NOTAS DE AULAS E EXERCÍCIOS RESOLVIDOS PARA A DISCIPLINA DE EQUAÇÕES DIFERENCIAIS

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NOTAS DE AULAS E EXERCÍCIOS

RESOLVIDOS PARA A DISCIPLINA DE

EQUAđỏES DIFERENCIAIS

  

Prof. Dr. Leandro Blass

Prof. Dr. Anderson Bihain

  2º Semestre de 2016

  Equações Diferenciais

1.1 Introdução

  Muitas vezes em física, engenharia e outros ramos técnicos, há necessidade de encontrar uma função incógnita. Em muitos casos esta pesquisa leva a uma equação envolvendo derivadas (ou diferenciais) da função incógnita. Tais equações envolvendo derivadas (ou diferenciais) são chamadas equações diferenciais, em que a incógnita não é um número, mas uma função.

  Simbolicamente, uma equação diferencial pode ser escrita como: (n)

  ) = 0 F(x, y, y’ , y ’’, ... , y ou

  2 n dy d y d y F(x, y, , , ..., ) = 0.

  2 n dx dx dx

  Se a função incógnita depende apenas de uma variável, temos uma equação diferencial ordinária. Se depender de mais de uma variável, temos uma equação diferencial parcial. A ordem de uma equação diferencial é o número n que corresponde à ordem máxima das derivadas da equação. O grau de uma equação diferencial é a maior potência da derivada de maior ordem.

  Exemplos: Determinar o grau e a ordem de cada uma das seguintes equações diferenciais.

  3

  2

  2 d y dy dy dy dy

      (a)  7   (b) 

  3  y

     

  2 dx dx dx dx

     

  dx

  2

  2 A Equação (a) é uma equação diferencial de primeiro grau de ordem 2 porque d y/dx é a

  derivada de maior ordem na equação e está elevada à primeira potência. Notar que a terceira potência de dy/dx não tem influência no grau da Equação (a) porque dy/dx é de menor ordem

  2

  2 que d y/dx .

  A Equação (b), por outro lado, é uma equação diferencial de segundo grau e primeira ordem; dy/dx é a derivada de maior ordem (ordem 1) e 2 é a maior potência de dy/dx aparecendo na equação.

  Verificação da solução

  • x
    • 5 é uma solução da equação diferencial de segunda ordem e primeiro grau .
    • 2 2  

    • x
    • x
      • (
        • – 4.e

      2

      1 .

      1

      2

      1 2 2 x x

      C e C e

      =

           

         

         

            2 2 2 2 2 .

      1 . .

      2 . 1 .

      2

      1

      1 x x x x x

        

      C e C e e C e C e C

      =

       

          

         

       2 .

      1 . .

      4

      2

      1 x x

      C e C e   2 .

      1 . .

      2 x x

      C e C e

      1 .

         

       . A solução y = 4.e

      1  

      Uma solução de uma equação diferencial é uma função y = f (x) a qual, juntamente com as suas derivadas, satisfaz a equação diferencial dada.

      Exemplos: (a) Verificar que y = 4.e

      dx dy dx y d

      Observando que x

      e dx dy

         .

      4 e x

      

    e

    dx y d

        .

      4 2 2 e substituindo na equação diferencial dada, temos: 4.e

      ) = 0 0 = 0 é solução.

       (b) Verificar que y = x x C e C e

      .

      1 .

      é uma solução da equação diferencial de primeira ordem e primeiro grau ) 1 (

        

        . Substituindo este resultado na equação diferencial dada, temos:

          

       =

      C e C e

      2 x x

      1 . .

        2 .

      C e C e dx dy

      2

      2 x x

      1 . .

        2 .

      . A primeira derivada da equação dada é

      dx dy

      1 2   y

    • x
      • 5 no Exemplo (a) acima é um exemplo de uma solução particular de uma equação diferencial. Podemos verificar que y = 4.e

    • x
      • 3 é também uma solução particular da equação diferencial no exemplo (a). Deste modo, uma equação diferencial pode ter mais do que uma solução particular.

      x

      1  C . e arbitrárias é chamada uma solução geral. Assim, a solução y = no Exemplo (b) ou y = x 1  C . e

    • x 4.e + C no Exemplo (a) é um exemplo de uma solução geral.

      Geometricamente, a solução geral de uma equação diferencial de primeira ordem representa uma família de curvas conhecidas como curvas-solução uma para cada valor da constante arbitrária.

      Uma solução particular pode ser obtida se forem dadas certas condições iniciais. Uma

      

    condição inicial de uma equação diferencial é uma condição que especifica um valor particular

      de y, y , correspondente a um valor particular de x, x . Isto é, se y = f(x) pode ser uma solução da equação diferencial, então a função deve satisfazer a condição: y = f(x ). O problema de ser dada uma equação diferencial com condições iniciais é chamado um problema de valor inicial.

      Um estudo completo de equações diferenciais incluiria um estudo de equações diferenciais de todos os graus e equações diferenciais parciais e ordinárias. Limitamos deste modo as nossas considerações às equações diferenciais ordinárias do primeiro grau.

      Exemplos: (a) Verificar que y = C 1 .cosx + C 2 .senx é uma solução geral da equação diferencial y’’ + y = 0.

      Primeiro, determinar as derivadas da função dada:

      1 2.

      y' = - C .senx + C .cosx

      1 .cosx - C 2. .senx

      y’’= - C Substituindo na equação diferencial, temos: y’’ + y = 0

    • C

      1 .cosx - C

    2. .senx + ( C

    1 .cosx + C 2. .senx) = 0

      1 2.

      1 2.

    • C .cosx - C .senx + C .cosx + C .senx = 0 0 = 0

      Portanto, y = C

      1 .cosx + C 2. .senx é uma solução geral da equação diferencial dada com duas constantes arbitrárias distintas.

    • 2x

      (b) Mostre que y = C.e é uma solução

      para a equação diferencial y’ + 2y = 0 e encontre a solução particular determinada pela condição inicial y(0) = 3.

    • 2x -2x -2x -2x

      Sabemos que y = C.e é s olução porque y’ = - 2.C.e e y’ + 2y = - 2.C.e + 2.( C.e ) = 0.

    • 2x -2.0

      y = C.e  3 = C e  C = 3

    • -2x

      e concluímos que a solução particular é y = 3.e .

    1.2 Classificação das Equações Diferenciais de 1ª Ordem

      Equação diferencial de primeira ordem é da forma:

      

    dy f ( x , y )

    dy

      Se g(x) é uma função continua dada, então a equação de primeira ordem

      g (x ) dy dx

      Pode ser resolvida por integração. A solução é yg ( x ) dxc

       Existem numerosos métodos desenvolvidos para resolver equações diferenciais ordinárias.

      Veremos de perto vários destes métodos. Certas equações diferenciais de primeira ordem podem ser mais facilmente resolvidas usando o método de separação de variáveis.

      Uma equação diferencial de primeira ordem é uma relação envolvendo a primeira derivada. Isto é, pode ser escrita na forma:

      

    dy

    M ( x , y )  N ( x , y ) 

    dx

      ou (multiplicando ambos os membros pela diferencial dx, onde dx  0)

      M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

      onde M(x,y) e N(x,y) são funções envolvendo as variáveis x e y. Para esse tipo de equação, pode- se juntar todos os termos contendo x com dx e todos os termos contendo y com dy, obtendo-se uma solução através de integração. Tais equações são ditas separáveis, e o método de solução é o método de separação de variáveis. O método é descrito a seguir.

    1.2.1 Equações Diferenciais Separáveis

    • * Método de Separação de Variáveis

      1. Coloque a equação na forma diferencial

    M(x)dx + N(y)dy = 0 ou M(x)dx = - N(y)dy

      2. Integre para obter a solução geral

    M ( x ) dx   N ( y ) dyC .

       

      2

      3 Exemplo 01: Reescreva a equação diferencial de primeiro grau x = 0 na forma da

      yy’ – 2xy Equação geral das separações de variáveis.

      2

      3

      x yy’ – 2xy = 0

      dy

      2

      3 x yxy

      2 

      dx

      2

      3

      x ydy dx = 0 (multiplicando cada membro por dx)

    • – 2xy

      3

      2

      2

      3

    • 2xy dx + x ydy = 0 (multiplicando cada membro por 1/x y ) ou

      2

      1  dx  dy 

      2 x y

      2 Neste exemplo, M(x) = - 2/x e N(y) = 1/y . Por multiplicações e divisões apropriadas separamos a equação em termos onde cada um envolve apenas uma variável e a sua diferencial.

      Assim sendo, a solução geral pode ser obtida por integração de cada termo.

      2

      3 Exemplo 2: Determinar a solução geral da equação diferencial x = 0.

      yy’ – 2xy

      2

      3 No Exemplo 1 determinamos que x = 0 pode ser escrita como

      yy’ – 2xy

      2

      

    1

     dx  dy 

      2 x

    y

      ou

      1

      2 dy dx

      2 x y

      Integrando cada membro da equação, temos:

      1

      2 dydx

       

      2 x y

      1   - 2lnx C y ou 1 + 2ylnx + Cy = 0.

      

    Nota 1: Quando a solução de uma equação diferencial envolver a integração de um termo na

    du du du

    forma , escrevemos agora  ln uC em vez de  ln uC . Estamos agora

        u u u u é positivo. Lembrar também de incluir a percebendo que a solução é válida apenas quando constante de integração

      C.

       2,718....).

      Nota 2: Algumas regras para logaritmo na base e (e Sendo a > 0 e b > 0 e IR, então temos as seguintes propriedades:

       P1) ln (a . b) = ln a + ln b P3) ln (a ) = .ln a lna

      P2) ln (a : b) = ln a - ln b P4) e = a y Exemplo 3: Resolver a equação diferencial y ' .

      

      2 x

      1 Tornando a escrever, temos:

      dy y

      2 dx x

      

    1

    y dydx (multiplicar cada membro por dx)

      2 x

      

    1

    dy dx

       (multiplicar cada membro por 1/y)

      2 y x

      1

      dy dx  (integrar cada membro)

       

      2 y

    x

      1 lny = arctg x + C

      arctgx +C

      y = e

      arctgx C

      y = k.e , onde k = e

      2

      2 Exemplo 4: Resolver a equação diferencial x(1 + y ) – y(1 + x )y’= 0.

      Tornando a escrever, temos:

      dy

      2

      2 x

      1  yy 1  x

          dx

      2

      2 x

      1  y dxy 1  x dy

      

       

    x y dxdy

      2

      2

      1

      

    1

    xy

      ou

      x y dxdy

      2

      2 1  x 1  y

    x y

    dxdy

       

      2

      2 1  x 1  y

      1

      1

      2

      2

      ln( 1  x )  ln( 1  y )  C

      2

      2 ou

      2

      1 1  x ln( )  C .

      2

      2 1  y Como C é uma constante arbitrária, podemos tornar a escrever esta constante como C = ½

      2

      1 1  x

      1 ln( ) ln  k

      2

      2

      2

      1  y

      2

      1  x ou ( )  k

      2

      1  y

      2

      2

      ou ( 1  x )  k ( 1  y )

      2

      2

      ou x  1  kky  Esta última equação é mais fácil de trabalhar porque já não envolve logaritmos naturais.

      2

      1 1  x

      2

      

    2

    As equações ln( )  C e x

      1  kky  são equivalentes. Elas diferem apenas na

      2

      2 1  y forma da constante de integração. Praticando nos exercícios você ganhará experiência na escolha da forma mais apropriada para esta constante arbitrária.

      Exemplo 5:

      Resolver a equação diferencial y’ – 2x = 0 sujeita à condição inicial de que y = 1 quando x = 2, ou seja, y(2) = 1. A solução geral é:

      

    2

      y = x + C Substituindo y = 1 e x = 2, temos:

      2

      1 = (2) + C  1 = 4 + C  - 3 = C Portanto, a solução particular é

      2

      y = x – 3

      Exemplo 6:

      Resolver a equação diferencial y + xy’ = 0 sujeita à condição inicial de que y = 2 quando x = 3, ou seja, y(3) = 2. Tornando a escrever, temos:

      dy yxdx

      dx dy

       

      x y

      ou

      dx dy

       

      x y dx dy

       

        x y

      lnx = - lny + C lnx + lny = C ln xyC

      ou ln xy C

      ,

      ee Cxy

      Substituindo y = 2 quando x = 3, temos 3.2 = C  6 = C Portanto, a solução particular desejada é: xy = 6 ou y = 6/x.

      x Exemplo 7: y  2 dye dx é uma equação de variáveis separáveis

       

      Solução: Por integração dos dois lados:

      xy  2  dye dxc

       

      2 y

      2    x

       ec

      2 Esta é a solução da equação diferencial.

      1  y dxxydy

      2 Exemplo 8: Considere a seguinte Edo

       

      Solução: Esta equação ainda não tem as variáveis separadas. Para as separar coloca-se dx de um lado e dy de outro:

      2

      1  y dx   xydy

       

      Em seguida tenta-se colocar todas as funções de x do lado de dx e todas as funções de y do lado de dy:

      dx y   dy

      2 x

      1 y

      integrando:

      dx y

      1 2 y   dyc  ln x   dyc

      2

      2   

      2 x

      1

      1  yy

      1

      2

      2

       ln x   ln 1  yc   ln x  ln

      1  yc

      2

      1 2   C 1  y

      x Esta é a solução da equação.

      Exemplo 9: Considere a seguinte EDO: dy

       yyy e

      1  y '  1  e   1  1  1 e

           dy

    dx dx

       

       y dy e dy y y

       e  1  dye  1 dx   dx

         y dx

      1  e

      ye dy

       yy x

       dxc  ln 1  exc  1  eAe

      y

       

      1  e

      xy x x

      1  Aee  ln 1  Ae   yy   ln 1  Ae

          Algumas equações que não são separáveis podem vir a sê-lo mediante uma mudança de variáveis . Isso funciona para equações da forma y’ = f(x,y), onde f é uma função homogênia.

      Definição 1.2.2 Função Homogênea

      Se uma função f satisfaz

      n

      f(tx,ty) = t f(x,y) para algum número real n, então dizemos que f é uma função homogênea de grau n.

      Exemplos: Determinar de as funções (1) e (2) são homogéneas:

      2

      2 (1) f(x,y) = x

    • – 3xy + 5y

      2

      2

      f(tx,ty) = (tx)

    • – 3(tx)(ty) + 5(ty)

      2

      2

      2

      2

      2

      = t x xy + 5t y

    • – 3t

      2

      2

      2

      2

      = t [ x ] = t f(x,y) – 3xy + 5y  função homogênea de grau dois.

      3

      3 (2) f(x,y) = x + y + 1.

      3

      3

      3

      f(tx,ty) = (tx) + (ty) + 1  t f(x,y) pois

      3

      3

      3

      3

      3

      3 t .f(x,y) = t x + t y + t  função não é homogênea.

      

    OBS: Muitas vezes uma função homogênea pode ser reconhecida examinando o grau de cada

    termo.

      Exemplos: Identificando pelo grau da função:

      3

      2

      2 (1) f(x,y) = 6xy y

    • – x   A função é homogênea de grau quatro.

      

      grau 4 grau 4

         A função não é homogênea, pois os graus dos dois termos são diferentes

      grau 2 grau 1 Definição 1.2.2 Equação Homogênea

      Uma equação diferencial da forma

      

    M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

      é chamada homogênea se ambos os coeficientes M e N são funções homogêneas do mesmo grau.

      Resolução de uma equação homogénea: uma equação homogénea resolve-se com base y

      na mudança de variável u  , substituindo-se a função u pela função y. Para isso determina-se

      x dy dy du

      

      . Como y ux ,  xu . A equação dy f ( x , y ) transforma-se na equação seguinte:

      dx dx dx dx du xuf ( x , y ) . A partir daqui a resolução depende da função f(x,y) pelo que se ilustra o dx

      método com exemplos.

      Para resolver uma equação diferencial homogênea pelo método de separação de variável, basta fazer a mudança de variáveis dada pelo Teorema a seguir.

      Teorema Mudança de Variáveis para Equações Homogêneas

      Se M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 é homogênea, então ela pode ser transformada em uma equação diferencial cujas variáveis são separáveis pela mudança de variável y = v.x onde v é uma função diferenciável de x e dy/dx = v + x dv/dx.

      OBS: São válidas também as substituições x = y.v e dx = y dv + v dy.

      2

      2

      2 Exemplo 1: Resolva a seguinte edo: (x + y )dx + (x – xy)dy = 0.

      

    Solução : Como M(x,y) e N(x,y) são funções homogêneas de grau dois, tomamos y = v.x para

      obter dy = v dx + x dv. Então, substituindo, temos:

      2

      2

      2

      2

      2

      (x + v x )dx + (x )(v dx + x dv) = 0

    • – vx

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      2

      (x + v x )dx + (x )vdx +(x )xdv = 0

    • – vx – vx

      2

      2

      2

      3

      x (1+ v + v )dx + x (1

    • – v – v)dv = 0

      2

      3 2 (dividindo por x )

      x (1 + v)dx + x (1

    • – v)dv = 0  (1 + v)dx + x(1
    • – v)dv = 0 1  v dx dv   1  v x

      2 dx   (utilizamos frações parciais)

       1  dv   

    1  v x

     

      Depois de integrar a última linha, obtemos:

    • v + 2 ln 1 + v+ lnx= lnc

       y y (substituindo v)

       2ln 1   ln x  ln c .  x x

      Usando as propriedades do logaritmo, podemos escrever a solução precedente como:

      2

      x  y y

      

     

    ln  .

      cx x A definição de um logaritmo implica:

      y

      

    2

    x

      x  y  cxe   .

      dy y y

    2 Exemplo 2: cos

       

      dx x x dy du

       xu

      dx dx du du du dx

      2

      2 xuu  cos ux  cos u  

      2 x dx dx cos u

      du dx y  

       cot g u  ln( x )  k  cot g ln( x ) k     

       

      2   x x

      cos u  

      2

      2

    2 Exemplo 3:

      2 x y '  xy

      2 dy

      1 y  

      2 dx

      2 2 x

      dy du

       xu

      dx dx

      2 du 1 u du

      1 du 1 dx

      2 x u

          x

      1  u  2 u  

       

      2   dx

      2 2 dx

      2 2 x 1  u  2 u

      2  4 

      4

      2

      1  u  2 u   u  

      1

      2

      2

      2 1  u  2 u   u  1  du du

      1   

      2

      2   u

      1 1  u  2 u

      u

      1

       

      1

      1 1 yy  ln x k exp A x   ln xk         

        y u

      1 2 yx yx

       

      

      1

      x

    1.2.3 Equações Diferenciais Exatas

      Embora a equação, y dx + x dy = 0 seja separável e homogênea, podemos ver que ela é também equivalente à diferencial do produto de x e y; isto é y dx + x dy = d(xy) = 0. Por integração, obtemos imediatamente a solução implícita xy = c. Deve ser lembrado então sua diferencial total é:  f  f dz  dx  dy (1)

       x  y Agora, se f(x,y) = c, segue-se de (1) que:

       f  f dx  dy  (2)  x  y

      Em outras palavras, dada uma família de curvas f(x,y) = c, podemos gerar uma equação diferencial de primeira ordem, calculando a diferencial total.

      2

    3 Exemplo 1: Se x

      = c, então por (2)

    • – 5xy + y

      dy 5y  2x

      2 (2x –5y)dx + (-5x +3y )dy = 0 ou  .

      2 dx 5x 3y

       

      Para nossos propósitos, é mais importante inverter o problema, isto é, dada uma equação como

      dy 5y  2x  , (3)

      

    2

    dx  5x  3y

      2

      3

      podemos identificar a equação como sendo equivalente a d(x ) = 0?

    • – 5xy + y Obs: ote que a equação (3) não é separável nem homogênea.

      Definição 1.2.3 Equação Exata

      Uma equação diferencial M(x,y)dx + N(x,y)dy

      é uma diferencial exata em uma região R do plano xy se ela corresponde à diferencial total de alguma função f(x,y). Uma equação diferencial da forma

      

    M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0

      é chamada de uma equação exata se a expressão do lado esquerdo é uma diferencial exata, ou

      x

    seja , se existir uma função f(x,y) com derivadas parciais contínuas e tais que f (x,y) = M(x,y) e

    y f (x,y) = N(x,y). Assim, a forma geral da solução da equação é f(x,y) = c.

      Exemplo 2: A equação x

      MÉTODO DE SOLUđấO

      O teorema seguinte é um teste para uma diferencial exata.

      Teorema Critério para uma Diferencial Exata

      Sejam M(x, y) e N(x, y) funções contínuas com derivadas parciais contínuas em uma região R definida a < x < b, c < y < d. Então, uma condição necessária e suficiente para que M(x,y)dx + N(x,y)dy seja uma diferencial exata é

      x N y M

       

       

       . (4)

      Dada a equação M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 (5)

      y

      Mostre primeiro que

      x N y M

       

       

       . Depois suponha que

        M y x x f

      ,    daí podemos encontrar f integrando M(x,y) com relação a x, considerando y constante.

      2 dy.

      3

      2

      3

      y

      3

      dx + x

      3

      y

      2

      dy = 0 é exata, pois: d(

      1 x

      dx + x

      3

      y

      3

      ) = x

      2

      y

      

    3

      Escrevemos,

      Segue-se que g’(y) = – 1 e g(y) = - y.

      y f

      2

      x N y M

       

       

       = 2x. Logo, a equação é exata e, pelo Teorema anterior, existe uma função f(x,y), tal que

        

      x f

      2xy e   

      x

      2 – 1) dy = 0.

      2 – 1.

      Da primeira dessas equações, obtemos, depois de integrar, f(x,y) = x

      2 y + g(y).

      Derivando a última expressão com relação à y e igualando o resultado a N(x, y), temos 

       

      y f

      x

      2

      2 – 1.

      Solução: Como M(x,y) = 2xy e N(x,y) = x

      Exemplo 3: Resolva a EDO exata: 2xy dx + (x

      f(x,y) =

      

       

    , ) , (

       

      M y g dx y x (6)

      em que a função arbitrária g(y) é a constante de integração. Agora, derivando (6) com relação a y e supondo f/y = N(x,y): 

       

      y f  

      

       

      M y g dx y x y

      ,    .

      ' ) , ( =

        N y x , .

      Assim, g’(y) = N(x,y) -

      

       

      M dx y x y

      ) , ( . (7) Finalmente, integre (7) com relação a y e substitua o resultado em (6). A solução para a equação é f(x,y) = c.

      OBS: Poderíamos começar o procedimento acima com a suposição de que  

      N y x y f

    • – 1, temos
      • g’(y) = x

      2

      x y – y = c.

      OBS: Observe que a equação poderia também ser resolvida por separação de variáveis. Exemplo 4: Resolva o problema de valor inicial:

      2

      2

      (cosx senx – xy ) dx + y.(1 - x ) dy = 0, y (0) = 2.

      Solução: A equação é exata, pois

       MN = - 2xy.

        yx

      Agora,  f

      2

       y.(1 - x )  y

      2

      y

      2 f(x,y) = (1 - x ) + h(x).

      2  f

      2

      2 - xy .

       + h’(x) = cosx senx – xy  x

      A última equação implica h’(x) = cosx.senx

      1

      2 (Método da Substituição)

      h(x) = - cosx.senx dx  cos x .

      

      2

      2

      y

      1

      2

      2 Logo, (1 - x ) cos - x = c

      1

      2

      2 ou

      2

      2

      2

      y (1 ) x = c,

    • – x – cos

      2

      2

      2

      em que c = 2c

      1 . A condição inicial y = 2 quando x = 0 demanda que (2) [1 ] 0 = c,

    • – (0) – cos ou seja, c = 3. Portanto, a solução para o problema é

      2

      2

      2 y (1 – x ) – cos x = 3.

    FATORES INTEGRANTES

      Algumas vezes, é possível converter uma equação diferencial não exata em uma equação exata multiplicando-a por uma função (x,y) chamada fator de integração. Porém, a equação exata resultante:

       M(x,y) dx +  N(x,y) dy = 0 pode não ser equivalente à original no sentido de que a solução para uma é também a solução para a outra. A multiplicação pode ocasionar perdas ou ganhos de soluções.

      Exemplo 1: Se a equação diferencial, (Não é uma equação exata)

      2y dx + x dy = 0 for multiplicada pelo fator integrante (x,y) = x, a equação resultante

      2 (Equação exata)

      2xy dx + x dy = 0

        M N   x é exata, ou seja, .

      2   y x

      Pode ser difícil encontrar um fator integrante. No entanto, existem duas classes de equações diferenciais cujos fatores integrantes podem ser encontrados de maneira rotineira - aquelas que possuem fatores integrantes que são funções que dependem apenas de x ou apenas de y. O Teorema a seguir, que enunciaremos sem demonstração, fornece um roteiro para encontrar esses dois tipos especiais de fatores integrantes.

      Teorema Fatores Integrantes Considere a equação diferencial M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0.

    1. Se

      1

      h ( x ) dx e é uma função só de x, então  é um fator integrante.

    2. Se

      1

      

    x y

      [ N (x,y) - M (x,y)] = k(y) M(x, y)

      k ( y ) dy é uma função só de y, então  e é um fator integrante.

      2 Exemplo 2: Encontre a solução geral da equação diferencial (y – x) dx + 2y dy = 0.

      Solução: A equação dada não é exata, pois M y (x,y) = 2y e N x (x,y) = 0. Entretanto, como

      1

      1 [M y (x,y) x (x,y)] = [2y = h(x)

    • – N – 0] = 1 = x N(x, y)

      2 y

      h ( x ) dx 1 dx x x

       temos que  = é um fator integrante. Multiplicando a equação dada por e ,

      e ee obtemos a equação diferencial exata.

      2 x x x

      (y e ) dx + 2ye dy = 0

    • – x e cuja solução é obtida da seguinte maneira:

      x 2 x

      f(x,y) = N(x, y) dy  2ye dy  y eg ( x )

        2 x ' 2 x x

      y eg ( x ) = y e f ’(x,y) = – x e

      ' x (integração por partes) g ( x ) =

    • – x e

      x x 2 x x x Logo, g(x) = + e , o que implica na solução geral y e + e = c.

    • – x e
    • – x e

      OBS: Um outro fator integrante é:

      Se M(x,y) = y. f(x,y) e N(x,y) = x. g(x,y), então

    • – y)dx – xdy = 0 y.(xy – 1)dx – x.(1)dy = 0
    • – 1)

      Multiplicando (1) por (x,y), obtemos:

      2

      1 y

      =

      2 ) (x

      1 y

      

      2 ) (x

      =

      1 y

      

     .[y.(1 - xy)dx + x.(1)dy] = 0,

      ou seja,

       

      1

      1

      2

      

    2

      2 y

      2    dy xy dx y x xy que é exata. Aplicando o método de resolução de equação exata, chegamos à solução y = - 1/(x.ln cx)

      dx dy (xy

      y) y.N(x, - y) x.M(x,

      

    1

    ) , (  y x  (*) Exemplo 3:

      Resolva y’ =

      xy xy 2 .

      Solução: Escrevendo a equação sob forma diferencial, temos xy xy

      

      2

      2

      2

      (multiplicando por

      y.(1 - xy)dx + x.(1)dy = 0 (1) De acordo com (*), temos:

      (x,y) =

            x.(1) y. - xy -

      1 y. x.

      1 =

      1

    • yx x - x.y
    • x

    1.2.4 Equações Diferenciais Lineares de Primeira ordem

      Definimos a forma geral para uma equação diferencial linear de ordem n como,

      n n 1 - d y d y d y

    a x a x  a x a x y g(x)

                   . n n -

      1

      1 n 1 - n dx dx dx

      Lembre-se de que linearidade significa que todos os coeficientes são funções de x

    somente e que y e todas as suas derivadas são elevadas à primeira potência. Agora, quando n

    = 1, obtemos uma equação linear de primeira ordem.

      Definição 1.2.4 Equação Linear

      Uma equação diferencial da forma d y a x  a x y  g(x)

         

      1

      dx é chamada de equação linear.

      Dividindo pelo coeficiente a

      1 (x), obtemos uma forma mais útil de uma equação linear: dy

       P x y .  Q x ( ) . (1)

        dx

      Caso, Q x  é dita homogênea. Iremos trabalhar com os dois casos: linear homogênea e não

        homogênea.

      Procuramos uma solução para (1) em um intervalo I no qual as funções P(x) e Q(x) são contínuas. Na discussão a seguir, supomos que (1) possui uma solução.Usando diferenciais, podemos escrever a equação (1) como: dy + [P(x).y - Q(x)]dx = 0 (2)

      Equações lineares possuem a agradável propriedade através da qual podemos sempre encontrar uma função (x) em que:

      (x)dy + (x)[P(x).y - Q(x)]dx = 0 (3) é uma equação diferencial exata. Pelo Teorema (Critério para uma Diferencial Exata), o lado esquerdo da equação (3) é uma diferencial exata se

       

      (x)dy = (x)[P(x).y - Q(x)]dx (4)

       xy

      ou d P(x) . μ   dx

      Esta é uma equação separável em que podemos determinar (x). Temos d 

       P(x)dx 

      ln   P(x)dx (5) 

      assim

      

    P(x)dx

      ( )  xe . (6)

      Assim a função (x) definida em (6) é um fator de integração para a equação linear. Note que não precisamos usar uma constante de integração em (5), pois (3) não se altera se a multiplicarmos por uma constante. Ainda, (x)  0 para todo x em I, e é contínua e diferenciável.

      Multiplicando a equação (1) por (6), obtemos: d y P(x)dx P(x)dx

       P(x)dx

       

      

    e  e P x y  e Q(x)

     

      dx d

      P(x)dx P(x)dx

     

    (integrando ambos os lados)

    y . eQ ( x ). e

       

      dx

      P(x)dx P(x)dx  

    y . eQ ( x ). e dxC .

       Assim sendo a solução geral é dada por

       P(x)dx P(x)dx   y e Q ( x ). e dx C

        . (7)

        

      Método de resolução para linear homogênea:

    • Colocar a Edo linear na forma padrão (1); P x dx

       

    • Identificar P(x) e então encontrar o fator integrante e ;
    • Multiplique a forma padrão pelo fator integrante. O lado esquerdo resultante é automaticamente a derivada do produto do fator integrante por y; P x dx P x dx

      d    

         

      e ye f x  

       

      dx

        - Integre ambos os lados desta última equação.

      dy

      Ex1: Resolvendo a ED de primeira ordem homogênea  3 y

      dx dy dy

       3 y     3 ySeparando

      dx dx dy dy

       3 dxIntegrando   3 dx usando o fator

        y y ln y 3 x c

      

      ln y3 x 3 x c   eeonde

      yce 3 dx    3 x

      

      

      e e Multiplicando a ED

        3 x dy d 3 x 3 x

         e

      3 e y    e y    

      dx dx

      integrante

      d 3 x

      Integrandoe y  

       

        3 dx 3x x e y c y ce

        

      Teorema Solução de uma Equação Diferencial Linear de Primeira Ordem não homogênea

      Um fator integrante para a equação diferencial linear de primeira ordem

      y’ + P(x).y = P(x)dx 

      Q(x) é

       ( x )  e . A solução da equação diferencial é

       P(x)dx P(x)dx

      4 .

      

      Aqui, usamos a identidade básica b

      log b N

      = N, N > 0. Agora, multiplicamos (8) por este termo x

      x

      5

      4

      4

      e x x. y x 4 x. dx dy

       

        x

      x

      5 xe y x.

      4 dx dy

       

      (9) e obtemos

      ) ( e e x  = e

        x

      4 .y xe x.

      dx d 

      

      . (10) Segue-se da integração por partes que x

      y = xe

      

    x

      x

      5

      e

      x

      4

      e

      x

      = x

      4

      Exemplo: Encontre a solução geral de

         

      3

      6

      dy y dx   .

       

    3

    3 3 3 3 3

      3 3 3 3 3

      .int

      3

      6

      6

      6

      2 :

      2 P x dx x x x x x x x x x x x

      

    F egrante e e Multilplicando a ED

    dy d e e y e e y e dx dx d Integrando e y e dx e y e c

      Solução y ce

        

         

      dx x

      e x y

       

       

      (8) Como P(x) = -4/x, o fator integrante é

      x (dividindo por x)

       

      4 dx dy

      5

           

      Solução Escreva a equação como x

      4y e x dx dy x   .

      6

        Exemplo Encontre a solução geral de x

           

            

    • P(x)dx
    • 4 lnx
      • –4 .
      • –4 .
      • –4 .
      • –4
        • c ou y(x) = x

      • – e
        • c x

      • – x
      • n
      • 1 n

        y nos dá

      Exemplo Resolva .

          . (3) Resolvendo (3) e depois fazendo y

      1

      = w, obtemos uma solução para (1), ou seja,

        C dx e x Q n e y n

         

          - n).P(x)dx (1 n).P(x)dx - (1 1 ). ( ).

      1 ( .

      1

       

      2 xy y x dx dy

       

      Solução

      Em (1), identificamos P(x) = 1/x, Q(x) = x e n = 2. Logo, a mudança de variável w = y

      1-2

      = y

      e dx dy dx dw

      2 

      (1 n).Q(x) .w x n).P (1 dx dw

      Com essa substituição, (2) transforma-se na equação linear

      EQUAđỏES DE BERNOULLI

      Q(x) .y x P dx d y

      A equação diferencial

        n

      Q(x).y .y x P dx d

       

      y (1)

      em que n é um número real qualquer, é chamada de equação de Bernoulli. Para n = 0 e n = 1, a equação (1) é linear em y. Agora, se y  0, (1) pode ser escrita como

       

       

        .

      y . (2)

      Se fizermos w = y

      1 – n

      , n  0, n  1, temos

       

      dx dy y n

      1 dx dw

       n

    • – n
    • –1
    dw

      1  w   x. (*) dx x

      1  dx

      

       ln x

      1 x O fator de integração para essa equação linear é eex .

    • –1

      Multiplicando ambos os lados de (*) pelo seu fator integrante x , obtemos: dw

      1

      

      

      1

      1

      1

    xx w   x x

      dx x ou dw

       1 

      2

    xx w  

      1 dx assim d

      

      1

    x . w  

    1 .

       

      dx Integrando essa última forma, obtemos:

    • 1

      2 x w = - x + c ou w = - x + cx.

      2

    • –1

      Como w = y , então y = 1/w ou y = 1/(- x + cx)

      

    Referências Básicas

    BOYCE, W. E. & DIPRIMA, R. C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno. 8. ed.

      LTC, 2006. KREYSZIG, E., Matemática Superior, Vol. I e II, LTC Editora. ZILL, D.G., Equações Diferenciais, Vol.I e II, Ed. Makron, 2001.

      

    Referências Complementares

    BUTKOV, E., Física Matemática, LTC Editora, 1988.

      CHURCHILL, R.V., Fourier Series and Boundary Value Problems, 2a. ed., Ed. McGraw-Hill, 1963. DAVIS, H.F., Fourier Series and Orthogonal Functions, Dover, 1963. GUIDORIZZI, H.L. Um curso de cálculo.5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1997.V.4. HILL, D. G. Equações Diferenciais com Aplicações em Modelagem. Thomson Learning. KAPLAN, W. Cálculo Avançado. Edgard Blucher, 1972. v. 2. SPIEGEL, M.R., Transformadas de Laplace; resumo e teoria, Ed. McGraw-Hill, 1971. STEWART, J. Cálculo. 5ª ed. São Paulo: Thomson Learning, 2005. v.2.

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