Bibliotecária Responsável: Helena Cristina Pimentel do Vale

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  UNIVERSID ADE FEDERAL DE ALA GO AS

  INSTITUTO DE FÍSICA PÓS-GRADUA Ç O EM FÍSICA

  Dissertação de Mestrado Deslo alização de Ondas A ústi as em

  Sistemas Unidimensionais não P erió di os Alex Eman uel Barros Costa

  Ma eió 2011 Alex Eman uel Barros Costa Deslo alização de Ondas A ústi as em

  Sistemas Unidimensionais não P erió di os Dissertação apresen tada ao Instituto de Físi a da Univ ersidade F ederal de Alagoas, omo parte dos réditos para a obtenção do título de Mestre em Ciên ias.

  Orien tador: Prof. Dr. F ran is o Ana leto Barros Fidelis de Moura

  Ma eió 2011

Catalogação na fonte Universidade Federal de Alagoas Biblioteca Central Divisão de Tratamento Técnico Bibliotecária Responsável: Helena Cristina Pimentel do Vale C437d Costa, Alex Emanuel Barros

  

Deslocalização de ondas acústicas em sistemas unidimensionais não perió-

dicos / Alex Emanuel Barros Costa. – 2011. 54 f. : il., grafs. Orientador: Francisco Anacleto Barros Fidelis de Moura.

Dissertação (mestrado em Física da Matéria Condensada) – Universidade

Federal de Alagoas. Instituto de Física. Maceió, 2011.

  Bibliografia: f. 50-54.

  

CDU: 531.771.1

  Dedi o esta dissertação aos meus pais Eman uel e Marisa, aos meus irmãos e à minha esp osa Larissa. Agrade imen tos Ap ós dois anos de in tensa dedi ação para a on retização de mais uma etapa de minha formação a adêmi o/pro ssional, en m, hega o momen to de agrade er

  àqueles que on tribuíram das mais div ersas formas, e estiv eram presen tes duran te esse p erío do.

  Agradeço a Deus p or me on eder força e sab edoria para lidar om as adv ersi- dades que surgem, e p or sempre se fazer presen te nos mais div ersos momen tos de minha vida.

  A minha esp osa Larissa, p or to do seu amor, arinho e alegria que tenho re e- bido duran te to do esse temp o. Agradeço p or sua pa iên ia e ap oio nos div ersos momen tos que tan to pre isei.

  Agradeço aos meus pais p elo amor, dedi ação e on ança onstan tes, p or terem in en tiv ado e in v estido na minha edu ação. A os meus irmãos, Lily an, Eman uelle e Vi tor, p elo arinho e amizade e tam b ém aos demais familiares p elo ap oio.

  A o meu orien tador prof. F ran is o Fidelis: p elo onhe imen to ompartilhado e onstruído duran te o mestrado, p elo trabalho onjun to realizado duran te esse temp o, que foi ara terizado p ela seriedade e ompromisso.

  A o prof. Mar elo Lyra p elas indi açõ es de referên ias essen iais para a quali- dade do meu trabalho, assim omo p or ter on tribuído, revisando, os artigos que foram publi ados.

  A o prof. Glaub er p or ter on tribuído para minha formação ien tí a duran te a graduação, e p or suas indi açõ es de referên ias p ertinen tes e imp ortan tes para a melhoria da qualidade do meu trabalho.

  A os meus olegas: Filip

  e, Ri ardo, Henrique, F red, Neto, Lidiane, Satik o, Gab eh, Anderson, P aulo, W andearley , Tha yla, Janderson e Max. A os professores do IF que on tribuíram para a minha formação ien tí a. A os demais amigos da p ós-graduação p ela agradá v el on viv ên ia. À CAPES p or p ossibilitar a on tin uidade dos meus estudos graças ao ap oio nan eiro.

  Resumo Nesta dissertação de mestrado estudamos n umeri amen te a propagação de on- das a ústi as em meios não p erió di os unidimensionais. Nós nos on en tramos em dois tip os de meios: (1) om distribuição da elasti idade p ossuindo orrelação de longo al an e e (2) om distribuição ap erió di a pseudo-aleatória. No primeiro aso, a elasti idade da distribuição aleatória é assumida ter um esp e tro de p otên-

  α

  ia . Usando o méto do de matriz de transferên ia resolv emos a v ersão

S(k) ∼ 1/k dis reta da equação da onda es alar e al ulamos o omprimen to de lo alização

  Além disso, apli amos o méto do de diferença nita de segunda ordem para as v ar- iá v eis temp oral e espa ial e estudamos a natureza das ondas que se propagam na adeia.

  Nossos dados n uméri os indi am a presença de ondas a ústi as estendidas para alto grau de orrelação. Em on traste om orrelação lo al, demonstramos n umeri- amen te que orrelaçõ es de livre-es ala promo v em uma fase está v el om ondas a ústi as livre no limite termo dinâmi o. No outro aso, a distribuição das on- stan tes elásti as foram geradas usando uma função senoidal uja fase v aria omo

  ν

  uma lei de p otên ia, , onde rotula as p osiçõ es ao longo da rede. A o

  φ ∝ n n

  onsiderar no v amen te uma v ersão unidimensional dis retizada da equação de onda e uma reform ulação da matriz re ursiv a nós al ulamos o omprimen to de lo al- ização den tro da faixa de freqüên ias p ermitidas. Nossos dados n uméri os indi am a presença de ondas a ústi as propagan tes om freqüên ia diferen te de zero para um su ien te grau de ap erio di idade.

  P ala vras- ha v

  e: Ondas A ústi as - Lo alização, Ap erio di idade, Correlação, Desordem, Sistemas A ústi os.

  Abstra t In this Master degree thesis w e n umeri ally study the propagation of a ousti w a v es in one-dimensional nonp erio di s medium. W e fo us on t w o kinds of medium:

  (1) a media with s ale-free long-range orrelated elasti it y distribution and (2) medium with an ap erio di pseudo-random elasti it y distribution. In the rst ase, the random elasti it y distribution is assumed to ha v e a p o w er sp e trum

  S(k) ∼ α

  . By using a transfer matrix metho d w e solv e the dis rete v ersion of the

  1/k

  s alar w a v e equation and ompute the lo alization length. In addition, w e apply a se ond-order nite-di eren e metho d for b oth the time and spatial v ariables and study the nature of the w a v es that propagate in the hain.

  Our n umeri al data indi ate the presen e of extended a ousti w a v es for high degree of orrelations. In on trast with lo al orrelations, w e n umeri ally demon- strated that s ale-free orrelations promote a stable phase of free a ousti w a v es in the thermo dynami limit. In the another ase, elasti it y distribution w as gen-

  ν

  erated b y using a sin usoidal fun tion whose phase v aries as a p o w er-la w, ,

  φ ∝ n

  where lab els the p ositions along the media. By onsidering again a dis rete one-

  n

  dimensional v ersion of the w a v e equation and a matrix re ursiv e reform ulation w e ompute the lo alization length within the band of allo w ed frequen ies. Our n umeri al data indi ates the presen e of extended a ousti w a v es with non-zero frequen y for su ien t degree of ap erio di it y .

  Keyw ords: A ousti - W a v es Lo alization, Ap erio di it y , Correlation, Disor- der, A ousti Systems. Sumário

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vii

  

  3

<a href="gldoctocv5ek7h.html#14"> ústi as</a> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  4

<a href="gldoctocv5ek7h.html#16">ransferên ia</a> <a href="gldoctocv5ek7h.html#16"> omprimen</a> <a href="gldoctocv5ek7h.html#16"> alização</a> . . . . . . . .

  6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  9

<a href="gldoctocv5ek7h.html#23">Es ala</a> . . . . . . . . . . .

  13

<a href="gldoctocv5ek7h.html#28">Es ala</a> . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  18

  

  23

<a href="gldoctocv5ek7h.html#34"> om</a> <a href="gldoctocv5ek7h.html#34"> orrelação</a> <a href="gldoctocv5ek7h.html#34">al an e</a> . . . . . . . .

  24

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  27

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  28

  

  38

  40

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  41

  49

  51

  58 Capítulo

  1 INTR ODUÇ O No sé ulo

  XX, as propriedades eletr ni as motiv aram o estudo da ondução de elétrons em div ersos sistemas, ulminando om o surgimen to dos transístores que rev olu ionaram a eletr ni a e trouxeram enormes b enefí ios à so iedade. Ander- son

   ℄, nesse mesmo sé ulo, impulsionou os estudos da lo alização eletr ni a

  ao prev er que to dos estados em meios desordenados são lo alizados para sistemas de baixa dimensionalidade, indep enden te do grau de desordem. Em bus a da vio- lação da T eoria de Anderson, realizada p or in úmeros ien tistas, p o de-se a rmar, ho je, que orrelação

   ℄ e ap erio di idade

   na desordem, são formas on-

  v enien tes de tornar ondutores sistemas uni e bidimensionais. Algo mais p e uliar e in teressan te foi a observ ação de que o fen meno de lo alização eletr ni a se dev e à ara terísti a ondulatória do elétron

   ℄, o que in en tiv ou e estim ulou o estudo da lo alização em outras lasses de sistemas.

  Nas últimas duas dé adas tem res ido o in teresse p elo estudo de propagação de ondas lássi as em meios heterogêneos

   ℄. Nos anos 80, res eu o in teresse

  em on trolar as propriedades óti as e a ústi as dos materiais, o que p ossiblitou o surgimen to de no v os on eitos omo ristais fot ni os

   e ristais fon ni os

  

  

que exploram as propriedades ondulatórias da luz e do som, para on trolar

  a propagação nesses materiais. Nesse on texto, lo alização de ondas tem sido estudada no âm bito de ondas a ústi as

   e eletromagnéti as ℄ , p ermitindo

  utilizar essas ondas, ditas lássi as, para a ara terização de materiais, assim omo para apli ação te nológi a. P o demos itar omo exemplo a riação de disp ositiv os fot ni os e fon ni os que graças à propriedade da lo alização de ondas, des rita p or Anderson, ltram ertas frequên ias imp ossibilitando sua propagação.

  A partir das onsideraçõ es feitas a ima, nosso in teresse reside na in v estigação de duas lasses de sistemas: ap erió di os e om orrelação de longo al an e; am b os amplamen te estudados no mo delo eletr ni o exibindo transição de Anderson no regime de .

  d ≤ 2

  Dando on tin uidade a esse apítulo, apresen taremos a equação a ústi a do nosso mo delo, faremos uma revisão da teoria de Anderson e dos prin ipais resul- tados da in orp oração de orrelação e ap erio di idade em sistemas desordenados.

  1.1 Ondas A ústi as Nessa seção form ularemos o problema de propagação de ondas a ústi as em sis- temas elásti os unidimensionais

   . É didati amen te, in teressan te ab ordar

  o aso da propagação de ondas em ordas esti adas an tes de des rev er, de forma geral, o aso a ústi o. Esse simples e usual exemplo, nos forne e resultados im- p ortan tes para a ompreensão de div ersos outros sistemas omo p or exemplo, a propagação de ondas a ústi as em sólidos e em mem branas elásti as

   ℄.

  Consideremos que uma orda p ossui densidade onstan te (massa/ omprimen to).

  ρ Figura 1.1: Uma p orção de uma orda xa em am b os os lados. O deslo amen to

  ds do equilíbrio no lado esquerdo é e no lado direito .

  ψ ψ + dψ Seja um omprimen to da orda des rita p or .

  V eja a represen tação da

  ds s(x,t)

  orda na gura

   A tensão v aria om a p osição . O deslo amen to é ~τ x ψ(x)

  p equeno e p erp endi ular à direção . A massa do omprimen to do seguimendo

  x dm

  de orda é . As omp onen tes horizon tais das tensõ es são apro ximadamen te

  ds ρds

  iguais e op ostas, sendo assim, iremos negligen iar o mo vimen to da orda na direção . A força na direção é:

  x ψ(x)

  2 ∂ ψ(x,t)

  (1.1)

  

∆F = ρds ,

  2 ∂t em que represen ta a diferença da tensão em e .

  ∆F x x + dx

  A força p o de ser en on trada atra v és do ál ulo da diferença da omp onen te

  y da tensão:

  (∆F ) = −τ (x) sin(θ ) + τ (x + dx) sin(θ ) y

  1

  2

= −τ (x) tan(θ ) + τ (x + dx) tan(θ )

  1

  2 ∂ψ(x,t) ∂ψ(x,t)

  • = − τ (x) τ (x) ∂x ∂x

  x x+dx ∂ ∂ψ(x,t)

  ∂x ∂x

  (1.2) = τ (x) dx.

  assumindo que é p equeno para p equenos deslo amen tos, onsideramos

  θ sin θ ≈ . tan θ

  Agora igualando as equaçõ es

   para : ds ≈ dx

  2 ∂ ψ(x,t) ∂ τ (x) ∂ψ(x,t)

  2 ∂t ∂x ρ ∂x

  (1.3) = .

  P ara o aso em que , ou seja, para ordas homogêneas temos a equação

  τ (x) = τ

  da onda om umen te onhe ida:

  2

  2

∂ ψ(x,t) τ ∂ ψ(x,t)

  (1.4)

  = ,

  2

  2

∂t ρ ∂x

em que a v elo idade da propagação da onda é . v = pτ/ρ

  1.2 Matriz de T ransferên ia e omprimen to de lo- alização No on texto de lo alização de ondas, uma maneira simples de pro eder é form ular o problema em termos matri iais, visando p or m al ular o omprimen to de lo a- lização do sistema. Com essa nalidade, bus aremos uma represen tação matri ial para a equação de ondas a ústi as unidimensionais apresen tada na seção an terior. A partir de en tão, onsideraremos a massa de ada segmen to igual a e p ortan to

  1

  omo sendo uma medida efetiv a das propriedades elásti as lo ais do meio

  τ (x)/ρ ( onstan te elásti a efetiv a ).

  η(x) −iωt V amos onsiderar que tem dep endên ia temp oral harm ni a da forma .

  ψ exp

  −iωt P o demos, p ortan to, es rev er sendo a frequên ia da onda.

  ψ(x,t) = ψ(x) exp ω

  Assim, a equação da onda a ústi a em uma dimensão é es rita:

  ∂ ∂ψ(x)

  2

  ∂x ∂x

  (1.5) [η(x) ] + ω ψ(x) = 0.

  Considerando uma dis retização uniforme da rede om espaçamen to e sendo

  ∆x

  o n úmero do sítio ao longo da adeia, as p osiçõ es passam a ser m últiplos de

  i x

  , ou seja, para um mo delo dis retizado. Usando que:

  ∆x x = i∆x ∂ ∂ψ(x)

  i i+1 i i−1 i i−1 ∂x ∂x

  (1.6) [η(x) ]≈[η (ψ − ψ ) −η (ψ − ψ )].

  e seguindo a referên ia

   v amos onsiderar . Assim temos: ∆x = 1

  2

  i i+1 i i−1 i i−1 i

  (1.7)

η (ψ − ψ ) − η (ψ − ψ ) + ω ψ = 0.

  P o demos rearranjar os termos e es rev er na forma matri ial:

  

       

  2 i i i −ω +η +η η

  −1 −1

ψ − ψ ψ

i+1 i i

i i

  η η

       

  (1.8)

  

= =T

i

  

       

ψ 1 ψ ψ i i−1 i−1

  A matriz é a matriz de transferên ia lo al que one ta a amplitude da onda

  T i

  2

  10

  10

  14

  • 2

  N=2

  10

  17 λ/Ν

  N=2

  • 4

  10

  • 6

  10

  1

  2

  3

  4 ω

  Figura 1.2: para um sistema totalmen te desordenado. Observ e que ap enas

  λ/N em há uma sup erp osição das urv as. ω = 0

  no sítio om os sítios e . P ara uma adeia que p ossui sítios, a matriz

  i + 1 i i − 1 N

  de transferên ia total que one ta a amplitude no m da adeia om as amplitudes

  Q N ψ

  1

  ini ias é . Dessa forma, dada um ondição ini ial , p o demos

  Q = T C =

  N i i=1 ψ ψ N +1

  en on trar , uma v ez que .

  C = C = Q C N N N N

  ψ

  O exp o en te de Ly apuno v, ou in v erso do omprimen to de lo alização , é

  λ

  de nido p or:

  1 1 |Q N C |

  

N →∞

λ N |C |

  (1.9)

γ(ω) = = lim ln .

  

14

  17 Consideremos duas redes om e sítios que p ossui onstan tes N = 2 N = 2 elásti as aleatórias, om v alores igualmen te distribuídos no in terv alo e

  [1.5,2.5]

  v ejamos o omp ortamen to do omprimen to de lo alização para esse sistema. A gura

   mostra que ap enas para o omprimen to de lo alização div erge no ω = 0

  limite termo dinâmi o; esse resultado sugere a existên ia de estado deslo alizado ap enas para a frequên ia , isso represen ta que para , to dos os estados

  ω = 0 ω 6= 0

  a ústi os são lo alizados. Esse resultado simples, demonstra o efeito da desordem na propagação a ústi a em uma dimensão.

  Como já an tes tínhamos omen tado, efeitos de desordem é um tópi o de grande in teresse na Físi a da Matéria Condensada, sendo bastan te ompreendido para sistemas eletr ni os. P or essa razão, v amos nos situar nesse on texto apresen tando os prin ipais resultados. Na pró xima seção é apresen tado o mo delo de Anderson, que p ermitiu grandes des ob ertas na dé ada de 60 sobre lo alização eletr ni a.

  1.3 O Mo delo de Anderson Em 1958, P . W. Anderson

   apresen tou um mo delo que p ermitiu in v estigar

  a natureza dos estados eletr ni os em sistemas desordenados. Mostrou que na presença de desordem a natureza da função de onda p o de m udar de estendida, omo no aso das ondas de Blo h

   para lo alizada. Além disso, p ela primeira

  v ez, estimou quan titativ amen te a largura da desordem ne essária para a o orrên ia dessa transição que ho je é onhe ida omo T ransição de Anderson. O Hamiltoniano de Anderson, na represen tação de segunda quan tização, é expresso p or:

  X X † †

  

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

  • (1.10)

    H = E C C T C C .

  i i ij j i i i i6=j Nessa expressão, é a energia do i-ésimo sítio, é a in tregral de trans-

  E i T ij †

  ferên ia en tre os sítios e (tam b ém onhe ida p or amplitude hopping ) e ˆ e

  i j C

ˆ são, resp e tiv amen te, os op eradores de riação e destruição do elétron no sítio

  C

  . É imp ortan te desta ar que, nesse Hamiltoniano as in teraçõ es Coulom bianas

  i

  en tre os elétrons são desprezadas. A desordem ara terísti a do mo delo é in tro- duzida es olhendo-se para ada sítio de forma aleatória den tro de um in terv alo

  E i i

  . O grau de desordem do sistema é on trolado p elo parâmetro , o-

  [−W/2,W/2] W

  nhe ido omo largura da distribuição de desordem. Quando é obtido um

  W = 0 sistema ordenado, no qual to dos os sítios p ossui a mesma energia.

  O mo delo tridimensional de Anderson, prev ê a existên ia de estados estendi- dos, para um grau de desordem menor que o grau ríti o , ou seja, em que

  W c

  . Utilizando-se desse mo delo, Anderson mostrou a existên ia da hamada

  W &lt; W c lo alização da função de onda eletr ni a p ela desordem.

  Um mo do simples de dis utir o mo delo de Anderson é es rev endo os auto-

  P

  estados do Hamiltoniano ˆ om energia em termos da expansão

  H E ψ = a φ i i i

  em que é a função de onda de um elétron lo alizado no sítio . Assim temos:

  φ i i

  X

  • +

    (1.11)

    Ea = E a T a .

  i i i ij j j

  Sendo um estado não esta ionário, os o e ien tes ' dep enden tes do temp o,

  ψ a i s

  ob ede erão à equação:

  X da i

  • (1.12)

    − i~ = E a T a .

  i i ij j dt j

  V amos in v estigar o aso sem desordem, ou seja, em que W=0. P o demos sup or que os p oten iais estão distribuídos sobre uma rede regular, na qual só existem os termos de hopping en tre os primeiros vizinhos para ada sítio , sendo esses de

  z i

  mesma magnitude . Dessa forma a equação

   de S hö dinger dep enden te do T

  temp o, torna-se

  j=z

  X

  (1.13)

  

Ea i = E i a i + T a i+j ,

j=1

  em que é o termo de hopping en tre qualquer par de sítios da rede. P or simpli-

  T

  idade, sab endo que a energia é a mesma em to dos os sítios, onsideremos que

  E i

  p ossui v alor . P ara uma adeia unidimensional, a equação

   se reduz a E = 0 i

  (1.14)

  

Ea i = T (a i−1 + a i+1 ),

ink

  que p o de ser solu ionada es olhendo . Assim, obtemos a relação de

  a = a exp n

  disp ersão para uma rede unidimensional: (1.15)

E = 2T cos k.

P ortan to, a banda p ermitida é dada p or: , om largura de banda

  −2T &lt; E &lt; 2T

  . De maneira geral, para uma rede de dimensão om n úmero de primeiros

  B = 4T d

  vizinhos , a largura de banda é . O aso geral, sem simpli açõ es, em que

  z B = 2zT

  e , foi ab ordado p or Anderson utilizando méto dos p erturbativ os para

  W 6= 0 T 6= 0

  e . Anderson demostrou om esse mo delo que se for su ien temen te

  W T

  grande, o orre um transição metal-isolan te em que to dos os estados na banda são exp one ialmen te lo alizados. O ritério qualitativ o para existên ia de estados deslo alizados é dado p or:

  (1.16)

W &gt; B. Figura 1.3: T ransição de Anderson.

  a) P oten ial p erió di o om largura de banda .

  b) P oten ial aleatório om largura de desordem . Quando a largura de de-

  B W sordem sup erar a largura de banda , o orre lo alização induzida p or desordem.

  W B

  V amos apresen tar quan titativ amen te a origem da lo alização. Consideremos o mo delo de Blo h

   om p oten ial p erió di o, p or on v eniên ia o p oten ial rista-

  lino , ou seja, uma situação de elétron livre. Caso seja in tro duzida uma

U(r) = 0

  barreira de p oten ial, a esse elétron, a função de onda será par ialmen te transmi- tida e re etida; se for in tro duzida duas barreiras a onda eletr ni a será re etida duas v ezes, ha v endo in terferên ia onstrutiv a ou destrutiv

  a, que dep enderá da diferença de fase en tre as ondas. O padrão de in terferên ia p o de ser bastan te al- terado, ao onsiderar v árias barreiras om p oten iais aleatórios ou espaçadas de forma aleatória, a onda sofrerá v árias re exõ es sem man ter o erên ia de fase. Es- sas re exõ es ausam in terferên ias destrutiv as, tornando a onda exp onen ialmen te lo alizada. A função de onda passa a ar lo alizada em um p equena região do sólido, assumindo v alores desprezív eis em qualquer outra região.

  P ara um grau de desordem forte, Anderson mostrou que a função de onda é Figura 1.4: F unção de onda lo alizada. O parâmetro mede a largura típi a da

  λ função de onda e é tam b ém onhe ido omo omprimen to de lo alização.

  lo alizada exp onen ialmen te em uma p equena região. A probabilidade de en on tar

  −|~ r−~ r |/λ

  o elétron de ai exp onen ialmen te om a distân ia, ou seja, . A

  |ψ| ∼ e

  quan tidade , onhe ida omo omprimen to de lo alização, p o de ser usada para

  λ

  ara terizar um estado eletr ni o omo sendo lo alizado ou deslo alizado. Em geral, para um estado deslo alizado, no limite termo dinâmi o .

  λ → ∞

  1.4 T eoria de Es ala para a T ransição de Anderson V amos agora apresen tar a teoria de es ala

   ℄ que nos p ermite en on trar a de-

  p endên ia da transição de Anderson om a dimensão. A hip ótese bási a dessa teoria é que uma úni a quan tidade ara terísti a, rotulada de ondutân ia ge- neralizada , on trola a transição metal-isolan te de Anderson para a temp eratura

  g

  . Nessa ab ordagem, a teoria de es ala foi apli ada na reform ulação do mo-

  T = 0

  delo de Anderson feita p or Thoules

   ℄. Na reform ulação de Thoules, as unidade

  fundamen tais deixam de ser os sítidos at mi os , passando a ser hip er ub os de

  i d

  v olume . Dessa forma, um sólido ristalino passa a ser formado p or v árias aixas

  L

  a opladas. As energias e , do mo delo de Anderson, agora são map eadas res- p e tiv amen te no espaçamen to médio en tre os nív eis e em que represen ta

  ∆E δE o deslo amen to ausado p or m udanças nas ondiçõ es de on torno.

  Utilizando o prin ípio de in erteza, p o demos rela ionar om a ondutividade

  δE

  no limite ma ros ópi o. A tra v és do prin ípio da in erteza temos

   σ

  (1.17)

  

δE = ~/t ,

D

  sup ondo que o elétron difunde até os on tornos de uma aixa de lado des rev endo

  L

  um mo vimen to aleatório ou Bro wniano em um temp o , temos a relação:

  t D

  2

  (1.18)

  

t = L /D,

D

  em que é a onstan te de difusão. Com o uso da relação de Einstein en tre a

  D

  ondutividade e as propriedades de difusão: (1.19)

  

σ = eDn(E),

  e om binando as equaçõ es

   temos: σ~

  2

  2 e (L n(E))

  (1.20)

δE = .

  A densidade de estados:

  1

  d L ∆E

  (1.21)

n(E) = .

  A razão nesse on texto é agora vista omo sendo a força de desordem

  ∆E/δE

  do sistema, análogo a razão do tradi ional mo delo de Anderson. O parâmetro

  Figura 1.5: Comp ortamen to qualitativ o de para uma, duas e três dimensõ es.

  β(g) Apresen tado p or Abrahams, Anderson, Li iardello e Ramakrishnam em 1979.

  −1

  de desordem, denotado p or , p ossui dep endên ia om a es ala e é de nido p or:

  g

1 ∆E

  

g(L) δE

  (1.22) ≡ .

  Substituindo a equação equação

   , obteremos a dep endên ia

  do parâmetro de ordem om a es ala:

  2 d−2

  (1.23)

g(L) = (~/e )σL .

A equação

   é v álida para o limite ma ros ópi o, uma v ez que a equação

  

  é v erdadeira nesse limite. O parâmetro p o de ser visto omo uma ondutân ia

  

g

  

2 d−2

  generalizada em unidades de , tendo o termo de nido omo a ondutân-

  

e /~ L σ

ia de um ub o d-dimensional de lado e ondutividade .

  V amos in v estigar a

  L σ

  dep endên ia de om o omprimen to de es ala utilizado. Com essa nalidade

  g(L)

  sup ondo que seja a ondutân ia generalizada para

  g = g(L ) = δE(L )/∆E(L ) d

  um sistema om v ários hip er ub os a oplados de v olume . A teoria de es ala

  L

  assume que, dado em uma es ala om omprimen to , p o demos obter em

  g L g

  uma es ala maior . Na no v a es ala , o parâmetro é ompletamen te

  

L = bL L g

  determinado onhe endo e o fator de es ala . P ara explorar o omp ortamen to

  g b

  do parâmetro om a es ala, v amos obter a deriv ada logarítimi a de , denotada

  g g

  p or e expressa p or:

  β dlng(L)

  dlnL

  (1.24)

β(g) = .

  A gura

   represen ta o omp ortamen to qualitativ o da função para uma, β

  duas e três dimensõ es. P ara p ositiv o o parâmetro res e om o res imen to

  β g de e para negativ o de res e om o res imen to de .

  V amos des rev er o

  L β g L

  omp ortamen to de , observ ando o omp ortamen to de em seus limites assin tóti-

  β g

  os, ou seja, em e . P ara o limite ma ros ópi o, em que é grande,

  g → ∞ g → 0 g

  p o demos usar a equação

   e partindo dessa relação, obtermos em : β g → ∞

  (1.25)

  

lim β(g) = d − 2,

g→∞

  ou seja,

   

  em

  

  • 1 d = 3   

  (1.26) em

  β(∞) = d = 2    

  em

   −1 d = 1

  P ara o aso em que , ou seja, fra o a oplamen to e forte desordem, o

  g &lt;&lt; 1 mo delo de Anderson prev ê que to dos os estados são lo alizados e de aem exp onen- ialmen te om a distân ia. Nos on tornos de uma aixa de dimensão linear , a

  L

  amplitude da função de onda de um elétron lo alizado den tro da aixa é da ordem

  −γL

  de , em que é o omprimen to de lo alização. Como o a oplamen to en tre

  e 1/γ

  as aixas tam b ém p ossui a mesma dep endên ia exp onen ial om , a ondutân ia

  L

  generalizada de ai exp onen ialmen te, p ortan to, usando a equação

   temos g

  que: (1.27)

  

lim β(g) = ln(g),

g→0

  p ortan to, temos o seguin te resultado que indep enden te da dimensão, (1.28)

lim β(g) = −∞.

  g→0

  Assumindo que a função é monot ni a en tre os limites de e

  β(g) g → ∞

  , p o demos repro duzir fa ilmen te a gura

   Observ emos aten tamen te o g → 0

  omp ortamen to de para . P o demos notar que, para essa dimensão existe

  β d = 3

  um p on to xo instá v el em om . Em , a ondutân ia indep enden te

  β = 0 g = g c g c

  da es ala, ara terizando uma transição metal-isolan te de Anderson. A prin ipal on lusão da teoria de es ala é que para , em esp e ial em e , não

  d &lt; 3 d = 1 d = 2

  existe transição metal-isolan te e to dos estados são lo alizados, p ois a ondutân ia v ai sempre a zero quando . Em analogia om as teorias de transiçõ es de fase

  L → ∞

  de segunda ordem, a ondutividade em orren te on tín ua e o omprimen to

  σ DC

  de lo alização , pró ximos da energia ríti a de transição (mobility e dge) tem um

  λ omp ortamen to tip o lei de p otên ia:

  s σ ∝ (E − E )

  DC c −ν

  c

  (1.29) λ ∝ (E − E ) .

  Os v alores dos exp o en tes foram n umeri amen te obtidos usando uma

  s = ν = 1

  expansão em p or W egner

   ℄ e tam b ém p or té ni as de expansão diagramáti a d+ǫ

  p or V ollhard e Wl e

   ℄. Re en temen te, onsideraçõ es sistemáti as de v ariá v eis

  irrelev an tes e orreçõ es não lineares na teoria de es ala têm re nado os resultados, obtendo o exp o en te ríti o om maior pre isão n uméri a

   ℄.

  ν ≈ 1.57

  1.5 Violação da T eoria de Es ala A té en tão, vimos que a teoria de es ala para o mo delo de Anderson prev ê que to dos os estados são lo alizados em sistemas de baixa dimensionalidade, ou seja, em para qualquer grau de desordem; e tam b ém, prev ê a p ossibilidade de

  d ≤ 2

  uma transição metal-isolan te para um sistema tridimensional. En tretan to, v ários trabalhos re en tes têm apresen tado transiçõ es metal-isolan te em sistemas de baixa dimensionalidade, para sistemas om desordem orrela ionada ou sistemas pseudo- aleatórios, resultados não previstos p elo mo delo de Anderson original.

  Em meados da dé ada de , v ários trabalhos en v olv endo mo delos tight-binding

  80

  unidimensionais om p oten iais in omensurá v eis rev elaram a presença de uma

  ν

  transição metal-isolan te. P or exemplo, um p oten ial do tip o

  ǫ = V cos k|n| n

  onde e é um n úmero irra ional en tre e apresen ta v ários asp e -

  k = 2πα α

  1

  tos in teressan tes

   ℄. P ara existem estados estendidos na faixa 0 &lt; ν &lt; 1 e estados lo alizados nas faixas e

  −2 + V &lt; E &lt; 2 − V 2 − V &lt; E &lt; 2 + V

  para , enquan to que to dos os estados são lo alizados

  −2 − V &lt; E &lt; −2 + V V &lt; 2

  para . P ara os estados eletr ni os são lo alizados se e estendi-

  V &gt; 2 ν = 1 V &gt; 2

  dos se . P ara to dos os estados são lo alizados, mas o o e ien te

  V &lt; 2 1 &lt; ν &lt; 2

  de Ly apuno v se apro xima de zero no en tro da banda. Finalmen te, para

  ν &gt; 2

  o sistema se omp orta omo um mo delo de Anderson unidimensional e to dos os estados são exp one ialmen te lo alizados.

  Em 1990, Dunlap e olab oradores

   ℄ atra v és do mo delo de tight-binding unidi-

  mensional, estudaram uma adeia omp osta p or uma liga binária. As energias dos sítios, nesse mo delo, p o dem assumir v alores e . Os sítios de energia sempre

  ǫ ǫ ǫ a b a

  apare em em pares , tendo probabilidade de apare er enquan to probabilidade

  p ǫ b

  . O termo de hopping en tre os primeiros vizinhos é onstan te e igual a . F oi

  1 − p t

  mostrado nesse trabalho que se o sistema apresen ta uma ener-

  

−2t &lt; ǫ − ǫ &lt; 2t

a b

  gia ressonan te em que a função de onda é deslo alizada. Uma série de trabalhos en v olv endo orrelaçõ es tip o dímeros surgiram desde en tão sempre om os mesmos resultados: div ergên ia do omprimen to de lo alização em algumas energias ríti- as

   ℄. A diferença fundamen tal en tre o mo delo de Anderson original e os

  mo delos de dímeros é a existên ia de orrelaçõ es nas energias dos sítios. W u e Phillips

   mostraram que a distribuição de desordem na p olianilina é des rita

  exatamen te p or este mo delo de dímeros aleatórios. A existên ia desses estados estendidos ressonan tes foram v eri adas p or Bellani et al

   em exp erimen tos om sup er-redes de dímeros aleatórios (GaAs-AlGaAs).

  Em 1998, Moura e Lyra

   ℄ estudaram um mo delo de Anderson unidimensional

  substituindo a desordem típi a do mo delo de Anderson p or desordem orrela- ionada. Neste trabalho o p oten ial foi es olhido a p ossuir um traço ara terísti o de um mo vimen to Bro wniano fra ionário, ujo a densidade esp e tral é dada p or:

  1

  (1.30)

  

S(k) ∝ ,

α k

  em que é a transformada de F ourier da função orrelação en tre dois p on tos

  S(k)

  . O parâmetro mede o grau de orrelação da sequên ia. P ara

  &lt; ǫ ǫ &gt; α α = 0 i j

  re up era-se uma sequên ia ompletamen te des orrela ionada. A tra v és do forma- lismo de grup o de renormalização, Moura e Lyra

   ℄, mostraram que para α &gt; 2

  este sistema p o de exibir uma fase de estados estendidos no en tro da banda. Esses resultados são imp ortan tes, p ois p ela primeira v ez foi apresen tada uma v erdadeira transição metal-isolan te em sistemas unidimensionais. Na mesma ép o

  a, em 1999, Izrailev e Krokhin

   mostraram tam b ém a existên ia de transição de Anderson

  para sistemas unidimensionais p ossuindo orrelação de longo al an e, atra v és do uso da teoria de p erturbação de segunda ordem. Ainda em 1999, resultados seme- lhan tes a esses foram obtidos p elo grup o de Izrailev e Krokhin

   Utilizando uma

  teoria de p erturbação de segunda ordem obtiv eram uma transição metal-isolan te em sistemas om desordem orrela ionada. A presença de uma v erdadeira fase metáli a em sistemas om orrelaçõ es de longo al an e na distribuição de desor- dem v em hamando a atenção da om unidade ien tí a e motiv ando m uitos estudos teóri os e exp erimen tais. P o demos itar a observ ação exp erimen tal de transmis- são de mi ro-ondas em guias retangulares om espalhadores orrela ionados

   ℄.

  Nesse exp erimen to, os espalhadores olo ados no guia de ondas, são parafusos mi- rométri os (v er gura

   <a href="gldoctocv5ek7h.html#31">) ujas</a> dimensõ es são orrela ionadas. Eles en on traram

  1

  2 uma faixa de frequên ias [ ℄ onde os mo dos são transmitidos.

  ω ,ω c c

  No on texto de ondas lássi as, uma série de trabalhos tem sido apresen tados Figura 1.6: Aparato exp erimen tal do guia de onda usado na referên ia ℄. mostrando a presença de transição de Anderson em sistemas unidimensionais. Em 2008, Sahimi e olab oradores

   apresen taram resultados para a propagação

  de ondas a ústi as em sistemas unidimensionais om orrelaçõ es tip o dímeros na distribuição de desordem. A tra v és do méto do da matriz transferên ia, ál ulo analíti o e diferença nita, mostraram a existên ia de um estado estendido para uma frequên ia de ressonân ia . O v alor de dep ende diretamen te do tip o

  

ω c ω c

  de dímero utilizado. Propagação de ondas a ústi as em meios om orrelaçõ es tip o lei de p otên ia tam b ém v êm sendo estudadas atra v és de méto dos de grup o de renormalização b em omo méto dos n uméri os

   ℄. Resultados indi am a existên ia de estados a ústi os estendidos para quaisquer dimensõ es top ológi as.

  Considerando esse on texto, nessa dissertação, estudamos atra v és do méto do da matriz transferên ia e diferença nita, os efeitos das distribuiçõ es de elasti i- dades não-p erió di as nas propriedades de transmissão a ústi a em baixa dimen- sionalidade. V amos adaptar distribuiçõ es não p erió di as já estudadas previamen te em sistemas quân ti os eletr ni os e magnéti os

   ℄ para sistemas elásti-

  os unidimensionais. Estamos in teressados em duas lasses esp e í as: sequên ias om orrelaçõ es de longo al an e tip o mo vimen to Bro wniano fra ionário e b em omo sistemas ap erió di os. No apítulo 2, v amos apresen tar nossa análise sobre transp orte de ondas a ústi as em sistemas om orrelaçõ es de longo al an e e no apítulo 3 em sistemas ap erió di os. P or m, um brev e apítulo om as on lusõ es e p ersp e tiv as, e um anexo on tendo os artigos pro duzidos duran te esta dissertação.

  Capítulo

  2 LOCALIZA Ç O DE OND AS A CÚSTICAS EM POTENCIAIS COM CORRELA Ç O DE LONGO ALCANCE No apítulo an terior, explanamos a imp ortân ia do estudo sobre o efeito de desor- dem em div ersos sistemas. Neste apítulo apresen taremos um estudo n uméri o da equação de onda a ústi a na presença de uma distribuição de elasti idade om or- relaçõ es de longo al an e. Em nosso estudo v amos gerar a onstan te elásti a efetiv a do meio atra v és do traço de um mo vimen to Bro wniano fra ionário. Basi amen te

  −α

  v amos onstruir uma distribuição que p ossui densidade esp e tral , em

  S(k) = k

  que e é o omprimen to de onda das mo dulaçõ es da distribuição. O

  k = 1/λ λ

  parâmetro mede o grau de orrelação da distribuição. é obtido tomando a

  α S(k)

  transformada de F ourier en tre dois p on tos . Uma das formas mais simples

  &lt; ǫ ǫ &gt; i j de gerar esse tip o de distribuição é atra v és do mo vimen to Bro wniano fra ionário (MBF) que será apresen tando na pró xima seção. Ap ós en tender omo gerar n u- meri amen te uma distribuição om orrelaçõ es de longo al an e v amos in tro duzir a mesma, omo sendo as onstan tes elásti as na equação de onda a ústi a e estudar o efeito desta orrelação usando méto dos n uméri os usuais

  

  2.1 Distribuição aleatória om orrelação de longo al an e Generalizando o on eito de função aleatória , Mandelbrot

   ℄ in tro duziu x(t)

  o on eito de mo vimen to Bro wniano fra ionário (MBF) que tem sido utilizado para gerar sequên ias aleatórias orrela ionadas. Considerando que represen ta a

  B (t) H

  p osição da partí ula que des rev e um mo vimen to Bro wniano fra ionário em um instan te e onsiderando que , temos que a função que mede a

  t B (t = 0) = 0 C(t) H

  orrelação en tre os in remen tos e , é rela ionada

  (B (0)−B (−t)) (B (t)−B (0)) H H H H

  om o exp o en te de Hust, omo a seguir:

  &lt; −B H (−t)B H (t) &gt;

  2H−1

  2 B (t) H

  (2.1) C(t) = [ ] = (2 − 1).

  Observ e que para to do instan te de temp o quando , ou seja,

  C(t) = 0 H = 1/2

  para o aso de um mo vimen to Bro wniano simples. P ara , os in remen-

  H 6= 1/2

  tos en tre os ev en tos p ossui orrelação diferen te de zero para qualquer instan te de temp o. Quando temos que o mo vimen to é p ersisten te, ou seja, se a

  H &gt; 1/2

  aminhada sofreu res imen to no passado en tão os in remen tos no futuro tendem a ser p ositiv os. Já para a situação em que , o mo vimen to é an tip ersis-

  H &lt; 1/2 ten te indi ando que in remen tos negativ os no passado impli am em in remen tos p ositiv os no futuro e vi e-v ersa.

  P ara gerar uma série temp oral aleatória om esp e tro b em de nido, v ários autores

   tem usado a transformada de F ourier dis reta, obtendo a relação: N/2

  X

1/2

  i k k n k k=1

  (2.2) x = (S(ω )∆ω) cos(ω t + φ ).

  É imp ortan te salien tar que o ruído na série é originado ao onsiderar que

  x i

  as fases assumem v alores uniformemen te distribuidos de forma aleatória

  N/2 φ k

  no in terv alo . As frequên ias , são m últiplas da frequên ia fundamen tal

  [0,2π] ω k

  , ou seja, . Considerando que a partí ula seja observ ada

  ∆ω = 2π/T ω = k∆ω k no temp o , e que tenha v alores em um p erío do , assim . t = iτ N T T = Nτ i α

  Assumindo que e es olhendo p or on v eniên ia , obtemos:

  

S(ω ) = 1/ω τ = 1

k k

  " # N/2 1−α

  −α

  X 2πik 2π

  i k

N N

k=1

  (2.3) x = k cos + φ .

  O parâmetro on trola o grau de orrelação da distribuição e está rela ionado

  α

  om o exp o en te de Hust da forma . Quando temos , a sequên ia é

  α = 2H + 1 α = 0

  aleatória, om ruído bran o, ou seja, sem orrelaçõ es en tre os ev en tos. P ara o aso esp e ial em que re up eramos a sequên ia típi a de mo vimen to Bro wniano

  α = 2

  simples. P ara sim ular sistemas elásti os que p ossuem distribuição de elasti idade om orrelaçõ es de longo al an e, v amos utilizar a sequên ia atra v és do uso

  x i

  de uma transformada hip erb óli a que não altera o omp ortamen to típi o de lei de p otên ia da densidade esp e tral da série. Desta forma geramos restrita ao

  x i in terv alo ,

  −1 ≤ x i ≤ 1   N/2

  X 1 2πik

  (2.4)

    x = tanh cos + φ . i k α/2

k N

k=1

  As fases são geradas de forma uniforme em um in terv alo , é o úni o

  N/2 φ [0,2π] φ k k

  termo esto ásti o da série. É imp ortan te lem brar que o parâmetro é o termo

  α

  que on trola o grau de orrelação da sequên ia. P ara obtermos uma sequên ia om v ariân ia indep enden te do tamanho do sistema, as onstan tes elásti as foram

  η i

  es olhidas de maneira a man ter e evitar v alores negativ os na

  ∆η = constante i

  distribuição, para os primeiros estudos, onsideramos . P ara satisfazer a

  ∆η = 1 i

  essas ondiçõ es, es olhemos da forma:

  η i x i

  ∆x

  (2.5) η i = 2 + .

  Na gura

   é mostrado para diferen tes graus de desordem ( η × i

  α = i

  14

  e ) para adeias de tamanho . Ap ós ter de nido v

  a-

  0.0, 1.0, 2.0

  i

  mos estudar n umeri amen te a propagação de mo dos a ústi os atra v és da solução n uméri a da equação de onda

  

  V amos apli ar além do méto do de matriz de transferên ia, apli ado no apítulo an terior, um formalismo de diferença nita que p ermite a solução n uméri a direta da equação para uma ondição ini ial geral. O méto do será des rito a seguir.

  4

  3 α=0.0

  2

  1

  4

  3 α=1.0

  2

  1 i

  4 η

  3 α=2.0

  2

  1

  4

  3 α=3.0

  2

  1 5000 10000 15000 i

  14 Figura 2.1: Sequên ias geradas p ela equação om e parâmetros de N = 2 orrelação e .

  α = 0, 1, 2

  3.0

  2.2 Diferença Finita

  n

  Uma dis retização da função é obtida onsiderando ap enas os v alores

  ψ(x,t) ψ i

  em um nito n úmero de p on tos em que e , sendo e

  (x ,t ) x = i∆x t = n∆t ∆x ∆t i n

  o espaçamen to da rede no espaço da p osição e no temp o, resp e tiv amen te. P ara a des rição matemáti a de no temp o e no espaço, usamos a denotação de sendo

  ψ i referen te ao espaço e ao temp o. n

  Considerando uma expansão em série de T a ylor e desprezando termos de alta ordem temos:

  Figura 2.2: Dis retização do espaço e temp o.

  

2 n+1 n n−1

∂ ψ − 2ψ + ψ i i i

  (2.6)

  ψ(x,t) ≈ ,

  2

  2 ∂t ∆t

  e para a deriv ada espa ial,

  ∂ ∂ψ(x,t)

  1 n n n n

  i i−1 i+1 i i i−1

  2 ∂x ∂x ∆x

  (2.7)

[η(x) ]≈ [η (ψ − ψ ) −η (ψ − ψ )].

  Em nossas sim ulaçõ es o espaçamen to en tre os sítios vizinhos é . P ara

  ∆x = 1 garan tir estabilidade usamos . ∆t ≤ ∆x/100

  A gura exib e a represen tação do espaço e do temp o em nita diferença.

  2.3 Resultados Nesta seção v amos apresen tar nossos prin ipais resultados a resp eito do omp or- tamen to dos mo dos a ústi os em meios que p ossuem orrelação de longo al an e.

  A m de in v estigar a natureza dos estados a ústi os em meios om orrelação

  1 x) ψ(

  • 1 500 1000 1500

  i

  Figura 2.3: Amplitude de uma onda in iden te senoidal ao longo de um meio ho-

  5 mogêneo ( para qualquer v alor de ) em .

  η = 2 i t = 10 ∆t i

  de longo al an e, al ulamos o omprimen to de lo alização para div ersos graus de orrelação utilizando o méto do da Matriz T ransferên ia já apresen tado. Utilizamos

  5

  desordens on gura ionais para obter o omprimen to de lo alização em função

  10 da frequên ia, denotado p or .

  λ(ω)

  Em geral, no on texto de lo alização de ondas, o ál ulo do omprimen to de lo alização tem p ermitido map ear regiõ es esp e trais em que o meio se omp orta de forma metáli a ou isolan te. P or isso, é on v enien te analisarmos .

  λ(ω)/N

  14

  17 V ejamos a gura temos v ersus para e om λ/N ω N = 2 N = 2

  3 diferen tes graus de orrelação: e . P o demos notar que, em

  

α = 0.0, 1.0

  3.0

  , indep enden temen te do tamanho do sistema e do grau de orrelação, nessa

  ω = 0

  frequên ia, to dos os omprimen tos de lo alização oin idem. Com e

  2

  10

  14 α=0.00 Ν=2

  17 α=0.00 Ν=2

  14 α=1.00 Ν=2

  10

  17 α=1.00 Ν=2

  14 α=3.00 Ν=2

  17

  • 2

  α=3.00 Ν=2

  10 λ/Ν

  • 4

  10

  • 6

  10

  1

  2

  3

  4 ω Figura 2.4: Comprimen to de lo alização es alado v ersus para , e .

  λ/N ω α = 0

  1

  3

  14

  17 Os ál ulos foram feitos para e .

  N = 2 N = 2

  em não notamos uma dep endên ia de om , p ortan to, para

  ω 6= 0 λ N ω 6= 0

  esses graus de orrelação não fa v ore em a existên ia de estados deslo alizados no sistema. Já para , na faixa de , , indi ando a existên ia

  α = 3.0 ω &lt; ω ∝ 1.6 λ ∝ N c de mo dos propagan tes.

  Com o ob jetiv o de in v estigar em torno de qual v alor do parâmetro , surgem

  α

  regiõ es de estados a ústi os deslo alizados, al ulamos o v alor médio do ompri- men to de lo alização normalizado om frequên ia en trada em . Basi amen te

  ω = 1

  nos limitamos a al ular em um in terv alo de frequên ia. Dessa

  &lt; λ &gt; /N [0.5,1.5]

  3

  10

  10 &gt;/N

  14 λ

  N=2 &lt;

  17 N=2

  19

  • 3

N=2

  10

  0.5

  1

  

1.5

  2

  2.5

  3

  3.5 α

  Figura 2.5: Comprimen to de lo alização es alado médio v ersus para

  &lt; λ &gt; /N ω , e . α = 0

  1

  3

  maneira, de nimos omo a seguir:

  &lt; λ &gt; /N

  1.5 X

  

1

  (2.8)

  &lt; λ &gt; /N = λ(ω),

NN

f

  0.5 em que é o n úmero de estados om frequên ia den tro do in terv alo de .

  N ω [0.5,1.5] f

  Usamos e assim en on tramos para div ersos parâmetros de

  N = 500 &lt; λ &gt; /N f

  desordem om v alores en tre e e dis retização de tamanho . Na

  α 3 ∆α = 0.25

  14

  gura

   temos v ersus para dois tamanhos de rede: &lt; λ &gt; /N α N = 2

  17

  e . Claramen te p o demos notar que, a partir de há

  N = 2 α = α c ≈ 1.75

  2

  10 α=3

  10 α=2.5

  &gt;/N α=1.5

  λ α=0.5

  &lt;

  • 2

  10 1e+06 2e+06 3e+06 4e+06 N Figura 2.6: Lei de es ala de para , , e .

  &lt; λ &gt; /N α = 0.5

  1.5

  2.5

  3

  uma sup erp osição das urv as, ou seja, . Essa in v estigação sugere que,

  λ ∝ N

  para o omprimen to de lo alização normalizado , indi ando a

  N → ∞ λ/N → 0

  existên ia de estados deslo alizados para , em que é o parâmetro ríti o

  α &gt; α c α c de desordem.

  14 A gura exib e o resultado de v ersus para até &lt; λ &gt; /N N N = 2

  22

  para div ersos v alores do parâmetro . Den tro de nossa pre isão n uméri a,

  N = 2 α 0,98(2)

  en on tramos para forte orrelação. Esse resultado indi a que, no

  &lt; λ &gt;∝ N limite termo dinâmi o para forte orrelação, existem estados estendidos.

  Nem sempre a div ergên ia do omprimen to de lo alização garan te a existên ia

  a)

  2 α=0

  1

  • 1
  • 2

  ψ i b)

  α=3

  1

  • 1 2500 5000 7500 10000

  i

  Figura 2.7: Amplitude da onda duran te a propagação atra v és do meio orrela- ionado para o temp o . A onda in iden te é uma função seno om

  t = 500000∆t

  frequên ia . Em (a) onsideramos o aso não orrela ionado e (b)

  ω = 1 α = 0 para o regime de forte orrelação .

  α = 3.0

  de estados estendidos. Assim, resolv emos estudar atra v és do méto do de diferença nita a dinâmi a da propagação. Resolv emos n umeri amen te a equação da onda a ústi a, onsiderando e , p or questõ es de estabilidade

  ∆x = 1 ∆t ≤ ∆x/100

  n uméri a. Consideramos a in idên ia de uma onda senoidal ,

  ψ(0,t) = sin(ω t)

  15

  om frequên ia ao longo de uma rede de tamanho , para dois

  ω = 1 N = 2

  parâmetros de desordem: e . A gura

   exib e o resultado de α = 1.0 α = 3.0

  no instan te de temp o propagando em uma rede om

  

ψ t = 5000000∆t α = 1.00

  parte

  a) da gura e em parte

  b) da gura. Claramen te p o demos observ ar

  α = 3.0

  a)

  6

  3

  • 3
  • 6 α=0

  ψ i t t t

  1

  4

2 t

  3

  0.5

  • 0.5

  b) α=3

  1000 2000 3000 4000 i

  Figura 2.8: Amplitude da onda para os temp os , ,

  t = 50000 t = 100000 t =

  1

  2

  3

  e , onsiderando a in idên ia de um pulso de nido p or

  200000 t = 300000 Ψ =

  4

  2

  2 om e frequên ia . exp[−(t − t ) /2σ ] cos(ω t) σ = 20 ω = 1.0 t t

  que, para o regime de forte orrelação o meio se torna ondutor, p ermitindo a propagação da onda a ústi a ao longo da adeia, já para regime de baixa

  α = 1.0 orrelação, to da onda é re etida no iní io da rede.

  V ariamos tam b ém o tip o de onda in iden te, onsideramos a in idên ia de um

  2

  2

  pulso om e . A gura

  ψ(0,t) = exp[−(t−t ) /2σ ] cos(ω t) σ t = 1/σ ω = 20 ω = 1.0 t

  

represen ta a propagação para instan tes de temp o , ,

t 1 = 50000∆t t 2 = 100000∆t

  e a parte

  a) para um meio em que e

  b) para

  t 3 = 200000∆t t 4 = 300000∆t α = 0.0

  . Notamos que, para , situação de desordem sem orrelação, não

  α = 3.0 α = 0.0

  40

  e) α=3 α=0

  30 ω)

  10

  1

  2

  3 ω

  Figura 2.9: In tensidade esp e tral de na p osição al ulados

  A(ω) ψ L = 20000

  usando 20 realizaçõ es de desordem. há propagação, omo já esp erá v amos, e para a onda a ústi a propaga-se

  α = 3.0

  no meio fortemen te orrela ionado, orrob orando o resultado da onda in iden te senoidal.

  Bus ando atra v és da dinâmi a do sistema, en on trar a frequên ia ríti a que

  ω c

  separa os mo dos propagan tes dos lo alizados, al ulamos a in tensidade esp e tral da in idên ia de v ários pulsos de onda em uma p osição xa na rede. A função

  A(ω)

  2

  em que é obtida tomando a transformada de F ourier de

  A(ω) = (1/2)|ψ (ω)| ψ(ω) L

  15

  a uma distân ia em redes de tamanho . Consideramos

  ψ(x,t) L = 20000 N = 2 on guraçõ es omputa ionais das redes, para obter .

  A gura

   exib e o resultado da in tensidade v ersus para dois graus de A ω

  2

  10

  a)

  17 N=2

  10

  19 N=2

  21

  • 2

  N=2

  10 =0.5

  ∆η

  • 4

  10 &gt;/N

  2 λ

  10

  b) &lt;

  17 N=2

  10

  19 N=2

  • 2

  21

  =0.75 ∆η

  • 4

  10

  1

  2

  3 α

  Figura 2.10:

  a)

  b) Comprimen to de lo alização es alado médio em uma janela de frequên ia v ersus para e

  [0.5,1.5] α ∆η = 0.5 ∆η = 0.75.

  desordem dos sistema, e . In idimos v ários pulsos om frequên ias

  α = 0.0 α = 3.0 den tro do in terv alo e al ulamos a in tensidade esp e tral na p osição . [0,3]

  L = 20000

  P o demos notar que to dos os mo dos om frequên ia de aem e o meio se

  ω &gt; ω c omp orta omo um ltro, transmitindo ap enas frequên ias a baixo de .

  ω ≈ 1.6

  Esses resultados estão em total on ordân ia om os obtidos an teriormen te, atra v és do méto do do ál ulo do omprimen to de lo alização.

  P ara nalizar nossos estudos, onsideramos o efeito da largura de desordem

  17

  sobre o parâmetro ríti o . Na gura

   temos para , α c &lt; λ &gt; /N N = 2

  19

  21 e e distin tas largura de desordem e .

  

N = 2 N = 2 ∆η = 0.5 ∆η = 0.75

  En on tramos no v amen te que , mostrando que a largura da desordem não

  α c = 2 in uen ia no v alor do parâmetro , ou seja, não dep ende de .

  α c α c ∆η

  Em suma, vimos que o efeito de orrelação na distribuição das onstan tes elásti- as do meio, in uen iam no omp ortamen to da propagação a ústi a. Considerando

  α

  sistemas que p ossuem densidade esp e tral tip o lei de p otên ia , nossos

  S(k) ∝ 1/k

  resultados n uméri os indi am que, para forte orrelação, ou seja, existem es-

  α &gt; 2

  tados propagan tes e para to dos os estados são lo alizados. Nossa meto dolo-

  α &lt; 2

  gia mostrou a existên ia de uma frequên ia ríti a separando estados lo alizados e deslo alizados b em omo mostrou que o v alor ríti o indep ende da força

  α = 2 c

  da desordem . Os prin ipais resultados desse apítulo foram publi ados no

  ∆η i

  Journal of Physi s : Condense d Matter (v er anexo ou a referên ia

  Capítulo

  3 LOCALIZA Ç O DE OND AS A CÚSTICAS EM POTENCIAIS COM MODULA Ç O APERIÓDICA Sequên ias ap erió di as (quasi-p erió di as), desde a dé ada de 80, têm desp er- tado grande in teresse na om unidade ien tí a p or apresen tarem ara terísti as in termediárias en tre sistemas p erió di os e desordenados. Em sequên ias quasi- p erió di os, não há simetria transla ional, essa ara terísti a as tornam semelhan tes a sequên ias desordenadas. No en tan to, esses sistemas são gerados seguindo regras determinísti as o que on traria o aso desordenado. As sequên ias Th ue-Morse, Fi- b ona i e p oten iais om mo dulação ap erió di a, são sequên ias que seguem regras determinísti as.

  M.

  A. Azb el

   em 1979, utilizando o mo delo de Kromig-P enney mostrou que p oten iais in omensurá v eis p o dem forne er a existên ia de estados lo alizados e estendidos separados p or um mobility-e dge para sistemas unidimensionais. No ano seguin te, J.

  B. Sok olo

   e

  Aubry , estudou a lo alização eletr ni a em uma rede quasi-p erió di a om o uso do mo delo de tight-binding. Assim, a equação de S ro dinger om p oten ial on-site em que é es olhido omo sendo um m últiplo de , tornando o

  V = V (cos(qn)) q π n

  p oten ial in omensurá v el. Um trabalho p osterior de Souk oulis e E onomou

   ℄,

  om o estudo do o e ien te de transmissão e a dep endên ia espa ial dos auto- estados, mostrou que até mesmo sistemas unidimensionais p o deriam apresen tar transição de Anderson tendo p oten ial in omensurá v el.

  Em 1988, M. Griniast y e S. Fishman

   utilizaram o mo delo de tight-

  binding om p oten ial pseudo-aleatório, para in v estigar a natureza da lo alização eletr ni a em uma dimensão. No mo delo de tight-binding, os autores onsideraram

  ν

  o p oten ial on-site om sendo um n úmero irra ional, ou seja,

  V = λ cos(πα|n| ) α n

  um p oten ial in omensurá v el, uja fase da mo dulação segue uma lei de p otên ia em . A tra v és de ál ulos n uméri os e p or méto do p erturbativ o para

  n λ ≪ 1 en on traram o omprimen to de lo alização para diferen tes v alores de .

  ν

  Os resultados obtidos nessas in v estigaçõ es são que para to dos os estados

  ν ≫ 2

  são lo alizados e om existem estados estendidos. Nesse apítulo v amos

  0 &lt; ν ≤ 1

  estudar os efeitos de distribuiçõ es de elasti idade ap erió di as sobre as propriedades a ústi as de sistemas unidimensionais. P ara gerar sequên ias de onstan tes elásti- as ap erió di as v amos seguir as referên ias

   e de nir usando uma função η i

  senoidal uja fase v aria om uma lei de p otên ia. Ap ós apresen tar o mo delo em detalhes v amos utilizar os méto dos de matriz de transferên ia de diferença nita para estudar a propagação de mo dos elásti os.

  3.1 Mo delo Vimos que, p oten iais ap erió di os p o dem lo alizar ou deslo alizar as funçõ es eletr ni- as ao longo de adeias unidimensionais. Efeitos semelhan tes têm sido observ ados em sistemas óti os e adeias vibra ionais

   Motiv ados p or essas observ açõ es, v amos in v estigar os efeitos desse p oten ial sobre os estados a ústi os.

  P ara in tro duzir uma sequên ia ap erió di a, assumimos que as on tan tes elásti as são geradas da forma a seguir:

  ν

  (3.1)

η i = η + cos(βπi ).

  Essa regra determina um p oten ial, uja fase do termo ossenoidal segue uma

  ν lei de p otên ia, ou seja, , em que represen ta a p osição ao longo da adeia.

  φ ∝ i i

  O termo on trola o grau de ap erio di idade do sistema. Em nossos estudos, v

  a-

  ν

  mos onsiderar que , evitando v alores negativ os e n ulos na distribuição das

  η = 2 onstan tes elásti a do meio.

  V amos denotar p or , a relação e onsider-

  α α = βπ

  aremos que tornando, p or m, um n úmero irra ional. Um grá o de

  α = 0.1 β

  v ersus é mostrado na gura

   P ara ra ional e , tem-se na equação η i i β ν = 1 um p oten ial ristalino. P o demos tam b ém observ ar que, para , to das as

  ν = 0 onstan tes elásti as do meio, assumem o mesmo v alor.

  Nosso in teresse é v eri ar a existên ia de transição de Anderson em uma di- mensão para ondas a ústi as propagando-se em um p oten ial gerado p ela equação

   Com essa nalidade v amos pro eder de forma semelhan te ao estudo feito no

  apítulo an terior, no qual in v estigamos a natureza dos estados a ústi os atra v és

  ν=0.0

  2 ν=0.5

  2 i

  η ν=1.0

  2 ν=1.5

  2 2000 4000 i

  Figura 3.1: P oten ial ap erió di o gerado p ela equação

   para uma rede de

  14

  tamanho om e para , , e

  N = 2 α = 0.1 V = 2 ν = 0.0 ν = 0.5 ν = 1.0 . ν = 1.5 do ál ulo do omprimen to de lo alização e da dinâmi a no sistema.

  3.2 Resultados Vimos a utilidade do ál ulo do omprimen to de lo alização em apítulos pas- sados. Com a obtenção do omprimen to de lo alização in v estigamos a natureza dos estados a ústi os em meios om orrelação de longo al an e, semelhan temen te utilizamos os mesmos pro edimen tos para in v estigar a natureza dos estados a ús-

  ν=0.5

  10 λ/Ν

  • 4

  10

  17 N=2

  21 N=2

  • 8

  10

  1

  

2

  3

  4

  5 ω Figura 3.2: Comprimen to de lo alização es alado v ersus para . .

  λ/N ω ν = 0.5

  ti os em meios ap erió di os. Cal ulamos do sistema para div ersos graus de

  λ(ω)

  ap erio di idade . A gura

   mostra o omp ortamen to de em função da ν

  λ/N

  17

  21

  frequên ia para om sistemas de tamanhos: e . Observ e

  

ω ν = 0.5 N = 2 N = 2

  17

  21

  que existe uma m udança da relação en tre as urv as de e para

  N = 2 N = 2

  . De forma análoga, o orre no grá o represen tado p ela gura

   que tam- ω ≈ 2 c

  b ém represen ta o omp ortamen to de mas tendo . Em am b os regimes

  λ/N ν = 1.0

  de ap erio di idade , e , o omprimen to de lo alização es alado

  ν ν = 0.5 ν = 1.0

  indep ende do tamanho do sistema para frequên ias , ou seja, . Essas

  ω &lt; 2 λ ∝ N

  ν=1.0

  10 λ/Ν

  • 4

  10

  17 N=2

  21 N=2

  • 8

  10

  1

  

2

  3

  4

  5 ω Figura 3.3: Comprimen to de lo alização es alado v ersus para . .

  λ/N ω ν = 1.0

  observ açõ es sugerem que, no limite termo dinâmi o indi ando a existên ia

  λ → ∞ de estados estendidos para . ω &lt; 2

  Agora v ejamos uma fato in teressan te dessa sequên ia ap erió di a. Cal ulamos o omprimen to de lo alização para os mesmo tamanhos de sistemas das guras

   represen tam o aso ν &gt; 1

  em que e . Claramen te p o demos notar que algo diferen te o orre

  ν = 1.5 ν = 2.0

  ao ompararmos esses grá os om os das guras

   As urv as oin idem

  ap enas em o que indi a que no limite termo dinâmi o para to dos

  ω = 0 ω 6= 0

  17 ν=1.5

  N=2

  10 λ/Ν

  • 4

  10

  • 8

  10

  1

  

2

  3

  4

  5 ω Figura 3.4: Comprimen to de lo alização es alado v ersus para ..

  λ/N ω ν = 1.5

  os estados são lo alizados, resultado ompletamen te diferen te da situação em que e .

  ν = 0.5 ν = 1.0

  Já sab emos que a dep ender do grau de ap erio di idade, ou seja, do v alor assum- ido p or , existe ou não estados estendidos na rede ap erió di a. O que desejamos

  ν

  é onhe er o v alor de que separa esses sistemas tão diferen tes. Com essa nali-

  ν

  dade, v amos no v amen te re orrer ao ál ulo do omprimen to de lo alização médio normalizado, de nido p ela equação

   para in v estigarmos a dep endên ia da na-

  tureza dos estados a ústi os om o grau de ap erio di idade do meio. Denotando o

  17 ν=2.0

  N=2

  10 λ/Ν

  • 4

  10

  • 8

  10

  1

  

2

  3

  4

  5 ω Figura 3.5: Comprimen to de lo alização es alado v ersus para .

  λ/N ω ν = 2.0

  n úmero de estados a ústi os p or , de nimos :

  N f &lt; λ &gt; /N

  1.5 X

  

1

  

NN

f

  (3.2) &lt; λ &gt; /N = λ(ω).

  0.5

  17

  21 Considerando a equação al ulamos para e em &lt; λ &gt; /N N = 2 N = 2

  que represen ta o tamanho do sistema. O ál ulo do omprimen to de lo alização

  N

  médio , foi realizado al ulando a média de omputando

  &lt; λ &gt; λ(ω) N = 500 f estados om frequên ia om v alores den tro do in terv alo .

  ω [0.5,1.5]

  17 N=2

  4

  21

  10 λ&gt;/Ν &lt;

  • 4

  10

  1

  2

  0.5

  1.5 ν

  Figura 3.6: Comprimen to de lo alização es alado médio v ersus para

  &lt; λ &gt; /N ν

  17

  21 e .

  N = 2 N = 2

  O grá o

   mostra a dep endên ia de om e om o grau de &lt; λ &gt; /N N

  ap erio di idade do meio . Claramen te p o demos notar que para ,

  ν ν &lt; 1 &lt; λ &gt; /N

  indep ende do tamanho do sistema, já para a função de res e om

  ν &gt; 1 &lt; λ &gt; /N

  o aumen to do tamanho do sistema, sinalizando a existên ia de uma transição de Anderson em . Nossos resultados sugerem que para existem estados

  ν = 1 ν &lt; 1

  deslo alizados em um in terv alo de frequên ias e para to dos os estados para

  ν &gt; 1 são lo alizados. ω 6= 0

  Além dessa análise atra v és da matriz de transferên ia, v amos apli ar o for-

  6000 5000 4000

  ν=0.5 ν=1.5 ω)

  3000 A(

  2000 1000

  1

  2

  3 ω Figura 3.7: In tensidade esp e tral de na p osição .

  A(ω) ψ L = 20000

  malismo de diferença nita para estudar diretamen te a propagação de um pulso ini ialmen te lo alizado no iní io da adeia. O formalismo n uméri o é exatamen te o mesmo que foi utilizado no apítulo

  2. Na gura

   mostramos para um A(ω) × ω

  15

  sistema ap erió di o . O tamanho da rede foi e . O for-

  ν = 0.5 N = 2 ∆t &lt; 1/100

  malismo dinâmi o de diferença nita forne e qualitativ amen te o mesmo resultado da matriz de transferên ia, estados a ústi os estendidos para . P ortan to,

  ω &lt; 2

  nosso formalismo n uméri o forne e forte indí ios que p oten iais ap erió di os p o- dem induzir propagação livre de mo dos elásti os em sistemas unidimensionais. Os prin ipais resultados desse apítulo foram publi ados no The Eur op e an Physi al Journal B (v er anexo ou a referên ia

  Capítulo

  4 CONCLUSÕES E PERSPECTIV AS Nessa dissertação, estudamos os efeitos de duas lasses distin tas de distribuiçõ es de elasti idades não p erió di as sobre as propriedades de transmissão a ústi a de sistemas unidimensionais. Nossa meto dologia n uméri a baseou-se na solução n uméri a da equação de onda lássi a atra v és dos méto dos de matriz transferên ia e de diferença nita. A tra v és desses méto dos tiv emos a p ossibilidade de estudar duas grandes lasses de sistemas não p erió di os : sistemas desordenados e sis- temas determinísti os ap erió di os. No aso desordenado, onsideramos sistemas om orrelaçõ es de longo al an e na distribuição de elasti idade. A onstan te elásti a efetiv a do meio foi gerada atra v és do traço de um mo vimen to Bro wniano

  −α

  fra ionário, que p ossui densidade esp e tral . Esse tip o de sequên ia

  S(k) = k

  aleatória foi amplamen te estudado em outros sistemas físi os de in teresse. F oi tam- b ém demonstrado n umeri amen te que distribuiçõ es de elasti idade que seguem o traço de um mo vimen to Bro wniano fra ionário mo di am drasti amen te as pro- priedades de transp orte elásti o em baixa dimensionalidade. Em on traste om o aso não orrela ionado, onde ap enas o mo do de frequên ia é propa-

  ω = 0 gan te, en on tramos fortes indí ios que orrelaçõ es de longo al an e p o dem induzir uma faixa nita de frequên ias propagan tes. De fato nossos resultados n uméri os ap on tam para uma v erdadeira transição de estados a ústi os não propagan tes (lo- alizados) para estados propagan tes (estendidos). Esses resultados apresen tados no apítulo 2, foram publi ados no Journal of Physi s : Condense d Matter (v er anexo ou a referên ia

  

  No apítulo 3 estudamos sistemas ap erió di os, uma outra imp ortan te lasse de sistema unidimensional om elasti idade não p erió di a. A meto dologia empregada foi exatamen te a mesma, solução da equação de onda elásti a lássi a atra v és de matriz de transferên ia e diferença nita. As sequên ias de onstan tes elásti as ap erió di as foram geradas usando uma função ossenoidal uja fase v aria om uma lei de p otên ia. Nossos resultados n uméri os no v amen te apresen tam que, dep en- dendo do grau de ap erio di idade do meio p o demos induzir estados propagan tes mesmo na região de frequên ia alta .

  

ω &gt;&gt; 0

  Uma questão imp ortan te nesses temas, onsiste no en tendimen to do pap el de outros tip os de orrelaçõ es na distribuição de elasti idade, b em omo no pap el da dimensão top ológi a nesse tip o de transição. Outra lasse de sistemas não p erió di os om orrelaçõ es são os sistemas diluídos

   ℄. Re en tes estudos

  têm mostrado que sistemas eletr ni os om desordem diluída p o dem apresen tar uma v erdadeira transição metal-isolan te em . Essas propriedades não usuais

  d = 2

  asso iadas à desordem diluída têm atraído onsidera v elmen te o in teresse da om u- nidade sobre esse tip o de orrelação. A generalização desses estudos para

  d &gt; 1

  onsiste n um desa o a adêmi o imp ortan te. Consideremos essas questõ es omo p ersp e tiv as futuras

  REFERÊNCIAS [1℄ P . W. Anderson. Absen e of di usion in ertain random latti es. Phys. R ev., 109(5):1492 1505, Mar 1958.

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