1}. Como A é fechado, para verificar que z ∈ σ(A) basta verificar que z − A não é bijetivo.

  Neste caso porém, isto é equivalente a provar que

  4+2γ

  z − a −t det = 0, (3.3) z

  − a

  2

  2 com a = 1 + t + i(1 + t ).

  Agora é equivalente a igualdade

  2

  2

  z = 0, − 2Re(a)z + |a| ou seja, p

  2

  2

  2Re(a) 4[Re(a)] ± − 4|a| z = ,

  2 que por sua vez é equivalente a

  

2

  2 z = 1 + t ).

  ± i(1 + t

  X

  µ

  Se escolhermos µ ∈ (π/4, π/2), então para todo z ∈ C \ S

  −1

  (z − A)

  • i(1 + t

  dz, (3.4) esteja bem definida, para todo θ, µ satisfazendo ω < θ < µ < π. Na integral acima o contorno Γ θ =

  γ ω

  Teorema 3.6. Seja A ∈ Θ

  θ .

  fique à esquerda da curva Γ

  µ

  } está orientado de modo que o conjunto S

  } ∪ {R

  {R

  −1

  γ

  f (z)(z − A)

  Γ θ

  Z

  1 2πi

  ) ∋ f → f(A) ∈ L(X) com f (A) =

  µ

  (S

  γ

  (X) faz com que a aplicação F

  (X) e ω < θ < µ < π. Então para todo f ∈ F

  (S

  Seguindo Periago-Straub, mostramos de maneira breve, que o ope- rador quase setorial A ∈ Θ

  ≤ C

  , com s − γ − 1 > ns.

  s−γ

  |λ|

  ns

  1 + |λ|

  θ

  K

  ˜ θ

  (X)

  µ

  k L

  −1

  o item ii) da Observação garante que kf(λ)(λ − A)

  θ

  ), então para λ ∈ Γ

  η

  (S

  γ s

  ), a integral é absolutamente convergente e define um operador linear limitado em X. Mais ainda, sua definição é indepen- dente da escolha de θ ∈ (ω, µ). Demonstração. Assuma que η ∈ (θ, π) esteja fixado.

  γ ω

  2 ).

  2

  

2

  2

  ) + 2(1 + t

  2

  − 2z(1 + t

  2

  z

  4+2γ

  −t

  )

  π

  2

  ) + 2(1 + t

  2

  − 2z(1 + t

  2

  )] z

  2

  2

  )

  z − [1 + t

  =       z

  2

  e não é um operador setorial. Para evitar redundâncias futuras nos enunciados dos resultados, a partir deste ponto fixamos γ ∈ (−1, 0) e ω ∈ (0,

  γ π/4

  , e como o exponente γ dessa desigualdade não pode ser melhorado, conclui-se que A ∈ Θ

  (X) ≤ C|z| γ

  k L

  

−1

  , e através de cálculos complicados e precisos, deduzimos a existên- cia de C > 0 tal que (veja para os detalhes) k(z − A)

       

  )

  2

  2

  ) + 2(1 + t

  2

  − 2z(1 + t

  2

  )] z

  2

  − i(1 + t

  − [1 + t

  • + e

  • e −iθ

i) Se f ∈ Ψ

  (S ) e λ , o item i) da Observação

  θ

ii) Por outro lado, se f ∈ Ψ η ∈ Γ

  assegura a desigualdade

  γ −1 −1 L ˜ K θ (1 + .

  kf(λ)(λ − A) k (X) ≤ C |λ| |λ|)

  θ

  Em ambos os caso a integração sobre a curva Γ , seguindo cálcu-

  θ

  los já realizados anteriormente nesta dissertação, garantem que é absolutamente convergente e define um operador limitado em X.

  A independência da escolha de θ e µ segue da analiticidade do in- tegrando, que possibilita a troca do caminho que estamos integrando sem a alteração do valor da integral (Teorema de Cauchy).

  Um resultado típico desta teoria diz respeito as propriedades de soma e composição de operadores do tipo f(A), porém para não nos alongarmos mais nesse assunto lateral, apenas o enunciaremos a pro- posição

  γ

  (X) e ω < µ < π. Então para todo Proposição 3.7. Sejam A ∈ Θ ω

  γ

  f, g (S ) e α, β ∈ F µ ∈ C, i) αf (A) + βg(A) = (αf + βg)(A), (f

  ◦ g)(A) = f(A) ◦ g(A). ii) f (A)g(A) ⊂ (fg)(A). iii) f (A)g(A) = (f g)(A), sempre que g(A) é limitado no domínio

  D((f g)(A)) ⊂ D(g(A)). Agora enunciamos um resultado que, de certa forma, melhora a apli- cabilidade do Teorema e nos ajuda a alcançar os objetivos iniciais desta seção.

  γ

  e tome ω < θ < µ < π/2. Assuma que Teorema 3.8. Seja A ∈ Θ ω

  ∞

  f (S ) satisfaz as seguintes condições: ∈ H µ

  −1 i) A função z é absolutamente integrável em Γ .

  θ

  7→ f(z)(z − A)

  iφ

  ii) sup ) |f(re | → 0, quando r → ∞.

  −µ<φ<µ

  Então f (A), como dado em , é um operador linear limitado. (Veja

  −λt

  satisfaz todas as Observe que para cada t > 0, a função λ 7→ e hipóteses do Teorema e portanto podemos definir o operador linear limitado

  Z

  1

  

−λt −λt −1

e (A) := e (λ dλ.

  − A) 2πi

  

Γ

θ Através de uma mudança de variável simples, obtemos a formulação análoga Z

  1

  λt λt −1

  e ( e (λ + A) dλ, −A) :=

  2πi π Γ

ω− π

2 com Γ

  ω− ⊂ ρ(−A), que possui um formato muito similar a equa- 2

  ção integral de um semigrupo gerado por um operador setorial (para maiores detalhes veja o Teorema

  Para formalizar a discussão anterior, temos o seguinte resultado.

  γ

  (X) e θ Teorema 3.9. Se A ∈ Θ w ∈ (ω, π/2), defina a família de π operadores limitados

  {T (t) : t ∈ S }, dado por

2

−ω

Z Z

  1

  1

  λt −1 −λt −1

  T (t) := e (λ + A) dλ = e (λ dλ .

  − A) 2πi 2πi

  Γ −Γ θ θ

  com

  θ −Γ ⊂ ρ(−A) como definido anteriormente.

  Então as seguintes afirmações são verdadeiras n

π

d n i) T (t) é analítica no setor S e n T (t) = ( T (t), com

  −A) π

2

−ω dt . t

  ∈ S 2 −ω π ii) T (s + t) = T (s)T (t) para todo s, t .

  ∈ S 2 −ω

  −γ−1

iii) Existe C = C (γ) > 0 tal que L t , kT (t)k (X) ≤ C ∀t > 0.

  iv) Assuma que Ω ⊂ X denota o conjunto em que lim T (t)x = x.

  t→0

  Então D(A) ⊂ Ω $ X.

  Z

  ∞ −λt

−1

v) Se Re λ > 0, então (λ + A) = e T (t)dt.

  Demonstração. Para a demonstração deste resultado veja Observação 3.10. i) Operadores que possuem as características asseguradas pelo Teorema serão chamados de semigrupos ana- líticos com crescimento de ordem 1 + γ. Originalmente estes se- migrupos foram introduzidos por Da Prato em entretanto a definição utilizada aqui, feita por Periago-Straub em é ligei- ramente diferente uma vez que:

  S

  X O conjunto T (t)X não é necessariamente denso em X.

  t>0

  . Por isso, necessitamos de um resultado auxiliar o qual, devido a tecnicalidade, não demonstraremos aqui.

  β

  γ ω

  em um operador A ∈ Θ

  β

  ∈ F (S µ ). Os resultados que temos até o momento não nos permitem aplicar a função φ

  β

  , então pela Proposição concluímos que φ

  , ∀z ∈ S µ

  −β

  β

  | ≤ |z|

  β (z)

  satisfaz a desigualdade |φ

  Dado µ ∈ (0, π/2), como φ

  X Para cada x ∈ X, a aplicação {t ∈ R : t > 0} ∋ t 7→ T (t)x ∈ X é analítica e não apenas contínua. ii) Uma diferença bastante interessante garantida pelo item iv), é que semigrupos como esse não estão definidos em todo o espaço vetorial X quando t → 0. Essencialmente, nesta situação, vamos considerá-los definidos apenas em D(A). iii) Se T (·) é um semigrupo analítico com crescimento de ordem 1+γ, o operador G : D(G) ⊂ X → X, com

  β .

  \ (−∞, 0] → C z 7→ z

  : C

  β

  Para cada β ∈ R \ {0}, considere a função φ

  , será chamado de gerador infinitesimal, como feito anteriormente. Porém, como demonstrado em podemos verificar apenas que G é um operador fechável. Para encerrar esta discussão, faz-se necessário ainda introduzir as potências fracionárias de operadores quase setoriais. A vantagem que temos neste ponto é que podemos utilizar toda a teoria construída anteriormente.

  T (t)x − x t

  

t→0

  Gx = lim

  T (t)x − x t existe , e definido por

  t→0

  D(G) := x ∈ X : lim

  • |z|

  γ

  , µ ). Então se Teorema 3.11. Sejam A ∈ Θ ω ∈ (ω, π/2) e f ∈ F (S µ

  γ k

  k, n (S ) temos que o operador linear f (A) ∈ N são tais que fψ n ∈ F µ dado por está bem definido, é fechado e

  k (n−1)k

  D(f (A)) := )(A)x ) {x ∈ X : (fψ n ∈ D(A }.

  k

  Acima (f ψ )(A) também é dado por . Mais ainda, a construção

  n

  do operador f (A) é independente da escolha de k, n. (Veja O teorema acima nos permite introduzir a seguinte noção. Definição 3.12. Se β ∈ R, a potência fracionária de ordem β de um

  γ

  é dada por operador A ∈ Θ ω se β = 0,

  I X ,

  β

  A = φ (A),

  β se β 6= 0.

  No caso de operadores quase setoriais não conseguimos demonstrar

  −β

  que a potência fracionária A , com β > 0, define sempre operadores limitados. O seguinte resultado resume este fato.

  γ

  e que β > γ + 1. Então Proposição 3.13. Assuma que A ∈ Θ ω

  −β

  A ∈ L(X). Demonstração. Este resultado segue do fato de que se β > γ + 1, pode- mos verificar que a função φ satisfaz as hipóteses do Teorema

  β

  Agora enunciamos um resultado que versa sobre algumas proprie- dades das potências fracionárias de operadores quase setoriais. A de- monstração desse resultado é padrão e será omitida.

  γ

  e α, β Teorema 3.14. Para A ∈ Θ ω ∈ C as seguintes afirmações são verdadeiras.

  α i) O operador A é fechado. α β α+β ii) A A .

  ⊆ A

  α+β β α β α+β iii) Se D(A ) ), então A A = A .

  ⊆ D(A

  α α −1 −α

  iv) A é injetiva e (A ) = A .

  n v) A = A...A (n-vezes) para todo n = I.

  ∈ N e A Para encerrar esta seção, introduzimos dois últimos resultados im- portantes para a discussão que promovemos nas próximas seções.

  β β

  Proposição 3.15. X = D(A ), com a norma β β := x ,

  X X

  kxk kA k define um espaço de Banach.

  γ

  (X), θ Proposição 3.16. Sejam A ∈ Θ w ∈ (ω, π/2) e considere π

  {T (t) : t ∈ S } ⊂ L(X),

2

−ω o semigrupo analítico com crescimento de ordem 1 + γ associado ao operador A. Então as seguintes afirmações são verdadeiras π β i) Se t e β > 0, então Im(T (t)) ),

  ∈ S ⊂ D(A 2 −ω Z

  1

  β β λt −1

  A T (t)x = λ e (λ + A) xdλ, ∀x ∈ X,

  2πi

  Γ −θ

′ ′

  e existe uma constante C = C (γ, β) > 0 tal que

  β ′ −γ−β−1

  T (t) L t ,

  (X) kA k ≤ C ∀t > 0.

  β

  ii) Se β > 1 + γ, então D(A ) T (t)x = x ⊂ Ω = {x ∈ X : lim

  • + t→0 }.

3.2 Estudo dos operadores S (t) e P (t)

  α α Exatamente como feito na Seção porém desta vez com operado- res quase setoriais, nosso objetivo nesta seção é estudar duas famílias de operadores de Mittag-Leffler.

  Os resultados obtidos nesta seção não só nos auxiliam a entender um pouco melhor essas famílias de operadores, como também são utilizados durante o restante deste capítulo.

  γ

  (X), consideramos as famílias de ope- Definição 3.17. Para A ∈ Θ ω radores π π

  (t) : t e (t) : t

  α α

  {S ∈ S } {P ∈ S }, 2 −ω −ω 2 relacionados com as funções gerais do tipo Mittag-Leffer, definidas por

  Z

  1

  α α −1

  S (t) := E ( )(A) = E ( )(λ dλ,

  α α α

  −λt −λt − A) 2πi

  Γ θ

  e Z

  1

  α α −1

  P (t) := E ( )(A) = E ( )(λ dλ.

  α α,α α,α

  −λt −λt − A) 2πi

  Γ θ

−iθ

  O contorno da integral Γ := e e

  θ + +

  {R } ∪ {R } orientado de forma

  π

  a manter o conjunto S ao lado esquerdo e ω < θ < µ < θ − | arg t|.

  2 Observação 3.18. A notação que utilizamos para a família de ope- radores de Mittag-Leffler geradas por operadores quase setoriais são distintas das utilizadas para descrever estas mesmas famílias no caso de operadores setoriais, como pode ser visto ao compararmos a Seção com nossa última definição. O principal motivo desta escolha foi apenas para preservar as notações geralmente utilizadas pelos autores Wang-Chen-Xiao

  O próximo teorema estabelece propriedades básicas da família de operadores de Mittag-Leffler. π , os operadores S (t) e P (t) são

  α α

  Teorema 3.19. Para cada t ∈ S 2

−ω

lineares e limitados em X. Além disso, existem constantes

  C = C(α, γ) > 0 e C = C(α, γ) > 0

  s p

  tais que L (3.5) −α(1+γ) α (t) s t , kS k (X) ≤ C ∀t > 0, e

  −α(1+γ)

  (t) L t , (3.6)

  α (X) p kP k ≤ C ∀t > 0. π

  Demonstração. Como para cada t , as funções ∈ S 2 −ω

  λ ( e λ (

  

α α,α

  → E −λt) → E −λt) satisfazem todas as hipóteses do Teorema (verifique o decaimento assintótico das funções de Mittag-leffler na Seção concluímos que S (t), P (t) são operadores lineares limitados em X. Assim só precisa-

  α α mos demonstrar as estimativas π

  Assuma que {T (t) : t ∈ S } seja o semigrupo analítico com 2

−ω

crescimento 1 + γ garantido pelo Teorema Então o item iv) da Proposição e o Teorema de Fubini nos garantem que

  Z

  1

  

α

−1

  S α (t)x = E α ( )(λ xdλ −λt − A)

  2πi

  Γ θ

  Z Z

  ∞ α

  1

  s −λt −1

  = M α (s)e ds(λ xdλ − A)

  2πi

  Γ θ

  Z Z

  ∞ α

  1

  s −λt −1

  = M (s) e (λ xdλds

  α

  − A) 2πi

  Γ θ

  Z

  ∞

α

π = M (s)T (st )xds, . α

  ∀t ∈ S 2 −ω Logo, se x ∈ X, o item ii) da Proposição e o item iii) do Teorema garantem a estimativa

  Z

  ∞ α

  (t)x = M (s)T (st )xds

  α X α

  kS k

  X Z ∞ α −γ−1

  M (s)C (st ) ds

  α

  X

  ≤ kxk Z

  

−α(1+γ) −γ−1

  = C t M (s)s ds

  α

  X

  kxk Γ(

  −γ)

  −α(1+γ)

  = C t ,

  X kxk ∀t > 0.

  Γ(1 − α(1 + γ))

  Com um processo análogo obtemos: Z

  ∞ α π

  P α (t)x = αM α (s)sT (st )ds, , ∀t ∈ S 2 −ω e

  Γ(1 − γ)

  −α(γ+1) α (t)x X t X , kP k ≤ αC kxk ∀t > 0.

  Γ(1 − αγ) Desta forma ficam demonstradas as estimativas

  Durante a demonstração do último resultado provamos uma identi- dade que é muito interessante. Para enfatizar tal identidade, enuncia- mos o seguinte corolário. Corolário 3.20. Assumindo as mesmas hipóteses do Teorema concluímos que

  Z

  ∞ α π

  S (t)x = M (s)T (st )xds, ,

  α α

  ∀t ∈ S 2 −ω e que

  Z

  ∞ α π P (t)x = αM (s)sT (st )xds, . α α

  ∀t ∈ S 2 −ω No que segue provamos um série de resultados interessantes sobre as famílias de operadores de Mittag-Leffler para operadores quase se- toriais.

  Teorema 3.21. Os operadores S (t) e P (t) são contínuos em (0,

  α α

  ∞) na topologia de L(X). Além disso, para todo r > 0, a continuidade é uniforme em [r, ∞). Demonstração. Seja ǫ > 0. Para todo r > 0, usando o item ii) da Proposição podemos escolher δ , δ > 0 tal que

  

1

  2 Z δ 1

  2C ǫ

  −(1+γ)

  M (s)s ds , (3.7)

  α

  ≤

  α(1+γ)

  r

  6 e Z

  ∞

  2C ǫ

  −(1+γ)

  M (s)s ds , (3.8)

  α

  ≤

  α(1+γ)

  r

  6

  δ 2 com C a constante dada pelo item iii) da Proposição

  Pela item i) da Proposição para cada x ∈ X existe uma cons- tante positiva δ tal que para t , t ,

  x

  1

  2

  1 2 x

  ≥ r satisfazendo |t − t | < δ temos Z δ 2

  ǫ

  

α α

  M (s) s)x s)x ds . (3.9)

  α

  X

  kT (t

  

1 − T (t

2 k ≤

  6

  δ 1 Mas então

  (t )x (t )x

  α 1 α

  2 X

  kS − S k Z Z

  

∞ ∞

α α

  = M (s)T (st )x M (s)T (st )xds

  α α 1 −

  2 X

  e portanto, (t )x (t )x

  α 1 α

  2 X

  kS − S k Z

  δ 1 α α

  M (s) + ) L ) L ds

  

α (X) (X)

  X

  ≤ kT (st

  1 k kT (st 2 k kxk

  Z

  δ 2 α α

  M (s) )x )x + ds

  α

  X

  kT (st

  1 − T (st 2 k δ 1 Z ∞ α α

  M + α (s) ) ) ds. L L

  • 1 k

  X

  kT (st

  (X) kT (st 2 k (X) kxk δ 2 Porém, o item iii) da Proposição garante que α (t 1 )x α (t 2 )x

  X

  kS − S k

  δ 1 Z −α(1+γ) −α(1+γ) −(1+γ)

  t + t M (s)s ds

  α

  X

  ≤ C

  1 2 kxk

  Z

  δ 2 α α

  M + (s) )x )x ds

  α

  X

  kT (st

  1 − T (st 2 k δ 1

  Z

  −α(1+γ) −α(1+γ) −(1+γ)

  • C t + t M (s)s ds,

  α

  X

  1 2 kxk δ 2 o que, através das desigualdades nos ajuda a concluir que Z

  δ 1

  2C

  −(1+γ)

  (t )x (t )x M (s)s ds

  α 1 α

2 X α

  X

  kS − S k ≤ kxk

  α(1+γ)

  r Z

  δ

2

α α

  M (s) )x + )x ds

  α

  X

  kT (st

  1 − T (st 2 k δ 1 Z ∞

  2C

  −(1+γ)

  • M α (s)s

  X ds

  kxk

  

α(1+γ)

  r

  δ 2

  ,

  X

  ≤ (ǫ/2)kxk isto é, ǫ (t ) (t ) L < ǫ.

  α 1 α 2 (X)

  kS − S k ≤

  2 Em outras palavras, S (t) é uniformemente contínua em [r,

  α

  ∞) na topologia de L(X). O argumento é o mesmo para P (t). Assim a prova

  α está completa.

  Teorema 3.22. Se 0 < β < 1 − γ, então vale

  β i) As imagens de S α (t) e P α (t), para t > 0, estão contidas em X .

  ii) Para cada x ∈ X vale a igualdade d

  

α−1

  S (t)x = AP (t)x,

  α α −t ∀t > 0.

  dt Mais ainda, se x

  ∈ D(A), então a aplicação d (0, S (t)x

  α

  ∞) ∋ t → ∈ X dt é localmente integráveis. iii) Para todo x

  ∈ D(A) e t > 0 temos

  −α(1+γ) α (t)x

  kAS k ≤ Ct kAxk, com C uma constante que depende apenas de γ, α. Demonstração. Vamos fazer esta demonstração item a item.

i) Pelo item i) da Proposição 3.16, se β > 0 temos que

  β

  T (t)x ), ∈ D(A ∀x ∈ X e ∀t > 0, e unindo este fato ao item ii) da Proposição e ao Corolário concluímos kA

  β

  M α (s)s

  kxk

  X ds

  = C

  ′

  αt

  

−α(γ+β+1)

  Z

  ∞

  −(γ+β)

  )

  kxk

  X ds

  = C

  ′

  αt

  

−α(γ+β+1)

  Γ(1 − γ − β)

  Γ(1 − α(γ + β)) kxk

  X .

  −γ−β−1

  α

  P

  T (st

  α

  (t)x k

  X

  ≤ Z

  ∞

  αM

  α

  (s)s kA

  β

  α

  (st

  ) k L

  (X)

  kxk

  X

  ds ≤α

  Z

  ∞

  M α (s)sC

  ′

  A estimativa acima está boa justamente porque 0 < β < 1 − γ.

ii) Se x ∈ X e t > 0, o Corolário 3.20 e o Teorema da Convergência

  ′ α

  α−1 AP α (t)x.

  ≤ t

  X

  (t)x k

  α

  AP

  α−1

  Além disso, para todo x ∈ D(A), o item ii) da Proposição nos asseguram que kt

  −t

  Z

  )ds =

  α

  (s)T (st

  α

  αsM

  ∞

  A Z

  α−1

  

  −t

  Γ(1 − γ)

  (t)x é localmente integrável em (0, ∞).

  ′ α

  (3.10) já que −αγ − 1 > −1, ou seja, S

  X ,

  kAxk

  −αγ−1

  Γ(1 − αγ) t

  ds ≤ αC

  αsM

  X

  kAxk

  (X)

  ) k L

  α

  (s) kT (st

  α

  α−1

  sds =

  (t)x = lim

  ∞

  ∞

  Dominada garantem que S

  )x h ds

  α

  )x − T (st

  α

  M α (s) T (s(t + h)

  Z

  α

  h→0

  (t)x h = lim

  α

  (t + h)x − S

  α

  S

  h→0

  M

  (s) lim

  α−1

  [T (st

  )αt

  α (s)AT (st α

  −M

  ∞

  Z

  )x] ds =

  α

  M α (s) d dt

  h→0

  ∞

  = Z

  )x h ds

  α

  )x − T (st

  α

  T (s(t + h)

  = Z

iii) Para finalizar, pelo item ii) da Proposição 2.18 e pela Proposição

3.16 Z

  ∞ α

  (t)x M (s) ) L ds

  α X α (X)

  X

  kAS k ≤ kAT (st k kxk Z

  ∞ −α(1+γ) −1−γ

  t M α (s)s ds

  X

  ≤ C kAxk Γ(

  −γ)

  −α(1+γ)

  t ,

  X ≤ C kAxk ∀x ∈ D(A).

  Γ(1 − α(1 + γ))

  A demonstração do item i) do resultado anterior também nos ga- rante a estimativa Γ(1

  − γ − β)

  β

′ −α(γ+β+1)

  P (t) αt .

  α

  X

  kA k ≤ C Γ(1

  − α(γ + β)) Entretanto, para facilitar a citação em resultados mais a frente, enun- ciamos a seguinte proposição.

  Proposição 3.23. Seja 0 < β < 1 − γ e t > 0. Para todo x ∈ D(A) temos que

  −α(2+γ)

  (t) L , (3.11)

  α (X)

  kAP k ≤ Ct ∀t > 0, com C uma constante que depende de γ e α. Demonstração. É uma aplicação direta do resultado anterior.

  O próximo teorema também discute o fato da função u(t) = S (t)u

  α

  ser a única solução do problema de Cauchy fracionário

  α

  D u(t) =

  c t −Au(t), t > 0,

  u(0) = u . Este tipo de resultado é clássico e muito importante. Teorema 3.24. As seguintes propriedades são verdadeiras:

  β

  i) Se β > 1 + γ, então para todo x ), temos ∈ D(A lim S (t)x = x.

  

α

t→0

  ii) Para todo x ∈ D(A) temos

  Z t

  α−1

  (S (t) AP (s)xds,

  α α − I)x = −s ∀t > 0.

  α iii) Sejam x D S (t)x = (t)x. c α α

  ∈ D(A) e t > 0. Então t −AS

  1−α α−1

  iv) Para todo t > 0 vale que S (t) = J t P (t) .

  α α t

  Demonstração. i) Para x ∈ X, pelo item ii) da Proposição temos

  Z

  

α

  S (t)x M (s) T (st )x ds.

  α α

  − x = − x Agora, o Teorema e o Corolário garantem que

  α

  M (s) T (st )x

  α

  − x

  • α é integrável e que M .

  α (s) T (st )x

  − x → 0, quando t → 0 Com isso, pelo Teorema de Convergência Dominada,

  • S (t)x ,

  α

  − x → 0, quando t → 0 o que conclui a demonstração. ii) Pelo item iv) do Teorema para todo x

  ∈ D(A), + S (t) x = lim S (t)x (s)x

  

α α α

  − I − S

  

s→0

  Z

  t

  d + = lim S α (ω)xdω

  s→0 dω s

  Z t

  α−1

  = lim AP (ω)xdω

  α

  −ω

  • +

    s→0

    s

  Z

  

t

α−1

  = AP α (ω)xdω −ω

  −αγ

  −t = .

  αγ

  1

  1

iii) Note que

  ) e que o operador (A) é injetivo e inte- ∈ F (S µ

  ϕ ϕ

  grável em (0, t). Seja x ∈ D(A). Pela Proposição

  1

  

α α

S (t)x = E ( )(A)x = (E ( )ϕ )(A) (A)x. α α α

  −zt −zt ϕ

  De temos

  α α

  sup E ( )

  

α |zt −zt | < ∞. Assim, z

  α α

−1

  ( )(1 + z) E ( )

  

α α

  |zE −zt | = −zt 1 + z

  α α

  zE ( ) t

  α

  −zt =

  α

  (1 + z) t

  α α

  E ( )

  α

  |zt −zt | ≤

  α

  |(1 + z)t | C

  ≤

  α

  |(1 + z)|t

  −1 −α

  t , ≤ C|z| com C uma constante que não depende de t. Logo

  γ α −1

  ( )(1 + z) (S ),

  α

  −zE −zt ∈ F µ

  γ

  com F (S ) definido como na Observação Note também que

  µ

  pelo Teorema

  α α

−1 −1

  D E ( )(1 + z) (z

  c α t −zt − A) α −1 −1

  = ( α ( )(1 + z) (z .

  −z)E −zt − A) Agora, combinando este resultado e a Proposição obtemos

  α α β −1

  D (E ( )(1 + z ) )(A)

  c α t −zt

  Z

  1

  α −1 −1

  = ( ( )(1 + z) (z dz

  α

  −z)E −zt − A) 2πi

  Γ θ

α

−1

  = ( α ( )(1 + z) (A) −z)(A) E −zt

  α −1

  = ( )(1 + z) (A)

  α

  −A E −zt Assim,

  α α −1

  D S (t)x = ( )(1 + z) )(A)(1 + z)(A)x

  α α t −A(E −zt α

  = ( ))(A)x

  α

  −A(E −zt = (t)x.

  α

  −AS iv) Nesta prova usamos um argumento análogo ao utilizado na de- monstração do item iii). Note que

  α γ α−1

  t E ( ) (S ),

  α,α

  −zt ∈ F µ para t > 0, e assim

  α α α α−1 α−1

  J t P (t) = J (t E )(A)

  α α,α t t − zt α

  = E ( ) (A) = S (t),

  α α

  −zt com isto

  α α α α−1

  J t E α,α ( ) = E α ( ),

  t −zt −zt

  logo o item iv) fica verificado e assim terminamos a demonstração deste resultado. Com as ferramentas expostas anteriormente começaremos a intro- duzir a teoria que garante a existência e unicidade de solução mild e de solução clássica para EDP’s abstratas lineares e não lineares.

3.3 O problema linear

  Esta seção é dedicada ao estudo do problema de Cauchy abstrato linear não-homogêneo

  α c D u(t) + Au(t) = f (t), 0 < t t ≤ T,

  (3.12) u(0) = u

  α

  D a derivada fracionária de Caputo de ordem α,

  c

  com α ∈ (0, 1), t

  γ A pertencente a um subconjunto de X.

  ∈ Θ ω , f : [0, T ] → X e u

  1

  (0, T ; X) e que u : [0, T ] Assuma por um instante que f ∈ L → X satisfaz e as seguintes condições: i) u ∈ C([0, T ]; X). ii) u(t) ∈ D(A) para todo t ∈ (0, T ].

  1

  iii) g ((0, T ]; X).

  1−α ∗ u ∈ C

  1 (0, T ; X).

  iv) Au ∈ L

  α

  Aplicando J em ambos os lados de primeira igualdade de

  t

  a Proposição garante que

  α α

  u(t) Au(t) = J f (t), − u(0) + J t t ∀t ∈ [0, T ], e portanto, da definição de integral de Riemann-Liouville de ordem α, reescrevemos a igualdade acima como Z Z

  t t

  1

  1

  α−1 α−1

  u(t) = u (t Au(s)ds + (t f (s)ds, − − s) − s)

  Γ(α) Γ(α) (3.13) para todo t ∈ [0, T ].

  Para continuar a ideia que começamos a introduzir acima, provamos o seguinte resultado.

  1

  (0, T ; X) e que u : [0, T ] Lema 3.25. Assuma que f ∈ L → X é uma função que satisfaz as equações e as hipóteses i)

  − iv) acima. Então u(t) satisfaz a equação

  Z t

  α−1

  • u(t) = S (t)u (t P (t

  α α − s) − s)f(s)ds, ∀t ∈ [0, T ].

  Demonstração. Como discutido na Seção reescrevamos a equação na forma

  ˜ u(t) = u f (t)ds, (3.14) − g α−1 ∗ A˜u(t) + g α−1 ∗ ˜ ∀t ∈ [0, ∞),

  1

  1

  com as funções ˜ f (0, (0, ∈ L ∞; X) e ˜u ∈ L ∞; X) dadas por

  loc loc

  f (t), t u(t), t ∈ [0, T ], ∈ [0, T ],

  ˜ f (t) = e ˜ u(t) = 0, t 0, t ∈ (T, ∞), ∈ (T, ∞).

  Mas então, ao aplicar a transformada de Laplace em obtemos u

  1 L f (t) { ˜ }(λ) L AL , Reλ > 0.

  {˜u(t)}(λ) = − {˜u(t)}(λ) +

  

α α

  λ λ λ

  α

  Como λ ∈ ρ(−A), deduzimos a igualdade

  α α α−1 −1 −1

  L (λ +A) u +(λ +A) L f (t) Reλ > 0.

  {˜u(t)}(λ) = λ { ˜ }(λ), (3.15)

  Pelo item v) do Teorema sabemos que Z

  ∞ α

α t

α−1 −1 α−1 −λ

  λ (λ + A) u = λ e T (t)u dt

  α

  e portanto realizando a mudança de variável t = w deduzimos Z

  ∞ α

α α

α−1 −1 α−1 −(λw)

  λ (λ + A) u = α(λw) e T (w )u dw

  • A)
  • A)

  α

  ∞

  Z

  )u dη ds =

  α

  M α (η)T (ηs

  ∞

  Z

  −λs

  e

  ∞

  Z

  )u dη ds =

  M α (η)T (ηs

  −λs

  ∞

  Z

  

−λs

  e

  ∞

  Z

  u = −

  −1

  α

  (λ

  α−1

  = η, finalmente encontramos a igualdade λ

  −α

  e

  S

  α

  α

  α

  P

  α−1

  (t − s)

  (t)u + Z t

  α

  S

  −λt

  e

  ∞

  {˜u(t)}(λ) = Z

  Lembrando de concluímos então que L

  (t − τ) ˜ f (τ )dτ ds.

  P

  α (s)u ds.

  α−1

  (s − τ)

  t

  Z

  −λs

  e

  ∞

  Z

  }(λ) =

  L { ˜ f (t)

  −1

  α

  Da mesma forma que feito anteriormente, deduzimos que (λ

  u dtds, e mudando de variável novamente, t

  t

  (t − s)f(s)ds dt, e pelo Teorema que garante a unicidade da transformada de La- place, completamos esta demonstração. Munidos do Lema Definição 3.26. Uma função u ∈ C((0, T ]; X) que satisfaz

  ∞

  α

  )dt T (w

  −α

  (t

  α

  M

  −(1+α)

  αt

  −ωλt

  e

  ∞

  Z

  1 ω d dλ

  − Z

  Z

  u =

  −1

  α

  (λ

  α−1

  )u dw e pelo item v) da Proposição e pela regra de Leibniz para integrais λ

  α

  T (w

  −(λw) α

  1 ω d dλ e

  ∞

  Z

  = −

  )u dw =

  ∞

  α

  u =

  )T s

  −α

  (t

  α

  M

  −(1+α)

  αt

  −λs

  e

  ∞

  Z

  ∞

  Z

  −1

  Z

  α

  (λ

  α−1

  Realizando outra mudança de variável, desta vez ω = s/t, concluí- mos que λ

  α )u dtdw.

  )T (w

  −α

  M α (t

  −α

  αt

  −ωλt

  e

  ∞

  • A)
  • A)

  Z t

  α−1

  u(t) = S + (t)u (t P (t

  α α

  − s) − s)f(s)ds, ∀t ∈ (0, T ], (3.16) será chamada de solução mild do problema Observação 3.27. i) Observe que a noção dada por porém agora esta Fórmula da Variação das Constantes fracionária está apenas definida para t > 0. Lembre-se que isto deve-se ao fato de que

  γ .

  A ∈ Θ ω ii) É importante observar que o Lema serve apenas de inspiração para a definição de solução mild, já que uma solução mild não necessariamente precisa satisfazer os itens i) − iv). iii) Eventualmente seremos capazes de provar que uma solução mild de de fato satisfaz os itens i)−iv), e nesse caso, que cumpre as equações Para diferenciar estas soluções, criamos uma outra denominação.

  Definição 3.28. Seja u ∈ C((0, T ]; X) uma solução mild de Se u satisfizer i) u ∈ C([0, T ]; X),

  α

ii) D u(t)

  c t ∈ C((0, T ]; X),

  iii) u(t) ∈ D(A) para todo t ∈ [0, T ], diremos que u é uma solução clássica de

  No restante desta seção nos devotamos a apresentar um último re- sultado que discute a existência e unicidade de solução clássica para e por isso não o demonstra- remos aqui.

  γ

  (X) e suponha que f (t) Teorema 3.29. Seja A ∈ Θ ω ∈ D(A), para

  ∞

  todo 0 < t (0, T ; X) e que f (t) seja Hölder contínua ≤ T , Af ∈ L

  ′

  com exponente θ > α(1 + γ), isto é,

  θ

  ,

  X kf(t) − f(s)k ≤ K|t − s| ∀t, s ∈ (0, T ]. Então, para todo u ∈ D(A), existe uma única solução clássica para o problema .

  Demonstração. Note que v(t) := S (t)u é solução clássica do pro-

  α

  blema linear homogêneo

  α

  D v(t) + Av(t) = 0, 0 < t

  c t ≤ T,

  (3.17) v(0) = u ∈ D(A), pelo item ii) de Teorema Agora o

  Lema

  Seja Z

  t α−1

  w(t) := (t P α (t − s) − s)f(s)ds, 0 < t ≤ T. Vamos demonstrar que u(t) := v(t) + w(t) é a única solução clássica do problema linear não homogêneo

  Pelo fato de A ser um operador fechado, pela desigualdade de Hölder e pelo Teorema temos Z

  t α−1 X = (t P α (t

  kAw(t)k − s) − s)Af(t)ds

  X Z t α−1

  (t (t L ds

  L (0,T ;X) α (X)

  ≤ kAf(t)k − s) kP − s)k Z

  t −(αγ+1)

  C (t ds

  p

  ≤ kAf(t)k L ((0,T );X) − s)

  −γα t

  = C ,

  p L (0,T ;X)

  kAf(t)k −αγ o que implica que w(t) ∈ D(A), para todo 0 < t ≤ T .

  α

  Agora mostraremos que D w(t)

  c t ∈ C((0, T ]; X). Primeiramente,

  pelo Teorema e pelo Teorema da Convergência Dominada verifi- camos que w(0) = 0.

  α−1

  Se definirmos H(t) := t P (t), então w(t) = H

  α

  ∗ f(t), e portanto das propriedades de convolução, da Proposição e do item iv) do Teorema obtemos

  α

  1

  1 1−α 1−α

  D w(t) = D J w(t) = D J H

  c t t t t t

  ∗ f(t) h i

  1

  1 1−α

  = D (J H) (t) = D S α (t).

  t t ∗ f t ∗ f

  Só nos resta verificar que

  1 m(t) := S α (t) ((0, T ]; X).

  ∗ f ∈ C Seja h ∈ (0, T ) e tome t ∈ (0, T − h). Então

  Z t m(t + h) S (t + h (t

  α α

  − m(t) − s) − S − s) = f (s)ds h h

  (3.18) Z t+h

  1 S (t + h +

  α − s)f(s)ds.

  h

  

t

  Considerando as estimativas do Teorema e as hipóteses sobre f , podemos utilizar o Teorema da Convergência Dominada e o item ii) do Teorema e concluir que

  Z

  t

  S (t + h (t

  α α

  − s) − S − s) + lim f (s)ds

  h→0 h

  Z

  t

  S α (t + h α (t − s) − S − s)

  = lim f (s)ds + h

  h→0

  Z

  t

  (3.19)

  ′

  = S (t

  α − s)f(s)ds

  Z t

  α−1

  = (t ( (t

  α

  − s) −A)P − s)f(s)ds = −Aw(t). Para tratar do termo restante em consideramos a mudança de variável t + h − s = τ, que nos leva a

  Z t+h Z h

  1

  1 S (t + h S (τ )f (t + h

  α α

  − s)f(s)ds = − τ)dτ h h

  t

  Z h

  1 = S (τ ) f (t + h dτ

  α

  − τ) − f(t − τ) + f(t − τ) + f(t) − f(t) h Z h

  1 = S (τ ) f (t + h dτ

  α

  − τ) − f(t − τ) h Z h Z h

  1

  1 + S (τ )f (t)dτ. S (τ ) f (t dτ +

  α α

  − τ) − f(t) h h Logo, pelo Teorema e pela Hölder continuidade de f, temos Z

  h

  1 S (τ ) f (t + h dτ

  α

  − τ) − f(t − τ) h

  X Z h

  1 (τ ) L dτ

  α (X)

  X

  ≤ kS k kf(t + h − τ) − f(t − τ)k h

  θ −α(1+γ)

  C Kh

  s

  , ≤

  1 − α(1 + γ) e

  Z

  h

  1 S (s) f (t ds

  α

  − s) − f(t) h

  X Z h

  1 (s) L ds

  α (X)

  X

  ≤ kS k kf(t − s) − f(t)k h

  θ

−α(1+γ)

  C Kh

  s .

  ≤ 1 + θ − α(1 + γ)

  Como f(t) ∈ D(A), para 0 < t ≤ T , pelo item i) do Teorema temos Z

  h

  1 lim S α (s)f (t)ds = f (t). + h

  h→0

  Portanto Z

  t+h

  1 lim S (t + h (3.20)

  α − s)f(s)ds = f(t).

  • + h

  h→0 t

  Combinando deduzimos que m é diferenciável à direita de t e

  ′

  m (t) = f (t) − Aw(t), ∀t ∈ (0, T ].

  • Com um argumento similar obtemos que v é diferenciável à esquerda de t, e concluímos que

  ′

  m (t) = f (t) − Aw(t), ∀t ∈ (0, T ]. Para encerrar provamos agora que Aw(t) ∈ C((0, T ]; X). Considere

  Aw(t) = I (t) + I (t), com

  1

  2 Z t α−1

  I (t) = (t AP (t

  1 α

  − s) − s)(f(s) − f(t))ds, e Z

  t α−1

  I

  2 (t) = A(t P α (t − s) − s)f(t)ds.

  Pelo item ii) do Teorema temos I (t) = (t)

  2 α

  −(S − I)f(t) e pelo Teorema S (t) é uniformemente contínua. Assim I (t) é

  α

  2 contínua para 0 < t ≤ T .

  Agora, vamos provar que I (t) também é contínua para 0 < t

  1 ≤ T .

  Se h ∈ (0, T ) e t ∈ (0, T − h), então

  I

  1 (t + h) 1 (t)

  − I Z t+h

  α−1

  = (t + h AP (t + h ds

  α

  − s) − s) f(s) − f(t + h) Z

  t α−1

  (t AP α (t ds − − s) − s) f(s) − f(t) que podemos rearranjar para obter

  Z

  t α−1

  I (t + h) (t) = (t + h AP (t + h

  1 1 α

  −I − s) − s)

  α−1

  AP α (t f (s) ds − (t − s) − s) − f(t)

  Z

  t α−1

  • α

  (t + h AP (t + h ds

  − s) − s) f(t) − f(t + h) Z

  t+h α−1

  • (t + h ds (t + h AP

  α

  − s) − s) f(s) − f(t + h)

  t := h (t) + h (t) + h (t).

  1

  2

  3 Usando o Teorema em h (t), temos

  1 α−1

  • + lim (t + h AP α (t + h

  − s) − s) f(s) − f(t)

  h→0 α−1

  = (t AP (t .

  α

  − s) − s) f(s) − f(t) Por outro lado, para t ∈ (0, T ] fixo, usando a estimativa e a

  Hölder continuidade de f, temos

  α−1

  AP (t + h

  α

  X

  k(t + h − s) − s)(f(s) − f(t))k

  α−1

  (t + h L

  α (X)

  X

  ≤ |t + h − s| kAP − s)k kf(s) − f(t)k

  ′ θ ′ −α(1+γ)−1

  K(t + h (t ≤ C p − s) − s) e aplicando limite, temos

  α−1

  lim AP (t + h

  α

  X

  k(t + h − s) − s)(f(s) − f(t))k

  • + h→0
  • θ

      ′ −α(1+γ)−1

      K(t (t ≤ C p − s) − s)

      (θ

      1 ′ −α−αγ)−1

      K(t (0, t; X), ≤ C p − s) ∈ L

      ′

      já que θ > α(1 + γ). Assim pelo Teorema da Convergência Dominada obtemos Z

      t α−1

    • + lim (t + h AP α (t + h ds

      − s) − s) f(s) − f(t)

      h→0

      Z

      t α−1

      = (t AP (t

      α

      − s) − s)(f(s) − f(t))ds, isto implica que, h (t) .

    • 1

      → 0, quando h → 0 Para h (t), vamos usar o Teorema então

      2 Z t α−1

      (t + h AP (t + h ds

      α

      − s) − s) f(t) − f(t + h)

      X Z t α−1

      (t + h (t + h L ds

      α

      X

      ≤ − s) kAP − s)k (X) kf(t) − f(t + h)k Z

      t θ ′ −α(1+γ)−1

      C K(t + h h ds ≤ p − s)

      θ ′

      C Kh

      p −α(1+γ) −α(1+γ)

      h . ≤ − (h + t)

      α(1 + γ)

    • Assim h .

      2 (t)

      → 0, quando h → 0 Por fim h (t) . De fato, como sabemos por

    • 3

      → 0, quando h → 0

      ∞

      (0, T ; X), usando os Teoremas con- hipótese que Af ∈ L cluímos

      Z

      t+h α−1

      (t + h P (t + h ds

      α

      − s) − s) Af(s) − Af(t + h)

      t

      X Z t+h α−1 L

      (t + h (t + h

      α (X)

      ≤ − s) kP − s)k

      t

      ds

      L (0,T ;X)

      k(Af(s) − Af(t + h))k

      Z t+h

      

    α−1 −α(1+γ)

      (t + h C (t + h

      p

      ≤ − s) − s)

      t ds kAf(s)k

    • L (0,T ;X) kAf(t + h)k L (0,T ;X)

      2C

      p −αγ h .

      L (0,T ;X)

      ≤ kAf(s)k −αγ

      Com este mesmo raciocínio temos

      − I (t (h) .

      1

      1

      − h) − I → 0, quando h → 0 Consequentemente, Aw ∈ C((0, T ]; X) o que implica que

      ′

      m ∈ C((0, T ]; X). Portanto, demonstramos que u(t) = v(t) + w(t) é a solução clássica do problema a solução é única.

    3.4 O problema não-linear

      Nesta seção aplicamos a teoria estudada para o problema fracionário de Cauchy não-linear

      α

      D u(t) + Au(t) = f (t, u(t)), t > 0,

      c t

      (3.21) u(0) = u

      α c D denotando a derivada fracionária de t

      com f : [0, T ] × X 7→ X,

      γ

      e u que pertence a um

      ω

      Caputo de ordem α tal que α ∈ (0, 1), A ∈ Θ subconjunto de X (eventualmente podendo ser o próprio conjunto X).

      Nosso objetivo, como na seção anterior, é provar a existência e uni- cidade de solução mild e de solução clássica para Nos aprovei- tando do conceito de solução mild introduzido na última seção, fazemos a seguinte definição.

      Definição 3.30. Uma função u ∈ C((0, T ]; X) será chamada de solu- ção mild para o problema se satisfizer

      Z t

      α−1

      u(t) = S + (t)u (t P (t

      α α − s) − s)f(s, u(s))ds, ∀t ∈ (0, T ].

      No teorema a seguir impomos uma certa característica Lipschitz na função f e provamos a existência e unicidade apenas local de solução mild para

      γ

      (X), Teorema 3.31. Sejam A ∈ Θ ω −1 < γ < −1/2 e suponhamos que a função f : [0, T ]

      × X → X seja contínua com respeito a variável t e que existam constantes M, N > 0 tais que

      ν−1 ν−1

      ) , +

      X X

      kf(t, x) − f(t, y)k ≤ M(1 + kxk

      X kyk X kx − yk

      e ainda

      ν

      ),

      X

      kf(t, x)k ≤ N(1 + kxk

      X

      para todo t ∈ (0, T ] e para todo x, y ∈ X, com ν uma constante em h

      −γ

      1, . Então, para todo u ∈ X, existe T ∈ (0, T ] tal que o pro-

      1+γ blema tem uma única solução mild definida em (0, T ].

      Demonstração. Fixemos r > 0 e definamos o espaço métrico F (T, u ) = (t)u

      r α

      X

      {u ∈ C((0, T ] ; X); sup ku(t) − S k ≤ r},

      t∈(0,T ]

      com a métrica d (u , u ) = sup (t) (t) .

      T

      1

      2

      1

      2 X

      ku − u k

      t∈(0,T ]

      Note que F (T, u ), D é um espaço métrico completo e que para

      r T

      (T, u ), se s

      r

      qualquer u ∈ F ∈ (0, T ], vale a desigualdade

      α(1+γ)

      u(s)

      X

      ks k

      α(1+γ) α(1+γ) α(1+γ)

      u(s) + s S α (s)u S α (s)u

      X

      ≤ ks − s k

      α(1+γ) α(1+γ) α (s)u X + s α (s)u

      X

      ≤ s ku(s) − S k kS k que pelo Teorema pode ser aprimorada para

      α(1+γ) α(1+γ)

      u(s) r + C . (3.22)

      X s

      X

      ks k ≤ T ku k

      α(1+γ)

      Defina então L := T r + C s

      X . Escolhendo 0 < T < T tal

      ku k que

      −αγ

      T

      ν −α(ν(1+γ)+γ)

      C N + C N L T B(

      p p

      −γα, 1 − να(1 + γ)) ≤ r, (3.23) −αγ e

      −αγ

      T

      1

      −α(γ+(1+γ)(ν−1)) ρ−1

      M C + 2L T B( ,

      p

      −αγ, 1 − α(1 + γ)(ν − 1)) ≤

      2 −αγ

      (3.24) com C

      p

      a constante dada pelo Teorema e B(·, ·) denotando a função

      α

      beta. Considere a função Γ definida em F (T, u ) e dada por

      r

      Z

      t α α−1

    • Dado f como nas hipóteses deste teorema, os Teoremas garantem que

      (Γ u)(t) = S α (t)u (t P α (t − s) − s)f(s, u(s))ds.

      α

      (Γ u)(t) ∈ C((0, T ]; X), e com temos

      Z

      t α α−1

      u)(t) α (t)u

      X = (t P α (t

      k(Γ − S k − s) − s)(f(s, u(s))ds

      X Z t α−1

      (t (t L L ds

      α (X) (X)

      ≤ − s) kP − s)k kf(s, u(s))k Z

      t ν

    α−1 −α(1+γ)

      C p (t (t N (1 + )ds ≤ − s) − s) ku(s)k

      X Z t ν −αγ−1

      = C N (t (1 + )ds

      p

      − s) ku(s)k

      X Z Z t t ν −αγ−1 −αγ−1

      = C N (t ds + C N (t ds

      p p

      − s) − s) ku(s)k

      X Z t −αγ

      T

      ν −αγ−1 −να(1+γ)

      N + C N L (t s ds

      p p

      ≤ C − s) −αγ

      −αγ

      T

      ν −α(ν(1+γ)+γ)

      N + C N L T β(

      p p

      ≤ C −γα, 1 − να(1 + γ)) −αγ ≤ r.

      α Em outras palavras, Γ leva F (T , u ) em si mesmo.

    r

    α

      Agora vamos demonstrar que Γ é uma contração. Considere as (T , u ) e usando observe que

      r

      funções u, v ∈ F

      α α

      u)(t) v)(t)

      X

      k(Γ − (Γ k Z

      t

    −αγ−1 ν−1 ν−1

      M + p (t (1 + )

      X ds

      ≤ C − s) ku(s)k

      X kv(s)k X ku(s) − v(s)k

      Z t

      −αγ−1 ν−1 −α(ν−1)(1+γ)

      M d (u, v) (t 1 + 2L s ds

      p T

      ≤ C − s)

      −α(γ+(1+γ)(ν−1)) ρ−1

      T B( T (u, v) ≤ 2L −αγ, 1 − α(1 + γ)(ν − 1))d

      −αγ

      T

      1 + M C d (u, v) d (u, v).

      p T T

      ≤

      2 −αγ

      α A desigualdade acima prova que Γ é uma contração em F (T , u ). r α

      Assim pelo Lema Γ (T , u ) que

      r

      tem um único ponto fixo u ∈ F é a solução mild para o problema em (0, T ]. A seguir enunciamos um resultado que trata de soluções mild nos

      β espaços X , que são bastante úteis em aplicações.

      2 γ

      (X) e . Considere Corolário 3.32. Sejam A ∈ Θ ω −1 < γ < −

      3 β

      β ∈ (1 + γ, −1 − 2γ). Suponha que f : (0, T ] × X → X é contínua com respeito a t e existem constantes M e N > 0 tal que

      ν−1 ν−1

      ) , +

      β

      kf(t, x) − f(t, y)k ≤ M(1 + kxk kyk kx − yk com

      ν

      ), kf(t, x)k ≤ N(1 + kxk β

      β

      para todo t , com ν constante em ∈ (0, T ] e para todo x, y ∈ X h

      γ+β β

      1, . Então, para todo u , existe T > 0 tal que o problema − ∈ X

      1+γ β

      ] ; X ). tem única solução mild u ∈ C((0, T Demonstração. A prova do corolário é feita com um processo análogo que o Teorema e por isso ela será omitida.

      γ

      (X) então os resultados anteriores nos Observação 3.33. Se A ∈ Θ ω ajudam a deduzir que a existência e unicidade de solução mild do pro- blema está ligada ao cumprimento das seguintes condições:

      β

      X com β > 1 + γ; u

      ∈ X

      X A função não linear f : [0, T ] × X → X é contínua com respeito a t e existe a função contínua L

      tal que

      f (

      ·) : R → R (r) ,

      X f

      X

      kf(t, x) − f(t, y)k ≤ L kx − yk ,

      X

      para todo 0 ≤ t ≤ T e para todo x, y ∈ X satisfaz que kxk

      X kyk ≤ r.

      1

      1

      , e seja X = D(A) o espaço Seja 1 > 1 + γ tal que −1 < γ < −

      2

    1

      1 = .

      X

      de Banach dotado da norma kxk kAxk com x ∈ X

      γ

      1

      1 (X), e u = D(A).

      Teorema 3.34. Sejam A ∈ Θ ω −1 < γ < − ∈ X

      2

      Se existe uma função continua M ( e uma constante

      

    f

      ·) : R → R

      1

      1 N > 0 tal que a função f : (0, T ] satisfaz f

      × X → X 1 1 (r)

      X f

      X

      kf(t, x) − f(t, y)k ≤ M kx − yk com 1 −α(1+γ) 1 α (t)u ) f (1 + t ), kf(t, S k

      X ≤ N ku k

      X

      1

      para todo 0 < t satisfazendo ≤ T e x, y ∈ X 1 sup (t)u

      

    α

      X

      kx(t) − S k ≤ r,

      t∈(0,T ] 1

      X ≤ r. t∈(0,T ]

      sup α (t)u ky(t) − S k

      Então existe T > 0 tal que o problema tem uma única solução mild definida em (0, T ]. Demonstração. A prova é análoga que a prova do Teorema A

      1

      principal mudança é que u , r > 0 e o conjunto considerado é ∈ X

      1 ′′ 1 F (T, u ) = ); sup (t)u α X

    r {u ∈ C((0, T ]; X ku − S k ≤ r}.

    t∈(0,T ]

      Finalmente procuraremos a solução clássica com o nosso último te- orema.

      γ

      e Teorema 3.35. Sejam A ∈ Θ ω −1 < γ < −1/2. Suponha que existe

      uma função M : R e uma constante k > α(1 + γ) tal que a

      f → R

      função f : [0, T ] × X → X satisfaça

      k

      , + (r)

      X X

      kf(t, x) − f(s, y)k ≤ M f |t − s| kx − yk para todo 0 ,

      X X

      ≤ t ≤ T e x, y ∈ X com kxk kyk ≤ r. Suponha ainda que as hipóteses do Teorema são válidas e que u é a solução mild correspondente a u , definido em [0, T ], então u é a única solução clássica do problema não linear em [0, T ], tal que u

      ∈ D(A)

      β com Au ) e β > (1 + γ).

      ∈ D(A Demonstração. Como u(t) já é uma solução mild do problema em um certo intervalo (0, T ], como é garantido pelo Pelo Teorema e como sabemos que

      Z t

      α−1

      u(t) = S (t)u (t + P (t ],

      α α

      − s) − s)f(s, u(s))ds, ∀t ∈ (0, T se definirmos F (t) := f(t, u(t)) então reescrevemos a equação acima como Z t

      α−1 + u(t) = S (t)u (t P (t ]. α α

      − s) − s)F (s)ds, ∀t ∈ (0, T Mas então pelo Teorema precisamos verificar que F (t) é Hölder contínua com exponente ζ > α(1 + γ) em (0, T ], o que é equivalente a verificar que u(t) é Hölder contínua com exponente ζ > α(1 + γ) em (0, T ].

      ] e tomando 0 < h < 1 tal que h + t , Para isso, fixe t ∈ (0, T ≤ T obtemos

      = + S (t + h)u

      X α

      ku(t + h) − u(t)k · · · Z

      t+h α−1

      (t + h P (t + h · · · + − s) − s)f(s, u(s))ds

      Z t

      α−1

      (t)u (t P (t

      α

      − S − − s) − s)f(s, u(s))ds

      X

      = α (t + h)u α (t)u

      

    X

      kS − S k Z

      h α−1

    • X

      (t + h P (t + h − s) − s)f(s, u(s))ds

      Z

      t+h α−1

    • (t + h P (t + h

      − s) − s)f(s, u(s))ds

      h

      Z

      t α−1

      (t P (t − − s) − s)f(s, u(s))ds

      X

      = (t + h)u (t)u

      α α

      

    X

      kS − S k Z h

      α−1

    • X

      (t + h P (t + h − s) − s)f(s, u(s))ds

      Z

      t

      h i

      α−1

    • X

      (t P (t f s + h, u(s + h) − s) − s) − f s, u(s)

      =I

      1 + I 2 + I 3 .

      Agora pelo Teorema e pelas hipóteses sobre f, temos Z t d

      I = S (s)u ds

      1 α

      ds

      X Z

      t α−1

      = AP α (s)u ds −s

      X C p −αγ −αγ (t + h) .

      ≤ − t −αγ

      Pelo Teorema tomando N = sup

      

    2

    ) kf(t, u(t))k, temos t∈(0,T

      Z h

      −αγ−1

      I (t + h ds

      2 p

      X

      ≤ C − s) kf(s, u(s))k C N

      p

      2 −αγ −αγ

      (t + h) . ≤ − t

      −αγ Na última integral verificamos que

      Z

      t k ′ −αγ−1

      I +

    3 C p (t ( )ds

      X

      ≤ M − s) |h| ku(s + t − s) − u(s)k Z

      t ′

      M C

      p −αγ k

    ′ −αγ−1

    T h + M C (t ds. p

      X

      ≤ − s) ku(s + h) − u(s)k −αγ

      Com estas estimativas e a desigualdade

      −αγ −αγ −αγ

      (t + h) , − t ≤ h que é válida já que 0 < −αγ < 1,

      C N + C

      p 2 p −αγ −αγ

      (t + h)

      X

      ku(t + h) − u(t)k ≤ − t −αγ

      ′

      M

      p

    −αγ k

      T h + −αγ

      Z

      t ′ −αγ−1

    • M C (t ds

      p

      X

      − s) ku(s + h) − u(s)k

      ′

      C N + C + M C

      p

    2 p p

    ζ

      h ≤

      −αγ Z t

      ′ −αγ−1

    • M C (t ds,

      p

      X

      − s) ku(s + h) − u(s)k com ζ = min{k, −αγ} > α(γ + 1). Finalmente usando o Teorema temos u Hölder contínua com expoente ζ > α(γ + 1) em (0, T ].

      Com isto terminamos a parte teórica do trabalho e a continuação daremos uma aplicações físicas muito interessantes. Para quem tenha interesse em olhar outras aplicações veja

    3.5 Um exemplo de aplicação da teoria

      Nesta seção apresentamos um exemplo motivado por problemas fí- sicos em que mostramos como a teoria estudada nesta dissertação pode ser aplicada em problemas concretos. O exemplo é um problema de comportamento dinâmico anômalo de processos de transporte. Para mais exemplos veja

      Antes de começarmos a discussão, enunciaremos um interessante resultado sobre alguns operadores quase setoriais que foram descritos no Exemplo 2.3 do artigo

      n

      , para algum n Proposição 3.36. Suponha que Ω ⊂ R ∈ N, seja um aberto limitado com fronteira ∂Ω de classe 4m e que X denote o espaço

      ν

      de Banach C (Ω), para ν

      ν

      ∈ (0, 1), munido de sua norma clássica k · k (o espaço das funções Holder contínuas). Considere o operador A : D(A)

      ⊂ X → X dado por

      X

      β

      Au = a (x)D u(x),

      

    β

    |β|≤2m

      com seu domínio

      2m+ν β

      D(A) := (Ω) : D u ∂Ω = 0 para todo {u ∈ C | |β| ≤ m − 1},

      β j

      P Q 1 ∂

      n n β

      de modo que β e D = . Assuma ainda

      j

      |β| =

      j=1 j=1

      i ∂x

      j

      que os coeficientes a : Ω

      β

      → C de A satisfazem:

      l

      i) a β (Ω) para todo ∈ C |β| ≤ 2m; ii) a (x)

      β

      ∈ R para todo x ∈ Ω e |β| = 2m; iii) existe a contante M > 0 tal que

      X

      2 β

      2 −1

      M a (x)ξ ,

      β

      |ξ| ≤ ≤ M|β|

      

    |β|=2m

    n

      para todo ξ e x ∈ R ∈ Ω.

      γ

      Então existem λ, ε > 0 tal que o operador λ + A , de modo que ∈ Θ ω

      ω = (π/2) − ε e γ = (ν/2m) − 1. Mais ainda, o expoente γ é justo.

      Demonstração. Como a demonstração deste resultado foge do objetivo principal teórico desta dissertação, vamos apenas indicar aonde a de- monstração pode ser encontrada.

      A parte da prova que corresponde a existência do setor e que ele está contindo no espectro de A, pode ser encontrada na “Satz” 2 do artigo

      Por fim, a justificativa da estimativa do resolvente ser justa com relação a γ, pode ser encontrada na “Bemerkung 2” do artigo Agora abordaremos um exemplo de equação diferencial parcial em que podemos aplicar nossa teoria.

      n 4 um domínio limitado com fronteira ∂Ω de clase C .

      Seja Ω ⊂ R Consideremos o problema linear limitado de derivada fracionária:

      

      α

      cD u(t, x) = ∆u(t, x) + f (u(t, x)), x  t

      ∈ Ω, t > 0, u(t, x) ∂Ω = 0, (3.25) |

       u(0, x) = u (x), x ∈ Ω,

      l

      no espaço C (Ω) (0 < l < 1), com ∆ simbolizando o Laplaciano com

      

    α

      respeito a variável espacial x e cD a derivada fracionária de Caputo

      

    t

    de ordem α ∈ (0, 1) (veja Definição para os detalhes).

      Assuma então que A := −∆ com

      2+l

      D(A) = (Ω); u = 0 em ∂Ω {u ∈ C }. Nessas condições, se escolhermos m = 1 e definirmos a família

      1, j = 2, |β| = 2 e algum β a β (x) =: otherwise,

      0, então a Proposição garante que para certos ν, ǫ > 0, o operador A + ν é quase setorial, ou seja

      (π/2)−ǫ l A + ν C (Ω) .

      ∈ Θ

      

    (l/2)−1

      Reescrevendo o problema na forma abstrata, obtemos a equa- ção:

      α

      cD u(t) + Au(t) = F (u), t > 0,

      t u(0) = u .

      Assuma agora que f : R → R é continuamente diferenciável e que satisfaz k(r)

      (3.26) |f(x) − f(y)| ≤ |x − y|, |x|, |y| ≤ r, r l

      para algum r > 0. Então f define um operador de Nemytskii de C (Ω)

      l

      em C (Ω) que é dado por F (u)(x) = f (u(x)), com l l , kF (u) − F (v)k C (Ω) ≤ k(r)ku − vk C (Ω) sempre que l , l kvk C (Ω) kuk C (Ω) ≤ r.

      l

      Note que γ = − 1 ∈ (−1, −1/2), então do Teorema e da

      2 Observação tem uma única mild solution para β ′ ′′

      u ) com β > l/2 e que se f e f são funções continuamente di- ∈ D(A ferenciáveis que satisfazem então temos que o operador Nemyts- kii satisfaz o Teorema logo para u

      ∈ D(A) com

      β

      Au ) e β > l/2 a solução mild de correspondente é a ∈ D(A única solução clássica.

      Capítulo 4 Conclusão

      Neste capítulo final fazemos uma breve apresentação dos assuntos abordados por esta dissertação.

      X O estudo do espectro dos operadores é muito importante na reso- lução das equações diferenciais. Particularmente, os operadores setoriais são essenciais na solução de problemas de Cauchy com derivada fracionária.

      X O problema de Cauchy unidimensional

      ′

      x (t) = ax(t), a ∈ R, t ∈ [0, ∞), x(0) = x , foi generalizado pela equação abstrata

      ′

      x (t) = Ax(t), t ∈ [0, ∞), x(0) = x . com A um operador que pode ser ilimitado. Isto nos levou ao estudo dos semigrupo e respectivos geradores infinitesimais; sejam eles geradores infinitesimais setoriais ou quase setorias.

      X O cálculo fracionário é uma generalização natural do cálculo de Newton e Leibniz. Esta teoria tem se mostrado extremamente relevante na interpretação de vários problemas matemáticos que modelam a realidade.

      X Os operadores de Mittag-Leffler são famílias de operadores que generalizam as noções clássicas de semigrupos. Porém Vale ob- servar que estes operadores nunca satisfazem a propriedade de concatenação dos semigrupos, e portanto nunca definem semi- grupos. Veja como fonte deste resultado.

      α α

      X Os operadores S (t) e P (t) são duas famílias de operadores de

      Mittag-Leffler muito importantes na solução de problemas de Cauchy com derivada de Caputo que estão associados aos ope-

      γ

      ). Estas famílias são muito di- radores quase setoriais (A ∈ Θ ω ferentes das do caso de operadores setoriais e necessitam de um

      ∞ estudo bastante complexo do cálculo funcional em H . Referências Bibliográficas

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