Aula 8 – Teorema de Tales

Livre

0
0
13
1 year ago
Preview
Full text

  M ´ ODULO 1 - AULA 8 Aula 8 – Teorema de Tales

  Objetivos • Apresentar o Teorema de Tales.

  • Preparar o estudo de semelhan¸ca de triˆangulos.

  Introdu¸ c˜ ao Nota: No texto, desta aula,

  O objetivo central desta Aula 8 ´e provar o Teorema de Tales. Pela

  estamos usando nota¸c˜ oes do tipo AB = 2 para significar

  primeira vez neste curso aparece uma id´eia nova envolvida nos argumentos

  que a medida do segmento

  t´ecnicos que usaremos para a prova desse Teorema. ´ E a id´eia de limite ou AB

  ´ e 2. Isto ´ e estamos substituindo a nota¸c˜ ao mais

  convergˆencia de n´ umeros reais. Pela sua importˆancia na matem´atica, e pelo

  pesada m(AB) = 2. Do

  papel fundamental que representam, estas id´eias deveriam ser estudadas e DM mesmo modo escrevemos = M N para expressar maturadas desde o jardim de infˆancia. Pode-se dizer que grande parte da

  que os segmentos tem a

  Matem´atica trata de conjuntos, estruturas nos conjuntos e fun¸c˜oes entre mesma medida. conjuntos que preservam estas estruturas. A abordagem que expressa estes assuntos ´e a convergˆencia e o limite.

  Mas voltemos ao nosso ch˜ao de f´abrica, nossa pedreira, ap´os estas di- vaga¸c˜oes. Como tudo em matem´atica, para chegar ao nosso objetivo temos toda uma seq¨ uˆencia de tijolinhos ou cap´ıtulos a serem preenchidos, preparados, at´e o ato final, que ´e a prova do Teorema. Por isso, Matem´atica n˜ao ´e como novelas de televis˜ao: se vocˆe perde um cap´ıtulo, possivelmente perde a conex˜ao com a trama e pode correr o risco de torcer pelo vil˜ao!

  Vamos ao nosso primeiro tijolinho. Nesta proposi¸c˜ao e nas seguintes, as propriedades que conhecemos sobre paralelogramos ser˜ao muito utilizadas. Proposi¸c˜ ao 16 Sejam trˆes retas paralelas m, n e r cortadas por retas transversais s e t. Sejam

  A, B, C e E, F, G os pontos de interse¸c˜ao de s e t, respectivamente, com as retas m, n e r. Se AB = BC ent˜ao EF = F G (veja figura 141). A s t E m C B F G r n

  Fig. 141: 95

  Prova: Se t ´e paralela a s n˜ao precisamos provar nada, porque nesta situa¸c˜ao

  ABF E e BCGF seriam paralelogramos (lados opostos paralelos). Isto ga- rantiria que AB = EF e BC = F G. Como AB = BC, todos os segmentos seriam iguais. Em particular BC = F G.

  Vamos supor ent˜ao que t n˜ao ´e paralela a s. Construimos pelos pontos E e F as retas t e t , respectivamente, ambas paralelas a s. Veja a figura

  1

  2 142. A s t t t E 1 2 m C B H I L F G r n Fig. 142:

  H, I e F, L s˜ao os pontos de interse¸c˜ao de t e t com n e r, respectiva-

  1

  2 mente.

  A conclus˜ao agora ´e conseq¨ uˆencia direta da seguinte congruˆencia de triˆangulos: EHF ≡ F LG

  Antes de continuar, interrompa a leitura, examine a figura 142 com suas propriedades, pegue um papel para rascunho e tente antecipadamente responder a duas quest˜oes:

  • Qual caso de congruˆencia garante EHF ≡ F LG?
  • Por que a congruˆencia encerra a prova da proposi¸c˜ao?

  Insista numa resposta sua... encontrou alguma pista... use propriedades de paralelas e transversais... releia os argumentos at´e aqui desenvolvidos... lute um pouco com as duas quest˜oes propostas... se passaram 15 minutos e vocˆe n˜ao avan¸cou venha conosco no caminho da resposta!

  A congruˆencia EHF ≡ F LG ´e garantida pelo caso A.L.A. De fato, ABHE ´e paralelogramo (lados paralelos) e ent˜ao AB = HE. Tamb´em BCIH e HILF s˜ao paralelogramos e ent˜ao BC = HI = F L. Conclus˜ao: O lado L que aparece no caso A.L.A. est´a garantido, pois C E D E R J 96 EH = F L

  M ´ ODULO 1 - AULA 8

  Tamb´em, usando n e r como paralelas e t como transversal encontramos que ˆ ˆ

  F GL = EF H (ˆangulos correspondentes) Tamb´em, usando t e t como paralelas e t como transversal encontramos

  1

  2

  que ˆ ˆ LF G = HEF (ˆangulos correspondentes).

  Ora, a soma dos ˆangulos internos de um triˆangulo ´e 180 . Com dois ˆangulos coincidindo em medidas, o terceiro tamb´em coincidir´a. Isto ´e, E ˆ HF = F ˆ LG. Portanto a congruˆencia vale pelo caso A.L.A.

  Est´a respondida a primeira quest˜ao. Vamos `a segunda quest˜ao: por que a congruˆencia EHF ≡ F LG encerra a prova? Pedimos que vocˆe leia o enunciado da proposi¸c˜ao de novo para ver que a conclus˜ao salta aos olhos! Ora EHF ≡ F LG ⇒ EF = F G, onde quer´ıamos chegar.

  Vamos agora explorar o resultado que acabamos de provar para tirarmos uma importante consequˆencia.

  • Vocˆe sabe o que ´e um feixe de paralelas no plano?

  Um feixe de paralelas ´e um conjunto de retas do plano onde quaisquer duas delas s˜ao paralelas. O conjunto de retas formando o feixe deve possuir no m´ınimo duas retas, podendo ter um n´ umero finito ou mesmo infinito de retas.

  Na figura 143 abaixo representamos um feixe de paralelas com 5 retas.

  Fig. 143: .

  Estamos em condi¸c˜ao de enunciar um resultado que ´e conseq¨ uˆencia direta da Proposi¸c˜ao 16. 97

  Corol´ ario 1 Considere um feixe de paralelas no plano, contendo um n´ umero finito de

  Corol´ ario: ´ E uma proposi¸c˜ ao obtida como conseq¨ uˆ encia

  retas e duas retas transversais s e t intersectando o feixe. Se a transversal s

  direta de outra proposi¸c˜ ao

  determina segmentos consecutivos de mesmo comprimento, o mesmo ocorrer´a com os segmentos consecutivos determinados no feixe pela reta transversal t. Prova:

  Na figura 144, representamos um feixe com 4 retas. Vamos provar o resultado neste caso.

  A E r B F m C

  G n D H p t s

  Fig. 144: .

  O enunciado garante que AB = BC = CD e pede para provar que EF = F G = GH.

  ´ E evidente que o resultado ´e verdadeiro, basta usar a proposi¸c˜ao 16 duas vezes. Primeiro, considerando as retas r, m e n para concluir que

  AB = BC ⇒ EF = F G; e em seguida usar as retas m, n e p, para concluir que ´e verdadeira a seguinte implica¸c˜ao: BC = CD ⇒ F G = GH.

  • Vocˆe j´a percebeu que chegamos, n˜ao?

  A partir de agora talvez estejamos malhando em ferro frio, tudo est´a dito e mais nada se acrescenta. Mas vamos l´a! As duas conclus˜oes acima reunidas mostram que AB = BC = CD ⇒ EF = F G = GH.

  Apesar da prova ter sido feita para um feixe com 4 retas, ´e evidente que vale para 52 ou 52 milh˜oes de retas, ou um n´ umero qualquer n ∈ N de C E D E R J 98 retas.

  M ´ ODULO 1 - AULA 8

  Mais uma vez, recordamos que nosso objetivo central nesta aula ´e pro- var o Teorema de Tales (se tiver curiosidade leia o enunciado no texto adi- ante). ´ E um resultado muito importante, ferramenta de primeira linha, que abre muita portas. No entanto quero convidar vocˆe a refletir sobre um argu- mento crucial que aparecer´a na prova do Teorema de Tales.

  Em primeiro lugar considere on n´ umeros naturais N = {0, 1, 2, ...}, os quais podem ser representados sobre a parte positiva da reta real R. A reta R ´e onde representamos todos os n´ umeros reais. veja figura 145 . 1 2 n x n+1

  R Fig. 145:

  Na parte positiva da reta real R, est˜ao localizados todos os n´ umeros reais positivos. Temos a seguinte propriedade: “dado um n´ umero real x > 0, existe um n´ umero natural n, tal que n > x ”. Esta propriedade ´e chamada de “Princ´ıpio Arquimediano” em home- nagem ao grande matem´atico e engenheiro grego Arquimedes (s´ec IV a.C.) Usando o Princ´ıpio Arquimediano como base, pe¸co para vocˆe pensar sobre a seguinte pergunta. Considere um n´ umero real B que possui duas propriedades:

  • B ≥ 0

  1 • B < , para todo n´ umero natural n > 0. n

  • Quem ´e o n´ umero B?

  Reflita um pouco sobre as propriedades de B. S˜ao duas camisas de for¸ca obrigando B a revelar sua identidade, seu lugar na reta real R, figura 145. Releia a pergunta e insista numa resposta sua...

  Vocˆe respondeu corretamente se cravou B = 0. De fato, ´e a ´ unica alternativa para o DNA de B. Por que? Em primeiro lugar B ≥ 0. Vamos provar que a suposi¸c˜ao B > 0

  ´e absurda e nos leva a contradi¸c˜oes, deixando-nos como ´ unica alternativa B = 0.

  1 De fato, se B > 0 ent˜ao > 0 e pelo Princ´ıpio Arquimediano existe um B

  1 n´ umero natural n > 0, tal que n > . Como tratamos com n´ umeros positi- B vos, podemos inverter as posi¸c˜oes dos n´ umeros para concluir que

  1 B > . n 99

  Este resultado diz que existe um n´ umero natural n, para o qual a se- gunda propriedade de B n˜ao ´e satisfeita. Esta contradi¸c˜ao mostra que B > 0 n˜ao ´e poss´ıvel. Logo B = 0.

  Vamos, sem mais delongas ao n´ umero principal de nosso espet´aculo, aquele pelo qual pagamos o ingresso: Teorema de Tales Sejam trˆes retas paralelas r, m e n cortadas pelas retas transversais s Vocˆ e sabia que... e t. Suponha que A, B, C e E, F, G sejam os pontos de interse¸c˜ao das retas s e t com r, m e n, respectivamente (veja figura 146). Nestas

  O nome de Tales est´ a

  condi¸c˜oes

  associado com um n´ umero

  AB EF

  de teoremas em Geometria: = .

1. Um c´ırculo ´ e bissectado

  BC F G

  por um diˆ ametro

  2. Os ˆ angulos da base de um s t triˆ angulo is´ osceles s˜ ao iguais 3. ˆ Angulos opostos pelo A E r v´ ertice s˜ ao iguais

  4. Caso L.A.A. de B F congruˆ encia m

  5. Dado um triˆ angulo ABC, C G inscrito em um semic´ırculo, n o ˆ angulo oposto ao lado que est´ a sobre o diˆ ametro ´ e reto.

  Fig. 146:

  6. A soma dos ˆ angulos internos de um triˆ angulo ´ e o Prova: 180 .

  Vamos provar uma forma equivalente da igualdade enunciada. Note

  Todos esses teoremas eram conhecidos pelos eg´ıpcios e

  que

  babilˆ onios. A raz˜ ao pela

  AB EF BC F G BC F G

  qual eles est˜ ao associados a

  = ⇔ = ⇔ + 1 = + 1 BC F G AB EF AB EF

  Tales ´ e porque ele foi o primeiro a oferecer provas BC + AB F G + EF

  ⇔ = para esses teoremas.

  AB EF AC EG ⇔ = . AB EF

  Ent˜ao para efeito da prova do teorema ´e suficiente mostrar que AC EG = . AB EF

  Para prosseguir fixe um n´ umero natural n > 0 qualquer (n pode ser 5 trilh˜oes por exemplo). Posicione, consecutivamente, pontos igualmente espa¸cados no interior do segmento AB, de modo a dividi-lo em n partes iguais. Seja U o comprimento de cada um desses segmentos. Com esta medida U e a partir do ponto B, continuamos a marcar pontos consecutivos agora sobre o segmento BC, de modo que o comprimento de cada segmento formado por pontos consecutivos tenham comprimento U . (Veja a figura C E D E R J 100 147).

  M ´ ODULO 1 - AULA 8

  Agora vamos soltar uma frase que merece aten¸c˜ao: “Suponha que este processo permitiu que coloc´assemos n pontos sobre Vocˆ e sabia que... AB e at´e m pontos sobre AC, com m > n”.

  Por volta do ano 600 a.C., o

  ˆ Epa, a frase acima guarda mist´erios! O que queremos dizer? Vamos

  s´ abio grego Tales de Mileto fez uma viagem ao Egito. O

  com calma.

  fara´ o j´ a conhecia sua fama

  Primeiro a frase quer dizer que se damos nome aos pontos consecuti- de grande matem´ atico. n

  Ouvira dizer at´ e que Tales

  vos, por exemplo P , P , ..., P sobre AB, quer dizer que AP ´e o primeiro

  1

  2

  1 n n era capaz de uma incr´ıvel segmento de AB e P P ´e o ´ ultimo segmento de AB. Neste caso P = B. n−1 fa¸canha: podia calcular a altura de uma constru¸c˜ ao,

  A coisa foi constru´ıda para se ajustar perfeitamente sobre AB. No en- n n por maior que fosse, sem tanto, prosseguindo com os pontos agora P , P , ... em BC, ocorre um precisar subir nela.

  • 1 +2 m

  Por ordem do monarca,

  fenˆomeno. Ou o ´ ultimo ponto, que estamos chamando P , coincide com C,

  alguns matem´ aticos eg´ıpcios

  ou ele est´a antes de C. Qualquer que seja o caso o pr´oximo ponto P m foram ao encontro do

  • 1 visitante e pediram-lhe que estaria fora de AC (veja a figura 147).

  calculasse a altura de uma das pirˆ amides. Tales

  Tra¸camos agora retas paralelas a r, m e n e passando pelos pontos que

  ouviu-os com aten¸c˜ ao e se

  definimos sobre o segmento AC. Estas retas formam com r, m e n um feixe

  dispˆ os a atendˆ e-los imediatamente. J´ a no

  de paralelas e determinam sobre EF e EG segmentos de reta de mesmo

  deserto, pr´ oximo ` a pirˆ amide, comprimento. o s´ abio fincou no ch˜ ao uma vara, na vertical.

  Denomine por ˜ U o comprimento de cada um desses segmentos.

  Observando a posi¸c˜ ao da sombra, Tales deitou a vara

  O fato que o comprimento dos segmentos determinados pelas paralelas

  no ch˜ ao, a partir do ponto

  sobre o segmento EG s˜ao de mesmo comprimento ˜ U decorre do corol´ario da em que foi fincada,

  marcando na areia o Proposi¸c˜ao 16. s t tamanho do seu comprimento. Depois, voltou a vara ` a posi¸c˜ ao vertical. - Vamos esperar alguns A E instantes, disse ele. Daqui a r pouco poderei dar a resposta. Ficaram todos ali, observando a sombra que a vara projetava. Num determinado momento, a sombra ficou exatamente do comprimento da vara. Tales disse ent˜ ao aos eg´ıpcios: - Pn=B F=Qn m me¸cam sua sombra e V˜ ao depressa at´ e a pirˆ amide, acrescentem ao resultado a medida da metade do lado da base. Essa soma ´ e a altura exata da pirˆ amide. Como Tales descobriu isso? triˆ angulos Tales usou semelhan¸ca de Pm

  . Esse assunto C Pm+1 G n estudaremos mais tarde.

  Fig. 147: 101 Ent˜ao podemos escrever que

  • AB = nU, EF = n ˜ U • mU ≤ AC < (m + 1)U, m ˜ U ≤ EG < (m + 1) ˜ U Dividindo e cancelando os termos U e ˜ U , encontramos que, m AC m + 1 m EG m + 1

  ≤ < e ≤ < (1) n AB n n EF n m m + 1 AC

  Represente na reta real R, os n´ umeros e . e os n´ umeros n n AB EG e . EF AB AC EG EF m m+1 n n R

  Fig. 148:

  AC EG A figura 148 e tamb´em as desigualdades mostram que e s˜ao

  AB EF m m + 1 n´ umeros que pertencem ao intervalo , ⊂ R. Isto significa que a n n

  AC EG distˆancia entre e ´e menor que a amplitude do intervalo. AB EF

  Em outras palavras AC EG m + 1 m

  1 − − = . <

  AB EF n n n Note que a desigualdade acima poderia ter sido deduzida diretamente de (1).

  Preferimos a explica¸c˜ao acima de natureza mais geom´etrica.

  AC EG Ora a desigualdade acima diz − = 0

  AB EF AC EG Logo = , como almejamos provar. AB EF C E D E R J 102 Vamos provar mais dois resultados, muito ´ uteis para resolver problemas.

  M ´ ODULO 1 - AULA 8

  Proposi¸c˜ ao 17 O segmento que une os pontos m´edios de dois lados de um triˆangulo ´e paralelo ao terceiro lado e tem medade de seu comprimento.

  Prova: Seja ABC um triˆangulo e sejam M e N os pontos m´edios dos lados AB e AC respectivamente. Trace o segmento M N , como na figura 149. A M B N C Fig. 149: Proposi¸c˜ ao 17.

  ←−→ ←→ m Queremos provar que as retas M N e BC s˜ao paralelas, e que m(M N ) =

  (BC)

  . Para isso, vamos construir um quadril´atero da seguinte forma: na reta

  2

  ←−→ M N marcamos um ponto D tal que M esteja entre D e N , e DM ≡ M N , e ligamos D a B (veja figura 150). Vamos mostrar que DN CB ´e um para- lelogramo. A D N M B C Fig. 150: Prova da proposi¸c˜ ao 17.

  Como os ˆangulos D c M B e N c M A s˜ao congruentes (por serem opostos pelo v´ertice), segue de L.A.L. que AM N ≡ BM D. Como conseq¨ uˆencia, temos A b N M ≡ B b DM e AN ≡ BD, como indicado na figura 151. A D N M B C DM

  Fig. 151: A b N M ≡ B b e AN ≡ BD. 103

  A reta ←→ DN ´e transversal `as retas

  ←→ DB e

  ←→ N C, formando um par de

  ˆangulos alternos internos congruentes, que s˜ao A b N D e B b DN . Segue da proposi¸c˜ao 9, da aula 5, que as retas ←→ DB e

  ←→ N C s˜ao paralelas. O qua- dril´atero DN CB possui assim um par de lados opostos paralelos e congru- entes: DB e N C.

  Pela proposi¸c˜ao 12, da aula 6, podemos concluir que DN CB ´e um paralelogramo. Por esse fato, DN e BC tamb´em s˜ao paralelos e, segundo a proposi¸c˜ao 11, da aula 6, congruentes. Finalmente, podemos concluir da´ı que M N ´e paralelo a BC e tem metade de seu comprimento.

  Q.E.D.

  Resumo Nesta aula vocˆe aprendeu...

  • A propor¸c˜ao entre segmentos determinados por transversais cortando feixes de paralelas, s´o depende do feixe de paralelas e n˜ao da posi¸c˜ao da transversal.
  • Que o segmento que une os pontos m´edios de dois lados de um triˆangulo ´e paralelo ao terceiro lado e tem metade do seu comprimento.

  Exerc´ıcios

  1. (Constru¸c˜ ao da paralela .) Sejam r uma reta e P um ponto n˜ao pertencente a r. Sabemos que existe uma ´ unica reta s passando por P e que ´e paralela a r. O objetivo deste exerc´ıcio ´e provar como se pode obter a reta s usando-se apenas r´egua (sem marca¸c˜ao de medida) e compasso. Para isso, trace trˆes c´ırculos, sempre com o mesmo raio: o primeiro com centro em P , determinando um ponto A na reta r; o segundo com centro em A, determinando um ponto B na mesma reta, e o terceiro com centro em B, determinando um ponto C sobre o primeiro c´ırculo (veja figura 152).

  r s P A B C Fig. 152: Exerc´ıcio 1. C E D E R J 104

  M ´ ODULO 1 - AULA 8

  2. Divis˜ao de segmentos em partes iguais. O objetivo deste exerc´ıcio ´e indicar um m´etodo para que vocˆe possa permite dividir, usando apenas r´egua (sem marca¸c˜ao) e compasso, um dado segmento em um n´ umero qualquer de segmentos congruentes.

  Constru¸c˜ao: Suponha que desejemos dividir o segmento AB da figura 153 em sete partes iguais. A B Fig. 153: Segmento AB.

  −→ Para isso, vamos tra¸car uma semi-reta AC de forma que o ˆangulo C b AB seja agudo (essa condi¸c˜ao n˜ao ´e decisiva, mas torna o desenho mais

  −→ f´acil). Sobre a semi-reta AC, tra¸camos os pontos D , D , . . ., D de

  1

  2

  7

  modo que AD ≡ D D ≡ . . . ≡ D D . Isso pode ser feito marcando-se

  1

  1

  2

  6

  7

  um ponto D e usando o compasso para transportar o segmento AD

  1

  1

  ←−→ para a semi-reta D C, e assim sucessivamente, como na figura 154. O

  1 tamanho de AD n˜ao ´e importante.

  1 C D 7 D 6 D 5 D 4 D 3 D 2 D 1 B A E E E E E E 1 2 3 4 5 6 Fig. 154: Divis˜ ao de AB em 7 partes iguais.

  3. Prove que os pontos m´edios dos lados de um quadril´atero qualquer formam um paralelogramo.

  4. Na figura 155 temos: m(AB) = 4 cm, m(BC) = 6 cm, m(AC) = 8 cm, m(DC) = 3 cm, F D//BC e DE//AB. Determine as medidas dos lados de F DEB. F A

  B E D C Fig. 155: Exerc´ıcio 4. 105

  5. Na figura 156, ABC ´e is´osceles de base BC, M ´e o ponto m´edio de BC, M P//AC e M Q//AB. Prove que AP M Q ´e um losango. A

  Q P B C M Fig. 156: Exerc´ıcio 5.

  6. Na figura 157, BM ≡ M C, AF ≡ F B e F D//BC. Prove que E ´e o ponto m´edio de F D. A

  

B

C D E F M Fig. 157: Exerc´ıcio 6.

  7. Determine x e y na figura 158, sabendo que r, s, t e u s˜ao paralelas.

  2

  

3

  3 x r s y u t

7 Fig. 158: Exerc´ıcio 7.

  C E D E R J 106

  M ´ ODULO 1 - AULA 8

  8. Na figura 159, E ˆ AD ≡ D ˆ AC.

  E A

  3

2 B

  x D C

4 Fig. 159: Exerc´ıcio 8.

  Usando apenas o teorema de Tales, determine x. 9. (ITA-1989) Considere um quadril´atero ABCD cujas diagonais AC e

  BD medem, respectivamente, 5 cm e 6 cm. Se R, S, T e U s˜ao os pontos m´edios dos lados do quadril´atero dado, determine o per´ımetro do quadril´atero RST U . 10. (U.C. Salvador, 1992)

  Sejam P : o conjunto dos retˆangulos Q: o conjunto dos quadrados L: o conjunto dos losangos

  A figura que melhor representa as rela¸c˜oes existentes entre eles ´e:

  L P L P Q L P Q Q (c) (a) (b)

  L L Q Q P P

(e)

(d)

  Fig. 160: Exerc´ıcio 9. 107

Novo documento