Sistemas semirramificados de funções e álgebras de Cuntz–Krieger

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Natã Machado

Sistemas semirramificados de funções

e álgebras de Cuntz–Krieger

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Natã Machado

Sistemas semirramificados de funções e

álgebras de Cuntz–Krieger

Dissertação submetida ao Curso de Pós-Graduação em Matemá-tica Pura e Aplicada, do Centro de Ciências Físicas e Matemáti-cas da Universidade Federal de Santa Catarina, para obtenção de grau de Mestre em Matemá-tica, com área de concentração em Análise.

Universidade Federal de Santa Catarina – UFSC

Centro de Ciências Físicas e Matemáticas

Programa de Pós-Graduação em Matemática Pura e Aplicada

Orientador: Professor Doutor Gilles Gonçalves de Castro

Florianópolis

(4)

Machado, Natã

Sistemas semirramificados de funções e álgebras de Cuntz-Krieger / Natã Machado ; orientador, Gilles Gonçalves de Castro, 2018.

131 p.

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro de Ciências Físicas e

Matemáticas, Programa de Pós-Graduação em Matemática Pura e Aplicada, Florianópolis, 2018.

Inclui referências.

1. Matemática Pura e Aplicada. 2. Álgebras de Cuntz-Krieger. 3. Sistemas semirramificados de funções. 4. Espaço de Hilbert das semi-densidades. 5. Representações Mônicas. I. Gonçalves de Castro, Gilles . II. Universidade Federal de Santa Catarina.

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Natã Machado1

Sistemas semirramificados de funções e

álgebras de Cuntz–Krieger

Esta Dissertação foi julgada adequada para obtenção do Título de “Mestre” e aprovada em sua forma final pelo Programa de

Pós Graduação em Matemática Pura e Aplicada.

Professor Doutor Ruy Coimbra Charão

Coordenador

Banca examinadora:

Professor Doutor Gilles Gonçalves de Castro

Orientador

1 Bolsista do Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico

(6)

Professor Doutor Danilo Royer

UFSC

Professor Doutor Giuliano Boava

UFSC

Florianópolis

(7)

AGRADECIMENTOS

Agradeço àquele que com uma simples palavra formou todo o universo.

Agradeço aos meus pais e ao meu irmão, sou o que sou por causa do amor e cuidado de vocês.

Agradeço à Paula Savana pela dose diária de amor, carinho e compreensão.

Agradeço a todos os meus amigos pelo suporte emocional nestes dois anos. Em especial agradeço aos queridos Cesar Smani-otto Júnior e Luiz Fernando Bossa, com os quais toda conversa termina em futebol, política e muita risada.

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(9)

RESUMO

Apresentamos representações de álgebras de Cuntz–Krieger as-sociadas a sistemas semirramificados de funções e também in-troduzimos o operador de Perron–Frobenius associado a um tal sistema. Além disso, mostramos que quando a álgebra de Cuntz– Krieger é representada no espaço de Hilbert das semi-densidades, o operador de Perron–Frobenius pertence à imagem da represen-tação. Por fim, fornecemos uma caracterização de quando uma representação associada a um sistema mônico é mônica e mostra-mos que a representação da álgebra de Cuntz–Krieger no espaço das semi-densidades é universal no sentido de conter todas as representações associadas a sistemas mônicos não negativos.

Palavras-chave: álgebras de Cuntz–Krieger; sistemas

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ABSTRACT

We present Cuntz–Krieger algebras representations associated with semibranching function systems and we show that if such a representation is on the half densities Hilbert space, then the Perron–Frobenius operator associated with semibranching func-tion system is in the representafunc-tion range. Finally, we show a necessary and sufficient condition for a representation associated with a monic system to be monic and also that the half densities space representation has an universal property.

Key-words: Cuntz–Krieger algebras; semibranching function

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SUMÁRIO

Introdução . . . . 13

1 ESPAÇOS DE HILBERT ASSOCIADOS À CLASSES DE MEDIDA . . . . 17

1.1 O espaço L2 de uma classe de medidas . . . . 17

1.2 O espaço de Hilbert das semi-densidades . . . 32

2 SISTEMAS SEMIRRAMIFICADOS DE FUN-ÇÕES E ÁLGEBRAS DE CUNTZ–KRIEGER 47 2.1 Espaços Shift e álgebras de Cuntz–Krieger . . 47

2.1.1 Álgebras de Cuntz–Krieger . . . 51

2.2 Sistemas semirramificados de funções . . . 54

2.2.1 Operador de Perron–Frobenius . . . 70

3 REPRESENTAÇÕES MÔNICAS . . . . 85

Conclusão . . . 105

APÊNDICES

107 APÊNDICE A – PRÉ-REQUISITOS . . . . 109

A.1 Matrizes . . . .109

A.2 Teorema de extensão de operadores limitados 110 A.3 Tópicos de medida e integração . . . .113

A.3.1 Medida de Hausdorff . . . 114

(14)
(15)

13

INTRODUÇÃO

As álgebras de Cuntz–Krieger foram originalmente apre-sentadas no artigo [5] e surgiram da tentativa de generalizar as álgebras de Cuntz que, por sua vez, vieram à tona como o primeiro exemplo de uma Cálgebra concreta, simples e separável de

di-mensão infinita. A generalização deu-se no sentido de introduzir um parâmetro matricial (uma matriz quadradaM com entradas 0

e 1) na construção de tais álgebras, sendo que se na construçãoM

for escolhida com todas as entradas iguais a 1, então recupera-se a álgebra de Cuntz.

Sistemas semirramificados de funções podem ser enten-didos com uma generalização da dinâmica gerada pelo operador shift e suas inversas parciais nos espaços shift. Esta dinâmica, por sua vez, é o plano de fundo de um conceito muito importante na área de sistemas dinâmicos que é o conceito de autossimilaridade, presente nos fractais.

Neste trabalho, construímos representações de álgebras de Cuntz–Krieger relacionadas a um sistema semirramificado de funções de tal maneira que possamos extrair informações sobre a representação olhando apenas para o sistema semirramificado. Por exemplo, podemos concluir que as projeçõesTiTi∗ e TiTi são

não nulas se os conjuntosDi e Ri têm medida positiva (página

61).

SejaY um espaço topológico compacto e Hausdorff.

Sa-bemos que se φ:Y Y é um homeomorfismo, então a aplicação

e

(16)

unital. Migrando da estrutura topológica para a estrutura mensu-rável, considere um espaço de medida boreliano (X,B, ν) e um

automorfismo borelianoφ:XX, isto é,φé uma bijeção

bimen-surável tal que2 ν νφ−1. Denote por d

ν(νφ−1) a derivada

de Radon–Nikodým deνφ−1 com relação a ν. Gostaríamos que (ψ) :=ψφfosse um operador linear e limitado emL2(X,B, ν),

no entanto, temos que

Z

|ψφ|2dν =

Z

|ψ|2d(νφ−1) =

Z

|ψ|2dν(νφ−1) dν

e não é possível garantir que |ψ|2dν(νφ−1) sejaν−integrável.

Porém, introduzindo um fator de correção e fazendo (ψ) := ψ

dν(νφ−1) ◦φ, temos que é um operador linear, limitado e de

norma menor ou igual a 1. Note que introduzimos o fator de corre-ção porque não conseguimos garantir que|ψφ|2 é νintegrável

e isto nos leva a pensar que o espaço L2(X,B, ν) é “pequeno”

para abrigar as funções obtidas através da composição com φ.

Assim, com base nas construções feitas em [2, p.419] e [19, p.84], apresentamos no Capítulo 1 duas maneiras de associar um espaço de Hilbert a uma classe de medidas sobre um espaço mensurável (nas referências citadas o espaço tomado é sempre boreliano). Um desses espaços é o chamado espaço de Hilbert das semi-densidades

W, no qual é possível representar álgebras de Cuntz–Krieger a

partir de um sistema semirramificado de funções. Estas represen-tações tomam papel principal quando falamos do operador de Perron–Frobenius e representações associadas a sistemas mônicos (Capítulos 2 e 3). Quando a álgebra de Cuntz–Krieger é

represen-tada através dos operadoresTi (ver página60) é necessário o fator

de correção na definição do operador, já quando a representação se dá no espaço das semi-densidades, através dos operadoresWi

(17)

15

(ver página76), este fator já não se faz mais necessário. Toda esta problemática que acabamos de mencionar é um sub-problema de um problema maior que é o de encontrar representações unitárias do grupo de automorfismos de uma classe de medidas.

No Capítulo 2, fixamos uma matrizAe revisamos alguns

detalhes da construção dos espaços shift e da álgebra de Cuntz– Krieger OA. Apresentamos também os sistemas semirramificados de funções e uma representação de OA associada a um tal sis-tema. Em seguida, associamos o operador de Perron–Frobenius (estudado em teoria ergódica) ao nosso sistema semirramificado e relacionamos o operador à nossa representação de OA. A teoria que desenvolvemos neste Capítulo é baseada nas duas primeiras seções do artigo [17], no qual são empregadas as técnicas que desenvolvemos para construir sistemas ortonormais de wavelets.

No Capítulo final, apresentamos duas outras novas classes de representações de OA: representações mônicas e representações associadas a sistemas mônicos, sendo que esta última generaliza a representação que apresentamos no Capítulo 2. O objetivo principal do Capítulo é caracterizar quando uma representação associada a um sistema mônico é mônica. Este Capítulo é baseado nos Capítulos 4 de [1] e 5 de [4], que além do assunto aqui tratado relaciona sistemas semirramificados de funções a diagramas de Bratteli.

Pressupomos que o leitor desta dissertação esteja fami-liarizado com conceitos de teoria da medida, análise funcional e álgebras de operadores. Com o objetivo de facilitar a leitura, o apêndice 1 foi escrito para que o leitor possa estar a par do enunciado dos principais teoremas que usamos ao longo do texto.

(18)

considerados com contradomínio emC e, além disso, neste

tra-balho consideramos os produtos internos como formas conju-gado-lineares na primeira entrada e lineares na segunda entrada. Para indicar a função característica de um conjuntoA, usamos o

símboloχAe no caso em queAé o conjunto universo, escrevemos

1A. Além disso, o símboloIW é usado para expressar o operador

identidade de um dado espaço vetorialW. Os índices serão

omi-tidos sempre que estiver claro no contexto qual o conjunto que estamos trabalhando. A menos de menção em contrário, todas as medidas neste trabalho são positivas e finitas e, além disso, quando escrevermos que uma propriedade vale νqtp, queremos

dizer que o conjunto dos pontos em que tal propriedade não é válida está contido num conjunto mensurável cuja medida ν é

(19)

17

1 ESPAÇOS DE HILBERT

ASSOCIADOS À CLASSES

DE MEDIDA

Neste Capítulo, apresentamos o conceito de classe de medidas e também o de espaço de Hilbert L2 associado a uma

tal classe. Em suma, este espaço codifica os espaços L2 de todas

as medidas que estão na classe. Além disso, quando a classe é o conjunto de todas as medida finitas sobre um espaço mensurável dado, existe uma segunda maneira de construir um espaço de Hilbert associado a esta classe. Encerramos o Capítulo provando um Teorema que relaciona as duas construções.

1.1 O espaço

L

2

de uma classe de medidas

Definição 1.1. Sejam (X,B) um espaço mensurável, M(X,B) o conjunto de todas as medidas finitas em (X,B) e C um subconjunto de M(X,B).A tripla (X,B,C) é dita uma classe de medidas se C satisfaz a seguinte propriedade1: se µ C e

ν µ, entãoν C.

Observação 1.2. Em outras palavras, uma classe de medidas é

uma união de classes de equivalência. Pode ser que C= [µ], em

que µ é uma medida qualquer em M(X,B), ou pode acontecer C=M(X,B).

(20)

Agora, vamos apresentar um dos conceitos mais impor-tantes deste Capítulo, que é o conceito demédia geométrica entre

duas medidas. Fixamos uma classe de medidas (X,B,C) e reite-ramos que todas as medidas tratadas neste Capítulo são sobre (X,B) e finitas. Denotaremos porB(X) aCálgebra

comuta-tiva das funçõesBmensuráveis e limitadas de X a valores em

C.

Observação 1.3. A notação padrão paraB(X) éB(X,B) pois estamos tratando de funções Bmensuráveis. Porém, como fixa-mos um espaço mensurável para todo o Capítulo 1, vafixa-mos omitir aσálgebraB na notação B(X,B).

Definição 1.4. Sejam µ e ν medidas. Definimos Cµ,ν como o

conjunto de todas as medidasσ que satisfazem a seguinte

propri-edade:

Z

fg¯ dσ

2

≤ Z

|f|2dµ

Z

|g|2dν, f, gB(X).

Proposição 1.5. 2 Sejam µ, ν e ω medidas tais que µ ω e

νω. Então a medida ω, dada por

ω′(A) =

Z

A p

dωµ dων dω

pertence aCµ,ν e, além disso, σω, σ Cµ,ν.

Demonstração. Sejam f, g em B(X), σ Cµ,ν e ε > 0.

Ob-servemos primeiramente que ω Cµ,ν. Com efeito, note que

dωω′ =√dωµ dων e que

2 ver apêndice

(21)

1.1. O espaçoL2 de uma classe de medidas 19 Z

fg¯ dω

2 A.32 = Z

fg¯pdωµ dων dω 2 ≤ Z

|f|pdωµ |g¯| p

dων dω 2

Hölder

≤ Z

|f|2dωµ dω Z

|g|2dων dω

=

Z

|f|2dµ

Z

|g|2dν.

Além disso, Z

fg¯ dσ

2 ≤ Z

|f|2dµ

Z

|g|2dν

=

Z

|f|2dωµ dω Z

|g|2dων dω

Z

|f|2(dωµ+ε) dω Z

|g|2(dων+ε) dω

=Z f(dωµ+ε)

1 2

2dω

Z

g(dων+ε)

1 2

2dω.

(1.1) Defina f1= √df

ωµ+ε e g1 =

f

dων+ε. Queremos verificar que f1 e

g1 também se aplicam à estimativa (1.1), para isso precisamos garantir que tais funções são limitadas. Observe que para todo

xX,

|f1(x)|= |

f(x)|

p

dωµ(x) +ε

≤ |f√(xε)|≤ ||f√||ε

e também

|g1(x)|= p |f(x)|

dων(x) +ε

≤ |f√(x)|

ε

||f||

ε .

Logo, f1 e g1 pertencem à B(X) e, portanto, temos por (1.1)

que Z

f1g¯1 dσ

2

≤Z f1(dωµ+ε)

1 2

2dω

Z

g1(dων+ε)

1 2

(22)

Explicitando, temos que

Z

|f|2

p

(dωµ+ε)(dων+ε)

dσ

Z

|f|2dω, f B(X).

(1.2) Pela ProposiçãoA.23, existe uma sequência crescente{ϕn}n∈Nem

N+(X,B) de funções simples, e portanto limitadas, convergindo parap4 (d

ωµ+ε)(dων+ε). Assim, pelo Teorema da convergência

monótonaA.24, temos que para todo AB,

σ(A) =

Z

A

dσA.24= lim

n→∞ Z

A

|ϕn|2 p

(dωµ+ε)(dων+ε)

dσ

(1.2)

nlim

→∞

Z

A|

ϕn|2dω A.24= Z

A p

(dωµ+ε)(dων+ε) dω.

Tomando ε= m1, para mN∗, podemos concluir que para todo

AB

σ(A) lim

m→∞

Z

A

s

dωµ+

1

m dων+

1 m dω (∗) = Z A p

dωµ dων dω=ω′(A).

Na igualdade (∗) usamos o Teorema da convergência dominada de Lebesgue A.25 para fazer a passagem do limite sob o sinal de integração. Uma função que domina a sequência de funções

nq

(dωµ+m1)(dων+ m1) o

m≥1 é ϕ=

p

(dωµ+ 1)(dων+ 1). A

integrabilidade de ϕ é consequência direta da desigualdade de

Hölder:

Z

ϕ dω

Z

(dωµ+ 1) dω 1

2Z

(dων+ 1) dω 1

2

(23)

1.1. O espaçoL2 de uma classe de medidas 21

Seς é uma outra medida que satisfazµ ς e ν ς, a

Proposição1.5 garante que as medidas ς′ e ω′ são iguais, sendo ς′(A) =

Z

Ad

ςµ dςν dς,A∈B.

Definição 1.6. Sejam µe ν medidas em (X,B). Amédia geo-métrica entre µe ν é a medida √µν, dada por:

µν(A) =Z A

p

dωµ dων dω, A∈B,

em que ω é qualquer medida tal que µω e ν ω.

Observação 1.7. Nas condições da Definição de média geométrica,

note que é sempre possível encontrar uma tal ω, por exemplo, ω =µ+ν. Além disso, note que √µµ=µ.

Iniciemos agora nossa tentativa de associar à nossa classe um espaço de Hilbert que contenha os espaçosL2 das medidas que

estão na classe. SejaV =B(X)×C. Por um motivo que ficará claro ao longo da nossa construção, escreveremos os elementos de V como f√dµ, em vez do par ordenado (f, µ). Seja V o Cespaço vetorial livre gerado porV. Os elementos deV são as

somas formais finitas da forma Pn

i=1αiui, com αi ∈C,uiV e

nN∗.

Observação 1.8. De maneira formal, o Kespaço vetorial livre

gerado por um conjunto S é a soma direta de #S cópias do corpo

K. Assim, rigorosamente temos que

V=M V

C:={ξ :V C|# supp(ξ)<∞}.

Fixe ξ pertencente a V e considere o seu suporte {v1, . . . , vm}.

Definindoγj :=ξ(vj), obtemos queξ =Pmj=1γj

χ

{vj}. Além disso,

(24)

escreve como a somaPm

j=iγjvj, sendo este motivo dos elementos

de Vserem considerados como somas formais.

Considere a aplicação Ψ :V×VC, dada por

Ψ(

n X

i=1

αifi p

dµi, m X

j=1

βjgj p

dνj) = n X i=1 m X j=1

αiβj Z

figj d√µiνj.

Pela Proposição 1.5, temos que Ψ está bem definida. Agora, vejamos algumas propriedades de Ψ satisfaz.

Afirmação 1.9. Para quaisquer u, v ewVe αC vale que:

1. Ψ(u, v+αw) = Ψ(u, v) +αΨ(u, w).

2. Ψ(u, v) = Ψ(v, u).

3. Ψ(u, u)0.

4. |Ψ(u, v)| ≤pΨ(u, u)pΨ(v, v).

Demonstração. Nos ateremos apenas aos itens 3 e 4, visto que os

itens 1 e 2 são triviais. Sejam u = Pni=1αifi√dµi e

v = Pmj=1βjgjpdνj em V. Defina ω = Pni=1µi +Pmi=1νi e

observe que as medidasµi eνj são absolutamente contínuas com

relação aω. Assim, temos que

Ψ(u, u) =

n X i=1 n X j=1

αiαj Z

fifj d√µiµj

= n X i=1 n X j=1

αiαj Z

fi p

dωµi fj p

dωµj dω

=

Z Xn

i=1

n X

j=1

αiαjfi p

dωµi fj p

(25)

1.1. O espaçoL2 de uma classe de medidas 23 = Z ( n X i=1

αifi p

dωµi ) ( n X

j=1

αjfj p

dωµj ) dω≥0. (1.3)

Mostremos agora o item 4. Observe que

|Ψ(u, v)|

= n X i=1 m X j=1

αiβj Z

figjd√µiνj =

Z Xn

i=1

m X

j=1

αiβjfi p

dωµi gj p

dωνj dω = Z ( n X i=1

αifi p

dωµi ) ( m X

j=1

βjgj p

dωνj ) dω ≤ Z n X i=1

αifi p

dωµi m X j=1

βjgj p

dωνj dω Hölder ≤ v u u tZ n X i=1

αifi p

dωµi 2 dω v u u u t Z m X j=1

βjgj p

dωνj 2 dω = v u u t

Z Xn

i,j=1

αiαjfifj p

dωµi p

dωµj dω (multiplicação) v

u u t

Z Xm

i,j=1

βiβjgigj p

dωνi p

dωνj dω

= v u u t n X i,j=1

αiαj Z

fifjd√µiµj v u u t m X i,j=1

βiβj Z

gigjd√νiνj

(26)

Observação 1.10. Os itens 1,2 e 3 nos dizem que Ψ é uma forma

sesquilinear semi-definida positiva.

Infelizmente, não podemos garantir que Ψ(u, u) = 0 se, e

só se, u = 0. Com efeito, se µC e A B é tal que µ(A) = 0,

então

χ

A√dµ6= 0 e Ψ

χ

A√dµ,

χ

A√dµ=RAdµ= 0. Assim,

para que obtenhamos um espaço munido de um produto interno induzido por Ψ, o caminho natural é fazer o quociente deVpor

N :={vV|Ψ(v, v) = 0}. Para isso, precisamos garantir queN

é um subespaço vetorialV. SejamαCe w, vN. Note que

0≤Ψ(v+αw, v+αw)

= Ψ(v, v) +|α|2Ψ(w, w) + ¯αΨ(w, v) +αΨ(v, w)

= 2 Re(αΨ(v, w))2|Re(αΨ(v, w))|

≤2|αΨ(v, w)| ≤2|α|pΨ(w, w)pΨ(v, v) = 0.

Logo, N é subespaço de V e assim podemos definir o espaço

vetorial quociente VN, que é o quociente de Vpor N.

Definah., .i:VN×VN C, dada por h[u],[v]i= Ψ(u, v).

Verifiquemos que a aplicação h. , .i independe da escolha dos

representantes das classes de equivalência. Com efeito, sejam

u, u1, v e v1 elementos de V tais que [u] = [u1] e [v] = [v1].

DadowV, temos que|Ψ(u, w)Ψ(u1, w)|=|Ψ(uu1, w)| ≤ p

Ψ(uu1, uu1)

p

Ψ(w, w) = 0. Logo, para todo w V,

Ψ(u, w) = Ψ(u1, w) e analogamente, para todowV, Ψ(w, v) =

Ψ(w, v1). Concluíndo, temos que Ψ(u, v) = Ψ(u1, v) = Ψ(u1, v1) e, portanto, (VN,h. , .i) é um espaço vetorial com produto interno.

Observação 1.11. Sejamα C,f, gB(X) e µC. A priori, os elementosf√dµ+g√dµe (f+g)√dµde Vnão tem relação

alguma entre si, bem como os elementos (αf)√dµ e α(f√dµ).

(27)

1.1. O espaçoL2 de uma classe de medidas 25

papel simbólico. No entanto, vamos verificar que quando passamos ao quociente VN tais igualdades são válidas, ou seja, os elementos

deixam ser apenas símbolos e passam a satisfazer certas relações. Para tanto, tome w=Pni=1γihi√dµi ∈Ve observe que

Dh

fpdµ+αgpdµih(f+αg)pdµi,[w]E

=Dhfpdµ+αgpdµ(f +αg)pdµi,[w]E

= Ψ( fpdµ+αgpdµ(f +αg)pdµ,

n X

i=1

γihi p

dµi )

= n X i=1 γi Z

f hid√µµi+α n X

i=1

γi Z

ghid√µµin X i=1 γi Z

(f +αg) hid√µµi

= n X i=1 γi Z

f+α ghid√µµin X

i=1

γi Z

(f +αg) hid√µµi

= 0.

Agora, seνCé tal queν µe dµνB(X), temos também

que

Dh

fpdµν p

dµihf√dνi,[w]E

=Dhfpdµν p

dµf√dνi,[w]E

= Ψ( (fpdµν ) p

dµf√dν,

n X

i=1

γihi p

dµi )

= n X i=1 γi Z

fpdµν hid√µµin X

i=1

γi Z

f hid√νµi

= n X i=1 γi Z

fpdµν hi p

(28)

n X i=1 γi Z

f hid√νµi

= n X i=1 γi Z

f hi p

dµνdµ+µiµdµ+µiµid(µ+µi)

n X i=1 γi Z

f hid√νµi

= n X i=1 γi Z

f hi p

dµ+µiνdµ+µiµid(µ+µi)

n X i=1 γi Z

f hid√νµi

= n X i=1 γi Z

f hid√νµin X

i=1

γi Z

f hid√νµi = 0.

Comow foi qualquer, segue que

h

fpdµ+αgpdµih(f +αg)pdµi= 0

e também h

fpdµν p

dµihf√dνi= 0.

Não podemos assegurar que (VN,h., .i) é um espaço de

Hilbert, mas é bem sabido que para obter um espaço de Hilbert a partir de espaço com produto interno basta fazer o completamento.

Definição 1.12. O completamento de (VN,h. , .i), denotado por L2(X,B,C), será chamado de espaço de Hilbert associado à classe de medida (X,B,C).

Exemplo 1.13. Sejam Mn uma variedade diferenciável e Be a

suaσálgebra de Borel. Denote porM(M,Be) o conjunto de todas as medidas finitas em (M,Be) e λn a medida de Lebesgue emRn,

munido com a σálgebra de Borel. Defina

e

(29)

1.1. O espaçoL2 de uma classe de medidas 27

Note que (M,Be,Ce) é uma classe de medidas e, portanto,

proce-dendo como anteriormente, é possível associar o espaço de Hilbert

L2(M,Be,eC) aM.

É possível mostrar que a associaçãoM 7→L2(M,Be,Ce) dá origem a um funtor da categoria das variedades diferenciáveis na categoria dos espaços de Hilbert (ver detalhes em [2, p.422]).

Seja µ C. Como µ é finita, B(X) L2(X,B, µ) e

além disso, pelo Teorema A.37, B(X)k.kL2(µ) = L2(X,B, µ), pois as funções simples são limitadas. Agora, defina a função L: (B(X),k.kL2(µ))→L2(X,B,C), dada por

L(f) =I([fpdµ]).

Em que I é a isometria linear canônica de VN em L2(X,B,C). Pela Observação1.11,L é linear. Além disso,

kL(f)k2 =Dfpdµ, fpdµE

=Z |f|2d√µµ

=

Z

|f|2dµ=kfk2L2(µ).

Logo, Lé uma isometria e pelo Teorema A.7se estende a uma isometria entreL2(X,B, µ) eL(B(X)). AssimL2(X,B, µ) é um

subespaço fechado de L2(X,B,C).

Teorema 1.14. Existe único Π : B(X) B(L2(X,B,C)),

∗−homomorfismo, tal que Π(f)(g√dµ) = (f g)√dµ, para toda função f egpertencenteB(X)e para toda medidaµpertencente à C.3

3 Neste enunciado há um abuso de notação que é devidamente explicado na

(30)

Demonstração. FixehB(X).Defina θh:V→V, dado por

θh( n X

i=1

αifi p

dµi ) = n X

i=1

αi(hfi) p

dµi.

Claramenteθh é linear. Além disso, sev=Pmj=1βjgjpdνj, note

que

Ψ(θh(v), θh(v)) = m X

i=1

m X

j=1

βiβj Z

|h|2gigjd√νiνj ≤ ||h||2Ψ(v, v).

(1.4) Queremos queθh induza um operador linear emVN, para tanto,

defina Θh:VN →VN, dado por

Θh([v]) = [θh(v)].

Por (1.4) e pela linearidade deθh, temos que sev1−v2 ∈N, então

θh(v1)−θh(v2)∈N, logo Θh está bem definido. Agora, note que

para qualquervVvale

||Θh([v])||2 =||[θh(v)]||2 = Ψ(θh(v), θh(v)) ≤ khk2Ψ(v, v) =khk2h[v],[v]i.

Portanto, Θhé limitada e||Θh|| ≤ ||h||. Pelo TeoremaA.7, temos

que existe um único operador linear e limitado

πh : L2(X,B,C) → L2(X,B,C) que faz comutar o diagrama:

VN Θh //

I

VN

I

L2(X,B,C) πh //L2(X,B,C),

(31)

1.1. O espaçoL2 de uma classe de medidas 29

em que I é a isometria canônica de VN em L2(X,B,C). Agora, defina Π :B(X)B(L2(X,B,C)), dado por Π(f) =πf, e note

que

Π(f)(I([gpdµ])) =πf(I([g p

dµ]))

=If([g p

dµ]))

=I([f gpdµ]).

Abusando da notação, isto é, omitindoI e a notação de classes

de equivalência, temos que Π(f)(g√dµ) = (f g)√dµ, como no

enunciado. Verifiquemos que Π é um ∗−homomorfismo unital.

Para ver que Π é unital, note que θ1 = IV e portanto

Θ1 =IVN. Assim, como IL2(X,B,C) faz comutar o diagrama (1.5), temos pela unicidade da extensão que Π(1) =π1=IL2(X,B,C).

Sejam f, g B(X) e α C. Considere também

u=Pni=1αifi√dµi∈Ve v=Pmj=1βjgj p

dνj ∈V. Note que

Θf+αg([u]) = " n

X

i=1

αi{(f+αg)fi} p

dµi # = n X i=1 αi h

(f +αg)fi p

dµi i 1.11 = n X i=1

αi( h

(f fi) p

dµi i

+αh(gfi) p

dµi i ) = " n X i=1

αi(f fi) p

dµi #

+α

" n X

i=1

αi(gfi) p

dµi #

= Θf([u]) +αΘg([u]) = (Θf +αΘg) ([u]).

Portanto,

If+αg) =I◦(Θf+αΘg) =I ◦Θf +α(I◦Θg)

(32)

Assim, se h=f +αg, então πf +απg comuta o diagrama (1.5).

Logo, Π(f +αg) = πf+αg = πf +απg = Π(f) +αΠ(g). Além

disso, temos que

Θf g([u]) = " n

X

i=1

αi{(f g)fi} p

dµi #

=

" n X

i=1

αi{f(gfi)} p

dµi #

= Θf( " n

X

i=1

αi(gfi) p

dµi #

)

= Θf( Θg( " n

X

i=1

αi(fi) p

dµi #

))

= Θf◦Θg([u]).

Logo,

If g) =I◦(Θf ◦Θg) = (I◦Θf)◦Θg = (πfI)◦Θg

=πf ◦(I◦Θg) =πf ◦(πgI) = (πfπg)◦I.

Assim, seh=f g, entãoπfπg comuta o diagrama (1.5). Portanto,

Π(f g) =πf g =πfπg = Π(f)◦Π(g).

Com o que mostramos até agora, obtemos que Π é um homomorfismo de álgebras. Por fim, vejamos que Π é um∗− ho-momorfismo. Primeiramente, note que

f([u]),[v]i=h[θf(u)],[v]i= Ψ(θf(u), v)

= n X i=1 m X j=1

αiβj Z

f figjd√µiνj

= n X i=1 m X j=1

αiβj Z

fi f gj

(33)

1.1. O espaçoL2 de uma classe de medidas 31

= Ψ(u, θf(v)) =D[u],[θf(v)]E

=D[u],Θf([v])E.

Agora, sejamwezpertencentes aL2(X,B,C). Então, exis-tem sequências {wn}nN e {zn}nN em VN tais que

w = lim

n→∞I(wn), z = limn→∞I(zn) e, além disso, por definição

temos que

hw, ziL2 := lim

n→∞hwn, zni.

Em particular, se w = I(w′) então hw, ziL2 := lim

n→∞hw

, zni.

Assim, temos que

hπf(w), ziL2 = lim

m→∞hπf(I(wm)), ziL2

= lim

m→∞hIf(wm)), ziL2

= lim

m→∞nlim→∞f(wm), zni

= lim

m→∞nlim→∞

D

wm,Θf(zn) E

= lim

m→∞nlim→∞ D

I(wm), If(zn)) E

L2 = lim

m→∞nlim→∞ D

I(wm), πf(I(zn)) E

L2 = lim

m→∞ D

I(wm), πf(z) E

L2 =

D

w, πf(z)E

L2. Segue que Π(f)∗ =πf∗ =πf = Π f.

Será que Π é injetora? Note que se Π(f) = 0, então

Θf = 0 e assim θf(v) ∈ N, para todo v ∈ V. Em particular,

θf(1√dµ)∈N,para todaµ∈C. Assim, temos que

0 = Ψθf(1 p

dµ), θf(1 p

dµ)

= Ψfpdµ, fpdµ

(34)

Portanto,f = 0, µqtp, para todaµC. Porém, não podemos assegurar quef = 0.

Seja Π1:B∞(X)→B(L2(X,B,C)) um∗−homomorfismo

que satisfaz Π1(f)(g√dµ) = (f g)√dµ,f, gB∞(X),µ∈C.

Sejaf B(X) eu=Pin=1αifi√dµi∈V. Note que

Π1(f)(I([u])) =

n X

i=1

αiΠ1(f)(I([fi p

dµi ]))

=

n X

i=1

αiI([f fi p

dµi ])

=I(

" n X

i=1

αif fi p

dµi #

)

=If[u]).

Assim, com f no lugar de h, obtemos que Π1(f) comuta o diagrama (1.5). Logo, pela unicidade da extensão, temos que Π1(f) =πf = Π(f).

1.2 O espaço de Hilbert das semi-densidades

Além da construção do espaçoL2(X,B,M(X,B)), há uma segunda maneira de associar um espaço de Hilbert aM(X,B). A seguir, apresentaremos outra construção de um espaço de Hilbert associado a M(X,B), denominado espaço de Hilbert das semi-densidades e denotado por W. Ao fim do Capítulo (ver Teorema

1.23), mostraremos que, apesar de construídos independentemente, os espaçosL2(X,B,M(X,B)) e W coincidem.

DefinaW={(f, µ)|µM(X,B) e f L2(X,B, µ)}.

(35)

1.2. O espaço de Hilbert das semi-densidades 33

se existir uma medida ω M(X,B) tal que µ ω, ν ω e f√dωµ=g√dων, ω−qtp, e neste caso escreveremos (f, µ)ℜ(g, ν).

Observação 1.15. Quando nos referimos aos pares (f, µ), (g, ν)

em W, as letras f e g representam classes de equivalência em L2(X,B, µ) eL2(X,B, ν), respectivamente. Por outro lado, quando

escrevemos f√dωµ=g√dων, ω−qtp, estamos nos referindo às

funçõesf eg. Vejamos que tal igualdade vale para qualquer

repre-sentante das classes e, portanto, que está bem definida. Sejam

f1 ef2 representantes de uma mesma classe emL2(X,B, µ), isto é,

f1 =f2, µ−qtp. Considere também ω∈M(X,B) tal queµω. Note que

Z |f1

p

dωµf2

p

dωµ|2dω= Z

|f1−f2|2dωµdω

=Z |f1−f2|2dµA.22= 0. Assim, novamente por A.22, temos que f1√dωµ = f2√dωµ,

ωqtp. Logo, sef√dωµ=g√dων, ω−qtp, paraωtal queµω

e ν ω, então f1√dωµ=g1√dων, ω−qtp, para quaisquer

re-presentantesf1 eg1 das classes de equivalência def e g,

respecti-vamente.

Afirmação 1.16. Sejam(f, µ) e (g, ν) elementos deW, tais que

(f, µ)(g, ν). Se ωM(X,B), µωe νω, então

fpdωµ=g

p

dων, ω′−qtp.

Demonstração. FixeωM(X,B) tal que µω′ e νω′. Por

hipótese, existe uma medida ωM(X,B) tal que

fpdωµ=g p

(36)

Assim, temos que

0 =Z fpdωµg p

dων f p

dωµg p

dων

dω

=

Z

|f|2dωµdω+ Z

|g|2dωνdω

Z

f g+gf pdωµdωνdω

=

Z

|f|2dµ+

Z

|g|2dν

Z

f g+gfd√µν

=

Z

|f|2dωµdω′+

Z

|g|2dωνdω

− Z

f g+gf pdωµdωνdω

=Z fpdωµg

p

dων f

p

dωµg

p

dων

dω.

Portanto,

fpdωµ=gpdων, ω′−qtp.

Proposição 1.17. é uma relação de equivalência.

Demonstração. É fácil ver queℜ éreflexiva e simétrica, por isso

vamos apenas mostrar atransitividade. Sejam (f, µ), (g, ν) e (h, ω)

tais que (f, µ)(g, ν) e (g, ν)(h, ω). Definindo θ = µ+ν +ω,

temos pela afirmação anterior que

fpdθµ=g p

dθν=h p

dθω, θ−qtp.

Defina Wcomo o conjunto quociente deW por. Em W

denotaremos a classe de um elemento (f, u) por f√dµ, isto pois

(37)

1.2. O espaço de Hilbert das semi-densidades 35

com esta. O fato é que W não é apenas um conjunto, W é um

espaço de Hilbert, que é chamadoespaço de Hilbert das semi-densidades de (X,B). A seguir, apresentamos a estrutura de adição e multiplicação por escalar em W. Defina

+ :W×W −→ W

(f√dµ, g√dν) 7−→ f√dωµ+g√dων

dω

em que ωM(X,B) é uma medida tal queµω eν ω.

Afirmação 1.18. A função + está bem definida, ou seja, inde-pende da escolha dos representantes das classes e da medida ω. Ainda mais, (W,+) é um grupo abeliano.

Demonstração. Sejam (f1, µ1), (g1, ν1), (f2, µ2) e (g2, ν2) perten-centes a W e ω1, ω2 em M(X,B) tais que µ1 ≪ ω1, ν1 ≪ ω1,

µ2 ≪ω2,ν2 ≪ω2, (f1, µ1)ℜ(f2, µ2) e (g1, ν1)ℜ(g2, ν2). Queremos verificar que

f1

p

dω1µ1+g1

p

dω1ν1, ω1

f2

p

dω2µ2+g2

p

dω2ν2, ω2

.

Antes de tudo, vejamos que tais pares estão bem definidos, ou seja, vejamos quef1pdω1µ1+g1

p

dω1ν1ef2

p

dω2µ2+g2

p

dω2ν2são

ω1 e ω2 quadrado integráveis, respectivamente. Faremos apenas

uma conta, a outra é análoga. Note que

Z f1

p

dω1µ1+g1

p

dω1ν1

2dω1 =Z |f1|2dµ1+

Z

|g1|2dν1 +

Z

(f1g1+f1g1)

p

dω1µ1 dω1ν1dω1 =

Z

|f1|2dµ1+

Z

|g1|2dν1 +Z 2 Re(f1g1)

p

(38)

≤ Z

|f1|2dµ1+

Z

|g1|2dν1+ 2

Z |f1g1|

p

dω1µ1 dω1ν1dω1

Holder

Z

|f1|2dµ1+

Z

|g1|2dν1 + 2

sZ

|f1|2dω1µ1dω1

sZ

|g1|2dω1ν1dω1 =

Z

|f1|2dµ1+

Z

|g1|2dν1+ 2

sZ

|f1|2dµ1

sZ

|g1|2dν1 =kf1k2L2(µ1)+ 2kf1kL2(µ1)kg1kL2(ν1)+kg1k2L2(ν1)

= (kf1kL2(µ

1)+kg1kL2(ν1)) 2.

Prosseguindo, definaς =ω1+ω2 e note que as medidas

µi, νi e ωi são absolutamente contínuas com relação a ς, com

i= 1,2.Além disso, por hipótese f1

p

dςµ1 =f2

p

dςµ2, ς−qtp, e também

g1

p

dςν1 =g2

p

dςν2, ς−qtp. Somando as duas igualdades acima, obtemos

f1

p

dςµ1+g1

p

dςν1 =f2

p

dςµ2+g2

p

dςν2, ς−qtp. (1.6) Relembrando aRegra da cadeiaA.33para as derivadas de Radon–

Nikodým temos que

dςµi = dωiµidςωi e dςνi= dωiνidςωi, i= 1,2.

Assim,

f1

p

dω1µ1+g1

p

dω1ν1

p

dςω1 =f2

p

dω2µ2+g2

p

dω2ν2

p

(39)

1.2. O espaço de Hilbert das semi-densidades 37

Logo,

f1

p

dω1µ1+g1

p

dω1ν1, ω1

f2

p

dω2µ2+g2

p

dω2ν2, ω2

.

Sejamf√dµ,g√dν e h√dω pertencentes aW. Queremos

veri-ficar a associatividade de +, para tanto, defina ς=µ+ν+ω e

observe que

fpdµ+g√dν+h√dω

=fpdςµ+g p

dςν

dς+h√dω

=fpdςµ+g p

dςν p

dςς+h p

dςω

dς

=fpdςµ+g p

dςν+h p

dςω

dς

=fpdςµ+

gpdςν+h p

dςω p

dςς

dς

=fpdµ+gpdςν+h p

dςω

dς

+fpdµ+g√dν+h√dω.

Sejaη :X Ca função nula. Note que para quaisquer

duas medidasµ e ν em M(X,B) vale que (η, µ)(η, ν). De fato, ηpdµ+νµ= 0 =ηpdµ+νν.

Seja 0W a classe das funçõesη√dµ. Mostremos que 0W é o elemento neutro de W. De fato,

fpdµ+ 0W=f

p

dµ+ηpdµ

=fpdµµ+η p

dµµ p

dµ

=fpdµ.

Além disso,

fpdµ+ (f)pdµ=fpdµµ+ (−f) p

dµµ p

dµ

(40)

Logo, comof√dµfoi qualquer, temos que 0Wé o elemento neutro deW e, além disso, todo elemento de W admite um inversocom

respeito a +. Concluindo, note que a comutatividade de + é

trivial.

Observação 1.19. Note que valem as seguintes igualdades:

1.

fpdµ+gpdµ=fpdµµ+g p

dµµ p

dµ

= (f+g)pdµ.

2. Seja νM(X,B) tal que νµ. Então, vale que

fpdµν p

dµ=f√dν.

De fato, tome ω = µ e observe que dωµ = 1, ω−qtp, e

νω. Assim, fpdµνd

ωµ=f√dων, ω−qtp.

Defina

⊙:C×W −→ W

(α, f√dµ) 7−→ (αf)√dµ.

Afirmação 1.20. está bem definido e satisfaz:

1. 1⊙f√dµ=f√dµ, f√dµW.

2. (α1+α2)⊙f√dµ=α1⊙f√dµ+α2⊙f√dµ,

α1, α2 C, f√dµW.

3. (α1α2)⊙f√dµ=α1⊙ α2⊙f√dµ,α1, α2 ∈C,

f√dµW.

4. α f1√dµ1+f2√dµ2=αf1√dµ1+αf2√dµ2,

(41)

1.2. O espaço de Hilbert das semi-densidades 39

Demonstração. Sejam α C, (f, µ) e (g, ν) em W tais que

(f, µ)(g, ν). Entãofpdµ+νµ=gpdµ+νν,(µ+ν)−qtp e assim

αfpdµ+νµ =αg p

dµ+νν,(µ+ν)−qtp. Logo, (αf, µ)ℜ(αg, ν)

e consequentemente⊙está bem definido. Vamos agora à demons-tração dos itens 1 a 4.

1. Trivial!

2.

(α1+α2)fpdµ= [(α1+α2)f]pdµ

= (α1f +α2f)pdµ

1.19 = (α1f)

p

dµ+ (α2f)

p

dµ

=α1⊙f

p

dµ+α2⊙f

p

dµ.

3.

(α1α2)⊙f

p

dµ= [(α1α2)f]

p

dµ

= [α1(α2f)]

p

dµ

=α1⊙(α2f)

p

dµ

=α1⊙

α2⊙f

p

dµ.

4. Defina ω=µ1+µ2 e observe que: αf1pdµ1+f2pdµ2

=αf1

p

dωµ1+f2

p

dωµ2

dω

=αf1

p

dωµ1+αf2

p

dωµ2

dω

1.19 = αf1

p

dωµ1

dω+αf2

p

dωµ2

dω

1.19 = (αf1)

p

dµ1+ (αf2)

p

(42)

Do que fizemos acima, segue que a tripla (W,+,) é

um espaço vetorial. Além disso, segue do item 1 da Observa-ção1.19 e da definição de ⊙que, para toda medidaµ, a função

L:L2(X,B, µ)Wdada porL(ψ) =ψ√dµ, é uma

transforma-ção linear. A seguir, vamos definir uma estrutura de espaço com produto interno emWe esta, por sua vez, garantirá que Lé uma isometria e que portantoL2(X,B, µ) é um subespaço fechado de

W.

Defina

h. , .iW:W×W −→ C (f√dµ, g√dν) 7−→

Z

f gd√µν.

Afirmação 1.21. A função h. , .iW está bem definida e é um produto interno em W.

Demonstração. Vejamos a boa definição deh. , .iW. Observe que sef L2(X,B, µ),gL2(X,B, ν) eθ=µ+ν, então

Z

f gd√µν

Z

|f g|pdθµ dθνdθ

sZ |f|2d

θµdθ sZ

|g|2d

θνdθ

=kfkL2(µ)kgkL2(ν).

Além disso, supondo que (f, µ)(f1, µ1), (g, ν)ℜ(g1, ν1) e redefi-nindoθ=µ+µ1+ν+ν1, temos quef√dθµ=f1√dθµ1, θ−qtp e tambémg√dθν =g1√dθν1, θ−qtp. Portanto,

Z

f gd√µν =

Z

fpdθµ g p

dθνdθ.

=

Z

f1

p

dθµ1 g1

p

(43)

1.2. O espaço de Hilbert das semi-densidades 41

Agora, mostremos queh. , .iWé um produto interno. Para tanto, escolhah√dω W,αCe defina ς =µ+ν+ω.

1. Linearidade no segundo argumento:

D

fpdµ, g√dν+αh√dωE

W

=Dfpdµ,gpdςν+αh p

dςω

dςE

W

=

Z

fgpdςν+αh p

dςω

d√µς

=Z f gpdςνd√µς+α Z

f hpdςωd√µς

=Dfpdµ,gpdςν

dςE

W

+αDfpdµ,hpdςω

dςE

W

=Dfpdµ, g√dνE

W+α

D

fpdµ, h√dωE

W. 2. Antissimetria:

D

fpdµ, g√dνE

W=

D

fpdµ, g√dνE

W=

Z

f gd√µν

=

Z

f gd√µν=Dg√dν, fpdµE

W. 3. Positividade: Note que f√dµ, f√dµW =R |f|2dµ 0.

Além disso, se f√dµ, f√dµW= 0 então f = 0, µqtp.

Logo (f, µ)(η, µ) e, portanto,f√dµ= 0W.

Como os elementosf√dµ, g√dν e h√dω W e αC

foram tomados sem particularidades, temos que as propriedades acima valem em geral e assim h. , .iW é um produto interno em

(44)

Agora, note que

kψpdµk2W=

D

ψpdµ, ψpdµE

W

=Z |ψ|2d√µµ

=

Z

|ψ|2dµ=kψk2L2(µ).

(1.7)

Daí, segue queL:L2(X,B, µ)W, dada por L(ψ) =ψ√dµ, é

uma isometria. Assim, dada µM(X,B) qualquer, temos que

L2(X,B, µ) é isomorfo a um subespaço fechado deW. Proposição 1.22. (W,h. , .iW) é um espaço Hilbert.

Demonstração. Seja{fn√dµn}nNuma sequência de Cauchy em

W eP ={nN|µn(X)6= 0}. Defina

ν =X

nP

1 2n

µn

µn(X)

.

É claro queν é uma medida finita e queµnν para todon∈N.

Além disso, pela Equação1.7 temos que

fn p

dµnfm

p

dµm

2

=fn

p

dνµnfm

p

dνµm

dν 2

=fn

p

dνµnfm

p

dνµm

2

L2(ν).

Logo, a sequência {fn√dνµn}n∈N é de Cauchy em L2(X,B, ν) e, portanto, converge para uma função ϕL2(X,B, ν). Vamos

mostrar quefn√dµn converge paraϕ

dν, para isso basta notar

que fn p

dµnϕ √ dν 2 1.19=

fn p

dνµnϕ p

dνν dν 2

(1.7) = fn

p

(45)

1.2. O espaço de Hilbert das semi-densidades 43 Assim, lim n→∞ fn p

dµnϕ

dν= lim

n→∞

fn

p

dνµnϕ

L2(ν)= 0.

Logo, fn√dµn converge paraϕ

dν.

Fomos apresentados até agora a duas construções, a pri-meira associa o espaço de Hilbert L2(X,B,C) a uma classe de medidas qualquer e a segunda construção associa o espaçoW a

classe M(X,B). Gostaríamos de saber qual a relação entre estas construções e se as duas resultam no mesmo espaço no caso em queC=M(X,B). O próximo Teorema responde à nossa questão. Teorema 1.23. Seja C uma classe de medidas. Então, existe um isomorfismo isométrico entre L2(X,B,C) e um subespaço fechado de W. Além disso, se C=M(X,B), então L2(X,B,C) é isometricamente isomorfo a W .

Demonstração. FixeCuma classe de medidas. Respeitando as no-tações da primeira seção, defina o operadorT :VN W, dado por

T Pni=1αifi√dµi=Pni=1αifi√dµi.Vejamos queT está

bem definido. Sejam u=Pni=1αifi√dµi e v=Pmj=1βjgjpdνj

em Vtais que uvN, ou seja, Ψ(uv, uv) = 0. Definindo

ω =Pni=1µi+Pmi=1νi, pela Equação (1.3), temos que Z n X i=1

αifi p

dωµim X

j=1

βjgj p

dωνj 2

dω= Ψ(uv, uv) = 0.

Assim,Pn

i=1αifi√dωµi =Pjm=1βjgjpdωνj, ω−qtp, e portanto,

(

n X

i=1

αifi p

dωµi, ω ) ℜ( m X

j=1

βjgj p

(46)

Logo,

n X

i=1

αifi p

dµi = n X

i=1

αifi p

dµi

=

n X

i=1

αifi p

dωµi ! √ dω =   m X j=1

βjgj p

dωνj  √dω

=

m X

j=1

βjgj p

dνj.

Assim, T está bem definida. Agora, verifiquemos que T é

linear e isométrica. Para tanto, tomeu, vVe ω como antes, e

também um escalarαC. Note que

T([u] +α[v]) =T([u+αv])

=

n X

i=1

αifi p

dµi+ m X

j=1

(αβj)⊙gj p

dνj

=

n X

i=1

αifi p

dµi+ m X

j=1

αβjgj p

dνj

=

n X

i=1

αifi p

dµi+α⊙  

m X

j=1

βjgj p

dνj  

=T([u]) +αT([v]).

Além disso,

hT([u]), T([v])iW =

* n X

i=1

αifi p

dµi, m X

j=1

βjgj p

dνj +

W

=

* n X

i=1

αifi p

dωµi ! √ dω,   m X j=1

βjgj p

dωνj  √dω

Figure

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