Sistemas semirramificados de funções e álgebras de Cuntz–Krieger

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Natã Machado

Sistemas semirramificados de funções

e álgebras de Cuntz–Krieger

  

Florianópolis

Fevereiro de 2018

  

Natã Machado

Sistemas semirramificados de funções e

álgebras de Cuntz–Krieger

  Dissertação submetida ao Curso de Pós-Graduação em Matemá- tica Pura e Aplicada, do Centro de Ciências Físicas e Matemáti- Santa Catarina, para obtenção de grau de Mestre em Matemá- tica, com área de concentração em Análise.

  Universidade Federal de Santa Catarina – UFSC Centro de Ciências Físicas e Matemáticas

  Programa de Pós-Graduação em Matemática Pura e Aplicada

  

Orientador: Professor Doutor Gilles Gonçalves de Castro

Florianópolis

Fevereiro de 2018

  

Ficha de identificação da obra elaborada pelo autor,

através do Programa de Geração Automática da Biblioteca Universitária da UFSC.

de Cuntz-Krieger / Natã Machado ; orientador,

Sistemas semirramificados de funções e álgebras

Machado, Natã Santa Catarina, Centro de Ciências Físicas e

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de

131 p. Gilles Gonçalves de Castro, 2018. Matemáticas, Programa de Pós-Graduação em Matemática funções. 4. Espaço de Hilbert das semi-densidades. 5. Cuntz-Krieger. 3. Sistemas semirramificados de

1. Matemática Pura e Aplicada. 2. Álgebras de

Inclui referências. Pura e Aplicada, Florianópolis, 2018. Aplicada. III. Título. Programa de Pós-Graduação em Matemática Pura e . II. Universidade Federal de Santa Catarina. Representações Mônicas. I. Gonçalves de Castro, Gilles

  

Natã Macha

   Sistemas semirramificados de funções e

álgebras de Cuntz–Krieger

  Esta Dissertação foi julgada adequada para obtenção do Título de “Mestre” e aprovada em sua forma final pelo Programa de Pós Graduação em Matemática Pura e Aplicada.

  

Professor Doutor Ruy Coimbra Charão

  Coordenador

  Banca examinadora:

Professor Doutor Gilles Gonçalves de

Castro

  Orientador 1 Bolsista do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico – CNPq.

  

Professor Doutor Artur Oscar Lopes

  UFRGS

  

Professor Doutor Danilo Royer

  UFSC

  Professor Doutor Giuliano Boava

  UFSC

  

Florianópolis

Fevereiro de 2018

  

AGRADECIMENTOS

  Agradeço àquele que com uma simples palavra formou todo o universo. Agradeço aos meus pais e ao meu irmão, sou o que sou por causa do amor e cuidado de vocês. Agradeço à Paula Savana pela dose diária de amor, carinho e compreensão. Agradeço a todos os meus amigos pelo suporte emocional nestes dois anos. Em especial agradeço aos queridos Cesar Smani- otto Júnior e Luiz Fernando Bossa, com os quais toda conversa termina em futebol, política e muita risada.

  O pouco que sei é devido a todos os mestres que me ajudaram ao longo desta caminhada. Por isso, agradeço a todos os professores que transmitiram a mim os seus conhecimentos durante este mestrado: Daniel Gonçalves, Danilo Royer, Fábio Bo- telho, Fernando Mortari, Ivan Pontual, Vladimir Pestov. Agradeço também ao professor Eliezer Batista pelas inúmeras conversas de corredor que servem como motivação àqueles que um dia almejam tornar-se matemáticos. Em especial, agradeço ao meu orienta- dor Gilles Gonçalves de Castro por toda a atenção e paciência concedidas a mim na confecção deste trabalho e também no dire- cionamento da minha vida acadêmica. Agradeço aos professores que aceitaram participar da banca examinadora deste trabalho,

  Artur Lopes, Danilo Royer e por último, mas não menos impor- tante, Giuliano Boava, a quem agradeço também pela amizade e prestatividade.

  Para finalizar, agradeço a todos os funcionários adminis- trativos do Departamento de Matemática e também ao CNPq pelo suporte financeiro.

  

RESUMO

  Apresentamos representações de álgebras de Cuntz–Krieger as- sociadas a sistemas semirramificados de funções e também in- troduzimos o operador de Perron–Frobenius associado a um tal sistema. Além disso, mostramos que quando a álgebra de Cuntz– Krieger é representada no espaço de Hilbert das semi-densidades, o operador de Perron–Frobenius pertence à imagem da represen- tação. Por fim, fornecemos uma caracterização de quando uma representação associada a um sistema mônico é mônica e mostra- mos que a representação da álgebra de Cuntz–Krieger no espaço das semi-densidades é universal no sentido de conter todas as representações associadas a sistemas mônicos não negativos.

  Palavras-chave

  : álgebras de Cuntz–Krieger; sistemas semirra- mificados de funções; espaço das semi-densidades; representações mônicas.

  

ABSTRACT

  We present Cuntz–Krieger algebras representations associated with semibranching function systems and we show that if such a representation is on the half densities Hilbert space, then the Perron–Frobenius operator associated with semibranching func- tion system is in the representation range. Finally, we show a necessary and sufficient condition for a representation associated with a monic system to be monic and also that the half densities space representation has an universal property.

  Key-words

  : Cuntz–Krieger algebras; semibranching function systems; half densities space; monic representations.

  

SUMÁRIO

. . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  13

1 ESPAÇOS DE HILBERT ASSOCIADOS À CLASSES DE MEDIDA . . . . . . . . . . . .

  17

  

  

  . . . . 17

  

  . . . 32

  

  47

  

  . . 47

  

  . . . . . . . . . . . . . 51

  

  . . . . . 54

2.2.1 Operador de Perron–Frobenius . . . . . . . . . . 70 3 REPRESENTAđỏES MÔNICAS . . . . . .

  85 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 107

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109

  

. . . . . . . . 113

   . . . . . . . . . . . . . . . . 127

  13

  INTRODUđấO

  As álgebras de Cuntz–Krieger foram originalmente apre- sentadas no artigo

  e surgiram da tentativa de generalizar as

  álgebras de Cuntz que, por sua vez, vieram à tona como o primeiro

  ∗

  exemplo de uma C −álgebra concreta, simples e separável de di- mensão infinita. A generalização deu-se no sentido de introduzir um parâmetro matricial (uma matriz quadrada M com entradas 0 e 1) na construção de tais álgebras, sendo que se na construção M for escolhida com todas as entradas iguais a 1, então recupera-se

  Sistemas semirramificados de funções podem ser enten- didos com uma generalização da dinâmica gerada pelo operador shift e suas inversas parciais nos espaços shift. Esta dinâmica, por sua vez, é o plano de fundo de um conceito muito importante na área de sistemas dinâmicos que é o conceito de autossimilaridade, presente nos fractais.

  Neste trabalho, construímos representações de álgebras de Cuntz–Krieger relacionadas a um sistema semirramificado de funções de tal maneira que possamos extrair informações sobre a representação olhando apenas para o sistema semirramificado. i T T i ∗ ∗

  Por exemplo, podemos concluir que as projeções T e T são i i não nulas se os conjuntos D i e R i têm medida positiva (página

  

  Seja Y um espaço topológico compacto e Hausdorff. Sa- bemos que se φ : Y Y é um homeomorfismo, então a aplicação e

  φ φ

  : C(Y ) → C(Y ), dada por e (f) = f φ é um ∗−isomorfismo

  14 Introdução

  unital. Migrando da estrutura topológica para a estrutura mensu- rável, considere um espaço de medida boreliano (X, B, ν) e um automorfismo boreliano φ : X X, isto é, φ é uma bijeção bimen-

   −1 −1

  ν

  surável tal qu . Denote por d ν ) a derivada (ν φ

  ∼ ν φ

  −1

  com relação a ν. Gostaríamos que de Radon–Nikodým de ν φ

  2 T φ

  (X, B, ν), (ψ) := ψ φ fosse um operador linear e limitado em L no entanto, temos que

  Z Z Z

  2

  2

  2 −1 −1

  d ν = ) = d ν ) d ν d(ν φ (ν φ |ψ φ| |ψ| |ψ|

  

2

−1

  d ν e não é possível garantir que |ψ| (ν φ ) seja ν−integrável. Porém, introduzindo um fator de correção e fazendo T φ (ψ) := ψ −1 φ é um operador linear, limitado e de

  ◦ φ, temos que T

  d ) ν (νφ

  2

  ção porque não conseguimos garantir que |ψ φ| é ν−integrável

  2

  e isto nos leva a pensar que o espaço L (X, B, ν) é “pequeno” para abrigar as funções obtidas através da composição com φ. Assim, com base nas construções feitas em

  p.84],

  apresentamos no Capítulo 1 duas maneiras de associar um espaço de Hilbert a uma classe de medidas sobre um espaço mensurável (nas referências citadas o espaço tomado é sempre boreliano). Um desses espaços é o chamado espaço de Hilbert das semi-densidades

  W , no qual é possível representar álgebras de Cuntz–Krieger a partir de um sistema semirramificado de funções. Estas represen- tações tomam papel principal quando falamos do operador de Perron–Frobenius e representações associadas a sistemas mônicos

  (Capítulos 2 e 3). Quando a álgebra de Cuntz–Krieger é represen- i tada através dos operadores T (ver página

  é necessário o fator

  de correção na definição do operador, já quando a representação 2 se dá no espaço das semi-densidades, através dos operadores W i ver Definição

  15

  (ver página

  este fator já não se faz mais necessário. Toda esta

  problemática que acabamos de mencionar é um sub-problema de um problema maior que é o de encontrar representações unitárias do grupo de automorfismos de uma classe de medidas.

  No Capítulo 2, fixamos uma matriz A e revisamos alguns detalhes da construção dos espaços shift e da álgebra de Cuntz– A Krieger O . Apresentamos também os sistemas semirramificados A de funções e uma representação de O associada a um tal sis- tema. Em seguida, associamos o operador de Perron–Frobenius

  (estudado em teoria ergódica) ao nosso sistema semirramificado e A relacionamos o operador à nossa representação de O . A teoria que desenvolvemos neste Capítulo é baseada nas duas primeiras desenvolvemos para construir sistemas ortonormais de wavelets.

  No Capítulo final, apresentamos duas outras novas classes A de representações de O : representações mônicas e representações associadas a sistemas mônicos, sendo que esta última generaliza a representação que apresentamos no Capítulo 2. O objetivo principal do Capítulo é caracterizar quando uma representação associada a um sistema mônico é mônica. Este Capítulo é baseado nos Capítulos 4 de

  que além do assunto aqui tratado

  relaciona sistemas semirramificados de funções a diagramas de Bratteli.

  Pressupomos que o leitor desta dissertação esteja fami- liarizado com conceitos de teoria da medida, análise funcional e álgebras de operadores. Com o objetivo de facilitar a leitura, o apêndice 1 foi escrito para que o leitor possa estar a par do enunciado dos principais teoremas que usamos ao longo do texto.

  2 Todos os espaços de funções (C(X), L (X, B, µ), etc.) são

  16 Introdução

  considerados com contradomínio em C e, além disso, neste tra- balho consideramos os produtos internos como formas conju- gado-lineares na primeira entrada e lineares na segunda entrada. Para indicar a função característica de um conjunto A, usamos o símbolo χ A e no caso em que A é o conjunto universo, escrevemos A . Além disso, o símbolo I W é usado para expressar o operador

  1 identidade de um dado espaço vetorial W . Os índices serão omi- tidos sempre que estiver claro no contexto qual o conjunto que estamos trabalhando. A menos de menção em contrário, todas as medidas neste trabalho são positivas e finitas e, além disso, quando escrevermos que uma propriedade vale ν−qtp, queremos dizer que o conjunto dos pontos em que tal propriedade não é válida está contido num conjunto mensurável cuja medida ν é zero. Algumas vezes, omitiremos o espaço mensurável na notação

  2

  2 de L (X, B, µ), isto é, escreveremos apenas L (µ).

  17

  1 ESPAÇOS DE HILBERT

ASSOCIADOS À CLASSES

DE MEDIDA

  Neste Capítulo, apresentamos o conceito de classe de

  2

  medidas e também o de espaço de Hilbert L associado a uma

  2

  tal classe. Em suma, este espaço codifica os espaços L de todas as medidas que estão na classe. Além disso, quando a classe é o conjunto de todas as medida finitas sobre um espaço mensurável dado, existe uma segunda maneira de construir um espaço de Hilbert associado a esta classe. Encerramos o Capítulo provando um Teorema que relaciona as duas construções.

  2

1.1 O espaço L de uma classe de medidas Definição 1.1.

  Sejam (X, B) um espaço mensurável, M(X, B) o conjunto de todas as medidas finitas em (X, B) e C um subconjunto de M(X, B). A tripla (X, B, C) é dita uma classe

   de medidas

  se C satisfaz a seguinte propriedad se µ ∈ C e

  νµ, então ν ∈ C.

Observação 1.2. Em outras palavras, uma classe de medidas é

  uma união de classes de equivalência. Pode ser que C = [µ], em que µ é uma medida qualquer em M(X, B), ou pode acontecer C 1 = M(X, B).

  ver Definição

18 Capítulo 1. Espaços de Hilbert associados à classes de medida

  Agora, vamos apresentar um dos conceitos mais impor- tantes deste Capítulo, que é o conceito de média geométrica entre duas medidas. Fixamos uma classe de medidas (X, B, C) e reite- ramos que todas as medidas tratadas neste Capítulo são sobre

  ∗

  (X, B) e finitas. Denotaremos por B (X) a C

  ∞ −álgebra comuta-

  tiva das funções B−mensuráveis e limitadas de X a valores em C .

  

Observação 1.3. A notação padrão para B (X) é B (X, B) pois

∞ ∞

  estamos tratando de funções B−mensuráveis. Porém, como fixa- mos um espaço mensurável para todo o Capítulo 1, vamos omitir (X, B). a σ−álgebra B na notação B

  ∞ µ,ν Definição 1.4.

  conjunto de todas as medidas σ que satisfazem a seguinte propri- edade:

2 Z Z Z

  2

  2 f ¯g d σ d µ (X).

  ≤ |f| |g| d ν, f, g B

  ∞

2 Proposição 1.5.

  Sejam µ, ν e ω medidas tais que µ

  ≪ ω e

  ′ ν , dada por

  ≪ ω. Então a medida ω Z p

  ′ ω µ ν µ,ν µ,ν (A) = d ω d ω d ω A

  ′ , pertence a C e, além disso, σ .

  ≤ ωσ C µ,ν

  

Demonstração. Sejam f , g em B e ε > 0. Ob-

  (X), σ C

  ∞ µ,ν

  servemos primeiramente que ω . Com efeito, note que ∈ C

  √

  ′ ω µ ν 2 d ω = d ω d ω e que

  2 de uma classe de medidas

  19

1.1. O espaço L

  Z

2 Z

   p

  2

   ′ f f ω µ ω ν

  ¯g d ω = ¯g d d d ω Z

  2

  p p

  µ ν

  d ω d ω d ω ≤ |f| |¯g|

  Z Z

  Hölder

  

2

  2 µ ν

  d ω d ω d ω d ω ≤ |f| |g|

  Z Z

  2

  2 = d µ d ν.

  |f| |g| Além disso,

  2 Z Z Z

  2

  

2

f

  ¯g d σ d µ d ν ≤ |f| |g|

  Z Z

  2

  2 µ ν

  = d ω d ω d ω d ω |f| |g|

  Z Z

  2

  2 µ ν

  (d ω + ε) d ω (d ω + ε) d ω ≤ |f| |g|

  Z Z

1

2

  2 1 2

  2 = ω µ + ε) d ω ω ν + ε) d ω.

  f (d g (d f f (1.1)

  √ √

  Defina f = e g = . Queremos verificar que f e

  1 µ

  1

  1 d +ε d ν +ε ω ω g

  1 também se aplicam à estimativa para isso precisamos

  garantir que tais funções são limitadas. Observe que para todo

  x

  ∈ X, |f(x)| |f(x)| ||f||

  ∞

  |f

  

1 (x)| = p ≤ √ ≤ √

ε ε µ

  d ω (x) + ε e também |f(x)| |f(x)| ||f||

  ∞ .

1 (x)| = √ √

  |g p ≤ ≤

  ε ε ν

  d ω (x) + ε Logo, f e g pertencem à B (X) e, portanto, temos por

  

  1

  1 ∞

  que

  Z Z 1 2

  2 2 1

  2 f g µ ν ¯ d σ (d ω + ε) d ω (d ω + ε) d ω.

  2 Z

  1 1 ≤

  1

  1

  f g

20 Capítulo 1. Espaços de Hilbert associados à classes de medida

  Explicitando, temos que

  Z

2 Z

  |f|

  2 (X).

  p d σ ≤ |f| d ω, f Bω µ ω ν (d + ε)(d + ε) n (1.2)

  Pela Proposição n em existe uma sequência crescente {ϕ } ∈N

  • N (X, B) de funções simples, e portanto limitadas, convergindo p
  • 4 para (d ω µ + ε)(d ω ν + ε). Assim, pelo Teorema da convergência monótona

      temos que para todo A ∈ B,

      

    Z

      Z

      2 n

      |ϕ |

      σ (A) = d σ = lim d σ n p A (d ω µ + ε)(d ω ν + ε) →∞

    A

      Z Z

       p

      

      2 n d ω = (d ω + ε)(d ω + ε) d ω. µ ν

      ≤ lim |ϕ | n

      →∞ A A

      1 ∗

      Tomando ε = , podemos concluir que para todo m , para m ∈ N

      A

      ∈ B

      Z

      s

      1

      1

      σ ω µ ω ν

      d d d ω + + (A) ≤ lim m

      →∞ m m A

      Z p

      (∗) ′ µ ν = d ω d ω d ω = ω (A). A

      Na igualdade (∗) usamos o Teorema da convergência dominada de Lebesgue para fazer a passagem do limite sob o sinal de integração. Uma função que domina a sequência de funções nq o p

      1

      1

    µ ν µ ν

      (d ω )(d ω ) é ϕ = (d ω + 1)(d ω + 1). A + + m m m

      ≥1

      integrabilidade de ϕ é consequência direta da desigualdade de Hölder: 1 1 Z Z Z 2 2

      ϕ µ ν

      (d ω + 1) d ω (d ω + 1) d ω d ω ≤ p p

      = (µ(X) + ω(X)) (ν(X) + ω(X)) < .

      2 de uma classe de medidas

      21

    1.1. O espaço L

      Se ς é uma outra medida que satisfaz µ ς e ν ς, a

      ′ ′

      Proposição

       garante que as medidas ς e ω são iguais, sendo

      Z √

      ′ ς µ ν

      (A) = d ς d ς A d ς, A ∈ B.

      Definição 1.6.

      Sejam µ e ν medidas em (X, B). A média geo-

      métrica entre µ e ν é a medida √µν, dada por:

      Z p √

      µν (A) = d ω µ d ω ν A d ω, A ∈ B, em que ω é qualquer medida tal que µ ω e ν ω.

      

    Observação 1.7. Nas condições da Definição de média geométrica,

      note que é sempre possível encontrar uma tal ω, por exemplo,

      ω = µ + ν. Além disso, note que √µµ = µ.

      Iniciemos agora nossa tentativa de associar à nossa classe

      2

      um espaço de Hilbert que contenha os espaços L das medidas que estão na classe. Seja V = B

      ∞ (X) × C. Por um motivo que ficará

      claro ao longo da nossa construção, escreveremos os elementos √ de V como f d µ, em vez do par ordenado (f, µ). Seja V o

      C −espaço vetorial livre gerado por V . Os elementos de V são as

      P n

      α u

      somas formais finitas da forma i i , com α i i i ∈ C, uV e

      =1 ∗ n .

      ∈ N

      Observação 1.8. De maneira formal, o K

      −espaço vetorial livre

      

    gerado por um conjunto S é a soma direta de #S cópias do corpo

      K . Assim, rigorosamente temos que

      M

      V C = V := {ξ : V → C| # supp(ξ) < ∞}.

      , . . . , v 1 m Fixe ξ pertencente a V e considere o seu suporte {v }. m

      P

      γ

      Definindo γ j := ξ(v j ), obtemos que ξ = j χ . Além disso, j =1

      {v j } χ

    22 Capítulo 1. Espaços de Hilbert associados à classes de medida

      P m

      γ v

      escreve como a soma j j , sendo este motivo dos elementos j

      =i de V serem considerados como somas formais. n m n m Considere a aplicação Ψ : V × V → C, dada por

      Z X p

      X X

      X p

      α f , β g α β f g ν .

      Ψ( i i d µ i j j d ν j ) = i j i j d √µ i j i =1 j =1 i =1 j =1 Pela Proposição

      temos que Ψ está bem definida. Agora, vejamos algumas propriedades de Ψ satisfaz.

      Afirmação 1.9. Para quaisquer u, v e w

      ∈ V e α ∈ C vale que: 1. Ψ(u, v + αw) = Ψ(u, v) + αΨ(u, w).

      2. Ψ(u, v) = Ψ(v, u). 3. Ψ(u, u) ≥ 0.

      p p 4. Ψ(u, u) Ψ(v, v). |Ψ(u, v)| ≤

      

    Demonstração. Nos ateremos apenas aos itens 3 e 4, visto que os

      P n

      α i f i i

      itens 1 e 2 são triviais. Sejam u = d µ e i

    m p n m

    =1 P P P

      v β g µ ν

      = j j d ν j em V. Defina ω = + i i e j i i

      =1 =1 =1

      observe que as medidas µ i e ν j são absolutamente contínuas com relação a ω. Assim, temos que n n Z

      X X

      α α f f µ

      Ψ(u, u) = i j i j d √µ i j i j

      =1 =1 n n

      Z

      X X p p

      α α f µ f µ

      = i j i d ω i j d ω j d ω i j

      =1 =1 n n Z

      X X p p

      α i α j f i ω µ i f j ω µ j

      = d d d ω

      2 de uma classe de medidas

      23

    1.1. O espaço L

      n n Z

      X X p p

      α f µ α f µ

      = ( i i d ω i ) ( j j d ω j i j ) d ω ≥ 0. (1.3)

      =1 =1

      Mostremos agora o item 4. Observe que |Ψ(u, v)| n m

      Z

      X X

      α β f g ν

      = i j i j d √µ i j i j

      =1 =1 n m Z

      X X p p

      α β f µ g ν

      = i j i d ω i j d ω j d ω i j

      =1 =1 n m Z

      X p

      X p

      α f µ β g ν

      = ( i i d ω i ) ( j j d ω j ) d ω n m i =1 j =1

      Z

      X X p p

      α i f i ω µ i β j g j ω ν j

      d d d ωi j

      =1 =1

      v v

      2

      u

      2

      u n m

      Z Z

      u

      Hölder

      u

      X X p p u t

      α i f i ω µ i β j g j ω ν j

      d d ω t d d ωi j

      =1 =1

      v

      Z n

      u

      X p u p

      α α f f µ µ

      = t i j i j d ω i d ω j d ω (multiplicação) i,j

      =1

      v m

      Z

      u X p p u t β β g g ν ν i,j i j i j d ω i d ω j d ω

      =1

      v v n m

      Z Z

      u u

      X X u u = t α i α j f i f j d √µ i µ j t β i β j g i g j d √ν i ν j i,j =1 i,j =1 p p = Ψ(u, u) Ψ(v, v).

    24 Capítulo 1. Espaços de Hilbert associados à classes de medida

      

    Observação 1.10. Os itens 1, 2 e 3 nos dizem que Ψ é uma forma

    sesquilinear semi-definida positiva.

      Infelizmente, não podemos garantir que Ψ(u, u) = 0 se, e só se, u = 0. Com efeito, se µ ∈ C e A ∈ B é tal que µ(A) = 0, √ √ √ R então χ χ d µ, χ d µ = d µ = 0. Assim, A A A A d µ 6= 0 e Ψ para que obtenhamos um espaço munido de um produto interno induzido por Ψ, o caminho natural é fazer o quociente de V por

      N

      := {v ∈ V |Ψ(v, v) = 0}. Para isso, precisamos garantir que N é um subespaço vetorial V. Sejam α ∈ C e w, v N. Note que 0 ≤ Ψ(v + αw, v + αw)

      2 α

      Ψ(w, w) + ¯ Ψ(w, v) + αΨ(v, w) = Ψ(v, v) + |α| = 2 Re(αΨ(v, w)) ≤ 2 |Re(αΨ(v, w))| p p

      Ψ(w, w) Ψ(v, v) = 0. ≤ 2 |αΨ(v, w)| ≤ 2|α|

      Logo, N é subespaço de V e assim podemos definir o espaço vetorial quociente V N , que é o quociente de V por N. N N Defina h., .i : V × V → C, dada por h[u], [v]i = Ψ(u, v).

      Verifiquemos que a aplicação h. , .i independe da escolha dos representantes das classes de equivalência. Com efeito, sejam

      u, u , v 1 e v 1 elementos de V tais que [u] = [u 1 ] e [v] = [v 1 ].

      , w , w

      Dado w ∈ V, temos que |Ψ(u, w) − Ψ(u

      1 )| = |Ψ(u u 1 )| ≤

      p p

      , u

      1 1 )

      Ψ(u uu Ψ(w, w) = 0. Logo, para todo w ∈ V,

      , w

      Ψ(u, w) = Ψ(u

      1 ) e analogamente, para todo w ∈ V, Ψ(w, v) = , v , v

      Ψ(w, v

      1 ). Concluíndo, temos que Ψ(u, v) = Ψ(u 1 ) = Ψ(u

      1 1 ) e, ,

      portanto, (V N h. , .i) é um espaço vetorial com produto interno.

      Observação 1.11. Sejam α

      ∈ C, f, g B ∞ (X) e µ ∈ C. A priori, √ √ √ os elementos f d µ + g d µ e (f + g) d µ de V não tem relação

      √ √ alguma entre si, bem como os elementos (αf) d µ e α(f d µ).

    1.1. O espaço L

      X i

      =1 γ i

      Z

      f h i d √µµ i + α n

      X i

      =1

    γ

    i

      Z

      gh i d √µµ i

      − n

      =1 γ i

      p d µ i ) = n

      Z (f + αg) h i d √µµ i

      = n

      X i =1

      γ i

      Z

      f

      h i d √µµ i

      Z (f + αg) h i d √µµ i = 0.

      X i

      γ i h i

      γ i

      p d µ + αg p d µ i

      2 de uma classe de medidas

      25

      papel simbólico. No entanto, vamos verificar que quando passamos ao quociente V N tais igualdades são válidas, ou seja, os elementos deixam ser apenas símbolos e passam a satisfazer certas relações. Para tanto, tome w =

      P n i

      =1 γ i h

    i

      √ d µ i ∈ V e observe que

      Dh

      f

      − h (f + αg) p d µ i

      X i =1

      ,

      [w] E

      = Dh

      f

      p d µ + αg p d µ − (f + αg) p d µ i

      ,

      [w] E

      = Ψ( f p d µ + αg p d µ − (f + αg) p d µ, n

      X i =1

    • α g

      − n

      f h i d √νµ i

      =1 γ i

      Z

      f

      p d µ

      ν h

    i d √µµ i

      − n

      X i

      =1 γ i

      Z

      = n

      p d µ i ) = n

      X

      γ i

      Z

      f

      p d µ

      ν h i

      p d µ

      µ

      d µ

      µ i d(µ + µ i )

      X i

      =1 γ i h i

      Agora, se ν ∈ C é tal que ν µ e d µ

      X i

      ∈ B ∞ (X), temos também que

      Dh

      f

      p d µ

      ν

      p d µ i

      − h

      

    f

      √ d ν i

      ,

      [w] E

      = Dh

      f

      p d µ

      ν

      p d µ f √ d ν i

      ,

      [w] E

      = Ψ( ( f p d µ ν ) p d µ f

      √ d ν, n

      ν

    • µ i
    • µ i

    26 Capítulo 1. Espaços de Hilbert associados à classes de medida

      n

      Z

      X

      γ f h i i d √νµ i

      − i

      =1 n

      Z

      X p

      γ f h ν µ µ

      = i i d µ d µ d µ i d(µ + µ i ) i =1 n +µ +µ i i Z

      X

      γ i f h i i

      d √νµi

      =1 n

      Z

      X p

      γ f h ν µ

      = i i d µ +µ d µ +µ i d(µ + µ i ) i i i

      =1 n

      Z

      X

      γ f h i i d √νµ i

      − i =1 n n Z Z

      X X

      

    γ i f h i i γ i f h i i

    = d √νµ d √νµ = 0. i i − =1 =1

      Como w foi qualquer, segue que h i h i p p p

      f

      d µ + αg d µ (f + αg) d µ = 0 − e também h i h i p √ p

      −

      f ν f d µ d µ d ν = 0.

      ,

      Não podemos assegurar que (V N

      h., .i) é um espaço de Hilbert, mas é bem sabido que para obter um espaço de Hilbert a partir de espaço com produto interno basta fazer o completamento.

      Definição 1.12. N ,

      O completamento de (V

      h. , .i), denotado por

    2 L

      (X, B, C), será chamado de espaço de Hilbert associado à classe de medida (X, B, C). n B

      

    Exemplo 1.13. Sejam M uma variedade diferenciável e e a

      B ) o conjunto de todas sua σ−álgebra de Borel. Denote por M(M, e n n

      B as medidas finitas em (M, e ) e λ a medida de Lebesgue em R , munido com a σ−álgebra de Borel. Defina n

      −1

      C B e ,

      2 de uma classe de medidas

      27

    1.1. O espaço L

      B

      , e C

      Note que (M, e ) é uma classe de medidas e, portanto, proce- dendo como anteriormente, é possível associar o espaço de Hilbert

    2 B C

      L , e (M, e ) a M.

      2 B C , e

      (M, e ) dá É possível mostrar que a associação M 7→ L origem a um funtor da categoria das variedades diferenciáveis na categoria dos espaços de Hilbert (ver detalhes em p.422]).

      2

      (X, B, µ) e Seja µ ∈ C. Como µ é finita, B ∞ (X) ⊆ L

      k.k L2 (µ)

      2

      além disso, pelo Teorema B (X) = L (X, B, µ),

      ∞

      pois as funções simples são limitadas. Agora, defina a função

    2 L

      2 : (B L (X, B, C), dada por

      ∞ (X), k .k (µ) ) → L

      p L (f) = I([f d µ]).

      2 Em que I é a isometria linear canônica de V N em L (X, B, C).

      Pela Observação

      

    L é linear. Além disso,

      D E p p

      2 f

      = d µ, f d µ kL(f)k Z

      

    2

      = d √µµ |f|

      Z

      

    2

      2 2 .

      = |f| d µ = kfk L

      (µ)

      Logo, L é uma isometria e pelo Teorema se estende a uma

      2

      2

      isometria entre L (X, B, µ) e L(B (X)). Assim L (X, B, µ) é um

      ∞

      2 subespaço fechado de L (X, B, C).

      2 Teorema 1.14.

      Existe único Π : B (X, B, C)),

      (X) → B(L

      ∞

      √ √ d µ) = (fg) d µ, para toda ∗−homomorfismo, tal que Π(f)(g

      

    função f e g pertencente B (X) e para toda medida µ pertencente

       3 Neste enunciado há um abuso de notação que é devidamente explicado na demonstração.

    28 Capítulo 1. Espaços de Hilbert associados à classes de medida

      Demonstração. Fixe h

      (X). Defina θ h n nB ∞ : V → V, dado por

      X X p p

      

    θ α f α .

    h ( i i d µ i ) = i (hf i ) d µ i

    i i =1 =1 m p

      P

      β g

      Claramente θ h é linear. Além disso, se v = j j d ν j , note j

      =1

      que m m Z

      X X

      2

      2 β β g g ν Ψ(θ h (v), θ h (v)) = i j i j d √ν i j Ψ(v, v).

      |h| ≤ ||h|| i j ∞ =1 =1 (1.4)

      Queremos que θ h induza um operador linear em V N , para tanto, defina Θ h : V N N , dado por → V Θ h ([v]) = [θ h (v)].

      Por

      e pela linearidade de θ h , temos que se v

      1

      2

      −vN, então

      θ h (v 1 h (v 2 h está bem definido. Agora, note que

      ) − θ ) ∈ N, logo Θ para qualquer v ∈ V vale

    h h = Ψ(θ h (v), θ h (v))

      2

      

    2

      ||Θ ([v])|| = ||[θ (v)]||

      2

      2

      Ψ(v, v) = khk ≤ khk h[v], [v]i .

      ∞ ∞

      Portanto, Θ h h . Pelo Teorema temos é limitada e ||Θ || ≤ ||h||

      ∞

      que existe um único operador linear e limitado

      2

      2 π

    h : L (X, B, C) que faz comutar o diagrama:

      (X, B, C) → L V Θ h V I N N // I (1.5) 2 π h 2 L // L

      2 de uma classe de medidas

      29

    1.1. O espaço L

      2

      em que I é a isometria canônica de V N em L (X, B, C). Agora,

      2

      defina Π : B (X, B, C)), dado por Π(f) = π f , e note (X) → B(L

      ∞

      que p p Π(f)(I([g d µ])) = π f (I([g d µ])) p

      = If ([g d µ])) p = I([fg d µ]). Abusando da notação, isto é, omitindo I e a notação de classes

      √ √ de equivalência, temos que Π(f)(g d µ) = (fg) d µ, como no enunciado. Verifiquemos que Π é um ∗−homomorfismo unital. V Para ver que Π é unital, note que θ = I e portanto V 2

      1

      Θ = I . Assim, como I L faz comutar o diagrama

       1 (X,B,C) N 2 = I .

      temos pela unicidade da extensão que Π(1) = π L

      1 (X,B,C)

      Sejam f, g B (X) e α ∈ C. Considere também

      ∞

      P n √ P m p

      u α f β g

      = i i d µ i j j d ν j i ∈ V e v = j ∈ V. Note que

      =1 =1

      " # n X p

      α

      Θ f ([u]) = i i d µ i

    • αg
    • n i =1 {(f + αg)f } h i

        X p

        α i i i

        = (f + αg)f d µ i

        =1 n

        h i h i

        X

         p p α

        = i ( (ff i ) d µ i + α (gf i ) d µ i ) i

        =1

        " # " # n n X p X p

        α α

        = i (ff i ) d µ i + α i (gf i ) d µ i i i

        

      =1 =1

      = Θ f ([u]) + αΘ g ([u]) = (Θ f + αΘ g ) ([u]).

        Portanto,

        I f f + αΘ g f g )

        ◦ (Θ +αg ) = I ◦ (Θ ) = I ◦ Θ + α (I ◦ Θ

      30 Capítulo 1. Espaços de Hilbert associados à classes de medida

        Assim, se h = f + αg, então π f + απ g comuta o diagrama

        Logo, Π(f + αg) = π f = π f + απ g = Π(f) + αΠ(g). Além

      • αg

        disso, temos que " # n

        X p

        α

        Θ f g ([u]) = i i d µ i i {(fg)f }

        =1

        " # n X p

        α

        = i i d µ i )} i =1 {f(gf

        " # n X p

        = Θ f ( α i (gf i ) d µ i ) i

        =1

        " # n

        X p

        α

        = Θ f ( Θ g ( i (f i ) d µ i )) i

        =1 = Θ f g ([u]).

        ◦ Θ Logo,

        I f g f g f g = (π f g

        ◦ (Θ ) = I ◦ (Θ ◦ Θ ) = (I ◦ Θ ) ◦ Θ ◦ I) ◦ Θ = π f g ) = π f g f g ) ◦ I.

        ◦ (I ◦ Θ ◦ (πI) = (ππ Assim, se h = fg, então π f g comuta o diagrama

        Portanto,

        ◦π Π(fg) = π f g = π f gπ = Π(f) ◦ Π(g).

        Com o que mostramos até agora, obtemos que Π é um homomorfismo de álgebras. Por fim, vejamos que Π é um ∗−ho- momorfismo. Primeiramente, note que f f f (u), v) hΘ ([u]), [v]i = h[θ (u)] , [v]i = Ψ(θ n m

        Z

        X X

        α β f f g ν

        = i j i j d √µ i j i j

        =1 =1 n m

        Z

        X X

        α i β j f i f g j i ν j

        = d √µ

      1.1. O espaço L

        lim n

        I

        D

        →∞

        = lim m

        (w m ), π f (I(z n )) E L 2

        

      I

        D

        →∞

        →∞

        = D

        = lim m

        (w m ), If (z n )) E L 2

        

      I

        D

        →∞

        lim n

        →∞

        = lim m

        (w m ), π f (z) E L 2

        w, π f

        

      w

      m ,

        θ f

        2 d µ.

        |f|

        = Z

        p d µ, f p d µ

        f

        = Ψ

        (1 p d µ)

        (1 p d µ), θ f

        0 = Ψ

        (z) E L 2 .

        (1 √ d µ) ∈ N, para toda µ ∈ C. Assim, temos que

        θ f

        Θ f = 0 e assim θ f (v) ∈ N, para todo v ∈ V. Em particular,

        = π f = Π f . Será que Π é injetora? Note que se Π(f) = 0, então

        ∗ f

        = π

        ∗

        Segue que Π(f)

        Θ f (z n ) E

        2 de uma classe de medidas

        31

        ∈N

        I

        →∞

        (w n ), z = lim n

        I

        →∞

        = lim n

        w

        em V N tais que

        } n

        := lim n

        ∈N e {z n

        (X, B, C). Então, exis- tem sequências {w n } n

        2

        Agora, sejam w e z pertencentes a L

        [u], Θ f ([v]) E .

        = D

        [u], [θ f (v)] E

        = Ψ(u, θ f (v)) = D

        (z n ) e, além disso, por definição temos que hw, zi L 2

        →∞

        →∞

        hπ f (I(w m )), zi L 2 = lim m

        lim n

        →∞

        hΘ f (w m ), z n i = lim m

        →∞

        lim n

        →∞

        hIf (w m )), zi L 2 = lim m

        →∞

        →∞

        hw n

        Assim, temos que hπ f (w), zi L 2 = lim m

        ′ , z n i .

        hw

        →∞

        ) então hw, zi L 2 := lim n

        ′

        Em particular, se w = I(w

        , z n i .

        D

      32 Capítulo 1. Espaços de Hilbert associados à classes de medida

        Portanto, f = 0, µ−qtp, para toda µ ∈ C. Porém, não podemos assegurar que f = 0.

        

      2

      Seja Π : B 1 (X) → B(L (X, B, C)) um ∗−homomorfismo ∞

        √ √ que satisfaz Π

        1 (f)(g d µ) = (fg) n d µ, f, g B ∞ (X), µ ∈ C.

        P

        α f

        (X) e u = i i d µ i Seja f B

        

      i =1 ∈ V. Note que

      n

        X p

        

      α

        Π

        1 (f)(I([u])) = i Π i 1 (f)(I([f i d µ i ])) =1 n

        X p

        

      α

        

      I

        = i ([ff i d µ i ]) i

        =1

        " # n X p

        α f f

        = I( i i d µ i ) i =1 = If [u]).

        Assim, com f no lugar de h, obtemos que Π (f) comuta o

        1

        diagrama

        Logo, pela unicidade da extensão, temos que Π (f) = π f = Π(f).

        1

      1.2 O espaço de Hilbert das semi-densidades

        2 Além da construção do espaço L (X, B, M(X, B)), há uma

        segunda maneira de associar um espaço de Hilbert a M(X, B). A seguir, apresentaremos outra construção de um espaço de Hilbert associado a M(X, B), denominado espaço de Hilbert das semi- densidades e denotado por W. Ao fim do Capítulo (ver Teorema

        

      mostraremos que, apesar de construídos independentemente,

        2 os espaços L (X, B, M(X, B)) e W coincidem.

        2 Defina W = {(f, µ) | µ ∈ M(X, B) e f L (X, B, µ)}. Di-

      1.2. O espaço de Hilbert das semi-densidades

        33

        se existir uma medida ω ∈ M(X, B) tal que µ ω, ν ω e √ √

        f µ ν, ω

        d ω = g d ω −qtp, e neste caso escreveremos (f, µ)ℜ(g, ν).

        

      Observação 1.15. Quando nos referimos aos pares (f, µ), (g, ν)

        em W, as letras f e g representam classes de equivalência em

        2

      2 L

        (X, B, µ) e L (X, B, ν), respectivamente. Por outro lado, quando √ √

        µ ν, ω

        escrevemos f d ω = g d ω −qtp, estamos nos referindo às funções f e g. Vejamos que tal igualdade vale para qualquer repre- sentante das classes e, portanto, que ℜ está bem definida. Sejam

        2 f

        e f representantes de uma mesma classe em L (X, B, µ), isto é,

        1

        2 f , µ

        1 = f

        2 −qtp. Considere também ω ∈ M(X, B) tal que µ ω.

        Note que Z Z p p

        2

        2 µ µ µ

        d ω d ω d ω = d ω d ω

        1

        2

        1

        2 Z

        

        2

        =

        1 2 d µ = 0.

        |ff | √ √

        µ µ

        Assim, novamente por temos que f d ω = f d ω ,

        1

        2

        √ √

        ω ω µ ω ν, ω

        d = g d −qtp. Logo, se f −qtp, para ω tal que µ ω

        √ √

        µ ν, ω

        1

        d ω = g d ω e ν ω, então f

        1

        −qtp, para quaisquer re- presentantes f e g das classes de equivalência de f e g, respecti-

        1

        1 vamente.

        

      Afirmação 1.16. Sejam (f, µ) e (g, ν) elementos de W, tais que

      ′ ′ ′

      e ν , então

        (f, µ)ℜ(g, ν). Se ω ∈ M(X, B), µ ωω p p ′ ′

        f µ ν, ω

        d ω = g d ωqtp.

        ′ ′ ′

      Demonstração. Fixe ω . Por

        ∈ M(X, B) tal que µ ω e ν ω hipótese, existe uma medida ω ∈ M(X, B) tal que p p

        f µ ν, ω

      34 Capítulo 1. Espaços de Hilbert associados à classes de medida

        Assim, temos que Z p p p p

        

      f µ ν f µ ν

        0 = d ω d ω d ω d ω d ωgg

        Z Z

        2

        2 µ ν

        = d ω d ω + d ω d ω |f| |g|

        Z p

        f g µ ν

      • gf d ω d ω d ω

        Z Z Z

        2

        2 f g

        = d µ + + gf d √µν d ν − |f| |g|

        Z Z

        2

        

      2

      ′ ′

      ′ ′ + µ ν

        = d ω d ω d ω d ω |f| |g|

        Z p ′ ′

        f g µ ν

      • gf d ω d ω d ω

        Z p p p p ′ ′ ′ ′f µ ν f µ ν .

        = d ω d ω d ω d ω d ωgg

        Portanto, p p ′ ′

        f µ ν, ω

        d ω = g d ω − qtp.

        Proposição 1.17.

        ℜ é uma relação de equivalência.

        Demonstração.

        É fácil ver que ℜ é reflexiva e simétrica, por isso vamos apenas mostrar a transitividade. Sejam (f, µ), (g, ν) e (h, ω) tais que (f, µ)ℜ(g, ν) e (g, ν)ℜ(h, ω). Definindo θ = µ + ν + ω, temos pela afirmação anterior que p p p

        f µ ν ω, θ

        d θ = g d θ = h d θ − qtp.

        Defina W como o conjunto quociente de W por ℜ. Em W √ denotaremos a classe de um elemento (f, u) por f d µ, isto pois

      1.2. O espaço de Hilbert das semi-densidades

        35

        com esta. O fato é que W não é apenas um conjunto, W é um espaço de Hilbert, que é chamado espaço de Hilbert das semi-

        densidades

        de (X, B). A seguir, apresentamos a estrutura de adição e multiplicação por escalar em W. Defina

      • : W × W −→ W √

        √ √ √ √

        f ω µ ω ν

        (f d µ, g d + g d d ω d ν) 7−→ em que ω ∈ M(X, B) é uma medida tal que µ ω e ν ω.

        Afirmação 1.18.

        A função + está bem definida, ou seja, inde-

      pende da escolha dos representantes das classes e da medida ω.

      Ainda mais, (W, +) é um grupo abeliano.

        , µ , ν , µ , ν

      Demonstração. Sejam (f ), (g ), (f ) e (g ) perten-

        1

        1

        1

        1

        2

        2

        2

        2

        centes a W e ω , ω em M(X, B) tais que µ , ν ,

        1

        2

        1

        1

        1

        1

        ≪ ωω

        µ , µ , µ , ν , ν

        2 2 , ν

        2 2 , (f

        1

        1

        2 2 ) e (g

        1

        1

        2 2 ). Queremos

        ≪ ωω )ℜ(f )ℜ(g verificar que p p p p

      f µ ν , ω f µ ν , ω .

      d ω + g d ω d ω + g d ω

        1 1

        1

        1 1

        1

        1

        2 2

        2

        2 2

        2

        2

        ℜ Antes de tudo, vejamos que tais pares estão bem definidos, ou seja, p p p p

        µ ν µ ν

        vejamos que f

        1 d ω 1 1 +g 1 d ω

      1

      1 e f 2 d ω 2 2 +g 2 d ω 2 2 são ω

        e ω quadrado integráveis, respectivamente. Faremos apenas

        1

        2

        uma conta, a outra é análoga. Note que Z

        2

        p p

        µ ν

        d ω + g d ω d ω

        1 1

        1

        1 1

        1

        1

        f Z Z

        2

        2

        = d µ d ν +

        1

        1

        1

        1

        |f | |g | Z p

        (f + g + f g ) d ω µ d ω ν d ω

        1

        1

        1

        1 1

        1 1

        1

        1 Z Z

        2

        2 1 d µ

        1

      • =

        1 d ν

        1

        |f | |g | Z p

      • g µ ν

        2 Re(f ) d ω d ω d ω

        1

        1 1

        1 1

        1

        1

      36 Capítulo 1. Espaços de Hilbert associados à classes de medida

        d ν

        d ω 1

        |

        1

        |f

        = Z

        1

        ν 1 d ω

        2

        d µ

        |

        1

        sZ |g

        1

        µ 1 d ω

        d ω 1

        2

        Z |g

        1 +

        2

        2

        |

        1

        sZ |g

        1

        d µ

        |

        |

        1

        sZ |f

        

      1 + 2

        d ν

        2

        |

        1

        2

        1

        1

        Z |g

        Z |f

        

      1 + 2

        d ν

        2

        |

        1

        1 +

        1

        d µ

        2

        |

        1

        |f

        ≤ Z

        1 g

        | p d ω 1

        |f

        1 +

        1

        d ν

        2

        |

        1

        Z |g

        d µ

        µ 1 d ω 1

        2

        |

        1

        |f

        ≤ Z

        1 Holder

        ν 1 d ω

      • 2 sZ

      2 L

        = kf

      • 2kf

        2 , ς

        p d ω 1

        1

        f

        Assim,

        µ i = d ω i µ i d ς ω i e d ς

      ν

      i = d ω i ν i d ς ω i , i = 1, 2.

        − qtp. (1.6) Relembrando a Regra da cadeia para as derivadas de Radon– Nikodým temos que d ς

        p d ς

        ν

        1

        2

        µ 2 + g

        p d ς

        2

        ν 1 = f

        p d ς

        µ 1 + g

        ν

        p d ω 1

        2

        2 , ς

        ω

        p d ς

        2

        ν

        p d ω 2

        2

        µ

        µ 1 + g

        p d ω 2

        2

        f

        =

        1

        p d ς ω

        1

        1

        p d ς

        1 k

        (ν 1 )

        p d ς

        1

        1 + ω 2 e note que as medidas µ

      i , ν i e ω i são absolutamente contínuas com relação a ς, com

      i = 1, 2. Além disso, por hipótese f

        Prosseguindo, defina ς = ω

        2 .

        )

        k L 2

        1

        1

        (µ 1 ) + kg

        k L 2

        1

        = (kf

        2 L 2 (ν 1 )

        1 k L 2 (µ 1 ) kg

      1 k L

      2 (ν 1 ) + kg 1 k

        µ

        = f

        1

        2

        f

        Somando as duas igualdades acima, obtemos

        2 , ς − qtp.

        ν

        p d ς

        2

        = g

        1

        ν

        p d ς

        1

        g

        − qtp, e também

        2 , ς

        µ

        p d ς

        2 (µ 1 )

      • g

      1.2. O espaço de Hilbert das semi-densidades

        37

        Logo, p p p p

        

      f d ω µ + g d ω ν , ω f d ω µ + g d ω ν , ω .

        1 1

        1

        1 1 ℜ

        1

        1

        2 2

        2

        2 2

        2

        2

        √ √ √

        Sejam f d µ, g d ν e h d ω pertencentes a W. Queremos veri- ficar a associatividade de +, para tanto, defina ς = µ + ν + ω e observe que

        √ √ p

        f

        d µ + g d ν + h d ω p p √ √

        f µ ν

        = d ς + g d ς d ς + h d ω p p p p √

        

      f µ ν ς ω

        = d ς + g d ς d ς + h d ς d ς √ p p p

        f ς µ ς ν ς ω

        = d + g d + h d d ς p p p p √

        = d ς d ς + h d ς d ς d ς √ p p p

      • f µ g ν ω ς

        g ν ω

        = f d µ + d ς + h d ς d ς p √ √

        g .

      • f d µ + d ν + h d ω Seja η : X → C a função nula. Note que para quaisquer duas medidas µ e ν em M(X, B) vale que (η, µ)ℜ(η, ν). De fato, p p

        η µ ν d µ +ν = 0 = η d µ +ν . WW

        Seja 0 a classe das funções η d µ. Mostremos que 0 é o elemento neutro de W. De fato, p p p

        f W

        d µ + 0 = f d µ + η d µ p p p

        f µ µ

        = d µ + η d µ d µ p = f d µ. Além disso, p p p p p

        f f µ µ

        d µ = d µ d µ d µ d µ + (−f) + (−f) p W .

      38 Capítulo 1. Espaços de Hilbert associados à classes de medida

        p d µ = (f + g) p d µ.

        Logo, como f √ d µ foi qualquer, temos que 0 W é o elemento neutro de W e, além disso, todo elemento de W admite um inverso com respeito a +. Concluindo, note que a comutatividade de + é trivial.

        Observação 1.19. Note que valem as seguintes igualdades: 1. f

        p d µ + g p d µ =

        

      f

        p d µ

        µ

        µ

      • g p d µ

      2. Seja ν ∈ M(X, B) tal que ν ≪ µ. Então, vale que

        f

      • α

        ⊙ f

        2

        ) ⊙ f √ d µ = α

        1

        ⊙ α

        

      2

        ⊙ f √ d µ

        ,

        ∀α

        1 , α

        2

        ∈ C,f

        √ d µ ∈ W.

        4. α

        1

        3. (α

        √ d µ

        1

        2

        √ d µ

        2 = α f

        1

        √ d µ

        1 + α f

        2

        √ d µ

        2 ,

        √

        , f

        √

        1 α

        ∈ C, f √ d µ ∈ W.

        p d µ

        (α, f √ d µ) 7−→ (αf)

        ν

        p d µ = f √ d ν.

        De fato, tome ω = µ e observe que d ω

        µ

        = 1, ω−qtp, e

        ν

        ≪ ω. Assim, f p d µ

        ν

        √ d ω

        µ

        = f √ d ω

        ν, ω − qtp.

        Defina ⊙ : C × W −→ W

        √ d µ.

        2

        √ d µ = α

        1 , α

        ∀α

        ⊙ f √ d µ,

        ⊙ f √ d µ + α

        1

        2 ) ⊙ f

        Afirmação 1.20.

        1

        2. (α

        √ d µ, f √ d µ ∈ W.

        ⊙ f √ d µ = f

        1. 1

        ⊙ está bem definido e satisfaz:

        2

      • f

      1.2. O espaço de Hilbert das semi-densidades

        ν,

        39 Demonstração. Sejam α

        ∈ C, (f, µ) e (g, ν) em W tais que (f, µ)ℜ(g, ν). Então f p d µ

        µ

        = g p d µ

      • ν
      • ν
      • ν
      • ν
      • α
      • α
      • α

        (µ + ν) − qtp e assim

        √ d ω =

        

        √ d ω

        2

        µ

        p d ω

        2

        1

        µ

        p d ω

        1

        αf

        2

        αf

        p d ω µ

        2

        1

        p d ω µ

        1

        f

        = α

        2

        p d µ

        2

        1 + f

        =

        1

        1

        ) p d µ

        2 .

        p d µ

        2

        1

        p d µ

        1

        = α f

        2

        ) p d µ

        2

        1

        1

        p d ω

        = (αf

        

        √ d ω

        2

        µ

        p d ω

        2

        αf

        √ d ω +

        1

        µ

        p d µ

        f

        αf

        )f] p d µ

        = α

        ) p d µ

        2 f

        ) p d µ + (α

        1 f

        = (α

        

        ) p d µ

        2 f

        1 f

        = (α

        2

        ⊙ f p d µ + α

        1

        p d µ = [(α

        2 ) ⊙ f

        1

        (α

        1. Trivial! 2.

        (µ + ν) − qtp. Logo, (αf, µ)ℜ(αg, ν) e consequentemente ⊙ está bem definido. Vamos agora à demons- tração dos itens 1 a 4.

        ν,

        = αg p d µ

        µ

        p d µ

        1

        2

        ⊙

        ⊙ f p d µ.

        1 + µ

      2 e observe que:

      α

        4. Defina ω = µ

        2

        α

        ⊙

        1

        = α

        ) p d µ

        2 f

        ⊙ (α

        1

        = α

        )] p d µ

        2 f

        1 (α

        = [α

        )f] p d µ

        2

        1 α

        p d µ = [(α

        2 ) ⊙ f

        1 α

        (α

        3.

        ⊙ f p d µ .

      • f
      • αf
      • (αf
      • α f

      40 Capítulo 1. Espaços de Hilbert associados à classes de medida

        Do que fizemos acima, segue que a tripla (W, +, ⊙) é um espaço vetorial. Além disso, segue do item 1 da Observa- ção

        

        e da definição de ⊙ que, para toda medida µ, a função √

      2 L

        : L d µ, é uma transforma- (X, B, µ) → W dada por L(ψ) = ψ

        ção linear. A seguir, vamos definir uma estrutura de espaço com produto interno em W e esta, por sua vez, garantirá que L é uma

        2

        isometria e que portanto L (X, B, µ) é um subespaço fechado de W .

        Defina W

        h. , .i : W × W −→ C Z

        √ √

        d ν) 7−→

        f g (f d µ, g d √µν.

        

      Afirmação 1.21. A função W está bem definida e é um

        h. , .i produto interno em W. W

      Demonstração. Vejamos a boa definição de . Observe que

      h. , .i

        2

        2

        (X, B, ν) e θ = µ + ν, então se f L (X, B, µ), g L Z Z p

        f g µ ν

        d √µν d θ d θ d θ |fg|

        ≤ sZ sZ

        

      2

        2 µ ν

        d θ d θ d θ d θ ≤ |f| |g| 2 2 L L .

        = kfk (µ) kgk (ν)

        , µ , ν

        ) e redefi- Além disso, supondo que (f, µ)ℜ(f

        1 1 ), (g, ν)ℜ(g

        1

        1

        √ √

        µ µ , θ

        nindo θ = µ + µ

        1 + ν + ν 1 , temos que f d θ = f 1 d θ

        1

        − qtp √ √

        ν ν , θ

        e também g d θ = g d θ

        1

        1

        − qtp. Portanto, Z Z p p

        

      f g d √µν = f d θ µ g d θ ν d θ.

        Z p p

        f µ g ν

        =

        1 d θ

        1 1 d θ 1 d θ

        Z f g ν . = d √µ

        

      1

        

      1

        1

        1

      1.2. O espaço de Hilbert das semi-densidades

        ω

        √ d ς E W

        41

        Agora, mostremos que h. , .i W é um produto interno. Para tanto, escolha h

        √ d ω ∈ W, α ∈ C e defina ς = µ + ν + ω.

        1. Linearidade no segundo argumento: D

        f

        p d µ, g √ d ν + α h

        √ d ω E W

        = D

        f

        p d µ,

        g

        p d ς

        

      ν

      • αh p d ς

        p d ς

      • α

        d √µν = D

        f

        p d µ, g √ d ν

        E W =

        D

        

      f

        p d µ, g √ d ν

        E W =

        Z

        f g

        d √µν =

        Z

        

      f g

        g

        E W .

        √ d ν, f p d µ

        E W .

        3. Positividade: Note que

        

      f

        √ d µ, f √ d µ W =

        R |f|

        2 d µ ≥ 0.

        Além disso, se

        f

        √ d µ, f √ d µ W = 0 então f = 0, µ−qtp.

        Logo (f, µ)ℜ(η, µ) e, portanto, f √ d µ = 0 W .

        Como os elementos f √ d µ, g

        √ d ν e h √ d ω ∈ W e α ∈ C foram tomados sem particularidades, temos que as propriedades acima valem em geral e assim h. , .i W

        é um produto interno em W

        2. Antissimetria: D

        f

        p d µ, h √ d ω

        p d µ,

        f g

        p d ς ν + αh p d ς ω d √µς

        = Z

        f g

        p d ς

        ν

        d √µς + α Z

        f h

        p d ς

        ω

        d √µς =

        D

        f

        g

        = Z

        p d ς

        

      ν

        √ d ς E W

        D

        f

        p d µ,

        h

        ω

        √ d ς E W

        = D

        f

        p d µ, g √ d ν

        E W

        D

      • α

      42 Capítulo 1. Espaços de Hilbert associados à classes de medida

        Agora, note que D E p p p W = ψ d µ, ψ d µ

        2

        d µk kψ W Z

        2

        = d √µµ |ψ|

        (1.7) Z

        2

        2 .

        = 2 d µ = kψk |ψ| L (µ)

        √

      2 Daí, segue que L : L d µ, é

        (X, B, µ) → W, dada por L(ψ) = ψ uma isometria. Assim, dada µ ∈ M(X, B) qualquer, temos que

      2 L (X, B, µ) é isomorfo a um subespaço fechado de W.

        (W, h. , .i √

        Proposição 1.22. W ) é um espaço Hilbert.

        

      Demonstração. Seja n d µ n n uma sequência de Cauchy em

        {f } ∈N W n e P = {n ∈ N | µ (X) 6= 0}. Defina

        X µ

        1 n

      ν .

      = n

        µ n 2 n (X) ∈P

        É claro que ν é uma medida finita e que µ nν para todo n ∈ N. Além disso, pela Equação 2

      temos que

      2

        p p p p √

      n d µ n m d µ m = n d ν n m d ν m d ν

      f µ µ fff 2 p p

        µ µ .

        = n d ν n m d ν m ff L 2 (ν)

        √

        2 n d ν n n é de Cauchy em L (X, B, ν) µ

        Logo, a sequência {f } ∈N

        2

        (X, B, ν). Vamos

        e, portanto, converge para uma função ϕ L

        √ mostrar que f n d µ n converge para ϕ d ν, para isso basta notar que

        2

        2

        p √ p p √

        

      n d µ n d ν = n d ν n d ν d ν

      f µ ν

        fϕϕ

        2

        p µ . = n d ν n

        − ϕ f 2

      1.2. O espaço de Hilbert das semi-densidades

        43

        Assim,

        p p √ n n n ν n µ

      lim d µ d ν d = 0.

      n→∞ n→∞ fϕ = lim fϕ L (ν) 2

        √ √ Logo, f n d µ n converge para ϕ d ν.

        Fomos apresentados até agora a duas construções, a pri-

        2

        meira associa o espaço de Hilbert L (X, B, C) a uma classe de medidas qualquer e a segunda construção associa o espaço W a classe M(X, B). Gostaríamos de saber qual a relação entre estas construções e se as duas resultam no mesmo espaço no caso em que C = M(X, B). O próximo Teorema responde à nossa questão.

        Teorema 1.23.

        Seja C uma classe de medidas. Então, existe

        2

      um isomorfismo isométrico entre L (X, B, C) e um subespaço

        2

      fechado de W. Além disso, se C = M(X, B), então L (X, B, C) é

      isometricamente isomorfo a W .

        Demonstração.

        Fixe C uma classe de medidas. Respeitando as no- tações da primeira seção, defina o operador T : V N → W, dado por

        P n √ P n

        

      T α i f i d µ i = α i i d µ i . Vejamos que T está

      i if =1 =1

        P n √ P m p

        α f β g

        bem definido. Sejam u = i i d µ i e v = j j d ν j i j

        =1 =1

        em V tais que u v N, ou seja, Ψ(u v, u v) = 0. Definindo P n P m

        = i i , pela Equação i i temos que

      • ω µ ν

        =1 =1

        2 Z n m

        X X p p

        α f µ β g ν i i d ω i j j d ω j i j − d ω = Ψ(u v, u v) = 0.

        =1 =1 nm p

        P P

        α f µ β g ν , ω

        Assim, i i d ω i = j j d ω j i =1 j =1 −qtp, e portanto, n m

        X X p p

        ) ℜ (

        α i f i ω µ i , ω β j g j ω ν j , ω ( d d ).

      44 Capítulo 1. Espaços de Hilbert associados à classes de medida

        Além disso, hT ([u]), T ([v])i W =

        X j

        =1 α

        ⊙

        β j

        ⊙ g j p d ν j

        = n

        X i

        =1 α i

        ⊙ f i p d µ i

          m

        X j

        =1 β j

        ⊙ g j p d ν j

          = T ([u]) + α T ([v]).

        X i

        =1 α i

        =1 α i

        ⊙ f i p d µ i

        , m

        X j

        =1 β j

        ⊙ g j p d ν j

        X

        α i f i

        p d ω µ i !

        √ d ω,   m

        X

        β j g j

        p d ω ν j  

        √ d ω

        ⊙ f i p d µ i + m

        X i

        Logo, n

        p d ω

        X i

        =1 α i

        ⊙ f i p d µ i = n

        X i

        

      =1

      α i f i

        p d µ i = n

        X i =1

        α i f i

        p d ω

        µ i

        ! √ d ω

        =   m

        X j

        =1 β j g j

        ν j

        = n

         

        √ d ω = m

        X j

        

      =1

      β j

        ⊙ g j p d ν j .

        Assim, T está bem definida. Agora, verifiquemos que T é linear e isométrica. Para tanto, tome u, v ∈ V e ω como antes, e também um escalar α ∈ C. Note que

        T

        ([u] + α[v]) = T ([u + αv]) = n

        X i

        =1 α i

        ⊙ f i p d µ i + m

        X j

        =1

        (αβ j ) ⊙ g j p d ν j

      • α
        • n

      • W =
        • n

      1.2. O espaço de Hilbert das semi-densidades

        45

         n m ! 

        Z

        X p

        X p

        

      α f µ β g ν

        = i i d ω ij j d ω j  d ω i j n m =1 =1

        Z

        X X p p

        α β f g µ ν

        = i j i j d ω i d ω j d ω n m i =1 j =1 Z

        X X

        α β f g ν

        = i j i j d √µ i j i j = Ψ(u, v) = h[u], [v]i.

        =1 =1

        Segue que T é uma isometria linear e, pelo Teorema se

        2

        estende a uma isometria linear entre L (X, B, C) e T (V N ), que é um subespaço fechado de W.

        √ Suponha C = M(X, B). Tome f d µ ∈ W e ε > 0. Pelo

        Teorema existe uma função simples, e portanto, limitada, √

        ϕ 2 < ε

        . Neste caso, temos que T ([ϕ d µ]) = tal que ||f ϕ|| L

        (µ)

        √

        ϕ

        d µ. Assim, p p p d µ d µ d µ ϕ f = (f ϕ) 2 < ε.

        = ||f ϕ|| L

        (µ)

        Isso mostra que T (V N ) é denso em W e, portanto, T se estende

        

      2

      a uma isometria linear entre L (X, B, C) e W.

        47

        2 SISTEMAS SEMIRRAMI-

      FICADOS DE FUNđỏES E

      ÁLGEBRAS DE CUNTZ– KRIEGER

        Neste Capítulo vamos introduzir os sistemas semirramifi- cados de funções e construir representações da álgebra de Cuntz– A Krieger O associadas a tais sistemas. Falaremos também sobre o operador de Perron–Frobenius P σ associado a um sistema se- mirramificado de funções e construiremos uma representação de O A que assegura que P σ pertence à imagem desta representação. Para começar, revisaremos os espaços Shift e a construção das álgebras de Cuntz–Krieger.

      2.1 Espaços Shift e álgebras de Cuntz–Krieger

        Os espaços Shift e Shift admissível aparecem naturalmente no estudo das álgebras de Cuntz–Krieger, por isso fazemos aqui uma breve introdução destes objetos. Fixe um número natural

        ≥ 2 e uma matriz A ∈ M ij ) . Denotaremos I = {1, . . . , m} e A = (a i,j nI Definição 2.1.

        m m ({0, 1}) que tem linhas não nulas.

        Um elemento α I = I × · · · × I é dito uma

        

      palavra finita de comprimento n do alfabeto I. Denotaremos

        Capítulo 2. Sistemas semirramificados de funções e álgebras de

        48 Cuntz–Krieger

        S n N

        I

        seja, E F = . O Shift gerado por I é o conjunto E = I n

        ≥0 de todas as palavras infinitas do alfabeto I.

        

      Observação 2.2. Existe uma única palavra de tamanho 0, esta é

        chamada de palavra vazia e é denotada por Λ. Não escreveremos os elementos de E F e E como n-uplas ou sequências, uma pa-

        , x , . . . , x x . . . x

        lavra finita (x n ) será denotada por x n e uma

        1

        2

        1

        2 , x , x . . . x x . . .

        sequência (x

        1

        2 3 ) por x

        

      1

        2 3 . Para nos referirmos ao comprimento de uma palavra α, usaremos a notação |α|.

        

      Definição 2.3. x . . . x . . .

        Uma palavra finita ou infinita x = x x x

        1 2 n é dita A−admissível se a = 1 para todo 1 ≤ k < |x|. A k k +1

        Denotaremos por E o conjunto de todas as palavras (finitas) F A F . O Shift admissível gerado por A é o sub-

        −admissíveis de E A conjunto E de E de todas as palavras (infinitas) A−admissíveis.

        Observação 2.4. Por vacuidade, Λ é A

        −admissível. Quando não houver risco de confusão, chamaremos uma palavra apenas de admissível, em vez de A−admissível.

        Definição 2.5. F F

        Sejam α E e β EE. Definimos a

        concatenação αβ

        de α com β como a palavra obtida ao listar os caracteres de α seguidos dos caracteres de β. Se existir γ

        E F

        ∪ E tal que β = αγ, diremos que α é um prefixo de β e escreveremos α β. Quando α β e α 6= β, escrevemos α < β. O cilindro gerado por α é o conjunto [α] = {αγ| γ E} de todas as palavras infinitas que tem α como prefixo. Denotaremos por C F

        (I) = {[α]| α E } ∪ {∅} o conjunto de todos os cilindros de E mais o conjunto vazio. A Definição 2.6.

        . O cilindro admissível gerado Seja α E F A A A por α é o conjunto [α] e a

        = [α] ∩ E = {αγ| γ E = 1} 1

        |α|γ

      2.1. Espaços Shift e álgebras de Cuntz–Krieger

        49

        Note que ∅, E ∈ C(I), pois [Λ] = E. Ademais, para quais- F vale que quer α, β E  

        [α],  se β α  

        (2.1) [α] ∩ [β] = [β], se α β

            caso contrário.

        ∅, Por fim, para qualquer palavra não vazia α, temos que E \ [α] = S

        |α| γ [γ], em que J é o conjunto finito I

        \ {α}. Concluímos

        ∈J

        então que, conforme a Definição a família C(I) forma uma semiálgebra de subconjuntos de E.

        Em

        p.17], mostra-se que E admite uma métrica d

        com a qual E é compacto e cuja família das bolas abertas de (E, d), bem como a família das bolas fechadas, coincide com C(I). Assim, C(I) forma uma base clopen para a topologia de E.

        Partindo deste pressuposto, é fácil perceber que o com- A plementar de E é um conjunto aberto. Com efeito, tomando

        x A x x = 0. Segue

        , temos que existe k ≥ 1 tal que aE \ E k k +1

        . . . x A A A 1 k +1 é aberto. Portanto, E é

        que x ∈ [x ] ⊆ E \ E e E \ E A fechado e, consequentemente, compacto. Assim, E é um subes- paço métrico de E, que é compacto, separável e tem uma base A A

        clopen para a sua topologia, a saber, C A A

        (I) := {[α] ∩ E | α

        E F } ∪ {∅} = {[α] | α E F } ∪ {∅}. A

        Futuramente, vamos apenas trabalhar com C (I), por- A tanto, vamos abandonar o uso do índice A nos cilindros [α] supondo que o leitor entenda o contexto.

        

      Observação 2.7. A topologia de (E, d) é exatamente a topologia

      N produto em E = I , considerando I com a topologia discreta. A

        Fazemos menção da métrica pois vamos considerar E como um

        Capítulo 2. Sistemas semirramificados de funções e álgebras de

        50 Cuntz–Krieger

        sendo que esta pressupõe uma estrutura métrica. Explicitamente, c

        1 a métrica d é dada por d(ρ, τ) = , sendo c o comprimento

        2

        1 do maior prefixo comum entre ρ e τ. O fator em d poderia ser 2 trocado por qualquer r ∈ (0, 1) e mesmo assim d manteria as propriedades mencionadas até aqui. A

        Agora que conhecemos a estrutura de E e E podemos falar de funções nestes espaços. Uma função que merece destaque A tanto em E quanto em E é a função shift unilateral a esquerda

        s , dada por s : E E

        −→

      x x x . . . x x . . . .

        1

        2

        3

        2

        3

        4

        7−→ x

        −1

        Note que se α é uma palavra finita, então s ([α]) = S A i [] e assim s é contínua e também sua restrição a E . Note

        ∈I A

        que ao restringir o domínio de s para E a imagem de s fica A contida em E .

        A função s retira a primeira letra das palavras, mas pode- mos pensar em funções que adicionam uma letra às palavras. Para i i (α) = . cada i I, considere a função s : E E, dada por s

        α . . . α

        Se α = α

        1 2 k , temos que α 1 = i ou α

        1

        6= i e assim respecti-

        −1 −1 . . . α

        vamente temos que s ([α]) = [α k ] ou s i i i 2 ([α]) = ∅. Logo, é contínua. para cada i I, s A

        Se quisermos restringir o contradomínio de s i para E , obteremos que o domínio das funções s i deve ser o subconjunto

        D i A

        de todas as palavras de E que podem receber a letra i na primeira posição, a saber,

        D x A

      2.1. Espaços Shift e álgebras de Cuntz–Krieger

        51

        Note que [

        

      D A ,

      i = [j]

      aij =1

      j

      I

        logo, é clopen e, além disso, compacto. Observe também que, como A i tem linhas não nulas, os conjuntos D são não vazios e também A que s i : D i é contínua relativa às topologias induzidas em AE D i e E .

        2.1.1 Álgebras de Cuntz–Krieger

        Nesta subseção vamos introduzir a álgebra de Cuntz– Krieger associada a matriz A e mostrar algumas propriedades que i i , denominado conjunto ela detém. Fixemos o conjunto G = {S

        } ∈I de geradores. Note que G é uma cópia de I com os elementos renomeados. A

        Definição 2.8. A álgebra de Cuntz–Krieger O é a C i i e que satisfaz as −álgebra universal gerada pelo conjunto G = {S } ∈I

        seguintes relações:

        ∗ S S ,

        1. S i i = S i ii I.

        P m

        ∗ S S A 2. i . i i = 1, sendo 1 a unidade de O

        =1 m

        P

        ∗ ∗ S a S S ,

        3. S i = ij j i j j =1 ∀i I.

        As itens 1, 2 e 3 da Definição acima são chamadas de

        relações de Cuntz–Krieger

        . Note que a primeira relação nos diz que os elementos de G são isometrias parciais. Já a segunda relação implica que há uma certa relação de ortogonalidade, a

        ∗ S

        52 Capítulo 2. Sistemas semirramificados de funções e álgebras de

        

      S

      α

      Sα

        Proposição 2.10.

        Sejam α, β

        ∈ E F . São válidas as seguintes

        asserções:

        2. S α Sα

        S α = S α , ou seja, S α é uma isometria parcial.

        3. S α Sα

        S β Sβ

        =         

        , se β

        a partir da

        ≤ α

        

      S

      β

      Sβ

        , se α

        ≤ β 0, caso contrário. Segue como corolário do item 3 da Proposição acima qu

         D A

        := span C {S α

        Sα

        | α E F } 1 Pelo item 1 da Prop.

         as palavras podem ser restringidas apenas às admissíveis.

        página 30 e em a partir da página 11.

        Agora, vamos elencar uma série de propriedades de O A cujas demonstrações podem ser encontradas em

        Cuntz–Krieger

        2 . . . α k .

        Podemos falar de palavras do alfabeto G e para isso vamos utilizar o que já vimos a respeito de palavras do alfabeto I.

        Definição 2.9.

        Seja α E F . Definimos o elemento S α de O A por:

        S α =

          

        1, se α = Λ

        S α 1 S α 2 . . . S α k

      ,

        se α = α

        1 α

        Nas condições da Definição anterior, note que

        2 . . . α k .

        Sα

        =   

        1, se α = Λ

        Sα k

        Sα k −1

        . . . S

      α

      1

        

      ,

        se α = α

        1 α

      1. S α 6= 0 se, e somente se, α é admissível.

      2.1. Espaços Shift e álgebras de Cuntz–Krieger

        53 ∗ A

        é uma (C . Além disso, em

        

        −)subálgebra comutativa de O

        

        mostra-se qu

        ∗

        O A S = span C α F β m {S | α, β E }.

        P

        ∗ S S A

        A relação i i i = 1 implica que 1 ∈ D

        e, portanto,

        =1 ∗

        D A é uma C

        −álgebra comutativa com unidade. Assim, o Teo- A rema de Gelfand (ver

        p.44]) garante que D

        é ∗−isomorfa

        ∗

        a uma C −álgebra de funções contínuas partindo de um espaço topológico X compacto e Hausdorff. Na página 254 do artigo de

        Cuntz e Krieger

        os autores estabelecem quem é o tal espaço

        X A , e este surpreendentemente é o shift admissível E .

        

      Teorema 2.11. Existe um A A ) que

        ∗−isomorfismo Γ : D → C(E

        satisfazS , .

        Γ(S α ) = χ F αα E

        

      [α]

      Demonstração. Ver p.23].

        Definição 2.12 A

        (REPRESENTAđấO DE O ). Uma repre-

        ∗ sentação A

        de O é um par (π, A), sendo A uma C A −álgebra e π : O AA um ∗−homomorfismo unital. Uma representação de O será dita fiel se for injetora.

        ∗

      Observação 2.13. Sejam A uma C i i uma fa-

        −álgebra e {b }

        ∈I

        mília de elementos de A que satisfazem as relações de Cuntz–

        ∗

        Krieger. Pela propriedade universal das C A −álgebras universais (ver

        p.24-29]) aplicada a O , temos que existe uma única A

        representação (π, A) de O tal que π(S i ) = b i , para todo i I.

        Para encerrar nossa breve revisão a respeito das álgebras de Cuntz–Krieger, vamos falar a respeito da simplicidade de tais

        Capítulo 2. Sistemas semirramificados de funções e álgebras de

        54 Cuntz–Krieger

      2 Teorema 2.14. Se a matriz A é irredutível, então O A é simples, A ou seja, os únicos ideias fechados de O são os triviais.

        Demonstração. ver p.257].

      Observação 2.15. Se O A é simples, toda representação não nula

      A

        (π, A) de O é fiel. Isso se deve ao fato de núcleos de ∗−homo- morfismos serem ideais fechados.

      2.2 Sistemas semirramificados de funções

        Nesta seção, apresentamos o objeto de estudo principal deste trabalho que são os sistemas semirramificados de funções. Fixamos um espaço de medida finita (X, F, µ) e relembramos que a matriz A e o conjunto de índices I são como no inicio do Capítulo. A

        Queremos obter uma representação de O na C −álgebra de

        2

        operadores lineares e limitados B(L (X, F, µ)) que seja compatível com a dinâmica imposta por um sistema semirramificado de funções, a qual apresentamos a seguir.

        Definição 2.16. i : D i i uma família de

        Seja S = {σX} i iI funções mensuráveis, em que {D

        } ∈I ⊆ F. Dizemos que S é um sistema semirramificado de funções se são satisfeitas as condições:

        1. σ i i (A D ) ∈ F, A ∈ F, i I.

        S

        R i ) = 0 e µ(R i j

        2. µ(X \ ) = 0 se i 6= j, em que iR

        ∈I 2 R i := σ i (D i ).

      2.2. Sistemas semirramificados de funções

        55

      3. Para cada i ∈ I, existe a derivada de Radon–Nikodým

        >

        Φ i := d µ i ) e, além disso, Φ i (µ σ 0, µ−qtp, em que

        |Di µ i

        é a medida dada por: ◦ σ

        µ

      i (A) = µ(σ i i

      σ (A D )), A ∈ F.

        Além disso, se existe uma função mensurável σ : X X tal que

        σ i = I D

        para todo i I, dizemos que σ é uma função deσ i

        codificação para S.

        A partir de agora, fixamos um sistema de funções semir- i i junto de uma função de codificação σ, as ramificado S = {σ } ∈I notações usadas serão as mesmas da Definição que acabamos de fornecer.

        R

      Observação 2.17. Note que Φ i i i ) = 0.

      X d µ = (µ σ )(X \ D

        

      \D i

        Logo, pela Proposição temos que Φ i = 0, µ−qtp. Assim,

        |X\Di

        temos que Φ i = Φ i χ D i , µ−qtp.

        

      Lema 2.18. Sejam i mensuráveis. Então,

      i

        ∈ I, A X e B D

        −1 vale a igualdade σ i (B) = σ i (A) ∩ σ (A B).

        −1

      Demonstração. i (B), então temos que x =

        (A) ∩ σ ⊆: Se x σ

        σ i i (y), para algum y B. Além disso y = σ(σ (y)) = σ(x) ∈ A. i Então y A B e portanto x σ (A B). i i (y) = x. Assim,

        ⊇: Se x σ (A B), existe y A B tal que σ

        −1 x i i (B).

        (B) e σ(x) = y A e portanto x σ (A) ∩ σσ

        Decorre do Lema que, sob a hipótese da existência de uma função de codificação para S, não precisaríamos exigir que σ i (A

        D i i fossem

        ) ∈ F, A ∈ F, bastaria apenas exigir que as imagens R

        Capítulo 2. Sistemas semirramificados de funções e álgebras de

        56 i é uma medida, pois ganhamos Cuntz–Krieger

        esta hipótese, assegura-se que µσ a injetividade de σ i i . Caso contrário, deve-se subentender que µσ é uma medida por definição.

        A seguir, fornecemos um Exemplo simples de sistema se- mirramificado de funções. Embora trivial, julgamos importante fornecer um tal Exemplo para que o leitor possa melhor com- preender as ideias que motivaram a Definição. Vamos utilizar as mesmas notações do texto, no entanto, tenhamos sempre em mente que já temos um sistema semirramificado de funções fixado e isto seguirá após o Exemplo.

        Exemplo 2.19.

        Sejam X o intervalo fechado [0, 2], F a σ−ál- gebra de Borel de X e λ a medida de Lebesgue em X. Defina

        D 1 = [0, 1] e D 2 = [1, 2] e note que os mesmos são mensuráveis.

        Defina

        σ

        : X X

        x

        7→ x, e também para cada i ∈ {1, 2},

        σ i i

        : DX

        x 7→ x. i D

        Claramente, σ, σ

        1 e σ 2 = I ,

        são mensuráveis e σ σ i i (D i ) = D i , i = 1, 2, ou seja, a para todo i ∈ {1, 2}. Note que σ imagem da funções σ i , σ são mensuráveis. Vejamos que {σ

        1

        2

        } é um sistema semirramificado de funções em (X, F, λ). Pelo Lema

        

      e a observação logo abaixo do Lema, segue que é satisfeito o

        item 1 da Definição

        Além disso,

        2

        [ [

        σ i (D i ) = [0, 1] [1, 2] = [0, 2] = X,

      2.2. Sistemas semirramificados de funções

        57

        e também

        2

        \ \

        λ σ

        ( i (D i ) ) = λ([0, 1] i [1, 2]) = λ({1}) = 0.

        =1 i i

        Finalizando, note que λ σ (A) = λ(A D ), para todo A X mensurável e para todo i ∈ {1, 2}. Assim, Z

        χ i i (A) A D i d λ = λ(A D ) = λ σ

        e, portanto, i χ , d λ ) = (λ σ Di ∈ {1, 2}. i

        Assim, são satisfeitos os itens da Definição

        

        e, portanto,

        , σ

        1

        2

        {σ } é um sistema semirramificado de funções cuja função de codificação é σ.

      3 Proposição 2.20.

        Sejam f

        ∈ N(X, F) e i I. Então, para

        todo B i , vale que

        ⊆ D Z Z Z

        f f f i ) = Φ i σ B B i (B)σ d µ = d(µ σ d µ, i I. f

      No sentido que χ χ é

      σ (B) B i (f σ) é µintegrável se, e só se,

        µ χ f é µ i Φ i

        ◦ σintegrável se, e só se, Bintegrável e neste caso as integrais coincidem.

      • Demonstração. Começamos supondo que f (X, F) é simples,

        ∈ N P k S k

        a E ou seja, f = j χ , com a j j j . j E ≥ 0, E ∈ F e X = j =1 =1 j

        P k

        a j χ −1 e assim

        Neste caso, f σ = j σ 3 =1 (E j ) Ver página d(µ σ i ). Para o caso em que f é uma função real qualquer, vamos

        f

        (B) f

        d(µ σ i ) =

        Z B

        

      f

        d(µ σ i ). Agora, passamos ao caso que f ∈ N

        Podemos pela Proposição escolher uma sequência crescente em N

        } n

        ∈N

        convergindo a f. Assim, pelo Teorema da Convergência Monótona e pelo caso anterior, temos que

        Z σ i

        ◦ σ d µ = lim n

        X j =1

        

      →∞

        Z σ i

        (B) ϕ n

        ◦ σ d µ = lim n

        

      →∞

        Z B

        ϕ n

        d(µ σ i ) =

        Z B

        a j χ E jB

        Z k

        58 Capítulo 2. Sistemas semirramificados de funções e álgebras de

        = Z k

        Cuntz–Krieger

        Z σ i

        (B) f

        ◦ σ d µ = Z k

        X j

        

      =1

      a j χ σ −1

        (E j )∩σ i (B)

        d µ

        

        X j

        ◦ σ i (E jB) =

        =1 a j χ σ i

        (E jB)

        d µ = k

        X j

        =1

      a j µ

        (σ i (E jB))

        = k

        X j

        =1

      a j µ

      • (X, F) é qualquer.
      • (X, F) de funções simples {ϕ n

      2.2. Sistemas semirramificados de funções

        59 −

        de funções reais positivas, a saber f = f . Assim

      • f

        Z Z Z

      • +

        f f f σ σ σσ d µ = ◦ σ d µ − ◦ σ d µ i i i (B) (B) (B)

        Z Z

        −

      • f i f i

        = ) B B d(µ σ ) − d(µ σ Z

        f = i ). B d(µ σ

        Para o caso que f é qualquer, escrevemos f = f + if ,

        1

        2

        em que f

        1 e f 2 são funções reais e obtemos

        Z Z Z

        f f f σ σ σ

        ◦ σ d µ =

        1 ◦ σ d µ + i 2 ◦ σ d µ i i i (B) (B) (B)

        Z Z

        f f B B d(µ σ d(µ σ

        Z

        f = i ). B d(µ σ χ é

        Em todos os quatro casos, é fácil ver que (f σ) σ (B) i

        µ χ i

        −integrável, se e só se, f B é µ σ − integrável. Além disso, segue do Teorema que Z Z Z

        

      f f f

      i ) = Φ i d µ.

        d(µ σ σ B Bσ d µ = i (B) O que fizemos acima foi mostrar como se comporta a integral diante da mudança de variável x = σ i (u). No caso B = D i , por causa da Observação

        vamos omitir o símbolo D i na

        R

        f integral Φ i d µ. D i

        A partir de agora, vamos em busca de construir uma A

        2

        Capítulo 2. Sistemas semirramificados de funções e álgebras de

        60 Cuntz–Krieger

        2

        

      2

        

        o operador T i : L (X, F, µ), dado por (X, F, µ) → L 1

        − 2 T ψ i (ψ) = χ Φ R iσ. i

        2 Afirmação 2.21.

        Para todo i i (X, F, µ)).

        ∈ I, TB(L

        2 Demonstração. Sejam i (X, F, µ). A linearidade de

        ∈ I e ψ L

        T i é óbvia. Agora, note que Z Z

        Z

        2

        2

         i d µ = d µ = Φ i d µ

      2 |ψ σ| |ψ|

        (ψ)| |T i i Rσ i Φ Φ

        Z Z

        

      2

        2 = d µ. i i D i |ψ| d µ ≤ |ψ|

        Esta conta mostra que T está bem definido e que ||T (ψ)|| ≤ ||ψ||. Logo, T i i

        é contínuo e ||T || ≤ 1. Podemos então nos perguntar, qual o adjunto dos opera- i

        2

        dores T . Sejam ψ e ξ L (X, F, µ) e i I, observe que

        Z

      1

      2

      i Φ

      ψ

        hT (ψ), ξi = iσ ξ d µ R i

        Z

      1

      (∗) −

      2

        ψ i

        = Φ R i iσ (ξ σ ) ◦ σ d µ

        Z 1

         − 2

        

      ψ

        = Φ ii d µ i (ξ σ

        Z 1 2 ψ

        = Φ i ) d µ i 2 1 (ξ σ ψ, ξ .

        = Φ i i 4σ

      2.2. Sistemas semirramificados de funções

        61 χ χ i . Segue

        Na igualdade (∗) usamos o fato que ξ R = (ξ σσ) R i i 1

        2 2

        (X, F, µ), T (ξ) = Φ i ). que para todo ξ L (ξ σ i i

        Note que para qualquer Y X mensurável, a aplicação

        2 P χ ψ

      Y (ψ) = é uma projeção ortogonal em L (X, F, µ). De fato,

      Y

        2

        2 P

      Y é linear e limitado, além disso, P (ψ) = ( χ ) = χ =

      Y Y Y ψ ψ

        R R

        P χ ψ ξ ψ χ ξ Y Y d µ = Y

        (ψ) e hP (ψ), ξi = Y Y d µ = hψ, P (ξ)i,

        2 ∗

        implicando que P = P = P Y . Então podemos associar ao nosso Y Y i D sistema de funções semirramificado S as projeções Q := P e i

        P

      i := P R , que são respectivamente chamadas de projeção inicial

      i

        e projeção final. Vejamos algumas relações que estes operadores satisfazem.

        Proposição 2.22. Valem as asserções:

        1. T T , i = P i ii I.

        ∗ ∗ T T T ,

        2. T i = Q i e T i i = T i i ii I.

        P 2 P P .

        3. Se i i j = 0 e i = I L

        6= j, então P i (X,F)

        ∈I

      2 Demonstração. Seja ξ (X, F, µ).

        ∈ L

      1. Fixe i ∈ I e note que

        1

        − 2 ∗ ∗ T T T i (ξ) = χ Φ (ξ) i i R iσ i 1 1

        − 2 2 ξ

        = χ Φ Φ i R i iσσ i

        

        = χ χ i R Dσ (ξ σσ) i i

        

      χ ξ i

      = = P (ξ). R i

        T ,

        Capítulo 2. Sistemas semirramificados de funções e álgebras de

        62 Cuntz–Krieger

      2. Fixe i ∈ I e note que

        2 1

        ∗ T T T i (ξ) ◦ σ i (ξ) = Φ i i i 1 1 22

        ξ

        = Φ χ Φ i i R iσσ i 1 1 22

        χ i ξ

        = Φ Φ Rσ i i i

        

      ξ

      = χ = Q i (ξ). D i

        ∗ T

        Logo T i = Q i e consequentemente i

        ∗ T T T Q i i (ξ) = T i i (ξ) i 1

        − 2 χ χ ξ

        = Φ R D iσ i i 1

        − 2 χ ξ

        = Φ R iσ i = T i (ξ). i i ) = 0 e µ(R i j R 3. Por hipótese, µ(X \ ∪ ∈IR ) = 0, se i 6= j.

        P ξ P

        Assim, P i j (ξ) = χ = 0 e, portanto, P i j = 0. Além R iR j disso, note que

        X X

        P i (ξ) = χ ξ = χ ξ X ξ = ξ. i i R R iiI i = 1 ∈II

        Logo,

        X 2 P . i = I L i (X,F)

        ∈I

        A Proposição

         i i satisfaz

        assegura que a família {T }

        ∈I A as relações 1 e 2 da Definição da álgebra de Cuntz–Krieger O .

      2.2. Sistemas semirramificados de funções

        63 A

        T

        de O precisamos apenas que seja verificada a relação T i = m m i P P

        ∗ j =1 ∀i I, ou seja, Q j =1 ∀i I. Logo, a T T , a P , ij j i = ij j j

        se exigirmos que valha a igualdade [

        D R , µ i = j (2.2) aij =1 jI i i gera uma representação da álgebraqtp, i I, obteremos que a família {T

        } ∈I

      2 O

        

        A em B(L (X, F, µ)) (ver Observação

        Observação 2.23. A igualdade é chamada de condição C-K

        e daqui por diante a suporemos válida para o sistema semirrami- ficado S.

        Exemplo 2.24

        A de E , H a sua respectiva medida de Hausdorff e B a σ−álgebra A de Borel de E i i que definimos

      5 AO SHIFT ADMISSÍVEL ). Sejam δ a dimensão de Hausdorff

        . Vejamos que a família {s }

        ∈I

        na página A , B, H forma um sistema semirramificado de funções em (E ) e que s é a função de codificação do sistema.

        Lembre de que os conjuntos D i são clopen e, portanto, borelianos. Além disso, as funções s e s i são contínuas e, portanto, i = I D e s i (D i j (D j Borel-mensuráveis. Claramente, s s i ) ∩ s ) = ∅,

        temos que as imagens dire-

        se i 6= j. Assim, pelo Lema tas de conjuntos mensuráveis via as funções s i são mensurá- A veis, pois R i = [i] é mensurável. Também nota-se facilmente A R i i S que E = . Por fim, note que as funções s são tais i

        ∈I d (ρ, τ)

        que d(s i (ρ), s i (τ)) = e portanto são similaridades de ra-

        2

        1

        zão . Segue do Teorema que para todo boreliano B con- 5

      2 Para melhor compreender algumas ferramentas usadas neste Exemplo, o

        leitor é convidado a consultar o apêndice A no assunto compreendido entre a Definição

        Capítulo 2. Sistemas semirramificados de funções e álgebras de

        64 Cuntz–Krieger

        1 H tido em D i , H(s i (B)) = δ (B). Portanto, para todo i I,

        2

        1

        χ

        d H i ) = i i é um sistema semir- (H ◦ s D . Concluindo, {s } ∈I δ i

        2 A ramificado de funções em E e s é a função de codificação do sistema. A

        

      Observação. Para aplicar o Teorema os conjuntos D i e E

        precisam ser Poloneses. De fato, é bem sabido que conjuntos compactos são completos e que em espaços métricos, subespaços herdam a separabilidade do espaço. Sendo assim, estamos sob as hipóteses necessárias.

        Perceba também que é válida a condição C-K (equa- A ção

        Assim, podemos obter uma representação de O em B A , B, H

        (L (E )) se definirmos os operadores T i como antes. Neste

        ∗

        caso, explicitando T i e T , temos que: i (

        √ δ ψ x . . . ( 2) (x ), se x = i

        2

        3

        1 T i x x . . . ,

        (ψ)(x

        1

        2 3 ) =

        0, se x

        1

        6= i e também (

        1 √ ψ (ix x . . . ), se a ix = 1

      δ

        1

        2 1 ∗ ( 2) T x x . . . i (ψ)(x ) =

        1

        2

        3 0, se a ix = 0. 1 Queremos entender com mais detalhe a estrutura men- A surável do Shift Admissível E , no caso em que A é irredutível. A

        Para isso suponha que H(E ) ∈ (0, +∞) e lembre do seguinte resultado da teoria de matrizes.

        Teorema 2.25

        (TEOREMA DE PERRON–FROBENIUS). Seja

        

      A n (R) irredutível e com entradas não negativas. Então valem

        ∈ M

      2.2. Sistemas semirramificados de funções

        65 1. r(A) é um autovalor não nulo de A com multiplicidade algébrica 1, em que r(A) é o raio espectral de A.

        2. Existe único vetor real v = (v , . . . , v n 1 n ) tal que Av = r(A)v e

        P i =1 v i = 1; v é um vetor cujas entradas são todas positivas. T

        

      3. Existe único vetor real w = (w , . . . , w n A

      T P n 1 ) tal que w = r v w

        (A)w e i i = 1; w é um vetor cujas entradas são i

        =1 todas positivas. r

        (A), v e w são chamados de raiz de Perron, vetor de Per-

        ron à direita e vetor de Perron à esquerda da matriz A, respectivamente.

        Demonstração. p.534].

        Corolário 2.26.

        Nas condições do Teorema de Perron–Frobenius, , . . . , u sejam λ > 0 e u = (u n

        1 ) 6= 0, com entradas não negativas,

      tais que Au = λu. Então λ = r(A) e assim u é múltiplo de v, que

      é o vetor de Perron à direita de A.

        

      Demonstração. Seja w o vetor de Perron à esquerda de A. Note

      T P n que w u = u i w i > 0 e também i =1 T T T T

      r u Au λu u.

        (A)w = w = w = λw T

        

      u

        Dividindo a igualdade por w obtemos r(A) = λ. Além disso,

        r

        (A) é um autovalor de multiplicidade algébrica (e portanto geo- métrica) 1, segue que u = κv.

        , . . . , p

        Sejam r e p = (p m ) a raiz e o vetor de Perron à

        1

        direita de A. A partir de p vamos definir uma medida de probabi- A

        Capítulo 2. Sistemas semirramificados de funções e álgebras de

        66 A Cuntz–Krieger

        em uma semiálgebra de E e então usar o Teorema de Carathéo- dory

        Observamos anteriormente que C(I) é uma semiálgebra de conjuntos de E. É fácil ver que esta propriedade se transfere A A para C (I), ou seja, C (I) é uma semiálgebra de conjuntos de

        E A

        (cuja σ−álgebra gerada é a de Borel B). Defina a função

        η

        : C(I) → [0, +∞] da seguinte forma:  

        0, se C = ∅   

        1−k η

        (C) = r p , . . . α α se C = [α k ] k

        1

            1, se C = [Λ] = E. A

        Devemos verificar que η restrita a C (I) satisfaz a σ−adi- A tividade. No entanto, como os elementos de C (I) são compactos, A

        (I) pode ser expresso como a hipótese de que um cilindro C ∈ C A uma união enumerável disjunta de elementos não vazios de C (I) não se realiza. Sendo assim, é suficiente verificar que η é aditiva, n P n

        

      A i η i i

        ) = (A ), se os conjuntos A são disjuntos isto é, η (∪ i i

        =1 =1

        

        η Lema 2.27. é aditiva. Demonstração. Seja α = α . . . α

        1 k . Note que

        [ [α] = [αj]. jI k j =1 vejamos que neste caso particular η satisfaz a propriedade aditiva. 6 A partir daqui o índice A é suprimido nos cilindros admissíveis.

      2.2. Sistemas semirramificados de funções

        67

        Com efeito, m m

        X X

        X

        1−(k+1) η a η a r p a j j ([αj]) = α j ([αj]) = α j j k k

        =1 =1 =1 αkj m

        X

        (∗) −kk 1−k a p r p p

        = r α j j = r α = r α j =1 k k k = η([α]).

        Na igualdade (∗), usamos o fato de que Ap = rp. Para o S N j caso geral, escreva [α] = [β ]. Por questões de simplicidade, j

        =1

        sempre escreveremos o mesmo N, pois esta será a representação genérica que adotaremos do cilindro [α] escrito como união dis- junta de outros cilindros, mas sempre tendo em mente que este N j não é fixo. Dado j ∈ {1, . . . , N}, temos que [β ] ⊆ [α] e portanto j

        |β | ≥ |α|. Assim, nossa prova se dará pelo segundo princípio de indução em j

        L

        := max {|β | − |α|}.

        1≤jN

        1 Se L = 0, então N = 1, β = α e o resultado segue

        trivialmente. Agora, suponha que valha a afirmação: N N [ j

        X j

        η

        se [α] = [β ([β ]). j ] é tal que 0 ≤ L n então η([α]) = j

        

      =1 =1

        S N j Vejamos que se [α] = [β ] é tal que L = n + 1 então j

        

      =1

      η

        mantém a propriedade aditiva. Escreva n  

      • 1

        [ [ j  

        [α] = [β ] i   . 1≤jN

        =1

        Capítulo 2. Sistemas semirramificados de funções e álgebras de

        68 l Cuntz–Krieger

        Tome l ∈ {1, . . . , N} tal que |β | − |α| = n + 1 e defina o conjunto j j l j

        B ,

        = β = {β i

        | 1 ≤ j N, |β | − |α| = n + 1 e β ii ∈ {1, . . . , |α| + n}}.

        Afirmação.

        [ j l l [β ] = [β . . . β ].

        

      1

      β j |α|+nB Demonstração. l l ⊆: Trivial!

        . . . β

        ⊇: Como [β

        1 ] ⊆ [α] existe único i ∈ {1, . . . , n + 1} tal |α|+n

        que   l l j \ [  

        . . . β

        [β ] [β ]

        1

          6= ∅

        |α|+n |βj |−|α|=i 1≤jN

      garante como se dá a

        e i n pois a equação l l

        . . . β

        interseção de cilindros. Se i = n, [β ] é um dos cilindros

        1 |α|+n

        S 1≤jN j que compõem a união [β ] e neste caso teríamos que [α] |βj |−|α|=n j l l l

        . . . β

        não é união disjunta dos cilindros [β ] pois [β ]∩[β ] 6= ∅.

        1 |α|+n l l j S . . . β 1≤jN Logo, [β [β ] e isto conclui a afirmação.

        ] ⊆

        1 |α|+n |βj |−|α|=n+1

        S 1≤jN j Segue que é possível rearranjar [β ] de forma |βj |−|α|=n+1 l l s s

        . . . β

        que se torne uma união disjunta de cilindros [β ], em

        1 |α|+n

        e l

        1 = l, tornando possível a aplicação da hipótese de

        que s ∈ N indução.

        Suponha sem perda de generalidade e para fins de escla- recimento que s = 1 (o caso s > 1 é análogo). Neste caso, [ j l l

        . . . β

        [β ] = [β ],

        1 1≤jN |α|+n

      2.2. Sistemas semirramificados de funções

        69

        S S 1≤jN j j j ou seja, [β ] = [β ]. Neste caso β |βj |−|α|=n+1

      B

      n  

        X X j l l

        ηη  + η([β . . . β

        ([α]) = ([β ]) ])

        1 i j |α|+n =1 |β |−|α|=i n  

        X X j j

        X

        η η

        =  ([β ])  + ([β ]) i =1 j j β

        

      |β |−|α|=iB

      n  

        X X j j

        X  η  + η

        = ([β ]) ([β ]) i j j

        =1 N |β |−|α|=i |β |−|α|=n+1

        X j

        η = ([β ]). j =1 propriedade aditiva para α = Λ.

        Assim, pelo Teorema de Carathéodory, η se estende a uma medida em B, que por abuso de linguagem denotaremos por η também. Vimos no Exemplo

         que m

        X X

        −δδδ

        H H H H

        a (R i ) = 2 (D i ) = 2 (R j ) = 2 ij (R j ). a j ij =1 =1 δ h

        Assim, definindo h = (H(R ), . . . , H(R m )) temos que 2 = Ah

        1

        e pelo Corolário do Teorema de Perron–Frobenius, obtemos que δ

        r

        = 2 e h = κp, para algum κ > 0. Portanto, m m m

        X X

        X ln(r) H

        δ A κp p = e H(E ) = (R i ) = i = κ i = κ.

        ln(2) i =1 i =1 i =1 Poderíamos considerar H como normalizada e obter κ = 1. Independente disso, é um tanto quanto surpreendente o fato de que H está intimamente ligada com o vetor de Perron de A.

        Capítulo 2. Sistemas semirramificados de funções e álgebras de

        70 Cuntz–Krieger

      2.2.1 Operador de Perron–Frobenius

        Queremos associar a σ um operador de translação T σ , que

        2 σ pode não

        toma uma função ψ L (X, F, µ) e retorna ψ σ. T estar definido, como mencionamos na Introdução, mas supondo i que as derivadas Φ sejam todas limitadas, temos que ψ σ

      2 L

        (X, F, µ). De fato, Z Z Z

        X X

        

        2

        2

        2

        d µ = d µ = Φ i d µ |ψ σ| |ψ σ| |ψ| i i R i

        ∈II

        Z

        X i

        2 ) d µ.

        ≤ ( kΦ k ∞ |ψ| i

        ∈I

        pP σ σ i .

      2 Portanto, T

        ∈ B(L (X, F, µ)) e kT k ≤ i kΦ k ∞

        ∈I

        O operador de Perron–Frobenius associado a S é por

        ∗ definição o operador adjunto de T σ . Vejamos quem é T . σ

        Z Z

        X σ ψ ψ (ψ), ξi = hTσξ d µ = ◦ σξ d µ i R i

        ∈I

        Z

        X = i i R i (ψ σ)(ξ σσ) d µ

        ∈I

        Z

        X

        

        = ψ Φ i i ) d µ i (ξ σ

        ∈I Z

        X

        ψ = ( Φ i i ) ) d µ. i (ξ σI

        Segue que

        X

        ∗

      T ξ .

      σσ (ξ) = Φ i i i

      I

        Observe ainda que T tem uma relação estreita com a nossa A σ representação de O , de fato, 1 X 2

        

      ∗ ∗

      T = Φ T .

      σ i

      i

      2.2. Sistemas semirramificados de funções

        71

        Denotando o operador de Perron–Frobenius do Exemplo δ P 2

        T

      por P σ , obtemos que P σ = 2 . Vamos verificar que

      i i

        ∈I σ

        o vetor de Perron à esquerda de A define um ponto fixo para P e isto é interessante pois existe uma relação entre pontos fixos do operador de Perron–Frobenius e estados KMS associados a evoluções temporais (ver

        

        Proposição 2.28. , . . . , w Seja w = (w m ) o vetor de Perron à

        

      1

      P m

        2 esquerda de A e ξ = w χ A , B, H j RL j (E ). Então P σ (ξ) =

        =1

      j

      ξ .

        Demonstração. Em primeiro lugar, observe que se i, j −1I, então

      χ i = χ = δ ij χ , pois µ(R i j ) = 0 (em que δ ij é

      Rσ σ DR j (R ) i i j

        o delta de Kronecker). Assim, temos que δδδ m m

        X X 2

      2

      2 P T ξ σ (ξ) = 2 (ξ) = 2 i i i Dσ 2 χ i i

        =1 =1 m m  

        X X

        −δ

      w

        = 2 χj χ ii =1 j =1 m m D Rσ i j

        X X

        −δδ

        = 2 χ w i χ i = 2 χ w i i =1 i =1 m m m m D Rσ D i i i

        X X

        X X

        −δδ a χ w χ a w

        = 2 ij i = 2 ij i i j j i R R j j =1 =1 =1 =1 m m

        X X

        −δδ χ r w j r χ w j

        = 2 = 2 j j R R j j δ =1 =1 −δ

        ξ

        = 2 2 = ξ.

        Voltando ao caso geral, se tivermos que as derivadas Φ i

        Capítulo 2. Sistemas semirramificados de funções e álgebras de

        72 Cuntz–Krieger

        ∗

        Frobenius pertencerá à C i i (este é −álgebra gerada por {T } ∈I o caso do Exemplo

        No entanto, é possível representar

        O A sem que imponhamos uma hipótese tão restritiva, e é aqui que entra em cena o espaço de Hilbert das semi-densidades W que apresentamos no primeiro Capítulo e que a partir de agora consideramos construído sobre o espaço mensurável (X, F). Todas as notações serão mantidas, porém, antes de partirmos para a nova representação temos que falar sobre algumas tecnicalidades.

        Fixemos duas medidas ω e ν finitas em (X, F) e também

        i

        ∈ I. A partir de ω surgem naturalmente algumas outras medidas A e estas serão importantes para a representação de O que apre- i , sentaremos posteriormente. A primeira delas é a medida ω σ i i i dada por ω σ (A D )), A ∈ F. Outra medida que

        −1 −1

        (A) = aparece nas contas é a medida ω σ , dada por ω σ i i

        −1 −1 ω i (σ (A) a imagem inversa de A por σ . i (A)), A ∈ F, sendo σ i

        Esta medida é conhecida como medida pushforward induzida por

        −1 −1 σ

      i i i )). Temos

        . Note que ω σ (A) = ω σ (A R ) = ω(σ(A R i i

        

      −1 −1

      i i , que com um conta sim-

        também as medidas ωσ iσ e ωσσ i

        −1 i i )

        ples verificamos que são dadas por ω σ (A) = ω(A D iσ i i ). Surge então o que chamamos −1 e ω σσ i (A) = ω(A R de medida concentrada num conjunto E que denotaremos ω E , E E χ R dada por ω = d ω, logo

        (A) = ω(A E). Note que ω E

        −1 ω

        d ω E = χ E . Além disso, as medidas ω σ i e ω σ i já são concentradas em D i e R i , respectivamente. Vamos agora mostrar alguns lemas que relacionam estas medidas que acabamos de defi- nir e que serão importantes na construção de uma representação A de O em W e também para o cálculo do operador de Perron-

        Frobenius associada a tal representação. Antes, observamos que a Proposição

         não exige nenhuma particularidade da medida µ e assim vale igualmente para qualquer outra medida.

      2.2. Sistemas semirramificados de funções

        d(ν σ

        d ν

        (AR i ) χ D i

        Z σ −1 i

        d ν ω d ν D i =

        (AR i )

        = Z σ −1 i

        −1 iσ i )

        ω

        d ν =

        d ν

        (AR i )

        = Z σ −1 i

        

        )

        −1 i

        (d ν ω ) ◦ σ d(ν σ

        ω

        Z σ −1 i

        ) = Z A

        (ω σ

        p

        νω

        √

        Lema 2.30.

        ω ) ◦ σ.

        ) = χ R i (d ν

        −1 i

        ◦σ

      −1

      i

        (AR i )∩D i

        e d ν

        −1 iν σ −1 i

        Logo, ω σ

        −1 i (A R i ).

        d ω = ω σ

        (AR i )

        Z σ −1 i

        d ω =

        ∩R i

        73 Lema 2.29. Se ω

        ≪ ν, então ω σ iν σ i

        (ω σ

        ω

        ∈ F. Observe que

        Demonstração. Seja A

        (d ν ω ) ◦ σ.

        χ R i

        ) =

        −1 i

        ◦σ −1 i

        Z σ i (AD i

        ) ◦ σ i d ν

        ω

        (ω σ i ) = χ D i (d ν

        Além disso, d νσ i

        −1 iν σ −1 i .

        ◦ σ

        e ω

        ◦ σ i (A) = ω(σ i (A D i )) =

        )

        (d ν ω ) ◦ σ d(ν σ

        ω

        χ R i

        . Por outro lado, Z A

        (d ν ω ) ◦ σ i

        χ D

        ) =

        ◦σ i (ω σ i

        ) ◦ σ i d(ν σ i ). Logo, ω σ iν σ i e d ν

        (d ν

        d ν ω d ν

        χ D

      i

        Z A

        ◦ σ i d(ν σ i ) =

        ω

        d ν

        ∩D i

        = Z A

        

        −1 i

        Capítulo 2. Sistemas semirramificados de funções e álgebras de

        74 Cuntz–Krieger

        Demonstração. Seja A

        ∈ F. Escolha θ tal que ν θ, ω θ e observe que Z p

        √ √

        

      νω i νω i i ν ω

        (A) = (σ )) = d θ d θ d θσ (A D σ ) i (AD i

        Z p

         ν ω

        = (d θ i (d θ i i ) A ) ◦ σ ) ◦ σ d(θ σ

        ∩D i

        Z q

        ν ω

        = χ (d θ i χ (d θ i i ) A D D i i ) ◦ σ ) ◦ σ d(θ σ Z q

        

        = d θ i ) d θ i i ) (ν σ (ω σ ) d(θ σ Aσ iσ i p = i i )(A).

        (ν σ )(ω σ

        2 Lema 2.31.

        Sejam A (X, F, ν). Então, temos que A χ ∈ F e f L f, ν A a medida concentrada em A.

        (f, ν ), sendo ν )ℜ( A

        Demonstração. Devemos achar θ tal que ν A

        ≪ θ, νθ e √ √

        f ν f ν

        d θ A = χ d θ A , θ−qtp. Tome θ = ν.

        −1 Lema 2.32.

        Se (ξ, ν)

        )ℜ(ψ σ, ℜ(ψ, ω), então (ξ σ, ν σ i

        P P

        −1 −1 −1

      ω ν ω .

        ◦ σ i ) e também ξ σ, iσ iψ σ, iσ i

        ∈II Demonstração.

        Escolha θ que satisfaz ν θ, ω θ e lembre de √ √

        ν ω, θ

        que ξ d θ = ψ d θ −qtp. Assim,

        q q 2 Z −1 −1 − − − 1 1 1 d i d i ) i )

      ξ σ θσ (ν σ ) − ψ σ θσ (ω σ d(θ σ

      i i 2 Z q q 1

        ν ω

      = χ (d θ χ (d θ )

      ξ σ R ) ◦ σ ψ σ R ) ◦ σ d(θ σ i i i Z 2 p p θ ν θ ω 1 = d d ) R i ξψσ d(θ σ i Z 2 p p

        ξψ

        ν ω = d θ d θ d θ = 0.

      2.2. Sistemas semirramificados de funções

        75

        q q −1 −1 −1 −1 d d ),

        Segue que ξ σ (ν σ ) = ψ σ (ω σ θ i θ i

        ◦σσ i i −1 θσ i −qtp.

        P

        −1 θ

        Para a segunda parte defina η = e note que iσ i

        ∈I −1 −1 −1

      −1

        d η ) = d ) d η ) (ν σ (ν σ (θ σ i i i

        

      )

      (θσ i −1 ν = χ (d θ η ). R i i ) ◦ σ d (θ σ

        Analogamente

        −1 −1 ω d η ) = χ (d θ η ).

        (ω σ ) ◦ σ d (θ σ i R i i

        −1 −1

        Desta forma, d η ) e d η ) são suportadas em R i e (ν σ (ω σ i i

        v v 2 ! ! u

        X u − − 1 X 1 ξ ν ω td η td η i i d ησσψ σσ

      iI iI

      2 Z

        X sX sX − − 1 1

        ξ ν ω = d η d η d η i i jI R j

      σσψ σσ

      iI iI 2 q q

        X Z − − 1 1 η η ν ω = d j d j d η

      σψ σσ

      jI ξ σ Z q

        X 1 ν

        = χ (d θ η ) jI ξ σ ) ◦ σ d (θ σ j R j q θ ω η 1 2 χ (d ) d η

        −ψ σ R ) ◦ σ d (θ σ j j Z q

        X χ θ ν

        = (d jI ξ σ R j ) ◦ σ q 2 1 ω

        χ (d θ d η ) d ηψ σ R ) ◦ σ (θ σ j j Z q q 2 X 1

        ν ω

      = χ (d θ χ (d θ )

      jI ξ σ ) ◦ σ ψ σ ) ◦ σ d(θ σ j R j R j = 0.

        Capítulo 2. Sistemas semirramificados de funções e álgebras de

        76 Cuntz–Krieger

        Para concluir que a conta é igual a 0, observe que já calculamos cada um dos termos da soma na primeira parte da demonstração e estes são iguais a 0. i

        Para cada i I, defina o operador W : W → W dado por q √

        −1 W

      i (ψ ).

        d ν) = ψ σ d(ν σ i

        −1

        é concentrada em R i e assim, pelo Lema Lembre de que ν σ i

        temos que

        q √

        −1 W i (ψ )

        d ν) = ψ σ d(ν σ i q

        −1

        ) R = ψ σ d(ν σ i i q

        −1 χ ψ = ). Rσ d(ν σ i i

        Pelo Lema

        temos que W i independe da escolha do repre-

        sentante e, além disso, por meio da Proposição

        temos que

        Z Z

        2

        2 −1 −1

        ) = ) |ψ σ| d(ν σ i |ψ σ| d(ν σ i R i

        Z

        2 −1

        = D i |ψ| d(ν σ iσ) (2.3) Z

        2

        = d ν D i |ψ|

        2

      −1

        ) e W i é um operador contínuo. e assim ψ σ L (X, F, ν σ i

        √ √ Tome ξ d ν, ψ d ω em W, α ∈ C e note que se ν θ e ω θ, então

        √ √ √ √

        W ξ ξ i d ω = W i d ν + (αψ) d ω

        d ν + α ψ p p √

        ξ ν ω

        = W i d θ + (αψ) d θ d θ q p p

        −1 ξ ν ω

        = d θ + (αψ) d θ ) d(θ σ

      2.2. Sistemas semirramificados de funções

        

        −1 i

        ) =

        )

        

      −1

      i

        (ν σ

        ◦σ −1 i

        ◦ σ q d θ

        ξ

        =

        

        ) q d(θ σ

        )

        −1 i

        ) ◦ σ q d(θ σ

        ω

        ) ◦ σ + (αψ) ◦ σ p (d θ

        ν

        ◦ σ p (d θ

        ξ

        =

        77

        −1 i

      • (αψ) ◦ σ q d θ

        (ω σ

      • (αψ) ◦ σ q d θ

        ◦ σ i q d θ

        ◦ σ i q d θ

        ψ ξ

        Z D i

        d θ =

        ω D i

        (ν σ i ) d θ

        ψ ξ

        ω D i

        = Z D i

        ◦ σ i d q (ν σ i )ω D i

        ψ ξ

        = Z D i

        −1 i ) ◦ σ i

        (ω σ

        ν

        ◦ σ i d q

        (ν σ i )(d ω

        d θ

        = Z D i

        ◦ σ i d p

        p d(ν σ i ) E .

        ξ i

        √ d ω, χ

        ψ

        = D

        (ν σ i )

        ω

        ψ ξ

        ω

        Z D i

        d θ =

        ω

        (ν σ i ) d θ

        ◦ σ i p d θ

        ψ ξ

        Z D i

        ) d θ =

        ψ ξ

        )

        

        (ω σ

        −1 i ) + (αψ) ◦ σ

        = ξ σ q d(ν σ

        

        )

        −1 i

        ) q d(θ σ

        

      −1

      i

        ◦σ −1 i

        −1 i

        )

        −1 i

        ) q d(θ σ

        −1 i

        (ν σ

        ◦σ −1 i

        ◦ σ q d θ

        ξ

        q d(ω σ

        ) = ξ σ q d(ν σ

        ◦σ −1 i

        √ d ω), ξ √ d ν

        −1 i

        (ω σ

        ν

        ◦ σ ξ d q

        ψ

        Z R i

        E =

        W i (ψ

        −1 i ) + α(ψ σ)

        ≪ θ e ω θ. Note que D

        √ d ν, ψ √ d ω ∈ W e θ tal que ν σ i

        ∈I

        Queremos verificar que a família {W i } i

        √ d ν) + α W i (ψ √ d ω).

        ) = W i (ξ

        −1 i

        q d(ω σ

        forneça uma representação da álgebra de Cuntz–Krieger e para isso precisamos calcular o adjunto dos operadores W i . Sejam ξ

        Capítulo 2. Sistemas semirramificados de funções e álgebras de

        78 Cuntz–Krieger

        ∗

        Assim, obtemos que os adjuntos W são da forma i √ p

        ∗ W i d ν) = ξ σ d(ν σ (ξ i i ).

        √ Fixando i I e ξ d ν ∈ W, obtemos que

        √ p

        ∗ W W ξ i (ξ d ν) = W i i i ) i d(ν σ

        ◦ σ q i i ) −1 = (ξ σ ) ◦ σ d(ν σσ i i d ν R p = (ξ σ ) ◦ σ i

        √ = χ i d ν R i (ξ σ ) ◦ σ

        √ = χ ξ d ν R i e também que q

        √

        ∗ ∗ −1 W W ξ i iσ d(ν σ i

      i (ξ d ν) = W )

        q i i ) −1 = (ξ σ) ◦ σ d(ν σ iσ i d ν D p = (ξ σ) ◦ σ i

        √

        

      ξ

      = χ d ν. D i

        Consequentemente, temos que √ √

        ∗ W i W W i i χ ξ i (ξ d ν) = W d ν D i

        q

        −1 ξ

        = χ ) Dσ d(ν σ i i q

        −1 χ

        = ) Dσ ξ σ d(ν σ i i q

        −1

      ξ

        = χ ) Rσ i i d(ν σ q

        −1

        ) = ξ σ d(ν σ i

        √ = W i (ξ d ν).

      2.2. Sistemas semirramificados de funções

        79

        P m

        ∗ ∗ W W W W

        Por fim, falta verificar as relações j = I e W i = j j i m =1 P

        ∗ j =1 a W W . ij j Note que m m j

        X X √ √

        ∗ j j W W ξ

      j (ξ d ν) = χ d ν

      j R j =1 =1 m

        X √

        ξ

        = ( χ ) d ν j R j

        =1 m

        X √ = ( ξ χ ) d ν. j R j

        =1

        Além disso, m X √ X √

        ∗ j =1 a =1 a W W ξ

      ij j (ξ d ν) = χ d ν

      j ij R j

        X √

        ξ

        = ( χ ) d ν a R j ij =1 X √

        χ = ( ξ ) d ν. a ij =1 R j

        √ √

        P m

        ξ χ

        A priori, não podemos escrever d ν = ξ d ν e j R

        =1 j

        √ √ P

        ξ ξ

        tampouco χ d ν = χ d ν, pois as igualdades a =1 R D ij j i que pressupõem esta conclusão são µ−qtp, ou seja, nada garante que seja uma igualdade ν−qtp, para ν qualquer. Assim, temos duas alternativas, uma delas é supor que as igualdades do item 2 da Definição

        

      sejam de

        conjuntos e não a menos de medida nula. É sob esta ótica que o autor de

        trabalha. A

        A alternativa que nós propomos é representar O ainda através dos operadores W i , só que agora restritos a um subespaço

        Capítulo 2. Sistemas semirramificados de funções e álgebras de

        80 Cuntz–Krieger

        que para qualquer medida ν que é absolutamente contínua com m P P relação a µ valem as igualdades χ X e χ = j =1 R a =1 R j ij j = 1

        χ

      D , ν−qtp. Assim, nossa estratégia é definir uma classe de

      i

        medidas que satisfaça as propriedades necessárias à boa definição

        2

        dos operadores W i quando considerados sobre L (X, F, C), que é um subespaço fechado de W (Teorema

        

        Defina C = {ν ∈ M

        (X, F) | ν µ} e note que C é uma classe de medidas, além disso, vejamos que a classe C é fechada por composições com σ i ,

        −1 σ i e também por média geométrica.

        −1 Lema 2.33. Para todo i

        ∈ I, temos que µ σ iµ e, além

        −1 −1 disso, d µ ) = χ Φ

        (µ σ i R iσ. i

        >

      Demonstração. Como Φ i i , temos que

        0, µ−qtp, em D

        −1 χ R iσ > 0, µ−qtp, em R . Além disso, dado A ∈ F, temos i Φ i que

        Z Z

        −1 −1 χ A A R iσ d µ = iσ d µ i Φ Φ

        

      R i

        Z

        −1

        = Φ σ iσ d µ i (σ(AR i )) Z

         −1

        = Φ i ) σ i d(µ σ

        ) (AR i

        Z

        −1

        = Φ Φ i d µ σ i

        ) (AR i i (A). −1

        = µ(σ(A R )) = µ σ i

        Observação 2.34. No Capítulo 3, vamos usar o Lema para

        garantir que um sistema semirramificado de funções sempre admite

      2.2. Sistemas semirramificados de funções

        81 Teorema 2.35. Sejam ν e ω pertencentes a C. Então, para todo

        √

        −1 i νω i , ν e pertencem a C.

        ∈ I, ν σσ i

        Demonstração. Fixe iI e considere A ∈ F tal que µ(A) = 0.

        −1 −1

        Então, pelo Lema

         (A) = µ(σ (A)) e portanto

        0 = µ σ i i

        −1 −1 −1 ν

        (A) = ν(σσ i i (A)) = 0. Logo, ν σ i ∈ C e analogamente

        ν i

        ◦ σ ∈ C. Por fim, observe que, como ν e ω são absolutamente R p contínuas com relação a µ, √νω(A) = d µ ν d µ ω d µ = A 0.

        ∗

        Assim, temos que os operadores W i e W restritos a i

      2 L

        (X, F, C) estão bem definidos e portanto dão origem a uma A representação de O .

        √

        2 Observação 2.36. Defina D = {f d ν | f L (X, F, ν), ν ∈ C}.

      2 Será que L (X, F, C) é isomorfo a D?

        2

        (X, F, ν), então Primeiro, note que se ν ∈ C e f L

        √ p √ √

        2 f µ ν

        d ν = f d d µ e assim D ⊆ { g d µ | g L (X, F, µ)}.

        √

        2 Além disso, como µ ∈ C, D ⊇ { g d µ | g L (X, F, µ)}. Por-

        √

        2

        tanto, D = { g d µ | g L (X, F, µ)}, ou seja, D é um subespaço

        2 fechado de W que é isometricamente isomorfo a L (X, F, µ).

        Agora, pela demonstração do Teorema

        temos que

        2 L (X, F, C) é isomorfo ao conjunto n

        X p

        α

      i i d ν i i i (X), ν i

        { ⊙ f | n ∈ N, α ∈ C, fB ∞ ∈ C}, i

        =1

        2

        que, por um abuso de notação, chamaremos de L (X, F, C) tam- bém. Assim, note que n n n ! X p

        X p X p p α α f f ν i i d ν i = i i d ν i = (α i i d µ i ) d µ ∈ D,f

        Capítulo 2. Sistemas semirramificados de funções e álgebras de

        82 Cuntz–Krieger

        √

        2

        logo, L (X, F, C) ⊆ D. Reciprocamente, tome f d µ ∈ D e note que existe uma sequência de funções simples (e portanto n n convergindo a f em L (X, F, µ). Assim, note

        2

        limitadas) {ϕ } ∈N √ n n é uma sequência em L (X, F, C) que converge a

        2

        que {ϕ d µ}

        ∈N

        √ √

        2 f d µ. Portanto, f

        d µ L (X, F, C) e consequentemente D ⊆

        2

        2

        2 L

        (X, F, C). Segue que D = L (X, F, C) e, portanto, L (X, F, C)

        2 é isomorfo a L (X, F, µ).

        Então, no caso em que os operadores W i atuam em

        2

        2 L W (X, F, C), podemos vê-los como operadores f i em L (X, F, µ).

        q √ i f −1

        Além disso, como W (f d µ) = ) ◦ σ d(µ σ i q

        √

        −1

      2 W

        d µ ) d µ, em L (X, F, µ) teríamos que f i (f) = = f σ (µ σ i q

        −1 f

        d µ ). No Capítulo 3, vamos ver que a representa- ◦ σ (µ σ i

        W

        ção gerada pelos operadores f i será chamada de representação associada a um sistema mônico.

        A meta agora é associar o operador de Perron–Frobenius i i . As contas que à representação obtida através da família {W } ∈I faremos valem para as duas representações que apresentamos acima, tanto a representação em W, que pressupõe as igualdades

        2

        de conjuntos, como a em L (X, F, C). Lembre de que o operador de Perron–Frobenius foi tomado como o adjunto de um opera- dor de translação por σ. Porém, como os elementos de W são compostos de uma função e uma medida, o que deve ser trans-

        √ ladado por σ deve ser o par ψ d ω e não apenas a função ψ. Assim, gostaríamos de definir a translação por σ de uma classe

        √ p

        ψ

        d ω por ψ σ d(ω σ) mas σ não é necessariamente injetora e portanto não garantimos que compor ω com σ seja uma me-

        −1

        dida. Para corrigir isso, note que em cada R i a medida ω σ i

      2.2. Sistemas semirramificados de funções

      2 X, F,

        ◦ σ

        −1 jσ j )

        ◦ σ j d q (ν σ j ) (ω σ

        ψ ξ

        ∈I Z D j

        X j

        ! =

        −1 iσ j

        X i

        ∈I ω

        X j

        ◦ σ j d v u u t(ν σ j )

        ψ ξ

        ∈I Z D j

        X j

        =

        

        !

        =

        ψ ξ

        ∈I Z D j

        ∈I ψ

        ◦ σ j

        ν

        ◦ σ j

        ξ

        X

        √ d ω,

        =

        √ d ω, ξ σ j q d(ν σ j )

        X j

        ◦ σ

        =

        ◦ σ j d q (ν σ j ) ω

        ψ ξ

        ∈I Z D j

        X j

        =

        (ν σ j )ω D j

        ◦ σ j d q

        −1 i

        ∈I

      ω

        83

        ◦ σ

        P i

        (X, F, ω), então ψ σ L

        2

        que se ψ L

        

        Segue do Corolário

        ! .

        −1 i

        ∈I ω

        ◦ σ

        X i

        √ d ω) = ψ σ v u u td

        W σ (ψ

        (X, F, C)), por

        2

        (X, F, C) → L

        

      2

        por σ, W σ : W → W (ou W σ : L

        ∈I ω

        −1 i

        X i

        ◦ σ

        ◦ σ ξ d v u u tν

        ψ

        ∈I Z R j

        X j

        =

        (∗)

        !

        −1 i

        ∈I ω

        e também que W σ é contí- nuo. Além disso, segue da segunda parte do Lema

        X i

        ◦ σ ξ d v u u tν

        

      Z

      ψ

        E =

        √ d ω), ξ √ d ν

        W σ (ψ

        independe da escolha do representante das classes. Concluindo, note que D

         que W σ

      • ψ
        • .

        Capítulo 2. Sistemas semirramificados de funções e álgebras de

        84 Cuntz–Krieger

        S

        R

        No caso em que X não é necessariamente igual a i , ou i AI seja, no caso em que estamos considerando O representada em

      2 L

        (X, F, C), a igualdade (∗), apresentada na conta anterior, de- corre do fato que C é fechada por média geométrica.

        ∗

        Portanto, o operador de Perron–Frobenius W é dado por σ

        X √

        ∗

      W ξ i ν i

      σ (ξ d ν) = iσσ

        

      I

        P

        ∗ ∗ W

        e assim W σ = e consequentemente pertence à imagem i i

        ∈I A da representação de O i i .

        gerada pelos operadores {W }

        ∈I

        85

        3 REPRESENTAđỏES MÔ- NICAS

        Neste Capítulo continuamos a trabalhar com os sistemas A semirramificados de funções e representações de O . Nosso ob- jetivo principal é classificar representações oriundas de sistemas

        

        Definição 3.1. A i i Sejam H um espaço de Hilbert e π uma repre- sentação de O em B(H). Denotando Z = π(S ), dizemos que π

        é uma representação mônica se existe ξ H tal que A

        ∗ Z

        span C α α )ξ | α E F {(Z } = H. Um tal ξ será chamado de vetor cíclico da representação π.

        ∗

      Observação 3.2. Na Definição acima, as composições Z α e Z

      α

        são tomadas como na Definição

        Em outras palavras, uma

        representação é mônica se existe um vetor cíclico para a cópia da

        ∗ C A em B(H).

        −subálgebra comutativa D Já nos deparamos ao longo do texto com uma representa- ção mônica.

        Teorema 3.3. A representação do Exemplo é mônica.

        Demonstração. i i

        de operadores Lembre de que a família {T } ∈I

      2 A , B, H

        em B(L (E )) era explicitamente dada por 1 δ

        − 2 2 T ψ ψ i (ψ) = χ Φ χ 1 R is = [i] Ds. i i 2 χ

      86 Capítulo 3. Representações Mônicas

        Além disso, 1 δ

        ∗ 2 2 T ψ . i (ψ s (ψ) = Φ i ) = 2 χ i i Ds i

      Afirmação. Para toda palavra finita e admissível α vale que

        2 ∗ T T χ ψ A , B, H α (ψ) = , ψ (E ). αL

        [α] Demonstração. Mostraremos este fato por indução em

        |α|. Os

        ∗ T 2

        = I e casos |α| = 0 e |α| = 1 são triviais pois T Λ L (E ,B,H )

        Λ A ∗ T i T = P R = P , i i [i] ∀i I. Seja k ≥ 1 e suponha que para qualquer

        ∗ α (ψ) = T

        palavra finita admissível α tal que |α| = k valha que T α

        2 ψ, ψ A , B, H . . . β

        

      χ (E ). Vejamos que se β = β k tal fato

      1 +1

        ∈ L

        [α]

      2 A , B, H

        (E ) e denote por γ a palavra vale para β. Fixe ψ L

        β . . . β k . Note que 2 +1 δ ∗ ∗ ∗ ∗ 2 T T T T T T T ψ β (ψ) = T β γ (ψ) = T β γ (2 χ β ) β 1 γ β 1 1 γ Ds 1 δ 2 β1

        χ χ ψ

        = T β ( 1 Ds 2 β ) 1

        [γ] 2 δδ β1 2 ψ

        = χ 2 χ χ Ds Ds 2 χ β 1 ◦ s

        [β 1 ] [γ] β1 β1

        χ χ χ χ χ

        = βs Ds ψ s 1 ◦ s = ◦ s ψ

        [β 1 ] [γ] [β 1 ] [γ] β1

        

      S S

      ψ ψ ψ.

        = χ χ = χ = χ

        [β 1 ] ∈I [] [β i ]∩ i 1 ∈I [] [β] aiβ2 =1 aiβ2 =1

        E e note que

        Defina ξ = 1 A A A

        ∗ T χ

        span C α C {(T α )ξ | α E F } = span { | α E F }.

        [α] χ C χ

        Agora, mostremos que A := {B ∈ B | B ∈ span { | α A

        [α] E

      F }} coincide com a σ−álgebra de Borel B. Para concluir isto,

        87 σ

        −álgebra que contém os cilindros e portanto B ⊆ A, além disso, como, por definição, A ⊆ B, segue a igualdade.

        Afirmação. A é uma σálgebra.

        Demonstração. A contém A E per-

        ∅ e E pois a função nula e 1 A A tencem a span C χ χ = { [α] | α E F }. Agora, se A ∈ A, então E E χ C χ A \A

        1 e como span A − A { | α E F } é um subespaço temos

        [α]

        que χ E também pertence ao conjunto. Por fim, tome {A } n n

        ∈N \A

        uma sequência de conjuntos disjuntos em A e observe que vale o seguinte limite pontual k

        X S ∞ S

      χ χ k χ .

      n =1 A A n n n = lim = lim k n =1 k A

        →∞ →∞ n =1

        2 A , B, H

        Vejamos que este limite se dá na norma de L (E ). Para P k

        χ k é crescente

        tanto, note que a sequência de funções { n A } ∈N A =1 n e está contida em span C χ

        { [α] | α E F }. Além disso, como H é P k

        S χ χ finita, temos que e são quadrado integráveis. A n A n =1

      n n

      =1

        Por fim, observe que k

        2

        2 X S ∞ S ∞ S ∞ χ χ = χ = χ

      n =1 n =k+1 n =k+1

      AA A A n n n n n

        =1 k

        X S ∞ . = χ χ n =1 AA n n n

        =1

        Assim, pelo Teorema da convergência monótona, temos que k

        2 X S ∞

        lim χ χ k n =1 A A n n

        →∞ n =1 k

        2 Z

        X S ∞ = lim χ χ d H k n =1 AA n n

        →∞

      88 Capítulo 3. Representações Mônicas

        !

        Z k

        X S ∞ = lim χ χ d H k n =1 AA n n

        →∞ n =1 k Z Z

        X S = lim χ χ d H k k n =1 A A n n d H − lim

        →∞ →∞ n =1 Z Z

        S ∞ S ∞ = χ χ d H = 0. n =1 n =1 A d H − A n n S

        χ

        Assim, é um limite (em norma) de elementos de n =1 A n A S

        ∞ A

        span C χ n { [α] | α E F }, que é fechado. Logo, n =1 ∈ A. A Por fim, como A = B, span C χ

        { [α] | α E F } é um fechado que contém todas as funções simples que são mensuráveis. Logo, A

        2 A , B, H pelo Teorema span C χ (E ).

        { [α] | α E F } = L Voltaremos agora ao contexto dos sistemas semirramifi- cados de funções. Lembrando de que temos fixado um sistema i i que satisfaz a condição semirramificado de funções S = {σ

        } ∈I

        

      C-K e que tem σ como a função de codificação do sistema (ver

        página

        Definição 3.4. i i

        Dizemos que uma família de funções {f } ∈I

      2 L

        (X, F, µ) é um sistema mônico de S se vale que

        2 −1

      i = d µ i i

      .

        |f | (µ σ i ), i I e f 6= 0. µ − qtp, em R Além disso, se as funções f i i i são não negativas dizemos que {f }

        ∈I é um sistema mônico não negativo de S.

        

      Observação 3.5. Claramente as funções f i são suportadas em R i ,

      −1

        pois as medidas µ σ i o são. Além disso, se z ∈ C e |z| = 1, q

        −1 z então S z = d µ ) define um sistema mônico de S.

        (µ σ i

        89

        Nas condições do Exemplo

        note que d(s(ρ), s(τ))

        = 2 d(ρ, τ) e portanto s é uma similaridade de razão 2. Assim, i pelo Teorema , então temos que se B R δ

        −1

        H H (B) = H (s(B)) = 2 (B).

        ◦ s i Logo, δ

        −1 ,

        d H ) = 2 χ 2 δ (H ◦ s i Ri I. i

        χ i é um sistema mônico não negativo para o

        Segue que {2 R } ∈I i sistema semirramificado de funções associado ao Shift. Chamare- mos sistemas mônicos associados ao Shift de inerentes.

        Usando o Lema

        podemos mostrar que todo sistema

        semirramificado de funções admite um sistema mônico não nega- q i χ

      −1

      tivo (basta definir f = Φ R iσ). Em seguida, mostraremos i uma recíproca do Lema, isto é, veremos que na presença de um sistema mônico o item 3 da Definição de sistema semirramificado de funções é automaticamente verificado.

        

      Proposição 3.6. Seja um sistema mônico de S e defina

      i i

        {f } ∈I

        2

        1 g i i , µ i ) = χ

        e, além disso,

        = |f (µ σ µ i i . | ∀ i I. Então d D g i iσ i d (µ σ ) > 0, µqtp, em D

        

      Demonstração. > >

        Note que g i i i , pois g i iσ 0, µ−qtp, em D 0, µ−qtp, em R . Assim, se A ∈ F, temos que

        Z Z

        1

        1

        χ D i d µ = d µ A A g g i i i i

        ◦ σD iσ Z

        1 = d µ D i A g i i

        ◦ σ

        

      D i

        Z

        1

        −1

        = i ) d(µ σ iσ

      90 Capítulo 3. Representações Mônicas

        Z

        

        1

        −1

        = ) d(µ σ i σ ) i (AD iσσ g

      i i

      Z

        1

        −1

        = ) d(µ σ i σ i g i (AD i ) Z

        g i

        = d µ σ g i i (AD i ) = µ(σ i i )).

        (A D Segue que

        1 . d µ i ) = χ

        (µ σ D i

        g i i

        ◦ σ

        Observação 3.7. O Lema nos dizem que

        o item 3 da Definição de sistema semirramificado de funções é equivalente a existência de um sistema mônico para S. Além

        −1

        disso, estes resultados nos garantem que d µ ) existe e é i se, e só se, d µ i ) existe e é (µ σ i maior que zero, µ−qtp, em R (µ σ i . Como consequência, temos que maior que zero, µ−qtp, em D i e em um sistema semirramificado de funções as medidas µ σ

        −1 µ

      D e µ R , são equivalentes. De

      i i , bem como as medidas µ σ i i D R , segue do Lema −1

        

        fato, como µ σ e µ σµ i iµ i

        −1

        que µ R e µ D i . Portanto, temos que iµ σ i iµ σ

        −1 µ

      D i D e µ R R

      iµ σµ i iµ σ iµ i .

        Isto nos diz que as funções σ i são automorfismos borelianos sobre a sua imagem. i i um sistema mônico de S. Podemos construir Seja {f } ∈I A uma representação de O a partir das funções f i que generaliza a representação que construímos anteriormente. Defina novos

        2

        operadores T i em L (X, F, µ), dados por

        T ψ

        91

        Note que Z Z i ψ i

        2

        2

        2

        d µ = d µ |fσ| |f | |ψ σ| R i

        Z

        2 −1

        = ) R i |ψ σ| d(µ σ i Z Z

        2

        2 = d µ D d µ. D i |ψ| i ≤ |ψ|

        Isto mostra que T i i está bem definido e que kT k ≤ 1.

        O próximo passo é calcular o adjunto dos operadores T i .

        2 Para isso, tome funções ψ e ξ em L (X, F, µ) e note que

        Z Z i i i

      f ψ f ψ

      hT (ψ), ξi = ◦ σ ξ d µ = ◦ σ ξ d µ R i

        Z Z

      f i ψ

        ◦ σ

        −1 f ψ ξ

        = i ) ◦ σ ξ d µ = d(µ σ i R R i i

      f i f i

        Z ψ ξ i

        ◦ σ ξ i ψ, χ . = d µ =

        ◦ σ D i

        f f i i i i D iσσ

        Portanto,

        ξ i

        ◦ σ

        ∗

      T χ .

      i D (ξ) = i f i i

        ◦ σ Agora, observe que

        ξ i

        ◦ σ

        ∗ T i T i χ i (ξ) = f Dσ

      i

      f i i

        ◦ σ

        ξ i

        ◦ σσ

        f

        = χ i χ R Dσ i i

        f i i

        ◦ σσ

        ξ i

        ◦ σσ

        f

        = χ i R i

        

      f

      i i

        ◦ σσ

        

      ξ

      χ f χ ξ.

        = i = R R i i

      92 Capítulo 3. Representações Mônicas

        Além disso,

        T ξ i i (f i i

        (ξ) ◦ σσ) ◦ σ

        ∗ T T χ χ i D D i (ξ) = =

      i i

      f f i i i i

        ◦ σσ

        f ξ i

        ◦ σ = χ i Dσ i

        f i χ χ ξ χ ξ.

        = i i = D Rσσ σ D i i i Com contas análogas ao que fizemos na Proposição

        

        mostra-se que os operadores T i satisfazem as relações de Cuntz– Krieger. Representações como esta são chamadas de representa-

        ções associadas a sistemas mônicos .

        Observação 3.8. Escolhendo o sistema mônico do Lema em

        q

        χ

        que f i = Φ R iσ, temos que i q 1

        − 2 −1 T i χ χ ψ

        (ψ) = Φ Φ R iσ ψ σ = R iσ. i i Desta maneira, recuperamos a representação que construímos no Capítulo 2.

      2 A

        Denotando (π, B(L (X, F, µ)) a representação de O as- i i que faz π(S i ) = T i , surge uma sociada ao sistema mônico {f } ∈I

        2

        pergunta natural: será que (π, B(L (X, F, µ)) é uma representa- ção mônica? Antes de responder a esta questão, relembremos o A que significa equivalência unitária entre representações de O .

        Definição 3.9. , H , B

        Sejam H

        1 2 espaços de Hilbert e (π 1 (H 1 )), , B A , B

        (π (H )) representações de O . Diremos que (π (H )) é uni-

        2

        2

        1

        1 tariamente equivalente , B

        a (π

        2 (H 2 )) se existir um operador

        unitário U : H tal que

        2

        1

        → H

        ∗

      π π A .

        93 Definição

        3.10. , H

        Sejam H

        1 2 espaços de Hilbert e π

        : A ), π : A

        1

        1

        1

        2

        2 2 ) ∗−homomorfismos, em que

        → B(HB(H

        ∗

        A

        1 e A 2 são C

        −álgebras. Suponha que exista um ∗−homomor- fismo φ : A . Diremos que π

        2

        1 1 é φunitariamente equi-

        → A

        

      valente a π se existir um operador unitário U : H tal

        2

        2

        1

        → H que

        ∗

      π π .

      2 (a) = U

        1

        2

        (φ(a))U, a ∈ A

        2 Teorema 3.11.

        A representação (π, B(L (X, F, µ))), dada atra-

      vés dos operadores T i , é mônica se, e somente se, é unitariamente

      equivalente a uma representação de O A que é associada a um

      sistema mônico inerente.

        2 Demonstração. i A , B, ν i (E ) um sistema mônico

        Sejam {g } ∈IL

        2 , B A , B, ν A inerente e (π (L (E ))) a representação de O associada.

      1 Denotando π (S i ) por V i , temos que V i (ψ) = g i ψ

        1

        ◦ s e também

        ψ i

        ◦ s

        ∗

        V i (ψ) = χ . D i g i i

        ◦ s Suponha que exista um operador unitário

        2

        2 ∗ U A , B, ν π

        : L (E (X, F, µ) tal que π (a) = U (a)U, para ) → L

        1 A

        2

        , ou seja, suponha que (π, B(L (X, F, µ))) e todoa ∈ O

        2 , B A , B, ν

        (π (L (E ))) sejam unitariamente equivalentes. Neste

        1 ∗ T U,

        caso, vale que V i = U i i = ∀i I e equivalentemente UV

        T U, i

        ∀i I. Verifica-se facilmente por indução que A

        ∗ ∗ U V α = T α

        V T U, α αα E F

        e também que (análogo ao que fizemos no Teorema

         ∗

        V V ψ.

      94 Capítulo 3. Representações Mônicas

        

      E ) e observe que

        Por fim, defina ξ = U(1 A A A

        ∗ ∗ T ξ T U

        span C α C α E α F α (1 ) | α E F {T | α E } = span {T A } A

        ∗

        V

        = span C α

        1 E {UV α | α E F } A A

        = span C χ F {U [α] | α E } A χ .

        = U span C { | α E F }

        [α]

        Assim, como U é uma isometria sobrejetora temos que A A

        ∗ T ξ χ

        span C α span C {T α | α E F } = U { | α E F }

        [α]

        2 A , B, ν

        = U L (E )

        2 = L (X, F, µ).

        Mostremos agora a recíproca deste resultado, ou seja, se

        2

        a representação (π, B(L (X, F, µ))) é mônica, existe um sistema mônico inerente de forma que a sua representação associada seja

        2 unitariamente equivalente a (π, B(L (X, F, µ))).

        Seja ξ um vetor cíclico para a representação π. Lembre do Teorema

        

        que estabelece a existência de um ∗−isomorfismo A A A S , ∗ Γ : D ) que satisfaz Γ(S α ) = χ .

        → (C(E ), k · k ∞ αα E F A [α] Defina a função h : (C(E

        ), k · k ) → C dada por h(f) =

        ∞ −1 ξ, π

        (Γ (f))ξ e note que h é um funcional linear positivo. De A

      • ) é tal que sua imagem está contida em R

        , fato, se f C(E √ √

        

      −1 −1

      π f f

        temos que h(f) = (Γ ( ))ξ, π(Γ ( ))ξ ≥ 0. Assim, se- gue do Teorema de Representação de Riesz que existe uma A , B medida de Radon ν (em particular, finita) em (E ) tal que

        Z

        d ν, f C(E A A

        

      h f A

      (f) = ).

        2 Defina π : (C(E (E , B, ν )) por

      1 ), k · k ) → B(L

        π

        95

        das, é fácil ver que π

        1

        está bem definida e que é um ∗−homomorfis- mo. Vamos mostrar que π ,

        1 é Γ−unitariamente equivalente a π |D A

        ou seja, existe um operador unitário

        2

      2 U A , B, ν

        A

        : L (E o

        ) → L (X, F, µ) tal que para todo a ∈ D seguinte diagrama comuta 2 π |DA (a) 2 L // L

        (X, F, µ) (X, F, µ) U U OO

        2 π (Γ(a)) 2 L , B, ν // L , B, ν (E A ) (E A ). 1 2

        2 U A

        Defina e : (C(E L (X, F, µ) dada por ), k · k (ν) ) → L

        −1

      U e U U

        (f) = π(Γ (f))ξ. Claramente e é linear, vejamos ainda que e A ) e note que

        é uma isometria. Tome f C(E D E

        2 −1 ∗ −1 U 2 U e U ξ, π π

        = (f), e (f) = (Γ (f)) (Γ (f))ξ k e (f)k L

        (µ)

        2

        2 −1 ξ, π

        = (Γ )ξ) ) (|f| = h(|f|

        Z

        2

        2 2 .

        = |f| d ν = kfk L

        (ν) A A , B, ν

        2 Pelo Teorema C(E ) é denso em L (E ). Logo,

        2 U A , B, ν

        pelo Teorema e se estende a uma isometria U de L (E )

        2 −1 A a π(Γ (C(E )))ξ = L (X, F, µ), pois π é mônica.

        Verifiquemos que U faz comutar o diagrama anterior, isto

        −1 ∗ , A A

        é, π(Γ (f)) = (f)U ) e

        1 ). Tome f C(E

        ∀f C(E

        2 w

        (X, F, µ) e note que ∈ L n k

        X

        ∗

      w λ T α T ξ.

        = lim j,k k j,k α j,k

        →∞

      96 Capítulo 3. Representações Mônicas

        P n k

        ∗ ∗ λ T T

        , o operador j,k α pertence a Para cada k ∈ N j j,k α

        =1 j,k π A A

        (D ), então existe h k ) tal que n kC(E

        X

        ∗ −1 j =1 λ T T j,k α = π(Γ (h k )). j,k α

      j,k

        Assim,

        −1 −1 −1 π π

        (Γ (f))w = π(Γ (f)) lim (Γ (h k ))ξ k

        →∞ −1 −1

        = lim π (Γ (f))π(Γ (h k ))ξ k

        →∞

      −1

        = lim π (Γ (fh k ))ξ = lim U (fh k ) k k

        →∞ →∞ U π

        = lim (f)h k k

        

      1

      →∞ ∗ −1

        U π π

        = lim (f)U (Γ (h k ))ξ k

        

      1

      →∞ ∗ −1

        π

        = (f)U ( lim (Γ (h k ))ξ)

        1 k →∞

      w.

        = (f)U

        1 ∗ i = U i e g i = V i E ). O T U

        Para cada i I, defina V (1 A i i é um sistema mônico inerente e próximo passo é verificar {g i i ψ i } ∈I que V (ψ) = g são exatamente os ◦ s, ou seja, os operadores V A geradores da representação de O associada ao sistema mônico i i . Para isso, vamos mostrar alguns resultados auxiliares. {g } ∈I

        ∗ −1 −1 Afirmação. T π A i (f s )), f C(E (Γ (f))T i = πi ).

        

      Demonstração. Primeiramente vamos verificar este resultado nas

      . . . α

        funções características de cilindros. Seja α = α

        1 l uma palavra . . . α

        admissível e β = α l . Note que

        2

         

        χ ,

        se α

        1 = i −1 [β] χ i = χ = s

        ◦ s

        [α] ([α]) i

         0, se α

        97

        Segue que 

        ∗

        

        T T , β se α β 1 = i −1

        π (Γ ( χ i )) =

        ◦ s

        [α]

         0, se α

        1 6= i.

        Por outro lado,

        ∗ −1 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

      T π χ i T α T T i T α T T T T i .

      i (Γ ( ))T = T i α = T i β α 1 β [α] 1T

        Assim, se α i = 0 e, portanto,

        1 α

        6= i temos que T 1

        ∗ −1 T π χ i i

        (Γ ( ))T = 0. Agora, se α

        1 = i temos que [α]

      ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗

        

      T T α T β T T T i = T T i T β T T T i = T β T T T i T T i

      i β α i β i β i i

      1 1

         

        X

        ∗ ∗ ∗ ∗ T T T TT T

        = T β i = T β j β i β j a ij =1

        X

        −1 −1 π

        = π(Γ ( χ )) (Γ ( χ ))

        [β] [j] a ij =1

        X

        −1 π χ

        = (Γ ( )) a [j]∩[β] ij =1 −1 ∗

        T .

        = π(Γ ( χ )) = T β β

        [β] ∗

        Usamos na conta acima que T é uma isometria parcial, ou seja, i

        ∗ ∗ ∗ ∗ T T T T A i i i i i = T e também que T i ) e portanto comuta

        ∈ π(D

        ∗ T

        com T β . Assim, β

        ∗

        

        T T , β se α = i β

        1 ∗ −1 T π i (Γ ( χ ))T i =

        [α]

         0, se α

        1 6= i.

        Segue que o resultado vale para funções características de cilindros e portanto se estende por linearidade à subálgebra A span C χ { | β E F }. Esta, por sua vez, satisfaz as hipóteses

        [β]

      98 Capítulo 3. Representações Mônicas

        A A

        densa em C(E ). Assim, o resultado se estende a C(E ) por continuidade. A ) e note que

        Prosseguindo, tome f C(E Z

        2 f , f g i i i i E ), fV i E

        |g | d ν = hg i = hV (1 (1 )i A A

        ∗ ∗ T U T U i E ), fU i E

        = hU (1 A (1 A )i

        −1 ∗ −1 T π T π

        = iE ))ξ, Uπ (f)U iE ))ξ (1 A A 1 (1 −1 ∗ −1

        

      T i i ξ, T π i

        = (ξ), π(Γ (f))T (ξ) = i (Γ (f))T (ξ) Z

        −1 ξ, π f = (Γ i ))ξ i ) = i d ν.

        (f s = h(f ss

        Em particular, para todo cilindro [α] temos que Z Z Z i d ν = χ i d ν = χ ([α]).

        2 s d ν = ν s −1 −1

        |g | [α] ◦ s i i ([α]) [α] R

        2 ′ ′

        Definindo η ([γ]) = i d ν, temos que η é uma função na |g |

        [γ]

        semiálgebra dos cilindros que satisfaz o Teorema de Carathéodory

        

      e que portanto admite uma única extensão a B. Assim,

        R

        2 −1

        e η, dada por η(B) = i d ν, são medidas que como ν s i B |g |

        ′

        estendem η , temos que Z

        2 −1 ν

        (B) = η(B) = is i |g | d ν, B ∈ B. B Logo,

        

      −1

      2

      ν i .

        d (ν s i ) = |g |

        −1 −1 Afirmação. π π A (Γ i = T i (Γ ).

        (f s))T (f)), f C(E

        . . . α

      Demonstração. Seja α = α l uma palavra admissível. Denote

        1 . . . α

        por β a palavra α

        2 l e note que −1 . S χ χ = χ

        ◦ s = s

        

      [α] ([α]) []

      jI

        99

        ∗ T i π

        −1

        (Γ

        ∗ π

        (f))(ξ) = U

        −1

        (Γ

        (f) = U

        ∗ π

        ∗ T i U

        (f) = U

        V i

        Agora, note que se f C(E A ), temos que

        Concluindo, pelo Teorema de Stone–Weierstrass, o resultado se estende a C(E A ).

        [α] )).

        ( χ

        (f s))T i (ξ) = (U

        −1

        (Γ

        ∈ L

        2

        f n (limite na norma de L

        em C(E A ) tal que ψ = lim

        ∈N

        } n

        (E A , B, ν ), existe uma sequência {f n

        2

        ψ

        (f s))U)(U

        (E A , B, ν ), dada uma função

        2

        (f s)V i (1 E A ) = (f s)g i . Assim, como C(E A ) é denso em L

        1

        = π

        (1 E A ))

        ∗ T i U

        −1

        π

        Assim,

        T i =

        temos que T i π

        Se a iα 1 = 0, pelo item 1 da Proposição

        se a 1 = 1 0, se a iα 1 = 0.

        T i ,

        T iα T

          

        T

      T

        −1

        1 =1

        X a

        [α] ◦ s))T i =

        ( χ

        −1

        (Γ

        π

        (Γ

        (

        = T i

        ◦ s))T i = T iα

        ∗ α = T i T α Tα

        ∗ i T i T α T

        = T i T

        T i

        Ti

        T i = T i T α Tα

        T

        χ [α]

        χ [α]

        (

        −1

        (Γ

        π

        Por outro lado, se a iα 1 = 1 temos que

        ∗ α = 0.

        )) = T i T α T

        (E A , B, ν )). Desta forma,

        

      100 Capítulo 3. Representações Mônicas

        temos que Z Z

        2

        2

        2 n i d ν = n ) −1

        |ψ s fs| |g | |ψ s fs| d(ν s i Z

        2 −1

        = n ) d(ν s R i |ψ s fs| i Z

        2 −1

        = n i ) d(ν s D i |ψ f | is Z n d ν.

        2

        ≤ |ψ f |

        2 A , B, ν

        Ou seja, g i (f n (E ) para g is) converge em L (ψ s) e portanto

        V i (ψ) = lim i (f n ) = lim i (f n i V g n ns) = g (ψ s).

        →∞ →∞ A Para que os operadores V i sejam de fato uma representação de O associada a um sistema mônico, é preciso garantir que g i i = supp(g i

        ) = {x ∈ 6= 0, ν−qtp, em [i]. Para isso, defina N

        2 E A i i i é suportada

        | g (x) 6= 0} e observe que ν(N \[i]) = 0, pois |g | (a menos de medida nula) em [i]. Assim, sem perda de generalidade, i χ χ considere que N = para então

        ⊆ [i]. Vamos mostrar que N

      i ) = 0, como desejado.

        [i] i

        concluir que ν([i] \ N

      2 A , B, ν

        (E ), então Note que se ψ L

        ∗ −1 ψ π

        

      χ = π ( χ )ψ = U (Γ ( χ ))

        1 [i] [i] [i]

      ∗ ∗ ∗

        T T U ψ

        V = U i = V i (ψ). i i

        Assim,

        ∗

        V i (ψ) = χ (3.1) V ψ. i [i] ∗

        Agora, vamos calcular explicitamente quem é V . Não podemos i ψ

        ◦s i

        101

        g i χ s (N i )

        (ϕ) = χ s

        (N i ) ϕ

        ◦ s i

        g i

        ◦ s i . Assim, temos que

        V i

        Vi

        (ψ) = g i χ s

        

      (N

      i ) ψ

        ◦ s i

        g i

        ◦ s is

        = χ N i

        ◦ s

        ◦ s i . Portanto,

        ψ

        ◦ s is

        g i

        ◦ s is = χ N i

        χ s

      1(s(N i )) g i ψ

        ◦ s is

        g i

        ◦ s is = χ N i

        χ

      N

      i

      g

      i ψ g i

        = χ N i ψ.

        (3.2) Logo,

        

        V

        Vi

        g i

        para chegar a este resultado usa-se o fato de que as funções que compõem um sistema mônico são diferentes de zero (a menos de medida nula) em R i . Assim, tome ψ e ϕ em L

        −1 i

        2

        (E A , B, ν ) e note que hV i (ψ), ϕi =

        Z

        g i ψ

        ◦ s ϕ d ν = Z N i

        g i ψ

        ◦ s ϕ d ν =

        Z N i g i g i g i ψ

        ◦ s ϕ d ν =

        Z N i ψ

        ◦ s

        g i ϕ

        d(ν s

        )

        ◦ s i

        

        =

        Z s (N i )

        ψ g i

        ◦ s i

        ϕ

        ◦ s i d ν D i =

        Z s (N i )

        ψ g i

        ◦ s i

        ϕ

        ◦ s i d ν =

        ψ, χ s

        (N i ) ϕ

         .

        

      102 Capítulo 3. Representações Mônicas

        2 , L A , B, ν A

        Finalmente, denote por (π

        2 (E )) a representação de O i i , que leva S i em V i .

        associada ao sistema mônico {g } ∈I

        Para observar a equivalência unitária entre as representações π e

        ∗ ∗ ∗ π π S S

        , basta verificar que U (S α )U = π (S α ), ou equivalente-

        2 β β

        2 ∗ ∗ ∗

        mente, U T α T U = V α β β V e depois estender tal fato para O A (ver página A

        Por fim, mostraremos que a representação de O no es- paço de Hilbert das semi-densidades W, gerada pelos operadores

        W i (ver página é universal. Universal no sentido que toda A

        representação de O associada a um sistema mônico não negativo i é englobada pela representação que é dada pelos operadores W . Este resultado foi mostrado no contexto das álgebras de Cuntz em

        p.18].

        2 Teorema 3.12. Seja L a isometria canônica de L (X, F, µ) em

        √ W i i seja não negativo. Então para todo i

      , dada por L(ψ) = ψ d µ. Suponha que o sistema mônico

        {f } ∈II o seguinte dia-

        grama comuta: 2 T i 2 //

        L L

      (X, F, µ) (X, F, µ)

      L L W W i // W.

      2 Demonstração. Seja ψ (X, F, µ). Note que

        ∈ L p L

        T ψ ψ

      i (ψ) = L(f i i d µ

        ◦ σ) = (fσ) q p

        −1 ψ

        = d µ ) d µσ (µ σ i

        103

        = ψ σ q d(µ σ

        

      −1

      i

        ) = W i (ψ p d µ)

        = W i L (ψ).

        O operador L é chamado de entrelaçador das represen- tações.

        105

      CONCLUSÃO

        O objetivo inicial deste trabalho era estudar como cons- truir famílias ortonormais de wavelets em fractais tendo como plano de fundo os sistemas semirramificados de funções Devido à dificuldade de encontrar referências sólidas e claras para a construção do espaço de Hilbert das semi-densidades W e ao fato de que as representações associadas a sistemas mônicos surgiram como um exemplo natural de aplicação deste espaço, decidimos limitar o escopo do trabalho.

        No Capítulo 2, vimos como associar representações de A álgebras de Cuntz–Krieger O a um sistema semirramificado de funções e também o conceito de operador de Perron–Frobenius de um tal sistema. Neste contexto, surgiu naturalmente a representa- ção da álgebra de Cuntz–Krieger no espaço das semi-densidades W

        , esta assegurava que o operador de Perron–Frobenius pertencia à imagem da representação. No entanto, para construí-la foi pre- ciso impor algumas hipóteses extras ao sistema semirramificado ou, como propusemos, restringir a representação a um subespaço de W.

        Desta nova proposta, surgiram as representações associ- adas a sistemas mônicos (Observação

        e com elas as repre-

        sentações mônicas. O objetivo principal do terceiro Capítulo foi provar o Teorema

         que estabelece uma relação entre represen- tações mônicas e representações associadas a sistemas mônicos.

        Ao fim do Capítulo, generalizamos um resultado que foi mostrado para álgebras de Cuntz, e que dá um tom de universalidade a

        106 A Conclusão

        representação de O no espaço das semi-densidades.

        Há generalizações do que aqui estudamos, tanto no sen- tido de sistemas semirramificados de funções quanto no sentido da álgebra a ser representada. Sistemas ramificados (Branching

        

      systems) tem sido usados para construir representações de álge-

        bras de grafos e ultragrafos. Para mais informações ver

        

        

        

        Apêndices

        109

      APÊNDICE A

      • – PRÉ-REQUISITOS

        Neste apêndice vamos relembrar algumas definições e teoremas que foram mencionados no texto. Nosso objetivo não é demonstrar resultados já consagrados nas literaturas clássicas, queremos apenas que o leitor tenha acesso rápido aos teoremas e definições para que possa avaliar com mais clareza os tópicos que foram desenvolvidos ao longo do trabalho. Revisaremos alguns tópicos de teoria de matrizes, análise funcional e teoria da medida.

        A.1 Matrizes

        Nesta seção definiremos matrizes redutíveis, irredutíveis e primitivas e em seguida forneceremos algumas caracterizações.

        Definição A.1. n (R). O raio espectral de A é definido

        Seja A M como

        r (A) := max{|λ| | λ autovalor de A}. Definição A.2. n (R). P será dita uma matriz de

        Seja P M

        

      permutação se exatamente uma entrada em cada linha e em

      cada coluna tiver valor 1 e o restante das entradas for 0.

        Definição A.3. n

        (R). A será dita redutível se existir Seja A M uma matriz de permutação P tal que

        " # T B C

        P AP ,

        = 1 ≤ r n − 1.

        

      D

        

      110 APÊNDICE A. Pré-requisitos

      Definição A.4. n (R). A será dita irredutível se A

        Seja A M não for redutível.

        Definição A.5. n (R) com entradas não negativas. A

        Seja A M será dita primitiva se:

        1. A é irredutível; 2. r(A) 6= 0;

        , . . . , λ

        3. se λ n i

        1 são os autovalores de A, então |λ

        | = r(A) para um único i. A seguir, fornecemos caracterizações para matrizes irre- dutíveis e primitivas cuja demonstração pode ser encontrada em

        p.403, p.540].

        Proposição A.6.

        Seja A n (R) com entradas não negativas.

        ∈ M n

        −1

      Então, A é irredutível se, e somente se, (I n tem todas as

      • A)

        

      entradas maiores que zero, em que I n é a matriz identidade de

      ordem n. Além disso, A é primitiva se, e somente se, existe k k

        ≥ 1 tal que A tem todas as entradas maiores que zero.

        

      A.2 Teorema de extensão de operadores limitados

        O Teorema a seguir possui versões ligeiramente diferentes, algumas no contexto de espaços métricos e outras restritas ao caso de espaços normados. Alguns livros de Análise funcional demonstram uma versão mais básica do que a utilizaremos neste trabalho. Por este motivo, apresentaremos aqui a versão que nos

        

      A.2. Teorema de extensão de operadores limitados 111

        

      Teorema A.7. Sejam X e Y espaços vetoriais normados, X e

        Y espaços de Banach e T : X

        → Y um operador linear e limitado.

        ′ ′

      Considere ainda I e I isometrias lineares

      X Y

        : X X : Y Y

        ′ ′

      cujas imagens são densas em X e Y respectivamente. Sob tais

        ′ ′ ′ hipóteses, existe um único operador linear e limitado T : X

        → Y

        que faz comutar o seguinte diagrama: T // I X

        X Y I Y ′ ′ X // Y . T

        ′ ||T || = ||T || .

        ′

      Demonstração. Vamos construir o operador T e mostrar que

        ′

        e escolha em X satisfaz as propriedades desejadas. Fixe w X n n X (w n n converge para w. uma sequência {w tal que {I )}

        } ∈N ∈N Como I X n n é de Cauchy. Além

        é isometria, temos que {w } ∈N n n é de Cauchy. disso, como T é limitado, temos que {T (w )}

        ∈N Y (T (w n é também de Cauchy em Y n

        e, portanto, Logo, {I ))} ∈N convergente para um elemento que denotaremos por y w .

        

      Afirmação. O elemento y w independe da escolha da sequência

      n n .

        {w }

        ∈N Demonstração. Seja n n uma outra sequência tal que X (z n n {z } ∈N X (w n n n con-

        )} converge para w. Observe que {I )} {I ∈N −z ∈N n n n converge para 0. Concluí- verge para 0 e, portanto, {wz } ∈N Y (T (w n n n converge para 0 e, consequen- mos então que {Iz ))} Y (T (w n n Y (T (z n n ∈N temente, que as sequências {I ))} e {I ))}

        ∈N ∈N

        

      112 APÊNDICE A. Pré-requisitos

        Defina o seguinte operador:

        

      ′ ′ ′

      T

        : X −→ Y

      x .

      x

        7−→ y

        ′

        Pela Afirmação anterior, temos que T está bem definido. Agora, n para calcular fixe v X e tome a sequência constante {v}

        ∈N ′ T

        (I x (v)). Desta forma, obtemos que

        ′ T

        (I X (v)) = I Y (T (v)),

        ′ e portanto, T faz comutar o diagrama do enunciado.

        ′ Afirmação. T

        é um operador linear e limitado, com ′ ||T || = ||T || .

        ′

      Demonstração. Sejam x e z pertencentes a X e α um escalar. Es-

      n n n n X (x n n

        colha sequências {x e {z em X tais que {I )} X (z n n convergem para x e z, respectivamente. Assim, } ∈N } ∈N ∈N e {I )} ∈N temos que

        ′ T

        I

        (x + αz) = lim Y (T (x n + αz n )) n

        →∞

        I I

        = lim Y (T (x n )) + α lim Y (T (z n )) n n

        →∞ →∞ ′ ′

        = T (x) + αT (z). Note também que

        ′

        T (x) =

        I Y (T (x n )) Y (T (x n

        ))|| ||I lim = lim n n

        

      →∞ →∞

      n n

        = lim n n ||T (x )|| ≤ lim ||T || ||(x )||

        →∞ →∞

        = lim X (x n ||T || ||I )|| = ||T || ||x|| .

        

      A.3. Tópicos de medida e integração 113

        Como x foi tomado arbitrário, temos que T é limitado e também

        ′

        ||T || ≤ ||T ||. Por fim, escolha u X tal que kuk = 1 e note que

        ′ Y (I T X (u))

        ||T (u)|| = ||I (T (u))|| =

        ′ ′

        T T X kI (u)k = kuk ≤

        ′ T .

        =

        ′ ′ Portanto, ||T || ≤ ||T || e, por conseguinte, ||T || = ||T ||.

        Para a unicidade, suponha que exista um operador

        ′′ ′ ′ T

        : X linear e limitado que faz comutar o diagrama → Y

        ′

        , temos que existe uma sequência do enunciado. Dado x X n n X (x n n converge para x. Portanto, em X tal que {I )} {x } ∈N ∈N

        ′′ ′′ ′′ T

        I T

        (x) = T ( lim n n X (x n )) = lim (I X (x n ))

        

      →∞ →∞

      I = lim Y (T (x n )) = T (x). n

        →∞ ′′ ′

        Segue que T = T .

        ′

      Observação A.8. É fácil ver que se T é uma isometria, então T é

      uma isometria.

        A.3 Tópicos de medida e integração

        Iniciamos apresentando o bem conhecido Teorema de extensão de Caratheodóry.

        Definição A.9.

        Sejam X um conjunto e C uma família de sub- conjuntos de X. Dizemos que C é uma semiálgebra se satisfaz as seguintes propriedades:

        

      114 APÊNDICE A. Pré-requisitos

        2. Se A, B ∈ C, então A B ∈ C.

        3. Se A ∈ C, então X \ A pode ser expresso como uma união finita de elementos de C, disjuntos dois a dois.

        Teorema A.10

        (EXTENSÃO DE CARATHÉODORY). Sejam C

        uma semiálgebra e η : C

        → [0, +∞] uma função satisfazendo:

        1. η( ∅) = 0.

        P

        A η

      2. η ( n n ) = (A n n n

        ∪ n ) para toda sequência {A }

        ∈N ∈N ∈N em C de conjuntos disjuntos dois a dois.(σ

        −aditividade)

      3. A função η satisfaz a propriedade de σ

        − finitude, ou seja,

        existe uma sequência n n n A n e

        {A } ∈N ⊆ C tal que X = ∪ ∈N

        η

        (A n ) < +∞, n ∈ N.

        Então, existe uma única medida η

        ∗ definida na σálgebra gerada

        por C tal que η = η.

        ∗

        |C Demonstração. cap. 21, sç 2].

        A.3.1 Medida de Hausdorff

        Começaremos com uma condição necessária para que a imagem de um conjunto boreliano, via uma função contínua, seja também um conjunto boreliano.

        Definição A.11.

        Um espaço métrico X é chamado de espaço métrico Polonês se X é separável e completo.

        Teorema A.12.

        Sejam X e Y espaços métricos Poloneses e F é

        : X Y uma função contínua. Se A X é boreliano e F

        |A

        

      A.3. Tópicos de medida e integração 115

      Demonstração. p.89].

        Vamos agora tratar de uma classe muito especial de me- didas, as medidas de Hausdorff. Podemos entender a medida de Hausdorff como uma generalização da medida de Lebesgue para o contexto de espaços métricos. Enquanto na medida de Lebes- gue a função volume (comprimento, área, . . . ) desempenha papel fundamental, na medida de Haussdorff a função importante é o

        

      diâmetro, que está definido para todos os subconjuntos de um

      espaço métrico.

        Fixe (M, d) um espaço métrico.

        Definição A.13.

        Seja N um subconjunto de M e s ≥ 0. Para cada ε > 0, defina D o conjunto de todas as coberturas enumerá- veis de N por subconjuntos de M com diâmetro menor ou igual a

        ε

        . Definimos a medida exterior de Hausdorff de dimensão

        s do conjunto N por: s

        X s H .

        (N) = lim inf diam(C) ε G ε

        →0 ∈D C ∈G

      Observação A.14. Podemos restringir as coberturas apenas a

      conjuntos abertos ou apenas a conjuntos fechados.

        Definição A.15. s Seja s ≥ 0. Dizemos que um subconjunto N de M

        é H −mensurável no sentido de Carathéodory se para todo subconjunto A de M vale que s s s

        H (A) = H (A N) + H (A \ N).

        Em

         s p.71], mostra-se que para cada s ≥ 0 o conjunto de todos os H

        −mensuráveis formam uma σ−álgebra que contém s

        

      116 APÊNDICE A. Pré-requisitos

        aos seus mensuráveis torna-se de fato uma medida, sendo esta s denotada por H .

        Teorema A.16.

        Seja A um subconjunto boreliano de M . Então, é válida uma das três asserções: s

        1. H s (A) = 0, s ≥ 0,

        2. H

        (A) = ∞, s ≥ 0, s s

        >

        3. Existe único s 0 tal que H e H (A) =

        (A) = ∞, s < s . 0, s > s

        Demonstração. p.76].

        Definição A.17.

        Nas condições do Teorema definimos a

        dimensão de Hausdorff

        de A por:  s

        0, se H (A) = 0, s ≥ 0

          s

        Dim(A) = se H (A) = ∞, s ≥ 0

        ∞,  

        s , caso contrário.

        ′ Definição A.18.

        Seja (N, d ) um espaço métrico. Uma função

        f

        : M N será chamada uma similaridade se existir r > 0 tal que

        ′ d (f(x), f(y)) = r · d(x, y), x, y M.

        Neste caso, o número r será chamado razão de similaridade de f.

        Note que similaridades são funções contínuas e injetoras. Portanto, adicionando a hipótese que M e N são Poloneses, temos pelo Teorema que a imagem de um conjunto boreliano, via

        

      A.3. Tópicos de medida e integração 117

      Teorema A.19. Suponha que M e N sejam Poloneses. Seja

      f

        : M N uma similaridade de razão r > 0, s ≥ 0 e B um

        boreliano de M . Então, s s s

        H H (f(B)) = r (B).

        Demonstração. p.78].

        

      Corolário A.20. Sob as hipóteses do Teorema Dim(f (B)) =

      Dim(B).

        

      Observação A.21. Todos os resultados e definições sobre a medida

        de Hausdorff mencionados aqui, são válidos para um conjunto qualquer, em vez de um boreliano, inclusive a definição de dimen- são. Apenas deve-se tomar o cuidado com o fato de que alguns conjuntos não são mensuráveis e, portanto, a medida em questão é a medida exterior.

        A.3.2 Integração e densidade

        A seguir, apresentaremos importantes teoremas da teo- ria de medida e integração. Para enunciá-los de maneira mais simples, vamos fixar (X, F) um espaço mensurável e três medi- das µ, ν e ω em (X, F). Denotaremos por N(X, F) o conjunto de todas as funções mensuráveis de X para C, já o conjunto de todas as funções mensuráveis de X para [0, +∞] será denotado

      • por N (X, F). Além disso, sempre que mencionarmos o termo convergência, estaremos nos referindo à convergência pontual.
      • +

        Proposição A.22. Seja f

        ∈ N (X, F). Então f = 0, µqtp, se, R

        f e só se, d µ = 0.

        

      118 APÊNDICE A. Pré-requisitos

      • Proposição A.23. Se F

        (X, F), então existe uma sequên- ∈ N

      • cia crescente n n em N (X, F) de funções simples que con-

        {ϕ } ∈N verge para F .

        Demonstração. p.13].

        

      Teorema A.24 (TEOREMA DA CONVERGÊNCIA MONÓ-

      • n n (X, F) con-

        em N

        TONA). Se uma sequência crescente {ϕ } ∈N

      • verge para uma função F , então F (X, F) e

        ∈ N Z Z

        F ϕ d µ = lim n d µ. n

      →∞

      p.31].

        Teorema A.25

        (TEOREMA DA CONVERGÊNCIA DOMI- n uma sequência de fun- n NADA DE LEBESGUE). Seja {ϕ } ∈N

        ções µ n n converge, µ

        −integráveis em N(X, F). Se {ϕ } −qtp,

        ∈N para uma função F e além disso, existe uma função µ

        −integrável

        φ tal que n

        |ϕ | ≤ φ para qualquer n natural, então F é mensurável,

        µ

        −integrável e Z Z

        F ϕ d µ = lim n d µ. n

      →∞

        

      Demonstração. Escreva F = Re(F ) + iIm(F ), em que Re(F ) e

      Im

        (F ) são as partes real e imaginária de F , respectivamente. Em

        p.44] temos a demonstração do Teorema da Convergência

        Dominada para o caso de funções a valores reais. Para estender n n converge a ao caso complexo, basta observar que {Re(ϕ )}

        ∈N

      Re n n converge a Im(F ) e então aplicar o caso

        (F ) e {Im(ϕ )}

        ∈N

        

      A.3. Tópicos de medida e integração 119

        De posse do Teorema da convergência monótona, mostra- se que a função Z F

        F

        d µA 7−→ A

      • que toda a medida em (X, F) pode ser expressa por uma integral na medida µ? O que faremos a seguir é responder a esta pergunta.

        (X, F) qualquer.Por outro lado, será é uma medida, sendo F ∈ N

        Definição A.26.

        Diremos que ν é absolutamente contínua em relação a µ se dado A ∈ F tal que µ(A) = 0, então ν(A) = 0. Neste caso, escreveremos ν µ. No caso em que ν µ e µ ν, diremos que µ e ν são equivalentes e denotaremos µ ν.

        Sempre que quisermos obter uma medida que é abso- lutamente contínua em relação a outras duas, basta tomarmos a medida dada pela soma. De fato, se (µ + ν)(A) = 0, então

        µ

        (A) = ν(A) = 0. É fácil ver também que a relação ∼ é, de fato, uma relação de equivalência.

        Definição A.27.

        Diremos que a medida µ é σfinita se exis- tir uma sequência de conjuntos mensuráveis de medida finita S

        1

        A , A , A . . . A tais que X = i .

        2 i

      ∈N

      Teorema A.28 (TEOREMA DE RADON-NIKODÝM). Supo-

      nha que µ e ν sejam σ

        −finitas e que ν µ. Então, existe uma

      • função f (X, F) tal que

        ∈ N Z

        ν f

        (A) = A d µ, A ∈ F.

        Além disso, f é única, µqtp.

        

      120 APÊNDICE A. Pré-requisitos

      Definição A.29.

        A função f do Teorema é chamada de

        derivada de Radon–Nikodým de ν em relação a µ e é classica- mente denotada por , no entanto, neste trabalho denotaremos ν por d µ .

        Há versões mais gerais do Teorema de Radon–Nikodým que tratam de medidas com sinal e também medidas complexas. Além disso, a função f pode ser construída de forma que retorne apenas valores reais. Para mais explicações, o leitor pode consultar

        

        p.121].

        Observação A.30. A função d ν µ

        é µ−integrável se, e só se, ν é

        µ

        finita. Outro fato fácil de se notar é que d µ = 1, µ − qtp.

        Elencamos a seguir algumas propriedades a respeito das derivadas de Radon–Nikodým que explicam o porquê de nome- armos a função f de derivada. Vamos supor que estejamos nas condições do Teorema A demonstração destes fatos pode ser encontrada em p.250].

        Proposição A.31

        (LINEARIDADE). Seja c ≥ 0. Além disso,

        suponha que ω

        ≪ µ. Então, temos que ω + µ e ω ν. d µ (ω + ) = d µ + c d µ

        Teorema A.32. Para toda função F

        ∈ N(X, F) vale que Z Z

        F F ν

        d ν = d µ d µ,

        ν no sentido que F é ν µ é µ

        −integrável se, e só se, F d −integrável e existindo as integrais, vale a igualdade.

        Corolário A.33

        (REGRA DA CADEIA). Se ω é σfinita e

        ω

        ≪ ν, então temos que ω µ e ω ω ν.

        

      A.3. Tópicos de medida e integração 121

      Corolário A.34. Suponha que µ

        ∼ ν. Então, vale que d ν µ d µ ν = 1, µ qtp.

        Corolário A.35.

        Para toda função F

        ∈ N(X, F) tal que R

        F

        d(µ + ν) existe, vale que Z Z Z

        

      F F F

      d(µ + ν) = d µ + d ν. Demonstração.

        Z Z

        F F

        d µ + d ν Z Z

        F µ F ν

        = d d(µ + ν) + d d(µ + ν)

        (µ+ν) (µ+ν)

        Z

        F µ ν

        = d + d d(µ + ν)

        (µ+ν) (µ+ν)

        Z Z

        (µ+ν)

        F F = d (µ + ν) d(µ + ν) = d(µ + ν).

        Terminamos enunciando alguns teoremas sobre densidade e também o Teorema de representação de Riesz.

        Teorema A.36

        (STONE–WEIERSTRASS). Seja X um espaço

        

      topológico compacto e Hausdorff. Seja A uma subálgebra de C(X)

      que detém as seguintes propriedades:

        1. Auto-adjunção: Se f f XA, então ¯ ∈ A.

        2. A é unital: 1 ∈ A.

        3. A separa pontos: Para quaisquer x, y

        ∈ X, existe uma função

        f

        

      122 APÊNDICE A. Pré-requisitos

      Então, A é densa em C(X).

        Demonstração. O resultado é mostrado em p234] apenas para

        o caso de funções a valores reais e o caso geral é deixado como exercício. A extensão do resultado pode ser vista em

        p.54].

        

      Teorema A.37. Seja S (X, F, µ) o conjunto de todas as classes

      de equivalência de funções simples µ

        − integráveis. Então, para p

      todo p (X, F, µ) é denso em L (X, F, µ).

      ∈ [1, +∞) temos que S

        Demonstração. p.452].

        Fixe daqui por diante X um espaço topológico Hausdorff e B a σ−álgebra de Borel de X.

        Definição A.38.

        Seja µ uma medida em (X, B) e E ∈ B. Dire- mos que µ é regular externa em E se

        µ (E) = inf{µ(U) | E U, U aberto}.

        Diremos que µ é regular interna em E se

        µ (E) = sup{µ(K) | K E, K compacto}.

        Diremos que µ é regular em E se µ é regular interna e externa em

        E

        . Além disso, diremos que µ é regular se é regular em todos os elementos de B.

        

      Definição A.39. Seja µ uma medida em (X, B). Dizemos que µ

        é uma medida de Radon se: 1. µ é regular externa em todos os elementos de B,

        

      A.3. Tópicos de medida e integração 123

        3. µ é finita em todos os compactos de X.

        Uma medida complexa em (X, B) é uma função P

        η A η n n ) = (A n ) para

        : B → C tal que η(∅) = 0 e η (∪

        ∈N n n n ∈N

        toda sequência {A } ∈N ⊆ B de conjuntos em disjuntos dois a dois. De posse de uma medida complexa η em (X, B), podemos definir |η| que é a medida de variação total de η, dada por

        ∞

        X i |η|(E) = sup |η(B )|, E ∈ B, i

        =1

        sendo o supremo tomado sobre todas as partições enumeráveis i {B } ⊆ B do conjunto E.

        Observação A.40. Em

        

        p.117,118] mostra-se que |η| é uma medida finita em B.

        Definição A.41.

        Diremos que η é regular se |η| for regular.

        

      Observação A.42. Uma versão do Teorema de Radon–Nikodým

        (ver

        p.121-125]) garante que existe um função mensurável θ

        : X → C tal que |θ(x)| = 1, x X e Z Z

        f f θ

        d η = d |η|. Assim, observe que

        Z Z Z p p p d η θ d |η| d |η|

        |f| |f| |f| = ≤ e também

        Z Z Z

        

      θ

      p p p

        1 d η |f| d |η| |f| d |η| |f|

        = =

        θ θ

        Z Z p p

        1 d η. ≤ |f| |f| d η =

        

      θ

        Segue das desigualdades acima que p p

        L

        

      124 APÊNDICE A. Pré-requisitos

        Adicionando a hipótese de que X é localmente compacto, temos que o conjunto M C

        (X, B) = {µ | µ medida complexa regular em (X, B)} é um espaço de Banach, sendo ||µ|| = |µ|(X).

        Teorema A.43

        (TEOREMA DE REPRESENTAđấO DE RI- ESZ). Suponha que X seja localmente compacto. Então a função

        Z

      C f

      ′ Φ : M (X), dada por Φ(µ)(f) = d µ

        (X, B) → C

        ′

      é um isomorfismo isométrico, em que C (X) é o dual topológico

      de C (X).

        Demonstração. p.130]

        Ainda sob a hipótese de que X é localmente compacto, há uma segunda versão para o Teorema de Riesz no caso de c funcionais lineares positivos em C (X), que é o conjunto de todas as funções contínuas de suporte compacto em X.

        Definição A.44.

        Seja τ : C c (X) → C um funcional linear. Dire- mos que τ é um funcional linear positivo se τ(f) ≥ 0 para toda função f ≥ 0.

        Teorema A.45. Seja τ : C c

        (X) → C um funcional linear positivo

        

      em C c (X). Então, existe uma única medida µ em (X, B) tal que

        Z

        d µ, f C Além disso, µ é uma medida de Radon.

        τ f (f) = c (X).

        

      A.3. Tópicos de medida e integração 125

      Observação A.46. Se X é compacto, então C c (X) = C (X) = C

        (X).

        

      Teorema A.47. Suponha que X seja localmente compacto e

      considere µ uma medida de Radon em (X, B). Se p p ∈ [1, +∞], então C c (X) é denso em L (X, B, µ).

        Demonstração. p.486]

        127

      REFERÊNCIAS

        1 Monic representations of the Cuntz algebra and Markov measures. Journal of Functional Analysis, 267. Citado 2 vezes nas páginas

        2 W. Arveson. Noncommutative Dynamics and E-Semigroups. Springer Monographs in Mathematics. Springer, 2003. Citado 2 vezes nas páginas

        

        3 Robert G Bartle. The elements of integration and Lebesgue

        

      measure. John Wiley & Sons, 1995. Citado 3 vezes nas páginas

        4 Sergey Bezuglyi and Palle Jorgensen. Representations of Cuntz-Krieger relations, dynamics on Bratteli diagrams, and path-space measures. 10 2014. Citado na página

        

        5 J. Cuntz and W. Krieger. A Class of C*-Algebras and Topological Markov Chains. Inventiones Mathematicae, 56:251, 1980. Citado 3 vezes nas páginas

        

        6 Maria Catarina L. Dias. From Cuntz-Krieger algebras to C*-algebras associated with shift spaces, 2012. Citado 3 vezes nas páginas

        

        7 Daniel Gonçalves, Hui Li, and Danilo Royer. Faithful representations of graph algebras via branching systems. 59, 12 2014. Citado na página

        8 Daniel Gonçalves, Hui Li, and Danilo Royer. Branching systems and general Cuntz–krieger uniqueness theorem for ultragraph C*-algebras. International Journal of Mathematics,

        128 Referências

        9 Daniel Gonçalves and Danilo Royer. Unitary equivalence of representations of graph algebras and branching systems. 2011. Citado na página

        10 Daniel Gonçalves and Danilo Royer. Graph C*-algebras, branching systems and the Perron–Frobenius operator. Journal

        

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