Universidade Federal da Bahia

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Full text

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Programa de P´os-Graduac¸˜ao em Matem´atica Dissertac¸˜ao de Mestrado

Superf´ıcies tipo-espac

¸o de curvatura m´

edia

constante com bordo livre em espac

¸os de

Lorentz-Minkowski

Ednaldo Oliveira da Silva Junior

Salvador-Bahia

(2)

Superf´ıcies tipo-espac

¸o de curvatura m´

edia

constante com bordo livre em espac

¸os de

Lorentz-Minkowski

Ednaldo Oliveira da Silva Junior

Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

Orientador: Prof. Dr. Enaldo Silva Vergasta.

Salvador-Bahia

(3)

de Lorentz-Minkowski / Ednaldo Oliveira da Silva Junior. – Salvador, 2009. 32 f. : il.

Orientador: Prof. Dr. Enaldo Silva Vergasta.

Disserta¸c˜ao (mestrado) – Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´atica, Programa de P´os-gradua¸c˜ao em Matem´atica, 2009.

Referˆencias bibliogr´aficas.

1. Geometria diferencial. 2. Superf´ıcies (Matem´atica). 3. Superf´ıcies de curvatura constante. I. Vergasta, Enaldo Silva. II. Universidade Federal da Bahia, Instituto de Matem´atica. III. T´ıtulo.

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Superf´ıcies tipo-espac

¸o de curvatura m´

edia

constante com bordo livre em espac

¸os de

Lorentz-Minkowski

Ednaldo Oliveira da Silva Junior

Disserta¸c˜ao de Mestrado apresentada ao Colegiado da P´os-Gradua¸c˜ao em Matem´atica da Universidade Federal da Bahia como requisito parcial para obten¸c˜ao do t´ıtulo de Mestre em Matem´atica.

Banca examinadora:

Prof. Dr. Enaldo Silva Vergasta (Orientador) UFBA

Prof.a Dr.a Rosa Maria dos Santos Barreiro Chaves USP

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(6)

Agradecimentos

(7)

Neste trabalho, tratamos de um problema variacional para superf´ıcies tipo-espa¸co no espa¸co de Lorentz-Minkowski, cujos pontos cr´ıticos s˜ao superf´ıcies de curvatura m´edia constante que intersectam uma dada superf´ıcie suporte sob um ˆangulo hiperb´olico cons-tante. Verifica-se que, se a superf´ıcie suporte ´e um plano tipo-espa¸co ou um plano hi-perb´olico, ent˜ao os pontos cr´ıticos tˆem que ser, respectivamente, um disco plano ou uma calota hiperb´olica.

(8)

Abstract

In this work, we deal with a variacional problem for spacelike into Lorentz-Minkowski space, whose critical points are constant mean curvature that intersect a given support surface under a constant hyperbolic angle. It is shown that, if the support surface is a spacelike plain or a hyperbolic plan, then the critical points must be a hyperbolic plain disc or a hyperbolic cap, respectively.

(9)

Introdu¸c˜ao 1

1 Preliminares 3

1.1 Nota¸c˜oes necess´arias . . . 3

1.2 Defini¸c˜oes e resultados necess´arios . . . 4

1.2.1 Conex˜oes afins . . . 5

1.2.2 Primeira e segunda forma fundamentais . . . 5

2 O problema variacional 7

3 Superf´ıcies Estacion´arias com bordo livre plano ou hiperb´olico 13

4 Algumas considera¸c˜oes sobre o caso n-dimensional 28

(10)

Introdu¸

ao

O estudo de hipersuperf´ıcies tipo-espa¸co (ou mas geralmente hipersuperf´ıcies) em espa¸cos de Lorentz ´e de interesse substancial, n˜ao somente do ponto de vista matem´atico, mas tamb´em do ponto de vista f´ısico. Por exemplo, as hipersuperf´ıcies maximais (que s˜ao hipersuperf´ıcies tipo-espa¸co de curvatura m´edia nula) s˜ao solu¸c˜oes iniciais conveni-entes para o problema de Cauchy das equa¸c˜oes de Einstein. Quando a hipersuperf´ıcie tipo-espa¸co possui curvatura m´edia constante n˜ao-nula, elas s˜ao usadas no estudo da propaga¸c˜ao de ondas gravitacionais.

Do ponto de vista matem´atico, Barbosa e Oliker em [BO1] e [BO2] mostraram que as hipersuperf´ıcies tipo-espa¸co de curvatura m´edia constante s˜ao solu¸c˜oes de um problema variacional, j´a que s˜ao pontos cr´ıticos do funcional ´area para varia¸c˜oes que possuem fun¸c˜ao volume constante e mantˆem o bordo fixo.

Sejam Σ⊂L3 uma superf´ıcie tipo-espa¸co conexa mergulhada eM uma superf´ıcie tipo-espa¸co compacta imersa em L3, com bordo contido em Σ e interior contido em L3

+ (futuro de Σ).

Nosso problema consiste em estudar os pontos cr´ıticos de um certo funcional energia, para todas as superf´ıcies imersas em L3, com bordo contido em Σ e interior contido no futuro de Σ. Tais pontos cr´ıticos s˜ao chamados de superf´ıcies estacion´arias.

O funcional energia ´e dado por E = AcoshβS onde A ´e a ´area de M, S ´e a ´area do dom´ınio de Σ limitada pelo bordo de M e β ´e o ˆangulo formado pela interse¸c˜ao entre Σ eM.

Esta disserta¸c˜ao ´e baseada no artigo de Lu´ıs J Al´ıas e Jos´e A Pastor [AP2]. Enunciaremos abaixo os teoremas principais deste trabalho.

Teorema 3.0.5. As ´unicas superf´ıcies estacion´arias imersas em L3 com

su-perf´ıcie suporte plana s˜ao os discos planos com (H = 0) e as calotas hiperb´olicas com (H 6= 0).

Teorema 3.0.6. As ´unicas superf´ıcies estacion´arias imersas em L3 com

su-perf´ıcie suporte hiperb´olica s˜ao os discos planos com (H = 0) e as calotas hiperb´olicas com (H 6= 0).

Em 1998, Lu´ıs Al´ıas e R. L´opez obtiveram um resultado de unicidade similar para

(11)

o caso de superf´ıcies tipo-espa¸co com curvatura m´edia constante emL3,com bordo circular fixado, onde a prova foi baseada em duas f´ormulas integrais para superf´ıcies tipo-espa¸co em L3: a f´ormula do fluxo e a desigualdade integral.

A prova feita por Al´ıas e Pastor ´e baseada na estrutura complexa da superf´ıcie como uma superf´ıcie de Riemann, explorando o fato de que a curvatura m´edia ´e cons-tante, condi¸c˜ao esta que implica que a diferencial de Hopf da imers˜ao ´e holomorfa. A demostra¸c˜ao dos teoremas principais depende da combina¸c˜ao de dois resultados.

O primeiro ´e uma caracteriza¸c˜ao de superf´ıcies estacion´arias, dada pela seguinte proposi¸c˜ao.

Proposi¸c˜ao 2.0.2. Seja Σ uma superf´ıcie suporte e seja x : M −→ L3 uma

imers˜ao tipo-espa¸co tal que x(int(M)) ⊂ L3

+ e x(∂M) = Γ ⊂ Σ ´e uma curva fechada

contida em Σ cujo bordo delimita um dom´ınio compacto. Ent˜ao x ´e estacion´aria, se e somente se, a curvatura m´ediaH ´e constante ex(M)intersecta a superf´ıcie suporteΣ,ao longo deΓ, sob um ˆangulo hiperb´olico β,dado por coshβ =−hN, NΣi. Sex:M −→L3 ´e

estacion´aria, ent˜ao {τ, ν, N} e {τ, νΣ, NΣ} s˜ao dois triedros ao longo de Γ que satisfazem

`as equa¸c˜oes,

ν= coshβνΣ−sinhβNΣ

e

N =−sinhβνΣ+ coshβNΣ

O outro resultado trata de observar que a superf´ıcie ´e topologicamente um disco, resultado este que ´e consequˆencia do seguinte Lema,

Lema 3.0.7. Seja x : M −→ L3 uma imers˜ao tipo-espa¸co compacta tal que x(∂M) = Γ ´e uma curva fechada contida no plano tipo-espa¸coΣ, cujo bordo delimita um dom´ınio Ω. Ent˜ao a proje¸c˜ao ortogonal de M sobre o plano Σ ´e um difeomorfismo entre

M e Ω.

No Cap´ıtulo 1, trataremos de alguns conceitos e resultados relacionados com Geometria Riemanianna, que ser˜ao utilizados ao longo do trabalho.

No Cap´ıtulo 2, trataremos do problema variacional e mostraremos a Proposi¸c˜ao 2.0.2.

No Cap´ıtulo 3, mostraremos os teoremas principais deste trabalho, referentes `a superf´ıcies estacion´arias com bordo livres plano ou hiperb´olico, bem com o Lema 3.0.7.

(12)

Cap´ıtulo 1

Preliminares

Nosso objetivo neste cap´ıtulo ´e apresentar defini¸c˜oes, resultados e estabelecer as nota¸c˜oes necess´arias `a compreens˜ao dos cap´ıtulos subseq¨uentes.

1.1

Nota¸

oes necess´

arias

Denotaremos porL3 o espa¸co tri-dimensional de Lorentz-Minkowski, formado por vetores do R3 com a m´etrica Lorentziana

h. , .i= (dx1)2+ (dx2)2−(dx3)2,

onde (x1, x2, x3) s˜ao as coodenadas canˆonicas emR3. Durante esta disserta¸c˜ao, denotare-mos por Σ uma superf´ıcie conexa tipo-espa¸co mergulhada emL3, e consideraremos que Σ est´a orientada por NΣ, que ´e o ´unico campo vetorial unit´ario normal a Σ, do tipo-tempo e dirigido para o futuro, ou seja, apontando para o mesmo lado do vetor (0,0,1).

Assuma que Σ divide L3 em duas componentes conexas e denotaremos por L3 + a componente para a qual NΣ est´a apontando. Neste caso, n˜ao h´a dificuldade em ver que a proje¸c˜ao Π : Σ−→ R2 sobre o plano x

3 = 0 ´e um difeomorfismo local que satisfaz Π∗(h., .i0) ≥ h., .i, onde h., .i

0 representa a metrica Euclidiana no R2. Isso mostra que Π aumenta a distˆancia. Como Σ ´e completa isto implica que Π(Σ) = R2 e que Π ´e uma aplica¸c˜ao de recobrimento. J´a queR2 ´e simplesmente conexo, ent˜ao Π ´e um difeomorfismo global e a superf´ıcie Σ ´e, de fato, um gr´afico inteiro sobre o plano (x1, x2).

Seja M uma superf´ıcie conexa compacta e suave com bordo n˜ao-vazioM e seja x:ML3 uma imers˜ao suave tipo-espa¸co tal que

x(int(M)L3

+ (1.1)

e

x(∂M) = ΓΣ (1.2)

(13)

´e uma curva contida em Σ cujo bordo ´e um dom´ınio compacto ΩΣ.

Assumiremos que a restri¸c˜ao da imers˜aoxao bordo∂M´e um difeomorfismo sobre Γ e dizemos que a imers˜aox:ML3 ´e uma superf´ıcie tipo-espa¸co com bordo Γ.

Ao longo deste trabalho, consideraremos queM´e orientada por um campo vetorial unit´ario tipo-tempoNnormal aM. Se0 denota a m´etrica da conex˜aoflat deL3, ent˜ao ooperador de Weingartein A associado a N´e dado por

A(υ) =−∇0υN

para um vetor tangente qualquerυ. A fun¸c˜ao curvatura m´edia de M ´e definida porH=

−1

2tr(A).

A orienta¸c˜ao de M induz uma orienta¸c˜ao natural em M da seguinte maneira: um vetor tangente n˜ao-nuloυ Tp(∂M) ´e orientado positivamente, se e somente se, para

qualquer vetor w TpΣ apontando para dentro, {υ, w} ´e uma base de TpΣ orientada

positivamente. Denotaremos por ν um vetor conormal unit´ario ao longo de ∂M apon-tando para dentro. Da mesma forma, τ denotar´a um campo vetorial unit´ario orientado positivamente ao longo de∂M. Denotaremos por vw o produto vetorial em L3 de dois vetoresv, wL3, definido como o ´unico vetorv w tal que

hvw, ui=det(v, w, u)

para todouL3. Observe ent˜ao que τ ´e dado por τ =Nν.

1.2

Defini¸

oes e resultados necess´

arios

Na se¸c˜ao anterior, falamos sobre superf´ıcies tipo-espa¸co, vetores tipo-espa¸co, ve-tores tipo-tempo, entre outros. Mas o que vem a ser esses entes matem´aticos?

Bom, nosso ambiente de trabalho ´e o espa¸co de Minkowiski, que nada mais ´e do que o R3 munido da m´etricah., .i= (dx1)2+ (dx2)2(dx3)2.

´

E f´acil ver que, com essa m´etrica, R3 fica dividido em trˆes subconjuntos, da seguinte maneira: vetores v para os quais hv, vi > 0 (incluindo v = 0), hv, vi < 0 e

hv, vi = 0. Tais vetores s˜ao chamados de vetores tipo-espa¸co, tipo-tempo e tipo-luz, respectivamente. O conjunto formado pelos vetores tipo-luz ´e chamado decone de luz.

Dizemos que uma superf´ıcie Σ ⊂L3 ´e do tipo-espa¸co se dado um ponto qualquer pΣ, tivermos que qualquer vetor n˜ao-nulov TpΣ ´e do tipo-espa¸co, ou seja,hv, vi>0.

(14)

5

Figura 1.2.1

1.2.1

Conex˜

oes afins

Indicaremos por χ(Σ) o conjunto dos campos de vetores de classe C∞ em Σ e por

D(Σ) o anel das fun¸c˜oes reais de classe C∞ definidas em Σ.

Uma conex˜ao afim em uma variedade diferenci´avel Σ ´e uma aplica¸c˜ao

∇:χ(Σ)×χ(Σ) −→χ(Σ)

que se indica por (X, Y)7−→ ∇XY e que satisfaz as seguintes propriedades:

1. f X+gYZ =f∇XZ+g∇YZ,

2. X(Y +Z) = ∇XY +∇XZ,

3. ∇X(f Y) =f∇XY +X(f)Y,

onde X, Y Z χ(Σ) e f, g∈ D(Σ).

Seja Σ uma variedade diferenci´avel com conex˜ao afim e m´etrica Riemanniana

h., .i. A conex˜ao ´e dita compat´ıvel com a m´etrica h,i se para toda curva diferenci´avel ce quaisquer pares de campos de vetores pararelos P e P′ ao longo de c, tivermos hP,Pi= constante.

Lema 1.2.1. Uma conex˜ao ∇ em uma variedade Riemanniana Σ ´e compat´ıvel com a m´etrica se e s´o se

XhY, Zi=h∇XY, Zi+hY,∇XZi, ∀X, Y, Z ∈χ(Σ).

1.2.2

Primeira e segunda forma fundamentais

(15)

Sew1, w2 TpΣ, ent˜aohw1, w2ip´e o produto interno Lorentziano dew1 ew2 como vetores

do L3. A esse produto interno, que ´e uma forma bilinear e sim´etrica, corresponde uma forma quadr´aticaIp :TpΣ−→R, dada por

Ip(w) =hw, wip =|w|2≥0,

que ´e chamada deprimeira forma fundamental de Σ em p.

Como vimos anteriormente, NΣ representa um campo vetorial normal unit´ario do tipo-tempo dirigido para o futuro de Σ. Assim, a aplica¸c˜ao dNΣ

p

: TpΣ −→ TpΣ

com p Σ, ´e uma aplica¸c˜ao linear auto-adjunta. Esse resultado ´e bastante conhecido na literatura corrente e isso nos permite associar adNΣ

p

uma forma quadr´atica em TpΣ

definida porIIp(v) = −hdNΣ|p(v), vi, que ´e chamada asegunda forma fundamental de Σ

(16)

Cap´ıtulo 2

O problema variacional

´

E bastante conhecida a caracteriza¸c˜ao das superf´ıcies de curvatura m´edia cons-tante, como solu¸c˜oes de um problema variacional. Elas s˜ao pontos cr´ıticos do funcional ´area quando se consideram varia¸c˜oes que mantˆem o bordo fixo e preservam volume.

Neste cap´ıtulo, abordaremos um problema variacional um pouco diferente, que se origina na tentativa de encontrar as superf´ıcies estacion´arias imersas emL3, com bordo contido numa superf´ıcie suporte. Por´em nosso problema possui uma condi¸c˜ao menos res-tritiva no bordo. A formula¸c˜ao do problema variacional, neste caso, nos leva a considerar varia¸c˜oes de uma dada superf´ıcie impondo que, para cada parˆametro num intervalo real, a superf´ıcie correspondente tenha seu bordo (n˜ao necessariamente fixo) sobre uma su-perf´ıcie dada (susu-perf´ıcie suporte), intersectando-a sob um ˆangulo hiperb´olico constanteβ. Em virtude da condi¸c˜ao estabelecida sobre o bordo, um problema deste tipo ´e chamado deproblema de bordo livre.

Seja x:

mathbf M −→L3 uma imers˜ao suave tipo-espa¸co satisfazendo

x(intM)⊂L3 + e

x(∂M) = Γ ⊂Σ.

Umavaria¸c˜ao admiss´ıvel dex´e uma aplica¸c˜ao diferenci´avelX : (−ǫ, ǫ)×M −→ L3 tal que, para cada t(ǫ, ǫ),a aplica¸c˜ao Xt:M −→L3 definida porXt(p) =X(t, p) ´e uma imers˜ao tipo-espa¸co com

Xt(intM)⊂L3+ e

Xt(∂M)⊂Σ,

(17)

Dada uma varia¸c˜ao admiss´ıvel X, a fun¸c˜ao energia E : (ǫ, ǫ)−→ R ´e definida por

E(t) = A(t)cosh(β)S(t),

onde βR ´e uma constante real arbitr´aria,

A(t) = ´area(M, Xt) =

Z

M

dAt

´e a ´area de M na m´etrica induzida por Xt e

s(t) = ´area(Ωt) =

Z

Ωt

´e a ´area do dom´ınio em Σ limitado por Γt =Xt(∂M), denotado por Ωt⊂Σ.

Aqui dΣ denota o elemento de ´area de Σ com respeito `a m´etrica induzida e a escolha da orienta¸c˜ao, dAt denota o elemento de ´area de M com respeito `a m´etrica

induzida porXte a orienta¸c˜ao dada pelo campo vetorial normal aXt,tipo-tempo dirigido

para o futuro o qual ser´a denotado por Nt.

A fun¸c˜ao volume de uma varia¸c˜ao V : (ǫ, ǫ)−→R´e dada por

Vt=

Z

[0,t]×M

X∗(dV),

ondedv´e o elemento canˆonico de volume doL3. Como no caso euclidiano,V(t) representa o volume limitado pelas superf´ıcies X0 = x e Xt. A varia¸c˜ao ´e dita preservar volume se

V(t) =V(0) = 0 para todo t.

Denotemos por ξ o campo variacional deX, dado por

ξ(p) = ∂X ∂t (0, p).

Ao longo da imers˜aox:

mathbf M −→ L3, decompondo ξ em suas componentes tangente e normal, temos ξ = ξT +ξN, onde ξT ∈ X(M) ´e tangente a M. MasξN =aN, ent˜ao

ξ =ξT +aN

ComohN, Ni=1 e hξT, Ni= 0, obtemos

hξ, Ni = hξT, Ni+ahN, Ni = a

Consequentemente,

(18)

9

Em 1976, Brill e Flahert em [BF] mostraram que as f´ormulas da primeira varia¸c˜ao da `area eram dadas por

δξA=

dA dt |t=0

=2

Z

M

Hhξ, NidA

I

∂Mh

ξ, νids

e

δξS =

dS dt|t=0

=−

I

∂M

hξ, νΣids,

ondeds´e o elemento de linha induzido em∂M eνΣ =NΣ∧τ ´e o vetor unit´ario conormal apontando para dentro de Ω ao longo de Γ.

Logo, a f´ormula da primeira varia¸c˜ao da energia ´e dada por

δξE =

dE dt |t=0

= 2

Z

M

Hhξ, NidA

I

∂M

(hξ, νi −coshβhξ, νΣi)ds

= −2

Z

M

Hhξ, NidA+

I

∂M

Hhξ, νΣi(coshβ+hN, NΣi)ds. (2.1)

Por outro lado, em 1993, Barbosa e Oliker em ([BO1] e [BO2]) mostraram que

δξV =

dV dt |t=0

=

Z

Mh

ξ, NidA (2.2)

Dizemos que a imers˜ao x ´e estacion´aria se δξE = 0 para toda varia¸c˜ao adimiss´ıvel de

x que preserva volume. A seguinte caracteriza¸c˜ao de superf´ıcies estacion´arias segue das f´ormulas 2.1 e 2.2.

Proposi¸c˜ao 2.0.2. Seja Σ uma superf´ıcie suporte e seja x : M −→ L3 uma imers˜ao

suave tipo-espa¸co tal que x(intM)L3

+ e x(∂M = Γ)⊂Σ´e uma curva fechada contida

emΣcujo bordo delimita um dom´ınio compacto. Ent˜aox´e estacion´aria se, e somente se, a curvatura m´edia H ´e constante ex(M) intersecta a superf´ıcie suporte Σsob um ˆangulo hiperb´olico constante β, ao longo de Γ, dado por coshβ =−hN, NΣi.

Se x:M −→L3 ´e estacion´aria, ent˜ao {τ, ν, N} e {τ, νΣ,N

Σ} s˜ao dois triedros ao

longo deΓ que satisfazem as rela¸c˜oes

ν= coshβνΣ−sinhβNΣ (2.3)

e

N =−sinhβνΣ+ coshβNΣ

Prova. SeH ´e constante e coshβ =−hN, NΣi,ent˜ao,

δξE =

dE dt |t=0

= 2

Z

M

Hhξ, NidA

I

∂M

(hξ, νi −coshβhξ, νΣi)ds

= 2H

Z

Mh

ξ, NidA+

I

∂Mh

ξ, νΣ(−hN, NΣi+hN, NΣi)ds

= 2H

Z

M

(19)

Tome uma varia¸c˜ao admiss´ıvel que preserva volume, ou seja,V(t) =V(0) = 0 para todo t, o que nos diz que

δξV =

dV dt |t=0

= 0.

Por outro lado sabemos queδξV =

dV dt |t=0

=R

Mhξ, NidA. Assim,

Z

M

hξ, NidA= 0,

e finalmente chegamos a δξE = 0 para toda varia¸c˜ao admiss´ıvel que preserva volume.

Provaremos a primeira implica¸c˜ao da Proposi¸c˜ao 2.0.2 em duas estapas. Primeiro vamos mostrar queH =cteem M,e para isso assumiremos o seguinte resultado.

Lema 2.0.3. Seja f :M −→R uma fun¸c˜ao diferenci´avel por partes tal que R

Mf dM = 0 e f∂M ≡ 0. Ent˜ao existe uma varia¸c˜ao admiss´ıvel que preserva volume cujo campo

variacional ´e dado por ξ=f N.

A prova deste Lema ´e essencialmente a mesma que a do Lema 2.4 em [BdC]. Vamos ent˜ao construir uma fun¸c˜ao f : M −→ R que cumpra as condi¸c˜oes do lema acima. Seja H0 = A1

R

M HdM.

Assuma que (H−H0)(p)6= 0 num pontop intM. Podemos portanto assumir que (HH0)(p)>0.

Tome M+ ={qintM; (HH0)(q)>0)}, M−={qintM; (HH0)(q)<0}, e observe queM+ 6=e M−6=.

De fato, por hip´otese (HH0)(p)>0 e ent˜ao p∈M+. Como

Z

M

(H−H0)dM =

Z

M

HdM H0

Z

M

dM

= H0AH0A

= 0,

ou seja,HH0 possui m´edia nula, ent˜ao existe qintM tal que (HH0)(q)<0, logo qM−.

Sejam ϕ, ψ : M −→ R fun¸c˜oes reais n˜ao-negativas, diferenci´aveis por partes, satisfazendo

psuppϕ M+, e

qsuppψ M−

(20)

11

Podemos tamb´em assumir que

Z

M

(ϕ+ψ)(H−H0)dM = 0. (2.4) De fato, por continuidade existem vizinhan¸cas Vp de p e Vq de q tais que Vp ⊂ suppϕ e

Vq ⊂suppψ,logo

Z

M

(ϕ+ψ)(HH0)dM =

Z

Vp

ϕ(HH0)dM +

Z

Vq

ψ(HH0)dM

Por outro lado ϕ(HH0)>0 em Vp eψ(H−H0)<0 em Vq, logo

Z

Vp

ϕ(H−H0)dM >0 e

Z

Vq

ψ(HH0)dM <0.

Multiplicando uma das fun¸c˜oes ϕ ou ψ por uma constante apropriada, obtemos novas fun¸c˜oes, denotadas ainda porϕ e ψ, satisfazendo (2.4), ou seja,

Z

M

(ϕ+ψ)(HH0)dM = 0.

Sejaf = (ϕ+ψ)(H−H0).Ent˜aof = 0 em∂M eR

Mf dM = 0.Pelo Lema 2.0.3,

existe uma varia¸c˜ao que preserva volume cujo campo variacional ´eξ =f N, ou seja,

hξ, Ni = hf N, Ni = fhN, Ni

= f

Em particular, ξ∂M ≡0.

Como x´e estacion´aria, ent˜ao

0 = 2

Z

M

Hhξ, NidM +

I

∂Mh

ξ, νΣi(coshβ+hN, NΣi)ds.

Masξ∂M ≡0.logo

0 =2

Z

M

Hhξ, NidM =2

Z

M

f HdM.

Note que R

Mf(H−H0)dM =

R

Mf HdM. De fato,

Z

M

f(H−H0)dM =

Z

M

f HdM +H0

(21)

portanto,

0 =−2

Z

M

f HdM =−2

Z

M

f(H−H0)dM =−2

Z

M

(ϕ+ψ)(H−H0)2dM >0, o que nos fornece uma contradi¸c˜ao. Logo,H =H0 =cte.

A segunda etapa consiste em mostrar que coshβ = −hN, NΣi. Para isso, assu-mimos tamb´em o seguinte resultado que na sua essencia ´e muito similar ao Lema 2.0.3 utilizado na primeira etapa.

Lema 2.0.4. Dados p∂M e f :Vp −→R ondeVp ´e uma vizinhan¸ca de pem M,ent˜ao existe uma varia¸c˜ao admiss´ıvel que preserva volume tal que

ξ(p) = f νΣ(p) ∀pVp.

Dado p ∂M, suponha que (coshβ +hN, NΣi)(p) > 0. Assim por continuidade, temos (coshβ+hN, NΣi)(q)>0,para todoqnuma vizinhan¸caVpdepem∂M.Sejag :∂M −→R

tal que

g(p)>0,

g(q)0 q∂M,

e

suppg Vp.

Pelo lema acima, existe uma varia¸c˜ao Xt que preserva volume tal que

ξ(p) = ∂X

∂t (0, p) =g(p)νΣ(p) ∀p∈Vp. Comox ´e estacion´aria, ent˜ao

0 =−2H

Z

M

hξ, NidM +

I

∂M

hξ, νΣi(coshβ+hN, NΣi)ds. MasR

Mf dM = 0, poisXt preserva volume, logo

0 =

I

∂M

hξ, νΣi(coshβ+hN, NΣi)ds.

Como ξ(p) = g(p)νΣ(p) para todo p Vp ⊂ ∂M, hνΣ, νΣi = 1 e (coshβ+hN, NΣi) >0, ent˜ao

0 =

I

Vp

g(p)hνΣ, νΣi(coshβ+hN, NΣi)>0,

o que nos d´a uma contradi¸c˜ao. Logo

(coshβ+hN, NΣi)(p) = 0. Masp´e arbitr´ario, assim

coshβ =−hN, NΣi, p∂M

(22)

Cap´ıtulo 3

Superf´ıcies Estacion´

arias com bordo

livre plano ou hiperb´

olico

Neste cap´ıtulo consideramos o caso onde a superf´ıcie suporte ´e um plano tipo-espa¸co ou um plano hiperb´olico. Nosso objetivo ´e mostrar os seguintes resultados de unicidade.

Teorema 3.0.5. As ´unicas superf´ıcies estacion´arias imersas emL3 com superf´ıcie suporte

plana s˜ao os discos planos, com H = 0, e as calotas hiperb´olicas, com H 6= 0.

Teorema 3.0.6. As ´unicas superf´ıcies estacion´arias imersas emL3 com superf´ıcie suporte

hiperb´olica s˜ao os discos planos, com H= 0 e as calotas hiperb´olicas, com H 6= 0.

Antes de iniciarmos a demonstra¸c˜ao do Teorema 3.0.5, precisaremos de uma pro-posi¸c˜ao, algumas afirma¸c˜oes e um lema. O primeiro aux´ılio na prova do Teorema 3.0.5 ´e mostrar que a superf´ıcie ´e topologicamente um disco. Isso ´e consequˆencia do seguinte fato.

Lema 3.0.7. Seja x : M L3 um imers˜ao tipo-espa¸co compacta tal que x(∂M) = Γ

´e uma curva fechada contida no plano tipo-espa¸co Σ o qual delimita com seu bordo um dom´ınio Ω. Ent˜ao a proje¸c˜ao ortogonal de M sobre o plano Σ´e um difeomorfismo entre

M e Ω. Em particular, M ´e difeomorfa a um disco.

Prova. Podemos assumir, sem perda de generalidade, que o plano tipo-espa¸co Σ = E2 passando pela origem ´e dado porE2 =a, para um vetor a unit´ario tipo-tempo dirigido para o futuro. Seja ˜x:M −→Σ a proje¸c˜ao ortogonal deM sobre o plano Σ e denotaremos tamb´em por ˜x sua restri¸c˜ao ao interior deM, x˜:int(M)−→Σ.

Afirma¸c˜ao 1: x˜ : int(M) −→ Σ ´e um difeomorfismo local e, portanto, ´e uma aplica¸c˜ao aberta.

Prova da Afirma¸c˜ao 1. Tomemos sem perda de generalidade, E2 = {x

3 = 0}, ou seja, ˜

x(x1, x2, x3) = (x1, x2,0), logo d˜xp(v) = d˜xp(v1, v2, v3) = (v1, v2,0), para qualquer v = (v1, v2, v3).

Por outro lado, |d˜xpv|2 = |v|2 = v12 +v22 −v32. Como M ´e uma superf´ıcie tipo-espa¸co e v Tpint(M), se v 6= 0 ent˜ao |v|2 > 0, logo temos que |d˜xpv| > 0 e portanto

(23)

d˜xpv 6= 0.E assim chegamos que d˜xp ´e injetiva, logo pelo Teorema da Aplica¸c˜ao Inversa,

˜

x´e um difeomorfismo local e portanto uma aplica¸c˜ao aberta. Isto mostra aAfirma¸c˜ao 1. Nosso objetivo agora ´e mostrar que ˜x(int(M)) = Ω e, a partir da´ı, que ˜x ´e um difeomorfismo local. Primeiro veremos que ∂ x(int(M˜ ))

= ∂x(M˜ ) ⊂ Γ, que ser´a consequˆencia das duas afirma¸c˜oes abaixo.

Afirma¸c˜ao 2: x˜´e sobrejetiva.

Prova da Afirma¸c˜ao 2. De fato, como M ´e aberto em M e ˜x ´e uma aplica¸c˜ao aberta ent˜ao ˜x(M) e aberto em Ω. Por outro lado M ´e compacta, ent˜ao ˜x(M) ´e compacta, em particular fechado, e assim ˜x(M) ´e aberto e fechado em Ω,e como Ω ´e conexo, conclu´ımos que ˜x(M) = Ω. Portanto, ˜x´e sobrejetiva. Isto mostra a Afirma¸c˜ao 2.

Afirma¸c˜ao 3: Seq∂(˜x(M)),ent˜ao existe p∂M tal que ˜x(p) = q.

Prova da Afirma¸c˜ao 3. De acordo com a Afirma¸c˜ao 2, existe p M tal que ˜x(p) = q. Sep int(M), ent˜ao existe uma vizinhan¸ca aberta Up de p ∈int(M) e uma vizinhan¸ca

aberta de Vq de q ∈ x(int(M˜ )) tais que ˜x : Up −→ Vq ´e um difeomorfismo. Isto implica

que q x(int(M˜ )), que ´e uma contradi¸c˜ao com o fato que q ´e um ponto do bordo de ˜

x(M). Isto mostra a Afirma¸c˜ao 3.

Decorre ent˜ao das Afirma¸c˜oes 2 e 3 que ∂x(int(M˜ ))⊂Γ.

Se existir um ponto em ˜x(int(M)) que n˜ao est´a em Ω,j´a que ˜x(int(M)) ´e limitado, existiriam pontos em ∂x(int(M˜ )) fora de Ω, o que n˜ao ´e poss´ıvel. Analogamente, se existirem pontos em Ω que n˜ao est˜ao em ˜x(int(M)), existiriam pontos em ∂x(int(M˜ )) dentro de Ω,o que novamente seria imposs´ıvel. Concluimos ent˜ao que Ω = ˜x(int(M)).

Consequentemente, ˜x :M −→ Ω ´e um difeomorfismo local, e a compacidade de M implica que ˜x ´e uma aplica¸c˜ao de recobrimento. J´a que Ω ´e simplesmente conexo, ˜x tem que ser um difeomorfismo global, o que demostra o Lema 3.0.7.

Vamos agora `a demostra¸c˜ao do Teorema 3.0.5.

Prova. Seja z =x+iy=reiθ a coordenada usual em C. Sabemos que a m´etrica em M

´e um m´ultiplo da m´etrica em R2, ou seja, ´e dada pela express˜ao ds2 =eρ|dz|2,

para uma fun¸c˜ao suaveρ=ρ(z).

Afirma¸c˜ao 4: A segunda forma fundamental da imers˜ao ´e dada por

II =Re{φdz2+Heρdzdz}. onde

(24)

15

Prova da Afirma¸c˜ao 4. De acordo com o Lema 3.0.7, sabemos queM ´e topologicamente um disco. Podemos ent˜ao parametrizar M por um disco unit´ario fechado D no plano complexo.

Sejaz =x+iy=reiθ a coordenada usual emC.Como E >0, podemos

conside-rar, sem perda de generalidade,E =eρ para uma fun¸c˜ao ρ:C−→R.

Seja w=aXx+bXy ent˜ao,

Π(w) = −hdN(w),(w)i

= −hdN(aXx+bXy), aXx+bXyi

= −haNx+bNy, aXx+bXyi

= [a2hNx, Xxi+b2hNy, Xyi+ab(hNx, Xyi+hNy, Xxi)].

Sabemos que

hNx, Xxi=−e,

hNy, Xyi=−g

e

hNx, Xyi=hNy, Xxi=−f.

Da´ı,

Π(w) =a2e+ 2abf +b2g.

Por outro lado, utilizando que X ´e isot´ermica, ou seja, E = G e F = 0, temos que

I(w) = hw, wi

= haXx+bXy, aXx+bXyi

= a2E+b2E = (a2+b2)E. Portanto

I(w) =E|dz|2 =E(dx2+dy2), logo

Π(w) = edx2+ 2f dxdy+gdy2. Comoz =x+iy, temos

dz =dx+idy, dz =dxidy

e

(25)

Podemos ent˜ao escrever

φdz2+HEdzdz =

eg 2 −if

dx2dy2+ 2idxdy

+HE(dx2+dy2).

MasH = e+g

2E e K =

egf2 E2 , logo φdz2+HEdzdz =

eg 2 −if

dx2dy2+ 2idxdy

+e+g 2 dx

2 +dy2

=

eg 2 +

e+g 2

dx2+

e+g 2 −

eg 2

dy22f dxdy+i(A) = edx2+gdy2+ 2f dxdy+i(A),

onde A ´e uma fun¸c˜ao real. Dessa forma,

Re φdz2+HEdzdz=edx2+ 2f dxdy+gdy2. e assim

Π =Re φdz2+Heρdzdz. o que prova aAfirma¸c˜ao 4.

A express˜ao Q=φdz2 define uma diferencial quadr´atica invariante emM, que ´e chamada de Diferencial de Hopf.

Afirma¸c˜ao 5: A norma intr´ınseca deQ ´e dada por

|Q|2 = 2e−2ρ|φ|2 = 2(H2−K)≥0. (3.1)

Prova da Afirma¸c˜ao 5. Mostremos inicialmente que |Q|2 = 2e−2ρ|φ|2.

De fato, |Q|2 =|φ|2|dz2|2 e

|dz2|2 = |dx2dy2 + 2idxdy|2 = (dx2dy2)2+ (2dxdy)2

= (dx2)2−2dx2dy2+ (dy2)2+ 4dx2dy2 = (dx2)2+ 2dx2dy2+ (dy2)2

= (dx2+dy2)2. (3.2)

Sabemos que

I =ds2 =E|dz|2,

onde |dz|2 =dx2+dy2 e, aplicando a um vetor v = (a, b) temos

(26)

17

Assim,

ds2(v) = E|dz|2(v) =E(a2+b2).

Por outro lado,|Q|2 =|Qv1|2+|Qv2|2, onde{v1, v2} ´e uma base ortonormal de TpΣ.

Considere v1 = √1

E(a1, b1) e v2 = 1

E(a2, b2), com a 2

1 +b21 = a22 +b22 = 1 e

hv1, v2i= 0. Assim,

ds2(v1) = E

a21 E +

b21 E

= 1

e

ds2(v2) =E

a22 E +

b22 E

= 1.

Da´ı

|Q|2 = |Qv1|2+|Qv2|2

= |φdz2(v1)|2+|φdz2(v2)|2 = |φ|2 |dz2(v1)|2+|dz2(v2)|2

,

por (3.2) temos que

|dz2(v1)|2 = (dx2(v1) +dy2(v1))2 =

a21 E +

b21 E 2 = 1 E(a 2 1+b21)

2

= 1 E2. Do mesmo modo, |dz2(v2)|2 =

1 E2, logo

|Q|2 =|φ|2 2

E2 = 2E −2

|2 = 2e−2ρ|φ|2. (3.3) que ´e a primeira igualdade em (3.1).

Vamos mostrar agora que |Q|2 = 2(H2K)0. De fato, Como φ= e−g

2 −if, temos que

|2 = e

2 2eg+g2

4 +f

2

= e

2 2eg+g2+ 4f2

4 ,

ou seja,

(27)

usando (3.3) e (3.4), temos,

H2 K =

e+g 2E

2

+ f 2eg

E2 = e

2+ 2eg+g2 4E2 +

4f24eg 4E2 = e

22eg+g2+ 4f2 4E2

= |φ| 2 E2 = e−2ρ|φ|2 = |Q|

2 2 . que ´e a segunda igualdade em (3.1).

Verifica-se facilmente que, se k1 e k2 s˜ao as curvaturas principais da imers˜ao x, ent˜ao

H2K = (k1k2)2,

logoH2K 0 e a igualdade ocorre exatamente nos pontos umb´ılicos. E isto conclui a prova da Afirma¸c˜ao 5.

Afirma¸c˜ao 6: ∂φ

∂z =E ∂H

∂z .

Prova da Afirma¸c˜ao 6. Sabemos, de acordo com [dC2], que as equa¸c˜oes de Mainardi-Codazzi s˜ao dadas por

fy −gx =−ExH (3.5)

e

ey−fx =EyH, (3.6)

as quais podem ser reescritas como

eg 2

x

+fy =EHx (3.7)

e

eg 2

y

−fx =−EHy. (3.8)

De fato, como x ´e isot´ermica temos

H = e+g 2E =

1

2(e+g) 1 E, que derivando com rela¸c˜ao ax d´a origem a

Hx =

1 2

(ex+gx)

1

E −(e+g) 1 E2Ex

(28)

19

Note que H E =

e+g 2E2 , logo

Hx =

ex+gx

2E

e+g 2E2

Ex

e assim

EHx =

ex+gx

2

−ExH.

Por (3.5) temos que

EHx =

ex+gx

2 +fy−gx = ex−gx

2 +fy =

eg 2

x

+fy,

e isso mostra a equa¸c˜ao (3.7).

Derivando agora a fun¸c˜ao H com rela¸c˜ao a y temos

Hy =

1 2

(ey +gy)

1

E −(e+g) 1 E2Ey

.

Lembrando que H E =

e+g

2E2 , ficamos com Hy =

ey+gy

2E

e+g 2E2

Ey,

e assim

EHy =

ey+gy

2 −EyH. Por (3.6), temos que

EHy =

ey +gy

2 −ey+fx = −ey+gy

2 +fx

=

"

eg 2

y

−fx

#

,

e isso mostra a equa¸c˜ao (3.8). Sabemos que

∂z =

1

2(∂x−i∂y) e

∂z =

1

(29)

Assim, ficamos com ∂φ ∂z = 1 2 ∂φ ∂u +i

∂φ ∂v = 1 2 (

eg 2

x

−ifx+i

"

eg 2

y

−ify

#)

= 1 2

(

eg 2

x

−ifx+i

eg 2

y

+fy

)

= 1 2

(

eg 2

x

+fy +i

"

eg 2

y

−fx

#)

e assim teremos que

∂φ ∂z =

1

2(EHx−iEHy) = E

1

2(Hx−iHy)

= E∂H ∂z ,

e isto mostra a Afirma¸c˜ao 6.

Decorre da Afirma¸c˜ao 6, que comoH =cte ent˜ao φ ´e holomorfa.

De acordo com o Lema 3.0.7, M ´e topologicamente um disco. Assim no bordo de M, temos quer=|z|= 1 e ∂z =

1

2(∂x−i∂y). Sabemos que

z =x+iy=reiθ,

onde

r=|z|=px2 +y2 e

θ = arctany x

.

Por outro lado,

∂x =

∂r ∂x∂r+

∂θ ∂x∂θ

e

∂y =

∂r ∂y∂r+

∂θ ∂y∂θ. Como

∂r ∂x =

1

(30)

21

∂r ∂y =

1

2px2+y22y= y r, ∂θ ∂x =    1

1 + y 2 x2    −y x2

= −y r2 , e ∂θ ∂y =    1

1 + y 2 x2    1 x = x r2,

para r= 1 ficamos com

∂r ∂x =x,

∂r ∂y =y, ∂θ

∂x =−y, e

∂θ ∂y =x. Portanto,

∂z =

1

2(∂x−i∂y) = 1

2[x∂r−y∂θ−i(y∂r+x∂θ)] = 1

2[(x−iy)∂r+ (−y−ix)∂θ].

Por outro lado, sabemos que

xiy=z

e

−yix=iz.

Note tamb´em que

z =e−iθ

e

iz =e

−i θ+π 2

!

.

(31)

∂z =

1

2(∂x−i∂y)

= 1 2

e−iθ∂r−e

−i θ+π 2 ! ∂θ   = 1

2(z∂r−iz∂θ).

Afirma¸c˜ao 7: φ= 2Π(∂z, ∂z).

prova da Afirma¸c˜ao 7. Como Π ´e bilinear e sim´etrica, ent˜ao

2Π[1

2(∂x−i∂y), 1

2(∂x−i∂y)] = 2 1 2 1

2Π(∂x−i∂y, ∂x−i∂y) = 1

2[Π(∂x, ∂x) + Π(∂x,−i∂y) + Π(−i∂y, ∂x) + Π(−i∂y,−i∂y)] = 1

2[Π(∂x, ∂x)−iΠ(∂x, ∂y)−iΠ(∂y, ∂x) + (−i) 2Π(∂

y, ∂y)]

= 1

2[Π(∂x, ∂x)−Π(∂y, ∂y)−2iΠ(∂x, ∂y)]

Como Π(∂x, ∂x) = e, Π(∂y, ∂y) = g e Π(∂x, ∂y) =f, temos que

2Π(∂z, ∂z) =

1

2[e−g−2if] = eg

2 −if =φ.

o que mostra aAfirma¸c˜ao 7.

Sabemos tamb´em que ∂z =

1

2(z∂r−iz∂θ), logo

φ = 2Π(∂z, ∂z) = 2Π[

1

2(z∂r−iz∂θ), 1

2(z∂r−iz∂θ)] = 21

2 1

2Π(z∂r−iz∂θ, z∂r−iz∂θ) = 1

2[Π(z∂r, z∂r) + Π(z∂r,−iz∂θ) + Π(−iz∂θ, z∂r) + Π(−iz∂θ,−iz∂θ)] = 1

2[z 2Π(∂

r, ∂r)−iz2Π(∂r, ∂θ)−iz2Π(∂θ, ∂r) + (−i)2z2Π(∂θ, ∂θ)].

Para|z|= 1, temos que z2z2 =|z|4 = 1, assim ficamos com

z2φ = 1

2[Π(∂r, ∂r)−2iΠ(∂r, ∂θ)−Π(∂θ, ∂θ)], e finalmente temos que

Im(z2φ) = Π(∂r, ∂θ).

Por outro lado, o vetor tangente unit´ario τ e o conormal unit´ario ν apontando para dentro ao longo de∂M s˜ao dados por

τ = ∂θ

(32)

23

e

ν = −∂r

|∂r|

.

Sabemos que ds2 =eρ|dz|2, x =rcosθ e y =rsinθ. Assim, para r = 1, ficamos com

dx= cosθdrsinθdθ

e

dy= sinθdr+ cosθdθ.

Portanto, |dz|2 =dx2+dy2 =dr2+dθ2,logo ds2 =eρ(dr2+2),o que nos leva a

|∂r|2 =ds2(∂r) = eρ e |∂θ|2 =ds2(∂θ) = eρ,

ou seja,

|∂r|=e

ρ 2

e

|∂θ|=e

ρ 2,

e assim teremos τ =e−ρ

2 ∂θ eν =−e

−ρ

2 ∂r.

Mas comoIm(z2φ) =Π(∂

r, ∂θ), ent˜ao

Im(z2φ) = −Π(e−ρ

2 τ,−e− ρ 2 ν)

= e−2ρ(−e

−ρ

2 )Π(τ, ν)

= eρΠ(τ, ν).

De acordo com a Proposi¸c˜ao 2.0.2 e sabendo que NΣ =a, temos que, ao longo de Γ,

ν = coshβνΣasinhβ

e

N =sinhβνΣ+acoshβ.

Assim, lembrando que

Π(v) =−hdN(v), vi

temos

Π(τ, ν) = −h∇0

τN, νi=h∇0τν, Ni

= h∇0τ(coshβνΣ−asinhβ), Ni

= h∇0

τ(coshβνΣ), Ni − h∇0τ(asinhβ), Ni

= coshβh∇0τνΣ, Ni −sinhβh∇0τa, Ni

= coshβh∇0τνΣ,(−sinhβνΣ+acoshβ)i −sinhβh∇0τa,(−sinhβνΣ+acoshβ)i

= coshβ[−sinhβh∇0τνΣ, νΣi+ coshβh∇0τνΣ, ai] +

(33)

Desse modo, obtemos

Π(τ, ν) = coshβsinhβh∇0τνΣ, νΣi+ cosh2h∇0τνΣ, ai+ sinh2βh∇0τa, νΣi+

− coshβsinhβh∇0τa, ai. (3.9)

Lembramos que

• NΣ=a´e um campo vetorial unit´ario tipo-tempo, normal a Σ dirigido para o futuro;

• νΣ =NΣτ ´e um vetor conormal unit´ario apontando para dentro de Ω ao longo da curva Γ.

Mas a conex˜ao ∇0 ´e compat´ıvel com a m´etrica, ou seja, XhY, Zi=h∇0

XY, Zi+hY,∇0XZi

onde X, Y, Z ∈ X(M).

Se fizermos Y =Z, teremos que h∇0

XZ, Zi=

X

2 hZ, Zi e fazendo Z =νΣ, X =τ, teremos

h∇0

τνΣ, νΣi= τ

2hνΣ, νΣi, e assim a equa¸c˜ao (3.9) fica

Π(τ, ν) =coshβsinhβτ

2hνΣ, νΣi−cosh 2β

hνΣ,∇0τai+sinh

2βτ

2ha, νΣi−coshβsinhβ τ 2ha, ai.

Mas sabemos que

τhνΣ, νΣi=τha, ai= 0,

ha, νΣi= 0,

e

hνΣ,0τai= 0, logo

Π(τ, ν) = 0

Em outras palavras a fun¸c˜ao harmˆonica Im(z2φ) se anula em ∂D, e portanto de acordo com o princ´ıpio do m´aximo ter´a que ser identicamente nula em D, o que implica que a fun¸c˜ao holomorfa Ψ =z2φ, tem que ser constante em D. Observe que essa constante s´o pode ser zero, pois Ψ(0) =z2φ

z=0 = 0, ou seja, Ψ ≡ 0, da´ız

2φ 0. Mas z D− {0} ent˜ao φ(z) = 0 em De assim φ0.Assim e−2g −if = 0, o que nos leva a,e=g ef = 0, ou seja, a imers˜ao ´e totalmente umb´ılica.

(34)

25

Figura 3.1.

Vamos agora ao segundo resultado de unicidade deste trabalho.

Teorema 3.0.6. As ´unicas superf´ıcies estacion´arias imersas em L3 com superf´ıcie

su-porte hiperb´olica s˜ao os discos planos,com H = 0 e as calotas hiperb´olicas, com H6= 0.

Prova. Podemos assumir, sem perda de generalidade, que a superf´ıcie suporte ´e o plano hiperb´olico Σ =H2 definido por

H2 ={xL3 :hx, xi=1, x3 1>0} e orientado porNΣ(x) = x,onde

L3

+ ={x∈L3 :hx, xi ≤ −1, x3 ≥1>0}.

Como na prova do Teorema 3.0.5, o primeiro aux´ılio ´e ver que a superf´ıcie ´e topologicamente um disco. Seja x : M −→ L3 ´e uma imers˜ao compacta tipo-espa¸co tal quex(M)⊂L3

+ e x(∂M) = Γ ´e uma curva contida emH2 cujo bordo ´e um dom´ınio Ω. J´a que x(M)⊂L3

+ podemos projetar ortogonalmente a imers˜ao sobre H2 e con-siderar a aplica¸c˜ao ˜x: int(M)−→H2 dada por

˜

x(p) = 1

|x(p)|x(p)

para todopint(M), onde |x(p)|=p−hx(p), x(p)i ≥1.

(35)

hx(p),˜ x(p)˜ i = h x(p)

|x(p)|, x(p)

|x(p)|i

= 1

|x(p)|2hx(p), x(p)i = hx(p), x(p)i

−hx(p), x(p)i = 1.

Afirma¸c˜ao 8: x˜satisfaz

dx˜= 1

|x|

dx+hdx, xi

|x|2 x

Prova da Afirma¸c˜ao 8: Seja α : (ǫ, ǫ) −→int(M) uma curva suave tal que α(0) = p e α′(0) =v. Ent˜ao

˜

x(α(t)) = x(α(t))

|x(α(t))|

= p x(α(t))

−hx(α(t)), x(α(t))i

= (−hx(α(t)), x(α(t))i)−1

2 x(α(t)).

Dessa forma,

d˜x

dt = (

−1

2 )(−hx(α(t)), x(α(t))i)

−3

2 [−2hdx(α(t))α′(t), x(α(t))i]x(α(t))

+ p 1

−hx(α(t)), x(α(t))idx(α(t))α ′(t)

= hdx(α(t))α

(t), x(α(t))ix(α(t))

p

(−hx(α(t)), x(α(t))i)3 +

dx(α(t))α′(t)

p

−hx(α(t)), x(α(t))i.

Assim, avaliando d˜x em t= 0,temos que

d˜x dt

t=0 =

hdx(p)v, x(p)ix(p)

p

(−hx(p), x(p)i)3 +

dx(p)v

p

−hx(p), x(p)i

Portanto

dx˜= 1

|x|

dx+hdx, xi

|x|2 x

,

e isso mostra a Afirma¸c˜ao 8.

Decorre da Afirma¸c˜ao 8, que ˜x∗(h,i H2) ≥

1

(36)

27

´e um difeomorfismo. Em particular, M ´e um disco topol´ogico. Uma vez que sabemos que M ´e um disco topol´ogico, podemos parametriz´a-lo por um disco unit´ario fechado D e proceder como na prova do Teorema 3.0.5, e assim obter

Im(z2φ) =eρΠ(τ, ν).

No caso atual, NΣ(x) =x e, usando (2.3), teremos que, ao longo de Γ,

Π(τ, ν) = −h∇0

τN, νi

= coshβh∇0τνΣ, Ni −sinhβhτ, Ni. Recorde que {τ, ν, N}´e um triedro ortonormal, logo hτ, Ni= 0, e assim,

Π(τ, ν) = coshβh∇0τνΣ, Ni

= −coshβsinhβh∇τνΣ, νΣi+ cosh2βh∇τνΣ, xi = −coshβsinhβ1

2(hνΣ, νΣi)−cosh

2βhνΣ, τi = 0.

Concluimos ent˜ao a prova do Teorema 3.0.6, do mesmo modo como provamos o Teorema

3.0.5.

(37)

Algumas considera¸

oes sobre o caso

n-dimensional

Neste c´apitulo discutiremos um pouco a respeito do problema abordado nesta disserta¸c˜ao, mas no caso n-dimensional. O objetivo aqui ser´a conjecturar os teoremas principais do presente trabalho em dimens˜ao n.

Vejamos ent˜ao algumas considera¸c˜oes sobre o caso geral de hipersuperf´ıcies tipo-espa¸co de dimens˜ao n, no espa¸co de Minkowski Ln+1 de dimens˜ao n+ 1.

Podemos come¸car com o problema variacional, que nos cap´ıtulos 2 e 3 deste trabalho foi discutido no caso de dimens˜ao 2. E claro que podemos facilmente estender´ o problema para o caso geral,ou seja, dimens˜aon, com pequenas modifica¸c˜oes, conforme exposto a seguir.

Denote por Σn uma hipersuperf´ıcie tipo-espa¸co conexa imersa emLn+1 orientada por NΣ, e assuma que Σn divide Ln+1 em duas componentes conexas. Denotaremos por Ln++1 a componente conexa para a qual est´a apontando.

Sejax:Mn −→Ln+1 uma imers˜ao tipo-espa¸co suave de uma variedade compacta Mn de dimens˜aon, com bordo n˜ao vazio∂M, orientada por N e tal que

x(int(M))Ln+1 + e

x(∂M) = Γn−1 ⊂Σn.

´e uma variedade fechada de dimens˜ao n1 contida em Σn cujo bordo ´e um dom´ınio

compacto Ω⊂Σn,

Podemos ent˜ao considerar uma varia¸c˜ao admiss´ıvel Xt, dex, t∈(−ǫ, ǫ) e definir

um correspondente funcional energiaE : (ǫ, ǫ)−→R por

E(t) =A(t)coshβS(t),

(38)

29

O funcional volume da varia¸c˜ao ´e dado por

V(t) =

Z

[0,t]×M

X∗(dV),

onde dV ´e agora o elemento canˆonico de volume de dimens˜ao n+ 1 de Ln+1. A primeira varia¸c˜ao do funcional energia ´e agora dada por

δξE =−n

Z

M

Hhξ, NidA+

I

∂Mh

ξ, νΣi(coshβ+hN, NΣi)ds,

onde dA e ds denotam, respectivamente, o elemento de ´area de dimens˜ao n de Mn e o

elemento de ´area de dimens˜aon1 de ∂M, ξ´e a varia¸c˜ao do campo de vetores e νΣ ´e o vetor conormal unit´ario apontando para dentro de Ω⊂Σn ao longo de Γn−1.

Para a primeira varia¸c˜ao de volume, teremos

δξV =−

Z

Mh

ξ, NidA

Isso implica que δξE = 0 para toda varia¸c˜ao admiss´ıvel de x que preserva volume, se e

somente se, a curvatura m´ediaH dex´e constante e coshβ =−hN, NΣiao longo de Γn−1. Portanto, para dimens˜ao n as imers˜oes estacion´arias deste problema variacio-nal podem ser caracterizadas como as hipersuperf´ıcies tipo-espa¸co, com curvatura m´edia constante emLn+1, que intersectam Σn sob um ˆangulo hiperb´olico constante.

Al´ıas e Pastor [1998], generalizaram para o caso de dimens˜ao n e previram o resultado de unicidade para superf´ıcies tipo-espa¸co com curvatura m´edia constante em L3 com bordo circular fixo, obtido juntamente com L´opez em [ALP] exatamente um ano antes de [AP1].

Recentemente eles provaram que as ´unicas hipersuperf´ıcies tipo-espa¸co compactas imersas emLn+1,com curvatura m´edia constanteHe limitada por uma esfera de dimens˜ao n1 s˜ao as bolas hiperplanares com (H = 0) e as calotas hiperb´olicas com (H 6= 0).

Essa prova foi consequˆencia de duas f´ormulas integrais a f´ormula do fluxo e a

desigualdade integral. A vers˜ao de dimens˜ao 2 dessas f´ormulas pode ser encontrada em [AP1], usando essencialmente o fato de a superf´ıcie carregar uma estrutura complexa e o bordo ∂M ser uma curva.

Para os resultados encontrados aqui neste trabalho, seria desej´avel estendˆe-los ao caso de dimens˜ao n, ou pelo menos ao caso de dimens˜ao 3, que naturalmente seria de grande interesse do ponto de vista f´ısico.

Pode-se enunciar as duas conjecturas seguintes

Conjectura 1.Assuma que a hipersuperf´ıcie suporte Σn seja um hiperplano tipo-espa¸co. Ent˜ao as ´unicas hipersuperf´ıcies estacion´arias imersas em Ln+1 s˜ao as bolas

(39)

Conjectura 2. Assuma que a hipersuperf´ıcie suporte Σn ´e o espa¸co hiperb´olico de dimens˜ao n. Ent˜ao as ´unicas hipersuperf´ıcies estacion´arias imersas em Ln+1 s˜ao as

bolas hiperplanares, com H = 0, e as calotas hiperb´olicas, com H 6= 0.

Entretanto, a t´ecnica usado por n´os para provar a vers˜ao bidimensional somente tem resultado para n = 2, j´a que fazemos o uso essencial da estrutura complexa da superf´ıcie como superf´ıcie de Riemann. Uma outra pergunta interessante a ser considerada seria a respeito da estabilidade do problema variacional no caso geral.

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Referˆ

encias

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[BO2] Barbosa, J. L.; Oliker, V. Stable Spacelike Hypersurfaces with constant mean Cur-vature in Lorentz Space,Geometry and Global Analysis (Sendai), Tˆohoku University, p. 161-164, 1993a.

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