Alguns Teoremas Limites para Sequências de Variáveis Aleatórias

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Euclésio Rangel Waiandt

Alguns Teoremas Limites para Sequências de

Variáveis Aleatórias

  

Vitória-ES, Brasil

Outubro de 2014

  

Euclésio Rangel Waiandt

Alguns Teoremas Limites para Sequências de Variáveis

Aleatórias

  Dissertação submetida como parte dos re- quisitos para a obtenção do título de Mes- tre em Matemática pelo Programa de Pós- Graduação em Matemática da Universidade Federal do Espírito Santo.

  

Universidade Federal do Espírito Santo – UFES

Departamento de Matemática

Programa de Pós-Graduação em Matemática

  

Orientador: Fábio Júlio da Silva Valentim

Vitória-ES, Brasil

Outubro de 2014 Waiandt, Euclésio Rangel, 1982- W138a Alguns teoremas limites para sequências de variáveis aleatórias / Euclésio Rangel Waiandt.

  1. Variáveis aleatórias. 2. Convoluções (Matemática). 3. Distribuição (Teoria da probabilidade). I. Valentim, Fábio Júlio da Silva. II. Universidade Federal do Espírito Santo. Centro de Ciências Exatas. III. Título.

  Dados Internacionais de Catalogação-na-publicação (CIP) (Biblioteca Central da Universidade Federal do Espírito Santo, ES, Brasil)

  • – 2014. 104 f. Orientador: Fábio Júlio da Silva Valentim. Dissertação (Mestrado em Matemática)
  • – Universidade Federal do Espírito Santo, Centro de Ciências Exatas.

  CDU: 51

  

Aos meus Ąlhos, pois a existência deles

é o que me faz querer evoluir como ser humano.

  

Agradecimentos

  À minha esposa, Ervânia, por ter conĄado na minha escolha em fazer o Mestrado em Matemática e por ter me apoiado e motivado durante o curso. Aos meus Ąlhos, Êndrio e Eduarda, por existirem e serem a motivação para seguir sempre em frente. Ao meu orientador, Prof. Dr. Fábio Júlio da Silva Valentim, por ter conĄado na minha capacidade em fazer este trabalho. Aos meus pais, Helmut e Marineuza, pelos valores que me ensinaram, os quais contribuem nas escolhas que faço.

  

Resumo

O Teorema Central do Limite e a Lei dos Grandes Números estão entre os

mais importantes resultados da teoria da probabilidade. O primeiro deles busca con-

n ⊗E n

  √

dições sob as quais converge em distribuição para a distribuição normal com

n

parâmetros 0 e 1, quando n tende ao inĄnito, onde S é a soma de n variáveis ale-

atórias independentes. Ao mesmo tempo, o segundo estabelece condições para que

n ⊗E n n convirja a zero, ou equivalentemente, para que convirja para a esperança
  • +

    das variáveis aleatórias, caso elas sejam identicamente distribuídas. Em ambos os

    n n >

    casos as sequências abordadas são do tipo , onde a 0 e b são constantes

    n

    reais. Caracterizar os possíveis limites de tais sequências é um dos objetivos dessa

    dissertação, já que elas não convergem exclusivamente para uma variável aleatória

    degenerada ou com distribuição normal como na Lei dos Grandes Números e no Te-

    orema Central do Limite, respectivamente. Assim, somos levados naturalmente ao

    estudo das distribuições inĄnitamente divisíveis e estáveis, e os respectivos teoremas

    limites, e este vem a ser o objetivo principal desta dissertação. Para as demonstra-

    ções dos teoremas utiliza-se como estratégia principal a aplicação do método de

    Lyapunov, o qual consiste na análise da convergência da sequência de funções ca-

    racterísticas correspondentes às variáveis aleatórias. Nesse sentido, faremos também

    uma abordagem detalhada de tais funções neste trabalho.

  

Palavras-chave : Sequências de Variáveis Aleatórias. Funções Características. Dis-

tribuições InĄnitamente Divisíveis e Estáveis. Teoremas Limites.

  

Abstract

The Central Limit Theorem and the Law of Large Numbers are among the

most important results of probability theory. The Ąrst one seeks conditions under

n ⊗E n

  √

which converges in distribution to the normal distribution with parameters

n

0 and 1, when n tends to inĄnity, where S is the sum of n independent random vari-

n n

  ⊗E

ables. At the same time, the second gives conditions such that converges to

n

zero, or equivalently, that converges to the expectation of the random variables,

  • +

    if they are identically distributed. In both cases, the sequences discussed are of the

    n n >

    type , where a 0 and b are real constants. Characterizing the possible lim-

    n

    its of such sequences is one of the goals of this dissertation, as they not only converge

    to a degenerated random variable or a random variable with normal distribution,

    as the Law of Large Numbers and the Central Limit Theorem, respectively. Thus,

    we are naturally led to the study of inĄnitely divisible and stable distributions and

    their limits theorems. This becomes the main objective of this dissertation. In order

    to prove the theorems, the method of Lyapunov is applied as the main strategy,

    which analyzes the convergence of the sequence of characteristic functions related

    to the random variables. So we carry out a detailed approach of such functions in

    this research.

  : Sequences of Random Variables. Characteristic Functions. InĄnitely Key-words Divisible and Stable Distributions. Limits theorems.

  • Convolução

  ( ) (⊗∞) lim

  sup

  ⊃∞

  lim sup lim

  ⊙

  inf

  ⊃∞

  Parte inteira de lim inf lim

  ⊗álgebra de Borel ⌊

  à

  Família de índices ℬ(R)

  ( ) ℒ

  ⊃⊗∞

  ⊃∞

  Lista de símbolos

  ( ) (∞) lim

  ⊃

  ( ) ( ⊗) lim

  ⊃ +

  ( +) lim

  União disjunta

  ∙ ⎷

  ⊗⊃

  ⊃∞

  ⊗⊃ e

  ⊃∞

  = 2 1 é igual a 2 em distribuição ⊗⊃ converge a em distribuição ⊗⊃ converge a em probabilidade ← e

  E Esperança da variável aleatória Variância da variável aleatória 1

  ⊙

  

Sumário

  

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

  

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

   . . . . . . . . . . . . . . . 14

   . . . . . . . . . . 17

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

3 Convergência de Sequências de Variáveis Aleatórias . . . . . . . . . . . . . 44

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

   . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4 Distribuições InĄnitamente Divisíveis e Estáveis . . . . . . . . . . . . . . . . 67

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93

5 Considerações Finais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

   . . . . . . . . . . . . . 101

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

1 Introdução

  A origem da teoria da probabilidade se deu em meados do século XVII e está atrelada à forma como Pascal e Fermat lidavam com jogos de azar, a qual não se encaixava nos conceitos matemáticos daquela época. Como as ciências naturais até então eram pouco desenvolvidas, os jogos de azar e os problemas de demograĄa foram durante muito tempo o seu único objeto de estudo, e os problemas eram resolvidos com o uso de aritmética elementar e métodos combinatórios.

  Com a evolução das ciências naturais foi necessário o surgimento de métodos mais soĄsticados e eĄcazes para o tratamento das informações. Na física molecular, por exem- plo, descobriu-se que cada substância é composta por pequenas partículas que estão em constante movimento, o que Ącou conhecido como movimento browniano. Esta nomen- clatura é uma homenagem ao britânico Robert Brown, que foi o primeiro a observar tal fato, em 1827. Em 1905 Albert Einstein propôs uma descrição matemática do movimento a partir das leis da física, mas somente na década de 20 é que tal teoria foi formalizada por Norbert Wiener.

  Para termos uma ideia intuitiva do que é o movimento browniano, consideremos uma partícula que a cada unidade de tempo Δ se move para a direita ou para a esquerda, 1 uma distância Δ com probabilidade para ambos os lados. Considere também as va- 2 1 riáveis aleatórias independentes , , = Δ ) = ( , 1 2 ≤ ≤ ≤ , tais que ( = ⊗Δ ) = 2

  ⌊︁ ⌋︁

  = 1, 2, ≤ ≤ ≤ . Observe que num tempo , a partícula salta vezes, onde ⌊ ⌋ indica a parte inteira de , e assim, a posição da partícula no instante é dada por t ( ) = 1 t + ≤ ≤ ≤ + ⌊ ⌋.

  ⌊︁ ⌋︁ 2 2

  Como E ( ) = 0 e E ( ) = (Δ ) , tomamos Δ = Δ para que a variância de 1 1

  √

  ( ) seja sempre Ąnita e diferente de zero. Daí, tomando Δ = , teremos Δ = , e 1 1 1

  √ √

  logo, ( = ) = ( ) = . Assim, ( ) terá a mesma distribuição que = ⊗ 2 1

  ⌊

  • ≤ ≤ ≤ + ( ) = ,
  • 1 √ onde ( = 1) = ( . Agora, observando que = ⊗1) = 2

      (︃ )︃

      √ 1

      ⌊

    • ≤ ≤ ≤ + ( ) = ,

      √ basta aplicarmos o Teorema Central do Limite e teremos ( ) ⊗⊃ (0, ) quando vai para o inĄnito. A partir daí deĄne-se que um movimento browniano ( ) é um processo esto-

      ⊙0

      cástico : Ω × [0, ∞) ⊃ R, tal que valem as três condições abaixo: Capítulo 12)

    1. Para quase todo æ ∈ Ω Ąxado, (æ, ≤) : [0, ∞) ⊃ R é uma função contínua com

      (æ, 0) = 0;

      2. Os incrementos (0, );

      , 0 ⊘ < , são tais que

      3. Incrementos em intervalos de tempo disjuntos são independentes, isto é, 4 ⊗ 3 e 2 1 1 < < . 2 3 4 são independentes sempre que 0 ⊘

      Na construção do movimento browniano que Ązemos acima Ąca claro que as noções elementares da teoria da probabilidade não são suĄcientes para resolver tal problema. Foi necessário construir uma sequência de variáveis aleatórias e aplicar o Teorema Central do Limite a ela. Pascal e Fermat já tinham a ideia de que propriedades importantes podiam aparecer a partir da análise de um grande número de eventos aleatórios, mas somente na década de 1910, quando E. Borel percebeu que seria interessante conectar a teoria da probabilidade com a teoria métrica das funções de uma variável real, é que tal abordagem se tornou efetiva. Na década seguinte, Khintchin, Kolmogorov, Paul Lévy, entre outros, desenvolveram essas ideias, fazendo com que a teoria da probabilidade passasse a destacar- se pela rapidez do seu desenvolvimento e pela sua grande aplicabilidade.

      Além do Teorema Central do Limite, que utilizamos acima, um outro teorema muito importante a respeito do limite de uma sequência de variáveis aleatórias é a Lei dos Grandes Números, que além de ser fundamental na teoria de processos estocásticos, pode ser utilizado também para a obtenção de resultados em outras áreas do conhecimento. Vejamos uma pequena aplicação de tal teorema à análise: sendo uma função contínua

      (︁ )︁ (︁ )︁ ∑︀ ⊗

      ( ) = o polinômio de Bernstein em [0, 1], e para cada ∈ N, (1 ⊗ ) =0 de , então ¶ ♢ ⊙1 converge pontualmente a em [0, 1], quando ⊃ ∞. De fato, 1 , , 2 Ąxado ∈ [0, 1], considere as variáveis aleatórias independentes ≤ ≤ ≤ , todas com distribuição de Bernoulli com probabilidade de sucesso, isto é, ( = 1) = e

      ( = , temos da teoria básica de probabilidade 1 = 0) = 1 ⊗ . Sendo + ≤ ≤ ≤ + que

      (︃ )︃ ⊗

      ( = ) = , (1 ⊗ ) 0 ⊘ .

      (︁ )︁ (︁ )︁ n n ∑︀

      Logo, ( = ) = , donde segue que E( ) = , e (1 ⊗ ) =0 (1 ⊗ ) consequentemente,

      (︃ )︃ (︃ )︃ (︂ )︂ ∑︁

      ⊗

      E = = ( ). =0 (1 ⊗ ) Como , , 1 2 ≤ ≤ ≤ têm esperança igual a , temos pela Lei Fraca dos Grandes Números n de Khintchin que

      ⊗⊃ , quando ⊃ ∞, e como é contínua em [0, 1], segue que

      (︁ )︁ n Seção 4.1). Além disso, como [0, 1] é

      ⊗⊃ ( ), quando ⊃ ∞ n n (︁ )︁ compacto, é uniformemente contínua em [0, 1], e como ♣ ♣ ⊘ 1 segue que ¶ ♢ ⊙1

      (︁ )︁ n ⊃∞

      é limitada. Assim, pelo Teorema da Convergência Dominada segue que E ⊗⊃

      ⊃∞

      E ( ) = ( ), isto é, ( ) ⊗⊃ ( ).

      No exemplo acima mostramos que converge pontualmente a , e usando a de- sigualdade de Chebyshev, poderíamos mostrar também que a convergência é uniforme Teorema 5.5.4). Mas esse não é o nosso objetivo aqui, bem como não estávamos preocupados em deĄnir rigorosamente o movimento browniano acima. Na ver- dade, a ideia é ressaltar a importância que têm os teoremas limites para sequências de variáveis aleatórias, destacando o Teorema Central do Limite e a Lei dos Grande Núme- ros, como Ązemos. Estes são dois dos mais célebres resultados da teoria de probabilidade. Informalmente, o primeiro assegura que, sob condições bem gerais, médias amostrais de variáveis aleatórias, devidamente normalizadas em média e variância, convergem em dis- tribuição para a normal com parâmetros 0 e 1 quando o tamanho da amostra tende ao inĄnito. Da mesma forma, o segundo assegura que a média de um grande número de variáveis aleatórias normalizadas pelas suas respectivas médias, converge a zero em pro- + n n babilidade. Em ambos os casos, as sequências que aparecem são da forma , onde n

      > 0 e são sequências de números reais, e somos levados naturalmente à seguinte

    • + questão: além da distribuição degenerada e da distribuição normal, quais são as outras n n

      ? Na procura da distribuições que podem aparecer como limite das sequências ¶ ♢ ⊙1 n resposta de tal questão somos levados a estudar as classes das distribuições inĄnitamente divisíveis e estáveis, bem como os correspondentes teoremas limites, o que vem a ser o objetivo principal desta dissertação.

      O segundo capítulo da dissertação preocupar-se-á em fazer as deĄnições e enunciar os principais teoremas que serão utilizados durante a dissertação. As referências para tal capítulo são

      O terceiro capítulo tratará dos diferentes tipos de convergência que temos para uma sequência de variáveis aleatórias e da relação que existe entre elas, enunciando-se os principais teoremas a respeito. O roteiro descrito é basicamente o encontrado em

      

    exceto a seção que trata das famílias de medidas de probabilidade rígidas e

      relativamente compactas. Tal teoria pode ser encontrada em Nesse capítulo são enunciados o Teorema de Poisson e algumas versões do Teorema Central do Limite e da Lei dos Grandes Números. Para a demonstração deles utiliza-se o mé- todo de Lyapunov, o qual consiste na análise da convergência da sequência de funções características e se destaca pela sua simplicidade e aplicabilidade.

      No quarto capítulo é que estudaremos as classes das distribuições inĄnitamente divisíveis e estáveis, e os correspondentes teoremas limites. Nesse intuito faremos primeiro um estudo detalhado sobre as funções características, pois isto se faz necessário para identiĄcar as distribuições inĄnitamente divisíveis. As demonstrações feitas nesse capítulo têm como referência principal

      Os resultados aqui demonstrados não podem ser todos obtidos a partir de uma única referência citada. A maior parte deles está enunciada e demonstrada em

      

    No entanto, tal obra não aborda as distribuições estáveis e nem a convergência

      dos arranjos triangulares para as distribuições inĄnitamente divisíveis. Tais resultados podem ser encontrados em Ressalto também que as demonstrações nesta dissertação foram feitas tentando sempre detalhar e simpliĄcar os cálculos o má- ximo possível, visando que o texto Ąque acessível também para alunos de graduação. Em particular, a demonstração do Teorema

       é

      muito mais simples do que a feita em já que lá o Teorema

       não é

      enunciado. Outros resultados, como por exemplo as Proposições

      nos livros

      são apenas enunciados, enquanto que aqui são também demonstrados, e o Exemplo

      

      foi por mim elaborado para enfatizar que as somas normalizadas nem sempre convergem para a distribuição normal.

      Aos interessados, resultados similares ou que complementam os que aqui estão, podem ser encontrados em

    2 Noções Preliminares

      Para compreender a teoria aqui descrita é necessário o conhecimento prévio da teoria básica de probabilidade. Nesse sentido, este capítulo preocupar-se-á em fazer as deĄnições e enunciar os principais teoremas que serão utilizados durante a dissertação, dando-se destaque ao teorema que garante a existência de inĄnitas variáveis aleatórias identicamente distribuídas, já que tal fato é que dá sentido à noção de distribuição in- Ąnitamente divisível e estável. Por uma questão de objetividade algumas demonstrações serão ocultadas, mas poderão ser encontradas em

    2.1 Espaços de Probabilidade e Variáveis Aleatórias

      Como já foi dito na introdução, quando E. Borel percebeu que seria interessante conectar a teoria da probabilidade com a teoria métrica das funções de uma variável real é que a teoria da probabilidade passou a destacar-se como ciência. Nascia assim o conceito de variável aleatória, o qual abordaremos nesta seção. Como já foi dito também, por uma questão de objetividade, apenas enunciaremos as proposições e teoremas, sem fazer as respectivas demonstrações, as quais podem ser encontradas em e

      Fixado um conjunto Ω não vazio, uma à⊗álgebra ℱ de Ω é uma coleção de sub- conjuntos de Ω satisfazendo: i. ∅ ∈ ℱ; ii.

      ∈ ℱ para todo ∈ ℱ;

      

    iii.

      ∈ ℱ, ∈ N, implica que ∈ ℱ.

      

    ∈N

    O par (Ω, ℱ) é chamado de espaço mensurável.

      Dado um espaço mensurável (Ω, ℱ), uma medida de probabilidade é uma fun- ção : ℱ ⊃ [0, 1] tal que: i. ( ) ⊙ 0; ii. (Ω) = 1;

      ⎷

      iii. Se , , 1 2 ) =

      ≤ ≤ ≤ são elementos disjuntos pertencentes a ℱ, então (

      ∈N ∑︀ ( ).

      ∈N

      Em particular, temos ( ) = 1 ⊗ ( ) para todo ∈ ℱ.

      Definição 2.1.1

      (Espaço de Probabilidade). O trio , , ) é chamado de espaço de probabilidade. Em Probabilidade comumente refere-se ao conjunto Ω como espaço amostral e aos elementos da à-álgebra como eventos aleatórios.

      ⎷ ∑︀

      A propriedade acima que diz que ( ) = ( ) é denominada à⊗aditividade

      ∈N ∈N ⎷ ∑︀

      da medida . Quando acontece de termos apenas ( ) = ( ) dizemos que a =1 =1 probabilidade é Ąnitamente aditiva. Note que veriĄcar se uma medida é Ąnitamente aditiva é mais simples do que veriĄcar a à-aditividade. Nesse sentido temos uma valiosa proposição:

      Proposição 2.1.1.

      Uma probabilidade Ąnitamente aditiva é uma probabilidade (à-aditiva) se, e somente se, é contínua no vazio, isto é, se (

      ) ← 0 quando ← ∅.

      Definição 2.1.2

      (Variável Aleatória). Seja , , ) um espaço de probabilidade. Uma

      função : Ω

      ⊃ R será chamada de variável aleatória se for uma função mensurável, isto

      é, se para todo ∈ R, [ ] = ¶æ ∈ Ω : (æ) ⊘ é um evento aleatório.

      De outro modo, denotando por ℬ(R) a à-álgebra de Borel para R (isto é, a à- álgebra gerada pelos intervalos), podemos dizer também que : Ω ⊃ R é uma variável

      ⊗1

      aleatória se , onde é qualquer família de subconjuntos ( ) ∈ ℱ para todo de R que gera ℬ(R), por exemplo = ¶(⊗∞, ] ⊆ R : ∈ R♢ ou = ¶( , ) ⊆ R :

       , ∈ R♢.

      Definição 2.1.3 (Eventos Aleatórios Independentes). Os eventos aleatórios , , 1 2

      ≤ ≤ ≤ ,

      são ditos independentes se ⋂︁ ∏︁ ( ) = ( ). =1 =1

      Da mesma forma, dizemos que Ú Ú é uma família de eventos aleatórios independentes

      ¶ ♢ ∈ℒ

      

    se para todo Ú , Ú são independentes para quaisquer

      ∈ N os eventos aleatórios 1 ≤ ≤ ≤ , n

      Ú , 1 ≤ ≤ ≤ , Ú ∈ ℒ.

      Definição 2.1.4

      (Variáveis Aleatórias Independentes). As variáveis aleatórias , 1 ≤ ≤ ≤ ,

      são ditas independentes se para todo , 1

      ≤ ≤ ≤ , ∈ ℬ(R) tivermos

      ∏︁ ( , ) = ( ). 1 1

      ∈ ≤ ≤ ≤ , =1 Informalmente podemos dizer que as variáveis aleatórias são independentes se os

      ⊗1

      eventos aleatórios determinados por variáveis aleatórias distintas, ( ) com ∈ ℬ(R), são sempre independentes. Daí podemos considerar a deĄnição acima válida também para um número inĄnito de variáveis aleatórias.

      Definição 2.1.5

      (Função de Distribuição). Seja , , ) um espaço de probabilidade e : Ω ⊃ R uma variável aleatória. DeĄnimos a função de distribuição de , : R ⊃ R,

      por ( ) = [ ].

      Dada uma função : R ⊃ R, temos que ela é uma função de distribuição se, e ( ) = 0 e somente se, é não-decrescente e contínua à direita com (⊗∞) = lim

      ⊃⊗∞

      ( ) = 1. Outra propriedade importante é que os pontos de continuidade (∞) = lim

      ⊃∞

      de uma função de distribuição são densos em R, como mostra a seguinte proposição:

      Proposição 2.1.2. Seja : R

      ⊃ R uma função monótona. Então, o conjunto dos pontos

      

    de descontinuidade de é enumerável. Em particular, o conjunto dos pontos de desconti-

    nuidade de uma função de distribuição é enumerável, enquanto que o conjunto dos pontos

    de continuidade é denso em R. Demonstração. Sendo 1 ⊗) ⊘ ( 1 1 < 2 pontos de descontinuidade de , considere os intervalos 1 2 ⊗) ⊘ ( 2 2

      = ¶ ∈ R; ( +)♢ e = ¶ ∈ R; ( +)♢. Como é

      <

      monótona, dado ˜ tal que 1 ˜ < 2 , temos ( 1 2

    • ) ⊘ ) ⊘ ( ⊗), se é não decrescente, ou então,

      ( +), 2 1 ⊗) ⊘ ) ⊘ ( se é não crescente. Segue que e são intervalos disjuntos, e como em cada intervalo 1 2 aberto há um número racional, podemos construir uma função injetiva associando cada que é ponto de descontinuidade de a algum número racional pertencente a

      = ¶ ∈ R

      ; ( ⊗) ⊘ ( +)♢. Segue que o conjunto dos pontos de descontinuidade de é enumerável.

      

    Definição 2.1.6. Sejam , variáveis aleatórias deĄnidas no espaço de proba-

    1

      ≤ ≤ ≤ ,

      bilidade , 1 , é a função

      ℱ, ). A função de distribuição conjunta de ≤ ≤ ≤ , : R

      ⊃ R dada por 1 n , ( , ) = ( , ). 1 1 1

      

    ≤≤≤ , ≤ ≤ ≤ , ≤ ≤ ≤ ,

      A partir da deĄnição acima temos o seguinte resultado a respeito da independência de variáveis aleatórias:

      

    Proposição 2.1.3 (Critério Para Independência). Sejam , variáveis aleatórias

    1

      ≤ ≤ ≤ ,

      deĄnidas no espaço de probabilidade ,, ). i. Se 1 , são independentes, então

      ≤ ≤ ≤ , , , , .

      

    ∏︁

    1 ≤≤≤ , n ≤ ≤ ≤ , j ≤ ≤ ≤ , ( 1 ) = ( ), para todo ( 1 =1 ) ∈ R

    ii. Reciprocamente, se existem funções , tais que

      1

      ≤ ≤ ≤ , lim ( ) = 1 para todo , e

      ⊃∞ 1 n , ( , ) = ( ), para todo ( , , 1

    ∏︁

    1 ≤≤≤ , ≤ ≤ ≤ , ≤ ≤ ≤ , ) ∈ R =1 então 1 , são independentes e = para todo = 1, ≤ ≤ ≤ , j ≤ ≤ ≤ , .

      Definição 2.1.7. Seja ,

      ℱ, ) um espaço de probabilidade e : Ω ⊃ R uma variável aleatória.

      ∙ Dizemos que é uma variável aleatória discreta se existe um conjunto enume-

      rável , , , ,

      ¶ 1 2 ≤ ≤ ≤ ♢ ⊆ R tal que (æ) ∈ ¶ 1 2 ≤ ≤ ≤ ♢ para todo æ ∈ Ω. Se o conjunto

      for Ąnito com elementos, dizemos que a função de distribuição de possui átomos.

    • +Dizemos que é uma variável aleatória absolutamente contínua se existe

      uma função : R tal que a função de distribuição de é dada por

      ⊃ R

      ∫︁

      ( ) = ( ) , ∈ R

      

    ⊗∞

    Nesse caso, é chamada de densidade de probabilidade de , ou simplesmente, densidade de .

      ∙ Dizemos que é uma variável aleatória singular se a sua função de distribuição

      ′ ′

       é contínua com

      ( ) = 0 em quase toda a parte, isto é, se ( ) ̸= 0 apenas num conjunto de medida nula.

      é densidade de alguma variável aleatória se, e Note que uma função : R ⊃ R + somente se,

      ∫︁ ∞ ( ) = 1.

      ⊗∞

      Por deĄnição, dada uma medida de probabilidade, existe uma função de distribui- ção associada a ela. A recíproca de tal fato também é verdadeira, isto é, dada uma função de distribuição , obtemos uma medida de probabilidade Û em (R, ℬ(R)). A medida Û nos intervalos é dada por Û( , ] = ( ) ⊗ ( ) e se estende pelo Teorema de Extensão de Medidas de Caratheodory Capítulo 2, Seção 3) a uma medida de probabilidade Û deĄnida em (R, ℬ(R)).

    2.2 Existência de InĄnitas Variáveis Aleatórias Independentes

      Um dos principais objetivos desta dissertação é investigar o comportamento de uma sequência de variáveis aleatórias. Nesse contexto, precisamos da existência de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas deĄnidas num espaço de probabilidade adequado, qualquer que seja o inteiro positivo . Assim, antes de qualquer coisa, é preciso que tenhamos certeza de que tais variáveis aleatórias existem, e isso Ąca claro no teorema seguinte Capítulo 3, Teorema 3.3.4).

      

    Teorema 2.2.1. Seja uma sequência Ąnita ou inĄnita de medidas de probabi-

      ¶Û ♢ ⊙1

      lidade deĄnidas em (R,

      ℬ(R)). Então existe um espaço de probabilidade , , ) e uma

      

    sequência de variáveis aleatórias independentes em , é a

      ¶ ♢ ⊙1 ℱ, ) tais que Û medida de probabilidade de para todo .

      

    Demonstração. Sem perda de generalidade podemos supor que a sequência é

      ¶Û ♢ ⊙1 inĄnita, uma vez que a prova nesse caso também servirá para o caso Ąnito. Observe que para todo existe um espaço de probabilidade (Ω , , ) e uma variável aleatória

      ℱ nele deĄnida com Û sendo a medida de probabilidade a ela associada. De fato, basta tomar

      , , (Ω ) e como a função identidade em R, isto é, (æ) = æ.

      ℱ ) = (R, ℬ(R), Û

      Vamos Ąxar então um espaço (Ω , , ) e uma variável aleatória para cada . Resta- ℱ nos construir o espaço (Ω, , ) no qual as variáveis aleatórias estão deĄnidas e provar que elas são independentes. Para o espaço amostral vamos considerar

      

      Ω , Ω = × =1 que é o conjunto formado pelos pontos da forma æ = (æ , æ , ... ) com æ para todo 1 2 ∈ Ω . Passaremos agora à determinação de uma à-álgebra de subconjuntos de Ω.

      Dizemos que ⊆ Ω é um conjunto produto Ąnito se

      ∞ 1

    , æ ,

    2

      = × =1 = ¶(æ ≤ ≤ ≤ ); æ ,

      ′

      onde para todo e para um número Ąnito de . Vamos representar a ∈ ℱ ̸= Ω classe de tais conjuntos por , isto é,

      = ¶ ∈ Ω : é um conjunto produto Ąnito♢ uma classe de subconjuntos de Ω cujos elementos são a união disjunta de um Seja ℱ número Ąnito de conjuntos produto Ąnito, isto é,

      ⋃︁ ( ) (1) ( ) ( ) ( )

      com , e ℱ = ¶ ⊆ Ω : = ≤ ≤ ≤ , = ∅ se ̸= . =1 é uma álgebra, deĄnir uma medida de probabilidade ,

      Vamos veriĄcar que ℱ

      à

      de maneira única

    • aditiva em ℱ , e usando o Teorema de Caratheodory, estenderemos ℱ a uma à-álgebra ℱ e a uma medida de probabilidade em ℱ.

      . Além disso, dados e , temos 1 2 Claramente Ω ∈ ℱ ∈ ℱ 1 2

      

    ⋃︁ ⋃︁

    ( ) ( ) 1 = , e = , =1 =1 2

      ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ′ ′ ′

      onde os e os pertencem a , e = ∅ se ̸= = ∅ se

      ′

      , e logo,

    • + ̸=
    • 1 2 1 2

        ⋃︁ ⋃︁ ⋃︁ ( ) ( ) ( ) 1 2 = = , ( ) ( ) ( ) ) =1 =1 =1

      (

      1

        onde = 1 e = para + 1 1 2 . Note que os para 1 ⊘ + 1 ⊘ ( ) ( ) (1)

        ( )′ ( ⊗1)

        não são necessariamente disjuntos, mas se usarmos = ], ⊗[ ∪≤ ≤ ≤∪ teremos 1 + + 2 1 2

        ⋃︁ ⋃︁ ( ) ( ) =1 =1 = , ( )′

        onde os são disjuntos e pertencem a . Assim, , e para mostrarmos 1 2 ∈ ℱ

        é fechado em relação à que ℱ é uma álgebra de conjuntos de Ω, falta mostrar que ℱ ( ) complementação. De fato, dado , temos ∈ ( )

        ∞ ,

        = × =1 ( )

        ′

        onde para todo e para um número Ąnito de . Logo, será ∈ ℱ ̸= Ω

        ∞

        ˜ , onde ˜ = ou ˜ = para dado pela união Ąnita de conjuntos da forma × =1 ( ) e = Ω para > . Assim, se escreve como união de um número Ąnito

        ⊘ de elementos de , e logo temos que, ( ) .

        ∈ ℱ , temos

        Para o caso geral, dado ∈ ℱ

        

      ⋃︁

      ( ) = . =1

        Logo,

        ⋂︁ ( )

        = , =1 ∈ ℱ uma vez que a interseção de um número Ąnito de elementos de resulta em um elemento de (basta observar que [ 1 2 1 2

        × ] ∩ [ × ] = [ ] × ).

        é uma álgebra de subconjuntos de Ω. Agora vamos Assim, veriĄcamos que ℱ da seguinte maneira: deĄnir uma medida de probabilidade em ℱ

        ∞ =1 ∈ ℱ ̸= Ω , onde para todo e para um

        Se (temos = ×

        ′

        número Ąnito de ) vamos deĄnir

        

      ∏︁

      ( ) = ( ). =1

        Note que nesse caso existe ( ) = (Ω ) = 1 para todo > , e ∈ N tal que assim temos

        

      ∏︁

      ( ) = ( ). =1

        ⎷ ( ) (1) ( ) ( ) ( ) ,

        (temos = com e ≤ ≤ ≤ ,

        Para o caso geral, se ∈ ℱ =1 = ∅ se ̸= ) deĄnimos

        

      ∑︁

      ( )

        ( ) = ( ). (2.1) =1 e (Ω) = 1. É fácil veriĄcar também Trivialmente temos ( ) ⊙ 0 para todo ∈ ℱ 1 2

        ⎷ ⎷ ( ) ( )

        e = , e logo, usando que se , ∈ ℱ , com ̸= ∅, temos = ( ) ( ) ( ) 1 ) =1 =1

        (

        = e = se , segue que 1 1 2 se 1 ⊘ + 1 ⊘

        ⎛ ⎞ 1 2 + (︃ )︃ 1 2 ⋃︁ ⋃︁ ⋃︁ ( ) ( ) ( )

      • + ∐︁ ⎠

        = ( ) = 1 2 =1 =1 =1 1 2

        (︁ )︁ (︁ )︁ (︁ )︁ ∑︁ ∑︁ ∑︁

        = = + =1 =1 =1 ( ) ( ) ( ) = ( ) + ( ).

        . Para veriĄcar que Assim, é uma medida de probabilidade Ąnitamente aditiva em ℱ

        é à-aditiva, vamos mostrar que é contínua no vazio, conforme a Proposição de forma que exista Ó > 0 tal que

        Para tanto, considere uma sequência ¶ ♢ ⊙1 em ℱ

        ∞ ⎸

        para todo tenhamos e ( +1 ) ⊙ Ó. Precisamos mostrar que ̸= ∅. =1 Recorde que para todo ∈ ℱ existe ∈ N tal que é determinado por coordenadas,

        ′ ′ ′ ′

        isto é, dados æ = (æ , æ , = (æ , æ , = æ 1 2 ≤ ≤ ≤ ) e æ 1 2 ≤ ≤ ≤ ) com æ para 1 ⊘ temos que ambos pertencem a , ou nenhum dos dois pertence. Note também que sendo e 1 2 o número mínimo de coordenadas de e , respectivamente, temos que 1 2 2 1

        ⊆ implica que . Além disso, se é determinado por coordenadas, será determinado 1 2 também por + coordenadas, qualquer que seja o inteiro positivo . Assim, tomando uma subsequência se necessário, podemos supor que para grande, é determinado por coordenadas. Agora, dado Ú 1 1 , deĄna

        ∈ Ω 1 ) = Ω 1 1 , ×

        ( Ú onde

        ∞ 1 2

      , æ , Ω : (Ú , æ , æ ,

      3 1 2 3 = ¶(æ ≤ ≤ ≤ ) ∈ × =2 ≤ ≤ ≤ ) ∈ .

        Note que se Ú 1 1 não for a primeira coordenada de nenhum ponto de , então ( Ú ) = ∅. 1 , com Outro fato é que se ∈ ℱ , o mesmo ocorre com ( Ú ). Além disso, se

        ∞

        , temos imediatamente que = × =1

        ⎧ ⋁︁ ⨄︁

        Ω se Ú 1 2 3 1 1 × × × ≤ ≤ ≤ , 1 ) = .

        ( Ú

        ⋁︁ ⎩ /

        se Ú 1 1, Ó

        Vamos mostrar que existe Ú tal que (( para todo . Para tanto, 1 1 1 ∈ Ω ♣Ú )) ⊙ 2 observe primeiramente que

        ∫︁ ( ) = (( )) (æ ). æ 1 1 1

        ∞

        Isso é imediato se , pois nesse caso temos com para todo ∈ = × =1 ∈ ℱ

         , = Ω se > , e ⎧ ⋁︁ ⨄︁

        Ω se æ 1 2 3 1 1 × × × ≤ ≤ ≤ ,

        ( 1 ) = .

        ♣æ

        ⋁︁ ⎩

        se æ 1 / 1,

        Daí segue que

        ∞ ∏︁

        (( )) = (æ ) ( ),æ 1 1 1 =2 onde

        ⎧ ⋁︁ ⨄︁

        1, se æ 1 1 1 (æ 1 ) = ,

        ⋁︁ ⎩

        0, se æ / 1 ∈ 1 e logo,

        ∫︁ ∫︁ ∞ ∞ ∏︁ ∏︁

        (( )) (æ ) = (æ ) ( ) (æ ) = ( ) = (( )). 1 1 1 1 1 1 1 Ωæ 1 1 =2 =1

        ⎷ ⎷ ( ) ( )

        No caso geral, se , então = , e logo temos ( ) = ( ), onde 1 1 ( ) ( ) ∈ ℱ =1 =1ææ ( 1 1

        ♣ææ ) ∩ ( ) = ∅ se ̸= . Segue que

        ∫︁ ∑︁ ∑︁ ( ) ( )

        ( ) = ( ) = ( ) (æ ) 1 1 1 =1 =1 1æ

        (︃ )︃ (︃ )︃ ∫︁ ∫︁

      ∑︁ ⋃︁

      ( ) ( )

        = (( )) (æ ) = ( ) (æ ) 1 1 1 1 1 1 Ω Ω 1 =1 =1ææ 1

        ∫︁ = (( )) (æ ). 1 1 1 1æ

        DeĄna agora o conjunto por 1 ⊆ Ω

        Ó 1

      1 : ((

      1 .

        ∈ Ω ♣æ = ¶æ )) ⊙ Ó 2♢

        Note que para æ 1 temos 1 1 / (( æ Ó 2 )) ⊘ 1, e para æ temos 0 ⊘

        (( 1 )) < . Segue daí queæ 2

        ∫︁ Ó

        ) = (( 1 )) 1 (æ 1 ) ( æ 1

        ∫︁ ∫︁

        = (( )) (æ ) + (( )) (æ ) 1 1 1 1 1 1 nææ c n

        (︃ )︃ ∫︁ ∫︁ ∫︁ ∫︁ 1 (æ 1 ) + Ó Ó Ó 1 (æ 1 ) = 1 (æ 1 ) + 1 (æ 1 )

        ⊘ n c 1 ⊗ n 2 n

        2

        2

        (︃ )︃ Ó Ó

        = 1 ( ) + , 1 ⊗

        2

        2 donde temos

        (︃ )︃ Ó Ó 1 ( ,

        1 ⊗ ) ⊙

        2

        2 e logo 2Ó Ó 1 ⊙ ( ,

        ) ⊙

        2 2(2 ⊗ Ó) decresce junto com , uma vez que æ 1 +1

        ∈ qualquer que seja ⊙ 1. Observe que Ó implica (( 1 +1 1 , e consequentemente æ 1 . Assim, temosææ

        )) ⊙ (( )) ⊙ 2

        ∞ ∞ ∞ ⎸ ⎸ ⎸ Ó 1 ( , e logo, ) ⊙ ̸= ∅. Tomando Ú ∈ , temos que para todo ⊙ 1 1 =1 =1 =1 2 vale

        Ó (( . 1

        ♣Ú )) ⊙

        2 Resumindo, partindo de ( 1 1 tal ∈ Ω Ó ) ⊙ Ó para todo ⊙ 1, chegamos à existência de Ú Ó que (( 1 1

        ♣Ú )) ⊙ para todo ⊙ 1. Repetindo o argumento, partindo de (( Ú )) ⊙ 2 Ó 2 2 2 tal que (( , Ú para todo 1 2 para todo ⊙ 1, obteremos a existência de Ú ∈ Ω ♣Ú )) ⊙ 4 de forma ⊙ 1, e por recorrência, obteremos para todo ⊙ 1 a existência de Ú ∈ Ω que para todo ⊙ 1 vale

        Ó (( , . 1

        ♣Ú ≤ ≤ ≤ , Ú )) ⊙

        2 Segue daí que ( , 1Ú ≤ ≤ ≤ , Ú ) ̸= ∅ para todo , isto é, sempre existe um ponto em cujas primeiras coordenadas são Ú , , respectivamente. Logo, todo ponto cujas 1

        ≤ ≤ ≤ , Ú primeiras coordenadas são Ú , , respectivamente, está em , qualquer que seja 1 ≤ ≤ ≤ , Ú

        . Assim, tomando Ú = (Ú , Ú , para todo , e daí 1 2 ≤ ≤ ≤ ), temos que Ú

        

      ⋂︁

        

      Ú ,

        ∈ =1 como queríamos demonstrar.

        , e logo, do Teorema de Assim, é uma medida de probabilidade deĄnida em ℱ

        Extensão de Medidas de Caratheodory Capítulo 2, Seção 3) temos e uma medida de probabilidade que que existe uma única à-álgebra ℱ que estende ℱ estende deĄnida em ℱ. Dessa forma Ąca provado que existe um espaço de probabilidade 1 , , 2

        (Ω, , ) no qual está deĄnida a variável aleatória = ( ≤ ≤ ≤ ), e além disso, como

        ∞ √︂

        ∞

        ) = ( ) para todo , temos que as variáveis aleatórias , , 1 2 (× =1 ∈ ℱ =1

        ≤ ≤ ≤ são independentes.

        Em nenhum momento se fez necessário que as medidas de probabilidade fossem todas distintas, e portanto, bastava que existisse uma quantidade Ąnita delas. Em parti- cular, se tomarmos as medida de probabilidade todas iguais, obteremos a existência de inĄnitas variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas.

        Outra fato que é importante observar é que na equação n deĄnimos ( ) para

        ∙ ⎷ ( ) (1) ( )

        usando a decomposição = com , . É importante ∈ ℱ =1 ≤ ≤ ≤ , ressaltar que essa decomposição não é única, mas esse fato não inĆuencia a deĄnição de

        ( ), pois se tivermos n1 n2

        

      ∙ ∙

      ⋃︁ ⋃︁

      ( ) ( ) ̂︀

        = = , (2.2) =1 =1 teremos 1 2

        ∑︁ ∑︁ ( ) ( ) ̂︀ =1 ( ) = ( ). (2.3) =1

        , consideremos as representações de como na equação

        Note

        De fato, dado ∈ ℱ n2

        ∙ ( ) ( ) ( ) ( )1 teremos = ( ), e portanto, ( ) = ̂︀

        ∩ que para todo = 1, ≤ ≤ ≤ , 2 =1

        ∑︀ ( ) ( ) ̂︀

        ( ). Segue que =11 1 2

        ∑︁ ∑︁ ∑︁ ( ) ( ) ( ) ̂︀

        ( ) = ( ). =1 =1 =1n1

        ∙ ( ) ( ) ( ) ⎷ ̂︀ ̂︀ 2 que = ( ), e

        Analogamente teremos também para todo = 1, ≤ ≤ ≤ , =1 portanto 2 2 1

        ∑︁ ∑︁ ∑︁ ( ) ( ) ( ) ̂︀ ̂︀

        ( ) = ( ), =1 =1 =1 ∩ veriĄcando-se assim a equação

        como queríamos.

      2.3 Esperança Matemática

        Para falarmos sobre a Lei dos Grandes Números e o Teorema Central do Limite é necessário deĄnirmos primeiro o que são a esperança e a variância de uma variável aleató- ria. Informalmente, a esperança é o valor que se espera obter ao escolher aleatoriamente 2 um elemento de (Ω), e a variância mede quanto que a esperança de se afasta do quadrado da esperança de . Com isso em mente, é natural pensarmos que no caso da variável aleatória discreta que assume apenas valores positivos, a esperança coincide com a média aritmética ponderada dos valores de (Ω), e em Capítulo 3) ela é deĄnida exatamente dessa maneira. No caso geral, ela é obtida por aproximação a partir de uma sequência de variáveis aleatórias discretas, analisando-se separadamente as partes positiva e negativa, chegando-se assim aos resultados que seguem.

        Definição 2.3.1

        (Esperança). Seja : Ω ↦⊃ R uma variável aleatória cuja função de

        distribuição é . A esperança de é deĄnida como ∫︁ ∫︁ ∫︁

        ∞

        E = ( ) = = (æ) (æ), Ω Ω

        ⊗∞ desde que as integrais estejam bem deĄnidas. Se E = Û <, dizemos é integrável. Note que

        ∫︁ ∫︁ ∫︁ ∞ ∞

        E = ( ) = ( ) + ( ) = + ,

        ⊗∞ ⊗∞

        de onde segue que i. é integrável se e são Ąnitas; ii. E = ∞ se é Ąnita e = ∞;

      iii. E = ⊗∞ se é Ąnita e = ⊗∞; iv. E não está deĄnida se = ⊗∞ e = ∞.

        Proposição 2.3.1.

        Seja é uma variável aleatória.

      i. Se é discreta, tomando os valores , ,

        1 2

        ¶ ≤ ≤ ≤ ♢, temos

        ∑︁ E = ( = ).

      ii. Se é contínua com densidade ( ), temos

        ∫︁ ∞

        E = ( ) .

        ⊗∞

      iii. Para toda função mensurável : R

        ↦⊃ R, a esperança da variável aleatória ( ) é dada por

        ∫︁ ∞

        E ( ) = ( ) ( ).

        ⊗∞ No caso em que a variável aleatória for discreta, tomando os valores 1 , , 2

        ¶ ≤ ≤ ≤ ♢, teremos

        ∑︁

        E ( ) = ( ) ( = ).

        No caso em que a variável aleatória for absolutamente contínua, com densidade ( ), teremos ∫︁

        ∞

        E = ( ) ( ) .

        ⊗∞ Proposição 2.3.2.

        A variável aleatória é integrável se, e somente se, é integrável.

        Proposição 2.3.3

        (Propriedades da Esperança). Sejam , : Ω ⊃ R variáveis aleató-

        rias integráveis. Então vale que

        ∙ Se , então E = ;E(aX+bY)=aEX+bEY;Se , então E ⊘ E ;

        1 , são variáveis aleatórias independentes, então

        ∙ Se ≤ ≤ ≤ , E ( ) = E . 1 1 ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ E

        Definição 2.3.2

        (Momentos). Seja uma variável aleatória e ∈ R. DeĄnimos o -

        

      ésimo momento de em torno de como sendo E( . Se = 0, então E é

        ⊗ )

        

      o -ésimo momento de , simplesmente. Se = E , então E( é o -ésimo

        ⊗ E ) momento central de . Obviamente, o primeiro momento de é E , e o primeiro momento central é

        E ( ⊗ E ) = 0.

        Definição 2.3.3

        (Variância). A variância da variável aleatória corresponde ao segundo

        momento central de , isto é, 2 .

        = E( ⊗ E ) Note que pela Proposição

         vale que 2 2 2

        = E( ) ⊗ 2 E + (E )

        = E( ⊗ E ) 2 2 2 2 = E = E .

        ⊗ 2E E + (E ) ⊗ (E ) Proposição 2.3.4.

        Propriedades da Variância:

      1. Se

        ⊕ , então = 0; 2

        2. ( + ) = ;

        3. Se e são independentes, então ( + ) = + ; 4. = 0 se, e somente se, ( = ) = 1 para algum

        ∈ R.

        Teorema 2.3.1 (Teorema da Convergência Dominada). Sejam , , , 1 2

        ≤ ≤ ≤ variáveis

        

      aleatórias deĄnidas num mesmo espaço de probabilidade tais que converge em

        ¶ ♢ ⊙1

        

      quase toda parte para . Se existe uma variável aleatória integrável tal que para todo

      ⊃∞ são integráveis e E

        ⊙ 1 tenhamos ♣ ⊘ em quase toda parte, então e ⊗⊃ E .

      2.4 Funções Características

        Analisar o comportamento de uma sequência de variáveis aleatórias não costuma ser uma tarefa fácil. No entanto, dada uma variável aleatória , existe uma função com- plexa : R ⊃ C unicamente determinada por que chamaremos de função caracte-

        rística de X

        , existe ♢ ⊙1

        . Desta forma, dada uma sequência de variáveis aleatórias ¶ associada a ela, cujo comportamento uma sequência de funções características ¶ ♢ ⊙1 costuma ser mais fácil de analisar. Nesse contexto, vamos agora estudar algumas propri- edades de tal função.

        Definição 2.4.1

        (Função Característica). Seja uma variável aleatória cuja função

        de distribuição é . DeĄne-se como função característica de , a função

        : R ⊃ C

        deĄnida por ( ) = E = E cos( ) + E sin( ).

        Da Proposição

         segue imediatamente que ∫︁ ∫︁ ∫︁ ∫︁

        ∞ ∞ ∞ (æ) ( ) = cos( ) ( ) + sin( ) ( ) = ( ) = (æ). ⊗∞ ⊗∞ ⊗∞

        Quando não houver risco de confusão, usaremos simplesmente para nos referirmos à função característica .

        Proposição 2.4.1

        (Propriedades da função característica). Seja uma função caracte-

        rística. Então vale que:

        ∙ ♣ ( )♣ ⊘ (0) = 1 e (⊗ ) = ( ), qualquer que seja ∈ R; + ( ) = ( ) e ( ) =

        ∙ ( ), quaisquer que sejam , , ∈ R;

        ∙ é uniformemente contínua em R; 1 , são funções características, então = 1 também é uma funçãoSe ≤ ≤ ≤ ,

        ≤ ≤ ≤

        característica;

        ∙ A variável aleatória tem distribuição simétrica em torno de zero (isto é, ( ⊘ ) = ( ⊙ ⊗ ), ∈ R) se, e somente se, ( ) ∈ R para todo ∈ R.

        Demonstração. A primeira propriedade segue imediatamente das igualdades

        (0) = E = E1 = 1,

        ⧹︃ ⧹︃ ∫︁ ∫︁ ∫︁ ⧹︃ ∞ ⧹︃ ∞ ∞ ⧹︃ ⧹︃

        ( ) ( ) = 1, e,

        ⧹︃ ⧹︃

        ♣ ( )♣ = ⊘ ♣ ( ) =

        ⧹︃ ⧹︃ ⊗∞ ⊗∞ ⊗∞

        ∫︁ ∫︁ ∞ ∞ ⊗

        ( ) = ( ) = ( ). (⊗ ) =

        ⊗∞ ⊗∞

        Para veriĄcar a segunda propriedade, temos das propriedades da esperança que ( + ) + ( ) = E = E = ( ), e consequentemente, ( ) =

      (⊗ ) = ( ).

        Vamos provar agora que é uniformemente contínua em R. Para tanto, dado > 0, precisamos mostrar que existe Ó > 0 tal que ♣< Ó implica ♣ ( + ) ⊗ ( )♣ < , e que o valor de Ó não depende do valor de . Observemos primeiro que

        ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

      ∫︁ ∫︁ ∫︁

      ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

        ∞ ∞ ∞ ⧹︃ ( +) ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ( ) ⧹︃ = ⧹︃ [ ] ( ) ⧹︃

        ♣ ( + ) ⊗ ( )♣ = ⊗

        ( ) ⊗

        ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⊗∞ ⊗∞ ⊗∞

        ∫︁ ∫︁ ∞ ∞ ℎ ℎ ⊘ ♣ ♣♣ ⊗ 1♣ ( ) = ♣ ⊗ 1♣ ( ). ⊗∞ ⊗∞

        Como ♣ ⊗1♣ converge a zero quando tende a zero e ♣ ⊗1♣ ⊘ 2, temos pelo Teorema

        √︃ ∞

        da Convergência Dominada que ♣ ⊗1♣ ( ) converge a zero quando tende a zero.

        ⊗∞ √︃

        ∞

        ♣ ⊗ 1♣ ( ) < , e daí segue que Logo existe Ó > 0 tal que ♣< Ó implica

        

      ⊗∞

      ∫︁

        ∞

        ♣< Ó ⇒ ♣ ( + ) ⊗ ( )♣ ⊘ ♣ ⊗ 1♣ ( ) < ,

        ⊗∞ qualquer que seja ∈ R, como queríamos demonstrar.

        Quanto à quarta propriedade, sejam 1 , as variáveis aleatórias tais que j ≤ ≤ ≤ , ( ) = E são as respectivas funções características. Pelo Teorema

         podemos

        supor que elas são independentes, e logo, 1 n 1 n ( ) 1 +≤≤≤+ n ( ) = ( ) = E = E = E . 1 ( ) ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ ≤ E ≤ ≤ ≤

        Assim, é a função característica da variável aleatória 1 .

      • ≤ ≤ ≤ + A última propriedade segue das propriedades anteriores, das propriedades das funções de distribuição e do Corolário

        segundo as quais

        ( )

        ⊗

        ( ) = ( ⊙ ⊗ ) ⇔ ( ) = ( ) = (⊗ ) = ( ) = ( ) = ( )

        ⇔ ( ) ∈ R.

        Um importante resultado sobre funções características é que existe uma corres- pondência biunívoca com as funções de distribuição. Para provarmos este resultado co- meçamos com o lema seguinte: Lema 2.4.1 (Integral Clássica de Dirchlet).

        ∫︁ ∞

        sin( ) Þ = .

        2 Demonstração. Observe inicialmente que

        (︃ ⧹︃ )︃ =∞

        )︂ ∫︁ ∫︁ ∫︁ (︂∫︁ ⊗ ∞ ∞ ⧹︃ ∞ ∞

        sin( )

        ⧹︃ ⊗

        = sin( ) = sin( )

        ⧹︃ ⧹︃

        ⊗ =0

        ∫︁ ∫︁ ∞ ∞ ⊗

        = sin( ) . Agora, note que

        ∫︁ ∫︁

      ( +1)Þ

        

      ∑︁

        sin( ) sin( ) = =0 Þ

        é uma série alternada cujos termos convergem para zero, uma vez que dado ∈ [ , + 1], sin( ) ⊃∞ ⊗⊃ 0. temos sin( ) ⊙ 0 se é par, e sin( ) ⊘ 0 se é ímpar, ao mesmo tempo que

        √︃ sin( )

        ⊗

        Logo, é contínuo e integrável. Portanto

        = < ∞, e daí, o integrando sin( ) podemos trocar a ordem de integração e temos

        ⧹︃ =∞

        ∫︁ ∫︁ ∫︁ ∫︁ ⊗

        ⧹︃ ∞ ∞ ∞ ∞

        sin( ) (cos( ) + sin( ))

        ⊗

        ⧹︃ ⊗

        = sin( ) = ⧹︃ 2

        ⧹︃

        1 + =0

        ⧹︃ =∞

        ∫︁ ⧹︃ ∞

        1 Þ

        ⧹︃ .

        = = arctan( ) ⧹︃ = 2

        ⧹︃

        1 + =0

        2 Proposição 2.4.2 (Fórmula da Inversão). Seja uma variável aleatória, sua função

        de distribuição e sua função característica. Se < , então ∫︁

        ⊗

        1 ⊗

        ( ) + ( ⊗) ( ) + ( ⊗) lim ( ) = .

        ⊗

        ⊃∞

        2Þ

        2

        2 Demonstração. Seja

        ∫︁ ⊗

        ⊗ ( ) = ( ) ,

        ⊗

        onde < são pontos de continuidade de . Logo,

        ]︂ ∫︁ [︂∫︁ ⊗

        ⊗ ( ) = ( )

        ⊗ ⊗∞ ∫︁ ∫︁

        ⊗

        ⊗ = ( ) .

        ⊗ ⊗∞

        Por LŠHôpital temos

        ⊗ lim = lim = ,

        ⊃0 ⊃0

        e logo

        ∫︁ ∫︁ ∞

        ( ) = ( , ) ( ) ,

        ⊗ ⊗∞

        onde

        ⎧ ⋁︁ ⨄︁

        se = 0 ⊗ , ( , ) = . itxity

        ⋁︁ ⊗

        ⎩ ,

        se ̸= 0

        ⊃∞

        Como ♣ ( , )♣ ⊗⊃ 0, temos limitada, exceto possivelmente em uma vizinhança de = 0. Mas vimos que é contínua em = 0, e logo, ♣ ( , )♣ ⊘ < ∞ para todo ∈ R e

        ∈ [⊗ , ], de onde segue que

        ⧹︃ ⧹︃ ∫︁ ∫︁ ∫︁ ∫︁ ∫︁ ∫︁ ⧹︃ ⧹︃

        ∞ ∞ ∞ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ( , ) ( ) ⧹︃

        ( ) ⊘ ♣ ( , )♣ ( )

        ⧹︃ ⧹︃ ⊗ ⊗∞ ⊗ ⊗∞ ⊗ ⊗∞

        ⧹︃ = ∫︁ ∫︁ ∫︁ ∞ ⧹︃

        ⧹︃ = ( ) = = = 2 . ⧹︃ ⧹︃

        ⊗ ⊗∞ ⊗ Assim podemos trocar a ordem de integração, e logo,

        ∫︁ ∫︁ ( ) ( ) ∞

        ⊗ ( ) = ( )

        ⊗∞ ⊗ ∫︁ ∫︁

        ∞

        cos( ( )) + sin( ( )) ⊗ cos( ( )) ⊗ sin( ( )) =

        ( )

        ⊗∞ ⊗ [︃

        ⟨ ∫︁ ∫︁ ∞

        cos( ( )) ⊗ cos( ( )) sin( ( )) ⊗ sin( ( ))

      • = ( ).
      • cos( ) sin( ) ⊗∞ ⊗ Como é uma função ímpar e é uma função par, segue que

          ∫︁ ∫︁ ∞

          sin( ( )) ⊗ sin( ( )) ( ) = 2

          ( ) = E ( ),

          ⊗∞

          onde

          ∫︁ ∫︁

          sin( ( )) sin( ( )) ( ) = 2 .

          ⊗ 2 Vamos agora fazer as veriĄcações necessárias para aplicar o Teorema da Convergência Dominada à sequência ( ( ))

          ⊙1 . Pela Integral de Dirichlet, dado ∈ R, vale que: ∫︁ ∫︁ ∫︁

          sin( ) sin( ) sin( ) Þ

           > = = ,

          0 ⇒ ⇒ lim

          ⊃∞

          2

          ∫︁ ∫︁

          sin( ) sin(⊗ )

           <

          0 ⇒ = ⊗

          ∫︁ ∫︁

          sin( ) Þ sin(⊗ )

          ,

          ⇒ lim = ⊗ lim = ⊗

          ⊃∞ ⊃∞

          2

          ∫︁

          sin( ) = 0. = 0 ⇒ lim

          ⊃∞

          Assim, lembrando que < , temos

          ⎧ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ 0, se < ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ Þ,

          se =

          ⋁︁ ⋁︁ ⨄︁ lim ( ) = .

          2Þ, se < <

          ⊃∞ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁

          Þ,

          se =

          ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⎩

          0, se > Em termos de variáveis aleatórias isso signiĄca que

          ⊃∞ ( ) + 2Þ + Þ . [ = ] [ < < ] [ = ]

          ⊗⊃ Þ

          √︃ sin( ) Þ

          Agora, note que a função é contínua em [0, ∞] e converge para quando ⊃ ∞, 2 e portanto é limitada em [0, ∞]. Daí,

          ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ∫︁ ∫︁ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

          sin( ) sin( )

          ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

          ⊘ sup = < .

          ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ >

          Assim, temos para todo > 0 que

          ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ∫︁ ∫︁ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ sin( ( )) ⧹︃ ⧹︃ sin( ( )) ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ + 2 ⧹︃ ⧹︃

          ♣ ⊘ 4 ,

          ( )♣ ⊘ 2

          ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ e logo, do Teorema da Convergência Dominada segue que E lim ( ) = E lim ( ) = ÞE [ = ] + 2ÞE [ < < ] + ÞE [ = ]

          ⊃∞ ⊃∞

          = Þ ( = ) + 2Þ ( < < ) + Þ ( = ), e daí temos 1 ( = ) ( = ) lim ( ) = + ( < < ) +

          ⊃∞

          2Þ

          2

          2 ( ) ⊗ ( ⊗) ( ) ⊗ ( ⊗)

          =

        • ( ⊗) ⊗ ( ) +

          2

          2 ( ) + ( ⊗) ( ) + ( ⊗) = .

          ⊗

          2

          2 Corolário 2.4.1. Sejam e variáveis aleatórias cujas funções de distribuição são 1 2 1 e e as funções características são e , respectivamente. Então temos = 2 1 2 1 2 se, e somente se, = . 1 2 Demonstração. Se = temos por deĄnição que 1 2

          ∫︁ ∫︁ ∞ ∞ 1 ( ) = ( ) = ( ) = ( ). 1 2 2

          ⊗∞ ⊗∞

          Reciprocamente, se 1 = 2 temos da fórmula da inversão que se é um ponto de continuidade de e , então 1 2

          [︃ ⟨ ∫︁

          ⊗

          1 ⊗ 1 ( ) = lim lim ( ) + ( ) 1 1

          ⊃∞ ⊃⊗∞

          2Þ

          [︃ ⟨ ∫︁

          ⊗

          1 ⊗

          = lim lim ( ) + ( ) 2 2

          ⊃∞ ⊃⊗∞

          2Þ

          ⊗ = ( ). 2 Como 1 e 2 são contínuas à direita, segue que para todo ∈ R, [︃

          ⟨

        ∫︁

          1 1 ( ) = lim lim lim 1 ( ) + 1 ( )

          ⊃⊗∞ ⊃∞ ←

          2Þ

          [︃ ⟨

        ∫︁

          ⊗

          1 ⊗

          = lim lim lim 2 ( ) + 2 ( )

          ⊃∞ ⊃⊗∞ ←

          2Þ = ( ), 2 e daí, = . 1 2 Definição 2.4.2

          (Convolução). Dadas as funções de distribuição 1 e 2 , a função de

          distribuição é dita convolução de e se, para todo 1 2

          ∈ R,

          ∫︁ ∞ ( ) = ( ). 1 2

          ( )

          ⊗∞

        • Nesse caso escrevemos =
        • 1 2 .

          

        Teorema 2.4.1. Se e são variáveis aleatórias independentes com funções de dis-

        1 2

        tribuição e , e funções características e , respectivamente, então a variável

        1 2 1 2

        • aleatória = tem função de distribuição = e função característica
        • 1 2 1 2<

          • = .
          • 1 2 Demonstração. Pela independência de

            1 e

            2 1 + ( 2 ) 1 temos que para todo ∈ R, 2 1 2 E ( ) = E = E = E( ) = E = 2 1 ( ) 2 ( ).

            Para veriĄcar que = 1 2 , vamos deĄnir a função : R ⊃ R tal que

          • ⎧ ⋁︁

            1, se 1 2 , .

          • ⨄︁

            ( 1 2 ) =

            ⋁︁ ⎩

            0, se + 1 2 &gt; Logo, pela independência de e , e pela Proposição 1 2 vale que

            ∫︁ 1 + ( ) = ( ( , ) ( , ) 2 1 2 1 2

            ⊘ ) = R 2

            ∫︁ ∫︁ ∫︁ ]︂ [︂∫︁ 2 ∞ ∞ ∞ ⊗

            = ( 1 , 2 ) 1 ( 1 ) 2 ( 2 ) = 1 ( 1 ) 2 ( 2 )

            ⊗∞ ⊗∞ ⊗∞ ⊗∞ ∫︁

            ∞ = ) ( ). 1 2 2 2

            (

            ⊗∞ ∑︀ Corolário 2.4.2.

            Se = , onde 1 , são variáveis aleatórias indepen- =1 ≤ ≤ ≤ ,

          dentes, então tem função de distribuição = e função característica

          1

          • ≤ ≤ ≤ * = , onde é a função de distribuição e é a função característica de ,
          • 1 ≤ ≤ ≤ = 1, ≤ ≤ ≤ , .

              Demonstração. Basta aplicar

              ⊗ 1 vezes o Teorema 2 Corolário 2.4.3. Se é uma função característica, então o mesmo ocorre com .

              ♣

              

            Demonstração. Seja uma variável aleatória cuja função característica é . Do Teorema

            temos que existe uma variável aleatória tal que e são independentes e

              identicamente distribuídas, e portanto têm também a mesma função característica. Segue daí que a função característica da variável aleatória será 2

              ( ) ⊗

              E E = E .

              = ( ) (⊗ ) = ( ) ( ) = ♣ ( )♣

              

            Teorema 2.4.2. Seja uma variável aleatória cuja função de distribuição é e a função

            característica é . Então E &lt;

              ♣ ♣ ∞ se, e somente se, possui derivadas contínuas,

              valendo ∫︁ ( ) ∞ ( ) = ( ) ( ).

              ⊗∞

              Demonstração. Supondo inicialmente que E &lt; ♣ ∞, vamos provar a ida por indução.

              Se = 1, temos E♣ &lt; ∞, e queremos mostrar primeiramente que para todo ∈ R existe

              ∫︁ ∞ ′

              ( ) = ( ),

              ⊗∞

              isto é,

              ∫︁

            ⊃0

              ( + ) ⊗ ( ) ( ).

              ⊗⊃

               ⊗∞

              Primeiramente observe que para ̸= 0 temos

              (︃ )︃ ∫︁ ( +) ∫︁

            ∞ ∞

              ⊗ ⊗ 1 ( + ) ⊗ ( )

              = ( ) = ( )

               ⊗∞ ⊗∞ (︃ (︃ )︃)︃

              ⊗ 1 . = E

               ihx (︁ )︁ ihX

              ⊃0 ⊗1 ⊗1

              Como converge pontualmente ⊗⊃ para todo ∈ R, temos que para a variável aleatória

              , quando ⊃ 0. Por outro lado temos

              ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

            √︃ √︃ √︃ √︃

            ℎ ℎ♣ ♣

              ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

              ⊗ 1 ♣

              ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

              =

              ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

              ⊘ ♣ ♣ ⊘ ♣ ♣ ⊘ ♣ ♣ = ♣ ,

              ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ℎ ℎ ℎ

              ♣♣ ♣♣ e logo,

              ⧹︃ (︃ ⧹︃ )︃ ⧹︃⧹︃

              ⊗ 1

              ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

              ⊘ ♣ .

              ⧹︃ ⧹︃

              Como |X| é integrável, segue do Teorema da Convergência Dominada que

              (︃ (︃ )︃)︃

              ⊗ 1 ⊃0 E

              ), ⊗⊃ E(

              

              e assim,

              (︃ (︃ )︃)︃ ∫︁ ⊗1 ∞

              ( + ) ⊗ ( )

              ′ ( ) = lim = lim E = E( ) = ( ). ℎ ℎ ⊃0 ⊃0

              ℎ ℎ ⊗∞ ′

              A continuidade de também decorre do Teorema da Convergência Dominada, uma vez

              ⊃

              que temos ⊗⊃ ♣ = ♣ ♣, donde segue que para todo ∈ R e ♣ converge pontualmente para quando , e ♣ ♣ = ♣ ♣, e logo, como ♣ ♣ é integrável, temos que

              

            ′ ′

              ( ) = E = ( ).

              ⊗⊃ E ( ) ∞ ( +1) √︃ Suponha agora que valha ( ) = ( ) &lt;

              ∞. Logo, ( ) e que E♣

              ⊗∞ ( ) ( ) ∫︁ ( +) (︃ )︃

              ( ) ⊗

              ( + ) ⊗ = ( ) ( )

               ⊗∞ (︃ )︃ ∫︁

              

              ⊗ 1 = ( ) ( )

              ⊗∞ (︃ (︃ )︃)︃

              ⊗ 1 . = E ( )

              

              (︁ )︁ ihX ⊗1

              De modo análogo ao caso em que = 1, temos que ( ) converge pontual- +1 mente para ( ) , e,

              ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ (︃ ℎ ℎ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ )︃ ⧹︃⧹︃

            ⧹︃ ⊗ 1 ⧹︃ ⧹︃ ⊗ 1 ⧹︃ +1

              

            ⧹︃ ( ) ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ .

              = ♣( ) ♣♣ ♣ ⊘ ♣ ♣ ♣ ♣ = ♣

              ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ℎ ℎ

              Daí, pelo Teorema da Convergência Dominada,

              (︃ (︃ )︃)︃

              ⊗ 1 ⊃0 +1 E ( ) ).

              ⊗⊃ E(( )

              

              Assim, ( ) ( ) (︃ (︃ )︃)︃

              ⊗1 ( +1) ( + ) ⊗ ( )

              ( ) = lim = lim E ( ) ℎ ℎ

              ⊃0 ⊃0 ℎ ℎ

              ∫︁ +1 +1

            = E(( ) ) = ( ) ( ).

              

            ⊗∞

            +1

              Novamente de modo análogo ao caso em que = 1, também temos ( ) conver- +1 +1 +1 gindo pontualmente para ( ) e |( ) , donde segue do Teorema ♣ = ♣ ♣ da Convergência Dominada que

            ( +1) +1 +1 ( +1)

            ( ) = E(( ) ) ) = ( ).

              ⊗⊃ E(( ) Quanto à recíproca, se

              ∫︁ ( )

              (0) = ( ) ( ) = E( ),

              ⊗∞

              e possui derivadas contínuas, segue que também é integrável, e portanto, ♣ ♣ é.

              

            Corolário 2.4.4. Seja uma variável aleatória cuja função característica é . Então

            1

            é integrável se, e somente se, é uma função de classe . Ao mesmo tempo,

            2

            tem variância Ąnita se, e somente se, é uma função de classe . Em particular,

            2

              ′ ′′ ′ E (0) + (0) .

              = ⊗ (0), e, = ⊗

              Demonstração. O corolário é apenas uma aplicação do Teorema para = 1 e = 2.

              Quanto ao cálculo da esperança e da variância, basta observar que

              ∫︁ ∞ ′

              ′

              (0) = (0), ( ) = E ⇒ E = ⊗

              ⊗∞

              ao mesmo tempo que

              ∫︁ ∞ 2 2 2 2 2 ′′

              ′′ ′

              (0) = ( ) (0) + (0) .

              ( ) = ⊗E( ) ⇒ = E( ) ⊗ (E ) = ⊗

              ⊗∞

            2.5 Exemplos de Distribuições

              Nesta seção vamos apresentar alguns exemplos de distribuições importantes e de grande aplicabilidade. Além da distribuição normal e da distribuição degenerada que aparecem respectivamente no Teorema Central do Limite e na Lei dos Grandes Números, abordaremos também as distribuições de Poisson e de Cauchy, as quais são dois exemplos interessantes de distribuições inĄnitamente divisíveis, conforme deĄniremos adiante.

            2.5.1 Distribuição Degenerada

              Definição 2.5.1. A variável aleatória tem distribuição degenerada, se existe Ú

              ∈ R tal

              que ( = Ú) = 1.

              Pela Proposição

               é imediato que a função característica correspondente à

              distribuição degenerada é Ú ( ) = , e logo, pelo Corolário

              temos E = Ú e = 0. Um fato que ocorre em ralação à

              função característica da variável aleatória com distribuição degenerada, é que, em módulo, ela é constante e igual a 1, e a recíproca também é verdadeira, como segue.

              Proposição 2.5.1.

              Seja uma variável aleatória, e : R

              ⊃ C a sua função caracterís-

              tica. Se ( )♣ ⊕ 1, então a distribuição de é degenerada. Demonstração. A demonstração será feita a partir das seguintes aĄrmações:

              i. Se ♣ ( )♣ = 1 para algum ̸= 0, então existe Ú ∈ R tal que tem massa 2Þ concentrada nos pontos da forma Ú + , ∈ Z, isto é,

              (︂ )︂ ∑︁

              2Þ = Ú + = 1.

              ∈Z

            ii. Se ♣ ( )♣ = ♣ (Ð )♣ = 1, onde ̸= 0 e Ð é um número irracional, então a distribuição de é degenerada.

              Note que, provada a segunda aĄrmação, a proposição estará demonstrada.

              Para provar a primeira aĄrmação, observe que como ♣ ( )♣ = 1 e ̸= 0, existe Ú

              Ú ) = . Logo, sendo a função de distribuição de , temos

              ∈ R tal que (

              ∫︁ ∫︁ ∫︁ Ú ∞ ∞ ∞ ( Ú)

              = ( ) = cos(

              ( ) ⇒ 1 = ( Ú)) ( )

              ⊗∞ ⊗∞ ⊗∞ ∫︁

              ∞

              ⇒ [1 ⊗ cos( ( Ú))] ( ) = 0.

              ⊗∞ Como 1⊗cos( ( Ú)) ⊙ 0 para todo ∈ R, segue da igualdade acima que 1⊗cos( (

              

            Ú )) = 0 em quase toda parte, isto é, exceto num conjunto de medida nula. Segue daí que

            2Þ

              em quase toda parte, e daí, ( Ú) = 2Þ , ∈ Z, e consequentemente, = Ú +

              

            (︂ )︂

            ∑︁

              2Þ = Ú + = 1.

              ∈Z

              Quanto à segunda aĄrmação, sendo ♣ ( )♣ = ♣ (Ð )♣ = 1, temos pela primeira aĄrmação que existem Ú , Ú 1 2 ∈ R, tais que

              

            (︂ )︂ (︂ )︂

            ∑︁ ∑︁

              2Þ 2Þ 1 2 + = Ú = = Ú = 1. +

              Ð ∈Z ∈Z

              Daí, supondo por absurdo que a distribuição de não é degenerada, existirão e 1 2 ̸= 1 2 , tais que

              ̸= 2Þ 2Þ 2Þ 2Þ 1 1 2 2 1 2 + + + Ú = Ú + ,

              e, Ú = Ú , 1 2

              Ð Ð

              onde a probabilidade de ambos não é nula. Segue que 2Þ 2Þ

              ( 1 2 ) = ( 1 2 ),

              Ð

              e consequentemente, 1 2

            Ð .

              = 1 2

              Chegamos assim a uma contradição, já que Ð é um número irracional, e portanto, não pode ser escrito como fração de números inteiros.

            2.5.2 Distribuição Normal Definição 2.5.2.

              A variável aleatória tem distribuição normal padrão se ela tiver função densidade dada por x2

              1

              

            2

              ( ) = ,

              ∈ R, 2Þ

              isto é, se a sua função de distribuição for dada por ∫︁ t2

              1

              ⊗ 2

              ( ) = , √ ∈ R.

              2Þ ⊗∞

              Nesse caso, escrevemos (0, 1).

              Para veriĄcar que é de fato uma função de densidade, note que ( ) &gt; 0 para

              √︃ ∞

              ( ) = 1. Para tanto, observemos primeiro todo ∈ R, e logo basta mostrar que

              ⊗∞

              que

              )︂ ∫︁ ∫︁ ∫︁ ∫︁ (︂∫︁ 2 ∞ ∞ ∞ ∞ ∞ ⊗(x2+y2)

              1 2 ( ) = ( ) ( ) = . Em coordenadas polares temos = cos( ) e = sin( ), com ∈ [0, ∞) e ∈ [0, 2Þ]. Logo,

              ⧹︃ =∞

              ∫︁ ∫︁ ∫︁ ∫︁ ∫︁ 2Þ 2Þ

            ∞ ∞ ∞ ⧹︃

            ⊗(x2+y2) ⊗ρ2 ⊗ρ2

              1

              1

              1 2 2 2 ⧹︃ = =

              ⧹︃

              ⊗

              ⧹︃

              2Þ ⊗∞ ⊗∞ 2Þ 2Þ =0

              ∫︁ 2Þ

              1 = = 1. 2Þ

              )︁ 2 (︁√︃ √︃

              ∞ ∞

              Assim, como ( ) ( ) = 1.

              ⊗∞ = 1 e ( ) &gt; 0 para todo ∈ R, segue que ⊗∞ Proposição 2.5.2.

              A função característica correspondente à distribuição normal padrão é t2 2 ( ) = .

              Demonstração. Pela Proposição temos ∫︁ ∫︁

              ∞ ∞ x2

              1

              ⊗ 2

              ( ) = ( ) = √

              ⊗∞ ⊗∞

              2Þ

              

            ∫︁ ∫︁

            ∞ ∞ x2 t2 (xit)2

              1 )

              1

              ( ⊗ ⊗ ⊗ 2 2 2

              = = √ √

              2Þ ⊗∞ 2Þ ⊗∞ t2 z2 ∫︁

              1

              ⊗ ⊗ 2 2 ,

              = √ Ò

              2Þ onde = e Ò : R ⊃ C é dada por Ò( ) = . z2 z2

              √︃ √︃ ⊗ ⊗ 2 2 Note que = lim , e pela teoria da integração com- Ò ⊃∞

              [⊗ , ]

              plexa de Cauchy, temos para todo ∈ R que

              ∫︁ ∫︁ ∫︁ ∫︁ z2 z2 z2 z2 2 ⊗ ⊗ ⊗ 2 2 2

            • = 0.

              [⊗ , ] [ , ] [⊗ , ]

              Logo,

              ∫︁ ∫︁ ∫︁ ∫︁ z2 z2 z2 z2

            ⊗ ⊗ ⊗ ⊗ 2 2 2 2 + lim + lim = 0.

              ⊗ Ò ⊃∞ ⊃∞ [ , ] ⊗∞ [⊗ , ] Agora, como [ , ] é determinado por Ú( ) = + , ∈ [⊗ , 0], temos

              ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ∫︁ ∫︁ ∫︁ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ z2 ⊗n2⊗2ins+s2 (n+is)2 ⧹︃ ⊗ ⧹︃ ⧹︃ ⊗ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 2 2 2

              =

              ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

              ⊘

              ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ [ , ] ⊗

              

            ⧹︃ ⧹︃

            ∫︁ ∫︁

            ⧹︃ ⧹︃

            s2 s2 n2 ⊗n2 ⧹︃ ⧹︃ ⊗ 2 2

              =

              

            ⧹︃ ⧹︃

              ♣ ♣ ♣ =

              

            ⧹︃ ⧹︃

            n2 ∫︁ s2 2 2 ⊃∞

              = ⊗⊃ 0.

              ⊗ z2 √︃

              ⊃∞ ⊗ [⊗ , ] 2 Analogamente temos também que ♣ ♣ ⊗⊃ 0, e consequentemente, ∫︁ ∫︁ z2 z2

              √

              ⊗ ⊗ 2 2 Ò = = 2Þ.

              ⊗∞

              Segue daí que t2 z2 t2 ∫︁

              1

              ⊗ ⊗ ⊗ 2 2 2 ( ) = = .

              √ Ò 2Þ

              

            Definição 2.5.3. Uma variável aleatória tem distribuição normal com parâmetros Û

            2

            e à se tivermos = à + Û, onde tem distribuição normal padrão. Nesse caso

            2 escrevemos ).

              ≍ (Û, à 2 Como veremos no Corolário

              os parâmetros Û e à , são a esperança e variância de , respectivamente.

              Corolário 2.5.1. 2 A função característica correspondente à distribuição normal com pa- râmetros Û e à é Û σ2t22 .

              ( ) = t2

              ⊗ 2 Demonstração. Como = à + Û, onde a função característica de é ( ) = ,

              temos da Proposição

               que Û Û Û σ2t2 σ2t2 ⊗ ⊗ 2 2 ( ) = (à ) = = . 2 Corolário 2.5.2. 2 Se tem distribuição normal com parâmetros Û e à , então E = Û e = à . Û σ2t2

              ⊗ 2

              

            Demonstração. Sendo ( ) = a função característica de , temos ( ) =

            2 Û Û Û σ2t2 σ2t2 σ2t2 2 2 2 ⊗ ′′ ⊗ ⊗ 2 2 2

              ) e ) , que são funções contínuas ( Û à ( ) = ⊗à + ( Û à 2 2

              ′ ′′

              em R com (0) = Û e . Segue do Corolário

               que

              (0) = ⊗àÛ

              

              E (0) = Û e = ⊗ 2 2

              

            ′′ ′

            (0) + (0) = à .

              = ⊗

            2.5.3 Distribuição de Cauchy

              

            Definição 2.5.4. A variável aleatória tem distribuição de Cauchy padrão se ela tiver

            função densidade dada por

              1 ( ) = , 2 ∈ R,

              Þ (1 + ) isto é, se a sua função de distribuição for dada por ∫︁

              1

              1 ( ) = , 2 ∈ R.

              Þ ⊗∞ 1 +

              Note que é de fato uma função de densidade, já que ( ) &gt; 0 para todo ∈ R,

              e,

              ⧹︃ =∞

              (︂ )︂ ∫︁ ∫︁ ∞ ∞ ⧹︃

              1

              1

              1 1 Þ Þ

              ⧹︃ ( ) = = arctan( ) = ) = 1. ⧹︃ 2 (⊗

              ⧹︃ Þ 1 + Þ Þ 2 ⊗

              2

              ⊗∞ ⊗∞ =⊗∞

              

            Proposição 2.5.3. A função característica correspondente à distribuição de Cauchy pa-

            drão é

              ⊗♣ ♣ ( ) = .

              Demonstração. Pela Proposição temos ∫︁ ∫︁

              

            ∞ ∞

              1 ( ) = ( ) = . 2 itx ⊗∞ Þ ⊗∞ 1 + Note que ( ) = 2 1+ tem polo simples em = ∘ . Logo, o resíduo de calculado no ponto será

              ⊗

              ( ) ( , ) = lim = . 2

              ⊃

              1 +

              2 Sendo o semicírculo de raio centrado na origem e percorrido no sentido anti-horário, e Ò =

              Capítulo 6) que

              ∪ [⊗ , ], temos pelo Teorema dos Resíduos para todo &gt; 1

              ∫︁

              1 2Þ

              ⊗ Ò 2 = ( , ) = .

              Þ r 1 + Þ

              , Por outro lado, como = (cos( ) + sin( )), ∈ [0, Þ], é uma parametrização de temos que dado ⊙ 0,

              ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ∫︁ ∫︁ (cos( )+ sin( )) Þ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

              ⧹︃

              (⊗ sin( ) + cos( ))

              ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

              =

              ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 2

            2

            2 ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ r 1 + (cos( ) + sin( )) + 1 ⧹︃ ∫︁

            Þ sin( )

              ♣ ♣ ⊘ 2 1 2

            • ♣(cos( ) + sin( )) ♣

              ∫︁ Þ sin( ) ⊃∞ ⊘ ⊗⊃ 0.

              (cos( ) + sin( )) 2 1

            • Segue portanto, que para todo ⊙ 0,

              ∫︁ ∫︁ ∫︁ ∞

              1

              1

              1

              ⊗ ( ) = = lim = . 2 2 ⊗ lim 2 ⊃∞ ⊃∞ Ò

              Þ ⊗∞ 1 + Þ r 1 + Þ r 1 +

              Para &lt; 0 temos da Proposição

               que ⊗(⊗ ) = .

              ( ) = (⊗ ) = e portanto, para todo ∈ R,

              ⊗♣ ♣ ( ) = .

              Definição 2.5.5.

              Uma variável aleatória tem distribuição de Cauchy com parâmetro &gt; 0 se tivermos = , onde tem distribuição de Cauchy padrão.

              Corolário 2.5.3.

              A função característica correspondente à distribuição de Cauchy com parâmetro &gt; 0 é .

              ( ) =

              ⊗♣

            Demonstração. Como = , onde a função característica de é ( ) = , temos

              da Proposição

               que ⊗ ♣ ( ) = ( ) = .

              

            Corolário 2.5.4. Se tem distribuição de Cauchy com parâmetro &gt; 0, então não é

            integrável.

              ⊗ Demonstração. Sendo ( ) = a função característica de , temos

              ⎧ ⋁︁ ⊗ ⨄︁

              , se &gt; 0

              ⊗

              ′

              ( ) =

              ⋁︁ ⎩ , se &lt; 0,

              que é uma função descontínua em = 0. Segue do Corolário que não é integrável.

            2.5.4 Distribuição de Poisson Definição 2.5.6.

              A variável aleatória discreta , que assume apenas valores inteiros positivos, tem distribuição de Poisson com parâmetro Ú &gt; 0 se tivermosÚ

              Ú

              ( = ) = , para todo ∈ N.

              !

              Nesse caso, escrevemos (Ú).

              Note que a função de distribuição de será

              ∑︁

              ( = ), ( ) = ( ) =

              0⊘

              isto é,

              ⎧ ⋁︁ ⋁︁

              0, se &lt; 0

              ⨄︁

              ( ) =

              ⌊ k ∑︀ ⊗λ Ú ⋁︁

              ⋁︁ ⎩ , =0 ! se ⊙ 0, onde ⌊ ⌋ denota a parte inteira de .

              

            Proposição 2.5.4. A função característica correspondente à distribuição de Poisson com

            parâmetro Ú &gt; 0 é Ú ( it

              ⊗1) ( ) = .

              Demonstração. Pela Proposição segue que

              

            ∑︁

              ( ) = E = ( = ) =0

              ∞ ∞ ⊗Ú ∑︁ ∑︁

              Ú ( Ú ) ⊗Ú

              = = =0 =0 Ú Ú ( it it ! !

              

            Ú ⊗1)

            .

              = =

              Corolário 2.5.5.

              (0) = Ú e

              ′

              (0) +

              ′′

              (0) = Ú e = ⊗

              

              E = ⊗

               que

              (0) = ⊗Ú 2Ú. Segue do Corolário

              ′′

              ′

              Se tem distribuição de Poisson com parâmetro Ú &gt; 0, então E = = Ú.

              , que são funções contínuas em R com

              ⊗1)

              ( ) = (⊗Ú Ú 2 2 ) Ú ( it

              ′′

              e

              ⊗1)

              ( ) = Ú Ú ( it

              ′

              a função característica de , temos imediatamente

              Demonstração. Sendo ( ) = Ú ( it ⊗1)

              (0) 2 = Ú.

            2.5.5 Distribuição Uniforme

              ( ) =

              ⊗

              ∫︁ 1 ⊗1

              2 =

              2

              ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ =1

              =⊗1

              = ⊗

              2 = sin( )

              ∫︁ ∞ ⊗∞

              .

              Para = 0 é imediato que (0) =

              ∫︁ ∞ ⊗∞

              ( ) =

              ∫︁ 1 ⊗1

              1

              2 = 1.

              ( ) =

              que, para ̸= 0 ( ) =

              ⎧ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⨄︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⋁︁ ⎩

              para ⊘ e ( ) = 0 para &lt; e &gt; .

              0, se

              ⊗ , se

              ⊘ 1, se &gt; .

              Nesse caso, escrevemos [ , ].

              

            Definição 2.5.7. A variável aleatória tem distribuição uniforme em [ , ] se a sua

            função de distribuição for dada por

              ⊗

              Proposição 2.5.5.

              

              A função característica correspondente à distribuição uniforme em

              [ , ] é ( ) =

              ⎧ ⋁︁ ⋁︁ ⨄︁ ⋁︁ ⋁︁ ⎩ it b +a 2

            sin(

            b a

            a

            2 ) b 2

              , se

              ̸= 0 1, se = 0 .

              Demonstração. Vamos começar pelo caso em que

              ≍ [⊗1, 1], onde temos pela Propo- sição

              Note que tal variável aleatória tem função densidade dada por ( ) = 1

              ⊗ 2 2 Por outro lado, se [ , ], temos que = , onde [⊗1, 1]. Logo, pela Proposição a função característica de será

            • + +

              ⎧ it b b +a a ⋁︁ 2 sin( ) ⋁︁ 2 ⨄︁ b ,

            a

            2 se ̸= 0 ( ) = .

              ⋁︁ ⋁︁

            • +

              1, se = 0 Corolário 2.5.6. 2 Se tem distribuição uniforme em [ , ], então E = e = 2

              ( ) 12 .

              Demonstração. Se sin( ) [⊗1, 1], então, para ̸= 0, a função característica de será 2 cos( )⊗sin( ) (2⊗ ) sin( )⊗2 cos( ) ′ ′′

              ( ) = e logo, ( ) = 2 e ( ) = 3 , que são funções possivelmente descontínuas em = 0. Mas, pela regra de LŠHôpital temos cos( ) ⊗ sin( ) ⊗ sin( )

              ′

              lim ( ) = lim = lim = 0 e 2

              ⊃0 ⊃0 ⊃0 2

              2 2 cos( )

              1 (2 ⊗ ) sin( ) ⊗ 2 cos( ) ⊗

              ′′ .

              lim ( ) = lim = lim = ⊗ 3 2

              ⊃0 ⊃0 ⊃0

              3

              3

              ′ ′′ ′ ′′ ⊗1

              Assim ( ) e ( ) são funções contínuas em R com (0) = 0 e (0) = . Segue do 3 Corolário

               que

              E (0) = 0 e

              = ⊗ 2

              1

              ′′ ′ (0) + (0) = .

              = ⊗

              3

              ⊗

            • +

               Agora, se [ , ], = 2 2 , onde [⊗1, 1]. Logo, pelas Proposições e temos

            • +
            • E = E = e

              2

              2

              2 2 2 ( ) = ( ) = .

              2

              12

            2.5.6 Distribuição Exponencial Definição 2.5.8.

              A variável aleatória tem distribuição exponencial com parâmetro ÚÚ se ( &gt; ) = para ⊙ 0 e ( &lt; 0) = 0. Nesse caso, escrevemos ≍ exp(Ú).

              Note que a função de distribuição de será

              

            ⋁︁

            Ú

              

            ⨄︁

            ,

              1 ⊗ se ⊙ 0

              ,

              ( ) = ( ) =

              

            ⋁︁

              0, se &lt; 0

              ⊗Ú

              e que sua função densidade é dada por ( ) = Ú para ⊙ 0 e ( ) = 0 para &lt; 0.

              

            Proposição 2.5.6. A função característica correspondente à distribuição exponencial com

            parâmetro Ú é

            Ú

              1 ( ) = ⊗ = .Ú 1 ⊗ Ú

              ≍ exp(Ú), temos pela Proposição

              Demonstração. Se que

              ⧹︃ =∞

              ∫︁ ∫︁ ( Ú) ∞ ∞ ⧹︃

              Ú Ú

              1

              ( Ú) ⧹︃ ( ) = ( ) = Ú = = ⊗ = .

              ⧹︃ ⧹︃ ⊗∞

              ⊗ ÚÚ =0 1 ⊗ Ú

              ⊗1 Corolário 2.5.7. 1 Se tem distribuição exponencial com parâmetro Ú, então E = Ú e = Ú 2 . 1 iλ

              Demonstração. Sendo ( ) = it a função característica de , temos, ( ) = it ) 2 e ⊗2 1⊗ λ (1⊗ λ ′′ λ2

              ′ ′′ ⊗2

              ( ) = it ) 3 , que são funções contínuas em R com (0) = e (0) = Ú Ú 2 . Segue do

              (1⊗ λ

              Corolário

               que

              1

              ′

              E (0) = ⊗ e = ⊗

              Ú 2

              1

              

            ′′ ′

            (0) + (0) = .

              = ⊗ 2

              Ú

            2.5.7 Distribuição Binomial

              

            Definição 2.5.9. A variável aleatória discreta , que assume apenas um número Ąnito

            de valores inteiros positivos, tem distribuição binomial com parâmetros e , onde

              ∈ N

              e 0 &lt; &lt; 1, se tivermos (︃ )︃

              ⊗

              ( = ) = , (1 ⊗ ) = 0, 1, ≤ ≤ ≤ , .

              Nesse caso, escrevemos ( , ).

              Note que a função de distribuição de é dada por

              ⎧ ⋁︁ ⋁︁

              0, se &lt; 0

              ⨄︁ ∑︁

              ( = ) = ⌊ ⌋ (︁ )︁ . ( ) = ( ) =

              ∑︀ ⋁︁ ⊗

              ⋁︁ ,

              0⊘ =0 (1 ⊗ ) se ⊙ 0 Proposição 2.5.7.

              A função característica correspondente à distribuição binomial com parâmetros e é dada por .

              ( ) = (1 + ( ⊗ 1))

              Demonstração. Pela Proposição segue que ∑︁

              ( ) = E = ( = ) =0

              (︃ )︃ ∑︁ ⊗

              = = ( =0 (1 ⊗ ) + 1 ⊗ ) = (1 + ( ,

              ⊗ 1)) onde a penúltima igualdade vem do binômio de Newton.

              Corolário 2.5.8.

              Se tem distribuição binomial com parâmetros e , então E = e = (1

              ⊗ ).

              ′

            Demonstração. Sendo ( ) = (1 + ( a função característica de , temos ( ) =

              ⊗ 1)) 2 2

              ⊗1 ′′ ⊗1 ⊗2

              (1+ ( e (1+ ( (1+ ( , ⊗1)) ( ) = ⊗ ⊗1)) ⊗ ( ⊗1) ⊗1))

              ′ ′′

              que são funções contínuas em R com (0) = e (0) = ⊗ (1 + ). Segue do

              Corolário

               que

              E (0) = e

              = ⊗ 2

              ′′ ′

              (0) + (0) = ⊗ = (1 ⊗ ).

              Para encerrar este capítulo, destaco que a esperança e a variância de uma variável aleatória podem ser obtidos sem determinar a sua função característica. No entanto, uma vez que temos a função característica, é muito mais fácil obter a esperança e a variância a partir dela, como Ązemos aqui.

              3 Convergência de Sequências de Variáveis Aleatórias

              De um modo geral, a convergência de uma sequência está associada à noção de aproximação. No nosso caso, estamos preocupados com a convergência de uma sequência de variáveis aleatórias. EspeciĄcamente, vamos considerar três tipos de convergência: a convergência em quase toda parte, em probabilidade e em distribuição. Vamos deĄni-las e mostrar que ocorrendo a primeira, ocorrerá também a segunda, e consequentemente a terceira. Em seguida vamos apresentar alguns teoremas envolvendo o limite de sequências de variáveis aleatórias. EspeciĄcando, vamos enunciar e demonstrar o Teorema de Poisson, a Lei Fraca dos Grandes Números de Khintchin e algumas versões do Teorema Central do Limite. Outro assunto que abordaremos neste capítulo são as famílias de medidas de probabilidade rígidas e relativamente compactas. Tal abordagem será fundamental na demonstração do Teorema

              

            3.1 Tipos de Convergência

              uma sequência de variáveis aleatórias deĄnidas no mesmo espaço de Seja ¶ ♢ ⊙1 formadas probabilidade (Ω, , ). Naturalmente, surgem as sequências ¶ ♢ ⊙1 e ¶ ♢ ⊙1 respectivamente pelas funções de distribuição e funções características correspondentes às variáveis aleatórias, e Ąca a seguinte questão: se uma das três sequências converge de alguma forma, o que acontece com as outras duas? Na resposta de tal questão é que estaremos preocupados no que segue.

              

            Definição 3.1.1. Seja uma sequência de variáveis aleatórias deĄnidas no mesmo

              ¶ ♢ ⊙1

              

            espaço de probabilidade , a sequência formada pelas respectivas funções

              ℱ, ), e ♢ ⊙1

              de distribuição. Então, dizemos que: ⊃∞

              1. converge para em quase toda parte se (

              ⊗⊃ ) = 1, isto é, se

              converge pontualmente para em quase toda parte (exceto num conjunto de medida nula).

              ⊃∞ 2. converge para em probabilidade se para todo &gt; 0, ( ♣ ♣ ⊙ ) ⊗⊃ 0.

              Nesse caso, escrevemos ⊗⊃ . 3. converge para em distribuição se converge fracamente para , isto

              ¶ ♢ ⊙1

              ⊃∞ é, se ( )

              ⊗⊃ ( ), para todo que é ponto de continuidade de . Nesse caso,

              escrevemos ⊗⊃ .

              O exemplo a seguir mostra que a convergência em probabilidade não garante a convergência em quase toda parte. No entanto, a convergência em quase toda parte garante a convergência em probabilidade, como veremos em seguida.

              Exemplo 3.1.1.

              Seja uma variável aleatória com distribuição uniforme no intervalo

              [0, 1]. Considere os intervalos 1 = [0, 1],

              [︂ ]︂ [︂ ]︂

              1

              1 2 = 0, , = , 3 1 ,

              2

              2

              [︂ ]︂ [︂ ]︂ [︂ ]︂ [︂ ]︂

              1

              1

              1

              1

              3

              3 4 = 0, , = , , = , , = , 5 6 7 1 ,

              4

              4

              2

              2

              4

              4

              [︂ ]︂

              1 8 = 0, , ≤ ≤ ≤ , k k +1

              8

              onde para todo

              ∈ N, 2 ∪≤ ≤ ≤∪ 2 = [0, 1]. Seja para todo ∈ N, a variável aleatória

              ⊗1 dada por

              ⎧ ⋁︁ ⨄︁

              1, se (æ) ∈ (æ) = .

              ⋁︁ ⎩

              0, se (æ) /

            Então, converge a zero em probabilidade, mas não converge para 0 em quase toda parte.

              De fato, dado 0 &lt; ⊘ 1, temos

              ⊃∞

              ) ⊗ 0♣ ⊙ ) = ( ⊗⊃ 0. (♣ = 1) = (

              Para &gt; 1, é imediato que (♣ ⊗ 0♣ ⊙ ) = (∅) = 0, e portanto, ⊗⊃ 0. Por outro +1 para algum tal que 2 lado, dado æ ∈ Ω arbitrário, temos (æ) ∈ &lt; 2 ⊗ 1, inĄnita tal que (æ) = 1 qualquer que seja ∈ N. Daí, existe uma subsequência ¶ j ♢ ⊙1 j tal

              ♢ para todo ∈ N. De modo análogo, existe também uma subsequência inĄnita ¶ l ⊙1 que (æ) não converge. Portanto, não converge l (æ) = 0 para todo ∈ N, e logo para 0 em quase toda parte. Aliás, não converge em ponto algum.

              Proposição 3.1.1.

              Se converge para em quase toda parte, então ⊗⊃ .

              ⊃∞ Demonstração. Dado &gt; 0 arbitrário, precisamos mostrar que ( ♣ ♣ ⊙ ) ⊗⊃ 0.

              Para tanto, considere os seguintes eventos aleatórios:

              

            ⊃∞

              (æ) = ¶æ ∈ Ω : ⊗⊃ (æ)♢, e = ¶æ ∈ Ω : para todo , (æ) ⊗ (æ)♣ &lt; .

              Pela deĄnição da convergência em quase toda parte temos ( ) = 1. Além disso, se

              æ

              ∈ , então para suĄcientemente grande temos ♣ (æ) ⊗ (æ)♣ &lt; para todo , . Daí, temos e logo, æ

              

            ⋃︁

            .

              ⊆

              ⊙1 Por outro lado, se ♣ (æ) ⊗ (æ)♣ &lt; para todo , obviamente temos ♣ (æ) ⊗ +1 para todo , e portanto, (æ)♣ &lt; para todo + 1. Logo

              ⋃︁ = lim .

              ⊆

              ⊃∞ ⊙1 ⎷

              Segue portanto que 1 = ( ). Pela continuidade da probabilidade, temos ) ⊘ (

              ⊙1

              ( ) ≻ 1. Para Ąnalizar, observe que para todo temos

              ⊆ ¶æ ∈ Ω : ♣ (æ) ⊗ (æ)♣ &lt; , e logo, (

              ) ⊘ (♣ &lt; ) qualquer que seja . Segue daí que

              ⊃∞

              (♣ &lt; ) ⊗⊃ 1, e logo,

              ⊃∞ ⊗ ♣ ⊙ ) = 1 ⊗ (♣ &lt; ) ⊗⊃ 0.

              (♣

              Proposição 3.1.2. Se ⊗⊃ , então ⊗⊃ .

              Demonstração. Sendo

              a função de distribuição de , ⊙ 1, a função de distribuição

              ⊃∞

              de , e um ponto de continuidade de , precisamos mostrar que ( ) ⊗⊃ ( ). Para tanto, observe que dado &gt; 0 arbitrário e æ ∈ Ω, temos (æ) ⊘ + ou (æ) &gt; + , e daí,

              (æ) &gt; . Assim, temos [ (æ) ⊘ implica (æ) ⊘ + ou (æ) ⊗ ] ⊆

              [ + ] ∪ [♣ &gt; ], e logo, ( ) = (

              ⊘ ) ⊘ ( + ) + (♣ &gt; ) = ( + ) + (♣ &gt; ). De modo análogo, temos que (æ) ⊘ (æ) ⊘ ou (æ) ⊗ (æ) &gt; .

              ( ) + ⊘ ] ∪ [♣ &gt; ], e assim, ( ) ⊘

              Desta forma, [ ] ⊆ [ (♣ &gt; ). Juntando as duas desigualdades obtemos ⊗ &gt; ) ⊘ &gt; ).

              ( ) ⊗ (♣ ( ) ⊘ ( + ) + (♣ Como

              ⊗⊃ , obtemos, fazendo tender ao inĄnito, que inf sup ( ) ⊘ lim ( ) ⊘ lim ( ) ⊘ ( + ),

              ⊃∞ ⊃∞

              e como é um ponto de continuidade de , fazendo tender a zero obtemos ( ) = lim ( ),

              ⊃∞ o que conclui a prova da proposição.

              Exemplo 3.1.2. Sejam , , , 1 2 1 ≤ ≤ ≤ variáveis aleatórias independentes com distribuição

            normal com parâmetros 0 e . Então não converge para em

            2 ⊗⊃ , mas probabilidade.

              De fato, como as variáveis aleatórias são identicamente distribuídas, é óbvio que as funções características de e respectiva- ⊗⊃ . Por outro lado, sendo e mente, temos da independência de tais e da Proposição

               que a função característica

              de será dada por t2 t2 t2

              ⊗ ⊗ ⊗ 4 4 2

              ˜ ( ) = ( ) ( ) = = , e assim, tem distribuição normal padrão, qualquer que seja . Assim, sendo s2 1 √︃

              ⊗ 2

            ã ( ) = a função de distribuição normal (que é simétrica em torno de

            2Þ ⊗∞

              zero), temos ⊗ ♣ ⊙ ) = ( ) + ( ⊘ ⊗ )

              (♣ = (

              ⊗ ) + ( ) = 2 (

              ⊗ ) = 2(1 ⊗ ã( )).

              ⊃∞

              Assim temos que (♣ ♣ ⊙ ) ⊗⊃ 2(1 ⊗ ã( )) ̸= 0 se ̸= 0, e portanto, não temos ⊗⊃ .

              Proposição 3.1.3.

              Se ⊗⊃ , onde c é uma constante real, então ⊗⊃ . Demonstração. Sejam , , , 1 2 1 , , 2

              ≤ ≤ ≤ as funções de distribuição de , ≤ ≤ ≤ respecti- vamente, onde . Temos que

              ⎧ ⋁︁ ⨄︁

              1, se ( ) = .

              ⋁︁ ⎩

              0, se &lt;

              ⊃∞

              ( ) Assim, todo ̸= é ponto de continuidade de , e como ⊗⊃ , temos ⊗⊃ ( )

              

            ⊃∞ ⊃∞

              ( ) ( ) para todo ̸= , isto é, ⊗⊃ 1 se &gt; e ⊗⊃ 0 se &lt; . Logo, dado &gt; 0, temos

              ⊗ ♣ ⊘ ) = ( + ) (♣

              ⊙ ( &lt; + ) = (

              ⊘ + ) ⊗ ( )

              ⊃∞

              = ⊗⊃ 1.

              ( + ) ⊗ ( )

              ⊃∞ Assim, (♣ &gt; ) = 1 ⊗ (♣ ♣ ⊘ ) ⊗⊃ 0, e portanto, ⊗⊃ . Pelo Exemplo

               não vale em geral,

              mas como vimos na Proposição

              temos que vale no caso em que degenera em um ponto, e isso será de grande utilidade na demonstração da Lei dos Grande Números.

              Recorde que no início da seção Ązemos a seguinte pergunta: qual é a relação entre a convergência da sequência de variáveis aleatórias e a convergência das sequências de funções de distribuição e funções características que surgem? Pelo que vimos até agora temos que a convergência em quase toda parte implica a convergência em probabilidade, que por sua vez implica a convergência em distribuição, enquanto que a recíproca não vale em geral em nenhum dos dois casos. Falta então apenas analisar como estas convergências se relacionam com as funções características. Como vimos no Corolário

              há uma

              relação biunívoca entre função de distribuição e função característica, e portanto é natural pensarmos que a convergência da sequência de funções características também estabeleça tal relação com a convergência em distribuição. De fato isso ocorre, como veremos nos resultados seguintes, os quais podem ser encontrados em Capítulo 6).

              Teorema 3.1.1

              (Teorema de Helly-Bray). Sejam , 1 , 2 , ≤ ≤ ≤ funções de distribuição

              ⊃∞ com convergindo fracamente para , isto é, ( )

              ¶ ♢ ⊙1 ⊗⊃ ( ), para todo que é

              ponto de continuidade de . Então, ∫︁ ∫︁

              ∞ ∞

            ⊃∞

              ( ) ( ) ( ) ( ) ⊗⊃

              ⊗∞ ⊗∞ para toda função : R 1 , , 2

              ⊃ R contínua e limitada. Em particular, sendo , ≤ ≤ ≤ as

              ⊃∞ respectivas funções características de , , , ( ) 1

            2

              ≤ ≤ ≤ , temos que ⊗⊃ implica ⊗⊃ ( ), para todo ∈ R.

              Demonstração. Dados e tais que

              ⊗∞ &lt; &lt; &lt; ∞, temos

              ⧹︃ ⧹︃ ∫︁ ∫︁ ⧹︃ ⧹︃

              ∞ ∞ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ( ) ( ) ( ) ⧹︃

              ( ) ⊗ ⊘ + + ,

              ⧹︃ ⧹︃ ⊗∞ ⊗∞

              onde

              ⧹︃ ⧹︃ ∫︁ ∫︁ ⧹︃ ⧹︃

              ∞ ⧹︃ ⧹︃

              = ⧹︃ ( ) ( ) ( ) ⧹︃ , ( ) ⊗

              ⧹︃ ⧹︃ ⊗∞

              ⧹︃ ⧹︃ ∫︁ ∫︁ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

              = ⧹︃ ( ) ( ) ( ) ⧹︃ , ( ) ⊗

              ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ∫︁ ∫︁ ⧹︃ ⧹︃

              ∞ ⧹︃ ⧹︃ = ⧹︃ ( ) ( ) ⧹︃ .

              ( ) ( ) ⊗

              ⧹︃ ⧹︃ ⊗∞

              Como é limitada, temos sup ♣ ( )♣ = &lt; ∞, e logo,

              ∈R ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ∫︁ ∫︁ ∫︁ ∫︁ ⧹︃ ∞ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ∞ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

              = ( ) ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) +

              ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

              ⊘

              ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⊗∞ ⊗∞

              )︂ ∫︁ ∫︁ (︂∫︁ ∫︁ ∞ ∞

              ( ) + ( ) ⊘ ♣ ( )♣ ( ) + ♣ ( )♣ ( ) ⊘

              ⊗∞ ⊗∞ = ( ( ) + 1 ⊗ ( )). Uma vez que, pela Proposição

              os pontos de continuidade de são densos em R, e

              lim lim [ ( ) + 1 ⊗ ( )] = 0, dado &gt; 0, podemos escolher suĄcientemente pequeno

              ⊃⊗∞ ⊃∞

              e suĄcientemente grande entre os pontos de continuidade de , de modo que ⊘ ( ( ) + 1 ⊗ ( )) &lt; .

              Como converge fracamente para , temos para esses mesmos e que

              ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ∫︁ ∫︁ ∫︁ ∫︁ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

              ∞ ∞ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

            • = ⧹︃ ( ) ( ) + ( ) ( ) ⧹︃ ⧹︃ ( ) ( ) ⧹︃ ⧹︃ ( ) ( ) ⧹︃ ⊘

              ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⊗∞ ⊗∞

              

            ∫︁ ∫︁ ∫︁ )︂

            (︂∫︁ ∞ ∞

              ( ) + ( ) + ( ) ⊘ ♣ ( )♣ ( )♣

              ( ) ⊘

              ⊗∞ ⊗∞ ⊃∞

              = ( ( )) ( ) + 1 ⊗ ⊗⊃ ( ( ) + 1 ⊗ ( )). Daí, para suĄcientemente grande temos &lt; , e logo, + &lt; 2 . Agora, como é uma função contínua em R, temos que é uniformemente contínua no intervalo compacto [ , ], e logo podemos escolher , 1 , tais que:

              ≤ ≤ ≤ , = &lt; 1 &lt; = ,

              ≤ ≤ ≤ &lt;

              , , 1 são pontos de continuidade de F, e

              ≤ ≤ ≤ ,

              , +1

              ♣ ( ) ⊗ ( )♣ &lt; para todo ∈ [ ], = 0, 1, ≤ ≤ ≤ , ⊗ 1. Segue agora que

              ∫︁ i +1 i ) ⊗ )[ ) ⊗ )] ⊘ = ( ( ( ( ( ) ( ) +1 i

              ) + )[ ( +1 ( )] = ⊘ ( ( i

              ) ⊗ e

              ∫︁ i +1

              = ( ( +1 ( ) ( ) ) ⊗ )[ ( ) ⊗ ( )] ⊘ i ) + )[ ( )] = , +1

              ⊘ ( ( ) ⊗ ( e consequentemente,

              ∫︁ ∫︁ i i +1 +1 i ( ) , i i i ( ) ⊗ ( ) ( ) ⊘ qualquer que seja = 0, 1, ≤ ≤ ≤ , ⊗ 1. Somando termo a termo segue que ⊗1 ∫︁ ∫︁ ⊗1

              ∑︁ ∑︁ =0 ( ( ) ( ). i ) ⊘ ( ) ⊗ ( ) ( ) ⊘ i =0 Como os converge fracamente para , são pontos de continuidade de e ¶ ♢ ⊙1

              ⊃∞ ⊃∞

              temos que e . Logo, i ⊗⊃ i ⊗⊃

              ⊗1 ⊗1 ∑︁ ∑︁

              ⊃∞ =0 =0 ( ) ( ) i ⊗⊃ ⊗ ⊗1

              ∑︁

              = [( ( ) + )( ( ))] +1 +1 =0 ) ⊗ )( ( ) ⊗ ( )) ⊗ ( ( ) ⊗ (

              ⊗1 ∑︁

              = ( ( )) +1 ⊗2 ) ⊗ ( =0

              = ⊗2 ( ( ) ⊗ ( )) ⊙ ⊗2 , e analogamente,

              ⊗1 ⊗1 ∑︁ ∑︁

              ⊃∞

              ( ) ( i ⊗⊃ ⊗ =0 =0 ) ⊗ 2 ( ( ) ⊗ ( )) ⊘ 2 . Assim, para suĄcientemente grande temos

              ∫︁ ∫︁

              ( ) ⊗3 ⊘ ( ) ⊗ ( ) ( ) ⊘ 3 , e consequentemente,

              ⧹︃ ⧹︃ ∫︁ ∫︁ ⧹︃ ∞ ∞ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ( ) ( ) ( ) ⧹︃

              ( ) ⊗ = + + ⊘ 5 ,

              ⧹︃ ⧹︃ ⊗∞ ⊗∞

              donde segue que

              ∫︁ ∫︁ ∞ ∞

            ⊃∞

              ( ) ( ) ( ) ( ).

              ⊗⊃

              ⊗∞ ⊗∞ Lema 3.1.1.

              Suponha que para toda sequência de funções de distribuição , cu-

              ¶ ♢ ⊙1

              

            jas funções características correspondentes convergem pontualmente para , existe uma

            subsequência e uma função de distribuição de forma que converge

              ¶ j ♢ ⊙1 ¶ j ♢ ⊙1

              

            fracamente para . Então a sequência de funções de distribuição converge fraca-

              ¶ ♢ ⊙1 mente para . Note que ainda não podemos dizer que é uma função característica.

              

            Demonstração. Suponha por absurdo que converge fracamente para , mas que

              ¶ j ♢ ⊙1 . Então, existirão um ponto no qual é contínua o mesmo não ocorre com ¶ ♢ ⊙1 ′ ′ ′ ⊃∞ de forma que ( )

              ♢ ⊗⊃ ̸= ( ). Como as funções e uma subsequência ¶ ⊙1 convergem para , o mesmo ocorre com as

              ♢ ⊙1 características correspondentes a ¶ ′ ′ ′ ′ possui ♢ ⊙1

              ♢ ⊙1 funções características de ¶ , e portanto, pelas hipóteses do lema, ¶ ˜ ˜ que converge fracamente para . Como e têm a mesma ♢ ⊙1 uma subsequência ¶ função característica, temos pelo Corolário ˜ que = . Desta forma temos que ˜ ˜ ( ) ⊃∞ ˜ ( ) ⊃∞

              ⊗⊃ ( ) = ( ), ao mesmo tempo que ⊗⊃ ̸= ( ). Chegamos assim a converge fracamente para . uma contradição, e portanto ¶ ♢ ⊙1

              Teorema 3.1.2 (Teorema da Continuidade de Paul Lévy). Sejam , , 1 2

              ≤ ≤ ≤ funções de

              distribuição cujas funções características correspondentes são , , 1 2 ≤ ≤ ≤ , respectivamente.

              Se converge pontualmente para que é contínua em = 0, então temos que

              a) existe uma função de distribuição tal que converge fracamente para , e b) é a função característica correspondente a .

              

            Demonstração. Note inicialmente que é suĄciente provar o primeiro item, pois a partir

              daí o Teorema de Helly-Bray garante a validade do segundo. A demonstração será feita a partir das seguintes aĄrmações:

              Afirmação

              1. Existem uma subsequência , , 1 2 ≤ ≤ ≤ e uma função : R ⊃ [0, 1] não

              ⊃∞

              decrescente e contínua à direita onde ( ) j ⊗⊃ ( ) para todo que é ponto de continuidade de .

              Afirmação 2. A função obtida é uma função de distribuição.

              Como a sequência , , 1 2 ≤ ≤ ≤ , tomada é arbitrária, a existência de no primeiro item segue do Lema

              

              é limitada, e logo, sendo Para provar a aĄrmação 1 observe que a sequência ¶ ♢ ⊙1

              Q 1 , 2 , ≤ ≤ ≤ ♢ o conjunto (enumerável) dos números racionais, temos, pelo método da

              = ¶ diagonal de Cantor Capítulo 10, Teorema 21), que existe uma subsequên- j ♢ ⊙1 que converge pontualmente em Q. Vamos deĄnir então no conjunto dos cia ¶ racionais por

              ( ) = lim j ( ), ∈ Q.

              ⊃∞

              Como temos para todo que ( é não decrescente, o mesmo acontecerá ) ∈ [0, 1] e com no conjunto dos racionais.

              Para irracional vamos deĄnir ( ) como lim ( ), e teremos não decrescente r x

              ∈Q ⊃∞

              em R. Além disso, ( ) j ⊗⊃ ( ) para todo que é ponto de continuidade de , pois dado &gt; 0, existem ^ e ˜ racionais tais que ^ &lt; &lt; ˜ e ) ⊗ &lt; ( ) &lt; (^ ) + , e logo j j inf ( )

              ( ) ⊗ &lt; (^ ) = lim (^ ) ⊘ lim

              

            ⊃∞ ⊃∞

            sup ) = ) &lt; ( ) + .

              ⊘ lim j ( ) ⊘ lim j

              ⊃∞ ⊃∞ ⊃∞

              Como a exigência é que ( ) j ⊗⊃ ( ) apenas nos pontos de continuidade de , podemos redeĄnir nos pontos de descontinuidade, de forma que seja contínua à direita.

              Para provar a aĄrmação 2, basta provarmos ainda que (∞) = 1 e (⊗∞) = 0. Para tanto, dada a função característica correspondente a uma função de distribuição

              , vamos deĄnir a função característica integrada ^ por

              ∫︁ ∫︁ ∫︁ ∞

              ^ ( ) = ( ) = ( )

              ⊗∞ ∫︁ ∫︁ ∫︁

              ∞ ∞

              ⊗ 1 = ( ) = ( ),

              ⊗∞ ⊗∞

              onde a troca na ordem de integração se justiĄca no fato de que

              ⧹︃ ⧹︃ ∫︁ ∫︁ ∫︁ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ( ) ⧹︃ ⊘ ♣ ( )♣ ⊘ ⊘ . itx ⧹︃ ⧹︃ itx itx

              ⊗1 ⊗1 ⊗1

              Para Ąxo, é uma função limitada e contínua, já que lim = e lim =

              ⊃∞ itx ⊃0 ⊗1

              lim = 0. Assim, de forma análoga à prova do Teorema de Helly-Bray

              ⊃⊗∞ Teorema 4.4.1), temos que

              ∫︁ ∫︁ ∞ ∞

            ⊃∞

              ⊗ 1 ⊗ 1 j ⊗⊃ ( ) ( ),

              ⊗∞ ⊗∞

              isto é,

              ∫︁ ∫︁ ∫︁ ∞

            ⊃∞

              ^ ( ) = ( ) ( ) . (3.1) j j ⊗⊃

              ⊗∞

              Como é uma função contínua (pois é uma função característica), temos mensurável j j

              ⊃∞

              para todo , e como j ⊗⊃ , também é mensurável. Assim, sendo [0, ] ( ) dada por

              ⎧ ⋁︁ ⨄︁

              1, se 0 ⊘ [0, ] ( ) =

              ⋁︁ ⎩

              0, caso contrário, temos do Teorema da Convergência Dominada (aplicado à parte real e à parte imaginária de ( ) ) que [0, ] j

              ∫︁ ∫︁ ∫︁ ∫︁ ∞ ∞ ⊃∞

              ^ ( ) = ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) . (3.2) j j j ⊗⊃ [0, ] [0, ]

              ⊗∞ ⊗∞

              Das equações

              segue que ∫︁ ∫︁ ∫︁

              ∞

              ( ) = ( ) ,

              ⊗∞

              e logo, para todo ̸= 0,

              ∫︁ ∫︁ ∫︁ ∞

              1

              1 ( ) = ( ) . (3.3) ⊗∞

              Além disso, como ⊗⊃ e ♣ ♣ ⊘ 1, temos novamente do Teorema da Convergência

              √︃ ∞

              Dominada que ( ) = é contínua em = 0. Como também é contínua em

              ⊗∞ √︃ √︃ √︃

              ∞

              = 0, podemos derivar ( ) e ( ) numa vizinhança de = 0, e logo,

              ⊗∞

              pela regra de LŠHôpital temos

              ∫︁

              1 lim ( ) = lim ( ) = (0) e (3.4)

              ∫︁ ∫︁ ∫︁ ∫︁ ∞ ∞ ∞

              1 lim ( ) = lim ( ) = ( ), (3.5)

              ⊃0 ⊃0 ⊗∞ ⊗∞ ⊗∞

              onde a última igualdade decorre do Teorema da Convergência Dominada aplicado a . Como (0) = lim (0) = 1, temos das equações

              que ⊃∞

              ∫︁

              ( ) = (0) = 1, (∞) ⊗ (⊗∞) =

              

            ⊗∞

            e como 0 ⊘ ( ) ⊘ 1, temos (∞) = 1 e (⊗∞) = 0.

              Corolário 3.1.1. converge pontualmente para .

              ⊗⊃ se, e somente se, n

              Demonstração. Se

              ⊗⊃ , temos pelo Teorema de Helly-Bray que para ∈ R Ąxo,

              ∫︁ ∫︁ ∞ ∞

            ⊃∞

              E cos( ) = cos( ) ( ) cos( ) ( ) = E cos( ) e n ⊗⊃

              ⊗∞ ⊗∞ ∫︁ ∫︁

              ∞ ∞ ⊃∞

              E sin( ) = sin( ) ( ) sin( ) ( ) = E sin( ), n ⊗⊃

              ⊗∞ ⊗∞

              uma vez que cos( ) e sin( ) são funções contínuas e limitadas. Segue que

              ⊃∞ n ⊗⊃ E cos( ) + E sin( ) = ( ) = E cos( ) + E sin( ) ( ), converge pontualmente para .

              qualquer que seja ∈ R, isto é, n Reciprocamente, suponha que converge pontualmente para . Como é n a função característica de , temos que é contínua em = 0. Logo, pelo Teorema da

              Continuidade de Paul-Lévy, temos ⊗⊃ .

              No corolário acima temos, como aplicação do Teorema de Helly-Bray, que a con- vergência em distribuição implica a convergência pontual das funções características. No teorema que segue vamos mostrar, que nesse caso, a convergência das funções caracterís- tica é uniforme em cada intervalo limitado.

              Teorema 3.1.3. Sejam , , , 1 2 convergindo

              ≤ ≤ ≤ funções de distribuição, com ♢ ⊙1

              fracamente para , e , , , 1 2

              ≤ ≤ ≤ , as respectivas funções características. Então, ♢ ⊙1 converge uniformemente para em todo intervalo limitado.

              

            Demonstração. Acabamos de ver, no corolário acima, que converge pontualmente

              ¶

              ⊙1

              para . Para mostrar que a convergência é uniforme, dado &gt; 0, observe que para quaisquer e em R, temos

              ⧹︃ ⧹︃ ∫︁ ∫︁ ⧹︃ ⧹︃

              ∞ ∞ ⧹︃ ( +) ⧹︃ ⧹︃ ( ) ⧹︃

              ♣ ( + ) ⊗ ( )♣ = ( ) ⊗

              ⧹︃ ⧹︃ ⊗∞ ⊗∞

              ∫︁ ∞

            ( ).

              ⊘ ♣ ⊗ 1♣

              ⊗∞ Daí temos, para grande, que

              ∫︁ ∫︁ ℎ ℎ

              ( ) + ( ) ♣ ⊗ 1♣ ⊗ 1♣

              ( + ) ⊗ ( )♣ ⊘

              ♣ ♣⊘ &gt;

            ∫︁ ∫︁

              ( ) + 2 ( ) ⊘ ♣

              ♣ ♣⊘ &gt; ∫︁ ( ).

              ⊘ ♣ + 2

              

            &gt;

              converge fracamente para , existe &gt; 0 tal que, Por outro lado, como ¶ ♢ ⊙1

              ⧹︃ ⧹︃ ∫︁ ∫︁ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ( ) ⧹︃ &lt;

              ⊙ ⇒ ( ) ⊗

              ⧹︃ ⧹︃

            &gt; &gt;

              6

              ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ∫︁ ∫︁ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

              ⧹︃ ( ) ⧹︃ ⧹︃ ( ) ⧹︃

            • &lt; ,

              ⇒

              ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ♣ &gt; &gt;

              6 e logo,

              ∫︁ ( ) + .

              ♣ ( + ) ⊗ ( )♣ ⊘ ♣ + 2

              3

              ♣ &gt;

              Agora, tomando suĄcientemente grande, temos

              2

              ,

              ♣ ( + ) ⊗ ( )♣ ⊘ ♣ +

              3 e daí, tomando suĄcientemente pequeno, teremos ♣ ( + ) ⊗ ( )♣ ⊘ . é uma família de funções equicontínua e limitada, e logo, pelo

              Assim, temos que ¶ ♢ ⊙1 Teorema de Arzelá-Ascoli Capítulo 10, Teorema 22), converge uniforme- mente em cada intervalo limitado.

            3.2 Teoremas Limites

              n n + Nesta seção vamos começar a falar sobre a convergência das sequências do tipo n . Antes de enunciarmos a Lei dos Grandes Números e o Teorema Central do Limite, vamos expor alguns exemplos que deixam claro que tais sequências nem sempre convergem para uma variável aleatória que tenha distribuição normal ou degenerada. Tais exemplos serão a motivação para estudarmos as distribuições inĄnitamente divisíveis e estáveis no próximo capítulo. Outro fato que veremos adiante é que as sequências mencionadas podem ser escritas sob a forma de um arranjo triangular, e nesse contexto surge o Teorema de Poisson, o qual também estaremos abordando aqui.

              Exemplo 3.2.1. Sejam , , 1 2 tem dis-

              ≤ ≤ ≤ variáveis aleatórias independentes onde

              ∞ ∑︀

            tribuição de Poisson com parâmetro Ú &gt; 0 e Ú = Ú. Então, sendo = ,

            1 n n =1 +≤ ≤ ≤+

              ⊗E Ú √ √

            temos que , onde tem distribuição de Poisson com parâmetro Ú.

            n ⊗⊃ = Ú

              Demonstração. De acordo com a Proposição Ú n ( it para cada , a função característica ⊗1)

              de será ( ) = , e como, pelas Proposições n

               √︁ 1 )

              ⊗ E ⊗ (Ú + ≤ ≤ ≤ + Ú

              Ú ,

              √ = √ = √ 1

            • ≤ ≤ ≤ + Ú

              Ú Ú 1 1

            • ≤ ≤ ≤ + Ú + ≤ ≤ ≤ + Ú n ⊗E n

              √

              de acordo com a Proposição

              a função característica de será n (︃ )︃

              √ Ú 1 +≤≤≤+Ú n

              ( ) = n

              Ú 1

            • ≤ ≤ ≤ + Ú

              (︃ )︃ (︃ )︃ √ Ú 1 +≤≤≤+Ú n

              = 1 √ n ≤ ≤ ≤

              Ú 1 Ú 1

            • ≤ ≤ ≤ + Ú + ≤ ≤ ≤ + Ú

              √ (︁ √ )︁ (︁ √ )︁ Ú Ú Ú 1 +≤≤≤+Ú n 1 +≤≤≤+Ú n 1 +≤≤≤+Ú n

              = exp Ú ( Ú ( 1 ⊗ 1) ≤ ≤ ≤ exp ⊗ 1)

              √ (︁ √ )︁ Ú Ú 1 1 +≤≤≤+Ú n ∖ +≤≤≤+Ú n

              = exp (Ú )( . 1 i t + ≤ ≤ ≤ + Ú ⊗ 1)

              √ ⊃∞ λ Ú Ú ( ⊗1)

              Segue que ( ) , que é uma função contínua em = 0, e logo, pelo ⊗⊃

              Teorema da Continuidade de Paul-Lévy, é função característica da variável aleatória n ⊗E n

              ⊗Ú

              tal que

              temos = onde n ⊗⊃ . Para Ąnalizar, das Proposições Ú tem distribuição de Poisson com parâmetro Ú.

              Exemplo 3.2.2. Sejam , , 1 2

              ≤ ≤ ≤ variáveis aleatórias independentes com distribuição n

              de Cauchy com parâmetro &gt; 0 e = . Então 1

            • ≤ ≤ ≤ + ⊗⊃ , onde também tem distribuição de Cauchy com parâmetro .

              Demonstração. De acordo com o Corolário as funções características de , , 1 2

              ≤ ≤ ≤

              ⊗

              serão todas iguais a ( ) = , e de acordo com a Proposição n

               a função caracterís-

              tica de será

              (︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂ θ t Xn ⊗ ⊗ n

              ( ) = X1 ( ) = = = , ≤ ≤ ≤ n ( ) ≤ ≤ ≤ n

              ⊃∞ ⊗

              qualquer que seja . Assim, ( ) , e pelo Teorema da Continuidade de Paul- n ⊗⊃ Lévy ⊗⊃ , onde tem distribuição de Cauchy com parâmetro .

              Lema 3.2.1. Seja , ,

              ⊙ 1 e 1 ⊘ , uma sequência de números complexos tais

              ∑︀ ∑︀ ⊃∞ ⊃∞ que , , ,

              ⊗⊃ , max ♣ ♣ ⊗⊃ 0 e ♣ ⊘ &lt; , onde é uma constante que =1 =1 1⊘

              não depende de . Então, ∏︁

              ⊃∞ (1 + , ) . =1 ⊗⊃ ⊃∞ 1 Demonstração. De max , , para todo

              ♣ ♣ ⊗⊃ 0 temos que existe tal que ♣ ♣ ⊘ 2

              1⊘ 1

              , e logo 1 + , = ¶ ∈ C; ♣1 ⊗ ♣ ⊘ ♢. Logo podemos considerar o logaritmo 2

              ⊗

              , o qual em assume a forma principal em C ⊗ R

              ∞ ∞ ⊗1 ⊗1 ∑︁ ∑︁

              1 (⊗1) (⊗1) ln(1 + ) = = + , .

              ♣ ♣ ⊘ =1 =2

              2

            • 2
            • 2

              ♣ ,

              1⊘

              = 0, uma vez que max

              ̂︂ ⎠

              ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⎞

              1⊘ ,

              (⊗1) +1 max

              ∞ ∑︁ =0

              ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

              )︃ ⎛ ̂︁ ∐︁

              )︂ (︃ ∑︁ =1

              ⊃∞

              ♣ ,

              1⊘

              max

              ⊃∞ (︂

              ⊘ lim

              ̂︂ ⎠

              ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⎞

              1⊘ ,

              (⊗1) +1 max

              ♣ ,

              ⊗⊃ 0,

              ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

              (︃

            ∑︁

            =1

              = 1,1 2 = 2,1 + 2,2 3 = 3,1 + 3,2 + 3,3 ...

              aleatórias, a qual chamaremos de Arranjo Triangular: 1

              ≤ ≤ ≤ , , de modo que se forma a seguinte sequência de variáveis

              independentes , 1 ,

              (Teorema de Poisson). Para todo ⊙ 1 considere as variáveis aleatórias

              Teorema 3.2.1

              ⊗⊃ .

              )︃ ⊃∞

              ln(1 + , )

              (1 + , ) = exp

              ∑︀ =1

              ∏︁ =1

              e consequentemente,

              ⊃∞ ∑︁ =1 , = ,

              ln(1 + , ) = lim

              ⊃∞ ∑︁ =1

              . Segue portanto que lim

              ⊗⊃ ⊗ 1 2

              (⊗1) j +1 max 1⊘kn j n,k +2 ⊃∞

              ∞ ∑︀ =0

              ♣ , ♣ ⊘ &lt; ∞ para todo e

              ∞ ∑︁ =0

              ♣ ,

              = , 1 + , 2 + , 3

              (⊗1)

              ⊃∞ ∑︁ =1

              = lim

              ⊗1 , ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

              (⊗1)

              ∞ ∑︁ =2

              ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

              ⊃∞ ∑︁ =1 ⧹︃

              ⊘ lim

              ⊗1 , ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

              ∞ ∑︁ =2

              ∑︁ =1 ⎛ ̂︁ ∐︁

              ⊃∞ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ∑︁ =1

              Agora, observe que lim

              ⊗1 , .

              (⊗1)

              ∑︁ =2

              ∑︁ =1 , + ∑︁ =1

              ln(1 + , ) =

              ∑︁ =1

              Segue que para ,

              ∐︁

              ♣ , 2

              ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

              ∞ ∑︁ =0

              ♣ ,

              1⊘

              max

              ⊃∞

              ⊘ lim

              ⎠

              ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⎞

              (⊗1) +1 ,

              ∞ ∑︁ =0

              ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

              ♣ ,

              ∑︁ =1 ⎛ ∐︁

              ♣ ,

              1⊘

              max

              ⊃∞

              ⊘ lim

              ⎠

              ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⎞

              (⊗1) +1 ,

            • 2
            • 2

            • ≤ ≤ ≤ + , ...

              

            Suponha que para todo 1 , = 1) = , e ( , = 0) = , ,

              ⊘ , tenhamos (

              ∑︀ ⊃∞ ⊃∞

            • com , , = 1, max , ,

              ⊗⊃ 0 e ⊗⊃ Ú &gt; 0. Então, para todo = 0, 1, 2, ≤ ≤ ≤

              1⊘ =1 vale que

              ⊗Ú Ú

              ⊃∞

              ( = ) , ⊗⊃

              !

              isto é, ⊗⊃ (Ú). Demonstração. Para todo 1 que a função característica

              ⊘ temos da Proposição de , será n,k i ∑︁ n,k ( ) = E = ( + , = ) = , , .

              ∈¶0,1♢

              Como as variáveis aleatórias são independentes, temos da Proposição

               que a função

              característica de será

              ∏︁

              ( ) = ( ) = ( , , ) + n, 1 ( ) ≤ ≤ ≤ n,n =1

              ∏︁ ∏︁

              = ( , , ) = (1 + , ( ⊗ 1)). =1 =1 + 1 ⊗ Agora, tomando , = , (

              ⊗ 1), temos claramente do lema anterior que

              ∑︁ , ⊃∞

              (3.6) , , , para quaisquer e , temos =1 ⊗⊃ Ú( ⊗ 1). Além disso, como ♣ ♣ = ♣( ⊗ 1)♣ ⊘ 2

              ⊃∞

              max , (3.7)

              ♣ ♣ ⊗⊃ 0,

              1‘

              ao mesmo tempo que

              ∑︁ ∑︁ , , (3.8) ⊃∞ =1 =1 ♣ ⊘ 2 ⊗⊃ 2Ú &lt; .

              Por

               que

            it

            ⊃∞ Ú

            ( ⊗1)

              ( ) , ⊗⊃ e portanto, do Teorema da Continuidade de Paul-Lévy,

              ⊗⊃ (Ú). Uma sequência de variáveis aleatórias , , 1 2 n ⊗E n ≤ ≤ ≤ satisfaz a Lei Fraca dos Grandes

              Números quando = . Analogamente, dizer que 1 ⊗⊃ 0, onde + ≤ ≤ ≤ + n ⊗E n 1

              , , 2

              converge em ≤ ≤ ≤ satisfazem a Lei Forte dos Grandes Números signiĄca que quase toda parte para 0. Note que o Exemplo

               deixam claro que

              a Lei Forte implica a Lei Fraca, enquanto a recíproca não vale em geral, justiĄcando assim o uso dos termos Forte e Fraca. No caso em que as variáveis aleatórias são identicamente n n n n n

              ⊗E ⊗E

              = ⊗ , e logo, ⊗⊃ 0 é equivalente distribuídas com média &lt; ∞, temos n a

              ⊗⊃ .

              Teorema 3.2.2 (A Lei Fraca dos Grandes Números de Khintchin). Sejam , , 1 2

              ≤ ≤ ≤

              variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas com E

              = &lt; para

              todo = 1, 2, = . Então, 1

              ≤ ≤ ≤ , e + ≤ ≤ ≤ + ⊗⊃ .

              Noutros termos, , , 1 2 ≤ ≤ ≤ satisfazem a Lei Fraca dos Grandes Números.

              

            Demonstração. Seja ( ) a função característica de , , ( ) a função carac-

            n 1 +≤≤≤+ n 1 2 ≤ ≤ ≤ , e

              terística de = . Como as variáveis aleatórias são independentes, temos da Proposição

               que Xn (︂ (︂ )︂)︂

              ( ) = X1 ( ) = . n ( ) ≤ ≤ ≤ n

               que possui pelo menos uma

              Por outro lado, como &lt; ∞, temos do Teorema

              ′

              derivada contínua, a qual no ponto = 0 é dada por (0) = . Além disso, pela expansão de Taylor temos, para próximo de zero, que

              ′ ( ) = (0) + (0) + ( ) = 1 + + ( ).

              Daí, para todo ∈ R vale que, para suĄcientemente grande,

              

            (︂ )︂ (︂ )︂

              1 = 1 + + ,

              (︁ )︁ 1

            • e consequentemente, tomando , =

               que

              , = 1, ≤ ≤ ≤ , , temos do Lema

              (︂ (︂ )︂)︂

              1

              ⊃∞ + ( ) = 1 + .

              ⊗⊃ Como å( ) = é a função característica da variável aleatória degenerada em , n segue do Teorema da Continuidade de Paul-Lévy que n ⊗⊃ , e consequentemente, pela Proposição

               ⊗⊃ .

              Nas condições do Teorema n vale também a Lei Forte dos Grandes Números, isto é, converge em quase toda parte para , o que é conhecido como a Lei Forte de Kolmogorov Capítulo 5).

              Teorema 3.2.3

              (Teorema Central do Limite para Variáveis Aleatórias Independentes e Identicamente Distribuídas). Sejam 1 , 2 ,

              ≤ ≤ ≤ variáveis aleatórias independentes e iden- 2

              ticamente distribuídas com E &lt;

              = àpara todo = 1, 2, ≤ ≤ ≤ ,

              = &lt; e 0 &lt;

              e . Então, quando

              = 1 ⊃ ∞,

            • ≤ ≤ ≤ +

              ⊗ E =

              √ √ ⊗⊃ (0, 1).

              à

              

            Demonstração. Sem perda de generalidade vamos supor que = 0, pois considerando

            n ⊗E n

              a sequência formada por = não se altera quando ⊗ teremos que o valor n trocamos por . Seja então ( ) a função característica de , , ( ) a 1 2 n

              ≤ ≤ ≤ , e

              √

              função característica de . Como as variáveis aleatórias são independentes, temos da à Proposição

               que (︃ (︃ )︃)︃ ( ) = Xn ( ) = . X1 σ n ( ) ≤ ≤ ≤ √ √ σ n 2 à &lt;

               que

              ♣ ∞, temos do Teorema Por outro lado, como E♣ possui pelo menos duas derivadas contínuas, as quais no ponto = 0 são dadas por 2 2 2

              ′ ′′

              E (0) = = 0 e (0) = . Além disso, pela expansão de Taylor teremos,

              = ⊗à para próximo zero, que 2 2 2

              ′′

              (0) à 2 2

              ′ ( ) = (0) + (0) + + ( + ( ).

              ) = 1 ⊗

              2

              2 Daí, segue que para todo ∈ R, quando é suĄcientemente grande,

              (︃ (︃ )︃)︃ (︃ (︃ 2 2 (︂ )︂)︃ 2 (︂ )︂)︃ à

              1

              1

            • ( ) = = = + , √ 1 ⊗ 1 ⊗
            • 2

                à 2à

                2 2 (︁ )︁ 1 e consequentemente, tomando + ,

                

                = ⊗ , = 1, ≤ ≤ ≤ , , temos do Lema 2 que t2

                

              ⊃∞

              2 ( ) . t2 ⊗⊃ 2 Como å( ) = é a função característica correspondente a distribuição normal padrão,

                segue do Teorema da Continuidade de Paul-Lévy que ⊗ E

                = √ √ ⊗⊃ (0, 1).

                à

                Para enunciarmos uma versão mais geral do teorema anterior, observe que para a n ⊗E n

                √

                expressão fazer sentido, não é necessário que as variáveis aleatórias sejam identi- n camente distribuídas. Basta que as variâncias sejam todas Ąnitas com pelo menos uma √ diferente de zero. Um fato que ocorre no entanto é que, sendo = , as parcelas k ⊗E K n n

                ⊗E n n da soma são uniformemente pequenas para grande. Vamos então tentar

              k ⊗E K

              ⊃∞

                estabelecer condições sob as quais max a n ⊗⊃ 0, ou equivalentemente, sendo Û

                1⊘

                média e à a variância de , estabelecer condições sob as quais 2 2 ∫︁

                ∞ à E ( )

                1 ⊗ Û 2 ⊃∞ max = max = max ) ( ) 2 2 2 ( Û ⊗⊃ 0.

                1⊘ 1⊘ 1⊘ ⊗∞ Para tanto, observe que dado &gt; 0 arbitrário, temos 2 ∫︁ ∫︁

                à

                1 2

                1 2 = ) ( ) + ) ( ) 2 2 n n ( Û ( Û 2

                ♣ Û k ♣⊘ Û k&gt; ∫︁ ∫︁ ∑︁

                1 2 2

                1 2 ( ) + ) ( )

                ⊘ 2 2 ( Û

                ♣ Û k ♣⊘ n Û j&gt; n =1 ∫︁ ∫︁

                ∞

              ∑︁

                1 2 2

                1 2 ( ) + ) ( ).

                ⊘ 2 2 ( Û

                ⊗∞ ♣ Û j&gt; n

              =1

                Como o resultado obtido não depende do índice escolhido, segue que 2 ∫︁

                ∑︁ à 2

                1 2 max ) ( ). + 2 ( Û 2

                1⊘ =1 à 2 Û&gt; n k k ⊃∞

                Como &gt; 0 é arbitrário, para que max 2 n ⊗⊃ 0 é suĄciente que tenhamos para todo

                1⊘ &gt;

                ∫︁ ∑︁

                1 2 ⊃∞ ) ( )

                ⊗⊃ 0, 2 ( Û =1 Û k&gt; n o que é conhecido como condição de Lindeberg. Daí temos o seguinte resultado:

                Teorema 3.2.4 (Teorema Central do Limite de Lindeberg). Sejam , , 1 2 2 ≤ ≤ ≤ variáveis aleatórias independentes com E = Û &lt; = à &lt;

                ∞ e para todo = 1, 2, ≤ ≤ ≤ ,

                

              à &gt; 0 para pelo menos um índice . Sendo = e = =

              1

              • ≤ ≤ ≤ +

                √︁ 2 n ⊗E n 2 à , então, para que 1 + ≤ ≤ ≤ + à ⊗⊃ (0, 1) quando ⊃ ∞, é suĄciente que seja n satisfeita a condição de Lindeberg.

                Demonstração. Sejam , , , , 1 2 1 2

                ≤ ≤ ≤ as funções características e ≤ ≤ ≤ as funções de dis- n n

                ⊗E

                tribuição de , , ( ) a função característica de . Como 1 2 ≤ ≤ ≤ , respectivamente, e n as variáveis aleatórias são independentes, temos da Proposição

                 que (︃ )︃ (︂ )︂

                ∏︁

                ⊗ E Û E

                ( ) = E exp = exp , (3.9) =1 e pelo Teorema da Continuidade de Paul-Lévy é suĄciente mostrarmos que para todo t2

                ⊃∞ ⊗ 2

                ( ) ∈ R, ⊗⊃

                . Para tanto, Ąxado ∈ R, vamos usar as seguintes versões da fórmula de Taylor para : 2 2 = 1 + + 1 ( ) , 1 onde ♣ ( )♣ ⊘ 1, e, 2 2

                2 3 3 2 ( ) , 2 = 1 + ⊗ onde ♣ ( )♣ ⊘ 1.

              • 2

                6 Daí, dado &gt; 0 arbitrário, usando a primeira fórmula para ♣ &gt; e a segunda : para ♣ ♣ ⊘ , teremos a seguinte representação para 2 2

                ( ), + = 1 +

              • (︂
              • 2
              • 3

              • Ý , , onde
              • 3
              • 3

                  ∫︁ ♣ Û k&gt; n

                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                  1 + 1

                  (︂

                  ⊗ Û

                  )︂ ⧹︃⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                  ⊗ Û

                  (︂

                  )︂ 2

                  ( )

                  6

                  ∫︁ ♣ Û k ♣⊘ n

                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ 2 (︂

                  ⊗ Û

                  2

                  )︂ 3 ( ).

                  Note que ♣Ý , ♣ ⊘ 2

                  ⊗ Û

                  ∫︁ ♣ Û k&gt; n

                  [︂

                  1 + 1

                  

                (︂

                  ⊗ Û

                  )︂]︂ (︂

                  )︂ 2

                  ⊗ Û

                  ( )

                  6

                  ∫︁ ♣ Û k ♣⊘ n 2

                  (︂

                  ⊗ Û

                  )︂ (︂

                  

                )︂ ⧹︃⧹︃

                ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                  ⊗ Û

                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                  6 2

                  ∫︁ ∞ ⊗∞

                  ( Û ) 2 ( )

                  ⊘ 2 2

                  ∫︁ ♣ Û k&gt; n

                  ( Û ) 2 ( ) +

                  ♣ 3à 2

                  ,

                  ♣ 3

                  e logo temos que

                  ∑︁ =1

                  ♣Ý , ♣ ⊘ 2 2

                  ∑︁ =1 ∫︁ ♣ Û k&gt; n

                  ( Û ) 2 ( ) +

                  ♣ 3

                  6 2

                  ( Û ) 2 ( ) +

                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ (︂

                  )︂ 2

                  ⊗ Û

                  )︂ 2

                  ( ) ⊘ 2

                  ∫︁ ♣ Û k&gt; n

                  (︂

                  ⊗ Û

                  ( ) + ♣ 3

                  ∫︁ ♣ Û k&gt; n

                  6

                  ∫︁ ♣ Û k ♣⊘ n .

                  (︂

                  ⊗ Û

                  )︂ 2

                  ( ) ⊘ 2 2

                  2

                  Ý , = 2

                  2 2

                  ( ) =

                  ( ) = 1 + E

                  )︂⟨

                  ⊗ Û

                  )︂ 2

                  ⊗ Û

                  (︂

                  2

                  ⊗ 2

                  )︂

                  ⊗ Û

                  (︂

                  1 +

                  [︃

                  ∫︁ ∞ ⊗∞

                  

                )︂

                  ⊗ Û

                  se ♣ ♣ ⊘ , e consequentemente, E exp

                  onde ( ) =

                  ⎧ ⋁︁ ⨄︁ ⋁︁ ⎩

                  (1 + 1 ( )) 2 2 2

                  ,

                  se ♣ &gt; 2 ( ) 3 3 6

                  

                ,

                  (︂

                  ⊗ Û

                  ⊗ Û

                  )︂

                  =

                  ∫︁ ∞ ⊗∞

                  exp

                  (︂

                  (︂

                  

                )︂

                  à 2

                  = 0 e E

                  )︂ (︂

                  ⊗ Û

                  )︂ 3 ( ).

                  Agora, como E = Û e = à 2 , segue que para todo = 1, ≤ ≤ ≤ , , E

                  (︁ ⊗Û k n

                  )︁

                  (︁ ⊗Û k n

                  

                (︂

                  )︁ 2

                  = k 2 n = à 2 k 2 n , e logo, E exp

                  (︂

                  ⊗ Û

                  

                )︂

                  = 1 ⊗ 2

                  ⊗ Û

                  ∫︁ ♣ Û k ♣⊘ n 2

                  ⊗ 2

                  [︂

                  2 E

                  (︂

                  ⊗ Û

                  )︂ 2

                  2

                  ∫︁ ♣ Û k&gt; n

                  1 + 1

                  6

                  (︂

                  ⊗ Û

                  )︂]︂ (︂

                  ⊗ Û

                  )︂ 2

                  ( )

                  6 . Pela condição de Lindeberg a primeira parcela do termo à direita tende a zero quando 3

                  ∑︀ , , e daí, tomando uma

                  ⊃ ∞. Logo, para suĄcientemente grande, temos ♣Ý ♣ ⊘ =1 3

                  ′

                  sequência de tendendo a zero, temos que a sequência Ý , correspondente satisfaz

                  ∑︁ , (3.10) ⊃∞ =1Ý ♣ ⊗⊃ 0.

                  (︁ )︁ kÛ k k 2 à 2 Assim, substituindo E exp 2 + Ý , em temos n por 1 ⊗ 2 n

                  (︃ )︃ 2 2 ∏︁ à

                  ( ) = + Ý , , 1 ⊗ 2 =1

                  2 e tomando os Ý , como em

                   que

                ⊃∞

                2

                  ( ) , 2 à 2 k ⊗⊃ uma vez que, tomando , 2 + Ý , , temos 2 = ⊗ 2 n

                  ∑︀ , ; ⊃∞

                  ∙ ⊗⊃ ⊗ =1 n 2 2 ∑︀ à k 2 2 2 ∑︀ ∑︀ ∑︀ k =1 ⊃∞ + + , 2 , = , , e logo, existe &gt; 0 tal que Ý Ý ∙ ♣ ♣ ⊘ ⊗⊃ =1 =1 =1 2 n 2 2

                  ∑︀ Ý , =1 ; 2 à 2 2

                  ∑︀ , + max , max à , k 2 ⊃∞ 2 2 e

                  ∙ max ♣ ♣ ⊘ max ♣Ý ♣ ⊘ ♣Ý ♣ ⊗⊃ 0 por 2 n n 2

                  1⊘ 1⊘ 1⊘ 1⊘ =1 pela condição de Lindeberg. n ⊗E n

                  Para Ąnalizar, o Teorema da Continuidade de Paul-Lévy garante que n ⊗⊃ (0, 1).

                  VeriĄcar se uma sequência de variáveis aleatórias satisfaz a condição de Lindeberg costuma ser uma tarefa bem complicada. No entanto, existem propriedades mais simples de serem veriĄcadas e que implicam tal condição. Uma delas é a condição de Liapunov, que estaremos deĄnindo no corolário que segue.

                  Corolário 3.2.1

                  (Teorema Central do Limite de Liapunov). Sejam 1 , 2 , 2 ≤ ≤ ≤ variáveis

                  aleatórias independentes com E = Û &lt; = à &lt;

                  ∞ e para todo = 1, 2, ≤ ≤ ≤ , e,

                  √︁

                  √ 2 2

                  à &gt; e à ,

                  0 para pelo menos um . Sendo = 1 = =

                • ≤ ≤ ≤+ + ≤ ≤ ≤ + à 1 n ⊗E n

                  então, para que n ⊗⊃ (0, 1) quando ⊃ ∞, é suĄciente que seja satisfeita a condição de Liapunov, isto é, que exista Ó &gt; 0 tal que

                  ∑︁

                  1 2+Ó ⊃∞ E 2+Ó =1 Û ♣ ⊗⊃ 0.

                  

                Demonstração. Basta mostrarmos que a condição de Liapunov implica a condição de

                δ Û k

                  , então δ δ &gt; 1, de modo que Lindeberg. Seja então &gt; 0 arbitrário. Se ♣ Û&gt; n teremos

                  

                ∫︁ ∫︁ Ó

                ∑︁ ∑︁

                  1

                  1 2 2 Û ♣ ) ) ( ) 2 ( Û ( ) ⊘ ( Û 2 Ó Ó =1 =1 Û k&gt; n Û k&gt; n

                  ∫︁ ∑︁

                  1 2+Ó ( )

                  ⊘ ♣ ÛÓ 2+Ó =1 Û k&gt; n

                  ∫︁ ∞

                  ∑︁

                  1 2+Ó ( )

                  ⊘ ♣ ÛÓ 2+Ó =1 ⊗∞

                  ∑︁

                  1 2+Ó ⊃∞ E

                  = Ó 2+Ó =1 Û ♣ ⊗⊃ 0, onde a última passagem se deve à condição de Liapunov. Assim veriĄca-se a condição de n ⊗E n Lindeberg, e logo, n ⊗⊃ (0, 1).

                  Para Ąnalizar esta seção, observemos que da mesma forma que o Teorema Central do Limite de Liapunov, o Teorema

                   também pode ser demonstrado a partir da ve- 2 2

                  riĄcação da condição de Lindeberg. Basta lembrarmos que nesse caso temos = à e

                  Û = Û 1 2 1 , , 2

                  = ≤ ≤ ≤ = Û, e daí, sendo a distribuição comum de ≤ ≤ ≤ , temos

                  ∫︁ ∫︁ ∑︁

                  ∑︁

                  1 2

                  1 2 ) ( ) = ( ) 2 ( Û √ ( Û) 2 =1 Û k ♣⊘ n à Û♣⊘ à =1

                  ∫︁

                  1 2 = ( ) 2 √ ( Û)

                  à Û♣⊘ à ∫︁

                  ∞

                  1

                  

                ⊃∞

                2

                  ( ) = 1, ⊗⊃ 2 ( Û)

                  à ⊗∞

                  donde decorre que

                  ∫︁ ∫︁ ∞

                  ∑︁ ∑︁

                  1 2

                  1 2 ) ( ) = ) ( ) 2 n ( Û ( Û 2 =1 =1 Û k&gt; ⊗∞

                  ∫︁ ∑︁

                  1 2 ) ( )

                  ⊗ 2 ( Û =1 Û k ♣⊘ n

                  ∫︁ ∑︁

                  1 2 ⊃∞ ) ( )

                  = 1 ⊗ ( Û ⊗⊃ 0, 2 n =1 Û k ♣⊘ como queríamos demonstrar.

                3.3 Famílias Relativamente Compactas e Rígidas

                  Nesta seção vamos deĄnir o que são famílias de medidas de probabilidade rígidas e relativamente compactas. Tal abordagem será fundamental na demonstração do Teorema

                  que é um dos principais resultados desta dissertação.

                  Definição 3.3.1 Ð

                  (Relativamente Compacto). Seja = ¶ ; Ð ∈ ℒ♢ uma família de

                  medidas de probabilidade. Dizemos que

                  é relativamente compacta se toda sequência de admite uma subsequência que converge fracamente a alguma medida de probabilidade.

                  Definição 3.3.2 Ð

                  (Rígida). Seja = ¶ ; Ð ∈ ℒ♢ uma família de medidas de probabili-

                  dade. Dizemos que

                  é rígida se para todo &gt; 0 existe um conjunto compacto ⊆ R tal

                  que

                  sup Ð Ð (Ω ⊗ ) ⊘ .

                  ∈ℒ Definição 3.3.3.

                  Seja Ð

                  ℱ = ¶ ; Ð ∈ ℒ♢ uma família de funções de distribuição. Dize-

                  mos que

                  ℱ é relativamente compacta ou rígida se a família de medidas de probabilidade correspondente o for.

                  Teorema 3.3.1

                  (Teorema de Helly). Seja ℐ = ¶ : R ⊃ R♢ a coleção de funções tais

                  que

                  a) é não decrescente;

                  b) é contínua à direita;

                c) 0 ⊘ (⊗∞) ⊘ (∞) ⊘ 1.

                  Então, a classe de

                  ℐ é sequencialmente compacta, isto é, para toda sequência ♢ ⊙1

                  funções de tais que

                  ℐ, existe uma função ∈ ℐ e uma subsequência k ♢ ⊙1

                  ⊃∞ k ⊗⊃ ( ), ( ) para todo que é ponto de continuidade de .

                  Demonstração. Seja = , , 1 2

                  ¶ ≤ ≤ ≤ ♢ um subconjunto denso e enumerável de R. Pelo método da Diagonal de Cantor Capítulo 10, Teorema 21), existe uma sub- tal que lim ( ) = sequência ¶ k ♢ ⊙1 k , = 1, 2, ≤ ≤ ≤ e a partir daí vamos deĄnir

                  ( ) = lim ( ) = para k . Agora vamos deĄnir ( ), ∈ R, pondo

                  ⊃∞

                  (3.11) ( ) = inf¶ ( ); e &gt; ,

                  ⊃∞

                  e vamos mostrar que ( ) é a função tal que ( ) k ⊗⊃ ( ), para todo que é ponto de continuidade de e que satisfaz as hipóteses do teorema. Como toda função em consideração é não decrescente temos k ( ) ⊘ k ( ) para todo , tais

                  ( ), e logo, por que e para todo ⊙ 1. Daí, para tais e temos ( ) ⊘

                  

                temos que é não decrescente. Para mostrar que é contínua à direita, considere

                  tal que ( ♢ ⊙1 ← e = lim uma sequência ¶

                  ). Claramente temos ( ) ⊘ e precisamos mostrar que ( ) = . Suponhamos então que ( ) &lt; . Por

                  temos

                  ( ) &lt; . Mas para suĄcientemente grande temos que existe tal que &lt; e

                   &lt; &lt; , e portanto, (

                  ) ⊘ ( ) ⊘ . Por outro lado, como é não decrescente, temos ( ) = para todo

                  ) ← . Em particular, ( ) ⊙ , e logo, temos ( suĄcientemente grande. Segue que ( ) = inf¶ ( ); e &gt; ♢ = . Agora, como ( 0 ⊘ ) ⊘ 1 para todo , teremos também 0 ⊘ ( ) ⊘ 1 para todo ∈ R, e

                  ⊃∞

                  ( ) ) para todo que ⊗⊃ ( assim pertencente a ℐ. Resta portanto provar que k

                  é ponto de continuidade de . Se &lt; , então lim sup ( ( ) = ( ), k ) ⊘ lim sup k e consequentemente, lim sup (

                  ). (3.12) k ) ⊘ inf¶ ( ); e &gt; ♢ = ( Por outro lado, se ˜ &lt; &lt;

                  , , então ( ) = lim ( ) = lim inf ( ). ) ⊘ k k ( ) ⊘ lim inf k

                  , teremos Tomando ˜

                  ( ( ). (3.13) ⊗) ⊘ lim inf k

                  Como é um ponto de continuidade de , temos ( ), e logo, por

                  e

                  ⊗) = (

                  temos que ⊃∞ k ⊗⊃ ( ( ) ).

                  Teorema 3.3.2 Ð

                  (Teorema de Prohorov). Seja = ¶ ; Ð ∈ ℒ♢ uma família de medidas

                  de probabilidade deĄnidas no espaço (R,

                  ℬ(R)). Então é Relativamente Compacta se, e somente se, é Rígida.

                  Demonstração. Suponhamos inicialmente que a família

                  é relativamente compacta e não Ð é rígida. Então existe um &gt; 0 tal que para todo compacto ⊆ R temos sup (R⊗ ) &gt; Ð

                  , e portanto, para todo intervalo = ( , ) teremos sup Ð Ð (R ⊗ ) &gt; . Segue que para todo intervalo Ð tal que n Ð n = (⊗ , ), ⊙ 1, existe uma medida de probabilidade Ð possui n (R⊗ ) &gt; . Como a família é relativamente compacta, a sequência ¶ ♢ ⊙1 Ð que converge fracamente para uma medida de probabilidade uma subsequência ¶ ♢ ⊙1 nk

                  . Logo, para todo ⊙ 1, Ð lim sup ). nk (R ⊗ ) ⊘ (R ⊗

                  ⊃∞

                  tal que Ð ) &lt; , Como (R ⊗ ) ← 0 quando ⊃ ∞, segue que existe (R ⊗ nk contradizendo assim sup Ð Ð (R ⊗ ) &gt; . Assim, toda família de medidas de probabilidade relativamente compacta será rígida. Reciprocamente, suponhamos que a família é rígida, e considere a sequência é a sequência de funções de distribuição correspondente. ¶ ♢ ⊙1 em , onde ¶ ♢ ⊙1 Pelo Teorema

                   existe uma subsequência e uma função de distribuição generalizada k ⊃∞

                  ( ) , com 0 ⊘ (⊗∞) ⊘ (∞) ⊘ 1, de forma que k ⊗⊃ ( ), para todo que é ponto de continuidade de . Para provar que a família é relativamente compacta basta mostrar que é uma função de distribuição, e para tanto resta mostrar que (⊗∞) = 0 e (∞) = 1. Como a família é rígida, dado &gt; 0, existe um intervalo = ( , ] para o qual sup

                  (R ⊗ ) &lt; , ou equivalentemente, 1 ⊗ ( , ] para todo ⊙ 1. Sejam

                  ′ ′ ′ ′

                  então e pontos de continuidade de tais que &lt; e &gt; . Logo,

                  ⊃∞ ′ ′ ′ ′ ′ ′ , k k k k ⊗⊃ ( ( ] = ( ( ) ).

                  1 ⊗ ( , ] ⊘ ) ⊗ ) ⊗ ( Como &gt; 0 é arbitrário, segue que (∞)⊗ (⊗∞) = 1, e como 0 ⊘ (⊗∞) ⊘ (∞) ⊘ 1, temos (⊗∞) = 0 e (∞) = 1.

                  O Teorema de Prohorov na verdade é mais geral do que enunciamos. Na realidade a demonstração pode ser adaptada para o espaço euclidiano R , ⊙ 2 arbitrário, e

                  ∞

                  daí podemos estender o teorema sucessivamente para R , os espaços à-compactos, e Ąnalmente, para os espaços métricos separáveis e completos. Veja Capítulo 3).

                  4 Distribuições InĄnitamente Divisíveis e Es- táveis

                  Como já dissemos na introdução, o objetivo principal desta dissertação é estudar as classes das distribuições inĄnitamente divisíveis e estáveis, bem como os correspon- dentes teoremas limites, e isto será feito neste capítulo. Para ajudar a identiĄcar tais distribuições faremos primeiro um estudo detalhado sobre as funções características. Tal abordagem passará pelas funções deĄnidas positivas, pelo Teorema de Pólya, as distribui- ções de Poisson generalizadas e as distribuições Ð-estáveis. Depois mostraremos a relação n n + entre as distribuições inĄnitamente divisíveis e os arranjos triangulares no Teorema

                  

                  e a relação entre as distribuições estáveis e as sequências do tipo no Teorema n bem como as principais propriedades de tais distribuições. As demonstrações feitas nesse capítulo têm como referência principal .

                4.1 Caracterização das Funções Características

                  Para caracterizar os possíveis limites das sequências de variáveis aleatórias que formam um arranjo triangular como no Teorema de Poisson, bem como as sequências n do tipo da Lei dos Grandes Números ou as somas normalizadas do Teorema Central do Limite, em especial as identicamente distribuídas, torna-se necessário conhecer as dis- tribuições inĄnitamente divisíveis e estáveis, e para tanto torna-se imprescindível saber julgar quando uma função : R ⊃ C é uma função característica. Já vimos no capítulo anterior que uma função característica sempre satisfaz as propriedades da Proposição

                  

                Vimos também, pela mesma proposição, que o produto de funções características

                  continua sendo uma função característica e pelo Corolário

                   o mesmo se dá com o qua-

                  drado do seu módulo. Mas esses critérios não serão suĄcientes para caracterizar as funções características. Vamos portanto estabelecer a partir de agora, critérios mais especíĄcos em relação ao que vamos precisar.

                  Proposição 4.1.1. Seja , , 1 2 1 , Ú , 2

                  ≤ ≤ ≤ uma sequência de funções características e Ú ≤ ≤ ≤

                  ∞ ∑︀ uma sequência de números reais tais que Ú Ú

                  = 1. Então = ⊙ 0 para todo e =1

                  ∞ ∑︀ =1 Ú também é uma função característica, isto é, uma combinação convexa de funções características é também uma função característica.

                  

                Demonstração. Note que no caso de termos uma combinação convexa Ąnita, o resultado segue da linearidade da Integral de Stieltjes, segundo a qual temos

                  (︃ )︃ ∫︁ ∫︁ ∫︁ ∞ ∞ ∞

                  ∑︁ ∑︁ ∑︁

                  ( ) = Ú ( ) = Ú ( ) = Ú ( ) = ( ), =1 =1 =1 ⊗∞ ⊗∞ ⊗∞

                  ∑︀ onde é a função de distribuição correspondente a Ú .

                  , = 1, ≤ ≤ ≤ , , e = =1 Daí, para mostrar que é uma função característica, basta mostrar que é uma função de distribuição. Para tanto, basta observarmos que

                  ∙ é não decrescente e contínua à direita, já que é uma composição Ąnita de funções com estas propriedades,

                  ∑︀

                  ( ) = Ú lim ( ) = 0, e, ∙ (⊗∞) = lim

                  ⊃⊗∞ ⊃⊗∞ =1 ∑︀ ∑︀ ( ) = Ú lim ( ) = Ú = 1.

                  ∙ (∞) = lim

                  ⊃∞ ⊃∞ =1 =1

                  Para o caso geral, vamos deĄnir para todo ,

                  (︃ )︃ ∑︁ ∑︁

                  ˜ ( ) = Ú ( ) + Ú ( ). +1 =1 =1 1 ⊗ Note que ˜ é uma combinação convexa Ąnita de , , e portanto é uma função 1 +1

                  ≤ ≤ ≤ , característica, como acabamos de provar. Além disso, ˜ ( ) converge pontualmente para

                  ∞ ∞ ∑︀ ∑︀

                  ( ) e (0) = Ú (0) = Ú = 1. Logo, pelo Teorema da Continuidade de Paul- =1 =1 Lévy, resta mostrar que é contínua em = 0. Seja então &gt; 0 arbitrário. Como

                  ∞ ∑︀ ∑︀

                  Ú = 1, existe = ( ) tal que Ú &gt; , donde segue que =1 =1 1 ⊗ 4 ⧹︃ ⧹︃

                  ∞ ∞ ∞ ∞ ⧹︃ ⧹︃ ∑︁ ∑︁ ∑︁ ∑︁ ⧹︃ ⧹︃

                  Ú Ú (0) Ú Ú ⧹︃ ⧹︃

                  ( ) ⊗ ⊘ ♣ ( ) ⊗ 1♣ ⊘ (♣ ( )♣ + 1)

                  ⧹︃ ⧹︃ = = = = (︃ )︃ ∞ ∞

                  ∑︁ ∑︁ ∑︁ Ú = 2 Ú Ú

                  ⊘ 2 ⊗ = =1 =1

                  (︂ (︂ )︂)︂ &lt; 2 = .

                  1 ⊗ 1 ⊗

                  4

                  2 Por outro lado, como as são uniformemente contínuas, temos que para todo = existe Ó . Tomando

                  ⇒ ♣ 1, ≤ ≤ ≤ , = Ó( ) tal que ♣ &lt; Ó ( ) ⊗ (0)♣ = ♣ ( ) ⊗ 1♣ &lt; 2

                  Ó = Ó( ) = min

                  ¶Ó ♢, teremos que para ♣ &lt; Ó,

                  ⊘ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                  ∑︁ ∑︁ ∑︁ ∑︁ ⧹︃ ⧹︃

                ⧹︃ Ú Ú (0) ⧹︃ Ú Ú &lt; .

                  ⊘ ♣ ( ) ⊗ ( ) ⊗ 1♣ ⊘

                  ⧹︃ ⧹︃ =1 =1 =1 =1

                  2

                  2 Daí segue que para ♣ &lt; Ó,

                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ∞ ∞

                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ∑︁ ∑︁ ∑︁ ∑︁ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                • ⧹︃ Ú Ú (0) ⧹︃ ⧹︃ Ú Ú (0) ⧹︃ ♣

                  ( ) ⊗ (0)♣ ⊘ ( ) ⊗ ( ) ⊗

                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ =1 =1 = = + &lt; = .

                  2

                  2 Assim é contínua em = 0, e portanto, é uma função característica.

                  À primeira vista, a demonstração da proposição para o caso da sequência Ąnita nos leva a pensar que o caso da sequência inĄnita é uma aplicação direta do Teorema de

                  ∑︀

                  Helly-Bray à sequência ^ = Ú . No entanto isso não pode ser feito, uma vez que =1 as ^ não são funções de distribuição. Por outro lado, é possível obter o resultado dessa

                  (︂ )︂ ∑︀ ∑︀

                • Ú Ú

                  maneira se considerarmos a sequência ˜ = +1 (como Ązemos =1 =1 1 ⊗ com as funções características), que é formada por funções de distribuição, e daí, por Helly-Bray teríamos

                  ∫︁ ∫︁ ∞ ∞ ⊃∞

                   ˜ ( ) ( ) = ( ).

                  ⊗⊃

                  ⊗∞ ⊗∞

                  Mas, seria preciso ainda provar que é uma função de distribuição, o que seria muito mais trabalhoso do que aplicar o Teorema de Paul-Lévy às funções características.

                  Definição 4.1.1

                  (Função DeĄnida Positiva). Dizemos que uma função : R ⊃ C é

                  deĄnida positiva se para quaisquer conjuntos 1 , 1 ,

                  ¶ ≤ ≤ ≤ , ♢ ⊆ R e ≤ ≤ ≤ , ♢ ⊆ C tivermos

                  ∑︁ ∑︁

                  ( ) =1 =1 ⊙ 0.

                  Teorema 4.1.1. Seja : R

                  ⊃ C uma função deĄnida positiva. Então, para todo ∈ R

                  temos (

                  ⊗ ) = ( ) e ( )♣ ⊘ (0). Além disso, se for contínua em = 0, então será

                  uniformemente contínua em R, e nesse caso, teremos para toda função contínua Ý : R

                  ⊃ C

                  e para todo &gt; 0, ∫︁ ∫︁ ( )Ý( )Ý( ) ⊙ 0.

                  Demonstração. Considerando = 1 e tomando = 0 e = 1, pela DeĄnição 1 1 1 1 temos ∑︁ ∑︁

                  ( ) = ( 1 1 ) 1 1 = (0). 0 ⊘ =1 =1

                  Considerando agora = 2, novamente da DeĄnição 2 2 temos que

                  ∑︁ ∑︁

                  ( ) 0 ⊘ ⊗ =1 =1 = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) 1 1 1 1 1 2 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2

                  ⊗ 1 1 + = ( ) (0) + ( ) + ( ). 2 2 1 2 1 2 2 1 2 1

                  Daí, tomando = 0, = e = = 1, teremos 1 2 1 2 0 ⊘ 2 (0) + (⊗ ) + ( ), donde segue que (⊗ ) + ( ) é um número real, e logo, as partes imaginárias de ( ) e 1 = 0, = , = 1 e = , teremos 2 1 2

                  (⊗ ) são opostas. Por outro lado, tomando 0 ⊘ 2 (0) + ( ) ⊗ (⊗ ) = 2 (0) + ( ( ) ⊗ (⊗ )), donde segue que ( ) ⊗ (⊗ ) é um número imaginário puro, e logo, as partes reais de ( ) e (⊗ ) são iguais, e portanto temos (⊗ ) = ( ). Ainda no caso = 2, tomando 1 = ( ), = 0 e = , teremos 2 1 2

                  = ⊗♣ ( )♣, 2 2 0 ⊘ ( ( ) ( ) + ♣ ( )♣ ) (0) ⊗ ( )♣ ( )♣ (⊗ ) ⊗ ( )♣ ( )♣ ( ) 2 3 = 2♣ ( )♣ (0) ⊗ 2♣ ( )♣ 2

                  = 2♣ ( )♣ ( (0) ⊗ ♣ ( )♣), e daí segue que ♣ ( )♣ ⊘ (0).

                  Agora, supondo contínua em = 0, vamos mostrar que é uniformemente contínua em R. Se (0) = 0, teremos ⊕ 0, e não há mais o que fazer. Se (0) ̸= 0, vamos supor, sem perda de generalidade, que (0) = 1 (basta observar que å = (0) também é deĄnida positiva). Considerando então = 3, e tomando = 0, = e 1 2 3

                  = + , teremos da DeĄnição 3 3 que

                  ∑︁ ∑︁

                  ( ) 0 ⊘ ⊗ =1 =1 1 2 2 2 3 2 1 2 1 3 ♣ ♣ ♣

                  = (0)(♣ + ♣ + ♣ ) + (⊗ ) + (⊗ )

                • ( )
                • 1 2 2 3 + ( + ) 1 3 + () 2 3 .<
                • (⊗)

                  ⎡ ⎤

                  (0) (⊗ ) (⊗ )

                  ⋁︀ ⎥ ⋁︀ ⎥ 3 , ,

                  Daí, sendo = ⋁︀ ( ) (0) ⎥ e ( 1 2 3 , teremos (⊗) ) = ∈ R

                  ⨄︀ ⋀︀

                  ( + ) () (0) 2 2 2

                • +
                • 1 2 1 3 + ( ) 1 2 , ⟩ = (0)( 1 2 3 ) + (⊗ ) + (⊗ ) 2 3 + ( + ) + () 1 3 2 3 + (⊗) ⊙ 0.

                    Segue que ⟨ , ⟩ é uma forma quadrática não negativa, e logo, det ⊙ 0, isto é, 2 2 2 1 ⊗ ♣ ( )♣ ⊗ ♣ ( + )♣ ⊗ ♣ ()♣ + 2ℜ( ( ) () ( + )) ⊙ 0, ou ainda, 2 2 2

                    ♣ ( )♣ + ♣ ( + )♣ ⊘ 1 ⊗ ♣ ()♣ + 2ℜ( ( ) () ( + )), onde ℜ( ) denota a parte real do complexo . Note que sendo ( ) = + e ( + ) =

                  • , temos ( ) ( + ) = + + (⊗ + ), e daí, usando a desigualdade acima,
                  temos ♣ ( ) ⊗ ( + )♣ 2 = ( ) 2 + ( ) 2

                    = 2 + 2 + 2 + 2 ⊗ 2( + )

                    = lim

                     que ∫︁ ∫︁

                    ( )Ý( )Ý( ) = lim

                    ⊃∞ ∑︁ =1

                  [︃

                    ( ⊗1

                    ) lim

                    ⊃∞ ∑︁ =1

                    (

                    )Ý( )Ý( )

                    ⟨

                    ⊃∞ ∑︁ =1

                  ∑︁

                  =1 (︂ )︂ 2

                    ⊗1 ⊘

                    (

                    )Ý( )Ý( ) ⊙ 0.

                    Lema 4.1.1.

                    Dada uma função contínua : R

                    ⊃ C com ( )♣ ⊘ (0) = 1, deĄna ( ) =

                    1 2Þ

                    ∫︁ ∫︁

                    ( )

                    ⊗ ( ) .

                    . Tomando as mesmas partições para a outra integral, segue da DeĄnição

                    )Ý( ), onde

                    = ♣ ( )♣ 2 + ♣ ( + )♣ 2 ⊗ 2ℜ( ( ) ( + )) ⊘ 1 ⊗ ♣ ()♣ 2 + 2ℜ( ( ) () ( + ) ⊗ 2ℜ( ( ) ( + ))

                    ( )Ý( )Ý( ) ⊙ 0, considere as partições de [0, ] dadas por = ¶

                    = 1 ⊗ ♣ ()♣ 2 + 2ℜ[ ( ) ( + )( () ⊗ 1)] ⊘ 1 ⊗ ♣ ()♣ 2 + 2♣ ( ) ( + )( () ⊗ 1)♣

                    ⊘ 1 ⊗ ♣ ()♣ 2 + 2♣1 ⊗ ()♣ = (1 + ♣ ()♣)(1 ⊗ ♣ ()♣) + 2♣1 ⊗ ()♣ ⊘ 2(1 ⊗ ♣ ()♣) + 2♣1 ⊗ ()♣ ⊘ 2♣1 ⊗ ()♣ + 2♣1 ⊗ ()♣ = 4♣1 ⊗ ()♣.

                    Assim, como é contínua em = 0, temos que dado &gt; 0, existe Ó &gt; 0 tal que ♣&lt; Ó implica ♣1 ⊗ ()♣ = ♣ (0) ⊗ ()♣ &lt; 2

                    4

                    ,

                    e assim, ♣ ( ) ⊗ ( + )♣ &lt; 2

                    √︁ ♣1 ⊗ ()♣ &lt; .

                    Como o resultado não depende de , segue que é uniformemente contínua em R. Por Ąm, para mostrar que

                    √︃ √︃

                    = 0, 1 = , 2 = 2

                    ( )Ý(

                    ,

                    ≤ ≤ ≤ , = ♢. Logo,

                    ∫︁

                    ( )Ý( )Ý( ) = lim

                    ⊃∞ ∑︁ =1

                    ( ⊗1

                    ) ( )Ý(

                    )Ý( ) = lim

                    ⊃∞ ∑︁ =1

                    Se ( ) ⊙ 0 para todo &gt; 0 e ∈ R, então é uma função característica.

                    

                  Demonstração. Para mostrar que é uma função característica vamos mostrar primeiro

                    que é uma função de densidade. Depois mostraremos que a função característica cor- respondente a é

                    ⎧ (︁ )︁ ⋁︁ ♣ ♣ ⨄︁

                    ( ) 1 ⊗ se ♣ ♣ ⊘ ( ) = ,

                    ⋁︁ ⎩

                    se ♣ &gt; e como converge para quando tende ao inĄnito, bastará então aplicar o Teorema da continuidade de Paul-Lévy. Para começar, sendo = , temos = , = ⊗ para = 0 e = para = . Logo temos

                    

                  ∫︁ ∫︁ ∫︁

                    1

                    1

                    ⊗

                    ( ) = ( ) = ( ) ( ) , 2Þ 2Þ

                    √︃ ⊗

                    onde ( ) = ( ) e ( ) = . Integrando por partes obtemos

                    ⊗ ⎡ ⎤ ⧹︃ = ∫︁ ∫︁

                    ⊗ ⧹︃

                    1

                    ⊗ ⧹︃ ′ ⨄︀ ⋀︀

                    ( ) = ( ) ⧹︃ ( )

                    ⧹︃

                    2Þ =0

                    [︃ ⟨ ∫︁ ∫︁

                    1

                    ⊗ ′ = ( ) ( ) .

                    ⊗ 2Þ

                    ′

                    ( ) = Pelo Teorema Fundamental do Cálculo temos que ( ) = ( )⊗ (⊗ ), onde

                    ⊗

                    ( ) . Daí temos

                    ′ ′ ′ ⊗ ( ) ,

                    ( ) = ⊗ ( ) + (⊗ ) = ⊗ ( ) + (⊗ ) e logo,

                    ⟨ ∫︁ [︃∫︁ (︁ )︁

                    1

                    ⊗ ( )

                    ( ) = ( ) ⊗ ⊗ ( )

                    (⊗ ) 2Þ

                    ⟨ ∫︁ ∫︁ [︃∫︁

                    ⊗

                    1 ⊗

                    ⊗

                    = ( ) ( ) ( ) ⊗ ⊗

                    2Þ

                    ⟨ [︃∫︁ ∫︁ ∫︁

                    1 ⊗

                    ⊗

                    = ( ) ( ) + ( ) 2Þ

                    (︃ )︃ (︃ )︃ ⟨ [︃∫︁ ∫︁

                    1 ♣ ♣ ♣

                    ⊗

                    = + ( ) ( ) 1 ⊗ 1 ⊗ 2Þ

                    (︃ )︃ ∫︁

                    1 ♣

                    ⊗ = ( ) .

                    1 ⊗ 2Þ

                    Agora, dados Ð &gt; 0 e ̸= 0 arbitrários, temos que

                    ⧹︃

                  =Ñ

                  ∫︁ ∫︁ ∫︁ ∫︁ Ñ Ð Ñ Ð Ð Ñ ⧹︃

                    1

                    1

                    1

                    ⧹︃ ⊗

                     Ñ = ⧹︃ Ñ = Ñ ⧹︃

                    ÐÑ Ð Ð

                    ⊗

                    

                  =⊗Ñ

                  ∫︁ Ð

                    1 cos(⊗ Ñ) + sin(⊗ Ñ) ⊗ cos( Ñ) ⊗ sin( Ñ) =

                     Ñ Ð

                    ⊗

                    ⧹︃ Ñ =Ð ∫︁ Ð ⧹︃

                    1 2 sin( Ñ) 2 cos( Ñ) 2(1 ⊗ cos( Ð))

                    ⧹︃ Ñ .

                    = = ⊗ ⧹︃ = 2 2

                    ⧹︃ Ð Ð Ð Ñ =0 Para = 0,

                    ⧹︃ Ñ =Ð ∫︁ ∫︁ ∫︁ ∫︁ ∫︁ Ð Ñ Ð Ñ Ð ⧹︃

                    1

                    1

                    1

                    1 2 ⧹︃ 2(1 ⊗ cos( Ð))

                    ⊗ Ñ = Ñ = 2Ñ Ñ = Ñ ⧹︃ = Ð = lim . 2 ⧹︃ ⊃0

                    ÐÑ ÐÑ Ð Ð Ð Ñ =0

                    Segue daí que para todo Ð &gt; 0 temos

                    (︃ )︃ ∫︁ ∫︁ ∫︁ ∫︁ ∫︁ Ð Ñ Ð Ñ

                    1

                    1 ♣

                    ⊗ Ñ ( ) = ( ) Ñ

                    1 ⊗

                    ÐÑ 2ÞÐÑ (︃ )︃

                  ∫︁ ∫︁ ∫︁

                  Ð Ñ

                    1 ♣

                    ⊗

                    = ( ) Ñ 1 ⊗ 2ÞÐ Ñ

                    (︃ )︃ ∫︁ ∫︁ ∫︁ Ð Ñ

                    1

                    1 ♣

                    ⊗

                    = ( ) Ñ 1 ⊗ 2Þ ÐÑ

                    (︃ )︃ ∫︁

                    1 ♣

                    2[1 ⊗ cos( Ð)] = ( ) 1 ⊗ 2

                    2Þ Ð

                    ∫︁ ∞

                    1 1 ⊗ cos( Ð) = ( ) 2

                    

                  Þ ⊗∞ Ð

                  ∫︁ (︂ )︂

                    ∞

                    1 1 ⊗ cos( ) = , 2

                    Þ ⊗∞ Ð

                    onde a troca na ordem de integração se justiĄca na continuidade do integrando e no fato dos intervalos de integração serem limitados. Prosseguindo, como ♣ ( )♣ ⊘ ♣ ( )♣ ⊘ 1 e

                    1⊗cos( ) 2 é limitado em R podemos majorar o integrando por ♣1⊗cos( )♣ 2 que é integrável em

                    R . Daí, usando o Teorema da Convergência Dominada temos

                    ∫︁ ∫︁ ∫︁ (︂ )︂ Ð Ñ

                    1

                    1 1 ⊗ cos( ) Ð Ð lim Ñ ( ) = lim , (4.1) 2

                    ⊃∞ ⊃∞ ÐÑ Þ ⊗∞ Ð

                    e como (0) = (0) = 1, segue que

                    ∫︁ ∫︁ ∫︁ ∫︁ Ð Ñ ∞ ∞

                    1

                    1

                    2 1 ⊗ cos( ) 1 ⊗ cos( ) Ð lim Ñ ( ) = = 2 2

                    ⊃∞ ÐÑ Þ ⊗∞ Þ

                    ⧹︃ =∞

                    ∫︁ ⧹︃ ∞

                    2 sin( ) 2(1 ⊗ cos( )) ⧹︃

                  • = ⊗ ⧹︃ = 1,

                    ⧹︃ Þ Þ =0

                    onde as três últimas igualdades decorrem do fato do integrando ser uma função par, da integração parcial e da Integral de Dirichlet (Lema

                    respectivamente. Agora, como √︃ Ñ

                    ( ) não decresce em Ñ. Além disso, como ( ) ⊙ 0, temos que

                    ⊗Ñ ∫︁ ∫︁ Ð Ñ

                    1 Ð lim Ñ ( ) = 1,

                    ⊃∞ ÐÑ

                    √︃ Ñ

                    temos que ( ) é limitado para todo Ñ &gt; 0. Segue portanto que existe &lt; ∞ tal

                    ⊗Ñ

                    que

                    ∫︁ Ñ Ñ lim ( ) = .

                    ⊃∞ ⊗Ñ √︃

                    ∞

                    Como ( ) = . De fato, para quaisquer , ≻ ∞, denote

                    ( ) ⊙ 0, temos

                    ⊗∞ , ,

                    ♢ e ♢, e teremos = max¶ = min¶

                    ∫︁ ∫︁ ∫︁ n n n

                    ( ) , ( ) ⊘ ( ) ⊘ e logo tem-se lim

                    ∫︁ n n ( ) = .

                    ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ Ñ =Ð Ñ =0

                    Ð )︂

                    ⊗

                    á

                    ∞ ⊗∞ (︂

                    Þ ∫︁

                    1

                    (á ) 2 =

                    Ð

                    ( ) 1 ⊗ cos(Ð(á ))

                    ∞ ⊗∞

                    Þ ∫︁

                    1

                    =

                    (á ) 2

                    Pelo mesmo argumento que usamos para ( ) em

                    Ð

                    ( )⊗ 2 cos(Ñ(á ))

                    ∫︁ ∞ ⊗∞

                    1 2Þ

                    =

                     Ñ

                    ⊗

                    á

                    2 sin(Ñ(á ))

                    Ð ∫︁ Ð

                    1

                    ( )

                    )︃

                    1 ⊗ ♣

                    1 ⊗ cos( ) 2 .

                    temos de Teorema da Conver-

                    ∫︁ ⊗

                    

                  Þ

                  ∫︁

                    ∞ ⊗∞

                    Þ ∫︁

                    (á)

                    (á) 1 ⊗ cos( ) 2 =

                    ∞ ⊗∞

                    

                  Þ

                  ∫︁

                    1

                    1 ⊗ cos( ) 2 =

                    Ð )︂

                    ⊗

                    á

                    ⊃∞ (︂

                    Ð lim

                    ∞ ⊗∞

                    1

                    gência Dominada que lim Ð

                    1 ⊗ cos( ) 2 =

                    Ð )︂

                    ⊗

                    á

                    ∞ ⊗∞ (︂

                    Þ ∫︁

                    1

                    ⊃∞

                    ( ) = lim Ð

                    ⊗Ñ á

                     Ñ ∫︁ Ñ

                    Ð ∫︁ Ð

                    1

                    ⊃∞

                    

                  (︃

                    1 2Þ

                    Assim, como lim Ð

                     Ñ ∫︁

                    ∫︁ ÑÑ (á )

                    =

                    ∫︁ ÑÑ á

                    ( ) . Daí segue que para todo &gt; 0, é uma função de densidade de probabilidade. Para calcular a função característica correspondente a , observemos primeiramente que

                    ∞ ⊗∞

                    

                  Ñ =

                  ∫︁

                    Ð ∫︁ Ð

                    1

                    ⊃∞

                    ( ) lim Ð

                    ∫︁ ∞ ⊗∞

                    ( ) =

                    ∞ ⊗∞

                    Ð ∫︁ Ð

                    (á )

                    1

                    ⊃∞

                    ( ) = lim Ð

                    ⊗Ñ

                     Ñ ∫︁ Ñ

                    Ð ∫︁ Ð

                    1

                    ⊃∞

                    Ñ lim

                    ⊃∞

                    ( ) = 1 para todo Ñ &gt; 0, temos 1 = lim Ð

                    ⊗Ñ

                     Ñ √︃ Ñ

                    ⊃∞ 1 Ð √︃ Ð

                    =

                    (á )

                    =

                    (︃

                    ⊗Ñ á Ñ

                    Ð ∫︁ Ð ∫︁ Ñ

                    1

                    ( )

                    )︃

                    1 ⊗ ♣

                    

                  (︃

                    ∫︁ ⊗

                    1 2Þ

                    =

                    ⊗ Ñ

                    ( )

                    )︃

                    1 ⊗ ♣

                    ∫︁ ⊗

                    ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ Ñ

                    1 2Þ

                    

                  Ñ

                  á

                    Ð ∫︁ Ð ∫︁

                  Ñ

                    1

                    ( ) =

                    ⊗Ñ á

                     Ñ ∫︁ Ñ

                    Ð ∫︁ Ð

                    1

                    ⊗ . Assim, para todo Ð &gt; 0,

                    á

                    = 2 sin(Ñ(á ))

                    = cos(Ñ(á )) + sin(Ñ(á )) ⊗ cos(⊗Ñ(á )) ⊗ sin(⊗Ñ(á )) (á )

                    =⊗Ñ

                    1 ⊗ cos( ) 2 = (á).

                     á

                    Uma vez que ( ), podemos

                    ( ) é uma densidade de probabilidade e ♣ ( )♣ ⊘ usar o Teorema da Convergência Dominada para obtermos que

                    ∫︁ ∫︁ Ð Ñ

                    1 á (á) = lim lim Ñ ( ) Ð Ñ

                    ⊃∞ ⊃∞ ÐÑ

                    

                  ∫︁ ∫︁

                  Ð

                    1 á

                    

                  Ñ

                    = lim ( ) Ð

                    ⊃∞

                  Ð ⊗∞

                    ∫︁ ∫︁ Ð á

                    1

                     Ñ

                    = ( ) lim Ð

                    ⊃∞

                  ⊗∞ Ð

                  ∫︁

                    ∞ á = ( ) . ⊗∞

                    Assim, é a função característica correspondente à densidade ( ), qualquer que seja

                    ⊃∞

                    ( ) ∈ R. Além disso, ⊗⊃ ( ) para todo ∈ R e é contínua em = 0. Logo, do Teorema da Continuidade de Paul-Lévy segue que é uma função característica.

                    Teorema 4.1.2.

                    Seja : R

                    ⊃ C uma função contínua tal que (0) = 1. Então é uma função característica se, e somente se, é deĄnida positiva.

                    Demonstração. Se é uma função característica, então temos ∫︁

                    ∞ ∑︁ ∑︁ ∑︁ ∑︁ ( ) j k

                    ( ) = ( ) ⊗ =1 =1 =1 =1 ⊗∞

                    ∫︁

                    ∑︁ ∑︁ ( ) j k

                    = ( )

                    

                  ⊗∞

                  =1 =1 ∫︁

                    

                  ∑︁ ∑︁ j k

                    = ( )

                    

                  ⊗∞

                  =1 =1 ⧹︃ ⧹︃ 2 ∫︁

                    ∞ ⧹︃ ⧹︃ ∑︁ ⧹︃ j ⧹︃

                    = ⧹︃ ⧹︃ ( ) ⊙ 0,

                    ⧹︃ ⧹︃

                  ⊗∞

                  =1

                    quaisquer que sejam 1 , 1 , ≤ ≤ ≤ , ∈ R e ≤ ≤ ≤ , ∈ C. Daí, é deĄnida positiva.

                    Reciprocamente, sendo deĄnida positiva, deĄna ( ) como no Lema

                    Ob- ⊗

                    serve que tomando Ý( ) = no Teorema

                    temos para todo &gt; 0 que ∫︁ ∫︁ ∫︁ ∫︁

                    1

                    1

                    ⊗ ( )

                    ( ) = = ( ) ( )Ý( )Ý( ) ⊙ 0.

                    2Þ 2Þ Além disso, ainda do Teorema

                    

                    

                    temos ♣ ( )♣ ⊘ (0) = 1, e daí, segue do Lema que é uma função característica.

                    Observe que a partir do Lema

                     a demonstração do teorema acima se torna

                    razoavelmente simples, e esse é o único motivo pelo qual está sendo enunciado aqui. Na realidade ele não desempenha nenhum papel em relação aos objetivos da dissertação, e portanto não justiĄca a energia gasta na demonstração do Lema. No entanto, o próximo teorema será de grande utilidade e também será demonstrado a partir dele.

                  • + Teorema 4.1.3

                    (Teorema de Pólya). Seja : R ⊃ R uma função não crescente, contínua

                    e convexa em R

                    = [0, ∞). Se (0) = 1, ( ) = (⊗ ) e ( ) ⊙ 0 para todo ∈ R, então

                  • + é uma função característica.

                    ′ ′ ′

                  Demonstração. Como é convexa em R , temos que existe ( ) e ( ) com ( ) =

                  + + _

                    ′ _ ( ) em quase toda parte, isto é, exceto num conjunto enumerável, de modo que é ′

                  • + a integral de uma dessas derivadas, que vamos denotar por . Note que como é não +

                    ′

                    crescente em R , temos ( ) ⊘ 0 para ⊙ 0. Além disso, como é convexa, temos

                    ′′ ′

                    crescente em R . Vamos deĄnir então ( ) e ( ) ( ) ⊙ 0, e consequentemente, como no Lema

                    Observe que ⎧ 1

                  (︁ )︁

                  ⋁︁ ′

                    ⨄︁

                    ( ), ( ) ⊗ 1 ⊗ se 0 ⊘ &lt;

                    ′

                    ( ) = ⊗

                    ⋁︁ ⎩

                    se , +

                    ′ ′ &gt; 0 e .

                    e logo, como ( ) ⊙ 0, 1 ⊗ ( ) ⊘ 0 para 0 ⊘ , temos ⊗ ( ) ⊙ 0 em R

                    ′ ′

                    Do mesmo modo, como , 1 ⊗ e ⊗ são não crescentes para 0 ⊘ , temos ⊗ + não crescente em R .

                    Agora observe que para todo ̸= 0,

                    ∫︁ ∫︁ ∫︁ ∞

                    ∞ ⊗

                    ( ) = ( ) + ( )

                    ⊗∞ ⊗∞ ∫︁ ∫︁

                    

                  ∞ ∞

                    = ( ) + ( )

                    ∫︁ ∞

                    = 2 cos( ) ( )

                    ⎡ ⎤ ⧹︃

                    =∞ ∫︁ ⧹︃ ∞

                    sin( )

                    ⧹︃ ′ ⨄︀ ⋀︀ = 2 sin( ) ( ) ( ) . ⧹︃

                    ⊗

                    ⧹︃ =0

                    Supondo (∞) = lim ( ) = 0, segue que para todo ̸= 0,

                    ⊃∞ (k+1)π ∫︁ ∫︁ ∞ ∫︁

                    ∞ ∞ ∑︁ x

                    2

                    2

                    

                  ′ ′

                  ( ) = sin( ) ( ) = sin( ) ( ) . ⊗∞ + =0 x ÚÞ

                    e sin( ) troca de sinal em = para todo inteiro positivo Ú, Como ⊗ ( ) ⊙ 0 em R + temos que a série acima é alternada e tem o primeiro termo positivo. Além disso, como

                    ′

                    é não crescente e positiva em R , temos que os termos da série decrescem em módulo ⊗ convergindo para zero, e daí temos

                    ∫︁ ∞ ⊗

                    ( ) ⊙ 0.

                    ⊗∞

                    Para = 0 é trivial que

                    ∫︁ ∫︁ ∞ ∞ ⊗ 0

                    ( ) = ( ) ⊙ 0.

                    ⊗∞ ⊗∞

                    Assim, temos ( ) ⊙ 0 para todo ∈ R, e a partir daí, como é contínua com ♣ ( )♣ ⊘

                    (0) = 1, temos do Lema que é uma função característica.

                    Se (∞) ̸= 0, então (∞) = 1 ou (∞) = Ú ∈ (0, 1). No caso em que (∞) = 1, temos ⊕ 1, e logo é a função característica da variável aleatória ⊕ 0. No caso em que (∞) = Ú ∈ (0, 1), vamos considerar a função

                    ( ) ⊗ Ú

                  å ( ) = .

                  1 ⊗ Ú

                    Note que å satisfaz todas as hipóteses que utilizamos na demonstração do teorema para o caso em que (∞) = 0, isto é:

                    (0)⊗Ú

                    = 1, ∙ å(0) =

                    1⊗Ú ( )⊗Ú

                    ∙ å( ) = ⊙ 0,

                    1⊗Ú (⊗ )⊗Ú ( )⊗Ú

                    = = å( ), ∙ å(⊗ ) =

                  • + 1⊗Ú 1⊗Ú

                    ⊗Ú

                    , pois é a composição das funções e ˜Ú( ) = , ∙ å é contínua e convexa em R

                    1⊗Ú

                    ambas com tal propriedade, e

                    (∞)⊗Ú = 0.

                    ∙ å(∞) =

                    1⊗Ú

                    Assim temos que å é uma função característica, e para Ąnalizar, como ( ) = (1⊗Ú)å( )+

                    

                  Ú , temos que é uma combinação convexa das funções características å e 1, e logo, pela

                    Proposição é uma função característica.

                    Teorema 4.1.4.

                    Se : R

                    ⊃ C é uma função característica, então para todo Ú ⊙ 0, Ú Ú ( ) = ( ( )⊗1) será também uma função característica.

                    Demonstração. Fixado Ú

                    ⊙ 0, para &gt; Ú temos que

                    Ú Ú Ú

                  • é uma combinação convexa das funções características e 1, e portanto, pela Proposição

                    ( ) = 1 + 1 ⊗ ( ( ) ⊗ 1)

                    o mesmo ocorre com (︃ )︃

                    Ú

                    1 + , ( ( ) ⊗ 1) qualquer que seja o inteiro &gt; Ú. Daí, como

                    (︃ )︃ Ú Ú

                    ⊃∞ ( ( )⊗1)

                    1 + = Ú ( ), ( ( ) ⊗ 1) ⊗⊃ que é uma função contínua em = 0, temos do Teorema da Continuidade de Paul-Lévy Ú que é uma função caraterística.

                    Ú ( ( )⊗1)

                    As distribuições correspondentes às funções características Ú ( ) = , onde ( ) é uma função característica, são chamadas de Distribuições de Poisson Genera-

                    lizadas

                    . No caso particular em que ( ) = Ú ( (que obtemos de ⊕ 1), temos it

                  Ú ( ) = ,

                  ⊗1) que é a função característica correspondente a distribuição de Poisson com parâmetro Ú usual.

                    Teorema 4.1.5. Para todo Ð

                    ∈ (0, 2], α Ð ( ) = ⊗♣ é uma função característica.

                    Demonstração. A prova é dividida em dois casos: 0 &lt; Ð

                    ⊘ 1 e 1 &lt; Ð &lt; 2. A prova no primeiro caso consiste em veriĄcar as hipóteses do Teorema de Pólya (Teorema

                    O segundo caso é uma aplicação do Teorema da Continuidade de Paul-Lévy. Ð Ð Ð Ð Ð +

                    (0) = 1, ( ), Para 0 &lt; Ð ⊘ 1, temos claramente que (⊗ ) = ( ) ⊙ 0, Ð α +

                    ′ ⊗1 ⊗

                    é contínua e decrescente em R temos , e . Além disso, para ∈ R ( ) = ⊗Ð Ð logo, α (︁ )︁ 2 Ð

                    ′′ ⊗ 2Ð⊗2 ⊗2 Ð ( ) = Ð 2Ð(Ð ⊗ 1) ⊙ 0, + uma vez que Ð &gt; Ð é convexa em R , e logo, 0 e ⊗Ð(Ð ⊗ 1) ⊙ 0 para 0 &lt; Ð ⊘ 1. Daí,

                    pelo Teorema de Pólya, Ð é uma função característica.

                    Para 1 &lt; Ð &lt; 2, considere a função Ð : R ⊃ R dada por

                    ⎧ Ð ⋁︁ ⨄︁

                  α +1

                  ,

                    se ♣ &gt; 1

                  Ð ( ) = .

                    2♣ ♣ ⋁︁ ⎩

                    0, se ♣ ♣ ⊘ 1 Observe que Ð é uma função par, e logo,

                    ⧹︃ =∞

                    ∫︁ ∫︁ ∫︁ ⧹︃ ∞ ∞ ∞

                    Ð

                    1 Ð ( ) = 2 Ð ( ) = = ⊗ ⧹︃ = 1. Ð +1 Ð ⧹︃ 1 ⧹︃

                    ⊗∞ =1

                    Daí temos que Ð é uma função densidade de probabilidade. Denotando por ˜ Ð a função

                    √︃ Ð Ð

                    característica correspondente, ˜ ( ) = ( ) , segue que

                    ⊗∞ ∫︁ ∫︁ Ð ( ) = Ð Ð ( ) ∞ ∞

                    1 ⊗ ˜ ( )

                    ⊗∞ ⊗∞ ∫︁

                    ∞

                    = ) Ð ( ) (1 ⊗

                    ⊗∞ ∫︁

                    Ð

                    = (1 ⊗ cos( ) ⊗ sin( )) Ð +1

                    ♣ &gt;1

                    2♣

                    ∫︁ ∫︁ Ð Ð sin( )

                    (1 ⊗ cos( )) = . Ð Ð +1 +1 ⊗ 2 ♣ &gt;1

                    2 ♣ &gt;1 sin( ) 1⊗cos( )

                    Como +1 é uma função ímpar e +1 é uma função par, segue que α α

                    ♣ ♣ ♣ ♣ ∫︁ ∫︁

                    ∞ Ð

                    1 ⊗ cos( ) 1 ⊗ cos( ) Ð ( ) = = Ð .

                    1 ⊗ ˜ Ð +1 Ð +1 1 2 ♣ &gt;1 ♣

                    , = Suponha que ⊙ 0 e tome = . Logo, = , = para = 1 e = ∞ para

                    = ∞, e daí,

                    

                  ∫︁ ∫︁

                  ∞ ∞ Ð Ð ( ) = Ð = Ð (1 ⊗ cos( )) 1 ⊗ cos( )

                    (︁ )︁

                    1 ⊗ ˜ Ð +1 Ð +1

                    )︃

                  (︃∫︁ ∫︁

                  Ð

                    1 ⊗ cos( ) 1 ⊗ cos( ) = Ð . Ð Ð +1 +1

                    Para &lt; 0, como ˜ Ð Ð Ð ( ) = ˜ Ð ( ), e assim, ( ) ∈ R para ⊙ 0, temos ˜ (⊗ ) = ˜

                    )︃

                  (︃∫︁ ∫︁

                  Ð

                    1 ⊗ cos( ) 1 ⊗ cos( ) Ð .

                    ⊗ 1 ⊗ ˜ ( ) = Ð Ð Ð

                  • +1 +1
                  • 2 em uma vizinhança = 0, temos Como 1 ⊗ cos( ) é assintoticamente equivalente a 2

                      √︃ 1⊗cos( )

                      que quando tende a zero, +1 é assintoticamente equivalente a α

                      ⧹︃ = ∫︁

                    1⊗Ð 2⊗Ð 2⊗Ð

                      ⧹︃ ⧹︃

                      = = .

                      ⧹︃ ⧹︃

                      2 2(2 ⊗ Ð) 2(2 ⊗ Ð) =0

                      √︃ ∞ 1⊗cos( )

                       &lt;

                      Daí, como α +1 ∞ para todo &gt; 0, temos

                      ∫︁ ∫︁ ∫︁ ∞ ∞

                      1 ⊗ cos( ) 1 ⊗ cos( ) 1 ⊗ cos( )

                    • = Ð Ð Ð +1 +1 +1 = &lt; .

                      Segue que

                      (︃ )︃ Ð , Ð 1 ⊗ cos( ) ∫︁

                      1 ⊗ ˜ ( ) = Ð ♣ ⊗ Ð +1 e logo, Ð ˜ Ð Ð + å Ð ( ),

                      ♣ ♣ ( ) = 1 ⊗

                      √︃ 1⊗cos( )

                      onde Ð = Ð é uma constante positiva que depende de Ð e å Ð α +1 é ( ) = Ð ♣ uma função de ordem quadrática quando tende a zero, já que nesse caso é assintotica- Ð 2 mente equivalente a . Agora, pela Proposição

                       temos que para todo , 2(2⊗Ð)

                      (︃

                    (︂ (︂ )︂)︂ Ð (︂ )︂)︃

                    Ð

                      ♣ ♣ ˜ Ð = + å Ð 1 1 α α 1 ⊗

                      é uma função característica, e como lim 1 α = 0, Ąxando ∈ R temos

                      ⊃∞ (︂ )︂

                    2

                    2

                       Ð Ð

                      lim å Ð = lim = lim = 0, 1 2 2⊗α

                      ⊃∞ ⊃∞ ⊃∞ α α α

                      2(2 ⊗ Ð) 2(2 ⊗ Ð) α (︂ )︂

                      ⊗ α 1

                      e daí, tomando , = + å Ð α para = 1, ≤ ≤ ≤ , , temos

                      (︂ )︂ ∑︀ , Ð + å Ð Ð ⊃∞ Ð 1 Ð ;

                      ∙ = ⊗ ♣ ⊗⊃ ⊗ =1 α α (︂ )︂ , + å Ð α 1 ⊃∞ ∙ max ♣ ♣ = ⊗⊃ 0; α

                      1⊘ ⧹︃ (︂ ⧹︃ )︂ ⧹︃⧹︃

                      ∑︀ , Ð ⧹︃ å Ð ⧹︃ 1 ⧹︃ &lt; é uma constante que não

                    • Ð ⧹︃

                      ∙ ♣ ♣ ⊘ ♣ ⊘ ˜ ∞, onde ˜ α =1 ⧹︃ ⧹︃ depende de .

                      Segue do Lema

                       que (︂ (︂ )︂)︂ α

                      ⊃∞ ⊗ α

                      ˜ Ð , 1 α ⊗⊃ que é uma função contínua em = 0, e consequentemente, pelo Teorema da Continuidade

                      (︃ )︃ Ð

                      de Paul-Lévy é uma função característica. Como Ð ( ) = exp Ð 1 , segue da Ð ♣ ♣ α α

                      Proposição que também é uma função característica.

                      A mudança de parâmetro que Ązemos no Ąnal da demonstração deixa claro que α

                      ⊗Ò

                      para qualquer número real positivo Ò, Ò,Ð ( ) = também é uma função caracte- rística. Na verdade, Lévy mostrou em 1923 que existem constantes Ò (que dependem de α

                      ⊗Ò

                    Ð ), complexas e não reais, para as quais Ò,Ð ( ) = é uma função característica, e

                      determinou a forma exata de tais constantes. A partir daí obteve-se a forma canônica das funções características correspondentes às distribuições estáveis que veremos no Teorema

                      

                    4.2 Distribuições InĄnitamente Divisíveis

                      Pela Lei dos Grandes Números de Khintchin (Teorema

                      temos que se as va-

                      riáveis aleatórias , , 1 2 =

                      ≤ ≤ ≤ são independentes e identicamente distribuídas, com E n

                       &lt; = , então 1

                      ∞ para todo = 1, 2, ≤ ≤ ≤ , e + ≤ ≤ ≤+ ⊗⊃ . Se tirarmos a hipó- tese de que a esperança das variáveis aleatórias é Ąnita e bem deĄnida, temos do Exemplo n

                       que converge para a distribuição de Cauchy com parâmetro se , , 1 2 n ≤ ≤ ≤ tive- rem tal distribuição, e Ąca seguinte questão: o que podemos dizer do limite se

                      ⊗⊃ ? A resposta para a pergunta acima é que é uma variável aleatória com distribuição estável, como veremos na próxima seção. Mas antes vamos mostrar que existe uma relação entre as sequências acima e os arranjos triangulares, e analisar o limite de tal sequência.

                      &lt; &lt;

                      de números reais com ♢ ⊙1 ♢ ⊙1 ∞ e 0 &lt; ∞ para

                      Dadas as sequências ¶ e ¶ todo , deĄna , = , (4.2) ⊗ 1 ⊘ .

                      Logo, temos 1

                    • ≤ ≤ ≤ +
                    • , 1 , = = , &ot
                    • ≤ ≤ ≤ +
                    formando-se assim a seguinte sequência: 1 1 2 1 2 = 1,1

                      ⊗ 2 = + 2,1 2,2 ...

                      ⊗ 1 + = , , , 2

                    • ≤ ≤ ≤ + ... n ⊗E n

                      Assim, os possíveis limites das sequências da Lei dos Grandes Números (Teorema n ⊗E n

                      e do Teorema Central do Limite (Teorema n são os mesmos que podem

                      aparecer no arranjo triangular do Teorema de Poisson (Teorema

                      Definição 4.2.1

                      (Distribuição InĄnitamente Divisível). Seja uma variável aleatória

                      

                    cuja função de distribuição é . Dizemos que tem distribuição inĄnitamente divisível

                    se para todo tal que

                      ⊙ 1 existe uma função de distribuição = .

                    • ≤ ≤ ≤ *

                      

                    ⏟ ⏞

                      

                    Proposição 4.2.1. Seja uma variável aleatória cuja função de distribuição é e a

                    função característica é . Então as seguintes aĄrmações são equivalentes: 1. tem distribuição inĄnitamente divisível;

                      2. Para todo , , , independentes e identi- 1

                      ⊙ 1 existem variáveis aleatórias ≤ ≤ ≤ ,

                      camente distribuídas tais que = , , ;

                    1

                    • ≤ ≤ ≤ +

                      3. Para todo tal que = ( ) .

                      ⊙ 1 existe uma função caraterística

                      

                    Assim, fará sentido nos referirmos também à função característica como inĄnitamente

                    divisível.

                      Demonstração. No Teorema já mostramos que a validade da se-

                      gunda aĄrmação implica a validade da primeira e da terceira. Para mostrar que a primeira implica a segunda, observe que se tem distribuição inĄnitamente divisível, então para todo existe uma função de distribuição tal que = . Por outro lado,

                    • ≤ ≤ ≤ *

                      ⏟ ⏞ ⊗

                      pelo Teorema

                       existem variáveis aleatórias , 1 , , independentes com fun-

                      ≤ ≤ ≤ , ção de distribuição comum e igual a , e logo, pelo Corolário , 1 , será , isto é, = , 1 , . A prova de que a terceira implica a distribuição de

                    • ≤ ≤ ≤ + + ≤ ≤ ≤ + a segunda é análoga.

                      2 Exemplo 4.2.1. A distribuição normal com parâmetros Û e à é inĄnitamente divisível.

                      Demonstração. Pelo Corolário à 2 2 temos que a função característica correspondente é

                      ( ) = exp( Û ⊗ ). Assim, dado ⊙ 1, temos 2

                      (︃ (︃ )︃)︃ 2 2 Û à ( ) = exp = ( ( )) .

                      ⊗

                      2 Û à 2 2 Para Ąxo, novamente pelo Corolário

                       temos que ( ) = exp( ) é a função

                      ⊗ Û 2 à 2 característica correspondente à variável aleatória tal que , ). Assim a ≍ ( 2 distribuição normal é inĄnitamente divisível, quaisquer que sejam os parâmetros Û e à .

                      

                    Exemplo 4.2.2. A distribuição de Poisson com parâmetros Ú &gt; 0 é inĄnitamente divisí-

                    vel.

                      Demonstração. Pela Proposição Ú ( it temos que a função característica correspondente é ⊗1)

                      ( ) = . Assim, dado ⊙ 1, temos

                      (︁ )︁ λ ( it n

                    ⊗1)

                    ( ) = = ( ( )) . λ ( it n ⊗1)

                      Para Ąxo, novamente pela Proposição

                       temos que ( ) = é a função (︁ Ú

                      característica correspondente à variável aleatória tal que ). Assim a ≍ distribuição de Poisson é inĄnitamente divisível, qualquer que seja o parâmetro Ú &gt; 0.

                      Exemplo 4.2.3.

                      A distribuição de Cauchy com parâmetro &gt; 0 é inĄnitamente divisível. Demonstração. Pelo Corolário temos que a função característica correspondente é

                      ♣

                      ( ) = . Assim, dado ⊙ 1, temos

                      (︂ )︂ θ n t ( ) = = ( ( )) . θ n t

                      Para Ąxo, novamente pelo Corolário

                       temos que ( ) = é a função caracterís-

                      tica correspondente à distribuição de Cauchy com parâmetro . Assim a distribuição de Cauchy é inĄnitamente divisível, qualquer que seja o parâmetro &gt; 0.

                      

                    Lema 4.2.1. Sejam e variáveis aleatórias discretas independentes cujas distribuições

                    • e têm e átomos respectivamente. Então terá no mínimo +

                      ⊗ 1 e no máximo átomos.

                      

                    Demonstração. Como e têm e átomos, respectivamente, temos (Ω) =

                    1 , 1 , +

                      ¶ ≤ ≤ ≤ , ♢ e (Ω) = ¶ ≤ ≤ ≤ , ♢, e logo, ( + )(Ω) = ¶ ; = 1, ≤ ≤ ≤ , e =

                      é a distribuição de + , 1, ≤ ≤ ≤ , ♢. Como e são independentes, temos que

                    • e portanto tem uma quantidade de átomos limitada por #( + )(Ω) ⊘ , o que prova
                    que a quantidade máxima de átomos de é . Por outro lado, supondo sem perda

                    • de generalidade que &lt; &lt; e &lt; &lt; , temos que
                    • 1 2 1 2 ≤ ≤ ≤ &lt; ≤ ≤ ≤ &lt; 1 + + + + 1 2 1 1 2 + &lt; &lt; &lt; &lt;

                        ≤ ≤ ≤ &lt; ≤ ≤ ≤ &lt; são + ⊗ 1 elementos distintos de ( + )(Ω), o que prova que + ⊗ 1 é uma cota inferior para a quantidade de átomos de . É fácil veriĄcar que o mínimo é atingido

                      • quando (Ω) = ¶ , +Ó, ≤ ≤ ≤ , +( ⊗1)Ó♢ e (Ω) = ¶ , +Ó, ≤ ≤ ≤ , +( ⊗1)Ó♢, com Ó &gt; 0, pois nesse caso, ( + )(Ω) = ¶ + , + +Ó, ≤ ≤ ≤ , + +( + ⊗2)Ó♢. O máximo, por sua vez, é atingido quando (Ω) = ¶ , +Ó, ≤ ≤ ≤ , +( ⊗1)Ó♢ e (Ω) = ¶ , + Ó, ≤ ≤ ≤ , +( ⊗ 1) Ó♢, com Ó &gt; 0, pois nesse caso, ( + )(Ω) = ¶ + , + +Ó, ≤ ≤ ≤ , + +( ⊗1)Ó♢.

                        Proposição 4.2.2.

                        Seja uma variável aleatória discreta com imagem no conjunto Ąnito , 1

                        ¶ ≤ ≤ ≤ , . Então tem distribuição inĄnitamente divisível se, e somente se, é

                        degenerada num ponto Ú ∈ R. Demonstração. Se é degenerada em Ú

                        ∈ R, então a função característica de é Ú

                        (︁ )︁ n n λ λ

                        ( ) = , onde é a função

                        , ∈ R. Logo, para todo ⊙ 1 temos ( ) = Ú característica das variáveis aleatórias degeneradas em , e portanto, tem distribuição inĄnitamente divisível. 1 ,

                        Reciprocamente, se (Ω) = ¶ ≤ ≤ ≤ , ♢ com &gt; 1, então não tem distribuição inĄnitamente divisível, pois dado &gt; , temos pelo Lema

                        

                        (aplicado ⊗ 1 vezes) que a soma de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas ou é degenerada num ponto (no caso em que as variáveis aleatórias o são), ou então possui no mínimo + 1 átomos (no caso em que as variáveis aleatórias possuem dois átomos). Logo, não temos como decompor como a soma de variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas, e portanto, não tem distribuição inĄnitamente divisível. Para veriĄcar que o número mínimo de átomos de 1 é realmente + 1, onde

                      • ≤ ≤ ≤ +
                      • 1 são variáveis aleatórias independentes não degeneradas com átomos cada,

                        , ≤ ≤ ≤ , basta observar que o mínimo é atingido para = 2, onde temos que 1 2<
                      • têm no mínimo 2 + 2 ⊗ 1 = 3 átomos,
                      • 1 2 + + 3 têm no mínimo 3 + 2 ⊗ 1 = 4 átomos, e por recorrência, 1 2<
                      • + ≤ ≤ ≤ + têm no mínimo + 2 ⊗ 1 = + 1 átomos.

                        Exemplo 4.2.4.

                        Como aplicação direta da Proposição temos que se

                        ≍ ( , ), então não tem distribuição inĄnitamente divisível, a não ser que = = 1.

                        

                      Teorema 4.2.1. Considere a sequência de variáveis aleatórias que formam um arranjo

                      triangular, isto é, 2 2,1 2,2 1 1,1 = 3 = 3,1 3,2 3,3 = +

                      • +

                        ...

                        = , 1 , (4.3)

                      • ≤ ≤ ≤ +

                        ...

                        Suponha que , 1 , , são variáveis aleatórias independentes e identicamente distri-

                        ≤ ≤ ≤ ,

                        buídas para todo

                        ⊙ 1. Então ⊗⊃ se, e somente se, tem distribuição inĄnitamente divisível.

                        

                      Demonstração. Suponhamos inicialmente que tem distribuição inĄnitamente divisí-

                        vel. Logo, para todo ⊙ 1 existem variáveis aleatórias e identicamente distribuídas , 1 , , tais que ≤ ≤ ≤ ,

                        ,

                        = , 1 , =

                      • ≤ ≤ ≤ + e trivialmente ⊗⊃ .

                        Reciprocamente, suponha que ⊗⊃ . Precisamos mostrar que para todo ⊙ 1 existem variáveis aleatórias Ö , independentes e identicamente distribuídas tais que 1 ≤ ≤ ≤ , Ö ( )

                        = Ö 1 por

                      • ≤ ≤ ≤ + Ö . Para tanto, dado ⊙ 1, vamos deĄnir (1) ( )

                        , ,

                        = , 1 , = , , ≤ ≤ ≤ , ( ⊗1)+1

                      • ≤ ≤ ≤ + + ≤ ≤ ≤ + e logo, por

                         1 1,1 = 2 2,1 2,2 + = ... 1 + = , , , 2

                      • ≤ ≤ ≤ +
                      • = = = ⏟ ⏞ ⏟ ⏞ ⏟ ⏞ 1 (1) (2) (k) 1 1 ... 2 2 ,1 2 ,2 2 ,3 2 ,4 2 ,2 + + + = +
                      • ≤ ≤ ≤ + 2 ,2 ⊗1

                        ⏟ ⏞ ⏟ ⏞ ⏟ ⏞ = = = 2 (1) (2) (k) 2 2 ...

                        = + , 1 , , +1 , 2 , ,

                        ( ⊗1) +1

                      • ≤ ≤ ≤ + + ≤ ≤ ≤ + + ≤ ≤ ≤ + + ≤ ≤ ≤ +

                        ⏟ ⏞ ⏟ ⏞ ⏟ ⏞ = = n n n (1) (2) (k) = ...

                        (1) ( ) ou seja, = .

                      • ≤ ≤ ≤ + Como ⊗⊃ , a sequência de funções de distribuição correspondente às variá- veis aleatórias é relativamente compacta, e logo, pelo Teorema de Prohorov (Teorema (1) ( )

                        ,

                      é rígida. Além disso, como são independentes e identicamente dis-

                        ≤ ≤ ≤ , tribuídas, temos (1) (1) ( ) [ ( &gt; )] = ( &gt; , &gt; &gt; ),

                        ≤ ≤ ≤ , ) ⊘ ( ao mesmo tempo que (1) (1) ( ) [ ( &lt; )] = ( &lt; , &lt; &lt; ),

                        ≤ ≤ ≤ , ) ⊘ ( ( ) onde as desigualdades se justiĄcam no fato de termos ¶æ; (æ) &gt; , = 1, ≤ ≤ ≤ , ♢ ⊆ (1) ( ) ( ) (æ) =

                        (æ) = ¶æ; (1) ( ) (æ) + ≤ ≤ ≤ , (æ) &gt; ♢ e ¶æ; (æ) &lt; , = 1, ≤ ≤ ≤ , ♢ ⊆ ¶æ; (1)

                        ♢ ⊙1 (æ) + ≤ ≤ ≤ , (æ) &lt; ♢. Daí temos que a sequência de distribuições de ¶ também é rígida, e novamente pelo Teorema de Prohorov, é relativamente compacta. As- sim, tomando uma subsequência se necessário, temos que existe uma variável aleatória (1) (1) ( )

                        Ö 1 tal que 1 . Além disso, como são identicamente distribuídas, ,

                        ⊗⊃ Ö ≤ ≤ ≤ , (2) ( )

                        , ,

                        temos também, 2 , onde Ö 1 são identicamente distri- ⊗⊃ Ö ≤ ≤ ≤ , ⊗⊃ Ö ≤ ≤ ≤ , Ö buídas. Dessa forma (1) ( )

                        = , 1

                      • ≤ ≤ ≤ + ⊗⊃ Ö + ≤ ≤ ≤ + Ö ao mesmo tempo que

                        ⊗⊃ , e portanto = Ö , 1

                      • ≤ ≤ ≤ + Ö qualquer que seja ⊙ 1. Para provar que a distribuição de é inĄnitamente divisível, falta apenas veriĄcar que Ö 1 , são independentes, o que decorre da Proposição

                        

                        ≤ ≤ ≤ , Ö (1) ( ) já que, pela independência de , ≤ ≤ ≤ , Ö , , , para todo ⊙ 1, temos 1 ≤≤≤ ,Ö k ≤ ≤ ≤ , ≤ ≤ ≤ , Ö ( 1 ) = (Ö 1 1 ) (1) ( )

                        = lim ( , ) 1 ≤ ≤ ≤ ,

                        ⊃∞ [︁ ]︁ (1) ( )

                        = lim ( ) 1 ) ≤ ≤ ≤ (

                        ⊃∞

                        = (Ö ), 1 1 ) ≤ ≤ ≤ (Ö ao mesmo tempo que lim (Ö

                        ⊘ ) = 1 para todo = 1, ≤ ≤ ≤ , , uma vez que (Ö )

                        ⊃∞ é a função de distribuição de Ö .

                        Uma vez provado o teorema, Ąca clara a importância das distribuições inĄnita- + mente divisíveis, visto que, tratando-se de variáveis aleatórias independentes e identica- n n mente distribuídas, tanto os arranjos triangulares quanto as sequências do tipo n convergem exclusivamente para tais. Precisamos portanto, conseguir propriedades que ajudem a identiĄcar as distribuições inĄnitamente divisíveis.

                        Proposição 4.2.3. Uma função característica inĄnitamente divisível nunca se anula.

                        Demonstração. Seja : R

                        ⊃ C uma função característica inĄnitamente divisível. Logo, para todo ⊙ 1 existe uma função característica : R ⊃ C tal que

                      • + + ( ) = [ ( )] .

                        e deĄnidas por Sejam : R ⊃ R : R ⊃ R 2 2 e .

                        ( ) = ♣ ( )♣ ( ) = ♣ ( )♣ Note que pelo Corolário

                         e também são funções características. Além disso, como ( ) ⊙ 0 para todo ∈ R, sua -ésima raiz, real e positiva, é unicamente determinada. n 1 Vamos denotá-la por [ ( )] . Observe que 2 2 2 ( )] = [ ( )] .

                        ( ) = ♣ ( )♣ = ♣[ ♣ = ♣ ( )♣ Logo, como

                        ( ) ⊙ 0, temos n 1 ( ) = [ ( )] , para todo ∈ R. 1 1 n n ⊃∞ ⊃∞

                        Por outro lado, como 0 ⊘ ( ) ⊘ 1, temos que [ ( )] ⊗⊃ 0 se ( ) = 0 e [ ( )] ⊗⊃ 1 ( ) converge pontualmente para a função ( ) deĄnida por se ( ) ̸= 0. Assim

                        ⎧ ⋁︁ ⨄︁

                        0, se ( ) = 0

                      ( ) = .

                        ⋁︁ ⎩

                        1, se ( ) ̸= 0 Além disso, como é contínua em = 0 com (0) = 1, existe &gt; 0 tal que ( ) ̸= 0 para

                        , , ). Assim é uma função contínua

                        todo ∈ (⊗ ), e logo temos ( ) = 1 para ∈ (⊗ em = 0 com (0) = 1, e assim, pelo Teorema da Continuidade de Paul-Lévy, ( ) é uma função característica. Segue que é contínua em R, e portanto, ( ) = 1 para todo ∈ R, o que acarreta em ( ) ̸= 0, e consequentemente, ( ) ̸= 0 para todo ∈ R.

                        Uma consequência imediata da Proposição

                         é que a distribuição uniforme não

                        é inĄnitamente divisível, já que para ̸= 0, a função característica correspondente é da forma sin(Ó ) Û

                        ( ) = ,

                        Ó

                        onde Ó &gt; 0 e Û ⊙ 0, e portanto se anula inĄnitas vezes. Nesse sentido, tal proposição torna-se uma ferramenta eĄcaz em identiĄcar distribuições que não são inĄnitamente divisíveis. No entanto, a recíproca não é verdadeira, isto é, uma função característica que nunca se anula não é necessariamente inĄnitamente divisível. Um exemplo nesse sentido é ( ) = (1 ⊗ ) cos(Ó ) + , 0 ⊘ &lt; 1 e Ó &gt; 0, que é a função característica da variável

                        1⊗

                        e ( = 0) = . Vimos na Proposição aleatória tal que ( = Ó) = ( = ⊗Ó) = 2

                        

                        que tais funções características não são inĄnitamente divisíveis para 0 ⊘ &lt; 1, e ao mesmo tempo, nunca se anulam para 0 &lt; &lt; 1.

                        Lema 4.2.2. Seja : R

                        ⊃ C uma função característica que nunca se anula. Então existe Ú ( )

                        uma única função contínua Ú : R , ⊃ C tal que Ú(0) = 0 e ( ) = ∈ R. Demonstração. Fixemos um inteiro positivo . Como [

                        ⊗ , ] é compacto e nunca se anula, existe = ( ) &gt; 0 tal que ♣ ( )♣ ⊙ para todo ∈ [⊗ , ]. Além disso, como é

                        ′

                        uniformemente contínua, existe Ó = Ó( ( )) tal que para quaisquer e 1 em [⊗ , ] com

                        ′ ′

                        ♣ &lt; Ó tem-se ♣ ( ) ⊗ ( )♣ ⊘ ⊘ . Consideremos então uma partição de [⊗ , ] 2 2 dada por

                        &lt; &lt; = 0 &lt; &lt; = , 1

                        ⊗ = ≤ ≤ ≤ &lt; ⊗1 ≤ ≤ ≤ &lt; ⊗1 ♣ &lt; Ó para = ⊗ + 1, ≤ ≤ ≤ , . Consideremos também a função : C ⊃ C onde ♣ dada por

                        ∞ ∑︁

                        (⊗1)

                        ,

                        ( ) = ( ⊗ 1) =1 ! 1 que se anula em = 1. Para que é a única determinação de ln( ) em ♣ ⊗ 1♣ ⊘ 2 1 , vamos deĄnir Ú( ) por

                        ⊗1 ⊘

                      ∑︁

                        (⊗1)

                      Ú ( ) = ( ( )) = .

                        ( ( ) ⊗ 1) =1 !

                        ∞ j 1 (⊗1) ∑︀

                        . Daí, Nesse caso, temos ♣ ⊗0♣ = ♣ ♣ ⊘ Ó, e logo, ♣ ( )⊗1♣ = ♣ ( )⊗ (0)♣ ⊘ ( ( )⊗ 2 ! =1 1) converge uniformemente a uma função contínua, no caso, Ú( ). Além disso, temos trivialmente que Ú(0) = 0.

                        Agora, supondo Ú bem deĄnida em [ , ], vamos deĄnir Ú( ) em [ , ] por +1

                        

                      (︃ )︃

                        ∞ ∑︁

                        ( ) (⊗1)

                        Ú ( ) = Ú( ) + 1 . =1 ! ( ) ⊗

                        ♣ ⊘ Ó, temos ♣ ( ) ⊗ ( Nesse caso, como ♣ )♣ ⊘ , e como ♣ ( )♣ ⊙ , segue que 2

                        ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                        ( )

                        1

                        ⧹︃ ⧹︃ ( ) ⊗ ( )♣ 2 .

                        ⧹︃

                        1 ⧹︃ = ♣ = ⊘

                        ⧹︃ ⧹︃

                        ( ) ⊗

                        2 ♣ (

                        )♣

                        (︁ )︁ (︁ )︁

                        ∞ j ∑︀ ( ) ( )

                        (⊗1) Daí, converge uniformemente a uma função contínua, no caso, . =1 ! ( ) k ⊗ 1 ( ) k

                        Logo Ú é uma função contínua em [ , ] com +1

                        ⊗ ⎧ ⋁︁ ⨄︁

                        ( ( )), se 1

                        ⊗1 ⊘

                      Ú ( ) = .

                        (︁ )︁ ( ) ⋁︁ ⎩

                        Ú ( ) + , se ( ) k +1

                        De modo análogo podemos estender Ú( ) continuamente a [ , ] pondo

                        ⊗ ⊗1 ⊗ (︃ )︃

                        ( )

                        

                      Ú ( ) = Ú( ) + , se ,

                      ⊗1 ⊘

                        ( )

                        ⊗ e assim teremos Ú( ) bem deĄnida e contínua em [ , ]. Por recorrência conseguimos +1

                        ⊗ ⊗1

                        estender Ú( ) continuamente para [⊗ , ] com Ú(0) = 0. Além disso, da forma como Ú( ) foi construída, teremos também

                        (︃ (︃ )︃)︃ (︃ (︃ )︃)︃ Ú Ú ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) k = exp Ú ( ) + = exp = ( ) = ( ).

                        ( ) ( ) ( ) Agora, tendo Ú( ) bem deĄnida em [⊗ , ], podemos estender Ú( ) a [⊗ ⊗ 1, + 1] da seguinte maneira: obtemos = ( + 1) &gt; 0 tal que ♣ ( )♣ ⊙ para ∈ [⊗ ⊗ 1, ]

                        ′

                        e ∈ [ , + 1], e Ó = Ó( ( + 1)) &gt; 0 tal que, para quaisquer e em [⊗ ⊗ 1, ]

                        ′ ′

                        ; depois estendemos a partição de ♣ ⊘ Ó, tem-se ♣ ( ) ⊗ ( e [ , + 1] com ♣ )♣ ⊘ 2

                        [⊗ , ] para [⊗ ⊗ 1, + 1] pondo = &lt; +1 &lt; = + 1, +

                        ≤ ≤ ≤ &lt; e

                        &lt; &lt;

                        ⊗ ⊗ 1 = ≤ ≤ ≤ &lt; ⊗1 ⊗ +1 = ⊗ , onde ♣ &lt; Ó para = ⊗ , ≤ ≤ ≤ , ⊗ 1, , ≤ ≤ ≤ , + ⊗ 1. A partir daí basta procedermos de modo análogo à construção que Ązemos para ∈ [⊗ , ] e teremos Ú( ) bem deĄnida em [⊗ ⊗1, +1]. Repetindo sucessivamente o processo, obteremos Ú( ) bem deĄnida em [⊗∞, ∞]. Por Ąm, para provar que Ú( ) é única, basta observar que se ˜Ú( ) é Ú ˜ ( ) contínua em R com ˜Ú(0) = 0 e

                        = ( ) para todo ∈ R, então ˜Ú( ) ⊗ Ú( ) = 2Þ ( ), onde ( ) ∈ Z para todo ∈ R. Como Ú( ) e ˜Ú( ) são contínuas, segue que : R ⊃ Z é Ú ˜

                        (0)⊗Ú(0)

                        contínua, e portanto, constante. Além disso, temos (0) = 2Þ = 0, e logo, ⊕ 0, donde segue que ˜Ú( ) = Ú( ) para todo ∈ R.

                        Teorema 4.2.2.

                        Seja : R

                        ⊃ C uma função característica inĄnitamente divisível. Então,

                        

                      para todo tal que = ( ) é o ramo da -ésima raiz

                        ⊙ 1, a função característica

                        de obtido pelo ramo de logaritmo Ú do Lema Demonstração. Pela Proposição

                        

                        temos que ( ) ̸= 0 para todo ∈ R. Logo, Ąxado , teremos também

                        ( )) . Assim, pelo Lema ( ) ̸= 0 para todo ∈ R, já que ( ) = ( Ú Ú ( ) n ( )

                        

                      existem Ú( ) e Ú ( ) contínuas tais que Ú(0) = Ú (0) = 1, = ( ) e =

                      Ú Ú n ( ) ( )

                        ( ). Logo, como = ( ( )) = ( ) = ( ) = 2Þ ( ), , temos Ú( ) ⊗ Ú onde são contínuas em R, e logo,

                        ( ) ∈ Z para todo ∈ R. Por outro lado, Ú e Ú Ú (0)

                        (0)⊗Ú n

                        = 0, temos : R ⊃ Z é contínua, e portanto, constante. Logo, como (0) = 2Þ que Ú( ) = Ú

                        ( ), para todo ∈ R. Segue portanto que Ú n ( ) λ (t) n ( ) = = , e como Ú é um ramo do logaritmo de , segue que é o ramo da -ésima raiz corres- pondente.

                        

                      Corolário 4.2.1. Uma função característica é inĄnitamente divisível se, e somente se,

                      para todo tal que (0) = 1, for uma função

                        ⊙ 1, o ramo da -ésima raiz de ,

                        

                      característica. Em particular, se a função característica for real, então é inĄnitamente

                        √ n divisível se, e somente se, para todo = for uma função característica. ⊙ 1,

                        Corolário 4.2.2. Para todo Ð

                        ∈ (0, 2], a função α Ð ( ) = ,

                      ⊗♣

                      ∈ R, é uma função característica inĄnitamente divisível.

                        Demonstração. Já vimos no Teorema que Ð é uma função característica. Para

                        mostrar que Ð é inĄnitamente divisível, pelo Corolário α basta mostrar que para √ ⊗♣tn α

                        ⊗♣ n

                        = é também uma função característica. Para tanto, observe todo ⊙ 1, Ð que sendo a variável aleatória cuja função característica é , então, pela Proposição 1

                        a função característica da variável aleatória α 1 será

                      Ð = .

                      (︂ )︂ α 1 ⊗♣t n α Isto conclui a prova.

                        Corolário 4.2.3.

                        Para todo Ú

                        ⊙ 0, e para toda função característica , a função Ú

                        ( ( )⊗1) Ú ( ) = ,

                        ∈ R, é uma função característica inĄnitamente divisível.

                        Demonstração. Já vimos no Teorema que Ú é uma função característica. Para

                        mostrar que Ú é inĄnitamente divisível, pelo Corolário λ (ϕ(t)⊗1) n

                         basta mostrar que para

                        é também uma função característica, e isso decorre imediatamente todo ⊙ 1, Ú do Teorema

                        visto que ⊙ 0.

                        

                      Proposição 4.2.4. A convolução de duas distribuições inĄnitamente divisíveis é inĄni-

                      tamente divisível.

                        

                      Demonstração. Sendo ˜ e ^ as funções características correspondentes, pela Proposição

                      basta mostrar que ( ) = ˜ ( ) ^ ( ) é uma função característica inĄnitamente divi-

                        sível, e isso é imediato, pois dado ⊙ 1, como ˜ e ^ são inĄnitamente divisíveis, existem ˜ e ^ tais que

                        ( ) = ˜ ( ) ^ ( ) = ( ˜ ( )) ( ^ ( )) = ( ˜ ( ) ^ ( )) , onde ˜ ( ) ^ ( ) é uma função característica, já que é o produto de tais.

                        

                      Teorema 4.2.3. Seja uma sequência de funções características inĄnitamente

                        ¶ ♢ ⊙1

                        

                      divisíveis tais que converge pontualmente para uma função característica . Então,

                      também é inĄnitamente divisível.

                        Demonstração. Por deĄnição, para todo

                        ⊙ 1 existem variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas , , , tais que é a função característica de = 1 , , . Como converge pontualmente para a função característica , temos 1 ≤ ≤ ≤ ,

                      • ≤ ≤ ≤ + do Teorema da Continuidade de Paul-Lévy que corresponde a variável aleatória tal que tem distribuição inĄnitamente divisível.

                        ⊗⊃ , a qual pelo Teorema Vamos encerrar esta seção mostrando que a classe das distribuições inĄnitamente divisíveis coincide com o fecho (no sentido da convergência vaga) do conjunto gerado pela convolução de um número Ąnito de distribuições de Poisson generalizadas. Para obter tal resultado vamos precisar do seguinte lema:

                        Lema 4.2.3.

                        Seja uma função de distribuição. Então, para todo

                        ⊙ 1 existe ⊙ 1 e

                        uma partição &lt; &lt; 1

                        = ¶⊗∞ &lt; ≤ ≤ ≤ &lt; ∞♢ de R, tal que

                        ⧹︃ ⧹︃ ∫︁

                        

                      ⧹︃ ∞ ⧹︃

                      ∑︁

                        1

                        ⧹︃ j ⧹︃ sup ( ( .

                        ⧹︃ ⧹︃

                        ⊗ 1) [ ( ) ⊗ ( ⊗1 )] ⊗ ⊗ 1) ( ) ⊘

                        ⧹︃ ⧹︃

                        ⊗∞ ♣ ♣⊘ =1 Demonstração. Dado 1 &lt; ˜ tais que ( ) &lt; 1 1 2 1 2 . Por outro lado, sendo ( ) = ⊙ 1, temos imediatamente que existem 8 e ) &gt; 1 ⊗ ⊗ 1, temos que é uniformemente 8

                        ′ ′

                        contínua em R, e daí, dado &gt; 0, existe Ó &gt; 0 tal que ♣ &lt; Ó implica ♣ ( )⊗ ( )♣ &lt; , e logo,

                        Ó ′ ′ ′ ♣ &lt; e ♣ &lt; ⇒ ♣ &lt; Ó ⇒ ♣ ( ) ⊗ ( ⊗ 1) ⊗ ( ⊗ 1)♣ &lt; . 1 )♣ = ♣(

                        Assim, sendo = 2 2 , vamos considerar a partição 1 &lt; &lt; &lt;

                      2

                      Ó = ¶⊗∞ &lt; ≤ ≤ ≤ &lt; ∞♢, onde +1 = , e logo, teremos

                        ⊗ ⊗1 ⊘ ˜ &lt; para = 1, ≤ ≤ ≤ , ⊗ 1 e j

                        1 ♣( ⊗ 1) ⊗ ( ⊗ 1)♣ &lt; 2

                        2 para todo

                      • +1 e ♣ ♣ ⊘ . Agora, sendo

                        ⎧ ⋁︁ j ⨄︁ , ) +1

                        ⊗ 1, se ∈ [ ( ) =

                        ⋁︁ ⎩

                        0, se &lt; , 1 ou

                      • 1
                      • 1
                      • 2[1 ⊗ (

                         n √︂ =1

                        ( ( ) ⊗ 1) = lim

                        ⊃∞

                        para todo ∈ R vale que lim

                        Daí, pela regra de LŠHôpital,

                        Reciprocamente, seja uma função característica inĄnitamente divisível. Fixado ⊙ 1, sejam a função característica tal que ( ) = ( ( )) , a função de distribuição correspondente a e Ú o logaritmo de como no Lema

                        exp ( , ( n,j ⊗ 1)) é uma função característica inĄnitamente divisível.

                        √︂ =1

                         que ( ) = lim ⊃∞ n

                        exp ( , ( n,j ⊗ 1)) também o é. Segue portanto do Teorema

                        ⊗ 1)) é uma função característica inĄnitamente divisível, e logo, pela Proposição

                        ⊗ 1

                        1, ≤ ≤ ≤ , , exp ( , ( n,j

                        Demonstração. Dadas as sequências , e , , temos do Corolário que para todo =

                        )︁ .

                        ⊗ 1)

                        

                      (︁

                      , ( n,j

                        exp

                        ⊃∞ n ∏︁ =1

                        ⊙ 1 e , &gt; 0, tais que ( ) = lim

                        ,

                        ⊃∞

                      (︂

                      λ (t) n

                        )︂

                        

                      divisível se, e somente se, existem duas sequências de números reais, , e , , com

                        &lt;

                        1

                        ⊘

                        ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                        ( )

                        ( ⊗ 1)

                        

                      ∫︁

                      ∞ ⊗∞

                        ( n,j ⊗ 1) ,

                        ♣ ♣⊘ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ n ∑︁ =1

                        ∞ tal que sup

                        ≤ ≤ ≤ &lt; , n

                        = lim

                        para todo ⊙ 1 existe ⊙ 1 e uma partição dada por ⊗∞ &lt; , 1 &lt;

                        

                        = ( ). (4.4) Por outro lado, observe que pelo Lema

                        = Ú( ), e consequentemente, ( n ( )⊗1) ⊃∞ ⊗⊃ Ú ( )

                        ⊃∞ Ú ( ) λ (t) n

                        = lim

                        ⊃∞

                      Ú( )

                      2

                      λ (t) n ⊗11 2

                        ⊗ 1 1 = lim

                        ⊃∞ λ (t) n

                        1 ⊘

                        ⊃ C uma função característica. Então é inĄnitamente

                        segue que

                        ( ) ( )

                        ♣ ( ) ⊗ ( )♣ ( )

                        ∫︁

                      ⊗∞

                        ⊘

                        ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                        [ ( ) ⊗ ( )] ( )

                        ∞ ⊗∞

                        ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ∫︁

                        =

                        ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                        ∫︁ ∞ ⊗∞

                        ∫︁ 1 ⊗∞

                        ( ) ( ) ⊗

                        ∞ ⊗∞

                        ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ∫︁

                        =

                        ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                        ( ⊗ 1) ( )

                        ∫︁ ∞ ⊗∞

                        ( j ⊗ 1)[ ( ) ⊗ ( ⊗1 )] ⊗

                        ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ∑︁ =1

                        =

                        ♣ ( )♣ ( ) +

                        Teorema 4.2.4. Seja : R

                        ) +

                        Isso completa a prova do lema.

                        1 2 .

                        4 2 =

                        2 2

                        4 2

                        1

                        )] &lt;

                        2 2

                        1

                        ( ) ⊘ 2 ( 1

                        ∫︁ k 1

                        

                      ∫︁

                      k

                        ( ) + 2

                        ∫︁ k 1

                        2 2

                        1

                        ( ) +

                        ∫︁ 1 ⊗∞

                        ♣ ( )♣ ( ) ⊘ 2

                        ∫︁ ∞ k

                        ♣( j ⊗ 1) ⊗ ( ⊗ 1)♣ ( ) +

                        ,

                        ′

                        onde , = [ ( , ( , )]. Observe também que dados e ) ⊗ ⊗1 ∈ C, temos ′ ′ ′

                        ⊗ ♣ ♣ ♣ = ♣ ♣( ⊗ 1) ⊘ ♣ ♣( ⊗ 1). n √︃ ∑︀

                        ∞ ′ n,j

                        Daí, tomando = ( ( ) e = ( , , segue que ⊗ 1) ⊗ 1)

                        ⊗∞ =1 ⧹︃ ⧹︃ n ⧹︃ ⧹︃

                        ∏︁ ⧹︃ ( n ⧹︃ ( )⊗1) n,j

                        sup ⧹︃ exp( , ( ⧹︃ = sup ⊗ ⊗ 1)) ♣

                        ⧹︃ ⧹︃ ♣ ♣⊘ =1 ♣ ♣⊘

                        ⊘ sup ♣ ♣( ⊗ 1)

                        ♣ ♣⊘ 1 n ⊃∞

                        ⊘ ⊗ 1 ⊗⊃ 0, ( n

                        ( )⊗1)

                        onde a última desigualdade se justiĄca no fato de termos = é ⊘ 1 (pois

                        ′ que

                        uma função característica) e ♣ ♣ ⊘ 1. Segue daí e de n

                        ∏︁ n,j ( n ( )⊗1) lim exp( , ( = ( ).

                        ⊗ 1)) = lim

                        ⊃∞ ⊃∞ =1

                        Como consequência do teorema acima temos que a classe das distribuições inĄni- tamente divisíveis coincide com o fecho (no sentido da convergência fraca) do conjunto gerado pela convolução de um número Ąnito de distribuições de Poisson generalizadas. A partir daí é possível obter também a forma canônica exata das funções características correspondentes.

                        Teorema 4.2.5

                        (Representação Canônica de Lévy-Khintchin). Toda função característica

                        inĄnitamente divisível pode ser representada canonicamente por [︃

                        ⟨ ∫︁ (︂ )︂ 2

                        1 + ( ) = exp

                        ( ) +

                        ,

                        ⊗ 1 ⊗ 2 2

                        

                      ⊗∞ 1 +

                      onde

                        ∈ R, é uma função não decrescente e limitada em (⊗∞, ∞) e o integrando é

                        contínuo em = 0, sendo o seu valor dado por (︂ )︂ 2

                        1 + lim ⊗ 1 ⊗ 2 2

                        ⊃∞

                        1 + 2 (

                        ⊗ 1)(1 + ) ⊗ = lim 2

                        ⊃∞ 2

                        (1 + ) + 2 ( ⊗ 1) ⊗

                        = lim

                        ⊃∞ 2 2

                        2 (1 + ) + 2 + 2(

                        ⊗ ⊗ 1) + 2 = lim

                        ⊃∞ 2

                        2 = ⊗ .

                        2 Uma prova deste resultado pode ser visto em Capítulo 3).

                      4.3 Distribuições Estáveis

                        n

                        O Exemplo

                         deixa claro que nem sempre as sequências do tipo (onde

                        é a soma das variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas , ) 1 ≤ ≤ ≤ , convergem para uma variável aleatória com distribuição degenerada, como na Lei dos

                        Grandes Números de Khintchin (Teorema n n Assim somos levados a estudar os pos- +

                      • + síveis limites das sequências do tipo onde &gt; 0 e são constantes reais. No n n n

                        Teorema

                         vimos que se converge para uma variável aleatória , esta terá dis- n

                        tribuição inĄnitamente divisível. Mas, nesta seção veremos que a classe das distribuições dos possíveis limites para tais sequências é um pouco mais restrita.

                        

                      Definição 4.3.1 (Distribuição Estável). Seja uma variável aleatória cuja função de

                      distribuição é . Dizemos que tem distribuição estável se para todo

                        ⊙ 1 existem

                        constantes &gt; 0 e tais que (︃ )︃

                        ⊗ = ( ) .

                        ( ) * ≤ ≤ ≤ *

                        ⏟ ⏞ ⊗

                        

                      Proposição 4.3.1. Seja uma variável aleatória cuja função de distribuição é e a

                      função característica é . Então as seguintes aĄrmações são equivalentes: 1. tem distribuição estável;

                      2. Para todo , independentes e identica-

                        1

                        ⊙ 1 existem variáveis aleatórias ≤ ≤ ≤ ,

                      • mente distribuídas a , e constante &gt; 0 e tais que = ;
                      • 1<
                      • ≤ ≤ ≤ + n 3. Para todo &gt; tais que ( ( )) .

                        0 e = ( ) ⊙ 1 existem constantes Assim, fará sentido nos referirmos também à função característica como estável.

                        

                      Demonstração. Para mostrar que a segunda aĄrmação implica a primeira e a terceira,

                        basta observar que pelo Corolário

                        a função de distribuição e a função característica

                        de são, respectivamente, ( ) e ( ( )) , ao mesmo tempo que 1

                      • ≤ ≤ ≤+ ( ) * ≤ ≤ ≤ *

                        

                      ⏟ ⏞

                        (︁ )︁ ⊗ n

                        a função de distribuição de + é ( ) = ( = + n n

                      • ) = n

                        (︁ )︁ ⊗ n n , e pela Proposição n

                        a função característica de é ( ) =

                      • + ( ) .

                        Para mostrar que a primeira aĄrmação implica a segunda, observe que se tem

                        &gt; 0 e tais

                        distribuição estável, então temos que para todo ⊙ 1 existem constantes

                        (︁ )︁ ⊗ n

                        que = ( ) . Por outro lado, pelo Teorema

                         existem variáveis n ( ) * ≤ ≤ ≤ * ⏟ ⏞

                        ⊗

                        aleatórias , independentes e identicamente distribuídas a , e pelo Corolário 1 ≤ ≤ ≤ ,

                        

                      a função de distribuição de será ( ) , e portanto,

                      1

                      • ≤ ≤ ≤ + ( ) * ≤ ≤ ≤ *

                        ⏟ ⏞ ⊗ = + . A prova de que a terceira implica a segunda é análoga. 1

                      • ≤ ≤ ≤ +
                      • 2 Exemplo 4.3.1. A distribuição normal com parâmetros Û e à é estável.

                          Demonstração. Pelo Corolário à 2 2 temos que a função característica correspondente é

                          ( ) = exp( Û ⊗ ). Assim, dado ⊙ 1, temos 2

                          (︃ )︃ 2 2

                          à

                          √ )Û

                          ( n

                          ( ( )) = exp Û = ( ) = ( ) ,

                          2 √ onde = √ e )Û. Temos portanto que a distribuição normal é estável. = ( Exemplo 4.3.2.

                          A distribuição de Cauchy com parâmetro &gt; 0 é estável. Demonstração. Pelo Corolário

                           temos que a função característica correspondente é ♣

                          ( ) = . Assim, dado ⊙ 1, temos

                          ⊗ n

                          ( ( )) = = ( ) = ( ) , onde = e = 0. Temos portanto que a distribuição de Cauchy é estável.

                          Exemplo 4.3.3. A distribuição de Poisson com parâmetro Ú &gt; 0 não é estável.

                          Demonstração. Pela Proposição Ú ( it temos que a função característica correspondente Ú ( it ⊗1)

                          ⊗1)

                          é ( ) = = , ao mesmo tempo que n ⊗1) n Ú ( . Assim, dado ⊙ 1, temos ( ( )) itan Ú ( Ú ( Ú ( ) ( ) = . Assim, se a distribuição de Poisson fosse estável teríamos it itbn itan itan

                          ⊗1) ⊗1) n ⊗1+ λ

                          = = onde &gt; 0 e são constantes. Nesse caso teríamos n

                        • = cos( ) + sin( ⊗ 1 + ⊗ ) ⊗ 1 + ⊗ cos( ) ⊗ sin( ) + = 2 Þ,

                          Ú n Ú

                          = 0, e consequentemente, onde ∈ Z. Segue que sin( ) ⊗ sin( ) + Ú

                          Ú ))

                          ( sin( ) ⊗ sin( Þ 2Þ = . (4.5) Daí, tomando = e = , respectivamente, teremos n n

                          (︁ )︁ (︁ )︁ Þ 2Þ (︂ )︂ (︂ )︂ Ú sin Ú sin n n 2Þ Þ

                          = = = 2 sin ⇒ sin

                          Þ 2Þ (︂ )︂ (︂ )︂ (︂ )︂

                          Þ Þ Þ

                          cos = 2 sin ⇒ 2 sin

                          (︂ )︂ [︂ (︂ )︂ ]︂ Þ Þ

                          cos = 0 ⇒ 2 sin ⊗ 1

                          1 ⇒ ∈ Z = 0.

                          ⇒

                          Þ Þ (︁ )︁ n

                          Agora, tomando = teremos por 2 que sin = , o que é impossível para 2

                           &gt; 1.

                          Proposição 4.3.2.

                          Toda distribuição estável é inĄnitamente divisível.

                        Demonstração. Se é uma variável aleatória com distribuição estável, então, para todo

                        &gt; 0 e , e variáveis aleatórias , independentes e 1

                          ⊙ 1 existem constantes ≤ ≤ ≤ , = + identicamente distribuídas a tais que . Segue que 1 1 ⊗ ⊗ 1 n n + ≤ ≤ ≤ +

                        • ≤ ≤ ≤ + = = , 1 n bn bn
                        • ≤ ≤ ≤ +

                          ⊗ ⊗ n n

                          onde , são independentes e identicamente distribuídas. Assim, a distri- n n ≤ ≤ ≤ , buição de é inĄnitamente divisível.

                          Proposição 4.3.3.

                          Seja uma variável aleatória discreta com imagem no conjunto Ąnito 1 ,

                          ¶ ≤ ≤ ≤ , . Então tem distribuição estável se, e somente se, é degenerada num

                          ponto Ú ∈ R. Demonstração. Se a distribuição de não for degenerada, então pela Proposição

                          

                          não será inĄnitamente divisível, e logo, pela Proposição também não será estável. Reciprocamente, se a distribuição de é degenerada num ponto Ú ∈ R, então a função Ú característica de será ( ) =

                          . Logo, dado ⊙ 1 temos Ú n ( ( )) = = ( ) = ( ) , onde = e = 0, e portanto, a distribuição de é estável. α

                          ⊗♣ Proposição 4.3.4. Para todo Ð ,

                          ∈ (0, 2], a função ( ) = ∈ R, é uma função característica estável. α

                          ⊗♣ Demonstração. Já vimos no Corolário que a função característica ( ) = ,

                          ∈ R, é inĄnitamente divisível. Para veriĄcar que ela é estável basta observar que dado ⊙ 1 temos α α α 1

                          ⊗ ♣ ⊗♣ n α 1 ( ( )) = = = ( ) , onde = e = 0. Segue que é estável.

                          Lema 4.3.1. Seja , , 1 2

                          ≤ ≤ ≤ uma sequência de variáveis aleatórias e tal que ⊗⊃ ,

                        • e sejam &gt; 0 e duas sequências de números reais tais que . Se ⊗⊃ ˜

                          ⊃∞ ⊃∞ e ˜ são não degeneradas, então existem &gt; 0 e

                          ∈ R tais que ⊗⊃ , ⊗⊃ e ˜ = + .

                        • +

                          Demonstração. Sejam ( ), ( ), ˜ ( ) e ( ) as funções características de , ,

                          n n n

                          ˜

                        • + e , respectivamente. Logo, como e

                          ⊗⊃ ˜ ⊗⊃ , temos pelo Corolário

                           que n ⊃∞

                          ( ) = ( ) ( ), e (4.6) + n n n ⊗⊃ ˜

                          

                        ⊃∞

                          ( ) (4.7)

                          ⊗⊃ ( ), onde, pelo Teorema

                          a convergência é uniforme em qualquer intervalo compacto.

                          ⊃∞

                          tal que Seja agora ¶ k ♢ ⊙1 uma subsequência de ¶ ♢ ⊙1 k ⊗⊃ . AĄrmamos que

                           &lt;

                          convergem para o mesmo ∞ e é único. Logo, todas as subsequências de ¶ ♢ ⊙1

                          ⊃∞ ⊗⊃ .

                          valor &lt; ∞, e assim,

                          temos

                          Para provar que &lt; ∞, suponha por absurdo que = ∞. Logo, por n ⊃∞ ( (

                          ♣ )♣ = ♣ )♣ ⊗⊃ ♣ ˜ ( )♣, onde a convergência é uniforme em cada intervalo compacto, e logo,

                          ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⊃∞

                          ⧹︃ ⧹︃

                          sup (

                          ⧹︃ ⧹︃

                          ♣ )♣ ⊗ ♣ ˜ ( )♣ ⊗⊃ 0,

                          ⧹︃ ⧹︃ ♣ ♣⊘ ⊃∞

                          para todo &gt; 0. Daí, tomando = , e usando o fato de que nk k ⊗⊃ ∞, temos que

                          ⧹︃ ⧹︃ (︃ (︃ ⧹︃ ⧹︃ )︃ ⧹︃⧹︃ )︃ ⧹︃⧹︃

                          ⊃∞ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ˜ ⧹︃ k k ⊗ ⊗⊃ 0,

                          ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                        k k

                          donde temos que

                          

                        ⊃∞

                          ( ⊗⊃ ♣ ˜ k )♣ (0)♣ = 1,

                          ⊃∞

                          para todo

                           (

                          ∈ R. Por outro lado, de temos ♣ )♣ ⊗⊃ ♣ ( )♣, donde segue que

                          a distribuição

                          ♣ ( )♣ = 1 para todo ∈ R, e consequentemente, pela Proposição de é degenerada. Chegamos assim a uma contradição, e portanto &lt; ∞. j ♢ ♢ tais Para provar que é único, considere as subsequências ¶ ⊙1 e ¶ j′ ⊙1

                          ⊃∞ ⊃∞ ′ ′

                          que , supondo sem perda de generalidade que 0 &lt; &lt; . Por j ⊗⊃ e ⊗⊃ j

                          temos ⊃∞ ⊃∞

                          ( ( j j )♣ ⊗⊃ ♣ ( )♣ e ♣ j j )♣ ⊗⊃ ♣ ˜ ( )♣,

                          ′

                          donde segue que ♣ ( )♣ = ♣ ˜ ( )♣. De modo análogo temos também que ♣ ( )♣ = ♣ ˜ ( )♣,

                          ′

                          e portanto, ♣ ( )♣ = ♣ ( )♣, para todo ∈ R. Segue que

                          ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ (︃ (︃(︃ )︃ (︂

                          ′ ′ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                        )︂ ⧹︃⧹︃ )︃ ⧹︃⧹︃ )︃ ⧹︃⧹︃

                          ⊃∞ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ = ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                          ♣ ( )♣ = ⊗⊃ ♣ (0)♣ = 1,

                          = ≤ ≤ ≤ =

                          ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                          e logo, ♣ ( )♣ = 1 para todo ∈ R. Novamente chegamos à contradição de que é degenerada, e portanto é único.

                          ⊃∞

                          Agora vamos provar que existe &lt; ∞ tal que ⊗⊃ e que &gt; 0. Por

                          ⊃∞

                          temos que ( )

                          segue que

                          ⊗⊃ ( ), e logo, por ˜ ( ) n

                        ⊃∞

                          , (4.8)

                          ⊗⊃ ( ) para todo tal que ( ) ̸= 0. Note que como é contínua em = 0 com (0) = 1, existe n

                          Ó &gt;

                          para tais . Daí segue que 0 tal que ( ) ̸= 0 para ♣ &lt; Ó, e logo existe lim

                          ⊃∞

                          é limitada, e portanto possui uma subsequência convergente. Sejam ♢ ⊙1 a sequência ¶

                          ⊃∞ ⊃∞ j ♢ ⊙1 ♢ ⊙1 j ⊗⊃ e ⊗⊃

                          subsequências tais que . Por

                          temos

                          então ¶ e ¶ jnj n j

                        j

                        ′ = lim = lim = , e consequentemente, = . Assim para ♣ &lt; Ó que

                          ⊃∞ ⊃∞ ⊃∞

                          temos ˜ ( ) = ( ),

                          temos que existe &lt; ∞ tal que ⊗⊃ . Para Ąnalizar, por donde segue que ˜ = + , e como ˜ é não degenerada, segue que &gt; 0.

                          Teorema 4.3.1.

                          Sejam , , 1 2

                          ≤ ≤ ≤ variáveis aleatórias independente e identicamente dis- +

                          tribuídas, e = 1 . Então, existem constantes reais &gt; 0 e , e uma

                        • ≤ ≤ ≤ + n n

                          distribuição tal que n ⊗⊃ se, e somente se, tem distribuição estável.

                          

                        Demonstração. Seja uma variável aleatória com distribuição estável. Logo, para todo

                        n n

                        • &gt; 0 e tais que = , e logo, = .

                          ⊙ 1 existem constantes n n n Obviamente n ⊗⊃ . n n

                          Reciprocamente, suponhamos que n ⊗⊃ . Precisamos mostrar que tem distribuição estável. Para tanto, vamos supor que não é degenerada, pois caso contrário, já sabemos da Proposição

                          

                          que ela tem distribuição estável. Daí, dado ⊙ 1 e 1 ⊘ , façamos as seguintes deĄnições: ( ) =

                          e,

                          ( ⊗1) +1 + ≤ ≤ ≤ +

                        ( ) ⊗

                        ( ) = . ( )

                          = , e logo, Note que para todo = 1, ≤ ≤ ≤ , , temos ( ) ⊗ ( )

                          = = ( ) ⊗⊃ . Agora, deĄna por ( ) (1) ( ) = . ( ) (1) ( ) (1) ( ) + ≤ ≤ ≤ + Imediatamente temos que , onde = = . Por

                          ⊗⊃

                        • ≤ ≤ ≤ + = ≤ ≤ ≤ outro lado, temos ( ) (1) ( ) + ≤ ≤ ≤ + ( ) ( )
                        • 1 = = = Ð + Ñ , ( ) kn + ≤ ≤ ≤ + 1 +≤≤≤+ kn kn kn kn ( ) kn n onde Ð = , = = e Ñ = , e consequentemente, n kn kn ( ) ( ) n

                            ⊗ Ñ = , ( )

                            ( ) (1) ( ) ( ) ( )

                            onde , e pelo Lema

                             existem Ð &gt; 0 e Ñ tais

                            ⊗⊃ , ⊗⊃ + ≤ ≤ ≤ + (1) (k) (k) ( ) ( ) ( ) ( ) ⊃∞ ⊃∞

                          • ≤≤≤+ Ñ

                            que Ð e Ñ . Segue que = (k) , e consequentemente, ( ) ( ) (1) ( ) ⊗⊃ Ð ⊗⊃ Ñ Ð

                            Ð + Ñ =

                          • ≤ ≤ ≤ + . Como o resultado vale para qualquer ⊙ 1, temos que a distribuição de é estável.

                            Da mesma forma que as funções características inĄnitamente divisíveis, as estáveis também possuem uma representação canônica determinada por Lévy-Khintchin.

                            Teorema 4.3.2

                            (Representação Canônica de Lévy-Khintchin). Toda função característica

                            estável pode ser representada canonicamente por [︃ (︃ )︃⟨

                          Ð

                            ( ) = exp Ñ 1 + ( , Ð) , (4.9) ⊗

                            ♣

                            onde 0 &lt; Ð = 0 se = 0 e

                            ⊘ 2, Ñ ∈ R, ⊙ 0, ♣ ⊘ 1,

                            ♣ ♣ ⎧

                          ÞÐ

                          ⋁︁ ⨄︁ se Ð

                            tan( ), 2 ̸= 1 ( , Ð) = .

                            ⋁︁ 2Þ ln ♣ , se Ð = 1

                            Uma prova deste resultado pode ser visto em

                             resultam do caso particular

                          Ñ = 0, = 0 e = 1. Uma consequência interessante da representação de Lévy-Khintchin

                            é que ela permite calcular a média e a variância das variáveis aleatórias com distribuição estável.

                            

                          Proposição 4.3.5. Sendo uma variável com distribuição estável e função característica

                          dada em

                            

                            , temos que não é integrável para 0 &lt; Ð ⊘ 1, E = Ñ para 1 &lt; Ð ⊘ 2, = 2 para Ð = 2 e = ∞ para 0 &lt; Ð &lt; 2.

                            Demonstração. Sendo Ð

                            ̸= 1, temos da representação de Lévy-Khintchin (Teorema que para &gt; 0,

                            [︂ (︂ )︂ ]︂ ÞÐ Ð

                            ′ ⊗1 Ñ

                            ( ) = 1 + tan ( ), e, ⊗ Ð

                            2

                            [︂ (︂ )︂ (︂ )︂ ]︂ ÞÐ ÞÐ Ð Ð 2

                            ′′ ⊗2 ⊗1

                            ( ) = 1 + tan 1 + tan ] ( ),Ð(Ð ⊗ 1) + [ Ñ Ð

                            2

                            2 enquanto que para &lt; 0,

                            [︂ (︂ )︂ ]︂ ÞÐ Ð

                            ′ ⊗1

                            ( ) = Ñ + Ð ( ), e, 1 ⊗ tan (⊗ )

                            2

                            [︂ (︂ )︂ (︂ )︂ ]︂ ÞÐ ÞÐ Ð Ð 2

                            ′′ ⊗2 ⊗1 ( ) = + [ Ñ + Ð ] ( ).

                            ⊗Ð(Ð ⊗ 1) 1 ⊗ tan (⊗ ) 1 ⊗ tan (⊗ )

                            2

                            2

                            ′ ′′

                            A partir daí, para 0 &lt; Ð &lt; 1 temos lim ♣ ( )♣ = ∞ e lim ♣ ( )♣ = ∞, e logo, pelo

                            ⊃0 ⊃0

                            Teorema

                             segue que não é integrável e que = ∞.

                            ⊗ 2 , e logo, pelo Corolário E = Ñ e = 2 .

                            ⊗ 2 Þ ln( ) ⊗ 2 Þ

                            ( ), para ̸= 0. Logo não é integrável e = ∞. Para Ð = 2 temos ( ) = Ñ

                            ⊃0

                            ( ) = ̸= + = lim

                            ⊃0 +

                            ( )♣ = ∞, e se = 0, então lim

                            ′

                            ♣

                            ⊃0

                            se &lt; 0 . Se ̸= 0, então lim

                            ]︁ ,

                            [︁ Ñ

                            ]︁ , se &gt; 0

                             Ñ

                            Para 1 &lt; Ð &lt; 2 temos

                            ⎧ ⋁︁ ⨄︁ ⋁︁ ⎩ [︁

                            ( ) =

                            ′

                            Agora, para Ð = 1, temos

                             segue que E = Ñ e = ∞.

                            pelo Corolário

                             e

                            ( )♣ = ∞, e logo, pelo Teorema

                            ′′

                            ♣

                            

                          ⊃0

                            (0) = Ñ e lim

                            ′

                          • 2 Þ ln(⊗ ) ⊗ 2 Þ

                            5 Considerações Finais

                              Para Ąnalizar esta dissertação, vamos neste capítulo fazer algumas considerações sobre a teoria descrita nos capítulos anteriores, em especial sobre os Teoremas

                              Salvo as citações que são feitas, as ideias aqui expressas são fruto do conhecimento

                              adquirido durante o processo de elaboração da dissertação.

                              5.1 Diferenças entre os Teoremas e

                               Sendo &gt; 0 e constantes reais, e a soma das variáveis aleatórias inde-

                              pendentes e identicamente distribuídas 1 , , temos pelo Teorema

                               que os n n + ≤ ≤ ≤ , possíveis limites da sequência têm distribuição estável. Por outro lado, pela equa- n n n +

                              ção

                               o limite, caso exista, tem distribuição inĄnitamente divisível. A diferença entre tais

                            • + n n

                              teoremas é que o Teorema

                               trata especiĄcamente das sequências da forma , en- n

                              quanto que o Teorema n + n analisa o comportamento dos arranjos triangulares. Como já dissemos, sempre pode ser escrito como arranjo triangular, e portanto tem distribui- n + ção inĄnitamente divisível e estável, mas se tentarmos escrever um arranjo triangular na n n forma , nem sempre conseguiremos fazê-lo de forma que seja a soma de variáveis n aleatórias independentes e identicamente distribuídas, e assim, o limite de um arranjo triangular, caso exista, será inĄnitamente divisível, mas não necessariamente estável. Um exemplo nesse sentido é o Teorema de Poisson (Teorema

                              onde temos um arranjo

                              triangular convergindo para uma variável aleatória com distribuição de Poisson, a qual é inĄnitamente divisível, mas não é estável, conforme os Exemplos

                              

                            5.2 Consequências do Teorema

                               estudamos a classe das distribuições estáveis, e como motivação para

                              tal abordagem usamos a Lei dos Grandes Números de Khintchin (Teorema n e o Exemplo

                              a partir dos quais obtemos que dada a sequência , onde é a soma , ,

                              das variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas 1 2 n ≤ ≤ ≤ , a classe dos possíveis limites de contém pelo menos as distribuições degeneradas e de Cauchy. + n n

                              Posteriormente, no Teorema

                              vimos que se 0 e são &gt; n ⊗⊃ , onde n constantes reais, então tem distribuição estável. Mas no caso da sequência podemos

                              restringir um pouco mais a classe dos possíveis limites. Observe que como as variáveis aleatórias são identicamente distribuídas, temos três possibilidades: i. E

                              = Û &lt; ∞, ii. E = ∞, iii. E não está deĄnida. n

                              No caso de termos E

                               que o limite de tem

                              = Û &lt; ∞, sabemos do Teorema distribuição degenerada em Û. Quando E Capítulo 5, n = ∞, temos de n Teorema 5.3) que diverge. Se E não estiver deĄnida, e

                              ⊗⊃ , então E também não estará deĄnida. De fato basta observar que para todo ∈ N,

                              (︂ )︂

                              1

                              1 E E = ( 1 ) = E = E

                            • ≤ ≤ ≤ + n

                              Assim, a classe dos possíveis limites da sequência se reduz às distribuições estáveis degeneradas ou com esperança indeĄnida, excluindo-se assim o caso em que 1 &lt; Ð &lt; 2 na representação de Lévy-Khintchin do Teorema

                              já que neste caso temos E

                              = Ñ &lt; ∞ pela Proposição

                              

                              Um raciocínio semelhante pode ser feito a respeito do Teorema Central do Limite para variáveis aleatórias independentes e identicamente distribuídas (Teorema n n n

                              se- 2 ⊗E √ √

                              gundo o qual = = à &lt; n n n à ⊗⊃ (0, 1) se E = &lt; ∞ e 0 &lt; ∞. 2

                              √ √

                              Observe que à ⊗⊃ (0, 1) equivale a ⊗⊃ (0, à 2 ), e daí não precisamos da hipótese 0 &lt; = à &lt; ∞ para que a sequência exista. Nesse caso, temos três possibilidades a respeito da variância das variáveis aleatórias: 2

                              &lt;

                              i. 0 &lt; = à ∞, ii. = 0, iii.

                              = ∞. 2 n

                              ⊗ &lt;

                              No caso de termos 0 &lt; = à

                               que 2 ∞, temos do Teorema ⊗⊃

                              (0, à ). Se admitirmos = 0 (o que ocorre se, e só se, as variáveis aleatórias n

                              ⊗

                              têm distribuição degenerada), temos trivialmente que ⊗⊃ 0. No último caso, se

                              = ∞, obtemos de modo análogo ao raciocínio desenvolvido no parágrafo anterior n

                              √

                              que se ⊗⊃ , então tem distribuição estável com média zero e variância inĄnita. Assim, pela representação de Lévy-Khintchin do Teorema n

                               √

                              se ⊗⊃ , a função característica de terá a forma

                              [︃ (︃ )︃⟨ Ð ÞÐ

                              ( ) = exp 1 + tan ,

                              2 ♣ ♣ = 0 se = 0. onde 1 &lt; Ð ⊘ 2, ⊙ 0, ♣ ♣ ⊘ 1 e

                              ♣

                            5.3 Variáveis Aleatórias com Distribuições não Idênticas

                              Em vez de alterarmos as hipóteses sobre a esperança e a variância das variáveis aleatórias como Ązemos acima, podemos retirar a condição delas serem identicamente

                              n n

                              distribuídas e analisar os possíveis limites das sequências do tipo . Se considerarmos, n

                            • por exemplo, que na sequência , ,
                            • 1 2 1 1 &lt; ≤ ≤ ≤ temos E = Û &lt; ∞, 0 &lt; ∞ e que todas as outras variáveis aleatórias são degeneradas, temos que para todo ∈ N, n ⊗E n 1 ⊗E 1 n ⊗E n 1 ⊗E 1

                                √ √ √ √ n = , e logo, converge em distribuição para . Assim, qualquer 1 n 1 variável aleatória com média igual a zero e variância igual a um é um possível limite das n ⊗E n

                                somas normalizadas . Uma condição que podemos impor para restringir a classe n dos possíveis limites é a seguinte:

                                Definição 5.3.1 (Uniformidade InĄnitesimal). Considere o arranjo triangular 1 1,1 = 2 2,1 2,2 = + 3 3,1 3,2 3,3 + + = ...

                                

                              Dizemos que a sequência ( , ) é uniformemente inĄnitesimal, se para todo Ó &gt; 0 tiver-

                              mos

                                lim sup , [♣ ♣ ⊙ Ó] = 0.

                                ⊃∞ 1⊘ ,

                                No Teorema

                                 vimos que caso as variáveis aleatórias , 1 , sejam sem-

                                ≤ ≤ ≤ , pre identicamente distribuídas, então o limite da sequência , caso exista, é inĄnitamente divisível. Ao mesmo tempo, o exemplo acima deixa claro que se tomarmos uma sequên- cia arbitrária, não há restrição quanto aos limites que podem aparecer. No entanto, se a sequência for uniformemente inĄnitesimal, temos por

                                Capítulo 3,

                                Teorema 3.19) ou Capítulo 9, Teorema 9.19) que os possíveis limites da

                              • sequência , onde , ,
                              • 1 2 ≤ ≤ ≤ são constantes reais, continuam sendo inĄnitamente divisíveis, mesmo que as variáveis aleatórias não sejam identicamente distribuídas. + n n

                                  Quanto às sequências da forma n , recorde que por

                                  podemos escrevê-la

                                • ,

                                  como arranjo triangular pondo , = k n n n 1 ⊘ . Assim, uma condição suĄciente para que o limite da sequência seja inĄnitamente divisível é que tenhamos para todo Ó &gt; 0,

                                  ⧹︃ ⟨ ⧹︃ [︃⧹︃⧹︃

                                  ⧹︃ ⧹︃ lim sup ⧹︃ ⧹︃ = 0.

                                  ⊗ ⊙ Ó

                                  ⊃∞ ⧹︃ ⧹︃ 1⊘

                                  Vale ressaltar que o objetivo em

                                  é deixar as variáveis aleatórias , , , identi- 1

                                  ≤ ≤ ≤ , k + camente distribuídas. Mas uma vez que tiramos esta exigência, podemos tomar , = n n n n e = , e logo, para que o limite da sequência seja inĄnitamente divisível é su- n n

                                  Ąciente que para todo Ó &gt; 0 tenhamos

                                  ⧹︃ ⟨ [︃⧹︃⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ lim sup ⧹︃ ⧹︃ = 0.

                                  ⊙ Ó

                                  ⊃∞ ⧹︃ ⧹︃ 1⊘ Assim, mesmo que as sequências n ⊗E n e n ⊗E n

                                  √ n

                                  ⊃∞

                                  ⊙ Ó

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                  √

                                  ⧹︃ ⧹︃

                                  1⊘ [︃⧹︃⧹︃ ⧹︃

                                  sup

                                  = 0 e lim

                                  não satisfaçam a Lei dos Grandes Números e o Teorema Central do Limite, respectivamente, temos que os limites, caso existam, serão inĄnitamente divisíveis, desde que tenhamos para todo Ó &gt; 0, lim

                                  ⟨

                                  ⊙ Ó

                                  ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃ ⧹︃

                                  1⊘ [︃⧹︃⧹︃ ⧹︃

                                  sup

                                  ⊃∞

                                  ⟨ = 0.

                                  

                                Referências

                                  BREIMAN, L. Probability. University of California: Addison-Wesley Publishing Company, 1992. ISBN 0898712963. Citado 2 vezes nas páginas

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                                  GNEDENKO, B. V.; KOLMOGOROV, A. N. Limit Distributions for Sums of

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                                   a

                                  JAMES, B. R. Probabilidade: um Curso em Nível Intermediário - 3 . ed. Rio de Janeiro:

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                                  LIMA, E. L. Curso de Análise Volume I - 12 . ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2009. ISBN 9788524401183. Citado 3 vezes nas páginas

                                  

                                  SHIRYAEV, A. N. Probability - 2nd ed. New York: Springer, 1996. ISBN 9780387945491. Citado 7 vezes nas páginas

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                                  SOARES, M. G. Cálculo em uma Variável Complexa - 4 . ed. Rio de Janeiro: IMPA, 1999. ISBN 9788524401442. Citado na página

                                  VARADHAN, S. R. S. Probability Theory. New York: American Mathematical Society, 2001. ISBN 9780821828256. Citado na página

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